МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ
А.К. Гуц
Комплексный анализ
и информатика
Издание ОмГУ
Омск 2002

ББК 60
УДК 53:630.11
Гуц А.К. Комплексный анализ и
информатика: Учебное пособие. — Омск: Омск. гос. ун-т,
2002. - 144 с.
ISBN 5 - 8239 - 0101 - 1
Учебное пособие посвящено изложению основ теории функций
комплексного переменного и ее приложений к компьютерным
наукам. Основу пособия составляют конспекты лекций, которые
читались студентам первого курса отделения компьютерных наук
Омского государственного университета.
Для студентов, обучающихся по специальности 075200 -
«Компьютерная безопасность» и по специальности 220100 -
«Вычислительные машины, комплексы системы и сети».
Художник В.В. Коробицын
ISBN 5 - 8239 - 0101 - 1 © Омский госуниверситет, 2002

Оглавление
1 Комплексные числа и функции 10
1.1. Комплексные числа 10
1.1.1. Плоские числа 10
1.1.2. Решение квадратных уравнений
и различные типы плоских чисел 12
1.1.3. Пространственные числа 13
1.1.4. Свойства комплексных чисел 15
1.1.5. Тригонометрическая запись
комплексного числа 15
1.1.6. Бесконечно удаленная точка
и расширенная комплексная
плоскость. Сфера Римана 16
1.2. Последовательности 17
1.2.1. Предел последовательности 17
1.2.2. Подпоследовательности
и предельные точки 18
1.3. Ряды 19
1.3.1. Определение ряда 19
1.3.2. Операции с рядами 20
1.4. Топология комплексной
плоскости (Е 21
1.4.1. Открытые множества, окрестности
и топология 21
1.4.2. Точки прикосновения и замыкание 22
1.4.3. Компактные множества 22
1.4.4. Области 23
1.5. Комплексные функции 23
3

4 Оглавление
1.5.1. Функции, изучаемые
в комплексном анализе 23
1.5.2. Предел функции 25
1.5.3. Непрерывные функции 25
1.6. Георг Риман 25
1.7. Основная теорема алгебры 27
1.8. Интерпретация комплексных
чисел Флоренским 27
1.9. Заблуждение великих 28
2 Комплексная динамика и фрактальное сжатие
информации 30
2.1. Фракталы 30
2.1.1. Итерации 30
2.1.2. Множества Мандельброта и Жюлиа 31
2.1.3. Фракталы 32
2.2. Построение фракталов на основе их самоподобия . . 34
2.2.1. Треугольник Серпинского 34
2.2.2. Кривая Коха 36
2.3. Фрактальное сжатие информации 37
2.3.1. Сжатие информации 37
2.3.2. Идея фрактального сжатия
изображения 39
2.4. Математические основы теории фрактального сжатия 41
2.4.1. Метрическое пространство 42
2.4.2. Теорема Банаха о неподвижной точке 42
2.4.3. Метрика Хаусдорфа 43
2.5. Алгоритм фрактального сжатия изображения .... 44
2.5.1. Построение алгоритма 44
2.5.2. Схема алгоритма декомпрессии
изображений 47
3 Аналитические функции 49
3.1. Определение аналитической
функции 49
3.2. Частные производные
действительных функций 50
3.3. Условия Коши-Римана 51
3.4. Конформные свойства
аналитических функций 52

Оглавление
5
3.4.1. Кривые на комплексной плоскости 52
3.4.2. Консерватизм углов 53
3.4.3. Постоянство искажения масштаба 54
3.4.4. Конформные отображения 55
3.5. Степенные ряды 55
3.5.1. Определение степенного ряда 55
3.5.2. Радиус сходимости 56
3.5.3. Сложение и умножение
степенных рядов 56
3.6. Представление аналитических
функций в виде степенного ряда 57
3.7. Функции ez, sin z, cos z 58
4 Комплексные интегралы Коши 62
4.1. Определение интеграла Коши 62
4.1.1. Свойства интеграла Коши 63
4.1.2. Интеграл Коши как сумма
криволинейных интегралов 2-го рода 64
4.2. Теорема Коши 65
4.2.1. Многосвязные и односвязные области 65
4.2.2. Теорема Коши 66
4.2.3. Обобщенная теорема Коши 67
4.3. Вычисление комплексных
интегралов 69
4.3.1. Первообразная 69
4.3.2. Формулы для вычисления
комплексных интегралов 70
4.4. Интегральная формула Коши 72
4.5. Огюстен Коши 72
5 Ряды Лорана
и особые точки 74
5.1. Ряд Лорана 74
5.2. Особые точки 76
5.2.1. Классификация особых точек 76
5.2.2. Поведение функции в окрестности
существенно особой точки 78
5.2.3. Ряд Лорана в окрестности
особой точки 78

о
5.2.4. Ряд Лорана для бесконечно
удаленной точки z = оо 79
5.3. Целые и мероморфные функции 80
5.3.1. Целые функции 80
5.3.2. Мероморфные функции 81
6 Теория сигналов 83
6.1. Определение сигнала 83
6.2. Гармонический анализ сигнала 84
6.2.1. Разложение периодического
сигнала на гармоники 84
6.2.2. Разложение непериодического
сигнала на гармоники 86
6.2.3. Энергия сигнала и его энергетический спектр 88
6.3. Фильтры и фильтрация сигналов 89
6.4. Преобразования Лапласа 89
6.4.1. Изображение произведения
двух оригиналов 91
6.4.2. Переход к преобразованию Фурье 91
7 Вычеты 92
7.1. Понятие вычета 92
7.2. Формулы для вычетов 94
7.3. Вычисление интегралов
с помощью вычетов 94
7.4. Применение вычетов
для вычисления определенных
интегралов 96
8 Сохранение информации
при дискретизации сигналов 99
8.1. Дискретизация сигнала 99
8.2. Спектр дискретизированного
сигнала. Теорема Котельникова 103
8.3. Ряд Котельникова 106
9 Замечательные комплексные функции 108
9.1. ^-функция Римана
и простые числа 108
9.1.1. Распределения простых чисел 108

главление
9.1.2. Гипотеза Римана 109
9.2. L-функция Дирихле 110
9.2.1. Расширенная гипотеза Римана 110
9.2.2. Криптография, криптоанализ
и расширенная гипотеза Римана 110
9.3. ^-функция Дирака 112
9.4. Оливер Хевисайд 113
10 Квантовая информатика 115
10.1. Принципы построения
компьютера 115
10.2. Логические элементы 116
10.2.1. Неклассический элемент л/НЕ 117
10.2.2. Квантовые логические элементы - гейты ... 118
10.2.3. Квантовые параллельные
вычисления 119
10.3. «Наивная» квантовая механика 121
10.3.1. Состояния 121
10.3.2. Принципы «наивной» квантовой
механики 121
10.4. Квантовый компьютер 125
10.5. Схема работы квантового
компьютера 128
10.5.1. Ввод начальных данных 128
10.5.2. Вычисление 129
10.5.3. Вывод результата 130
10.6. Квантовая криптография 130
10.7. Юрий Манин 131
10.8. Дэвид Дойч 131
10.9. Математические основы
квантовой механики 132
10.9.1. Гильбертово пространство 133
10.9.2. Бра- и кет-векторы 134
10.9.3. Линейные операторы 135
10.9.4. Постулаты квантовой механики 136
10.9.5. Эвереттовская трактовка квантовой механики 138

Представление - не картина, но картина может ему
соответствовать.
Людвиг Витгенштейн

КОМПЛЕКСНЫЙ
АНАЛИЗ
И
ИНФОРМАТИКА
h

Глава 1
Комплексные числа
и функции
R
1.1. Комплексные числа
1.1.1. Плоские числа
Известно, что действительные числа можно «разместить» на
прямой. Более точно, между действительными числами,
образующими множество действительных
чисел IR, и точками, лежащими на
прямой L, существует взаимно однознач-
А ное соответствие, т.е. биективное ото-
у|* бражение IR —»■ L (рис. 1.1).
^^^ I геометризация Помимо прямых геометрия име-
У^^ ш^ ет дело и с плоскостями. Рассмотрим
\/ плоскость Р. Зададим себе вопрос:
^ Действительные числа
существуют ли в природе «плоские»
числа, которые можно было бы
«разместить» на Р?
Ответ на этот вопрос
утвердительный. Существуют, причем множеств таких чисел,
существенно отличных друг от друга, более, чем одно.
Рис. 1.1: Геометризация
действительных чисел
10

1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
11
R
Найдем эти множества плоских чисел, которые будут более
сложными, чем действительные.
Введем на плоскости Р декартовы
координаты х,у. Тогда, как
известно, каждой точке А однозначно
соответствует пара действительных
чисел (а,/3), т.е. можно написать, что
А = (а, /3). По существу, мы получили
плоские числа вида (а,/3).
Действительные числа ценны
постольку, поскольку их можно
складывать, вычитать, умножать и делить.
Причем эти операции подчиняются
ряду правил:
о
J-
геометризация
Плоские числа
Рис. 1.2: Плоские числа
а + /3 = /3 + а,
а • /3 = /3 • а,
(а + /3)+7 = а + (/3 + 7), (1.1)
(а-/3) -7 = а- (£-7),
а • (/3 + 7) = ol • /3 + а • 7-
Кроме того, существуют два особых числа: 0 - нуль и 1 - единица,
обладающие свойствами:
а + 0 = а,
а • 1 = а,
а • а = 1,
(1.2)
где а-1 = 1/а.
Учитывая эти свойства действительных чисел, определим
операции +, •,/ для плоских чисел А = (а,/3) следующим образом.
Если даны плоские числа А = (а, /3), В = (7, £), то
Л + В = (а,р) + (7, Л) = (а + 7,/? + *),
Л • В = (а,/?) • (7,<5) = (о7 - /?<W + fo),
А _ .асу + /36 /3j — а8.
В ~ V + 72 ' /?2+72
(1.3)

12
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
Нетрудно проверить, что для плоских чисел А = (а,/3),В = (j,S)
и С = (/i, i^) выполняются свойства (1.1). Вводя ш/лъ 0 = (0,0) и
единицу 1 = (1,0), убеждаемся, что верны и свойства (1.2).
Иначе говоря, плоские числа весьма похожи на действительные. Чем
же они отличаются от «прямых» чисел IR ? Чтобы это увидеть,
запишем плоское число А = (а,/3) в виде А = а + /3i, где г = (0,1).1
Тогда
i-i = i = —1,
и это равенство невозможно для действительных чисел. Число г
называется мнимой единицей.
1.1.2. Решение квадратных уравнений
и различные типы плоских чисел
Исторически появление чисел вида a+(3i связывают с нахождением
корней квадратных уравнений
х2 +px + q = 0. (1.4)
Математики столкнулись с невозможностью найти действительные
корни для уравнения (1.4) в случае, когда А = р2 — 4q < 0. Плоские
числа вида а + /31, где I2 = —pi — q позволили справиться с данной
проблемой. При этом быстро выяснилось, что множество плоских
чисел вида а + /31, по сути дела, ничем не отличается от множества
плоских чисел вида а + /3i [40, с. 15].
Однако условие I2 = —pi — q для особого корня уравнения (1.4)
открывает путь для поиска других множеств плоских чисел. Для
этого будем искать их в виде А = а-\-/ЗЕ, где Е такое плоское число,
которое является корнем уравнения (1.4), т.е.
Е2 = -рЕ - q,
без какого-либо предварительного предположения о знаке
дискриминанта А = р2 — 4д.
Определим операции +,- и • следующим образом:
А ± В = (а + РЕ) ± (7 + SE) = (а + 7) ± (/3 + 6)Е,
А В = (a + /3E)-(j + 5E) =
1 Имеем: (а, (3) = (а, 0) • (1, 0) + (/3, 0) • (0,1) = а • 1 + (3 • г = а + /Зг, где
проведены отождествления а = (а,0),/3 = (/3,0).

1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
13
= а7 + ol5E + /3jE + /35Е2 = (а7 - ?£<*) + (аб + р-у - р/36)Е.
Имеет место [40, с. 17-18]
Теорема 1.1. Существует три типа плоских чисел:
1) Если А < 0; то для числа г = Дд + -у=^Е справедливо
равенство г2 = — 1. Мноэюество чисел вида а + /ЗЕ совпадает, по
сути дела, с множеством чисел вида a+f3i. Это мноэюество
комплексных чисел®.
2) Если А = 0; то найдется число е, например е = § + Е,
для которого г2 = 0. Мноэюество чисел вида а + /ЗЕ совпадает,
по сути дела, с множеством чисел вида а + /Зг. Это мноэюество
дуальных чисел.
3) Если А > 0; то для числа е = -4= + -jjrE справедливо
равенство е2 = 1. Мноэюество чисел вида а + /ЗЕ совпадает с
множеством чисел вида а + /Зе. Это мноэюество двойных чисел.
Заметим, что для двойных и дуальных чисел можно
определить операцию деления. Однако деление возможно далеко не на
все числа [40]. Как нетрудно видеть, в случае комплексных чисел
делить нельзя лишь на нуль, и это «роднит» комплексные числа с
действительными.
1.1.3. Пространственные числа
Попытаемся найти теперь пространственные числа, т.е. множества
чисел, которые соответствуют точкам в пространстве. Коль
скоро в пространстве П каждая точка характеризуется тремя
действительными числами, являющимися ее декартовыми
координатами x,y,z, то следует предположить, что пространственные числа
должны иметь следующий вид
А = а + /3-Е! +7-^2,
где Ei,Ez - две новые «мнимые единицы», аналогичные г,е или е.
Эти единицы следует искать, полагая, что они являются решениями
уже системы из двух «квадратных» уравнений.
Усложним себе задачу, допуская многомерность пространства,
а точнее, пусть пространство имеет п измерений. Соответственно
пространственные числа должны иметь вид
А = а0 + ai • Ei + ... + an-i • En-i, (1.5)

14
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
а соответствующая система «квадратных» уравнений может быть
записана следующим образом
( ЕхЕх =р{{1+р\1Е1 + ...+р71-1Еп-1
I Е1Е2=р°12+р\2Е1 + ...+рг?-1Еп-1
( Еп-\Еп-\ = рп_1^п_1 + pn-i,n-\E\ + ... + p™-i,n-iEn-i
или
EjEk=p°jk +р)кЕ1 + ... +р^"1Яп_1 (J,/с = 1,..,п - 1).
Теперь можно определить операции +, — и •
(ao + ai -#1 + ... + ап_1 •£n_i)±(/30+/3i •£?! + ...+^n-i -#n-i) =
= (а0 ± А)) + (ai ± /3i) • Ex + ... + K-i ± £n-i) • Яте-1,
(а0 + он • £7i + ... + «n-i • #n-i) • (A) + /3i • Ei + ... + /3n-i • #n-i) =
= a0/5o + oloP\E\ + ... + OLQf3n-iEn-1 +
+ai/3o^i + «i/3i^i2 + ... + aiPn-iE^n-i + ...
... +an-i/30En-i + an-i/3iEn-iEi + ... + an-ij3n-iE^l_1.
В последней формуле надо воспользоваться равенствами (1.6), и
тогда в результате умножения чисел вида (1.5) будут получаться
числа того же вида (требование замкнутости относительно
операции умножения).
Какие типы пространственных чисел мы получим? Ответ дает
следующая
Теорема 1.2. Пространственные числа существуют только для
размерностей п = 2, 4 и 8.
При п = 2 имеем плоские числа, при п = 4 - множества
кватернионов Гамильтона, псевдокватернионов, вырожденных
кватернионов, вырожденных псевдокватернионов и дважды
вырожденных кватернионов, т.е. пять типов чисел. Кватернионы не
коммутативны относительно умножения.
При п = 8 получаются несколько множеств октав Кэлли.
Числа Кэлли не коммутативны и не ассоциативны относительно
умножения [40].

1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
15
1.1.4. Свойства комплексных чисел
Итак, комплексные числа имеют вид а + /3i. Для них определены
операции +, —, • и /, и они обладают свойствами (1.1) и (1.2).
Модулем комплексного числа z = а + /3i называют
действительное число \z\ = \foL2 + /З2. Очевидно, что
\Z1 +Z2\ < |2l| + H, \\zi\ - \Z2\\ < \Z1 ~Z2\.
Число z = a — /3i называют сопряженным для z. Легко убедиться,
что
1*1 = 1*1,
Z1Z2 = 2122, Zi + Z2 =Zl +Z2-
Для 2 = а+/3г действительное число а называется действительной
частью z, и обозначают ее как Re z, а /3 - мнимой частью, для
которой используется обозначение Im z.
1.1.5. Тригонометрическая запись
комплексного числа
Комплексное число как
точка на плоскости имеет в
декартовых координатах две
геометрические характеристики:
расстояние до начала координат г = \z\
и угол if = arctg(/3/a),
отсчитываемый от оси х против часовой
стрелки. Указанный угол,
определяемый с точностью до 2&7Г,
называют аргументом числа z.
Аргумент обозначают как arg z. Его Рис. 1.3: Модуль и аргумент
значение, лежащее в промежутке комплексного числа
(—7г,7г], называют главным и записывают в виде Arg z.
Отметим важные свойства аргумента:
= arg z\ + arg Z2 + 2ктг,
arg z\ — arg Z2 + 2ктт,
fc = 0,±l,...
arg (ziZ2)
z\
arg
Z2

16
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
В итоге мы можем записать комплексное число в
тригонометрическом виде
z = \z\(cos arg z + i sin arg z).
Если использовать формулу Эйлера
еЪ(р = cos ср + г sin 92,
то имеет место равенство
I | г arq z
z = \z\e .
Справедливы формулы
z\Z2 = 12111221 [cos(arg z\ + arg 22) + г sin(arg 21 + arg 22)],
2n = I z In (cos n arg z + г sin n arg 2)
и весьма важная формула
»»/- n/Tl f argz + 2kir arg z +
V2 = vH cos Ь г sm
\ n n
k = 0,1,..., n — 1,
показывающая, что у корня п—й степени п различных значений.
Например, л/Т = ±1.
1.1.6. Бесконечно удаленная точка
и расширенная комплексная
плоскость. Сфера Римана
Как мы видели, плоскость Р состоит из комплексных чисел,
которые «помещены» в точки плоскости. Иначе говоря, вместо буквы
Р для обозначения плоскости можно использовать символ (Е,
обозначающий множество комплексных чисел.

1.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
17
A Z
's(a) ^х
Рис. 1.4: Сфера Римана и стереографическая проекция
Дополним декартову систему координат на комплексной
плоскости (Е третьей координатой z и построим сферу S с центром в
точке (0,0,1/2) и радиусом г = 1/2. Возьмем точку а Е S2,a ф
J\f = (0, 0,1), на сфере и проведем луч с началом в «северном
полюсе» Л/-, проходящий через а. Луч пересечет плоскость в точке s(a).
Получили отображение s : S2 \ {JV} —>-(С. Это отображение
называется стереографической проекцией, а сфера S2 - сферой Римана. У
каждого комплексного числа есть прообраз на сфере. Только точке
J\f не удается приписать никакую точку плоскости. Более того, чем
ближе точка а к Л/-, тем дальше «в бесконечность» по плоскости (Е
уходит точка s(a).
Для того чтобы найти образ для Л/-, добавляют к плоскости (Е
особую точку (которой нет на плоскости!), обозначаемую символом
оо и называемую бесконечно удаленной точкой. Множество (Е =
(Е U {оо} называют расширенной комплексной плоскостью.
С точки зрения топологии (см.§1.4), расширенная комплексная
плоскость (Е является сферой; это и устанавливается с помощью
стереографической проекции.
1.2. Последовательности
1.2.1. Предел последовательности
Последовательность комплексных чисел - это отображение z :
IN —»■ (Е, где IN = {1,...,п,...} множество натуральных чисел.
Полагая zn = z(n), получаем, что последовательность состоит из еле-

18
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
дующих комплексных чисел
Последовательность z : IN —»>(Е удобно обозначать как {zn}.
Пределом последовательности {zn} называют число а Е (Е
такое, что для всякого действительного числа е > 0 найдется no Е IN,
обладающее свойством: для каждого п > по \zn — а\ < е.
Символически это записывают в виде
а = lim zn.
п—)-оо
Если последовательность имеет предел, то говорят, что она
сходится. В противном случае речь идет о расходящейся
последовательности.
Фундаментальная последовательность (или
последовательность Коши) - это такая последовательность, для которой какое бы
е > 0 мы ни взяли, найдется номер no Е IN такой, что для любых
п,т > по \zn — zm\ < е.
Критерий Коши-Больцано. Для того чтобы
последовательность {zn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы бы она
была фундаментальной.
Доказывается это утверждение так же как в действительном
анализе.
1.2.2. Подпоследовательности
и предельные точки
Пусть v : IN —»■ IN произвольное отображение, a z : IN —»-(Е
последовательность. Суперпозиция z о v называется
подпоследовательностью последовательности {zn}. Полагая zVk = (zou)(k) = z(v(k)) =
zv{k)-> будем обозначать подпоследовательность как {zUk}.
Частичный предел или предельная точка последовательности
{zn} - это предел подпоследовательности.
Для сходящейся последовательности все ее предельные точки
совпадают с ее пределом. Учитывая существования расширенной
комплексной плоскости, для расходящейся последовательности, не
имеющей предельных точек на плоскости (Е, можно написать, что
limn^oo zn = оо.

1.3. РЯДЫ
19
Пусть последовательность {хп} состоит из действительных
чисел. Ее максимальный (соотв.: минимальный) частичный предел
называют верхним пределом (соотв.: нижним пределом) и
обозначают
lim хп
п—)-оо
(соотв.: limn >осхп)- Если максимальный частичный предел не
существует, то пишут, что Мтп^ооХп = +оо.
1.3. Ряды
1.3.1. Определение ряда
Числовой ряд - это формальная сумма вида
а\ + <32 + ... + ап + ...
Ряд обозначают как
оо
71 = 1
Числа ап - это члены ряда.
Число
N
Sn = 2^ ап = Cil ~\- CL2 ~\- ••• + CIN
71 = 1
называется N-ой частичной суммой.
Сумма ряда - это предел
S = lim Sn •
iV—юо
Если S сумма ряда, то обычно пишут, что
оо
S = У^йгг-
71 = 1
Если ряд обладает суммой, т.е. последовательность {SW} сходится,
то ряд называется сходящимся. В противном случае его называют
расходящимся.
Пример 1.1. Ряд
Е —
п=1 п

20
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
сходится.
Пример 1.2. Ряд
оо
тг = 1
расходится.
Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд
оо
тг = 1
Нетрудно убедиться, что абсолютно сходящийся ряд сходится, а вот
обратное утверждение не является верным. Поэтому сходящийся,
но не абсолютно сходящийся ряд называют условно сходящимся.
1.3.2. Операции с рядами
Пусть даны два сходящихся ряда
оо оо
^ап и ^2bn. (1.7)
71 = 1 71 = 1
Их суммой называется ряд
оо
^(an +bn).
тг = 1
Он сходится, и справедлива формула
оо оо оо
^2(ап + Ъп) = ^2 ап + 5Z Ьп'
71 = 1 71 = 1 71 = 1
Пусть v : IN —>- IN биективное отображение на множестве
натуральных чисел.
Теорема 1.3. Если ряд S^=i ап сходится абсолютно, то
сходится абсолютно ряд
оо
^2анп),
71 = 1
полученный из исходного перегруппировкой членов ряда. При этом
суммы этих рядов равны.

