/
Автор: Рубаков В.А.
Теги: физика теория поля механика квантовая механика теоретическая физика
ISBN: 5-8360-0003-4
Год: 1999
Текст
КЛАССИЧЕСКИЕ
КАЛИБРОВОЧНЫЕ
ПОЛЯ
В.А.Рубаков
Эдиториал УРСС • Москва • 1999
•#
Настоящее издание осуществлено при финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект № 99-02-30011)
Рубаков Валерий Анатольевич
Классические калибровочные поля
М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 336 с.
ISBN 5-8360-0003-4
В основу книги положен курс лекций, прочитанный студентам 3-го и 4-го курсов физического
факультета МГУ, специализирующимся в области теоретической физики. Первая ее часть содержит
изложение основных идей теории калибровочных полей, построение калибровочно-инвариантных ла-
лагранжианов и описание спектров линейных возбуждений, в том числе над нетривиальный основным
состоянием. Вторая часть посвящена построению и интерпретации решений нелинейных полевых
уравнений — солитонов, «евклидовых пузырей», инстантонов и сфалеронов. В третьей части рассма-
рассматриваются эффекты, возникающие при взаимодействии фермионов с топологическими скалярными и
калибровочными полями. Книга содержит Дополнение, где кратко обсуждается роль инстантонов как
седловых точек евклидова функционального интеграла.
Излагаемый материал можно изучать параллельно с изучением квантовой механики, а затем
квантовой теории поля. В связи с этим книга полезна как научным работникам и аспирантом, так и
студентам старших курсов, специализирующимся в области теоретической физики.
Группа подготовки издания:
Директор — Доминго Марин Рикой
Заместители директора — Наталья Финогенова, Ирина Макеева
Компьютерный дизайн — Виктор Романов
Верстка — Наталия Бекетова
Обработка графики — Елена Ефремова
Редакция — Елена Кудряшова
Обработка текста — Евгений Макаров, Анна Тюрина
Техническое обеспечение — Елена Логвинова, Марина Круцко,
Наталья Аринчева, Елена Лукьянова
Издательство «Эдиториал УРСС». 113208, г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, ком. прав.
Лицензия ЛР №064418 от 24.01.96 г. Подписано к печати 14.0S.99 г.
Формат 70x100/16. Тираж 1000 экз. Псч. л. 21. Зак. № -.
Отпечатано в АООТ «Политех—4». 129110, г. Москва, ул. Б. Переяславская, 46.
ISBN 5-8360-0003-4
©В. А. Рубаков, 1999
© Эдиториал УРСС, 1999
Оглавление
Предисловие 6
Часть I 7
Глава 1. Калибровочный принцип в электродинамике 7
1.1. Действие электромагнитного поля в пустоте 7
1.2. Калибровочная инвариантность 8
1.3. Общее решение уравнений Максвелла в пустоте 9
1.4. Выбор калибровки 11
Глава 2. Скалярные и векторные поля 13
2.1. Система единиц h = с = 1 13
2.2. Действие скалярного поля 13
2.3. Массивное векторное поле 16
2.4. Комплексное скалярное поле 17
2.5. Степени свободы 18
2.6. Взаимодействие полей с внешними источниками . 19
2.7. Взаимодействующие поля. Калибровочно-инвариантное
взаимодействие в скалярной электродинамике 20
2.8. Теорема Нетер 25
Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли 30
3.1. Группы 30
3.2. Группы и алгебры Ли 36
3.3. Представления групп и алгебр Ли 41
3.4. Компактные группы и алгебры Ли 45
Глава 4. Неабелевы калибровочные поля 48
4.1. Неабелевы глобальные симметрии 48
4.2. Неабелева калибровочная инвариантность
и калибровочные поля: группа SUB) 52
4.3. Обобщения на другие группы 57
4.4. Уравнения поля • 61
4.5. Задача Коши и условия калибровки 66
Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии 69
5.1. Спонтанное нарушение дискретной симметрии 69
5.2. Спонтанное нарушение глобальной симметрии 17A).
Намбу-голдстоуновский бозон 73
5.3. Частичное нарушение симметрии: модель 5ОC) 76
5.4. Общий случай. Теорема Голдстоуна 80
Оглавление
Глава 6. Механизм Хиггса 84
6.1. Пример абелевой модели 84
6.2. Неабелев случай: модель с полностью нарушенной
5{7B)-симметрией 89
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии:
бозонный сектор стандартной электрослабой теории 93
Дополнительные задачи к части I 102
Часть II 107
Глава 7. Простейшие топологические солитоны 107
7.1. Кинк 107
7.2. Масштабные преобразования и теоремы об отсутствии солитонов . 116
7.3. Вихрь 121
7.4. Солитон в модели n-поля в B+1)-мерном пространстве-времени . 129
Глава 8. Элементы гомотопической топологии 134
8.1. Гомотопия отображений 134
8.2. Фундаментальная группа . . . . ; 136
8.3. 1Ъмотопические группы 139
8.4. Расслоения и гомотопические группы 143
8.5. Сводка результатов , 147
Глава 9. Магнитные монополи 149
9.1. Солитон в модели с калибровочной группой SUB) 149
9.2. Магнитный заряд 154
9.3. Обобщения на другие модели 160
9.4. Предел — -* 0 161
7У1у
9.5. Дионы 164
Глава 10. Нетопологические солитоны 166
Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
в квантовой механике 173
11.1. Распад метастабильного состояния в квантовой механике
одной переменной 173
11.2. Обобщение на случай многих переменных 178
11.3. Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением .... 185
Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля 192
12.1. Предварительные соображения . . . 192
12.2. Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок) 195
12.3. Тонкостенное приближение 200
Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях 203
13.1. Евклидовы калибровочные теории 203
13.2. Инстантон в теории Янга—Миллса 205
13.3. Классические вакуумы и 0-вакуумы 210
13.4. Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса 217
Дополнительные задачи к части II 222
Оглавление
Часть III 226
Глава 14. Фермионы во внешних полях 226
14.1. Свободное уравнение Дирака 226
14.2. Решение свободного уравнения Дирака. Море Дирака 231
14.3. Фермионы во внешних бозонных полях 236
14.4. Фермионный сектор стандартной модели 244
Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях . . 252
15.1. Дробление заряда 252
15.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 257
Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
в четырехмерном пространстве-времени 269
16.1. Фермионы в поле монополя: целый угловой момент и дробление
фермионного числа 269
16.2. Рассеяние фермионов на монополе:
несохранение фермионных чисел 275
16.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 278
Глава 17. Несохравение фермионных чисел
в четырехмерных неабелевых теориях 286
17.1. Пересечение уровней и евклидовы нулевые фермионные моды . . . 286
17.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 289
17.3. Правила отбора . 295
17.4. Электрослабое несохранение барионного и лептонных чисел
при высоких температурах 300
Дополнительные задачи к части III 303
Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл 307
Д.1. Распад ложного вакуума в формализме функционального интеграла 307
Д.2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 313
Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса.
Интегрирование вдоль долин 319
Д.4. Растущие инстантонные сечения 323
Литературные указания 328
Предметный указатель 334
Предисловие
В основу этой книги положен курс лекций, читавшийся в течение ряда лет на ка-
кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского
государственного университета студентам 3-го и 4-го курсов, специализирующимся
в области теоретической физики.
Традиционно теория калибровочных полей включается в курсы квантовой тео-
теории поля. Однако многие понятия и результаты калибровочных теорий появляются
уже на уровне классической теории поля, что делает возможным и полезным их изу-
изучение параллельно с изучением квантовой механики. Соответственно, чтение первых
десяти глав этой книги не требует знания квантовой механики, в главах 11—13 ис-
используются представления и методы, излагаемые обычно в начале курса квантовой
механики, и лишь для чтения последующих глав необходимо знание квантовой
механики в полном объеме, включая уравнение Дирака. Сколько-нибудь подробное
знакомство с квантовой теорией поля для чтения основного текста не обязательно.
В то же время, с самого начала предполагается, что читателю известны классическая
механика, специальная теория относительности и классическая электродинамика.
Первая часть этой книги содержит изложение основных идей теории калибро-
калибровочных полей, построение калибровочно инвариантных лагранжианов и описание
спектров линейных возбуждений, в том числе над нетривиальным основным состо-
состоянием. Вторая часть посвящена построению и интерпретации решений, существо-
существование которых целиком обусловлено нелинейностью уравнений поля, — солитонов,
«евклидовых пузырей» и инстантонов. В третьей части рассматриваются некоторые
интересные эффекты, возникающие при взаимодействии фермионов с топологиче-
топологическими скалярными и калибровочными полями.
Книга содержит Дополнение, где кратко обсуждается роль инстантонов как
седловых точек евклидова функционального интеграла в квантовой теории поля
и некоторые связанные с этим вопросы. Цель Дополнения — дать первоначальное
представление об этом довольно сложном аспекте квантовой теоринчполя; изло-
изложение в нем схематично и никоим образом не претендует на полноту\(например,
мы полностью оставляем в стороне важные вопросы, касающиеся суперсимме-
суперсимметричных калибровочных теорий). Для чтения Дополнения необходимо знакомство
с квантовой теорией калибровочных полей.
Разумеется, большинство вопросов, затронутых в этой книге, так или иначе рас-
рассматривается в имеющихся монографиях, учебниках и обзорах по квантовой теории
поля, далеко не полный перечень которых помещен в конце книги. В определенном
смысле эта книга может служить введением в предмет.
В книге содержатся два математических отступления, где кратко, без претензии
на полноту или математическую строгость излагаются элементы теории групп и ал-
алгебр Ли и гомотопической топологии. Это должно сделать возможным чтение книги
без постоянного обращения к более специальной литературе по данным вопросам.
Мне бы хотелось поблагодарить моих коллег Ф.Л.Безрукова, Д. Ю. Григо-
Григорьева, М. В.Ливанова, Д.В. Семикоза, П.Г.Тинякова, С. В.Троицкого и Д.Т.Шона
за большую помощь в подготовке и чтении курса лекций, внимательное чтение
рукописи и подготовку ее к публикации.
ЧАСТЬ I
Глава 1
Калибровочный принцип
в электродинамике
1.1. Действие электромагнитного поля в пустоте
Электромагнитное поле в вакууме описывается двумя пространственными век-
векторами Е(х) и Н(х) — электрическим и магнитным полями. Они образуют анти-
антисимметричный тензор напряженности поля F^:
(так что Я,- = ^Sij
Здесь и всюду в дальнейшем греческие индексы — пространственно-временные и пробе-
пробегают значения /i,j/, А,/?,.•■ = 0,1,2,3 (в d-мерном пространстве-времени /t,u,X,p,... =
0,1,2, ,(d - 1)). Латинские индексы — пространственные, они пробегают значения
i,j,k,... = 1,2,3 (i,j,k,... = l,2,...,(d- 1) в d-мерном пространстве-времени). По по-
повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование с метрическим тензором
Минковского, r\,f = diag(+1,-1,-1,-1), причем мы, как правило, не будем различать
верхние и нижние индексы (например, F^F^ будет означать F^F^ri^ff). По повторяю-
повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование с евклидовой пространственной
метрикой (таким образом, F^F^ означает
-ЯкЯя - FioFi0 + FijF,; = -2(Е2 - Н2),
а скалярное произведение двух векторов *' и х" — это к"^ = каха — кх).
Действие электромагнитного поля в пустоте имеет вид
Fltv. A.1)
В качестве динамических переменных здесь фигурируют вектор-потенциалы А^,
такие, что
F/u, = д„А,, - д„А„. A.2)
д
Здесь и всюду в дальнейшем ди = -—■
охр
Вариационный принцип для действия A.1) приводит к уравнениям Максвелла
в пустоте:
Qy.F^ = 0. A.3)
8 Глава 1. Калибровочный принцип в электродинамике
> Задача 1. Показать, что уравнения Максвелла A.3) действительно являются условиями
экстремальности действия относительно вариаций поля Ац(х) при фиксированных
значениях А^ на границе пространственно-временного объема, в который помещена
система.
> Задача 2. Показать, что уравнения A.3) эквивалентны паре уравнений
divE = 0,
дЕ
-гоШ+ — =0,
at
а определение A.2) эквивалентно уравнениям
divH = 0,
ан п A.4)
Показать, что пару уравнений A.4) можно записать в лоренц-ковариантном виде
£twXpdvF\p = 0.
Последнее равенство (следствие определения A.2)) носит название тождества
Бьянки для тензора напряженности электромагнитного поля.
Энергия электромагнитного поля выражается через электрическое и магнитное
поля,
E^^J(E2 + H2)d3x. A.5)
Другие динамические величины (например, импульс поля) также выражаются че-
через Е и Н, т. е. через тензор поля F^.
1.2. Калибровочная инвариантность
Тензор напряженности F^, а вместе с ним действие, энергия, уравнения поля
инвариантны относительно преобразований
А„(х)-+А'1А(х)=А„(х) + д„а(х), A.6)
где а(х) — произвольная функция пространственно-временных координат. Напри-
Например, для тензора напряженности имеем
Преобразования полей, параметры которых зависят произвольным образом от точки
пространства-времени, называют калибровочными преобразованиями (в отличие
от глобальных преобразований, параметры которых постоянны, т.е. не зависят
от х*\ глобальные преобразования мы будем обсуждать чуть позже). Таким образом,
преобразование A.6) — простейшее калибровочное преобразование.
Основным постулатом теории калибровочных полей является требование, чтобы
все физические (наблюдаемые) величины, а также действие и уравнения движения
были калибровочно инвариантны, т. е. инвариантны относительно соответствующих
калибровочных преобразований. В электродинамике этот принцип выполняется;
таким образом, электродинамика представляет собой простейший пример калибро-
калибровочной теории.
1.3. Общее решение уравнений Максвелла в пустоте
В электродинамике можно построить калибровочно инвариантную величину
, A.7)
/■
где интегрирование ведется вдоль некоторого контура С в пространстве-времени. В одно-
связном пространстве-времени (без дырок) эта величина сводится к Е и Н; например, для
чисто пространственного контура С можно записать
' = - [ HdS,
С Е
где £ — поверхность в пространстве, натянутая на контур С. Если же пространство-
время не односвязно, то калибровочный инвариант A.7) может не выражаться через Е
и Н. Например, в B + 1)-мерном пространстве-времени, где пространство имеет дырку
(или в C + 1)-мерном пространстве-времени, в пространстве которого вырезан бесконечно
длинный цилиндр), может быть так, что Е = Н = 0 всюду, но
J
с
где контур С оборачивается вокруг дырки. Эта величина, а точнее, фазовый фактор
ic £ Ых
е Ус
A.8)
(е — заряд электрона) оказывается наблюдаемой в квантовой теории (эффект Ааронова—
Бома). Физически такая ситуация реализуется следующим образом: можно взять тонкий
длинный соленоид, в котором сконцентрированно магнитное поле, и окружить его непро-
непроницаемой (для всех частиц и полей) стенкой. Электрическое и магнитное поля вне стенки
равны нулю, однако рассеяние электронов на этой стенке зависит от величины фазового
фактора A.8).
1.3. Общее решение уравнений Максвелла
в пустоте
Найдем общее решение уравнений Максвелла A.3). Удобно сделать преобразо-
преобразование Фурье
А„= I [е!кха„(к) + к. с] А.
Здесь и далее к. с. означает комплексно-сопряженную величину (так, в этой формуле
«к. с.» = e"'*IaJ(fc)). a^(fc) — комплексные функции четырехмерного вектора к.
Отметим, что
кх — кцХц — fcoxo - kx,
так что к — это трехмерный волновой вектор, а fco — частота плоской волны.
Уравнения A.3) эквивалентны следующим уравнениям для фурье-образов:
к^крп,, — №к„а.р = О,
или
к2а„ - к„(ка) = 0, A.9)
где к2 = *"*„, ка = к"а11.
10 Глава 1. Калибровочный принцип в электродинамике
Рассмотрим сначала случай к2 Ф 0. Тогда из A.9) следует, что вектор av(k)
направлен вдоль к„,
а„(к) = к„с(к). A.10)
Подставляя A.10) в A.9), убеждаемся, что на с(к) никаких ограничений нет:
уравнения A.9) превращаются в тождества. Итак, при к2 Ф 0 общее решение имеет
вид A.10).
Рассмотрим теперь случай к2 = 0, т.е. fc° = |k|. Уравнения A.9) сводятся тогда
к условию четырехмерной поперечности:
Уа„ = 0.
Имеется три линейно независимых вектора, ортогональных (в четырехмерном смы-
смысле) к к». Один из них — сам W, два других — ef\ a = 1,2, — можно выбрать
чисто пространственньши и ортогональными в трехмерном смысле вектору к и друг
другу
>) _ л
ео — ">
e|a)fc,- = 0, A.11)
(последнее условие фиксирует также нормировку еМ). Итак, при к2 = 0 общее
решение имеет вид
4>
где с(к) и Ьа(к) — произвольные комплексные функции трехвектора к (поскольку
fc0 = |k|).
Объединяя случаи к2 Ф 0 и к2 = 0, получаем, что общее решение уравнений
Максвелла имеет вид
i,(x) = Ai(i) + AjW- AЛ2)
где
/
4=
) l|
A-13)
+ K.c.].
Поле Ау,(х) — это чистая калибровка,
а(х)= 1<
где
1<?х r
Как и следовало ожидать, общее решение содержит произвольную скалярную функ-
функцию (если Ац(х) — решение уравнений Максвелла, то А'^х) — А^(х) + д^а(х) —
тоже решение). Нетривиальная часть решения, Л.£(х),— это набор плоских волн,
движущихся со скоростью света (частота fc° равна модулю волнового вектора к).
> Задача 3. Считая векторы е)!' и еу (см. A.11)) действительными (линейная поляри-
поляризация) показать, что в плоской волне вида
А,(х) = е^е^Ь,
1.4. Выбор калибровки 11
магнитное поле ортогонально (в трехмерном смысле) электрическому в каждой
точке х, а электрическое и магнитное поля ортогональны волновому вектору к.
Отметим, что A.12), (ОЗ) — не единственно возможная форма записи общего
решения уравнений Максвелла. В некоторых задачах вместо разложения по плоским
волнам удобно использовать разложения по другим полным наборам функций,
например, по сферическим гармоникам. Мы не будем останавливаться на этих
разложениях, поскольку важные для нас свойства решений — распространение волн
со скоростью света и наличие двух независимых амплитуд Ьа для каждого волнового
вектора к — наиболее удобно увидеть именно в базисе плоских волн.
1.4. Выбор калибровки
Калибровочная инвариантность уравнений Максвелла приводит к тому, что
их общее решение содержит произвольную скалярную функцию пространственно-
временных координат х1*. В этом мы явно убедились в п. 1.3 на примере электро-
электромагнитного поля без источников. Это свойство неоднозначности решения неудобно
в более сложных случаях, когда имеются источники (а также представляет труд-
трудность при квантовании поля). Поэтому часто накладывают дополнительное условие
на поле Ар так, чтобы этот произвол уменьшить, или, как говорят, фиксируют
калибровку. Часто используют следующие калибровочные условия:
а) Кулоновская калибровка
divA = д{А{ = 0. A.14)
Это условие, так же как и все другие, не инвариантно относительно кали-
калибровочных преобразований: если Ар(х) удовлетворяет этому условию, то А'р(х) =
Ац{х) + др(х{х) тоже удовлетворяет ему, только если
д{д{а = Да = 0,
т. е. только если а(х) пространственно постоянна или растет в пространстве. Если
ограничиться полями, убывающими на пространственной бесконечности (мы это не-
неявно предполагали в п.1.3), то вектор-потенциал фиксируется однозначно. Проверка
этого факта для решения A.12) тривиальна: условие A.14) дает
k2c(fc) = 0,
т.е. Ар(х) = 0. Итак, решение уравнений Максвелла в кулоновской калибровке
имеет вид
где Ар дается выражением A.13).
б) Калибровка Лоренца
дрАр = 0.
В отличие от кулоновского условия, это условие инвариантно относительно
остаточных калибровочных преобразований
Ар —» Ар = Ар + dpCt,
где а(х) удовлетворяет уравнению Даламбера
дрдра = Оа = 0.
12 Глава 1. .Калибровочный принцип в электродинамике
Таким образом, калибровка Лоренца фиксирует решение с точностью до суммы
продольных волн 9/,а(х), распространяющихся со скоростью света. На языке ре-
решения A.12) это означает, что c(k) = О при fc2 Ф О, но при fc2 = О функция с(к)
произвольна.
в) Калибровка А§ = 0.
Остаточная калибровочная инвариантность описывается калибровочными
функциями а, не зависящими от времени, до<х = 0. Общее решение уравнений
Максвелла имеет вид '.■
(отметим, что Aq(x) =.Q), где Во = 0 и
В;(х) =
Соответственно c(fc) Ф 0 только при fc° = 0.
> Задача 4. Найти остаточные калибровочные преобразования и общее решение уравнений
Максвелла в аксиальной калибровке
пА = 0,
где ц — некоторый фиксированный единичный трехвектор, постоянный в простран-
пространстве-времени.
Глава 2
Скалярные и векторные поля
2.1. Система единиц h = с = 1
Всюду в дальнейшем будет использоваться система единиц h = с = 1. Един-
Единственная нетривиальная размерность при этом — размерность массы. Длина и время
имеют размерность -jj. Действительно,
[с] = |, [Л]=м£ B.1)
(последнее равенство очевидно, например, из соотношения Е = hw). Из B.1)
и h = с = 1 следует
Физически -^ — это комптоновская длина волны частицы массы М.
> Задача 1. Найти, в обычных единицах, длину и время, соответствующие 1/г.
> Задача 2. а) Найти размерность Е о Н в системе единиц h = с = 1. Показать, что
действие электромагнитного поля безразмерно,
б) То же в пространстве-времени размерности d.
> Задача 3. а) Найти размерность электрического заряда в системе единиц h = с = 1.
б) Найти численное значение величины ^ (постоянная тонкой структуры), где е —
заряд электрона.
в) То же, что в а), но в d-мерном пространстве-времени.
> Задача 4. Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает электрон, пройдя
разность потенциалов 1 В. Найти связь между 1 г и 1 эВ в системе h = с = 1.
Найти, в обычных единицах, длину и время, соответствующие 1/ГэВ, где ГэВ = Ю'эВ.
Найти 1 Гаусс и 1 В/см (единицы магнитного и электрического полей) в системе
h = с = 1 и единицей массы 1 ГэВ.
2.2. Действие скалярного поля
Электромагнитное поле является наиболее известным — но не самым про-
простым! — примером поля. Самый простой случай возникает, если вместо четырех
функций пространственно-временных координат Ар(х) (образующих четырехвектор
относительно преобразований Лоренца) рассмотреть одну действительную функцию
<р(х) (лоренцев скаляр). Другой пример — когда скалярное поле комплексно, иначе
говоря, когда поле имеет две действительные компоненты Re (p(x) и Im (p(x).
14 Глава 2. Скалярные и векторные поля
В квантовой теории имеется соответствие между полями и частицами. Так, электромагнитное
поле описывает фотон; ж° -мезоны, 7/-мезоны и некоторые другие частицы описываются дей-
действительными скалярными полями; л-*-мезонам соответствует одно комплексное скалярное
поле. Векторные бозоны W± и Z описываются (массивными) векторными полями, отличаю-
отличающимися от электромагнитного. Важный класс полей, который не будет пока рассматриваться,
поскольку не имеет классического с-числового аналога, описывает фермионы — частицы
с полуцелым спином (электроны, нейтрино и т.д.).
Рассмотрим действительное скалярное поле ip(x) и построим для него про-
простейший лагранжиан. Потребуем, чтобы в результате вариации действия получились
дифференциальные уравнения второго порядка — тогда производные в лагранжиан
должны входить не более, чем квадратично. Потребуем, далее, чтобы лагранжи-
лагранжиан был лоренцевым скаляром. Эти два достаточно общих требования дополним
на время еще одним — требованием линейности уравнений поля. Оно означает
квадратичность действия по полю. Указанные требования приводят к действию
B.2)
где т2 — единственный произвольный параметр, (d^tpJ = d^ipd^ip. Знаки в B.2)
определяются требованием неотрицательности энергии; энергия поля будет рассма-
рассматриваться ниже.
> Задача 5. Вообще говоря, имеется более чем два инварианта, удовлетворяющих перечи-
перечисленным выше требованиям. Лагранжиан мог бы быть выбран в виде
С = aidpipJ + Ъдцд,,? + ардцдцр + ^V + cUp, B.3)
где а,..., d — произвольные постоянные. Считая т2 Ф 0, показать, что теория
с наиболее общим лагранжианом B.3) эквивалентна теории B.2).
Варьирование действия B.2) приводит к уравнению Клейна—Гордона—Фока
m2tp = 0. B.4)
Приведем вывод этого уравнения из вариационного принципа с действием B.2). Пусть
6ip{x) — вариация поля; считаем ее равной нулю на границе пространственно-временного
объема. Тогда
SS= I <fx[9llipS(dl,ip)-m2ipSV]. B.5)
Далее, изменение производной поля равно производной от изменения поля, 6{д/р) = d^Sip).
В первом слагаемом в B.5) интегрируем по частям,
SS
= I <fx [-dpdptpStp - m2tpStp] + / dE1" [Bfip6ip\,
где второй интеграл берется по границе объема. Как обычно, полагаем Sip = 0 на границе
четырехмерного объема, тогда второй интеграл исчезает. Требуя 6S = 0 для всех Sip, получаем
уравнение B.4).
Найдем общее решение уравнения Клейна—Гордона. Перейдя в к -представ-
-представление,
Z.Z. Действие скалярного поля 15
получим уравнение
(k2-m2)<p(k)=0,
так что tp отлично от нуля — и произвольно — только при
fc2 = (fc°J-(kJ = m2,
т. е. при связи между частотой fc° и волновым вектором к вида
к° = л/к2 + т2. B.6)
Это равенство представляет собой закон дисперсии для свободных волн.
Закон дисперсии B.6) напоминает релятивистское соотношение между энергией и импульсом
Е = у/р1 + т1.
Это не случайно: если представить себе поле <р(х) как волновую функцию некоторой частицы
(не обычной нерелятивистской частицы с волновой функцией, удовлетворяющей уравнению
Шредингера, но некоторой релятивистской частицы), то для нее справедливо
Е = к°, р = к,
так что т — масса этой частицы. Указанные соображения становятся точными в квантовой
теории поля.
Мы будем называть параметр т массой поля, а поля с тфО — массивными
полями. Для фотона т = 0; электромагнитное поле — безмассовое.
Таким образом, общее решение уравнения Клейна—Гордона представляет собой
сумму плоских волн с законом дисперсии B.6),
комплексные амплитуды ^>(к) — произвольны.
Для дальнейшего полезно отметить аналогию классической теории поля с клас-
классической механикой со многими степенями свободы. Динамические координаты
9л (i) классической механики аналогичны полю <p(x,t), только индекс А стано-
становится непрерывным индексом — координатой точки пространства (для электро-
электромагнитного поля A,,(x,t) «индекс» А, нумерующий динамические координаты, —
это пара (/*,х)). Суммирование по индексу А (например, в функции Лагранжа
L = Y^, jQaQa + ■■■) заменяется интегрированием по d?x. Воспользуемся этой ана-
А
логией для построения энергии скалярного поля. В классической механике энергия
равна
Аналог функции Лагранжа L в теории скалярного поля — это интеграл от лагран-
лагранжиана по пространству,
Используя (опускаем зависимость от времени)
SL
16 Глава 2. Скалярные и векторные поля
получим для энергии
выражение вида
+
Из этого-7 выражения ясен выбор знаков в B.2): а) отрицательный знак перед
(dpipJ в B.2) привел бы к отрицательному знаку в первых двух слагаемых в B.8),
и энергия быстро осциллирующих полей была бы отрицательна и неограниченно
убывала с ростом частоты осцилляции; б) положительный знак при слагаемом с т2
в B.2) привел бы к отрицательному знаку при соответствующем (третьем) слагаемом
в B.8), и энергия однородного поля была бы отрицательна и неограничена снизу
для больших полей (р.
> Задача б. Найти размерность поля (р. Показать, что параметр т действительно
имеет размерность массы.
> Задача 7. Используя выражение типа B.7), найти энергию электромагнитного поля
с действием A.1) и динамическими координатами А^(х,{). Показать, что при
выполнении уравнений поля A.3) найденная таким образом энергия совпадает
с A.5).
> Задача 8. Считая, что поле <р(х, t) достаточно быстро убывает на пространственной
бесконечности, проверить, что энергия B.8) действительно сохраняется, ^§ = О,
если поле удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона.
2.3. Массивное векторное поле
Массивное векторное поле должно описываться четырехвектором В^{х). Од-
Однако если Вц представляет собой градиент скалярного поля, В^(х) = д^х(х)> то
о векторном характере В^ говорить не имеет смысла: система описывается скаляр-
скалярным полем х(х)- Иными словами, любое векторное поле ВЙ(х) можно разделить
на поперечную (в четырехмерном смысле) компоненту В^ и градиент скалярного
поля,
д„В£=0. B.9)
Поперечное поле Bfr не сводится к скалярному полю, и именно оно представляет
интерес. Если масса поля отлична от нуля, то закон дисперсии должен иметь вид
fe° = л/k2 4- m2, что будет достигнуто, если каждая компонента поля В£(х) будет
удовлетворять уравнению Клейна—Гордона,
(8^ + тг)В^ = 0. B.10)
Итак, мы хотим описать поле В£, удовлетворяющее уравнениям B.10) и B.9).
Действие, приводящее к уравнениям B.10), B.9) имеет вид
-/К'
.-H^B.B.IdV B.11)
2Л. Комплексное скалярное поле 17
где Bpv = dpBv - д„В„ в полной аналогии с тензором напряженности в электроди-
электродинамике. Из действия B.11) следуют уравнения поля
„=0. B.12)
При т2 ф 0 уравнение B.9) является следствием уравнений B.12): продифферен-
продифференцировав B.12) по ж" и воспользовавшись антисимметрией тензора В^, получим
dvdpBuv ~\~ T7i dvBv = T7i dvBv = 0.
Далее, используя определение тензора В^, и учитывая поперечность В„, получим
из B.12)
дрдцВу — дрд„Вр + 771 В„ = дцдцВ„ + тп В„ = 0.
Таким образом, уравнения B.12) эквивалентны системе
дрдрВ,, + т2В„ = 0,
0„В„ =0, ^
что и требовалось.
> Задача 9. Найти общее решение системы B.13).
> Задача 10. Найти энергию для массивного векторного поля с действием B.11). Объяс-
. нить выбор знаков в B.11).
Действие B.11) и уравнения B.13) не инвариантны относительно калибровоч-
калибровочных преобразований 2L —> Вц +др,а. Иными словами, теория массивного векторного
поля с действием B.11) не является калибровочной теорией.
2.4. Комплексное скалярное поле
Еще одним важным примером поля является комплексное скалярное поле
<р(х) = (Ке<р)(х) + i(lm<p)(x). Выберем лагранжиан для этого поля в простейшем
виде ,
С = д^д^ - m1tptv. B.14)
Вариационный принцип для действия S = J СсРх формулируется следующим обра-
образом: будем формально считать <р* (ж) и <р(х) независимыми полями и требовать
экстремальности действия по отношению к вариациям 6<р* и Ьц> по отдельности.
Варьируя по dip*, получим уравнение для <р:
= Q, B.15)
а варьирование по 6<р дает уравнение для <р*:
V=0. B.16)
Вместо комплексного скалярного поля можно ввести пару действительных скалярных полей <р |
и <р2, таких что
Тогда лагранжиан B.14) перепишется в виде
С = -dtfidtfi - ^ViVu B-17)
где г = 1,2, суммирование по г подразумевается. Таким образом, комплексное скалярное
поле эквивалентно двум действительным полям равной массы.
18 Глава 2. Скалярные и векторные поля
> Задача 11. Считая поля (pi независимыми, найти уравнения для этих полей, соответствующие
лагранжиану B.17), и показать, что они эквивалентны уравнениям B.15), B.16).
Новым элементом в теории B.14) является наличие сохраняющегося тока
j? =-г(<р*д„ч> - ч>д„<р'), B.18)
> Задача 12. Показать, что ток jp действительно сохраняется, если выполняются урав-
уравнения поля B.15), B.16).
Как мы увидим в дальнейшем, сохранение этого тока, т.е. равенство B.19),
связано с инвариантностью лагранжиана B.14) относительно (глобальных) преобра-
преобразований
<р(х) -> р'(ж) = е">(ж),
где а не зависит от точки пространства-времени (поэтому такие преобразования
и называют глобальными).
Сохранение тока (уравнение непрерывности B.19)) подразумевает, что суще-
существует заряд, который сохраняется, если поля быстро убывают на пространственной
бесконечности. Действительно, определим
Q— I Jod3x,
где интегрирование ведется по всему пространству при фиксированном времени ж0
(поэтому Q мог бы зависеть от этого ж0). Имеем
doQ = f d3xdojo = - I dtxdtji.
Последний интеграл сводится к интегралу по бесконечно удаленной поверхности,
Он равен нулю, если поле ip достаточно быстро убывает, поэтому
т. е. заряд действительно сохраняется.
2.5. Степени свободы
Суммируя наше обсуждение свободных полей (т.е. полей, удовлетворяющих
линейным уравнениям), отметим, что во всех разобранных случаях закон дисперсии
имеет вид
fco = Vk2 + m2,
где т — масса ноля (которая может быть равна нулю). При fc° > 0 общие решения
характеризуются одной или несколькими произвольными комплексными функция-
функциями трехмерного волнового вектора к (в электродинамике имеется еще произвольная
функция с(к) четырехвектора к, однако эта функция может быть устранена ка-
калибровочными преобразованиями). Количество таких произвольных комплексных
2.6. Взаимодействие полей с внешними источниками 19
функций называют числом степеней свободы поля. Таким образом, действительное
скалярное поле имеет одну степень свободы; комплексное скалярное поле — две
степени свободы, действительное массивное векторное поле — три степени сво-
свободы. В случае электромагнитного поля имеется две физических степени свободы,
поскольку общее решение характеризуется двумя произвольными функциями 6а(к),
которые нельзя устранить калибровочными преобразованиями.
Отметим, что в зависимости от выбора калибровки в электродинамике могут существовать
или отсутствовать нефизические степени свободы, т.е. произвольные функции, от которых
не зависят физические (калибровочно инвариантные) величины. В калибровке Лоренца
имеется одна нефизическая степень свободы, поскольку общее решение в этой калибровке
помимо функций Ьа(к) содержит при к2 = 0 произвольную функцию с(к) (см. раздел 1.4,
пункт (б)). В кулоновской калибровке нефизических степеней свободы нет.
> Задача 13. Найти число физических степеней свободы в электродинамике в d-мерном
пространстве-времени. Рассмотреть отдельно случаи d = 2, d = 3 и d^ 4.
2.6. Взаимодействие полей
с внешними источниками
В классической электродинамике взаимодействие электромагнитного поля с за-
зарядами и токами строится с помощью четырехвектора тока j^ = (-p,j), где р(х)
и j(x) — плотности заряда и тока частиц. С учетом этого взаимодействия действие
записывается в виде
(- -F^F^ - ejpAy. J .
5 = у Л (- -F^F^ - ejpAy. J . B.20)
Варьирование этого действия по А^ приводит к паре уравнений Максвелла с источ-
источником:
dpF^ - ejv = 0. B.21)
Здесь е — единица электрического заряда. Уравнение B.21) подразумевает, что ток
сохраняется
а„]„ = 0 B.22)
(это равенство следует из B.21) после дифференцирования по ж"). Сохранение тока
в свою очередь приводит к калибровочной инвариантности действия B.20), если
калибровочная функция быстро убывает на бесконечности. Действительно, действие
для поля
Ар = Ар + дрО.
равно
S[A'] = S[A] - f
Последний интеграл сводится, при учете B.22), к интегралу по бесконечно удаленной
поверхности в четырехмерном пространстве-времени,
/ d*xejtldtla= / dEtlea(x)jtl.
Он равен нулю для убывающих а(х), так что действие инвариантно, S[A'] = S[A].
20 Глава 2. Скалярные и векторные поля
> Задача 14. Считая, что ток j^ соответствует двум точечным покоящимся зарядам,
jo(x) = -q\6(x - Xj) - <fe*(x - X2), пойти решение уравнения B.21) (закон Кулона).
> Задача 15. Считая, что ток jp не зависит от времени, найти функционал энергии,
соответствующий действию B.20). Выразить ега через электрическое и магнитное
поля Е и Н.
> Задача 16. Используя полученные в двух предыдущих задачах результаты, найти энергию
взаимодействия двух точечных зарядов. Показать, что одноименные электрические
заряды отталкиваются, а параллельные электрические токи притягиваются.
> Задача 17. Решить предыдущие три задачи в пространстве-времени размерности d.
Отдельно рассмотреть случаи d = 2, d = 3 и d> 4.
По аналогии с электродинамикой можно рассмотреть взаимодействие внешнего
источника с массивным скалярным полем. Соответствующий вклад в действие будет
лоренцевым скаляром, если источник — скаляр по отношению к преобразованиям
Лоренца, р(х). Цолное действие равно
5=/ А [\{9"vJ" т^2]+ / А р1р- B-23)
Аналогично формулам B.20), B.23) вводится взаимодействие тока j^ с массив-
массивным векторным полем В^.
> Задача 18. Найти уравнение поля для действия B.23). Решить их для точечного
статического источника р(х) = -q6(x).
> Задача 19. Найти функционал энергии для теории с действием B.23). Вычислить
энергию взаимодействия двух точечных статических зарядов q\ и <fe, расположенных
на расстоянии г друг от друга. Притягиваются или отталкиваются одноименные
скалярные заряды? Найти выражение для силы.
> Задача 20. Найти решения двух предыдущих задач в пространстве-времени размерно-
размерности d.
2.7. Взаимодействующие поля. Калибровочно
инвариантное взаимодействие в скалярной
электродинамике
До сих пор мы рассматривали лагранжианы, квадратичные по полям. Они
приводят к линейным уравнениям для поля. Такие поля называют свободными или
линейными. Под взаимодействием полей понимают слагаемые в лагранжиане более
высокого, чем квадратичный, порядка по полям, и, соответственно, нелинейные
слагаемые в уравнениях поля.
Теория взаимодействующих полей будет инвариантна относительно трансляций
(сдвигов) в пространстве и во времени и относительно лоренцевых преобразова-
преобразований, если лагранжиан взаимодействия — лоренцев скаляр, не зависящий явно
от пространственно-временных координат. Простейший пример появляется в тео-
теории действительного скалярного поля, если в качестве лагранжиана взаимодействия
выбрать некоторую функцию поля — Vi(<p), так что действие B.2) модифицируется
следующим образом:
у[1] B.24)
2.7. Взаимодействующие поля. Калибровочно инвариантное взаимодействие 21
где
Имеется в виду, что V} содержит слагаемые типа <р3, <рл и т. д.
В квантовой теории поля появляются серьезные соображения (перенормируемость) в пользу
того, что Vj(ip) является полиномом и содержит степень поля не выше четвертой в четы-
четырехмерном пространстве-времени и не выше шестой в трехмерном пространстве-времени
(в двумерном пространстве-времени ограничений на вид Vj(ip) по существу нет). Хотя в тео-
теории классических полей эти ограничения не возникают, мы часто будем подразумевать, что
они выполняются.
> Задача 21. Найти функционал энергии для действия B.24). Считая Vi(<p) полиномом
конечной степени по полям, найти ограничения на коэффициенты этого полинома,
вытекающие из требования ограниченности энергии снизу. Требует ли ограничен-
ограниченность энергии снизу неотрицательности параметра т2?
Чтобы пояснить терминологию, рассмотрим простейший пример:
т2 1 а , А ,
Параметр m называют массой скалярного поля (в случае т2 > 0, случай т2 < 0 мы
будем рассматривать позже), а и А — константами взаимодействия. Саму функцию
V((p) называют потенциалом скалярного поля.
Уравнения поля, следующие из действия B.24), имеют вид
dV
W& + -^ = О- B.25)
Если амплитуда поля у мала (в каждой точке пространства-времени), то нелиней-
нелинейными слагаемыми в B.25) можно пренебречь, и мы возвращаемся к уравнению
Клейна—Гордона. Таким образом, малые возмущения поля описываются линейны-
линейными уравнениями с массой т (мы здесь считаем, что т2 H и потенциал Vj(ip)
выбран так, что <р = 0 — конфигурация с минимальной энергией).
Рассмотрим теперь случай взаимодействия электромагнитного поля с другими
полями. Этот случай представляет значительный интерес для всего дальнейшего.
Уравнение электромагнитного поля должно иметь вид
fy-F/n' = е;„, B.26)
где ток ]ц составлен из полей и сохраняется,
Для комплексного скалярного поля имеется кандидат на ток j^ — выражение B.18):
Таким образом, можно было бы предположить, что B.26) с j^ = jf' — это одно
из уравнений теории взаимодействующих комплексного скалярного поля и электро-
электромагнитного поля. Убедимся, однако, что этот путь к успеху не приводит.
Действительно, уравнение B.26) получается варьированием по А^ действия
Л Idydptp - mVV - jF^F^ - ejfAJ . B.27)
= /"
22 Глава 2. Скалярные и векторные поля
Наличие последнего слагаемого (взаимодействия) приводит к модификации не толь-
только уравнения электромагнитного поля, но и уравнения скалярного поля (поскольку
j\i зависит от у? и у?*). Варьируя действие B.27) по <р*, получим уравнение
- dpdptp - m2ip + Иед„<рА„ + ietpd^A^ = 0. B.28)
Сопряженное уравнение получается вариацией по у.
- дрдр<р* - тп2<р* - Нед^Ау. - ie^d^A,, = 0. B.29)
Убедимся, что ток jj, не сохраняется, если выполнены B.28), B.29). Для четырех-
дивергенции тока j/,' имеем
Умножая B.28) на (—i<p*) и B.29) на (itp) и вычитая получаемые равенства, получим
Правая часть этого равенства равна нулю для произвольных полей, только если е = 0,
т. е. если взаимодействие отсутствует (отметим, что поле <р и его первая производная
dptp произвольны, т. е. не сводятся к чему-либо более простому с помощью уравнений
движения B.28), B.29)). Таким образом, ток jf не сохраняется, что противоречит
уравнению B.26).
В принципе можно было бы наложить условие 3М(9?*9?ЛМ) = 0 и обеспечить тем самым сохра-
сохранение тока (это было бы аналогично накладыванию условия 3МЛМ = 0в теории массивного
векторного поля). Однако это условие существенно нелинейно по полям, и восстановить
свободную электродинамику и свободное массивное скалярное поле в пределе слабых полей
было бы невозможно.
Выход из этой ситуации можно было бы искать на пути добавления к току
jji слагаемых более высокого порядка по полям. В электродинамике со скалярным
полем этот подход довольно просто реализовать, добавив к jj,' слагаемое типа
Ар,<р*<р (т. е. положив в уравнении B.26) j^ = jj, + const • Арфу*). Мы воспользуемся
совершенно другим способом, который прямо использует свойство калибровочной
инвариантности. Этот подход замечателен тем, что он играет ключевую роль при
построении теории неабелевых калибровочных полей.
Потребуем инвариантности лагранжиана относительно калибровочных пре-
преобразований поля Ар и одновременно поля <р
<р*(х)-+<р"(х) = е-<°М<р*(х), B.30)
А,(х) - А'„(х) = А„(х) + 1-д,а(х)
(константа е введена здесь для удобства в дальнейшем). Свободное действие элек-
электромагнитного поля инвариантно относительно этих преобразований. Свободное
действие комплексного скалярного поля не инвариантно (инвариантность имеет-
имеется, только если а не зависит от точки пространства-времени). Действительно,
рассмотрим производную поля у'(ж)
д^(х) = ein(l) [д„<р(х) + га„а(*М*)] • B-31)
2.7. Взаимодействующие поля. Калибровочно инвариантное взаимодействие 23
Если бы второго слагаемого не было, мы бы имели инвариантность выражения
др<р*др<р и свободный лагранжиан был бы инвариантен. Идея состоит в том, чтобы
вместо обычной производной d^ip использовать в лагранжиане другой объект D^ip,
который сводился бы к dpip в пределе слабого поля, но преобразовывался бы
однородно при преобразованиях B.30):
B.32)
Из B.31) очевидно, что компенсировать слагаемое с д^а можно, добавив к d^ip
слагаемое типа <рА. Так мы приходим к выражению
Dptp = dtf - ieAptp = (д^ - ieA^tp. B.33)
Эту величину называют ковариантной производной поля ц>. Проверим соотношение
B.32). Имеем
(D^)' = д^' - ieAW = eiad^ + e'Vfy" - ieA^'"? - ie-dllaeiaip = e^D^.
Таким образом, соотношение B.32) выполнено, и (DptpYDpip является калибровоч-
калибровочным инвариантом.
Действие, инвариантное относительно калибровочных преобразований B.30),
выберем в виде
S = J <?х l-^F^F^ + (DppYDpV - тУ J B.34)
(можно было бы еще добавить самодействие скалярного поля V}(^V))- Нелинейные
(степени выше второй по полям) слагаемые в этом действии возникают из-за члена
в Dpip и имеют структуру Ар<р*др<р и A^A^'ip.
Варьируя действие B.34) по полю Ац, получим уравнение B.26) с током
который может быть записан в явно калибровочно инвариантном виде
*„ = -1[*>'2>„*>-(ад>]. B.35)
Отметим, что если поле ц>* считать независимым, то для него ковариантная произ-
производная будет иметь вид D^ip* — (дц+геАр)<р* (знак перед ieA,, диктуется требованием
(Dpip*)' = е~'аО,,1р* и законом преобразования B.30)), что совпадает с (D^tp)*. Мы
не будем в дальнейшем различать (D^ip)* и Dp<p* (поскольку это одно и то же).
Найдем теперь уравнение скалярного поля. Варьируя, как обычно, по ц>*, имеем
DpDpip + m2ip = 0, B.36)
где, разумеется, D^Dp. определено вполне аналогично B.33):
D^Dtf = (д,, - ieA^id,, - ieA^.
Проверим, что при учете уравнения B.36) ток B.35) сохраняется. Имеем
Далее,
d' +
+
24 Глава 2. Скалярные и векторные поля
Это и аналогичное ему равенства дают
Выражение в правой части равно нулю в силу уравнения поля B.36) и сопряженного
ему уравнения. Ток jp сохраняется, и система уравнений
dllFllv=jv, B.37)
DpDpip + m2tp = 0 • B.38)
согласована.
Таким образом, требование инвариантности лагранжиана относительно кали-
калибровочных преобразований полей B.30) приводит к замене обычных производных
dpip на ковариантные D^tp в действии. Ток j^, фигурирующий в уравнениях поля
B.37), оказывается при этом автоматически калибровочно инвариантным и сохра-
сохраняется при учете уравнений поля B.38).
Отметим, что бывает удобно записать преобразования B.30) в виде
¥>(*)-»¥>'(*) = j(*M*), B.39)
А,(х) - 4(*> = М*) + a(*)а^ (*), B.40)
где д(х) = е"*A), Дм = -»еЛм. Польза от такой записи состоит в том, что д(х) в каждой
точке х можно интерпретировать как элемент группы U{\) — группы комплексных чисел,
по модулю равных единице (по умножению). Преобразование B.39) выглядит как преобразо-
преобразование под действием фундаментального представления группы, а д(х)Э1,д'1(х) представляет
собой в каждой точке х элемент алгебры Ли этой группы. Обобщение преобразований B.39),
B.40) на случай других (неабелевых) групп Ли приводит к неабелевым калибровочным полям,
которые являются основным предметом раздела 4 и последующих разделов.
Подчеркнем в заключение, что в теории взаимодействующих полей лагран-
лагранжианы содержат как слагаемые, квадратичные по полям, так и члены кубичного,
четвертого и более высокого порядка по полям. Квадратичные слагаемые приводят
к линейным членам в полевых уравнениях, а слагаемые более высокого порядка —
к нелинейным. Общие решения нелинейных полевых уравнений найти, как правило,
не удается (исключение составляют интегрируемые модели); некоторые физически
интересные решения, существование которых целиком связано с нелинейностью
уравнений, будут рассмотрены во второй части. Ситуация заметно упрощается, если
рассматривать волны с малой амплитудой в каждой точке пространства-времени.
В этом случае нелинейные члены в полевых уравнениях малы по сравнению с ли-
линейными и ими можно пренебречь. Решение линеаризованных уравнений не пред-
представляет большого труда, как мы убедились в предьщущих разделах. В этой части мы
будем строить полные лагранжианы, но обсуждать именно малые возбуждения. Их
свойства могут быть найдены из структуры линейных членов в полевых уравнениях
или, эквивалентно, из квадратичной части полевого лагранжиана.
В квантовой теории малым возбуждениям полей соответствуют (элементарные) частицы.
Таким образом, изучение классических волн малой амплитуды в конкретной модели одно-
одновременно является изучением спектра элементарных частиц этой модели.
2.8. Теорема Нетер 25
2.8. Теорема Нетер
В предьщущих разделах мы встречались с примерами глобальной инвариантно-
инвариантности лагранжиана (трансляционная инвариантность в пространстве-времени, фазовые
преобразования в теории комплексного скалярного поля и т.д.). Мы упоминали, что
каждой такой симметрии соответствует сохраняющаяся величина. Это утверждение
носит название теоремы Нетер. В данном разделе мы приведем вывод теоремы Нетер
для двух наиболее важных для нас случаев: преобразований полей, не затрагивающих
координат пространства-времени, и трансляций в пространстве-времени. Первому
типу симметрии соответствует сохраняющийся вектор тока j% (индекс о не имеет
отношения к пространству-времени и пробегает столько значений, сколько имеется
независимых глобальных преобразований),
в^-;=0, B.41)
а трансляциям — сохраняющийся тензор энергии-импульса Т^,
ад„ = 0. B.42)
Если поля (быстро) убывают на пространственной бесконечности, то B.41) приводит
к сохранению зарядов (в полной аналогии с разделом 2.4)
Q" = J d3xjS(x),
а B.42) — к сохранению энергии импульса
Р"= fd3xT0>1(x).
Отметим, что Q" — скаляры, а?' - вектор по отношению к преобразованиям
Лоренца.
Прежде чем переходить непосредственно к теореме Нетер, обсудим уравнения
поля в достаточно общем виде. Пусть Ф1 — полный набор полей в теории; индекс I
обозначает весь набор индексов — как пространственно-временных, так и «внутрен-
«внутренних». (Например, в скалярной электродинамике Ф1 — собирательное обозначение
для Ар, Rev, Imv). Будем рассматривать лагранжианы, содержащие лишь первые
производные полей,
С = С(Ф1,д11Ф1). B.43)
В дальнейшем будет удобно записывать
Чтобы записать уравнения поля, рассмотрим вариацию действия
Имеем
Здесь и в дальнейшем подразумевается суммирование по повторяющемуся
индексу I.
26 Глава 2. Скалярные и векторные поля
Интегрируя второе слагаемое по частям и считая, как всегда, что вариации
полей равны нулю на границе пространственно-временного объема, получим
Из требования 6S = 0 имеем уравнения поля
дС
Этих уравнений — столько, сколько независимых полей в теории (т.е. сколько
значений пробегает индекс I).
Перейдем теперь к теореме Нетер для глобальных преобразований, не затрагива-
затрагивающих координат пространства-времени. Мы ограничимся классом преобразований
типа фазовых:
ф' -> ф'1 = Fй +eutiJ)*Jt B.45)
где мы рассматриваем инфинитезимальные преобразования, е" — инфинитезималь-
ные параметры преобразований (не зависящие от точки пространства-времени),
индекс суммирования а пробегает столько значений, сколько имеется независимых
симметрии, t{J — численные постоянные. Инвариантность лагранжиана относи-
относительно преобразований B.45) означает, что
6С = С(Ф + 6Ф,Ф01 + 6Ф^)-С(Ф,Ф1,1) = 0, B.46)
где
Равенство B.46) дает
Поскольку инфинитезимальные параметры е" независимы, имеем
Воспользуемся теперь уравнением поля B.44), чтобы записать вместо первого сла-
слагаемого в B.47)
Таким образом, два слагаемых в B.47) сворачиваются в полную производную, т.е.
имеем сохранение тока
Bfil = О,
где
К**1 B«)
Отметим, что ток сохраняется, только если поля удовлетворяют динамическим
уравнениям B.44); отметим также, что доказательство теоремы Нетер одновременно
приводит к явному построению тока B.48).
2.8. Теорема Нетер 27
В качестве примера рассмотрим комплексное скалярное поле с лагранжианом
С = dptp'dpip — V(<p*<p), B.49)
где V — некоторая функция квадрата модуля поля. Считаем формально, что <р и <р*
независимы, и обозначаем (p,tp*) -+ Ф;, I = 1,2. Лагранжиан B.49) инвариантен
относительно фазовых преобразований
ш —►«>' = е'"ш
ш —► ш = е tp
или в инфинитезимальной форме
Ч>' =A +*«)V,
Сравнивая с B.48), имеем (в качестве е" фигурирует один параметр а)
Отсюда сразу строится сохраняющийся ток
дС дС ,
В явном виде имеем
jp = i(dptp*tp - dptptp*), B.51)
что совпадает с током, обсуждавшимся в разделе 2.4.
> Задача 22. Рассмотрим теорию комплексного скалярного поля с лагранжианом B.49).
Введем два действительных поля ip\, уъ так что
1
,_ 1
1) Записать лагранжиан в терминах полей ip\, y>2- 2) Записать преобразования
B.50) в терминах полей tpi, <p2- Найти соответствующие константы типа tIJ
(I, J = 1,1). 3) Построить ток B.48) в терминах полей tplf ipi и показать, что он
совпадает с B.51).
> Задача 23. Построить нетеровскии ток в скалярной электродинамике с лагранжианом
B.34), используя преобразования B.30) с не зависящей от координат а.
Рассмотрим теперь преобразования трансляций
где е11 — четыре независимых параметра трансляций. Лагранжиан B.43) не зависит
явно от координат пространства-времени, поэтому
£(Ф', <&;„)=£(*"+£"), B.52)
где в правой части — лагранжиан для полей Ф](х), вычисленный в точке х? + е?.
В низшем порядке по е? имеем
28 Глава 2. Скалярные и векторные поля
С(х"+е")=С{х)+д„Се1'.
В силу произвольности е" из B.52) имеем
Вновь воспользуемся уравнениями поля B.44) чтобы свести левую часть к полной
производной; получим
что эквивалентно равенству
Таким образом, тензор энергии-импульса можно определить следующим образом:
Он сохраняется,
д Т11 = 0.
Интегральные законы сохранения — это закон сохранения энергии поля
и импульса поля
Отметим, что выражение B.54) совпадает с использовавшимся ранее.
Полезно сделать следующее замечание. Вместо нетеровского тока j£ можно
использовать выражение вида
где /^„ — произвольный антисимметричный тензор (зависящий от полей). Действи-
Действительно, в силу тождества d^dyf^ = 0 ток ]% также сохраняется. Аналогично, вместо
нетеровского тензора энергии-импульса B.53) можно использовать выражение
Г^Г^ + алПЛо B.55)
где П^,, антисимметричен по индексам р., А.
Тензор B.53), вообще говоря, не симметричен по индексам р., и: Т?" ФТ"*.
Однако, используя_сделанное замечание, можно подобрать П''А|/ так, чтобы сохра-
сохраняющийся тензор Т1 был симметричен по индексам ц, и.
► Задача 24. Найти нетеровский и симметричный тензоры энергии-импульса в теории сво-
свободного электромагнитного поля. Какой из них можно выразить через напряженности
поля Ffu,?
> Задача 25. Используя инвариантность лагранжиана скалярного поля относительно про-
пространственных вращений, найти выражение для сохраняющегося углового момента
2.8. Теорема Нетер 29
> Задача 26. То же, что в предыдущей задаче, но для свободного электромагнитного поля.
Симметричный тензор энергии-импульса может быть получен с помощью следующего приема.
Введем в действие метрику пространства-времени д1, считая ее произвольной, но мало
отличающейся от плоской. Инвариантное относительно общих координатных преобразований
действие запишем в виде
где д = detj^, g^g"" = б"^. Например, действие скалярного поля с потенциалом V(<p)
в пространстве-времени с метрикой д1 имеет вид
*-* = / **х \/—д I —д dutpdytp — VOp) I > B.56)
J \2 )
а действие свободного электромагнитного поля равно
1 г
~± I ахУ/ 9 \9 9 *iwf\i>)t (.-'■-''/
где F^ = 3МЛ„ - ЭиАц.. Отметим, что мы здесь различаем верхние и нижние индексы
и используем только производную
a
а в качестве независимых переменных электромагнетизма выбираем потенциалы Ац. В об-
общем случае тензор энергий-импульса получается дифференцированием плотности действия
по метрике:
причем метрика д1™ полагается равной метрике Минковского после дифференцирования
(поля Фг по метрике, разумеется, не дифференцируются). Ясно, что тензор Т^, симметричен
по индексам /it, i/. Более точно это соотношение записывается в виде (с учетом симметрии
тензора gf")
6S=\J уряТ^бд^^х, B.58)
причем бд1 — это малые отклонения от метрики Минковского.
> Задача 27. Получить явное выражение для Т^ из B.58) для теории скалярного поля с дей-
действием B.56). Показать, что в этом случае метрический тензор энергии-импульса совпадает
с нетеровским.
> Задача 28. Получить явное выражение для метрического тензора энергии-импульса B.58) в элек-
электродинамике с действием B.57). Сравнить с известными выражениями.
> Задача 29. Показать в общем виде, что метрический тензор энергии-импульса B.58) сохраняется.
Глава 3
Элементы теории групп и алгебр Ли
3.1. Группы
Группой называется множество G, в котором определена операция умножения,
обладающая следующими свойствами:
1. ассоциативность: для всех о, Ь, с € G справедливо (об)с = а(Ьс);
2. существование единичного элемента е € G, такого, что для всех а € G
справедливо ое = ео = о;
3. существование обратного элемента о € G для каждого о € G, так что
а~1а = аа~1 = е.
Если операция умножения коммутативна (т.е. ab = Ьа для всех о,b € G), то
группу называют абелевой, в противном случае — неабелевой.
Группы Gi и G-i изоморфны, если имеется взаимно однозначное отображение
/ : Gi -* G2, согласованное с операцией умножения,
f(9i92) = f(9i)f(92)> f(9 ) = '■
В дальнейшем мы будем записывать изоморфизм групп как Gi = Gt и часто
не различать изоморфные группы.
Подгруппой Я группы G называют подмножество Я в G, которое само является
группой по отношению к операции умножения, определенной в G. Иными словами,
для h,hi,h,2 € G определены произведение hfa и обратный элемент Л; требуется,
чтобы /м/12 и h~l были элементами множества Я, если h,h\,hi € Я.
Приведем несколько примеров.
1) Группа 17A) — множество комплексных чисел z, по модулю равных единице,
\z\ = 1. Умножение в 17A) — это умножение комплексных чисел (поскольку при
|Z[| = IZ2I = 1 имеем IZ1Z2I = 1, умножение — н-йствительно операция в 17A)),
единица — это z — 1, а обратный элемент к z _ U(l) — это z {z~x € 17A),
поскольку \z~l\ = 1 при \z\ = 1).
2) Группа Zn — это множество целых чисел по модулю п, т. е. целые числа к
и (к + п) отождествляются (иными словами, множество Zn состоит из п целых
чисел 0,1,..., (п — 1)). Умножение в Zn — это сложение целых чисел по модулю п
(иными словами, если 0<fci<n-l, 0^Й2<я-1,то
Аналогично определяется вычитание по модулю п. Отметим, что сложение по мо-
модулю п коммутативно). Единица в Zn — это к = 0, обратный к к элемент равен
при к = О,
; - к при 0 < к < п - 1.
3.1. Группы 31
> Задача 1. Показать, что группа Zn изоморфна группе корней п-й степени из единицы,
т. е. группе, состоящей из всех комплексных чисел z, таких, что z" = 1 (групповое
умножение — это умножение комплексных чисел). Таким образом, Zn — подгруппа
группы 17A).
3) Группа GL(n,С) — множество комплексных матриц пхп с отличным от нуля
детерминантом. Умножение в GL(n,C) — это умножение матриц, единица —
единичная матрица пхп, обратный элемент к М € GL(n,C) — это обратная
матрица М~1 (она всегда существует, поскольку detM Ф 0 по определению группы
GL(n,C)).
> Задача 2. Описать группу GL(l,С).
Группы £7A), Zn, GL(\,C) — абелевы, группы GL(n,C) с п ^ 2 — неабелевы.
Группы в следующих примерах — это подгруппы группы GL(n,C). Иначе
говоря, мы будем иметь дело с матрицами п х п, а операция умножения будет
умножением матриц.
4) Группа GL(n,R) — это группа действительных матриц с отличным от нуля
детерминантом.
5) Группа U(n) — это группа унитарных матриц пхп, т.е. таких, что
tfu = 1 C.1)
(мы будем записывать единичную матрицу размерности пхп просто как 1; именно
она стоит в правой части C.1)). Чтобы убедиться, что U(n) — действительно группа,
покажем, что UiU2 и U~l унитарны, если U\, Ui, U — унитарны. Имеем
что и требовалось. Отметим, что из C.1) следует
IdetDf = det{7det*7t= I,
т.е. |detJ7| = 1 для всех U 6 U{n).
6) Группа SU(n) — группа унитарных матриц с единичным детерминантом
(ясно, что SU(n) — подгруппа в U(n)). To, что групповые операции (умножение
и обращение матрицы) не выводят из SU(n) (т.е. SU(n) — действительно группа),
следует из равенств
det({7,{72) = det{7, det*72 = 1,
при detUi = det{72 = det{7 = 1.
7) Группа O(n) — группа действительных ортогональных матриц, т. е. таких,
что
ОТО = 1. C.2)
Ясно, что О(п) — подгруппа в GL(n,R), а также, что О(п) — подгруппа в U(n).
Отметим, что из C.2) следует detO = ±1, поскольку
det ОТО = detOTdetO = (detOJ = 1.
Таким образом, группа О(п) разбивается на два непересекающихся подмножества
(detO = +l и detO = -l).
8) Группа SO(n) — подгруппа группы О(п), состоящая из матриц О с det О = +1.
32 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
Отметим, что подмножество в О(п), состоящее из матриц с detO = -1, подгруппой группы
О(п) не является. Действительно, если det Ot = det О2 = — 1, то det(OtO2) = +1, т. е. указанное
подмножество не замкнуто относительно матричного умножения.
Продолжим с полезными для дальнейшего определениями. Центром группы G
называют множество в G, состоящее из всех элементов w 6 G, коммутирующих
со всеми элементами группы, т. е. таких, что для всех д 6 G справедливо
wg = gw. C.3)
Центр-группы W С G является подгруппой в G. Действительно, для Wi,W2 € W
имеем
так 4To'wiW2 6 W. Умножая C.3) на w~' слева и справа, получим
gw'1 - w~lg,
так что множество W замкнуто относительно групповых операций.
> Задача 3. Описать центр группы SU(n) и показать, что он изоморфен Zn.
> Задача 4, Показать, что центр группы GL(n, С) состоит из матриц вида А • 1, где А —
произвольное отличное от нуля комплексное число, 1 — единичная матрица п х п
(нетривиальная часть задачи — показать, что все матрицы, коммутирующие с любой
матрицей из GL(n, С), кратны единичной).
Прямым произведением G\ x G2 групп G\ и G2 называют множество пар {g, h},
где д 6 G\, h 6 G2, в котором операции умножения и взятия обратного элемента
имеют вид
{9,h}{9',ti} = {gg',hti},
{5,ЛГ'={<Г\Л'1},
единица — это пара {ei,e2}, где et и е2 — единицы в G\ и G2. Таким образом,
G\ х G2 — это группа. Отметим, что G\ — подгруппа группы G\ x G2, точнее, G\
изоморфна подгруппе группы G\ x G2, состоящей из элементов вида {д, е2}.
Польза от этого определения состоит в том, что если удается выяснить, что какая-либо
группа G является прямым произведением двух других групп G\ и G2, то свойства группы G
можно получить, изучая свойства групп Gt и G2 по отдельности.
Гомоморфизмом групп называют отображение / группы G в группу G', согласо-
согласованное с операциями умножения, т.е. для всех g,g\,g2&G верно
/E.52) = /E.)/E2)
(произведение 51^2 понимается в смысле умножения в G, а произведение f(g\)f(g2)
— в смысле умножения в G'),
Не) = е'
(е, е' — единицы в G, G', соответственно),
/ОТ1) = [/(<?)]-'
(взятие обратного элемента в левой и правой частях равенства — в смысле групп G
и G', соответственно).
Примеры гомоморфизмов:
3.1. Группы 33
1) Гомоморфизм SUB) в SUC), при котором матрице д размером 2x2
(д € SUB)) ставится в соответствие матрица 3x3 вида
C.4)
1 )
принадлежащая, очевидно, группе 517C).
2) Гомоморфизм группы G\ х G2 в группу Gu при котором элементу {д, h}
ставится в соответствие д из G\.
Пусть / — гомоморфизм G в G'. Множество всех элементов из G, которые
можно представить в виде f(g) для некоторого д & G, называют образом гомомор-
гомоморфизма, Im/. Множество элементов д 6 G, таких, что f(g) = е', называют ядром
гомоморфизма, Кег/. В первом примере Im/ — это множество матриц вида C.4),
Кег/ — единичная матрица 2x2. Во втором примере Im/ = <?ь Кег/ — это
множество элементов вида {е,h}, где h — произвольно (т.е. Кег/ = G2).
> Задача 5. Показать, что Im / — подгруппа в G' (f — гомоморфизм G в G').
Показать, что Кег / — подгруппа в G.
Введем теперь понятие (правого) фактор-пространства G/H группы G по ее
подгруппе Я. Пусть Я — подгруппа группы G. Определим соотношение экви-
эквивалентности в G: считаем, что д\ эквивалентно gi E1 ~ д2), если д\ = gih для
некоторого h 6 Я. Напомним, что для соотношения эквивалентности требуются
следующие свойства." 1) если д\ ~ д2, то дг ~ д\; 2) если д\ ~ gi, а 52 ~ 5з. т0 5i ~ 9ъ ■
В нашем случае эти свойства легко проверяются: 1) если д\ = gih, то gi = g\h~l,
т.е. 52 ~ 5ь поскольку /Г1 6 Я; 2) если gi = g2hl2, g2 = 53^23. то д{ = ДзС^гз^п),
и 5i ~ 5з в силу h21hi2 6 Я.
Это соотношение эквивалентности позволяет разбить множество G на непе-
непересекающиеся подмножества (смежные классы): в один смежный класс входят все
элементы G, эквивалентные между собой. Отметим, что смежный класс единицы
е 6 G — это сама подгруппа Я. '
Множество смежных классов и называют (правым) фактор-пространством
G/H.
Можно было бы ввести другое определение эквивалентности: </[ ~ дг если </i = hg2 для
некоторого h 6 Н. С его помощью строится левое фактор-пространство G\H.
> Задача 6. Выберем подгруппу, изоморфную SOB), в группе 5ОC) как группу матриц
вида
( 9 0 ) , 5 € 5ОB).
V00 Ч
Показать, что имеется взаимно однозначное соответствие фактор-пространства
5ОC) по этой подгруппе и двумерной сферы,
sop) _ 2
5ОB) '
С фактор-пространством G/H тесно связаны однородные пространства. Мно-
Множество А называют однородным пространством по отношению к группе G, если
34 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
группа G транзитивно действует в Л, т.е. каждому д 6 G ставится в соответствие
обратимое отображение F(g) пространства А в себя, так что
а = F(g)a.
При этом требуется, чтобы операция F была согласована с фупповыми операциями,
т.е.
F(gi9i)a = F(gi)F(g2)a,
F(e)a = a, C.5)
где F~l — отображение А —» А, обратное отображению F; а — произвольный
элемент из А; д, д\, дг — произвольные элементы фуппы G. Требуется, кроме
того, чтобы для любых двух о, а! 6 А существовал такой д 6 G, что
а = F(g)a
(транзитивность действия фуппы).
Стационарная подгруппа Н элемента uq 6 А состоит из всех элементов h 6 G,
оставляющих а0 на месте:
F(/i)ao = «о-
То, что это множество — подфуппа, проверяется с помощью C.5); например, если
o = а0,
т.е. /i,/i2 6 Я.
Для однородного пространства стационарные подфуппы для всех элементов
о 6 А одинаковы. Действительно, пусть Щ и Н\ — стационарные подгруппы
элементов а<> и а\, соответственно. Возьмем g € G, такой, что
о, = F(g)ao.
Тогда изоморфизм подгрупп Но и Hi дается отображением
h!=ghg-\ C.6)
где h — любой элемент из Щ.
Проверим сначала, что h! 6 Я\, т. е. F(h')at = ot. Имеем
F(h')a{ = F^hg-^F^ao = F(g)F(h)F(g-1g)aa = FC)F(h)a0 = i?(9)o0 = o,,
что и требовалось. Очевидно, что соответствие C.6) — взаимно однозначное: обратное
отображение дается формулой
Л = g~'h'g.
Наконец, отображение C.6) согласуется с групповыми операциями, например, если At,
h2 еЯ,то
ghth2g = ghtg «/Ajg = h^,
где h't2 = ghhlg~'.
> Задача 7. Определим действие группы 5ОC) на двумерной сфере S2 следующим образом.
Пусть g — матрица из 5ОC), о — (единичный) вектор с компонентами а^,
i = 1,2,3. Определим F(g)a как вектор Ь с компонентами b; = gijuj. Поскольку
cfg = 1, справедливо Р = о2, т. е. действие F(g) переводит сферу в сферу.
Показать, что 5ОC) действует транзитивно на S , а стационарная подгруппа
любой точки сферы S2 равна SO{2).
3.1. Группы 35
Если группа G транзитивно действует в пространстве А (т. е. А — однородное
пространство по отношению к G), то имеется изоморфизм
Л = G/H, C.7)
где Я — стационарная подгруппа любого элемента пространства А.
Действительно, пусть о0 — некоторый элемент из Л, Я — его стационарная подгруппа.
Поставим в соответствие классу к 6 G/H элемент
ак = F(gk)a0, C.8)
где </i — представитель класса к. Элемент at не зависит от выбора представителя </ь: если
д'к = gth — другой представитель класса к, то F(ji)o0 = F{gt)F(h)aa = F{gt)ag. Таким
образом, отображение C.8) — действительно отображение из G/H в А. Проверим, что
оно взаимно однозначно. Пусть а — некоторый элемент из А. Всегда найдется некоторый
д 6 G, такой, что а = F(g)ao. Он принадлежит некоторому классу к 6 G/H. Покажем, что
если F(g)ao = Ffjfjao, то д и </' принадлежит одному классу (что доказывает обратимость
отображения C.8)). Имеем из F{g)a0 = F(j/)ao равенство
= a,,
что означает д~1д' 6 В, т.е. д'^д1 = Л, где Л 6 Я. Отсюда д' = gh, следовательно, д' и д
принадлежат одному классу.
Иллюстрацией равенства C.7) служат утверждения, сформулированные в двух
следующих задачах.
> Задача 8. Показать, что SO(n)/SO(n - 1) = S™, где 5" — п-мерная сфера. Здесь
вложение SO(n — 1) в SO(n) осуществляется как
> Задача 9. Показать, что SU(n)/SU(n - 1) = 52п, где вложение SU(n - 1) С SO(n)
осуществляется аналогично предыдущей задаче.
Подгруппу Я группы G называют нормальным делителем группы G, если для
любых h 6 Я и любых g 6 G справедливо
ghg'] 6 Я.
Если Я — нормальный делитель, то К = G/H — это группа. Действительно,
построим операцию умножения в К следующим образом. Пусть fct, кг 6 К. к\ и к2 —
смежные классы; выберем из них представителей д\ € fci, дг € к2. Тогда fc|&2 — это
смежный класс, которому принадлежит элемент д\дг группы G. Единица е* 6 К —
это класс эквивалентности, которому принадлежит единичный элемент группы G
(заметим, что из определения фактор-пространства следует, что е* — Я), а к~1 —
это класс эквивалентности, которому принадлежит д~1, если д — представитель
класса к.
Для того, чтобы указанные операции действительно были операциями в К,
требуется, чтобы результат их действия не зависел от выбора представителей в смеж-
смежных классах. Проверим это для операции умножения. Пусть д\,д\ 6 к\; 52,52 € к2 —
два набора представителей, так что
9\=9\Ь\, 92=92^2,
36 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
где huh2 6 Я. Проверим, что ^д'г = g\g2h Д™ некоторого h 6 Я. Имеем
0102 = g\htg2h2 = gg9
Но д2 '/i|52 6 Я, поэтому (д2 xh\g2)h2 также принадлежит Я, что и требовалось.
> Задача 10. Пусть G = G\xG2. Показать, что G2 — нормальный делитель группы G и
G2 = G/G\.
> Задача 11. Показать, что подгруппа U(\) группы U(n), состоящая из матриц, кратных
единичной, — это нормальный делитель группы U(n).
> Задача 12. Показать, что центр любой группы — это нормальный делитель этой
группы.
> Задача 13. Показать, что
Щп)/Щ\) = SU(n)/Zn,
где Zn — центр группы SU(n).
3.2. Группы и алгебры Ли
Для простоты в дальнейшем мы будем рассматривать матричные группы, эле-
элементами которых являются матрицы (иначе говоря, будем рассматривать подгруппы
группы GL(n,C)); хотя излагаемые здесь понятия имеют общий характер, они
проще всего формулируются для матричных групп.
В пространстве матриц пхп естественным образом вводится понятие близости
матриц (топология): две матрицы близки, если все их элементы близки. Так же
вводится дифференцирование семейства матриц M(t) по действительному пара-
параметру t: элементами матрицы ( ^) являются производные ^Mij(t) матричных
элементов Mij(t). Вообще, пространство всех комплексных матриц пхп можно
рассматривать как 2п2-мерное (действительное) евклидово пространство А2"", ко-
координатами которого являются 2п2 матричных элементов ReAfy и 1тЛ%. Гладкие
семейства матриц представляют из себя поверхности (многообразия), вложенные
в это евклидово пространство. Например, гладкое семейство матриц M(t), зави-
зависящее от действительного параметра t, представляет собой кривую в Л2, а ^М.
соответствует касательному вектору к этой кривой.
Гладкие (матричные) группы — это такие группы, которые представляют собой
гладкие многообразия1' в описанном выше пространстве Л2" . Такие группы мы
будем называть группами Ли.
Простейшим нетривиальным примером группы Ли является группа 17A). Ее
также можно считать матричной группой, считая комплексные числа матрицами
1x1. Группа £7A) представляет собой окружность на плоскости комплексных чисел
(на двумерном действительном пространстве матриц 1 х 1). Группы U(n), SU(n),
О(п), SO(n) также являются группами Ли.
Здесь и в дальнейшем мы не уточняем понятия гладкости. Мы не будем сталкиваться, например,
с непрерывными, но не бесконечно дифференцируемыми многообразиями.
3.2. Группы и алгебры Ли 37
Два многообразия называются гомеоморфными, если существует гладкое взаимно
однозначное отображение одного на другое2). Например, эллипсоид гомеоморфен
сфере, а тор и сфера не гомеоморфны.
> Задача 14. Показать, что группа SUB) гомеоморфна трехмерной сфере S3.
Для каждой точки (искривленного) многообразия размерности к в 2п2-мерном
евклидовом пространстве можно определить касательное пространство к много-
многообразию в этой точке: это действительное векторное пространство размерности к,
состоящее из векторов, касательных к многообразию в данной точке.
Касательным пространством для группы Ли в единице является алгебра Ли этой
группы Ли (единица группы — единичная матрица — это одна из точек группового
многообразия). Иначе говоря, любая кривая g(t) в группе Ли G представляется
вблизи единицы в виде
g(t) = l+At + O(t2), C.9)
здесь единица — это единичная матрица, сложение — это сложение матриц, А
принадлежит алгебре Ли группы G. В дальнейшем алгебру Ли группы G будем
обозначать AG.
Соотношение C.9) можно рассматривать как определение алгебры AG: ее
элементами являются все такие матрицы А, что C.9) является кривой в G вблизи
единицы. Проверим, что алгебра AG на самом деле является действительным
векторным пространством. Если А 6 AG соответствует кривой g(t), то кривой g'(t) —
g(ct), где с — действительное число, соответствует элемент сА (действительно,
g'(t) = 1 + (cA)t + O(t2)). Если АЬА2 6 AG соответствуют кривым g\(t),gi(t)
в группе, то кривой
*"(*)= л (*Ы*)
соответствует сумма (Аг + Аг), поскольку
/(*) = A +Att + ... )A + A2t + ...) = 1 + U, +A2)t + Oit2).
Таким образом, произведение элемента из AG на действительное число и сумма
двух элементов из AG — тоже элементы алгебры Ли Ж?,т.е. AG —действительное
векторное пространство.
В алгебре Ли определена коммутация: матрица [ii|,ii2] = A\Ai - А2А\ тоже
принадлежит алгебре AG, если АиА2 6 AG. Действительно, если
то кривой
где £ = Vi, соответствует матрица [.Ai,^]- Чтобы это проверить с точностью
до t = £2 включительно, запишем
g(t) = A + Att + а,£2)A + А2(. + «2£2)A - А£ - /^2)A - А2(. - ft£2), C.10)
где /3|i2 = <*i,2 - А\г (так что матрица A - А\% - А£2) — обратная к матрице
A + At£ +<*i£2) с точностью до £2 включительно). Приводя подобные члены в C.10),
получим
? 3
2* Мы снова не различаем гомеоморфизм (непрерывное, но не обязательно дифференцируемое
отображение) и диффеоморфизм.
38 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
так что в линейном порядке по t
g(t) = l + [AuA2]t.
Итак, в алгебре Ли определены не только умножение на число и сложение, но и ком-
коммутация.
Опишем алгебры Ли некоторых групп.
1) Алгебра U(n) (мы нередко будем обозначать конкретные группы и их алгебры
одинаково, если это не будет приводить к недоразумениям). Унитарные матрицы,
близкие к единичной, должны обладать свойством
A + At + O(f))(l + Ah + O(t2)) = 1.
Отсюда
А* = -А,
т.е. алгебра Ли группы U(n) — это алгебра всех антиэрмитовых матриц.
> Задача 15. Проверить явно, что в множестве антиэрмитовых матриц определено
сложение, умножение на число и коммутация.
2) Алгебра SU(v). Помимо унитарности, матрицы из SU(n), близкие к еди-
единичной, должны удовлетворять свойству
det(l + At + O(t2)) = 1.
Поскольку для малых t верно det(l + At) = 1 + (Tr A)t + O(t2), имеем условие
TrA = 0.
Алгебра SU(n) — это алгебра всех антиэрмитовых матриц с нулевым следом.
3) Алгебра SO(n) — это алгебра всех действительных матриц, удовлетворяющих
условию
Ат = -А
(иначе говоря, матрицы из алгебры SO(n) — это действительные антисимметричные
матрицы).
> Задача 16. Проверить, что операции алгебры Ли (сложение, умножение на действитель-
действительное число и коммутация) не выводят (а) из множества антизрмитовых матриц
с нулевым следом; (б) из множества антисимметричных матриц.
Поскольку всякую антиэрмитову матрицу можно представить в виде г А, где А —
эрмитова матрица, алгебру SU(n) в физике часто определяют как алгебру эрмитовых
матриц с нулевым следом, а близкие к единице элементы группы SU(n) записывают
в виде
g=l+iAt + O(t2).
> Задача 17. Описать олгебры Ли групп GL(n,C) и GL(n,R).
Две алгебры Ли изоморфны, если между ними существует взаимно одно-
однозначное соответствие, сохраняющее сложение, умножение на действительное число
и коммутатор.
> Задача 18. Показать, что алгебры Ли 517B) и 5ОC) изоморфны. Показать, что для
групп справедливо SUB)/Z2 = SOC), где Zt — центр группы 517B). Таким
образом, хотя локально (вблизи единицы) группы 517B) и 5ОC) одинаковы, в целом
(глобально) они различны.
3.2. Группы и алгебры Ли 39
Размерность векторного пространства, которое представляет собой алгебра Ли,
называют размерностью алгебры. Она равна размерности группового многообразия
соответствующей группы Ли. Найдем размерность алгебры SU(n). Произвольные
матрицы пхп характеризуются 2п2 параметрами. В алгебре SU(n) на них наложе-
наложе(это — матричное условие, т. е. 2п2 условий, однако лишь половина из них независи-
независимы, поскольку из Aij = -А*ч следует комплексно-сопряженное условие A\j = —Aji).
Кроме того, наложено еще одно линейное условие
(это — всего одно условие, поскольку из .4' = —А следует, что все диагональные
элементы мнимы). Итак, размерность алгебры SU(n) равна (п2 — 1).
> Задача 19. Показать, что размерность алгебры SO(n) равна
" 2~ ■
В алгебре Ли как в векторном пространстве можно выбрать базис. Элементы
этого базиса — к матриц Т{ (i = \,...,к; к — размерность алгебры) — называют
генераторами алгебры Ли и соответствующей группы Ли. Поскольку коммутатор
[Tj,Tj] принадлежит алгебре, то он раскладывается по генераторам, т.е.
где Сф — антисимметричны по первым двум индексам и действительны. Су*
называют структурными константами алгебры, или, что то же самое, структурными
константами группы. Их значения, разумеется, зависят от выбора базиса.
Например, в пространстве антиэрмитовых матриц 2x2 можно выбрать базис
в виде Т{ — -jTi, где т; — матрицы Паули
О А /О-Л (\ 0
) { 0 ) {
Структурные константы алгебры 517B) получаются из соотношения
и равны eyjfc. Однако алгебру 517B) в физике часто определяют как алгебру эрми-
эрмитовых матриц 2x2; генераторы (базис в указанной алгебре) выбирают в виде
При этом структурные константы — чисто мнимые, и соотношение коммутации
генераторов имеет вид
Генераторы алгебры 517C) (в физике ее тоже определяют как алгебру эрмитовых
матриц с нулевым следом) выбирают в виде Та = jAo, a — 1,2,... ,8, где Л„ —
40 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
матрицы Гелл-Манна
'010\ /0 —г 0\ /10 0
Л,= I 100 , Л2= i 0 0 , А3 = 0-10
000/ \0 0 0/ \0 О О
/О 0 1 \ /О О —i\ /000
А4 = О О О , А5 = О О О , Аб = О О 1
\1 00/ V» 0 0 / \010
/00 0\ /10 0
А7 = 0 0 -i , А8 = -L О 1 О
\0i 0 / \0 0-2,
> Задача 20. Показать, что эти генераторы группы 517C) линейно независимы.
> Задача 21. Вычислить структурные константы группы 517C) в указанном базисе (как
уже отмечалось, структурные константы группы и алгебры — это одно и то же).
Подалгеброй Ли алгебры Ли А называют действительное векторное подпро-
подпространство в А, замкнутое относительно операции коммутации (т. е. само являющееся
алгеброй Ли). Например, подалгеброй в алгебре 517C) является множество матриц
вида
у о о о у
где А — матрица 2 х 2 из алгебры 517B). Эта подалгебра, очевидно, изоморфна
алгебре 5*7B).
> Задача 22. Пусть Н — подгруппа Ли в группе Ли G. Рассматривая Н как группу Ли,
построим ее алгебру Ли АН. Показать, что АН является подалгеброй в AG.
Пусть А и В — две алгебры Ли размерности Na и Nb ', Tj4, • •., Т$л —
полный набор генераторов алгебры A, Tf ,...,ТД, — полный набор генераторов
алгебры В. Будем считать, что элементы алгебры А — это матрицы па х па,
элементы алгебры В — матрицы пв х пд. Построим набор из (Na + Nb) матриц
(па + пв) х (па + пв) так, что первые JV^ матриц имеют вид
где Okxi — нулевая матрица к х I. Оставшиеся Nb матриц выберем в виде
(ОПлХПл ОПлХпв \ _ . д.
Натянутое на этот набор из {Na + Nb) матриц, как на базис, действительное
векторное пространство называют прямой суммой алгебр А и В и обозначают
(А + В). Ясно, что изучение прямой суммы двух алгебр Ли сводится к изучению
каждой из алгебр по отдельности.
> Задача 23. Пусть G = G\ x Gi — прямое произведение групп Ли G\ и Gi. Показать,
что алгебра Ли группы G изоморфна определенной выше прямой сумме алгебр Ли
групп G\ и G2, т. е.
AG = AGX + AG2.
3.3. Представления групп и алгебр Ли 41
Подалгебра Ли С в алгебре Ли А называется инвариантной подалгеброй (или
идеалом), если для всех с£ С л а £ А справедливо
[с,а]еС.
t> Задача 24. Пусть подгруппа Н — нормальный делитель в группе Ли G. Показать что
алгебра Ли группы Н является инвариантной подалгеброй в алгебре Ли G.
Таким образом, локальные (и только локальные) свойства групп Ли удобно
изучать, рассматривая соответствующие алгебры Ли. Основные понятия теории
групп при этом имеют аналоги в теории алгебр Ли. В то же время, алгебры Ли —
достаточно простые объекты, поскольку они являются векторными (линейными)
пространствами.
3.3. Представления групп и алгебр Ли
Представление Т группы G в линейном пространстве V — это отображение,
при котором каждому элементу g 6 G ставится в соответствие обратимый линейный
оператор Т(д), действующий в V; это отображение должно быть согласовано
с групповыми операциями, так что единице группы G ставится в соответствие
единичный оператор, а также выполняются равенства
T(gig2) = Т(
Соответственно, представлением Т алгебры Ли AG в пространстве V называется
отображение, при котором каждому элементу А 6 AG ставится в соответствие
линейный оператор Т(А), причем это отображение согласовано с операциями
в алгебре AG, т. е.
Т(А + В) = Т{А) + Т(В),
Т(аА) = аТ(А), C.12)
Т([А,В]) = [Т(А),Т(В)]
для всех А, В G AG и любых действительных чисел а. Здесь коммутатор двух
операторов, действующих в V, — это, как обычно,
[Т(А),Т(В)] = Т(А)Т(В) - Т(В)Т(А).
Если T(G) — представление группы Ли G в пространстве V, то с его помощью
строится представление T(AG) соответствующей алгебры Ли AG в пространстве V
по формуле
ТA + еА) = \+еТ(А), C.13)
где е — малый параметр. В левой части Т( 1 + еА) — это оператор, соответствующий
близкому к единице элементу группы A +е^4) £ G, в правой части Т(А) — оператор,
соответствующий элементу алгебры A G AG для представления T(AG). Заметим, что
не всякое представление алгебры генерируется представлением группы (см. задачу
ниже).
> Задача 25. Проверить, что определенное равенством C.13) отображение алгебры AG
в множество линейных операторов, действующих в V, действительно является
представлением алгебры AG, т. е. удовлетворяются свойства C.12).
42 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
Если V — действительное векторное пространство (т. е. в V определено умно-
умножение векторов только на действительное число) то представление в нем группы
или алгебры Ли называют действительным представлением.
Если Т(д) — унитарный оператор для всех д € G, то представление груп-
группы называют унитарным представлением. Для унитарного представления группы
определенное формулой C.13) представление соответствующей алгебры Ли состоит
из антиэрмитовых операторов,
[TU)]f = -Т(А)
для всех А 6 AG.
Зафиксируем базис ei в V. Если Т(д) — оператор, соответствующий элементу
g 6 G для представления группы T(G), то его действие переводит е; в некоторый
вектор из V, который снова можно разложить по базису е,-, так что
Т(9)е< = T^ej. C.14)
Таким образом, при фиксированном базисе каждому элементу g € G ставится
в соответствие матрица Tji{g). Для действительного представления матрицы Tji(g)
действительные, для унитарного представления Tfi(g) — унитарные матрицы. Раз-
Размерность матриц Tji(g) равна пхп, где п — размерность пространства V (и не имеет
ничего общего с размерностью группы G). Любой вектор f 6 V можно представить
в виде разложения по базису е;,
■ф = fieu
где fa — компоненты вектора (числа). При этом
Таким образом, компоненты вектора Т(д)ф равны
Это соотношение обусловливает несколько необычный выбор порядка индексов
в C.14).
Из равенства C.15) следует, что
Щдхдг) = Tik(gi)Tkj(gi), C.16)
Тц(е) = 6ijt C.17)
Tijig-1) = {Т{дЩ>, C.18)
т. e. произведению элементов из групп соответствует произведение матриц, единич-
единичному элементу — единичная матрица, а обратному элементу — обратная матрица.
Действительно, для всех ф имеем
С другой стороны,
[T(gig2I>h = [T(gi)T(92)i>]i=Tik(gl)[T(g2)i>\k=Tik{gl)Tkj(g2)i,},
что, в силу произвольности т/>, доказывает равенство C.16). Свойства C.17) и C.18)
доказываются аналогично. Отметим, что равенства C.16)—C.18) можно было бы
положить в основу определения представления.
Представления группы (или алгебры) T(G) и T'(G) в одном и том же про-
пространстве V называются эквивалентными, если существует обратимый оператор 5,
действующий в V, такой, что
Т4д) = ST(g)S~l
для всех д G G.
3.3. Представления групп и алгебр Ли 43
Пусть W — линейное подпространство в V. Оно называется инвариантным
подпространством представления T(G), действующего в V, если для всех ■ф G W
и g 6 G справедливо
T(g)i> е W,
т.е. действие любого оператора Т(д) не выводит из подпространства W> Тривиаль-
Тривиальные инвариантные подпространства — это само пространство V и подпространство,
состоящее из единственного нулевого вектора. Представление T(G) называют не-
неприводимым представлением группы G в V, если в V не существует нетривиальных
инвариантных подпространств.
Приведем важные для дальнейшего примеры представлений групп Ли.
1. Фундаментальное представление.
Пусть G — группа Ли, состоящая из матриц n x n (например, SU(n) или
SO(n)), V — это n-мерное пространство столбцов
C19)
Фундаментальное представление Т(д) действует в этом пространстве V следующим
образом:
Можно было бы дать другое определение: пусть V — п-мерное пространство,
е,- — базис в нем; тогда действие оператора Т(д) на вектор е; имеет вид
> Задача 26. Показать, что эти определения эквивалентны.
Отметим, что для группы SU(n) фундаментальное представление — комплекс-
комплексное, для группы SO(n) — действительное.
> Задача 27. Показать, что фундаментальные представления групп SU(n) и SO(n)
неприводимы.
2. Представление, сопряженное фундаментальному
— это представление группы матриц п х п в п-мерном пространстве столбцов C.19),
определенное равенством
эквивалентное определение: сопряженное фундаментальному представление — это
представление в пространстве строк ф = (ф\,..., фп), такое, что
> Задача 28. Показать, что фундаментальное представление группы 517B) эквивалентно
своему сопряженному.
Аналогичным образом определяются фундаментальное представление алгебры
Ли AG и представление алгебры, сопряженное фундаментальному.
> Задача 29. Как уже отмечалось, алгебры SUB) и 5ОC) изоморфны. Пусть Т — фундаменталь-
фундаментальное представление алгебры SUB). Ему соответствует некоторое представление алгебры
5ОC), обозначим его Т. Показать, что не существует представления группы 5ОC), которое
генерировало бы представление Т алгебры 5ОC) по формуле C.13).
44 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
3. Присоединенное представление Ad(G)
группы Ли G. Пусть AG — алгебра Ли группы G; будем считать, что как группа G, так
и алгебра AG состоят из матриц пхп. Алгебра AG — это действительное векторное
пространство, которое и является пространством присоединенного представления.
