/
Автор: Садовничий В.А. Борисов А.В. Белокуров О.А. Хрусталев О.А. Мамаев И.С.
Теги: физика математика задачи по математике квантовая физика квантовые вычисления
ISBN: 5-7029-0338-2
Год: 1999
Текст
КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ЗА И ПРОТИВ
Перевод с английского
под редакцией
академика РАН
В. А. Садовничего
Редакция журнала «Регулярная и хаотическая динамика»
Издательский дом «Удмуртский университет»
1999
УДК 530.145
Библиотека «Квантовый компьютер
и квантовые вычисления», том I
Главный редактор В. А. Садовничий
Редколлегия:
В.В.Белокуров (научный редактор)
О. А. Хрусталев (редактор перевода)
А.В.Борисов (ответственный редактор)
И. С. Мамаев (редактор-консультант)
Квантовые вычисления: за и против. — Ижевск: Из-
Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 212 стр. —
ISBN 5-7029-0338-2
Предлагаемая книга является первой из серии сборников статей
различных зарубежных авторов о квантовых вычислениях. В дан-
данный сборник вошли работы, посвященные простейшим действующим
квантовым компьютерам, их конструкции, способу решения различ-
различных математических задач. Также приведены статьи, близкие по те-
теме задачам квантовых вычислений.
Книга будет интересна широкому кругу читателей — физикам,
математикам и всем интересующимся последними достижениями
науки.
ISBN 5-7029-0338-2
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
http://www.uni.udm.ru/rcd
© Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 1999
© Издательский дом
«Удмуртский университет», 1999
Содержание
Предисловие 6
Литература 10
С. Л. Браунштейн. Квантовые вычисления: учебное руко-
руководство 11
1. Вычисления на атомных расстояниях 13
2. Обратимое вычисление 13
3. Классические универсальные машины и логические гейты 14
4. FANOUT (разворачивание) и ERASE (стирание) 15
5. Вычисление без ERASE 17
6. Элементарные квантовые понятия 19
7. Логические гейты для квантовых битов 19
8. Модельный квантовый компьютер и квантовые коды ... 22
9. Квантовый параллелизм. Период последовательности ... 25
10. Факторизация чисел 28
11. Перспективы 30
12. Приложение 31
Литература 31
Д. П. ДиВинченцо. Квантовые вычисления 35
1. Введение 35
2. Строительные блоки квантовой логики 37
3. Квантовые сети 42
4. Алгоритм Питера Шора разложения числа на простые со-
сомножители 46
5. Проблема декогерентности 52
6. Взгляд в будущее 54
Литература 56
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса. Условная кван-
квантовая динамика и логические гейты 60
Литература 69
СОДЕРЖАНИЕ
Дж. Прескилл. Квантовые вычисления: за и против ... 71
1. Введение 71
2. Хотим ли мы построить квантовый компьютер? 72
3. Можем ли мы его построить? 79
4. Некоторые возможные возражения на возможность кван-
квантовых вычислений, и некоторые ответы 86
5. Как мы его будем строить? 88
6. Квантовые вычисления в конце века 91
Литература 95
Л. К. Гровер. Квантовая механика помогает найти иголку
в стоге сена 101
1. Введение 101
1.1. Квантово-механический алгоритм 102
2. Задача в абстрактной форме 104
3. Алгоритм 105
4. Сходимость 106
5. Реализация 108
Литература 109
Л. К. Гровер. Польза суперпозиции 110
Литература 113
Д. Боувмеестр, Ян-Вей Пан, К. Маттл, М. Эйбл, Г Вайн-
фуртер, А. Цайлингер. Экспериментальная квантовая
телепортация 114
1. Задача 115
2. Концепция квантовой телепортации 116
3. Экспериментальная реализация 120
4. Результаты 122
5. Следующие шаги 126
Литература 127
А. Л. Чуанг, Л. М. К. Вандерсипен, К. Жу, Д. В. Леюнг,
С. Ллойд. Экспериментальная реализация квантового
алгоритма 130
Литература 138
Н. Гершенфелд, И. Чанг. Квантовые вычисления с моле-
молекулами 141
1. Действие на расстоянии 142
2. Врачевание спинов 143
СОДЕРЖАНИЕ 5
3. Две вещи сразу 149
Литература 153
. А. Джоунс. Быстрый поиск с ядерно-магнитным резо-
резонансным компьютером 154
Литература 157
Й. Айсерт, М. Уилкенс, М. Левенштайн. Квантовые игры
и квантовые стратегии 158
Литература 166
П. Бенёв. Квантовые роботы и окружающая среда .... 168
1. Введение 168
2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры и головки
внешних устройств 170
3. Модель квантового робота с окружающей средой 172
4. Простой пример 174
4.1. Описание задачи 174
4.2. Точность 178
5. Обсуждение 180
Литература 181
. С. Абраме, С. Ллойд. Квантовый алгоритм вычисления
собственных значений и собственных векторов, обес-
обеспечивающий экспоненциальное увеличение скорости . 183
Литература 193
Р. Шак. Исследование квантового хаоса с помощью кван-
квантового компьютера 194
Литература 198
В. Черны. Квантовые компьютеры и труднорешаемые
(NP-полные) задачи 200
1. Введение 200
2. Квантовый TSP-решатель 202
3. Проблема измерения 205
4. Выводы 206
5. Дополнение 206
Литература 209
Предисловие
«Представьте себе компьютер, память которого экспоненциально
больше, чем можно было бы ожидать, оценивая его физический раз-
размер; компьютер, который может оперировать одновременно с экспо-
экспоненциально большим набором входных данных; компьютер, который
проводит вычисления в туманном для большинства из нас гильберто-
гильбертовом пространстве. Тогда Вы думаете о квантовом компьютере» — так
начинается одна из статей предлагаемого сборника. По-видимому, здесь
вовсе не преувеличиваются ощущения, которые должны испытать боль-
большинство читателей этой книги. Примерно такие эмоции возникают
при первоначальном знакомстве с квантовой механикой: «... было ...
уже три часа ночи, когда передо мной лежал окончательный резуль-
результат расчетов. ... я уже не мог более не сомневаться в математической
непротиворечивости и самосогласованности наметившейся тут кван-
квантовой механики. В первый момент я до глубины души испугался. У
меня было ощущение, что я гляжу сквозь поверхность атомных явле-
явлений на лежащее глубоко под нею основание поразительной внутренней
красоты, и у меня почти кружилась голова от мысли, что я могу те-
теперь проследить всю полноту математических структур, которые там,
в глубине, развернула передо мной природа» — так вспоминал Гейзен-
берг состояние 24-летнего молодого человека, только что открывшего
новую теорию. Квантовая механика с поразительной быстротой ста-
стала достоянием техники. С этой точки зрения компьютеры, после того
как в основу их работы были положены полупроводники, также стали
квантовыми устройствами. Однако, до сих пор скрытые в их глуби-
глубине квантовые приборы порождали вполне классические токи, которые
заставляли компьютер выполнять классические логические операции.
Поэтому то обстоятельство, что можно заставить компьютер работать
по иным физическим и логическим законам, а его небывалая мощность,
в свою очередь, приведет к практически непредсказуемым последстви-
последствиям, например, к немыслимому в настоящее время вторжению компью-
компьютера в частную жизнь, стало легким шоком для будущих потребите-
потребителей технической новинки. «Квантовый компьютер — мечта или ночной
Предисловие 7
кошмар?» — вот характерный заголовок одной многочисленных попу-
популярных статей на эту тему.
Предлагаемый читателю первый из серии сборников статей о кван-
квантовых вычислениях призван помочь читателю как самостоятельно ра-
разобраться в принципах работы компьютеров нового типа, так и соста-
составить свое мнение о возможностях этих приборов. Ограничимся лишь
некоторыми замечаниями. Появление квантовых компьютеров неиз-
неизбежно. Рождение идеи квантового компьютера было связано с исследо-
исследованиями по усовершенствованию уже существующих вычислительных
стройств. Выяснилось, что возможности компьютеров могут стать
практически безграничными, если только заставить их выполнять об-
обратимые логические операции в ходе возможно более быстрых обрати-
обратимых физических процессов. Первое условие требовало изменения стиля
программирования, второе — максимальной миниатюризации матери-
материальной базы. Оба условия естественно выполняются в том случае, если
меньшить компьютер до молекулярных размеров. В этом случае он
превратится в прибор, управляемый квантовой механикой, логика ко-
которой отличается от логики классической физики.
Перечислим важнейшие вехи в истории квантовых компьютеров.
В 1973 году Чарльз Беннетт указал на теоретическую возможность
обратимой машины Тьюринга, а первое квантовое описание машины
Тьюринга дал Пол Бенёв в 1980 году. Огромное значение имела про-
провидческая работа Ричарда Фейнмана A982), показавшего, что класси-
классическая вычислительная машина Тьюринга — очень плохое средство
описания квантовых явлений, в то время как квантовая машина Тью-
Тьюринга будет уверенно решать как квантовые, так и их частный слу-
случай — классические — задачи. В 1985 году Давид Дойч впервые дал
строгое описание квантовой машины Тьюринга. Его работа положила
начало современной теории квантовых компьютеров. Важной вехой в
развитии теории стала статья Дойча и Ричарда Джозса A992), в ко-
которой показано, что квантовые вычисления могут быть выполнены за
время, которое экспоненциально мало по сравнению со временем, по-
потребным для этих же целей классическим компьютерам. Это общее
тверждение вскоре получило блестящую реализацию в работе Питера
Шора A994). Он применил квантовое преобразование Фурье к задаче о
факторизации целых чисел. Лучшие классические алгоритмы решают
известную со времен Евклида задачу факторизации числа N примерно
8 Предисловие
l
за Сexp(A(lnNK) шагов, так что факторизация достаточно большого
числа требует времени, сравнимого со временем существования Сол-
Солнечной системы. Именно громадность этого времени была положена в
снову современных алгоритмов кодирования. Шор показал, что кван-
квантовый алгоритм решает задачу факторизации примерно за D(\nNJ~^?
шагов. Это означало, что квантовому компьютеру (будь он только соз-
создан) немедленно найдется применение. Примерно с этого времени на-
начинается продолжающееся до нынешнего дня бурное развитие теории
квантовых компьютеров и смежных с ней проблем квантовой крипто-
криптографии и квантовой телепортации.
В сборнике собраны некоторые работы, относящиеся именно к по-
последнему, «историческому» периоду развития квантовых вычислений.
Он открывается статьей Браунштейна, являющейся прекрасным вве-
введением в предмет квантовых компьютеров. Ее хорошо дополняет рабо-
работа ДиВинченцо, содержащая обзор возможных физических реализаций
квантовых логических схем. Думается, что читателю понравится ста-
статья Баренко, Дойча, Экерта и Джозса, удачно сочетающая чисто ма-
математические примеры построения логических схем с описанием их
возможных физических реализаций.
В сборник вошли две статьи Лова Гровера — создателя одного из
наиболее мощных квантовых алгоритмов — поиска в неупорядоченной
азе данных. Здесь рядом с оригинальной статьей (чисто математи-
математической работой, опубликованной в физическом журнале) помещено и
вторское популярное изложение алгоритма.
Далее идут статьи, посвященные простейшим действующим кван-
квантовым компьютерам, их конструкции, способу решения простейших
математических задач. Здесь также приведены как оригинальные ра-
оты, так и их популярное изложение. Читатель сам может проследить
за тем, как квантовый компьютер выполняет сразу несколько операций
своего классического собрата.
Нашлось место и статье, близкой по теме задачам квантовых вы-
вычислений — блестящей экспериментальной работе группы австрийских
физиков во главе с Антоном Цайлингером, описывающей опыты по те-
епортации фотонов.
Вторая половина сборника содержит статьи, предлагающие воз-
возможные физические и технические применения квантовых компьюте-
компьютеров. Мы воздерживаемся от пересказа их содержания, полагая, что раз-
Предисловие 9
нообразие и уровень изложения затронутых тем даст читателю пред-
представление о серьезности нового направления в физике и математике.
Заметим, что поскольку этот сборник задуман как первый из се-
серии по квантовым вычислениям, в него вошли лишь оптимистические
статьи. Работы, посвященные описанию серьезных трудностей, стоя-
стоящих на пути создания полноценных квантовых компьютеров (а такие
трудности стояли на пути любого важного направления в науке) и пу-
путей их преодоления (здесь уже есть много блестящих теоретических и
экспериментальных находок) составят содержание дальнейших сборни-
сборников.
Равным образом предлагается собрать внутри одной обложки как
классические работы по основаниям квантовой механики, квантовой
логике и теории квантовых вычислений, так и современные исследо-
исследования, представляющие собой серьезный вклад в развитие квантовых
компьютеров.
Отметим некоторые особенности принятой в сборнике терминоло-
терминологии. В англоязычной литературе общепринят термин gate, который по-
разному переводится на русский язык. В частности, используются та-
такие обороты, как «логический элемент» или «вентиль». Мы позволили
себе употребить слово гейт (в мужском роде), надеясь, что этот термин
приживется в русском языке, как уже прижились слова «компьютер»,
«бит», «байт ... ». Нам кажется, что поддержку в таком употреблении
слова гейт можно найти у Дойча A989), определяющего гейт как ком-
компьютер: «in the classical theory of computation a logic gate is a computing
machine whose input and output consist of fixed numbers of bits and which
performs a fixed time that is independent of the input ... A quantum gate
is defined in a similar way».
Далее, в последнее время широкое распространение получили тер-
термины «entangled», «entanglement» («quantum systems» или «quantum
states»), которые в нашем компьютерном фольклоре чаще всего пе-
переводятся как «запутанный», «перепутанный» и т. д. Английское
«entanglement» — это прямой перевод немецкого слова «Verschrankung»,
введенного Шредингером в 1935 году (Naturwissenschaften 23, 807-812
A935)). По-немецки verschanken — это «складывать накрест». В сбор-
сборнике термины «entangled», «entanglement» переведены как «скрещение»,
«скрещенный», чтобы избежать невольного придания смысла случай-
случайности при переводе соответствующих терминов словом «запутанный».
Этого смысла не было у Шредингера.
10 Литература
Наконец, слово «wavelate», которое, несомненно, скоро приобретет
популярность и в квантовых вычислениях, точно также звучит и в пе-
переводе — «вейвлет».
Мы надеемся, что предлагаемый сборник с интересом прочтут
физики и математики любой квалификации, начиная со студента-
первокурсника. Может быть, знакомство с этим сборником пробудит в
читателе более глубокий интерес к новой области науки и техники.
В. А. Садовничий
Литература
[1] С. Bennett. Logical reversing of computation. IBM Journal of research
and development, 17, 525-532 A973).
[2] P. Benioff. The computer as a physical system: a microscopic quantum
mechanical hamiltonian model of computation as reversed by Turing
machines. Journal of Statistical Physics 22, 563-591 A980).
[3] R. Feynmann. Simulating physics with computers. International
Journal of Theoretical Physics 21F/7), 467-488 A982).
[4] D.Deutsch. Quantum theory, the Church-Turing principle and
universal quantum computer. Proceedings Royal Society London,
A400, 97-117 A985).
[5] D.Deutsch. Quantum computational networks. Proceedings Royal
Society London, A425, 73-90 A989).
[6] D.Deutsch, R.Jozsa. Rapid solution of problems by quantum
computation. Proceedings Royal Society London, A439, 553-558
A992).
[7] P. Shor. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and
factoring. Proceedings 35th Annual Symposium on foundations of
computer science, 124-134 A994).
Квантовые вычисления: учебное
руководство
С. Л. Браунштейн
(Samuel L. BraunsteinI
Представьте себе компьютер, память которого экспонен-
экспоненциально больше, чем можно было бы ожидать, оценивая его
явный физический размер; компьютер, который может опе-
оперировать одновременно с экспоненциально большим набором
входных данных; компьютер, который проводит вычисления
в туманном для большинства из нас гильбертовом простран-
пространстве.
Тогда Вы думаете о квантовом компьютере.
Чтобы понять, что такое квантовый компьютер, требуется
всего лишь несколько относительно простых понятий кванто-
квантовой механики. Тонкость состоит в том, чтобы научиться ра-
работать с этими положениями. Является ли такой компьютер
неизбежностью, или построить его будет слишком сложно?
Настоящая работа знакомит с тем, как можно использовать кван-
квантовую механику для усовершенствования вычислений. Проблема, кото-
которая здесь рассматривается — факторизация большого числа, решение
которой является экспоненциально сложной для обычного компьюте-
компьютера. В качестве вступления мы дадим обзор стандартных инструментов
вычисления, универсальных гейтов и машин. Эти идеи впервые появи-
появились в теории классических компьютеров без диссипации, а затем были
применены к квантовым компьютерам.
Схематически описывается модель квантового компьютера, а так-
также некоторые тонкости в его программировании. Алгоритм Шора [1, 2]
эффективной факторизации чисел на квантовом компьютере представ-
представлен в двух частях: квантовая процедура внутри алгоритма и класси-
классический алгоритм, который требует квантовую процедуру. Обсуждается
Encyclopedia of Applied Physics, Update, WILEY-VCH, 1999.
Перевод В. В. Белокурова.
12 С. Л. Браунштейн
математическая структура в факторизации, которая делает алгоритм
Шора возможным. В заключении дается общий взгляд на осуществи-
осуществимость и перспективы квантовых вычислений в ближайшие годы.
Начнем с описания поставленной задачи: факторизации числа N
на простые множители (например, число 51688 может быть разложено
как 23 х 7 х 13 х 71). Удобный способ оценить, как быстро конкретный
лгоритм может решить задачу, состоит в том, чтобы выяснить, как
число шагов, требуемых для выполнения алгоритма, растет с увеличе-
увеличением размера входных данных.
Для задачи факторизации входными данными является само чис-
о N, которое мы хотим факторизовать; следовательно, длина входа
сть logTV. (Основание логарифма определяется нашей системой счисле-
счисления. Так, основание 2 задает длину в двоичной системе; а основание 10
в десятичной). «Приемлемыми» алгоритмами являются те, в которых
число шагов растет как некоторый полином небольшой степени от раз-
размера входных данных (со степенью, возможно, 2 или 3).
На обычных компьютерах самые лучшие известные алгоритмы
факторизации выполняются за О (exp [F4/9I/3(ln7VI/3(lnln7VJ/3])
шагов [3]. Таким образом, этот алгоритм растет экспоненциально с раз-
размером входных данных logTV. Например, в 1994 году 129-значное чис-
о (известное как RSA129 [3']) было успешно факторизовано с исполь-
использованием этого алгоритма на приблизительно 1600 рабочих станциях,
распределенных по всему миру; полная факторизация заняла восемь
месяцев. Используя этот результат для оценки множителя перед при-
приведенной выше экспонентой, получим, что потребуется приблизитель-
приблизительно 8 • 105 лет для факторизации теми же компьютерами 250-значного
числа; аналогично, для 1000-значного числа потребуется 1025 лет (зна-
(значительно больше, чем возраст вселенной). Трудность факторизации
ольших чисел является определяющим фактором для криптосистем
с открытым ключом, таких, какие используются в банках. Там такие
коды считаются надежными в силу сложности факторизации чисел с
приблизительно 250 знаками.
Недавно был разработан алгоритм для факторизации чисел на
квантовом компьютере, который реализуется за О ((log7VJ+s) шагов,
где е — некоторое малое число [1]. Он приблизительно квадратично
зависит от размера входных данных, поэтому факторизация 1000-знач-
1000-значного числа с помощью такого алгоритма потребует только несколько
Квантовые вычисления: учебное руководство 13
миллионов шагов. Это означает, что криптосистемы с открытым клю-
ключом, основанные на факторизации, могут быть взломаны.
Чтобы дать представление о том, за счет чего происходит такое
кспоненциальное улучшение, рассмотрим элементарный квантовоме-
ханический эксперимент, который показывает, где могут быть зало-
ены такие возможности [5]. Двухщелевой эксперимент дает прототип
наблюдаемого квантовомеханического поведения: источник испускает
фотоны, электроны или другие частицы, которые достигают пары ще-
ей. Эти частицы претерпевают унитарную эволюцию, и в конце про-
процесса измерения мы видим интерференционную картину, когда обе ще-
и открыты, и которая полностью исчезает, если одна из щелей закры-
закрыта. В некотором смысле частицы проходят через обе щели параллель-
параллельно. Если бы такая унитарная эволюция представляла бы вычисление
(или некоторую операцию в рамках вычисления), тогда квантовая сис-
система выполняла бы вычисления параллельно. Квантовый параллелизм
достигается бесплатно. Полученный на выходе этой системы резуль-
результат представлял бы собой интерференцию результатов параллельных
вычислений.
1. Вычисления на атомных расстояниях
Квантовые компьютеры будут проводить вычисления на атомных
расстояниях [5, 6]. На рис. 1 приведены результаты полученных Кейе-
сом в 1988 году [7] оценок изменения с годами числа примесей в основа-
основаниях биполярных транзисторов, требуемых для логических операций.
Можно считать, что этот график показывает число электронов, необхо-
необходимых для хранения одного бита информации. Экстраполяция графика
значает, что в течение следующих двух десятилетий мы могли бы
проводить вычисления на атомных расстояниях.
2. Обратимое вычисление
В чем состоят трудности попыток построить классическую вы-
вычислительную машину на таких малых расстояниях? Одна из наиболее
крупных проблем программы миниатюризации обычных компьютеров
связана с выделением теплоты.
Уже в 1961 году Ландауэр исследовал физические ограничения, на-
агаемые на вычисления диссипацией [8]. Удивительно, но ему удалось
14
С. Л. Браунштейн
ю12
CD
sio8
Oh
С
ою6
° m4
H
102
1950
1970 1990 2010
Годы
Рис. 1. График из работы [7], показывающий изменение с годами числа не-
однородностей в биполярных транзисторах, используемых для выполнения
логических операций.
показать, что практически все операции, требуемые для вычисления,
могут быть проведены обратимым образом, и поэтому без диссипации
теплоты! Первое условие для того, чтобы детерминированное устрой-
устройство было обратимым, состоит в том, что входные и выходные данные
должны единственным образом восстанавливаться друг из друга. Это
называется логической обратимостью. Если в дополнение к логичес-
логической обратимости устройство может реально действовать в обратном
направлении по времени, тогда оно называется физически обратимым,
и второй закон термодинамики гарантирует, что оно не рассеивает те-
теплоту.
Работа по классическим обратимым вычислениям заложила осно-
основы для развития квантовомеханических компьютеров. На квантовом
компьютере программы выполняются посредством унитарной эволю-
эволюции входных данных, которые задаются состоянием системы. Так как
нитарные операторы U обратимы, и U~1 = C/+, то на квантовом ком-
компьютере вычисления всегда можно обратить.
3. Классические универсальные машины и
логические гейты
Рассмотрим теперь основные логические элементы, используемые
в вычислении, и объясним, как обычные компьютеры могут быть ис-
использованы для любого «разумного» вычисления. Разумное вычисле-
вычисление — такое, которое может быть записано в терминах некоторого
Квантовые вычисления: учебное руководство 15
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
AND
0
0
0
1
OR
0
1
1
1
XOR
0
1
1
0
NOT В
1
0
1
0
Таблица 1. Определение действия некоторых элементарных логических гей-
гейтов. Каждая строка показывает два входных значения А и В и соответствую-
соответствующие выходные значения для гейтов AND, OR и XOR. Выход для NOT гейта
показан только для входа В.
(возможно большого) булевского выражения, и любое булевское вы-
выражение может быть построено из фиксированного набора логических
гейтов. Такой набор (например, AND (И), OR (ИЛИ) и NOT (HE)) на-
называется универсальным. В действительности можно обойтись только
двумя гейтами, такими как AND и NOT, или OR и NOT. Действуя аль-
альтернативным способом, мы можем заменить некоторые из этих прими-
примитивных гейтов другими, такими как исключающее ИЛИ (называется
OR); тогда AND и XOR образуют универсальный набор. Результаты
действия этих гейтов приведены в таблице 1. Любое устройство, кото-
которое может смонтировать произвольные комбинации логических гейтов
из универсального набора, является универсальным компьютером.
Какие из приведенных выше гейтов обратимы? Поскольку AND,
OR и XOR — операции, отображающие много данных в одно, то в том
виде, как они заданы, они не являются логически обратимыми. Прежде
чем мы обсудим, как эти логические гейты могут быть сделаны обрати-
обратимыми, мы рассмотрим некоторые нестандартные гейты, которые нам
для этого потребуются.
4. FANOUT (разворачивание) и ERASE (стирание)
Хотя приведенные выше гейты достаточны для математического
ппарата логики, они недостаточны для построения практической вы-
вычислительной машины. Для этого требуются еще гейты FANOUT и
ERASE (рис. 2).
Вначале рассмотрим гейт FANOUT. Является ли он обратимым?
Очевидно, никакая информация не разрушается, поэтому он, по крайней
мере логически, обратим. Ландауэр показал, что он может быть так-
16 С. Л. Браунштейн
А
А ( А X
> А
a) FANOUT Ъ) ERASE
Рис. 2. Два нестандартных гейта, которые, в дополнение к универсальному
набору, требуются для построения компьютера: (a) FANOUT гейт, который
ублирует входные данные А и (b) ERASE гейт, который уничтожает его
входные данные.
е и физически обратим [8]. Опишем простую модель для FANOUT,
снованную на схеме Беннетта для обратимого измерения (рис. 3) [9].
Здесь темный шар используется для того, чтобы определить наличие
или отсутствие второго (светлого) шара внутри ловушки. Ловушка со-
состоит из набора отражателей и может рассматриваться как регистр с
дним битом памяти. Если ловушка занята, то темный шар отражается
и покидает ловушку в направлении М (при этом светлый шар продол-
ает двигаться вдоль своей первоначальной траектории); в противном
случае он проходит без помех в направлении N. После того, как тем-
темный шар покинет ловушку, направление его движения используется для
того, чтобы заселить или нет другую ловушку.
¦¦¦¦#¦¦
Рис. 3. Обратимое измерение наличия светлого шара в ловушке, состоящей
из отражателей (темные прямоугольники) [9]. Темный шар входит в ловушку
из Y. В отсутствии светлого шара в ловушке темный шар проследует по
пути HN. При наличии светлого шара (в это время начинающего движение
в X) темный шар отклонит светлый шар от его первоначальной траектории
ABCDEF на траекторию ABGDEF, а сам проследует по пути HIJKLM.
Давайте теперь рассмотрим операцию ERASE, которая требуется
для периодической «чистки» памяти компьютера.
Квантовые вычисления: учебное руководство 17
Один тип стирания может быть проведен обратимым образом. Ес-
и у нас есть продублированная копия некоторой информации, то мы
можем стереть добавочные копии, т. е. провести операцию, обратную
той, что совершает FANOUT гейт. Трудность возникает, когда мы хо-
хотим стереть имеющуюся последнюю копию, т. е. совершить так назы-
называемое примитивное стирание (примитивный ERASE).
Рассмотрим одиночный бит, представленный как пара равнове-
равновероятных классических состояний некоторой частицы. Для стирания
информации о состоянии частицы мы должны необратимым образом
сжать фазовое пространство в два раза. Если позволить этому сжато-
сжатому фазовому пространству адиабатически расширяться при темпера-
температуре Т до его первоначального размера, то можно получить количество
работы, равное квТ 1п2 (где кв — постоянная Больцмана). Основыва-
сь на простых моделях и более общих аргументах относительно сжа-
сжатия фазового пространства, Ландауэр сделал вывод о том, что стира-
стирание одного бита информации при температуре Т требует диссипации
по меньшей мере квТ 1п2 теплоты (результат, известный как принцип
андауэра) [8].
5. Вычисление без ERASE
К счастью, гейт примитивный ERASE не является абсолютно не-
бходимым в вычислениях. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим,
что требуется для вычисления произвольных функций, использующе-
использующего обратимую логику (где примитивный ERASE запрещен). Ландауэр
показал, как любая функция f(a) может быть воспроизведена взаимно
днозначно с ее аргументом (один к одному) в результате сохранения
копии входных данных:
f:a-> (а, /(а)).
Круглые скобки означают здесь упорядоченный набор величин, в дан-
данном случае двух. Дополнительные «щели» будут добавлены (или удале-
удалены), как потребуется в нашем дальнейшем обсуждении.
Как этот трюк может быть использован для выполнения обратимой
огики? Одно решение, известное как Тоффоли-гейт, показано на рис. 4
[8, 10, 11]. Выход этого гейта может быть разложен в различные гейты:
18
С. Л. Браунштейн
В © (А.С) = <
А.С, для В = О (AND)
А ф В, для G = 1 (XOR)
Б, для А = С = 1 (NOT)
А, для Б = О, С = 1 (FANOUT)
где А. В изображает AND-гейт, А® В изображает XOR-гейт и А изоб-
изображает NOT-гейт. Мы видим, что этот гейт является универсальным,
поскольку он выполняет AND, XOR, NOT или FANOUT, в зависимости
т того, что имеется на входе.
Комбинация многих таких гейтов может затем использоваться для
юбого вычисления и будет оставаться обратимой.
А
В
С
А
В® (А.С)
С
Рис. 4. Универсальный обратимый Тоффоли-гейт с тройным входом и трой-
тройным выходом. Этот гейт, очевидно, является обратимым, т. к. повторное его
применение воспроизводит первоначальные входные данные.
Как было замечено Ландауэром, эта процедура приводит к прямой
проблеме из-за отсутствия примитивного ERASE. Чем больше гейтов
мы используем, тем больше «мусорных» битов мы накопим: в каждом
гейте мы должны хранить входные биты для сохранения обратимости.
Другими словами, компьютер, построенный из логически обратимых
гейтов вместо обычных, логически необратимых гейтов, вел бы себя
как
с большим числом дополнительных мусорных битов j(a).
Беннетт решил эту проблему, показав, что мусорные биты могут
ыть обратимым образом стерты на промежуточных шагах с мини-
минимальными затратами времени и памяти [12, 13]. Идею решения Бен-
нетта можно истолковать на языке следующей процедуры:
/: а-> (a, j(a), /(а)),
FANOUT: (а, j(a), /(а)) -> (а, j(a), /(а), /(а)),
,/(а),/(а))^(а,/(а)),
где /t обозначает возвращение к невычисленному /, как противополож-
противоположное к вычислению f~1. Сначала вычисляется / и при этом получаются
Квантовые вычисления: учебное руководство 19
мусорные биты и искомый выходной результат. Затем применяется
FANOUT-гейт для дублирования выходного результата. В конце мы
возвращаемся к невычисленной исходной функции /, выполняя в об-
обратную сторону операцию ее вычисления. Эта процедура удаляет му-
мусорные биты и первоначальный выходной результат. Однако дубликат
остается!
Это завершает наше обсуждение устройства классических обрати-
обратимых компьютеров. Мы установили, что требование обратимости не яв-
является препятствием для логической конструкции вычислительных ма-
машин. Прежде, чем переносить эти идеи на квантовые системы, введем
некоторые элементарные квантовомеханические понятия.
6. Элементарные квантовые понятия
Одну из простых квантовых систем, в которой имеется два уровня,
представляет собой частица со спином 1/2. Ее базисные состояния, спин
вниз | \) и спин вверх | t)? могут быть переобозначены для представле-
представления двоичных нуля и единицы, т. е., соответственно, |0) и |1). Состояние
одной такой частицы описывается волновой функцией ф = а\0) + /3\1).
Квадраты модуля комплексных коэффициентов \а\2 и \/3\2 задают ве-
вероятности найти частицу в соответствующих состояниях. Обобщая это
на набор к частиц спина У2, получаем, что теперь имеется 2к базисных
состояний (квантовомеханических векторов, которые образуют гиль-
гильбертово пространство), соответствующих, скажем, 2к возможным дво-
двоичным строкам длины к. Например, |25) = 111001) = | ttWt) — одно
из таких состояний для к = 5.
Размерность гильбертова пространства растет экспоненциально с
величением к.
В самом общем смысле квантовые вычисления используют этот
огромный объем, скрытый даже в самых малых системах.
7. Логические гейты для квантовых битов
В этом разделе мы опишем, как можно построить произвольные
логические гейты для квантовых битов.
Мы начнем с рассмотрения различных однобитных операций и од-
одной двубитной — XOR-операции. Их комбинации достаточны для по-
20 С. Л. Браунштейн
строения Тоффоли-гейта для квантовых битов, или, на самом деле, лю-
любой унитарной операции на конечном числе битов.
Начнем с одного квантового бита. Если представить состояния | \)
и | t) (т. е. |0) и |1)) как векторы (J) и (J), соответственно, то наиболее
общему унитарному преобразованию отвечает матрица 2x2 вида
= ( е cos @/2) е-
в ~ ^е^-^+г) sin @/2) е^6-а-т>> cos @/2)
в которой обычно полагают 5 = а = г = 0 [14]. Используя этот оператор,
мы можем инвертировать биты:
= -|l), Un\l) =
Происшедшее изменение знака означает появление фазового множите-
множителя, который не влияет на логическую операцию гейтов и может быть
опущен, если мы захотим, сразу или на более позднем этапе. Такие од-
Квантовые вычисления: учебное руководство
21
где q = 2k. Наш компьютер находится теперь в суперпозиции экспонен-
экспоненциально большого числа целых чисел а от 0 до 2k — 1. Предположим, что
мы можем теперь построить унитарную операцию, которая отображает
пару двоичных строк |а;0) в пару |а;/(а)) для некоторой функции /(а).
Тогда такой унитарный оператор, действуя на суперпозицию состояний
а=
вычисляет функцию f(a) параллельно экспоненциально большое число
раз для различных входных значений а.
Чтобы понять, как такие унитарные операторы могут быть постро-
ны из нескольких элементарных операторов, рассмотрим XOR-гейт
[14, 15].
Записывая двухчастичные базисные состояния как вектора
|оо> =
мы можем представить XOR гейт унитарным оператором
' 1 0 0 0 \
п\
0
0
V0/
, |01> =
@\
1
0
W
, |Ю) =
/0\
0
1
\°/
, |11> =
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
Здесь первая частица действует как условный гейт для инвертирования
состояния второй частицы. Легко проверить, что состояние второй час-
частицы отвечает действию XOR-гейт, заданного в таблице 1. Квантовая
цепь для XOR-гейта изображен на рис. 6.
\А) т \А)
\В)
Рис. 6. Диаграмма квантового цикла для XOR-гейта. Низший бит \В) инвер-
инвертируется всякий раз, когда верхний бит \А) является единицей.
Эта цепь эквивалентна элементарной команде: если (\А) = 1),
то \В) —>• NOT|I?), что можно понимать как пример программы кван-
квантового компьютера [22]. Скобки ) являются напоминанием того, что
22
С. Л. Браунштейн
мы имеем дело с квантовыми, а не классическими битами. XOR-гейт
позволяет перемещать информацию, как показано на рис. 7.
\А)
IB)
\В)
\А)
Рис. 7. Цикл для перестановки местами пары битов.
Как построить Тоффоли-гейт? Главная проблема с этим гейтом за-
заключается в том, что он требует три бита на входе и три на выходе.
Кажется, что это соответствует квантовому процессу рассеяния, вклю-
включающему трехчастичные столкновения [16], требующие (возможно) не-
непомерного контроля за частицами [5]. К счастью, Тоффоли-гейт может
быть построен только из процессов двухчастичного рассеяния [15, 17,
18, 19, 20]. В частности, здесь мы показываем конструкцию, включаю-
включающую XOR-гейт и некоторые однобитные гейты Uq (рис. 8) [14].
А) , , \А)
\В) -
1С)
— \А®( А.С))
1С)
Рис. 8. Тоффоли-гейт, построенный из двубитных XOR-гейтов плюс некото-
некоторых однобитных гейтов [5, 14]. Эта цепь вводит некоторые дополнительные
знаки в унитарной матрице C/xor, которые могут быть удалены на более
позднем этапе.
XOR-гейт не только достаточен для всех логических операций на
квантовом компьютере, но он может быть использован для построения
произвольных унитарных преобразований на любом конечном наборе
битов. Рассматривались многочисленные предложения, как создать та-
такие гейты [2, 6].
8. Модельный квантовый компьютер и квантовые
коды
В этом разделе мы опишем простую модель квантового компью-
компьютера, основанного на классическом компьютере, обучающем машину
правлять набором спинов. У этой модели есть некоторые внутренние
ограничения, которые делают разработку алгоритмов на языке высоко-
Квантовые вычисления: учебное руководство 23
го уровня довольно сложной. Мы обсудим некоторые из правил для на-
написания такого кода квантового компьютера как языка высокого уров-
уровня и приведем пример.
Рассмотрим следующую модель действия квантового компьютера.
Несколько тысяч частиц спина У2 (или двухуровневых систем) перво-
первоначально находятся в некотором определенном состоянии, например, со
всеми спинами вниз. Классическая машина берет отдельные спины или
пары спинов и скрещивает их (производя элементарную однобитную
перацию Us или двубитный XOR-гейт); см. рис. 9а, Ъ и с. Эти этапы
повторяются на разных парах спинов согласно предписаниям обычной
компьютерной программы. Т. к. спины скрещиваются, то мы не долж-
должны выделять состояния спинов на промежуточных этапах.
ф
а)
Ф
Ъ)
Ф
с)
Ф
' " ч \ '
ш * '
ф ф
ф
*—
щ
Ф :;у
ф
-г
|_
ф
ф
ф •••
П
1
ф •••
J
Ф •••
ф ф ф ф ф ф •••
d)
Рис. 9. Модельный квантовый компьютер в представлении Шора [21]. Пер-
Первоначально все частицы имеют спины вниз. Этап а) классическая машина
ерет отдельные спины или пары спинов и на этапе Ь) производит подобран-
подобранную однобитную или двубитную операцию; на этапе с) «скрещенные» части-
частицы возвращаются на свои первоначальные места. Эти три этапа повторяются
много раз в соответствии с командами, заданными обычным классическим
компьютером. Когда этот цикл завершен, этап d) состоит в измерении со-
тояния частиц (помещая их в некоторую частную двоичную строку); эта
воичная строка является результатом вычисления.
Мы должны сохранить квантовую суперпозицию неповрежденной.
Более того, все, что может нарушить ориентацию спинов или прервать
24 С. Л. Браунштейн
нитарную эволюцию состояний, не должно интерферировать со спина-
спинами. Когда этот определенный цикл манипуляций завершен, ориентации
спинов измеряются (рис. 9с/).
Полученный набор измеренных ориентации является итогом вы-
вычисления.
Если задана такая парадигма квантового компьютера, то как мо-
может выглядеть его язык высокого уровня (его компьютерный код)?
Наиболее серьезная трудность, с которой приходится сталкиваться, со-
состоит в том, что квантовая информация управляется обычным ком-
компьютером абсолютно слепым образом — без какого-либо доступа к
значениям этой квантовой информации. Это означает, что программа
не может использовать сокращения, обусловленные значением кванто-
квантовой переменной (или регистром, или битом). Например, циклы должны
итерироваться точно то же самое число раз независимо от значений
квантовых переменных. Аналогично, операции условного перехода че-
через большие куски программы должны быть разбиты на повторяющие-
повторяющиеся условия для каждого шага. К тому же каждая команда, выполняемая
с квантовыми битами, должна быть логически обратимой. Так, обыч-
обычное присвоение значения переменной, такое как \а) = п, незаконно, а,
вместо этого, оно должно выполняться как приращение первоначально
равной нулю переменной \а) = \а) + п.
Пример такой программы, которая могла бы выполняться на этой
машине, мог бы выглядеть следующим образом [22]:
do 10 к = 19 worstdiv
\а) = \а) — п
if (|o> = 0) |g> = \q) + 1
10 continue
do 20 к = 19 worstdiv
if (к > \q)) \а) = \а) + п
20 continue
Этот фрагмент программы может быть использован для вычисле-
вычисления частного и остатка, помещенных в \q) и \а) соответственно, для
деления \а) на щ постоянная worstdiv — число раз, которое в худ-
худшем случае должен пробегаться цикл. Здесь \q) первоначально равен
нулю. Каждая команда здесь — либо обычная компьютерная коман-
команда, либо программа, включающая квантовые переменные. Первые яв-
являются прямыми командами для внешнего компьютера, в то время как
Квантовые вычисления: учебное руководство 25
последние следует интерпретировать как последовательность манипу-
яций, которые должны совершаться с квантовыми битами. Так, как
на написана, эта программа является необратимой (и также не очень
ффективной), например, идентификатор 10 не дает описания того, ка-
какой путь должен бы быть использован, чтобы добраться до него. Она,
днако, легко может быть переписана [22].
9. Квантовый параллелизм. Период
последовательности
Теперь наших знаний достаточно, чтобы понять, как квантовый
компьютер может выполнять логические операции и вычислять подоб-
подобно обычному компьютеру. В этом разделе мы опишем алгоритм, ис-
использующий квантовый параллелизм, на который мы уже намекали:
поиск периода длинной последовательности.
Рассмотрим последовательность
/@),/A), ... ,/(g-l),
где q = 2k\ чтобы найти ее период, мы используем квантовый парал-
елизм. Начнем с совокупности частиц, спины которых первоначально
направлены вниз. Сгруппируем их в два набора (два квантовых регист-
регистра, или квантовые переменные):
, U/ | ф , ф , . . . , ф , ф , . . . у ,
при этом первый ряд содержит к битов, и число битов в другом до-
достаточно для наших целей. (В действительности, требуются и другие
регистры, но зная решение Беннетта задачи об уборке мусора, пока о
них можно умолчать.)
Применив к каждому биту первого регистра однобитную опера-
операцию U_n/2, получим суперпозицию всех возможных двоичных строк
длины к в этом регистре:
а=
Следующий шаг состоит в том, что вычисление функции f(a) разбива-
тся на ряд однобитных и двубитных унитарных операций. Последова-
Последовательность операций конструируется таким образом, чтобы преобразо-
преобразовать состояние |а;0) в состояние |а;/(а)) для любого а. Число битов,
26
С. Л. Браунштейн
необходимых для второго регистра, должно быть, по крайней мере, до-
достаточным для того, чтобы вместить самый длинный результат f(a)
для любого из этих вычислений. Когда эта последовательность опера-
операций применяется к нашей экспоненциально большой суперпозиции, а не
к одному состоянию на входе, мы получаем
a=0
Экспоненциально большое число вычислений проводится по существу
есплатно.
Конечный вычислительный шаг, также как и первый, опять являет-
является чисто квантовомеханическим. Рассмотрим дискретное «квантовое»
преобразование Фурье первого регистра
q-l
c=0
егко заметить, что оно обратимо в результате обратного преобразо-
преобразования (нетрудно проверить, что оно унитарно). Эффективный способ
вычисления этого преобразования с помощью однобитных и двубитных
гейтов был описан Копперсмитом (рис. 10) [23, 24, 6].
1
Рис. 10. Цепь для квантового преобразования Фурье переменной
|а&_1... aiao), использующая метод Копперсмита быстрого преобразо-
преобразования Фурье [23, 24, 6]. Двубитные «Хп»-гейты, в свою очередь, могут быть
разложены в некоторые однобитные и XOR-гейты [14].
Квантовые вычисления: учебное руководство
27
Когда это квантовое преобразование Фурье применяется к нашей
суперпозиции, мы получаем
q-lq-1
ЕЕ
a=0 c=0
/(«)>
Вычисление теперь завершено, и мы восстанавливаем результат на вы-
выходе квантового компьютера, измеряя состояние всех спинов в первом
регистре (для первых к битов). В действительности, как только преоб-
преобразование Фурье выполнено, второй регистр может быть даже отбро-
отброшен [27].
Как будет выглядеть выход?
Предположим, что f(a) имеет период г, т. е. f(a + r) = f(a). Сумма
по а приводит к конструктивной интерференции коэффициентов, толь-
только когда c/q кратно обратному периоду 1/г [25]. При всех других зна-
значениях c/q происходит в большей или меньшей степени деструктивная
интерференция. Таким образом, распределение вероятности найти пер-
первый регистр с различными значениями схематично показано на рис. 11.
prob (с)
О
1/г
2/г
3/г
c/q
Рис. 11. График зависимости вероятности каждого результата относитель-
относительно c/q. Конструктивная интерференция дает узкие пики при значениях c/q,
кратных обратному периоду последовательности 1/г.
Один полный цикл работы квантового компьютера дает случайное
значение c/q, соответствующее одному из пиков вероятности каждо-
каждого результата prob(c). Иначе говоря, мы получаем случайное значение,
кратное обратному периоду. Для выделения самого периода нам нужно
только повторить это квантовое вычисление, грубо говоря, loglogr/fc
раз для того, чтобы получить высокую вероятность, по крайней мере,
дному из кратных быть взаимно простым с периодом г — тогда он од-
28 С. Л. Браунштейн
нозначно определяется [1]. Таким образом, этот алгоритм дает только
вероятностный результат. К счастью, мы можем сделать эту вероят-
вероятность настолько большой, насколько захотим.
Вся описанная выше работа может показаться несколько обескура-
ивающей. Мы столкнулись с большими трудностями при конструиро-
конструировании квантового компьютера для поиска периода последовательности.
Преимущество, однако, состоит в том, что последовательность вычис-
яется параллельно и является экспоненциально длинной — даже для
малого количества битов, скажем к = 140, в первом регистре кван-
квантовый компьютер получал и сохранял больше результатов, чем число
частиц во вселенной. Сейчас мы опишем простую структуру, которая
существует в математической задаче факторизации и которая позво-
яет применить в этом случае описанный выше алгоритм квантовых
вычислений.
10. Факторизация чисел
Мы хотим факторизовать число N. Достаточно найти хотя бы один
множитель, так как затем мы можем свести задачу к более простой.
Прежде всего, выберем число х.
С помощью алгоритма Евклида (см. приложение) можно эффек-
эффективно вычислить общие множители у N и ж, и редуцировать задачу.
Поэтому предположим, что эти числа взаимно просты. Затем рассмот-
рассмотрим последовательность, образованную функцией f(a) = ха (mod N).
Здесь a (mod b) обозначает остаток от деления а на Ъ. Он может пони-
пониматься как час, показываемый на циферблате с Ъ делениями после того,
как прошло а часов с тех пор, когда часы были поставлены на нулевой
час (час Ь).
Последовательности {ха} и {ха (mod N)} выглядят, соответствен-
соответственно, как
IV — 1 v г-Ы
гр гр' ¦*- гр' гр' I -л-
• «АУ • • • • • «АУ • «ЛУ • «ЛУ • • • •
-1- * «ЛУ • • • • • • -1- • «ЛУ • • • • • • -1- • «ЛУ • • • • • •
г членов г членов г членов
Число г — это минимальная степень, для которой хг = 1 (mod N).
Пристальный взгляд на нижнюю последовательность обнаружит,
что она имеет периодическую структуру с периодом г. Используя стан-
стандартные алгоритмы, этот период для длинных последовательностей по-
Квантовые вычисления: учебное руководство 29
учить весьма непросто. Однако описанным в предыдущем разделе ал-
алгоритмом для квантового компьютера он может быть вычислен эффек-
эффективным образом. Эта возможность, как мы сейчас продемонстрируем,
ткрывает новый способ найти множители числа N.
Давайте предположим, что описанным выше алгоритмом кванто-
квантовых вычислений мы получили период г [26]. Если этот период четный,
мы можем приступить к нашему алгоритму факторизации. Если нет,
мы должны выбрать другое х и начать сначала. Случайным образом
выбранное х приведет к подходящему четному периоду г в пятидесяти
процентах случаев, поэтому понадобится не так много попыток [1, 2].
Приступим теперь к алгоритму факторизации. Выбрав х так, что
последовательность {ха (mod N)} имеет четный период г, перепишем
соотношение хг = 1 (mod N) как разность двух квадратов:
-l = 0 (mod TV).
Выражая левую сторону как произведение суммы и разности, получим
(V/2 + l) (V/2 - l) = 0 (mod N).
Это просто означает, что произведение двух сомножителей слева кратно
числу N, которое мы хотим факторизовать. Таким образом, или один,
или другой сомножитель должен иметь общий множитель с N. Окон-
Окончательный этап алгоритма состоит в вычислении наибольшего общего
делителя каждого из этих сомножителей с N (эффективный класси-
классический алгоритм описан в приложении). Любой нетривиальный общий
делитель является множителем, который мы искали. Таким образом,
поиск будет завершен.
В качестве примера рассмотрим число N = 91. Выбирая х = 3,
найдем, что последовательность За (mod 9I имеет вид
а : О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
За : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 243, 2187, ...
За (mod 9I: 1, 3, 9, 27, 81, 61, 1, 3, ...
Квантовый компьютер может вычислять период параллельно, од-
однако здесь достаточно взглянуть невооруженным глазом, чтобы заме-
заметить, что последовательность имеет период г = 6 (так как он четный,
можно приступать к алгоритму).
30 С. Л. Браунштейн
Переписывая соотношение З6 = 1 (mod 9I как сказано выше, по-
поучим 28 х 26 = 0 (mod 9I. Это означает, что либо НОД B8, 91),
ибо НОД B6, 91) являются нетривиальными делителями 91. В дей-
действительности, в этом случае оба члена дают различные множители,
соответственно, 7 и 13. Это завершает разложение числа 91 на простые
множители: 91 = 7 х 13.
11. Перспективы
Каковы перспективы квантовых вычислений? В этом разделе мы
бсудим поиски других алгоритмов и опишем наибольшие трудности,
возникающие при построении квантовых компьютеров.
В этой статье мы обсудили один алгоритм, приводящий к экс-
экспоненциальному ускорению по сравнению с обычными методами —
ффективное вычисление периода длинной последовательности. Сегод-
Сегодня это — единственный алгоритм, обнаруживающий такое ускорение.
Этот алгоритм был применен к традиционной задаче вычислительной
математики — задаче факторизации только благодаря пониманию глу-
окой структуры, лежащей в основе этой проблемы. Это требование
казывается общим — квантовый параллелизм приведет к экспоненци-
льному ускорению только в тех задачах, структура которых позволя-
т избежать необходимости проверки экспоненциально большого числа
решений [28, 29, 30, 31]. Таким образом, подход с применением грубой
силы к некоторым сложнейшим вычислительным вопросам, известным
как NP-полные задачи, не приведет к успеху и с использованием кван-
квантового параллелизма. Любой прогресс в решении таких задач требует
бнаружения некоторой структуры, лежащей в их основе. Вместо этого,
квантовые компьютеры, похоже, будут наиболее полезны для модели-
моделирования малых квантовых систем и управления ими [6].
Насколько трудно будет построить квантовый компьютер? Даже в
рамках очевидно малых систем атомного размера квантовые вычисле-
вычисления проходят на огромном объеме гильбертова пространства. Кванто-
Квантовое вычисление подразумевает построение траектории от стандартного
начального состояния к сложному конечному состоянию. Главная труд-
трудность состоит в том, чтобы держаться этой траектории. Покинуть ее —
значает исчезнуть в гильбертовом пространстве. Наибольшая пробле-
проблема — это сверхчувствительность к возмущениям, сдвигающим вычис-
ительную траекторию случайным образом с ее направления. Такие
Литература 31
возмущения происходят от неконтролируемых связей с внешним шу-
шумом [32]. Слишком рано предсказывать тяжесть этой проблемы. Хотя
кажется, что нет фундаментальных ограничений на то, как хорошо мы
можем изолировать квантовую систему. В настоящее время некоторые
реализации квантовых компьютеров рассматриваются теоретиками и
кспериментаторами в разных странах [17, 18, 33, 34, 35, 36, 37]. Одна
многообещающая схема включает ионные ловушки [34, 35] — следу-
следующее поколение образцов атомных часов. В течение следующих двух
десятилетий обычные компьютеры достигнут атомных размеров; воз-
возможно, квантовые компьютеры достигнут этих размеров раньше.
12. Приложение
Здесь мы опишем алгоритм Евклида для нахождения наибольшего
бщего делителя (НОД) двух чисел щ ^ п\ [38]. Алгоритм осуществля-
тся как последовательное деление с остатком следующих чисел:
= &\ X П\ +
= d2 х п2 +
nm-2 — ^m-1 X nm-l "•" П«г
где dm — частные и nm_i ^ пт на каждом шаге. Последний ненулевой
статок пт дает ответ, т. е. HOfl(no,ni) = пт. Например, последова-
последовательность делений
91 = 3х 28 + 7
28 = 4 х 7 + 0,
дает НОДB8,91) = 7 прямо за два шага. В худшем случае число шагов,
требуемых для выполнения алгоритма Евклида, равно O(loglogni).
