В. С. СОБОЛЕВ
Ю. М. ШКАРЛЕТ
НАКЛАДНЫЕ
и ЭКРАННЫЕ
ДАТЧИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ АВТОМАТИКИ И ЭЛЕКТРОМЕТРИИ
В. С. СОБОЛЕВ, Ю. М. ШКАРЛЕТ
НАКЛАДНЫЕ И ЭКРАННЫЕ
ДАТЧИКИ
(для контроля методом вихревых токов)
Ответ ред. член-корр.
АН СССР К. Б. Карандеев
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
НОВОСИБИРСК
1967
Scan AAW
3-3-12
1390-66
Монография посвящена вопросам теории и практичес-
кого применения накладных и экранных датчиков, исполь-
зуемых при неразрушающем контроле качества материалов
и изделий методом вихревых токов. Кроме дефектоскопии
трещин, раковин, прижогов и т. п. эти датчики с успехом
могут применяться для бесконтактных измерений электронрс-
водности металлов и полупроводников, измерения толщин
листов, проводящих и непроводящих покрытий, измерения
вибраций, зазоров, для контроля термической обработки
изделий, структуры материалов и т. д.
В работе получены и исследованы выражения, опреде-
ляющие воздействие на датчик проводящих слоистых сред
различной структуры. Найдены оптимальные условия кон-
троля параметров исследуемых материалов и изделий с точки
зрения получения максимальной чувствительности и
устранения влияния мешающих факторов, даны рекоменда-
ции по расчету датчиков. Наряду с известными классичес-
кими датчиками рассмотрены новые типы датчиков, обла-
дающие рядом весьма перспективных особенностей.
Монография рассчитана на широкий круг научных и
инженерно-технических работников, занятых в области
создания и эксплуатации средств измерения и контроля.
ВВЕДЕНИЕ
Развитие современного производства в значительной мере
определяется состоянием методов и средств измерения и конт-
роля. При высоких требованиях к качеству продукции и ее
надежности наиболее перспективными оказываются нераз-
рушающие методы контроля, так как они дают возможность
контролировать все 100% выпускаемых изделий или мате-
риалов.
Среди методов, позволяющих производить такой бескон-
тактный высокопроизводительный контроль качества продук-
ции, важное место занимает метод вихревых токов (МВТ) [1].
Известно, что при внесении проводящего тела в электро-
магнитное поле искажается первоначальная картина послед-
него, а в самом теле наводятся вихревые токи. Распределение
вихревых токов и возмущенного поля зависит от электро-
физических параметров тела, его геометрической формы и раз-
меров, наличия разного рода дефектов (трещин, раковин
и т. п.). Существо контроля качества материалов и изделий
с помощью МВТ заключается в том, что при известном харак-
тере указанной выше зависимости можно, измеряя возму-
щенное поле или величину реакции, испытываемой источником
поля, судить о свойствах исследуемого образца. МВТ широко
применяется для неразрушающей дефектоскопии, бесконтакт-
ного измерения электропроводности металлов и полупровод-
ников, измерения толщин листов, проводящих и непроводящих
покрытий, диаметров прутков и труб, измерения вибраций
и в ряде других областей контроля и измерений.
Для возбуждения вихревых токов и регистрации возму-
щенного поля применяются индукционные датчики,
представляющие собой обычно катушки индуктивности раз-
нообразных форм и взаимного расположения. В технике конт-
роля МВТ получили применение так называемые проходные,
внутренние, погружные, накладные и экранные датчики и
соответствующие им способы контроля. Наиболее широкое
3
применение, однако, нашли способы контроля с ис пользой а
нием проходных и накладных датчиков.
Метод вихревых токов как метод контроля качества мате-
риалов и изделий стал активно ^развиваться в последние 10—
15 лет. За это время появилось большое количество публи-
каций, посвященных его теории, расчету основных узлов
приборов и методике проведения экспериментальных иссле-
дований. Учитывая относительно небольшую длительность
активного развития МВТ, можно понять, почему к настоя-
щему времени еще пе установилась терминология МВТ,
а ряд достаточно общих вопросов этого метода еще окончательно
пе решен.
Одним из таких важных вопросов является классификация
индукционных датчиков, применяемых при контроле МВТ.
Классификация поможет более четко очертить круг вопросов,
которому посвящается настоящая работа, и показать место
не известных ранее датчиков, названных авторами некласси-
ческими.
В связи с тем, что одни и те же датчики могут с успехом
использоваться для решения самых разнообразных задач
контроля качества материалов и изделий (контроль электро-
физических свойств, размеров и т. п.), целесообразно клас-
сифицировать датчики независимо от задач контроля.
Все датчики, применяемые при контроле МВТ, создают
первичное магнитное поле, в которое помещаются контроли-
руемые изделия или материалы. В зависимости от того, каким
образом и в какие величины преобразуется результирующее
поле, несущее полезную информацию, датчики можно раз-
делить на две группы. Одни датчики преобразуют результи-
рующее поле в параметры, однородные своим собственным,
т. е. в индуктивность и активное сопротивление, поэтому
их будем называть параметрическими. Другие преобра-
зуют это поле в э.д.с. специальной, так называемой измери-
тельной катушки. Наличие у этой группы датчиков отдельно
катушки, создающей первичное поле (ее часто называют токо-
вой или возбуждающей), и измерительной (или нескольких
измерительных) позволяет назвать их трансформаторными.
Оба типа датчиков имеют широкое распространение в аппара-
туре, основанной на МВТ. По способу расположения катушек
следует ризличать проходные, погружные, накладные и экран-
ные датчики (см. рисунок).
Проходными называют такие датчики, которые охваты-
вают контролируемое изделие, расположенное соосно с ка-
тушками датчика. Они применяются для контроля тел протя-
женной формы (прутки, трубы и т. п.). В отличие от проходных,
4
погружные датчики с целью контроля погружаются внутрь
изделия, например, внутрь трубы или контролируемой
жидкости.
Накладные датчики применяются для контроля тел любой
формы. Оси катушек накладных датчиков направлены нор-
мально к поверхности контролируемого изделия, причем
все катушки располагаются по одну сторону последнего.
Датчики для контроля материалов и изделий методом
вихревых токов.
1 — обмотка; 2 — каркас; 3 — контролируемый образен; а — прокод
ной, б — погругкной, в — накладной, г — экрипый.
Хотя название «накладной» вызывает ассоциацию с необхо-
димостью осуществления непосредственного механического
контакта датчика с изделием, следует иметь в виду, что очень
часто с целью бесконтактного контроля датчик располагают
вблизи поверхности с некоторым, небольшим по сравнению
с диаметром его катушек, зазором.
Проходные, погружные и накладные датчики могут
быть как параметрическими, так и трансформаторными.
Экранные — могут быть только датчиками трансформаторного
типа, поскольку их катушки располагаются по разные
стороны контролируемого изделия, играющего роль экрана.
5
В зависимости от типа преобразования параметров контро-
лируемых изделий в параметры сигналов следует различать
абсолютные и дифференциальные датчики. Абсолютные дат-
чики реагируют на абсолютное значение параметров изделия
и их изменения. Дифференциальные — только на изменения
параметров изделия от участка к участку. Дифференциальные
датчики обычно применяют для контроля нарушения сплош-
ности, однородности структуры изделий, т. е. для целей не-
разрушающей дефектоскопии. Не следует путать дифферен-
циальные датчики с дифференциальной схемой включения
абсолютных датчиков, в которой выходное напряжение зави-
сит от разности значений параметров контролируемого и
образцового изделий. Ниже приведена схема классификации
датчиков.
6
Изменения сопротивления или э.д.с. датчика, вызванные
присутствием образца, будем называть соответственно вносимым
сопротивлением или вносимой э.д.с. Существенной особен-
ностью этих величин является то, что они комплексные, причем
действительная и мнимая части линейно независимы.
При изменении параметров изделия, датчика или частоты
питающего тока конец вектора вносимого сопротивления
или э.д.с. описывает определенные кривые — годографы на
комплексной плоскости. Семейства этих кривых называют
диаграммами вносимых величин. Все до сих пор известные
датчики и их диаграммы будем называть классическими. Дат-
чики, позволяющие получать принципиально иного вида
годографы и диаграммы, а также сами эти диаграммы, будем
называть неклассическими.
Как уже упоминалось, к настоящему времени МВТ получил
значительное теоретическое и практическое развитие. Однако
детально разработана и подробно освещена в литературе лишь
теория проходного датчика [2—6]. Что же касается более
перспективного, на наш взгляд, способа контроля с помощью
накладного датчика, то сколько-нибудь удовлетворительной
теории его до сих пор не создано. Такое положение можно
объяснить, по-видимому, значительными математическими
трудностями, связанными с неоднородностью поля датчика.
Отсутствие такой теории затрудняет применение и дальнейшее
развитие МВТ.
Фундаментальной в теории накладного и экранного дат-
чиков является задача определения поля витка, обтекаемого
переменным током и помещенного над проводящей слоистой
средой. Решение этой задачи играет большую роль также
в теории распространения электромагнитных волн, в геофи-
зических исследованиях и в теории электромагнитного экра-
нирования. Для целей этих последних областей науки и тех-
ники она весьма подробно исследована, а полученные резуль-
таты достаточно хорошо интерпретированы для широкого
круга конкретных условий. К сожалению, этот материал не
может быть непосредственно использован в теории датчиков
МВТ, так как в большей части работ, посвященных этому
вопросу виток (или катушка) заменяется магнитным диполем.
Это упрощение, вполне закономерное в упомянутых исследо-
ваниях, для теории накладного и экранного датчиков непри-
емлемо, так как в данном случае нас интересует распределение
поля в непосредственной близости к датчику, когда заменить
катушку-датчик диполем нельзя. В ряде работ, посвященных
вопросам экранирования [7—9], такой замены не делается.
Однако решения даны лишь для частных случаев и то в квад-
7
ратурах. Никакой интерпретации результатов при этом не про-
водится. Среди работ, посвященных рассматриваемой задаче,
наиболее интересны статья С. Леви [10], в которой найдена
величина воздействия на датчик очень тонкой проводящей
пластины, и статья Г. Л. Бюллера [11], в которой путем табу-
лирования полученных автором интегралов найдено распреде-
ление плотности вихревых токов в проводящем полупространст-
ве над которым помещен виток, обтекаемый переменным током.
Отсутствие теории накладного датчика заставило раз-
работчиков аппаратуры неразрушающего контроля провести
большой объем исследований по экспериментальному опре-
делению основных закономерностей его работы. Эти исследо-
вания дали определенные результаты, и полученные материалы
были до настоящего времени единственной основой для раз-
работки приборов с использованием накладного датчика.
Особенно много сделали в этом направлении Ф. Ферстер [12|
и А. Дорофеев [13]. Однако такой подход, естественно, не
позволил обобщить все особенности работы накладных дат-
чиков. Как отмечает, например, в книге «Неразрушающие
испытания методом вихревых токов» А. Дорофеев: «Экспери-
ментальный путь разработки теории метода накладной катушки
широко используется... Но к сожалению использовать резуль-
таты большинства исследований не удается, так как представ-
ленные зависимости невозможно привязать к катушкам с
конкретными геометрическими размерами».
Необходимость в теоретическом обобщении накопленного
экспериментального материала, с одной стороны, и анали-
тические трудности — с другой, привели к тому,что некото-
рые авторы [14, 15] в своих исследованиях базируются на яв-
лениях, происходящих в металлах при падении на них пло-
ской электромагнитной волны. Полученные при таком под-
ходе результаты отражают существо дела только для области
высоких частот и электропроводностей и могут иметь лишь
ограниченное применение.
Настоящая монография является попыткой восполнить
имеющийся пробел и создать достаточно общую теорию
накладных и экранных датчиков, применяемых для контроля
качества материалов и изделий МВТ. Необходимо отметить,
что приведенные материалы могут иметь значение не только
для целей контроля параметров изделий, но и при проектирова-
нии экранирующих устройств в радиоэлектронике, решении
задач разведки полезных ископаемых в геофизике, в теории
и практике индукционного нагрева и т. п.
Материал книги обобщает работы авторов за период
1962-1965 г.
ГЛАВА I
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ВИТКА,
РАСПОЛОЖЕННОГО НАД СЛОИСТОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДОЙ
§ 1.1.	Уравнение Гельмгольца
для вектор-потенциала электромагнитного поля.
Квазистационарное поле
Как уже указывалось, МВТ основывается на взаимодействии
электромагнитного поля и исследуемого изделия или материала.
Учитывая это, можно сказать, что теоретическую основу
метода должны составить решения обширного класса электро-
динамических задач определения поля датчика и величин,
характеризующих взаимодействие между ним и исследуемым
телом. Поэтому исходными уравнениями в теории МВТ, есте-
ственно, являются классические уравнения электродинамики
Максвелла. Традиционным в решении подобного рода задач
является использование вектор-потенциала электромагнитного
поля Л, определяемого следующим образом:
rot А = В = [10р,Я,	(1.1)
и уравнения Гельмгольца. В целях последовательности из-
ложения приведем здесь известный переход от уравнений
Максвелла к уравнению Гельмгольца для вектор-потенциала
поля.
Уравнения Максвелла при использовании международной
системы единиц СИ запишем так:
го1Я =	+	4-/ст;
(1.2)
77
rot Е = —	,
9
где 7ст — плотность сторонних, т. е. заданных внешним источ-
ником, токов.
Поскольку далее будем рассматривать изотропные среды,
параметры которых не зависят от напряженности полей, при
синусоидальных воздействиях, то уравнения (1.2) можно пе-
реписать так:
rot Н = (а + /о)	+ /ст;
(1.3)
rot Ё = — /о)
Подставляя равенство (1.1) во второе уравнение Максвелла,
получим
rot (Ё + /соЛ) = 0.
Поскольку ротор градиента любого скаляра тождественно ра-
вен нулю, величину в скобках можно приравнять градиенту
некоторого скаляра ф, играющего роль скалярного потенциала
электрического поля, тогда
Ё = —(gradxp + /(о Л).	(1.4)
Заменяя Н и Е в первом уравнении (1.3) через (1.1) и (1.4),
после элементарных преобразований получим
?2Л + к2А = grad [(цоца + 7^8оФо.ц)Ф + divyi ] — Ц0Н7ст, (1-5)
где
к2 =~- ОТ — 7’(ОЦоЦб.
Поскольку вектор-потенциал Л задан с точностью до градиента
некоторого скаляра, а потенциал ф с точностью до постоянной
величины, имеется возможность [16] положить
(цоцб + /(оеоеЦоН) Ф + div Л = 0.
Учитывая последнее равенство и выражение (1.5), получим
искомое уравнение Гельмгольца для вектор-потенциала элект-
ромагнитного поля
+ к2А - — ц0Ц7'сг.	(1.6)
В дальнейшем будем считать поле датчика квазистационар-
ным в том смысле, что волновыми процессами в воздухе можно
пренебречь. Зто упрощение вполне оправдано, так как размеры
датчиков и исследуемых образцов обычно много меньше длины
волны в воздухе, а потери на излучение по сравнению с потеря-
10
ми в датчике и в исследуемом образце малы. В проводящем теле
будем рассматривать только те волновые процессы, которые
обусловлены наличием проводимости и магнитной проницае-
мости, т. е. так же, как и в воздухе, токами смещения (пропор-
циональными а) £ог) пренебрегаем. Для металлов такое упроще-
ние не вызывает сомнений. Легко показать, что это предполо-
жение справедливо также и для широко применяемых в настоя-
щее время полупроводниковых материалов с удельным сопро-
тивлением до 50 ом-см. Так, например, величина тока смещения
по отношению к току проводимости для кремния (s — 14) с
указанным выше удельным сопротивлением на частоте 50 мггц
составляет менее 2%.
Таким образом, пренебрегая величиной (D280ep0p по сравне-
нию со)ЦоЦСГ в выражении для Л2, получим
/с2 = —7И0|Ш.	(1.7)
Естественно, что для воздуха к = 0.
Обратный переход от вектор-потенциала к напряженностям
электрических и магнитных полей делается по известным фор-
мулам [17]. Например, в цилиндрических координатах, кото-
рыми мы будем пользоваться в дальнейшем, формулы перехода
имеют следующий вид:
е _ /юл —'“.АГА (AAi _l AS +	1
р	р к2 др L р \ др 1 дф dz / J ’
е. ₽ - мл. - £. 4 ц 44.+4+44,
ф J ф к2 рдф L Р \ dp дер dz / \
Е - _	д Г1 (дрАр 4-Мф + 'П •
Lz-	4---+—	,
( (1.8)
JJ _ 1	. дАг_
р ixop \ Р ’ дф dz } ’
н. = ± (АА _
ф РоР \ dz др / ’
и 1 Гд / Л ч дЛР 1
2 РоРР [др (Р дф J
§ 1.2. Поле витка,
расположенного над многослойной проводящей средой
В теории накладных и экранных датчиков достаточно общей
является задача о поле катушки, обтекаемой переменным током
и расположенной над проводящей многослойной средой, так как
И
эта задача охватывает большую часть встречающихся в прак-
тике контроля МВТ структур изделий и материалов. Весьма
полезной идеализацией этой задачи для первого этапа решения
является замена катушки единичным витком.
Итак, пусть виток радиуса R± расположен горизонтально
на высоте h над проводящей слоистой средой с постоянными
Рис. 1.1. Виток, расположенный над
многослойной средой.
параметрами, как показано
на рис. 1.1. Электрическую
проводимость р-го слоя обо-
значим ор, относительную
магнитную проницаемость —
Цр, толщину слоя — dp. Пусть
виток обтекается переменным
током I скруговойчастотойсо:
/ =-=
Для решения задачи восполь-
зуемся цилиндрической си-
стемой координат р, ср, z с
осью 2, направленной нор-
мально к поверхностям слоев
и совпадающей с осью витка.
Начало координат поместим
на поверхности среды. Будем
считать диаметр сечения вит-
ка очень малым по сравне-
нию с т. е. ток — теку-
щим вдоль линии с коорди-
натами р = Rr, z ~ h. Ис-
пользуя дельта-функцию Ди-
рака, выражение для плот-
ности тока можно тогда записать так:
/ст — /д (z — h) s (р — 7?i).
В силу осевой симметрии задачи вектор-потенциал имеет
только ф-ю компоненту и от угла ф не зависит, т. е.
А
В цилиндрических координатах уравнение (1.6) с учетом этого
обстоятельства примет следующий вид:
1 д ( дА\ . 0М /1	7О\ ,
~ к') А = ~wwCT. Й-9)
12
Это уравнение второго порядка в частных производных. В со-
ответствии с методикой, изложенной в [18], его можно решить,
применяя интегральное преобразование Фурье — Бесселя с
ядром в виде функции Бесселя первого порядка. Формула
преобразования имеет вид:
Л* = рЛ (Хр) А (р, z) dp,
(1.10)
где X — параметр преобразования.
Применив это преобразование к обеим частям уравнения (1.9),
получим преобразованное уравнение
- — |xg0/‘r,
(1.11)
где Л* является уже функцией только координаты z. Здесь
q2 = X2 Ц- к2, а 7*г — преобразованная плотность тока.
Уравнение (1.11) является обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением второго порядка. Общее решение этого урав-
нения известно и может быть представлено в следующем виде:
(в -	(с + J , (1.12)
— переменная интегрирования вдоль направления z; В и С —
величины, не зависящие от z и определяемые из граничных ус-
ловий. Граничные условия для вектор-потенциала известны
[18] и выражаются так:
Ар (р> z) 1г==гр ~ Лр->1 (Р’ z) ’
£ . дЛр I 1 . 4+1
Рр dz и=гр Ррн 1
(1.13)
Эти условия остаются справедливыми и для преобразованных
величин Л*.
Используя общее решение (1.12), запишем выражения для
вектор-потенциала в каждом слое.
1.	Для верхнего полупространства z 0, учитывая, что
Hi = Ио, а1 — 0, т. е. q± ~ X, получим
=(Ci+$ <1Л4)
13
2.	Для каждого слоя (р = 2, 3,..., п — 1), учитывая, что
плотность сторонних токов в области z <f 0 равна нулю, полу-
чим
4 = 1^(5^ V +	(1.15)
3.	Для нижнего полупространства
^ = ^nB)ieV	(1.16)
^Чп
Сп =- 0, так как поле при z —> — оо должно быть ограничено.
Теперь перейдем к отысканию постоянных интегрирования.
Вначале найдем Вг При z —> оо поле должно быть ограничен-
ным. Это возможно при условии (см. выражение (1.14);, что
со
в,- 5	= О,
О
откуда следует
^1=5 /сгб
О
Учитывая, что
со	со
/ст = § р/1 (Ь р) /ст (р, z) dp = t pJi(Xp) d (р — /?,) 6 (z — h) dp =--
о	0
- /7?1/1(Х7?1)6(2—
получим
оо
5x = IRJ^R,) $ e^d1-i>(l-h) dl = IR1J1(KRJe-м.
0
Для отыскания постоянных Bn, Сп, используя граничны
условия (1.13), получим следующие 2п — 2 уравнений,
*	♦ дД*	1 дА*
=• А2,	- = — • —- при Z = 0.
х	4 dz	|i2 $z	г
4* А 1	1	7	/Л л-
А^--=А^	П₽И г = -^2’	(1Л/
п—1
= л;., а.
Нп-1
дЛп-1 1 дАп	V Z?
— = iTn-^7 п₽и 2 =
р=2
14
Подставляя выражения (1.14) н- (1.16) в уравнения (1.17), по-
лучим
4-(В1 + С1) = ^(В2 + С2); B1-C'i = B2-C2;
Л	7 2
— (B2e~q2d2 + С^е^2) = — (B3e~q-dz + Сз^36*2),
72 v	7з
B2e~qzd2 — C2&qzdz = B%e~q3d2 — C3eq3d2,
(n—i	n—i \	n—i
2 “p	’n-1 2 dp I	-qn S dp
r> p P=2 I Г p p==2 I _ Hn о _	p=2
&т1-Ле	~V^n-le	/ — — L>ne
J Qn
n—1	n—1 .	n—1
I -'in-lSS 9n-lSdp] ~4n Sdp
JI„- VW p=2 -W P=2 )=^Bne ”=2 .
(1.18)
Решая последнюю систему уравнений, можем выразить все
неизвестные через Вг в виде:
Вр = Bvfp (X; Hl, Н2, •••, Р-п! 91, 9г, •••, 9n! <?i, <4, •••, t?n_i);
(1.19)
СР = Bv(fp (X; Hi, Н2, •••, Щ; 9i, 92 ,•••, 9-й <?i,	d^).
Учитывая, что
„z	[0	при z<CJi
\ /ст (X, |) e~udl == j.
o’5	ЧВ^^И^е-^ при z>h',
(1.20)
с2 *	[0	при z^>h
) /ст	= 1/BxJi (XT?!) при z < h,
можем следующим образом переписать выражение (1.14) для
вектор-потенциала в верхнем полупространстве
Ai =	(е~х	_|_ ф1е-А (Л«))	(XBi) при z < h;
4,’ =	(е~х	+ <pie~x <г+/‘>) TBjJi (X/?i) при z > /г.
Объединив оба результата, получим
л; = g (^ 1;-'I + ф!^ <z+'O iRrjx (XT?!).	(1.21)
15
Используя (1.15) и (1.16), получим выражение для преобразо-
ванного вектор-потенциала р-го слоя
4 =	+ 4V’V)	(Х7?х)	(1.22)
и аналогично для нижнего полупространства
X =	(XT?!).	(1.23)
^Чп
Истинные значения поля для каждого слоя найдем теперь с
помощью обратного преобразования Фурье — Бесселя
А -- J А*(Х, 7?1)./1(Хр)Х<?Х.
О
1.	Для верхнего полупространства
. ОО
4	71 (X/?,) Л (Хр) е-х l-MdX +
О
+ /1 (X7?1) J1 (Хр)	<2+Л> с?Х ].	(1.24)
О
2.	Для каждого слоя
. ОО
4 =	^A(U?i)/i(Xp) {fpeV +	(1.25)
О
3.	Для нижнего полупространства
Л„ = ЦоИр/?1/ ГЛ (X/?,)./, (Хр) - fnennZ~lhdk. (1.26)
2 J	(ln
о
Напряженности электрического и магнитного полей можем
найти, воспользовавшись выражениями (1.8) и помня, что век-
тор-потенциал имеет только ф-ю компоненту и от угла ф не
зависит
= — ]соЛф; Ё9 = 0; Ёг = 0

§ 1.3. Поле витка в свободном пространстве
Картина распределения поля витка в свободном пространст-
ве, т. е. в отсутствии проводящих сред, представляет опреде-
ленный интерес, так как позволяет в некоторой мере оценить
возможность использования накладного или экранного дат-
чиков для тех или иных целей контроля с помощью вихревых
токов. Анализ выражения (1.24) для поля витка над проводя-
щей слоистой средой показывает, что его первый член есть не
что иное, как интересующее нас выражение для поля витка в
свободном пространстве. Если начало координат перенести в
центр витка, оно примет следующий вид:
А =	§/i(U?1)71(Xp)e-xl-’ld%.	(1.28)
О
Как известно, этот интеграл выражается через полные эллип-
тические интегралы первого Е и второго К рода, подробные
таблицы которых имеются в работе [23]
Е
где
L.2 _ 42?1р
(/?1+ р)2-Н2’
В соответствии с формулами (1.8) компоненты магнитного и
электрического поля витка в свободном пространстве выража-
ются так [16]:
lz	+ р2 + z2
~~ 2лр /(7?i + p)2 + z2 L &	(^i — р)2 + z2
I	Г	— Р*2 — Z2	I
Я, = -----г - -	...- К + /о Y„ 2 Е ’
2л V+ р)2 + z2 L (Я1 — р) + z2 J
Ev = - j	{(^+рЧ.г2И_[(7?1+р)г+ z4 Е]}
2лр у (/?1+р)2-^22
(1.29)
Из выражения (1.29) следует, что напряженность электрическо-
го поля направлена вдоль координаты ф и пропорциональна
вектор-потенциалу магнитного поля А. Э. д. с., наводимая
током витка в любом соосном с ним контуре, равная цирку-
ляции вектора Е по этому контуру, также оказывается про-
порциональной вектор-потенциалу А. Таким образом, величи-
2 Заказ № 1315
на Л, оказывается удобной характеристикой поля витка. На
рис. 1.2 (а) приведены кривые зависимости вектор-потенциала
(при = 2) от обобщенной координаты p/Rl на различных
плоскостях, отстоящих от плоскости витка на расстояниях
z/Rr = 0; 0,2; 0,4 и 0,6. Как следует из рисунка, наибольших
значений вектор-потенциал достигает в плоскости z — 0, т. е.
в плоскости витка. Чем дальше от этой плоскости находится
Рис. 1.2. Поле витка в свободном пространстве.
плоскость наблюдения, тем меньше величина поля. Это поло-
жение хорошо иллюстрирует рис. 1.2 (б). Отметим интересную
особенность рассматриваемого поля: чем дальше плоскость
наблюдения от плоскости витка, тем дальше смещается макси-
мум вектор-потенциала от оси витка. Это означает, что если,
например, виток лежит на исследуемом образце, то контур с
максимальной наводимой в образце э. д. с. (и, следовательно, с
максимальной плотностью вихревых токов) лежит непосредст-
венно под проводом витка; если же виток поднять над образ-
цом, например, на расстояние z[Rr = 0,6, то контур с макси-
мальной э. д. с. будет иметь радиус, в 2 раза превышающий
радиус витка.
§ 1.4. Поле витка над двуслойной средой,
пластиной и полупространством
В § 1.2 приведено решение задачи определения поля витка,
помещенного над проводящей слоистой средой. Для получения
окончательных выражений поля необходимо лишь явно выра-
18
зить постоянные интегрирования. Сделаем это для достаточно
общего случая, когда виток расположен над слоем толщиной d
с параметрами 02, |Л2, лежащим на полупространстве с парамет-
рами о3, |13.
Поскольку п = 3, то необходимо определить только /2,
ф2 и /3, для чего потребуются четыре уравнения системы (1.18):
В1 + С1 = ^(В2 + С2);
Bi — Ci В2 — С^\
Вге-^ + Сгв™1 =--
№
B2e_Q2d — C2e^d -- B3e~q-id.
(1.30)
Решив эту систему относительно неизвестных коэффициентов,
с учетом соотношений (1.19) можно записать:
______(ХН2 — 9г) 0М2 + Рз9з) edr‘2 — (Хщ f- <?2) (|1;7з — е d,‘2
ф1 _ л-------------------------------------------------------------- .
= gdq2.
ф2 = 2g 2 (Цздг - Цз9з) e_d<h.
Г   49211293
/3 Д	’
где
; (1.31)
(1-32)
(1.33)
(1.34)
Л = (Х|12 + <?2) (1Мз -4- Нз?2) fd<12 — (Хр2 — (?г) (|Мз — Нз?2) ?~dq2-
(1.35)
Напомним, что
q-i = У\2 — к% = VV + /шОгНоНг,’
7з = /V — $ = /X2 + /(ОбзНоНз- .
(1.36)
В дальнейшем будем рассматривать в основном поле в
верхнем полупространстве. Анализ выражения (1.24) для этой
области, проведенный в предыдущем параграфе, показал, что
первый член этого выражения есть не что иное как поле витка
в свободном пространстве. Это поле уже рассмотрено выше,
поэтому запишем выражение лишь для возмущенного поля:
ОО
Аг= О,5цоЯ1/ $ Л (X7?i) Л (Хр) е~х <г+/>)
о
(Лр.2 — д2) (1М2 Ч- Р-29з) eaq‘ — (Хц2 -f- д2) (р,2д3 — Нз?а) e~dCh ,,	(.