Определим действие линейного оператора Ad(g), соответствующего элементу g G G,
на матрицу A G AG следующим образом:
Ad(g)A = gAg~l.
Для того, чтобы это было представлением, требуется, прежде всего, чтобы gAg~l
был элементом алгебры AG для всех A G AG и g G G. Чтобы убедиться в этом,
построим кривую в группе G вида
4t)=ggA{t)g-\
где flu(£) = \ + tA + ... — кривая, определяющая элемент A G AG. Имеем /i@) = 1
где А/, — некоторый элемент из алгебры AG. С другой стороны
поэтому gAg~l = Ah G AG, что и требовалось.
Выполнение свойств C.11) проверяется просто; например
)Ad(g2)A
(как всегда, Ad(pi) Ad(^2) понимается как последовательное действие сначала опе-
оператора Ad(g2), а затем — оператора Ad(gi)).
Из формулы C.13) следует, что присоединенное представление алгебры Ли — это
такое, которое элементу В G AG ставит в соответствие оператор ad(B), действующий
на элементы А из AG (пространства представления) следующим образом
ad(B)A = [B,A]. C.20)
Действительно, если <? = 1 + £В, то
Ad(g)A = A + еВ)АA -еВ)=А + е\В,А\,
что, вместе с равенством C.13), которое в данном случае имеет вид
Ad(g)A = A + ead(B)A,
и приводит к C.20).
Матрицы присоединенного представления алгебры Ли совпадают со структур-
структурными константами. Действительно, по определению матриц представления
где tj — генераторы (элементы базиса) в AG, Tj.'J — матрица линейного оператора,
соответствующего генератору £;. С другой стороны
где Сф — структурные константы алгебры AG. Следовательно,
Т® = Ст. C.21)
Подчеркнем еще раз, что присоединенное представление — всегда действи-
действительное. Это видно и из C.21), поскольку структурные константы действительны.
3.4. Компактные группы и алгебры Ли 45
3.4. Компактные группы и алгебры Ли
Группы Ли представляют собой гладкие многообразия (матричные группы
Ли — это подмногообразия в пространстве всех матриц определенной размерности,
см. раздел 3.2). Компактными группами Ли называют такие группы Ли, многообразия
которых компактны.
> Задача 30. Показать, что группы SU(n) и SO(n) компактны, a GL(n, С) и GL(n, R) —
некомпактны.
Компактные алгебры Ли — это алгебры Ли, соответствующие компактным
группам Ли.
Имеет место следующая теорема: алгебра Ли компактна тогда и только тогда,
когда в ней существует (положительно определенное) скалярное произведение,
инвариантное относительно действия присоединенного представления группы.
Иными словами, во всякой компактной, и только компактной, алгебре Ли AG
имеется билинейная форма (А,В), такая, что для всех g £ G и всех А,В G AG
справедливо
(Ad(g)A,Ad(g)B)=(A,B),
при этом для всех А £ AG верно
и равенство здесь имеет место только для нулевого элемента алгебры А = 0.
Для матричных групп скалярное произведение в соответствующей алгебре —
это след
(А,В) = -Ъ(АВ).
Инвариантность его относительно присоединенного представления очевидна из воз-
возможности циклической перестановки матриц под знаком следа:
(gAg-\gBg-1) =-Ъ(дАд-1дВд-1) = -Ъ(АВ).
Нетривиальная часть этой теоремы для матричных алгебр — это положительная
определенность —Ъ(А2) для компактных и только компактных матричных алгебр
Ли.
> Задаче 31. Показать, что - Ъ(А2) положителен для всех ненулевых А из алгебры
517B). Показать, что -Ъ(А2) бывает как положительным, так и отрицательным
для алгебры GLB,C).
Существование в алгебре Ли положительно определенного скалярного произве-
произведения, инвариантного относительно присоединенного представления, исключитель-
исключительно важно для калибровочных теорий, поэтому именно компактные группы и алгебры
Ли используются при их построении.
В дальнейшем мы будем рассматривать только компактные группы и алгебры
Ли и не станем оговаривать это каждый раз.
В алгебре можно выбрать генераторы так, чтобы они образовывали ортонорми-
рованный базис. Обычно выбирают нормировку следующим образом:
Тг(М;) = ~6ц. C.22)
В этом базисе структурные константы антисимметричны по всем трем индексам.
Действительно, из определения
46 Глава 3. Элементы теории групп и алгебр Ли
и соотношения C.22) следует
Сравним с этим выражением величину с переставленными индексами k,j:
Cikj = -2[Ъ(иЫ;) - TiitAtj)].
Имеем, сделав циклическую перестановку матриц под знаком следа,
Cut = -2\Jr(tjtitk) - Ъ(Щгк)],
что совпадает с — С^*. Итак,
Cikj = —Cijt
и Cijt полностью антисимметричны в силу их антисимметричности по первым двум
индексам.
> Задача 32. Пусть А — инвариантная подалгебра компактной алгебры В. Пусть А± —
ортогональное дополнение к А в В (напомним, что А — векторное пространство
со скалярным произведением). Показать, что А± также является инвариантной
подалгеброй и
В = А + AL
в смысле прямой суммы алгебр Ли.
Все абелевы компактные алгебры Ли являются прямыми суммами алгебр U(\).
Компактная алгебра Ли называется полупростой, если она не содержит абелевых
инвариантных подалгебр. Компактная алгебра Ли называется простой, если она
вообще не содержит инвариантных подалгебр.
Имеет место следующее утверждение: всякая компактная алгебра Ли А предста-
вима единственным образом в виде прямой суммы некоторого количества подалгебр
U(\) и простых подалгебр,
Л = 17A)+ 17A) + ... +U(l) + Ai+... +А„, C.23)
где А„ — простые алгебры. Таким образом, изучение компактных алгебр Ли сводит-
сводится к изучению простых алгебр Ли. Равенство C.23) означает, что локально каждая
компактная группа Ли представлена единственным образом в виде прямого произ-
произведения
G = U(l) х U(l) х • • • х U(l) х G, х • • • х Gn,
где <?„ — простые группы (простые группы Ли — это такие, которым соответствуют
простые алгебры). Пюбальная (т.е. справедливая для группы в целом) версия этого
утверждения несколько сложнее; мы не будем ее использовать и не формулируем
здесь3*.
В случае простой компактной алгебры Ли существует всего одно инвариантное
положительно определенное скалярное произведение (с точностью до умножения
на число). Если же алгебра полупроста, то весь набор инвариантов описывается
следующим образом. Пусть, например,
А = At + A2,
так что любой вектор В G А имеет вид
B=Bi+B2, C.24)
3) То, что аналог утверждения C.23) для групп в целом не вполне тривиален, видно из того, что
разным группам Ли может соответствовать одна и та же алгебра Ли. Примером служат группы SUB)
и ,5ОC).
3.4. Компактные группы и алгебры Ли А1
BieAi, В2еА2.
Пусть (,)i — инвариантное скалярное произведение в А\, (,J — инвариантное
скалярное произведение произведение в А2. Тогда все инвариантные скалярные
произведения векторов вида C.24) имеют вид
(В,В') =al(Bl,B\J + аг{В2,В'2)ъ
где ai и а2 — произвольные положительные числа. Иными словами, положительные
квадратичные инварианты (относительно присоединенного представления) в сумме
простых алгебр — это линейные комбинации квадратичных инвариантов в каждой
из простых алгебр с произвольными положительными коэффициентами.
Компактные простые алгебры Ли полностью описаны. Кроме известных нам
алгебр SU(n), п = 2,3,..., и SO(n), п = 5,7,8,..., EОC) и 5ОD) сводятся
к 517B), а 50F) — к SUD)) имеется еще бесконечный набор матричных алгебр
Spin,С), п = 3,4,..., и конечное количество (пять) так называемых исключитель-
исключительных алгебр G2, F4, Et, Eh, fig.
> Задача 33. Показать, что алгебра 50D) изоморфна алгебре SUB) + SUB).
При построении моделей в физике частиц наиболее часто используются группы SU(n); не-
нередко рассматривают и симметрии SO{n), а при построении объединенных теорий сильного,
слабого и электромагнитного взаимодействий и в теории суперструн — группы Ее и Ef.
Для представлений справедливо утверждение: любое представление компакт-
компактной группы Ли эквивалентно унитарному, а представления алгебр Ли эквивалентны
антиэрмитовым. Это свойство тоже важно для теории калибровочных полей; в даль-
дальнейшем мы всегда будем считать представления групп унитарными.
Рассматривая группу SU(n) в физике, как уже отмечалось, обычно используют
эрмитовы (а не антиэрмитовы) генераторы (если А — антиэрмитова матрица, то
А = % В, где В — эрмитова). Тогда всякий элемент алгебры представляется в виде
А = iA'ta,
где U — эрмитовы матрицы, Ai — действительные коэффициенты. Близкий к еди-
единице элемент группы Ли записывается в виде
g=l + ieata,
где еа — действительные малые параметры. Соотношения между генераторами
содержат явно мнимую единицу
[ta, h] = iCabctc,
где Cabc — полностью антисимметричные действительные структурные константы
алгебры. Для комплексных представлений SU(n) и других алгебр также используют
эрмитовы генераторы T(ta) = Ta, так что
[Та,Ть] = гСаЬсТс.
Мы, как правило, будем пользоваться таким соглашением при дальнейшем изложе-
изложении.
> Задача 34. Показать, что SU(n), п = 2,3, — и SO(n), п - 5,6, — это простые
группы.
Глава 4
Неабелевы калибровочные поля
4.1. Неабелевы глобальные симметрии
В теории комплексного скалярного поля (раздел 2.4) мы встречались с глобаль-
глобальной ?7A) -симметрией: лагранжиан инвариантен относительно преобразований
Ч>{*) -* 9<Р(Х)>
где д = ет — произвольный элемент группы U(l), не зависящий от координат
пространства-времени. В этом разделе мы рассмотрим обобщение ?7A) -симметрии
(которая является абелевой, поскольку !7A) — абелева группа) на неабелев случай.
Простейшая модель, обладающая глобальной неабелевой симметрией, — это
модель N комплексных скалярных полей ^,- с лагранжианом
£ = dpipfdpipi - m2<pi<pi - \(<Р№J D.1)
(здесь и далее подразумевается суммирование по индексу t = 1,... ,N). Эта модель,
очевидно, имеет абелеву 17A) -симметрию
Щ -* e*V«- D-2)
Кроме того, лагранжиан D.1) инвариантен относительно глобальных (не зависящих
от точки пространства-времени) преобразований
, D.3)
где ш — произвольная матрица из SU(N). Свойство инвариантности лагранжиана
D.1) относительно преобразований D.3) очевидно из тождества
Отметим, что SU(N)-инвариантность лагранжиана D.1) обеспечивается тем, что
масса каждого из полей <р\,<рг,...,<рц одинакова (и равна т), а член взаимодействия
подобран специальным образом и имеет всего одну константу связи.
Для того, чтобы прийти к дальнейшим обобщениям симметрии D.3), запишем
лагранжиан D.1) в более удобной форме. Введем столбец полей
V=\ \ , D-4)
так что <р1 = (<р\,...,ifilf). Лагранжиан D.1) можно записать в виде
С = dprfdpip - mVV - A(*>VJ. D-5)
4.1. Неабелевы глобальные симметрии 49
где дифференцирование столбца понимается, как обычно, как дифференцирова-
дифференцирование каждой из его компонент (то же для строки или матрицы). Столбец полей
<р(х) можно понимать как одно поле со значениями в iV-мерном комплексном
пространстве столбцов. Преобразование D.3) — это преобразование под действием
фундаментального представления группы SU(N):
<р(х) -+ ip'(x) = uitp(x). D.6)
Отметим, что инвариантность лагранжиана D.5) относительно преобразований оче-
очевидна из унитарности матрицы ш.
Такая конструкция сразу обобщается на более сложные случаи. Нас будут
интересовать ситуации, когда группа симметрии — компактная группа Ли G. Пусть
T(G) — унитарное представление группы G (вообще говоря приводимое), а поле tp(x)
принимает значения в пространстве этого представления. Рассмотрим лагранжиан
вида
C = d^dll'p-V{4>\4>) D.7)
и потребуем, чтобы потенциал V был инвариантен относительно действия предста-
представления Т:
V(VW(»),T(u>)<p)=r(<p\<p)
для всех ш € G. Тогда лагранжиан D.7) инвариантен относительно преобразований
<р(х) - Т(ш)ф),
при которых
<р\х) - <р\х)т\ш).
Действительно, потенциальный член инвариантен, а инвариантность кинетического
слагаемого следует из унитарности представления Т: Т^(ш)Т(ш) = 1 (мы всюду
считаем что ш не зависит от координат пространства-времени, т. е. рассматриваем
глобальные преобразования).
Приведем несколько примеров.
1) Пусть ipi(x), Xi(x) — два набора из N комплексных скалярных полей,
г = 1,..., N. Если <р и % — соответствующие столбцы, то лагранжиан
- A,(?VJ - А2 №хJ + (XVJ] - A3(xfxJ D.8)
инвариантен относительно преобразований группы SU(N):
ш € SU(N). Отметим, что пару полей <р, х можно понимать как одно поле,
принимающее значения в пространстве приводимого представления группы SU(N),
являющегося прямой суммой двух фундаментальных представлений.
2) Пусть поле <р(х) преобразуется по фундаментальному представлению группы
SUB) (т.е. ip(x) — комплексный столбец f "') I 1, а преобразование ш из SUB)
действует как
где ш не зависит от х). Пусть поле £(х) — это действительный триплет £а(х)>
а = 1,2,3, преобразующийся по присоединенному представлению группы SUB).
50 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Лагранжиан, инвариантный относительно группы 5GB), можно построить следую-
следующим образом:
с=д,д!д&+»,r v" - a,(VVJ - неа2 - A3*»v*>, D.9)
где та — матрицы Паули (генераторы 5GB)).
Для проверки инвариантности достаточно убедиться, что ({"f"J и <f^(ra^a)ip
инвариантны. Построим матричное поле
принимающее значения в алгебре Ли группы 5GB) (с точностью до мнимой
единицы). По определению фундаментального и присоединенного представлений,
поля у и £ преобразуются под действием группы 5GB) следующим образом:
ip—*ip'= икр, D.10)
1-€=ы&Г1. D.11)
Отметим еще, что
Инвариантность выражения D.12) относительно D.11) очевидна, а инвариантность
величины
следует из цепочки равенств
Отметим, что пара полей (<р,£) представляет собой поле в пространстве прямой
суммы фундаментального и присоединенного представлений группы 5GB).
3) Пусть <Pia(x) — набор из m-n комплексных полей, i — l,...,n; a= l,...,m.
Этот набор реализует представление группы SU(n) x SU(m) и представляет собой
прямое произведение фундаментального представления группы SU(n) и фундамен-
фундаментального представления группы 5G(т). Это означает, что пара (ш,П), ш € 5G(п),
Й € 5G(т), действует на ipia следующим образом:
D-13)
(иными словами, группа SU(п) действует на первый индекс в <Pia, а группа SU(m) —
на второй).
Инвариантный лагранжиан имеет вид
2 &№J. D.14)
Мы будем в дальнейшем несколько условно не писать индексы у полей и записывать
преобразование D.13) как
а лагранжиан D.14) — в форме
С =
Если поле ip описано и известно, что ш € 5G(n), ft € 5G(m), то такая запись
не приводит к недоразумениям.
Отметим, что с ситуацией, похожей на ту, что имеется в последнем примере,
мы уже сталкивались: поле D.4) с лагранжианом D.5) реализует, в действительности.
4.1. Неабелевы глобальные симметрии 51
представление группы SU(N) х U(l), где группа SU(N) действует согласно D.6)
(фундаментальное представление), а группа GA) — согласно D.2).
4) Построим нетривиальную модель, инвариантную относительно группы
SUB) х GA). Пусть ф, х — дублеты относительно группы 5GB) (фундаменталь-
(фундаментальное представление), f — синглет относительно 517B) (тривиальное представление).
Иначе говоря, поля <р, х, £ преобразуются под действием 517B) следующим образом
<р-*ш<р,
Поля <р, х — двухкомпонентные комплексные столбцы, f — однокомпонентное
комплексное скалярное поле. Пусть поля (р, х и f преобразуются под действием
U(l) как
V ~* ^V,
Х^е^"х, D.15)
Здесь а — параметр преобразования, qv, qx и q^ — фиксированные действительные
числа. Кинетический член в лагранжиане имеет стандартный вид, а взаимодействие
можно выбрать в виде
А[(^)х + к.с]. D.16)
Оно инвариантно относительно 517B) х 17A), если
Чх + <И = Чг
(числа qx, q^ и qv можно выбрать целыми, тогда D.15) — действительное (одно-
(однозначное) представление группы [7A)).
► Задача 1. Рассмотрим теорию трех полей, как в последнем примере. Положим, однако,
Построить инвариантное относительно 5GB) х {7@ кубическое взаимодействие
палей <р, х и £ (указание: воспользоваться тем, что для группы 5GB) фундамен-
фундаментальное представление эквивалентно своему сопряженному).
Примеры глобальных симметрии можно было бы продолжать, рассматривая
различные группы G\ х -- - х G^, где G,- — простые группы или £ГA)-сомножители,
различные поля, преобразующиеся по прямым произведениям неприводимых пред-
представлений групп G\,...,Gfr, а также комбинации таких полей.
До сих пор мы обсуждали для простоты скалярные поля. Однако глобальные
внутренние симметрии можно вводить для полей с любыми свойствами относи-
относительно преобразований Лоренца: лоренцева структура и «внутренняя» структура
полей не чувствуют друг друга (например, для рассмотрения внутренних симметрии
векторного поля нужно сделать замену ip —* ip,, в формулах этого раздела).
> Зодача 2. Найти сохраняющиеся токи, соответствующие рассматривавшимся глобаль-
глобальным симметриям, в моделях с лагронжианами D.1) (и эквивалентном ему D.5)),
D.8), D.9), D.14), а также в модели четвертого примере.
52 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Симметрии, близкие к рассмотренным выше, действительно имеются в физике частиц. Так,
поля протона и нейтрона объединяются в столбец N = ( „ ). который представляет собой
фундаментальное представление группы SUB) (так называемая изотопическая симметрия).
Из действительного поля я-0-мезона и комплексного поля ж заряженных я--мезонов можно
построить три действительных поля я-1 = ^(я- + я-*), я-2 = -^(т — т*)> я'3 = г°> которые
образуют триплет (присоединенное представление) по отношению к изотопической группе
SUB). Сильные взаимодействия инвариантны относительно изотопической группы SUB),
а пион-нуклонный лагранжиан имеет структуру D.9) (с заменой <р —» N, £" —»ir" и отличиями,
связанными с тем, что нуклоны имеют спин 1/2 и являются фермионами; дополнительные
отличия возникают из-за того, что в полном лагранжиане имеются маленькие слагаемые,
не инвариантные относительно изотопической симметрии).
Лагранжиан взаимодействия типа D.16) возникает при описании взаимодействия хигг-
совского бозона с лептонным дублетом (левый электрон, нейтрино), правой компонентой
электрона и дублетом хиггсовских полей; SUB) х f/(l) — группа электрослабых взаимодей-
взаимодействий.
Преобразования типа D.13) имеются в теории легких кварков, где симметрия имеет вид
SUC) х SUC). Первая SUC) — это группа цвета (в действительности — калибровочная
группа), вторая SUC) — группа ароматов, по отношению к которой легкие кварки образуют
триплет
■и"
d
Первую и вторую SUC) обозначают SUC)C и SUC)t, соответственно. Группа SUC)t —
не точная: массовые члены, а также электромагнитные и слабые взаимодействия не инвари-
инвариантны относительно нее.
4.2. Неабелева калибровочная инвариантность
и калибровочные поля: группа 5GB)
Наша цель — обобщить конструкцию, изложенную в разделе 2.7 для скалярной
электродинамики с калибровочной группой {7A) на случай неабелевой калибро-
калибровочной группы (Янг, Миллс, 1954). Рассмотрим снова теорию двух комплексных
скалярных полей, образующих столбец
лагранжиан которой имеет вид
C = dllipidllip-7n2iptip-\(^4>J. D.17)
Этот лагранжиан инвариантен относительно глобальных преобразований из группы
SUB),
ip(x) -> ip'{x) = u>ip(x),
ш 6 SUB),
причем ш не зависит от точки пространства-времени.
Постараемся модифицировать лагранжиан D.17) так, чтобы он был инвариантен
относительно преобразований SUB), произвольным образом зависящих от точки
пространства-времени,
рф-рЧ*) = »(*)»>(*),.. D.18)
и>(х) 6 SUB). D.19)
4.2. Неабелева калибровочная инвариантность и калибровочные поля 53
(Напомним, что аналогичное требование в скалярной электродинамике приводило
к замене в лагранжиане обычной производной на ковариантную, dpip —> (dp —
ieAp)<p-) Потенциальные слагаемые (последние два слагаемых в D.17)) инвариантны
относительно преобразований D.17), но кинетический (содержащий производные)
член неинвариантен. Действительно, при преобразовании D.18) производная поля
переходит в
д„1р'(х) = ш(х)др<р(х) + дрш(х) ■ ф) D.20)
и в лагранжиане С((р') возникают члены с дрШ. Чтобы избавиться от этих членов,
заменим в лагранжиане D.17) обычную производную на ковариантную, dpip —> Dpip,
и потребуем, чтобы при преобразованиях D.18) она переходила в
D.21)
Из D.20) видно, что этого можно добиться, введя векторное поле Ар(х) и записав
Dpip = dpip + Apip.
Структура поля Ар (область его значений) нам пока неизвестна, найти ее — наша
ближайшая задача.
Выясним, прежде всего, как преобразуется поле Ар при калибровочных пре-
преобразованиях. Для этого выпишем явно левую часть равенства D.21):
Dpip = dpip' + A1 pip1 = todptp + dpWip + A'piotp
и потребуем, чтобы она была равна правой части
u>Dpip = udpip + uApip.
Имея в виду, что ip — произвольный столбец, получим отсюда
дцШ + А'уШ = шАр,
т. е. закон преобразования Ар имеет вид
АЙ — А'р = шА^ + шд^ш'1 D.22)
(мы воспользовались тем, что из ш = 1 следует шд^иг^1 + д^ш ■ ш~1 = 0).
Выясним теперь, какие значения принимает поле А^. Рассмотрим для этого
инфинитезимальное калибровочное преобразование, т. е. преобразование D.22) с
ш = 1 + е(х),
где е(х) принимает значения в алгебре Ли группы SUB) (иначе говоря, е(х) —
антиэрмитова матрица 2 х 2 с нулевым следом в каждой точке х). Второе слагаемое
в D.22) в низшем порядке по е равно
шд^1 =-д11е(х), D.23)
т. е. оно принимает значения в алгебре Ли. Следовательно, необходимо, чтобы алге-
алгебра Ли содержалась в множестве значений поля Ар. Этого оказывается и достаточно:
если поле Ар принимает значения в алгебре Ли группы SUB), то при любом ш(х)
как шАрШ^, так и шд^ш^ принадлежат алгебре Ли. Тот факт, что шАрШ~х € ASUB),
очевиден, поскольку шА/1ш~1 — это1 результат действия присоединенного предста-
представления на элемент Ар 6 ASUB).
> Задача 3. Показать, что если ш(х) принадлежит группе SUB) в каждой точке х, то
шдрШ~1 принадлежит алгебре Ли группы SUB) в каждой точке х.
54 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Итак, калибровочное поле А^х) (его называют полем Янга—Миллса) — это
поле со значениями в алгебре Ли (в данном случае — группы 517B)); закон
преобразования скалярного и калибровочного полей при калибровочных преобра-
преобразованиях имеет вид (мы по-прежнему считаем, что скалярное поле преобразуется
по фундаментальному представлению группы 517B))
А„(х) - А'„(х) = ш(х)А11{х)и,-\х) + ш{х)д11ш-\х), D.24)
р(*)-¥/(*)=»(*М*). D.25)
а лагранжиан скалярного поля, инвариантный относительно калибровочных пре-
преобразований, равен
С = {
где
Dl,4> = dfLV + ApV = (dll + Ap)V D.26)
— ковариантная производная скалярного поля, преобразующаяся согласно D.21).
Отметим одно из отличий неабелева калибровочного поля от вектор-потен-
вектор-потенциала электродинамики. При глобальных (не зависящих от х) преобразованиях
электродинамические вектор-потенциалы не меняются, а неабелевы потенциалы
преобразуются нетривиально,
А„(х) -» А'„{х) = шАщ{х)ш-х, D.27)
т. е. по присоединенному представлению группы.
Построим теперь лагранжиан для самого поля А^, который аналогичен —j-FyL
в электродинамике. Для этого найдем сначала тензор напряженности для неабелева
поля. По аналогии с электродинамикой мы ожидаем, что в тензоре напряженности
будет содержаться слагаемое
дрАг-дуАр. D.28)
Отсюда и из D.27) видно, что тензор напряженности должен преобразовываться
нетривиально при калибровочных преобразованиях: выражение D.28) преобразует-
преобразуется по присоединенному представлению группы при глобальных преобразованиях.
Потребуем, чтобы тензор напряженности преобразовывался по присоединенному
представлению при всех калибровочных преобразованиях,
F,u,(x) - F^ix) = u>(x)Fl№w-l(x). D.29)
Тогда калибровочно инвариантный лагранжиан будет строиться из инварианта
^)
Само по себе выражение D.28) свойством D.29) не обладает. Действительно,
дифференцируя D.24), получим
. D.30)
Слагаемые со вторыми производными функции ш сократились, но остались слага-
слагаемые с первыми производными. Чтобы их не осталось, требуется добавить к D.28)
члены, не содержащие производных поля АЙ. Аналогично D.28), эти члены должны
быть элементами алгебры Ли, они должны нести индексы ц, v и быть антисимме-
антисимметричными по этим индексам. Единственный кандидат — это коммутатор
4.2. Неабелева калибровочная инвариантность и калибровочные поля 55
Из D.24) следует, что
^шд^'1 - wdvw~lwdIIu>~i. D.31)
Сравнивая D.30) и D.31), убеждаемся, что ковариантной величиной (в смысле D.29))
является тензор
Fia, = dllAv-dvAll+[All,Av\. D.32)
Действительно, нежелательные слагаемые (все слагаемые, кроме первых) в D.30)
и D.31) сокращаются при учете тождеств
шдрЬ>~1ш = -ду.шш~хш = -дрШ,
которые следуют из ыи~1 = 1, ш~1ш = 1 и производных по х? от последних равенств.
Итак, тензор напряженности имеет вид D.32) и преобразуется по закону D.29).
> Задача 4. Показать, что в электродинамике [1),,,1)„] = -ieFpv, где Dp = д,, —
ieAp понимается в смысле оператора, действующего на скалярное поле, DPDV —
последовательное действие сначала Dv, потом D,,; как обычно, [Dp, Dv\ = DftDv —
DVD,..
> Задача 5. Показать, что для калибровочной теории с калибровочной группой 517B)
справедливо [D^D?] — F^, где ковариантная производная определена формулой
D.26). Используя это равенство, убедиться еще раз в том, что тензор напряженно-
напряженности преобразуется согласно D.29).
Калибровочно-инвариантный лафанжиан калибровочного поля выберем в виде
СА = ^ТгF^F^, D.33)
где д2 — некоторая положительная постоянная. Выбор знака в D.33) мы обсудим
несколько позже.
Отметим, что важным отличием неабелевой калибровочной теории от электро-
электродинамики является наличие в лагранжиане Са слагаемых, кубичных и четвертого
порядка по полю АЙ. (Они имеют структуру типа Тг(д,,.А„ • АЙА„) и Ti{ApAvApAv).)
Это означает, что уравнения калибровочного поля нелинейны даже в отсутствие
других полей. Говорят в связи с этим, что поле АЙ — самодействующее.
Калибровочное поле А^х), принимающее значения в алгебре 517B), можно
выразить через три действительных поля (по числу генераторов алгебры 5*7B)),
М*) = -ig^(x), D.34)
где а = 1,2,3; А^(х) — действительные поля; у — эрмитовы генераторы алгебры
5*7B); множитель д — тот же, что в D.33), — введен для удобства. Аналогичным
образом можно записать тензор напряженности:
*r(x) = -i9T-^F%,(x). D.35)
56 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Из определения D.32) получим
F{) i(dAl dAl) {ifAl
Следовательно, действительные компоненты тензора напряженности F^, выража-
выражаются через действительные поля Af, с помощью соотношения
F% = д„А1 - dvAl + ge^A^Al. D.36)
Отметим, что множители е0^ возникают здесь в результате коммутации генераторов
у, т. е. они появляются как структурные константы группы 5OB).
> Задача 6. Пусть
u,(x)=\+ije°(x)
— инфинитезимальные калибровочные преобразования с действительными параме-
параметрами е°(х). Найти преобразования компонент А^(х) и выразить их через е°(х).
То же для F^,(x).
Лагранжиан калибровочного поля D.33) можно выразить через действительные
компоненты Fj^:
В дальнейшем мы будем пользоваться как матричными полями Аи, так и дей-
действительными компонентами А% и использовать и для тех, и для других термин
«калибровочные поля». То же относится к матричному тензору напряженности F^
и его действительным компонентам F^,. Отметим, что ковариантная производная
для дублетного скалярного поля (фундаментальное представление SUB)) имеет вид
Dll<p=(dll-igjAall)<p. D.37)
Обсудим теперь выбор знака в лагранжиане D.33) и появление множителя д
в D.34) и D.35). Рассмотрим малые (линейные) возмущения поля над состоянием
Ар = 0. Для этого в лагранжиане калибровочного поля
1
/• tie тра /л тп\
1~А = ~~:^iiv^iu/ \*"*<V
пренебрежем членами третьего и четвертого порядка по полю А%, которые малы
по сравнению с квадратичным слагаемым, если поле -AJ мало во всех точках
пространства-времени. Тогда лагранжиан для малых возмущений будет иметь вид
СА = —-(dpA* — dyAf^^dpA" — d^A^). D.39)
Видно, что он разбивается на сумму лагранжианов для полей А\, А\, А\, причем
каждый из этих лагранжианов совпадает с лагранжианом электродинамики. Это
4.3. Обобщения на другие группы 57
стало возможным благодаря фактору g в D.34) и D.35). Отсюда ясен и выбор знака
в D.33) (или, что то же самое, в D.38)): именно при таком знаке энергия полей
с малой амплитудой будет положительна.
Из выражения D.39) сразу следует, что малые физические возбуждения поля
Ар(х) — это три типа (а = 1,2,3) поперечных безмассовых (т.е. движущихся со ско-
скоростью света) волн, каждый из которых полностью аналогичен электромагнитным
волнам в пустоте. Константа g входит в лагранжиан скалярного поля
и лагранжиан калибровочного поля D.38) только в слагаемые третьего и четвер-
четвертого порядка (используется равенство D.37)), т. е. только в члены взаимодействия.
Поэтому g называют калибровочной константой связи.
> Задача 7. Найти размерность поля Ар и константы g в системе единиц h = с = 1.
> Задача 8. Как в теории электромагнитного поля, так и в неабелевой калибровочной
теории имеется еще одна калибровочно инвариантная и лоренц-инвариантная вели-
величина etLV\p'Xx(FllvF\J) (для электромагнитного поля — e^xpF^Fxp), квадратичная
по F,,,,. Ее можно было бы попытаться использовать в качестве дополнитель-
дополнительного слагаемого в лагранжиане калибровочного поля. Показать, что и в абелевом,
и в неабелевом случае эта величина представляет собой, полную четырехдивергенцию
дрКр. Найти выражения для К р. Показать, что добавление в лагранжиан полной
дивергенции от любого вектора, зависящего от полей, не изменяет уравнения поля.
Таким образом, D.33) — единственный нетривиальный классический лагранжиан,
квадратичный по F^. (В квантовой теории добавление в лагранжиан слагаемого
const • Epvx,, Ti^F/tvFxp) приводит к нетривиальным следствиям.)
4.3. Обобщения на другие группы
Обобщение понятия калибровочного поля Ар на другие простые группы Ли G
очевидно. Поле Ар принимает значения в алгебре Ли группы G, т. е.
где £° — генераторы группы (антиэрмитовы генераторы для группы SU(n), антисим-
антисимметричные действительные генераторы SO(n) и т.д.). Тензор FpV также принимает
значения в алгебре Ли и дается формулой D.32). Калибровочные преобразования
поля Ар и напряженности FpV имеют по-прежнему вид
Ар -* А'р = шАрШ~х +u>dpui~\
где ш(х) € G в каждой точке х (рассуждения раздела 4.2, приводящие к этим
формулам, не использовали то, что в качестве группы G выбиралась SUB)).
Единственным квадратичным инвариантом служит по-прежнему Tr Fp,,FpV, так что
лагранжиан калибровочного поля имеет вид
Отметим, что если бы группа Ли была некомпактна, то в ее алгебре не было бы по-
положительно определенного квадратичного инварианта, что привело бы, в конечном
58 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
итоге, к неофаниченности снизу энергии малых возмущений калибровочного поля:
в квадратичном лагранжиане имелись бы как слагаемые
1 •' ^2
так и слагаемые
Второй тип слагаемых и дает отрицательную энергию поля.
Выражение тензора F^, через компоненты А£ содержит структурные константы
группы:
Вывод этого равенства повторяет вывод формулы D.36).
Количество компонент поля Л£ равно размерности группы G (например,
для группы SU(n) индекс а пробегает значения 1,2,...,я2 — 1). В линейном
приближении каждая из этих компонент описывает безмассовое векторное поле,
полностью аналогичное электромагнитному полю в пустоте.
В случае, когда калибровочная алгебра компактна, но не проста, удобнее все-
всего иметь дело с каждой из компонент 17A) и каждой из простых компонент по
отдельности. Каждой из этих компонент соответствует свое калибровочное поле
и своя константа связи. Например, калибровочно инвариантный аналог примера C)
раздела 4.1 выглядит следующим образом. Поле у>,-п(х) по-прежнему преобразуется
по фундаментальному представлению группы 517(n) (t = l,...,n) и по фундамен-
фундаментальному представлению группы SU(m) (а = 1,..., т). Вводим калибровочное поле
группы SU(n)
А„(х) = -igt'AKx),
где (f*),-j — эрмитовы генераторы группы SU(n), действующие на первый индекс
поля ipia, а = 1,... ,п2 — 1. Константа g — это калибровочная константа связи для
группы SU(n). Аналогично вводим калибровочные поля группы SU(m),
где Aр)а0 — генераторы группы SU(m), действующие на второй индекс поля у?,-п
р= 1,... ,т2 — 1; g — константа связи для группы SU(m). Производную поля <pia
обобщаем до ковариантной производной
(Х>„¥>)<
Иначе говоря,
(
или, символически,
где матрица Ар действует на первый индекс поля <р и «не действует» на второй
B?,, — наоборот). Лагранжиан модели имеет вид
4.3. Обобщения на другие группы 59
где jF^ строится из полей А%,
*£, = д„А1 - dvAl + gC^Al,
Cabe — структурные константы группы SU(n); аналогично
— структурные константы группы SU(m).
Таким образом, в моделях, где калибровочная группа не проста, имеется столько
калибровочных констант связи, сколько имеется СA)-компонент и простых компо-
компонент у калибровочной группы. Отметим, однако, что отнюдь не обязательно обоб-
обобщать все глобальные симметрии до калибровочных: в зависимости от физической
ситуации в модели могут иметься одновременно и калибровочная инвариантность
с калибровочной группой G, и глобальная инвариантность по отношению к другой
группе С Например, если бы в предыдущей модели мы не вводили вектор-по-
вектор-потенциал Вр, то в ней имелась бы калибровочная симметрия SU(n) и глобальная
симметрия SU(m). Такая ситуация реализуется в сильных взаимодействиях легких
кварков, где имеется калибровочная группа SUC)C и глобальная SUC)f. Другим
примером глобальной инвариантности в физике является симметрия, приводящая
к сохранению барионного числа.
с Задача 9. Построить калибровочное обобщение модели примера D) раздела 4.1.
Дальнейшее обобщение связано с использованием произвольных представлений
группы, по которым преобразуются скалярные поля (и вообще, «поля материи»,
в отличие от калибровочных полей). Мы будем всегда считать, что представления
группы Ли унитарны, а алгебры Ли — соответственно антиэрмитовы. Пусть Т(ш) —
представление калибровочной группы, Т(А) — соответствующее представление
алгебры Ли этой группы. Будем, без ограничения общности, считать <р столбцами,
так что Г(ы) и Т(А) — унитарные и антиэрмитовы матрицы, соответственно. При
калибровочных преобразованиях <р переходит в
D.40)
и, по-прежнему,
Ар -» jij, = шАрш'' + шдуьГ'. D.41)
Определим ковариантную производную поля tp следующим образом (считаем кали-
калибровочную группу простой, а представление — неприводимым):
]<p, D.42)
или
где Г" — генераторы в представлении Г:
Г" = T(f)
(имея в виду группу SU(n), считаем генераторы алгебры t" эрмитовыми, так
что Г" — тоже эрмитовы матрицы). Определенная таким образом ковариант-
ная производная действительно преобразуется при калибровочных преобразованиях
D.40), D.41) ковариантным образом:
D-43)
60 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Для проверки этого равенства достаточно убедиться в том, что
Т(и>Аи>~х) = Т(и>)Т(А)Т(и>-х) D.44)
и
Т(шд,,ш-1)=Т(ш)д1,Т(ш~1), D.45)
где Т(А) и TfadpU)'1) — представления элементов алгебры, Г(ш) и Г(ш~') —
представления элементов группы. В остальном рассуждения вполне аналогичны
приведенным в разделе 4.2.
> Задача 10. Показать, что равенства D.44), D.45) действительно выполняются.
Калибровочно-инвариантный лафанжиан скалярного поля строится вполне
аналогично построению в разделе 4.2:
£р = (DttfDtf - гаУ *» - AfaVJ
(вообще говоря, можно построить не один инвариант четвертого порядка для
поля (р в неприводимом представлении группы G; нередко можно также построить
кубические инварианты, так что самодействие (у VJ ~ это только пример).
В качестве примера рассмотрим поле у? в присоединенном представлении,
считая калибровочную группу группой SU(n). Тогда <р(х) — матрицы в алгебре Ли
(которые считаем эрмитовыми), так что
где Р — эрмитовы генераторы SU(n) (для п = 2 генераторы равны Р = у, т° —
матрицы Паули), <ра(х) — действительные поля, а = 1,2,..., п2 — 1. Ковариантная
производная D.42) равна в этом случае
Dll<p = dll<p + a<i(All)<p = dll<p + [All,<p]. D.46)
Ее можно записать в виде (D^ip — снова элемент алгебры SUB))
где (DpipY — действительные коэффициенты. Выразим их через действительные
поля j4J и/. Имеем из D.46)
Для эрмитовых генераторов [tb,tc] = iC^'P, так что
(D^y = d,Va + gC^Afr. D.47)
Инвариантными величинами являются
Try,2 = I
поэтому калибровочно инвариантный лафанжиан скалярного поля можно выбрать
в виде
J - m2Тг<р2 - А(Тг(р2J,
4.4. Уравнения поля 61
или, в компонентах,
Cv = \(D#)%D&)' - у VV" - J(*>VJ- D.48)
Отметим, что в последнем выражении фигурируют только действительные поля (ра
> Зодоча 11. Построить все инварианты четвертого порядка для скопарного поля в при-
присоединенном предстоелении группы 517B).
> Задоча 12. То же для группы 517C).
Поля, преобразующиеся по приводимым представлениям калибровочной груп-
группы, удобно рассматривать как наборы независимых полей, каждое из которых
преобразуется по неприводимому представлению.
Отметим одно отличие неабелевых теорий от электродинамики. В электроди-
электродинамике заряд поля может принимать любые значения, и отношение зарядов двух
различных полей может быть произвольным (целым, рациональным, иррациональ-
иррациональным). Иными словами, ничто не мешает выбрать поля <р и х, преобразующиеся при
калибровочных преобразованиях электродинамики как
p->e"V,
Произвольная константа q будет тогда входить в ковариантную производную
и, в конечном итоге, во взаимодействие поля х с электромагнитным полем. В не-
неабелевых теориях имеется лишь одна свободная константа д, определяющая взаимо-
взаимодействие полей материи с калибровочным полем для каждой простой компоненты
калибровочной группы. Если д фиксирована, то взаимодействия полей материи
с калибровочным полем однозначно определяются представлением, по которым
преобразуются поля материи. Говорят в связи с этим, что неабелев заряд всегда
«квантован», в отличие от электродинамики, где заряд не обязан быть квантован-
квантованным, т. е. целочисленным (другое дело, что заряды известных частиц кратны заряду
электрона: это экспериментальный факт, установленный с высокой точностью,
но понимание его в рамках электродинамики, по-видимому, невозможно).
Рассмотренные в этом разделе конструкции, по существу, исчерпывают обобще-
обобщения рассмотренной в разделе 4.2 калибровочной модели с группой 517B) и дублетом
скалярных полей: с их помощью можно построить калибровочную теорию с любой
компактной группой Ли и любым представлением скалярных полей.
4.4. Уравнения поля
Получим теперь уравнения поля для калибровочных полей и полей материи
в неабелевых калибровочных теориях. Рассмотрим случай простой калибровочной
группы и скалярного поля, преобразующегося по неприводимому представлению.
Действие для такой системы имеет вид
S = SA + Sv, D.49)
62 Глава 4. Неабелввы калибровочные поля
гае
JVx(-^p£), D.50)
D.52)
Мы выбрали самодействие скалярного поля в простейшем виде (y>V)Z- Считаем,
что Т* — эрмитовы генераторы в представлении Т.
Рассмотрим сначала вариацию действия SA по действительным полям А%;
она приведет к уравнениям для калибровочного поля в отсутствие полей материи.
Получим
6SA= I A(—F^6F^\, D.53)
где
6ВТу — &u6Av — дубАи -
Отметим, что второе и четвертое слагаемое в последнем выражении отличаются
от первого и третьего заменой р «->• v и знаком. Используя этот факт и антисимме-
антисимметрию тензора FJb по индексам p,v, запишем для D.53)
6S
= J A [-F%,(d,,SAl
В первом слагаемом проинтегрируем по частям, во втором — переименуем индексы
а, 6, с и воспользуемся антисимметрией С^. Получим
6SA = J dx [д„Е%, + gC^A^F^ASAl. D.54)
Отсюда получаем уравнения для калибровочных полей без материи:
д,,В%, + дС^А^ = 0. D.55)
Напомним, что тензор F^ преобразуется по присоединенному представлению ка-
калибровочной группы. Поэтому ковариантная производная для него равна (см. D.47),
лоренцевы индексы у F^, несущественны)
. D.56)
Следовательно, уравнение поля D.55) можно представить в виде
(lWr = 0. D.57)
Отметим, что левая часть этого уравнения ковариантно (по присоединенному пред-
представлению) преобразуется при калибровочных преобразованиях.
► Задача 13. Показать, что тензор F^, удовлетворяет тождеству Бьянки
0- D-58)
4.4. Уравнения поля 63
Уравнение D.57) и тождество Бьянки D.58) — это неабелевы аналоги уравнений Максвелла
в электродинамике. Однако, в отличие от уравнений Максвелла, неабелевы уравнения
D.57) и D.58) содержат, помимо тензора напряженности, вектор-потенциал Л*; это очевидно
из D.56). Заметим еще, что ковариантная производная D.58) может быть записана в матричной
форме
где, как обычно, F^ —
Рассмотрим теперь вариацию действия Sv no полю Л°. Учтем, что из D.52)
следует, что
rf ^ D.59)
так что
6{р„ч>)х = |де'тЫ; D.60)
(мы считаем, что <р — это столбец, соответственно <р* — это строка; на ц# эрмитовы
матрицы Т* действуют слева, так что D.60) — это равенство между строками).
Далее, из D.52) имеем
поэтому
6SV = У A [(DvV)H-igT'V) + igtp^D^] 6At.
Введем ток
. D.61)
Тогда
С учетом D.54) получим отсюда, что требование равенства нулю вариации полного
действия (Sa+Sv) приводит к уравнению калибровочного поля в присутствии полей
материи
BW)"=»j"> D.62)
которое аналогично уравнению Максвелла для электродинамики с полями материи.
Найдем теперь уравнения, следующие из варьирования действия по скалярным
полям. Скалярные поля содержатся только в Sv, поэтому достаточно варьировать
только эту часть действия. Будем, как и в электродинамике, считать <р* и <р
независимыми и найдем вариацию Sv по <р* (иными словами, если
(Ч>\
'■
то v>f = ((р\,... ,<ру), и мы варьируем по всем ф\, i — 1,... ,N, считая их независи-
независимыми от <pj). Получим с учетом D.59)
6SV =
V = f d?x [(d,,V + igAp
Интегрируя в первом слагаемом по частям и требуя равенства 6S9 = 0, находим
уравнение
^ = 0. D.63)
64 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
Заметим еще, что величина D^f преобразуется при калибровочных преобразованиях
по тому же представлению Т(ш), что и само поле <р (см. D.43); лоренцев индекс, как
обычно, несуществен). Поэтому ковариантная производная от D^p записывается
в виде
DyD^ = DADptp) = (д„ - igAlT^D^-
Следовательно, уравнение D.63) приобретает вид
DpDptp + m2tp + 2A(y>V)v = 0. D.64)
Варьирование действия по <р приводит к эрмитово сопряженному уравнению.
Система уравнений D.62) и D.64) и является системой полевых уравнений
в модели с действием D.49). Ее обобщение на более сложные случаи (полупростая
калибровочная группа, несколько полей материи) достаточно просто может быть
получено для каждой конкретной модели.
> Задача 14. Показать, что ток j£, определенный согласно D.61), преобразуется при
калибровочных преобразованиях по присоединенному представлению калибровочной
группы. Таким образом, уравнение D.62) содержит ковариантные величины в левой
и правой частях (иначе говоря, левая и правая части одинаково преобразуются при
калибровочных преобразованиях).
> Задача 15. Доказать тождество
{DpDvF^Y = 0.
Показать, что если удовлетворяются уравнения D.64), то для тока j£ выполнено
соотношение
Сад* = о,
где ковариантная производная понимается в смысле присоединенного представления
калибровочной группы. Таким образом, уравнения D.62) и D.64) согласованы друг
с другом.
> Задача 16. Получить уравнение D.64) в случае калибровочной группы SU(n) и скаляр-
скалярного поля в присоединенном представлении непосредственно из лагранжиана D.48).
Записать это уравнение и ток j", фигурирующий в D.62), через действительные
поля <ра и А^.
> Задача 17. Калибровочная теория с действием D.49) инвариантна, в частности, отно-
относительно глобальных преобразований
Ар —» А'р = шАрш'1,
4>-4<р = Т(ш)<р,
где ш не зависит от х. Найти нетеровский ток, соответствующий этим преобра-
преобразованиям. Совпадает ли он с током j°, фигурирующим в уравнении поля D.62)?
Ковариантен ли нетеровский ток относительно калибровочных преобразований?
Равен ли нетеровский ток нулю в отсутствие полей материи? Записать уравнение
поля D.62) через нетеровский ток и тензор F^,.
Найдем тензор энергии-импульса в модели с действием D.49). Воспользуемся
для этого приемом, изложенным в конце раздела 2.8. Именно, введем в действие
метрический тензор <^и/; например, вместо D.50) запишем
■ D.65)
4.4. Уравнения поля 65
Симметричный тензор энергии-импульса связан с вариацией действия по д?"',
6S=^ [<?xfIUNg>a', D.66)
причем рассматриваются малые отклонения gf" от тензора Минковского if",
Имея в виду, что д?" — обратная матрица к д^и, поэтому
* = det(^) = 5e7^v D-67>
запишем
бд = -vxP6gxp
(эта формула аналогична известному соотношению det(l + е) = 1 + Тге, если £ —
малая матрица). Используя D.66) и D.67), получим тензор энергии-импульса для
калибровочного поля без материи, действие которого имеет вид D.65):
D-68)
В частности, плотность энергии калибровочного поля равна
где суммирование по пространственным членам ведется с евклидовой метрикой 6{j.
Окончательно, энергия калибровочного поля имеет вид
+ 1Ц]%). D.69)
Мы иногда будем использовать обозначения
К = Е?,
где Е" и Н" — неабелевы аналоги электрического и магнитного полей. В их терминах
энергия калибровочного поля равна
Е^ =
Аналогичным образом может быть получено выражение для симметричного тензора
энергии-импульса скалярного поля, взаимодействующего с калибровочным полем,
действие для которого имеет вид D.51),
Т$ = 2(D,,.tp)\Dvtp) - ЩиСр, D.70)
где
— лагранжиан скалярного поля. Из D.70) получим выражение для энергии скаляр-
скалярного поля
66 Глава 4. Неабелевы колибровочные поля
Полный тензор энергии-импульса в модели D,49) равен сумме вкладов D,68)
и D.70),
2> = 7$ + 2$?. D.72)
Соответственно, энергия скалярного и калибровочного полей равна
Е ~ Е^А) + E{tp\
где Е^ и Е^ даются формулами D.69) и D.71).
Отметим очевидный факт, что симметричный тензор энергии-импульса ка-
либровочно-инвариантен, а энергия положительно определена (считаем, что для
скалярного поля га2 ^ 0). Положительность энергии калибровочного поля обеспе-
обеспечивается, в частности, компактностью алгебры Ли (существованием положительно
определенного инварианта типа ЕаЕ"),
> Задача 18. Найти нетеровский тензор энергии-импульса Т^ для модели скалярного и ка-
калибровочного полей с действием D.49). Подобрать тензор ft/lAv, антисимметричный
по индексам ц, А, такой, что на уравнениях поля
где Т^ задан формулой D.72).
4.5. Задача Коши и условия калибровки
В моделях теории поля, не обладающих калибровочной инвариантностью, задача Коши
для уравнений поля ставится достаточно очевидным образом. Например, в модели одного
скалярного поля с лагранжианом
уравнения поля имеют вид
* * dip
или
dfip + V ip, D.73)
dip v
где ft н |. Поскольку уравнение D.73) позволяет выразить вторую производную поля
по времени через <р и dtip, a dtip этим уравнением не определяется, для нахождения решения
вблизи поверхности t = 0 необходимо и достаточно задать ip(x) и diip(x) на этой поверхности;
иными словами, <p(x,t = 0) и dltp(x,t — 0) представляют собой данные Коши.
То, что формулировка задачи Коши в калибровочных теориях менее тривиальна, видно
уже из существования множества решений уравнений поля с одинаковыми значениями полей
и их производных по времени на начальной поверхности (скажем, t = 0). Действительно,
если Ар и ip — это решение уравнений поля, то калибровочно преобразованная конфигурация
А'р -+ шАцШ~1 +шдцШ~\ D.74)
ip -+ T(u)ip
также является решением уравнений поля, причем ш(х,1) можно выбрать так, что
w(x,t = 0) = 1, а производная ш по t равна нулю при t = 0 (здесь Т(ш) — представле-
представление калибровочной группы, по которому преобразуются поля материи). Обсудим задачу
Коши для системы уравнений D.62) и D.64):
(DpF^f = gjt, D.75)
4.5. Задача Кош и и условия калибровки 67
6V
Л„1>,^+—=0 ■ D.76)
несколько подробнее.
Рассмотрим сначала уравнение D.75) при v = 0 (его еще называют уравнением Iaycca),
(ЛАГ = -ail- D.77)
Поскольку Fft и j'J содержат только первые производные полей по времени, условие Iaycca
не содержит вторых производных по времени. Более того, оно не содержит и первых
производных по времени от А%. Таким образом, на поверхности Коши задать произвольным
образом Aj, dtAI, <p, dttp и .4J невозможно: на них наложено N условий D.77), где N —
размерность калибровочной группы.
Уравнения D.75) с v = i (пространственные компоненты) имеют вид
= «н?. " D.78)
Они содержат вторые производные по времени от А" и первые производные по времени
от А%. Важным свойством условия Iaycca D.77) и уравнений D.78) и D.76) является их со-
совместность: если условие Iaycca выполнено в начальный момент времени, то оно выполняется
и в последующие моменты времени, если поля удовлетворяют уравнениям D.78) и D.76).
Чтобы проверить это утверждение, найдем
адг = ао(д-^» + gj0),
где мы используем матричную форму для полей и тока. Покажем, что д0Г = 0 в момент
времени t, если в этот же момент выполняется условие Гаусса и уравнения D.78) и D.76).
Используя условие Гаусса в момент t, запишем
90Г = D0DiFi0 + gDojo.
Далее, [Do, D;] = Ра (в данном случае это равенство надо понимать как действие оператора
в присоединенном представлении), поэтому
DoDiFio = DiDoFio + [F^Fa] = DiDoF;o.
Используем еще уравнение D.78) и запишем
Э„Г = -DiiDjFji + gji) + gDojo-
Далее, Д-ОД-,- = {(lDi,Dj])Fjt = |[^,^,] = 0, поэтому
д0Г = gi-Diji + Dojo) = gDj,.
Наконец, из результатов задачи 15 к разделу 4.4 следует, что при выполнении уравнения D.76)
справедливо D/Jf = 0, так что
а„г = о,
что и требовалось.
На это свойство можно взглянуть с двух сторон. Во-первых, можно удовлетворить
условию Гаусса в начальный момент, а потом «забыть» о нем, и использовать уравнения
второго порядка по времени D.76) и D.78). С другой стороны, можно использовать условие
Гаусса при всех временах, тогда N из 3N уравнений D.78) не будут независимыми. Эти два
подхода реализуются в разных калибровках.
1) Калибровка Ац = 0. Для Того, чтобы зафиксировать калибровочную свободу D.74),
положим
41 = 0
при всех х и t. В качестве начальных данных выбираем A", dt\a, <p, ditp, но так, чтобы
удовлетворялось условие Гаусса D.77) в начальный момент времени. Уравнения D.76) и D.78)
рассматриваем как уравнения второго порядка по времени относительно А" и <р при t > 0.
Условие Гаусса будет удовлетворяться при t > 0 автоматически. Такой подход удобен при
68 Глава 4. Неабелевы калибровочные поля
реальных вычислениях; его недостаток состоит в необходимости явно учитывать условие
Гаусса при t = 0.
2) Гамилыпоновы калибровки — это условия, накладываемые на вектор-потенциалы А",
например,
(аксиальная калибровка) или
diJ$ = 0
(кулоновская калибровка). Зафиксировав калибровку одним из способов такого типа, можно
переписать (хотя бы в принципе) поле А" через независимые компоненты ааа, а = 1,2.
Зададим в качестве начальных данных a°(x,t = 0), dta^,(x,t = 0), а также, если есть материя,
ip(x,t = 0) и dttp(x,t = 0). Тогда А% в начальный момент времени определяется из условия
Гаусса. В последующие моменты времени 2N из 3N уравнений D.78) определят aj(x,t), A%
будет найдено из уравнений Гаусса, а оставшиеся N уравнений из D.78) будут удовлетворяться
тождественно.
Такой подход применяется при построении канонического (гамильтонова) формализма
и квантовании калибровочных теорий.
> Задача 19. Выписать уравнения первого порядка по времени для полей Янга—Миллса без материи
в аксиальной калибровке А° — 0, считая независимыми переменными Ааа и BJ = F£,, a— 1,2,
и выразив А% через эти переменные с помощью условия Гаусса. Показать, что эти уравнения
можно представить в гамильтоновой форме
дА£_ «Я_ дК _ 6Н
~дГ~~6Е°' ~Ш"""бА^У
где
я =
причем в Щ и FJ, нужно положить А" = 0 и подставить выражение для А% через А*а и Е*.
полученные из условия Гаусса.
Для почти однозначного выбора решения уравнений калибровочных теорий можно
использовать и ковариантные калибровки типа калибровки Лоренца
Так же, как и в абелевой теории, решение определяется с точностью до функции, удовлетво-
удовлетворяющей некоторому (нелинейному) уравнению, а в остальном произвольной. Отсюда ясно,
что калибровки типа лоренцевой неудобны для постановки задачи Коши. Они, однако, весьма
удобны для конкретных вычислений в квантовой теории.
Глава 5
Спонтанное нарушение
глобальной симметрии
В рассмотренных до сих пор ситуациях симметрии — глобальные и калибровоч-
калибровочные — приводили к определенным свойствам малых возмущений полей. Именно,
глобальные симметрии в скалярных теориях означали равенство масс всех малых
линейных волн для полей, принадлежащих одному и тому же представлению группы
симметрии, а также одни и те же свойства взаимодействия этих полей (см. раздел 4.1).
Калибровочные симметрии приводили к безмассовости векторных калибровочных
полей: действительно, выражения типа
2 Аи II
то Ар Ар
не инвариантны относительно калибровочных преобразований (и вообще, невоз-
невозможно построить квадратичный по А^ инвариант, не содержащий производных),
поэтому добавление их в лагранжиан явно нарушало бы калибровочную инвариант-
инвариантность.
В этой и следующей главах мы рассмотрим динамический механизм, приводя-
приводящий к потере этих свойств в теориях, лагранжиан которых инвариантен относительно
глобальных (глава 5) и калибровочных (глава 6) преобразований.
Как уже отмечалось, малым возмущениям полей соответствуют частицы. В природе суще-
существуют как безмассовые векторные бозоны (фотон, а также глюоны — переносчики сильных
взаимодействий между кварками), так и массивные бозоны (заряженные W± и нейтраль-
нейтральный Z0, обеспечивающие слабые взаимодействия). Рассматриваемый в главе 6 механизм (или
его обобщения) позволяет описать W* и Z0 в рамках калибровочных теорий. Нарушение
глобальной симметрии, подобное излагаемому в главе 5, также имеет место в природе: речь
идет о спонтанном нарушении киральной симметрии в сильных взаимодействиях. Имеются
многочисленные примеры спонтанного нарушения симметрии в конденсированных средах,
один из них — сверхпроводимость.
5.1. Спонтанное нарушение
дискретной симметрии
Рассмотрим теорию одного скалярного поля с лагранжианом
E.1)
Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразований
ф) -* -ф), E.2)
70 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
которые являются дискретной симметрией данной модели. Функционал энергии для
этой модели имеет вид
в = / A [i
Ограниченность энергии снизу требует, чтобы
А>0
(случай А = 0 тривиален и не будет рассматриваться), а на параметр то2 ограничений
нет.
Найдем основное состояние в этой модели — конфигурацию поля ip(x), обла-
обладающую минимальной энергией. Из E.3) видно, что минимум энергии достигается
на полях, не зависящих от времени,
%>(x,t)=0, E.4)
и однородных в пространстве,
$*(М)=0 E.5)
(первые два слагаемых в E.3) неотрицательны и равны нулю, только если выполнены
равенства E.4), E.5)). Иными словами, конфигурация поля в основном состоянии
на самом деле не зависит от х и t,
tp = const.
Константу найдем из требования минимальности потенциала
Следует рассмотреть отдельно случаи то2 ^ 0 и то2 < 0.
1) m2 ^ 0. Минимум потенциала — это
(р = 0.
Это состояние инвариантно относительно преобразования E.2); говорят, что основ-
основное состояние не нарушает симметрию модели. Отклонения от основного состояния
описываются самим полем <р, а лагранжиан для этих отклонений совпадает с ис-
исходным лагранжианом E.1); лагранжиан для отклонений от основного состояния
(возбуждений поля) инвариантен относительно дискретной симметрии E.1).
2) то2 < 0. В этом случае потенциал имеет вид, изображенный на рис. 5.1. Сим-
Симметричное относительно преобразования (р —+ — ip поле tp — 0 является максимумом
потенциала, а основных состояний — два:
V = ±¥>0i
где мы изменили обозначения,
Действительно,
= -то2 > 0, р. > 0.
dV
—(ip = ±щ) = ±щ{-ц2 + \<р1) = 0,
о<р
5.1. Спонтанное нарушение дискретной симметрии
71
Рис. 5.1.
так что iipo — минимумы потенциала.
Если у поля «забрать» всю возможную энергию, то оно окажется в одном
из основных состояний, скажем, в tp = +tpu. Для того, чтобы перевести поле
из одного основного состояния в другое, требуется передать ему энергию, пропор-
пропорциональную объему пространства (напомним, что V(tp) — это плотность энергии од-
однородного поля; потенциальная энергия однородного поля tp равна QV(tp), где п —
объем пространства). Таким образом, для систем с большим объемом простран-
пространства (П —* со) мы должны выбрать одно из основных состояний и рассматривать
возмущения около него. Выберем в качестве основного состояния
(с равным успехом мы могли бы выбрать tp — -ipo, однако тот или иной выбор
сделать необходимо). Это состояние не инвариантно относительно преобразований
V -+ —V, говорят, что симметрия спонтанно нарушена. Энергия основного состояния
равна
В дальнейшем мы будем отсчитывать энергию от энергии основного состояния
(уровень отсчета энергии можно выбирать произвольно, если не рассматривать гра-
гравитационные взаимодействия). Для этого удобно рассматривать вместо лагранжиана
E.1) лагранжиан, отличающийся на константу:
E.6)
или, что то же самое,
При этом плотность энергии однородного поля (потенциал) равна
так что V(tpo) = 0.
72 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
Само по себе однородное поле в основном состоянии прямо наблюдать не-
невозможно: всякое наблюдение связано с изменениями физических величин в про-
пространстве или во времени. Однако тот факт, что основное состояние нетривиально,
проводит к ряду следствий для возмущений около него.
Рассмотрим возмущения х(х) относительно <р = +<Pq, T-e- запишем
. E.7)
Лагранжиан для х(х) получается подстановкой E.7) в исходный лагранжиан E.6),
Имеем
VX(X) = V(Vo + X) = * ((*>о + XJ ~
Отсюда
ВД = VoX2 + (Avo)x3 + jX* = $
Следовательно, лагранжиан для возмущений имеет вид
£х = \(91.хI-»Х1-^ХЪ-\х*- E.8)
Этот лагранжиан не инвариантен относительно дискретных преобразований х ~~* ~Х>
что и следовало ожидать, поскольку основное состояние не инвариантно. След
симметрии (р —> —(р в лагранжиане E.8) остался в виде соотношения между массой
поля х и константами кубичного и четверного взаимодействия: произвольный
полиномиальный лагранжиан до четвертого порядка включительно выглядит как
£х = ^хJ-^Х2-«Х3-^\ E.9)
где тх, а, /3. — вообще говоря, произвольны. Для теории же со спонтанным
нарушением симметрии имеем
т\ = 2/12,
и имеется одно соотношение между а, /3 и тх.
> Задача 1. Показать, что лагранжиан для возмущений относительно основного состояния
<р — —<ро эквивалентен E.8) (т. е. сводится к E.8) заменой переменных).
Итак, явление спонтанного нарушения глобальной симметрии состоит в том,
что основное состояние не инвариантно относительно симметрии лагранжиана. Ла-
Лагранжиан для возмущений также не обладает исходной симметрией; она проявляется
в виде соотношений между константами связи и массами возмущений.
5.2. Спонтанное нарушение глобальной симметрии U(l) 73
В квантовой механике с двумя симметричными ямами (потенциал типа изображенного
на рис. 5.1) основное состояние представляет собой симметричную линейную суперпозицию
волновых функций, сосредоточенных вблизи каждой из ям. Это свойство основного состояния
возникает вследствие туннелирования между ямами. В теории поля такое туннелирование
должно происходить сразу во всем пространстве, поэтому его амплитуда исчезает в пределе
п —» со. Действительно, запишем действие для пространственно однородных полей <p(t)
Оно совпадает с действием для частицы с массой
в потенциале
U(V) = tlV(v).
Амплитуда туннелирования между +<р0 и -<р0 оценивается величиной
поэтому
А ос expl - / V2MUdip j,
-V>0
Аасехр(-п I y/2V(ip) dip J,
т.е. амплитуда туннелирования экспоненциально стремится к нулю при п —<■ со. Таким
образом, и в квантовой теории законно рассматривать у? = +<ра в качестве основного
состояния, если пространственный объем достаточно велик.
5.2. Спонтанное нарушение
глобальной симметрии U(l).
Намбу-голдстоуновский бозон
Рассмотрим простейший случай непрерывной симметрии — симметрию U(l).
Пусть
(
— комплексное скалярное поле, лагранжиан которого имеет вид
С = д„1р*д„<р - т2<рг<р - A(v»VJ - с, E.10)
где константа с введена для удобства в дальнейшем. Лагранжиан E.10) может быть
записан также в терминах действительных полей (vi, Рг) = ^j(Rev, Imv).
С- = -jdpipidpipi - —<pi(pi - -(v.ViJ - c.
где подразумевается суммирование по г = 1,2.
Лагранжиан E.10) инвариантен относительно глобальных U(l)-преобразований
V>(x)-V(z) = e"V(x) EЛ1)
74
Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
или, в терминах полей (р\<2,
ip2 —* sin aipi + cosatp2.
Рассмотрим энергию поля
E = j d3x (до<ргдоч>
V(<p',<p)),
где
E.12)
р) = т2ч>*ч> + A(v>»2 + с- E.13)
Основное состояние вновь однородно в пространстве-времени, tp = const, и пред-
представляет собой минимум потенциала E.13).
При т2 ^ 0 основное состояние — это (р — 0, возбуждения представляют
собой два действительных поля <р\ и tp2 равной массы и со специальным выбором
взаимодействия (tp] +(р\J. Симметрия 17A) ненарушена.
Рис. 5.2.
При т2 = -/t2 < 0 потенциал V(tp) представляет собой фигуру вращения,
изображенную на рис. 5.2. Он зависит только от одной переменной
и имеет непрерывный набор минимумов
где tpQ определяется из условия
S.2. Спонтанное нарушение глобальной симметрии U(l) 75
и равно
Нам снова необходимо выбрать один из этих минимумов в качестве основного
состояния и рассмотреть возбуждения около него.
Хотя переходы между различными минимумами можно совершать без увеличения потен-
потенциальной энергии, двигаясь вдоль окружности минимумов, для них по-прежнему требуется
бесконечная энергия в пределе бесконечного объема пространства, п -» оо. Действительно,
для однородного поля <p(t) кинетический член в энергии пропорционален объему,
Еш = ЯМ2-
Поэтому изменение поля во всем пространстве требует бесконечной энергии. Таким образом,
снова достаточно рассматривать лишь один из минимумов.
Рассмотрим основное состояние
т.е. (pi = (ро, <р2 = 0, и возмущения около него, описываемые полями
Ограничимся малыми возмущениями, для чего выделим слагаемые в лагранжиане,
квадратичные относительно возмущений х и в. Имеем d^ipi = д^х> дрЧ>1 = 9^9 и
У ^[(<Ро+х) + в]+[(ч
где константа с в E.10) подобрана так, что энергия основного состояния равна
нулю.
В квадратичном порядке по полям х и 0 получим
Слагаемые типа в1 или хв в потенциале отсутствуют. Это видно и из рис. 5.2:
квадратичные слагаемые по х и 9 в потенциале представляют собой кривизны
потенциалов в направлениях (р\ и <р2\ кривизна же потенциала в направлении tp2
равна нулю в точке (ip\ = tpg, ip2 = 0) в силу U(l)-симметрии E.12).
Итак, квадратичный лагранжиан равен
Поле х имеет массу тх = </2ц, а поле в остается безмассовым. Появление без-
безмассовой моды прямо связано с наличием U(l)-симметрии в лагранжиане и несим-
несимметричностью основного состояния (Намбу, 1960; Вакс, Ларкин, 1961; Голдстоун,
1961). Это безмассовое поле называют полем Намбу—Голдстоуна, а соответствующую
частицу — намбу-голдстоуновским бозоном.
Связь намбу-голдстоуновской моды с симметрией лагранжиана можно про-
проиллюстрировать еще и следующим образом. Будем рассматривать небольшие воз-
возмущения поля относительно несимметричного основного состояния, такие, что (р
76 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
не обращается в нуль нигде в пространстве-времени (это возможно, только если
симметрия спонтанно нарушена!). Тогда можно ввести переменные р(х) и а(х),
V(x)=e'"<1>p(x). E.16)
Поскольку лагранжиан симметричен относительно преобразований E.11), потенциал
не содержит поля а(х) (это ясно и из E.13)), т.е. поле а(х) входит в лагранжиан
только через производную 9/1а(х). Отсутствие слагаемого типа а2(х) в лагранжиане
и означает, что а(х) — безмассовое поле.
Итак, на примере модели с GA) -симметрией мы убедились, что спонтанное
нарушение непрерывной глобальной симметрии (лагранжиан симметричен, основ-
основное состояние — нет) приводят к появлению безмассовых возмущений, которые
называют намбу-голдстоуновскими модами. Это утверждение имеет общий характер,
в чем мы убедимся в разделах 5.3, 5.4.
Частицы, наиболее близкие к намбу-годцстоуновским бозонам, — это т* и ж0-мезоны. Соот-
Соответствующая симметрия — это киральная инвариантность сильных взаимодействий. Отличие
от нуля масс ж-мезонов связано с малыми слагаемыми в лагранжиане, явно нарушающими
киральную симметрию.
> Задача 2. Найти полный лагранжиан для полей ^ufi, определенных согласно E.15).
Сколько независимых нонстант он содержит?
> Задача 3. Показать, что выбор основного состояния в виде
Vi = Vo cos a,
ip2 = tpo sin а
приводит к полному лагранжиану для отклонений, эквивалентному найденному
в предыдущей задаче.
> Задача 4. Выписать полный лагранжиан для отклонений от основного состояния в тер-
терминах полей а(х) и Др(х) = р(х) — ро- Найти связь между а(х) и намбу-голдсто-
уновской модой в(х) в главном порядке по полям.
5.3. Частичное нарушение симметрии:
модель SOC)
Глобальная симметрия лагранжиана может спонтанно нарушаться не до конца.
Пример частичного нарушения симметрии возникает в модели с тремя действитель-
действительными полями tp", a = 1,2,3, и лагранжианом
С- = ^чГдцчГ - V(V), E.17)
где
У(Ч>) = -y*>V + ^(*>VJ + ^- E-18)
В E.17) и E.18) подразумевается суммирование по индексу а; полагаем /t2 > 0.
Лагранжиан E.17) обладает глобальной симметрией 50C) (вращения в трех-
трехмерном пространстве). Основное состояние представляет собой однородное в про-
пространстве-времени поле, минимизирующее потенциал V(tp). Потенциал V(*>) имеет
минимум при
Vе Va = Vo.
5.3. Частичное нарушение симметрии: модель 50C) 77
где
Таким образом, множество всех возможных основных состояний — это двумерная
сфера радиуса ip0. В качестве основного состояния (мы еще будем называть его
классическим вакуумом модели) можно выбрать любую точку на этой сфере: выберем
V3 = Vo-
В отличие от предыдущих примеров, вакуумный вектор (р^ = (О,О,ip0) не пол-
полностью нарушает симметрию: имеется нетривиальная подгруппа группы 5ОC),
относительно которой вакуумный вектор инвариантен:
Ы$Ч»=ф®. E.19)
Эта подгруппа представляет собой группу 50B) вращений в пространстве полей
относительно третьей оси,
<р2 —> sinav' +cosav>2,
v3 -* v3-
Ясно, что лагранжиан для возмущений относительно выбранного классического
вакуума будет инвариантен относительно этой группы 50B). Найдем квадратичную
часть этого лагранжиана, в частности, определим, какие возмущения являются
безмассовыми намбу-голдстоуновскими модами.
Введем поля отклонений х(х)> 0'(х)> ^2(х). так чт0
*>'(х) = *'(*),
<р\х) = в\х), E.20)
ip3(x) = ipo + x(x).
Потенциальное слагаемое в лагранжиане для возмущений имеет вид
в2J] - £(п + ХJ + J [(в1J + (в2J + Ы + ХJ]2
а кинетический член равен
V = -^ И2 + (в2J] - £(п + ХJ + J [(в1J + (в2J + Ы + ХJ]2 + g, E.21)
1-(д,в) +
1-(д,в2J + Х-(д,х)г- E.22)
Из E.21) и E.22) видно, что лагранжиан возмущений С = £к(„ - V инвариантен
относительно 50B)-вращений полей в1 и в2, поскольку в него входит только
комбинации типа (б1J + (в2J. Он, разумеется, не обладает 50C)-симметрией.
Раскрывая скобки в E.21), убеждаемся, что квадратичная часть потенциала
содержит только х2> так ч™ квадратичный лагранжиан для возмущений имеет вид
78 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
Следовательно, в1 и в2 — безмассовые намбу-голдстоуновские поля. То, что намбу-
голдстоуновских мод должно быть действительно две, ясно из следующего рассу-
рассуждения. Среди трех генераторов группы 50C) имеется один генератор, аннигили-
аннигилирующий вакуум ф^ = (О,0, <ро):
iA?@)=0. E.23)
Это — генератор ненарушенной подгруппы 50B): равенство E.23) эквивалентно
E.19) для ш, близких к единице, ш = 1 +eth, e — малый параметр. Два других
генератора (а также любые их линейные комбинации) вакуум не аннигилируют,
иначе ненарушенная подгруппа была бы шире, чем 50B). Образуем два вектора
Й'=^@)' E 24)
где t\, <2 — ненарушенные генераторы (т. е. не аннигилирующие вакуум ф®'). Векто-
Вектора Я) и п2 линейно независимы (иначе линейная комбинация ij и t2 аннигилировала
1 2
бы вакуум). Далее, если в и в малы, то вектор
является одним из классических вакуумов, близких к v>*0': действительно
где ш — близкий к единице элемент 50C). Поэтому в первом нетривиальном
—• 1 —-2
порядке по в , в имеем
V(<p)=V(<p{\
т.е.
(мы учли, что V((p^) = 0). Поскольку ф^ — это точка минимума потенциала V,
первый нетривиальный порядок — это квадратичный. Итак, если построить поле
V>(x), являющееся малым отклонением от вакуума <р®> вида
ф(х) = ф@) +в\х)щ +<Г2(х)п2, E.25)
I 2 1 2
то квадратичная часть потенциала не будет содержать в и в , т.е. поля в и в
будут безмассовыми.
Для группы 5ОC) генераторы имеют вид
(ta)bc = ЕаЬс,
а выбранный классический вакуум равен
Ненарушенный генератор — это <з, поскольку
нарушенные генераторы — это <| и <2, а фигурирующие в E.24) векторы равны
п? =
«2 = £2аЬ<> V0 = —О V0-
5.3. Частичное нарушение симметрии: модель 5ОC) 79
Из E.25) следует, что поле с безмассовыми отклонениями имеет вид
ф(х)=(-в (х)<ро,О (x)ipo,<po).
Сравнивая это выражение с E.20) при X = 0, имеем соотношение между сконстру-
сконструированными выше полями в ' и использованными при явном вычислении полями
„1,2
01 = -в Vo,
в2 = Oltpo.
Итак, с точностью до обозначений и нормировки, сконструированные с помощью
E.24) поля совпадают с построенными явно намбу-голдстоуновскими модами.
Описанная здесь конструкция обобщается на общий случай произвольной ком-
компактной глобальной группы и произвольного унитарного представления скалярных
полей. Это обобщение носит название теоремы Голдстоуна и изложено в следующем
разделе.
Вообще говоря, мы могли бы не быть столь удачливы при выборе полей отклонений в 1(х),
в2(х) и х(х) (см- формулу E.20)), что поля в1 и 92 сразу оказались намбу-голдстоуновскими
модами. Можно было бы ввести три линейно независимых вектора п,, п2, п3 и записать для
поля с отклонениями, вместо E.20),
где ^У<(" = (О,О,<ро), С — поля отклонений. Тогда кинетический член в лагранжиане отклоне-
отклонений имея бы вид
а квадратичный вклад в потенциал имел бы структуру
V<2)(£) = \ЩЫ,; E-26)
2
где Mij — некоторая действительная симметричная матрица, не зависящая от координат (мас-
(массовая матрица для полей £'). Для приведения квадратичного лагранжиана к каноническому
виду E.22) необходимо:
1) выбрать векторы п,- ортогональными, (й; • п,) = 0;,. Тогда кинетический член
в квадратичном лагранжиане будет иметь канонический вид
_ 1 ; (
но потенциальные слагаемые по-прежнему будут иметь структуру E.26);
2) сделать затем ортогональное преобразование над полями £', т. е. ввести поля
где O'j — ортогональная матрица. В терминах полей £" кинетическая часть лагранжиана
по-прежнему имеет канонический вид. Матрицу О', нужно выбрать так, чтобы квадратичный
член в потенциале принял вид
т.е. чтобы матрица (ОТМО) была диагональна. Такая матрица О всегда существует; из E.21)
следует, что в рассматриваемой модели два собственных значения т] матрицы М равны
нулю.
80 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
> Задача 5. Рассмотрим теорию трех комплексных скалярных полей /,(х), i = 1,2,3,
с лагранжианом
с = а„ЛЧЛ + м2Л?Л - KftfiI-
а) Найти группу глобальной симметрии этого лагранжиана.
б) Найти множество основных состояний модели. Выбрав одно из них, найти
ненарушенную подгруппу.
в) Рассматривая возбуждения над основным состоянием, найти намбу-голдстоунов-
ские моды и массы остальных возбуждений.
г) По каким представлениям ненарушенной подгруппы преобразуются намбу-голдсто-
уновские моды и массивные моды?
5.4. Общий случай. Теорема Голдстоуна
В качестве общего случая будем рассматривать теорию со скалярными поля-
полями, которые для определенности будем считать действительными (комплексное поле
эквивалентно паре действительных полей). Пусть G — глобальная группа симметрии
лагранжиана; мы ограничимся физически интересным случаем компактной груп-
группы G. Совокупность скалярных полей будем обозначать у(х); при каждом х поле
tp(x) принимает значение в пространстве унитарного (вообще говоря, приводимого)
представления Т(ш) группы G. Лагранжиан выберем в виде
С=\(д„<Р,Э11<р)-У(Ч,), E.27)
где (ipi,ip2) — скалярное произведение в пространстве полей. Унитарность предста-
представления Т(ш) означает, что кинетический член в лагранжиане инвариантен относи-
относительно действия группы G; для инвариантности потенциального члена потребуем
при всех ш € G.
Пусть минимум потенциала V(ip) нетривиален. Выберем в качестве основного
состояния однородное поле
¥>(х) = <Ро-
Однородность полевой конфигурации основного состояния возникает, как и в рас-
рассмотренных примерах, из требования минимальности (равенства нулю) градиентных
слагаемых в энергии; значение tpo реализует минимум потенциала, что мы запишем
символически
dV
—(¥> = Ы = 0.
Пусть, далее, Я — это подгруппа группы G, являющаяся стационарной подгруппой
классического вакуума (ро, т. е.
T(h)ip0 = <po E.28)
для всех ЛеЯ. Тот факт, что множество всех элементов h e G, удовлетворяю-
удовлетворяющих E.28), действительно образует подгруппу в G, следует из основных свойств
представлений групп: действительно, для всех h,h\,h2 € Я справедливо (см. также
раздел 3.1)
T(hih2)ip0 = T(hi)T(h2)ip0 = ТAц)<р0 = <р0,
а из
T(h'l)T(h)<p0 = Vo
5.4. Общий случай. Теорема Голдстоуна 81
следует
Т(Л~')¥>о = <Ро,
т. е. ft|/i2 и h~l принадлежат.Я. Мы будем называть Я ненарушенной подгруппой
для модели E.27).
Пусть 11, — генераторы подгруппы Я. Поскольку A +еНь) — близкий к единице
элемент Я, для него справедливо
= Vo- E.29)
С другой стороны, по определению представления алгебры T(\+shth) = 1 + £hT(tj),
и если ввести обозначения для представления генераторов TJ, = T(tj), то из E.29)
будем иметь
Th<p0 = 0.
Разделим генераторы группы G на два семейства {*&} и {<„}, где t^ — гене-
генераторы группы Я, a f'a дополняют семейство {<;,} до полного ортонормированного
набора. Если Rq и Rh — размерности групп С? и Я, то семейство {th} состоит
из Rh генераторов, а семейство {<„} — из (Rq — RB) генераторов. Отметим, что
любой элемент А алгебры Ли, аннигилирующий классический вакуум, т. е.
Т(А)<ро - 0,
представляет собой линейную комбинацию генераторов t^:
А - ahth
(близкий к единице элемент группы G вида A +£А) оставляет вакуум инвариант-
инвариантным, поэтому он принадлежит Я). Поэтому генераторы t'a и любые их линейные
комбинации не аннигилируют вакуум,
Т(с%)<ро Ф 0 E.30)
при ненулевых с". Генераторы типа t'a будем называть нарушенными генераторами.
Рассмотрим теперь возмущения поля у(х) относительно основного состоя-
состояния <pq , т. е. запишем
<р(х) = <ро + х(х),
где х(х) — новые динамические переменные. Лагранжиан для полей х(х) имеет
вид
, , 1
Покажем, прежде всего, что Сх инвариантен относительно глобальной группы Я.
Пусть h — любой элемент группы Я. Нам требуется убедиться, что
Cx(T(h)X) = СХ(Х). E.31)
Поскольку
Сх(
можно записать
Cx(T(h)X) = С(<р0 + T(h)X). E.33)
Далее, в силу T(h)tpo — <Ро и линейности оператора T(h) имеем
E-34)
Сх(х) = C(Vo + X), E-32)
82 Глава 5. Спонтанное нарушение глобальной симметрии
Далее, С(<р) инвариантен относительно всей группы С?, и в частности, относительно
ее подгруппы Н. Следовательно
C(T(h)(Vo + х)) = С(Ч>О + X)- E.35)
Цепочка равенств E.33), E.34) и E.35) и доказывает требуемое соотношение E.31).
Среди возмущений х(х) можно выделить такие, которые имеют структуру вида
Ха(х) = ба(хK^0 E.36)
(нет суммирования по а), где а = l,...,Ra - Rh', а ва(х) представляют собой
(Ra — Rh) действительных скалярных поля. Как всегда, Т'а = Т(?а) — нарушенные
генераторы в представлении Т. В силу E.30) эти возмущения линейно независимы,
т. е. 0а(х) — это независимые поля. Теорема Голдапоуна состоит в том, что поля
6а(х) — безмассовые. Чтобы убедиться в ее справедливости, запишем произвольное
возмущение в виде
где поле tj(x) содержит моды, отличающиеся от 9а (в E.37) суммирование по а
подразумевается). Нам требуется показать, что разложение потенциала
V(fpo + 8aT'a<po + ii) E.38)
при малых ва и 7j не содержит слагаемых 0а6р или ват), т.е. квадратичная часть
потенциала содержит только i)(x) (поскольку классический вакуум — это минимум
V(<p), линейных по ва и tj слагаемых в E.38) нет).
Рассмотрим выражение
где g — элемент группы G вида
g=l+0at'a+B02
(член порядка в2 записан в символической форме). Имеем в силу инвариантности
потенциала относительно группы G
V[T(g)D,o+r])] = VD,o+4). E.39)
С другой стороны,
V[T(g)(vo + ч)] = V(Vo + earaVo + V+B62+ fl^Tj), E.40)
где мы опустили члены, кубические и более высокого порядка по возмущениям ва
и tj, член порядка в2 снова записали в символической форме. Разложим правую
часть E.40) в ряд вблизи точки (у>о + ОаТ„1ро + tj):
V[T{g)(Vo + Ч)] =
f£(V0 + OXvo + Ч)] (ВО2 + 9X.V), E.41)
где мы вновь пренебрегли кубическими и более высокими членами, и записали
второе слагаемое в довольно условном виде. Второе слагаемое в действительно-
действительности равно нулю в квадратичном порядке по полям: потенциал имеет минимум
в точке <ро, поэтому входящая в E.41) его производная по крайней мере линейна
по возбуждениям, а множится она на квадратичное выражение. Используя E.39),
получим в квадратичном порядке
l^po + ваТ'аЧ>0 + Ч) = VD>o +1?),
так что квадратичная часть потенциала не содержит полей ва, что и требовалось.
5.4. Общий случай. Теорема Голдстоуна 83
> Задача 6. Показать, что намбу-голдстоуновские поля 6а(х) и массивные скалярные поля
иа(х), которые вместе образуют все возможные возбуждения над вакуумом, можно
выбрать так, чтобы квадратичная часть лагранжиана имела канонический вид
а а
Таким образом, теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении
глобальной симметрии возникает по крайней мере* столько безмассовых скаляр-
скалярных (или псевдоскалярных) полей, сколько имеется нарушенных генераторов. Она
также дает конструктивный способ выделения безмассовых полей из всего набора
возмущений относительно нетривиального вакуума ip0 (формула E.36)).
Заканчивая эту главу, заметим, что мы в основном рассматриваем потенциа-
потенциалы V(ip), имеющие вид полинома четвертого порядка по полям. В классической
теории можно рассматривать произвольные функции V(<p), совместимые с ин-
инвариантностью относительно группы симметрии модели. Результаты этой главы
остаются справедливыми для любых V(ip), обладающих нетривиальными мини-
минимумами, спонтанно нарушающими симметрию. Как уже отмечалось, в квантовой
теории возникают ограничения на структуру скалярного потенциала V(tp), завися-
зависящие от размерности пространства-времени.
* Безмассовых полей может быть и больше, чем число ненарушенных генераторов. Такая ситуация
нередко возникает в суперсимметричных теориях.
Глава 6
Механизм Хиггса
6.1. Пример абелевой модели
В этой главе мы рассмотрим ситуацию с нетривиальным основным состоянием
скалярного поля в моделях с калибровочной инвариантностью (Андерсон, 1963;
Энглер, Браут, 1964; Хиггс, 1964; Гуральник, Хаген, Киббл, 1964). Мы иногда
будем применять термин «спонтанное нарушение симметрии» и в этом случае,
хотя, в отличие от рассмотренных в главе 5 моделей с глобальной симметри-
симметрией, нарушения калибровочной инвариантности в действительности не происходит.
В качестве простейшего примера рассмотрим модель, обладающую калибровочной
i7(l)-симметрией. Лагранжиан выберем в виде
£ = -ii^i^+(i?^)'i?^- [-MVv+A^VJ], F.1)
где <р — комплексное скалярное поле, F^ = d^Av — dvAp, D^tp = {dp — ieA^ip. Мы
сразу выбрали отрицательный квадрат массы в потенциале скалярного поля
поскольку именно он представляет интерес для нас в этой главе. Напомним, что
лагранжиан F.1) инвариантен относительно калибровочных преобразований
Ай(х) - 4(х) = А„(х) + -д„а(х),
<р{х) - *>'(х) = е'^Ух),
где а(х) — произвольная действительная функция.
Для нахождения основного состояния выпишем функционал энергии для по-
полей A,,, tp:
V) = J d?x [^(F0iJ + ^(FijJ + (DovYDoV + (Av)'Av + V{v\ v)]. F.2)
Основное состояние — это конфигурация полей Ац, ip, минимизирующая энергию.
Сразу ясно, что имеется функциональный произвол в выборе основного состоя-
состояния: энергия Е{Ар,ч>) калибровочно инвариантна, поэтому если (А™,^™) — это
основное состояние, то (Л™с + ^9ма,е'ау;тас) — это тоже основное состояние при
любой функции а(х). Как и в главе 5, необходимо выбрать один из этого семейства
классических вакуумов и изучать возбуждения около него.
6.1. Пример абелевой модели 85
Первые два слагаемых под интегралом F.2) минимальны (равны нулю), когда
электрическое и магнитное поля равны нулю, т.е. А^(х) представляет собой чистую
калибровку,
АЙ = -fya(x). F.3)
Третье и четвертое слагаемые минимальны (равны нулю) при
т.е.
<р(х) = е — <р0, F.4)
где ipo не зависит от х (множитель -J- введен для удобства). Константа <р0 опреде-
определяется из минимизации потенциала V(tp*, tp) и равна
Vo = ~ F.5)
Таким образом, все возможные основные состояния определяются формулами F.3),
F.4), F.5); как уже отмечалось, необходимо выбрать одно из них (все равно, какое).
Выберем а = 0, так что вакуумная конфигурация имеет вид
jvac п час /s s\
An ^ U, (р — —"pztpfj. 10.01
Рассмотрим теперь возбуждения относительно основного состояния. Возбужде-
Возбуждения поля Ар, описываются самим вектор-потенциалом, а возбуждения скалярного
поля — двумя действительными полями х(х) и в(х), такими, что
Напомним, что в аналогичной модели с глобальной U(l)-симметрией (раз-
(раздел 5.2) поле в было безмассовым намбу-голдстоуновским полем, а х было массив-
массивно.
Найдем спектр малых (линейных) волн над основным состоянием F.6). Для
этого вычислим лагранжиан в терминах полей Ац, х и в в квадратичном прибли-
приближении по этим полям. Воспользуемся тем, что в квадратичном порядке
с точностью до несущественной аддитивной постоянной (мы уже делали это вычи-
вычисление в разделе 5.2), а также
с точностью до квадратичных слагаемых по полям АЙ, х и 0. Таким образом,
квадратичный лагранжиан имеет вид
С{2) = ~S% + {-\дйХ + iW - юроА„\2 - Ц2Х2
(FpV изначально квадратично по Ац). Расписывая квадрат модуля, получим
86 Глава 6. Механизм Хиггса
Мы столкнулись с несколько необычной ситуацией: последнее слагаемое в F.8)
содержит, помимо выражений А\ и (дувJ, перекрестный член А^д^в. Чтобы
привести квадратичный лагранжиан к каноническому виду (сумме лагранжианов
отдельных полей), произведем замену полевых переменных: вместо полей Ай, в
введем поля
и в. Тогда квадратичный лагранжиан будет иметь вид
£ = ~~тВ1а, Л—-—ВцВц + -(дрХ) "СХ; F-9)
Лагранжиан F.9) представляет собой сумму лагранжиана массивного вектор-
векторного поля By, с массой
е
тпу = ewo ^ —р=/х
л/А
и лагранжиана массивного скалярного поля х с массой
тх
Поле 0(х) вообще не входит в лагранжиан; оно не должно удовлетворять никаким
уравнениям поля, т. е. произвольная функция координат в является экстремумом
действия по в(х).
Наиболее интересным в лагранжиане F.9) является появление массы у вектор-
векторного поля и исчезновение поля 0(х). Поле в(х) было бы намбу-голдстоуновским
полем, если бы симметрия была глобальной, а не калибровочной. Образно говоря,
векторное поле «съело» намбу-голдстоуновское поле и приобрело массу. В этом и со-
состоит суть механизма Хиггса. Подчеркнем, что массивное векторное поле появилось
в теории с калибровочно инвариантным лагранжианом.
Помимо векторного поля ВЙ в спектре возбуждений присутствует скалярное
поле Х- Мы увидим, что оно всегда возникает в моделях, где векторные бозоны
приобретают массу посредством механизма Хиггса; это скалярное поле называют
хиггсовским полем, а соответствующую частицу — хиггсовским бозоном (термин
«хиггсовское поле» применяют и ко всему скалярному полю (р{х), вакуумное значе-
значение которого нетривиально).
> Задача 1. Выберем основное состояние в виде
где а(х) — фиксированная функция.
Рассматривая поля вида
где dp, f — малые возбуждения, показать, что спектр линейных волн описывается
лагранжианом, эквивалентным F.9).
6.1. Пример абелевой модели 87
Сделаем несколько замечаний в связи с изложенным. Во-первых, найдем свой-
свойства полей Вр и % относительно калибровочных преобразований. Калибровочную
функцию а(х) будем считать малой, так что если А^ мало, то мало и
A'll = All + -fya(x)
и можно пользоваться линейным приближением. Заметим, что при малых калибро-
калибровочных преобразованиях
<р —>¥>' = ¥> + ia<p. F.10)
Чтобы найти вид преобразований для полей х и в, запишем
¥> = ^( 0)
'
и из F.10) получим в линейном порядке по х, в и a
или
X' = X, F-11)
в' =
Таким образом, поле % калибровочно инвариантно, а поле 0(х) сдвигается на а(х)щ.