Литература
[1] P. W. Shor. In Proc. 35th Annual Symposium on the Foundations of
Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE Computer Society
Press, Los Alamitos, California, 1994), p. 124.
32 Литература
[2] Более детальное описание алгоритма Шора можно найти в рабо-
работе: A.Ekert and R. Jozsa. Shores quantum algorithm for factorizing
numbers, Rev. Mod. Phys. 1995, to appear.
[3] A. M. Odiyzko. The future of integer factorization, AT&T Bell
Laboratories preprint 1995.
[3'] R. Rivest, A. Shamir and L. Adieman. On digital signatures and public-
key crypto systems, MIT Laboratory for Computer Science, preprint
MIT/LCS/TR-212,1979.
[4] D.Atkins, M.Graff, A.K.Lenstra and P. C.Leyland. In Advances in
Cryptology-ASIACRYPT'94, Eds. J.Pieprzyk and R. Safavi-Naini.
Lecture Notes in Сотр. Sci. 917 (Springer Verlag, Berlin, 1995), p. 263.
[5] D.P. DiVincenzo, presented at Quantum Computation 1994, Villa
Gualino, Turin, Italy, October 1994, unpublished.
[6] D.P.DiVincenzo. Quantum computation. Science, to appear 1995.
[7] R. W.Keyes. IBM J. Res. Develop. 32, 24 A988).
[8] The seminal paper in reversible computation: R. Landauer. IBM J.
Res. Develop. 3, 183 A961).
[9] This paper describes the history of reversible computation:
C.H.Bennett. IBM J. Res. Develop. 32, 16 A988).
[10] T. Toffoli. In Automata, Languages and Programming, Eds. J. W. de
Bakker and J. van Leeuwen (Springer-Verlag, New York, 1980) p. 632.
[11] E.Fredkin and T. Toffoli. Int. J. Theor. Phys. 21, 219 A982).
[12] C.H.Bennett. IBM J. Res. Develop. 17, 525 A973).
[13] C.H.Bennett. SIAM J. Comput. 18, 766 A989).
[14] A.Barenco, C.H.Bennett, R. Cleve, D.P.DiVincenzo, N.Margolus,
P. Shor, T. Sleator, J. Smolin and H. Weinfurter. Elementary gates for
quantum computation, submitted to Phys. Rev. A, 1995.
[15] D.P.DiVincenzo. Phys. Rev. A 51, 1015 A995).
[16] D.Deutsch. Proc. Roy. Soc. Lond. A 425, 73 A989).
Литература 33
[17] A. Barenco, D. Deutsch and A. Ekert. Phys. Rev. Lett. 74, 4083 A995).
[18] T.Sleator and H. Weinfurter. Phys. Rev. Lett. 74, 4087 A995).
[19] D. Deutsch, A.Barenco and A. Ekert. Proc. Roy. Soc. Lond. A 449,
669 A995).
[20] S.Lloyd. Almost any quantum logic gate is universal, Los Alamos
National Laboratory preprint.
[21] P. W. Shor, presented at Quantum Computation 1994, Villa Gualino,
Turin, Italy, October 1994, unpublished.
[22] D.P. DiVincenzo, private communication and work presented at
Quantum Computation 1995, Villa Gualino, Turin, Italy, June 1995,
unpublished.
[23] D. Coppersmith. An approximate Fourier transform useful in quantum
factoring, IBM Research Report RC19642 A994).
[24] R. Cleve. A note on computing Fourier transforms by quantum
programs, unpublished.
[25] Необходимо, чтобы дискретное преобразование Фурье обеспечи-
обеспечило достаточное разрешение для выделения кратного обратному
периоду из соотношения c/q. Это всегда возможно, если число
битов к в первом квантовом регистре удовлетворяет неравенст-
неравенству г2 ^ q = 2k.
[26] Так как период г неизвестен, мы требуем N2 ^ q = 2k. Тогда
преобразование Фурье обеспечивает на данном этапе вычислений
достаточное разрешение [1,2].
[27] I. L. Chuang, R. Laflamme, P. Shor and W. H. Zurek. Quantum
computers, factoring and decoherence, Report LA-UR-95-241 A995).
[28] R. Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 435, 563 A991).
[29] D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 554 A992).
[30] A. C.-C.Yao. Quantum circuit complexity, preprint.
[31] C.H.Bennett, E.Bernstein, G. Brassard and U. V. Vazirani. Strengths
and weaknesses of quantum computing, preprint.
34 Литература
[32] W.G.Unruh. Phys. Rev. A 51, 992 A995).
[33] S.Lloyd. Science 261, 1569 A993).
[34] J.I. Cirac and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74, 4091 A995).
[35] T. Pellizzari, S.A.Gardiner, J.I. Cirac and P. Zoller. Decoherence,
continuous observation and quantum computing: a cavity QED model,
preprint.
[36] Q. A.Turchette, C.J.Hood, W. Lange, H. Mabuchi and H. J.Kimble.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic, Caltech
preprint.
[37] R. Hughes, presented at Quantum Computation 1995, Villa Gualino,
Turin, Italy, June 1995, unpublished.
[38] G. H. Hardy and E. M. Wright. An introduction to the theory of
numbers, Oxford, Clarendon Press, 1979.
Квантовые вычисления
Давид П. ДиВинченцо
(David P. DiVincenzoI
Если когда-нибудь компьютерные биты уменьшатся до
размеров отдельных атомов, квантово-механические эффекты
могут сильно изменить саму природу вычислений. Волновая
функция такого компьютера будет определять суперпозицию
многих вычислительных процессов, выполняемых одновре-
одновременно. Возникающий параллелизм может быть использован
для эффективного решения многих вычислительных проблем,
таких, как разложение большого целого числа на простые мно-
множители. Однако создание квантовых компьютеров предъявля-
предъявляет такие требования к экспериментальной реализации систем
с высокой квантовой когерентностью, о каких пока можно
только мечтать. В настоящее время экспериментальные воз-
возможности в атомной физике и в других областях науки поз-
позволяют осуществить только самые элементарные квантовые
вычисления.
1. Введение
Как часто случается в физике, плодотворные результаты дости-
достигаются после сочетания двух поначалу не связанных идей. Здесь мы
обсудим такое сочетание: объединение квантовой механики и теории
компьютеров. Вместе они порождают новый объект — квантовый ком-
компьютер, который начал определяться и искать путь к реальности, хотя
этот долгий путь представляется пока грубо. Идея квантового компью-
компьютера проста. В исправно функционирующем обыкновенном компьютере
1IBM Research Division, Thomas J. Watson Research Center, Post Office Box 218,
York-town Heightsm, NY 10598, USA.
© Science, vol. 270, 1995.
Перевод О. В. Павловского.
36 Д. П. ДиВинченцо
все биты в любой момент времени находятся в определенном состо-
состоянии, скажем 01110010..., Состояние квантового компьютера может
быть описано волновой функцией, представимой в виде
Ф = а|01110010 ...) + Ь|Ш01010 ...) + ... A)
Коэффициенты а, &,... — комплексные числа, причем вероятность то-
того, что компьютер находится в состоянии 01110010... равна |а|2, а то-
того, что он находится в состоянии 11101010... равна |6|2, и так далее.
Однако описание состояния компьютера с помощью волновой функции
не ограничивается просто предположением о неопределенности отдель-
отдельных состояний, которые описываются с помощью вероятностей. Су-
Существенное значение имеют фазы комплексных коэффициентов а, &,...
Они описывают интерференцию между отдельными состояниями ком-
компьютера, которая оказывается чрезвычайно полезной при вычислениях.
Волновая функция говорит, что компьютер существует сразу во всех
состояниях одновременно. Если же будет произведено измерение, вы-
выделяющее определенное состояние, то оно будет наблюдаться с соответ-
соответствующей ему вероятностью.
Сейчас не существует компьютера, который хорошо описывался
бы такой волновой функцией, современные вычислительные машины в
точности удовлетворяет условиям классической физики. Но если когда-
нибудь размеры компьютерных битов сократятся до атомных разме-
размеров, то квантовое описание состояния битов и динамики компьюте-
компьютеров может оказаться полезным. Фейнман обсуждал эту возможность
в 1985 году и оптимистически заметил [1]: «Кажется, что законы фи-
физики не будут препятствовать уменьшению размеров компьютеров до
тех пор, пока они не достигнут размеров атомов, тогда квантовое по-
поведение будет уже оказывать доминирующее влияние». В этой статье
мы в первую очередь обсудим основу оптимизма Фейнмана, опира-
опирающегося на тот факт, что квантовый аналог компьютерных «гейтов»
можно осуществить в рамках хорошо изученной (но весьма сложной)
экспериментальной физики. Мы также обсудим то, чего Фейнман не
знал, а именно: умело используя квантовую динамику для создания
конструктивной или деструктивной интерференции, можно создавать
дивительно мощные вычислительные алгоритмы, как факторизующий
алгоритм Шора [2]. Зародыш этой идеи появился в 1985 году в работе
Дойча [3]. Дойч показал, что квантовая механика уничтожает один из
самых заветных принципов науки о компьютерах — принцип однознач-
Квантовые вычисления 37
ности вычислительной сложности любой математической проблемы. Со
времен работ Тьюринга [4] считалось, что ответ на вопрос, будет ли
данная задача решена за время, полиномиально зависящее от разме-
размеров исходных данных или за большее время, не зависит от физической
ппаратуры, на которой эта задача решается. Этот принцип кажется
вполне справедливым для всех вычислительных машин, оперирующих
принципами классической физики, но квантовые компьютеры могут
решать за полиномиальное время задачи, которые требуют большего
времени на любой классической машине.
2. Строительные блоки квантовой логики
В этом разделе мы предлагаем посмотреть, как квантовые вычис-
ения можно реализовать на практике. Подчеркнем, что по крайней
мере на этих нескольких первых шагах необходимые операции связа-
связаны с хорошо известными процедурами в экспериментальной физике. В
снове всей этой конструкции лежит кубит (или квантовый бит) [5] —
квантовая система, которая, как и обыкновенный компьютерный бит,
имеет два возможных состояния, но, в отличие от обыкновенного би-
бита, может находится в суперпозиции этих двух состояний. В физике
известно много таких систем, однако здесь будет использована модель
лементарной частицы со спином У2, такой, как электрон или протон.
В этом случае можно различить состояние «спин вверх», обозначаемое
как |1), и «спин вниз», обозначаемое как |0). Как и в булевой логике, опе-
операции в квантовой логике будут строиться из небольшого набора кван-
квантовых гейтов, в которых состояния входных кубитов (в последующих
примерах один или два кубита) преобразуются вполне определенным
бразом и покидают гейты в определенных конечных состояниях. В со-
тветствии с законами квантовой механики изолированных систем, все
возможные операции над этими системами являются унитарными опе-
операторами, описывающими эволюцию начального состояния квантовой
системы.
Например, квантовый аналог однобитного булевого NOT-гейта, или
гейт-инвертора, можно реализовать с помощью хорошо известной с пя-
пятидесятых годов спектроскопической техники. Почти в любой из эле-
элементарных книг по квантовой механике [6] показано, что эволюцией
системы со спином 1/2 можно весьма точно управлять с помощью разум-
разумного применения зависящих от времени магнитных полей. Инверсия
Д. П. ДиВинченцо
А к
P(t)
t=0
t=T
Б
3
со
Рч
Ю)
с
Ю)
hco
10
i)
t=o
t=T
Рис. 1. Действие NOT-гейта или гейт-инвертора. Гамильтониан, описываю-
описывающий магнитно-резонансное воздействие, результатом которого является дей-
твие NOT, имеет вид Н = g[i[Hocrz + Hi(t)ay]. (А) Временная зависимость
магнитного поля опрокидывающего импульса в данном случае представля-
т собой синусоиду с частотой а;, умноженная на ступенькообразную функ-
функцию P(t), отличную от нуля только на промежутке от t = 0 до t = Т. (В) Диа-
Диаграммы энергетических уровней для кубита. Опрокидывающий импульс на-
находится в резонансе с соответствующей разностью энергий между двумя
тационарными уровнями |0) и |1). (С) Диаграмма эволюции состояний, по-
показывающая пути эволюции двух основных состояний, тг на диаграмме озна-
означает, что выделенный этой буквой путь приобретает сдвиг фаз, равный 180°
(в предположении, что и;Т = 0 и QT = тг).
состояний, при которой состояние «спин вверх» переходит в состояние
<спин вниз» и наоборот, осуществляется с помощью хорошо известно-
известного опрокидывающего импульса. Предположим, что мы имеем изолиро-
изолированное спиновое состояние, находящееся под воздействием комбинации
стационарного и зависящего от времени магнитных полей, описываемое
гамильтонианом
Н = -g/i[H0(Tz + H!(TyP(t) sin
B)
где g/j, — магнитный дипольный момент частицы (/х = eh/{2nmc) в
диницах сантиметр-грамм-секунда, h — константа Планка, m — масса
частицы, с — скорость света), статическое магнитное поле Hq направ-
ено по оси z, а импульс переменного магнитного поля Hi направлен по
си 2/; (Ту и az — спиновые матрицы Паули, a P(t) — огибающая импуль-
импульса, показанная как прямоугольный импульс на рис. 1. Временная эво-
Квантовые вычисления 39
юция (по t) под действием этого гамильтониана подробно описывается
во многих местах (например, в [6]). Во время действия опрокидываю-
опрокидывающего импульса переменное магнитное поле находится в резонансе с раз-
разностью энергий между двумя спиновыми состояниями: huj = 2тг^/х^о-
огда унитарная матрица 2x2, описывающая временную эволюцию
спиновой системы начиная с ? = 0 до ? = Т, в базисе из состояний
<спин вверх», «спин вниз» просто имеет вид матрицы вращения (здесь
пущены фазовые множители)
_ ( е° \( cosuT/2 -sinftT/2
U ~ V 0 е-^г/2?J у 81ппт/2 cosuT/2
где п = gfiHi/AH — частота Раби. Так как иО, иТ зависят от пара-
параметров опрокидывающего импульса, мы можем получить любой угол
поворота. При угле поворота в 180 градусов, когда С1Т = тг, эволюция
удет соответствовать операции NOT: если система в начале находи-
ась в состоянии |0), в конце она перейдет в состояние |1), и наоборот.
Конечно, эта классическая операция имеет неклассические черты, вы-
выражающиеся в фазовых факторах, ассоциируемых с временной эволю-
эволюцией. В общем, они могут быть выбраны равными единице, хотя, так
как обычно со ^> 1), учет этих фаз является, вероятно, самой сложной
собенностью метода опрокидывающих импульсов унитарных преоб-
преобразований при контроле точности.
Только что описанная операция опрокидывания на угол тг ничем не
выделяется среди других спин-резонансных операций, можно привести
полное непрерывное (трехпараметрическое) семейство операций, свя-
связанное с произвольной SUB) матрицей [7]. Такие операции представ-
яют собой сущность квантовых вычислений и придают им огромные
потенциальные возможности.
Для связанной двуспиновой системы можно составить аналогич-
аналогичный спин-резонансный протокол [8, 9, 10], хорошо известный в физике
двойного резонанса, который позволяет построить функцию «исключа-
«исключающего или» (XOR) [11, 12]. «Исключающее или» (XOR) двух битов —
то сумма их булевых значений, взятая по модулю 2. Новым компо-
компонентом, который необходим для создания «исключающего или» (XOR)
с помощью спин-резонансной техники, является ненулевой гамильто-
гамильтониан взаимодействия двух спинов между собой. Протокол может быть
наиболее просто объяснен в случае взаимодействия Изинга [9], при этом
О Д. П. ДиВинченцо
гамильтониан взаимодействия примет вид
Н = -gfflH0(Ta z + TjgbVHoCTb z + J<Ta z°b z + ЩЬ), D)
хотя построение XOR-протокола не зависит от явного вида взаимо-
взаимодействия между спинами а и Ъ. Здесь M{t) — зависящий от време-
времени гамильтониан, описывающий последовательность опрокидывающих
импульсов. Без опрокидывающих импульсов такой гамильтониан опи-
описывает просто стационарную квантовую систему с четырьмя энерге-
энергетическими уровнями (рис. 2А). Из-за спин-спинового взаимодействия
разности энергий между любой парой энергетических уровней этой че-
четырехуровневой системы будут различными. Это позволяет подобрать
для каждого конкретного резонанса свою последовательность опроки-
опрокидывающих импульсов. Таким образом, если в момент t\ приложить
импульс, частота которого настроена на uj\ (она определяется рассто-
нием между первым и третьим уровнем спектра (рис. 2А)), а угол
поворота выбрать равным тг, то к окончанию импульса ?2? будет выпол-
выполнен желаемый XOR-гейт. Опрокидывая спин а, если спин Ъ находится
в состоянии |1), и ничего не предпринимая в противном случае, этот
импульс переводит спин а в XOR начальных состояний а и 6, остав-
яя спин Ъ в первоначальном состоянии, как показано в первых двух
столбцах таблицы истинности на рис. 2С. Обозначение операции, вы-
выполняющей XOR-гейт, показано на рис. 2D.
XOR-протокол тесно связан с процедурами, давно изобретенными
в резонансной спектроскопии [13]. В 1956 году Фехер предложил про-
процедуру по переносу поляризации в электронно-ядерном двойном резо-
резонансе (ENDOR), которая содержит обсуждаемый выше XOR-протокол.
В первоначальных экспериментах Фехера спин а принадлежал внеш-
внешнему, наиболее удаленному неспаренному электрону, принадлежащему
примеси фосфора (Р) в кристаллическом кремнии (Si), а спин Ъ принад-
ежит близлежащему ядру 29Si (кстати, давшего название технологии).
NDOR- и XOR-протоколы различаются только тем, что процедура,
предложенная Фехером, использует второй импульс, начинающийся в
момент времени ^2 и поворачивающий спин на угол тг. Этот второй
импульс имеет резонансную частоту о^, соответствующую разности
нергий между первым и вторым уровнями спектра, изображенного на
рис. 2А. По окончании второго импульса в момент времени ?3 опера-
операция ENDOR завершена. Таблица истинности для этой операции пред-
представлена в первом и третьем столбцах рис. 2С. В результате действия
Квантовые вычисления
41
А
со
Рч
100)
101)
110)
111)
hco
Б
юо> •¦
101)
С
h
ah
00
01
10
11
t2
ab
00
11
10
01
t3
ab
00
10
11
01
D
аФ Ъ
Рис. 2. Действие двубитного XOR-гейта. (А) Диаграмма энергетических
ровней для двубитной системы, на которой показаны четыре стационар-
стационарных состояния гамильтониана D). Эти состояния обозначены по направле-
направлению спинов \ab). (В) Временные эволюционные пути квантовой системы под
действием протокола опрокидывающих импульсов, описанного в тексте. Сно-
Снова, под буквой тг обозначается сдвиг фаз на 180° вдоль обозначенного ей
пути. (С) Таблица истинности, суммирующая результаты временной эволю-
эволюции операции от начального состояния (время ?i), после первого (время fo) и
после второго (время ?з) опрокидывающих импульсов. (D) Обозначение гей-
гейта, производящего XOR-гейт, получаемого путем использования первых двух
импульсов ENDOR-протокола. В результате действия этого гейта состояние
кубита Ь не изменяется, а состояние кубита а становится равным сумме а
и Ь по модулю 2.
этой операции спин а (спин Р-электрона в эксперименте Фехера) со-
содержит результат действия XOR-гейта на начальные состояния а и Ь.
В дополнение к этому, спин Ъ находится в том состоянии, в котором
находился спин а в начальный момент времени. Это и есть эффект пе-
переноса поляризации, которым интересовался Фехер. Для многих целей
в физике, химии и биологии желательно перенести спиновое состояние
электрона на ближайшее ядро, но тот факт, что эта процедура произво-
производит такой интересный логический гейт, как XOR, не отмечался ранее
в ENDOR-спектроскопии. Для построения как однобитных, так и дву-
двубитных гейтов требуются высокоточные методы экспериментальной
физики. Необходимо точно контролировать время действия опрокиды-
42 Д. П. ДиВинченцо
вающего импульса, чтобы набегающая фаза ujT была в точности равна
нулю (или некоторой другой величине). Для двубитных операций также
необходимо, чтобы гамильтониан взаимодействия, который определя-
определяет расщепление энергетических уровней четырехуровневого спектра,
был точно известен и контролируем. К тому же частота, соответству-
соответствующая повороту на угол тг, должна производится так, чтобы импульс,
имеющий номинально частоту c^i, не имел остаточной малозаметной
составляющей с частотой с^, а это требует аккуратного выбора формы
импульса (прямоугольный импульс, изображенный на рис. 1А невозмо-
невозможен). Многие из упомянутых аспектов, в особенности форма импульсов
и частотная стабильность, активно обсуждается в литературе по маг-
магнитным резонансам [14].
3. Квантовые сети
Любая унитарная операция на системе кубитов может быть пред-
представлена как совокупность универсальных квантовых гейтов [15, 16].
Имеется в виду, что любое унитарное преобразование в 2п-мерном
гильбертовом пространстве, натянутом на n-кубитов, может быть раз-
разложена в сеть таких универсальных гейтов, последовательно применя-
применяемых к этим кубитам. Две определенные ранее операции, однобитный
поворот и двубитный XOR-гейт, обладают этим универсальным свой-
свойством [12]. Поэтому, даже несмотря на то, что это выходит за рам-
рамки наших сегодняшних экспериментальных возможностей, мы можем
построить любое квантовое вычисление (которые включают все обык-
обыкновенные булевы операции и нечто большее), применяя эти операции,
последовательно действующие на определенные кубиты и пары кубитов
для построении сетей любой сложности.
В качестве примера использования этих гейтов для эффективного
квантового вычисления, рассмотрим построение квантового AND-гей-
та, показанного на рисунке 3 [12, 17]. Эта операция включает в себя
три бита потому, что начальные биты а и с остаются неизменными во
время операции. Рабочий бит Ъ в начале находится в состоянии |0), а
в результате операции переходит в состояние (a AND с). (Булева опе-
операция AND — произведение значений двух битов.) Хорошо известно,
что двубитная операция AND необратима, но ее можно сделать обра-
обратимой, если ввести в рассмотрение еще один бит [18, 19]. Поскольку
нитарные операции, которые используются в квантовых вычислени-
Квантовые вычисления
43
А
AND
С
abc
000
001
010
Oil
100
101
110
111
abc
000
001
010
Oil
100
101
110
111
Юоо>
1001>
1010>
1011)
1100)
1110)
Время 12 3 4
Рис. 3. Конструкция AND-гейта. (А) Обозначение для AND-гейта, а также
конструкция AND-гейта, использующая три XOR-гейта и четыре однобит-
однобитных вращения. Этот тг/4 гейт связан с действиями, описанными формулой C)
с параметрами и;Т = 0 и QT = тг/4 . Если рабочий кубит будет в начальный
момент в состоянии |0), то в конечный момент он перейдет в состояние |а*Ь).
(В) Полная таблица истинности для трехбитного AND-гейта. (С) Диаграмма
волюции состояний для AND-гейта, отмеченных в промежуточных состоя-
состояниях времени, указаны на рисунке (А). Здесь появилась новая особенность:
ля некоторых начальных состояний промежуточное состояние представляет
обой суперпозицию двух вычислительных путей, но конечное состояние сно-
снова становится определенным, так как конструктивная интерференция разре-
разрешает существовать только одному конечному значению, а те пути, которые
интерферируют деструктивно — исчезают.
х, обратимы, квантовый AND-гейт также должен содержать три би-
бита. Изображенный на рис. ЗА AND-гейт содержит три XOR-гейта, в
каждом из них результат размещается в 6-кубите, который при этом
проходит сквозь однобитные гейты, каждый из которых поворачивает
кубит на ±45°. При описанной реализации AND-гейта конечные состо-
ния приобретают фазовые факторы, которые (кроме одного) можно
привести к единице, а состояние |110) переходит в —1110). Во многих
случаях эти изменения фазы могут быть приемлемы при построении
гейтов (например, если известно, что начальный кубит Ъ может быть
всегда переведен в 10)), но если необходимо, чтобы все фазовые факто-
44 Д. П. ДиВинченцо
ры были равными единице, тогда реализация AND-гейта будет сложнее
и потребует шести XOR-гейтов и восьми однобитных гейтов [12].
Диаграммы типа тех, что изображены на рис. ЗА, дают обман-
обманчивое представление о простоте, с которой элементарные квантово-
механические манипуляции могут быть использованы для проведения
квантовых вычислений. При реализации AND-гейта мы предположили,
что знаем, как связываются между собой три XOR-гейта и несколько
однобитных гейтов. Теперь мы рассмотрим, что следует понимать под
этими связями. Пока действует XOR-гейт, связывающий кубиты Ь и с,
спины Ь и с должны взаимодействовать предписанным им способом
(например, с помощью изингова взаимодействия, представленного в 4),
в то время как взаимодействие между спинами а и 6, как, впрочем, и
между спинами а и с, должно быть равно нулю. Когда же начнет дей-
действовать второй XOR-гейт, микроскопическое взаимодействие долж-
должно быть переупорядочено, теперь взаимодействие а и Ь спинов должно
быть ненулевым. Это непросто сделать, и такая процедура не проделы-
валась ни в экспериментах Фехера, ни в других подобных эксперимен-
экспериментах в пятидесятых годах.
Эта проблема «взаимосвязи», вероятно, будет решена, но это од-
одна из тех задач, предлагаемых в настоящее время, решение которых
требует спекулятивных и необычных методов. С помощью устройства,
представленного на рис. 4, в будущем возможно решить эту проблему
для квантовых компьютеров. На этом рисунке изображен щуп атомного
силового микроскопа (AFM) [20], проходящий над поверхностью крис-
кристалла. Предположим, что и щуп микроскопа, и поверхность кристалла
довлетворяют следующим критериям:
• Спины ядер атомов водорода, один из которых расположен на са-
самом кончике щупа, а другие периодически расположены на по-
поверхности кристалла, воспринимаются нами как кубиты.
• Все электроны связаны, как внутри кристалла (кристаллический
кремний является изолятором), так и на поверхности. В этом слу-
случае не происходит переворота спина электрона или переноса спи-
спиновых состояний, потому что такие возбуждения требуют слиш-
слишком много энергии.
• Все ядра системы (кроме водорода) имеют нулевой спин, поэтому
только протон ядра водорода оказывается доступным для взаимо-
Квантовые вычисления
45
действия. (В конце статьи мы коснемся следствий потерь кванто-
квантовых степеней свободы в квантовых компьютерах, принципиаль-
принципиальную роль в которой играет потеря квантовой фазовой когерент-
когерентности.)
Рис. 4. На этом рисунке показана атомная структура, необходимая для реа-
изации квантового компьютера на основе AFM. Она представляет собой щуп
из кристаллического кремния, с помощью которого исследуется поверхность,
тоже из кристаллического кремния. Кубитами являются спины протонов яд-
ядра водорода, один из которых расположен на самом конце щупа, а другие пе-
периодически размещаются на поверхности. Взаимодействие между кубитом
на щупе и кубитами на поверхности можно включать и выключать, просто
перемещая щуп вдоль поверхности, и таким образом осуществлять протокол
гейтов, такой, например, как на рисунке ЗА. Находящиеся на поверхности
химические связи должны быть полностью нейтрализованы, чтобы избежать
нежелательных кубитов от случайных электронных спинов. Случайных ку-
итов, происходящих от ядерных спинов, можно также избежать, если побли-
поблизости от атома водорода будут находиться только изотопы с нулевым спином.
Щуповый кубит может быть спектроскопические выделен благодаря другим
молекулярным связям, которые в свою очередь обеспечивают химический
двиг спектра. Этот факт может быть полезен при построении селективных
магнитно-резонансных процедур.
• Как и в любом AFM, предполагается возможным передвигать
атом на кончике щупа так, чтобы он мог взаимодействовать с
любым атомом на поверхности. Это свойство и обеспечит необхо-
необходимое выборочное взаимодействие: когда будет реализовываться
46 Д. П. ДиВинченцо
первый XOR-гейт, изображенный на рис. ЗА, щуп микроскопа бу-
будет контактировать с атомом водорода, расположенным справа на
поверхности, изображенной на рис. 4; когда будет производится
второй XOR-гейт, щуп будет находиться над левым атомом, и так
далее.
В настоящее время атомные силовые микроскопы не могут удов-
удовлетворить всем этим критериям, однако в последние несколько лет
был сделан большой прорыв в области использования AFM для прове-
проведения спин-резонансных манипуляций и измерений малых групп спи-
спинов [20, 21].
4. Алгоритм Питера Шора разложения числа на
простые сомножители
Показанный на рис. ЗА AND-гейт производит классическую булеву
операцию. Однако ее реализация абсолютно неклассическая, так что ее
можно считать прототипом мощных вычислительных процедур (таких,
как разложение на простые множители и подобных ей), являющихся
никальной особенностью квантовых вычислений. На рис. ЗС показано,
как при различных начальных состояниях изображенный на рис. ЗА
AND-гейт эволюционирует через три свои стадии к окончательному
ответу (мы следуем вычислению, для которого начальное состояние
рабочего кубита равно |0)).
В любой классической схеме каждое из этих вычислений произво-
производится независимо от других по определенному пути от начала вычис-
вычисления до его конца. В случае же квантовых вычислений эта процедура
может быть расщеплена на несколько (в данном случае на два) пути,
которые, благодаря квантовому принципу суперпозиции, эволюциони-
эволюционируют во времени параллельно. В силу того, что каждый из этих путей
обладает определенной фазой (обратите внимание на точки, в которых
фазовый сдвиг на 180° обусловлен эволюцией), окончательный ответ
получается после рекомбинации конечных состояний, сопровождаемой
конструктивной или деструктивной интерференцией.
В нашем примере состояние |000) преобразуется в себя, как этого
требует таблица истинности для AND, потому что два вычислитель-
вычислительных пути, приводящих в конце к состоянию |000), имеют одну и ту же
фазу @ вдоль одного пути и 2тг вдоль другого), и поэтому их взаим-
Квантовые вычисления 47
ное влияние конструктивно. Неправильный результат, например |010),
чьи вычислительные пути также доходят до конца, предотвращается,
потому что фазы его двух возможных путей противоположны @ вдоль
дного пути и тг вдоль другого) и, интерферируя, гасят друг друга. Ес-
и фазы не будут контролироваться в точности, то в половине случаев
удет появляться неправильный результат. Таким образом, мы видим,
что квантовые вычисления, вопреки своей чрезвычайной сложности, не
пределяют промежуточного состояния вычисления, но это состояние
может быть определено в конце.
Это общая схема квантовых вычислений была предложена впервые
Дойчем [3], а затем с большим эффектом была использована в алгорит-
алгоритме Шора [2, 3] для эффективного решения чрезвычайно громоздкой вы-
вычислительной проблемы. На рис. 5 показана квантовая вычислительная
структура, которую использовал Шор для решения задачи о разложе-
разложении целого числа на простые сомножители.
На этой диаграмме, также, как на диаграмме на рис. ЗА, описыва-
описывающей эволюцию AND-гейта, показаны пути изменения во времени со-
состояния квантового вычисления для факторизационной процедуры как
функция от времени (время изменяется здесь сверху вниз, также как
ранее слева на право).
Как предлагали в более ранних работах Дойч и Джозса [22] (см.
также [23]), Шор разделяет кубиты квантового компьютера на два ре-
регистра: входной и выходной. Число битов в каждом регистре долж-
должно соответствовать числу битов в числе, которое надо факторизовать.
Предположим, что в каждом регистре содержится по к = 1000 битов.
Прямоугольник на рис. 5 изображает память гильбертова пространства
состояний входного и выходного регистра. Эта диаграмма очень схема-
схематична, так как размерность гильбертова пространства огромна: 21000
итов для каждого регистра. Заметим, что экспоненциальный рост раз-
размерности гильбертова пространства с увеличением числа частиц в сис-
системе является одной из причин огромной потенциальной силы кван-
квантовых вычислений. Конечно, унитарные матрицы могут быть просто
построены и перемножены на обыкновенном цифровом компьютере, но
их размеры не могут расти экспоненциально с числом входящих в него
компонент [24].
Черным на рис. 5 обозначено мгновенное состояние квантового
компьютера на трех основных стадиях вычислительного алгоритма
Шора. Первые несколько шагов чрезвычайно просты: пусть начальное
8
Д. П. ДиВинченцо
Начальное
состояние
Конечное
состояние
Рис. 5. Схематическое изображение временной эволюции вычислительных
путей алгоритма Шора разложения на простые множители. В каждый мо-
момент времени состояние вычисления определяется волновой функцией и обо-
обозначается черным полем. Некоторые из вычислительных путей схематически
набросаны. Большинство вычислительных путей (обозначенных многоточия-
многоточиями) интерферируют деструктивно, и только некоторые (обозначенные сплош-
сплошными линиями) интерферируют конструктивно.
состояние будет нулевым (все спины направлены вниз). (Классический
ввод — информация о числе JV, которое должно быть факторизовано,
пока ждет своей очереди). На первом шаге вычисление расщепляется
на 21000 вычислительных путей, таким образом волновая функция сис-
системы становится линейной суперпозицией всех возможных состояний с
динаковыми фазами. Полученное состояние помещается во входной ре-
регистр х. Это в высшей степени неклассическое вычисление можно очень
просто описать спектроскопическим языком: к каждому из спинов при-
прикладывается импульс, осуществляющий поворот на 90°. Эта операция
приводит к волновой функции системы в ожидаемом состоянии.
Второй шаг менее тривиален. Необходимо единожды вычислить
следующую классическую булеву функцию
fix) = cx (mod N).
E)
Квантовые вычисления 49
Значение этой функции надо разместить в выходном регистре у. В фор-
формуле E) х — значение входного регистра, рассматриваемое как целое
число в бинарном представлении, N — целое число, которое мы факто-
ризуем, и константа с — любое другое целое число, не имеющее общих
простых множителей с числом N. Под mod N мы понимаем арифмети-
арифметику по модулю N, в которой результат равен остатку от деления на N.
Поскольку на входе компьютера заданы все значения аргумента, то в
силу принципа суперпозиции единственное вычисление f(x) даст нам
все возможные значения на выходном регистре. Чтобы вычислить эту
функцию на квантовом компьютере, нужно сначала «скомпилировать»
е в обычном классическом смысле, т. е. задать функцию как последова-
последовательность операций в терминах таких примитивных булевых функций,
как NOT и AND. Затем следует реализовать эту последовательность
как квантовую процедуру, например, с помощью магнитных импуль-
импульсов.
Здесь не место для подробного объяснения того, почему параллель-
параллельное вычисление такой частной функции, как /(ж), оказывается полез-
полезным для проведения процедуры факторизации числа на простые сомно-
ители. Это потребует углубления в сложные технические аспекты из
теории чисел, которые хорошо изложены в оригинальной литературе [2],
также в недавнем обзоре [4].
Коротко, в двух словах, скажем, что важнейшей особенностью
функции f(x) является ее периодичность по х. Если число N простое,
то f(x) имеет период N — 1, в противном случае период короче, и, зная
тот период, после прямолинейных (классических) вычислений можно
найти один из простых множителей числа N.
Шор заметил, что квантовый компьютер очень хорошо приспособ-
ен для нахождения периодов функции f(x). Нужно только произвести
преобразование Фурье над входным регистром х. (Выходной регистр у
стается нетронутым.) Эта третья и последняя стадия вычисления по-
показана на рис. 5. Приведем некоторые точные формулы. Преобразование
урье применяется к волновой функции
11...1
*=
ж=ОО...О
50
Д. П. ДиВинченцо
которая принимает вид
11...1
ж=ОО...О
11...1
ж'=ОО...О
G)
71/2
1 1
1 1
т
1
Рис. 6. Предложенная КопперСмитом [25] схема квантовых гейтов, которые
производят преобразование Фурье (третий шаг в процедуре Шора на рис. 5).
Также показаны матричные унитарные операторы, соответствующие двум
видам квантовых гейтов. Двубитный гейт Хп может быть реализован через
простую комбинацию XOR-гейтов [12]. Хп действует симметрично на эти
ва бита.
Коэффициенты преобразованной волновой функции являются дискрет-
дискретными преобразованиями Фурье первоначальных коэффициентов. Шор
бнаружил, что это преобразование является унитарным и показал, что
но может быть произведено за полиномиальное число шагов по к —
числу битов во входном регистре (оно соответствует числу битов, не-
бходимых для того, чтобы представить число N в двоичной системе).
Копперсмит [25] нашел простую явную конструкцию гейтов (см. рис. 6)
для реализации преобразования Фурье, представленного в G). Она яв-
яется непосредственной транскрипцией быстрого преобразования Фу-
Фурье (FFT) Кули-Туки с индивидуальными «факторами подкручивания»
(FFT), реализуемыми как двукубитные гейты Х{. Эта процедура схожа
с первыми шагами вычислений, предложенных Шором, которая заклю-
заключается просто в повороте на 90° опрокидывающим импульсом значения
каждого бита, без гейтов, осуществляющих «подкручивание факторов».
Квантовые вычисления 51
Копперсмит заметил, что эту последовательность операций можно со-
совершить за к2 шагов.
Этот последний шаг с использованием быстрого преобразования
Фурье является чрезвычайно эффективным способом отыскания перио-
периода функции /(ж), аналогичным определению периодической структуры
кристаллов по результатам рассеяния рентгеновских лучей. Финальное
измерение значения регистра х — это измерение положения одного из
регговских максимумов в рассеянии. Это измерение позволяет опреде-
ить лишь величину, кратную фундаментальному периоду /(ж), однако
существует прямолинейная теоретико-числовая процедура, позволяю-
позволяющая вычислить сам фундаментальный период.
Предложенная Шором процедура реализуется способом, схожим со
способом реализации AND-гейта. Несмотря на то, что промежуточные
состояния вычисления, представляющие собой суперпозицию различ-
различных путей, не определены, деструктивная интерференция запрещает
почти все возможные конечные состояния (также как и в брегговском
рассеянии дифракция почти во все направления запрещена), оставляя
в финале почти точно определенное состояние — это и есть результат
вычисления. Заметим, что описанный здесь дифракционный процесс
существенно отличается от дифракции классической волны: размер ди-
дифракционной решетки, показанной на рис. 5, растет экспоненциально
с величиной числа, которое должно быть факторизованно. Именно по
той причине классическая волновая оптика не может решить проблему
факторизации.
Наконец, поясним, почему оценка числа шагов, необходимых для
проведения факторизации по алгоритму Шора, произвела сенсацию
в компьютерном научном сообществе. Алгоритм Шора полиномиален
по fc, число шагов пропорционально к3 при малых fc, и к2 при боль-
больших к. Наилучший из существующих классических алгоритмов, осно-
основанных на обыкновенных булевых операциях, оценивает число шагов
как exp(afc/3), где а — некая константа [4, 26]. Даже если признать, что
пока неизвестно, может ли данная проблема быть решена за полиноми-
льное время на обыкновенном компьютере, результат Шора показал
научному сообществу, что алгоритмические подходы с использовани-
м квантовых вычислений значительно мощнее обыкновенной булевой
огики, и активная работа в этом направлении в более полной мере по-
покажет силу этих квантово-механических подходов к решению важных
математических задач.
52 Д. П. ДиВинченцо
5. Проблема декогерентности
Несмотря на то, что мы получили формальные указания на огром-
огромные возможности, которыми обладает квантовый компьютер, работаю-
работающий в соответствии с законами квантовой физики, имеется несколько
принципиальных физических помех, которые надо будет преодолеть,
прежде чем квантовый компьютер будет построен в лаборатории. Эти
помехи делают путь построения квантового компьютера трудным и
долгим одновременно, и на преодоление его уйдет, наверное, немало
ет. Можно выделить две такие принципиальные трудности: коррекция
шибок и проблема декогерентности. Мы не будем обсуждать проб-
ему коррекции ошибок, которая в конечном счете может оказаться
чень сложной, так как, вероятно, небольшая неточность в реализа-
реализации, например, импульса тг или других элементов квантового вычис-
ения может в конечном счете привести к абсолютно неправильному
твету [27]. Некоторые авторы, изучая возникающие проблемы [28, 29],
начали предлагать наброски схем коррекции таких ошибок [30]. Неболь-
Небольшие ошибки в алгоритме Шора могут быть скорректированы просто
путем повторения этого вычисления несколько раз, пока правильный
твет не будет получен. Его к тому же просто проверить путем пере-
перемножения получаемых факторов. (На самом деле алгоритм Шора, как,
впрочем, и многие другие используемые алгоритмы, не гарантирует
правильного ответа с первой попытки даже в случае отсутствия оши-
ок.)
Кажется, что именно проблема декогерентности становится даже
по современным представлениям наиболее серьезной проблемой в реа-
изации квантовых вычислений. Декогерентность представляет собой
следующее явление: если квантовая система не является изолированной
т окружающей ее среды и квантовая динамика окружающий аппара-
аппаратуры будет также зависеть от операций квантового компьютера, то
подобные эффекты могут сделать эволюцию компьютера не унитар-
унитарной. Так как пути параллельных вычислений, разделившись в начале
вычисления, собираются только в конце (рис. 5), то потеря фазовой ко-
когерентности вдоль таких путей испортит картину конструктивной и
деструктивной интерференции, которая является важнейшим момен-
моментом для квантовых вычислений. Следовательно, время декогерентнос-
декогерентности Ьф должно быть много больше ожидаемого времени квантового вы-
вычисления. К счастью, проблема декогерентности относится к числу тех
Квантовые вычисления 53
проблем, для которых продолжающееся совершенствование в искусст-
искусстве проведения эксперимента способно произвести существенные изме-
изменения. Улучшение изолированности квантовой системы от окружаю-
окружающей ее среды, которое дополняется усовершенствованием технологии
использования высокоточных измерений в экспериментальной физике,
возможно, приведет к увеличению времени декогерентности ?^, что
позволит производить эффективные квантовые вычисления. В табли-
таблице 2 приведены значения времен декогерентности Ьф для довольно ши-
широкого набора известных в настоящее время двухуровневых кванто-
квантовых систем [16]. В силу большой разницы в расстояниях между уров-
уровнями допустимая скорость работы (время переключения) квантовых
гейтов изменяется на шестнадцать порядков. Столь же велики разли-
различия в существующих на сегодняшний день технологических возмож-
возможностях использования опрокидывающих импульсов в таких системах.
Спектроскопия 7~излУчения? необходимая для манипуляций мессбау-
ровскими ядрами на сегодняшний день не существует, тогда как вы-
высокоточные радиочастотные технологии для изготовления опрокидыва-
опрокидывающих импульсов в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) очень хорошо
разработаны. Кроме того, технология может не позволить полностью
использовать потенциальную скорость для любого данного кубита. На-
Например, при недавних попытках реализовать квантовый компьютер с
помощью линейных ионных ловушек [31], время переключения было по-
порядка 10~5, что гораздо больше, чем 10~14, потому что оно оказалось
граниченно раскодированием кубита за счет квантовых вибраций иона
внутри ловушки.
Не менее велик разброс времени декогерентности для различных
систем (таблица 2). Отношение времени переключения ко времени де-
декогерентности является важной чертой квантового компьютера. Оно
пределяет число шагов вычисления, которое можно совершить, пока
декогерентность не нарушит соотношений между фазами. Вычисления
нру показывают [32], что для реализации схем, подобных алгоритму
Шора, число нужных вычислений должно быть порядка куба от числа
итов, содержащихся в целом числе, которое надо факторизовать. Ко-
Когерентность существующих в настоящее время кубитов не позволяет,
например, факторизовать 104-битное число (задача, выходящая за пре-
пределы возможностей любого из существующих классических компьюте-
компьютеров). Тем не менее, в настоящий момент проводятся обнадеживающие
ксперименты, в которых создаются элементарные квантовые гейты,
54
Д. П. ДиВинченцо
Квантовые
системы
Мессбауровские ядра
Электроны: GaAs
Электроны: Аи
Ионные ловушки
Электронный спин
Электронная квантовая точка
Ядерные спины
^switch
(сек.)
10-19
103
ю-14
10-14
ю-7
10
10
Ъф
(сек.)
10-ю
10-ю
10"8
ю-1
10
10
ю4
Число
шагов
109
103
106
1013
104
103
107
Таблица 2. В таблице представлены двухуровневые квантовомеханические
системы, которые могут быть использованы в качестве квантового бита.
— минимальное время, за которое можно возбудить квантовую сис-
систему; оно выражается, как h/SE, где SE — характерный масштаб энергий
для двухуровневой системы. Время квантовой декогерентности Ьф — мак-
максимальное время, в течение которого при квантовых вычислениях процессы
декогерентности не будут существенны. Оно определяется эксперименталь-
экспериментально. Отношение этих двух времен дает нам количество шагов, которое может
совершить квантовый компьютер, используя такой квантовый бит. Ссылки
на источники содержатся в [16].
использующие оптические микрополости [33], а также ионные ловуш-
ловушки [34]. Технологии, используемые в последнем случае, возникли из
обобщения исследований атомных часов [35]. Это представляется край-
крайне важным, так как квантовые вычисления требуют большого времени
дефазирования, наряду с большим временем декогерентности. Дефази-
рование — потеря точности в фазовых факторах в C), должно быть при
квантовых вычислениях сведено к минимуму.
6. Взгляд в будущее
Из обзора нынешнего состояния квантовой экспериментальной фи-
физики становится ясно, что создание квантовых компьютеров находит-
находится сейчас в зачаточном состоянии, и реализация даже такой процеду-
процедуры, как факторизационный алгоритм Шора, потребующий проведения
миллионов операций над тысячами битов [14], кажется сейчас абсо-
Квантовые вычисления 55
ютно абсурдным предприятием. Однако даже гораздо долее скромный
квантовый компьютер позволит уже решить задачи, представляющие
ольшой научный интерес. Например, квантовый компьютер всего с
несколькими битами может быть крайне полезен при проведении так
называемых измерений Белла, которые могут быть использованы при
реализации квантовой телепортации, при которой заранее неизвестное
квантовое состояние может быть перенесено на удаленное расстояние.
Вполне возможно, что порядка 10 битов хватит, чтобы на квантовом
компьютере стало возможным реализовать квантовое кодирование Шу-
Шумахера [5], которое представляет интерес при реализации эффективной
квантовой криптографии [37]. И, возможно, 100 бит хватит для того,
чтобы квантовый компьютер смог стать эффективным ретранслятором
шумовой (возможно, частично декогерентной) квантовой криптографи-
криптографической связи [38]. Вероятно, в качестве приложений окажется возмож-
возможным создавать пары Эйнштейна-Подольского-Розена [36], разделенные
на большие расстояния, что позволит осуществить новые строгие экс-
эксперимент по проверки справедливости квантовой теории. Сейчас и в
физике, и в компьютерной науке ведутся активные поиски новых пу-
путей использования квантовых компьютеров.
Использование квантовых гейтов, описанное в общих чертах в этой
работе, кажется достаточно сложным для элементарных реализаций
квантового компьютера, и возможно, что будут использованы другие
парадигмы, обеспечивающие более простые пути реализации кванто-
квантовых вычислений. Например, возможно, что естественная временная
волюция какой-нибудь простой квантовой системы, такой как крис-
кристалл, может сама по себе производить полезные вычисления. Мож-
Можно указать на работы, касающиеся «квантовых клеточных автома-
автоматов» [9, 39]. Возможно, что наши сегодняшние представления о необхо-
необходимости строгой изоляции квантовой вычислительной системы явля-
являются неверными; вполне возможно, что временная эволюция матрицы
плотности открытой квантовой системы окажется также применима
для проведения вычислений, или что новый подход к коррекции оши-
ок [30] позволит допускать шумы в кубитах квантового компьютера.
Так или иначе, следующие несколько лет в тематике квантовых вычис-
ений обещают быть очень интересными.
6 Литература
Литература
[1] R.P.Feyman. Opt. News, 11, 11 (February 1985).
[2] P. W. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the
Foundations of Computer Science (IEEE Computer Society, Los
Alamitos, С A, 1994), p. 124.
[3] D.Deutsch. Proc. R. Soc. London Ser. A, 400, 97, 1985.
[4] Для ссылок, см. A.Ekert, and R. Jozsa (в печати); J. Brown, New
Sci., 133, (no. 1944), 21, 1994.
[5] Термин кубит появился в последние несколько лет, см. В. Schu-
Schumacher, Phys. Rev. A51, 2738, 1995.
[6] G. Baym. Lectures on Quantum Mechanics, (Benjamin-Cumming,
Reading, MA, 1969), pp. 140 and 317-324.
[7] J. Mathews and R. L. Walker. Mathematical Method in Physics,
(Benjamin, Menlo Park, С A, ed. 2, 1970), pp. 464.
[8] A.Ekert. In Atomic Physics 14: 14th International Conference on
Atomic Physics, Boulder, CO, 1994.
[9] S.Lloyd. Science, 261, 1569, A993); ibid. 263, 695, 1994.
[10] A.Barenco, D.Deutsch, A.Ekert, R. Jozsa. Phys. Rev. Lett. 74, 4083,
1995.
[11] D.Deutsch. Proc. R. Soc. London Ser. A, 425, 73, 1989.
[12] A. Barenco et al. Phys. Rev. (Доступен в архиве препринтов
в Лос-Аламосе: quant-ph/9503016, а также через сеть WWW
{Elementary Gates for Quantum Computation) см. [40]); Т. Seator and
H. Weinfurter, Phys. Rev. Lett. 74, 4087, 1995.
[13] C.P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. Springer-Verlag,
Berlin, ed. 3, 1992.
[14] W.S. Warren and M.S. Silver. Adv. Magn. Reson. 12, 247, A988).
Литература 57
[15] S.Lloyd. Phys. Rev. Lett. 75, 346, A995); D.Deutsch, A.Barenco,
K. Ekert. Proc. R. Soc. London Ser. A449, 669 A995). (Доступен в ар-
архиве препринтов в Лос-Аламосе: quant-ph/9505018); см. также [41].
[16] D.P.DiVincenzo. Phys. Rev. A 50, 1015, A995). (Доступен в ар-
архиве препринтов в Лос-Аламосе: quant-ph/9407022 а также через
сеть WWW (Two-Bit Gates are Universal for Quantun Compution)
см. [40]); Здесь приведены источники данных, представленных в
таблице.
[17] Некая реализация так называемого «гейта Фредкина» [19] было
рассмотрено ранее. См. также Y. Yamamoto, M.Kitegawa, K.Igeta.
In Proceedings of the 3th Asia-Pacific Physics Conference (World
Scientific, Singapure, 1988); G.J.Milbum. Phis. Rev. Lett. 62, 2124,
A989).
[18] R.Landauer. IBM J. Res. Dev. 5, 183 A961); T.Toffoli. In Automata,
Languages and Programming, J. W. de Bakker and J. van Leeuwen
Eds. Springer, New York, 1980, p. 632.
[19] E.Fredkin and T.Toffoli. Int. J. Theor. Phys. 21, 219 A982).
[20] J. A. Sidles et al Rev. Mod. Phys. 67, 249 A995).
[21] D. Rugar, С S. Yannoni, J. A. Sidles. Nature 360, 563 A992); O. Zuger
and D. Rugar. Appl. Phys. Lett. 63, 2496 A993).
[22] D. Deutsch and R. Jozsa. Proc. R. Soc. London Ser. A 439, 554 A992).
[23] D.R.Simon. In [2], p. 116 (Доступен через сеть WWW («On the
Power of Quantum Computation») см. [40]).
[24] Точка зрения на квантовые вычисления представлена в статье
R.P.Feynman. Int. J. Teor. Phys. 21, 467, A982).
[25] D. Coppersmith. IBM Res. Rep. RC19642 A994), а также не опубли-
опубликованные материалы; см. также R. Cleve, не опубликованные мате-
материалы.