2*
19
Если положить в этом выражении ц3 = 1, п3 = 0, т. е.
7з “
легко получить выражение вектор-потенциала поля в верхнем
полупространстве, наведенного вихревыми токами проводящей
пластины толщиной d
Лг = — 0,5ц„7?1/	Л (?ф)е-х<г+ъ’ -	V)(* e29d) dk.
%	(? - X)2 - e2Qd (? + X)2
(1.38)
Если d устремить в бесконечность, получим выражение для
поля, наведенного вихревыми токами полупространства:
А\ = — О,5но7?1/Гл(иШ1(^Р)е~Х(г+^Чп^- С-39)
J	Q "г А»
о
ГЛАВА П
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О ПОЛЕ ВИТКА, РАСПОЛОЖЕННОГО НАД СЛОИСТОЙ СРЕДОЙ
Полученные в предыдущей главе решения задачи о поле
витка, расположенного над слоистой средой, чрезвычайно труд-
но интерпретировать численно или графически, так как ин-
тегралы, входящие в них, не выражаются через известные эле-
ментарные или специальные табулированные функции. Эти
трудности, однако, могут быть преодолены, если воспользо-
ваться приближенными решениями [19, 20], методика получе-
ния которых приведена ниже.
§ 2.1. Разложение полученных интегралов в ряд
Интегралы в выражениях, описывающих поле витка в при-
сутствии слоистой среды, имеют вид:
оо
J = FP(X)FO(Z, X)dX,
о
(2-1)
где
Ф1 (М в
(Х) =
X ,,	-« z
- (fve р + Фре р ) в
Чр
яР 7"е
(1.24),'
(1.25), .
в (1.26)
(2.2)
Fo (Z, %) = J, (Х7?,)/, (Хр)е	(2.3)
Переменное Z обозначает | z — h\ или (z + h) в (1.24) и h в
выражениях (1.25), (1.26).
21
Представим функцию Fp (X) в виде ряда Маклорена
=	(2.4)
v=0
Подставив ряд (2.4) в выражение (2.1) и изменив последова-
тельность интегрирования и суммирования, получим
°° /?(v) /о) j?
J = 2	(2.5)
v=0	’	„
Легко проверить, что
J X'Fn (Z, к) d\ = (—1)VOW (Z),	(2.6)
О
где
Ф (Z) = 5 (^)Л (Xp)e-xzdX.	(2.7)
О
Подставив выражение (2.6) в (2.5), получим
оо
/ = 2(^HWW(Z).
v=0
(2.8)
Таким образом, получено точное выражение интересующего
нас несобственного интеграла в виде бесконечной суммы. К со-
жалению, непосредственное использование этого ряда для прак-
тических расчетов затруднительно. Даже при быстрой его
сходимости необходимо взять для обеспечения удовлетворитель-
ной точности несколько первых членов. Это приводит к необ-
ходимости вычислять несколько производных от функций
Fp (X) и Ф, что даже в случаях простой структуры сред весьма
затруднительно. Однако полученные результаты помогут нам
в дальнейшем.
Анализируя функции Ф и Fp (X), замечаем, что одна из
них зависит только от пространственных координат, а вторая
от параметров среды и координаты z, Одним из путей получе-
ния приближенных решений, которым воспользуемся в даль-
нейшем, является аппроксимация функций Ф и Fp (%) (или
некоторых функций от них) экспоненциальным рядом или
экспоненциальной функцией.
22
§ 2.2. Первое приближенное решение
Анализ функции Fp (X) показывает, что она является ком-
плексной и, следовательно, может быть представлена в виде
Fp (%) = Re Fp (X) + 7 Im Fp (X).	(2.9)
Как показало исследование графиков этой функции, в ряде
случаев (для сравнительно простой структуры образцов) ее
действительную часть можно довольно точно аппроксимиро-
вать экспонентой (или конечной суммой экспонент), т. е.
Re Fp (X) - Be	(2.10)
Мнимую часть также можно аппроксимировать либо алгебраи-
ческой суммой экспонент, либо в виде
Im Fp (X) = СКе -%?,	(2.11)
где В, С, т и а2 — аппроксимирующие коэффициенты.
Далее покажем, что такая аппроксимация приводит к ре-
шению поставленной задачи, т. е. получению приближенных
выражений для расчета поля. Интересующий нас интеграл
имеет вид
J= Jfp(X)F0(Z, Х)<?Х.	(2.12)
О
Заменяя Fo и Fp (X) в соответствии с (2.3), (2.10) и (2.11),
получим
Be 7 = В 57i(X7?i)A(^p)e-x<z+a->dA,;	(2.13)
О
Im J = С 5 Л (X7?x)Л (Хр)	Х7Х. (2.14)
О
Рассмотрим интеграл 2.13. Как известно [21, формула
(6.612.3)], этот интеграл выражается через функции Лежандра
второго рода полуцелого порядка
9^	\	л	(R2 п- 1 ct2\
$ м &	(-ЧягН)  <2Л5>
23
Таким образом, с учетом (2.15) выражение (2.13) будет иметь
вид
Re/ —
В Г^1 + р2 + (^4-а1)21
1<2l	J
(2.16)
Дифференцируя выражение (2.15) поаь получим формулу для
определения мнимой части интересующего нас интеграла
1	! /?2 1 J- г/2 \
Д =	<?'( ‘Л. LU-»>
П	Г*
следовательно,
1т/
C(Z + a2)zy Г^1
л/?1/2р3'2 v J/'2 L
+ p2+(Z + a2)2
2Р7?!
(2.18)
Функции Qi/2 и Qi/2 табулированы в зависимости от
ch и = /?1 '	I-?7 [22] и сведены в табл. 1 приложения. Кроме
2р7?1
того, обе функции(X 2 и выражаются через полные эллип-
тичексие интегралы первого Е и второго К рода
[(2 —7^)JC —22?];	(2.19)
=	(2.20)
где
£2^_______4Д‘Р
(flj + p^ + a2
Подробные таблицы полных эллиптических интегралов имеют-
ся, например, в работе [23].
Таким образом, с помощью предложенной аппроксимации
удалось получить приближенные выражения для интересую-
щих нас интегралов. В качестве примера использования изло-
женной методики покажем, как найти аппроксимирующие коэф-
фициенты для случая, когда виток расположен над немагнит-
ным проводящим полупространством.
Выше, формула (1.39), было показано, что поле вихревых
токов в этом случае выражается следующим образом:
А - О,5цо7?17 (л (Ш) Ji (Хр) е-("» * T/2+/<ogggdX. (2.21)
•)	Л + у V + /(05|10
24
Если разделить действительную и мнимую части, произвести
замену переменных
А, = У V сооно
и с целью упрощения окончательных выражений ввести следую-
щие обобщенные параметры системы виток — образец
а =	; Р = 7?! У	Р₽ = р V ®ор.(),
получим
. ОО
ВеЛ = - Щ Лфу) Jl фру)	(4=~yV УТТТ- yAdy,
(2.22)
. ОО
Im А = - фу) Л фру) е~^(уУ /F+Т+72~У2 /2) dy.
(2.23)
Рассмотрим реальную часть вектор-потенциала. Подынтеграль-
ная функция
f(y) = у= — У К? У4 + 1 ~ У2
в точке у = 0 составляет 1/]/2, а затем непрерывно убывает.
Анализ показывает, что с некоторым приближением ее можно
аппроксимировать следующим образом:
f(y) = ±=e~^.	(2.24)
V *
Подставляя (2.24) в (2.22), с учетом (2.15) получим
Re Л =
.	_ Г^ + р2-!	+	-2^
Но/ -1 / Л1 п	\	V <0<зр.о
2л V р V"2L	2/fjp
(2-25)
Из (1.28) и (2.15) следует, что поле витка в свободном прост-
ранстве (при помещении начала координат на границу разде-
ла сред) выражается формулой, аналогичной (2.15)

R\ + Р2 + (z - Л)2
2fijp
Сравнивая эту формулу и (2:25), можно сделать вывод о том,
что реальная часть вектор-потенциала магнитного поля, созда-
ваемого вихревыми токами полупространства, эквивалентна
25
вектор-потенциалу поля, создаваемого изображением витка с
током — 7, расположенного от возбуждающего витка на рас-
стоянии 2h + ]/2б, где б = *|/	---глубина проникновения
поля плоской волны в материал полупространства.
Рассмотрим теперь мнимую часть вектор-потенциала. Как
показывает анализ, подынтегральная функция
уУУу* + 1 + у2 — у2/2
в точке у = 0,423 имеет максимум, равный 0,212. Вблизи нуля
эта функция растет пропорционально у, а при больших аргу-
ментах убывает, как ]/ 2/8у2. Эту функцию можно было бы
аппроксимировать в виде разности двух экспонент. В этом
случае путь получения приближенного решения был бы ана-
логичен только что рассмотренному, однако окончательное
выражение было бы более громоздким. Эту же функцию можно
аппроксимировать и проще в виде выражения (2.11). Прирав-
няв рассматриваемую функцию и выражение (2.11) в точке
максимума, получим следующее приближение:
У Т^Уу* + 1 + ?/2 — У2 К2 це~2''.	(2.26)
Подставляя (2.26) в (2.23) с учетом (2.17), получаем
г---	. Г Л? -I- Р3 + (	—2 -У1
Т.Н 4 —	/<*?Р-о+21	(1<7	(),	______\_____У <05(10 I .
/2	\^p3/Wo	'2L	2/?’Р	J
(2.27)
Значения этих выражений сравнивались с результатами, полу-
ченными с помощью электронной цифровой вычислительной
машины (ЭЦВМ) по точным формулам (2.22), (2.23) прир = Rr,
h = z. Оказалось, что максимальная погрешность (для этого
случая) при 2 > р 0,6 составляет около 10%, а при Р 2
не превышает 6%. Эти результаты вполне приемлемы для
инженерных расчетов и качественного анализа поля. При
пользовании таблицей 1 приложения для определения
и Qi/2 величину chu можно найти по формуле
ch и
+ Р2 + [ 2 + + г - 
\	У(О5|1о/
§ 2.3.	Второе приближенное решение
Как видно из предыдущего параграфа, расчет поля с по-
мощью первого приближенного решения требует экспоненци-
альной аппроксимации функции Fp (%) для каждой структуры
исследуемого образца, т. е. полученное решение не является
достаточно общим. Рассмотрим второе более универсальное
решение задачи. Анализ функции Ф (Z) показывает, что она
весьма близка к экспоненте и может быть аппроксимирована
конечным экспоненциальным рядом:
р
<D(Z) =3 Cie~xiz,	(2.28)
i=l
где и at — коэффициенты, не зависящие от Z. Производная
функции Ф (Z) по Z будет иметь тогда следующий вид:
р
Фм(Z) = 2 (-	(2.29)
г=1
Подставив выражение (2.29) в формулу (2.8) и изменив порядок
суммирования, получим
Р	со
J 3 Cie-*iz 3 (- < F™ (0);	(2.30)
v=0
поскольку (см. выражение (2.4))
3 (- ЦР1 W (0) = 2 а• F? (°) = F?
v—О
то
р
j(2-31)
1=1
Итак, интеграл, выражающий значение вектор-потенциала
поля витка, расположенного над слоистой средой, разложен
в ряд. Однако в отличие от (2.8) полученный ряд имеет конеч-
ное число членов и не содержит производных функции Fv (X),
на трудность вычисления которых уже было указано.
Как будет показано ниже, для инженерных расчетов полей
и сигналов, получаемых от датчиков, удовлетворительная точ-
ность получается при Р — 1 или Р = 2.
27
Если Р = 1, т. е.
Ф (Z) = cie~x‘z,	(2.32)
ТО
J = Fp(ai)O(Z).	(2.33)
Таким образом, приближенное значение интеграла определя-
ется произведением функций Fp (А)Ф (Z) при условии, что
X — ос-^.
Теперь найдем коэффициенты аппроксимирующих экспо-
нент. Обратимся снова к выражению (2.7)
Ф (Z) = Л (%7?i) Д (Лр) e~*zd%.
О
Известно [21, формула (6.612.3)] и [22], что этот интеграл вы-
ражается через присоединенные функции Лежандра второго
рода или через полные эллиптические интегралы первого Е
и второго К рода
(2'34)
где
k 2 /7^
(Лх ч-р)2
Известно также, что если в выражении (2.34) полагать
р = 7? 2,
гдеТ?2 радиус некоторого коаксиального с первым витка, то зна-
чение этого выражения будет пропорционально коэффициенту
взаимной индуктивности М между этими витками [16]
М =	(2-35)
Выражение в скобках, умноженное на 4л, обозначено F (тп) и
подробно табулировано в работе [24]. Тогда коэффициент
взаимной индукции выражается так:
M =	(2.36)
где
28
Функцию Ф (Z) легко определить через/7 (т), если обозна-
чить р = Т?2,
4 л2 У 7?1 /?2
(2.38)
Наличие таблиц функции F (т) значительно облегчает аппрок-
симацию функции Ф (Z). Графики функции F (т), построенные
по этим таблицам в зави-
симости от нормированных
переменных х и g, пока-
заны на рис. 2.1.
Fi
7? 2  Л
при ж<1;
X = •				
	7?г		£1 <	
	Т?2	при	/с	С1
(2.39)
	Z 27?1	II.	
		при X	
1 = '	Z		(2.40)
	27?2	при X	R> ’
Из рисунка видно, что
функция F (т) действи-
тельно близка к экспонен-
те. Для случая Р — 1
(см. формулы (2.28), (2.32))
аппроксимирующую экспо-
ненциальную функцию F* Рис. 2.1. Семейство кривых функций
будем подбирать так, что-	F (т).
бы она точно совпадала с
функцией F (тп) в двух точках и ^2, лежащих близко к кон-
цам отрезка наиболее употребительных значений g.
Если обозначить
F - ае~Ь^	(2.41)
то для определения значений а и Ъ получим систему уравне-
ний:
FUL) =	|
(2.42)
Величины, характеризующие электромагнитное поле, интере-
суют нас в непосредственной близости к датчику, поэтому
29
будем считать, что наиболее употребительные значения % лежат
в пределах 0,2—0,8, а х в пределах 0,5—1. В этом случае
показатель экспоненты можно считать постоянным и равным 3,
а величину а — линейной функцией х:
а = 34 х - 10.	(2.43)
Погрешность аппроксимации при этом ие превышает 3%.
С учетом формул (2.38) и (2.41) функцию Ф (Z) и коэффи-
циенты и можно представить в виде:
Ф (Z) = 34х~22_ е--% '	4л2/	(2-44)
с _ 34% — 10	(2-45)
1 ” 4л2 VlhRi ’	
3 0(1 2R '	(2-46)
где R большее из Rr и Яг.
Таким образом, получены достаточно простые выражения для
функции Ф (Z) и коэффициентов С± и а г
Теперь найдем значения этих коэффициентов при аппрок-
симации функции F (т) двумя экспонентами. Для случая
Р = 2 функция F* должна иметь вид:
F* =	4- а2е~ь^.	(2.47)
Для отыскания четырех неизвестных коэффициентов а17 аг,
и 6г необходимо иметь четыре уравнения. Их можно полу-
чить из условия совпадения функций F (тп) и F в четырех
точках
11, ?2, g3, g4.
Для определения значений искомых коэффициентов полу-
чим систему трансцендентных уравнений:
arc~b^ + а2е~ь^ -- Я(£г);
-j- a2e~b^z — F (£2);
4. а2е~ь^3 = Я(|3);
aie~b^ + a2e~b^ = F (|4).	(2.48)
В общем виде решить эту систему весьма трудно. Прибли-
женное решение показало, что при х = 1 с погрешностью не
30
более 5%, функцию	F* можно выразить следующим образом:
F	* = 24е~«5 + 10ег3Ч	(2.49)
С учетом соотношений записать	(2.28) и (2.38) для этого случая можем
O(Z)	— 4л2/? е	4л2/? е ’	(2.50) С' = WR >	<2’51) » 4“, ,	(2.М)
=	= 4;. Ъ =	(2.53)
При Р 2 зависимость F. и Ф (Z) от х получается более
сложной, чем при аппроксимации одной экспонентой (формулы
(2.44) и (2.45)). Однако, как показал численный анализ, с до-
статочной для практики точностью в диапазоне 0,5 х 1,0
для F* можно сохранить прежнюю зависимость от х и записать
ее в виде
F* = (34х — 10) (^ + 0,42^).	(2.54)
Соответственно выражения (2.44) —(2.46) перепишем так:
ф (Z) = .34и	(е-в' _|. 0,42-2’);
v ’ W\fRxR^	'
34х - io
(2.55)
Сг - ----- z________
4л2 V Jh —
С„ = 0,42 34у'~£1
4л2 //?j/?;
(2.56)
3	1
а1 = -7Г’ а* = 1Г’
где R — большее из и 7?2.
Имея теперь формулы (2.44)—(2.46) и (2.55), (2.56), можем
записать приближенные значения несобственных интегралов,
выражающих общие решения задачи о поле витка, располо-
женного над слоистой средой, в первом и втором приближе-
ниях.
Первое приближение
Подставив выражение (2.44) в (2.33), получим значение
интеграла в виде
J = 34х-10 е_,-р х	(2.57)
31
С учетом обозначения (2.1) выражения (1.24)—(1.26) для
вектор-потенциалов поля в первом приближении теперь можно
переписать так:
1.	Для верхнего полупространства
л • 34х —1U пf	-3(z+/?^	/о -q\
2.	Для каждого слоя
\	j 34х — 10	/"	--X / . q z .	—г/ z \
4„ = poHpf 8Л2 У п~е ы ~ (/^ р + р ) , А •
UJb F -*12	7р	^~2R
(2.59)
3.	Для нижнего полупространства
Д^РорД34^ 1/±fneV	(2.60)
ОЛ Г 112	Чп	* = 2R
Второе приближение
Подставив (2.55) в (2.31), с учетом Р — 2, получим интеграл
J в виде
34\21- [e^Fp (%) I Л + 0,42е-2Лр (К) L=J_’.
4л2 у Я^г v v ’ I 2R	1 v 71 R J
(2-61)
С учетом обозначения (2.2) выражения (1.24) -н (1.26) для
вектор-потенциалов поля во втором приближении можно за-
писать так:
1.	Для верхнего полупространства
л _ у34х —10 1//?! I _3J_£=±_L гп 12=М
41 — р</ 8Я2 V я2 \е R + °>Z12e R +
__ 3 (zH-h)
+ «? н фх(X)I _з_ + 0,42е R Ф1(1)|х=2_
Л~ Н	R
2.	Для каждого слоя
L	г 34х — 10 , /ЯХ Г _L - а 7	7 I Д-
4р - РоНД —8^2 У ъ [ qp е R (fpeqp + фре чр ) | х= +
___h_
+	(fp&V + ^e-V) | х- 4-1.	(2.63)
Чр	ii J
32
3.	Для нижнего полупространства
ро|хп7
34% — 10
(2.64)
§ 2.4.	Сводка формул
второго приближенного решения задачи о поле витка,
расположенного над двуслойным полупространством
Простейшей слоистой структурой является двуслойное по-
лупространство. Задача определения поля витка, расположен-
ного над двуслойным полупространством, представляет интерес
при разработке датчиков и аппаратуры для контроля толщин
гальванических покрытий или электрофизических параметров
двуслойных изделий. Кроме того, решения этой задачи дают
возможность легко получить выражения для поля витка в
присутствии проводящей пластины или полупространства.
Итак, пусть виток расположен на высоте h над двуслойным
полупространством с параметрами слоя а2, Н2, d и параметра-
ми полупространства о3, pt3. Окончательные выражения для
поля получим, подставляя равенства (1.31) -н (1.34) в (2.58)-н
н- (2.64) и введя обозначения
р2 == Л
Рз = R /(ОбзНоНз-
1.	Для верхнего полупространства
3
Заказ № 1315
33
2.	Для слоя
Л =№(34«-4°)7
<‘д//'1+/|-°ьц^)1//Т+7Ф+________>
|Л + 7¥(н.+ у 1 + 7^) ch “ [/1+< +
+ ^|/1+/^°ь^|/1 + ; j  _
+ |/‘ + /? + Ц1 +> ¥) Ь S |/1 +1 ¥ 
(2.G6)
3.	Для нижнего полупространства
^“S(34«-1O)?/i7r«“SX
Формулы второго приближения получаются слишком громозд-
кими и поэтому здесь не приводятся.
ГЛАВА III
ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДАТЧИКОВ
Основу теории накладных параметрических датчиков со-
ставляют закономерности воздействия проводящих образцов
различной структуры на катушку, обтекаемую переменным
током. Определению основных из этих закономерностей и по-
священа настоящая глава. Вначале рассматривается воздействие
проводящей среды на катушку с пренебрежимо малым попе-
речным сечением, маловитковую катушку (соленоид), тонко-
стенную катушку произвольной длины, а затем полученные
результаты обобщаются для катушки-датчика прямоугольного
сечения.
§ 3.1. Воздействие
проводящего нсферромагнитного полупространства
на датчик с пренебрежимо малым сечением обмотки
Пусть тонкостенная и очень короткая катушка расположена
на высоте h над проводящей слоистой средой, как показано на
рис. 1.3. Если размеры ее сечения много меньше радиуса, то
для решения задачи о взаимодействии такой катушки и слои-
стой среды можно воспользоваться материалом предыдущих
глав.
В главе I было показано, что присутствие вблизи витка с
переменным током проводящей среды приводит к изменению
его первоначального поля. Естественно, что изменение конфи-
гурации и величины поля влечет за собой изменение электри-
ческих параметров витка, т. е. его активного и реактивного
сопротивлений. Ясно, что воздействие проводящей среды на
катушку с током проявится аналогично. Для определения
величины этого воздействия достаточно знать выражение для
вектор-потенциала поля в верхнем полупространстве.
3*
35
Напряженность электрического поля в верхнем полу-
пространстве на основании выражения (1.27) определится так:
E^—jaWA^	(3.1)
где W — число витков датчика. Наводимую в последнем э.д.с.
определим как циркуляцию вектора напряженности поля по
контуру его обмотки
^ = ^Etdl.	(3.2)
Поскольку вследствие круговой симметрии задачи напряжен-
ность поля на этом контуре постоянна
ё = 2лП WE± = — j2n^BW2A1,	(3.3)
где R — радиус обмотки датчика.
Деля выражение (3.3) на ток обмотки, получим ее полный
импеданс
ч $ .2tu&RW2Ax	/о /\
Z = — у = 7-----j— .	(3.4)
Таким образом, используя выражения для вектор-потенциа-
ла А19 полученные в предыдущих главах, можно определить Z
датчика в присутствии проводящих сред слоистой структуры.
Поле в верхнем полупространстве представляется суммой
первоначального поля датчика и поля вихревых токов прово-
дящей среды. В свете этого полный импеданс выражается в
виде
= ^0 ^вй)
где Zo — его начальный импеданс, a ZBH — вносимый. В даль-
нейшем нас будет интересовать последний. Импеданс, вноси-
мый в датчик неферромагнитным полупространством, легко
получить, используя выражение (1.39) при р, = 1, р = Д,
z = h\
ОО	--------
Z„.=	(3'5)
Вводя новую переменную интегрирования

36
и обобщенные параметры
н
Р = 7?Уй)<зр0,
(3.6)
(3.7)
а также разделяя действительную и мнимую части, получим
окончательные выражения для активного и реактивного вно-
симых сопротивлений
-V^dy-
вн = — /ГжфоЯННЗJ	-
(3-8)
(3-9)
К сожалению, полученные несобственные интегралы не вы-
ражаются через известные функции. Однако их значения могут
быть найдены численными методами или с помощью прибли-
женных выражений, приведенных в главе II.
В приложении (табл. 2 и 3) даны значения этих интегралов
в зависимости от параметров а и (3, полученные с помощью
ЭЦВМ по методу Симпсона с относительной погрешностью,
н!е превышающей 2%.
Таким образом, зная удельную электропроводность мате-
риала полупространства, над которым помещен датчик, его
радиус, число витков и высоту над образцом, легко, пользуясь
табл. 2 и 3, рассчитать вносимый в датчик импеданс по форму-
лам
7?вн = yincoHoflTVVJa, р),	(3.10)
Хвн = — /2 шфп7?1Г272 (а, 0),	(3.11)
где Л(а,Р) значение интеграла, определяемого по табл. 2,
a I2 (а, Р) — по табл. 3.
На рис. 3.1 на комплексной плоскости приведены обобщен-
ные кривые полного относительного сопротивления витка
(Zo +	в присутствии проводящего полупространства,
рассчитанные по формулам (3.10) и (3.11). По осям координат
37
отложены активная и реактивная компоненты полного сопро-
тивления витка, отнесенные к его индуктивному сопротивле-
нию в отсутствии образца. Собственная начальная индуктив-
Рис. 3.1. Годографы пол-
ного сопротивления витка,
расположенного над про-
водящим неферромагнитным
полупространством.
ность витка рассчитана по известной
формуле [24]
£п = ЦоЯ(1п-^—1,75)	(3.12)
при ~ = 50, где г — радиус прово-
да витка.
Вид приведенных кривых совпа-
дает с хорошо известными экспери-
ментальными кривыми импедансов
катушек, помещенных над проводя-
щим неферромагнитным телом. При
увеличении р относительное актив-
ное сопротивление растет, достигает
максимума, и затем падает. Значе-
ние р, при котором наступает макси-
мум, зависит от того, насколько ви-
ток удален от образца (т. е. от вели-
чины параметра а), и может изменять-
ся в пределах от 5 до 2. При неболь-
ших зазорах можно считать, что эта
величина составляет приблизитель-
но 3.
Вносимая индуктивность отрица-
тельна и с увеличением р непрерывно
растет, достигая своего максималь-
ного значения при
р—> оо.
Величину максимального вносимого
реактивного сопротивления можно
определить, если в выражении (3.5)
положить а —> ос, тогда
оо
ZBH =	4 (ЬЯ) e~2h\lX.
О
(3.13)
Полученный интеграл можно выразить через полные эллипти-
ческие интегралы Е и К, таблицы которых имеются в работе
[23]. Тогда максимальное вносимое сопротивление
38
4ш. макс -- — /copto/?i I " |/ ос- 4- 4 К E~\^ ,	(3.14)
j
К ii E — функции —_-- • — .
V 1 +т
Эту же задачу отыскания максимального вносимого импеданса
можно решить с помощью теории цепей, используя метод зер-
кального изображения, так как в этом случае поле в верхнем
полупространстве имеет такой же характер, как если бы оно
было создано двумя одинаковыми соосными витками (с равны-
ми, но противоположно направленными токами), расположен-
ными на расстоянии 2h один от другого. Вносимое сопротив-
ление в этом случае
Zbh. макс —	J(oAf 9
где М — коэффициент взаимоиндукции между витком и его
зеркальным изображением.
В ряде случаев при решении задач контроля с помощью
накладного датчика необходимо иметь удобные аналитические
выражения для расчета вносимого импенданса. Такие выраже-
ния можно получить, используя материал главы II. Если
подставить выражения (2.25) и (2.27) в (3.4) при условии
z = h, получим приближенные выражения, определяющие
вносимые сопротивления через присоединенные функции Ле-
жандра
77ви = _ 1,41Щ)О>Я(аЗ + 2) W2 & Г(а3 4-2)2-|- 2В2~| ,	Д5)
Р2	/2|_	232 J
хв„ = - н	.	(3.16)
При определении (?i/2, по табл. 1 приложения величина
chu определяется так:
гЬ7, „ 2£2 + (аМ-2)2
СП	232	*
Погрешность вычисления сопротивлений по этим формулам,
как уже отмечалось в § 2.2, не превышает 6—10% по сравне-
нию с результатами, полученными с помощью точного решения
задачи.
Если учесть выражения (2.19) и (2.20), то эти же величины
можно выразить через полные эллиптические интегралы пер-
вого и второго рода,
39
Более простые формулы, выраженные через элементарные
функции, можно получить при использовании результатов
второго приближенного решения (§ 2.3, 2.4). Рассмотрим вы-
ражение (2.58). Второй член суммы описывает вектор-потен-
циал поля вихревых токов, наведенных в образце
.__ 3 (Z + М
(3-17)
2Н
Подставляя его в (3.4) при условии R Rl Rz, z h,
получим выражение для импеданса, вносимого в датчик образ-
цом любой слоистой структуры
_ 3/1 I
ZBH^/24.10-7(o7?IV^ « <Р1(М1 з .	(3.18)
Iх 2R
Полагая в выражении (1.31)
(52 — 63—6, Р-2 — Рз ~ 1 » $ —00
и вводя обобщенные параметры
а = и р R )Л(О(5ро,
получим равенство, определяющее значение функции (fj для
проводящего неферромагнитного полупространства:
Ф1 .	„ ,(3-K9 + /W . (3.19)
Эта функция табулирована в виде
<Р1 =
и результаты помещены в приложении табл. 10.
Подставляя (3.19) в (3.18), получаем полное выражение для
расчета вносимого импеданса
qk	2
Zbh = -^^.-^(3-/9+74F •
р	/
Разделяя действительную и мнимую части, получаем
Лвн = 18-ю-^я е - f« (у2 У у 81 + 16р4 4-9-6), (3.20)
Хвн = — 6'1-0~>Ж27? е~Т 8 (4р2 — ЗУ^УУ 81 + 16р4 — 9 ).
(3-21)
40
Из изложенного следует, что величина вносимого в датчик
неферромагнитным полупространством импеданса определяется
2h	____
двумя обобщенными параметрами а = и Р = 7?]/<оогр,0. Из
этого можно сделать весьма важный вывод о том, что удельная
электропроводность образца и частота тока датчика одинаково
влияют на величину относительного вносимого импеданса
(Zbh/co^o), изменение же радиуса датчика влияет как квадрат
аналогичных относительных изменений частоты или электро-
проводности (при а = const).