Поле Вц также калибровочно инвариантно: имеем при калибровочных преобразо-
преобразованиях
В' = А' д„в' = А„ + -д„а д„9 <род„а = А„ dj = В„.
Таким образом*, лагранжиан F.9) содержит только калибровочно инвариант-
инвариантные переменные. Тот факт, что поле 0(х) произвольно, получил объяснение в виде
формулы F.11): выбором функции а(х) можно, при заданном 0(х), сделать кали-
калибровочно преобразованное поле 0'(х) произвольной наперед заданной функцией.
Сравним теперь количество степеней свободы в теории с тривиальным вакуу-
вакуумом (т.е. т2 > 0) и в теории с механизмом Хиггса. В теории с тривиальным
вакуумом имеется безмассовое векторное поле (две физических степени свободы
плюс произвольная калибровочная функция) и комплексное массивное скалярное
поле (две степени, свободы) — итого четыре физические степени свободы (и одна
калибровочная функция). В теории с механизмом Хиггса векторное массивное
поле имеет три степени свободы (напомним, что поле В^ удовлетворяет условию
дрВц — 0, а каждая из его компонент подчиняется уравнению Клейна—Гордона),
поле х обладает одной степенью свободы — итого снова четыре физических степени
свободы (плюс одна калибровочная функция, или, что то же самое, произвольная
функция 9(х)). Итак, количество степеней свободы одинаково в этих случаях, однако
при механизме Хиггса векторное поле отбирает одну степень свободы у скалярного
поля.
* Здесь это было показано только для малых калибровочных функций а(х). Общий случай содержится
в задаче 2.
88 Глава 6. Механизм Хиггса
На первый взгляд кажется, что нефизическая степень свободы может появиться
в лагранжиане в членах более высокого порядка, чем квадратичные: если подставить
в лагранжиан F.1) поле F.7), то в высших членах действительно появится поле 0(х).
Однако «лишнее» поле можно изгнать, сделав замену полевых переменных.
> Задача Z. Найти полный лагранжиан в терминах полей Ар, х u 0- Найти замену пе-
переменных, сводящую этот лагранжиан к лагранжиану взаимодействующих массивных
векторного и скалярного полей. Найти закон преобразования этих массивных полей
относительно общих (не обязательно малых) калибровочных преобразований.
В исчезновении нефизического поля из полного лафанжиана для возбуждений
полей легче всего убедиться следующим образом. Поскольку вакуумное значение
скалярного поля отлично от нуля, для полей, не слишком далеких от классического
вакуума, можно ввести представление
*) = ^We#), F.12)
где р(х) и /3(х) — новые действительные поля (такое представление возможно
для полей <р(х), не обращающихся в нуль нигде в пространстве-времени, причем
флуктуации фазы не должны достигать ж или -тг). Заметим, что при калибровочных
преобразованиях <р'(х) = е'а^<р(х) имеем
p'j? =peip+ia,
т. е. р(х) — калибровочно инвариантное поле, а /3(х) преобразуется сдвигом
j9'(x)=/3(x) + a(x). F.13)
Для ковариантной производной имеем
поэтому лагранжиан в терминах А^, р и /3 имеет вид
C = --F'F'+-(dllpJ-V(p) + -e2p2{Ali--dlip) , F.14)
где
Введем поле
В„=Л„--д1^, F.15)
е
тогда полный лафанжиан не будет содержать поля /3:
С = —В^В^ + %гргВ\ + Ud^pf - V(p). F.16)
Поле Вц калибровочно инвариантно (это следует из F.13) и F.15)), так что
лафанжиан F.16) содержит только калибровочно инвариантные поля. Основное
состояние для такого лафанжиана — это конфигурация
р =
6.2. Неабелев случай: модель с полностью нарушенной SUB) -симметрией 89
а квадратичный лагранжиан для отклонений В^ и %, где
имеет в точности вид F.9). Итак, в переменных р, /3 и В^ полный лагранжиан
не содержит нефизического поля /3 и является лагранжианом калибровочно инва-
инвариантных взаимодействующих массивных векторного и скалярного полей. Отметим,
что в случае малых полей /3 связано с 9 соотношением 9 — щ/З. Подчеркнем еще
раз, что переход к полям р(х) и 9(х) по формуле F.12) возможен, только если
вакуумное значение скалярного поля отлично от нуля, т. е. только когда реализуется
механизм Хиггса, и только тогда, когда рассматриваются небольшие возмущения
полей над классическим вакуумом (последнее требование заведомо выполняется для
линейных волн).
Заканчивая это раздел, заметим, что до сих пор мы не фиксировали калибровку.
Результаты этого раздела проще всего, однако, было бы получить, зафиксировав
калибровку
Р(х) = 0.
Действительно, выполнения этого условия всегда можно добиться, подбирая кали-
калибровочную функцию сс(х) в F.13). Это же условие можно записать в виде
Im <p = 0,
при этом Re^> = 4= р, т.е. в поле <р(х) остается только физическая степень свободы.
Такая калибровка называется унитарной. В унитарной калибровке В^ совпадает
с Ар, а лагранжиан F.16) сразу получается, если в исходном лагранжиане F.1)
положить
1т(р = 0,
-Lp.
Такой выбор калибровки удобен для анализа спектра физических возбуждений
в неабелевых теориях.
6.2. Неабелев случай: модель с полностью
нарушенной 527B)-симметрией
В качестве простейшей модели с неабелевой калибровочной инвариантностью
выберем модель с калибровочной группой SUB) и дублетом (фундаментальное
представление) скалярных полей
-(к).
F.17)
¥>ь Ч>1 — комплексные скалярные поля. Лагранжиан имеет вид (а = 1,2,3)
Основное состояние — это минимум функционала энергии
90 Глава 6. Механизм Хиггса
где
— потенциал скалярных полей.
В основном состоянии
поэтому .AJ представляет собой чистую калибровку; в матричной форме
Ali(x) = w(x)dliw'l(x). F.20)
Поле <р(х) — ковариантно постоянное,
т.е.
<р(х) = Цх)^, F.21)
где ^>тас — постоянный столбец. Он определяется из минимизации потенциала
V(<pl,<p). Требование
эу _эу
дает
¥>V = —. F.22)
Из семейства калибровочно эквивалентных вакуумов выберем один; из сообра-
соображений простоты возьмем его в виде
тас _ / 0 \ F.23)
где
> Задача 3. Показать, что любая конфигурация, удовлетворяющая F.20), F.21), F.22)
может быть получена из классического вакуума F.23) калибровочным преобразова-
преобразованием (вообще говоря, не убывающим на бесконечности).
Для нахождения спектра малых возбуждений относительно основного состо-
состояния F.23) воспользуемся приемом, намеченным в конце раздела 6.1, а именно,
зафиксируем унитарную калибровку. Произвольное поле, близкое к <рпс, можно
представить в виде
¥>(*) = «(*) |/ „,v,y, ), F.24)
где х(х) — действительная функция координат, а ш(х) — близкая к единице
функция со значениями в SUB). Чтобы убедиться в справедливости представления
F.24), заметим, что левая часть равна
где f! (х),..., £»(х) — четыре малых действительных функции. Для близких к единице
oj(x) имеем
ш(х) = 1 + ;-rV(x),
6.2. Неабелев случай: модель с полностью нарушенной SUB)-amMempueu 91
где и"(х) малы. Правая часть F.24) равна, в линейном приближении по и" и %,
0 \ / 0 \ . ../ О
Сравнивая это выражение с F.25), убеждаемся, что можно выбрать и", % так.
чтобы равенство F.24) выполнялось в линейном порядке по отклонениям поля
от вакуумного значения.
Представление F.24) справедливо и в некоторой конечной окрестности клас-
классического вакуума, однако оно не имеет места вблизи <р = 0.
Из представления F.24) ясно, что любая близкая к классическому вакууму
конфигурация поля <р(х) калибровочно эквивалентна конфигурации
F.26)
где х(х) — действительное поле. Таким образом, можно выбрать калибровку, где
поле имеет вид F.26) (унитарная калибровка).
Используем унитарную калибровку для нахождения спектра линейных возбу-
возбуждений в модели. Для этого выделим линейную по возбуждениям часть в
*iui — OpAv — о„Ар + де ApAv
и
Dpip = dpip - ig—A'ip, F.27)
считая, что поле Ар мало, а поле <р(х) имеет вид F.26) с малым х(х)- В линейном
порядке имеем
В% =: ?%,, F.28)
где
Далее, подставляя F.26) в F.27), получим в линейном порядке
Наконец, в квадратичном порядке по % потенциал F.19) равен, с точностью
до несущественной аддитивной постоянной,
У = /хУ- F.30)
Используя соотношения F.28), F.29), F.30), запишем квадратичную часть лагран-
лагранжиана F.18) в унитарной калибровке
£ = -\г%г% + ^а°а° + \{д,х? - мУ- F-31)
Таким образом, в результате механизма Хиггса в модели возникают три массивных
векторных поля А^, а~ 1,2,3, с одинаковой массой
92 Глава 6. Механизм Хиггса
и одно массивное скалярное поле х (поле хиггсовского бозона) с массой
тх = л/2/х = v2Avo-
Отметим, что если бы симметрия была глобальной, а не калибровочной, в моде-
модели было бы три намбу-голдстоуновских бозона (компоненты &, &> £t в формуле
F.25)), по числу нарушенных генераторов (группа 5GB) полностью нарушается,
нарушенных генераторов — три). Эти голдстоуновские бозоны «поедаются» в кали-
калибровочной теории тремя векторными бозонами, которые становятся массивными.
Отметим еще, что при положительном квадрате массы (/х2 < 0 в лагранжиане F.18))
в модели имеется три безмассовых векторных поля F степеней свободы) и четыре
массивных действительных скалярных поля (действительные и мнимые компоненты
полей щ и <р2, фигурирующих в F.17), всего 4 степени свободы). В результате
механизма Хиггса при /х2 > 0 три векторных бозона имеют девять степеней свободы,
а хиггсовский бозон х — одну. Таким образом, в модели имеется 10 степеней
свободы как в ненарушенной, так и в нарушенной фазе.
|> Задача 4. Найти спектр линейных физических возбуждений в модели зтого раздела,
не фиксируя калибровку.
> Задача 5. Найти полный лагранжиан полей А% и х в модели этого раздела в унитарной
калибровке.
> Задача 6. В модели этого раздела поле <р можно записать в виде
где и, щ, щ, щ — действительные скалярные поля. Показать, что скалярный
потенциал инвариантен, помимо исходной группы 517B), относительно глобальной
симметрии 5ОC), причем и — синглет относительно этой 5ОC), г\а — триплет
(вектор) относительно этой SOC). Подобрать закон преобразования векторных
полей относительно этой группы SO(i), при котором полный лагранжиан F.18)
инвариантен относительно этой глобальной группы 5ОC). Вакуумное значение
поля F.23) не нарушает указанную глобальную симметрию 5ОC). Убедиться, что
равенство масс трех векторных полей, обсуждавшееся в связи с формулой F.31),
является следствием ненарушенной глобальной 5ОC) -симметрии. Убедиться, что
полный лагранжиан, полученный в предыдущей задаче, инвариантен относительно
этой 5ОC).
|> Задача 7. Введем в теорию с калибровочной группой SUB) помимо дублета <р еще,
три действительных скалярных поля f(x), a= 1,2,3, образующих триплет отно-
относительно калибровочной 5GB). Подобрать калибровочно инвариантный скалярный
потенциал так, чтобы одним из вакуумов модели был
/' = f = 0,
где <ро и v — некоторые постоянные. Найти спектр малых физических возбуждений
относительно этого вакуума. Равны ли массы трех векторных бозонов? Имеется ли
в модели с триплетом ненарушенная глобальная симметрия (не обязательно SOC)),
аналогичная рассмотренной в предыдущей задаче?
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии 93
> Задача 8. Построить модель с полностью нарушенной калибровочной SU{^-симметри-
SU{^-симметрией, в которой массы всех трех векторных бозонов различны.
6.3. Пример частичного нарушения
калибровочной симметрии: бозонный сектор
стандартной электрослабой теории
Так же, как глобальная симметрия, калибровочная симметрия может нарушать-
нарушаться не полностью.
Упомянем еще раз, что термин «спонтанное нарушение симметрии» носит весьма условный
характер по отношению к калибровочной симметрии: например, лагранжиан абелевой моде-
модели Хиггса, записанный в терминах отклонений полей от вакуумных значений, по-прежнему
обладает калибровочной инвариантностью. В случае квадратичного приближения это оче-
очевидно из формулы F.9): лагранжиан £<2) инвариантен относительно преобразований F.11),
поскольку он записан в калибровочно инвариантных переменных В, и ^. В общем случае
это ясно из выражения для полного лагранжиана F.14) (или F.16)), которое инвариантно
относительно преобразований F.13) и соответствующего преобразования поля А^х). Здесь
и далее мы будем понимать под нарушенной симметрией такую, которая действительно была
бы нарушенной, если бы исходная симметрия была глобальной, а не калибровочной.
Общая ситуация состоит в следующем. Пусть G — калибровочная группа,
(А™,^™) — основное состояние. Без ограничения общности можно считать, что
А™ = О
и что (рпс не зависит от координат; здесь индекс vac обозначает вакуумные значения
полей. Выключим на мгновение калибровочные поля, тогда G будет группой глобаль-
глобальной симметрии. Вакуумное значение у>тас нарушает G до некоторой подгруппы Н;
генераторы алгебры G можно при этом разделить на ненарушенные генераторы {th}
(которые являются генераторами алгебры Я) и нарушенные генераторы {t'a}, как
изложено в разделе 5.4. Если бы группа G действительно была группой глобаль-
глобальной симметрии, то в модели имелись бы намбу-голдстоуновские безмассовые поля,
количество которых равнялось бы количеству нарушенных генераторов.
Если группа G является калибровочной группой, то калибровочные поля, соот-
соответствующие подгруппе Я, остаются безмассовыми, и калибровочная Я-симметрия
реализуется так, как изложено в главе 4. Иными словами, в модели остается явная
калибровочная Я-симметрия. Калибровочные поля А°, соответствующие нарушен-
нарушенным генераторам t'a, становятся массивными. При этом намбу-голдстоуновские
бозоны, соответствующие генераторам t'a, исчезают из спектра.
> Задача 9. Доказать сделанные выше утверждения в общем случае компактной калибро-
калибровочной группы G.
Проиллюстрируем эту общую ситуацию на примере стандартной электросла-
электрослабой теории Глэшоу—Вайнберга—Салама (точнее, ее бозонного сектора, поскольку
мы не включаем в рассмотрение фермионные поля). Калибровочной группой этой
теории является группа 517B) х U(\). Как отмечалось в главе 4, для каждой из двух
компонент — 51/B) и U(l) — имеется своя калибровочная константа связи; обо-
обозначим их g яд1, соответственно. Пусть поле А"^ (а = 1,2,3) — калибровочное поле
группы 517B), Вр — калибровочное поле группы 17A). В модели имеется один
94 Глава 6. Механизм Хиггса
дублет (по отношению к 51/B)) скалярных полей <р, имеющий заряд | по отноше-
отношению к 1/A). Заряд по отношению к 1/A) часто называют слабым гиперзарядом У;
итак, хиггсовский дублет имеет У = j. Эти свойства (вместе с требованием, чтобы
потенциал скалярного поля был полиномом четвертого порядка по <р) однозначно
фиксируют лагранжиан теории:
1 1 t / t ■и'' \ 2
jC = — т-^ш/-^ш/ — ~;BnVBnV + \Dn<p) Dn<p — AI tp tp ——■ I ,
4 4 V 2 /
где
_a а ла а ла a*c л^ ле
а ковариантная производная поля ц> равна
2 2
где матрицы т" действуют на столбец
В качестве основного состояния выберем
Al = Вр = О,
¥>тас. F.33)
Генераторами группы SUB) x U(l) являются матрицы Тп = у и Y = ^ (мы считаем
генераторы эрмитовыми). Представим себе, что калибровочные поля выключены,
и найдем нарушенные и ненарушенные генераторы. Ненарушенные генераторы Q —
это такие эрмитовы матрицы, что
<Э<ртас = 0. F.34)
Для конкретного выбора F.33) условие F.34) означает, что Т имеет вид
и из эрмитовости имеем
Q
или
■-(;•.)•
-О!)
Q = Г3 + Y. F.35)
Таким образом, имеется ненарушенная подгруппа с одним генератором Q — это
С^(Ocm-подгруппа группы 517B) х U(l). Мы ожидаем, что этой подгруппе будет
соответствовать безмассовое калибровочное поле, которое отождествляется с элек-
электромагнитным полем. Подчеркнем, что U(\)cm не совпадает с фактором {7@
в 517B) х 17A); иначе говоря, электромагнитный вектор-потенциал, который мы
будем обозначать А^ (без верхнего индекса), — это линейная комбинация полей А^
и Вр (из F.35) ясно, что Ац — это на самом деле линейная комбинация А\ и В,,).
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии 95
Рассмотрим малые (линейные) возбуждения полей вокруг вакуума F.33). Так
же, как и в разделе 6.2, используем унитарную калибровку, в которой
где х(х) — действительное скалярное поле. В данном случае унитарная калибровка
фиксирует калибровочный произвол не полностью: калибровочные преобразования
из U(l)cm не изменяют поля F.36), так что полный лагранжиан в унитарной
калибровке остается инвариантным относительно калибровочной группы U(l)cm.
Для нахождения квадратичного лагранжиана необходимо вычислить ковари-
антную производную поля <р. В унитарной калибровке
\^)^ о J-7M0-V~M01Jr
Получаем
Введем комплексные поля
так что (W~)* = W£. Введем также два действительных поля
1 ' ч '" ' F.38)
F.39)
Поля Zp и Ар подобраны так, что в ковариантную производную F.37) входит только
поле Zp и выполняется свойство
F.40)
Итак, ковариантная производная F.37) равна
Здесь первый столбец линеен по возмущениям (полям W^, х> ^)> а второй —
квадратичен. Поэтому вклад ковариантной производной в квадратичную часть ла-
лагранжиана равен
\ () zl. F.42)
Займемся теперь кинетическим членом векторных полей в квадратичном ла-
лагранжиане. Получим
- \?°Л - \В1* = -\К*™^ - \(Ф2 -\(В,шJ- F-43)
96 Глава 6. Механизм Хиггса
Здесь
Т* — В А" - В А"
-"lit/ — fU V "l* II)
Далее, используя свойство F.40), запишем вместо F.43)
1 + _ 1 1
где
я... = в.. 7.-3 z {6А5)
F и — '
Таким образом, в квадратичном лагранжиане имеются стандартные кинетические
у±
члены для комплексного векторного поля Wf и действительных векторных полей
и Ар.
Наконец, квадратичная часть потенциала равна, с точностью до несущественной
аддитивной постоянной,
V = Xv2x2. F.46)
Введем обозначения
Собирая члены F.42), F.44) и F.46), получим квадратичный лагранжиан в виде
Этот лагранжиан описывает массивное комплексное векторное поле W$ (при
этом Wp = (Wp)*) с массой mw (поле W-бозонов), безмассовое векторное поле
(фотон Ар), массивное действительное векторное поле с массой mz (поле iJ-бозона)
и массивное действительное скалярное поле х (поле хиггсовского бозона). Удобно
ввести еще слабый угол смешивания ву/, такой, что
д
cosOw =
9*+9'2'
sinOw =
/<724-<7'2
Смысл этого названия вытекает из формул F.38) и F.39), которые принимают вид
I Р:_ а а } * * '
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии 97
т.е. поля Zp и Ар являются «смесью» полей Ajt и В,,. Отметим, что массы W-
и Z -бозонов связаны соотношением
mz = £-. F.48)
W- и Z-бозоны экспериментально обнаружены, их массы равны mw — 80 ГэВ, mz = 91 ГэВ.
Угол в№ независимо измеряется путем изучения взаимодействия фотонов, W- и Z -бозонов
с другими частицами (кварками и лептонами): он определяется константами связи д и д'.
Значение sin20jy, найденное экспериментально, равно 0,23. Таким образом, соотношение
F.48) выполняется в природе с хорошей точностью.
> Задача 10. Введем в модель дополнительно действительные скалярные поля, обра-
образующие триплет по группе 51/B). Подобрать скалярный потенциал и значение
гиперзаряда триплета скалярных полей так, чтобы SUB) x U(l) по-прежнему на-
нарушалась до U(l)cm. Найти массы W- и Z-бозонов. Выполняется ли соотношение
F.48)?
В полном лагранжиане полей W*, Zp, Ар и % присутствуют, разумеется,
нелинейные члены, описывающие взаимодействие полей. Найдем, в частности,
взаимодействие всех полей с электромагнитным полем. Мы ожидаем, что полный
лагранжиан инвариантен относительно калибровочной группы t/(l)em» поскольку
вакуум инвариантен относительно U(l)cm. Убедимся в этом прямым вычислением.
Поскольку в ковариантную производную F.37) входят только поля W*, Zp
и х (см. формулу F.41)), а потенциал V(<p) вообще не содержит векторных полей,
взаимодействие с электромагнитным полем Ар содержится только в слагаемом
1 „ „
в исходном лагранжиане. Запишем это слагаемое в терминах полей W*, 2,, и ^.
Имеем
а\а\ -(/*<-> v), F.49)
где (/м «-» v) обозначает слагаемые, отличающиеся от выписанных заменой индексов.
Аналогично,
•fjL = d/iAv + gApAl — (/t«-»i/). F.50)
Образуем комбинацию
W% = " "". F.51)
Получим из F.49) и F.50)
W% = dpWy =F igA\w* -(/*«-»!/).
Из F.47) следует, что поле А\ выражается через поля iJ-бозона и фотона следующим
образом
Ар = cos9wZp + sinOwAp. F-52)
Поэтому
98 Глава 6. Механизм Хиггса
Введем еще обозначения
M F.53)
Тогда напряженности W^v будут иметь вид
W% = V^Wt - VVW± т ig cos9w(Z^wt - ZVW*). F.54)
Ясно, что это выражение ковариантно преобразуется при {/(^ст-преобразованиях
вида
^-F^e^. F-55)
Ар — А'р = А,, + i^a, F.56)
«,-2j = Z,, F.57)
где а(ж) — произвольная действительная функция: для этих преобразований V^W*
представляет собой ковариантную производную полей W^, так что Wp% преобразу-
преобразуется как
W± -» WA - e:±iaW±
Константу е следует отождествлять с единицей электрического заряда, а поля W$
и Wp имеют заряд (+1) и (-1), соответственно.
Рассмотрим теперь третью компоненту напряженности F^\. Имеем
Fju, = 9?Al - BVA\ + деъпАрА\ + деП] а\а\ = В„а1 - ЭиА\ + д(А111А\ - а\а1).
Воспользуемся снова выражением F.52) и выразим а)? через поля W^. Получим
1% = F^ sin9w + z^ cos°w + ig(W~W? ~ W^W~), F.58)
где Fpv и Z/a, определены формулами F.45). Это выражение инвариантно отно-
относительно преобразований F.55), F.56), F.57). Таким образом, из F.54) и F.58)
получим члены лагранжиана, содержащие электромагнитные взаимодействия:
- \К>*% = ~\\w^\2 - \(Н»J = ~\\1>№ + igcmewZpW; - (а* ~ v)f =
= --[FltvsinOw + Z^co%9w + ig(w;wf - W+W;)}\ F.59)
Итак, лагранжиан полей, описывающих отклонения от нетривиального вакуума,
действительно обладает явной калибровочной UA)еп1 -симметрией, и взаимодействие
полей с электромагнитным полем А^ содержится в слагаемых F.59) в лагранжиане.
Отметим, что наиболее экономный, «минимальный» способ обеспечения калибровочной
f/(l) -инвариантности состоит в замене обычной производной 3^ в первоначальном лагран-
лагранжиане комплексных полей на ковариантную производную V^ = dp — ieAf. Так мы строили
калибровочно инвариантный лагранжиан, описывающий взаимодействие комплексного ска-
скалярного поля с электромагнитным полем (раздел 2.7). Применение аналогичной процедуры
к лагранжиану массивного векторного поля (раздел 2.3) привело бы к минимальному взаимо-
взаимодействию комплексного векторного поля С,, с электромагнитным полем Ар:
С = -^|Єф - Єф2 l iД
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии 99
В отличие от этого лагранжиана, взаимодействие с электромагнитным полем, появляющееся
в 517B) х 17A)-теории, нарушенной до СA)<!т, не минимально: вклад F.59) содержит члены
вида
Их структура, а также величина соответствующих констант взаимодействия (численных мно-
множителей перед членами F.60)) однозначно фиксирована. Фиксированы и взаимодействия W-
и 2-бозонов между собой и с хиггсовским полем \, а также самодействие хиггсовского
поля. Таким образом, в модели имеются разнообразные взаимодействия (нелинейные слага-
слагаемые в лагранжиане) между полями W*, Z^, A^, х, однако все константы связи и массы
полей выражаются через небольшой набор параметров, содержащий лишь безразмерные
константы д, д1 и Л и один размерный параметр ».
> Задача 11. Найти взаимодействие полей W* сполем Z^ и хиггсовским полем х, возника-
возникающее благодаря наличию слагаемого (Dр<рУ D^ip в исходном лагранжиане. Показать,
что это взаимодействие инвариантно относительно калибровочных преобразований
из U(l)cm.
Электрические заряды полей W*, связь полей .#-бозона и фотона с исходными
полями .AJ и Вц (формула F.47)) и выражение для единицы электрического заряда
F.53) можно было бы найти из закона преобразования полей по отношению к дей-
действию группы U(\)cm> не выписывая явно лагранжиан взаимодействия. Для этого
напомним, что основное состояние F.33) инвариантно относительно калибровочных
преобразований из группы SU{2) с калибровочной функцией
ш{х) = е'т'К*), F.61)
производимых одновременно с преобразованием из группы U(l) с калибровочной
функцией
П(х) = е'аA). F.62)
Такие калибровочные преобразования (вида ш(х)п(х)) и образуют ненарушенную
подгруппу U(l)cm. При этих калибровочных преобразованиях хиггсовское поле x(z)
не преобразуется (т.е. х(х) — электрически нейтральное поле), а поля -AJ и В^
преобразуются согласно общему правилу
Ар —» А ц = шАршГ' + ид^ш" , F.63)
Blt-+B'll=Blt + Шрп'1, F.64)
где мы временно используем обозначения А^ и В,, для полей, принадлежащих
алгебрам Ли, т.е. А^ и В^ являются линейными комбинациями генераторов групп
517B) и f7(l) соответственно,
Используя явный вид функций ш(х) (формула F.61)), получим из F.63)
л'1 , _2 л'2 , „3 лв)
100 Глава 6. Механизм Хиггса
ig r i -
2 2
Отсюда получаем закон преобразования полей Ар, Ар, Ар относительно преобра-
преобразований из U(l)cm:
A'l = А\ cos a + Ар sin а,
F.65)
Л^ = Л2 cos а - Л], sin а,
а также
1
9
Далее, используя явный вид С1(х) (формула F.62)), получим из F.64) закон пре-
преобразования поля Вц при преобразованиях из U(l)em
1
4 = 4 + -д^а. F.66)
Таким образом, электромагнитная калибровочная группа действует на исходные
поля по формулам F.65), F.66), F.67).
Формулы F.65) эквивалентны F.55), т. е. поля W* имеют электрические заряды
(±1). Из полей Af, и В,, можно построить поле Z^, инвариантное относительно
электромагнитных калибровочных преобразований. Из F.66) и F.67) ясно, что это
поле имеет вид (с точностью до нормировки)
Zp ос дА*ц — д'Вц.
Ортогональная линейная комбинация нетривиально преобразуется при электромаг-
электромагнитных калибровочных преобразованиях; она представляет собой электромагнитное
поле и имеет вид (снова с точностью до нормировки)
Ар ос д Ар + дВр.
Учитывая нормировочное условие F.40), необходимое для того, чтобы кинетический
член в свободном лагранжиане полей Zp и Ар имел стандартную нормировку,
получим
Ар = (д'Ар +дВр), F.68)
что совпадает с F.39). Для Zp получим выражение F.38).
Единица электрического заряда е получается из сравнения стандартного закона
преобразования электромагнитного поля
, 1
е
с законом преобразования для поля F.68), вытекающим из F.64) и F.63). Последний
имеет вид
1
6.3. Пример частичного нарушения калибровочной симметрии 101
Таким образом,
откуда следует выражение F.53) для единицы электрического заряда.
В заключение отметим, что намеченный в конце этого раздела групповой подход
достаточно просто обобщается на более сложные модели с частичным нарушением
калибровочной симметрии. Он позволяет найти ряд свойств физических полей путем
изучения законов их преобразования под действием ненарушенной калибровочной
подгруппы.
Дополнительные задачи к части I
> Задача 1. Смешивание полей.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей ф\, <P2 c лагранжианом
С ^J W1 ^\ 2
m22 2 ^П 4 ^12 2 2 ^22 4 /ai i\
~у<Р2 ~ -^Ч>\ -^Ч><Рг ~ ~j-<Pi- (Al.l)
Отметим, что массовый член в этом лагранжиане можно записать в матричной
форме
где
(матрицу М называют матрицей квадратов масс, или массовой матрицей). Ла-
Лагранжиан (А1.1) инвариантен относительно дискретной симметрии (tpi —» -tpi,
Vi -» -Ы-
1) Какие ограничения на niy u Ay накладывает требование ограниченности снизу
классической энергии?
2) Найти множество значений т2п, т]2 и т^, при которых дискретная симметрия
не нарушается спонтанно.
3) В случае ненарушенной симметрии найти спектр малых возмущений относительно
основного состояния.
> Задача 2. Дилатационная симметрия.
1) Рассмотрим теорию одного действительного скалярного поля в 4-мерном про-
пространстве-времени, описываемую действием
= J(tx^
Показать, что действие инвариантно относительно преобразований дилатации
ip(x) -»tp'(x) = а<р(ах),
где а — действительный параметр. Найти соответствующий сохраняющийся ток.
Подобрать тензор энергии-импульса T*v так, чтобы след его был равен нулю
на уравнениях поля, Т^^ — 0.
2) Нойти дилатационную симметрию в теории Янга—Миллса без материи в 4-мерном
пространстве-времени. Построить сохраняющийся ток. Убедиться, что Т^ = 0,
если выполняются уравнения поля.
Дополнительные задачи к части I 103
3) Найти наиболее общий вид потенциола V((p) в теории одного действительного
скалярного поля в d-мерном пространстве-времени (d > 3), при котором действие
инвариантно относительно дилатационной симметрии, аналогичной (но не тожде-
тождественной) описанной в п. 1.
4) Найти аналог дилатационной симметрии в модели Лиувилля в двумерном про-
пространстве-времени с действием
где р. = 0,1; a, b — некоторые постоянные, ip — действительное скалярное поле.
5) Для моделей п. 3), 4) построить сохраняющиеся токи; убедиться, что Г^ = 0.
> Задача 3. Сдвиговая симметрия.
Рассмотрим теорию одного скалярного поля с лагранжианом
С = -dptpdptp.
Действие инвариантно относительно преобразований
v(x) -»ip'(x) = ip(x) + с,
где с — действительный параметр преобразования.
1) Найти сохраняющийся ток.
2) Нарушена ли симметрия спонтанно? Если да, то выполняется ли теорема
Голдстоуна?
> Задача 4. Теорема Голдстоуна и токи.
Рассмотрим модель с п действительными скалярными полями <ра и SO(n) -симметрич-
-симметричным лагранжианом
Пусть потенциал подобран так, что глобальная SO(n) симметрия спонтанно
нарушена; выберем основное состояние в виде
т. е.
V
1) Найти ненарушенную подгруппу (остаточную группу симметрии).
2) Найти намбу-голдстоуновские поля.
3) Найти сохраняющиеся токи j£. Показать, что эти токи можно разбить на две
категории: а) токи, соответствующие ненарушенной подгруппе; б) токи, соответ-
соответствующие нарушенным генераторам. Показать, что токи типа (б) можно предста-
представить в виде
104 Дополнительные задачи к части I
где в' — безмассовые, намбу-голдстоуновские поля, а многоточие обозначает сла-
слагаемые, квадратичные и более высокого порядка по возмущениям относительно
основного состояния. В то же время, токи типа (а) квадратичны (и более высокого
порядка) по возмущениям.
4) Отметим, что если выполнено равенство (А1.2), то безмассовость полей в'
следует из сохранения токов jj,:
0 = д^ = дрдрб' + ...
и в пренебрежении взаимодействиями возмущений (т. е. в линейном порядке по полям)
поля б' удовлетворяют безмассовому уравнению Клейна—Гордона д^д^в1 = 0.
Используя эти соображения, дать доказательство теоремы Голдстоуна (в общем
случае), альтернативное изложенному в тексте.
> Задача 5. Слабое явное нарушение симметрии и массы «псевдоголдстоуновских»
бозонов.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей с лагранжианом
где
£, = еЩ<р1),
причем е —малый параметр, U нетривиально зависит только от компоненты ipx.
Часть £о полного лагранжиана инвариантна относительно глобальной SO B) сим-
симметрии.
1) Найти основное состояние, сохраняющийся ток и намбу-голдстоуновскую моду при
е = 0.
2) Найти легчайшую моду и ее массу при е ф 0 в главном порядке по е (такую моду
называют псевдоголдстоуновской).
3) Найти связь между четырехдивергенцией тока, построенного в п. 1), и псев-
псевдоголдстоуновской модой в низшем порядке по полям отклонений от основного
состояния и в низшем нетривиальном порядке по е.
> Задача 6, Модель п-поля
Рассмотрим модель с п действительными скалярными полями f(x), подчиняющимися
условию
Г Г = 1
в каждой точке х. Иначе говоря, поле принимает значения на (п — \)-мерной сфере
единичного радиуса. Построим лагранжиан, инвариантный относительно глобальной
SO{n) симметрии:
где g — действительный параметр.
1) Найти размерность параметра g в d-мерном пространстве-времени.
2) Вывести уравнения поля.
3) Найти тензор энергии-импульса и сохраняющиеся токи, соответствующие симме-
симметрии SO(n).
Дополнительные задочи к части I 105
4) Нойти основное состояние и показоть, что оно нарушает SO(n).
5) Нойти явно спектр малых возмущений относительно основного состояния. Найти
группу ненарушенной симметрии. Показать, что выполняется теорема Голдстоуна.
> Задача 7. Топологически массивные калибровочные теории в трехмерном простран-
пространстве-времени (Дезер, Джекив, Темплтон, 1982).
Рассмотрим теорию одного действительного векторного поля в трехмерном про-
пространстве-времени, р. — 0,1,2. Выберем действие в виде
= / d3x [--F.a.F1"' + qe'"'XA,idv
J
где е'"/Л — полностью антисимметричный тензор, е012 = 1, g — действительная
постоянная, F^ = dpAv — dvAp.
1) Найти размерность константы д.
2) Показать, что действие инвариантно относительно убывающих на бесконечности
калибровочных преобразований
А^х) -» А^х) + d^aix)
(ct(x) достаточно быстро убывает при х —» ooj.
3) Найти уравнения поля и показать, что они калибровочно инвариантны.
4) Найти спектр физических возбуждений поля (т. е. таких, которые не уничтожают-
уничтожаются калибровочными преобразованиями). В частности, найти количество физических
степеней свободы, структуру поля в этих модах и зависимость частоты ш от вол-
волнового вектора к.
5) Слагаемое е^"хApdvA\ называют лагранжианом Черна—Саймонсо. Обобщить
это выражение на случай необелевых калибровочных полей так, чтобы неабелев
лагранжиан Черна—Саймонса содержал не более одной производной и был инвариан-
инвариантен, с точностью до полной производной, относительно неабелевых калибровочных
преобразований.
> Задача 8. Бозонный сектор модели Джорджи—Глэшоу.
Рассмотрим модель с калибровочной группой SUB) и триплетом действительных
скалярных полей ip" (Джорджи, Глэшоу, 1972). Пусть g — калибровочная константа
связи, а потенциал скалярных полей имеет вид
1) Найти основное состояние и остаточную (ненарушенную) калибровочную группу.
2) Найти спектр всех малых возмущений относительно основного состояния, рас-
расклассифицировать эти возмущения по отношению к ненарушенной колибровочноп
группе.
> Задача 9. Модель SUE) (Джорджи, Глэшоу, 1974).
\ Рассмотрим теорию с калибровочной группой SUE).
\ 1) Подобрать представление скалярных полей и скалярный потенциал так, чтобы
\ SUE) нарушилась до SUC) х 5*7B) * U(l), где SUC) и SUB) вложены в SUE)
следующим образом:
(SUC)\ 0
о группе U(\) диагонально в SUE).
106 Дополнительные задачи к части I
2) Найти массы векторных бозонов и их представления относительно ненарушенной
калибровочной группы.
3) Скалярное поле в каком представлении SUE) нужно добавить, чтобы обеспечить
дальнейшее нарушение до SU(i) x U(l), причем так, что SUB) x U(l) нарушается
до U(l) аналогично стандартной модели? Подобрать полный скалярный потенциал
для нарушения SU{S) -» SUC) xU(l).
> Задача 10. Плоские направления.
Рассмотрим модель двух комплексных скалярных палей ipi и фг с лагранжианам
С = дцчЪдуфх + д^д^г - \(<р\<рх - <Р2Ч>2 ~ V2J.
1) Найти группу глобальной симметрии этого лагранжиана (указание: ограничиться
компактными группами).
2) Найти множество классических вакуумов в модели. Найти ненарушенную подгруппу
для каждого вакуума.
3) Найти спектр малых возбуждений относительно каждого из вакуумов. Какие
вакуумы являются физически эквивалентными, а какие — нет? Выполняется ли тео-
теорема Голдстоуна? Совпадает ли количество безмассовых возбуждений с количеством
ненарушенных генераторов? Почему?
4) Введя соответствующие калибровочные поля, построить теорию, в которой
найденная в п.1 группа симметрии была бы калибровочной. Найти спектр малых
возбуждений относительно каждого из вакуумов в полученной калибровочной теории.
Остаются ли в спектре безмассовые скалярные возбуждения?
ЧАСТЬ II
Глава 7
Простейшие топологические солитоны
До сих пор мы рассматривали малые линейные возбуждения полей над основ-
основным состоянием (классическим вакуумом) и интересовались, в основном, спектром
масс. В квантовой теории поля этим элементарным возбуждениям соответствуют
точечные частицы. В этой и последующих главах мы рассмотрим солитоны — реше-
решения классических уравнений поля, которые сами по себе, без квантования, похожи
на частицы. Они представляют собой сгустки полей (а значит, и энергии) конечного
размера; точнее, поля быстро убывают от центра сгустка1). Существование и устой-
устойчивость солитонов обусловлены, в первую очередь, нелинейностью уравнений поля.
В квантовой теории солитонам соответствуют протяженные частицы, которые, грубо
говоря, состоят из элементарных частиц в каждой конкретной модели.
Среди возможных типов солитонов особый интерес представляет класс топо-
топологических солитонов. Смысл этого термина выяснится в дальнейшем, а здесь лишь
скажем, что именно топологические солитоны будут, в основном, рассматриваться
в этой и следующих главах. Как правило, мы будем изучать статические солитоны,
т. е. такие решения, которые в некоторой системе отсчета не зависят от времени.
В физике частиц использование представления о солитонах довольно ограни-
ограниченно, хотя иногда и весьма плодотворно. В то же время, солитоны встречаются
весьма часто в физике конденсированных сред.
7.1. Кинк
Простейший топологический солитон — кинк — возникает в теории одного
действительного скалярного поля в двумерном пространстве-времени. Действие для
модели выберем в виде
J[] G.1)
где v = 0,1;
^2 ^4^ G.2)
" В математической литературе термин «солитон» употребляется, как правило, в более узком смысле.
Мы будем его использовать для любых частицеподобных устойчивых решений.
108 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
или, что то же самое,
"■л
Действие инвариантно относительно дискретного преобразования ip —» -ip; эта
симметрия спонтанно нарушается, поскольку классические вакуумы равны
<р™ = ±v.
Напомним, что в двумерном пространстве-времени поле (р безразмерно (мы по-
прежнему используем систему единиц h = с = 1), размерности параметров таковы:
Ы=м, [х\ = м\ h = i.
Линейные возбуждения относительно одного из классических вакуумов имеют массу
m = л/2/х.
В дальнейшем мы будем рассматривать теорию со слабой связью, т.е. с малым
параметром А. Поскольку А размерно, более точно утверждение о слабой связи
записывается следующим образом:
А</х2
(/х2 — единственный параметр размерности М2, с которым можно сравнивать А)
или
v > 1. G.3)
Чтобы пояснить смысл неравенства G.3), нам придется воспользоваться простым соображе-
соображением, возникающим в квантовой теории. Рассмотрим частицу с массой m и характерным
пространственным импульсом р < т. Ее комптоновская длина волны — порядка £. На клас-
классическом уровне ей соответствует линейная волна А(р(х, t) = (p(x, t) - v (мы рассматриваем
отклонения от вакуума (р = v). Амплитуду А(р оценим из требования, чтобы классическая
энергия для (линейного) отклонения A(p(x,t) имела порядок т. Запишем для линейного
отклонения
= j [\(Аф)> + 1-(А?)' + ^(Д¥>J] dx,
G.4)
где точка и штрих обозначают дифференцирование по t и х, соответственно. Поскольку
характерный волновой вектор р и частота ш имеют порядок т, имеем
Аф ~ Aip' ~ тА(р.
Далее, волновые пакеты с характерным волновым вектором р имеют типичный размер
порядка -, поэтому в G.4) область интегрирования по dx имеет порядок - ~ jj. Таким
образом,
Е ~ т(А(рJ.
Потребовав Е ~ т, получим, что порядок величины амплитуды
А<р~ 1.
Для того, чтобы такие отклонения от вакуумного значения tp"* = v были действительно
малыми (линейными), требуется А(р < v, что и дает неравенство G.3).
7.1. Кинк
109
Кинк — это статическое решение уравнений поля fy{x), интерполирующее
между вакуумом ср = —и и вакуумом ср = +v, когда х изменяется от х = -оо
до х = +оо (рис. 7.1). То, что конфигурации, подобные изображенной на рис 7.1,
могут иметь конечную энергию, видно из выражения для статической энергии (т. е.
энергии для полей, не зависящих от времени)
При х —► ±оо как первое, так и второе слагаемое под интегралом убывают; если это
убывание достаточно быстрое, то энергия конечна.
+v
ipk(x)
'х0
Рис. 7.1.
Поскольку ф = О, уравнение поля имеет вид
д(р
= 0,
G.5)
где штрих по-прежнему обозначает j^. Прежде, чем написать решение уравнения
G.5) в явном виде, отметим аналогию, полезную в некоторых других ситуациях.
Уравнение G.5) имеет, формально, вид закона Ньютона для частицы с координа-
координатой (р, движущейся во времени х в потенциале
Щч>) = -у iv)
(см. рис. 7.2). При этом решению Ук(х) соответствует траектория, начинающаяся
в бесконечном прошлом в точке ip = —v и заканчивающаяся в бесконечном будущем
в точке tp = +v. Такая траектория действительно требует бесконечного времени,
если «энергия» этой «частицы» равна нулю (в этом случае скорость стремится к нулю
вблизи каждой из вершин).
Решение уравнения G.5) легко найти явно. Первый интеграл этого уравнения
имеет вид
\<p'2-V(cp)=eQ.
Для кинка (р' —> 0, У{ч>) —> 0 при х —* ±оо, поэтому е0 = 0 (заметим, что ео — это
энергия «частицы» в отмеченной выше аналогии). Поэтому
по
Глава 7. Простейшие топологические солитоны
Рис. 7.2.
(выбор знака перед корнем сответствует движению слева направо, т. е. из ip = —v
в ip = v). Отсюда
= "th(y -v(x - x0)).
где хо — постоянная интегрирования, имеющая смысл положения центра кинка.
При х0 = 0 конфигурация кинка
. /Т .
G.6)
симметрична относительно замены <р —► —<р, х —* —х. Иногда удобно записывать
конфигурацию кинка в других обозначениях:
G.7)
Обсудим некоторые свойства решения G.6) (или G.7)), которые, в действи-
действительности, имеют весьма общий характер.
1) Размер кинка имеет порядок величины
или
т-к~т-', G.8)
т. е. порядок комптоновскои длины волны элементарного возбуждения.
Действительно, решение G.7) отклоняется от вакуумного значения только
в области порядка rk. Иными словами, плотность энергии кинка
существенно отличается от нуля только в области |х| < гк.
2) Статическая энергия кинка равна
00
/2
dxe(x) = -r
7.1. Кинк 111
где т = V2p — масса элементарного возбуждения. Статическую энергию кинка
можно отождествить с массой этого частицеподобного классического возбуждения
поля; таким образом,
Mk = -mv2. G.9)
Важно отметить, что размер кинка значительно превышает его комптоновскую длину
волны А = jj-: из соотношений G.8) и G.9) следует (см. также G.3))
Таким образом, классический размер кинка значительно превышает его квантовый
размер; даже в квантовой теории кинк будет представлять собой, по существу,
классический объект. Отметим также, что масса кинка G.9) значительно превышает
массу т элементарного возбуждения.
3) При больших \х\ поле кинка мало отличается от вакуумного, поэтому
IVk(a:)l - v должно удовлетворять уравнению Клейна—Гордона с массой т в этой
области. Действительно, при больших х (рассматриваем для определенности х > 0)
из G.7) имеем
<рк = v - ivfT™,
так что разность (ipk — v) действительно удовлетворяет статическому уравнению
Клейна—Гордона с массой т (в двумерном пространстве-времени) и' экспонен-
экспоненциально убывает.
4) Решение G.7) не инвариантно относительно пространственных трансляций
и преобразований Лоренца. Однако все эти преобразования должны переводить
решение уравнений поля в другое решение. Применяя эти преобразования, получим
семейство решений
описывающее движущиеся кинки. Физический смысл параметра и — это скорость
солитона; хо — это положение центра кинка в момент t — 0.
> Задача 1. Вычислить классическую энергию и классический импульс движущегося кинка.
Показать, что для кинка выполняются релятивистские соотношения между энергией,
импульсом, массой и скоростью.
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости решения G.7) относительно малых
возмущений2). Излагаемый ниже подход имеет весьма общий характер и использу-
используется для изучения устойчивости разнообразных статических решений.
Пусть Фь(х) — статическое решение уравнений поля (для определенности
рассматриваем A + 1)-мерный случай). Рассмотрим малые возмущения ф(х, t) около
него, так что исходное поле имеет вид
¥>(*, 0 = *>*(*)+*(*.*)• G.10)
Поле ч>{х,£) должно удовлетворять классическим уравнениям
8V
— = 0 G.11)
) Математики говорят об устойчивости по Ляпунову.
112 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
или
9V 82V
0<р 0(р
где многоточие обозначает слагаемые более высокого порядка по возмущениям
ф{х,€), а производные потенциала берутся при tp = ip^; они зависят явно от х,
поскольку (рк зависит от х. Поле (р^ удовлетворяет уравнению G.11), поэтому
слагаемые, не содержащие ф, сокращаются в G.12), а в линейном порядке по ф
получим
d2V
В частности, для возмущений около кинка G.7) в модели G.1), G.2) имеем
G.14)
Поскольку и в общем случае ^-у (у>к) зависит только от х, переменные в уравнении
G.13) разделяются и решение можно искать в виде
ф(х,1)=еш/и(х), G.15)
где /и удовлетворяет уравнению
2, ^,„ 92V
ш fu + fu 2"Wk)/w=0 G.16)
ИЛИ
-f" + U(x)ful=w2fu, G.17)
где
82V
U(x) = —j(<pk). G.18)
Уравнение G.17) — это уравнение на собственные значения ш2, которое формально
совпадает со стационарным уравнением Шредингера в потенциале U(x). Общее
решение уравнения G.13) представляет собой линейную комбинацию решений
G.17). От решений fu(x) требуется, чтобы они были гладкими и не возрастали при
\х\ —* оо, так что поле G.10) — гладкое и ограниченное при \х\ —> оо.
Вопрос об устойчивости статического решения <рь(х) сводится к вопросу о су-
существовании или отсутствии отрицательных значений оператора
d2
2+и(х)- G19)
Если отрицательных собственных значений нет, то все ш действительны, и малые
возмущения G.15) не растут со временем: они либо осциллируют (ш2 > 0), либо
вообще не зависят от времени. В этом случае решение устойчиво. Если же есть
отрицательные собственные значения (хотя бы одно) ш1 = —П2, то возмущения
G.15) экспоненциально растут со временем,
т.е. поле G.10) экспоненциально удаляется от решения <рк с течением времени;
в этом случае решение неустойчиво3'.
3) В этом случае собственные значения п называют показателями Ляпунова.
7.1. Кинк ИЗ
Изложенные соображения очевидным образом обобщаются на случай более
чем одного пространственного измерения и систем с более сложным набором полей.
Отметим, что оператор G.19) с потенциалом G.18) всегда имеет нулевое соб-
собственное значение, причем собственная функция (нулевая мода) имеет вид
. G-20)
Действительно, Ук(х) удовлетворяет уравнению
Дифференцируя это равенство по х, получим
т.е. функция G.20) действительно удовлетворяет уравнению G.16) с ш = 0. Далее,
ipt(x) стремится к константе при |х| —> оо, поэтому ук(х) убывает при |х| —>
оо, так что G.20) удовлетворяет требованию ограниченности на пространственной
бесконечности, что и требовалось. Существование этой моды связано с нарушением
трансляционной инвариантности в пространстве: (ръ(х + а) является статическим
решением уравнений поля, но оно не совпадает с <рь(х). При малых а функция
¥>к(х + а) представима в виде
tpk(x + а) = tpk(x) + а/0(х),
причем а/о(х) — малое отклонение от решения ^к(х). Поскольку <рь(х + а) удовле-
удовлетворяет уравнениям поля, малое отклонение а/о(х) удовлетворяет линеаризованному
уравнению G.12);оно не зависит от времени, убывает при |х| —> оо и потому является
нулевой модой.
Если количество пространственных измерений d больше единицы, то имеется d
трансляционных нулевых мод. В этом случае классическое решение может нарушать
и вращательную симметрию, тогда появятся вращательные нулевые моды. Наконец,
в моделях с внутренней глобальной симметрией классические решения могут на-
нарушать и внутреннюю симметрию; этому нарушению будут также соответствовать
нулевые моды.
> Задача 2. Пусть C(d^A; Фа) = РАВд11ФАд11Фв - V{$) —лагранжиан модели со ска-
скалярными полями ФА. Пусть он инвариантен относительно глобальных преобразо-
преобразований ФА ~* &1 > г^е е — инфинитезимальный параметр преобразования. Пусть,
далее, основное состояние не нарушает эту симметрию, а Ф|A^(х) — статическое
решение уравнений поля типа солитона — нарушает указанную симметрию (т. е.
1) Сформулировать в общем виде условие устойчивости решения Ф±,а{х) относи-
относительно малых возмущений.
2) Показать, что в соответствующей задаче на собственные значения имеется
нулевая мода, соответствующая описанной симметрии; найти ее вид.
Вернемся к обсуждению устойчивости кинка. Спектр оператора G.19) с U(x) =
!"*г (Ук), заданного формулой G.14) можно найти в явном виде; он не содержит отри-
отрицательных собственных значений. Кинк устойчив относительно малых возмущений
поля.
114 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
t> Задача 3. Найти спектр малых возмущений относительно кинка, т. е. спектр собствен-
собственных значений и собственные функции оператора G.19) с потенциалом G.14).
Обсудим, в каком смысле кинк является топологическим солитоном. Рас-
Рассмотрим для этого всевозможные конфигурации поля с конечной энергией f{x)
(момент времени фиксируем). Для конечности энергии требуется, в частности, что-
чтобы при х —> +оо поле стремилось к одному из вакуумов +v или —», это же верно
и для х —> -оо. Таким образом, любая конфигурация поля задает отображение
двух «точек» х — +оо и х = —оо, которые представляют собой пространственную
бесконечность в одномерном пространстве, в множество классических вакуумов,
которое также представляет собой две точки +v и —v. При этом любые изменения
полей во времени (классическая эволюция под действием уравнений поля, действие
локализованных внешних источников, и т.д.), не приводящие к возникновению
конфигураций с бесконечной энергией, а потому не затрагивающие значений поля
на пространственной бесконечности, не изменяют заданного таким образом ото-
отображения. В связи с этим говорят, что это отображение является топологической
характеристикой полевой конфигурации.
+00
-оо
•
•
—)
а
V
■ •
•
+v
—V
+00
—оо
Roo
•
• >
б
V
•
•
+V
Rao
+00 •
—оо •
V
—► •
► •
+V
—V
+00
—оо
«ос
•
•
X
V
•
•
+V
—V
Рис.7.3.
Ясно, что две точки множества Доо{х = +оо,а; = —оо} можно отобразить
в две точки множества V{ip = +v,ip = —v} четырьмя разными способами, как это
изображено ни рис. 7.3. Это означает, что все конфигурации поля с конечной энер-
энергией можно разбить на четыре непересекающихся подмножества (сектора), причем
эволюция не выводит поле из его сектора. Рис. 7.3 (а) соответствует вакуумный
сектор около вакуума tp = +v, поскольку tp(+oo) = tp(-oo) — v; рис. 7.3 (б) — ваку-
вакуумный сектор около вакуума ip = —v. Кинк находится в секторе, соответствующем
рис. 7.3 (в). Наконец, в секторе рис. 7.3 (г) находится антикинк — конфигурация
вида
ip(x) = -<pk(x) = ръ(-х).
Представим себе, что в секторе, соответствующем рис. 7.3 (в), нам удалось найти
поле, реализующее минимум статической классической энергии среди полей дан-
данного сектора. Это поле заведомо отлично от вакуумного — оно находится в другом
секторе — и представляет собой решение статических уравнений поля. Такое поле
7.1. Кинк И5
будет наиболее энергетически выгодным среди полей данного сектора, а потому —
устойчивым. В модели, рассматриваемой в данном разделе, таким полем и явля-
является конфигурация кинка (поскольку кинк — единственное статическое решение
в секторе 7.3 (в)). Таким образом, существование кинка связано с нетривиальной то-
топологией отображений пространственной бесконечности в множество классических
вакуумов. Отметим, что топологические соображения, обобщающие изложенные
здесь, хотя и не гарантируют существования солитонов в других моделях, но очень
часто оказываются весьма полезными для поиска солитонов. Мы будем встречаться
с соображениями подобного рода в последующих главах.
Познакомимся, наконец, с понятием топологического тока на примере модели
этого раздела. Определим
*" = i^^
где ц, v = 0,1, е'"' — антисимметричный тензор.
Ток W тривиально сохраняется (не обязательно на уравнениях поля) и этим
отличается от нетеровских токов (сохраняющихся только на уравнениях поля),
Топологический заряд
+ОО +ОО
Qt= Jk°dxl = J ^
равен нулю для вакуума и +1 и -1 для кинка и антикинка, соответственно. Таким
образом, кинк реализует минимум энергии при топологическом заряде Q, = 1.
В модели этого раздела введение топологического заряда не приносит большой
пользы, однако, как мы увидим уже в разделе 7.4, в других моделях использование
топологического заряда открывает путь к получению явных формул для солитонных
конфигураций.
В заключение этого раздела сделаем замечание, касающееся моделей рассмо-
рассмотренного типа в пространстве-времени числа измерений, большего 2 (физически
интересный случай — четырехмерный). В этом случае уравнения скалярного поля
по-прежнему будут иметь решение ip^(xl), которое будет зависеть только от од-
одной координаты. Физически это решение представляет собой бесконечную плоскую
«доменную стенку», по одну сторону от которой поле принимает значение (-v),
а по другую — (+v). Выражение G.9) должно теперь интерпретироваться как энергия
стенки на единицу ее площади. Таким образом, четырехмерные модели с дискрет-
дискретным набором вырожденных основных состояний предсказывают существование
протяженных объектов, энергия которых сосредоточена вблизи двумерных поверх-
поверхностей — доменных стенок. Это предсказание весьма существенно для космологии
(Зельдович, Кобзарев, Окунь, 1974).
t> Задача 4. Синус-Гардон, преобразование Бэклунда и бризеры.
Рассмотрим модель действительного скалярного паля в A + 1) -измерениях с лагран-
лагранжианам
С = ^„vd/.v + mV [cos ^ - l]. G.21)
1) Найти множества вакуумов в этой модели.
116 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
2) Найти солитон, аналогичный кинку, который интерполирует между соседними
вакуумами.
3) Введем переменные ф = ^, £ = тх, т = mt, а также переменные
Пусть фо — некоторое решение классических уравнений поля (зависящее, вообще
говоря, от £ и т). Рассмотрим систему уравнений первого порядка относительно ф
(уравнения преобразования Бэклунда)
чш№ ~ 'М = asin \\(Ф + <h)\ >
2 аи l - j
За) Показать, что решение ф этой системы удовлетворяет и уравнению синус-
Гордона, т.е. уравнению поля, получаемому из лагранжиана G.21). Это решение
уравнений поля ф (которое, разумеется, зависит от выбора исходного решения фо)
называют преобразованием Бэклунда решения фо.
36) Решая систему G.22) для фо = 0, показать, что преобразованием Бэклунда
классического вакуума (фо = 0) является найденный в п. 1) этой задачи синус-
гордоновский солитон (вообще говоря, движущийся).
Зв) Решая систему G.22) для фй = фт\{х) и а = 1 (здесь ф^\(х) — статический,
т. е. неподвижный, солитон, найденный в п.1 этой задачи), найти зависящее от вре-
времени решение уравнений синус-Гордона (бризер). Проверить явной подстановкой
в уравнение синус-Гордона, что это действительно решение.
4) Найти, какие бывают топологические заряды всех возможных конфигураций
в системе синус-Гордон, как они связаны с отображением бесконечности в множе-
множество классических вакуумов. Привести примеры конфигураций со всеми возможными
топологическими зарядами. В каком топологическом секторе находится бризер?
о Задача 5. Рассмотрим модель комплексного скалярного поля с лагранжианом
С = d^dtf + р2рр* - -(рр*J
в A + 1) измерениях. Показать, что рассмотренный в этом разделе кинк (р = (р* =
4>\t{x) является решением классических уравнений поля в этой модели. Выяснить
вопрос о его устойчивости относительно малых возмущений в этой модели.
7.2. Масштабные преобразования
и теоремы об отсутствии солитонов
В целом ряде моделей в (d + 1) -мерном пространстве-времени с d > 1 удается
доказать отсутствие нетривиальных статических решений уравнений поля с привле-
привлечением масштабных аргументов (Деррик, 1964). Эти аргументы, излагаемые в данном
разделе, применимы не только к устойчивым решениям типа солитонов, но и к не-
неустойчивым статическим решениям (последние также могут представлять интерес,
как мы увидим в следующих главах).
7.2. Масштабные преобразования и теоремы об отсутствии солитонов 117
Рассмотрим сначала теорию п скалярных полей ip", а = 1,...,л, в (d + 1)-
мерном пространстве-времени. Запишем лагранжиан в достаточно общем виде
С- = \Fab{V)dyd^h - V(<p), G.23)
где Fab(ip) и V(ip) — некоторые функции скалярных полей (ра. Будем действовать
от противного. Пусть ¥>£(х) — статическое решение классических уравнений поля
с конечной энергией. Оно является экстремумом функционала энергии
E[V\ = j Л [^абЫЗ,¥>а V + Vdp)\. G.24)
Мы будем считать, что матрица Fab(<p) при всех <р определяет положительно-
определенную квадратичную форму, т.е. все собственные значения этой матрицы
положительны при всех ip. Тогда
F^tp'Oep* > 0, G.25)
причем равенство наступает только для полей, не зависящих от х. Кроме того,
мы будем считать V(ip) ограниченным снизу и выберем начало отсчета энергии
так, чтобы значение V в абсолютном минимуме V(ip) (классическом вакууме) было
равно нулю:
Тогда
V(<p) > О, G.26)
и равенство наступает только для классического вакуума. Тогда классический ваку-
вакуум — однородное поле, реализующее абсолютный минимум потенциала V(ip), —
будет иметь нулевую энергию, а любая другая конфигурация поля будет иметь
положительную энергию.
> Задача б. Вычислить тензор энергии-импульса для модели G.23) и показать, что выра-
выражение G.24) действительно является функционалом энергии для полей, не зависящих
от времени.
> Задача 7. Показать, что в случае статических полей уравнения поля для лагранжиана
G.23) являются одновременно уравнениями экстремальности функционала энергии
'7.24).
t> Задача 8. Показать, что если матрица Fab(ip) имеет отрицательные собственные
значения при некотором выборе ipa и Fab(<p) — гладкие функции полей (ра, то
энергия G.24) не ограничена снизу.
Если ¥>£(х) — статическое решение уравнений поля с конечной энергией,
то функционал энергии должен быть экстремален при <р" = <р" относительно лю-
любых вариаций поля, исчезающих на пространственной бесконечности. Рассмотрим
конфигурацию полей вида (индекс а опустим)
*»л(х) = ¥>к(Ах). G.27)
При малых Л разность
<Р\(х) ~ ¥>к(х) = ¥>к(Ах) - ipk(x)
является малой вариацией поля. Она исчезает на пространственной бесконечности,
поскольку рк(х) стремится к константе при |х| -+ оо (иначе градиентный вклад
118 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
в энергию расходился бы). Следовательно, функционал энергии, вычисленный
на конфигурациях G.27),
должен иметь экстремум при А = 1 (вычисленный на однопараметрическом се-
семействе полевых конфигураций G.27) функционал энергии является функцией
единственного параметра А),
d\
=0. G.28)
А=1
Убедимся, что в ряде случаев это не так.
Вычислим энергию для конфигурации G.27):
Е{\) = JА [
Сделаем в этом интеграле замену переменных
У = Ах,
так что cfac = X~idiy; -^ = А^-. Получим
Е(Х) = \~dJddy [^
Е(Х) = A2-dr + A"dn, G.29)
где
Подчеркнем, что Г и П выражаются только через исходное решение ¥>£(х), при
этом Г и П — градиентный и потенциальный члены в энергии этой конфигурации,
соответственно. В силу условий G.25), G.26) имеем
Г> 0,
П>0.
Поскольку Г и П не зависят от А, функция Е(Х) нам известна явно: она дается
формулой G.29). Условие ее экстремальности G.28) дает
B-<*)Г-<т = 0. G.31)
Вместе с положительностью Г и П это условие приводит к серьезным ограничениям
на существование классических решений в скалярных теориях:
1. d > 2: условие G.31) удовлетворяется только при
Г = П = 0.
Это означает, что д{<ра =0и/ — абсолютный минимум потенциала V(ip),
т. е. единственным решением является классический вакуум.
7.2. Масштабные преобразования и теоремы об отсутствии солитонов 119
2. d = 2: условие G.31) дает
П = 0.
Если потенциал V.(ip) нетривиален, то это условие также означает, что един-
единственным статическим решением является классический вакуум. Единствен-
Единственным классом B+ 1)-мерных скалярных моделей, где возможно существование
нетривиальных классических решений, являются модели с
V(ip) = 0 при всех (р,
т. е. потенциального слагаемого в лагранжиане нет вообще (при этом кине-
кинетический член должен иметь достаточно сложную структуру). Такая ситуация
реализуется, например, в модели n-поля, которая будет рассмотрена в разде-
разделе 7.4.
3. При d = 1 условие G.31) дает теорему вириала
Г = П
и не накладывает ограничений на выбор модели.
Физическая причина отсутствия статических солитонов в (d + 1)-мерных ска-
скалярных теориях cd>2{ud = 2 при V((p) Ф 0) следующая. Если <р"{х) — некоторая
конфигурация скалярных полей, то, как видно из G.29), энергия соседней конфигу-
конфигурации ¥>"(Ах) меньше, чем энергия исходного поля, при А > 1. Конфигурация ¥>"(Ах)
отличается от ¥>"(х) своим размером: если г — характерный размер конфигурации
<ра(х), то характерный размер конфигурации <ра(\х) равен А~'г, т.е. он меньше
в А раз (А > 1). Иными словами, частицеподобной конфигурации энергетически
выгодно неограниченно сжиматься.
Заметим, что указанную трудность можно обойти в скалярных теориях с d > 2
лишь ценой добавления в лагранжиан членов с высшими производными. Например,
если в лагранжиан (а следовательно, в статическую энергию) добавить слагаемое
с четырьмя производными, то изложенный выше масштабный аргумент модифици-
модифицируется: вместо G.31) получится
D - <*)Г4 + B - d)T2 ~dU = Q, G.32)
где Г2 — вклад в энергию поля ¥>к(х) членов с двумя производными (типа G.30)),
а Г4 — вклад в энергию конфигурации у£(х) членов с четырьмя производными (типа
/ сРЬ (di<pL). При d — 3 условие G.32) может выполняться при положительных П,
Г2, Г4, т.е. солитон может существовать. Такая ситуация реализуется в модели
Скирма, рассмотренной в одной из задач к этой части.
Рассмотрим теперь калибровочные теории. Ограничимся для удобства записи
формул случаем простой калибровочной (матричной) группы G. Пусть А^ —
калибровочное поле, ip — скалярное поле, преобразующееся по (вообще говоря,
приводимому) унитарному представлению Т группы G. Лагранжиан калибровочной
теории имеет вид
где
^/и> — dpA-v — диА[, + [АИ, Аи\,
(напомним, что Аи и F^ — антиэрмитовы матрицы: мы пользуемся матричной
формой калибровочных полей).
120 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
В качестве примера рассмотрим поля, не зависящие от времени в калибровке
Аи = 0. (Отметим, что независимость полей от времени не является калибровочо
инвариантным утверждением: если какая-то конфигурация не зависит от времени,
то, сделав над ней калибровочное преобразование с калибровочной функцией,
зависящей от времени, получим поля, зависящие от времени.) Для интересующих
нас конфигураций
Fui = 0, G.33)
D0<p = 0. G.34)
Заметим, что эти равенства калибровочно инвариантны; их можно было бы положить
в основу определения рассматриваемого класса полей.
В действительности класс полей, удовлетворяющих условиям G.33), G.34), не исчерпывает все
интересные случаи статических решений (пример статического решения, не удовлетворяющего
G.33), G.34) дает магнитный монополь с электрическим зарядом — дион). Однако мы
ограничимся рассмотрением этого класса полей для конкретности дальнейшего изложения.
Функционал энергии для рассматриваемых здесь полей имеет вид
Е[Аи <р] = J Л [~ TrFijFij + (DiV)\DiV) + V(V)],
причем все три слагаемых положительны (мы по-прежнему считаем, что V(ip)
неотрицателен и равен нулю только для классического вакуума).
Пусть А|((х) и v?k(x) — классическое решение. Применим снова масштабное
преобразование, причем подберем преобразование поля А так, чтобы Fy и Др пре-
преобразовывались однородно. Это требование приводит к рассмотрению следующего
семейства полей:
АА(х) = AAk(Ax).
Тогда ковариантная производная по х для новой конфигурации равна
DiV(x) = [|- + Г(АА(х))] <рх(х) =
где у = Ах,
— ковариантная производная по у для исходной конфигурации. Тензор напряжен-
напряженности для нового поля равен
\f(x) = ^-А\{х) - ±А\(х) + [А\(х),А{(х)] - A2*f (у),
где
— тензор напряженности исходной конфигурации с координатой у. Подставляя эти
выражения в функционал энергии для конфигурации G.35), получим
Е(Х) = \4-dG + Х2-"Т + \-dU,
7.3. Вихрь 121
где
G, Г, П представляют собой вклад калибровочного поля, ковариантной производной
и потенциала скалярного поля в энергию классического решения ((рк, \); все эти
величины положительны. Условие экстремальности Е(Х) при Л = 1 дает
D - d)G + B - d)T ~ <Ш = 0. G.36)
Это условие гораздо слабее G.31): оно не запрещает существования нетривиальных
классических решений при d = 2 и d = 3; мы познакомимся с солитонами
в двумерных и трехмерных калибровочных теориях в разделе 7.3 и в последующих
главах. Интересен также случай d = 4 (инстантоны).-в этом случае условие G.36)
требует, чтобы скалярные поля вообще отсутствовали в теории (или значение
скалярных полей было бы вакуумным всюду в пространстве).
Таким образом, масштабный аргумент для калибровочных теорий со скаляр-
скалярными полями не работает при d ^ 3, а для калибровочных теорий без скалярных
полей — при d = 4. Он запрещает существование нетривиальных статических
классических решений
1. в теориях со скалярными полями при d ^ 4;
2. в чисто калибровочных теориях (без скалярных полей) при d Ф 4. (В частно-
частности, в чисто калибровочной теории в физически интересном C + 1)-мерном
пространстве-времени солитонов нет.)
7.3. Вихрь
Вихрь — простейший солитон в калибровочной теории со скалярами (Абрико-
(Абрикосов 1966; Нильсен, Олесен, 1973). Он возникает в модели с калибровочной группой
17A) и механизмом Хиггса в B + 1)-мерном пространстве-времени. Итак, в моде-
модели имеется однокомпонентное калибровочное поле А^х) и комплексное скалярное
поле ip(x), преобразующиеся при калибровочных преобразованиях следующим обра-
образом:
ф) - с*М*),
АИ{х) -+ АИ(х) + -д^х).
Здесь и далее в этом разделе ц, v = 0,1, 2. Лагранжиан модели имеет вид
С = -l-F2^ + (D^YiD^) - V(v), G.37)
где, как обычно,
122 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
а потенциал выберем в виде, обеспечивающем возникновение механизма Хигтса:
или, что эквивалентно,
где
Е [
Напомним, что основное состояние в этой модели можно выбрать так, чтобы А^ = О,
ip = v; при этом векторное поле приобретает массу
mv = -/lev, G.38)
а скалярное поле в унитарной калибровке записывается в виде ip = v + ^, где
действительное поле г)(х) имеет массу
тя = V2Xv = v^/i. G.39)
Разумеется, формулы G.38) и G.39) относятся к малым (линейным) возмущениям
относительно вакуума ip = v.
Для нахождения солитона в этой модели рассмотрим сначала все возможные
несингулярные конфигурации полей, не зависящие от времени в калибровке Aq = 0.
(Напомним, что в этой калибровке имеется остаточная инвариантность относительно
калибровочных преобразований, не зависящих от времени.) Потребуем конечности
энергии полей, а остаточную калибровочную свободу пока не фиксируем. Для
интересующих нас конфигураций функционал энергии имеет вид
), р(х)] = J ^-FijFij + (DitfDw + V(<pj\ d2x. G.40)
Для конечности энергии необходимо (но не достаточно), чтобы V((p) обращался
в нуль при |х| -+ОО, т. е.
\ip\ -+ v при |х| —* оо.
Зафиксируем большую окружность (радиуса R) с центром в начале координат. Для
достаточно больших R модуль поля на этой окружности равен v, однако фаза
поля (р может зависеть от полярного угла в на плоскости. Таким образом, на нашей
окружности
Функция ве'Л*) задает отображение окружности радиуса R в пространстве в окруж-
окружность радиуса v в плоскости комплексных (р. Отображения окружности в окружность
можно охарактеризовать целым числом п = 0, ±1, ±2,... — «числом наматываний».
Наглядно это можно представить следующим образом: возьмем резиновое кольцо
и будем помещать его на жесткий обруч. Способ, соответствующий п = 0 — это
стянуть все кольцо в одну точку на обруче, или положить кольцо так, как изо-
изображено на рис. 7.4 (а). Отображение сп=+1 — это отображение, изображенное
на рис. 7.4F); п = -1 получится, если резиновое кольцо положить «вверх ногами».
Отображение с п = 2 получится, если сделать из резинового кольца восьмерку,
сложить ее, как показано на рис. 7.4 (в), а затем положить на обруч. Построение
отображений с более высокими п очевидно. В аналитическом виде отображения
7.3. Вихрь
123
Рис. 7.4.
с различным п могут быть выбраны, например, как
<p(e)=einev.
G-41)
Разумеется, фаза поля у? не является калибровочным инвариантом. Однако число
наматываний инвариантно относительно калибровочных преобразований, гладких
во всем двумерном пространстве. Например, можно было бы попытаться изменить
число наматываний на (—1), взяв в качестве калибровочной функции
»а(х) _ -гв
с — с ,
однако такое калибровочное преобразование сингулярно в начале координат; в част-
частности, преобразованный вектор потенциал
А{ + -dia(x)
растет как £ при г -+ 0. Интуитивно ясно, что этот пример носит общий характер;
мы будем более подробно обсуждать свойства отображений такого типа в главе 8.
Число наматываний, характеризующее конфигурацию поля <р(х), не зависит
от выбора кривой вокруг начала координат, если эта кривая находится в достаточно
удаленной области, где \<р\ —v. Действительно, число наматываний дискретно, и оно
не может меняться при непрерывном изменении кривой. Из этих же соображений
ясно, что число наматываний не может изменяться и при гладкой эволюции полей
во времени, не затрагивающей поля на пространственной бесконечности. Таким
образом, число наматываний — это топологическое число, характеризующее кон-
конфигурацию поля и являющееся интегралом движения. Как и в примере с кинком,
множество всех полей с конечной энергией разбивается на непересекающиеся под-
подмножества (сектора); в данном случае их бесконечно много и они характеризуются
целым числом п = 0, ±1,... .
В действительности формула G.41) исчерпывает все возможные асимптотики
полей с точностью до калибровочных преобразований, гладких во всем пространстве.
124 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
Для того, чтобы убедиться в этом, заметим, прежде всего, что число наматываний
можно записать в явном виде как
где интеграл берется по удаленной окружности. Если ip — e'f^v, то п =
/@)]. Поэтому два поля с одинаковым числом наматываний отличаются асимпто-
асимптотически на фазовый фактор с нулевым числом наматываний: если асимптотически
и при этом /,Bт) - /i@) = /2Bт) - /2@), то
где /21 = /2 - /г, и
/2iBtt) - /21@) = 0.
Поскольку /2i — однозначная функция в, можно построить гладкую калибровочную
функцию
а(г,0)=5(г)/21@), G.42)
где д(г -+ 0) = 0, д(г —> оо) = 1 — некоторая произвольно выбираемая гладкая
функция. При калибровочном преобразовании с калибровочной функцией G.42)
поле ipi переходит в
а поле ^', имеет ту же асимптотику, что поле у>2. Итак, с помощью гладких во
всем пространстве калибровочных преобразований можно добиться того, чтобы
асимптотики полей имели фиксированный (для каждого п) вид; этот вид можно
зафиксировать формулой G.41). В каждом из секторов пространства полей нам
теперь известен асимптотический вид скалярного поля.
Будем искать солитон в секторе с п — 1. Асимптотически, при |х| -+ оо,
скалярное поле имеет вид
<р = e'V G.43)
Для конечности энергии необходимо, чтобы ковариантная производная D{<p убы-
убывала быстрее, чем £ (иначе J" d?x \Di<p\2 расходился бы при |х| -+ оо). Обычная
производная не обладает этим свойством, поскольку
где п,- = у — единичный вектор в направлении х. Такое медленное убывание обыч-
обычной производной необходимо скомпенсировать полем А{, имеющим асимптотику
Ai = ~
Эта асимптотика представляет собой чистую калибровку, А{ = \д{в, поэтому тен-
тензор F{j убывает быстрее, чем -^, хотя поле Ai убывает как i.
Для получения солитонной конфигурации необходимо найти гладкое решение
уравнений поля с асимптотиками G.43), G.44). Для нахождения соответствующей
7.3. Вихрь 125
подстановки воспользуемся приемом, который работает и в случае более сложных
систем. Заметим, что асимптотики G.43) и G.44) инвариантны относительно про-
пространственных вращений, дополненных глобальными фазовыми преобразованиями
поля (р, т.е.
<р(в) =е->@ + а)
(инвариантность А{ очевидна: вращение вектора щ приводит к вращению .4,- как
пространственного вектора). Запишем наиболее общий вид полей, инвариантных
относительно этих обобщенных пространственных вращений,
1
er
где F(r), A(r) и В(г) — функции радиуса, которые требуется найти из уравнений
поля. Заметим еще, что вклад В(г) представляет собой чистую калибровку,
щВ(г) =,
поэтому можно положить В(г) = 0 (это не противоречит асимптотике G.44)). Таким
образом, решение можно искать в виде
Ai(r,9) = ~ецщА{т).
Не вполне тривиальное свойство этой подстановки состоит в том, что она «проходит»
через уравнения поля, т.е. все уравнения поля сводятся к двум уравнениям для
F(r) и А(г). (Это утверждение и результаты двух следующих задач обобщаются
на произвольные модели и произвольные симметрии и носят название теоремы
Коулмена.)
Действительно, подставляя выражения G.45) в уравнения поля, следующие
из лагранжиана G.37), получим два обыкновенных дифференциальных уравнения
относительно двух функций А(г) и F(r),
dr\rdr, , G46)
Существенно, что количество уравнений совпадает с количеством неизвестных
функций, т. е. система G.46) непротиворечива.
> Задача 9. Показать, что асе уравнения поля для полей вида G.45) сводятся к двум
обыкновенным дифференциальным уравнениям G.46) для F(r) и А(г).
> Задача 10. Записать функционал энергии для полей вида G.45) в форме однократного
интеграла по dr. Найти условия экстремальности этого интеграла и-показать, что
они сводятся к уравнениям G.46).
Из G.43), G.44) следует, что функции F(r) и А(г) обладают следующими
асимптотиками:
F(r) -* 1, 4(г) -* 1 при г — со. G.47)
126 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
Кроме того, требование гладкости полей при г = О накладывает условия
F(r)-*0, A(r)^0 при г —0 G.48)
(более точно, F(r) — О(г), А(г) = 0(г2) при г -* 0). К. сожалению, явного решения
уравнений для F(r) и А(г) с граничными условиями G.47) и G.48) найти не удается;
форма функций F(r) и А(г) может быть найдена численно.
В существовании решений уравнений G.46) с поведением G.47) и G.48) можно
убедиться с помощью следующего достаточно надежного, хотя и нестрогого аргу-
аргумента. Рассмотрим для определенности случай тд < 2гп,у. Покажем сначала, что
имеется двухпараметрическое семейство решений уравнений G.46), удовлетворяю-
удовлетворяющее условию G.47); требование G.48) при этом накладывать не будем. При больших г
запишем А(г) = 1 - a(r), F = 1 - /(г), причем требуем а(г) -* 0 и /(г) —» 0 при
г —» со. Первое из уравнений G.46) очевидным образом линеаризуется и имеет вид
d /Ida\ 2
r—l—t-) -mra = 0.
dr \r dr)
Оно имеет однопараметрическое семейство решений, стремящихся к нулю при
а(г) = С.^-ШгГ, G.49)
где Са — произвольная постоянная. Второе из уравнений G.46) также линеаризуем,
и получим семейство решений, убывающих при г —» со,
f(r)=Cse—^, G.50)
где С/ — другая произвольная постоянная4*. Таким образом, мы действительно
имеем двухпараметрическое семейство решений, убывающих при г —»со.
Изучим теперь другое семейство решений уравнений G.46), а именно, та-
таких, которые удовлетворяют условиям G.48) (без требования G.47)). При малых г
запишем
F(r) = afr + pfr3 +... ,
A(r) =aar2+par4 + ... ,
где в/,...,ра — неизвестные пока константы. Подставляя эти выражения в G.46)
и приравнивая члены при одинаковых степенях г, получим, что atf и аа произволь-
произвольны, a Pf и ра через них выражаются,
ml 1
Л = -1б-а'-8°*а'
(существенно при этом, что в лидирующем — нулевом — порядке по г второе
из уравнений G.46) превращается в тождество). Таким образом, второе семейство
Требование тпд < 2тпу нам потребовалось для того, чтобы третий член во втором из уравнений
G.46) был действительно мал по сравнению со вторым для решений G.49) и G.50). При гая >
2ту требуется более тонкий анализ, но вывод о двухпараметрическом семействе решений остается
справедливым.
7.3. Вихрь 127
решений — также двухпараметрическое и характеризуется двумя параметрами в/
и аа.
Интересующее нас решение удовлетворяет обоим условиям G.47) и G.48), т. е.
оно должно принадлежать как первому, так и второму семейству. Иначе говоря,
какое-то решение из первого семейства, характеризующееся некоторыми значения-
значениями Са и С/, должно сшиваться с одним из решений второго семейства с какими-
то ла и Л/. Условия сшивки двух решений в некоторой (все равно какой) точке Гц —
это равенства функций F(ro) и А(го) и их производных i""(ro) и А'(г0) в этой точке.
Это требование дает четыре уравнения на четыре неизвестных параметра С„, Cf, aa
и Of, т. е. количество параметров совпадает с количеством уравнений для них. Такая
система, как правило, имеет решение (одно или дискретный набор), что и служит
серьезным аргументом в пользу существования интересующих нас решений.
Этот аргумент можно применять, разумеется, не только для вихря. Хотя он
носит несколько эвристический характер, он во всех известных случаях приводит
к правильному результату. Отметим, что при применении этого аргумента к сис-
системам линейных уравнений необходимо учитывать, что общая мультипликативная
постоянная параметром решения по существу не является.
> Задача 11. Найти численно F(r) и А(г) для rag — ту = 1.
> Задача 12. Рассмотреть случай тд ;§> ту. Показать, что область, где \(р\ существенно
отличается от v, т. е. (\<р\ — v) ~ v, имеет размер порядка —, а область, где А(г)
существенно отличается от единицы, имеет размер порядка ^-. Таким образом,
солитон имеет маленький скалярный кор и относительно большой векторный кор.
Найти асимптотику функции А{г) вне векторного кора (г ~> ■£-). Показать, что
вне скалярного кора (г 3> ■£-, но не обязательно г > ■£-) поле Д- = (Ai + ^£ijnj)
удовлетворяет уравнению свободного массивного векторного поля (отметим, что
Bi —> 0 при г —> ooj. Найти явный вид А(г) вне скалярного кора, т.е. при
г > ^- (но не обязательно г ~> ■£-). Найти массу солитона с логарифмической
точностью по jjji, т. е. убедиться, что M^i = C(mv, e) (in ^ +OA)) и вычислить
коэффициент С перед логарифмом.
Хотя явно солитонное решение найти не удается, массу солитона и его размер
можно найти из масштабных соображений. Сделаем это, считая -jj*- ~ 1- Сделаем
в функционале энергии G.40) замену переменных
где
y = mvx. G.51)
Эта замена подобрана так, чтобы три слагаемых в плотности энергии имели один
порядок при ф ~ 1, Ci ~ 1, у ~ 1:
128 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
где Qj = |S. _ |&, Т>{ф = (~ - гС{)ф. Таким образом, функционал энергии
в терминах новых переменных имеет вид
Ш А <7-52>
При гпн ~ ту подынтегральное выражение не содержит малых или больших
параметров, поэтому минимум функционала энергии достигается при
а характерный размер солитона в новых переменных — порядка единицы,
У ~ 1.
Последнее соотношение вместе с G.51) означает, что размер солитона в пространстве
имеет порядок
1
»"sol ~ •
ТПу
Наконец, масса солитона (значение функционала энергии G.52) в минимуме) имеет
порядок
т
е2
Более точно, зависимость массы от параметров модели вытекает из G.52),
где функция М ( 2t J может быть найдена численно.
Завершая этот раздел, заметим, что описанный в этом разделе солитон можно
рассматривать и как статическое решение уравнений поля в модели G.37) в C + 1)-
мерном пространстве времени, не зависящее от х3 и имеющее Аз = 0. Такое решение
описывает бесконечно длинный прямой объект — вихрь, или струну. При этом
в общем случае топологическое число п пропорционально магнитному потоку вихря
е [
Иг d 2x, G.54)
где интеграл берется по некоторой плоскости, ортогональной вихрю (или системе
параллельных вихрей), например, по плоскости (х',х2). Действительно, требование
быстрого убывания ковариантной производной поля (р = el9ni; приводит к асимпто-
асимптотике поля А{ вида (сравни с G.44))
Ai = ^di9, i =1,2.
Отсюда п выражается через интеграл по удаленному контуру в плоскости (х1, х2)
что и приводит к G.54) по теореме Стокса. Целочисленность топологического числа
означает, что магнитный поток вихря квантуется. Выражение G.53) представляет
собой массу вихря на единицу длины.
7.4. Солитон в модели п-поля в B + 1)-мерном пространстве-времени 129
Физической системой, в которой действительно возникают вихри, являются
сверхпроводники второго рода. Функционал энергии G.40) представляет собой
гамильтониан Гинзбурга—Ландау.
Вихри описанного типа рассматриваются и в теории частиц, хотя пока неизвест-
неизвестно, существуют ли они в природе (в стандартной модели их нет). В космологическом
контексте их называют космическими струнами.
7.4. Солитон в модели п-поля
в B + 1)-мерном пространстве-времени
Модель п-поля дает пример ситуации, когда в теории с одними скалярными по-
полями потенциальное слагаемое в лагранжиане отсутствует, и существование солитона
в B + 1)-мерном пространстве-времени не запрещено масштабными аргументами
раздела 7.2. Другой интересной особенностью этой модели является наличие топо-
топологических свойств, несколько отличающихся от тех, которые были рассмотрены
в предыдущих примерах (разделы 7.1 и 7.3).
Модель содержит три действительных скалярных поля <р", а = 1,2,3, на кото-
которые наложено одно нелинейное условие в каждой точке х
(иногда для полей используют обозначение па, отсюда пошло название модели;
мы зарезервируем обозначение п для единичного радиуса-вектора). Таким образом,
поля лежат на сфере S2 единичного радиуса; лишь две переменные из трех полей ip"
являются независимыми. Лагранжиан модели выберем в виде
С — —jdpip'dpip11, G.56)
где д — некоторая постоянная, /г, v — О,1,2. Отметим, что лагранжиан и усло-
условие G.55) инвариантны относительно глобальных преобразований из группы ОC),
при которых поля <ра преобразуются как компоненты трехмерного вектора.
Хотя лагранжиан G.56) квадратичен по полям, уравнения поля нелинейны,
поскольку на поля наложено нелинейное условие G.55). Для получения этих урав-
уравнений воспользуемся стандартным методом Лагранжа. Добавим к действию связь
G.55) с лагранжевым множителем, т. е. запишем
5 = / А ^
^ J £х а(х
Здесь А(х) — лагранжев множитель; фактор jt B0 втором слагаемом введен для
удобства. Уравнения поля получатся, если варьировать 5 по полям <ра(х), считая
их независимыми, а лагранжев множитель А(х) подбирать так, чтобы выполнялось
уравнение связи G.55).
Из варьирования 5 получим
- a^v'ix) + А(х)*»"(х) = 0. G.57)
Лагранжев множитель найдем, умножая G.57) на <ра и пользуясь G.55):
-¥>"(х)а„а,.¥>"(*) + а(х) = о,
А(х) = tp'dpBptp: G.58)
130 Глава 7. Простейшие топологические солитоны
Таким образом, получим окончательно из G.57) и G.58) уравнение, не содержащее
лагранжева множителя:
- д^ч>* + dp%drfhtp' = 0. G.59)
Это уравнение нелинейно, как и следовало ожидать.
Будем изучать статические (не зависящие от времени) конфигурации полей
с конечной энергией. Функционал энергии для них имеет вид
В = ^5 J diVadiV\Sx. G.60)
Рассмотрим сначала основное состояние, которое представляет собой конфигурацию
поля с наименьшей энергией. Ясно, что наименьшее значение энергии равно нулю,
и оно реализуется на однородных (не зависящих от х) полях. Как обычно, учитывая
глобальную симметрию ОC), можно выбрать в качестве основного состояния любой
постоянный вектор, при этом глобальная ОC)-симметрия нарушится. Выберем
в качестве основного состояния конфигурацию
V' = Sa\ G-61)
что соответствует южному полюсу сферы S2.
Вернемся к обсуждению статических конфигураций полей с конечной энер-
энергией. Условие конечности энергии означает, что <ра(х) стремится к константе при
|х| —> с», причем эта константа не зависит от угла на плоскости (х',х2) (в противном
случае V<pa ~ £ и интеграл в G.60) расходится). Если говорить о топологических
свойствах таких конфигураций, то все «точки» пространственной бесконечности
можно отождествить, при этом пространство становится топологически эквивалент-
эквивалентным двумерной сфере S2. Каждая конфигурация полей <ра(х) с конечной энергией
задает отображение сферы S2 (пространство с отождествленной бесконечностью)
в S2 (множество значений поля). Как и в случае отображений S1 —> S1, отображения
S2 —> S2 характеризуется целым топологическим числом п = 0,±1,±2,... , кото-
которое называют степенью отображения. Конструкция отображений с различными п
повторяет конструкцию, изложенную в разделе 7.3, только вместо колец надо рас-
рассматривать сферы. Таким образом, множество конфигураций поля <ра разбивается
на непересекающиеся подмножества (сектора); сектор с п = 0 содержит вакуум,
а в секторе с п = 1 можно искать топологический солитон.
Полезно получить явную формулу для п как функционала <ра(х). Для этого
рассмотрим отображение площадки вблизи точки х в площадку вблизи точки ^(х),
изображенное на рис. 7.5 (тройку <ра мы иногда будем понимать как вектор <р
единичной длины в трехмерном пространстве полей).
Площадь площадки, полученной при таком отображении, равна
dff =
и вектор dff может быть либо параллелен, либо антипараллелен вектору (р {da —
площадка на сфере S2,zip ортогонален этой сфере). Если отображение З^рос-рантю ~*
■!?поле имеет степень п, то сфера 5nMC накрывается п раз, т.е.
п = — (площадь поверхности, заметаемой при отображении).
При этом площадь элемента поверхности нужно брать со знаком плюс, если
ориентация (dipji и (d/p)i — такая же, как (dx1) и (dx2), и со знаком минус
7.4. Солитон в модели п-поля в B + 1)-мерном пространстве-времени 131
(<¥h =
Рис. 7.5.
в противоположном случае (последний случай изображен на рис 7.5). Знак получится
правильным, если записать
что дает
Это топологическое число не изменяется при гладких изменениях поля ^", не за-
затрагивающих пространственную бесконечность. В отличие от топологических чисел,
встречавшихся в разделах 7.1 и 7.3, оно связано не со свойствами полей на про-
пространственной бесконечности, а с полями во всем пространстве.
> Задача 13. Показать явным вычислением, что топологическое число G.62) не изме-
изменяется при локальных вариациях поля <ра, т. е. при замене <ра на <ра + 8<ра, где
6(ра — инфинитезимальная вариация поля, быстро убывающая на пространственной
бесконечности.
В дальнейшем мы будем полагать, без ограничения общности, что поле <ра(х)
стремится к вакуумному значению (—6а3) на пространственной бесконечности.
> Задача 14. Рассмотрим конфигурацию поля вида
<p"(x)=nasinf(r),
¥K(x)=cos/(r),
где а = 1,2; па = &■ — единичный радиус-вектор в двумерном пространстве,
/(г) — действительная функция, /(г) —* -к при г —> с», так что поле <ра стремится
к вакуумному зночению на пространственной бесконечности. Поскольку <ра<ра +
(ip1J = 1, указанная конфигурация — действительно возможная конфигурация
п-поля.
1) Найти граничное условие для /(г) при г = 0, обеспечивающее гладкость поля
<ра(х). Показать, что все граничные условия характеризуются целым числом.
2) Вычислить топологическое число G.62) для данных конфигураций. Найти его
связь с целым числом из предыдущего пункта этой зодачи.