[26] A.K.Lenstra, H. W. Lenstra Jr., M.S.Manasse, J.M. Pollard. In
Proceedings of the 22nd Annual ACM Simposium on the theoty
of Computing (ACM Press, New York, 1990) p. 564; A.K.Lenstra,
8 Литература
Н. W. Lenstra Jr., Eds. The Development of the Number Field Sieve,
vol. 1554 of Lecture Notes in Mathematics (Springer-Verlag, Berlin,
1993), p. 11.
[27] L. Chuang, R. Larlamme, P. Shor, W. H. Zurek. (Доступен в архи-
архиве препринтов в Лос-Аламосе: quant-ph/9503007 а также через
сеть WWW («Quantum Computers, Factoring, and Decoherence»)
см. [40]).
[28] R. Landauer. In Proceedings of the Drexel-4 Symposium on Quantum
Nonintegrability — Quantum Classical Correspondence, D.H.Feng
and B.-L.Hu, Eds. (International Press, Boston).
[29] R. Landauer. Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A.
[30] A. Berthiaume, D.Deutsch, R. Jozsa. Proceeding of Workshop on
Physicsand Compution, PhysCom'94 (IEEE Computer Society Press,
Los-Alamos, CA, 1994) p. 60; A.Barenco, D.Deutsch, A.Ekert,
C.Machiavello.
[31] J.I.Cirac, and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74, 4091 A995).
[32] W.G.Unruh. Prys. Rev. A 51, 992 A995). (Доступен в архиве пре-
препринтов в Лос-Аламосе: quant-ph/9406058).
[33] Q.A.Turchette, С. J. Hood, W.Lange, H.Mabuchi, H.J.Kimble.
Measurement of Conditional Phase Shifts for Quantum Logic, пре-
препринт (Июль 1995).
[34] S.R. Jefferts, C.Monroe, E. W.Bell, D. J. Wineland. Phys. Rev. A 51,
3112 A995): C.Monroe частные беседы.
[35] R. S. van Dyck Jr. In Rhysics News in 1994, April 1995 supplement of
APS News, P. W. Schewe, Ed., (American Institute of Physics, College
Park, MD, 1995) p. S6.
[36] C.H.Bennett et al Phys. Rev. Lett. 70, 1895 A993).
[37] C.H.Bennett, G.Brassard, A.Ekert. Sci. Am. 267, (№4), 50 A992).
[38] C.H.Bennett et al. Purification of Noisy Entanglement and Faithful
Teleportation via Noisy Channels, препринт, (Май 1995).
Литература 59
[39] N. Margolus. In Complexity, Entropy, and the Physics Information,
vol. VII of Santa Fe Institute Studies in the Sciences Complexity,
W.H.Zurek, Ed. (Addison-Wesley, Readig, MA, 1990), p. 273.
[40] URL http://vesta.physics.ucla.edu/ smolin/ (Quantum Information
Page, Center of Advanced Accelerators).
[41] URL http://eve.physics.ox.ac.uk/QChome.html (Quantum Compu-
Computation and Cryptography page, Clarendon Laboratory, University of
Oxfoord).
Условная квантовая динамика и логические
гейты
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт
(Adriano Barenco, David Deutsch and Artur EkertI
P. Джозса
(Richard JozsaJ
Квантовые логические гейты представляют собой фун-
фундаментальные примеры условной квантовой динамики. Они
могли бы служить строительными блоками для общих кванто-
квантовых систем передачи информации, которые, как было недавно
показано, обладают множеством интересных неклассических
свойств. Мы опишем простейший квантовый логический гейт,
квантовое управляемое НЕ, и проанализируем некоторые их
применения. Мы обсудим также две возможных реализации
такого гейта; одна из них основана на атомной интерферо-
интерферометрии Рамзая, а другая — на селективном управлении оп-
оптическими резонансами двух подсистем с диполь-дипольным
взаимодействием.
Тот факт, что квантово-механические процессы в принципе допус-
допускают новые типы передачи информации, известен уже около десяти
лет [1, 2]. Беннетт и Вайснер показали, что возможности квантовых
каналов могут быть удвоены [3], и недавние исследования в квантовой
теории сложности [4] привели к выводу, что вычислительная мощность
квантовых компьютеров превосходит таковую машины Тьюринга. Та-
Таким образом, экспериментальная реализация этих процессов является
весьма интересной задачей. В этой статье мы заостряем внимание на
1 Clarendon Laboratory, Physics Department, University of Oxford, Parks Road,
Oxford 0X1 3PU, United Kingdom.
2 School of Mathematics &; Statistics, University of Plymouth, Plymouth PL4 8AA,
United Kingdom.
Перевод И. О. Чередникова.
Условная квантовая динамика и логические гейты 61
основных составляющих квантового устройства для передачи информа-
информации, а именно, логических квантовых гейтах. Мы хотим подчеркнуть
возникновение условной квантовой динамики, в которой одна подсисте-
подсистема проходит по этапам когерентной эволюции, зависящей от состояния
другой подсистемы. Унитарный оператор эволюции для составной сис-
системы имеет вид
U = |0)@| ® и0 + |0)@| 0 C/i + ... + |fc)(fc| <g> Uk, A)
где проекторы относятся к квантовым состояниям контрольной подсис-
подсистемы и унитарные операции Ui выполняются на рабочей подсистеме.
Простейшей нетривиальной операцией такого рода является квантовое
правляемое НЕ. Мы опишем этот гейт, проанализируем некоторые его
применения и обсудим физические реализации.
Классическое управляемое НЕ является обратимым логическим
гейтом на двух битах е\ и е2; ?i называется контрольным битом, а
2 — рабочим битом. Значение г2 отрицается, если е\ — 1, в противном
случае г2 остается прежним. В любом случае контрольный бит е\ не
изменяется. Определим квантовое управляемое НЕ ^12 как осуществ-
осуществляющее унитарную операцию на двух кубитах (двухуровневых кванто-
квантовых системах), что в выбранном ортонормальном базисе {|0), |1)} в Жъ
воспроизводит операцию управляемое НЕ:
s2), B)
где ф означает сложение по модулю 2. Здесь и далее первый индекс
в *ioij всегда относится к контрольному биту, а второй — к рабочему.
Например, ^21 осуществляет следующую унитарную операцию:
C)
Квантовое управляемое НЕ следует отличать от классического управля-
управляемого НЕ, реализованного на существующих компьютерах. Квантовое
правляемое НЕ — это когерентная операция на квантовых состояни-
состояниях двух кубитов. Унитарная операция, определяемая B), не является
единственной, воспроизводящей классическое управляемое НЕ на ба-
базисных состояниях |0) и |1). Можно ввести дополнительные фазы, так
что в наиболее общем виде такая квантовая операция выглядит так:
Ф e2). D)
62 А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
Эта фаза не имеет отношения к классическим операциям, но приводит
к появлению семейства неэквивалентных квантовых гейтов.
Уравнения B) или C) определяют операции ^12 по отношению
к специальному выбору базиса, именно — к вычислительному бази-
базису {|0),|1)}. Полезно обсудить обобщения ^12, которые действуют на
контрольный и рабочий биты в базисах, отличных как от вычислитель-
вычислительного, так и, возможно, друг от друга. Например, легко показать, что
гейты ^12 в базисе {—-=(|0) ± |1))} (для двух кубитов) идентичны ^21 в
2
азисе {|0), |1)}, т. е. при такой простой замене базиса меняются роли
кубитов. В дальнейшем, если не оговорено обратное, будет использо-
использоваться вычислительный базис.
Квантовый гейт управляемое НЕ обладает разнообразными инте-
интересными свойствами и приложениями:
A) ^12 преобразует суперпозиции в скрещения
<*?12: (а|0) + Ь|1»|0> <—>¦ о|0)|0> + Ь|1)|1>. E)
Таким образом он действует как измерительный гейт, поскольку если
рабочий бит г2 находится в начальном состоянии |0), то этот бит вмес-
вместе с гейтом равносилен аппарату, реализующему совершенно точное
невозмущающее (квантовое неразрушающее [5]) измерение s\.
B) Это преобразование суперпозиций в скрещения может быть об-
обращено с помощью такой же операции управляемое НЕ. Следовательно,
но может быть использовано для реализации так называемого измере-
измерения Белла [6] на двух битах путем распутывания состояний Белла. Из
четырех состояний Белла мы получаем четыре производных состояния:
± |1>|1» = -±=(|0> ± |1»|0), F)
± |1}|0» = -*=(|0> ± |1»|1). G)
Таким образом, измерение Белла на двух кубитах осуществляется по-
последовательно двумя независимыми двумерными измерениями: в вы-
вычислительном базисе для рабочего кубита и в базисе {——(|0)=Ь |1))} для
2
контрольного кубита. Реализация измерения Белла является главной
трудностью на пути практического осуществления квантовой телепор-
тации [7] и плотного квантового кодирования [3].
Условная квантовая динамика и логические гейты 63
C) Транспозиция квантовых состояний выполняется с помощью
каскада из трех квантовых гейтов управляемое НЕ:
^12^21^12 \Ф)\Ф) = \Ф)\Ф), (8)
для произвольных состояний \ф) и \ф) (см. также [8]).
D) Квантовый гейт управляемое НЕ можно использовать для пе-
переноса удаленных состояний при наличии канала, переносящего только
классическую информацию. Это полностью отлично от описанной выше
замены состояния, которая требует применения гейтов к двум состо-
ниям на входе, так что они не могут быть сильно разделены друг от
друга во времени. Пусть удаленные друг от друга Алиса и Боб владеют
состояниями
а) в Ж§ и \/3) в Ж$ соответственно, которыми они хотят
бменяться (предполагается, что они не знают, что это за состояния).
Чтобы это сделать, они должны (в предыдущем случае они находились
рядом или имели доступ к квантовому коммуникационному каналу)
бладать двумя парами кубитов, одной в состоянии —(|0)|0) + |1)|1))
V2
в Ж\ 0 Ж% и другой в том же максимально скрещенном состоянии в
$?2 ®Ж±. Состояния в Жо, Ж\, Жъ локализованы около Алисы и состоя-
состояния в Жъ, Ж^ Ж$ — около Боба. Пусть Ж обозначает полное измерение
в вычислительном базисе {|0), |1)}.
Для транспозиции \а) и \/3) Алиса и Боб следуют такому протоколу.
Шаг 1: Алиса выполняет ^10, а затем ^02? в то время как Боб выполня-
т ^545 а затем ^35- Шаг 2: Алиса измеряет Ж в Жъ, и Боб измеряет Ж
в Ж±. Каждый из участников сообщает результат (один бит информа-
информации) другому. Если результаты одинаковы, переходим к шагу 3. Если
ни различны, Алиса и Боб отрицают значения всех принадлежащих
им битов, т. е. применяют унитарную операцию
к каждой частице. Шаг 3: Алиса выполняет вращение
в Ж\ и Боб делает то же самое в Ж%. Шаг 4- Алиса выполняет измере-
измерение Ж в Ж\ и Боб делает это в Ж%. Они сообщают друг другу резуль-
результаты. Если результаты одинаковы, состояния меняются. В противном
64 А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
случае Алиса применяет унитарное преобразование
к Ж§ и Боб делает то же для Ж$, после чего состояния меняются. Ана-
огичный процесс описан Вайдманом [9].
Интересно сравнить этот протокол с квантовой телепортацией [7],
когда Алиса и Боб в начале владеют одной максимально скрещенной па-
парой, и Алиса может передать произвольное состояние |?) Бобу, посылая
му только два классических бита информации. Тогда, используя те же
средства, что и в нашем протоколе, т. е. совместное владение двумя
скрещенными парами и пересылку двух битов друг другу, мы может
льтернативно поменять состояния \а) и \/3) с помощью двух телепор-
таций (для двух направлений переноса). Однако такой процесс не мо-
моет быть разделен на два последовательных переноса. Отличительной
чертой всех таких процессов является то, что при наличии скрещения
произвольное состояние |?) может быть перенесено в результате пере-
пересылки только нескольких битов классической информации, несмотря на
то, что |?) зависит от двух непрерывных параметров, соответствующих
бесконечному количеству классической информации.
Квантовая операция управляемое НЕ не является универсальной.
Однако, наряду с относительно тривиальными однокубитными гейта-
гейтами, она образует адекватное множество квантовых гейтов, т. е. мно-
ество, из элементов которого могут быть построены любые квантовые
гейты [10]. Таким образом, в реальных технологиях условная динамика
типа квантового управляемого НЕ достаточна для построения любого
квантового передающего устройства. Универсальные двубитовые кван-
квантовые гейты, основанные на аналогичным образом контролируемой ди-
динамике, описаны в [11].
Далее будут предложены два способа экспериментальной реализа-
реализации квантового управляемого НЕ. Мы не утверждаем, что именно эти
технологии помогут на практике получить соответствующее устройст-
устройство. Они служат, однако, для иллюстрации физических идей, которые
удут использоваться при построении таких устройств при любой тех-
технологии.
Первая технология — атомная интерферометрия Рамзая [12, 13, 14,
15], а вторая основана на селективном управлении оптическими резо-
нансами двух кубитов с диполь-дипольным взаимодействием [16].
Условная квантовая динамика и логические гейты 65
В методе атомной интерферометрии Рамзая рабочий кубит являет-
является атомом с двумя круговыми состояниями Ридберга \е2)^ где е2 = 0,1;
контрольный кубит — это квантованное электромагнитное поле в по-
ости С с высоким Q.
Поле в полости содержит самое большее один фотон некоторой мо-
моды, так что его можно рассматривать как двухуровневую систему с
вакуумным |0), и однофотонным состояниями |1) в качестве базиса.
Полость С находится между двумя вспомогательными микроволновы-
микроволновыми полостями Ri и Л2, в которых классические микроволновые поля
порождают вращения на тг/2 атомного вектора Блоха,
kl)fieldk2>atom > kl)field "^(Ы + (-I)e2e"*|l - ?2))atom, (9)
2
где фазовый множитель а различен для двух полостей Ri и Л2. В цен-
центральной полости С дисперсивное взаимодействие с квантованным по-
поем приводит к сдвигам фазы, зависящим от состояния атома \е2) и
числа фотонов в полости \si). Взаимодействие сохраняет число фотонов
в полости:
kl)fieldk2>atom > exp^-lI"*2 (б г + 62H) |Si)field I^Jatom, (Ю)
где в — фазовый сдвиг для фотона, который может быть выбран рав-
равным тг (в зависит от времени, требующегося атому, чтобы пройти С,
и расстроить атом-поле).
В целом процесс может рассматриваться как последовательность:
полупереворот в i?i, фазовые сдвиги в С, и полупереворот в R2. В за-
зависимости от сдвигов фаз второй полупереворот может либо вернуть
том в начальное состояние, либо полностью перевернуть его в ортого-
ортогональное состояние. Интерферометр может быть настроен так, что когда
том проходит последовательно через полости i?i, С и R2, два кубита,
т. е. поле и атом, подвергаются преобразованию
|?l)field|?2)atom > kl)fieldkl Ф S2)atom- (И)
Состояние поля в С также может быть перенесено со (или на) вспо-
вспомогательного ридберговского атома, настроенного на резонансную час-
частоту полости таким образом, что оно испытает действие резонанса, а
не дисперсивного взаимодействия в С. Этот процесс позволяет создать
гейты, действующие на два кубита одного типа, т. е. два ридберговские
66 А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
тома, а не на поле и атом. Давидович и др. [13] показали, как можно ис-
использовать интерферометрию Рамзая для квантовой телепортации. Их
кспериментальная установка эффективно включает условную дина-
динамику обсуждаемого нами типа, имеющую гораздо более широкие при-
ожения в квантовой передаче информации, чем просто в квантовой
телепортации. Практическая реализация квантового управляемого НЕ
может быть осуществлена путем некоторой модификации эксперимен-
экспериментов, как описано в [13, 14, 15]. Типичная резонансная частота должна
ыть порядка ~2х 1010Гц, время взаимодействия атома с полем в по-
ости ~ 3 х 10~5с, и время жизни поля в полости может быть сделано
порядка ~ 0.5с.
Наиболее трудной частью экспериментальной реализации являет-
является, вероятно, приготовление изолированного атома. Обычно это осу-
осуществляется с помощью приготовления пучка атомов с весьма малой
вероятностью обнаружения отдельного атома в пучке; обнаружение же
двух атомов подряд в пучке еще менее вероятно. С нашей точки зрения,
недостатком данного метода является то, что он приводит к обратной
зависимости между вероятностью того, что точно один атом (как тре-
уется) взаимодействует с полем в данном цикле, и надежностью гей-
гейта. Хотя в нашем примере мы прежде всего фокусировали внимание на
микроволновых полостях, может быть также рассмотрена эксперимен-
экспериментальная реализация в оптическом режиме [15].
Второе наше предложение по реализации квантовых гейтов управ-
яемое НЕ основано на диполь-дипольном взаимодействии между дву-
двумя кубитами. Для целей данной модели кубиты могут быть либо маг-
магнитными диполями, например, ядерными спинами во внешних магнит-
магнитных полях, либо электрическими диполями, например, одноэлектрон-
ными квантовыми точками в статических электрических полях. Здесь
мы опишем модель, основанную на взаимодействии квантовых точек,
днако математически оба случая изоморфны.
Пусть две одноэлектронных квантовых точки, находящиеся на рас-
расстоянии R друг от друга, погружены в полупроводник. Рассмотрим ос-
основное и первое возбужденное состояния каждой точки как состояния
вычислительного базиса |0) и |1). Первая квантовая точка с резонанс-
резонансной частотой uji будет использована в качестве контрольного кубита, а
вторая, с резонансной частотой о^, как рабочий кубит. В присутствие
внешнего статического электрического поля, которое может включать-
включаться и выключаться адиабатически во избежание переходов между уров-
Условная квантовая динамика и логические гейты
67
а)
х
Рис. 1. Плотность заряда в квантовой яме в направлении х приложенного
поля. Дипольный момент индуцируется, когда электрическое поле включает-
я (В), и равен нулю в отсутствие электрического поля (А).
нями, распределение заряда в основном состоянии каждой точки сдви-
сдвигается в направлении поля, в то время как в первом возбужденном со-
состоянии распределение заряда сдвигается в противоположном направ-
ении {квантовый эффект Штарка) [17] (см. рис. 1). В простой модели,
когда состояние кубита кодируется одним электроном в каждой кванто-
квантовой точке, можно выбрать координаты, в которых дипольные моменты
в состояниях |0) и |1) суть ±di, где г = 1,2 относятся к контрольной
и рабочей точке соответственно. Для большей ясности мы изложим
идею метода с использованием несколько упрощенной модели, тогда
как более точная модель должна учитывать дырки в валентной зоне
полупроводника. Состояние кубита определяется тогда возбуждениями
с различными энергиями.
Электрическое поле электрона в первой квантовой точке может
сдвинуть уровни энергии во второй точке (и наоборот), но в хорошем
приближении это не приводит к переходам. Причиной является то, что
в полном гамильтониане
# = #! + #2 + Vi2 A2)
.л.
доминирует диполь-дипольное взаимодействие V±2, которое диагональ-
диагонально в четырехмерном пространстве состояний, натянутом на собствен-
.л. .л.
ные состояния {|?i),|?2)} свободного гамильтониана Hi + Н2, где е\
и 82 принимают значения от 0 до 1. Именно,
Н2)\е1)\е2) =
и
где
и = —
A3)
A4)
A5)
68
А. Баренко, Д. Дойч, А. Экерт, Р. Джозса
Как показано на рис. 2, в результате диполь-дипольного взаимо-
взаимодействия резонансная частота переходов между состояниями |0) и |1)
дной точки зависит от состояния соседней точки. Это и есть иско-
искомая условная квантовая динамика. Резонансная частота первой точки
становится равной и± ± п>, в соответствие с тем, находится ли вторая
точка в состоянии |0) или |1). Аналогично, резонансная частота второй
точки есть UJ2 =Ь (D, в зависимости от состояния первой точки. Таким
бразом, тг-импульс частоты с^2 + п приводит к переходу |0) «->¦ |1) во
второй точке тогда и только тогда, когда первая точка находится в
состоянии |1).
Энергия
10I1)
10I0)
CD,
т
i
COj+CO
СО,
С02 + СО
1Л
1
691- CO
CO,
лЛл
СО?—СО С02 + С0 СО,—СО СО,+
со.
CO,-CO
Рис. 2. (а) Уровни энергии двух квантовых точек без и при наличии взаи-
взаимодействия, индуцированного статическим электрическим полем Ео. Ь) Ре-
Резонансный спектр двух квантовых точек. Разрывной линией показана длина
волны, для которой две точки действуют как управляемое НЕ, при этом пер-
первая точка — контрольный кубит, а вторая — рабочий.
Для того, чтобы такие процессы были полезными для квантовой пе-
передачи информации, время декогерентности должно быть больше, чем
характерное время оптического взаимодействия (см., например, [18]).
Время декогерентности зависит частично от изменения запирающего
потенциала, вызванного фононными возбуждениями. Существует так-
е квантово-электродинамический вклад, вызванный взаимодействи-
м с вакуумными модами. Для резонансных частот в инфракрасном
режиме время декогерентности можно оценить как ~ 10~6с. Примеси
и тепловые колебания (фононы) могут уменьшить время до ~ 10~9с
или еще меньше, но в принципе такие эффекты могут быть миними-
Литература 69
зированы более точной технологией производства и охлаждением крис-
кристалла. Временной масштаб оптического взаимодействия может быть
ппроксимирован длительностью тг-импульса (~ 10~9с). Длительность
импульса ограничена не столько существующим уровнем технологии,
сколько требованием монохроматичности и достаточной селективнос-
селективности для тг-импульса. Это приводит к тому, что длительность импульса
должна быть больше обратной несущей частоты и обратной константы
связи диполь-дипольного взаимодействия A/о> ~ 10~12с в нашей моде-
и). Возможно, эту модель сложнее осуществить, чем основанную на
томной интерферометрии Рамзая, но если она все же будет реализо-
реализована, она позволит объединять квантовые гейты в сложные квантовые
сети, что необходимо для более общей квантовой передачи информации.
Благодарности
Авторы благодарят В. G. Englert, S. Haroche, H. J. Kimble, H. Mabu-
chi, G. Mahler, J.-M. Raimond, H. Walther за обсуждения и комментарии.
Работа частично поддержана Программой Передовых Технологий NIST.
А. В. весьма признателен за финансовую поддержку Фонду Berrow Кол-
еджа Линкольна (Оксфорд). Работа А.Е. поддержана Королевским Об-
Обществом, Лондон.
Литература
[1] D.Deutsch. Proc. R. Soc. London A 400, 97 A985).
[2] R.Feynman. Int. J. Theor. Phys. 21, 467 A982).
[3] C.H.Bennett and S. J.Wiesner. Phys. Rev. Lett. 69, 2881 A992).
[4] D.Deutsch and R.Jozsa. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 553 A992);
A.Berthiaume and G. Brassard. J. Mod. Opt. 41, 2521 A994);
R.Josza. Proc. R. Soc. Lond. A 435 563 A991); D.Simon. Proc.
35th Ann. Symp. Foundations of Computer Science, IEEE Press,
116 A994); E.Bernstein and U. Vazirani. Proc. 25th ACM Symp. on
Theory of Computation, 11 A993); P. W. Shor. Proc. 35th Ann. Symp.
Foundations of Computer Science, IEEE Press A994).
[5] V. B.Braginsky, Yu. I. Vorontsov, and F. Ya. Khalili. Zh. Eksp. Theo.
Fiz. 73, 1340 [Sov. Phys. JETP 46, 705 A977I.
О Литература
[6] S. L. Braunstein, A. Mann, and M. Revzen. Phys. Rev. Lett. 68, 3259
A992).
[7] C.H.Bennett, G.Brassard, C.Crepeau, R.Jozsa, A.Peres, and
W.K. Wootters. Phys. Rev. Lett. 70, 1895 A993).
[8] R.P.Feynman. Opt. News 11, 11 A985).
[9] L. Vaidman. Phys. Rev. A 49, 1473 A994).
[10] A.Barenco, C.H.Bennett, R. Cleve, D.DiVincenzo, N.Margolus,
P. Shor, T. Sleator, J. Smolin and H. Weinfurter {preprint).
[11] D.Deutsch. Proc. R. Soc. Lond. A 425, 73 A989); A.Barenco.
Phys. Rev. Lett (submitted); T. Sleator and H. Weinfurter.
Phys. Rev. Lett, (submitted); D.Deutsch, A.Barenco, and A.Ekert.
Proc. R. Soc. Lond. A (submitted).
[12] N.F.Ramsey. Molecular Beams. Oxford University Press A985).
[13] L. Davidovich, N. Zagury, M. Brune, J.-M. Raimond, and S. Haroche.
Phys. Rev. A, 50, R895 A994); T. Sleator and H. Weinfurter (private
communication).
[14] M. Brune, P. Nussenzveig, F. Schmidt-Kaler, F.Bernardot, A. Maali,
J.-M. Raimond, and S. Haroche. Phys. Rev. Lett. A994).
[15] Advances in Atomic. Molecular and Optical Physics, Supplement 2
(vol. entitled Cavity QED), edited by P. Berman (Academic Press,
1994).
[16] K.Obermayer, W.G.Teich, and G.Mahler. Phys. Rev. В 37, 8096
A988); W.G.Teich, K.Obermayer, and G.Mahler, ibid. p. 8111;
W.G.Teich and G.Mahler. Phys. Rev. A 45, 3300 A992); see also
S.Lloyd. Science 261, 1569 A993).
[17] D. A. B. Miller, D.S.Chemla, and S. Schmitt-Rink. Phys. Rev. В 33,
6976 A986).
[18] W.Unruh. Phys. Rev. A (submitted).
Квантовые вычисления: за и против
Джон Прескилл
(John PreskillI
В работе оцениваются возможности квантовых вычисле-
вычислений. Поскольку должны быть найдены широкие и важные
приложения, оправдывающие создание квантовых компьюте-
компьютеров, здесь обсуждаются некоторые известные квантовые ал-
алгоритмы и рассматриваются перспективы открытия новых.
Поскольку квантовые компьютеры восприимчивы к помехам,
обсуждаются недавно развитые отказоустойчивые процеду-
процедуры, которые позволяют производить надежные вычисления на
квантовом компьютере с шумящими гейтами. Техника кван-
квантовых компьютеров пока еще находится во младенческом воз-
возрасте; поэтому в статье обсуждаются некоторые технические
подробности, которые, возможно, примут во внимание буду-
будущие технологии. В течение нескольких последних лет работы
по квантовым вычислениям привели к новому пониманию вы-
вычислительной сложности, природы некогерентности, стиму-
стимулировали создание новых высокоточных методов в экспери-
экспериментальной физике. Необходимы широкие междисциплинар-
междисциплинарные усилия, чтобы квантовые компьютеры реализовали себя
как самые быстрые вычислительные устройства в мире. Эта
статья — расширенная версия заметок, которые были под-
подготовлены к обсуждению на конференции ITP по квантовой
когерентности и некогерентности, 17 декабря 1996.
1. Введение
Цель этого обсуждения состоит в том, чтобы исследовать будущие
перспективы квантовых вычислений. Мне кажется, что следует отве-
ответить на три главных вопроса:
1Калифорнийский технологический институт, Пассадена, СА 91125, США.
E-mail: preskill@theory.caltech.edu.
Перевод В. Г. Лебедева.
72 Дж. Прескилл
Хотим ли мы строить квантовый компьютер? Для чего он
необходим? Нет никаких сомнений: при создании действующего кван-
квантового компьютера мы встретимся с большими техническими труд-
трудностями, и сможем преодолеть их только в том случае, если будем
беждены, что ожидаемая выгода превзойдет затраты. Чтобы оценить
будущую жизнеспособность квантовых компьютеров, следует предста-
представить себе, как они будут использоваться в будущем. Наше воображение
ограничено, так что наиболее интересные приложения, возможно, бу-
будут пропущены. Тем не менее мы попытаемся.
Можем ли мы его построить? Несомненно, создание полезно-
полезного квантового компьютера (способного разрешить современные вычис-
вычислительные проблемы) — весьма сложная задача, но, может быть, это
просто невозможно7. Не создают ли фундаментальные физические прин-
принципы непреодолимые препятствия на этом пути? Наиболее очевидной
является проблема ошибок. Квантовые компьютеры — это аналоговые
вычислительные машины. Как и в случае классического аналогового
компьютера, его ошибки — непрерывные величины, поэтому накопле-
накопление малых ошибок может, в конце концов, дестабилизировать работу
компьютера. Далее, особые свойства квантовых компьютеров связаны
с их способностью к квантовым скрещениям (неклассическим корреля-
корреляциям, обусловленным большим числом степеней свободы), а скрещения
особенно чувствительны к эффектам декогерентности, вызываемой не-
неконтролируемым взаимодействием с окружающей средой. Можно ли
преодолеть эти трудности хотя бы в принципе (и если можно, то как
это осуществить практически)?
Как мы должны его строить? Какое оборудование будет ис-
использовано в квантовых компьютерах будущего? Будет ли оно основано
на усовершенствовании уже существующих технологий, или потребу-
потребуются совершенно новые идеи?
Я не знаю ответа на эти вопросы, но попытаюсь высказать не-
несколько мыслей.
2. Хотим ли мы построить квантовый компьютер?
Как будут использоваться квантовые компьютеры?
Я в восторге от алгоритма факторизации Питера Шора (Shor, 1994).
С помощью алгоритма Шора можно найти разложение TV-значного чис-
числа на множители за время порядка 7V35 в то время как считается (хотя
Квантовые вычисления: за и против 73
это не доказано), что время, нужное для этого любому классическому
компьютеру, растет с N быстрее, чем любая его степень. Этот ошелом-
ошеломляющий результат и изобретательность алгоритма вызвали большой
интерес к квантовым вычислениям1.
Желание получить мощное факторизующее устройство (с крипто-
криптографическими приложениями) расценивается как одно из первичных
побуждений к созданию квантового компьютера. Но, в конечном счете,
я не думаю, что факторизация будет среди наиболее важных приложе-
приложений квантовых вычислений. На самом деле то, что задача факторизации
считается сегодня особенно важной, представляется мне исторической
случайностью.
Если не факторизация, что тогда? Я совершенно согласен с точкой
зрения Фейнмана (Feynman, 1982) о том, что квантовый компьютер бу-
будет использоваться для моделирования поведения квантовых систем2.
Фейнман подчеркивал, что квантовое устройство может хранить
квантовую информацию более эффективно, чем любой классический
прибор; поскольку N кубитов соответствуют гильбертову пространст-
пространству размерности 2^, классическое устройство будет использовать 2^ — 1
комплексных числа, чтобы описать типичное квантовое состояние N
кубитов. Поэтому возможно, что квантовое моделирование является
примером задачи, которая требует экспоненциальных ресурсов для
классического компьютера, но не для квантового компьютера3.
(Экспоненциальный рост памяти не является действительно не-
необходимым, но моделирование, возможно, потребует экспоненциально
большого времени.) Кроме того, квантовое моделирование — весьма
обширная область, со многими потенциальными приложениями, напри-
например, к наукам о материалах и к химии. Я думаю, что важно более
подробно рассмотреть вопрос об использовании квантовых компьюте-
компьютеров в качестве квантовых моделирующих устройств, чтобы мы мог-
1Дэниел Саймон (Saimon, 1994) фактически проложил путь к алгоритму Шора,
предложив первый пример квантового алгоритма, который эффективно решает ин-
интересную и трудную проблему.
2Однако мое мнение, что квантовое моделирование более важно, чем разложе-
разложение на множители, было воспринято некоторыми участниками конференции как
умозаключение ограниченного физика, который считает, что единственно важные
проблемы — те, над которыми он работает!
3Но именно Дэвид Дойч (Deutsch, 1985), а не Фейнман, подчеркнул, что кван-
квантовые компьютеры могут лучше всего реализовать их вычислительный потенциал,
эксплуатируя огромный квантовый параллелизм. Утверждение, что квантовая сис-
система может производить вычисление, впервые явно высказал Бенёв (Benioff, 1982).
74 Дж. Прескилл
и лучше оценить те преимущества, которые получим при использова-
использовании в будущем квантовых компьютеров по сравнению с классическими
(Lloyd, 1996; Zalka, 1996a; Wiesner, 1996; Meyer, 1996; Lidarfe Biham,
1996; Abrams&Lloyd, 1997; Boghosianfe Taylor, 1997).
В принципе, вопрос о квантовой системе становится исключитель-
исключительно трудным только тогда, когда ответ существенно зависит от деталей
скрещения, включающего большое число степеней свободы, и неясно,
для каких физически интересных вопросов сильные скрещения могут
играть существенную роль.
Например, n-частичные корреляции в основном состоянии могут
ыть вычислены за полиномиальное время на классическом компьюте-
компьютере. Классическое моделирование поведения квантовой системы в реаль-
реальном времени является более трудной проблемой, но возможно, что при
достаточной изобретательности могут быть развиты новые приближе-
приближения, которые значительно улучшат эффективность такого моделирова-
моделирования. Использование квантового компьютера в значительной мере явля-
тся стратегией решения «в лоб»; однако иногда выгоднее использовать
именно «лобовой» метод решения проблемы, чем искать обходные пути,
требующие исключительного ума.
С момента появления алгоритма факторизации Шора, возможно,
наиболее важное продвижение в квантовой сложности было осущест-
осуществлено Гровером, предложившим чрезвычайно остроумный метод для
поиска в случайной базе данных (Grover, 1996). В базе данных, содер-
ащей N записей, та из них, которая удовлетворяет некоторому ука-
указанному критерию, может быть найдена на квантовом компьютере за
время порядка y/N. На классическом компьютере перебор базы дан-
данных потребовал бы время порядка N, так что алгоритм Гровера — тот
самый случай, когда мы знаем, что квантовый компьютер может обра-
атывать важную в вычислительном отношении задачу быстрее, чем
юбой классический компьютер. (Это не было доказано для алгоритма
разложения на множители, хотя кажется правдоподобным также и для
него.) Ускорение достигается как за счет квантового параллелизма, так
и за счет того, что вероятность в квантовой теории является квадра-
квадратом амплитуды — алгоритм Гровера действует на начальное состоя-
состояние, в котором все N классических записей представлены с амплиту-
амплитудой 1/y/N, и приводит исходное состояние за л/N шагов к состоянию, в
котором искомая запись представлена с амплитудой порядка единицы.
По сравнению с классическими методами ускорение, достигнутое
Квантовые вычисления: за и против 75
лгоритмом Гровера, конечно, не является настолько впечатляющем,
как экспоненциальное ускорение, достигнутое в алгоритме Шора. Но
даже неэкспоненциальное ускорение может быть очень полезно. Пе-
Перебор базы данных — несомненно важная проблема со многими при-
ожениями; например, ее можно использовать, чтобы решить любую
NP-проблему (проблемы, в которых очень трудно найти решение, но
чень просто его проверить). Если квантовые компьютеры будут ис-
использоваться в ближайшие 100 лет, я предположил бы, что они будут
работать на основе алгоритма Гровера или похожего на него. Мож-
Можно добавить еще кое-что относительно алгоритмов, подобных Гроверу,
беспечивающих неэкспоненциальное ускорение. В случае поиска в ба-
базе данных, вычисления, которые требуют времени Т на классическом
компьютере, могут быть сделаны за время порядка у/Т на квантовом
компьютере. Было бы очень интересно найти общий способ выделения
классических алгоритмов, которые допускают такой вид у/Т квантово-
квантового ускорения. В частности, классические компьютеры обычно решают
полные NP-проблемы не вслепую, пока не встретится желательное ре-
решение, а делая перебор, который является значительно более продуман-
продуманным и эффективным, и при этом остается достаточно приемлемым. До
какой степени эти наиболее эффективные алгоритмы могут быть улуч-
улучшены с помощью квантовых вычислений?
Рассуждения относительно перспектив квантовых вычислений час-
часто ограничиваются NP-задачами, и часто основаны на ожидании, что
квантовые вычисления будут допускать экспоненциальное ускорение
для решения проблем в этом классе. В этой связи важный результат
ыл получен Беннеттом, Бернштейном, Брассардом и Вазирани (Bennet,
Bernstein, Brassard, и Vazirani, 1997a), которые показали, что алгоритм
Гровера поиска в случайной базе данных оптимален; никакой другой
квантовый алгоритм не может решить проблему быстрее, чем за время
порядка y/N. Этот результат наводит на мысль, что квантовые компью-
компьютеры не могут обеспечить возможность решения NP-полных проблем за
полиномиальное время. По крайней мере это указывает, что не сущест-
существует никакого полиномиального квантового алгоритма, основанного на
чистой «квантовой магии»; скорее всего, потребуется более глубокое
изучение структуры проблем в NP-полном классе.
Возможно, что полные NP-проблемы — не лучшая область для
использования мощности квантовых вычислений. Может оказаться,
что квантовые компьютеры окажутся способны к решению некоторых
76 Дж. Прескилл
трудных задач, которые лежат вне NP-проблем, и что квантовое мо-
моделирование является таким примером. В нашей команде было даже
предсказание, что возможность решения полных NP-проблем с помо-
помощью квантового моделирования должна бы требовать экспоненциаль-
экспоненциальных ресурсов на классическом компьютере; то есть классический ком-
компьютер не способен эффективно моделировать квантовый компьютер1.
Квантовые вычисления, скорее всего, должны внести более сущест-
существенный вклад в теорию алгоритмов, которые лучше всего использу-
используют возможности квантовых регистров для хранения экспоненциально
большого числа комплексных квантовых состояний с помощью полино-
полиномиальных квантовых ресурсов. (Для таких алгоритмов существенно,
что квантовый компьютер может порождать сильно скрещенные кван-
квантовые состояния.)
При условии корректности основного предположения классической
теории сложности (Р ф NP), существует класс проблем (класс NPI)
промежуточного уровня трудности; эти проблемы не так трудны, как
полные NP-проблемы, однако они все еще не могут быть решены маши-
машиной Тьюринга за полиномиально ограниченное время. Проблема факто-
факторизации расценена как вероятный кандидат для членства в этом классе
(Garey & Johnson, 1979), так что естественно задаться вопросом, мо-
могут ли быть изобретены эффективные квантовые алгоритмы для дру-
других проблем, которые, как предполагается, соответствуют NPI-классу.
Один особенно перспективный пример — проблема изоморфизма гра-
графов (необходимо определить, являются ли два указанных графа эквива-
эквивалентными после подходящего переобозначения вершин). Важно иссле-
исследовать, могут ли быть изобретены хорошие квантовые алгоритмы для
проблемы изоморфизма графов и аналогичных проблем. Я чувствую,
что все еще недостает глубокого понимания, как работают квантовые
алгоритмы. Несомненно, возможности квантовых компьютеров основа-
основаны на скрещениях, квантовом параллелизме и обширности гильбертова
пространства, но я думаю, что этот вопрос будет полностью разре-
разрешен по мере понимания истинной сущности материи. Один из вопросов
можно сформулировать так: как постоянная Планка h участвует в кван-
квантовых вычислениях, и какова природа «классического» предела h —у О?
Я предполагаю, что лучшее понимание такого вида вопросов могло бы
указать нам на новые типы квантовых алгоритмов.
1Фактически, ослабленная версия этого утверждения («относительно оракула»)
была продемонстрирована Бернштейном и Вазирани (Bernstein & Vazirani, 1993).
Квантовые вычисления: за и против 77
В другом выступлении на этой конференции (Preskill, 1997) я оце-
оценил ресурсы, которые будут необходимы, чтобы решить интересную
проблему разложения на множители на квантовом компьютере. Оценка,
несомненно, обескураживала. Возможно, что интересная задача кванто-
квантового моделирования могла быть эффективно выполнена и с более скром-
скромными ресурсами. Но также естественно спросить, что можно делать с
небольшим квантовым компьютером, который может хранить, скажем,
десятки кубитов и содержать сотни гейтов. Если мы могли бы постро-
построить такой прибор в ближайшее время, было бы это полезно? Имел бы
н коммерческий потенциал?
Одним из возможных применений квантового компьютера скром-
скромных размеров была бы квантовая криптография (Bennett & Brassard,
1984). Конечно, в отсутствие квантового устройства факторизации,
бычное шифрование с открытым ключом может быть безопасным, но я
полагаю, что всегда найдутся пользователи, которые будут настаивать
на полной секретности, и поэтому предпочтут распространение кван-
квантовых ключей. (С другой стороны, пользователь может опасаться, что
го сообщение будет сохранено и расшифровано через некоторое время в
удущем, когда станут доступными более мощные методы разложения
на множители.) Хотя в принципе распространение квантовых ключей
может быть безопасно, имеется серьезное ограничение: сигнал зату-
затухает в канале связи (типа волоконного световода), и не может быть
усилен из-за теоремы, запрещающей клонирование (Wootters & Zurek,
1982). Так что или мы должны быть удовлетворены связью, ограни-
ограниченной расстояниями порядка длины затухания в волокне (возможно,
десятки километров), или следует полностью доверять посредникам,
что повлечет за собой серьезный риск для безопасности. Но квантовое
исправление ошибки может обеспечить альтернативу: если мы можем
приготовить, послать и получить скрещенные многофотонные состоя-
состояния, то в принципе мы могли бы использовать квантовые коды для
исправления ошибок, чтобы расширить возможности квантовой связи.
<Повторители» могли бы разместиться вдоль линии связи; они не читали
ы квантовую информацию, которая передается, а лишь диагностиро-
диагностировали и исправляли бы ошибки, которые возникают при передаче. Можно
ыло бы посылать, скажем, блоки из пяти фотонов, которые кодируют
дин логический кубит (Беннетт et a/., (Bennett, 1996), Лафлам et al,
(Laflamme, 1996)), помещенный случайным образом в одно из двух не-
ртогональных состояний, и разместив повторяющие станции доста-
78 Дж. Прескилл
точно близко, для того, чтобы вероятность ошибки в течение переда-
передачи между последовательными станциями была мала. Наши квантовые
компьютеры должны быть способными к передаче отказоустойчивого
признака измерения и исправления ошибки для пятикубитового кода с
малой вероятностью ошибки (Shor, 1996; DiVincenzo & Shor, 1996). Для
достижения приемлемой скорости передачи мы должны уметь быстро
обновлять вспомогательные биты, используемые для вычисления при-
признака. Конечно, с более мощными квантовыми компьютерами можно
использовать лучшие коды и улучшать функционирование сети.
Возможно, что лучшие часы достаточно близкого будущего будут
содержать квантовый компьютер. Точность некоторых атомных часов
ограничена конечностью времени жизни возбужденных состояний ато-
атома. Применение кодов, исправляющих ошибки, могло бы, в принципе,
увеличить время активной работы этих состояний и привести к бо-
более высоким стандартам частоты. Группа NIST (Bollinger et a/., 1996)
предложила другой способ применения квантового скрещения для уве-
увеличения точности часов и интерферометров.
Если для определения эталона частоты использовать изменение
фазы состояния —— (|0) + |1)) двухуровневой системы, то состояние
V2
—и (|000 ... 0) + |111... 1)), построенное из N таких систем, будет ос-
V2
циллировать в N раз быстрее и может быть, в принципе, использовано
для установления более точного стандарта1.
Даже если коммерческий потенциал квантового компьютера с низ-
низкой производительностью будет скромен, квантовый компьютер стал
бы необходимым инструментом в лаборатории экспериментального фи-
физика. Способность готовить, сохранять, использовать и контролировать
смешанные состояния создаст возможность для широкого многообразия
новых изобретательных измерений.
Но предположим, что я могу купить имеющийся в наличии дейст-
действительно мощный квантовый компьютер сегодня — что я буду с ним
делать? Я не знаю, но мне кажется, что над этим придется подумать!
Мой внутренний голос говорит, что если мощные квантовые компьюте-
1 Однако увеличение точности, которая может быть достигнута при использо-
использовании скрещенных состояний, сильно ограничено эффектами некогерентности. По-
Поскольку скрещенные состояния осциллируют быстрее нескрещенных, они быстрее
и хаотизируются (Huelga et al., 1997).
Квантовые вычисления: за и против 79
ры будут доступны, нам придется много и долго думать, как поумнее
использовать их возможности.
3. Можем ли мы его построить?
Мэнни Нилл и я обсуждали на этой встрече замечательный про-
прогресс в теории отказоустойчивых квантовых вычислений. Даже до по-
последних достижений можно было надеяться, что будут получены ме-
методы исправления ошибок, которые смогут противостоять процессам
некогерентности и управлять накоплением и распространением оши-
ок в квантовом компьютере, но такие мысли обычно отклонялись как
искушающие. Теперь ситуация изменилась, и, в принципе, нет ника-
никаких фундаментальных препятствий для создания функционирующего
квантового компьютера, способного к выполнению интересных в вы-
вычислительном отношении задач. Серж Хароч и Рольф Ландауэр красно-
красноречиво обсудили на этой встрече, насколько оптимистична эта точка
зрения, и возможно ли это. Хароч считает, что оптимисты чрезвычайно
недооценивают влияния некогерентности и трудности его преодоления
(Haroche, 1997; Haroche & Ramond, 1996). Хароч отметил, что сильно
скрещенное состояние многих кубитов исключительно чувствительно к
ффектам некогерентности — единственная ошибка, влияющая только
на один из кубитов, может разрушить когерентность целого состояния.
Действительно, это так: в функционирующем квантовом компьютере
исправление квантовой ошибки должно осуществляться настолько эф-
эффективно, чтобы ни один логический (кодируемый) кубит не пропал в
процессе вычисления. Он также подчеркнул, что коды с исправлением
шибок влекут за собой огромную избыточность в квантовых вычис-
ениях, как в числе требуемых кубитов (чтобы обеспечить необходи-
необходимую избыточность для исправления ошибок), так и числа необходимых
квантовых гейтов (чтобы обрабатывать резервно кодируемые данные,
диагностировать и обращать ошибки); но увеличение числа кубитов и
гейтов увеличивает вероятность ошибки. Так оно и есть, и я обсудил
то в другом моем докладе на этой конференции (Preskill, 1997). Но
теперь показано, что, если вероятность ошибки на гейт меньше некото-
некоторого критического значения («порог точности»), то исправление ошибки
может все же работать достаточно эффективно, даже для вычислений с
произвольной длительностью (Knill & Laflamme, 1996; Knill et a/., 1996,
80 Дж. Прескилл
1997; Aharonov & Ben-Or, 1996a; Kitaev, 1996b; Gottesman et a/., 1996;
Zalka, 1996b; Preskill, 1997).
Отказоустойчивые методы призваны улучшить надежность кван-
квантового компьютера, но за них приходится расплачиваться возрастаю-
возрастающими требованиями по хранению информации и скорости вычисления.
Однако эта цена может быть вполне приемлемой. При заданном обору-
оборудовании с фиксированной долей ошибки на гейт следует просто уве-
ичить размер кодирующего блока кода. Но размер блока не вполне
приемлемо зависит от громоздкости вычислений:
размер блока ~ [1о§(длина вычисления)]
степень
(В схеме, описанной в (Preskill, 1997), степень = log2 7 ~ 2.8.) Об-
Обработка информации, кодируемой в этих блоках, потребует большего
числа гейтов (их число растет приблизительно линейно с размером бло-
блока). Однако, в принципе, многие из этих гейтов могли бы работать
параллельно. Если предположить, что квантовое оборудование высоко
параллелизуемо, то время вычислений слабо зависит от размера блока.
До сих пор предполагалось, что отказоустойчивые процедуры не
имеют ошибок, связанных с «просачиванием» кубитов из гильберто-
гильбертова пространства, в котором работает квантовый компьютер (Plenio &
night, 1996). Например, в ионной ловушке один из ионов может совер-
совершить нежелательный переход в долгоживущее инертное состояние, ко-
которое не воздействует на квантовые гейты машины. Такие ошибки бу-
будут неизбежны, но они не должны представлять основное препятствие.
Возможная стратегия заключается в том, чтобы систематически очи-
очищать уровни, которые являются главными кандидатами для просачива-
просачивания. Кроме того, ошибки просачивания могут быть легко обнаружены
в принципе с помощью простой матрицы, соответствующей квантово-
квантовому гейту (Preskill, 1997). Ион, идентифицированный как дефектный,
может быть устранен из блока кода и заменен стандартным ионом в
сновном состоянии. После замены ошибка утечки становится ошибкой
в известном положении, с которой легко иметь дело, используя стан-
стандартные процедуры исправления ошибок (Grassl et a/., 1996).
Хароч сомневается также в том, окажется ли возможным достиг-
достигнуть столь малых ошибок на гейт, что квантовые компьютеры смогут
работать точно. Фундаментальная трудность состоит в том, что если
мы моделируем квантовый гейт, кубиты должны сильно взаимодейст-
взаимодействовать, но это взаимодействие может стимулировать кубиты к взаимо-
Квантовые вычисления: за и против 81
действию с другими степенями свободы (с окружающей средой), что
приведет к некогерентности. Например, чтобы улучшить работу ком-
компьютера, основанного на ионной ловушке, следует увеличить интенсив-
интенсивность лазера для ускорения работы гейта. Но при увеличении интен-
интенсивности возрастает вероятность возбуждения других, не нужных нам
уровней иона. Конкуренция между этими двумя эффектами приводит
к внутреннему пределу точности гейта, которая не зависит от выбора
используемого иона (Plenio & Knight, 1996). Согласно довольно общим
предположениям, можно заключить, что вероятность ошибки на гейт
имеет по крайней мере порядок 10~6. Этот предел можно изменить с
помощью героических усилий — например, размещая ионы в малень-
маленьких кавернах, спроектированных так, чтобы подавить нежелательные
переходы. Тем не менее, такие аргументы бесспорно полезны, и имеют
большой интерес для формулировки общих пределов, ограничивающих
возможные типы переходов или возможности другого мыслимого обо-
оборудования1.
Даже если трудно улучшить указанную величину ошибки поряд-
порядка 10~6 на гейт, устройство, которое приближается к этому уровню
точности, уже может быть пригодным для настоящих крупномасштаб-
крупномасштабных квантовых вычислений. Действительно, в моем докладе по отка-
отказоустойчивым квантовым вычислениям на этой конференции (Preskill,
1997) я предположил, что величина ошибки порядка 10~6 на гейт явля-
является вполне приемлемой целью, чтобы стремиться к ней — правдопо-
правдоподобно, что эта величина ошибки должна быть достаточно ниже порога
точности, так что очень интересные квантовые вычисления станут воз-
возможны при некоторой доле находчивости2.
1 Очень слабое общее ограничение для реализации квантового оборудования су-
существует благодаря вакуумным колебаниям электромагнитного поля, как было под-
подчеркнуто Брагинским, Халили и Сажиным (Braginsky, Khalili, и Sazhin, 1995). В кон-
контексте ионной ловушки, их предел возникает потому, что фонон в ионной ловушке
может в принципе распадаться с эмиссией фотонов. (См. также (Garg, 1996).
2Любое утверждение относительно допустимых величин ошибок бессмысленно,
если модель для ошибок не определена строго. В работе (Preskill, 1997) приняты
некоррелированные случайные ошибки. Согласно этому предположению, все ошиб-
ошибки возникают благодаря некогерентности, ошибкам фазы и разрядным ошибкам
триггера с равной вероятностью, и ошибки, влияющие на различные кубиты, неза-
независимы. «Вероятность ошибки на гейт» е ~ 10~6 может быть интерпретирована как
квантовая надежность воспроизведения — то есть, если компьютер, находящийся
в состоянии \ip), имеет некоторый идеальный гейт, и если фактическое состояние
определяемое после этого гейта — р, то F = (^Ы^) = 1 — е.
82 Дж. Прескилл
Я не хочу создать впечатление, что эта требуемая точность бу-
будет незыблема; это было бы слишком консервативно по ряду причин.