1.4.ТОПОЛОГИЯ КОМПЛЕКСНОЙ плоскости 21
Произведением рядов (1.7) считают ряд вида
оо
Ес- (L8)
те = 1
где
п
сп = 2^акЪп-к+1 = сцЪп + a2frn-i + ... + anbi.
k=i
Ряд (1.8) сходится, если абсолютно сходятся ряды (1.7). Причем в
этом случае справедлива формула
оо оо оо
z2Сп = а2 ап' Z-/ ^п'
п = 1 п = 1 п = 1
1.4. Топология комплексной
плоскости С
1.4.1. Открытые множества, окрестности
и топология
Открытым кругом с центром a £(Е и радиусом г > 0, лежащим на
плоскости (Е, называется множество
K(a,r) = {z е(С : |з-а| < г}.
Окрестность точки a £(Е - это любое подмножество [7а С (Г такое,
что 1) a G С/о и 2) существует открытый круг К (а, г) С Ua-
Множество U С (Г называется открытым, если каждая его
точка входит в С/ вместе с некоторой своей окрестностью.
Открытые множества обладают свойствами:
1° Если [/a,aGi, все открытые, то UcxeaUo, открытое.
2° Если t/i,..., Un все открытые, то П^=1СЛ открытое.
3° 0 открытое множество (о пустом множестве можно говорить
все что угодно).
4° (Е открытое.

22
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
Пусть Т = {U,...} множество всех открытых множеств
плоскости (Е. Говорят, что Т задает топологию на(Е.
Топология в определенном смысле говорит о форме множества .
Форма комплексной плоскости - «плоская», некомпактная, как у
евклидовой плоскости. Напротив, топология, форма у сферы -
компактная, она отлична от топологии комплексной плоскости. К
примеру, на сфере существует открытый круг, содержащий все точки
сферы, кроме одной. На(Е такого открытого круга нет.
1.4.2. Точки прикосновения и замыкание
Точка прикосновения множества А - это такая точка а, для которой
любая ее окрестность Ua пересекается с i, т.е. [/а П А / 8).
Множество точек прикосновения множества образует замыкание
множества А. Замыкание обозначают как А.
Множество F называется замкнутым, если F = F. Легко
доказать, что F замкнуто тогда и только тогда, когда (Е \ F открыто.
Если точка а есть точка прикосновения множество А и
существует окрестность Va такая, что Va П А = {а}, то а - изолированная
точка для А. Точка прикосновения, не являющаяся изолированной,
называется предельной.
Точка а Е (Е называется граничной для множества А, если для
любой ее окрестности Ua справедливы неравенства
иаПАф1Ц, Ua П ((С \ А) ф 0.
Граничная точка, как видим, является точкой прикосновения и для
А, и для его дополнения (Е \ А.
1.4.3. Компактные множества
Множество К Е (Г называется компактным, если оно замкнуто и
ограничено. При этом под ограниченным понимают такое
множество, которое содержится в некотором круге К(0, г), г > 0.
Компактное множество является аналогом отрезка [а, /3] Е IR.
Справедлива следующая
2Любой набор подмножеств Т = {£/,...} множества X, обладающий
свойствами 1° — 4°, называют топологией на X. При этом пара < X, Т >
называется топологическим пространством.

1.5. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
23
Теорема 1.4 (Больцано-Вейерштрасса). Если К компактное
множество и {zn} С К бесконечная последовательность точек
множества К, то эта последовательность имеет предельные точки,
принадлежагцие К.
1.4.4. Области
Множество D С (Г называется связным, если не существуют два
открытых множества U\ и U2 такие, что
Ui /0, и2ф 0,
(C/i UU2)nD = D, UiHU2 = 0.
Данное определение означает, что связное множество не
«разваливается» на два открытых куска U\ П D и U2 П D.
Связное открытое множество D С (Г называется областью. Если
D - область, то замыкание D множества D называют замкнутой
областью.
Пример 1.3. Открытый круг является областью. Множество { — 1 <
Re z < +1} \ {\z\ < 1/2} не есть область.
1.5. Комплексные функции
1.5.1. Функции, изучаемые
в комплексном анализе
Комплексная функция- это отображение вида / : D —»(Е, где D С(С
называют областью определения функции / (рис. 1.5). Для
функции используется удобная запись: w = f(z).
Поскольку в теории множеств под отображениями, как правило,
понимаются однозначные отображения, т.е. каждому z G D
отвечает только одно число f(z), то комплексная функция по определению
считается однозначной. Специфика комплексного анализа,
отличающая его от действительного анализа, заключается в том, что в нем
изучаются и многозначные функции. Более того, изучение
многозначных функций составляет весьма важную и значительную часть
комплексного анализа.

24
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
Рис. 1.5: Комплексная функция - это отображение плоскостей.
Однолистной функцией называют взаимно однозначную (инъ-
ективную) комплексную функцию w = f(z). Такая функция
обладает свойством: если z\ ф 22, то f(z\) ф f(z>2). Для однолистной
функции w = f(z) прообраз z = f~1(w) можно рассматривать как
однозначную функцию /_1 : f(D) —>-(С переменной w.
Если комплексная функция w = f(z) не является однолистной,
то можно говорить об обратной функции, однако она будет уже
многозначной.
Пример 1.4. Функции w = z и w = ei
ные. Их обратные функции z = y/w и z -
многозначными.
однозначные, но не однолист-
= 1пгу соответственно являются
Риманова поверхность
копия т. w Два листа
= V"w
Рис. 1.6: Риманова поверхность для z = y/w.

1.6. ГЕОРГ РИМАН 25
Многозначность ряда функций можно устранить с помощью
построения римановых поверхностей. Это поверхности со сложной
топологией (формой). Многозначная функция определяется на
своей римановой поверхности. На рис. 1.6 показано, как это делается
для функции z = y/w.
1.5.2. Предел функции
Пусть даны комплексная функции / : D ч(С и предельная точка
zo eD.
Число а является пределом функции f при z —»■ £<э, если для
всякого действительного числа е > 0 найдется действительное
число 8 = 8(e) такое, что при всяком z Е D П K(zo,8) \f(z) — а\ < е.
Символически это записывают в виде
а = lim f(z).
1.5.3. Непрерывные функции
Пусть даны комплексная функции / : D ч(С и предельная точка
zo е в.
Функция / непрерывна в точке zq Е D, если
/Ы = Нт /(*).
z—>z0
Функция непрерывна на D, если она непрерывна в каждой точке
множества D.
Отсутствие непрерывности / в точке zq Е D означает
разрывность функции в этой точке.
Пример 1.5. Функции w = z2-\-anw = ez непрерывны на(Е, а функция
w=< \z\
{ 0, z = 0
не является непрерывной.
1.6. Георг Риман
«Риман Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826-30.7.1866) - немецкий
математик, доктор математики (1851), профессор (1857). Родился

26
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
в м. Брезеленец (Нижняя Саксония). Среднее образование получил
в Ганноверской и Люнебургской гимназиях.
В старших классах увлекался
работами выдающихся математиков, в
частности Л. Эйлера и А. Лежандра. С
1846 г. изучал теологию в Геттинген-
ском ун-те. В Геттингене Риман
слушал лекции К. Ф. Гаусса. В конце
своего пребывания в Геттингене
заинтересовался проблемами геометрии. С
1847 по 1849 г. учился в Берлинском
университете, где слушал лекции
таких выдающихся математиков, как
П. Дирихле, К. Якоби, Я. Штейнер...
В 1849 г. Риман возвратился в Гет- Рис- 1-7: Г.Ф.Б.Риман
тинген и здесь сблизился с Г. Вебе-
ром. Под его влиянием начал интересоваться вопросами
математического изучения природы. Однако он пошел своим путем и создал
собственное представление о мире. По Риману, пространство
наполнено непрерывной материей, на которую влияют сила тяжести, свет
и электричество. Он везде вводил понятие о распространении этих
процессов во времени, искал связи между тяготением и светом. В
1851 г. Риман защитил докторскую диссертацию на тему «Основы
общей теории функций одной комплексной переменной». Через три
года он подал в Геттингенский университет две работы: «О
возможности изображения функций с помощью тригонометрических
рядов» и «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» - и был
зачислен приват-доцентом. Осенью 1857 г. Риман стал
экстраординарным профессором Геттингенского университета, а в 1859 г.,
после смерти П. Дирихле, - ординарным профессором.
После смерти Римана Дедекинд опубликовал часть его
исследований со своими комментариями. Полное издание трудов
Римана было осуществлено в 1876 г. В результате продолжительных и
тщательных поисков были собраны записи его лекций по
математической физике, теории тяготения, электричества и магнетизма,
теории эллиптических функций. Эти записи опубликовали его
ученики в 1902 г. как дополнение к полному изданию трудов Римана.
Было опубликовано также три тома лекций Римана:
«Дифференциальные уравнения с частными производными математической
физики» (1869), «Тяготение, электричество, магнетизм» (1875), «Эл-

1.7. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ
27
липтические функции» (1899).
Риман впервые после открытия Н.И. Лобачевского развил
математическое учение о пространстве, ввел понятие
дифференциала расстояния между элементами многообразия и развил учение о
кривизне. Введение обобщенных римановых пространств,
частными случаями которых являются пространства Евклида и
Лобачевского, и так называемая геометрия Римана открыли новые пути в
развитии геометрии. Геометрические идеи Римана нашли
применение и в физике (теория относительности)».3
1.7. Основная теорема алгебры
Рассмотрим полином степени п:
Pn(z) = a0zn + a\zn~x + ... + an-iz + an.
Его корнем называется число zq такое, что Pn(zo) = 0. Корень
имеет кратность к > 1, если Pn(z) = (z - zo)kQn-k(z), где Qn-k(z)
полином степени п — к, для которого zq не является корнем.
Корни могут быть действительными и комплексными. В
последнем случае если а + i/З корень, то корнем будет и его сопряженное
число, т.е. число а — i/З. Они образуют комплексно-сопряженную
пару корней.
Сколько различных корней с учетом их кратности4 может иметь
полином Pn(z)? Ответ дает
Теорема 1.4 (Основная теорема алгебры). Полином Pn(z) степени
п с действительными коэффициентами ai (г = 0, ...,п) имеет п
различных корней.
1.8. Интерпретация комплексных
чисел Флоренским
Известный деятель русской культуры Павел Флоренский
предпочел трактовать комплексные числа, не прибегая к прямому
отождествлению их с точками евклидовой плоскости [33]. Говоря о двух
сторонах плоскости, он на одной стороне плоскости рассматривал
3См. сайт: http://www.math.rsu.ru/mexmat/polesno/riman.ru.html
4То есть каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

28
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ
действительные точки, т.е. точки с координатами (а,/3), а,/3 £ IR,
а на другой - мнимые точки - точки с координатами (аг,/3г),
а,/3 G И.
В общем случае комплексная точка (а+/3г, 7+^)? а> /5,7х? ^ ^ ^
по Флоренскому, «должна быть представлена таким образом,
чтобы при частных ограничениях, то есть, полагая действительные или
мнимые компоненты ее координат нулю, мы могли получить из
комплексной точки точку действительную, полу мнимую и мнимую.
у Следовательно, комплексная точ-
Х_[ 7 ка объединяет в себе все частные ви-
"" ^'2 ) Р Ды точек5 а плоскость Р есть носи-
—5 а тельница именно комплексных точек,
1—1 М4 тогда как прочие точки суть
образования на ней и в ней. Это - точки,
Рис. 1.8: Строение точки как бы имеющие некоторую высоту.
М — [а + pi, "у + oi) Поэтому таковы же и линии,
проходящие через подобные точки: линия прямая...
Если посмотреть на эти прямые в микроскоп при бесконечном
увеличении, то мы увидели бы полоски...» [33, с.31-32].
1.9. Заблуждение великих
«Декарт <..> был среди тех, кто отвергал комплексные корни.
Именно он ввел в употребление термин «мнимое число». В своей
«Геометрии» Декарт утверждал: «Ни истинные, ни ложные
[отрицательные] корни не бывают всегда вещественными, иногда они
становятся мнимыми». Декарт считал, что отрицательные корни
можно сделать «действительными», преобразуя исходное
уравнение в уравнение с положительными корнями, тогда как
комплексные корни превратить в вещественные невозможно. Следовательно,
комплексные корни с полным основанием можно считать не
настоящими, а мнимыми» [20, с. 139-140].
«Ньютон не придавал особого значения комплексным корням,
вероятнее всего, потому, что в его время комплексные корни еще
не имели физического смысла. Так, во «Всеобщей арифметике»
<..> (1728) Ньютон говорит: «Корни уравнений часто должны быть
невозможными [комплексными] именно потому, что они призваны
выражать невозможные случаи задачи так, как если бы те были
возможны». Иначе говоря, задачи, которые не допускают решений,

1.9. ЗАБЛУЖДЕНИЕ ВЕЛИКИХ
29
имеющих физический или геометрический смысл, должны иметь
комплексные корни.
Отсутствие ясности в вопросах, связанных с комплексными
числами, часто демонстрируют на примере широко известного
высказывания Лейбница: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в
этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности,
находящейся между бытием и небытием, которую мы называем
мнимым корнем из отрицательной единицы». Хотя Лейбниц формально
производил операции над комплексными числами, он не понимал их
истинной природы. Желая хоть как-то обосновать те применения,
которые он сам и Иоганн Бернулли нашли комплексным числам в
математическом анализе, Лебниц высказал надежду, что вреда от
этого не будет» [20, с. 139-140].

Глава 2
Комплексная динамика
и фрактальное сжатие
информации
2.1. Фракталы
2.1.1. Итерации
Пусть дана комплексная функция / :(Е —>-(С. Возьмем произвольную
точку zq. Найдем точки
z\ = /Оо), z2 = f(zi),..., Zn = f(Zn-l), ••• (2.1)
Это последовательность {^n}- Вместо (2.1) пишут
zn = f(zn-i) = / о / о ... о /(го) = /„(го). (2.2)
4 v '
П
Об уравнении (2.2) говорят, что оно определяет итерацию или
задает итерационный процесс.
30

2.1. ФРАКТАЛЫ
31
2.1.2. Множества Мандельброта и Жюлиа
Рассмотрим итерацию, имеющую вид
zn =Pc(zn-i), (2.3)
где pc(z) = z2 + с, с комплексное число.
Определим множество Мандельброта
М = {с G(E : (рс)п(О) У> оо, когда п -> оо}. (2.4)
Это множество изображено на рис.2.1 и 2.2.
Рис. 2.1: Множество Мандельброта.
Рис. 2.2: Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в
200 раз.
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в
течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки,

32
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
имеющие черный цвет на рис.2.2). Точки, принадлежащие границе
множества М (именно там возникает сложные структуры), уходят
в бесконечность за конечное число итераций, а точки, лежащие за
пределами множества М, уходят в бесконечность через несколько
итераций (точки белого фона)» [36].
Определим теперь наполненное множество Жюлиа
Кс = {zo £(L : (pc)n(zo) -Д оо, когда п ->• оо}. (2.5)
Граница множества Жюлиа, т.е. множество граничных точек
множества Кс, называется множеством Жюлиа Jc.
Множество Жюлиа не является гладкой кривой, а сильно
изломано. Причем при увеличении (под лупой) оно выглядит столь же
изломанным, как и без него. Бенуа Мандельброт назвал это
свойство множества Jc фрактальной структурой. Типичные множества
Жюлиа приведены на рис.2.3.
Множество Мандельброта помогает нам предсказать, какого
вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения
с G М. Когда с лежит внутри М, то множество Жюлиа
является связным. Если с ф М, то соответствующее Jc не будет связным
и распадается на бесконечное число кусков, называемых пылью
Фату.
Наполненные множества Жюлиа строятся с помощью
компьютеров. Рассмотрим прямоугольник П С (Г. Зафиксируем константу
с G М и станем просматривать точки выбранного прямоугольника
с некоторым шагом. Для каждой точки проведем серию итераций
(чем больше число итераций п, тем точнее будет получено
множество). Если после серии итераций точка не «убежала» за границу
круга радиуса 2, отметим ее черным цветом, в противном случае -
белым.
2.1.3. Фракталы
Множества Жюлиа Jc принадлежат к множеству объектов,
называемых фракталами 1.
Большинство из них самоподобны. Это означает, что в сколь
угодно малом круге с центром в любой точке, принадлежащей
множеству Jc, при увеличении мы увидим ту же картину, которую
видели, когда разглядывали само множество Жюлиа.
1 Fractus [лат.] - дробный.

2.1. ФРАКТАЛЫ
33
Рис. 2.3: Примеры множеств Жюлиа Jc
«Фрактал - особая самоподобная структура с однотипными
деталями бесконечно уменьшающегося или
увеличивающегося масштаба. Любые их фрагменты, как бесконечно малые,
так и бесконечно большие, по строению ничем не отличаются
друг от друга. Фракталы возможны не только на плоскости,
но и в пространстве. Фрактальные структуры встречаются
и в природе. По этому принципу устроены крона дерева,
линия морского побережья, силуэт горной гряды.
Фрактальную структуру имеет также Вселенная» [43].

34
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
2.2. Построение фракталов на основе
их самоподобия
2.2.1. Треугольник Серпинского
Отдельные части самоподобных фракталов выглядят так же, как
сам фрактал. В силу этого фрактал можно скопировать на
отдельные его части, применяя такие аффинные преобразования, как
подобие, перенос и повороты. Это иллюстрируется на рис.2.4 с
помощью треугольника Серпинского Т.
Рис. 2.4: Треугольник Серпинского Т сжимается в 2 раза и переносится
в три региона (от центра треугольника): вверх, влево и вправо. Это три
аффинных преобразования. Треугольник Серпинского Т, таким образом,
- это «неподвижная точка» совокупности из трех аффинных
преобразований [44].
Аффинные преобразования, фигурирующие на рис.2.4, можно
записать как комплексные функции
wi(z) = -
( сжатие плоскости в 2 раза (подобие; центр подобия - 0)),
wi(z) = 2 +1
( сжатие плоскости в 2 раза, перенос на 1 вправо),
(сжатие плоскости в 2 раза, перенос на на вектор (1/2, \/3/2) ).
Каждая функция wi определена на всей комплексной плоскости (Е,
но
wt(T)cT (г = 1,2,3).

2.2. ПОСТРОЕНИЕ ФРАКТАЛОВ НА ОСНОВЕ ИХ САМОПОДОБИЯ 35
Пусть К С (Г произвольное компактное множество. Положим по
определению, что
з
W(K) = \JWl(K).
г = 1
Тогда, как нетрудно видеть,
W(T) = Т. (2.5)
В случае равенства (2.5) говорят, что Т - неподвижная точка
отображения W.
Как следует из теоремы Банаха о неподвижной точке ,
итерационный процесс
з
Wn(K)= \\(<ШгО...ОЬ)г)(К),
г = 1 v
п
независимо от выбранного (компактного) множества К С IR2,
приближается к своей неподвижной точке - треугольнику Серпинско-
го Т, поскольку каждое wi является сжимающим отображением, а
неподвижная точка может быть у W только одной. Другими
словами, какое бы множество К мы ни взяли, в ходе итераций
постепенно вырисуется треугольник Серпинского Т. Это иллюстрируется на
рис. 2.5.
Возможность сборки треугольника Серпинского из
произвольного множества говорит о том, что для такой процедуры
достаточно знать только три аффинных преобразования гУ1,гУ2,гУз, а
точнее, достаточно запомнить их коэффициенты. В данном случае,
поскольку wi = diZ + Ьг, речь идет всего о 12 действительных
числах Re di, Im ai, Re bi, Im bi (1 = 1, 2, 3). Другими словами, эти 12
чисел кодируют все изображение, называемое треугольником
Серпинского: по ним изображение восстанавливается однозначно. Они
хранят в сжатой форме графическую информацию -
«треугольник Серпинского». В случае представления треугольника
Серпинского на экране компьютера потребуется, конечно, гораздо большее
количество байт, чем для хранения 12 действительных чисел.
Следовательно, мы имеем дело с особым методом сжатия графической
информации, называемым фрактальным.
2 Это действительно точка в пространстве /С((E) всех компактных
подмножеств плоскости (Е, на котором рассматривается отображение W.
3См. теорему 2.1.

36
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
Рис. 2.5: Похожие по структуре треугольники Серпинского получаются
после трех итераций Ws(K) независимо от формы «начального» образа
К [44]. При увеличении числа итераций эти треугольники будут
отличаться все меньше и меньше (различие можно будет заметить только
при большом увеличении.)
2.2.2. Кривая Коха
Продемонстрируем объект, который является «неподвижной
точкой» всего одной итерации четырех аффинных преобразований,
записанных в комплексном виде [44]. Это так называемая кривая
Коха (рис.2.6).
Обозначаем через Къ, кривую Коха (Kh С (Г). Введем
комплексные функции:
wi(z) = -
( сжатие плоскости в 3 раза (подобие; центр подобия - 0)),
м 1 - 1
w2(z) = -е^+-
(сжатие плоскости в 3 раза, поворот на +60°, перенос на 1/3 вправо),
, ч 1 _«г 1 .л/3
(сжатие плоскости в 3 раза, поворот на —60°, перенос на (1/2,\/3/6) ),
/ ч 1 2
W4Z) = з^+ з
(сжатие плоскости в 3 раза, перенос на 2/3 вправо).

2.3. ФРАКТАЛЬНОЕ СЖАТИЕ ИНФОРМАЦИИ
37
h h
h
h
Рис. 2.6: Кривая Коха Kh.
Легко видеть, что
Wi : Kh ->• Wi(Kh) С Kh
и
4
ИГл = T^(i^) = Wl(Kh) = (J ^г(^).
г = 1
Таким образом, кривая Коха может порождаться в ходе итераций
Wn(K) п = 0,1,2,..., независимо от того, какое компактное
множество К берется изначально на «старте» итерационного процесса
(рис.2.7).
Вспоминая то, что мы говорили о сжатии графической
информации, касающейся треугольника Серпинского, можем отметить,
что для хранения информации о кривой Коха достаточно
запомнить коэффициенты четырех аффинных преобразований wi =
aiz + bi, (i = 1,2,3,4), т.е. речь идет всего о 16 действительных
числах Re (ц, 1т сц, Re 6^, 1т Ь{ (1 = 1,2, 3, 4).
2.3. Фрактальное сжатие информации
2.3.1. Сжатие информации
Задача сжатия информации заключается в том, чтобы
«преобразовать сообщение в пределах одного и того же алфавита так, чтобы
при этом его длина (количество букв алфавита) стала меньше, но
при этом сообщение можно было восстановить без использования

38
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
п=0
п=1
п=2
п=3
п=4
п=5
Рис. 2.7: Получение кривой Коха К^. Проведено 5 итераций; исходное
множество - отрезок (п = 0).
какой-либо дополнительной информации. Наиболее популярные
алгоритмы сжатия - RLE, коды Хаффмана, алгоритм Лемпеля-Зива.
Для сжатия графической и видеоинформации используются
алгоритмы JPEG и MPEG.
Главное достоинство алгоритмов сжатия, с точки зрения
криптографии, состоит в том, что они изменяют статистику входного
текста в сторону ее выравнивания. Так в обычном тексте, сжатом с
помощью эффектного алгоритма, все символы имеют одинаковые
частотные характеристики, и даже использование простых систем
шифрования сделает текст недоступным для криптоанализа » [2,
с.39].
4Принципиально важно, с точки зрения криптостойкости, чтобы
сначала осуществлялось сжатие, потом шифрование, но не наоборот.