Как уже отмечалось, солитон следует искать в секторе с единичным топологи-
топологическим числом. Для нахождения явного решения воспользуемся приемом (Белавин,
132 Глово 7. Простейшие топологические солитоны
Поляков, 1975), имеющим аналоги и в некоторых более сложных моделях. Рассмо-
Рассмотрим величину
(далее будет ясно, что знак «+» надо выбирать для положительных топологических
чисел, а знак «-» — наоборот). Ясно, что
>0, G.63)
причем равенство наступает только при
aiV'±^keciiVbaiipe = Q. G.64)
С другой стороны,
Ff Ft = д&ад&а ± гЛ.-^Узу + AijAt/a^V'V. G.65)
Последнее слагаемое здесь равно
йу*(Л" - PfypVdjip'dttp' = dtfdtf - (<р"д&ь)(<рсд^с) = djV>cajV>c,
где мы воспользовались связью <ра<ра = 1 и следующим из нее равенством
ip'diip' = 0.
Переобозначая и переставляя индексы в G.65), получим
F?F? = 2diV>adiV>a ^^
Таким образом, неравенство G.63) дает
или
Е^Ц\п\. G.66)
Отсюда заметим, что в секторе с топологическим числом п энергия ограничена
снизу величиной ^ \п\, причем абсолютный минимум энергии в каждом из секторов
достигается, если поле удовлетворяет уравнению G.64). Солитон — это абсолютный
минимум энергии в секторе с п = 1; его можно найти, решая уравнение G.64)
(с выбором знака «+»). Важно отметить, что, в отличие от исходного уравнения
поля G.59), .уравнение G.65) — это уравнение первого порядка, и решать его легче.
> Задача 15. Покозать, что любое решение уравнения G.64) является и решением урав-
уравнения G.59).
Найдем теперь явное выражение для полей солитона. Используем для это-
этого подстановку, инвариантную относительно пространственных 5ОB) -вращений,
дополненных 5ОB)-вращениями вокруг третьей оси в пространстве полей:
*»"(x)=n"sin/(rI
Их) = cos/(г),
где л" = *-, а = 1,2. Условие ipaipa = ipaip" + (уKJ = 1 удовлетворяется автомати-
автоматически: Производные полей равны
diip" = -{6ia - п{па) sin / + rCiff cos /,
diip3 = -n'7'sin/.
7.4. Солитон в модели п-поля в B + 1)-мерном пространстве-времени 133
Далее,
eijelaPif>adj<fP = ецеарпа sin / [^(«5'а - nV) sin / + nV/ cos /] =
рпа- sin
г
Уравнение G.64) с а = 3 принимает вид
= £и£<ф^рпа- sin2 f = щ- sin2 /.
г г
1 2
-n / sin/ + n;-sin / =0,
или
/' = -sin/. G.68)
г
Уравнение G.64) с а = 1,2 сводится к уравнению G.68).
> Задача 16. Показать, что уравнение G.64) с а = 1,2 для полей вида G.67) сводится
к уравнению G.68).
Решение уравнения G.68) с граничным условием, обеспечивающим <ра = —б
при г —» оо,
/@0) = 7Г,
имеет вид
/ = 2arctg—,
так что
где го — произвольная постоянная (размер солитона). То, что размер солитона
может быть любым, следует, в действительности, уже из масштабных соображений
раздела 7.2. Из результатов задачи 14 этого раздела следует, что топологическое
число этого солитона действительно равно единице, а из G.66) вытекает, что его
энергия (масса) не зависит от размера и равна
Мша = ^. G.69)
> Задача 17. Вычислить явно энергию солитона и убедиться в справедливости равенства
G.69).
> Задача 18. Введем переменные Wa = 2-^-j, a = 1,2, о также комплексную переменную
W = W\ +iWi. Показать, что уравнения G.64) являются условиями Коши—Рима на,
гарантирующими, что W представляет собой функцию комплексной переменной
z = х1 + ix1. Используя это свойство, найти общее п-солитонное решение (т. е.
решение с топологическим числом л). Показать, что найденное выше односолитонное
решение единственно с точностью до ОC)-вращений и пространственных сдвигов.
Глава 8
Элементы гомотопической топологии
8.1. Гомотопия отображений
В главе 7 мы встречались с примерами отображений одних многообразий
в другие. При этом были существенны глобальные свойства этих отображений,
не меняющиеся при непрерывных изменениях отображений. В этой главе мы
кратко обсудим некоторые топологические (т.е. глобальные) свойства отображений
в достаточно общем виде, а также полезные для физики конкретные результаты.
Пусть X, Y — топологические пространства (мы часто будем просто говорить —
пространства), т.е. такие множества, в которых определено понятие близости двух
точек. Для нас будут существенны случаи, когда топологические пространства —
это области евклидова пространства R" размерности п или меньше. Отображение
/ : X —> У — непрерывное отображение, если оно переводит близкие точки из X
в близкие точки из Y. В дальнейшем мы будем рассматривать только непрерывные
отображения, специально этого не оговаривая. Отображения f:X-*Yng:X—>Y
называют гомотопными, если одно можно непрерывно продеформировать в другое,
т. е. если существует семейство отображений hf, непрерывно зависящее от параметра
t € [0,1], такое, что
Ло = /> ht = д.
Иначе говоря, если I — отрезок [0,1], то существует непрерывно отображение Н
прямого произведения X х I, такое, что
Я(х,0) = /(*), Я(х,1)=5(х)
(при этом H(x,t) = ht(x) для всех х € X).
Чуть иначе это же определение можно сформулировать так: пусть С(Х, Y) —
множество непрерывных отображений X в Y, тогда / гомотопно д, если fug
принадлежат одной компоненте связности С(Х, Y).
> Задача 1. Показать, что гомотопия является соотношением эквивалентности
eC(X,Y).
Соотношение гомотопности разбивает С(Х, Y) на классы эквивалентности.
Центральной для нас задачей является описание множества классов эквивалентности
(гомотопических классов), которое обозначаем {X, Y}.
Пример. Если X состоит из одной точки, то С(Х, Y) совпадает с Y, а {X, Y} —
с множеством компонент связности пространства Y.
Отображение / : X -* Y называют гомотопным нулю, если оно гомотопно
отображению, переводящему все пространство X в одну точку из Y. Если Y связно,
то все такие отображения гомотопны между собой. Их класс эквивалентности
называют нулевым гомотопическим классом. В дальнейшем мы будем рассматривать
связные топологические пространства X, Y, если обратное специально не оговорено.
8.1. Гомотетия отображений
135
Пример. Пусть X = 51, У = Д2 \ {0} (Y — плоскость с выколотой точ-
точкой). Отображение / : 5' —* В? \ {0}, изображенное на рис. 8.1, гомотопно нулю,
отображение д не гомотопно нулю.
Рис. 8.1.
•
> Задача 2. Пусть Y — выпуклое пространство в R", т. е. такое множество, которое
вместе с любыми своими двумя точками содержит и отрезок, их соединяющий.
Показать, что отображение любого пространства X в Y всегда гомотопно нулю.
> Задача 3. Пусть / — отображение сферы 5" в топологическое пространство X.
Пусть Dn+i — шар, границей которого является сфера S" (записывается 8Dn+l =
Sn). Показать, что / гомотопно нулю тогда и только тогда, когда оно может
быть продолжено непрерывным образом внутрь шара Dn+l, т.е. когда существует
непрерывное отображение g : D"+l —» X, такое, что g\gi>-+^ = /•
Известное понятие односвязного пространства (два пути с общим началом
и концом всегда можно непрерывно продеформировать один в другой) на языке
теории гомотопии формулируется следующим образом: пространство Y односвязно,
если всякое отображение 5' -+ Y гомотопно нулю.
Рассмотрим отображение в прямое произведение
Его можно рассматривать как пару отображений
/, : X -* Г, f2:X^Z,
так что /(х) суть пара (/i(x),/2(x)). При непрерывной деформации отображения /
происходят непрерывные деформации отображений /i и /2. Следовательно, суще-
существует взаимно однозначное соответствие между {X,Y x Z) и {X,Y} x {X,Z}.
Классификация отображений в прямое произведение сводится к классификации
отображений в каждый из сомножителей.
С гомотопией отображений тесно связано понятие гомотопии топологических
пространств. Два пространства Y\ и Yi называют эквивалентными (гомотопными),
если существуют отображения
Л,: У,-» И и Л2:У2-У,,
136 Глава 8. Элементы гомотопической топологии
такие, что hih2 : Y2—> Y2 и hih\ :Y\ -*Y\ гомотопны тождественным (отображение
е : Y —► Y называется тождественным, если е(у) = у для всех у € Y). Если Y\ и Yi
гомотопны, а X — любое топологическое пространство, то между {X,Yi} и {-ЯГ,!^}
существует взаимно однозначное соответствие.
> Задача 4. Пусть Y\ и Y2 гомотопны, a hx, h2 — отображения из предыдущего
абзаца. Каждому отображению / : X —* Y\ поставим в соответствие отображение
g : X —> Y2 по формуле g = h\f. 1) Показать, что таким образом индуцируется
отображение {X,У]} в {X,Y2}, т.е. если / и /' принадлежат одному и тому
же классу из {X, У!}, то h\f и h\f принадлежат одному и тому же классу
из {X,Y2}; 2) показать, что это отображение {X,Y\} в {X,Y2} является взаимно
однозначным.
> Задача 5. Показать, что 5' и R2 \ {0} гомотопически эквивалентны. Для этого
построить отображения h{ : 5' -* Л2 \ {0} и h2: R2\ {0} -* Sl, фигурирующие
в определении гомотопической эквивалентности.
Вообще, сфера 5""' и n-мерное евклидово пространство с выколотой точкой
R" \ {0} гомотопически эквивалентны.
Другим примером гомотопически эквивалентных пространств является сфе-
сфера с выколотой точкой (скажем, северным полюсом) 5" \{с.п.} и Л". Наконец,
вспомним еще пример из раздела 7.4: пространство R" с отождествленной беско-
бесконечностью гомотопически эквивалентно сфере 5" (при этом роль отображения h\
играет стереографическая проекция).
Таким образом, изучение гомотопических классов {X, Y} можно производить,
рассматривая отображения X в пространство Y', гомотопически эквивалентное Y.
Выбор пространства Y' — это вопрос удобства.
Наоборот, если Х\ и Х2 — гомотопически эквивалентные пространства, то
множества {XUY} и {X2,Y} находятся во взаимно однозначном соответствии для
любого топологического пространства Y.
> Задача 6. Доказать последнее утверждение.
8.2. Фундаментальная группа
В этом разделе мы обсудим отображения окружности 51 в топологические про-
пространства. Эти отображения можно рассматривать как отображения / отрезка [0,1]
в X, такие, что /@) = /A). Будем рассматривать связные пространства X. Зафик-
Зафиксируем точку хо, в которую отображается начало и конец отрезка: /@) = /A) = хо.
Отображения, обладающие этим свойством, образуют подмножество в множестве
C(Sl,X) всех отображений 51 в X; для этих отображений также можно определить
понятие гомотопии, в полной аналогии с разделом 8.1 (помимо обычного требования
непрерывности, на семейство отображений 1ц, фигурирующее в определении гомо-
гомотопии, накладывается условие ht@) = /i((l) = хо для каждого t; мы увидим, что это
ограничение несущественно). Множество гомотопических классов отображений /
отрезка [0,1] в X, таких, что /@) = /A) = хо, обозначим т1(А',хо).
Отображение отрезка [0,1] в X называют путем в X. Таким образом, интересующие нас
отображения — это пути в X, начинающиеся и заканчивающиеся в точке х0. я-,(Х,х0) —
это множество гомотопических классов замкнутых путей с началом и концом в х0.
8.2. Фундаментальная группа 137
В ir1(A'Jxo) вводится групповая структура следующим образом. Пусть / и </ —
два пути в X, начинающиеся и заканчивающиеся в точке хо- Построим путь /* д
как путь, при котором сначала проходится д, а затем /, как изображено на рис. 8.2.
Отображение / * д единичного отрезка [0,1] в -X" можно записать как
где £ € [0,1]. Поскольку дA) = /@) = хо, обе половинки формулы «сшивают-
«сшиваются» в точке £ = 1/2, так что определенное этим равенством отображение / * д
действительно непрерывно.
Рис. 8.2.
Обратным отображением к / является путь, проходимый в обратном направле-
направлении:
/"'(О = /A-0
(рис. 8.3). Операция * и взятие обратного отображения индуцируют операции
в тг,(Х,х0)
> Задача 7. Пусть отображения отрезка в X с началом и концом в хо таковы,, что
/' гомотопно /, д1 гомотопно д. Показать, что /' * д' гомотопно f * д, а /'"'
гомотопно /"'. Таким образом, определенные выше операции индуцируют операции
р)
Выберем в качестве единицы в к\{Х, хо) гомотопический класс, содержащий
отображение, при котором весь отрезок [0,1] отображается в одну точку хо (нулевой
гомотопический класс отображений 51 в X). Определенные выше операции *
и взятия обратного элемента являются групповыми операциями в щ(Х,хо).
> Задача 8. Проверить, что ж\(Х,хо) является группой по отношению к операциям *
и взятия обратного элемента.
Группа ir^JfjXo) носит название фундаментальной группы.
Если пространство X связно, то к\(Х,хо) и tt^JS",ж{,) изоморфны для всех хо
и xj). Изоморфизм индуцируется следующим образом. Выберем, раз и навсегда,
путь, соединяющий хо и xj,. Каждому пути /, начинающемуся и оканчивающемуся
138
Глава 8. Элементы гомотопической топологии
Рис. 8.3.
в точке хо, поставим в соответствие путь /' с началом и концом в х0 так, как это
изображено на рис. 8.4. (При этом путь из х0 в хо проходится дважды — в прямом
и обратном направлении.) Это соответствие между путями индуцирует соответствие
между я-] (X, хо) и тг\ (X, х0). Доказывается, что это соответствие взаимно однозначно
и сохраняет групповые свойства.
Рис. 8.4.
Этот изоморфизм зависит, вообще говоря, от выбора пути из Хо в х0. Можно
также увидеть, что в случае коммутативной фундаментальной группы изоморфизм
не зависит от этого пути. Тогда можно говорить о группе -К\(Х), не фиксируя
точку хо- В общем же случае мы можем говорить о группе Ki(X) лишь как
об абстрактной группе, т.е. не конкретизируя, какой именно элемент соответствует
какому-то конкретному пути.
> Задача 9. На основании рассуждений, приведенных в разделе 7.3, показать, что
где Z — группа целых чисел по сложению.
> Задача 10. Привести пример топологического пространства X, фундаментальная груп-
группа которого некоммутативна.
Из результата последней задачи следует, что фундаментальная группа, вообще говоря, неком-
некоммутативна. Доказывается, однако, что фундаментальная группа любой группы Ли коммута-
8-3. Гомотопические группы
139
8.3. Гомотопические группы
Мы видели в предыдущем разделе, что множество гомотопических классов
1Г\(Х) отображений окружности 51 в топологическое пространство X имеет струк-
структуру группы. Эту конструкцию можно обобщить на отображения сфер S" большей
размерности, п ^ 2. При этом гомотопические группы кп(Х) оказываются абеле-
выми.
Рассмотрим отображения / : 5" —» X, при которых южный полюс сферы
переходит в фиксированную точку х0. Такие отображения назовем сфероидами (мно-
(многомерные аналоги пути). Два сфероида называем гомотопными, если их можно
непрерывно продеформировать один в другой так, что южный полюс всегда отобра-
отображается в точку хо € X. Множество гомотопических классов (по отношению к так
определенной гомотопии) называют п-мерной гомотопической группой и обозначают
1гп{Х,хо). Мы увидим, что гомотопические группы не зависят от выбора Xq для
связных пространств X, но пока держим точку хо фиксированной.
Для дальнейшего полезно заметить, что сфера 5" гомотопически эквива-
эквивалентна n-мерному кубу I" с отождествленной границей. Поэтому сфероид — это
отображение куба Г1 в X, при котором вся граница куба отображается в хо-
Определим сумму двух сфероидов следующим образом (при п ^ 2 группа
irn(X) — абелева и групповую операцию в ней называют суммой). Пусть f,g : Г1 —>
X — два сфероида (fug отображают границу куба в хо). Определим их сумму
/i = / + g формулой
( fBx\x>) при 0 ^ х1
(8.1)
Здесь j = 2,3,..., п; х1,..., х" — координаты в кубе I" и пробегают значения от О
до 1. Поскольку все точки (l,xJ) и @, х-7) принадлежат границе куба,
/A,^)=5@,^) = х0
и (8.1) определяет непрерывное отображение. Сумма (8.1) проиллюстрирована
на рис. 8.5: половина куба отображается с помощью отображения /, другая по-
половина — с помощью отображения д.
/ /
/
9
/
/
Рис. 8.5.
Сложение сфероидов индуцирует сложение гомотопических классов кп(Х,хо):
если / гомотопно /', а /( — семейство отображений, соединяющее / и /' (т.е.
/0 = /,/,= /'), д гомотопно д' и gt — соответствующее семейство отображений,
то ft+gt — это семейство отображений, соединяющее (/ + д) и (/' + д').
140
Глава 8. Элементы гомотопической топологии
Нуль (групповая единица) в кп(Х) — это класс, которому принадлежит ото-
отображение всего куба в хо-
Обратный сфероид — это отображение, задаваемое формулой
Взятие обратного отображения также индуцирует операцию в icn{X, хо).
> Задача 11. Показать, что отображение f + /~' гомотопно нулю.
/
9
ш-и
Рис. 8.6.
9
f
Рис. 8.7.
Итак, операция сложения в 1г„(Х, хо) действительно является групповой опе-
операцией (ассоциативность ее очевидна). При п > 2 эта операция коммутативна,
поскольку можно убедиться, что (f + g) гомотопно (g + f). Соответствующее семей-
семейство отображений строится следующим образом. Продеформируем сначала f + g,
как изображено на рис. 8.6 (измерения х3,...,х" на нем не изображены). Здесь
закрашенные черным области целиком отображаются в хо. Дальнейшая деформация
очевидна (см. рис. 8.7). Таким образом, кп(Х,хо) — абелева группа при п ^ 2.
Рис. 8.8.
Как мы уже упоминали, группы тгп(Х,хо) и ттп(Х,х'о) изоморфны для всех
xq,x'o 6 X, если топологическое пространство X связно. Изоморфизм строится
следующим образом. Пусть а — раз и навсегда выбранный путь в X, соединяющий
точки хо и х0. Сфероид / будем рассматривать как отображение шара D", при
котором вся его фаница отображается в точку хо (шар очевидно эквивалентен кубу).
Пусть сфероид / отображает фаницу шара в точку хо, тогда / принадлежит одному
8.3. Гомотопические группы 141
из гомотопических классов из жп(Х,хо). Построим отображение /' шара Dn в X,
такое, что фаница шара отображается в х0. Для этого возьмем шар меньшего размера
D" внутри D" и отобразим его с помощью / в X. При этом его фаница dDn перейдет
в точку хо- Отображение оставшейся части шара D" осуществим так, что каждый
участок радиуса отображается в путь а (см. рис. 8.8). Поскольку фаница шара
D" отображается в xq, это можно сделать; полученное отображение непрерывно,
и граница шара Dn отображается в xj,. Доказывается, что построенное таким образом
соответствие между сфероидами с вьщеленной точкой х0 и сфероидами с вьщеленной
точкой х'о индуцирует изоморфизм фупп к„(Х, х0) и -кп(Х, х'о). Таким образом,
абелева фуппа irn(X, хо) не зависит от выбора точки х0 (для связных X); она носит
название n-й гомотопической фуппы пространства X и обозначается к„(Х) 1\
В заключение этого раздела приведем простые результаты, касающиеся гомо-
гомотопических фупп сфер.
Гомотопические группы irn(Sm) тривиальны (состоят из одного нулевого элемен-
элемента) при п < т; записывают
тг„Eт) = 0 при п < т.
Действительно, рассмотрим непрерывное отображение 2> S" —> Sm при п < т.
Имеется по крайней мере одна точка в Sm, в которую не попадает никакая точка
из Sn3>. Эту точку из Sm можно выколоть. Sm с выколотой точкой гомотопически
эквивалентна Лт, а в Rm любой сфероид гомотопен нулю (последнее ясно хотя бы
из того, что Rm гомотопически эквивалентно одной точке).
Гомотопические группы тг„E") изоморфны Z — группе целых чисел по сложению.
С этим утверждением мы уже сталкивались в главе 7 (при п = 1 и п = 2).
Соответствующее топологическое число называют степенью отображения /, deg/.
Можно найти аналитическое выражение для deg/, обобщающее выражение для
степени отображения 52 —* S2 из раздела 7.4. Пусть 5 и 5' — две n-мерные сферы,
а отображение f : S ^> S' задается соотношением между координатами х',...,х"
точки на сфере 5 и координатами у1,..., у" на сфере 5':
у1=Мх\...,хп),
у2 = Ых\...,х"), (8.2)
у" = /„(/..., *"). (8.3)
Доказывается, что для почти всех точек у 6 5' нет корней уравнения /(х) = у,
таких, что якобиан J(x) = det(|£) равен нулю (теорема Сарда). Точки, где якобиан
отличен от нуля, называют регулярными в 5 и 5'; итак, почти все точки 5 и 5'
регулярны («почти все» означает все, за исключением множества меры нуль).
" Как и в случае фундаментальной группы, этот изоморфизм зависит от пути а. Если же этот
изоморфизм не зависит от пути, то пространство называют п-простым. При п > 1 n-простота уже
не связана с коммутативностью фундаментальной группы.
2' Здесь и далее мы не различаем непрерывные и гладкие отображения; это не приводит к недоразу-
недоразумениям.
3) Строго говоря, это неверно (можно построить контрпример, воспользовавшись кривой Пеано).
Сделать доказательство строгим можно с помощью леммы о свободной точке: Пусть U — открытое
подмножество пространства В? и ip : U —* lnlDq — такое непрерывное отображение, что множество
V = p"'(d*) С U, где dq — некоторый замкнутый шарик в IntD', компактно. Если q> р, то существует
непрерывное отображение ф : U —> inW, совпадающее с ip вне V и такое, что его образ не покрывает всего
шара d*. Доказательство леммы см. в книге: Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.
142 Глава 8. Элементы гомотопической топологии
Рис. 8.9.
Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 8.9, где изображено отображение / : S1 —<• S1
со степенью 1. Все точки окружности 5 за исключением х0 и х, регулярны; все точки
окружности 5* за исключением точек уо, j/i — регулярны.
Степень отображения 5 в 5' совпадает с алгебраическим числом решений
уравнения
/(*) = »
в регулярной точке у. Это алгебраическое число определяется как сумма
l>ignJ(xi). (8-4)
корни /(х)=у
Итак,
deg/= ^signJfe) (8.5)
корни /(х)=у
для регулярной точки у. Доказывается, что правая часть этого равенства не зависит
от у для регулярных точек у и действительно определяет топологическое число
отображения 5" в 5".
На рис. 8.9 уравнение f(x) = у для регулярной точки у может иметь либо одно, либо три
решения; в любом случае сумма (8.4) для регулярных точек равна единице.
Формула (8.5) уже представляет собой аналитическую формулу для степени
отображения. Чтобы привести ее к более удобному виду, воспользуемся равенством
для дельта-функции
справедливым для регулярной точки у; здесь суммирование идет по всем корням
уравнения /(х) = у. Отсюда
deg/ = / dxJ(x)S(f(x) - у)
8.4. Расслоения и гомотопические группы 143
для любой регулярной точки у. Проинтегрировав это равенство с произвольным
весом ц(у), получим (учитывая, что почти все точки 5' — регулярные)
Это и есть искомое аналитическое выражение для степени отображения. Выбор
веса fi диктуется в каждой конкретной задаче соображениями удобства.
> Задача 12. Проверить, что deg / не изменяется при гладких деформациях отображе-
отображения /, т. е. при гладких вариациях функций f\ (см. (8.2)).
> Задача 13. Показать, что введенное в разделе 7.4 аналитическое выражение для степени
отображения S2 —» 52 действительно имеет структуру (8.6). Найти соответству-
соответствующий вес ц(у)-
8.4. Расслоения и гомотопические группы
При вычислении гомотопических групп (и не только для этого круга задач)
очень полезной оказывается следующая конструкция.
Пусть Е и В — топологические пространства. Пусть имеется отображение
р:Е->В.
Ему соответствуют непересекающиеся подпространства из Е: по каждой точке
Ъ 6 В можно построить пространство ее прообразов в Е, т. е. таких точек х £Е, что
р(х) = Ь. Обозначим пространство прообразов точки Ь через F/,. Если все Fb топо-
топологически эквивалентны между собой, то говорят, что задано расслоение, простран-
пространство Е называют пространством расслоения, В — базой расслоения, пространство F,
которому эквивалентны все Ft, — слоем расслоения, р — проекцией расслоения.
При этом Fb — р~1(Ь) называют слоем расслоения над точкой 6. Вся конструкция
обозначается (E,B,F,p) или (E,B,F).
Простейшим примером расслоения является поверхность цилиндра, при-
причем р — ортогональная проекция его на основание. База этого расслоения —
окружность, типичный слой — отрезок. Этот пример представляет собой при-
пример тривиального расслоения. Расслоение (E,B,F,p) называют тривиальным, если
Е = В х F, а проекция р ставит в соответствие точке (Ь,/) 6 Е точку Ь £ В.
Очевидно, p~l(b) = F для каждой точки 6 тривиального расслоения.
Менее простым примером служит касательное расслоение. Пусть В — много-
многообразие в Я". В каждой точке 6 6 В построим всевозможные касательные векторы,
они образуют пространство, эквивалентное Rk, где к — размерность многообра-
многообразия В. Пространство касательного расслоения Е — это множество всех касательных
векторов во всех точках многообразия В, причем векторы считаются «привязанны-
«привязанными» к точкам многообразия В (если 6 и 6' — различные точки многообразия В,
то векторы, касательные к В в точках 6 и V, считаются различными). Базой каса-
касательного расслоения служит многообразие В, а проекция р переводит любой вектор
в точку из В, к которой он «привязан». Ясно, что типичный слой — это Rk.
> Задача 14. Пусть В — это двумерная сфера S2, a Fb — множество ненулевых ка-
касательных векторов в точке Ь 6 В, так что Fb топологически эквивалентно R2
с выколотым началом координат, Fb = Я2\{0}. Построим расслоение с той же
проекцией р, что и у касательного расслоения (т. е. Е состоит из всех ненулевых
144 Глава 8. Элементы гомотопической топологии
касательных к S2). Показать, что это расслоение не является тривиальным. (Указа-
(Указание: воспользоваться «теоремой о еже»: не существует непрерывной конфигурации
ненулевых касательных векторов на сфере S2.)
В дальнейшем мы будем иметь дело с локально тривиальными расслоениями, т. е.
такими, что для каждой точки Ъ £ В существует окрестность U С В, такая, что
p~l(U) я U х F; более того, существует гомеоморфизм ip : p~[(U) —* U x F', такой,
что р=: f о<р, где f : U х- F --+U — естественная проекция.
Кроме того, мы будем предполагать необходимые свойства гладкости всех
отображений, когда речь пойдет о многообразиях.
Ряд важных примеров расслоения получается, если задано пространство Е,
в котором действует компактная группа Ли G (напомним, что группа G действует
в Е, если любому g £ G поставлено в соответствие обратимое отображение <р(д) :
Е -*Е, такое, что
<р(е) = тождественное отображение,
via'1) = 1
Говорят, кроме того, что G действует в Е транзитивно, если для любых точек
xitx2 £ Е существует такое д, что хг = ip{g)xi; в этом случае Е называют
однородным пространством (см. раздел 3.1).
Итак, пусть в пространстве Е действует группа G. Пусть, кроме того, ста-
стационарная подгруппа любой точки х £ Е тривиальна (состоит только из единицы
е 6 G; напомним, что в общем случае стационарная подгруппа точки х £ Е состоит
из элементов h £ G, таких, что <p(h)x = х, см. раздел 3.1). В этом случае говорят,
что G действует в Е свободно. Орбитой точки х £ Е назовем множество элементов
вида (р(д)х, где д пробегает всю группу G. Если G действует в Е свободно, то орби-
орбита точки х эквивалентна G. Действительно, пусть у принадлежит орбите точки х;
тогда у = ч>{д)х. Это равенство определяет взаимно однозначное соответствие у и д
(точек орбиты и группы): если <р(д)х = (р^х, то <p{g~l<f)x = х, т-е- 5~V = e>
и д'"= д. Таким образом, получаем расслоение с пространством расслоения Е,
базой — множеством орбит в Е и слоем G. Проекция р для этого расслоения — это
отображение точки х в орбиту, которой принадлежит эта точка. Такое расслоение
называют главным расслоением.
Наконец, понятие однородного пространства также приводит к расслоениям.
Именно, если G — компактная группа Ли, Я — ее подгруппа, a G/H — однородное
пространство (напомним, что любое однородное пространство эквивалентно G/H,
причем Я — стационарная подгруппа какой-либо точки однородного пространства,
см. раздел 3.1). Тогда можно определить проекцию р : G -* ^, которая переводит
точку g £ G в ее смежный класс — элемент G/H. Слоем получаемого таким
образом расслоения является группа Я: действительно, если и — некоторый класс
в G/H (например, содержащий элемент g £ G), то его прообраз р~'(м) — эт0
множество элементов из G, входящих в и, т.е. элементов вида gh, где h £ Я
(мы рассматриваем для определенности правые смежные классы). Как отмечалось
в разделе 3.1, множество таких элементов эквивалентно Я. Итак, имеет смысл
рассматривать расслоение (G, G/H, Я).
Сформулируем без доказательства ряд утверждений, позволяющих вычислить
многие важные гомотопические группы. В дальнейшем мы будем рассматривать
связные пространства и интересоваться группами irltir2,... .
8.4. Расслоения и гомотопические группы 145
1. Если Е = В х F, то
где знак + обозначает прямую сумму. Это утверждение следует из замечания,
сделанного в разделе 8.1.
2. Пусть дано расслоение (Е, В, F,p) и
тгк(В) = Ttk+l(B) = О
(нуль здесь обозначает группу из одного элемента — единицы). Тогда
Этот изоморфизм порождается следующим образом. Выберем точку Ь 6 В, ей соответствует
подмножество в £ вида р~'(ь) (слои наД ь)> причем р~'(ь) эквивалентно F. Поэтому всякому
отображению сферы Sk в F можно поставить в соответствие отображение Sk в р~1(Ь),
т.е. отображение Sk в Е. Далее, при 7rt(B) = 0 любой образ сферы Sk (сфероид) в Е
можно продеформировать в сфероид в р~1(Ъ). Кроме того, при 7rt+1(B) = 0 любые сфероиды,
гомотопные в Е, гомотопны в F.
3. Пусть для расслоения (E,B,F,p) справедливо
жк-г№
Тогда
= MB).
Этот изоморфизм порождается проекцией р.
4. Если для расслоения (E,B,F,p) верно
то
Этот изоморфизм строится следующим образом. Пусть / : 5*~! —* F — отображение (к - 1)-
мерной сферы в слой. По нему можно построить отображение / ; Sk~l —<• Ё способом,
изложенным в п. 2. Отображение / стягиваемо в Е (так как ir^-iiE) = 0), т.е. существует
продолжение /f отображения / в шар Dk. Спроецируем отображение /j : Dk —> Е на базу,
т.е. рассмотрим отображение р/г : Dk —> В. Отметим, что на границе шара (т.е. исходной
сфере Sk~l) / отображает Sk"{ в слой над некоторой точкой Ь € В, т.е. р/ отображает
Sk~l в точку Ь. Следовательно, р/г — это отображение шара Dk в В, причем граница
шара отображается в одну точку, и границу шара можно отождествить при рассмотрении
отображения p/f. Поскольку шар Dk с отождествленной границей эквивалентен Sk, то таким
образом построено отображение Sk в В по отображению S* в F. Это соответствие между
отображениями порождает соответствие между гомотопическими классами, которое взаимно
однозначно при жк(Е) — 0.
5. Если G — группа Ли, 3 — ее дискретный нормальный делитель, то
MG) = MG/Z), к>2.
Приведем примеры вычислений гомотопических групп некоторых простых
групп Ли, основанные на приведенных выше утверждениях и известных нам гомо-
гомотопических группах сфер.
146 Глава. 8. Элементы гомотопической топологии
1.
tt^S1) = 0 при к > 2,
wk(SOB))=wk{U(l))=0, к>2.
2. Группа SU{2) гомеоморфна 53 (см. раздел 3.2), поэтому
Ttk(SUB)) = 0 при fc=l,2,
3. Группа 5ОC) изоморфна SUB)/Z2 (см. раздел 3.2), поэтому
тг2EОC)) = 0,
*3(SOC)) = Z.
Кроме того, доказывается, что фундаментальная группа равна
*,(SOC))=.Z2.
4. Группа 5ОD) изоморфна SUB) х SUB)/Z2, поэтому
тг*EОD)) = 7TfcE3) + 7TtE3), fc > 2.
В частности,
тг2EОD)) = 0,
тг3EОD)) =2 + 2.
Кроме того, доказывается, что
wi(SOD))=Z2.
5. Сфера S"~l гомеоморфна фактор-пространству SO(n)/SO(n - 1) (см. раз-
раздел 3.1). Поэтому можно построить расслоение (SO(n), Sn~\ SO(n - 1)). При
к < п — 2 справедливо ^E""') = ^+[E""') = 0, значит
жк (SO(n)) = 7rfc (SO(n - 1)) при к < п - 2.
В частности,
я"! (SO(n)) -Z2 при п>3.
Далее, в силу тг2EОD)) = 0 верно
7Г2 EО(п)) = 0 для всех п
(случаи п = 2 и п = 3 уже были рассмотрены).
6. Сфера 52" гомеоморфна SU(n)/SU(n- 1) (см. раздел 3.1). Поэтому можно
построить расслоение
Отсюда
wk(SU(n)) = rk(SU(n- 1)) для к < 2п- 2.
В частности
яг (Sf7(n)) = 0 для всех п
и
w3(SU(n)) - Z для п>2.
8.5. Сводка результатов 147
7. Вообще, для любой компактной группы справедливо утверждение
*2(G) = 0.
8. Наконец, рассмотрим расслоение (G, G/H, Н). Пусть G компактна и одно-
связна (например, SU(n)). Тогда в силу tti(G) = ^(G) = 0 имеем
Отметим еще, что если G связна, то
где 7го(Я) — множество связных компонент группы И.
8.5. Сводка результатов
Приведем важные для приложений результаты по вычислению гомотопических
групп. Большая часть их уже фигурировала в предыдущих разделах; остальные
приводятся без доказательств и обсуждений.
В дальнейшем Zn — группа целых чисел по модулю п по сложению (mod n).
В частности, Zj состоит из двух элементов 0 и 1, причем 0 + 0 = 0, 0+1 = 1,
1 + 1 = 0 (плюс здесь обозначает групповую операцию в Z2). Напомним, что Z —
группа целых чисел по сложению.
1. Гомотопические группы сфер.
l.a. Ttk{S") = 0 при к < п;
1.6. 7г„E") = Z.
В частности,
= Z;
I.e. Ttn(Sl) =0 при n > 2;
l.r. tt3(S2) = Z,
{2)
1.Д. тг„E3) = тг„E2) при n ^ 3.
В частности,
Ms3) = z2-
2. Гомотопические группы групп Ли.
2.а. tti(G) — абелева группа для всех групп Ли G;
2.6. *•„((?, х G2) = тя(С?,) +л-„(С2)
для всех п и для любых групп Ли G\ и G2 (в действительности, для
любых двух многообразий, если вместо прямой суммы писать прямое
произведение при п = 1);
2.в. it2{G) = 0 для любой компактной группы Ли G;
2.г. tt3(G) = Z для любой простой компактной группы Ли G;
148 Глава 8. Элементы гомотопической топологии
2.д. wi(U(l))=wl(SOB)) = Z,
тг„A7A)) = л-„EОB)) = 0 при n ^ 2;
2.е. 7r,Ei7(n)) = O,
()) = О,
{
Эти три равенства справедливы при всех n ^ 2;
2.ж. 7TiEO(n)) = Z2 при всех п ^ 3,
тг2EО(п)) = О при всех п,
{
тгпEОD)) = тгпEОC)) +тгпEОC)) при n ^ 2.
3. Гомотопические группы однородных пространств.
З.а. ж\{р/Н) = множество связных компонент группы Я.
Это равенство справедливо для связной и односвязной группы Ли G;
З.б. w2(G/H)=^(H).
Это равенство справедливо для односвязной группы Ли G. Если груп-
группа G не односвязна, то данное соотношение обобщается в терминах так
называемых универсальных накрывающих групп.
Глава 9
Магнитные монополи
Мы закончим обсуждение топологических солитонов важным примером —
магнитным монополем 'т Хоофта—Полякова. Интерес к этим решениям вызван
в первую очередь тем, что они существуют в четырехмерном пространстве-времени
и присущи всем моделям, объединяющим сильные, слабые и электромагнитные
взаимодействия в рамках калибровочной теории с компактной полупростой кали-
калибровочной группой. Такие модели называют теориями большого объединения. Таким
образом, существование магнитных монополеи является весьма общим предсказа-
предсказанием теорий большого объединения, по существу не зависящим от выбора модели
(хотя некоторые свойства монополеи, например их масса, зависят от выбора моде-
модели). Не удивительно, что ведется экспериментальный поиск монополеи, который,
правда, не привел (пока?) к успеху.
9.1. Солитон в модели
с калибровочной группой 517B)
Простейшей моделью, где возникают монопольные решения, является модель
Джорджи—Глэшоу с калибровочной группой SU{2) и триплетом действительных
хиггсовских полей <ра, а = 1,2,3. Лагранжиан модели имеет вид
С = -\f;vF;v + ^(D^nD^r - £(»>V - *2J- (9-1)
Здесь ц, v = О,1,2,3 (пространство-время четырехмерно),
■f/ii/ = дрАу — д„Ар + де А^Аи.
Мы будем иногда использовать и матричные обозначения
А — — Аата
так что матрицы А,, и <р принадлежат алгебре 517B).
Потенциал скалярного поля в (9.1) выбран так, что в модели реализуется
механизм Хиггса. Основное состояние <р% можно выбрать в виде
*4 = * = о. (92)
<p&=v.
150 Глава 9. Магнитные монополи
В результате механизма Хиггса в модели среди малых возбуждений относительно
вакуума имеется одно действительное безмассовое векторное поле, два действи-
действительных массивных векторных поля и одно действительное массивное скалярное
поле (см. задачу 8 к первой части). В унитарной калибровке поле <р с малыми
отклонениями относительно основного состояния (9.2) имеет вид
<р1 = <р2 = 0,
массивное скалярное поле — это т}{х); его масса равна
тн —
Безмассовое векторное поле соответствует ненарушенной калибровочной подгруппе
U(l) вращений (во внутреннем пространстве) относительно третьей оси. Мы будем
называть это поле электромагнитным, а ненарушенную подгруппу U(l) — кали-
калибровочной группой электромагнетизма. В унитарной калибровке электромагнитный
вектор-потенциал совпадает с А^,
Наконец, два действительных массивных векторных поля в унитарной калибровке
описываются вектор-потенциалами А\ и А\. Они имеют одинаковую массу
my = gv.
Удобно вместо двух действительных полей рассмотреть одно комплексное поле Wjt
и ему сопряженное W~,
W = {A
Электрический заряд поля W+ равен д; это — тоже результат задачи 8 к первой
части. Поле т}{х) электрически нейтрально.
Таким образом, рассматриваемая модель может служить прототипом более
сложных теорий, где компактная (полу)простая калибровочная группа нарушается
до подгруппы, содержащей электромагнитную группу U{\).
Наша ближайшая задача — показать, что в модели могут существовать тополо-
топологические солитоны. Начнем, как и в разделах главы 7, с рассмотрения статических
конфигураций поля с конечной энергией. Под статическими конфигурациями мы
будем понимать конфигурации, для которых
а поля Af и ip" не зависят от времени,
At = Л?(х),
V" - V"(x).
Для таких конфигураций функционал энергии имеет вид
Е = J d3x [^Ftj + \(DiV)%DiVY + JfoV - "Y] • (9-3)
Необходимым условием конечности энергии является требование
ipaipa = v2 при |х| = оо, (9.4)
9.1. Солитон в модели с калибровочной группой SUB) 151
обеспечивающее конечность вклада в энергию, связанного со скалярным потенци-
потенциалом. При этом направление поля ipa во внутреннем пространстве может зависеть
от угла в физическом трехмерном пространстве
где п = * — единичный радиус-вектор. Таким образом, с каждой конфигурацией
поля с конечной энергией связано отображение бесконечно удаленной сферы S£>
в физическом пространстве в сферу S4c в пространстве скалярных полей, опреде-
определенную соотношением
¥> V = v2.
Отметим, что 5^с представляет собой множество классических вакуумов модели.
Поскольку тг2E2) = Z, отображения 5£> —* S£,c характеризуются целым то-
топологическим числом п = 0,±1,±2,... . Это число не изменяется при гладких
деформациях конфигураций <ра(х), при которых энергия остается конечной: при
таких деформациях соотношение (9-4) выполняется для каждой конфигурации,
а отображения S£, —* S4c остаются в одном гомотопическом классе. Как и в при-
примерах главы 7, мы имеем дело с набором компонент связности (топологических
секторов) в пространстве конфигураций полей с конечной энергией, причем раз-
различным компонентам связности соответствуют различные топологические числа.
Сектор с нулевым топологическим числом содержит классический вакуум; топо-
топологический солитон следует искать в секторе с п — 1: он реализует абсолютный
минимум энергии среди полей сп=1. Существенно, что масштабные аргументы
раздела 7.2 не запрещают существования минимума функционала энергии.
Для выбора подстановки (вида полей) для решения уравнений поля заметим,
что наиболее симметричный вид поля <ра(п), соответствующего отображению Sj, —>
54с. — это
<р"(п) = n"v при г-юо. (9.5)
Такая асимптотика поля при |х| —► оо инвариантна относительно пространственных
вращений, дополненных глобальными SUB) -преобразованиями (первые вращают
вектор п, вторые действуют на ipa как на вектор с векторным индексом а):
(Л-')^(ЛУ) =*>>•), (9.6)
где Л — матрица из группы 50C) трехмерных вращений.
Найдем теперь асимптотику векторного поля Af(x). Для конечности энергии
солитона требуется, чтобы ковариантная производная
А^ = 0.У + <ЛУ (9.7)
убывала на пространственной бесконечности быстрее, чем £. В то же время, обычная
производная для поля с асимптотикой (9.5) убывает как £:
diV>a = -(dai - пап{)у при г — оо. (9.8)
Такое поведение должно быть скомпенсировано вторым слагаемым в (9.7), для
чего требуется, чтобы Л" убывали как £. К сокращению слагаемого (9.8) приводит
следующая асимптотика поля А":
Л?(х) = — e°'V при г — оо. (9.9)
gr
152 Глава 9. Магнитные монополи
Действительно, второе слагаемое в (9.7) для полей вида (9.5) и (9.9) равно
0е**ЧУ = ее*—cMV • n't» = -(-6ai6c} + 6а'6ы)п'псу = --Fai - пап')у,
gr r r
что в точности сокращает (9.6) в ковариантной производной (9.7).
Для получения гладкого решения можно искать солитонную конфигурацию
в виде, подсказанном асимптотиками (9.5), (9.9),
tpa=nav(\-H{r)),
где Н(г) и F(r) — неизвестные функции радиуса. Не вполне тривиальным фактом
является то, что такая подстановка «проходит» через уравнения поля, т.е. все
уравнения поля для конфигураций вида (9.10) сводятся к двум уравнениям для
функций -ff(r) и F(r). Из асимптотического поведения полей (9.5), (9.9) следуют
граничные условия на F(r) и В (г):
F(r) = H(r) = 0 при г->оо. (9.11)
Два других граничных условия вытекают из требования гладкости полей в начале
координат:
Я@) = F@) = 1. (9.12)
Более точно, функция A - -ff(r)) должна убывать не медленнее, чем г, при г —> 0,
1 - П(г) = О(г) при г ->■ 0,
а функция (l — F(r)) — не медленнее, чем г2:
1 - F(r) = О(гг) при г -+ 0
(если A - F(r)) ~ г при г —* 0, то значение А" вблизи г = 0 зависело бы
от направления п).
В общем случае решение уравнений для F(r) и В(г) не удается найти в ана-
аналитическом виде, и функции F(r) и Н(г) приходится искать численно.
Тот факт, что подстановка (9.10) «проходит» через уравнения поля, можно понять следующим
образом. Мы уже отмечали, что если в лагранжиане имеется какая-либо глобальная симме-
симметрия, то наиболее общая подстановка, совместная с этой симметрией, всегда «проходит» через
уравнения поля. В нашем случае такой симметрией является сферическая симметрия, по-
понимаемая в смысле (9.6). т.е. симметрия относительно пространственных 5ОC)-вращений,
дополненных 517B)-преобразованиями по индексу а. Подстановка <р"(х) = n"j(l - Н(г))
очевидным образом является наиболее общим видом хиггсовского поля, инвариантным отно-
относительно обобщенной сферической симметрии. В то же время, наиболее общее сферически-
симметричное поле А" имеет вид
АЦх) = rJnaa(r) + FГ - nan')/,(r) + £eiV/2(r), (9.13)
где а(г), /i(r), /2(г) — произвольные функции радиуса (вид (9.13) ясен из того, что А"
должно быть тензором относительно 5ОC)-вращений по индексам а и г, составленным
из единственного в задаче вектора п" и тензоров 6а{ и £ау). В подстановке (9.10) присутствует
только третье слагаемое из (9.13). Возможность ограничиться только этим слагаемым следует
из того, что оно нечетно относительно преобразования х —» —х, в то время как два других —
9.1. Солитон в модели с калибровочной группой SUB) 153
четны. Иначе говоря, подстановка (9.10) — это наиболее общий вид полей, инвариантных
относительно обобщенных вращений и дискретных преобразований
<ра'(-х) = -V(x),
А*\-х) = -4«(х).
Существенно, что эта дискретная симметрия является симметрией функционала энергии
статических полей (и лагранжиана).
> Задача 1. Выписать уравнения поля для случая, когда А% = 0, а поля (ра и Л" не зависят
от времени. Показать прямой подстановкой, что все эти уравнения при выборе полей
в виде (9.10) сводятся к двум уравнениям для функций F(r) и Н(г). Выписать эти
два уравнения.
Показать, что F(r) и Н(г) экспоненциально стремятся к нулю при г —кх> в случае
ТПя ~ 771 у.
> Задача 2. Показать, что имеется двухпараметрическое семейство решений уравнений
для F и И, удовлетворяющихусловиям (9.11) (без требования (9.12)). Покозать, что
имеется другое двухпарометрическое семейство решений этих уравнений, в которое
входят решения, удовлетворяющие только условиям (9.12). (Указание: рассмотреть
решения типа
Н(г) = 1 + авг
F(r) = 1 + aFr2 + /ЗуИ + ...
при г —I- 0; показоть, что константы as и ар не фиксируются уравнениями для Н
и F, а Рв и pF выражаются через as и ар.) Таким образом, аргумент раздела 7.3
можно применить и для обоснования существования солитонного решения в модели
настоящего раздела.
> Задаче 3. Нойти солитонную конфигурацию численно при ту = 2тИ.
Оценим энергию (массу) и характерный размер солитона при ту ~ тд
из размерных соображений. Введем переменные у', f и Bf равенствами
у' = gvx\
. v"(x) = vfa(y), (914)
А?(х) = vBt(y).
В их терминах входящие в функционал энергии (9.3) величины запишутся в виде
- v2) = У2(ГГ - 1),
где
*>;/" = А
У
я а (916)
В". = —В.? - —В? + c-^BfBj.
3 ду' ] ду) '
154 Глава 9. Магнитные монополи
Подставляя (9-15) в (9.3), получим следующее выражение для функционала энергии
+ ^B>.Л2 + -^(ГГ-1J1- (9-17)
Мы рассматриваем случай ту ~ mi, поэтому
Отсюда и из (9.16) следует, что интеграл в (9.17) не содержит параметров, существен-
существенно отличающихся от единицы. Солитонная конфигурация является его минимумом,
поэтому для нее
v ту
9 ад '
где ад = fj — «постоянная тонкой структуры» (напомним, что электрический заряд
поля W+ равен д). Характерный размер солитона в терминах у — порядка единицы,
поэтому физический размер — порядка (gv)~\ т.е. порядка
го = mv .
Итак, масса солитона (его статическая энергия) и его размер оцениваются как
М
= ту .
Как и в предыдущих примерах, в теории со слабой связью (т.е. при ад < 1)
комптоновская длина волны солитона, Л = М, мала по сравнению с его размером
Л
ад < 1.
го 9
Солитон с хорошей точностью можно рассматривать как классический объект.
> Задача 4. Найти количество нулевых мод для малых возбуждений полей Ар и <ра от-
относительно солитонного решения. Указание: рассмотреть симметрии классического
решения; воспользоваться тем, что часть этих симметрии представляет собой
калибровочные преобразования, такие симметрии (их бесконечное число) должны
быть учтены отдельно.
9.2. Магнитный заряд
В отличие от абелевой модели Хиггса, рассмотренной в разделе 7.3, модель
(9.1) имеет, после нарушения симметрии, безмассовое векторное поле, которое
мы называем электромагнитным. Вдали от центра солитона массивные поля долж-
должны экспоненциально убывать, однако безмассовое поле может убывать медленно.
Иными словами, солитон может, вообще говоря, иметь электрический или магнит-
магнитный заряд (а также электрический или магнитный дипольный момент и высшие
мультипольные моменты). В этом разделе мы убедимся, что солитонное реше-
решение раздела 9.1 обладает нулевым электрическим и отличным от нуля магнитным
зарядом, т. е. представляет собой магнитный монополь.
9.2. Магнитный заряд 155
Вдали от центра солитона квадрат хиггсовского поля <patpa стремится к вакуум-
вакуумному значению v2, а векторные поля должны представлять собой малые отклонения
от вакуума А" = 0. Если бы солитонное решение имело tpa = 6"*v при г -» оо
(унитарная калибровка), то электромагаитное поле (вдали от центра) описывалось
бы вектор-потенциалом А\. Однако асимптотика (9.5) не соответствует унитар-
унитарной калибровке, поэтому для вычисления электромагнитного поля при больших г
потенциал А\ использовать сразу нельзя. Простейший путь для нахождения элек-
электромагнитного поля вдали от центра состоит во введении калибровочо инвариантной
величины
^> = -^V. (9.18)
Для малых возмущений поля А\ относительно вакуума в унитарной калибровке
имеем
•* аи — * цу)
поэтому Tft, совпадает с электромагнитной напряженностью. Поскольку величины
(9.18) калибровочно инвариантны, определением (9.18) можно пользоваться в любой
калибровке, лишь бы массивные поля отсутствовали, безмассовые были малы, а (р"(ра
близко к v2. Далее, вдали от центра солитона массивные поля должны быстро
(экспоненциально) затухать; электромагнитное поле также убывает (но медленно).
Поэтому выражением (9.18) действительно можно пользоваться для нахождения
электромагнитного поля солитона вдали от его центра.
Вычислим напряженность электромагнитного поля J7^ для решения (9.10)
вдали от центра монополя. Поскольку F(r) экспоненциально стремится к нулю при
больших г (см. задачу к разделу 9.1), мы можем для вычисления любого конечного
числа электромагнитных мультипольных моментов воспользоваться асимптотичес-
асимптотическим выражением
А? = ^-Ч (9-19)
Напомним, что А% = 0.
Поскольку Af не зависят от времени, а А% = 0, напряженность F£ равна нулю,
т. е. электрическое поле равно нулю вдали от центра солитона:
£,. = ^ш = 0.
Вычислим теперь магнитное поле
■Hi = -Bf
v
где
Воспользовавшись определением Fjj, запишем
Hi = -eijkdjAl - -
Вьиисление Щ для поля (9.19) проводится с использованием формул дифференци-
дифференцирования
д{г = п,,
d{rij = -Fij - rtitij)
156 Глава 9. Магнитные монополи
и сверток
6ij6ij = 3,
(мы не различаем верхние и нижние латинские индексы). Получим
-EijkdjAl = —2
~-£ijk£a AjAl = 2
Таким образом, имеем
Я? = -Ln,n.. (9.20)
дг2
Отметим, что, как и следовало ожидать, Щ направлено в пространстве (по индек-
индексу %) вдоль радиуса-вектора щ, а во внутреннем пространстве — вдоль вектора <ра.
Последнее свойство — отражение того факта, что вдали от центра солитона име-
имеется только электромагнитное поле (в унитарной калибровке электромагнитная
напряженность F^v направлена во внутреннем пространстве вдоль вакуумного поля
Vvac = vS; поля F$v и (ра одинаково преобразуются при калибровочных пре-
преобразованиях, поэтому электромагнитная напряженность направлена во внутреннем
пространстве вдоль <ра в любой калибровке). Первое свойство — это следствие
сферической симметрии конфигурации (9.10).
Из (9.20) и асимптотики (ра = vn" (верной снова с точностью до членов,
экспоненциально убывающих при больших г) получаем выражение для магнитного
поля решения (9.10):
Hi = -Цп,-. (9.21)
Это — поле магнитного монополя с магнитным зарядом
<7м = 1-- (9.22)
Действительно, магнитное поле (9.21) направлено вдоль радиуса-вектора, а по вели-
величине равно *у.
> Задача 5. Добавляя новые скалярные поля без вакуумного среднего во всевозможных
представлениях калибровочной группы SUB), показать, что минимальный электри-
электрический заряд в получаемых моделях равен qmin = ^g, а электрический заряд любого
поля кратен qm{n. Таким образом, магнитный заряд монополя равен дм = ^—.
Тот факт, что магнитный заряд в теориях, где имеется одно дальнодействую-
щее векторное поле — электромагнитное, кратен \qmin, носит название условия
квантования Дирака (qmin — минимальный электрический заряд; заряд любого поля
предполагается кратным qmin). Отметим, что в случае точечного (дираковского)
монополя в электродинамике условие квантования магнитного заряда возникает
на уровне квантовой механики в поле монополя; в случае же монополя 'т Хоофта—
Полякова условие квантовония имеется уже на уровне классической теории поля.
Последнее обстоятельство имеет глубокую связь с квантованием электрического
заряда, которое автоматически возникает уже на классическом уровне в моделях
типа рассмотренной в этом разделе.
9.2. Магнитный заряд 157
Выражение (9.21) для магнитного поля монополя справедливо с точностью
до вкладов в F£,, убывающих как е~туТ вдали от центра. Магнитное поле не содержит
компонент, убывающих степенным образом по радиусу при больших г, кроме
выписанной в (9.21) компоненты с поведением г~2. Это означает, что магнитный
дипольный момент и высшие магнитные мультиполи отсутствуют, так же как
и электрические мультиполи.
Изложенный способ вычисления магнитного заряда не указывает на его связь
с топологическими свойствами конфигураций поля, т.е. с тем обстоятельством,
что монополь является топологическим солитоном. Чтобы проследить эту связь1),
рассмотрим снова асимптотики полей на пространственной бесконечности. Поле
<р" = n"v не находится в унитарной калибровке, поэтому обсуждать калибровочный
вектор-потенциал неудобно. Хотелось бы перевести поле <ра в унитарную кали-
калибровку. Сразу на всей бесконечно удаленной сфере это сделать несингулярным
калибровочным преобразованием невозможно. Действительно, если бы существова-
существовало несингулярное на S£> калибровочное преобразование Цп), такое, что
(здесь и далее iff обозначает калибровочно преобразованное поле), то можно было бы
построить непрерывное по параметру т £ [0,1] семейство гладких на Sj, полей <р"{т),
интерполирующих между vn" и v6: поскольку ir2(SUB)) = 0, ш(п) гомотопно
тождественному калибровочному преобразованию с ш(п) = 1; соответствующее
семейство шт(п), осуществляющее деформацию ш в Цп), порождало бы семейство
<ра(т) = (<рш')а, что невозможно.
Итак, калибровочное преобразование, переводящее поле <р" = n"v в унитарную
калибровку, существует только на части бесконечно удаленной сферы S£>, например,
всюду, кроме некоторой малой окрестности южного полюса. Обозначим это кали-
калибровочное преобразование через ш^(п) (оно действует на севере). Существует другое
калибровочное преобразование <<>s(n), которое несингулярно всюду, кроме некото-
некоторой малой окрестности южного полюса. (Существование w$ и a>N обеспечено тем,
что сфера с выколотой точкой — северным или южным полюсом — гомотопна R2.)
При этом
(¥>**)"= (*И" = «a*3 s fo«)". (9-23)
или
(¥&')•-(¥&')"=»»•« (9.24)
всюду, кроме малых окрестностей северного и южного полюса. Из (9.23) и (9.24)
следует, что
„,("W) _ .„
Vvac — Vvaci
т.е.
принадлежит ненарушенной подгруппе U(l)em вращений вокруг третьей оси.
Рассмотрим Щп) на экваторе сферы 5£>. Там оно осуществляет отображение
окружности 51 (экватора) в группу U(l)em. Ясно, что это отображение должно
принадлежать нетривиальному гомотопическому классу из щ(иA)) (напомним, что
tti(C7"A)) = Z). Действительно, если бы оно было гомотопно нулю, то его можно было
'^Дальнейшие соображения по существу совпадают с подходом Арафуне, Фройнда и Гебеля A975).
158 Глава 9. Магнитные манопали
бы гладко продолжить на северную полусферу; если обозначить это продолжение
через ш(п) (ft(n) £ U(l)em для всех п), то калибровочная функция, равная
a>s(n) на южной полусфере,
(n)wN(n) на северной полусфере
была бы непрерывна на всей Sj, и преобразовывала бы поле (ра = n"v в унитарную
калибровку. Мы видели, что этого сделать невозможно, поэтому Щп) на экваторе
принадлежит нетривиальному гомотопическому классу из ^((/(l)).
На экваторе можно записать П(п) в виде
(9.25)
где <р — полярный угол на экваторе (напомним, что группа U(l)em состоит из матриц
вида е'*Т ). Топологическая нетривиальность ft(n) на экваторе означает, что
/Bт) - /@) = 2*п, (9.26)
где п — целое число, отличное от нуля. Можно показать (мы это сделаем путем
явного построения ws(n) и шм(п)), что п совпадает с топологическим числом поля
¥>"(п) (степенью отображения S*, -> S^); в нашем случае
п = 1.
Рассмотрим теперь вектор-потенциал А?. Перейдем в унитарную калибровку
всюду, кроме малой окрестности южного полюса, с помощью калибровочного
преобразования wN. Калибровочно преобразованный потенциал
*7"N л — 1 г\ — 1
— гладкий всюду, кроме малой окрестности южного полюса. Здесь Ai — вектор-
потенциал в исходной калибровке (в данном случае его компоненты имеют вид (9.9));
мы пользуемся матричными обозначениями. Ясно, что в унитарной калибровке вдали
от монополя имеются только электромагнитные компоненты вектор-потенциала
(остальные поля массивны), поэтому
А* = у-Л?, (9.27)
где Af — потенциалы магнитного поля (действительные функции, зависящие от х).
Далее, всюду кроме малой окрестности северного полюса, определим вектор-
потенциал
Он также имеет только третью компоненту,
Л? = ^-А?- (9.28)
Хотя потенциалы А^ и .4? описывают одно и то же магнитное поле всюду вне
северного и южного полюсов, они не равны между собой, а связаны калибровочным
преобразованием П(п):
9.2. Магнитный заряд 159
Это — калибровочное преобразование из группы f(l)em над электромагнитными
вектор-потенциалами (в унитарной калибровке), т.е. абелево преобразование. Ис-
Используя (9.25) и (9.27), (9.28), получим связь между действительными величинами
на экваторе сферы S£,:
A?(n) = A? + -dif{tp). (9.29)
Вычислим, наконец, поток магнитного поля через сферу S£,- Сделаем это
в унитарной калибровке. Магнитное поле на верхней полусфере можно найти через
несингулярные там вектор-потенциалы Af. A^ бесполезны на южной полусфере,
поскольку они сингулярны в южном полюсе. В южной полусфере воспользуемся
несингулярными вектор-потенциалами Af. Итак,
^j _ (-mtAN на северной полусфере,
~ \ - rot As на южной полусфере.
Отметим, что rot^14 = rot,4s всюду вне северного и южного полюсов, поскольку
As и ,4*s связаны калибровочным преобразованием П(п) из U(l). Магнитное поле
% не сингулярно нигде на сфере S^,. Поток магнитного поля равен
fHds = - I rot Я™ds - I rot Xsds = - Г AsdT+ Г JPdl,
верхняя нижняя 51 51
полусфера полусфера
где 51 обозначает экватор сферы 5|>. Из (9.29) имеем
или, с учетом (9.26),
4я
fids = —п.
9
Такой поток магнитного поля соответствует монополю с магнитным зарядом
9м = -п, (9.30)
9
где п — топологическое число, фигурирующее в (9.26). В нашем случае п = 1, и мы
приходим к (9.22).
Изложенные здесь соображения носят весьма общий характер и проясняют
связь между магнитным зарядом монополя и топологией хиггсовских полей. Из них,
в частности, следует, что магнитный заряд в SUB) -модели кратен ~, а число п
в (9.30) равно степени отображения S£, в 5^c. характеризующей хиггсовское поле
на пространственной бесконечности.
Функции oiN(n) и ws(n) для конкретного случая <ра = n"v можно построить в явном виде:
ш" = e-'f'Vf'V? •*, (9.31)
*s = -irV^e-t^V^, (9.32)
160 Глава 9. Магнитные монополи
где <р и в — стандартные углы на сфере S2. Тот факт, что wN несингулярны всюду, кроме
южного полюса в = ж, a u>s — всюду, кроме северного полюса 9 = 0, очевиден. На экваторе
что соответствует (9.29) и п = 1.
> Задача 6. Показать, что калибровочные преобразования (9.31) и (9.32) действительно
переводят поле tpa = nav в унитарную калибровку. Указание: воспользоваться
матричной формой хиггсовского поля. Используя эти преобразования, найти явный
вид поля монополя в унитарной калибровке вдали от центра.
Полученные в этой задаче поля соответствуют точечному монополю Дирака
в чистой электродинамике, для которого можно использовать либо формулировку
в терминах сингулярного вектор-потенциала (с ненаблюдаемой дираковской стру-
струной), либо формулировку с различными вектор-потенциалами на северной и южной
полусферах (By, Янг, 1975), как это мы сделали выше.
9.3. Обобщения на другие модели
Соображения, изложенные в разделах 9.1 и 9.2, указывают на то, что существо-
существование магнитных монополей как топологических солитонов должно быть довольно
общим свойством калибровочных теорий с нарушением компактной полупростой
калибровочной группы до подгруппы, содержащей фактор типа U(l). В этом раз-
разделе мы убедимся в этом с помощью топологических аргументов (Тюпкин, Фатеев,
Шварц, 1975; Монастырский, Переломов, 1975).
Рассмотрим теорию с компактной полупростой калибровочной группой G.
Для определенности будем считать группу G односвязной (это предположение
в действительности не ограничивает общность дальнейших рассуждений). Пусть
в теории имеется хиггсовское поле ip, преобразующееся по некоторому, вообще
говоря, приводимому, представлению Т(д) группы G. Пусть в модели реализуется
механизм Хиггса, и G нарушается до некоторой подгруппы Н. Это означает, что
вакуумное значение хиггсовского поля отлично от нуля и при некотором выборе
классического вакуума ^тас его стационарная подгруппа равна Н,
Т(Ь)ч>ъс = ¥>тас для всех he H
(напомним, что ip^c не зависит от ж''). Вакуум ^тас, разумеется, не является
единственным: любое значение поля вида
<Р = Т(д)ч>„с, (9.33)
где д не зависит от х?, также является основным состоянием (мы всюду считаем, что
в основном состоянии А,, = 0). Предположим, что все возможные вакуумы имеют
вид (9.33), т. е. что в модели нет случайного вырождения вакуума (это предположение
тоже на самом деле можно было бы не делать).
Рассмотрим множество классических вакуумов ЛГтас- Сделанные предположе-
предположения означают, что группа G транзитивно действует на Мтас, причем это действие
задается представлением Т. Следовательно, Мтас — однородное пространство
Мгас = G/H.
9.4. Предел %* -» 0161
Рассмотрим теперь статические конфигурации полей с конечной энергией
в трехмерном пространстве, причем будем считать, что энергия вакуума равна нулю.
Вклад скалярного потенциала в энергию будет конечен, если поле <р на простран-
пространственной бесконечности стремится к какому-либо вакуумному значению, которое
может зависеть от направления п. Таким образом возникает отображение бесконечно
удаленной сферы S£> в Мтас. Поскольку
е) = я* (G/Я) =
такие отображения могут быть топологически нетривиальными в случае неодносвяз-
ной группы Н, т. е. когда
*,(ЯM*0.
В этом случае пространство конфигураций с конечной энергией разбивается на не-
непересекающиеся подпространства (топологические сектора), каждое из которых со-
соответствует элементу из *\{Н). Минимум энергии в нетривиальном топологическом
секторе и представляет собой солитон.
> Задача 7. Пусть Н = U(l). Используя соображения, аналогичные приведенным в раз-
разделе 9.2, показать, что описанные только что солитоны являются магнитными
монополями.
Таким образом, монополи имеются во всех моделях с компактными полупро-
полупростыми калибровочными группами, где механизм Хиггса приводит к нарушению
симметрии до неодносвязной подгруппы. Поскольку в природе действительно име-
имеется ненарушенная группа электромагнетизма U(l)em, монополи всегда существуют
в реалистичных теориях большого объединения с полупростой калибровочной груп-
группой.
гпН
9.4. Предел > О
mv
Продолжим изучение монополей в Si/B)-модели разделов 9.1 и 9.2. В предель-
предельном случае, когда константа самодействия хиггсовского поля А стремится к нулю,
решение уравнений поля можно получить в явном виде. Физически этот предел (его
называют пределом Богомольного— Прасада—Зоммерфельда) соответствует ситуа-
ситуации, когда масса хиггсовского бозона тн = V2\v много меньше массы векторного
бозона2) ту = gv: из формул (9.14) и (9-17) следует, что А входит в решение
в комбинации р- = ^-.
При А —> 0 потенциальное слагаемое в функционале энергии (9.3)
стремится к нулю, если выполнено условие его конечности (9.4). Иначе говоря, в этом
пределе монопольная конфигурация является минимумом функционала
ЯЛ=О = J d3x [I(Я?J + ~(DiVT(DiVr] (9.34)
2) В некоторых теориях отсутствие скалярного потенциала может обеспечиваться соображениями
симметрии; так происхолит в ряде суперсимметричных теорий.
162 Глава 9. Магнитные монополи
в классе полей, удовлетворяющих условию
ip'ip" = v2 (9.35)
и обладающих единичным топологическим числом. В (9.34) Щ = — jEyt-Fjt. Для
нахождения этого минимума воспользуемся приемом (Богомольный, 1976), анало-
аналогичным использованному в модели п-поля. Запишем следующее неравенство:
(Д? Di<p)(Ht - АУ) > 0, (9.36)
причем равенство здесь выполняется при
ДУ = Hf. (9.37)
Раскрывая скобки в (9.36), имеем
/'
Далее, используем определение
и проинтегрируем «по частям». Получим
Г HiDi<patPx = I Hi<padSt - I ч>а(д{Н? + деаЪс£Щ) d3x. (9.38)
si.
Вспомним еще тождество Бьянки
WD»*V = °. (9-39)
где
Dvnp = dvnbb
Компонента ц = 0 в (9.39) дает
так что второе слагаемое в (9.38) исчезает.
Наконец, первое слагаемое в (9.38) пропорционально магнитному заряду
(см. раздел 9.2):
■а а 1 [ i 41TV
2 9
Таким образом, имеем неравенство для энергии при А —> 0:
4irv
ЯЛ=0 > , (9.40)
причем равенство наступает, только если выполняются уравнения (9.37).
Монопольная конфигурация — это минимум энергии при единичном магнит-
магнитном заряде. Поэтому в пределе А —> 0 ее можно искать, решая уравнения (9.37) (их
называют уравнениями Богомольного).
> Задача 8. Записать уравнения поля, вытекающие из экстремизации функционала энергии
(9.34). Показать, что любое решение уравнений (9.37) является одновременна
решением полученных уравнений поля.
9.4. Предел =* — 0 163
Сферически-симметричное (в смысле обобщенной симметрии, обсуждавшейся
в разделе 9.1) решение уравнений (9.37) можно получить в явном виде. Запишем
еще раз сферически-симметричные поля, на этот раз в виде
4>а = vnah(r),
At=er*nj-L(l-F(r))
gr
(эта подстановка отличается от (9.10) лишь заменой h = 1 - Н). Вычисляя «магнит-
«магнитное» поле Щ и ковариантную производную, получим
Из независимости тензоров n,-na и Ea,- - тцпа) следует, что уравнения (9.37) сводятся
к уравнениям
F' = -{gv)hF,
Решение этих уравнений должно удовлетворять граничным условиям
(9.42)
F(r -»оо) = 0 , h(r -» оо) = 1.
Эти условия обеспечивают несингулярность полей ip" и А* при г —> оо и г —> О,
конечность энергии (9.34) и выполнение дополнительного соотношения (9.35).
Решение уравнений (9.41) с граничными условиями (9.42) можно угадать:
shp'
h = cthp - -,
где
г
р = gvr = —,
го
го = (gv)~l =К)"'.
Отметим, что получить явный вид решения удалось благодаря тому, что вместо
исходных уравнений второго порядка мы решали уравнения первого порядка (9.37).
Как и следовало ожидать, функция F(r) экспоненциально стремится к нулю
при г —»• оо:
F(r) а е"г/го.
В то же время, h(r) стремится к единице степенным образом:
1-A(r)«i. (9.43)
164 Глава 9. Магнитные монополи
Такое поведение связано с тем, что масса хиггсовского бозона тц равна нулю при
А —> 0, т. е. среди малых возбуждений над вакуумом имеется безмассовое скалярное
поле.
Масса монополя (его статическая энергия) в пределе А —> 0 равна, как следует
из рассуждений, приводящих к (9.40),
М = ЯЛ=О= — = ^, (9.44)
9 (*д
где, по-прежнему, ад = *-.
с> Задача 9. Показать прямым вычислением функционала энергии Е\-о для найденного
решения, что масса монополя в пределе А —> 0 действительно дается формулой
(9.44).
Отметим, что существуют (и найдены в явном виде) многомонопольные решения уравнений
(9.37). Это утверждение, на первый взгляд, противоречит ожиданиям: монополи испытывают
«кулоновское» отталкивание из-за их магнитных зарядов, поэтому энергия двух монополей,
казалось бы, должна иметь минимум тогда, когда расстояние между их центрами бесконечно.
В действительности отталкивание магнитных зарядов в точности компенсируется за счет
притяжения, связанного с дальнодействующим скалярным полем (см. (9.43)), так что два
монополя находятся в безразличном равновесии. Такая ситуация, разумеется, имеет место
лишь при А = 0; при А > 0 хиггсовское поле массивно и связанное с ним взаимодействие
монополей экспоненциально убывает при г > mjj.
Отметим еще, что при А > 0 вклад потенциального слагаемого в энергию положителен,
и модификация рассуждений этого раздела приводит к неравенству
Таким образом, монополь имеет наименьшую массу в пределе jjj1
9.5. Дионы
До сих пор мы рассматривали решения с нулевым электрическим зарядом. Кроме них
в Sf/B)-модели существуют решения с ненулевым магнитным и ненулевым электрическим
зарядами — дионы (Джулиа, Зи, 1975). Поскольку статический электрический заряд можно
описывать потенциалом А0(х), не зависящим от времени, дионное решение можно искать,
считая, что А£(х) и <р(х) не зависят от времени, при этом А$(х) отлично от нуля. В сферически-
симметричном случае для поля AJ(x) выбираем подстановку
А% = п°В(г), (9.45)
причем из условия отсутствия сингулярности при г = 0 получаем условие
В(т = 0) = 0.
Для полей <ра(х) и А°(х) по-прежнему используем подстановку (9.10) с граничными условиями
(9.11) и (9.12). Выбор (9.45) приводит к тому, что
^Aof' = 0.
Поэтому энергия диона будет конечна, если электрическая компонента тензора напряженно-
напряженности F& убывает как д.
Найдем асимптотику функции В(г) для диона с (электрическим) зарядом q. Для этого
вычислим F^ вдали от центра диона, где поле А° дается формулой (9.9). Получим
9.5. Дионы 165
Поскольку Щ, направлен во внутреннем пространстве вдоль у", в асимптотике действительно
имеется лишь электрическое поле, соответствующее ненарушенной подгруппе U(l)cm. Оно
равно
i
v
Электрическое поле направлено вдоль радиуса-вектора, как и должно быть для поля электри-
электрического заряда. Если заряд диона равен q, то должно быть
откуда получаем асимптотику
В = 1 + С, (9.46)
где С — константа, зависящая от q.
Так же, как решение для монополя, дионное решение найти в аналитическом виде
не удается. Исключение составляет лишь предельный случай А —> 0. Конфигурации полей
для диона при А Ф 0 были найдены численно.
с> Задача 10. Выписать уравнения для радиальных функций B(r), F(r) и #(г) для
диона. Показать, что асимптотики (9.11) и (9.46) удовлетворяют этим уравнениям
в пределе больших г.
Глава 10
Нетопологические солитоны
До сих пор мы рассматривали солитоны, существование которых связано с то-
топологическими свойствами полевых конфигураций. Кроме того, мы ограничивались
обсуждением статических решений, что в действительности было оправдано для то-
топологических солитонов (более или менее ясно, что абсолютный минимум энергии
в секторе с ненулевым топологическим числом достигается — если вообще достига-
достигается — на статической конфигурации). Однако ни нетривиальные топологические
свойства, ни статичность полей не являются обязательными для солитонов, пони-
понимаемых как стабильные (или метастабильные) частицеподобные решения уравнений
поля с конечной энергией. В этой главе мы приведем пример стабильного солитона,
поле которого зависит от времени и не обладает нетривиальной топологией (Фрид-
берг, Ли, Сирлин, 1976). Этот пример имеет довольно общий характер; причиной
существования солитона и его стабильности служит наличие заряда у солитона.
Такие солитоны, следуя Коулмену A985), в последнее время называют Q-шарами
(Q-balls). До сих пор не ясно, играют ли они какую-нибудь роль в физике частиц, хо-
хотя похожие идеи использованы в моделях адронов (кварковые мешки). Отметим, что
совершенно другой пример нетопологического солитона приведен в одной из задач
к этой части.
В качестве простейшей модели, в которой имеются нетопологические солитоны,
можно выбрать теорию с двумя скалярными полями: действительным полем (р(х)
и комплексным полем £(х). Лагранжиан модели имеет вид
1 , , , , t
£ = ~(дмф) - V(ip) + (дм£) dpt - hr<p2£ £, A0.1)
причем скалярный потенциал поля <р равен
Мы считаем, что
mv,v,h>0.
Для определенности будем рассматривать эту модель в A + 1)-мерном пространстве-
времени, хотя последующее рассмотрение просто обобщается на случай простран-
пространства-времени произвольного числа измерений.
В модели имеется непрерывная глобальная {7A)-симметрия
<р(х) -*■ <р(х),
{(х) - eto«x), A0.2)
Г(х) - с-Т(х).
Этой симметрии соответствует нетеровский ток
Глава 10. Нетопологические солитоны 167
Заряд
f\(?0ot-Oott)dxl A0.3)
сохраняется на уравнениях поля.
Для нахождения основного состояния запишем, как обычно, функционал
энергии
Я = Jdx1 [^(до<рJ + ^(9^J + Viip) + \д0Ц2 + |Э,£|2 + h2v2\l\2\. A0.4)
Он имеет минимум на однородной конфигурации вида
<р = v,
A0.5)
которая и представляет собой основное состояние в модели. Отметим, что симметрия
A0.2) не нарушена.
Рассматривая малые возмущения полей относительно основного состояния
A0.5), заключаем, что они описывают массивное действительное скалярное поле
т?(х) = у(х) - v,
и массивное комплексное скалярное поле f с массой
т£ = hv.
Поскольку заряд A0.3) сохраняется, можно поставить вопрос о конфигурациях
полей с минимальной энергией среди всех конфигураций с заданным значением Q. Если
при некотором фиксированном Q конфигурация с минимальной энергией предста-
представляет собой локализованное состояние, то в модели имеется абсолютно устойчивый
солитон («Q-шар»). Иными словами, все множество конфигураций полей можно
разбить на непересекающиеся сектора, характеризуемые значением Q, в каждом
из которых собраны все поля, имеющие одно и то же значение заряда (в квантовой
теории эти сектора называют секторами суперотбора). При классической эволюции
поля не переходят из одного сектора в другой в силу сохранения заряда. Соли-
Солитон («Q-шар») реализует абсолютный минимум энергии в секторе с некоторым Q,
поэтому он устойчив.
Отметим, что в модели A0.1) топология полевых конфигураций тривиальна;
существование солитона не опирается на топологические аргументы. Далее, заряд
A0.3) отличен от нуля, только если поля зависят от времени, поэтому солитон (если
он существует) — это зависящая от времени конфигурация.
с> Задача 1, Записать уравнения для условного экстремума функционала энергии A0.4)
при фиксированном заряде Q. Показать, что поля |(ж',<) и (p(x\t), удовлетворяю-
удовлетворяющие этим уравнениям, удовлетворяют и лагранжевым уравнениям поля, следующим
из лагранжиана A0.1). Указание: считать вариации S(bo<p) и <5(9о£) не зависящими
от 6ц> и 6£.
Покажем, что нетопологический солитон действительно существует в нашей
модели при достаточно больших значениях Q. Для этого нам нужно показать, что
существуют локализованные конфигурации полей, энергия которых меньше энергии
нелокализованных конфигураций при фиксированном (и большом) Q.
168 Глава 10. Нетопологические солитоны
Рассмотрим сначала нелокализованные конфигурации. Если поля не локали-
локализованы, то их амплитуды малы, и можно пользоваться теорией, линеаризованной
вблизи классического вакуума A0.5). Для линеаризованной теории функционал
энергии имеет вид
J
dxl [^(dovf + \Ш2 + ^г,2 + |Э„£|2 + |Э,£|2 + ш2|£|2]. A0.6)
Ясно, что при фиксированном Q функционал A0.6) будет наименьшим, если
4 = 0.
Для оценки энергии при фиксированном Q удобно воспользоваться фурье-пред-
ставлением для решений уравнений поля в линеаризованной теории:
где
шк = yjk2 + m\, A0.8)
множители -j— и -^щ введены для удобства, ак и Ьк — произвольные малые
амплитуды; интегрирование в A0.7) идет как по положительным, так и по отрица-
отрицательным к. В терминах амплитуд ак и Ьк энергия A0.6) и заряд A0.3) запишутся
в виде
Е = [dkwk(btbk+akak), A0.9)
Q = I dk(b*kbk - akak). A0.10)
Из формул A0.9), A0.10) и A0.8) ясно, что если заряд Q фиксирован, то
E^m^Q, A0.11)
причем равенство наступает тогда, когда ак = 0, а Ьк отличны от нуля только при
к = 0 (для нахождения амплитуды 6* необходимо, в действительности, рассмотреть
теорию в пространственном ящике большого размера).
с> Задача 2. Рассмотреть систему с лагранжианом A0.1) в «ящике» большого размера L,
т. е. считая —\ > хх > §. Найти значение амплитуд bk, минимизирующих энергию
A0.9) при фиксированном (и конечном) заряде Q. Верно ли сделанное в тексте
утверждение о малости паля £(х) в каждой точке пространства времени?
Соотношение A0.11) имеет следующую интерпретацию в квантовой теории. Поле %{х)
описывает частицы с массой т( и единичным зарядом (а также античастицы с зарядом -1^.
Чтобы заряд был равен Q, требуется не менее Q частиц; их энергия минимальна и равна
Е = m(Q, если все они покоятся (пространственный импульс к равен нулю).
Теперь мы покажем, что при достаточно больших Q существуют локализован-
локализованные конфигурации полей с зарядом Q, энергия которых меньше m^Q. С учетом
A0.11) это и будет означать существование нетопологического солитона*.
* Строго говоря, нам было бы нужно еще показать, что минимум энергии при заданном Q
действительно достигается, т. е. ситуации типа изложенной в разделе 7.2 не возникает. Это можно сделать
на основе соображений, изложенных ниже (см. формулу A0.19)).
Глава 10. Нетопологические солитоны
169
Выберем конфигурацию поля (р статической и имеющей вид «ямы», изобра-
изображенной на рис. 10.1. Вне области размера I поле <р(х') равно своему значению
-1/2
1/2 х1
Рис. 10.1.
в основном состоянии, (р = v. Имеется небольшая переходная область (размера
много меньше I), где поле изменяется от v до нуля, а внутри ямы поле (р равно
нулю. Энергия, связанная собственно с полем (р,
складывается из энергии переходной области и энергии ямы. Нас будет интересовать
зависимость энергии от I, и мы можем записать
Е9 = ц + V&J,
где первое слагаемое возникает за счет переходной области и не зависит от I, второе
слагаемое набирается внутри ямы, где плотность энергии равна
2
Vo = V(<p = 0) = —W. A0.12)
Рассмотрим теперь конфигурацию поля £(х',4). Во внешнем поле выбранной
нами конфигурации <р(х1) уравнение для поля f имеет вид
- dpdpZ - лУ(х')£ = 0. A0.13)
Выберем зависимость £ от времени в виде
тогда уравнение A0.13) станет уравнением на собственные значения
[-9? + ftVV)] fo(x') = fiW). A0.14)
Нас будет интересовать наинкзшее собственное значение П. «Потенциал» Л2^>2(а;1)
имеет вид ямы размера I (и глубины mi), причем на дне ямы он равен нулю.
170 Глава 10. Нетопологические соли тоны
Поэтому наинизшее собственное значение равно, с точностью до поправок высшего
порядка по },
о(^) A0.15)
Соответствующая собственная функция £по(х') — низшее связанное состояние
в потенциале h2(p2(xl) — действительна и экспоненциально убывает вне ямы.
Итак, выберем в качестве конфигурации £(х',4) функцию
f(x',4) = Ne'^^x1), A0.16)
где функцию fjjj считаем нормированной на единицу:
)*в' = 1, A0.17)
а постоянную jV определим из требования, чтобы заряд A0.3) был равен заданному
значению Q. Имеем
Q = 2N2n0,
так что
N2 = -§-. A0.18)
Вычислим, наконец, энергию, связанную с полем f(x',i),
щ = J dxl [доедо$ + d^dtZ + лУ{*
Перебрасывая во втором слагаемом производную и учитывая A0.16), A0.17) и A0.14),
получим
Е{ = 2U2ON2.
Воспользовавшись A0.18), имеем окончательно
Итак, полная энергия для выбранной нами конфигурации полей <р(х1) и £(xl, t)
равна
Е = Е9+Е/. =li + Vol+~, A0.1?)
где мы воспользовались A0.13)'и пренебрегли поправками в формуле A0.15). До сих
пор мы никак не фиксировали значение размера ямы I и лишь предполагали его
достаточно большим. Определим теперь / из требования, чтобы энергия A0.19) была
наименьшей. Имеем
дЕ
1Г = 0
при
1 = №, A0.20)
у "о
и минимальное значение энергии для конфигураций используемого типа равно
Глава 10. Нетопологические соли тоны 171
При достаточно больших Q это выражение меньше, чем m^Q, что и требовалось.
Подчеркнем, что описанные конфигурации действительно локализованы: поле
<р(х1) быстро стремится к своему вакуумному значению при больших х1, а f(x',i)
экспоненциально стремится к нулю при |х'| —»оо.
Для того, чтобы наши оценки были справедливыми, требуется, чтобы размер
ямы был велик. Равенство A0.20) показывает, что это действительно верно при
достаточно больших Q.
Оценим значение заряда Qcrjt, больше которого в модели имеется нетопологиче-
нетопологический солитон. Для этой оценки пренебрежем первым слагаемым в энергии солитона
A0.21) и потребуем, чтобы его энергия была равна энергии нелокализованного
состояния:
Получим с учетом A0.12)
<?crit = 2тг^т;2. A0.22)
m
При Q ~ Qcrj, размер построенной нами конфигурации в действительности
не велик,
Поэтому приведенное выше вычисление энергии этой конфигурации несправедливо,
вообще говоря, при Q ~ QCnt- Это означает, в частности, что коэффициенту
2тг^ в формуле A0.22) для критического заряда доверять нельзя. Вид солитонной
конфигурации для Q ~ Qcrjt и истинное значение критического заряда могут быть
получены лишь численно; можно только утверждать, что
Qcrit ~ V2
при больших v и mv ~ гп^.
Напомним, что в A + 1)-мерном пространстве-времени характерное значение
поля v играет роль обратной константы связи, т.е. пределу слабой связи соответ-
соответствует у1 —* оо при фиксированных mv и тп^. Таким образом, нетопологические
солитоны в моделях со слабой связью имеют большой заряд,
Q > (константа связи).
Отметим, что масса легчайшего нетопологического солитона также велика,
•Men, = E(QcA) ~ miV2.
Так же, как и для топологических солитонов, размер солитона значительно превы-
превышает его комптоновскую длину волны: из A0.20) и A0.21) имеем соотношение
E(Q)«Q)~Q '
В этом смысле топологические и нетопологические солитоны имеют аналогичные
свойства.
с> Задача 3. Показать, что в модели A0.1) нетопологические солитоны имеются (при
достаточно больших зарядах) в пространстве-времени любой размерности (d + 1),
d ^ 1. Оценить критический заряд и массу нетопологического солитона при d = 3,
считая безразмерную константу h малой, о ^£ ~ 1.
172 Глава 10. Нетопологические солитоны
Нетопологические солитоны описанного в этой главе типа возникают во мно-
многих моделях, где имеется сохраняющийся заряд, а соответствующая симметрия
не нарушена спонтанно. Еще раз отметим физическую причину их появления: при
достаточно больших Q энергетически выгодным оказывается состояние, в котором
поля, несущие заряд (в нашем случае £), удерживаются в конечной области про-
пространства; в этой области поле, придающее им массу (в нашем случае (р) имеет
отличное от вакуумного значение, такое, что масса заряженных полей равна нулю.
На языке частиц энергетическая выгодность такого состояния видна из следующего качествен-
качественного соображения. Для того, чтобы заряд состояния был равен Q, необходимо присутствие Q
штук заряженных частиц (описываемых полем £). Конфигурация поля ip, изображенная
на рис. 10.1, представляет собой потенциальную яму для этих частиц. В яме их масса равна
нулю, что дает выигрыш в энергии порядка Q по сравнению со свободными частицами (если I
фиксировано). При достаточно больших Q этот выигрыш в энергии превышает энергию, не-
необходимую для того, чтобы яма образовалась (последняя энергия равна Ev и не зависит от Q
при фиксированном 2).
Это соображение имеет, очевидно, весьма общий характер. Оно справедливо и в моделях,
где роль заряженных частиц играют фермионы, если число их типов достаточно велико
(принцип Паули не позволяет применить приведенные аргументы в моделях с одним типом
или небольшим количеством типов фермионов).
Глава 11
Туннелирование
и евклидовы классические решения
в квантовой механике
Локализованные решения классических уравнений поля, чье существование
обусловлено нелинейностью этих уравнений, важны не только для описания части-
цеподобных состояний — солитонов. Такие решения возникают и при исследовании
совершенно другого класса вопросов. Речь идет о процессах туннелирования в кван-
квантовой теории поля (и в квантовой механике). В теориях с малой константой связи эти
процессы могут быть исследованы квазиклассическим методом, при этом ключевую
роль играют локализованные решения уравнений поля в евклидовом пространстве-
времени — решения инстантонного типа. Они определяют лидирующую квазиклас-
квазиклассическую экспоненту в вероятности туннелирования. Еще один класс решений —
сфалероны — определяет высоту барьера, разделяющего классически стабильные
состояния поля. В этой и последующих главах мы остановимся на данном круге во-
вопросов, сначала на примере квантовомеханических систем, а затем в рамках теории
поля.
Отметим, что инстантонные эффекты существенны как для понимания свойств
основного состояния — вакуума — в калибровочных теориях, так и для теоретичес-
теоретического исследования процессов, происходящих в ранней Вселенной. Методы, которые
будут изложены в этой и последующих главах, имеют близкие аналоги в теории
конденсированных сред.
11.1. Распад метастабилыюго состояния
в квантовой механике одной переменной
Простейшая система, в которой возникает задача о распаде метастабильного
состояния, — это квантовая механика одной переменной q, описываемая потен-
потенциалом V(q), изображенным на рис. 11.1. Нас будет интересовать распад основного
метастабильного состояния, т.е. такого состояния, которое было бы основным
в потенциальной яме вблизи точки до, если бы барьер был непроницаем. В ква-
квазиклассической ситуации вероятность туннелирования через потенциальный барьер
дается известным выражением
Г = Ле-я, A1.1)
где Г — ширина метастабильного состояния (Г = \, г — время жизни), А —
предэкспоненциальный множитель, а 5ь — главная квазиклассическая экспонента,
A1.2)
174
Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
•'sph
V(q)
9о
Рис. 11.1.
здесь М — масса частицы; q\ — точка поворота, в которой V(<?i) = 0, см. рис. 11.1;
мы положили для удобства в дальнейшем, что в локальном минимуме потенциала
V(q>)=0.
Заметим сразу, что S\, совпадает с евклидовым действием, вычисленным
на классической траектории частицы, движущейся «в мнимом времени» с энер-
энергией Е = О из точки q = <fo в точку q = qt и обратно. Чтобы пояснить сделанное
утверждение, запишем сначала обычное действие для классической частицы в по-
потенциале V(q):
S= fl — f—Y-V{q)\dt. A1.3)
Сделаем, чисто формально, в этом действии замену t = -ir, и будем считать т
действительным. Тогда действие 11.3 превратится в iS^., где
dr.
A1.4)
Функционал 5е мы будем называть евклидовым действием, а т — евклидовым
временем.
Причина возникновения термина «евклидово время» — в том, что метрика Минковского
ds2 = dt2 - dx2 при формальной замене t = — ir превращается, с точностью до знака,
в евклидову метрику ds\ = dr2 + dx1. Мы увидим, что туннельные процессы в теории поля
описываются решениями уравнений паля в евклидовом пространстве-времени. Подчеркнем,
что введение евклидова времени — это чисто формальный прием.
Уравнение движения, следующее из действия 11.4, имеет вид
м42я_дУ_ д(-у)
dr2
A1.5)
dq dq
Это уравнение формально совпадает с уравнением ньютоновской механики для
частицы в потенциале (-V), изображенном на рис. 11.2. Интеграл движения этого
уравнения
11.1. Распад метастабильного состояния в квантовой механике
175
-V(q)
Рис. 11.2.
мы будем называть евклидовой энергией.
Рассмотрим решение с нулевой евклидовой энергией, которое начинается при
т —*■ —оо в точке q = qo, достигает точки q\ и возвращается в точку qo ПРИ
т -* +оо. Отметим, что выбором начала отсчета евклидова времени т можно
добиться того, что точка поворота q = q\ достигается при т = 0. Такое решение
называют «отскоком» (bounce), или отскоковым решением; будем обозначать его
5ь(т). Евклидово действие на этом решении равно
A1.6)
где мы воспользовались тем, что £ = 0 для отскока. Интеграл A1.6) преобразуется
к виду A1.2) путем перехода к переменой qb с помощью формулы dr = лА/ы^ЗЬ-
В итоге имеем
ft = 5ЕЫт)]. A1.7)
Таким образом, квазиклассическая экспонента распада метастабильного состояния
равна евклидову действию на отскоковом решении.
