Автор: Мэрион Дж.Б.
Теги: физика астрофизика элементарные частицы переводная литература издательство мир литература по физике
Год: 1975
Текст
Атомные массы природных смесей изотопов химических элементов
Элемент Симво.1 Атомный номер Атомная масса, a. e. m* Элемент Символ Атомный номер Атомная масса. а. е ль*
Водород Н I 1,00797 Иод 1 53 126.9044
I един Не 2 4,0026 Ксенон Хе 54 131,30
Литий и 3 6,939 Цезий Cs 55 132,905
Бериллий Be 4 9,0122 Барий Ва 56 137.34
Бор В 5 10,811 Латан La 57 138,91
У глерод С 6 12,01115 Церий Се 58 140,12
Азот N 7 14.0067 Пратео 1им Рг 59 140.907
Кислород О 8 15 9994 11 СО ДИМ Nd 60 144.24
Фтор 1 9 18,9984 Прометий Pm 61 145**
Неон Ne Ю 20,183 Самарий Sm 62 150,35
Натрий Na II 22,9898 Европий Eu 63 151.56
Магний Mg I2 24,312 1 'адолиний Gd 64 157,25
Алюминий Al 13 26,9815 Тербий Tb 65 148,924
Кремний Si 14 28,086 Диспрозий Dy 66 162.50
Фосфор P IS, 30,9738 Гольмии Ho 67 164.930
Сера S I6 32,064 Эрбий Er 68 167.26
Хтор Cl 17 35,453 Т улий Tin 69 168,934
Аргон Ar 18 39,948 Иттербий Yb 70 1734)4
Калий К I9 39,102 Лютеций Lu 71 174,97
Кальций Ca 20 40,08 1 афний Hf 72 178,49
Скандий Sc 2I 44,956 Тантал Ta 73 180.948
Тиган Ti 22 47,90 Вольфрам W 74 183,85
Ванадий V 23 50,94 Рений Re 75 186.2
Хром Cl 24 51 996 Осмий Os 76 190,2
Mapi жнец Mn 25 54,9380 Иридий Ir 77 192.2
Же 1ето l-'c 26 55,847 П >атина Pt 78 195,09
Кобальт Co 27 58.9332 Золото Au 79 196.967
Никель Ni 28 58.71 Ртуть Hg 80 200.59
Медь Cu 29 63 54 Галлий 11 81 204,37
Нинк Zn 30 65,37 (.'виней Pb 82 207.19
Галлий <ia 3I 69.72 Висмут Bi 83 280.980
Германий tie 32 72,59 Полоний Po 84 210**
Мынп як As 33 74,9216 Ас га 1 At 85 210*’
Селен Se 34 78,96 Радон Rn 86 ЭТТ»*
Бром Bi 35 79,909 Франций It 87 223**
Криптон Kr 36 83,80 Радий Ra 88 226**
Рубидий Rb 37 85,47 Актиний Ac 89 >37»*
< Троцкий Sr 38 87,62 Торий Th 90 232,038
Иттрий U 39 88,905 Hpoiaxi ними Pa 91 231**
Цирконии Zr 40 91, ’2 Уран U 92 238.03
Ниобий Nb 4I 92,906 Нептуний Np 93 23 **
Молибден Mo 42 95,94 Плу 1 опий Pu 94 242**
Технений To 43 99** Америций Ain 95 243**
Рутений Ru 44 101,07 Кюрий Cm 96 248**
Родий Rh 45 102.905 Беркелий Bk 97 247**
11алладий Pd 46 106.4 Калифорний Cf 98 249**
Серебро Ag 47 107,870 Эйнштейний Es 99 254**
Кадмий Cd 48 112,40 Фермий Im 100 253**
Ин 1ий In 49 114,82 Менделевий Md 101 256**
Олово Sn 50 118,69 Нобелий No 102 25 **
Сурьма Sb SI 121,75 Лоуренсий Lw 103 259**
Теллур Те 52 127,60 Курчатовий Ku 104 260**
* На основе соглашения: масса С1 12 (точно). Некоторые и з мак известны неудовлетворительно
вследствие незнания относите гьнии распространенности изотопов
** Радиоактивный элемент: чис ю означает массу ( массовое число) изотопа с наиоо.гьшии известным
периодо м по typac пада
ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ В ТЕКСТЕ ГРЕЧЕСКИЕ
СИМВОЛЫ
а альфа V НЮ
fl бета КСИ
У гамма я пи
А дельта Р ро
£ эпсилон <7,2: сигма
'1 эта г тау
0 чета Ч> фи
Л дамб да V ПСИ
Р мю со, О омега
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
I световой год (св. год)
I парсек (не)
1 астрономическая единица (A. F..) (расстояние от Зем-
ли до Солнца)
Радиус Солнца
Расстояние от Земли чо Луны
Радиус Земли
Радиус Луны
Масса Солнца
Масса Земли
М сса Луны
Средняя орбитальная скорость Земли
9,46-1017 см
3,08-10й см
1,50-10*' см
6,96 -10*0 см
3,84 10*" см
6,38-10я см
1,74-10я см
1,99 -10'-' г
5,98 -Ю’7 г
7.35 -101' 1
2.98-10я см с
НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ПОСТОЯННЫЕ
VT 1,414
VT 1.732
j? 2.236
vnr 3.162
п - 3,14159
1 рад 57,296 ip-ад
1 >рад 0,01745 рад
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ
Скорость света в пустоте
Заряд > тектрона
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Число Авотадро
Масса электрона
Масса протона
Масса нейтрона
Атомная единица массы
Г равнтационная постоянная
1азовая постоянная
с 2,998 10* ’ см'с
е = 4,80 -10 10 ед. СГСЭ
- 1.60 10 19 Кд
е2 1.44 10*' МэВ см
h 6.63-10“27 эрт с
4,14 Ю‘15 эВ с
Й 6,58 10 “Вс
he 1,24 10 4 В см
к 1.38 10 16 эрт К
0,862 -10 4 эВ К
iV(, 6,022-10-' моль 1
т,. = 9,11 10‘2-' г
mfc-’ - 0,511 МэВ
тр 1.6726 10 34 т
1836.11 от,
трс2 938.259 М >В
и, 1.6749 -10 24 т
т„с2 939.553 МэВ
I а е. м. 1,6605 10 4 г
а. е. м. с-2 = 931.481 МэВ
G 6.673 10 я дин см2'!2
К = 1.986 кал/моль-К
= 8.314-107 эрт моЛь-К
Физика
и физический мир
Physics and the*
Physical Universe
JERRY B. MARIQN
Department of Physics and Aslrondtny г • •
University of Maryland
•College Park, Maryland ’ ♦ •»
Дж. Б. Мэрион
ФИЗИКА
И
ФИЗИЧЕСКИЙ
МИР
Переход с английского
под редакцией
Е М. Лейкина ti С. Ю. Лукьянова
Издательство-Мир- Москва 1975
УДК *530.1
Книга представляет собой вводный обзор всей
современной физики, начиная от устоявшихся
к шссических разделов ее до последних
постижений в области физики элементарных
частиц и астрофизики. Автор поставил цель
подвести читателя к фундаментальным идеям
физики и раскрыть некоторые из современных
концепций, получивших развитие в середине
XX столетия С этой задачей он справился
блестяще. Книга написана достаточно строго,
с большим педагогическим мастерством К ней
показаны красота, романтика и величие
научного поиска. Автор не пользуется высшей
чате чатикой, изложение сопровождается
иногочис генными примерами и наглядными
рисунка ми.
Книга будет с удовольствием прочитана
самыми широкими кругами читателей:
инженерами и научными работниками,
преподавателями высшей и средней шко гы
студентаии и шко гышкаин старших классов.
Редакции литературы по физике
©Перевод на русский язык, «Мир», 1975
20401—371
М----------65—74
041(01)—75
Оглавление
Предисловие к русскому изданию 7
Предис говие автора 9
1. Структура физики и ее язык 11
2. Длина, время, масса 35
3. Галактики и атомы 53
4. Движение 93
5. Сила и импульс 135
6. Основные силы в природе 167
7. Энергия 191
8. Поля 243
9. Движение электрических зарядов 20)
10 Колебания, волны и из сучение 309
11. Теория относительности 351
12. Основы квантовой теории 387
13. Атомы и кванты 425
14. Строение вещества 467
15. Атомные ядра 501
16. Элементарные ча тицы 541
17. Астрофизика и космология 575
18. Нерешенные вопросы физики 607
Ответы на некоторые задачи 614
Предметный указате сь 620
Предисловие к русскому изданию
Научно-популярная книга и учебник
что, качалось бы, .может быть более несов-
местимым! И в самом деле, увлекательно,
но подчас поверхностно написанные попу
ярпые книги рассказывают о многом, но
вряд ли могут серьезно научить чему-либо.
С другой стороны. фундаментальные и доб-
рокачественные, шт сухо написанные учебни-
ки скорее способны отбшь охоту изучай,
предмет, нежели вочбудигь у читателя эн чу
зиазм Все же за последние 10- 15 лет по-
явился ряд киш. авторы которых пытаются,
и не без успеха, создать учебники физики,
в которых предмет излагался бы нс только
основательно, шт и интересно. Два обстои-
те тьства сразу же обращают на себя внима-
ние. Обычно за решение такой задачи беру г -
ся люди, активно работающие в науке, уче-
ные. снискавшие широкую и чвсс птост ь бла-
годаря результатам своих научных исследо
ваний. И второе: материал в таких учебни-
ках преподносится крайне современно, с уче-
том последних достижений и актуальных за-
дач науки. Между чем, для многих учебников
«старого» стиля как раз харакчерччо чо, что,
листая их счрапнчгьч, читатель вряд ли уча-
даст дачу выхода кччичи в свеч Оччреде
леччччьчй коччеервач изм в методах преподава-
ния приводит к тому, что совремеччччая мо-
лодежь нередко обучаечея почти чак же и
почти тому же ч чо и 20 30 ле ч назад А ведь
объем информации, содержание ччауки не-
имоверно расширились. чак ччо ее изучение
даже чч<ч первоначальном уровне ч ребуеч до-
стижения большею, нежели бьчло традици-
онным для прсдыдупчеч о поколения
В самом бурччом развитии ччауки уже та-
клчочечч стимул к овладению ее основами в
современном изложении. Насколько эго иа-
сучцно необходимо обра шо сказано в пре-
дисловии авчора кччччч и. Более конкретные
мотивы, требующие модернизации обуче-
ния, особсччччо четко проступают, сели мы
обрач имея к новым иен гепцням и обучении
в высшей школе. Здесь даже при подготовке
инженерных кадров все бо пипсе внимание
уделяется фундаментальным паукам и
кроме чочо, традиционное академическое
обучеччис ччо кччигам уступает место обуче-
нию в процессе гворческочо грула в лабо-
ратории, чч серьезной научной работе. По-
этому учебники в которых физика препод-
носи чея па самом современном уровне, край-
чче нужны оч ромной армии преподана гелей
средних учебных заведений, чак как безус-
ловно помогут им включить чт процесс обу-
чения научные достижения последних лег
и сделавт. их доступными чем. кчо впервые
прпечунает к изучению физики Что касается
учащихся, го подобные киши в первую
очередь порождают размышления, будора-
жа! мысль, вызывают к жизни творческое
начало тт изучении предмет.
Именно чакова киша нро(|гессора М три-
JicH'icKoiO университета Дж Мэриона Ра-
зумеется. она не решает всех проблем. Боль-
шинство современных учебников ч|)мшки,
пожалуй, лучше всею справляются с обуче-
нием прак гическнм навыкам применения фи-
зичсскпх законов. Иными словами они учат
тому, как решаются различные физические
задачи. В этом направлении в последние
годы доститнут заметный успех. Даже на-
учно-популярные журналы активно включи-
лись в составление хитроумных задач по фи-
зике и обучение методам их ретнения Дело,
что и говорить, важное и не простое Но при
ггом нельзя забывать, что достижение свое-
образною Эльдорадо на различных олимпи-
адах и состязаниях доступно лишь тому кру-
т у молодежи, у которого уже сформировался
глубокий и устойчивый интерес к изучению
физики Что касается книги Дж. Мэриона,
то ее автор ставил себе целью ув течь но воз-
можности широкий крут молодежи красотой
и заманчивостью физических идей, г. е. в ко-
нечном счете расширить круг лтодей, для
которых изучение ч|н13ики из обязанности
превратилось бьт в увлечение. И в этом
отношении киш а. безусловно, будет с тужить
прекрасным лотю шепнем к существующим
учебникам.
Предис ювие к русскому изданию
Издание в русском переводе книги Дж. Мэ-
риона активно поддерживал безвременно
скончавшийся акад. Л. А. Арцимович. Сле-
дует отметать, что на протяжении последних
лет советские читатели получили целый ряд
превосходных зарубежных учебников, напри
мер Р Фейнмана, Дж. Орира, Э. Роджерса,
Л. Купера, существенно повлиявших на фор-
мирование нового подхода к изучению фи
зики. Эти проблемы веет да были в поле зре-
ния акад. Л. А. Арцимовича, много содейст-
вовавшего развитию методики преподава-
ния физики в нашей стране .
Перевод книги выполнили В Д. Новиков
(тт. 4, 5, 10), В И. Рыдник (тл. 6 9, II,
12) и ныне покойная М Н Флерова (гл. 1 3,
13 18) Имя М Н Ф теровой хорошо из-
вестно всем, кто изучал физику по псрсве
денным сю книгам; эти переводы несут на
себе печать большого профессионального
мастерства и разносторонней человеческой
культуры.
Е. .W Лейкин
Предисловие автора
Современный мир пронизан наукой. Повсю-
ду мы с1алкивасмся с многочисленными
свидетельствами научных и технических до-
стижений. на которых зиждется современ-
ное общее!во. Наука стала и будет оста-
ваться реальной силой в мире. Поэтому
каждый, кго хочс! понять мир. в котором
он живет, или попытаться изменить его.
не может обойтись без науки и научных
основ современной техники
Действительность 70-х годов подтвержда-
ет, что в поисках ответов на кардинальные
вопросы наше! о времени необходимо непре-
станно обращаться к науке. Некоторые из
этих вопросов выходят за рамки физики, но
крайней мере в узком ее понимании, и отно
сягся к компетенции сопредельных наук —
астрофизики, наук о Зем те и о жизни. Изу-
чающий физику должен быть знаком с до
стнжепиями этих наук и вместе с тем пред-
ставлять себе. где пролетают границы между
науками
Я надеюсь что в этом пособии мне уда-
лось изложить предмет на современном
уровне знаний Цель киши ознакомить
читателя с основными физическими идеями
и с некоторыми научными концепциями, воз-
никшими в середине нашего столетия Я де-
лал акцент на современных аспектах физи-
ки на представлениях о строении вещест-
ва и ею основных «кирпичах» (микромир),
а также па современных представ тениях аст
рофизики и космолог ни (макромир) Эти
представления а также связь физики микро-
мира с процессами в живом организме явля-
ют собой многообещающую суть науки се-
годняшне! о дня. Решение этою круга вопро-
сов предопределит развитие науки и техники
будущет о. Сейчас образованному человеку
недостаточно знать только законы Ньютона
и иметь простейшие сведения о тятотешш и
электричестве Он должен быть знаком и с
новыми концепциями, возникшими в науке
Конечно, в одной книге, к тому же без
высшей математики, удалось изложи т ь лишь
малую долю поистине огромною множест-
ва важных физических идей. Вошедший в
книгу материал был подвергнут строгому
отбору многие разделы классической фи-
зики, которые, как мне казалось, нс связаны
непосредственно с физикой сегодняшнего
дня, пришлось лишь кратко описать или
вовсе опустить. Их место заня ш факты и
концепции современной физики, ас т рофи-
зики и космолог ни Другой особенностью
книги — на мой взгляд естественной и
полезной — является постепенное услож-
нение изложения, призванное обеспечить по-
нимание более сложных идеи, рассматрива-
емых в кнше
Это пособие лишь одна из книг пред-
назначенных для бозее полного изучения
представлений о физическом мире и разви-
тия этих представлений. Существует много
специальных книг по физике, к которым мож-
но обращаться по мере необходимости при
чтении данной киши; это исторические, био-
графические и монографические издания,
а также руководства и справочники для пре-
подавателей и учащихся с более высоким
уровнем и качеством изложения материала
Я хочу поблагодарить моих коллег, чье
участие способствовало успешному заверше-
нию киши. Дж.Стефенсон мл П. Дилаворе.
Н Уолл и Ф Яш высказали мнот о полезных
критических замечаний на разных стадиях
подготовки рукописи. Д. Денек сотрудник
издательства, в котором выш та книга, го-
рячо поддерживал автора с самого начала
создания книги.
Л ж VI эрион
Хи иик
1 Структура физики
и её язык
1.1. Что такое физика?
1.2. Почему физика столь важна?
1.3. Физика как экспериментальная
наука
1.4. Является ли (физика «точной»
наукой ?
1.5. Научный метод
1.6. Физические теории
1.7. Модели, теории, законы
1.8. Немного элементарной ма-
тематики
1.9. Из мерения и графики
1.10. Значащие цифры
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Чем занимается физика? На какие вопросы о природе вешей физики смогли дать ответ?
На какие вопросы пытаются они ответить сегоднч^. Почему физика так важна? Как она влияет
на развитие человечества?
В этой кнше мы попытаемся ответить на приведенные выше вопросы. Наша цель — дать
глементарное изложение состояния дел в современной физической теории и характера про-
водящихся в настоящее время физических исс тедований.
В развитии физики можно, до некоторой степени произвольно, выделить три периода
классический, новый и современный К концу XIX века были подробно изучены такие разделы
физики, как механика, термодинамика, электромагнетизм оптика и гидродинамика Раз-
работка теории этих разделов казалась в основных чертах завершенной, так что в дальней-
шем вряд ти можно было ожидать каких- тибо новых важных открытий. Совокупность этих
разделов физики мы называем к гассической физикой.
В самом конце XIX века и па протяжении первых трех десятилетий XX века в физике был
сделан ряд удивительных открытий. Было обнаружено явление радиоактивности, которое
в дальнейшем было испол овано для исследования строения атома. Создание теории
относительности заставило пересмотреть прежние в и ляды на пространство и время По-
пытки описать строение атома привели к созданию квантовой теории. Этот период, на про-
тяжении которою изменился весь характер физических исследований, мы называем эрой
новой физики.
В ЗО-х годах натпет о века впервые наблюдалось радиоизлучение звезд, были открыты ней-
трон и деление атомных ядер, была обнаружена элементарная частица, не являющаяся со-
ставной частью атома. Эти открытия привели к накоплению огромного количества резуль-
татов в новых областях физики, которое продолжает происходить и в настоящеее время.
Подобное развитие физических исследований, следствием которого явились дальнейшие
открытия и возникновение новых идей, приве то к созданию современной физики.
В первых главах книги излагаются сведения, которые образуют фундамент, позволяющий
перейти к обсуждению проблем новой и современной физики- как уже разрешенных, так
и тех, решение которых мы стремимся найти по сей день.
Эту тлаву мы начинаем с рассмотрения того, чем занимается физика, почему столь важ-
ную роль в нетт играет эксперимент, что мы понимаем под физической теорией и как приме
няем эту теорию к реальному физическому миру. Необходимо помнить также чго физика
основана на количественных представлениях и, таким образом, естественным языком для
нее служит математика. Поэтому прежде чем начать обсуждение проблем физики, нужно
сказать несколько слов о математических методах, которые понадобятся читателю для
ясного понимания предмета изложения.
1.1. Что такое физика
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ПРИРОДЫ. Не-
сколько сотен лет назад весь объем научных
знаний был столь мал, что один человек
мог подробно ознакомиться почти со всеми
основными научными идеями. Действитель-
но, ученого того времени называли «натур-
философом», подразумевая под этим, что он
изучает все аспекты естествознания. Накогт
ленис научной информации начиная с эпохи
Возрождения происходило гак быстро, что
представление об ученом, как о человеке,
обладающем универсальными знаниями,
давно уже потеряло смысл В настоящее
время ученые делятся на физиков, химиков,
биологов, геологов и т д. Однако мы по-
прежнему стремимся связать воедино раз-
личные отрасли науки Когда наше понима-
ние природы станет более полным, мы смо-
жем лучше понять, какая связь существует
между физикой и биологией, между химией
и геолог ней, между метеорологией и океано-
графией.
Физик старается познать самые элементар-
ные системы в природе. Сделанные физика-
14
1 Структура физики и ее язык
ми открытия не только расширяют наши зна-
ния об основных физических процессах, но
часто играют решающую роль в развитии
других наук. Так, например, открытие кван-
товой теории позволило химикам осмыслит ь
все разнообразие накопленных ими фактов
о химическом строении и химических реак-
циях. Сформулированные физиками законы
распространения звуковых волн в твердых
телах позволили геологам использовать ме-
тоды сейсмологии для исследования земных
недр. Теория движения тазовых потоков
оказалась исключительно важной для метео-
рологов и океанографов. Законы физики уп-
равляют всеми физическими процессами. Мы
открыли лишь некоторые из этих законов
остальные пока ускользают от пас
ФИЗИКА НАЧИНАЕТ С ПРОСТЫХ
С ИС ГЕМ Такие науки, как теолог ия, метео-
ролог ия или физическая океанография, пы-
таются описать в общих чертах поведение
очень сложных систем Физика напротив,
сначала исследует наиболее элементарные
системы, но очень подробно. Так, например,
если геолог может заниматься описанием
процесса горообразования из твердых по-
род, то физик, решая проблемы твердого те-
ла. сначала тщательно исследует процессы,
происходящие внутри простейшею атома,
например агома водорода. Только после
этою он может перейти к изучению более
сложной молекулы водорода, а затем к изу-
чению еще более сложных систем, таких, как
твердые тела. На каждой стадии подобною
исследования физик встречается с новыми
фундаментальными проблемами, которые
необходимо решить, прежде чем можно бу-
дет сделать следующий шат Часто решить
какую-либо проблему нс удается, и тогда
ему приходится учитывать, как это не-
полное знание может отразиться на ответе
на поставленный следующий вопрос. Если
ему сопутствует удача, то может оказаться
что следующая проблема и ш две следующие
проб темы замкнут круг иссде.доваппй и. вер-
нув ею к нс решенной ранее задаче, нозво-
тяг па лот раз взглянуть на нее с другой
точки зрения и найти решение Прогресс в
физике достигается именно с помощью та-
ких методов; для этого нужно правильно по-
ставить вопрос, обойти нерешенные пробле-
мы, затем вернуться к ним опять и на основе
тювых данных получить более точные отве-
ты и на старые, и на новые вопросы
СЛУЧАЙНЫЕ ОТКРЫТИЯ Иногда от-
крытия в физике обусловлены просто уда-
чей. Сущее нзует вероятность, что. ис-
следуя какую-нибудь проблему, можно со-
вершенно случайно сделать важное откры-
тие. Когда I а.тилей стал изучать планеты с
помощью изобретенного им телескопа, он
впервые заметил, что вокруг Юпитера вра
щаются четыре спутника. Беккерель случай-
но открыл явление радиоактивности, про-
явив фотографическую пластинку, на кото-
рой несколько недель лежал кусок урановой
руды (урановой смолки). Конечно, мы не
можем надеяться на то, что получим таким,
обратом ответы на все интересующие нас
вопросы, но наука стремится к открытиям,
и некоторые из них совершаются случайно
Ученый всегда должен быть подготовлен к
тому, чтобы оцепить и использовать эту слу-
чайную удачу.
1 2. Почему физика сто.th важна?
ФИЗИКА И ТЕХНИКА. Описав в общих
чертах, что такое физика, зададим теперь
вопрос: «Почему физика столь важна, какую
пользу она приносит?» Конечно, физик не
создает новых здании или тювых транспорт-
ных средс тв не лечит болезни и не улучшает
удобства наших квартир. Физика расширяет
наши знания о Все генной, о ее составных
элементах и их поведении. Архитекторы и
инженеры, строящие дома и создающие
авиацию, постоянно пользуются законами
механики, установленными физиками Мно-
т не из применяемых в современной медици-
не методов диагностики и терапии были раз-
работаны в физических лабораториях. Хо то-
лильная техника, радио, телевидение это
результаты открытии сделанных физиками.
Открытие транзистора, сделанное в лабора-
тории физики тпердот о тела, привело к новой
эпохе в электронике, а также к увеличению
1.3. Фишка как экспериментальная наука
15
роли вычислительных машин в научных ис-
следованиях и в повседневной жизни Если
бы не было постоянного притока новых идей
из физики то не было бы и грандиозной со-
временной техники, а уровень технического
развития оставался бы застывшим и прими-
тивным. Таким образом, физика теснейшим
образом связана с техникой, и именно в этой
связи наиболее ярко проявляется та важная
роль, которую физика играет в обществе
ФИЗИКА И ПОИСКИ НОВЫХ ЗНАНИЙ
Хотя вклад физики в технику совершенно
очевиден, имеется еше одна не менее важная
причина столь большого значения физики
Человек живет не только достижениями тех-
ники. повышающими сто материальный жиз-
ненный уровень; для постоянного развития
человека огромную роль ит рают интеллекту-
альные стимулы В физике, как и в нобой
другой области науки, проятз тяется деятель-
ность человеческого разума, подобно тому,
как это имеет место в истории, фи тософин,
музыке и г. д.
Человек всегда обладал неистощимой лю-
бознательностью. Фишка предоставляет ему
возможность испытать приключения в не-
изведанной области. Физика бросает ему вы-
зов в виде новой задачи, позволяет испытать
волнение при разработке повои идеи и ин-
теллектуальное удовлетворение когда по-
ставленная задача наконец решена Можно
представить себе, какое волнение испытал
Исаак Ныогон, когда ему впервые пришла в
голову идея о существовании всемирного тя-
готения. или Энрико Ферми, котла он смог
впервые зарегистрировать пенную реакцию
деления атомных ядер. Какое удовлетворе-
ние должен быт чувствовать Ганс Бете, ко
торый первым из людей понял, почему звез-
ды испускаю г свет, понял, что эти далекие
солнца излучают энергию, во шикающую
при превращении водорода в гелий
Путешественники совершают восхождения
на горные вершины и продираются сквозь
джунгли, аквалангисты исследуют т «убины
морей; началась эпоха исследования космо-
са. Но не менее захватывающие приключе-
ния испытывают и те, кто исследует тайны
природы в табораториях
1.3. Физика как экспериментальная
наука
ОКОНЧАТЕЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ПРОИС-
ХОДИТ В ЛАБОРАТОРИИ. Ученый стре-
мится узнать «истину» о природе. В фишке
мы никогда не сможем установить «абсо-
лютной истины», так как физика паука
экспериментальная, а экснеримеит никогда
не бывает идеальным. Поэтому наши сведе-
ния о природе всегда будут несовершенными.
Мы можем только указать характерные для
данной эпохи объем и точность сведений о
природе, полностью сознавая при этом, что
н объем, и точность этих сведений возрастут
в следующую эпоху. В основе нашего пони-
мания физического мира лежат эксперимен-
тальные наблюдения и измерения; на этих
наблюдениях и измерениях основываются
теории которые упорядочивают факты и
угтубчяют наши познания
Физика отнюдь не пассивная наука, она
не делается в кресле за письменным столом.
Древнегреческие философы спорили о физи-
ческих основах нашего мира, но они не про-
веряли своих выводов на опыте. Реальный
прогресс наступил тишь спустя столетия,
когда человек наконец понял, что ключом
к научному познанию являются наблюдения,
эксперимент ы и выводы из них Греки счи-
тали, что более тяжелый нре тмег падает
быстрее более лет кого Простой экснеримеит
нозво тил бы проверить это утверждение и
показать, что оно ошибочно. Однако лишь
Галилей решил эту задачу путем гщагеть-
ных измерений и хороню продуманных ло-
гических доводов. Конечно, новые идеи в
фишке появляются и благодаря у.мо три тель-
ным рассуждениям, но окончательный от-
вет на решающие вопросы может быть по-
лучен только в эксперименте.
ФИЗИКА ИМЕЕТ ДЕЛО С ВОСПРОИЗ-
ВОЛИМЫМИ СИТУАЦИЯМИ В каком
отношении физика отличается, скажем, от
исгорни9 В обоих случаях мы пытаемся ана-
лизировать события и ситуации, рассматри-
вая их причины и следствия О щако опреде-
ленная последовательность исторических со-
бытий происходит только о тин раз Иено ть-
зуя известные факты, мы находим цепочку.
16
1. Структура физики и ее язык
которая приводит к важному событию, и мо-
жем иногда установить причины тех или
иных действий. Но не имеет смысла пытать-
ся восстанавливать историю так. как если бы
данное событие не происходило. Можно пре-
даваться праздным размышлениям о том,
чю если бы флот Фрэнсиса Дрейка не нанес
поражения испанцам в 1588 г., то эта киша
могла быть написана не на ашлийском, а на
испанском языке Однако это чистая фанта-
зия: история не пошла таким путем и бес-
плодно размышлять, что ее ход мог бы быть
иным
В физике, напротив, если определенные об-
стоятельства приводя! к некоторому резуль-
тату, то мы вполне можем задать вопрос
«Ч го случилось бы, если бы А отсутствова-
ло?» Чтобы ответить на такой вопрос, мы
просто снова включим нашу установку в от-
сутствие А и еще раз проведем эксперимент.
В идеальном случае физика имеет дело с точ-
ными условиями, которые можно менять и
воспроизводить, изучая влияние этих усло-
вий на исследуемый объект. Наши результа
гы могут -быть установлены однозначно на
основе логических выводов из эксперимен-
тальных фактов.
ФИЗИКА И ЧИСЛА. Цель физики оба
печить систематическое и точное описание
всех физических явлений с тем, чтобы это
описание можно было в конечном счете
свести к соотношениям между числами. Ре-
зультаты всех экспериментов можно выра-
шть с помощью чисел. 1 ак, например, изме
рив некоторую физическую величину, мы
можем найти, что она равна 2,17 единицы.
Однако этого недостаточно. Необходимо
указать, насколько надежен этот результат
Обычно результат приводят в следующем
виде: например 2,17±0 06 единицы. Это оз-
начает. что экспериментатор измерял иссле-
дуемую величину много раз и получил сред-
нее значение равное 2,17. Кроме того, он
тщательно проверил свое оборудование, про-
градуировав приборы по соответствующим
эталонам, а !акже проверил воспроизводи-
мость результатов, на основании всего этого
он приписал полученному результату веро-
ятную ошибку - 0,06 В данном случае
приписывание такой «вероятной ошибки»
означает, чю если будут произведены до-
полнительные измерения (тем же экспери-
ментатором или другими), то с одинаковой
вероятностью результат будет заключен
либо в интерва ле от 2,17 + 0,06 2,23 до
2,1 0,06 2,11, либо окажется вне этого
интервала Если другой эксперимент а гор
(обладающий более совершенным оборудо-
ванием) вновь измерит эту величину и полу-
чит значение 2,1746 + 0,0004, то такой ре
зультат будет совместим с предыдущим,
так как он не выходит за пределы вероятной
ошибки первою измерения.
Улучшив результат с 2,17 0.06 до
2,1746 - 0.0004, мы уточнили наши сведе-
ния о данном явлении. Увеличение точности
играет важную роль в развитии физики, но
эго не единственный способ, с помощью
которою мы можем расширять наши зна-
ния. В идеальном случае мы всегда пытаем-
ся так провес ги эксперимспт, ч т обы получит ь
ответ «да» или «нет» Иными словами, мы
стремимся осуществить экспериментальную
проверку некоторой теории таким образом
что если наблюдается определенное событие,
го данная теория правильна, если же наблю-
дается другое событие, го теория неправиль-
на. Вероятная ошибка в таком эксперименте
определяется степенью достоверности того,
что полученный ответ «ла» или «нет» пра-
вилен Иногда эксперимент такого типа
чрезвычайно сложен, по в некоторых случаях
достаточно даже самого грубого экспери-
мента (Галилей провел такой эксперимент
для проверки теории Аристотеля, бросая
предметы неодинаковой массы с Пизанской
банши.) Но имеем ли мы дело с точным
измерением или лишь с т рубой оценкой, в
любом случае решающим является то, что
в конечном счете мы обязаны полагаться
на эксперимент.
1.4. Является ли физика «точной»
наукой?
ЧТО ТАКОЕ НАИВЫСШАЯ ТОЧНОСТЬ?
До какой степени мы можем улучшать точ-
ность измерения? Чю требуется, чтобы ои
ределиib точное значение какой-либо вели-
чины? Предположим, что мы бу тем улуч
1.5. Научный метод
17
тать свое экспериментальное оборудование
до тех пор. пока оно не станет наконец со-
вершенным. Сможем ли мы теперь получить
точное значение данной величины? Первым
ответом на этот вопрос будет: «Нет, так как
мы никогда не сможем создать действитель-
но совершенного прибора». Зададим теперь
следующий вопрос: «Не будем учитывать
гот факт, что сделать совершенный прибор
невозможно, а вообразим, что такой прибор
у нас имеется; можем ли мы тогда в принципе
произвести точней: измерение?» Этот вопрос
совершенно отличен от поставленного пер-
воначально Первый вопрос был чисто прак
тический и на него следовал немедленный и
очевидный ответ. Второй вопрос относится
к мысленному эксперименту— приему, час-
то применяемому физиками для исследова-
ния проблем, которые нельзя изучить не-
посредственно.
Мысленный эксперимент позволяет ста-
вить фундаментальные вопросы вопросы,
которых нельзя уже избежать, ссылаясь на
несовершенство приборов. В нашем случае
мысленный эксперимент с идеальным при-
бором требует, чтобы мы ответили на фун-
даментальный вопрос: «Существует ли дей-
ствительно точное значение физической ве-
личины?» Этот вопрос уводит нас в мир
столь малых размеров, что их трудно оце-
нивать с точки зрения повседневного опыта.
Гем не менее ответ может быть получен в
рамках квантовой теории, которую следует
применять при решении всех проблем, воз-
никающих, когда речь идет об обьекгах
предельно малых размеров, о микромире.
Фиг, 1,1. Атом не имеет «точных»размеров.
Согласно этой теории, в области микромира
не существует точных значений физических
величин. Более того, согласно квантовой
теории, бессмысленно задавать вопрос о
точном значении какой-либо физической ве-
личины. так как все результаты измерений
в принципе являются до некоторой степени
неопределенными, причем эта неопределен-
ность не столько связана с недостатками и
несовершенством аппаратуры, сколько ле-
жит в природе вещей Так, например, нельзя
придумать и поставить эксперимент, с по-
мощью которого можно было бы опреде-
лить точные размеры атома, так как, строго
говоря, атом не имеет вполне определенных
размеров. Отсюда следует, что нельзя также
осуществит!, абсолютно точное измерение
длины бруска, так как все тела состоят из
атомов.
1.5. Научный метод
ФИЛОСОФИЯ ОТКРЫТИЯ. Простой на
бор фактов не может считаться полно-
ценной наукой. Конечно, факты являются
необходимой составной частью любой на-
уки но, будучи не взаимосвязаны, они имеют
ограниченное значение. Чтобы полностью
использовать имеющиеся в нашем распоря-
жении факты, мы должны понять связь
между ними; необходимо систематизировать
полученную информацию и выяснить, как
одно событие вызывает другое или оказы-
вает на него влияние. Поступая таким обра-
зом, мы с тедусм научному методу: наблюде-
ние, рассуждение, опыт.
Научный метод не формальная про-
цедура и не подробный план исследования
неизвестного. В науке мы всегда должны
быть готовы к тому, что может появиться
новая идея, и к тому, чтобы сразу использо-
вать неожиданно предоставившиеся возмож-
ности. Прогресс в науке происходит только
благодаря анализу информации, полученной
из наблюдений, и формулировке соображе-
ний. которые устанавливают связь между
((тактами и позволяют оценить ее
Иоганн Кеплер (фит 1.3) следовал науч
пому методу, анализируя огромное число
наблюдений положений планет На основа-
нии этих данных он смог дать правильное
2—779
18
I. Структура физики и ее язык
описание движения плане!, плане 1ы дви-
жу !ся вокруг Солнца по эллишическим
орбтгам.
Прием, которым пользовался Кеплер,
накопление фактов и построение pas личных
гипотез ло гех нор. пока одна из них не
объяснит надлежащим образом всю полу-
ченную информацию. не единственный
способ использования научного метода. Ко-
ма Эрвин Шредингер в середине 20-х годов
нашего века работал над проблемами, свя-
занными с новыми экспер !ментами в обла-
ет атомной физики, он стремится пайги
такое описание атомных явлений, которое
допускало бы изящную математическую
формулировку. Шредишер огошел от «пор
мальной» процедуры научного метода. Вме-
сто гого чтобы как можно ближе следован,
экспериментальным фактам и пытаться свя-
зать их между собой, он хотел получи гь
наиболее эстетически совершенное матема-
тическое описание общих тенденций резуль-
laiOB Погоня за совершенством математи-
ческого описания привела Шредингера к
созданию современной квантовой теории.
В мире атомов, к которому применима эта
теория, природа действительно проявляется
в изящных закономерностях. Почт в го же
время Вернер Гейзенберг, пользуясь иным
подходом, сформулировал альтерна твный
вариант квантовой теории, эквивалентный
во всех отношениях теории Шредингера.
Таким образом, нельзя накладывать ка-
ких-либо жестких ограничений на нули раз-
вития науки. Разные ученые работают раз-
личными методами. Но всякий раз. связывая
между собой рассуждение и эксперимент,
мы тем самым следуем научному методу.
1.6. Физические теории
ЭВОЛЮЦИЯ ИДЕЙ. Когда мы сталкива-
емся с группой фактов, перед нами iiciaei
задача простейшим путем установить
связь между этими фактами. Если эго уда-
ется. го появляется теория. Она должна
объяснять все накопленные эмпирические
сведения о данном явлении и. кроме гого.
Фит. 1.2. Тихо Браге (1546 1601) и его стен-
ной квадрант.
Датский астронои Бриге испо.зьзошп приборы,
подобные иному. для многочисленных точных из-
мерений по ю жений звезд и п шнет. Он не с мог
дать пос зедовате итого и сис те матического опи-
сания движения планет, но его тщате зызые на-
блюдения имели огромное значение д ж поздней-
ших астрономов, в частности Ася Кеплера
(фиг 13}.
Фиг. 1.3. Иоганн Ken.iep (1571—1630) и Сол-
нечная система Коперника.
Вычис./енич Ken lepa обоснова н/ систему Копер-
никаи усовершенствова ш ее, показав что орбиты
п шнет представ I ют собой >1 п/псы.
20
1. Структура физики и ее язык
должна правильно предсказывай, результа-
ты любых новых экспериментов. (Часто
теория предсказывает эффекты, которые
нельзя обнаружить в настоящее время; в
таких случаях проверку следует отложить
.то появления более чувствительных методов
исследования.) Если между теорией и экспе-
риментом обнаруживается какое-либо не-
сооIветствие, то следует так изменить тео-
рию. чтобы она объясняла новые данные.
Теории развиваются пущм последователь-
ных уточнений и усовершенствований.
Физические теории должны проверяться
сопоставлением с новыми фактами Цен-
ность теории, пожалуй, больше всею опре-
деляется гем, насколько четко можно уста-
новить гот предел, за которым опа ока-
зывается несправедливой. Строго говоря,
никогда нельзя доказа 1Ь справедливость дан-
ной теории, хотя ее несправедливость можно
установить экспериментами. Предположим,
что собраны некоторые факты и построена
теория, которая объясняет эти факты. С по-
мощью пой теории мы можем сделать ряд
предсказаний и проверить их в новых экспе-
риментах. Если мы сделали 20 предсказаний
и 19 из них проверили экспериментально, эго
еще не доказывает, что данная теория пра-
вильна, так как может оказаться, что два-
дцатое предсказание ошибочно. Однако в
этой неудаче будет содержаться и своего
рода успех, так как мы будем знать, где
именно теория несостоятельна. Это позво-
лит нам избежать ошибки, усовершенство-
вав теорию и приведя се в соответствие со
всеми экспериментальными фактами.
ЧТО ТАКОЕ «ХОРОШАЯ» ТЕОРИЯ?
К хорошей физической теории предъявля-
ются следующие требования:
1. Теория до зжна исходить из неболь-
шого числа фундамента и>ных по юженнй.
Почти всегда можно создать теорию, на-
столько сложную, что она может объяснить
любое заданное число фактов Но такая
теория в высшей степени искусственна и
не приносит никакого интеллектуального
удовлетворения. Большой триумф ожидает
учено о, который сможет сформулировать
теорию, основанную всею лишь на не-
скольких постулатах, и сделать на ее основе
большое количество предсказаний, доступ-
ных проверке. Теория относите тыюсги и
квантовая механика являются образцами
подобных теорий; мы все еще про ю тжаем
изучать следствия этих двух теорий и под-
вергать их экспериментальной проверке.
2. Теория должна быть достаточно общей
Теория, созданная для объяснения всею
лишь одного или нескольких фактов и неспо-
собная объяснить другие факты, бесполезна.
Приведем простой (шуточный) пример та-
кой теории. Предположим, что мы хотим
сформулировать теорию, объясняющую, по-
чему яблоки падают вниз (известная задача
Ньютона). Возможна такая теория. «Все
яблоки падают вниз». Эта «теория» объяс-
няет наблюдаемый факт, но не больше"
поэтому она не имеет какой-либо ценности.
Мы можем попытаться обобщить ну тео-
рию так" «Все предметы падают вниз»
Однако теперь мы зашли слишком да; еко.
Нс все предметы падают вниз; наполненные
гелием шары не падают вниз, самолеты
также (обычно) не падают вниз. Ньютон
создал отнюдь не такую частную теорию
Согласно его теории, все предметы притя-
гиваются к Земле. Некоторые предметы
падают, а для других (например. ,гля напол-
ненного гелием шара) дополнительный эф-
фект преобладает над притяжением Земли
и заставляет шар не падать, а подниматься
вверх. Хорошая теория не должна быть
чрезмерно отраниченной в своих следствиях,
она должна пытаться объяснить по воз-
можности наибо тьшее число фактов.
3. Теория должна быть точной. Теория не
представляет какой-либо ценности, ее ти с
ее помощью нельзя сделать точных и четких
предсказаний. В таком случае ее нельзя
будет проверить экспериментально. Экспе-
риментатор, конечно, не сможет произвести
проверку теории, если она предсказывает
широкий диапазон возможных-результатов
эксперимен га.
4. Теория должна допускать возмож-
ность усовершенствования. Физические тео-
рии должны расширяться и развиваться по
мере получения новой информации Теория,
которую нельзя усовершенствовать, окажет-
ся но тностью несостоятельной при первой
же, хотя бы и незначительной, неудаче.
В древние времена люди вери ти в го, что
3< мля плоская. Эю- примитивная теория"
1.6. Физические теории
21
Фиг. 1.4. Фотографический снимок, непос-
редственно доказывающий, что Земля имеет
форму шара
Это те ревизионное изображение Земли с высоты
40 000 км было передано метеорологическим спут-
ником ATS III На нижней половине снимка от-
четливо видны очертания Южной Америки
22
1. Структура физики и ее язык
«Земля плоская». Ее можно проверить с
помощью элементарных экспериментов. На-
блюдатель на берегу моря будет видеть,
что размеры удаляющегося корабля умень-
шаются, однако если бы Земля была плос-
кой, он никогда нс потерял бы корабль из
виду. В действительное!и ему, конечно, ле-
каже 1ся, что корабль исчез. Так как корабль
не утонул (он возвращается), то очевидно,
чю теория плоской Земли неверна. По-
скольку теория- не допускает изменений
(плоскость есть плоскость, и ничего более),
ее следует полнощью отвергнуть. Подоб-
ным же образом можно опровергну 1ь тео-
рию, утверждающую: «Земля является цент-
ром Солнечной сишемы»; никакие измене-
ния нс могут сделать эту теорию приемле-
мой. С другой стороны, 1еорию, которая
у1всрждаег, что «Земля движется вокруг
Солнца но круговой орбше», можно видо-
изменить и привесит в соответствие с на-
блюдениями, если слово «круговая» заме-
нить на «эллиптическая».
1.7. Модели, теории, законы
ЗАКОНЧЕННЫЕ ТЕОРИИ ВОЗНИКАЮТ
ИЗ ГРУБЫХ МОДЕЛЕЙ Теорию в се
эмбриональной форме часто называют «мо-
делью». Физическая модель создается по
существу, за!ем же, зачем архитектор кон-
струирует модель группы зданий: чтобы
нашядно предшавить соотношения между
зданиями, свободным прос|ранством между
ними и проходами или улицами, их соеди-
няющими. В физике модель может быть
либо математической, либо главным обра-
зом механической. Защитники геоцентриче-
ской теории Солнечной сисгемы, пытаясь
описать движение Солнца и планет, созда-
вали фантастические по сложности меха-
нические модели. Теория «плоской Земли»,
о которой мы упоминали выше, была при-
митивной моделью; иногда эта модель ус-
ложнялась предполагалось, что Земля
плоский диск, лежащий на спине слона,
который стой! па спине черепахи, а послед-
няя в свою очередь плавает в бездонном
морс. Все эю придавало модели мистиче-
ский характер, но отнюдь не помогало прс-
Фи1. 1.5. Планетная система Птолемея.
Солнце движется вокруг Земли по простой кру-
говой орбите. Венера и Марс движутся по кру-
говым орбитам, но на зто движение накладыва-
ются дополнительные круговые движения (>пи-
циклы), позволяющие объяснить видимое движе-
ние этих планет на небосводе
одолею основные се недостатки. Предло-
женная Бором модель атома (фиг. 1.6).
в которой электроны движутся по орбитам
вокру! ядра (мнниа i торная Солнечная снег е-
ма), была прообразом современной квашо-
вомеханичсской теории строения атома
Большинству людей легче уяснить суть
какой-либо проблемы с помощью конкре!-
ных образов, а не путем абстрактных рас-
суждений. Поэтому модели очень полезны
физикам на ранних стадиях развития теории
Когда фактов мало, модель по необходи-
мое! и получается грубой. Но по мере уве-
личения объема информации модель посге-
пенно видоизменяется и усложняется и в
конечном счете (по крайней мерс иногда)
становится вполне завершенной теорией
ТЕОРИИ, КОТОРЫЕ ПРЕВРАЩАЮТСЯ
В ЗАКОНЫ. Стило традицией, что теорию.
23
1.7. Модели, теории, законы
проверенную и подтвержденную многочис-
ленными экспериментами, начинают рас-
сматривать как физический закон. Однако
термин «закон» несколько произволен, и
мно! не «законы» теперь признаны неточ-
ными. Так, например, закону Ома подчиня-
ется лишь ограниченный класс материалов
и лишь при определенных условиях. Законы
динамики Ныоюна в некоторых оi ношениях
должны быть видоизменены, согласно тре-
бованиям теории относи I ельнос I и. (Здесь
имеет место некоторая непоследователь-
ность: 1еория Ньютона, не вполне точная,
именуется «законом», тогда как теория от-
носительности, исправляющая недостатки
теории Ньютона, до сих пор называется
«теорией». Сложившаяся исторически тра-
диция часто медленно уступает место поня-
тиям. обусловленным новыми фак!ами )
НЕПРЕСТАННЫЕ ПОИСКИ НОВЫХ
ТЕОРИЙ. В настоящее время мы создаем
теории (или модели), относящиеся почти
ко всем областям физики —к структуре
Фи. 1.6. Модель атома радия, предложением
Бором (1923).
Каждая кривая представляет собой орбиту от-
дельного электрона. Группы красных и черных
линий — электронные «оболочки».
ядра, поведению элементарных частиц и их
взаимодействиям, эволюции звезд и обра-
зованию элементов, свойствам материи в
целом и даже к •прошрапегву, времени и
материи. Такие теории чаш о оказывались
весьма успешными, но иногда терпели пол-
ную неудачу. Прогресс продолжается-.у пас
пет «оконченных» или «совершенных» тео-
рий, а есть лишь множешво новых идей,
которые формулируются и подвергаются
проверке Одной из наиболее привлекатель-
ных особенностей физики является именно
живое взаимодействие теоретических идей
и экспериментальных факюв, подтверждаю-
щих или отвергающих эти идеи. Каждая
новая идея, каждый новый эксперимент рас-
ширяют |раницы нашего познания и позво-
ляют глубже заглянуть в тайны природы.
24
1. Структура фишки и ее язык
ФИЗИКА И МЕТАФИЗИКА. Необходимо
всегда иметь в виду, что физические теории
имеют дело в конечном счете только с соот-
ношениями между такими величинами, ко-
торые могут быть измерены. Лишь филосо-
фы.но не фи зики могут задать такой, напри-
мер. вопрос: «Почему справедлива кванто-
вая теория?» (Инот да физик также задает
такого рода вопрос, однако это является
отклонением от нормы ) Если физику уда-
ется согласовать между собой ряд фактов
и вывести общее соотношение, с помощью
которого можно вычислить значения новых
величин, подтверждаемые экспериментом,
то он считает свою задачу выполненной.
Совсем другое дело —пытаться дать все-
объем тющее, удовлетворительное с фило-
софской точки зрения описание явлений при-
роды.
1.8. Немного элементарной
математики
ЯЗЫК ФИЗИКИ Прежде чем приступить
к серьезному обсуждению какого-либо во-
проса. в особенности научною, мы должны
установить общую гермиполот ню. т е. оп-
ределить язык, которым следует пользо-
ваться. Так как физика количественная
наука, в которой резу тыаты эксперимен-
тальных наблюдений и предсказания теории
могут быть всегда сведены к числам, нашим
языком является математика Поистине за-
мечателен тот факт, что результаты мате-
матических вычислений можно сопоставить
с реальным миром. Математ ика в конечном
счете представляет собой изобретение чело-
веческого разума, нс требующее для своего
обоснования физической реальности, тогда
как физика целиком основана на экспери-
ментальных фактах* * 10. Почему же в гаком
* Не следует забывать, что возникновение ма-
тематики на самом деле неразрывно связано с
потребностями практики. Классический пример
геометрия (буквально «землемерия») была от-
крыта в Древнем Египте и возникла в связи < из-
мерениями на местности, которые необходимо
оы ю часто проводить вс зедствие разливов Нила,
постоянно смывающего границы участков
Прим ред.
случае математика прекрасно подходит для
описания физическою мира? Мы не можем
дать ответа однако применение математи-
ческою аппарата в физике оказалось столь
плодотворным, что мы редко задумываемся
над этим вопросом и продолжаем использо-
вать испытанное оружие математику.
СТЕПЕНИ 10. Физический мир охватывает
как очень малые, так и очень большие объек-
ты размеры атома и размеры Вселенной,
время, которое т ребуется для тот о, чтобы
свет дошел от страницы книти до нашею
глаза, и время, в течение которою сущест-
вует Вселенная. Ко да нам приходится иметь
дело с такими огромными интервалами рас-
ст тяний и времен (а также друт их величии),
мы сталкиваемся с проблемой записи чисел
Так. например, если мы хотим получить
выражение для отношения диаметра монеты
в десять центов к расстоянию от Земли до
Солнца, мы можем записать ею в виде
диаметр десятицентовой монеты
расстояние от Земли до Солнца
1________
15 000 000 000 000 ’
или, в десятичной записи,
диаметр десятицентовой монеты
расстояние от Земли до Солнца
= 0,000000 000 000 067.
Очевидно, что эти способы записи не явля-
ются особенно удобными. Чтобы преодо-
леть эту трудность, мы пользуемся для за-
писи числа возведением 10 в степень. Умно-
жая число 10 само па себя несколько раз,
получаем
10-10 КМ) Ю2
10-10-10 Ю00 ]()\
10 10 -10 -10 • 10 -10 1 (ММ) 000 106'
Таким образом, число, которое показывает,
сколько раз 10 умножается само на себя,
является верхним индексом у 10 (и называ-
ется показателем степени 10, или степенью,
в которую возводится 10). Очевидно,
101 10 и по определению 10° 1
1.8. Немного элементарной математики
25
Произведение степеней 10 выражается в
виде
10« . юз _ 00 10) • (10 • 10 • 10) =
= 105 = 10(2+3> .
Следовательно, общее выражение для про-
изведения 10” и 10т имеет вид 10'”+т'-
10" 10т — lO^"’"'"*. (1.1)
Если 10 в некоторой степени стоит в зна-
менателе, то показатель степени записыва-
ется со знаком минус:
— = 0,1 = 10-‘,
10
—1— , 0,001 - — - 10-3,
1000 ю3
—-------КГ”1. (1.2)
10й
Объединяя эти правила, получаем правило
деления:
— = юп. —L- = Ю" • io-*1 =
10"' 10т
= 10(n-m> . (1.3)
Пользуясь этим обозначением, мы можем
теперь записать отношение диаметра дсся-
тицентовой монеты к расстоянию от Земли
до Со ища как 6,7-10 14. Такая запись вос-
принимается I ораздо легче, чем предыдущая,
содержащая 14 ну тей.
Показате ть степени 10 иногда называют
«порядком величины». Например, доллар
на порядок величины больше, чем десять
центов. Или мы можем приближенно ска-
зать, что Земля на два порядка величины
тяжелее Луны. (В действительности Земля
тяжелее Луны примерно в 81 раз.) Умение
мыслить порядками величин (степенями 10)
оказывается очень полешым при попытках
приблизиться к пониманию окружающего
нас физическою мира.
Пример 1.1
6 400 °00. = (6 4. ю4) —!— - AL . 10* =1,6. ю4.
400 4 102 4 102
Обычно, пользуясь этим обозначением,
мы записываем коэффициент перед 10 в
некоторой степени как число, лежащее меж-
ду 0.1 и 10. Так, мы пишем либо 2,4-109,
либо 0,24-10ю вместо того, чтобы писать,
например, 24 000 106 и ти 0.00024 • 10‘3
Говоря о физических величинах, мы ино-
тда обозначаем ту или иную степень 10,
добавляя к единице измерения соответст
вующую приставку. Например, санти озна-
чает 1 100 и, таким образом, 1 100 метра
называется санти метро и; мега означает 106,
гак что 1 миллион долларов равен 1 мета
доллару. В табл. 1.1 приведены наиболее
часто применяемые приставки
Таблица 1.1. Приставки, обозначающие сте-
пени 10
При тавка Символ Число
гига Г 10’
мега м I06
кило к 103
санти с 10~2
милли м 103
микро мк 10“6
нано н 10”
ПИКО п ю12
фемто ф 10-’5
26
1. Структура физики и ее язык
Целый показатель степени представляв!
собой степень, в которую возводится чис ю,
например 102 - 100 или З2 9. Дробный
показатель степени представляет собой ко-
рень из числа, например (100)!4 00 10
или 9^ =- 3. Вообще т-й корень из числа N
т/—
/ N = Nl/m ; (1.4)
эго означает, что, возводя /V в степень т.
.мы снова получим N:
- № — N.
Пример 1.2
j/400 - (400)7' - (4 • Ю2)7, - (4)7» • (102)7» = 2 • 10 = 20.
Пример 1.3
1600 • 100001»/. Г (16 102) 10« ]»/.
2000 J [ 2 • 103 J
- (8 • IO2)7» = (8)7» - (ЮЗ)7» = 2 - 10 = 20.
ОБЪЯСНЕНИЕ СИМВОЛОВ. Обычная
форма записи уравнения, при которой сим-
волом пользуются, чтобы выразить ра-
венство между двумя величинами, знакома
каждому.
У Ю/2.
В некоторых с !учаях соотношения записы-
ваю !ся дру! ими способами и содержат не-
сколько отличную информацию (но всегда
менее полную информацию, чем точное
равенство). Например, в случае, описывае-
мом приведенным выше уравнением, нас
может интересовав toi фак!, что у зависит
от Г2-, и нам может не понадобиться знание
коэффициента пропорциональности (в дан-
ном случае 16). Мы можем выразить это.
сказав, ч го у пропорциона 1ьнб I2, или написать
У ~ t2,
что эквивалентно утверждению
У - kt2,
те к коэффициент пропорциональности
(в некоторых случаях его значение может
быть даже нсизвесшо).
Если мы знаем результат лишь приб ш-
женно, а пс точно, мы пользуемся симво-
лом л, который означает приближенно рав-
но. Следовательно, если бы точное соотно-
шение, связывающее у и t2, имело вид
У ~ 16,127/2,
то мы moi ли бы написа!ь прибтиженные
соотношения"
У Ж 16,13 /2.
или
У Ж 16,1 /2,
или, наконец.
уж 16/2.
Использование приближений подобного
рода (например, замены 16,127 на 16) вполне
допушимо и во многих случаях может даже
оказаться предпочтительнее «точного» вы-
числения. Это зависит oi того, наскотько
точным должен быть окончательный ре-
1.8. Немного элементарной математики
27
зультат. Нет смысла производить вычисле-
ния с точностью до шести десятичных зна-
ков, если достаточно двух.
Если мы имеем лишь смутное представ-
ление о значении какой-либо величины, го
можно использовать символ ~, подразу-
мевая. что оно известно лишь очень прибли-
женно или Ч1о известен только его порядок
величины. Например, мы говорим, что га-
лактика Андромеды примерно в 3 10" раз
массивнее Солнца. Но мы нс знаем, насколь-
ко точно что значение; оно может быть равно
2 10" или 6 10" или лаже сше больше
отличаться от 3 • 101 11оэтому мы говорим
масса Андромеды по порядку величины равна
3‘10" массам Со ища и пишем
масса Андромеды — 3 • 10" масс Солнца,
или мы говорим, что отношение массы Анд-
ромеды к массе Солнца ~ 3 10' ’.
Символы > и < означают соответствен-
но «больше, чем» и «меньше, чем»:
территория Нью-Йорка < территории
Техаса,
масса Земли > массы Луны
Если некоторая величина много больше
другой величины, мы пользуемся симво-
лом 28» :
масса Андромеды » массы Солнца.
Иногда мы знаем только, что некая вели-
чина больше (или меньше) какого-то не
вполне определенного значения. Гот да мы
пользуемся символом (или 4; ). что озна-
чает: «больше (или меньше), чем некоторое
приближенное значение» Так. например.
валовой продукт национального производ-
ства больше, чем примерно 900 000 000 000
долларов, т. е.
валовой продукт 900. гигадолларов.
Математические символы, которые ис
пользуются в этой кните, и их значения при-
ведены в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Математические символы и их
течение
Символ Значение
— равно
приближенно равно
очень приближенно равно, имее! порядок величины, пропор- ционально
> (О больше (меньше), чем
» (<К) много больше (меньше), чем
(«) больше (меньше), чем примерно
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Не-
которые физические величины известны с
очень большой точностью; нередко их зна-
чения бывают вычислены с точностью до
1,10® и выше. Имея дело с такими всличи
нами, необходимо (и, конечно, оправдано)
вычислять результат с точностью до многих
значащих цифр С другой стороны, нередко
требуется только приближенный результат,
чтобы получить нс точное, а лишь общее
представление о данной величине В таких
случаях следует пользоваться приближен-
ными значениями что очень упрошает вы-
числения
Пример 1.4
Вычислить
. л |л2 2,17
Л (6,83V + (1,07)2
28
1 Структура физики и ее язык
Мы воспользуемся следующими приближенными значениями.
Т. = 3,1416»3,
/2 = 1,414» 1,5,
2,17»2,
(6,83)2 » 72 = 49 » 50,
(1,07)*» 1,
50 + 1 » 50.
Тогда
А ~ 3 • 1,5-2 9
~ 50 ~ 50
— - 0,2
50
Подобная процедура позволяет в несколько секунд получип. результат, достаточно точ-
ный для многих целей; подсчеты же с помощью логарифмической линейки потребовали бы
в данном случае около минуты.
Даже в том случае, когда прн решении
задачи требуется более точный oibct, по-
лезно сначала проделать приближенные вы-
числения Заранее зная приближенный ответ,
мы часто можем легко обнаружить ошибку
при более точных вычислениях. Так, напри-
мер, при подсчетах на лотарифмической ли-
нейке обычной ошибкой является неправиль-
ная постановка запятой, отделяющей целую
часть числа; в таких случаях приближенный
результат служит полезным ориентиром.
РАДИАННАЯ МЕРА Наиболее употреби
тельной единицей для измерения углов явля-
ется градус, определяемый как 1/360 окруж
нос1 и В некоторых случаях, однако, удобнее
пользоваться другой единицей радианом
(фш 1.7). Угол в 1 радиан соответствует
дуге, длина которой как раз равна радиусу г
окружности. Таким образом, в общем случае
имеем
s = r0, (1.5)
где 0 измеряется в радианах. Длина окруж-
ности С равна произведению 2л на радиус:
С = 2?-г.
Следовательно, 360 (для полной окружно-
сти) эквивалентны 2л радианам. Таким об-
разом,
1 радиан = » 57°,3. (1.7)
Фш . 1.7. Центральный угол 0 опрсде счет ду-
гу д изной s на окружности радиуса t.
Если мы воспользуемся более точным зна-
чением п (3,14159265 ...), то найдем, что 1 ра
диан равен 57 ,2957795 ... . В свою очередь
10 = 0,0174533.. радиана
Пользуясь зависимостью s г0. в опре
деленных условиях лет ко приближенно оце-
нивать расстояния Предположим, что на
земле на расстоянии R от наблюдателя
находящет ося в точке О, расположен верт и-
кальный шест (фиг 1.8) Наблюдатель изме-
ряет угол, пол которым виден шест, и нахо-
дит, что этот угол равен 0. Наблюдатель
мысленно строит окружность радиуса R с
центром в точке О, проходящую через ниж-
ний конец шеста. Длина дуги
S-= R0. (1-8)
1.9. Измерения и графики
29
Фиг. 1.8. Оценка высоты
предмета по измерению
угла в точке О: h RO
Гак как угол 0 мал. душ S приближенно
равна высоте шее in Л, и мы можем написать
hxRU. (1.9)
Этот метод вычисления приближенного
значения Л годится, если угол 0 достаточно
мал. Даже для 0 = 20 ошибка составляет
лишь около 4%. Если угол 0 равен пссколь-
гим градусам, то в большинстве случаев
ошибкой можно пренебречь, для 0 1
ошибка составляет 0,01%, или 1 ,'10*
1.9. Измерения и графики
жень, и о том, какова предельная си та,
которую можно приложить к стержню, пе
разрушая его. Полный набор численных
значений нужен, конечно, инженеру-конст-
руктору, который должен на их основе про-
делать необходимые расчеты, но из трафика
зависимости длины стержня от приложенной
нагрузки можно также получить полное
представление о стержне, над которым про-
изводился эксперимент. (Для стержней из
друт их материалов и с другой площадью
поперечного сечения получились бы дру ис
«кривые пластичности».)
ГРАФИК НАГЛЯДНЕЕ ТАБЛИЦЫ ЗНА
ЧЕНИЙ. Чтобы лучше попять сложный
комплекс фактов, физик строит мысленную
модель; точно так же, чтобы представить
экспериментальные данные в более нагляд-
ном виде, он пользуется графическим изоб-
ражением. Например, если эксперимент со-
стоит в измерении длины стержня, то в ре-
зультате измерений мы получим одно опре-
деленное значение (с соответствующей по-
грешностью). Но если измеряемая величина
принимает различные значения при измене-
нии какого-либо внешнего параметра или
если ее значения изменяются с течением вре
мени. то единственного значения окажется
уже недостаточно для описания. Предполо-
жим, что один коней длинного топкого
стержня жестко закреплен и мы измеряем
его длину по мерс увеличения груза, при-
крептенного к нижнему концу. Будем уве
личивать груз до тех пор. пока стержень не
разорвется. Такой эксперимент дает два вида
информации: о том, как растягивается стер-
Фиг. 1.9. Результаты гипотетического Экс-
перимента по измерению удлинения и предела
прочности стержн ч
30
1 Структура (физики и ее язык
Результаты описанного гипотетического
эксперимента приведены на фиг. 1.9, где
нанесены экспериментальные точки; жирны-
ми точками показаны измеренные значения,
а вертикальные черточки характеризуют
маеппаб вероятной ошибки каждого изме-
рения. Из этого графика видно, что длина
стержня линейно возрастает для нагрузок,
не превышающих 25 кг; для больших на-
грузок она возрастает быстрее вплоть до
значения нагрузки примерно в 48 ki, которое
называется пределом текучести и при кото-
ром происходи! разрыв стержня. Пользуясь
графиком, гораздо легче получи !Ь качест-
венное представление о результатах экспе-
римента, чем из таблицы численных зна-
чений.
ГРАФИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ
И ЭКСПЕРИМЕНТА Кривая па фш. 1.9
проведена через экспериментальные точки
до некоторой степени произвольно, чгобы
дать наглядное представление о полученных
результатах. Конечно, если бы мы распо-
лагали теорией, описывающей исследуемое
явление, то ле! ко было бы сравнить теорию
с экспсримен юм, построив на том же i рафи-
ке теоретическую кривую.
Такое сравнение теории с экспериментом
проведено на фш 1 10. где нанесены резуль-
таты измерений массы электрона в завися
мости от сю скорости. Кривая на фш 1.10
построена на основе теории относительно-
сти. Видно, что эксперимент находится в
хорошем со! ласии с теорией, подтверждая се
предсказания
1.10. Значащие цифры
ПОГРЕШНОСТЬ ОКРУГЛЕНИЯ Часто,
записывая результаты эксперимента, мы для
краткости не указываем вероятную ошибку-
Так, например, вместо тою чюбы написан»
2,174 0.002, мы часто пишем просто 2,174
Обычно такая сокращенная тапир» подразу-
мевает, что результат верен с точностью
до последнею дссятчпою знака Следова-
тельно, если мы пишем 2,174, го при этом
имеем в виду, что цифра 7 определена гочно,
а 4 приближенно. Если полный резулыдг
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1,0
и/с
Фи! 1.10. И членение массы электрона в за-
висимости от скорости
На графике представлены измерения произведен-
ные « период 1901 1909 гг ' полученные значение
совпадают с кривой, предсказанной теорией от
нт timeзьности Видно что зкепери иент подтвер
дил предеказание теории пВтп отношение мас-
сы движущегося э (ектроиа к его массе при нуле-
вой скорости е с —отношение скорости элект-
рона к скорости света, с 3 • /О10 см,'с Теория
этого явления рассматривается в разделе 11.3
имеет вид 2,174 ±0,013 то в сокращенной
форме он будет выглядеть как 2.17. а не 2,174.
Таким образом, мы приводим только знача
щие цифры резулыага.
Поскольку результат всегда можно пред-
ставить в различных е шпицах измерения,
необходимо следить за тем, чтобы он был
записан в такой форме, которая выявля га бы
значащие цифры. Например, если мы поту
чили результат 2.17 километра, причем по-
следней значащей цифрой является 7, то мы
нс можем записать его как 217 000 санти-
метров (см), гак как в этом числе появилось
шесть значащих цифр. Вместо этого мы
должны записать результат в виде
2,17-К)5 см Такой способ записи авто-
матически ограничивает число дссяшчных
знаков после, шей значащей цифрой Если
бы третий нуль в числе 217 000 см был
Вопросы
31
значащим, то нам следовало написать
2.170-10’ см*.
Если в результат входят два числа, го ei о
точность будет такой, же, как у числа, имею-
щего меньшую точность. Например, умножая
2,17 ±0,02 на 0.952 ±0,001, мы получаем
2.1049. Однако последние две цифры не
будут значащими, так как множителю 2,17
соответствует ошибка 1% и такую же ошибку
должно иметь произведение. Следователь-
но, результат должен быть записан в виде
2,10 ±0,02. Подобным образом при сложе-
нии тех же чисел результат нельзя записы-
вать как 3.122. поскольку 1акая запись озна-
чала бы, что последний десятичный знак
является значащей цифрой Сумма же вы-
числяется с той же ошибкой, что и ошибка
слагаемого 2,17, л. е. 0,02. Следовательно,
резу мат имеет вид 3,12 ±0,02.
Основные выводы
Физика зкеперимента.1ыш.ч наука, в ко-
торой более глубокое понимание природы
достигается благодаря применению научного
метода к эмпирическим фактам и наблюде-
ниям.
Гермин «научный метод» не поддастся
точному определению: зло общий подход,
отчасти с индивидуальными особенностями,
к использованию наблюдений и эксперимен-
та, рассужд ний и дотики для лучшего по-
нимания окружающего нас мира.
Физические модели и теории предназна-
чены для приведения в соответствие между
собой тех сведений, которые мы получаем,
исследуя явления природы. Ни одна из тео-
рий не можег прет ендова ь на звание «истин-
ной»: она лает лишь наилучшее для данного
времени описание той области, в которой
она применяется, теория веет ла может быть
изменена (или же но тиостью отвергнута),
если станут известны новые факты.
Физика исследует явления природы, осно-
вываясь на точных и поддающихся контро-
лю методах и всегда сводя полученные дан-
ные к числам, которые можно сравнить с
численными предсказаниями теории
Вопросы
1.1. Прокомментируйте вкратце следующее высказывание Джеймса Конанта: «быть хорошо зна-
комым с чостижент ями пауки еще пе значит ее понимать».
1 2 Согласно Аристоте по. если два предмета бросить с некоторой высоты, то более тяжелый пред-
мет будет падать быстрее. Что предсказала бы «теория» Аристотеля для случая падения двух тел,
одно ит которых тяжелее другого, если бы эти тела были связаны между собой веревкой определен-
ной длины? Каковы были бы ее предсказания для случая, когда падающие тела соединены лрут с
другом вплотную, образуя как бы одно гело9 Можете ли вы прийти к выводу, что в «теории» Арттсто
теля имеется лот ичсская ошибка?
1.3. Прогресс науки, и физики в особенности, веет да является результатом взаимосвязи эксперимента
тт теории Что итра о в прош том более важную роль эксперимент или теория? Что. по вашему
мнению, будет играть доминирующую роль в будущем9 Почему?
1.4. Обсучите связь (сети она существует) между простотой физической теории и ее доступностью.
* Внимате 1ьный читате 1ь обнаружит. что в да льнеише м мы не всегда придерживав меч иного пра-
вит. (Ведь гораздо проще писать 1370. чем 1.37 10* даже если нуль не является значащей цифрой.)
Однако в тех с.пчзчх, когда число значащих цифр действительно и.рает вамнгю роль мы всегда
следуем иному правилу
1. СУпруктура фишки и ее язык
1.5. Эйнштейн скачал, что великая теория это такая теория, которая обладает «внутренним со-
вершенством» и проверяется «внешним подтверждением». Обсудите смысл этою высказывания.
Что означав! каждое из этих утверждений?
1.6. Перечислите несколько открытий в физике, которые нашли важные применения в медицине
и в технике связи (Напомним, что такие открытия, как изобретение те.<ет|тона. нс являются «физиче-
скими от крытиями ».)
17. Справедливы ли следующие «физические теории»: а) на булавочной соловке могут уместиться
40 000 ангелов, б) Луна связана с Землей невесомой и невидимой веревкой, через которую любой
материальный объект может проходить, не вызывая при этом наблюдаемого эффекта. (Эта теория
объясняет, почему Луна веет да повернута к Земле одной и той же стороной.)
1.8. Почему мы продолжаем пользоваться некоторой моделью, хотя не знаем, па каких физических
принципах она основана?
19. Экспериментатор итмсряет некоторую величину и наносит свои результаты на трафик. Сплош-
ная кривая соответствует теоретическим предсказаниям результатов эксперимента. Что вы можете
сказать: а) о справедливости данной теории исследуемого эффекта и б) о методе, использованном
экспериментатором для определения вероятных ошибок измерений?
Задачи *
1.1. Результат некоторого эксперимента дает следующую последовательность чисел: 1.00; 4,00;
9,00. 16 00; 25.00 Предложите гипотезу, объясняющую исследуемое явление и предскажите несколь-
ко следующих чисел последовательности. Предположим, что после этого проведен эксперимент и
получены следующие значения 35,9i0,2. 49,2±0,2. 63,6 + 0.3. 81.3 + 0,3 К каким выводам отно-
сительно вашей теории вы придете9
1.2. Оцепите следующие величины (достаточно одной значащей цифры) и выразите их как степени 10:
а) отношение вашего роста к диаметру вашею указательною пальца;
б) от ношение максимальной скорости вашего бета к скорости реактивного самолета
* Звездочкой отмечены более трудные задачи
Задачи
33
1.3. Произведите следующие вычисления, пользуясь обозначением «10 в степени»
а) 240 3000000 ----------—, в) (200Р • (ЭОО)'7* ,
’ 600 000 ’ 7
б) |/г6400 - 300 • ----Ь—, г) (30)2 • (2500) v*.
8000
1.4. Нс производя подробных вычислений и не пользуясь логарифмической линейкой, найдите при-
ближенные тначення (с одной или двумя значащими цифрами)
. V27 - 4,82 а> 0,512 ’ Г (3.41)2 + (0,27)2 1'3
б) —, (9,6)2 . я2 • 9,68 Г) . (3,1)24- (2,9)2
1.5. Радиоприемник А с направленной ангенной расположен на 10 км к северу от подобною ему
радиоприемника В Приемник А регистрирует сигнал от источника, когда антенна А указывает ПО
к востоку оз направления на север. Сит нал от того же источника регистрируется приемником В, кот да
антенна В указывает 70 к востоку от направления на север. В каком направлении и на каком рассюя
нии от средней точки между А и В находится источник?