2.3. ФРАКТАЛЬНОЕ СЖАТИЕ ИНФОРМАЦИИ
39
2.3.2. Идея фрактального сжатия
изображения
Во фрактальном сжатии используется принципиально новая идея
- подобие разных по размеру областей изображения.
Рассмотрим некоторое изображение (картину). Если это
изображение состоит из относительно небольшого числа (самоподобных)
фракталов, тогда изображение может кодироваться (сжиматься)
посредством запоминания коэффициентов соответствующих
аффинных преобразований (рис.2.8) и может быть собрано,
восстановлено (это декомпрессия!) в ходе итерационного процесса (рис.2.9)
подобно тому, как мы собирали треугольник Серпинского или
кривую Коха.
Рис. 2.8: Выделение подобных областей 2,3,4 в изображении листа:
стержень 1 - это также треугольник [44].
Фрактальное сжатие - это поиск подобных областей в
изображении и определение для них коэффициентов аффинных
преобразований. Существенным является условие, что каждое такое
аффинное отображение является сжимающим, т.е. уменьшающим
изображение («большее в меньшее»). Благодаря данному условию,
теорема Банаха о неподвижной точке (см. ниже §2.4) гарантирует
сборку изображения в ходе декомпрессии, т.е. в ходе итерационного

40
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
процесса (рис.2.9). Набор сжимающих отображений, участвующих
в итерациях, называют системой итерируемых функций (Iterated
Functions System - IFS).
Рис. 2.9: Сборка (декомпрессия) листа в 9 итерациях [45].
«Фрактальное сжатие является классом алгоритмов, который
описывает данные, представляя их с точки зрения сходства в
пределах изображения или между изображениями. Алгоритм был
разработан Барнсли (Michael Barnsley), известным в научном мире
исследователем фрактальных множеств. Значительная часть
продуктов компании Iterated Systems базируется на ранних работах Dr.
Michael Barnsley и Dr. Alan Sloan. Дальнейшее исследование
привело к открытию того, что изображения реального мира, как,
например, цифровые изображения, которые мы используем в
компьютерах сегодня, могли бы выражаться итерационными уравнениями.
А любое, даже самое навороченное уравнение, все равно занимает
места меньше, чем качественный рисунок.
Обычно компьютерные изображения выражаются в виде
пикселей в сетке. Все графические форматы в настоящее время
эмулируют сетку пикселей, которая необходима, чтобы отобразить образ
на мониторе или напечатать на принтере. Особенности такого
способа ясны: больше пикселей - лучше качество, но больше файл.
5 Пиксель - единичный элемент изображения (точка с координатами
(х,у) на экране). Полное изображение состоит из пикселей.

2.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ...
41
Итерационный способ хранения, или сжатия, изображений
предполагает использование его рекурсивных особенностей. Это
позволяет сжать 921 Кб BMP в итерационное изображение,
требующее всего 10 Кб. Вот так-то! Итерационные изображения могут
рассматриваться как с низким разрешением, так и с более высоким,
чем исходное. Конечно, подобное можно делать и с пиксельными
изображениями, только они потом становятся размытыми. Если же
вы растягиваете изображение, сжатое итерационным способом, то
будете видеть все более мелкие детали» [43].
«Использование IFS для сжатия обычных изображений
(например фотографий) основано на выявлении локального самоподобия,
в отличие от фракталов, где наблюдается глобальное самоподобие
и нахождение IFS не слишком сложно (мы сами только что в этом
убедились). По алгоритму Барнсли происходит выделение в
изображении пар областей, меньшая из которых подобна большей, и
сохранение нескольких коэффициентов, кодирующих
преобразование, переводящее большую область в меньшую. Требуется, чтобы
множество «меньших» областей покрывало все изображение. При
этом в файл, кодирующий изображения, будут записаны не только
коэффициенты, характеризующие найденные преобразования, но и
местоположение и линейные размеры «больших» областей,
которые вместе с коэффициентами будут описывать локальное
самоподобие кодируемого изображения. Восстанавливающий алгоритм в
этом случае должен применять каждое преобразование не ко всему
множеству точек, получившихся на предыдущем шаге алгоритма,
а к некоторому их подмножеству, принадлежащему области,
соответствующей применяемому преобразованию» [36].
2.4. Математические основы теории
фрактального сжатия
В этом параграфе приводятся элементы математической теории,
которая позволяет убедиться в том, что идея фрактального сжатия,
будучи реализованной в виде некоторого алгоритма и
компьютерной программы, действительно может привести к восстановлению
графической или иной информации в ходе итерационного процесса.

42
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
2.4.1. Метрическое пространство
Множество М называется метрическим пространством, если
задано отображение р : М х М —»> H такое, что
1) р(ж, у) >0и р(ж, у) = 0 <^=> х = у,
2) р(ж,?/) =р(у,х),
3) р(ж,?/) <р(ж,2)+р(г,г/).
Функция р называется метрикой. По существу, она характеризует
расстояние между точками пространства М.
Для метрического пространства используют обозначение:
< М, р>.
Пространство < М, р > называется полным, если любая
фундаментальная последовательность {хп} С М сходится к некоторой
точке хо Е М, т.е.
lim р(хп,хт) = 0 => Зж0( lim р(хп,х0) = 0).
п —)-оо ^—^оо
т—)-оо
2.4.2. Теорема Банаха о неподвижной точке
Рассмотрим метрическое пространство < М,р >.
Отображение w : М —»> М называется сжимающим, если
существует число s, 0 < s < 1, такое, что для любых двух точек х,у Е М
р(гу(ж),гу(?/))) < s • р(х,у).
Точка ж Е М называется неподвижной для отображения w, если
гу(ж) = ж.
Теорема 2.1 (Банах). Пусть < М,р > полное метрическое
пространство, a w : М —»> М сжимающее отображение. Тогда w
имеет единственную неподвижную точку хо в М, которая является
пределом итерационного процесса
хо = lim wn(a),
п—)-оо
гите(а) = (w о ... о гу)(а),
п
где а Е М произвольная точка.
Доказательство этой теоремы очень простое, и его можно найти
в любом учебнике по функциональному анализу.

2.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ...
43
2.4.3. Метрика Хаусдорфа
Рассмотрим метрическое пространство < М, р >.
Пусть /С(М) множество всех компактных подмножеств
пространства М.
Определим метрику Хаусдорфа на множестве /С(М):
рн(К, К ) = тах{ sup р(ж, К), sup р(ж, К )},
хек1 хек
где
р(ж,10 = inf р(ж,?/)
- расстояние от точки ж до множества К.
Теорема 2.2. .Еслгл < М, р > полное метрическое пространство,
то < К,(М),рн > полное метрическое пространство.
Доказательство см. в [21].
Следствие 2.1. Если дано отображение W : JC(M) —»> JC(M),
определенное следующим образом
N
W(K) = \Jwi(K),
г = 1
где гУг : М —»■ М (г = 1,..., ЛГ) отображения пространства М, и оно
является сжимающим относительно метрики Хаусдорфа, т.е.
pH(W(K), W(K')) < s • рн(К, К')
для некоторого s, 0 < s < 1, и любых К, Kf £ JC(M), то оно имеет
неподвижную точку Ко £ JC(M):
Ко = W(K0).
Эта точка единственная и может быть получена в результате
итераций
Ко = lim Wn(A),
п—)-оо
6Т.е. замкнутых и ограниченных. Понятия ограниченного и
замкнутого множеств вводятся так же, как в гл.1. Для этого достаточно вместо
открытых кругов К (а,г) рассматривать открытые шары В(а,г) = {х Е
М : р(х,а) < г}.

44
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
где А £ JC(M) произвольное компактное множество.
Можно показать, что в случае сжимающих wi : М —»■ М
(г = 1,..., N) сжимающим является и W.
Таким образом, мы имеем математическое обоснование для
построения различных алгоритмов фрактального сжатия. Набор
отображений wi : М —»> М (г = 1,..., 7V) в данном случае - это
необходимая для фрактального сжатия система итерируемых функций.
2.5. Алгоритм фрактального сжатия
изображения
2.5.1. Построение алгоритма
Комплексные функции
w = az, w = ег(р, w = z + c (2.6)
реализуют соответственно сжатие (растяжение) с разным
коэффициентом вдоль осей х и у, поворот вокруг 0 на угол ср и перенос на
вектор с = (Re с, 1т с). Из линейной алгебры и аналитической
геометрии известно, что любое аффинное преобразование евклидовой
плоскости вида
*(*,!/) = (*,»)(" j) + (£)
является композицией сжатия (растяжения), поворота и переноса.
Другими словами, преобразование w в своей комплексной форме
есть композиция комплексных функций вида (2.6).
Однако в теории фрактального сжатия предпочтение отдано
действительной форме для системы итерируемых функций. Это
связано с тем, что изображение на экране описывается не только
координатами (ж, г/) пикселей7, но и, к примеру, яркостью
изображения. А это уже третий параметр, и, следовательно, возникает
необходимость от описаний на плоскости переходить к описаниям
в пространстве.
7Пиксель- единичный элемент изображения. Полное изображение
состоит из пикселей.

2.5. АЛГОРИТМ ФРАКТАЛЬНОГО СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ 45
В связи со сказанным удобно рассматривать 3-мерные
аффинные преобразования вида
w(x,y,z) = (x,y,z) 7 & 0 + I fi , (2.7)
где координата z есть координата яркости изображения, и,
следовательно, коэффициент т/, 0 < ц < 1, характеризует уменьшение
(отображение должно быть сжимающим) яркости в ц раз.
Пусть задано квадратное изображение, содержащее N х N
пикселей. Обозначим через Q = (О, N] х (О, N] множество точек
изображения. Разбиваем вначале Q на множество из г попарно равных
квадратных блоков
Ri,..., Rr,
г
RtHR3;=0 (г/j), [JRt = Q,
г = 1
где Ri есть квадратный р х р пиксельный фрагмент изображения, а
затем разобьем изображение на новое множество из d квадратных
блоков
Du...,Dd,
d
г = 1
где Di уже квадратный 2р х 2р пиксельный фрагмент изображения.
Блоки Ri именуются ранговыми, а блоки Di - доменными.
Доменный блок в 2 раза больше рангового.
Главная задача сжатия - это построение системы итерируемых
функций (IFS)
Wi : Dj(i) ->• Ri, Wi(Dj(i)) = Ri (i = l,...,r)
вида (2.7), где индекс j(i) означает номер того доменного блока,
который сопоставляется во (фрактальном) алгоритме ранговому
блоку8 Ri. Нахождение коэффициентов аффинных сжимающих
отображений wi и их сохранение в файле решает задачу сжатия
(компрессии).
8Задается ранговый блок Ri, а по нему подбирается подходящий
доменный блок Dju\.

46
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
'КО
Рис. 2.10: Подобные блоки [7].
Возьмем блок Щ. Надо найти для него наиболее «подобный»
блок Dj(ty (рис.2.10). Будем в блоках Dj пиксели брать через один
(как по ж, так и по у). Это позволяет считать, что в D-блоках и
Я-блоках по одинаковому числу пикселей - р.
При переводе D-блока Dj в Я-блок Щ с помощью
преобразования (2.7), помимо переноса на вектор (А, //), используются матрицы
а /3
7 S
(2.8)
которые являются композициями обязательного сжатия в 2 раза,
поворота блока Dj на 0°, 90°, 180° или 270° и зеркального
отражения (относительно горизонтали или вертикали). Это дает всего 8
вариантов для выбора матрицы (2.8).
t ы I
0° 90° 180° 270°
1 t и
8+0° 8+90° 8+180° 8+270°
8 -зеркальное отражение
Рис. 2.11: Варианты для матрицы (2.<

2.5. АЛГОРИТМ ФРАКТАЛЬНОГО СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ 47
Обозначим через r%ap,d%ap (а> Р = 1, •-•?р) яркости пикселей
соответственно в блоке Ri и в блоке Dj^^ подвергнутого аффинному
преобразованию (2.8).
Будем сдвиг по яркости, - число щ в (2.7) - вычислять по
формуле [7]
р
^{dla(3 -гга(3) ,
./3=0 J
а расстояние между блоками -
р
p(Ri, Dj{i)) = ^(rjidlp +щ- гга/3)2,
/3=0
(см. [45, с.65]), где число rji часто берут равным 0.75.
Подбор блока Dj(i) заключается в минимизации расстояния
между блоками p(Ri,Dj). Находим блок Dj^ с наименьшим
расстоянием и сохраняем коэффициенты соответствующего
преобразования Wi в файле. Перебирая ранговые блоки последовательно,
вычисляем коээфициенты всех сжимающих аффинных
преобразований wi, ...,wr, образующих искомую систему итерируемых
функций.
2.5.2. Схема алгоритма декомпрессии
изображений
Процесс декомпрессии, восстановления изображений состоит в
проведении итераций системы wi (г = 1,..., г) до стабилизации
полученного изображения (рис.2.12).
«Декомпрессия алгоритма фрактального сжатия чрезвычайно
проста. Необходимо провести несколько итераций трехмерных
аффинных преобразований, коэффициенты которых были получены
на этапе компрессии.
В качестве начального может быть взято абсолютно любое
изображение (например абсолютно черное), поскольку
соответствующий математический аппарат гарантирует нам сходимость
последовательности изображений, получаемых в ходе итераций IFS, к
неподвижному изображению (близкому к исходному). Обычно для
этого достаточно 16 итераций» [7].
р2

48
Глава 2. КОМПЛЕКСНАЯ ДИНАМИКА
Рис. 2.12: Сборка (декомпрессия) изображения lena.bmp [45].

Глава 3
Аналитические
функции
3.1. Определение аналитической
функции
Пусть дана комплексная функция / : D —>-(С, где Dc(C- область.
Возьмем точку zq Е D и рассмотрим предел
lim /(г)"/(го). (3.1)
z-¥z§ Z — Zq
Если этот предел существует, то его значение называется
производной функции / в точке zq и обозначается как
-j-(zo) или f'(zo).
Если даны две комплексные функции /, g : D —>- (Е, то
7Y_/'s-/s'
(f±g)' = f'±g', (fg)' = f'g + fg', (£)
<?2
т.е.правила вычисления производных ничем не отличаются от
соответствующих правил вычисления производных для действительных
функций.
49

50
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Функция / : D —»> (С называется аналитической1 в области D,
если она имеет производную в каждой точке области D.
Для функции / : А —>-(С, заданной на некотором множестве А,
говорят, что она аналитична в точке а Е А, если / аналитична в
некоторой окрестности точки а.
Пример 3.1. Следующая функция аналитична на(Е
w = a0zn + a\zn~x + ... + an-iz + ап,
где п натуральное число.
Функция w = 1/z не аналитична на(Е, но аналитична в(Е \ {0}.
3.2. Частные производные
действительных функций
Евклидову плоскость можно рассматривать как декартово
произведение
JR2 = {(x,y):x,yelR}.
Это очевидно, если вспомнить о декартовых координатах х,у на
плоскости.
Рассмотрим действительную функцию и : IR —>- IR и точку
(ж0,2/о) еИ2.
Частными производными функции w по ж и по у в точке (ж<э, 2/о)
называются пределы
Ит ц(ж?жо)-ц(ж0?уо) _
ж-^ж0 Ж — Жо
lim Фо,У)-Ф°,У°)г (з.З)
у^уо У — Уо
соответственно, если они существуют и конечны.
Частные производные (3.2) и (3.3) обозначают как
ди, ч ди, ч
— (ж0,уо) и — (ж0,уо).
Частные производные обладают всеми свойствами обычных
производных для функций одной переменной, и правила их вычисления
не отличаются от правил вычисления обыкновенных производных.
1 Другие названия: голоморфная функция, регулярная функция,
однозначная аналитическая функция.

3.3. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
51
3.3. Условия Коши-Римана
Пусть дана аналитическая в точке zq функция / : D —>-(С, где D С (Г
- область. Запишем ее в виде
w = f(z) = и(х, у) + iv(x, г/),
где
z = (ж, г/) =x + iy,
и(х,у) = Re f(z) и v(x,y) = Im f(z).
При вычислении производной (3.1) точка z стремилась к zq по
любому возможному пути. Возьмем такой путь, при котором х меняется,
а у = у0. Тогда
гы
lim №
х—>XQ I
г/о) - и(х0,уо) .v(x,y0) -v(x0,yo)
х — Хо
х — Хо
ди, ч .dv, ч
= -(Хо,у0)+г-(Хо,Уо)
Если взять путь, при котором х = жо, а у меняется, то
,2/о) . .v(x0,y) -v(x0,yo)
(3.4).
/'(го) = lim
(и(хр,у) -и(хр,уо) .у(хр,у) -v(xo,yo) \
X г(у~Уо) i(y~yo) )
.ди , ч dv, ч
= -г —(ж0,?/о) + ^-(ж0,гуо)
ду ду
Сравнивая (3.4) и (3.5), получаем условия Коши-Римана
(3.5).
ди, ч дг; , >.
^(жо,гуо) = ^(ж0,гуо),
<9гг
<9г/
(жо,?Уо)
<9ж
(жо,?уо).
Можно показать, если в точке (жо, 2/о) у функций гг и г; существуют
полные дифференциалы, т.е. можно написать
гг(ж, у) = и(х0, у0) + — (ж0, гу0)(ж - ж0) + ^-(^о, 2/о)(гу - г/о) + £i(ж, гу),
<9v dv
v(x, у) = v(x0, г/о) + ^(жо, гу0)(ж - х0) + ^-(ж0,2/о)(гу - уо) + в2(ж, гу),

52
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где
lim £lix>y)
хуТу°0 V(* ~ *о)2 + (У - Уо)2
lim ^Х>У) = = 0)
—о у/[х - хо)2 + (у - уо)2
X—УХ
У^УО
и выполнены условия Коши-Римана, то функция w = f(z) имеет
производную в точке zq 2.
Следовательно, если последнее утверждение верно для любой
точки (жо,2/о) G .D, то / аналитична в D.
3.4. Конформные свойства
аналитических функций
3.4.1. Кривые на комплексной плоскости
Непрерывная кривая на плоскостиСЕ - это отображение и : [0,1] —>-(С
такое, что
w(t)=wx(t) + iwy(t), te[0,l], (3.6)
где ujx(t),(jjy(t) : [0,1] —>- IR непрерывные действительные функции.
Кривая ио - гладкая, если функции шх{Ь),шу{Ь) принадлежат
классу С [0,1], т.е. они имеют непрерывные на [0,1] производные
w'x(t),w'v(t).
Очевидно, что
co'(t) =ux(t) + iu'y(t).
Уравнение (3.6) можно переписать в виде, принятом в
аналитической геометрии
Г х = ux(t),
называемом параметрическим заданием кривой на плоскости IR2.
Если и (to) ф 0, то [oL>x(to)]2 + [uj'x(to)\2 ф 0, т.е. кривая и имеет
касательную в точке и (to).
2Доказательство этой теоремы дано, например, в [3, с.62]

3.4. КОНФОРМНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 53
3.4.2. Консерватизм углов
Рассмотрим аналитическую функцию / : D —»■ (Е, где D С (Г -
область. Пусть zq Е D и гладкая кривая cj проходит через точку
2о, т.е. z0 = и (to), где to Е (0,1).
Очевидно, что j(t) = f(ou(t)), t Е [0,1] - это гладкая кривая на
(Е, являющаяся образом кривой и при отображении / и проходящая
через точку f(zo).
Предположим, что
/'Ы/0 и сУ(*о)/0.
Так как
У (*о) = (/ о и)'(t0) = /'(*o)w'(to) ^ О,
то кривая 7 имеет касательную в точке f(zo).
Из (3.7) следует, что с точностью до 2ктг
arg f'(zo) = arg ^ (to) - arg и (to).
(3.7)
(3.8)
Это соотношение говорит, что аргумент arg f'(zo) аналитической
функции равен углу поворота касательной кривой 7 в точке zo при
отображении /.
Рис. 3.1: Консерватизм углов.
Предположим, что дана еще одна кривая а;(г), г Е [0,1],
проходящая через точку zo = cj(to) с и'(то) /0. Тогда
arg f'(zo) = arg 7 (то) - arg ш'(т0),
(3.9)

54
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где 7(т) = /Мт)).
Сравнивая (3.8) и (3.9), получаем
«^ 7 (то) - arg j (to) = arg и'(то) - arg и'(to).
Это означает, что угол между касательными кривых cj,cj в
точке zo равен углу между касательными кривых 7>7 в точке f(zo)
(рис.3.1). Другими словами, функция / сохраняет углы между
кривыми как по величине, так и по направлению. Это свойство
аналитической функции называется консерватизмом углов.
3.4.3. Постоянство искажения масштаба
Из (3.7) следует
|7'(*о)| = |/'Ы|И*о)1,
или, поскольку |а/(£о)| ф О,
*™-Ш <зм>
Из действительного анализа известно, что элементы длины дуг
кривых cj и 7 соответственно равны
ds(t0) = VK(io)]2 + K(to)]2dt, da(t0) = л/Ы(*о)]2 + [%(to)]2dt.
Следовательно, (3.10) можно переписать в виде
1/'Ы1 = £(*„)•
Это означает, что модуль \f (zo)\ аналитической функции
совпадает с искажением масштаба (элемента длины) при отображении
f и это искажение одно и то же по всем направлениям,
выходящим из точки z.

3.5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
55
3.4.4. Конформные отображения
Консерватизм углов и постоянство искажения масштаба - это
конформные свойства аналитической функции. Они являются
геометрическими характеристиками аналитической функции.
Определение. Взаимно однозначное и взаимно непрерывное
отображение3 / : D —»> Di, D, D\ С (Г, области D на область D\
называется конформным, если оно в каждой точке области D обладает
свойствами консерватизма углов и постоянства искажения
масштаба.
Как видно из предыдущего, аналитическая функция / : D —>-(С
является конформным отображением в достаточно малой
окрестности4 каждой точки z, в которой f'(z) ф 0.
Теорема 3.1. Однолистная аналитическая функция f : D —»> (Е
является конформным отображением области D на некоторую
область D\.
Доказательство см. в [3, с.71].
3.5. Степенные ряды
3.5.1. Определение степенного ряда
Степенной ряд - это формальная сумма вида
а0 + a\(z - zo) + a2(z - z0)2 + ... + an(z - zn)n + ... (3.11)
или
oo
^2an(z - z0)n.
n=0
Символ z рассматривается в качестве комплексной переменной.
Поэтому частичные суммы ряда (3.11) - это комплексные функции
Sn(z) =
N
= а0 + a\(z — zo) + a2(z - z0)2 + ... + un(z - zn)N = ^ an(z - z0)n.
n=0
3T.e. / и /_1 непрерывны.
4Это следует из теоремы о неявной функции, доказываемой в
математическом анализе.