В заключение приведем примеры расчета активного вноси-
мого сопротивления с использованием формул, выведенных в
настоящем параграфе. Пусть очень короткая катушка со сред-
ним радиусом R = 5 мм, имеющая 50 витков, помещена на
расстоянии h = 0,75 мм от поверхности массивного свинцового
образца с удельным сопротивлением 0,2 ом*мм2/м. Частота
питающего катушку тока равна 50 кгц.
Вначале определим величины обобщенных параметров а и
Р, имея в виду, что размерности всех входящих в формулы
величин должны соответствовать международной системе еди-
ниц— СИ.
2h 2.0,75Л0-з nQ
а--7Г= 5-Ю-з -0,3;
₽ = н = н -5-ю-з j/2jt'501j4;iy;10~7 = 7.
1.	Расчет по формуле (3.10).
Находим значение интеграла Д (а, Р). В табл. 2 приложе-
ния для а = 0,3 имеются значения Д (а, Р) при Р = 3 и р = 8.
Проводя линейную интерполяцию этих значений, получаем,
что при Р = 7 Д (а, Р) = 0,0657. Подставив теперь значения
всех входящих в формулу (3.10) величин, получим
7?вн = manoRWUi (а, 3) =
= /Гл-2л-104-5-4л-IO'7-5-IO"3-502-0,0657 = 1,45 ом.
2.	Расчет по формуле (3.15).
Вначале определяем
eh» =i2'i,+g + 2>1- -	+	1,17.
По таблицам гиперболических функций находим значение
и = 0,58. Теперь, линейно интерполируя соседние значения,
41
находим величину = —2,3. Подставляя значения всех
величин, входящих в формулу (3.15), получаем:
„	l,41.p0co/?(a3 + 2)^z/
7YBH —-------------£2------- V72 =
1,41 • 4л • 10-7.2л.5 • 104.5. ю-з. (0,3 • 7 + 2) 502. (—2,3)
=--------------------------!— -------------------—- = 1,36 ом.
49	’
3.	Расчет по формуле (3.20)
;/П1( =	~ v (/2 V/81 +1634 + 9 — 6) =
18-10’7-2л-5-104-502-5-1П~3 „„s/i/oW ' ' -------------- р.
=--------------49----------ео^(У2у /81 + 16.74+ 9—6) =
= 1,3 ом.
Как видно из приведенных примеров, значение вносимого со-
противления, рассчитанное по приближенным формулам (3.15)
и (3.20), отличается от полученного по точной формуле (3.10)
на величину порядка 10%.
§ 3.2. Воздействие
проводящего неферромагнитного полупространства
на соленоид
Определение воздействия проводящего образца на соленоид
представляет интерес при использовании его в качестве датчика
для измерения удельного сопротивления полупроводниковых
материалов, когда применяются достаточно высокие частоты
(до десятков мегагерц). В целях упрощения задачи заменим
соленоид системой коаксиальных витков, как показано на
рис. 3.2. Вектор-потенциал в верхнем полупространстве на
контуре тп-го витка от вихревых токов в образце, наводимых
током п-го витка, в соответствии с (1.39) будет
Атп = 0,5ц>7?(Л(Х7?т)Л (U?n)e-^+hn>
J	X + у V+ /O)cspo
(3.22)
Если величина электропроводности не зависит от напряженно-
сти поля, то применим принцип суперпозиции. Выражение
для вектор-потенциала на этом же контуре, наведенного вихре-
42
выми токами от всех N витков,
определится так:
Ат—^Атп. (3.23)
п=1
В соответствии с (3.4) вносимый
в zn-й виток импеданс выразит-
ся следующим образом:
Zu„.m = j2™*mAm. (3.24)
1 т
Если все витки включены после-
довательно и согласованно, то пол-
ное вносимое в катушку сопротив-
ление определится так:
^вп‘— S ^вн. w (3.25)
772=1
Рис. 3.3. Годографы полного
сопротивления двухвитковой
катушки, расположенной над
проводящим полупространст-
вом.
Рис. 3.2. Система витков над
проводящим полупростран-
ством.
Осуществляя замену переменных, вводя обобщенные парамет-
ры а и |3 и разделяя активную и реактивную компоненты, получим
Rw = /2	Jl (jty) (у 2е 2 х
О	71=1
х(|/ |/1+А-+1-у2)^;	(3.26)
оо	N	2
Xbh = -/2Wo7?^/?(&/)( 3 е 2)х
о	П=1
43
Численные значения этих выражений можно получить,
пользуясь табл. 2 и 3 приложения. Интегралы расписываются
в виде суммы, и величина каждого слагаемого отыскивается
по таблицам отдельно. Если для некоторых значений ап или
ап + величины интегралов в таблицах отсутствуют, следует
применить интерполирование соседних значений. На рис. 3.3
показаны кривые изменения полного сопротивления наклад-
ного двухвиткового датчика, полученные описанным способом.
Характер изменения сопротивления остался практически таким
же, как и для одиночного витка.
§ 3.3. Воздействие
проводящего неферромагнитного полупространства
на тонкостенную цилиндрическую катушку
Пусть катушка, изображенная на рис. 3.4, имеет радиус R,
длину I и расположена на расстоянии h от проводящего полу-
Рис. 3.4. Тонкостенная цилин-
дрическая катушка над про-
водящим полупространством.
наведенных в ней токами
пространства. Выделим участок
катушки в виде кольца длиной dz
на расстоянии zm от полупростран-
ства и такой же участок на рас-
стоянии zn. Пренебрегая толщи-
ной катушки по сравнению с ее
радиусом, в соответствии с выра-
жением (1.39) можно следующим
образом записать выражение для
вектор-потенциала магнитного по-
ля на контуре m-го кольца от вих-
ревых токов проводящей области,
и-го кольца
ОО
Апт = О,5цоR1W ? J\ {KR} e~(zm+zn>*d’K. (3.28)
4 J	+ ?
0
Здесь Wdzjl — число витков на участке dzn. Вектор-потенциал
на контуре тп-го кольца от вихревых токов проводящей области,
наведенных током всей катушки, будет равен интегралу от
выражения (3.28) по ее длине. Меняя порядок интегрирования
по % и и интегрируя по ип, получаем
ОО
Ат = - О,5цоЯ/	(KR) e-(zm+h* (e~tK- 1) .^=^dK. (3.29)
4 J	। Я)
о
44
Вносимый в т-е кольцо импеданс в соответствии с (3.4) выра-
зится так:
^внт — 1	г j •
л mL
Интегрируя (3.30) по длине катушки, получаем выражение
для вносимого проводящим полупространством импеданса
оо	_______
z = . л<ор.оЯ2Ж2 С j	1Л <е_;х _ 1)2 X -
J z J	v 7 %2(x + V^+T^Ho)
(3.31)
Разделяя действительную и мнимую компоненты и вводя обоб-
щенный параметр
т=4’	<3-32)
получаем соответственно активную и реактивную компоненты
вносимого импеданса
/?вн = /2	\	- I)2 X
Pl	V
О
х(|/ У1 + Д. + 1-/2-)^,	(3.33)
оо
Хвн =----/2	\ Л2 (Ру) е-^У (е-^У - I)2 (	-
PT J	\ у 2 у-
- ]/ ]/1 +-^- 1 ) dy.	(3.34)
Как и в случае витка, эти интегралы не удалось выразить через
известные функции. Табулирование их даже с помощью ЭЦВМ
оказалось делом трудоемким, поэтому были табулированы род-
ственные им интегралы вида
=	A2(py)e-^(|/ )/1+^+1 - Vsjdy, (3.35)
О
К (3.36)
Таблицы этих интегралов, вычисленные с погрешностью поряд-
ка 2%, приведены в приложении к настоящей работе за номе-
рами 4 и 5.
45
Расчет вносимых в катушку сопротивлений производится
следующим образом. Вначале раскрывается квадрат разности
под знаком интеграла в выраже-
ниях (3.33) и (3.34). Затем эти вы-
ражения представляются в виде
суммы трех интегралов. Значения
каждого из них находятся по
упомянутым выше таблицам и
суммируются. При этом под вели-
чиной v в таблицах следует пони-
мать а + 2у, а + Y и просто а в
зависимости от того, значение
какого из трех интегралов суммы
отыскивается. Полученные значе-
ния затем суммируются.
Кривые изменения полного от-
носительного сопротивления ка-
тушки, полученные описанным спо-
собом, приведены на рис. 3.5. Соб-
ственная индуктивность катушки
определялась по известной фор-
муле
n^W'2 К а, (3.37)
где Ка — функция, табулирован-
ная в [24].
Рис. 3.5.- Годографы полного сопротив-
ления тонкостенной цилиндрической
катушки, расположенной над проводя-
щим неферромагнитным полупростран-
ством (у = 1).
Отметим, что при а — 0 вносимое сопротивление можно
рассчитать более просто по формулам следующего параграфа,
выведенным для случая, когда катушка расположена над
проводящей пластиной. Параметр, характеризующий толщину
пластины, следует брать при этом наибольшим.
§ 3.4. Воздействие
проводящей неферромагнитной пластины
на накладной параметрический датчик
Следующей важной задачей теории метода вихревых токов
является определение связи между вносимыми в датчик сопро-
тивлениями и параметрами образца в виде проводящей нефер-
46
ромагнитной пластины. Выражение для вектор-потенциала
вихревых токов пластины, возбуждаемых витком,Jb соответст-
вии с (1.38) имеет вид
А = — 0,5цеЯ/ Г Л (Х7?) Л (Хр)	• (д2 ~	--—dk ,
r J	v v'	(q — k)2 — (q + X)2
(3.38)
где	___________
g = ]/ V + /соор,,.
Используя методику § 3.1, получим следующее выражение
для импеданса, вносимого пластиной в датчик с пренебрежимо
малым поперечным сечением обмотки
со	,	2qd
Zbh = -	( Л2 (кН) е~2'1Х	dk. (3.39)
Вводя известные обобщенные параметры а и Р и новый
: =	,	(3.40)
заменяя переменную к в соответствии с равенством
х = KR	(3.41)
и разделяя действительную и мнимую части, получаем актив-
ную и реактивную компоненты вносимого импеданса
7?вн = 0,5n|WW2 J Л2 (*КМХ
о
х (х — т) е~2^т — 2хе~^т (х cos £ п — п sin £д) + х (х + т) д
т2 (т — х)е~2^т — 2п2е~^т \2пх sin + (и2 — х2) cos £/г] -|-7п2 (х-^-т)2	’
(3.42)
хвн = — 0,5np00)7?₽2r2^	х
О
п(п — х) е~^,т — 2е~^т т (х sin -]-п cos £и) п (х — т) ,
Х т2 (т — r)e-2!;m— 2n2e-(;m [2na:sin £«+ (re2 — ®2) cos £n] -|- m2 (ж + m)2 X'
_____________ ___________________________(3-43)
47
Полученные интегралы не выражаются через известные функ-
ции и табулированы с помощью ЭЦВМ с погрешностью прибли-
зительно 2%. Табл. 6 и 7 содержат значения интегралов,
умноженные на параметр (J, и помещены в приложении.
На рис. 3.6 показана рассчитанная таким образом зависи-
мость полного относительного сопротивления витка, располо-
женного на высоте h = 0,051? над проводящей неферромаг-
нитной пластиной. Сплошной жирной линией показан ход
полного сопротивления при бесконечно большой толщине
пластины, сплошными тонкими линиями — при ее изменении
от нуля до бесконечности, а штриховыми — при изменении
электропроводности или частоты, когда толщина остается
постоянной.
По аналогии с описанным в § 3.2 легко получить выражения
для сопротивлений, вносимых проводящей неферромагнитной
пластиной в катушку, содержащую небольшое число N витков
~	N
1?вн = О,5л|10(о1?р2 j Fi (a, [J, £, х) ( 2 е % ) dx\ (3.44)
О	n—1
°?	N	апж 2
ХВн = —0,5np.ft(o7?p5 jj F2 (а, ₽, £, х) ( 2 е % } dx (3.45)
О	п=1
и тонкостенную катушку с отношением длины к радиусу, рав-
ному у
ОО
7?вн =. 0,5	С (e~Lx-J)2Fi(а,р,С,х)dx\ (3.46)
Т J х
о
00
Хвн = _ O^tiioyW2	(а, р, dx> (3.47)
Т J х
о
Fi и Fz — соответственно подынтегральные функции выраже-
ний (3.42) и (3.43).
Численные значения выражений (3.44), (3.45) можно опре-
делить аналогично описанному в § 3.2, воспользовавшись
табл. 6 и 7 приложения.
Что касается выражений (3.46) и (3.47), то, как и ранее,
входящие в них интегралы табулированы на ЭЦВМ с погреш-
ностью порядка 2% при условии, что а = 0, и результаты
приведены в табл. 8, 9 приложения. Рассчитанные с помощью
выражений (3.46) и (3.47) кривые изменения полного относи-
тельного сопротивления катушки, стоящей на проводящей
пластине, показаны на рис. 3.7. Кроме того, на рис. 3.8 отдель-
48
4 Заказ № 1315
Рис. J3.6. Годографы полного сопротивле-
ния витка, расположенного над проводя-
щей неферромагнптной пластиной.
49
Рис. 3.7. Годографы полного сопротивления тонкостенной цилин-
дрической катушки, расположенной над проводящей неферромаг-
нитной пластиной (у — 1).
но показаны кривые изменения активной и реактивной компо-
ненты относительного вносимого сопротивления от толщины.
Приближенные, но выраженные явно через элементарные
функции выражения, определяющие сопротивления, вносимые
в накладной датчик неферромагнитной проводящей пластиной,
можно получить, воспользовавшись материалами главы II.
Рис. 3.8. Зависимость активного (а) и реактивного (б) вносимого в^ дат-
чик сопротивления от толщины контролируемой пластины (у — 1).
Выражение (3.4) для импеданса, вносимого в датчик проводя-
щей средой любой структуры с учетом формулы (2.58), имеет
вид
_ 3/t
ZBH- /24.10-7<oW2e я Ф1(Х)	3.	(3.48)
х=«г
Функцию Ф1 для проводящей пластины можно получить, пола-
гая в выражении (1.31)
бз = О, |Х2 = Цз = 1; %	~ .
В этом случае
2^2 th-j- /9+7^
Фх (РЛ) = - j-----------------------z----------. (3.49)
з /9 +	+ (9 + /2₽г) th К9 + 7<
В приложении приведена табл. И этой функции в виде
Ф1(₽Л)=/Ф1(РЛ).
4*
51
Подставляя (3.49) в (3.48), получим полное выражение для
приближенного определения импеданса, вносимого пластиной
в накладной датчик
_ За	рз th 4- /9 +/432
ZBa = j48 • 10-’	2 ------------------------=----------.
3 /9 + 7432 + (9 + 7232) th -f- /9 + /432
(3.50)
Анализируя выражения (3.39) и (3.50), можно сделать вывод
о том, что при постоянном расстоянии между датчиком и пла-
стиной величина вносимого импеданса зависит только от пара-
метров (3 и £ = В общем случае в упомянутые выражения
эти параметры функционально входят по-разному. Это значит,
что на комплексной плоскости вносимых сопротивлений конец
вектора будет описывать разные кривые при изменении толщины
и электропроводности пластины (см. рис. 3.6, 3.7), т. е. имеется
принципиальная возможность раздельных измерений толщины
и электропроводности.
Представляет интерес получить формулы для расчета импе-
данса, вносимого в датчик при условии
£ = ^-<1;	= |/йфо<Г,
т. е. при малой толщине пластины по сравнению с диаметром
датчика и глубиной проникновения плоской волны. В этом
случае выражение (3.49) принимает следующий вид:
Ф1 (3,0 = - / 6Т/И = ~—7 •	<3-51)
/?б/(0С5|Л0 Z
Основной переменной в этом выражении является произведе-
ние Р2£, пропорциональное произведению ad. Следовательно,
в этом предельном случае очень тонкой пластины эффекты от
изменений толщины или электропроводности не различаются.
Разделив действительную и мнимую части выражения (3.51)
и подставив их в (3.48), получим следующие приближенные
формулы для активного и реактивного сопротивлений, вноси-
мых в датчик очень тонкой пластиной:
= 721(3.52)
Х„ = - 24.10-’ »ЛИ-е- ,,	'	(3.53)
52
Заметим, что они близки к формулам Леви [10], полученным
другим путем. Некоторое расхождение численных величин
можно отнести за счет существенно заниженного в работе [10]
значения показателя экспоненты. Таким образом, формулы
Леви являются частным случаем формул второго приближен-
ного решения (§ 2.3 настоящей работы). Семейство кривых,
Рис. 3.9. Семейство кривых функций <pi для проводя-
щей неферромагнитной ~ пл астины.
53
изображающее поведение функции	на комплексной
плоскости, приведено на рис. 3.9. Кривая, построенная по
формуле (3.51), представляет собой дугу полуокружности с
центром в точке —/0,5. Параметром этой кривой является
р2£ — 27?б?собц<(.
Действительная часть функции фг ([3, £) принимает максималь-
ное значение при условии
р£ = 6.
Все кривые, построенные по формуле (3.49), укладываются меж-
ду полуокружностью и кривой, соответствующей полупростран-
ству. Как и ранее, тонкие сплошные линии показывают, как
изменяется функция в зависимости от отношения а штри-
ховые — ее изменения в зависимости от параметра 2р, пропор-
ционального корню квадратному из электропроводности пла-
стины.
Если накладной датчик расположен над немагнитным по-
крытием на немагнитном основании (цз = р3 = 1), то функция
срг в соответствии с (1.31) имеет вид
/9 + 74$ (3 - УЭ + ЛФ!) +
44 = >	/9+/ф22(3 + ]/ 9 +/4р2) +
+ (3 |/ 9 + /ф2 - 9 - /4₽|) th	У9 + /М	(°'54)
+ (3 Уэ + /4|3| + 9 + /4р2) th	У9+/432
Обобщенными переменными в этой формуле являются
₽2 = R У®б2|*0. ₽3 = R У СОбзЦо, £ =	.
Поскольку все эти параметры входят в формулу функционально
по-разному, то соответствующие им годографы вектора вноси-
мого сопротивления в общем случае не совпадают, что, в свою
очередь, означает возможность раздельного измерения толщины
покрытия и электропроводностей покрытия и основания.
§ 3.5. Основные закономерности
работы накладного параметрического датчика
при контроле неферромагнитных образцов
В предыдущих параграфах были получены основные соот-
ношения, связывающие величину вносимого импеданса с изме-
ряемыми и мешающими параметрами системы датчик — обра-
54
зец. Используя этот материал, можно охарактеризовать основ-
ные закономерности работы накладного параметрического дат-
чика. Сделаем это для случая контроля неферромагнитных
материалов или изделий. Взаимодействие накладного датчика
и ферромагнитных образцов будет проанализировано в следую-
щем параграфе.
Рассмотрим воздействие на датчик проводящего образца
достаточно больших размеров, эквивалентного полупростран-
Рпс. 3.10. Зависимости активной (а) и реактивной (б) компонент отно-
сительного вносимого сопротивления от параметра (3 при у = 1,
а = 0.
ству. Как уже упоминалось, с ростом параметра Р, пропорцио-
нального радиусу датчика, электропроводности образца и ча-
стоте питающего датчик тока, относительное вносимое активное
сопротивление вначале растет, при Р 3 достигает максимума
и затем падает до нуля. Вносимое реактивное относительное
сопротивление — отрицательно и с ростом упомянутых величин
непрерывно растет, достигая максимума при р —> оо. Кривые
указанной зависимости показаны на рис. 3.10. Такой характер
изменения ZBH можно объяснить следующим образом. При
малой электропроводности образца ее рост приводит к увели-
чению плотности вихревых токов, наведенных током датчика
в толще образца. Вследствие этого растут потери мощности в
образце и соответственно (т. е. прямо пропорционально элект-
ропроводности образца) растет активное вносимое в датчик
сопротивление. При дальнейшем увеличении электропроводно-
сти образца плотность вихревых токов увеличивается. Магнит-
ное поле этих токов действует навстречу магнитному полю
датчика, и в результате его индуктивность уменьшается. Начи-
ная с некоторого значения электропроводности, индуктивное
сопротивление образца вихревым токам становится равным
55
активному сопротивлению и вносимое активное сопротивление
перестает расти. Явления поверхностного эффекта, обусловлен-
ные полем вихревых токов, вытесняют поле и токи к поверхно-
сти образца и также способствуют развитию указанных явлений.
Чем больше электропроводность образца, тем сильнее проявля-
ется поверхностный эффект и тем больше искажается первона-
чальное поле датчика. Это приводит к дальнейшему уменьше-
нию индуктивности последнего. При воздействии на датчик
сверхпроводящего образца поле совершенно не проникает в
него и вносимая отрицательная индуктивность становится мак-
симальной.
Анализ выражений (3.8), (3.9), (3.20), (3.21), (3.26), (3.27),
полученных ранее, показывает, что в общем случае основными
обобщенными параметрами системы датчик — образец явля-
ются a = 2fe//?, P=/?Kg)^|li0 и у = 1/R. Легко видеть, что при
поддержании параметров а и у постоянными электропровод-
ность1 образца действует на относительный вносимый в датчик
импеданс так же, как частота питающего тока, а величина
радиуса датчика действует в квадрат раз сильнее.
Рассмотрим теперь, как на величину вносимых сопротивле-
ний влияет изменение зазора между датчиком и образцом.
Знание этой зависимости весьма важно, так как метод вихре-
вых токов часто применяется для измерения зазоров и толщин
непроводящих покрытий на проводящих основаниях. В первом
приближении, как это было показано в § 3.1, зависимость вно-
симого импеданса от величины зазора можно считать экспо-
ненциальной,
з
------------------------------------а
ZBH = const- е 2 .
Более точные результаты, полученные с помощью ЭЦВМ, по-
казывают, что эта зависимость действительно близка к экспо-
ненте, особенно в области высоких частот и больших значений
электропроводности. В общем же случае она носит более слож-
ный характер. Кроме параметра а, некоторое влияние оказыва-
ют на нее параметры § и у. На рис. 3.11 приведены кривые
зависимости активной и реактивной компонент относительного
вносимого сопротивления от параметра а, построенные по ре-
зультатам, полученным с помощью ЭЦВМ. Кривые показывают,
что активная компонента сильнее всего зависит от зазора при
[3^:3, а реактивная — при |3 —> ос. Эту особенность следует
иметь в виду при разработке приборов для измерения зазоров
и толщин непроводящих покрытий, так как она характеризует
чувствительность датчика к изменениям измеряемых в данном
случае величин. Здесь же следует отметить, что при больших
56
значениях Р величина электропроводности практически пере-
стает влиять на величину и характер изменения вносимого
импеданса.
Остановимся еще на одной важной особенности влияния
величины зазора на вносимое в датчик сопротивление. Как
показывает рис. 3.5, линии удаления датчика, т. е. линии на
Рис. 3.11. Зависимости активного (а) и реактивного (б) вносимого сопро-
тивления от расстояния между датчиком и образцом (у = 1).
комплексной плоскости, по которым перемещается конец век-
тора вносимого сопротивления при изменении зазора, весьма
близки к прямым. Это означает, что в данном случае меняется
лишь модуль вносимого сопротивления, в то время как его
фаза практически остается неизменной. Это значит, что кривые
вносимого сопротивления при разных зазорах приблизительно
подобны. Фазовый угол вносимого сопротивления меняется
только при изменении электропроводности образца. Таким об-
разом, если измерять значение этого угла, можно исключить
влияние зазора на результаты бесконтактных измерений элект-
ропроводности.
На рис. 3.12 изображены кривые полного относительного
сопротивления нагруженных датчиков разной длины. Из рис.
3.12 следует, что чем длиннее датчик, тем меньше вносимый
57
в него относительный импеданс. Это естественно, так как при
значительной длине датчика его верхние витки оказываются
слабо связанными с образцом, и дальнейшее увеличение длины
приводит к незначительному росту абсолютного значения вно-
симого импеданса. В то же время собственное полное сопротив-
(jALq
ление датчика с увеличением длины
быстро растет, что и приводит к умень-
шению величины относительного вно-
симого импенданса. Абсолютное значе-
ние вносимого импеданса при увеличе-
нии длины датчика и при условии, что
плотность намотки остается постоян-
ной, непрерывно растет, достигая мак-
симума при у —> оо.
Учитывая сказанное, можно сделать
вывод о том, что для получения макси-
мальной величины относительного сиг-
нала, пропорционального	длину
обмотки датчика следует выбирать по
возможности малой. Как видно из рис.
3.12, кривые полного относительного
сопротивления датчиков различной дли-
ны имеют максимум активного вносимого
сопротивления при Р ж 3, т. е. эти
кривые так же, как и при различных
Рис. 3.12. Годографы полного сопротивления
датчиков различной длины, расположенных
над проводящим неферромагнитным полу-
пространством (а = 0).
зазорах, приблизительно подобны. Учитывая изложенное, мож-
но сформулировать следующее правило подобия для накладного
датчика: «Кривые полного относительного сопротивления на-
груженного накладного датчика при изменении его параметров
или зазора между ним и образцом приблизительно подобны».
Это правило позволяет установить однозначное соответствие
между геометрическими размерами датчика, рабочей частотой
и электропроводностью образца, с одной стороны, и границами
характерных участков на кривых полного сопротивления на-
груженного датчика, с другой. Первый участок, отличающийся
быстрым ростом активного вносимого сопротивления, определя-
ется значениями 0,1 <Г [3 <Г 2, второй участок, на котором бы-
стро изменяется в основном реактивное вносимое сонротивле-
58
ние, определяется значениями 2 < р < 5, третий участок, на
котором активное вносимое сопротивление уменьшается, за-
нимает область р 5. До настоящего времени при определе-
нии параметров датчика и рабочей частоты, соответствующих
выбранному для работы участку кривых полного сопротивле-
ния, требовались длительные экспериментальные работы. Ис-
Рис. 3.13. Зависимости активной и реактивной компонент вносимого
сопротивления от частоты.
пользуя указанные выше границы и задаваясь средним на
выбранном участке значением параметра Р, можно легко опре-
делить требуемое соотношение между диаметром датчика и
рабочей частотой питающего его тока. Таким образом, правило
подобия позволяет распространить результаты, полученные
при анализе работы накладного датчика вполне определенной
геометрии, на большую часть применяемых на практике дат-
чиков.
При использовании накладного датчика для измерения
электропроводности материалов важйо знать не только значе-
ния вносимых в датчик сопротивлений. Наибольший интерес
представляет величина чувствительности датчика к изменениям
электропроводности, характеризуемая соответствующими про-
изводными 7?вн и Хвн по электропроводности. Кривые этих
производных, полученные графическим дифференцированием
основных кривых, приведенных на рис. 3.10, показывают, что
максимум производной активного вносимого сопротивления
получается при Р 1,3, а реактивного — при р 3.
При разработке измерительных устройств, основанных на
использовании вихревых токов, весьма важно знать зависи-
мости вносимого импеданса от частоты тока, питающего датчик,
59
и величины радиуса обмотки последнего. Эти зависимости,
рассчитанные по формулам (3.8), (3.9), для случая, когда
обмотка датчика расположена над поверхностью массивного
медного (о = 5,7-107 ом"1 м"1) образца, представлены на
рис. 3.13. Расстояние между серединой длины обмотки датчика
и поверхностью образца составляет 1 мм. Анализ этих кривых
(при учете логарифмического масштаба) показывает, что при
низких частотах активное вносимое сопротивление изменяется
пропорционально квадрату частоты, а при высоких — про-
порционально корню квадратному последней. Реактивное вно-
Рис. 3.14. Эквивалентная схема
датчика, расположенного над
проводящей пластиной.
симое сопротивление при высоких
частотах изменяется прямо про-
порционально частоте.
Рассмотрим теперь подробнее
воздействие на датчик неферромаг-
нитной проводящей пластины.
С ростом толщины (см. рис. 3.8, а)
активное вносимое сопротивление
сначала растет, достигает макси-
мума и затем падает. Чем больше
при этом электропроводность материала, тем раньше наступает
максимум и тем больше его величина. Как уже указывалось в
§ 3.4, предельная кривая полного сопротивления на комплексной
плоскости является полуокружностью. Это значит, что макси-
мально возможная величина вносимого в датчик активного
сопротивления равна половине максимального реактивного.
Наличие максимума у кривых рис. 3.8, а можно объяснить,
заменив воздействующую пластину вторичной замкнутой на-
коротко катушкой с активным сопротивлением Т?2 (опреде-
ляемым удельным сопротивлением материала пластины и ее
толщиной) и реактивным сопротивлением Х2, как показано
на рис. 3.14. Как известно, при такой замене вносимое в датчик
сопротивление
(СОМ)2 Я2
Лвн ~ R\ +	’
(3.55)
где М — коэффициент взаимной индукции между датчиком и
эквивалентной катушкой.
Можно считать, что велчины М и Х2 при изменении толщи-
ны меняются слабо, так как расстояние между датчиком и об-
разцом остается постоянным. При малых толщинах пластины
эквивалентное сопротивление Т?2 будет очень большим и ве-
личиной Х2 в знаменателе по сравнению с ним можно будет
пренебречь. Тогда 2?вн будет обратно пропорционально Ri,
60
и, следовательно, с увеличением толщины будет увеличивать-
ся. С ростом толщины пластины активное сопротивление
эквивалентной катушки будет уменьшаться и, наконец, сравня-
ется с ее реактивным сопротивлением. Это равенство будет
соответствовать максимуму кривых (см. рис. 3.7). Дальнейшее
увеличение толщины приведет к еще большему уменьшению
Д2, что, в свою очередь, приведет к уменьшению 7?вн. Когда
толщина пластины станет больше глубины проникновения
поля датчика, вносимое сопротивление перестанет изменяться.