1.6* . Луч лазера налает с Земли на Луну, проходя расстояние 386 000 км. Поперечное сечение талер-
ного пучка представляет собой окружность, расходимость пучка 2- 10”’ рад (т. е. он имеет форму
конуса с утлом раствора 2 10 5 ра.ч). Чему равен диаметр световою пятна па Луне?
1.7* . Теория предсказывает, что некая физическая вс нт чина р но тжтта зависеть от времени согласно
соотношению р 3.00с-т-1.00г+0,65 Эксперимент мает следующие результаты:
0 0.70 ±0,10
1 4,58 ±0,15
2 14.83 : 0,10
3 31,05 0.50
4 52,00 0,80
Сравните с помощью графика теорию и эксперимент. Какие выводы вы можете еде тать о справедли-
вости згой теории?
1.8. В табпще приведены результаты некоторого эксперимента Изобразите их графически. Как г
зависит от х?
А V А У
1 16.2 0,2 6 15.9 ±0.2
2 15,8 0.3 7 16.3 ±0,2
3 15,7 0,2 8 15,9 ±0,2
4 16,3 0,3 9 15,9 ±0,3
5 16,1 0,2 10 16,1 ±0,3
1 779
34
1. Структура физики и ее язык
1.9. Эксперимент лает следующую 1аблнцу результатов:
т 01234567
у 5,0 3,2 1,8 1,9 3,3 4,8 3,7 0,9
Изобразите |рафически эти данные. Проведите плавную кривую, которая удовлетворительно описы-
вает экспериментальные результаты Определи те значения у д иг а) х 2,5, 6) х 5,5, в) х 8.
1.10. Пусть х 1,8± 0,1 и у 3,17± 0,01; выразите ху и х i-y с соответствующим числом значащих
цифр.
I
2 Длина, время, масса
2.1. Длина
2.2. Время
2.3. Масса
2.4. Системы единиц
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Человек давно осознал необходимость измерять разные величины размеры земельного
участка, количество зерна в корзине, расстояние между городами или промежуток времени,
занимаемый какой-либо поездкой. Это были извечные нужды, и под влиянием потребностей
жизни примитивные методы измерений тех или других величин постепенно развились в точ-
ную науку От грубых водяных часов и т игаптского каменного календаря в Стоунхендже мы
пришли к атомным часам, измеряющим промежуток времени в 30 000 лет с точностью до
1 секунды. Вместо того чтобы измерять расстояние шатоми. как эго делалось в древние
времена, мы пользуемся теперь эталонами длины, имеющими точность до I сантиметра
на 10 000 километров.
Основой системы точных физических измерений являются удобные, четко определенные
единицы и точно воспроизводимые эталоны. В этой iiaiic вводится система единиц длины,
времени и массы, которой мы будем пользоваться в дальнейшем. В следующей главе обсуж-
даются методы определения этих величин применительно к тем предельным е тучаям, с ко-
торыми мы сталкиваемся в окружающем нас физическом мире.
Наши представления о времени и длине, полученные из повседневного опыта, moi ул быть
применены в физике непосредственно. Понятие длины, по существу, геометрическое; хо>я
понятие времени оказывается более сложным, мы все же можем оценить время, исходя из
того, что происходит между какими-либо двумя событиями.
С лруюй стороны, понятие массы принципиально отлично от понятой длины и времени
в двух оIношениях. Во-первых, часто утверждают что масса характеризует количество ве-
щества, содержащегося в данном предмете Мы можем интуитивно уяснить смысл этого
определения, однако если мы попы 1аемся построить leopmo движущихся и взаимодействую-
щих теп, пользуясь только таким опреде iciihcm, го вскоре столкнемся с непреодолимыми
рудностями В самом де ic, при более близком рассмотрении обнаруживается, что прави п,-
ное определение массы можно да то лишь в рамках динамики движущихся тел. впервые
развитой Ньютоном и усовершеисiвованной Эйнштейном в его теории относительности.
Поэтому мы отложим рассмотрение точного определения массы до изучения ншамнки
(тл. 5), а пока будем пользоваться расплывчатым термином «количество вещества».
Фш 2.1 Часы, сконструированные выдаю-
щимся английским часовым мастером Джо-
ном Гаррисонам примерно в 1735 г.
Часы Гаррисона впервые обеспечи-Ш достаточную
точность 0 <з безопасного судоходства в откры-
том море В течение пятимесячного плавания в
1736 г одни из часов Гаррисона отстали всего
лишь на 15 с
2. Длина, время, масса
Фи1 2.2. Стоунхендж {Южная Англия)',
здесь 3500 лет назад верховный жрец, стоя
в центре сооружения на каменном алтаре, мог
в первый день iema наб подать через просветы
между столбами восход Солнца.
На верхнем рисунке стрелками показана ориента
ция отметок на земле, указывающие на восход
и заход Солнца в дни летнего и зимнего солнце-
стояний. Находясь внутри сооружения, можно
наблюдать только восход Солнца при летнем
солнцестоянии. Отсюда можно зак почить, что
зпю был особенно вамсный день — может быть,
первый день нового года.
2.1 Д тиа
39
Второе принципиальное отличие понятия массы от понятий длины и времени состоит в
следующем. У нас нет необходимости связывать длину и время с веществом и, следова-
тельно, эти понятия не зависят от наших знаний о свойствах вещества Напротив, масса
представляет собой фундаментальное свойство вещества, эти понят ия неотделимы одно от
другого. Важным следствием этой связи является то, что массу нельзя считать бесконечно
делимой или непрерывной подобно длине и времени*. Сколь малым ни был бы отрезок дли-
ны или времени, ничто не мешает нам представить себе еще меньший. Продолжая этот про-
цесс деления до бесконечности, мы приходим к выводу, что пространство и время образуют
континуум. Вещество же нельзя делить бесконечно, в конечном счете мы придем к частицам,
составляющим атом, электронам, протонам и нейтронам. Разделить на части электрон
мы не можем (по крайней мере сегодня), и. таким образом, мы достигли предела Вещест во
и, следовательно, масса состоят из дискретных частиц; вещество не образует континуума.
Конечно, размеры атомов достаточно малы, так что в повседневной жизни вещество можно
считать непрерывным Но в принципе атомная природа вещества имеет решающее значение.
Хотя в этой главе мы ие будем обсуждать какие- тибо детали строения вещества, при описа-
нии того, как устанавливаются эталоны физических единиц, мы будем пользоваться атом-
ными представлениями.
Вес тела нс тождествен его массе Вес, определяемый с помощью пружинных или рычаж-
ных весов, является мерой притяжения тела другим гелом (например, Землей). Вес данного
тела на Земле отпичаегся от его веса на Луне из-за различия сил притяжения на обеих пла-
нетах Мы еще вернемся к этому вопросу в гл. 5.
2.1. Длина
ЭТАЛОН МЕТРА. Па протяжении писаной
истории человечества было изобретено ог-
ромное количество единиц длины — локоть,
пядь, сажень, ярд. фут, английская миля
морская миля, метр и т. д. Однако в настоя-
щее время широкое распространение имеют
только две системы единиц — британская
и метрическая. Британская система (она
применяется в большинстве англоязычных
стран, но, без сомнения, будет вытеснена
метрической системой) основана на эталон-
ном ярде** Производными единицами в
этой системе являются фут (1 3 яр та), дюйм
(1.36 ярда) и ангмйскач мня (1760 ярдов).
Метрическая система родилась во Франции
в эпоху Наполеона (1801 т ) и вскоре стала
распространяться в континентальной Евро-
* Впроче и со, изено некоторы и современны и
теориям. даже дайна и время могут перестать
быть непрерывными при чрезвычайно малых зна-
чении л аежаи/их за пределами современных .ие
тодов исследования
** Теперь ярд выражается через метрические
единицы (тай i 2.1)
пе (обычно она вводилась эдиктом на за-
воеванных Францией территориях) Перво-
начально метр был определен как одна
десятими.тлиоппая доля расстояния от эква-
тора до Северного полюса вдоль меридиана,
проходящего через Париж (фиг. 2.3). Метр
лишь незначительно отличается от британ-
ского ярда. 1 м 39,37 дюйма г» 1,1 ярда.
Вскоре после того как метр был выражен
в долях длины земного меридиана, стало
ясно, что необходим более практичный эта-
лон. Однако лишь в 1889 г. метр был офи-
циально определен как расстояние между
двумя параллельными метками, нанесен-
ными на платино-иридиевом бруске. (Чтобы
обеспечить воспроизводимость измерений
расстояния между метками, брусок должен
содержаться при температуре тающего лада
и в строго определенном положении.) Эта
лонный метр находится в Между народном
Бюро Мер и Весов вблизи Парижа, а сде-
ланные копии с него (вторичные эталоны)
распределены между национальными служ-
бами стандартов во всем мире. Соединен
ным Штатам принадлежит эталон № 27
(фш. 2.4). находящийся в Национальном
Бюро Стандартов с тех пор как он был
доставлен пт Франции в 1890 т
40
2. / шна время. масса
АТОМНЫЙ ЭТАЛОН Д 1ИПЫ. (равне-
ние длины тела с эталонным метром может
быть произведеное ючностью до (2 5)-10 7
с помощью прецизионного микроскопа. Пре-
дел точное ।и определяется толщиной меток,
соответствующих концам метра. Использо-
вание Э1алонного метра связано с двумя не-
достатками: во-первых, точность измерений
оказывается слишком малой для mhoihx
научных целей и, во вторых, сравнение длин
с помощью бруска, находящегося в лабора-
Фи1. 2.3. Первонача ihho метр определи, а. ч
как одна дес чтима i.тонна.ч часть четверти
земного меридиана, проходящего через Дюн-
керк и Барселоне (и очень близко от центра
Парижа)
Расстояние между Дюнкерком и Барсе ютя бы-
ло измерено группой французских топографов. и
по полученным данным с использованием астро
комических онреде teituii широты была вычислена
д шна четверти меридиана.
2-1 Длина
41
тории стандартов. чрезвычайно неудобно.
Эти грудное!и были преодолены благодаря
установлению международным соглашени-
ем 1961 г естественной единицы длины,
основанной на агоцном излучении. Гак как
все атомы данною сорта одинаковы, иден-
тичны также их излучения. Следовательно,
измерения, основанные на атомном опреде-
лении длины, всегда воспроизводимы. В на-
стоящее время мы принимаем в качестве
первичного эталона длины длину вотны
(в вакууме) оранжевою света, испускаемого
Фи1. 2.4. Метр №27 наход.нщийсч в Нацио-
нальном Бюро Стандартов (Гейтерсберг,
штат Мэриленд)
Повторное его сравнение с первичным эталоном
проводилось в 1955 г.
криптоном (точнее, излучения изотопа крип-
тона с массовым числом 86, см раздел 3 4)
Этот эталон был установлен путем тщатель-
ного сравнения длины эталонного метра
с длиной волны оранжевой линии крипто-
иа-86. Было решено, ч го I 650 763,73 длины
волны линии криптона составляет в точ-
ности I метр. Это определение согласуется
со старым, являясь в 100 раз более точным.
Теперь эталон может быть воспроизведен
в лабораториях всего мира.
В табл. 2.1 приведены переводные коэф-
фициенты. связывающие некоюрые едипипы
длины в метрической и британской системах
единиц. Заметим, что дюймы. фу!Ы и ярды
точно определены в сантиметрах. Таким
образом, длина волны криптона-86 является
эталоном для обеих систем единиц.
42
2. Длина, вре мя, .масса
Тад.лица 2.1. Коэффициенты перехода между
некоторыми единицами длины в метрической
и британской системах единиц
В табл. 2.3 приведены значения некоторых
расстояний, которые окажутся полезными
нам в дальнейшем.
I см 0,3937 дюйма
1 м 3,281 фуга
1 км 0,6214 мили
3281 фут
1 дюйм = 2,54 см 1
| фут = 30.48 см > точно
1 ярд = 91,44 см )
1 миля — 5280 фу-
тов — 1.609 км
В табл. 2.2 схематически показан гигант-
ский диапазон ратмеров и расстояний, встре-
чающихся во Все 1енной. Заметим, что со-
седние значения па вертикальной шкале раз-
личаются в 1000 раз. Наибольшие рассюя-
ния, которые мы можем себе представить,
отличакмея oi наименьших на сорок поряд-
ков величины!
Фит. 2.5. Большая туманность в созвездии
Андромеды.
Эта галактика находится от нас на расстоянии
примерно 2.2 106 световых лет, или 2.1 10ысм
Она несколько больше нашей Галактики и при-
мерно вдвое массивнее По обе стороны туман-
ности видны две меньшие алактики. 'Гуманность
Андромеды — одна из ближайших к нам галактик
во Вселенной.
43
Таампк! 2.2. Диашпон расспшниий «о lice.ieiuuni
Сантиметры
102’
1026
1023
1О20
10”
Ю'4
10”
10е
I05
ю2
10*'
10'4
10-7
К)-’о
10 13
Гранины Вселенной
Ближайшая галактика
Радиус нашей Галактики
Ближайшая звезда (Проксима Центавра*
I СВС1ОВОЙ год
Радиус орбиты П.зутона
Расстояние Земля Солнце
Расстояние Земля—Луна
Расстояние Нью Йорк Чикаго
Высота памятника Вашингтону
Рост человека
Размер крупинки соли
Размер вируса
Радиус атома водорода
Радиус атомного ядра
44
2. Дайна. время, масса
Гао.тна 2.3. Значения некоторых расстояний
Расстояние от Земли до Прокси-
мы Центавра (ближайшей
эвезды)
1 парсек*
I световой год*
I астрономическая единица (рас-
стояние or Земли до Солнца)*
Радиус Солнца
Расстояние от Земли до Луны
Радиус Земли
Длина волны желтой линии нат
рия
I ангстрем (А)
Радиус атома водорода
Радиус прогона
4.04 10’8 см 1,31 парсека (пс
3,086 1018 см - 3,26 св. толп
9,460-10” см 0,306 нс
1,496 10'' см
6 960 10'° см
3.844 Ю10 см
6,378 I О8 см
5 89 10‘5 см
10 8 см
5,292 10 9 см
1,2-10 ” см
* Эти штроп омические единицы дшны oidrm рассмотрены » э. V
2.2. Время
ЭТАЛОНЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ДВИЖЕ-
НИИ ЗЕМЛИ. В то время как длина явля-
ется, по существу, т еометричсским поняти-
ем, наши представления о времени не имею!
с юль простой основы. Аристотель называл
время «числом движения», а Лейбниц писал,
что «время есть абстракция всех соотноше-
ний последовательности». Для измерения
длины можно многократно использовагь
метровую линейку, перемещая ее от точки
к точке. Эталонный ип гервал времени может
быть использован лишь один раз Поэтому
эталоном для измерения времени должен
служить регулярно повторяющийся процесс
Таким образом, мы должны в одно и то же
время иметь «число» Аристотеля и «после-
довательность» Лейбница В качестве повто-
ряющегося процесса можно использовать
восход Солнца Но тогда вскоре обнаружи-
вается, что интервал между последователь-
ными восходами зависит от времени года.
Можно у тучшпть положение, выбрав в ка
чсстве эталона средние солнечные сутки
среднее (за год) время обращения Земли
вокруг оси. Секунда определяется тот. та
как Е'86 400 средних солнечных суток Опре-
деленное таким образом время называется
всемирным временем.
Однако для измерения времени с большой
। очное тью неудобно пользоваться периодом
обращения Земли вокрут своей оси из-за
незначительных, но вполне ощутимых от-
клонений в скорости вращения Изменения
скорости составляют около 10-8 на протя-
жении тома. Поэтому астрономическое вре-
мя вычисляется в настоящее время на основе
средней солнечной секунды, соответствую-
щей началу 1900 г Это время называется
эфемеридным временем, а эфемеридная се-
кунда составляет 1.31 556 925,97 474 от про-
должительности 1900 т. в тропиках. Точное! ь
определения эфемеридной секунды состав-
ляет около 2-К)-9 В 1900 г. всемирное и
эфемеридное времена совпадали, но в ре-
зультате накопления отклонений в 1971 т
они стали различаться на потмиттуты.
АТОМНЫЙ ЭТАЛОН ВРЕМЕНИ Для до-
стижения ешс более высокой точности изме-
рений в 1967 г была принята естественная
единица времени аналогично тому, как это
было сделано ранее для эталона длины.
Современные атомные часы (фиг. 2.6) осно-
ваны на колебаниях, происходящих в атоме
2.2. Время
45
цезия (точнее, изотопа цезия-133). Физиче-
ская секунда определена как длительноеib
9 192 631 770 периодов атомных колебаний
цезия-133. При таком определении секунды
можно сравнивать временные интервалы с
точностью до IO'12, i.e. с максимальной
ошибкой I секунда при измерении интерва
лов до 30 000 лез (см. также таб i. 2.4). Сов-
ременные исследования колебаний других
аюмов (ио большей част связанные с водо-
родным ’квантовым генератором) пока1ы-
ваю1, что уже в ближайшем будущем мы
будем обладать часами, обеспечивающими
точность до 10 |4, или максимальную ошиб-
ку I секунда при и змерении интервалов до
3 миллионов ле i!
Служба точною времени для практиче-
ских целей обеспечивается в СШЛ радио-
шанцией WWV находящейся в Форт-Кол
линзе, nnai Колорадо, и управляемой На-
циональным Бюро Стандартов. Радиошан-
ция рабошет на часто!ах 2,-5, 5, 10, 15, 20
и 25 МГц, кон-i ролирусмыхс точност ыо 1О-10
но цезиевым часам. Си! па >ы времени посы-
лаются каждую секунду, и 10 раз в течение
часа время объявляет дик юр.
В табл. 2.5 приведена область временных
интервалов, с которыми мы встречаемся во
Вселенной. Отмстим, что различие между
наименьшим и наибольшим характерными
интерва 1ами превышает 40 порядков вели
чины, т. е. примерно coo i ветствует приведен-
ному выше диапазону расстояний.
Фиг. 2.6. Цезиевые часы, сконструированные
в Национальном Ьюро Стандартов (Боулдер,
штат Колорадо).
С помощью этих часов можно измерить времен
иые интерва гы с точностью до I с за 30 000 зет.
Гай.нп/а 2.4. Относительная точность часов различных типов
Тип чазпв Мак( шииышя ошибка 1 с<а время Относительная точность
Песочные часы 1,5 мин 10-2
Маятниковые часы 3 ч 10 4
Камер юн 1 сут 10"5
Кварцевый генератор 3 юда 10 8
Квантовый генератор на ам- 30 лет 10 9
миаке
Квантовый генератор на цезии 3 • 1 О' ле I 10 12
Квантовый генератор на водо- 3-106 ini 10 14
роде
46 2. Длина. время, масса
Тао.ип/а 2.5. Диапакт временных интервалов во Вселенной
Секунды
К)”
К)”
К)'2
Возраст Всез :нной
Возраст Земли
Появление первобытного человека
Возраст египетских пирамид
К)9
К)6
103
Среднее время жизни человека
I год = 3,156 • 107 с
1 день = 8,64 • 104 с
Свет идет от Солнца до Земли
1 Интервал между двумя ударами сердца
10~3 - Период колебания звуковой волны
10 6 Период колебания радиоволны
10
Свеч проходит расстояние 30 см
10
Период колебания молекулы
ИГ15
Период колебания атома
10
Свет проходи г расстояние, равное размеру атома
10 21
Период колебания ядра
Свет проходит расстояние, равное размеру атомного ядра
2.3. Масса
47
2.3. Масса
РАБОЧИЕ ЭТАЛОНЫ. Как было указано
во введении к мой главе, точного определе-
ния массы нельзя дать без предварительно! о
изучения динамики. Однако мы можем дать
простое рабочее определение массы. Предпо-
ложим. что мы произвольно выбрали неко-
торое тело опре ленной массы и условились
считать его за эталон. Затем, пользуясь ры-
чажными весами (фи!. 2.7), мы можем срав-
нивать этот эталон массы с массой дру| oi о
тела или группы тел. С помощью такою
метода можно изготовить ряд вторичных
онов. эквивалентных первичному. Груп-
пируя эти массы, можно получить вторичные
эталоны, превышающие массу первичного
эталона в 2, 5, 10 или в любое другое число
раз. Для получения эталонов меньшей массы
действуем в обратном порядке, выбирая две
равные массы (и убедившись в их равенстве
с помощью рычажных весов) таким образом
чтобы их суммарная масса была эквивалсш
на массе первичного эталона. Итак, устано-
вив однажды первичный эталон, можно со-
здавать вторичные эталоны в широком диа-
пазоне больших или меньших масс. Подоб-
ная процедура и является рабочим методом,
принятым для установления практической
системы эталонов массы, независимой от
точного динамическою определения массы
Международный эталон массы представ-
ляет собой платшю-ирпдиевый цилиндр,
определенный как 1 килограмм (кг) =
= 103 граммов (г). Вторичные эталоны мас-
сы, как и вторичные э!алоны длины, рас-
пределены между службами стандартов во
всем мире; Соединенных! Штатам принад-
лежит эталон № 20 (фиг. 2.8).
Конечно, было бы весьма желательно
иметь атомный эталон массы аналогично
атомным эталонам времени и длины Такой
эталон для сравнения масс атомов и молекул
имеется (раздел 3.3), но в настоящее время
он. к сожалению, не пригоден для сравнения
масс, существенно превышающих массу ато-
ма или молекулы. Когда техника достигнет
такого уровня, что мы сможем точно выра-
зить массу эталонного килограмма через
Фи1. 2.7. Подобные рычажные весы применя-
шсь для сравнения масс еще на tape истории
(были найдены египетские весы, относящиеся,
по-видимому. к пятому тысячелетию до на-
шей эры).
На фотографии приведены чувствительные ры-
чажные весы Национального Бюро Стандартов,
с помощью которых можно производить сравне-
ние масс с точностью до 10~в.
атомный эталон массы, мы, конечно, при-
мем атомную единицу массы.
В двух предыдущих разделах мы видели,
что как диапазон линейных размеров, так
и диапазон временных интервалов, харак-
терные для Вселенной, составляют около
40 порядков величины. Диапазон масс —
от массы электрона до массы Вселенной
несравненно больше. Он достигает прибли-
зительно 80 порядков величины. В табл. 2.6
приведен ряд точек, выделенных в этом
гигантском диапазоне. Массы некоторых
наиболее важных объектов даны в табл. 2.7.
48
2. Д тиа. время, масса
Таблица 2.6. Диана юн масс во вселенной
Граммы
Ю53 J- Все 1енная
Ю50 L-
Наша Галактика
104°
-
Солнце
Земля
'1уиа
Океанский корабль
ПЛОТНОС ГЬ. Как определить массу тела,
которое не может поместиться на чашке
рычажных весов? Это лет ко сделать, если
известен объем тела. Возьмем небольшой
образец материала, из которого состоит
тело, и измерим его объем и массу. Отно-
шение этих величин называется п ютностыо
материала:
Плотность =
масса
объем
(2.1)
Если плотос1Ь известна, то масса опре-
деляется как произведение плотности на
объем. Если тело неоднородно (т. е. ею
плотность не везде одинакова), то следуе!
сначала найти среднюю плотность.
Капелька масла
Атом урана
Протон
Электрон
Таблица 2.7. Массы некоторых наиболее пале-
ных объектов
Объект
Солнце
Зем тя
Луна
П ротон
Электрон
Масса, г
1,991 10’-'
5,977- К)27
7,35 1(Н5
1,672- 10 24
9,108- 10 2Я
Фиг. 2.8. Национальный эта юн массы
США Килограм и Уе 20.
Это п iamuno-иридиевый цилиндр диаметрам
39 мм и высотой 39 мм Повторное сравнение с
международным эталоном в 1948 г. пока шло. что
эталон США все еще эквивалентен международ-
ному эталону с точностью до 2 10~в
2.3 Масса
49
Пример 2.1
Какова средняя плотнос!Ь Земли?
Согласно табл. 2.3, радиус Земли
Кз = 6,378-10® см
Объем
^3 = (6,378-10® см)3 - 1,0814 • 10” см3.
О о
Согласно табл. 2.7, масса Земли
Л43 = 5,977 1027 г.
Следовательно, средняя плотность Земли
М3
р=¥-
5,977 - I037 г
1,1-10” см’
5,527 г/см3.
Плотность горной породы составляе! в среднем около 3 г/см3. Отсюда можно сделать
вывод, что плотиос1Ь ядра Земли должна быть чрезвычайно велика, чюбы обеспечив,
известное значение средней плотности Земли (Плотное 1Ъ земного ядра составляет около
12 г/см3, т. с. НСМНО1ИМ уступает плотности р1ути.)
В табл. 2.8 приведены характерные плот-
ности некоторых типов вещества во Все-
ленной
СОХРАНЕНИЕ МАССЫ. Масса является
первым из свойств вещества, которое мы
ввели (в отличие от понятий длины и вре-
мени). Опыт науки привел к заключению,
что масса постоянна и неизменна. Кусок
металла имеет определенную массу Эта
масса нс меняется со временем. Она не ме-
няется и при изменении формы: куску метал-
ла можно придать другую форму штампов-
кой, но масса его останется прежней. Можно
даже растворить металл в кислоте, но общая
масса кислоты и металла (вместе с газами
которые при этом moi уз выделиться) оста-
нется той же самой
Это свойство массы отражает первое из
фундаментальных обстоятельств, называе-
4 779
мых законами сохранения физики. Для пони
мания явлений природы часто более выгодно
иска1Ь пс различия в физических процессах,
а такие свойства, которые в любых процес-
сах остаются неизменными Превращение
воды в лед и превращение воды в газы
кислород и водород, входящие в се состав, —
два разных процесса. Но общим для них
является сохранение массы вещества. Длин
пыс серии опытов, каждый из которых обна-
руживал это обстоятельство, привели к за-
ключению о сохранении массы во всех фи зи-
ческих процессах. Эго первый из законов
сохранения, которые мы будем рассмаг-
риват ь.
Будучи сформулирован просто в виде
утверждения о постоянстве массы, этот за-
кон оказывается нс вполне точным Во всех
повседневных процессах, с которыми мы
имеем дело, масса дейс 1 вительно является
50
2. Длина, врем.ч, .масса
Таблица 2.8. Некоторые характерные плотности
Тип вещества Плотность, г с.му
Ядсрнос вещество 10 4
Вещество в центральной части Солнца I02
Свинец 11.3
А; юминий 2.7
Вода 1
Воздух Ю"3
Вещество в высоком (лабораторном) вакууме 1018
Вещество в межзвездном пространстве 10-24
Вещество в межгалактическом пространстве 10"’°
постоянным физическим свойством. но, как
мы увидим в дальнейшем, теория относи-
тельности предсказывает, а эксперимент под-
тверждает. что масса эквивалентна другому
физическому свойству — энергии На самом
деле сохраняется величина, пре тставлятотиая
собой комбинацию массы и тиертии. Мы
вернемся к этому вопросу в т т. 7 и 11 и будем
часто пользоваться эквивалентностью мас-
сы и энергии при рассмотрении свойств ядер
и элементарных частиц.
2.4. Системы единиц
СООБРАЖЕНИЯ УДОБСТВА. Существу-
ют две разновидности метрической системы
единиц. Одна из них называется сш те мой
МКС по сокращенным названиям ее основ-
ных единиц - метра, килограмма и секунды.
Вторая система СГС основана на единицах
сантиметр, грамм и секунда*. Соотношения
между обеими системами единиц весьма
просты, так как основные единицы систем
связаны между собой переводными коэф-
фициентами кратными 10. Однако цветение
т.тектроматнитных единиц значительно ус
.тожняет соотношения между обеими стт-
* С 1963 г. в СССР введена Международная
система единиц (СИ), включающая единицы из-
мерения различных физических вс тчин. Мс хеши
ческие единицы системы СИ совпадают с едини-
цами системы МКС' Прим ред
с темами, и переводные коэффициенты ста
повягся нс столь простыми. При исслсдова
пип электричества и матнегизма обычно
пользуются цдтшицами системы МКС (на-
пример. волы и ампер). В а томной и я. ерпоп
физике обычно пользуются системой СГС
Сущность явления никоим образом не ттви
сит от тою какой системой единиц мы
пользуемся при его описании, и. следова-
тельно, при выборе системы единиц нужно
руководствоваться только соображениями
удобства. Поскольку в атомной и ядерной
физике обычно применяется система СГС,
мы будем в основном пользоваться именно
этой системой.
УПОТРЕБЛЕНИЕ ЕДИНИЦ. Вес физиче-
ские величины характеризуется определен-
ными единицами, имеющими размерность
Делая численные расчеты или записывая
численные соотношения между физическими
величинами, мы должны учитывать их раз-
мерности. Ес ти мы говорим, что «пройден-
ный путь равен скорости, умноженной па
время», то это утверждение можно выразить
в более сжатой форме:
путь — скорость X время,
или. пользуясь буквенными обозначениями
S — V t.
Это уравнение нс содержит в явной форме
указании на то. в каких единицах измеря-
ются входящие в пего величины; оно сира
Вопросы
51
ведливо в любой системе единиц Например,
30 км = 15 км/ч X 2 ч.
В уравнении должен соблюдаться не только
численный баланс, но также и баланс единиц
и размерностей. В правой части уравнения
единица времени (час) стоит и в числителе,
и в знамена!еле: при сокращении в обеих
частях уравнения остаются одинаковые еди-
ницы длины (километры).
Единицы измерения любой величины мож-
но изменять, используя переводные коэффи-
циенты. При записи численных значений
физических величии всегда указывайте, в
каких единицах они измерены. Всегда про-
веряйте уравнения и следи те за гем, чюбы
размерности правой и левой частей были
одинаковы (а единицы -эквивалентны, i.e.
связаны безразмерными переводными коэф-
фициентами); если размерности не одинако-
вы, значит вычисления ошибочны.
ТРИ ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ. Единицы
измерения всех механических н электриче-
ских величин можно выразить через три
основные единицы — длины, массы и вре-
мени Вводя такие понятия, как сила и энер-
гия, мы для удобства дадим соответствую-
щим единицам специальные названия {дина
и эрг), но эти единицы будут определены как
некоторые комбинации единиц длины, мас-
сы и времени. Трех единиц —сантиметра,
рамма и секунды - оказывается достаточ-
но чтобы выразить любую механическую
или электрическую величину.
Основные выводы
Основная единица длины метр или сан-
тиметр (1 м = 100 см). Эталоном длины
является длина волны спектральной линии
изотопа крнтпон-86
Основная единица времени — секунда. Эта-
лоном времени является период атомных
колебаний изотопа цезий-133.
Основная единица массы — ки юграм м или
грамм (1 кг 1000 г). Естественный атом-
ный эталон массы, обеспечивающий доста-
точную точность, тюка не установлен, в на-
стоящее время принят металлический эта-
лон, который находится в Международном
Бюро Мер н Весов.
Плотность есть масса в единице объема.
Масса сохраняется, т. е. се нельзя создат ь
или уничтожить, а можно только перерас-
пределять (ниже мы увидим, что масса тесно
связана с энерт ней и закон сохранения,
собственно говоря, относится к комбинации
массы и энергии).
Все физические величины имеют размер-
ности, и в равенствах, связывающих различ
ныс величины, должны совпадать не только
числа, но и размерности.
Основными физическими единицами явля-
ются единицы длины, времени н массы.
Вопросы
2.1. Некоторые специалисты утверждали, что если котда-нибудь бри танская система единиц выйдет
из употребления, то следовало бы заменить метрическую (тесятичную) систему двенадцатсричной
системой (основанной на дюжинах). Рассмотрите относительные достоинства десятичной и двсцад-
ттатеричной систем единиц.
2.2. Найдите определение времени в толковом словаре Прокомментируйте в нем то, что относится
ко времени в физическом смысле этого слова Дает лн это определение ясное представление о том,
что такое время? Попробуйте дать более приемлемое физическое определение времени.
2.3. Вы подозреваете, что ваш секундомер отстает на 0,01 секунды за каждую минуту. Объясните,
как следует использовать сигналы времени, посылаемые радиостанцией, чтобы проверить ваше по-
дозрение
52
2. Длина, время, масса
2.4. Зве/дные сутки — интервал времени между двумя последовательными прохождениями звезды
через данный меридиан. Средние солнечные сутки — среднее время обращения Зсм ди вокрут своей
оси. Учтите, что Земля совершает это обращение, двигаясь в то же время по орбите вокруг Солнца,
и покажите, что звездные сутки короче средних солнечных суток
2.5 Предположим вам нужно выбра!ь материал для из1 отовлепия эталона килограмма Какие
качества желательны и никие нежелательны для этого материала? Какие методы вы предложили бы
для полдержания неизменным этою эталона и для работы с ним?
2.6. Необходимо определить плотность .шинного куска тонкой проволоки Какие измерения следует
провести? Какие измерения нужно делать с наибольшей тщательностью и почему9
Задачи
2.1. Реактивный самолет может долететь от Сап-Фраттциско до Вашингтона (3850 км) за 4 часа
Какое время потребуется ему для полета с той же скоростью от Земли до Луны и обратно?
2.2 Под каким ут лом с Земли видна Луна9 Под каким углом видно Солнце?
2.3 Электронная вычислительная машина может производить 350 000 арифметических операций
в секунду Сколько микросекунд занимает в среднем одна операция9
2.4. Изготовитель часов утверждает, чго точность их хода составляет 99,995%. Какую ошибку будут
давать эти часы по прошествии месяца?
2.5. Среднее время жизни радиоактивного ядра Ra226 составляет около 1620 лет Скольким секундам
оно равно9
2.6* Подсчитайте свой возраст в секундах с точностью не менее 3 10 4. (Не забудьте про високосные
юлы.)
2.7. Мотор вращает вал со скоростью 1000 оборотов в минуту. Сколько оборотов сделает вая за не-
делю работы?
2 8. Человеческое сердце ве школенный двшатель В среднем оно бьется с частотой 72 удара в
минуту. Сколько примерно уларов совершает сердце к 70 годам?
2.9. Выразите 1 микростолетие в более удобных единицах
2.10* За сколько часов Земля повернется на 1 радиан? На сколько дуговых секунд повернется Земля
за 1 секунду? [1 (традус) 60 (дуговых минут) Г 60" (дуговых секунд)]
2.11 Чему равен объем атома водорода? Рассчитайте и сравните плотности атома водорода н ядра
водорода (протона).
2.12. При измерении размеров бруска было найдено, что ею длина равна 16.2 см, ширина 4,12 см
высота 0 89 см Вес бруска, определенный с помощью аналитических весов, равен 206,35 г Какова
плотность материала бруска? (Вспомните правила, касающиеся числа значащих цифр )
2.13. Масса гуманности Андромеда составляет около 8- 1044 т. Оцените количество звезд в ней,
используя тот факт, что Солнце представляет собой типичную звезду.
2.14* . F-сли считать, что Солнце состоит целиком из водорода (на самом деле примерно па 95%),
то сколько атомов водорода содержится в Солнце? Каков был бы размер Солнца, если бы его плот-
ность была равна плотности протона?
2.15. Какова плотность платипо-ирилиевою сплава, из которого сделан эталон килограмма (фиг. 2.8)?
Туманность а сознездни Лсосдч.
3 Галактики и атомы
3.1. Планеты и звезды
3.2. Галактики
3.3. Атомы
3.4. Атомные ядра
3.5. Области при менимости физи-
ческих теорий
Основные выводы
Вопросы
Задачи
55
Присущая человеку любознательное!ь и стремление к познанию окружающего мира ни-
когда не ограничивались лишь пределами непосредственной досягаемости. Конечно, в древ-
ности поди размышляли о pocie растений или о природе шня; однако их также чрезвы-
чайно интересовали твез (ы. Из попыток понять таинственные движения звезд родилась
первая наука астрономия Систематические астрономические наблюдения проводились
в Китае по крайней мере 40(Х) iet назад, а за несколько столетий до нашей эры астрономы
Среднего Востока дос пн ли высокого совершенства в своих исследованиях В середине
первого тысячелетия нашей эры народом майя был создан сложный календарь, основанный
на движении небесных тел Примерно в это же время древнеиндийские астрономы использо-
вали свои наблюдения для вычисления диаметра Земли и расстояния о г Земли до Луны,
их расчеты были произведены с большой точностью — ошибка оказалась равной всего лишь
нескольким процентам!
Люди в древности ишересовались нс только звездами, но также и строением вещества.
Атомная гипотеза впервые была высказана греческим философом Демокритом (485 425 г г.
до н. э.). Однако реальный прогресс в изучении атомов начался лишь около ста лег назад
с появлением приборов, которые позволили наблюла ib атомные явления Таким образом,
в древности люди уже умели проводить астрономические наблюдения н расчеты, однако
строение вещее 1ва оставалось для них предметом лишь философских размышлений.
3.1. Планеты и звезды
РАССТОЯНИЯ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕ
ME Каковы размеры Вселенной? Как мож-
но измерить огромные расстояния до звезд
и самых далеких галактик? Привычными
способами определения земных расстояний
при этом, конечно, пользоваться уже нельзя.
Чтобы получить сведения о расстояниях до
самых дальних пределов Вселенной, необ-
ходима сложная цепь рассуждений, связы-
вающая между собой расстояния между
планетами, расстояния между звездами и,
наконец, расстояния между галактиками.
Первым звеном этой цепи является опрсдс
ление расстояний в продетых Солнечной
системы.
По существу, все астрономические опре-
деления расстояний основаны на эта юне
длины, которым служи расстояние от Зем-
ли до Солнца. Этот эталон длины назы-
вается астрономической единицей (А.Е )*
* Двигаясь вокруг Солнца. Земля описывает не
окружность а эллипс; поэтому расстояние от
Земли до Солнца не постоянно. Астрономическая
единица выражается через д шну одной из осей
этой эллиптической орбиты. Поскольку отк мне-
ние земной орбиты от окружности незначитель-
но отклонение действительного расстояния от
Земли до Солнца от 1 А Ь. ие превышает 2°/о.
Кеплер, анализируя движения планет (в ча-
стное! и, Марса), смог выразить их расстоя-
ния OI Солнца только через расстояние от
Земли до Солнца. Метод Ken lepa илтюш-
рирует фиг. 3.1. Кеплеру было известно, что
время полного оборота Марса по своей
орбите (марсианский год) составляет 687 зем-
ных суток. Следовательно, в любые два
момента времени, отстоящие друг от друга
на 687 суток, Марс будет занимать одно и
то же положение на своей орбите, тогда
как положения Земли в эти моменты будут
различными. Действительно, через 687 су-
ток Земле останется пройти 42' до завер
шения двух полных оборотов по орбите
Таким образом, угол Z.3CT на фиг. 3.1
равен 42 '. Более того, пользуясь своими
измерениями, Кеплеру удалось определить
углы г_МЗС и г_МЗ'С (т. е. утлы между
направлениями Земля Марс и Земля
Солнце в два момента времени, отстоя-
щие друз от друга па 1 марсианский год).
С помощью этих данных рассюяние между
Марсом и Солнцем (МС) можно выразить
через расстояние от Земли до Солнца (ЗС,
1 астрономическая единица) В настоящее
время мы воспользовались бы тригономет-
рическими методами; Кеплер же применял
I еомегричсскис пос i роения и нашел, чю
МС'ЗС 1,524 Это означает, что радиус
56
3. I алактики и amo мы
Фш. 3.1. За 687 суток Марс совершает один
полный оборот по орбите; Земле к этому вре-
мени останепи ч пройти 42 до завершения
двух полных оборотов.
Измерен углы z. W3C и Z. М3 С. Кеплер выразил
расстояние от Марса до Солнца МС через ЗС
(т. е. через астрономическую единицу).
Фш. 3.2. Метод триангуляции для определе-
ния астрономической единицы.
Углы <р, и Ф2 были найдены на основании астроно-
мические наблюдений и известного периода обра-
щение Венеры по орбите Расстояние от Зелл ш
до Венеры измерялось радио локатором. Зная дна
угла и длит одной из сторон треугольника,
мо чсно определить д лит его основания (т. е. нет
рацемическую единиц})
орбиты Марса составляет 1,524 А. Е. Подоб-
ные измерения и вычисления можно исполь-
зовать для определения в астрономических
единицах расстояний до всех планет.
Но каким образом получить значение
астрономической единицы в сан!имстрах?
В принципе можно воспользоваться методом
триангуляции (фиг. 1.8). Однако триангуля-
ционные измерения расстояния Земля
Солнце чретвычайно трудно осуществить
Не последнее из затруднений связано с тем
что диаметр Земли (наибольшее из основа-
ний треугольника, которыми мы можем
воспользоваться)с расстояния 1 А.Е виден
под ут лом всею тишь в 17.6". (Каковы дру-
гие трудности? См. вопрос 3.2.)
Наиболее точный метод, применяемый в
настоящее время для определения астроно-
мической единицы, представляет собой со-
четание методов триангуляции и радиоло-
кации. Фиг. 3.2 иллюстрирует этот метод
для случая Венеры. Утлы Ср, и ф, можно
определить из астрономических наблюде
ний, зная период обращения Венеры вокруг
Солнца (задача 3.1). Затем с помощью триго-
нометрических построений можно онредс-
ти т ь длину основания треугольника Земля
Венера Солнце (т с. астрономическую
единицу), если известна одна из двух друт пх
сторон Непосредственное измерение рас-
стояния Земля Венера можно произвести
с помощью радиолокатора с мощным пере-
датчиком, посылающим импульсы радио-
волн чрезвычайно малой длительности Эти
волны, пройдя через космическое простран-
ство, достигают поверхности Венеры; не-
большая часть отраженных волн возвраша
ется на Землю* где регистрируется чувст-
вительным приемником (фиг 3.3) Мы знаем
(также ит непосредственных измерений),
что радиоволны распространяются в про-
странстве со скоростью света 3 • К)10 см,'с.
Следовательно, измеряя время прохождения
радиоволн от Земли до Венеры и обратно,
можно определить расстояние от Земли до
Венеры. С помощью этих экспериментов
* До приемники доходит всего лишь 1(/ 23 мощ
ности пос ланного на Венеру сигни ла.
3 1 II занеты и звезды
57
Фи 3.3. Приемная антенна радиолокатора
на станции слежения I о гдспюун в Ка тфор-
нии, который был впервые использован дл.ч
прецизионных радио изкационных измерений
расстояния от Земли до Венеры в 1961 г.
получено следующее значение астрономиче-
ской единицы
1 А.Е. 1.495 979 10” см. (3.1)
РАССТОЯНИЯ ДО ЗВЕЗД Расстояние до
побей звезды было бы очень прост опре-
делить, если бы все звезда испускали одно
и то же количество свела, т. с. если бы все
звезды обладали одинаковой светимостью*
При лом для определения расстояний мы
использовали бы юг факт, что интенсив-
ное п> света, падающего на заданную по-
верхность от точечного источника, умснь
шаеюя пропорционально квадрате расстоя-
ния от источника света до поверхности
(фш 3 4). Тогда, если бы блеск звезды со
ставлял. например, 10”12 блеска Солнца,
* Если две звезды имеют одинаковую свети-
мость. то будет казаться, что они имеют оди-
наковый блеск, когда они находятся на одинако-
вом расстоянии от наб йодате гч Когда одна
звезда будет находиться на большем раесточ
нии чем другая. ее видимая светимость (т е
ее озеск) будет меньше чем у другой звезды.
58
3. Галактики и атамы
6 месяцев, когда Земля находи гея в upoiH-
воположных точках своей орбиты. Как по-
казано на фиг. 3.5, в таких измерениях опре-
деляется угол ф. называемый парал юксом
звезды Расстояние до звезды toi да равно
длине базы (г. с. радиусу орбиты 1 А Е ),
деленной на параллакс, выраженный в ра
лианах (ср фиг I 8).
Обычно астрономический параллакс вы-
ражается не в радианах, а в дуювых секун-
дах. Пользуясь переводным коэффициен-
том 1° = 3600" = 0,01745 рад, мы можем
выразить расстояние г до звезды с параллак-
Фш. 3.4. Интенсивность света, равномерно
испускаемого источником во всех направле-
ниях, уменьшается е расстоянием до источ-
ника <1 как I'd2.
Интенсивность света на площадке, удаленной от
источника на 3 единицы дайны, составляет 19
интенсивности света на площадке такого же раз-
мера, отстоящей от источника иа 1 единицу
длины
мы немедленно пришли бы к заключению,
что эта звезда находится в К)6 раз дальше
от Земли, чем Солнце, т. е. чю расслоя
нис от нее равно 106 А.Е., или приблиш-
гелыю 1,5 1019 см
К сожалению, светимость звезд не одина-
кова, а напротив, меняется в чрезвычайно
широких пределах, и поэтому одни лишь
измерения блеска нс очень помогают при
определении расстояний до звезд. Однако,
как мы увидим в дальнейшем, элн измерения
в сочетании с наблюдениями цвета излу-
чения звезд или, в некоторых случаях, ха-
рактера изменения интенсивности излуче-
ния во времени могут оказаться чрезвычай-
но полезными для оценки звездных рас-
стояний.
По существу, мы располагаем лишь одним
прямым методом измерения звездных рас-
стояний — методом триангуляции, или па-
раллакса. Если звезда находится достаточно
близко к Солнечной системе, то ее видимое
положение на фоне очень далеких звезд бу
дет, хотя и в незначительной степени, зави-
сеть от положения Земли на орбите. Видимое
смешение положения звезды будет макси-
мальным при измерениях с интервалом в
Фн1 3.5. Метод параллакса для определения
расстояния до звезды
Угол <р (половина угла зрения) называется napa i-
лаксом Расстояние до звезды г равно 1 астроно
мической единице (А Е.). деленной на ф (в радиа
нах), т. е г I A EJtf.
3.1. II шнеты и звезды
59
сом ф следующим образом;
3600" 1 А. Е.
0.01745 рад <f
206 265 д _
= ---------- А.Е.,
<Р
где ф выражено в дуговых секундах. Таким
образом, если параллакс звезды равен 1',
то расстояние эюй звезды от Земли равно
206 265 А.Е.; параллакс, равный 1/2", соот-
ветствует расстоянию 2 206 265 А Е Так как
нн одна звезда не имеет параллакса, превы-
шающего 1", можно сделать вывод, что все
звезды находя гея от нас на расстояниях,
превышающих 206 265 А Е. Поэтому, koi да
речь идет о звездных расстояниях, имеет
смысл увеличить эталон длины. В качестве
нового эталона длины выбрали 206 265 Л.Е.;
эту единицу называют парсек (параллакс,
равный 1 ду1 овой секунде). Формула для
звездных расстояний теперь имеет простой
вид:
г —, (3-26)
¥
где г выражено в парсеках (пс), а ф в ду-
говых секундах. I ак, например, звез та с
параллаксом 1" находится от Земли на
расстоянии 1 пс; звезда с параллаксом 0,1 '
находится на расстоянии 10 пс. Иными сло-
вами, 1 парсек это расстояние, с которого
1 астрономическая единица длины видна
под углом, равным 1 дуговой секунде. Вы-
ражая парсек в сантиметрах, находим
1 пс 3,08 10‘* 8 * см (3.3)
Часто пользуются также единицей звезд-
ных расстояний, которая называется свето-
вым годом и равна расстоянию, которое
свет проходит за 1 год. Поскольку ско-
рость света равна 3,00- Ю10 см .с и 1 год
3,16 107 с, получаем
1 световой год - (3,00 • 1010 см с) х
х (3,16 • 10’с) - 9,46 • 101’ см. (3.4)
Наконец,
1 пс 3,26 светового года. (3.5)
БЛИЖАЙШИЕ ЗВЕЗДЫ Число звезд, рас-
стояния до которых можно измерить мето-
дом параллакса, ограничено предельным
еще определимым параллаксом Современ-
ная аппаратура позволяет измерять парал-
лаксы равные 0,005", но если измерение
должно быть выполнено с точностью до 10%,
то наименьший параллакс, который мы еще
можем измерить, ограничивается приблизи-
тельно 0,05". Около 700 звезд находятся
настолько близко, что их параллакс удалось
измерить с точностью до 10% и выше. Б ш-
жайшие из этих звезд Альфа Центавра
и Проксима Цетавра, расположенные близ-
ко одна от друюй; каждая из них имеет
параллакс 0,76", откуда можно заключить,
что они удалены от нас на расстояние
1'0,76 1,3 пс, или 4,3 световою года. Из
звезд, видимых в северном полушарии, бли-
жайшей к нам является Сириус (самая яркая
звезда на небосводе), находящийся на рас-
стоянии ~ 2,6 пс (8,5 световых года). Поляр-
ная звезда находится от нас на расстоянии
около 400 световых лет (ее параллакс 0,008").
ДВИЖЕНИЯ ЗВЕЗД. Звездные расстояния
свыше 1О20 см (соответствующие параллак-
сам меньше 0,03") нельзя опрсд тить сколь-
ко-нибудь надежно методом параллакса;
для построения карты более далеких облас-
тей космического пространства приходится
пользоваться другими методами Это ра-
зумеется, не прямые, а косвенные методы,
и основаны они на статистическом анализе
таких свойств звезд, которые доступны из-
мерению
I Собственное
I двиэюение
Земля Звезда |
Радиальное
движение
Фиг. 3.6. Леа вида движения звезды от-
носительно Земли: собственное движение,
перпендикулярное линии земля звезда, и
радиальное движение вдоль этой линии (к Зем-
ле или от Земли).
В общем случае движение звезды предста .чет
собой комби/ацию этих видов движение.
60
3. 1 'алактики и атомы
Фиг. 3.7. Лучевую скорость движении
звезды .можно определить, измерял сдвиг час-
тот характеристических линий ее излучения.
Здесь приведены две спектрограммы (снятые в
разное время) двойной звезды а1 Б шзнецов. Лишь
одна из явезд в составе этой двойной звезды, ис-
пускает достаточно свезпа для того, чпиюы ее
можно было обнаружить Видно что спектраль-
ные ззлззии звезды сдвинуты относительно эта-
лонных зиззий в разных направлениях, соотвезп-
ствузощих двум фазам движеззия звезды: в одззой
<)зазе звезда движется по направ зенизо к Земле и
частота ее излучения увеличивается- в другой
зразе звездзз j да зяется от Зе и зи и частота)’мень-
шаетсч
Все звезды находятся в движении, и если
скорости их но отношению к Земле доста-
ючно велики, ю эти движения поддаются
измерению Можно обнаружить два эффек-
та Если положение звезды по отношению
к фону, образуемому более далекими звез-
дами,. непрерывно меняется с течением вре
мени, то это движение (называемое собст-
венным, фш. 3.6) может быть измерено и
выражено в ду| овых секундах в год. (Собст
венные движения близких звезд могу г до-
стигать )0" в год.) Этой информации недо-
статочно для определения расстояния до
звезды, таг как неизвестна скорость звезды
(г. е. проходимое за год расстояние в на-
правлении, перпендикулярном лучу зрения).
Сущее 1вует, однако, другой эффект, поз-
воляющий определить скорость звезды. Если
звезда движется по направлению от Земти
или к Земле (такое движение называется
радиальным, фиг. 3.6), то это движение влияет
на харак тер излучения, испускаемого звездой
и наблюдаемого на Земле Всем известно,
что юн (или частота) паровозною гудка
С1*анови1ся выше при приближении поезда;
koi да поезд удаляется, частота уменьшается
и топ гудка становится ниже. Это зависи
мость частоты от того, направлена ли ско-
Ладориторный эталонный спектр
Спектр приближающейся уве^ды
Спектр уЗалнющл йся gScjdui
Лабораторный эталонный спектр
рость источника от наблюдателя или к нему,
известна под названием аффекта Jon зера.
Свет ведет себя в этом отношении так же,
как звук Если звезда приближается к Земле,
частота испускаемого света возрастает; если
звезда удаляется, частота уменьшается Из-
меряя сдвш частоты характерных линий
в спек Iре излучения данной звезды, можно
найти скорое|Ь ее радиального движения
(лучевую скорость, фиг. 3 7). В методе доп-
леровского сдвига особенно важно, что оп-
ределение лучевой скорое । и ноет аз'з'со-
зютный характер и не зависит от гого.
известно ли расстояние до звезды или нет.
Конечно, в общем случае движение звезды
сктадываегся из собственного и радиального
движений, но эти движения независимы и
Moiyi быть измерены каждое в отдельности.
Предположим, что мы наблюдаем движе-
ния звезд, входящих в звездное скопление
(когда по разным причинам мы считаем,
что все эти звезды нахоляюя от нас примерно
на одинаковом расстоянии; на фиг. 6.2, на-
пример отчетливо видно такое скопление
звезд) И змерим собственные движения этих
звезд (в дуговых секундах в год) и их лу-
чевые скорости (в километрах в секунду).
В случае «взрывающихся» скоплений все
звезды движутся в разные стороны от обще-
го центра, и число звезд, движущихся в лю-
бом из направлений, одинаково При этих
условиях средняя скорость звезд в радиаль-
ном направлении равна средней скорости в
направлении, перпендикулярном лучу зре-
ния. Зная среднюю скорость в перпендику-
лярном направлении и среднюю из измерен
ных скоростей собственного движения, мож-
но вычислить среднее расстояние до звезд-
ного скопления
Взрывающиеся звездные скопления
весьма специальный случай определения рас-
стояний на основании движений звезд. Для
большинства звездных скоп 1еций опрсдслс-
3.1. Планеты и звезды
61
ние звездных расстояний путем изучения
движения звезд 1ребует использования раз-
личных статистических методов. Тем не
менее именно применение статистических
методов дает наиболее надежную информа-
цию относительно расстояний до тех звезд,
параллаксы которых слишком малы и по-
этому недоступны для измерений.
ИЗМЕРЕНИЯ ЦВЕТА И СВЕТИМОСТИ
Цвет зависит от частоты световой волны
подобно тому, как звуковой тон определя-
ется частотой звуковой волны. Если луч
свеза переходит из одной среды в другую
(например, из воздуха в стекло или наобо-
рот), падая па поверхность раздела нс под
прямым углом, он отклоняется, или пре-
ломляется, и степень его преломления за-
висит от частоты световой волны. При
прохождении светового луча через стеклян-
ную призму преломление происходит и при
входе в призму, и при выходе из нее, так что
эффект усиливается* На фиг. 3.8 показано
прохождение луча белого света через призму
и его разложение на составные цвета. Фио-
летовая часть (Ф), имеющая более высокую
частоту, преломляется сильнее, чем низко-
частотная красная (К). Таким образом, приз-
ма производит пространственное разделение
спектра частот светового луча. Прибор,
регистрирующий (обычно на фотопластин-
ке) распределение частот источника света,
называется спектрографом, или спектро-
метром
Если снабдить телескоп спектрографом,
то можно измерить интенсивность света,
излучаемого звездой в различных диапазо-
нах частот. Было обнаружено, что преобла-
дающие цвета в излучении звезд варьируют
в широких пределах и что по цвету звезды
можно судить о ее темпера уре. Наблюда-
ются голубовато-белые (очень горячие) и
красные (относительно холодные) звезды
существует также большое количество про-
межуточных звездных классов. Сопостав-
ление классов цвета и светимости звещ,
расстояния до которых измерены, показы-
* Если две поверхности стекла параллельны
(как, например, в случае оконного стекла}, гффек
ты пре юмления не складываются, а взаимно унич-
тожаются и разложения света на составные
цвета не происходит
Фиг. 3.8. Луч белого света, проходя через
стеклянную призму, разлагается на цветные
составляющее.
Волны с более высокой частотой преломляются
си льнее волн с более низкой частотой, и, таким
образом, в спектре за кра нои полосой (Л) с ледует
оранжевая (О), желтая (Ж}, зеленая (3). голу-
бая (Г) и, наконец, фиолетовая (Ф)
вает, что между цвеюм звезды и ее све!и-
мостыо сущешвует зависимость. Установив
эту зависимость для ближайших звезд, мож
но распространить ее и на более удаленные
звезды. Таким путем светимость звезды
можно приближенно оценить но ее цвету.
Измеряя затем блеск звезды и учитывая
закон уменьшения блеска обратно пропор-
ционально квадрату расстояния* можно
приближенно оценить расстояние до звезды.
Описанный метод позволяет получить
лишь приближенные значения расстояний
до звезд; тем не менее он дает ценную ин-
формацию в тех случаях, котла непримени-
мы более точные методы.
ПЕРЕМЕННЫЕ ЗВЕЗДЫ Солнце излу-
чает свет с постоянной интенсивностью на
протяжении миллионов лет. Хотя мы знаем,
что интенсивность излучения Солнца была
меньше, когда Солнце было молодой звез-
дой (возраст Солнца составляет около
4,5-109 лет), и что эта интенсивность в
конце концов будет уменьшаться, когда
* При этом предполагается, что мы можем
ввести поправку на поглощение света облаками
газа и ли пыли, которые могут находиться меж
ду Землей и звездой.
62
3. Г(тактики и атомы
2,5
Блеск
0 2 4 6 В Ю 12 /4 16
Время, сутки
Фит.3.9. Кривая бмска звезды 5 Цефе.ч. ти-
пичного представите тч к шага пу льсирую-
и/их звезд цефеид
Период изменения интенсивности света состав
з.чет приблизительно б суток.
Солнце начнет гаснуть, однако для всех
практических целей мы можем считать Солн-
це постоянным источником света. Но не все
звезды испускают свет с постоянной интен-
сивностью в течение длительных периодов
времени. Ьыло обнаружено, что свет, испус-
каемый некоторыми звездами (их известно
более 10 000). меняется регулярным обра-
зом— пульсирует Типичным представите-
лем звезд ного класса является звезда 6 Це-
фея В 1784 г. было обнаружено, что блеск
& Цефея изменяется примерно в два раза с
периодом в 6 суток (фит. 3.9). Класс звезд
подобною типа известен под названием
переменных типа д Цефе.ч. или цефеид.
Важно, что период изменения блеска звез-
ды, т. е время между последовательными
максимумами или минимумами, для цефеид
связан с их светимостью. Известны цефеиды
с периодами от I до 150 суток, а средние
светимости этих звезд различаются при-
мерно в 100 раз Светимости были опреде-
лены лишь с помощью статистическою ана-
лиза большого числа цефеид* В настоящее
время мы располагаем информацией, по-
зволяющей построить для этих звезд до-
статочно достоверный график зависимости
средней светимости от периода. Из фиг. 3 10
видно, что этот трафик представляет собой
не линию а широкую полосу Размытость
полосы объясняется до некоторой степени
несовершенством измерительной аппарату-
ры, но главной причиной, по-видимому,
яв тяется изменение связи между периодом
и светимостью от звезды к звезде. Распо-
лагая информацией, подобной приведенной
на фиг. 3.10. можно, измеряя период изме-
нения блеска, определить светимость цефеи-
ды с точностью около 50%. Если известна
средняя светимость звезды, то расстояние
до звезды можно определить по ее блеску.
Так как период и блеск измерить сравни-
тельно легко, цефеиды оказываются чрезвы-
чайно полезными при определении расстоя-
нии до далеких космических объектов. При-
менимость метода от раничивается тишь вот-
можностью различать цефеиды в самые
* Конечно, если оы мы могзи. измерить парал-
лаксы цефеид, то не бы из бы необходимости ис-
пользовать косвенные методы определения све-
тимостей. К сожалению. из известных цефеид
только Полярная звезда находится достаточно
близко, чтобы можно было выпо тишь измерения
пара 1 лакса.
3.2. I алактики
63
Период, сутки
Фш. 3.10. Кривич (« действительности па-
юса) зависимости свети части от периода
для цефеид.
Существует также другой класс этих перемен-
ных звезд. который имеет несколько иную зави-
симость светимости от периода.
Фш. 3.11. Снята ч при лунном свете фотогра-
фия 200-дюймового телескопа Х ейла в обсер-
ватории Маунт-Па ю.чар в Южной Ка шфор-
пии.
В настоящее время это самый оолыиой оптиче-
ский телескоп в мире, хотя в Советской Союзе
сооружается прибор еще больших размеров.
большие телескопы, такие, как 200-дюймо-
вый телескоп обсерватории Маунт-П тло-
мар (фиг. 3.11 и 3.12); этим методом были
определены огромные расстояния вплоть до
20 миллионов световых лет.
3.2. Галактики
ОСТРОВНЫЕ ВСЕЛЕННЫЕ. В XVIII ве-
ке было обнаружено, что многие небесные
тела при наблюдении в лучшие телескопы
того времени оказываются не точечными,
а размытыми источниками света и поэтому
не могут представлять собой одиночные
звет ты Когда в начале XX века дтя иссле-
дования этих объектов стали использовать-
ся более мощные телескопы, выяснилось,
что некоторые иг этих небесных тел пред-
ставляют собой светящиеся облака газа или
облака, отражающие звездный свет (по-
следние мы называем теперь туманностя-
ми); другие же объекты несомненно состоят
из большого числа отдельных звезд. Так как
в то время звездных расстояний было изме-
рено мало, нельзя было установить, явля-
ются ли ли звездные скопления частью на
шей звездной системы — Млечного Пути
пли же представляют собой отдельные «ост-
ровные все генные». Только в 1924 г. этот
вопрос был решен Эдвином Хабблом с по-
мощью анализа кривых блеска ряда цефеид
в трех наиболее известных звездных скоплс
ниях Расчеты расстояний произведенные
Хабблом на основе этих измерений, оконча-
тельно доказали, что упомянутые объекты
не являются частью Млечною Пути, а дей-
ствительно представляют собой «островные
вселенные». Эти далекие собратья Млеч-
ного Пути известны теперь под названием
галактик. Были обнаружены и внесены в
каталоги сотни тысяч таких галактик, но
и эго лишь ничтожная доля общего чис та
галактик, доступных паблю тению с помо-
щью современных телескопов.
НАША ГАЛАКТИКА Когда стало ясно
чтоВсстенная «населена» многочисленными
галакп ками, находящимися па очень боль-
ших расстояниях от Земли, появился естест-
венный интерес к исследованию распрсдс
64
3. Галактики и атомы
Фш 3.12. Разрез 200-дюймового телескопа
обсерватории Маунт-Па юмар.
Сооружение этого телескопа законченное в
1948 а.. бы ю предпринято по инициативе астро-
нома Джорджа Хейла, и телескоп назван в е'о
честь.
ления звезд в пашей звездной системе. Как
выглядит наша Галактика Млечный Путь9
Будет ли она, если в л .тянуть па нее извне,
выглядеть подобно тем галактикам, которые
видим мы? Конечно, делать заключения о
собственной Галактике 1рудно, так как мы
находимся внутри ее Большие области Га-
3.2. Галактики
65
.тактики скрыты от наблюдателя местными
облаками пыли. Поэтому значнюльная часть
сведений о внешнем виде нашей Галактики
получена косвенными Mei одами. Резуль-
таты исследований показали, чю паша Га-
лактика ни в коей мере не уникальна: мы
живем в обычной галактике, обычною раз-
мера (ее диаметр порядка I023 см, или 10s
световых лет). Млечный Путь, если бы уда-
лось наблюдать сто извне, был бы очень
похож на галактику NGC 5194 (фиг. 3.14).
Болес того. Солнце не занимает в Галак-
тике сколько-нибудь исключительного по-
ложения. и, ХО1Я точное определение его
местоположения затруднительно, полаю-
то г, что Солнце находится во внешней части
одною из гигантских спиральных рукавов
Млечного Пу1и (фит 3 15) Таким образом.
Фин 3.13. Типичная спиральная галактика.
приведенная в Новом общем ката юге ту-
манностей и звездных скоп lenuii (N(i( ) hoi)
номером 2К41
В спиральных рукавах и центральной об юсти га-
лактики сосредоточены многие миллионы звезд.
Земля представляет собой лишь одну из
нескольких планет, вращающихся вокру!
обычной 1ВСЗДЫ. а сама эта звезда всего
лишь одна из сотен миллиардов звезд, со-
ставляющих обычную галактику
МЕЖГАЛАКТИЧЕСКИЕ РАС t ГОЯНИЯ
Использование цефеид при определении рас-
стояний до галактик имело решающее зна-
чение для установления того, чю эти звезд-
ные скопления не принадлежат Млечному
Пуш Однако для определения межгалакти-
ческих расстояний применялись н другие
методы. В самом деле, если в какой-либо
галак!икс удается выделить отдельные звез-
ды, го всегда одним m методов (пусть кос-
венным и приближенным) можно оцени ть
расстояние до нее. Потребовав, чтобы все
ли методы (включая и тс, которые здесь не
описаны) давали взаимно непротиворечивые
значения расстояния до данной галактики,
мы обеспечили получение достаточно досто-
верной информации о межгалактических
расстояниях
Исследование распределения галак тк в
космическом пространстве показало, что
66
3. / ii iiiKmiiKii и что мы
и пределах области, отстоящей на 2,5 мил-
лиона световых лет от нашей Галактики,
находятся 16 галактик различных размеров
и формы. (Возможно, что в нои области
существуют и другие галактики, скрытые от
наблюдения облаками пыли в нашей Галак-
тике.) Поскольку в области от 2,5 до 6 мил-
лионов световых лег находится сравнитель-
но мало галактик. 16 упомянутых талактик
вместе с Млечным Путем называют Мест-
ной Системой (фш. 3.16) Подобное окучи-
вание галактик является нс исключением,
а правилом, по-видимому, почти все галак-
тики входят в состав групп Небо тьшие
скопления могут содержать около дюжины
талактик, гигантские скопления тысячу
и более талактик. На фш. 3.17 показано
скопление галактик в созвездии Геркулеса.
В пределах 50 миллионов световых лет от
пашей Галактики были обнаружены тысячи
других талактик. а в 200-дюймовый телескоп
обсерватории Маунт-11а ломар можно раз-
инти ть лилиарды талактик. В самом лете,
даже в сравнительно небокьшой области
космического пространства, ограниченной
Фит. 3.14. Спира 1ьиа.ч галактика ХСС 5194.
очень похожая ни нашу Галактику
Ма 1енькая галактика N (1С 5195 на садящаяся на
расстоянии окаю 14 ООН световых лет от боль-
шей салактики. не имеет четкой спиральной
структуры и относится к к шссу пекулярных.
«пустым» ковшом Большой Медведицы, с
помощью 200 дюймового телескопа можно
обнаружить около миллиона галактик'
СОСТАВ ЗВЕЗД И ГА 1АКГИК. Ит чего
состоят звезды? Содержат ти галактики что-
либо помимо звезд? Современные методы
анализа излучения звезд показали, что почти
все звезды состоят главным образом (на 60
или ботее процентов по массе) из простей-
шего элемента — водорода. Следующим по
распространенности элементом в звездах
является гелий*; масса остальных более
* Спектр гели.ч наб.иооа н ч в солнечном излу-
чении до того, как этот улемент был обнаружен
на Земле отсюда и название не мента (иГели-
ос» Солнце)
3.2. Галактики
67
тяжелых элементов составляет всего не-
сколько процентов от обшей массы.
Помимо звезд, все галактики содержа!
гигантские облака водорода. Из эшх обла
ков в результате конденсации непрерывно
образуются новые звезды. Несмотря на то.
чю в пиакшческих облаках содержится
большое ко шчество вещества, их п ютность
чрезвычайно низка, всего лишь около
100 атомов в I см'; это много ниже, чем
плотность в самом высоком лабораторном
вакууме. В мсжнзлактичсском пространстве
Фиг. 3.15. Солнце и Солнечная система на.хо-
дчтсч в однии ил огромных спиральных рука-
вов локальной системы лвезд.
Ислебствис нашего положения в / алактике. а
также потому. что Галактика является отно-
сительно плоской, мы наблюдаем лтн лвелды со-
средоточенными в узкой полосе на небосводе
( Млечном llvmu} Центра шнич об нить Галак-
тики < кр ыта от нас пы левы ни об лаки \пл
плотное 1Ь газа еще меньше около 1 ато-
ма в 1 м’. Вселенная представляет собой
почти совершенно пустое пространство, и
даже то небольшое количество вещества,
которое в ней есть. — это в основном во-
дород!
ГАЛАКТИЧЕСКИЕ КРАСНЫЕ СМЕНИ
НИЯ. Радиальные движения отдельных
звезд (т. е. их движения по направлению к
нам или от пас) можно наблюдать и изме-
рять, как мы уже говорили, с помощью
эффекта Доплера Если звезда движется
к нам, io се снек 1 ральныс линии смешаются
к <|>ио (еловому концу спектра, если от пас
к красному концу. При анализе излучения
далеких галак тк получается удивительный
результат. У всех галактик наблюдаемся
красное смещение, следовательно, все они
удаляются ог нас! Кроме тою. величин
красного смещения и. следовательно. см»
рость разбегания галактк больше ни
68
3. 1 а iukihuku и синимы
более удаленных 1алактик (фи! 3.18) Ока-
зывается, сушес1вует прямая пропорцио-
нальность между лучевой скоростью 8
1алактики и рассюянием г до нее:
s Hr (3.6)
Коэффициент пропорциональное!и Н назы-
вается постоянной Хаббла в честь Эдвина
Хаббла, установившего эту зависимость ч
начале 30-х годов нашего века На фиг. 3.19
приведены некоторые данные, подтверж-
дающие прямую пропорциональность меж
ду г и 8 Из эт их данных следует, ч i о Н равно
приблизительно 50 км/с на I06 пс (однако
неопределенность очень велика око
ло 50%). Таким образом, скопление галак-
тик которое находится на рассюянии 106 пс
от Зем !и, удаляется со скоростью ~ 50 км,с,
а скопление галактик, которое находится на
расстоянии 109 пс удаляется со скоростью
~ 10s км.'с. Для самых далеких 1алактик,
Фи> 3.16. Местная Система. 16 бли-
жайших соседей нашей Галактики спроеци-
рованы на плоскость.
Относ ительные расстояния от Млечного Пути
пока саны в правильном масштабе, но так как
остальные члены локальной группы распреде гены
в пространстве, то многие расстояния между
зтиыи галактиками искажены ММО и ЬМО
сокращенные обо точения галактик Малое Магел-
ланово Облако и Большое Магелланово Облако
Объект под номером М3! (« каталоге Мейесе
ра) — огромная галактика в Андромеде
которые удалось исследовать до сих пор
(г ~ 2 • 109 пс), измерения красного смешения
показали, что скорость их разбегания пре
восходит половину скороши света!
РАСШИРЯЮЩАЯСЯ ВСЕЛЕННАЯ Если
все галактики удаляются от нас, то возникает
вопрос, нс занимаем ли мы особою положе
3.2. Галактики
69
ния в центре Вселенной? Легко покачан.,
что это не гак. Рассмотрим следующую
двумерную аналогию. Предположим, что
мы надуваем воздушный шар. на поверх-
ность которого равномерно нанесены пят-
нышки По мере того как шар будет рас-
ширяться, наблюдателю, находящемуся в
одном m ня I пышек, будет казаться, что все
другие пятнышки удаляются от него. Кроме
того, ему будет казаться, что более далекие
пятнышки удаляются значительно быстрее
чем те, которые расположены близко. Такие
же результаты получатся при наблюдении из
любого другого пятнышка. Таким образом,
при однородном расширении будут увели-
чиваться все расстояния между пятнышками.
В трехмерном пространстве все будет про-
исходить подобным же образом. Пусть,
например, в ящике с песком находится тте-
Фит. 3.17. Скопление гамктик в созвездии
Геркулеса.
3. I it iukiihikii и что '/'>/
Де (kt
30 ООН 1100
125U км/с
Полиция
МгнИусДии.а
I'.’il] tn in 111)0
13 30U км/с
Обо 000 (НЮ
,'.1’ ии и км/с
Корона
/ (UU очи игш
боиио км/с
HllJlUlltlC
Гидра
2 SUU OHO ut)O
сколько маленьких камешков Ес ш ящик
и ei о содержимое уве тичиваются в размерах,
ю наблюдателю с какою-либо камешка
покажется, что все остальные камешки уда-
ляю юя от него.
Измерения красного смешения обычно
истолковываются как очевидное доказатель-
ство тою, что Вселенная расширяется. Так
кIK расширение по-видимо.му, происходи!
равномерно во все стороны, то «наира»
Все шиной выделить нельзя.
t:.i о о и нм 'с
Фиг. 3.18. Фотографии o///dc ii.Hi.i \ галактик
в скоплены t\ га актик « порчдке возрас
тани.ч расстлниии от Зе.м.ш. и Oan.iepoi.tкт
(красное) смещение ui /ученич этих галактик.
Величина кра<но,о смещенич «озрастает с р<к-
сто.чние.м га шктик от Земли.
3.3 Атамы
71
Лучевая скорость, 103км/с
Фш. 3.19. Зависимость скорости от расстоя-
ния д.с.ч различных скоплений галактик.
Чначенич расстояний указаны приближенно.
Почему Все генная расширяется? Конечна
он । или бесконечна? Как образуются звезды
и 1алак1ики? Эш вопросы, а 1акже пекото-
рые другие мы будем обсуждаю, koi да вер-
немся к рассмо! рению астрофизики и кос-
Mo.ioi ии в । л. 17.