56
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сумма степенного ряда (3.11) определяется как комплексная
функция S(z), значение которой в точке z вычисляется следующим
образом
S(z)
lim Sn(z)
N^oo
(3.12)
Следовательно, для каждой фиксированной точки z степенной ряд
представляет собой числовой ряд, который изучалися в гл.1.
Множество точек сходимости ряда (3.11) состоит из точек z,
для которых предел (3.12) сходится. Для любого ряда нахождение
множества сходимости является важнейшей задачей.
3.5.2. Радиус сходимости
Исследование степенных рядов позволило прийти к следующей
теореме.
Теорема 3.2. Либо степенной ряд сходится для любой точки z G
(Е; либо сходится только в точке zq, либо существует число R > О
такое, что ряд (3.11) сходится при любом z из открытого круга
K(zo, R) и расходится в области {z £(Е : \z — zo\ > R}.
Доказательство см. в [3, с.47-48].
Существует формула Коши-Адамара для нахождения числа R:
(3.13)
Круг K(zo,R) называется кругом сходимости степенного ряда.
Важно отметить, что внутри круга сходимости степенной ряд
сходится абсолютно, т.е. сходится ряд
^\an(z
zo)
3.5.3. Сложение и умножение
степенных рядов
Пусть даны два степенных ряда
^2an(z
zo
Ём*
zo)
(3.14)

3.6. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ...
57
с кругами сходимости K(zo,Ri) и K(zo,R2) соответственно.
Их суммой называется ряд
оо
J2(an + bn)(z-z0)n. (3.15)
п=0
Он сходится в круге K(zo, min{i?i, Я2}), и справедлива формула
оо оо оо
^2(ап + Ьп)(^ - z0)n = ^^ an(z - zo)n + ^2 Ьп(г ~ ZQ)n-
n=0 n=0 n=0
Радиус сходимости ряда (3.15) не меньше, чем число min{i?i,i?2}-
Произведением степенных рядов (3.14) называют ряд
оо
^2cn(z - z0)n, (3.16)
п=0
где
п
сп = 22 акЪп-к = аоЬп + aibn-i + ••• + «n^O-
k=0
Он заведомо сходится в круге K(zo, min{i?i, #2}). Однако радиус
сходимости ряда (3.16) не меньше, чем число min{i?i, ife}.
Справедлива формула
оо оо оо
^2cn(z - z0)n = ^2 an(z - zo)n • ^2 Ьп(г ~ z°)n-
n=0 n=0 n=0
3.6. Представление аналитических
функций в виде степенного ряда
Какими свойствами обладает сумма степенного ряда? Ответ дает
Теорема 3.3. Сумма степенного ряда является аналитической
функцией в круге сходимости.
Следующая теорема показывает связь между аналитическими
функциями и степенными рядами.
Теорема 3.4. Пусть даны аналитическая функция f : D —ь (£>,
где D С (Г - область, и точка zq Е D. Тогда в любом круге

58
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
K(zo,r) С D эту функцию можно представить в
сходящегося степенного ряда
f(z) = ^^an(z - z0)n
п=0
_ fn\zo)
суммы
где
(71 = 0,1,...).
Доказательство см. в [35, с. 107].
3.7. Функции ez,sinz,cosz
Определим следующую комплексную функцию, называемую
экспоненциальной,
(3.17)
Радиус сходимости этого ряда равен +оо, т.е. функция (3.17)
определена на всей комплексной плоскости.
Найдем радиус сходимости. Имеем
(n!)2 = l-2-...-n-n-...2-l = (l-n)-(2-(n-l)-...-(n-l)) >п-...-п = пп,
поскольку k-(n — k-\-l)—n = (k — l)(n — k) > 0, т.е. k-(n — k + 1) > п.
Итак,
(n!)2>nn, п\>(у/п)п, ^п!>лА,
z
е
00 „п
п=0
и, следовательно,
R =
*>^-
= - = +оо.
lim —— lim
1 ~ о
Справедливы равенства
2 % „~z U 1
, е • е = е = 1,

3.7. ФУНКЦИИ Ez, SIN Z, COS Z
59
1 e
31
D^l-^2
Их можно легко вывести, используя операции со степенными
рядами.
Введем еще две комплексные функции
£(-i)n
(2п)!'
г2п+1
^ = £(-1)»—-—
Они сходятся на(Е. Доказательство такое же, как для ez
Применяя перегруппировку членов ряда,
= Е
(izr
=...+
(iz)2n
(2n)!
(«)
2n + l
(2n + l)!
+... =
четный номер нечетный номер
Jin 2п + 1
, / -2\п 6 , / -2\п • ^
(2п)
(2п + 1)!
четный номер нечетный номер
= Е(-1)"(^+»Е(-1)"^т1)!=00вг+"
гг=0 v у гг=0 v у
получаем формулу Эйлера
е = cosz + zsinz.
Из этой формулы получают две другие:
COSZ
sinz
=
eiz
eiz
+ е
2
— е~
2г
-iz
1
-iz

60
Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Функции sin 2, cos 2 обладают свойствами:
cos(2 + 2&7г) = cos 2, sin(2 + 2&7г) = sin z.
(3.18)
Из формулы Эйлера и равенств (3.18) вытекает важное свойство
экспоненциальной функции
z-\-2kni
е ,
2&7гг -1
е = 1.
Рис. 3.2: График функции |cos2|.
Перечислим другие свойства функций sin 2, cos z:
cos(—z) = cos 2, sin(—z)
- sinz,
cos z + sin z = 1,
cosf^i + 22) = cos 21 cos £2 — sin z\ sin 22,
sin(21 + 22) = sin z\ cos 22 + cos z\ sin 22,
(cos2)/ = — sin 2,
(sin 2) = COS 2.
Таким образом, мы имеем функции, которые, будучи
ограниченными только на действительных числах, совпадают с известными из

3.7. ФУНКЦИИ Ez, SIN Z, COS Z
61
тригонометрии функциями cos ж и sin ж. Однако следует отметить,
что, хотя действительные тригонометрические функции
ограничены по абсолютной величине, т.е. | sinx| < 1, | cosx| < 1, это не верно
для произвольной комплексной переменной (рис.3.2).
Действительно, имеем
\eixe-y -\-e-ixey\
| cos(x + iy)\ = =
= -\(ey + e~v) cosx — i(ey — e~v) sinx| =
= -у(еУ +e-^)2cos2x + (еУ - е~У)2 sin2 x =
= J -{е?У +е~2У) + -cos2x.
Отсюда следует, что
lim | cosz\ = +oo.
x=0
y-t + oo

Глава 4
Комплексные
интегралы Коши
В этой главе мы научимся интегрировать комплексные функции.
Интеграл от комплексной функции вычисляется по некоторой
кривой, лежащей на плоскости. Поэтому не удивительно, что он
сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от действительных
дифференциальных форм.
4.1. Определение интеграла Коши
Рассмотрим на плоскости (Е гладкую1 7 : [0,1] —>-(С и определенную
на кривой 7 комплексную функцию / : Г —>-(С, где Г = ^у([0,1]) -
образ отрезка [0,1] при гладком отображении 7- Фактически образ
Г и есть геометрическая фигура, называемая кривой. Отображение
7 : [0,1] —»■ (С - это всего лишь одна из многих параметризаций
кривой Г.
Пусть 0 = to < t\ < ... < tm = 1 - произвольный набор точек
на отрезке [0,1], который называют разбиением А = {0 = to,^i, •••,
tm = 1} отрезка [0,1]. Положим, Zk = 7(*fc), k = 0,..., m и обозначим
через Ik длину дуги Г/. С Г кривой Г с концами Zk, %k+i-
1В более общем случае надо рассмтривать кусочно гладкую кривую,
т.е. кривую, состоящую из конечного числа гладких кривых-звеньев.
62

4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА КОШИ
63
Пусть
||А|| = max{l0,...,lm-i}
- норма разбиения А.
Возьмем произвольно точку (& Е Г& на дуге Г& и рассмотрим
сумму
га—1
5(/,Д)=^Ж*)Дзд,
fc=0
где А^ = ^fc+i - ^.
Если существует конечный предел
lim 5(/,А),
||А|ИО U' "
то его называют интегралом Коши от комплексной функции / по
кривой Г и обозначают как
f f(z)dz. (4.1)
Г
Если кривая Г замкнута, т.е. 7(0) = 7(1)? т0 Для интеграла по Г
используется обозначение
/
f(z)dz.
4.1.1. Свойства интеграла Коши
Перечислим свойства, которыми обладает комплексный интеграл
Коши.
1. J[af(z)+bg(z)]dz = a J f(z)dz + bjg(z)dz,
Г г г
где а, Ъ Е(Г.
2. J f(z)dz = -J f(z)dz,
г- г
где Г- кривая, совпадающая с Г как геометрическая фигура, но
проходимая в противоположном направлении, т.е. Г- = 7~([0,1]),
где 7~0) =7(! -*)•

64
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КОШИ
3. J f(z)dz = (j + J\ f(z)dz = J f{z)dz + I f(z)dz,
riur2 Vi r2 / Ti r2
где Ti U Г2 - кривая, полученная объединением кривых Г*1 и Г2:
(7iU72)(t) = |
71 (2*), 0 < t < 1/2,
72(2*-1), 1/2 <t< 1,
4.
/
/(*)<**
ri=7i([0,l]) и Г2=72([0,1]).
</l/(2)ll^|,
Г
где \dz\ = д/' dx2 + cfa/2, т.е. справа стоит криволинейный интеграл
1-го рода.
4.1.2. Интеграл Коши как сумма
криволинейных интегралов 2-го рода
Положим,
/О) = и(х,у) + iv(x,y),
(к = £к + гт/fc, ^ = Хк + гг/fc, Axfc = хк+\ - хк, Аук = хк+\ - ук.
Тогда
Azk = Ахк + zA^/fc
и
£(/> А) = 5Z f(Ck)Azk = ^ [u(€k,rik) + 2v(ffe, 7/fe)][Aa;fe + iAyk] =
k=0 k=0
m— 1
= ^2 [и(£к,г]к)Ахк - v(£k, г]к)Аук]-\- (4.2)
к=0
га—1
+* 5Z bfe, ^fc)Ажа; + ^(^fc, г]к)Аук]. (4.3)

4.2. ТЕОРЕМА КОШИ
65
Поскольку при ||А|| —»> 0 имеем: т —»> оо, Axk 40и Аук —»■ 0, то
каждая из интегральных сумм сходится соответственно к
криволинейным интегралам 2-го рода
ju{x,y)dx-v{x,y)dy и fV(X,y)dx + u(X,y)dy.
г г
Следовательно,
4.2. Теорема Коши
4.2.1. Многосвязные и односвязные области
Непрерывная кривая j : [0,1] —»■ (С называется кривой Жордана2,
если для любых £i, £2 G (0,1) таких, что £i / £2, следует, что 7(^1) Ф
7(*2).
Жорданова кривая является замкнутой, если 7(0) = 7(1)-
Теорема 4.1 (Жордан). Замкнутая кривая Жордана разбивает
плоскость® на две области: внутреннюю и внешнюю.
Доказательство см. в [10, с.294].
Пусть даны кривые Жордана Го, Ti,..., Гт такие, что
выполнены условия:
1) Го замкнута;
2) все кривые Г&, к = 1,...,т, лежат во внутренней области,
ограниченной кривой Го;
3) каждая из кривых Г& лежит во внешней области,
ограниченной кривой Tj, £;, j = 1, ...,m (к ф j).
2Другое название - кривая без самопересечений.

66
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КОШИ
а) Ь)
Рис. 4.1: а) (т + 1) -связная область; Ь) односвязная область
Множество точек комплексной плоскости, лежащих внутри
кривой Го и вне каждой кривой Г&, к = 1, ...,т, называется (т + 1)-
связной областью.
Очевидно, что граница (т + 1)-связной области состоит из (т +
1)-го «куска» - Го,Г1,...,Гт (рис. 4.1, а)).
Односвязная область - это 1-связная область (рис. 4.1, Ь)). Под
многосвязной областью понимают (т+1)-связную область с т > 1.
4.2.2. Теорема Коши
Теорема 4.2. Пусть f : D —»■ (Е аналитическая функция в одно-
связной области D и Г кусочно гладкая3 замкнутая кривая Жор-
дана, лежагцая в D. Тогда
I
f(z)dz = 0.
Доказательство.
Имеем
ф f(z)dz = ф udx — vdy + ф vdx + udy. (4.4)
3То есть кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых-
звеньев.

4.2. ТЕОРЕМА КОШИ
67
По формуле Грина
jPdx + Qdy = j j(fx-%)dXdy.
Г G
Применяя формулу Грина и условия Коши-Римана
( ди
) дх ~
\ ди
1 ду ~
dv
ду'
dv
дх
к (4.4), получаем
/«'«•-//(^-sWWKs-*)**'
//(
ди ди\
dxdy + г
II
dv dv\
кду ду J J J \ду ду J
G G
= / / 0 • dxdy + i / / 0 • dxd|/ = 0.
G G
Теорема доказана.
dxdy ■
Следствие 4.1. Пусть f : D —)■(£ аналитическая функция в одно-
связной области D и Г1,Гг две гладкие кривые с общим началом
и концом, лежащие в D. Тогда
Jf(z)dz = jf(z)dz.
Г1 Го
4.2.3. Обобщенная теорема Коши
Как показывает следующий пример, теорема Коши не верна для
многосвязных областей.
Пример 4.1. Вычислить интеграл
dz
z

68
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КОШИ
где функция w = 1/z аналитична в 2-связной области D = {z £(Е : 1/2 <
\z\ < 2}, Г = 7([0,1]) С D,j(t) = cost + isint,t G [0,2тг].
Имеем _ _
/dz Г zdz Г zdz С _
z J zz J \z\2 J
Г \z\ = l |s| = l |*| = 1
2тг 2тг
= / [cos t — i sin t]d[cos t-\-isint]= / [cos t — i sin t] [— sin t + г cos t]dt =
о о
2tt 2tt
cos t sin t + cos £ sin t + z(cos2 £ + sin2 t)]dt = i I dt = 2ni ф 0.
Однако теорема Коши может быть перенесена на многосвязные
области в следующей форме.
Теорема 4.3. Пусть f : Do —>-(С аналитическая функция в
области Do и D С Do - (т + 1) ~связная область с границей dD, со-
стоягцей из гладких кривых Жордана Го, Ti,..., Гт. Тогда
J f{z)dz = j f(z)dz + Е / f(z)dz = 0
dD
(4.5)
при условии, что при вычислении интегралов (4.5) обход по
кривым J-Oi-l-l) •••)-!- га
происходит так, чтобы область D все время
была по левую руку.
Доказательство.
Продемонстрируем схему доказательства теоремы на примере
2-связной области. Проведем разрез области D по кривой Г CD,
соединяющей некоторую точку кривой Ti с кривой Го (см. рис.4.2).
Гассмотрим кусочно гладкую4 кривую Г = ГоиГ~иГ1иГ.
Область D, ограниченная кривой Г, односвязна. Применяя к ней и
ее границе Г теорему 4.2, получаем, что
/
f(z)dz = 0.
(4.6)
То есть кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых-
звеньев.

4.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
69
Рис. 4.2: Обход по кривым Го, Г, Г , Гх в 2-связной области
действительных чисел.
Используя свойства интеграла Коши и равенство (4.6), имеем
(z)dz =
г \ г0 г- Ti Г /
= {l+l)f{z)dz+{l+l)f{z)dz=
= J f(z)dz +1-J + J] f(z)dz = I f(z)dz.
dD \ Г Г / dD
Теорема 4.3 доказана.
4.3. Вычисление комплексных
интегралов
4.3.1. Первообразная
Методы вычисления интеграла Коши во многом похожи на методы
вычисления определенных интегралов в теории функций
действительной переменной.

70
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КОШИ
Пусть в области D задана комплексная функция / : D —>- (Е.
Аналитическая функция F : D —»(Е называется первообразной функции
/ в области D, если F'(^) = f(z) для всех z € D.
Следствие 4.1 позволяет доказать следующую теорему, которая
говорит, что аналитическая функция w = f(z) всегда имеет
первообразную в односвязной области.
Теорема 4.4. Пусть f : D —»■ (Е аналитическая функция в одно-
связной области D. Тогда f имеет первообразную в D, которая
находится с помощью формулы
z
F(z) = Jf(0d{,
где интеграл есть интеграл Коти, вычисляемый по любой кривой,
лежащей в области D и соединяющей точки zq,z Е D.
Из теоремы 4.4 немедленно вытекает, что любая первообразная
аналитической функции w = f(z) имеет вид
z
F(z) = JnOdC + C,
ZQ
где С - произвольная комплексная постоянная.
4.3.2. Формулы для вычисления
комплексных интегралов
Приведем две формулы, которые хорошо известны в курсе
математического анализа.
Теорема 4.5. Пусть f : D —»■ (Е аналитическая функция в одно-
связной области D, F : D —»■ (Е ее первообразная и Г = ^у([0,1]),
7 : [0,1] —>-(С гладкая кривая, леэюащая в D. Тогда имеет место
формула Ньютона-Лейбница
Jf(z)dz = Ffr(l)]-Ffr(0)]
Г

4.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
71
I
f(z)dz = F(b)-F(a),
где а = 7(0), 6 = 7(1) € D.
Теорема 4.6. Пусть f,g : D —>-(С аналитические функции в од-
носвязной области D и F,G : D —»■ (С соответственно их
первообразные. Тогда справедлива формула вычисления комплексного
интеграла по частям:
ъ ъ
J F{z)g(z)dz = [F(z)G(z)] \ba - J G(z)f(z)dz
0 0
Jf(z)gIG(z) = [F(z)G(z)] \ba-jG(z)dF(z),
где dF(z) = f(z)dz,dG(z) = g(z)dz.
Пример 4.2. Вычислим интеграл
/ z cos zdz,
г
7(t) =t + it2, te [0,1].
Так как функции z, cos z аналитичны на (E, то
7(1) 1+г
z cos zdz = / z cos zdz — \ z cos zdz :
7(0)
1+г
1+г
/ £d(sin£) = [г sinz] |0 — / sinzdz ■
о 0
= (1 + г) sin(l + г) - [- cos z] \l+i =
= (1 + г) sin(l + г) + cos(l + г) - 1.

72
Глава 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КОШИ
4.4. Интегральная формула Коти
Из обобщенной теоремы Коши выводится формула, которая
является одной из самых красивых и важных формул в комплексном
анализе.
Теорема 4.7. Пусть f : D —»■ (Е аналитическая функции в одно-
связной области D и пусть Г С D - гладкая замкнутая жордано-
ва кривая. Тогда для любой точки z, лежащей внутри Г,
справедлива интегральная формула Коши5
(4.7)
Интегральная формула Коши имеет и более общую форму,
приводимую в следующей теореме.
Теорема 4.8. Пусть f : D —>(£ аналитическая функции в
замкнутой области D с гладкой замкнутой жордановой границей dD.
Тогда справедлива формула
4.5. Огюстен Коши
«Коши Огюстен Луи (21.8.1789-23.5.1857) - французский
математик, чл. Парижской АН (1816), Петербургской АН (1831). Родился
в Париже. Окончил Политехническую школу (1807) и Школу
мостов и дорог (1810) в Париже. Некоторое время работал инженером
путей сообщения, а с 1813 г. занялся научными занятиями и
преподаванием. Его назначили членом АН вместо Г. Монжа. В 1816 году
мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжелой жидкости
на конкурсе Парижской АН получил первую премию; после этого
5 Обход по Г идет так, что точка z всегда видна по левую руку.

4.5. ОГЮСТЕН КОШИ
73
его приглашают в Политехническую школу, Сорбонну и Коллеж: де
Франс.
Работы Коши относятся к
различным областям математики. Были
периоды, когда Коши каждую неделю
представлял в Парижскою АН новый
мемуар. Всего же он написал и
опубликовал свыше 800 работ по
арифметике и теории чисел, алгебре,
математическому анализу,
дифференциальным уравнениям, теоретической и
небесной механике, математической
-^ . 0 физике и т.д.
Рис. 4.3: О.Л. Коши т, ~ т^
Быстрота, с которой Коши
переходил от одного предмета к другому,
дала ему возможность проложить в математике множество новых
путей. Его «Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по
исчислению бесконечно малых» (1823), «Лекции по приложениям анализа
к геометрии» (1826-1828), основанные на систематическом
использовании понятия предела, послужили образцом для большинства
курсов позднейшего времени. В них он дал определение понятия
непрерывности функции, четкое построение теории сходящихся
рядов (в частности, впервые установил точные условия сходимости
ряда Тейлора к данной функции, ввел понятие радиуса
сходимости, доказал теорему о произведении двух абсолютно сходящихся
рядов и т.д.), дал определение интеграла как предела сумм и др.
Большой заслугой Коши является то, что он развил основы
теории аналитических функций комплексного переменного,
заложенные еще в XVIII в. Эйлером и Д'Аламбером. Особенно важное
значение имеют следующие результаты, полученные Коши:
геометрическое представление комплексного переменного как точки,
перемещающейся в плоскости; выражение аналитической функции в
виде интеграла (интеграл Коши), а отсюда разложение функции
в степенной ряд; разработка теории вычетов и ее приложений к
различным вопросам анализа и др. Коши принадлежат термины
«модуль» комплексного числа, «сопряженные» комплексные числа
и др.» 6.
См. сайт: http://www.math.rsu.ru/mexmat/polesno/koshi.ru.html

Глава 5
Ряды Лорана
и особые точки
5.1. Ряд Лорана
Ряд Лорана - это формальная сумма вида
1 1
(2 - Z0)n (z - Z0)
+а0 + a\(z - zo) + a2(z - z0)2 + ... + an(z - zn)n + ...
или
oo
^ а„(г-*<,)"• (5.1)
n = — oo
Ряд (5.1) называется сходящимся в точке 2, если в этой точке
сходятся числовые ряды
оо
J2an(z-z0)n, (5.2)
У, а~\ ■ (5.3)
74

5.1. РЯД ЛОРАНА
75
Ряд (5.2) - степенной. Поэтому он имеет радиус сходимости ife. Ряд
(5.3) можно превратить в степенной ряд
У^а-п£п
(5.4)
с помощью замены l/(z — zo) = t. Ряд (5.4) имеет радиус сходимости
г, т.е. он сходится для всех t таких, что \t\ < г. Следовательно, ряд
(5.3) сходится для всех z таких, что \z — z§\ > 1/г. Полагая R\ = 1/r,
заключаем, что ряд Лорана (5.1) сходится в кольце
{ze® :R! < \z-z0\ <R2}.
Вспоминая формулу Коши-Адамара, можно написать, что
Ri
= lim ^\а-„\,
п—)-оо
R - 1
1Ъ2 —
оо Л
/КЛ
Теорема 5.1. Пусть w = f(z) аналитическая функция в кольце
{z G (Г : Ri < \z — zo\ < Я2}. Тогда она единственным образом
разлагается в этом кольце в ряд Лорана
оо
/(*) = ^2 an(z- z0)n,
где
(5.5)
Ri < г < R2,
n = 0,±l,±2,...
Пример 5.1.
/(*) =
2 - z- z2 ^ Зя
п = 1
у —- + У(-1Г —

76
Глава 5. РЯДЫ ЛОРАНА
где
ze{ze(E:l<\z\< 2}.
Теорема 5.2. Пусть w = f(z) аналитическая функция в кольце
К = {z £(Е : Ri < \z — zo\ < R2}. Тогда коэффициенты ряда Лорана
оо
/О) = ^2 an(z~ Z0)n
п = — оо
для функции f в кольце К удовлетворяют неравенствам Коши
Ы<|^, п = 0,±1,±2,...,
где М = max \f(z)\, TR = {z <E(E : \z - z0\ = R},Ri <R< R2.
zevR
Доказательство.
Используя формулу (5.5), получаем
\z — zo\=R \z — zo\=R
Теорема 5.2 доказана.
5.2. Особые точки
Пусть функция w = f(z) аналитична в кольце {z £ (L : 0 < \z —
zo\ < г}, но не аналитична в точке zq. Тогда точка zq называется
изолированной особой точкой для функции /.
5.2.1. Классификация особых точек
Изолированные особые точки разбиваются на три типа в
зависимости от того, конечен, бесконечен или просто не существует предел
функции w = f(z) при стремлении z к этой точке, т.е. в зависимости
от того, каков предел lim f(z). Соответствующая классификация
и название особых точек приведена в таблице 5.1.
Бесконечно удаленную точку оо считают изолированной
особой точкой для функции w = f(z), если / аналитична в области

5.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
77
Таблица 5.1: Классификация особых точек
Название особой точки
Устранимая особая точка
Полюс
Существенно особая точка
Определение
3 Hm f(z)
Z^-Zq
lim f(z) = oo
z->zo
-3 lim f(z)
Z^ZQ
{z G (Г : r < \z\ < oo} для некоторого числа г > 0. Особая точка оо
по аналогии с тем, что сказано о конечных особых точках, может
быть трех типов: устранимой, полюсом или существенно особой.
Пример 5.2. Функция
z- 1
в точке z = 1 имеет полюс, а в точке сю является устранимой особой
точкой.
Действительно, функция аналитична в кольце 0 < \z — 1| < оо и
lim f(z) = сю.
Однако lim f(z) = 0. Следовательно, z = ос - устранимая особая
z—)-оо
точка.
Пример 5.3. Функция
в точке z = 0 имеет существенно особую точку.
Как известно из математического анализа,
lim — = +оо, lim — = —сю.
х—^+0sinx х—^-Osinx
Следовательно, предел lim f(z) не существует. Поэтому z = 0 СущеСТВен-
.г—^О
но особая точка.
Пример 5.4. Точка z = 0 - это устранимая особая точка для функции
Поскольку
- У (-i)n — = У (-i)n —
z ^ } (2га+ 1)! ^ } (2га+ 1)!
п=0 V ' 71=0 v '

78
Глава 5. РЯДЫ ЛОРАНА
то
sin z
lim = 1.
z->0 Z
Как видим, предел существует, конечен, поэтому z = 0 устранимая особая
точка.
5.2.2. Поведение функции в окрестности
существенно особой точки
Если приближаться к существенно особой точке zo, т.е брать точки
z сколь угодно близко к 2о, то, как показывает нижеследующая
теорема, функция принимает самые различные значения.
Теорема 5.3 (Пикар). В любой окрестности существенно особой
точки функция принимает, и притом бесконечное число раз,
любое значение, кроме, быть может, одного.
5.2.3. Ряд Лорана в окрестности
особой точки
Если z = zo изолированная особая точка для функции w = f(z),
то, как следует из теоремы 5.1, ее можно разложить в окрестности
этой точки в ряд Лорана
оо
f(Z) = ^2 an(z - to)™.
п = — оо
По виду ряда Лорана можно сказать, какой тип имеет особая точка.
Как это происходит, сказано в таблице 5.2.
Полюс имеет порядок т, если число членов ряда с
отрицательными показателями степени равно т. Полюс порядка 1 называется
простым.
Теорема 5.4. Пусть zq особая точка функции w = f(z) и
существует конечный
lim (г - го)"7(г) # 0.
Z^ZQ
Тогда z = zq - полюс порядка т.