Прежде всего, эта оценка была получена согласно предположению, что
шибки фазы и амплитуды в кубитах равновероятны. С более реалисти-
реалистической моделью ошибок, лучше представляющей вероятности ошибок
в реальном приборе, схему исправления ошибок можно сделать более
совершенной, благодаря чему может быть терпима и более высокая сте-
степень ошибки. Кроме того, отказоустойчивая схема не проанализирова-
проанализирована до конца даже при высказанных предположениях; при более внима-
внимательном анализе можно ожидать, что найдется даже несколько более
высокий порог точности, возможно, значительно более высокий. Ре-
льные усовершенствования могли бы быть достигнуты за счет либо
изменения отказоустойчивой схемы, либо более эффективного способа
реализации универсальных отказоустойчивых гейтов, либо более эф-
эффективных средств измерения признака ошибки. И я не буду удивлен,
ели окажется, что с учетом различных усовершенствований кванто-
квантовый компьютер может работать эффективно с вероятностью ошибки
на гейт, скажем, порядка 10~4. (Так что 10~4 вполне может оказать-
оказаться ниже порога точности. Фактически, оценка порога точности, кото-
которая является более оптимистической, чем моя, были выдвинуты Залкой
(Zalka, 1996b). См. также (Steane, 1997).) Другая точка зрения, которую
необходимо подчеркнуть, — это то, что, благодаря улучшению положе-
положения с ошибками, становится возможным более эффективное исполь-
использование пространства памяти, используя коды, которые хранят много
огических кубитов в единственном блоке. Готтсман (Gottesman, 1997)
недавно показал, как можно проводить отказоустойчивые вычисления,
используя такие коды, правда, ценой увеличения времени вычислений.
Рольф Ландауэр в своих замечаниях на этой встрече и предыдущих ра-
отах (Landauer, 1995,1996,1997) обращает внимание на то, что предло-
енные новые технологии редко реализуют розовые проекты, предла-
предлагаемые их сторонниками. Он неоднократно отмечал критичность проб-
емы контроля ошибок (см. также (Unruh, 1995). Ландауэр совершен-
совершенно правильно подчеркивает, что цифровые приборы могут достигать
замечательной надежности, потому что цифровой сигнал может быть
егко стандартизирован повторно — то есть при легком отклонении от
требуемого значения его можно вернуть туда, где он должен быть. Эта
рестандартизация, которая предотвращает маленькие ошибки от накоп-
ения и в конечном счете — появление больших ошибок, обязательно
Квантовые вычисления: за и против 83
является диссипативным процессом. Легкость рестандартизации явля-
является основным преимуществом, которым обладают цифровые приборы
по сравнению с аналоговыми. Квантовые вычисления (или в более об-
общем смысле — обратимые вычисления) с этой точки зрения выглядят
недоработанным возвращением к аналоговым вычислениям, со всеми
сопутствующими проблемами.
Ошеломляющим было открытие того, что, используя квантовое ис-
исправление ошибок, можно рестандартизировать когерентный кванто-
квантовый сигнал (Shor, 1995; Steane, 1996ab; Calderbank & Shor, 1996). Ко-
Конечно, квантовое исправление ошибок, как и любая техника исправле-
исправления ошибок, — диссипативный процесс, сопровождающийся выделени-
выделением тепла, которое должно удаляться из устройства. В схеме квантового
исправления ошибок информация относительно происходящих ошибок
накапливается в наборе вспомогательных кубитов. Если эти вспомога-
вспомогательные кубиты будут использоваться многократно, то каждый раз они
должны быть сначала очищены, что означает выброс энтропии, связан-
связанной с накопленными ошибками, в окружающую среду. Эта потребность
в охлаждении для устранения энтропии, связанной с ошибками, может
являться важным техническим ограничением на квантовые компьюте-
компьютеры будущего.
Ландауэр признает, что в проблеме контроля над ошибками достиг-
достигнут значительный прогресс, но он поднимает также некоторые беспо-
беспокоящие вопросы. Вот один из таких вопросов: как может кодирова-
кодирование предохранять квантовые гейты от небольших ошибок, если код и
прибор не могут узнать, какой гейт выполняет ту или иную работу?
Если при обработке гейтом кодированных кубитов совершена неболь-
небольшая ошибка, то конечное состояние кубита может все еще находится
в закодированном подпространстве, но его значение будет немного от-
отличаться от предполагаемого. Ошибки такого рода недетектируемы и
неисправимы. Почему бы таким ошибкам со временем не накопиться
и привести к большой ошибке? (Эта проблема не связана с декогерент-
ностью; даже если эволюция состояния компьютера унитарна a priori,
нет гарантии, что она приведет к желаемому результату).
Можно оценить серьезность этого возражения в случае тривиаль-
тривиального гейта, когда унитарное преобразование, которое мы хотим приме-
применить, — тождественное1.
Пусть преобразования, каждое из которых лишь немного отлича-
рассуждения легко перенести на случаи нетривиального гейта.
84 Дж. Прескилл
ется от единичного, воздействует на каждый из элементарных кубитов
блока, так что если кубиты последовательно измерять, то вероятность
ошибки фазы или разрядной ошибки триггера каждого из них будет
порядка s <^С 1. Выясним, какова будет вероятность недетектируемой
ошибки, т. е. вероятность того, что блок все еще находится в зако-
закодированном подпространстве, но закодированный кубит имеет ложное
направление. Для кода, который выдерживает однокубитную ошибку в
произвольном месте блока, эта вероятность имеет порядок г3; нужно
совершить три независимых ошибки указанного типа, чтобы значение
кода подпространства отличалось от первоначального1.
При анализе нетривиальных гейтов важно заметить, что отказо-
отказоустойчивые операции, которые могут быть выполнены на (так сказать)
отдельном закодированном кубите, не образуют континуум; безопас-
безопасно можно выполнить только дискретный набор преобразований. Таким
образом, причиной детектируемых ошибок, которые можно исправить,
будут, скорее всего, малые ошибки в работе гейта, а не замена одного
гейта из отказоустойчивого множества на другой. Конечно, даже ес-
если набор отказоустойчивых гейтов дискретен, он все еще может быть
универсальным; а если мы обладаем универсальным набором отказо-
отказоустойчивых схем, мы можем уверенно использовать их, чтобы скон-
сконструировать преобразование, которое является произвольно близким к
вращению единственного кубита на любой желаемый угол, но в таком
устройстве придется использовать некоторые из многокубитовых гей-
гейтов.
Ландауэр также напоминает нам, что эффективность исправления
ошибки будет уменьшаться, если ошибки имеют систематическую со-
составляющую. Ошибки со случайными фазами накапливаются как в слу-
случайном блуждании, так что вероятность ошибки накапливается при-
приблизительно линейно с числом выполненных гейтов. Но если ошибки
имеют систематические фазы, то амплитуда ошибки может увеличи-
увеличиваться линейно с числом гейтов, а вероятность ошибки будет расти на-
намного быстрее. Следовательно, чтобы наш квантовый компьютер хоро-
хорошо работал, величина систематических ошибок должна удовлетворять
более строгим требованиям, чем в случае случайных ошибок. Грубо
говоря, если мы принимаем, что систематические фазы всегда объеди-
1Фактически более вероятно, примерно с вероятностью порядка ?2, что при отка-
отказоустойчивом исправлении ошибки мы неправильно диагностируем ошибку в блоке
и установим неправильное значение кубита.
Квантовые вычисления: за и против 85
няются, чтобы сложиться конструктивно, и если порог точности для
случайных ошибок — г, то порог точности для систематических ошибок
удет приблизительно г2; скажем, порядка 10~10 вместо порядка 10~5.
Хотя систематические ошибки могут, таким образом, бросать вызов
квантовой инженерии будущего, они не должны, тем не менее, созда-
создавать непреодолимые препятствия. Во-первых, систематические фазы
удут иметь тенденцию к угасанию в процессе длинных вычислений,
так что на практике существенными будут только наиболее высокие
величины ошибок (Obenland & Despain, 1996, 1997; Miquel и др., 1997).
И кроме того, если ошибки действительно систематические, мы можем
в принципе понять их источник и устранять их. Источниками внут-
внутренних ограничений при выполнении операций всегда будут случайные
шибки.
Имеется другой важный аспект, в котором модели ошибок, исполь-
использовавшиеся в теоретических исследованиях отказоустойчивых кванто-
квантовых вычислений, могут оказаться нереалистичными — обычно прини-
принимается, что ошибки, изменяющие различные кубиты, некоррелированы
или слабо коррелированы. Фактически, это очень сильное и сущест-
существенное предположение, поскольку квантовые отказоустойчивые коды
не предназначены для работы с сильно коррелированными ошибками,
распространяющимися на много кубитов. Когда мы говорим, что веро-
тность ошибки имеет порядок е ~ 10~6 на гейт, мы фактически подра-
подразумеваем, что вероятность двух ошибок, встречающихся в отдельном
локе, имеет порядок е2 ~ 10~12. Это в конечном счете эксперименталь-
экспериментальный вопрос, могут ли различные кубиты в одном блоке действительно
ыть независимыми. Следует заметить, тем не менее, что нет никаких
причин, из-за которых два кубита, принадлежащих одному блоку кода,
бязательно должны быть близки друг к другу в машине. Таким обра-
образом, мы имеем возможность расширить справедливость нашей модели
шибок с помощью подходящего выбора архитектуры компьютера.
Теперь, когда мы убеждены, что квантовое исправление ошибок
возможно, следует найти способы реализовать его. Это важно, в част-
частности, для более подробного анализа того, как методы исправления
шибки могут быть адаптированы к некоторым предложенным реали-
реализациям квантового оборудования, например — компьютерам, основан-
основанным на ионных ловушках и на КЭД-полостях (Pellizzari et а/., 1996;
Mabuchi & Zoller, 1996; Van Enk et a/., 1997).
Кроме того, в то время как большинство работ над схемами кван-
86 Дж. Прескилл
тового исправления ошибок сосредоточилось на квантовой модели це-
цепей — разработаны подходящие цепи, чтобы диагностировать и ис-
исправлять ошибки, — более производительной могла бы оказаться бо-
более широкая точка зрения. Одной из альтернативных работ могло бы
стать изобретение «проектировочного гамильтониана», который имеет
защищенное подпространство кода как сильно вырожденное основное
состояние1.
Тогда ошибка, обычно появляющаяся при переходе системы к воз-
возбужденному состоянию, будет автоматически исправляться, когда сис-
система релаксирует к основному состоянию. Схемы этого вида были пред-
предложены Китаевым (Kitaev, 1996a). Китаев (Kitaev, 1997) также изобре-
изобретательно предложил реализовать отказоустойчивые квантовые гейты в
подходящей среде с помощью обмена квазичастицами, которые удовле-
удовлетворяют экзотической версии двумерной квантовой статистики. Суть
идеи состоит в том, что из-за наличия дальнодействующего топологи-
топологического взаимодействия Ааронова-Бома квазичастиц нет необходимос-
необходимости выполнять гейт с высокой точностью для воздействия на квантовые
числа квазичастиц предписанным способом.
4. Некоторые возможные возражения на
возможность квантовых вычислений, и
некоторые ответы
Ландауэр убеждает нас принять во внимание, что если даже кван-
квантовый компьютер может быть построен и окажется способен к выпол-
выполнению очень ценных задач, технология получит небольшой удар, если
это окажется чрезвычайно дорого. Снова отметим, что это серьезное
предупреждение. Несомненно, технология пока что далека даже от то-
того, чтобы мы могли начинать серьезно оценивать экономику квантовых
вычислений. Более важным является то, что для экономической жиз-
жизнеспособности квантовый компьютер должен иметь широкие приложе-
приложения. Поиск (и обнаружение) новых и полезных квантовых алгоритмов
может быть наиболее эффективным способом приблизить квантовые
вычисления к их осуществлению как коммерческого предприятия.
Некоторые из обычно приводимых причин скептицизма относи-
1 Можно было бы надеяться, что проектировочный гамильтониан может быть
реализован при подходящих мезоскопических квантовых вычислениях.
Квантовые вычисления: за и против
87
тельно возможности квантовых вычислений перечислены в таблице 1,
наряду с некоторыми возможными достоинствами.
Таблица 1.
Возражение
Квантовые компьютеры — аналоговые
приборы, и, следовательно, не могут
быть повторно стандартизированы.
Квантовый код с исправлением ошибки
не может обнаружить или исправить
ошибку в квантовом состоянии, остава-
оставаясь внутри защищенного подпростран-
подпространства кода.
Высокоэффективный квантовый ком-
компьютер должен готовить и сохранять
скрещенные квантовые состояния, и
эти состояния очень чувствительны к
эффектам некогерентности.
Исправление ошибки само по себе тре-
требует комплексных вычислений, и тем
самым приводит к большему количест-
количество ошибок, чем устраняет!
Исправление квантовых ошибок замед-
замедляет работу компьютера.
Чтобы успешно использовать кванто-
квантовое исправление ошибок, необходим на-
намного больший квантовый компьютер.
Любой квантовый компьютер будет
страдать из-за «просачивания» — кван-
квантовая информация диффундирует из
той части гильбертова пространства,
на котором действует компьютер.
Через какое-то время произойдет на-
накопление систематических ошибок; ко-
коды с исправлением ошибок не справ-
справляются с систематическими ошибками
так же эффективно, как со случайны-
случайными ошибками.
Кодирование не защищает против силь-
сильнокоррелированных ошибок.
Ответы
Использованием квантовых кодов с ис-
исправлением ошибки и отказоустойчи-
отказоустойчивого исправления ошибок, мы можем
повторно стандартизировать закодиро-
закодированную квантовую информацию.
Если использовать надежные коды, та-
такие некорректируемые ошибки совер-
совершенно невозможны.
Отказоустойчивое исправление ошибок
защищает скрещенные кодируемые со-
состояния от эффектов некогерентности.
Если вероятность ошибки на гейт ниже
порога точности, то произвольно дли-
длительное вычисление может в принципе
быть выполнено с незначительной ве-
вероятностью ошибки.
С учетом сильной параллелизуемости
операций, замедление не должно при-
приводить к серьезным задержкам.
Число кубитов растет только полилога-
рифмически при увеличении размеров
вычислений, которые необходимы.
При соответствующем кодировании,
ошибки «просачивания» могут быть об-
обнаружены и исправлены.
В принципе, систематические ошибки
могут быть поняты и уничтожены.
Коррелированные ошибки могут быть
подавлены подходящей архитектурой
машины.
Дж. Прескилл
Таблица 1. (Продолжение)
Имеются внутренние ограничения на
точность квантовых гейтов. Исправле-
Исправление ошибок не будет работать для гей-
гейтов с возможной на сегодня точностью.
Возможны гейты, превышающие порог
точности даже внутри известных на
сегодня пределов. С подходящим обо-
оборудованием можно избежать даже этих
пределов.
Современная квантовая вычислитель-
вычислительная технология неточна, медленна, не
масштабируема и трудно параллелизу-
ема.
Несомненно, могут быть развиты более
быстрые гейты и новые способы для об-
обработки скрещенных состояний. Долж-
Должны приветствоваться новые идеи соз-
создания квантового оборудования!
В ближайшее времени эксперименты с
квантовыми компьютерами останутся
простыми демонстрациями. Они ниче-
ничему не научат нас.
Мы научимся работать с коррели-
коррелированной некогерентностью. Создание
приборов только с несколькими десят-
десятками кубитов уже нельзя легко промо-
промоделировать или предсказать.
Квантовые компьютеры будут слиш-
слишком дороги.
Но они оправдают свою цену, если бу-
будут найдены соответствующие широ-
широкие приложения.
Известных приложений квантовых
компьютеров очень мало.
Давайте думать о новых! Известный
квантовый алгоритм перебора базы
данных может доказать свою полез-
полезность.
5. Как мы его будем строить?
Совершенно ясно, что сейчас квантовое вычислительное оборудо-
оборудование находится в младенческом возрасте. Хотя то, что уже достиг-
достигнуто с использованием ионных ловушек (Monroe et a/., 1995), высоко-
высококачественных оптоволокон (Turchette et ah, 1995), и методов ядерного
магнитного резонанса (ЯМР) (Cory et ah, 1996; Gershenfeld & Chuang,
1997) достаточно интригующе и внушительно, но все эти технологии
имеют серьезные внутренние ограничения. Квантовое вычислительное
борудование будущего будет основано на каком-то другом, существен-
существенно отличном от современного оборудовании.
Например, скорость операций компьютера на ионной ловушке, со-
согласно схеме Цирака-Золлера (Cirac-Zoller, 1995) ограничена частота-
частотами колебательных мод в ловушке. В оригинальном NIST (Monroe et ah,
1995) эта частота равнялась приблизительно 10 МГц, но, скорее все-
всего, это порядок величины, и частота будет меньше в ловушке, кото-
которая содержит многозарядные ионы. ЯМР-устройства страдают из-за
Квантовые вычисления: за и против 89
кспоненциального ослабления сигнала по отношению к шуму по ме-
мере увеличения числа кубитов в машине. Из «современных» технологий
квантовых вычислений, возможно, лучший долговременный потенциал
имеет технология, основанная на КЭД (Cirac et a/., 1996). Будущее обо-
оборудование должно быть быстрым, масштабируемым и высоко паралле-
изуемым. Именно параллельные вычисления оказываются решающим
средством исправления ошибок. В дополнение к ошибкам, возникаю-
возникающим непосредственно при работе квантовых гейтов, необходимо побес-
побеспокоиться относительно ошибок хранения, которые влияют на «отдыха-
«отдыхающие» кубиты, не работающие в гейтах. Для контроля ошибок хранения
придется непрерывно делать исправления ошибок на отдыхающих ку-
итах, что неосуществимо в большом приборе, если много блоков кода
не могут быть исправлены одновременно. Даже если пренебречь проб-
емой ошибок хранения (а при соответствующим образом спроекти-
спроектированном оборудовании она не может быть серьезным ограничением),
параллельные операции весьма желательны для увеличения скорости
вычислений. Это особенно важно потому, что исправление квантовых
шибок существенно замедлит вычисления, если не окажется возмож-
возможным оперировать одновременно многими кубитами в одном и том же
локе кода.
Таким образом, для нашей машины будет существенным умение
распределить части сильно скрещенного состояния между различными
процессорами и воздействовать на эти части независимо. В машине,
использующей принцип ионной ловушки, например, имелись бы мно-
много ловушек, каждая из которых содержит многочисленные кубиты, и
машина должна быть способна переводить ионы от одной ловушки к
другой без изменения внутреннего атомного состояния. В случае ма-
машины, основанной на КЭД, перспективное предложение для распреде-
ения скрещенного состояния было сделано Цираком, Золлером, Кимб-
ом и Мабучи (Cirac, Zoller, Kimble, Mabuchi, 1997); в их схеме атомы
пойманы в многих полостях, и скрещенное состояние устанавливает-
устанавливается между атомами в различных полостях с помощью обмена фотонами
между полостями. Масштабируемость, очевидно, становится критичес-
критическим свойством, если мы, в конечном счете, надеемся построить маши-
машины, способные к хранению и управлению миллионами индивидуально
дресуемых кубитов. В долгосрочной перспективе это может быть не-
некоторое твердое тело или микроприбор, которые будут иметь наиболее
бещающие возможности необходимой масштабируемости. Мы должны
90 Дж. Прескилл
также подготовиться приспособить нашу парадигму квантовых вычис-
вычислений к новым технологическим возможностям. Например, как показал
Ллойд (Lloyd, 1993), молекулярная машина более подходит для исполь-
использования в качестве квантового клеточного автомата, чем цепи кванто-
квантовых гейтов, которые рассматривает большинство теоретиков.
С более широкой точки зрения, поскольку не существует кванто-
квантовых систем, которые хорошо защищены от некогерентности и поэтому
не могут эффективно моделироваться на классическом компьютере,
любая такая система может решать трудные вычислительные задачи.
Ааронов и Бен-Op (Aharonov & Ben-Or, 1996b) обнаружили, что по ме-
мере изменения величины некогерентности может происходить фазовый
переход1.
Очень шумная квантовая система ведет себя классически, и мо-
может эффективно моделироваться классической машиной Тьюринга, но
если величина некогерентности достаточна низка, может возникнуть
скрещенное квантовое состояние и никакое эффективное классическое
моделирование системы уже невозможно. В этом смысле, любая кван-
квантовая система с низкой величиной некогерентности позволяет делать
трудные «вычисления». Для теоретика, знакомого с критическими яв-
явлениями, естественно задаться вопросом относительно универсальных
характеристик этого фазового перехода — например, было бы инте-
интересно вычислить критические показатели степени, которые управля-
управляют масштабными свойствами перехода, поскольку они не зависели бы
от частного микроскопического гамильтониана рассматриваемой сис-
системы. Решение этой задачи могло бы привести к новой физической
реализации квантовых вычислений.
Разрыв между современным состоянием технологии квантовых
вычислений и тем, что может понадобиться в будущем, настолько ве-
велик, что легко может обескуражить. Но мы не должны принимать
справедливую критику существующей технологии как отрицательную
оценку окончательных перспектив. Скорее наоборот, в расчете на по-
потенциальные возможности квантового компьютера мы должны делать
более энергичные усилия для создания работоспособного оборудования.
1Это связано, фактически, с типом фазового перехода в диссипативных кванто-
квантовых системах, обсуждаемых некоторое время назад Леггеттом (Leggett et aL, 1987).
Квантовые вычисления: за и против 91
6. Квантовые вычисления в конце века
Квантовые вычисления могут оказаться технологией послезав-
послезавтрашнего дня. Но большинство из нас не настолько терпеливы. Что мы
можем и что должны делать завтра? Или сегодня?
Кажется вероятным, что первые эксперименты с квантовыми вы-
вычислениями, включающие в себя несколько квантовых гейтов, будут
использовать ЯМР-метод (Cory et a/., 1996; Gershenfeld & Chuang, 1997),
за ними вскоре последуют эксперименты с компьютерами на ионной
овушке (Cirac & Zoller, 1995).
Хотя по современным представлениям о соотношении между сиг-
сигналом и шумом сложность квантовых ЯМР-устройств будет, вероятно,
граничена 10 кубитами, эти пионерские эксперименты могут оказать-
оказаться поучительными. Но чтобы проявить свой потенциал, ЯМР-устройст-
ва, как и ионные ловушки, должны выйти за стадию простых демон-
демонстраций. Важная цель ЯМР-программы могла бы состоять в самом де-
детальном исследовании (в духе квантовой томографии) механизма раз-
разрушения когерентности ядерных спинов, особенно в количественном
писании многоспиновых корреляций. Было бы заманчиво превратить
ту программу в инструмент исследования молекулярной структуры. В
действительности квантовые вычисления с помощью ЯМР не являют-
являются новым явлением — уже несколько лет реализация квантовых цепей
сводилась к рутинной ЯМР-технике. Но парадигма квантовых вычисле-
вычислений получает мощную и систематическую поддержку в методах ЯМР,
и можно ожидать, что она явится толчком к появлению новых проектов
широкого предназначения.
С более широкой точки зрения, парадигма квантовых вычислений,
находящаяся на стадии становления, продолжит свое влияние на экс-
экспериментальную физику, предлагая новые виды измерений и экспери-
экспериментов. Эта тенденция уже очевидна в изучении некогерентности скре-
скрещенных состояний, представленном на этой встрече Харочем (Haroche,
1997; Brune et a/., 1996) и Вайнландом (Wineland et a/., 1997; Meekhof
et а/., 1996). Размышление в терминах матрицы квантовых гейтов рас-
расширяет наше понимание того, как могут управляться и контролиро-
контролироваться квантовые состояния (D'Helon & Milburn, 1997). Задолго до того,
как квантовые компьютеры появятся как коммерчески жизнеспособ-
жизнеспособные вычислительные устройства, они окажутся важным средством в
физических лабораториях. Я ожидаю, что по мере прогресса технологии
92 Дж. Прескилл
квантовых вычислений она будет использоваться при высокоточных ис-
исследованиях некогерентности в квантовых системах, и приобретенные
в этих исследованиях знания будут, в свою очередь, использованы в бо-
более сложных схемах исправления ошибок, которые помогут расширить
наши способности сопротивляться некогерентности и победить ее. Эта
программа будет основой союза между экспериментаторами и теоре-
теоретиками, который, как можно надеяться, будет очень продуктивным,
независимо от долгосрочного коммерческого потенциала квантовых вы-
вычислений.
Те, кто анализируют результаты предстоящих экспериментов по
многокубитовой некогерентности, будут стоять перед интересной ди-
дилеммой: некогерентность — это сложность. Общий супероператор
(сохраняющее след, полностью положительное линейное преобразова-
преобразование матрицы плотности), описывающий вычисление к кубитов, имеет
4к Dfe — l) реальных параметров; это уже 240 параметров только для
двух кубитов! Для такой организации данных, которая обеспечит по-
полезную и осмысленную их интерпретацию, нужны новые идеи.
Достижения на переднем крае экспериментальных квантовых вы-
вычислений должны сопровождаться параллельными достижениями в
численном моделировании (на классических компьютерах) квантовых
систем (Despain к Obenland, 1996, 1997; Miquel et a/., 1996, 1997;
Barenco et а/., 1996). Квантовые цепи являются сильно связанными сис-
системами, и их масштабные свойства не очевидны. В настоящее время
точное моделирование квантовых цепей ограничено скромным числом
кубитов и гейтов, а из-за неблагоприятного масштаба ресурсов, необ-
необходимых для квантового моделирования, эти ограничения трудно пре-
преодолеть. Чтобы перейти к большим компьютерам и более длинным вы-
вычислениям, нужны моделирующие устройства, позволяющие выбрать
упрощенную модель действия квантового прибора. Для проверки этих
упрощенных моделей можно сравнить их результаты, полученные для
меньших систем, где их можно сравнить с результатами более точного
моделирования. Даже при экспериментах с несколькими десятками ку-
кубитов всегда можно получить неожиданный результат, хотя частично
он возникает из-за трудностей моделирования1.
1 Одной из интересных задач и для моделирования, и для эксперимента является,
например, поведение кубитов в непосредственной близости друг к другу, например
поведение уловленных ионов на расстояниях, сравнимых с длиной волны видимого
света. В настоящее время совсем немного известно о том, как ведет себя такая
система.
Квантовые вычисления: за и против 93
Важно подчеркнуть, что в теоретической области получены непре-
непреходящие результаты. Установлена новая по сравнению с традиционной
теория классификация сложности, основанная на фундаментальных за-
законах физики. Работа над исправлением квантовых ошибок привела к
глубокому проникновению в природу некогерентности и пониманию
того, как можно управлять ею. Мой собственный взгляд состоит в том,
что развитие теории квантового исправления ошибок может в конечном
счете иметь более широкое и более глубокое применение, чем разви-
развитие квантовой теории сложности. Имеется много способов, которыми
работающие теоретики могли бы в ближайшее время продвинуться в
понимании современного состояния вопроса. Имеется краткий список
некоторых интересных открытых проблем, затронутых на этой конфе-
конференции1.
• Исследование и характеристика обобщений алгоритма Гровера пе-
перебора базы. (Какие классические алгоритмы допускают кванто-
квантовое ускорение типа у/Врёмя?)
• Поиск возможностей использования квантовых компьютеров для
квантового моделирования.
• Поиск квантовых алгоритмов для проблем, которые, по предпо-
предположению, находятся в классе NPI (типа проблемы изоморфизма
графов).
• Изучение приложений квантовых компьютеров к проблемам, на-
находящимся вне класса NP.
• Более глубокое понимание того, как работают алгоритмы кван-
квантовых вычислений. (Это проникновение может осветить путь к
новым алгоритмам.)
• Установить универсальные свойства «фазового перехода» между
квантовыми и классическими устройствами.
1 Имеется ряд актуальных теоретических проблем, касающихся квантовой ин-
информации, которые не включены в список, потому что они не являются действи-
действительно существенными для квантовых вычислений. Среди них особенно известна
проблема пропускной способности зашумлённых квантовых каналов для пересылки
квантовой или классической информации (Lloyd, 1996; Bennett et al., 1996; Shor &
Smolin, 1996; Schumacher & Nielsen, 1996; Barnum et al., 1997; Bennett et al., 1997b;
Holevo, 1996; Fuchs, 1997).
94 Дж. Прескилл
• Характеристика общих внутренних пределов точности и скорости
квантовых гейтов.
• Адаптация методов отказоустойчивых вычислений к более общим
моделям ошибки и к реалистическим устройствам.
• Поиск более эффективных способов исправления ошибок и отка-
отказоустойчивых квантовых гейтов (которые могли бы ослабить тре-
требования на необходимую точность для безопасных вычислений).
• Поиск более широкой реализации исправления квантовых ошибок
(вне абстрактной квантовой модели сетей).
• Создание новых способов использования квантовых вычислений
для измерения интересных наблюдаемых величин, неизмеримых
другим способом.
• Поиск новых (коммерческих?) приложений мелкомасштабных
квантовых компьютеров.
• Расширение моделирования квантовых компьютеров на большие
устройства и более длинные вычисления, используя проверенные
упрощенные модели.
• Формулировка конкретной программы применения квантовых
вычислений на ЯМР и ионной ловушке по изучению многокуби-
товой некогерентности.
• Поиск новых способов организации и интерпретации эксперимен-
экспериментальных данных, имеющих отношение к многокубитовой некоге-
некогерентности.
• Придумать хорошие вопросы, которых нет в этом списке.
Этот список вопросов напоминает нам, что развитие квантовых
вычислений требует усилий многих людей, обладающих опытом в ши-
широком многообразии дисциплин, включая математику, информатику
и теорию информации, теоретическую и экспериментальную физику,
химию и инженерные знания. Этот междисциплинарный характер —
дин из наиболее волнующих и привлекательных аспектов квантовых
вычислений.
Литература 95
Серж Хароч, один из лидеров в экспериментальных квантовых
вычислениях, продолжает высмеивать появление реальных квантовых
компьютеров как невозможную мечту, которая может осуществляться
только в том случае, если произойдет неожиданная революция в физике
(Haroche, 1997). Каждый на этой встрече хорошо знает, что построение
квантового компьютера является огромным техническим вызовом, и
возможно, что его неосуществимость будет в конце концов доказана.
Несомненно, скептицизм здесь приемлем. Но по мне, квантовые вычис-
ения — не невозможная мечта; это реальная мечта. Это мечта, которая
может быть осуществлена без нарушения законов физики, как понято
в настоящее время. Это мечта, которая может стимулировать чрезвы-
чрезвычайно производительное сотрудничество экспериментаторов и теорети-
теоретиков, пытающихся глубоко понять природу некогерентности. Это мечта,
которой добиваются ученые, которые хотят без предубеждений иссле-
исследовать возможности очаровательной и мощной новой идеи. Это мечта,
которая может изменить мир. Так что позвольте нам мечтать.
Эта работа была поддержана частично Министерством энергети-
энергетики по гранту №DE-FG03-92-ER40701 и Управлением перспективных
исследований Министерства обороны США по гранту №DAAH04-96-l-
0386 под руководством Армейского исследовательского управления. Я
лагодарю Дэвида ДиВинченцо и Войцеха Зурека за организацию этой
стимулирующей встречи и за предоставление возможности выразить
мою точку зрения. На мои мысли относительно квантовых вычисле-
вычислений повлияли обсуждения с многими людьми, включая Дейва Бекмана,
Альи Дисрейна, Эдди Фархи, Джефа Кимбла, Алексея Китаева, Манни
Книлла, Раймонда Лафламма, Сета Ллойда, Питера Шора. Я особенно
лагодарен Джиллю Брассарду, Ике Хуангу, Дэвиду ДиВинченцо, Кри-
Крису Фучсу, Рольфу Ландауэру, Хидео Мабучи, Мартину Пленио, Дейву
Винеланду, и Кристофу Залке за полезные замечания в процессе под-
подготовки рукописи. Я хочу особенно поблагодарить Майкла Ниелсена за
многие конкретные предложения и Дэниела Готтесмана за многочис-
енные обсуждения всех аспектов квантовых вычислений.
Литература
[1] D.S. Abrams, S.Lloyd. Simulation of many-body fermi systems on a
universal quantum computer. (Online preprint quant-ph/9703054.),
1997.
96 Литература
[2] D.Aharonov, M.Ben-Or 1996a. Fault tolerant quantum computation
with constant error. (Online preprint quant-ph/9611025.)
[3] D.Aharonov, M.Ben-Or 1996b. Polynomial simulations of decohered
quantum computers. (Online preprint quant-ph/9611029.)
[4] A.Barenco, T. A. Brim, R. Schack, T.Spiller 1996. Effects of noise
on quantum error correction algorithms. (Online preprint quant-
ph/9612047.)
[5] H. Barnum, M.A.Nielsen, B.Schumacher 1997. Information
transmission through a noisy quantum channel. (Online preprint
quant-ph/9702049.)
[6] P. Benioff 1982. Quantum mechanical models of Turing machines that
dissipate no energy. Phys. Rev. Lett. 48, 1581.
[7] C.B.Bennett, E.Bernstein, G.Brassard, U.Vazirani 1997a. Strengths
and weaknesses of quantum computing. (Online preprint quant-
ph/9701001.)
[8] С. Н. Bennett, G. Brassard 1984. In Proceedings of IEEE International
Conference on Computers, Systems, and Signal Processing. Bangalore,
India. New York: IEEE, p. 175.
[9] C.Bennett, D.DiVincenzo, J. Smolin, W. Wootters 1996. Mixed state
entanglement and quantum error correction. Phys. Rev. A 54, 3824.
[10] C.H.Bennett, D.P. DiVincenzo, J. A. Smolin 1997b. Capacities of
quantum erasure channels. (Online preprint quant-ph/9701015).
[11] E.Bernstein, U.Vazirani 1993. Quantum complexity theory. In
Proceedings of the 25th ACM Symposium on the Theory of
Computation. New York: ACM Press, pp. 11-20.
[12] В. М. Boghosian, W. Taylor 1997. Simulating quantum mechanics on a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9701019.)
[13] J. J. Bollinger, W. M. Itano, D. J. Wineland, D. J. Heinzen 1997. Optical
frequency measurements with maximally correlated states. Phys. Rev.
A 54, R4649.
Литература 97
[14] V. В. Braginsky, F. Ya. Khalili, M. V. Sazhin 1995. Decoherence in e. m.
vacuum. Phys. Lett. A 208, 177.
[15] M.Brune, E. Hagley, J.Dreyer, X. Maitre, A. Maali, C.Wunerlich,
J. M. Raimond, S. Haroche 1996. Observing the progressive decoherence
of the meter in a quantum measurement. Phys. Rev. Lett. 77, 4887.
[16] A. R. Calderbank, P. W. Shor 1996. Good quantum error-correcting
codes exist. Phys. Rev. A 54, 1098.
[17] J.I. Cirac, P. Zoller 1995. Quantum computations with cold trapped
ions. Phys. Rev. Lett. 74, 4091.
[18] J.I. Cirac, Pellizzari, P. Zoller 1996. Enforcing coherent evolution in
dissipative quantum dynamics. Science 273, 1207.
[19] J.I. Cirac, P. Zoller, H. J.Kimble, H. Mabuchi 1997. Quantum state
transfer and entanglement distribution among distant nodes in a
quantum network. Phys. Rev. Lett. 78, 3221.
[20] D. G. Cory, A. F. Fahmy, T. F. Havel 1996. Nuclear magnetic resonance
spectroscopy: an experimentally accesible paradigm for quantum
computing. In Proceedings of the 4th Workshop on Physics and
Computation, Boston: New England Complex Systems Institute.
[21] D.Deutsch 1985. Quantum theory, the Church-Turing principle and
the universal quantum computer. Proc. Roy. Soc. Lond. A 400, 96.
[22] C.D'Helon, G.J.Milburn 1997. Quantum measurements with a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9705014.)
[23] D.DiVincenzo, P. Shor 1996. Fault-tolerant error correction with
efficient quantum codes. Phys. Rev. Lett. 77, 3260.
[24] R. P. Feynman 1982. Simulating physics with computers. Int. J. Theor.
Phys. 21, 467.
[25] C.Fuchs 1997. Nonorthogonal quantum states maximize classical
information capacity. (Online preprint quant-ph/9703043.)
[26] M. R. Garey, D. S. Johnson 1979. Computers and intractability: a guide
to the theory of NP-completeness. New York: W. H. Freeman and Co.
98 Литература
[27] A. Garg 1996. Decoherence in ion-trap quantum computers. Czech. J.
Phys. 46, 2375.
[28] N. Gershenfeld, I. Chuang 1997. Bulk spin resonance quantum
computation. Science 275, 350.
[29] D.Gottesman, J.Evslin, S.Kakade, J.Preskill 1996, to be published.
[30] D.Gottesman 1997. A theory of fault-tolerant quantum computation.
(Online preprint quant-ph/9702029.)
[31] M. Grassl, Th. Beth, T. Pellizzari 1996. Codes for the quantum erasure
channel. (Online preprint quant-ph/9610042.)
[32] L. K. Grover 1996. A fast quantum mechanical algorithm for
database search. Proceedings, 28th ACM Symposium on Theory of
Computation, 212.
[33] S. Haroche 1997, these proceedings.
[34] S. Haroche, J. M. Raimond 1996. Quantum computing: dream or
nightmare? Phys. Today 49 (8), 51.
[35] S.F.Huelga, C.Macchiavello, T. Pellizzari, A.K.Ekert, M.B.Plenio,
J.I. Cirac 1997. On the improvement of frequency standards with
quantum entanglement. (Online preprint quant-ph/9707014.)
[36] A. S. Holevo 1996. The capacity of quantum channel with general signal
states. (Online preprint quant-ph/9611023.)
[37] A. Yu. Kitaev 1996a. Quantum error correction with imperfect gates,
preprint.
[38] A. Yu. Kitaev 1996b. Quantum computing: algorithms and error
correction, preprint (in Russian).
[39] A. Yu. Kitaev 1997. Fault-tolerant quantum computation by anyons, to
be published.
[40] E. Knill, R. Laflamme 1996. Concatenated quantum codes. (Online
preprint quant-ph/9608012.)
[41] E. Knill, R. Laflamme, W. Zurek 1996. Accuracy threshold for quantum
computation. (Online preprint quant-ph/9610011.)
Литература 99
[42] Е. Knill, R. Laflamme, W. Zurek 1997. Resilient quantum computation:
error models and thresholds. (Online preprint quant-ph/9702058.)
[43] R. Laflamme, C.Miquel, J.P. Paz, W. Zurek 1996. Pefect quantum
error correction code. Phys. Rev. Lett. 77, 198.
[44] R. Landauer 1995. Is quantum mechanics useful? Phil. Tran. R. Soc.
Lond. 353, 367.
[45] R. Landauer 1996. The physical nature of information. Phys. Lett. A
217, 188.
[46] R. Landauer 1997. Is quantum mechanically coherent computation
useful? In Proc. Drexel-4 Symposium on Quantum Nonintegrability-
Quantum-Classical Correspondence, Philadelphia, PA, 8 September
1994 (ed. D.H.Feng and B.-L.Hu), Boston: International Press.
[47] A.J.Leggett, S. Chakravarty, A.T.Dorsey, M. P. A. Fisher, A. Garg,
W. Zwerger 1987. Dynamics of the dissipative two-state system. Rev.
Mod. Phys. 59, 1.
[48] D.A.Lidar, O.Biham 1996. Simulating Ising spin glasses on a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9611038.)
[49] S. Lloyd 1993. A potentially realizable quantum computer. Science 261,
1569.
[50] S. Lloyd 1996. Universal quantum simulators. Science 273, 1073.
[51] S. Lloyd 1997. The capacity of a noisy quantum channel. Phys. Rev. A
55, 1613.
[52] H. Mabuchi and P. Zoller 1996. Inversion of quantum jumps in
quantum-optical systems under continuous observation. Phys. Rev.
Lett. 76, 3108.
[53] D.M.Meekhof, C.Monroe, B.E.King, W.M.Itano, D.J.Wineland
1996. Generation of nonclassical motional states of a trapped atom.
Phys. Rev. Lett. 76, 1796.
[54] D.A.Meyer 1996. Quantum mechanics of lattice gas automata I:
one particle plane waves and potentials. (Online preprint quant-
ph/9611005.)
00 Литература
[55] C.Miquel, J.P. Paz, R. Perazzo 1996. Factoring in a dissipative
quantum computer. Phys. Rev. A 54, 2605.
[56] Q. A. Turchette, С J. Hood, W. Lange, H. Mabuchi, H. J. Kimble 1995.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic. Phys. Rev.
Lett. 75, 4710.
[57] W. G. Unruh 1995. Maintaining coherence in quantum computers.
Phys. Rev. A 51, 992.
[58] S. J. Van Enk, J. I. Cirac, P. Zoller 1997. Quantum communication over
noisy channels: a quantum optical implementation. (Online preprint
quant-ph/9702036.)
[59] S. Wiesner 1996. Simulations of many-body quantum systems by a
quantum computer. (Online preprint quant-ph/9603028.)
[60] D.J.Wineland, C.Monroe, D.M.Meekhof, B.E.King, D.Liebfried,
W. M.Itano, J. C.Bergquist, D.Berkeland, J. J. Bollinger, J. Miller
1997. Quantum state manipulation of trapped atomic ions. (Online
preprint quant-ph/9705022.)
[61] W. K. Wootters, W. H. Zurek 1982. A single quantum cannot be cloned.
Nature 299, 802.
[62] C. Zalka 1996a. Efficient simulation of quantum systems by quantum
computers. (Online preprint quant-ph/9603026.)
[63] C. Zalka 1996b. Threshold estimate for fault tolerant quantum
computing. (Online preprint quant-ph/9612028.)
Квантовая механика помогает найти
иголку в стоге сена
Лов К. Гровер
(LovK. GroverI
Квантовая механика дает возможность ускорить процесс
поиска среди неупорядоченных данных. Например, предста-
представим себе телефонную книгу, в которой содержится N фами-
фамилий, расположенных совершенно произвольным образом. Что-
Чтобы найти чей-либо телефон с вероятностью большей чем 50%,
любой классический алгоритм (как детерминистический, так
и вероятностный) потребует обращения к базе данных как
минимум O.57V раз. Квантово-механическая система может
находиться в суперпозиции состояний и одновременно прове-
проверять множество имен. При надлежащем задании программы
поиска вычисления искомого состояния на каждом этапе уси-
усиливают друг друга, в то время как остальные интерферируют
случайным образом. В результате нужный телефонный номер
может быть найден лишь за O(V~N) обращений к базе данных.
1. Введение
В 1994 году Шор открыл квантовый алгоритм факторизации, ско-
скорость которого экспоненциально велика по сравнению со скоростью
известных классических алгоритмов [1]. В данной статье представлен
квантовый алгоритм поиска, который работает всего лишь полиноми-
полиномиально быстрее, чем любой классический алгоритм; однако это не связа-
связано с тем, что он наталкивается на недоказанные трудности проблемы
факторизации. Задача поиска состоит в следующем: имеется неупоря-
неупорядоченная база данных, состоящая из N элементов, из которых лишь
1ЗС-404А Bell Labs, 600 Mountain Avenue, Murray Hill NJ 07974.
E-mail: lkgrover@bell-labs.com
© Phys. Rev. Lett., 79B), 325-328 A997).
Перевод О. Д. Тимофеевской.
102 Л. К. Гровер
дин удовлетворяет данным условиям — именно этот элемент нужно
найти. Если элемент можно осмотреть, то определение того, удовле-
удовлетворяет он требуемым условиям или нет, осуществляется за один шаг.
Однако база данных такова, что в ней не существует какого-либо упо-
упорядочения, которое могло бы помочь выбору элемента. Наиболее эф-
эффективный классический алгоритм для этой задачи состоит в проверке
лементов из базы данных одного за другим. Если элемент удовлетво-
удовлетворяет требуемым условиям, поиск окончен, если нет, то данный элемент
ткладывается так, так чтобы он вновь не подвергался проверке. Оче-
Очевидно, что в этом алгоритме требуется проверить в среднем — элемен-
тов прежде, чем будет найден нужный.
В квантово-механической системе можно произвести свободное от
взаимодействия измерение методом, использующим дуальные свойст-
свойства фотонов [2]. В этом методе можно определить присутствие (или от-
отсутствие) объекта, допуская очень малую вероятность взаимодействия
фотона с объектом. Следовательно, более вероятно, что фотон не будет
взаимодействовать, однако даже возможности взаимодействия с малой
вероятностью оказывается достаточно, чтобы произвести измерение.
Таким образом, в задаче поиска также возможно обнаружить объект
ез обследования всех объектов, если лишь допустима определенная
вероятность подвергнуть проверке нужный объект.
Данная работа показывает, что, используя то же самое оборудова-
оборудование, как в классическом случае, но задавая вход и выход в виде суперпо-
суперпозиции состояний, можно найти объект за O(\fN) квантовомеханических
шагов вместо O(N) классических шагов. Каждый квантовомеханичес-
кий шаг состоит из элементарной унитарной операции (их мы обсудим
в следующем параграфе).
1.1. Квантово-механический алгоритм
В квантовом компьютере логические схемы и временные шаги
существенно классические, только биты памяти, которые хранят пе-
переменные, находятся в состояниях квантовой суперпозиции (смотри-
(смотрите [1] и [3] для более полного ознакомления с квантовыми компьютера-
компьютерами). Квантово-механические операции, которые могут быть проведены
контролируемым путем, — это унитарные операции, действующие на
каждом шаге на малое число битов. Квантовый алгоритм поиска, описы-
описываемый в этой статье, есть результат действия таких унитарных преоб-
Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена 103
разований на чистое состояние, которое можно определить с помощью
процедуры измерения. Нам необходимы следующие три элементарные
перации. Первая — это приготовление состояния, в котором система
находится с равной вероятностью в любом из ее N базисных состоя-
состояний; вторая — это преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamard)
и третья — выборочный поворот фаз состояний.
Основной операцией для квантовых вычислений является опера-
операция М, действующая на один бит, которая представляется следующей
матрицей:
т. е. бит в состоянии 0 превращается в суперпозицию двух состоя-
состояний: A/д/2, 1/д/2). Аналогично, бит в состоянии 1 трансформируется в
A/л/2, — 1/л/2), т. е. величина амплитуды для каждого состояния рав-
равна 1/л/2, но фаза в состоянии 1 перевернута. Фаза не имеет аналога в
классических вероятностных алгоритмах. Она возникает в квантовой
механике, где амплитуда вероятности комплексна. В системе, в кото-
которой состояние описывается п битами (т. е. имеется N = 2п возможных
состояний), мы можем осуществить преобразование М на каждом би-
бите независимо, последовательно изменяя состояние системы. Матрица
перехода, представляющая этот оператор, будет матрицей размернос-
размерности 2пх2п . В случае, когда начальная конфигурация представляла собой
конфигурацию с п битами в первом состоянии, полученная конфигура-
конфигурация будет иметь равные амплитуды 2~п12 для каждого из 2п состояний.
Это и есть способ создания суперпозиции с той же самой амплитудой
для всех 2п состояний.
Теперь рассмотрим случай, когда начальное состояние — это не-
некоторое другое из 2п возможных состояний, т. е. состояние, описывае-
описываемое n-битной бинарной строкой, в которой есть как нули, так и едини-
единицы. Результат применения преобразования М к каждому такому биту
дает суперпозицию состояний, описывающую все возможные п битов
инарной строки с амплитудами для каждого состояния по величине
равными 2~п12 и со знаком + или —. Чтобы определить знак, заметим,
что из определения матрицы М, т.е.
фаза результирующей конфигурации изменяется, когда бит, который
104 Л. К. Гровер
был первоначально в состоянии 1, остается в состоянии 1 после про-
проведенного преобразования. Следовательно, если х будет n-битной би-
бинарной строкой, описывающей начальное состояние, и у — п-битной
бинарной строкой, описывающей результирующее состояние, то знак
амплитуды определяется четностью поразрядного произведения х и у,
т. е. (—)(х'п\ Мы получили преобразование Уолша-Адамара [4]. Эта опе-
операция (или тесно связанная с ней операция преобразования Фурье) —
одна из тех вещей, которые делают квантовые алгоритмы более мощны-
мощными, чем классические, и образуют основу наиболее важных квантово-
механических алгоритмов.
Третье преобразование, которое нам понадобится, — это выбороч-
выборочное вращение фазы амплитуды в определенных состояниях. Преобра-
Преобразование, представленное здесь для системы из двух состояний, имеет
форму:
езФг о
0
где j = д/^Т и 0i, 02 — произвольные действительные числа. Заметим,
что в отличие от преобразования Уолша Адамара и других матриц пре-
преобразования состояний, вероятность каждого состояния остается той
же, т. к. квадрат абсолютной величины амплитуды в каждом состоя-
состоянии остается прежним.
2. Задача в абстрактной форме
Пусть система имеет N = 2п состояний, которые обозначаются
как Si,... ,Sn- Эти 2п состояния представляются как n-битные стро-
строки. Пусть существует единственное состояние, скажем Sv, которое
довлетворяет условию C{SV) = 1, тогда как для всех других состо-
состояний 5, C(S) = 0 (предполагается, что для любого состояния S усло-
условие C(S) оценивается за единицу времени). Задача состоит в распозна-
распознании состояния Sv.
Такая задача может быть представлена как задача поиска в ба-
базе данных, где функция C(S) определена содержанием ячейки памяти,
соответствующей состоянию S (как обсуждалось в резюме). Альтерна-
Альтернативно, она может представлять задачу, когда значение функции C(S)
оценивается компьютером. Различные важные задачи вычислительной
техники могут быть представлены в такой форме [3, 5, 9].
Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена 105
3. Алгоритм
Шаги (i) и (ii) являются последовательностью элементарных уни-
арных операций описанного в параграфе 1.1 типа. Шаг (ш) есть завер-
завершающее измерение, осуществляемое внешней системой.
(i) Приводим систему в состояние суперпозиции:
A/y/N, 1/y/N, 1/y/N,... , 1/y/N)
с одинаковыми амплитудами для каждого из N состояний. Эта
суперпозиция может быть получена за O(logTV) шагов, как об-
обсуждалось в разделе 1.1.
(ii) Повторим следующую унитарную операцию O(y/N) раз (в рабо-
работе [5] показывается, что точное число повторений существенно):
a. Пусть система будет в каком-нибудь состоянии S:
В случае C(S) = 1, повернуть фазу на тг радиан;
В случае C(S) = 0, оставить систему неизмененной.
b. Применить преобразование диффузии D, которое определя-
определяется матрицей D следующим образом: D{j = 2/7V, если г ф j
и Da = — 1 + 2/TV. (D может быть реализована как произве-
произведение 3 элементарных матриц, как обсуждается в разделе 5).
(ш) Произвести измерение полученного состоянии. Это состояние бу-
будет состоянием Sv (т. е. искомым состоянием, удовлетворяющим
условию C{SV) = 1) с вероятностью, по крайней мере, не мень-
меньшей, чем 0.5. Заметим, что шаг (ii)a — это фазовое вращения того
типа, что обсуждается в последнем абзаце раздела 1.1. В его реали-
реализацию должна быть включена процедура распознания состояния
и последующего определения — осуществлять или нет поворот
фазы. Она должна проводиться таким образом, чтобы не остав-
оставлять следа на состоянии системы, так, чтобы была уверенность,
что пути, приводящие к тому же самому конечному состоянию,
неразличимы и могут интерферировать. В работе [5] предложен
способ реализации этого за один квантовый шаг. Заметим, что эта
процедура не включает классического измерения.
106 Л. К. Гровер
4. Сходимость
Цикл шага (ii) — суть алгоритма. Каждая итерация этого цикла
величивает амплитуду искомого состояния на O(l/y/N). В результа-
результате за O(VN) повторений цикла амплитуда, а следовательно, и веро-
вероятность оказаться в желаемом состоянии достигнет величины 0A).
Чтобы увидеть, что амплитуда увеличивается на OA/VN) при каж-
каждом повторении цикла, мы, во-первых, покажем, что преобразование
диффузии D, можно интерпретировать как операцию инверсии отно-
относительно среднего. Обычная инверсия — это операция поворота фазы
и, как обсуждалось в последнем абзаце 1.1, она унитарна. Сейчас будет
показано, что операция инверсии относительно среднего (точно опреде-
определенная ниже) — также унитарная операция и эквивалентна преобразо-
преобразованию диффузии D, используемому на шаге (ii)a алгоритма.