3.3. Лпюмы
ВОЗНИКНОВЕНИЕ АТОМНОЙ ТЕОРИИ
Астрономия и химия сы1 ради решающую
роль в установтении основных положений
физики. Ранние астрономические наблюде-
ния и измерения легли в основу теории i Я| о-
тения (гл. 6) — первой из больших физиче-
ских теорий, которая явилась ключом к
пониманию явлений огромного масон аба,
происходящих во Все генной. Подобным же
образом химия XIX века установи та а томное
строение вещества и дала физикам возмож
поегь перейти к микроскопическому описа-
нию природы.
К копну XV111 века у химиков сложилось
довольно ясное предс1авленис о том, чю
представляет собой чистое химически опре-
деленное вещество. Они различали несколько
основных веществ, из которых можно было
образовыва i ь соединения, но которые нельзя
было разложить на более простые сос>авные
части химическими способами 31 и вещееi ва
были названы химическими элементами.
Тогда же химики установили, что сущее i вуе i
ишь сравнительно небольшое чис ю эле-
ментов (в настоящее время их известно не-
многим более сотни), тогда как число воз
можпых химических соединений oi ромно.
Современная атомная 1еорпя ведет свое
начало oi сформулированного Ашуаном
кнзуазье (1743 1794) закона постоянства
состава Эго г закон ушерждаег. что массы
нзух элементов. образующих какое- шбо хи
мичёское соединение, не могут находиться
в произвольном соотношении: эчо соотно-
шение вполне опредслсшюе. характерное
д 1Я pcai ируюпгих ЗЛ1 ментов п возникаю-
щею их соединения. Так, например, koi да
из водорода и кислорода образуется вода
1 I водорода всегда соединяется с 8 г кисло-
рода. образуя 9 । воды. Кроме того. 1 i во-
дорода может соедини |ься с 16 i кислорода
п образовать 17 г первые-и водорода —соеди-
нения. свойства ко горою резко отличаю 1ея
от свойств волы То же справедливо для
любого другого химического соединения
в нем всс)Да и.мее! место опредслсшюе со-
отношение между сос1ав!|яющими его эле-
ментами независимо от происхождения коп-
Kpeiiioio образна.
Английский химик Джон Дальтон (1766
1844) впервые попя i. что закон постоянства
состава свидетельствует о существовании
некоторого фундаментального мипима п,-
ного количества каждого химического эле-
мента. Друт ими словами, все вещество долж-
но состоя।ь из основных частиц, или атомов.
Как иначе можно было бы объяснить го.
что вода всеыа состоит из 1 части водоро га
и 8 часгой кис юрода? Простейшее объяс-
нение заключается в том. что и водород, и
кислород сосюяг из частиц, имеющих опре-
деленные, по различные массы, и что, со-
единяясь между собой в npoci >м cooi но-
шении. они образуют воду. Таким образом,
некоторое число атомов водорода соеди-
няется с некоторым числом атомов кисло-
рода, образуя молекулу воды В молекуле
перекиси водорода отношение чисел атомов
кислорода и водорода должно бьпь точно
72
3. I алактики и атомы
в два раза больше, чем в молекуле воды.
(Как мы увидим в дальнейшем, масса атома
кислоро ia в 16 раз больше массы атома
водорода, а молекула воды содержит дни
атома водорода и один атом кислорода, что
и дает отношение масс 8:1; молекула пере-
киси водорода содержит два атома водорода
и два атома кислорода.)
Закон постоянства состава уже сам по
себе явился доказательством атомной при-
роды материи, что позволило Дальтону
обоспова гь свою атомную гипотезу. Однако
из отношения масс элементов, входящих в
соединение, нельзя было сделать заключение
о величине отношения масс атомов, не зная
числа атомов в данном соединении, и на-
оборот
Через несколько лет после тот о, как Даль
тон пре июжил свою атомную теорию фран-
цузский химик Жозеф Луи Гей-Люссак
(1778 1850) открыл закон отношения га-
зовых объемов. Гей-Люссак нашел, что когда
два газа, соединяясь, образуют третий газ,
объемы компонентов и получающегося со-
единения (измеренные при одной и той же
температуре и одном и том же давлении)
относятся друг к другу как небольшие це-
лые числа. Гак. например, два объема во го-
рода. соединяясь с одним объемом кислоро-
да, образуют два объема водяною пара
(фиг. 3.20, а). Один объем водорода, соеди-
няясь с одним объемом кислорода, дает
один объем пара перекиси водорода
(фиг. 3 20, б)
В 1811 т. итальянский ученый Амедео
Авогадро (1776 1856) предложил простое
объяснение закона Гей-Люссака, завершив
тем самым построение основ атомной тео-
рии. В го же время он выяснил, в чем состоит
различие между атомами и молекулами,
вопрос, который нс удалось разреши гь Даль-
тону. Последний считал, что все элементы
состоят из атомов и только соединения
состоят из югеку.1 Для Авотадро термин
«молекула» означал, как и в настоящее
время, наименьшее количество какого-либо
вещества Атом не представляет собой наи-
меньшее количество вещества, обладающее
свойствами данного химического элемента
Так. обычный газообразный водород со-
стоит из молеку / а каждая молекула водо-
рода (как мы теперь знаем) состоит из двух
атомов водорода.
Важным достижением Авогадро, которое
прояснило связь между законом постоянства
Фит. 3.20. Леа объема водорода, соединяясь с
одним объемом кислорода, образуют два объ-
ема водяного пара (а), один объем водорода,
соединяясь с одни м объемом кис юрода, обра-
зует один объем пара перекиси водорода (б).
Отметим, что каждый объем газа содержит
одно и то же число молекул (сог тсио гипотезе
Авогадро)
3.3. Атомы
73
Таблица 3.1. Количество водорода, присутствующее в различных газах
Газ или нар Масса 1 а газа при нормальных темпе- ратуре и давлении, г Объем гема, содер- жащий 1 г водо- рода. л
Хлористый водород 1,63 22,4
Бромистый водород 3.62 22,4
Газообразный водород 0,09 ц - 22,4
Вола 0.805 /т22 4
Формальдсг ид 1,34 %-22,4
Аммиак 0,76 *3 224
Метиловый спирт 1.43 '4-22,4
Этиловый спирт 2,05 Ч- 22,4
Эфир 2,05 /6-22,4
состава и законом отношения газовых объ-
емов явилась его гипотеза, согласно которой
равные объемы всех газов (при одинаковых
температуре и давлении) содержат одинако-
вое число молекул. Авогадро не знал, сколько
молекул содержится в данном объеме газа,
но полагал, чю эго число чрезвычайно
велико.
Догадка Авогадро* объяснила тот факт,
что 2 литра** водорода могут соединяться
с 1 литром кислорода, образуя 2 литра воды.
То1да как 1 литр водорода и 1 литр кисло-
рода при соединении образуют только 1 литр
перекиси водорода. Согласно Авогадро, каж-
дая молекула воды должна содержать коли-
чество водорода, составляющее I молекулу
водорода, и количество кислорода, состав-
ляющее половину молекулы кислорода. Од-
нако. чтобы определить число атомов в
молекуле водорода, нужна дополнительная
информация.
Для определения состава газа и массы его
компонентов следует воспользоваться мего-
* Значение блестящей гипотезы Авогадро оста
ва юсь непонятым в течение почти 50 зет. и
химики тщетно пытались понять соотношение
между >лементами и соединениями
** Литр (.>) опреде i чете я как объе м / кг воды
(при макси /антой плотности) и равен 1(100.028
им' Мы будем пользоватыя приближенным
соотношением 1 я 10' си3.
дами количественного химического анализа.
Допустим, что производится анализ несколь-
ких газов, содержащих водород, и что ре-
зультаты опыга выражаются как объем изу-
чаемого газа, содержащий 1 г водорода
(при заданных температуре и давлении).
В результате мы получим информацию,
подобную приведенной в табл. 3.1 Из рас-
смотрения таблицы следует, например, что
1 г водорода содержится в 22,4 л хлористого
водорода, тогда как то же количество водо-
рода содержится лишь в 1 ff> этого объема
эфира. Исследование большого числа соеди-
нений показало, что для гголучения 1 г водо-
рода может потребоваться не более 22 4 л
любого, содержащего во город газа. Это
озггачаст, что в таких соединениях, как хло-
ристый водород, каждая мо гекула содержит
всего 1 атом водорода. Так как 1 г водоро га
содержится в 1 2 22,4 л водяного ггара или
газообразного водорода, а равные объемы
газа содержат одинаковое число молекул,
то можно сделать вывод, что в каждой мо-
лекуле газообразного водорода и в каждой
молекуле воды должны содержаться два
атома водорода.
Установив, чго самый легкий элемент,
водород, в газообразном состоянии сущест-
вует в виде двухато иных молекул, мы можем
построить систему относительных атомных
(или молекулярных) масс для всех элементов
и соединений.
74
3. Галактики и иптмы
АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ МАС
СЫ*. На примере водорода и кислорода
покажем, как производится определение от-
носительных масс а юмов и молекул. Из
приведенных рассуждений следует:
L 1 г водорода и 8 г кислорода, соеди-
няясь, образуют 9 t воды.
2. 2 л водорода и 1 л кислорода, соеди-
няясь, образуют 2 л водяного пара.
3. Равные объемы газа содержат одина-
ковое число молекул.
4 Газообразный водород состоит из
двухатомных молекул (Н2).
Из этих данных можно сделать следую-
щие выводы (убедитесь сами, что приведен-
ные ниже утверждения действительно сле-
дуют из изложенных выше фактов):
L Молекула воды содержи! два атома
водорода и один атом кислорода (т. е. хими-
ческая формула воды Н2О).
2. Газообразный кислород сосюит из
двухатомных молекул (О2).
3. Атомная масса кислорода в 16 раз
больше атомной массы водорода. (Молеку
лярная масса кислорода также в 16 раз
больше молекулярной массы водорода, так
как оба газа состоя! из двухатомных моле-
кул.)
4 Молекулярная. масса воды в 18 раз
больше атомной массы водорода.
Описанные измерения для водорода, кис-
лорода и воды можно провести и для других
элементов и соединений и установить тем
самым систему относительных атомных и
молекулярных масс. Современные (более
прямые) методы позволили увеличить точ-
ность химических измерений. Так как кис-
лород легко соединяется со многими дру-
гими элементами и входит поэтому в боль-
шое число соединений, этот элемент был
принят за основу шкалы относительных
атомных и молекулярных масс. В cooibct
ствии с э-i им массу атома кислорода приняли
равной в точности 16 атомным единицам
массы (а. е. м.), а все другие атомные и мо-
леку 1Ярные массы были опредетены через
* Обычно в химии говорят об атомных и моле-
кг /ярных весах а не массах. Мы 6ydt и пользо-
ваться более точным термином, однако в данном
случае зто не играет существенной роли
массу аюма кислорода*. Таким образом,
масса самого легкою элемента, водорода,
равна приблизительно 1 а. с. м. (точнее,
1,007825 а. е. м.). В табл. 3.2 и 3.3 приве-
дены некоторые атомные и молекулярные
массы.
Связь между атомной единицей массы
и граммом определялась различными экс-
периментальными методами, и было най-
дено
1 а. е. м. 1,6605- КГ24 i (3 7)
1огда масса атома водорода равна
1,007825 (1,6605-10 24 г) 1,6735-КГ24 г.
Переводной коэффициент между атомной
единицей массы и граммом до сих пор нс
определен с точностью, достаточной для
использования атомного эталона при всех
определениях массы. Однако относительные
атомные массы можно измерить с большой
точностью. Мы продолжаем пользоваться
произвольным эталоном — граммом — для
всех макроскопических измерений массы,
а для атомных и молекулярных измерений
пользуемся относительной шкалой а е м
ЧИСЛО АВОГАДРО Могь вещества (эле-
мента или соединения) определяется как
количество вещества, масса которого в грам-
мах равна молекулярной массе вещества,
выраженной в а. е. м. Таким образом моль
водорода имеет массу 2 г, моль кислорода
32 г, моль воды — 18 г. Следовательно, моль
любого вещества содержит в точности одно
и то же чис w мо чекул. Э то число называется
* В 1961 г. по международному соллашеииЮ в
качестве Эталона атомной массы вместо кисло-
рода был принят изотоп углерод-12 (С12). При-
чиной такой замены явилось стремление привести
в большее соответствие химическую шкалу (ос
нованную на массе природной смеси изотопов кис-
лорода) и физическую шкалу (основанную на массе
изотопа О'*1). Теперь используется шкала атом-
ных масс, в которой принята масса С12 12 (точ-
но). Эта замена эталона привела лишь к незначи-
тельному изменению значения массы указанного
изотопа кислорода (вместо 16 зто значение те-
перь равно 15,9994 а. е. м.)
3.3. Атомы
75
Л
Таблица 3.2. Атомные массы некоторых элементов
Элемент Символ Атомна i пасса. a. e. «**
Водород н 1.00797
Гелий Не 4.0026
Литий Li 6,939
Углерод С 12.0 4
Азот N 14,0067
Кислород О 15,9994
Неон Nc 20,183
Натрий Na 22,9898
Алюминий Al 26,9815
Хлор Cl 35.453
Железо Fe 55.847
Бром Br 79.909
Серебро Ag 107.870
Золо го Au 196.967
Свинен Pb 207,19
Уран U 238,03
* Полная таблица атомных весов элементов приведена на внутренней
стороне обложки
* * Значении основаны на г.1 iepode-I2 (точно): об изотопах ем. разде i .3.4
Значении соответствуют встречающимся в природе смесям изотопов.
Поэтому масса углерода немного больше 12 из-за присутствия 1,Г% изо-
топа С’л. а масса водорода немного больше 1,007825 их за наличия 0,0159/,
дейтерии (H~t
чис . юм А век 'адро:
число А вогадро /Vo
число молекул в 1 моле
- 6,022 • К)23 молекул, мо 1ь.
(3.8)
Число молекул N и обра ите массы .17
какою-либо вещества, имеющею молеку-
лярную массу т, равно
n^2LNo, (3.9)
т
где М,т — часть м ля, коюрую составляет
образец
РЕАЛЬНОСТЬ АТОМОВ. Xoih существу-
ют неоспоримые аргументы (основанные на
химических измерениях) в пользу ато.мной
теории вещества, однако возникает вопрос:
нельзя ли непосредственно убедиться в том,
что атомы дей< твительно существуют? Ато-
мы слишком малы, чтобы их можно было
увидеть даже в самые мощные микроско-
пы*. но пет ш какой-либо иной возможности
получить допо шигельное доказательство
существования атомов?
В 1827 г. шотландский физик Роберт
Броун (1773 1858) рассматривал в микрос-
коп цветочную пыльцу, взвешенную в капле
жидкое । и (увеличенное изображение отдель-
ной частицы показано на фиг. 3.21). Ьроун
заметил, что мельчайшие частицы иы тьцы
не остаются неподвижными, а непрерывно
движутся Каждая частица движется по зиг-
зат ообразной траектории нетависимо о г дви-
жения соседних частиц. Такое непрерывное
* Некоторые очень бо./ьшие и с южные моле-
ку.лы можно «видеть» с помощью электронного
микроскопа
76
3. Галактики и атомы
Тиб ища 3.3. Приближенные значении мосеку л.чрных масс некопнз-
ры \ соединений
Соединение Символ Мо лекул.чрна.ч масса, а. е.
Вода Н2О 18
Хлористый водород на 36,5
Бромистый водород НВг 81
Аммиак NH, 17
Метиловый спирт сн,он 32
Бутан С4Ню 58
Белки (различные) ~1(>8
хаотическое движение микроскопических
час 1 иц называется броуновским движением.
Открытие Броуна, подобно гипотезе Аво-
гадро, прошло незамеченным. Значи те тьно
позже выяснилось, что броуновское движе-
ние микроскопических частиц является не-
посредственным результатом столкновений
с молекулами той среды, в которой находят;
ея во взвешенном состоянии ли частицы.
Фиг. 3.21. Микрофотографии частицы пыль-
цы ли ии (увеличение приблизительно в 750
раз), полученная с помощью злектронного
микроскопа
Такие частицы пыльцы, если их размешать в воде
и с /едить потом за ни ми в микроскоп, непрерывно
движутся в результате. столкновений с мозеку-
ш.ми воды (броуновское движение). «Дидметр»
молекулы воды состав счет всего 10 6 диаметра
частицы пыльцы.
Атомы и молекулы всех веществ находяюя
в непрерывном (тепловом) движении, и,
хотя мы нс можем их видеть, можно наб по-
дать результат их столкновений с частицами
малых размеров, такими, например, как час-
тицы цветочной пыльцы или дыма. Таким
образом, броуновское движение с очевидно-
стью указывает на существование частиц
вещества, которые слишком малы, чтобы
их можно было непосредственно наблюдать.
Математическая теория броуновского дви-
жения. основанная на рассмотрении молеку-
лярных столкновений, была сформулирова-
на Альбертом Эйнштейном в 1905 г. В 1908 т
французский физик Жан Перрен (1870—1942)
исследовал движение взвешенных в воздухе
частиц дыма (диаметром ~1(Г4 см), нанося
на график положения отдельных частиц че-
рез опреде генные промежутки времени
(фиг. 3.22). Тщательные исследования Перре-
на полностью подтвердили теорию Эин
штейна. В 1926 г. Перрен получил за эти
исследования Нобелевскую премию. Инте-
ресно отметить, что результаты Перрена
при истолковании с помощью геории Эйн-
штейна позволяют независимо определить
число Авогадро Значение этою чне та, полу-
ченное из опыта Перрена, находится в пре-
восходном согласии со значением, получен-
ным позднее с помощью точных электриче-
ских измерений.
РАЗМЕРЫ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ. Если
атомы и молекулы столь малы, что их не-
тто тможно наблюдать, то как же .мы мож м
определить их размеры? Грубая оценка раз-
3 3. Amo мы
77
Фш. 3.22. Посзедоватезьные положения
частицы дыма в возду хе, зарегистрированные
через про.межуипки времени, равные / .мин.
11ч частиц, совершающих броуновское движение,
характерны зигзагообразные траектории
мсров м< текул может быть получена сле-
дующим nyieM. Возьмем капе 1ьку масла
и, осторожно перенеся ее на неподвижную
повсрхнос1Ь воды, дадим маслу рас1екаться
по этой поверхности. Масло и вода не сме-
шиваются; так как плотность масла меньше
плот пост и воды, оно останется на поверх-
ности Мы обнаружим, чю данное количс
сто масла, образовав тонкую пленку, будет
веет да занимать вполне определенную пло-
щадь. Если мы попытаемся заставить масло
покрыть большую плотна ть, то заметим,
что в н тенке масла появятся дыры Наиболее
простое обьяснснис этого факта состоит в
том что масло расплывается по воде до
тех пор, пока пс образуется пленка толщиной
в одну ,мо зеку зу. Если мы знаем объем масла,
перенесенного на поверхность воды, и изме-
рим площадь, занимаемую пленкой, то легко
сможем вычислить ее толщину, так как объ-
ем пленки должен бьпь равен первоначаль-
ному объему масла. Эксперименты подоб-
ного рода показали, что молекулы масла
имеют длину порядка 10 1 см; так как в мо-
лекуле масла содержится много атомов, то
размеры отдельного атома должны бьпь
порядка 10 8 см (см 1адачу 3.23)-
Размсры молекул можно определить и
другим методом. Мы знаем, что масса 1 мо-
ля полы составляет 18 т. и так как плотность
воды равна 1 г/см3, то 1 моль воды Занимает,
объем V 18 см’ Поэтому в 18 см’ воды
содержится No молекул, а число молекул
воды в 1 см3 равно
А'о 6,02- 1023 молекул моль
V 18 см3 моль
«3- 1022 молекул см3.
Объем, занимаемый одной молекулой, равен
— =----------!----« 0,3 • 10-'22 см3.
Л' 3 102=
Если считать, что обьем каждой молеку ты
имеет форму куба, то сторона ттого куба
равна кубическому корню из IN, i с
d = = (30 • 10-24см3)‘Л «
«3 10"8 см.
Гаки.м образом, размеры молекулы воды
равны по порядку величины 10 8 см. Объем
молекулы воты относится к объему 1 см3
примерит так же, как объем Солнечной си-
стемы относится к объему пашей Галак-
тики!
Перечисленные методы дают лишь при-
ближенную оценку размеров атомов и мо-
лекул. Например, мы приняли. что 1//V—
это обьем, который может занимать каж-
дая молекула воды, но не обяза iелыю, ч i обы
каждая молекула полностью занимала (акой
объем, размеры ее на самом деле мот у i
быть и много меньше. Пользуясь современ-
ными методами исследования (например,
рентгеновским анализом), можно проверить,
что атомы действительно имеют размеры
порядка 10'8 см. (Следует помнить, однако,
что в соответствии с принципом неопреде-
ленности Гейзенберга атомы не имеют «точ-
ных» размеров.) Методы реп т геност руктур
ною анализа и спектроскопии молекул поз-
воляют по тучать «карты» расположения
атомов в молекулах. Для многих молекул
можно определить расстояния между ато-
мами и утлы между различными межатом-
ными направлениями; в качешве иллюст-
78
3. Галактики и атомы
Фш. 3.23. Структура молекулы мсти юво. о
спирта.
Расстояние указаны а ангстремах (1.4 10 8 гл/).
«Размеры» атомов преуменьшены чтобы яснее
выделить их по.юж ем из в молекуле
рации на фш 3.23 показано строение моле-
кулы метиловою спирта СНЛОН Конечно,
молекула не представляш собой жесткой
конструкции: расстояния между атомами и
углы между их связями не закреплены и мо-
гут изменяться Однако, проделав много
измерений, можно определить довольно точ-
но средние значения этих вели1..
Во многих веществах молекулы располо-
жены упорядоченно; в этом случае .мы гово-
рим, чю они образуют кристал 1Ы Кристал
шческпе структуры были исследованы с
помощью рентгеновского анализа: для мно-
гих кристаллов точно известны средине по-
ложения атомов и расстояния .между ними.
Одним из простейших кристаллов является
поваренная соль (фш. 14.18 и 1419): лсд
также об i а даст относи ic ibho прослой струк-
турой (фш 3.24) На фш 3.25 показана крис-
таллическая структура ут (скислою свинца,
которую можно наблюдать в электронном
микроскопе Молекулярные и криста ишче-
екне структуры более подробно рассматри-
ваются в иг 14.
Фш. 3.24. Структура криста i ia льда.
Серыми шариками июбрижсены атомы кт.юра
да, красны ми атомы водорода
АТОМЫ. ЭЛЕКТРОНЫ И ИОНЫ
В 90-х годах прошлою века стало ясно, что
хотя атомы и являются наименьшими час-
тицами вещества, которые еще можно идеи
т ифицнровать как определенные химические
элементы, тем не менее они состоя i из час i ин
еще меньшего размера В 1897 т было от-
крыто. что о г а юмов могут бы и» отделены
электроны и чго эти электроны являются
основными единицами о грина тельною > тек
гричсства. Электроны сравнительно лет ко
освободить из атомов, и с ними стали про-
водить разнообразные эксперименты Изме-
рения, выполненные вскоре после открытия
элекгроцов. покатали что ин частицы зпа
ЧНТСЛЫ1О jiei че а юмов масса даже самою
легкого атома (воюрод) оказалась в 1837 pa t
больше массы ) 1сктроиа. В настоящее время
электрон по-прежнему остается частицей ве-
щества с наименьшей массой. Как мы уви-
дим. электроны крайне «активны»; они игра
ют основную роль не юттько во всех эчектрн-
чсских явлениях (таких, например, как элект-
ропроводность), по также во всех атомных
и химических процессах
3.4. Amo иные .4i)pa
79
Фит. 3.25. Криста линеек 1Ч структура i 1 ie-
кис юго свинца, «иди ш.ч в ллектронпый инк
раскоп при увеличении в 150 000 рал.
Этек|ропы представляют интерес и сами
но себе, но с ie tyei имен. в виду, что «сво
болпый» э iCKipoii появляется только вмесче
с положи ।едыю заряженным a i омом (по ю-
жителъиы.и ионом). Дюмы xioiyr также
захва1ыван> лишние электроны, превраща-
ясь при этом в отрицательные попы. Поло-
жи 1ельные п отрицательные попы, подобно
тлекчропам широко используются в техни-
ке. например в э 1ектрпческих ба тареях. 1 рап-
nieiopax п г. д.. исследование попов позво
лпю потупть много подробных све leimii
об атомных процессах В гл 12 14 мы
опишем пекоюрые из важнейших резулыа
iob. ко торые были но тучены при исследо
ва шях явлений с участием атомов, электро-
нов и ионов.
3.4. Атомные ядра
ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ АТОМА.
К 19(H) । было установлено, что в состав
всех атомов входят з и-ктроиы. Было пай
депо, чю электрон имеет очень ма тую масс
и о|рицатетьный электрический заряд. В то
время ученые ломали юловы над вопросом,
може| in масса атома быть обусловлена
исключительно электронами (так что заряд
электрона нейтра шзуегся не имеющим мае
сы, положительно заряженным веществом)
пли же внутри атомов имеются друтпе.
обладающие массой часчпцы вещества На
этот вопрос был дан oiuei лишь в 1911 i..
koi да Р ерфор I завершил анализ серии
экспериментов по изучению внутреннею
с।роения атомов Резерфорд нашел, что
полученные экспериментальные резу платы
можно ипicpupeiкрова|Ь. только если счи-
тать. что масса атома почти полностью
сконцентрирована в крошечной центральной
80
3. Галактики и атомы
области с положительным зарядом — атом-
ном ядре.
Открытие Резерфордом атомных ядер по-
ложило начало новому важному этапу раз-
вития физики Вскоре после этою Нильс
Бор предложил модель атома, в которой
электроны движутся вокрут ядра подобно
тому, как планеты обращаются вокрут Солн-
ца. Это был первый важный шат к детально-
му описанию атомных явлений. Предложен-
ная Бором модель атома водорода имела
большой успех, по котла эту модель попы-
тались применить к более сложным атомам,
возникли значительные трудности. Попытки
преодолеть эти трудности привели Шредин-
гера и Гейзснбер а к созданию квантовой
теории микроскопических систем. Эта тео-
рия является основой всех современных
представлений об атомных и ядерных явле-
ниях*
ПРОТОНЫ И НЕЙТРОНЫ. Во всех атом-
ных явлениях, которые изучались в начале
нашего века Бором, Шредингером, Гейзен-
бергом и многими другими учеными, атом-
ное ядро, по-видимому, играло роль лишь
положительного заряда, притягивающего
электроны оно было лишь инертной серд-
цевиной активного атома. Многочисленные
изученные химические и оптические явления
определялись иск почительно поведением
атомных электронов В 30-х годах объектом
тщательного изучения стало само ядро
Ученым удалось расщепить ядро и подверг -
путь изучению его составные части. Ската-
лось, что ядра всех атомов состоят из двух
основных частиц вещества — протонов и
нейтронов. Протон представляет собой я дро
атома водорода с положительным зарядом,
равным по величине заряду электрона, и
массой, превосходящей массу электрона в
1836 раз. Нейтрон представляет собой час-
тицу с массой, почти равной массе прогона,
но лишенную электрического заряда.
После озкрытия в 1932 г. Джеймсом Чэд-
виком нейтрона многие из уже известных
основных фактов относительно ядер стали
* Опыты Резерфорда и модель Бора описаны в
гл. 13. Квантовая теория рассматривается в гл.
/2 и 13.
на свои месга. Химические свойства элемен-
та определяются числом электронов в элект-
рически нейтральном атоме элемента (атом
водорода имеет один элек г рон. а т ом гелия —
два, атом кислорода восемь и г. д.). Было
установлено, что число положительно пря-
женных протонов в ядре атома совпадает
с числом электронов во внешней оболочке
В настоящее время считается, что электри-
ческий заряд электрона в точности равен
но величине и противоположен но знаку
заряду протона*, так что азом электрически
нейтрален. Атом водорода имеет один элект-
рон и один протон; атом гелия имеет два
пре г эпа и два электропа. Но атом гелия
приблизительно в четыре раза тяжелее ато-
ма водорода, так как ядро гелия содержит,
кроме двух протонов, два нейтрона. Дейст-
вительно, ядра всех атомов, кроме водорода,
содержат как протоны, так и нейтроны.
Число протонов в атоме (или число г нит-
ронов, если атом электрически нейтрален)
называется атомным номером элемента и
обозначается символом Z Таким образом,
атомный номер водорода равен 1; для ге-
лия Z равно 2, для кислорода Z равно 8
и г. д. Общее число ггротонов и нейтронов
в ядре атома называется массовым числом
и обозначается А.
Масса прогона, как и масса нейтрона,
равна приблизительно 1 а. е. м.:
Масса протона т„ — 1,007825 а. е. м.,
(3.10)
Масса нейтрона тп 1,008665 а. е. м.
Поэтому масса ядра с массовым числом А
приближенно равна А а. е. м
ИЗОТОПЫ Ядра одного и того же хими-
ческого элемента не все имеют одинаковые
массы. Так, например, хотя большая часть
атомов водорода естественного происхож-
дения имеет ядра, состоящие из одного
протона, у некоторой доли атомов (око-
ло 0,015%) ядра состоят из одного протона
и одного нейтрона. Этот «тяжелый» водород
* Из опытов известно, что эти два заряда не
могу т раз тчаться по величине б< лее че м на 10 19
3.4 Атомные ядра
К)
называется дейтерием (фиг 3.26). Существу-
ет еще одна (неустойчивая) разновидность
атомов водорода, ядра которых содержат
два нейтрона; водород с А = 3 называется
тритием Ядра с одним и тем же значени-
ем Z но разными значениями А называются
изотопами данного элемента.
Большинство элементов имеют два или
более устойчивы^ изотопа; среднее число
изотопов химического элемента равно при-
мерно 3, однако, например, олово имеет
10 изотопов*. Различные изотопы данного
элемента обозначают, приписывая к символу
элемента в качестве верхнею индекса массо-
вое число. Например, устойчивые изотопы
гелия обозначаются Не3 и Не4 (фиг. 3.27).
а устойчивые изотопы кислорода — О16, О17
и О18 В табл. 3 4 приведен перечень изото-
пов наиболее легких элементов.
РАЗМЕРЫ ЯДЕР. Опыты Резерфорда по-
казали, что атомные ядра по величине miioi о
меньше атомов. Каковы же размеры-ядер ?
В настоящее время мы располагаем разно-
образными методами определения размеров
ядер; один из простейших методов основан
на изучении рассеяния нейтронов ядрами.
Рассмотрим блок из какого-либо вещества,
например yi лерода, толщиной 1 см. Так как
атом углерода имеет диаме1р порядка
10 8 см, то блок будет содержать пример-
но 108 атомных слоев. Если блок имеет по-
перечное сечение 1 см2, то в таком кубике
углерода будет содержаться приблизитель-
но (108)3 = 1024 атомов. Если рассматривать
этот кубик в воображаемый свсрхмикроскоп.
то мы увидим, что атомы плотно упакованы
в материале (фиг. 3.28) Большая часть ато-
мов будет закрыта неско чькими наружными
слоями. Для ядер дело обстоит иначе,
«сквозь» атомы просматривались бы все
1024 ядер, так как из-за малых размеров они
не мот уз закрывать друт друга.
Площадь поперечного сечения каждого
ядра углерода о nRi , тде радиус
ядра ут лерода. Следовательно, полная пло-
щадь поперечного сечения ядер атомов уг-
лерода в кубике равна приблизительно 1024 а
* В природе встречается 21 элемент, имеющий
только один устойчивый изотоп
Фит 3.26. Три изотопа водорода.
Природный водород состоит преимущественно из
изотопа с А I Изотоп с А 3 (тритий} неус-
тойчив и испытывает бета-распад Атомы и ядра
изображены на этом рисунке схематически (см.
разделы 13 4 и 15.1)', в действительности они
представляют собой «размазанные» объекты
(фиг 3.30).
Фит 3.27. Устойчивые изотопы гелия Не3
и Не4
Все другие изотопы гелия неустойчивы. Содержа-
ние HeJ в природном гелии составляет всего
1.3 10 6
Если направить пучок нейтронов на блок
утлерода, то некоторые нейтроны пройдут
сквозь него без отклонения, гак как на них
не влияют пи атомные электроны, ни элект-
рический заряд ядер. Отклонятся только
нейтроны испытавшие столкновения с яд-
рами ут лерода (фиг 3.29). Эти рассеян-
ные нейтроны удаляются из проходящею
пучка. Доля рассеянных нейтронов равна
Арасс /Анола Эта доля должна быть равна
доле полною поперечного сечения блока
(1 см2), занятой ядрами углерода (К)24л),
т. е.
Арасе Ю24-
Апол 1 1 СМ2
б 779
82
3. Галактики и атомы
Таблица 3.4. Свойства изотопов некоторых легких элементов
Элемент Z А Обозначение Свойства * Водород 1 I Н‘ Устойчивый (99,985%) 1 2 Н2. или D2 Устойчивый (0,015%) (дейтерий) 1 3 Н3, или Т3 Д-активный (тритий) Гелий 2 3 Не1 Усюйчивый (0,00015%) 2 4 Не4 Усюйчивый (99,99985%) 2 6 Не6 /1 активный Литий 3 6 Li6 Устойчивый (7,52%) 3 7 Li7 Устойчивый (92'48%) 3 8 Li8 /(-активный Бериллий 4 7 Вс7 Радиоактивный (с-захват) 4 8 Вс8 х-активный 4 9 Вс9 Устойчивый (100%) 4 10 Вс10 /(-активный Бор 5 10 В10 Устойчивый (18,7%) 5 11 В 1 Устойчивый (81,3 „) 5 12 В /(-активный
* В скобках указаны относительные распространенности изотопов в прщ оде.
ПЛИ 0 • 10~24 см2. >10.111 Если выполнить пот эксперимент, то окажется, что приблизительно 30', пейтро нов будут удалены из падающего пучка в результате столкновений с ядрами ут теро та Таким образом. Эксперименты такого рода но рассеянию юйтронов были проведены в широком мас- ти абе, причем в качестве мишени нетто ть- ювалось большинство элементов, встре- ттютцнхея в природе Было найдено, что талпусы я дер в хорошем приближении онре- те тятотся формулой
1,1/1 10 13 см. (3.11)
.V А. • |,асс ^полн гак чю з « 0,3 • 10-24 см2; те 1 массовое чне то я тра Эта формула т тя радиусов ядер имеет Следующий смысл. Предположим. что мы начисляем объем ядра, по тьзуясь форму- юй (3.11)’ мы пап тем из псе
определяя отсюда радиус ядра ут юрода,
получаем
КС«ЗЮ 13 см.
J
V . r.R* ~ А.
1аким образом, обьсм ядра просто пропор-
ционален отце ну числу протонов и нейтро-
3.4. Атомные ядра
нов в ядре. Добавление протонов и пейтро
нов к какому-либо ядру с образованием
нового элемента не приводи! к сближению
частиц; каждый протон и нейi рои таштмают
тот же объем независимо от числа частиц
в ядре.
Чрезвычайную малость ядер трудно себе
представит. Если увеличит аюм до раз
меров установки для запуска космических
ракет в Хьюстоне, то находящееся в его пси т -
рс ядро было бы нс больше горошины!
Атомные электроны тоже имели бы разме-
ры горошины и двигались i де-го в верхних
и нижних пажах установки. Атомы, по юбио
галактикам, состоят главным образом и>
пустого пространства. Действительно. если
собрать все вещество в известной нам Все-
ленной в одно огромное сверхядро (с плот-
ностью ядерного всщсст ва), го это сверхядро
уместилось бы в преде iax Солнечной си-
стемы
РАДИОАКТИВНОСТЬ Примерно в те же
годы, ког га Гомеоп занимался исследова-
нием свойств элек ।ронов, французский фттзттк
Анри Беккер! ть (1852—1908) сделал другое
очень важное открытие. Беккерель наше т,
чго некоторые минералы естественного про-
исхождения испускают излучение псизвест-
иой природы. По прошествии нескольких
лет излучение радиоактивных вещееi в уда-
лось раздеипь на три группы.
1) альфа-лучи тяжелые положительно
заряженные частицы;
2) бета-лучи — отризательно заряжен
пые тегкис частицы:
3) гамма-лучи -- нейтральное излучение,
не обладающее массой.
Затем было уставов юно, чго бета-лучи
тождественны электронам. а а тьфа-зучи
представляют собой ядра атомов гелия
Что касается гамма- тучей. то, как оказалось
они обладают свойствами, аналогичными
свойствам света, с той разницей, чго п
частота значительно больше частоты вили
мого света.
Радиоактивность ядерное явление. Аль-
фа- и бета-лучи испускаются при самопроп т
вольном распаде ядер, а гамма-тучи возни-
кают при перераспределении нейтронов и
протонов внутри ядра (без его «распада»)
Фит 3.28. Ьо зыиа.ч часть атомов углерода в
кубическом блоке закрыта первыми атомны-
ми слоями. Ядра же уг юрода сто и> малы,
что практически не закрывают друг друга,
поэтому все ядра в блоке «видны».
Рассеянные
нейтроны
Падающие
нейтроны
^Нерасссянные
нейтроны
1см 3углерода
Фиг. 3.29. Пучок нейтронов падает на куоик
из углерода.
Некоторые нейтроны проходят через кубик, не
сталкиваясь с ядрами у г юрода. О(пш юные нейт
роны отклоняются и ш рассеиваются из пучка.
84
3. Галактики и атомы
Однако
атомных
псе
-Ю "см
ГРадий (ka^^t
88 протонов а-расяад
\/38 нейтронов^^^^^^
Радон (Япг1*)
86 протона
136неитроно6
Углерод (С'"у
6 протонов
8 нейтронов
ffyom(Nn)
7протонов
7нейтронов
J/fucnopodjb1^
8 про тонов
\ 8 ней тронов
У распад
Нислород^О'^
8 протонов
8 нейтронов
Фиг. 3.30. Схематическое сравнение разме-
ров атома и ядра.
Атомы приблизите ьнп в 100 000 раз больше, чем
ядра
(X- частица
е ° /З-частица
у частица
Фиг. 3.31. Примеры трех типов радиоактив-
ного распада
Aibcfia- и бета-распады сопровождаются превра-
щением ядра, гамма-распад является следстви-
ем внутреннего переустройства ядра, возбуж-
денное ядро О1ь. существовавшее до того как
произоше i гамма-распад, обозначается О16*
3.4. Атомные ядра
85
ТаИшца 3.5. Периоды по ivраспада некоторых радиоактивных ядер
Ядро Тип распада Период полураспада
Торий (Th232) а 1,4-10“’ лет
Плутоний (Ри23») а 100 лет
Уран (U229) а 58 мин
Углерод (С 4) р 5568 лет
Кобальт (Со60) р 5,3 года
Медь (Си66) р 5 мин
Криптон (Кг*4) р 1,4 с
При испускании альфа-частицы изменя-
ется и атомный номер, и массовое число яд-
ра, таким образом, при альфа-распаде из
первоначального («материнского») элемента
образуется другой («дочерний») химический
элемент Например, при испускании «-час-
тицы радием (Z 88, А 226) образуется
радон (Z == 86, А 222), как показано схе-
матически на фиг. 3.31. Отсюда следует, что
а-частица имеет Z 2 и А 4, т. е. представ
ляет собой, как уже было сказано, ядро ато-
ма гелия. С другой стороны, при бета-распа-
де не происходит испускания протона или
нейтрона, и массовое число ядра не меня-
ется. Однако, поскольку испущенная часшца
имеет отрицательный заряд, атомный номер
дочернего ядра оказывается на единицу
больше материнского. Так, например, когда
углерод С14 (Z 6, А = 14) распадается с
испусканием /1-частиц, образуется азот N'4
(Z 7, А — 14 фиг. 3.31). Таким образом,
/1-распад эквивалентен превращению одного
из нейтронов ядра в протон Испускаемые
ядром /1-частицы ничем нс отличаются о г
атомных электронов. Испускание гамма-
лучей сопровождается перестройкой ядра,
при которой 7 и А остаются неизменными.
Поскольку в результате испускания «- и
Д-частиц материнские ядра испытывают пре-
вращения, не приведет ли это постепенно к
полному исчезновению материнского веще-
ства? В действительности этою не происхо-
дит. Процессы радиоактивного распада под-
чиняются следующему закону Если вначале
имеется некоторое количество радиоактив-
ною вещества, то после определенного ин-
тервала времени характерного для данного
изотопа (этот интервал называет ся периодом
полураспада вещества и обозначается Ту),
половина вещества распадется, а другая по-
ловина останется По прошествии следую-
щего интервала времени tVj останется чет-
верть первоначального количества вещества
и т. д. Например, период полураспада ра-
дия-226 составляет примерно 1600 лет; по-
этому, если в начальный момент имеется
1 г Ra226, ю по прошествии 1600 лет ею
останется 1/2 г, по прошествии 3200 лет —
L4 г и т. д. (фиг. 3 32). Таким образом, коли-
чество радия щанет равным нулю только по
прошествии бесконечно долгого времени*
Нейтрон—частица, входящая наряду с
протоном в состав всех ядер, — в свободном
состоянии вне ядра не является в отличие от
протона устойчивой частицей. Свободный
нейтрон испытывает /1-распад, превращаясь
в протон и электрон Период полураспада
нейтрона равен приблизительно 12,8 мин.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ До сих
пор мы говорили о трех фупдаментаяьных
частицах вещества электроне, протоне и
нейтроне. Обычное вещество (включая все
вещество в Солнечной системе и, вероят-
но. в нашей Галактике) состоит из различ-
ных комбинаций частиц Э1их трех типов
Что представляют собой электроны, прото-
* Разумеется, это верно только с мате матиче-
ской точки прения в реа льных условиях мы всегда
имеем дело с конечным числом ядер. Поэтому
любое количество вещества сводится в конце кон-
цов к единственному атому, и. так как «поло-
вины атома» не существует, оставшееся ядро
в некоторый момент времени распадется и пер-
воначальное вещество изчезнет.
86
3. Галактики и атомы
Количество радия,
Фи . 3.32. Кривая радиоактивного распада
На226 (период полураспада ту, 160(1 . 'em).
По прошествии каждых 1600 лет количество ра-
дня уменьша&псл вдвое.
Фиг. 3.33. Один из методов наблюдения тра-
екторий ядерных частиц основан на примене-
нии специа юных ядерных фотоэ муаьсий.
На микрофотографии видны с 1еды нескольких
а-частиц, испускаемых при радиоактивном рас
паде одного атома тория. Торий испускает сна-
чала одну а-частицу: образующийся при этом
а-активный атом в свою очередь испускает а-час-
тицу, и т д Д сипа самого д личного следа равна
приблизительно 0.03 мм.
3.5. Об lacmn применимости физических теорий
ны и пей фоны? Какова природа этих основ-
ных «кирпичей мироздания»?
В пос ie ние годы физики пытаются оше-
тить па эти вопросы, исследуя процессы в
облает больших энергий, т. е. процессы;
при/оторых быстрый прогон (или элемроп,
нейтрон) взаимодейс 1 вуе 1 с другим прото-
ном или с ядром в течение очень коро i koi о
промежутка времени. В результате изучения
таких сюлкновений был обнаружен ряд
частиц с ма юй массой, совершенно непохо-
жих па обычные частицы, входящие в состав
атомов. Эти необычные частицы неустой-
чивы и с очень малыми периодами полурас-
пада (106 с или менее) превращаются в
стабильные частицы — элекчроны и прого-
ны, а также в 7-кванты* Несмотря на крат-
ковременность существования Э1их «элемен-
тарных» час 1 ин, исследование их свойств
внесло существенный вклад в понимание
природы вещества.
Мы вернемся к вопросу об элементарных
частицах в i.t. 16, где рассмотрим наиболее
важные результаты исследований этих час-
тиц и выводы о фундаментальных свойствах
вещества, которые можно сделать на осно-
вании Э1их результатов.
3.5. Области применимости
физических теорий
КОГДА НАШИ ТЕОРИИ СПРАВЕДЛИ
ВЫ7 В физике нам приходится иметь дело
с разнообразными величинами, значения
которых MOiyi охватывать огромный диа-
пазон. Так, интервал известных нам длин
простирав 1ся OI размеров элементарных
частиц до размеров Вселенной, интервал
времен — от периодов полураспада корот-
коживущих элементарных частиц до возрас
та Вселенной, ин гервал масс — от массы
электрона до масс 1алакгик. Как удается
охватить теоретческим описанием всю Вес
ленную, если приходится имс1ь дело с вели-
чинами столь различных масштабов? Пока
не удалось (и, может бы гь, iihkoi да не удаст
* Кро ие того также в нейтрино, как мы уви
дим ниже.
ся) создать единой, всеобъемлющей юорнп
описывающей все разнообразие яв ichhi'i с
которыми мы С1алкиваемся в микромире
и в ме1амире Все Юнной. Вместо ного раз-
работано много различных теорий, каждая
из которых имеет 01 рапичеппую обдашь
применимости.
Например, знаменитые законы механики
Ньютона перешают быть справедливыми,
если мы имеем дело с очень большими
скоростями. Тогда мы пользуемся специаль-
ной теорией относите зьности. Однако даже
эта теория оказывается iiecocronie плюй,
когда речь идет о чрезвычайно больших
массах или когда мы пьпаемся объяснить
некоторые явления, происходящие па гро-
мадных галактических расстояниях; в этих
случаях мы используем общую теорию отно-
сительности. Когда речь идет о явлениях в
атомных и ядерных масштабах, механика
Ньютона уступает место квантовой теории
или релятивистской квантовой теории, ее ш
приходится иметь дело и с малыми масш а-
бами, и с большими скоростями.
Откуда мы знаем, где следует примениib
ту или другую теорию? К сожалению, нель-
зя дать точного ответа на это1 вопрос.
Из опыта известно, что теорию относитель-
ности надо применять, когда скорости при-
ближаются к скорости света; мы также зна-
ем, что механика Ньютона правильно опи
сывает поведение тел, скорости которых
малы по сравнению со скоростью света.
Но когда именно мы должны от ньютонов-
ской механики переходить к релятивистской?
Ответ на этот вопрос зависит, конечно, от
того, с каким частным случаем мы имеем
дело, и от того, с какой точностью надо
решать данную задачу. Тем не менее можно,
хотя и очень приближенно, указать области
применимости некоторых наиболее обших
физических теорий.
На фиг. 3.34 приведена диаграмма в ко-
ординатах расстояние — скорость, на кото-
рой указаны области применимости пяти
самых широких современных теорий. В дей-
ствительности эти области частично пере-
крываются, и разделение носит лишь схе-
матический характер. Например, хотя на
диаграмме показано, что общая теория от-
носительности применима к астропомнчс
88
3. Галактики и атомы
Скорость света
?
3-10
5
Специальная
теория
относи телъност и
£
Общая
теория
относитель
нос'ти
9
2
!Oin
Расстояние, см
в
<5
Й!
В
10го
10 ю
41 (-релятивистская
квантовая механика
2•10'°
Фиг 3.34. Диаграмма в координатах рас-
стояние — скорость, схематически иллюст-
рирующая области применимости пяти са-
мых важных теорий в физике.
В нижнем левом углу — область нерелятивист-
ской квантовой механики (атомы, молекулы,
ядра) Закрашенная небольшая область внизу,
неподалеку от середины шкалы абсцисс, соответ-
ствует явлениям, с которыми нам приходится
иметь дело в повседневной жизни.
ским расстояниям однако решающая про
верка этой теории основана на анализе
движения планет, а одно из предсказаний
теории можно проверить даже в лаборато-
рии Таким образом из диаг раммы следует
лишь что обычно оказывается необходимым
применять общую теорию относительности
только для астрономических расстояний.
Верхняя часть диаграммы кончается ско-
рое ями, равными скорости света. Согласно
современным представлениям скорости ма-
ериальных частиц, превосходящие это пре-
дельное значение не имеют физического
смысла Мы не можем ответить на вопрос,
какие физические теории применимы к рас
стояниям, меньшим размеров протона или
большим, чем размеры видимой Вселенной
не ясно даже, имеет ли смысл говорить о
теориях для этих областей
Шкалы расстояний и скоростей, показан-
ные на фиг 3 34 охватывают весь известный
нам диапазон значений физических величин
во Вселенной Область скоростей и расстоя-
ний, с которыми мы сталкиваемся в повсе-
дневной жизни, занимает лишь небольшую,
отмеченную красным цветом площадь в
нижней части диаграммы
Вопросы
89
Основные выводы
Основная единица длины, применяемая при
измерении астрономических расстояний, —
расстояние от Земли до Солнца (астрономи-
ческая единица, А. Е ).
Единственный непосредственный метод оп-
ределения звездных расстояний измере-
ние звездного параллакса. Все другие методы
используют статистические оценки усред-
ненных характеристик звезд.
Звезды обладают различными светимо-
стями, поэтому измерения их относительно-
го блеска не позволяют сколько-нибудь на-
дежно определять звездные расстояния Од-
нако для этой цели можно воспользоваться
измерениями блеска звезд одного и того же
цвета, которые в среднем имеют прибли-
зительно одинаковую светимость.
Наиболее надежный способ определения
расстояний до галактик основан на регу-
лярных изменениях блеска цефеид. Период
таких звезд непосредственно связан с их
средней светимостью.
Наблюдаемая нами Вселенная расширяет-
ся. Все далекие галактики удаляются от
нас, причем скорости их разбегания пропор-
циональны расстояниям до них
Расстояния до самых далеких галактик
можно оценить, измеряя доплеровские сме-
щения (красные смещения) частоты испус-
каемого ими света.
Равные объемы всех газов (при одинако-
вых температуре и давлении) содержат оди-
наковые количества молекул (закон Аво-
гадро).
Атомы и молекулы нельзя наблюдать
непосредственно даже с помощью самых
мощных микроскопов, но некоторые кос-
венные эффекты (например, броуновское дви-
жение) легко доступны наблюдению.
Атомы состоят из положительно заряжен-
ных массивных ядер, окруженных легкими
отрицательно заряженными электронами.
Средний поперечник электронной оболочки
атома приблизительно в I05 раз больше
поперечника ядра.
Ядра всех атомов (кроме водорода) со-
держат нейтроны и протоны. Число прото-
нов в ядре определяет атомный номер Z
данного элемента, общее число нейтронов
и протонов — массовое число А. Атомы с
одинаковым зарядом ядра, т. е. с одинако-
вым Z, называются изотопами
Каждое радиоактивное вещество обладает
характерным периодом полураспада. Количе-
ство радиоактивного вещества в данном
образце, остающееся по прошествии про-
межутка времени, равного его периоду полу-
распада, равно половине того количества
радиоактивного вещества, которое сущест
вовало вначале.
Вопросы
3.1. Можно ли получить значение астрономической единицы с помощью измерений, произведенных
на системе Земля —Луна9 Дайте объяснение
3.2. Опишите некоторые из трудностей, возникающих при определении расстояния от Земли до Солн-
ца с помощью метода триангуляции.
3.3. Докажите, что все звезды, находящиеся на одном и том же расстоянии от Земли, имеют одина-
ковый параллакс независимо от того, каково их положение относительно плоскости орбиты движе-
ния Земли вокруг Солнца
90
3. I а.шктики и атомы
3.4. Объясните, как можно использовать искусственный спутник Земли для точною измерения
расстояния от Нью-Йорка до Лондона.
3.5 Бродячий проповедник предсказывает, что все звезды на небе, за исключением Со тина. завтра
погаснут. Сможете ли вы без труда проверить его предсказание?
3.6. Почему вдоль полосы Млечною Пути наблюдается меньшее число галактик, чем в любой дру-
гой области неба?
3.7. Считаете ли вы. что Вселенная существовала всегда или же что опа однажды возник ш? Дайте
обоснование вашему ответу.
3 8. Была ли т ипотеза Авогадро, согласно которой равные объемы газа всегда содержат одинаковое
число молекул, следствием применения научного метода?
3,9. Четко сформулируй те на основе атомных представлений, в чем состоит различие между химиче-
скими и физическими изменениями вещества.
3.10. Атомная масса природного хлора равна, 35.45 а. е. м. Считаете ли вы. что хлор состоит из од-
ного изотопа или же из смеси двух или более изотопов9 Объясните вант ответ.
3.11 Перечислите известные вам применения явления радиоактивности.
3.12. Возраст Земли составляет приблизительно 4,5 миллиарда лег. Присутствуют ли до сих нор на
Земле ядра Th232 и Рп2’9, которые существовали в то время, когда Земля только что образовалась?
Объясните ваш ответ (см табл 3.5)
Задачи
3.1 Постройте диаграмму, аналогичную приведенной на фиг. 3.1, для Венеры. Опишите, как можно
с помощью метода Кеплера выразить расстояние между Венерой и Солнцем через расстояние от Зсм-
ти ао Солнца (См габ т 6.1. в которой приведены данные об орбитах п танет.)
3.2. Радиолокационный сигнал посылается по направлению к Марсу в тот момент, котла Земля на-
ходится на прямой, соединяющей Марс и Солнце. Сколько пройдет времени до приема отраженного
сигнала? (С.м. табл 6.1.)
3 3 Туманность Андромеды находится от нас на расстоянии приблизительно 2,2 - 106 световых лет.
Выразите это расстояние в сантиметрах и в парсеках
3.4* . Антарес (самая яркая звезда в созвездии Скорпиона) находится от нас на расстоянии 52 пс.
Косвенными методами было определено, что угловой диаметр этой звезды равен 0.040" Сравните
яиамегр Антареса с диаметром Солнца (~1 4 10" см)
3.5. Мы хотим измерить расстояние от Нью-Йорка до Сан-Фрапциско методом триангуляции,
но располагаем базой всего лишь 10 см Каков будет угол между двумя линиями наблюдения, прове-
денными из концов базы9 Сравните это значение со значением наименьшего измеренного звездного
параллакса.
3.6. Если бы Солнце внезапно погасло, то через какой промежуток времени заметили бы это на
Земле9 Какая область Солнца казалась бы погасшей первой, а какая последней9 Сколько времени
наблюдали бы мы угасание Солнца’(Диаметр Соиша равен приблизительно 1.4 10" с.м )
3 7. По счастливому стечению обстоятельств Полярная звезда имеет относительно бо тыном блеск
и вблизи нее на небосводе нет других звезд Поэтому она служит путеводной звездой для мореплава-
телей и путешественников, указывая им точное направление на север в любой чае ночи и в любое
Задачи
91
время года. Если Полярная звезда находилась бы от нас на расстоянии всего 10 А. Е.. то moi ла in бы
она служить указателем точного направления на север9
3.8. * Некая звезда имеет 1акой же снск1ральный класс (1. е. цвет), чю и Солнце: се видимый блеск
равен 2 5’10 ви^шмою блеска Солнца. Из других данных найдено, что Зд света, и гущею оз эюй
звезды, поглощается облаками межзвездной пыли. На каком расстоянии (в парсеках) находится
3ia звезда?
3.9. Цефеида А имеет период, равный 1 судкам, а цефеида В — период, равный 100 суткам. Видимый
блеск обеих звезд одинаков. Насколько дальше от нас находикя В но сравнению с А ’ (Воспользуй-
тесь фзн. 3.10.)
3.10. Некое скопление галактик удаляется от нас со скоростью 80 000 км.'с. Найдите расстояние до
этого скопления в парсеках и в световых годах.
3.11. Какое значение угловом» диаме1ра нашей Галактики определил бы наблюдатель, находящийся
в 1уманносн1 Андромеды9 (См фиг 3 16)
3.12. Предположим, что скорости разбеюния галактк всегда были 1акими. как в насюящее время.
Koi да в прошлом Вселенная имела «нулевые» размеры? (Иными словами, воспользуйтесь для опре-
деления возраста Вселенной принятым в настоящее время значением постоянной Хаббла.)
3.13* . Плотность вещества в межзвездном npoci ранете равна приблизительно 1 атому водорода
в 1 см3. В каком обьеме межзвездного нросiранегва, выраженном в кубических световых годах,
содержится масса, равная массе Солнца (2- 1033 г)?
3.14. Чему равен объем 1 моля i азообразно! о водорода при шандаргных условиях, т. е. при нормаль-
ных температуре и давлении? (См. табл. 3.1 )
3.15. Сколько молекул содержится в 120 г едкого натрия (NaOH)?
3.16. Вычислите массу 1 л двуокиси углерода (СО,) при нормальных температуре и давлении.
3.17 Сколько молекул содержишя в 22,4 л любого газа при нормальных температуре и давлении?
Сколько 1 раммов любого газа содержится в 22,4 л при нормальных температуре и давлении?
3.18. Сколько граммов водорода содержится в 1 кг метилового спирта? (См. табл. 3.3.)
3.19. Плотность воды (при температуре немного ниже точки кипения) равна 1 г'см3. Если испарился
1 см3 воды (при температуре немного выше точки кипения), ю чему равен объем пара9
3.20. Масса 22,4 л сероводорода (H,S) равна приблизительно 34 i. Чему равна аюмная масса серы?
3.21. Плотношь октана (С8Н18), входящего в состав бензина, равна 0.703 г/см3. Сколько молекул
октана содержится в 1 см3?
3.22* . Чему равно среднее расстояние между мо текулами в газе при нормальных eMiiepaiype и дав
лении? (Предположите, что каждая молекула занимает одинаковый объем, и вычислите его размеры.)
3.23. Чтобы оценить размеры атомов и молекул, английский физик Рэлей (1842 1919) произвел еле
дующий жсперимент. Он взял капельку масла (массой 8 КГ4 г и плотностью 0,9 г'см3) и перенес
ее на поверхность воды, по которой она растеклась. Площадь образовавшейся пленки маета оказа-
лась равной 0.55 м2 Мас то сосюи! из молекул, имеющих форму цепочек, причем только один конец
цепочки имее! сродство к воде Поэтому, когда масло растекается по воде, молекулы масла как бы
«стоят на голове». Таким образом, толщина пленки соответствует длине молекулы масла Вычислите
згу длину на основании данных Рэлея. Каждая молекула мае ia состоит из 16 атомов. Определите раз-
меры отдельного атома.
3.24. Атомные массы вщречающихся в природе элементов иногда сильно отличаются от цело! о чне ia
а.е.м., так как элементы в действительности нредс1автяни собой смеси изотопов. Например, медь
92
3. Га шктики и ото мы
состоит из двух изотопов — Си63 (69,1%) и Си65 (30,9%). Определите приближенно, чему равна атом-
ная масса природной меди Сравните ваш результат с результатом, приведенным в табл 13.24
3.25. Чему равен приближенно радиус Hipa AI27?
3.26. Чему равно приближенное значение площади поперечного сечения ядра меди (Си65) в опытах
по рассеянию нейтронов?
3.27. Расстояние между двумя протонами в молекуле водорода равно 0.74А (IA' 10 8 см). Если
увеличить размеры молекулы в такой степени, чтобы протоны достигли размеров теннисного мяча,
то чему станет равно расстояние между протонами?
3.28. Чему равна приближенно плотность ядерного вещества? (Докажите, что эта плотность прибли-
зительно одинакова для всех ядер.)
3.29. Образец /(-активного вещества помещен вблизи счетчика Гейгера (детектора Д-лучей) Число
импульсов детектора составляет 640 отсчетов в секунду. По прошествии 8 часов число отсчетов де-
тектора в секунду становится равным 40. Чему равен период полураспада вещества?
3.30. При определении возраста археологических объектов важную роль играет метод датирования
радиоактивным углеродом (С14). Этот изотоп образуется в атмосфере под действием космических
лучей с постоянной скоростью. Углерод С14 проникает в живые организмы и достигает равновесной
концентрации, равной около 1(Г6 % от концентрации обычного устойчивого изотопа С12. Когда орга-
низм умирает. С14 перестает поглощаться Поэтому после смерти организма концентрация С14
уменьшается со временем с периодом полураспада Ту 5568 лет. Один археолог при раскопках на-
шел древний очаг, содержащий остатки грубо сделанной посуды и куски не полностью сгоревшего
дерева В лаборатории он определил, что дерево содержит только 12,5% того количества С14, которое
оно должно было содержать первоначально. К какой дате он отнесет предметы, найденные при рас-
копках ?
3.31. Ядро U238 (Z 92), распадаясь с испусканием а-частицы, образует другое радиоактивное ядро:
когда это ядро распадается, оно в свою очередь образует другое радиоактивное ядро, и т. д. Длинная
цепочка радиоактивных распадов начинается с первоначального распада U238 Эта цепочка состоит
из 8а-распадов и 6 /(-распадов. Какой атомный номер и какое массовое число будет иметь конечный
продукт распада? Определите, что это за изотоп, воспользовавшись фиг. 13.24
3.32. С какой скоростью движется Земля по орбите вокруг Солнца9 Выразите результат через ско-
рость света. Можно ли дать правильное описание этого движения с помощью перелятивистской тео-
рии?
Гоночный автомобиль.
4 Движение
4.1. Средняя скорость
4.2. Графики зависимости пути
от времени
4.3. Мгновенная скорость
4.4. Ускорение
4.5. Падение тел
4.6. Замедленное движение
4.7. Векторы
4.8. Движение в двух измерениях
4.9. Полет снарядов
4.10. Движение по окружности
4.11. Центростремите 1ьное
ускорение
4.12. Предельная скорость
Основные выводы
Вопросы
Задачи
95
Приступая к подробному изучению основных физических принципов, мы начнем с вопроса
о движении. Выбор этой темы не случаен Исторически изучение простых движении явилось
первым приложением научного метода к проблемам реального физического мира. Основы-
ваясь на ряде остроумных экспериментов н четких логических ар1ументах, Галилео Галилеи
(1564 1642) правильно сформулировал законы движения падающих тел; Галилей впервые
в деталях обьяснил полег снарядов. Эти.успехи, сколь незначизельными они пи казались бы
в паши дни, ознаменовали начало освобождения научного мышления от господства идей
древнегреческих философов, в первую очередь Аристотеля (384—322 г г. до п. э_).
Аристотель был хорошим логиком а подчас и проницательным наблюдателем (это по-
казывают его работы по биологии), однако его подход к объяснению явлений природы был
преимущественно дедуктивным, не предусматривающим обращения к экспериментам
Провозгласив ряд посзулатов, находившихся, казалось бы, в coi ласии с повседневным опы-
том, Аристотель сделал из них разнообразные выводы. Его основной постулат относительно
физических явлений заключался в том, что все вещества состоят из четырех основных элемен-
тов— земли, воды, воздуха и огня. Предполагалось, что каждый из этих элемензов стре-
мится занять свое «естественное» по ожение'земля и вода внизу, возтух и оТонь вверху
Поэтому камень, состоящий главным образом из земли, падает вниз, и чем крупнее и тяже-
лее камень, тем больше скорость его падения Подобные выводы почти никогда не соззосзав-
лядись с ко шчественными экспериментами И даже если результаты наблюдений расходи-
лись с утверждениями Аристотеля, это нс очень беспокоило его последователей. Они
Физ 4.2. Галилей.
Положив в основу своих выводов о физических
явлениях экспериментальные факты Галилей
разрушил систему Аристотеля и заложи ' фун-
дамент научного подхода к описанию фтиче-
ского мира.
Физ. 4.1. Аристотель.
Учение этого древнегреческого философа дов-
лею над научной мыслью Западной Европы пока
система Арштоте.ля не бы 1а низвергнута ме-
ханикой Галилея, основанной на экл пери менте.
96
4. Движение
считали, что учение Аристотеля является «философской истиной», поскольку оно было
неотъемлемой частью величественной системы, которая удовлетворяла их интеллектуально
и эмоционально (будучи по своему замыслу отчасти теологической) Эту тщательно постро-
енную систему не могли разрушить результаты отдельных наблюдений, которые не уклады-
вались в ее рамки. Разумеется, эмпирические истины ставились рангом ниже «философской
истины».
Галилей порвал с этими традициями школы Аристотеля и в основу своих выводов поло-
жил не философию, а эксперимент. Таким образом, он впервые последовательно применил
современный научный метод.
Для изучения падения тел и полета снарядов достаточно нескольких интуитивных пред-
ставлений и, как мы увидим, олной-единственной величины, определяемой эксперименталь-
но. Эти основные представления и их точные формулировки будут часто встречаться при изу-
чении более сложных физических явлений. Действительно, если существует основное поня-
тие, которое пронизывает все области физики, то им является понятие движения. Атомы
во всех состояниях вещества находятся в непрерывном движении; электрический ток вызы-
вается движением электронов; п «анеты движутся вокруг Солнца; даже гигантские галактки
двинется в космическом пространстве. Все эти факты показывают, что в начале нашего зна
комства с физикой необходимо приобрести достаточно полное представление о движении
4.1. Средняя скорость
СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. Каждый из нас
имеет представление о скорости как о быст-
роте, с которой что-либо движется Спидо-
метр, например, показывает скорость дви
жения автомобиля Если автомобиль про-
ходит путь 60 кйлометров за 1 час, то,
очевидно, его скорость составляет 60 км ч.
В этом утверждении следует обратить вни-
мание на два момента. Во-первых, ничего
не сказано о направлении движения; это
расстояние может быть пройдено по прямой
дороге, по петляющему шоссе или мы можем
колесить вокруг одного и того же квартала,
пока не проедем 60 км. Направлением движе-
ния мы займемся позднее, а пока рассмот-
рим только простой случай прямолинейного
движения. (Мы допускаем движение в обоих
направлениях вдоль заданной прямой.) Во-
вторых, ничего не сказано о том, происходи-
ло ли движение с постоянной скоростью
60 км/ч или же с остановками в пути. Следо-
вательно, речь идет о средней скорости.
Если первые 30 км были пройдены за 15 мин
(с постоянной скоростью 120 км/ч), а затем
из-за слишком интенсивного уличного дви-
жения для преодоления остальных 30 км
потребовалось 45 мин (так что движение
на этом участке пути происходило со ско-
ростью 40 км ч), то для всей 60-километро-
вой поездки также
средняя скорость
весь пройденный путь
все затраченное время
(4.1)
т. е. средняя скорость равна 60 км/ч Обозна-
чим скорость символом v, а среднюю ско-
рость— символом v Обозначим пройден-
ный путь через х, а затраченное время
через г. Тогда выражение (4 1) принимает
следующий вид
v = — . (4.2)
t
Для любого малого отрезка пути Ах*,
пройденного за интервал времени At, сред-
няя скорость
Лх
Л/
(4.3)
* Символ Дх обозначает не произведение & на х,
а малый интервал х или малое приращение х. Во-
обще греческая буква & (дельта), стоящая перед
какой-либо величиной, обозначает малое прира-
щение этой величины (фиг 4 3)
и -
4.1. Средняя скорость
97
Пример 4.1
Поездка на 60 км. о которой говорилось выше, состояла из двух частей:
30 км со скорое тою 120 км ч,
30 км со скоростью 40 км ч.
Отметим. что было бы неправы н>но определять среднюю скорость как
120 км/ч 40 км/ч on -
[I — ---------------- ~ ои КМ ч.
2
Средняя скорость вычисляемся иначе Время г,, затраченное на первую часть нуги,
. X] 30 км ос
/, — =-----------— 0,25 ч,
и, 120 км /ч
а время г2, затраченное на вторую часть пути.
_30км_ 075 ч
и2 40 км ч
Следовательно, фактически средняя скорость
ty _L = 30 км 30 км _ 60 км 60 км/ч_
/ G + G 0,25 ч | 0,75 ч 1ч
Пример 4 2
Предположим, что первая половина пути между двумя пунктами пройдена со скоростью
в, 20 км ч, а вторая половина — со скоростью v2 80 км ч. Какова средняя скорость
па всем пути?
Вновь подчеркнем, что средняя скорость не равна
20 км/ч i 80 км/ч
v —------------------— э() км ч.
9
Обозначим длину всею пут черсх 2.x. а времена, затрачиваемые на прохождение двух уча-
стков пути. через г, и г2 Тогда
G + ^2 i'i V2
t i * * х U'i + t'2)
Ч 12 ‘ U1 и2 Ui Г,
Следовательно,
2х 2 у, и2 2 20 км ч • 80 км/ч 3200 . , КМ Ч 5 ' КМ/Ч
х (ui е2) и, и2 1д — 20 км ч+80км/ч 100
7 779
98
4. leu меение
4.2. I рафики зависимости
пути от времени
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СКОРОСТИ. Если тело движется прямоли-
нейно и в момент времени t) находится в
точке х,, а в последующий момент t2
в точке х2, то мы можем представить ею
движение в виде графика зависимости рас-
стояния от времени (фиг 4.3) Пройденный
путь равен Ах х2 —хь а интервал време-
ни, в течение которого происходило дви-
жение, равен At t2 — У Следовательно,
в соответствии с (4.3) средняя скорость равна
отношению приращения пути к приращению
времени:
Фиг. 4.3. График путь время.
\х Хг — X,
v” /2-/г
(4.4)
Если скорость движения тела постоянна,
то очевидно, что средняя скорость остается
одной и той же независимо о г гого, какой
интервал времени мы выберем для ее под-
счета. Тело, движущееся с постоянной ско-
ростью I см/с, пройдет 1 см за 1 с, 5 см за 5 с,
20 см за 20 с В этом случае пройденный
путь является -швейной функцией времени;
график зависимости пройденного пути от
времени представляет собой прямую синию.
На фиг. 4 4 показан г рафик ну п,— время для
тела, движущегося с постоянной скоростью
1 см/с. По такому графику легко опреде-
лить среднюю скорость для заданного ин-
тервала времени Рассмотрим участок /
графика. В этом случае интервал времени
At = 4 с — 2с = 2 с, а пройденный путь
Ах, 4 см 2 см 2 см Следовательно,
средняя скорость i>. Ax, At, 2 см '2 с
= 1 см, с. Геомшрически средняя скорость
представляет собой о гношение длины вер
тикального пунктирного отрезка (обозна-
ченного на фиг. 4.4 Axj) к длине горизон-
тального пунктирного отрезка (обозначен-
ного AtJ. (Нас не должно смущать то, что
на фиг 4 4 эти отрезки не равны, время и
путь — это разные физические величины, и
мы выбрали для них различные масштабы
по осям графика.) Точно так же на участке 2
средняя скорость t>2 Ax2/At2 Зсм<3с
I см/с. Какой бы интервал времени мы
ни выбрали, средняя скорость будет всегда
Тао.тиа 4.1. Некоторые типичные скорости
Рост волос на голове человека
Быстро движущийся ледник
Конец секундной стрелки наручных
часов
Бегун
Гоночный автомобиль
Звук в воздухе
Реактивный самолет
Земля по орбите
Электрон в атоме водорода
Свет в пустоте
5 10 1 2 см/с
3- 10-4 см/с 25 см/сут
10"' см/с = I мм/с
103 см/с = 10 м/с
7I03 см/с = 250 км/ч
3,3 • I04 см/с = 330 м/с
2 - 10s см/с = 2 км/с
З Ю6 см/с = 30 км/с
2,2- Ю8 см/с
ЗЮ10 см/с
4.2. Графики зависимости пути от времени
99
равна I см'с, потому что движение проис-
ходит с постоянной скоростью.
<1>И1.4.4. График путь вре м.ч для те ш. дви-
жущегося с постоянной скоростью 1 см с
СКОРОСТЬ И НАКЛОН ГРАФИКА
ПУТЬ -ВРЕМЯ. На фиг. 4.5 показаны
три различные зависимости пути oi време-
ни, все они представляют собой прямые
линии и соответствуют движениям с различ
ными средними скоростями. Чем круче под-
нимается прямая, тем больше средняя ско-
рость Вообще наклон графика зависимости
пройденного пути от времени определяет
среднюю скорость движения
На фиг. 4 6 показан i рафик зависимое-i и
пути от времени, состоящей из нескольких
отрезков прямой Здесь средняя скорость
зависит от выбора интервала времени. Но
метод расчсча средней скорости остается
прежним определяется отношение пройден-
ного пути к соответствующему интервалу
времени Для участка I мы получаем V,
= 2сМ'С а тля участка 2 имеем с2 2.3см с.
(А какова будет средняя скорость в интер-
вале между t 2 с и t 10 с?)
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ. Мы до-
говорились ограничиться пока рассмо! ре-
нием прямолинейного движения. Но даже
в этом час I ном случае всегда ecu возмож
ность движения по прямой линии в одном
из двух направлений Если мы разметим
прямую отметками пути погожи ильны-
ми числами, возрасчаюшими слева направо,
то движение вправо будет совершаться с
положительной скоростью (так как х воз-
растает с увеличением t). Движение влево
будет совсрша1ься с отрицательной скоро
стыо (поскольку х убывает с уве мнением т).
Отметим, что наш выбор движения слева
направо как движения с положительной ско-
ростью произволен. Достаточно договорить-
ся о том в каком направлении вдоль прямой
положительные числа, обозначающие рас-
стояние, возрастают, и движение в этом на-
правлении будет совершаться с положитель-
ной скоростью (независимо от того, проис-
ходит ли движение вправо или влево)
На фиг 4 7, а автомобиль движется с
постоянной скоростью и проходит расстоя-
ние oi точки х 0 до х 5 км в ючеиие
К) мин, Скорость
х, — х. 5 км — 0 км
t'„ _ —2-----—----------------------
/2 — 10.мин — 0 мин
— — км мин 30 км ч,
2
т. е. va > 0. На фиг. 4.7, б автомобиль на-
чинает движение от точки х 5 км и дости
гаст точки х -0 за 10 мин В этом случае
скорост ь
х., — х, 0 км — 5 км
------=---=--------------------
t2— /| 10 мин — 0 мин
------км мин = — 30 км ч,
2
т. е. 1>ь < 0
Фи1.4.5. Че м бо 1ыие наклон графика
путь время. тем выше средняя скорость.