> Задача 1. Найти поведение отскокового решения вблизи q = qo- Показать, что точка qo
достигается асимптотически, при г —> -оо или т —» +оо. Считать потенциал
вблизи q = qo квадратичным, V(q) — \V"(qu){q - qoJ + O[(q- qoK} ■
> Задача 2. Показать, что квазиклассическая экспонента распада высоковозбужденного
метастабильного состояния с энергией Е в яме потенциала V(q) (рис. 11.1) опре-
определяется укороченным евклидовым действием на периодическом решении евклидова
уравнения A1.5) с £ = -Е. (Укороченным евклидовым действием для периодичес-
периодического решения q(r) с периодом То и евклидовой энергией £ называется выражение
Eе [д(т)] + £т0), где S£[q(r)] — евклидово действие за один период.)
Разумеется, результат A1.7) не случаен. Чтобы прояснить связь туннельной
экспоненты с отскоковым решением и наметить путь его обобщения на кванто-
квантовую механику с многими переменными и теорию поля, получим его несколько
176 Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
более систематическим образом. Запишем уравнение Шредингера для стационар-
стационарного состояния, такого, что вблизи q = q0 оно совпадает с основным состоянием
в потенциальной яме,
.д\2
Здесь мы пренебрегли отличием энергии этого состояния от нуля — это законно при
вычислении квазиклассической экспоненты. В классически запрещенной области
9о < 9 < 9i решение представляет собой, вообще говоря, сумму падающей и ра-
растущей экспонент, причем падающая экспонента значительно превышает растущую
всюду, кроме малой окрестности точки q = qi- Поэтому нас будет интересовать
экспоненциально падающая компонента волновой функции, которая с точностью
до предэкспоненциального множителя равна
где, как обычно, S(q) удовлетворяет уравнению
Квазиклассическая экспонента для вероятности распада определяется волновой
функцией на границе запрещенной области (в точке q\). Таким образом
. A1.9)
Вблизи q = q0 волновая функция не мала, поэтому
S(qo)=O. A1.10)
Для системы с одной переменной q уравнение A1.8) легко решить непосредственно
(и получить выражения A1.1), A1.2) с помощью A1.9)). Можно, однако, заметить
и то, что уравнение A1.8) является стационарным уравнением Гамильтона—Якоби
для теории с действием A1.4). Как известно из классической механики, класси-
классические траектории движения являются характеристиками уравнения Гамильтона—
Якоби, и решения уравнения Гамильтона—Якоби можно получить, проинтегрировав
лагранжиан вдоль классических траекторий. В данном случае речь идет о теории
с действием A1.4), поэтому классические траектории удовлетворяют евклидову
уравнению A1.5). Кроме того, стационарное уравнение Гамильтона—Якоби A1.8)
характеризуется нулевой евклидовой энергией £, поэтому его решение определяется
траекторией с £ = 0. Учитывая A1.10), получим решение уравнения A1.8) в виде
A1.11)
где 9ь — решение уравнения A1.5) с £ = 0, т.е. в точности отскоковое решение,
а интегрирование ведется от значения т = —оо, где <jrb = qa, до такого значения т,
где qb(r) = q.
t> Задача 3. Показать непосредственным вычислением производной j-, чта функция S(q),
заданная формулой A1.11), удовлетворяет уравнению A1.8).
11.1. Распад метастабильного состояния в квантовой механике 177
Считая, что точка поворота достигается при т = 0, получим для показателя
экспоненты в A1.9)
о
*■>-/*["(£)'♦'<•>
L
-оо
Учитывая, наконец, симметрию отскокового решения относительно замены г -^> —т,
получим 5ь = 2S(q\), поэтому выражение A1.9) действительно совпадает с A1.1),
A1.2).
t> Задача 4. Обобщить изложенное соображение на случай ненулевой энергии и получить
таким способом результат задачи 2.
В заключение этого раздела упомянем еще об одном решении уравнений клас-
классического движения, представляющем интерес. Это — точка максимума потенциала
(<?тах на Рис. 11.1), которая представляет собой неустойчивое (в обычном времени)
статическое решение уравнения ньютоновской механики. Она определяет высоту
потенциального барьера, V^ = V(qmax), для данной системы. Решения с этим свой-
свойством называют сфалеронами. Высоту потенциального барьера полезно знать при
изучении процессов, происходящих при конечных энергиях (при Е > V^,h процесс
выхода из ямы может происходить без туннелирования, с вероятностью порядка
единицы в квантовой механике с одной степенью свободы; при Е < V^,h тунне-
лирование обязательно и вероятность экспоненциально мала), а также процессов
при конечных температурах. Остановимся чуть подробнее на последнем случае. При
конечных, но не слишком высоких температурах (Г «С V^; константу Больцмана
полагаем равной единице, так что температура измеряется в единицах энергии)
возбужденные уровни в яме заселены в соответствии с распределением Больцмана
где Р{Е) — вероятность того, что частица, взаимодействующая с термостатом
с температурой Г, имеет энергию Е. В частности, имеется конечная вероятность
того, что частица будет характеризоваться энергией Е ^ Vsph, попадет на вершину
барьера и покинет яму без туннелирования. Такой процесс — чисто классический;
он приводит к вероятности распада Г (величине, обратной времени жизни частицы
в яме при конечной температуре), подавленной больцмановской, а не туннельной
экспонентой,
Гг = е" Т ,
с точностью до предэкспоненциального множителя (формула Аррениуса). Даже
при Т -С V^ph эта величина может значительно превышать туннельную экспоненту
e~Sb, поэтому начиная с некоторой температуры тепловые прыжки становятся
доминирующим механизмом распада. Их скорость определяется высотой барьера —
энергией сфалерона Vspb = V(qm).
> Задача 5. При промежуточных температурах наибольшую вероятность может иметь
процесс туннелирования с возбужденного уровня с энергией Е < Vsph- Его вероят-
вероятность, с точностью до предэкспоненциального множителя, дается произведением
вероятности того, что частица имеет энергию Е, и вероятности туннелирования
из состояния с энергией Е:
Г = е-!е-г<в)=е-?-?<в>, A1.12)
178 Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
причем требуется найти максимум этого выражения по энергии. Здесь S(E) —
квазиклассическая экспонента для туннелирования из состояния с энергией Е. Най-
Найти связь показателя экспоненты A1.12) с периодическими евклидовыми решениями,
рассмотренными в задаче 2: убедиться, чта показатель экспоненты связан с дей-
действием на соответствующем решении, а температура — с его периодом. Нарисовать
качественную зависимость показателя экспоненты в A1.12) от /3 = Т~х.
Отметим, что все изложенное в этом разделе применимо к квазиклассическим
ситуациям. Необходимым условием для этого является большое значение 5ь, т.е.
экспоненциально малая вероятность распада основного метастабильного состояния.
t> Задача 6. Пусть потенциал имеет вид
Найти соотношение между массап частицы М и параметрами (i и А, при катарых
выполняются стандартные условия применимости квазиклассическога приближения.
Найти зависимость 5ь от параметров М, у. и А и показать, что в области приме-
применимости квазиклассического приближения вероятность туннелиравания из аснавнаго
састояния qo = 0 действительно экспоненциально мала. Провести вычисление энер-
энергии оснавнаго метастабильного састояния в первых двух порядках теарии возмуще-
возмущений по X и убедиться в применимости теории возмущений при указанных значениях
параметров.
Результаты этой задачи иллюстрируют достаточно общую ситуацию: если параметры теории
таковы, что применима обычная теория возмущений, то распад основного метастабильного
состояния можно, как правило, описывать в рамках квазиклассического приближения.
11.2. Обобщение на случай многих переменных
Найденная в предыдущем разделе связь между решениями евклидовых клас-
классических уравнений движения и квазиклассической экспонентой для вероятности
туннелирования из основного состояния допускает обобщение на квантовую механику
систем со многими переменными q = {ql,.--,q") (и теорию поля). Сформулиру-
Сформулируем сначала рецепт для вычисления вероятности (Бэнкс, Бендер, By, 1973; Бэнкс,
Бендер, 1973), а затем займемся его обоснованием.
Рассмотрим для определенности систему с классическим действием (в обычном
времени)
5= f dt\ — (—Y-
J L 2 V dt I
Будем считать, что потенциал имеет (достаточно глубокий) локальный минимум
в точке q = qo," выберем начало отсчета энергии так, что V(qo) = 0. Будем счи-
считать далее, что имеется область, где V(q) < 0, отделенная барьером от локального
минимума. На классическом уровне частица, покоящаяся в точке qo, находится в со-
состоянии устойчивого равновесия. В квантовой механике соответствующее основное
состояние в потенциальной яме метастабильно, и вероятность его распада Г (вели-
(величина, обратная времени жизни) в квазиклассической ситуации равна
11.2. Обобщение на случай многих переменных 179
где А — сублидирующий предэкспоненциальный множитель, а 5Ь — главная
квазиклассическая экспонента. Рецепт нахождения главной экспоненты состоит
в следующем. Для вычисления S\, необходимо перейти к евклидову времени, т. е.
рассмотреть систему с действием
[f(S)'H (ИЛ5)
и найти отскоковое решение классических уравнений движения, следующих из дей-
действия A1.15). Это отскоковое решение <й,(т) должно обладать следующими свойства-
свойствами: 1) при т —» -оо иг-» +оо отскоковое решение должно стремиться к локальному
минимуму потенциала, qb(r —» ±оо) = qo; 2) решение должно иметь точку поворота
при некотором т (без ограничения общности можно считать, что это — «момент»
т = 0),
dqL
-^ =0 для всех i. (П-16)
»т т=о
Таких решений имеется, как правило, конечное число; нужно выбрать такое, на ко-
котором евклидово действие A1.15) минимально (если система обладает непрерывной
симметрией типа вращения координат q, то могут иметься — и обычно имеются —
семейства отскоковых решений, отличающихся друг от друга преобразованием сим-
симметрии; евклидово действие на решениях из одного семейства одинаково, и по-
прежнему нужно минимизировать евклидово действие среди всех семейств подоб-
подобного рода). Показатель экспоненты, фигурирующий в A1.14), равен евклидову
действию на (наиболее выгодном) отскоковом решении,
Сделаем несколько замечаний в связи с изложенным рецептом. Прежде всего,
он работает только для туннелирования из основного метастабильного состояния.
Аналогичного рецепта для туннелирования из фиксированного возбужденного со-
состояния в потенциальной яме не известно.
Далее, уравнения движения, вытекающие из действия A1.15), формально имеют
вид уравнений ньютоновой механики в потенциале [—^)]
d2q d(-V)
шё,т1~ 8q • . v"-x#/
Интеграл движения для этих уравнений — евклидова энергия
т(*0 -v^=£- A118)
Для отскока справедливо £ = 0; именно при этой евклидовой энергии частица,
движущаяся в потенциале [- V(q)], закатывается на его вершину qo (или скатывается
с вершины) за бесконечное время, т.е. % —» qo при т —» ±оо.
В силу A1.16) все компоненты скорости равны нулю при т = 0, откуда следует,
что V (%(т = 0)) = 0 (из сохранения евклидовой энергии и £ = 0); иначе говоря, при
т = 0 частица находится на границе, разделяющей классически разрешенную (V < 0)
и классически запрещенную (V > 0) области исходной системы. Наконец, снова
в силу A1.16), отскоковое решение симметрично относительно замены т —> —т,
т.е. частица в потенциале (—V) скатывается с горба, останавливается на границе
180 Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
области V > 0 и вновь закатывается на горб по исходной траектории. При этом
о
С учетом A1.18) и £ = О это выражение можно преобразовать к виду
где qi = Чь(т = 0) — точка поворота, интегрирование ведется вдоль отскоковой
траектории, а
— элемент длины траектории. Отметим, что отскоковую траекторию иногда назы-
называют еще путем наиболее вероятного выхода из-под барьера (most probable escape
path).
Перейдем к обоснованию описанного рецепта. Как и в предыдущем разделе,
нас интересует решение стационарного уравнения Шредингера с нулевой энергией
в классически запрещенной области V(q) > 0, которое экспоненциально убывает
при удалении от локального минимума потенциала qo- По крайней мере в некоторой
окрестности точки qo решение можно искать в виде
A1.21)
где A(q) — медленно меняющаяся предэкспонента. Как обычно, для 5(q) получим
из A1.20) уравнение
О1* AL22)
Это уравнение снова выглядит как стационарное уравнение Гамильтона—Якоби
с нулевой энергией для системы с действием A1.15); его характеристики — решения
евклидовых уравнений Ньютона A1.17). На S(q) снова необходимо наложить условие
5(*) = О,
необходимое для того, чтобы волновая функция A1.21) была не мала в точке qo.
Обсудим подробнее важные для нас решения ньютоновских уравнений A1.17) —
характеристик уравнения A1.22). Нас интересуют решения с евклидовой энергией £,
равной нулю, которые начинаются (при т —> -оо) из точки qo- Если рассматривать
точки q в достаточно малой, хотя и конечной, окрестности точки qo, то через
каждую такую точку проходит одна и только одна характеристика указанного типа
(мы предполагаем, что потенциал V(q) квадратичен вблизи qo).
> Задача 7. Доказать сделанное только что утверждение, считая, что вблизи точки
q = qo потенциал имеет вид
УЫ) = \njtf - <&)W -4) +о [(з - Ф>K],
где ftij — положительно определенная квадратичная форма.
11.2. Обобщение на случай многих переменных
181
В этой области решение уравнения A1.22) имеет вид
A1.23)
где q(r) — траектория с нулевой евклидовой энергией, начинающаяся в qo и про-
проходящая через точку q в «момент» r(q).
Новое обстоятельство в системах с более чем одной переменной состоит в том,
что. евклидовы траектории указанного типа покрывают, вообще говоря, не всю
область с V(q) > 0 (классически запрещенную область исходной системы). Если
потенциал не обладает достаточно широкой симметрией, то большинство интере-
интересующих нас траекторий (т.е. таких, которые начинаются на вершине потенциала
(-V(q)) и имеют нулевую евклидову энергию) загибаются, не дойдя до поверхно-
поверхности V'(q) = 0, и пересекаются с другими такими же траекториями (см. рис. 11.3,
где траектории изображены непрерывными линиями со стрелками). Решение ев-
V <0
Рис. 11.3.
клидова уравнения Гамильтона—Якоби в виде A1.23) возможно лишь в области,
ограниченной огибающей наших траекторий, которою называют каустикой, или
каустической поверхностью. Каустика изображена на рис. 11.3 пунктирной линией.
Вне каустической поверхности найти убывающее решение уравнения Шредингера
A1.20) изложенным только что способом невозможно.
Нас, однако, в действительности и не интересует решение уравнения Шре-
Шредингера во всей области V > 0. Все, что нам важно — это максимальное значение
\ip\2 на поверхности V = 0. Чтобы найти это значение, рассмотрим сначала зна-
значения |^>(q)|2 на каустической поверхности. Они по-прежнему даются выражением
A1.21). Далее, «евклидова функция действия» 5(q) изменяется вдоль каустической
поверхности, причем
9S(q) dq
= М—, A1.24)
где слева записан градиент евклидова действия в точке q каустической поверхности,
а справа — евклидов импульс на траектории, касающейся каустической поверхности.
Этот импульс касателен к каустической поверхности, так что евклидово действие
182 Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
действительно изменяется вдоль каустики (на рис. 11.3 оно растет в направлении,
показанном стрелкой).
Зададимся теперь вопросом о минимуме евклидова действия S(q) на каустиче-
каустической поверхности. Поскольку градиент S(q) касателен к каустической поверхности,
в этом минимуме выполняется
)
а,.0-
Из A1.24) видно, что в этом минимуме скорость частицы обращается в нуль,
откуда следует, что минимум находится на границе запрещенной области, т.е.
на поверхности V(q) = 0. Эта ситуация изображена на рис. 11.4, где каустическая
поверхность изображена пунктирной, а поверхность V = 0 — сплошной линией;
сплошными линиями показаны также траектории с нулевой евклидовой энергией;
qi — точка, где действие на каустике минимально.
каустика
Рис. 11.4.
Поскольку на каустике 5(q) > S(qi), а волновая функция продолжает убывать
между каустикой и поверхностью V = 0 (это — все еще запрещенная область ис-
исходной системы), то волновая функция, рассматриваемая на поверхности V(q) = О,
имеет максимум в точке qb Иными словами, на границе классически запрещен-
запрещенной области волновая функция максимальна в точке qb где ее значение дается
выражением A1.21), a S(qi) = ^5ь, 5ь определено формулой A1.19). Это завершает
обоснование рецепта, сформулированного в начале этого раздела.
> Задача 8. Рассмотрим квантовую механику двух переменных q и у с потенциалом
1 1 1
где V(q) имеет форму, показанную на рис. 11.1. Найти отскоковое решение. Найти
форму линии W = 0, разделяющей классически разрешенную и запрещенную обла-
области, вблизи точки поворота отскокового решения. Найти классические решения
рассмотренного в этом разделе типа, близкие к отскоку. Найти каустику вблизи
точки поворота отскока, изобразить все на плоскости (q,y) no аналогии с рис. 11.4.
11.2. Обобщение на случай многих переменных 183
Используя тот факт, что переменные в потенциале W(q,y) разделяются, найти
квазиклассическую волновую функцию в области между каустикой и границей за-
запрещенной области и убедиться, что на линии W(q,y) = 0 она действительно
минимальна в точке поворота отскокового решения.
Итак, задача нахождения квазиклассической туннельной экспоненты распада
основного метастабильного состояния сводится к нахождению отскокового реше-
решения qb(f), т. е. решения евклидовых классических уравнений движения с нулевой
евклидовой энергией, которое стартует при т —>• -оо из точки локального минимума
потенциала V(q) (т. е. стабильного состояния классической системы), останавливает-
останавливается в некоторой точке q! поверхности V = О (поверхности, разделяющей классически
запрещенную и разрешенную области) и возвращается в локальный минимум при
т —> +оо. Волновая функция на поверхности V = О максимальна в точке q! и равна,
с точностью до предэкспоненты, е~5ь'2, где Sb — евклидово действие отскокового
решения, а главная экспонента для вероятности туннелирования равна e-Sb.
Рассмотрим теперь движение частицы после выхода из-под барьера, т. е. в клас-
классически разрешенной области. В точке qi, являющейся точкой максимума волновой
функции на поверхности V = О, градиент (главной экспоненциальной части) вол-
волновой функции равен нулю. Иными словами, частица с наибольшей вероятностью
выходит из-под барьера в точке qi с нулевым импульсом (и, соответственно,
с нулевой скоростью). Дальнейшее движение этой частицы можно найти, решая
классические уравнения ньютоновской механики в обычном времени с начальными
условиями
q(t = O)=q,,
Классическая энергия этого решения равна нулю. Таким образом, в классически
разрешенной области, как и в подбарьерной, существенна всего одна траектория.
Эта ситуация изображена на рис. 11.5. Если отскоковая траектория qt,(f) известна
явно, то для нахождения классической траектории после выхода из-под барьера
q(t) можно воспользоваться следующим соображением. Сделаем аналитическое
продолжение отскока Чъ(,Т) в комплексную плоскость т. При чисто мнимом т = it
классический путь
Рис. 11.5.
184 Глава П. Туннелирование и евклидовы классические решения
(£ действительно), функция
*(«) = q(*)
удовлетворяет обычным уравнениям Ньютона
-,<i2q 8V
(это следует, после замены обозначений, из евклидовых уравнений Ньютона A1.17),
которым удовлетворяет отскок). Далее, при т = it = О имеем q = qb = 4i и ^ =
^jb = 0. Таким образом, аналитическое продолжение A1.25) отскокового решения
в область чисто мнимого т и является искомым классическим путем.
> Задача 9. Рассмотрим теорию с одной переменной q и потенциалом
Найти отскоковое решение %(т), его аналитическое продолжение в область чисто
мнимого т и убедиться, что q(t) = %(it) действительно является классическим
решением в обычном времени, описывающем движение частицы после выхода из-под
барьера.
Так же, как и в теории с одной переменной, можно поставить вопрос о мини-
минимальной высоте барьера, разделяющего локальный минимум потенциала (точку qo)
и классически разрешенную область. Она снова связана с неустойчивым решением
(fcph статических уравнений движения (сфалероном),
В случае многих переменных q^h — это седловая точка потенциала: при движении
из qsph в одном направлении потенциал уменьшается (частица скатывается либо
в сторону локального минимума, либо в сторону разрешенной области), а во всех
других перпендикулярных направлениях — увеличивается*. Отметим, что отскоковое
решение %(т) (путь наиболее вероятного выхода из-под барьера), вообще говоря,
не проходит через седловую точку q^h (сфалерон).
Изложенные в этом разделе результаты непосредственно обобщаются на сис-
системы, более сложные по сравнению с A1.13), например, на системы с действием
типа
или системы, где координаты удовлетворяют условиям связи. В следующих главах
будет рассмотрено обобщение этих результатов на случай теории поля.
> Задача 10. Рассмотрим систему двух переменных с действием
* Если система обладает непрерывной симметрией, то сфалероны, вообще говоря, образуют не-
непрерывное семейство, и имеются безразличные направления (нулевые моды), вдоль которых потенциал
не изменяется. Эти нулевые моды соответствуют преобразованиям симметрии над одним из сфалеронов.
11.3. Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением
185
где
я\) ~
\?
я\
а) Пусть т-^ > mi, a e — мало. Найти отскоковое решение и сфалерон. Проходит
ли отскоковое решение через сфалерон?
б) То же для т.\ = mi.
в) То же для тп\ = mi и е = 0.
11.3. Туннелирование в потенциалах
с классическим вырождением
Задача о вычислении квазиклассической туннельной экспоненты возникает
и для систем с вырожденными минимумами классического потенциала. Простей-
Простейшая такая система — квантовая механика одной переменной q с симметричным
потенциалом V(q) = — '—q2 + jq4, изображенном на рис. 11.6. Если бы барьер,
Рис. 11.6.
разделяющий минимумы gJT' и q^\ был непроницаем, то в системе было бы два
вырожденных основных состояния ^q+) и i/iq"' , волновые функции которых были бы
сосредоточены вблизи q = q£' и q = q^', соответственно. При учете туннелирования
вырождение снимается, что можно увидеть следующим образом. Определим опе-
оператор отражения Р так, что (Pi>)(q) = ^(-g)- Он коммутирует с гамильтонианом,
а его собственные значения равны +1 (симметричные волновые функции) и -1 (ан-
(антисимметричные волновые функции). Низшие состояния гамильтониана сР = +1
и Р = -1 имеют вид ^s = -Jj [i/i'q' + $,-'] и^, = ^ [ф£' - $,''], соответственно, где
мы считаем, что $|+) и У1" всюду положительны, так что Ртрш = ±^>№). Функция ips
не имеет узлов, и именно она является истинным основным состоянием; ipa имеет
один узел в точке q = 0, поэтому она представляет собой первое возбужденное
состояние.
186 Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
Расщепление определяется, в главном квазиклассическом приближении, зна-
значением квазиклассической экспоненты туннелирования из точки gjj"' в точку q£\
A1.26)
где М — масса частицы.
Для того, чтобы найти разность энергий Ег и Es состояний $, и ^>s, запишем стационарные
уравнения Шредингера, которым удовлетворяют эти состояния
Умножив первое из них на rps, второе — на фг и проинтегрировав по dq от —оо до 0, получим
о
A1-27)
Учтем, что $@) = &@) = 0, &@) = >/2>J+)@), ^@) = л/2У0+"@), а также что интеграл
в правой части A1.27) набирается в области q = qo~' и равен (— \ ). Получим
£a-£s = -l^+)@)^@). A1.28)
Это уже приводит к A1.26), поскольку
'exp|
О
Можно еще привести выражение A1.28) к виду, удобному для обобщения на квантовую
механику многих переменных. Именно, учтем, что i>0+)@) = i>0~'@), i>0*y@) = -if>0'y@).
Далее, выражение в правой части равенства A1.28) экспоненциально мало, поэтому в нем
можно считать $,*' удовлетворяющим уравнению Шредингера с невозмущенной энергией Ео,
Из этого уравнения следует, что
не зависит от q. Вблизи q = gJ+) имеем tl>0*',tl>'0+y ~ 1, а ^о"у(9о+>) ~ ^о~'(9о+))- Таким образом,
Следовательно, квазиклассическая экспонента волновой функции i>0~' в правом минимуме
q0*' и определяет (Еа - Es) в главном квазиклассическом приближении. Разумеется, отсюда
снова получается, что
H
(Е, - Es) = Аехр I - / V2MVdq .
12.3. Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением
187
> Задача 11. Обобщить результат A1.29) на случай квантовой механики многих перемен-
переменных ql,q2, ■ ■ ■, qn с потенциалом V(ql,q2,..., q"), симметричным относительно пре-
преобразования ql —* —ql и имеющим минимум при q1 = ±qo, q2 = q3 = ... = qn = 0.
Повторяя рассуждения раздела 11.1, можно непосредственно убедиться, что вы-
выражение A1.26) связано с некоторым решением евклидова уравнения ньютоновской
механики
Ц
dT2 dq
Это решение обладает нулевой евклидовой энергией,
2
Оно описывает частицу в потенциале [—V(q)] (см. рис. 11.7), которая при т —* —оо
стартует с левого горба этого потенциала (из точки q^') и при т —* +оо закатывается
на правый горб (в точку q^'). В отличие от отскокового решения, рассматривавшегося
-V(q)
Рис. 11.7.
в разделе 11.1, решение не возвращается назад в точку gjj"'. Такие решения (и их
обобщения на квантовую механику многих степеней свободы и теорию поля)
называют инстантонами. Выражение A1.26) представляет собой евклидово действие
вычисленное на инстантоне Фпа(г)- Объяснение равенства между евклидовым дей-
действием инстантона и туннельной экспонентой вновь, так же, как и в разделе 11.1,
дает квазиклассическое решение уравнения Шредингера для ф^ в подбарьерной
области, сводящееся к евклидову уравнению Гамильтона—Якоби. Соответствую-
Соответствующий анализ вполне аналогичен выполненному в разделе 11.1, и мы не будем его
приводить.
Отметим еще, что вычисление квазиклассической экспоненты для расщепления
уровней в квантовой механике многих переменных (см. задачу 11) также сводит-
сводится к нахождению инстантонного решения с только что описанными свойствами,
и вычислению евклидова действия. Обоснование этого утверждения основывается
на результате задачи 11 и по существу повторяет приведенное в разделе 11.2.
188
Глава 11. Туннелирование и евклидовы классические решения
Другим примером, где играют роль инстантоны описанного только что типа,
является частица в одномерном периодическом потенциале V(q), изображенном
на рис. 11.8. Инстантон в такой системе — классическое решение в евклидовом
V(q)
2а
Рис. 11.8.
времени, которое стартует при т —* —оо из точки q = 0 и достигает точки q = о при
т —* +оо. (Аналогичное решение, начинающееся в q = 0 и заканчивающееся в точке
q = —о, называют антиинстантоном.) Евклидово действие инстантона дает квази-
квазиклассическую экспоненту туннелирования между соседними минимумами, которая,
в свою очередь, определяет энергию блоховской волны с квазиимпульсом в. Чтобы
пояснить сделанное утверждение, заметим прежде всего, что при отсутствии тунне-
туннелирования в системе имелось бы бесконечное количество вырожденных основных
состояний, волновые функции которых ipn(q) = $>(? ~~ па) были бы сосредоточены
вблизи минимумов q = no, где п — произвольное целое число. Здесь ■фй — основ-
основное состояние в яме вблизи q = 0. При учете туннелирования волновые функции
■t/>n(q) не являются уже собственными функциями гамильтониана. Чтобы построить
приближенные волновые функции, определим оператор Та трансляции на о,
Tat(q) = f(q-a). A1.30)
Этот оператор унитарен, т]та = 1, и коммутирует с гамильтонианом.
i
на произвольную волновую функцию и дока-
дока> Задача 12. Найти действие оператора
зать унитарность оператора Та.
Отметим, что
Далее, гамильтониан и Та диагонализуются одновременно, причем Та имеет соб-
собственные значения, по модулю равные единице,
Ta\e) = j'\e), A1.32)
где в 6 [0,2т). Приближенное собственное состояние гамильтониана и оператора Та
с энергией, близкой к нулю, должно строиться из состояний \п) с волновыми
функциями i/>n{q). Из A1.32) получим
11.3. Туннелирование в потенциалах с классическим вырождением 189
Действительно, из A1.31) имеем Та\п) = \п+ 1), и
+00
Та\9) =. J2 *~Ш\п+ 0 = е" £ e-i(n+1)V+ 1),
П=— ОО
откуда и следует A1.32). Состояние \в) называют блоховской волной, а параметр в —
квазиимпульсом.
При учете туннелирования энергия состояний \в) становится зависящей от в.
Главная квазиклассическая экспонента в энергии определяется евклидовым действи-
действием инстантона S\mt,
Е{9) = const - Ae~s'M cos в, A1.33)
где А — сублидирующий предэкспоненциальный фактор.
> Задача 13. Найти энергию состояния \в), т. е. убедиться в справедливости равенства
A1.33).
Отметим, что рассмотренная здесь квантовая механика частицы в периодичес-
периодическом потенциале используется в качестве модели поведения электронов в идеальном
кристалле.
В качестве последнего квантовомеханического примера туннелирования рас-
рассмотрим физический маятник массы М и длины /. В качестве координаты для него
фигурирует угол, который мы по-прежнему будем обозначать буквой q; при этом
на волновую функцию накладывается условие периодичности
f{q + 2ir) = f(q). A1.34)
Потенциал для этого маятника равен
V(q) = Mgl(l-cosq),
где мы выбрали начало отсчета энергии так, что V@) = 0. Эта система формально
совпадает с точкой в периодическом потенциале, изображенном на рис. 11.8, при о =
2тг; единственное отличие состоит в дополнительном условии A1.34). Подбарьерный
процесс для маятника — это полный оборот, при котором q изменяется от нуля до 2т.
В силу A1.34), параметра в, характеризующего различные состояния маятника,
не возникает; на языке оператора T2l[, введенного в A1.30), свойство A1.34)
означает, что
т.е. в терминах модели рис. 11.8 мы должны ограничиться сектором с в = 0.
Параметр типа в можно ввести, рассмотрев другую систему, а именно, физи-
физический маятник в потенциале Ааронова—Бома. Будем считать, что маятник имеет
электрический заряд е, а вращается он вокруг тонкого соленоида с магнитным
потоком Ф (рис. 11.9, магнитное поле Н направлено перпендикулярно рисунку).
В плоскости маятника имеется вектор-потенциал А, циркуляция которого вдоль
окружности, по которой движется маятник, пропорциональна магнитному потоку
lAdq = Ф.
о
Без ограничения общности можно считать, что А направлен касательно к окружности
маятника.
190 Глава П. Туннелирование и евклидовы классические решения
X
A
M, e
Рис. 11.9.
Гамильтониан для такого маятника получается, как обычно, удлинением про-
производной,
1 2
В терминах переменной q он равен
причем на волновую функцию по-прежнему наложено условие A1.34). Перейдем
к новой волновой функции <p(q) согласно
1
ieftAdq
f(q) = e • ip(q).
В ее терминах уравнение Шредингера будет иметь стандартный вид с гамильтонианом
т. е. с гамильтонианом для маятника в отсутствие вектор-потенциала. Однако функ-
функция <p(q) не будет уже периодична; для tp(q) вместо A1.34) имеем
Это — в точности условие Тгж<р = e'V с в = еФ, так что мы приходим к в -сектору
модели рис. 11.8. Формула A1.33) описывает теперь зависимость энергии основного
состояния маятника от магнитного потока.
Из рассмотренного примера видно, что интерпретация 0-состояний зависит
от модели: в системе с периодическим потенциалом (рис. 11.8) 0-состояния — это
различные состояния одной и той же системы, а для маятника — это состояния
различных систем (маятников в присутствии различных потенциалов Ааронова—
Бома).
> Задача 14. Показать, что гамильтониан A1.35), где для простоты А считаем не зави-
зависящим от q, A = ^fj, соответствует классическому лагранжиану
A1.36)
Отметим, что второе слагаемое не дает вклада в классические уравнения движения.
а) Сделав формальную замену t = — гт, найти функционал евклидова действия.
б) Найти инстантон и его евклидово действие. Дать интерпретацию мнимого
слагаемого в евклидовом действии.
11.3. Туннелирование в потенциалах с клоссическим вырождением 191
В заключение этого раздела заметим, что во всех рассмотренных примерах
имеет смысл рассматривать также сфалероны — неустойчивые статические решения
уравнений движения §£ = 0, которые определяют высоту барьера, разделяющего
классические минимумы. Для потенциала рис. 11.6 сфалерон — это точка q — <jrsph =
О, на рис. 11.8 — точки максимума потенциала, для физического маятника — точка
q = х, где маятник стоит вверх ногами.
Так же, как и в разделе 11.2, в системах с многими переменными и выро-
вырожденными минимумами потенциала сфалерон — это седловое решение статических
уравнений |^ = 0 с одной отрицательной модой. Его можно определить также
следующим образом. Рассмотрим для примера потенциал в системе с многими
переменными, периодический по одной из переменных q\ и имеющий минимумы
(с V = 0) в точках q\ = па, qi = 93 = • • • = 0 (такой выбор координат возможен без
ограничения общности). Рассмотрим всевозможные пути С, соединяющие соседние
минимумы потенциала. На каждом из этих путей введем параметр Л 6 [0,1], так что
Ч(Л = 0) = @,0,...,0), q(A = 1) = (о,0,...,0). Рассмотрим статическую энергию
как функцию точки на пути,
V{\) = V(q(A)).
Ясно, что V@) = V(l) = 0, и имеется максимальное значение V(A) в некоторой
точке пути, max V(A). Эта величина — высота барьера вдоль данного пути С. Чтобы
А
определить минимальную высоту барьера, найдем минимум выражения maxV(A)
по всем путям, соединяющим соседние минимумы,
Vsph = minmaxV(A). A1.37)
С А
Это и будет минимальная высота барьера, а точка, где минимакс A1.37) достигает-
достигается — это сфалерон ч^.
В моделях типа физического маятника это рассуждение нужно слегка модифи-
модифицировать. В этом случае минимум у потенциала V(q) всего один, однако существуют
нестягиваемые пути, замкнутые в конфигурационном пространстве (пространстве
возможных значений {q}), выходящие и заканчивающиеся в минимуме потенциала.
Туннельный процесс в таких моделях — это подбарьерное «движение» вдоль такого
нестягиваемого пути. В предыдущем рассуждении в качестве С должны выступать
всевозможные нестягиваемые замкнутые пути, начинающиеся и оканчивающиеся
в классическом основном состоянии. В остальном это рассуждение не меняется.
Глава 12
Распад ложного вакуума
в теории скалярного поля
12.1. Предварительные соображения
В этой главе мы рассмотрим модель одного действительного скалярного поля
в d-мерном пространстве-времени (d ^ 3) с действием
= Jddx[±(dll<pJ-V(<p)],
A2.1)
где скалярный потенциал V((p) имеет вид, показанный на рис. 12.1. Подчеркнем, что
Рис. 12.1.
V((p) представляет собой плотность энергии однородного и статического скалярного
поля, величина которого равна <р (всюду в пространстве).
На классическом уровне в модели имеется два устойчивых статических состо-
состояния: состояние <р = <р- (ложный вакуум), плотность энергии в котором выбрана
равной нулю без ограничения общности, и состояние <р = <ро (истинный вакуум),
где плотность энергии отрицательна, а полная энергия пропорциональна простран-
пространственному объему (и равна -оо в пределе бесконечного объема).
Предположим, что в начальный момент времени система находится в ложном
вакууме <р = tp... В квантовой теории возможен, вообще говоря, туннельный процесс,
в конечном итоге приводящий систему в истинный вакуум <р = <ро. В предположении
о квазиклассическом характере этого процесса его вероятность будет экспоненци-
экспоненциально мала. Задача состоит в вычислении квазиклассической экспоненты для этой
вероятности.
12.1. Предварительные соображения 193
Прежде всего мы должны пояснить, что такое квантовая теория поля с действием
A2.1). Для наших целей будет достаточно следующих соображений. Представим
себе, что (d - 1) -мерное пространство дискретно, т. е. состоит из отдельных точек X;.
Простейший вариант — это кубическая решетка; для нее индекс i — это на самом
деле (d - 1) целых индексов i = (»ь...,»,,_,). Каждый узел этой решетки имеет
координаты (х|,...,х^_|)| = (ai\,... ,otj_i), где о — расстояние между узлами
решетки. На каждом узле решетки зададим переменную <pi(t). Будем далее считать,
что пространственные размеры системы конечны, хотя и велики; тогда индексы
*i> —. «л—1 будут пробегать конечный ряд значений. Теперь можно рассмотреть
систему с действием
f fi(^JiJ A2.2)
где дискретизованный градиент, например, вдоль первой координаты равен (V\<p)i —
\(<Pu+i,ii,...,i4.t ~ Vii.b.-.'j-i)- Таким образом мы приходим к системе с конечным, хотя
и очень большим, числом переменных <р\. На квантовом уровне она представляет
из себя квантовую механику конечного числа переменных. Физически ясно, что
при достаточно малых о система с действием A2:2) не отличается от теории поля
с действием A2.1), по крайней мере на классическом уровне. На квантовом уровне
возникают тонкости, связанные с ультрафиолетовыми расходимостями и перенорми-
перенормировкой, однако для нас эти тонкости будут несущественны. Действительно, мы будем
рассматривать только лидирующие квазиклассические экспоненты, для вычисления
которых по существу достаточно лишь знание классической теории (в обычном или
евклидовом времени). Итак, для наших целей достаточно считать теорию A2.1) мо-
моделью с конечным, хотя и очень большим числом переменных, а пространственные
координаты х воспринимать как нумерующие переменные <р(х, t) (при этом время
мы считаем непрерывным, как обычно в квантовой механике).
После этого общего замечания вернемся к распаду ложного вакуума. Состо-
Состояния ложного вакуума и истинного вакуума пространственно однородны, однако
переход между ними пространственно однородным быть не может. Действительно,
туннельная экспонента для пространственно однородного туннелирования пропор-
пропорциональна пространственному объему системы, поэтому однородный переход идет
с нулевой вероятностью в пределе бесконечного объема (сравни с обсуждением
в конце раздела 5.1). В то же время, возможен процесс неоднородного туннели-
туннелирования, конечным результатом которого является переход в состояние истинного
вакуума. Именно, для туннельного процесса достаточно, чтобы система выходила
из-под барьера с нулевой статической энергией. В нашем случае под статической
энергией нужно понимать величину
= J <
V(V)].
A2.3)
Отметим, что именно это выражение является аналогом потенциала в квантовой
механике, поскольку в нем не содержатся производные <р по времени (лучше
всего это видно в дискретной версии A2.2): подынтегральное выражение в A2.2)
представляет собой квантовомеханический лагранжиан — разность кинетического
члена, квадратичного по ф\, и потенциального слагаемого, не зависящего от ф\\
в непрерывном пределе потенциальное слагаемое сводится к A2.3)).
Добиться того, чтобы i?stal = 0, а конфигурация поля имела <р Ф <р- лищь ло-
локально в пространстве, можно, рассматривая пузырек истинного вакуума в ложном
194
Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля
переходная
область
(стенка)
Рис. 12.2.
(Волошин, Кобзарев, Окунь, 1974), см. рис. 12.2. Статическая энергия такого пу-
пузырька складывается из энергии переходной области (стенки), где поле изменяется
от ip0 до (р-, и энергии внутренности пузырька. Энергия стенки пропорциональна
ее площади и положительна, const ■ Rd~2, а энергия внутренней области отрицатель-
отрицательна и пропорциональна объему пузырька, const-Л*1. Таким образом, статическая
энергия оценивается величиной
где ц > О и с к (-V(<p0)) > 0; ее график изображен (для d > 3) на рис. 12.3. Пузырек
R
Рис. 12.3.
размера Щ может образоваться в результате туннельного процесса. Из рис. 12.3 вид-
видно, что после образования пузырек будет расширяться, в результате чего истинный
вакуум будет заполнять все большую область пространства. В конечном итоге вся
система перейдет в состояние истинного вакуума <р = <ро.
Мы увидим, что буквально такая картина имеет место только в специальном
случае, когда энергия истинного вакуума мало отличается от энергии ложного ва-
12.2. Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок) 195
куума, т.е. когда |V(y>o)l мал по сравнению со всеми остальными параметрами.
В общем случае в момент спонтанного образования «стенка» имеет размер, сравни-
сравнимый с размером самого пузырька, так что о стенке и внутренней области в момент
образования говорить в действительности не имеет смысла. В центре пузырька
в момент его образования поле, вообще говоря, может сильно отличаться от <ра.
Тем не менее, описанная картина ухватывает основные черты процесса образова-
образования пузырька; она буквально работает через достаточно долгое время после его
образования.
Качественные соображения этого раздела позволяют установить и пример-
примерную структуру сфалерона (критического пузыря). Сфалерон в нашей модели —
это такая конфигурация в (d - 1)-мерном пространстве, которая (после слабого
«толчка») может проэволюционировать либо в истинный, либо в ложный вакуум.
На качественном уровне сфалерон — это пузырек размера R^t, (см. рис. 12.3); его
неустойчивость связана с тем, что пузырьки чуть меньшего размера схлопываются
(так что система возвращается в ложный вакуум), а пузырьки чуть большего размера
неограниченно расширяются, и истинный вакуум заполняет все пространство.
12.2. Вероятность распада:
евклидов пузырь (отскок)
Для количественного описания процесса подбарьерного образования пузыря
в главном квазиклассическом приближении (Коулмен, 1977) воспользуемся реце-
рецептом, сформулированным в разделе 11.2. Запишем действие в виде
и сделаем в нем формальную замену t = -гт. С точностью до множителя t действие
A2.4) перейдет в евклидово действие
=Jddx [^vPv) + V(<p)], A2.5)
5Е =
где мы вновь объединили координаты, х* = (г, х), а суммирование по ft = Q,...,d—l
ведется с евклидовой метрикой diag(l, 1,..., 1). Как уже отмечалось в разделе 11.1,
последнее обстоятельство дает основание называть г евклидовым временем.
Уравнения поля, следующие из действия A2.5), имеют вид
8V
-д^<р+—- = 0. A2.6)
dtp
Наша задача — найти отскоковое решение этих уравнений, которое стремилось бы
к ложному вакууму у>_ при г —» ±оо и имело бы «точку поворота». В теории поля
«точка поворота» означает «момент времени» (без ограничения общности можно
положить его г = 0), при котором
dtp
— =0 для всех х. A2-7)
Действительно, х мы воспринимаем как непрерывный индекс, нумерующий пе-
переменные, поэтому непрерывным аналогом соотношения A1.16) служит именно
A2.7).
196
Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля
Требованию
<р(т,х) —»(р.. при г —» ±оо A2.8)
и условию A2.7) можно одновременно удовлетворить, если рассматривать гладкие
сферически-симметричные поля <р(г), где г =
, с асимптотикой
A2.9)
Действительно, условие A2.9) обеспечивает выполнение A2.8), а
drvW) = -— A2.10)
обращается в нуль всюду при г = 0; точка г = 0 не является особой в A2.10),
поскольку для гладкости поля вблизи г = 0 требуется
Для сферически-симметричных полей уравнение A2.6) приводится к виду
„ d- I ,_&V_
V г V ~ dtp'
A2.11)
A2.12)
где штрих обозначает производную по г.
Убедимся, что решение уравнения A2.12) с граничными условиями A2.9),
A2.11) действительно существует. Уравнение A2.12) формально эквивалентно урав-
уравнению ньютоновской механики для частицы с координатой (р, движущейся во
«времени» г в потенциале [—V(y?)] в присутствии силы трения, пропорциональной
скорости частицы, причем коэффициент трения обратно пропорционален «време-
«времени». Условия A2.11) и A2.9) означают, что в начальный момент г = 0 частица
покоится, а в конце движения (г —* со) она закатывается точно на горб у?_ по-
потенциала (-V) (рис. 12.4). Существование такого решения вытекает из следующего
Рис.12.4.
соображения. Рассмотрим траекторию частицы, стартующей при г = 0 с нулевой
скоростью, как функцию начальной точки. Если начальная точка выбрана так, что
-V(<p(r = 0)) < 0,
12.2. Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок) 197
то частица заведомо не докатится до вершины горба, точки <р- (ее «энергия»
отрицательна). Если начальная точка выбрана очень близко ко второй вершине горба
ip = ipOt то частица будет долго находиться вблизи этой вершины, двигаясь с очень
малыми ускорением и скоростью. За это время она потеряет мало энергии (скорость
мала!). Дальнейшее движение будет происходить при больших г, когда коэффициент
трения мал. Следовательно, при таком выборе начальной точки частица потеряет
мало энергии за все время своего движения, и она перекатится через горб ip-. Таким
образом, при изменении положения начальной точки режим недокатывания до ip-
сменяется режимом перекатывания, и по соображениям непрерывности существует
начальное положение, при котором частица закатывается точно на горб при г —> оо.
Интересующее нас решение действительно существует.
Конфигурация отскока в d-мерном евклидовом пространстве-времени весьма
проста. Он представляет собой сферически-симметричный «евклидов пузырь», вне
которого поле быстро стремится к ложному вакууму <р_, а внутри сильно отличается
от <р-. В центре пузыря поле принимает значение, меньшее <ро, но может быть
довольно близко к истинному вакууму <ро. Главная квазиклассическая экспонента
для вероятности распада ложного вакуума определяется евклидовым действием этого
решения,
Г ос е"я.
о Задача 1. Рассмотрим теорию со скалярным потенциалом
V(ip) = -шр2 - hip2 + \<р* + const,
где а, Ь, А — положительные параметры.
а) Найти область значений параметров а, Ь, А, в которой потенциал имеет вид,
изображенный на рис. 12.1.
б) Пользуясь соображениями, изложенными в начале раздела 7.1, найти область
значений а, Ъ, А, в которой выполнено свойство (а) и реализуется режим слабой
связи в истинном и ложном вакуумах.
в) Найти параметрическую зависимость размера евклидова пузыря и его евклидова
действия от комбинаций параметров а, Ь, А. Убедиться, что в режиме слабой связи
евклидово действие велико (что обосновывает применимость квазиклассического
приближения).
Обсудим теперь поведение пузыря после его появления в результате тунне-
лирования. Как обсуждалось в разделе 11.2, наиболее вероятными значениями
переменных в момент выхода из-под барьера являются их значения в точке пово-
поворота евклидова решения. В теории поля «точкой поворота» является (d - 1)-мерная
поверхность т = О d-мерного евклидова пространства. Итак, в момент выхода
из-под барьера (в момент материализации пузыря) конфигурация поля совпада-
совпадает с <р(х, г = 0). Это — снова локализованная сферически-симметричная (но уже
в (d— 1)-мерном пространстве) конфигурация с (р = у>_ вне пузыря и tp близким к (ро
в центре пузыря. В момент материализации скорости равны нулю (см. раздел 11.2);
в нашем случае это означает, что
д<р
—(х, t = 0) = 0 для всех х,
at
если 4 = 0 — момент материализации пузыря.
Если известно евклидово решение (отскок) <ръ(г), то поведение пузыря вне
светового конуса в пространстве-времени Минковского (после его материализации)
198
Глава 12. Распод ложного вокуума в теории скалярного поля
можно найти, используя тот факт, что его поле (р(х, t) является аналитическим про-
продолжением решения <рь(х,т) в область чисто мнимого т = it (см. раздел 11.2). Вне
светового конуса это аналитическое продолжение сделать легко: для этого достаточ-
достаточно заменить г = \/х2 + т2 на р = Vx2 — t2 (подкоренное выражение положительно
вне конуса). Таким образом, поле пузыря в обычном пространстве-времени имеет
вид
Поверхности постоянного <р — это гиперболоиды х2 - t2 = const; они изображены
на рис. 12.5. Ясно, что глубоко внутри конуса поле достигает своего значения
в истинном вакууме, что также отмечено на рис. 12.5. С точки зрения покоящегося
Рис. 12.5.
наблюдателя размер стенки пузыря (области, где поле изменяется от у>_ до щ)
уменьшается со временем, а скорость стенки приближается к скорости света.
о Задача 2. Рассмотрим пузырь в C + 1)-мерном пространстве-времени, который расши-
расширился до большого размера. В этом случае толщина стенки пузыря мала по сравнению
с его размером; мала также и кривизна стенки. Считая, что форма стенки не ме-
меняется в ее собственной системе отсчета, и пренебрегая кривизной стенки, стенку
можно характеризовать единственной переменной xl(t) (если стенка перпендику-
перпендикулярна первой оси).
а) Вычислив тензор энергии-импульса, найти давление на стенку и ее ускорение
в инерциальной системе отсчета, мгновенно связанной со стенкой.
б) Перейдя в фиксированную инерциальную систему отсчета, найти уравнение для
xl(t). Решить это уравнение. Нарисовать мировую линию на плоскости (xl,t)
(сечение мировой поверхности стенки плоскостью х2 = х3 ~ 0).
В заключение этого раздела рассмотрим сфалерон (критический пузырь) в этой
модели. Он представляет собой неустойчивое решение статических уравнений поля
и определяет высоту барьера, разделяющего ложный и истинный вакуумы. Как
отмечалось в разделе 12.1, сфалерон должен представлять собой пузырек в ложном
вакууме в (d — 1)-мерном пространстве.
Статическое уравнение поля в d-мерном пространстве-времени имеет вид
dV
д<р
где индекс г — пространственный и пробегает значения i = l,...,d— 1. Это
уравнение совпадает с уравнением A2.6), только евклидово пространство теперь
12.2. Вероятность распада: евклидов пузырь (отскок) 199
(d - 1)-мерное, а не d-мерное. Его решение снова имеет сферическую симметрию,
ip = ip(y/xiXi), и уравнение для tp совпадаете A2.12) с заменой d на (d- 1). Иными
словами, евклидов пузырь (отскок) для (d - 1)-мерного пространства-времени со-
совпадает с критическим пузырем (сфалероном) для d-мерного пространства-времени.
Структура этого решения обсуждалась выше.
о Зодоча 3. Покозать, что критический пузырь неустойчив, и среди возмущений вокруг него
имеется отрицательная мода. Указание: воспользоваться существованием нулевых
мод вокруг критического пузыря и их свойствоми относительно пространственных
вращений.
Подчеркнем, что евклидов пузырь и сфалерон мы нашли в предположении
сферической симметрии решений. Это предположение, в действительности, можно
строго обосновать (Коулмен, 1лазер, Мартэн, 1978).
Итак, для нахождения вероятности туннелирования (при нулевой температуре)
необходимо найти отскоковое решение (евклидов пузырь), и вероятность образова-
образования пузырька истинного вакуума в ложном будет равна
Г = Ле"я,
где Sb — евклидово действие отскока, А — сублидирующий предэкспоненциаль-
ный фактор. Пузырь может образоваться в любой точке пространства, поэтому Г
представляет собой в действительности вероятность рождения пузырька на едини-
единицу пространственного объема в единицу времени. В большом объеме пространства
пузырьки будут образовываться в разных местах в разное время, расширяться, их
стенки будут затем сталкиваться; ложный вакуум «закипит». В конечном итоге
энергия ложного вакуума (точнее, ее превышение над энергией истинного вакуума)
превратится в тепло.
В полной аналогии с разделом 11.1, при достаточно высоких температурах
(но все еще малых по сравнению с энергией критического пузыря в ложном ва-
вакууме) образование пузырей происходит не путем туннелирования, а посредством
тепловых скачков с образованием критического пузыря. Вероятность таких процес-
процессов в единице объема в единицу времени пропорциональна
где Fjph — свободная энергия критического пузыря (сфалерона). В ряде случаев
свободная энергия критического пузыря совпадает с энергией критического пузыря
в теории A2.1), но со скалярным потенциалом, измененным за счет температур-
температурных поправок. Методы, изложенные в этом разделе, применимы, таким образом,
к изучению критических пузырей при конечной температуре.
Потенциалы типа изображенного на рис. 12.1 характерны для систем с фазовым
переходом первого рода. Именно в теории фазовых переходов (происходивших,
например, в ранней Вселенной) используются решения, обсуждавшиеся в этом
разделе.
о Задача 4. В модели задачи 1 найти параметрическую зависимость размера критического
пузыря и его энергии от а, Ь, и А в режиме слабой связи. Дать численные
оценки по порядку величины в случае параметров, характерных для стандартной
модели (вакуумное среднее скалярного поля порядка 250 ГэВ), считая для примера
безразмерные константы связи величинами порядка 0,3 (размер пузыря измерять
в сантиметрах). Отметим, что энергия критического пузыря дает представление
о температуре фазового перехода.
200 Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля
12.3. Тонкостенное приближение
Явный вид решения для евклидова пузыря или критического пузыря в общем
случае найти не удается. Это, однако, можно сделать в специальном случае, когда
разность энергий ложного и истинного вакуумов мала по сравнению со всеми
другими параметрами модели (Коулмен, 1977). Именно, рассмотрим скалярный
потенциал специального вида
VM = Vofo>)-eV,fo>), A2.13)
где Ц,(<р) симметричен относительно замены <р —* —<р и имеет вырожденные мини-
минимумы при <р = -<ро и (р = +(ро, Vi(ip) не инвариантен относительно этой симметрии.
Будем считать, что Vo(±^o) = 0. Щ-<Ро) = 0 и Ух(+<ро) = 1- Предположим далее,
что параметр е мал. Тогда однородное поле у>_ = —щ + О(е) будет ложным вакуумом
с нулевой энергией, а <р = +<ро + О(е) будет истинным вакуумом с плотностью энер-
энергии (—е). Будем для определенности рассматривать четырехмерное пространство-
время, d = 4.
Решение уравнения A2.12) для евклидова пузыря будем искать, пользуясь
механической аналогией (рис. 12.4). Поскольку е мало, частица должна потерять
мало энергии, двигаясь из окрестности горба <р = <ро в окрестность горба ip = ip_.
Вдали от горбов скорость частицы во всяком случае конечна при сколь угодно
малом е, поэтому основное движение частицы должно происходить при больших г,
когда сила трения мала. При этом движении как силой трения, так и частью
потенциала, пропорциональной е, можно пренебречь, так что уравнение A2.12)
сводится к
У dtp
Нас интересует решение этого уравнения, которое скатывается из точки +<ро и зака-
закатывается в точку -<ро. Это решение нам известно: оно представляет собой антикинк
в симметричном потенциале Vq. Антикинк характеризуется единственным пара-
параметром R — своим положением. Итак, в области значений г, где отскок <ръ(г)
существенно отличается от +ipa и -<ро, имеем
<Ръ(г) = <Ръ(г ~ Я)-
Это решение изображено на рис. 12.6. Отметим, что <Ръ(г) при г, близком к R
(область стенки), не зависит от е. Для того, чтобы сила трения действительно
Ч>
+<Ро
Рис.12.6.
12.3. Тонкостенное приближение 201
была мала, требуется, чтобы Л было велико при малом е. Структура решения
в евклидовом пространстве в точности соответствует рис. 12.2.
Параметр Л — единственный параметр решения, который осталось определить.
Для его нахождения заметим, что евклидово действие должно быть экстремально
в классе конфигураций, удовлетворяющих условиям A2.9), A2.11). В частности, оно
должно быть экстремально относительно вариаций параметра R. Вычислим евкли-
евклидово действие A2.5) как функцию R. На сферически-симметричных конфигурациях
J^] A2.14)
о
Bтг2 — площадь единичной трехмерной сферы). Вдали от области кинка (стенки)
поле (рь не зависит от г; кроме того Vo(<p) = 0. Внешняя область пузыря (г > R, вне
стенки) не дает вклада в 5е, а внутренняя область дает вклад
с точностью до поправок порядка еЛ3. Вклад стенки пропорционален Л3 и в главном
порядке не зависит от е; для его вычисления положим г = R в мере в A2.14)
и пренебрежем eVi. Получим
5Е = 2тг R fi,
где
Отметим, что по форме р. совпадает с энергией кинка в одномерном пространстве;
р. не зависит от е. Итак, в главном порядке по е и R евклидово действие отскока
размера R равно
Sb(R) = 2w2tiR3 - у Л4е.
Экстремум этого выражения достигается при
R R =
A2.15)
Для евклидова действия в экстремуме получим окончательно
27 ,и4
5 &
A2Л6)
Отметим, что размер евклидова пузыря A2.15) действительно велик при малых е.
Действие A2.16) тоже велико, так что туннельный процесс образования пузыря
сильно подавлен.
Напомним, наконец, что в соответствии с изложенным в разделе 12.2, стенка
пузыря после его материализации будет двигаться по гиперболоиду х2 - t2 = R\.
> Задача 5. Найти размер евклидова пузыря Ль непосредственно из уравнения A2.12),
рассматривая баланс энергий для механической аналогии рис. 12.4.
202 Глава 12. Распад ложного вакуума в теории скалярного поля
> Задача 6. Найти форму стенки (т. е. <ръ(г) при г близком к R) и значение параметра
для потенциала
(pv).
Убедиться, что размер евклидова пузыря и его действие велики не только по е~\
но и по А при малых А. Найти предел применимости тонкостенного приближения
(указание: потребовать, чтобы размер Дь был многа больше ширины самого кинка).
> Задача 7. Найти фарму, размер и статическую энергию критического пузыря в модели
A2.13) в четырехмерном пространстве-времени при малом е.
> Задача 8. Показать непосредственным вычислением в главном порядке по е, что стати-
статическая энергия отскоковой конфигурации при т =0, т. е. конфигурации Уь(х, г = 0),
равна нулю. Используя это вычисление, дать альтернативный вывод соотношения
A2.15).
Глава 13
Инстантоны и сфалероны
в калибровочных теориях
В главах 11 и 12 мы видели, что решения евклидовых уравнений движения
полезны для описания туннельных процессов в квантовой механике и теории
скалярного поля. В этой главе мы рассмотрим евклидовы решения в калибровочных
теориях и дадим им интерпретацию в терминах процессов туннелирования. Мы
также обсудим неустойчивые статические решения уравнений поля в калибровочных
теориях (сфалероны), позволяющие найти высоту соответствующих барьеров.
13.1. Евклидовы калибровочные теории
Прежде всего необходимо понять, как осуществляется переход к евклидову
времени в калибровочных теориях. Наиболее наивный переход, состоящий в замене
t = —it без какой-либо модификации полей Ац, не годится по следующей причине.
Если поля Ар не модифицируются, то компоненты Р£ напряженностей поля
становятся комплексными,
A3.1)
Ковариантные производные Do<p скалярных полей также превращаются в комплекс-
комплексные величины; комплексными будут и евклидово действие, и уравнения поля. Это
явно не похоже на то, что происходит в квантовой механике или теории скалярного
поля.
Формула A3.1) подсказывает, что полезно, одновременно с заменой t = —it ,
сделать и замену А% —* iA\. Тогда F& будут чисто мнимыми, а евклидово действие
калибровочного поля — действительным,
5 = | dd-ldxdt [1*51$ -
где
SE =/d"*^J, A3.2)
причем евклидовы напряженности поля даются обычными выражениями, F£v =
др.А% - dvAap + gf^A^Ai, где до обозначает д/дт и суммирование по греческим
индексам ведется с евклидовой метрикой. Аналогично, после замены
t^-iT, iiS-MS, Af^Al ip^ip, A3.3)
ковариантная производная скалярного поля Do<p станет чисто мнимой, а действие
скалярного поля — действительным и неотрицательным,
= J «
204 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
где вновь Dp<p дается обычным выражением,
!>„¥> = @„ - ;</ГМ>- A3-4)
Чтобы пояснить рецепт A3.4), рассмотрим вновь теорию в пространстве-
времени Минковского, и выберем калибровку
Аа0=0. A3.5)
В этой калибровке действие калибровочного поля имеет канонический вид:
A3.6)
причем производные по времени входят только в первое слагаемое под интегралом.
Теперь можно перейти к евклидову времени по обычному правилу, t —► —гт, без
модификации переменных А", и получить
5Е = Jtfx [~(dTAtJ+ 1-(ЩJ] ■ A3.7)
Действие скалярных полей в калибровке A3.5) также имеет канонический вид и до-
допускает стандартный переход к евклидову времени. В принципе на этом можно было
бы остановиться и искать евклидовы решения в калибровке A3.5). Однако на прак-
практике это, как правило, оказывается неудобным. Поэтому полезно восстановить
калибровочную инвариантность евклидова действия, введя евклидову переменную
-4JJ в A3.7). Так мы придем к евклидову действию A3.2) и аналогично к A3.4) для
скалярных полей. Евклидовы решения мы можем искать в произвольной калибровке,
а интерпретировать их будем, переходя в калибровку A3.5).
Здесь мы проигнорировали одно обстоятельство. Уравнения поля, получающиеся из действия
A3.6) путем вариации А°, не исчерпывают всех уравнений Янга— Миллса D^F^ = 0,
записанных в калибровке A3.5). Недостающее уравнение — это условие Гаусса
Д-*5 = А(Э„А,У = 0 A3.8)
(и аналогичное ему условие в теории со скалярными полями). Как отмечалось в разделе
4.5, в классической теории условие Гаусса можно рассматривать как дополнительное условие
на начальные данные. В квантовой теории его накладывают на допустимые состояния \ip),
(АХ;) М = 0- A3.9)
На квазиклассическом уровне условие A3.9) означает, что конфигурации полей, из которых
происходит туннелирование (т.е. конфигурации полей при т -+ -оо), должны удовлетво-
удовлетворять условию Гаусса. Для решений, которые мы рассматриваем в этой главе, это свойство
будет выполняться автоматически, поскольку решать мы будем полную систему евклидовых
уравнений D^F^ = 0, следующую из действия A3.2).
> Задача 1. Найти уравнения поля, следующие из вариации действия A3.6) по пере-
переменным А{. Показать, что эти уравнения, дополненные условием Гаусса A3.8),
эквивалентны полной системе уравнений Янга—Миллса, записанной в калибровке
A3.5).
> Задача 2. То же в теории со скалярными полями.
13.2. Инстантон в теории Янга—Миллса 205
13.2. Инстантон в теории Янга—Миллса
В этом разделе мы рассмотрим классические решения с конечным евклидовым
действием в неабелевых калибровочных теориях без скалярных полей в четырехмер-
четырехмерном евклидовом пространстве — инстантон и антиинстантон (Белавин, Поляков,
Шварц, Тюпкин, 1975). Интерпретация этих решений будет дана в следующем
разделе. Масштабные аргументы раздела 7.2 не запрещают существование таких
решений. В то же время, масштабное преобразование А^(х) —* ХА^(Хх) оставляет
евклидово действие A3.2) инвариантным, т. е. оно переводит одно решение в другое.
Поэтому в решениях должен появиться свободный параметр — размер инстантона.
Нам будет удобна матричная запись калибровочного поля А^ = —igPA^,
где t" — генераторы алгебры Ли, нормированные, как обычно, условием Trtatb =
^6аЬ. Калибровочную группу Ли G будем считать простой. Напомним, что в терминах
матричных полей евклидово действие имеет вид
(здесь и далее суммирование подразумевается с евклидовой метрикой).
Рассмотрим сначала всевозможные конфигурации полей с конечным действием.
Для них напряженность F^ должна достаточно быстро убывать при |х| —> оо, где
\х\ = г = у/ХрХр. Это означает, что вектор-потенциалы АЙ должны представлять
из себя чистую калибровку при |х| —► оо,
А/1=шд11ш~1 при |х|-»оо, A3.10)
где ш(х) £ G — некоторая калибровочная функция. Рассмотрим удаленную сферу 53
в четырехмерном пространстве. В соответствии с A3.10), любая конфигурация
с конечным действием задает отображение этой сферы в группу G:
ш: S3^G.
Далее, нам известно, что wj(G) = Z для любой простой группы Ли G (см. главу 8).
Следовательно, калибровочные функции разбиваются на непересекающиеся гомо-
гомотопические классы, нумеруемые целым числом Q. Конфигурации калибровочных
полей с конечным евклидовым действием также разбиваются на непересекающиеся
гомотопические классы в соответствии со своими асимптотиками A3.10). При этом
принадлежность к тому или иному классу не зависит от выбора удаленной сфе-
сферы 53 в евклидовом пространстве, а калибровочно эквивалентные конфигурации
принадлежат одному и тому же гомотопическому классу.
> Задача 3. Рассмотрим две удаленные сферы Si и 5г радиусов R\ и Ri. Пусть между
этими сферами поле А^ имеет вид A3.10). Показать, что калибровочные функции
w(R!, Tfy) и w(R2, rip) на этих сферах принадлежат одному и тому же гомотопичес-
гомотопическому классу (rip — единичный радиус-вектор в четырехмерном пространстве).
> Задача 4. Пусть А^(х) имеет поведение A3.10), А%{х) — калибровочно преобразо-
преобразованное поле (П(х) — гладкая во всем четырехмерном пространстве калибровочная
функция). Показать, что А^(х) и А%(х)принадлежат одному и тому же гомотопи-
гомотопическому классу.
Без ограничения общности можно считать, что ш(х), фигурирующая в A3.10),
зависит только от углов. Действительно, если а>(г, п^) зависит от г = |х| (п^ —
единичный радиус-вектор в четырехмерном пространстве), то можно построить
206 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
калибровочную функцию Щг, п^) = w(R, 71^H)"' (г, га^), где R — радиус некоторой
фиксированной удаленной сферы S3. При всех достаточно больших г калибровочная
функция Г2 принадлежит тривиальному (нулевому) гомотопическому классу, в кото-
котором находится единица группы G (действительно, Г2(Л, п^) = 1, а при изменении г
функция Г2(г,п^) меняется непрерывно). Поэтому можно распространить Щг, п^)
гладким образом на все пространство, в том числе внутрь шара радиуса R. Сде-
Сделав над исходным вектор-потенциалом А^(х) калибровочное преобразование П(х)
во всем пространстве, получим, что преобразованный вектор-потенциал находится
в том же гомотопическом классе, что Ар(х), и имеет асимптотику с калибровочной
функцией (Г2 ■ ш)(г, п^) = ш(Л, п^), не зависящей от т.
Таким образом, мы приходим к топологической классификации евклидовых
конфигураций калибровочного поля с конечным евклидовым действием. Минимум
действия среди полей с одинаковым топологическим зарядом Q (т. е. в каждом то-
топологическом секторе), если он существует, представляет собой решение уравнений
Янга—Миллса. Наша ближайшая задача — найти явный вид решения в секторе
с Q = 1, инстантон (и Q = — 1, антиинстантон), в теории с калибровочной группой
SUB).
Полезно записать явное выражение для Q,
Q = --Ц I da^^Triwd^ -шдхш~1 -шдгш~\ A3.11)
где интегрирование ведется по удаленной сфере. Напомним, что греческие индексы
пробегают значения 0,1,2,3; антисимметричный тензор el"'^p определен так, что
£oi23 _. 1 Дда доказательства представления A3.11) в теории с калибровочной
группой 517B) вспомним, что любую калибровочную функцию ш(п^) G 517B)
можно представить в виде
ы(п) = «в(п)«гв, A3.12)
где а = 0,1,2,3; сг0 = 1, а; = -«;■, а действительные функции va(n) удовлетворяют
соотношению
"аг;а = 1.
Соотношение A3.12) — это взаимно однозначное соответствие между многообразием
группы 517B) и сферой 5™2>; топологическое число Q суть не что иное, как степень
отображения удаленной сферы 53 в группу 517B). Непосредственно проверяется,
что A3.11) приводится к выражению для степени отображения сферы на сферу,
рассмотренному в главе 8.
> Задача 5. Записать выражение A3.11) в терминах va(n). Показать, что полученное
выражение представляет собой степень отображения удаленной сферы 53 на сферу
З
В общем случае произвольной простой калибровочной группы доказательство
формулы A3.11) более сложное, и мы не будем на нем останавливаться. Тот факт, что
интеграл в A3.11) является топологической характеристикой отображения 53 —* G,
виден из результата следующей задачи.
> Задача 6. Показать для произвольной калибровочной группы, что выражение A3.11)
не меняется при гладких изменениях функции ш(х) на сфере 53.
Следующий шаг состоит в преобразовании поверхностного интеграла A3.11)
в объемный. Для этого напомним, что (см. задачу 8 раздела 4.2)
F^) = д„К„,
13.2. Инстантон в теории Янга—Миллса 207
где
~ 1
2
— дуальное поле и
A3.13)
Следовательно, интефал по четырехмерному объему от Tr(.F/u,.F/u,) сводится к по-
поверхностному интефалу от Кр по удаленной трехмерной сфере. На этой сфере FpV
исчезают на бесконечности быстрее, чем г~2 в силу конечности действия, при этом
Ар ~ г, поэтому первое слагаемое в A3.13) в поверхностный интефал вклада
не дает. Имеем, таким образом,
A3.14)
Теперь можно воспользоваться трюком, который мы уже неоднократно приме-
применяли (в разделах 7.4 и 9.4). Рассмотрим очевидное соотношение:
- F^f ^ 0, A3.15)
где равенство имеет место, только если
во всем пространстве. С учетом того, что Tx(Fta/Ftll,) = T^F^F/a,), неравенство
A3.15) приводит к ограничению снизу для евклидова действия в секторе с фикси-
фиксированным Q,
9
Это неравенство полезно при положительных Q; для отрицательных Q нужно
воспользоваться тем, что T^F^+F^I ^ 0 и равенство имеет место при F^ = -F^.
Повторяя сделанное рассуждение, при отрицательных Q имеем:
о_2
5 ^ -p-IQI. A3.16)
В обоих случаях абсолютный минимум в секторе с данным Q достигается, если
удовлетворяются уравнения первого порядка,
Fp, = F^, Q > 0, A3.17)
F^^-F^ Q<0. A3.18)
Уравнение A3.17) называют уравнением самодуальности, а A3.18) — уравнени-
уравнением антисамодуальности. Они, разумеется, проще, чем уравнения второго порядка
DpFfu, = 0 — общие уравнения Янга—Миллса. Из тождества Бьянки (см. задачу 13
в главе 4)
vFxp = 0
следует, что всякое решение уравнений A3.17) или A3.18) удовлетворяет общим
уравнениям Янга—Миллса; обратное утверждение неверно.
Найдем теперь инстантон в 517B)-теории — решение уравнений A3.17) в сек-
секторе с Q = 1. Для этого построим прежде всего асимптотику при г —► оо. Она дается
208 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
чистой калибровкой A3.10), причем o)(ra'i) должна осуществлять первое нетриви-
нетривиальное отображение сферы 53 в 517B). В терминах функций va, фигурирующих
в A3.12), это означает, что мы должны иметь отображение 53 —► 5^2) с единичной
степенью. Наиболее простой выбор — это
так что
о; = пааа.
При этом калибровочное поле при г —* оо выглядит как
Л„(г - оо) = «V1 = MJn.^^. A3.19)
Далее,
(Та(т1 = 8ар + щарага, A3.20)
где значения символов т]ара получаются прямой подстановкой выражений <та =
A,—гт), crl = A,гт). Символы т]ара называют (в физике) символами 'т Хоофта.
Они антисимметричны относительно индексов а,/3, и их ненулевые компоненты
имеют вид
Щга — ~Vi0a = Oia>
Vija == £ija'
Также прямой подстановкой устанаачивается, что символы 'т Хоофта самодуальны
по первым индексам,'
-£afa6'4i6a = '4otpa- A3.21)
> Задача 7. Доказать соотношения A3.20) и A3.21) прямой подстановкой.
Подставляя A3.20) в A3.19), имеем для асимптотики поля
Ац = -iVttaa—Ta, Г —> ОО. A3.22)
Разумеется, это поле принадлежит алгебре Ли группы 517B).
Асимптотика A3.22) подсказывает следующую подстановку для поля А^ во
всем пространстве:
' ^/(г)та. A3.23)
Напряженность поля для таких вектор-потенциалов равна
F = 2гт/
j
та + г f 2 J {п^г)иаапа - прт)йаапа)га. A3.24)
> Задача 8. Убедиться в справедливости A3.24) прямым вычислением.
Уравнение самодуальности теперь можно решить в явном виде. Поскольку
первое слагаемое в A3.24) самодуально, для выполнения уравнения самодуальности
достаточно добиться выполнения равенства
/'=£/(!-/). A3.25)
13.2. Инстантон в теории Янга—Миллса 209
При этом нужно потребовать, чтобы функция /(г) обращалась в единицу при г —» оо
(тогда поле A3.23) будет иметь асимптотику A3.22)) и в нуль при г —> 0 (достаточно
быстро, чтобы поле A3.23) было регулярно в нуле). Решение уравнения A3.25)
с этими свойствами имеет вид
/ = ^Т7> <13-26)
где р — произвольная постоянная интегрирования. Отметим, что р представляет со-
собой размер инстантона, т. е. размер области, где А^ существенно отличается от своей
асимптотики A3.22). Как и ожидалось, размер инстантона является произвольным
параметром.
Итак, инстантонное решение имеет вид
А„ = ^ftva^vTa~^ ^t A3.27)
где мы учли, что п„ = xv/r. Напряженность поля дается первым слагаемым в A3.24)
и равна
Вспоминая связь матричных полей с их действительными компонентами,
—гд^-А^, запишем еще для компонент
ja,inst ^ ^
дг' + р'
Заметим, что поле F^ убывает степенным образом, как и положено для безмассовых
полей. Действие инстантона, как следует из A3.16), равно
Sj = -^-. A3.28)
> Задача 9. Проверить формулу A3.28) непосредственным вычислением.
> Задача 10. Действие Янга—Миллса инвариантно относительно группы 5ОD) про-
пространственных вращений и глобальной группы 517B) калибровочных преобразаваний,
не зависящих от точки пространства. Относительно какой подгруппы этой группы
5ОD) х 517B) инвариантно инстантонное решение?
Для нахождения антиинстантона воспользуемся тем, что калибровочная функ-
функция
ш~1 = fflna A3.29)
имеет топологическое число Q = -1. Повторяя выкладки этого раздела, получим
для антиинстантона
Л = -ifjuv.xpra , l ,, A3.30)
т + р
где rjltva — антисамодуальный символ 'т Хоофта,
fija ~~ c*ja-
о 2
Действие для антиинстантона также равно —у.
210 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
> Задача 11. 1) Показать, что
<?1<7р = Sap + ffjapa7"- A3.31)
2) Показать, что
3) Показать, что
-1Q —Па
Ш V = -*V»a—Та-
4) Показать, что топологическое число калибровочной функции A3.29) равно (-1).
5) Показать, что поле A3.30) удовлетворяет уравнению антисамодуальности
A3.18).
13.3. Классические вакуумы и 0-вакуумы
На основе соображений, изложенных в главе 11, можно ожидать, что ин-
инстантоны в теории Янга—Миллса описывают некоторый процесс туннелирования
из основного состояния. Возможность распадной интерпретации (типа встречавшей-
встречавшейся в разделе 11.2 и главе 12) нужно сразу исключить, поскольку классический вакуум
в теории — конфигурация А = 0 — имеет наименьшую возможную классическую
энергию, равную нулю. Поэтому речь может идти только о туннелировании между
вырожденными классическими вакуумами (Грибов, 1976; Джекив, Ребби, 1976а;
Каллан, Дащен, Гросс, 1976). Инстантонное решение само должно нам подсказать,
между какими именно состояниями происходит туннелирование: мы видели в раз-
разделе 11.3, что начальное и конечное состояния даются асимптотиками евклидова
решения при т —> -оо и т —> +оо соответственно, где т — евклидово время. Таким
образом, нас интересуют асимптотики инстантона при т —> ±оо.
Как было подчеркнуто в разделе 13.1, для интерпретации инстантонов следует
работать в калибровке
Л> = 0. A3.32)
Решение A3.27) не удовлетворяет этому условию, поэтому необходимо сделать над
ним калибровочное преобразование, т. е. рассмотреть
А„ = ПА'^П'1 + Пд^ОГ1 = П D"* - ft-'^ft) П. A3.33)
Здесь и далее в этом разделе А^ без индекса inst обозначает поле инстантона
в калибровке A3.32). Из требования Ао = 0 получим
2 + 2 ■ A3-34)
Это уравнение определяет калибровочную функцию Г2(х°,х) с точностью до кали-
калибровочной функции, зависящей только от пространственных координат. Учитывая,
что для инстантонного решения F-j* —» 0 при ха = т —> ±оо, можно распорядиться
остаточной калибровочной свободой так, чтобы
4;(х,т)->0 при т-»-оо. A3.35)
Таким образом, мы будем рассматривать туннелирование из тривиального вакуума
А=0.
13.3. Классические вакуумы и в-вакуумы 211
Учтем далее, что пространственные компоненты исходного решения A3.27)
имеют вид
x2+^ + p2 x2 + x2+;
и убывают при х° = т —> —оо. Это означает, что требование A3.35) сводится
к условию
0,-П(х,т-+ -оо) = 0,
так что без ограничения общности можно положить
П(х,т—-оо) = 1. A3.37)
Решение уравнения A3.34) с условием A3.37) можно теперь найти в явном виде:
л1\Х) т) —е , ^ij.jo^
где х" = х"/\х\ — единичный радиус-вектор в трехмерном пространстве, а
Чтобы найти асимптотику инстантонного решения при т —> оо в калибровке Ац = 0,
воспользуемся убыванием исходного поля A3.36) при т —> +оо. Из A3.33) следует
тогда, что
Ai(x,r-*+оо) = Uid&t1, A3.39)
где fli зависит только от х и равна
fti(x) =П(х,т -»+оо).
Из A3.38) получим в явном виде:
П,(х) = e-iT'***'<W>f A3.40)
где
М A3.41)
Мы заключаем, что инстантон описывает туннелирование между классическим
вакуумом А = 0 и классическим вакуумом A3.39), представляющим из себя чистую
калибровку и имеющим нулевую энергию.
Чтобы понять этот результат, рассмотрим всевозможные классические вакуумы
теории Янга—Миллса, т. е. чисто калибровочные поля
Ai=udiU~l, A3.42)
где мы по-прежнему работаем в калибровке Ао = 0, а П(х) зависит только от про-
пространственных координат. Нас интересуют переходы между различными парами
вакуумов типа A3.42). Заметим, прежде всего, что такие переходы возможны, только
если поле А{ не изменяется на пространственной бесконечности, в противном слу-
случае переход потребует бесконечной кинетической энергии (интеграл J d?x(doA^J
разойдется) и бесконечного действия. Иными словами, переходы возможны толь-
только между такими вакуумами, у которых калибровочные функции П(х) одинаковы
на пространственной бесконечности. Без ограничения общности можно положить
П(|х| ~* оо) = 1 A3.43)
для всех вакуумов1'.
" Поскольку JT2(G) = 0, этому условию всегда можно удовлетворить, сделав гладкое во всем
пространстве калибровочное преобразование, не зависящее от времени.
212 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
Некоторые из классических вакуумов вообще не разделены потенциальным
барьером. Под потенциальной энергией здесь следует понимать статистическую
энергию калибровочного поля (слагаемое в функционале энергии, не содержащее
производных по времени от поля Ai),
(см. формулу A3.6) и обсуждение в разделах 12.1 и 13.1). Отсутствие барьера между
парой классических вакуумов имеет место тогда и только тогда, когда калибровочная
функция Г2(х) может быть непрерывно продеформирована из ее значения в первом
вакууме пары в значение во втором вакууме (так, чтобы всегда выполнялось усло-
условие A3.43)). В этом случае существует путь в пространстве классических вакуумов
(т.е. путь с нулевой потенциальной энергией), который соединяет два вакуума пары.
Заметим далее, что поскольку мы рассматриваем только функции П(х), удовле-
удовлетворяющие условию A3.43), то мы имеем дело с отображениями пространства Д3
с отождествленной бесконечностью в калибровочную группу G. Поскольку R2
с отождествленной бесконечностью гомотопно сфере 53, такие отображения и,
соответственно, классические вакуумы разбиваются на гомотопические классы, ха-
характеризуемые элементами из v3(G) = Z. Из сказанного выше ясно, что барьер
между классическими вакуумами отсутствует тогда и только тогда, когда соот-
соответствующие калибровочные функции Щх) принадлежат одному гомотопическому
классу; мы будем называть такие вакуумы топологически эквивалентными2'.
С другой стороны, между топологически неэквивалентными вакуумами барьер
существует, и переходы между ними происходят туннельным образом. Инстантон
описывает переход между вакуумом А = 0 с нулевым топологическим числом и ва-
вакуумом A3.39) с единичным топологическим числом (топологическое число вакуума
и топологическое число евклидовой конфигурации — связанные, но не тождествен-
тождественные понятия, и путать их не следует). Действительно, для топологического числа
вакуума A3.42) можно записать выражение, вполне аналогичное A3.11),
п(Щ = -—j I dx3eijk Tr (udiQT1 ■ ЩП~1 ■ ПдкП~х) . A3.44)
Прямой подстановкой можно убедиться, что n(f2i) = 1, если Г2](х) определена
формулами A3.40), A3.41).
> Задача 12. Показать прямым вычислением, что п(Г2]) = 1.
В действительности явное вычисление калибровочной функции П(х,т), ее
асимптотики fi((x) и топологического числа n(f2i) не является необходимым. Дей-
Действительно, убедимся в том, что любая конфигурация с конечным действием и то-
топологическим числом Q, где Q определено калибровочо инвариантным образом
согласно A3.14), интерполирует в калибровке Ао = 0 между вакуумами с тополо-
топологическими числами п, различающимися на Q. Конечность действия означает, что
Ffw —* 0 при (т2 +х2) —> оо, т. е. А^ представляет из себя чистую калибровку на бес-
бесконечности в пространстве-времени. Рассмотрим бесконечно удаленный цилиндр
в четырехмерном евклидовом пространстве-времени, изображенный на рис. 13.1.
В калибровке Ао = 0 поле А, не изменяется на боковой поверхности цилиндра
2' С точки зрения квантовой теории топологически эквивалентные вакуумы можно отождествить.
Оператор D;Fij представляет собой оператор инфинитезимальных калибровочных преобразований,
а условие D;Fjj|V>) = 0 означает, что волновая функция |V>) одинакова на всех топологически эквива-
эквивалентных вакуумах.
13.3. Классические вакуумы и в-вакуумы
213
i
T
n,
«.
T ~
T =
+00
У
N
J
—oo
X
Рис. 13.1.
(поскольку Foi = 0 на этой поверхности); без ограничения общности его можно
положить равным нулю. Интефал A3.15) сводится тогда к разности поверхностных
интефалов по основаниям цилиндра при т —* +оо и т —» -со (сравни с A3.11)).
На основаниях
\
Ai(x,T-
где f2o(x) и f2i(x) — калибровочные функции, характеризующие начальный и конеч-
конечный классические вакуумы. Эти интефалы по основаниям цилиндра представляют
собой топологические числа вакуумов По и fii, так что
(Э = и(П1)-и(По), A3-45)
что и требовалось.
Итак, ситуация в неабелевых четырехмерных калибровочных теориях анало-
аналогична квантовомеханической модели с периодическим потенциалом, рассмотрен-
рассмотренной в разделе 11.3. С точностью до топологически тривиальных калибровочных
преобразований существует дискретный набор классических основных состояний,
нумеруемых целым числом п. Поле А; (в калибровке -До = 0) в каждом из этих клас-
классических вакуумов представляет собой чистую калибровку, А,(х) = f2n(x)d,ft^'(x)>
причем топологическое число вакуума Г2„ равно п. Туннелирование между со-
соседними вакуумами описывается инстантоном (если п увеличивается на единицу)
и антиинстантоном (если п уменьшается).
Эту аналогию можно развить дальше. Введем в квантовой теории оператор
калибровочного преобразования с топологическим числом 1, Г = T(Cli), который
214 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
действует так, что Г~'Л,Г = fiiA.f^' + ^idiilj1. Этот оператор коммутирует с га-
гамильтонианом (мы предполагаем, что калибровочная инвариантность относительно
преобразований, не зависящих от времени, сохраняется и в квантовой теории в ка-
калибровке Ац = 0; это предположение выполняется в неаномальных калибровочных
теориях). Поэтому его можно диагонализовать одновременно с гамильтонианом,
:е'в|Ф«>- A3.46)
В частности, из состояний \п), волновые функции которых сосредоточены вблизи
классических n-вакуумов, построим состояния3'
+оо
\в) = Y, e-inV>, A3.47)
п~— оо
которые удовлетворяют A3.46). Физические состояния, получаемые действием (ло-
(локализованных) калибровочо инвариантных операторов на 0-вакуум A3.47), имеют
одно и то же значение в: если |Ф«) = О\в), где б — калибровочо инвариантный
оператор, то для |Ф«) выполнено соотношение A3.46). Таким образом, параметр в
является интегралом движения: он не изменяется в процессе эволюции, осуществля-
осуществляемой под действием любого калибровочо инвариантного гамильтониана. Иными
словами, параметр в представляет из себя еще одну «мировую константу», наряду
с константой связи д.
Мы видим, что наличие сложной структуры вакуума и инстантонных эффек-
эффектов в четырехмерных неабелевых калибровочных теориях приводит к появлению
дополнительной константы связи в. Зависимость физических величин от в опре-
определяется амплитудой туннелирования: матричные элементы калибровочо инвари-
инвариантных операторов по |0)-вакууму содержат вклады типа е'*(п + 1|б|п), которые
пропорциональны перекрытию состояний \п) и \п + 1), т. е. величине
(по крайней мере если д мало). Изложенные соображения справедливы не только
в чистой теории Янга—Миллса, но и в более сложных калибровочных теориях4'
(с дополнительными полями материи, механизмом Хиггса и т.д.).
Появление параметра в весьма существенно в квантовой хромодинамике, где при в Ф- 0, ж
возникает нарушение СР-симметрии ('т Хоофт, 1976а, Ь). Это противоречит экспериментам
по поиску электрического дипольного момента нейтрона, если в > 10"'. Одно из решений
указанной «проблемы сильного СР-сохранения» состоит в добавлении новых полей и при-
приводит к предсказанию новой частицы — аксиона (Печчеи, Квинн, 1977; Вайнберг, 1978;
Вильчек, 1978).
Отметим, что инстантонам можно дать несколько иную интерпретацию (Ман-
тон, 1983), которая, в действительности, эквивалентна изложенной выше. С точки
зрения калибровочо инвариантных величин топологически различные классиче-
классические вакуумы эквивалентны, поскольку они отличаются только калибровочным
3' Как уже отмечалось, физические состояния, в том числе |л), инвариантны относительно тополо-
топологически тривиальных калибровочных преобразований. Поэтому конкретный выбор ^i(x) несуществен.
4' Зависимость от в пропадает в калибровочных теориях с безмассовыми фермионами, а также
в стандартной модели электрослабых взаимодействий благодаря специфическим свойствам фермионов
в поле инстантоноподобных конфигураций, см. Дополнение.
13.3. Классические вакуумы и в-вакуумы 215
преобразованием. Давайте эти вакуумы отождествим. Тогда ситуация станет анало-
аналогичной квантовомеханической модели физического маятника. Именно, в калибровке
Ао = 0 рассмотрим конфигурационное пространство — множество всех статических
конфигураций А,(х) с конечной статической энергией, причем калибровочно экви-
эквивалентные конфигурации отождествляются. В этом множестве имеется единственное
основное состояние — классический вакуум. Рассмотрим теперь всевозможные пу-
пути в этом множестве, А,(х,т), начинающиеся и оканчивающиеся в классическом
вакууме. Теперь т — это параметр вдоль пути; мы будем считать, что он изменяется
от 0 до 1. Для каждого из этих путей можно определить величину
Эта величина не зависит от выбора параметризации пути (т. е. она инвариантна
относительно замены т —> т'(т)) и совпадает с A3.14), если формально положить
F<H = до Ai. Так же, как и в предыдущем разделе, убеждаемся, что Q принимает целые
значения для путей, начинающихся и оканчивающихся в вакууме; пути с различ-
различным Q не могут быть непрерывно продеформированы друг в друга. Таким образом,
в конфигурационном пространстве имеются нестягиваемые пути, аналогичные пол-
полному обороту физического маятника. Статическая энергия вдоль путей с Q Ф О
принимает ненулевые значения (поскольку где-то на пути Fij ф 0), т.е. эволюция
вдоль таких путей возможна при нулевой энергии только благодаря туннелирова-
нию. Этот туннельный процесс и описывается инстантоном. Введение параметра в
осуществляется, аналогично модели физического маятника, изменением лагранжи-
лагранжиана, а именно, добавлением в исходное действие (в пространстве Минковского)
слагаемого
(сравни с A1.36)). Это слагаемое представляет из себя полную производную и не ска-
сказывается на классических уравнениях поля. В то же время, оно отлично от нуля
для инстантона, принимает на нем чисто мнимое значение и приводит, так же
как в случае маятника, к зависимости физических величин (например, вакуумных
средних калибровочо инвариантных операторов) от в.
Подчеркнем, наконец, что в четырехмерном пространстве-времени все сказан-
сказанное в этом и предыдущем разделах, переносится (с незначительными изменениями)
на теории с произвольной кеабелевой простой калибровочной группой. Обобщение
на полупростые калибровочные группы также несложно: инстантоны существуют
независимо для каждой простой подгруппы. В то же время, в абелевых четырех-
четырехмерных теориях нет ни инстантонов, ни связанной с ними структуры вакуума,
ни дополнительного параметра 9.
В заключение этого раздела обсудим вкратце топологическую классификацию
классических вакуумов в абелевой модели Хиггса в двумерном пространстве-време-
пространстве-времени. Классические вакуумы в калибровке Aq = 0 представляют собой статические
чисто калибровочные конфигурации
Мх1) = ^а(х'), A3.48)
Al(xl)=eiai*l)v. A3.49)
216 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
Аналогом соотношения A3.43) является требование
е"'"**') = 1 при х1 -> ±оо. A3.50)
Без ограничения общности можно положить
а(х1 -» -оо) = 0,
тогда допустимые значения калибровочной функции при х1 —> +оо равны
а(х1 ->+оо) = 2-кп , п = 0,±1,±2. A3.51)
Целое число п характеризует различные вакуумы; оно аналогично вакуумному
топологическому числу A3.44). Действительно, при условии A3.50) пространство
можно воспринимать как окружность большой длины. Калибровочная функция
е'"(х') осуществляет отображение этой окружности 5д в группу U(l), которая также
представляет из себя окружность 5^,^. Степень отображения SlR —» S^ и дается
целым числом п, фигурирующим в A3.51). Отметим, что для чисто калибровочных
полей топологическое число вакуума может быть записано в виде
2тг J 2тг J
где П = ёа(-х ) — калибровочная функция вакуумной конфигурации.
Калибровочные поля Ai(xP,xl), интерполирующие между топологически раз-
различными вакуумами, при ж0 —» ±оо стремятся к вакуумным значениям типа A3.48)
с калибровочными функциями, обладающими различными топологическими числа-
числами (мы по-прежнему работаем в калибровке Ао = 0). Такие конфигурации Л] (ж0, ж1)
можно характеризовать величиной
q = — / ellyFllyd1x,
которая аналогична топологическому числу A3.14) четырехмерных конфигураций.
В калибровке Ао = 0 имеем после интегрирования по времени
=— \ Axdxl\ =п(П,)-п(П0),
где По и Г2] — калибровочные функции начального и конечного вакуумов. Эта
формула повторяет A3.45).