Пусть а обозначает усредненную по всем состояниям амплиту-
амплитуду, т. е. если щ — это амплитуда г-го состояния, то среднее есть
N
A/N) ^2 аг- В результате преобразования D амплитуда в каждом со-
г=1
стоянии увеличивается (уменьшается) таким образом, что после этой
операции она настолько ниже (выше) с^, насколько она была выше (ни-
(ниже) до нее.
Преобразование диффузии D определяется следующим образом:
Da = 2/TV если гф j и Вп = -1 + 2/N. D.0)
Заметим, что 1} можно представить
среЭнееГа; в форМе В = -I + 2Р, где /
¦д g—~jc д " тождественная матрица и Р — про-
(до) екционная матрица с Р^ = 1/N для
всех г и j. Легко проверить, что Р об-
г я / \ ладает такими свойствами: во-первых,
Т >. Р = Р, и, кроме того, Р, действуя
А \В С D -, „
I на любой вектор v, дает вектор, каж-
дая составляющая которого равна сред-
Рис. 1. Инверсия относительно нему по всем составляющим. Используя
среднего. тот факт, что Р2 = Р, из представле-
представления В = —/ + 2Р немедленно получаем,
что В2 = / и, следовательно, преобразование В унитарно. Чтобы по-
показать, что В — это инверсия относительно среднего, посмотрим, что
Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена
107
случится, когда D действует на произвольный вектор v. Представляя D
как —/+2Р, получаем, что Dv = (—I+2P)v = —v-\-2Pv. Как установле-
установлено выше, каждая составляющая вектора Pv есть А, где А есть среднее
по всем составляющим вектора v. Следовательно, г-ая составляющая
вектора Dv равна {—щ + 2А), что можно записать как (А + (А — щ)),
что в точности есть инверсия относительно среднего.
Далее рассмотрим ситуацию на рис. 2, когда эта операция приме-
применяется к вектору со всеми составляющими, кроме одной, имеющими
мплитуду равную C/y/N, где С лежит между г/2 и 1, а одна составля-
составляющая равна —у/1 — С2.
Среднее А всех составляющих при-
лизительно равно C/y/~N. Так как каж- ....... (г^еднее
дая из (N — 1) составляющих приблизи- -J—'—'—'—i—'—'—'L
I
(до)
Г TIT till
Среднее
(после)
тельно равна среднему, они не изменяют-
ся существенно в результате инверсии от-
относительно среднего. Одна составляющая,
которая была отрицательной, теперь ста-
а положительной, и ее величина возросла
на 2C/VN.
В цикле шага (ii) параграфа 3, во- Рис' 2' Операция инверсии
первых, амплитуда выбранного состоя-
состояния обращается (это фазовое вращение
и, следовательно, правильная квантово-
относительно среднего при-
применяется к суперпозиции,
где все, кроме одной, компо-
компоненты первоначально равны
механическая операция, как обсуждалось и имеют величину OA/VN).
в последнем абзаце параграфа 1.1). Потом
проводится операция инверсии относительно среднего. Это увеличива-
т амплитуду избранного состояния при каждой итерации на 2C/vN.
Следовательно, пока амплитуда единственного состояния, т. е. л/1 — С2,
меньше чем 1/л/2, увеличение в ее величине больше, чем 1/V2N. От-
Отсюда немедленно следует, что существует число М меньшее, чем л/iV,
такое, что за М повторений цикла на этапе (ii) величина амплитуды
тыскиваемого состояния будет превосходить 1/л/2. Следовательно, ес-
и теперь производить измерение состояния системы, она будет нахо-
находиться в желаемом состоянии с вероятностью большей, чем 0.5.
108 Л. К. Гровер
5. Реализация
Как упоминалось в параграфе 1.1, квантово-механические опера-
операции, которые могут быть реализованы в терминах унитарных опера-
операций, — это локальные матрицы переходов, т. е. матрицы, в которых
только постоянное число элементов в каждом столбце не равно нулю.
Преобразование диффузии D, определенное на этапе (ii)b алгоритма
то: Dij = 2/TV, если i ф j, и Da = — 1 + 2/7V. D, как представлено выше,
не есть локальная матрица перехода, т. к. здесь осуществляется переход
из каждого состояния во все N состояний. Используя преобразование
олша-Адамара (см. 1.1), D можно представить как произведение трех
окальных унитарных преобразований D = WRW, где R — матрица
фазового поворота и W — матрица преобразования Уолша-Адамара,
пределенные как Rij = 0, если i ф j; Ru = 1, если г = 0; Ru = — 1,
ели г ф 0. Wij = 2~n/2(—1)(*'J), г — это бинарное представление г, и i-j
пределяет поразрядное произведение двух n-битных строк г и j.
Каждая из матриц W и R — это локальная матрица перехода. R,
пределенная выше, — это фазовый поворот и ясно, что она локальна.
W, как она реализована в 1.1, — это локальная матрица перехода на
каждом бите.
Вычислим WRW и убедимся, что это действительно D. R мо-
моет быть записана в виде R = Ri + R2, где Ri = I, I — тождест-
тождественная матрица, и i^2,oo = 2, R2,ij = 0, если i ф 0, j ф 0. Заме-
Замечая, что ММ = /, где М — это матрица, определенная в 1.1, легко
доказать, что WW = / и, следовательно, D\ = WR\W = —/. Вы-
Вычислим теперь D2 = WR2W. Из стандартного матричного произведе-
произведения имеем: D2^ad = ^2 WabR2,bcWcd. Из определения R2 и того факта,
6,с
что N = 2", следует, что D2M = 2WaOWod = B/2ra)(-l)(a-°+0^ = 2/N.
Т. e. D2 равна 2/7V, и сумма двух матриц D\ и D2 дает D.
Квантовый алгоритм поиска этой статьи, вероятно, будет проще
реализовать по сравнению с многими другими известными квантовоме-
ханическими алгоритмами, так как необходимые операции — это толь-
только преобразование Уолша-Адамара и операция условного сдвига фазы,
каждая из которых относительно проста по сравнению с операциями,
используемыми другими квантово-механическими алгоритмами [6]. К
тому же квантовые алгоритмы, основанные на преобразовании Уолша-
Адамара (например, алгоритм поиска этой статьи, [4, 7, 8]), вероятно,
Литература 109
много проще в реализации, чем те, что основываются на «большом пре-
преобразовании Фурье» [1, 6].
Приношу благодарности П. Шору, Е. Берстейну, Д. Брассарду,
Н. Марголюсу и Д. Прескилу за полезные комментарии.
Литература
[1] P.W.Shor. Proc, Foes 1994, p. 124-134.
[2] A. Elitzur & L. Vaidman. Foundations of Physics 23, 1993, pp. 987-
997.
[3] L.K.Grover. Proc, STOC, 1996, pp. 212-218.
[4] D.Deutsch and R. Jozsa. Proc. Royal. Society of London, A400, 1992,
pp. 73-90.
[5] M.Boyer, G. Brassard, P. Hoyer & A. Tapp. Tight bound on quantum
searching. Proc, PhysComp 1996 (lanl e-print quant-ph/9605034).
[6] D. Beckman, A. N. Chari, S. Devabhaktumi & J. Preskill. Phys. Rev. A
54 A996), 1034-1063.
[7] L. K. Grover. A fast quantum mechanical algorithm for estimating the
median, lanl e-print quant-ph/9607024.
[8] C.Durr & P. Hoyer. A quantum algorithm for finding the minimum,
lanl preprint, quant-ph/9602016.
[9] G. Brassard. Seaching a quantum phone book, Science, Jan. 31, 1997,
627-628.
Польза суперпозиции
Лов К. Гровер
(LovK. GroverI
Хотя транзисторные компьютеры подчиняются квантовой механи-
механике, их логические состояния — это только 1 и 0. Однако, если разрешить
квантовую суперпозицию состояний логических элементов, становятся
возможными быстрые решения некоторых трудных задач. Один такой
пример — поиск полным перебором: нужно опознать элемент, обладаю-
обладающий некоторым специфическим свойством, из неупорядоченного списка
из N элементов. Как только элемент проверяется, легко сказать, облада-
обладает он или нет этим свойством. Однако список не имеет никакой извест-
известной структуры, по которой можно бы было предвидеть, какой из эле-
элементов обладает этим свойством с большей вероятностью. При таких
условиях любому классическому алгоритму, как вероятностному, так
и детерминистическому, потребуется проверить по крайней мере O.57V
элементов, чтобы добиться успеха с вероятностью 0.5. Квантовые ком-
компьютеры могут находиться в суперпозиции состояний и одновременно
экзаменовать множество элементов; значит, имеется возможность ис-
искать быстрее, чем с классическими компьютерами. Не так давно было
показано, что квантовый компьютер может осуществить поиск в спис-
списке меньше, чем за y/~N шагов [1]. Этот результат вызвал значитель-
значительный интерес, так как именно полным перебором решаются некоторые
важные задачи [2]. Недавно быстрый квантовый алгоритм поиска был
осуществлен на молекулах жидкости с помощью ядерного магнитного
резонанса [3]; смотрите также комментарий Джонса в статье [4].
Квантовый алгоритм поиска начинается с перевода состояния сис-
системы в суперпозицию N состояний, соответствующих всем N элемен-
элементам, среди которых производится поиск. После этого можно проверять
все N элементов одновременно. Однако, если запрограммировать не-
немедленный вывод проверенного элемента, правильный элемент будет
1Bell Labs, Lucent Technologies, Murray Hill, №107974, USA.
E-mail: lkgrover@bell-labs.com.
Перевод О. Д. Тимофеевской.
Польза суперпозиции 111
До После
Рис. 1. Расщепление личности. Квантово-механические системы могут
одновременно находиться во множестве состояний и производить множес-
множество вычислений. Алгоритм квантового поиска увеличивает вероятность в
желаемом состоянии посредством последовательности простых унитарных
операций.
выведен только с вероятностью 1/iV, так как только один из N прове-
проверяемых элементов удовлетворяет нужному свойству. Если вместо этого
провести серию квантовых операций, можно будет увеличить вероят-
вероятность желаемого элемента за счет других состояний. После этого нуж-
нужный элемент на самом деле будет выведен с высокой вероятностью.
Квантовая система определяется заданием амплитуды каждого со-
состоянии, которая в общем случае есть комплексное число, и вероят-
вероятность каждого состояния — это квадрат абсолютной величины этой
амплитуды. В точности так же, как классические вероятностные про-
процессы, квантовые операции должны следовать своему собственному за-
закону сохранения, который приводит к ограничению, что все квантовые
операции должны быть унитарны; то есть они должны быть жестки-
жесткими вращениями амплитуд вектора состояния в TV-мерном пространст-
пространстве состояний. Это приводит к волновому поведению частиц на мик-
микроскопическом уровне. Среди многих квантовых преобразований есть
две элементарные квантовые операции — это квантовая диффузия и
фазовые вращения. Фактически, квантовый алгоритм поиска состоит
из чередующейся последовательности операций квантовой диффузии и
квантовых вращений.
Квантовая диффузия подобна классической, кроме того факта, что
часть амплитуды, переносимая от одного состояния к другому, мни-
мнимая (см. рис. 2). Если амплитуды системы в двух состояниях равны,
то амплитуда, переносимая в каждом направлении, та же, и суммар-
суммарный перенос равен нулю. Однако, если амплитуда в одном состоянии
112 Л.К.Гровер
?а\ \?в ?а\
(l-is) до (I) до
у/А \щв щА/
ТА| | ТВ ТА/
После A) После B)
Рис. 2. От состояния к состоянию. Квантовая диффузия — это перенос
малой мнимой амплитуды от одного состояния к другому. Если фаза одно-
одного состояния повернута по отношению к фазе другого, имеется суммарный
перенос от одного состояния к другому.
повернута по отношению к амплитуде в другом состоянии, тогда име-
тся суммарный перенос от одного состояния к другому. Как результат
того переноса, результирующий угол поворота между двумя состоя-
состояниями уменьшается. В уравнении Шредингера, когда состояния — точ-
точки мельчайшей решетки, имеется квантовая диффузия между соседни-
соседними точками решетки вместе с непрерывным поворотом фазы, который
пределяется потенциалом. В результате возникает средний перенос в
состояния с низким потенциалом, как раз то, что можно ожидать клас-
классически.
В точности как и классический компьютер, квантовый компьютер
может быть представлен множеством бинарных систем. Каждая бинар-
бинарная система — это квантово-механический бит, называемый кубитом,
который находится в суперпозиции двух состояний. Квантовый алго-
алгоритм поиска начинается с установки системы п кубитов в однородную
суперпозицию всех N = 2П состояний. Затем проводится чередующаяся
последовательность квантовых диффузий и фазовых поворотов. После
примерно n^/N/4: повторений амплитуда концентрируется на требуе-
требуемом состоянии. Теперь измерение обнаруживает нужное состояние с
достоверностью.
Версия этого алгоритма была недавно осуществлена для частного
случая N = 4 с помощью техники ядерного магнитного резонанса на
рганической молекуле в качестве двубитного квантового компьюте-
ра [3, 4].
Чтобы с достоверностью найти элемент в неупорядоченном списке
из четырех элементов, потребовался один-единственный вопрос; любой
классический алгоритм потребовал бы в среднем 2.25 вопросов, а в наи-
наихудшем случае — 3 вопроса.
Такие вехи прогресса, как демонстрация важного квантового алго-
Литература 113
ритма, предоставляют удобный случай остановиться и по достоинству
оценить состояние искусства. Есть два вида задач, стоящих перед кван-
квантовыми компьютерами: аппаратное обеспечение и программное обес-
обеспечение. Аппаратные проблемы возникают из того факта, что физика
квантовых вычислительных приборов отлична от физики существую-
существующих, и мы не знаем, какой будет их конечная структура. Здесь долж-
должны быть удовлетворены в какой-то мере противоречивые требования:
во-первых, компьютер должен быть изолирован, чтобы предотвратить
возмущения окружающей среды, и, во-вторых, различные части систе-
системы должны взаимодействовать контролируемым образом. Существу-
Существующие приборы, такие как транзисторы, очень тесно связаны с окру-
окружающей средой. Ядерный магнитный резонанс в некоторой степени
довлетворяет обоим условиям. Следующая большая аппаратная проб-
проблема состоит в увеличении числа кубитов от двух до величины порядка
пяти-десяти, что допустит более мудреные алгоритмы. Проблема про-
программного обеспечения: найти применения, которые оправдают усилия,
затраченные на строительство квантового компьютера. Показано, что
квантовый алгоритм поиска не может быть еще больше улучшен для
приложений к задачам, решаемых полным перебором. Тем не менее,
существуют многочисленные возможности его применения к другим
задачам.
Литература
[1] L.K.Grover. Phys. Rev. Lett. 79, 325A997). (См. предыдущую ста-
статью настоящего сборника.)
[2] G. Brassard. Science 275 , 627A997). G. P. Collins. Phys. Rev. Lett.
[3] L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec. Phys. Rev. Lett.
[41 A.Jones. Science, 280 A998).
Экспериментальная квантовая
телепортация
Дик Боувмеестр, Ян-Вей Пан, Клаус Маттл, Манфред Эйбл,
Гарольд Вайнфуртер, Антон Цайлингер
(Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl,
Harald Weinfurter, Anton ZeilingerI
Экспериментально демонстрируется квантовая телепорта-
телепортация — передача состояния квантовой системы на произволь-
произвольное расстояние. Во время телепортации производится такое
измерение начального поляризованного фотона и одного из
пары скрещенных фотонов, в результате которого второй из
скрещенных фотонов приобретает поляризацию начального.
Этот фотон может удалиться на произвольное расстояние от
начального. Квантовая телепортация может стать существен-
существенной частью квантовых вычислительных сетей.
Мечта телепортации — способность к путешествиям с помощью
простого появления в некотором отдаленном от начального месте. Под-
Подлежащий телепортации объект можно полностью охарактеризовать его
свойствами, которые в классической физике можно определить с помо-
помощью измерений.
Для того, чтобы получить копию объекта на удаленном расстоянии,
не обязательно разбирать его на части — достаточно послать подроб-
подробную информацию, с помощью которой можно реконструировать объ-
объект. Однако насколько точно копия будет совпадать с оригиналом? Что,
если части объекта — это электроны, атомы и молекулы? Что случится
с их индивидуальными квантовыми свойствами, которые по принципу
Гейзенберга нельзя измерить с произвольной точностью? Беннетт и его
соавторы [1] предположили, что можно перенести квантовое состояние
1Institut fur Experiment alp hysik, Universitat Techikerstr. 25 A-6020 Innsbruck,
Austria.
© Nature, vol. 390, 1997.
Перевод О. А. Хрусталева.
Экспериментальная квантовая телепортация 115
частицы на другую частицу — это будет процессом квантовой телепор-
тации — не получая никакой информации об этом состоянии во время
такого преобразования. Это можно сделать, используя скрещенные со-
состояния — существенную особенность квантовой механики [2]. В та-
таких состояниях частицы подвержены более сильным, чем классические,
корреляциям. Возможность передачи квантовой информации — один
из краеугольных камней, поддерживающих здание квантовой комму-
коммуникации и квантовых вычислений [3]. Несмотря на быстрый прогресс
в теоретическом описании процессов квантовой информации, труднос-
трудности управления квантовыми системами не позволяли достичь таких же
спехов в экспериментальной реализации новых предложений. Кроме
многообещающего развития квантовой криптографии [4] (возможно,
первого надежного способа передачи секретных посланий), существу-
существует лишь совсем недавняя успешная демонстрация квантового плотно-
плотного кодирования [5], квантово-механического усиления сжатия данных.
Главная причина медленного экспериментального прогресса состоит в
том, что хотя существуют методы получения скрещенных фотонов [6],
скрещение атомов продемонстрировано совсем недавно [7] и неясно, как
получить скрещенные состояния более чем двух фотонов.
Мы сообщаем о первой экспериментальной проверке возможнос-
возможности квантовой телепортации. Создавая пары скрещенных фотонов в ре-
результате параметрического преобразования и используя при анализе
скрещения методы двухфотонной интерферометрии, можно перенести
квантовое свойство (в нашем случае — состояние поляризации) с одного
фотона на другой. Развитые в этом эксперименте методы будут иметь
важное значение для квантовых коммуникаций и будущих опытов по
проверке основ квантовой механики.
1. Задача
Чтобы прояснить задачу передачи квантовой информации, пред-
предположим, что у Алисы есть частица в определенном квантовом состоя-
состоянии |Ф) и она хочет, чтобы у живущего вдали от нее Боба была такая
же частица. Можно было бы просто послать эту частицу Бобу. Но что
делать, если канал связи между Алисой и Бобом не слишком хорош,
чтобы можно было сохранить необходимую квантовую когерентность,
или если пересылка займет много времени, что так и будет, когда
116 А. Цайлингер и др.
состояние сложного или массивного объекта. Какую стратегию должны
избрать Алиса и Боб?
Как уже говорилось, Алиса не может произвести такие измерения,
которые позволили бы Бобу реконструировать состояние, потому что
состояние квантовой системы нельзя полностью определить измерени-
ми. Такая неуловимость квантовых систем объясняется тем, что они
могут находится одновременно в суперпозиции нескольких состояний.
Измерение квантовой системы вынуждает систему принять одно из
тих состояний — на это обстоятельство ссылаются как на проекцион-
проекционный постулат. Можно иллюстрировать это важное квантовое свойство,
бсудив особенности состояний одного фотона. Он может быть поля-
поляризован вертикально или горизонтально. Соответствующие состояния
можно обозначить как | J) или | <f->-). Фотон можно поляризовать так,
что его состояние будет произвольной суперпозицией этих двух состо-
ний
|Ф> = I *>)<* + I Ш
где а и /3 — такие комплексные числа, что \а\2 + \/3\2 = 1.
Эти рассуждения можно обобщить. Заменим символы | «->¦) и
в уравнении A) на |0) и |1) и будем считать их представителями ба-
базиса любой системы с двумя возможными состояниями. Суперпозиции
состояний |0) и |1) называют кубитами, чтобы подчеркнуть новые воз-
возможности, вносимые квантовой физикой в информатику.
Если фотон в состоянии |Ф) проходит поляризационный раздели-
разделитель — устройство, которое отражает (пропускает) горизонтально (вер-
(вертикально) поляризованные фотоны, — то фотон можно будет найти в
траженном (прошедшем) пучке с вероятностью \а\2 (\/3\2). Тогда общее
состояние |Ф) проецируется на состояния | «->•) или | J) под действием
измерения. Приходится заключить, что правила квантовой механики,
в частности проекционный постулат, не позволяют Алисе произвести
такое измерение состояния |Ф), которое принесло бы необходимую для
реконструкции состояния информацию.
2. Концепция квантовой телепортации
Хотя кажется, что проекционный постулат квантовой механики
пресекает попытки Алисы снабдить Боба состоянием |Ф), Беннетт и его
соавторы [1] показали, что именно этот постулат позволяет перенести
Экспериментальная квантовая телепортация 117
состояние |Ф) от Алисы к Бобу. Оказывается, что во время телепорта-
ции Алиса разрушает квантовое состояние, Боб это состояние получает
и при этом ни Алиса, ни Боб не получают никакой информации о состо-
нии |Ф). Ключевую роль в схеме телепортации играет дополнительная
скрещенная пара частиц, которую могут разделить Алиса и Боб. Пред-
Предположим, что частица 1, которую Алиса хочет телепортировать, нахо-
находится в состоянии
l*>i = l*+>i«+l$>i/?, B)
(рис. 1а), а скрещенная пара частиц, которую поделят Алиса и Боб,
находится в состоянии
^ C)
Скрещенная пара — квантовая система, которая с равной вероятностью
находится в состояниях | ++J\ Х)з и I **)з1 VJ- Скрещенное состояние не
содержит информации об индивидуальных частицах; оно только указы-
указывает на то, что две частицы находятся в противоположных состояниях.
Важным свойством скрещенной пары является то обстоятельство, что
ели измерение одной частицы проецирует ее на состояние, скажем,
«->•), то другая оказывается в состоянии | J), и наоборот. Как может
измерение одной из частиц мгновенно влиять на состояние другой час-
частицы, которая может быть сколь угодно удалена от первой? Эйнштейн
и многие другие просто-напросто не могли смириться с такой «работой
привидений на больших расстояниях». Однако, к настоящему времени
то свойство скрещенных состояний подтверждено многими экспери-
экспериментами (см. обзоры [9, 10]. Схема телепортации такова. Алиса владеет
частицей в состоянии |ФI и частицей 2. Частица 2 скрещена с части-
частицей 3, которая оказывается в руках Боба. Существенная часть схемы
состоит в проведении специфического измерения частиц 1 и 2, которое
проецирует их в скрещенное состояние
2 4=
у/2
Это только одно из четырех возможных максимально скрещенных
состояний, на которые можно разложить любое состояние двух частиц.
Проецирование любого состояние двух частиц называют измерением
118
А. Цайлингер и др.
телепортированное
состояние
Алиса
классическая
информация
о совпадении
Боб
начальное
состояние
EPR-источник'
УФ-импульс
Рис. 1. Схема, показывающая принципы, на которых основана телепортация
(а) и экспериментальное устройство (б).
а. У Алисы есть квантовая система, частица 1 в некотором начальном
остоянии и она хочет телепортировать ее Бобу. Алиса и Боб, кроме то-
того, совместно владеют скрещенной парой частиц 2 и 3, которая испускается
EPR (Эйнштейн-Подольский-Розен)-источником. Алиса производит объеди-
объединенное измерение состояние Белла (BSM) начальной частицы и одной из вспо-
вспомогательных частиц, проецируя их на скрещенное состояние. После этого она
посылает Бобу результат измерения в качестве классической информации.
Боб может произвести унитарное преобразование U другой вспомогательной
частицы, переводящее ее в начальное состояние частицы 1.
б. Импульс ультрафиолетового излучения проходит сквозь нелинейный
кристалл, порождая вспомогательную пару фотонов 2 и 3. После отражения
тот же импульс порождает другую пару фотонов. Один фотон из этой па-
пары переводится в состояние 1 и предназначается для телепортации, второй
фотон служит триггером, указывающим на то, что телепортируется именно
фотон 1. Затем Алиса следит за совпадениями после фотоделителя, который
преобразует состояние фотона 1 и одного из вспомогательных фотонов B)
в некоторую их суперпозицию. Боб после получения классической информа-
информации о наблюдении Алисой совпадения детекторов fl и f2, отождествляющего
остояние Белла фотонов 1 и 2 с вектором |Ф~I2? знает, что его фотон 3 на-
находится в начальном состоянии фотона 1. Он может проверить это, изучая
поляризацию фотона с помощью поляризационного фотоделителя и детекто-
детекторов dl и d2. Детектор р подтверждает, что анализируется именно фотон 1.
состояний Белла. Состояние, определяемое формулой C), отличается
т трех остальных максимально скрещенных состояний тем, что оно
меняет знак при перестановке частиц 1 и 2. Уникальное свойство анти-
антисимметрии состояния |Ф~I2 будет играть важную роль в эксперимен-
экспериментальной идентификации, т. е. в измерении этого состояния. Квантовая
Экспериментальная квантовая телепортация 119
физика предписывает следующее: если частицы 1 и 2 проецируются на
состояние |Ф~I2, то частица 3 одновременно переводится в начальное
состояние частицы 1. Тому есть резоны. Если частицы 1 и 2 наблюдают-
наблюдаются в состоянии |Ф~I2, то при известном состоянии частицы 1 частица 2
должна быть в противоположном состоянии, т. е. в состоянии, ортого-
ортогональном состоянию частицы 1. Но в начале эксперимента частицы 2 и 3
находятся в состоянии |Ф~J3, что означает взаимную ортогональность
состояний частиц 2 и 3. Поэтому для частицы 3 остается единственная
возможность: оказаться в том состоянии, в котором первоначально на-
находилась частица 1. Конечное состояние частицы есть, следовательно,
|Ф)з = |^)з«+|$>з/3. E)
Заметим, что во время измерения Белла частица 1 теряет свою индиви-
индивидуальность, потому что она скрещивается с частицей 2. Иначе говоря,
при телепортации Алиса разрушает состояние |Ф)Г Полученный резуль-
результат (уравнение D)) требует некоторых пояснений. Передача квантовой
информации от частицы 1 к частице 3 может произойти при произволь-
произвольном удалении этих частиц, отсюда и слово «телепортация». Эксперимен-
Экспериментально показано [11], что квантовое скрещение обнаруживает себя на
расстояниях порядка 10 км. Далее, схема телепортации не предполага-
т, что Алиса знает, где находится Боб. Наконец, начальное состояние
частицы 1 может остаться неизвестным как для Алисы, так и для кого
ы то ни было. Во время измерения Белла оно может быть полностью
не определено квантовомеханически. В это время, как уже отмечалось
в [1], частица 1 уже вовлечена в скрещение и не имеет хорошо опреде-
енных собственных свойств. Это и приводит, в конце концов, к пере-
перекрестной замене [12, 13]. Важно подчеркнуть, что измерение состояния
Белла не добавляет никакой информации о свойствах любой из частиц.
Это является причиной того, почему работает схема квантовой теле-
телепортации, использующая двухчастичные когерентные суперпозиции, в
то время как схемы с одночастичными суперпозициями оказывают-
оказываются несостоятельными. То обстоятельство, что информация о состоянии
каждой из частиц не возрастает, объясняет, почему квантовая телепор-
телепортация обходит приговор теоремы о невозможности клонирования [14].
После успешной телепортации первоначальное состояние частицы 1 уже
недоступно, поэтому частица 3 — результат не клонирования, а имен-
именно телепортации. Полное измерение состояний Белла может не только
выяснить, что частицы 1 и 2 находятся в антисимметричном состо-
120 А. Цайлингер и др.
янии, но и то, что с вероятностью -г их можно найти в каждом из
этих состояний. Если это случится, то частица 3 окажется в одном из
этих состояний. Боб сможет перевести ее в первоначальное состояние
частицы 1 после того, как он получит по классическому каналу свя-
связи информацию о том, какое из состояний Белла получилось у Алисы.
Еще раз подчеркнем, что если будет выделено только одно из состоя-
состояний Белла, то телепортация все равно будет проведена успешно, хотя
это случится только в четверти случаев.
3. Экспериментальная реализация
Телепортация требует решения двух труднейших эксперименталь-
экспериментальных задач — приготовления и измерения скрещенных состояний. Лишь
немногие устройства могут приготовить скрещенное состояние, и не
существует экспериментально реализуемой процедуры идентификации
всех четырех состояний Белла. Однако, можно непосредственно полу-
получить скрещенные пары фотонов и можно спроецировать их, по крайней
мере, на два из четырех состояний Белла. Фотоны 2 и 3 скрещиваются
с помощью параметрического преобразования. Этот способ использует
то обстоятельство, что попавший в нелинейный кристалл фотон может
спонтанно распасться на два фотона, которые в случае параметрическо-
параметрического преобразования второго рода оказываются в состоянии, определяе-
определяемым уравнением B) (см. рис. 2) [8]. Чтобы спроецировать фотоны 1 и 2
на состояния Белла, следует сделать их неразличимыми. Достигнуть
этого можно с помощью фотоделителя, который готовит суперпозицию
состояний фотонов (рис. 16). Когда фотоны, подойдя к прибору каж-
каждый со своей стороны, покинут прибор, уйдя каждый в свою сторону?
Это может случиться только в том случае, если оба они или отразятся,
или пройдут сквозь пластинку прибора. В квантовой физике получает-
получается суперпозиция амплитуд каждого из исходов. Унитарность требует,
чтобы амплитуда, определяющая отражение обоих фотонов, получала
дополнительный знак минус. Поэтому кажется, что эти два процесса
ничтожают друг друга (происходит деструктивная интерференция).
Однако, это справедливо только для симметричного начального состо-
состояния. В антисимметричном состоянии происходит конструктивная ин-
интерференция [15,16]. Таким образом, для проецирования фотонов 1 и 2 в
антисимметричное состояние |Ф~I2 достаточно разместить детекторы
Экспериментальная квантовая телепортация 121
у каждого из выходов фотоделителя и регистрировать одновременное
появление (совпадение) фотонов. Чтобы была уверенность в том, что
фотоны нельзя различить по времени их появления [17-19], они гене-
генерируются с помощью импульсов накачки и пропускаются сквозь узко-
узкополосный фильтр, что порождает время когерентности, много большее
длительности импульса накачки [20].
Горизонтально
Вертикально
Рис. 2. Фотоны, исходящие из преобразователя второго типа (см. текст).
Плоскость фотографии перпендикулярна направлению распространения фо-
фотонов, которые порождаются парами. Фотон, отпечатавшийся на верхнем
кружке, поляризован горизонтально. Его партнер на нижнем кружке поля-
поляризован вертикально. В точках пересечения кружков поляризации фотонов
неопределенны: о них известно лишь то, что они противоположны. Это явля-
является следствием скрещения.
В эксперименте импульсы накачки имели длительность 200 фс,
частота их повторения была 76 МГц. Наблюдение преобразованных фо-
фотонов с длиной волны 788 нм и шириной полосы 4 нм приводит к
времени когерентности 520 фс. Заметим, что поскольку фотон 1, в
свою очередь, появляется как участник скрещенной пары, то измере-
измерение его партнера может указать на время излучения пары. Как экспе-
экспериментально доказать телепортацию неизвестного квантового состоя-
122 А. Цайлингер и др.
ния? Прежде всего следует показать, что телепортация работает в слу-
случае каждого из базисных состояний, набора известных состояний, на
которые можно разложить произвольное состояние. Базис поляризаци-
нных состояний содержит два элемента, поэтому можно связать его
с вертикальной и горизонтальной поляризациями излучаемого источ-
источником фотона. Однако это еще не докажет, что телепортация работа-
т для любого состояния, потому что эти направления — выделенные
направления эксперимента. В качестве базиса для телепортации сле-
следует выбрать состояния, которые описывают линейную поляризацию
на —45° и +45°, которые сами по себе уже являются суперпозицией
вертикальной и горизонтальной поляризаций. После этого нужно пока-
показать, что телепортация работает в случае суперпозиции этих базисов.
Иначе говоря, следует продемонстрировать телепортацию циркулярно
поляризованных фотонов.
4. Результаты
В первом эксперименте фотон 1 поляризован под углом 45°. Те-
епортация осуществляется в том случае, если фотоны 1 и 2 детек-
детектируются в состоянии |Ф~I2, что происходит в 0.25 всех возможных
случаев. Состояние |Ф~I2 идентифицирует совпадение детекторов fl
и f2, помещенных за фотоделителем (рис. 16). Если детектируется flf2
совпадение, фотон 3 также должен быть поляризован под углом 45°.
Для анализа поляризации фотон 3 пропускается сквозь поляризацион-
поляризационный фотоделитель, отбирающий +45°- и —45°-поляризации. Свидетель-
Свидетельством о поляризации будет щелчок детектора d2, который стоит у вы-
выхода +45°-поляризационного фотоделителя, одновременно с щелчками
детекторов fl и f2. Детектор, стоящий у выхода —45°-поляризационного
фотоделителя не должен детектировать фотон. Следовательно, регист-
регистрация тройного совпадения d2flf2 (+45° — анализ) вместе с отсутстви-
м тройного совпадения dlflf2 (—45° — анализ) докажет, что поляри-
поляризация фотона 1 телепортируется к фотону 3. Чтобы изучить условия
перекрытия во времени, мы изменяли шаг за шагом время появления
фотона 2 (время задержки изменялось с помощью полупроницаемого
зеркала (рис. 1Ь)). Это позволяет найти ту область временного пере-
перекрытия в фотоумножителе, в которой возможна телепортация.
Вне области телепортации каждый из фотонов 1 и 2 достигает счет-
счетчиков fl и f2 независимо друг от друга. Вероятность совпадения детек-
Экспериментальная квантовая телепортация
123
Теория: +45 телепортация
0.25 -
s
к
ч:
G
И
О
О
о
о
к
л
н
о
о
к
О)
PQ
-100 -50 0 50 100
Задержка (мкм)
Рис. 3. Теоретическое предсказание вероятности тройного совпадения между
вумя детекторами, измеряющими состояния Белла (И,?2) и одного из детек-
детекторов, анализирующих телепортированное состояние. Признаком телепорта-
телепортации фотона с поляризацией +45° является обращение в нуль при нулевой
задержке времени вероятности тройного совпадения (dlflf2) с детектором,
нализирующим —45°-поляризацию (а) и постоянное значение вероятности
овладений с детектором, анализирующим +45°-поляризацию. Затененные
бласти на рисунке указывают область телепортации.
торов fl и f2, следовательно, равна 0.5. В области телепортации она
вдвое больше. Фотон 3 не обладает хорошо определенной поляризацией,
поскольку он входит в скрещенную пару. Следовательно, вероятность
того, что каждый из детекторов dl и d2 получит фотон 3, равна 0.5. Это
простое рассуждение дает нам вероятность 0.25 как для —45°-анализа
(совпадения dlflf2), так и для +45°-анализа (совпадения dlflf2) вне
бласти телепортации. Рис. 3 суммирует эти предсказания как функ-
функцию временной задержки. Вероятность успешной телепортации состо-
ния с +45°-поляризацией убывает до нуля при —45°-анализе (рис. За)
и остается постоянной при +45°-анализе (рис. 36). Легко понять тео-
теоретическое предсказание, суммируемое рис. 3, если только сообразить,
что при нулевой задержке скорость совпадений детекторов анализато-
анализатора состояний Белла, fl и f2, уменьшается наполовину по сравнению со
124
А. Цайлингер и др.
Таблица 2. Наблюдение телепортации в случае трехкратного совпадения
Поляризация
+45°
-45°
0°
90°
Круговая
Наблюдаемые значения
0.63 ± 0.02
0.64 ±0.02
0.66 ± 0.02
0.61 ±0.02
0.57 ±0.02
скоростью счета вне области телепортации. Поэтому, если поляризация
фотона 3 полностью некоррелирована с поляризациями остальных фото-
фотонов, тройные совпадения также должны демонстрировать аналогичный
минимум. Свидетельством телепортации нужного состояния как раз и
должны быть кривые, изображенные на рис. 3. Заметим, что с процес-
процессом рождения фотонов 1, 2 и 3 весьма схоже излучение двух пар одним
источником. Хотя здесь нет фотона, порождаемого первым источником
(фотон 1 теперь отсутствует), этот процесс дает существенный вклад в
трехчастичные совпадения. Эти совпадения не имеют ничего общего с
телепортацией и их можно отобрать, блокируя путь фотона 1. Исходя из
параметров эксперимента, можно оценить вероятность ложных двух- и
трехчастичных совпадений. Экспериментально определенное значение
доли ложных трехчастичных совпадений дает значение 0.68 ± 0.01. В
кспериментальных графиках на рис. 4 экспериментально обнаружен-
обнаруженные ложные совпадения удалены.
Результаты телепортации фотонов с поляризацией ±45° приведены
в левой колонке рис. 4. Рисунки 4а и 46 следует сравнивать с теорети-
теоретическим предсказанием на рис. 3. Сильное убывание сигнала в —45°-ана-
изаторе и постоянный сигнал в ±45°-анализаторе, указывающие на то,
что фотоны 1 и 3 поляризованы одинаково, подтверждают телепорта-
цию. Результаты эксперимента с —45°-поляризованным фотоном (пра-
(правая колонка рис. 4) показывают, что телепортация осуществляется для
полного базиса поляризационных состояний. Чтобы исключить любое
классическое объяснение результатов эксперимента, были проведены
дополнительные опыты. В них телепортировались линейно 0° и 90°-по-
яризованные фотоны, а также фотоны с круговой поляризацией. В таб-
ице 1 приведены относительные значения минимумов в трехчастич-
трехчастичных совпадениях, наблюдаемых при анализе поляризации, ортогональ-
ортогональной к исходной. Как уже упоминалось, эти значения получались после
Экспериментальная квантовая телепортация
125
+45° телепортация
-45° телепортация
-150-100-50 0 50 100 150
Задержка (мкм)
-150-100-50 0 50 100 150
Задержка (мкм)
Рис. 4. Экпериментальные результаты. Измерение скорости трехчастичных
овладений dlflf2 (—45°) и dlflf2 (+45°) в случае телепортации +45°-
поляризованного фотона (а и Ь) или —45°-поляризованного фотона (с и d).
Изображена скорость совпадений после вычитания ложных трехчастичных
овладений (см. текст). Эти данные после сравнения с рис. 3 вместе с анало-
аналогичными данными для других поляризаций (таблица 1) подтверждают теле-
портацию в произвольном состоянии.
вычитания вклада ложных трехчастичных совпадений. Их можно ис-
исключить экспериментально совмещением трехчастичных совпадений с
регистрацией фотона 4, которое эффективно проецирует фотон 1 в одно-
частичное состояние. Эти четырехчастичные совпадения были выделе-
выделены для случаев телепортации +45°- и +90°-поляризационных состояний
(заметим, что эти состояния не ортогональны). Экспериментальные ре-
результаты приведены на рис. 5. Относительные значения минимумов,
равные 0.70 ± 0.03, получены при анализе ортогональных поляризаци-
нных состояний. Здесь значения минимумов есть просто степень по-
яризации телепортируемого в правильном состоянии фотона. Все это
показывает, что описанные эксперименты действительно демонстриру-
демонстрируют телепортацию квантового состояния одиночного фотона.
126
А. Цайлингер и др.
45° телепортация
90° телепортация
100-
-150-100-50 0 50 100 150
Задержка (мкм)
i i i i i i i
-150-100 -50 0 50 100 150
Задержка (мкм)
Рис. 5. Скорость четырехчастичных совпадений (без вычета фона). Трехчас-
тичные совпадения (показанные на рис. 4) вместе с регистрацией фотона 4
(см. рис. 1Ь) удаляют ложный трехчастичный фон. а и Ь показывают измере-
измерения четырехчастичных совпадений при телепортации +45°-состояния; cud
показывают результаты телепортации +90°-состояния. Светимости и, следо-
следовательно, поляризации телепортированных фотонов получены без вычитания
фона, равного 0.7=Ь0.03. Эти результаты телепортации двух неортогональных
остояний доказывают, что мы имеем дело с демонстрацией телепортации
квантового состояния отдельного фотона.
5. Следующие шаги
В наших опытах использовались пары поляризованных скрещен-
скрещенных фотонов, порождаемых импульсным преобразователем, и двухфо-
тонные интерференционные преобразования, позволяющие перенести
состояние поляризации одного фотона к другому. Но телепортация не
должна ограничиваться этими системами. В дополнение к парам скре-
скрещенных фотонов или скрещенных атомов [7, 21] можно представить се-
е скрещения фотонов с атомами, фотонов с ионами и так далее. Тогда
телепортация позволит переносить состояния, например, быстро деко-
декогерирующих, коротко живущих частиц на более стабильные системы.
Далее, используя очищение скрещением [22] — схему улучшения ка-
Литература 127
чества скрещения, если оно деградирует из-за декогерентности во вре-
время хранения или пересылки частиц по каналам с шумом — становится
возможным телепортировать квантовое состояние частицы в некоторое
место, даже если доступные квантовые каналы очень плохого качества
и непосредственная пересылка частицы с большой вероятностью раз-
разрушает хрупкое квантовое состояние. Возможность сохранения кван-
квантовых состояний во враждебном окружении может оказаться весьма
полезной при выполнении квантовых вычислений. Схема телепортации
может обеспечить связь между квантовыми компьютерами. Кванто-
Квантовая телепортация — не только важная составляющая проблем кван-
квантовой информации; ее можно использовать для создания новых типов
кспериментов в области основ квантовой механики. После того, как те-
епортировано некоторое состояние, можно полностью переопределить
состояние частицы, входящей в скрещенную пару. Такие операции поз-
позволят перенести скрещение частиц. Это позволит не только создать
цепочку, переносящую квантовые состояния в такие места, где деко-
герентность уже полностью эти состояния уничтожила, но позволит
существить проверку теоремы Белла для частиц, у которых нет обще-
общего прошлого. Это будет новым шагом в исследовании общей структуры
квантовой механики. Наконец, если будут выполнены эксперименты со
скрещением более чем двух пространственно разделенных частиц, то
дискуссия о локально реальных свойствах природы получит твердую
снову.
Литература
[1] C.H.Bennett et al. Teleporting an unknown quantum state via dual
classic and Einstein-Podolsky-Rosen channels. Phys. Rev. Lett. 70,
1893-1899. A993).
[2] E. Shrodinger. Die gegenwartig Situatuon in der Quantenmechanik.
Naturwissenschaften 23, 807-812; 844-849. A935).
[3] C.H.Bennett. Quantum information and computation, Phys. Today
48A0), 24-30, October A995).
[4] C.H.Bennett, G. Brassard, K.A.Ekert. Quantum cryptography. Sci.
Am. 267 D), 50-57, October A992).
128 Литература
[5] К. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwat, A. Zeilinger. Dense coding in
experimental quantum communication. Phys. Rev. Lett. 76, 4656-
4659. A996).
[6] P. G. Kwat et al. New high intensity source of polarization-entangled
photon pair. Phys. Rev. Lett. 75, 4337-4341. A995).
[7] E. Hagley et al. Generation of Einstein-Podolsky-Rosen. Phys. Rev.
Lett. 79, 1-3. A997).
[8] B.Schumacher. Quantum coding. Phys. Rev. A 51, 2738-2747. A995).
[9] J.F. Clauser, A. Shimony. BelVs theorem: experimental tests and
implications. Rep. Prog. Phys. 41, 1881-1927. A978).
[10] D. M. Greenberger, M. A. Home, A. Zeilinger. Multiparticle
interferometry and the superposition principle. Phus. Today August,
22-29. A993).
[11] W. Titel et al. Experimental demonstration of quantum-correlations
over more than 10 kilometers. Phys. Rev. Lett, (submitted).
[12] M. Zukowsky, A. Zeilinger, M. A. Home, A. Ekert. «Event-ready-detec-
«Event-ready-detectors» Bell experiment via entanglement swapping. Phys. Rev. Lett. 71,
4287-4290 A993).
[13] S. Bose, V. Vendral, P. L. Knight. A multiparticle generalization of
entanglement swapping, (preprint).
[14] W. K. Wooters, W. H. Zurek. A single quantum cannot be cloned.
Nature 299, 802-803 A982).
[15] R. London. Coherence and Quantum Optics VI (eds. J. H. Everly,
L.Mandel), 703-708 (Plenum, New York, 1990).
[16] A. Zeilinger, H. J. Bernstein, M. A. Home. Information transfer with
two-state two-particle quantum systems. J. Mod. Optics, 41, 2375-
2384 A994).
[17] H. Weinfurter. Experimental Bell-state analysis. Europhys. Lett. 25,
559-564, A994).
Литература 129
[18] S. L. Braunstein, A. Mann. Measurement of the Bell operator and the
quantum teleportation. Phys. Rev. A 51, R1727-R1730 A995).
[19] M. Michler, K. Mattle, H. Weinfurther, A. Zeilinger. Interferometric
Bell-state analysis. Phys. Rev. A 53, R12009-R1212 A996).
[20] M. Zukowsky, A. Zeilinger, H. Weinfurther. Entagling photons radiated
by independent pulsed sources. Ann. NY. Acad. Sci. 775, 91-102
A995).
[21] E. S. Fry, T. Walther, S. Li. Proposal for a loophole-free test of the Bell
inequalities. Phys. Rev. A 52, 4381-4395 A995).
[22] C.H.Bennett et al. Purificacion of noisy entanglement and faithful
teleportation via noisy channels. Phys. Rev. Lett. 76, 722-725 A996).
[23] D.M. Greenberger, M. A. Home, A. Shimony, A. Zeilinger. BelVs
theorem without inequalities. Am. J. Phys. 58, 1131-1141 A990).
[24] A. Zeilinger, M. A. Home, H. Weinfurther, M. Zukowsky. Three par-
particle entanglements from two entangled pairs. Phys. Rev. Lett. 78,
3031-3034 A996).
Экспериментальная реализация квантового
алгоритма
Айзек Л. Чуанг
(Isaac L. ChuangI
Ливен М. К. Вандерсипен, Ксинлан Жу
(Lieven M. К. Vandersypen, Xinlan ZhouJ
Дебби В.Леюнг
(Debbie W. LeungK
Сет Ллойд
(Seth LloydL
Квантовый компьютер — это устройство, обрабатывающее инфор-
информацию квантово-механическим когерентным способом [1-5]. В принци-
принципе, можно использовать когерентную квантовую интерференцию, что-
чтобы осуществлять такие вычисления, как разложение больших чисел на
множители или поиск в несортированной базе данных, более быстро,
нежели классические компьютеры [1, 2, 6-8]. Шумы, некогерентность
и технические трудности делают сложным построение крупномасштаб-
крупномасштабных квантовых компьютеров [9-13]. Ионные ловушки и оптическое ре-
резонаторы являются многообещающими с точки зрения эксперименталь-
экспериментальных подходов [14, 15], но еще ни один квантовый алгоритм не был реа-
реализован на таких системах.
С другой стороны, из-за естественной изоляции от окружающей
среды, ядерные спины являются особенно хорошими «квантовыми би-
битами» [16], и их использование для квантовых вычислений возможно
посредством ядерного магнитного резонанса (ЯМР) [17-19]. В настоя-
настоящей статье мы описываем экспериментальную реализацию квантового
алгоритма с использованием ЯМР для решения чисто математической
задачи за меньшее количество шагов, чем это возможно классически.
XIBM Almaden Research Center K10/D1, San Jose, CA 95120.
2 Solid State Electronics Laboratory, Stanford University, Stanford, С А 94305.
3EdwardL. Ginzton Laboratory, Stanford, CA 94305.
4MIT Dept. of Mechanical Engineering, Cambridge, Mass. 02139.
© Nature, №393, pp. 143-146 A998).
Перевод А. И. Дубиковского.
Экспериментальная реализация квантового алгоритма 131
В частности, наш простой квантовый компьютер может определить об-
общие свойства неизвестной функции, используя меньшее количество вы-
вызовов функции, нежели при использовании классического компьютера.
Мы осуществили самую простую возможную версию квантового
алгоритма Дойча-Джозса (Deutsch-Jozsa, D-J) [6], который определя-
определяет, является ли неизвестная функция постоянной или сбалансирован-
сбалансированной. Постоянная функция f(x) от N битов до одного либо f(x) = 0 для
всех ж, либо f(x) = 1 для всех х. Сбалансированная функция f(x) = О
для точно половины ее аргументов, и f(x) = 1 для оставшихся. Что-
Чтобы с уверенностью определить, является ли функция постоянной или
сбалансированной, на детерминированном классическом компьютере
требуется до 2N~1 + 1 вызовов функции: даже если взять половину
аргументов и найти f(x) = 0 для каждого, все еще нельзя с уверен-
уверенностью заключить, что функция постоянна. Напротив, D-J алгоритм,
совершенствованный Р. Кливом и др. [20] и Аланом Таппом, позволяет
квантовому компьютеру определять, является ли f(x) постоянной или
сбалансированной, используя только один вызов функции.
D-J алгоритм хорошо иллюстрируется его самым простым возмож-
возможным случаем, когда / преобразует один бит в другой; это тот случай,
который мы реализовали (это также самый простой случай алгоритма
Саймона [7]). Имеется четыре возможных значения /, два из которых
постоянны, fi(x) = 0, /2(х) = 1 а оставшиеся два имеют равное число 0
и 1 значений: /з(ж) = ж, /4(x) = NOT x. Выяснение, является ли такая
функция постоянной или сбалансированной, аналогично задаче, являет-
является ли монета настоящей — с орлом на одной стороне и решкой на дру-
другой, или фальшивой — с орлом на двух сторонах. В классическом слу-
случае нужно смотреть на монету дважды: сначала на одну сторону, затем
на другую, чтобы определить — настоящая это монета или фальшивая.
D-J алгоритм использует квантовую когерентность, чтобы определить,
является ли квантовая «монета» настоящей или фальшивой, посмотрев
на нее только один раз. Алгоритм требует одного «входящего» спина и
одного «рабочего» спина, и схематично представлен на рис. 1.
Экспериментально этот квантовый алгоритм был осуществлен
с использованием ядерных спинов атомов 1Н и 13С в помеченных
глеродом-13 молекулах хлороформа (СНС1з) как входящий и рабо-
рабочий квантовый бит («кубит»). |0) (|1)) описывает состояние спина, на-
направленного по (против) внешнему сильному статическому магнитно-
магнитному полю Во в +? направлении. Упрощенный гамильтониан для такой
132
А. Л. Чуанг, Л. М. К. Вандерсипен, К. Жу, Д. В. Леюнг, С. Ллойд
2-спиновой системы в хорошем приближении (h = 1) равен [21]
+
+
env
(i)
Первые два члена описывают свободную прецессию спина А AН)
и В A3С) относительно —Во с частотами с^/2тг « 500 МГц и с^/2тг «
« 125 МГц. Iza — оператор углового момента в +? направлении для А.
Третий член описывает скалярное спин-спиновое взаимодействие J «
« 215 Гц. <#?еш; описывает взаимодействие с окружающей средой, вклю-
включая взаимодействие с ядрами хлора, и также члены более высокого
порядка в спин-спиновом взаимодействии, и этим членом, как будет
писано ниже, можно пренебречь.
|0)или|1)
Рабочий кубит В
Шаг Шаг
(ТО) (Т1)
Шаг
(Т2)
Шаг
(Т4)
Рис. 1. Квантовая схема реализации D-J алгоритма. (ТО) Начинаем с обо-
обоих «входящего» и «рабочего» кубитов (А и В) в состоянии |0). (Т1) Выпол-
Выполняем преобразование У: |0) -> (|0) + |1))/21/2, |1) -> ( - |0) + |1))/21/2,
|0> -> (|0> + |1»/л/2, |1> -> ( - |0> + \1))/у/2, к А, и обратное преобразова-
ние У к В, в итоге получаем состояние — J^ |ж) (|0) — |1)). Входящий ку-
^ ж=0
ит в некотором квантовом смысле регистрирует и 0 и 1 одновременно.