росте которого меняется
На фиг. 4 7, а (рафик направлен сни-
зу вверх, что говорил о положительной ско
росли, а на фиг 4.7, б — сверху вниз, что
говорит об отрицательной скорости.
Рассмотрим леперь 20-километровый рейс
автомобиля от пункта А до пункта В и обрат-
но (фиг 4 8а) Первые 2 км были пройдены
за 0,1 ч; через 0,2 ч водитель оказался на
шестом километре, через 0,3 ч он дос г иг
пункта В В течение 0 1 ч водитель оставался
в пункте В Обратный путь он прошел за
0.2 ч. График путь — время для всей поездки
показан на фи 4 86 Средние скорости для
четырех участков пути равны:
V,
v2
С'4 =
2 — 0
0,1-0
10 2
0,3—0 1
10— 10
0,4 -0 3
0 10
0,6— 0,4
2
— = 20 км/ч,
0,1
----— = 40 км/ч
0 2
= 0 км/ч
—— — — 50 км/ч
0 2
4.2. Графики зависимости пути от времени
101
Фш. 4.7. Ес iu расстояние возрастает слева
направо, то движение вправо совершается с
положительной скоростью, а движение еле
во с отрицате зьной.
Наклон внизу вверх читается положительным
и соответ твует по южительной скорости. на
клон сверху вниз считается отрицательным и
соответствует отрицательной скорости
Фиг. 4.8а. 20-километровый рейс от пункта 1
до пункта В и обратно
В разшчныс точках маршрута указано время
в часах.
Затраченное
О Z я 6 8 10
Расстояние, нм
Фш. 4.86. Iрафик путь время дня рейса
показанного на фиг 4.8а.
102
4. Движение
Отметим следующие особенности:
1 . Наклон графика путь — время на уча-
стке 2 больше, чем на участке /, и средняя
скорость на участке 2 соотве!С1венно выше.
2 На участке 3, т. е. во время стоянки
автомобиля, график идет горизонтально
(наклон равен нулю) Формула для расчета
средней скорости автома1ически дает нуль.
3 Конец участка 4 (в момент времени
0,6 ч) расположен в точке х 0 км, а начало
(в момент времени 0,4 ч) — в точке х 10 км.
Следовательно, Дл 0 10— 10 км явтя-
ется отрицательным числом, и средняя ско-
рость отрицательна
4.3. Мгновенная скорость
ОГРАНИЧЕННОСТЬ ПОНЯТИЯ СРЕД-
НЕЙ СКОРОС И Если скорость движения
объекш не постоянна, то в общем случае
средняя скорость зависит от выбора интер-
вала времени для расчета. Для поездки,
показанной схематически на фи1 4.8а, сред-
няя скорость в интервале времени от 0 до
0,3 ч равна v 10 км,'0,3 ч 33,33 км ч, но
если мы выберем такой же временной ин-
тервал от 0,1 ч до 0 4 ч, то получим г
= 8км '0,Зч 26,67 км/ч Ясно, чю было бы
неплохо иметь такой метод определения
скорости, который давал бы однозначный
ответ и не требовал каждый раз указывать
интервал времени использованный для рас-
чета. С этой целью вводится понятие мгно-
венной скорости
На фиг. 4.9 показан график пу>ь— время,
который представляет собой кривую линию.
За начало расчетного интервала примем
точку А, которая соответствует Х] иг,. Если
за конец интервала принять точку С, в кото-
рой координата равна х3 и время 13, то сред-
няя скорость в этом интервале
Если же произвести расчет для интервала
t2-11, то средняя скорость
Фш. 4.9. Средняя скорость в интервале меж-
ду точка ми А и В больше, че м в интерна ie
.между А и С.
Мгновенная скорость в точке А получается,
если интервал времени взять бесконечно малым ;
она равна наклону касательной к кривой в этой
точке. Отметим, что в данном случае v>6
дм V, рассчитанной для любого конечного ин-
тервала времени, начинающегося при г I,.
Скорость т’12 больше, чем с13; соответствен-
но наклон прямой АВ больше, чем наклон
прямой АС. Если мы будем и дальше умень-
шать ишервал времени (все время начиная
с точки л,), то средняя скорость будет воз-
растать*. Мы можем продолжать этот про-
цесс неограниченно, уменьшая интервал и
получая возрастающие значения средней
скорости. Но если вычислить среднюю ско-
рость для очень малою интервала времени,
а затем уменьшать этот интервал, го сре т
няя скорое 1Ь будет меняться очень мало
Мы можем, наконец представить себе столь
малый ишервал времени, что его дальней-
шее уменьшение не изменит средней ско
рост Эго предельное значение средней
* Скорость v во зрас тает при i меныиении At
благодаря тому, что график путь время обра-
щен выпуклостью вверх Кик будет вести себя
о при уменьшении tit если график обращен выпук-
лостью вниз?
У12
4.3. Мгновенная скорость
103
Фиг. 4.10 Касате. сьна.ч к кривой в данной точ-
ке имеет только одну эту общую точку с
кривой.
Касате сьна.ч к окружности (слева) нерпе/ши-
ку с.чрна радиусу, проведеп/юму из центра окруж
пости в точку касание.
скорости называется мгновенной скоро-
стью и М тематически полученный резуль-
тат записывается так:
v = lim ——— = .
t2 — ti Д1-»-0 l\t
(4.5)
Это выражение означает «мгновенная ско-
рость равна пределу отношения Ах к At
при Л1, стремящемся к нулю», или «мгно-
венная скорость равна предельному значе-
нию средней скорост и для бесконечно малого
интервала времени».
Геометрически мгновенная скорость в ин-
тересующей нас точке графика путь — время
равна наклону касательной в этой точке
(фиг. 4.9 и 4.10).
Пример 4 3
Положение тела, движущегося вдоль оси х. задано уравнением
л- 5t • 3.
где т выражено в метрах и г в секундах. Какова мпювенная скорость тела в любой мо-
мент времени?
В момент времени 1, тело занимает положение
-х, 51, 3
В момент времени 1, t, -Ь At его положение
х2 512 3 3 5(1, -Ь At) 3-
Следовательно,
v = lim Ах = lim ЬГ>(Л-АО+ 3]-[51,4-31 = Нт (5/, + 5АЦ- 3) - (51, Ч-З) =
дг-И) А1 д/->о Д1 д/-»о А1
.. 5А1 с
— inn------ = 5 м с.
Д1-»0 Д1
В данном случае At сокращается в выражении для с: следовательно, мтновениая скорость
не зависит от времени, т е. постоянна (и равна средней скорости)
104
4. Лви.исеиис
4.4. Ускорение
ПЕРЕМЕННАЯ СКОРОСТЬ Нажимая на
педаль газа, вы заставляете автомобиль уве-
личивать скорость, т е лишаться с уско-
рением. Включая тормоза, вы заставляете
автомобиль уменьшить скорость, т. е. дви-
гаться с замедлением* В обоих случаях
характерной особенностью движения явля
ется изменение скорости
Фиг. 4.11 относи гея к случаю движения
со скоростью, линейно возрастающей со
временем, начиная от v ц, при t —t0 (гра-
фик зависимости скорости от времени пре т-
сгавляет собой прямую линию). Следова-
тельно, мы имеем дело с ускоренным движе-
нием. Ускорение обычно обозначают бук-
вой а. Выражение для среднего ускорения
аналогично выражению для средней ско-
рости:
Де ц — о<|
Д/ t\ — to
(4.6)
За единицу ускорения принимается отно-
шение единицы скорости к единице времени,
т е (cmIcI'c, обычно ее записывают как
см,с2.
Подобно тому как скорость является ме-
рой изменения пути со временем (Дл Дг),
так и ускорение служит мерой изменения
скорости со временем (Дг Дг) Сравните вы-
ражение (4 4) для и с выражением (4 6)
для а.
ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ. Показан
ный на фиг 4 11 трафик зависимости ско-
рости от времени представляет собой пря-
мую линию, полому a a const. Хотя
существует много интересных физических
явлений, в которых ускорение изменяется
в зависимости от времени, мы будем рас
сматривать только случай движения с по-
* В физике редко испо зьзуетсч термин замед-
ление «место этого говорят, что движение про-
исходит с отрицательным ускорением
Фит. 4.11. Ъзимсение с постоянным ускорени-
ем; скорость ишейно возрастает « зависи-
мости от времени.
стоя иным ускорением (или равноускорен
ного движения)*
Сместим график зависимости скорости
оз времени (фиг 4 11) влево так, чтобы иа
чало графика оказалось в точке 10 0, как
показано на фиг 4 12 Тогда выражение для
ускорения примет следующий вид**
= , (4.7)
м t
откуда
v — v0 — at,
ИЛИ
v — г0 + at. (4.8)
Таким образом, скорость v в момент врс
мсни t равна сумме начальной скорости г>0
и добавочной скорости, равной произведе-
нию постоянного ускорения на время, в
течение которого происходило движение с
этим ускорением
* В гл 14 мы рассмотрим случай движения. при
котором ускорение меняется в зависимости от
времени по определенному законе.
* * Обычно требуется определить скорость
ней положение в конечной точке эти величины
мы будем записывать без нижнего индекса а на-
чальные их значения— с ну левым индексом. Мы
будем считать, что в начальной точке I О
4.4. Ускорение
105
Теперь получим выражение для пути, про-
ходимого телом, движущимся с постоянным
ускорением. Если принять, что начальное
положение тела совпадает с началом шкалы
расстояний т е л0 0, то пройденный путь
будет равен произведению средней скорост и
на время:-
х = tit. (4.9)
Обратившись к фи1 4 12, легко заметить,
чю средняя скорость при движении с по-
сюянным ускорением равна среднему ариф-
метическому ц, и v
v = ~^ fro + V).
Подстановка этого выражения для v в (4.9)
дает
х = 4-fr° + t'W = ~Ти°*
Используя (4 8) тля с, получаем
* = ~vo( +-^-(v0 + at)t,
ФиГ*. 4.12. График скорость— время для
ускоренного движения с начальной скорос-
тью v0.
Средняя скорость « интерва ге времени от 0 до t
равна t>.
или окончательно
х = vot + at2.
0 2
(4.Ю)
Таким образом, пройденный путь равен гог
(т. е. пути, коюрый был бы пройден в от
сутствие ускорения) плюс величина, кото-
рая зависи! 01 ускорения и пропорциональна
квадрату протекшею времени
Для движения с постоянным ускорением
с начальными условиями х 0 и с ц, при
г 0 мы можем сформулирова i ь результа i ы
в следующем виде'
Ускорение
Скорость
Путь
а = const,
v — vB -|- at,
х vot 4- —at2.
(4.П)
ФИ1 4 13 Iля движения с постоянным ус ко
рением пройденный путь пропорииона сен t2. и.
следовательно, график путь — время пред-
ставл чет собой параболу. (Здесь v0 0.хо- 0.)
106
4. Двимсеииа
Пример 4.4
Гоночный автомобиль трогается с места и, двигаясь с постоянным ускорением, достигает
скорости 384 км ч, пройдя путь 0,4 км. Каково его ускорение?
Мы здесь нс выводили формулу, которая позволила бы прямо вычислить ускорение
на основе данных о конечной скорости и пройденном пути. Поэтому нам придется решать
задачу в два этапа. Сначала рассчитаем время, необходимое для прохождения 0,4 км Вос-
пользуемся формулой
X = vt,
где х = 0,4 км, а средняя скорость
б — -L (VB 4- р) = -у- (0 4- 384 км/ч) — 192 км 'ч.
Следовательно, затраченное время составляет
t _ х 0,4 км = 1 ц _ ч.3600с. - 7,5 с.
о 192 км/ч 480 480 1 ч
Поскольку начальная скорое 1ь равна пулю, ускорение находим из выражения
о
а ~ ,
t
где V — конечная скорость 384 км>'ч. В результате получаем
а = 384 км/ч- - 51,2 (км/ч)/с.
7,5с
Мы выразили результат в смешанных единицах (км'Ч).'с вместо того, чтобы записать его
в км/ч2, км г2 или м/с2, поскольку в смешанных единицах результат выглядит более на-
глядным Не имеет смысла устанавливать жесткие правила упогрсблепия единиц; мы поль-
зуемся теми единицами, которые удобнее или дают наиболее наглядное представление о
результате Физиков никогда не волнует выбор единиц, однако плохой выбор единиц может
затруднить понимание.
Пример 4.5
3
Ло
а - —
А/
Автомобиль уве гичиваст скорость с 48 км/ч до 96 км. ч за 10 с. двигаясь с постоянным ускоре-
нием. Какой путь проходит автомобиль за время ускоренного движения?
, о , .о 1000 .м ... 1
48 км ч — 48 -------= 13 — мс,
3600 с 3
2 ' 1
26 — м/с - 13 — м/с
3_________3
Юс
1 1 м/с2,
3
X = Г)о/ 4-
- at2 = 13 1 м/с • 10с 4- - • 1 - м/с2 • (Юс)2 = 133 м +
2 3 2 3 3
9
-4- 66 — м = 200 м.
3
4 5 Падение тег
107
Предположим, что затем автомобиль уменьшает свою скорость с 96 км ч до 32 км ч
за 20 с. Каково его ускорение?
а _ 32 км/ч -96 км/ч = __ 3 у ,с.
М 20 с ’
Движение автомобиля зоиег) кчется, поэтому ускорение отрицательно.
4 5. Падение тел
ЭКСПЕРИМЕНТЫ ГАЛИЛЕЯ. Приступив
к изучению проблемы паления тел, Галилей
попытался найти простое соотношение, свя-
зывающее измеренные им величины Бросая
вниз предметы различною веса с возвыше-
ния (но, по-видимому, не с Пизанской башни,
как утверждает легенда), Галилей быстро
убедился в том, что вес падающего прсдме га
не влияет на его движение Однако он заме-
тил что более крупные предметы падают
чуть-чуть быстрее, чем мелкие У предмета
меньшего размера отношение площади по-
верхности к массе больше, поэтому мелкие
предметы испытывают большее торможение
при трении о воздух (см. раздел 4.6). Галилей
осознал, что для поиска общих законов
движения факт падения предметов с почти
одинаковой скоростью значительно важнее
небольших различий в их движении. Такой
подход к изучению природы неизбежен,
иначе мы сразу же потрузимея в трясину
деталей. Сначала нужно истолковать основ-
ной факт, а затем рассматривать второсте-
пенные отклонения от него. Таков научный
метод.
Галилей начал с изучения движения шари
ков по наклонной плоскости (фиг. 4 14)
Таким способом он сумел «ослабить» влия-
ние силы тяжести, определяющей свободное
падение тел, слишком быстрое для проведе-
ния точных измерений У Галилея не было
часов для измерения коротких интервалов
времени, и он придумал для этой цели водя-
ные часы. Он использовал большой резер-
вуар, из которого вода могла вытекать
через маленькую трубочку в дне. Одновре-
менно с началом движения он начинал со-
бирать вы гекающую воду в сосуд, а в конце
движения сдвигал сосуд в сторону от струйки
воды Взвешивая воду, собранную в сосуд,
он мог сравнивать короткие интервалы вре-
мени, встречавшиеся в его экспериментах,
с точностью около 0,1 с.
Фит. 4,14. Галилей измерял интервалы време-
ни. затрачиваемые шариком, скатывающимся
вниз по наклонной плоскости, на прохождение
раз зычных расстояний.
Он установил, что х пропорционально I1 при
любых углах наклона, и подтвердил тем самым,
что движение шариков происходит с постОян
ным ускорением
108
4. ,/«„.»< </</«-
ссш*
Фиг. 4.15. Леа шарика различной массы пада-
ют с одинаковыми скоры тя.ии.
Д' получения этой стробоскопической фото-
графии объектив фотоаппарата открывался че-
рез равные интервалы времени и в эти моменты
производи гась световая вспышка На фотографии
видно, что за 16 единиц времени шарики проходят
в 4 раза большее расстояние, чем за 8 единиц
времени. Расстояние на шкалах выражено в
сантиметрах. Рассчитайте величину интервала
времени между следующими друг за другом
вспышками, зная, что g 980 см с . (Ответ
примерно 1 40 с.)
4.5. Пшк’ние me i
109
Галилей предположил, что падающие (или
катящиеся по наклонной плоскости) пред-
меты получают одинаковые приращения ско-
рости за одинаковые промежутки времени
т. е. движутся с постоянным ускорением.
Но он не мог провести прямой проверки этой
гипотезы, поскольку это требовало измере-
ния скорости движения в течение нескольких
очень коротких интервалов времени (По-
размыслив вы убедитесь в том что это
довольно сложный экснеримеит.)
Затем Галилей установил что тело, дви-
жущееся с постоянным ускорением, за любой
интервал времени, считая от начала движе-
ния из состояния покоя, проходит путь,
пропорциональный квадрату времени.
(В предыдущем разделе мы получили этот
результат с помощью алгебраических вы
кладок. Галилей не пользовался этим ме-
толом: он применил теометричсскос доказа-
тельство.) Этот вывод можно проверить
простыми экспериментами, поскольку он
основывается на измерении расстояний и
промежутков времени вместо скоростей и
интервалов времени. Используя водяные
часы, Галилей показал, что для шариков,
скатывающихся вниз по наклонной плос-
кости, V пропорционально г. Затем он уста-
новил, что эта закономерность справедлива
для всех углов наклона плоскости, для ко-
торых он провел свои измерения. Галилей
экстраполировал полученные результаты
(эта процедура нс всегда возможна, но в
данном случае она применима) до угла,
равного 90 . при котором плоскость уже не
ограничивает движение, и пришел к заклю-
чению. что для свободно падающих тел
справедлива та же закономерность: у ~ t2,
и. следовательно, падающие гела движутся
с постоянным ускорением
УСКОРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С по-
мощью современных технических средств
гипотеза Галилея о падении тел может быть
проверена с высокой степенью точности.
На фиг 4.15 показан результат экснеримеи та
с использованием стробоскопическою осве-
щения Из подобных измерений установлено,
что ускорение свободною падения вблизи
поверхности Земли равно примерно
984
Фит. 4.16. Нариации ееценты g иули-рсиной
па попер кпостч и т на уровне моря. (.-1 мп-
иипуОа вариации око.ю 0.5"/о.)
980 смс2. или 9,8 м с2 Эту важную величину
обозначают символом g
| g = 980 сц/с2 = 9,8 м/с3. । (4.12)
Хотя обычно пользуются приведенным
выше приближенным значением g, интерес-
но отмети । т>, что g меняется от точки к точке
на поверхности Земли; это объясняется тем.
что Земля не является однородной сферой
(а также тем, что она вращается). Вариации g
на уровне моря в зависимости от географи-
ческой широты л показаны на фит 4.16.
При изменении Л от 0 до 90 g меняется
примерно на 0,5%.
по
4. Движение
Пример 4 6
Шарик падает с некоторой высоты из состояния покоя. Какова его скорость после про-
хождения расстояния 78,4 м?
Поскольку начальная скорость равна нулю.
У = ~ £/2-
Найдем из этого соотношения г при у 78,4 м:
Z'78’4 1 = I7 16o’2 = 4 с.
9,8 м с2
Спустя 4 с скорость шарика
v = д/ — 9,8 м/с2 4с — 39,2 м/с.
Пример 4.7
Шарик брошен с крыши дома вверх с начальной скоростью 9,8 мс. Рассчитать скорость
и положение шарика в зависимости от времени.
В этом примере нужно рассмотреть движение « двух направ лени.ч.х: сначала движение вверх
до максимальной высоты, а затем впиз. Следовательно, мы должны внимательно следить
за знаками величин в расчете Выберем направление вверх за положительное Тот да на-
чальная скорост ь v0 9.8 м с Но ускорение направчено вниз, значит а р —9.8 м/с
За начало отсчета расстояний (у О) примем точку, из которой брошен шарик Выражения
для скорости и расстояния будут иметь вид
v 4- at - 9,8 м/с — 9,8 м/с2 • I,
у = vof 4- -1 at2 9,8 м с • t — 4,9 м с2 • /2.
4.5. Падение тел
111
Из этих выражений находим:
1, с и, м/с >’» м
0 9,8 0
1 0 49
2 9,8 0
3 19,6 14,7
4 29.4 - 39,2
Через 1 с скорость шарика становится нулевой, т е. он достигает максимальной выезды
(4,9 м), а затем начинает движение вниз. При t > 1 с все скорости отрицательны. При t 2 с
шарик возвращается в начальную ючку (у 0) и после этого у становится отрицате и>ным
Ниже приведены графики зависимошей скорости и расстояния от времени.
Пример 4 8
В примере 4 4 гоночный авюмобиль имел ускорение 51,2 (км ч).с. Сравним это ускоре-
ние с g.
а 51,2(км/ч)/с 51,214,22 м с2 —.22 м/с* g 1,24 g.
3600 с 9,8 м/с2 * Ь
Это ускорение близко к максимальному ускорению, которое может быть достигнуто колес-
ным автомобилем поскольку для его движения необходимо хорошее сцепление между
колесами и дорожным покрытием. Попьпки превзойти это максимальное значение с по-
мощью ботее мощного двигателя приведут только к проскальзыванию покрышек (Разу
мешея, авюмобиль или сани с ракетным двигателем могут двигаться со значительно боль-
шими ускорениями )
112
4. Движение
ТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ g. Во времена Га-
лилея значение g удавалось определи i ь лишь
весьма приблизи тельно. В середине XIX века
была достигнута точность 104, а в начале
нашего столетия точность была повышена
еще на порядок. Современные методы по-
зво. яют измерять движения свободно па-
дающих тел с высокой точностью. С по-
мощью лазерного луча можно измерять
расстояния с точностью, превышающей
3 • 1(Г7 см, а быстродействующая электро
ника обеспечивает измерение времени с точ-
ностью 10“’ с. С помощью этих методов
Фиг. 4.17. Фотография и схема установки
д ы измерения с высокой точностью ускоре-
ния свободного падения в вакууме
Для измерений расстояния исп< съзуется луч
лазера, а регистрация времени осуществляется
электронной схемой. Сейсмометр служит для
контроля и коррекции измерений при слабых
сотрясениях почвы.
4.6. Замед генное движение
IB
значение g при свободном падении тел в
пустоте было получено с точностью 10 я.
По-вилимому, эту точность можно повы-
сить до 10 9.
Значительное повышение точности, с ко
торой может быть измерено g. открывает
возможности для изучения многих важных
и интересных физических эффектов. Варна
нии g в от дельных областях на поверхности
Земли являются ключом к изучению "внул -
реннего строения Земли. Значение g, усред-
ненное по поверхности Земли, представляет
значительный интерес для астрономии, по-
скольку это значение используется при онре
делении расстояний до Луны, планет и искус-
ственных спутников Земли. Если были бы
обнаружены долг овременныс вариации g
(в отличие от известных вариаций, связан-
ных с приливными эффектами), это оказало
бы серьезное влияние на наши теории эво-
люции Вселенной.
4.6. За мед генное движение
ВЛИЯНИЕ ЗРЕНИЯ. До сих пор мы рас-
сматривали движение идеализированно', мы
не учитывали неизбежно присутствующие
эффекты, которые приводят к отклонениям
от рассчитанных нами результатов Напри-
мер, в любом реальном случае присутствует
трение; оно тормозит движение шариков
по наклонной плоскости, а сопротивление
воздуха замедляет движение падающих тел
Кроме того, значение g уменьшается с уве-
личением высоты над поверхностью Земли
(раздел 7 11). Таким образом, наши резуль-
таты справедливы лишь для падения тел в
пустоте вблити поверхности Земли в преде-
лах небольшого участка пути (на котором g
практически постоянно).
Выражение для скорости надаюшего тела
(4.8) показывает, что скорость должна унс
личиваться в течение всего времени падения
В действительности это не имеет места,
сопротивление воздуха возрастает с увели
чением скорости, так чю для любого па-
дающего тела существует предельная ско-
рость, по достижении которой результирую-
щее ускорение становится равным нулю и
дальнейший рост скорости прекращается.
Фит 4 18 иллюстрирует сказанное.
« — 779
Фит. 4.18 Падение тем в атмосфера тормо-
зится сопротивлением воздуха. полному ско-
рость me ta не-возрастает пшейно во времена,
а приближается асимптотически к предо tb-
ному значению, называемому установившей-
ся скоростью vt. (На графике скорость па-
дения показана как положительная ее личина )
Фит. 4.19. Благодаря сопротивлению воздуха
скорость парашютиста в затяжном прыж-
ке не превышает 'становившегося значения
около 350 кмфе.
Ес ш парашютист разводит руки в стороны
то он может снизить установившуюся ско-
рость до 200 км'ч
11-4
4. Движение
Предельная скорость падения тел называ-
ется установившейся скоростью и зависит
oi размера и формы тела, а также от сто
массы. Тело с большой площадью поверх
ности испытывает большее торможение. По-
этому рыхлый предмет, например бесфор-
менно смятый комок бумаги, имеет очень
маленькую установившуюся скорость. Сфе
рический предмет с гладкой поверхностью'
и большим отношением массы к площади
поверхности, например пушечное ядро, испы-
тывает лишь незначительное торможение и
поэтому имеет высокую установившуюся
скорость Если парашютист совершает за-
тяжной прыжок и пролетает несколько ты
сяч мет ров, нс о т крывая парашют а. он может
достичь установившейся скорости около
350 км/ч.
Хорошо, что установившаяся скорость
существует! Иначе капли дождя, падающие
с высоты 3 км. достигали бы поверхности
Земли со скорост ыо около 1000 км ч Силь-
ный дождь превратился бы в ужасное бед-
ствие.
4.7. Векторы
НАПРАВЛЕНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ЗНА-
ЧЕНИЕ. До сих пор мы ограничивались
рассмотрением прямолинейного (одномер
ноте) движения. Откажемся от этого огра-
ничения и познакомимся с двумерным, а за-
тем и трехмерным движением. Для этого
нам придется воспользоваться векторными
свойствами перемещения и скорости
Чтобы охарактеризовать движение авто-
мобиля, мы можем сказать, что скорость его
равна 96 км/ч. Но такое описание неполное.
Больше информации содержит сообщение,
что движение происходит со скоростью
96 км/ч в нанравтении на северо-восток.
Скорость — это величина, обладающая чис
ленным значением и направлением. Такие
величины называются векторами. Другим
примером векторной величины является пе-
ремещение". векторное описание включает не
только путь, пройденный телом, но и на
правление движения тела. В следующих гла-
вах мы встрет им много примеров векторных
величин силу импульс, напряженности
электрического и магнитного полей и г. д.
Величины, которые полностью описыва-
ются численным значением, называются ска-
лярными. Например, масса, время и темпе-
ратура — скалярные величины. Скорость
это векторная величина. Мы можем ог рани-
читься численным значением скорости, если
нас интересует лишь, как быстро тело дви-
жется, а не направление его движения.
Чтобы отличить векторы от скаляров, мы
будем обозначать векторы жирным шриф-
том. Например, вектор скорости будем за-
писывать как v. Если же нас будет интересо-
вать только численное значение вектора v
мы будем писать v.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА В’.КТОРОВ
Уравнения для векторов можно записывать
аналогично уравнениям для скаляров. На-
пример, уравнение
А пВ
означает, что численное значение Ави раз
больше числетшот о значения В и, кроме
того, направление А совпадает с направле-
нием В В некоторых случаях скалярная ве-
личина и может обладать размерностью;
тогда произведение лВ будет иметь размер-
ность, отличную ог В, и будет представлять
собой иную физическую величину. В еле
дующей главе мы увидим, что действующая
на тело си ia F (вектор) равна произведению
массы тела т (скаляр) на ускорение а тела
(вектор); формула F та выражает зна-
менитый закон Ньютона
На диаграммах векторы обозначаются
стрелками. Длина стрелки пропорциональна
численному значению вектора, а иаправле
пие стрелки указывает его направление. Дтя
операций с векторами нам понадобится лишь
несколько простых ггравил.
На фиг. 4 20 показано геометрическое
правило сложения векторов Чтобы приба-
вить А к В. мы помещаем начало вектора В
в точке, где оканчивается вектор А. Тогда
линия, соединяющая начало А с концом В
является суммой векторов: С А В. Сум
му нескольких векторов можно получить
простым повторением этой операции, как
показано на фит 4.21.
Вектор - А имеет ту же длину что и
вектор А. но противопо южное нанрав тение.
Вычитание одного вектора из другого эк
4.7. Векторы
115
Фиг. 4.20. Сложение векторов А нВ дает век
тор С.
Фиг. 4.21. Сложение трех векторов произво-
дите i по тому же права гу, что и сложение
двух векторов.
Фиг. 4.22. Вычитание В из А изображаете.ч
двумя эквивалентными диаграммами. [За.ие-
тим. что (А В) В А.]
виваленпю прибавлению вектора противо-
положно! о знака. 11а фит. 4 22 пока заны две
эквивалси 1 ные диаграммы вычи i ания В из А.
Заметим, что на этих диазраммах вектор В
расположен по-разному, но в обоих случаях
сохраняс! свою длину и направление. Разу-
меется, если один век юр прибавил I. к дру-
। ому, имеющему такую же длину, но прол и-
воположное направление, результирующим
вектор будет равен нулю: А * (—А) 0.
Подобно тому как, скла дывая два вектора,
мы получаем один вектор, являющийся их
суммой, мы можем ра южить данный век-
тор на два век юра, сумма которых лает
первоначальный векюр. Этот прием осо-
бенно полезен koi да два вектора ^называе-
мые компонентами век юра) образую! друт
с другом прямой утол. Такое разложение в
системе координат г, у показано на фиг. 4.23.
Разумеется здесь всегда применима ieope
ма Пифагора
A2 А2 Ач.
8*
116
4. 1вижение
Фиг. 4.23. Разложение вектора А на дне ком-
поненты А,и А \ Л V
Пример 4.9
Самолет, крейсерская скорость которого составляет 320 км ч, летит на север. Какова физи-
ческая скорость самолета, если во время полета дуст ветер в восточном направлении со
скоростью 80 км'ч?
УСКОРЕНИЕ ЭТО ВЕКТОР В дополне-
ние к векторам перемещения и скорости для
полного описания движения требуется век-
тор ускорении. Численное значение ускорения
определяется быстротой изменения скоро
ст и, а направление вектора ускорения совпа-
дает с направлением изменения скорости
Если тело движется прямолинейно в на
прав тенин + х и имеет в момент времени
<! 0 скорость 10 см с, а в следующий
момеп т t, = 1 с скорое т ь 20 см !с в том же
направлении, значит, компонента скорости
по оси г увеличилась, вектор ускорения
направлен в сторону возрастания х и равен
а 10 см,'с2 Если же скорость в момент
времени (, равна 20 см с, а в момент т2 со-
ставляет 10 см.с, то скорость убывает в па-
прав тении + г, поэтому вектор ускорения
имеет направление ли равен а 10 см'с2.
Эти два случая показаны па фит 4 24
4.7 Векторы
117
Фш. 4.24. Направление вектора ускорения
это направ зение изменения скорости.
Vi - Юсм/с~ чг = 20см/с
1,=0с tg = lc
а = 10см/сг
v>t = 20 см/с хэг = 10 см/с
it-Ос tz = 1c
^з.--10см/сг
Пример 4.10
В момент Г] 0 автомобиль движется на восток со скоростью 48 км,ч. В момент t, 1 мнн
автомобиль движется на север с той же скоростью. Каково среднее ускорение автомобиля?
На рисунке покатаны векторы скорости т, и », и вектор Av, отражающий изменение ско-
рости При этом
начальная скорость 4- изменение скороеiи конечная скорость,
т. с.
Vj 4- \v v2,
ИЛИ
Av V2 — Vl-
Численное значение Av (посмотрите на рисунок и воспользуйтесь теоремой Пифагора)
\v |/ (48 км'ч)2 (48 км/ч)2 —
— J/4608 (км/ч)2 — 67,8 км/ч.
Численное значение среднего ускорения
At' 67,8 км/ч , , „ ,
-^-=ЫЗ(кмА.)-/с.
Из чертежа видно, что Av, а значит и а,
направлено на севера- запад.
ПК
4. Движение
Фиг. 4.25. компоненты вектора Л.
Фиг. 4.26. Сложение компонент векторов А
и В дает С А В.
Для дальнейшего успешною применения
свойств векторов следует вспомнить основы
1ригономе1рии. (Сводку тригонометриче-
ских формул вы найдете на последней сгра-
нице обложки.)
КОМПОНЕНТЫ ВЕК ЮРА. Ис ю гьзуя ос-
новные правила тригонометрии. мы можем
выразить любой век юр через его компо-
ненты по осям л и у:
Ах^~ A cos 9, 4y = /lsin6. (4.13)
В свою очередь, зная компоненты, мы
всегда можем найти длину н направление
результирующего вектора. Например, если
на фиг. 4.25 мы знаем только /1, и Ау. то
Л - У А'х 4- А\ . (4.14)
Мы можем также коне га тирова ть, что век-
юр А сосгавляег с осью х угол, тангенс ко-
торою равен /1, Ах Магемаючески по
записывается так:
л
9=arctgj2>L. (4.15)
/1
Сумму двух векторов можно найти, сло-
жив их компоненты по осям х и у: комбина-
ция суммарных компонент характеризует
суммарный вектор. На фиг. 4.26 компонен-
ты век юра С равны
Qt = Ах + Вх, Су Ау + Ву.
Длину и направление С можно опрсдстить
с помощью выражений (4.14) и (4.15):
С Г(Л I Bj2 + Mv 4 BJ-,
Пример 4.11
Судно движется в спокойной воде со скоростью 16 км.ч. Рулевой направляет ею поперек
реки, скорость течения которой составляет 6,4 км.ч. Каковы курс и скорость судна?
Скорость судна
v = \/ v~ 4- - k' 162 + 6.42 1,^297 - 17,2 км ч.
4.8. Движение в двух измерениях
119
Угол 0, который определяет курс судна,
О — arc tg — arc tg------------- 22s.
ft >6
4.8. Движение в двух измерениях
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ВЕКТОРНЫЕ КОМ
ПОНЕНТЫ. Мы уже знаем, что тело, отпу-
щенное на некоторой высоте, совершает
ускоренное движение вертикально вниз Но
чю произойдет. если мы не просто дадим
возможность телу падать, но и сообщим ему
некоторую начальную скорость (ц„) в го-
ризонтальном (л) направлении? Ясно, чго
движение 1еперь нс будет направлено вниз
по прямой, а. будет происходить под неко-
торым углом к вертикали Скорость век-
торная величина, и мы можем в данном слу-
чае разложи lb вектор скорости на вертика 1ь-
ную и горизонтальную компоненты. Какими
уравнениями будет описываться изменение
обеих компонент во времени? Если мы при-
мем направление вверх за положительное
направление оси у, то ускорение силы т яже-
сти g будет действовать в направлении -у.
Следовательно, компонента скорости ио
оси у
Uy = — gi-
Поскольку । оризонтальная компонента уско-
рения oicy 1ствуст, движение в направ iciihh v
записываеюя просто:
= L’ox-
вектор скорости состоит из двух компо-
нент, каждая из которых меняется неза-
висимо. Только вертикальное движение про-
исходит с ускорением; скорость юризоп-
талыюго движения постоянна и равна на-
чальной скорое 1 и гол.
На фиг. 4 ?7 показано, как комбинация
। оризонтальной и вертикальной компонент
скорости даст вектор мгновенной скорости V.
На фиг. 4 28 приведен стробоскопический
снимок одновременного падения двух шари
ков, один из которых обладает i оризон-
тальной компонентой скорости. Видно, что
по вертикали шарики движутся одинаково.
Если вертикальное движение также обла-
дает начальной скорое п.ю v(U, то движение
описывается следующими уравнениями:
Ускорение ах 0, ay = ~g.
Скорость vx - Ц)х. fy VOy- (4.16)
Перемещение X VOxt, У ~ vOyt j gt2-
И з рассмотрения этих двух равенств мож-
но еде tail, важный выво г: результирующий
I ?0
4. Движений
Фн1. 4.27. Если предмет падает вши и одно-
временно имеет начальную горизонта зьн\ю
скорость v„x. то зта компонента скорости
остается неизменной, вертикальная же ком
понента шнейно возрастает в зависимости
от времени. В резу ьтате пред мет движет-
ся по криволинейной {параболической) траек
тории.
Фн1. 4.28. Падение двух шариков началось од-
новременно; один шарик бы з просто отпущен
второй по зучи з начальную скорость в гори-
зонтальном направ гении.
Но вертикали движения обоих шариков совер-
шенно одинаковы. Стробоскопическое фото, ра-
фирование прои ведено с шипе рва а ми 1,30 с
между световыми вспышками. Расстояние меж-
ду горизонта юными по юса ми составляет 15 с м
Промеры на снимке подтверждают что g
см с2. Какова горизонтальная компонента
скорости шарика. получившего то зчок в горизон-
тальном направлении ’
Пример 4 12
Предмет падает с высоты 19,6 м. имея начальную горизонтальную скорость 6,1 м;с. Какое
расстояние проице! предмет в горизонтальном направлении к моменту падения на землю?
Поскольку t>0) 0, мы имеем
У = -у
4.9. Помп снарядов
121
Конечное значение у равно 19,6 м, поэтому
- 19,6 - — 4,9/2,
откуда
Следовательно,
X — vOxt - 6,1 м'с • 2с 12,2 м.
Перей1и от двумерного движения к ipcx-
мсрному нетрудно Однако трехмерное дви-
жение сложнее с точки зрения геометрии и
тригонометрии. поэтому мы ограничимся
рассмо!рением двумерного движения Это
ограничение не означает, что мы жертвуем
какими-1ибо новыми сведениями в области
физики
Описание последующего движения полу-
чаем подыаповкой этих выражений в (4 16):
Vx = V0x = V0 COS %,
(4-18)
- t)0), — gt - r0 sin 60 — gt.
4.9 Полет снарядов
ВЫСОТА И ДАЛЬНОСТЬ ПОЛЕТА По-
скольку проследить за полетом стрел или
пушечных ядер трудно, до1 алилссвские пред-
ставления об их движении были смутными
и неточными. Некоторые люди полага ти,
что снаряд поднимается до максимальной
высоты, а затем падает отвесно вниз
(фиг 4 29). Галилей подошел к этой пробле-
ме как к одному из разделов механики и дал
подробный и правильный анализ происхо-
дящего Он нс мог воспо 1ьзова1ься преиму-
ществами таких математических методов,
как дифференциальное и И1пе1ральное ис-
числения или даже ал! ебра. по он с успехом
пользовался геометрией и проделал обшир-
ные расчеты, чтобы подтверди ib свою пра-
воту. С теми знаниями, коюрыс мы уже
приобрели нетрудно вы вес i и основные урав-
нения движения снарядов.
На фиг 4 30 схематически показана ipa
ектория полета снаряда, выпущенного под
углом 0о к 1 оризон 1али Вектор начальной
скорости имеет компоненты г0, и «0,, кото
рые связаны с гс соотношениями
i)0x = y0cosfJ0> иОу —t)0sin60. (4.17)
Фиг. 4.29. Средневековые военные инженеры
думали, что снаряд поднимается по прямой
линии до .максимальной высоты a затем па-
дает отвесно вниз.
Несмотря на ти ошибочные представ гения, «се
же бы 1о известии что максимамая далыюбой-
ность достигается при прицельном угле, равном
45 Пушка на рисунке уставов гена именно под
таким углом
122
4. Движение
Фиг 4.30. Движение снаряда (а) и калтонен
ты вектора начальной скорости снаряда (б).
Пример 4.13
Выстрел из вишовки производится под углом 45 к горизонту, начальная скорость ну 1и
равна 300 м/с. Каковы максимальная высота и дальность полета пули?
Прежде всего вычислим компонстны скорости:
гОл. v(1cos00 300 cos 45 300 0,707 = 212 м с,
гОу - vosin 212 м с.
Чтобы найти максимальную высоту полета пули, мы вычислим значение у, при котором
вертикальная компонента скорости уменьшается до нуля: »у 0. Найдем время, необхо-
димое для достижения максимальной высоты. Для этого в уравнении
t'y - %
положим vy 0 Тогда
у ... Г|,У J_=-21,6с.
g Ч 8
Теперь используем выражение
у ~ г07 — у gt2.
Обозначим максимальное значение у через h.
h 212 - 21,6 —4,9 (21,6)® 4580 — 2290 2290 м.
Чтобы наити дальность полета пули по горизонтали R. учтем, что весь полег занимает
время Т, которое в два раза превосходит время, необходимое для достижения максимальной
высоты, I е. Т 21 43,2 с. Затем, используя
х иОд.Т,
4.10. Движение по окружности
123
находим
R 212-43,2 = 9160 м
Таким образом, дальность полета составляет свыше 9 км.
Разумеется, в реа 1ьных условиях сопротивление воздуха сокращает дальность по. era
уменьшение дальности зависит от размера, массы и формы снаряда Да шность полета
винтовочной пули составляет всего около 1,6 км, тогда как дальность полета аргитлерий-
ского снаряда, вылетающего из ствола орудия с той же начальной скорое тыо, значительно
ближе к предельной, которую мы рассчитали.
Подчеркнем, чго дальность R ровно в 4 раза превосходит высоту h. Этот результат носит
общий характер: если угол прине тивапия равен 45 (для обеспечения максимальной даль-
ности), мы все1 да получим R 4/1 (см. задачу 4.27).
В предыдущем примере мы нашли даль-
ность полета снаряда R с помощью после-
довательных вычислений, выведем теперь
общее алгебраическое выражение для R.
Время полета снаряда Т 2t. где t вре-
мя подъема до максимальной высоты, кото-
рое в соответствии с одним из результатов
примера 4.13 равно »oy/g- Таким образом,
2ci„ sin >)п
Т Ц 2--^- g-—. (4.19)
Следовательно, дальность
п 'г / и \ I 2clo sin % \
R = voxT = (D0cos60) • —2------2- ,
\ g /
или
R = — sin 0О cos %. (4.20)
g
Методами математическою анализа (или
расчетами множества частных случаев, как
это сделал Галилей) можно показать, что
максимальная дальность доститается, если
уюл прицеливания 0о 45* (см. задачу 4.26).
Слсдова тельно,
Ямакс — sin 45= cos 45°--^ х
g g
1 1
x ---~ .
I 2 | 2
ИЛИ
2
«макс- — - <4 21)
g
Следовательно, увеличение начальной ско-
рости в 2 раза приводит к увеличению даль-
ности полета в 4 раза.
4.10. Движение по окружности
УГ ЮВАЯ СКОРОСТЬ. Очень важным слу-
чаем движения в двух измерениях является
движение по круговой 1раекторни. Для про-
стоты ограничимся рассмотрением равно-
мерного движения, т. е. будем считать, что
скорость движения тела постоянна Если
тело совершает один потный оборот за 1 с.
говорят, чго угловая скорость равна 1 об с.
Но один полный оборот соотаегствуст 2л ра-
диан, поэтому можно также сказать, что
тело движется с гг твои скоростью 2л рад с.
Угловую скорость (измеренную в радианах
в секунду) принято обозначать символом о>.
Если тело нс совершило полного оборота,
который взят за основу расчета, мы все
равно можем определить yi товую скорость
точно таким же способом, каким мы опре-
деляли обычную (или линейную) скорость.
Если тело проходит от очки, положение
которой определяется углом 0ь до точки,
положение которой определяется 02, за ин
тервал времени Т2 <л (фиг. 4 32), то средняя
у г ювая скорость
w = (4.22)
Д/
Поскольку представляет интерес только
разность между углами, положение 0 0
выбирается произвольно
124
4. .(вижение
Фн1. 4.31. Этот чертеж, взятый из арти л-
лерийского наставления, изданного в 1621 г.
(при жизни Галилея), демонстрирует хоро-
шее понимание действительного движения
снарядов' траектория снаряда не чв счете ч
правильной параболой (из-за сопротивления
воздуха).
Одна и та же да нмость может быть достигну-
та при двух различных прице юных углах; при-
цельный угол, равный 45 обеспечивает макси-
мальную дальность. Работы Галилея быстро ока-
зали влияние на военное искусство. (Квадрант,
которым пользовались для установки прицельного
угла, был изобретен Галилеем )
Фиг. 4.32. При движении те. ла от точки А
до точки В средняя угловая скорость равна
(02 01) 02 h) рад.с.
0 = 0
4.10. Движение no окружности
125
Мгновенная угловая скорость 1акжс опре-
деляется аналогично М1новеппой Линейной
скорости'
А6
и = lim------.
л/-*о Д/
(4.23)
Для равномерного вращательного движе-
ния ы & Как уже сказано, мы будем
рассматривав юлько такие случаи.
ПЕРИОД ВРАЩЕНИЯ. Периодо и враща-
тельного движения называется время, за
которое совершается один полный оборок
или один цикл движения. Очевидно, что
период и узловая скорость обратно про-
порциональны дру| труту: чем больше yi ло-
вая скороеib, гем меньшее время требуется
для полного оборота. Период обозначается
символом т:
Если 1сло движется равномерно по кру-
говой траектории радиуса г, оно проходи!
за 1 период расстояние, равное длине окруж-
ности 2лт. Это движение совершается за
время т. Следовательно, линейная скорое 1ь
расстояние 2лг
время 2л/ш
Таким образом.
V = ГШ.
(4.25)
При движении по окружности вектор ско-
рости непрерывно изменяет свое направле-
ние (фи!. 4.33). Однако, если движение рав
номерное, численное значение вектора ско-
рости остается неизменным.
(4.24)
Фш. 4.33. При движении но окружности век-
тор скорости непрерывно изменяет свое на-
правление
Пример 4.14
Автомобиль движется с постоянной скоростью 80 Км ч по треку диамщром 1,6 км Каковы
угловая скорость и период движения?
80 км/ч
0,8 км
100 рад ч,
——— » 0,063 ч
100 рад: ч
3,8 мин.
126
4. Снижение
4.11. Центростремительное
ускорение
УСКОРЕНИЕ НАПРАВЛЕНО К ЦЕНТРУ.
Если тело движется без ускорения, это озна-
чаем что сто скорое 1ь нс меняется, т. е. век-
тор скорости сохраняет постоянные вели-
чину и направление Cootbctcibchho, если
происходит итменспие скорое i и, то должно
присутствовав ускорение. Скорость не обя-
зательно должна изменять численное зна-
чение, изменение направ iei/и.ч вектора ско-
рости, даже если его величина остает ся неиз-
менной, также обусловлено ускорением
Следовательно, тело, равномерно движу-
щееся по круговой траектории, непрерыв-
но испытывает ускорение
Чтобы вывести выражение для ускорения
при движении по окружности, рассмотрим
фи1 4 34. В момент времени !, вектор ско-
рости тела равен v, В момент времени t2
положение тела изменилось на угол АО и
вектор скорости стал равен v2. Если движе-
ние равномерное, го 1>2 v2. хотя направ-
ления векторов V, и v2 различны При
движении от точки 1 до точки 2 тело прохо-
дит вдоль окружности расстояние As Дли-
на хорды, соединяющей обе точки, равна А \.
Ускорение мсняе! вектор скорости от зна-
чения v, до v . порождая «вектор изменения
скорости», который мы обозначим Av.
Поскольку векторы скорости V, и v, пер-
пендикулярны к радиусам окружное!и соот
ветственпо в iочках 1 и 2. треугольник, обра-
зованный двумя радиусами и хордой Ах,
подобен треугольнику, образованному v
v, и Av (фиг 4 34). Оба треут ольника рав
нобелренныс, причем углы между равными
сторонами у них одинаковы и равны ДО
(фи! 4 35). Следовательно, о1ношсния длин
соо1ветствеппых сторон двух треугольников
равны:
До Ах
V г
1де вместо г, и с2 мы написали просто г.
поскольку г, = г2 Таким образом, числен-
ное значение изменения скорости
* о Ах
Теперь определим ускорение обычным спо-
собом:
Ас
Оц-lim— ,
дт-»о А/
и подставим сюда выражение для Ас
о Ах
\ г At )'
,. v • Ах/г ,.
ац = lim------------— lim
дт-а-о А/ д/-»-о
Поскольку величины и и г постоянны они
нс влияю! на предельный переход и мы мо-
жем переписи!ь выражение для аи в такой
форме:
v . Ах
а.. — —lim---.
г дт-0 А/
При уменьшении Аг до бесконечно малой
величины хорда Ах становится равной ду-
ге As, а предел отношения As At равен ли-
Фш 4 34. ДиаЬраыма скоростей ускоренного
движении по окружности.
127
4.11. Центростремительное ускорение
Стороны правого треугольника « место в, и ьгобо-
лначены v. поско тку vt iy
нейной скорости v. Следовательно,
шается, л ак что вектор v2 почти совмещается
с Vp При элом вектор Ду практически перпен-
дикулярен у, и v2, г. е. направлен к центру
окружное!и. Поскольку направление век-
тора ускорения совпадает с направлением
изменения скорости, вектор а„ также на-
правлен к цен 1 ру окружности. Ускорение
«устремлено к центру» и поэтому называ-
ется центростремительным.
Используя полученный раньше резулыа!
с = гц>, мы можем выразить аи иначе:
О» (л»)*
Яц - --- = 3----- ,
(4.26)
ИЛИ
Обратившись к фи1 4 34. мы увидим, что
при уменьшении Аг угол ДО также умень-
Qu = Ар2.
(4 27)
Пример 4.15
Определим v, а> и «„ для движения Земли вокруг Солнца
Г 1 А.Е. 1,5- 10'3 см,
t — 1 год = 3,15 • 10: с.
Следовательно.
2л 2л рад .. , .
т = ----= ——« 2 10-7 рад с
т 3,15- 107 с
I1 — пч w (1,5 • 1013 см) • (2 • 10-7 рад;с) — 3-10® см/с = 30 км/с,
ац - гы2 ?к.(1,5 • 1013см) (2 • 10-7 рад с)2 = (1,5 1013) (4 • 1СН4) = 0,6 см/с2.
Ускорение движения Земли вокруг Солнца составляет всего лишь около 0,06% от g.
Пример 4 16
Мы уже знаем, что если тело надает на Землю обладая iоризонтальной компонентой ско-
рости го эта компонента остается постоянной Какую скорость необходимо сообщигь
телу чтобы кривизна его i раек тории стала равной криви иге поверхности Земли? В этом
случае 1ело будет падать на Землю с той же скоростью, с какой поверхность Земли «убегает»
от вектора мгновенной скорости тела. Таким образом, тело будет падать.двигаясь вокрут
Земли, высота тела над поверхностью Земли не будет уменьшаться, и оно станет искусст-
венным спутником Земли.
Предположим, что тело начинает падать с высоты h над поверхностью Земли Радиус
Земли равен R, поэтому радиус круговой траектории тела составляет R I h.
128
4. Движение
Центрос i реми тельное ускорение, необходимое для обеспечения движения по окруж-
ности,
t,2 с,2
Сц “ ~r~ Pj-h
Эю центростремительное ускорение обусловлено силой зяжссю, по лому вместо ац можно
подставить g:
Как мы увидим ниже koi да будем более по тробно знакомиться с 1рави1ацией, значение g
зависит от расстояния до центра Земли. Если h мало по сравнению с R (возьмем, напри
мер, /1 = 160 км 16-107 см, т. е. высоту, равную 1 40 радиуса Земли), то значение g прак-
тически не отличается от измеренного на поверхности Земли, а именно g 980 см/с2. Теперь
мы можем най1и г:
V |/ £ (/? + Л)
= У 980 см/с2 • (6,4 • 10® см-[-1,6 • 107 см) *=
1/980 см/с2 • 6,56 • 10® см =
= |/ 62,7-10'° см2/с2 - 7,9-10® см/с -
= 7,9 км с.
Период движения равен
2л 2лг
т —-------------- -
и> v
= 271' (6-56 • 108 см)- 5200 с =87 ми и.
7.9 10ь см/с
Следовательно, спутник, движущийся по крузовой орбите на высоте 160 км coBcpniaci
полный оборот вокруз Земли примерно за полтора часа Эти значения бли зки к параметрам
орбит многих искусственных спутников Зем зи, запущенных в последние годы
4.12. Предельная скорость
129
4.12. Преде 1ьная скорость
СКОРОСТЬ СВЕТА В соответствии с по-
лученными формулами, если тело начинает
движение из состояния покоя и движе1ся
с ускорением, его скорость через время t
будет равна v at. Следовательно, для лю-
бою отличного от нуля значения а, если вре-
мя t достаточно велико, мы можем получить
сколь уюдпо большую скорость v. Однако
из теории относительное 1 и мы знаем, что
на самом деле этого не происходит Одним
из резулыаюв теории относительности (см
гл. И) является существование предельной
скорости любого физически осуществимого
движения Э1а предельная скорость равна
скорости света в пустоте с 3-10'** см с.
Согласно теории относительное! и, прос
тос выражение г at должно быть заме-
нено на*
at
v = - . (4 28)
И (а/'с)2
При любом значении а спустя достаточно
большое время t мы получим (at c)2>l.
Следовательно, в подкоренном выражении
можно пренебречь е шпиней по сравнению
с (atlc)2, 1ак что скорость станет прибли-
женно равной
at at
V « = ------ = С.
\'(atlc)2 atlc
Таким образом, при t-»oo скорость при-
ближается к скорости света. Разумеется,
v никогда не может стать точно равной с,
поскольку знаменатель па самом деле все! да
чуть-чуть больше чем at с.
О।сюда можно сделать вывод, что как бы
ни было велико ускорение материального
тела и как бы долго ни продолжалось уско-
ренное движение, скорость тела никогда не
достигнет значения, в точности равного
скорости света Таким образом, скороеib
света является предельной физической ско-
ростью
Частицам малой массы, например элект-
* В этом выражении й — ускорение, шпытыва
емое движущимся объектом a t время, из.ме
ренное наблюдателем не подвергающимся уско-
рению.
Фиг 4.36 Вид гигантского советского уско-
рителя в Серпухове.
Скорости протонов вылетающих из этого уско-
рителя достигают V 0,999915 с и превосходят
скорости протонов в любых других ускорите >.ч v
мира [Весной 1972 г. в США (Батавия, штат И с-
линойс) вступил в строй ускоритель, рассчитан
ный на получение протонов с энергией до 500 ГэВ
скорость протонов в нем лишь на 0,5 км/с меньше
скорости света. — Ред ]
ронам и протонам, можно сообщать чрез-
вычайно высокие скорости с помощью раз
личных устройств. Даже 20-киловольтные
электронные пушки, установленные в теле-
визорах, испускают электроны со скоростя-
ми около 8 109 см с, или 0,3 с. Ускоритель
в Серпухове (фиг 4 36) может разогнать
протоны до скорости 0.9999 с, а Стэнфорд
ский линейный ускоритель способен разог-
нать электроны до скорости 0.9999999999 с.
Для умеренных ускорений и сравни гельно
коротких интервалов времени, с которыми
мы встречаемся в повседневной жизни, ве-
9 779
130
4. Движение
Фиг 4.37. Стэнфордский линейный ускори-
те 1Ь (СШЛ, штат Калифорния)
В том ускорителе дгиной 3.2 км создаются
электроны со сверхвысокими скоростями для ис-
следований в области физики элементарных час-
тиц. Скорости этих электронов лишь на 1,5 см,с
меньше скорости света.
личина (atx)2 в (4 8) мала по сравнению с
единицей, так что выражение для v обраща-
ется в обычное V— at. Лишь в тех случаях.
когда скорост ь сравнима со скоростью света.
Необходимо пользоваться релятивистскими
формулами.
Основные выводы
Скорость — зто быстрота, с которой пре-
одолевается расстояние. Скорость — век-
торная величина
Наклон кривой на графике путь время
равен скорости движения
Ускорение — это быст рота изменения ско-
рости. Ускорение векторная величина.
Для тел, свободно падающих вб шзи по-
верхности Земли, горизонтальное и верти-
кальное движения независимы. Вертикаль-
ное движение происходит с ускорением
X 980 см/с2 = 9,8 м/с2.
Движение снарядов вблизи поверхности
Земли (без учета сопротивления воздуха)
происходит по параболе.
Тело, движущееся но окружности, испыты-
вает центростремительное ускорение, кото-
рое направлено к центру окружности.
Никакие тела нс мотут двитаться со ско-
ростью, превышающей скорость света.
Вопросы
4.1 . Может ли движущееся тело иметь v и а, все время направленные в противоположные стороны?
4.2 . Тело движется с ускорением величина и направление которого постоянны Опишите движение
тела в следующих случаях: а) направление вектора скорости все время остается неизменным; б) тело
движется по кривой линии.
4.3 Почему нельзя учесть сопротивление воздуха при описании движения падающих тел путем про-
стого уменьшения значения g?
4.4 . В какой точке (или точках) траектории величина скорости снаряда минимальна? В какой точке
(или точках) она максимальна?
4.5 Если мы хотим рассчитать начальную скорость межконтинентальной баллистической ракеты,
необходимую для преодоления расстояния 8000 км. мы не можем просто воспользоваться выражением
(4 21) Какие дополнительные эффекты необходимо принять во внимание, чтобы получить точное
выражение для дальности полета ракеты"
4.6 Частица равномерно движется по окружности Опишите, как меняется во времени вектор уско-
рения.
Задачи
131
Задачи
4 1. При движении ио шоссе водитель видел километровые столбы в следующие моменты времени'
192 КМ 11 ч 30 МИН.
222 км и ч 50 мин.
240 км 12 ч 40 мни.
320 км 13 ч 40 мин.
334 км 13 ч 46 мин,
334 км 13 ч 50 мин.
350 км 14 ч 05 мин.
а. Постройте график путь — время для этой поездки.
б. Обозначьте па графике средние скорости для различных прямолинейных участков графика,
в Что мо1ло происходить в полдень и в 13 ч 46 мин?
4.2. Скорости автомобиля в различные интервалы времени были следующими
13.00 — 14 00
•14.00— 14.30
14.30— 15.00
15.00 — 16.30
16.30 — 17 00
v 48 км >ч,
v = 64 км/ч,
стоянка,
v— 32 км ч,
и — 96 км/ч.
а. Какова общая длина пройденного нуги?
б. Какова средняя скорость9
в. За сколько времени были пройдены первые 88 км9
г. Какова была средняя скорость за первые 2 ч и за последние 2 ч?
4.3. Автомобиль проходит 18 м за 2 с, двигаясь равномерно. В течение следующих 3 с он проходит
только 9 м. Какова была средняя скорость: а) в течение первых 2 с, б) в течение последующих 3 с,
в) в течение всех 5 с, г) в течение первых 3 с?
4.4 Автомобиль начинает движение из состояния покоя и через 3 с набирает скорость 18 м с. Если
автомобиль двигался с постоянным ускорением, какое расстояние он прошел за первые 2 с9 Какое
расстояние он прошел за ipeibio секунду?
4.5. Какое расстояние пройдет тело падающее из состояния покоя, в течение седьмой секунды своего
движения?
4.6. Мяч подброшен вверх с крыши с начальной скоростью 39 м.с Какова будет скорость движения
мяча через 3 с после тою, как мяч, падая, поравняется с крышей9
4 7. Мяч брошен вверх с начальной скоростью 29 м.<с. Как высоко он поднимется? Какова будет
скорость мяча в момент возвращения в точку бросания?
4 8. В момент времени т 0 предмет брошен вертикально вверх Он достигает максимальной высо-
ты 19,5 м и затем падает на Дно шахт ы, т лубина которой равна 93,5 м В какой момент времени пред-
мет достит нет дна?
4.9. Покажите, что тело, падающее с высоты h (из состояния покоя), приобретает скорость v
(Это важный результат, который нам понадобится в дальнейшем.)
4 10 Постройте график мгновенная скорость - время для тела брошенного вверх с начальной
скоростью 39 м?с. Определите графически примерную скорость через 2,75 с и через 7,8 с после начала
движения Через какое время скорость движения тела вниз достигнет 30,5 м'с?
»•
132
4. Движение
4.11. На Луне ускорение силы i яжести в 6 раз меньше, чем на Земле. Пре,чме! брошен вверх с началь-
ной скоростью 30,5 м< на поверхности Луны. Через какое время он доспи нет максимальной высоты
и какова эта высота?
4.12. Ракета стартуете поверхности Земли с ускорением 4 g, направленным вверх. Какова скорость
ракеты через 10 с после запуска и какой высоты дос hi нет ракета за >то время?
4.13. Два автомобиля каждый из которых движется со скоростью 96 км ч навс1речу друг другу,
сталкиваются. С какой высоты должны были бы соверши 1ь падение автомобили, чтобы их скорости
были равны относительной скороои в момент столкновения? Если с момент шолкновения до пол-
ной остановки автомобилей прошло 0,02 с, каково было их ускорение7
4.14 Скорости можно выражать с помощью чисел Маха (М) 1 М соотвстствуеi скорости звука в
воздухе на уровне моря он равен примерно 330 м.*с, или 1190 км/ч; 2 М соо1ве1ствуют удвоенной
скорости звука и т д. Ракета, запущенная с большим ускорением, достш ла 1,2 М, пройдя путь 300 м.
Каково ее ускорение7 Выразите результат через g
4.15. Парашю! раскрывается примерно за2с Пусть за но время скорость парадно i иста равномерно
уменьшилась от скорости свободного падения пракшчески до нуля. Если к началу раскрытия пара-
шюта парашютист обладал скоростью 320 км ч, какое ускорение он испьпает во время раскрьпия на-
pamioia7 Выразите резулыат через g. Опасны ли прыжки с парашютом для лиц, которые теряю|
сознание при 5 g?
4.16 Каждый вектор на диа> раммс пмеш длину 2 единицы
а. Чему равна сумма В С7
б Чему равна сумма В С '/^А?
в Чему равна сумма А В С7
4.17. Вектор А имеет длину 1, а длина вектора В равна а/ЗТ Каковы направление и .'шина вектора
А В7
4.18. Судно может лишаться с крейсерской скоростью 16 км.ч. Рулевой хочет направить судно по-
перек реки, скорость течения которой составляет 8 км/ч Чюбы сделать это, рулевому приходится
прави)ь под некоторым углом к ючению Чему равен этот угол?
Задачи
133
4.19. В некоторый момент времени тело обладает следующими компонентами скорости сх 300 м с,
и> 400 м с Каково численное значение скорости тела в этот момент времени'’
4.20. Самолет летит на север в спокойном воздухе со скоростью 384 км ч. Внезапно самолет подвер-
гается воздействию западного ветра, скорость которою 112 км'ч. Если пилот оставит рули в преж-
нем положении, каковы будут новое направление полета и новая скорость относительно Земли'.’
Подперт нется ли самолет действию ускорения?
4 21. Найдите графически сумму следующих векторов:
а) сначала сложите Л и В, а затем прибавьте к полученной сумме С;
б) сначала сложите В и С, а затем прибавьте к их сумме А.
4 22. Наи тите сумму трех векторов из задачи 4.21 путем сложения компонент
4 23. За время падения по вертикали на 78,1 м тело прошло но торнзонтали расстояние 30.5 м. Какова
горизонтальная скорость тела?
4 24. Ускорение села, совершающего свободное падение вблизи поверхности Земли, составляет
около 9.8 м'с2. Однако это значение немного меняется от точки к точке на поверхности Земли Его
вариации на уровне моря составляют около 0,5% К какой разнице в дальности метания копья атле-
том могут привести эти вариации"’ (Предположите, что копье пролетает 90 м.) Зависят ли леткоатло-
гические рекорды от того, в каком месте Земли они установлены?
4 25* Во время первой мировой войны немцы сконструировали отромную пушку, установленную
на железнодорожных платформах (союзники назвали ее «Большой Бертой»), которая использова-
лась для обстрела Парижа с’расстояния 120 км Какова минимальная начальная скорость снаряда,
необходимая для такой дальности стрельбы? (Напомним, что сопротивление воздуха уменьшает
дальность, так что действительная скорость должна быть несколько выше, чем рассчитанная но про-
стой формуле) Чему было равно минимальное время между выстрелом и падением снаря.га. кот да
пушка была установлена на максимальную дальность9 Какой высоты достигали снаряды9
4 26. Путем трудоемкого расчета I алилей показал, что максимальная дальность полета снаряда
доститается при угле прицеливания 45 Он также показал, что дальности будут одинаковыми для
углов прицеливания 45 Е Ф и 45 - ф при любых значениях ф (между 0 и 45 ) Покажите, что этот
вывод правилен, рассчитав дальности для нескольких значений ф. Нарисуйте две возможные траек-
тории для какою-либо значения ф (см. фиг. 4 31).
4 27. Выстрел нроизво тится под углом 45“ к горизонту Покажите, что дальность по тета снаряда в
4 раза превышает максимальную высоту
4 28. Предмет брошен вертикально вверх и возвращается в исходное положение через 2 с. Какова
была начальная вертикальная скорость? Какой высоты достиг предмет? Затем предмет бросают
с той же начальной скоростью, но под утлом 45' к горизонту. Какой высоты достигнет предмет и
какова будет дальность ею полета9
134
4. Движение
4.29*. Начальную скорое и. пули можно измерить, если выстрелить сквозь два вращающихся диска,
расположенных на расстоянии d друг от друга, а татем измерить угловое смешение ДО между двумя
отверст иями Покажи тс. что если диски вращаются с одной и гой же угловой скорое т ыо а> то началь-
ная скорость пули I wd ДО Какова скорость пули, если диски находятся друг от друза на расстоя-
нии 1 м и приводятся во вращение мотором со скоростью 10 X) об мин. а угловое смещение между
отверстиями оказалось равным 29 '
4 30. Каковы угловая скорость и период вращения диска четырехскоростното нроитрывателя на каж
дой из ею скоростей (16%, 33%, 45 и 78 об<мнн)? Какое центростремительное ускорение испытывает
час тина, находящаяся на ободе долгоиграющей т рампластинки диаметром 30,5 см. которая враща-
ется со скоростью 33'/3 об/мин?
4.31. Какова уг товая скорость вращения Земли вокруг своей осн? Какова скорость движения точки,
расположенной на поверхности Земли в районе экватора ? Какова скорость точки расположенной
на широте 45 ? (Последние чва ре ту тьтата выразите в км.с )
4 32. Предмет движется по окружности радиуса 2,9 м и испытывает центростремительное ускорение
3 g Какова скорость предмета? Каков период его движения?
4.33. Предмет движется по окружности радиуса 2,4 м Если период ранен 10 с, чему равно центростре-
мительное ускорение, выраженное в единицах g? (Не подставляйте численных значений, пока не полу-
чите алгебраическое выражение для л„.)
4 34. Вычислите обусловленное вращением Земли вокруг своей оси центростремительное ускорение
тела, находящегося на поверхности Земли на экваторе и па полюсе. Если тело бросить с некоторой
высоты над поверхностью Земли на эква горе и на Северном полюсе, то где оно достигнет поверхнос т и
Земли скорее?
4 35. Тело находившееся вначале в состоянии покоя подвергается ускорению 1 g в течение 1 года.
Какова конечная скорость тела? Можно ли использовать для ее расчета нерелятивистское выражение?
Чемпион мира по тяже юй атлетике Л. Жаботинскии
5 Сила и импульс
5.1. Интуитивное представление о
силе
5.2. Законы Ньютона
5.3. Третий, закон и определение
массы
5.4. Системы отсчета
5.5. Масса и вес
5.6. Единицы силы
5.7. Векторные свойства силы
5.8. Несколько при меров
5.9. Импульс
5.10. Момент силы и момент им-
пульса
5.11. Сохранение импульса и от-
крытие нейтрино
5,12. Центр масс
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В предыдущей 1лаве мы познакомились с кинематикой—геометрическим описанием тви
жения, ие рассматривающим его причин. Перейдем теперь к обсуждению причин движения,
т. е приступим к изучению динамики. С точки зрения введения новых поня|ий динамика
коренным образом отличается от кинематики. Пу<ь изучения кинематики был прощым и
прямолинейным; каждая новая величина определялась через ранее рассмотренные величины.
Но. пьпаясь продвинуться вперед в динамике, мы столкнемся с необходимостью введения
сразу двух новых величин силы и массы. Дать точные определения силы или массы, опи-
раясь только на понятия кинематики, нельзя. Более toi о, определения этих величин не moi ут
быть даны независимо друз от друт а По названным причинам логическая структура дина-
мики таит в себе сложности, обойти которые, по-видимому, невозможно Никому еще ие
удавалось найти неопровержимый ло!ический подход к динамике — на пути всегда возни-
кает дилемма силы и массы Это побуждает нас отдать дань уважения глубокой интуиции
Исаака Нью юна, который сумел создать действенную теорию, способную объяснить в де-
талях многие физические явления, несмотря на шаткость ее логического обоснования
Из-за этих формальных трудностей не существует «истинного пут и» в изучении динамики
Подход, который мы избрали здесь, не единственно возможный. Однако не так уже важно,
каким путем мы приходим к ньютоновским законам динамики; гораздо важнее, что эти за-
коны правильно описывают движение макроскопических тел.
В нашем столетии было установлено, что в случаях чрезвычайно малых расстояний или
сверхвысоких скоростей законы Ньютона нуждаются в уточнении Расхождения между пред-
сказаниями теории и экспериментальными данными в этих случаях подютовили почву для
создания квантовой механики и теории относительности. Однако эти ограничения приме-
нимости теории Ньютона ни в коей мере не означают, что она устарела или потеряла свое
значение. Почти во всех обычных ситуациях законы Ньютона дают прави !ьное описание ди-
намики физических систем.
5.1. Интуитивное представление
о силе
СИЛА И ИНЕРЦИЯ Сила чаще всего
воспринимается как мускульное усилие. Мы
должны «напрячь все силы», чтобы сдвинуть
с места легковой автомобиль, но «все силы»,
приложенные к тяже тому грузовику, не при-
веду! его в движение. Мы знаем, что трузо-
вик значительно больше легкового автомо-
биля и содержит больше вещества, иными
словами, грузовик обладает большей массой
чем ле! ковой автомобиль. Очевидно, «коли-
чество» движения, создаваемое «силой», за-
висит от массы тела
Чтобы привести в движение автомобиль
(даже по ровной дорсге), нужен довольно
мощный толчок (или сила) но если автомо-
биль уже движется, для поддержания по-
стоянной скорости требуется значительно
меньшая сила. Нашим предкам (которые
при описании своих наблюдений говорили о
повозках вместо автомобилей) этот фак!
представлялся наиболее важным, из него
они делали вывод, имеющий определенные
основания, чю сила —эго нечто, необходи-
мое для поддержания постоянной скорости
движение Однако наши предки не заметили
решающего обстоятельства: для начала дви-
жения требуется большая сила, чем для под-
держания движения Мы используем термин
инерция для обозначения этого свойства ве-
щества противиться изменению своего со-
стояния движения Таким образом, чтобы
привести автомобиль в движение, необходи-
мо преодолеть инерцию автомобиля Точно
так же если ав томобиль движется с постоян-
ной скоростью, то инерция препятствует
его остановке, пока не будет приложена до-
вольно значительная сила навстречу дви-
жению
ТРЕНИЕ. Разумеется, теперь мы понимаем,
почему необходимо прилагать силу для под
держания постоянной скорости движения
тела. Помимо сил, которые мы прилагаем
к телу, в общем случае всегда присутствуют
противодействующие силы трения Даже
хорошо отполированный шар, катящийся
по гладкой поверхности, в конце концов
остановится из-за трения Если шар ие от-
полирован, а поверхность не гладкая, дви-
жение прекратится значительно раньше Гре
138
5. Сила и импульс
нис появляется, когда неровности на поверх-
ности тела цепляются за такие же неровности
на поверхности другого предмета, по кото-
рому оно скользит и ти катится. Очевидно,
что чем несовершеннее поверхности, тем
больше трение. Поскольку с помощью поли-
ровки невозможно устранить все неровности
(любое вещество в конце концов складыва-
ется из «неровных» атомов), нельзя полно-
стью исключить и трение, хотя в некоторых
условиях его удастся уменьшить до чрезвы-
чайно малой величины. Например, электро-
мотор, ось которого вращается в преци
зионных подшипниках с хорошо отполиро-
ванными шариками, останавливается лишь
спустя значительное время после отключе-
ния питания мотора.
Трение проявляется также, когда тело
движется в среде, например в воздухе или
воде. Чтобы продвинуться вперед, телу при-
ходится расталкивать молекулы среды; силы
(называемые силами вязкости), с которыми
молекулы воздействуют на тело, создают
сопротивление ею движению Если бы тело
двигалось в пространстве в абсолютном
вакууме, то тогда, разумеется, силы трения
не проявлялись бы Но даже в лучших ла-
бораторных вакуумных системах каждый
кубический сантиметр объема содержит око-
ло 10в атомов газа, которые все же оказы-
вают слабое сопротивление любому дви-
жущемуся предмету.
Хотя полностью избавиться от трения
никогда не удастся, при дальнейшем изуче-
нии динамики мы будем считать, что можем
сделать это Мы будем пренебрег ать т рени-
ем в наших рассуждениях, имея в виду, что
в реальных условиях его необходимо учи
1 ыва т ь.