Для описания туннелирования между соседними классическими вакуумами
необходимо найти решение евклидовых уравнений поля, имеющее q = 1. Такое ре-
решение нам в действительности давно известно — это вихрь Абрикосова—Нильсена—
Олесена, интерпретируемый как инстантон в евклидовом двумерном пространстве-
времени.
Таким образом, абелева модель Хиггса в двумерном пространстве-времени
имеет такую же структуру калибровочных вакуумов, что и четырехмерные неабелевы
калибровочные теории. Инстантоном в этой модели служит вихревое решение.
13.4. Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса 217
13.4. Сфалероны в четырехмерных моделях
с механизмом Хиггса
Рассмотрим теперь вопрос о высоте барьера, разделяющего классические топо-
топологически различные вакуумы. Как отмечалось в разделах 11.2 и 11.3, ключевую роль
здесь играет сфалерон — статическое неустойчивое решение классических уравне-
уравнений движения. Именно, в системах с конечным числом переменных, рассмотренных
в главе 11, высота барьера равна значению потенциала в седловой точке (сфалероне).
В теории поля нас интересует седловая точка функционала статической энергии.
В четырехмерной теории Янга— Миллса без механизма Хиггса статическая
энергия имеет вид
Масштабный аргумент раздела 7.2 показывает, что функционал E^i не имеет
экстремальных конфигураций. Именно, при масштабном преобразовании А,(х) ->
АА,(Ах) имеем i?stat —» А^шь что и означает отсутствие экстремумов. Иными
словами, конфигурации большого размера могут иметь сколь угодно маленькую
энергию (если А;{х) сосредоточены в области с размером порядка единицы, то
Ai(Xx) — в области размера порядка j). Энергия вдоль пути, соединяющего
топологически различные вакуумы, может быть сколь угодно мала.
Чтобы разобраться в том, почему это свойство не приводит к большой вероятности туннели-
рования, рассмотрим набор конфигураций вида
Мх.,1) = CA)пАЩ\ А> = 0, A3.52)
где П, — калибровочная функция типа A3.40), A3.41). Для нас важно, что П,(х) топологи-
топологически нетривиальна и что п{ = п\ (* J , где р — произвольный масштаб. При /3 = 0 и /3 = 1
конфигурации вида A3.52) представляют собой классические вакуумы с п = 0 и п = 1,
соответственно. Для конфигураций вида A3.52) имеем
и статическая энергия равна
Сделав замену переменных, х = ру, получим
Ема, = 4-[/3A-/3)]2С„
9 Р
где С, не зависит от р. Аналогично, кинетическая энергия
Ekin = -4 [
для конфигураций A3.52) имеет вид
где Ci также не зависит от р. Таким образом, если мы ограничимся только полями вида A3.52),
то мы получим механическую систему с одной переменной C(t) и действием (в обычном
времени)
S,, = [<11(ЕШ -Еяш) = f dt{^C2C2 - ^[/3(/3 - О]2}- A3.53)
218 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
Отметим, что потенциал в этой системе пропорционален 1/р, так что барьер между состоя-
состояниями /3 = 0 и {3 = 1 мал при больших р. В то же время, эффективная масса (коэффициент
перед /З2 в A3.53)) пропорциональна р. В итоге, туннельная экспонента не зависит от р:
^c2 -^W~ OP dP=ji л/с^Й j /з(/з - i)d/з.
Пример конфигураций вида A3.52) показывает, что туннельная экспонента конечна несмотря
на то, что потенциальный барьер сколь угодно мал и что это свойство связано с ростом
кинетического члена при увеличении пространственного размера конфигурации.
Тот факт, что потенциальный барьер между топологически различными ваку-
умами сколь угодно низок в четырехмерных теориях Янга—Миллса, прямо связан
с безмассовостью векторных полей. В теориях с механизмом Хиггса конфигурации
калибровочных полей большого размера имеют большую энергию, и барьер имеет
конечную высоту. В этих моделях сфалерон должен существовать (Мантон, 1983;
Клинхамер, Мантон, 1984). Наша ближайшая задача — найти структуру сфалерона
и оценить высоту барьера в теории с калибровочной группой 517B) и дублетным
полем Хиггса
Эту модель можно рассматривать как предельный случай стандартной модели, когда
калибровочная константа д? группы U{\) равна нулю, т.е. sinS^ = 0. Эта модель
обсуждалась в разделе 6.2; напомним, что с точностью до глобальных преобразований
в тривиальном вакууме выполняется
А„ = 0, A3.54)
где в обозначениях раздела 6.2
ф
Малые возмущения вокруг этого вакуума имеют массы
дфо
Нам будет удобно выбрать начало отсчета энергии так, что в классических вакуумах
Е = 0; тогда евклидово действие в модели запишется в виде
5Е = Jfx[~TtF*, + (D^D^+Х^ф - \<t>t)\
а статическая энергия равна
^f f ( J] 03-55)
13.4. Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса 219
В калибровке .Ао = 0 классические вакуумы представляют собой калибровочно
преобразованные поля A3.54)
А;(х) =
ф(х) = пф™.
Как и в предыдущем разделе, они определяются калибровочной функцией П(х)
и характеризуются топологическим числом п.
Для того чтобы угадать структуру сфалеронного решения, рассмотрим прежде
всего евклидовы конфигурации с
«- '
В калибровке Aq = 0 они интерполируют между соседними классическими вакуума-
ми с топологическими числами п(П), отличающимися на единицу. Нам будет удобно
отвлечься от калибровки А$ = 0 и вновь рассмотреть поля Ар(х) с асимптотикой
Ар(х) -* идрш'1, х2 = г2 -* со
в четырехмерном евклидовом пространстве, причем ш(х) = <тапа (в обозначениях
раздела 13.2). Интересные конфигурации хиггсовского поля должны иметь конечное
евклидово действие, поэтому асимптотически
ф(х) - ш(х)ф™
(только в этом случае ковариантная производная Т>^ф и скалярный потенциал
равны нулю на бесконечно удаленной сфере 53 в четырехмерном пространстве).
Если теперь рассмотреть конфигурации вида
ф(х) = к{т)и>ф™, A3.56)
где / и h зависят только от г = \/х* = у/х2 + т2 и удовлетворяют очевидным
условиям /(со) = /i(oo) = 1, /@) = /i@) = 0, то можно убедиться, что они имеют
следующие свойства:
• они обладают 5ОD)-симметрией относительно вращений четырехмерного про-
пространства, дополненных глобальными преобразованиями из полной глобаль-
глобальной группы теории;
• при отражении евклидова времени, т —* —т, конфигурации с Q = 1 переходят
в конфигурации с Q = -1 и теми же функциями / и д.
> Задача 13. Доказать эти два свойства.
Указание: воспользоваться результатом задачи 10 и дополнительной глобальной
SOC)-симметрией, рассмотренной в задаче 6 раздела 6.2.
Второе из указанных свойств означает, что в момент т = 0 конфигурация
полей находится «посередине» между соседними вакуумами (если ее перевести в ка-
калибровку 4о = 0). Поэтому можно надеяться, что с точностью до калибровочного
преобразования сфалерон представляет собой конфигурацию типа A3.56), взятую
при т = 0. Разумеется, для нас существенны только пространственные компоненты
вектор-потенциала, А,(х,т = 0). Поскольку при калибровочном преобразовании,
переводящем конфигурацию A3.56) в калибровку .Ао = 0, энергия не меняется, для
220 Глава 13. Инстантоны и сфалероны в калибровочных теориях
нахождения высоты барьера делать это калибровочное преобразование нет необхо-
необходимости. Итак, можно ожидать, что с точностью до калибровочного преобразования
сфалеронная конфигурация имеет следующую структуру.
ф(х) = /i(
где а>о(х) = ш(х,т = 0) = —iraxa и, как и раньше, мы обозначили ха = щ. В явном
виде
А-(х) - -is- х-т /(|Х|)
lxl
Ф(\х\) = фак(\х\)(-гтаха)(°\ A3.57)
причем fug удовлетворяют условиям
Доо) = ft(oo) = 1,
/@) = Л@) = 0.
Поскольку любая конфигурация такой структуры находится (с точностью до кали-
калибровочного преобразования) «посередине» между двумя соседними вакуумами, для
получения сфалеронного решения необходимо найти минимум статической энергии
среди конфигураций вида A3.57): в этом минимуме высота барьера будет минималь-
минимальна, отрицательная же мода должна выводить из класса конфигураций A3.57), т.е.
иметь другую пространственную и групповую структуру.
> Задача 14. Показать, что подстановка A3.57) проходит через уравнения поля, т. е.
статические уравнения поля сводятся к двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям для функций /(|х|) и h(\x\). Показать, что эти уравнения могут
быть получены экстремизацией функционала энергии A3.55) в классе конфигураций
вида A3.57). Отметим, что это свойство является следствием SO{A)-cuMMempuu
полей A3.56) (которая на поверхности г = 0 приводит к 80(Ъ)-симметрии полей
A3.57)).
Приведенные рассуждения относительно возможности поиска сфалерона в ви-
виде A3.57) отнюдь не являются сколько-нибудь строгими. Решение уравнений поля
с подстановкой A3.57) относительно просто найти численно5^. Анализ же количе-
количества отрицательных мод вокруг этого решения представляет собой гораздо более
сложную задачу. Было показано с помощью численных расчетов (Яффе, 1984), что
среди флуктуации вокруг решения вида A3.57) действительно имеется ровно одна
отрицательная мода при тх < \2ту\ при таком соотношении между параметрами
модели сфалерон действительно имеет вид A3.57). В противном случае сфалерон ис-
искать в виде A3.57) нельзя. Отметим, что в электрослабой теории область тпх < \2тпу
охватывает всю физически интересную область значений массы бозона Хиггса.
Размерная оценка статической энергии сфалерона дословно повторяет оценку
массы магнитного монополя, приведенную в разделе 9.1. Традиционно энергию
сфалерона записывают в виде
*+ - —В (^) , A3.58)
av \mvj
Это решение было найдено Дашеном, Хасслахером, Неве A974), а также независимо Сони A980)
и Богутой A983). Его интерпретация как сфалерона дана Мантоном A983) и Клинхамером. Мантоном
A984). ;
13.4. Сфалероны в четырехмерных моделях с механизмом Хиггса 221
где ay = jf, а функция В изменяется в пределах 1,56-г 2,72 при изменении тх
от малых до больших значений (это — результат численного анализа (Клинхамер,
Мантон, 1984)).
> Задача 15. Оценить энергию сфалерона вариационным методом, выбрав в качестве
/(|х|) функцию, соответствующую инстантонной конфигурации,
а в качестве /i(|x|) взяв функцию
1x1
h =
Считать р2 варьируемым параметром.
Как уже неоднократно подчеркивалось, сфалероны полезны для описания
процессов перехода между топологически различными вакуумами при конечных
температурах. Мы обсудим этот вопрос в разделе 17.4, а здесь лишь укажем, что
такие процессы представляют значительный интерес для космологии.
В заключение этого раздела отметим, что масштабный аргумент раздела 7.2 за-
запрещает существование инстантонов в четырехмерных теориях с механизмом Хиггса.
Это не означает, что туннелирование между топологически различными вакуума-
вакуумами в таких теориях отсутствует, однако его анализ требует специальных методов
('т Хоофт, 1976b; Аффлек, 1981), которые кратко обсуждаются в Дополнении.
Верхняя оценка A3.16) имеет в теориях Янга—Миллса—Хиггса характер строгого
неравенства, так что в любом случае в теориях с малой константой связи вероятность
туннельных процессов инстантонного типа экспоненциально мала, Г < ехр (~^-) •
Дополнительные задачи к части II
> Задача 1. Нетопологический солитон6*.
Рассмотрим теорию двух действительных скалярных полей <ра в A + 1)-мерном
пространстве-времени. Лагранжиан выберем в виде
где
Отметим, что при е = 0 лагранжиан инвариантен относительно глобальной ОB)-
симметрии. Слагаемое V[(ip) в потенциале явно нарушает эту симметрию.
1) Найти размерности констант A, v и е.
2) Найти основное состояние и спектр малых возмущений около него при малых е.
3) Показать, что при достаточно малых е в модели имеется солитон — статический
локальный минимум функционала энергии, являющийся решением уравнений поля
и имеющий конечную энергию.
4) Показать, что этот солитон можно продеформировать в основное состояние
так, что все промежуточные полевые конфигурации будут иметь конечную энергию.
Таким образом, солитон не имеет топологической природы.
5) Оценить высоту энергетического барьера между солитоном и основным состоянием
при малых е.
> Задача 2. Потенциал взаимодействия вихрей.
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в B+ 1)-мерном пространстве-времени, и выберем
тн > гпу (тпн и ту — массы хиггсовского и векторного бозонов).
1) Найти энергию взаимодействия двух вихрей, находящихся на расстоянии г друг
от друга, в следующих случаях:
1. г > т.у\ большие расстояния;
2. ту1 >г> т~£, малые расстояния; в этом случае ограничиться логарифми-
логарифмической точностью, т. е. считать
2) То же для вихря и антивихря.
" В четырехмерном пространстве-времени такому солитону соответствует доменная стенка. Стенки
с такой структурой возникают в некоторых моделях с аксионами и представляют космологический
интерес (Виленкин, Эверелт, 1982; Киббл, Лазаридес, Шафи, 1982).
Дополнительные задачи к части II 223
> Задача 3. Многоинстантонные решения ('т Хоофт, 1976с; Джекив, Нол, Ребби, 1977).
Рассмотрим теорию Янга—Миллса в евклидовом 4-мерном пространстве-времени.
Выберем следующую подстановку:
где ф(х1') — действительная функция.
1) Показать, что уравнения самодуальности F^ — F^ сводятся к четырехмерному
уравнению Лапласа
всюду, где ф Ф 0.
2) Показать, что особенности в функции ф типа jr приводят к чисто калибровочным
особенностям в вектор-потенциале А^, т. е. к таким особенностям, которые можно
устранить сингулярным калибровочным преобразованием.
3) Найти п-инстантонные решения указанной структуры. Показать явным вычисле-
вычислением, что для них
I FpvFpyd^x ос п.
4) Найти в явном виде калибровочные преобразования, приводящие полученное в п.З
решение с п= 1 к стандартному виду, приведенному в основном тексте.
> Задача 4. Сфалерон в абелевой модели Хиггса (Бочкарев, Шапошников, 1987; Григорьев,
Рубаков, 1988).
Найти сфалерон в абелевой модели Хиггса в A + \)-мерном пространстве-времени.
> Задача 5. SUB) сигма-модель в C+1)-мерном пространстве-времени (Скирм, 1961).
Пусть поле U(x) представляет собой 2 х 2-матрицу из группы SU{2) в каждой точке
пространства времени (эквивалентно поле можно считать принимающим значения
на трехмерной сфере единичного радиуса — напомним, что групповое многообразие
SU{2) представляет собой 53; в этом смысле модель аналогична модели п-поля).
Потребуем инвариантности лагранжиана относительно глобальных преобразований
из группы 517B) х 517B); первую 517B) обозначим 5*7B)ь вторую — SUB)R.
Закон преобразования выберем в виде
левое: U(x) -> U'(x) = u>LU(x), u>L € SUB)U
правое: U(x) -> U'(x) = U(x)u>K, u>K € 5tfB)R.
1) Показать, что мономы
L2 =
L* =
инвариантны относительно 5J7B)l x 5J7B)r. Здесь, как обычно, [,] обозначает
коммутатор матриц.
2) Рассмотрим лагранжиан
F2 g2
2. 1о
Найти размерность констант Fug. Показать, что С содержит не более чем две
производные поля V по времени. Найти функционал энергии и показать, что энергия
неотрицательна.
224 Дополнительные задачи к части II
3) Показать, что в качестве основного состояния можно выбрать U(x) = 1.
Рассматривая малые возмущения относительно основного состояния, найти их
спектр.
4) Рассмотреть статические конфигурации U(x) с конечной энергией. Показать,
что они разбиваются на топологические сектора, характеризуемые целым тополо-
топологическим числом п. Таким образом, в модели имеется возможность существования
топологических солитонов.
5) Показать, что при д2 = 0 статические солитоны отсутствуют.
6) Рассмотрим конфигурации вида
п .
г
В каком смысле они сферически-симметричны? Найти значения /@) и /(оо), при
которых U(x) несингулярны, а статическая энергия конечна. Найти связь между
/@), /(оо) и топологическим числом п.
7) Оценить массу и размер солитона при д2 > 0.
> Задача 6. Рассеяние в поле вихря (Алфорд, Вильчек, 1989).
Рассмотрим вихрь — статический солитон в абелевой моделиХиггса в B+ \)-мерном
пространстве-времени. Обозначим конфигурацию вихря Ар (х), ^>'к>(х). Добавим
в модель еще одно комплексное скалярное поле £ с зарядом q и лагранжианом
С = (D^YiDpO - п$?{,
где
Dp(. = в,« - ieqA^.
Будем считать поля А^, (р№ внешними.
1) Записать уравнение для поля £ во внешнем поле вихря. Найти разложение его
решений по собственным функциям энергии Е и углового момента L = -i-щ, где в —
полярный угол на плоскости (х',х2). Найти соответствующие радиальные уравнения
и их решения вдали от центра вихря при низких энергиях Е С ту, тн, Щ.
2) В унитарной калибровке, где ^»'к'(х) действительное, поле £(x,i) вдали от вихря
можно интерпретировать (по крайней мере при низких энергиях) как волновую
функцию частицы. Найти сечение рассеяния этой частицы на вихре на фиксированный
угол в при низких энергиях и при произвольных q.
> Задача 7. Уравнение Клейна—Гордона в поле монополя.
Пусть А"(х), ф"(х) — классическое поле монополя в SUB)-M0denu, рассмотренное
в лекциях. Введем в теорию еще одно скалярное поле f (х) — дублет относительно
колибровочной группы SUB) — с лагранжианом
где D^ = (dp — ig^Afyi,, g — калибровочная константа связи.
1) Считая поле монополя внешним, записать уравнение для поля (, (схематически это
уравнение можно записать в виде К£ = 0; требуется найти оператор К). Исполь-
Используя тот факт, что поле монополя инвариантно относительно пространственных
вращений, дополненных калибровочными преобразованиями, найти аналог оператора
Дополнительные задачи к части II 225
углового момента (обычно L = [г х р], р = —i-^), который коммутирует с опе-
оператором К. Найти явный вид низших «монопольных гармоник», т. е. собственных
функций аналога углового момента с наименьшим собственным значением.
2) Рассматривая решения для поля £ с фиксированной энергией, £ = e~iBx°£g(x\
записать систему радиальных уравнений для низших монопольных гармоник. Най-
Найти решение этой системы при Е <С тпу,тн (mv и тп-н — масса векторного
и хиггсовского поля) вдали от ядра монополя, т > тп.у\тд1.
> Задача 8. Евклидов пузырь в модели <р* (Фубини, 1976; Липатов, 1977).
Рассмотрим модель одного скалярного поля в C + 1) -мерном пространстве-времени
с лагранжианом
С = -д,1<рд11<р+-<р\
Скалярный потенциал V(tp) = — j ip4 неограничен снизу, поэтому основное состояние
в модели отсутствует. Грубо говоря, основное состояние соответствует полю
<р = оо. Тем не менее, можно задать следующие вопросы:
*~1) Является ли состояние tp = 0 устойчивым относительно малых возмущений
с конечной энергией?
2) Если да, найти в явном виде евклидов пузырь, соответствующий распаду состояния
<р = 0 туннельным образом. Считая, что А «С 1, найти квазиклассическую экспоненту
для вероятности распада.
> Задача 9. Рассмотренное в разделе 7.4 решение в модели п-поля можно рассматривать
и как инстантон в двумерном евклидовом пространстве-времени.
1) Дать интерпретацию этого решения в терминах туннельного процесса, происхо-
происходящего в теории п-поля в двумерном пространстве-времени Минковского, действие
которой имеет вид
S = J d2x ^{д„<р.д„<рш),
з
/4=0,1, а =1,2,3, ^<ра<ра = 1.
а=1
2) Видоизменим эту двумерную модель, добавив к действию слагаемое
AS = -fd2x\(<p,-lJ,
где А — действительный параметр. Найти классический вакуум и сфалерон в модели
с действием (S + AS) (Моттола, Випф, 1989).
ЧАСТЬ III
Глава 14
Фермионы во внешних полях
14.1. Свободное уравнение Дирака
Свободные частицы со спином j — фермионы — в четырехмерном про-
пространстве-времени описываются четырехкомпонентными волновыми функциями
^>а(х°,х), а = 1,2,3,4. Удобно представлять их в виде четырехкомпонентных столб-
столбцов
В отсутствие внешних полей волновые функции фермионов с массой т удовлетво-
удовлетворяют уравнению Дирака
^д^-тф = 0, A4.1)
где матрицы Дирака 7м имеют размер 4x4. Релятивистское соотношение р2 = т2
будет выполнено, если матрицы Дирака удовлетворяют соотношению
Ь"У} = 2тГ, A4-2)
где фигурные скобки обозначают антикоммутатор, a rfv — метрический тен-
тензор Минковского. Действительно, подействовав на уравнение A4.1) оператором
{—х^д^ — т), получим при учете A4.2), что каждая компонента волновой функции
удовлетворяет уравнению Клейна—Гордона
+ т2
) ф = О,
или в импульсном представлении (р2 - т2)ф(р) = 0.
Равенство A4.2) означает, в частности, что G0J = !• Умножив уравнение A4.1)
на 7° и введя обозначения /3=7°; а' — 7°7'. получим уравнение Дирака в форме,
аналогичной уравнению Шредингера,
Именно эта форма уравнения Дирака используется, как правило, в квантовой
механике.
14.1. Свободное уравнение Дирака 227
Соотношение A4.2) является определяющим для матриц Дирака. В частности,
размерность дираковского столбца (четыре) определяется тем фактом, что мини-
минимальная размерность матриц, удовлетворяющих этому соотношению, равна 4x4.
Последнее утверждение доказывается в учебниках по квантовой механике и по кван-
квантовой теории поля, и мы не будем останавливаться на доказательстве. Конкретный
выбор матриц Дирака диктуется соображениями удобства. Мы будем, как правило,
использовать представление
где 0 — нулевая матрица 2x2,^ — матрицы 2x2, причем
а% — матрицы Паули и
G — —(J
Любое другое представление матриц Дирака получается из этого унитарным пре-
преобразованием, 7м —* Uj^U, где U — унитарная матрица размера 4x4.
> Задача 1. Показать, что матрицы A4.4) действительно удовлетворяют соотношению
A4.2).
В этом представлении 7-матриц выражения для матриц а' и /3 имеют вид
Удобно еще ввести матрицу ■у5, антикоммутирующую со всеми
75 = -г7°7'7273.
В представлении A4.4) она равна
где блоки представляют собой матрицы 2x2. Именно такая простая форма матрицы
75 определила наш выбор A4.4). Наконец, полезно определить матрицы
°* = \ Ь", У]-
В представлении A4.4) они имеют вид
причем
Матрица
roi = -Ti0
5' = i
4
228 Глава 14. Фермионы во внешних полях
представляет собой оператор спина. Действительно, оператор полного трехмерного
углового момента
коммутирует с гамильтонианом Дирака
Н0 = -га'~+рт, A4.8)
дхг
фигурирующим в A4.3). В представлении A4.4) имеем
-•'=1 ^ ' I. A4.9)
> Задача 2. Убедиться в справедливости формул A4.6), A4 .7), A4.9),
> Задача 3, Показать, что в произвольном представлении матриц Дирака справедливо
соотношение [1ц, До] = 0 и [ij,%] = ieijtLt, так что Li действительно
удовлетворяют коммуптционным соотношениям сохраняющегося углового момента.
Гамильтониан Дирака, фигурирующий в уравнении A4.3)., инвариантен отно-
относительно пространственного отражения, дополненного унитарным преобразованием
волновой функции ф. Действительно, если #(x,z°) удовлетворяет уравнению A4.3)
(или, «го то же самое, уравнению Дирака A4.1)), то функция
фР(х,х°) = Рф(-х,х°) A4.10)
будет удовлетворять этому же уравнению, если
Р~хрР= р,
Р~1а{Р = -а1'.
Здесь Р — унитарная матрица. Из определения матриц /5 и а' и соотношения
антикоммутации A4.2) ясно, что в качестве Р можно выбрать матрицу
Р = 7° A4.11)
(отметим, что 7° унитарна). Таким образом, если известно одно решение уравнения
Дирака, то с его помощью можно построить другое решение по формуле A4.10).
Обсудим еще одно свойство свободного уравнения Дирака, а именно, его
инвариантность относительно С-сопряжения. Если i/> удовлетворяет уравнению
Дирака A4.1), то сопряженный столбец удовлетворяет уравнению
(-»У*^ -т)ф'= 0.
Введем унитарную матрицу С так, чтобы
С-у^СГ1 = -Y- A4.12)
Тогда столбец
■фс = С-ф* A4.13)
вновь будет удовлетворять уравнению Дирака A4.1). В представлении 7"матРиЦ
A4.4) матрицу С можно выбрать в виде
где £ — матрица 2 х 2 с матричными элементами еар (а,/3 = 1,2), составляющими
антисимметричный тензор второго ранга. Иными словами, е = ia-j.-
14.1. Свободное уравнение Дирака 229
> Задача 4. Убедиться в справедливости соотношения A4.12) для матрицы С вида
A4.14) и выбора "(-матриц в виде A4.4). Показать, что матрица A4.14) унитарна.
Иногда полезно также рассматривать системы в пространстве-времени размер-
размерности d = 2 или d = 3. Остановимся поэтому вкратце на свойствах уравнения
Дирака в этих размерностях.
При d = 2 имеются всего две матрицы 7м (/* = 0,1), причем их минимальный
размер равен 2x2. Соответственно, волновая функция -ф — это двухкомпонентный
столбец. 7-матрицы можно выбрать в виде
7°=т1, 7'= , A4.15)
где т,- — матрицы Паули. В этом случае матрицу1) 75 удобно определить формулой
75 = -7°7'.
В представлении A4.15) имеем 75 = т3. Матрица Р-преобразования по-прежнему
дается формулой A4.11). Матрица С-сопряжения в этом представлении равна
С = т\ A4.16)
Аналога углового момента в A+1) измерениях нет, поскольку вращений в одномер-
одномерном пространстве не бывает.
В пространстве-времени трех измерений минимальный размер 7-матриц также
равен 2 х 2, а волновая функция f также представляет из себя двухкомпонентный
столбец. 7-матрицы можно выбрать в виде
7° = г3, 71 = -*Л 72 = -»т2- A4.17)
Подчеркнем, что аналога 75 в трехмерном пространстве-времени нет.
> Задача 5. Показать, что не существует матрицы 2x2, антикоммутирующей со всеми
тремя матрицами A4.17).
Матрица С-сопряжения по-прежнему может быть определена; в представлении
A4.17) она равна
С = т'. A4.18)
> Задача 6. Показать, что в двумерном пространстве-времени "(-матрицы A4.15) удов-
удовлетворяют соотношению A4.2), а матрица A4.16) удовлетворяет соотношению
A4.12).
> Задача 7. То же в трехмерном пространстве-времени для матриц A4.17) и A4.18).
Обсудим теперь специальный случай безмассовых фермионов. Рассмотрим си-
ситуацию в четырехмерном пространстве-времени. При т = 0 гамильтониан Дирака
A4.8) коммутируете матрицей 75 (иначе говоря, оператор г^д^ антикоммутирует
с 75)- Поэтому решения уравнения Дирака разбиваются на левые, для которых
tVl = Фи
5
1 — -Y5
—r2-^ = 0, A4.19)
''Мы по-прежнему используем для матрицы, антикоммутирующей со всеми 7/<. обозначение 75.
хотя она является третьей (а не пятой) в наборе двумерных матриц Дирака.
230 Глава 14. Фермионы во внешних полях
и правые, удовлетворяющие соотношениям
75Фк = -Фк, -^-fK=0, ^—~Фк=Фк- A4.20)
В выбранном нами представлении 7-матриц имеем
где х и V — двухкомпонентные столбцы. Отметим, что часто и для произвольной
волновой функции ф вводят ее левые и правые компоненты, имеющие структуру
A4.21), иначе говоря, определяют
1+75 !_75
V>L = Г V1, V>R = ~ V1-
Операторы А±2- и -^- представляют из себя проекторы на левые и правые ком-
компоненты волновой функции общего вида. Правые и левые компоненты волновой
функции независимо преобразуются при лоренцевых преобразованиях.
При т = 0 не возникает противоречий и в том случае, когда считается, что
физически реализуются только левые решения, а правые решения игнорируются
(или наоборот). Иными словами, можно рассматривать только двухкомпонентные
спиноры х и записывать для них уравнение
го^дуХ = 0. A4.22)
Двухкомпонентные спиноры х называют вейлевскими спинорами, а уравнение
A4.22) — уравнением Вейля. Мы остановимся на интерпретации уравнения Вейля
и его решений в следующем разделе. Упомянем лишь, что уравнение Вейля, вместо
уравнения Дирака, адекватно описывает безмассовые частицы левой спиральное™.
Уравнение Вейля не инвариантно относительно С-сопряжения. На языке четы-
рехкомпонентных фермионов С-сопряжение переводит левую волновую функцию
в правую: если ■>/> = i/>l удовлетворяет соотношению A4.19), то Ci/>* удовлетворя-
удовлетворяет соотношению A4.20). В используемом представлении 7-матриц это очевидно
из явной формулы A4.14) для матрицы С. Уравнение Вейля инвариантно, однако,
относительно СР-преобразования, что составляет предмет следующей задачи.
> Задача 8. Пусть левый двухкомпонентный спинор х(х°,х) удовлетворяет уравнению
Вейля A4.22). Найти такую унитарную матрицу Ucp размера 2x2, что двухком-
двухкомпонентный спинор UcpX*(x°< ~х) также удовлетворяет уравнению Вейля A4.22),
Такое преобразование представляет из себя, очевидно, комбинацию С-преобразования
и пространственного отражения Р.
Аналог уравнения Вейля существует и в теории безмассовых фермионов в двумерном
пространстве-времени.
> Задача 9. Найти аналог уравнения Вейля в двумерном пространстве-времени.
Вместо левых безмассовых фермионов можно было бы рассматривать правые,
удовлетворяющие правому уравнению Вейля
й^дуп = 0.
Каким является тот или иной безмассовый фермион — левым или правым — это
вопрос экспериментальный. Известные нейтрино (если они действительно безмас-
безмассовые) — это левые фермионы.
14.Z. Решение свободного уравнения Дирака. Море Дирака 231
В заключение этого раздела заметим, что как уравнение Дирака, так и уравнение
Вейля обладают свойством сохранения вероятности. Например, для дираковского
фермиона интеграл'
J A4.23)
сохраняется. Это очевидно из эрмитовости дираковского гамильтониана A4.8). Дан-
Данное свойство можно сформулировать еще и следующим образом. Введем дираковски
сопряженный спинор (строку из четырех элементов)
f = t^°. A4.24)
Учитывая, что 7° эрмитова, G0J = 1, а 7' — антиэрмитовы, получим из уравнения
Дирака, что f удовлетворяет уравнению
где стрелка над д^ обозначает, что производная действует на ф. Из этого уравнения
и уравнения Дирака следует, что ток
сохраняется,
V = 0. A4.25)
Учитывая, что
fd3x^f = fd3xtr°t= fd3xj°,
получаем, что сохранение вероятности A4.23) непосредственно связано с соотно-
соотношением A4.25). Это же соображение работает для левых (или правых) фермионов,
подчиняющихся уравнению Вейля.
14.2. Решение свободного уравнения Дирака.
Море Дирака
Обсудим решения уравнения Дирака A4.1) сначала при т Ф 0. Иначе гово-
говоря, нас интересует спектр дираковского гамильтониана A4.8) и его собственные
функции. Собственные функции будем искать в виде
%{х)=е^^и„ A4.26)
причем w и р интерпретируются, как обычно в квантовой механике, как энергия
и импульс частицы. Для «р имеем уравнение
(а'р{ + j3m) и, = wur. A4.27)
В используемом представлении 7-матриц, где матрицы /3 и а' имеют вид A4.5),
уравнение A4.27) удобно переписать, введя левую и правую компоненты спинора ut,
--Ок.)- (i428)
232 Глава 14. Фермионы во внешних полях
up,l и ир,я представляют собой двухкомпонентные спиноры. Из A4.27) следует, что
они удовлетворяют системе уравнений (мы опускаем индекс р в волновых функциях)
(i429)
(<тр — w) uR + mtiL = 0.
Условие совместности этой системы, т. е. требование det(ap + f)m — w) = 0, имеет
вид
р2 = ш2 - р2 = т A4.30)
(это соотношение, впрочем, очевидно и из соображений начала раздела 14.1).
При выполнении этого соотношения имеем, что «l произволен, a «R выражается
через uLl
R L ()
т
Поскольку имеется два линейно независимых двухкомпонентных столбца «l, суще-
существует два независимых решения уравнения Дирака с фиксированными импульсом р
и энергией ш, подчиняющимися соотношению A4.30). Физический смысл этого
факта наиболее очевиден при выборе в качестве двух линейно независимых столб-
<гр
цов «l собственных векторов оператора -г—. Этот оператор имеет собственные
1Р1
значения +1 и —1 (поскольку его квадрат равен 1), и два линейно независимых
столбца U£i± можно выбрать так, что
С учетом A4.31) получим для всего четырехкомпонентного столбца A4.28)
—и =±-и
где s — спиновая матрица A4.9). Таким образом, два линейно независимых решения
уравнения Дирака с фиксированным импульсом соответствуют (при ш > 0) состоя-
состояниям с положительной и отрицательной проекцией спина на направление движения
частицы — спиральностью.
Значения энергии ш могут быть как положительными, ш = +л/р2 +т2, так
и отрицательными, ш = -у/р2 + т2. Иными словами, спектр дираковского га-
гамильтониана не ограничен снизу. Дирак предложил изящный способ справиться
с этой трудностью, который сделал теорию непротиворечивой и привел к понятию
антифермиона. Прежде всего, рассмотрим систему в ящике большого, но конечного
размера L. На границе этого ящика наложим периодические граничные условия,
т. е. потребуем
Г Т
A4.32)
и аналогично для других пространственных координат. Тогда спектр дираковского
гамильтониана будет дискретным: волновые функции A4.26) удовлетворяют условию
A4.32) только при
2т
= (пиП2,П3), 7*1.2,3 = 0, ±1, ±2,... •
Р = Рп = "Г-Н,
Li
14.2. Решение свободного уравнения Дирака. Море Дирака
233
Соответственно, энергия пробегает дискретный набор значений
Между уровнями с положительной энергией и уровнями с отрицательной энергией
имеется щель величины 2т. Спектр дйраковского гамильтониана в конечном объеме
схематически изображен на рис. 14.1.
W
т
0
—т
Рис. 14.1. Схематическое изображение спектра гамильтониана Дирака. Густота и вырождение
уровней на рисунке не учтены
Зададимся теперь вопросом о наинизшем состоянии системы (вакууме), при
этом не будем накладывать никаких ограничений на возможное количество частиц
в системе. Ясно, что выгодно иметь как можно больше частиц на отрицатель-
отрицательных уровнях. В то же время, частицы являются фермионами, поэтому в каждом
фиксированном состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Па-
Паули). Следовательно, состоянием с наинизшей энергией будет такое, в котором все
отрицательные уровни заполнены (т. е. в каждом состоянии с отрицательной энер-
энергией находится ровно один фермион), а все положительные уровни свободны. Это
основное состояние схематически изображено на рис. 14.2. Систему заполненных
отрицательных уровней образно называют морем Дирака.
Необходимо далее считать, что дираковский вакуум имеет нулевую энергию
и нулевой импульс (а также нулевой электрический и другие заряды), т. е. отсчиты-
отсчитывать эти величины от их вакуумных значений.
Обсудим теперь элементарные возбуждения над дираковским вакуумом. При
добавлении одного фермиона в систему он может занять только уровень с положи-
положительной энергией (поместиться на какой-либо уровень с отрицательной энергией
фермион не может из-за принципа Паули). Волновая функция такого фермиона
будет описываться решением уравнения Дирака с положительным ш. Такое возбу-
возбуждение изображено на рис. 14.3.
Другой тип возбуждений возникает, если из дйраковского моря убрать частицу.
При этом освобождается уровень с отрицательной энергией, так что полная энергия
вновь увеличивается: если освободился уровень, характеризуемый импульсом р
и энергией -шг = - -\/р2 + "*2. то энергия состояния, отсчитанная от энергии
234
Глава 14. Фермионы во внешних полях
W
т
0
—т
Рис. 14.2. Схематическое изображение основного состояния. Вырождение уровней не учитывается
771
0
—771
Рис. 14.3. Состояние с одним фермионом над дираковским вакуумом
вакуума, будет равна +шр, а импульс будет равен (-р). Такое возбуждение в теории
твердого тела называют дыркой, а в физике частиц оно соответствует антифермиону.
Если фермион несет электрический заряд q, то антифермион имеет заряд (-д),
поскольку его состояние получается, если из дираковского моря убрать фермион.
Фермионы и антифермионы имеют одинаковую массу и закон дисперсии wt =
\/р2 + т2. Состояние с антифермионом изображено на рис. 14.4.
Если в системе имеются фермион и дырка, как на рис. 14.5, то фермион может
переместиться с положительного уровня на отрицательный, излучив энергию (на-
(например испустив фотон). Это соответствует аннигиляции фермиона и антифермиона.
Обратный процесс возможен при добавлении энергии и соответствует рождению
фермион-антифермионной пары. В обоих этих процессах сохраняется фермионное
14.2. Решение свободного уравнения Дирака. Море Дирака
235
ш
ш
0
—т
Рис. 14.4. Состояние с антифермионом над дираковским вакуумом,
обозначает незаполненный уровень в дираковском море
Незакрашенный кружок
ш
\
-J
Рис. 14.5. Аннигиляция фермиона с антифермионом
число, которое определяется как разность числа фермионов и числа антифермионов
(данного типа).
Разумеется, каждому типу фермионов соответствует своя античастица: для
электрона это позитрон, для протона — антипротон и т.д.
Представление о частицах и дырках вполне адекватно в физике твердого тела. В физике частиц
оно представляет из себя по существу формальный прием. Более симметричное описание
фермионов и антифермионов достигается в квантовой теории поля, где частицам и антича-
античастицам соответствует единый оператор поля Ф(х). Фермионное поле не имеет классического
предела (из-за принципа Паули); именно поэтому мы его не обсуждаем в основном тексте
этой книги. Подчеркнем, что описание свободных фермионов и антифермионов (а также
фермионов и антифермионов во внешних полях) в терминах моря Дирака эквивалентно их
описанию в квантовой теории поля.
Еще одно замечание касается бозонов. Если уравнение Клейна—Гордона воспринимать
как уравнение для волновой функции частицы (бозона), то в нем также имеется трудность
с отрицательными уровнями и неограниченностью снизу спектра энергий. Поскольку бозоны
236 Глава 14. Ферт, >ны во внешних полях
не подчиняются принципу Паули, эту трудность не удается разрешить с помощью конструкции
типа дираковского моря. Трудность с отрицательными энергиями бозонов разрешается лишь
в квантовой теории поля.
Рассмотрим теперь решения уравнения Вейля A4.22). В импульсном предста-
представлении оно имеет вид (сравни с A4.29))
(ш + <rp)uL = 0.
Эта система уравнений на две компоненты спинора «l совместна при
ш = ±|р|
и имеет единственное решение. При ш > 0 это решение удовлетворяет соотношению
sp 1
i
где s = —<г — оператор спина. Таким образом, уравнение Вейля описывает безмас-
безмассовые фермионы с отрицательной спиральностью (проекцией спина на направление
движения). Этим объясняется термин «левые фермионы» (по аналогии с фотонами
или с электромагнитными волнами с левой круговой поляризацией); используют
еще термин «фермионы левой киральности».
Решение свободного уравнения Дирака нетрудно найти и в пространстве-
времени размерности 2 или 3. Во всех случаях имеются решения как с положи-
положительными, так и с отрицательными энергиями, причем спектры положительных
и отрицательных энергий совпадают с точностью до знака. Последнее утверждение
очевидно из свойства С-симметрии: если ^>(х°,х) удовлетворяет уравнению Дирака
с положительной частотой ш, то
представляет собой решение с частотой (-ш).
> Задача 10. Найти все собственные функции дираковского гамильтониана в простран-
пространстве-времени d — 2 и d = 3.
> Задача 11. Найти все решения «уравнения Вейля» (см. задачу 9) в двумерном простран-
пространстве-времени. В какую сторону движутся частицы, описываемые этими волновыми
функциями, и античастицы — дырки в дираковском море?
14.3. Фермионы во внешних бозонных полях
В следующих главах мы рассмотрим некоторые интересные эффекты, возника-
возникающие при взаимодействии фермионов с внешними бозонными полями солитонного
и инстантонного типа. Поэтому мы сейчас рассмотрим, как выгладит уравнение
Дирака во внешних бозонных полях.
Прежде всего напомним, что фермионы во внешнем электромагнитном поле
описываются уравнением Дирака, аналогичным A4.1) (или A4.3)), но с заменой
обычной производной на ковариантную2',
-mf^O, A4.33)
2) Вообще говоря, в уравнении могут присутствовать также слагаемые, связанные с аномальным
магнитным моментом фермиона, его электрическим дипольным моментом и т.д.
14.3: Фермионы во внешних бозонных полях 237
где, как обычно,
е — электрический заряд фермиона. Отметим, что левая часть этого уравнения ко-
вариантно преобразуется при калибровочных преобразованиях из электромагнитной
группы 1/A)> т-е- ПРИ преобразованиях
ф{х) —* il>'{x) — е' 'ij)(x), A4.34):
ЛДх) -> А'^х) = А„(х) + -0„а(х>. A4.35)
Действительно, при этих преобразованиях имеем
(jyu^^i — тф) —* еш (ij^D^ — т-ф) .
Если -ф удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле Ац, то ф1 удовлетворяет
уравнению Дирака во внешнем поле А'^. Иными словами, при калибровочном
преобразовании внешнего поля набор решений уравнения Дирака остается прежним
с точностью до фазового преобразования A4.34). Мы будем говорить, что уравнение
Дирака A4.33) инвариантно относительно калибровочных преобразований A4.34),
A4.35).
Глобальные или калибровочные неабелевы симметрии появляются в уравнении
Дирака тогда, когда фермионам можно приписать внутренние квантовые числа.
Пусть, например, в системе (пока без внешних полей) может иметься два типа
фермионов. Тогда состояние системы, в которой имеется ровно один фермион
какого-либо типа, можно описывать волновой функцией в виде столбца
A4.36)
каждая из компонент которого, ф\ или ф^, представляет собой дираковский спинор
(для безмассовых фермионов это может быть вейлевский спинор). Так, фермион
первого типа описывается столбцом
A4.37)
а фермион второго типа — столбцом
В общем случае столбца A4.36) величина (^>{^>i)(x) представляет собой вероятность
того, что в системе имеется фермион первого типа в точке х, и аналогично для
Если массы фермионов одинаковы, то в отсутствие внешних каждая из ком-
компонент столбца A4.36) удовлетворяет уравнению Дирака A4.1). Эти два уравнения
можно объединить, записав для столбца A4.36) уравнение
(i-y"dll-m)-lrl> = Q, A4.38)
где 1 — единичная матрица 2x2, действующая в пространстве двухкомпонентных
столбцов A4.36) (ее мы будем, как правило, подразумевать без явной записи,
когда это не будет приводить к недоразумениям). Уравнение A4.38) инвариантно
238 Глава 14. Фермионы во внешних полях
относительно глобальных (не зависящих от координат) преобразований из группы
SUB),
■ 1>(х)-*шг/>{х), weSUB) A4.39)
(оно также инвариантно относительно группы 17A) глобальных фазовых враще-
вращений ij) —* e.iaij), но это свойство здесь для нас несущественно). Подчеркнем, что
преобразование A4.39) действует не на лоренцевы индексы, а на «внутренние» ин-
индексы, нумерующие тип фермиона. По (формальной) аналогии с обычным спином,
преобразования A4.39) называют преобразованиями «внутреннего спина» (или изо-
спина). При этом можно сказать, что столбец A4.36) описывает фермион, который
может находиться в различных изоспиновых состояниях: так, фермион первого
типа, описываемый столбцом A4.37), можно назвать фермионом в состоянии с тре-
третьей проекцией изоспина (+|), а фермион второго типа — состоянием с третьей
проекцией изоспина (—j).
Исторически первым примером внутренней симметрии служит изотопическая симметрия
сильных взаимодействий. Если пренебречь небольшой разностью масс протона и нейтрона,
а также электромагнитными и слабыми взаимодействиями, то протон и нейтрон будут обладать
одинаковыми свойствами. Волновую функцию нуклона (протона или нейтрона) можно тогда
записать в виде A4.36), где i>\(x) и #г(я) — волновые функции протонной и нейтронной
компоненты нуклона; свободное уравнение Дирака для нуклона имеет в точности вид
A4.38). Название «изоспин» — изотопический спин — имеет именно это происхождение;
в дальнейшем его стали использовать для других симметрии, описываемых группой 517B)
(например, f-оворят о слабом изоспине, который имеет отношение к слабым взаимодействиям,
см. разделы 6.3 и 14.4).
Изложенную конструкцию можно обобщить на случай, когда фермионы могут
находиться в трех и более состояниях (иначе говоря, имеется три и более типов
фермионов с одинаковой массой). Так, кварки могут находиться в трех состояниях
(их называют цветами), соответственно кварк описывается волновой функцией
fi>\
A4.40)
а уравнение Дирака для волновой функции кварка инвариантно относительно дей-
действия внутренней (цветовой) группы 5f7C)c. Дальнейшее обобщение проистекает
из замечания, что столбцы A4.36) или A4.40) можно воспринимать как векторы
из пространства фундаментального представления группы SU{2) или 5f7C)c соответ-
соответственно. Можно не ограничиваться только группами SU{N) и фундаментальными
представлениями. Именно, можно выбрать произвольную компактную группу G
внутренней симметрии и произвольное ее представление T(G) и потребовать, чтобы
фермионная волновая функция принадлежала пространству представления T(G),
а уравнение Дирака было инвариантно относительно преобразований
для всех д е G. Подчеркнем снова, что матрица Т(д) действует на внутренние,
а не на лоренцевы индексы волновой функции фермиона.
> Задача 12. Пусть G — простая группа глобальной симметрии, T(G) — ее комплекс-
комплексное п-мерное неприводимое представление. Записать наиболее общее свободное
уравнение Дирака для фермионов в представлении T(G), инвариантное относи-
относительно действия группы G. Показать, что оно в действительности инвариантно
относительно действия группы SU(n). (Последнее свойство справедливо, вообще
говоря, только для свободных фермионов.)
14.3. Фермионы во внешних бозонных полях 239
Следующий шаг состоит в построении взаимодействия фермионов с неабеле-
выми калибровочными полями. В полной аналогии с главой 4 это взаимодействие
должно обеспечивать инвариантность уравнения Дирака относительно калибровоч-
калибровочных преобразований с неабелевой группой калибровочной (внутренней) симметрии.
В примере с внутренней группой SUB) и фермионным дублетом A4.36) нужно
потребовать, чтобы уравнение Дирака было инвариантно относительно обычных
калибровочных преобразований калибровочного поля группы SUB),
Ар —* А'р = шАрШ ' +wdpW ', ш(х) Е SUB),
т"
(где Ар = — ig—Ар), выполняемых одновременно с преобразованиями
■ф(х) —* i/>'(x) = w{x)ij)(x).
Рецепт построения ковариантных величин нам давно известен", необходимо заменить
обычную производную на ковариантную,
Dp = д,, + Ар.
Таким образом, мы приходим к уравнению Дирака, инвариантному относительно
калибровочных преобразований из группы SUB),
A4.41)
которое вполне аналогично уравнению Дирака A4.33) в присутствии электромаг-
электромагнитного поля. Отметим, что в уравнении A4.41), как и в дальнейшем, используются
весьма сжатые обозначения; если записать это уравнение, сохраняя все индексы, то
получим
{ [ |] } „ = 0, A4.42)
где а,р = 1,... ,4 — лоренцевы индексы спинора; i,j = 1,2 — изотопические
индексы; а = 1,2,3; суммирование по повторяющимся индексам подразумевается.
В общем случае произвольной калибровочной группы G и представления T(G),
по которому преобразуются фермионы, уравнение Дирака во внешнем калибровоч-
калибровочном поле имеет по-прежнему вид A4.41), а ковариантная производная равна
. A4.43)
Здесь мы имеем полную аналогию с главой 4.
При т = 0 в качестве исходного уравнения можно было бы взять не уравнение
Дирака, а уравнение Вейля. Повторяя приведенные рассуждения, мы пришли бы
тогда к уравнению Вейля во внешнем калибровочном поле. Для левого фермиона
оно имеет вид
ia'DpX = О,
т.е. отличается от свободного уравнения Вейля A4.22) заменой обычной производ-
производной на ковариантную A4.43). Лоренцев индекс спинора х по-прежнему пробегает
значения 1,2.
Перейдем теперь к обсуждению взаимодействия фермионов со скалярными
полями. Начнем с простейшего случая одного действительного скалярного поля
ip(x) и одного фермиона. Основным требованием к уравнению Дирака для волновой
функции фермиона во внешнем классическом поле ip является лоренц-ковариан-
тность и эрмитовость дираковского гамильтониана. При лоренцевых преобразовани-
преобразованиях скалярное поле в фиксированной точке пространства-времени не преобразуется.
240 Глава 14. Фермионы во внешних полях
поэтому включить его в уравнение Дирака можно по аналогии с массовым членом
фермиона. Таким образом, мы приходим к уравнению
i-fdpij) -mij) - h(pi> = 0, A4.44)
где h — действительная константа связи. Эту простейшую связь фермиона со ска-
скалярным полем называют юкавской связью. Подчеркнем, что буквально в виде
A4.44) юкавскую связь можно ввести для дираковских фермионов и нельзя для
вейлевских.
о Задача 13. Найти размерность константы h в четырехмерном, а также в d-мерном
пространстве-времени.
> Задача 14. Показать, что дираковский гамильтониан, соответствующий уравнению
A4.44) во внешнем действительном поле (р(х), эрмитов тогда и только тогда,
когда константа h действительна.
Дальнейшие обобщения удобно строить, используя понятие действия для фер-
фермионов. Для того, чтобы его ввести, обсудим для начала уравнение Дирака A4.44).
Его можно рассматривать как условие стационарности функционала
5F = /Vx [fixY^d^fix) - mf(x)f(x) - НфЩхЩх)] A4.45)
относительно произвольных вариаций величины V(x). которая представляет собой
четырехкомпонентную строку. Такой функционал и называют действием для ферми-
фермионов. Функционал Sf действителен, если под ■ф понимать строку3' ^4° (СР- A4-24)).
В самом деле, для 5р имеем
= f<
-f 7
Равенство 5F = Sf получается после интегрирования по частям в первом слагаемом
и использования тождества 7^7° = 7°7;'- Далее, можно показать, что Sp — это
лоренцев скаляр. Требование действительности и лоренц-инвариантности действия
эквивалентны требованиям эрмитовости дираковского гамильтониана .ffrj и лоренц-
ковариантности уравнения Дирака.
Действие фермионов становится естественным и необходимым объектом в квантовой теории
поля, где i>(x) и ф(х) трактуются как операторы фермионного поля. При этом SF выступает
на равных основаниях с действием бозонных полей. Мы уже отмечали, что в отличие
от операторов бозонных полей операторы ip(x) и ip(x) не имеют классического предела. Для
наших целей 5р будет служить вспомогательным объектом, позволяющим получать уравнения
Дирака, обладающие свойствами лоренцевой и калибровочной ковариантности и эрмитовости
квантово-механического дираковского гамильтониана.
Аналогично, уравнение Дирака A4.41) в присутствии калибровочных полей
может быть получено вариацией действия
= f<
A4.46)
3) Тот факт, что при варьировании Sf необходимо считать ф (или V') независимой переменной,
аналогичен рецепту варьирования действия для комплексного скалярного поля, при котором у> и <р'
считаются независимыми переменными, см. раздел 2.4.
14.3. Фермионы во внешних бозонных полях 241
по -ф. При этом если ■ф преобразуется по унитарному представлению T(G) кали-
калибровочной группы G, то ■ф = ip^'f преобразуется по сопряженному представлению:
при калибровочных преобразованиях ш(х) £ G имеем
или, в компонентах,
где i,j — индексы, соответствующие внутренней симметрии. Функционал 5р
очевидным образом инвариантен относительно калибровочных преобразований.
Одно из обобщений выражений A4.45), A4.46) для фермионного действия
на случай, когда скалярное поле нетривиальным образом преобразуется при ка-
калибровочных (или глобальных) преобразованиях, достаточно очевидно. Пусть ^>,-
преобразуется по представлению T(G) калибровочной группы G, т.е. закон пре-
преобразования ij>i и ф{ имеет вид A4.47). Пусть скалярное поле преобразуется по дей-
действительному представлению TS(G), т.е. поля <ра действительны, и для них имеем
при калибровочных преобразованиях
Пусть, далее, из V, 'Ф и <р можно образовать действительный калибровочный
инвариант вида _ _
*,-(Л")у1^. = fAaf<Pa, A4.48)
где (Л")у — некоторые коэффициенты. Тогда фермионное действие вида
= I /x [fi-yPDpt - тф-ф - НфА'-фра] A4.49)
будет лоренц-инвариантно, калибровочно инвариантно и действительно при дей-
действительной константе связи ft (в случае глобальной симметрии в A4.49) вместо
ковариантной производной Dp фигурирует обычная производная д^). Требование
инвариантности A4.48) эквивалентно требованию, чтобы для всех ш 6 G было
справедливо
Л" [Т3(ш)]"а Т{ш) = Т{ш)Къ. A4.50)
Здесь мы опустили индексы i,j, относящиеся к представлению фермионов T(G)
и считаем Л" и Т{ш) матрицами по этим индексам. Соотношение A4.50) определяет
возможный вид матриц Л". Иначе говоря, (pai/>j принадлежит представлению Ts*T
группы Ли G; требуется, чтобы Ts хТ содержало представление Т, при этом Л
осуществляет проекцию Ts хТ —*Т.
В терминах представлений алгебры Ли группы G соотношение A4.50) имеет вид
= [Т',Л6], A4.51)
где Tq и Tg — генераторы алгебры Ли в представлениях Т и Ts, a q= I dim G.
Варьируя действие A4.49) по ■ф, получим уравнение Дирака
i-fD^ -mf- hAa<paf = 0. A4.52)
Его левая часть ковариантно (по представлению T(G)) преобразуется при калибро-
калибровочных преобразованиях.
242 Глава 14. Фермионы во внешних полях
> Задача 15. Показать, что соотношение A4.50) необходимо и достаточно для того,
чтобы левая часть уравнения A4.52) преобразовывалась по представлению T(G).
о Задача 16. Рассмотрим инфинитезимальные преобразования
ш = \ + е.Ч\ A4.53)
где tq — генераторы алгебры Ли группы G, eq — инфинитезимальные действи-
действительные параметры. Показать, что для таких преобразований соотношение A4.50)
эквивалентна A4.51) при учете определений T(tq) = Tq, Ts(tq) = Tj.
о Задача 17. Выписать дираковский гамильтониан, соответствующий уравнению A4.52).
Показать, что при сформулированных выше условиях он эрмитов.
В действительности эта конструкция нами уже, по существу, использовалась (в частном случае
фундаментального и присоединенного представлений группы 517B)) во втором примере
раздела 4.1 для построения лагранжиана кубичного взаимодействия скалярных полей.
В качестве важного для дальнейшего примера рассмотрим группу SU(N) в ка-
качестве группы симметрии, выберем фермионы в фундаментальном представлении
этой группы, а скаляры — в присоединенном представлении (это означает, в част-
частности, что ipa — действительные поля, а = 1,... ,N2 — 1). Тогда Tq = it', где tq —
эрмитовы матрицы генераторов группы SU(N) (в отличие от антиэрмитовых ге-
генераторов, фигурирующих в A4.53)), а (Т|)а = /'"' ~ структурные константы.
В качестве матриц Л" можно выбрать f. Действительно, левая часть соотношения
A4.51) в этом случае имеет вид tafqab, а правая часть равна
так что соотношение A4.51) выполняется при учете антисимметрии структурных
констант. Таким образом, ковариантное уравнение Дирака в данном примере имеет
вид
{YD» - т - hta<pa) f = 0. A4.54)
Обсудим вкратце, как в таких моделях ведут себя фермионы во внешних
полях, соответствующих классическому основному состоянию скалярного и калибро-
калибровочного полей. Рассмотрим для определенности случай группы SUB) (глобальной
или калибровочной), скалярного поля в присоединенном (действительном триплет-
ном) представлении и фермионов в фундаментальном (комплексном дублетном)
представлении. Напомним, что скалярное поле в основном состоянии постоянно
в пространстве-времени, в калибровочной теории при этом Ар = 0. Уравнение
Дирака с юкавской связью в этом поле имеет вид A4.54), где t" = у — эрмитовы
генераторы группы SUB). Необходимо отдельно рассмотреть случай ненарушенной
и нарушенной симметрии. Если скалярный потенциал V((p) таков, что в основном
состоянии ipa = 0 и симметрия не нарушена, то уравнение A4.54) сводится к двум
уравнениям Дирака с массой т для двух компонент i/>i, где i = 1,2 — группо-
групповой индекс. Таким образом, в системе имеется два типа фермионов с одинаковой
массой, как мы обсуждали в начале этого раздела. Если же в основном состоянии
<Ра Ф 0, т.е. SUB)-симметрия нарушена, ситуация становится более интересной.
Без ограничения общности можно выбрать основное состояние скалярного поля
так, что только третья компонента отлична от нуля, ipa = v6ai, где действительный
параметр v определяется формой скалярного потенциала. Уравнение A4.47) в таком
поле имеет вид
() = 0, A4.55)
14.3. Фермионы во внешних бозонных полях 243
где, по-прежнему,
ф =
— изоспинор во внутреннем пространстве. Уравнение A4.55) эквивалентно двум
уравнениям
Отсюда видно, что компоненты трх и ■фх описывают фермионы с массами
hv
т+Т
hv
т2 = т - —
соответственно. В результате спонтанного нарушения симметрии фермионы при-
приобрели различные массы; спектр фермионов перестал быть 5{7B)-инвариантным.
> Задача 18. Рассмотрим модель с калибровочной группой SUC), фермионами в фунда-
фундаментальном представлении и скалярным полем в присоединенном (действительном
октетном) представлении. Пусть скалярный потенциал устроен так, что в основном
состоянии отлична от нуля только восьмая компонента сколярного поля, <ра = v6a%
(с точностью до Зи(Ъ)-преобразования). Найти ненарушенную подгруппу группы
SUC). Найти спектр масс фермионов, удовлетворяющих уравнению Дирака A4.54),
объяснить его структуру.
Менее тривиальные обобщения фермионного действия A4.45) и соответствую-
соответствующего уравнения Дирака можно получить, если записать действие в терминах левой
и правой компонент (двухкомпонентных столбцов) х и Ч> так чт0
-00
A4.56)
\ ■' /
(см. A4.21)). При этом
В представлении 7-матриц A4.4) будем иметь для действия A4.45)
5F = yVx [dicPdpX + vU^d^ - m(x4 + Jx) ~ Hvx4 + Wx)\ ■ A4.57)
Все члены в этом выражении по отдельности лоренц-инвариантны (инвариантно-
(инвариантности относительно пространственных отражений мы не требуем). Выражение A4.57)
можно обобщить, считая, что левая и правая компоненты х и Я по-разному пре-
преобразуются при калибровочных (или глобальных) преобразованиях. При этом по-
прежнему необходимо требовать действительности и калибровочной инвариантно-
инвариантности Sf.
В качестве первого примера рассмотрим теорию с калибровочной группой {7A)
и комплексным скалярным полем с зарядом е. Юкавское взаимодействие типа
Щ^Х будет калибровочно инвариантным, если сумма зарядов х и Ч* Равна (—е).
244 Глава 14. Фертоны во внешних полях
Например, заряд левой компоненты, х> можно выбрать равным (~5е)> а заряд
правой компоненты, i), — равным (+зе)- При этом массовый член типа mifix
не будет калибровочно инвариантным и его включать в фермионное действие
нельзя. Таким образом, мы приходим к действию
5F = j<?x [xha'D^x + JitPDPr, - Л(/хЧ + Wx)} , A4.58)
где Djt — dp ¥ ijAp. При действительной константе h оно обладает всеми необ-
необходимыми свойствами. Уравнения для двухкомпонентных столбцов х и т) получим,
как обычно, варьированием действия 5р по х^ ш)', считая их независимыми от х
ЯГ],
A4.59)
Это довольно нетривиальное обобщение уравнения Дирака для фермионной вол-
волновой функции ф. Левые части уравнения A4.59) ковариантно преобразуются при
калибровочных преобразованиях
A,, -» A,, + -д,,а.
Свойство калибровочной ковариантности уравнений A4.59) следует из калибровоч-
калибровочной инвариантности действия A4.58).
> Задача 19. Построить квантовомеханический гамильтониан, соответствующий урав-
уравнениям A4.59), т.е. записать уравнения A4.59) в виде
дФ
где Ф — волновая функция A4.56). Показать, что гамильтониан Яр эрмитов при
действительном h.
Отметим, что если значения бозонных полей в основном состоянии равны
Ац = 0, (р — v (так что в модели имеет место механизм Хиггса), уравнения
A4.59) превращаются в свободное уравнение Дирака для волновой функции A4.56),
(iy^dft - т)Ф — 0, с массой фермиона т = hv.
Обобщения этого примера включают в себя фермионный сектор стандартной
модели, к описанию которого мы переходим.
14.4. Фермионный сектор стандартной модели
В разделе 6.3 мы рассмотрели бозонный сектор стандартной электрослабой
теории. В этом разделе мы опишем ее фермионный сектор. Мы будем использовать
обозначения, введенные в разделе 6.3.
Начнем с обсуждения лептонов — фермионов, не участвующих в сильных
взаимодействиях. В природе имеется три типа заряженных лептонов: е~,/х~,т~
и три типа нейтрино vt,v^vT, а также соответствующие им античастицы. Массы
14.4. Фермионный сектор стандартной модели 245
всех нейтрино, если они имеются, очень малы, и мы в дальнейшем будем считать
нейтрино безмассовыми. Нейтрино — это фермионы левой киральности. Пары
(i/e, e"), (i/^/i") и (иТ,т~) ведут себя одинаково относительно всех взаимодействий
(e-fi-т-универсальность). Поэтому достаточно рассмотреть одну пару лептонов,
например (i/e,e~).
Ключевым экспериментальным фактом является то, что с W± -бозонными по-
полями взаимодействуют только левые компоненты электрона и (левые) нейтрино,
а правые компоненты электрона с W* -бозонами не взаимодействуют. Поля W±-
бозонов являются частью калибровочных полей подгруппы 5{7B) калибровочной
группы электрослабых взаимодействий 5{7B) х {7A). Следовательно, правую ком-
компоненту электрона е^ следует считать синглетом по отношению к 5{7B), а левые
компоненты vt и е[ естественно объединить в 5{7B)-дублет
A4.60)
Слабые гиперзаряды дублета £l и синглета е^ найдем, воспользовавшись формулой
F.35), связывающей третью компоненту слабого изоспина, электрический заряд
и слабый гиперзаряд. Например, для vt имеем Q = О, Т3 = |, поэтому У„е = -|. Для
е[ имеем Q = — 1, Т3 — —\ и, следовательно, Ytb = -|. Как и следовало ожидать,
слабый гиперзаряд компонент столбца A4.60) одинаков; столбец £l преобразуется
при калибровочных преобразованиях из подгруппы {7A) как целое,
«.= --
Для правой компоненты электрона имеем 2з = 0 и из F.35) получаем
Таким образом, слагаемые с ковариантными производными в действии электронов
и нейтрино имеют вид
= r<
^A4.61)
где
- igT— Al + ig-B^Lh, A4.62)
eR. A4.63)
Напомним, что eR, eL и i/e представляют собой двухкомпонентные столбцы —
лоренцевы (правые и левые) спиноры.
Действие A4.61) описывает безмассовые фермионы. Поэтому необходимо вве-
ввести еще слагаемое, обеспечивающее массивность электрона. Явный массовый член
типа m(eLeR + eReL) ввести нельзя, поскольку он не инвариантен относительно ка-
калибровочных преобразований. Поэтому мы введем взаимодействие юкавского типа
между фермионами и хиггсовским дублетом ip и воспользуемся тем, что в основном
состоянии
(|) A4-64)
246 Глава 14. Фермионы во внешних полях
Юкавский член в фермионном действии должен содержать правую компоненту
фермиона (точнее, сопряженную величину), eR, левую компоненту Ll и хиггсовское
поле (ср. A4.57)). Учитывая слабые гиперзаряды лептонов и хиггсовского поля (для
которого Yv — |), можно записать единственный калибровочно инвариантный
юкавский член вида
[{^ [] A4.65)
Здесь (ip^Li) обозначает свертку по внутренним индексам SUB) -дублетов; )
представляет собой инвариант относительно группы SUB) и является двухкомпо-
нентным столбцом с лоренцевой точки зрения: если ас = 1,2 и г = 1,2 — лоренцев
и внутренний индексы соответственно, то
e{(^LL) = DЫ£,"а A4.66)
(суммирование по i,at подразумевается) и аналогично для второго слагаемого
в A4.65). Инвариантность A4.65) относительно подгруппы {7A) слабого гипер-
гиперзаряда следует из того, что
Наконец, выражение A4.65) действительно при действительном ht.
В вакууме поле ip принимает значение A4.64), и выражение A4.65) превраща-
превращается в массовый член электрона
Таким образом, в хиггсовском вакууме электрон имеет массу
me = /ie^=, . A4.67)
а нейтрино остается безмассовым. Итак, действие электрона и электронного ней-
нейтрино имеет вид
A4.68)
Если мы будем интересоваться только электромагнитными взаимодействиями, т.е.
положим Wff = Zft = 0 и <р = ip™, то ненулевыми компонентами исходных
калибровочных полей будут (см. F.47))
В^ = А^ cos Ow,
где Ац — электромагнитный вектор-потенциал. В таких полях ковариантные про-
производные A4.62), A4.63) примут вид
/ т3 1 \
DftLL - (д,, - ig— sm9wAft + ig'-cos 9W A A LL = (д,, - ieQLAf,) LL,
DfteK = (9^ + ig' cos 9WA,,) eR = (df, - ieQ^A,,) ,
где
14.4. Фврмионный сектор стандартной модели 247
и мы воспользовались соотношениями между константами д, д', е и углом вщ,
описанными в разделе 6.3. Таким образом, если имеется только электромагнитное
поле, то действие A4.68) превращается в действие электродинамики
5ел = J d*x [е[го
+ vlicPdpVi. - me(e\eL + e[eR)J =
= I <fx [й/ (dp + ieA^e + vliarl'dllvL - теёе\.
Следующие из него уравнения — это уравнение Дирака для массивного электрона
с зарядом (—е) в электромагнитном поле Ар и свободное уравнение Вейля для
безмассового электронного нейтрино (которое электрически нейтрально).
Лептоны двух других поколений вводятся в модель в полной аналогии с элек-
электроном и электронным нейтрино. Они образуют левые дублеты
и правые синглеты
Полное лептонное действие представляет собой сумму действий для лептонов трех
поколений,
Si — <? 4- <? -4- <? (\d (А\
lept — е,"е > /*>"« г^г > \А ■•"^'/
где каждый член имеет структуру A4.68), различны лишь юкавские константы he, h^
и hT. Например, константа hp связана с массой мюона соотношением, аналогичным
A4.67),
nip = Нц—т=.
Рассмотрим теперь сильновзаимодействующие частицы — кварки. В природе
существует шесть типов кварков: и, d, s, с, Ъ и t. Каждый из кварков может
находиться в трех различных состояниях, так что на самом деле имеется три типа и-
кварков, три типа d-кварков и т.д. (Боголюбов, Струминский, Тавхелидзе, 1965;
Хан, Намбу, 1965; Миямото, 1965). Эти различные состояния называют цветами
кварков и говорят, что кварки образуют триплет по цвету,
/u.\ /d.\
и= I «2 I , d= I d2 J и т.д. A4.70)
\«з/ \^з/
Сильные взаимодействия кварков описываются калибровочной теорией с нена-
ненарушенной калибровочной группой цвета 5{7C)с — квантовой хромодинамикой
(Фрицш, Гелл-Манн, Лейтвиллер, 1973; Гросс, Вильчек, 1973; Политцер, 1973)
Столбцы A4.70) преобразуются по фундаментальному представлению SU C)с, при-
причем левые и правые компоненты волновых функций кварков преобразуются одина-
одинаково. Свободных кварков или глюонов — калибровочных бозонов группы 5{7C)с —
в природе не существует; сильновзаимодействующие частицы — адроны — это бес-
бесцветные объекты, составляющими которых являются кварки и глюоны. Несколько
248 Глава 14. Фермионы во внешних полях
огрубляя ситуацию, можно сказать, что протон состоит из двух u-кварков и одно-
одного d-кварка, р = (uud); нейтрон — из двух d-кварков и одного u-кварка, п = (ddu).
В соответствии с этим u-кварк и d-кварк имеют электрические заряды
Q« = \, Q* = -\- A4.71)
В дальнейшем мы не будем выписывать цветовой индекс кварков и будем подразу-
подразумевать по нему суммирование там, где это необходимо.
С точки зрения электрослабых взаимодействий кварки, как и лептоны, разби-
разбиваются на три пары (которые называют семействами или поколениями), а именно,
(u,d), (c,s) и (£,&). Электрослабые взаимодействия кварков каждого из поколений
одинаковы4', поэтому ограничимся пока кварками первого поколения, и и d. Их
левые компоненты образуют дублеты относительно электрослабой подгруппы SUB),
-СО-
а правые — синглеты относительно SUB). В полной аналогии с лептонами находим
из A4.71) и F.35) слабые гиперзаряды
у -\ V -I V ---
Указанные свойства однозначно определяют вид ковариантных производных для
дублета Ql и синглетов or и «Jr. Далее, все кварки обладают отличной от нуля
массой. Юкавское слагаемое, приводящее к массе d-кварка, записывается в полной
аналогии с A4.66),
[A* l\ A4-72)
при этом масса d-кварка (в вакууме A4.64)) равна
Отметим, что —ldR - Yv + Yql = 0, так что члены A4.72) инвариантны относи-
относительно всей SUB) х {7A) -группы слабых взаимодействий. Чтобы ввести юкавское
слагаемое, обеспечивающее массу u-кварка (в вакууме A4.64)), напомним, что
фундаментальное представление группы SUB) эквивалентно своему сопряженному.
Именно, если щ, i — 1,2, преобразуется по фундаментальному представлению
группы SUB), то ipi = Eijipj также преобразуется по фундаментальному представле-
представлению SUB). Поэтому синглетом по отношению к SUB) является как (<p^Qi), так
и (&QL).
о Задача 20. Пусть щ и и; — два двухкомпонентных столбца, преобразующихся по фун-
фундаментальному представлению группы SUB), т. е. преобразование ш 6 SUB)
действует как щ —* шцщ, »,- —* uijVj. Показать, что (v)v) — uju, = е^-шуи,- —
инвариант относительно действия группы SUB).
Наряду с юкавским членом A4.72) можно написать другое юкавское слагаемое
' С точностью до юкавских членов, см. ниже.
14.4. Фермионный сектор стандартной модели 249
Поскольку в (р входит (р*, слабый гиперзаряд ip равен ¥~ = — Yv = — j. Из-за этого
-YUR - Y$ + Yql = 0, и слагаемое A4.73) инвариантно относительно SUB) x U(l).
В вакууме A4.64) имеем
(напомним, что v действительно), и A4.73) превращается в массовый член для
«-кварка с
Суммируя сказанное, действие для и- и d-кварков запишем в виде
b) + (Qlv)<b] - К [uWQl) +'(д[й«к] }> A4-74)
где
Напомним, что каждый тип кварков, т.е. каждый из фермионов Q\_, Mr, dR, явля-
является триплетом, преобразующимся по фундаментальному представлению группы
цвета SUC)C. При этом Q'L, uR и dR преобразуются по представлению группы
5{7C)с, сопряженному к фундаментальному (т.е. являются антитриплетом). Свер-
Свертка по цветовому индексу, подразумеваемая в A4.74), обеспечивает инвариантность
относительно 5{7C)с (при этом ковариантные производные включают в себя кали-
калибровочные поля группы 5{7C)с, которые мы не выписывали).
Прямым обобщением действия A4.74) на случай трех поколений кварков было
бы выражение
Squark = S(utd) + 5(CjJ) + 5D)Ь), A4-75)
где каждое из слагаемых имеет структуру A4.74), но с различными юкавскими
константами.
Такое обобщение, однако, слишком тривиально и не учитывает одного важного обстоятель-
обстоятельства — смешивания кварков (Каббибо, 1963; Кобаяши, Маскава, 1973). Усложнение связано
с юкавскими членами, которые в A4.75) имеют не наиболее общий вид. Для построения
юкавских членов общего вида введем индекс поколения А = 1,2,3 и объединим кварки
с одинаковыми квантовыми числами в тройки Q£ = (QJ,"''0,Q^,Q**'), Gr = (uR,cR,tR),
^r = (^r^Ri^r)- Наиболее общий вид действительных калибровочно инвариантных юкав-
юкавских членов такой:
CT'Sr4 (vfQf) + к- с] + [hgctf (ytQ?) + к. с] , A4.76)
где /i^Jb""' и h^g — произвольные комплексные матрицы 3 х 3. От части этого произвола
можно избавиться с помощью замен переменных, и тем не менее в модели остаются четыре
250 Глава 14. Фермионы во внешних полях
дополнительных (по отношению к калибровочным константам и массам кварков) параметра —
три угла смешивания и фаза. Этот факт имеет важное значение для физики частиц. Отметим,
что в случае безмассовых нейтрино такое усложнение отсутствует в лептонном секторе.
i> Задача 21. Найти «Z-заряд» каждого кварка и лептона, т. е. константу перед слагае-
слагаемым типа tp^a^Tp^Z^ или ща^тр^р в фермионном действии.
Обсудим одно важное свойство фермионной части действия стандартной модели
5F = 5lept + 5quark, A4.77)
и следующих из него уравнений Дирака. Рассмотрим вначале электроны, элек-
электронные нейтрино и их античастицы. Соответствующая система уравнений Дирака
во внешних бозонных полях следует из действия A4.69), A4.68) и имеет вид
- 0,
= 0.
В присутствии полей PC-бозонов в уравнении A4.78) имеются члены, перемешиваю-
перемешивающие электронную и нейтринную компоненты волновой функции L\_. Они возникают
из ковариантной производной A4.78) и имеют вид
A\+ik\ 0 Д eL
_9_ ,
Поэтому во внешних W -бозонных полях число электронов и число электронных
нейтрино по отдельности не сохраняются: е может перейти в ve и наоборот. Кроме
того, как мы обсуждали в разделе A4.2), могут рождаться пары частица-античастица.
В то же время разность
(число электронов \ / число позитронов \
число электронных I ~ I число электронных I ~ ' "' \ ■ >
нейтрино / V антинейтрино /
сохраняется5^. Эту величину называют электронным лептонным числом; его со-
сохранение связано, разумеется, с тем, что действие электронов и нейтрино S(t^)
отщепляется в полном действии A4.77). Сохранение Le означает, например, что
бозонные поля стандартной модели не могут привести к переходу электрона в мюон
(или наоборот) без излучения соответствующего нейтрино и антинейтрино.
Аналогично, сохраняется мюонное лептонное число
A4.80)
* В последующих разделах мы будем обсуждать возможность несохранения Lt и других фермионных
чисел, связанную с весьма нетривиальным механизмом пересечения фермионных уровней. Изложенные
здесь соображения верны для топологически тривиальных внешних полей.
14.4. Фермионный сектор стандартной модели 251
и лептонное число третьего поколения
A4.81)
В квантовой теории поля W- и Z-бозонные поля могут образовываться виртуально; именно
виртуальные W- и /?-бозоны приводят к слабым взаимодействиям кварков и лептонов при
невысоких энергиях. Изложенные соображения о сохранении Lc, L^ и LT работают и для
виртуальных бозонных полей. Сохранение Le и L^ проявляется, например, в невозможности
процесса распада
Такой распад действительно экспериментально не наблюдался, и имеются сильные экс-
экспериментальные ограничения на его вероятность. Распад мюона в природе происходит
с сохранением Le и £,,, в основном по каналу
Наконец, в кварковом секторе сохраняется барионное число
В = -[(полное число кварков) - (полное число антикварков)].
Фактор \ введен здесь для того, чтобы барионные числа протона и нейтрона
равнялись 1.
Барионные числа отдельных поколений не сохраняются из-за смешивания A4.76). Полное
барионное число сохраняется в природе с высокой точностью: именно по причине сохранения
барионного и лептонного чисел протон — легчайшая частица с ненулевым барионным
числом — стабилен (экспериментально показано, что время жизни протона превышает
1032 лет!).
Итак, в стандартной модели имеются четыре сохраняющихся6^ глобальных
квантовых числа: Lt, L^, LT и В.
6>См.
предыдущую сноску.
Глава 15
Фермионы
и топологические внешние поля
в двумерных моделях
В этой главе мы рассмотрим два эффекта, возникающих при взаимодействии
фермионов с топологически нетривиальными внешними бозонными полями — дро-
дробление фермионного числа и несохранение фермионных квантовых чисел благодаря
явлению пересечения уровней. Оба эти явления имеют место как в двумерных, так
и в четырехмерных моделях. Поскольку двумерные теории анализируются проще,
в этой главе мы остановимся именно на моделях в двумерном пространстве-времени.
Сделаем одно общее замечание. Во многих случаях взаимодействие фермио-
фермионов с бозонными полями можно описывать, считая скалярные и векторные поля
внешними (и классическими) и изучая уравнение Дирака в этих полях. Разумеется,
такое описание является приближенным: присутствие фермионов, вообще говоря,
деформирует конфигурации бозонных полей. Однако последний эффект в целом
ряде случаев представляет собой малую поправку, и мы будем им пренебрегать. Этот
момент мы прокомментируем в дальнейшем, рассматривая конкретные модели.
15.1. Дробление заряда
Одно из явлений, возникающих при взаимодействии фермионов с солитона-
ми, — это дробление фермионного числа и электрического заряда (Джекив, Ребби,
1976b). Это явление было действительно обнаружено в одномерных системах физики
конденсированных сред. В этом разделе мы обсудим дробление заряда на примере
двумерных фермионов, взаимодействующих с кинком.
Итак, рассмотрим фермионы, взаимодействующие юкавским образом с дей-
действительным скалярным полем f в двумерном пространстве-времени. Уравнение
Дирака во внешнем поле ip имеет вид
О, A5.1)
где ip — двухкомпонентный столбец,
-(*)■ <■">
а двумерные матрицы Дирака имеют вид A4.15). Рассмотрим случай, когда внешнее
поле ip — это поле кинка, обсуждавшееся в разделе 7.1. Это поле статическое и имеет
асимптотики
' ±w, A5.3)
15.1. Дробление заряда 253
где v — значение поля ip в одном из основных состояний, v > 0. Мы будем считать,
что tp^ антисимметрично в пространстве,
Отметим, что поле
?.(*') = №.(-*') = -<рк(х1) A5.4)
представляет собой поле антикинка и имеет асимптотики
¥>а(я' -» ±оо) = tw-
Поскольку поле кинка статическое, имеет смысл говорить об энергии фермиона
в этом поле. Иными словами, решения уравнения Дирака во внешнем статическом
поле <р(х1) можно искать в виде
+(x°,xl) = <Tiu*1>*(x1). A5.5)
Волновая функция с определенной энергией удовлетворяет уравнению
Нотры = «*„(*'), A5.6)
где дираковский гамильтониан равен
HD =-ia-^ + 1нр(х1)р, A5.7)
причем матрицы а и /3 имеют вид @ — 70 = rI>' а = 707* = -1-
Если бы поле р находилось в основном состоянии, ip = v, то гамильтониан
A5.7) описывал бы свободный фермион с массой т = kv. Во внешнем поле
кинка заведомо имеются состояния фермиона в непрерывном спектре с энергиями,
превышающими т, но могут существовать (и, как мы сейчас увидим, действительно
существуют) дискретные уровни с энергиями меньше т. В любом случае, если
рассматривать фермионы с энергиями порядка т, то их присутствие будет слабо
влиять на поле кинка, если энергия самого поля кинка значительно превышает т.
Таким образом, наше приближение, в котором поле кинка считается внешним,
а влияние фермионов на кинк мало, справедливо при
Mk>hv, A5.8)
где Мк — масса кинка. В модели со скалярным потенциалом V(ip) = \(ip2 - v2J
имеем Mk ~ л/Аг>3 (см. раздел 7.1), и соотношение A5.8) имеет вид
, h
л/А
Именно этот случай мы будем рассматривать в дальнейшем.
Вернемся к обсуждению спектра дираковского гамильтониана A5.7) в поле
кинка ip = <рь(х[). Ключевым для дальнейшего является наличие нулевой моды —
локализованного состояния с энергией ш = 0 (Дашен, Хасслахер, Неве, 1974а). При
ш = 0 уравнение A5.6) в терминах компонент столбца A5.2) имеет вид
= 0,
=0,
или, эквивалентно,
{ ) { i/) = 0,
= 0.
254 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
Из последних уравнений ясно, что комбинации {ip\ ± iipj) равны
± i,p2) = А± ехр ± J hipk(x[) da:1 ,
где А± — произвольные пока постоянные. Учтем теперь асимптотики поля кинка
A5.3) и получим, что при больших 1а;11 справедливо
i1
f
Поэтому комбинация (^1+1^2) экспоненциально растет при 1а:11 —» со (если А+ Ф 0),
а комбинация {ip\ - iipj) экспоненциально убывает как при х1 —► +со, так и при
1
мода; для нее (ip\ + iipj) = 0, т.е. Л+ = 0. В терминах двухкомпонентного спинора
волновая функция нулевой моды равна
lj] A5.9)
где А — нормировочная постоянная.
Ясно, что нулевая мода щ должна быть инвариантна относительно С-
сопряжения (с точностью до фазового множителя): если бы это было не так,
то С-сопряженная функция
была бы другим решением уравнения Дирака с нулевой энергией'). Инвариантность
нулевой моды относительно С-сопряжения нетрудно проверить явно.
о Задача 1. Показать прямым вычислением, что волновая функция A5.9) инвариантна
относительно С-сопряжения (с точностью до фазового множителя).
Нулевую фермионную моду в поле антикинка можно найти, воспользовавшись
свойством A5.4). Из этого свойства следует, что при операции пространственного
отражения (с матрицей Р = 7°) уравнение Дирака в поле кинка переходит в урав-
уравнение Дирака в поле антикинка. Поэтому спектр собственных значений оператора
Дирака в поле антикинка совпадает со спектром оператора Дирака в поле кинка,
а соответствующие собственные функции связаны между собой Р-преобразованием.
В частности, нулевая мода в поле антикинка равна
(множитель (—i) введен для удобства), или в явном виде
, A5.10)
где мы воспользовались явным видом матрицы Р = 7° и свойством A5.4).
"Тот факт, что уравнение Дирака A5.1) инвариантно относительно С-сопряжения и в присутствии
действительного внешнего поля р(х'), проверяется в полной аналогии с разделом 14.1.
15.1. Дробление заряда 255
о Задача 2. Показать прямым вычислением, что функция A5.10) является единственным
решением уравнения Дирака с нулевой энергией в поле антикинка.
> Задача 3. Показать, что в топологически тривиальных статических внешних полях
<р(х[) (таких, что <р(х[ —► ±оо) = v) нулевые фермионные моды отсутствуют.
Обсудим теперь, к чему приводит существование фермионной моды с нулевой
энергией в поле кинка. Прежде всего, имеется два вырожденных состояния системы
в солитонном секторе. В одном из них фермионный уровень, соответствующий
нулевой моде, заполнен, в другом — нет; поскольку энергия фермиона на этом
уровне равна нулю, полные энергии (массы) этих состояний одинаковы. Разность
фермионных чисел этих состояний равна единице,
iVf(k)-ivik)= 1, A5.11)
где Nf обозначает фермионное число состояния с заполненным (filled) нулевым
уровнем в поле кинка, a iVe — фермионное число состояния с незаполненным
(empty) нулевым уровнем. Аналогично, имеется два вырожденных состояния анти-
антикинка, разность фермионных чисел которых также равна единице
iVf<a)-iVe<a) = l.
Покажем, что соответствующим состояниям следует приписать
полуцелые фермионные числа,
jVe<k)=ivia) = ~. A5.12)
Заметим сначала, что в силу симметрии теории относительно пространственного
отражения фермионные числа состояний одного типа равны для кинка и антикинка,
iV<k) = N?\
ivf = iV<a). A5.13)
Рассмотрим теперь мысленный эксперимент, в котором адиабатически медленно
рождается пара кинк—антикинк. Скалярное поле в этом процессе изменяется
с течением времени так, как показано на рис. 15.1. Нас интересует поведение
системы уровней фермионов с течением времени в этом процессе. Иными словами,
в фиксированный момент времени х° необходимо найти собственные значения
гамильтониана Дирака во внешнем поле ip(x\x°), причем х° рассматривается как
параметр, т.е. решить задачу на собственные значения
Набор собственных значений ш(х°) и представляет собой искомую систему уров-
уровней фермионов; она зависит от я0 как от параметра, т. е. уровни (адиабатически
медленно) движутся со временем.
В силу С-симметрии положительные и отрицательные уровни движутся сим-
симметрично: если в данный момент а;0 имеется положительный уровень с энергией ш,
то есть и отрицательный уровень с энергией (— ш). Вначале система уровней соот-
соответствует свободным фермионам с массой т = hv. В конце процесса, когда кинк
256 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
\
V
V
V
Т
У т
—V
Рис. 15.1.
и антикинк разойдутся на бесконечное расстояние, в системе имеются два уров-
уровня с нулевой энергией. Таким образом, система фермионных уровней изменяется
со временем так, как изображено на рис. 15.2.
Рис. 15.2.
Пусть в начале процесса система фермионов находилась в дираковском вакууме:
все уровни с отрицательной энергией были заполнены, а все уровни с положительной
энергией — свободны. При этом фермионное число системы бьшо равно нулю.
15.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 257
При адиабатическом изменении внешнего поля фермионы с уровня на уровень
не перескакивают. Следовательно, в конечном состоянии будут заполнены все
отрицательные и один нулевой уровень. Это может быть уровень, локализованный
на кинке или уровень,, локализованный на антикинке (в действительности эти
две возможности реализуются с вероятностью j каждая, что очевидно из Р-
инвариантности). При этом полное фермионное число системы не изменятся, т.е.
в конце процесса оно по-прежнему равно нулю. Если, например, заполнен нулевой
уровень, локализованный на кинке, а уровень на антикинке свободен, то равенство
нулю фермионного числа в конечном состоянии означает, что
Вместе с соотношениями A5.11) и A5.13) это и приводит к полуцелым фермионным
числам A5.12).
Если фермионы несут электрический заряд е (а скалярное поле электрически
нейтрально), то нам приходится заключить, что электрический заряд кинка с за-
заполненным нулевым фермионньщ уровнем равен |е (а заряд кинка со свободным
нулевым уровнем равен (-|е))! На первый взгляд это заключение парадоксально,
поскольку в системе нет элементарных возбуждений — частиц — с полуцелым
электрическим зарядом. Разрешение этого кажущегося парадокса состоит в том, что
дираковское море во внешнем поле <р(х1) может нести электрический заряд, кото-
который не обязан быть целым; говорят, что дираковское море поляризуется. Последнее
утверждение подкрепляется прямым вычислением электрического заряда (и фер-
фермионного числа) дираковского моря в поле кинка; такое вычисление проводится
в рамках квантовой теории поля, и здесь мы не будем его приводить.
15.2. Пересечение уровней и несохранение
фермионных квантовых чисел
В этом разделе мы рассмотрим простейшую модель, где возникает явление
пересечения фермионных уровней и связанное с ним несохранение фермионных
квантовых чисел, — теорию двумерных безмассовых фермионов, взаимодействую-
взаимодействующих с абелевым (внешним) калибровочным полем. Явление пересечения уровней
тесно связано с квантовой аномалией (Адлер, 1969; Белл, Джекив, 1969) в диверген-
дивергенции соответствующего фермионного тока, поэтому обусловленное им несохранение
квантовых чисел фермионов, имеющее непертурбативный характер, нередко назы-
называют аномальным. Аномальное несохранение фермионных чисел было обнаружено
в контексте инстантонных процессов 'т Хоофтом A976а,Ь), который использовал
формализм, существенно отличающийся от изложенного в этом и последующих раз-
разделах (формализм евклидова функционального интеграла, в котором несохранение
фермионных квантовых чисел возникает благодаря наличию евклидовых нулевых
фермионных мод). Интерпретация механизма 'т Хоофта в терминах пересечения
фермионных уровней дана Калланом, Дашеном и Гроссом A978) и Кискисом A978).
Двумерные модели с этой точки зрения рассматривались Нильсеном и Ниномия
A983) и Амбьорном, Гринсайтом и Петерсоном A983). Мы увидим в следующих
главах, что аномальное несохранение фермионных квантовых чисел характерно для
целого ряда систем в четырехмерном пространстве-времени; оно приводит к след-
следствиям, интересным как с точки зрения физики частиц, так и с точки зрения
космологии.
258 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
Напомним, что свободные безмассовые фермионы в двумерном пространстве-
времени описываются двухкомпонентной волновой функцией
-б)"
удовлетворяющей уравнению Дирака
vfdtf = О, it = 0,1.
Мы будем по-прежнему использовать представление A4.15) двумерных матриц
Дирака, 7° = т1, 71 = "- В этом представлении свободные уравнения для х и Т)
расщепляются,
(«в» - *0i)x = 0, A5.14)
(id0 + id{)T} = 0. A5.15)
Общее решение уравнения A5.14) представляет собой произвольную комплексную
функцию переменной zo + zi, т.е. х — х(хо + х\)- Поэтому х — это волна
(вообще говоря, не плоская), движущаяся налево. Аналогично, rj(xo—xi) — решение
уравнения A5.15) — представляет собой волну, движущуюся направо. Мы будем
говорить, что х описывает левые фермионы (фермионы, движущиеся налево), а т) —
правые фермионы.
Для дальнейшего удобно считать, что одномерное пространство имеет конечную
длину L, а на границах наложены периодические граничные условия. Решения
уравнения Дирака с фиксированной энергией ш имеют вид
Хи =е-1Ш1°+1"*1', ш = -к,
. , A5Л6)
т,и = е-'' +•'** , ш = +к,
причем в обоих случаях импульс к принимает дискретный ряд значений,
к = —п, п = 0,±1,±2,... . A5.17)
L
Спектр энергий ш, по существу, бесщелевой (первый уровень отделен от нуля щелью
с шириной ^), вырождения нет.
Поскольку уравнения для левых и правых фермионов расщепляются, имеет
смысл говорить о левом фермионном числе iVL и правом фермионном числе Wr,
которые по отдельности сохраняются. Например, N\^ — это разность между числом
фермионов, движущихся налево, и антифермионов (дырок в дираковском вакууме),
также движущихся налево. Одно из состояний фермионной системы изображено
на рис. 15.3. Вместо N]_ и Nr. можно ввести сохраняющееся полное фермионное
число Nf = iVL + Wr и киральность Q5 = N^- Nr..