Изменение вносимого реактивного сопротивления (см. рис.
3.8), носит иной характер. Его максимум лишь незначительно
превышает Хвн для бесконечно большой толщины. Это можно
объяснить следующим образом. Вносимое реактивное сопро-
тивление в соответствии с рис. 3.14 определяется так:
вн
Для очень тонких пластин активное сопротивление эквивалент-
ной катушки велико, и именно оно определяет рост Хвн, с ро-
стом толщины. Когда же с ростом последней Т?2 перестает изме-
няться, рост Хвн прекращается.
Кривые (см. рис. 3.8) позволяют для каждого значения элек-
тропроводности материала пластины, рабочей частоты или диа-
метра датчика определить ту наименьшую толщину, при которой
ее дальнейшее увеличение не сказывается на величине вно-
симых сопротивлений. Эта величина толщины является практи-
чески глубиной проникновения поля в образец. Анализ кривых
(см. рис. 3.7, 3.8, 3.9) показывает, что при малых значениях па-
раметра р поле проникает в образец на 2 ~ 2,5 длины радиуса
При увеличении параметра р глубина проникновения поля по
отношению к радиусу уменьшается и, например, при Р — 10
составляет всего 0,25 длины радиуса. Толщина пластины прак-
тически перестает влиять на величину вносимого сопротивле-
ния при
где 6 — глубина проникновения в образец поля плоской волны.
Для раздельного контроля толщины и электропроводности
пластин параметры Р и £ следует выбирать такими, чтобы была
достаточно высокой чувствительность датчика к изменениям
контролируемых параметров, а соответствующие им годографы
на комплексной плоскости пересекались под достаточно больши-
ми углами.
61
В заключение отметим, что хотя весь изложенный в главе III
материал получен для датчиков с пренебрежимо малыми линей-
ными размерами обмоток или датчиков в виде тонкостенных ци-
линдрических катушек, полученные результаты и выводы мож-
но распространить на реальные датчики с обмотками прямо-
угольного сечения. При этом эквивалентный диаметр катушки
[24] можно определить по следующей формуле:
Рэ-/)ср	(3.57)
где
Dt — внутренний, a De — внешний диаметры катушки. Экви-
валентное расстояние между датчиком и образцом
ha = h + 4- •	(3-58)
где I — длина катушки.
При анализе работы длинных катушек-датчиков следует поль-
зоваться формулами и таблицами для тонкостенных цилиндри-
ческих катушек (§ 3.3, 3.4), вводя эквивалентный радиус в со-
ответствии с выражением (3.57).
§ 3.6. Воздействие
проводящего ферромагнитного образца
на накладной параметрический датчик
Задача о взаимодействии накладного датчика и ферромаг-
нитного образца в теории контроля методом вихревых токов
имеет весьма большое значение, так как сплавы железа и дру-
гих ферромагнитных металлов являются основным сырьем для
машиностроительной промышленности. Однако в силу значи-
тельных математических трудностей эта задача до настоящего
времени не решена. В общем случае магнитная проницаемость
является функцией напряженности магнитного поля, и вслед-
ствие этого уравнение (1.6), описывающее поле в присутствии
ферромагнитной среды, оказывается нелинейным, что в значи-
тельной мере затрудняет решение поставленной задачи. Учи-
тывая, однако, что при контроле с помощью накладного датчи-
ка напряженности полей в силу слабой связи между ним и об-
разцом обычно невелики, можно с некоторым приближением
считать магнитную проницаемость постоянной величиной.
62
В этом случае, используя выражение (1.37) и методику, изложен-
ную в § 3.3, получаем следующее выражение для импеданса,
вносимого в катушку проводящим ферромагнитным полупро-
странством
09	__________
ZBH = j	Г 72(ХД)е-2Лх (ечх_ 1)2	.
Z J	Р% + уХ2 + /(0<5Щ10
Входящий в это выражение интеграл не берется, хотя и может
быть протабулирован на ЭЦВМ. Задачу определения ZBII в этом
случае можно решить, воспользовавшись приближенным выра-
жением для поля накладного датчика в соответствии с материа-
лом главы II. Функция <рх для проводящего ферромагнитного
полупространства в соответствии с (1.31) при
ц2 = Нз =’ Ц, d^> оо
имеет вид
—	.	. Зц — У"9 4- /432	/о
Ф1 = 7Ф1 = 7 ----,	(3.59)
3|1 + /9 + №	V ’
где
Р = В ]/ соо|10Н = ₽о /Й-
Подставляя (3.59) в (3.48), получаем следующее выражение для
вносимого импеданса
За	1------
ZBH= /24• 10-7• й)7?Ж2<Г+	.	(3.60)
Зц + Г9 + /432	’
Значения функции фх приведены в табл. 12 приложения.
Для случая неэлектропроводящего (о = 0) магнитного полу-
пространства формула (3.59) принимает вид
(3.61)
Из этого следует, что вносимое сопротивление положительно и
имеет чисто реактивный характер.
Из выражений (3.59) и (3.61) следует также, что максималь-
ное значение модуля функции <рх равно единице при ц —> ос. Это
значит, в частности, что плоская катушка, лежащая на поверх-
ности ферромагнитного полупространства, может иметь мак-
симальную индуктивность лишь в два раза большую, чем ее
индуктивность в свободном пространстве.
63
Рис. 3.15. Годографы
функции ф! для про-
водящего ферромаг-
нитного полупрост-
ранства.
При достаточно больших значениях
параметра [3 и относительной магнитной
проницаемости, т. е. при
₽>1, н>1
формула (3.59) принимает вид
3 —
<р‘ = '—ж—•	<3'62>
у р
где
₽о = R V СОбЦо .
В этом случае параметром функции <рх
является отношение Ро/’Кн» т- е- на
комплексной плоскости при изменении
а или ц функция будет выражена одной
кривой, и раздельный контроль этих
величин будет затруднен.
На рис. 3.15 приведено семейство
кривых, построенных по формулам
(3.59), (3.62) для различных значений
параметров [3 и ц. Эти кривые харак-
теризуют величину вносимого в датчик
проводящим ферромагнитным полупро-
странством импеданса, отнесенного к
величине
Zo - 24 • 10~7(0 W2e“	(3.63)
пропорциональной начальному сопротивлению датчика. Из
рис. 3.15 следует, что в общем случае проводящего полупрост-
ранства вносимая индуктивность может принимать как поло-
жительные так и отрицательные значения. Если материал по-
лупространства ферромагнитен, то при любой электропровод-
ности можно так подобрать частоту питающего датчик тока,
что вносимое сопротивление будет чисто активным.
Наибольшие углы между направлениями изменения вноси-
мого сопротивления при изменении магнитной проницаемости
и электропроводности получаются в области малых значений
параметров Риц. Это значит, что при необходимости раздель-
64
пых измерений а и ц необходимо работать именно в этих
областях.
Приближенные выражения для импеданса, вносимого про-
водящими ферромагнитной пластиной или двуслойной средой,
можно получить, подставив соответствующие параметры в вы-
ражение (1.31) и использовав затем выражение (3.48). Для дву-
слойной ферромагнитной среды с параметрами слоя «2, сг2, Ц2
и нижнего полупространства о3, р,3 функция имеет вид
ц2 /9 +/4^ (Зц3 - /9 4- /43«) +
Ф1 = 7	----г -	-------------г----— •->
Нз У 9-1-7431(3^+ ]/9 4 -/4^) {-
+ [Зц* V9 + /43з - Нз (9 + /4₽|)] th	/9 +	(3,64)
-|- [Зц2 /9 4/'Фз + Из (9 4- /4322)1 th	У 9 4-7'43^
Как и ранее, параметры среды вх дят в эту формулу функцио-
нально по-разному. Это означает, что и в случае ферромагнит-
ной двуслойной среды имеется возможность раздельного много-
параметрового контроля.
Рис. Г3.16. "Вариант кон-
струкции накладного пара-
метрического датчика с маг-
нитопроводом.
§ 3.7. Теория параметрического накладного датчика
с магнитопроводом
В технике, использующей метод вихревых токов, часто при-
меняются накладные датчики с магнитодиэлектрическим магни-
топроводом (рис. 3.16). Литературных источников, посвящен-
ных анализу таких датчиков, весьма
мало. Единственной работой, непо-
средственно связанной с указанным
вопросом, является, по-видимому,
статья [25]. В ней на основе решения
задачи о поле датчика с магнитопро-
водом (в присутствии проводящего
образца) выведена формула для рас-
чета вносимой в датчик проводимо-
сти. Однако авторы не приводят пол-
ных таблиц полученных функций,
и поэтому использовать результаты
этой статьи практически невозможно.
Приведенная ниже теория накладного параметрического дат-
чика с магнитопроводом основана на несколько ином подходе
к указанной проблеме, дающем, однако, результаты, вполне
приемлемые для инженерных расчетов. Этот подход основан на
втором приближенном решении задачи о поле датчика (§ 2.3).
5 Заказ № 1315
Как будет показано подробно в главе IV, реакция проводящей
слоистой среды на катушку с током I эквивалентна (прибли-
женно) воздействию зеркального изображения этой же катушки
с током
^ф1(^)|	3 7
где — эквивалентный радиус катушки. Используя это по-
ложение, можем записать выражение для полного напряжения
на катушке с магнитопроводом в присутствии проводящей сло-
истой среды.
и - ип + С7ВН - ZH[ + jaMi^ (Ь) I з ,	(3.65)
где Z7H и Z7BH — соответственно начальное и вносимое напря-
жения, а М — коэффициент взаимной индукции между катуш-
кой с магнитопроводом и ее зеркальным отображением. Выра-
жение (3.65) получено в предположении, что ось датчика пер-
пендикулярна поверхности проводящей среды.
Разделив равенство (3.65) на ток /, получим выражение для
полного сопротивления датчика с магнитопроводом, располо-
женного над проводящей слоистой средой
Z — Zn + ZBII = Zn + coMcpi(?i) | з ,	(3.66)
где
2ВИ = ЙВД| _з_.	(3.67)
I 2НЭ
Как и ранее (§ 2.3), считаем, что М является экспоненциально"
функцией зазора h. За величину h в данном случае будем при-
нимать расстояние от торца магнитопровода до поверхности про
водящей среды. Тогда
_ З/г
Мпе R3.	(3.68)
Итак, из формул (3.67), (3.68) следует, что для расчета вно-
симого в датчик с магнитопроводом сопротивления необходимо
знать значение коэффициента взаимной индукции MQ датчика и
его зеркального изображения при нулевом зазоре и величину
эквивалентного радиуса 7?э.
Значение Мо может быть определено экспериментальным пу-
тем с помощью основного и идентичного ему вспомогательного
66
датчика. Сомкнув оба датчика рабочими торцами (чтобы зазор
равнялся нулю) и измеряя высокоомным вольтметром напряже-
ние UQ на одном из них при известном токе /, питающем другой,
легко определить
ЛГ0 = -^.	(3.69)
Эквивалентный радиус датчика для ориентировочных расче-
тов можно определить как средний радиус его катушки
(3.70)
где ^-толщина катушки.
Более точно величину эквивалентного радиуса можно най-
ти экспериментально, исходя из уравнения (3.68). Если расстоя-
ние между торцами датчика h устано-	а
вить таким образом, чтобы М =
т. е. чтобы показатель экспоненты вы-
ражения (3.68) стал равен 1, получим
/?э - 3h.
Указанные пути для определения
величин Мо и Rq не являются един-
ственными — могут быть использованы
и дру гие, например аналитические.
Итак, учитывая изложенное, можем
записать окончательное выражение для
полного сопротивления датчика с маг-
нитопроводом, расположенного на .рас-
стоянии h от поверхности проводящей
среды,
ЗП	I
z = Z„4- й* Ф1.(Х)1Х = 2?ГЭ • (3-71)
50 L
5
10 R, ом
Рис. 3.17. Годограф полного сопротивления
датчика с магнитол ров одом (а = 0).
Для подтверждения и уточнения полученных выражений
проведем сравнение теоретических результатов с эксперимен-
том. На рис. 3.17 приведена полученная экспериментальным пу-
тем кривая изменения полного сопротивления датчика, с магни-
топроводом, имеющего следующие параметры: 2а — 4,8 мм;
2Ь = 10,2 мм; 2с = 2,5 мм; I — 10,4 мм, число витков медной
проволоки W = 125. Значения удельной электропроводности
металлов, с которыми проводился эксперимент, приведены в
5*
67
таблице 12.'»]. С помощью формулы (3.71) и таблицы функции <рт
для проводящего полупространства вычислены значения полного
сопротивления датчика и соответствующие материалам из таб-
лицы точки обозначены на рис. 3.16 буквами В', С', D', F'.
Эквивалентный радиус определен по формуле (3.70)
7?э =1,2 + 2,55 - 3,75 мм.
Как видно из рис. 3.17, рассчитанные теоретически точ-
ки ложатся на кривую, но несколько выше, чем соответству-
ющие им экспериментальные точки. Такое небольшое рас-
хождение теоретических и экспериментальных данных вполне допустимо для большинства Таблица значении электропровод-	инжрнрпньтх пясчртов ности образцов	инженерных расчетов. 	 В результате проведенного			
Наимено- вание точки рисунка	Проводник	Значения электропро- водности (олгЧм-МО-	анализа можно сделать сле- б) дующие выводы. Годографы
А В G D Е F G Н I личение ров КОН!	Воздух Нерж, сталь Цирконий Свинец Олово Латунь А л юм. сплав Алюминий Медь его абсолюта ?ролируемых	0	метрического датчика с маг- 1,4	нитопроводом и без него ана- 2,0	логичны по форме. Однако величины сопротивлений, 14’	вносимых в датчик с магнито- 23	проводом, значительно боль- 35	ше. Это весьма важное пре- i 57	имущество рассматриваемого датчика, так как означает уве- [ой чувствительности к изменению парамет- образцов. Существенно при этом отметить,	
что с увеличением длины катушки датчика не происходит умень-
шения относительной чувствительности AZBH/ZH, как это полу-
чается у датчиков без магнитопровода. Это объясняется тем. что
магнитопровод обеспечивает практически одинаковую связь с
образцом любого витка катушки, в то время как у обычных дат-
чиков верхние витки имеют с ним весьма слабую связь.
Недостатком датчиков с магнитопроводом является большая
температурная нестабильность, поскольку применяемые для
магнитопроводов магнитодиэлектрики .еще весьма несовершен-
ны в этом отношении.
§ 3.8. Распределение
плотности вихревых токов в образце
Вопрос о распределении вектора плотности вихревых токов
в образце при использовании МВТ для целей дефектоскопии или
бесконтактных измерений электрофизических параметров ве-
68
ществ представляет большой интерес. Это связано с тем, что
выявление трещин и других дефектов наиболее эффективно в
том случае, когда направление их наибольшей протяженности
перпендикулярно направлению вектора плотности вихревых
токов. При измерениях электропроводности или магнитной
проницаемости веществ знание распределения плотности токов
в образце позволяет судить о характере усреднения получен-
ных результатов по его объему.
Если пренебречь токами смещения, то, как известно, плот-
ность тока в проводящем теле определяется следующим выраже-
нием:
Т=бЁ.	(3.72)
Напряженность электрического поля, создаваемая током витка
или обмотки накладного датчика, расположенных так, что их
ось перпендикулярна поверхности проводящего тела, в соответ-
ствии с выражением (1.27) определится так:
Ё=:	(3.73)
Подставляя (3.73) в (3.72), получаем выражение для плотности
вихревых токов
/ = —/сооЛф.	(3.74)
Отсюда следует важный вывод: плотность вихревых токов в об-
разце имеет только <р-ю компоненту и так же, как и вектор-по-
тенциал магнитного поля, от координаты <р не зависит, т. е. то-
ки, наведенные полем датчика в слоистой среде, текут по кон-
центрическим окружностям, соосным с витками датчика.
Воспользовавшись соотношениями (1.25)-4-(1.26) для век-
тор-потенциала поля, можно легко найти общие выражения для
плотности вихревых токов в любом слое слоистой среды и под-
стилающем полупространстве
qpz ।
 + Ъе .
h = — jO.Swp.UpCpffJW	™ Л
‘о р
Xe~Xh (Х/?)Л(^р)с?Х;
(3.75)
ОО
Tn = -jO,b<d^n<5nRjW\ fn.e4^h	(3.76)
где qp = X2 + ](£>вр МоНр? а — эквивалентный радиус дат-
чика.
69
Интегралы в полученных формулах не выражаются через из-
вестные функции, однако их значения могут быть получены
численными методами, например, с помощью электронных вы-
числительных машин. Приближенные, но вполне пригодные
для инженерных расчетов выражения для плотности вихревых
токов в слоистой среде могут быть получены при использовании
материалов главы II, и, в частности, § 2.3. Подставив равенства
(2.59), (2.60) в (3.74), запишем искомые приближенные выра-
жения для плотности вихревых токов в любом слое слоистой
среды и подстилающем полупространстве соответственно
“	•	TW7 34% — Ю ->
]Р = — 7®бр	~ У 7 Х
__	__ 3h
+4VV)«	<3-77’
x=5r
.__	3h
т	.	vIV7 34% — 10	/ 7?i X / V 2R	/о пах
J —	У “7"' fne -	з •	(3.78)
Здесь R — большее из Rlt p. В частном случае, когда образец
имеет форму пластины выражения для функций fp и фр, кото-
рые теперь следует обозначить как /2 и ф2, можно получить из
равенств (1.32), (1.33), выведенных для двуслойной среды, по-
лагая о3 = 0, |13 = 1, т. е. q3 = к
j __ %я {я И- e<l .	/Q 7о\
/2“ + ( j
Ф-2 -----2?	9)	.	(3.80)
(И% + ?)2	- (цХ — <72)e~9d	'
Подставляя равенства [3.79], [3.80] в [3.77], получим прибли-
женное выражение для расчета плотности тока в ферромагнит-
ной пластине, толщиной J, электропроводностью о и относитель-
ной магнитной проницаемостью ц.
.__3h
7 = _/(оДИоИ/Г^(^я71О1 У аНХ
v + <?) gg(d+2) + (их - ?)	(<Ж) I	,38n
(HX + g)2e9d- (их- яге-** |х » ’ v •
Если в последнем равенстве толщину пластины устремить в
бесконечность, получим приближенное выражение для плотно-
сти вихревых токов, наведенных полем датчика в проводящем
70
полупространстве
(3.82)
Если полупространство неферромагнитно, то
i = — 4^2 IWK (34х — 10) у ( /V + /софэ —
Z ^+>014-
3h »	(3.83)
1Л=’5в
R — большее из 7?1? р. Кривые изменения модуля плотности
вихревых токов в этом последнем случае при условии, что виток
или короткая катушка наложены непосредственно на образец
Рис. 3.19. Кривые изменения
модуля плотности вихревых
токов, возбуждаемых наклад-
ным датчиком в проводящем
неферромагнитном полупро-
странстве при р = Ri и h = 0.
Рис. 3.18. Кривые изменения модуля
плотности вихревых токов, возбуждае-
мых накладным датчиком в проводящем
неферромагнитном полупространстве
(h --= 0).
приведены на рис. 3.18. Они построены в соответствии с выра-
жением (3.83). Для получения обобщенных кривых плотность
вихревых токов, отнесена к величине IWIR\* Как видно из
рис. 3.18, в точках на оси датчика плотность вихревых токов
71
равна нулю. С увеличением координаты р она растет и достигает
максимума непосредственно под витками обмотки датчика. При
дальнейшем увеличении координаты р плотность тока непре-
рывно падает.
При изменении координаты z (z — отрицательно) в направ-
лении образца плотность тока также падает. В соответствии с
выражением (3.83) закон убывания модуля плотности тока опре-
деляется экспонентой
--1/ У 81+16^4 (<Wo)2 1-9
Г 1
На рис. 3.19 показана зависимость модуля плотности тока о г
обобщенной координаты z/R-^ при р = Rv Естественно, что при
больших значениях электропроводности образца или частоты
питающего датчик тока (т. е. при больших значениях парамет-
ра Р —-Ri ]/cocf|1oL как и в случае плоской волны, плотность тока
убывает быстрее.
Как показывает анализ выражения (3.83), в плоскости z —
= const при р Rr фаза плотности тока остается неизменной, а
при р R± — меняется в соответствии с экспонентой
где
а
₽Р = р У wo-
При изменении координаты z фаза плотности тока изменяется
линейно.
ГЛАВА IV
ТЕОРИЯ НАКЛАДНЫХ ТРАНСФОРМАТОРНЫХ ДАТЧИКОВ
Трансформаторные датчики, как об этом уже упоминалось во
введении, являются многообмоточными, имеющими одну токо-
вую и одну или несколько измерительных обмоток. Эти датчики
имеют ряд преимуществ перед обычными однообмоточными дат-
чиками. Одно из этих преимуществ — более высокая стабиль-
ность получаемых сигналов. При использовании однообмоточ-
ных (параметрических) датчиков собственное сопротивление об-
мотки суммируется с полезным вносимым сопротивлением, и
температурная и другие нестабильности собственного сопро-
тивления оказываются прямыми, трудно устранимыми погреш-
ностями измерения тех или иных параметров исследуемых об-
разцов. Двухобмоточные датчики можно сделать принципиаль-
но свободными от этого недостатка. Для этого токовую обмотку
необходимо питать током постоянной амплитуды, а напряжение
на измерительной обмотке измерять вольтметром с очень высо-
ким входным сопротивлением.
Повышенная температурная стабильность наряду с другими
преимуществами, например отсутствием гальванической свя-
зи между измерительными и питающими датчик цепями, делает
трансформаторные датчики весьма перспективными, хотя, ко-
нечно, большая простота однокатушечных датчиков и более
широкий частотный диапазон оставляют за ними право на су-
ществование.
§ 4.1. Воздействие
проводящего образца на датчик
с пренебрежимо малым поперечным сечением обмоток
Основной задачей исследования трансформаторных датчи-
ков является получение и анализ выражений для э.д.с. или на-
пряжения измерительных обмоток в присутствии сред различ-
ной структуры.
73
Рассмотрим вначале датчики с пренебрежимо малым попе-
речным сечением обмоток, а затем распространим полученные
результаты на реальные датчики. Взаимное расположение об-
моток в этом случае показано на рис. 4.1.
В соответствии с выражением (1.27) напряженность элект-
рического поля можно записать так:
Ё — —/(0РИ1Л1,
(4.1)
где Л1— вектор-потенциал суммарного поля в верхнем полу-
пространстве, определяемый выражениями (1.24), (1.37), (1.38),
Рис. 4.1. Расположение обмо-
ток классического трансфор-
(1.39) в зависимости от структуры
среды, над которой размещается
датчик, a W± — число витков токо-
вой обмотки.
Э.д.с. измерительной обмотки
определится как циркуляция на-
пряженности электрического поля
Ё, по контуру измерительной об-
мотки радиуса R 2
%2=-. $ Edp,	(4.2)
О
маторного датчика.
где р — контур интегрирования.
В силу того, что напряженность Е постоянна на любом со-
осном с токовой обмоткой контуре
- 2л/?2ТУ2£,
(4.3)
где W2 — число витков измерительной обмотки датчика. Под-
ставляя равенство (4.1) в выражение (4.3), получим
£2	~~j2n^W1W2R2A1.	(4.4)
Подставляя в (4.4) выражения (1.24), (1.37), (1.38), (1.39), мож-
но получить соответственно точные выражения э.д.с. измери-
тельной обмотки для сред различной структуры. Однако интер-
претация этих выражений даже с помощью ЭЦВМ весьма
затруднительна. Учитывая это, в дальнейшем используем при-
ближенные решения для поля в верхнем полупространстве,
полученные в главе II. Более общим из этих решений является
второе, поэтому применим именно его.
74
С помощью выражений (2.58) и (4.4), получим следующую
формулу для э.д.с. измерительной обмотки в первом прибли-
жении:
(34х —10) Г 2 е~ ** I —
— 3
— /^®(34х — ItyWiWtyRjTte 2R /Ф1(Х)|	3 .	(4.5)
4П	1 2R
Здесь с = |fe2 — fex|, R — радиус большей обмотки датчика.
Подставляя в выражение (4.5)
р0 = 4л • 10~7 гн)м,
получим
_ Зс
>34-10-Чх—03)	2R 1~
__3 Ч~ ^2
—/со 34 • 10’7 (х — 0,3)UZ1UZ2yO^e 2Й /<Р1(М х=_з. • (4-6>
2R
В соответствии с этой формулой можно построить эквивалент-
ную схему замещения датчика над средой, изображенную на
рис. 4.2, считая, что первое слагаемое выражения (4.6) является
В соответствии с этой схемой замещения, выражение (4.6)
можно переписать в виде
Йг — —	— ]^М32.1 ф1 (X/) | х_з_ ,	(4.7)
2R
где
м12	34 • 10-7 (х — 0,3) «7/^2	(4.8)
75
— взаимная индуктивность между токовой и измерительной об-
мотками, а
— 3	+ Z'2
М32 = 34-10~7(z —	VllJbe 2R (4.9)
— взаимная индуктивность между изображением токовой об-
мотки и измерительной обмоткой.
Первая часть формул (4.5) ч- (4.7) дает выражение для на-
чальной э.д.с. датчика $0 яри отсутствии проводящей среды,
вторая часть — э.д.с., наводимую вихревыми токами проводя-
щей среды, т. е. вносимую э.д.с. $вн. Во втором приближении
такой простой интерпретации не получается. Поступая анало-
гично предыдущему, т. е. подставляя выражение (2.62) в (4.4),
после простых преобразований получаем
%2	— /и34 • 10-’ (% — 0,3)	(Г + 0,42 Г в ); _
— /со34 • 10-’ (% — 0,3) 17х172	Ф1 (X) | 3 +
х=в
_-М±. I Л .
+ 0,42е	* Ф1(Х)1	(4.10)
X=R~
Вторая часть полученного выражения определяет вносимую
э.д.с. Введем следующие обозначения для падений напряжения:
U = ~$,
U. = (0-34- 10“7(х — 0,3) И\Ж2 УТЩЦI. (4.11)
С учетом этих обозначений выражения для напряжений на из-
мерительной обмотке в первом и втором приближениях соот-
ветственно можно записать так:
/ __ Зе 3 (/h+h2)	\ I
й2==]йп[е 2Rе	з, (4.12)
Х~ 2R
/ Зс	, с \	/	/г 1+^2	I
+ 0,42е~ * ) + jU0 U” -Ф1 (X) | з +
х=я
+ 0,42е в“ф1(Х)| !.	(4.13)
х=я
Итак, получены окончательные выражения, определяющие на-
пряжение на измерительной обмотке датчика, расположенного
76
Рис. 4.3. Годографы нормиро-
ванного напряжения, вноси-
мого неферромагнитным по-
лупространством в измеритель-
ную обмотку трансформатор-
ного датчика (первое прибли-
жение).
ванного напряжения, вноси-
мого неферромагнитным полу-
пространством в измеритель-
ную обмотку трансформатор-
ного датчика (второе прибли-
жение).
вад слоистой средой с любыми параметрами. Расчет этого вы-
ражения для каждой конкретной структуры проводящей среды
легко осуществить, если в формулы (4.12) или (4.13) подставить
соответствующие выражения для функции <рх (X), полученные в
77
главах II, III. Основные закономерности изменения напряже-
ния на измерительной обмотке трансформаторного датчика в за-
висимости от параметров исследуемых сред (образцов) имеют
такой же характер, как и подробно рассмотренные в главе III
закономерности изменения полного сопротивления парамет-
рического датчика.
Изменение нормированного напряжения измерительной об-
мотки (£72вн/£Л)) при воздействии неферромагнитного полупро-
странства в первом и втором приближениях показано соответ-
ственно на рис. 4.3, 4.4. Табл. 13 значений этого отношения
приведена в приложении. Воздействие па датчик проводящей
неферромагнитной пластины пропорционально функции
Ф1((3, rf/2Z?). Ход этой функции был показан на рис. 3.9. Ис-
пользуя (3.59), (3.64) и (4.12), (4.13), легко получить выра-
жения, определяющие напряжения на измерительной обмотке
в присутствии ферромагнитной среды. Общие закономерности
изменения t/BH при воздействии ферромагнитного полупрост-
ранства весьма близки рассмотренным в § 3.6 закономерностям
изменения ZBH.
§ 4.2. Сравнение датчиков
с различным расположением обмоток
Накладные трансформаторные датчики могут быть выпол-
нены двумя способами — с разнесенными токовой и измеритель-
ной обмотками или «в два провода», когда обмотки наматывают-
ся сразу жгутом из двух проводов. При намотке первым способом
возможны два варианта размещения обмоток: первый — когда
ближе к исследуемому образцу размещается токовая обмотка,
второй — измерительная.