Фит 5.1 Чтобы преодолеть инерцию авто мо-
биля находящегося « состоянии покоя, и при-
вести его в движение, необходимо при со жить
значите сьную силу; когда же авто мобн н>
движется, для поддержания движения с по-
стоянной скоростью требуется лишь неболь-
шая сила (на преодоление трения).
5.2. Законы Ньютона
В 1687 г после многих лет труда и продол
жительных уговоров друзей опубликовать
полученные результаты Исаак Ньютон на-
конец издал свою важнейшую работу
знаменитые «Начала»* Ньютон не «изоб-
рел» динамику; напротив, он максимально
использовал работы своих предшественни-
ков. особенно детальные эксперименты и
рассуждения Галилея Величайшей заслугой
Ньютона было полное описание динамики
движущихся тел, явившееся синтезом его
собственных работ и работ всех его пред-
шественников. В этом разделе мы резюми-
руем результаты Ньютона и сформулируем
его знаменитые три закона в их современ-
ном выражении, причем кратко обсудим
смысл каждого закона. (Мы будем предтю
лагать, что сила является физической вели
чиной, обладающей и численным значе-
нием, и направлением, т. е. что сила является
векторной величиной. В разделе 5 7 мы об-
судим векторные свойства силы )
* Всем интересующимся историей науки мож-
но рекомендовать превосходную книгу: С И Ва
вигов Июак Ньютон. АН СССР 1643 Прим
ред
5.2. Зиксты Ньютона
139
0, или v const.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ИЛИ ЗА-
КОН ИНЕРЦИИ). Ес си действе юи/а.ч на
тело резульписрусои1сс.ч сила равна ну.но (г. с.
если равна пулю векторная сумма всех
сил. действующих на тело), то ускорение
тс ссс равно ну но и те со движете с < постоян-
ной < коростыо. Таким образом, если к телу,
пахо тящемуся в состоянии покоя, нс прило-
жено никаких сил. оно про до гжает оставить
ся в состоянии покоя; сети тело твижстся.
оно сохраняет постоянную скорость, т. с
(I)
Ног закон даст объяснение фактам. упо-
мянутым в предыдущем раз теле. т те юно
рнлось что если автомобиль уже твижстся.
то требуется тишь небо лыпая сн та .тля по т-
держания постоянной скорости Если бы нс
приходи тось преодолевать трение, автомо-
биль продолжал бы лишаться с постоянной
скоростью тажс без приложения каких-либо
сил. Хоккейная шайба, скользящая но глад-
кому льду, проходит большое расстояние
почти с постоянной скоростью, хотя на нее
не действуют сичы Конечно, в коште коп
нов шайба остановится в результате трения
между шайбой и льдом
Первый закон сам по себе дает лишь тру-
бое представление о силе Действительно
мы получи ти пока лишь определение нулевой
силы. Однако сила должна быть тестю свя
зава с ускорением Эту связь устанавливает
второй закон
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. Ускоренное
движение теса может быте вьсзвассо только
силой, приложенной к нсюмг тс п Ускорение
ссропорциона лысо действующей па тело сп и
причем ко х|1<|)нш1сн т пропорциональное! и
харак теризуе i инерцию, и ли мш < з гс 1.1 1 к
F ./на. (И,
Носкозьку а вполне определенная нети
чина, этот закон устанавливает связь меж ту
силой и массой, по не определяет ни ту, ни
другую Прояснить чту проблему предстоит
треть ему закону
Подчеркнем, что соотношение (II) явчя
ется векторным уравнением Векторы I- и а
связаны друг с другом через ска тярнуто вс
Фиг. 5 2. Исаак Ньютон (1642—1727). вели-
кий английский математик и физик
Он сформулировал полную теорию дина пики от-
крыл сакон всемирного тяготения м разработал
дифференциальное и интегра сьное и< чис сени я
личину сп. Если сила F действует в опреде-
ленном направлении, то и ускорение а будет
действовать в гом же направпенни.
Необходимо ясно понимать, что всякий
раз, когда мы хотим воспользоваться урав
пением (II) для описания движения тела, мы
должны быть уверены, чго в этом уравне-
нии I по тая (результирующая) си са дес'с
ствуипца.ч на рассматриваемое тело При
этом не существенно, оказывает ли это тело
воздействие на другие тела. Необходимо
липн. знать силы, действующие нсс данное
те то, чтобы рассчитать сто движение.
<1>ш . S. V a i н ссс и ускорение совпадают по
направ и пню; о направ сеспсе ускорения осс-
редс счете ч направлением нотой (резулыпи-
русосца'с) силы при саженной к тесу.
140
5. ( и ui и и 1///1 iuc
d
Фи1.5.4. a aim 1 ас личиной 10 единиц при-
ложена к стене через пружинные весы. о
для из мерения силы, с которой стена воздей-
ствует на пружину. мы заменяем стену вто-
ры ми весами.
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮ ЮНА. Если тело 1
действует па тело 2 с какой-либо силон, то
тело 2 действует на тело 1 с равной прогни
вопо южно направленной си юй. Таким обра-
зом, любая сила всегда встречается в парс
с равной по величине противодействующей
си юй, 1. е
(Ш)
где первый индекс обозначает тело, на ко-
торое действует сила, а второй индекс
тело, оказывающее дейсГвис с данной силой
Важно разобраться, что имеет отношение
к третьему закону, а что нет. Рассмотрим
пружинные весы, прикрепленные к стене
Если мы растянем пружину, весы тарсгист-
рируют силу натяжения; обозначим эту силу
через F и предположим, что ее величина
составляет 10 единиц. Этот случай показан
па фит S.4. и Сотласно выражению (III).
Фит. 5.5. ( и си / при южена к кубикг »»,. Нерс-
дистс.ч т действие лтой силы на кубик т2'
степа будет во (действовать на пружину с
силой F Как мы можем убедиться в пом'
Мы можем заменить действие стены дей-
ствием других пружинных весов. Если те
перь приложить к первым весам такую силу,
чтобы после установления равновесия их
показание стало равно 10 единицам, то вто-
рые весы также растянутся Растягивающую
их силу F можно увидеть на шкале, она
оказывае тся равной 10 единицам (фит 5 4,6).
Точка сцепления двух весов или точка креп-
ления весов к стене (эти две точки эквива-
лентны друг труту и обозначены на фи 5.4
одной и той же буквой .4) неподвижна; сле-
довательно, ускорение равно нулю и ре-
зультирующая сила должна быть равна пу-
лю F F 0. нлп F F
Теперь рассмотрим два кубика, покоящих-
ся на поверхности бел треиич (фит. 5.5).
К кубику т, приложена сила F Если т,
и т, находятся в контакте, передается ди
дейст вис силы F на т22 I рстнй закон т лаент,
что с какой бы силой т1 ни действовало
на т2, с той же силой иь будет действовать
на mt Но третий закон не определяет вели
чину этих сил се можно найти только с
помощью второго закона Общая масса
двух кубиков Ш| -(- т2, а единственная внеш
няя сила равна F следовательно, ускорение
системы двух кубиков составляет
F
а -----------------
т, 4- т.2
Ускорение кубика т,. разумеется, также-
равно а так что си та приложенная к т
и создающая это ускорение, равна
r, F т.
F, т?а-----------*— ,
т2 4- т2
। е. меньше, чем внешняя сила F в
('ffij т,) т2 раз Аналогично ретульгиру
тощая сила, действующая на т,, составляет
F т2
т1 4" т2
Ft т}а
5.3. Третий закон и определение массы
141
1. е. равна сумме внешней приложенной
силы Ь и силы противодействия, приложен
ной к т1 со стороны т2, а именно — F2:
Fj - F — Fz F-----------
m( m2
F m2
m, -|- m2
Подчеркнем важный момент, которым
мы будем часто пользоваться' движение
двух кубиков как единой системы можно
описать, не прибегая к расчету виуipeiiiinx
сил (з. с. сил, действующих между кубика-
ми). Ускорение системы определяется оiно-
шением приложенной внешней сипы к общей
массе системы.
5.3. Третий закон и определение
массы
ОТНОШЕНИЕ МАСС И ОТНОШЕНИЕ
УСКОРЕНИИ. В соответствии с нашей точ-
кой зрения на динамику Ныоюна первый
и второй законы являются, но существу,
лишь определениями, в то время как третий
закон является подлинным физическим за-
коном* Мы рассматриваем соотношение
(III) как физический закон, поскольку оно
позволяет нам, по крайней мере в прин-
ципе. дать точное определение массы. Если
определение массе дано, то ста определи
ется выражением (II).
Предположим, что мы имеем два изоли-
рованных тела, з е два тела, которые взаи-
модействуют только друт с другом и больше
ни с чем. Примером такой системы двух
изолированных тел может служить звезда,
имеющая одну планету. Даже Солнце и
Земля с хорошей степенью точности могут
рассматриваться как система двух «изоли
роваиных» тел. поскольку во многих зада-
чах можно пренебрегать наличием Луны и
друтих планет Можно рассмотреть двух
космонавтов в далеком космосе; если кос-
монавт 1 толкает космонавта 2 с силой F ,.
* Как было сказано выше, это не единственная
интерпретация некоторые авторы предпочита-
ют принять за основу второй закон а третий
закон рассматривают как определение.
то и космонавт 2 толкает космонавта / с
равной и противотю южной силой Сот таено
третьему закону.
^12 ~ — ^21»
где Fi2 обозначает силу, действующую на /
со стороны 2, a F силу, действующую
тта 2со стороны / Используя выражение (II).
мы можем записать
Яц - — т2 а2,
или. рассматривая только численные зна-
чения ускорений.
(5-1)
Следовательно, если бы мы выбрали за
эталон массы (например, взяли бы нлагино-
иридиевый цилиндр, показанный на фиг 2.8).
го могли бы определить т2, измеряя отно-
шение ускорений о, а, (Отрицательный знак
в (5 1) говорит лишь о том, что ускорения
имеют противоположные направления.) Та-
ким образом, если третий закон даст одно-
значный ме т од определения массы, то второй
закон обеспечивает точное определение силы.
ПРИМЕНИМОСТЬ ТРЕТЬЕГО ЗАКОНА
Если между двумя телами А и И существует
взаимодействие, то третий закон Ньютона
требует, чтобы при воздействии А на В
с определенной силой возникала сила проти-
водействия со стороны В на А Рассмотрим,
однако, случай, котла А и В отстоят друг
от друга на расстоянии d и воздействуют
друт на друга благодаря электрическим си-
лам Как известно, электрические взаимодей-
ствия передаются со скоростью света с
- 3 10'” см/с. Следовательно, изменение
силы электрического вогдействия А на В
благодаря изменению состояния или поло-
жения А не достигнет В раньше чем за вре-
мя d,с с момента изменения. Аналогично
противодействие со стороны В достигнет .4
не раньше чем спустя время 2</;'с после пер-
воначального изменения в А Это означает
очевидное нарушение т ретьего закона, кото-
рый требует, чтобы силы были равны и
противоположны во все моменты времени.
Отсюда следует, что третий закон ие можег
применяться в тех случаях, когда для не-
5. Cu.ia и илтуяьс
142
рсдачн действия силы грсбустся конечное
время. Но передача всех основных сил в
природе (см. 1л. 6) происходи! за конечное
время: следова1елыю, третий закон выпол-
няется совершенно строго только в том слу-
чае, когда взаимодействующие тела нахо-
дятся в состоянии покоя, при иом не про-
исходит изменений сил и представление о
времени передачи воздействия оказывается
ненужным. О щако статический случай имеет
ограниченный интерес ведь прежде всего
мы хотим изучать движение Третий закон
ВЫПОЛНЯС1 ся приближенно (но с очень высо-
кой степенью точности), если взаимодейст-
вующие тела расположены 1ак близко друт
к другу, чю воздействие передастся за вре-
мя, практически равное нулю Таким обра-
зом, в тех случаях. koi да между телами
имеется контакт, третий закон можно ис-
пользовать нс опасаясь ошибок. В случае
взаимодейсiвия движущихся электрических
зарядов имею! место существенные откло-
нения от третьего закона, которые необхо-
димо учитывать, чтобы правильно рассчи-
। ыва । ь вза имо действие.
Эффект конечного времени передачи тра-
ки гационнот о взаимодействия двух тел пре-
небрежимо мал, за исключением специаль-
ного случая астрономических объектов, дви
жущихся с чрезвычайно высокими скоро-
стями (гл 11) В случае движения обычных
макроскопических тел отклонения от пред-
сказаний третьего закона нельзя заре!ист
рировать Во всех таких случаях мы будем
рассмагрива гь законы Ньютона как абсо-
лютно 1 очные.
5 4. Систе мы отсчета
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕ-
ТА Законы Ньютона включаю! понятие
ускорения Чтобы измерить ускорение, необ-
ходимо указать систему координат, пли
систему отсчета, относительно которой
производится измерение Не все системы
отсчета одинаково удобны. Если мы намере-
ваемся изучать динамику движения п чане г.
нам не следует выбира т ь сист ему коорднна i,
фиксированную по отношению к Земле;
в такой системе планеты блуждают по зану-
lainiuM траекториям и совершают кажущие-
ся движения, не отражающие действующих
на планеты реальных сил. Таким образом,
в фиксированной по отношению к Земле
системе координат нс существует простою
способа использовать законы Ньютона для
описания движения планет. Однако если мы
выберем систему отсчета, связанную с да
некими звездами, то движение планет в та-
кой системе подчиняется законам Ньютона
Любая система отсчета, в которой законы
Ньютона нрави п.но описывают динамику
движущихся тел называется инерциальной
систе мой отсчета
Для Ньютона необходимость в основ-
ной инерциальной системе отсчета удовлет-
ворялась далекими звездами которые ка
залось, занимали фиксированные положе-
ния в космическом пространстве. Теперь
мы знаем, что эти звезды нс неподвижны, а
находятся в непрерывном сложном движе-
нии.Таким образом, определение инерциаль-
ной системы отсчета оказывается непростой
проблемой Однако для всех исследований,
кроме самых тонких, далекие звезды можно
считать фиксированными и образующими
приемлемую систему отсчета
БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО ИНЕР-
ЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОТСЧЕТА Уда
ленные звезды—это не единственно воз-
можная инерциальная сие тема отсчета. Мож-
но найти много друтих систем отсчета, в
которых законы Ньютона также выполня-
ются Земля совершает сложное движение
относительно далеких звезд. Но если огра
ничиться мелкомасштабными явлениями
происходящими в течение сравнительно ко-
ротких периодов времени, то движение Зсм
ли не окажет существенного влияния на эти
явления Таким образом, во многих практи-
ческих случаях законы Ньютона должны
выполняться в системе координат, связан-
ной с Землей. И действительно, для боль
шинства обычных приложении законы Нью-
тона дают хорошие результаты в системе
координат, связанной С Землей
Предположим, что наша лаборатория раз-
мещена в большом ящике, покоящемся на
поверхности Зем ти Мы запаслись подходя-
щими измерительными линейками, часами
и пружинными весами для проверки законов
Ньютона С помощью различных измерении
мы можем, например, убедиться в том. что
5.5. Масса и вес
144
Если законы Ньютона
справедливы здесь.
законы Ньютона спра-
ведливы также и здесь
соотношение I- та справедливо. Значш,
лабораторная система координат является
инерциальной системой отсчета. Теперь
предположим, что кто-то поместил наш
ящик-лабораторию в поезд, идущий с по-
стоянной скоростью (Предполагается, что
наш ящик нс имеет окон и мы не можем из-
мерить скорость поезда.) Если мы повторим
измерения, которые были выполнены рань-
ше в лаборатории, находившейся в состоя-
нии покоя, то чю обнаружим? Мы получим
те же самые результаты! Законы Ньютона
остаются справедливыми в движущейся си-
стеме отсчета. Причину этого легко устано-
вить. Для измерения ускорения необходимо
измерить интервал времени и разнос ib двух
скоростей:
а=
Если мы сообщим системе координат ско-
рость v (поместив систему в движущийся
поезд), то новые значения скоростей будут
равны v? = v2 + v и v'j «V j -t- V. Следова-
тельно, новое ускорение
V2 — V1 (V2 V) — (Vi -j- V)
a ----------- — ---------------------
/2 — la —
v2 V!
— --------- «1
^2 — H
Фш. 5.6. Рвиженир c постоянной скоростью
не нарушает справедливости законов Нью-
тона.
Таким образом, ускорение, измеренное в
движущейся системе отсчета, в точности
равно ускорению, измеренному в покоящей-
ся системе отсчета*.
Мы можем сделать следующий важный
вывод: если законы Ньютона справед швы
в некоторой системе отсчета, то они оста-
ются справед швы ми в любой другой систе ме
отсчета, движущейся относительно первой
системы с постоянной скоростью. Следова-
тельно, не сущест вует единственной системы
отсчета, которую можно было бы предпо-
честь всем остальным, и любое утверждение
о системе, находящейся в «абсолютном по-
кос», нс имеет смыс ia.
5.5. Масса и вес
ВЕС ЭТО СИЛА. Важно различать по-
нятия массы и веса Масса это свойство
вещества. Масса 1ела является мерой коли-
чества содержащегося в нем вещества. Тело
содержит одинаковое количес во атомов не-
зависимо от тою, находится ли оно на
Земле, на Луне или в космическом нрошран-
* Этот результат сохраняет справедливость
и в теории относительности
144
5. Сим и импулы
ствс Масса тела остается неизменной по
всюду, вес же тела меняется. Вес характери-
зует силу тяжести, действующую на тело.
Тело, обладающее некоторым весом на по-
верхности Земли, будет иметь иной вес на
Луне, потому что сила тяжести, с которой
Земля действует на тело на земной поверх
ности, больше (примерно в 6 раз), чем сила
тяжести, с которой действует Луна на то
же тело на лунной поверхности. В далеком
космическом пространстве, где гравитацион-
ные силы, создаваемые друт ими объектами,
пренебрежимо малы, вес тела будет практи
чески равен пулю.
В общем случае вес тела W связан с его
массой т соотношением
V/ = mg,
(5 2)
тле g ускорение силы тяжести, определен-
ное в том месте где производится измерение.
Из сравнения (5.2) со вторым законом
Ньютона очевидно, чю вес это действи-
тельно сила, поскольку он равен произведе-
нию массы на ускорение.
Часто говорят, что свободно падающий
предмет- невесом (например, космонавт в
кабине космического корабля, движущегося
вокрут Земли, см. пример 4 16). Такое
утверждение, согласно нашему определению
веса, является неправильным. На любой
высоте над поверхностью Земли на тело
действует определенная сила тяжести, сле-
доватвдыто тело обладает определенным
весом. Однако если тело свободно падает
и мы попытаемся измерить его вес пружин-
ными весами (также свободно падающими),
то весы не зарегистрируют силы; свободно
падающее те то будет казаться «невесо-
мым» (фит 5.7, а) Но те же весы, прикреп-
ленные к жесткой опоре, покажут правиль-
ный вес любого тела при взвешивании его
в состоянии покоя (фиг. 5.7, б).
На куб массой 1 кг, покоящийся па гори-
зонтальной платформе, действует сила
F mg 1 кт -9,8 м/с2 9,8 ньютона (Н).
Теперь допустим, что платформа движется
вверх с ускорением а = 5 м/с2. В ттом слу-
чае она действует на куб дополните, зьной
силой, равной 5 Н Следовательно, если
куб пс просто покоится на платформе, а
подвешен на пружинных весах, то в системе,
ускоренно движущейся вверх, весы покажут
9,8 + 5 14 8 Н, и мы могли бы сказать,
что куб «весит» 14,8 Н Но действующая па
Фиг. 5.7. Свободно падающее те ю кажется
«невесомы и».
5.6. Единицы силы
145
куб сила тяжести по-прежнему равна 9,8 Н
Кажущееся изменение веса обусловлено до-
полнительным ускорением куба. (Точно так
же, если платформа движется вниз с тем же
ускорением, «вес» куба будет равен 9.8—5
'-=48 Н)
ДВА ТИПА МАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫ
ЛИ ОНИ? Если засчавигь тело двигаться
с ускорением а по горизонтальной поверх-
ности без । рения, то, согласно второму
чакону Ньютона, к телу будет приложена
результирующая сила F. Тело оказывает
сопротивление этой силе благодаря своей
инерции, или массе. Назовем эту массу
инертной массой и обозначим ее тин, тогда*
F т„„а Наличие или отсутствие силы тя-
жести не влияет на этот результат если осу-
ществить экспсримен ч в области космиче-
ского пространства, свободной о г действия
гравитационных сил, то уравнение будеч
но-прежнему справедливо
Вместе с гем мы знаем, чго сила притяжс
пия тела Землей (т. с. вес) прямо пропорцио-
нальна массе тела [см. уравнение (5.2)].
Эту массу мы назовем гравитационной мас-
сой'. тогда F mlpg. Но эквивалентна ли
гравитационная масса т,Г инертной мас-
се которая входит во второй закон Нью-
тона ? В нашем изложении динамики не тре-
бовалось, чтобы эти две массы были оди-
наковы. Эго вовсе нс связано с тем, что
при кратком изложении мы касаемся лишь
важнейших >тементов динамики. Дело в
том, что еще никем не построена фунда
ментальная теория, которая устанавливала
бы связь между инертной и i равитационной
массами Однако инертную и гравич анион-
ную массы можчю сравччить в эксперименте.
Уже сам Ньючочч инчерссовался этой про-
блемой и продрлал некоторые измерения,
но его эксперименты чю нынешним представ-
лениям быти довольно грубыми. Недавно
были проведены тщательные эксперименты,
которые показали, что если и есть разница
между двумя тинами массы, то она не пре-
восходи ч 10“ 11 Эти экспсримен чы имеют
огромное значение для общей теории отно-
сительности, так как гипотеза о точном сов-
падении инертной и гравичаччионной масс
является одним из основных предположений
этой чсории. Это важнейшее утверждение
носит название принципа эквивалентности.
Когда наша измерительная чехника станет
более тонкой, мы сможем проверить его еще
более точными измерениями.
5.6. Единицы си 1Ы
ЛИНА И НЬЮТОН. Второй закон Ньюто-
на опре.челяст размерность сшы
F = та.
Следова сельпо*,
[F] = [т] [а] = г-см/с2.
В системе СТС единица силы ноенч ччазва-
нне дина-.
1 дина = 1 г-см/с®. (5.3)
В системе СИ
[F] == кг-м/с2;
этой единице присвоено наименование нью-
тон (Н)
I Н — 1 кг-м/с®. (5.4)
Поскольку 1 кг 103 । и 1 м 102 см, связь
между диной и ньютоном такова:
|Н 105 дин. (5.5)
* Закон Ньютона F жа выражается вектор-
ным уравнение .и. Однако во многих задачах нас
интересуют лишь численные значения силы и гс-
корения. Поэтому мы часто будем писать Г =
та. Однако никогда не след сет забывать, что
основное уравнение является век торны м
* Символы в квадратных скобках обозначают
размерность (или единицы измерения) соответст
вуюи/ей величины.
10 779
146
5. Сила и импульс
Пример 5.1
Тело массой 100 г находится в состоянии покоя. На него действует результирующая сила
2000 дин в течение 10 с. Какую скорость приобретет тело? Какое расстояние пройдет тело
за 10 с?
а__^_2000д>щ =20см/с2
т 100 г
Поскольку ускорение постоянно,
v = at — 20 см/с2 • 10 с = 200 см/с,
s = -у at2 - у 20 см/с2 • (10с)2 - 1000 см = 10 м.
5.7. Векторные свойства силы
ЗНАЧЕНИЕ ВЕКТОРНОЙ СУММЫ Что-
бы подчеркнуть векторную природу силы,
рассмотрим несколько простых примеров
и векторных диаграмм В этих примерах мы
по-прежнему пренебрегаем трением.
Фиг. 5.8 иллюстрирует три основных по-
ложения а) для создания ускорения необ-
ходима сила б) силы, приложенные к телу,
могут компенсировать друг друга, тогда
ускорение отсутствует; в) результирующая
сила всегда является векторной суммой от-
дельных сил и может не совпадать по на-
правлению ни с одной из сил.
На фиг. 5.9 показаны еще пять ситуаций.
а. Здесь на тело массы т действуют две
а
Сила F обусловли
ет ускорение а= Т/т
объекта массы т, на-
правление а. совпадает
с направление* К
Сумма двух приложен
них сил равна нулю,
результирующая сила
отсутствует, гшпому
от
А2 Векторная сумма I? и
даетрезультирующую
силуУргз, а значит и
F, ускорение, в направлена
отличштцежр от нала.
силы - сила тяжести W (т. е. вес тела) и
направленная вверх реакция (натяжение)
веревки изображенная в виде вектора Т
Разумеется, веревка также действует на по-
толок с силой, направленной вниз а потолок
действует на веревку с силой, направленной
вверх, но нас здесь интересуют только силы,
действующие на тело, поскольку этими и
только этими силами определяется ускоре
ние тела. Тело находится в равновесии, сле-
довательно, W — Т, и результирующая
сила равна нулю.
б В этом примере масса также находится
в равновесии, так как сила тяжести W урав-
новешена направленной вверх реакцией по-
ла, изображаемой вектором N. (Это — нор-
мальная сила, т. е. сила, перпендикулярная
Фиг. 5.8. Различные примеры действия сил.
а — сила F сообщает массе т ускорение a F т
в направлении силы 6 сумма двух при именных
сил равна нулю, поэтому результирующая сила,
а следовательно, и ускорение равны нулю', в век-
торное сложение F и F, приводит к результиру-
ющей силе Fp а следовате льно. к ускорению а,
направление которых не совпадает ни с F,. ни
<Е
5.7. Векторные свойства силы
Ситуация Действующие силы Векгпфн.я ^иссрлмм^ сил
a f т
Фи! 5.9. Анализ диаграмм сил для пяти раз-
личных ситуаций.
ю-
148
5. Си ia и импульс
поверхности, на которой покоится 1ело.)
Результирующая сита действующая на те-
ло. равна нулю.
в К телу, показанному па фит. 5.9. б,
прикреплена веревка, за которую тянут с
силой F. Масса веревки пренебрежимо мала.
Сила F вызывает натяжение веревки Г На
векторной диаграмме показано сложение
векторов N Т W сумма которых дает
приложенную силу F
т. Ге.то удерживается на наклонной плос-
кости с помощью веревки. Натяжение ве-
ревки Т нормальная сила N и вес W в сумме
дают нуль, так что результирующая сила
отсутствует и тело находится в равновесии.
д. Если удалить удерживающую тело ве-
ревку, го возникает результирующая си та.
которая действует вдоль наклонной плос-
кости и порождает ускоренное движение.
Эта результирующая сита является вектор-
ной суммой N W и равна натяжению Г
на фиг. 5.9, г, взятому с отрицате ьным
знаком. Если эту силу выразить через массу
тела, то легко видеть, что Fpe, IVsinО
= mg sin 0.
5.8. Несколько примеров
РАСЧЕТЫ С ИЗВЕСТНЫМИ СИЛАМИ.
В этом разделе мы приведем три примера,
иллюстрирующих методы расчета ускорений
по известным силам.
Пример 5.2
Две массы т, и т. соединены веревкой (масса веревки считается равной нулю). Масса ти2
может двигаться по плоской поверхности без трения, а масса mt свешивается вниз на ве-
ревке. перекинутой через блок, причем между веревкой и блоком также нет трения Каково
ускорение системы?
Расположение масс и действующие на них силы показаны на чертеже
На пт । действует сила
Гра1 = т£ — Т = т^а.
На ти2 действует сила
рев 2 = =
W, =777/0
W - глд
Результирующая сила, действующая на ти2, равна Т, поскольку N и W компенсируют
Друт друга. Ускорения обеих масс одинаковы, так как соединяющая массы веревка остается
натянутой
Подстановка Т в выражение для Fpe31 дает
mig — m2a = mxa,
или
Wja 4- тга = (т, 4- mJ а _ m^g,
5 8. Несколько примеров
149
откуда находим
О= ----------g
/Hj —|— Шд
К этой задаче можно подойти .по-иному. Прежде всего учтем, что т2 и т2 соединены
натянутой веревкой и, следовательно, могут рассматриваться как единая система. Масса
системы М пу .4 т2; для нее можно записать второй закон Ньютона в виде
^Рез = Л4а
Результирующей силой, действующей на систему, являе1ся сила тяжести, действующая
на т,, т с. m,g. Рассматривая и т2 как единую систему, мы можем не интересоваться
внутренними силами, связывающими элементы системы (в данном случае натяжением
веревки). Веревка остается натянутой, поэтому связь между и т2, которая определяется
длиной веревки, не меняется; блок служит только для изменения направления движения
Следовательно, используя второй закон, получаем
Ма = tr^g,
ИЛИ
a = 2£-g= —5— е'
М ml + mt
т е. тот же результат, что и выше
Всегда проще решать задачу, если все рассматриваемые в ней тела образуют единую
систему. Разумеется, прежде чем предпочесть такой подход к задаче, следует убедиться
в том, что мы действительно имеем дело с системой, которая ведет себя как единое целое.
Пример 5.3
На веревке, перекинутой через блок, подвешены две церавпые массы ти, и т2 (т2 > mt);
масса веревки считается равной нулю С Каким ускорением движутся массы?
150
5. Сила и импульс
В данном случае две массы составляют систему, и мы можем не рассматривать внутренние
силы (натяжение веревки, соединяющей массы).
Поскольку масса т2 больше ш,, результирующая сила равна разности сил тяжести
—nyg. Следовательно,
^рез = Ма’
m^g — rr^g = (т1 + а,
откуда находим
т. — ff»i _
а = —--------g.
«i + m»
Если /И] и т2 почти равны ускорение будет очень малым; действие тяготения будет «ос-
лаблено». Джордж Атвуд (1746 1807) использовал это обстоятельство для определения
значения g путем измерения ускорении в таких системах Ускорения были значительно мень-
ше g поэтому измерить их было гораздо легче, чем ускорение свободного падения Эту
простую систему с блоком иногда называют машиной Атвуда
5.9. Импульс
СИЛА И ИЗМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬСА.
Ньютон прекрасно понимал,, что, кроме
силы, ускорения и массы, существуют и
другие важные физические величины Одной
из таких величии является импульс (Ньютон
называл его «количеством движения»), ко
торый определяется как произведение массы
тела и его скорости. Мы будем обозначать
импульс (который является векторной вели-
чиной) символом р
импульс р ту (5,6)
До сих пор мы считали, что масса тела
остается неизменной. (Однако в законах
Ньютона ие содержится никаких требований
относительно постоянства массы ) На прак-
тике мы встречаемся со многими важными
случаями когда масса изменяется со време-
нем Например ракета приводится в дви-
жение благодаря выбросу массы (обычно
масса выбрасывается с высокой скоростью
в аиле газов), и, следовательно, масса систе-
мы «ракета плюс топливо» уменьшается
со временем*. Ньютон допускал возмож-
ность изменения массы со временем он
первоначально записал в правой части урав-
нения для второго закона не произведение
массы на ускорение, а скорость изменения
импульса
F И F lim Лр .
А/ д/-»о AI
(5.7)
Используя определение р и считая массу
неизменной во времени, мы получаем
_ А (ту) .. Av
F = lim —-—- = tn lim-------,
дг-»о А/ дг-»о Д1
или, используя определение ускорения
F = та. (5.8)
Таким образом, мы вновь получили второй
закон в форме (II). Уравнение (5 7) — это
наиболее общее утверждение, относящееся
к силе В частном случае, когда масса неиз-
менна уравнение (5.7) эквивалентно (5 8)
* Это не означает нарушения закона сохране-
ния массы В данном случае изменяется лишь
масса ускоренно движущегося корпуса ракеты с
заключенным в нем топливом, суммарная же
масса ракеты и выброшенных из нее газов сохра-
няется неизменной
5.9 Импульс
151
Промер 5.4
Спортсмен массой 100 кг прыгает в плавательный бассейн с высоты 5 м За 0 4 с вода умень-
шает его скорость до нуля. С какой средней силой воздействовала вода на спортсмена?
Скорость прыгуна в момент удара о воду (см. задачу 4 9)
v — У 2gh — У 2>9,8м/с*-5 м« 10 м/с.
Следовательно, его импульс при вхождении в воду составляет
Pi = mv = 100 кг • 10 м/с = 1000 кг-м/с.
Конечный импульс р2 0 поэтому средняя сила
F = Ар = Р» _ 0— 1000 кг-м/с _ 2500 н
Д< М 0,4 с
Отрицательный знак показывае г, что тормозящая сила направлена навстречу скорости
движения спортсмена
СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА Покажем те-
перь всю важность введенного понятия им-
пульса. Предположим, что система является
изолированной, т. е. элементы системы взаи-
модействуют друг с другом, ио внешних
сил, в какой-либо мере воздействующих на
элементы системы нет В реальном физиче-
ском мире не существует полностью изоли-
рованных тел, но группу тел, взаимодействие
между которыми значительно сильнее чем
их взаимодействие с другими телами, часто
можно считать изолированной Рассмотрим
нацример две хоккейные шайбы, которые
скользят по льду почти без трения и стал-
киваются друг с другом. На движение каж
дой из шайб слабо влияют силы притяже-
ния со, стороны окружающих предметов и
несколько сильнее — трение, но взаимодей-
ствие между шайбами при столкновении на
столько превосходит все остальные воздей-
ствия, что во многих случаях этими послед-
ними можно пренебречь
Если группа тел образует изолированную
систему то результирующая сила, дейст-
вующая на эту систему, равна нулю По-
скольку F= 0, из уравнения (5.7) следует,
что импульс не должен изменяться во вре
мени, иными словами р const. Это чрез-
вычайно важный результат если к системе
не приложены внешние силы, полный импульс
системы сохраняется во времени
Такова формулировка закона сохранения
импульса. Этот закон выполняется не только
в классических системах, но и в явлениях
изучаемых квантовой механикой
Закон сохранения импульса относится к
полному импульсу системы. Если система
состоит из двух тел с массами т, и т2, то
Р — Pt + Рг — mi + m2v2 — const
(5 9)
Предположим, что две массы находятся в
состоянии покоя причем между ними име-
ется сжатая пружина (фиг 5.10). (Как и в
других подобных случаях массой пружины
мы пренебрегаем) При этом полный им-
пульс системы равен нулю, и, согласно зако-
ну сохранения, он должен все время оста-
ваться равным нулю Если отпустить пру
жину, тела разлетятся в разные стороны со
Фиг. 5.10 Движение масс после освобождения
пружины определяется законом сохранения
импульса
152
5. Сила и импульс
скоростями v, и v2. Следовательно,
= Pi + Pz >
пружина пружина
сжата отпущена
1. е.
т1 VI + ™2 V2 =» °. (5.10)
или, если рассма1рнвать только численные
значения скоростей
V, — т2 v2,
(5.10а)
где отрицательный знак показывает, что
скорости направлены в противоположные
стороны.
Фиг 5.11. Запечатленные в фотоэмульсии
с /еды (треки) частиц и ядер сойдете льству-
ют о сохранении импульса в ядерных процес-
сах.
В верхней части фотоэмульсии зарегистрирован
ядерный распад, вызванный столкновением косми-
ческой частицы с ядром в эмульсии. В резу twname
распада рождается ядро Li®. которое проходит
некоторое расстояние в эмульсии, прежде чем
остановится. Затем ядро L18, будучи радиоактив-
ным. превращается в Be1 испустив fl-частицу
(электрон). Ядро Вс® также неустойчиво, и его
распад подтверждает сохранение импульса. Вс®
распадается на две а-частицы. которые раз tema-
ются в разные стороны от места где находи-
лось ядро Be® двигаясь с равными импульсами в
строго противоположных направлениях (как в ме-
ханическом примере показанном на фиг 5 10)
Равенство длин треков двух а-частиц в эмульсии
является доказате гьством равенства их импуль-
сов. (При распаде Lt -»Ве®-‘2а треки частиц вы-
глядят так. что их называют «Т-образными тре-
ками»)
Пример 5.5
Из крупнокалиберной винтовки, масса которой равна 5 кг, производится выстрел Пуля
массой 15 г вылетает с начальной скоростью 3 101 см с. Какова скорость отдачи винтовки9
5.9. Импульс
153
В соответствии с законом сохранения импульса
— — m2v2,
_ mtva = _ 15 г • 3 • 10*см/с = _ од см/с.
1 ’ т, 5 10» г
Это довольно значительная скорость отдачи, и, если приклад винтовки нс будет крепко при-
жат к плечу, стрелок получит ощутимый удар Если же стрелок крепко, прижмет приклад
винтовки к плечу, то удар амортизирует все тело стрелка В этом случае мы должны исполь-
зовать в качестве массу винтовки плюс массу стрелка. Если его масса равна 100 ki, io
скорость отдачи (теперь уже винтовки вместе со стрелком) составит
vi
15 г • 3 • 10* см/с
5 • 103 г 10* г
4,5см/с.
Такая скорость отдачи вполне терпима
Пример 5.6
В предыдущем примере нам было необходимо знать начальную скорость пули для расчета
скорости отдачи Закон сохранения импульса можно также использовать для решения об-
ратной задачи. Предположим, что мы произвели выстрел 15-граммовой пулей в деревян-
ный куб с массой 10 кг, установленный на тележке, и измерили время, за которое куб про-
шел расстояниех45 см Это легко сделать с помощью двух фотоэлементов н электронных
часов Если измененное время равно 1 с, то какова скорость пули?
Скорость отдачи куба 45 см/с. В соответствии с законом сохранения импульса
mlzjl = т#2.
(Здесь мы не пос авили знак минус, потому что обе скорости имеют одинаковое направ
ление Мы принимаем массу т2 равной 10 кг, т. е. пренебрегаем массой нули, врезавшейся
в куб ) Следовательно,
_ ma v^ _ 10* г 45см/с = 3 . 10& см/с = 300 м/с>
т. 15 г
В этом примере пуля тормозится в кубе до полной остановки и передает свой импульс
кубу. Торможение пули сложный процесс, однако нам нет никакой необходимости вни-
кать в его детали при расчете скорости на основе закона сохранения импульса. Это дей-
ствительно мощный физический закон!
154
5. Сила и импульс
СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА И ТРЕТИЙ
ЗАКОН. Выше мы воспользовались третьим
законом Ньютона, чтобы выразить с по-
мощью равенства (5.1) отношение двух вза-
имодействующих одна с другой масс че-
рез отношение их ускорений. Таким обра-
зом, третий закон позволяет дать определе-
ние массы через кинематические величины.
Соотношение (5 10а), записанное в форме
W1 _ и,
ms vj
показывает, что мы можем использовать
закон сохранения импульса для определения
отношения двух масс путем измерения отно
шения их скоростей. Но закон сохранения
импульса мы получили из уравнения (5.7),
которое является формулировкой второго
закона Ньютона Тогда, может быть нет
необходимости вводить третий закон, един-
ственной задачей которого, по-видимому,
является определение массы, и можно по-
строить всю динамику на основе второго
закона?
Ответом на этот вопрос является катего-
рическое «нет». Причина такого ответа кро-
ется в том, что в действшельности мы ис-
пользовали третий закон для вывода закона
сохранения импульса. Рассмотрим утверж-
дение, которое привело нас прямо к закону
сохранения импульса: если группа тел обра-
зует изолированную систему, то действую-
щая на эту систему результирующая сила
равна нулю. Это утверждение справедливо
лишь в том случае, если выполняется третий
закон. В самом деле, если тело 1 действует
с некоторой силой на тело 2, а тело 2 не дей-
ствует на тело 1 с равной, противоположно
направленной силой, то результирующая
сила, действующая на систему, будет отлич-
на от нуля. Изолированная система не мо-
жет начать двигаться с ускорением сама по
себе. Это обеспечивается третьим законом
в форме закона сохранения импульса.
СОХРАНЕНИЕ ВЕКТОРА ИМПУЛЬСА
Импульс — векторная величина, поэтому
закон сохранения импульса можно приме-
нить к каждой из ее компонент. Иначе гово-
ря, если сохраняется р, то независимо сохра-
няются рх и ру (и pz, если задача трехмерная)
Пример S.7
Установленная на железнодорожной платформе пушка массой 70 000 кг производит вы-
стрел 500-килограммовым снарядом под углом 45° с начальной скоростью 200 м/с. Рас-
считайте скорость отдачи пушки.
Сначала рассчитаем горизонтальную компоненту импульса снаряда
р1х — cos 45° = 500 кг • 200 м/с • 0,707 = 7,07 • 10* кг-м/с.
Эта компонента должна быть в точности равна (за исключением знака) импульсу отдачи
пушки, которая может двигаться только по горизонтали.
р2 = т^2 = — 7,07 10* кг-м/с.
5 10. Момент силы и момент импульса
155
Следова I ельно.
7,07 10* кг м/с
и» —---------------------
7 • 104кг
1 м/с,
или около 3,6 км.ч.
А что произошло с вертикальной компонентой импульса отдачи р1У 7,07 104 кг м с?
Поскольку железнодорожная платформа соприкасается с Землей, вертикальный нмпульс
поглощается Землей. Это приводил к отдаче Земли, но поскольку масса Земли намного пре-
вышает массу пушки, скорость отдачи не поддается измерению.
5.10. Момент силы и момент
импульса
МОМЕНТ СИЛЫ МОЖЕТ ВЫЗЫВАТЬ
ВРАЩЕНИЕ. Если к ручке двери приложить
силу, то дверь можно открыть или закрыть,
при этом происходит ее вращение вокрут
линии дверных петель (фиг. 5.12, а). Но если
ту же силу приложить так, чтобы вектор
силы пересекал линию петель, то вращения
не будет (фит 5.12,6). Сила, которая нс
проходит через ось петель и поэтому может
вызывать вращение, создает момент силы.
Величина этою момента определяется
произведением расстояния от точки прило-
жения силы до центра вращения на компо-
ненту силы, перпендикулярную этому на-
правлению На фит 5 13, а сила F приложена
в точке А, расположенной на расстоянии г
от центра вращения. Вектор силы перпенди-
кулярен линии АВ поэтому момент создает
вся сила:
момент силы Т rF (5.11)
На фит 5.13,6 ни F ни F не создают
момен та от носительно точки В.
Если приложенная сила направлена под
углом к АВ, как на фиг 5.14, то в создании
момента участвует только перпендикулярная
компонента силы El:
T=rF±,
или, поскольку F.— Esin6,
Т- rFsin 6.
(5.12)
(Очевидно, что другая компонента силы Ец
не может вызвать вращения, так как ее на-
правление проходит через центр вращения.)
а б
Фит. 5.12. Приложенная сила вызывает ври
щение двери вокруг линии дверных neme ль (а);
любая сила, направление которой пересекает
шнию петель, не вызывает вращения (б).
Фит 5 13. Момент силы F равен Т rF (а);
сила F приложена к центру вращения, так
что г = 0, поэтому момент силы отсутству-
ет сила F, не имеет компоненты, перпенди-
кулярной линии АВ, поэтому момент силы
отсутствует (б).
156
5. Сиш и импсльс
Определение момента силы не обязатель-
но требует наличия стержня, закрепленного
в центре вращения. Сила F, приложенная к
свободной час1ице массой т (фит. 5.15),
создает момепi Т rF относительно про-
извольной точки -О. Если сила F постоянна
и действует на частицу в течение некоторого
интервала времени, частица будет двигаться
ускоренно, но, поскольку она будет двигаться
в направлении действия силы, момент о i но-
си гелыю точки О будет оставаться неизмен-
ным. (Проверьте это, т. е. покажите, что
произведение Fj_ па расстоянии от т до О
остается неизменным.)
Фиг. 5.14. Момент силы F равен 7 rFsrfiO
Отметим, что 0 - угол между F и прямой, со-
единяющей центр вращения с точкой приложения
си 1Ы.
О
т
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Из законов Ньютона мы получили важный
вывод: если действующая на тело резуль-
тирующая сила равна нулю, то импульс
остается постоянным. Справедливо также
утверж дение, что если действующий на тело
результирующий момент силы равен нулю,
го состояние вращения остается неизмен-
ным. Это приводит к друтому важному за-
кону сохранения, аналогичному закону со-
хранения импульса Для установления этого
нового закона сохранения введем величину,
называемую моментом импульса (моментом
количества движения), которая определяется
как произведение расстояния от тела до оси
вращения на перпендикулярную компонен-
ту импульса (фиг. 5.16, а). Момент импульса
обозначается символом L
L — rp rrnvL rtnv sin 6, (5.13)
где 0 угол между p (или v) и прямой,
соединяющей т и точку на оси вращения О;
следовательно, t)± rsinfi (фиг 5 16. в)
Из фиг. 5.16, г видно, что выражение
для L можно записать в двух эквивалентных
формах: .
------------->^*7
Фиг. 5.15. Момент силы, действующей на
массу т, относительно произвольной точки О
равен Т rF.
L -- rtnv
или
L — r±mv
(5.13а)
где rx = rsinO длина перпендикуляра, опу-
щенного из точки О на продолжение векто-
ра v Следовательно,
157
5.10. Момент силы и момент импульса
L — г sin Ь ти = rmv sin U,
как и в (5.13).
Поскольку линейная скорость г равна про-
изведению г на угловую скорость <в (4 25),
мы можем ввести равенство v = гео в
выражение для момента импульса:
L= mr2iosinO. (5.14)
Вводя момент импульса, мы можем ут-
верждать: если к телу или системе тел не
приложено .мрментов внешних сил, то мо-
мент импульса остается постоянным. Тако-
ва формулировка закона сохранения момен-
та импульса. Этот закон физики хорошо
обоснован; неизвестно никаких исключений
из него или фактов, противоречащих ему.
Закон сохранения момента импульса, как
и закон сохранения импульса, справедлив
нс только в классической, но и в квантовой
механике.
Подобно тому как действующая на тело
сила равна отношению изменения импульса
за некоторый интервал времени к величине
этого интервала [см. соотношение (5.7)],
так и момент силы равен отношению изме-
нения момента импульса к величине соот-
ветствующего интервала времени:
Т — , или Т - liin———— . (5.15)
А/ AZ
Из этого выражения непосредственно сле-
дует такой сохранения момента импульса,
так как при Т 0 /. не меняется во времени.
Следует подчеркнуть, что момент' им
пульса является вполне определенной вели-
чиной, даже если тело нс движется по кри
волинейной траектории. Например, если мас-
Фш. 5.16. Момент импульса относите шно
точки О равен L rmv (а).
б — момент импульса относительно точки О ра
вен нулю; в — момент импу 1ьса относительно
точки О равен L rmy rmv sin 6, г момент
импульса относительно точки О равен L—r^mv —
- rmv sin 6.
са т движется по прямой липни с вектором
скорости v (фиг. 5.16, а), то длина перпен-
дикуляра, опушенного из точки О на эту
линию, все время равна г и, следовательно,
момент импульса относительно этой точки
все время равен L-=mvr (при отсутствии
каких-либо моментов внешних сил) Напро-
тив, на фиг. 5.15 действующий на т момент
силы относительно точки О остается по-
стоянным, и, следовательно, момент им-
пульса относительно точки О равномерно
(т. е. с постоянной скоростью) возрастает
со временем.
Пример 5.8
Шарик массой 100 г прикреплен к концу веревки и вращается по окружности радиусом 100 см
с постоянной линейной скоростью 200 см с Во время твижения шарика веревка укорачива-
ется до 50 см. Как изменяются скорость н период движения шарика?
Начальный момент импульса
L — mvr — 100 г • 200 см/с • 100 см = 2 • 106г-смг с.
158
5. Сим и импульс
Начальный период вращения
2л 2л 2лл 2л 100 см
т = ----=-----=--------= -------------= лс.
ш v/r v 200 см/с
Укорочение веревки не означает действия какого-либо момента силы, так как приложенная
к шарику сила направлена вдоль линии соединяющей шарик с центром вращения. Следова-
тельно, конечный момент импульса равен начальному:
L' — mv'r' = L.
Отсюда найдем конечную скорость:
2 10*г-см*/с =4(Ю см/с.
тг' 100 г 50 см
Новый период вращения
, 2лг 2л 50 см л
т = ------- -----------------С.
v’ 400 см/с 4
Следовательно, уменьшение радиуса в 2 раза увеличивает линейную скорость также
в 2 раза и уменьшает период вращения в 4 раза.
од т уменьшится поэтому угловая ско-
ростью должна увеличиться, чтобы момент
импульса оставался прежним [см (5.14)
Фиг. 5.17. Студент вращается на стуле, дер-
жа в вытянутых руках массивные гантели.
Если он подтянет гантели к себе, то пери-
5.10. Момент силы и момент импульса
159
Пример 5.9
Искусственный спутник массой т движется вокруг Земли как показано на рисунке (но эл-
липтической траектории). Какая иг мгновенных скоростей больше и, (в точке Р) нли г2
(в точке АУ>
Если считать Землю неподвижной и пренебречь влиянием Солнца и других планет, то
момент импульса сну шика относительно Земли будет постоянным. Следовательно,
mv^ — mv2r2.
Поскольку rj < г2, мы должны получить
Скорость спутника максимальна, когда он находится ближе всего к Земле; эта точка назы-
вается перигеем (на рисунке Р). Скорость минимальна в наиболее удаленной от Земли точке
орбиты апогее (Л).
НАПРАВЛЕНИЕ МОМЕНТА ИМПУЛЬ-
СА Момент импульса является векторной
величиной. Численное значение этого вектора
мы уже определили но, поскольку речь идет
о вращательном движении направление век-
тора следует задать особо. Если частица
движется по круговой траектории вокруг
X
Фиг. 5.18. Направление вектора момента им-
пульса совпадает с направлением перемеще-
ния винта с правой нарезкой если винт враща
ется в ту же сторону, что и объект
Если согнутые пальцы правой руки показывают
Направление вращение то отогнутый большой
naieu показывает направление L
т
160
5. Cu.m и импульс
некоторой гонки, то направление вектора
момента импульса принимас!ся совпадаю-
щим с направлением, в котором переме
щался бы виш с правой резьбой, если бы
он вращался в ту же сторону, что и частица
(фиг,. 5.18) Следовательно, при движении
в плоское! и век юр момента импульса пер-
пендикулярен 31 ой плоскости Если частица
движется в системе координат худ в пло-
ское! и \з вокруг начала координат, то ее
векюр момента импульса совпадает с осью z.
Ес1ъ и другой способ запомнить направтс-
ние L если пальцы правой руки согнугы в
направлении движения частицы то отогну-
тый большой палец показывает направле-
ние L
5 11 Сохранение и.ипу и>с а
и открытие нейтрино
«ПРОПАЖА) ИМПУЛЬСА ПРИ БЕТА-
РАСПАДЕ. В физике все! да стремятся гать
по возможности наиболее простое истолко-
вание наблюдаемым явлениям. В этом нам
помо1аю1 различные законы сохранения.
Мы знаем, что при побом физическом
процессе пекогерые величины ие меняют-
ся масса (ючнее, масса-эпер! ия), импульс,
момент импульса В следующих 1 лавах мы
увидим, что сохраняются также и другие
величины. Законы сохранения чрезвычайно
поле ты и служа г ключом к решению mhoi их
фундаментальных проблем физики.
Одним из успехов, дошитутых с приме-
нением принципов сохранения, было о:кры-
тие неуловимой элементарной частицы
нейтрино. При радиоактивном Р-распаде
атомное ядро испускает электрон и прсвра
щается в новое ядро, заряд которого отли-
чается на единицу от прежнего. Например,
радиоактивный С14 (углерод 14) испускает
электрон и превращается в N 4 (азот-14)
(фиг. 3.30) Рассмотрим баланс импу. ьсов
в таком процессе. На фиг 5.19 показано
первоначальное атомное ядро А в состоя-
нии покоя; начальный импульс равен нулю'
р>=0. При распаде испускается электрон
с импульсом р,.. В соответствии с законом
сохранения импульса образовавшееся яд-
ро В должно HCiibiiaib о|дачу и приобрести
импульс ря, равный но величине р,, и на-
п ь 5е
После pa.cna.0a.
’,о, аспада
Фш. 5 19. Ес и/ радиоактивный -распад со-
провождается только испусканием электро-
на и отдачей образовавшегося ядра, то оба
вектора импульсов должны быть равны по
величине и противопо южны по направ lenuio
правлеиный про i ивоположно
до распада
Pi = 0-
после распада
Р/т + Рг = °-
Оба вектора импульсов должны бьпь кол-
линеарны (направлены вдоль одной пря-
мой).
Однако в действительности бы то обнару-
жено, что при p-распаде импутьс электрона
и импульс ядра отдачи в общем случае ие-
коллинеарны (фиг. 5.20). Казалось, что им-
пульс нс сохраняется, поскольку нс наблю-
далось никаких частиц, уносящих «пропав-
ший» импутьс
Дополнительная проблема возникла при
обсуждении вопроса о сохранении мо мента
и мт 1ьса Каждое ядро и каж гая элемеп-
импульс
{нейтрино и)
Фи!, 5.20, В действите гьнпсти при fi-pacnade
было установлено, что импу тс электрона и
импульс отдачи ядра неколлинеариы.
«Пропавшая» часть имт тьса бы ia припш ана ис-
пусканию дополните ной частицы нейтрино.
5.12. Центр масс
161
Протон
Фш 5.21. Спиновый момент, присущий, на-
пример. протону, можно наглядно предста-
вить. связав его с вращате зъны и движением
частицы
гарная частица облалак>1 определенным мо-
ментом импульса. Эют момент можно пред-
ставить как ре«ультат вращательного дви
жения частицы (фиг 5.21), но в действитель-
ности момент импульса частицы является
внутренним ее свойством и не связан с ме-
ханическим движением частицы. Тем не
менее такое представление в силу своей
наглядности оказывается полезным; момент
импульса элементарных частиц и атомных
ядер называется спиновым моментом, или
просто спином При Р-распаде было обнару-
жено, что вектор спина ядра А не равен
векторной сумме спинов ядра В и электрона.
Таким образом получалось, что не сохраня-
ется и момент импульса*.
ГИПОТЕЗА НЕЙТРИНО. Вначале каза-
лось, что не существует приемлемого реше-
ния возникшей дилеммы; в актах р распада,
по-видимому, пе сохранялись импульс и
момент импульса (а 1акже эпер|ия).
Однако законы сохранения играли (и про-
* Было обнаружено также кажущееся наруше
ние закона сохранения энергии С понятием энер-
гии мы познакомимся в гл. 7. Но даже и без вве-
дения этого понятия приведенные выше сообра-
жения достаточно сильны.
II 779
должают играть) столь значительную роль
в понимании физических процессов, что ни
у кого не было желания о гказыва гься от
этих чрезвычайно полезных гакопов. Чтобы
выйти из этого затруднения, Вольфган
Паули в 1930 г предположил что должна
существовать неизвестая дотоле элсмен-
1арная частица, которую мы теперь назы-
ваем нейтрино. Поскольку нейтрино испус-
калось вместе с электроном при Р-распадс,
оно могло уносить с собой недостающие
импульс, момент импульса и энергию. Но
чтобы проделывать все это и избегать обна-
ружения, нейтрино должно обладать нсвс
роятными свойствами — оно не должно
иметь ни заряда, ни массы, почти нс взаимо-
действовать с вещее!вом, по при всем том
иметь импульс, момепi импульса, энергию
и двигаться со скороегыо света!
Нейтрино казалось частицей-привидени-
ем, и многие рассматривали его просто как
трюк, придуманный для спасения законов
сохранения Однако в 1953 г Коуэн и Рейнес
провели серию замечательных эксперимен-
тов, в кот орых пей । рипо было действительно
обнаружено Таким образом, было нс только
восстановлено доверие к законам сохране-
ния, но и открыт путь к исследованию не-
уловимой элементарной частицы, представ-
ляющей ныне большой интерес для физики
высоких энер1ий и астрофизики.
5.12. Центр масс
ОСОБАЯ ТОЧКА СИСТЕМЫ. Мы изло-
жили законы сохранения импульса и мо
мента импульса для отдельных частиц
Каково же значение этих законов для сово-
купностей частиц (систем) или для макро
скопичсских тел? Чюбы применять законы
сохранения без О1рапичепий, следует отыс-
кать ту точку тела или системы тел, которая
всегда движется в соответствии с законами
сохранения Такая точка называется центром
масс системы. Рассматривая приложения
законов сохранения к движению системы
тел, мы до тжны rjcei да иметь в виду движе-
ние центра масс системы.
РАСЧЕТ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС.
Для простой сишемы, состоящей из двух
162
5. Сила и импульс
Фиг 5.22. Две неравные массы сбалансирова-
ны относительно точки опоры.
частиц, рассчитать положение центра масс
можно следующим образом. Предположим,
что обе массы связаны жестким стержнем,
масса которого равна нулю (фиг. 5.22). Эту
систему можно сбалансировать относитель-
но некоторой точки опоры О, которая соот-
ветствует центру масс Поскольку вращение
сисгемы вокруг точки О отсутствует, момент
силы тяжести, действующей на относи-
тельно точки О равен моменту силы тяжести
действующей на wj2« относительно юй же
точки О'
m,gr, m2gr2,
или
miri m2r2 — m2(K г,), (5.16)
где R = 1-! ; r2 — расстояние между т, и т2.
Положение центра масс двух частиц все-
гда можно рассчитать по формуле (5.16).
Лет ко вывести формулы для расчета положе-
ния центра масс систем, состоящих из трех
и более частиц, или для твердых тел, по
они сложнее и здесь нам не потребу-
ются.
Фит 5.23. Стробоскопическая фотография
(Унижения гаечного ключа, скользящего по
гладкой поверхности и вращающегося вокруг
своего центра масс.
Положение центра масс отмечено черным крес-
тиком Проверьте с помощью линейки, что центр
масс движется прямолинейно в соответствии с
законами Ньютона, хотя ключ как целое совер
шает сложное движение
ЦЕНТР МАСС И ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
Следующие утверждения показывают важ-
ность понятия центра масс:
1 В отсутствие внешних сил центр масс
системы движется с постоянной скоростью
2 . Если к системе как к единому целому
приложена сила F, то центр масс приобре-
тает ускорение а = ViМ тде М общая
масса системы.
3 В отсутствие моментов внешних сил
полный момент импульса системы относи
тельно се центра масс остается постоян-
ным
Вопро ы
163
Основные выводы
За исключением тел, твижущихся со скорос-
тями, близкими к скорости света, и явлений
микромира, законы Ньютона дают практи-
чески точное описание динамики физиче-
ских систем.
Если законы Ньютона справедливы в не-
которой сиоеме отсчета, то они сохраняют
свою справедливость в любой другой систе-
ме отсчета, движущейся с постоянной ли-
нейной скоростью опюсигельно первой
Тело приобретает ускорение только под
действием приложенной силы. Сила опре-
деляется скорое 1ью изменения импульса.
Движение тела oi редетястся результи-
рующей силой, действующей на тело, и не
зависит от сил, с которыми это тело во {дей-
ствует па дру| ие тела.
Масса внутреннее свойство вещества;
нес - си ia тяжести, действующая на тело.
В соответствии с принципом эквивалент-
ности гравитационная и инертная массы
эждес воины.
Сила, импульс и момент «импульса
векторные величины.
Если к системе не приложено внешних
сил, импульс центра масс системы остается
постоянным во времени.
Если к системе не приложены моменты
внешних сил, момент импульса сишемы
относительно центра масс остается постоян-
ным во времени.
Вопросы
5.1. Объясните, как опытному рыбаку удается вытащить на берег 50-килограммовую рыбу при по-
мощи лески, которая имеет прочное 1ь на разрыв всего 5 ki. Использует ли рыбак только леску для
того, чтобы вьп ащи гь рыбу из воды и подия гь ее в лодку?
5.2. Тяжелый груз подвешен к потолку на веревке Снизу к грузу привязана такая же веревка Какая
из веревок разорвется: а) если равномерно тянуть за нижнюю веревку; б) если ре <ко дернуть за нижнюю
веревку’ Объясните результа!
164
5. (uia и имп\ u>(
5.3. Перечислите операции управления автомобилем (их минимум четыре), которые при их осущест-
влении moiут заставить пассажира изменить положение относительно сидения Какова природа
ускорений, вызываемых каждой из операций?
5.4. Ракета движется с постоянной скоростью в космическом пространстве Когда включается раке1-
ный двигатель, ракета начинает двигаться с ускорением. Обьяснию, почему это возможно, - ведь
вокруг ракеты нет предметов, которые могли бы действовать на нее какими-либо силами.
5.5. Каков принцип действия безоткатною орудия?
5.6. Зависит ли отдача винтовки при выстреле oi того. имеет канал ствола нарезку или он гладкий?
(Нарезка придает пуле вращательное движение.)
5.7. Колесо может свободно вращат ься в i оризопталыюй плоскости вокруг вертикальной оси, укреп-
ленной в земле. На ободе колеса сидит кошка.
а Колесо неподвижно. Кошка начинает бежать по ободу. Что произойдет с колесом и почему9
б Колесо вращается с постоянной скоростью вместе с кошкой, которая сидит в определенной точке
обода. Кошка начинает идти к оси колеса Ч го произойдет с колесом и почему9
5.8. Рассмотрите табуретку, сидение контрой может свободно вращаться относительно опоры в
центре На табуретке сиди г мальчик и держи! вращающийся волчок, ось которого вертикальна
табуретка неподвижна Что произойдет, если мальчик внезапно остановит волчок?
5 9. Можно ли сконструировать вертолет только с одним винтом9
5.10. Каково преимущество крученого удара, заставляющею футбольный мяч вращаться вокру!
своей оси?
5.11. Ар1иллерииское орудие производит выстрел Во время полета снаря i взрывается и разлета
ется на множество осколков. Ч1о можно сказать о движении осколков снаряда9 (Рассмотрите траек-
торию центра масс осколков снаряда.)
Задачи
5.1. Шар, привязанный к веревке длиной 1 м, движется по окружноши в вертикальной плоскосги
с посюянной скоростью Каков должен быть период движения шара, чтобы он оказался невесомым
в верхней точке окружности? («Невесомость» здесь означает, что натяжение веревки равно нулю,
но веревка еще остается прямой.)
5.2. Человек массой 90 кг стоит на весах в циф|е. Лифт начинает опускаться с ускорением 1.5 м/с2
Каковы показания весов9 Что покажут весы, если тифг начнет подниматься с ускорением 0,9 мс2?
5.3. Сила 20 Н заставляет перемещаться по шероховатой поверхности предмет массой 10 кг Прел
мет движется с ускорением 1,5 м/с2. Какова сила трения между предметом и поверхностью? (Резуль-
тирующая сила, действующая на предмет, равна разности приложенной силы и силы трения )
5.4. Две силы, одна ит которых в 2 раза больше другой, действуют на предмет (»> 100 >) в одном
н том же направлении и сообщают ему ускорение а 3 м/с2 Какова величина каждой из сил9 Если
меньшую из chi устранить, каково будет новое ускорение предмета9
Задачи
165
5.5. Тело массой 100 г покоится в начале системы координатх.у. В некоторый момент времени к нему
прилагаются две силы: 250 дии в направлении +у и 500 дин в направлении Ч-x. Опишите движение
тела.
5.6. Ку 5 массой 1 кг скользит по горизонтальной поверхности под действием силы 2 Н направление
которой составляет угол 45* с горизонтом. Каково ускорение куба, если его движение тормозится
силой трения, равной 0,5 Н ?
5.7. Куб массой 40 кг движется по шероховатой поверхнос т и В некоторый момент времени скорость
куба составляет 2 м/с. Если куб равномерно замедляется под действием силы трения и останавлива-
ется через 40 м. то какова средняя сила трения?
5.8. Маятник состоит из шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 1 м. Шарик отводится
в сторону, так что нить составляет угол 30г с вертикалью, и затем отпускается. Построй те диат рамму
сил в момент, когда шарик отпускается. Каково начальное ускорение шарика? (Найдите его числен-
ное значение и направление.)
5.9. При выстреле из винтовки на нулю массой ти—10 г действует сила 3 • 108 дин в течение 1 мс(10 Зс).
Какова начальная скорое?ь пули?
5.10 Пожарный шланг выбрасывает 50 кг воды в секунду со скоростью 40 м/с. Какую силу должен
приложить пожарный, чтобы держать шланг неподвижно?
5.11. Мяч массой т 100 г брошей в стену со скоростью 10 м.'с и отскакиваег от нее с той же (по ве-
личине) скоростью. Если мяч находился в контакте со стеной в течение 1 мс, то какова средняя сила,
с которой стена действовала на мяч? (Найдите численное значение и направление силы )
5.12. Предположим, что в примере 5.6 пуля пробила слой гревссины толщиной 10 см, причем скорость
пули равномерно уменьшалась до нуля Сколько времени прошло до остановки пули9 С какой средней
силой воздействовала древесина на пулю?
5.13. В ковбойских фильмах злодея часто сбивает с йог единственный выстрел из винтовки героя
Крупная пуля калибра 9 мм имеет массу около 10 г и начальную скорость 4-10* см/с. Какой будет
скорость отдачи среднего мужчины при попадании в него такой пули? Возможно ли, что он будет
сбит с йог?
5.14. Предмет массой 100 т движется в направлении х со скоростью 45 см/с; второй предмет массой
200 г движется в направлении у со скоростью 15 см/с. Предметы сталкиваются и слипаются друг
с другом. Опишите последующее их движение.
5.15. Орудие массой 1000 кг установлено на тележке и покоится на плоской поверхности. Какова
будет скорость отдачи орудия при выстреле снарядом массой 10 кт в горизонтальном направлении
с начальной скоростью 200 м/с9 Если орудие закрепить неподвижно на палубе судна массой 2 • 10 кг.
плывущего со скоростью 10 км/ч, и произвести выстрел по ходу судна, какой будет скорость судна
после выстрела?
166
5. Си т и и.мпу./ьс
5.16* . Двое ребят (масса каждого т 30 кг) скользя! по льду на досках (масса каждой т I кг). Ребя
та движутся параллельно друг другу с одинаковыми скоростями г 3 м/с. Каждый из них держит
камень массой 2 кг и бросает его товарищу со скоростью 10 м с, а тот ловит камень Опиши ie после-
дующее движение ребят (Трением между досками и льдом можно пренебречь.)
5.17. 10-кило!раммовая тележка движется по горизонтальной поверхности с постоянной скорошью
2 м/с. Ком глины массой 2 кг падает в тележку с высоты 4 м и прилипает к ее дну. Опишите после-
дующее движение. Что произошло с вертикальным импульсом?
5.18. Предме! (т — 350 г) покоится в начале некоторой системы координат. Взрыв изнутри разрывает
его на три осколка. Один осколок (ти, 100 г) легит в направлении х со скоростью 5 м.с. Второй
осколок (ти2 200 г) летит в направлении у со скоростью 2,5 м.с Каковы скорость и направление
движения третьего осколка?
Выход в открытый космос.
6 Основные силы
в природе
6.1. Гравитационное взаимодейст-
вие
6.2. Движение планет
6.3. Измерение G
6.4. Электростатическое взаимо-
действие
6.5. Ядерные (сильные) и слабые
взаимодействия
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В повседневном опыте мы встречаемся с разнообразными силами Чтобы открыть дверь,
надо приложить мускульную силу и преодолеть силу трения в дверных петлях и упругую
силу дверной пружины. Мы наблюдаем силы, с которыми атмосфера давит на барометр
и Земля действует на Луну. Электрическая сила запускает двигатель вашего автомобиля
гидравз ическая сила работает в его тормозах, а если вам не повезло и вы наехали на фонар-
ный столб, то своей остановкой вы обязаны механической силе. Однако, несмотря на разно-
образные названия, которые мы даем полезным или вредным силам, существуют лишь два
основных вида сил, управляющих поведением предметов в повседневной жизни, — грави-
тационные и электрические силы (или взаимодействия). Все перечисленные выше силы -
лишь разные проявления этих двух фундаментальных взаимодействий.
В настоящей главе мы подробно рассмотрим гравитационные взаимодействия и ге элек-
трические взаимодействия, которые существуют, когда заряды находятся в покое, т. е.
электростатические силы Названных взаимодействий, однако, недостаточно для описания
ядерных яв гений. Исследование процессов с участием ядер и э гементарных частиц показало,
что в природе существуют взаимодействия еще двух видов так называемые сильные,
или ядерные, и слабые. Гравитационные и электростатические взаимодействия — дазьнодей-
ствующие (т. е их действие заметно на больших расстояниях) По этой причине именно они
и ответственны за все крупномасштабные, макроскопические явления начиная от явлений
повседневной жизни и кончая происходящими в далеких звездах и галактиках. Ядерные и
слабые взаимодействия имеют чрезвычайно короткий радиус действия, поэтому вызывае-
мые ими явления заметны лишь в масштабах ядерных размеров. Тем не менее эти силы имеют
для нашею существования первостепенное значение. Жизнь на Земле поддерживается
благодаря солнечному свету, а сам он является конечным результатом ядерных процессов
происходящих в глубинах Солнца.
Таким образом ни одно из названных четырех взаимодействий не является излишним.
Все они в равной мере необходимы для «нормального функционирования» Вселенной Разу-
меется, нельзя исключить возможность того, что природа устроена сложнее, чем мы думаем
но по крайней мере па сегодняшний день мы знаем четыре т ипа сил, или взаимодействий,
гравитационные, электрические, сильные и слабые. Ге процессы, которые мы наблюдаем,
по-видимому, не требуют привлечения еще какого-либо типа сил* Любопытно, что природе
удалось построить всю Вселенную, используя всего лишь четыре основных типа сил
6.1. Гравитационное
взаимодействие
ВЫЧИСЛЕНИЯ НЬЮТОНА Мы знаем,
что ускоренное движение предмета возника-
ет лишь под действием приложенной к не-
му силы. Гравитационная сим (сила тяже-
сти) придает ускорение 9,8 м/с2 телам,
свободно падающим у поверхности Земли
Эта" сила действует на Земле, но мы могли
бы задаш вопрос является ли Земля тем
единственным местом, где существует сила
тяжести, или же эта сила действует во всей
* Согласно одному из вариантов общей теории
относительности до зжны существовать гра-
витационные силы двух типов однако этот вывод
не получил ско зько нибудь убедительного экспе-
риментального подтверждения
Вселенной? Аналогичный вопрос возник у
Ньютона, но он не располагал среде i вами
для выяснения, в какой мере универсально
тяготение, по крайней мере за пределами
Солнечной системы. Поэтому Ньютоп вы
брал для изучения систему Земля — Луна.
Он предположил, что сила, удерживающая
Луну на ее орбите около Земли, — это та же
сила, которая притягивает тела вблизи по-
верхности Земли. Из проведенных до нею
триангуляционных измерений Ньютон знал
что расстояние от Земли до Луны гл пример-
но в 60 раз превышает радиус Земли
который сошавляет около 6400 км (фиг 6 1),
откуда гд « 380 000 км. Ньютону также был
известен период обращения Луны вокруг
Земли г 27,3 сут. Для поддержания дви
жения по орбите Луна должна испытывать
170
6 Основные силы в природе
Земля 9
д=8$м/сг
rm к 384000км
ац -0,0027м/с^
Луна
и-1,02 км/с
Фиг 6.1. Центростремительное ускорение
Луны на орбите обусловлено гравитационным
притяжением Земли.
центростремительное ускорение, равное от-
ношению квадрата ее линейной скорости к
радиусу орбиты, вц = н2/гл. Линейная ско-
рость Лупы
V длина окружности орбиты
период обращения
2лг __ 2л 380 000 км
z 27,3 сут - 86 400 с/сут
— 1,02 км/с.
Следовательно, центростремительное уско-
рение Луны
ог_(1,02 км/с)2
гл 380 000 км
= 0,0027 м/с2.
Это ускорение меньше ускорения силы тя-
жести у на поверхности Земли в
g 9,8 м/с2
аи 0,0027 м/с2
« 3600 раз.
Закон, но которому уменьшается какая-
либо величина при ее изотропном распреде-
лении в пространстве без поглощения (на
пример, свет, см. фиг. 3.4), это закон
обратной пропорциональности квадрату
расстояния, т е. ~ 1/г2.
Ньютон предположил, что травитацион-
ная сила, подобно освещенности, ослабе-
вает пропорционально квадрату расстояния
Поэтому если Луна находится от цешра
Земли в 60 раз дальше, чем тело на поверх
ности Земли, то гравитационная сила и тем
самым ускорение для Луны должны быть
меньше в (60)2 раз, т е. в 3600 раз. Как раз
такое значение и имеет отношение g'a„.
Хотя рассчи! энное и наблюдаемое зна-
чения совпали, подтверждая тем самым ги-
потезу Ньютона, нужно обратить внимание
еще на два обстоятельства.
1 Ньютон приня t, что 1 равитационная си-
ла обратно пропорциональна квадрату рас
стояния между взаимодействующими тела-
ми Это предположение дало правильный ре-
зультат для системы Земля -- Луна, но не
было никакой гарантии, что оно будет спра-
ведливо и для других систем с иными рас-
стояниями между телами. Ньютон применил
предположение о законе 1/г2 к движению
других планет спутников Солнца и на-
шел, что оно по-прежнему выполняется.
Позднее было выяснено, что закону тяготе-
ния Ньютона подчиняются и двойные звез-
ды (т. е. две звезды, обращающиеся одна
вокруг другой) Поэтому представляется ве-
роятным, что гравитационная сила изменя-
ется по закону 1/г2 во всей Вселенной Пока
нс удалось найти никаких исключений из
этого закона (гм., однако, замечания в конце
раздела 6.2).