(Т2) Вызываем функцию: применяем / к А, и прибавляем результат к В
по модулю 2. До тех пор, пока квантовые логические операции, необходи-
необходимые для вычисления /, выполняются когерентно, рабочий кубит в некото-
некотором квантовом смысле теперь содержит значения / при всех возможных ар-
аргументах; это результат, названный Дойчем «квантовым параллелизмом» [1].
Два кубита находятся теперь в состоянии -
1 v-/ i\f(x)i_\ (щ _ |Х^ (Т3^ Выполняем инверсию преобразования (Т1),
х=0
вследствие чего получаем кубиты в суперпозиции состояний. Если / посто-
нна, то множители (—1)^(ж) есть либо все +1, либо все —1, и результат
преобразования в этом шаге — состояние ±|00). Если / является сбаланси-
сбалансированной, то ровно половина множителей (—1)^(ж) есть +1, и половина —1,
и результат преобразования — состояние ±|10). (Т4) Читаем А. Если это 0,
то / постоянная; если 1, то / сбалансированная.
Экспериментальная реализация квантового алгоритма 133
Пять теоретических шагов квантового алгоритма, (Т0)-(Т4), были
кспериментально осуществлены следующим образом:
(ЕО) Начальное состояние подготавливалось в 200 мМ, 0.5 мл хлоро-
хлороформа, растворенного в A6-ацетоне при комнатной температуре и стан-
стандартном давлении. ОA018) молекул в этом растворе, как можно думать,
ыли независимыми простыми квантовыми компьютерами, работаю-
работающими одновременно.
Теоретически, идеальный результат получается, когда спины во
всех молекулах приготовлены в 00 состоянии. Поскольку эксперимент
выполнялся при комнатной температуре, начальная матрица плотнос-
плотности р для системы в тепловом равновесии имеет заселенности diag(p) =
= [по(ь ^оъ пкъ пи] в 00, 01, 10 и 11 состояниях соответственно, где р —
матрица плотности, щ пропорционально e~Ei^kT/2N « A — Ei/kT)/2N
с энергией Е{ состояния г, а N = 2 является числом кубитов, ис-
используемых в нашем эксперименте. Существует несколько методов для
извлечения из такого состояния теплового равновесия только сигна-
а от 00 состояния [17,18]; мы использовали метод «временного усред-
усреднения» [22], который использует суммирование трех экспериментов,
в которых заселенность из 01, 10 и 11 состояний циклически пере-
переставляется перед выполнением вычислений. Существенное наблюде-
наблюдение суть [поо,поьпю,пц] + [гаоо,гсц,поъгаю] + [raOo5raio,raii,raOi] =
= а[1,1,1,1] + ?[1,0,0,0], где а = noi + пю + пц — фоновый сигнал,
который не детектируется, а 8 = Зпоо — а — отклонение от однородного
фона, чей сигнал эффективно ведет себя подобно желаемому чистому
квантовому состоянию |00). Перестановки выполнены с использованием
метода, используемого для вычислений, описанных ниже. Этот метод
избегает технических трудностей обнаружения сигнала от единствен-
единственного ядерного спина и позволяет системе, дающей легко обнаружимый
сигнал, используемый для квантового вычисления, оставаться при ком-
комнатной температуре.
Заметим, что в то время как этот метод требует вычисления f(x)
3 раза, фактически это не является необходимым. Хотя шаг (ТО) обу-
обусловлен исходным чистым состоянием |00), алгоритм работает также
хорошо, если начальный входящий кубит |1); однако, когда рабочий
кубит первоначально |1), это не очень хорошо, поскольку невозможно
тличить константу от сбалансированной функции, но это не влияет
на другие работающие компьютеры. Таким образом, тепловое состоя-
состояние — хорошее начальное состояние для этого алгоритма, и нам необ-
134 А. Л. Чуанг, Л. М. К. Вандерсипен, К. Жу, Д. В. Леюнг, С. Ллойд
ходимо выполнить только один эксперимент. Результаты с использова-
использованием теплового и чистого начальных состояний описаны ниже.
(Е1) Импульсные радиочастотные электромагнитные поля (РЧ) ис-
используются для того, чтобы преобразовать кубиты, как это требуется
в (Т1). Эти поля, ориентированные в х — у плоскости перпендикуляр-
перпендикулярно Во, выборочно адресуются или А, или I?, осциллируя с частотой uja
или ujb- Классически, РЧ импульс, направленный, к примеру, по у, вра-
вращает спин относительно этой оси на угол, пропорциональный « ?Р, т. е.
произведению длительности t и мощности Р импульса. В примитивной
картине простых магнитов тг/2 импульс вдоль у (мы будем называть
го Y) поворачивает ? ориентированный спин на 90°, к х (аналогич-
(аналогично, пусть Y вращает спин на тг/2 относительно —г/, и X — на тт/2
тносительно ж, и т. д; нижние индексы будут, описывать над какими
спинами эта операция производится). Это описание состояния являет-
является классическим в том смысле, что обыкновенный магнит всегда имеет
пределенное направление. Однако, в реальности спин ядра — кванто-
квантовый объект, и вместо поворота в направлении ж он, фактически, явля-
тся суперпозицией состояний вверх и вниз, (|0) + |1))/л/2. Аналогично,
спин, классически описываемый как находящийся по направлению —ж,
фактически находится в состоянии (|0) — |1))/л/2. (Е1) таким образом
состоит из двух импульсов РЧ YaYb-
(Е2) Функция у —>¦ у ф f(x) осуществляется посредством использова-
использования РЧ-импульсов и спин-спинового взаимодействия. Напомним, что
спин А представляет входящий кубит ж, и В — рабочий кубит у, а /
хранит свое значение. Д реализована как г/2 — ХвХв — т/2 — ХвХв
(читается слева направо), где т/2 представляет временной интервал
1/4J « 1.163 мс, в течение которого происходит взаимодействие свя-
связанных спинов. Типичные длины импульсов были 10-15 мкс. Это —
известная рефокусировка [23] импульсных последовательностей, кото-
которая реализует нужное действие. /2 реализована как г/2 — ХвХв — т/2,
подобно Д, но без последних импульсов, так что В инвертирован,
/з есть Yb — т — YbXb — YaXaXa-, что осуществляет «контролируемое
НЕ» действие, в котором В инвертирован тогда и только тогда, ког-
когда А находится в |1) состоянии. Для понимания можно использовать
примитивную картину классических магнитов для случая начальных
состояний 00 или 10 и последовательности импульсов Yb — г — Хв (за-
(заметим, что после (Е1) оба спина не просто |0) или |1), но находятся в
суперпозиции обоих состояний, и в этом случае необходимы дополни-
Экспериментальная реализация квантового алгоритма 135
тельные импульсы /з [17]). Сперва Yb поворачивает В по +х. Затем В
прецессирует в х — ^/плоскости относительно — z~. Из-за спин-спинового
взаимодействия В прецессирует чуть медленнее (быстрее), если А = О
(А = 1). После г секунд В достигает +у (—у) во вращающейся системе
координат. Хв затем поворачивает В к + ¦? (—J), то есть к 0 или 1, где
конечное состояние В зависит от начального А. Точное квантовое опи-
описание легко получается посредством перемножения унитарных матриц
вращения. Наконец, /4 осуществляется как Yb — г — YbXb —
что похоже на /3, но с инвертированным В.
(ЕЗ) Инверсия (Е1) осуществляется посредством РЧ-импульсов
для возвращения спинов к ±?. Спин А, который был сначала |0), тем
самым преобразуется в |0) или |1) соответственно для постоянной или
сбалансированной функции.
(Е4) Результат считывается посредством импульса Ха, возвращая
спин А обратно вх — у плоскость. Время изменения напряжения V(t),
вызванное прецессией спина А вокруг —Во, регистрируется фазочув-
ствительной катушкой. Исследование спектра V(t), после проведения
дного эксперимента и соответствующего считывающего импульса не-
немедленно показывает, является ли f(x) постоянной или сбалансирован-
сбалансированной, как показано на рис. 2.
Мы также нашли всю матрицу плотности отклонений рд = р —
—Тг(/о)//4 (рис. 3), описывая конечное 2-кубитное состояние. Эти ре-
результаты однозначно доказывают полное правильное функционирова-
функционирование квантового алгоритма и дают анализ погрешностей, описываемый
ниже.
Квантовое вычисление требует, чтобы когерентная суперпозиция
сохранялась на продолжении всего вычисления. Для этого требуется
хорошо изолированная квантовая система (с малым Жепг))^ и, к счас-
счастью, ядерные спины являются естественно хорошо изолированными от
кружающей среды. Непостоянство фазы из-за неоднородности Во бы-
о минимизировано посредством использования около 30 электромагни-
электромагнитов, чтобы статическое поле было постоянным примерно в одной из 109
частей всего объема используемого образца. Константы продольной и
поперечной временной релаксации Т\ и Т2 были измерены с использо-
использованием стандартного обратного восстановления и последовательности
импульсов Карра-Парселла-Мейбума-Гилла [23], что дало Т\ « 19 и
25 секунд и Т2 ~ 7 и 0.3 секунды, соответственно для протона и угле-
136 А. Л. Чуанг, Л. М. К. Вандерсипен, К. Жу, Д. В. Леюнг, С. Ллойд
рода; они были намного длиннее, чем требовалось для нашего экспери-
эксперимента, который был завершен приблизительно за 7 миллисекунд.
Единственными наиболее существенными источниками погреш-
погрешностей в эксперименте были неоднородность РЧ и несовершенство
настройки длины импульса. Непосредственный критерий неоднород-
неоднородности — время экспоненциального убывания порядка « 200 мкс од-
одного импульса. С учетом смешения заселенностей, на каждое ядро
действовало порядка 7 импульсов с кумулятивной продолжительнос-
продолжительностью « 70 -г-100 мкс.
Второй наиболее важный вклад в погрешность — низкое отношение
<сигнал-шум» для углерода, отношение пик сигнала/RMS шум « 35,
тогда как для протона « 4300. Сигнал от углерода был намного более
слабым, поскольку для него гиромагнитное отношение в 4 раза мень-
меньше, и приемная катушка для углерода была установлена более далеко
т рабочего образца. Меньшие вклады в погрешность давали неполное
затухание между последовательными экспериментами, отклонения не-
несущей частоты и численные погрешности при расчетах.
Недостатки такого маленького квантового компьютера были ско-
скорее во власти технологии, нежели чем в фундаментальных принци-
принципах. Однако, квантовые компьютеры на основе ЯМР более чем с 10
кубитами будут требовать новых подходов, поскольку с увеличением
числа кубитов сила сигнала экспоненциально убывает в используемой
схеме [24, 25]: для N спинов сигнал от начального состояния 00...0
пропорционален поо...о ос NZ~N, где при больших температурах функ-
функция Z « 2. Кроме того, временная когерентность естественно умень-
уменьшается для больших молекул, в то время как продолжительность ра-
оты логической схемы увеличивается. Однако, существует некоторый
птимизм; например, из-за коллективного характера ЯМР-технологий
можно получать результат при достижении различимой большей час-
части молекул правильного конечного состояния. Тем самым, создание
ффективно чистого состояния не является необходимым. Оптическая
накачка и различные методы охлаждения также могут использоваться
для начальной поляризации рабочего образца, для увеличения ампли-
амплитуды сигнала, поскольку при низких температурах Z « 1. Квантовые
вычисления явно обрисовывают интересные и нужные сложные экспе-
экспериментальные задачи будущего.
Экспериментальная реализация квантового алгоритма
137
100
03
80
60
I 40
<
20
0
-300
¦
Jl
100
50
0
-50
-100
-200 0 200
V . i
1
100
-200
¦100 0 100
Частота (Гц)
200
300 -300 -200 -100 0 100
Частота (Гц)
200 300
-100
<-80
-100
-300 -200 -100 0 100
Частота (Гц)
200 300
-300 -200 -100 0 100
Частота (Гц)
200 300
Рис. 2. Спектр протона после исполнения D-J алгоритма и единственного счи-
считывающего импульса Ха с эффективно чистым начальным состоянием |00)
и с тепловым начальным состоянием [на вставке]. Низкие (высокие) час-
частотные линии соответствуют переходам 100) «-»¦ |10) (|01) «-»¦ |11)). Часто-
Частота — 499755169 Гц, а амплитуда дана в произвольных единицах. Спектр есть
фурье-образ времени изменения напряжения V(?), индуцируемого в катушке
из-за прецессии спина А вокруг —Во с частотой uoa после считывающего им-
пульса XA- V(t) есть V(t) и Vo Tr [e~iJVte~l 2 x p@)e 2 X eiJVt х {-%ЭхАЭуа)\
где ^{ж,^} — матрицы Паули, а р@) — матрица плотности состояния непо-
редственно перед считывающим импульсом. В соответствии с этим, спек-
спектральная линия для спина А действительна и положительна (отрицатель-
(отрицательна), когда спин А — |0) (|1)) непосредственно перед считывающим импуль-
ом Ха- Эксперимент был выполнен в Станфордском университете с исполь-
использованием магнита 11.7 Tesla Oxford Instruments и спектром типа Varian UNITY
Inova с тройной резонансной проверкой. 13С-меченый СНСЛз был получен в
Кембриджской изотопной лаборатории (Cambridge Isotope Laboratories, Inc.)
[CLM-262].
Заметим, что в при подготовке этой статьи мы узнали о похожем
ксперименте Дж. А. Джонса и М. Моски в Оксфордском университе-
университете [26].
138
Литература
Эксперимент
Эксперимент
Рис. 3. Экспериментально измеренная и теоретически ожидаемая матри-
матрица плотности отклонений после выполнения D-J алгоритма. Диагональ-
Диагональные элементы представляют собой нормированную заселенность состояний
|00), |01), |10) и |11) (слева направо). Недиагональные элементы представля-
представляют взаимосвязь между разными состояния. Амплитуды показаны с реальны-
реальными знаками компонент; все мнимые компоненты были малы. Матрица плот-
плотности отклонений была получена интегрально от спектральных линий про-
протона и углерода, полученных в 9 экспериментах с различным считывающи-
считывающими импульсами для каждого спина (томография квантового состояния [24]).
Наблюдаемые экспериментальные недостатки могут быть оценены следую-
следующим образом. В экспериментах нормированная заселенность чистых состо-
ний (в идеальном случае равная 1) варьировалась от 0.998 до 1.019. Дру-
Другие элементы матрицы плотности отклонений (в идеальном случае 0) были
по величине меньше 0.075. Относительная ошибка е для экспериментальной
матрицы плотности рехр для чистых конечных состояний, определенная как
= || Рехр - ptheory || / || ptheory ||, варьировалась между 8 и 12% .
Благодарности
Мы благодарны Алексу Пайнесу и Марку Кубинеку за полезные
бсуждения. Эта работа была поддержана DARPA при инициативе
MRQC. Л. В. признателен Francqui Fellowship Бельгийского Амери-
Американского Образовательного Фонда и Yansouni Family Fellowship.
Адрес для корреспонденции: ichuang@almaden.ibm.com
Литература
[1] D.Deutsch. Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the
Universal Quantum Computer, Proc. R. Soc. Lond., A, 400, 97-117
A985).
Литература 139
[2] P. Shor. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and
factoring, Proc. 35t/l Ann. Symp. on Found, of Computer Science
(IEEE Сотр. Soc. Press, Los Alomitos, CA, 1994) 124-134.
[3] D.P. DiVincenzo. Quantum computation. Science 270, 5234, 255-261
A995).
[4] S. Lloyd. Quantum-mechanical computers. Scientific American 273,
44-50 (Oct. 1995).
[5] A.Ekert and R. Jozsa. Quantum computation and Shores factoring
algorithm. Rev. of Mod. Physics 68, 3, 733-753 A996).
[6] D.Deutsch and R. Jozsa. Rapid solution of problems by quantum
computation. Proc. R. Soc. Lond., A 439, 553-558 A992).
[7] D. Simon. On the power of quantum computation. Proc. 35t/l Ann.
Symp. on Found, of Computer Science (IEEE Сотр. Soc. Press, Los
Alamitos, CA, 1994) 116-123.
[8] L. K. Grover. Quantum computers can search arbitrarily large
databases by a single query. Phys. Rev. Lett. 79, 23, 4709-4012 A997).
[9] W. G. Unruh. Maintaining coherence in quantum computers. Phys.
Rev. A 51, 2, 992-997 A995).
[10] I. L. Chuang, R. Laflamme, P. Shor, W. H. Zurek. Quantum computers,
factoring, and decoherence. Science 270, 5242, 1633-1635 A995).
[11] R. Landauer. Dissipation and Noise Immunity in Computation and
Communication. Nature, Vol. 335, 779-784 A988).
[12] R. Landauer. Is Quantum Mechanics Useful? Phil. Trans. R. Soc.
Lond. A, 335, 367-376 A995).
[13] G. M. Palma, K.-A. Suominen and A. K. Ekert. Quantum Computers
and Dissipation. Proc. R. Soc. Lond., A, 452, 567-584 A996).
[14] C.Monroe, D.M.Meekhof, B.E.King, W.M.Itano, D.J.Wineland.
Demonstration of a fundamental quantum logic gate. Phys. Rev. Lett.
75, 25, 4714-4717 A995).
140 Литература
[15] Q. A.Turchette, С. J. Hood, W.Lange, H. Mabuchi, H.J.Kimble.
Measurement of conditional phase shifts for quantum logic. Phys. Rev.
Lett. 75, 25, 4710-4713 A995).
[16] S. Lloyd. A potentially realizable quantum computer. Science 261, 5128,
1569-1571 A993).
[17] N. Gershenfeld and I. L. Chuang. Bulk spin-resonance quantum
computation. Science 275, 5298, 350-356 A997).
[18] D.G.Cory, M.D.Price, A.F.Fahmy, T.F.Havel. Nuclear magnetic
resonance spectroscopy: an experimentally accessible paradigm for
quantum computing. Physica D, in print; lanl e-print quant-
ph/9709001 A997).
[19] D.G.Cory, A.F.Fahmy, and T.F.Havel. Ensemble quantum
computing by NMR spectroscopy. Proc. Nat. Acad. Sci. 94, 1634-1639
A997).
[20] R. Cleve, A.Ekert, C.Macchiavello and M.Mosca. Proc. R. Soc.
Lond., A, 454, 339-354 A998); lanl e-print quant-ph/9708016.
[21] C.P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. (Springer, Berlin,
1990).
[22] E. Knill, I. L. Chuang and R. Laflamme. Effective pure states for bulk
quantum computation, to appear in Phys. Rev. A, A998); lanl e-print
quant-ph/9706053.
[23] R. R. Ernst, G. Bodenhausen and A. Wokaun. Principles of Nuclear
Magnetic Resonance in One and Two Dimensions. (Oxford University
Press, Oxford, 1994).
[24] I. L. Chuang, N. Gershenfeld, M.G.Kubinec, D.W.Leung. Bulk
quantum computation with nuclear magnetic resonance: Theory and
experiment. Proc. R. Soc. Lond., A, 454, 447-467 A998).
[25] W. S. Warren. The Usefulness of NMR Quantum Computing. Science,
277 1688-1690 A997).
[26] T. F. Jones, M. Mosca. Implementation of a Quantum Algorithm to
Solve Deutsch's Problem on a Nuclear Magnetic Resonance Quantum
Computer, subm. to J. of Chem. Phys. A998); lanl e-print quant-
ph/9801027.
Квантовые вычисления с молекулами
Н. Гершенфелд, И. Чанг
(Heil Gershenfeld, Isaak L. ChuangI
Воспользовавшись ядерным магнитным резонансом, уче-
ученые могут заставить молекулы в некоторых самых обычных
жидкостях служить в качестве экстраординарного типа ком-
компьютера.
Факторизация чисел с 400 знаками — вычислительное искусство,
необходимое, чтобы взламывать некоторые секретные коды, — заняла
бы даже на самом быстром из существующих суперкомпьютеров бил-
биллионы лет. Но недавно задуманный тип компьютеров, который исполь-
использует квантово-механическое взаимодействие, может выполнить задачу
за год и, значит, посредством этого, разрушить многие из наиболее
искушенных шифровальных схем, которые широко используются. Се-
Секретные данные пока в безопасности, потому что еще никто не смог
построить практический квантовый компьютер. Но исследователи уже
сейчас продемонстрировали возможность приблизиться к этому. Такой
компьютер выглядел бы никак не иначе как машина, которая стоит на
вашем столе; удивительно, но она могла бы быть похожа со стороны на
чашку кофе.
Мы и некоторые другие исследовательские группы полагаем, что
квантовые компьютеры, основанные на молекулах в жидкости, смогут
однажды преодолеть многие из ограничений, с которыми столкнулись
обычные компьютеры. Препятствия на пути улучшения традиционных
компьютеров будут в конце концов возникать из ограничений для клас-
классической физики на миниатюризацию (например, потому что транзис-
транзисторы и электронные проволочки не могут быть сделаны тоньше разме-
размеров атома). Или они могут возникнуть по практическим причинам —
более вероятно потому, что оборудование для изготовления все более
1© Scientific American, 1998.
Перевод О. Д. Тимофеевской.
142 Н. Гершенфелд, И. Чанг
мощных микрочипов будет становиться баснословно дорогим. Однако,
магия квантовой механики может решить обе эти проблемы.
Преимущество квантовых компьютеров возникает из способа ко-
кодировки бита, фундаментальной единицы информации. Состояние бита
в классической цифровой вычислительной машине задается одной циф-
цифрой 0 или 1. TV-битное бинарное слово в типичном компьютере соот-
соответственно описывается строкой из п нулей и единиц. Квантовый бит,
называемый кубитом, мог бы быть представлен атомом в одном из двух
различных состояний, которые также можно обозначать как 0 или 1.
Два кубита, также как два классических бита, имеют четыре хорошо
пределенных состояния @ и 0, 0 и 1, 1 и 0, 1 и 1).
Но, в отличие от классических битов, кубиты могут существовать
дновременно в состояниях 0 и 1 с вероятностью для каждого состоя-
состояния, заданной числовым коэффициентом. Описание двукубитного кван-
квантового компьютера, таким образом, потребует четырех коэффициентов.
В общем, п кубитов требуют 2П чисел, что быстро становится множест-
множеством значительных размеров для больших значений п. Например, если п
равно 50, около 1015 чисел потребуется, чтобы описать все возможные
состояния квантовой машины — число, которое превышает способности
самого большого обычного компьютера. Квантовый компьютер обещает
езмерную мощность, потому что он может находиться во множестве
состояний одновременно — явление, называемое суперпозицией, — и
потому что он может действовать на все свои возможные состояния
дновременно. Таким образом, квантовый компьютер мог бы выпол-
выполнять несметное число операций параллельно, используя только единст-
единственный процессор.
1. Действие на расстоянии
Другое свойство кубитов еще более причудливо — и полезно. Во-
бразим физический процесс, когда излучаются два фотона (световых
пакета): один налево, а другой направо, с фотонами, имеющими проти-
противоположные поляризации для их осциллирующих электрических полей.
До детектирования поляризация каждого из фотонов недетерминирова-
на. Как было замечено Альбертом Эйнштейном и другими в начале сто-
етия, в тот момент, когда производится измерение поляризации для
дного фотона, состояние поляризации другого становится немедленно
фиксированным — не важно, как далеко он находится. Такое мгновен-
Квантовые вычисления с молекулами 143
ное действие на расстоянии действительно странно. Это явление поз-
позволяет квантовым системам развивать телепатическую связь, так на-
называемое скрещение, которое эффективно служит для коммуникации
между кубитами в квантовом компьютере. Это самое свойство поз-
позволило Антону Цайлингеру в университете Инсбрука в прошлом году
представить замечательную демонстрацию квантовой телепортации.
В 1994 году Питер Шор установил, как использовать преимущества
скрещенных состояний и суперпозиции состояний, чтобы разлагать на
простые множители целые числа. Он нашел, что квантовый компьютер
мог бы в принципе выполнить эту задачу гораздо быстрее, чем лучшая
классическая вычислительная машина. Его открытие имело громадное
значение. Неожиданно секреты шифровальных систем, которые зави-
зависели от трудностей факторизации больших чисел, стали ненадежными.
Но при заключении многих финансовых сделок принимаются меры пре-
предосторожности с помощью таких шифровальных схем. Результат Шора
нанес удар по краеугольному камню мировой электронной экономики.
Определенно никто не мог вообразить, что такой прорыв мог прий-
прийти откуда-то извне таких дисциплин, как вычислительная техника или
теория чисел. Итак, алгоритм Шора подсказал компьютерным уче-
ученым начать изучать квантовую механику, и он заставил физиков по-
юбительски начать заниматься вычислительной техникой.
2. Врачевание спинов
Все исследователи, созерцавшие открытие Шора, поняли, что соз-
создание полезного квантового компьютера собирается быть дьявольски
трудным. Проблема состоит в том, что почти любое взаимодействие с
кружающей средой — скажем, атом, сталкивающийся с другим ато-
атомом, или рассеянный фотон — составляет измерение. Суперпозиция
квантово-механических состояний тогда коллапсирует в единственное
чень хорошо определенное состояние — то, что детерминируется на-
людателем. Это явление, известное как декогерентность, делает даль-
дальнейшие квантовые вычисления невозможными. Поэтому внутренняя
работающая часть квантового компьютера должна быть как-то отде-
ена от окружающей среды, чтобы поддерживать когерентность. Но
на должна быть также легко доступна, чтобы вычисления могли быть
загружены, выполнены и результаты выведены.
Предшествующая работа, включавшая элегантные эксперименты
144
Я. Гершенфелд, И. Чанг
К. Монро и Д. Вайлэнда из Национального института Стандартов и Тех-
Технологии и X. Кимбла из Калифорнийского Технологического института,
делала попытку решить эту проб-
проблему тщательной изоляцией кван-
тово-механического сердца их
компьютера. Например, магнит-
магнитное поле может захватить не-
неэлектрические
контакты
пробирка
с жидкостью
полюсные
наконечники
остоянный
магнит
железный
сердечник
сколько заряженных частиц, ко-
которые потом могут быть заморо-
заморожены в чисто квантовом состоя-
состоянии. Но даже такие героические
усилия продемонстрировали толь-
только элементарные квантовые опе-
операции, так как эти новые приборы
содержат только несколько битов
и они теряют когерентность очень
быстро.
К тому же, как тогда кван-
квантовый компьютер можно исполь-
использовать, если он нуждается в та-
такой хорошей изоляции от окру-
окружающей среды? В прошлом го-
году мы обнаружили, что обычная
жидкость может исполнить все
операции квантово-механических
вычислений: загрузка в началь-
начальное состояние, применение логи-
логических операций к скрещенным
Основные элементы настольного суперпозициям и вывод конеч-
квантового компьютера, собран- ного результата. Вместе с груп-
ного авторами. Через несколько пой из Гарвардского Университе-
ет такой прибор будет работать та и Массачусетского Технологи-
аже лучше, чем коммерческий ческого Института мы обнаружи-
ЯМР-спектрометр, который они ли? что меТодами ядерного маг-
используют сейчас для своих иссле- нитного ре3онанса (ЯМР) (подоб-
ований.
ные методам, используемым для
магнитно-резонансных изображений — МРИ) можно манипулировать
Квантовые вычисления с молекулами
145
квантовой информацией в том смысле, что она может представлять со-
ой классическую жидкость.
Оказывается, наполнение пробирки жидкостью, состоящей из под-
подходящих молекул — то есть использование огромного числа индиви-
индивидуальных квантовых компьютеров вместо одного — непосредственно
связано с проблемой декогерентности. Представляя каждый кубит ог-
огромным набором молекул, можно допустить взаимодействие с несколь-
несколькими из них, не нарушая состояния остальных. Фактически химики,
которые используют ЯМР в течение десятилетий, чтобы изучать слож-
сложные молекулы, все это время производили квантовые вычисления.
180°-импульс
90°-импульс
Магнитные ядра ведут себя как вращающиеся волчки. Ось спина в нормаль-
нормальном положении ориентирована вдоль направления приложенного постоянного
магнитного поля (в центре). Подходящее переменное поле может вызвать пе-
переориентацию спина. Например, 180-градусный импульс (слева) заставляет
вращающееся ядро полностью перевернуться. 90-градусный импульс (спра-
(справа) заставит его наклониться перпендикулярно к постоянному магнитному
полю (вертикальная стрелка). После такого отклонения ось спина будет сама
обой медленно вращаться (прецессировать), совсем как детская игрушка.
Ядерный магнитный резонанс оперирует с квантовыми частица-
частицами в ядрах внутри молекул жидкости. Частицы со «спином» дейст-
действуют как крошечные магнитики и будут выстраиваться вдоль прило-
енного внешнего магнитного поля. Две противоположные ориентации
(параллельно и антипараллельно внешнему полю) соответствуют двум
квантовым состояниям с различными энергиями, которые естественно
составляют кубит. Можно положить, что параллельный спин соответ-
соответствует числу 1 и антипараллельный числу 0. Параллельный спин имеет
146 Н. Гершенфелд, И. Чанг
олее низкую энергию, чем антипараллельный, на величину, которая
зависит от напряженности приложенного внешнего магнитного поля.
Обычно противоположные направления спинов присутствуют в жид-
жидкости в равных количествах. Но приложенное поле создает более вы-
выгодные условия для параллельных спинов, поэтому возникает легкий
дисбаланс между двумя состояниями. Этот незначительный излишек,
составляющий, возможно, лишь одно ядро на миллион, измеряется во
время ЯМР-экспериментов.
В дополнение к этому постоянному магнитному полю ЯМР-проце-
дура также использует переменные электромагнитные поля. Приклады-
Прикладывая переменное поле на правильной частоте (определяемой величиной
постоянного поля и внутренними свойствами частицы, к которой оно
прикладывается), определенные спины можно заставить перевернуть-
перевернуться в другое состояние. Эта особенность позволяет переориентировать
дерные спины по желанию.
Например, протоны (ядра водорода), помещенные в постоянное
магнитное поле с напряженностью 10 тесла, можно заставить изме-
изменить направление спина, прикладывая магнитное поле, осциллирующее
с частотой около 400 МГц — т. е. на радиочастотах. Хотя его включают
бычно только на несколько миллионных секунды, такие радиоволны
поворачивают спины ядер вокруг направления переменного поля, ко-
которое обычно ориентировано под прямым углом к постоянному полю.
Если радиочастотный импульс продлится как раз столько, чтобы по-
повернуть спины на 180°, избыток магнитных ядер, первоначально ори-
нтированных вдоль постоянного поля, будет теперь направлен проти-
противоположно, т. е. в антипараллельном направлении. Импульс с половин-
половинной длительностью будет заставлять частицы с равной вероятностью
риентироваться параллельно или антипараллельно.
В квантово-механических терминах спин будто бы находится в обо-
обоих состояниях 0 и 1 одновременно. Обычное классическое толкование
той ситуации изображает оси спинов частиц направленными под уг-
ом 90° к постоянному магнитному полю. Затем, как детский волчок,
который отклонился от вертикали под действием гравитации, ось спина
частицы сама собой вращается, т. е. прецессирует вокруг магнитного
поля с характеристической частотой. При этом излучается слабый ра-
радиосигнал, который может быть зарегистрирован ЯМР-аппаратурой.
Фактически, частицы в ЯМР-экспериментах испытывают дейст-
действие более сильного поля, чем приложенное извне, потому что каждое
Квантовые вычисления с молекулами 147
крошечное атомное ядро влияет на величину магнитного поля в своей
окрестности. В жидкости постоянное движение молекул друг относи-
относительно друга практически уравновешивает эту локальную магнитную
рябь. Но одно магнитное ядро может действовать на другое в той же
самой молекуле, когда оно возмущает электроны, вращающиеся вокруг
них обоих.
Несмотря на трудности, это взаимодействие внутри молекулы ока-
оказывается весьма полезным. Оно позволяет легко построить гейт, основ-
основную единицу вычислений, используя два ядерных спина. Для наших
экспериментов мы использовали хлороформ (СНС1з). Мы были заинте-
заинтересованы воспользоваться взаимодействием между спинами ядер во-
водорода и углерода. Так как ядро обычного углерода, углерода 12, не
имеет спина, мы использовали хлороформ, содержащий углерод с до-
дополнительным нейтроном, который придает ядру полный спин.
Предположим, что спин водорода направлен вверх или вниз, парал-
параллельно или антипараллельно вертикально приложенному магнитному
полю, в то время как спин углерода ориентирован так, что опреде-
определенно направлен вверх, параллельно этому постоянному магнитному
полю. Правильно подобранный радиочастотный импульс может повер-
повернуть каждый углеродный спин вниз в горизонтальную плоскость. Ядра
глерода будут теперь прецессировать вокруг вертикали со скоростью
вращения, которая зависит от того, оказалось ли ядро водорода в той же
молекуле также параллельным приложенному полю. После определен-
определенного короткого промежутка времени углерод будет находиться в одном
направлении или точно противоположном, в зависимости от того, был
ли спин соседнего водорода направлен вверх или вниз. В этот момент
мы прикладываем другой радиочастотный импульс, чтобы повернуть
ядро углерода еще на 90°. Этот маневр перебрасывает ядра углерода
в положение вниз, если соседний водород был вверх, или вниз, если
водород был вверх.
Эта серия операций соответствует тому, что электротехники на-
называют функцией исключенное ИЛИ, что, возможно, лучше назвать
контролируемое НЕ (потому что состояние одного входа контролиру-
контролирует, будет ли сигнал на другом входе перевернут на выходе). Тогда как
классическим компьютерам требуются как подобные гейты с двумя
входами, так и более простые НЕ-гейты с одним входом в своей кон-
конструкции, группа исследователей показала в 1995 году, что квантовые
вычисления могут быть выполнены только с помощью вращений, при-
Н. Гершенфелд, И. Чанг
90° вниз
поворот
углерода 90° вниз
импульсом
быстро
быстро
и
о
и
ф
S
S
быстро
медленно
и
я
ф
ф
о
о
S
ф
медленно
медленно
/Л >
90° вверх
поворот
импульсом 90°^верх
еще на 90°
С перевернутый
С неперевернутый
Контролируемый НЕ-гейт переворачивает входные данные на одном из двух
входов в зависимости от состояния второго. Авторы создали контролируе-
контролируемый НЕ-гейт, используя взаимодействие между спинами ядер водорода и уг-
ерода в молекуле хлороформа. Во-первых, переменный импульс избиратель-
избирательно поворачивает ядро углерода на 90°. Это ядро прецессирует быстро (если
пины ядер водорода и углерода направлены одинаково) или медленно (ес-
и их ориентация противоположна). Выбирая подходящий момент времени и
прикладывая другой 90-градусный импульс, заставим углерод перевернуть-
я (слева) или остаться в первоначальном (справа) состоянии, в зависимости
т состояния соседнего водорода.
мененных к индивидуальным спинам, и контролируемых НЕ-гейтов.
актически, этот тип квантовых гейтов гораздо более универсален,
чем их классический эквивалент, так как спины, на которых он бази-
базируется, могут быть в суперпозиции вверх-вниз состояний. Квантовые
Квантовые вычисления с молекулами 149
компьютеры могут, следовательно, оперировать одновременно на ком-
инациях кажущихся несовместимыми входов.
3. Две вещи сразу
В 1996 году мы намеревались с Марком Кубинеком из Университе-
Университета Калифорнии, Беркли, построить современный двубитный квантово-
механический компьютер, сделанный из хлороформа. Подготовка входа
даже для этого двубитного прибора требует значительных усилий. Се-
Серия радиочастотных импульсов должна трансформировать бесчислен-
бесчисленное число ядер экспериментальной жидкости в совокупность, у кото-
которой все избыточные спины ориентированы нужным образом. Потом эти
кубиты должны быть последовательно модифицированы. В противо-
противоположность битам в традиционном электронном компьютере, которые
мигрируют упорядоченным образом через последовательность гейтов в
процессе вычислений, кубиты никуда не идут. Вместо этого гейты до-
доставляются им благодаря различным ЯМР-манипуляциям. В сущности,
выполняемая программа скомпилирована в серию радиочастотных им-
импульсов.
Первое вычисление, применяющее уникальные возможности кван-
тово-механических вычислений, которое мы выполнили, следовало ост-
остроумному алгоритму поиска, изобретенному Ловом Гровером из Бел-
овской Лаборатории. Типичный компьютерный алгоритм поиска же-
аемого элемента, который затерялся где-то в базе данных из п эле-
элементов, потребовал бы в среднем около п/2 попыток, чтобы его найти.
Изумительно, но квантовый поиск по Гроверу может засечь нужный
лемент примерно за ура попыток. Как пример такой экономии, мы про-
продемонстрировали, что наш двубитный компьютер смог найти элемент,
спрятанный в списке из четырех возможностей, за один шаг. Класси-
Классическое решение этой задачи сродни открыванию двубитных висячих
замков наугад: было бы невероятно найти правильную комбинацию с
первой попытки. Фактически, классический метод решения потребовал
ы в среднем между двумя и тремя попытками.
Ясно, что основное ограничение компьютера на хлороформе — ма-
енькое число кубитов. Число кубитов можно бы было расширить, но п
не может быть больше, чем число атомов в используемой молекуле. С
существующим ЯМР-оборудованием самый большой квантовый ком-
компьютер, который можно сделать, имел бы только около 10 кубитов
150
Н. Гершенфелд, И. Чанг
Классический кодовый замок
случайные
начальные
условия
ставим
первый
код ...
...затем
пробуем
следующий
.. и следующий пока
замок
не откроется
Квантовый кодовый замок
случайные
начальные
условия
ставим в четыре
состояния
одновременно
аза приготовления
н
применяем
алгоритм
Гровера
для поиска
особого
состояния
Взлом секретного замка с помощью квантового колдовства требует мень-
меньше попыток. Например, двубитный классический замок может потребовать
четыре попытки, чтобы его открыть (вверху). В среднем, n-битный замок
требует п/2 попыток. Так как квантовый замок может быть поставлен во
множество состояний сразу, потребуется только около у/п шагов, чтобы от-
открыть его, если использовать алгоритм Гровера. Эксперименты авторов со-
тветствуют открыванию двубитного квантового замка, который (при соот-
соответствующей подготовке) может быть поставлен в правильную комбинацию
за один шаг (внизу). Числа на циферблате указывают относительную веро-
тность для каждого из четырех квантовых состояний.
(так как при комнатной температуре величина нужного сигнала быст-
быстро уменьшается, когда число магнитных ядер в молекуле увеличивает-
увеличивается). Специальное ЯМР-оборудование, предназначенное для подходящей
молекулы, могло бы предположительно увеличить это число раза в три-
Квантовые вычисления с молекулами 151
четыре. Но чтобы создать компьютеры еще больше, понадобились бы
другие методы, такие как оптическая накачка, чтобы «охладить» спи-
спины. Это означает, что свет от подходящего лазера мог бы помочь ориен-
ориентировать ядра, эффективно устраняя тепловое движение молекул — но
ез реального замораживания жидкости и сохраняя большие времена
когерентности.
Итак, можно построить более крупные квантовые компьютеры. Но
насколько быстрыми они бы были? Эффективное время цикла квантово-
квантового компьютера определяется наименьшей скоростью, с которой спины
повернутся на полный оборот. Эта скорость, в свою очередь, диктуется
взаимодействием между спинами и обычно заключена между сотнями
циклов в секунду до нескольких циклов в секунду. Хотя работа цикла,
составляющая доли секунды, кажется ужасно медленной по сравнению
с мегагерцовой скоростью современных компьютеров, квантовые ком-
компьютеры с достаточным числом кубитов могли бы достигать такого
массивного квантового параллелизма, что дало бы еще множитель в
400 десятичных знаков, что составляет обратный год.
Давая такое обещание, мы очень много думали, как квантовый
компьютер можно физически сконструировать. Найти молекулы с до-
достаточным числом атомов — не проблема. Расстройство планов связано
с тем, что по мере того как размеры молекул увеличиваются, взаимо-
взаимодействие между наиболее удаленными спинами становится слишком
слабым, чтобы использовать его для логических гейтов. Но не все еще
потеряно. С.Ллойд из M.I.T. показал, что мощные компьютеры могут
ыть в принципе построены, даже если атом взаимодействует только
с несколькими из своих ближайших соседей, во многом подобно тому,
как работают сегодняшние параллельные компьютеры. Такой вид кван-
квантовых компьютеров можно бы было сделать из длинных молекул гид-
гидроуглерода, также используя ЯМР-технику. Спины во многих атомных
драх, которые связаны в длинную цепочку, служили бы тогда кубита-
ми.
Другой барьер для практических ЯМР-компьютеров состоит в ко-
когерентности. Вращающиеся ядра в жидкости, подобно пловцам син-
синхронного плавания, теряющим согласованность, начинают терять коге-
когерентность через интервал от нескольких секунд до нескольких минут.
Наиболее длинное время когерентности для жидкости по сравнению
с характеристическим временем цикла предполагает, что может быть
проведено около 1 000 операций, пока квантовая когерентность все еще
152 Н. Гершенфелд, И. Чанг
сохраняется. К счастью, возможно расширить этот предел, добавляя
дополнительные кубиты для исправления квантовых ошибок.
Хотя классические компьютеры используют экстра-биты для об-
обнаружения и исправления ошибок, многие эксперты были удивлены,
когда Шор и другие показали, что то же самое может быть сделано
квантовомеханически. Они наивно полагали, что квантовое исправле-
исправление ошибок требует измерения состояния системы и, следовательно,
нарушения когерентности. Однако оказалось, что квантовые ошибки
могут быть исправлены внутри компьютера, без вмешательства при-
приора, считывающего ошибочное состояние.
Все же, достичь размеров, которые сделают квантовые компью-
компьютеры настолько большими, чтобы конкурировать с самыми быстрыми
классическими компьютерами, будет особенно трудно. Но мы полагаем,
что принять вызов на такое состязание имеет большое значение. Кван-
Квантовые компьютеры, даже скромные, будут необходимы суперлаборато-
суперлаборатории для изучения принципов квантовой механики. С этими приборами
исследователи будут иметь возможность исследовать другие квантовые
системы, представляющие фундаментальный интерес, просто запуская
соответствующие программы.
Это звучит иронично, но такие квантовые компьютеры, возмож-
возможно, помогут ученым и инженерам решить проблемы, с которыми они
сталкиваются, когда стараются сконструировать традиционные микро-
микрочипы с чрезвычайно маленькими транзисторами, которые ведут себя
квантовомеханически, когда уменьшаются в размерах до определенно-
определенного предела.
Классические компьютеры испытывают огромные трудности, ре-
решая такие задачи квантовой механики. Но квантовые могли бы сделать
то легко. Именно такая возможность вдохновила позднего Ричарда
Фейнмана рассуждать о том, могут ли квантовые компьютеры быть
действительно построены.
Быть может, наиболее приятная сторона состоит в понимании то-
того, что создание квантовых компьютеров не потребует производства
крошечных микросхем атомных размеров или других сложнейших при-
приоров с использованием нанотехнологии. Действительно, природа уже
завершила самую тяжелую часть технологического процесса, собрав
сновные компоненты. Все время обычные молекулы знали, как вы-
выполнять замечательный вид вычислений. Люди только не задавали им
правильных вопросов.
Литература 153
Литература
[1] P. Slichter. Principles of Magnetic Resonance. Third edition. Charles
Springer-Verlag, 1992.
[2] C.H.Bennett. Quantum Infomation AND Computation. Physics
Today. Vol. 48, № 10, p. 24-30; October 1995.
[3] S.Lloyd. Quantum-Mecanical Computers. Scientific American,
Vol. 273, №4, p. 44-50; October 1995.
[4] N. A. Gershenfeld and I. L. Chuang. Bulk Spin-Resonance. Quantum
Computation. Science, Vol. 275, pp. 350-356; January 17, 1997.
[5] L. K. Grover. Quantum Mechanics hepls in searching for a needle in a
haystack. Physical Review Letters, Vol. 79, №2, p. 325-328; July 14,
1997. (См. предыдущую статью настоящего сборника.)
Быстрый поиск с ядерно-магнитным
резонансным компьютером
Джонатан А. Джоунс
(Jonathan A. JonesI
Квантовые компьютеры могут совершить революцию во многих
отраслях науки благодаря своей способности решать задачи, которые
слишком трудны для обычных компьютеров. Хотя теория проста (см.
сопутствующий комментарий Гровера [1]), реальное построение кван-
квантовых компьютеров оказывается чрезвычайно трудным, и до недав-
недавнего времени было возможно демонстрировать только очень простые
операции. Однако, последние несколько лет стали временем чрезвычай-
чрезвычайно быстрого развития компьютеров, основанных на ядерно-магнитной
резонансной (ЯМР) спектроскопии. Исследователи в IBM, Массачусет-
ском Технологическом Институте и Университете Калифорнии в Берк-
Беркли [2], а также мои коллеги в Оксфорде [3] продемонстрировали в насто-
настоящее время мощный квантовый алгоритм поиска с малыми ЯМР-ком-
пьютерами.
Все действующие конструкции построены из тех же самых основ-
основных компонентов, квантовых битов (кубитов) и квантовых логических
гейтов. Кубиты являются квантовым аналогом классических битов, но
если биты могут принимать только две различные величины 0 и 1,
кубиты не ограничены этими двумя базисными состояниями, обозна-
обозначаемыми как |0) и |1), а могут также существовать в таких состояниях,
как |0) + |1), называемых суперпозициями. Кубит в этом состоянии не
находится ни просто в состоянии |0) или |1), ни в промежуточном состо-
состоянии; скорее кубит находится в обоих состояниях одновременно. Кван-
Квантовые логические гейты действуют на кубиты так же, как классические
логические операции действуют на классические биты, но квантовые
гейты также работают с суперпозициями и поэтому могут совершать
множество операций в одно и то же время.
1 Centre for Quantum Computating and the Oxford Centre for Molecular Sciences,
New Chemistry Laboratory, South Parks Road, Oxford 0X1 3QT UK.
E-mail: jones@bioch.ox.ac.uk.
Перевод О. Д. Тимофеевской.
Быстрый поиск с ядерно-магнитным резонансным компьютером 155
Кубит можно приготовить из любой квантово-механической сис-
системы с двумя состояниями. В ЯМР-компьютерах используются два
спиновых состояния атомного ядра со спином 1/2 в магнитном поле.
Различные атомы в молекуле можно отличить друг от друга, поэто-
поэтому молекула может быть использована как квантовый компьютер, где
каждый спин У2 ядра обеспечивает один кубит. Простые логические
гейты, которые воздействует только на единственный кубит, могут
ыть легко реализованы радиочастотными полями. Эти поля сильно
взаимодействуют с ядерными спинами, позволяя контролировать их с
громной точностью. Однако, чтобы выполнить интересные вычисле-
вычисления, нужны более сложные гейты, которые позволяют состоянию од-
одного кубита действовать на другие кубиты в компьютере. Здесь тре-
уется такое взаимодействие между ядерными спинами, при котором
дин спин может чувствовать состояние других спинов в молекуле. К
счастью, имеющееся в природе спин-спиновое парное взаимодействие
имеет нужную форму.
ЯМР-сигнал от единственной молекулы слишком слаб, чтобы быть
зарегистрированным, и поэтому для усиления сигнала необходимо ис-
использовать большое число тождественных копий. Это сделать нетрудно,
так как даже несколько миллиграммов химического соединения будет
содержать требуемое число молекул. Невозможно, однако, быть уверен-
уверенными, что все копии начинают вычисления в том же самом начальном
состоянии, и поэтому различные копии будут на самом деле выпол-
выполнять различные вычисления, что делает чрезвычайно трудным извле-
извлечение нужного результата. Эта неспособность приготовить ЯМР-ком-
пьютеры в хорошо определенном начальном состоянии препятствовала
их использованию многие годы.
В 1997 году были опубликованы два независимых решения D) этой
проблемы. Оба доклада описали, как «выудить» эффективно чистое на-
начальное состояние из сложной смеси и, таким образом, запустить счет,
представляющий интерес (сигналы от других начальных состояний при
том можно скомпенсировать так, чтобы их общий результат свелся к
нулю). После этого были построены два различных двубитных ком-
компьютера: один — Чангом с сотрудниками B) на основе 1Н и 13С ядер в
изотопически помеченном хлороформе (см. рисунок) и второй — одной
из моих исследовательских групп в Оксфорде, используя два ядра 1Н в
цитозине C). Обе системы были использованы для выполнения просто-
простого квантового алгоритма решения задачи Дойча E), которая вычисляет
156 Д. А. Джоунс
значение функции для двух различных входов и позволяет сравнить два
значения. Это сравнение достигается с помощью единственной оценки
функции, которая применяется на двух входах одновременно.
Молекулярный бит. ХН и 13С изотопически помечен-
помеченного хлороформа ведут себя как маленькие магнитики и
взаимодействуют с внешним магнитным полем. Ядерные
спины, установившиеся вдоль поля, соответствуют куби-
\ -Ж I там в состоянии |0), в то время как те, что ориентирова-
ориентированы против поля, соответствуют кубитам в состоянии |1).
Молекула, изображенная здесь, представляет компьютер
в состоянии |0,1). Три молекулы хлора можно игнориро-
игнорировать.
Задача Дойча имеет огромный исторический интерес, но мало
практических приложений. В противоположность этому, гроверовский
квантовый алгоритм поиска имеет огромную практическую важность.
Простейшая версия, поиск единственного элемента среди четырех, мо-
моет быть реализована на двукубитном компьютере и находится, таким
бразом, в области находящихся в обращении ЯМР-систем. Чанг с со-
сотрудниками описали полную реализацию этого алгоритма на их ком-
компьютере на хлороформе B). Их результаты показывают, что возможно
окализовать желаемый элемент за один шаг, как предсказывалось, и
что также возможно установить, что имеется в самом деле только один
лемент, который должен быть найден. Мы представили подобную, но
менее полную реализацию этого алгоритма на нашем цитозиновом ком-
компьютере в Оксфорде C).
Реализация квантового алгоритма поиска — важный шаг вперед
для квантовых ЯМР-компьютеров, но не означает предела в их разви-
развитии. Следующая ступень состоит в реализации более сложных алгорит-
алгоритмов на больших системах (предварительные результаты на трехбитном
компьютере уже были продемонстрированы). Некоторые комментато-
комментаторы G) заявили, что будет невозможно построить ЯМР-компьютер с
ольшим числом кубитов, потому что эффективность процесса выделе-
выделения начального чистого состояния падает с числом кубитов. Эта крити-
критика определенно почти справедлива, но на практике трудно верить, что
ти ограничения не отпадут в ближайшем будущем. Другие пробле-
проблемы, связанные с трудностью выборочной адресации индивидуальным
спинам, сделают трудным построение ЯМР-компьютеров с более чем
Литература 157
шестью кубитами. Однако, это обеспечило бы возможность исследо-
исследовать многие важные проблемы. Это дало бы намного больше, чем любой
квантовый компьютер, который может быть построен с использовани-
м других методов в ближайшем будущем. ЯМР, вероятно, останется
идирующей технологией для квантовых компьютеров на многие гря-
грядущие годы.
Литература
[1] L.K.Grover. Science 280. 228A998); G. Brassard, Science 275, 627
A997).
[2] I. L. Chuang, N. Gershenfeld, M. Kubinec. Phys. Rev. Lett.
[3] J. A. Jones, M. Moska, R. H. Hansen, in preparation.
[4] N. Gershenfeld, I. L. Chuang. Science 275 350 A997); D.G.Cory,
A. F. Farmy, T. F. Havel. Proc. Nath. Acad. Sci. USA, 94, 1634 A997).
[5] J. A. Jones and M. Mosca. J. Chem. Phys. in press
htth://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9601027.
I. L. Chuang et al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9801037.
[6] R. Laflamme et al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9709025.
D. G. Cory et. al. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9802018.
[7] See for example W.S. Warren. Science 277 1688 A997).
[8] Я благодарен М. Моске и Р. Хансену за плодотворные дискуссии.
Квантовые игры и квантовые стратегии
И. Айсерт и М. Уилкенс
(Jens Eisert and Martin WilkensI
M. Левенштайн
(Maciej LewensteinJ
Мы предлагаем распространить классическую теорию игр
на квантовую территорию. Для частного случая Дилеммы За-
Заключенного показано, что эта игра перестает быть дилеммой,
если в ней разрешены квантовые стратегии. Также построена
конкретная квантовая стратегия, которая всегда обеспечива-
обеспечивает преимущество при игре против любой классической стра-
стратегии. Обсуждаются возможные приложения для квантовой
теории информации.