Вначале рассмотрим вопрос о том, какой из этих вариантов
предпочесть, а затем проанализируем способ намотки «в два про-
вода». Оперируем формулами первого приближения (§ 2.3),
поскольку они более просты. Разделив обе части равенства
(4.12), определяющего напряжения измерительной обмотки дат-
чика с разнесенными обмотками, на величину начального на-
Зс
пряжения С7Н — UQ е 2R при отсутствии проводящего образ-
ца, получим
f/0TH-/+^ 2R <Р1 (М L з.	(4.14)
Если токовая обмотка расположена ближе к поверхности образ-
ца. то
с - h2 - hv	(4.15)
78
а выражение (4.14) принимает вид
З/ii '	|
U0Tn = i+je 1Гф1(М1 з-	(4.16)
X=2R
Если же вблизи поверхности образца располагается измери-
тельная обмотка, то
с = h± - h2	(4.17)
и
_3/ь I
UoTit=i+ie <Р1 (X) I 3.	(4.18)
А 2R
Если обозначить теперь расстояние от поверхности проводя-
щей среды до ближайшей обмотки датчика через Я1? то форму-
лы (4.16) и (4.18) можно объединить в одну:
3Hi	I
UoTn- j + je «Ф1(М1_ з.	(4.19)
*~2R
Таким образом, с точки зрения функциональных зависимостей
оба случая взаимного расположения обмоток накладного пара-
метрического датчика равнозначны. Необходимо отметить толь-
ко одно существенное обстоятельство. Когда токовая обмотка
расположена ближе к поверхности проводящей среды, воздей-
ствие последней на нее существенно больше, чем на измеритель-
ную обмотку, особенно при малых зазорах. Изменение сопротив-
ления токовой обмотки, вызванное воздействием среды, может
оказать нежелательное влияние на режим питающего эту обмот-
ку генератора. Чтобы избежать это, токовую обмотку следует
располагать дальше от поверхности образца, чем измерительную.
Для сравнения двухобмоточного датчика этого типа с други-
ми датчиками определим величину максимально возможного
сигнала на его измерительной обмотке. Как известно из преды-
дущей главы, функция Ф1 максимальна при
Р —> ос,
и ее предел в этом случае
ИтФ1 = — 1.	(4.20)
3->ОО
Подставив этот предел в выражение (4.19) при Нг = 0, получим
в результате, что полное относительное напряжение на изме-
рительной обмотке датчика равно нулю, т. е. максимальное вно-
79
симое образцом напряжение по модулю равно начальному на-
пряжению, наводимому токовой обмоткой в отсутствии образца,
а по фазе противоположно ему. Это значит, что относитель-
ная чувствительность датчика рассматриваемого типа, равная
отношению С7ВН/ Z7H, может достигать 1.
Рассмотрим теперь особенности датчика, намотанного спо-
собом «в два провода». В соответствии с принятой эквивалент-
ной схемой напряжение на измерительной обмотке в этом слу-
чае определяется выражением (4.7). Однако при таком способе
намотки формулы (4.8) и (4.9) для расчета коэффициентов взаим-
ной индукции уже не справедливы. Для определения этих ве-
личин необходимо воспользоваться соответствующими форму-
лами работы [24].
Разделив обе части равенства (4.7) на напряжение измери-
тельной обмотки в отсутствие образца
Uh. == /(071/12/ч
получим выражение для относительного напряжения этой об-
мотки
tfoTH = 1 + Ф1 (М I з.	(4.21)
Коэффициент взаимной индукции двух индуктивностей Lr и
Л2 можно, как известно, следующим образом выразить через
коэффициент связи:
М - к	(4.22)
Для катушек, намотанных «в два провода», коэффициент связи
близок к 1, a L± = L, (так как размеры обмоток и количество
витков совпадают). Следовательно,
Коэффициент связи Л2з измерительной обмотки и зеркального
изображения токовой всегда меньше единицы, поэтому второй
член равенства (4.21), определяющий относительное вносимое
образцом напряжение, будет всегда меньше единицы. Действи-
тельно,
Таким образом, с точки зрения относительной чувствительно-
сти датчик, намотанный способом «в два провода», уступает дат-
чику с разнесенными короткими обмотками.
80
Проведем теперь сравнение трансформаторного и парамет-
рического датчиков по относительной чувствительности. Полное
сопротивление нагруженного параметрического датчика можно
выразить следующим образом:
Z = ZH + ZBH,	(4.24)
где ZH — начальное, a ZBH — вносимое сопротивление датчика.
В соответствии с эквивалентной схемой
С7ВН = /(оМ7Ф1 (X),	(4.25)
где М — коэффициент взаимной индукции между обмоткой дат-
чика и ее зеркальным изображением. Деля равенство (4.25) на
ток I и полученное ZBH на
ZH =	4-
получаем
=	(4.26)
Если даже коэффициент связи между обмоткой датчика и ее зер-
кальным изображением станет равным единице, т. е. М = LH,
то присутствие в знаменателе активного сопротивления 7?н
приводит к тому, что выражение (4.26) будет меньше единицы.
Следовательно, относительная чувствительность параметри-
ческого датчика, определяемая как отношение ZBH/ZH, меньше,
чем трансформаторного.
§4.3. Обобщение полученных результатов
на датчики с прямоугольным сечением обмоток
и выбор их оптимальной геометрии
Применяемые на практике датчики имеют обычно прямо-
угольное сечение обмоток (рис. 4.5). Поскольку параметры про-
водящих сред полагаем не зависящими от напряженностей элект-
рического и магнитного поля, то в данном случае применим
принцип суперпозиции полей витков токовой катушки. Следо-
вательно, эквивалентная схема, изображенная на рис. 4.6, и
выражение (4.7) справедливы и для обмоток прямоугольного
сечения. Таким образом, можем считать, что поле в верхнем
полупространстве (где расположен датчик) образовано токовой
обмоткой с током I и ее зеркальным изображением с током /Ф1(Х).
Коэффициенты взаимной индукции М12 и М32, входящие в
выражение (4.7), можно определить любым из известных мето-
дов. Воспользовавшись, например, методом эквивалентных кон-
6 Заказ № 1313
туров [24], можно рассматриваемую задачу привести к случаю
обмоток с пренебрежимо малым поперечным сечением. Тогда
М12, М32 можно рассчитывать по формулам (4.8), (4.9). Схема
замещения датчика в этом случае будет иметь вид, приведенный
на рис. 4.7. В соответствии с работой [24] эквивалентные пара-
метры датчика определяются следующим образом:
— £\ср fl + % j »
\ 6Z>icp. /
1>2Э = ср ( 1 +
'	Ь^2	Ср.	'
где
D1 ср
^2 ср
__Dii +
2
__ &2i + &2е
2
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
Л28 = Я + 4.	(4-31)
A
Л1Э = Я + 4- + ^ + т.	(4.32)
Все обозначения в выражениях (4.29) -j- (4.32) ясны из рисун-
ков 4.6, 4.8. Часто
— <1,'
тогда можно считать, что Рэ = Z)cp. В общем случае функция
<рх зависит от величины радиуса каждого витка обмотки, имею-
щей больший диаметр, но учет этой зависимости приведет к не-
оправданным усложнениям расчетных формул. Поэтому будем
^считать, что <рх, определяется, наряду с параметрами образца,
средним радиусом большей обмотки. Таким образом, расчетные
формулы, выведенные в предположении малости размеров се-
чения обмоток, могут быть использованы и для датчиков с об-
мотками прямоугольного сечения.	.
Теперь перейдем к определению оптимальной конструкции
датчика. Эквивалентный диаметр большей обмотки выбирает-
ся исходя, с одной стороны, из требований локальности изме-
рений, т. е. допустимого усреднения величины измеряемого па-
раметра по некоторому объему образца (см. § 3.8), а с другой —
наряду с частотой питающего тока, из условий оптимальности
82
Рис. 4.5. Трансформатор-
ный датчик с обмотками
прямоугольного сечения.
Рис. 4.6. Схема замещения датчика
с обмотками прямоугольного сечения,
расположенного над контролируемым
образцом:
I, 2 — обмотки датчика; 3 —фиктивна
обмотка.
Рис. 4.7. Эквивалентная схема
датчика с прямоугольными
сечениями обмоток.
6*
83
контроля того или иного параметра образца (т. е. исходя'из
оптимального значения параметра р, определяющего наивыгод-
нейшую рабочую область напряжений измерительной обмотки
на комплексной плоскости с точки зрения получения наиболь-
шей чувствительности датчика или возможности отстройки от
мешающих факторов).
Радиальные размеры сечения обмоток следует выбирать по
возможности большими, так как это означает увеличение числа
витков и, следовательно, увеличение полезного сигнала. Ес-
тественно, что это увеличение не должно идти в ущерб
требованиям локальности измерений. Получаемый сигнал
тем больше, чем меньше расстояния между обмотками и по-
верхностью контролируемого образца, поэтому, если специаль-
ные требования к величине этого расстояния отсутствуют, его
следует выбирать минимальным.
Осталось выяснить теперь вопрос о влиянии длин обмоток
датчика на величину абсолютного и относительного полезного
сигнала. На основании равенств (4.6) и (4.29)	(4.32) можем за-
писать выражение для вносимого напряжения измерительной
обмотки датчика с прямоугольным сечением обмоток
_й П1э+П23
С/В[[ = /о)-34.10-7(х-0,3)1У11У2/Я^^7е 2йэ /Ф1 (X).
(4.33)
Связь размеров сечений обмоток с числом витков можно выра-
зить так:
W-, -
1 ’
%
где d± и g72 — диаметры проводов обмоток. Подставив последние
выражения в (4.33) и выбрав для определенности /?2Э > 2?1э,
получим окончательно
/ /?	\	7 z	- 3(4Н+^+3/2+2т)
[/вн = /о)34-10-’к1-э-0,3)^2//?1эЛ2эе	4R23	/Ф1(Х).
(4.34)
Рассмотрим теперь влияние длин обмоток для двух наиболее
целесообразных случаев расположения обмоток. Пусть в первом
84
случае обе обмотки расположены на одном расстоянии от по-
верхности образца, т. е.
== ^2э, Т — 0.
Тогда выражение (4.34) можно переписать так:
( R	х j ,____________3 (4Н+?Ж2)
tZBII =/(0.34.Ю-7 _18-о,з !^ру;?187?2эе	/Ф1(Х)-
(4.35)
Исследуя это выражение на максимум при изменении 1± или/г,
получим условие
^ОПТ =	-^2Э*	(4.36)
о
Полученный результат носит приближенный характер не толь-
ко потому, что для анализа использовали приближенное реше-
ние задачи о поле датчика, но и потому, что обмотки заменили
витками с некоторыми эквивалентными расстояниями до по-
верхности образца 1/2. На самом деле с увеличением длин об-
моток вносимое напряжение непрерывно растет и максимума
не имеет. Вначале этот рост значителен, а затем он замедляет-
ся, так как верхние витки оказываются слабо связанными с об-
разцом. Учитывая это, можно сказать, что слишком длинные
датчики применять нецелесообразно, и выражение (4.36) дает
ориентировочный размер оптимальной длины датчика.
Поскольку длины обмоток Z2 входят в выражение (4.35)
одинаково, их следует брать равными.
Теперь рассмотрим второй случай, когда токовая обмотка
расположена выше измерительной. Исследуя на максимум вы-
ражение (4.34), получаем
1г опт — "7j“ ^2э*	(4.38)
Эти выражения, так же как и предыдущие, носят приближен-
ный характер, однако вполне приемлемы для инженерных рас-
четов. Мы рассмотрели влияние длины датчика на абсолютную
величину вносимого напряжения измерительной обмотки. По-
скольку на этой обмотке имеется также значительное начальное
напряжение UH даже в отсутствии образца, представляет ин-
терес анализ влияния длин обмоток на величину относительно-
го вносимого напряжения (UBh/Ur). Воспользовавшись равен-
85
ствами (4.14) и (4.31), (4.32), получим выражение для относи-
тельного вносимого напряжения
3 2Н+?2
С70Тн=/е 2Ra <PiW,	(4.39)
откуда следует, что с ростом 1ч величина С70тн падает.
Сравним теперь изменение
абсолютной и относительной
величин напряжения измери-
тельной обмотки. На рис. 4.8
изображены графики функ-
ций
__________________
^=2^е 4Й2Э (4-40)
И
3Z2
=	(4.41)
характеризующих соответст-
венно £7ВН и йОтн при изме-
нении Z2. Из графиков сле-
дует, что обе величины по-
лучаются достаточно больши-
ми при условии
Z2 = (0,2 ---0,4) Я2э.
§ 4.4. Многообмоточные трансформаторные датчики.
Неклассические диаграммы вносимых напряжений
Рассматривая во введении вопрос о классификации индук-
тивных датчиков, мы уже говорили о существовании класси-
ческих и неклассических датчиков. До сих пор анализировались
только первые. Диаграммы их вносимых напряжений (сопротив-
лений) представляют собой определенные, исследованные и
рассмотренные выше, семейства кривых на комплексной плоско-
сти. Эти кривые называем классическими диаграммами вноси-
мых величин. Выбирая те или иные значения параметров систе-
мы датчик — образец, можно перемещать рабочую область на
комплексной плоскости с тем, чтобы в каждом конкретном слу-
чае получить оптимальные, в определенном смысле, условия
измерений или контроля. Однако не всегда классические диа-
граммы удовлетворяют требованиям практики. Возникает во-
прос, нельзя ли форму этих диаграмм изменять по желанию?
86
Приближенное выражение для напряжения на измеритель^
ной обмотке классического двухобмоточного датчика имеет вид
^2 = 7^н+ ]U.e Ф1(Л,)| з .
Л~ 2H
(4.42)
^Величины С7Н и Uo от электрофизических свойств среды не за-
висят. Они определяются только геометрией датчика и величи-
ной питающего тока. Таким образом, поведение амплитуды и
фазы вектора Uz определяется только функцией <рх (X).
Величина <рх (X) является, как это было показано в предыду-
щих главах, нелинейной функцией электрофизических свойств
среды и эквивалентного радиуса большей обмотки. От эквива-
лентного радиуса меньшей обмотки функция <рх (X) не зависит.
Следовательно, эта функция остается неизменной для измери-
тельных обмоток любого радиуса при условии, что он меньше,
чем радиус токовой обмотки. Это обстоятельство, в свою очередь,
дает возможность утверждать, что напряжения на измеритель-
ных обмотках трансформаторного накладного датчика, содер-
жащего одну токовую и несколько измерительных обмоток раз-
ных эквивалентных радиусов (меньших радиуса токовой обмот-
ки), являются линейно зависимыми функциями электрофизи-
ческих свойств среды, а значит и обобщенных параметров.
В случае, если эквивалентные радиусы измерительных об-
моток больше эквивалентного радиуса токовой обмотки и отли-
чаются между собой, то напряжения на них являются линейно
независимыми функциями свойств
могут быть использованы для со-
здания накладных датчиков, обла-
дающих совершенно новыми свой-
ствами по сравнению с классиче-
скими.
1. Дифференциальный
накладной датчик
среды. Обе эти особенности
Рис. 4.9. Расположение обмо-
ток дифференциального дат-
чика.
Дифференциальным называем
такой многообмоточный датчик,
результирующее напряжение изме-
рительных обмоток которого равно нулю (или, что несколько
хуже, постоянно) при любых значениях электрофизических
параметров однородной, в общем случае, слоистой среды. Такой
датчик можно получить, используя свойство напряжений изме-
рительных обмоток быть линейно зависимыми функциями <рх (X).
87
Как было отмечено выше, это свойство обмотки имеют при
> Т?2,	> R3 (7?i — радиус токовой обмотки).
Расположение обмоток такого датчика показано на рис. 4.9.
В соответствии с выражением (4.6) напряжения на измери-
тельных обмотках можно определить следующим образом:
где
_ Зс	.	_ 3 (fti+^д)	I
U2 = ]U(Yle 2Rl (}2е	2R1 ф1 (М |	3 »
2Й1	(4.43)
_ Зс	_3	I	v 7
Us = ]U(3e 2R1 + ]U2Rl ф1(М1 з »
X=2R?
U02 = co • 34 • 10-7 (J-—0,3) WiW2 VRjh I;
,o , r_______________________(4.44)
с/оз = (0-34-IO'7 (—0,3) WV3 I.
Напомним, что эти выражения справедливы при условиях:
которые следует учитывать при конструировании датчика.
Для того чтобы последний обладал свойствами дифференци-
ал ьности, необходимо условие
U2~ и3 = 0	(4.45)
Как следует из выражений (4.43), это возможно, когда
и(2-исз = 0.	(4.46)
Подставляя (4.44) в (4.46), получим следующие условия диффе-
ренциал ьности:
= i/ZI 4	/4 47ч
W3 V И. /Г2—0,ЗД1-
Таким образом, если включить обмотки навстречу и выполнить
условие (4.47), то их результирующее выходное напряжение бу-
дет равно нулю независимо от электрофизических параметров
однородной многослойной среды. Кроме того, легко видеть, что
условия (4.47) обеспечивают нулевое выходное напряжение и
при изменениях зазора между датчиком и поверхностью конт-
ролируемой среды.
88
Напряжение будет отличным от нуля только в тех случаях,
когда в поле датчика (в направлении координаты р) появятся
резкие неоднородности электрофизических свойств образца (на-
пример, трещины, вмятины, резкие изменения структуры и
т. п.). Эти замечательные свойства датчика делают его весьма
перспективным для неразрушающего контроля качества изде-
лий.
между собой смещенных. Радиус
- 2R
Рис. 4.10. Расположение обмоток
векторно-разностного датчика.
-у-ИЯ
с?
2. Векторно-разностный датчик*
Векторно-разностным будем называть датчик, состоящий из
одной токовой и двух измерительных обмоток, имеющих в об-
щем случае различные эквивалентные радиусы, различное ко-
личество витков и аксиально	"	~
токовой обмотки меньше ра-
диуса каждой из измеритель-
ных обмоток, причем послед-
ние включены последователь-
но — встречно [26]. Важной
особенностью датчика этого
типа является возможность
получения годографов вноси-
мых напряжений, сущест-
венно отличающихся от ана-
логичных годографов класси-
ческого трансформаторного
датчика. Эта возможность
обусловлена именно тем об-
стоятельством, что вносимые
напряжения измерительных обмоток разных диаметров, боль-
ших нежели диаметр токовой, являются линейно независимыми
функциями электрофизических параметров образцов. Располо-
жение обмоток векторно-разностного датчика с необходимыми
обозначениями показано схематично на рис. 4.10. Обмотка с
радиусом Rr — токовая, а обмотки с радиусами Rz и R%— из-
мерительные. В соответствии с материалом, изложенным в § 4.1,
напряжения на измерительных обмотках
U2 = ]Uп2 + ]U2R* (pi (X) I 3 ?
2R3
.	.	. -з 1 1 'Vs
= jUns + }'U2R3 (pi (X) I 3 .
__________
* Выходное напряжение равно геометрической разности векторов
напряжений измерительных обмоток, поэтому датчик назван векторно-
разностным.
89
Поскольку эти обмотки включены навстречу, результирующее
напряжение U равно разности У2и С73:
г7 = 7(^н2-^нз) + ^вн.	(4.49)
Разность начальных напряжений зависит только от геометрии
датчика, а информации об электрофизических свойствах изде-
лия не несет и, в этом смысле, не представляет интереса. Полез-
ным является результирующее вносимое напряжение, которое
можно представить в виде
^вн —	(^) | з &3/Ф1 (М | з »	(4.50)
Л“ 2В2	2R?
где
. -a
к% — и02^	2Й* ;
— о
к3 = U^e .
Анализ выражения (4.50) показывает, что годографы вноси-
мого напряжения в этом случае значительно отличаются от
классических.
Рассмотрим этот вопрос более подробно для векторно-разно-
стного датчика, расположенного над неферромагнитными прово-
дящими полупространством или пластиной. Введем следующие
обозначения:
Ро2 = -^2 V*СОбНо,
Роз = Вз
т=-^>1'
тогда
Q ___ ЗОЗ .
Р°2 ~ ’
d	md
2/?2	2/?з
С учетом введенных обозначений перепишем выражение (4.50)
^вн   . ( Роз	md а \ I	(R 3	X |
к2 ~ т ' 2RS	1 к'1	' 2Лз 'к= —
2Н3	2jR3
обозначив	(4.52) ^ВН — im /с2 ~ 7Ч>1Р’
90
получим
_я_* <4-53>
2R»	2R3
Используя табл. 11 приложения для значений функций q>lt
можно легко рассчитать значения функции ф1р. Кривые этой
функции для различных значений отношения к31к2 при тп = 2
приведены на рис. 4.11. Сплошными линиями показан ход
функции для случая, когда датчик расположен над полупро-
странством, а штриховыми — для случая очень тонких пла-
стин	. Из этих рисунков следует, что годо-
графы векторно-разностного датчика могут существенно отли-
чаться от соответствующих годографов классических датчи-
ков. Так, например, рациональным выбором отношения к^к^
можно значительно расширить область между кривыми, соот-
ветствующими полупространству и очень тонкой пластине. По-
скольку все кривые промежуточных толщин лежат между ни-
ми ,е такое расширение упомянутой области будет способствовать
повышению разрешающей способности датчика при измерении
параметров пластин. Наилучшие условия раздельных измере-
ний толщины и электропроводности получаются в тех случа-
ях, когда углы пересечения упомянутых линий максимальны.
Оказывается, что, например, для случая ш = 2 эти условия
имеют место при к3)къ — 0,5 ч- 0,4. Годографы функции ф1р
при изменении толщины (сплошные линии) и электропроводно-
сти (штриховая линия) при указанных выше условиях показаны
на рисунке 4.12. При Л3//с2 = 0 или к%1к3 = 0 векторно-разно-
стный датчик, естественно, вырождается в классический (см.
рис. 4.11, а, з).
Влияние зазора между датчиком и образцом на величину
относительного вносимого напряжения при hr = hi = h3 по-
казано на рис. 4.13. Легко заметить, что эти годографы также
существенно отличаются от соответствующих годографов клас-
сических датчиков. Так, например, при к^къ = 0,4 реактивная
компонента относительного напряжения при малых зазорах су-
щественно не зависит от их изменений.
Несмотря на то, что анализ векторно-разностных датчиков
проведен на основе приближенных выражений для напряжений
на измерительных обмотках, сравнение кривых, полученных
теоретическим и экспериментальным путями, показывает хо-
рошее совпадение результатов, особенно в области средних
значений параметров |3ОЗ (Р03	8).
Для того чтобы лучше иллюстрировать возможность дат-
чиков исследуемого типа, рассмотрим ряд рисунков с экспери-
91
Рис. 4.11. Годографы функции <pip (Р^)
92
93
ментально полученными годографами результирующих напря-
жений на измерительных обмотках. На рисунке 4.14,а, б пред-
ставлены годографы выходного напряжения датчика при изме-
нении толщины пластин не только для больших, но и для малых
значений параметра роз. Их основная особенность — наличие
больших углов между линиями изменения толщин и электро-
проводностей. Это весьма важное отличие векторно-разностных
датчиков от классических, у которых, как известно, в области
0,1 \Uo2.
т=2
Роз~3
Рис. 4.12. Годографы функции
ф1р(Роз, d/2Rb).
-0,2>
0,1
0,9>
Рис. 4.13. Кривые зависимости относительного вноси-

мого напряжения от величины зазора между датчиком
и образцом при различных значениях отношения к^к^.
малых р03 упомянутые линии практически сливаются. На рис.
4.15 показан годограф вносимых напряжений для датчика, имею-
щего следующие параметры: 7?1=1,5 мм, 7?2=7,5 мм, 7?з=10мм,
С2 = 0, с3 == 2 мм, Wr — 260, W2 = 410. Частота, питающего дат-
чик тока составляла 125 гц. Сплошными показаны линии измене-
ния толщины, оцифрованные ее значениями в миллиметрах,
штриховыми — линии зазора, точки которых характеризуют
его изменения через 1 мм. Интересная особенность рассматри-
ваемых кривых состоит не только в том, что угол между ли-
ниями толщины и электропроводности ближе к величине 90°,
чем у классических датчиков, но еще и в том, что линии элект-
ропроводности и линии зазора в большой области комплексной
плоскости весьма близки. Это означает, что при измерении тол-
щины пластин с использованием методов фазовой отстройки от
влияния электропроводности, можно одновременно отстроиться
и от влияния зазора. На рис. 4.16 показаны годографы вноси-
мых напряжений для датчика с параметрами 2R1 = 2,5 мм,
94
27? 2 = 3,5 мм, 27? 3 = 5 мм,	= 0,41, съ = 0, с3 —
= 2 мм, W\ = W2 = W3 = 90. Сечение катушек составляло
0,5 X 0,5 мм2. Регулировка параметра С7ОЗ/ £702 осуществля-
лась изменением смещения (с3) третьей катушки датчика.
В качестве образцов использовались ленты толщиной от 30
до 90 мк с р03 = 6,6. Напряжение, наводимое на второй катушке
датчика без поднесенного к нему металла, составляло 12 мв.
а
0,07
Рис. 4.14. Экспериментально снятые кривые зависимости относительного
вносимого напряжения измерительной обмотки от толщины.
Сплошными линиями показаны линии изменения толщины при
различных зазорах, штриховыми показаны линии изменения
зазора. Точки на этих линиях соответствуют изменению зазора
на 0,1 мм. Как видно из рисунка, с помощью фазовой отстрой-
ки можно устранить влияние зазора в пределах 0,1	0,8 мм.
Сравнивая годографы, приведенные на рис. 4.16, с годографами
классического датчика, можно заметить, что угол между линией
изменения толщины и линией изменения зазора для векторно-
разностного датчика можно регулировать в больших пределах,
чего нельзя получить при аналогичных параметрах классичес-
кого датчика. Кроме того, изменением параметров векторно-
95
разностного датчика можно установить рабочую точку на мни-
мой оси, что весьма облегчает компенсацию вносимого напряже-
ния, когда это необходимо.
На рис. 4.17 показана зависимость амплитуды выходного на-
пряжения этого же векторно-разностного датчика от зазора для
Рис. 4.15. Экспериментально снятые кривые вносимого напряжения при
Роз - 1,5, Р03 = 1,9.
материалов с различной толщиной. Можно видеть, что при из-
менении зазора от 0,8 до 1,4 мм амплитуда сигнала очень мало
зависит от изменения зазора, в то время как чувствительность
к толщине достаточно велика. Экспериментально полученные
годографы снимались на установке, блок-схема которой пред-
ставлена на рис. 4.18. Генератор, являющийся источником пере-
менного тока, питает токовую катушку компенсатора Л4 и токо-
вую катушку датчика Л1. Сопротивление RT включено для уве-
96
личения выходного сопротивления генератора. Измерительные
катушки датчика и L3 нагружены на переменные сопротивле-
ния R3 и Т?4, которые служат для изменения коэффициентов
Л’2 и к3. Вторичная катушка компенсатора используется для
компенсации наводимой на измерительных катушках датчика
э.д.с. в отсутствие исследуемого образца. Сигнал, полученный
300
н Im Uqh-mk6
100	150	0	50
_j_____1__________—।—
КгО^мкв
50-
Рис. 4.16. Экспериментально снятые кривые вносимого
напряжения при р0з = 6,6.
на выходе системы компенсатор — измерительные катушки
датчика, усиливается селективным усилителем В6-2 и измеряет-
ся фазочувствительным вольтметром В5-1, опорный сигнал на
который подается с сопротивления R2.
Рис. 4.17. Зависимость ампли-
туды выходного напряжения
векторно-разностного датчика
от зазора для образцов раз-
личной толщины.
Рис. 4.18. Блок-схема установ-
ки для исследований векторно-
разностного датчика.
7 Заказ № 1315
97
В заключение подведем некоторые итоги.
Углы между линиями толщины и электропроводности на
комплексной плоскости векторно-разностных датчиков могут
быть получены в несколько раз большими, чем у классических
датчиков ври тех же значениях параметра р0.
Надлежащим выбором геометрических и обмоточных пара-
метров векторно-разностного датчика можно обеспечить неза-
висимость амплитуды вносимого напряжения от изменений (в
некоторых пределах) зазора между датчиком и поверхностью
изделия.
Надлежащим изменением параметров векторно-разностного
датчика можно обеспечить перемещение рабочей точки в любую
область комплексной плоскости.
ГЛАВА V
ТЕОРИЯ ЭКРАННЫХ ДАТЧИКОВ
§5.1. Классические экранные датчики
Классическими экранными датчиками будем называть двух-
обмоточные датчики с расположением обмоток по разные сторо-
ны контролируемого изделия, как это показано на рис. 5.1.
Контролируемое изделие может иметь многослойную структу-
ру с произвольными параметрами. Так же как и в предыдущей
главе, анализ работы датчика проведем, пользуясь схемой за-
мещения датчика с обмотками пренебрежимо малого поперечно-
го сечения, изображенной на рис. 5.2. Эквивалентные парамет-
ры схемы замещения определяются в соответствии с выражения-
ми (4.27) -ь (4.32).
По аналогии с описанным в § 4.1 можно следующим образом
записать выражение для напряжения на измерительной обмот-
ке датчика:
U2 = _g2 = /2ncon\W?2Z3,	(5.1)
Рис. 5.1. Расположение обмо-
ток классического экранного
датчика:
1 — токовая обмотка; 2 — измери-
тельная обмотка.
Рис. 5.2. Схема замещения
классического экранного дат-
чика.
7*
99
где А3 — вектор-потенциал поля на контуре измерительной об-
мотки датчика, определяемый выражением (1.26}.
Таким образом, подставляя в (5.1) выражение (1.26) для А3
при условии о,, = 0,	= 1, можем получить точное выражение
напряжения измерительной обмотки в присутствии слоистых
сред любой структуры. Поскольку анализ точных выражений
затруднен, все дальнейшие рассуждения будут проведены на
основе второго приближенного решения задачи о поле датчика
в присутствии проводящего образца (§ 2.3). Подставляя в (5.1)
выражение (2.60) при условии сг3 = 0, ц3 = 1, получим следую-
щую формулу для расчета напряжения на измерительной об-
мотке в общем случае тг-слойной среды:
^2 = 7®^(34х—10) W^2/y7^-/ne-Ac| з ,
где с — расстояние между обмотками, a R — большее из Ri,
Rz. Функция определяется из уравнений (1.18) с учетом со-
отношения (1.19).