5.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
79
Таблица 5.2: Типы особых точек и форма ряда Лорана
Название особой
точки
Устранимая особая
точка
Полюс
Полюс порядка т
Существенно особая
точка
Форма ряда Лорана
Отсутствуют члены ряда с
отрицательными показателями
степени
Конечное число членов ряда с
отрицательными показателями
степени
т членов ряда с отрицательными
показателями степени
Бесконечное число членов ряда
с отрицательными показателями
степени
5.2.4. Ряд Лорана для бесконечно
удаленной точки z = ос
Пусть функция w = f(z) аналитичнав области {z £(Е : г < \z\ < оо}
для некоторого числа г > 0 и в этой области
/(*)= Y1 ап*п-
(5.6)
Ряд (5.6) называется рядом Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки z = оо для функции /.
Связь между типами особой точки z = оо и формой ряда
Лорана в окрестности этой точки дана в таблице 5.3.
Полюс z = оо имеет порядок т, если число членов ряда с
положительными показателями степени равно т. Полюс порядка 1
называется простым.
Пример 5.5. Определить тип особой точки z = оо для функции
Имеем
ОО -,
У —

80
Глава 5. РЯДЫ ЛОРАНА
Таблица 5.3: Тип особой точки оо и форма ряда Лорана
Название особой
точки
Устранимая особая
точка
Полюс
Полюс порядка т
Существенно особая
точка
Форма ряда Лорана
Отсутствуют члены ряда с
положительными показателями
степени
Конечное число членов ряда с
положительными показателями
степени
т членов ряда с
положительными показателями степени
Бесконечное число членов ряда
с положительными показателями
степени
о о Z 1 1 1
2! 3! A\z b\z2
Заглянув в таблицу 5.3, видим, что z = сю - это полюс 3-го порядка для
функции /.
5.3. Целые и мероморфные функции
5.3.1. Целые функции
Функция w = f(z) аналитическая на (Е называется целой. Целая
функция раскладывается в ряд Тейлора
оо
п=0
который является рядом Лорана в окрестности z = оо.
Следовательно, единственной особой точкой целой функции является
бесконечно удаленная точка. Если z = оо полюс порядка m, то w = f(z)
- многочлен степени т.

5.3. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
81
Теорема 5.5 (Лиувилль). Пусть целая функция удовлетворяет в
области \z\ > R неравенству
\f(z)\ < M|z|m, т > 0 — натуральное.
Тогда f полином степени не выше т.
Доказательство.
Достаточно применить теорему 5.2.
Следствие 5.1. Если целая функция w = f(z) ограничена на всей
комплексной плоскости, т.е.
V*€(D(|/(*)|<M),
то она является постоянной: f(z) = const.
5.3.2. Мероморфные функции
Функция / : (С —»■ (С называется мероморфной на(Е, если в каждом
круге она аналитична, за исключением, быть может, конечного
числа полюсов.
Функция / : D —»(Е называется мероморфной в области D, если
она аналитична в D, кроме полюсов.
Из этого определения следует, что мероморфная функция имеет
на комплексной плоскости (Е не более, чем счетное число полюсов.
Пример 5.6. Функция
1
w =
sin z
- мероморфна.
Действительно, особые точки для f(z) - это нули функции sin z. т.е.
точки z = ктт. Их счетное число. Применим теорему 5.4:
z — ктт z — ктт
пт = hm
z^-ктт sin z z^-ктт sm[(z — ктт)-\-ктт]
z — ктт z — ктт
hm = hm
z^kn sin(z — ктт) cos ктт + sin ктт cos(z — ктт) z^kn ( — l)k sin(z — ктт)
= Um {~1)k = til = (_1)fc.
z^kn sin(z — ктт) „ sin(z — ктт)
hm
z — ктт z^kn z — ктт
Следовательно, z — ктт - простой полюс.

82
Глава 5. РЯДЫ ЛОРАНА
Теорема 5.6 (Пикар). Мероморфная функция, отличная от
постоянной, принимает все комплексные значения, за исключением,
быть может, двух.
Теорема 5.7. Мероморфная функция представляется в виде
т
где f,g- целые функции.

Глава 6
Теория сигналов
6.1. Определение сигнала
Непрерывный сигнал - это любое действительное или комплексное
колебание (изменение) во времени s(t), определяемое как некоторая
функция s : [а, Ь] —»■ IR или соответственно s : [а, Ь] —»■ (С
действительной переменной t [25, с.44].
Непрерывный сигнал не обязан принимать континуум значений,
иначе говоря, образ s([a,6]) вполне может быть конечным
множеством. Важно лишь то, что для каждого момента времени t Е [a, Ь]
функция s принимает конкретное значение.
Однако в том случае, когда s(t) может быть любым
действительным (или комплексным числом), непрерывные сигналы
часто называют аналоговыми. Для аналоговых сигналов множество
s([a,6]) имеет мощность континуума [15].
Дискретный сигнал - это произвольная функция s(ri),n Е IN,
являющаяся последовательностью действительных или
комплексных чисел. Дискретные сигналы связаны с дискретным способом
отсчета времени. На рис. 6.1 Ь) продемонстрирован дискретный
сигнал, порождаемый в моменты времени t = О, Т, 2Т,..., пТ,...
Непрерывный или дискретный сигнал, величина которого при
любом значении времени t может принимать не континуум, а
только некоторое конечное число значений, называется цифровым
сигналом [25, с.45].
83

84
Глава 6. ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ
Рис. 6.1: а) Непрерывный (аналоговый) сигнал; Ь) дискретный сигнал
6.2. Гармонический анализ сигнала
6.2.1. Разложение периодического
сигнала на гармоники
Сигнал s(t) называется периодическим, или Т-периодическим, если
справедливо равенство
s(t + T) = s(t)
для некоторого числа Т > О, называемого периодом, и любого t.
Например, простые гармоники (гармонические колебания)
(рис.6.2,а)) вида
s(t) = Asinount, s(t) = В cosuomt, s(t) = Delu} ,
как известно, являются периодическими сигналами с периодами
Т = 27r/ncj, 2тг/т(л> и 2тг/кии соответственно х.
Основным результатом гармонического анализа или Фурье-
анализа является доказательство того, что любой достаточно
хороший действительный непрерывный (аналоговый) Т-периодический
сигнал s(£), t G IR, является суммой ряда Фурье простых гармоник
(рис.6.2, Ь)), т.е.
s(t) = — + 2Z ап cos nujt ~+~ Ъп sin nut,
(6.1)
2тг
Периодичность комплексного сигнала s(i) = Delujkt следует из
формулы Эйлера. См. §3.7.

6.2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИГНАЛА
85
п
а) Ь)
Рис. 6.2: а) Простая гармоника; Ь) Т-периодический сигнал
где коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера-Фурье
«»=!/
s(t) cosnuurdr (n = 0,1,...),
Ъп
1
■I
s(t) smmordr (n = 1, 2,...),
а комплексный сигнал - суммой комплексного ряда Фурье
S(t)= J2 с^{п"г>
(6.2)
где
1
cn = i J s(r)e-inuJTdr (n = 0, ±1, ±2, ...).
о
Формулу (6.1) можно переписать в виде ряда (6.2), при
дополнительных условиях на коэффициенты сп:
С-п — С— п ,
гарантирующих действительность функции s(t).
Как видно из формулы (6.2), Т-периодический сигнал есть
сумма счетного числа простых гармоник. В этом случае говорят, что

86
Глава 6. ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ
сигнал s имеет дискретный спектр: ..., — ncj,..., — cj, 0,cj, ..., ncj,....
Числа, входящие в эту последовательность, есть частоты сигнала.
Существеннось, весомость той или иной простой гармоники, т.е.
конкретной частоты, в структуре сигнала s определяется
соответствующей амплитудой сп.
Комплексная запись сигнала, во-первых, проще и короче, а во-
вторых, предпочтительнее в вычислениях, в которых приходится
совершать операции дифференцирования и интегрирования,
поскольку по отношению к этим операциям функция ехрж обладает
следующими достоинствами
>■=••■ /
/ж\/ X I X 1 X , ,
(е)=е, е ах = е -\- const,
ведущими к упрощению вычислений. Более того, комплексные
данные все более широко используются в практике цифровой
обработки сигналов [25, с.44].
В силу сказанного далее рассматриваем комплексные сигналы.
6.2.2. Разложение непериодического
сигнала на гармоники
Любой достаточно хороший (комплексный) непрерывный
(аналоговый) непериодический сигнал s(t), t G IR, представляется в виде
интеграла Фурье
+ оо
s(t) = ^- Г S(u)etutdu, (6.3)
— оо
где
+ оо
5(cj) = Г s(t)e-iujtdt. (6.4)
— оо
Пару интегралов (6.3), (6.4) называют обратным и прямым
соответственно преобразованиями Фурье:
в(ш) = ?[в]{ш), s{t)=F-\S]{t).

6.2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СИГНАЛА
87
Как видно из формулы (6.3), непериодический сигнал есть «сумма»
континуума простых гармоник. Поэтому говорят, что
непериодический сигнал имеет непрерывный спектр, характеризуемый
функцией S(u). При этом комплексная функция S(u) называется
спектром, а точнее, спектральной плотностью сигнала s(t).
Существеннось, весомость той или иной простой гармоники, т.е.
конкретной частоты uj, в структуре сигнала s определяется
комплексным спектром
S(u>) = \S(u>)\eiaM.
Модуль |5(о;)| этой функции называют спектром амплитуд, а
аргумент (г(ио) = arg S(u) - спектром фаз.
Пример 6.1. На рис. 6.3 приведен спектр для прямоугольного сигнала
Ш)_/ 1 -T0<t<T0,
Щ)
(О
Рис. 6.3: Прямоугольный сигнал П(£) и его спектр S(uo).
S(u) = Г n(t)e~iutdt = Г ,
-оо -Т0
e~lwtdt ■
_ 2 eiujT° - e~iujT° _ 2sinujT0
uj 2i uj
Как видим, основной вклад вносят частоты, близкие к нулевой.
Пример 6.2. Для математически абстрактного мгновенного (^-импульса
5(t)
оо, t = О,
О, t^O,

Глава 6. ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ
Рис. 6.4: Сигнал S(t) и его спектр S$(lj) = 1.
J f(t)6(t-a)dt = f(a),
— оо
в спектре равным образом представлены все частоты (рис. 6.4), поскольку
+ оо
Ss(w) = Г 5{t)e~iujtc
4t = е~
6.2.3. Энергия сигнала и его энергетический
спектр
Интеграл
/
s(t)\2dt
называется энергией сигнала s(t).
Имеет место равенство Парсеваля
+ оо
J \s(t)\2dt =
— ОО
+ оо
= J \S(u)\2du.
— оо
Равенство Парсеваля говорит о том, что полная энергия сигнала
складывается из энергий всех его частот, т.е. частотных
составляющих \S(u)\2duj.

6.3. ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
89
Поэтому функцию |5(сс;)|2 называют энергетическим спектром
сигнала s(t).
Пусть сигнал s(t) отличен от нуля только на отрезке времени
[0,Т]. Тогда можно найти среднюю мощность сигнала
+ оо +Т
W=±f №)?*=/№%$-**.
-оо -Т
Функция
/ ч \S(u)\2
™м = Т
- это спектральная плотность средней мощности сигнала (спектр
можности). Она показывает, на какой частоте наиболее заметно
проявляет себя сигнал, и в силу этого он легче обнаруживается.
6.3. Фильтры и фильтрация сигналов
Фильтр - это устройство, способное изменять спектр сигнала.
Соответственно под фильтрацией сигнала понимают процедуру по
изменению спектра сигнала.
Фильтрация используется с целью выделения, усиления каких-
либо параметров сигнала, которые наиболее интересны для
исследователя. К примеру, фильтрация необходима в том случае, когда
нужно «отсечь» посторонние сигналы (шумы). Чаще всего это
достигается за счет усиления отношения сигнал/шум.
С точки зрения математики, фильтр - это оператор $, т.е.
действие, которое, имея на входе спектр S(u) изучаемого сигнала,
преобразует его в новую функцию SWcj), символически -
sffM = 3[S(oj)],
которая обладает нужными свойствами относительно поведения в
том или ином диапазоне частот.
6.4. Преобразования Лапласа
Говорим, что комплекснозначный сигнал s(£), t > 0, принадлежит
классу £, если

90
Глава 6. ТЕОРИЯ СИГНАЛОВ
1) s(t) = 0 при t < 0.
2) s(t) непрерывна на [0, оо).
3) Существуют такие постоянные С > 0 и а, что для всех t > 0
выполняется неравенство
Ш\ <Се°
,.5)
Точная нижняя грань чисел а, для которых верно (6.5),
называется показателем роста сигнала s(t).
Теорема 6.1. Если s(t) принадлежит классу С, то комплексная
функция
C[s](z) = Js{t)
е z dt
(6.6)
является аналитической в полуплоскости Rez > ао, где ао
показатель роста сигнала s(t) и
lim C[s](z) = 0.
Rez —)- + оо
Доказательство см. в [30, с.438].
Im z
(Z)
C+IOO
C-IOO
Рис. 6.5: Прямая Re
Интеграл (6.6) называется
преобразованием Лапласа
функции s(t). При этом для
s(t) используется название
оригинал, а для £[s](z) -
изображение.
Теорема 6.2. Пусть s(t)
- оригинал, a C[s\(z) - его
изображение. Если
функция s(t) G С1[0,оо), то
оригинал можно найти по
изображению с помощью обратного преобразования Лапласа
s(t)
с-\-гоо
Ш I C[s]{
z)ez dz,
(6.7)

6.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
91
где интеграл (6.7) берется вдоль любой прямой Rez = с > ао, ао -
показатель роста сигнала s(t) и понимается в смысле главного
значения 2 .
Доказательство см. в [30, с.445-446].
Замечание 6.1. Обратим внимание на то, что прямая Rez = с
берется правее всех особых точек функции £[s](z).
6.4.1. Изображение произведения
двух оригиналов
Пусть si(t), S2(t) два оригинала такие, что
|si(t)|<CieQlt, |e2(t)| < C2eQ2t.
Тогда имеет место формула
C[sis2](z) =
с+гоо
^- J C[81](QC[82](Z-
c — ioo
- CR,
где прямая ReQ = с берется правее всех особых точек изображений
£[si](C) h£[s2](C) [37, с.56-58].
6.4.2. Переход к преобразованию Фурье
Пусть дано преобразование Лапласа
оо
C[s](z) = J
s(t)e z dt.
(6.9)
Поскольку при s € £ s(t) = 0 при t < 0, то, полагая в (6.9) z = zcj,
получаем
£[s](iw) = J s(t)e-iujtdt = S(u).
(6.10)
2 Несобственный интеграл f f(x)dx понимается в смысле главного
— оо
значения, если по определению
-|-CXJ -t\
/f(x)dx = lim / f(x)dx.
A^+oo J

Глава 7
Вычеты
7.1. Понятие вычета
Пусть w = f(z) аналитическая функция в кольце К = {z £(Е : 0 <
\z — zq\ < R} и zq ее изолированная особая точка.
Величина интеграла
hff{z)dz>
г
взятого по любой замкнутой гладкой жордановой кривой Г С К и
обходимой так, что точка zq лежит всегда по левую руку, имеет
постоянное значение х и называется вычетом функции f в точке
20-
Вычет обозначается как
Res /(г).
Z=Z0
Таким образом,
1Это следует из теоремы Коши.
92

7.1. ПОНЯТИЕ ВЫЧЕТА
93
Как известно, функция / единственным образом разлагается в
этом кольце К в ряд Лорана
/О) = ^2 an(z- z0)
п = — оо
(7.1)
Вспоминая формулу (5.5) для коэффициентов ате, находим, что
Res f(z) = a_i.
Z=ZQ
(7.2)
Эта формула позволяет находить вычет функции / в любой
изолированной особой точке 2о, отличной от бесконечно удаленной.
Для бесконечно удаленной особой точки z = оо имеем
аналогичную формулу
Res /О) = -a-i = --— Ф f(z)dz,
z = oo £Ш J
\z\=r
(7.3)
где предполагается, что функция / аналитична в области {х Е (Е :
\z\ > Я}, R < г - некоторое число, a_i - коэффициент при 1/z
разложения функции / в ряд Лорана в окрестности бесконечно
удаленной точки z = оо и обход по окружности |ж| = г идет по часовой
стрелке.

94
Глава 7. ВЫЧЕТЫ
7.2. Формулы для вычетов
Если zq - полюс порядка т, то из формулы (7.1) легко получается
формула
(7.4)
Для простого полюса z = zq из (7.4) получатся формула
Res 44 = Щ-
Z=ZQ
(7.5)
7.3. Вычисление интегралов
с помощью вычетов
Пусть функция / : D —>- (Е аналитична в односвязной компактной
области D с гладкой границей dD , за исключением конечного числа
изолированных особых точек Z\ , Z2•)••••) %т
Рссмотрим непересекающиеся друг с другом круги К к = {z :
\z ~ zk\ ^ S}, леж:ащие в D. Применяя обобщенную теорему Коши
к области
т
D = D\\jKk,
получаем
f(z)dz = j f(z)dz Yl f f(z)dz = °> (7-6)
dD
\z-zk\=S
где обход no dD и окружностям \z — Zk\ = S происходит против
часовой стрелки. Следовательно, из (7.6) с учетом определения вы-

7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ 95
/га « га
f(z)dz = J2 f f(z)dz = 2niJ2 Res/(г).
&■ —1 &■ —1 Z—Zfc
Итак, имеем формулу для вычисления контурного интеграла по
кривой Г = dD
/га
f(z)dz = 2iriY^ Res /О).
и —л z=zk
(7.7)
Из формулы (7.7) вытекает
Теорема 7.1. Пусть функция w = f(z) аналитична всюду на
расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа
изолированных особых точек zq = оо, zi,..., zm. Тогда
J2 Resf(z)=0.
Пример 7.1. Вычислить интеграл
dz
2 '
l + z
\z\=2
Функция w = f(z) = 1/(1 + z2) является мероморфной. Покажем, что ее
полюсы, лежащие в круге \z\ < 2, - это точки —г, г. Действительно, особые
точки функции w = f(z) - нули функции 1 + z2, которые находятся как
z = у/^Т = ±г.
Поскольку
hm.[z-(±i)]f(z)= lim Z (±t> = Шп _L_ = -L ,4 О,
г-)-±г г-)-±г (г — гД2 + г) г-^±г [г ± i\ ±2г
то в силу теоремы 5.4 точки ±г - простые полюсы. Тогда по формуле (7.5)
Res/(*)= lim * = 11^-1 = ^. (7.8)
z = ±i г-)-±г (1 + Z2)' z->±t 2z ±2l

96
Глава 7. ВЫЧЕТЫ
Следовательно, по формуле (7.7)
dz
l + z2
: 2тгг
1*1=2
Res f(z) + Res f(z)
: 2ттг
1 1
2i ^2i
7.4. Применение вычетов
для вычисления определенных
интегралов
Вычеты можно применять для вычисления определенных
интегралов от функций действительного переменного. Рассмотрим
примеры.
Пример 7.2. Найти интеграл [29, с.287]
2тг
rl/r
(7.9)
/
(5 + 4 cos ж)2
Известно, что
рЪХ I & ЪХ
Пусть z = егх. Тогда
1 / 1\ , dz „ л r п 2 2z2 + 5z + 2
cos х = — [ z -\— , dx — —, 5 + 4 cos х — 5 -\-2z -\— = .
2 V zj iz z z
Получаем
dx
zdz
(5 + 4 cos ж)2 J i(2z2 +5^ + 2)2
о \z\=i
: 27Г Res
1/2 (2^2+5^ + 2)2'
поскольку в круге \z\ < 1 в подынтегральной функции только одна особая
точка - корень знаменателя z = —1/2. Другой корень - z = — 2.
Далее (см. теорему 6.4)
ф-(-1/2))2
Шп Ф-(-У2))2= lim -
z_>_i/2 (2^2 + bz + 2)2 *->-1/2 [2(я - ( —1/2))(^ - (-2))]2
lim
ф-(-1/2))2
lim
*->-1/2 4(* - (-1/2))2(^ - (-2))2 z^-1/2 4(* - (-2))
-1/18,

7.4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ...
97
т.е. z = —1/2 полюс порядка 2.
Следовательно, по формуле (7.4)
Res
lim
1/2 i{2z2 + bz + 2)2 г г-К-1/2) dz
ф-(-1/2))2
— lim —
4г z-K-i/2) dz
L4(s-(-l/2))2(s-(-2))2j
(z + 2)2 -2ф + 2) _
В итоге
Z7T
/
(z + 2)2
1 2-я i
4i(s + 2)3 l^-1/2
— nm
4гг-К-1/2) (^ + 2)4
1 5/2 _ 5
4i (3/2)3 ~~ 27i"
5 Ютг
= 27гг Res /(г) = 27гг —
(5+ 4 cos ж)2 z=-i/2 27г 27
Слудующий пример демонстрирует возможности теории
вычетов при вычислении несобственных интегралов.
Пример 7.3. Пусть сходится несобственный интеграл
+ оо
/ f(x)dx.
— оо
Допустим, что функция w = f(z) аналитична в полуплоскости Imz > О,
за исключением конечного числа особых точек Z\•)••••) %т 1 и
м
|/(*)|<— при \z\>R,
№
где 0 < М = const и R > 0 - достаточно большое число.
Тогда
^jT т
I f(x)dx = 27гг Y^ Res t
_™ fc=i z=Zfc
/(*)■
(7.10)
В самом деле, возьмем число R > 0 так, что все особые ТОЧКИ 2^1,..., Z77
лежат в круге \z\ < Я. Рассмотрим область
DR = {z е® : \z\ < R & Im z > 0},
М>д = [-Д,Д]иГд.
В таком случае по формуле (7.7)
f(z)dz :
:2тгг^Г Res/(г).