Возможно, тот факт, что физика и игры могут иметь что-либо об-
общее, вызовет удивление. В конце концов, считается, что такие игры, как
шахматы или покер, основаны на блефе, догадках и других действиях
нефизического характера. Более того, как было показано фон Нейма-
Нейманом и Моргенштерном [1], разумный выбор не является существенным
для теории игр. На более абстрактном уровне, теория игр занимается
величинами, которые могут быть максимизированы или минимизиро-
минимизированы в результате некоторых действий [2]. Поэтому для специалиста по
квантовой теории естественно задаться вопросом, что произойдет, ес-
если будут разрешены линейные суперпозиции таких действий, т. е. если
распространить игры на квантовую территорию.
Имеются несколько причин, по которым квантовые игры могут
быть интересны. Во-первых, классическая теория игр является хоро-
хорошо развитой отраслью прикладной математики [3], нашедшей много-
многочисленные приложения в экономике, психологии, экологии и биоло-
биологии [2, 3, 4, 5, 6]. То, что она в большой мере основана на вероятности,
1Institut fur Physik, Universitat Potsdam, 14469 Potsdam, Germany.
2Institut fur Theoretische Physik, Universitat Hannover, 30167 Hannover, Germany.
Перевод И. О. Чередникова.
Квантовые игры и квантовые стратегии 159
Алиса: С
Алиса: D
Боб: С Боб: D
C,3) @,5)
E,0) A,1)
Таблица 3. Матрица выигрыша для Дилеммы Заключенного. Первое число в
скобках обозначает выигрыш Алисы, а второе — Боба. Численные значения
выбраны по [5]. С учетом ур. C) этот выбор соответствует г = 3 («награда»),
р = 1 («наказание»), t = 5 («искушение»), и s = 0 («выигрыш простака»).
обусловливает фундаментальный интерес к обобщению этой теории на
область квантовых вероятностей [7]. Во-вторых, если «эгоистичные ге-
гены» («Selfish Genes») [6] — реальность, то можно предположить, что
игры выживания [5, 6] разыгрываются уже на молекулярном уровне,
где правила диктует квантовая механика. В-третьих, недавно обнару-
обнаружилось, что подслушивание при передаче информации по квантовому
каналу [8, 9, 10] и оптимальное размножение [11] могут быть просто
представлены как стратегические игры между двумя или более игро-
игроками, с целью получить как можно больше информации при заданных
условиях [12]. Наконец, было показано, что в квантовых вычислениях
некоторые задачи, не поддающиеся обработке согласно классической те-
теории сложности, становятся разрешимыми при использовании кванто-
квантовых алгоритмов [13]. В квантовой теории игр делается предположение
о том, что существуют квантовые стратегии, более эффективные по
сравнению с чисто классическими [7]. В данной работе будет показано,
что это действительно так.
Рассмотрим для определенности квантовую теорию бинарных игр
с выбором для двух игроков. Одним из элементов этого класса, нашед-
нашедшего широкое применение во многих областях науки, является Дилем-
Дилемма Заключенного. В Дилемме Заключенного каждый из двух игроков,
Алиса и Боб, должен независимо решить, следует ли ему или ей предать
другого (стратегия D), или действовать с ним заодно (сотрудничать)
(стратегия С). В зависимости от принятых решений, каждый игрок
получает некий выигрыш — см. табл. 1. Целью каждого игрока яв-
является максимизация своего индивидуального выигрыша. Ловушкой в
данной дилемме становится то, что D — доминантная стратегия, т. е.
рациональные аргументы подталкивают каждого к предательству, что
существенно ухудшает ситуацию по сравнению с той, когда оба решили
бы сотрудничать [14]. В терминах теории игр, взаимное предательство
160 Й. Айсерт, М. Уилкенс, М. Левенштайн
является также равновесием Нэша [3]: при ретроспективном размышле-
размышлении о варианте DD каждый игрок приходит к выводу, что он или она не
мог бы сделать лучший ход, односторонне меняя свою стратегию [15].
В этой статье мы покажем, что Дилемма Заключенного переста-
перестает быть дилеммой, если игрокам разрешено использовать квантовые
стратегии. Более того, мы продемонстрируем, что: (i) существует опре-
определенная пара квантовых стратегий, которая всегда дает выигрыш и
является равновесием Нэша, и (ii) существует определенная квантовая
стратегия, которая всегда дает выигрыш при игре против любой клас-
классической стратегии.
Физически, данная бинарная игра для двух игроков с выбором лег-
легко реализуется с помощью (i) источника двух битов, один бит на каж-
каждого игрока, (ii) набора физических методов, позволяющих игроку ма-
манипулировать со своим битом в соответствие с избранной стратегией,
и (ш) измеряющего прибора, определяющего выигрыш игроков, исходя
из совокупного состояния двух битов. Все три составляющих (источ-
(источник, физические методы игроков и прибор для измерения выигрыша)
считаются полностью известными обоим игрокам.
Квантовая формулировка дополняется заданием возможных ре-
результатов классических стратегей D и С с помощью двух базисных
векторов \D) и \С) в гильбертовом пространстве двухуровневой систе-
системы, т. е. кубитов. В каждом случае состояние игры описывается векто-
вектором в пространстве тензорного произведения с базисом классической
игры |СС), \CD), \DC) и \DD), где первый и второй элементы отно-
относятся к кубитам Алисы и Боба соответственно.
Реализация квантовой игры может быть представлена как прос-
простая квантовая сеть [16] с источниками, обратимыми однобитовыми и
двубитовыми гейтами и стоками (см. рис. 1). Обозначим начальное со-
состояние игры как l^o)- Удобно рассматривать |^о) как унитарное пре-
преобразование фиксированного вектора |СС),
\Фо) = J\CC), A)
где 3 — унитарный оператор, который известен обоим игрокам. В
честной игре J должен быть симметричным по отношению к переста-
перестановке игроков.
Стратегии выполняются на упорядоченной паре кубитов в состо-
состоянии l^o). Стратегические ходы Алисы и Боба задаются унитарными
Квантовые игры и квантовые стратегии
161
операторами Uа и Ub соответственно, которые выбираются из стра-
стратегического пространства S. Независимость игроков обусловливает то,
что Uа и Ub действуют исключительно на кубиты Алисы и Боба со-
соответственно. Стратегическое пространство S может, следовательно,
ыть отождествлено с некоторым подпространством группы унитар-
унитарных 2x2 матриц.
Сделав свои ходы, привед-
приведшие к состоянию игры (Ua ®
® Ub) 3 \СС), Алиса и Боб на-
направляют свои кубиты для окон-
окончательного измерения, которое
определит их выигрыш. Это из-
измерение может быть выполнено
с помощью приготовления-к-из-
мерению, соответствующего уни-
унитарному оператору 3• Положим с условием, что это будет подтверж-
подтверждено в дальнейшем, 3 — 3\ так что конечное состояние игры перед
измерением \\j)f) = \ipf(UA,UB)) задается как
а
Рис. 1. Реализация квантовой игры
для двух игроков.
J\CC).
B)
Выигрыш каждого игрока есть эрмитов оператор, который мы считаем
диагональным в базисе классической игры. Для Дилеммы Заключенно-
Заключенного оператор выигрыша Алисы имеет вид
r\CC)(CC\ +p\DD)(DD\
t\DC)(DC\ + s\CD){CD\,
C)
выигрыш Боба получается заменой t «->¦ s в двух последних элемен-
элементах (численные значения см. в табл. 1). Ожидаемый выигрыш игро-
игрока а = А, В является квантово-механическим средним Ра = (ipf\$a\ipf)
[18]. Отметим, что ожидаемый выигрыш Алисы Ра зависит не только
от ее выбора стратегии Ua, но также от выбора Боба Ub-
Удобно ограничить пространство стратегий 2-параметрическим
множеством унитарных 2x2 матриц
Щв,ф) =
sin 0/2
-sin 0/2 е"** cos 0/2
D)
162 И. Айсерт, М. Уилкенс, М. Левенштайн
где 6 G [О,тг] и ф G [0,тг/2]. Для определенности поставим в соответствие
чистой стратегии «сотрудничество» оператор С = С/@,0),
E)
чистой стратегии «предательство» — переворот спина, Z) = С/(тг,О),
Для классической игры представляют интерес также смешанные стра-
стратегии, когда сотрудничество выбирается с вероятностью р. Эти стра-
стратегии представляются [/(#,0), где р = cos2 6/2. Заметим, что все клас-
классические стратегии, чистые или смешанные, характеризуются ф = 0.
Чтобы гарантировать, что классическая версия данной игры пред-
представлена верно, наложим вспомогательное условие
J,UF,0)®UFf,0)] =0 G)
для всех 6,6' G [О,тг]. Условие G) вместе с J = J* гарантирует, что
юбая пара классических стратегий, чистых или смешанных, дает со-
соответствующий классический выигрыш. Например, пара D ®С приво-
приводит игру в конечное состояние \ij)f) = \DC), что дает Pa(D,C) = 5
и Pb(D,C) = 0, в согласии с классической матрицей выигрыша
(табл. 1).
После выделения абелевых подгрупп, дающих не что иное, как пе-
перепараметризацию квантового сектора пространства стратегий 5, ре-
решение G) выглядит как
3 = expUjD®S\ , (8)
где 7 ? [0, 2тг] — действительный параметр. В самом деле, 7 является
мерой скрещения игры. Для 7 = 0 |^о) = |СС)? и скрещения нет. В этом
случае присутствует соответствие много-в-одно по отношению к ожи-
ожидаемому выигрышу между всеми возможными стратегиями и множес-
множеством классически смешанных стратегий. На рис. 2 показан ожидаемый
выигрыш Алисы для 7 = 0. Как видно из рисунка, для любого выбора
Квантовые игры и квантовые стратегии
163
D
D
Рис. 2. Выигрыш Алисы в игре без скрещения. На этом и следующем гра-
графиках мы выбрали такую параметризацию, что стратегии JJа и Ub зави-
ят только от одного параметра t Е [—1,1]: мы положили Ua = Е/(?тг, 0)
ля t е [0,1] и С/а = U(p,-tir/2) для ? G [-1,0) (как и для Боба). Преда-
тельство D соответствует значению t = 1, сотрудничество С — i = 0 и Q
представлется ? = — 1.
Боба Ub выигрыш Алисы максимизируется, если она выбирает D. Дей-
Действительно, факторизованные квантовые игры не обнаруживают ника-
никаких свойств, выводящих за пределы классической игры со смешанными
стратегиями. В частности, D 0 D — равновесие доминантных страте-
стратегий.
Ситуация становится принципиально отличной, когда начальное
состояние является максимально скрещенными состоянием |^о) =
= (\СС) + i\DD))/y/2, т. е. 7 = тг/2. Здесь существуют пары стратегий,
не имеющих аналогов в классической области, хотя на основании G) иг-
игра ведет себя как полностью классическая, если оба игрока выбирают
ф = 0. На рис. 3 показан выигрыш Алисы в Дилемме Заключенного как
функция стратегий Uaj Ub- Если Боб выбирает D, наилучшим ответом
для Алисы будет Q = С/@,тг/2),
Q =
в то время как для выбора Боба С наилучшей стратегией Алисы будет
предательство D. Таким образом, для Алисы нет доминантной страте-
гии. Поскольку игра симметрична, то же верно и для Боба, т. е. D 0 D
не является больше равновесием в доминантных стратегиях.
164 Й. Айсерт, М. Уилкенс, М. Левенштайн
D
Рис. 3. Выигрыш Алисы для максимального скрещения. Параметризация вы-
выбирается такая же, как и на рис. 2.
Интересно, что D(&D перестает быть равновесием Нэша, когда оба
игрока могут улучшить ситуацию путем одностороннего отклонения
от стратегии D. Однако, исчезновению равновесия D ® D сопутствует
новое равновесие Q ® Q с выигрышем Pa(Q,Q) = Pb(Q?Q) = 3. В
самом деле,
=cos2| C sin2 ф + cos2 ф) ^3 A0)
для всех в G [О,тг] и 0 G [0,тг/2] и аналогично Pb(Q,Ub) ^ Pb(Q,Q)
для всех С/^ ? ?5 так что никто не может выиграть от одностороннего
отклонения от Q 0 Q. Можно показать [19], что Q 0 Q есть единствен-
единственное равновесие, т. е. рациональные доводы заставляют обоих игроков
выбирать Q как оптимальную стратегию.
Интересно отметить, что Q&Q должен быть оптимальным по Па-
рето [3], т. е. отклонением от этой пары стратегий невозможно по-
повысить выигрыш одного из игроков, не понижая при этом выигрыша
другого. В классической игре только взаимное сотрудничество явля-
является оптимальным по Парето, но это не равновесное решение. Можно
сказать, что при допущении квантовых стратегий игрокам удается из-
избежать дилеммы.
До сих пор мы рассматривали честные игры, когда оба игрока име-
имеют доступ к общему стратегическому пространству. А что произойдет,
если мы введем нечестную ситуацию: Алиса может использовать кван-
квантовую стратегию, т. е. ее стратегическое пространство по прежнему S.
Квантовые игры и квантовые стратегии 165
в то время как Боб вынужден применять только классические стра-
стратегии, чистые либо смешанные? В этом случае наилучшим способом
действий для Алисы будет игра М = С/(тг/2,тг/2),
(«чудесный ход»), что дает ей по меньшей мере выигрыш г = 3, по-
поскольку Рд(М,?/(#,0)) ^ 3 для любых в G [О,тг], и оставляет Бо-
Бобу Рв(М, t/@,0)) ^ 1/2 (см. рис. 4(а)). Таким образом, если в не-
нечестной игре Алиса может быть уверена, что Боб играет [/(#,0), она
может выбрать «Всегда-М» как предпочтительную стратегию в повтор-
повторной игре. Это определенно превосходит око за око, но следует помнить,
что для этого весьма существенна предположенная ранее асимметрия.
Интересно также исследовать зависимость преимущества Алисы
при нечестной игре от степени скрещения начального состояния |^о)*
Минимальный ожидаемый выигрыш т Алисы всегда может быть до-
достигнут выбором подходящей стратегии t/д:
m= max min Pa(Ua,Ub)', A2)
uAesuB=u(e,o)
Алиса не может выиграть меньше данной величины. Рассматри-
Рассматривая т как функцию параметра скрещения 7 ? [0,тг/2], легко понять,
что т@) = 1 (т. к. в этом случае доминантная стратегия D есть
оптимальный выбор), тогда как при минимальном скрещении име-
имеем т(тг/2) = 3, что достигается при игре М. Рис. 4(Ь) показыва-
показывает т как функцию параметра скрещения j. Мы видим, что в дей-
действительности т есть монотонно растущая функция 7? и максималь-
максимальное преимущество достигается только при максимальном скрещении.
Далее, Алисе следует отказаться от стратегии D, если и только ес-
если степень скрещения превышает определенное пороговое значение
th = arcsin(l/V5) ~ 0.464. Такое пороговое поведение напоминает фа-
фазовый переход первого порядка для оптимальной стратегии Алисы: на
пороге она должна дискретно поменять свою стратегию с D на Q.
Итак, мы показали, что при распространении классических игр,
таких как Дилемма Заключенного, на квантовую территорию возни-
возникают новые интересные особенности. Весьма аналогично случаю кван-
квантовой криптографии и вычислений обнаружено, что квантовые страте-
стратегии наилучшим образом реализуются при наличии скрещения [20, 21].
166
Литература
а)
т
Ъ)
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
О
Я"
О
Г
th
Г
nil
Рис. 4. Квантовые и классические стратегии: (а) Выигрыш Алисы как функ-
функция 0, когда Боб играет UF,0) (?7@,0) = С и С/(тг, 0) = I)) и выборы Алисы G
(сплошная линия), D (точки) или М (штрихи). (Ь) Ожидаемый выигрыш Али-
ы, который всегда может быть достигнут в нечестной игре, как функция
параметра скрещения j.
В нашем случае, скрещение вводилось таким образом, что при жела-
желании можно было бы играть в классическую игру. Такой принцип соот-
соответствия гарантирует возможность беспристрастного сравнения клас-
классической и квантово-механической игр. Вообще, способ квантования
данной классической игры не является единственным. Можно исполь-
использовать, например, возможность того, что оба игрока могут измерять
состояние своих кубитов перед стратегической манипуляцией, или до-
допустить приготовление-к-измерению, которое не отменяет скрещения,
введенного приготовлением начального состояния игры [19].
Это исследование было стимулировано вдохновляющей лекцией Ар-
Артура Экерта о квантовых вычислениях. Мы также признательны Раль-
Ральфу Думу, Тимо Фелбингеру и Анне Сапера за плодотворные обсужде-
обсуждения.
Литература
[1] J.von Neumann and О. Morgenstern. The Theory of Games and
Economic Behaviour (Princeton University Press, Princeton, 1947).
[2] W. Poundstone. Prisoner's Dilemma. John von Neumann, Game
Theory, and the Puzzle of the Bomb. (Doubleday, New York, 1992).
[3] R. B.Myerson. Game Theory: An Analysis of Conflict. (MIT Press,
Cambridge, 1991).
[4] M.D.Davis. Game Theory. A Nontechnical Introduction. (Dover, New
York, 1970).
Литература 167
[5] R. Axelrod. The Evolution of Cooperation. (Basic Books, New York,
1984).
[6] R. Dawkins. The Selfish Gene. (Oxford University Press, Oxford,
1976).
[7] D.A.Meyer, lanl e-print quant-ph/9804010.
[8] C.H.Bennett, F.Bessette, G. Brassard, L. Sal vail, and J.Smolin,
J. Crypto. 5, 3 A992).
[9] A.K.Ekert. Phys. Rev. Lett. 67, 661 A991).
[10] N.Gisin and B.Huttner. Phys. Lett. A 228, 13 A997).
[11] R.F.Werner, lanl e-print quant-ph/9804001.
[12] R. Derka, V. Buzek, and A. K. Ekert. Phys. Rev. Lett. 80, 1571 A998).
[13] A. Ekert and R. Jozsa. Rev. Mod. Phys. 68, 733 A996).
[14] Алиса рассуждает так: «Если Боб будет сотрудничать, мой выиг-
выигрыш будет максимальным, если и только если я предам. Если, на-
наоборот, Боб предаст, мой выигрыш опять будет максимальным,
если и только если я предам. Следовательно, я должна предать».
[15] Дилемму Заключенного следует отличать от тех ее версий, в ко-
которых два игрока играют в простую Дилемму Заключенного не-
несколько раз, учитывая всю предысторию игры. В компьютерном
турнире, проведенном Аксельродом, было показано, что стратегия
око за око превосходит все остальные стратегии [5].
[16] D.Deutsch. Proc. R. Soc. Lond. A 425, 73 A989).
[17] A.Steane. Rep. Prog. Phys. 61, 117 A998).
[18] Ожидаемый выигрыш следует отличать от реального выигрыша,
который определяется по правилам квантовой механики. Однако,
поскольку квантовая механика является принципиально вероят-
вероятностной теорией, только стратегическое понятие выигрыша есть
ожидаемый выигрыш.
[19] R.Dum, J.Eisert, M.Lewenstein, and M. Wilkens (to be published).
[20] A.Ekert, R. Jozsa, Phil. Trans. Roy. Soc. A 454 (in press); also
available as lanl e-print quant-ph/9803072.
[21] V. Vedral, M.B.Plenio. Phys. Rev. A 57, 1619 A998).
Квантовые роботы и окружающая среда
Пол Бенёв
(Paul BenioffI
Квантовые роботы — это мобильные квантовые системы,
включающие в себя встроенные квантовые компьютеры и не-
необходимые вспомогательные системы, которые взаимодейст-
взаимодействуют с окружающей средой. Задача квантовых роботов —
проведение определенных изменений в состоянии окружаю-
окружающей среды или измерений в ней. Здесь под окружающей сре-
средой понимаются оракулы, базы данных и квантовые регистры
как особые случаи окружающей среды. Очевидно, что кван-
квантовые роботы должны включать квантовые компьютеры, а не
быть просто датчиками внешних устройств.
В статье предлагается модель квантовых роботов и их
взаимодействий, в которой решение каждой задачи сводит-
сводится к последовательности сменяющих друг друга фаз вычис-
вычислений и действий, которая описывается унитарным операто-
оператором Т = 7^+7^, действующим в течение определенного отрез-
отрезка времени (время и пространство считаются дискретными).
Динамика всей системы определяется суммой по закончен-
законченным траекториям фаз вычислений (Тс) и действий (Та)- Ана-
Анализируется простой пример задачи на измерение расстояния
между квантовым роботом и частицей на одномерной решет-
решетке с дисперсией квантовой фазовой траектории. Приведена и
проанализирована диаграмма решения задачи.
1. Введение
Квантовые компьютеры вызывают большой интерес благодаря сво-
своим возможностям, которые при решении некоторых задач превышают
1 Physics Division, Argonne National Laboratory, Argonne, IL 60439.
E-mail: pbeniofF@anl.gov.
Перевод М. В. Чичикиной.
Квантовые роботы и окружающая среда 169
возможности классических компьютеров [1, 2]. В большинстве работ
на эту тему квантовые компьютеры рассматриваются как системы,
работающие в изоляции от внешних систем (окружающей среды). До
сих пор работы по квантовым компьютерам, учитывающие их вза-
взаимодействие с окружающей средой, ограничивались большей частью
шумовыми эффектами, исследованием баз данных и квантовыми вы-
вычислениями с оракулами. Авторы рассматривали окружающую среду
как источник шума и ошибок. Это стимулировало развитие квантовых
кодов, корректирующих ошибки, служащих для минимизации таких
ффектов [3, 4]. Другие методы основываются на свойствах систем с
относительно большими временами декогерентности [5, 6]. Квантовые
вычисления с оракулами пока получили меньшее развитие [7]. Базы
данных широко исследуются в настоящее время [2].
В данной работе главное внимание уделено общим проблемам кван-
квантовых компьютеров и их взаимодействию с окружающей средой. Осо-
ый интерес представляют квантовые компьютеры со вспомогательны-
вспомогательными системами, которые могут двигаться и взаимодействуют с окружа-
окружающей средой. Эти свойства можно принять за определение квантовых
роботов.
Квантовые роботы интересны с общей точки зрения [8]. Если кван-
квантовая механика является универсальной теорией, то системы, произво-
производящие теоретические вычисления (компьютеры), и физические экспе-
эксперименты для проверки теоретических предсказаний (роботы) должны
ыть описаны в рамках квантовой механики, т. е. именно как кванто-
квантовые компьютеры и квантовые роботы. Следовательно, системы, прове-
проверяющие применимость квантовой механики, должны быть описаны той
е самой теорией, которую они проверяют. Квантовая механика сама
должна описывать свою собственную пригодность [9].
С этим связан еще один довод в пользу изучения квантовых робо-
роботов и их взаимодействия с окружающей средой. Они помогают сделать
первые очень малые шаги к квантовомеханическому описанию сис-
систем, которые собирают информацию об окружающей среде, принима-
принимают решения, интеллектуальны и создают теории, такие как квантовая
механика [10, 11, 12]. Если квантовая механика универсальна, то эти
системы должны быть описаны с помощью квантовой механики в мак-
максимально возможном диапазоне.
Есть и другая причина, по которой следует изучать квантовые ро-
оты: в этом случае не существует ограничений на тип окружающей
170 П. Бенёв
среды. Окружения, изучаемые далее, такие как оракулы, базы данных
и квантовые регистры, являются частными типами окружения. Эти
специфические типы окружающей среды описываются в следующем
разделе. Там же приведены причины, по которым квантовые роботы
должны включать квантовые компьютеры и не могут быть просто го-
овками внешних устройств.
Раздел 3 содержит обзор динамических моделей взаимодействий
квантовых роботов с окружающей средой, которые обсуждались еще
в [8]. Динамика описывается в терминах задач, решаемых квантовыми
роботами. Задачи определены как последовательности сменяющих друг
друга фаз вычислений и действий. Модель описывает динамику задачи
в терминах итераций пошаговых операторов и фейнмановских сумм по
фазовым траекториям.
В разделе 4 приведен простой пример задачи измерения расстояния
между квантовым роботом и частицей.
Пример является обобщением описанных в других работах задач, в
которых суммы по различным траекториям состояний включены в сум-
сумму по фазовым траекториям. Описание задачи, включая необходимые
шаги, дано вместе с представлением задачи как диаграммы решения.
Обсуждается также условие на точность. В последнем разделе обсужда-
тся сложность даже простейших измерений как задач для квантовых
роботов и возможная связь гипотезы Черча-Тьюринга [15, 16] с физи-
физическими экспериментами [8].
2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры и
головки внешних устройств
Здесь рассматриваются специальные случаи окружающей среды —
оракулы и базы данных, используемые в квантовых вычислениях с ора-
оракулами [7] и в алгоритме Гровера [2], а также квантовые регистры.
Оракулы — частный случай среды, поскольку их свойства предпола-
предполагаются не зависящими от времени. Оракул, однажды отвечающий на
вопрос «да» и позже на тот же вопрос «нет», считается дефективным.
Точно также ответ на вопрос Q в момент времени t не должен зависеть
от того, задан ли был другой вопрос Р в более ранний момент t±, если
оба ответа «да» и «нет» для Р игнорируются.
Будучи внешними системами, состояния как баз данных, так и
квантовых регистров могут зависеть от времени в том смысле, что ба-
§ 2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры 171
зы данных изменяются, когда старые данные заменяются и корректи-
корректируются или добавляются новые данные. Состояния квантовых регист-
регистров также меняются со временем как часть любого квантового процес-
процесса вычислений. Однако в обоих случаях системы изменяются вполне
пределенным образом. В частности, предполагается, что ни одна из
систем не изменяется спонтанно при отсутствии внешних воздействий.
Окружение движущихся взаимодействующих систем, состояния кото-
которых изменяются в результате взаимодействия или движения, не могут
служить физической моделью баз данных или квантовых регистров. В
последних случаях требование отсутствия спонтанных изменений под-
подчеркивается необходимостью для квантовых корректирующих кодов и
других методов стабилизации минимизировать этот эффект [3, 4].
Ограничения на окружение, описанное здесь, не слишком строги.
Они включают взаимодействующие движущиеся системы, чьи кванто-
квантовые состояния Ф(?) = e~lHt^@) эволюционируют во времени. Для этих
систем ответ «да» на любой вопрос, представленный проекционным опе-
оператором Q, имеет зависящую от времени вероятность (Ф(?)|C|Ф(?)).
Пусть теперь Р и Q — два проекционных оператора, соответствую-
соответствующих вопросам Р, задаваемому в момент времени ?i, и Q, задаваемому
в момент времени t. Вероятность ответа «да» на Q в момент t±, вооб-
вообще говоря, не равна вероятности ответа «да» на Q в момент времени ?,
при условии, что Р был задан в момент t\ и ответ проигнорирован.
Последняя вероятность дается выражением Trp(t)Q = Tr p(ti)Q(t —
где Q(t-h) = eiHit-t^Qe-iHit-tr) и р^ = рдфD1)р+A-Р)ДфD
—Р) с Дф(^) = |Ф(^1))(Ф(^1)|. Это неравенство сохраняется в случае,
когда Q(t — t\) не коммутирует с Р.
Аргументы в пользу того, что квантовые роботы должны вклю-
включать в себя квантовые компьютеры и не могут быть просто головками
внешних устройств, основаны на подсчете числа степеней свободы в
головках внешних устройств. Если головка имеет одну степень свобо-
свободы, что может отвечать как минимум N различным наборам внеш-
внешней информации, то должна быть возможность различать N различ-
различных внутренних состояний головки. Для большого числа JV, что может
ыть в случае самых общих задач или универсальных квантовых робо-
роботов, способных разрешать несколько задач в различных окружениях [8],
то физически необоснованно. Например, если головка представляет из
себя одну спиновую систему, очень трудно различить N состояний с
различными проекциями спина.
172 П. Бенёв
В этом случае, как и в любом другом, где число альтернатив, ко-
которые должны различаться головками, экспоненциально велико (напри-
(например, все различные строки битов длины JV), единственный разумный
подход — позволить числу степеней свободы в головке быть полиномом
по logTV. Но это эквивалентно требованию, чтобы головка включала в
себя квантовый компьютер. То есть это должен быть квантовый робот,
от же аргумент справедлив и в случае, если головка имеет небольшое
число (> 1) степеней свободы.
3. Модель квантового робота с окружающей средой
В этом разделе будут подытожены описания частных моделей кван-
квантовых роботов с окружающей средой. Некоторые детали можно найти
в [8]. Квантовый робот состоит из встроенного квантового компьютера,
системы для конечных состояний о и контрольного кубита с. Динамика
системы и ее взаимодействия с окружающей средой может быть опи-
описана последовательностью, состоящей из сменяющих друг друга фаз
вычислений и действий. Целью каждой вычислительной фазы явля-
тся определение последующего действия путем генерирования ново-
нового состояния о. Входные данные состоят из предыдущего состояния о,
каких-то данных в памяти и данных наблюдения за состоянием ближай-
ближайшего окружения. В течение последующей фазы действий производит-
производится действие, определяемое состоянием о. Состояние всех встроенных
систем остается неизменным. Действие включает движение квантово-
квантового робота и изменение состояния окружения. Функция контрольного
кубита с — включать и выключать два типа фазы. Фаза вычисления
(действия) неактивна, когда с в состоянии |1)[|0)]. Каждая фаза закан-
заканчивается после изменения состояния с.
С каждой задачей связывается унитарный оператор Т = Та + Тс,
писывающий динамические изменения всей системы в течение одного
промежутка времени (время и пространство предполагаются дискрет-
дискретными). Если Ф@) есть общее состояние квантового робота и окружаю-
окружающей среды в момент времени 0, то состояние после п временных шагов
дается выражением Ф(п) = ТПФ(О). Операторы фаз действия и вычис-
ения удовлетворяют условиям Та = ТР? и Тс = ТР?, где проекцион-
проекционные операторы Р? относятся к состоянию с.
Оператор Тс может зависеть от местоположения x = x.y.z кванто-
§ 2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры 173
вого робота, но не изменяет его. Это можно выразить условием диаго-
нальности
Te = Y,PrTJTPS- A)
X
Условие того, что Та не изменяет состояния о, дается похожим выра-
выражением:
^2 . B)
?
Независимость Та от состояния квантового компьютера \Ь) выражается
словием коммутативности Та с проекционным оператором Pjjc.
Как Тс, так и Та приводят только к локальным изменениям в со-
состоянии окружающей среды. Однако вызываемые Тс изменения ограни-
ограничены скрещением состояний встроенной системы и других изменений,
являющихся прямым результатом наблюдения взаимодействий. Изме-
Изменения, сделанные Та, не приводят к такому скрещению и не ограничены
результатами наблюдений взаимодействий. Подробности, касающиеся
словий локальности, заданных в терминах окрестностей квантовых
роботов, приведены в [8].
Описания Т до сих пор применялись к неподвижным невзаимодей-
невзаимодействующим окружающим системам, для которых гамильтониан окружа-
окружающей среды Не = 0. Обобщение на случай движущихся взаимодейст-
взаимодействующих систем может быть сделано с помощью замены Т на другой
оператор Г = ТЕ/2ТТЕ/2 = ТЕ/2ТаТЕ/2 + ТЕ/2ТСТЕ/2 = Та + Тс. Здесь
а и Тс определены выше, и Те = е~гНвА — унитарный оператор из-
изменения для окружающей среды. Замена Т на Т становится точной в
пределе А ->• 0 [14].
Полезно выразить динамику системы с помощью фейнманов-
ской [13] суммы по траекториям фаз вычислений и действий, т. е.
как сумму по фазовым траекториям. Для этого рассмотрим матричный
элемент (w,z|Tn|wi,0), который задает амплитуду перехода из состо-
состояния |wi,0) в состояние |ги,г) за п шагов. Здесь через \w) обозначены
состояния всех систем, кроме контрольного кубита. Можно использо-
использовать Tn = (T(Pq + Pf))n для получения
п
t=1 путь р h!—ht=l V^)
длины t-\-l
(pC)\(Ta)h*\pB))(pB)\(Tc)hi\p(l),0)
174 П. Бенёв
Каждое слагаемое этой большой суммы дает амплитуду, определяю-
определяющую t чередующихся фаз в первых п шагах, где j-ая фаза начинает-
начинается, когда вся система (кроме с) находится в состоянии \p(j)), и за-
заканчивается после hj шагов, когда все системы находятся в состоя-
состоянии \p(j + 1)). Верхний предел в сумме по h указывает на следующее
ограничение: hi + • • • + ht = п. Начальные и конечные состояния тра-
траектории |рA)) и \p(t + 1)) есть \wi) и \w).
Уравнение C) приведено для случая, когда начальная фаза есть
фаза вычисления, т. е. с находится в начальном состоянии |0). Подобные
же уравнения имеют место, если начальная фаза есть фаза действия.
Смена фаз выражается для этого случая индексом Vji если j четное,
то Vj = с, если j нечетное, то Vj = а. Точно также ограничения в
равнениях B) и A) на Та и Тс, которые сохраняются для Та и %,
показывают, что если j четное, \p(j)) и \p(j + 1)) дают состояние робота
с одинаковыми координатами. Если j нечетное, \p(j)) и \p(j + 1)) дают
одно и то же состояние квантового компьютера и системы о.
Уравнения ясно показывают, что для любого п состояние всей сис-
системы есть линейная комбинация множества состояний фазовых траек-
траекторий чередующихся фаз вычислений и действий задачи, представлен-
представленная Т. Для каждой величины t и р уравнение дает амплитуду фазовой
траектории р, содержащую t — 1 полных фаз, и одну, которая может
быть полной, а может и не быть. Сумма h дает распределение по про-
должительностям или количеству временных шагов в каждой фазе р.
Из уравнения C) следует, что состояние всей системы Ф(п) мо-
может быть выражено для каждой компоненты начального состояния как
экспоненциально растущее (вместе с п) дерево фазовых траекторий.
Каждая вершина дерева соответствует состоянию \p(j)). Сумма t по-
показывает, что некоторые ветви дерева имеют очень мало узлов, и есть
такие, которые имеют только один узел (t = 1).
4. Простой пример
4.1. Описание задачи
Простой пример для иллюстрации работы квантового робота вклю-
включает окружающую среду с единственной неподвижной частицей р на
одномерной решетке (т. е. Те = 1 и Т = Т). Задача — измерить рас-
расстояние между квантовым роботом и р, изменяя движение квантового
§ 2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры 175
робота при локальных наблюдениях за частицей р, и подсчитывая чис-
число ненаблюдений, пока частица р не будет найдена (часть поиска). В
части возврата квантовый робот возвращается на то же число шагов, и
задача заканчивается равновесной частью. Она вводится для сохране-
сохранения унитарности Т.
Окончательную цель исследования можно сформулировать как
словие на Т и выразить следующим образом: пусть ф = ^су\у) обо-
у
значает состояние р на решетке, тогда как квантовый робот харак-
характеризуется местоположением и состоянием внутренней памяти |ж,0).
Оператор Т для такой задачи должен быть таков, чтобы итерации ге-
генерировали бы с хорошей точностью известное скрещение
ф\х,0) —У
у
на ограниченном промежутке величины у (О ^ у — х < 2N — см. ни-
ниже), обозначенном ' в знаке суммы J^. Здесь \у — х) — состояние связ-
связки кубитов с постоянной памятью, соответствующее расстоянию на
решетке у — х (число узлов) только в одном направлении между р и
квантовым роботом. Это уравнение легко обобщить на случай, когда
состояние квантового робота представляет собой волновой пакет коор-
координатных состояний 6qr = ^2dx\x) и получить
х
фрвдг\0) —У 2^ cydx\y)\x,y -х). E)
Ж, У
В данной задаче квантовый компьютер содержит два циклических
квантовых регистра: один с N + 2 кубитами, а другой с N + 1 кубита-
ми, и головку, передвигающуюся по регистрам. Оба регистра вмещают
числа до 2^ — 1 с одним тернарным кубитом в каждом состоянии |2), ко-
которое считается начальным. N + 2-кубитный регистр служит текущей
памятью для расчетов в части поиска (сов состоянии \rnrl)) и вклю-
включает знаковый кубит. В остальных размещаются на длительный срок
копии чисел из текущей памяти, когда местонахождение р обнаруже-
обнаружено. Когда бы ни была обнаружена р, вычислительная фаза заканчивает
часть поиска, изменяя состояния о на |ш/1), копируя и извлекая 1 из
текущей памяти для начала части возврата. В этой части вычисли-
вычислительные фазы из текущей памяти вычитается единица (наблюдений за
176 П. Бенёв
кружающей средой нет), пока не будет получено число —1. Состояние о
теперь изменяется на \dn) для того, чтобы начать равновесную часть.
Вычислительные фазы вычитают из текущей памяти 1, пока не будет
достигнуто —BN — 1), когда состояние о становится равным \ml >).
Состояние о \тг >) достигается, если частица не обнаружена во время
части поиска задачи (т. е. частицу не удалось обнаружить менее чем
в 2^ — 1 итерациях поисковой фазы действия). При точных измерениях
то происходит, если у — х < О или у — х > 2N — 1.
Во время всех фаз действия квантовые роботы движутся с дейст-
действием, определяемым состоянием о. Наблюдений не проводится. Состо-
ние О \ml >), \тг >) соответствует незаконченным фазам действия
как финальным частям задачи. Динамика задачи может быть представ-
ена схематично с помощью диаграммы решения, в которой учитыва-
учитываются свойства Та и Тс. Это показано на рис. 1 (подробности на подписи
к рисунку). Диаграмма составлена так, что она может быть применена
к части дерева, растущей из любого узла дерева фазовых траекторий,
писываемого уравнением C). То есть она показывает, что происходит
в части дерева, исходя из общего состоянии всей системы, описываю-
описывающего узел. Это следует из факта, что в диаграмме нет ссылок на то,
где именно квантовый робот или р находятся на решетке. Соотноше-
Соотношение xqr = хр? относится только к присутствию или отсутствию р в
точке локации робота, где бы он ни находился. Также нет определен-
определенных длин временных промежутков, связанных либо с фазами действий
(окружности), либо с компонентами фазы вычислений (квадраты).
В более ранних работах требовалось, чтобы Т было таким, чтобы
вклад в сумму по фазовым траекториям уравнения C) вносила толь-
только одна фазовая траектория. Существовала дисперсия в длине фазовой
траектории (t сумма) и длительности фазы (h суммы). Здесь эти огра-
ограничения будут сохранены только для фазы вычислений. Для Тс условие
динственности траектории выражено в уравнении 3 следующим тре-
ованием: если j четное, то для каждого вводимого состояния \p(j))
для j/2 вычислительной фазы существует единственное выводимое со-
состояние фазовой траектории \p(j + 1)). Размытость или квантовая дис-
дисперсия от \p(j)) до |p(j + l)), которая сохраняется, ограничена суммой hj
(и суммой i).
В данной задаче требуется, чтобы матричные элементы Та
(xf, /, г|Та|ж, /, 1) были локальными в том смысле, что их величины быст-
быстро убывали с увеличением расстояния \х' — х . Состояние с обозначено
2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры
111
st=O
d=0
т
^-у» 9
Да
{Нет
st=Q
d=-l
d=l
{mru
t
- 9
Да
{Нет
d=2iV-l?
{Нет
d=d+l
^-y» 9
Да
Да
,Нет
d=2 -1?
Балластная часть
d=l-2
JV
Рис. 1. Диаграмма решения для приведенного примера. Движение по этапам задачи
тражено стрелками. Окружности mrl, mr >, mil, ml > и dn обозначают фазы
ействия. Квадраты обозначают состояния памяти системы (d = текущая память
и st = постоянная память), вопросы, операции сложения (d = d + 1) и извлечения
(с? = d — 1) числа 1. Прямоугольники и стрелки между успешными действиями по-
показывают действия каждой фазы вычислений. Столбец слева показывает динамику
части поиска задачи. Центральный столбец с только горизонтальными стрелками
показывает изменения состояния памяти, когда найдено р, и столбец справа по-
показывает динамику части возврата. Действия балластной части показаны отдельно
внизу рисунка. Изменения состояния системы о, указывающие на окончание частей
задачи, не показаны, поскольку их легко найти из диаграммы.
через г = 0,1. Обобщим приведенный выше пример [8], в котором рас-
рассматривалась только фазовая траектория, наложив требование, чтобы
матричные элементы Та были равны 0, пока х' = х и г = 1, или х' = ж+1
178 П. Бенёв
и г = 0 для |/) = \rnrl). Для |/) = \rnll) второе условие заменено
на х' = х — 1 и г = 0.
Дисперсия фазовой траектории введена так, что матричные эле-
элементы (/,ж',г|Та|/,ж, 1) т^ 0 Для различных значений ж' — ж. Это порож-
порождает много различных выходных состояний фазы действия для каждого
входного состояния с амплитудой, определяемой суммой произведений
матричных элементов Та по всем траекториям внутри фазы действия.
Зависимость матричных элементов от различных конечных состояний
с |г) показывает вклад фазы действия в дисперсию числа фаз в траек-
траектории (сумма i) и длительности каждой фазы действия (сумма К) в
сумме по фазовым траекториям уравнения C).
4.2. Точность
Из описания действий робота следует, что без дополнительных
ограничений на Т итерации Т будут описывать решение и конечное
состояние всей системы, не имеющие отношения к основной цели за-
задачи, задаваемой уравнением D). Чтобы пояснить это утверждение,
предположим, что Ф@) = ®@)фр представляет начальное состояние
с о и с в состоянии |mrl,0), положение квантового робота и частицы
на решетке определяется состоянием \х)фр с фр = ^2усу\у). Другие
величины начального состояния можно получить из рис. 1. После к ша-
шагов вероятность, что часть поиска задачи завершена и в постоянную
память записано п, дается выражением
Рк{П) = (Щк)\Р?{1 - Р?г1)|Ф(*)> = ? \Cy\2Pk(n,y), F)
У
где
^ G)
В этих уравненииях Ф(&) = Т^Ф(О) = Y,ycy®k(y)\y), где Sk(y) — со-
состояние квантового робота после к шагов, соответствующее р в состоя-
состоянии \у). Проекционный оператор Р^ = |п)(п|, где \п) — состояние стро-
строки кубитов постоянной памяти, соответствующее числу п. Равенство
правых частей уравнений F) и G) выражает условие, что р неподвиж-
неподвижна и ее состояние, за исключением возможного скрещения состояний,
остается неизменным в течение всего выполнения задачи.
§ 2. Оракулы, базы данных, квантовые регистры 179
Вероятность Pk(n,y) выбирает все фазовые траектории в уравне-
уравнении C), содержащие 2п + 1 фазы (п фазы действий и п + 1 фаз вы-
вычисления) в завершенной части поиска. Эти траектории объединяет то
свойство, что во всех фазах вычисления, кроме последней, р не была
обнаружена квантовым роботом. В части поиска суммы по фазовым
траекториям это соответствует ограничению для всех фаз, кроме двух
последних, выражающемуся в том, что состояния, в которых находятся
квантовый робот и р, не описывают одно и то же их местоположение.
Сумма по выходным состояниям для последних (n-х) фаз действия по-
поиска ограничены для состояний, в которых квантовый робот и р имеют
одно и то же местоположение у.
Зависимость Рк(п) от к введена условием, по которому траекто-
траектории в суммах по фазовым траекториям для 0л(г/)|г/), дающие вклад в
равнение G), содержали бы п фаз действия в выполненной части за-
задачи поиска через к шагов. Зависимость от к входит через сумму h
равнения C), которое выражает квантовую дисперсию длительности
различных фаз. Она существенно зависит от свойств Т и от расстоя-
расстояния у — х. Для достаточно больших к амплитуды траекторий, которые
все еще в части поиска задачи с < п + 1 выполненными фазами вы-
вычислений, должны быть очень малы. В этом случае, если Та разумные,
(например, локальные и т. д.) и ф — волновой пакет, локализованный
в окрестности некоторой величины ?/о, то Для величин у близких к уо
должен существовать предел при времени, стремящемся к бесконечнос-
бесконечности Роо(п,у). Его значение должно быть достаточно близким к Р^(п,у)
для больших fc, если 0 ^ уо — х < 2N.
Может случиться, что для больших к распределение Рь(п,у) как
функция п имеет максимум, и функция сосредоточена около этого мак-
максимума. Однако без дополнительных ограничений на Та максимум мо-
может и не иметь отношения к расстоянию между р и квантовым ро-
роботом. Один из способов исправить такое положение — потребовать,
чтобы матричные элементы Та имели форму (тг1,ж',г|Та|1,ж, mrl) =
= а,{е~а(х ~ж~1+г) ? где а,{ — коэффициент, зависящий от г. В этом слу-
случае для больших а и к Pk(n,y) должна иметь пик при п = у — х с
малой дисперсией (задаваемой соотношением 0 ^ у — х < 2N). В пре-
пределе а, к = оо измерение расстояния будет абсолютно точным, без
дисперсии. В этом случае Роо(щу) = Sn^y-X, что согласуется с уравне-
уравнением D). Предел к —у оо необходим, поскольку дисперсия продолжи-
180 П. Бенёв
тельности фазы присутствует в сумме по фазовым траекториям (экс-
(экспонента равна 0, если х' = х + 1 и г = 0, либо х' = х и г = 1).
Обобщение для случая, когда применяется уравнение E), получа-
получатся непосредственно. В этом случае правая часть уравнения F) заме-
заменяется ^2 dx,dx\cy\2Pk{n,x' ,х,у). Сумма недиагональна по х и диаго-
х,х',у
нальна по ?/, поскольку в этом простом примере квантовый робот дви-
ется, а частица р неподвижна. Для больших величин а, к Р&(п, ж', ж, у)
должны быть очень малы при х' ф х. В пределе а = оо Р^п^х' ,х,у) =
= 5Х>-Х5п^у-Х, что согласуется с уравнением E) для 0 ^ у — х < 2N.
5. Обсуждение
В данной задаче неявно предполагается существование Тс, кото-
который связывает каждое входное состояние траектории с единственным
выходным состоянием траектории в каждой фазе вычисления. Сущест-
Существование таких Тс следует из факта, что существует соответствующий
ператор классической машины Тьюринга, действие которого описыва-
т единственную траекторию состояния внутри каждой фазы вычисле-
вычисления. Квантовая версия может быть определена как допускающая раз-
размытие вдоль единственной траектории для каждой фазы вычисления
и, следовательно, вводит дисперсию, определяемую суммой h уравне-
уравнения C). Обобщение на Тс, включающее суммы по различным фазовым
состояниям, как было сделано здесь для Та, — задача дальнейших ис-
исследований.
Приведенное выше обсуждение показывает, что описание даже
простейших измерений расстояния оказывается относительно слож-
сложным, если подсчитать все шаги, необходимые (см. рис. 1) для получения
скрещенных состояний в уравнении D). Это основано на представлении
чисел как состояний квантовых регистров, времени, требующегося для
выполнения различных частей задачи (например, операции +1 или —1 в
фазе вычислений), и других факторов. Для обсуждаемой задачи процесс
решения, как показано на рис. 1, представляет собой реализацию пред-
предположения о существовании для тех физических экспериментов, кото-
которые могут быть осуществлены квантовыми роботами, гипотезы [8], по-
подобной гипотезе Черча-Тьюринга [15] для квантовых компьютеров [16].
В заключение следует подчеркнуть, что как неодушевленные фи-
физические системы, квантовые роботы ничего не знают о вычислениях,
Литература 181
или о своем местоположении на решетке в любой момент времени, или
том, измерение ли это вообще. Их поведение просто соответствует
динамике, определяемой Т.
Благодарности
Эта работа проведена при поддержке U.S. Department of Energy,
Nuclear Physics Division, контракт W-31-109-ENG-38.
Литература
[1] P. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on the
Foundations of Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE
Computer Society, Los Alamitos, С A 1994), p. 124; Siam Jour.
Comput. 26, 1481 A997).
[2] L. K. Grover. In Proceedings of 28th Annual ACM Symposium on
Theory of Computing ACM Press New York 1996, p. 212; Phys.
Rev. Letters, 78 325 A997); Phys. Rev. Letters, 80 4329 A998);
G. Brassard. Science 275 627 A997).
[3] R. Laflamme, C.Miquel, J.P. Paz, W. H. Zurek. Phys. Rev. Letters
77 198 A996); E.Knill, R.Laflamme. Phys. Rev A 55 900
A997); P. W. Show. Phys. Rev A52 R2493 A995); D.P.DiVincenzo,
P. W. Shor. Phys. Rev. Letters 77 3260 A996).
[4] E.Knill, R.Laflamme, W.H. Zurek. Science, 279 342 A998).
[5] D.P.DiVincenzo. Science 270 255 A995).
[6] N. A. Gershenfeld, I.L.Chuang. Science, 275 350 A997); D.G.Cory,
A.F.Fahmy, T.F.Havel. Proc. Natl. Acad. Sci. 94 1634 A997).
[7] C.H.Bennett, G.Brassard, E.Bernstein, U.Vazirani. SIAM Jour.
Computing 26 1510, A997); Quantum Oracle Interrogation W. Van
Dam, Los Alamos Archives rept. quant-ph/9805006.
[8] P. A. Benioff. Phys. Rev. A, to Appear Aug. 1998; Superlattices and
Microstructures 23 407 A998).
[9] A.Peres and W. Zurek. Amer. Jour. Phys. 50 807 A982).
82 Литература
[10] R. Penrose. The Emperor's New Mind, Penguin Books, New York,
1991.
[11] H. P. Stapp. Mind, Matter, and Quantum Mechanics, Springer Verlag,
Berlin 1993.
[12] E. Squires. Conscious Mind in the Physical World IOP Publishing,
Bristol England, 1990
[13] R. P. Feynman, A. R. Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integrals,
McGraw-Hill Book Co. New York 1965.
[14] M.Reed, B.Simon. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1,
Academic Press, New York, 1972, Chap. VIII; I. Montavy, G. Minister.
Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press, New York,
1994, Chap. 1.
[15] A. Church. Am. Jour. Math. 58 345 A936); A. M. Turing. Proc. Lond.
Math. Soc. 2 42, 230 A936).
[16] D.Deutsch. Proc. Roy. Soc. (London) A 400 997 A985).
Квантовый алгоритм вычисления
собственных значений и собственных
векторов, обеспечивающий
экспоненциальное увеличение скорости1
Даниэль С. Абраме
(Daniel S. AbramsJ
Сэт Ллойд
(Seth LloydK
Предложен новый полиномиальный по времени квантовый
алгоритм, использующий квантовое преобразование Фурье,
определяющий собственные значения и собственные функции
оператора Гамильтона. Алгоритм может быть применен в тех
случаях (обычно имеющих место в физических и химических
задачах ab initio), для которых все известные классические
алгоритмы требуют экспоненциального времени вычисления.
Рассмотрено применение алгоритма к конкретным задачам,
и сделан вывод, что интересные задачи атомной физики, ко-
которые трудно решить классическими методами, могут быть
разрешены с использованием от 50 до 100 квантовых битов.
Задолго до основополагающего алгоритма Шора [1] и последующей
волны интереса к квантовым вычислениям Фейнман предположил, что
квантовый компьютер может быть полезен для моделирования других
квантовых систем [7]. Это предположение базировалось на том наблю-
наблюдении, что размерность гильбертова пространства, в котором описы-
описываются квантовые системы, экспоненциально растет с числом частиц.
1Эта работа была выполнена при поддержке по гранту ф N00014-95-1-0975 от
Office of Naval Research; ARO and DARPA по гранту # DAAH04-96-1-0386 to QUIC,
the Quantum Information and Computation initiative; no DARPA гранту NMRQC,
the Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computing initiative; по программе ARO
through an NDSEG.
department of Physics, MIT 12-128b Cambridge, MA 02139 (abrams@mit.edu).
3d'Arbeloff Laboratory for Information Sciences and Technology Department of
Mechanical Engineering, MIT 3-160 Cambridge, MA 02139 (slloyd@mit.edu).