2. При сопоставлении значения центро-
стремительного ускорения аи Луны со зна-
чением g оба расстояния отсчи i ывались
от центра Земли. Когда Ньютон проводил
свои вычисления (в 1666 г ), он не мог обос-
новать выбор точки отсчета и воздержался
тогда от опубликования полученных им ре-
зультатов. Ньютоновский закон всемирного
тяготения увидел свет только в 1687 г.,
после того как Ньютон разработал матема-
тический аппарат (дифференциальное исчис-
ление), позволивший ему обосновать сде-
ланные ранее вычисления С помощью этого
аппарата Ньютону удалось доказать, что
если массу каждого из двух однородных тел
6 1. Гравитационное взаимодействие
171
Фиг. 6.2. Шаровое звездное скопление в созвез-
дии Геркулеса.
Тяготение сп ютило в этом скоплении сотни ты-
сяч звезд. Ричард Фейнман, лауреат Нобелевской
премии по физике за 1965 г., сказал, что «нужно
быть лишенным воображения чтобы не видеть
здесь работы тяготения».
сферической формы считать сосредоточен-
ной в центре тела, то тела будут приши-
ваться друг к другу с силой, меняющейся
точно по закону 1/г2 Этот важный резулыат
явился ключом к закону тяготения, он по-
зволил проводить все расчеты грави! анион-
ных сил, принимая, что массы тел сфериче-
ской формы, — а такова форма Земли и
Луны, сосредоточены в их центрах.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ Ре-
зультат, полученный Ньютоном, выражает-
ся следующим законом: гравитационная си-
ла, с которой притягиваются друг к другу
две частицы (или два тела сферической фор-
мы) обратно пропорциона юна квадрату рас-
стояния между их центрами и прямо про-
порциональна произведению их масс*'
г „ mt т„
Л-р - .
r
(6.1)
где множитель пропорциональности G на-
зывается гравитационной постоянной. Зна-
чение G равно (см. раздел 6 3)
0 = 6,673 10-11 Н м2/кг2 (система СИ)
(6-2)
G = 6»673-10 8 дин см2/г2 (система СГС).
Пример 6.1
С какой силой Земля притягивает Луну?
Из табл. 2.3 и 2.6 (или из таблицы астрономических данных, приведенной на обложке
книги) находим следующие значения
гл 3,84 • 10е м, тл = 7,35 . 1022 кг, т3 = 5,98 - Ю24 кг
* Ест теш имеют столь большие размеры, чпю их уже не гьзч рассматривать как точечные час-
тицы. и iu же они не имеют сферической формы то выражение д.сч силы притяжения принимает
более сложный вид. дл.ч вывода которого приходите я считать тела состоящими из большого числа
точечных частиц.
172
6. Основные силы в природе
(3,84 10е м)«
Отсюда по формуле (6.1) находим
„ „ тл т3 „ „ „ 7,35 1022 кг • 5,98 - 102* кг
Лр = G—y = 6,67 • 10-“ Н-м2/кг2 •
Qi
= 2,0-1020 Н — 2,0 • 1025 дин.
Тот же результат можно получить, используя вычисленное выше значение центростре-
мительного ускорения Луны. Сила, действующая на Луну, равна произведению ее массы
на ускорение, т. е.
= тл аи - 7,35 • 1022 кг • 2,7 • 10"» м/с2 « 2,0 . 10м Н.
ГЕОСТАЦИОНАРНЫЕ ИСКУССТВЕН-
НЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ Одним из са-
мых выдающихся достижений последнею
времени в области связи являе1ся создание
системы искусственных спутников Земли,
неподвижно висящих над определенными
точками земною экватора Такие геостацио-
нарные спутники несут ретрансляционное
оборудование, позволяющее устанавливать
многоканальную связь между континентами
(фиг. 6.3).
Высота, на которой должна раснолат а гься
над Землей орбита таких спутников, опреде-
ляется тем, что период обращения сну ти-
ков должен в точности совпадать с периодом
собственного вращения Земли. При этом
условии Земля и спутник будут вращаюся
с одинаковой угловой скоростью, и спутник
будет занимать постоянное (стационарное)
положение относительно Земли.
Фиг. 6.3. Геостационарные спутники по-
зволяют установить УKB-радиосвязь между
уда ленными точками земной поверхности
Без спутников подобная связь невозможна из-за
того что такие радиоволны распространяются
в пределах прямой видимости.
Линейная скорость спутника зависит от
его расстояния до центра Земли но формуле
2л/?
V —--------
т
(6.3)
1де т — период обращения, равный 1 су г.
Пент ростремительное ускорение спутника
_ v2 _ (2л/?/?)2 _ 4л2/?
Оц ~R R т2
Сила тяю1ения Е,р, действующая на спут-
ник массой т со стороны Земли, сообщает
ему ускорение
гр г
О= —(6.4)
Мы знаем, что на поверхности Земти (для
которой R R-j 6400 км) ускорение спут-
ника было бы равно точно g:
frp г М.з
S = — = G~„2
m °3
Поделив (6.4) на (6.4a), мы получаем
g R2
(6.4а)
(6.5)
173
6.2. Движение планет
Фш. 6.4. Спутник связи Синком, впервые вы-
веденный на орбиту в 1963 г.
Этот рисунок, имитирующий реальную карти-
ну показывает, как с помощью ракетного двига-
теля спутник переводится с орбиты запуска на
геостационарную орбиту.
Спутник обладает лишь центростреми-
тельным ускорением. Поэтому, подставляя
вместо а в (6.5) аа т (6.3), находим
4л2/?
fg R2 '
откуда
03 /А АЗ
4л2
Используя значение г 1 сут 86 400 с и
значения g и Л3, получаем, извлекая из (6 6)
кубический корень,
Г (86400с)2-9,8м/
* —I 4л2
(6400 км)2 ~|‘Л
— 42300 км.
Таким образом высота спутника нал по-
верхностью Зем и
Л=Я—/?3-42 300 — 6400 =
= 35 900 км.
Спутник, выведенный на экваториальную
орбиту, расположенную на такой высоте
над Землей будет геостационарным. (Дви-
жение спутника, выведенного на орбиту
той же высоты, но не экваториальную, явля-
ется предметом вопроса 6.1.)
6.2. Движение планет
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА Между 1609 и 1611 гг.
Иоганн Кеплер (фиг 1 3) сформулировал
три своих знаменитых закона движения пла-
нет Выводы Кеплера основывались на про-
веденном им анализе многочисленных дан-
ных о движении планет, относящихся, в
частности, к движению Марса, полученных
Тихо Браге (фиг 1 2) в результате много-
174
6. Основные си 1ы в природе
Фш. 6.5. Во 1 ножные конические сечения
летних наблюдений. (Как Кеплер оценивал
расстояния до планет, см. в разделе 3.1.)
Законы Кеплера гласят-
I. Движения планет происходят по эллип-
сам, в одном из фокусов которых находится
Солнце.
II Линия, соединяющая планету и Солн-
це, «заметает» равные площади за равные
интервалы времени.
III. Период обращения планеты г и ее
расстояние от Солнца R связаны coo i ноше-
нием Р3/т2 const, причем постоянная име-
ет одно и то же значение для всех планет.
Мы обсудим только законы I и III
ПЕРВЫЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА Изучив дан-
ные о положении планет и использовав гео-
метрические построения, Кеплер о i крыл,
чю орбиты планет представляют собой
эллипсы (близкие к окружностям). Ньютон,
используя более сложный математический
аппарат, смог доказать более общий резуль-
тат, а именно, что все тела, взаимодействую-
щие с силой, пропорциональной 1/т2, дви-
жутся по орбитам, которые представляют
собой конические сечения. При пересечении
конуса плоскостью возникают кривые четы-
рех типов (фиг. 6.5). Если плоскость пере
секает конус под прямым углом к его оси,
в сечении образуется окружность. Если угол
пересечения не равен 90 , возникает эллипс.
При изменении угла пересечения наступает
момент, когда п юскость становится парал-
лельной одной из образующих конуса, при
этом в сечении возникает парабола. При
дальнейшем изменении угла между плос-
костью и осью конуса образуеюя ипербо а.
Поскольку окружность и парабола возни-
6.2. Движение планет
175
кают только при определенных утлах пере-
сечения плоскости и конуса, эти кривые мож-
но рассматривать как частные случаи соот-
ветственно эллипса и гиперболы. В природе
в общем нет таких орбит, которые были бы
точно круговыми или параболическими, хо-
тя в ряде случаев форма орбит чрезвычайно
близка к названным кривым Например,
из орбит всех планет орбиты Венеры и Неп-
туна наиболее приближаются к круговым.
Существует и другое определение эллип-
са, на котором основывается простой метод
его построения Выберем две произвольные
точки F, и F2, являющиеся фокусами эллипса
(фиг 6 6) Воткнем в эти точки две булавки
и закрепим в них концы нитки (длина ее
должна быть несколько больше расстояния
между Fj и F2). Затем зацепим нитку отто -
ченным концом карандаша так, чтобы она
натянулась. Из фиг. 6 6 видно, что острие
карандаша будет находиться на расстояниях
г, от FI и г2 от F2. Если теперь начнем пере-
мета гь карандаш по бумаге гак, чтобы нит-
ка все время оставалась натянутой, то в ре-
зультате карандаш опишет на бумаге эллипс.
Соответствующее определение 1ласит, что
эллипс — это кривая, для всех точек которой
сумма г, 4- г2 имеет одно и то же значение,
здесь г, и г2 — расстояния от данной точки
кривой до фокусов эллипса.
Кеплер описал орбиты планет как эллип-
сы, в одном из фокусов которых находится
Солнце. (Второй фокус в случае движения
планет не имеет физического значения ) Бо-
лее тщательный анализ показал, что в одном
из фокусов располагается не центр Солнца,
а центр масс системы Солнце — планета.
Однако, поскольку Солнце много массивнее
любой плане гы Солнечной системы, иешр
масс системы, образованной Солнцем и лю-
бой планетой, лежит очень близко к центру
Солнца
Эллипс представляет собой общую форму
траектории тела, совершающею связанное
движение, г е. такое движение, при котором
два тела связаны их взаимным гравитацион-
ным притяжением и не могут покинуть дру1
друга Общей формой траектории тела, со-
вершающею свободное движение, является
юпербола. Например, если две звезды, не
входящие в общую систему движутся на-
встречу друг другу (фи! 6 7), то их траек-
Фш. 6.6. Эллипс представляет собой геомет-
рическое место точек, дзя которых г,+г2
const (к их числу принадлежит, например,
точка А).
Оа большая и ОЬ — малая полуоси э-иипса
Фит 6.7. Гиперболические орбиты двух «гта. :
кивающихся» звезд между которыми дейст-
вуют гравитационные силы.
Показаны положения и векторы скорости обеих
звезд в моменты времени lIt t2 и t3. Положение
центра масс (Ц. М ) системы звезд остается не-
изменным.
176
6. Основные силы в природе
Таблица 6.1. Характеристики планет
Название планеты Большая полуось орбиты, А. Е. Период обраще- ния, годы Масса по сравне- нию с массой Земли Диаметр по срав- нению с диамет- ром Земли
Меркурий 0 387 0,241 0,054 0,37
Венера 0 723 0,615 0,814 0,96
Земля 1,000 1,000 1,000 1,00
Марс 1,524 1,880 0,107 0.52
Юпитер 5,204 11,865 317,4 10,95
Сатури 9,580 29,650 95,0 9,13
Уран 19,141 83,744 14,5 3,73
Нептун 30,198 165,95 17,6 3,52
Плутов 39,439 247,69 0,18 0,47
тории относительно общего центра масс
оказываются гиперболами. При этом сам
центр масс, конечно, перемещается в про-
странстве с постоянной скоростью. Если в
какой-либо момент этот центр масс покоит-
ся по отношению к некоторой системе от-
счета, то он будет оставаться в покое и далее
до тех пор, пока на обе взаимодействующие
звезды не подействует какая-нибудь внешняя
сила.
ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА Для искусст-
венного спутника, движущегося относитель-
но Земли по круговой орбите радиуса R, мы
получили соотношение (6.6)
pgRl
Rs=-^-
4л»
Точно такое
для планет
если в (6.6)
ние gc, создаваемое силой тяжести на по-
верхности Солнца, а вместо Дз —радиус
Солнца Rc. Величины gc и Rc — констан-
ты, так что мы имеем
же соотношение получится и
движущихся вокруг Солнца,
вместо g подставить ускоре-
— = const. (6.7)
где постоянная одинакова для всех планет
Это и есть третий закон Кеплера
Этот закон был выведен нами для случая
движения по окружности, но он справедлив
и для движения по эллипсу, если под R по-
нимать длину большой полуоси эллипса
(фиг. 6 6).
ИЗМЕНЯЕТСЯ ЛИ СИЛА ГРАВИТАЦИ-
ОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ТОЧ-
НОСТИ КАК 1/г2? Мы пользовались зако-
ном всемирного тяготения Ньютона, со-
1ласно которому гравитационная сила ме-
няется с расстоянием в точности как 1/г2
Но в какой степени мы можем быть уверен-
ными в том, что показатель степени г равен
точно 2, а не 2,000 001 или 1,999 999? Про-
верить это, причем с высокой чувствитель-
ностью, можно, наблюдая за движением
планет.
Ньютон показал, что если гравитационная
сила меняется с расстоянием в точности
как 1 г2, то эллиптические орбиты планет
не должны изменяться во времени В част-
ности, ближайшая к Солнцу точка эллипса
(она называется перигелием) не должна ме-
нять своего положения по отношению к <ше-
подвижным» звездам. Существуют, конечно,
небольшие отклонения от точно эллипти-
ческих орбит (называемые возмущениями),
обусловленные тем, что на данную планету
действуют и дру! ие планеты Но эти откло-
нения очень малы, поскольку главную роль
играет гравитационная сила Солнца. Кроме
того, были разработаны математические
методы, позволяющие надежно рассчитать
эти возмущения. Поэтому, если бы наблю-
далось перемещение перигелия (за вычетом
того, что обусловлено влиянием прочих
6.3. Измерение G
177
Фиг. 6.8. Медленная прецессия перигелия ор-
биты Меркурия.
Эксцентричность орбиты и величина прецессии
сильно преувеличены.
небольшую поправку следующую из общей
теории относительности. Теория тяготения
Эйнштейна (общая теория относительности)
предсказывает медленную прецессию пла-
нетных орбит. Наибольшую величину пре-
цессия должна иметь для Меркурия — пла-
неты, расположенной ближе всего к Солнцу
и движущейся в самом сильном гравитацион-
ном поле. С поправкой Эйнштейна удается
полностью объяснить движение перигелия
Меркурия (см., однако, замечания в разде-
ле 11.5).
Таким образом, зависимость гравитацион-
ной силы от расстояния вида 1/г2, следующая
из закона всемирного тяготения, не вполне
точна, при больших скоростях (близких к
скорости света) неточными являются и за-
коны ньютоновской динамики (см. раз-
дел 4 12). Однако ньютоновская форма за-
кона всемирного тяготения вполне пригодна
для всех практических задач.
планет), то это свидетельствовало бы, что
показатель степени в законе всемирного тя-
готения не равен в точности 2.
Около ста лет назад было обнаружено
малое перемещение перигелия Меркурия
которое не удавалось объяснить исчерпы-
вающим образом. Перигелий двигался (пре
цессировал) с очень малой скоростью, так что
орбита напоминала медленно поворачиваю-
щийся эллипс (фиг 6.8) После учета влияний
со стороны всех прочих планет оказалось,
что остаточная прецессия составляет 43'
за столетие. Само измерение столь малой
величины со столь большой точностью (а по-
грешность приведенного результата состав-
ляет лишь 1%) является замечательным до
стижением.
Прежде всего можно было подозревать
что прецессия перигелия Меркурия указыва-
ет на наличие какой-то не наблюдавшейся
ранее планеты между ним и Солнцем, кото-
рая влияет на движение Меркурия, и это
влияние не учтено в предшествующих вы
числениях возмущений орбиты. Такую пла-
нету (заранее названную Вулканом) безус-
пешно искали в течение многих лет, и неудача
заставила прийти к заключению, что закон
всемирного тяготения слегка неточен В на-
чале нашего века Эйнштейн показал, что
в закон тяготения действительно надо внести
6.3. Измерение G
ЭКСПЕРИМЕНТ КЭВЕНДИША Значение
постоянной G, входящей в выражение для
гравитационной силы, следует определить
из опыта. Вследствие малости величины G
любое ее измерение должно производиться
крайне тщательно Впервые такое измерение
было проведено в 1798 г. английским хими-
ком Генри Кэвендишем (1731 1810), ис-
пользовавшим прибор, называемый кру-
тильными весами. Действие весов Кэвенди-
ша схематически показано на фиг. 6.9, а на
фиг 6 10 воспроизведен чертеж из работы
Кэвендиша.
Кэвендиш поставил перед собой задачу
измерить силу притяжения между телами
с известными массами Как видно из
фиг. 6.10, он установил иа противополож-
ных концах двухметрового стержня два не-
больших свинцовых шара (диаметром 5 см
и массой 775 г). Стержень подвешен на
тонкой проволоке Вблизи этих шаров мож
но помешать два больших свинцовых шара
(диаметром 20 см и массой 49,5 кг). Сила
притяжения между двумя парами шаров
заставляет небольшие шары перемещаться
12—779
178
6. ОсНОвНЫС силы « Природе
Фиг 6.9. Схема опыта Кэвендиша по опреде-
лению G
Фиг. 6.10. Рисунок установки Кэвендиша, взя-
тый из его работы.
Обратите внимание на то, что все манипуляции,
в том числе перемещение больших шаров W про-
изводились извне камеры G Измерения углов от-
клонения производились с помощью подзорных
труб Т. Для освещения шаров и нити использо-
вались свечи.
к большим, и это вызывает некоторое закру-
чивание подвеса. Чтобы оцени ib упругую
постоянную подвеса, Кэвендиш провел гра-
дуировочный эксперимент, в котором силы
были извешны заранее. Таким образом, угол
закручивания подвеса харакщризовал силу,
действующую между большими и малыми
шарами.
В результате эксперимента Кэвендиш по-
лучил значение G, которое всего на 1% отли-
чается от принятого ныне значения
6,673 1 (Г8 дин см !/г2.
6.4. Электростатическое
взаи иодействие
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ И ОТРИЦАЛ ЕЛЬ-
НОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВО Уже около
200 лет назад было извест но, что в природе
существуют два рода элект рических зарядов.
Следуя Бенджамену Франк шну их назы-
вают положительным и отрицательным
электричеством. Основными носителями от-
рицательного электричества являются, ко-
нечно, электроны, которые образуют внеш-
ние части всех атомов. Положительное
электричество сосредоточено в атомных яд-
рах, его носителями являются протоны
В макроскопических маенпабах вещество
6.4. Электростатическое взаимодействие
179
в основном нейтрально поскольку величина
отрицательною электрического заряда элек-
трона равна величине положительного эдек i -
рического заряда протона, а все атомы в
нейтральном состоянии содержа! одинако-
вое число протонов и электронов.
Перенос элекiрическо! о заряда в телах
почти всегда осуществ гяется в регультате
движения электронов', более массивные, по-
ложительно заряженные ядра почт во всех
электрических явлениях остаются практиче-
ски неподвижными. Иначе говоря, если ве-
щество имеет о!рицательный заряд, эо это
обусловлено тем, что оно содержи! в из
бытке электроны; положи !ельный же заря i
вызывался недостатком электронов. Но
число атомов в обоих случаях ошается не-
изменным
Ряд веществ (в том числе металлы) обла-
дает интересным свойством: в них некото-
рая доля электронов не связана с какими-то
конкретными атомами, а свободно переме-
щается в веществе. Такие вещества пазыва
ются проводниками Если на проводник по-
местить электрический заряд, то он быстро
растечется но нему. Однако если электриче-
ский заряд поместить на изо гятор, то заряд
останется в том месте, куда ею поместили.
В изоляторах (к ним относятся, например,
стекло, пластмассы) нет свободных электро-
нов, и электричест во не может в них лет ко
растекаться.
Основное свойство электрических зарядов
состоит в том, что одноименные заряды от-
талкиваются, а разноименные - притягива-
ются. Это свойство легко продемонстриро-
вать с помощью простых экспериментов.
Если стеклянную палочку натереть куском
шелка, то в результате трения электроны
начнут переходить со стекла на шелк и
стеклянная палочка зарядится положите зь-
но. С другой стороны, если резиновую па-
лочку потереть о кусочек меха, то электроны
из меха перейдут на палочку и она станет
заряженной отрицательно Если теперь на
двух нитях подвесить легкие (например,
бузинные) шарики (фиг. 6 11) и коснуться
обоих шариков стеклянной палочкой, то
шарики приобретут положительный заряд
и начнут отталкивать друг друга. Если же
одного из шариков коснуться резиновой
палочкой, потертой о мех, то он приобретет
12’
Фиг 6.11. Одноименные заряды отталкива-
ются. разноименные — притягиваются
отрицательный заряд, и теперь оба шарика
будут притягиваться друг к другу.
Эти эксперимент! наглядно демонстри-
руют притяжение и отталкивание зарядов.
Они также показывают, что стеклянная па-
лочка несет заряд, противоположный но
знаку заряду резиновой палочки. Однако,
чтобы установить, на какой из палочек на-
ходится положительный, а на какой — от ри-
цательный заряд (но условию электроны
переносят отрицательный заряд), необходи-
мы эксперименты другого типа
ЭЛЕКТРОСКОП Простым прибором,
предназначенным для обнаружения электри-
ческого заряда, является электроскоп
(фиг. 6.12). Это в сущпощи вариант «детек-
тора» зарядов из двух подвешенных на нитях
шариков бузины, но вместо шариков в нем
используются две гонкие металлические
пластинки или два листочка фольги. Чтобы
электроскоп обладал высокой чувствитель-
ностью, листочки должны иметь чрезвычай-
но малую массу. Toi да, заряжаясь, они будут
расходиться более замет но. Обычно листоч
ки делают из золота, которое легко расплю-
щи 1ь и прокатать в виде чрезвычайно тонких
листов. Ч гобы исключить движение листоч
ков от потоков воздуха, их обычно заключа-
ют в прозрачную коробку из изолятора (на-
пример, стекла или плексигласа) Для осу-
ществления электрического кон i акта с лис-
точками служит тонкий проводящий стер-
жень (фиг. 6 12). На верхнем конце стержня
обычно укрепляется металлический шарик
или пластина Если листочкам электроскопа
путем прикосновения к шарику сообщить
180
6. Основные си 1Ы в природе
а
электрический заряд (безразлично какого
знака), то листочки разойдутся на некото-
рый угол из-за взаимного отталкивания,
чем больше заряд, тем больше будет этот
угол.
Процесс зарядки электроскопа происхо-
дит в следующие три стадии (фиг. 6 12).
На первой стадии положительно заряженная
палочка издалека подносится к электроско-
пу, который первоначально не заряжен, так
что его листочки находятся в опущенном
положении. На второй стадии заряженная
палочка оказывается в достаточной близости
к шарику электроскопа и заставляет' своим
притяжением часть электронов покинуть лис-
точки и переместиться к шарику. Это явле
ние называется электростатической индук-
цией: оно означает, что на шарике в присут-
ствии заряженной палочки наводится (инду-
цируется) заряд Листочки электроскопа
приобретают большой положительный за-
ряд и испытывают сильное взаимное оттал
кивание Наконец, на третьей стадии палочка
приходит в соприкосновение с шариком и
электроскопу передается заряд палочки По-
скольку заряд распределяется между шари-
ком и листочками (даже в том случае, если
с палочки на электроскоп переходит весь
заряд), на долю листочков приходится мень-
ший положительный заряд, чем на предыду-
щей стадии, и листочки расходятся па мепь
ший угол Отметим, что на всех трех стадиях
полный заряд в системе, состоящей из па-
лочки и электроскопа, остается одним и
тем же
в
Фиг. 6.12. Три стадии зарядки электроскопа
а - । бекта нет, листочки опущены: б элект-
ростатическая индукция, листочки сильно ра-
зошлись: в — заряд перенесен на электроскоп,
листочки несколько опали
СОХРАНЕНИЕ ЗАРЯДА Телу можно со-
общить электрический заряд, перенося на
него электроны или напро i нв уда 1яя их
Тело может потерять заряд, но тогда этот
заряд приобретег другое тело. Один из фун-
даментальных законов сохранения природы
гласит, чго полный электрический заряд в
изолированной системе остается постоян
ным
Ниже мы увидим, что при некоторых усло-
виях и при определенных ограничениях мо
гут рождаться пйры электрических заря-
дов — отрицательный (обыкновенный) элек-
трон и положительный электрон, или позит-
рон (частица во всех отношениях не отли-
чающаяся от электрона но несущая положи-
тельный заряд) Такие процессы рождения
не нарушают закон сохранения заряда, по-
скольку полный заряд родившейся пары
частиц равен нулю, так что полный заряд в
системе остается неизменным
Никогда не наблюдалось рождение или
исчезновение только электрона или только
протона Рождение или исчезновение частиц
всегда происходит парами, состоящими из
положительно и отрицательно заряженных
частиц. Неизвестно ни одного случая, в
котором не соблюдался бы закон сохране
ния электрического. заряда
6.4. Электростатическое взаимодействие
181
Фиг 6.13. Крутильные весы Кулона, исполь-
зовавшиеся им для изучения электростати-
ческих сил (рисунок из работы 1785 г.).
Измерялась сипа между заряженными шарами
а и Ь.
ЗАКОН КУЛОНА ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИ-
ЧЕСКОЙ СИЛЫ В 1785 г французский
физик Шарль Огюстен де Кулон (1736 —1806)
провел подробное исследование электро-
статических сил, используя чувс! ви тель-
ные крутильные весы (фит. 6.13), аналогии
ныс тем, которые применял Кэвендиш для
определения гравитационной постоянной
(фиг. 6.10). На основе своих измерений
Кулон заключи I, чю сила электростатиче-
ского взаимодействия двух заряженных тел
образно пропорциональна квадрату расстоя-
ния между ними* Таким образом, сила
электростатического взаимодействия меня-
ется с расстоянием в точности по тому же
закону, что и сила гравитационного взаимо-
действия Электростатическая сила пропор-
циональна произведению зарядов взаимо-
действующих тел (опять в полной аналогии
с силой тяготения, с той лишь разницей, что
массы заменяются зарядами). Таким обра-
зом, закон для электростатической силы
(называемый законом Кулона) имеет вид
Я\ Яз
гг
(в системе СГСЭ).
(6-8)
где qt и <?2 - заряды тел, а г — расстояние
между ними. Отметим, что перед правой
частью (6 8) стоит знак минус, которого нс
было в выражении (6.1) для Е,р ** Знак минус
здесь написан затем, чтобы соблюсти усло-
вие, сотласно которому сила притяжения
имеет положительный, а сила отталкива-
ния отрицательный знак. Поскольку мас-
са всегда положительна и i равнтациоппая
сила всегда является силой притяжения,
выражения для F3„ и FIP должны разли-
чаться знаками. Одноименные заряды оттал-
киваются, поэтому если и q2 имеют оди-
наковый знак, то F™ должна быть отрица-
тельной. Если же заряды имеют противопо-
ложные знаки, то их произведение отрица
тельно: знак минус в произведении вместе
с минусом перед правой част ью дает плюс,
что указывает на силу притяжения.
Обратим также внимание на то, что в
соотношении (6 8) отсутствует «электроста-
тическая постоянная», аналогичная травита
цнонной постоянной G. Это обус товлено
нашим выбором системы единиц СГСЭ.
В этой системе единица заряда определяется
в соответствии с единицами силы и длины,
* Кулон пришел к выводу, что показатель сте-
пени равен 2 + 0.02. Согласно выполненным недав-
но в Принстонском университете измерения и. по-
казатель равен 2 с точностью до 10 12
** В большинстве книг закон Кулона приводится
без знака минус Мы написа зи этот знак исходя
исключите зьно из того, чтобы при расчете си зы
любого рода знак результата всегда автомата
чески указывал, является ни эта си га притяги-
вающей или отталкивающей
1X2
6. Основные cu.ibi в природе
причем коэффициент пропорциональности
равен единице. Поскольку сила определяется
(по отношению к массе) уравнением Ньюто-
на F = та, такой выбор коэффициента про-
порциональное ги не оставляет никакой сво-
боды в определении единицы заряда.
[<7] = дин* * • см = 1 ед. СГСЭ. (6.9)
В системе СИ в законе Кулона появляется
коэффициент пропорциональное 1 и В этой
системе используется единица заряда
[<7] = кулон (Кл), (6.10)
причем
I кулон — 3 • 10® ед. СГСЭ. (6.11)
Наименьшим известным в природе элект-
рическим зарядом является заряд элек1рона
или прогона Знаки зарядов этих частиц про-
тивоположны, а ве тичина одинакова. Эту
величину обозначают символом е:
е = 4.803 - КУ40 ед. СГСЭ =
- 1,602-Ю"’® Кл. (6.12)
Пример 6 2
Вычислим электростатическую силу, действующую со стороны q2 на ц, (F12), и силу, дейст-
вующую со стороны на q2 (F21), Для случая, изображенного па рисунке
Используя закон Кулона, получаем
Лг — — “—5) = — 0,6 дин (направлена
(5)2
г ( 5) • ( 3) п с .
z2i —-------—-------= —0,6 дин (направлена вправо).
Обе силы имеют одну и ту же величину (третий закон Ньютона для электростатических
сил) и отрицательный знак, который указывает на то, что на каждый из зарядов действует
сила отталкивания
Пример 6.3
Предположим, что все тлектроны в 1 г меди удалось удалить на расстояние 30 см от ядер
атомов меди Какую величину будет иметь сила притяжения между этими двумя труппами
частиц?
Атомный вес меди 63.5. Значит, в 1 г меди содержится число атомов равное частному от
деления числа Авогадро на I грамм-моль (т. е. на 63,5 г)
число атомов в 1 г -’°2 ' 1023 — 9.2 10м. ‘
63.5
6.4 Электростатическое « шилюдействт- 183
Атомный номер меди равен 29 иными словами, каждый нейтральный атом меди содер-
жит 29 электронов Таким образом, общее число электронов в I г меди равно
число электронов в 1 г — 9,2 • 1021 • 29 — 2,7 • 1023.
Полный заряд группы электронов
qe = 2,7 • 1023 (—е) = 2,7 1023- (— 4,8 10"10 ед СГСЭ) = — 1,3 10“ ед. СГСЭ.
Равный ему положительный заряд имеет группа ядер Следовательно, сиза электростати-
ческого притяжения между ними
9
F33 = — = (1,3 10М ед~ СГСЭ)* _ 1,9 • Ю25 дин.
гг (30 см)2
Эта сила по величине равна трави iанионной силе, действующей между Землей и Луной (см.
пример 6.1)!
Пример 6.4
Сравним электростатическую и гравитационную силы, действующие между электроном
и протоном
Обе силы — электростатическая и гравитационная зависят’ от расстояния но зако-
ну 1;'г2:
с 9т Qi г _______ п т1т
Лл г2 . Г гр — G г2 •
Следовательно, их отношение F.iniF,v не зависит от расстояния между телами
эл__________91 9а
Frp G т2
В случае взаимодействия э тек трона и протона по отношение принимает ви т
F» = (~е)(+е) е2
FгР G trig тр G те тр
Подставляя сюда численные значения величии находим
Гэл _________________(4.8 Ю-“ ед. СГСЭ)2_____________ = 2 3 10ач
F,.p 6.67 10"" дин см2/г2 9,11 10~2в г 1,67 10~24 г
Таким образом, электростатическая сила между элементарными частицами гораздо бо ть-
ше гравитационной силы Поэтому в атомах существенна только элек простатическая сила.
В ядрах действуют мощные ядерные силы, которые превосходят электростатические силы,
но все же не в такой степени, чтобы последними можно было полностью пренебречь Мно-
гие важные ядерные эффекты обусловлены ) ick простатическими си лами
184
6. Основные силы в природе
Пример 6.5
В предложенной Бором модели атома водорода электрон движется по круговой орбите
вокруг протона. Радиус орбиты равен 5,3-1 (Г9 см. Какова скорость электрона на этой ор-
бите9
Предположим, что единственной силой, действующей на электрон, является электро-
шагическая сила
Г (4.8-10-»° ед. СГСЭ)2 =
8Л г2 г2 (5,3 - КГ» см)2
При движении по круговой орбите электрон должен испытывать центростремительное
ускорение .
V2
Оц- т •
Произведение массы электрона на это ускорение должно быть равно силе, действующей
на электрон:
теаи = —
Разрешая это уравнение относительно г, получаем
v = = 1/5.3 • КГ» см 8 2* 10-3 дии^ 2,18 • 10е см/с,
г те Т 9,11 10"мг
т. е. скорость электрона составляет около 1% скорости света.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛЫ До сих пор мы
рассматривали только силу, которая дейст-
вует .между неподвижными электрическими
зарядами, элек1ростатичсскую силу.
В г п. 9 мы увидим, что при движении зарядов
друг относительно друга появляется допол-
нительная магнитная сила. Вместо этого
термина часто используется дру! ой элект-
рона нитная сила, чтобы подчеркнуть при-
сутствие при этом и электростатических, и
магнитных эффектов. Однако магнитные
силы не существуют независимо от электри-
6.5. Ядерные (сильные) и слабые взаимодействия
185
веских зарядов; они появляются только в
тех случаях когда имеются движущиеся
заряды. Поэтому мы будем пользоваться
гермином электрические силы более широко,
подразумевая как электростатические силы
(если заряды находятся в покое), так и мат-
нитные силы (если заряды движутся).
6.5. Ядерные (сильные)
и слабые взаимодействия
ЧТО УДЕРЖИВАЕТ ЧАСТИЦЫ В ЯД-
РАХ9 До сих пор мы имели дело с двумя
силами — I равитационной и элек1рической.
Этих сил достаточно, чтобы объяснить дви-
жение тел в окружающем нас мире и даже
более того — поведение атомных систем.
Но если мы заглянем в атом поглубже и
попытаемся понять природу сил, действую-
щих в атомных ядрах то окажется, что для
описания наблюдаемых там явлений элекз -
рических и гравитационных сил недоста-
точно.
Мы знаем, что ядра чрезвычайно малы:
характерный размер их имеет поря-
док 10“13 см. Атомные ядра несут положи-
тельный электрический заряд (достигаю-
щий ~ 100 е), а мы знаем, что электростати-
ческие силы, особенно на малых расстояниях,
могут быть весьма большими. В ядрах,
очевидно, должны действовать исключитель-
но мощные силы притяжения, способные
преодолеть кулоновскую силу отталкивания,
стремящуюся развести протоны в ядре по-
дальше друг от друга.
Пример 6.6
Вычислим приближенно электростатическую силу, которая действует между двумя про-
тонами в типичном ядре.
Из уравнения (3.11) мы знаем, что радиус ядра с массовым числом А примерно равен
R= 1,4 10» Л*7* см
Отсюда для радиуса ядра железа (А 56) мы получаем К » 5,4-10 13 см В качестве харак-
терного расстояния между двумя протонами в ядре возьмем 2-КГ13 см. Тогда электро-
статическая сила, действующая между двумя протонами, будет равна
F ---
(4 80 10-»> ед СГСЭ)»
(2 10->а см)2
« — 6 106дин.
Это — исключительно большая сила отталкивания она приблизительно равна по величине
силе, с которой Земля притягивает массу 6 кг, находящуюся на ее поверхности! Отсюда
виден масштаб ядерных сил, которые преодолевают электростатическое отталкивание и
удерживают ядро от разрушения.
ЯДЕРНЫЕ СИЛЫ (СИЛЬНЫЕ ВЗАИМО-
ДЕЙСТВИЯ) Сила, которая действует на
малых расстояниях в ядре и обеспечивает
ею устойчивость вопреки тенденции к раз-
рушению под действием кулоновского от-
талкивания, называется ядерной си юй. Ядер-
ные силы в основном являются силами при-
тяжения. Они действуют как между прото
нами (р - р). так и между протонами и ней-
тронами (р п) и между нейтронами (п л).
Известно, что силы р- лип п почти оди-
наковы причем последняя из них тождест-
венна силе р—р за вычетом вклада в пес
кулоновского отталкивания протонов. Про-
тоны и нейтроны имеют так много сход-
ного (различаясь в основном тем, что ней-
трон электрически нейтрален), что эти
частицы объединяют в одну группу нукло-
нов Это позволяет и три названные выше
силы объединить в одну и назвать ее нуклон-
нуклонной (N N) силой
Сила, дейс т вуюшая между нуклонами, за
висит от расстояния совсем по-иному не-
жели гравитационная и электростатическая
силы Последние меняются по закону 1/г2
6. Основные силы в природе
1X6
и поэтому называются дальнодействующи.ми
силами; иными словами, действия гравита-
ционной и электростатической сил проявля-
ются на больших расстояниях Нуклон-нук
лонная сила оказывается короткодействую-
щей и эффективна лишь на расстояниях по-
рядка 10"13 см (порядка размеров ядер)
При удалении прозона нз ядра, как только
между ним и ядром достигается расстояние,
в несколько раз превосходящее 10 13 см,
ядерпая сила притяжения перестает действо-
вать и остается лишь кулоновское оттал-
кивание.
Нуклон-нуклонная сила не является «чис-
той» силой притяжения. На расстояниях
порядка 10 14 см она становится силон от-
талкивания. Иными словами, в нуклонах
обнаруживается как бы твердая сердцевина.
не позволяющая двум нуклонам сближаться
слишком тесно. Зависимость нуклон-нук-
лонной силы от расстояния между нуклона-
ми схематически показана па фиг. 6.14. Мы
употребили слово «схематически» в связи
с тем, что нуклон-нуклонная сила не явля-
ется центральной силой* подобно гравита-
ционной и электростатической. Существуют
квантовомеханнческие эффекты, которые
ит раю г важную роль в нуклон-нуклонном
взаимодействии; они делают детальное опи-
сание нуклон-нуклопных сил чрезвычайно
сложным Мы до сих пор не знаем эти? сил
во всех деталях; их разт адка является одной
из тлавных проблем современной ядерной
физики
СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В процес-
се ядерного /1-распада материнское ядро
испускает электрон и нейтрино (см. раз-
дел 5.11). Подобно тому как между про гоном
и нейтроном существует в основном сильное
(ядерное) взаимодействие, между электро-
ном (<) и нейтрино (v) существует (только
одно) слабое взаимодействие Эго взаимо-
действие от ветственно за процесс /1-распада
ядер.
Мы пока очень плохо понимаем природу
слабых взаимодействий Например, мы не
* Центральной называется сипа действующая
вдоль линии соединяющей центры частиц. Нук-
лон-нук лонная сила действует частично вдоль
мной линии а частично по другим направлениям.
Фит 6 14 Нуклон-нуклонное взаимодействие
обусловливает сильное притяткение но толь-
ко на очень малых расстояниях, от ~/О”14
до~10~°см.
знаем деталей зависимости них сил от рас-
стояния. Известно лишь, что они коротко-
действующие - радиус их действия не боль-
ше, чем у ядерных сил, а может быть, и
равен нулю.
Слабое взаимодейст вие существует между
любыми парами элементарных частиц Оно
является единственным взаимодействием
существующим между электроном и пейтри
но. Но оно имеется также даже между двумя
протонами (хотя оно и гораздо слабее, чем
электрическое или ядерное взаимодействие).
Относительная величина различных взаимо-
действий между парами элементарных час-
тиц приведена в габл. 6 2. За единицу про
извольно принята величина нуклон-нуклон-
поге взаимодействия
Между нейтрино и всеми прочими элемен-
тарными частицами существует только сла-
бое взанмодейст вие С появлением больших
ускорителей частиц нейтрино стали «выра-
батываться» в огромных количествах, и се-
годня широкое развитие получили работы
по изучению нейт рино и слабых взаимодей
ствий.
Ядерной физике и физике элементарных
частиц посвящены гл. 15 и 16. Мы увидим,
что в сильных и слабых взаимодействиях
принимают участие не только перечислен
ные выше, но и другие элементарные час-
тицы.
Вопросы
187
Таблица 6.2. Сравнение взаимодействий между элементарными
частицами
Взаимодействие Относительная величина на малых расстоя- ниях 10 "13 см)
e v е—р Р—Р р—п, п—п
Сильное (ядерное) 0 0 1 1
Электростатическое 0 10 “2 10"2 0
Слабое 10‘13 10'13 Ю’13 10"‘3
Г равитационпое 0 ю-41 10 38 10 “зв
Основные выводы
В природе существую! взаимодействия
только четырех основных топов гравита-
ционное, электрическое, сильное (ядерное) и
слабое
Гравитационное и электрическое взаимо-
действия меняются с расстоянием как 1 г2
и являются дальнодействующими. Ядерное
и слабое взаимодействия являются коротко-
действующи ми
Движения двух изолированных тел, вза-
имодействие между которыми меняется как
Г г2, происходят по траекториям, совпадаю-
щим с коническими сечениями. Планеты дви-
жутся вокруг Солнца по эллиптическим ор-
битам
При вычислениях трави |ационных эффек-
тов всю массу однородных тел сферической
формы можно считать сосредоточенной в
центре этох тел При вычислениях элсктри
ческих эффектов общий заряд, равномерно
распределенный внутри сферы, можно сли-
зать сосредоточенным в ее центре.
Полный электрический заряд в изолиро-
ванной системе сохраняется
Устойчивость атомных ядер обусловлена
сильным, или ядерным, взаимодействием
Слабое взаимодействие ответственно за
0-распад ядер.
По своей величине основные взаимодейст-
вия располатаются в следующем порядке'
1) сильное (ядерное), 2) электрическое, 3) ела
бое, 4) гравитационное.
Вопросы
6.1 Геостационарный спутник выведен на орбиту, находящуюся на некоторой широте л Каким
будет движение спутника относительно поверхности Земли9
6.2 Масса Луны составляет приблизительно 1 81 массы Земли Почему травигационное притяжение
Луной предмета на ее поверхности составляет всего 1 6 силы тяжести, действующей на тот же пред-
мет на поверхности Земли?
6.3 Искусственный спутник движется по крутовой орбите вокруг Земли В результате того что воздух
в верхних слоях земной атмосферы оказывает сопротивление движению спутника, его скорость воз-
растает. Объясните, почему это происходит (Рассмотрите момент импульса.)
6.4 . Кометы входят в состав Со тнечиой системы. Объясните, почему некоторые кометы (например,
комета Галлея) светят удивительно ярко в течение короткого периода, а затем становятся на многие
то>1ы невидимыми даже в мощные телескопы
188
6. Основные силы в природе
6 5. Астрономы располагают данными о том, что скорость вращения Земли уменьшается вследст вие
эффекта притяжения Земли Луной. Как это замедление влияет на продолжительность суток9 Сущест-
вует ли аналог ичное влияние на продолжительность года?
6 6 Два протона сближаются в пустом пространстве. Опишите их взаимное движение, если они сбли-
жаются, двигаясь: а) вдоль соединяющей их прямой, б) в направлениях, первоначально параллель-
ных, ио не совпадающих друг с друг ом
6.7. Можно ли в опыте Кэвендиггга пренебречь силой, действующей на малый шар со стороны даль-
него большого шара, по сравнению с силой от ближнего большого шара?
6.8 Два тела несут на себе малые электрические заряды Объясните, как можно было бы использо-
вать электроскоп, чтобы выяснить, одноимегшы или разноименггы эти заряды.
6.9. Проводящий стержень А установлен на изолирующей подставке. Другой проводящий стержень В
подвешен на нитях возле конца стержня А Что произойдет с в, если к удаленному от В концу А под-
нести положительно заряженный предмет С? Что изменится, если С будет заряжен отрицательно?
6.10. Два легких шарика, подвешенных гга нитях, как на фиг. 6.11 несут на себе равные разноименные
заряды, так что они притягивают друг друга и отклоняют нити от вертикали. Если на полпути между
шариками установить незаряженную медную пластинку, то как огга повлияет на отклонение нитей?
Аргументируйте подробно ваш ответ
6.11. Некто выдвинул теорию что вместо двух родов электрических зарядов, положительного и
отрицательног о, существуют три рода — а, р, У, причем одноименные заряды по-прежнему отталки-
ваются, а разноименные притягиваются. Придумайте опыт, который позволил бы сделать выбор
между обеими теориями.
6.12. Некто выдвинул гипотезу, что притяжение между Землей и Солнцем обусловлено не гравита-
ционной силой а тем, что на Земле и Солнце имеются избыточные электрические заряды. Опишите
эксперименты (реальные или мысленные), которые позволили бы проверить эту гипотезу.
6.13. Протон движется в направлении к центру какого-то атома. Опишите силы, которые действуют
на протон по мере сближения его с ядром этого атома
6.14. Какие силы действуют между парами элементарных частиц у р, V- л, е л?
Задачи
6 1 Как известно вблизи земной поверхности ускорение силы тяжести g 9,8 мс . Какие значения
это ускорение будет иметь на высотах 100, 1000, 4000 км?
6.2. Масса Луны составляет около 1/81 массы Земли. В какой точке на линии между Землей и Луной
тело нс будет испытывать притяжения ни к Земле, ни к Луне?
Задачи
189
6.3. Вычислите значение g на Марсе, использовав данные табл. 6.1. Сколько будет весить на Марсе
масса 100 г?
6.4 Чему равно значение g на поверхности Солнца?
6.5*. Скорость орбитального движения Луны составляет 1,06 км/с. Пусть Луна двигалась с этой ско-
ростью в течение 3 с. Как далеко она «упадет» в направлении к Земле9 Сравните это расстояние с тем,
какое пролетает падающее тело вблизи поверхности Земли за 3 с Вычислите отношение этих двух
расстояний и объясните его величину.
6.6. Две одинаковые сферы находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Каковы их массы, если они
притягиваются друг к другу с гравитационной силой 6,7 • 10"4дин?
6.7*. Какой была бы продолжительность лунного месяца если бы масса Земли в 4 раза превышала
ее действительное значение9 (Примите, что расстояние между Луной и Землей не изменилось )
6.8. Какая гравитационная сила действует на геостационарный спутник массой 100 кг?
6.9 Если бы Луна находилась на круговой орбите вокруг Земли с вдвое большим радиусом, то каким
был бы ее период обращения9 Какой была бы орбитальная скорость?
6.10. Используя данные табл 6 1 проверьте справедливость третьего закона Кеплера, сравнивая
значения R3/т2 для четырех или пяти планет.
6.11. Некий астроном заявил, что он открыл новую планету, орбита которой пролегает на полпути
между Землей и Солнцем и период обращения которой равен 240 сут. Мотивируйте ваше мнение по
поводу такого заявления
6 12. Два сферических тела, взаимодействуя друг с другом только посредством гравитационной
силы, описывают круговые орбиты в пространстве около общего их центра масс Нарисуйте орбиты
каждого из тел и сопоставьте периоды их обращения полагая, что одно тело втрое массивнее другого.
6.13. Представьте себе, что Земля — единственная планета Солнечной системы. Какими были бы в
этом случае радиус орбиты и период обращения Солнца вокруг центра масс системы Земля — Солнце?
6.14. Чему равна сила притяжения между одним из больших шаров и одним из малых шаров в опыте
Кэвендиша, если расстояние между их центрами равно 20 см9
6.15. Два одинаковых медных шара, расстояние между центрами которых составляет 2 см, имеют
заряды +28 ед. СГСЭ и —4 ед. СГСЭ Шары приведены в соприкосновение и затем отведены в исход-
ные положения. Какой будет сила их электрос этического взаимодействия9
190
6. Основные силы в нрироОс
6.16. Предмету сообщили положительный электрический заряд, удалив из него I пг электронов
(1 in = 10-12 г). Какое число электронов было удалено и каким стал заряд предмета?
6.17* . Водяная капля имеет радиус 0,01 см. Чему равен заряд капли, если на каждые 10’ молекул воды
приходится один избыточный э тектрон?
6.18. Масса 1 кг свободно падает у поверхности Земли с ускорением 9.8 м/с2. Каким должен быть
заряд Земли, чтобы га же масса, несущая заряд +1 ед. СГСЭ, имела вдвое большее ускорение? (При-
мите, что Земля заряжена однородно.)
6.19. Частица массой т 0,1 г несет на себе заряд q. На расстоянии 10 см над ней находится сфери-
ческое ело. несущее на себе заряд Q 103 ед. СГСЭ. Чему должно быть равно значение q, чтобы
результирующая сила, действующая па частицу, была равна нулю? (Частица находится на очень
небольшой высоте над Землей.)
6.20. На одной прямой расположены три заряда в следующих положениях: q, = | 10 ед СГСЭ при
x=0,q2~-—40 ед. СГСЭ при .х 20см;</, 45 ед. СГСЭ при х 50 см. Чему равна и куда направле-
на результирующая сила, действующая на заряд </2?
6.21. Протон и электрон находятся на расстоянии IO"8 см друт от друта. Какова сила их электроста-
тического взаимодействия? Каково в первый момент ускорение каждой из частиц, когда они начи-
нают двигаться под действием этой силы?
6.22. Двеа-частицы (ядра юаня) находятся на расстоянии I Л друг от друга. Какова вила их элект-
ростаIическото взаимодействия?
6.23. Два полностью ионизованных атома лития (Q +3е) отталкиваются друг от лрута с силой
210 дин Каково расстояние между ними9
Подводный взрыв водородной бомбы на атолле Бикини
7 Энергия
7.1. Работа
7.2. Мощность
7.3. Кинетическая энергия
7.4. Потенциальная энергия
7.5. Консервативные силы
7.6. Относительность энергии
7.7. Сохранение энергии
7.8. Виды энергии
7.9. Упругие и неупругие соударения
7.10. Гравитационная
потенциальная энергия
7.11. Электростатическая
потенциальная энергия
7.12. Разность потенциалов и
электронвольт
7.13. Диаграммы потенциальной
энергии
7.14. Теплота как форма энергии
7.15. Микроскопическая теория
теплоты
7.16. Второе начало термодина-
мики
7.17. Масса и энергия
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Энергия несомненно является наиболее важным понятием всей физики. Четкое представле-
ние о том, что такое энергия, и понимание важности ее роли являются заслугой немецкого
физика Германа Гельмгольца (1821 1894), который в 1847 г. сформулировал общий закон
сохранения энергии С того времени рассмотрение энергии физических (и биологических)
процессов стало неотъемлемой частью попыток ученых познать явления природы.
С понятием энергии тесно связано понятие работы. Исторически сложились интуитивные
представления об энер! ии и работе аналогично представлениям о длине, времени и массе.
Некоторые из этих понятий, родившись из повседневной жизни оказались весьма близкими
точно сформулированным физическим представлениям Например, можно высказать такие
утверждения: «Ешьте хорошую пищу, она обеспечит вас большими запасами энергии» или
«Человек, обладающий большой энергией, может выполни п> большую работу». Оба эти
высказывания точно соответствуют тому, как выразился бы физик: «Химическая энергия,
запасенная в пищевых продуктах, может передаваться биологическим системам» и «Энср-
т ия есть способность совершать работу».
В этой главе мы сначала определим понятие работы, а затем обсудим связь между рабо-
той и энергией. Существуют три основных вида энергии: 1) кинетическая энергия, характе-
ризующая состояние движения тела, 2) потенциальная энергия, обус ювлепная силами,
действующими на 1ело со стороны других тел и 3) собственная энергия, связанная с массой
покоя тела знаменитой формулой Эйнштейна Е тос2
Важность понятия энергии обусловлена тем, чго в изолированной системе различные
формы энергии мшут превращаться друг в друга без потерь. Иными словами, в тюбом
физическом процессе энергия сохраняется Закон сохранения эперт ии соб подастся во всех
известных процессах и служит наиболее плодотворным инструментом для анализа явлений
во всех областях физики.
7.1. Работа
ДВИЖЕНИЕ, КОТОРОМУ ПРОТИВО
ДЕЙСТВУЕТ СИЛА Если на тело подей-
ствовать некоторой силой и переместить
его на некоторое расстояние, то можно ска-
зать, что мы совершили работу над этим
телом Так, например, для поднятия груза
падо приложить силу достаточную для
преодоления направленной вниз силы тя-
жести. Прилатая такую силу достаточно
долго, мы поднимем груз на высоту h и при
этом совершим некоторую работу. Другой
пример' если мы толкаем предмет по шеро-
ховатой поверхности с силой, достаточной
для преодоления силы трения, и перемещаем
его на расстояние s, то мы также совершаем
некоторую работу Переместив предмет на
расстояние 2s, мы совершим вдвое большую
работу Количество работы увеличивается
и с возрастанием силы, необходимой для
перемещения тела. Таким образом, колн
честно работы пропорционально как при-
ложенной силе, так и пути, на котором эта
сила действует
Допустим, чго мы приложили к телу по-
стоянную силу и заставили его двигаться по
шероховатой поверхности с постоянной ско-
ростью Поскольку при этом ускорение тела
равно нулю, равна нулю и результирую-
щая силаРрез. приложенная к'телу. Дейст-
вительно, в этом случае приложенная к телу
внешняя сила точно уравновешивает тормо-
зящую силу трения, гак что Грез 0 Тем не
менее внешняя сила совершает работу: она
действует против силы трения Факт пере
мешения тела под действием внешней силы,
несмотря на противодействие другой силы
(например, силы трения или тяжести), озна-
чает, чго coBcpinaeicH работа, независимо
от того, движется ли тело ускоренно или с
постоянной скоростью
Может оказаться, что работа совершается
только на отдельном участке перемещения
тела. Например, если тело покоится на абсо-
лютно гладкой поверхности, то, приложив
горизонтальную силу, мы приведем ею в
ускоренное движение. Если затем «выклю-
чить» силу, то тело будет продолжать дви-
гаться с постоянной скоростью Работа со-
I' 779
194
7. Энергия
Фиг. 7 1 Когда переме-
щение происходит в на-
правлении действия при-
ложенной силы, совершае-
мая работа равна И Fs
Фиг 7 2 Работу совер-
шает только компонента
силы, направленная вдоль
перемещения тела: И
F, s F s cos 0
вершилась лишь на первой стадии движения
(когда была приложена сила) но нс на вто-
рой стадии (когда сила была «выключена»).
РАБОТА РАВНА СИЛЕ, УМНОЖЕННОЙ
НА РАССТОЯНИЕ Работа равна произ
ведению приложенной к телу внешней силы
на расстояние, на котором сила действует
на тело. На фи! 7.1 показано, чю работа
силы F по перемещению кубика на расстоя-
ние s равна И7 Fs. В данном случае пере-
мещение кубика совпадает с направлением
приложенной силы. На фш 7.2 сила прило-
жена под некоторым углом 0 к направлению
перемещения. Такую силу можно рассмат-
ривать как векторную сумму двух независи-
мых сил (х- и у-компонент):
Fx-Fcosb и Fy = FsinO.
величину перемещения, вызванного си-
юй, т е.
W = Fscos 6,
(7-1)
где 0 — угол между вектором силы F и
направлением перемещения. Хотя работа
выражается произведением двух векторных
величин, сама она является скалярной ве-
личиной.
ЭРГ И ДЖОУЛЬ В системе СГС единица
работы [и7]^ [ F] Ы дин • см. Так как
1 дин = 1 г-см/с2, то основная единица ра-
боты есть 1 г см2/с2 ей присвоено наимено-
вание эрг:
I ДИН-СМ — 1 г-сма/с2 = 1 эрг
В системе СИ мы имеем
Компонента силы F действует в направ-
лении перемещения тела Следовательно,
совершенная ею работа И7 Fxs Fscos0
В направлении у перемещения не происхо-
дит; следовательно, компонента силы F,-
не совершает работы. Таким образом, в
общем случае наше определение работы
должно выглядеть так
Работа равна произведению компоненты
силы в направлении перемещения тела на
1 Н • м = 1 кг • м2/с2 = 1 джоуль (Дж) —
10’ эрг.
Единица энергии в системе СИ названа
в честь Джеймса Прескотта Джоуля (1818
1889) английского физика, труды которо-
го дали очень много для понимания сущ-
ности работы и энергии. Название эрг про-
исходит от I реческого слова эргон (ра-
бота)
7.1. Работа
195
Пример 7.1
Ящик массой 10 ki движется по шероховатой поверхности с постоянной скоростью 2 м с
под действием горизонтальной силы 5 Н. Какую работу совершит эта сила за 1 мин?
Прежде всего вычислим пройденное ящиком расстояние:
s vt 2 м'с '60 с 120 м
Тогда
И - Fs = 5 Н • 120 м - 600 Н м = бООДж
Пример 7.2
В достаточно хорошем приближении можно считать, что сила, требуемая для растяжения
пружины, пропорциональна удлинению пружины:
F= кх.
где к — так называемый коэффициент жесткости, зависящий от размеров пружины и ма-
териала, из которого опа изготовлена. Этому простому закону следуют многие упругие
материалы при условии, что их растяжение не слишком велико Он называется законом Гука*
в честь Роберта Гука (1635—1703) — современника Ньютона.
Пусть для того, чтобы растянуть пружину на 5 см, требуется сила 100 дин. Какая сила
требуется, чтобы растянуть ту же пружину на 20 см? Коэффициент жесткости пружины
Л=^ = 100днн==20дин/см
х, 5 см
I
I
Fo=o
I
— X; 5 СМ---
-------► 6=юо дин
I
— хг=20см—
Поэтому для растягивания пружины следует приложить силу
F2 — kx2 20 дин см - 20 см = 400 дин
* Это не закон в том смысле. какой вк избывается. скажем в законы Ньютона. Закон Гука — это
просто удобное, для практики приближенное соотношение, не выражающее никакого фундаменталь-
ного закона природы К сожалению, исторически сложилось так. что многие подобные соотношения
удостоились названии «законов».
196 7, Энергия
Какая работа совершается при этом? Средняя сила, требуемая для растяжения пружи-
ны на 20 см,
р___ Д1Л1 _ ^2 4 0 _ кхг
~ 2 2 2 ’
а работа растяжения пружины равна произведению средней силы на удлинение:
W - Fx2 = -у- kx22 — 20 дин/см (20 см)* = 4000 эрг
7.2. Мощность
РАБОТА СОВЕРШАЕМАЯ В ЕДИНИЦУ
ВРЕМЕНИ. Мощность-это скорость, с ко-
торой совершается работа. Если за время i
совершена работа W то средняя мощность
Р=^~- <7-2)
Аналогично переходу от средней скорости
к более строгому понятию мгновенной ско-
рости мы можем определить мгновенную
мощность как
P-iim^L.
дг-»о А/
Единицы мощности
в системе СГС: эрг с,
в системе СИ: Дж с —
107 эрг.'с ватт (Вт).
Единица мощности в системе СИ получила
свое название в честь Джеймса Уатта (1736
1819) — шотландского инженера, способе!-
(7.3)
вовавшего внедрению в промышленность
паровой машины Уатт ввел английскую
практическую единицу мощности, прибли-
зительно равную мощности, развиваемой
рабочей лошадью, он назвал эту единицу
юшадиной силой (л. с ):
3
1 л. с. — 746 Вт - киловатта (кВт).
Часто количество энергии, расходуемое
в каком-либо процессе, выражают в виде
произведения мощности на время. Напри-
мер, количество энергии, выработанной на
электростанции мощностью 1 кВт за 1 ч,
равно 1 кВт-ч
В формуле (7.2) работу можно записать
в виде произведения силы на расстояние,
тогда
— U7 Fs s \
Р = t = t =F FU, (7-4)
тде использовано то обстоятельство, что
.s-.il равно средней скорости v. Очевидно, что
мт новенную мощность Р можно выразить
через мт новенную скорость v:
Р = Ft).
(7-5)
Пример 7 3
Тело движется по шероховатой поверхности с постоянной скоростью 5 м/с под действием
силы 10 Н Какая при этом развивается мощность? Какая работа будет совершена за 30 мин9
Р = Fv 10 Н 5 м?с — 50 Дж с = 5 Вт
№ = Pt — 50 Вт • — ч 25 Вт ч.
2
Разумеется, эта работа совершается против силы трения
7.3. Кинетическая энергия
197
7.3. Кинетическая энергия
ЭНЕРГИЯ, СВЯЗАННАЯ С ДВИЖЕНИ
ЕМ Предположим, что имеется свободное
тело — например, тело, первоначально по-
коившееся в~тфостранстве (по отношению к
некоторой системе отсчета), на которое не
действуют никакие силы. Если мы прило-
жили к гелу постоянную силу F, то оно
начинает ускоряться После того как тело
пройдет расстояние s, оно приобретет ско-
рость v al. Пройденное тетом расстояние
s = */2«г2, так что произведение
Над телом была совершена работа
И Fs, и мы говорим, что тето приобрело
энергию '/> тг. Энергия, которой обла-
дает тело вследствие того, что оно дви-
жется, называется кинетической энергией:
Г4 1 9
Екин = —mv~.
(7.7)
Кинетическая энергия измеряется в тех же
единицах, что и работа.
Fs — та • at2 = (а/)2 =
1 2
— — /пи®.
2
(7.6)
Пример 7.4
К первоначально покоившейся частице массой 20 г приложена на время 10 с сила 100 дин
Какую кинетическую энергию приобретет частица?
Для вычисления кинетической энергии мы должны прежде всего определить конечную
скорость частицы:
, F , 100 дин . „ ,
v = at — — t —------------ • 10с = оО см/с
т 20 г
Тогда
Екин ' ’ -у- tnv1 — — • 20 г (50 см/с)® 25 000 эрг.
Какую работу совершила приложенная сила9 Пройденное частицей рассюяние
- _ 1 1 F ,2 1 100 дин
s at ---------------( ~ ~-----------(Юс)2 250 см,
2 2 m 2 20 г
так что работа
W — Fs 100 дин • 250 см = 25000 эрг.
Таким образом, мы видим, что работа целиком перешла в кинетическую энергию частицы
198
7. Энергия
7.4. Потенциальная энергия
ЭНЕРГИЯ, СВЯЗАННАЯ С ПОЛОЖЕНИ
ЕМ ТЕЛА. Предположим, что мы подняли
гело массой т, первоначально покоившееся,
на высоту h над его исходным положением
и здесь снова оставили его в покое Совер-
шенно очевидно, что мы совершили работу
против силы тяжести, но никакого изменения
скорости тела не произошло, а значит, у него
не появилось кинетической энергии. Однако
в результате изменения своего положения
гело все же приобрело энергию. Ее легко
обнаружить, позволив телу вернуться в его
прежнее положение. Падая с высоты h, тело
приобретет скорость v = у/ 2gh' (см зада-
чу 4 9), и его кинетическая энергия
£кин = 4~mu2 = ~Т т ’ 2gh =
Это количество энергии mgh можно истол-
ковать следующим образом. Чтобы уравно-
весить действие силы тяжести, к телу надо
приложить силу mg. Допустим, что сила на
бесконечно малую величину* превышает mg
Тогда, действуя на расстоянии h (высота
подъема тела), сила совершит работу
W Fs = mgh. В результате тело приобре-
тет энергию mgh, которая способна превра-
титься в кинетическую энергию (при падении
тела с высоты h). Эту энер ию приобретае-
мую телом благодаря своему положению,
мы называем потенциальной энергией тела
Иными словами, работа, совершенная про-
тив силы тяжести, запасается поднятым
вверх телом и сохраняется в нем в виде по-
тенциальной энергии:
Фиг. 7.3. Тело, поднятое на высоту h, приоо-
ретает потенциальную энергию mgh.
Фиг. 7.4. Потенциальная энергия груза при
его падении превращается в кинетическую
.энергию и совершает работу, загоняя сваю в
грунт
Е„от mgh. (7.8)
* Выбрав силу, на бесконечно малую величин
превышающую mg мы можем быть уверены, что
она, нарушив равновесие с силой тяжести, при-
ведет тело в движение Вместе с тем мы не со-
вершим шмепи ой ошибки, приравняв совершено ю
ею работу mgh
7.5. Консервативные силы
199
ЭНЕРГИЯ И РАБОТА Как мы говорили
выше, энергия представляет собой способ-
ность совершать работу. Потенциальная
энергия, приобретенная телом поднятым
па некоторую высоту, может бьпь превра-
щена в работу различными путями. Один из
них, осуществляемый в свайном копре, схе-
матически иллюстрируется на фи! 7 4 При
падении груза массой т с высоты h его
потенциальная энергия mgh превращается
в кинетическую энергию }/г то2, где о
= V 2gh' Останавливаясь, груз может со-
вершить работу mgh 1/гт/'. Как видно
из фиг 7 4, эта работа затрачивается на дви
жение сваи в грунте и равна /Ах, где F-
очень большая средняя сила, a As малое
расстояние, на которое перемещается свая
при каждом ударе.
Пример 7.5
Какую работу необходимо совершить, чтобы поднял ь груз массой 100 г на высо ту 200 см,
одновременно сообщая ему скорость 300 см/с?
Проделанная работа равна сумме потенциальной и кинетической энергий-
Епот mgh — 100г • 980см/с2 • 200см — 1,96 • Ю’г • см’/с® = 1,96 • 107 эрг,
Екин • 100 г • (300 см/с)а 4,5 • 10е г • см2/са = 4,5 • 10* эрг.
Таким образом,
W £11ОТ+ЕКН„= 1,96- 10’4 0.45. 1О' = 2,41 Ю7эрг = 2,41 Дж
7 5. Консервативные силы
РАБОТА НЕ ЗАВИСИТ ОТ ТРАЕКТОРИИ
ТЕЛА. Важно представлять себе, что, по-
скольку сила тяжести направлена верти-
кально вниз, для перемещения тел по гори-
зонтали с постоянной скоростью не требует -
ся прилагать силу и тем самым совершай,
работу (в отсутствие трения). По этой при-
чине, если для подъема тела на высоту h
выбрать две разные траектории, как показа-
но на фи! 7.5, а и б, то в обоих случаях
потребуется одна и та же работа, а имен-
но mgh. Перемещение в действительности
является вектором и требует задания как
длины, так и направления. Поэтому любое
перемещение можно разложить на горизон-
тальную и вертикальную составляющие
Лишь для перемещения по вертикали тре-
буется совершить работу, горизонтальное
перемещение не требует затраты энергии
(оно получается как бы «задаром»). Таким
образом, перемещение тела из одною по то
жения в другое против постоянной силы
I яжссти требует совершения одной и той же
работы независимо от пути по которому
происходит это перемещение (как на
фиг 7 5, в).
Сила, обладающая тем свойством что
совершаемая против нее работа зависит
лишь от начальною и конечного положений
тела (а не от пути перемещения), называется
консервативной силой. Консервативной (при-
ближенно) является постоянная сила тяжести
вблизи поверхности' Земли. Консервативна
и гравитационная сила, действующая на
больших расстояниях и изменяющаяся по
закону 1/г2. Для такой силы «свободным»
является движение по окружности (т. е. с по-
стоянным г), но движение по радиусу требует
совершения работы. Друт им примером кон-
сервативной силы может служить электро
статическая сила. В общем случае любая
сила, направление которой совпадает с ли-
нией, соединяющей два взаимодействующих
зела, является консервативной. Иными ело-
200
7. Энергия
Фиг. 7.5. Чтобы поднять тело пассы т на
высоту h. необходимо совершить работу mgh
независимо от пути, по которому произво-
дится подъем.
вами, консервативны вес центральные силы.
К таким консервативным центральным си-
лам относятся гравитационная и электро-
статическая силы.
Силы трения неконсервативны, поскольку
совершаемая против них работа в общем
случае зависит от длины пути, по которому
перемещается тело, а не только от его на
чального и конечного положений Например,
чтобы передвинуть лежащий на столе кубик
в другое положение, а затем обратно, нужно
совершить работу.
7.6. Относительность энергии
ЗНАЧЕНИЕ ИМЕЮТ ТОЛЬКО РАЗНО-
СТИ ЭНЕРГИЙ В отличие от длины и
массы энергия — нс абсолютная величина
Допустим, вы задали вопрос: «Чему равна
потенциальная энергия этого ie.ia?» Про-
стого ответа: «mgh» недостаточно, поскольку
может последовать второй вопрос: «Высо-
та h над чем?» В самом деле, h — это не.
просто высота над поверхностью Земли
всегда можно вырыть в земле яму и застави гь
тело падать в нее, превратив при этом в
кинетическую энергию дополнительную по-
тенциальную энер| ию. Таким образом, по-
тенциальная энер!ия тела на поверхности
Земли не равна нулю. Однако абсолютное
значение потенциальной энергии в выбран-
ной точке на самом деле не имеет физиче-
ского смысла важна лишь разность потен-
циальных энер! ий между двумя точками.
При перемещении тела из одной точки в
другую в кинетическую энергию может пе-
рейти только разность потенциальных энер-
гий. Абсолютные же значения потенциаль-
ной энергии совершенно произвольны мы
всегда можем прибавить некоторую постоян-
ную величину к се значениям в каждом из
двух положений тела, и при этом разность
этих двух значений потенциальной энергии
останется той же самой. Правда, как мы
увидим ниже, часто бывает удобно задать
положение, соответствующее нулевой по-
тенциальной энергии, но такое положение
выбирается произвольно по соглашению,
а не исходя из какого-либо физического
закона.
Относительной величиной является и ки-
нетическая энергия. Например, кинетическая
энергия движущегося автомобиля оказыва-
ется различной для наблюдателя, стоящего
на обочине шоссе, и для наблюдателя в
поезде, идущем по железной дороге, парал-
ле 1ьной шоссе. В выражение для кинетиче-
ской энергии Уг mv2 входит относительная
скорость V. В результате кинетическая энер-
гия оказывается величиной, принимающей
разные значения в различных движущихся
системах отсчета. При этом сущее гвенны
только изменения кинетической энер! ии, ибо
лишь эти изменения проявляюзея в виде
работы в любой системе отсчета
Джеймс Клерк Максвелл, знаменитый анг-
лийский физик-теоретик, построивший тео-
рию электромагнитных явлений, сформули-
ровал это положение в следующих словах:
7.7. Сохранение энергии
201
«Мы должны, таким образом рассматри-
вать энергию системы чел как величину, в
отношении которой мы можем лишь уста-
новить, происходит ли ее увеличение или
уменьшение при переходе системы из одного
определенного положения в другое Абсо-
лютная величина энергии при стандартных
условиях нам неизвестна, и это не имеет для
нас значения, поскольку вес явления опреде-
ляются изменениями энергии, а не ее абсо-
лютной величиной»
7.7. Сохранение энергии
НАИБОЛЕЕ ВАЖНЫЙ ФИЗИЧЕСКИЙ
ПРИНЦИП. В простых примерах, приведен-
ных в предыдущих разделах, подразумева-
лось, что потенциальная энергия может пре-
вращаться в кинетическую энерг ию и обрат-
но без всяких потерь. Иными словами, тело
массой т, падая с высоты h, приобретает
кинетическую энергию Уг mv2, причем mgh =
= 56 ли.'2, т. е. Ено! (начальная) £кии (ко-
нечная). Таким образом, энергия (в той или
иной форме) в этом превращении сохраня-
ется. Этот результат является общим и
составляет основу принципа (или закона)
сохранения энергии.
Закон сохранения энергии является все-
объемлющим. Как и в случаях законов со-
хранения импульса н момента импульса,
мы не знаем ни одного исключения из закона
сохранения энергии. Болес того, если обна-
руживается, что в каком-либо физическом
процессе энергия не сохраняется мы приду-
мываем новую форму энерг ии. чтобы обеспе-
чить ее точный баланс! Поступая так, мы
вовсе не «жульничаем» и не делаем нечестной
попытки скрыть недостаток наших знаний о
природе. Придумав новую форму энергии,
необходимо после этого всегда пользовать-
ся се определением и всегда вводить ее в
расчеты. Если наш выбор неудачен, мы быст-
ро придем к противоречию. Но, следуя зако-
ну сохранения энергии, ученые «придумали»
тепловую, электромагнитную, ядерную и
многие другие формы энергии. Поступая
таким образом, мы не приходим к каким-ли-
бо противоречиям. Великий французский
математик Анри Пуанкаре (1854—1912) вы-
разил это в следующих словах:
«Поскольку мы не в состоянии дать общее
определение энергии, закон сохранения энер-
гии следует рассматривать просто как ука-
зание ца то, что существует нечто, остаю-
щееся постоянным [в любом физическом
процессе]. К каким бы открытиям ни при-
вели нас будущие эксперименты, мы заранее
знаем, что и тогда будет нечто, обладающее
способностью сохраняться, и это нечто мы
можем называть энергией».
Любой физический закон имеет ценность
лишь постольку поскольку он позволяет
проникнуть в тайны природы С этой точки
зрения закон сохранения энергии, конечно,
самый важный закон в науке. Вместе с за-
коном сохранения импульса (раздел 5.11)
рассмотрение баланса энергии в радиоактив-
ном /?-распаде привело к постулированию
существования нейтрино — одной из наи-
более интересных фундаментальных частиц.