98
Глава 7. ВЫЧЕТЫ
Откуда
lim / f(x)dx + lim / f(z)dz
г^+оо J Я^+оо J
-R,R]
/ f(x)dx + lim f(z)dz = 2iriy* Res f(z).
J R^ + oo J ^ z=Zk
(7.11)
Далее на Гд z = Ret(p, 0 < ip < n и
/(*)d*
f(Re^)iRe^d(p
о
Г M 1 Мтг
< / —Rd(p = — > 0 при Я ->• +oo.
о
Я
Следовательно,
lim
Я-^ + оо
/ /(г)Л
г = 0,
(7.12)
и из (7.11), (7.12) следует искомая формула (7.10).
Очевидно, что интеграл
-|-оо
/dx
1 + ж2
может быть вычислен данным способом:
-|-оо
/dx 1
= 27гг Res f(z) = 2ni— = 7Г,
1 + ж2 z=iJKJ 2г
где мы использовали (7.8).
Результат этот совпадает с традиционным способом вычисления
несобственного интеграла
/т
dx
arctgx|^
--[--]
2 L 2J

Глава 8
Сохранение
информации
при дискретизации
сигналов
8.1. Дискретизация сигнала
В силу своей природы человек не способен воспринимать
непрерывные сигналы. Поэтому для передачи сигнала нужно выделить
счетную (конечную) последовательность его фрагментов,
отделенных один от другого во времени интервалом Тд, называемым
периодом дискретизации.
На языке математики это означает, что вместо сигнала s(t)
передается дискретный сигнал вида
оо
в.(0 = 5>(«Ж*-"Тд), (8.1)
п=0
где
'(') = \0, *#0,
99

100 Глава 8. СОХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ...
оо
/
f(t)S(t - a)dt = /(о)
- знаменитая ^-функция Дирака .
Возникает вопрос: не будет ли утеряна информация при замене
непрерывного сигнала дискретным сигналом вида (8.1). Ниже
будет установлено неравенство, связывающее время дискретизации и
верхнюю границу для частоты непрерывного сигнала,
гарантирующее восстановление информации при передаче дискретного сигнала
2
вместо непрерывного .
Полагая
оо
*гд(*) = 5>(«-пТд),
п=0
перепишем (8.1) в виде
s4t) = s(t)5TA(t). (8.2)
Воспользуемся формулой (6.8) для преобразования Лапласа
с+гоо
C[slS2](z) = ±- J C[ai](QC[82](z-0dC, (8.3)
с — гоо
где
оо
C[ai](z)= f Sl(t)e-Ztdt,
ОО
C[s2](z) = J
S2(t)e z dt.
о
Здесь действительное число с выбирается так, чтобы прямая
интегрирования в интеграле (8.3) лежала правее особых точек функций
C[Sl](z) n£[s2](z) (рис.8.1).
Имеем
£[я.](г)= f s(t)5Tfi(t)e-ztdt ■
1 Впервые эту функцию ввел в математику еще в XIX веке английский
физик и инженер Хэвисайд.
2Для вывода неравенства воспроизведем вычисления, в кратком виде
приведенные в [22, с.148-151].

8.1. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛА
101
оо
оо »
-к,— П ^
s(£)£(* - пТд)е **<Й :
= £в(пТд)е-"> ТД.
3.4)
Далее, используя свойства ^-функции и формулу для суммы
геометрической прогрессии, получаем
/оо
£*(*-пТд)е-г*(Й =
-к,— П
оо
оо « оо 1
£/*(*- пТд)е-'Л = £ е"*"7* = 7—Ьтд-
Объединяя формулы (8.2)-(8.5), находим
^ с+гоо
оо ^
C[s](Q
-Тд(г-С)
(8.5)
dC. (8.6)
Полюсы lm С
1 V
Интеграл в правой части формулы (8.6) вычислим с помощью
теории вычетов.
Особые точки функции
Х{С) ~ 1 _ е-гд(,-о' С€(Е'
состоят из особых точек
функции £[s](£), расположенных
левее прямой Re £ = с и
особых точек функции w(£) =
1/(1 - е"тД(г_с)). Особые
точки последней получаются
передвижением на (вектор) z
особых точек функции и(£) =
1/(1 — еТд^). В зависимости от значения (вектора) z эти особые
точки будут лежать либо правее прямой Re £ = с, либо левее (рис.8.1).
Таким образом, для особых точек (& функции имеем формулу
Рис. 8.1: Выбор числа с в (8.3).
-TA(z - С/с) = 2кт.
(8.7)

102 Глава 8. СОХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ...
Если Гд = [с - Ж, с + iR] U Сд, где Cr = {( е (Г : |С - с\ =
R &Re С > с} ((рис.8.1), то
(с+т \
J + J\x(()d( = 27riJ2 ItesX(C),
и, следовательно,
с+гоо с+гД
2ттг
^ / Х(СК = ^ lim / X(C)d( --
7гг J 27гг я-^+оо J
: — гоо c — iR
J2 ResX(C)--^ lim /Х(СК-
(8.8)
Предположим, что сигнал таков, что
lim / X(()d( = 0. (8.9)
R—)- + оо J
Тогда из (8.6),(8.8), (8.9) получаем
с+гоо
2т J ь <=<*
.10)
Нам нужно учесть только особые точки функции w(Q = 1/(1 —
е- д(г-С)^ которые, и только они, могут попадать вовнутрь кривой
Гд. Эти особые точки являются простыми полюсами. В самом деле,
с учетом (8.7)
lim (С - С*МС) = lim С " Ск
= lim „f~C* „ = lim C~Ck
c-»-a 1 - е-тд(2-Сь)етд(с"а) c-»-a 1 - eTfl(c"Cfc)
= lim ^^ =
ы„ ~(тду(с-с^

8.2. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
103
lim
-(с-а)
(с-а)
L j=2 J' J
Поэтому в силу теоремы 5.4 (& - простые полюсы. Тогда по
формуле (7.5) для вычисления вычета в случае простого полюса
C[s](Ck
_ C[8](Ck) _
Й/(С) - (1 _ е-Тд^-О)' к=(к ~ Где--Д(^)
C[s](Ck
1 -,г -. , lit , .ч
■*д ^д ^д
где мы воспользовались формулой (8.7).
Поэтому на основании (8.10)
1 °° 9тг
.11)
8.2. Спектр дискретизированного
сигнала. Теорема Котельникова
Перейдем в (8.11) от преобразования Лапласа к преобразованию
Фурье, используя формулу (6.10). В результате получим спектр
дискретизированного сигнала
&м
1 °°
2тгп
5.12)
где
-|-оо
5*(CJ) = / S*
(t)e~luJtdt, S(u>) = f s{t)e~luJtdt.
Формула (8.12) говорит, что спектр для дискретизированного
сигнала получается из спектра непрерывного сигнала
суммированием его смещенных спектров S[u + (2тг/Тд)к].

104 Глава 8. СОХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ...
Рис. 8.2: Спектр 5*(о;) как сумма смещенных спектров S[uj + (27г/Тд)/с]
непрерывного сигнала [22, с.151].

8.2. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
105
Пусть непрерывный сигнал s(t) имеет ограниченный по частоте
спектр S(u), т.е он нулевой вне некоторого отрезка частот [—uuo^uuo]
(рис. 8.2,а)).
В
Ф(ю)
зависимости от периода
дискретизации Тд смещенные спектры могут
не пересекаться (рис. 8.2,Ь)), примыкать
(рис. 8.2,с)) или перекрываться (рис.
8.2,(1)).
Однако для успешного
восстановления спектра S(u) по S*(u) необходимо,
чтобы реализовались ситуации,
изображенные на рис.8.2, Ь) и с). При этом
очевидно, что в случае, изображенном на
рис. 8.2, d), восстановление спектра
после дискретизации становится
невозможным. Сказанное приводит к необходимости наложить ограничение
на период дискретизации в форме неравенства
-сол
сол
Рис. 8.3: Спектр
идеального фильтра.
2тг
- UJQ > CJo,
или справедлива
Теорема 8.1 (Котельников). Для восстановления информации о
спектре непрерывного сигнала при его дискретизации должно
выполняться следующее неравенство:
Тд<
CJ0
.12)
При выполнении условия (8.12) восстановить спектр S(cj) по
спектру 5* (cj) можно. В идеале для этого надо воспользоваться
процедурой фильтрации с помощью, например, фильтра вида, данного
на рис.8.3:
5(cj) = 5*(cj)0(cj). (8.13)
На рис. 8.2,Ь) фильтр <P(cj) изображен пунктиром. Операция (8.13)
приводит к ситуации, данной на рис. 8.2,а), т.е. к восстановлению
спектра S(u).

106 Глава 8. СОХРАНЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ...
8.3. Ряд Котельникова
Применим к (8.13) обратное преобразование Фурье
s(t) = ^"Ч&фко =
)-оо / +оо
— oo — oo \—oo /
+ oo / +oo \ +oo
= h f \ f ф^уш{1~1')(1и) s*(tfw = f s*(t')$(t-t')dt'
— oo
Поскольку
Ф(0 = 11 фм«^ = ij ^
-oo \— oo
+<^o
Чш
1 e^ot_e-iu0t s[nUot
2тг it
то из (8.14), (8.15) получаем
s(t) = J **(0 —
— oo
Подставляя сюда (8.1), имеем
Trf
uoft^ltf.
(t - V)
+ oo
= £ в("2д)
sin wo (t — пТд)
<t - пТд)
Итак,
s(t) = f2 ФТД)
smuuo(t — пТд)
At - пгд)
14)
.15)
3.16)
Ряд (8.16) называется рядом Котельникова. Формула (8.16) бы-

8.3. РЯД КОТЕЛЬНИКОВА
107
ла найдена В.А.Котельниковым в 1933 году.
Ряд Котельникова говорит о том, что для установления
значения сигнала s(t) с ограниченным по частоте спектром в момент
времени t необходимо знать его значения не только в
предшествующие моменту t дискретные отсчеты пТд < £, но и все последующие!
Иначе говоря, нужно уметь заглядывать в будущее. Поэтому
считается, что «практически реализовать точное восстановление сигнала
с помощью ряда Котельникова невозможно» [17, с.49]. Но кто
знает, может быть, формула Котельникова для своего понимания
требует нового уровня знаний о пространственно-временной структуре
окружающего нас реального мира, а точнее, новых знаний о
восприятии этого мира мыслящим существом, для которого нет различия
между прошлым, настоящим и будущим [16] .

Глава 9
Замечательные
комплексные функции
9.1. (^-функция Римана
и простые числа
9.1.1. Распределения простых чисел
Пусть 7г : IN —»■ IN функция, значение которой 7г(п) равно
количеству простых чисел, не превосходящих числа п. Эта функция
называется функцией распределения простых чисел.
Известен асимптотический закон распределения простых
чисел, записываемый в виде формулы
(9.1)
7г(п) ~
lim
п
log п'
- = 1.
п—юо log П
108

9.1. С-ФУНКЦИЯ РИМАНА...
109
Рассмотрим комплексную функцию С (г), являющуюся суммой ряда
71 = 1
где z = х + iy. Функция £(z) называется дзета-функцией Римана.
Теорема 9.1. Функция £(z) является мероморфной функцией при
Re z > 0 и имеет простой полюс в точке z = 1 с Res £(z) = 1.
z = \
Доказательство см. в [34, с. 144].
Теорема 9.2 (Адамар - Валле-Пуссен). Если у ф 0; то
C(l + iy) ф 0.
Доказательство см. в [34, с. 166].
Следующая теорема устанавливает удивительную связь между
простыми числами и дзета-функцией Римана.
Теорема 9.3. Асимптотический закон распределения простых
чисел (9.1) эквивалентен утверждению
у ф 0 => С(1 + iy) Ф О-
Доказательство см. в [34, гл.XI, §3.].
9.1.2. Гипотеза Римана
Гипотеза, сформулированная Риманом, гласит:
Все нули (^-функции, т.е. комплексные числа z такие,
что £(z) = 0 лежат на прямой Re z = |.
В настоящее время не найдено доказательство для данного
у тверждения.

110 Глава 9. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
9.2. L-функция Дирихле
Пусть т > 2 - целое число. Комплекснозначная функция % : Z ^-(Е
называется характером (Дирихле) по модулю т, если выполнены
условия:
1) х периодична с периодом т, т.е. х(п + т) = x(n), nGZ;
2) хМО = х(п)х(*0;
3) х(п) / 0 Для (п^т) = 1, т.е. для чисел п взаимно простых с
т.
Главный характер xi ~ это такой характер, что Xi(n) = 1 Для
всех п, (п, т) = 1.
Сумма ряда
(9.3)
называется L-функцией Дирихле. Очевидно, что L(z,xi) = С(^)-
Теорема 9.4. Функция L(z,x), х / Хъ является аналитической в
области Re z > 1 и может быть аналитически продолжена на(£.
Доказательство см. в [34, с.153,159].
9.2.1. Расширенная гипотеза Римана
Расширенная гипотеза Римана утверждает:
все нули L-функции Дирихле, расположенные в полосе
0 < Re z < 1, лежат на прямой Re z = |.
Доказательства этой гипотезы, как и ее простейшего варианта,
- гипотезы Римана - не существует.
9.2.2. Криптография, криптоанализ
и расширенная гипотеза Римана
Криптография - наука о шифрах и шифровании информации.
Раскрытием шифров, дешифровкой сообщений занимается
криптоанализ.

9.2. L-ФУНКЦИЯ ДИРИХЛЕ
111
Важнейшая информация, хранимая на компьютерах или
передаваемая пользователями по сетям и в Интернет посредством
различных протоколов или электронной почты, как правило,
шифруется.
Для шифрования используются различные методы. Сегодня в
основном используются теоретико-числовые методы шифрования
информации. Иначе говоря, привлекаются достижения
математической науки, называемой теорией чисел. К примеру, известный
метод шифрования RSA для осуществления шифровки сообщения
задания требует задания двух больших простых чисел, число
десятичных знаков в которых должно быть не менее 100 [1, с.316]. Это
обеспечивает стойкость системы RSA, т.е не дает возможности Еве1
(противнику) взломать зашифрованное сообщение. Для
дешифровки сообщения, зашифрованного с помощью системы RSA,
необходимо найти два таких простых числа р и д, для которых pq = m,
где т - число, которое не скрывается ни Бобом, ни Алисой.
Как видим, криптология - наука о шифровании - нуждается
в разработке алгоритмов, которые находят нужные для
конкретной криптосистемы целые числа. При этом требуется оценка числа
арифметических операций 2, которые будут произведены для
шифровки сообщения. Более того, важно уметь оценивать стойкость
шифра, а для этого необходимо знать, сколько арифметических
операций необходимо совершить, чтобы взломать шифр.
Очевидно, что шифровка должна осуществляться как можно
быстрее с точки зрения затрат машинного времени, и на взлом
шифра противник не должен иметь никаких шансов. Последнее
решается, если на взлом необходимо затрачивать годы или
десятилетия.
Приведем некоторые результаты, касающиеся сложности
алгоритмов теории чисел, тесно связанные с расширенной гипотезой
Римана:
1. (Алгоритм Миллера). Если справедлива расширенная
гипотеза Римана, то для проверки того, что число п составное,
1Ева в криптографии - субъект, перехватывающий сообщения,
передаваемые друг другу Бобом и Алисой.
2 Сложность алгоритмов теории чисел измеряют в количестве
арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с
остатком), необходимых для выполнения всех действий, предписанных
алгоритмом [41, с.91].

112 Глава 9. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
необходимо 0(1п3п) операций 3 [41, с.98].
2. (Алгоритм Адлемана-Ленстры). Оценка 0(k(\nn)clnlnlnn)
сложности алгоритма проверки простоты числа п может быть
получена в предположении справедливости расширенной
гипотезы Римана [41, с. 107].
3. Если справедлива расширенная гипотеза Римана, то
наименьшее простое число, получаемое посредством арифметической
прогрессии 2sk + 1, к = 1, 2, 3,..., не превосходит c(s)s2+£ при
любом положительном е [41, с. 101].
9.3. S-функция Дирака
Знаменитая «^-функция 4 изобретена не математиками. Ее открыл
впервые, видимо, Оливер Хевисайд, но широкое и почти всеобщее
признание у физиков и техников она получила после того, как ее
ввел в практику Поль Дирак без ссылки на своего
соотечественника Хевисайда. Математики же признали ее право на
существование лишь как функционала, сопоставляющего функции ее значение
в нуле. Появилась большая и глубокая теория обобщенных
функций. При изложении же классического математического анализа S-
функция (равная нулю всюду за исключением точки ноль, где она
равна +оо, причем площадь под графиком этой функции считается
равной единице), - обычно игнорируется. Вполне понятна
антипатия, которую питали к подобной «функции» классические
математики. Например, мое поколение математиков и физиков выросло на
учебниках В.И.Смирнова и Г.М.Фихтенгольца, где ^-функция даже
не упоминается.
Однако возможен совсем иной подход к ней. Как мы все
знаем, часто, пока остаешься в вещественной области, истинная
математическая природа какого-либо явления остается скрытой.
Классическим примером служит сходство свойств тригонометрических
и гиперболических функций. На комплексной плоскости все сразу
становится просто и ясно: фактически это одни и те же функции,
записанные в несколько измененной системе координат.
3Для сложения двух n-разрядных чисел требуется 0(п) битовых
операций.
4 С ^-функцией мы встречались в §8.1 ив примере 6.2.

9.4. ОЛИВЕР ХЕВИСАЙД
113
Аналогичное явление обнаруживается и с ^-функцией. Если ее
определить на комплексной плоскости для аналитической функции
f(z) формулой
№ = f f(Q6(C - z)dC, z€D,
г
для контура Г, лежащего в области D аналитичности функции f(z)
и обходящего точку z, то очевидно5
и никакой таинственности или парадоксальности в ней нет. Свой
противоестественный вид она приобретает при попытке согнать ее с
комплексной плоскости на вещественную ось, при этом появляются
всем хорошо известные аппроксимации ^-функции в виде узкого
языка или вытянутого колокола» [19].
9.4. Оливер Хевисайд
Хевисайд Оливер (Heaviside,
Oliver) (18.05.1850 - 3.02.1925), -
английский физик и математик.
Родился 18 мая 1850 г. в Лондоне. Не
имел университетского образования.
Работал в телеграфной компании в
Ньюкасле, в 1874 г. был вынужден
оставить работу из-за
прогрессирующей глухоты. Научные исследования
проводил в собственной
лаборатории. Основные физические работы
посвящены электромагнетизму и Рис. 9.1: О. Хевисайд
математической физике. В 1892 г.
занялся теоретическими аспектами проблем телеграфии и передачи
электрических сигналов.
Хевисайду принадлежит приоритет в следующих научных
открытиях:
• создание векторного анализа;
• создание операционного исчисления (теория преобразований
Лапласа);
5Следует из формулы (4.7).

114 Глава 9. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ
• упрощение 20 уравнений Максвелла с 20 переменными и
сведение их к двум уравнениям с двумя переменными -
векторами электрического и магнитного поля. Независимо это
проделал и Герц. В течение ряда лет уравнения электродинамики в
новой форме назывались уравнениями Герца-Хевисайда,
молодой Эйнштейн называл их уравнениями Максвелла-Герца,
а сегодня эти уравнения носят имя только Максвелла;
• в 1890 году, за пятнадцать лет до Эйнштейна, Хевисайд
получил знаменитую формулу Е = тс2]
• предсказал наличие особого слоя озона у атмосферы
(ионосферы); благодаря этому возможна сверхдальняя радиосвязь;
• предсказание в 1895 году излучения Вавилова-Черенкова.
Последнему в 1958 г. была присуждена Нобелевская премия
(вместе еще с двумя советскими теоретиками И.Е. Таммом
и И.М. Франком);
• ввел в физику ^-функцию (Дирака);
• на тридцать лет раньше Дирака обосновал магнитный моно-
поль.
В 1891 г. Оливер Хевисайд был избран членом Королевского
общества, но ничего не сделал для того, чтобы приехать в Лондон
для «прохождения формальностей». Вместо этого он написал
следующие строки:
Но чтобы все оформить без изъяна,
Три фунта нам внеси из своего кармана
И в город приезжай, и вот таким путем
Тебя мы к Обществу допустим и причтем.
А если этого ты делать не же лаешь,
То к нам не поступай, а поступай, как знаешь.
В этом поступке проявилось отношение Хевисайда к всякого
рода званиям. К примеру, свои письма он подписывал странными
буквами W.O.R.M. - «червяк» по-английски. Такую подпись можно
понять, если учесть, что в то время англичанин ниже своей подписи
всегда в сокращенном виде перечислял свои чины и звания: М.Р.
(Member of Parlament), F.R.S. (Fellow of The Royal Society) и т.д.
Хевисайд пользовался большим уважением среди ученых своего
времени, но сейчас его имя почти забыто [4].

Глава 10
Квантовая
информатика
10.1. Принципы построения
компьютера
В 1946 году Джон фон Нейман (1903-1957) вместе с Г.Гольдстейном
и А.Берксом написал и выпустил отчет «Предварительное
обсуждение логической конструкции электронной вычислительной
машины».
Согласно фон Нейману, ЭВМ состоит из следующих основных
блоков:
1. Устройства ввода/вывода информации.
2. Памяти компьютера.
3. Процессора, состоящего из устройства управления (УУ) и
арифметико-логического устройства (АЛУ).
Машины, построенные на этих принципах, называются фон-
неймановскими. Практически все ЭВМ, которыми мы сейчас
пользуемся, работают на этих принципах.
В упомянутом отчете были изложены также следующие общие
принципы работы ЭВМ х:
1В изложении Corwin, http://www.ykt.ru/review/101100/index.htm.
115

116 Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
1. Принцип двоичного кодирования. Вся информация,
поступающая в ЭВМ, кодируется с помощью двоичных
сигналов, т.е. сигналов, имеющих только два состояния - 0 и 1.
2. Принцип программного управления. Программа состоит
из набора команд, которые выполняются процессором
автоматически друг за другом в определенной
последовательности.
3. Принцип однородности памяти. Программы и данные
хранятся в одной и той же памяти. Поэтому ЭВМ не
различает, что хранится в данной ячейке памяти - число, текст
или команда. Над командами можно выполнять такие же
действия, как и над данными.
4. Принцип адресности. Структурно основная память
состоит из пронумерованных ячеек; процессору в произвольный
момент времени доступна любая ячейка.
Появляется возможность давать имена областям памяти так,
чтобы к запомненным в них значениям можно было бы
впоследствии обращаться или менять их в процессе выполнения
программы с использованием присвоенных имен.
10.2. Логические элементы
Из чего состоит процессор классического компьютера? Например,
из схем, собранных из логических элементов. «Логический элемент
- это простейшее устройство ЭВМ, выполняющее одну
определенную логическую операцию над входными сигналами согласно
правилам алгебры логики. Для логических элементов независимо от их
физической реализации приняты дискретные значения входных и
выходных сигналов; обычно это два уровня, которые условно
принимаются за 0 и 1.
Широко распространены логические элементы из сочетаний
элементов - «НЕ-И», «НЕ-ИЛИ». Логические элементы являются
основными элементами для построения логических цепей
компьютеров. Совокупность логических элементов образует логическую
структуру блока, узла, устройства машины» [5].
На рис. 10.1 изображен логический элемент «НЕ», который
переводит 0 в 1 и 1 в 0.