Если контролируемый материал или изделие имеет форму
однослойной пластины с параметрами о, ц, с/, то, воспользовав-
шись (2.67) при условии а3 = 0, pt3 = 1, получим выражение
для напряжения на измерительной обмотке в этом простейшем
случае:
и 2 = /о -g (34х — Ю) /едГ ix
। 3d	(5-2)
_____________________+ 2R____________________________
Х 0ц /9 + ^ ch * /9+ /^ + (9ц2 + 9 + /4^) sh * /9 + /4^
Выражение для £72 во втором приближении можно получить
аналогично.
Введя обозначения,
ип —	(34х — 10)Жх1Г2	Г, (5.3)
1 3d
рз __________________6ц /9~+Ж2* 2В_____________________
% /9 + ch JL У9+Ж2 + (9н2 + 9 + /432)зЬ А /9 + /4р2
(5-4)
100
и подставляя их в (5.2), получим
U* = jU,-F3.
(5.5)
Величина UQ есть не что иное как напряжение, наведенное в из-
мерительной обмотке током /, при отсутствии контролируемого
изделия
Uo - о)М/,	(5.6)
где М — коэффициент взаимной индукции между обмотками
в свободном пространстве. Подставляя выражение (5.6) в (5.5),
получим
Рис. 5.3. Эквивалентная
йг = ]®MiF3. (ЬЛ)
На основании этого выражения мож-
но составить эквивалентную схему
экранного датчика с учетом наличия
контролируемого изделия, изобра-
женную на рис. 5.3. Можно считать,
что пластина между обмотками дат- схема классического экран-
ного датчика.
чика отсутствует, а напряжение на
измерительной обмотке определяется коэффициентом взаимной
индукции обмоток в свободном пространстве М и величиной
эквивалентного питающего датчика тока
4 = if3.
(5.8)
Величина й0 от параметров контролируемого изделия не зави-
сит, всю информацию о нем несет функция F3. Разделив обе
части равенства (5.5) на С70, получим выражение для относи-
тельного напряжения измерительной обмотки экранного дат-
чика
ита =	= jFs = ?3.	(5.9)
и о
Рассмотрим характер изменения этой функции в случае нефер-
ромагнитной пластины. Положив в выражении (5.2) ц = 1,
получим
3d
тт я	/6 У 9 +/4,Во2	2R
с/отн — ^3 — --_	----------------2----------•
6 V9 + Ch V 9 + /432 + (18 + /4pg) sh /9 +/4р2
(5.10)
Годографы относительного напряжения измерительной обмот-
ки, рассчитанные по формуле (5.10), показаны на рис. 5.4.
101
Сплошные кривые соответствуют изменению отношения d)2R
для ряда постоянных значений параметра ро, штриховые — из-
менению параметра ро.
Для весьма тонкого листа, когда d[2R 1, d ]/(оор0 1,
т. е. когда толщина пластины значительно меньше диаметра об-
моток датчика и глубины проникновения поля плоской волны,
102
выражение (5.10) принимает следующий вид:
U —	(5
'тп ~ G ’-/2rZ7?cos/Xo *
Весьма близкий результат для этого же частного случая полу-
чен Леви [10]. Годограф выражения (5.11) представляет собой
полуокружность, характеризуемую параметром 2d$'Q[R.
Из рисунка 5.4 и выражения (5.10) следует, что годографы
вектора относительного напряжения на измерительной обмот-
ке при изменении обобщенных параметров с?/27? и [30 в общем
случае отличаются друг от друга и пересекаются между собой.
Этот факт дает основание утверждать, что с помощью экранных
датчиков при использовании фазочувствительных методов воз-
можно проведение раздельных измерений толщины d и электро-
проводности а листовых материалов. Отметим при этом весьма
важное обстоятельство. Как следует из выражений (5.2) и (5.9),
абсолютное и относительное значения напряжения U2 не за-
висят от расположения контролируемого листа между обмотками
датчика. Необходимо только, чтобы плоскость листа была пер-
пендикулярна оси датчика, а расстояние между его обмотками
постоянным. Если лист весьма тонкий, то его параметры d и а
входят в формулу (5.11) для выходного напряжения датчика в
виде произведения orf. Следовательно, в этом предельном слу-
чае эффекты, вызываемые изменением электропроводности или
толщины, не различаются, и раздельные измерения этих пара-
метров невозможны.
С уменьшением толщины или электропроводности листа его
экранирующее действие уменьшается до нуля, и напряжение
на вторичной обмотке достигает своего максимального значения,
равного	С увеличением произведения cd экранирующее
действие листа увеличивается, напряжение на измерительной
обмотке уменьшается, стремясь в пределе к нулю.
Как видно из рис. 5.4 при значениях 2d$l/R = 2Rd(datyL0
<75 чувствительность датчика к изменениям толщины и элект-
ропроводности невелика. То же самое можно сказать и в отно-
шении значений упомянутого произведения, больших 30. Таким
образом, наиболее пригодной для контроля о и d листов являет-
ся область
2,5 < M)qi0 < 15.	(5.12)
Остановимся теперь коротко на выборе основных параметров
датчика. Рабочая частота питающего тока и радиус большей об-
мотки датчика выбираются, исходя из требуемого значения
обобщенных параметров [3 и d/2R, с тем чтобы рабочая точка
103
находилась в наиболее благоприятной для данных измерений
области комплексной плоскости. С увеличением радиуса мень-
шей обмотки величины U2 и Uo растут. Учитывая это, если не
преследуются специальные цели, следует радиусы обоих обмо-
ток датчиков выбирать одинаковыми. В этом случае
Un = 24 -	(5.13)
Приведенные выше формулы (5.2) н- (5.13) дают наименьшие
погрешности при
0,5<х<1,
С увеличением относительного расстояния между обмотками дат-
чика величины U2 и й0 падают, поэтому это расстояние целе-
сообразно выбирать наименьшим.
Отметим важное преимущество экранных датчиков перед
накладными. Если в соответствии с выражением (5.2) построить
зависимость фазового угла напряжения на измерительной об-
мотке от толщины контролируемой пластины, оказывается, что
эта зависимость носит линейный характер. Таким образом, при-
бор с экранным датчиком, предназначенный для измерения тол-
щины изделий, будет иметь линейную шкалу.
§ 5.2. Неклассические экранные датчики
Особенностью экранных (так же, как и накладных) датчи-
ков является зависимость выходного напряжения от обобщен-
ных параметров d/2R и |3 = Rв которые наряду с дру-
гими переменными входит радиус большей обмотки R. Этот
факт, можно использовать для построения датчиков с новыми
свойствами.
Рассмотрим это на двух простейших примерах.
1. Дифференциальный экранный датчик
Для дефектоскопии изделий с двусторонним доступом (на-
пример, листовых материалов) весьма полезен дифференциаль-
ный экранный датчик, который не реагировал бы на изменения
электрофизических параметров изделия, пока оно однородно и
давал сигнал только при появлении резких неоднородностей
(трещины, раковины, резкие местные изменения структуры и
101
т. п.). Такой датчик аналогичен накладному дифференциальному
и состоит из токовой обмотки радиуса Н1Ч и измерительных об-
моток радиусов /?2 и 7?3, как показано на рис. 5.5. Измеритель-
ные обмотки включены встречно. Радиус токовой больше радиу-
сов измерительных обмоток,
причем для определенности по-
ложим R± Rz 7?3.
Запишем выражения для на-
пряжений на измерительных^-
мотках:
tr2 = Uq2F3 (tfj; (5.15)
U3 =	(5.16)
Результирующее напряже-
ние встречно включенных изме-
рительных обмоток теперь мож-
но записать в виде
йр = (Un- Ul2) Fs (/?,) = 34-10
__ _ Зс2 р	_____Зс3
XlV2//?2e 2Й- —	— 0,3}W3VR3e	L (5-17)
Отсюда следует, что экранный датчик может быть дифферен-
циальным, при условии
t>03 - Uoi = 0.	(5.18)
Из этого условия получаем соотношение для обмоточных и
геометрических параметров дифференциального экранного дат-
чика
^3 о ч
= ,/яГ лГ 0,3
Т73 V R, ' /?2 _ 0
zb

—2R2 -
Рис. 5.5. Расположение обмоток
дифференциального экранного
датчика.
е •	(5.19)
Для датчика, измерительные обмотки которого расположены
в одной плоскости, т. е. съ = с3, имеем более простое условие
ж	<5-20>
Л1 0,3
Мы видим, что соотношения для параметров обмоток экранного
и накладного дифференциальных датчиков оказались идентич-
ными.
105
2. Векторно-разностный экранный датчик
Если радиусы измерительных обмоток экранного датчика
больше радиуса токовой, то напряжения на них в общем случае
являются линейно независимыми функциями обобщенных па-
раметров <7/27?, р. Снабдив экранный датчик несколькими та-
кими измерительными обмотками, будем иметь ряд напряжений,
несущих линейно независимую
।---1—।
(?з с2 \~2Ri —-	1

н----------
информацию о контролируемом
изделии, аналогично тому, как
это получилось бы при питании
токовой катушки напряжениями
нескольких частот. Это свой-
ство экранных датчиков (как и
накладных) можно использовать
для получения совершенно но-
вых, принципиально отличаю-
щихся от классических, диа-
грамм выходного напряжения.
Рассмотрим кратко простейший
неклассический экранный век-
Рис. 5.6. Расположение обмоток
векторно-разностного экранного
датчика.
торно-разностный датчик.
Расположение обмоток этого датчика в общем случае приведе-
но на рис. 5.6. Расстояние между токовой и измерительными
обмотками с2 и с3 могут быть равными.
Для определенности считаем
/?1</?2<Т?3.
(5.21)
В этом случае выражение для напряжения на измеритель-
ной обмотке с радиусом 7? 2 имеет вид
С/о2^з№).	(5.22)
На измерительной обмотке с радиусом 7?3
С/з- С/озЯ(7?з).	(5.23)
Выходное результирующее напряжение векторно-разностного
экранного датчика
Up = й™ ГF3 (7?з) - 4г1 ^3 (Я2)1 •	(5-24)
I-	U оз	-I
Введем обозначение
?’зр = А (А’з) -	?3 (Я2),	(5.25)
U оз
^02 W2
i/оз
Рис. 5.7. Годографы норми-
рованного напряжения век-
торно-разностного экранно-
го датчика.
где
Л2 Яг ~0,3 '
3 (Сг____Сз_
2 ' В2	Н3
(5.26)
С учетом этого обозначения выражение для выходного на-
пряжения можно переписать в виде
(5.27)
Поведение вектора Up на комплексной плоскости опреде-
ляется функцией F3p. При Щг/#оз = 0, т. е. при отсутствии
107
обмотки 2, функция F3p переходит в F3 (7?3), и датчик становит-
ся классическим. В общем же случае при U^3 =/= 0 функ-
ция F3p порождает годографы, существенно отличающиеся от
классических.
На рис. 5.7, <2, б в качестве примера приведены годографы
для векторно-разностного датчика, у которого Д2/Д3 = 0,5,
а Uoz/ С70з = 0,8 и 1,2 соответственно. На рис. 5.7, в приведены
для сравнения годографы вектора классического датчика
(C70?/t70. = 0). Сплошными линиями проведены годографы при
Р03 = const и d/2R3 = var, штриховыми — при |3ОЗ = var,
d/2R3 = const. Как видим, годографы, построенные при одних
и тех же значениях обобщенных параметров, существенно от-
личаются друг от друга. Характерно, например,что чувствитель-
ность к толщине у векторно-разностного датчика более постоян-
на, чем у классического. При й02/ UQ3 = 0,8 существенно выро-
сла фазовая чувствительность функции F3p и, следовательно, ре-
зультирующего выходного напряжения датчика к изменению
параметров образца. Приведенные примеры иллюстрируют воз-
можность значительного изменения годографов неклассичес-
ких датчиков, что в ряде случаев может оказаться весьма по-
лезным для контроля изделий методом вихревых токов.
ГЛАВА VI
ТЕМПЕРАТУРНАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ
НАКЛАДНЫХ И ЭКРАННЫХ ДАТЧИКОВ
Точность и стабильность работы приборов, основанных на
использовании метода вихревых токов, в значительной мере
определяются температурной стабильностью датчиков. Ниже
дается методика оценки температурного коэффициента ссг
изменения полного сопротивления параметрического датчика и
коэффициентов изменения выходного напряжения накладно-
го трансформаторного и экранного датчиков. Температурный
коэффициент определяется как отношение приращения сопро-
тивления или выходного напряжения при изменении темпера-
туры на 1° С к полному значению указанных величин.
§ 6.1. Температурная стабильность
параметрических датчиков
Полное сопротивление накладного параметрического дат-
чика
Z — /?н -J- ]®Ln + ZBH-	(6-1)
Таким образом, необходимо исследовать температурную
стабильность начального активного сопротивления 7?н, началь-
ной индуктивности Ln и полного вносимого сопротивления ZBH.
Температурный коэффициент начального активного сопротивле-
ния aR в основном определяется температурным коэффициентом
удельного сопротивления материала провода обмотки апр,
т. е.
ОСд — ОСцр,	(6.2)
Для датчика, обмотка которого намотана медным проводом
ак^4-10~3 град'1.
109
Начальная индуктивность датчика при изменении темпе-
ратуры изменяется вследствие изменения геометрических раз-
меров обмотки, изменения внутренней индуктивности, обусло-
вленной магнитным полем внутри обмоточного провода, и из-
менения магнитной проницаемости сердечника. Температурный
коэффициент индуктивности aL в соответствии с работой [27]
определяется выражением
ось =- аг + аг -}- ан>,	(6.3)
где аг — температурный коэффициент индуктивности, учиты-
вающий изменение геометрических размеров обмотки;
а, — температурный коэффициент индуктивности, учиты-
вающий изменение внутренней индуктивности;
ctp, — температурный коэффициент индуктивности, учитываю-
щий изменение магнитной проницаемости сердечника. Для много-
витковых катушек, обычно используемых в индукционных дат-
чиках, величиной а; по сравнению са,- можно пренебречь. Зна-
чение температурного коэффициента проницаемости сердечника
можно найти в справочниках и по нему определить .
Исследуем теперь величину ссг, используя приближенную
формулу для определения индуктивности катушек
г _ З-КУ’.рз.Ж*
ь 3D + 9/ + Юг ’
где D — средний диаметр обмотки;
W — число витков;
I — длина обмотки;
г — радиальный размер сечения обмотки.
Все величины даны в размерностях единиц системы «СИ».
Прологарифмировав выражение (6.4), получим
1пЛ = In 8-106 + 2 In D + 2 In И7 — In (3D 4 9/ + Юг). (6.5)
Производная натурального логарифма некоторой функции
определяется следующим образом:
(6.6)
Если считать Л = / (t), где t—температура, то из выражения
(6.6) следует, что
аь=41пЛ-	(б-7)
Продифференцировав выражение (6.5) по температуре, по-
лучим
_	3£)an + 9Zot, + ICrcc
aL = 2ao 3D 4- 9/ + lor ’ ’	(6'8)
110
иаг — температурные коэффициенты соответственно
диаметра, длины и радиального размера сечения обмотки дат-
чика.
При соотношении размеров катушки параметрического дат-
чика: I 0,3/), г = 0,3/9, близком к оптимальному, вы-
ражение (6.8) переходит в следующее:
ocL = 2ар — 0,3 (аг +а/ +аг)-	(6.9)
Если считать, что ап = аг то
aL = aD.	(6.10)
Анализируя выражения (6.8) ч- (6.10), можно сделать сле-
дующий вывод. Температурный коэффициент начальной индук-
тивности коротких катушек, применяемых в качестве датчиков,
определяется в основном температурным коэффициентом сред-
него диаметра. Температурные коэффициенты размеров сечения
оказывают на него меньшее влияние. Для увеличения стабиль-
ности начальной индуктивности датчика необходимо выбирать
материал каркаса и пропитывающие обмотку вещества с пре-
дельно малыми значениями коэффициентов температурного
расширения.
Теперь рассмотрим температурную стабильность вносимого
сопротивления. В соответствии с выражением (3.18)
2ви = /12.10-’(оИЛ2/)е_'^<р1(Х)|	3.	(6.11)
x=_d
Прологарифмировав (6.11) и продифференцировав полу-
ченное выражение по температуре, получим формулу для опре-
деления коэффициента температурного изменения, вносимого
в датчик сопротивления:
ОС-вн “ &D 4“ 6 -р- • &D ОСф.	(6.12)
Целесообразно напомнить, ч о выражение (6.11), а следо-
вательно, и (6.12) справедливо при условии
0,1 <^-<0,4.
Температурный коэффициент аФ зависит от параметров среды,
однако можно показать, что, кроме этого, он пропорционален
ар. Таким образом, температурный коэффициент вносимого со-
противления, так же как и начальной индуктивности, в значи-
111
тельной степени определяется температурной стабильностью
среднего диаметра датчика.
Как показывает выражение (6.12), для поддержания высокой
температурной стабильности целесообразно всячески уменьшать
расстояние между датчиком и образцом. Это требование совпа-
дает с требованиями получения максимальной чувствительности.
§ 6.2. Температурная стабильность
трансформаторных датчиков
Приближенное выражение для полного напряжения на из-
мерительной обмотке трансформаторного датчика в соответст-
вии с материалом главы IV имеет вид
и = Е/н + С/вн,	(6.13)
где
ЗС
UR = /(017 • IO'7 WtW2 (х — 0,3) 7Л/>2 е D Ц (6.14)
г________________________________ .
ивп = j(DlT-lO-'WifVz(х — 0,3) Уl\D,e	D /<рь (6.15)
Таким образом, необходимо исследовать температурную ста-
бильность начального Ua и вносимого £7ВН напряжений.
При питании датчика от генератора тока I = const. Если
входное сопротивление прибора, измеряющего напряжение на
вторичной обмотке датчика, достаточно велико, ;о ток вторич-
ной обмотки практически равен нулю, и собственные активные
сопротивления обмоток датчика не влияют на температурную
стабильность начального и вносимого напряжений. В этом со-
стоит одно из основных преимуществ трансформаторных датчи-'
ков.
Логарифмируя и дифференцируя выражение (6.14), как в
предыдущем случае, получаем выражение для температурного
коэффициента начального напряжения
Л/	Qp
ан = х- б^ —	+ 0,5	+ 57	~	<6Л6)
Для определенности здесь принято, что Z>2 > D19 т. е.
Напомним, что используемые нами выражения (6.14), (6.15)
получены при условии
0,5<х<1,	0,2 <	0,8.
112
Обычно токовая и измерительная обмотки выполнены из
одинаковых материалов и одним способом. В этом случае ар1 =
= aD2
и
«н = «D +	—«Л	(6.17)
Если с = О,
<*н = &D-	(6.18)
Рассмотрим теперь температурную стабильность вносимого
напряжения. Воспользовавшись выражением (6.15) и полагая
аналогично предыдущему получим
А
«вн = «о + -jy (*d — af) + 6 -p-aD + яф. (6.19)
При с = 0 или ап = а с
ап/г
авн = ®d 4- 6 -р- + аф.	(6.20)
Таким образом, для повышения температурной стабильно-
сти датчика следует материал каркаса и вещество для пропит-
ки обмоток брать с минимальными температурными коэффици-
ентами расширения.
Сравнивая температурную стабильность трансформаторно-
го и параметрического датчиков, можно сделать следующие
выводы. Температурные коэффициенты начальной индуктив-
ности параметрического датчика и начального выходного напря-
жения трансформаторного датчика, а также соответственно
температурные коэффициенты вносимого сопротивления и вно-
симого напряжения — одного порядка. Однако температур-
ная стабильность параметрического датчика существенно хуже
из-за температурных изменений начального активного сопро-
тивления.
§ 6.3. Температурная стабильность
экранных датчиков
Приближенное выражение для напряжения на измеритель-
ной обмотке экранного датчика имеет вид
й =/17-10'7и(х —	(6.21)
Используя это выражение аналогично предыдущему и пола-
гая, что
Р2>Рх, х =
8 Заказ № 1315	....
получаем формулу для температурного коэффициента напряже-
ния измерительной обмотки экранного датчика:
&и “	—ав2)+ 0,5'0^+ ар2)+— а<) 4“ ос/. (6.22)
Если
то
OCpj — 0С/)2,
Зс
&U = &D + -р- (аР — ас) + <*/’
(6.24)
Таким образом, температурные коэффициенты вносимых сопро-
тивлений и напряжений накладных датчиков и полного выход-
ного напряжения экранного датчика имеют одинаковую струк-
туру и порядок. Поскольку выходное напряжение экранного
датчика практически не зависит от расстояний между образ-
цом и обмотками, то экранный датчик обладает наибольшей
температурной стабильностью.