Используя закон сохранения энергии, мы
смогли глубоко проникнуть в сущность
сложнейших процессов, протекающих в био-
логических системах. Несмотря на чрезвы
чайную трудность проведения точных физи-
ческих измерений на живых организмах, при
изучении процессов обмена веществ в малых
организмах удалось подтвердить справедли-
вость закона сохранения энергии с точно-
стью 0,2%.
Во многих задачах мы ст алкиваемся с дей-
ствием сложных сил, и получить их решения,
основываясь на законах Ньютона, крайне
трудно Однако такие задачи могут быть
просто решены если использовать законы
сохранения, в частности закон сохранения
энерг ии. Как говорят , успех рождает новый
успех, а закон сохранения энерг ии несомнен
но применялся с большим уеггехом
202
7. Энергии
Пример 7.6
Груз массой 1 кг скользит вниз по шероховатой наклонной плоскости с высоты 1 м, до-
стигая внизу скорости 4 м/с. Сохраняется ли при этом энер!ия?
Наверху
Епот = mgh — 1кг 9,8м/са • 1м = 9,8 Дж.
Внизу
£кин = -у mv2 -i- • 1 кг - (4 м/с)2 - 8 Дж.
Мы видим, что энергия, казалось бы, не сохраняется. Но не забудем, что между грузом
и шероховатой плоскостью действует сила трения. Очевидно, некоторое количество энер-
гии (1,8 Дж) пошло на совершение работы против силы трения. Указанное количество энер-
гии перешло в тепловую энергию, и его можно обнаружить, измерив повышение темпера-
туры груза и наклонной плоскости после того, как i руз соскользнул вниз. (Тепловую энергию
мы рассмотрим в разделах 7.15—7.17.)
В табл. 7.1 показаны области энергии,
отвечающие различным физическим про-
цессам.
7.8. Виды энергии
КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ
ЭНЕРГИИ При движении центра масс тела
оио обладает кине! ической энергией; в част-
ности оно имеет кинетическую энергию по-
ступательного движения (обозначаемую
LtSS1). Может оказаться, что центр масс
неподвижен, но тело вращается вокру!
оси. При этом поступательного движения
тела нет, и, следовательно, Е™„т =0. Одна-
ко отдельные элементы тела находятся в
движении и поэтому обладают кинетической
энергией. Этот вид кинетической энергии,
отвечающий вращению, называется кинети
ческой энергией вращательного движения
(Екнн ).
Потенциальная энергия тела есть резуль
тат действия на тело всевозможных сил
Для макроскопических тел существуют лишь
гравитационная и электрическая силы По
этому имеются два основных вида потен-
циальной энергии гравитационная потен-
циальная энергия (Е„^т ) и электрическая по-
тенциальная энергия (E,]„, ).
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЭНЕРГИИ. Различ-
ные виды энергии, с которыми мы часто
имеем дело, перечислены в табл. 7.2. Механи-
ческая энергия может быть разных видов,
но в каждом случае довольно легко устано-
вить основной вид или виды энергии; на-
пример, энергия мяча, брошенного с враще-
нием, складывается из Е™" , и Е^т .
Для некоторых других форм энер!ии это
сделать не так легко. Так, например, упругая
энергия сжатой пружины обусловлена по-
тенциальной энергией, запасенной в пружи-
не в результате работы по взаимному сме-
щению атомов вещества пружины. Посколь-
ку атомы взаимодействуют друг с другом
электрическими силами, упругая энергия
есть Е ют •
Аналогично при образовании молекулы
химического топлива например пропана или
такого пищевого вещества, как глюкоза, со-
вершается работа против электрических сил
взаимодействия атомов, и запасаемая в
молекулах энергия вновь есть Е . Звуковая
и тепловая энергии суть EI2"; вся разница
между ними в том, что в звуковой волне
молекулы совершают упорядоченное движе-
ние взад-вперед, тогда как тепловой энергии
отвечает беспорядочное движение молекул.
Энергия, сосредоточенная в электромагнит-
ном излучении, например в световых волнах
7.8. Виды энергии
203
Таблица 7.1. Области энергии
Эрги
К)48
Взрыв сверхновой
1044
Ю-ю
Излучение Солнца за 1 год
1036
Энергия вращения Земли
1032
Энергия, получаемая Землей от Солнца за 1 год
102в
Сильное землетрясение
10-
Взрыв водородной бомбы
102°
Взрыв первой атомной бомбы
1016
Запуск ракеты
Удар молнии
8 ч тяжелой работы
10’
Смертельная доза рентгеновского излучения
10е
Выстрел из ружья
104
Падение пятикопеечной монеты с высоты 1 м
Взмах крылышек мухи
Деление ядра урана
10
Электрон в атоме водорода
Химическая связь
10"’2
204 7. Энергия
Tao ища 7.2. Некоторые виды энергии
Форма энергии Примеры Основной вид энергии
Механическая Движущиеся сани /7 ПОСТ КИН
Вращающийся маховик с врат Г- кин
Вода в напорной башне /.•гр ^пог
Упру1 ая Сжатая пружина рЭЛ л пот
Растянутая резина ,-эл *-ПОТ
Химическая Топливо (газ, уголь и т. д.) гэл «-пот
Пища /.- »Л ПОТ
Взрывчатые вещества 17 ЭЛ *- пог
Звуковая Ударная волна г-ПОСГ кин
Сейсмические волны Г ПОСТ кин
Тепловая Молекулярное движение ..пост £ кин
Электромагнитная Покоящиеся заряды . ЭЛ с ПОТ
Электрический ток гр ПОСТ । гр »л К-КИИ «-пот
Свет ^иот
Радиоволны рэл с. пот
или радиоволнах, в основном есть лПО1,
но при взаимодействии этих волн с элек! ри-
г-пост
ческими зарядами она превращается в лк,1Н
Существует множество форм энергии, и
энергия из одной формы может переходить
в другие. Но каким бы ни был физический
процесс, при ближайшем рассмотрении ока
зывается, что полное количество энергии
всегда постоянно — энергия сохраняется.
7.9. Упругие и неупругие соударе
ния
ВАЖНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ
ЭНЕРГИИ Кроме энергии, которой об л а
дает тело благодаря своему движению, су-
ществует еще так называемая внутренняя
энергия тела. Увеличение внутренней энер-
гии может происходить, например, если не-
которая часть кинетической энергии движе-
ния тела как целого идет на усиление относи-
тельного движения атомов или молекул,
составляющих тело Эта энергия движения
атомов и молекул проявляется не непосред-
ственно в виде наблюдаемого движения или
положения тела как целого, а в виде увели-
чения внутренней энергии тела, описываемо-
I о как возрастание температуры тела. Ниже
в этой главе мы подробно рассмотрим тео-
рию теплоты, основанную на представлении
о движениях атомов и молекул Сейчас нам
достаточно лишь понять, что существует
возможность изменять внутреннюю энер-
гию тела.
Из предыдущего известно, что при соуда-
рении двух тел импульс и энср1ия сохраня-
ются Мы, однако, не требуем, чтобы сохра-
нялась кинетическая энергия, — достаточно,
чтобы сохранялась полная эиер! ия тел. Если
при соударении некоторая доля кинетической
эпер1ии переходит в тепловую энергию, то
такое соударение мы называем неупругим.
Для неупругого соударения характерно из-
менение внутренней энергии одного или
обоих сталкивающихся тел. Если такого
изменения нет, то соударение называется
упругим Если количество кинетической энер-
I ии, превращающейся во внутреннюю энер
7.9. Упругие и неупругие соударенщ
205
гию, достигает максимального значения,
допускаемого законом сохранения импульса,
то говорят, что имеет место абсолютно
неупругое соударение
На фиг. 7.6 показаны два упругих и два
неупругих соударения. Если мяч, падая на
неподвижную поверхность, отскакивает' от-
нес на г р жнюю высоту, то соударение буде i
упругим. Разумеется, это идеализация, кото-
рая не реализуется в природе. При соударе-
ниях всегда происходит превращение чащи
кинетической энергии мяча в энергию дви-
жения ею молекул. Таким образом, все
происходящие в действительности макро-
скопические соударения неупругие, поэтому
мяч после о I скока никогда не достигает пер-
воначальной высоты. Соударения между
макроскопическими телами всегда неупруги,
хотя в благоприятных случаях доля кинети-
ческой энергии, превращающаяся во внут
реннюю энергию, может быть очень мала.
При соударении тела массой т с непод-
вижным телом массой М (причем т<М).
как показано на фиг. 7.6, а, тело с меныпей
массой отскакивает, передавая часть им-
пульса и энергии телу с большей массой;
последнее получает отдачу в направлении
первоначального движения тела с меньшей
массой. Упругие соударения такого типа
обычно происходят между элементарными
частицами (например, при столкновении
электрона с протоном), поскольку «внутрен-
нюю энер! ию» I аких частиц изменить нельзя
До удара.
М-+ (М-*
После удара
а 5
Фи1 7.6. Упругое (а) и неупругое (б) соударе-
ния.
Наконец, если на неподвижное тело нале
тает пластилиновый шарик, как показано
на фиг. 7.6, 6. то при их соударении шарик
нс отскакивает, как в предыдущем случае,
а прилипает к телу. В этом случае оконча-
тельная скорость движения тела с прилип-
шим к нему шариком определяется одним
законом сохранения импульса. Как мы уже
говорили, при этом во внутреннюю энергию
переходит максимальная доля кинетической
энергии и соударение оказывается абсолют-
но не упругим.
Пример 7.7
Шар массой тх 100 г, двигаясь со скоростью 50 см/с. налетает на шар мас-
сой т2 200 I, первоначально находившийся в покое. Вычислим конечные скорости ша
ров ц' и в предположении, что соударение упругое.
206 7. Энергия
Прежде всего на основании закона сохранения импульса запишем
р (до) — р (после),
т. е.
m1v1 + = т^щ + т^2
Чтобы наши уравнения не выглядели слишком 1ромоздкими, мы не будем писать единиц
измерения (везде подразумевается система СГС) Тогда
100 - 50 + 0- 100oi+ 200^2-
Разделив обе стороны этого равенства на 100, получим
U| + 2v2 50. (1)
Согласно закону сохранения энергии, мы имеем (поскольку сюда нс вошла потенциальная
энер1ия и соударение упругое)
^ки>1 (до) — ^кин (после),
т. е.
1 2.1 2 1 » , 1 '*
+ ~Ym^V2 - -TmiVl +-^-m2V2 ’
-у 100 • (50)а + 0 - 4- • 100 • и,'2 + -у - 200 . р/ .
Разделив обе части этого равенства на у2 ’ 100 50, получим
>2 ,2
+ 2v2 = 2500. (2)
Теперь мы имеем два уравнения (1) и (2), в каждое из которых входят оба неизвестных
Ч и 1£'. Решая уравнение (1) относи! елыю ц'.
р, — 50—2о2 (3)
и подставляя это решение в уравнение (2):
2500 = (50 -2р2)2 + 2v* - 2500 - 200р' 4 4и’’ + 2и* ,
найдем
6р, — 200р2 ,
откуда
' 200 „„1 .
о, = - „ =33 — см/с.
6 з
По вставив это значение в уравнение (3). получим
v. = 50 — 2-33 — = — 16 см/с.
* 3 3 '
Отрицагельпый знак говорит о том, что после соударения шар массой mt будет двигаться
в направлении, противоположном тому, в котором он двигался до соударения
Т.9. Упругие и неупругие соударения
207
Пример 7.8
Бильярдный шар после удара кием, двигаясь со скоростью 100 см/с, ударяет в другой шар
и отлетает под углом 60 . В каком направлении и с какой скоростью полетит второй шар?
До удара
После удара
Мы поступим так же, как и в примере 7.7, т. е. используем уравнения, выражающие за-
коны сохранения импульса и энергии. Но теперь мы встретились с двумерной задачей, где
потребуется дополнительное уравнение для импульса.
До соударения х- и у-крмпоненты импульса были равны
Рх ру-0
Эти величины должны сохраняться по отдельности. Используя тригонометрические функ-
ции, для х- и у-компонент импульса после соударения получаем
nij и, cos 0, -|- m2 v2 cos 0г = mtvt,
и, sin О, — m2 v2 sin 0z = 0.
где знак минус в уравнении для ^-компонент означает, что эти компоненты импульса направ-
лены в противоположные стороны
Поскольку соударение упругое, уравнение для энергии имеет следующий вид
1 2 1 2 1 2
m.v. —m,v |-----------/и, vQ .
2 * 1 2 1 1 2 2
Так как m, m2, уравнения для импульса и энергии принимают вид
Pl COS 0t -|- v2 COS 02 — Uj, 1 j
casino, — o2sin02 = O, (2)
(3)
208
7. Энергия
Этих уравнений дошаючно для решения задачи, поскольку и, и 0, уже известны: иначе
говоря, мы имеем три уравнения с тремя неизвестными с,', г2 и О,'. Будем решать их так.
Сначала разрешим уравнение (2) относительно Ср Затем подставим этот результат в урав-
нение (1) и разрешим его относите тыто с,. Получившиеся выражения для t>2 и с2 можно
подставить в уравнение (3), которое тогда будет содержать только одно неизвестное'02.
Определив значение 02. мы внесем его обратно в уравнения и найдем значения г', и 1^. Рас-
чет требует длинных алгебраических выкладок, и мы предостав. яем провести его читателям.
Окончательный результат таков:
Р] = 50 см с, v2 = 86,6 см с, 02 = 30°.
Важно заметить, что угол между «своим» и «чужим» шарами после соударения равен
60 ’ + 30' - 90 , т. с. векторы обеих скоростей v и v2 направлены под прямым углом друг
к другу. Это неслучайно: при столкновении движущейся частицы или шара с другой час-
тицей или шаром той же массы, но покоящимся, они разлетаются из точки столкновения
под прямым Vi лом Таким образом, когда двиягущийся протоп сталкивается с непо движ-
ным протоном, их траектории после столкновения всегда* составляют прямой угол друг
с другом Фотография такого события приведена на фиг. 7.7.
Фиг. 7.7. Столкновение летящего и неподвиж-
ного протонов в фотографической эму 1ыии
Угол между следами частиц, разлетающихся пос-
ле столкновения, составляет 90'
* При гсловии что скорость налетающего протона достато то мала, чтобы не бы ю релятивистских
эффектов. (С «. также раздел 11.3).
7.9. Упругие и неупругие соударения
209
Пример 7.9
Маятник с грузиком массой М по зияли до высоты Н и отпустили. В нижней точке своей тра
ектории грузик налетает на кусочек п гастилипа массой т. До какой высоты /1 поднимется
грузик с налипшим на него пластилином?
В нашей задаче можно выделить три этапа: падение массы М, соударение М и т и подъем
массы М + т На первом и последнем этапах можно использовать закон сохранения энер-
гии, на среднем этапе — закон сохранения импульса
Первый этап — падение:
Епот (вначале) — Екин (в конце),
т. е.
Mg И — Mv2,
откуда
v = V2gH.
Второй этап соударение-
(1)
р (вначале) — р (в конце),
т. е.
М М 4- т) v'.
Третий этап подъем:
Екин (вначале) Епот (в конце),
т. е.
-у ОМ т) V’ = (М \-m)gh,
откуда
v' - ]/ 2gh .
(2)
(3)
Подставляя (1) и (3) в (2), найдем
М |/ 2gH (М h tri) У2gh.
14 779
210
7. Энергия
Сокращая на V2g и возводя обе стороны равенства в квадрат, получаем
МгН =(M + m)2h,
так что окончательно для высоты подъема имеем
h-l-M—Xn.
\ М + т /
В качестве упражнения покажите, что доля кинетической энергии, перешедшая в этом слу-
чае во внутреннюю энергию, сошавляет mMgH (М + т)
СТОЛКНОВЕНИЯ БЕЗ СОПРИКОСНО-
ВЕНИЯ Когда один бильярдный шар уда
ряе! о другой, мы говорим, что произошло
контактное столкновение. Эю означает, что
молекулы на поверхности одного шара ока-
зываются в непосредственной близости к
молекулам на поверхноши другого шара.
Использованное нами слово «контактный»
звучит здесь, однако, довольно неопреде-
ленно, поскольку не ясно, как понимать
«сближение» одной молекулы с другой. В
Фн1.7.8. «Столкновение» кометы с Солнцем,
не сопровождающееся каким-либо соприкос-
новением
действшелыюсти при так называемом «кон-
тактном» столкновении происходит взаимо-
действие молекул посредством электриче-
ских сил, приводящее к взаимному отталки-
ванию. Предо тжая эти рассуждения, мы
можем утверждать, что в общем случае
эффекты соударений между двумя телами
обусловлены электрическим и (или) грави-
тационным взаимодействиями. (Разумеется,
для столкновений с участием ядерных частиц
понадобится ввести еще ядерные силы.) Та-
ким образом, возможны «столкновения»,
при которых тела в действительности никог-
да не подходя г слишком близко друг к другу.
Например, кот да вследствие взаимного гра
внтацнонного притяжения комета огибает
Солнце (фиг. 7.8), то это тоже «столкнове-
ние», хотя здесь не происходит физического
«контакта».
7.10. Гравитационная потенциаль-
ная энергия
РАБОТА, СОВЕРШАЕМАЯ ПРИ ПОДЪЕ
ME ТЕЛА. Дтя подъема тела массой т на
высоту /т вблизи поверхности Земли, где
силу тяжести можно считать постоянной,
требуется, как мы уже знаем, совершить
работу W^=mgh. Мы говорим, что после
подъема тело обладает гравитационной по-
тенциальной энергией Enor mgh. Обраща-
ясь теперь к расстояниям, нс малым по срав
нению с радиусом Земли, мы должны при-
нять во внимание, что гравитационная сила
меняется обратно пропорционально квад
рату расстояния от центра Земли
Вычистим работу, которую надо совер-
шить чтобы поднять тело массой т из на-
чальною положения на расстоянии г, от
7.10. Гравитационна* потенциальная энергия
центра Земли до конечного положения на
расстоянии г2 от центра Земли, не изменяя
при этом кинетической энергии тела (фит. 7 9).
Сила, действующая на тело, в начальном
положении равна
Мт
(7.9)
а в конечном положении
Мт
(7.9а)
Известно, чю работа, совершенная над
телом, равна произведению денегвующей
на тело средней силы на расстояние, на кото-
211
G
рое перемещается тело:
Fs.
(7.Ю)
Для нагнет о случая (фиг. 7 9) пройденное
телом расстояние, очевидно, равно s r2- г.
Чему же равна средняя т рави-тациопная сила,
действующая на массу т в интервале между
Г] и г2? В примере 7 2 мы вычислили подоб-
ную силу, взяв среднее арифметическое из
значений силы в начальном и в конечном
положениях. Но там мы имели дело с силой.
линейно менявшейся с расстоянием. Здесь же
в случае силы, пропорциональной 1/г2, сред-
нее арифметическое уже нс годится. Ясно,
что при усреднении значение силы должно
получиться более близким к /д, чем к F2,
поскольку сила быстро убывает при движе-
нии тела от Г] к г2. Такое среднее (пригодное
в случае силы, пропорциональной 1/г2) есть
среднее геометрическое; оно определяется
формулой
F=G-^~. (7.П)
г,га
(Мы не будем доказывать правильность это-
го утверждения, а укажем лишь, что оно
выглядит разумным. Несмотря на этот про-
извол, результат оказывается точным ) Под-
ставляя это выражение для I и х г2 г,
в уравнение (7.10), находим
UZ12 G
(7.12)
Фит. 7.9. Для перемещения т от г, до г,
внешняя сила должна совершить работу.
Увеличение потенциальной энергии зела
массы т при перемещении от г, до г2 как
раз равно этой работе, затраченной на из-
менение положения тела, т. е.
£'р = GMm
(7.13)
Отмстим, что гравитационная потенци
альная энергия зависит только от начального
и конечного положений тела, т. е. г, и г2.
Хотя мы рассмотрели только самый прост ой
путь перемещения тела от г, до г2. величина
£,r,Si Для любого пути перемещения из на-
чально! о в конечное положение зависи т толь-
ко от г, и г2 Это связано с тем. что г рави-
тационная сила является консервативной
(раздел 7.5).
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВБЛИЗИ
ПОВЕРХНОС ГИ ЗЕМЛИ Используем по-
лученное только что общее (и точное) выра
жение для Е,',о, и вычислим потенциальную
энергию, приобретаемую телом при ею
поднятии на высоту It над поверхностью
Земли. Если /т малб по сравнению с радиусом
Земли R3, то следует ожидать, чго мы при-
дем к старому результату, а именно £1,^
=mgh.
Действительно, из уравнения (7.13) на-
ходим, что увеличение потенциальной эиер-
14*
212
7. Энергия
i ни при поднятии тела массой т от R 3
до К3 т h равно
Е^-ОМт (£---
= GMm R3 (R3 + Л) '
Если h мало по сравнению с К3 (т. е.
йс/?3), то можно пренебречь h в знамена-
теле и написать
EZr^GMm-^-. (7.15)
Сила, действующая иа массу т на поверх
ности Земли,
Мт
FTV-G-^~. (7.16)
Но эта сила в точности равна весу тела mg,
т. с.
Мт
те=°-*Г
откуда
GmM = mgRl. (7.17)
Подставляя это выражение в уравнение (7.15),
находим
~ h = mSh (7.18)
(при /1«кЛ3), т. е. получаем приводившийся
ранее резулыат
УСТАНОВЛЕНИЕ «НУЛЯ» ПОТЕНЦИ-
АЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ Согласно общему
выражению (7.13), увеличение кавитацион-
ной потенциальной энергии тела массой т
при его перемещении с поверхности Земли
(радиус R3) в положение иа расстоянии г
от центра Земли равно
Е^-ОМт^ —J-). (7.19)
Установим «начало отсчета» г равн 1 анион-
ной потенциальной энергии, положив, что
потенциальная энергия обращается в нуль
иа бесконечно большом расстоянии. Если
в (7.19) устремить г к бесконечност, т. с.
принять r-too, то (7.19) примет вид
Чтобы при г-»оо было Е\^п 0, мы, очевид-
но, должны прибавить к выражению для
Е^, постоянную величину — (iMmiR-p Это
можно сделать, так как потенциальная энер-
гия, как мы уже говорили (раздел 7.6),
относительна; мы используем это обстоя-
тельство и обратим Е„от в нуль при г-юс,
добавив к потенциальной энергии в каждой
точке приведенную выше постоянную. Та-
ким образом, прибавив к (7.19) —GMm!R3,
1 тя точки, находящейся иа расстоянии г
от центра Зем ти, мы получим*
ЕГР =- GMm
ПОТ Г
(7.20)
Этот результат является совершенно об-
щим; он не ограничивается только случаем
I равнтациоииого притяжения Землей. На-
пример, если М масса Солнца, т масса
Земли и г радиус земной орбиты, то Е
будет иметь смысл гравитационной потен-
циальной энергии Земли, обусловленной ее
притяжением Солнцем.
В соответствии с нашим выбором поло-
жения «нуля» гравитационной потенциаль-
ной энергии значение Ег?о1 всегда отрица-
тельно и возрастает (т. е. становится менее
отрицательным) с ростом г, достигая нуля
при r-юо. Для увеличения потенциальной
энергии необходимо совершить работу (ко-
торая идет на взаимное удаление тел); эта
работа достигает максимума, когда в конеч-
ном положении оба тела оказываются на
бесконечном расстоянии друт от друга
(фиг. 7.10).
РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ЭНЕР-
ГИЙ. Напомним еще раз, что физический
смысл имеет только изменение по геициаль-
ной энергии. Поэтому мы обычно вычис-
ляем величину А£ от, которая отвечает пе-
* Это выражение справедливо для точек вне
Земди. т. е. при r>Rj — Прим перев.
7.10. I рллвипилцллонлла ч
потенциальная энергия 213
Для перемещения т между
этими двумя точками
требуется работа-
Енот пРи Этом увеличивается
Фиг. 7.10. Для увеличения .ричтпациошюи по-
тенции -льной энергии от бо лее отрицате энно-
го до менее отрицательного значения или до
нуля (при г-*ээ) требуется совершить рабо-
т .
рсмсщеиию тела массы т из г, в r2 (q и г2
отсчитываются от другого тела массы М).
Согласно уравнению (7.12),
ДЕОТ = ^12 - GMm(—------------Y (7.21)
\ Г1 г2 /
Если Bz)2> 0, то работа совершается внеш-
ней силой против гравитационной силы при-
тяжения. Если Щ 2< 0, то работа соверша-
ется самой гравитационной силой, и эта
работа можег быть использована, например
для увеличения кинетической энергии тела
Так, если освободить два тела, удаленные
друг от друга на некоторое расстояние, ю
гравитационное притяжение вызовет уско-
ренное движение тел навстречу трут друг у и
расстояние между ними будет уменьшаться.
В результате гравитационная потенциальная
энергия будет убывать, что сопровождается
эквивалентным во грае ганием кинетической
энергии.
Пример 7.10
Вторая космическая скорость - эго минимальная скорость, которую необходимо
сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно могло уйти на бесконечное расстояние от
Земли — покинуть область гравитационного притяжения Земли. (Мы не учитываем здесь
то обстоятельство, что реальные тела, запускаемые с поверхности Земли, золжны преодо-
леть сопротивление воздуха, прежде чем выйдут за пределы атмосферы.) Ч гобы вычислить
величину г,,, заметим, что начальная кинетическая энергия тела на поверхности Земли
У2тг'п полностью расходуется на увеличение гравитационной потенциальной энергии
тела от начального значения —GMm R} до нуля при г -► лэ. Таким образом, полная эпер-
т ия тела £,'„гГ должна быть равна нулю при г -» эо.
На основании закона сохранения энергии можно записать
Е ии Е (на поверхности Земли) = Екна + (на бесконечности).
1 2
---mVU
2 11
GMm
о,
от куда
/'2GM
*3
214
7. Энергия
Подсгавляя сюда G' 6,67-10 8 дип-см2Т2, М 5,98-10 7 i и Л, 6,37-108 см, находим
с'н — 1,13 • 10* см с — 11 3 км/с.
Этой скорости достаточно для того, чюбы покинуть Землю, но ома не позволит телу
покинуть пределы Солнечной сисгемы, поскольку гравитационное притяжение Солнца во
много раз больше, чем Земли. Для вычисления скорости, необходимой, чтобы покину ib
Со тенную систему при Шарле с орбиты Земли, возьмем прежнее выражение для , только
подставим в него массу Солнца М 1,99-1033 г и вместо Л] — расстояние от Земли до
Солнца 1,50-1013 см. Это дает
vc — 42,1 км/с.
Результат позволяет получить хорошую оценку для скоростей метеоритов в момент па-
дения их на Зем по. Частица, приходящая к Солнцу с бесконечно большого расстояния*
(«стартующая» из состояния покоя) в момент, когда она достигает того же расстояния от
Солнца, что и Земля на своей орбите, приобретает вычисленную выше скорость, а имен-
но 42,1 км/с. Скорость метеорита относительно Земли есть векторная сумма этой скорости
и скорости движения Земли по орбите вокруг Солнца (29,9 км,с). Если метеорит сталкива-
ется с движущейся навстречу Землей, то скорость столкновения будет примерно равна
42,1 + 29,9 72,0 км с, если же метеорит догоняет Землю, то скорость составит примерно
42,1—29,9 12,2 км.'с. Большинство метеоритов имеет скорость стоткповепия в интер-
вале 10 70 км'с.
7.11. Электростатически ч
потенциальная энергия
СОПОСТАВЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОН-
НОЙ И ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ПО-
IЕНЦИАЛЬНЫХ ЭНЕР1 ИЙ. Мырассмот-
рим сейчас г у nacib элекгромаг ни i ной энер-
гии, которая связана с покоящимися наряда-
ми, — электростатическую энергию.
Помимо сущееIвенного различия, состоя
щего в том, что электрический заряд можег
быгъ либо положительным, либо отрица-
тельным тогда как масса всегда положи
тельна. в остальном электростатическая по-
тенциальная энергия изменяется ио тем же
законам, чго и травитациоппая потенциаль-
ная энергия Мы уже видели, что гравита-
* На самом де ie метеориты приходят не и;
бесконечности, а возникают в нашей Солнечной
системе. Однако скорости, приобретаемые тела
ми при приближении к центру Солнечной системы
с далекой периферии не слишком ешьно отлича-
ются от тех, которые наблюдались бы при дви.Ж1
нии из бесконечности. Поэтому приведенный ре
зулътат не содержит бо льшой ошибки
циоииая сила, действующая между массами
/Hj и т2 на расстоянии г друг от друга.
^rP = G-^^. (7.22)
Отсюда мы нашли, что гравитационная по-
тенциальная энергия
ЕГПрт = — (7.23)
при условии, ЧТО E'Svt 0 ПРИ Г —» ЭО.
Электростатическая сила, действующая
между двумя зарядами и </2 на рассгоянии
г друг от друга.
Г _ 91 Чг
* эл---------------
(7-24)
|дс знак пиос отвечает силе притчженич
(заряды </, и q2 разноименные), а знак ми-
нус силе оттаскивания (заряды qt и q2
одноименные). Совпадение выражения для
/ ,л по форме с выражением для р пока-
зывает, что формула для элек i ростатичсской
погенциальиой энерти Е должна иметь
7 11 Э !ектростатическая потенциальная энергия
215
Чг
При движении q2
совершается работа
против притягиваю-
щей силы Нзл
Е%т возрастает
Чг
О
Чг
При движении q3
притягивающая
сила F3„ совершает
работу
£%„ бывает
4i
о
£ поп, увывает
ч,
о
—->Fjw
При движении q3
отталкивающая
сила F3/1 совершает
работу
При движении q2
совершается работа
против отталкиваю
щей силы F3n
такой же вид, как и формула для Е^.с юй
лишь разницей, что надо учесть различие
в знаках Г гр и F . Таким образом, мы
имеем
r-эл Qi 9а
run г
(7.25)
РАБОТА И ИЗМЕНЕНИЕ ПОТЕНЦИ
АЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ. Работа, совершае-
мая при перемещении заряда из подоже-
Фиг. 7.11. Изменения Еп„т для четырех воз-
можных случаев движения заряда q2 в при-
сутствии положительного заряда
иия г, в положение г2 (расстояния г, и г2
измеряются опюсительно заряда q2). равна
изменению электростатической потенциаль-
ной энергии:
=9>?г(т
\ Г2
—V (7.26)
П /
7. Энергия
216
Это выражение можно сравнить с выраже-
нием (7.21) для А£„'орт.
Разницу в знаках между Егп?, и £’„т или
между Л£’пот и А£^от лико объяснить,
обратившись к понятию работы. Она схе-
матически иллюстрируется фиг. 7.11 для
случая электростатической потенциальной
энергии. Когда работа совершается против
консервативной силы (типа £ или £,л),
потенциальная энергия возрастает, И’>0 и
Д£пот>0. Если же работу совершает сама
эта сила, то потенциальная энерт ия убывает,
14'<0 и AFWT<0. Первые два случая на
фиг. 7.11 справедливы и для г равнтацион-
ной силы.
Пример 7.11
Два заряда д, = -1-4 ед. СГСЭ и д2 —6 ед. СГСЭ находятся на расстоянии г, — 3 см друг
от друга. Как изменится потенциальная энергия, если расстояние между зарядами увели-
чится до 8 см?
Используем формулу (7.26)’
-----Ч - (+4) • (-6) • (-L - = (-24) = + 5 эрг.
\ Г2 / \ о о / \ 24 /
В этом случае работа производится против сил электростатическою притяжения, поэто-
му происходит увеличение электростатической потенциальной энергии (AF ",т > 0).
7.12. Разность потенциалов
и электронвольт
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ
ПОТЕНЦИАЛА. Со ласно формуле (7.26).
работа по перемещению заряда q с расстоя
иия г, до расстояния г от неподвижного
заряда q' равна
W — qq'(—------(7.27)
\ Г2 Г1 /
Если известны q, q' и расстояния г,, г,,
то можно вычислить W Если q изменится,
то меняется и W. Однако отношение Wiq
не зависит от q и определяется лишь заря-
дом q'. (Мы называем q' источником.) Вели
чина ИУд представ, тяет собой приходящуюся
на единицу заряда работу, необходимую для
перемещения от г, до г в присутствии элек
трест этической силы, обусловленной источ-
ником g Представление о такой работе
чрезвычайно полезно; величина Wq полу-
чила специальное наименование разности
пота циа юв* и обозначение К
1Z w
разность потенциалов V — .
<7
(7 28)
Отмстим, что И’есть рашость потенциаль
пых энергий (при данном значении д). однако
iWg имеет размерность не энерт ии, а энергии
(или работы), деленной на заряд Если для
перемещения 1 ед. СГСЭ заряда от г, до г2
в присутствии заряда д'требуется совершить
работу 1 эрг, то мы говорим, чго между
г, и г2 существует разность потенциалов
в 1 ед. СГСЭ Таким образом, в системе
СГСЭ
I ед. СГСЭ потенциала
— 1 эрг/ед. СГСЭ заряда. (7.29)
В системе СИ единицей работы является
джоуль (Дж), единицей заряда кулон (Кл)
* Иногда величину V называют просто потен-
циалом.
7.12. Ринкит потенциалов и лектронволып
217
и единицей разности потенциалов волыи
(В)
1 вольт — 1 джоуль/кулон. (7.29а)
Так как 1 Дж 107 эрг и 1 Кл 3-10 9 ед.
СГСЭ заряда, го
1 ед СГСЭ потенциала
— 300 вольт. (7.30)
Единица разности потенциалов вольт хо-
рошо извесгиа всем, кго пользуется электри-
чеством в быту Так, разность потенциалов
между проводами подводящими электро-
энергию в домах, равна 127 или 220 В; раз-
ность потенциалов между зажимами бата-
рейки для карманного фонарика 1,5 В
ЭЛЕКТРОНВОЛЬТ. Мы введем ienepb
единицу энергии, получившую чрезвычайно
широкое распространение в атомной и ядср-
ной физике. Предположим, что частица с
зарядом е, равным заряду электрона (таким
же, что и у протона, но с обратным знаком),
движется от одной точки к друюй, причем
между обеими точками существует разнос >ь
потенциалов 1 В Какая работа при этом
совершается над зарядом? Используя фор-
мулу (7 28), получаем
W = qV = eV = 1,602-10 '» Кл-1 В —
- 1,602 -10-1® Дж (7.31)
В сишеме СГСЭ
W — 4,80-10~10 ед. заряда х
1
X------ед. потенциала =
300
= 1,60 • 10~12 эрг.
Эта единица работы или энергии получила
специальное наименование электронвольт
и обозначение эВ'
1 эВ = 1,602 IO'18 Дж =
= 1,602 1012 эрг. (7.32)
Во Miioi их задачах особенно в ядерной фи
зике, удобнее использовать более крупные
единицы энергии; среди инх чаше всего при-
меняют следующие:
1 килоэлектронвольт (кэВ) = 103 эВ =
= 1 602 • 10~® эрг,
1 мегаэлектронвольт (МэВ) = 10* эВ =
= 1,602 10-в эрг,
1 гигаэлектронвольт (ГэВ) = 10® эВ =
— 1,602 10~3 эрг.
Пример 7.12
Покоившийся протон проходит разность по тенциалов 106 В Какую скорость и кинетическую
энергию он наберет в конце своего движения?
Для кинетической энергии просто имеем
ЕКИ11 = эВ = I МэВ - 1,602 • 10'® эрг.
Д гя определения скорости используем равенство
EKHHf=^-mpu2,
откуда
1 / 2ЕКН„ -1 /2 1.60- = 1 38 - Iо® см/с.
v- V тр — V 1,67-КГ” г
218
7. Энергия
Если мы поставим ту же задачу для электрона, проходящего разность потенциалов 10® В,
то скорость элекчрона в конце движения нам не удастся вычислить столь просто Точный
расчет требует знания теории относительности Релятивистский эффект проявляется в слу-
чае электрона е энергией 1 МэВ и совершенно несуществен для протона с той же энергией
вследствие значительно большей массы протона. Но и для протона с энергией примерно
100 МэВ и выше при вычислении скоростей приходится применять теорию относитель-
ности.
ЭЛЕКТРОНВОЛЬТ КАК ОБЩАЯ ЕДИ
НИЦА ЭНЕРГИИ. Электроиволы обычно
используется в качестве единицы эиер! ии
даже в тех случаях, когда частица вовсе не
проходит определенной разности потенциа
лов. Так, например, говорят, что нейтрон
(частица примерно с шкой же массой, чю
и у протона, но лишенная »лекгричсского
Фи. 7.12. Схема генератора Ван де Граафа.
заряда и потому не испытывающая дей-
ствия электростатической силы) имеет энер-
гию 1МэВ, когда он движется со скоростью
1,38-10’ смс. Иными словами, «1 МэВ»
означает, что частица имеет определенную
кинетическую энергию, причем совершенно
несущественно, каким способом она приоб-
рела эту энергию.
Элек I ронвольты редко используются тля
гел, размеры которых значительно пре-
восходят атомные масштабы, поскольку для
7.12. Разность потенциалов и электронвольт
219
Фш. 7.13. Устройство генератора Ван де
Граафа на 5,5 миллиона во льт.
Кольца служат Оля более равномерного распре-
деления падения напряжения от купола к зем ie
На правой фотографии виден бак высокого дан
ления в который заключен работающий ускори-
тель.
„их эта единица оперт ии слишком ма та
Например, энергия метеорита массой 0,1 i,
падаюшет о на Землю со скоростью 50 км с,
составляет около 8 -1014 ГэВ
УСКОРИТЕЛЬ ВАН ДЕ ГРААФА Элек
/простатический генератор (или ускоритель)
Ван де Граафа позволяет сообщать высокие
скорости заряженным частицам, например
протонам, благодаря тому, что частицы
проходят в нем большую разность потен-
циалов Принцип действия такой машины
широко используемой для решения совре
менных проблем ядерной физики, схемати-
чески иллюстрирует фиг. 7.12.
Бесконечная лента из изолирующего ма-
териала (обычно ит прорезиненной хлопча-
тобумажной ткани) приводится в движение
мотором, находящимся при по тенциале Зем-
ли (нулевом потенциале) Лента проходит
мимо электрода, поддерживаемого высоко-
вольтным источником питания под высоким
положительным потенциалом относительно
Зем и. В результате электроны с ленты пере-
ходят на электрод. После удаления электро-
нов с какого-то участка ленты он движется
вверх, перенося положительный заряд На-
верху положительный заряд компенсируется
электронами с полусферическою купола,
накрывающего генератор. Благодаря этому
купол приобретает большой положительный
заряд, и тем самым между ним и Землей
220
7. Энергия
устанавливается большая положите >ьная
разность потенциалов. Купол удается за-
рядить примерно до 10 миллионов вольт!
На практике все устройство заключают
в специальный контейнер, заполненный га-
зом под высоким давлением Это прсдотвра
щает проскакивание искр между куполом
и расположенными близко предметами, на-
ходящимися при нулевом потенциале. Если
в куполе поместить источник положитель-
ных ионов-(например, протонов), то высокий
положительный потенциал будет их оттал-
кивать, и в результате, двигаясь к области
с нулевым потенциалом, ионы будут уско-
ряться. Если купол находится при потенциа-
ле 5 миллионов вольт относительно Земли,
зо протоны ускоряются до энергии 5 МэВ.
Аналогично если такой разностью потен-
циалов ускоряются двукратно ионизованные
аз омы гелия (их заряд равен 2 е), то они
приобретут энергию 10 МэВ Такие энергии
дос I а точны для того, чтобы обладающие
Фиг. 7.14. а —тележка на «американских
горах» стартует с высоты h, б — график
потенциальной энергии, отвечающей движе-
нию тележки на диаграмме а.
Высота кривой в каждой точке равна Е„п1, а раз-
ность между полной энергией и ординатой кри
вой в этой точке равна Е^КИ Отметим, что те
лежка никогда не сможет перевозить через гору
справа на фиг 7.14, б, поскольку для того, чтобы
подняться выше точки Р, требуется энергия
превышающая полную энергию Е тележки
ими частицы, налетая на атомные ядра,
разбивали их и тем самым производили
ядерные превращения.
7.13. Диаграммы потенциальной
энергии
ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ Е Еки„+Е„„Г. На
фиг. 7.14, а изображены так называемые
«американские юры» в разрезе. Допустим,
что тележка начинает свое движение с вы-
соты Л] над уровнем земли. По своему
опыту мы знаем, что скорость тележки
наибольшая в «долинах» и наименьшая на
«горах». Это объясняется взаимным пре-
вращением потенциальной и кинетической
энергий. Поскольку потенциальная энергия
в любой точке пропорциональна высоте
этой точки над уровнем отсчета (или земли),
разрез гор можно превратить прямо в диаг-
рам чу потенциальной энергии, показанную
на фиг. 7.14,6. Пользуясь этим графиком,
мы можем узназь значение Е„от в любой
точке пути 1ележки.
Положение s Sj 0 соответствует точке
старта, где mgh и EtHH(sy)- 0.
В результате полная энер! ия Е в точке
s=s, равна Е Ellu, (s1)+E„H(s1) mgh,.
Если пренебрегать потерями энер! ии на
трспис, то, согласно закону сохранения энер-
гии, полпая энергия в любой другой точке
тоже должна быть равна mgh,. В точке s—s2,
1де 1ележка находится на высоте h2, потен-
циальная энерюя равна EnoT(s2)' ntgh2 и
кинетическая эперюя должна быть равна
S;=0 S2 S^=0 S2
Расстояние s ---► Расстояние s — »
a S
7.13. Диаграммы потенциальной энергии
221
Фи1. 7.15. График потенциальной энергии
эгектрона в окрестности протона.
Ординаты проведены для случая, когда электрон
покоится в положении г г,.
разности между Е и Enol (s2), т. е. Екии (s2)
Е—Eno,(s2) mg (hi—h2). Таким обра-
зом можно пос I роить график кинетической
энергии, которая представляет собой рас-
стояние от прямой, изображающей полную
энергию, до кривой потенциальной энергии
СЛУЧАЙ Э 1ЕК1РОС1А1ИКИ. На
фиг 7.15 показан рафик потенциальной
энерт ии э гектрона вблизи протона. Кривая
графически изображает зависимость потен-
циальной энергии от расстояния
г ____ Qi Qz __ ( е)________&
НОТ- Т г
Если электрон покоится на расстоянии г г,
от проч опа, то кинетическая энергия равна
нулю: Екк„(гД 0. Следовательно, полпая
энергия Е Е„о1 (tj)= —e2jrt. (По шая энер-
гия отрицательна, так как мы отсчитываем
энергию от нулевого значения при г-*оо.)
При приближении электрона к протону (из
точки г, в г2) потенциальная энергия элект-
рона уменьшается, поскольку между части-
цами действует сила притяжения. Уменьше-
ние Е пот компенсируется увеличением Е ки„
Таким обра юм,
^кин гг) Епаг г ~------------
Если электрон удалить от протона на бес-
конечно большое расстояние, то потенци-
альная энергия электрона станет равной
нулю Иными словами, уменьшится до нуля
сила притяжения и электрон освободится от
воздействия протона. В случае свободного
движения полная энергия Е либо равна нулю.
222
7. Энергия
либо положительна. При переходе из точки
г г, в «свободное» состояние (г-»л) пол-
ная энер!ия должна увеличиваться oi -е2 г,
до нуля Иначе говоря, при г=г, электрон
связан, причем энергия связи системы £'св
равна e2irt* В атоме водорода эта энергия
£св =13,6 эВ Поэтому для ионизации атома
водорода требуется энергия, равная или
большая 13,6 эВ.
7.14. Теплота как форма
энергии
ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Все чела состоят из атомов и .молекул, ко
горые находятся в нетгрестаппом движении
независимо от того, составляют ли они газ.
жидкость или твердое тело. Поэтому даже
если гело неподвижно и имеет нулевую по-
тенции 1ьную энергию, оно тем не менее об-
ладает энергией, связанной с внутренним
движением составляющих его атомов и мо-
лекул. Иначе говоря, любому коллективу
атомов или молекул всегда присуща неко-
торая внутренняя энергия Если мы изменим
состояние системы, заставив атомы в ней
двигаться более ишепсивпо. то мы говорим,
что добавили в сисчему тепловую энергию
(либо совершив над системой работу, либо
сообщив ей тепло), гем самым увеличив
ее внутреннюю энергию Раздел физики,
изучающий взаимосвязь между теплотой,
работой и энергией, называется термодина-
микой.
При изучении внутренней энергии гел (чем
мы ло сих пор детально не запима тист.)
необходимо использовать общий физиче-
ский закон сохранения энергии. Обозначим
через U внутреннюю энергию тела, а через
Q сообщенную телу тепловую энергию
(или теплоту]. Если количество тепла, по-
лученное телом, равно Q, то его внутренняя
энергия возрастает точтю па гу же величину
AC Q. С другой стороны, приобретя коли-
чество тепла (?, тело может совершить не-
которую работу; например, если тело прел
* Сог шено нашему выбору начала отсчета, пол-
ная энергия связанной системы всегда шприца
те гена а несвязанной системы —положительна
{или равна иг по).
ставляет собой газ, то он может расши-
риться, произведя работу против силы, огра
ничивающей сто объем, как эго показано на
фиг 7.16 Закон сохранения энерт ии утверж-
дает, чго изменение внутренней энергии тела
равно ко гичеству тепла, сообщенного ему
за вычетом совершенной телом работы:
\U = Q-W (7.33)
Это уравнение носит название первого на-
чат термодинамики. Оно представляет со-
бой просто формулировку закона сохране-
ния энергии с учетом тепловой энергии.
ТЕМПЕРАТУРА (РАБОЧЕЕ ОПРЕДЕЛЕ-
НИЕ). Для количественной характеристики
внутренней, или тепловой, энертии необхо-
димо ввести понятие температуры. Это по-
нятие общеизвестно, мы пользуемся им.
чтобы выразить степень «натретости» тела.
Точное определение температуры мы дадим
в следующем разделе, где рассматривается
микроскопическая теория теплоты- здесь же
достаточно дать рабочее определение гем
перат уры. Разность между степенью «на-
гретости» кипящей воды и тающего льда
делится на 100 равных частей, называемых
градусами шкалы Це гьеия ( С). Гемпера-
т уре таяния льда условно приписывается 0 С,
температуре кипения воды 100 С при изме-
рениях на уровне моря. Было установлено,
что при повышении температуры объем
некоторых жидкостей, например ртути, рав-
номерно уве тичивается* Поэтому, если не-
которое количество ртути поместить в узкую
стеклянную трубочку, то с повышением тем-
пературы уровень ртутного столбика будет
подниматься, а с понижением температуры
опускаться. Отмстив па степке трубочки
положения столбика, соответствующие тем-
пературам таяния льда (О С) и кипения во-
ды (100 С), и разделив интервал между
этими двумя положениями на 100 частей,
мы получим обычный ртутный термометр.
Можно представить себе использование та-
кого прибора при исследовании различных
тепловых явлений.
* Почему так можно
пос ie более подробного
тем pa <де ie.
считать с танет ясны ч
рассмотрения в следую-
7.14. Теплота как форма энергии
223
Фиг. 7 16. Газу сообщено
количества теплоты Q,
и он, расширяясь, совер-
шает работу И
Увеличение внутренней энер-
гии газа равно AU Q— ГС
Отметим что часть теп-
ловой энергии превращается
в гравитационную потешт-
альную энергию, т е. совер-
шаемая газо м при растире-
нии работа W туй
Подводится
тепло Q
Внутренняя
энергия U1
J------
h
_____±
Газ совершил
работу
W= Mgh
М
Внутренняя
энергия U2
Точка
кипения
воды
Точка
плавления
льда
Фиг. 7.17. Сопоставление
температурных шка. /
Фаренгейта. Це эы-и.ч
(стоградусной) и Кельви-
на (абсо потной).
При меление абсо. потной
шка 1Ы рассматривается «
разделе 7 15.
Абсолют-
ный нуль
Комнатная
температура
ЕДИНИЦЫ КОЛИЧЕСТВА ТЕПЛА Опре-
делив способ измерения температуры Т, мы
можем использовать его для установления
количества тепловой энергии Q, участвую-
щей в каком-либо процессе. В качестве стаи
дартного вещества вновь возьмем воду и
определим каюрию (кал) как количество
тепла, требуемое для повышения температу-
ры I г воды на 1 С (oi 14,5 С до 15,5 С).
(Для повышения температуры 1 кг воды на
1 С требуется килокалория, или большая
калория, обозначаемая сокращенно ккал*.)
* Килокалория часто используется в качества
единицы для выражения калорийности (энергосо-
держания) пищи.
Калория есть единица энергии (или работы),
и существует определенное соотношение
между калорией и эргом или джоулем Пере
водной множитель можно определить, про-
изведя определенную работу над известной
массой вода и измерив результирующее
повышение температуры. Такое измерение
осуществил Джоуль, он определил работу,
необходимую для прокачивания воды через
узкие трубки, и одновременно измерил по-
вышение се температуры, вызванное тре-
нием. Этот опыт он провел в 1845 г., и най-
тенное им значение 4.14 107 эрг/кал чрезвы-
чайно близко к принятому теперь значению:
1 кал — 4 186 107 эрг = 4 186 Дж,
1 ккал = 4186 Дж.
(7.34)
224
7. Энергия
Эрг и джоуль являются точно определен-
ными единицами; калория же в сущности
лишняя единица энергии. Однако в силу
исторической традиции эту единицу все еще
используют в термодинамике, и нам при-
дется внести в наш список еще один перевод-
ной множитель.
УДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ. Количесз
во тепла, необходимое для повышения тем
пературы тела на ДТ, пропорционально АТ
и массе тела т. Обозначив коэффициент
пропорциональности с, мы можем написать
Q = стДТ. (7.35)
Таблица 7.3. Удельные теплоемкости неко-
торые веществ при комнатной температуре
Вещество с, кал/г'* С
Воздух 0,17
Алюминий 0,219
Медь 0,0932
Этиловый спирт 0.535
Золото 0,0316
Железо 0,119
Свинец 0,0310
Ртуть 0,0333
Величина с называется удельной теплоем-
костью вещества Размерность ее кал/г/‘ С
Обычно с зависит от температуры, но в узком
интервале температур (например, вблизи
комнатной температуры) ее с достаточной
точностью можно считать постоянной
Удельные теплоемкости некоторых веществ
приведены в табл. 7.3.
Из табл. 7.3 видно, что все приведенные
в ней значения с меньше единицы, а некото-
рые даже много меньше. Таким обравом,
вода (теплоемкость ко торой по определению
принята равной единице) является веществом
с аномально высокой удельной теплоем-
костью В результате вода — одно из наи-
более распространенных на Земле веществ —
оказывается эффективным носителем тепло-
вой энер1ии (например, в обычных отопи-
тельных системах с горячей водой).
Пример 7.13
Свинцовая пуля массой 10 г, летящая со скоростью 10* см'с, ударяет в массивный кусок де-
рева. Вычис ите, насколько повысится температура пули, если она застревает в дереве,
причем половина ее кинетической энергии превращается в тепловую энергию куска дерева,
а другая половина идет на нагревание пули. (Будем считать, что кусок дерева при ударе в пе-
го пули остается неподвижным )
Начальная кинетическая энергия равна
-±-mv2 ~ ~ ‘ Юг- (104 см/с)а — 5 - Ю8 эрг.
Повышение температуры составляет
\т
ст
где Q ’г -5-10“ эрг Удельная теплоемкость свинца равна 0, 0310 кал i С (см. табл. 7.3)
Следова гельно,
УГ ________________(1/2) - 5 10» эрг
= 19,3°С.
4,186-10’ эрг/кал • 0,0310 кал/ г С Юг
7.15. Микроскопическая теория теп юты
225
7.15. Микроскопическая теория
теплоты
ДАВЛЕНИЕ. Если приложить силу F к
плоской поверхноои площадью А, то эта
сила передается веществу, например газу
(фиг. 7.18), находящемуся с противополож-
ной стороны поверхности. При этом наи-
более существенна не сама сила, а сила,
приходящаяся на единицу площади поверх-
ности, пере 1ающей действие силы па газ;
эта величина называется давлением.
сила
давление — --------
площадь
(7.36)
Давление, оказываемое атмосферным воз-
духом на все тела на уровне моря, состав-
ляет 1,0-106 дин/см2*. Эта величина давле
ния называется атмосферой (атм)-
1 атм — 1,0 10е дин см®. (7.37)
Давление можно характеризовать также
высотой столбика ртути в запаянной трубке.
Давление I атм соответствует 760 мм ртут-
ного столба (мм рт ст.). Атмосферное дав-
ление на картах погоды (см. фит. 8.1) обычно
указывают в мм рг. ст
При задании условий, существующих в
лабораториях, 1 атм принимают за стан-
дартное давление. Когда говорят о стан-
дартных (или нормальных) температуре и
давлении, то под этим понимают Р—I атм
и Т О С.
ЗАКОНЫ БОЙЛЯ И ГЕЙ ЛЮССАКА
В 1662 г. английский химик Роберт Бойль
(1627 1691) обнаружил, что объем газа,
заключенного в цилиндрический сосуд, об-
ратно пропорционален давлению, оказы-
ваемому на него поршнем, при условии,
что температура газа нс меняется (фиг. 7.19).
Более того, это правило соблюдается неза-
висимо от формы сосуда, площади поршня
* Это среднее значение, в зависимости от
условий погоды возможны колебания давления в
пределах нескольких процентов от среднего зна-
чения
Фиг. 7.18. Давление есть сила приходящаяся
иа единицу площади.
или природы газа. Оно получило название
закона Бой ля и записывается в виде Р ~ 1' V,
или
PV = const (при Т = const). (7.38)
Позднее французские физики Жак Шарль
(1746—1823) и Жозеф Луи Гей-Люссак
(1778—1850) независимо друг от друга от-
крыли соотношение между температурой
газа и занимаемым им объемом (при по-
стоянном давлении) и тем самым расширили
закон Бой 1Я. Найденное ими соотношение
гласит, что объем газа пропорционален ею
температуре, V~T, или
V
— = const (при Р — const). (7.38а)
Это линейное соотношение между V и Т
можно продолжить до точки, в которой
Г 0, как показано на фиг. 7.20 Отвечающая
нулевому объему температура получила па-
вание абсо лютного нуля; ее значение равно
То = —273'С.
Для большинства термодинамических рас-
четов оказалось удобным отсчи ывать тем-
пера iypy от абсолют hoi о нуля. Температура,
определяемая по такой шкале, называется
абсолютной температурой; мы будем обо-
значать ее 7*. Единица абсолютной темпе
15—779
226
7. Энергия
ратуры совпадает с единицей шкалы Цель-
сия. Однако ее называют кельвином (К)
в честь английского физика-теоретика лорда
Кельвина (1824—1907), чрезвычайно много
сделавшего для развития термодинамики.
ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. Реальные газы пре-
вращаются в жидкости и даже затверде-
вают еще до того, как достигается темпера-
iypa Г* =0К. Поэтому уравнения (7.38) и
(7.38а) дают лишь приближенное описание
реальных газов Можно, однако, предста-
вить себе вещество (идеальный газ), которое
в точности следует законам Бойля и Гей-
Люссака. Объединяя эти два закона, мы мо-
жем написать уравнение состояния идеаль-
ного газа:
PV
= (7.39)
где а -посюянная, значение которой за
висит от свойств молекул газа. Реальные
газы, особенно при очень малых плотностях,
достаточно хорошо описываются этим урав-
нением состояния
Если мы попытаемся проверить справед-
ливость закона для идеального газа (7.39),
беря разные количества М одного и того
же газа или же одну и ту же массу М разных
газов с молекулами различной массы т,
то убедимся в том, что постоянная а прямо
пропорциональна М и обратно пропорцио-
нальна т, т. е. а~М т, или
а = ?? — , (7.40)
т
где R — константа, называемая универса tb-
ной газовой постоянной и не зависящая от
конкретных свойств используемого газа. От-
ношение массы газа М к массе его молекул
т называется числом молей газа п [см соот
ношение (3 9)]
М
число молей — п — — . (7.41)
т
Таким образом, ур внение состояния иде
ального газа принимает вид
PV = nRT* (7.42)
Отметим, что в этом уравнении фигурирует
абсолютная температура.
Pj= 100дин/смг
Vt=40cM3
Рг-200дин/сиг
V2=20cm3
Р3-4003ин/смг
.III ННП1<
Р3=10смЗ
Фиг. 7.19. Роберт Бойп открыл обратную
пропорциона льность между давлением газа и
занимаемым им объемом при постоянной
температуре.
Величины Р, V, Т* и п можно измерить,
после чего для R получается следующее
экспериментальное значение:
R = 8,314 • 107 эрг/(моль-К) =
— 1,986 кал/(моль-К). (7.43)
Уравнение состояния идеального газа яв-
ляется одним из важнейших термодинами-
ческих соотношений. Оно связывает механи-
ческие поня1ия давления и объема с термо-
динамическим понятием температуры В са-
мом деле, уравнение состояния можно рас-
сматривать как фундаментальное физиче-
Фнг. 7.20. «Абсолютный нуль» температуры
определяется путем экстраполяции зависи-
мости V от Т: Та 273‘С
7.15. Микроскопическая теория теплоты
227
ское определение темпера гург>г
Г* = —. (7 44)
nR
Мы можем использовать соотношение
(7 44) для экспериментального определения
температуры среды с помощью газового
термометра. Такой термометр состоит из
сосуда, содержащего определенный объем
газа, и устройства для измерения его давле-
ния*. (В этом приборе следовало бы исполь-
зовать идеальный газ, но на практике до-
статочно хорошие результаты дают реаль-
ные газы, молекулы которых имеют проекте
строение.) Измеряя объем и давление таза,
можно найти температуру. Газовый термо-
метр удается использовать в более широком
интервале температур, чем ртутный термо-
метр, поскольку ртуть замерзает при
—38,9 С и кипит при 356,6 С. По крайней
мере в принципе, гелиевый термометр мож
но использовать вплоть до температуры
4,2 К, при которой гелий переходит в жидкое
состояние.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ. Приступим
к изложению микроскопической теории теп-
лоты, основанной на наших представлениях
о поведении молекул. Эта теория должна
привести к объяснению макроскопических
свойств газов, описываемых уравнением со-
стояния идеального таза. Начнем с рассмот-
рения некоторого большого числа N моле-
кул идеального газа, заключенного в куби-
ческом ящике со сторонами длиной L В та
ком ящике (фиг. 7.21) молекулы движутся
хаотично со скоростями v Скорости моле-
кул не одинаковы, но это сейчас пе должно
занимать пас, поскольку нам надо знать
лишь среднюю скорость молекул.
Рассмотрим одну молекулу массы т,
х компонен га скорости которой равна ,
как показано па фиг 7.22. Ее импульс внача-
ле равен рх mvx. Если молекула испыты
вает упругий удар о стенку сосуда, то после
удара се импульс будет р'г = —mvx. Таким
образом, изменение импульса при ударе
* Лавзение можно измерять например по вы
соте столбика ртути иди мае за.
Таблица 7.4. Области температур во Все-
ленной
Г*, К
1О‘°
10’
10®
1()7
10®
ю5
ю4
10Л
ю2
10
1
10 6
Внутренние зоны самых горячих звезд
I—
Внутренние зоны звезд — красных ги-
гантов
Эпицентр взрыва водородной бомбы
— Внутренняя зона Солнца
— Солнечная короиа
Поверхность самых горячих звезд
Поверхность Солнца
Газовая турбина
—
Кипение воды, 373 К
। Замерзание воды, 273 К
Сжижение азота, 77 К
Сжижение водорода, 20 К
Сжижение гелия, 4,2 К
1_ Наинизшая достигнутая температура
равно
Хрх = рх — р — 2mvx,
и этот импульс передается правой стенке
куба на фиг 7.22.
Такое соударение с правой стенкой слу-
чается один раз за время перемещения мо-
лекулы от стенки к стенке. Следовательно,
промежуток времени между последователь-
Г5«
228
7. Энергия
Фиг. 7.21. М< зеку гы в газе движутся хаоти-
чески.
Фиг. 7.22. Молекула упруго сталкивается со
стенкой сосуда и стлетаст от нее, ивменив
знак (но не величину) своего импульса.
ними соударениями
Средняя сила (усреднение производится за
период времени Аг), с которой одна моле
куда действует на правую стенку благодаря
соударению,
ДрЛ 2mvx
Fjc ~ Ы ~ 2L/vx
nvx
L
(7.45)
Учтем теперь, что для получения полной
силы, действующей на правую стенку, надо
сложить силы от N молекул; проведем
такое суммирование, используя среднюю
х-компоненту скорости всех N молекул. Это,
конечно, нс вполне точно, поскольку в соот-
ношении (7 45) для силы фигурирует не гх.
а квадрат vx Поэтому, вычисляя силу, мы
должны брать пе квадрат сре,щего значения
vx (т. е. г2)- а среднее значение vi (т. е’. ri).
Пример 7.14
Покажем, что г2 не равно г5.
Рассмотрим четыре частицы, обладающие скоростями 1, 2, 3 и 4 СМ'С. Квадрат среднего
7.15. Микроскопическая теория теплоты
229
значения v равен
. р + 2+3-ny w /Jiy = (2>5 8 в 6125 сма/
\ 4 / \ 4 /
тогда как среднее значение V2 равно
•у-2 = (1)» + (2)*+ (3)*+ (4)* = 14-4 + 9+ 16 = J30 = 7>5см2/(л
4 4 4
так что оба способа усреднения приводят к существенно различным значениям.
Если отдельные значения скоростей были бы равны 4-1, —2, —3, 4-4 см с, то среднее
значение г2 не изменилось бы, а средняя скорость v оказалась равной ny.no
Умножая правую часть (7.45) на N и беря
среднее значение v2 мы получаем полную
силу, действующую на стенку куба:
Среднее значение е, очень просто связано
со средним значением v 2. По теореме 11ифа -
юра для трех измерений имеем
V2 = Vx -Ь Vy + = 3v2.
Последнее равенство выiекает из того, чю
поскольку большое число молекул движется
хаотически, го
Отсюда
так что
_ Nmv*
г ---------
3L
2
Площадь каждой грани куба равна L, так
что испытываемое ею давление
р FF Nmyi
~~А ~ ' 3L3
Поскольку объем кубическою ящика равен
V I?, эю соотношение можно переписан,
в пиле
PV = -у Nmv2. (7.46)
Но средняя кинетическая энерг ия одной мо-
лекулы
£кин - у rnv2,
гак чго (7 46) принимает вид
PV = 4 Л^Ёкин (7.47)
О
Уравнение состояния идеа плюю газа
(7.42) описывает макроскопические свойства
[аза. С другой стороны, уравнение (7.47)
основывается па микроскопическом рассмот-
рении взаимодействия молекул [ аза со стен-
ками сосуда. Левые час!и обоих уравнений
равны Мы можем, следовательно, прирав-
нять правые чао и этих двух уравнений и
получить исключительно важную связь меж
ду макроскопическим понятием температу-
ры и микроскопическим описанием моле-
кулярного движения, а именно
4 = nRT*,
о
ПЛИ
Якин = Y Т*. (7.48)
Но п число молей газа, a N число
молекул; отношение N;n есть число молекул
в 1 моле, т. е. число Авогадро [см. соотно-
шение (3 9)] •
— JV0 = 6,02 • Ю2’ молекул моль,
(7-49)
230
7. Энергия
гак что nR;N-- Rj No. Это отношение двух
посюянных представляет собой новую по-
стоянную
__ R ____ 8,314 107 эрг/(моль-К)
No 6,02 10» моль-i
= 1,380 101вэрг/К =
= 8,62 • IO'5 эВ/К, (7.50)
названную постоянной Больцмана в честь
австрийскою физика Людвига Больцмана
(1844—1906), внесшею огромный вклад в
создание микроскопической (или кинетиче-
ской) теории теплоты.
Соотношение (7.48) можно теперь записа г ь
в виде
£кин - kT* .
(7.51)
Мы получили эту связь макроскопической
температуры и микроскопической кинети-
ческой anepi ии, приравняв друг другу выр;
жения для Р V но гученные из теории и из
эксперимента. Возникает вопрос: как про-
верив справедливость соотношения (7.SI)9
Одним из наиболее непосредственных спосо-
бов является измерение скоростей молекул
СКОРОСТИ МОЛЕКУЛ. Соотношение
(7.51) можно записать в следующем виде
Екни - 7 ^’ = 7 kT*,
откуда
-г 3/гТ*
и = -------- .
т
Если извлечь квадратный корень из в2, то
мы получим не v (см. пример 7.14), а вели-
чину, называемую среднеквадратичной ско-
ростью :
(7 52)
Фиг 7.23. Макене ыовское распределение
молекул по скоростям в газе при трех раз-
зччных температурах
Величина} (г>) есть число молекул, скорости ко-
торых заключены в узком интервале около v Мак-
симумы распределений соответствуют наиболее
вероятной скорости молекул - О.Й2ц.к. т. е
скорости, несколько меиыией, чем среднеквадра-
тичная От метим, что по мере возрастания
температуры диапазон скоростей молекул все
более расширяется и наиболее вероятной скоро-
стью об задает все ценыиав доля молекул
В действительности скорости молекул в
т азе распределены по закону, который мож
но получить из кинетической теории с помо-
щью более совершенных математических
методов, нежели использованные нами. Рас-
пределение по скоростям названо максвел-
ловским распределением в честь Джеймса
Клерка Максвелла (1831— 1879)— антлий-
ского физика, внесшего крупный вклад в
кинетическую теорию и создавшего теорию
электромагнетизма. Максвелловские распре-
деления для трех различных температур по-
казаны на фиг 7 23. По мерс возрастания
темперазуры максимум распределения сме-
шается в сторону более высоких скоростей
в соответствии с соотношением (7.52), со-
I ласно которому гС1 ~ х/7*1.
Справедливость максвелловского распре
деления молекул по скоростям проверялась
непосредственно и была доказана много-
численными экспериментами, правильность
соотношения (7.52) таким образом установ-
ена. (Так, например, нетрудноубедиться
в том, что гс11 ~ V Т* и ~ V1 /т )
7.15. Микроскопическая теория теплоты
231
Таблица 7.5. Приближенные значения некоторых характеристик
атмосферы на уровне моря
Число молекул в единице объема
Давление
Плотность
Скорость молекул I |СИСЛОР°Д> О*
(азот, N2
Средняя длина свободное пробега
Частота соударений молекул
Характерное расстояние между молекулами
Средняя масса молекулы
2,7-10” см'3
1,0-10* дии/см2
1,3 10 3 г/см3
4,8 10* см/с
5,1 • 10* см/с
8 10 * см
6-10’ с 1
3.5-10'7 см
4,8-10 23 г
Пример 7.15
Вычислим среднеквадратичную скорость молекул кислорода при комнатной температуре.
Комнатная температура составляет примерно 20° С, так что 7* = 273 + 20 293 К
Масса молекулы кислорода приблизительно равна т = 32 а е. м. 32-1,66 10 24 i
= 5,3 КГ 23 г. Следовательно,
^ск =
3 -1,38 10~ie эрг К - 293К
5,3 • 10-»3 г
= 4,78 • 10‘ см С,
т. е. около 1500 км/ч! Разумеется, обладая лаже такими скоростями, молекулы далеко не
улетают, так как вследствие частых столкновений они все время меняют направление своего
движения Именно по этой причине требуется некоторое время для того, чтобы запах духов
нз флакона, открытого в одном углу комнаты, достиг другого угла (продиффундировал).
Пример 7 16
Вычислим среднюю кинетическую энергию молекул газа при комнатной температуре в
электронвольтах
Согласно соотношению (7.51), кинетическая энергия не зависит от массы молекулы, по-
этому молекулы всех газов при данной температуре имеют одну и ту же кинетическую
энергию (но различные значения гсж) Итак,
Ёиии = — kT* = — • 8,62 • Ю-s эВ/К . 293К = 0,038 эВ.
кин 2 2
Пример 7.17
Сколько молекул содержится в 1 см3 воздуха при нормальных температуре и давлении?
Объединяя соотношения (7,47) и (7.51), получаем уравнение состояния идеального газа
в виде
PV = NkT*,
232
7. Энергии
откуда
лг = ^-
kT*
1,0- О’ дин/см2 1 см’
1,38 • 10“16 эрг/К • 273К
= 2,7 1010 молекул.
ДОПУЩЕНИЯ ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ
КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ При выводе
микроскопически о уравнения состояния
идеального гача мы явно или неявно сде-
лали следующие допущения
1) газ состоит из большого числа молекул,
размеры которых ничтожны по сравнению
со средним расстоянием между ними;
2) на молекулы не действуют никакие
силы, за исключением тех моментов, когда
они сталкиваются со щенками сосуда, т. е.
между молекулами нет взаимодействия;
3) движение молекул происходит совер-
шенно хаочичпо (г, =v* = т?);
4) движение молекул подчиняется зако-
нам Ньютона,
5) соударения молекул со стенками со-
суда являются упрут ими'
Замечательно, что столь простая класси-
ческая модель идеального газа позволяет
получить уравнение состояния, которое очень
хорошо описывает поведение реальных га-
зов Это тем более замечательно, если вспом-
нить, что теоретические допущения явля-
ются всего лишь приближением к физической
реальност и На самом деле молекулы в газе
взаимодействуют друг с другом и имеют
конечные размеры. Учесть эти обстоятсль
ства удалось в более точной теории, которая
дает нам независимый способ определения
размеров молекул (—10е см) и характера
их взаимодействий. Для уточнения теории
в нес пришлось внести изменения, учи т ываю-
щие квантовые эффекты, и ныне кинетиче-
ская теория газов является одной из наибо-
лее широко используемых (и наиболее хо-
рошо разработанных) физических теорий
7.16. Второе начало
термодинамики
НАПРАВЛЕНИЕ ПОТОКА ТЕПЛА Вы-
яснив что любое макроскопическое коли-
чество вещества (тело) обладает внутренней
энергией, связанной с движением образую-
щих его молекул, можно поставить такой
вопрос- «Можно ли извлечь эту внутреннюю
энергию и использовать ее для совершения
работы над другим телом?» Предположим,
у нас есть тело массы т, находящееся при
чемперачурс Г? Мы знаем из опыта, что
если эго тело привести в соприкосновение
с другим телом массы т2, находящимся
при температуре Т2*, меныиеи, чем 7* (фиг.
7.24), то оба тела в конце концов примут
одинаковую температуру, лежащую между
Т* и 7?. Иными словами часть внутренней
энергии заключенной в первом теле, пой-
дет па совершение работы над вторым те-
лом и увеличение его внутренней энергии и
температуры Тепловая энергия может пе-
ретекать от более нагретого к более холод-
ному телу. Обратное невозможно Впутрен
нюю энергию второго тела нельзя исполь-
зовать для повышения температуры первого
тела, коль скоро температура второго тела
при этом бутст понижаться. Таким образом
если внешняя сила нс совершает работы,
то тепловая энергия всегда течет о г тел с
Фиг. 7.24. Тепловая энергия передается от
более горячего к более холодному телу.
7.16. Второе начало термодинамики
233
большей темпера турой к шлам с меньшей
температурой. В этом и состоит второе
начат термодинамики.
УПОРЯДОЧЕННОСТЬ И БЕСПОРЯДОК.
Второе начало термодинамики можно сфор-
мулировать, используя представ 1ение о ве
роятности того, что система находится в
одном из возможных для нее состояний.
Например, если в сосуде имеется большое
число молекул газа, то с наибольшей веро-
ятностью молекулы равномерно распреде-
лятся по всему объему, и крайне маловеро-
ятным будет состояние, когда в какое-то
мгповспие все молекулы соберутся вместе
в одной из частей сосуда. Последнему (не-
вероятному) состоянию отвечает высокая
упорядоченность, тогда как равномерному
распределению случайно движущихся мо-
лекул о вечает беспорядок. Любая упорядо-
ченная система в природе, будучи предостав-
лена себе самой, всеьча стремится самопро-
извольно перейти в состояние с мепыпей
упорядоченностью, иначе говоря, все в при
роде всегда стремится к беспорядку. При-
мером такой тенденции является ситуация
изображенная на фиг. 7.24 В начальном
состоянии молекулы тела массы пт, имеют
большую, а молекулы тела массы т2
меньшую средние скорости (т. с Т\> Т$),
но это означает некоторую упорядоченность
в системе Однако, когда оба тела приводятся
в тепловой контакт, эта упорядоченность
уменьшается по мере тою, как избыток
тепловой энергии молекул первою тела рас-
пределяется меж ту молекулами второю те-
ла. Тепловая энергия всегда течет в направ-
лении соответствующем уменьшению упо-
рядоченности системы; иными словами, мо-
лекулярное движение вс да стремится соз-
дать максимальный беспорядок, г. е. со-
стояние, при котором внутренняя энергия
распределена между элементами системы
по возможности равномерно
ЭНТРОПИЯ. Степень упорядоченности в
системе можно выразить с помощью поня-
тия энтропии. Упорядоченная система имеет
низкую, неупорядоченная высокую энтро
пию. Таким образом, второе начало термо-
динамики утверждает, что если в какой-либо
изолированной части системы и может про-
исходить уменьшение энтропии, то в других
частях той же системы должно происходить
увеличение энтропии, причем такое, чтобы
оно перекрывало уменьшение энтропии, и в
целом в системе энтропия должна повы
шаться.