10.2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
117
Рис. 10.1: Логический элемент «НЕ»
Логические элементы - это технические устройства,
реализующие некоторые логические операции классической логики. Так,
элемент «НЕ» соответствует операции -i, элемент «ИЛИ» -
операции V и т.д.
10.2.1. Неклассический элемент \/НЁ
Убедимся, что, оставаясь в рамках действительного анализа, нельзя
построить логический элемент «уНЕ» такой, для которого
/НЕ • VHE = НЕ.
(10.1)
Если бы формула (10.1) была справедлива, то соответствующая
техническая схема имела вид, данный на рис. 10.2
0
VhE
Л. «^ /"N
c/No
~4-r—> ЛмГ"
0
1
\[Ш
r\ * о
c/No
SbJ Г KJ—
0
Рис. 10.2: Два элемента v/HE дают элемент «НЕ» [42].
Предположим для большей общности, что переходы 0 —>• 0, 0 —>•
1,1 —>- 0,1 —>- 1 для элемента вида 10.3, к которому принадлежит
2 При написании этого параграфа использовалась статья Д.Дойча и
соавторов [42].

118
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
и элемент л/НЕ, могут быть не только строго заданными,
детерминистскими, но и вероятностными, т.е. происходить с той или иной
вероятностью poo,Poi,Pio,Pii соответственно. Для
детерминистского элемента НЕ очевидно, что роо = 0,рп = 0,poi = 1,Рю = 1-
Рис. 10.3: Логический элемент с вероятностями pij переходов г —>■ j [42].
Тогда для схемы 10.2 имеем в соответствии с правилами теории
вероятностей
PooPoo + Р01Р10 = 0, рцрц -\-pioPoi = 0, (10.2)
PooPoi -\-poiPn = 1, рирю -\~PioPoo = 1. (10.3)
Поскольку вероятности всегда неотрицательны, то из первых двух
равенств (10.2) получаем: роороо = 0,poipio = 0,pnpn = 0,piopoi =
0. Отсюда следует, что роо = 0,рц = 0 и poi = 0 Vpio = 0.
Равенства (10.3) в таком случае сводятся к 0 = 1. Другими
словами, схема (10.1) нереализуема в предположении о
неотрицательности чисел р^. Следовательно, необходимо либо допустить, что
существуют отрицательные вероятности, но это было бы слишком
радикально, либо сохранить теорию вероятностей в неизменном
виде, но отказаться от мысли, что числа pij являются вероятностями
переходов между состояниями 0 и 1.
10.2.2. Квантовые логические элементы —
гейты
Выход подсказывает квантовая механика, где кроме понятия
«вероятность» существует понятие «амплитуда вероятности»! Под
амплитудой вероятности перехода i —> j физики подразумевают
комплексное число Cij, квадрат модуля которого \cij |2 дает вероятность
перехода р^, т.е.
Ру = |су|2. (Ю.4)

10.2. ЛОГИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
119
Таким образом, если на рис. 10.3 заменить рц на комплексные числа
Cij, то вместо уравнений (10.2), (10.3) следует рассмотреть
уравнения
Р(0 ->• 0) = |сооСоо + coiCio|2
Р(1 ->• 1) = |сцсц +cioc0i|2
Р(0 ->• 1) = Icoocoi +coiCn|2
Р(1 ->• 0) = |сцсю + сюСоо|2
Эти уравнения имеют, например, следующее решение: соо = сп =
г/л/2,с01 = с10 = 1/у/2.
Итак, комплексные числа открывают новые возможности в
конструировании ранее неизвестных логических элементов для
компьютеров. Однако эти логические элементы не являются уже
классическими, и для их создания нужно привлекать уже не
классическую механику, а квантовую. Поэтому компьютер на новых
логических элементах будет использовать в своей работе принципы
квантовой механики, и называть его следуют квантовым
компьютером.
10.2.3. Квантовые параллельные
вычисления
Решение соо = сц = г/л/2, coi = сю = 1/л/2 уравнения (10.5) не
является единственным. Можно рассмотреть следующее решение:
с'00 = c'n = iy/2,c'01 = eia/y/2,c'10 = e~ia/^.
Иначе говоря, мы можем у амплитуд вероятности менять
аргумент или, как говорят физики, фазу, и это не отражается, как мы
видим, на вероятностях изучаемых переходов, связанных со схемой
(10.1).
Произвольность фазы у амплитуды вероятности, т.е.
возможность умножения амплитуды вероятности на произвольный
фазовый множитель вида ега, обусловлена формулой (10.4), поскольку,
как из нее следует, замена сц на с^ега не отражается на
вероятности перехода г —»■ j.
Однако на языке квантовой механики изменение фазы может
привести к явлению интерференции3, и это имеет важные
последствия для квантовых вычислений. Ведь именно выбор конкретных
3Подробнее об интерференции рассказано ниже в §10.3.2 (Принцип 2).
о,
о,
1,
1.
(10.5)

120
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
значений фаз для двух различных путей 0->0^0и0ч1ч0
прохождения сигнала на схеме, изображенной на рис. 10.2, из 0 в 1
дает для них
соосоо
л/2л/2
coicio
J_J_
л/2 л/2
1
2'
что приводит к суммарному эффекту «сложения» двух путей -
Р(0 -► 0) = 0.
Дойч продемонстрировал, что учет квантовой интерференции
приводит к существенному уменьшению числа вычислений,
которые необходимо проделать при решении задач на компьютере.
Приведем пример сокращения вычислений за счет интерференции [42],
принадлежащий Дойчу.
Рассмотрим отображения вида / : {0,1} —»■ {0,1}. Существует
ровно четыре различных отображений данного вида. Два из них
назовем постоянными: для одного /(0) = /(1) = 0, для второго -
/(0) = /(1) = 1. Предположим, что дается возможность
произвести только одно вычисление для того, чтобы убедиться, является
ли данная функция / постоянной. С точки зрения классических
вычислений, одного вычисления мало! Нужно сделать два
вычисления: вычислить /(0) и /(1).
На рис. 10.4 приводится схема, состоящая их двух элементов
л/НЕ, и элемента, меняющего фазу.
\[нЁ
LJo2Sbf
f
И—°-i^rh
(-1)
\ГЙЁ
Рис. 10.4: Схема решения проблемы Дойча [42].
Вычисление 0 —>• 0 идет по двум путям через элемент /. При
верхнем пути амплитуда вероятности умножается на фазовый
множитель (—I)-* , в случае нижнего пути - на (—I)* ^.
Полная амплитуда вероятности складывается из амплитуд
вероятности каждого пути: г/л/2 х (—1)
/(о)
г/л/2 = -1/2 х (-1
,/(о)

10.3. «НАИВНАЯ» КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
121
и 1/л/2 х (-1)/(1) х 1/л/2 = 1/2 х (-1)/(1). Сумма равна
| ((-i)/(1)-(-i)/(0)) - (Ю.6)
Выражение (10.6) принимает значение 0 для постоянной функции
и значения ±1 для прочих. Соответственно вероятность перехода
0 —>- 0 равна 0 для постоянных функций и 1 для других.
Вычисление сделано в один шаг! Продемонстрированный
квантовый алгоритм вычисления показывает будущие возможности
квантовых компьютеров.
«Квантовые вычисления можно свести к «распараллеливанию»
одного алгоритма на множество субпроцессов, которые все
вычисляются одновременно» [8]. Однако получаемый на выходе результат
- это интерференция результатов параллельных вычислений
(субпроцессов) [6, с. 13]
10.3. «Наивная» квантовая механика
10.3.1. Состояния
Два различаемых уровня входных и выходных сигналов,
проходящих по цепям ЭВМ, и которые мы обозначали выше как 0 и 1, - это
некоторые простейшие состояния, наблюдаемые на входе и выходе
любого логического элемента, или схемы, собранной из логических
элементов. Для них выше мы использовали обозначения - i,j.
Введем более изощренные обозначения и будем писать вместо г и j -
\i) и |г). Это все однобитовые состояния.
Состояния могут быть более сложными, m-битовыми, т.е.
являться набором т однобитовых состояний
|ж> = \ij...k).
т
10.3.2. Принципы «наивной» квантовой
механики
Принцип 1. Переходу из состояния \х) в состояние \у)
соответствует амплитуда вероятности
Сху = (у\х),

122
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
являющаяся комплексным числом, квадрат модуля которого есть
вероятность перехода \х) —»■ \у):
Р(х^у) = \сху\2 = \(у\х)\2.
Принцип 2. Если переход из состояния \х) в состояние \у)
возможен по двум различным путям 1 и 2, то
(у\х) = (у\х) через 1 через 2-
(10.7)
В частности, если пути 1 и 2 связаны с «промежуточными»
состояниями |1) и |2) соответственно, то формулу (10.7) можно
переписать в виде
<у|*) = <у|1)<1|*> + <1/|2><2|*>. (Ю.8)
Принцип 2 имеет важное следствие, которое означает, что
вероятность Рху перехода \х) —»■ \у) в общем случае не равна сумме
вероятностей Рху(1) + Рху(2) переходов
\х) ^, \у), \х) ^, \у),
через 1 через 2
поскольку
Рху = Рху(1) + Рху(2) + 2Яе[<г/Ичерез 1¥Йчерез 21- (10-9)
Последнее слагаемое в этой сумме
2Re[(y\x)
через
говорит о возможности явления интерференции двух путей
перехода из \х) в \у). Иначе говоря, с точки зрения квантовой
механики, происходит распараллеливание переходного процесса из одного
состояния в другое; мы не можем точно знать, по какому пути
совершается переход, и поэтому должны приучить себя к мысли, что
переход совершается по двум путям одновременно^, и это с
необходимостью отражено в итоговой формуле (10.9). Однако в итоговом
4 Один из ведущих специалистов по теории квантовых вычислений
Дойч считает, что в действительности сигнал проходит по одному пути,
по другому идет «теневой» сигнал из параллельной вселенной [13].

10.3. «НАИВНАЯ» КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 123
результате отражается вклад обоих путей. И как это ни
противоречит житейской интуиции, поддержанной постулатами классической
механики, высшая механика - это квантовая механика, и учет ее
постулатов необходим для понимания принципов работы квантовых
компьютеров и сути квантовых вычислений.
Обратим внимание на то, что изменение фаз амплитуд
вероятностей
(у\х) через 1 ~~^ е \У\х)через li \2/|ж/через 2 ~~^ е \2/|ж/через 2?
как мы знаем, не меняет вероятности переходов из ж в у по путям 1
или 2, но может изменить вклад интерференционного члена (10.10),
поскольку
2Re[(y\x)4epe3 1(2/|ж)через 2] -►
-► 2Яе[ег^-)(2/|Ж>через «через 2]-
Подбором разности фаз можно влиять на интерференционную
картину. Интерференция становится контролируемой. Поэтому в
теории квантовых вычислений можно говорить, что «результат
решения (задачи - А.Г.) проявляется вследствие контролируемой
интерференции множества вариантов вычислений» [31, с.98].
Самый общий вид формулы, выражающей сущность второго
принципа квантовой механики и учитывающей один
«промежуточный» этап набора возможных «базисных» состояний а = 1, 2,..., £;,
как нетрудно видеть, является следующим
ш = Е <2/И<«и- (ю-11)
a = l,2,...fc
а в случае двух последовательных «промежуточных» состояний
а = 1, 2,..., к и /3 = а, Ь,..., s на пути от состояния \х) к состоянию
\у) имеет вид
Ш= Е ШШШ. (10.12)
a = l,2,...fc
Уберем в правой и левой частях формулы (10.11) символ (у.
Как результат получаем формулу
|*>= Y, \<*)Ш- (юла)
a = l,2,...fc

124
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
Положив теперь, что са = (о:|ж), имеем разложение состояния \х)
по базисным состояниям:
\Х)= J2 с«и- (10-14)
a = l,2,...fc
Отметим при этом, что \са\ - это вероятность того, что, по сути
дела, сигнал ж, проходя по цепям ЭВМ, оказывается (и наблюдается)
в состоянии а.
Принцип 3. Изменение состояния \х) во времени задается
формулой
\x(t + At)) = U(t + At,t)\x(t)) =
= Yl U(t + At,t)\a){a\x(t)), (10.15)
a = l,2,...k
U(t,t) = I, (10.16)
где U(t + At,t) - преобразование, меняющее состояние \x(t)), I -
тождественное преобразование.
Применяя к U(t + At, t) формулу конечных разностей
U(t + At,t) = U(t,t)+dU^t+deiAt^At
и подставляя в (10.15), получаем
|х(* + Д*)>= ^ {1+дЩ' + °Ш)ы\\а)(а\ха)) =
а = 1,2,...к ^ '
= y, и<<*1*(*)> + Е du{t+d°At't)\<*)(<*\x№At =
а = 1,2,...к а = 1,2,...к
, /,чх v^ dU(t + 6At,t). w , /|ЧЧЛ|
Откуда
!*(« +At»-!*(*)) = ^ du(t + eAt,t)la){a]x{t)y
Устремляя At к 0, имеем
dl
а = 1,2,...к
*(*)> = E ^^\<*)(<*\x(t)). (10.17)
dV w/ ^ <9i
a = l,2,...fc

10.4. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР
125
Вводя обозначение
-llH\X{t))= J2 ^1^и<«1*(*)>.
а = 1,2,...к
где h = 1, 054 • 10_ Дж • сек - постоянная Планка, перепишем
уравнение (10.17) в виде
ih±\x(t)) = H\x(t)).
Это знаменитое уравнение Шрёдингера, являющееся основой
квантовой механики.
Принцип 4. Измерение состояния
\х)= Y1 с«и
а = 1,2,...к
- это вмешательство классического прибора, приводящее к тому,
что с вероятностью \са\2 будет наблюдаться лишь одно из
базовых состояний \а).
Иначе говоря, измерение означает переход
\х) = Y1 Са|а>—>|а>, (10.19)
a = l,2,...fc
называемый декогеренцией когерентного состояния \х).
Декогеренция - результат взаимодействия квантового
компьютера с внешней средой, разрушающей распараллеливание
квантовых вычислений. Следовательно, с декогеренцией на этапе
вычислений необходимо бороться. Но она необходима на этапе вывода
данных (см. ниже §10.5.3).
10.4. Квантовый компьютер
Компьютер - эта та физическая система, которой мы будем
интересоваться с точки зрения квантовой физики. Точнее, нас будет
интересовать организация вычислений на компьютере, состояния
которого в каждом такте (моменте дискретного времени) описываются
(10.18)

126
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
с помощью постулатов квантовой механики. Такие вычисления и
компьютер следует назвать квантовыми.
Прежде всего оказывается, что классический, т.е. привычный
нам компьютер, не может быть квантовым. Дело в том, что в
каждый момент времени его оперативная память всегда находится в
строго определенном состоянии, складывающемся из состояний,
составляющих ее ячеек . Каждый бит информации, соответствующий
состоянию компьютера (в частности конкретного регистра6) и
застывший в оперативной памяти компьютера на данном такте его
работы, имеет точное значение - 0 или 1. Состояние классического
компьютера (регистра) в момент времени t - это, например,
конкретная последовательность
01001011100011..„ (10.20)
т
Напротив, состояние квантового компьютера (регистра) в момент
времени t не является точно определенным и описывается линейной
комбинацией с комплексными коэффициентами m-битовых
состояний вида
\ф) = ci| 01001011100011...) + с2| 11001011100011...; + ..., (10.21)
т т
причем вероятность того, что компьютер (регистр) находится в
состоянии | 01001011100011...), равна |ci|2, вероятность нахождения в
п
состоянии 111001011100011...) равна |с2|2 и т.д. [11, с.36].
v
т
При этом по аналогии с классическим компьютером,
информация в котором кодируется битами, имеющими только два состояния
5 Оперативная память состоит из некоторого числа ячеек. Ячейка
оперативной памяти разбита на фиксированное число разрядов; каждый
разряд находится в состоянии 0 или 1. Часто в литературе ячейка
отождествляется с машинным словом. Машинное слово в компьютере - это
упорядоченный набор символов (цифр, букв и т. д.), хранящихся в ячейке
оперативной памяти и воспринимаемых при обработке устройствами
машины как единая кодовая группа (слово). Машинное слово служит
единицей информации.
6Регистр - часть памяти компьютера обычно ёмкостью в одно
машинное слово, предназначенная для запоминания (а иногда также и для
преобразования) кодов. Под кодом понимается условная система знаков
для представления информации в в компьютере.

10.4. КВАНТОВЫЙ КОМПЬЮТЕР
127
О и 1, информация в квантовом компьютере кодируется в так
называемых квантовых битах или кубитах7.
В силу сказанного m-битовые состояния (10.20) в случае
квантового компьютера следует называть т-кубитовыми.
Физической реализацией кубита может служить любая
двухуровневая (квантовомеханическая) система (спин, фотон, атом,
молекула, ион). К примеру, проекция спина атома (+1) принимается
для кубита за состояние 0, а проекция (-1) - за состояние 1.
Напомним, что физической реализацией классического бита может быть
значение потенциала в точке электронной схемы (ниже 5 вольт - 0,
выше - 1), или 1 - это наличие импульса тока, а 0 - его отсутствие.
Кубит в состоянии 0 обозначается как |0), а в состоянии 1
- |1). Соответственно, m-кубитовое базовое состояние имеет вид
|nin2...nm), rik = 0,1. Оно соответствует числу п = ^2кп=1Пк'2 (в
двоичной записи).
Квантовые вычисления отвечают законам эволюции состояний
\x(t)) квантовой механики и, следовательно, описываются
решениями уравнения Шрёдингера (10.18) с гамильтонианом Н,
отвечающему типу данного квантового алгоритма. Уравнение Шрёдингера
обратимо во времени, поэтому вычисления и не сопровождаются
потерей информации.
Конкретное квантовое вычисление имеет вид
\x(t + l)) = U\x(t)),
где U преобразование состояния \x(t)).
В соответствии с принципом 3 квантовой механики
U\x(t)) = Yl **U\a).
a = l,2,...fc
Поэтому применительно к состоянию вида (10.21) квантовое
вычисление принимает вид
Ц\ф) = aU\ 01001011100011...)+c2U\ 11001011100011...) + ... (10.22)
т т
Эта формула говорит о том, что на данном такте
происходит не только изменения конкретного m-кубитового состояния
7 Кубит= q(uantum)-6HT. Слово «кубит» (qubit) ввел в употребление
Бен Шумахер из Кеньон-колледжа (США) в 1995 году.

128
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
| 01001011100011...^), но параллельно и всех других, число которых
т
равно 2т. Причем делается это вычисление в один шаг!
Классическому компьютеру для изменения 2т т-битовых состояний
потребовалось гораздо большее число шагов вычислений.
Способность квантового компьютера обрабатывать
информацию параллельно колоссально ускоряет вычисления. «Например,
квантовый компьютер, оперирующий с 200 q-битами, может
достичь такого же эффекта при разложении 400-разрядного числа на
простые множители (это важная задача криптографии), как 2200
одновременных вычислений с классическими битами. Невозможно
представить себе обычный компьютер с таким количеством
процессоров. Специалисты говорят по этому поводу, что квантовый
компьютер может производить подобные вычисления экспоненциально
быстрее, чем лучшие из известных в настоящее время классических
алгоритмов».
«Квантовый компьютер заменил последовательный перебор
вариантов на единовременное измерение, которое даст результат,
недостижимый в принципе дедуктивными методами» [8].
10.5. Схема работы квантового
компьютера
Опишем последовательные этапы работы квантового компьютера,
реализующего квантовую программу вычисления значений
функции F(n), п = 0,..., 2т -1.
10.5.1. Ввод начальных данных
Дано базовое состояние регистра (памяти)
| 00.^3) = |0) 0 |0) 0 ... 0 |0). (10.23)
Квантовый регистр приводится в состояние
2m-l 2m-l
У^ Сп\п) = ^^ Сп\п1П2...Пт),

10.5. СХЕМА РАБОТЫ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА
129
= 2_^nfc + i2
п
k=0
Делается это с помощью последовательного применения к
состоянию (10.23) гейтов8 [7(1),[/(2),...,[/(m)
и{т)и{т-1)...и{1)\оо...о),
Uk = zd 0 ... 0 Ui 0 id 0 ... 0 id,
к
где гейт U\ действует на однокубитовое состояние.
Например, если
т\о) = -^(|о> + |i», ^|1> = -L(|o> - |i»,
г7('«)[/(™-1)...г7(1)|00...0) = -^= У" И- (Ю.24)
4—v^™^ л/2т ^^
т ™=°
(Здесь все т-кубитовые базовые состояние равновероятны).
Состояние (10.24) является начальным. Ввод информации
завершен.
10.5.2. Вычисление
Вычисление - это преобразование Uf начального состояния (10.24),
согласно принципу 3 квантовой механики,
/2m-l \ 2т-1
UF J2 С-Н = J2 cn\F(n)). (10.25)
\ п=0 ) п=0
В случае (10.24) имеем
и- (i 'ё11">) = тр '£'|F(n)>- (10-26)
\V^ п=0 ) V* п=0
8Гейт - квантовый аналог логического элемента. См. §10.2.2 и
принцип 3.

130
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
Конкретная реализация преобразования Uf представляет собой
запрограммированный квантовый алгоритм вычисления значений
функции F.
Как видно из формулы (10.25), в один шаг вычислены сразу
все значения функции F. Это эффект параллельности квантовых
вычислений.
10.5.3. Вывод результата
Вывод результата в квантовом компьютеринге - это измерение
квантового состояния (10.25). В силу принципа 4 квантовой
механики вмешательство измеряющего устройства (устройство вывода
данных) означает декогеренцию состояния (10.25). Мы получаем
значение F(n) лишь с вероятностью \сп\2.
В нашем примере (10.24) с равной вероятностью 1/2т любое
значение F(n)\
Получаемый на выходе результат вычислений вследствие деко-
геренции, т.е. в соответствии с принципом 4, как видим, носит
вероятностный характере. Иначе говоря, то, что получено на выходе,
- состояние (регистра) \а) - верно лишь с некоторой вероятностью
|са|2. «Наблюдение (части) памяти - не то же самое, что «печать
результата». Мы должны спланировать серию прогонов одной и той
же квантовой программы и последующую классическую обработку
наблюдаемых результатов, и мы можем только надеяться получить
же лаемый результат с вероятностью, близкой к единице» [26, с. 2 71].
10.6. Квантовая криптография
Современная криптография для шифрования информации
использует достижения теории чисел. Популярная криптосистема RSA
использует то, что для разложения числа на произведение двух
простых множителей необходимо проделать такой объем вычислений,
на который современному компьютеру потребуется время, за
которое интерес к расшифровке будет полностью утерян.
Возможно, что 10 бит хватит для реализации на квантовом
компьютере квантового кодирования Шумахера, представляющей
интерес для квантовой криптографии [11], а найденные Шором [38]
квантовые алгоритмы разложений числа на простые множители
и вычисления дискретного логарифма позволят раскрывать шифр
RSA.