Приложение
Таблица 1
и	Qi/2 (Qhu)	Q'i/2 (chu)	и	Qi/2 (С1Ш)	Q'i/2 (chu)
0,1	2,3912	-98,5794	1,6	0,1448	-0,0933
0,2	1,7121	—23,8522	1,7	0,1243	-0,0716
0,3	1,3297	—10,1212	1,8	0,1067 .	-0,0551
0,4	1,0691	— 5,3716	1,9	0,0916	-0,0425
0,5	0,8770	- 3,2153	2,0	0,0788	—0,0329
0,6	0,7283	— 2,0688	2,1	0,0673	-0,0255
0,7	0,6102	— 1,3961	2,2	0,0582	—0,0197
0,8	0,5143	— 0,9753	2,3	0,0501	-0,0153
0,9	0,4354	— 0,6978	2,4	0,0431	—0,0119
1,0	0,3700	— 0,5085	2,5	0,0370	-0,0092
1,1	0,3152	- 0,3757	2,6	0,0319	—0,0072
1,2	0,2690	- 0,2805	2,7	0,0274	-0,0056
1,3	0,2300	— 0,2112	2,8	0,0236	-0,0043
1,4	0,1969	— 0,1602	2,9	0,0206	-0,0034
1,5	0,1688	— 0,1220	3	0,0175	-0,0026
8*
00 СО н*
9П
ооооооооо
< О'. Сл СО Сс О О О
OOOC5-<JbOCC-<!i-*t-*
-qo^JOC: Cl OJ-JO
CT^OOtnOOU1^
CT) CT) CO
8
Таблиц a

\ 3 V	0,1	0,3	0,8	1	2
0,01	0,027928	0,02154	0,04488	0,05088	0,06372
0,03	0,027900	0,02138	0,04428	0,05011	0,06237
0,08	0,02783	0,02100	0,04282	0,04825	0,05919
0,1	0,027807	0,02 )84	0,04226	0,04754	0,05797
0,3	0,027558	0,01944	0,03721	0,04116	0,04750
0,5	0,027329	0,01821	0,033)0	0,03595	0,03943
0,8	0,027018	0,01661	0,02791	0,02976	0,03048
1	0,026829	0,01567	0,02514	0,02645	0,02610
2	О,026035	0,01211	0,01591	0,01587	0,01326
5	0,024488	0,026689	0,025988	0,025457	0,023588
8	0,023532	0,024260	0,023062	0,022676	0,021690
ОО	/	1
73	——-
о	\/ 2?/2
V	0,8	1	2	3
0,01	0,06327	0,07722	0,1336	0,1707
0,03	0,06282	0,07668	0,1321	0,1683
0,08	0,06198	0,07531	0,1284	0,1626
0,1	0,06162	0,07i82	0,1269	0,1604
0,3	0,05823	0,06993	0,1140	0,1409 1
0,5	0,05516	0,06562	0,1032	0,1251
0,8	0,05102	0,05997	0,09008	0,1064 i
	0,04867	0,05667	0,08296	0,09654 ’
2	0,03920	0,04418	0,05843	0,05484
5	0,02432	0,02604	0,03006	0,03155
8	0,01743	0,01825	0,02002	0,02064
Та б лица 4
Y 1+^ + 1 -V 2)*'
3	8	10	30	8J	100
0,06280	0,04044	0,03469	0,01416	. 0,025707	0,024610
0,06128	0,03917	0,03397	0,01359	0,0’5451	0,024396
0,05768	0,03629	0,03098	0,01237	0,024918	0,023962
0,05632	0,03522	0.03004	0,01194	0,0247 33	0,023814
0,04481	0,02663	0,02252	0,028690	0,0*34 i9	0,022742
0,03623	0,02068	0,01739	0,026б01	0,022576	0,022071
0,0271)5	0,01468	0,01227	0,024581	0,04777	0,04429
0,02261	0,01193	0,029932	0,023677	0,0’1424	0,04143
0,01069	0,025>88	0,0*4186	0,04503	0,0’5764	0,0’4624
0,022624	0,04103	0,0’8950	0,033093	0,04173	0,0*9395
0,0’1132	0,0’4569	0,0’3687	0,031258	0,0*4751	0,0*3804
Таблица 5
//
1  1 J
1 -Г- :у4 — 1 /
8	10	30	81	11'0
0,2407	0,2510	0,2804	0,2902	0,2914
0,2363	0,2463	0,2747	0,2838	0,2849
0,2259	0,2351	0,2611	0,2695	0,2705
0,2220	0,2309	0,2559	0,2640	0,2650
0,1880	0,1946	0,2129	0,2187	0,2194
0,1619	0,1669	0,1808	0,1851	0,1857
0,1327	0,1363	0,1457	0,1488	0,1491
0,1179	0,1208	0,1284	0,1308	0,1311
0,07391	0,07506	0,07816	0,07913	0,07925
0,03348	0,03372	0,03435	0,03453	0,03455
0,02143	0,02153	0,02178	0,02186	0,02187
00
\ £ 3	\	0,001	0,03	0,05
100	0,9064	0,5358	0,4754
50	0,45/0	0,7206	0,5851
30	0,2109	0,8312	0,7222
10	0,02461	0,5368	0,6842
5	0,026158	0,1706	0,2651
3	0,022217	0,06335	0,1019
2	0,0’9853	0,02833	0,04592
1	0,0’2463	0,027091	0,01153
0,5	0,0*6158	0,021773	0,022883
0,3	0,0*2217	0,0’6382	0,02Ю38
0,1	0,0’2463	0,0*7092	0,0’1153
0,05	0,0’6158	0,0*1773	0,0*2883
0,03	0,0’2217	0,0’6382	0,0*К38
0,01	0,072463	0,0’792	0,0’1153
	0,001	0,03	0,05
100	0,6001	0,0871	0,07248
50	0,3808	0,2486	0,1278
30	0,1662	0,4442	0,3344
10	0,01955	0,4151	0,5175
5	0,024894	0,1366	0,2121
3	0,021762	0,05105	0,08243
2	0,0’7830	0,02283	0,03724
1	0,0’1958	0,025715	0,029348
0,5	0,0*4896	0,021429	0,022338
0,3	0,0*1762	0,0’5144	0,0’8416
0,1	0,0’1958	0,0*5716	0,0*9351
0,05	0,0’4894	0,0*1429	0,0*2338
0,03	0,0’1762	0,0’5144	0,0»8419
0,01	0,0’1958	0,0’5716	0,0’9351
Таблица 6
p2J /'i(a, 3, g, x) dx, a = 0
о
o,t	0,3	0,5	1	3	5	10
0,4838	0,4734	0,4834	0,4834	0Л834	0,4834	0,4734
0,48o3	0,4887	0,4887	0,4887	0,4887	0,4887	0,4887
0,5446	0,4908	0,4906	0,4906	0,4906	0,4906	0,4906
0,75d8	0,5370	0,4750	0,4808	0,4805	0,4805	0,4805
0,4345	0,5916	0,5314	0,4453	0,4458	0,4458	0,4458
0,1863	0,3793	0,4351	0,4139	0,3788	0,3790	0,3790
0,08605	0,2011	0,2636	0,3085	0,2874	0,2874	0,2874
0,02181	0,05434	0,07724	0,1097	0,1292	0,1271	0,1267
0,025458	0,01370	0,01976	0,02933	0,04055	0,4185	0,04159
0,021965	0,024935	0,027124	0,01065	0,05128	0,01630	0,01662
0,0’2183	0,0’5484	0,0’7917	0,021184	0,021723	0,021872	0,021984
0,0*5458	0,0’1371	0,0’1979	0,0’2960	0,0’4307	0,0’4684	0,0’4985
0,0*1965	0,0*4936	0,0*7125	0,0»1066	0,0’1551	0,0’1686	0,0’1795
0,0*2183	0,0’5484	0,0*7917	0,0*1184	0,0*1723	0,0*1874	0,0*1995
	a = O,l					
	0,3	0,5	1	3	5	10
0,07692 t	0,07678 '	0,07678	0,07678	0,07678	0,07678	0,07678
0,1337	0,1337	0,1337	0,1337	0,1337	0,1337	0,1337
0,2129	0,1884	0,1882	0,1882	0,1882	0,1882	0,1882
0,5401	0,3459	0,2986	0,3041	0,3041	0,3039	0,3039
0,3465	0,4596	0,4046	0,3324	0,3331	0,3331	0,3331
0,1517	0,3100	0,3541	0,3327	0,3026	0,3027	0,3027
0,07043	0,1672	0,2199	0,2569	0,2372	0,2372	0,2372
0,01789	0,04555	0,06543	0,09396	0,1109	0,1089	0,1085
0,024478	0,01151	0,01679	0,02527	0,03551	0,03670	0,3644
0,021612	0,024147	0,026053	0,029181	0,01344	0,01440	0,01471
0,0’1791	0,0’4698	0,0’6727	0,021022	0,021517	0,021660	0,021763
0,0*4478	0,0’1152	0,0’1682	0,0’2554	0,0’3794	0,0’4154	0,0’4446
0,0*1612	0,0*4147	0,0*6055	0,0*9194	0,0’1366	0,0’1496	0,0’1601
0,0*1791	0,0*4608	0,0*6727	0,0*1022	0,0*1518	0,0*1662	0,0*1779
Таблица 6 (окончание)
a = 0,5
3	0,001	0,03	0,05	0,1	0,3	0,5	1	3	5	10
100	0,2348	0,01522	0,01330	0,0431	0,01428	0,01428 ’	0,01428	0,01428	0,01428	0,01428
50	0,1872	0,05407	0,03415	0,02576	0,02751	0,02751	0,02751	0,02751	0,02751	0,02751
30	0,08713	0,1318	0,08578	0,04816	0,04371	0,04371	0,04772	0,04372	0,04372	0,04372
10	0,01053	0,2023	0,2374	0,2219	0,1172	0,09828	0,1015	0,1014	0,1014	0,1014
5	0,022636	0,07263	0,1112	0,1752	0,2106	0,1760	0,1387	0,1397	0,1397	0,1397
3	0,0’9489	0,03755	0,04456	0,08155	0,01615	0,1793	0,1613	0,1441	0,1442	0„1442
2	0,0’4218	0,01239	0,02025	0,03855	0,09189	0,1202	0,1374	0,1227	0,1229	0,1229
1	0,0’1054	0,023103	0,025103	0,029873	0,02586	0,03776	0,05529	0,06530	0,06361	0,06336
0,5	0,0*2636	0,0’7758	0,021276	0,022471	0,026568	0,029791	0,01527	0,02247	0,02334	0,02308
0,3	0,0*990	0,0’2793	0,0’4594	O’,08899	0,022367	02,03535	02,05575	02,08662	02,09437	02,09685
0,1	0,0*1054	0,0*3103	0,0*5105	0,0*9888	0,0’2630	0,0’3930	0,0’6204	0,0’9845	0,021104	0,0’1200
0,05	0,0*2636	0,0*7758	0,0*1276	0,0*2472	0,0*6576	0,0*9825	0,0’1551	0,0’2763	0,0’2763	0,0’3024
0,03	0,0’9490	0,0*2793	0,0*4594	0,0*8899	0,0*2367	0,0*5534	0,0*8865	0,0*8865	0,0*9947	0,0’1089
0,01	0,0’1054	0,0’3103	0,0*5104	0,0’9888	0,0*2630	0,0*3930	0,0*6204	0,0*9850	0,0*1105	0,0*1210
Таблица 7
оо
З2 j F2 (a, 3, g, x) dx; a = 0
0
£ 3 \	o,oui	0,03	0,05	0,1	0,3	0,5	1	3	5	10
100	0,9349	2,616	2,584	2,570	2,570	2,570	2,570	2,570	2,570	2,570
50	0,1931	2,072	2,177	2,155	2,141	2,141	2,141	2,141	2,141	2,141
30	0,03499	1,530	1,747	1,864	1,818	1,819	1,819	1,819	1,819	1,819
10	0,0’6173	0,2450	0,4628	0,8324	1,164	1,141	1,127	1,127	1,127	1,127
	0,0*3292	0,02453	0,05993	0,1762	0,5562	0,6918	0,7101	0,6981	0,6981	0,6981
3	0,0*4280	0,023545	0,029299	0,03223	0,01670	0,2806	0,3975	0,4025	0,4025	0,4025
2	0,0’8461	0,0’7278	0,0’1947	0,027152	0,04591	0,09188	0,1742	0,2161	0,2148	0,2148
1	0,0’5289	0,0*4634	0,0’1263	0,0’4887	0,023589	0,028502	0,02171	0,04823	0,05077	0,05047
0,5	0,0’3305	0,0*2910	0,0’7957	0,0*3063	0,0’2383	0,0’5820	0,021736	0,025924	0,027882	0,0’870
0,3	0,0’4283	0,0’3773	0,0*1033	0,0*3983	0,0*3134	0,0*7693	0,0’2353	0,0’9890	0,0’1496	0,0’2039
0,1	0,0»3286	0,0’4658	0,0’1275	0,0’4922	0,0’3891	0,0’9618	0,0*2999	0,0*1382	0,0*2486	0,0*4845
(
3	0,001	0,03	0,05	0,1
100	0,755/	1,451	1,435	1,431
50	0,0166	1,365	1,382	1,354
30	0,0308	1,144	1,249	1,282
Ю	0,0346	0,2104	0,3908	0,6895
5	0,042954	0,02171	0,05271	0,1530
3	0,0*3842	0,023169	0,028292	0,02860
2	0,0*7595	0,0*6530	0,021746	0,02б405
1	0,0’4150	0,0*4165	0,0’1135	0,0’4332
0,5	0,0’2968	0,0*2617	0,0*7165	0,0*2766
0,3	0,0’3844	0,0*3395	0,0*9300	0,0*3598
0,1	0,0**4745	0,0*4192	0,0’1149	0,0’4449
0,001
0,03	0,05	0,1
100	0,3803	0,5531	0,5492	0,5488
50	0,09953	0,5460	0,5441	0,5351
30	0,02003	0,5081	0,5278	0,5262
10	0,0’3203	0,1241	0,2178	0,3555
5	0,0*2059	0,01430	0,03376	0,09299
3	0,0*2681	0,022165	0,025601	0,01884
2	0,0*5306	0,0*4534	0,021204	0,024374
1	0,0’3318	0,0*2914	0,0*7942	0,0’3058
0,5	0,0’2073	0,0*1835	0,0*5036	0,0*1965
0,3	0,0’2686	0,0*2382	0,0*6544	0,0*2548
0,1	0,0**3313	0,0*2941	0,0’8085	0,0’3152
Т а б лица 7 (окончание)
х - 0,1
0,3	0,5	1 	3	5	10
1,431	1,431	1,431	1,431	1,431	1,431
1,349	1,349	1,349	1,349	1,349	1,349
1,248	1,248	1,248	1,248	1,248	1,248
0,9237	0,9018	0,8907	0,8909	0,8909	0,8909
0,5805	0,5931	0,5830	0,5830	0,5830	0,5830
0,1462	0,2438	0,3427	0,3458	0,3459	0,3459
0,04082	0,0816)	0,1538	0,1900	0,1889	0,1890
0,023248	0,027732	0,01976	0,04406	0,04636	0,04606
0,0’2168	0,0’5326	0,021604	0,025549	0,027412	0,028491
0,0’2854	0,0’7051	0,0’2180	0,0’9365	0,021424	0,021951
0,0’3546	0,0’3826	0,0’2785	0,0’1315	0,0*2391	0,0’4711
а = 0,5
0,3	0,5	1	3	5	10
0,5488	0,5488	0,5488	0,5488	0,5488	0,5488
0,5340	0,5340	0,5340	0,5340	0,5340	0,5340
0,5143	0,5145	0,5145	0,5145	0,5145	0,5145
0,4397	0,4266	0,4220	0,4220	0,4220	0,4220
0,2599	0,3105	0,3125	0,3073	0,3072	0,3072
0,09048	0,1460	0,1986	0,1982	0,1983	0,1983
0,02711	0,05304	0,09737	0,1177	0,1170	0,1170
0,022299	0,025344	0,01405	0,03145	0,03303	0,03277
0,0’1561	0,0’39)0	0,021210	0,024361	0,0’5898	0,026541
0,0’2067	0,0*5198	0,0’1664	0,0’7419	0,021189	0,021657
0,0’2574	0,0’6536	0,0’2144	0,0’1101	0,0*2077	0,0’4259
Табл п ц а 8
2°	(е“7Х__1)'2
= З2 j Fi ---------о---а — О
о
X. £ 3	у = 0,5					У = 1				
	5	1	0,5	0,1	0,01	5	1	0,5	0,1	<>,01
100	0,0’4928	0,0’4928	0,0’4928	0,0’4939	0,01386	0,0’8234	0,0’8234	0,0’8234	0,0’8252	0,02339
50	0,0’1575	0,0’1575	0,021575	0,0’8630	0,04224	0,01560	0,01560	0,01560	0,01466	0,07718
30	0,01399	0,01399	0,01399	0,01558	0,06692	0,02437	0,02437	0,02437	0,02692	0,1337
10	0,02874	0,02874	0,02874	0,06159	0,02517	0,05366	0,05366	0,05366	0,1232	0,05872
5	0,03841	0,03840	0,04829	0,04672	0,0’6844	0,07736	0,07663	0,09796	0,1049	0,01638
3	0,03884	0,04331	0,04779	0,02155	0,0’2489	0,08219	0,09252	0,1056	0,05088	0,025976
2	0,03062	0,03629	0,03165	0,01016	0,0’1107	0,07257	0,08292	0,07414	0,02441	0,022651
1	0,01658	0,01441	0,0’9870	0,0’2599	0,0’2768	0,04046	0,03576	0,02434	0,026292	0,036655
0,5	0,0’6020	0,0’3967	0,0’2556	0,0’6507	0,0*6921	0,01590	0,01012	0,026371	0,021578	0,031664
0,3	0,022427	0,0’1447	0,0’9228	0,0’2343	0,0*2491	0,0’6615	0,0’5710	0,022303	0,035682	0,045990
0,1	0,0’2835	0,0*1611	0,0’1025	0,0«26J3	0,0®2768	0,0*7848	0,0’4133	0,032564	0,046313	0,056656
а = О
3			7 = 2					у = со		
	5	1	0,5	0,1	0,01	5	1	0,5	0,1 •	0,01
100 50 30 10 5 3 2 1 0,5 rt	0,3 0,1	0,01117 0,02137 0,03374 0,07697 0,1166 0,1302 0,1216 0,07649 0,03403 0,01496 0,0’1831	0,01117 0,02137 0,03374 0,07697 0,1150 0,1478 0,1440 0,07032 0,02093 0,0’7731 0,0’8646	0,01117 0,02137 0,03374 0,07697 0,1439 0,1763 0,1343 0,04796 0,01285 0,0’4666 0,0’5191	0,01119 0,0202 0,03703 0,1859 0,1806 0,09468 0,04685 0,01228 0,0’3087 0,0’1112 0,0’1235	0,03183 0,1092 0,2020 0,1077 0,03143 0,01156 0,0’5156 0,0*1290 0,0’3225 0, О’! 161 0,0*1290	0,01338 0,02574 0,0409) 0,09571 0,1518 0,1798 0,1822 0,1450 0,1021 0,06967 0,01928	0,01338 0,02574 0,04090 0,09571 0,1487 0,2050 0,2298 0,1687 0,08025 0,03995 0,0’7160	0,01338 0,02574 0,04090 0,09571 0,1943 0,2635 0,2438 0,1346 0,05450 0,02531 0,0’4182	0,01341 0,02408 0,04469 0,2413 0,2945 0,2055 0,1302 0,04970 0,01675 0,007228 0,0’1072	0,03816 0,1339 0,2628 0,2227 0,09791 0,04671 0,02481 0,0’7935 0,0’2417 0,0’9850

? (е
*к = Н -
о
X. £ 0 \	7 = 0,5			
	5	1	0,5	0,1
100	0,1544	0,1544	0,1544	0,1544
50	0,1494	0,1494	0,1494	0,1497
30	0,1*28	0,1428	0,1428	0,1462
10	0,1152	0,1152	0,1152	0,09452
5	0,08136	0,08275	0,08203	0,02412
3	0,05181	0,05181	0,03792	0,024842
2	0,03024	0,02511	0,01364	0,021120
1	0,02393	0,0131	0,023945	0,032263
£ 0	Y =2			
	5	1	0,5	0,1
100	0,5064	0,5064	0,5064	0,5064
50	0,4950	0,4950	0,4950	0,4958
30	0,4801	0,4801	0,4801	0,4892
10	0,4133	0,4133	0,4133	0,3658
5	0,3197	0,3244	0,3275	0,1229
3	0,2278	0,2318	0,1820	0,02987
2	0,1513	0,1324	0,07788	0,027631
1	0,05550	0,02479	0,029700	0,0’5744
Таблица 9
а = О
	Y = 1						
0,01	5	1	0,5	0,1	0,01
0,1561 0,1390 0,09474 0,0*6147 0,0’4901 0,0’6630 0,0’1333 0,0’2462	0,3166	0,3166	0,3166	0,3166	0,3169
	0,3082	0,3082	0,3082	0,3088	0,2940
	0,2970	0,2970	0,2970	0,3034	0,2126
	0,2488 0,1841 0,1236 0,07648 0,02840б	0,2488 0,1871 0,1247 0,06485 0,023580	0,2488 0,1872 0,09397 0,03629 0,021363	0,2123 0,06108 0,01321 0,023171 0,027764	0,01654 0,0*1401 0,0’1918 0,0’3879 0,0’8424
а = О
	Y = ОО				
0,01	5	1	0,5	0,1	0,01
0,5119 0,4723 0,3664 0,03666 0,023370 0,0’4835 0,0*9889 0,0’6322	0,8333	0,8333	0,8333	0,8333	0,8333
	0,8197	0,8197	0,8197	0,8207	0,8047
	0,8016	0,8016	0,8016	0,8128	0,6749
	0,7213	0,7213	0,7213	0,6730	0,1704
	0,6053 0,4863 0,3799	0,6116 0,4982 0,3608	0,6217 0,4347 0,2661	0,3431 0,1531 0,07336	0,04730 0,01743 0,027801
	0,2217	0,1454	0,08626	0,01926	0,000
Таблица 10
Действительная и мнимая части функции ф1 (Зо)
23о	Recpi (Зо)-Ю4 —1П1Ф1(Зо)-164	23о	Re Ф! (Зо)-Ю4 —Im Ф1(3о)-Ю4	23о	Re Ф1 (Зо)-Ю4 —Im Ф1 (Зо)-164	2£о	Re (Зо)-10* —Im Ф1 (Зо)• 1С4
0,5	0069 0001	5,25	2957 3117	10,0	2638 5944	35	1070 8792
0,75	0156 0005	5,5	2982 3338	10,5	2576 6120	40	0951 8942
1	0277 0015	5,75	2996 3550	11,0	2515 6284	45	0856 9059
1,25	0430 0037	6,0	3002 3752	11,5	2456 6434	50	0778 9153
1,5	0618 0075	6,25	3001 3944	12,0	2397 6573	75	0534 9435
1,75	0822 0138	6,5	2995 4128	12,5	2341 6702	150	0275 9717
2,0	1049 0228	6,75	2983 4302	13,0	2286 6822		
2,25	1286 0349	7,0	2967 4468	13,5	2234 6934		
2,5	1525 0503	7,25	2948 4626	14,0	2182 7038		
2,75	1757 0687	7,5	2926 4776	14,5	2133 7136		
3,0	1974 0898	7,75	2902 4919	15	2086 7228		
3,25	2170 1129	8,0	2876 5056	16	1996 7395		
3,5	2344 1376	8,25	2848 5185	17	1912 7543		
3,75	2493 1630	8,5	2820 5309	18	1834 7675		
4,0	2619 1889	8,75	2791 5427	19	1762 7795		
4,25	2723 2145	9,0	2761 5540	20	1695 7902		
4,5	2806 2400	9,25	2730 5648	22	1575 8089		
4,75	2872	9,5	2699	25	1421		
	2647		5751		8315		
5,0	2921 2886	9,75	2669 5849	30	1221 8593		
123
Таблица 11
2d
Действительная п мнимая части функций (fi (р0,
Зо — 1,5				Зо = 2			
2d R	Re ФгЮ4 —Im Ф1-164	2d R	Re Ф1-104 —Im ФрЮ4	2d R	Re ФрЮ4 —Im ФгЮ4	2d i R	ReVr104 1—Im фрЮ4
0,02	0282 0008	0,22	1714 0443	0,02	0501 0026	0,22	2675 1225
0,04	0532 0031	0,24	1768 0487	0,04	0938 0096	0,24	2719 1323
0,06	0750 0063	0,26	1814 0528	0,06	1314 0198	0,26	2748 1411
0,08	0942 0104	0,28	1852 0567	0,08	1631 0320	0,28	2767 1488
0,10	1108 0150	0,30	1883 0602	0,10	1895 0455	0,30	2776 1556
0,12	1251 0198	0,32	1909 0635	0,12	2112 0595	0,32	2779 1615
0,14	1375 0249	0,34	1930 0664	0,14	2285 0734	0,34	2777 1666
0,16	1481 0299	0,36	1947 0691	0,16	2425 0859	0,36	2772 1709
0,18	1572 0349	0,38	1960 0716	0,18	2533 0997	0,38	2764 1746
0,20	1649 0397	0,40	1970 0738	0,20	2615 1116	0,40	2754 1777
Ро = 2,5
Ро = 3
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0780
0064
1445
0231
1989
0467
2419
0742
2744
1029
2981
1310
3145
1575
3250
1814
3310
2025
3336
2208
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
3338
2362
3324
2491
3298
2597
3265
2683
3230
2751
3193
2804
3157
2845
3123
2875
3091
2897
3063
2912
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
1115
0131
2026
0467
2712
0918
3188
1407
3488
1881
3654
2308
3723
2674
3725
2976
3687
3218
3623
3406
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
3549
3550
3470
3656
3394
3791
3323
3783
3259
3817
3204
3836
3156
3845
3116
3847
3084
3843
3058
3836
124
Таблица It (продолжение)
Зо — 3,5				Зо = 4			
2d R	RecPi-l(.4 —Гт Фг 1С4	2d R	Re фг 10* —Тт ФгЮ4	2d R	RecprlO4 —Im Фх’104	2d R	Re cprl-4 —Im ср, -10*
0,02	1501 0240	0,22	3428 4533	0,02	1926 0403	0,22	3171 5254
0,04	2644 0829	0,24	3321 4585	0,04	3248 1330	0,24	3069 5255
0,06	3393 1562	0,26	3229 4611	0,06	3944 2371	0,26	2992 5239
0,08	3803 2286	0,28	3154 4618	0,08	4189 3280	0,28	2935 5215
0,10	3981 2916	0,30	3093 4613	0,10	4172 3980	0,30	2896 5187
0,12	4000 3425	0,32	3046 4601	0,12	4027 4479	0,32	2870 5160
0,14	3929 3816	0,34	ЗОН 4584	0,14	3834 4816	0,34	2854 5135
0,16	3814 4103	0,36	2985 4566	0,16	3636 5032	0,36	2846 5113
0,18	3682 4307	0,38	2937 4549	0,18	3455 5160	0,38	2844 5095
0,20	3550 4445	0,40	2956 4532	0,20	3299 5228	0,40	2345 5080
	Зо	= 4,5			Зо	= 5	
0,02	2378 0629	0?22	2900 5765	0,02	2838 0927	0,22	2668 6136
0,04	3783 1961	0,24	2824 5732	0,04	4204 2689	0,24	2622 6088
0,06	4304 3272	0,26	2774 5694	0,06	4458 4180	0,26	2598 6044
0,08	4316 4269	0,28	2743 5657	0,08	4234 5157	0,28	2590 6008
0,10	4108 4939	0,30	2726 5623	0,10	3882 5728	0,30	2590 5981
0,12	3836 5357	0,32	2720 5596	0,12	3539 6034	0,32	2596 5961
0,14	3571 3600	0,34	2720 5574	0,14	3252 6178	0,34	2605 5948
0,16	3341 5726	0,36	2725 5558	0,16	3027 6226	0,36	2613 5940
0,18	3154 5779	0,38	2731 5547	0,18	2861 6219	0,38	2621 5936
<0,20	3008 5785	0,40	2737 5540	0,20	2745 6183	0,40	2627 5935
125
Таблица И (продолжение)
Зо=6						0о = 7				
2d R	Re ФгЮ4 —Im 10*	2d R	Re ФгЮ* —Im ФрЮ4	2'i В	Re ФгЮ* —Im ФгЮ4	2d R	Re фгЮ* —Im Фг1 *
0,01	2205 0524	0,11	3069 6874	0,01	2870 0928	0,11	2524 7406
0,02	3703 1742	0,12	2908 6906	0,02	4366 2795	0,12	2400 7381
0,03	4428 3092	0,13	2773 6912	0,03	4711 4475	0,13	2306* 7344
0,04	4615 4248	0,14	2662 6900	0,04	4516 5654	0,14	2235> 7302
0,05	4510 5128	0,15	2573 6878	0,05	4149 6408	0,15	2185 7257
0,06	4276 5759	0,16	2503 6848	0,06	3765 6873	0,16	2151 7215’
0,07	4002 6197	0,17	2448 6814	0,07	3419 7150	0,17	2130 7175,
0,08	3731 6492	0,18	2408 6780	0,08	3124 7306	0,18	2120- 7140
0,09	3481 6685	0,19	2378 6746	0,09	2879 7384	0,19	2116 7110
0,10	3260 6806	0,20	2358 6714	0,10	2682 7411	0,20	2118 7086
		Зо = 8			Ро	= 9	
0,01	3514 1484	0,11	2122 7714	0,01	4076 2179	0,11	1840 7912
0,02	4732 3956	0,12	2041 7663	0,02	4800 5079	0,12	1795 7854
0,03	4610 5718	0,13	1986 7610	0,03	4277 6708	0,13	1771 7803
0,04	4125 6735	0,14	1952 7560	0,04	3636 7499	0,14	1763, 7759*
0,05	3627 7292	0,15	1933 7516	0,05	3107 7869	0,15	1765. 7725.
0,06	3203 7586	0,16		0,06	2704 8030	0,16	1773 7699’
0,07	2862 7728	0,17	1927 7448	0,07	2404 8080	0,17	1784 7682:
0,08	2596 7783	0,18	1933 7424	0,08	2183 8070	0,18	1795. 7670.