Пусть теперь фермионы взаимодействуют с абелевым калибровочным полем
Ау. группы U(\) и несут заряд е. По аналогии с четырехмерной электродинамикой
мы будем называть Ау. электромагнитным вектор-потенциалом. В действительности
о магнетизме речи не идет: единственная отличная от нуля компонента тензора
напряженности Jbi = -Fxu соответствует электрическому полю, Foi = —Е. Урав-
Уравнение Дирака во внешнем поле Ау(х°,х1) получается, как обычно, удлинением
производных. Для левой и правой компонент имеем уравнения
[Цдо - геА0) - »@, - геЛ,)] X = 0, A5.18)
[г{до - ieA0) + i{di - ieAt)] V = 0. A5.19)
15.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 259
i
левые
правые
Рис. 15.3. Состояние фермионной системы с NL = 2 и JVR = -1. Пустые кружки обозначают
незаполненные уровни в дираковском море, черные кружки — заполненные уровни
Можно было бы думать, что iVL и iVR по-прежнему по отдельности сохраняются,
поскольку левые и правые компоненты фермионных волновых функций не переме-
перемешиваются. Убедимся, что это не всегда так.
В качестве простейшего примера рассмотрим процесс, при котором на систему
фермионов накладывается на некоторое время однородное в пространстве электри-
электрическое поле, направленное вдоль х1 в положительную сторону; при х° —> ±оо элек-
электрическое поле отсутствует. Пусть в начале процесса система фермионов находится
в основном состоянии — дираковском вакууме. При наложении электрического
поля находящиеся в дираковском море фермионы типа т], движущиеся направо,
будут приобретать энергию. Часть из них станет обладать положительной энергией.
После выключения электрического поля эти фермионы по-прежнему будут иметь
положительную энергию, т.е. некоторые положительные уровни будут заполнены
и в системе появятся реальные правые фермионы. Наоборот, фермионы дираковско-
го моря типа х. движущиеся налево, теряют энергию в электрическом поле, т.е. их
энергия ш со временем становится все более отрицательной. Это означает, что часть
отрицательных уровней левых фермионов будет незаполнена в конце процесса, т. е.
в системе появятся дырки — левые антифермионы. Начальное и конечное состоя-
состояние системы изображены на рис. 15.4. Таким образом, левое фермионное число NL
в этом процессе будет уменьшаться, а правое iVR — увеличиваться. iVL и iVR по
отдельности сохраняться не будут. Для количественного описания этого процесса
выберем калибровку вектор-потенциалов, где Аа = 0 и А\ = А\(хй). Электрическое
поле равно
Е = -даМх°). A5.20)
При этом в начале процесса Ai(x° = -со) = 0, а в конце его
А, = const = , х
е
+оо.
A5.21)
260 Глава 15. Фврмионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
}
левые
ш
правые
j
п
левые
правые
Рис. 15.4.
Решим уравнения A5.18), A5.19) в таком поле. Решения, обладающие энергией ш
в начале процесса, имеют вид
X =
= е
A,(t)dt
ic J A,(t)dt
При х° —> +оо эти решения характеризуются энергиями (ш — ц) и (ш + ц), соответ-
соответственно,
Х = const •e-"("-")l"-"''1', A5.22)
т/ = const • e-i<-'+''>l0+i''1'. A5.23)
Тот факт, что импульс для этих решений не совпадает по абсолютной величине с энергией,
объясняется присутствием ненулевого вектор-потенциала A5.21) в конце процесса. Этот
вектор-потенциал можно устранить калибровочным преобразованием Л, -* А, + ^д^а, ф —>
е'"ф = ф' с а = /1х'. В результате калибровочно преобразованные волновые функции в конце
процесса будут иметь обычный вид
X = const • e~'('"~'')(I +I',
i/ = const .e-*-W-\
В начале процесса заполнены все уровни с ш ^ 0. Из A5.22), A5.23) следует,
что в конце процесса будут заполнены все левые уровни с энергией, меньшей (—ц),
и все правые уровни с энергией, меньшей (+jt). Левые уровни в интервале энергий
(-^,0) будут свободны. Таким образом, в системе образуется одинаковое количество
правых фермионов и левых антифермионов, т. е.
AiVL = -AN&. A5.24)
1S.Z. пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 261
Полное фермионное число N? = N^+Nr сохраняется, но киральность Q5 = Ni_— Nr
изменяется.
Для вычисления ANg. учтем, что энергии свободных фермионов пробегают
значения ^n, n = 0,±1,±2,... (см. A5.16), A5.17)), причем уровни невырождены.
В конце процесса реальные правые фермионы заполняют все уровни с энергиями
от 0 до ц, т. е. уровни с
Таких уровней имеется -^ц штук, поэтому
ANK = ^-ц. A5.2S)
Учитывая A5.20) и A5.21), этому равенству можно придать следующий вид:
ANK = у I dxldxu Е A5.26)
или
AiVR = —L I d2x e^Fp». A5.27)
Для изменения полного фермионного числа и киральности имеем
ДЛГР = 0, A5.28)
Д<?5 = — / d1xe>tvFv.v. A5.29)
2-к J
Итак, в данной модели не сохраняется одно из фермионных квантовых чисел —
киральность (разность чисел левых и правых фермионов), причем в рассмотренном
процессе изменение киральности дается соотношением A5.29). Отметим, что правая
часть A5.29) пропорциональна топологическому числу двумерной конфигурации
калибровочного поля, введенному в разделе 13.3.
Соотношения A5.24) и A5.27), или, что то же самое, A5.28), A5.29), имеют
на самом деле весьма общий характер. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала
калибровочное поле Л1(х°,х|), адиабатически медленно меняющееся со временем
и описывающее электрическое поле E(x°,xl) = —doAi(x°,xl), которое выключается
при х° —> ±оо. В остальном поле А^х?) произвольно; без ограничения общности
можно считать, что в начале процесса Ai(x°,xl) = 0, ха —* -оо. При этом в конце
процесса А[(х° —> +оо,z1) отлично, вообще говоря, от нуля.
Решения уравнения Дирака в адиабатически медленно меняющемся внешнем
поле имеют вид
-I / u(t)dt
), ■ A5.30)
где ^)шAо)(х|) — собственная функция мгновенного дираковского гамильтониана
где
Я0(х°) = -га [<?, - ■
Как и прежде, а = 7°7' = ~т3. В уравнении A5.31) время ха надо рассматривать
как параметр. Соотношения A5.30) и A5.31) означают, что в течение всего процесса
262 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
энергии ш(х°) фермионных уровней изменяются (уровни движутся), при этом фер-
фермионы остаются на тех же уровнях, на которых они находились сначала (перескоков
с уровня на уровень не происходит). В начале и в конце процесса электрическое
поле выключено, поэтому системы фермионных уровней совпадают — это сис-
системы уровней свободного дираковского гамильтониана. В то же время, движение
фермионных уровней может быть нетривиальным: мы сейчас увидим, что левые
и правые уровни могут двигаться так, как изображено на рис. 15.5. Некоторые уров-
уровни могут пересекать нуль и перемешаться из области отрицательных2^ ш в область
положительных ш (на рис. 15.5 это два уровня правых фермионов). Если, например,
начальное состояние фермионной системы представляет собой дираковский вакуум,
как изображено на рис. 15.5 для правых фермионов, то в конечном состоянии бу-
будут иметься реальные фермионы в количестве, равном числу уровней, пересекших
нуль снизу. Некоторые уровни могут пересекать нуль сверху и из области поло-
положительных ш переходить в область отрицательных ш. Эти уровни будут свободны
в конечном состоянии (если начальное состояние представляет собой дираковский
вакуум), т.е. в системе появятся антифермионы. Таким образом, изменение правого
фермионного числа в указанном процессе будет равно
/количество правых уровней,\
\ пересекших нуль снизу 1
/количество правых уровней Л
\ пересекших нуль сверху I
и аналогично для ANj^. Ясно, что это соотношение не зависит от начального
состояния, что проиллюстрировано на рис. 15.5 для левых фермионов (Д-Wl = —2
на рис. 15.5).
1
.
' —--~
"——^
ш
^~~—■—.
^-~-—-
^"" 9
ь. "~ ^— ^
^ 0_ Z0
~^г~~— *
^"- 0_
правые
левые
Рис. 15.5.
Отметим одну тонкость. Спектры фермионов действительно будут совпадать
в начале и в конце процесса, если конечное поле Ai(xa —> +oo,z') может быть
сделано равным нулю несингулярным калибровочным преобразованием с калибро-
калибровочной функцией е'а(х ', периодической в пространстве с периодом L. Для этого
21 Мы относим нулевой уровень к дираковскому морю; это — вопрос соглашения, несущественный
для дальнейшего. В пределе бесконечного пространственного размера эта тонкость пропадает.
15.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 263
требуется (см. раздел 13.3), чтобы была целой величина
£/2
-L/2
которая представляет собой топологическое число калибровочного вакуума в ко-
конечном состоянии. Напомним, что п связано с топологическим числом двумерной
конфигурации калибровочного поля (мы положим А\ =0 при х° —> — оо),
■■-hi'-
/ *• UV *
Именно случай целых q мы будем рассматривать в дальнейшем.
Чтобы связать AiVR и Ai\TL с q, решим уравнение A5.31). Для правых и левых
фермионов решения имеют вид
Условия периодичности волновых функций т/ и х на границах пространства удо-
удовлетворяются при
L/2
правые: ш„(х°)Ь+е I i4i(z°,z')dz'= 2тгп,
-L/2
£/2
(x°)L-e f Ai(x°,xl)dxl = 2тгп, n = 0,±l,±2,... .
левые :
-£/2
Таким образом, энергии фермионов на n-х уровнях в момент времени ха равны
£/2
правые :
-L/2
L/2
: шп(х°) = ^ - | J Ах{х°>') dx1, A5.32)
левые: шп(хи) = :^ + - / AAx°,xl)dxl. A5.33)
L L J
-L/2
Отсюда видно, что при q Ф 0 уровни действительно движутся так, как изображено
на рис. 15.5. При х° —> -оо имеем шп = ^, а при z° —> +оо этот уровень
будет занимать положение (та ± д) -го уровня свободных фермионов (верхний знак
относится клевым фермионам, нижний — к правым),
шп(ха -, +оо) =
264 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
Мы заключаем, что разность количеств уровней, пересекающих нуль снизу и сверху,
равна q для левых фермионов и (-q) для правых. Следовательно,
= -q, A5.34)
= g, A5.35)
что совпадает с формулами для пространственно однородного поля.
Наконец, откажемся от требования адиабатического изменения поля А\ со вре-
временем. В неадиабатической ситуации возможны перескоки фермионов с уровня
на уровень, а движение самих уровней по-прежнему дается формулами A5.32),
A5.33). Существенно, что левые фермионы не могут перескакивать на правые
уровни и наоборот, поскольку уравнения Вейля для левых и правых фермионов
расщепляются. Все, что может произойти в конечном состоянии по сравнению
с адиабатическим случаем, — это появление некоторого количества дополнительных
правых фермионов в реальном состоянии (с ш > 0) и такого же количества дырок
в дираковском море правых фермионов (и аналогично для левых). Это никак не ска-
сказывается на правом (и левом) фермионных числах конечного состояния, поскольку
они определяются как разность между числом фермионов с ш > 0 и дырок в дира-
дираковском море (антифермионов). Мы заключаем, что формулы A5.34), A5.35) (или,
что то же самое A5.28), A5.29)) имеют общий характер, если калибровочное поле
находится в вакуумном состоянии в начале и в конце процесса (и даже в более общей
ситуации, когда конфигурации поля Ai в начале и в конце не зависят от времени
и отличаются несингулярным и периодическим калибровочным преобразованием).
Сделаем несколько замечаний.
1) Мы ничего не говорили о причинах, по которым возникает калибровочное
поле Ai(x°,xl), а также о том, взаимодействует ли оно с другими бозонными поля-
полями; нам было важно лишь, что в начале и в конце его конфигурации соответствуют
топологически различным вакуумам. Такое поле в абелевой модели Хиггса при нуле-
нулевой температуре может возникнуть в результате туннельного процесса (инстантон).
Таким образом, инстантонный переход в абелевой модели Хиггса с безмассовыми
фермионами приводит к несохранению' киральности (для одного инстантона q = 1
и киральность изменяется на AQ5 = 2). В абелевой модели Хигтса при конечной
температуре поле А\(х°,х[) может появиться в результате теплового скачка (через
сфалерон); такой процесс в теории с фермионами также приводит к несохранению
киральности.
2) В любом случае для несохранения киральности требуются «большие» поля:
малые возмущения А\ не приводят к переходам между топологически различными
вакуум ами.
3) Если бы в модели имелись только правые поля, а левая компонента ф
отсутствовала вовсе (вейлевские двумерные фермионы), то нам бы пришлось прийти
к выводу о несохранении электрического заряда. Действительно, электрический
заряд дираковского моря мы положили равным нулю, поэтому для системы правых
вейлевских фермионов электрический заряд равен
Q = JVR.
Несохранение iVR означало бы несохранение электрического заряда. Однако элек-
электродинамика с несохраняющимся электрическим зарядом внутренне противоречива
(уравнения Максвелла самосогласованы только при сохраняющемся векторе тока,
fyijfi = 0). Таким образом, мы заключаем, что теория электрически заряжен-
заряженных вейлевских фермионов внутренне противоречива в двумерном пространстве-
времени.
1S.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 265
В квантовой теории поля можно построить операторы фермионных токов — левого и правого
где -у5 = —yaj' = г3 в двумерном пространстве-времени. Операторы левого и правого
фермионных чисел имеют вид
В квантовой теории поля доказывается, что токи ft и j* не сохраняются (аналог треуголь-
треугольной аномалии Адлера—Белла— Джекива, имеющей место в четырехмерном пространстве-
времени),
d»fr = ^„F^ A5.36)
д?Я = —^F^. A5.37)
Соотношения A5.34), A5.35) по существу являются интегралами по пространству-времени
от аномальных тождеств A5.36), A5.37). Внутренняя противоречивость двумерной квантовой
электродинамики с только правыми фермионами очевидна из соотношения A5.37).
4) В рассмотренной нами модели нарушается киральность, а полное ферми-
онное число сохраняется. Нетрудно, однако, построить модель, где не сохраняется
полное фермионное число N<? = NL + Nr (см. задачу в конце раздела).
5) Тот факт, что разность количеств правых уровней, пересекающих нуль снизу
и сверху, равна топологическому числу q конфигурации калибровочного поля (для
конфигураций, отличающихся в начале и в конце калибровочным преобразованием),
является простейшим вариантом теоремы Атьи—Патоди—Зингера. Возможность
доказательства этого факта путем прямого решения уравнения Дирака является
спецификой простой двумерной модели, рассмотренной в этом разделе.
Может сложиться впечатление, что явление пересечения уровней возможно только для
безмассовых фермионов. В действительности это не так: пересечение уровней и несохранение
фермионных квантовых чисел может иметь место и тогда, когда фермионы приобретают массу
за счет юкавского взаимодействия с хигтсовскими полями (этот механизм приобретения
массы обсуждался в конце раздела 14.3). В качестве примера рассмотрим абелеву модель
Хиггса в двумерном пространстве-времени и введем в нее фермионы, взаимодействующие
с хигтсовским полем юкавским образом.
Лоренц- и калибровочно инвариантное действие можно записать, введя заряженный
правый фермион х и нейтральный левый фермион £ (ср. пример в конце раздела 14.3).
При калибровочных преобразованиях будем иметь <р -> е'а<р, х -* е'°Х> £ ~* £ и фермионное
действие с юкавским членом можно выбрать в виде
= J £x [X+i(D0
XV )] , A5-38)
где по-прежнему D^ = д^ — ieAp. Здесь мы воспользовались явным видом двумерных -у-
матриц.
Уравнения, следующие из действия A5.38), имеют вид
i(Da + D{)x-bvt = 0, A5-39)
i(da-dl)S-kv'x = 0- A5.40)
266 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
Если внешние поля принимают вакуумные значения, Ар = 0, tp — v, то система A5.39),
A5.40) описывает свободный массивный дираковский фермион в двумерном пространстве-
времени: она сводится к свободному уравнению Дирака
i-fpdpij) — тф = 0
для столбца
-О-
A5.41)
\л/
При этом масса фермиона равна m = hv.
Рассмотрим теперь внешние поля A,(x°,xl), ip(x",xl) в калибровке Ло = 0. Будем
считать, что они интерполируют между соседними топологически различными вакуумами,
т.е.
А{(х')—0, tp(x') = v при z° —»-оо,
^, <p(x1) = eia(x)v при х°-+оо,
причем
а(х' -> +оо) - а(х' -> -оо) = 2т
(поскольку фермионы массивные, нет необходимости рассматривать систему в пространстве
конечной длины). Зададимся вопросом о том, возникает ли в таких внешних полях явление
пересечения уровней. Иными словами, нам необходимо проанализировать спектр мгновен-
мгновенного дираковского гамильтониана для системы A5.39), A5.40) в указанных внешних полях.
Этот гамильтониан имеет вид
*-(й-К,). A5-42)
поскольку при А„ = 0 уравнения A5.39), A5.40) записываются для столбца A5.41) в форме
гдоф = Ноф.
Отметим, что гамильтониан A5.42) эрмитов, как и должно быть.
Мы решим только часть задачи, а именно, покажем (да и то не для всех конфигураций
полей At и if), что мгновенный гамильтониан A5.42) имеет нулевое собственное значение
при некотором х". Соответствующая собственная функция фо быстро убывает при х1 -> ±оо,
поэтому беспокоиться о выполнении граничных условий для ^0 мы не будем. Чтобы сделать
задачу более симметричной во времени, сделаем над всеми величинами калибровочное
преобразование с калибровочной функцией — ^|-^. Тогда внешние бозонные поля будут
интерполировать между статическими конфигурациями вида
Мх)дф+(х), Р(х) е\ х+оо,
где /3± = ±2^. Без ограничения общности можно считать, что а(х' -> -оо) = О,
а а(х' —> +оо) = 2-х. Тогда в начале процесса при изменении х' фаза поля (р меняется
от нуля (когда х1 —» -оо) до (-■к) (когда г1 -> +оо). Это означает, что при изменении х1
начальное поле ^(я1) описывает полуокружность радиуса v в комплексной плоскости, распо-
расположенную в нижней полуплоскости. При х° —> +оо поле <р(х1) описывает полуокружность,
расположенную в верхней полуплоскости, а весь процесс происходит так, как изображено
на рис. 15.6.
Ограничимся для простоты конфигурациями, которые в некоторый момент времени
(скажем, а;0 = 0) описываются действительными <р(х{) и имеют А^х1) = 0. В этот момент
(как и при любом х") поле <р{х1) изменяется от v до (-и) при х1, изменяющемся от -оо
до +оо. При х" = 0 мгновенный гамильтониан A5.42) равен
15.2. Пересечение уровней и несохранение фермионных квантовых чисел 267
— +оо
Re <р
о __ _
Рис. 15.6. Эволюция поля <р с ростом х". Сплошными линиями показаны «траектории» <р(х')
при х" — -оо (нижняя полуокружность) и х° = +оо (верхняя полуокружность). Пунктирные
линии — «траектории» <р(х1) при промежуточных временах
Он совпадает с гамильтонианом A5.1) в поле антикинка и имеет, как показано в разделе
15.1, нулевое собственное значение. Таким образом, в системе действительно происходит
пересечение нуля одним из фермионных уровней. Отметим, что для пересечения уровней
существен тот факт, что поле <р обращается в нуль в некоторой точке (а;0, а;').
Заметно сложнее убедиться в том, что фермионное число изменяется ровно на единицу
во внешних полях А\ и <р рассматриваемого типа. Соответствующее доказательство мы
не будем здесь приводить. Отметим только, что на уровне квантовой теории поля в модели
имеется аномалия типа A5.37) в фермионном токе, или, в проинтегрированном виде,
ЛЛГр = q,
и что подсчет пересечений уровней согласуется с этой формулой31.
> Задача 4. Рассмотрим безмассовые двумерные фермионы, взаимодействующие с кали-
калибровочным полем группы U(l) аксиальным образом. Уравнение Дирака имеет вид
vfDnt = О,
где V — двухкомпонентный столбец, a Dp определена как Dp = дц - ге^А^.
Матрица 75, кок и раньше, равна j5 = -j°jl = г3. Отметин, что калибровочные
31 Калибровочный ток в этой модели также имеет аномалию. Чтобы сделать модель непротиворечивой,
необходимо добавить в нее другие фермионы.
268 Глава 15. Фермионы и топологические внешние поля в двумерных моделях
преобразования над ф имеют вид
ф —► cta^ ф.
Найти поведение системы уровней энергии фермионов во внешнем поле А\(х°,х])
с q ф 0. Показать, что киральность в этой модели сохраняется, а полное фермионное
число — нет.
Глава 16
Фермионы в полях солитонов и струн
в четырехмерном пространстве-времени
Цель этой главы — обсуждение некоторых динамических эффектов, связан-
связанных с поведением фермионов в полях топологических объектов в четырехмерном
пространстве-времени — магнитных монополей 'т Хоофта—Полякова (разделы 16.1
и 16.2) и струн, то есть вихрей Абрикосова—Нильсена—Олесена (раздел 16.3). Сами
эти объекты были описаны в разделах 9.1, 9.2 и 7.3, и мы будем пользоваться
введенными там обозначениями. Интерес к вопросам, рассматриваемым в этой
главе, связан в первую очередь с тем, что монополи и струны естественным образом
появляются в теориях большого объединения сильных, слабых и электромагнитных
взаимодействий (монополи существуют практически во всех теориях большого объ-
объединения, а струны появляются в относительно небольшом классе моделей). В этих
теориях имеются, конечно, и фермионы — по крайней мере, известные кварки
и лептоны. Поэтому изучение динамики фермионов, взаимодействующих с моно-
полями и струнами, важно как для экспериментального поиска этих объектов, так
и с точки зрения выяснения их возможной роли в ранней Вселенной.
16.1. Фермионы в поле монополя:
целый угловой момент
и дробление фермионного числа
В этом и следующем разделах мы будем рассматривать простейшую модель, где
имеются монополи 'т Хоофта—Полякова. Эта модель (см. разделы 9.1 и 9.2) основана
на калибровочной группе SUB) и содержит действительный триплет хиггсовских
полей <р". Напомним, что основное состояние бозонных полей может быть выбрано
в виде
f?="?' A6.1)
При этом остается ненарушенной подгруппа электромагнетизма 17A)ет, калибро-
калибровочные преобразования которой имеют вид
w(x)=e''^o(l). A6.2)
В унитарной калибровке поля А], и А% массивны, а безмассовое электромагнитное
поле описывается вектор-потенциалом Aj,.
Для удобства дальнейших ссылок запишем еще раз вид монопольного решения
(9.10) в регулярной калибровке
V' = n'v(l-H(r)), A6.3)
270 Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
Л- = —e"V A - F(t)) , A6.4)
gr
Aao=0,
где радиальные функции удовлетворяют граничным условиям
F(Q) = Я@) = 1, F(oo) = Я(оо) = 0. A6.5)
Вспомним еще, что в калибровке A6.3) ненарушенная подгруппа электромагнетизма
(которая имеет смысл вдали от ядра монополя) определяется не формулой A6.1),
а преобразованиями
ш(х) = е1^"^, A6.6)
где па = ^- — компоненты единичного радиуса-вектора в трехмерном пространстве.
Включим в модель фермионы, которые представляют собой дублет по отноше-
отношению к калибровочной группе SUB). В этом разделе мы будем рассматривать дира-
ковские фермионы, содержащие как левые, так и правые компоненты, и включим
юкавское взаимодействие с хиггсовским полем р". Соответствующая конструкция
описана в разделе 14.3, поэтому мы сразу запишем уравнение Дирака A4.54)
= 0. A6.7)
Отметим, что мы положили затравочный массовый параметр то в A4.54) равным
нулю. Фигурирующая в A6.7) ковариантная производная равна, как обычно для
дублетного представления SUB),
Л„ = в, - ig^-Al. A6.8)
Найдем прежде всего массы и электрические заряды фермионов в вакууме A6.1).
Для этого оставим в ковариантной произюдной A6.8) только электромагнитное поле
АЪр и положим <ра = v6ai. Тогда уравнение A6.7) будет иметь вид
Уравнения для верхней и нижней компонент SUB) -дублета
расщепляются и имеют вид
A6.9)
Видно, что фермионы тр\ и тр2 имеют одинаковую массу
mF = —, A6.10)
при этом фермион тр\ обладает электрическим зарядом (+§), а фермион fa' —
зарядом (—|). Отметим, что нестандартный знак массового члена в уравнении A6.9)
не влияет на спектр энергий фермиона тр2, что следует из результата следующей
задачи.
16.1. Фермионы в поле монополя 271
> Задача 1. Найти унитарную матрицу U такую, что волновая функция ip'2 = Ufa
удовлетворяет уравнению
если ij>2 удовлетворяет уравнению A6.9).
Итак, в модели имеются два типа фермионов с противоположными электриче-
электрическими зарядами и одинаковой массой.
Рассмотрим теперь уравнение A6.7) во внешнем поле монополя A6.3), A6.4).
Первым замечательным свойством этого уравнения является появление целочислен-
целочисленного углового момента у фермиона (Дерели, Сванк, Сванк, 1975; Джекив, Ребби,
1976b; Хазенфрац, 'т Хоофт, 1976). Действительно, внешнее поле монополя ин-
инвариантно относительно пространственных вращений, дополненных вращениями
во «внутреннем» пространстве, см. (9.6). Поэтому сохраняющейся величиной для
уравнения Дирака в поле монополя будет не обычный угловой момент фермиона,
а комбинация, включающая генераторы калибровочной группы SUB),
Ja=La + sa + T—, a =1,2,3, A6.11)
где орбитальный и спиновый моменты фермиона имеют обычный вид
L" = -геаЬсхьдс,
причем аа — матрицы Паули, действующие на лоренцевы индексы левой и пра-
правой компонент фермиона (в то время как т" — матрицы Паули, действующие
на внутренние — изотопические — индексы SUB)-дублета). Для явной проверки
сохранения J" запишем уравнение A6.7) во внешних полях A6.3), A6.4) в виде
Квантовомеханический гамильтониан здесь равен
HI,=:-iaaDa + ph1--<pa, A6.12)
где а" и /3 — стандартные матрицы A4.5), действующие на лоренцевы индексы. Тот
факт, что Ja коммутирует с Hd ,
[Ja,ffD]=0, A6.13)
проверяется непосредственным вычислением.
Действительно, вычислим коммутатор [La,HD]. Перенося производные направо, получим
[Г, HD] = -iSabXb U-i) {-igT-amdcAi) + /3fty Эс/1,
что для внешних полей A6.3), A6.4) дает
[La,HD] = f A - F) (т*аьпь - ЛЧ) - :/ДA - Н)р£аЬспьт< + еаЬ;а%. A6.14)
272 Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
Далее, коммутатор sa с HD равен
[s',HD] = -i[s',am]Dm + ybVb[s\p\.
Используя явный вид матриц sa, ат и /9, получим
[s\Ho\ = -eaSKabdc-^{\-F)(Taamnm-naTmcT). A6.15)
Наконец, коммутатор а" с HD равен
^ Ц. A6,16)
Сумма величин A6.14), A6.15) и A6.16) равна нулю, что и доказывает A6.13).
Квантовомеханический оператор A6.11) обладает коммутационными соотно-
соотношениями углового момента
[j\Jb]=ieubcJc. A6.17)
Несколько необычным свойством этого углового момента является то, что он
содержит оператор изоспина ^- («спин из изоспина»). Это свойство приводит
по правилу сложения моментов к целочисленное™ углового момента J", несмотря
на то, что речь идет о фермионах.
> Задача 2. Как мы обсуждали в разделе 9.2, вдали от центра монополя его конфигурацию
можно перевести калибровочным преобразованием в унитарную калибровку. При этом
будет отличен от нуля только электромагнитный потенциал Aj,. Найти выражение
для сохраняющегося углового момента фермиона вдали от центра монополя, выразить
его через электрический заряд фермиона. Показать явным вычислением, что для
полученного углового момента выполняются коммутационные соотношения A6.17).
Для дальнейшего удобно сделать замену переменных в уравнении Дирака
A6.13). Напомним, что волновая функция -ф содержит восемь компонент ipKi, где
к = 1,... ,4 — лоренцев индекс, i = 1,2 — изотопический индекс (индекс, соответ-
соответствующий калибровочной 5{/B)-симметрии). Матрицы Дирака а" и /3 действуют
на индекс к, а изотопические матрицы т" — на индекс г,
(r"i>)lii = rtji>KJ.
Удобно воспринимать тр^ как матрицу 4x2, при этом действие т" записывать в виде
(■фтаТ)^, где в скобках стоит произведение матриц 4x2 и 2x2. Удобная замена
переменных состоит во введении матрицы tpKi (также размера 4 х 2) по правилу
Vte =&,■£*, A6-18)
где, как обычно, гц — антисимметричный тензор второго ранга. При этом
где все произведения — матричные, а е — матрица 2 х 2 с матричными элемента-
элементами Eij. Удобство замены A6.18) состоит в том, что мы избавляемся от транспониро-
транспонированных матриц Паули: уравнение A6.12) в терминах -ф имеет вид
i^ = -iaad^+9-Aba(aa^Tb)-h4>a(^Ta), A6.19)
16.1. Фермионы в поле монополя 273
где выражения в скобках следует понимать в смысле произведения матриц. Анало-
Аналогично, действие оператора J" имеет вид
Отметим, что такая замена переменных и матричная форма записи уравнения Дирака
A6.19) удобны не только в случае монополя, но и для других внешних полей.
Оператор J" не перемешивает левые и правые компоненты волновой функ-
функции -ф: если исходную волновую функцию ■ф представить в виде
где х и V — левая и правая компоненты, то оператор J" будет действовать
следующим образом:
где
ja = La+l-aa+l-Ta. A6.20)
В терминах преобразованной функции ■ф будем иметь
'■©■
где х и V — матрицы 2x2. При этом оператор j" действует на х и V как
?Х = -геаьсХ%Х + \{т*Х ~ Хт"). A6.21)
Поскольку мы используем матричную форму записи, мы унифицировали обозначе-
обозначения для матриц Паули в A6.21): вместо <т" мы используем т". Действие j" на rj
буквально совпадает с A6.21). Учитывая явный вид A4.5) матриц а" и /3, уравнение
A6.19) записывается в терминах левых и правых компонент в виде системы
*7П =*адах- 9,А1(т»хта) - !W°),
_ 2 2 A6.22)
W = -iT"9^+ f Ab(T"nra) - \v{X7a).
Наибольший интерес представляют волновые функции с нулевым угловым момен-
моментом, J" = 0. Для их явного построения заметим, что согласно A6.20) оператор j"
представляет собой, говоря формально, сумму трех операторов углового момента.
В соответствии с правилом сложения моментов, имеются две собственные функции
с j" = 0, одна из них имеет 1 = 0, другая — 1=1. Первая волновая функция хо,о
не зависит от углов, а сумма спинового и изоспинового моментов для нее равна
нулю. В терминах функции хо,о последнее свойство означает (см. A6.21)), что
[Лхо,о] = 0,
т.е.
274 Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
где 1 — единичная матрица 2 х 2, щ — комплексная функция г и t. Волновая
функция с I = 1 пропорциональна единичному радиусу-вектору п"; требование
ее инвариантности относительно комбинации пространственных и изотопических
вращений (т.е. j" = 0) сразу приводит к ответу
Xo.i =Tanav\(r,t).
Точно такой же вид имеют правые волновые функции с нулевым моментом,
*/о,о = 1-«2М), *,, = т'пЧ(г,(). A6.23)
Таким образом, в секторе с нулевым моментом имеем в общем случае
X =l-«i (г, t) + Tanav, (r ,*) A6.24)
и аналогично для rf.
> Задача 3. Показать непосредственным вычислением, что jaxo,\ = 0.
Покажем, что при h ф 0 существует нормируемая собственная функция дира-
ковского гамильтониана A6.12) с нулевым собственным значением — нулевая мода,
вполне аналогичная рассмотренной в разделе 15.1. Иначе говоря, нам нужно найти
гладкое и не зависящее от времени решение уравнения A6.22), быстро убывающее
при |х| —> оо. Ясно, что решение нужно искать в секторе с J" = 0. Более того,
вблизи центра монополя имеем Л,- = 0, ip = 0, поэтому гамильтониан Дирака
сводится к свободному. В нем будет отсутствовать центробежный барьер, если % и Я
не зависят от углов. Эти соображения подсказывают подстановку
Х = 1-«,(г), r[=l-ui(r), A6.25)
где щ(г) и «2(г) — две комплексные функции, которые нам предстоит найти.
Не вполне тривиальным обстоятельством является тот факт, что подстановка A6.25)
«проходит» через уравнения A6.22): в полях A6.3), A6.4) правые части этих уравне-
уравнений пропорциональны матрице (т"па), равенство нулю коэффициентов при которой
приводит ровно к двум уравнениям для неизвестных функций и\(г) и «2(г),
t(«i + щ ) - mF(l - Я)и2 = О,
l-F i A126)
-г\и'2 + и2) - mF(l - Я)и, = О,
l-F
где mF дается формулой A6.10).
> Задача 4. Показать, что для подстановки A6.25) уравнения A6.22) сводятся к системе
A6.26).
Единственным убывающим решением системы A6.26) служит
и2 = .-мм = Cexpj
j - n-^— + mF(l-H)]dr\, A6.27)
о
где С — нормировочная постоянная. В силу свойств A6.5) это решение — гладкое
при г —* 0 и убывающее как ^—~ при г —* оо.
> Задача 5. Показать, что второе линейно независимое решение системы A6.26) расщет
при г —* оо.
16.2. Рассеяние фврмионов но монополе: несохронение фермионных чисел 275
> Задача 6. Записать систему уравнений для не зависящих от времени волновых функций
с J" — 0 общего вида (то есть считать v\ (г) и 172(г) отличными am нуля, см. A6.24),
A6.23)). Показать, что A6.27) — единственное ее решение, гладкое при г = О
и убывающее при г —* оо.
Результат последней задачи означает, что дираковский гамильтониан в поле моно-
поля имеет ровно одну нулевую моду, по крайней мере в секторе с J = 0. В секторах
с J Ф 0 нулевых мод нет; соответствующий анализ довольно сложен, и мы не будем
его приводить.
В полной аналогии с разделом 15.1 существование единственной нулевой фер-
мионной моды означает, что в рассматриваемой модели имеется два вырожденных
состояния монополя (Джекив, Ребби, 1976b) — на одном из них фермионный
уровень с нулевой энергией заполнен, на другом — нет. Эти состояния имеют
фермионные числа {+\) и (—^). соответственно. Таким образом, модель этого раз-'
дела демонстрирует возможность дробления фермионного числа для топологических
солитонов в четырехмерном пространстве-времени.
► Задача 7. Показать, чта уравнение Дирака в произвольных действительных внешних
палях инвариантно относительно следующего аналога С-сапряжения,
tai -> Фаг = tftyapeijtfi,
где а — 1,...,4 и i = 1,2 — лоренцевы и внутренние индексы, С — матрица
обычного С-сопряжения A4.14). Эта операция изменяет, очевидно, знак энергии
фермиона. Показать, что найденная нулевая фермионная мода инвариантна относи-
относительно этой операции. (Заметим, что и здесь мы имеем полную аналогию с разделом
15.1.)
16.2. Рассеяние фермионов на монополе;
несохранение фермионных чисел
В этом разделе мы рассмотрим асимптотические состояния рассеяния безмас-
безмассовых s-волновых фермионов (т.е. фермионов с J = 0) на магнитном монополе.
С учетом дополнительных соображений типа сохранения электрического заряда мы
убедимся, что рассеяние фермионов на монополе должно приводить к несохране-
несохранению фермионных чисел (Рубаков, 1981, 1982; Каллан, 1982). Наш простой анализ
не позволит, однако, выяснить механизмы этого несохранения; в действительности
эти механизмы довольно сложны, зависят от модели, а их описание в любом случае
требует рассмотрения в рамках квантовой теории поля. Во многих моделях большого
объединения взаимодействие фермионов с монополями приводит к монопольному
катализу распада протона — процессу типа
р + Монополь —* е+ + Монополь,
который должен происходить с большой вероятностью (Рубаков, 1981; Каллан,
1982). Это обусловливает значительный интерес к кругу вопросов, обсуждаемому
в этом разделе.
Модель, которую мы будем использовать, отличается от модели раздела 16.1
только тем, что юкавское взаимодействие с хиггсовским полем выключено, т.е.
h — 0. В вакууме A6.1) фермионы не имеют масс. Поскольку уравнения для левых
и правых компонент волновой функции расщепляются, имеет смысл рассматривать
276 Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
уравнение Вейля для левых фермионов в поле магнитного монополя. В терминах
матрицы х(х) оно имеет вид (см. A6.22))
i^=iradax~9-AabTbxr\ A6.28)
Нас будут интересовать асимптотические (|х| —* оо) состояния фермионов1'. При
больших |х| поле А% имеет вид
А1(х) = — еаЬспс. A6.29)
дг
Наибольший интерес представляют фермионы с нулевым угловым моментом; их
волновые функции имеют вид A6.24).
Далее, при больших |х| поле монополя является чисто электромагнитным. Это
означает, что фермионы с электрическими зарядами (+\д) и {—\д) ведут себя
независимо. В регулярной калибровке оператор заряда фермиона равен
Q = \т'п\
как это видно из A6.6). В терминах функции х имеем
Состояния s-волновых фермионов с определенными электрическими зарядами име-
имеют вид
Q = +\ ■ x+ = (i-tVK, A6.30)
Q = ~\: X- = A+tV>_, A6.31)
где и+ и «_ — произвольные пока комплексные функции. В общем случае s-
волновая функция равна
Х = Х+ + Х-, ■ A6-32)
и мы ожидаем, что уравнения для и+ и «_, следующие из A6.28), расщепляются
во внешнем поле A6.29). Действительно, прямой подстановкой выражений A6.32),
A6.30) и A6.31) в уравнение A6.28) получаем в поле A6.29) уравнения отдельно
для и+ и «_:
( ) A6.33)
«_=«'_+-«_, A6.34)
где точка и штрих обозначают дифференцирование по времени и г, соответствен-
соответственно.
> Задача 8. Показать, что во внешнем поле A6.4) с F ф 0 уравнения для и+ и «_ имеют
вид
( 1 ! \ 1„
и+ = - [и+ + -u+J - -Fit-,
1 1
«_ = и_ Л—«- Л—Fи+.
г г
" При Л = 0 нормируемой нулевой фермионной молы лираковского гамильтониана нет. Это вилно
из A6.27): при тпр = 0 правая часть A6.27) ведет себя как [- при г —• оо.
16.2. Рассеяние фермионов на монополе: несохранение фермионных чисел 277
Последние слагаемые в них перемешивают компоненты волновой функции с разными
электрическими зарядами (это происходит благодаря наличию заряженных векторных
полей в ядре нонополя).
Решения уравнений A6.33) и A6.34) с определенной энергией имеют вид
и+ = 1е-"(ж»-г), A6.35)
и_ = 1е-Мх0+г) A6 36)
Мы видим, что волновые функции левых фермионов с положительным элек-
электрическим зарядом содержат только расходящиеся волны, а волновые функции
отрицательно заряженных левых фермионов — только сходящиеся волны!
Немедленным следствием результата A6.36) является тот факт, что s-волновые
отрицательно заряженные фермионы с единичной вероятностью достигают ядра
монополя. Даже если размер ядра монополя мал по сравнению с длиной волны
фермиона (иначе говоря, даже при ту ^> ш, где ту — масса векторного бозона),
s-волновые фермионы интенсивно взаимодействуют с ядром монополя и чувствуют
его структуру. Это явление достаточно необычно: как правило, вероятность взаи-
взаимодействия частиц с объектом малого размера подавлена этим размером. Причина
возникновения обратной ситуации в нашем случае в конечном итоге состоит в интен-
интенсивном взаимодействии заряженных фермионов с дальнодействующим магнитным
полем монополя, которое приводит к эффекту типа падения на центр.
Обсудим теперь более подробно возможное конечное состояние процесса, при
котором s-волновой отрицательно заряженный фермион падает на монополь. Пред-
Предположим, что в конечном состоянии также имеется одна частица — фермион или
антифермион. Прежде всего, отрицательно заряженный s-волновой фермион в ко-
конечном состоянии появиться не может, поскольку волновая функция A6.36) не со-
содержит расходящихся волн. Простейшим вариантом был бы переход отрицательно
заряженного фермиона в положительно заряженный с волновой функцией A6.35).
На уровне квантовой механики во внешнем поле монополя реализуется именно
эта возможность: уравнение Дирака вблизи ядра монополя содержит слагаемые,
перемешивающие «_ и «+ (см. задачу 8). Ясно, однако, что здесь мы сталки-
сталкиваемся со случаем, когда приближение внешнего бозонного поля неприменимо.
Действительно, в силу сохранения электрического заряда переход «_ —> и+ должен
сопровождаться появлением электрического заряда у монополя — монополь должен
перейти в дион2' с зарядом (—д). Масса такого диона больше массы монополя, при-
причем масштаб разности масс задается массой векторного бозона ту. Следовательно,
при низких (по сравнению с ту) энергиях налетающего фермиона процесс
«_ + Монополь —> и+ + Дион
невозможен из-за сохранения энергии. Нам следует искать другие варианты конеч-
конечного состояния.
В принципе s-волновой фермион мог бы перейти в фермион с тем же заря-
зарядом, но другим угловым моментом. Эту возможность также приходится отбросить
при низких энергиях налетающего фермиона: в таком процессе монополь должен
приобрести угловой момент, что также требует энергии масштаба ту (кроме то-
того, фермионы с ненулевым угловым моментом испытывают центробежный барьер,
а процесс должен происходить вблизи ядра монополя).
' Именно в этом месте нарушается предположение о пренебрежимости обратного влияния фермионов
на бозонные поля.
278 Глава 16. Фврмионы в полях солитонов и струн
Остается искать отрицательно заряженные фермионы или антифермионы с ну-
нулевым угловым моментом, волновые функции которых имеют вид расходящихся
сферических волн. Если правых фермионов в модели нет, то единственным кан-
кандидатом служит отрицательно заряженный антифермион — античастица к ферми-
ону и+. Мы заключаем, что свойства асимптотических состояний A6.35), A6.36)
вместе с законами сохранения энергии, углового момента и электрического заряда
требуют нарушения закона сохранения фермионного числа — перехода фермиона
в антифермион — с единичной вероятностью в s-волновом секторе!
В действительности ситуация еще более сложна. Модель с калибровочной группой SUB)
и одним левым дублетом фермионов не существует на уровне квантовой теории поля из-за
глобальной аномалии (Виттен, 1982). Если добавить второй левый дублет (*,+), то глобальная
аномалия отсутствует и теория самосогласована. В этой модели возможно аномальное несохра-
несохранение фермионных чисел, которое мы будем обсуждать в следующей главе. Соответствующие
правила отбора разрешают по существу единственное конечное состояние для процесса, в ко-
котором заряженный фермион первого типа и_ падает в s -волне на монополь: процесс имеет вид
и. 4- Монополь —► (и'+) + Монополь,
где (и'+) обозначает античастицу к положительно заряженному фермиону второго типа.
Если в модель включить правые фермионы, то их волновые функции в s-волне
содержат только сходящиеся волны для положительного электрического заряда
и расходящиеся волны для отрицательного заряда. Поэтому разрешенным будет
процесс без изменения полного фермионного числа
«^ + Монополь —> «? + Монополь. A6.37)
В этом процессе, однако, изменяются по отдельности число левых фермионов JVl
и число правых фермионов JVr, которые сохраняются в слабых полях3'.
> Задача 9. Найти асимптотические волновые функции правых фермионов в поле монополя
при |х| —> оо в s-волне.
Итак, характерной особенностью взаимодействия безмассовых фермионов с маг-
магнитным монополем является несохранение фермионных чисел. Даже при низких
энергиях фермионов и малых размерах ядра монополя оно происходит с большой
вероятностью: сечение определяется вероятностью иметь налетающий фермион в s-
волновом состоянии, которая, грубо говоря, порядка единицы (в действительности
сечение растет с уменьшением энергии). Как уже отмечалось, в реалистических
теориях большого объединения это явление приводит к распаду протона, индуци-
индуцированному монополем; сечение этого процесса имеет порядок адронных сечений
(и даже больше) несмотря на то, что размер ядра монополя фантастически мал
(порядка 10~30см).
16.3. Нулевые моды в поле вихря:
сверхпроводящие струны
В разделах 15.1 и 16.1 мы убедились, что во внешних полях топологических
солитонов могут иметься нулевые фермионные моды — собственные функции
Отметим, что правило отбора ANr = —ANl = 1 для процесса A6.37) аналогично свойствам
A5.34), A5.35). Эта аналогия не случайна: несохранение фермионных чисел происходит в моделях этого
раздела и раздела 15.2 за счет одного и того же механизма.
16.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 279
дираковского гамильтониана с нулевой энергией. В этом разделе мы покажем,
что при определенном выборе калибровочных и юкавских взаимодействий.нулевые
моды фермионов имеются и в поле вихря4' (Джекив, Росси, 1981). Наибольший
интерес представляет ситуация, когда вихрь рассматривается как протяженный
одномерный объект — струна — в четырехмерном пространстве-времени. Именно
эту ситуацию мы рассмотрим в данном разделе. В этом случае существование
нулевых мод поперечной к струне части оператора Дирака приводит к появлению
локализованных на струне состояний фермионов, которые могут свободно двигаться
вдоль струны. Струны в таких моделях могут обладать сверхпроводимостью вдоль
струны (Виттен, 1985); это свойство весьма интересно с точки зрения возможных
астрофизических и космологических приложений.
В качестве примера рассмотрим вихрь, обсуждавшийся в разделе 7.3. В модели
имеется калибровочная симметрия УA)д и хиггсовское поле <р с Л-зарядом ед (мы
ввели индекс Л для того, чтобы отличить калибровочную группу 17A )д от ненару-
ненарушенной группы электромагнетизма, которую мы введем позже; калибровочное поле
группы UA)R будем обозначать В^). Структура полей вихря имеет вид:
<p(r,e)=veuF(r),
Ва(г,9) = еарпрВ{г), A6.38)
едг
Во = Въ = 0.
Здесь а, /J = 1,2; г и 9 — радиус и полярный угол на плоскости х3 = const
и па = ^f. Поля вихря не зависят от х3 — вихрь представляет собой бесконечную
прямую струну, направленную в пространстве вдоль третьей оси. Функции F(r)
и В(г) имеют следующие граничные значения:
F@) = В@) = 0,
F(oo) = В(оо) = 1.
Отметим, что мы изменили обозначение для радиальной функции векторного поля
по сравнению с разделом 7.3.
Введем теперь фермионы, взаимодействующие с бозонными полями. Построе-
Построение модели с нетривиальным юкавским взаимодействием нами в действительности
уже было проделано в конце раздела 14.3. Именно, пусть левая компонента ферми-
она, х> имеет Л-заряд (-^ед), а правая компонента, т/, — заряд (+|ед). Тогда
уравнение Дирака имеет вид системы A4.59), которую мы перепишем еще раз для
дальнейших ссылок:
ia^D^V ~ hipx = 0, A6.40)
где Df1 = 8^ Т ЦедВм, а константа h действительна. На фоне основного состояния
<р = v, Вц = 0 эта система описывает фермион с массой mF = hv. Отметим, что
системы типа A6.39), A6.40) возникают в некоторых теориях большого объединения.
В произвольных внешних полях система A6.39), A6.40) обладает свойством С-
симметрии: если
A6.41)
41 Нулевые фермионные моды в поле вихря обсуждались в контексте двумерных инстантонов Ниль-
Нильсеном и Шроером A977а), Кискисом A977), Ансуряном A977) и другими авторами.
280 Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
удовлетворяет этой системе, то и фс = Сф* также удовлетворяет этой системе, где
матрица С по-прежнему определена формулой A4.14). В терминах левых и правых
компонент операция С-сопряжения имеет вид
\Z7/.' <16-42)
> Задача 10. Показать явным вычислением, что система A6.39), A6.40) инвариантна
относительно операции С-сопряжения A6.42).
Обсудим теперь решения системы уравнений A6.39), A6.40) во внешнем поле
струны. Поскольку поля струны A6.38) не зависят от х° и х3, решение можно искать
в виде
ip(x ,х ;х ) = е 3 фг(х ). A6.43)
Наша ближайшая задача — найти свойства спектра энергий w и соответствующих
собственных функций. Поскольку вдали от струны поля В^ и ip стремятся к их значе-
значениям в основном состоянии (с точностью до калибровочного преобразования), часть
спектра с \w\ > mF совпадает со спектром свободного уравнения Дирака, а соответ-
соответствующие волновые функции вдали от струны представляют собой (калибровочно
преобразованные) обычные плоские волны. Кроме того, могут иметься состояния
с \w\ < mF, поперечные волновые функции которых, ^г(х'), локализованы вблизи
струны. Именно эта часть спектра нас будет интересовать в дальнейшем.
Учитывая, что для струны Во = Вз = 0, получим из A6.39), A6.40) следующее
уравнение для фт-
(fc3C!r + DT) fr = wipr, A6.44)
где
л^ н? \ A645)
Д hip i<JaD{a' )
— матрицы 4x4. Поперечная часть оператора Дирака, JDy, обладает рядом важ-
важных свойств. Первое из них связано с тем, что конфигурация струны инвариантна
относительно пространственных вращений вокруг третьей оси, в —» в + а, допол-
дополненных фазовыми преобразованиями <р —* е~'а<р. Поэтому сохраняется оператор,
аналогичный третьей компоненте углового момента (сравни с разделом 16.1),
fl, A6.46)
где, как обычно, £{ = -ieijkXjdk (i,j,k = 1,2,3), то есть
— третья компонента орбитального углового момента,
«з=2
— третья компонента спина, а
"К".1!)
— оператор R -заряда.
16.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 281
> Задача 11. Показать непосредственным вычислением, что оператор J^ коммутирует
с гамильтонианом (к^Ст + Вт), фигурирующим в A6.44), если внешние бозонные
поля имеют вид A6.38).
Второе свойство состоит в том, что операторы Ст и Вт антикоммутируют,
Ст Вт + ВТСТ = О. A6.47)
Как мы сейчас увидим, это свойство позволяет связать спектр энергий w со спектром
оператора Вт-
> Задача 12. Проверить выполнение равенства A6.47).
Пусть теперь ■^г1л(а:а) — собственные функции оператора Вт с положитель-
положительными собственными значениями Л,
Тогда в силу A6.47) функции
*& = Сг*г,А A6.48)
будут собственными функциями оператора Вт с собственными значениями (—А),
Это соответствие между собственными функциями взаимно однозначно5' (при
А ^ 0), поскольку Ст = 1. Для нахождения спектра энергий ш будем искать
решение уравнения A6.44) в виде
Подставляя это выражение в A6.44) и используя линейную независимость i/>t,\
и iI>t\' получим для и ч v уравнения
(ш - Х)и - k}V = 0,
-къи + (w + \)v = 0.
Эти уравнения разрешимы при
2 г \ A6.49)
что и дает связь между собственными значениями оператора Вт и энергиями
фермионов.
В соответствии со сказанным выше, спектр значений А непрерывен при
А > mF) а волновые функции il>T,\(xa) не локализованы вблизи ха = 0 при таких А.
В то же время, может существовать дискретный набор собственных значений А
оператора Вт с собственными функциями ^г(ха), сосредоточенными вблизи ха — 0.
Из размерных соображений ясно, что расстояние между этими уровнями по порядку
величины равно mF. Фермионы, находящиеся на этих уровнях, локализованы вблизи
струны и свободно распространяются вдоль струны (вдоль третьей оси): их волновые
функции имеют вид A6.43).
До сих пор мы предполагали, что А ф 0. Однако наибольший интерес пред-
представляет возможность того, что оператор Вт имеет нулевое собственное значение.
Покажем, что эта возможность действительно реализуется, и найдем соответству-
соответствующую собственную функцию в явном виде. В силу A6.47), собственная функция
5) Оператор Ст можно назвать оператором С-сопряжения в пространстве поперечных функций,
поскольку его действие меняет знак собственного значения оператора Dt.
282 Глава 16. Фврмионы а полях солитонов и струн
■фг,о(ха) является одновременно и собственной функцией оператора Ст- Из физиче-
физических соображений ясно, что она должна иметь нулевой «угловой момент» J], а также
нулевой орбитальный момент £з (последнее свойство вытекает из того факта, что
вблизи центра струны, то есть при ха = 0, поля вихря равны нулю, поэтому при
£з Ф 0 имеется центробежный барьер). Таким образом, для нулевой моды имеем
S3 = R, что эквивалентно Ст = 1; кроме того, функция 1рт,о(ха) является функцией
только г, то есть не зависит от полярного угла в.
Из равенства
Стфт,о = Фт,о A6-50)
следует, что левые и правые компоненты функции ij>t,u имеют структуру
где /i(r) и /г^) — неизвестные пока комплексные функции. Используя явный вид
A6.45) оператора Вт и полей струны A6.38), получим для функций /](г) и fai?)
уравнения
f'l ~ %-fi + ihvFfi = 0,
% A6.52)
Существенно, что зависимость от угла в в этих уравнениях выпадает. Уравнения
A6.52) легко решаются; убывающее при г —» оо решение имеет вид
г
Mr) = -»Д(г) = С ехр [- У(^-г + hvF(r)) <irj, A6.53)
о
где С — нормировочная постоянная. При малых г это решение регулярно, а при
больших г оно ведет себя как
fl(r)
(r) ~ ;—■
Второе линейно независимое решение системы A6.52) растет при г —» оо.
Таким образом, оператор 2?г действительно имеет нулевую моду. Ее явный
вид дается формулами A6.51) и A6.53). Отметим, что нулевая мода инвариантна
(с точностью до фазового множителя) относительно обычных С-преобразований
(сравни с A6.42)),
Хт ->■ -eifri
как этого и следовало ожидать. ~J>
> Задача 13. Показать, что для фврмионных волновых функций A6.51) уравнение
Dti/>t = 0 сводится к системе A6.52).
> Задача 14. Рассмотрим уравнение ВтФт = 0 в секторе с Ji = 0 и Ст = — 1. Найти
угловую зависимость и структуру фермионной волновой функции (аналог формулы
A6.51)). Записать соответствующие радиальные уравнения и показать, что они
не имеют нормируемых решений.
16.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 283
Возвратимся к обсуждению полной волновой функции A6.43), причем будем
считать, что поперечная часть iI>t(x") представляет собой нулевую моду. С учетом
A6.50) уравнение A6.44) означает, что
къ = w, A6.54)
то есть фермионы (с w > 0) движутся вдоль струны только в одну сторону. Кроме
того, ш может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, то есть спектр
не имеет щели, в отличие от состояний с А Ф 0, см. A6.49). Иными словами,
фермионы, находящиеся на уровне с А = 0, ведут себя как безмассовые частицы
определенной киральности в A+1)-мерном пространстве-времени. Как мы сейчас
убедимся, при включении в модель электромагнитного поля это свойство приводит
к тому, что струна ведет себя как тонкая сверхпроводящая проволока.
Взаимодействие фермионов с электромагнитным полем можно ввести, считая
поле ip электронейтральным и приписав левой и правой компонентам х и V
одинаковые электрические заряды е. Тогда уравнения A6-39), A6.40) будут иметь
прежний вид, а с учетом электромагнетизма ковариантные производные в них
заменятся на
£)(,*> = д^ т «уВ,, - ieA,,, A6.55)
где Ар — электромагнитные вектор-потенциалы.
Убедимся, что имеются состояния струны с электрическим током, причем этот
ток не диссипирует (сверхпроводимость). Рассмотрим для этого состояния ферми-
онной системы, в которой все отрицательные уровни энергии с А ф 0 заполнены, все
положительные уровни энергии с А Ф 0 свободны, а уровни с А = 0 заполнены до не-
некоторой энергии ш = /I > 0 (энергия Ферми). Эта ситуация изображена на рис. 16.1.
Мы приписываем дираковскому морю (состоянию с полностью заполненными уров-
уровнями с w < 0 и свободными уровнями с ш > 0) нулевое фермионное число, нулевой
электрический заряд, нулевой электрический ток и т. д.6* Поэтому состояние сис-
системы фермионов, изображенное на рис. 16.1, имеет конечную линейную плотность
фермионов на струне. Поскольку фермионы с А = 0 движутся вдоль струны в одну
сторону, вдоль струны протекает электрический ток. Далее, минимальное ненулевое
значение |А|т(„ величины |А| конечно, а непрерывный спектр оператора D? начи-
начинается с |А| = тр. Как отмечалось выще, |А|т;„ ~ тр. Из-за этого уровни энергий
фермионов с А Ф 0 отделены от нуля щелью конечной ширины, как изображено
на рис. 16.1. Если /i < |A|min, реальные фермионы сА=0и0<ш</1не могут
потерять энергию и импульс, перескочив на нижний уровень, поскольку все нижние
уровни заполнены. Следовательно, состояние системы фермионов, изображенное
на рис. 16.1, абсолютно устойчиво. Электрический ток не может диссипировать,
струна является сверхпроводником. Отметим, что если уровни с А = 0 заполнены
до ш = fi > |A|mjn, то диссипация электрического тока возможна за счет перескоков
фермионов с уровней с А = 0 на уровни с А Ф 0 (в том числе в непрерывный
спектр при /i > тпр). Поэтому существует максимальное значение электрического
тока, до которого струна остается сверхпроводящей.
Линейную плотность фермионов и электрический ток в состоянии, изображен-
изображенном на рис. 16.1, мы найдем, воспользовавшись результатами раздела 15.2. Поскольку
' Как отмечалось в разделе 15.1, благодаря наличию внешнего бозонного поля дираковское море
может поляризоваться, то есть характеризоваться отличным от нуля зарядом, а также, вообще говоря,
электрическим током. Они, однако, не зависят от fi. в отличие от соответствующих величин, возникающих
благодаря реальным фермионам, поэтому дальнейшие рассуждения остаются справедливыми.
284
Глава 16. Фермионы в полях солитонов и струн
\Mmin
W=mF
, |А| <mF
А = 0
Рис. 16.1.
фермионы с нулевым Дг ведут себя как одномерные безмассовые фермионы опре-
определенной киральности, их линейная плотность равна (см. A5.25))
N ц
Фермионы движутся вдоль струны со скоростью света, поэтому их электрический
ток равен
В соответствии со сказанным выше, струна остается сверхпроводящей при /i < /imax,
где /imax ~ тпр. Отсюда следует, что максимальный сверхпроводящий ток по порядку
величины равен
-em,max
16.3. Нулевые моды в поле вихря: сверхпроводящие струны 285
> Задача 15. Оценить максимальное значение (в амперах) сверхпроводящего тока, проте-
протекающего вдоль струны, считая, что е и т? — заряд и масса электрона.
Если вдоль струны наложить (не слишком сильное) электрическое поле, то
на ней будут рождаться фермионы с А = 0. Соответствующий анализ дословно
повторяет рассуждения раздела 15.2; в частности, число рожденных фермионов
дается формулой A5.26). Таким образом, здесь мы имеем явный пример пересечения
уровней в четырехмерной модели. Буквально в модели этого раздела не сохраняется
и электрический заряд (эффективные одномерные фермионы имеют определенную
киральность). Это указание на внутреннюю противоречивость модели действительно
подтверждается вычислением треугольной аномалии в квантовой теории поля.
Модель перестает быть внутренне противоречивой, если в нее добавить еще
один тип фермионов
с Д-зарядами левой и правой компонент, равными (+5ед) и (—^ед) соответствен-
соответственно (то есть компоненты ij> игр имеют противоположные Д-заряды). Можно выбрать
электрический заряд фермиона ■ф равным (-е). Тогда фермионы ■ф с А = 0 будут
иметь закон дисперсии &з = -ш, то есть двигаться вдоль струны в противоположную
сторону по сравнению с ■ф. Электрическое поле по-прежнему будет рождать фер-
фермионы ■ф (они имеют отрицательный электрический заряд и разгоняются в область
отрицательных х3, что разрешено законом дисперсии) в количестве, равном числу
рожденных фермионов ■ф. Полное число фермионов при этом сохраняться не будет,
но электрический заряд сохранится, что и требуется для самосогласованности моде-
модели. Ненулевым будет и полный электрический ток вдоль струны (он обеспечивается
как фермионами ■ф с зарядом (+е), движущимися вдоль электрического поля, так
и фермионами ■ф с зарядом (-е), движущимися в противоположную сторону). Этот
ток, если он не слишком велик, будет сверхпроводящим.
Итак, в рассматриваемой в этом разделе модели струна обладает свойством
сверхпроводимости, а приложенное продольное электрическое поле приводит к не-
несохранению фермионных чисел в результате пересечения фермионных уровней.
С теоретической точки зрения интересна прямая аналогия между фермионами,
локализованными на струне, и одномерными фермионами раздела 15.2.
Отметим, что сверхпроводимость струн не обязательно связана с фермионами. Возможность
существования сверхпроводящих струн в чисто бозонных теориях была обнаружена Виттеном
A985). Подчеркнем, что свойство сверхпроводимости отнюдь не является общим для струн,
возникающих в объединенных калибровочных теориях элементарных частиц.
Глава 17
Несохранение фермионньгх чисел
в четырехмерных неабелевых теориях
В разделе 15.2 на примере двумерной абелевой модели мы рассмотрели механизм
несохранения фермионных чисел, связанный с явлением пересечения фермионных
уровней. В этой главе мы увидим, что такой механизм работает и в неабеле-
неабелевых четырехмерных теориях. В стандартной модели он приводит к электрослабому
несохранению барионного и лептонного чисел ('т Хоофт, 1976а, Ь). В обычных
условиях — при низких температурах, плотностях или при столкновениях частиц
не слишком высоких энергий — вероятности электрослабых процессов с несохра-
несохранением барионного числа крайне малы, поскольку они обусловлены инстантонами
и сильно подавлены туннельной экспонентой. Однако вероятность таких процессов
перестает быть малой при достаточно высоких температурах, что имеет важное
значение для космологии (Кузьмин, Рубаков, Шапошников, 1985).
Величина, которая нарушается в сильных взаимодействиях, — это киральность
кварков; ее нарушение имеет прямые экспериментальные следствия (отсутствие
в природе девятого легкого псевдоголдстоуновского бозона, аналогичного пионам,
каонам и т/-мезону). Таким образом, излагаемые в этой главе результаты предста-
представляют большой интерес и для физики частиц.
Прямое изучение движения фермионных уровней во внешних полях технически
весьма затруднительно, если речь идет о четырехмерных теориях. Поэтому в раз-
разделе 17.1 мы изложим подход, дозволяющий свести задачу к изучению евклидовых
нулевых фермионных мод. Во многих случаях евклидовы нулевые моды найти доста-
достаточно просто, как мы убедимся в разделе 17.2. Отметим, что именно евклидов подход
(с использованием формализма функционального интеграла, см. Дополнение) был
сформулирован 'т Хоофтом A976а, Ь) в его пионерских работах по аномальному
несохранению фермионных чисел.
17.1. Пересечение уровней
и евклидовы нулевые фермионные моды
Напомним кратко (см. раздел 15.2), в чем состоит явление пересечения ферми-
фермионных уровней и связанное с ним несохранение фермионного числа. Пусть имеется
однопараметрическое семейство конфигураций бозонных полей (путь в простран-
пространстве статических конфигураций), причем соответствующий параметр т изменяется
от —оо до +оо. Предположим для определенности, что бозонные поля принимают
вакуумные значения как при т —> -оо, так и при т —> оо; мы увидим в дальнейшем,
что интерес представляют ситуации, когда вакуумы при т = —оо и при т = +оо
топологически различны (см. главу 13). Для калибровочных полей мы предпола-
предполагаем выбор калибровки Ло = 0. При каждом фиксированном значении т имеется
гамильтониан фермионов Яо(т); его зависимость от т определяется внешними
17.1. Пересечение уровней и евклидовы нулевые фермионные моды 287
бозонными полями. Явный вид Но зависит от модели и мы не будем его пока
конкретизировать. Собственные значения Во(т) определяют систему фермионных
уровней; при изменениит она также изменяется (уровни «движутся»). При т —> -оо
и т —> +оо системы фермионных уровней одинаковы и совпадают с системой
уровней свободного фермионного гамильтониана. Однако возможны ситуации, ко-
когда при изменении т фермионные уровни пересекают нуль, и полное количество
уровней, пересекающих нуль снизу, N+, не равно полному количеству фермионных
уровней, пересекающих нуль сверху, JV_. Интерес представляет величина
Как мы обсуждали в разделе 15.2, при эволюции бозонных полей вдоль данного пу-
пути в пространстве бозонных конфигураций фермионное число системы изменяется
на AJVp, причем это изменение не зависит от того, насколько быстро изменяются
бозонные поля, или от того, в каком состоянии находилась система фермионов в на-
начале процесса (сколько в ней было фермионов и антиферм ионов). Таким образом,
нам необходимо уметь вычислять (N+ — JV_) для различных путей в пространстве
конфигураций бозонных полей.
Эту задачу удобно переформулировать. Будем сначала считать, что бозонные
поля медленно изменяются с т. Рассмотрим вспомогательное уравнение
дф
-£-Г=-НЪ(т)*. A7.1)
Это уравнение можно формально воспринимать как евклидово уравнение Дирака,
поскольку оно получается из обычного уравнения Дирака ij-^ = Нт>{т)Ф формаль-
формальной заменой х° = —ir (сравни с главами 11, 13). В случае медленно меняющихся
бозонных полей решения уравнения A7.1) имеют вид
t{r) = e-S"(T)dTMr), A7.2)
где Фш(т) — собственные функции мгновенного гамильтониана
Во{т)Фи(т) = й>(т)^ы(г).
Если при изменении бозонных полей какой-то уровень пересекает нуль снизу, то
для этого уровня имеем
ш(т = —Оо) = — Ш{ < О,
ш(т = +О0) = Wf > 0.
Решение A7.2) при этом убывает как при т —> -оо, так и при т —> +оо,
Ф = const - еш>г , т —> -оо,
Ф = const ■ е~ш'г, т —» +оо.
Иначе говоря, в евклидовом пространстве с координатами (т,х) оператор
D = ^ + HD A7.3)
имеет нулевую моду Фо(г,х), т.е. существует убывающее при т —> ±оо решение
уравнения
ОФй = 0. A7.4)
Мы не обсуждаем здесь граничных условий для фермионных волновых функций
при |х| —> оо поскольку мы увидим, что в интересных случаях евклидовы нулевые
288 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
моды три убывают по всем направлениям в евклидовом пространстве (т, х). В даль-
дальнейшем мы будем рассматривать случай четырехмерного пространства-времени (если
противоположное явно не будет оговорено), так что (т, х) будет четырехмерным ев-
евклидовым пространством. Убывающие решения уравнения A7.4) мы будем называть
евклидовыми нулевыми фермионными модами.
Поскольку любое решение уравнения A7.1) в адиабатическом случае предста-
представляет собой линейную комбинацию функций A7.2), указанное соответствие между
уровнями гамильтониана Яо(т), пересекающими нуль снизу, и нулевыми модами
оператора D взаимно однозначно. Поэтому
N+ = JV-0(Z>),
где Nq(D) — количество (евклидовых) нулевых мод оператора D.
Аналогичным образом получаем соответствие между уровнями оператора Яо,
пересекающими нуль сверху, и нулевыми модами оператора
^ = ~+Яо(т). A7.5)
Имеем
i\T_ = NQ(rf).
Операторы D и £>' эрмитово сопряжены друг другу, если ввести скалярное произ-
произведение для функций 1р(т, х)
(*,*') = J <13х<1т^(т,х)тр'(т,х), A7.6)
где интегрирование ведется по всему четырехмерному евклидову пространству1).
Итак, задача о вычислении изменения фермионного числа сводится к задаче
о вычислении
ANF = Na(D)-NQ(rf). A7.7)
До сих пор мы предполагали, что внешние бозонные поля адиабатически медленно
меняются с изменением т. Сейчас мы увидим, что это предположение излишне;
более того, мы убедимся, что величина A7.7) не зависит и от конкретного выбора
семейства бозонных конфигураций; в этом смысле она является топологическим
инвариантом.
Итак, мы рассматриваем операторы A7.3) и A7.5) во внешних бозонных полях,
зависящих от х и от т, т.е. во внешних полях в четырехмерном евклидовом про-
пространстве. Наша ближайшая задача — показать, что правая часть A7,7) не изменяется
при гладких изменениях внешних евклидовых бозонных полей, не затрагивающих
бесконечности евклидова пространства. Удобно перейти к эрмитовым (в смысле
скалярного произведения A7.6)) операторам D^D и DDK Возможность такого пе-
перехода связана с тем, что нулевые моды оператора D являются нулевыми модами
оператора D^D и наоборот. Первое очевидно; для доказательства второго заметим,
что если D^Dipo = 0, то
fQ,Drl>a) = 0,
т. е. Dipa = 0, что и требовалось. Поэтому
Na(D) =
" Мы не останавливаемся здесь на тонкостях, связанных со скоростью убывания функций V(t, х)
37.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 289
Аналогично
A7.8)
Правую часть равенства A7.8) изучать проще, чем A7.7).
Множество нулевых мод (эллиптического) оператора D*D представляет собой линейное
пространство, которое называют ядром этого оператора и обозначают Ker(D'D). Количество
линейно независимых нулевых мод — это размерность ядра, JVo(D'D) = dim Ker( £>'£>).
Разность
J(D'D) = dimKer(D'D) - dim Кег(Ш>')
называют индексом оператора £>'£>, так что A7.8) можно записать в виде
AN¥ = I(D*D).
Большая часть этого раздела — это нестрогое изложение элементов теории Атьи—Зингера
об индексе эллиптического оператора и ее связи с теоремой Атьи—Патоди—Зингера.
Для того чтобы убедиться, что правая часть A7.8) не изменяется при гладком
изменении внешних полей в че< трехмерном евклидовом пространстве, покажем,
что наборы ненулевых собственных значений операторов £>*£> и DD* совпадают.
Действительно, пусть ■фх — собственная функция оператора D^D с собственным
значением А ф О,
rfDfx = \i>x.
Действуя на это равенство слева оператором D, убеждаемся, что функция тр\ =
Dip\ — это собственная функция оператора £>£>t с тем же собственным значением:
Это соответствие между собственными функциями операторов £>*£> и DD* обратимо
(при А Ф 0), i>\ = \"lD^i>\. Поэтому наборы ненулевых собственных значений
(включая возможное вырождение) совпадают для операторов D^D и DD^.
Предположим теперь, что мы гладким образом изменяем внешние бозон-
ные поля в четырехмерном евклидовом пространстве. При таком изменении одно
из ненулевых собственных значений оператора D^D гладким образом может эволю-
эволюционировать в нуль, А —> 0, т.е. No(D^D) может измениться на единицу. Но при
А —> 0 стремится к нулю и одно из собственных значений оператора DD*, так что
разность Nq(D^D) -N0(DD^) не изменится. Это и показывает инвариантность A7.8)
относительно гладких изменений внешних евклидовых полей.
В следующем разделе мы применим изложенный здесь результат для вычисле-
вычисления изменения фермионного числа во внешних калибровочных полях, интерполи-
интерполирующих между топологически различными вакуумами. При этом нам достаточно
будет вычислить количество нулевых мод операторов A7.3) и A7.5) в каком-то одном
поле с данным топологическим числом, поскольку величина AiVp одинакова для
всех внешних полей из одного гомотопического класса.
17.2. Нулевая фермионная мода
в поле инстантона
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой SUB) и без-
безмассовыми фермионами, преобразующимися по фундаментальному представлению
290 Глава 17. Несохранение фермионных чисел а четырехмерных неабелевых теориях
группы SUB). Будем пока считать, что скалярных полей в модели нет. Поскольку
уравнения для левых и правых фермионов расщепляются, можно рассматривать
левые и правые фермионы по отдельности. Наша задача — показать, что внешние
калибровочные поля, интерполирующие между топологически неэквивалентными
вакуумами (см. раздел 13.3), приводят к несохранению числа левых фермионов iVL
и числа правых фермионов iVR. При этом
= n(uf) ~ п(П.) = An, A7.9)
-AJVL A7.10)
для каждого левого и правого фермионного дублета, где п(П;) и n(uj) — топо-
топологические числа начального и конечного классических вакуумов калибровочного
поля. Без ограничения общности можно положить П; = 1, т. е. в начальном вакууме
А = 0. Будем пока использовать калибровку Aq = 0.
Как было показано в предьщущем разделе, задача о вычислении AiVL сводится
к подсчету нулевых мод операторов
D
и
где Яь — дираковский (точнее, вейлевский) гамильтониан во внешнем поле .4,(т, х).
Это внешнее поле можно выбрать произвольным образом, лишь бы выполнялись
условия
.4,(т,х) —»0 при т —> -оо,
]-1 при Т-++ОО.
Разность количеств нулевых мод операторов А. и £>[, а следовательно и Ai\TL,
от конкретного выбора конфигурации .4<(т,х) в классе A7.11) не зависит.
Гамильтониан Н\, равен, как обычно (мы по-прежнему используем представле-
представление A4.4) для 7-матриц и представление A4.5) для матриц а'),
Нь = io-'Di = *V[
Для правых фермионов необходимо рассматривать оператор
где
Як = -*>■[
Полезно заметить, что
Di = -L{. A7.12)
Из последнего равенства сразу следует соотношение для количеств нулевых мод
JVo(D[),
k) = N0(DL).
Поскольку изменения чисел левых и правых фермионов связаны с количеством
нулевых мод соотношениями
= N0(DL) - N0(J)\),
= N0(DK) - N0(D{),
37.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 291
равенства A7.13) сразу приводят к правилу отбора A7.10).
Итак, нам необходимо решить уравнение
А.Хо = [ д£ + «*''№ + А<)] Хо = 0, A7.14)
а также уравнение
Здесь хо(т,х) и »7о(т,х) ~~ двухкомпонентные столбцы. Как мы уже отмечали,
уравнение A7-14) можно воспринимать как евклидово уравнение Вейля для левых
фермионов в (евклидовом) внешнем калибровочном поле с Ло = 0. В силу A7.12)
уравнение A7.15) представляет собой евклидово уравнение Вейля для правых фер-
фермионов. Для нахождения явных решений удобно избавиться от того, что евклидово
внешнее калибровочное поле имеет Ао = 0. Используем для этого тот факт, что урав-
уравнение A7.14) для функции Хо(т,х) во внешнем поле Ай =0, А^т,\) эквивалентно
уравнению
для функции Xo(Tix) =w(Tix)xo(T,x) во внешнем поле
л' а -1
Aq = ШдтШ ,
А\ =uAi(o~1 +шд{ш~\
где w(t,x) — произвольная функция со значениями в 517B). По-существу мы сде-
сделали не что иное, как калибровочное преобразование (в четырехмерном евклидовом
пространстве) из калибровки Aq = О в произвольную калибровку. Введем матрицы
»£ = 0,-»),
<# = 0,»),
которые являются евклидовыми аналогами матриц, фигурирующих в A4.4) и совпа-
совпадают с матрицами, использовавшимися в разделе 13.2 (см. A3.12)), только теперь они
действуют на лоренцевы индексы. Опуская штрихи в A7.16), запишем окончательно
евклидово уравнение Вейля во внешнем поле,
£>lXo = of-DpXo = 0, A7.17)
где, как обычно, Dp = д,, + А,,, причем х° = т выступает как евклидово время.
Аналогично, уравнение A7.15) в произвольной калибровке имеет вид
- £>[»7о = £>R»7o = a^DpVo = 0. A7.18)
Нас интересует разность количеств убывающих решений этих двух уравнений.
> Задача 1. Определим евклидовы j-матрицы по аналогии с A4.4) '
°$ оЕ
Убедиться в справедливости антикоммутационного соотношения
10*
292 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
> Задача 2. Рассмотрим уравнение A7.3) для массивных фермионов (так что -ф — четы-
рехкомпонентнып столбец). Показать, что оно эквивалентно евклидову уравнению
Дирака
Ц + m)f = О
с матрицами 7е- определенными в предыдущей задаче.
Единственным требованием, накладываемым на евклидово калибровочное поле
Ар(х), является условие, чтобы после перехода в калибровку Ац = О выполнялись
соотношения A7.11). Это требование эквивалентно равенству (см. раздел 13.3,
в частности формулу A3.45))
Q = An, г A7.19)
где, как и в разделе 13.3,
bJ >)' A7-20)
Поскольку условие A7.19) калибровочно инвариантно, возвращаться в калибровку
Aq = 0 больше нет необходимости.
Таким образом, для доказательства соотношения A7.9) о несохранении ферми-
онного числа нам требуется убедиться, что
N0(DL) - No(D[) = Q
для евклидовых уравнений Вейля A7.17), A7.18) в каком-нибудь (все равно каком)
внешнем калибровочном поле с топологическим числом Q. Мы рассмотрим слу-
случай Q = 1, когда в качестве внешнего поля можно взять инстантонное решение
евклидовых уравнений Янга—Миллса.
Покажем прежде всего, что оператор Z)R (или, что то же самое, d\) не имеет
нулевых мод в поле инстантона. Для этого подействуем на левую часть уравне-
уравнения A7.18) оператором £>r = -А. = —c^tD^. Учтем, что а^а\ = б'"' Л-Щ^ааа
(см. A3.31)), а также антисимметрию символов 'т Хоофта по индексам р и и.
Получим
-D^Dn + -гп„иа[О„,Ви\.
Далее, [D^Dy] = F^ (см. задачу 5 в разделе 4.2). Для инстантона F^ пропорцио-
пропорционально tifivaJa, а для символов 'т Хоофта справедливо Ц^аП^ъ — 0. Поэтому
Это — положительно определенный оператор, поскольку оператор D,, антиэрмитов
в пространстве функций со скалярным произведением A7.6). Следовательно, у опе-
оператора -D^-Dr нулевых мод нет; поэтому их нет и у оператора Dr. Таким образом,
для инстантонного внешнего поля
N0(DK) = N0(dI) = 0. A7.21)
Рассмотрим теперь уравнение A7.17) в поле инстантона. Удобно воспользо-
воспользоваться приемом, описанным в разделе 16.1 и перейти от переменных Xai (здесь
а■— 1,2 — лоренцев индекс, г = 1,2 — изотопический индекс) к переменным Xai
по формуле (ср. A6.18))
Xai — Xaj£ji-
37.2. Нулевая фермионная мода в поле инстантона 293
Тогда уравнение A7.17) запишется в матричном виде
J J = 0, A7.22)
где мы опустили индекс Е у сг-матриц. Поле инстантона А,,, заданное выражением
A3.27), полезно записать в форме
^-(vI-My/W. A7-23)
где п„ и г — единичный радиус вектор и радиальная координата в четырехмерном
пространстве, соответственно. При записи выражения A7.23) мы воспользовались
соотношением A7.16) и использовали обозначение /(г) для функции A3.24),
Уравнение A7.22) в поле инстантона приобретает вид
1 ^ ^% fll» = 0, A7.24)
причем хо следует здесь воспринимать как матрицу 2 х 2 и понимать ее произведения
с сг£ и ам как матричные.
Вид уравнения A7.24) подсказывает очевидную подстановку
Хо = 1 • о(г),
где о(г) — неизвестная пока функция, 1 — единичная матрица 2x2. Учитывая,
что сг^сгр = 4, получим, что левая часть A7.24) пропорциональна o-J,nM, а уравнение
A7.24) приводит к единственному уравнению для о(г)
Отсюда
. ' Г , f dr , I const
a(r) = const- exp |-3 j -/(r)j = (j.2 + p2y/2-
Это и есть нулевая мода в поле инстантона ('т Хоофт, 1976а, Ь). В терминах исходной
функции х(х) она имеет вид
(Хо)« = const • е.» 2+^23/2- A7.25)
Нулевая мода A7.25) — гладкая всюду; она достаточно быстро убывает при г —> оо,
так что ее норма A7.6) конечна.
Тот факт, что оператор £>l в поле инстантона имеет нулевую моду, Nq(Dl) Ф О,
уже означает, вместе с A7.21), что левое фермионное число не сохраняется в по-
полях калибровочных конфигураций, начинающихся и заканчивающихся в соседних
топологически различных вакуумах. В действительности в поле инстантона имеет-
имеется ровно одна нулевая фермионная мода. Доказательство последнего утверждения
достаточно сложно, и мы его здесь не приводим. Отсутствие нулевых мод, кроме
A7.25), зависящих только от г, составляет предмет следующей задачи.
294 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
> Задача 3. Рассмотреть фермионные функции х{Т)> зависящие только от г. Показать,
чта
1) для таких функций уравнение A7.17) приводит к замкнутой системе уравнений;
2) нулевая мода A7.25) — это единственное убывающее решение уравнения A7.17).
Указание: воспользоваться тем, чта любая 2x2 матрица х(т) может быть
представлена в виде х = 1 • в(г) + °-аЬа(г), где сг" — матрицы Паули; использовать
уравнение для нулевой моды в фарме A7.24).
Итак, при переходах между соседними калибровочными вакуумами (Дп = 1)
соотношение A7.9) действительно выполняется. То, что это соотношение выпол-
выполняется при любом Дп, видно из следующего рассуждения. Рассмотрим, например,
случай Дп = 2. Внешнее калибровочное поле .4,(т,х) (в калибровке Aq = 0) можно
выбрать так, чтобы<.оно описывало последовательность двух переходов с Дп = 1, т. е.
при т = —со, т = 0,и т = +оо оно представляло собой вакуумное поле с п = 0, п = 1
итг = 2, соответственно. При изменении т от (-со) до 0 пересечение фермионных
уровней соответствует изменению числа левых фермионов на ANi. = 1; на такую
же!величину'изменится фермионное число при изменении т от 0 до (+оо). Полное
число пересечений уровней соответствует, таким образом, AiVL = 2. Движение
уровней в этомхлучае схематически изображено на рис. 17.1.
Рис. 17.1. Движение левых фермионных уровней в калибровочном поле, описывающем после-
последовательные переходы между соседними вакуумами. Отмечены пересечения нуля фермионными
уровнями
Поскольку изменение фермионного числа не зависит от конкретного выбора
поля для одного и того же Дп, мы заключаем, что AiVL = 2 для всех полей
с Дп = 2. Ясно, что это соображение прямо обобщается на любые Дп > 0.
Очевидная модификация этого аргумента (последовательность переходов с Дп = 1
и Дп = — 1 — это топологически тривиальное поле, приводящее к Ai\TL = 0)
объясняет, что соотношение A7.9) справедливо и для Дп < 0.
17.3. Правила отбора 295
> Задача 4. Показать, что в поле антиинстантона оператор £>l He имеет нулевых мод.
Найти нулевую моду оператора DL или, что то же самое, оператора £>R. Этот
результат дает явное подтверждение формулы A7.9) для An = -1.
Изложенный здесь результат является частным случаем теоремы Атьи—Зингера об индексе
(связь несохранения фермионных чисел с теоремой Атьи—Зингера выяснена Шварцем A977),
Нильсеном и Шроером A977b), Брауном, Карлицем и Ли A977) и Джекивом и Ребби A977)).
В применении к левым фермионам она дает
dim Ker(D' DL) - dim Kct(DlD[) = Q, A7.26)
где Q — топологическое число евклидовой конфигурации калибровочного поля A7.20). Со-
Соотношение A7.9) — это записанное в других терминах равенство A7.26). Данное соотношение
связано также с аномалией Адлера—Белла—Джекива, которая имеет место в квантовой теории
поля. Именно, в квантовой теории поля в пространстве Минковского можно ввести оператор
тока левых фермионов
(в обозначениях раздела 14.1). Наивно этот ток сохраняется, т.е. наивно сохраняется левое
фермионное число
Однако учет квантовых эффектов приводит к аномалии в дивергенции тока j£,
Ь^)- A7.27)
Соотношение A7.9) можно интерпретировать как проинтегрированное по пространству-
времени аномальное тождество A7.27).
17.3. Правила отбора
В предыдущем разделе нами по существу уже было сформулировано правило
отбора для обсуждаемых в этой главе процессов с несохранением фермионных
чисел (в теориях с калибровочной группой SUB) и безмассовыми фермионами
в фундаментальном представлении). Именно, если происходит процесс, в котором
топологическое число калибровочного вакуума изменяется на An, то фермионное
число каждого левого дублета изменяется на Ai\TL = An, а фермионное число каждого
правого дублета — на AiVR = —An. В конкретных моделях это правило отбора
бывает удобно переформулировать в более физических терминах, что мы и сделаем
в этом разделе для теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики —
и стандартной модели электрослабых взаимодействий.
Начнем с квантовой хромодинамики — теории с калибровочной группой
SUC)C и триплетными фермионами — кварками, — имеющими как левую, так
и правую компоненты. Три типа кварков — и, d, s — имеют довольно малые
массы, и неплохим приближением является предел безмассовых и, d, s. В этом
пределе по отдельности сохранялись бы числа левых и правых кварков каждого типа,
NUl,NUr;...;NSl,Ns<1, если бы не было процессов перехода между топологически
различными калибровочными вакуумами.
Для установления правил отбора, выполняющихся и при учете процессов
инстантонного типа, заметим, что соображения предыдущего раздела, основанные
296 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
на тождестве £>[ = —Dr. и приводящие к соотношению A7.10), прямо переносятся
на случай калибровочной группы S£7C)c. Поэтому выполняются равенства
= -ДД^, A7.28)
Ai\TSR = -AiV
Далее, компоненты uL, dL и sl (в пределе безмассовых кварков) совершенно
одинаково ведут себя во внешних калибровочных полях группы Si7C)c. Поэтому
пересечение уровней происходит одинаково для каждого типа кварков, и мы имеем
ANUL = ANdL = ANn. A7.29)
Равенства A7.28), A7.29) и представляют собой пять правил отбора, выполняющихся
во всех процессах в хромодинамике с тремя типами безмассовых кварков. Они
означают, что может не сохраняться полная киральность
Q5 = (NUL+NdL+NSL)-(NUK + NdK + NSK), . A7.30)
в то время как пять других линейных комбинаций чисел NUL,... ,JVjR сохраняются.
Чтобы увидеть, что киральность действительно не сохраняется при переходах
между топологически различными калибровочными вакуумами, рассмотрим кали-
калибровочные поля подгруппы SUB), вложенной в SUC)C следующим образом
Каждый кварковый 5i7C)c-триплет разбивается на дублет и синглет по отношению
к этой SUB). Синглеты не взаимодействуют с калибровочными полями указанной
подгруппы SU{2), и пересечения уровней в калибровочных полях такой струк-
структуры для них не происходит. Для дублетов же имеет место пересечение уровней
в топологически нетривиальных внешних калибровочных полях, соответствующих
подгруппе A7.31). При этом, как ясно из результатов предьщущего раздела, действи-
действительно выполняются правила отбора A7.28), A7.29), но NUL,..., NSR по отдельности
не сохраняются, т. е.
AQ5 ф 0.
Итак, киральность A7.30) не сохраняется в хромодинамике.
Физически несохранение киральности A7.30) в квантовой хромодинамике проявляется в от-
отсутствии в природе девятого легкого псевдоскалярного бозона, аналогичного восьмерке я-*,
я-0, К*, К , К", г). Фермионная часть действия квантовой хромодинамики в пределе
безмассовых u, d, s имеет вид
SF = I dtx (йУО,!! + di-fD^d + «7"D^s), A7.32)
где, как обычно, D,, = Э„ - ig,t°; а = 1,. ..,8; д, — константа связи группы SUC)C, t" —
генераторы Sf7C)c, A"^ — восьмерка калибровочных (глюонных) полей. Действие A7.32)
наивно инвариантно относительно глобальных преобразований с группой
SGC)L х SGC)R x GA)L x GA)R, A7.33)
где подгруппы St/C)L x U(\)L и Sf7C)R x U(\)R действуют на левые и правые компоненты
кварков, соответственно. При этом, например, кварки («l, ^l, *l) образуют триплет отно-
относительно SUC)l и преобразуются с общей фазой при преобразованиях из U(l)L. Наивное
17.3. Правила отбора 297
сохранение шести чисел iVUL,. ..,iV3R соответствует диагональной подгруппе группы A7.33).
В частности, киральность A7.30) соответствует преобразованиям из подгруппы f/(l)L.R,
ul\ /ur
dL ; dR
Несохранение киральности A7.30) означает, что на самом деле группой глобальной симметрии
SGC)L х SGC)R x GA)L+R. A7.34)
Сильные взаимодействия приводят к спонтанному нарушению симметрии A7.34) до
Sf7C)L+R х £/(l)L+R (надежное теоретическое объяснение этого экспериментального фак-
факта до сих пор отсутствует). В соответствии с теоремой Голдстоуна это приводит к появлению
восьми безмассовых бозонов, по числу нарушенных генераторов. В действительности и, d,
з -кварки имеют небольшие массы, поэтому массы намбу-голдстоуновских бозонов невелики,
но отличны от нуля. Это и есть тг*, тг°, К*, К0, К0 и fj-мезоны. Если бы группой симметрии
была группа A7.33), то должен был бы существовать девятый псевдоголдстоуновский бо-
бозон. Его отсутствие — прямое экспериментальное доказательство несохранения киральности
(отсутствия инвариантности относительно C(l)L_R) в квантовой хромодинамике.
Подчеркнем, что в квантовой хромодинамике константа связи не мала (на больших
расстояниях), поэтому не малы и рассматриваемые эффекты, приводящие к нарушению
киральности.
Продолжая обсуждение хромодинамики, сделаем замечание, касающееся квар-
кварков с ненулевой (и достаточно большой) массой. В этом случае числа левых и правых
кварков не сохраняются даже в отсутствие внешних калибровочных полей. Поэтому
имеет смысл говорить лишь о сохранении полного числа кварков каждого типа
Ъ = ^+Яп. A7.35)
Эти числа сохраняются при любых массах (включая нулевую, см. A7.28)) и в любых
внешних калибровочных полях группы Si7C)c. Поэтому в случае массивных кварков
топологически нетривиальные калибровочные поля не приводят к какому-либо
изменению наивных правил отбора.
Обратимся теперь к теории электрослабых взаимодействий. Прежде всего, для
установления правил отбора подгруппа 17A) электрослабой калибровочной группы
Si7B) х Z7(l) несущественна, поскольку четырехмерные абелевы теории сложной
структурой калибровочных вакуумов не обладают. Поэтому в дальнейшем мы будем
рассматривать только калибровочные поля, соответствующие группе Si7B). Далее,
выключим на время юкавские взаимодействия фермионов с хиггсовским полем; мы
увидим в дальнейшем, что учет юкавских взаимодействий по существу не изменяет
правил отбора. В пренебрежении калибровочным взаимодействием группы 17A)
и юкавскими взаимодействиями правые компоненты лептонов и кварков являются
свободными (сильные взаимодействия нас здесь также не интересуют), а левые леп-
тоны и кварки взаимодействуют с калибровочным полем группы 5i7B) в точности
так, как описано в предыдущем разделе. Поскольку правых дублетов в модели нет,
соотношение A7.10) не имеет отношения к делу; при этом равенство A7.9) выпол-
выполняется для каждого из левых дублетов. Числа правых фермионов не изменяются,
и мы получаем, что при переходах между топологически различными вакуумами
выполняется правило отбора
ALe = AL,, = ALT = ЗАВ, A7.36)
где лептонные числа Le, Lp и LT определены соотношениями A4.79), A4.80)
и A4.81), а В — барионное число. В последнем равенстве мы учли, что полное
298 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
число левых кварковых дублетов в модели равно произведению числа поколений
(JVg = 3) и числа цветов (Nc = 3), а барионное число одного кварка равно j; отсюда
и появляется коэффициент NgNc • j = 3. Таким образом, процессы инстантонного
типа приводят в электрослабой теории к несохранению барионного и лептонных
чисел, но при этом выполняется правило отбора A7.36).