10.7. ЮРИЙ МАНИН
131
10.7. Юрий Манин
Манин Юрий Иванович родился
16 феврапя 1937 г. в
Симферополе. Специалист в области
алгебраической геометрии и теории чисел.
Член-корреспондент РАН по
Отделению математики (математика) с 15
декабря 1990 г.
В 1980 г. Ю.И. Манин
указал на необходимость разработки
теории квантовых вычислительных
Рис. 10.5: Ю.И. Манин устройств [27].
10.8. Дэвид Дойч
Дэвид Дойч - английский
математик из Центра квантовых вычислений
Оксфордского университета.
Получил Премию и медаль
Дирака за 1998 год «...за пионерские
работы по квантовому вычислению,
приведшие к концепции квантового
компьютера, и за вклад в понимание
того, как такие устройства могут быть
построены из квантовых логических
элементов в квантовых сетях». рис. Ю.б: David Deutsch
Автор замечательной книги
«Структура реальности», в которой объединяет гипотезу
существования множества взаимодействующих параллельных вселенных
(Мультиверс) с теорией параллельных квантовых вычислений.
Из интервью Дойча: 9
«Как вы пришли к идее квантовых вычислений?
Размышляя над такими вопросами - скорее
философскими, чем физическими?
9Леонид Левкович-Маслюк. «Дэвид Дойч: «...все это, собственно, одно
и то же». См. сайт: http://www.computerra.ru/online/firstpage/hisi/6061/

132
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
- Представьте, да. Когда я впервые написал формулы,
математическое описание того, что мы сегодня называем квантовым
компьютером, я думал именно о модели множественных миров. А
точнее, о том, о чем вы только что спросили: как можно было бы
экспериментально проверить эту модель, оценить ее в сравнении
с другими интерпретациями. Вы знаете, что в квантовой теории
крайне важна роль наблюдателя, влияющего на события
микромира, которые он наблюдает. Не углубляясь сейчас в физику, я
просто скажу, что для моего гипотетического эксперимента мне было
необходимо ввести в картину квантово-механического наблюдателя.
Но как? Ведь мы слишком горячи и некогерентны для квантовых
эффектов. А вот как: давайте вообразим «искусственного
человека», такого, который может считаться наблюдателем, потому что
он обладает сознанием, подчиняется законам физики, может
делать эксперименты, - но, с другой стороны, такого, что его мозг
работает когерентным образом в смысле квантовой механики. Вот
это и была идея: пусть у нас есть программа искусственного
интеллекта, работающая на том, что мы сегодня назвали бы квантовым
компьютером, тогда можно написать программу для этого
компьютера (в сущности, я это и сделал в своей работе), которая бы
определила, происходит ли некое явление. И если оно не происходит, вы
убеждаетесь, что у вас есть множественные копии наблюдателя.
Я не публиковал это семь лет. Работа была сделана в 1977
году, еще до защиты диссертации. Я написал статью и послал ее в
«Physical Review», а они сказали: у нас правило - не печатать
статьи по интерпретациям квантовой механики. Ну, я и отложил ее
в сторону. Но когда мне говорили, что все интерпретации
множественных миров экспериментально непроверяемы, я давал этим
людям препринт той статьи. Некоторые его читали и соглашались со
мной».
10.9. Математические основы
квантовой механики
Для тех, кто желает ознакомиться с квантовой механикой на
более формальном уровне, ниже излагаются математические
основы квантовой механики, использующие аппарат гильбертовых
пространств и теории линейных операторов.

10.6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 133
10.9.1. Гильбертово пространство
Унитарное пространство - это векторное пространство il над
полем комплексных чисел (Е, снабженное скалярным произведением
( | ), удовлетворяющим следующим аксиомам:
1) (ж|ж)>0; (х\х) = 0 <^> |ж> = 0;
2) (х\у) = Ш;
3) (ах+ by\z) =a(x\z)+ b(y,z), а,&£(Е.
Векторы пространства il мы обозначаем, следуя Дираку, как
\х),\у),...
С помощью скалярного произведения определяется норма \\ \х)\\
вектора \х):
II ИИ = у/Ш-
Пространство il называется полным, если всякая
последовательность Коши {|жп)} С il сходится, т.е.
lim || \хп) - \хт)\\ = 0 => 3\х)( lim \хп) = \х) ).
п,т—)-оо п—)-оо
Гильбертово пространство $) - это полное унитарное
пространство.
Размерность векторного пространства $) является
размерностью S) как гильбертова пространства и обозначается dimi}.
Размерность может быть конечной или бесконечной. В последнем
случае пишут dimi} = °о.
Пусть |ei), |
62/1 •••5 \&П ),... - базис пространства S). Тогда любой
вектор \х) £(Е может быть единственным образом разложен по
базисным векторам, т.е.
оо
И = 1>*Ы, (Ю.27)
k=l
где Ск Е(С - комплексные коэффициенты разложения.
Если базис ортонормированный, т.е. (cj\ek) = Sjk, то, умножая
скалярно (10.27) на \ej) найдем, что Cj = (ej\x). Следовательно,
(10.27) можно переписать в виде
оо
1*> = Х>*>Ыа:>. (10.28)
к = \

134
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
Формулы (10.27), (10.28) - это формулы (10.13), (10.14),
предложенные при «наивном» изложении квантовой механики.
10.9.2. Бра- и кет-векторы
Векторы пространства i}, записываемые в виде |ж), Дирак называл
кет-векторами.
Можно ввести векторы другого сорта - бра-векторы вида (х\.
Их также можно складывать, умножать на комплексные числа и
раскладывать по базисным векторам. Иначе говоря, это элементы
гильбертова пространства i}, но иной природы; они происходят от
линейных функционалов, задаваемых на пространстве $). Однако
благодаря теореме Рисса о представлении линейного функционала
в гильбертовом пространстве, линейные функционалы
отождествили с векторами, а в память об их славном прошлом им дали особую
форму записи (х\ и новое название - бра-векторы.
Связь между бра-вектором и кет-вектором выражается в том,
что, будучи написанные рядом (бра-вектор воздействует на кет-
вектор), они представляют скалярное произведение. Другими
словами,
(у\\х) = (у\х)
- это скалярное произведение кет-вектора \у) на кет-вектор \х).
Более того, если дан кет-вектор |ж), разложенный по базису в
виде (10.27), то ему однозначно отвечает бра-вектор (г/|, который
раскладывается по базису бра-векторов (ei|, (в21, •••
оо
<У| = 1>*<е*|. (Ю.29)
fc=i
Имеем
оо оо оо
(У\х) = ^Cj{ej\ -J2Ck\ek) = Y1 Чск(ез\ек) =
j = l k = l j,k = l
oo oo oo
= 22 CjCkSjk = 2^CkCk = 22 lCfc|2
j,k = l fc = l fc = l
в предположении двойственности базисов {(е^Ц и {|efc)}5 т.е. при
условии
(ej\ek) = Sjk.

10.6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 135
По аналогии с (10.28) находим Ск = {у\^к) и
оо
(у\ = J2(y\ek)(ek\-
к = 1
Если теперь взять кет-вектор
оо
\х) = ^\£к){ек\х),
к=1
то из (10.30) и (10.31) получаем
(10.30)
(10.31)
(10.32)
Эта формула имеет замечательную трактовку в рамках
квантовой механики, о чем говорилось выше в §10.3.2 (Принцип 2,
формула (10.11)).
10.9.3. Линейные операторы
Линейным оператором в пространстве $) называется отображение
А : $) —»> $) такое, что
А(а\х) + Ъ\х)) = аА(\х)) + ЪА(\х)), a,bG(C.
Для линейного оператора вместо А(|ж)) пишут А\х). Далее мы
будем рассматривать только линейные операторы, поэтому слово
«линейный» будем опускать.
Оператор А называется эрмитовым, если
(Ах\х) = (х\Ах).
Теорема 10.1. Собственное число А эрмитова оператора А, т.е.
число, удовлетворяющее уравнению
А\х) = А|ж),
(10.33)
является действительным.

136
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
Вектор \х) в уравнении (10.33) называется собственным.
Оператор U - унитарный, если
(Ux\Ux) = (х\х).
Теорема 10.2. Если А эрмитовый оператор, то оператор
к=0
является унитарным.
10.9.4. Постулаты квантовой механики
Согласно современным воззрениям физиков, окружающий нас мир
должен описываться и пониматься в рамках законов квантовой
механики. Эта механика в 20-е годы XX века пришла на смену
классической механике, созданной в XVII-XVIII веках усилиями Галилея
и Ньютона.
Существует несколько различных способов изложения основ
квантовой механики. Однако применительно к теории квантовых
вычислений и квантовых компьютеров более приемлемым кажется
язык Поля Дирака [12].
Квантовая механика изучает физическую систему, которая в
данный момент времени может находиться в некотором состоянии
\х) из множества $) всех (допустимых) возможных состояний.
Физические параметры, которые имеет физическая система и которые
могут быть измерены в результате некоторого наблюдения А - это
действительные числа, являющиеся собственными числами
некоторого эрмитового оператора А.
Постулат 1. Мноэюество состояний физической системы
образует гильбертово пространство $).
Постулат 2. Вектор состояния физической системы \^{t))
подчиняется уравнению Шрёдингера
ihjt№)) = H\m), (ю-34)
где Н - гамильтониан, - эрмитовый оператор, характеризуюгций
изучаемую физическую систему, а П = 1, 054-10"34Да/с • сек -
постоянная Планка.

10.6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 137
Эволюция физической системы, т.е. принимаемые ею состояния
в будущем, как следует из уравнения (10.34), может быть выражена
в следующем виде10
№)) = иш(о)),
где
U(t) = e~iEt
- унитарный оператор эволюции.
Постулат 3. Наблюдаемая величина А- эрмитов оператор А.
Постулат 4. Если \фг), |^г), •••, \фп), ••• - собственные векторы
наблюдаемой величины А, образующие базис пространства
состояний $), и
оо
\ф) = ^ск\фк), (10.35)
k=l
то \ск\2 - вероятность того, что физическая система находится
в состоянии \фк)-
Комплексные числа Ск в разложении (10.35) называют
амплитудами вероятности.
Формула (10.35) говорит о том, что система может находиться
в данный момент времени t сразу во всех состояниях \фк)- Иначе
говоря, данное состояние системы \ф), называемое когерентным,
не является точно определенным; квантовая система - вещь в себе,
она не нуждается в самоопределении, уточнении своего состояния.
Постулат 5. Пусть физическая система описывается
соотношением (10.35). При измерении происходит выделение вполне
определенного состояния \фк0), в котором она будет наблюдаться
с вероятностью \ск0\2-
10Имеем цепочку формальных преобразований:
t
о
№(*)>= e-**«|V(0)>.
См. теорему 10.2.

138
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
Процедура, описанная постулатом 5, носит название коллапса
системы. Она составляет основное содержание так называемой
копенгагенской интерпретации квантовой механики. Такую
трактовку квантовой механики дали Бор, Гейзенберг и др. Поскольку
очевидно противоречие между «дискретным» характером коллапса и
непрерывным описанием ее эволюции, вытекающим из уравнения
Шрёдингера, то постулат 5 не является бесспорным. И хотя на
сегодня ее разделяют практически все физики, и в силу этого
только такая интерпретация исповедуется на лекция по квантовой
механике во всех университетах, ряд выдающихся физиков, а в их
числе и один из создателей теории квантовых вычислений Давид
Дойч, склонны придерживаться иной, эвереттовской
интерпретации квантовой механики [13, 39].
В точном определении состояния системы нуждается
Наблюдатель, т.е. человек, наблюдающий за системой. Для того, чтобы
узнать, каково состояние системы, производится измерение.
Запишем амплитуду вероятности в виде
Ск = \ск\егфк, фк = arg cfc.
Смысл |cfc|, а точнее \ск\ , был разъяснен выше. Фазы амплитуд
вероятностей, т.е. действительные числа фк-, описывают
интерференцию между различными состояниями физической системы,
которая говорит об особой квантовой связи между ними и
оказывается очень полезной при организации квантовых вычислений на
квантовых компьютерах. Но об этом уже говорилось.
10.9.5. Эвереттовская трактовка квантовой
механики
Под физической системой, о которой говорится в постулате 5,
можно понимать элементарные частицы материи. В таком случае
уравнение Шрёдингера и соотношение (10.35) описывают
парадоксальную ситуацию: «эти частицы почти волшебным образом
ОДНОВРЕМЕННО ПЕРЕЖИВАЮТ ВСЕ ВОЗМОЖНОСТИ
СОБЫТИИ. Упрощенно говоря, они и слева, и справа, и спереди, и сзади
одновременно! А если частицу, фигурально говоря, поставить на
острие иглы и дождаться, когда она оттуда свалится, то падение ее
по этим удивительным уравнениям произойдет во все стороны
сразу! В бесконечное количество сторон!! И эти уравнения - не бред.

10.6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 139
Они работают, и еще как работают: по ним рассчитали атомную
бомбу и миллионы других необходимых вещей. Но ведь есть
камеры Вильсона, электронные микроскопы, лазеры и прочие
устройства, которые позволяют проследить путь даже отдельно взятой
частицы. И никогда такого «беспредела» не происходит. Частица
каждый раз находится только в одном месте, падает только в одну
сторону и т.д.
Тут и заключен парадокс. Почему, пока никто не следит за
частицей, она живет по волшебным законам, а как только мы
начинаем ее отслеживать, она свое волшебство тотчас прячет? Ведь это
крохотная элементарная частица. У нее нет глаз, ушей, мозгов -
она никак не может определить, следит за ней сейчас кто-то или
нет! Но тем не менее она ведет себя так, словно знает это.
24-летний Эверетт, очевидно, уже в полной мере отличался тем
талантом мгновенных озарений, который непременно упоминают
все знавшие его люди. И, возможно, сам не вполне осознав масштаб
своего экспромта, он предложил концепцию, в которой
противоречия снимались. Концепцию, которая на следующий год развернется
в его диссертацию об основаниях квантовой механики и
обессмертит его имя.
Он предложил перестать искать глаза у микрочастиц или
ошибку в красивых и точных квантовых уравнениях <...>
Эверетт, как подобает американцу, всосавшему идеи
демократии с молоком матери, разрубил узел парадокса так: частица-то
действительно живет СРАЗУ ВО ВСЕХ ВОЗМОЖНОСТЯХ. Но
мы, с нашим ограниченным зрением, способны воспринять
только какую-то одну возможность. Значит, с каждым движением
микрочастицы, когда за ней кто-то или что-то (прибор) наблюдает,
этот наблюдатель ДОЛЖЕН РАСЩЕПИТЬСЯ НА НЕСКОЛЬКО
ДВОЙНИКОВ. Если квантовое уравнение говорит, что в такой-то
ситуации у частицы есть сто возможных судеб и она вступает в них
одновременно и параллельно - значит, с той стороны микроскопа
возникает сто наблюдателей: первый видит, как частица пошла по
пути А, второй видит, как она пошла по пути Б, и так до сотого.
Если есть миллион вариантов - значит, возникает миллион
наблюдателей. Если вариантов бесконечное число - столько же будет и
наблюдателей.
Что же это за дикое решение парадокса??? Ладно там всякие
чудеса в микромире, - кто его видел, этот микромир, кроме каких-
то там ученых? Но чтобы я или Сидор Сидорыч от одного взгляда

140
Глава 10. КВАНТОВАЯ ИНФОРМАТИКА
на камеру Вильсона разделился на сто двойников - это бред!
А почему, собственно, бред-то? Что, Сидор Сидорыч создан не
из тех же самых микрочастиц? Если они существуют в таком
чудесном мире одновременно-всевозможного, то почему он или я должен
вести себя иначе?
Но ведь этого же нет!! Никто не двоится!
А никто и не должен двоиться. Квантовые уравнения, если на
них взглянуть по-эвереттовски, строго доказывают, что все
параллельные Сидоры Сидорычи расходятся в момент своего «создания»
в параллельные миры, между которыми категорически невозможен
обмен ни массой, ни энергией, ни информацией. Так что никто (до
Эверетта) и не знал, что он за свою жизнь расщеплялся
бесконечное количество раз и существует сейчас в бесконечном количестве
параллельных вселенных. Огромное большинство этих вселенных
- скучные и однообразные почти-копии. Ну, в этой Сидор Сидорыч
увидел, что в его приборе микрочастица отклонилась влево. А в
той его двойник увидел, что она отклонилась вправо - да батюшки-
светы, какая разница-то? Однако в небольшой части вселенных
микроразличия, накапливаясь, могут сложиться в макроразличия.
Вот пример мрачноватый, но реальный. Если у бедного Сидор
Сидорыча были плоховатые сосуды, и в одном из них росла на
стенке нехорошая бляшка, то было так: во вселенной А стукнулись с
током крови об эту бляшку две молекулы с разных сторон - и ничего
не случилось, удары взаимно погасились. Но во вселенной Б
молекулы стукнулись подряд с одной стороны - бляшка оторвалась,
дошла с током крови до сосудов мозга, закупорила их -
несчастный Сидор Сидорыч изогнулся, рухнул на пол, что-то прохрипел -
и умер. Вот такие последствия от траектории всего одной
молекулы...
Нарисуйте квадрат. Теперь расчертите его начетверо: хоть в
шашечки, хоть по диагонали. В центре перекрестия нарисуйте
небольшой кружок. А в каждой четверти нарисуйте палку-палку-
огуречик - в общем, человечка нарисуйте. Маленький кружок - это
микрочастица. Она живет во всех вселенных одновременно. А
человечки не могут поделиться симметрично. Каждый из них видит
только свой мир. А кто-то уже даже не видит, а лежит холодный
на атласе, в цветах, под всхлипывания и добрые слова о себе» [24]

Литература
[i
[з:
[4
[г;
[8
19'.
[ю:
[п
[is:
[is:
[14
[is;
Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С, Черемушкин А.В. Основы
криптографии. М.: Гелиос АРВ, 2001.
Баричев С. Криптография без секретов.
- http://athena.vvsu.ru/docs/science/crypt/barichev/crypto.htm
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций
комплексного переменного. М.: Наука, 1969.
Болотовский Б.М. Оливер Хевисайд. М.: Наука, 1985.
Большая советская энциклопедия. М., 1969-1978.
Браунштейн С.Л. Квантовые вычисления: учебное руководство //
Квантовый компьютер. 1999. Т.1, N1 С.11-34.
Ватолин Д.С. Алгоритмы ссисатия изображений.
- http://www.rusf.ru^dv/fractal/algcomp3.htm
Вербицкий М. Easy listening for the hard of hearing (легкая музыка
для немного оглохших).
- http://www.arctogaia.com/VTORZH/verbit.htm
Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по
теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964.
ДиВинченцо Д. Квантовые вычисления // Квантовый компьютер.
1999. Т.1, N1 С.35-59.
Дирак П. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.
Дойч Д. Структура реальности. Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2001.
Гичев В.М. Основы комплексного анализа. Часть I. Омск: изд-во
ОмГУ, 2000.
Гуц А.К. Кардинальные и трансфинитные числа. Омск: изд-во
Ом ГУ, 1995.
141

142
Литература
Гуц А.К. Время и топология человеческого тела //
Математические структуры и моделирование. 2000. Вып.6. С.107-114.
Гутников B.C. Фильтрация измерительных сигналов. Ленинград:
Энергоатомиздат, 1990.
Елисеев В.И. Введение в методы теории функций
пространственного комплексного переменного.
- http://http://www.referent.ru/math/index.htm
Калинин В.М. Мои формулы. СПб, 1996.
-http://www.spbstu.ru/phmech/math/persons/p0032000/lastbook.html
Клайн М. Математика. Утрата Определенности. М.: Мир, 1984.
Куратовский К. Топология. Том 1. М.: Мир, 1968.
Кузин Л.Т. Основы кибернетики. М.: Энергия, 1973.
Лазарев В.Г. Интеллектуальные цифровые сети. Справочник. М.:
Финансы м статистика, 1996.
Лебедев Ю.А. Свирл: первый звоночек или по ком звонит колокол?
- http://filosof.net/disput/lebedev/svirl.htm
Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его прилосисения.
М.: Мир, 1990.
Манин Ю.И. Классическое и квантовое вычисление и
факторизация Шора. I Квантовый компьютер и квантовые вычисления.
Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское радио,
1980.
Пайтен Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы
комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993.
Пантелеев А.В., Якимов А.С. Теория комплексного переменного и
операционное исчисление в примерах и задачах. В.: Высшая школа,
2001.
Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории
функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989.
Стин Э. Квантовые вычисления. Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2000.
Усенко И.В. Применение генетического алгоритма для
фрактального союатия. - Дипломная работа, Омск: ОмГУ, 1999.
Флоренский П. Мнимости в геометрии. М.: Лазурь, 1991.
Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел.
М.:Мир, 1974.
[35] Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.:Наука,
1979.

Литература
143
[36] Шабаршин А.А. Введение во фракталы.
- http://infocity.com.ua/graf/content/graf015.shtml
[37] Шостак Р.Я. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1968.
[38] Шор П. Полиномиальные по времени алгоритмы разложения
числа на простые множители и нахождение дискретного логарифма
для квантового компьютера. / Сб.: Квантовый компьютер и
квантовые вычисления. Ред. ж-ла «Регулярная и хаотическая динамика».
Ижевск, 1999. С.200-247.
[39] Квантовая механика Эверетта // Сайт в Интернет.
- http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Everett.
[40] Яглом И.М. Комплексные числа. М.: ФМ, 1963.
[41] Ященко В.В. Введение в криптографию. М.:МЦНМО/СПб.Литер,
2001.
[42] Deutsch D., Ekert A., Lupacchini R. Machines, Logic and Quantum
Physics. - Los Alamos E-paper: arXiv:math.HO/9911150 (1999).
[43] Killer M. Фрактал + хаос = жесткая компрессия.
- http://www.cwk.kazan.rU/hitech/1999/5/fractals.htm
[44] Schouten В.A.M. Fractal Image Compression.
- http://www.cwi.nl/ bens/comp.html#Fractal Image.
[45] Vines G. Signal Modeling with Iterated Functions Systems. PhD. Thesis,
Georgia Institute of Technology, 1993.

А.К. Гуц
Комплексный анализ
и информатика
Учебное пособие
Редактор Е.В. Брусницына
Подготовлено к печати ООО «Издательство
Наследие. Диалог-Сибирь»
Лицензия ЛР N 071680 от 24.06.98.
Подписано в печать 19.05.02.
Формат 60 х 84 1/16. Печ.л. 9,25. Уч.-изд.л. 9,1.
Тираж 200 экз.
Полиграфический центр КАН
644050, Омск-50, пр. Мира, 32, к.11
тел. (3812) 65-47-31
Лицензия ПЛД N 58-47 от 21.04.97 г.