Перевод М. В. Чичикиной.
184 Д. С. Абраме, С. Ллойд
аким образом, для полного описания состояния системы только 100
частиц со спином У2, каждая из которых, будучи изолированной, может
ыть определена всего лишь двумя комплексными амплитудами, тре-
уется 2100 комплексных амплитуд. Этот экспоненциальный рост очень
граничивает возможность производить точные вычисления ab initio;
поскольку невозможно даже описать начальное состояние (кроме слу-
случаев простейших квантовых систем), приходится прибегать к технике
различных приближенных вычислений, чтобы выяснить характерные
свойства квантовых систем.
В недавних работах в области квантовых вычислений были предло-
ены различные методы моделирования физики на квантовых компью-
компьютерах [8, 11, 2, 4, 3, 5], и было показано, что они действительно эффек-
эффективны, как и предполагал Фейнман. Однако, в то время как предыдущие
работы описывали разнообразные алгоритмы для приведения квантово-
квантового компьютера в состояние, соответствующее состоянию физической
системы, для эволюции со временем этого состояния в компьютере и
для измерения свойств эволюционирующего состояния [8, 11, 2, 4, 3],
ыло сделано сравнительно мало работ по алгоритмам, которые вычис-
вычисляют статические свойства физических систем [5]. В частности, из
всех вопросов, которые можно задать о квантовой системе, есть один
наиболее часто повторяющийся и для которого наиболее желательно
получить эффективный алгоритм: каковы собственные значения и соб-
собственные векторы? В данной работе приводится квантовый алгоритм,
который может находить собственные значения и собственные векторы
ператора Гамильтона в случаях, часто представляющих физический
интерес. Более того, для выполнения алгоритма требуется промежуток
времени, растущий как полиномиальная функция числа частиц и требу-
мой точности, тогда как во всех известных классических алгоритмах
то время растет экспоненциально.
Проблема может быть точно сформулирована следующим образом.
Рассмотрим оператор эволюции U = е h , соответствующий гамиль-
гамильтониану Н, и аппроксимацию Va собственного вектора U (следователь-
(следовательно, и Н), который может быть построен за полиномиальное время, т. е.
машина может быть приведена в состояние Va за полиномиальное чис-
о квантовых логических операций. Обозначим истинный собственный
вектор V и соответствующее собственное значение А^. Если состоя-
су
ние Уа таково, что 1A4 IV)! не является экспоненциально малой величи-
Квантовый алгоритм вычисления 185
ной, то есть приближенный собственный вектор содержит компоненту
истинного собственного вектора, которая ограничена полиномиальной
функцией параметра задачи, тогда V и Xv могут быть найдены за вре-
су
мя, пропорциональное 1/ |(Va|V)| и 1/г, где е — требуемая точность.
Интуитивно ясно, что алгоритм разлагает пробное начальное при-
лижение на компоненты, не являющиеся пренебрежимо малыми, и
пределяет соответствующие собственные значения. Если оператор U
(и, следовательно, его собственные векторы) экспоненциально большой
размерности, что типично, то неизвестны классические алгоритмы, ко-
которые могут найти хотя бы собственные значения за полиномиаль-
полиномиальное время. Хотя требование существования начального вектора состо-
ния Va с определенными свойствами может показаться слишком огра-
ограничивающим, часто (если не сказать обычно) возможно получить та-
такое предположение для «реальных» проблем, используя существующие
классические приемы. Например, в любой физической системе с дис-
дискретными энергетическими уровнями, которые не расположены экспо-
экспоненциально близко к основному состоянию (как в атоме), если возмож-
возможно получить классически любой вектор состояния с предполагаемой
нергией просто меньшей, чем первое возбужденное состояние (на не-
кспоненцально малую величину), тогда этот вектор состояния должен
содержать компоненты основного состояния, не являющиеся пренебре-
имо малыми, и — хотя это может даже отдаленно не походить на
сновное состояние — этот вектор может быть использован как прибли-
енное состояние Va для определения истинного основного состояния и
нергии основного состояния за полиномиальное время. Наконец, если
из-за каких-то проблем невозможно получить классически приблизи-
приблизительный подсчет с требуемой точностью, часто бывают случаи, когда
вектор состояния Va может быть получен с использованием квантового
лгоритма, как квантово смоделированный отжиг.
Теперь опишем алгоритм, применимый к любому С/, который мо-
моет быть выполнен за квантовое полиномиальное время, независимо
т того, представляет ли он оператор эволюции, соответствующий дан-
данному гамильтониану, или нет. (В [8] было показано, что оператор эво-
юции, соответствующий любому локальному гамильтониану, может
ыть построен на квантовом компьютере за полиномиальное время).
Эта первая часть алгоритма была описана независимо в [12] примени-
применительно к вычислению собственных значений (но не собственных век-
векторов) унитарных операторов, поскольку собственные значения опера-
186 Д. С. Абраме, С. Ллойд
торов можно использовать для решения задачи об абелевом стабилиза-
стабилизаторе. Рассмотрим квантовый компьютер, состоящий из т + / + w ку-
кубитов, где совокупность т кубитов (назовем их индексными битами)
используется для быстрого преобразования Фурье, множество / куби-
кубитов описывает гильбертово пространство, в котором действует опера-
оператор С/, и w дополнительных кубитов требуются для временной памяти.
Пусть М = 2т. Точность результата будет расти как 1/М. Предпо-
Предположим, что т индексных кубитов первоначально находятся в состоя-
состоянии |0) и / кубитов находятся первоначально в состоянии Va (следова-
(следовательно, нужно, чтобы Va было построено за квантовое полиномиальное
время). В этом случае начальное состояние есть
|ф> = |о> Ю, A)
где предполагается (если заранее не оговорено противное), что w рабо-
рабочих кубитов находятся в состоянии |0). Мы производим поворот на тг/2
в каждом из т индексных кубитов, чтобы получить состояние
м-\
j=0
Затем проводится ряд квантовых логических операций, которые пере-
переводят компьютер в состояние
М-1
Е ШиУЮ. C)
Е
Это преобразование завершается применением операции U ко второму
набору / кубитов (которые первоначально были в состоянии \Va)) j раз.
Это можно легко выполнить, проводя цикл (обозначенный г) от 1 до М.
Используя стандартные операции квантовой логики, установим флаго-
флаговый кубит на величину |1), если только г < j, и произведем операцию С/,
правляемую значением этого флага. Таким образом, получены только
те компоненты приведенной выше суперпозиции, для которых г < j.
Наконец, изменим значение флаговых кубитов и продолжим вычисле-
вычисления со следующей итерацией. После М итераций получим приведенное
выше состояние.
Здесь полезно переписать состояние немного в другом виде. Прону-
меруем собственные вектора U как состояния \фи) и соответствующие
Квантовый алгоритм вычисления 187
собственные значения как А/,. После этого можно написать
D)
к
писанное выше состояние C) может быть переписано в форме
м-\
к
М-\
М к j=0
Если записать А/, как егик и поменять порядок кубитов так, чтобы
номера \фь) оказались первыми, результат будет более наглядным:
М-1
к j=0
Теперь очевидно, что квантовое преобразование Фурье, произве-
произведенное на т индексных кубитах, вычислит фазы ujk и, следователь-
следовательно, собственные значения А&. Квантовое преобразование Фурье требует
только poly (m) операций, в то время как точность результата растет
инейно с М или как 2т. Каждая частота появляется с амплитудой
ск = (уа\фи). Производя измерение на т индексных кубитах, можно
получить каждое собственное значение с вероятностью \ск\ . Следова-
Следовательно, нужно только полиномиальное число шагов, чтобы получить
юбое собственное значение, для которого с& не будет экспоненциально
малым. Если начальное пробное значение \Va) близко к нужному со-
стоянию, (т. е., |(Va|V)| близко к 1), то может понадобиться только
несколько попыток.
Более того, так же можно получить и собственные векторы: ес-
и измерения уже сделаны, и собственные значения А& определены,
ставшиеся / кубитов «коллапсируют» в состояние соответствующего
собственного вектора. Конечно, состояние \фк) в некотором смысле «за-
«заперто в ловушке» внутри компьютера. Но, поскольку невозможно хра-
хранить 21 фаз, связанных с состоянием, как классическую информацию,
188 Д. С. Абраме, С. Ллойд
нельзя надеяться на лучшее. Однако, если представляют интерес раз-
ичные свойства собственных векторов, то их можно определить с по-
помощью различных измерений этого состояния. Для квантовых вычис-
ений ab initio среди легко получаемых свойств наибольший интерес
представляют следующие: плотность распределения заряда, корреляци-
нная функция, распределение импульсов и т. д. Обсуждение вопроса,
каким образом нужная физическая информация может быть извлечена
из квантового компьютера, приведено в [11].
Обсудим теперь точнее вопрос получения собственных векторов и
собственных значений «реального» гамильтониана. Обычно требуется
найти собственные состояния гамильтониана в форме
п п
(8)
где п — число частиц, Т{ — кинетическая энергия, Vi — внешний по-
потенциал и Vij — взаимодействие между частицами. Однако нет причин,
почему эти методы нельзя было бы применять к другим гамильтони-
нам или к гамильтонианам, содержащим дополнительные слагаемые,
ели гамильтониан может быть представлен в виде суммы локальных
взаимодействий (то есть суммы слагаемых, которые действуют только
на к кубитов, где к не зависит от числа частиц п). (В атомных за-
задачах, например, можно включить эффективное взаимодействие как
спин-орбитальную связь или как ядерные эффекты конечных областей
действия). Поскольку гамильтониан эрмитов, мы применяем описан-
ные выше шаги для оператора эволюции U(t) = е~г , который унита-
унитарен и имеет те же собственные векторы и собственные значения. Этот
ператор эволюции можно получить с помощью методов, описанных
в [8]. Основная идея состоит в представлении
(9)
A0)
где каждый Щ действует только на к кубитов одновременно. (В опи-
описанном выше гамильтониане каждый Щ представляет одно из слагае-
Квантовый алгоритм вычисления 189
-Ш ±
мых Ti, Vi или Vij). Пусть JJ{ — е 1 ш. Каждое слагаемое Ui может
быть быстро посчитано, поскольку оно действует в пространстве толь-
только к квантовых битов, где к мало. Для достаточно больших т второе
слагаемое в правой части (и слагаемые высших порядков) стремятся
к нулю. Следовательно, возможно получить U(t) путем действия на
состояние каждым Ui последовательно всего т раз. Тщательный ана-
лиз [8] показывает, что для того, чтобы смоделировать U(t) с точнос-
точностью г, необходимо проделать O(t2/e) квантовых логических операций1.
Для конкретных задач форма матриц Ui в большой степени зависит
от базиса, выбранного для описания гильбертова пространства. Более
того, выбор может сильно влиять на число элементов базиса, требу-
требуемого для точного описания системы. В обычном представлении пер-
первичного квантования каждая частица описывается рядом из / кубитов,
представляющим волновую функцию отдельной частицы. Система как
целое, таким образом, представлена п • I кубитами. (Возможно также
представление вторичного квантования, которое может быть более эф-
эффективным для определенных задач; см. [11].) Для описанного выше
гамильтониана матрицы Ui могут быть получены очень эффективным
способом с использованием либо координатного, либо импульсного про-
пространства для одночастичного базиса и переходом между пространст-
пространствами с помощью квантового преобразования Фурье. Однако для боль-
большинства проблем не существует проблемы выбора самого эффективного
представления собственных состояний с определенным значением энер-
энергии. Один из наборов базисных состояний обычно более эффективен и
чаще используется при соответствующих классических вычислениях:
примером могут служить вейвлеты; другим стандартным представле-
представлением может быть одноэлектронное решение для эффективного потен-
потенциала. Поскольку размерность одночастичного базиса фиксирована (и
мы выбираем более сложный базис с очевидной целью — сохранить его
1гГот факт, что U(t) имеет одни и те же собственные значения и векторы для
всех t, может привести к ошибочному заключению, что число операций, необхо-
необходимое для нахождения собственных состояний с данной точностью, может быть
сокращено путем выбора более коротких промежутков времени t для операто-
оператора U(t). Однако для выполнения алгоритма требуется вычислить UM, и, посколь-
поскольку U(t)M = U(Mt), очевидно, что U = U(t) может быть вычислено с большей
точностью, если Vм будет вычислено с фиксированной точностью. Действитель-
Действительно, поскольку собственные векторы определены с точностью, пропорциональной М,
число квантовых логических операций, необходимых для вычисления собственных
состояний с заданной энергией с точностью е, очевидно, порядка е~2.
190 Д. С. Абраме, С. Ллойд
малым), тогда операторы U{ всегда могут быть вычислены в выбранном
базисе и построены с использованием операторов О(с/4), где d — раз-
размерность одночастичного базиса [6]. Таким образом, можно применять
квантовые алгоритмы, используя наиболее тщательно подобранный ба-
базис, который, как правило, используется при стандартных вычислениях
ab initio. (Поскольку существует быстрое квантовое вейвлетное преоб-
азование [9], возможно, что вейвлетный базис окажется особенно по-
полезным).
С другой стороны, существует взаимозависимость между памятью
и скоростью. При использовании координатного или импульсного пред-
представления нужно только О (poly (к)) = О (poly (log d)) операций, чтобы
получить каждое из XJ{\ однако требуется большое количество куби-
тов, чтобы описать точно собственное состояние. Используя наиболее
тщательно подобранный базис, можно значительно сократить требуе-
требуемое количество кубитов, однако может оказаться, что требуется гораз-
гораздо большее количество квантовых логических операций О(&4), чтобы
построить каждое U{. To есть, как и при обычных вычислениях, оказы-
оказывается, что выбор базиса в квантовых вычислениях будет зависеть от
специфики решаемой проблемы и возможностей данного вычислитель-
вычислительного устройства.
Обычно начальное состояние Va является результатом классичес-
классических вычислений, например, метода Хартри-Фока или вычисления кон-
конфигурационного взаимодействия. Можно использовать любой ab initio
метод, приводящий к известной волновой функции. (Заметим, что это
понятие не включает в себя методы, использующие теорию функциона-
функционала плотности, поскольку нужна волновая функция, а не просто распре-
распределение плотности заряда). Если мы вводим еще не симметризованную
или антисимметризованную волновую функцию, мы можем использо-
использовать алгоритмы, описанные в [11], чтобы сделать это эффективно.
Наконец, обсудим работающие ab initio вычисления энергетичес-
энергетических уровней атома, чтобы сравнить описанный выше квантовый алго-
алгоритм с известными классическими методами. Задачи атомной физики
служат особенно удачным исходным пунктом, поскольку хорошо из-
известны очень точные экспериментальные данные. Квантовые алгорит-
алгоритмы наиболее близки методам, известным как «полное активное конфи-
конфигурационное взаимодействие» или «полное конфигурационное взаимо-
взаимодействие», поскольку многочастичный базис включает все возможные
произведения векторов одночастичного базиса. Этот подход наиболее
Квантовый алгоритм вычисления 191
эффективен в ситуациях, где энергия корреляции велика и где мно-
много «конфигураций» обладают близкими энергиями (это обычно бывает,
когда много электронов находятся на незаполненной оболочке). К сожа-
сожалению, трудно точно оценить минимальный размер системы, для кото-
которой квантовые вычисления превосходят лучшие классические, посколь-
поскольку во избежание экспоненциального увеличения вычислений при оцен-
оценки основного состояния используются разнообразные изощренные ме-
методы. Наиболее точные классические вычисления не используют прямо
метод «полного конфигурационного взаимодействия». Однако, ссылаясь
на [10], можно оценить, что вычисление уровней энергии В E электро-
электронов) с использованием примерно 20 угловых волновых функций и 40
радиальных волновых функций для каждой частицы — всего 800 вол-
волновых функций для отдельной частицы и, следовательно, 8005 ~ 1015
полных многочастичных базисных состояний — может дать более точ-
точный результат, чем любое современнейшее классическое вычисление.
По крайней мере, такие вычисления могли привести к представляющим
научный интерес результатам (которые невозможно получить класси-
классически), касающихся корреляционной энергии электронов в В и относи-
относительной важности различных возбужденных состояний.
Квантовое вычисление основного состояния В с использованием
описанного выше базиса может быть выполнено с 60 кубитами: 10
для частицы, чтобы представить состояние атома (всего 50 кубитов),
6 или 7 кубитов для квантового преобразования Фурье и несколько
дополнительных «черновых»1. К сожалению, двухчастичные операто-
операторы (порождаемые кулоновским взаимодействием между электронами)
действуют в подпространстве размерности B10J; они, таким образом,
представлены матрицами с 240 элементами. Вводить такие операторы
грубой силой — значит оставлять их без описания в обозримом буду-
будущем. Однако, возможно, удастся провести необходимые преобразова-
преобразования, используя квантовый алгоритм. Один из возможных методов —
1 Число кубитов, необходимых для квантового преобразования Фурье, не так ве-
велико, как можно было бы предположить сначала, основываясь на сделанном ранее
предположении, что точность линейно пропорциональна размеру преобразования
Фурье. Это утверждение верно для фиксированного U. Изменяя U — в частнос-
частности, увеличивая длину временного интервала t в U(t), — можно получить собст-
собственные значения с любой точностью, используя фиксированное число операций в
Фурье-преобразовании. Однако размер этого преобразования должен быть достаточ-
достаточно большим, чтобы выделить частоты, соответствующие отдельным собственным
векторам. Именно исходя из этих соображений была получена оценка в 6 или 7
кубитов F4- или 128-мерное Фурье-преобразование).
192 Д. С. Абраме, С. Ллойд
замена базиса: после представления взаимодействия частиц в коорди-
координатном пространстве вместо орбитального базиса посчитать кулонов-
ские термы будет просто. Таким образом, можно отдельно перевести
каждую частицу в координатное пространство (для этого требуется
небольшое число квантовых логических операций), получить эволю-
эволюцию, определяемую кулоновским взаимодействием, и произвести об-
обратное преобразование. К сожалению, представление в координатном
пространстве требует больше кубитов. По нашим оценкам, 30 кубитов
на частицу A0 на каждое измерение, для реальной пространственной
решетки 1024 х 1024 х 1024 на частицу) будет более чем достаточно. По-
Поскольку эти 30 кубитов только временно нужны для двух частиц, вза-
взаимодействие которых мы рассматриваем для какого-нибудь состояния
в алгоритме, то для нового эффективного алгоритма нужно всего 2 х 30
кубитов (для взаимодействующих частиц), дополнительные 3 х 10 ку-
итов (для оставшихся частиц) и те же 10 кубитов для преобразования
урье и рабочего пространства. Таким образом, оказывается, что для
того, чтобы на самом деле провести «интересные» вычисления с исполь-
использованием описанных выше алгоритмов, нужен квантовый компьютер
примерно с 100 кубитами. Конечно, остается вероятность, что может
ыть изобретен эффективный алгоритм для описания кулоновского вза-
взаимодействия, не требующий дополнительного рабочего пространства.
Подведем итог: предложен новый квантовый алгоритм, который
может быть использован для нахождения собственных векторов и соб-
собственных значений оператора Гамильтона. Алгоритм обеспечивает экс-
экспоненциальное увеличение скорости по сравнению с лучшими клас-
классическими методами. Первые реальные вычисления лучше всего про-
проводить для задач атомной физики по двум причинам: и потому, что
имеются точные экспериментальные данные для проверки результатов
вычислений, и потому, что используемые параметры укладываются в
жидаемые рамки малых квантовых компьютеров. По нашим оценкам,
50-100 кубитов достаточно для проведения «интересных» вычислений,
которые трудно сделать классически. Наконец, мы предлагаем пару ин-
интересных вопросов, которые остались открытыми. Первый: хотя мы
сделали оценки относительно числа требуемых кубитов, было бы инте-
интересно точно подсчитать число квантовых гейтов, нужных, чтобы вы-
выполнить «интересную» задачу. Второй: стоило бы сделать детальный
нализ влияния ошибок, как и анализ исправляющих ошибки кодов в
данном контексте.
Литература 193
D. S. А. выражает признательность за поддержку NDSEG fellowship
и благодарит D.Lidar, C.Froese Fisher, и особенно W.R.Johnson за по-
полезные дискуссии. Часть данного исследования была выполнена при
поддержке гранта # N00014-95-1-0975 от Office of Naval Research, так-
также ARO и DARPA от гранта # DAAH04-96-1-0386 to QUIC, Quantum
nformation and Computation initiative, и DARPA гранта от NMRQC,
Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computing initiative.
Литература
[1] P. Shor. In Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations
of Computer Science, edited by S. Goldwasser (IEEE Computer
Society, Los Alamos, С A, 1994), p. 124.
[2] B.Boghosian and W.Taylor. Phys. Rev. E. vol. 57 A998), p. 54.
[3] S. Wiesner, препринт.
[4] C.Zalka. Proc. R. Soc. Lond. A A998).
[5] D.Lidar, O.Biham. Phys. Rev. E vol. 56 A997), p. 3661.
[6] A.Barenco et al Phys. Rev. A 52, 3457 A995).
[7] R.P.Feynman. Int. J. Theor. Phys. 21, 467 A982).
[8] S.Lloyd. Science 273, 1073 A996).
[9] C.Williams, частная беседа.
[10] W. R. Johnson, частная беседа.
[11] D.S. Abrams, S.Lloyd. Phys. Rev. Lett. 79, 2586 A997).
[12] R. Cleve, A.Ekert, C.Macchiavello, M.Mosca. Submitted to Proc.
Roy. Soc. Lond. А, препринт quant-ph/9708016.
Исследование квантового хаоса с помощью
квантового компьютера
Р.Шак
(Rdiger SchackI
Показано, что квантовое отображение пекаря — прото-
прототип отображений, применяемых при теоретическом изуче-
изучении квантового хаоса — очень просто реализуется с помощью
квантовых гейтов. Хаос в квантовом преобразовании пекаря
можно исследовать экспериментально на квантовом компью-
компьютере, состоящем только из 3 кубитов.
После открытия того, что квантовый компьютер может в прин-
принципе факторизовать большие числа за полиномиальное время [1, 2],
квантовая информация стала важной теоретической и эксперименталь-
экспериментальной темой исследования, фиксирующей свое внимание на свойствах,
использовании, создании и сохранении скрещенных квантовых состоя-
состояний [3]. Хотя не ясно, будет ли когда-нибудь реализован полномасштаб-
полномасштабный квантовый компьютер [4, 5], эксперименты с квантовыми гейтами
проводятся уже сейчас [6-9]. Важно найти применение для современ-
современных квантовых компьютеров, которые не способны выполнять такие
крупномасштабные вычисления, как факторизация.
Оказывается, они хорошо подходят для изучения квантовой ди-
динамики простых квантовых отображений. Квантовое отображение пе-
пекаря [10], одно из простейших квантовых отображений, используемых
для изучения квантового хаоса, интенсивно изучалось в последние го-
годы [11-16]. До сих пор оно рассматривалось как чисто теоретическая
игрушка. Однако, как следствие недавнего прогресса в области кван-
квантовых компьютеров [6-9], экспериментальная реализация квантового
отображения пекаря кажется возможной в очень близком будущем.
1Departament of Mathematics, Royal Holloway, University of London Edham, Surrey
TW20 OEX, UK.
E-mail: r.schack@rhbnc.ac.uk.
Перевод О. Д. Тимофеевской.
Исследование квантового хаоса с помощью квантового компьютера 195
Любой унитарный оператор можно аппроксимировать последова-
последовательностью простых квантовых гейтов [17-19]. Основной результат
той статьи состоит в том, что особенно простую реализацию в тер-
терминах квантовых гейтов имеет квантовое отображение пекаря. Оно
проявляет свои наиболее существенные свойства уже в гильбертовом
пространстве малой размерности. Численное моделирование [13] в гиль-
ертовом пространстве размерности D = 16 подтверждает, что руди-
рудиментарный квантовый компьютер, состоящий всего лишь из трех битов
(т. е. трех систем с двумя состояниями, порождающих D = 8-мерное
гильбертово пространство), можно было бы использовать для изучения
хаоса в квантовом отображении пекаря. В частности, вполне возможно
найти экспериментальное доказательство для сверхчувствительности
к возмущениям — предполагаемой теоретико-информационной харак-
характеристики квантового хаоса [13, 20-22].
Классическое преобразование пекаря [23] отображает единичный
квадрат 0 ^ q,p ^ 1 в себя по формуле
BяЛр), 0 ^ q ^ i
< 1 1
'2 '2 ^
Это соответствует сжатию единичного квадрата в р-направлении и рас-
растяжению в (/-направлении при сохранении площади, затем разрезанию
го по вертикали и, наконец, водружению правой части на вершину
евой части — примерно так пекарь месит тесто.
Для определения квантового отображения пекаря [10] мы кванту-
м единичный квадрат согласно [11, 24]. Чтобы представить единичный
квадрат в .D-мерном гильбертовом пространстве, мы начинаем с уни-
унитарных операторов «сдвига» U и У, которые производят сдвиг в «им-
«импульсном» и «координатном» направлениях соответственно, и которые
подчиняются коммутационным соотношениям [24]:
UV = VUe,
2тгг
где eD = 1. Мы выберем е = е D . Далее предположим, что VD =
= UD = 1, т. е. примем периодические граничные условия. Отсюда
следует [11, 24], что операторы U и V могут быть записаны как
П = e2ni* и V =
196 Р. Шак
Операторы координаты и импульса оба имеют собственные значения
j/D, з = 0, ...,?> -1.
Далее мы ограничимся обсуждением случая D = 2L, т. е. раз-
размерность гильбертова пространства — это степень двух. Для согла-
согласования единиц выберем квантовый масштаб в «фазовом пространстве»
как 2irh = 1/D = 2~L. Преобразование между координатным бази-
базисом \qi) и импульсным базисом \pi) осуществляется дискретным пре-
преобразованием Фурье F'L, определяемым матричными элементами
{F'L)kj = Л
Это не единственный способ квантования классического квадрата.
Здесь мы выбираем квантованное отображение пекаря, предложенное
Балазом и Воросом [10] и определяемое матрицей
гг! т-1-1 I J-¦ т л 0
1 =bL
где матричные элементы вычисляются в координатном базисе \qj). Ca-
рацено [1] ввел квантовое отображение пекаря с более сильными свой-
свойствами симметрии, используя антипериодические граничные условия,
но в этой статье мы ограничимся обсуждавшимися периодическими
условиями, которые использовались и в [10].
Дискретное преобразование Фурье, которое используется в опре-
определении квантового отображения пекаря E), играет решающую роль в
квантовых вычислениях и может быть легко реализовано как квантовая
схема, использующая простые квантовые гейты. Последующее обсуж-
обсуждение квантового преобразования Фурье близко следует [2]. Моделиру-
Моделирующее единичный квадрат D = 2^-мерное гильбертово пространство
можно реализовать как прямое произведение L-кубитов (т. е. L-дву-
мерных систем), так что
\qj) = \JL-l) ® \JL-2) ® ' ' ' ® |jo),
где j = ^2jk%ki jk ? 0? 1 (к = 0, ... , L — 1) и где каждый кубит имеет
состояния |0) и |1).
Чтобы построить квантовое Фурье преобразование, потребуются
Исследование квантового хаоса с помощью квантового компьютера 197
два квантовых гейта: гейт Ат, действующий на т-й кубит, и опреде-
енный на базисе |0), |1) матрицей
Ат ~ уз V -У '
и гейт Втп, оперирующий с т-м и с п-м кубитами и определенный как
Bmn\JL-l) &>•••&> \jo) =
где
_
—
тг/2п~т, если jm =jn =
О, если не так.
Определим дополнительно гейт 5mn, который переставляет m-й и п-й
кубиты.
Дискретное преобразование Фурье Fl может быть теперь выраже-
выражено в терминах трех типов гейтов как
FL = Sx(AoBoi...Bo,L-i)
x(AL-2BL-2,L-i) x
S =
где
So,L-lSi,L-2 • • • SL/2-i,L/2i если ^ ,
^o,l-i5i,l-2 • • • ?(l-3)/2,(l+i)/2> если L нечетно
бращает порядок кубитов. Квантовое отображение пекаря E) теперь
дается
где Fl-i действует на L — 1 наименее значительные кубиты, и / —
тождественный оператор, действующий на наиболее значительный ку-
ит. Гейты, соответствующие оператору перестановки битов 5, можно
сохранить, если менять метки кубитов в тензорном произведении F)
после выполнения Fl или
В D = 8 = 23-мерном гильбертовом пространстве одна итерация
квантового отображения пекаря представляется короткой последова-
последовательностью гейтов
Т = #02 ^4-0 ДI ^02 ^1^12 ^2*^01 ^0
198 Литература
Такую реализацию квантового отображения пекаря можно рас-
рассматривать с двух дополняющих друг друга точек зрения. С одной сто-
стороны она оказывает, что квантовое отображение пекаря может быть
ффективно симулировано на квантовом компьютере. 30-битный кван-
квантовый компьютер мог бы выполнить моделирование, которое факти-
фактически невозможны на современных классических компьютерах.
С другой стороны, итерация последовательности гейтов A2) на
-кубитном компьютере — это физическая реализация квантового ото-
ражения пекаря. Это открывает возможности для экспериментальных
исследований хаоса в физических системах в чисто квантовом режиме.
Литература
[1] P. W. Shor. In Proceeding of the 35th Annual Symposium on the
Theory of Computer Science, edited S. Goldwasser (IEEE Computer
Society Press, Los Alamitos, California, 1994), p. 124.
[2] A.Ekert and R. Jozsa. Rev. Mod. Phys. 68, 733 A996).
[3] See recent issue sof PRL and PRA and the e-print article quant-ph.
[4] W.G.Unruh. Phys. Rev. A 51, 992 A995).
[5] M.B.Plenio and P. L. Knight. Phys. Rev. A 53, 2986 A996).
[6] J.I.Cirac and P. Zoller. Phys. Rev. Lett. 74,4091 A995).
[7] C.Monroe et al Phys. Rev. Lett. 75, 4714 A995).
[8] N. A. Gershenfeld and I.L.Chuang. Science 275, 350 A997).
[9] D.Cory, A.Fahmy and T.Havel. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 94, 1634
A997).
[10] N.L.Balazs and A. Voros. Ann. Phys. 190, 1 A989).
[11] M.Saraceno. Ann. Phys. 199, 37 A990).
[12] M.Saraceno and A.Voros. Chaos 2, 99 A992); Physica D 79, 206
A994).
[13] R.Schack and CM. Caves. Phys. Rev. Lett. 71, 525 A993); Phys.
Rev. E 53, 3257 A996).
Литература 199
[14] A. Lakshminarayan and N.L.Balazs. Ann. Phys. 226, 350 A993).
[15] A. Lakshminarayan. Ann. Phys. 239, 272 A995).
[16] M.G.E. da Luz and A.M. Ozorio de Almedia. Nonlinearity 8, 43
A995).
[17] D.Deutch. Proc. R. Soc. Lond. A 400, 97 A985).
[18] A.Barenco et al Phys. Rev. A 52, 3457 A995).
[19] D.P.DiVincenzo. Phys. Rev. A 51, 1015 A995).
[20] CM. Caves. In Physical Origins of Times Asymmetry, edited
by J. J. Halliwell, J. Perez-Mercader and W. H. Zurek (Cambrifge
University Press, Cambridge, England, 1993), p. 43.
[21] R.Schack and CM. Caves. Phys. Rev. Lett. 69, 3413 A992); Phys.
Rev. E 53, 3387 A996).
[22] R.Schack, G.M.D'Ariano and CM. Caves. Phys. Rev. E 50, 972
A994).
[23] V. I. Arnold and A. Avez. Ergodic Problems of Classical Mechanics
(Benjamin, New York, 1968).
[24] H. Weyl. The theory of Group and Quantum Mechanics (Dover, New
York, 1950).
Квантовые компьютеры и труднорешаемые
(NP-полные) задачи
Владимир Черны
(Vladimir CernyI
В статье обсуждаются физические аспекты труднорешае-
мых (NP-полных) вычислительных задач. В рамках специфи-
специфической модели показано, что квантовый компьютер может,
в принципе, решить любую NP-полную задачу за полиноми-
полиномиальное время, однако вычисление потребует экспоненциально
больших затрат энергии. Высказывается предположение, что
предложенная модель отражает справедливость принципа до-
дополнительности применительно к энергии и времени, необхо-
необходимых для выполнения NP-полного вычисления.
1. Введение
В этой статье будут обсуждены физические аспекты труднореша-
емых (NP-полных) задач вычислений. Формальная математическая те-
теория NP-полноты [1] основана на строгих определениях таких понятий,
как задача, алгоритм и сложность и, конечно, на строгих математичес-
математических рассуждениях. Однако компьютеры, в конечном счете, физичес-
физические устройства, так что физические аспекты задачи (дополнительно к
чисто математическим аспектам) также следует обсудить с достаточ-
достаточной полнотой. Не можем ли мы научиться новым методам вычислений,
представляя компьютер как физическую машину? Известная откры-
открытая проблема теории сложности — Р = NP-задача. В этой статье будут
обсуждены ее физические аспекты. Мы попробуем решить NP-полную
1Institute of Physics, Comenius University, Mlynska dolina, 842 15 Bratislava,
Czechoslovakia.
© Phys. Rev. A48(l), 116-119, 1993.
Перевод О. А. Хрусталева.
Квантовые компьютеры и труднорешаемые (NP-полные) задачи 201
задачу за полиномиальное время. При этом вместо строгого математи-
математического языка будет использован язык физический. Наши построения
не будут иметь прямых математических аналогий.
Мы обсудим известную задачу о коммивояжере (TSP — traveling-
salesman-problem): дано множество N городов и расстояния d^ между
каждой парой городов. Нужно найти кратчайший маршрут, проходя-
проходящий через все города. (Фактически, будет решаться ограниченная за-
задача, когда предполагается, что все dij ограничены сверху числом L.
Это — все еще NP-полная задача.) Есть простой алгоритм решения
той задачи: перенумеруем все возможные маршруты и найдем длину
каждого из них. Время решения в этом случае экспоненциально растет
с JV, поскольку число маршрутов — величина порядка N1. Неизвестно,
существует ли эффективный алгоритм, требующий полиномиального
по N времени вычисления (точная формулировка Р = NP-задачи дана
в [1]). Параллельный перебор всех N1 маршрутов одновременно потре-
ует конечного времени вычисления. Но если для этого случая потребу-
тся N1 процессоров, придется считаться с экспоненциально большим
размером компьютера и экспоненциально большим временем чтения.
Прямолинейный параллелизм принесет мало пользы. Наивный подход
к задаче может привести к выводу, что в конечной системе нельзя одно-
одновременно реализовать «экспоненциально большое» число возможностей.
Однако справедливо обратное. Квантовая система может управлять экс-
экспоненциально большим числом возможностей одновременно. Это свой-
свойство можно, в принципе, использовать при вычислениях. Квантовые
компьютеры обсуждались, например, Дойчем [3] и Фейнманом [4]. Наш
метод аналогичен методу Фейнмана [4], хотя его цель в некоторой сте-
степени противоположна нашей. Фейнман показал, что квантовый ком-
компьютер можно, в принципе, применить для выполнения тех же вычис-
ений, которые выполняет стандартный компьютер, используя логи-
логические гейты. Здесь обсуждается в некотором смысле дополнительная
проблема: можно ли, хотя бы в принципе, придумать альтернативный
способ вычисления, в основе своей отличный от вычислений на стан-
стандартной машине (подчеркнем слова «в принципе»). В этом отношении
наши рассуждения близки к рассуждениям Фейнмана. Мы не хотим
изобретать технически осуществимую машину. Мы придумаем что-то
вроде мысленного эксперимента: будем работать с системой, которая,
может быть, не существует в реальном мире, но ее существование не
противоречит ни одному из законов принятой теории. Такие системы
202 В. Черны
могут быть реализованы принципиально. Нашим теоретическим полем
деятельности будет квантовая механика. Будет показано, что можно
решить NP-полную задачу за «полиномиальное» время в «полиномиаль-
«полиномиальном» пространстве. Для этого будет построена специфическая кванто-
квантовая модель TSP-решателя.
2. Квантовый TSP-решатель
Наш гипотетический квантовый компьютер выглядит как мно-
многощелевая интерференционная машина с приборами Штерна-Герлаха
между щелями. В этом разделе мы ограничимся ее кратким описани-
м. Детали можно найти в дополнении.
Для TSP с N городами нужна машина, состоящая из N — 1 слоев
из N — 1 щелей в каждом слое. Таким образом, каждую щель можно
динственным образом задать парой целых чисел (г, j). В дополнение к
щелям машина содержит источник частиц («лазер»), расположенный в
точке 5, и детектор частиц в точке D (см. рис. 1).
2 3 4 N
S
N \N \N
D
N
Рис. 1. Многощелевая интерференционная машина — TSP-решатель.
Существует (N — l)(n-1) возможных траекторий, по которым час-
частица может попасть из точки S в точку D. Траекторию можно един-
единственным образом задать перечислением щелей на ней, например, тра-
ктория на рис. 2 задается так:
S, B,2), C,4), D,3), E,5), D.
Ясно, что указатели слоев можно опустить и описать эту траекторию
последовательностью
S, 2, 4, 3, 5, D. A)
Квантовые компьютеры и труднорешаемые (NP-полные) задачи 203
Последовательность A) можно принять в качестве кода маршру-
маршрута коммивояжера по пяти городам, если только отождествить точки S
и D с началом и концом маршрута (город 1). Тогда траектория A)
удет представлять маршрут 1, 2, 4, 3, 5, 1. Однако существуют тра-
ктории, которые не могут быть маршрутами коммивояжера, напри-
например, 5, 3, 2, 2, 5, D. Здесь город 2 посещается дважды, а город 4 про-
пропущен.
2 3 4 5
Рис. 2. Траектория, соответствующая TSP-маршруту.
Следует избавиться от всех «запрещенных» траекторий и опреде-
ить динамику движения частицы так, чтобы частица, проходящая
сквозь машину, знала длину соответствующего TSP-маршрута.
Чтобы удовлетворить этим условиям, нужно иметь частицы с неко-
некоторым числом степеней свободы, которые могли бы взаимодействовать
с машиной. Можно использовать внутренние степени свободы, подоб-
подобные изотопическому спину. Еще раз подчеркнем, что перед нами гипо-
гипотетический мир, так что можно изобретать любые внутренние степени
свободы, даже если они не соответствуют частицам реального мира.
Предположим, что внутренние состояния наших гипотетических
частиц можно описать следующим кэт-вектором:
где
к е @,1, ... , NL), CiG@,l), pG@,l).
Квантовое число к будет измерять «число километров» маршрута, чис-
а С{ скажут, посещался г-й город или нет. Квантовое число р не имеет
тношения к TSP. Оно связано с дополнительной степенью свободы,
необходимой для реализации принятой динамики.
Для описания работы машины все готово. Теперь рассмотрим часть
траектории между двумя щелями из соседних слоев, (г,т) —>• (г + 1,п).
204 В. Черны
Это — часть маршрута путешествующего торговца (TS) между города-
городами т и п. Предположим, что если частица проходит сквозь щель (г, п),
то квантовое число сп изменяется следующим образом:
с„ = 0 -)> с„ = 1. B)
Предположим также, что наша частица движется между щелями не
в свободном пространстве, но в некотором поле, которое задано так,
что квантовое число к возрастает на отрезке траектории между щеля-
щелями (г, п) и (г + 1, т) как
К У К -\- &nmi \у)
где dnm — расстояние между городами пит. Соотвествующая дина-
динамика обсуждается в дополнении.
Предположим, что все частицы рождаются в точке S в состоянии
|0; 0, 0, ... , 0; 0).
После того как частицы пройдут сквозь машину, они окажутся в состо-
нии
^2 |fc; с2, с3, ... , слг;р)траектория. D)
траектории
Некоторые из траекторий в этой сумме соответствуют разрешенным
TS-маршрутам. Легко понять, что это — те траектории, для которых
все квантовые числа С{ равны 1, что гарантируется правилом B). Для
таких траекторий значение квантового числа к равно длине соответ-
соответствующего маршрута.
Представим теперь, что в точку D помещен фильтр, который по-
подавляет все состояния, кроме тех, для которых все С{ равны 1. Тогда
состояния на выходе машины равны
Yj |Длина маршрута^; 1,1, ... , 1;р)траектория. E)
траектории
Соответствующий фильтр должен состоять из серии устройств типа
приборов Штерна-Герлаха, чувствительных к квантовым числам с и
поглощающих состояния с с = 0. Заметим, что пока наши рассуждения
следуют духу фейнмановских лекций [2].
Квантовые компьютеры и труднорешаемые (NP-полные) задачи 205
Штерн-Герлах Детекторы
I I k=0
] fc=l
I
I
] k=NL
Рис. 3. Устройство Штерна-Герлаха, измеряющее минимальное значение к.
Задача почти решена. Нужно только поместить в точку D допол-
дополнительное устройство Штерна-Герлаха, на этот раз чувствительное к
квантовому числу к. Оно должно разделить поток выходящих частиц на
NL потоков, каждый из которых соответствует некоторому значению к
(см. рис. 3). Если снабдить выходные потоки детекторами частиц, то
детектор у потока с к = ML откликнется в том случае, если существу-
существует маршрут длины М. Из тех детекторов, которые откликнутся, можно
выбрать детектор, соответствующий минимальному значению к. Он и
кажет коммивояжеру кратчайший путь.
3. Проблема измерения
Следует, однако, тщательнее обсудить вопрос о детектировании
минимального к. Ортодоксальная квантовая механика учит, что каж-
каждая частица, прошедшая сквозь нашу машину, находится в суперпо-
суперпозиции состояний, определяемой суммой E). Каждая частица ощущает
все траектории и именно поэтому каждая частица «знает» минимальное
значение к. TSP-решение скрыто в конечном состоянии каждой части-
частицы, прошедшей сквозь машину. Чтобы пройти сквозь машину, частице
нужно лишь «полиномиальное время», поэтому именно за такое время
решается задача о коммивояжере. Что надо сделать, чтобы мы (а не
только частица) также знали решение? Задача состоит в том, чтобы
измерить (в смысле квантового измерения) минимальное значение fc,
содержащееся в суперпозиции E). В сумме E) содержится (по поряд-
порядку величины) N1 состояний, и может случиться, что только одно из
них соответствует минимальному значению к. В этом случае придется
искать состояние, которое входит в суперпозицию E) с экстремально
малой амплитудой . Таким образом, чтобы заставить детекторы
откликаться с разумной вероятностью, надо пропускать сквозь маши-
машину очень большое число частиц одновременно. Это, в принципе, воз-
206 В. Черны
можно, если мы имеем дело с бозонами, из которых можно построить
классическое поле, примерно таким же образом, как лазерное излуче-
излучение формируется из большого числа когерентных фотонов. Однако, наш
«лазер» должен быть очень энергичным: ведь требуется, чтобы интен-
интенсивность классического поля соответствовала собранию N1 бозонов. К
несчастью, для этого необходима «экспоненциально большая» энергия.
Таким образом, «вычисление» действительно можно выполнить за по-
полиномиальное время, но чтение результата потребует экспоненциально
больших затрат энергии.
4. Выводы
Хотя в работе обсуждалась некоторая частная модель, нельзя от-
отделаться от чувства, что она указывает на некоторый более общий ре-
результат. Кажется, что мы имеем дело с некоторым принципом допол-
дополнительности, касающегося энергии и времени, необходимых для вы-
выполнения NP-полного вычисления. Случай, противоположный нашему,
же был подробно обсужден: показано, что можно вычислять с нуле-
нулевой затратой энергии, если только смириться с медлительностью вы-
вычислительной машины [4-6]. Здесь был рассмотрен другой предельный
случай: быстрое вычисление, но экстремально большая затрата энер-
энергии. Действительно ли мы столкнулись с новым принципом, или это —
следствие некоторых известных законов природы, например, второго
закона термодинамики? Могут ли приведенные выше рассуждения на-
чить тому, как следует «математически» подойти к P=NP-зaдaчe? Мы
не знаем. Нашу простую модель лучше рассматривать как возможное
начало дискуссии, чем как решение задачи.
5. Дополнение
Обсудим технические подробности динамической схемы, которая
проводит к определяющим поведение системы уравнениям A) и C).
Начнем с первого из них. Поскольку речь там идет только о квантовых
числах сп, забудем о других квантовых числах, а также об индексе п в
обозначениях. Предположим, что в гнезде имеется поле, которое «взаи-
«взаимодействует» с квантовым числом с и что гамильтониан взаимодейст-
взаимодействия равен
/ + й),
Квантовые компьютеры и труднорешаемые (NP-полные) задачи 207
где й+ий — такие операторы:
а|0)=0,
этом случае
•ч
exp(—iHiti)\0) = cos(a;iti)|0) — г
ели распорядиться частотой uj\ и временем пролета частицы сквозь
гнездо t\ так, чтобы было uj\t\ = ^, то уравнение B) будет удовлетво-
удовлетворено.
Перейдем к уравнению C). Нужно построить аппарат, который бу-
ет менять состояние частицы по закону
|fc>-> |fe + l>. F)
Для этого необходимо дополнительное квантовое число р, с помощью
которого изменение состояния F) можно представить как последова-
ельность изменений
|fc;p = 0) -> \k + l;p = 1) -> \k + l;p = 0). G)
редставим, что частица взаимодействует с некоторым внешним полем
и гамильтониан взаимодействия равен
Н2 =
где
+ для fc < L, &+|fc;p) = 0 для fc = L,
хЧ
b|fc;_p) = |fc — 1;р) для fc > 0, Ь|fc;_p) = 0 для к = 0,
;p = 0) = |fe;p = 1), d+\k',p = 1) = 0,
d\k;p = 0) = 0, d\k;p = 1) = \к]р = 0).
этом случае
хЧ
ехр(—г'Я2*2)|^;0) = cos(ct;2^2)|^;0) - г
208
В. Черны
Выбирая uj\ и ^2 (время пролета сквозь поле) так, что uj\t\ = 77, получим
требуемое изменение состояния:
|fc,0> -> |fc + l,l>.
Чтобы привести квантовое число р к значению р = 0, можно использо-
использовать взаимодействие с гамильтонианом
н'2 =
и взять время пролета t'2 таким, чтобы выполнялось uj'2t'2 = 77 •
преобразователь
Рис. 4. Последовательность шагов к —у & + 1, подразумевающая изменение
остояния.
Однако, здесь следует соблюдать осторожность. Если времена
и t'2 подобраны недостаточно аккуратно, получатся состояния с малой
добавкой неверных квантовых чисел к и р. Это опасно: ведь оконча-
окончание работы связано с поиском экспоненциально малой амплитуды. Да-
е экспоненциально малая добавка с «неверными» квантовыми числами
может привести к ложному результату. К счастью, дополнительную
переменную р можно заставить проверять, правильно ли изменяется
состояние. Нужно только поставить после устройства, осуществляю-
осуществляющего замену |fc;0) —У \к + 1;1), фильтр, который поглотит возможную
добавку состояния |fc;0). Это можно сделать, проверяя только значение
.Л.
переменной р. Гамильтониан Hi сохраняет корреляцию между значени-
ми р и к. Именно это обстоятельство было главной причиной определе-
определения дополнительной переменной р. Далее, мы не можем проверить пра-
правильность значения fc + 1, поскольку нам неизвестно значение к. Можно
снова добавить фильтр, который после изменения \к + 1; 1) —>• \к + 1,0)
поглотит добавку состояния |fc + l; 1). В этом случае перед входом в сле-
следующий (к —>• к = 1)-аппарат состояние будет иметь правильное значе-
значение р = 0. Полный (к —У &+1)-аппарат изображен на рис. 4. Теперь ясно,
как обеспечить необходимое изменение состояния (к —У k + dmn) между
гнездами тип: вложим с/тп-части (к —у & + 1)-устройств в траекторию
между гнездами тип. Такие устройства необходимо поместить между
Литература 209
каждой из пар гнезд тип. Фильтры уменьшают яркость квантового
компьютера (некоторые частицы теперь не пройдут сквозь машину),
днако это неважно, потому что яркость должна быть экспоненциально
Новые книги
Редакция журнала «Регулярная и Хаотическая Динамика» совмест-
совместно с издательским домом «Удмуртский университет» и Московским не-
независимым университетом выпускает новые книги по физике и мате-
математике. Вашему вниманию предоставляется широкий выбор книг, от
чебной литературы и трудов классиков, ставших библиографической
редкостью, до современных научных исследований российских и за-
зарубежных ученых. Издаваемые книги рассчитаны на самый широкий
спектр читателей от студентов и аспирантов физико-математических
специальностей до преподавателей вузов и научных работников.
Книги, уже изданные и планируемые к изданию в начале 1999 года:
Арнольд В. И.
Геометрические методы в
теории дифференциальных
уравнений.
Арнольд В. И.
Обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения.
Арнольд В. И., Авец А.
Эргодические проблемы класси-
классической механики.
Блашке В.
Дифференциальная геометрия.
Болсинов А. В., Фоменко А. Т.
Интегрируемые гамильтоновы
системы. Геометрия, топология,
классификация, (т. 1, 2)
Борисов А. В., Мамаев И. С.
Пуассоновы структуры и ал-
алгебры Ли в гамильтоновой
механике.
Ван-дер-Варден Б. Л.
Метод теории групп в кванто-
квантовой механике.
Вейль Г.
Симметрия.
Гамов Г.
Приключения мистера Томп-
кинса.
Гамов Г., Ичас М.
Мистер Томпкинс внутри само-
самого себя.
Гамов Г, Стерн М.
Занимательная математика.
Голубев В. В.
Талант без почвы.
Громов М.
Знак и геометрический смысл
кривизны.
Дирак П. A.M.
Лекции по квантовой механике.
Журавлев В. А.
Термодинамика необратимых
процессов в задачах и реше-
решениях.
Зоммерфельд А.
Механика.
Козлов В. В.
Методы качественного анализа
в динамике твердого тела.
Козлов В. В.
Общая теория вихрей.
Курант Р., Роббинс Г.
Что такое математика.
Лейбниц И. Г.
Избранные труды по механике.
Маркеев А. П.
Теоретическая механика.
Марсден Дж., Ратью Т.
Введение в механику и сим-
симметрию.
Мах Э.
Механика. Историко-крити-
ческий очерк ее развития.
Медников Л. Э., Мерзляков А. С.
Математические олимпиады.
Мозер Ю.
Избранные труды - 70.
Оден М.
Вращающиеся волчки. Курс
интегрируемых систем.
Олъшанецкий М.А., Шапиро И. С.
Лекции по топологии для фи-
физиков.
Поляков А. М.
Калибровочные поля и струны.
Тьюринг А. М.
Может ли машина мыслить?
Уиттекер Э.
Аналитическая динамика.
Ферми Э.
Квантовая механика.
Ферми Э.
Термодинамика.
Харди Г.
Апология математика.
Шредингер Э.
Что такое жизнь с точки зре-
зрения физики.
Шредер М.
Фракталы, хаос, степенные
законы.
Сборник статей.
Квантовые вычисления: за и
против.
Наши книги Вы можете приобрести в магазинах Москвы или за-
заказать наложенным платежом. По вопросам сотрудничества, издания и
приобретения книг обращайтесь по адресу:
Россия, 426034, г. Ижевск,
ул. Университетская, 1, УдГУ,
Лаборатория динамического хаоса и нелинейности
тел. C412) 43-04-98 факс: C412) 25-85-22
e-mail: subscribe@uni.udm.ru
http://www.uni.udm.ru/rcd
Заявки на приобретение книг наложенным платежом просьба присылать
по e-mail'y.
Квантовые вычисления: за и против
Дизайнер А. Н. Коробейникова
Компьютерная подготовка А. В. Широбоков
Компьютерная графика С. В. Кузнецов
В. Г. Бахтиев
Корректор В. Г. Бахтиев
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97. Подписано к печати 15.05.99.
Формат 60 х 84У16. Усл.печ.л. 12,32. Уч. изд. л. 12,24.
Гарнитура Computer Modern Roman.
Заказ № Тираж 1000 экз.
Издательский дом «Удмуртский университет»
426011, г. Ижевск, ул. Майская, 23.