Вывод о несохранении барионного и лептонного чисел и правило отбора
A7.36) остаются справедливыми и при учете юкавскмх взаимодействий фермионов
с хигтсовским полем, которые в конечном итоге приводят к появлению масс
у кварков и лептонов (Красников, Рубаков, Токарев, 1979). Не вполне строгий
способ убедиться в этом состоит в следующем. Рассмотрим для простоты один
набор фермионов, в который входит левый дублет L и два правых синглета R[
и Дг относительно группы 5i7B). В этом упрощенном случае фермионное действие
имеет вид (см. A4.74))
A7-37)
где мы пренебрегли калибровочным взаимодействием, соответствующим группе
£7A). Система евклидовых уравнений Дирака, аналогичная уравнению A7.17), имеет
вид
amv}DpL — hi(pR\ — hiipRi = О,
OpdpRi - h^L) = 0, A7.38)
(Гцд^г - h2($L) = 0.
Введя столбец
эту систему можно записать в символическом виде
Изменение фермионного числа во внешних калибровочном и хиггсовском полях
инстантонного типа определяется разностью количеств нулевых мод операторов V
= N0{V) - JVoCD1). A7.39)
Здесь под фермионным числом понимается, как обычно, разность числа фермионов
и числа антифермионов, как левых, так и правых.
> Задача 5. Используя рассуждения раздела 17.1, убедиться в справедливости соотношения
A7.39) с оператором V, определяемым системой A7.38), для теории с фермионным
действием A7.38). Выписать явный вид оператора V, сохраняя групповые индексы,
соответствующие калибровочной группе SUB).
Как мы убедились в разделе 17.1, разность (Щ(Т>) - Щ(Т>^)) не изменяется при
непрерывных вариациях оператора V. В частности, она не должна изменяться при
изменении юкавских констант ft., и /i2. Но при ft., = /12 = 0 уравнения для левых
и правых фермионов расщепляются, и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному
27.3. Правила отбора 299
в предыдущем разделе. В этом пределе правые: фермионы свободны, и не имеют
нулевых мод, а для левых фермионов имеем
N0{V), - ЩЯ*} = Дя,
где An — изменение топологического числа классического вакуума калибровочных
полей. Поскольку эта формула не зависит от h\ и Ьг, мы получаем
ANF = Дп
при любых юкавских константах.
Для того чтобы применить это рассуждение к лептонам, достаточно положить
h2 = 0. Обобщение этого рассуждения на случай кварков (с нетривиальным смеши-
смешиванием, кратко рассмотренным в разделе 14.4) достаточно очевидно. Таким образом,
мы приходим к выводу о том, что включение юкавских взаимодействий оставляет
правило отбора A7.36) справедливым в электрослабой теории.
Структуру евклидовой нулевой фермионной моды во внешних калибровочном и хштсовом
полях, обладающих симметрией инстантонного решения, достаточно просто найти в слу-
случае одинаковых юкавских констант (Красников, Рубаков, Токарев, 1979). Действительно,
рассмотрим евклидовы калибровочное и хиггсовое поля вида A3.56),
А„(х) =
<р(х) =
где
и мы используем обозначения главы 13 (в частности, г = Vx2 + T1). При ft( = ft2 = ft
(иначе говоря, при равных массах фермионов) уравнения A7.38) можно решать, используя
подстановку
£«,(*) = eail(r),
Rla{x) = eajH>Tp(r), A7.40)
где а = 1,2 и i,j = 1,2 — лоренцевы и изотопические индексы фермионов. В результате
вычислений, аналогичных приведенным в разделе 14.2, получаем, что система A7.38) сводится
к двум уравнениям для 1(г) и р(г),
р' - mFHl = 0,
3f A7.41)
l'+J-l- mFHp = 0,
где mF = ^j — масса фермионов в вакууме (р"*. Для того чтобы убедиться в существовании
гладких и убывающих при г —» оо решений системы A7.41), воспользуемся уже знакомым
нам рассуждением. Рассмотрим сначала поведение решений системы A7.41) при г-» оо.
В этой области имеем
/М — 1.
A7.42)
Я(г) -» 1, г -юо.
Нетрудно убедиться, что одно из решений уравнений A7.41) экспоненциально убывает при
г —» оо, а именно, р,1 ос ехр(—трг), а другое — экспоненциально растет. Найдем теперь
поведение решений уравнений A7.41) при г —► 0. В этой области
тпРЯ(г) = а|Г,
A7.43)
0
300 Глава 17. Несохранение фермионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
где О|Иаг- некоторые постоянные. (Поведение A7.43) обусловлено требованием гладкости
полей Ар и <р в точке xf = 0.) При учете A7.43) можно убедиться, что оба решения системы
A7.41) — гладкие при г —» 0. Действительно, будем искать решение в виде ряда
p- 1
с постоянными коэффициентами Сь..., D\ Уравнения A7.41) сведутся к рекуррентным
соотношениям для коэффициентов С\ D\,..., первое из которых имеет вид
2С2 + За2С| - а,!), = О,
2D2 - а,С| = 0.
Существенно, что постоянные D\ и С\ произвольны, а остальные коэффициенты выражаются
через них. Отсюда и следует, что оба решения уравнений A7.41) — гладкие при г->0,
а решений, сингулярных в нуле, не существует. В частности, решение системы A7.41),
убывающее при г —» оо, является (как и все другие) гладким при г —» 0. Это и есть евклидова
нулевая мода.
> Задача 6. Используя подстановку A7.40), показать, что система A7.38) сводится
к двум уравнениям A7.42).
> Задача 7. Считая, что функции Н(г) и /(г) экспоненциально стремятся к значениям
A7.42) при г —♦ оо, найти асимптотики 1(г) и р(г) при г -+ оо, включая степень г
перед экспонентой.
> Задача 8. Найти явное решение для 1(г) и р(г) в поле конфигурации 'т Хоофта
/<г> = ^7>
Я(г) = -?^==.
17.4. Электрослабое несохранение
барионного и лептонных чисел
при высоких температурах
Мы убедились в предыдущем разделе, что теория электрослабых взаимодей-
взаимодействий предсказывает несохранение барионного и лептонных чисел, причем правило
отбора имеет вид A7.36). Это несохранение возникает при переходах между топологи-
топологически различными классическими вакуумами калибровочной теории и обусловлено
явлением пересечения фермионных уровней.
В обычных условиях — при низких температурах и плотностях частиц и при
не слишком высоких энергиях — переходы между топологически различными ва-
вакуумами представляют собой туннельные процессы и описываются инстантонами2'.
Именно в инстантонных процессах возникают калибровочные и хиггсовские поля,
в которых происходит пересечение фермионных уровней. Поскольку калибровочная
константа связи неабелевой подгруппы SUB) электрослабой группы SUB) x J7(l)
мала,
_ д1 = а _ 1
"w 4тг ~ sin20w ~ 30'
2' Точнее, конфигурациями инстантонного типа — локализованными инстантонами, см. Дополнение
17Л. Электрослабое несохранение борионного и лептонных чисел 301
вероятность электрослабых инстантонных процессов сильно подавлена,
Г а ехр (-— ) ~ Ю~г6°. A7.44)
Поэтому электрослабое нарушение барионного и лептонного чисел эксперимен-
экспериментально обнаружить не удается. Отметим еще раз, что его теоретическое описание
требует выхода за рамки стандартного метода квантовой теории поля — разложения
по степеням малой константы связи.
Ситуация в корне меняется, если рассматривать системы с электрослабым вза-
взаимодействием в экстремальных условиях. Наибольший интерес представляет случай
высоких температур, поскольку он реализовывался на ранних стадиях эволюции
Вселенной. Как мы неоднократно отмечали, при высоких температурах возможны
тепловые скачки через потенциальный барьер, разделяющий топологически различ-
различные вакуумы. Наиболее наивная оценка скорости таких скачков при не слишком
высоких температурах получится, если оценить вероятность попадания системы
в седловую точку, разделяющую топологически различные вакуумы (сфалерон),
больцмановской экспонентой
Г « ехр (-^)- A7-45)
В электрослабой теории имеем (см. A3.58))
2mw
В ( — | ~ 10 TeV.
и уже оценка A7.45) показывает, что при высоких температурах, Т > 1 TeV, скорость
тепловых скачков перестает быть малой. Таким образом, мы приходим к выводу
об интенсивном несохранении барионного и лептонных чисел при достаточно
высоких температурах. '
В действительности оценка A7.45) является сильно заниженной в интересной
области температур. Вероятность реализации того или иного состояния системы
при высоких температурах определяется не энергией этого состояния Е, а его сво-
свободной энергией F, которая сама является функцией температуры. Это означает,
в частности, что для оценки скорости тепловых скачков через потенциальный ба-
барьер необходимо искать не экстремум функционала статической энергии Е(А,<р),
а экстремум свободной энергии F(A,<p). Этот экстремум — температурный сфале-
рон — может не совпадать с обычной сфалеронной конфигурацией, а его свободная
энергия Fjph может быть значительно меньше £7spt,. Так оно и получается в электро-
электрослабой теории, поэтому скорость тепловых скачков, приводящих к несохранению
барионного и лептонных чисел
A7.46)
оказывается гораздо большей, чем дает оценка A7.45). В оценке A7.46) мы ввели
множитель Т4 из размерных соображений; Г представляет собой вероятность про-
процессов с несохранением барионного и лептонных чисел в единицу времени в единице
пространственного объема.
Неплохая оценка Fs?t, получается, если учесть, что среднее значение хиггсовского поля зависит
от температуры. Эта температурная зависимость (Киржниц, 1972; Киржниц, Линде, 1972:
302 Глово 17. Несохронение фврнионных чисел в четырехмерных неабелевых теориях
Долан, Джекив, 1974; Вайнберг, 1974) исследуется методами, далеко выходящими за рамки
данной книги. Среднее хиггсовского поля <ро(Т) убывает с ростом температуры, и выше
некоторой температуры Tctit обращается в нуль. Эту критическую температуру называют
температурой электрослабого фазового перехода; грубо говоря, при Т > Т^ электрослабая
группа SUB) х U(l) не нарушена3'. Поскольку массы векторного и хиггсовского бозонов
пропорциональны среднему значению <р0, они также меняются с температурой; в частности,
mw(T) = ^д<ро(Т). Свободную энергию температурного сфалерона можно оценить, положив
в формуле A3.58) mw = mw(T), mH = mB(T), т.е.
Эта величина уменьшается с ростом температуры и при Т > Т^, равна нулю. Последнее
свойство означает, что при Т > Т^ процессы с несохранением барионного и лептонных
чисел перестают быть экспоненциально подавленными. При этом пропадает возможность их
описания квазиклассическими методами, что представляет собой трудность с теоретической
точки зрения.
В электрослабой теории температура фазового перехода зависит от неизвестного (пока!)
параметра — массы хиггсовского бозона в вакууме. Ее значения находятся в области Tctit ~
200 GeV. Таким образом, электрослабые процессы с несохранением барионного и лептонного
чисел интенсивно происходят при Т ^ 200 GeV. Этот вывод имеет существенное значение для
космологии, а именно, для объяснения наблюдаемого избытка барионов над антибарионами
в современной Вселенной (проблема генерации барионной асимметрии Вселенной (Сахаров,
1967; Кузьмин, 1970)).
Отметим в заключение, что интенсивное нарушение барионного и лептонного
чисел за счет электрослабых взаимодействий возможно и в других, более экзотичес-
экзотических случаях — при высоких плотностях фермионов (Матвеев, Рубаков, Тавхелидзе,
Токарев, 1987) или в распадах тяжелых частиц (Амбьорн, Рубаков, 1985). Сече-
Сечения таких процессов, происходящих в столкновениях частиц, подавлены фактором
A7.44) при низких энергиях, но быстро растут с энергией в области нескольких
TeV (Рингвальд, 1990; Эспиноза, 1990), оставаясь, по-видимому, экспоненциально
подавленными при всех доступных энергиях. Инстантонные процессы при высоких
энергиях кратко обсуждаются в Дополнении.
3) На самом деле ситуация в электрослабой теории при высоких температурах является еще более
тонкой. Параметр порядка в этой теории в действительности отсутствует (Фрадкин, Шенкер, 1979;
Бэнкс, Рабиновичи, 1979), и фазового перехода может не быть вовсе (Каянти, Лайне, Руммукайнен,
Шапошников, 1996).
Дополнительные задачи к части III
> Задача 1. Восстановление симметрии в холодной плотной фермиониой среде (Кирж-
ниц, Линде, 1976).
Рассмотрим четырехмерную теорию одного действительного скалярного поля ip, вза-
взаимодействующего с одним типом дираковских фермионов. Действие самого скалярного
поля выберем в виде
а фермионное действие — в виде
Константы связи Аи/ предполагаются малыми.
1) Показать, что в теории имеется дискретная симметрия <р —» — <р.
В отсутствие реальных фермионов эта дискретная симметрия спонтанно нарушена:
имеются два основных состояния с ip = ±v. Рассмотрим теперь систему при
конечной плотности фермионов пр (и нулевой температуре).
2) Найти плотность энергии фермионноп среды £f(v) b произвольном однородном
внешнем поле <р, если плотность числа фермионов равна пр.
3) Изобразить качественно зависимость полной плотности энергии системы*1
от поля ip при различных пр. Оценить значение пр, при котором симметрия
восстанавливается, т. е. Veff(<p) имеет единственный минимум в точке <р = 0.
4) Найти соответствующую критическую плотность при /4 <S А.
> Задача 2. Нетопологическин солитон в теории с фермионами (Фридберг, Ли, 1977).
Рассмотрим четырехмерную теорию одного действительного скалярного поля <р,
взаимодействующего с N типами фермионов юкавским образом. Действие скалярного
поля выберем в виде (А3.1). Предположим для простоты, что юкавские константы
связи всех фермионов одинаковы, т. е. фермионное действие имеет вид
Г
Константы Аи/ считаем малыми, но А > /4. Используя соображения, аналогичные
приведенным в главе 10, показать, что при достаточно больших N в теории имеются
4' В действительности к этому выражению имеются квантовые поправки. Однако они малы при
малых Аи/.
304 Дополнительные задачи к части III
нетопологические солитоны (например, такие, в которых число фернионов каждого
типа ровно 1). Оценить соответствующее минимальное значение N. Поляризацией
вокуумо (в том числе вклодом дираковского моря в полную энергию) пренебречь^.
> Зодочо 3. Нулевые фермионные моды в поле монополя в теории с фермионным
триплетом (Джекив, Ребби, 1976b).
Рассмотрим модель раздела 16.1, но вместо изодублета фермионов введем изотри-
плет фермионов ф", а= 1,2,3, с действием
где, как обычно, (Drf)" - дрф"+деаЬсАЬрфс.
1) Найти аналог сохраняющегося углового момента фермиона в поле монополя.
2) Ограничиваясь фермионами с минимальным угловым моментом, показать, что в поле
монополя имеются нулевые фермионные моды (собственные состояния дираковского
гамильтониана с нулевой энергией). Найти их количество.
> Задача 4. Евклидовы нулевые фермионные моды в Щ1)-теории (Нильсен, Шроер,
1977а; Ансурян, 1977; Кискис, 1977).
Рассмотрим двумерную теорию с калибровочной группой U(\) и безмассовыми дира-
ковскими фермионами с единичным зарядом.
1) Используя соображения раздела 17.1, записать евклидово уровнение Дирака в про-
произвольной калибровке.
2) Рассмотрим калибровку дрАр = 0 в евклидовой теории. Показать, что в этой
калибровке гладкое евклидово поле Ар представимо в виде Ар — SpVdva, где сг(х) —
гладкая функция координат. Ограничиваясь сферически-симметричной асимптотикой,
а = a(f) при г —» оо (где г = Jx\ + х\), найти поведение сг(г) при больших г
для полей с фиксированным целым топологическим числом
(см. конец раздела 13.3).
3) Найти общее несингулярное решение уравнения Дирака во внешнем поле Ар =
e.pVdva.
4) Для внешних полей со сферически-симметричной асимптотикой и целым q найти
все евклидовы нулевые фермионные моды, т. е. решения евклидова уравнения Дирака,
убывающие при т —* оо (нулевые фермионные моды, убывающие как г~[ при
больших г, учитывать6^). Какие квантовые числа фермионов сохраняются в этой
модели, а какие — нет?
5) Показать, что в теории без хиггсовских полей (двумерной безмассовой кванто-
квантовой электродинамике — модели Швингера A962)) бозонное действие евклидовых
конфигураций поля Ар может быть сколь угодно малым при qj^O.
При больших N поправки к полной энергии, связанные с поляризацией фермионного вакуума,
не малы. Этой трудности можно избежать иеной введения дополнительных бозонных полей.
' Норма таких нулевых мод логарифмич!
и нормируемые нулевые моды (Патрашу, 1979).
' Норма таких нулевых мод логарифмически расходится, однако они играют ту же роль, что
Дополнительные задачи к части III 305
Таким образом, в модели Швингера переходы между топологически различными кали-
калибровочными вакуумами происходят без экспоненциального подавления и не могут быть
описаны обычными квазиклассическими методами. В действительности модель Швин-
Швингера сводится на квантовом уровне к теории некоторого свободного поля, но в терминах
исходных полей ф и Ам ее вакуум имеет сложную структуру (Ловенстайн, Свиека, 1972).
> Задача 5. Нулевые фермионные моды в поле сфалерона.
Рассмотрим четырехмерную калибровочную теорию с калибровочной группой SUB)
и хиггсовским дублетом, как в разделе 13.4. Включим в нее безмассовые изодублетные
дираковские фермионы с действием
Рассмотрим уравнение Дирака во внешнем поле сфалерона A3.57).
1) Используя симметрии сфалеронного внешнего поля, найти аналог сохраняющегося
углового момента фермиона.
2) Ограничиваясь фермионами с минимальным угловым моментом, показать, что
в поле сфалерона имеются нулевые моды дираковского гамильтониана (собственные
функции с нулевой энергией). Найти количество нулевых мод каждой киральности.
3) Дать интерпретацию нулевых фермионных мод в терминах пересечения уровней.
> Задача б. То же, что в предыдущей задаче, но в модели с фермионным действием A7.41)
при h\ = h2 (Рингвальд, 1988).
> Задача 7. Аномальное несохранение фермионных чисел в присутствии монополя.
Рассмотрим модель раздела 16.2.
1) Выберем следующий класс евклидовых конфигураций бозонных полей
А0=0,
А{ = пА?тп'1 + пд{п~\ (А3.2)
ч> = <ртт,
где А?оп, <ртоп — классическое статическое монопольное решение A6.3), A6.4),
П(х, t) — сферически симметричная функция со значениями в SU{2),
u = exp[iTanaf(r,t)].
Найти выражение для топологического числа Q (см. A7.20)) и евклидова действия
(SA,f ~ Smon) для конфигураций вида (А3.2). Здесь Smon = SmonT, Я0" — энергия
классического монопольного решения, Т — нормировочное время. Выражения (A3.2)
описывают некоторый класс возмущений на фоне монополя; в монопольном секторе
евклидово действие отсчитывается от действия невозмущенного монополя Smoa.
Показать, что при Q Ф 0 действие (S — 5mon) может быть сколь угодно мало.
Таким образом, в монопольном секторе четырехмерной теории мы имеем ситуацию,
аналогичную модели Швингера (см. задачу 4): экспоненциальное подавление, харак-
характерное для процессов инстантонного типа в вакуумном секторе четырехмерных теорий,
отсутствует.
2) Ограничиваясь s-волновыми фермионами, найти евклидовы нулевые фермионные
моды в полях вида (А3.2) в пределе, когда размер ядра монополя мал по сравнению
со всеми параметрами задачи, включая размер, характерный для функции П.
306 Дополнительные задачи к части III
Результаты этой задачи указывают на то, что аномальное несохранение фермионных
квантовых чисел происходит без экспоненциального подавления в монопольном секторе.
Последовательное описание этого явления возможно только в рамках квантовой теории
> Задача 8. Несохранение фермионного числа в холодной фермионной среде в двумер-
двумерной модели (Рубаков, 1986).
Рассмотрим абелеву модель Хиггса в двумерном пространстве-времени Минковского.
Включим в нее безмассовые фермионы с действием
(см. задачу 15.4). Рассмотрим вначале состояние системы, в котором поля Ар и tp
принимают вакуумные значения Ар = О, ip = v и имеется конечная плотность
фермионов tif (при этом плотности числа левых и правых фермионов равны, так
что полный заряд системы равен нулю). Будем теперь адиабатически изменять
векторное поле -Ai(x') (используем калибровку Aq = 0). Пренебрегая поляризацией
дираковского вакуума (не зависящей от пр), найти изменение энергии фермионной
среды, т. е. вклад фермионов в статическую энергию как функционал от А\(х1). Ис-
Используя выражение для энергии сфалерона в абелевой модели Хиггса (дополнительная
задача 4 к части Л), оценить критическое значение пр, при котором несохране-
несохранение фермионного числа происходит без туннелирования, т. е. без экспоненциального
подавления.
Дополнение
Классические решения
и функциональный интеграл
Одним из наиболее адекватных подходов, позволяющих дать последовательную
интерпретацию классических решений в квантовой теории поля, является формализм
функционального интегрирования. В рамках этого формализма роль классических
решений уравнений поля состоит в том, что они представляют собой нетривиальные
седловые точки функционального интеграла. Интегрирование вблизи седловых точек
приводит к квазиклассическому разложению функционального интеграла, законно-
законному, как правило, в теориях со слабой связью. Одним примером использования этого
подхода служит квазиклассическое квантование солитонов, которое, впрочем, может
быть выполнено и операторными методами. В этом Дополнении мы остановимся
на другом круге задач, для решения которых метод функционального интегри-
интегрирования незаменим, — вычислении инстантонных эффектов в квантовой теории
поля. Использование функционального интеграла в этих случаях позволяет не толь-
только найти главную квазиклассическую экспоненту туннелирования (последняя была
основным интересующим нас объектом в главах 11-13), но и вычислить, хотя бы
в принципе (а иногда и явно), предэкспоненциальный фактор и следующие поправ-
поправки квазиклассического разложения. Кроме того, в рамках метода функционального
интегрирования удается выяснить ряд нетривиальных свойств инстантонных вкладов
в функции Грина квантовых полей.
В этом Дополнении мы не будем стремиться к сколько-нибудь систематиче-
систематическому изложению. Наша цель — дать первоначальное представление о квазиклас-
квазиклассических методах в квантовой теории поля, основывающихся на использовании
классических решений.
Д.1. Распад ложного вакуума
в формализме функционального интеграла
В этом разделе мы рассмотрим один из наиболее простых примеров использо-
использования функционального интеграла в задачах о туннелировании в квантовой теории
поля — распад ложного вакуума (Каллан, Коулмен, 1977), обсуждавшийся в главе 12.
Мы по-прежнему будем рассматривать модель одного скалярного поля со скаляр-
скалярным потенциалом, изображенным на рис. 12.1, в d-мерном пространстве-времени.
Основным объектом для нас будет энергия ложного вакуума с
Поскольку ложный вакуум нестабилен, следует ожидать, что его энергия Е(ф-)
содержит мнимую часть, связанную с шириной его распада,
308 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Мы не включаем в рассмотрение гравитационные взаимодействия, поэтому значение
действительной части энергии, R.eE(<j>J), будет для нас несущественно; наша цель —
квазиклассическое вычисление ширины Г@_). Мы уже знаем из главы 12, что
в теории со слабой связью ширина Г@_) экспоненциально мала.
Запишем выражение для энергии ложного вакуума в виде евклидова функцио-
функционального интеграла
J
где
= f
— евклидово действие модели (суммирование по индексу /* здесь и далее произ-
производится с евклидовой метрикой д^ = diag(+l,+l,+l,---))> Т — нормировочное
время. Поскольку мы интересуемся состоянием с (ф) — ф-, поля, по которым
производится интегрирование в (Д.1), имеют асимптотику
ф(\х\ - оо) = ф_. (Д.2)
Квазиклассическое вычисление интеграла (Д.1) состоит в том, чтобы найти его
седловые точки и учесть их вклад в интеграл.
Седловые точки интеграла (Д.1) — это экстремумы евклидова действия в[ф].
Они удовлетворяют классическим евклидовым уравнениям поля
dV
дф
и граничному условию (Д.2).
Результаты главы 12 указывают на то, что ширина Г@_) определяется вкладом
нетривиальной седловой точки — евклидова пузыря (отскока) ^(х*1). Прежде чем
рассматривать вклад этого седла, рассмотрим вклад тривиального решения
Ф(х) = ф-, (Д.З)
однородного во всем евклидовом пространстве-времени. Действие для тривиаль-
тривиального решения равно нулю, поэтому в соответствии со стандартными правилами
седлового интегрирования вклад этой точки определяется гауссовым интегралом
по возмущениям вблизи нее. Записывая
ф(х) =ф-+ 7?(х),
получим квадратичное действие для ф i\ ктуаций
2 + -У"(ф-)г12} ddx. (Д.4)
Вклад седловой точки (Д.З) в интеграл (Д.1) равен
Iq — / "Drjc 2 (Д*5)
с точностью до поправок, малых в теории со слабой связью.
Формальное вычисление гауссова интеграла (Д.5) состоит в следующем. Будем
считать, что евклидово пространство-время представляет собой ящик большого,
= J [-(
ДА. Распад ложного вакуума в формализме функционального интеграла 309
но конечного объема (на границах которого наложены, например, условия перио-
периодичности). Учитывая, что квадратичное действие (Д.4) можно представить в виде
5
введем ортонормированные собственные функции соответствующего оператора,
[-д1 + Г'(ф-)]т,х = \г,х. (Д.6)
Заметим, что V"@_) > 0, поэтому собственные значения Л положительны. Разло-
Разложим переменную интегрирования tj(x) по этим собственным функциям,
7/(x)=^aA4A(x). (Д.7)
л
В терминах новых переменных интегрирования ад будем иметь для действия
о(о) _ V^ 1 \„2
так что вместо (Д.5) получим
(фактор Пл \.~3%\ ввеДен Для удобства и отвечает определенному выбору нормировки
интеграла (Д.1), т.е. аддитивной постоянной в энергии). Выражение (Д.8) — это
произведение гауссовых интегралов, и оно равно
Величину ПЛА можно воспринимать как детерминант оператора (—д2 + V"(<j>-)),
поскольку она представляет собой произведение его собственных значений. Таким
образом,
lo=[Det(-cJ + V"W-))]~1/2, (Д. 10)
а вклад седловой точки ф = ф- в энергию ложного вакуума равен, с точностью
до высших поправок теории возмущений,
Это. выражение действительно, и, как отмечалось выше, его значение для нас
несущественно.
В случае однородного внешнего поля функциональный детерминант типа (Д. 10) вычисляется
без особого труда (Коулмен, Вайнберг, 1973). В пространственно-временном яшике размера
L = Т собственные функции оператора (-д2 + V"(#_)) при однородном ф представляют
собой плоские волны exp(ifcni) с fcJt = *(по,П1,п2,щ), где пм — целые (мы рассматриваем
для определенности случай d = 4). Собственные значения при этом равны (fcj + V"),
поэтому первая квантовая поправка в плотность энергии однородного поля ф (эффективный
потенциал) равна
310 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
В пределе больших L = Т имеем
Интеграл в правой части расходится, поэтому мы ввели параметр ультрафиолетового обре-
обрезания Л. В результате для энергии поля (с учетом классической энергии У{ф)} в гауссовом
(однопетлевом) приближении имеем с точностью до расходящейся постоянной, не зависящей
от ф,
У{ф) + АУ{ф) = У{ф) + ^-2У"(Ф) ~
ГШЛЧ JL [у»{ф)]2
И*)ГШЛЧ
Если V (ф) — полином не выше четвертой степени (перенормируемая теория), то расходящиеся
члены в (Д. 11) также являются полиномом не выше четвертой степени. Эти расходимости
устраняются перенормировкой параметров исходного потенциала \г(ф), т.е. стандартной
перенормировкой массы и констант связи. Таким образом, перенормированная поправка
к плотности энергии однородного поля равна
где ft — параметр нормировки, а Р*(ф) — полином четвертой степени, вид которого зависит
от условий нормировки массы и констант связи теории.
Другой седловой точкой интеграла (Д.1) является решение евклидова пузыря.
Обозначив его вклад в интеграл через it,, а связанный с ним вклад в энергию
через Еъ, запишем
При этом 1ъ и Еъ подавлены туннельной экспонентой; многоточие в (Д. 12) обо-
обозначает поправки, подавленные высшими степенями туннельной экспоненты (они
возникают благодаря вкладам многих евклидовых пузырей). В первом порядке
по туннельной экспоненте имеем
= 1Ь
или
Для вычисления вклада евклидова пузыря в интеграл (Д.1) снова поступаем стан-
стандартным для седловых вычислений образом. Запишем вблизи этого решения
0(х) = фъ(х) + !?(х)
и сохраним в действии члены не выше второго порядка по т),
5B) = 5Ь + I d*x l-r, [-dl + Vя(фь)] V,
где 5ь — евклидово действие евклидова пузыря. Следовательно, с точностью до выс-
высших поправок теории возмущений
= е-* f
(Д. 14)
Д.1. Распад ложного вакуума в формализме функционального интеграла 311
Вклад евклидова пузыря действительно подавлен величиной e~Sb, что согласуется
с результатами раздела 12.2. Предэкспоненциальный множитель дается гауссовым
интегралом по возмущениям г).
Для вычисления гауссового интеграла в (Д.14) нам необходимо рассмотреть
задачу на собственные значения
аналогичную задаче (Ц.6). Если бы собственные значения А были положительны,
мы пришли бы к формуле, аналогичной (Д.9) или (Д. 10). Однако в случае евклидова
пузыря имеются нулевые, а также отрицательные собственные значения А, поэтому
требуется дополнительный анализ.
Начнем с обсуждения нулевых собственных значений. Появление нулевых мод
уравнения (Д.15) связано с тем, что центр евклидова пузыря может находиться
в любой точке евклидова пространства-времени, т.е. мы в действительности имеем
целое семейство решений евклидовых уравнений поля, фъ(х—хо), параметризуемые d
параметрами х% (мы изучаем вклад сферически-симметричного евклидова пузыря,
рассмотренного в главе 12). В полной аналогии с разделом 7.1 это приводит
к наличию d нулевых мод вокруг евклидова пузыря (с центром в «J = 0),
Нормировочный множитель здесь выбран так, что
в чем можно убедиться, используя теорему вириала, получаемую на основе сообра-
соображений раздела 7.2.
Если бы мы поступали с нулевыми модами так же, как с ненулевыми, то
соответствующий интеграл по П^ <*ао в выражении типа (Д.8) разошелся бы. Для
интерпретации этой расходимости удобно перейти от интегрирования по daft к инте-
интегрированиям по «коллективным координатам» — положению евклидова пузыря х%.
С этой целью воспользуемся процедурой типа Фадцеева—Попова и вставим в ис-
исходный функциональный интеграл (Д. 1) единицу
= Д|>(х + х0)] J Y[
х0) - ф-
где
Д [ф(х + х0)] = Det [ J d*x д,1фъ{х)диф{х + х0)]. (Д. 16)
После перестановки порядка интегрирования по Т>ф и Y\v ^х"й и замены переменной
ф(х + хо) —* ф(х) получим
SW- (Д-17)
Поскольку подынтегральное выражение теперь не зависит от хо, интеграл по ddxo
дает объем пространства-времени VT, где V — объем (d- 1)-мерного пространства.
Далее, благодаря 6-функции в интеграле по Т>ф, вклад в него дает только окрестность
евклидова пузыря с центром в начале координат. В этой окрестности запишем
ф(х) = <^ь(х)
312
Дополнение. Клоссические решения и функциональный интегрол
Тогда б -функция в (Д. 17) будет равна
Поэтому интегрирование по dao приводит, с учетом множителя в мере (Д. 8),
к появлению фактора (^^т) . Наконец, для поля вида (Д.18) выражение (Д.16)
равно
В итоге для вклада евклидова пузыря в энергию имеем
где штрих обозначает отсутствие интегрирования по нулевым модам.
Помимо нулевых собственных значений, интересующий нас оператор [-с
У"($ь)] имеет и (одно) отрицательное собственное значение. Действительно, этот
оператор сферически симметричен (напомним, что фъ зависит только от г = -ух^х^),
а нулевые моды имеют нетривиальную зависимость от углов, т. е. ненулевой угло-
угловой момент. Ясно, что низшее s-волновое состояние имеет меньшее собственное
значение, т.е. для него А < 0. Наивно существование отрицательного собственного
значения А указывает на расходимость интеграла по соответствующему коэффици-
коэффициенту а_,
= 00 при А_<0.
В действительности оно свидетельствует о необходимости рассматривать интеграл
(Д. 1) в смысле аналитического продолжения некоторой хорошо определенной ве-
величины. Соответствующие соображения приведены Каштаном и Коулменом A977);
результат сводится к тому, что а_ нужно считать чисто мнимой величиной, а так-
также к появлению фактора \ в окончательном ответе. Таким образом, приходим
к выражению
1-1/2
Здесь Det' обозначает детерминант (произведение собственных значений) оператора,
в котором опущены нулевые собственные значения.
С учетом (Д. 13) вклад евклидова пузыря в энергию ложного вакуума имеет вид
. i/1
-1/2
Прежде всего, этот вклад — чисто мнимый, т.е. евклидов пузырь действительно
описывает распад ложного вакуума с шириной
-1/2
.-S.
(Д19)
Далее, эта ширина пропорциональна объему (d- 1) -мерного пространства. В пределе
V —► сю конечной является величина у — вероятность распада в единицу времени
Д. 2. Инстонтонные вклоды в функции Грино фермионов 313
в единице объема. Именно эта величина и должна быть конечной, поскольку пузырек
истинного вакуума может спонтанно образоваться в любом месте (d - 1)-мерного
пространства.
Итак, метод функционального интегрирования позволяет найти не только глав-
главную квазиклассическую экспоненту, но и предэкспоненциальный множитель для
вероятности распада ложного вакуума в единице пространственного объема в еди-
единицу времени. Аналитическое вьиисление фигурирующих в (Д. 19) функциональных
детерминантов возможно только в самых простых моделях; при необходимости его
можно выполнить численно. В действительности эти детерминанты представляют
собой ультрафиолетово расходящиеся величины (сравни с (Д.11)), однако эти рас-
расходимости устраняются обычной перенормировкой параметров лагранжиана (масс,
констант связи, волновых функций).
В заключение этого раздела отметим, что метод учета нулевых мод, изложенный
в этом разделе, имеет весьма общий характер и с соответствующими модификациями
применяется при квазиклассическом квантовании солитонов, вычислении инстан-
тонных вкладов в функциональный интеграл в теориях с калибровочными поля-
полями, нахождении вероятности сфалеронных переходов при конечных температурах
и в других ситуациях.
Д.2. Инстантонные вклады
в функции Грина фермионов
В главе 17 мы убедились, что инстантонные переходы приводят к аномальному
несохранению фермионных квантовых чисел в ряде четырехмерных калибровоч-
калибровочных теорий. В этом разделе мы обсудим, как этот результат может быть получен
в формализме функционального интегрирования и наметим путь вычисления соот-
соответствующих фермионных функций Грина. Кроме того, мы рассмотрим появление
эффективного ^-параметра в теориях с массивными фермионами. Подход к этим во-
вопросам, основанный на функциональном интеграле, является исторически первым
('т Хоофт, 1976а, Ь) и наиболее адекватным для количественного анализа.
Рассмотрим для определенности четырехмерную модель с калибровочной груп-
группой SUB) и одним дираковским SUB) -дублетом фермионов. Евклидово действие
модели имеет вид
где Sa — действие калибровочных полей,
SA = [*х\к,К, + g.f. (Д.20)
(мы пока не включаем в него б-члена), а
d*x (ilrj^Duil) + пн/н/}) (Д.'.
= fd
— фермионная часть действия (мы всюду опускаем индекс Е для евклидовых объек-
объектов). В (Д.20) слагаемое, обозначенное «g.f.», включает в себя член, фиксирующий
калибровку, и действие духов Фаддеева—Попова. В (Д.21) используются евклидовы
314 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
7-матрицы (сравни с разделом 17.2)
7 =
где
G" = A, -йг) ,
И=A, пг).
Нас будут интересовать евклидовы функции Грина типа
Gkm{x\, ■. ■,xt;yu..., ут) =
Они даются функциональным интегралом
Gkm = JvAVfVf e-^(x,)... f(ym), (Ц.22)
где подразумевается также интегрирование по полям духов; имеется в виду, что
■ф и 1/) — грассмановы переменные интегрирования. В частности, при к = т = О
интеграл (Д.22) определяет энергию вакуума системы,
= f
(Д.23)
а при к — т = 1 он представляет из себя точную двухточечную функцию Грина
Сц(х,у) = («(хШ)- (Д-24)
В дальнейшем мы для определенности остановимся на этих двух случаях.
Действие 5д имеет нетривиальную седловую точку (локальный минимум) —
это инстантонное решение евклидовых уравнений поля. Вклад ее окрестности
в интеграл (Д.22) и будет нас интересовать.
Рассмотрим сначала случай безмассовых фермионов,
т = 0.
В этом случае в теории возмущений сохраняется киральность, т. е. отличны от нуля
только вакуумные средние операторов, инвариантных относительно (глобальных)
преобразований,
^e^V, ^^<< (Д.25)
Например, вакуумное среднее оператора -^ (свертка по лоренцевым и изотопичес-
изотопическим индексам подразумевается) равно нулю в теории возмущений.
Как следует из результатов главы 17, киральность перестает сохраняться при
учете инстантонных переходов. Чтобы выяснить, как это явление возникает в фор-
формализме функционального интегрирования, рассмотрим инстантонный вклад в ин-
интеграл (Д.22). Вблизи инстантонного решения запишем
так что в гауссовом приближении будем иметь
Gkm = e-s'~ [Jva^M] СЙ(х,,..., ym), (Ц.26)
Д. 2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 315
где SA — квадратичная по возмущениям а^ часть бозонного действия (включающая
в себя член, фиксирующий калибровку и действие духов; интегрирование по ду-
духовым полям по-прежнему подразумевается без явной записи), a G'j^ — интеграл
по фермионам во внешнем поле инстантона,
СД.27)
j
причем
Интегрирование по бозонным флуктуациям а.р в (Д.26) выполняется методами,
в принципе аналогичными рассмотренным в предыдущем разделе, хотя имеет до-
дополнительные усложнения, связанные с большим количеством нулевых бозонных
мод, калибровочной инвариантностью и т. д. Этот гауссов интеграл был явно вычи-
вычислен 'т Хоофтом A976b). Нас здесь будет интересовать в первую очередь фермионный
интеграл (Д.27) в поле инстантона.
Полезно обсудить вычисления интеграла типа (Д.27) в произвольном внешнем
поле Ар и рассмотреть для определенности случаи к = т = 0и k = m=l, т.е.
матричные элементы единичного оператора и оператора il>(x)ip(y):
СД.28)
(Д.29)
Для вычисления этих гауссовых интегралов по грассмановым переменным диагона-
лизуем квадратичную форму, стоящую в экспоненте (аналогично бозонному случаю,
рассмотренному в предыдущем разделе). Поскольку оператор j^Dp антиэрмитов, его
собственные значения — чисто мнимые и собственные функции ■фх удовлетворяют
уравнению
Предположим сначала, что нулевые евклидовы фермионные моды отсутствуют,
как это имеет место для топологически тривиальных (и достаточно слабых) внеш-
внешних полей. Иначе говоря, пусть все собственные значения А отличны от нуля.
Из коммутационных соотношений для 7-матриц следует, что наряду с собствен-
собственным значением А имеется и собственное значение (-А), причем соответствующая
собственная функция равна
Разложим теперь переменные интегрирования ^"(х) и ^"(х) по набору ^л-
#г) = У>л1М*), (Д-30)
316 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
где 6л, 6л — грассмановы переменные интегрирования. Тогда интегралы (Д.28)
и (Д.29) примут вид
dbxdbxe » 2^bx>il>xix)bx»f[n(y). (Д-33)
л ^ л',л»
Эти интегралы вычисляются с учетом правил грассманового интегрирования
db = О, (Д.34)
6<i& = 1 (Д.35)
j
и равны
{1)л = JJ(iA) = Det(TJD),
л
Величина
bo(x,y)=2_j ^
л 1Л
представляет собой функцию Грина оператора j^Dp. С учетом (Д.ЗО) ее можно
записать также в виде
Go (
Л>0
Из этого представления сразу следует ее киральная инвариантность (которая, впро-
впрочем, очевидна и из антикоммутации y^D^ и 75).
jor? GAjcrf =
Поэтому матричный элемент (Д.29) в топологически тривиальном внешнем поле Ар
также обладает свойством киральной инвариантности
Этот результат прямо обобшается на высшие фермионные функции Грина в любых
топологически тривиальных внешних полях, в том числе на случай сильных внешних
полей, в которых могут иметься нулевые фермионные моды. Мы вновь приходим
к выводу о сохранении киральности в обычной теории возмущений.
Ситуация в корне изменяется в случае внешнего поля инстантона (и вообще,
внешних полей с ненулевым топологическим числом A7.20)). В этом случае оператор
Д. 2. Инстантонные вклады в функции Грина фермионов 317
имеет одну левую нулевую моду, т. е. единственную собственную функцию
с А = 0, имеющую структуру
(Д.36)
-(?)•
Для инстантонного внешнего поля явный вид Хо(х) Дается формулой A7.25). Эта
нулевая мода и ее сопряженная участвуют в разложениях (Д.ЗО), (Д-31). Первым
следствием существования нулевой моды является равенство нулю интеграла (Д. 32).
Действительно, имеем для него
{1)ш = fdbodbo
и интегралы по <й>о и dbo равны нулю в силу свойства (Д.34) грассманова интеграла.
Таким образом, в теории с безмассовыми фермионами инстантоны (и вообще кон-
конфигурации калибровочных полей с ненулевыми топологическими числами) не дают
вклада в энергию вакуума (Д. 23).
В отличие от интеграла (Д.28), интеграл (Д.29) отличен от нуля в поле инстан-
тона. При этом в сумме в (Д.ЗЗ) существен только член с А' = А" = 0, и с учетом
(Д.35) имеем
_ -<£л5д»д
A,to
(Д-37)
где штрих обозначает отбрасывание нулевой моды. В силу (Д.36) этот матричный
элемент нарушает киральность: при преобразовании (Д.25) имеем
. (Д.38)
Из результатов главы 17 следует, что приведенное рассуждение справедливо для
любых внешних калибровочных полей с единичным топологическим числом. Более
того, это рассуждение обобщается на произвольные функции Грина и произвольные
значения топологического числа Q: в общем случае сектор с топологическим числом Q
дает вклад в вакуумные средние операторов киральности 2Q, и только таких операто-
операторов. В этом и состоит механизм аномального несохранения фермионных квантовых
чисел с точки зрения функционального интеграла, а намеченное в этом разделе ин-
стантонное вычисление дает эффективный способ нахождения аномальных функций
Грина в теориях со слабой связью.
Намеченный здесь анализ можно обобщить на другие калибровочные группы
и/или фермионы в других представлениях. В частности, количество и структура
нулевых фермионных мод в поле инстантонов в КХД и электрослабой теории
таковы, что выполняются правила отбора раздела 17.3.
Обсудим теперь зависимость физических величин от параметра в, введенного
в разделе 13.3. Прежде всего убедимся, что такая зависимость отсутствует в теориях
с безмассовыми фермионами. Как отмечалось в разделе 13.3, параметр в можно
ввести с помощью дополнительного слагаемого в действие калибровочных полей;
в евклидовой теории оно имеет вид
318 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Его роль состоит в том, что вклады секторов с топологическим зарядом Q в функ-
функциональный интеграл пропорциональны exp(iQ9). Например, инстантонный вклад
в двухточечную функцию Грина (Д.23) равен
г (Д.39)
В силу свойства (Д.25) параметр 0 можно изгнать из (Д.39), переопределив поля
по формуле (Д.36) с а = -|. Это киральное вращение убирает в из всех функций
Грина, что в общем случае следует из сделанного выше утверждения о правилах от-
отбора. Таким образом, параметр в не является физическим в теориях с безмассовыми
фермионами (а также в теориях типа стандартной электрослабой модели).
Рассмотрим теперь модель (Д-20), (Д.21) с массивными фермионами и^О.
В этом случае киральность не сохраняется уже в теории возмущений и инстантонные
вклады в функцию Грина не характеризуются никакими специальными правилами
отбора. Можно несколько обобщить фермионный массовый член в действии, записав
вместо последнего слагаемого в (Д.21) выражение
.-/<
(Д.40)
Такое слагаемое в действии обладает необходимыми свойствами эрмитовости (в про-
пространстве-времени Минковского), лоренц- и калибровочной инвариантности. В те-
теории возмущений параметр /3 несуществен, поскольку от него можно избавиться
киральным преобразованием полей (Д.25) с а = — ^. Иначе обстоит дело при учете
инстантонных вкладов.
Рассмотрим в качестве примера одноинстантонный вклад в энергию вакуу-
вакуума (Д.23), причем будем для простоты считать массу фермиона малой. При малых m
массовый член (Д.40) можно учитывать по теории возмущений. В нулевом порядке
по т инстантон вклад в энергию вакуума не дает, а в первом порядке по m имеем,
при в Ф О,
С учетом (Д. 37) имеем
и из (Д. 36) следует, что
<1Г' = те;<в+">(^Уп5',
где фактор {il>ipynst не зависит ни от в, ни от /3. Таким образом, вклад инстантона
в энергию вакуума зависит от в и /3, но только в комбинации
Этот результат справедлив для всех функций Грина; предположение о малости массы
фермиона также несущественно. В общем случае в теориях с массивными фермио-
фермионами имеется единственный параметр веа (комбинация параметра в и фаз массовой
матрицы фермионов), который несуществен в теории возмущений, но проявляется
в физических величинах при учете инстантонных вкладов.
Появление эффективного б-параметра особенно важно в квантовой хромо-
динамике, поскольку оно приводит к заметному нарушению СР-инвариантности
в сильных взаимодействиях при не слишком малых 0efr ■ Возможное объяснение экс-
экспериментального факта об отсутствии такого СР-нарушения (Печчеи, Квинн, 1977)
Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса. Интегрирование вдоль долин 319
состоит в том, что кварки приобретают массу благодаря взаимодействиям юкавского
типа с новыми скалярными полями. При этом параметр /9 является в действи-
действительности вакуумным средним некоторого скалярного поля (аксиона). Скалярный
лагранжиан выбирается так, что в отсутствие инстантонных эффектов КХД в те-
теории имеется глобальная [/A)-симметрия и вакуумное значение /3 произвольно;
аксион в этом приближении является безмассовым голдстоуновским бозоном. Ин-
стантонные эффекты КХД нарушают эту GA) -симметрию явно, и аксионное поле
принимает такое вакуумное значение, которое соответствует 0efr = 0 (аксион при
этом приобретает малую массу). Эта гипотеза, хотя она до сих пор экспериментально
не подтверждена, представляет большой интерес как с точки зрения физики частиц,
так и с точки зрения космологии.
Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса.
Интегрирование вдоль долин
Мы уже отмечали в разделе 13.4, что масштабный аргумент раздела 7.2 запре-
запрещает существование инстантонных решений в четырехмерных теориях с механизмом
Хиггса. Тем не менее, евклидовы конфигурации с ненулевым топологическим чи-
числом Q и конечным действием существуют, и можно поставить вопрос о вкладе
секторов с Q Ф О в функциональный интеграл. Здесь мы приведем простые соображе-
соображения ('т Хоофт, 1976b), быстро ведущие к правильному ответу в наиболее интересном
случае конфигураций малого размера с \Q\ = 1; систематический подход к этому
вопросу предложен Аффлеком A981).
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой 5GB) и ду-
дублетом хиггсовских полей. Она обсуждалась в разделах 6.2 и 13.4; мы будем пользо-
пользоваться введенными там обозначениями. Евклидово действие модели имеет вид
S = j <?x [-^Tri£, + (D^D^ + х(ф^ф - \$f\ ■ СД.41)
В секторе с Q = 1 гладкие конфигурации полей имеют следующие асимптотики
Ац —wdpW1, ф—иф™, г = у/ХцХр —► оо, (Д.42)
где
па = ^ — единичный радиус-вектор в четырехмерном евклидовом пространстве-
времени.
В чистой теории Янга—Миллса (без хиггсовских полей) действие масштабно
инвариантно и его минимумы в секторе с Q = 1 — инстантоны — характеризуются
параметром р (размером инстантона), который может принимать произвольные
значения. Действие не зависит от р, поэтому р выступает в качестве коллективной
координаты, аналогичной положению инстантона Xq, обсуждавшемуся в разделе
Д.1. Для вычисления вкладов всех инстантонов в функциональный интеграл чистой
теории Янга—Миллса необходимо проинтегрировать по р с использованием тех-
техники, намеченной в разделе Д.1. Образно говоря, в пространстве всех евклидовых
конфигураций полей чистой теории Янга—Миллса минимумы действия образуют
долину с плоским дном, параметром вдоль которой служит р, как это схематически
320
Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
изображено на рис. Д.1. Интегрирование вдоль долины должно выполняться точно,
а вдоль перпендикулярных направлений — в гауссовом приближении''.
Рис. Д.1.
При включении хиггсовских полей евклидово действие начинает зависеть
от масштаба конфигурации. Как мы сейчас увидим, при малых р вклад хигг-
хиггсовских полей в евклидово действие мал по сравнению с вкладом калибровочного
поля. Иными словами, долина, изображенная на рис. Д.1, перестает быть плоской,
но остается пологой при небольших р. Эта ситуация изображена на рис. Д.2. Ясно,
с одной стороны, что минимум действия отсутствует (он соответствует сингулярному
пределу р —► 0); с другой стороны, интегрирование по р по-прежнему нужно произ-
производить вне гауссова приближения. При небольших р действие вдоль долины можно
найти из следующих соображений. Рассмотрим семейство конфигураций вида
А„(х) = -Б
ф(х) =
©■
где В,, и / не зависят от д и фо и зависят от р только посредством комбинации -р.
Для таких конфигураций три вклада в действие (Д-41) оцениваются следующим
Разумеется, имеются и другие плоские направления, связанные с произволом в положении инстан-
тона, а также его ориентации в пространстве-времени и изотопическом пространстве. Эти направления
не изображены на рис. Д.1.
Д.З. Инстантоны в теориях с механизмом Хиггса. Интегрирование вдоль долин 321
образом:
Рис.Д.2.
Spot
= J
ос ApV04.
При малых р вклад Skjn подавлен по сравнению с Sa фактором,
а вклад Spot еще меньше — он подавлен даже по сравнению с Skjn фактором,
ХфоР ~ тхр .
Мы будем рассматривать случай тх < ту и интересоваться конфигурациями
с масштабом р «С mvx. Для них
Поэтому для вычисления действия на дне долины нужно прежде всего минимизи-
минимизировать Sa при фиксированном р. Этот минимум — не что иное как инстантон
(Д-43)
322 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
Первое слагаемое в действии при этом не зависит от р и равно S^ = Щ-, а конфи-
конфигурация поля ф пока не фиксирована. Для вычисления полного действия в первом
нетривиальном порядке по р необходимо найти поле ф, минимизирующее вклад
Sun при заданном калибровочном поле (Д.43). Это приводит к уравнению
DJTDJTV = О,
где D^ = dp + A'j!*. Решением этого уравнения с граничным условием (Д.41) служит
СД-44)
при этом величина 5km Для конфигурации (Д.43), (Д.44) равна жг(р-ф\. Таким
образом, для полного действия вдоль долины имеем
5 = %■ + * W + ^O(m2vm2xp4). (Д.45)
У У
В итоге вклад конфигураций с масштабом р < т.уХ в функциональный интеграл
(в секторе с Q = 1) можно записать следующим образом:
СД.46)
Здесь мы учли интегрирование по положению инстантона, но не выписали интеграл
по коллективным координатам, связанным с ориентациями. Зависимость от р
предэкспоненты — меры ц(р) — возникает из функционального детерминанта
('т Хоофт, 1976b); эта зависимость не слишком существенна2' при малых д2.
Поскольку инстантоны с р > т.уХ подавлены фактором ехр(-т-р2тпу) по срав-
сравнению с инстантонами малого размера, изложенный подход позволяет найти ин-
стантонный вклад в функциональный интеграл в области значений р, наиболее
интересной для большинства приложений. В то же время, он не позволяет систе-
систематически находить поправки по р и не годится для учета вкладов инстантонов
с р > Шу1. Кроме того, он не вполне удовлетворителен еще и со следующей точки
зрения. Поля А,, и ф массивны в данной модели, поэтому следовало бы ожидать
их экспоненциального стремления к асимптотикам (Д.42). Конфигурации (Д.43),
(Д.44) этим свойством не обладают.
Указанные недостатки устраняются в формализме локализованных инстантонов
(constrained instantons, Аффлек, 1981). Идея этого формализма созвучна идее учета
нулевых мод (см. раздел Д.1) и состоит в том, чтобы ввести в функциональный
интеграл связь, параметризуемую масштабом р (й-функцию с соответствующим
детерминантом типа Фаддеева—Попова), таким образом, чтобы полное действие
имело настоящий минимум при учете этой связи. Интегрирование по р производится
в самом конце вычислений. В рамках этого формализма минимум действия со связью
достигается на конфигурациях полей, которые совпадают с (Д.43), (Д.44) при
г < mvx (то есть в наиболее интересной области), но экспоненциально стремятся
к асимптотикам (Д.42) при г-» оо. Разумеется, результат (Д.46) получается (при
р < mvX) и в формализме локализованных инстантонов.
'В действительности речь идет о значении бегущей константы связи на масштабе /), т.е. д (р~ ).
Именно эта величина фигурирует в экспоненте в (Д.46).
Д.4. Растущие инстантонныв сечения 323
Д.4. Растущие инстантонные сечения
В разделе 13.4-мы убедились, что высота энергетического барьера между
топологически различными вакуумами в четырехмерных неабелевых калибровочных
теориях с механизмом Хиггса конечна и пропорциональна Е^ ос ^-, где ту —
масса векторного бозона и av = ^. В стандартной электрослабой теории Espt, ~
10 ТэВ. Конечность высоты барьера приводит к большой скорости переходов между
калибровочными вакуумами при конечной температуре (см. раздел 17.4).
Естественно задать вопрос, не могут ли процессы перехода между топологиче-
топологически различными вакуумами быть индуцированы столкновениями частиц с энергией
(в системе центра масс) порядка Е^, т. е. не пропадает ли при этом экспоненци-
экспоненциальное подавление вероятностей таких процессов. В случае электрослабой теории
это означало бы интенсивное несохранение барионного и лептонного чисел при
энергиях, в принципе доступных будущим ускорителям.
К настоящему времени аккуратный анализ этой проблемы проведен лишь
для случая относительно низких энергий (Е < Дрь). Было показано (Рингвальд,
1990; Эспиноза, 1990), что инстантонные сечения действительно быстро растут
с энергией. В этом разделе мы кратко обсудим причину этого интересного явления.
В то же время, вопрос о поведении сечений при энергиях в системе центра масс
Е ^ -ФфИ остается открытым, хотя имеется ряд аргументов, свидетельствующих
об экспоненциальном подавлении этих сечений при всех энергиях (Бэнкс, Фаррар,
Дайн, Карабали, Сакита, 1990; Захаров, 1991; Маджоре, Шифман, 1992; Ребби,
Синглтон, 1996; Кузнецов, Тиняков, 1997).
Рассмотрим для определенности модель с калибровочной группой 5GB)
и дублетом хиггсовских полей, обсуждавшуюся в предыдущем разделе, но без
фермионов3). В качестве примера будем изучать процесс, в котором два векторных
бозона с энергией Е в системе центра масс превращаются в п векторных бозонов
и при этом система переходит из одного калибровочного вакуума в соседний. Топо-
Топологическое число Q полевых конфигураций, ответственных за этот процесс, должно
быть равно единице. Мы будем рассматривать случай, когда энергии как начальных,
так и конечных векторных бозонов велики по сравнению с их массой, т. е.
Е
- > mv. (Д.47)
п
В этом случае массой векторных бозонов в выражении для конфигурации локали-
локализованного инстантона можно пренебречь, т. е. можно пользоваться формулой (Д.43)
для поля инстантона. Для вычисления амплитуды процесса начнем с B+п)-точечной
евклидовой функции Грина
Gn+2(zbz2,yb.. • ,Уп) = JVAV<t>e-swA(xx)A(x2)A(yx)... А(уп), (Д.48)
где пространственные и групповые индексы опущены. Выполним квазиклассическое
вычисление этого интеграла в секторе с Q = 1, считая А(х^)... А(у„) предэкспо-
ненциальным фактором. Иными словами, учтем только вклад конфигураций дна
долины, обсуждавшейся в предыдущем разделе. В этом приближении интегриро-
интегрирование по Т>АТ>ф заменяется на интегрирование по коллективным координатам дна
3* Напомним, что эту модель можно рассматривать как предельный случай электрослабой теории при
sin виг = 0. Фермионы стандартной модели не играют сколько-нибудь существенной роли в рассматри-
рассматриваемой задаче, и мы рассматриваем чисто бозонную теорию.
324 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
долины (с учетом меры, возникающей из соответствующего детерминанта флуктуа-
флуктуации), в качестве действия фигурирует (Д.45), а поля А(х\)... А(у„) в предэкспоненте
заменяются инстантонными полями4).
В итоге имеем
^ (Д.49)
na(x1 - *„; р)... А'"*(уп - х0; р).
Здесь имеется одна тонкость. Инстантонная конфигурация асимптотически,
при г —* оо, стремится к чисто калибровочному полю (Д.42). В то же время, поля
векторных и хиггсовских бозонов отождествляются с полями AJ и ^ в унитарной
калибровке, где
*
Поэтому удобно сделать над конфигурацией (Д.42) калибровочное преобразование
с калибровочной функцией ш\х) = <ТаПа, т. е. перевести конфигурацию в унитарную
калибровку. В унитарной калибровке
-?
r +I
или, в компонентах,
Эта конфигурация сингулярна при г = 0, но сингулярность является чисто калибро-
калибровочной и не должна нас смущать. Именно конфигурация (Д.50) фигурирует в (Д.49)
в качестве Aiast.
В (Д.49) без явной записи подразумевается интегрирование по ориентациям
инстантона. При дальнейших оценках мы будем игнорировать тот факт, что инстан-
тон может иметь различные ориентации в пространстве-времени и изотопическом
пространстве. Из-за этого нам не удастся найти численные постоянные в выражении
для сечения. В действительности интегрирование по ориентациям инстантона весьма
сложно с технической точки зрения и выполняется методами, далеко выходящими
за пределы нашего краткого очерка.
Отметим сразу, что зависимость от координат в (Д.49) факторизуется с точ-
точностью до интегрирования по положению инстантона s|J, обеспечивающего транс-
трансляционную инвариантность функции Грина. Это означает, что в используемом
приближении соответствующая амплитуда является точечной. Отсюда видно, что
вклад инстантона в сечение будет степенным образом расти с энергией.
Для получения интересующего нас вклада в амплитуду процесса 2-»п пе-
перейдем в импульсное представление, т.е. найдем G(kuk2,p\,... ,р„), сначала для
евклидовых импульсов. Из (Д.49) ясно, что функция Грина в импульсном представле-
представлении выражается через фурье-образ инстантонного поля A (q;p)- Интегрирование
по х% в (Д.49) приводит к й-функции сохранения четырехмерного импульса, и мы
4) В действительности нужно использовать конфигурации локализованных инстантонов, упомянутых
в разделе Д.З. Это не меняет результата (Д.55).
Д.4. Растущие инстантонные сечения 325
получаем
^ ... +р„)х (Д.51)
dp/i(p)e 7
Фурье-образ инстантонного поля в (Д.50) нетрудно вычислить явно. Функция А " (д)
аналитична по д° и имеет полюс при q2 = 0. Такую же аналитическую структуру
по всем своим аргументам имеет функция Грина (Д.51). В действительности, функция
Грина (Д.51) должна иметь полюса на массовой оболочке векторных бозонов, т.е.
при к2 — к\ = р2 = ... = pi = -т2,, однако мы рассматриваем случай (Д.47),
поэтому между точками q2 = 0 и q1 = —m2, можно не делать различия5). Теперь
можно воспользоваться формализмом Лемана—Симанчика—Циммермана, согласно
которому амплитуда процесса 2->п определяется вычетом функции Грина Gn+2
на массовой оболочке по всем импульсам. Из (Д.51) получим инстантонный вклад
в эту амплитуду в виде
j ^V*), (Д.52)
где iZ(q, p) — вычет инстантонной конфигурации A (q, р) в полюсе q2 = 0. Явное
вычисление дает
*(q;p) = V|q|, (Д-53)
где мы по-прежнему опускаем тензорную структуру, зависящую от ориентации
инстантона.
При
п > 1 (Д.54)
интегрирование по р в (Д.52) можно выполнить седловым образом. Учитывая
достаточно слабую зависимость меры /i от р, получим
(Д.55)
где константа с\ не зависит от импульсов и слабо зависит от остальных параметров
задачи, а с2 — численная постоянная. Видно, что амплитуда (Д.55) действительно
является точечной: зависимость от импульсов в ней факторизуется.
В режиме (Д.47), (Д.54) из выражения (Д.55) нетрудно найти поведение ин-
инстантонного сечения
Здесь <Ю.п обозначает элемент п-частичного фазового объема, Е — полная энергия
в системе центра масс. Видно, что инстантонное сечение действительно быстро
(степенным образом) растет с энергией (Рингвальд, 1990; Эспиноза, 1990). Еще более
удивительный результат получается для полного сечения, т. е. суммы сечений (Д. 56)
5) В формализме локализованных инстантонов конфигурация A (q), а вместе с ней функция
Грина (Д.51), имеют полюса при правильных значениях д2 = -т2,. Существенный для нас вычет в полюсе
для локализованного инстантона совпадаете (Д.53) с точностью до поправок, малых в режиме (Д.47).
326 Дополнение. Классические решения и функциональный интеграл
по п. Доминирующий вклад в эту сумму при больших Е дает процесс с числом
конечных частиц, по порядку величины равным
Само сечение растет экспоненциально с энергией6),
« ехр[-^+ const- (^) ]
^) ].
Этим формулам можно придать более прозрачный вид, введя обозначения ау = ^
и Щ = т/бк1^. Отметим, что Eq по порядку величины совпадает с энергией
сфалерона; в электрослабой теории Eq яз 15 ТэВ (константа ау в этом случае — это
константа связи aw, соответствующая группе 517B)). В этих обозначениях полное
сечение имеет вид
(Д.57)
где мы выписали значение численной постоянной, найденное Захаровым A992),
Хлебниковым, Рубаковым и Тиняковым A990) и Поррати A990). Характерное число
конечных частиц и их энергия по порядку величины равны
п ~ —
а
— ~ ту
(E.Y
Замечательный результат (Д.57) показывает, что в области энергий Е ~ Eq экспо-
экспоненциальное подавление в инстантонных процессах ослабляется. Для этой области
характерно большое (порядка ^-) число частиц, рождающихся в процессе рассеяния,
индуцированного инстантоном, и малый их импульс (порядка ту).
В то же время ясно, что результат (Д.57) не может быть справедлив при всех
энергиях: экспоненциально большое сечение противоречило бы унитарности теории.
Это означает, что квазиклассическая формула (Д.49) непригодна для вычисления
инстантонной амплитуды при высоких энергиях. И действительно, поправки к фор-
формуле (Д.57) также имеют экспоненциальный характер и становятся существенными
при Е ~ Eq. В общем случае инстантонное сечение имеет экспоненциальную форму
ос ехр —а —
а вычисления вблизи инстантона позволяют определить функцию F при Е <
Eq в виде ряда по степеням (^-) . Для вычисления показателя экспоненты
в наиболее интересной области Е > Eq необходимы квазиклассические методы,
" Экспоненциальное поведение инстантонного сечения с энергией впервые обнаружено МакЛер-
раном, Вайнштейном и Волошиным A990) для случая хиггсовских частиц в конечном состоянии. Эти
конечные состояния дают малый вклад в полное сечение в той области энергий, где приводимый анализ
законен.
ДА. Растущие инстантонные сечения 327
далеко выходящие за рамки этой книги. Это вычисление до сих пор не проделано,
имеются лишь косвенные (хотя и достаточно серьезные) аргументы в пользу того,
что -Р(^) отрицательна при всех энергиях.
Последнее утверждение, если оно справедливо, закрывает возможность по-
поиска электрослабых инстантонных процессов (сопровождающихся несохранением
барионного и лептонного чисел) на ускорителях. Тем не менее, не исключена
возможность обнаружения процессов, обусловленных инстантонами КХД, в столк-
столкновениях частиц высоких энергий уже на существующих коллайдерах (Балицкий,
Браун, 1993; Рингвальд, Шремпп, 1994).
Литературные указания
Сначала мы приведем список учебников, монографий и обзоров, относящихся к теме
данной книги. Там, где это необходимо, в скобках мы указываем разделы, к которым
относится тот или иной обзор. Этот список предназначен для первоначальной ориентации
читателя и не претендует на полноту.
Затем мы перечисляем статьи, на которые имеются ссылки в тексте книги. Этот перечень
составлен в алфавитном порядке. Более подробные ссылки можно найти в приведенных
монографиях и обзорах.
1. Учебники, монографии, обзоры
К частя 1.
Вопросы, которым посвящена часть 1, рассматриваются во многих учебниках и моно-
монографиях, в том числе:
1. Н.Н. Боголюбов, Д. В. [Цирков. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.
2. М.Б.Волошин, К.А. Тер-Мартиросян. Теория калибровочных взаимодействий элемен-
элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1984.
3. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля: В 2 т. М.: Мир, 1984.
4. Л. Б. Окунь. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.
5. А. М. Поляков. Калибровочные поля и струны. М.: ИТФ им. Л.Д.Ландау, 1994.
6. Л. Райдер. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.
7. П. Рамой. Теория поля. Современный вводный курс. М.: Мир, 1984.
8. А. А. Славное, Л. Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.:
Наука, 1988.
9. Т.-П. Ченг, Л.-Ф.Ли. Калибровочные теории в физике элементарных частиц. М.: Мир,
1987.
10. М. Е, Peskin, D. V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Reading: Addison-
Wesley, 1995.
11. S. Weinberg. The Quantum Theory of Fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge: Cambridge
University Press, 1995.
В качестве исторических обзоров можно порекомендовать:
12. L. O'Raifeartaigh. The Dawning of Gauge Theory // Salamfestschrift, eds. A.Ali, J.Ellis,
S. Randjbar-Daemi, Singapore: World Scientific, 1994, p. 577.
13. T. W. B. Kibble. Genesis of Unified Gauge Theories. Ibid., p. 592.
14. A. N. Tavkhetidze. Color, Colored Quarks, Quantum Chromodynamics // Quarks-94, Proc. 8th
International Seminar, eds. D.Yii. Grigoriev, et al. Singapore: World Scientific, 1995, p. 3.
Ниже помещены ссылки на учебники, монографии и обзоры, относящиеся к отдельным
главам.
Главы 1, 2.
Калибровочная инвариантность классической электродинамики обсуждается во многих
учебниках, например:
Литературные указания 329
15. Л.Д.Ландау, ЕМ.Лифшиц. Курс теоретической физики. Т. 2: Теория поля. М.: Наука,
1967.
16. И. Е. Таим. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.
17. LI. G. Chambers. An Introduction to the Mathematics of Electriicity and Magnetism. London:
Chapman and Hall, 1973.
Глава 3.
Книги по теории групп, написанные для физиков:
18. АР. Balachandran, С. G. Trahern. Lectures on Group Theory for Physicists. Napoli: Bibliopolis,
1984.
19. C. J. Isham. Lectures on Groups and Vector Spaces for Physicists. Singapore; Warld Scientific,
1984.
20. Jin-Quan Chen. Group Representation Theory for Physicists. Singapore: Wforld Scientific,
1989.
Многочисленные конкретные результаты из теории простых групп Ли и их представле-
представлений содержатся в обзоре:
22. ILSlansky. Group Theory for Unified Model Building. Phys. Reports, 79, p. 1, 1981.
Главы 4-6.
Обзоры:
23. £.S.Abers, В. W. Lee. Gauge Theories. Phys. Reports, 9, p. 1, 1973 (имеется перевод
в сборнике «Квантовая теория калибровочных полей», М.: Мир, 1977).
24. S. Coleman. Secret Symmetry: An Introduction to Spontaneous Symmetry Breakdown and
Gauge Fields. In: Laws of Hadronic Matter, Proc. 1973 International School of Subnuclear
Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New York: Academic Press, 1975 (имеется перевод в сборнике
«Квантовая теория калибровочных полей», М.: Мир, 1977).
К частя 2.
Солитоны и инстантоны в теории поля рассматриваются в книге Полякова [5] и в книгах:
25. М. И. Монастырский. Топология калибровочных полей и конденсированных сред. М.:
ПАИМС, 1995.
26. Р. Раджараман. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. М.: Мир, 1985.
27. А. С. Шварц. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989.
Глава 7.
Обзоры:
28. S. Coleman. Classical Lumps and Their Quantum Descendants // New Phenomena in Subnucle-
Subnuclear Physics, Proc. 1975 International School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A. Zichichi. New
York: Plenum Press, 1977.
29. Л.Д. Фаддеев. Солитоны // Нелокальные, нелинейные и неренормируемые теории поля,
материалы 4 Международного совещания по нелокальным теориям поля. Дубна: ОИЯИ,
1976.
30. L. D. Faddeev, К £. Korepin. Quantum Theory of Solitons. Phys. Reports, 42, p. 1, 1978.
31. R.Jackiw. Quantum Meaning of Classical Field Theory. Rev. Mod. Phys., 49, p. 681, 1977.
32. A. Vilenkin. Cosmic strings and domain walls. Phys. Reports, 121, p. 263, 1985.
Вихри в сверхпроводниках рассматриваются в учебниках по физике конденсированных
сред, например, в книге:
330 Литературные указания
33. Е.М.Лифшиц, Л. П. Питаевский. Статистическая физика. Ч. 2. М.: Наука, 1978.
Глава 8.
Изложение гомотопической топологии для физиков содержится в книге Шварца [27].
Глава 9.
Кроме обзоров [28, 31], можно порекомендовать обзор:
34. P. Goddard, D. I. Olive. New Developments in the Theory of Magnetic Monopoles. Rep. Prog.
Phys., 41, p. 1357, 1978.
Глава 10.
Обзор:
35. T.D.Lee, Y.Pang. Non-Topological Solitons. Phys. Reports, 221, p. 251, 1992.
Главы 11, 12.
Обзор:
36. S. Coleman. The uses of Instantons// The Whys of Subnuclear Physics, Proc. 1977 International
School of Subnuclear Physics, Erice, ed. A.Zichichi. New York: Plenum Press, 1979.
Теория распада ложного вакуума при нулевых и отличных от нуля температурах и ее
приложения в космологии рассматриваются в книгах:
37. А.Д.Линде. Физика элементарных частиц и инфляционная космология. М.: Наука,
1990.
38. £ W.Kolb, M.S. Turner. The Early Universe. New York: Addison-Wesley, 1990.
Глава 13.
Обзор Коулмена [34] и обзоры:
39. А. И. Вайнштейн, В. И. Захаров, В. А. Новиков, М. А. Шифман, Инстантонная азбука. УФН,
136, с. 553, 1982.
40. RJackhv. Introduction to Yang—Mills Quantum Theory. Rev. Mod. Phys., 52, p. 661, 1980.
К часта З ■ Дополнению.
Фермионы в калибровочных теориях рассматриваются в книгах [1-11] и обзорах [23, 24].
Взаимодействие фермионов с топологическими скалярными и калибровочными полями об-
обсуждается в монографиях [26, 27] и обзорах [31, 37, 38]. Кроме того, см. обзоры:
41. V.ARubakov. Monopole Catalysis of Proton Decay. Rep. Prog. Phys., 41, p. 1357, 1978
(раздел 16.2).
42. J.E.Kim. Light Pseudocsalars, Particle Physics and Cosmology. Phys. Reports, 150, p. 1, 1987
(раздел Д.2).
43. A.G.Cohen, D.B.Kaplan, A.Nelson. Progress in Electroweak Baryogenesis. Ann. Rev. Nucl.
Part. Sci., 43, p. 27, 1993 (раздел 17.4).
44. В. А. Матвеев, В. А. Рудаков, A.H. Тавхелидзе, M. E. Шапошников. Несохранение барион-
ного числа в экстремальных условиях. УФН, 156, с. 253, 1988 (раздел 17.4).
45. М. P. Mattis. The Riddle of High Energy Baryon Number Violation. Phys. Reports, 214, p. 159,
1992 (раздел Д.4).
46. В. А. Рубаков, М. Е. Шапошников. Электрослабое несохранение барионного числа в ран-
ранней Вселенной и в столкновениях частиц при высоких энергиях. УФН, 166, с. 493, 1996
(разделы 17.4, Д.4).
47. P. G. Tmyakov. Instanton-Like Transitions in High Energy Collisions. Int. J. Mod. Phys., A8,
p. 1823, 1993 (раздел Д.4).
Литературные указания 331
2. Статьи.
1. А. А. Абрикосов A957) ЖЭТФ, 32, с. 1442.
2. S.L.Adler A969) Phys. Rev., 177, p. 2426.
3. I.Affleck A981) Nucl. Phys., B191, p.429.
4. M. G. Afford, F. Wilczek A989) Phys. Rev. Lett., 62, p. 1071.
5. J.Ambjorn, J. Greertsite, С Peterson A983) Nucl. Phys., B221, p. 381.
6. J.Ambjorn, V.A.Rubakov A985) Nucl. Phys., B256, p.434.
7. P. W.Anderson A963) Phys. Rev., 130, p.439.
8. M.Ansourian A977) Phys. Lett. 70B, p. 301.
9. J.Arafune, P. G. O.Freund, C.J. Goebel A975) J.Math. Phys., 16, p.433.
10. /. /. Balitsky, V. M.Braun A993) Phys. Rev., D47, p. 1879.
11. T.Banks, CM.Bender, T. T. Wu A973) Phys. Rev., D8, p.3346.
12. T.Banks, CM.Bender A973) Phys. Rev., D8, p.3366.
13. T.Banks, G.Farrar, M.Dine, D.Karabali, B.Sakita A990) Nucl. Phys., B347, p.581.
14. T.Banks, E.Rabinovid A979) Nucl. Phys., B160, p.349.
15. А.А.Белавин, А.М.Поляков A975) Письма в ЖЭТФ, 22, с.503.
16. A.A.Belavin, A.M. Pofyakov, A.S.Schwarz, Yu.S. Tyupldn A975) Phys. Lett. 59B, p.85.
17. J.S.Bell, R.Jackiw A969) Nuovo Cimento, A60, p. 47.
18. A.LBochkarev, M. E. Shaposhnikov A987) Mod. Phys. Lett., A2, p. 991.
19. H. H. Боголюбов, Б. В. Струминский, А. Н. Таехелидзе A965) Препринт ОИЯИ Д 1968.
20. Е. Б. Богомольный A976) ЯФ, 24, с. 861.
21. J.Boguta A983) Phys. Rev. Lett., 50, p. 148.
22. L. S. Brown, R.D. Cariitz, С Lee A977) Phys. Rev., D16, p. 417.
23. В.Г.Вакс, А.И.Ларкин A961) ЖЭТФ, 40, c.282.
24. M. Б. Волошин, И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь A974) ЯФ, 20, с. 1229.
25. N. СаЬЫЬо A963) Phys. Rev. Lett., 10, p. 531.
26. С G. Callan A982) Phys. Rev., D25, p. 2141; ibid., D26, p. 2058; Nucl. Phys., B212, p. 391.
27. С G. Callan, S. Coleman A977) Phys. Rev., D16, p. 1762.
28. С G. Callan, R. F. Dashen, D. J. Gross A976) Phys. Lett. 63B, p. 334.
29. С G. Callan, R. F. Dashen, D. J. Gross A978) Phys. Rev., D17, p. 2717.
30. S. Coleman A977) Phys. Rev., D15, p. 2929.
31. S. Coleman A985) Nucl. Phys., B262, p. 263.
32. S. Coleman, V. Glaser, A. Martin A978) Commun. Math. Phys., 58, p. 211.
33. S. Coleman, E. Weinberg A973) Phys. Rev., D7, p. 1888.
34. R. Dashen, B. Hasslacher, A.Neveu A974a) Phys. Rev., D10, p. 4130.
35. R.Dashen, B.Hasslacher, A.Neveu A974b) Phys. Rev., D10, p.4138.
36. T.Dereli, J.H.Swank, L.J.Swank A975) Phys. Rev., D12, p. 3541.
37. S. Deser, R.Jackht/, S. Templeton A982) Annals of Physics, 140, p. 372.
38. G. H. Derrick A964) J. Math. Phys., 5, p. 1252.
39. LDolan, R.Jackiw A974) Phys. Rev., D9, p. 3320.
40. F. Englert, R. Brout A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 321.
41. O.Espinosa A990) Nucl. Phys., B343, p. 310.
42. £. Fradkin, S.Shenker A979) Phys. Rev., D19, p. 3682.
43. R. Friedberg, T. D. Lee A977) Phys. Rev., D15, p. 1694; ibid., D16, p. 1096.
44. R. Friedberg, T. D. Lee, A. Sirlin A976) Phys. Rev., D13, p. 2739; Nucl. Phys., B115, p. 1; ibid.,
p. 32.
45. H. Fritzsch, M. Gell-Mann, H. Leutwyler A973) Phys. Lett., 47B, p. 365.
46. S. Fubini A976) Nuovo Cimento, 34A, p. 521.
332 Литературные указания
47. Н. Georgi, S.L. Glashow A972) Phys. Rev. Lett., 28, p. 1494.
48. H. Georgi, S.L. Glashow A974) Phys. Rev. Lett., 32, p.438.
49. S.L. Glashow A961) Nucl. Phys., 22, p. 579.
50. /. Goldstone A961) Nuovo Cimento, 19, p. 154.
51. V.N. Gribov A976) unpublished.
52. D. Yu. Grigoriev, V.A.Rubakov A988) Nucl. Phys., B299, p.67.
53. D.J. Gross, F. Wilczek A973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1343.
54. G.S.Gumlnik, CHHagen, T. W.B. Kibble A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 585.
55. Я. Б. Зельдович, И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь A974) ЖЭТФ, 67, с. 3.
56. М. Y.Han, Y.Nambu A965) Phys. Rev., 139B, p. 1006.
57. P.Hasenfiatz, G. t Hooft A976) Phys. Rev. Lett., 36, p. 1119.
58. P. W.Higgs A964) Phys. Rev. Lett., 13, p. 508.
59. G. 't Hooft A974) Nucl. Phys. 79, p. 276.
60. G. 4 Hooft A976a) Phys. Rev. Lett., 37, p. 8.
61. G. 4 Hooft A976b) Phys. Rev., D14, p. 3432.
62. HJacktw, C.Rebbi A976a) Phys. Rev. Lett., 37, p. 172.
63. R.Jaekw, CRebbi A976b) Phys. Rev., D13, p.3398.
64. R.Jackiw, C.Rebbi A977) Phys. Rev., D6, p. 1052.
65. R.Jackn>, C.Nohl, C.Rebbi A977) Phys. Rev., D15, p. 1642.
66. R. Jackiw, P.Rossi A981) Nucl. Phys., B190, p.681.
67. B. Julia, A.Zee A975) Phys. Rev., Dll, p.2227.
68. K.Kajantie, M.Laine, K. Rummukainen, M. E. Shaposhnikov A996) Phys. Rev. Lett., 77,
p. 2887.
69. S. Yu.Khlebnikov, V.A.Rubakov, P. G. Tinyakov A990) Mod. Phys. Lett., A5, p. 1983.
70. T. W. Kibble, G.Lazarides, Q. Shaft A982) Phys. Rev., D26, p. 435.
71. Д.А.Киржниц A972) Письма в ЖЭТФ, 15, с. 745.
72. D.A.Kirzhnils,A.D.Unde A972) Phys. Lett. 72B, p. 471.
73. D.A.Kirzhnits, A.D.Linde A976) Annals of Physics, 101, p. 195.
74. J.Kiskis A977) Phys. Rev., D15, p. 2329.
75. /. Kiskis A978) Phys. Rev., D18, p. 3690.
76. F.R.Klinkhamer, N.S.Manton A984) Phys. Rev., D30, p.2212.
77. M. Kobayashi, К Maskawa A973) Prog. Theor. Phys., 46, p. 652.
78. N. V. Krasnikov, V. A. Rubakov, V. F. Tokarev A979) J. of Phys., A12, p. L343.
79. В. А. Кузьмин A970) Письма в ЖЭТФ, 13, с. 335.
80. V.A.Kuzmin, V. A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov A985) Phys. Lett., 155B, p. 36.
81. A. N. Kuznetsov, P. G. Tinyakov A997) Phys. Rev., D56, p. 1156.
82. Л.Н.Липатов A977) ЖЭТФ, 72, c.411.
83. /. H. Lowenstein, J.A. Swieca A971) Annals of Physics, 68, p. 172.
84. M.Maggiore, M.Shifman A992) Nucl. Phys., B365, p. 161.
85. N.S.Manton A983) Phys. Rev., D28, p.2019.
86. V.A. Matveev, V.A Rubakov, A. N. Tavkhelidze, V. F. Tokarev A987) Nucl. Phys., B282, p. 700
87. L. McLerran, A. Vainshtein, M. Voloshin A990) Phys. Rev., D42, p. 171.
88. Y. Miyamoto A965) Prog. Theor. Phys. Suppl., Extra No., p. 187.
89. M. И. Монастырский, А. М. Переломов A975) Письма в ЖЭТФ, 21, с. 94.
90. Е. Mottola, A. Wipf A989) Phys. Rev., D39, p. 588.
91. Y.Nambu A960) PhysTRev. Lett, 4, p.380; Phys. Rev., 117, p.648.
92. H.B. Nielsen, M.Ninomiya A983) Phys. Lett., 130B, p. 389.
93. H. B. Nielsen, P. Olesen A973) Nucl. Phys., B61, p. 45.
Литературные указания 333
94. N. К. Nielsen, B.Schroer A977a) Nucl. Phys., B120, p. 62.
95. N.K.Nielsen, B.Schroer A977b) Nucl. Phys., B127, p.493.
96. A. Patrascioiu A979) Phys. Rev., D20, p. 491.
97. R. D. Peccei, H. Quinn A977) Phys. Rev. Lett., 38, p. 1440.
98. H. D. Politzer A973) Phys. Rev. Lett., 30, p. 1346.
99. A.M. Поляков A974) Письма в ЖЭТФ, 20, с. 430.
100. М. Porrati A990) Nucl. Phys., B347, p. 371.
101. M.K.Prasad, С. М. Sommerfield A975) Phys. Rev. Lett., 35, p. 760.
102. С Rebbi, R. Singleton A996) Phys. Rev., D54, p. 1020.
103. A. Ringwald A988) Phys. Lett., 213B, p. 61.
104. A. Ringwald A990) Nucl. Phys., B330, p. 1.
105. A. Ringwald, F. Schrempp A994) In: Proc. International Seminar "Quarks-94", eds. D. Yu. Gri-
goriev et.al. Singapore: World Scientific, 1995.
106. В.А.Рубаков A981) Письма в ЖЭТФ, 33, с. 658.
107. V.A.Rubakov A982) Nucl. Phys., B203, p. 311.
108. V.A.Rubakov A986) Prog. Theor. Phys., 75, p. 366.
109. A. Salam A968) In: Elementary Particle Theory. Proc 1968 Nobel Symposium, ed. A. Svartholm.
Stockholm: Leram.
110. А.Д. Сахаров A967) Письма в ЖЭТФ, 5, с. 32.
111. T.H.R.Skyrme A961) Proc. Roy. Soc., A260, p. 127.
112. V.Soni A980) Phys. Lett., 93B, p. 101.
113. A. S. Schwarz A977) Phys. Lett. 67B, p. 172.
114. J.Schwinger A962) Phys. Rev., 125, p. 397.
115. Ю. С. Тюпкин, В. А. Фатеев, А. С. Шварц A975) Письма в ЖЭТФ, 21, с.91.
116. A. nienkin, A. E. Everett A982) Phys. Rev. Lett., 48, p. 1867.
117. S. Weinberg A967) Phys. Rev. Lett., 19, p. 1264.
118. S. Weinberg A974) Phys. Rev., D9, p. 3357.
119. S. Weinberg A978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 223.
120. F. Wilczek A978) Phys. Rev. Lett., 40, p. 279.
121. E Witten A982) Phys. Lett. 117B, p.324.
122. E.Witten A985) Nucl. Phys., B249, p. 557.
123. T. T. Wu, С N. Yang A975) Phys. Rev., D12, p. 3845.
124. L. Yaffe A989) Phys. Rev., D40, p. 3463.
125. С. ЛГ. Yang, Я L. Mills A954) Phys. Rev., 96, p. 1.
126. V. I. Zakharov A991) Phys. Rev. Lett., 67, p. 3650.
127. V.I.Zakharov A992) Nucl. Phys., B371, p.637.
Предметный указатель4
Ааронова—Бома эффект 9
— потенциал 189
Абрикосова—Нильсена—Олесена вихрь 121
Адлера—Белла—Джекива аномалия 257, 295
Аксион 214, 319
Алгебра Ли полупростая 46
простая 46
, размерность 39
, структурные константы 39
SO(n) 38
SU(n) 38,48
SUb) 39
5СГC) 40
V(n) 38
Антикинк 114, 200
Антиинстантон 206
Антифермион 234
Атьи—Зингера теория индекса 289
Атьи—Патоди—Зингера теорема 265
Баркошюе число 251
, электрослабое несохранение 297
Елоховская волна 189
Богомольного уравнения 162
Богомольного—Прасада—Зоммерфельда пре-
предел 161
Бризер 115 '
Бьянки тождество 8, 62
Бэклунда преобразование 115
Вейля уравнение 230
евклидово 291
Гаусса условие 67,204
Гелл-Манна матрицы 40
Генератор алгебры Ли 39
— нарушенный 81, 93
— ненарушенный 78
Гинзбурга—Ландау гамильтониан 129
Глобальная аномалия 278
Глэшоу—Вайнберга—Салама теория 93
Глюон 69, 247
Гомотопический класс 134
Гомотопия пространств 135
Грассманов интеграл 316
Группа абелева 30
— Ли простая 46
— матричная 36
— неабелева 30
— стандартной модели, 51/B) х Г/A) 93
— цвета SUC)C 238, 247
*Эгот указатель дополняет оглавление,
не повторяя его. В указатель включены терми-
термины и понятия, непосредственно не отражен-
отраженные в оглавлении.
— , центр 32
— электромагнетизма, 17A)ет 94, 150
— GL(n,C) 31
— GL(n,R) 31
— O(n) 31
— SO(n) 31
— SV(n) 31
— V(n) 31
— 17A) 24, 30
-Zn 30
Джорджи—Глэшоу модель 105, 149
Дилатационная симметрия 102
Дирака гамильтониан 228
— монополь 160
— уравнение евклидово 291
Дисперсии закон 15
Доменная стенка 115
Евклидова энергия 175
Евклидово время 174, 195
— действие 174, 195
— уравнение Гамильтона—Якоби 181
Заряд магнитный 156
— топологический 115
Изоспин 238
Импульс поля 28
Калибровка аксиальная 12, 68
— гамильтонова 68
— кулон овская 11, 68
— Лоренца 11, 68
— унитарная 89, 155
— М =0 12,67
Калибровочная константа связи 57
Калибровочное преобразование 8, 54
Каустика 181
Квазиимпульс 189
Квазиклассическая экспонента распада 173,
192
растепления уровней 187
Квантовая теория поля 193
Квантовая хромодинамика, КХД 247
Кварки 238
— , смешивание 249
Киральность 258
— , несохранение в КХД 296
Классический вакуум 80
абелевой модели Хиггса 215
, множество 160
Клейна—Гордона—Фока уравнение 14
, общее решение 15
в поле монополя 224
Ковариантная производная 23, 53, 239
Предметный указатель
335
Коммутации операция 37
Коулмена теорема 125
Критический пузырь 19S
Лагранжиан взаимодействия 20
— калибровочного поля 55
— скалярного поля, калибровочно инвариан-
инвариантный 60
— Черна—Саймонса 105
Лептон 244
Лептонное действие 247
— число 250
, электрослабое несохранение 297
Лиувилля модель 103
Локализованный инстантон 322
Магнитный поток вихря, квантование 128
Масса поля 15
, векторного 86, 91
Массовая матрица 79, 102
Многоинстантонные решения 223
Многомонопольные решения 164
Модель SUE) 105
Монопольный катализ распада протона 275
Нейтрино 230
Нулевая мода вращательная 113
трансляционная 113, 311
фермионная 253, 274, 299, 317
п-поле 104, 225
Обобщенное вращение 125, 153
Однородное пространство 33, 144
Основное состояние 70
Отрицательная мода вокруг сфалерона 220
Отскоковое решение 175, 195
, аналитическое продолжение 183, 198
Паули матрицы 39
Подалгебра 40
— инвариантная 41
Подгруппа 30
— ненарушенная 78
— , нормальный делитель 35
— стационарная 34
классического вакуума 80
Потенциал скалярного поля 21
Представление группы Ли действительное 42
неприводимое 43
присоединенное 44
сопряженное 43
унитарное 42, 47
фундаментальное 43
Проблема сильного СР-сохранеиия 214
Пространственное отражение 228
Псевдоголдстоуновский бозон 104
Q-шар 166
Самодуальности уравнение 207
Синус-Гордон 115
Скирма модель 119, 223
Слабая связь 108
Слабый гиперзаряд 94, 245
— угол смешивания 96
Смешивание полей 102
Спиральность 232
Солитон, масса 111, 127, 153
— .размер 110, 128, 153
— статический 107
— .устойчивость 111
Степень отображения 130, 141, 159, 206
Струна 128
Сфероид 139
Сфалерон 177, 198, 301
— в абелевой модели Хиггса 223
С-сопряжение 228
Тензор напряженности дуальный 207
неабелева поля 54
электромагнитного поля 7, 155
Тензор энергии-импульса 25
калибровочного поля 65
симметричный 29
скалярного поля 65
Тепловые скачки 177, 199, 301
Ток неабелев 63
— , сохранение 18, 23
— топологический 115
Топологический сектор 151, 206
Топологическое число 123,131, 151
вакуума 212
евклидова калибровочного поля 206
Топологически массивные теории 105
Трансляции 27
'т Хоофта символы 208
'тХоофта—Полякова монополь 149, 269
^-состояния 190
Фаддеева—Попова процедура 311
Фактор-пространство 33
Фермион левый 230
— правый 230
Фермионное действие 240
— число 235
, аномальное несохранение 257, 278, 290,
313
левое 258
полуцелое 255
правое 258
Функциональный детерминант 309, 322
Хиггсовский бозон 86, 96
Хиггсовское поле 86
Цвет 238, 247
Число наматываний 122
Энергия поля 15, 28
калибровочного 65
статическая 193
Эффективный ^-параметр 318
Юкавская связь 240
W*-бозоны 69, 96, 245
Z-бозон 69, 96, 245