0,09	2391 7786	0,19	1942 7406	0,09	2024 8028	0,19	1806. 7664
0,10	2236 7758	0,20	1952 7394	0,10	1913 7973	0,20	1815 7661
126
Таблица И (продолжение)
00= 10					00 —	12,5	
2d	Re Ф1-104	2d	Re Ф1«104	2d	Re ф^ЛО4	2d	Re Ф1«104
R	—Im Ф1 • 10*	R	—Im Фх*Ю4	~R	—Im ФгЮ4	R	—ТшфгЮ4
0,01	4507 2975	0,11	1643 8058	0,005	4045 2096	0,055	1714 8694
0,02	4641 5062	0,12	1626 8005	0,010	4900 5052	0,060	1611 8662
0,03	3848 7446	0,13	1624 7963	0,015	4436 6825	0,065	1532 8624
0,04	3158 8019	0,14	1631 7932	0,020	3802 7751	0,070	1471 8584
0,05	2654 8244	0,15	1643 7910	0,025	3255 8239	0,075	1426 8544
0,06	2296 8310	0,16	1655 7897	0,030	2822 8499	0,080	1394 8505
0,07	2045* 6299	0,17	1668 7890	0,035	2483 8635	0,085	1372 8468
0,08	1871 8251	0,18	1678 7888	0,040	2218 8699	0,090	1358 8435
0,09	1756 8187	0,19	1686 7888	0,045	2009 8721	0,095	1353 8405
0,10	1683 8120	0,20	1691 7890	0,050	1844 8716	0,100	1352 8380
	Зо= 15				Ро = 17,5		
0,005	4746 3541	0,055	1290 8863	0,005	4950 5028	0,055	1045 8959
0,010	4543 6744	0,060	1234 8817	0,010	3897 7875	0,060	1021 8915
0,015	3642 8064	0,065	1196 8773	0,015	2904 8745	0,065	1010 8877
0,020	2938 8614	0,070	1172 8732	0,020	2272 9046	0,070	1008 8845
0,025	2438 8854	0,075	1160 8695	0,025	1860 9147	0,075	1013 8821
0,030	8954	0,080	1156 8664	0,030	1581 9166	0,080	1021 8804
0,035	1817 8984	0,085	1157 8639	0,035	1386 9145	0,085	1031 8792
0,040	1622 8976	0,090	1163 8318	0,040	1248 9106	0,099	1040 8784
0,045	1477 8948	0,095	1170 8603	0,045	1152 9057	0,095	1049 8781
0,050	1369 8906	0,100	1179 8592	0,050	1087 9007	0,100 Lil'S	1056 ; 8779
127
Таблица 11 (окончание)
Зо = 2и				Яо = 22,5			
1-	Re -Г4 * —Im ф! • 1и41	2d R	Re Ф1 • 1‘4 —Im ФГ1-)4	- Я I	RecPijlO4 | —Im cprlG4i	2d R	Re Фг 104 —Im ФгЮ4
0,005	4759 6314	0,055	0897 9031	0,005	4353 7308	0,055	0804 9097
0,010	3249 8573	0,060	0894 8996	0,010	2695 8997	0,060	0811 9074
0,015	2321 9118	0,065	0898 8970	0,015	1879 ; 9331	0,065	0821 9059
0,020	1789 9271	0,070	0907 8951	0,020	1440 9396	0,070	0832 9051
0,025	1460 9298	0,075	0917 8939	0,025	1178 9381	0,075	0841 9048
0,030	1245 9274	0,080	0927 8933	0,030	1014 9335	0,080	0848 9048
0,035	1102 9229	0,085	0936 8930	0,035	0911 9280	0,085	0853 9050
0,040	1008 9177	0,090	0942 8930	0,040	0849 9224	0,090	0858 9052
0,045	0948 9123	0,095	0947 8932	0,045	0816 9173	0,095	0858 9054
0,050	0914 9074	0,100	0951 8934	0,050	0804 9130	0,100	0858 9056
Зо = 25
0,005	3875 8032	0,055	0738 9162
0,010	2248 9258	0,060	0750 9149
0,015	1546 9456	0,065	0760 9144
0,020	1184 9470	0,070	0769 9142
0,025	0975 9430	0,075	0774 9144
0,030	0850 9374	0,080	0778 9146
0,035	0779 9315	0,085	0780 9148
0,040	0742 9261	0,090	0780 9150
0,045	0729 9217	0,095	0780 9152
0,050	0730 9184	0,100	0780 9153
128
Таблица 12
Действительная и мнимая части функции <рх (Ро, р,) ро = 0,3
И	Re фГЮ4 Im ФгЮ*	и	Re ФгЮ4 Im ФгЮ4	Р-	Re Фр 104 Im ФрЮ4
1,0	0100	2,2	0189	6,0	0291
	—0002		3743		7121
1,1	ОНО	2,4	0199	7,0	0302
	0474		4110		7476
л 9	0119	2,6	0207	8,0	0311
1, Z	0906		4412		7745
1,3	0128	2,8	0217	9,0	0318
	1301		4728		7965
1,4	0136	3,0	0225	10	0323
	1663		4991		8146
1,5	0144	3,2	0231		0335
	1996		5227	10	8682
1,6	0151	3,4	0238		0338
	2304		5440		8930
1,7	0158	3,6	0244	on	0328
	2589		5637	ov	9267
1,8	0165	3,8	0250		0299
	2852		5821	OU	9501
1,9	0171 3099	4,0	0255 5986	100	0242 9684
2,0	0178	5,0	0276		
	3328		6652		
			: 0,375		
1,0	0156	2,2	0294	6,0	0450
	—0005		3734		7091
1,1	0171	2,4	0310	7,0	0465
	0471		4099		7438
1,2	0186	2,6	0324	8,0	0476
	0902		4424		7710
	0199	2,8	0337	9,0	0485
1 ,О	1297		4714		7924
1 4	0213	3,0	0349	10	0490
	1660		4976	lv	8090
1,5 .	0224	3,2	0360	15	0499
	1990		5212		8632
1,6	0236	3,4	0369	20	0490
	2297		5427		8908
1,7	0247	3,6	0379	30	0461
	2581		5622		9189
1,8	0257	3,8	0388	50	0403
	2845		5802		9424
1,9	0267	4,0	0395	100	0313
	3090		5966		9623
2,0	0277	5,0	0427		
	3319		6623		
9 Заказ Хг 1315
129
Таблица 12 (продолжение)
и	Recprlb4 Im Ф1«Ю4		Re Фр104 Im Фх*104	н	Re Ф1-104 Im Ф1*104
		₽0 =	= 0,5		
1,0	0277 —0015	2,2	0519 3698	6,0	0766 6989
1,1	0303 0458	2,4	0545 4060	7,0	0785 7324
1,2	0329 0888	2,6	0570 4382	8,0	0796 7582
1,3	0353 1280	2,8	0592 4668	9,0	0802 7787
1,4	0376 1640	3,0	0612 4924	10	0835 7932
1,5	0397 1971	3,2	0630 5158	15	0783 8474
1,6	0417 2274	3,4	0646 5367	20	0746 8766
1,7	0436 2559	3,6	0661	30	0673 9043
1,8	0455 2818	3,8	0675 5736	50	0559 9287
1,9	0472 2900	4,0	0687 5896	100	0434 9514
2,0	0488	5,0	0735		
	3288		6537		
₽о = О,75
1,0	0613	’ —0076	2,2	1110 3511	6,0	1462 6575
1,1	0671 0387	2,4	1161 3853	7,0	1463 6889
1,2	0725 0806	2,6	1205 4155	8,0	1453 7133
1,3	0776 1188	2,8	1243 4424	9,0	1436 7330
1,4	0824 1536	3,0	1277 4665	10	1416 7493
1,5	0869 1856	3,2	1306 4881	15	1267 8078
1,6	0910 2150	3,4	1331 5077	20	1206 8315
1,7	0949	3,6	1354		1054
	2421		5255	ои	8657
1,8	0986 2672	3,8	1373 5417	50	0867 8979
1,9	1020	4,0	1389	100	0645
	2904		5566		9282
2,0	1052	5,0	1442		
	3121		6157		
130
Таблица 12 (продолжение)
р-	Re Фр 10* Im Фр 10*	и	Re Фх • 10* Im фр 10*	р-	Re Фр 10* Im фр 10*
		Зо =	0,9375		
1,0	0933	2,2	1612	6,0	1936
	—0179		3232		6135
1,1	1017	2,4	1673	7,0	1915
	0268		3553		6447
1,2	1095	2,6	1724	8,0	1884
	0670		3835		6695
1,3	1168	2,8	1767	9,0	1850
	1035		4086		6899
1,4	1234	3,0	1803	10	1814
	1368		4311		7069
	1296	3,2	1833	15	1644
1,5	1672		4514		7637
1,6	1353	3,4	1858	ЭЛ	1507
	1950		4698		7968
1,7	1406	3,6	1876	30	0938
	2207		4866		8353
1,8	1454	3,8	1895	КП	0107
	2443		5018	50	8741
1,9	1498 2663	4,0	1908 5160	100	0080 9113
2,0	1539 2866	5,0	1940 5725		
		V	= 1,07		
1,0	1184	2,2	1959	6,0	2232
	—0293		2962		5786
1,1	1285	2,4	2022	7,0	2197
	0136		3267		5104
1,2	1378	2,6	2074	8,0	2154
	0523		3536		6361
1,3	1464	2,8	2115	9,0	2109
	0872		3777		6573
	1541	3,0	2150	4 Л	2064
1Л	1190		3992		6752
1,5	1612	3,2	2177	15	1861
	1479		4188		7357
1,6	1677	3,4	2199	9Л	1703
	1746		4365		7715
1,7	1736	3,6	2216	30	1479
	1988		4528		8139
1,8	1790	3,8	2229	50	1212
	2213		4678		8487
1,9	1839	4,0	2239	100	0904
	2421		4816		8988
2,0	1883	5,0	2252		
	2614		5375		
9*
131
Таблица 12 (продолжение)
р-	Re Фг1и4 Im ср! • 16*			Re Ф1«1и4 Im Ф!‘1О4	Р-	Re Ф!*1и4 Im Ф1 • 104
			Зо =	= 1,25		
1,0	1525 —0503	2,2		2377 2534	6,0	2572 5304
1,1	1645	2,4		2437	7,0	2522
	—0101			2821		5636
1,2	1753	2,6		2486	8,0	2468
	0260			3077		5906
1,3	1851	2,8		2523	9,0	2413
	0585			3307		6131
1,4	1938	3,0		2553	л А	2359
	0881			3515	1U	6323
1,5	2016 1150	3,2		2575 3704	15	2124 6982
1,6	2086 1396	3,4		2592 3877	20	1943 7379
1,7	2149	3,6		2604	пЛ	1689
	1623			4036	30	7855
1,8	2205 1832	3,8		2612 4185	50	1389 8336
1,9	2256 2026	4,0		2617 4321	100	1040 8822
2,0	2301	5,0		2610		
	2207			4882		
			fV	= 1,5		
1,0	1974	2,2		2847	6,0	2959
	—0898			1863		4626
1,1	2107 -0537	2,4		2901 2135	7,0	2897 4981
1,2	2225 —0213	2,6		2942 2380	8,0	2833 5271
1,3	2329 0079	2,8		2974 2602	9,0	2770 5516
1,4	2419 0345	3,0		2997 2804	10	2709 5727
1,5	2499 0588	3,2		3014 2990	15	2445 6463
1,6	2570 0812	3,4		3025 3162	20	2244 6912
1,7	2632 1019	3,6		3032 3320	30	1961 7457
1,8	2686 1211	3,8		3035 3469	50	1620 8020
1,9	2734 1390	4,0		3036 3607	100	1221 8593
2,0	2781	5,0		ЗОЮ		
	1560			4184		
132
Таблица 12 (продолжение)
Re Ф1«104 Im ih-lG4	Р-	Re ср! • 104 Im cprlO4	P*	Re cpt • 10* Im фгЮ4
Ро= 1,875
2494	9 9	3314	6,0	3382
—1631		0836		3650
2627	9 Z	3361	7,0	3319
—1322	Z ,4	1097		4032
2742	9 R	3397	8,0	3252
—1043	Z, 0	1333		4354
2824	9 Й	3423	9,0	3186
—0750	Z,o	1552		4627
2927	q Л	3442	Л A	3123
—0555	5,U	1754	10	4865
3002	q о	3455	л к	2844
—0339	Of4	1939	15	5705
3073	q A	3573	OA	2629
-0142	0, 4	2180		6229
3123	q R	3469	Q A	2318
0050	O, 0	2273	30	6873
3172	3 Я	3470	KA	1832
0226	0,0	2426	50	7145
3215	Z A	3469	А ГХП	1477
0392	4 ,0	2569	100	8251
3253	£ A	3437		
0547	5,0	3174		
₽о = 2,15
2736	9 9	3513	R A	3599
—2183	Li , Li	0145	0,0	2995
2836	9 A	3559	7 A	3540
—1902	Li , 4c	0398	/ ,0	3397
2972	9 R	3594	8,0	3477
—1645		0683		3740
3065 —1410	2,8	3620 0851	9,0	3415 4025
3146	> n	3639	4 A	3353
—1191	0 , V	1051	10	4280
3216	3 9	3654	4 К	3079
—0987	0 , Li	1238	15	5188
3277	q A	3664	OA	2862
—0797	0,4	1413	zo	5759
3331 0617	3,6	3669 1378	30	2543 6466
3377 0448	3,8	3672 1734	50	2141 7223
3418	A 0	3672	4 АЛ	1647
0289	4 , V	1878	100	8010
3454	К A	3647		
0138	5,0	2501		
133
Таблица 12 (продолжение)
р-	Re фрЮ* Im Vi-104	р-		Re ФрЮ4 Im Фр 10*	и	Re фр 10* Im фр 10*
			Зо =	= 2,5		
1,0	2921	2,2		3659	. 6,0	3804
	—2887			—0699		2184
1,1	3039	2,4		3706	7,0	3756
	—2631			—0447		2605
1,2	3140	2,6		3744	8,0	3704
	—2397			—0215		2966
1,3	3227	2,8		3772	9,0	3649
	—2179			0000		3275
1,4	3307	3,0		3795	4 А	3595
	-1974			0200	1U	3546
1,5	3369	3,2		3813	15	3339
	—1783			0387		4524
1,6	3427	3,4		3826		3126
	-1603			0564	ZU	5154
1,7	3478	3,6		3836	on	2804
	—1432			0729	OU	5949
1,8	3524	3,8		3841	50	2390
	—1271			0884		6793
1,9	3564 —1117	4,0		3846 1033	100	1861 7692
2,0	3606	5,0		3838		
	—0982			1672		
			₽о	= 3		
1,0	ЗОЮ	2,2		3716	6,0	3974
	—3761			—1713		1172
1,1	3110	2,4		3769	7,0	3947
	-3524			—1471		1608
1,2	3204	2,6		3812	8,0	3914
	—3308			—1243		1992
1,3	3285	2,8		3848	9,0	3873
	-3109			—1033		2316
1,4	3576	3,0		3877	40	3831
	-2919			—0837	1U	2602
1,5	3421	3,2		3901	15	3616
	—2742			—0652		3668
1,6	3479	3,4		3920		3423
	—2573			—0477	ZU	4356
1,7	3529	3,6		3937	ЧО	3116
	—2412			—0313	о и	5233
1,8	3575	3,8		3950	50	2694
	—2260			—0154		6212
1,9	3616 —2114	4,0		3961 -0006	100	2132 7244
2,0	3653	5,0		3982		
	-1974			+0643		
134
Таблица 12 (продолжение)
р-	Re ф^Ю4 Im Фг1>	р-	Re Фх.104 Im Ф1«104	и	Re ФгЮ4 Im cpflG*
		Зо =	= 3,75		
1,0	2926	2,2	3637	6,0	4065
	—4776		-2925		—0116
1,1	3025	2,4	3699	7,0	4069
	—4573		—2696		+0322
1,2	3112	2,6	3751	8,0	4066
	-4383		-2482		+0718
1,3	3190	2,8	3795	9,0	4053
	—4205		—2286		1063
1,4	3260	3,0	3834	л А	4029
	—4035		—2097	1U	1361
1,5	3324	3,2	3869	л	3891
	-3874		—1918		2510
1,6	3381	3,4	3898	ОА	3739
	—•3721		-1752	ZU	3265
1,7	3432	3,6	3924	QA	3471
	—3578		-1591	oU	4245
1,8	3481	3,8	3948	50	3071
	—3433		—1437		5381
1,9	3525 —3298	4,0	3968 —1291	100	2494 6619
2,0	3566	5,0	4034		
	—3169		—0650		
		Зо = 5			
1,0	2638	2,2	3349	6,0	3987
	-5943		—4360		—1776
1,1	2728	2,4	3419	7,0	4046
	—5776		—4159		—1333
1 9	2810	2,6	3482	8,0	4082
	-5576		-3972		—0945
1,3	2884	2,8	3537	9,0	4100
	-5465		—3794		-0615
1,4	2952	3,0	3690	4 Л	4112
	—5321		—3623	1U	—0308
1,5	3015	3,2	3635	15	4096
	—5183		-3462		+0875
1,6	3074	3,4	3679	9А	4026
	—5051		—3306	ZU	+1701
1,7	3127	3,6	3716	on	3849
	—4926		—3162	OU	2820
1,8	3191	3,8	3751	КП	3526
	—4824		—3020	□и	4118
1,9	3224 -4689	4,0	3782 —2886	100	2977 5615
2,0	3269 —4575	5,0	3905 —2285		
135
Таблица 12 (окончание)
Р‘	Re ф -1 4 1ГПФ.-1 4	р-	Re • 10* Im ф.Л 4	р-	Re ФрК* Im Ф1-1J
		Зо =	= 12,5		
1,0	2086	2 2	2751	6,0	3576
	—7228		—6035		—3923
1,1	2156	2,4	2827	7,0	3671
	—7093		—5878		—3549
1,2	2232	2,6	2895	8,0	3763
	—6976		—5731		—3189
1,3	2303	2,8	2958	9,0	3815
	—6873		-5590		-2911
1,4	2364	3,0	3014	л А	3889
	—6765		—5456	1U	—2614
1,5	2423	3,2	3071		4076
	—6662		-5327.	1Э	-1455
1,6	2477	3,4	3125	9П	4122
	—6563		—5200		—0653
1,7	2528	3,6	3183	QA	4102
	—6468		—5084	0U	+0455
1,8	2577	3,8	3212	КА	3747
	—6375		-4972	Э J	+1250
1,9	2626 —6285	4,0	3256 —4860	100	3737 3215
2,0	2668	5,0	3433		
	-6200		—4361		
Таблица 13
Нормированное вносимое напряжение UN во втором приближении
hi+h* R		= 0,4		hi+h, R		= 0,4	
23о	Re Ujy-lO* Im l/jy.10*	230	Re E/jv-lO* Im lijy-lG*	23o	Re I/jylO* Im VN-10*	2r%	Re Un -1()4 Im Un -104
1,0	0194	7,0	1431	4 A	1280	£A	0578
	0022		2138	10	3844	<JU	5161
2,0	0639	8,0	1464	4 Й	1207	AO	0494
	0257		2419	lo	4044	OU	5271
3,0	0975	9,0	1474	9A	1138	70	0431
	0398		2675		4209	l и	5350
4,0	1161	4 A	1467	25	0989	ЯО	0383
	1125	1U	2904		4517	OU	5409
5,0	1283 1496	12	1421 3291	30	0869 4727	90	0344 5455
6,0	1372	14	1353	ZA	0696	100	0312
	1830		3595	4 U	4997		5493
136
Таблица 13 (продолжение)
ht+h2 R		= 0,6		R		= 0,6	
20о	Re EZjy-lO* Im UN-iO4	20o	Re UN-10* Im	20o	Re uN-io4 Im IZN.1O<	20o	Re UN -10* Im UN-10*
1,0	0153 0018	7,0	0981 1638	16	0814 2736	50	0358 3549
2,0	0501 0210	8,0	0986 1827	18	0764 2861	60	0305 3617
3,0	0748 0566	9,0	0979 1995	20	0718 2963	70	0266 3665
4,0	0865 0902	10	0964 2143	25	0619 3153	80	0236 3702
5,0	0927 1184	12	0919 2389	30	0542 3283	90	0212 3730
6,0	0963 1425	14	0869 2583	40	0432 3448	100	0192 3753
	hi+h, R	= 0,8		R		- = 1	
	0122	16	0538	1,0	0098	16	0370
1,0	0014		2015		0012		1526
2,0	0398 0171	18	0502 2095	2,0	0319 0140	18	0344 1580
3,0	0585 0460	20	0470 2161	3,0	0464 0375	20	0320 1624
4,0	0662	25	0402	4,0	0516	25	0272
	0729		2282		0591		1705
5,0	0691 0947	30	0351 2365	5,0	0528 0763	30	0236 1760
6,0	0700	Z A	0278	6,0	0525	АЛ	0186
	1127	40	2471		0901	4U	1829
7,0	0699	50	0230	7,0	0515	50	0153
	1280		2535		1014		1872
8,0	0690 1412	60	0196 2578	8,0	0501 1110	60	0130 1900
9,0	0676	7Л	0170	9,0	0485	70	0113
	1526	/и	2609		1191	1 V	1920
10	0659 1626	80	0151 2632	10	0468 1260	80	0100 1936
	0619	90	0135		0433	90	0090
12	1789		2650	1Z	1373		1948
14	0577 1915	100	0122 2664	14	0400 1459	100	0081 1957
137
Таблица 13 (продолжение)
	/11 + ^2	= 1,2		R		= 1,4	
	R						
2.8о	Re C/jylC4 Im I?N-1G4	23o	Re Im t7N-104	23o	Re l7N‘104 Im I7N.1O4	1 23o	Re l?N-104 Im 1/jv-lG4
	0079	16	0264	1,0	0066	16	0195
1,0	0010		1181		0008		0930
2,0	0257 0114	18	0244 1219	2,0	0209 0094	18	0180 0957
3,0	0372		0227	3,0	0300		0166
	0306	20	1249		0250	ZU	0979
4,0	0408 0481	25	0191 1305	4,0	0327 0392	25	0139 1019
5,0	0412		0165	5,0	0326		0120
	0618	30	1343		0502	oU	1047
6,0	0403 0725	40	0130 1392	6,0	0316 0587	40	0094 1081
7,0	0390 0812	50	0106 1421	7,0	0302 0655	50	0077 1102
8,0	0375 0883	60	0090 1440	8,0	0288 0709	60	0065 1116
9,0	0359		0078	9,0	0273	7Л	0056
	0943	70	1454		0754	/и	1126
10	0344 0903	80	0069 1465	10	0260 0792	80	0050 1133
12	0314 1073	90	0062 1473	12	0235 0851	90	0044 1139
14	0288 1134	100	0056 1479	14	0214 0896	100	0040 1144
	^1~Нг2 R	= 1,6		i 1	R		= 1,6	
1,0	0053 0006	7,0	0238 0530	16	0148 0741	50	0057 0868
2,0	0170	8,0	0225	л о	0136		0048
	0076		0573	18	0761	OU	0879
3,0	0243	9,0	0212		0125	7Л	0042
	0204		0608	zU	0778	/и	0886
4,0	0263 0320	10	0201 0637	25	0105 0807	80	0037 0892
5,0	0261		0180		0090	90	0033
	0409	12	0682	30	0828		0896
6,0	0250 0477	14	0163 0715	40	0070 0853	100	0030 0899
138
Таблица 13 (окончание)
	R	= 1,8		R		= 2	
20о	Re UN-104	20o	Re l7N-104	20o	Re Ujv-104	200	Re [jN-104
	Im [/N-1G4		Im tfN-104		Im dN.104		Im 17]у-104
1,0	0043	16	0115	1,0	0035	16	0091
	0005		0595		0004		0481
2,0	0138		0105	2,0	0113	4 Q	0083
	0062	18	0611		0051	IO	0493
3,0	0198		0097	3,0	0161	Oa	0076
	0167	20	0623		0137	ZU	0503
4,0	0213	or	0080	4,0	0173		0063
	0262	25	0646		0214	Zb	0521
5,0	0210	OA	0069	5,0	0170		0054
	0334	oU	0662		0273	OU	0533
6,0	0201	z n	0053	6,0	0162		0042
	0389	4U	0681		0317	4U	0548
7,0	0189	ka	0044	7,0	0152		0034
	0431	OU	0693		0351	bU	0557
8,0	0178		0037	8,0	0143	60	0029
	0465	bU	0700		0378		0563
9,0	0168	7Л	0032	9,0	0134	7Л	0025
	0492	I u	0706		0400	|U	0567
	0158	QA	0028		0126	QA	0022
1U	0515	oU	0710	1U	0418	OU	0570
12	0141	90	0025	12	0112	QU	0019
	0550		0713		0446	HU	0573
14	0127 0576	100	0023 0716	14	0100 0466	100	0018 0575
ЛИТЕРАТУРА
1.	Автоматизация производства и промышленная электроника. Под ред.
А. И. Берга, В. А. Трапезникова. Изд-во «Советская энциклопедия»,
1962.
2.	F. Forster, К. S t a m b k е. Theoretische und experi men telle
Grundlagen der zerstorungsfreien Werstoffpriifung mit Wirbelstrom-
verfahren. Z. f. Metallkiinde, 1954, 45, H.
3.	H. M. Родигин, И. E. Коробейникова. Контроль качест-
ва изделий методом вихревых токов. Москва — Свердловск, Маш-
гиз, 1958.
4.	Г. Г. Я р м о л ь ч у к. Бесконтактный метод определения удель-
ного электрического сопротивления.— Автоматика и телемеханика,
1958, № 3.
5.	В. П. Г р а б о в е ц к и й. Применение вихревых токов для целей
контроля. (Автореф. канд. дисс.) Л., 1960.
6.	В. Г. Герасимов. К теории контроля ферромагнитных цилин-
дрических изделий методом вихревых токов.— Заводская лаборато-
рия, 1962, № 9.
7.	А. С в е т л о в. О распределении переменного магнитного поля вит-
ка в присутствии проводящих плоскостей. Тр. физ.-матем. ин-та
им. Стеклова, 1933, 4.
8.	В. Строганов. О распределении токов, вызываемых перемен-
ным магнитным полем витка в проводящей среде. Тр. физ.-матем.
ин-та им. Стеклова, 1933, 4.
9.	Л. А. Ж е к у л и н. Многослойные электромагнитные экраны. Изв.
энерг. ин-та им. Кржижановского, вып. 1—2, 1935, 3.
10.	S. L е v у. Electromagnetic schielding effect of an infinite plane condu’
cting sheet placed between circular coaxial coils. Procc. IRE, 1936,
24, № 6.
11.	Г. Л. Б ю л л e p. Распределение плотности индукционных токов
на поверхности металла. Уч. зап. Томск, ун-та, 1948, №11.
12.	F. F б г s t е г, Н. В г е i t f е 1 d. Zeitschrift fur Metallkiinde, 1952,
43, S. 172.
13.	А.Л. Дорофеев. Неразрушающие испытания методом вихре-
вых токов. М., Оборонгиз, 1961.
14.	Ю. А. Выгода. Измерение толщины гальванических покрытий
методом вихревых токов с помощью накладного датчика. (Автореф.
канд. дисс.) Куйбышев, 1962.
15.	Л.М. Суворов. Контроль металлических деталей при помощи
вихревых токов с применением накладной катушки.— Заводская
лаборатория, 26, 1960, № 9.
16.	Л. Д. Гольдштейн, Н. В. Зернов. Электромагнитные поля и
волны. М., Изд-во «Сов. радио», 1956.
140
17.	М. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. Ос-
новные дифференциальные уравнения математической физики. М.,
Физматгиз, 1962.
18.	Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений. Изд-во АН СССР, 1948.
19.	В. С. Соболев. К теории метода накладной катушки при контро-
ле вихревыми токами.— Изв. СО АН СССР, сер. техн, наук, 1963*
№ 2, вып. 1.
20.	Ю. М. Ш к а р л е т. Некоторые вопросы теории метода вихревых
токов и расчет накладных датчиков.— В сб. «Неразрушающие методы
контроля качества материалов и изделий». О НТИПрибор, 1964.
21.	И. С. Г р а д ш т е й н, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.
22.	W. F о u g е t. Dipolare Koordinaten und Kugelfunktionen. Zeit-
schrift fur angew. Math und Meeh., 1957, 17, № 2, H. 1.
23.	Б. И. Сегал, К. А. Семендяев. Пятизначные математи-
ческие таблицы. М., Физматгиз, 1959.
24.	П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. Расчет индуктив-
ностей. ГЭИ, 1955.
25.	F. J. R u s s е 1, V. Е. S с h u s t е г, D. L. W е i d е 1 i с h. Com-
munication and Electronics, 1962, 9, p. 232.
26.	В. Г. В я x о p e в, В. П. Д e и и с к и н, Л. И. Т р а х т е н б е р г,
Ю. М. Ш к а р л е т. Векторно-разностный токовихревой датчик.—
В сб. «Электромагнитные методы контроля качества». (Материалы
семинара.) М., 1965 сб. 2.
27.	С. С. Аршинов. Температурная стабильность частоты ламповых
генераторов. ГЭИ, 1952.
28.	А. А. В а с и л ь е в, Б. А. В а р ш а в е р, В. Г. Г е р а с и м о в
и др. Способ бесконтактного контроля диаметра немагнитной про-
волоки. Авт. свид. № 129825.— Бюллетень изобретений, 1960, № 13.
29.	В. Г. Г е р а с и м о в, Р. М. Ч е р н о в, Ю. М. Ш к а р л е т. Ус-
тройство для контроля изделий из магнитных материалов. Авт. свид.
№ 148947.— Бюллетень изобретений, 1962, № 14.
30.	В. Г. Герасимов, Ю. М. Шкарлет, А. 3. Краев и др. Прибор
с датчиком для бесконтактного контроля размеров металли-
ческих изделий способом вихревых токов. Авт. свид. № 148533.—
Бюллетень изобретений, 1962, № 13.
31.	В. Г. X л е б н и к о в, В. Г. Г е р а с и м о в, 10. М. Ш к а р л’е т
и др. Устройство для бесконтактного одновременного и независимо-
го контроля диаметра и средней толщины стенок неферромагнитных
труб. Авт. свид. № 146957.— Бюллетень изобретений, 1962, № 9.
32.	Ю. М. Шкарлет. Способ автоматического бесконтактного кон-
троля параметров металлических изделий. Авт. свид. № 147355.—
Бюллетень изобретений, 1962, № 10.
33.	М. Г. Р е й ф и с о в, С. И. Т и ш и н, Ю. М. Ш к а р л е т и др.
Установка для бесконтактного, одновременного и независимого изме-
рения диаметра и средней толщины стенки тонкостенных и особотонко-
стенных маталлических труб. Авт. свид. № 157501.— Бюллетень
изобретений, 1963, № 18.
34.	Ю. Я. О с т а н и н, IO. М. Ш к а р л е т. Амплитудно-частотная
установка для экспериментальных исследований методом вихревых
токов.— В сб. «Неразрушающие методы контроля качества материа-
лов и изделий». ОНТИПрибор, 1964.
35.	В. Г. Герасимов, А. И. К у л ы г и н, Ю. М. Шкарлет.
Применение метода вихревых токов для контроля геометрических
141
размерOBjrpyб.—,В_сб.ЧНеразрушающие~ методы контроля качества
материалов и изделий». ОНТИПрпбор, Л964.	хм
36.	Ю. М. Шкарлет. Способ контроля параметров электропроводя-
щих изделий. Тр. МЭИ, 1964, вып. УП.
37.	Ю. М. Ш к а р л е т. Прибор для контроля толщины металлических
изделий. Тр. МЭИ, 1964, вып. УП.
38.	В. С. С о б о л е в. П. Ф. К а л и н и н. Устройство для бесконтакт-
ных измерений удельного сопротивления малогабаритных кристаллов
низкоомных полупроводниковых материалов. Авт. свид. Кг 151400. —
Бюллетень изобретений, 1962, Кг 21.
39.	В. С. С о б о л е в, П. Ф. К а л и ни н. Устройство для измерения
удельного сопротивления полупроводниковых материалов. Авт. свид.
№ 164068.— Бюллетень изобретений, 1964, № 14.
40.	В. С. С о б о л е в. Устройство для бесконтактного измерения удель-
ного сопротивления полупроводниковых материалов. Авт. свид.
К® 166761.— Бюллетень изобретений, 1964, К® 23.
41.	В. С. С о б о л е в. Бесконтактные измерения удельного сопротивле-
ния полупроводниковых материалов методом вихревых токов. — Изв.
Сиб. отд. АН СССР, сер. техн, наук, 1964, вып. 1, № 2.
42.	В. С. Соболев. О выборе параметров датчиков для бесконтакт-
ных измерений электропроводности материалов методом вихревых
токов.— Измерительная техника, 1964, № 3.
43.	В. С. С о б о л е в. Бесконтактный метод измерения удельного сопро-
тивления полупроводников.— Заводская лаборатория, 1965, 31,
№ 2.
44*	В. С. С о б о л е в. Теория метода накладного датчика при контроле
вихревыми токами.— Дефектоскопия, 1965. № 1.
45.	Ю. М. Ш к ар л ет, Л. А. Чернов. Способы подавления меша-
ющих факторов; при контроле . качества металлических изделий
методом вихревых токов.— Изв. АН Киргизской ССР, 1963, № 5.
46.	Ю. М. Шкарлет, Л. И. Т р а х т е н б е р г, В. П. Д е н и с-
к и н и др. Применение экранных и накладных датчиков вихревых
токов.— В сб. «Электромагнитные методы контроля качества». (Ма-
териалы совещания.) М., 1965.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................... $
Глава. I. Электромагнитное поле витка, расположенного над слоистой
проводящей средой............................................... 9
§ 1.1.	Уравнение Гельмгольца для вектор-потенциала электро-
магнитного поля. Квазистационарное поле. ...	9
§ 1.2.	Поле витка, расположенного над многослойной проводя-
щей средой .................................................. Н
§ 1	3. Поле витка в свободном пространстве............... 17
§ 1.4.	Поле витка над двуслойной средой, пластиной и полупро-
странством	................................. 18
Глава II. Приближенные методы решения задачи о поле витка, располо-
женного над	слоистой средой........................... 21
§ 2.1.	Разложение полученных интегралов в ряд............... 21
§ 2.2.	Первое	приближенное	решение........................ 23
§ 2.3.	Второе	приближенное	решение ........................ 27
§ 2.4.	Сводка формул второго приближенного решения задачи о
поле витка, расположенного над двуслойным полупростран-
ством ...................................................... 33
Глава III. Теория накладных параметрических датчиков ....-.•	35
§ 3.1.	Воздействие проводящего неферромагнитного полупрост-
ранства на датчик с пренебрежимо малым сечением обмотки 35
§ 3.2.	Воздействие проводящего неферромагнитного полупростран-
ства на соленоид ........................................... 42
§ 3.3.	Воздействие проводящего неферромагнитного полупрост-
ранства на тонкостенную цилиндрическую катушку ...	44
§ 3.4.	Воздействие проводящей неферромагнитной пластины^ на
накладной параметрический датчик ........................... 46
§ 3.5.	Основные закономерности работы накладного параметри-
ческого датчика при контроле неферромагнитных образ-
цов	....................................... 54
§ 3.6.	Воздействие проводящего ферромагнитного образца на на-
кладной параметрический датчик ............................. 62
§ 3.7.	Теория параметрического накладного датчика с магнито-
проводом	................................... 65
§ 3.8.	Распределение плотности вихревых токов в образце ....	68
Глава IV. Теория накладных трансформаторных датчиков.............. 73
§ 4.1.	Воздействие проводящего образца на датчик с пренебрежи-
мо малым поперечным сечением обмоток......................... 73
§ 4.2.	Сравнение датчиков с различным расположением обмоток .	78
§ 4.3.	Обобщение полученных результатов на датчики с прямоуголь-
ным сечением обмоток и выбор их отимальной геометрии 81
143
§ 4.4. Многообмоточные трансформаторные датчики. Неклас-
сические диаграммы вносимых напряжений ......... 86
Глава V. Теория экранных датчик >в......................... 99
§ 5.1.	Классические экранные датчики.................. 99
§ 5.2.	Неклассические экранные датчики............... 104
Глава VI. Температурная стабильность накладных и экранных датчиков Ю9
§ 6.1. Температурная стабильность параметрических датчиков .	109
§ 6.2.	Температурная стабильность трансформаторных датчиков Ц2
§ 6.3.	Температурная стабильность экранных датчиков. ИЗ
Приложение..............................•................. 115
Литература..............................•................
40
Виктор Сергеевич Соболев,
Юрин Михайлович Шкарлет
НАКЛАДНЫЕ И ЭКРАННЫЕ ДАТЧИКИ
(для контроля методом вихревых токов)
Ответ, ред. член-корр. АНСССР
Константин Борисович Карандеев
Редактор Л. В. Шалина. Художественный редактор В. Г. Бурыкин.
Художник Н. А. Савельева. Технический редактор Е. М. Елистратова.
Корректор М. П. Оськина
Сдано в набор 4 апреля 1966 г. Подписано в печать 29 декабря 1966 г. МН 03171
Бумага бЗхЭО1/^	9 печ. л.	7,7 уч.-изд. л.	Тираж 3630.
Издательство «Наука», Сибирское отделение. Новосибирск. Советская, 20. Зак. К» 1315
2>я типография издательства «Наука». Москва, Г-99, Шубинский пер., 10.
Цена 54 коп.
54 коп.