Биологические системы не нарушают вто-
рое начало термодинамики. Процессы об-
мена веществ в клетке увеличивают упоря-
доченность в пей; в этих процессах, напри-
мер в процессе фотосинтеза, из малых мо-
лекул образуются большие. Однако хотя
такие процессы и уменьшают энтропию
клет ки, в окружающей клетку среде происхо-
дит рост энтропии, превышающий это умень-
шение. Любая изолированная система и,
вероятно, Вселенная в целом идет по пути,
на котором ее энтропия все время возрастает.
Поэтому, заглядывая в будущее, можно
предвидеть то время (хотя и весьма отда-
ленное!), когда Вселенная окажется в со-
стоянии с максимальной энтропией. Тогда
все тела приобретут одинаковую темпера-
туру, тепловая энергия не сможет бо тее пре-
вращаться в работу, и Вселенная умрет
«тепловой смертью»*
НАПРАВЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ
Второе начало термодинамики в виде
утверждения о том, что энтропия Вселенной
(или любой изолированной системы) нс мо-
жет убывать, существенно влияет на наше
понимание природы Вселенной. Постоян-
ный рост энтропии выделяет направ tenue
термодинамических процессов, т. е. означа-
ет, что время течет только в одном направ-
лении. Это заключение сотласуется с нашим
повседневным опытом (люди проходят свой
жизненный путь всегда от рождения к смер-
ти) Но большинство фундаментальных фи-
зических законов не меняется, если в пих t
заменить на t. Для них не имеет значения,
течет время в одном направлении или нет.
* Гипотеза «тепловой смерти» Вселенной, вы-
i к ионная век назад, является экстрапо i чцией
второго начала термодинамики на всю Вселен-
нею. С< разевание звезд и целых звездных ассоци-
ации, предо ж ’вся и сейчас, говорит о том.
ипо во Вселенной в огромных масштабах идут
процессы с уменьшением энтропии. — Прим,
перев
234
7. Энергия
Фиг. 7.25. а — упорядоченная система имеет
низкую энтропию, б после того как в ящи-
ке убраны перегородки и молекулы получают
возможность перемешиваться, степень по-
рядка уменьшается и энтропия возрастает.
Представление о направленности течения
времени подтверждается лишь фактом по-
стоянного возрастания энтропии*.
7.17. Масса и энерги /
СООТНОШЕНИЕЕ тс2 Излагая основные
физические принципы, мы выяснили, чго
существует ряд важных величии, коюрые
остаются неизменными во всех физических
процессах. К числу величин, для которых
существуют законы сохранения, относятся
1) масса (раздел 2 3),
2) импульс (раздел 5 9),
3) момент импульса (раздел 5.10),
4) электрический заряд (раздел 6 4),
5) энергия (раздел 7.7).
Мы рассматривали массу и энергию как
♦ Толкование некоторых экспериментов с эле
ментарными частицами в рамках современной
теории также свидетельствует о том. что вре-
мя течет в одном направлении (см. раздел 16 5).
величины, сохраняющиеся порознь, однако
теория о I носительности (гл. 11) установила,
что между этими величинами существует
тесная связь и что они взаимопревращаемы.
Масса системы связана с ее полной энергией
простым соотношением
Е = тс2. (7.53)
Это - знаменитое соотношение Эйнштейна
между массой и энерт ией, которое показы-
вает, что в любом физическом процессе
сохраняются не масса и энергия порознь,
а полная энергия системы (включающая соб-
ственную энергию).
Согласно соотношению (7.53), даже в ма-
лом количестве вещества содержится ги-
гантская энергия (собственная энергия, свя-
занная с массой). Предположим что 1 кг
вещества можно было бы полностью пре-
вратить в энергию. Это превращение дало
бы 9 1023 эрт, или около 3-1O10 кВт-ч!
Примерно такое количество энергии по-
требляется в США за неделю.
НЕВОЗМОЖНОСТЬ ПОЛНОГО ПРЕВРА-
ЩЕНИЯ ВЕЩЕСТВА В ЭНЕРГИЮ К со-
жалению, превратить всю собственную энер-
т ию, содержащуюся в веществе, в полезную
энергию невозможно. Мы не можем уничто-
жить протоны и нейтроны, а можем лишь
перегруппировать их так, чтобы новые ядра
имели другую массу и за счет этого высво-
бодить некоторую энергию Сущее гвует еще
один закон сохранения: полное число тяже-
лых частиц (протонов и нейтронов) остается
неизменным в природе. (Для легких частиц—
электронов и нейтрино — существует свой
закон сохранения ) К законам сохранения
для элементарных частиц мы еще вернемся
в гл. 16
Одним из способов перегруппировки про-
гонов и нейтронов в ядрах является процесс
деления, при котором тяжелые ядра (в резуль-
тате надлежащего «подталкивания» нейтро-
нами) распадаются на два осколка. Разность
между массой исходного ядра и суммарной
массой осколков превращается в кинетиче-
скую энергию последних. (Однако общее
число протонов и нейтронов при этом не
меняется)
Основные выводы
235
Пример 7.18
Какая энергия высвобождается при делении 1 кг U235?
Энергия, преобразующаяся в кинетическую энергию осколков деления урана, составляет
примерно 200 МэВ в расчете на одно ядро. (Это всего лишь 0,1% собственной энергии ядра
урана, остальные 99,9% приходятся на массу протонов и нейтронов и не могут быть пре-
вращены в кинетическую энергию.) В 1 ki U23S содержится примерно 2,5 1024 атомов.
Следовательно, полная высвобождающаяся энер1ия
Е = 200 МэВ • 2,5 • i02i - 5,0 • Ю2® МэВ =
= 5,0 • Ю2® МэВ • 1,6 • 10“® эрг/МэВ = 8,0 10м эрг.
Учитывая, что при взрыве 1 г грини 1ротолуола (ТНТ) выделяется энер1ия примерно
4,1 1016 эрг, мы находим, что при делении 1 кг U235 высвобождается энергия, эквивалентная
----8’° • 1020 « 20 килотонн ТНТ.
4,1- 101в эрг/т ТНТ
Примерно такой была первая атомная бомба, взорванная в 1945 г.
Как уже говорилось, в процессе деления
тяжелого ядра высвобождается энергия при-
мерно 200 МэВ' таким образом, к. и. д.
превращения собственной энергии в полез-
ную энергию в этом процессе составляет
около 0,1% В химическом процессе горения
топлива, например угля, к. п. д. такш о пре-
вращения составляет всего 10 10, поскольку
энергия связи атомов в молекуле во много
раз меньше их собственной энергии Поэтому
деление ядер «производит» эпер1ию в мил-
лионы раз более эффективно, нежели горе
нис топлива*.
Основные выводы
Кинетическая энергия связана с движением.
потенциальная энергия является результатом
работы, произведенной против действия си-
лы.
* К вопросу об источниках энергии в связи с воз-
можностью ucnojit зования энергии си/ теза ядер,
а также процессов аннигиляции автор еще вер-
нется в гл. 15 Прим ред
Работа по перемещению тела из одного
положения в другое против действия консер-
вативной силы не зависит от пути. Консер-
вативными являются гравитационная и элек
тросгатическая силы. Силы iрения некон
сервативны.
Физический смысл имеет не абсолюпюе
значение энергии, а . ишь ее изменение.
Полная энергия изолированной системы
остается неизменной энер1ия сохраняет-
ся. Энергия может без потерь превращаться
из одной формы в другую (например, по-
тенциальная энергия в кинетическую).
При упругом соударении внутренние энер
гии сталкивающихся тел остаются без изме-
нения, при неупругом соударении — меня-
ются.
Внутренняя энергия тела есть энергия дви-
жения составляющих его атомов или мо-
лекул.
Первое начало термодинамики выражае •
закон сохранения энергии с учетом теплоты
и внутренней энергии
236
7. Энергия
Нторое начади термодинамики выражает
тот фак г, ч го в отсутствие работ ы, совершае-
мой внешней силой, тепло не может переда-
вайся от более холодного тела к более го-
рячему.
Система с большей упорядоченностью
имеет более низкую энтропию. и наоборо!
Любой физический процесс в изолированной
системе повышает энтропию системы.
Масса может превращаться в энергию.
Собственная энергия ядра может бы(ь ис-
пользована для совершения полезной рабо-
ты только за счет перегруппировки про гонов
и нейтронов и уменьшения массы ядра;
уничтожить протоны и нейтроны нельзя.
Вопросы
7.1. Сердце, работая как насос, сообщав! крови кинетическую энергию. Что происходи! дальше
с этой кинетической энер! ней ?
7.2. Тело массы /и, сталкивается в лоб с покоившимся вначале телом массы т2. Если ш,<ти2, то
всегда ли после его |кновения 1ело тг будет двигаться назад независимо от его начальной скорости?
Что произойдет при т,>т2? при „1, -ш2?
7 3. Часто можно слышать, чго двп а1сли или машины неэффективны, чю они «переводят энергию»
Означает ли это, что энергия куда-то теряется? Монтируйте ваш ответ
7.4. Трубочка ртутного термометра имеет непостоянное внутреннее сечение. Как это может влиять
на результаты измерений температуры термометром? Что следует предпринять, чтобы сделать этот
прибор правильным?
7.5. Рассмотрите процессы, б татоларя которым ваше тело приобретает тепловую энергию. Прос i
диге весь nyib переноса энерт ии и покажите, что ее источником служит Солнце.
7.6. В объеме газа содержатся одинаковые количества молекул кислорода и азо га. Сущее niyei ли
физический принцип, запрещающий всем молекулам кислорода собрания в одной половине сосуда,
а всем молекузам азота в другой половине?
7.7. После испарения из со тсвого раствора воды остаются кристаллы соли. Но кристаллы соли
это система с высокой упорядоченное 1ью, тогда как раствор соли — система, в которой молекуты
совершают хаотическое движение. Нарушаеюя ли при испарении закон возрастания энтропии?
7.8. Первое и второе начала термодинамики запрещают построение вечного двигателя. Разъясните,
как из первого и второго начала следует невозможность получения полезной работы or вечного дви-
гателя
7.9. Объясните, почему в земной атмосфере мною кислорода, по очень мало водорода?
7.10. Некий изобретатель объявил, чю он придумал машину, которая позволяет от тонны угля по-
лучить энергию 9 - 1019 Дж Поверите ли вы этому заявлению? Мотивируйте ваш ответ.
Задачи
237
Задачи
7.1. Тележка с грузом движется с посюянной скоростью, преодолевая силу трения 100 Н. Человек
прикреп 1яе1 к тележке трос так. что он составляет угол 30 с горизон1алью. и тянет тележку 100 м
с постоянной скоростью Затем тянуть тетежку начинает второй человек, но он прикрепляет трос так
что тот натягивается теперь горизонтально, и тоже i янет тележку 100 м. С какой силой каждый из них
натягивал трос? Какую работу совершил каждый из них9
7.2* . Человек в течение I мин давит на большой камень с силой 200 Н, но не может сдвинуть его с
места Какую работу он совершил над камнем? Почему он устал от напряжения? (Привлеките к рас-
смотрению мышечную деятельность.)
7.3. Че ювек массой 100 кг поднялся по тестнице на 10 м. Какую работу он совершил? Отличается ли
она от той. которую выпо т тил бы тот же человек, поднявшись на ту же высоту, по не по обычной
(наклоппой) лестнице, а по приставной (вертикальной) лестнице?
7.4. Пружину с коэффициентом жесткости к растягивают на величину d в течение времени t. Какая
средняя сила раегятивает пружину?
7.5* . Восемь одинаковых ящиков массой 10 кт и высотой 10 см стоят неподвижно на полу. Какую
работу надо совершить, чтобы поставить все ящики штабелем? Вычислите потенциальную энертию
штабеля, считая, что массы ящиков сосредоточены в центрах их масс. (Считайте, что потенциальная
энергия па уровне пола равна нулю.) Прокомментируйте полученные результаты.
7.6. Один конец пружины с коэффициентом жесткости 10*дин см закреп тен в степе, а к другому под-
вешен труз массой 100 г. Насколько рас г ят ивается пружина? Если потянем за груз так, что пружина
удлинится на 5 см, а затем отпустим груз, то он начнет колебаться. Какую максимальную скорость
будет при этом иметь груз?
7.7 Для забивания свай используется копер. Сила сопротивления грунта вбиванию сваи равна 2 • К^Н
Масса груза копра 2000 кг и высота его поднятия над сваей 10 м Как глубоко входит свая в грунт
при каждом ударе9 (Предположите, что вся энергия падающего груза копра переходит в кинетиче-
скую энергию сваи.)
7.8. Снова рассмотрите пример 5.8 и определите, какая работа требуется, чтобы уменьшить радиус
орбиты со 100 до 50 см. Насколько изменится кинетическая энертия шарика, если удлинить веревку
со 100 до 200 см9
7.9. Бак водонапорной башни имеет емкость 2000 м’, и его среднее сечение расположено на высоте
40 м над землей Какую работу нужно совершить, чтобы наполнить бак из находящегося на земле
резервуара? Какую работу совершит вода, если се перепустить в сосуд, находящийся па 20 м ниже
уровня земли в том месте, где стоит башня? Выясните, нет нт тут нарушения закона сохранения
энергии.
7.10* . Транспортер поднимает блоки массой 20 кг тта высоту 10 м со скоростью 15 блоков в минуту.
С какой .мощностью работает транспортер? Какова минимальная мощность двигателя транспортера
в лошадиных силах?
238
7. Энергия
7.11. Тело массой 100г покоится на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. К телу приклады-
вается сила, под действием которой оно, пройдя 10 м, набирает скорость 100 см.'с. В этот момент па
тело начинает действовать дополнительная тормозящая сила, которая останавливает тело по про-
шествии 10 м. Какая работа быта совершена над телом в первые 10 м его пути? Чему равна полная
работа, совершенная над телом иа всем его пути?
7 12. Груз массой 100г скользит вниз по наклонной плоскости с высоты 50см. Длина плоскости 100см.
Груз достигает нижней точки плоскости, набрав скорость 200 см.с. Какая работа была совершена
против силы треиия? Чему равна средняя сила трения скольжения груза по наклонной плоскости?
7.13* . Гидроэлектростанция работает с к. п. д превращения энергии падающей воды в электроэнер-
гию, равным 20%. Сколько кубометров воды в сутки должно сбрасываться с высоты 30 м, чтобы
электростанция давала электрическую мощность 10 МВт9
7.14. Сколько потребуется времени, чтобы с помощью мотора мощностью 2 л с. поднять груз массой
1000 кг на высоту 100 м? (Трением пренебрегит е.)
7.15. Какова кинетическая энергия спортсмена массой 75 кг, пробегающего стометровку за 10 с?
(Считайте скорость спортсмена постоянной.)
7.16. Мотор автомобиля развивает мощность 100 л. с., сообщая ему иа горизонтальном шоссе ско-
рость 100 км ч Чему равна действующая на автомобиль тормозящая сила (сила трения колес о дорогу
плюс сила сопротивления воздуха)9
7.17 Тележка на «американских горах», имеющая массу 500 кг, начинает двитаться с высоты 30 м
над землей съезжает в «долину» до высот ы 4 м и затем снова поднимается на «т ору» высотой 24 м.
Какую скорость будет иметь тележка в «долине» и иа «горе»9 (Трением пренебрегите )
7 18. В американских горах из предыдущей задачи длина рельсового пути от старта до вершины
«горы» 100 м Чему равна средняя сила трения между тележкой и рельсами, если тележка, поднявшись
на «гору», тут же останавливается (г 0)?
7 19. Какую работу следует совершить, чтобы увеличить скорость автомобиля массой 1500 кт с 10
до 20 м/с9 (Трением пренебрегите )
7.20. Какова кинетическая энергия автомобиля массой 2000 кг, едущего по горизонтальной дороге
со скоростью 20 м/с? Если считать трение ничтожно малым, то сможет ли автомобиль с выключен-
ным мотором подняться иа юрку, возвышающуюся иад дорогой па 15 м? Если сможет, то какова
будет скорость автомобиля на вершине горки?
7.21* . Игрок бросает мяч массой примерно 150 г со скоростью 150 км ч в горизонтальном направле-
нии Какая энергия будет передана игроку, поймавшему мяч?
7.22 Шарик с некоторой высоты h падает на стальную плиту и при каждом отскоке теряет 10% энер-
гии своего движения После скольких отскоков мяч подпрыгнет на высоту Л/2?
7 23*. Какую работу надо выполнить, чтобы поднять тело массой 100 ki на высоту 1600 км над зем-
лей9 Если пренебрегать сопротивлением воздуха, то с какой скоростью ударится тело о землю,
падая с такой высоты?
Задачи
239
7.24. Туманность Андромеды имеет массу приблизительно 4 • 1011 солнечных масс и диаметр около
I05 световых лет Какую скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на ее краю, чтобы оио
покинуло эту звездную систему?
7.25. Два малых сферических заряда в + 3 и —8 ед. СГСЭ вначале находятся на расстоянии 4 см друг
от друга. Насколько изменится электростатическая потенциальная энергия, если расстояние между
зарядами возрастет на 2 см? Какую работу нужно при этом совершить? Насколько измени 1ся элек-
тростатическая потенциальная энергия и какая работа будет совершена над зарядами, если расе т ояние
между ними уменьшится до 2 см?
7.26. Какую работу следует выполнить для перемещения заряда q — + 2 ед СГСЭ из А в В?
А В
7.27. Чему равна разность электростатических потенциальных энертнй между конфигурациями
Ан В?
1см 1см
В:
7.28. Между точкой на уровне земли и точкой на высоте 3 м существует разность потенциалов 105 В
Какую работу нужно совершить для поднятия тела массой 1 г. несущего заряд 10 ед. С1 СЭ, от
уровня земли на высоту 3 м? Какую работу потребовалось бы выполнить в тех же условиях при q
— К)-' ед. СГСЭ?
7.29. Два протона находятся на расстоянии 10“ 7 см друг от друга. На соединяющей их линии в 10*8 см
от одного из протонов располатается электрон Какой работы требует переброска этого э тектрона
в симметричное положение В относительно другою протона? Как изменится потенциальная энергия
электрона, если он придет в точку А, находящуюся на пол юроге между обоими протонами?
240
7. Энергия
7.30. Отрицательно заряженный нои гелия (Не- ядро те.тия. окруженное тремя электронами)
начинает двигаться из точки А и ускоряется в направлении положительно заряженного цилиндра В
Между Ви А действует разность потенциалов 4 106В. Достигнув В ион гелия проходит сквозь топкую
фольгу, где теряет все свои электроны и откуда выходит в виде полност ью ионизованного атома (Нс‘ ').
Этот положительный ион отталкивается от одноименно заряженною цилиндра В и устремляется
в направлении точки С, находящейся под тем же потенциалом, чго и точка А. Какую кине1ическую
энергию имеет ион в точке С'> Чго происходит с потерянными им электронами? (Здесь описан прин-
цип рабо!Ы тандемного ускорителя Ван де Граафа.)
V=0 V=+1068 V = 0
7.31. Нейтрон с шерт ней 2 МэВ налетает па первоначально покоившийся протон и. «прилипая» к не-
му, образует дейтрон (ядро тяжелого водорода, состоящее из связанных друг с другом нейтрона и
протона) Вы числите скорость дейтрона, считая столкновение полностью неупругим
7.32. Каковы кинетическая тнертия и скорость полностью ионитованного атома утлерода (6 прого-
нов и 6 нейтронов) но прохождении им ратности потенциалов 3 106 В?
7.33. Протон с энерт ней 5 МэВ упруго сталкивается с ядром телия. Чему равны скорости обеих частиц
после столкновения?
7.34. Тело массой 1 кт на тает с высоты 1 м на поверхность и отскакивает от нес на высоту 80 см.
Сколько калорий тепла образуется при этом, если считать, что вся потерянная телом механическая
энертия превращается в тепло?
7.35 Кусок мягкою материала (например, глины) массой 1 кг падает на пол с высоты 40 м Насколь-
ко повысится температура материала, если считать, что вся энергия удара переходит в тепло, которое
целиком остается в материале? Удельная теплоемкость материала с 0,2 калД'г °C).
7.36. При ковке каждого из двух стержней массой 1 кт медного и золотого —совершена работа
104Дж. Какой из стержней натреется сильнее и насколько, если считать, что потерь тепла нет?
7.37 Ежедневное потребление пищи одним работником физического груда оценивается в 4000 кал.
В течение дня он выполняет работу Ю15 эрг Какая доля содержащейся в пище энерт ии превращается
в полезную работу?
7.38. В мешок положили 1 кт медной дроби, подняли его на высоту 10м и отпустили, и гак повторили
10 раз Определите, насколько повысилась температура дроби, если считать, что вся энергия удара
перешла в тепловую энерт ию меди.
Задачи 241
7.39* . Мощность потока лучистой энергии Солнца, приходящею на Землю. составляет 1,95 кал мин
иа 1 см2 площадки, расположенной перпендикулярно солнечным лучам. Какую полную мощность
излучения (в эрг!с) Земля получает от Солнца? Сколько энергии получила Земля от Солнца за время
своего сущеегвования (4,5 млрд, лет)?
7.40. В цилиндрическом сосуде с подвижным поршнем ассой 1 кг заключено некоторое количество
газа На какое расстояние по вертикали переместится поршень, если газу сообщить 2 кал тепла и если
температура газа при этом останется без изменения?
7.41. В сосуде с подвижным поршнем находится некоторое количество таза. Гаг на)рели, и его тем-
пература поднялась от 27 до 177 С. одновременно газ сжали до вдвое меньшего объема. Насколько
изменилось давление газа?
7 42 В сосуде объемом 1 м5 находится газ при температуре 150'С и давлении 1 агм. Каким станет
давление, если TeMnepaiypy понизить до 20 С, а объем оставить неизменным? Наско 1ько noipe-
буется изменить объем газа, чтобы его давление верпуюсь к исходной величине 1 атм?
7.43. Газ, заключенный в объеме V. нагревается от темпера1уры 10 С, при которой его давление
равно 2 атм. до 400 С Каким при этом станет давление газа? Насколько потребуется пони тин, тем
пера туру, чтобы тавлснис таза уменьши, ось до 1 атм.’
7.44. Нанлучтпая вакуумная аппаратура позволяет достичь в лаборатории давления приблизительно
10-15 атм Какое количес во мо тскул содержится в 1 см таза при таком давлении ’
7.45. Молек а таза налетает па поверхность пол ут лом 60" с нормалью к поверхности н отражается
от нее под тем же углом. Какой импульс будет передан поверхности. если считать столкновение
упрут им (г - т
7.46. Газ. находящийся в объеме V. имеет Давление 1 атм и температуру 100 С. При какой темпера-
туре газа среднеквадратичная скорость сто молекул увеличится навое'’ Каким будет давление т га
при новой температуре?
7.47. Некоторый объем гелия находится при температуре 300 К. Чему равны средняя кинетическая
энергия (в электронвольтах) и среднеквадратичная скорость атомов гелия?
7.48. Некоторый обьем кислорода имеет температуру 20'С. Сришяя дпша свободною пробста
молекул кпе юрода состав тяст КГ5 см. Сколько в среднем столкновений в секунду испытывает мо-
лекула?
16 779
242
7. Энергия
7.49. Гемпературы в недрах большинства звезд порядка 108 К. Какова при такой температуре средне-
квадратичная скорость ядер водорода (т. с. протонов: атомы при таких температурах не существуют)
и какова нх средняя кинетическая энергия в электронвольтах?
7.50. Ядро калифорния (. f 54 (искусственно созданного элемента с атомным номером Z 98) обладае i
способное I ью самопронзво 1ыю делиться на два осколка, причем в каждом акте такого деления оскол-
ки получаю! кинетческую тнертию око то 200 МэВ Какова будет энергия отдачи и скорость одного
из осколков, если он состош иг 105 нроюиов и нейтронов?
7.51* . Ядерный реактор, работая в течение некоторого времени, израсходовал 2 ki ядерпото топлива
(плутония). Сколько кВт -ч электроэнергии при этом было вырабо1ано. если превращение кине1и-
ческой 3iiepiiiii осколков деления в элсктроэнер! ию имеет к. и. д. 25%?
7.52. Энер! ия 10-килотонного ядерпото взрыва высвобождается примерно за 1 мкс. Какова номиналь-
ная MoiiiHocib взрыва в лошадиных силах?
7.53* . По оценкам к 2О00 году потребление электроэнерт ии в США достигнет примерно 8 10'2 kBi -ч.
причем нрпблизи ie 1ыю четверть этого количества энериш будет производиться ядерными реакто-
рами Ес in исходить из мой оценки, го каково будет юдовое потребление делящегося материала в
кило! раммак? (При расчете нредиола! айте, что к. п. д преобразования энер: ни деления ядер в элек-
троэнергию составляет 25”„.)
Температурное note' термограмма о-ва Манхеттен (г Нью-Йорк).
8 Поля
8.1. Скалярные и векторные поля
8.2. Гравитационное по ге
8.3. Гравитационный потенциал
8.4. Электрическое поле
8.5. Поле ядерных си а
8.6. Энергия поля
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Большинство сил. с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, представляют собой
си 1ы контактного типа, возникающие при соприкосновении. Мы тянем или голкаем тела,
либо же один предмет сталкивав гея с другим* В древности для людей реальными были
только контактные силы. Казалось совершенно невероязным, что Солнце действует реа зь-
ной силой на Землю, поско зьку между этими тезами нет контакта. Такое представление
сохраня зось вззлоть до сравнительно недавнего времени.
Создание Ньютоном теории всемирного гязогения привело к возникновению совершенно
новых представлений. Созласно этой теории. Земля, Лупа, Солнце и вообще все планеты
действуют друг зза друга определенными силами, несмотря на то что они ззе соприкасаются
и между ззими ззет ззикакой материальной среды, козорая могла бы передавать действие сил.
Для описаззия гравитационного взаимодейсзвия пришлось ввести понятие о «действии на
расстоянии» (позднее его применили и к электрическим силам), поскольку нельзя предста-
вить передачу гравитационной силы через нус гое пространство.
Ньютозз ззе пытался объяснить, почему действие гравиташюнззой силы передается через
пустоту Обсуждая это замечательное свойство тяготения, Ньютозз написал в «Началах»:
«Гипотез зтр измышляю»** Он поставил своей целью лишь дать правильное матемаэ ическое
описание наблю.заемых явлений. Эго ему удалось сделать, не задавая вопроса «почему?».
Для рептения проблемы сил, действующих на расстоянии, «изобрели» эфир. Эло была
одна из самых известных гипотез в (|>изике. Гипотеза эфира объяснила то. для чего бьтла
придумана, и ничего другого. Эфир обладал единственным свойством «передавал» си зу
на расстояние. Его прсдстав.зя зи себе в виде невидимого и невесомого желе толкните его
в одном месте, и этот толчок вызовет возмущение, которое побежит в другие точки. В обык-
новенном желе, однако, сунзсствуют соприкасающиеся друт с другом частицы веществу
которые и передают это возмущение. Эфир же, придуманный для объяснения действия сил
на расстоянии, был нематериальным, и в нем нс было никаких контактных сил (во всяком
случае, в обычном их понимании). Но это не смущало сторонников гипотезы эфира. Отти
строили одну за другой сложные теории напряжений, деформаций и вихревых движений
в эфире. Тот же самый эфир рассматривали как среду, в которой распространяется свет,
по этой причине его иногда называли также светоносным зфиром.
Прсдс автонне об эфире просупзествовало вплоть до начала нашего века тз было оконча-
тельно развенчано теорией относительности Эйнштейна. В теории эфира для объястзения
все новых фактов приходилось вводить так много новых произвольных допущений, что в
конце концов озза рухнула главным эбразом под тяжестью собственного веса. Ее место В
истолковании всех сил, действузощих на расстоянии, заняла теории поля.
8.1. Скалярные и векторные поля
ЧТО ТАКОЕ ПОЛЕ? Любузо физическую
величиззу, которая имеет вззолззе определен-
ное значение в каждой точке пространства,
можззо рассматривать как величину, харак-
теризузощую поле. Иными словами, мы мо-
жем считать, что были поставлены какие-то
опыты — на двумерной площадке или в
трехмерном пространстве и в каждой
точке были измерены значения некоторое!
физической величины (поля). В этих измсрс
ниях для каждой точки мы до зжззы полу-
чить однозначную величину по зя Кроме
того, изменение величины поля от одззоз)
точки пространства к другой должно быть
ззлавным. Другими словами, ззе должно быть
скачков в значениях физических величин
скажем от 10 до +20 единизз в двух
сот дззих точках, находящихся на сколь угод-
* В разде ie 7.10 мы уже указывали, что понятие
«контактная си ш» при переходе в микромир утра
чивает физически» смысл.
** «Но до сих пор я не в состоянии открыть
причин! таких свойств тяготения . и я не из-
мыш 1яю гипотез. Д <ч нас достаточно того,
что тяготение существует на самом деле деи
i твует в со. шсии с теми закона ми. что мы объ-
яснит и в почтой мере позволяет объяснить все
движения небесных тел...»
Чаттануга 79
Гамильтон
Ю1}
Мили
1006
Миннеаполис
к
66
Новый Орлеан к
86
Таб4па
О 100 200 400
246 8.
30,36 _ /
/ BtiicoKoe
Фатой Sss
'057
^-‘Рраниисп^''
^^елес ^укерке
финике
Низкое
давление
Чикаго^
Канзас-Сити
ЦиииитАтй
87 J
Форт-Уэрт
г —
। 91
I п' 76 ’
Литтл-Рок 08<F i ^73
I _Ч Бирмингем
Гаттерас
г Чарльстон
Ч2
.8*
кексонвилл
Фиг. 8 1 Карта погоды в США.
Кривые связывании точки с шишаковым атмосферным давлением. Гем самым эти кривые являются характеристиками «пиля
дав зенин» над страной. Око.ю каждой кривой (изобары) можно прочесть два числа Одно из них (близкое к МИЮ) указывает
значение давления в ми з тиарах (МИЮ мбар / атм), другое (бли зкое к 30) — значение давлени.ч в дюймах ртутного столба.
Воззе названий различных городов указана температура (в градусах Фаренгейта) и постав.зен значок, харакпзсризуюзций силу
и направление ветра. Заштриховать об засти, где выпадают атмосферные осадки. Обратите внимание на тайфун, только что
ушедший в океан пт берегов Флориды
8.1. Скалярные и нектарине поля
247
но малом расстоянии друг от друга. Изме-
нение должно происходить постепенно В та-
ком плавном изменении от точки к точке
пространства и заключается главная осо-
бенность поля.
ПОЛЯ ДАВЛЕНИЙ И ТЕМПЕРАТУР.
Карта погоды (или метеорологическая кар-
та) представляет собой не чю иное, как
изображение пом давлений на некоторой
территории. Такие карты составляют, из-
меряя значения атмосферного давления в
большом числе пунктов, находящихся на
какой-либо территории, и проводя кривые
(называемые изобарами*) через точки с оди-
наковым атмосферным давлением. На таких
картах (фит 8.1) видны медленные измене-
ния давления; отчетливо обнаруживаются
области повышенного и пониженного дав-
ления, перемещения которых в общем опре-
деляют картину погоды. Давление в данной
точке задается единственным числом Ины-
ми словами, давление есть скалярная вели-
чина, а поле давлений — скалярное по te
На карты погоды наносят также итмене-
ния температуры. В этом случае на карте
проводят кривые (называемые изотермами),
которые соединяют точки с одинаковыми
значениями 1емпера1уры. Поскольку тем
псратура — скалярная величина, поле темпе-
ратур также является скалярным полем.
ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ Скорость потока во-
ды в реках или морских течениях обычно
не одинакова в разных точках и плавно ме-
няется от поверхности к дну и от берегов
к стремнине. Изменения скорости течения
завися! О! конфигурации дна и берегов и
moi у г создавать как области стоячей воды,
так и зоны вихревого движения и даже во-
довороты. Поскольку скорость плавно ме-
няется ог одной точки потока к другой, мы
можем описывать течение с помощью поля
скоростей. Поле скоростей существенно от-
личается от полей давлений и температур
тем что для указания скорости требуется
задать не только ее абсолютное значение, по
* < юво «изобара» образовано из греческих с юз,
«изос.» — ранный и «барос» тч нсез зпь вез- (дав
ление атмосферы есть вес столба воздуха при
ходящийся на единицу площади)
и направление. Поле скоростей ссн. вектор-
ное по зе.
Векторным полем можно характеризовал,
также воздушный поток. Для изучения кар-
тины обтекания воздухом крыла само ieта
авиационные инженеры часто испочьзуют
аэродинамические трубы. В таких экспери-
ментах постоянный поток воздуха в длинной
цилиндрической ipy6e создастся вращаю-
щимся с большой скоростью вентилятором.
В ряде точек в поток воздуха через узенькие
каналы вводится дым. Струйки дыма делаю т
видимой картину воздушного потока в i рубе
(фиг. 8.2). В каждой точке потока частички
тыма имеют определенные направление и
скорость движения, благодаря лому можно
исследовать скорости обтекания воздухом
крыла самолета. В каждой точке потока
вектор скорости касате лен шнии тока.
Любую физическую величину, имеющую в
каждой точке пространства определенные
численное значение и направление, можно
рассматривать как величину, характеризую-
щую век горное поле. Большинство представ-
ляющих интерес для физики полей являются
векторными; к ним относятся гравитацион-
ное, электрическое, ма! нитное и другие поля
В КАКИХ СЛУЧАЯХ ПОЛЕЗНО ПОНЯ-
ТИЕ НОЛЯ? В принципе соответствующая
ве । и чина до |жна изменяться в простран-
стве непрерывно в математическом смысле,
если мы хотим сопоставить ей некое поле
Именно таким образом меняются некоторые
физические величины, к примеру век юр т ра-
витационной силы, и их описание nyiev
введения поля вполне оправданно. Вместе
с тем давление и температура, па примере
которых мы и ввели, собственно творя,
понятие поля, в действительности меняются
вовсе нс непрерывно. Обе эти величины
макроскопические характеристики мною-
числсппых микроскопических эффектов Нет
пи малейшею смысла товорить о темпера
туре и давлении одной или даже дюжины
молекул. Понятия температуры и давления
имею! физический смысл лишь для болыно
го числа молекул Однако объем, занимае-
мый даже миллионом молекул, чрезвычайно
мал с точки зрения обычных масштабов
Поэтому для всех практических задач измене-
ние давления и температуры от одной труп
248
8. По. 1ч
пы из миллиона молекул к другой такой же
ipynnc можно считан, непрерывным Прел
сгавлсние о поле вполне пригодно для опи-
сания поведения в целом больших количеств
газа.
В каждом отдельном случае следует вы
яснить, обнаруживает ли соответствующая
физическая величина такие свойства, чтобы
описание ее с помощью поля оказалось по-
лезным
8.2. Гравитационное пиле
ВЕК ГОР НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ Со
1ласно закону всемирною тяготения, вели-
чина гравитационной силы, действующей
на массу т2 со стороны массы /и, на расстоя-
Фи1 8 2. Дымовые струйки в аэродинамиче-
ской труде делают видимыми воздушные по-
токи вокруг сечения самолетного кры ш.
Какое по вашему мнению, значение имеет то
обстоятельство, что в некоторых областях. как
видно, струйки дыма сгущаются при обтекании
кры за?
пии г от нее,
Frp.2i-G^. (81)
Мы знаем, что Frp — векторная величина и
что сила, действующая на т2, направлена
к т, (фиг. 8.3).
Эту ситуацию оказалось удобным описы
вать следующим образом. Масса wi, создает
8.2. Гравитационное поле
249
определенные ус овия в пространстве, па
которые реагирует масса т2 и в результате
испытывает направленную к mt силу. Эти
«условия» и есть гравитационное no.ie, со-
здаваемое массой »1|. (Конечно, масса /и,
тоже испытывает силу, направленную к т2,
благодаря действию потя. созданного мас-
сой т?, но мы будем рассма т рива т ь эффск т ы.
обусловленные полем массы mt) Посколь-
ку т, в каком-то смысле создает гравита-
ционное поле, которое притягивает т2. мы
будем говорись, что mt есть источник поля,
а величину mt будем называв массой источ-
ника. Любое тело (например, массой »12),
внесенное в это поле, будет испытывать в
любой его точке действие силы, коз с рая за-
висит от гравитационного поля, создавае-
мого в этой точке массой т,.
Вместо тою чтобы каждый раз писать
уравнение для силы, зависящей от конкрет-
ного значения массы т2, поделим обе части
уравнения (8.1) на т2:
- G (8.2)
т2 гг
Правая часть этого соотношения теперь
зависит только от расстояния между т2 и
mt и тте зависит оз массы т2. Иначе говоря,
она задает гравитационное по ie на данном
расстоянии от источника поля безотноси-
тельно к тому, есть ли там масса т2 и ти нет.
Поэтому соотношение (8.2) можно перепи-
сать так, чтобы определяющее значение в
нем имела масса источника поля. Новую
величину, которая определяется правой ча-
стью соотношения (8.2) и характеризует
гравитационное поле массы т,, мы обозна-
чим через g:
g~G^, (8.3)
iде массу источника т, мы теперь обозна-
чили через М. Размерность g есть сила,
деленная на массу, т. е. ускорение
Поскольку гравитационная сила F, р есть
вектор, ускорение g тоже вектор. Величина g
дает полное описание гравитационно! о по т я,
создаваемого источником массой М в лю-
бой точке Р (абсолютное значение и направ-
Фит. 8.3. Источник т, создает в пространст-
ве гравитационное поле, масса т2 испытыва-
ет действие силы Frp2l со стороны этого
НО 14.
.тение) (фиг. 8.4). Величина g называется
вектором напряженности гравитационного
поля.
Вектор напряженности поля g определяет
си iy, действующую на единицу массы (т. е.
ускорение) тела, внесенного в гравитацион-
ное ноле, создаваемое источником массой
V/. Гравитационная сила, действующая на
массу т,
Frp = mg.
(8-4)
Это уравнение представляет собой вектор-
ную запись привычного нам ска гярпого
уравнения F- mg, которое мы использовали
при вычислении гравитационной силы. На
самом деле использовавшееся нами ускоре-
ние силы тяжести g есть просто абсолютное
значение вектора напряженности ноля g
Конечно, g есть величина более общего ха-
рактера; опа меняется в зависимости от по-
Фиг. 8.4. Масса М создает гравитационное
по ie в точке Р; вектор g характеризует это
поле по абсолютной ее шчине и направлению
250
8. По 14
Фи1. 8.5. Ре tv 1ьтиргю1ца.ч гравитационная
си.шестъ (векторная) сумма всех опн)е /ы/ыл
chi со стороны W,. М2, М} и Мл.
ложен ия в пространстве, но па поверхности
Земли принимает значение 9,8 м с1.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ Одно ш
обстоятельств, которое делает введение поля
столь ценным для случая гравитационной
силы (а также, как мы увидим далее, и для
электрической силы), состоит в том, чю век-
торы напряженности и силы грави Район-
ного ноля подчиняются принципу суперпо-
зиции. Эго означает, что если мы пожелаем
вычислить 1 рави рационную силу, действую-
щую на данное тело со стороны многих
других гел (фиг 8 5), то для получения рав-
нодействующей достаточно векторно сло-
жить все oi дельные силы, причем каждую
из этих сил можно вычислять так, словно
других тел нег. Тогда равнодействующая
F?₽B" — Fx + F2+F3 + ... • (84a)
Поскольку вектор напряженности гравита-
ционного поля есть просто вектор гравита-
ционной силы для единичной массы, то от-
сюда вытекает что g удовлетворяет анало-
Фит.8.6. ( и. tv действующую на т со сторо-
ны W । не «экранирует» М
гичному правилу суммирования:
gpaBH = gl + g2 4- g3 + . . . (8.46)
Утверждение, что гравитационная сила,
действующая на тело, есть век норная сумма
отдельных действующих на него трави ра-
ционных сил, причем каждую из них можно
вычислять гак, словно других нет, вовсе
нс является тривиальным. Для примера рас-
смотрим силу, действующую на массу /и
со стороны двух друз их масс и Л/2
(фиг. 8.6). Согласно принципу суперпозиции,
г .Мия ।
?rP = G -^- + G -4--
'1 r2
То, что М2 находится между М, и т. не
влияет на расчет действующей со стороны
.И, силы. Иными словами, наличие Л/,
нс «экранирует», не «затеняет» силы, дей-
ствующей со стороны М, на т эта сила
нс меняется от того, присутствует М2 или
пет*. Этот результат получен непосредствен-
но из опыта. Исторически принцип суперпо-
зиции сначала был высказан в виде гипоте-
зы, из которой были выведены определен
пыс следствия. (Например, что Луну притя-
тивает не только земная поверхнос т ь, но
и вся масса Земли, причем каждый малень-
кий кусочек Земли осуществляет это притя-
жение совершенно независимо от осталь-
ных ) Высказанные следствия были прове-
рены с помощью экспериментальных на-
блюдений. Противоречий при этом не обна-
ружилось, и принцип суперпозиции считается
твердо установленным для гравитационных
сил
СИЛОВЫЕ ЛИНИИ Диаграмма, или кар-
та, векторного поля, например гравита-
ционного поля, создаваемого точечным ис-
точником, выглядит более сложно, чем ди-
аграмма поля скалярной величины, например
давления (см. фит 8.1). поскольку на первой
из них нужно показать не только абсолют-
ные значения, но и' направления вектора.
Допустим, мы начали строить диаграмму
гравитационного поля точечной массы М,
* Таким образом, совершенно невероятно, что-
оы когда-нибудь удалось обнаружить явление
«гравитационного экранирования ».
8.2. Гравитационное по te
251
измеряя поле с помощью малой пробной
массы*. Результат таких измерений мож-
но представить в виде ряда стрелок, как это
сделано на фиг 8.7. Длина каждой стрелки
пропорциональна величине гравитационной
силы в точке, соответствующей основанию
стрелки, а направление стрелки определяет
направление силы в этой точке. Можно сде-
лать и иначе: провести около источника поля
ряд непрерывных линий, называемых сило-
выми линиями, так чтобы в каждой л очке
направление силы задавалось направлением
силовой линии, проходящей черег злу г очку
Величина же силы в любой л очке на гакой
диаграмме будет пропорпиогга гьгга плот-
ности силовых линий в окрестное иг этой
точки Так. на расстоянии г oi точечной
массы М плотное л ь (i ус гол а) силовых лини и
должна быть пропорциональна 1 г2, как
этого требует определяемая законом все-
мирного тяготения гависимосгь гравита-
ционной силы от расстояния. Поэтому про-
стое рассмотрение картины силовых линии
сразу показывает, где сила больше (там
силовые линии сгущаются), а где меньше
(там силовые линии разрежены).
Хотя картина силовых линий чрезвычайно
удобна для наглядного изображения сило-
вых полей в окрестности тел. важно пони
магь, что такие изображения всего лишь
условные картинки, ибо нет каких-то нитей,
простирающихся в пустоте и способных
оказывать воздействие на другие тела. Сило-
вых линий в действительности не существу -
ет. Огги лишь облегчают рассмотрение за
дач, связанных с гголями сил.
В случае сферической массы силовые ли-
нии представляют собой расходящиеся по
радиусам прямые (фиг. 8.8). Однако для тел
более сложной (|юрмы или для нескольких
тел (пусть даже сферических) силовые ли-
нии оказываются искривленными Рассмот-
рим, например, случай двух одинаковых,
расположенных вб гизи друг друга сфсричс
* «Пробная масса» представляет собой
ид a шзироваиное тело масса которого стоив ма-
ла, что не вносит возмущений в гравитационное
ноле основной массы, а размеры которого столь
малы, что поле зтои основной массы практиче-
ски постоянно в объеме занимаемом пробным
телом.
t
Фиг. 8.7. Картина гравитационного поля мас-
сы М.
Каждая стрелка изображает си /г. действую-
щую на пробную массу, когда последняя распола-
гается в точке, откуда выходит стре /ка
Фиг 8.8. Сиаовые линии гравитационного по-
сферического тела суть прямые
Ндопшость этих линий уменьшается с удадени-
е и от М по закону обратной пропорциона гьности
квадрату расстояния.
252
8. Поля
Фиг. 8.9. Силовые пиши поля двух одинако-
вых близко расположенных тел массой М.
Чему равна сила, действующая на пробную массу,
расположенную в плоскости симметрии (поки-
данной штрих-пунктирнои шнией)? Как будет
вести себя пробная маеса в окрестности тонки О ‘
ских тел (фш 8.9). Силовые линии в ном
случае можно найти, измеряя силы, дей-
ствующие на пробную массу, в большом
числе точек поля или вычисляя в каждой точ-
ке векторную сумму двух гравитационных
сил. В следующем разделе мы рассмотрим
дополнительно значение силовых линий.
8.3. Гравитационный потенциал
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЕДИНИ-
ЦЫ МАССЫ. В гл. 7 мы получили выраже-
ние (7 20) для гравитационной потенциаль-
ной энергии пробной массы т. находящейся
на расстоянии гот источника поля массой -V.
(8.5)
Как и в случаях векторов силы и напряжен-
ности 1 рави г анионного поля, если мы раз-
делим гравит ационную потенциальную энер-
гию на т, то получим величину, характера
зуюшую поле источника массой М и не за-
висящую от величины пробной массы т
Мы назовем эту новую величину гранита
I/ионным потенциалом и обозначим ее Ф,
GM
(8 6)
Гравитационный потенциал есть потенци-
альная энергия, приходящаяся на единиц)
массы.
Абсолютная величина гранигационной по-
тенциальной энергии, как мы помним, не
имеет физического смысла; то же относится
и к гравитационному потенциалу. Сущест-
венны только изменения и Ф р. и мы
можем выбрать начало отсчета гравитацион-
ного потенциала, руководствуясь соображе-
ниями удобства. Уравнения (8 5) и (8.6)
отвечают случаю, когда £’₽т и Ф,г равны
нулю при г то.
Гравитационный потенциит Ф1р есть ска-
триая величина, и для него справедлив
принцип суперпозиции:
Ф‘7* = Ф1 + Фг-|-Ф34- ....
Ясно, что величина Ф р имеет определенное
значение в каждой точке пространства и
удовлетворяет всем требованиям, предьяв-
ляемым к понятию поля. Поэтому можно
сказать, что Ф р представляет скалярное
по ie гравитационного потенциала, тогда как
g представляет векторное поле гравитацион-
ной силы.
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНО-
СТИ. Согласно соотношению (8 6), травита-
цпоппый потенциал поля однородного тела
сферической формы зависит только от рас-
стояния по радиусу до этого тела. Тем самым
этот потенциал одинаков для любой точки
сферы, в центре которой находится источник
поля. Такая поверхность называется эквипо-
тенциа юной. Для источника поля в виде од-
нородной сферической массы эквипотен-
циальные поверхности представляют собой
ряд сфер (фиг. 8.10).
Вспомним, что силовые линии для источ-
ника поля в виде сферы суть направленные
от него по радиусам прямые. Отсюда сле-
тует, что силовые линии пересекают экви-
потенциальные поверхности под прямым
углом (фиг 8 11) Это утверждение имеет
совершенно общий характер для любых
источников поля или групп таких источников
силовые линии и Эквипотенциальные поверх-
ности всегда взаимно перпендикулярны.
Это утверждение можно доказать следую-
щим путем Известно, что для перемещения
8.3. Гравитационный потенции I
253
села с постоянной скоростью перпендику-
лярно направлению силы, действующей па
нею, не 1ребуется совершения работы (в от-
сутствие трения) Кроме того, направление,
перпендикулярное силе, является единствен;
ным, для которого это справедливо. Если
работа не совершается ни над телом, ни
самим телом, значит, не может изменяться
и потенциальная энергия гела. Следователь-
но, при движении тела с постоянной ско-
ростью вдоль эквипотенциальной поверх-
ности (из какой-либо точки во всех возмож-
ных направлениях, скажем из А в В на
фиг. 8’. 11) не требуется совершения работы,
поскольку при таком движении не происхо-
дит изменения потенциальной энергии. Но
если при движении по эквипотенциальной
поверхности не совершается работа, значит,
эта поверхность должна быть везде перпен-
дикулярна силовым линиям.
Снова рассмотрим случай двух одинако-
вых масс, находящихся на некотором рас-
стоянии друт от друга Какой вид имеют
эквипотенциальные поверхности в >том слу-
чае? Гравитационный потенциал двух масс
равен
Фгр. +
где Ф , потенциал в точке, находящейся
на расстояниях г, и г2 соответственно от
первой и второй масс (фиг. 8.12) Одна из
эквипотенциальных поверхностей определя-
ется всевозможными комбинациями значс
ний г, и г,, при которых Ф1р имеет одипа
ковос значение Различные комбинации рас-
стояний дадут другие поверхности с иными
(по тоже постоянными по поверхности) зна-
чениями Фгр. Несколько таких поверхностей
Фит. 8.12. )квипотенциа ьные поверхности
поля двух одинаковых сферических масс везде
перпендик • счрны силовым линиям, изобра-
женным на фиг. 8.9.
Фит. 8.10. Эквипотенциальные поверхности
поля однородное сферического источника
суть концентрические сферические обе ючки.
Величина Ф, р убывает обратно пропорциона 1ыю
расстоянию от центра М.
Фит. 8.11. Силовые линии и эквипотенциаль-
ные поверхности ноля однородного сфериче-
ского источника пересекаются под прямым
1 глом.
Для перемещения пробной массы с постоянной
скоростью по эквипс тенциа ъной поверхности (на-
пример. из А в В) не требуется совершения
работы.
254
8. Поля
в разрезе показано на фиг. 8 12. (В фсхмер-
ном просграпстве эти поверхности получа-
ются при вращении разреза вокруг прямой,
соединяющей обе массы.)
Сравнивая фиг. 8.9 и 8 12. вы сможете
убедиться в том. что ситовые липин и экви-
потенциальные поверхности везде взаимно
перпен яикудярны.
8 4 Электрическое поле
ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ По-
знакомившись с гравитационным полем, мы
теперь без особого труда сможем усвоить
аналогичные понятия для электрическою
поля.
Если поместить пробный заряд </2 на рас-
стоянии г от источника поля — заряда <?,,
то действующая на ц2 со стороны сила,
согласно (6.11), будет равна
Лл,2. (87)
Разделив 21 на ц2, мы получим вели-
чину, характеризующую у,-
р
1 эл. 21 _
г2
Фит 8.13. Вектор напряженности электри
ческого поля по южительного заряда направ-
лен от источника по г.ч (<г), вектор напряжен-
ности электрического поля отрицательного
заряда направлен к источнику поля (б).
Направление Е> всегда совпадает с направлениеч
силы, действующей на внесенный в поле положи-
те сьный пробный заряд.
Эта новая величина, равная силе, действую-
щей на единичный заряд, обозначается сим-
волом { и называется напряженностью
электрического поля, создаваемого источни-
ком q, Мы изменим обозначения и вмесю
41 будем писать Q. Тогда напряженность
з.чек!ричсского поля (однородного сфериче-
ского заряда) Q па расстоянии г от него
(8 8)
Разумеется, величина, характеризующая
электрическое по ie, являеюя вектором. На-
правление Е> условно выбирается вдоль на-
правления силы, которая действует в поле
на по ю.жительныи пробный заряд. Поэтому
вектор напряженности поля, созданного по-
ложительным зарядом, направлен от источ-
ника поля, а поля, созданного отрицатель-
ным зарядом —к источнику (фиг. 8.13)
Размерност ь £ равна
[£] = ед. СГСЭ заряда/см1 2 =
ед. СГСЭ потенциала/см —
— дин ед СГСЭ заряда (8 9)
Если мы внесем в это электрическое поле
пробный заряд q, то на него будет дейс!во-
вагь сила
F51 - qS. (8 10)
Вектор напряженности электрического по-
ля подчиняется принципу суперпозиции,
полный вектор
_£1 + £г + £з+ . ,
8.4. Электрическое поле
255
где &i. — - векторы напряженности
нолей отдельных зарядов в данной точке,
вычисленные независимо для каждого из
зарядов.
Гравитационное и электрическое поля не-
зависимы друт о г друга. Эти поля могут
сосуществовать в данной точке прост ран
ства, и одно из нолей ни в какой мере не
влияет на другое. Суммарная сила, дейст-
вующая на пробную частицу (обладающую
и массой, и зарядом), есть векторная сумма
двух сил Г.р и Г.,,, но не имеет смысла сум-
мировать век горы g и Г (они имеют даже
разную размерность). Измеримы (а потому
и имеют физический смысл) лишь силы.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ. Со-
гласно (7.25), потенциальная энергия заря-
да q, находящегося на расстоянии г от дру-
гого заряда (теперь мы называем ею источ
ником поля) Q, равна
(8.П)
По аналогии с предыдущим разделом раз-
делим это выражение на q и назовем новую
величину э ектрическим потенциалом Ф„,
(8 12)
Ф,л есть потенциальная энергия единицы за-
ряда и имеет размерность
[Фэ,] — ед. СГСЭ заряда/см =
— ед. СГСЭ потенциала =
= эрг,'ед. СГСЭ заряда. (8 13)
Электрический потенциал удовлетворяет
принципу суперпозиции' полный потенциал
Ф"Г =Ф1 + Ф2 + Фз+ ...
В разделе 7.13 мы рассматривали работу,
которую следует совершить для перемеще-
ния заряда и» одной точки в другую в элект-
ростатическом поле второго заряда. Эта
работа равна профо разности потенциаль-
ных энергий ДЕ в этих твух точках.
Соответствующая работа, необходимая для
перемещения между этими точками единич-
ного заряда, равна изменению потенциа-
ла ДФ,,. Эту величину мы обозначили енм-
во том V [см. форму ту (7 28)]'
— = - АФ , V.
q q эл
(8
Величина V есть разность потенции юв, или
напряжение, между двумя гочк< ми.
Единицы измерения различных электриче-
ских величин перечислены в таб т 8 1 На-
тлядное сопоставление травитационнот о и
электрического полей приведено на фит. 8.14
Таб.ища 8.1. Единицы электрических величин
Величина Единица в системе Единица в системе СГСЭ СИ
Г,л Q S дина ньютон (Н) ед. СГСЭ заряда кулон (Кл) ед. СГСЭ потен- вольт/метр (В'м) циала/см
Фэл. V ед. СГСЭ потен- вольт (В) ннала 1 Н 105 лин; 1 ел CI СЭ потенция ла - 300 В; 1 Кл = 3 109 ед. СГСЭ заряла
256
8 Но 1я
Вектор
напряженности
поля
Гра 'итационное поле
Электрическое поле
gz*4 g=(?«
6 m 6 г2
в = — , 6="4
Ч Г
Потенциальная
знереия
Потенциал
ГЧ>=-П Мт
*-пот & р-
Еп&г> л М
пГ ~G Г
ЕЗЛ= РЯ
пот р
Фиг. 8.14. Сравнение различных величин для
Гравитационного и электрического полей.
Пример 8 1
Вычислим напряженноеть поля и электрический потенциал в точке Р посретине между
двумя зарядами Qx Q2 =5 ед. СГСЭ, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга.
Поскольку точка Р находится посредине между двумя одинаковыми зарядами, любой
пробный заряд, помещенный в эту точку, будет испытывать действие равных, но противо-
положно направленных сил со стороны зарядов Q, и Qz. Результирующая сила поэтому
будет равна нулю, так что в точке Р 8 0.
Но равенство нулю напряженности электрического поля в точке Р вовсе не означает, что
и электрический потенциал там равен нулю. Полный потенциал Ф"ллн есть сумма (а лгебраи-
ческая, поскольку потенциал скалярная величина) потенциалов, создаваемых Q, и ()2:
Фэл = — = — = 0,1 ед. СГСЭ,
50
= О- = А = 0,1 ед. СГСЭ.
г. 50
8.4 Электрическое поле
257
Следова гелыю,
^по.пи ^(1) (2)
Фэл - Фэл + Фэл - 0,2 ед. СГСЭ.
I
<---гг-50см --- ► -*--Г^-ЗОсм----*
Заметим, чю если бы один из зарядов (7, или Q, был равен не +5, а —5 ед. СГСЭ, то элек1-
рический потенцию! в точке Р обратился бы в нуль, а напряженность поля не была бы равна
нулю. Так что если напряженность поля обращается в пуль, то эю нс означает, что должен
обращаться в нуль и потенциал, и наоборот, обе эти величины следует вычислять незави-
симо друг от друга.
Пример 8.2
В модели атома водорода, предложенной Бором, принимается, что этещроп вращав 1ся
вокрут протона по круговой орбите, радиус которой равен 0,53 1(Га см. Каковы напряжен-
ность и потенциал электрического поля, в котором движется электрон?
„ О 4,8 1010 ед. СГСЭ заряда . _ ln7 rrv'o
8 = — — —--------------------с— = 17 Ю7 ед. СГСЭ потенциала см,
г2 (0,53 • 10-е см)2
т е. поле чрезвычайно си щнос. Для сравнения можно сказать, что уже при напряженности
поля порядка 100 ед. СГСЭ потенциалу см в воздухе возникают разряды,
,т. Q 4,8 10“'° ед. СГСЭ заряда п по г'гг'ъ
Фэл = — = -------------------------—---= 0,09 ед. СГСЭ потенциала
г 0.53 10~s см
т. е. потенциал довольно мал. Для сравнения укажем, что разность потенциалов на зажимах
баюрси для карманного фонарика равна 1,5 В, или 0,005 ед. СГСЭ.
Напряженное!ь поля 8 зависит от расстояния г как 11г2, тогда как потенциал Ф,л —
как 1 г. Поскольку в случае водородного атома г чрезвычайно мало (0,53 • 10“а см), то, не-
смотря на малость потенциала, напряженность поля оказывается большой
ТОЧЕЧНЫЕ И ПРОТЯЖЕННЫЕ ИСТОЧ
НИКИ. Полученные выше выражения для
напряженностей, сил и но!енциалов как ipa-
витапионно! о, так и элек!рического полей
справедливы в случаях, когда массы или
заряды ИС1ОЧНИКОВ этих полей либо равно-
мерно распределены по сфере, либо являют -
ся «точечными» (т. е. имеют размеры, пре-
небрежимо малые по сравнению со всеми
другими, встречающимися в задаче, так что
практически их можно считать математиче-
скими точками) Поскольку реальные физи-
ческие тела обычно не имеют правильной
17-Т»
сферической формы или не являются то-
чечными, полученные выше соотношения
для них нс годя1ся Однако благодаря суще-
ствованию принципа суперпозиции полей
любое протяженное тело можно рассмат
ривать как совокупность большого числа
«точечных» тел и вычислять поля суммиро-
ванием вкладов от всех них. Таким путем
любую задачу можно свести к совокупност и
«I очечных» задач. Мы ограничимся здесь
случаями точечных или сферических (а так
же плоских) источников поля и не будем
каса>ься сложных математических методов.
258
8. Поля
47
а
Фиг. 8.15. С'иловые пиши электрического по-
ля направлены’ а- от по 1 эжителыюго ис-
точника, б к отрицате льному источнику
Фиг. 8.16. Силовые линии электрического по-
ля начинаются на положительном заряде и
оканчиваются на отрицательно»
которые требуются при расчетах для протя-
женных источников сложной т|юрмы, по-
скольку эти математические методы ничего
нс добавляют к физике.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИЛОВЫЕ ЛИНИИ.
Пробная масса в i рави iанионном поле все-
гда испытывает силу притяжения к источни-
ку этого поля, поэтому силовые линии поля
тяютения веет да направлены к его источ-
нику. Элек1рический пробный заряд может
либо OI 1алкиваться, либо притягиваться к
заряду исючнику поля в зависимости от
знаков обоих зарядов; поэтому следует усло-
вигься о том, какое направление приписы-
вать силовым линиям электрическою пс тя.
Условились выбирать это направление та-
ким, чтобы оно совпадало с направлением
силы, действующей при любом знаке заряда
источника на положительный пробный за-
ряд Поэтому силовые линии в случае поло-
жительно заряженного источника поля на-
правлены по радиусам от него, а в случае
отрицательно заряженною источника по
радиусам к нему (фит . 8.15). Таким образом,
это соглашение для электрических силовых
линий совпадает с тем, чго принято для век-
тора напряженности электрического поля.
Куда тянутся силовые линии? Если бы
мы располагали изолированным зарядом,
то силовые линии в виде прямых уходили бы
в бесконечность Но, конечно, существова-
ние изолированною заряда физически не-
возможно В макроскопических объемах все
вещество (и, по-видимому, вся Вселенная
в целом) состоит из одинаковою числа по-
ложительных и отрицательных зарядов и
поэтому электрически нейтрально. (Огдель-
ные тела могут быть заряжены, но это до-
стигается пространственным разделением
положительных и отрицательных зарядов
в первоначально нейтральных телах.) Рас-
смотрим случай двух тел с равными .и раз
поименными зарядами (фит. 8.16). Как обыч-
но, мы можем построить картину силовых
линий, измерив или вычислив величину и
направление силы, действующей па положи
гельно заряженное пробное тело ('ле тав
это, мы выясним, что силовые линии исходят
из тела с положительным зарядом, затем
идут по плавным кривым и, наконец, вхо тяг
в отрицательно заряженное тело.
8 4. Э лектрическое по ie
259
Проволя такой эксперимент или расчет
для любой совокупности тарядов (но с ре-
зультирующим тарядом, равным нулю), мы
придем к тому же результату: электрические
силовые линии начинаются на положитель-
ных и оканчиваются на отрицате юных за-
рядах В этом заключается один из важней-
ших результатов теоретической электроста-
тики
Такой вывод относительно точек возник-
новения и окончания электрических силовых
линий отличается от того, что мы имеем
в с тучас гравитационною ноля. Там нет
определенных точек, где силовые липин начи-
нались бы, и вместе с тем они простирают
ся до бесконечности (по крайней мерс в рас-
сматриваемом нерелятивис гском случае).
ПОЛЯ РАЗЛИЧНЫХ РАС 11РЕДЕ. 11 ПИП
ЗАРЯДОВ Форму силовых линий для ра т-
личных геометрических конфигураций заря
дов можно определить раинами способами,
лающими наглядные изображения полей.
Один из этих способов состоит в том, что
в нс проводящей глектричество жидкости
(например, в масле или глицерине) взвеши-
вают пыльцу растений, а затем эту взвесь
заливают вокруг изучаемой системы заря-
дов Электрическое тюле вызывает разделе-
ние зарядов па частичках: один конец части-
чек становится отрицательно, а другой
по тожитсльно заряженным, но в целом час-
тичка остается электрически нейтральной
Такое явление называется электрической по-
ляризацией. Поляризованные частички пыль-
цы ориентируются вдоль силовых линий
тем самым делая видимой их форму. Ряд
фотографий полученных таким способом
конфигураций полей показан на фит . 8.17
При изучении фиг. 8 17, а нетрудно убе-
диться в том, что картина силовых линий
поля двух одноименно заряженных тел такая
же. как на фиг. 8.9 для случая двух одинако-
вых масс. Видно также, что картины сило-
вых линий на фиг. 8.17, б и 8.16 совпадают
Фиг 8.17 иллюстрирует два друтих общих
результа т а
1 Э метрическое поле внутри [сплошного
или полого) проводника, по которому не течет
ток, равно нулю. (Фит 8,17, в и иллюстри
руют этот результат для полого проводни-
ка.) Рассмотрим вначале сплошной провод-
ник. Если внутрь такого проводника внести
некоторый заряд и если заряды мотут сво-
бодно перемещаться, то вследствие взаим-
ного отталкивания они разбегутся к поверх-
ности. Если этот поверхностный заряд соз-
даст поле внутри проводника, то оно за-
ставит двигаться электроны проводимости,
и тогда появится электрический ток. Но это
находится в противоречии со сделанным
нами допущением, что в проводнике пет
тока. (Действие электрическою тока мы
рассмотрим в следующей главе.)
Теперь рассмотрим полый проводник.
Возьмем простой случай полото шара. Если
тиар зарядить, то заряд равномерно расттпс-
тгелится по его поверхности* На пробный
заряд, помещенный в центре тиара, сила дей-
ствовать не будет: в этой точке результи-
рующая сила и напряженность по тя равны
нулю однако что можно сказать о поле
в друтих точках полости? Обратимся к
фит 8.18. Мы хотим определить результи
рующую силу, действующую на пробный
заряд в точке Р Построим два концентриче-
ских конуса, направленных в противополож-
ные стороны, с общей вершиной в точке Р.
Эти конусы вырезают площадки на проти-
воположных сторонах сферы. Поскольку
заряд распределен на поверхности сферы
равномерно, сила, действующая на пробный
заряд от каждого из вырезанных сегментов
шара, пропорциональна площади сегмента.
Обе эти силы направлены противоположно
друг другу. По сет мент с большей площадью
отстоит от точки Р дальше, чем сегмент с
меньшей площадью. Увеличение действую-
щей на пробный заряд силы с ростом пло-
щади сет мента (пропорциональное г2) ком
пснсирустся уменьшением ее из-за большей
удаленности сет мента (пропорциональ-
ным 1/г2) В результате обе силы оказывают
ся равными и к тому же противоположно
направленными, так что результирующая
сила равна нулю. Эту аргументацию можно
распространить и на остальную поверхность
сферы, в результате оказывается, что на
* Такой резз пыпат обус юв ten сиичетрией сфе-
ры: на ее поверхности все точки адсоле,тио оди
каковы. и. поскольку заряды взаимно отталкива-
ются. они равно черно распреде зчются по поверх-
ности сферы.
17»
a 6
в г
Фиг 8 17. Силовые линии электрического по-
ля различных заряженных тел.
а —два одноименных заряда; б два реи поимен-
ных заряда; в— зараженное кольцо (поперечное
сечение заряженного шара), поле внутри коль-
ца равно ну лю; г — заряженный проводник произ-
во зоной формы, поле внутри проводника равно
нулю; д заряженная пластина; е — пара плас-
тин. равномерно заряженных равными разноимен-
ными зарядами
8 4. Электрическое поле
261
Фш 8.18. Изменение электростатической
силы по закону 1 /г1 обусловливает то, что
на пробный заряд, помещенный в любую точку
внутри равномерно заряженной по юй сфери-
ческой оболочки, не действует сила т е.
электрическое поле внутри оболочки отсут-
ствует.
пробный заряд нс будет действовать сида.
Точно 1акой же вывод получается и для всех
прочих ючек внутри шара. Следовательно,
электрическое ноле внутри сферической обо
лочки отсутствует. Применяя более слож-
ный математический метод, какой же резуль-
тат можно получить не только для сфериче-
ской, но и для любой другой замкнутой
поверхности
2. Э лектрическое поле между двумя рав-
номерно заряженными паралле юными плас-
тинами одинаковой площади однородно
(фиг. 8.17, е). Сначала рассмотрим случай,
когда обе пласт ины имеют бесконечную про-
тяженность, причем одна из них равномерно
заряжена положительным, а другая рав-
ным по величине Офинательпым электри-
чеством Вследствие того чю пластины заря
жены равномерно, любой участок между
пластинами ничем нс отличается от дру1их
учашков. Следовательно, силовые линии
должны быть распределены равномерно
и параллельны друг другу. Ошугствие
сгущения или разрежения силовых линий и
говори। об однородности электрического
поля.
В реальном случае, когда пластины имею!
конечные размеры (фиг. 8.19). ситовые ли-
нии на краях пластин искривляются. Однако
если расстояние между пластинами мало по
сравнению с размерами самих пластин, то
так называемый краевой эффект в боль-
uiHiiciBc расчетов оказываемся несуществен-
ным и им можно пренебречь.
Пара заряженных пластин, подобная изоб-
раженной на фиг. 8.19, называется конденса-
тором, и ш емкостью. Эти приборы имеют
важные применения в радиотехнике и элект-
ронике.
НАПРЯЖЕНИЕ. Как уже говорилось, раз-
ность потенциалов между двумя точками
называется напряжением между этими i оч-
ками. ДФ,Л V. Допустим, у пас имеется
пара параллельных пластин на расстоянии </
друт от друга (фиг. 8.20). Если пластины
присоединить к батарее, то пластина с поло-
жительным зарядом примет потенциал Ф,л,
а пластина с О1рицатсльным зарядом
потенциал Ф?л, так что
Фэл-Ф^л V, (8.15)
Фиг. 8.19. Искривлением силовых линий на
краях плоского конденсатора, имеющим мес-
то в действительности, обычно пренебрега-
ют и рассматривают только идеальный слу-
чай.
Н и де а гъном плоском конденсаторе силовые ли-
нии парал ie 1ъны друг другу и распределены всюду
равно мерно
Реальный
случай
т Увеличение
I 4>зл или V
или
(8-17)
Фиг. 8 20. Напряженность электрическ/Яо
поля между двумя присоединенными к папин,
рее пара иельными пластинами равна V г1.
1 те И напряжение батареи.
Элек ч рическое поле между плас типа ми
определяется электрической силой дейст-
вующей на пробный заряд в этом поле.
(8.16)
При перемещении пробною заряда из В в А
надо совершить работу против действующей
па <i электрической силы. Эча рабоча равна
Wb^a F3,d = q£d.
Рабоча чча единицу заряда q есть
просто напряжение [см. формулу (8.14)],.так
что в однородном поле
d
(8.18)
Направ lenue электрического поля, как уже
човорилосч., задается ччаправлеччием силы,
дсйствуючччей чча помечччечччччлй в это ччоле
положичельччьчй пробный заряд.
Пример 8.3
Элсктрочч выведет! из состояния покоя и движется в однородном электрическом ччоле, про-
ходя расстояччие 10 см за 10 7 с. Чему равны напряженность поля и напряжение между на-
чальной и конечной точками пути электрона?
Сила, действующая чча элекчрочч в однородном элекчрическом ччоле, ччостоянна; следова-
чельно, постоянно чт испытываемое им ускорение а 1те Проходимое электроном рас-
стояние .d '/2 at2, так что
d = — at2 = —
2 2 \те )
Напряженность потя равна частному от деления силы на заряд
„ F3„ 2med 2-9,1 • 10-28 г 10 см
о = ---- =-------=-------------------------------— =
е е/2 4,8 10-1° ед. СГСЭ • (10~’ с)2
— 3,8-10-3 ед. СГСЭ потенция ла/см.
Напряжение
V = Ed — 3,8 • 10-3 ед. СГСЭ потенциала м 10 см —
— 0,038 ед. СГСЭ потенциала 11,4 В
8.5. Поле ядерных си i
263
d
I
Фиг. 8.21. С'хема опыта Милликена с капель- ,
ками масла для опредегения значения е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА е.
В 1911 г. Роберт Милликен провел изуми-
тельно простой, но чрезвычайно важный
эксперимент, который доказал дискретность
заряда электрона; с помощью этого экспери-
мента также удалось впервые определить
точное значение заряда электрона. Милли-
кен создавал между двумя параллельными
пластинами электрическое поле, как показа-
но на фиг. 8.21. В этом поле он распылял
мельчайшие капельки масла. (Масло испа-
ряется значительно медленнее воды ) В про-
цессе распыления некоторые капельки при-
обретали из-за трения отрицательный заряд.
Наблюдая капельки в микроскоп, Минликен
обнаружил, что при определенной разности
потенциалов V между пластинами удавалось
«подвесить» данную капельку так, что она
не двигалась пи вверх, ни вниз. Когда ка-
пелька находится в равновесии, направлен-
ная вниз травит анионная сила mg уравнове-
шивается направленной вверх электрической
силой q8. где величина 8 просто равна Vid
В положении равновесия*
так чго
<7=^
4 V
(8.19)
По этой формуле заряд капли q может быть
вь чистсн из измеренных величин Значе-
ния g, d и V измеряются непосредственно,
значение т приходится находить косвенным
методом. Для этого сначала определяют
пло1нос1Ъ масла Затем измеряют скорость
падения масляных капелек в отсутствие элек
* В действительности для определения е в экс-
периментах с масляными каплями Милликен ис-
пользовал не статический. а динамический метод,
но для нас с с ичас это раз шчие несу up ственно
трическото поля. Для использовавшихся
Ми । тикепом мелких капель скорость их
падения принимала установившееся значе-
ние (см. раздел 4 6), а из iеории движения
тела в сопротивляющейся (или вязкой) среде
известно, что установившаяся скорость силь-
но зависит от радиуса тела. Таким образом,
измерение установившейся скорости позво-
ляет определить радиус (а значит, и объем);
зпая же объем и ранее найденную плотност ь
масла, можно вычислить массу капелек т.
Милликен обнаружил, что значения заря-
да на различных капельках, определенные
описанным методом, нс произвольны. Вы-
яснилось, что все эти заряды являются целы-
ми кратными некоторой основной единицы
заряда, з. е. q Ne, где N 1, 2, 3, .. . Эта
основная единица и есть заряд электрона
е 4,8-10 10 ед. СГСЭ. (Милликен получил
в 1911 г. ошибочное значение е, что было
вызвано использованием неправи тьного зна-
чения вязкости воздуха. После того как в
его результат была внесена поправка, полу-
чилось значение е, очень близкое к принято-
му в настоящее время.)
8.5. Поле ядерных cu t
РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ЯДЕРНЫМИ И
ДАЛЬНОДЕЙСТВУЮЩИМИ СИ 1АМИ
Гравитационное поче шарообразною тела
или электрическое поле сферического заряда
имеют чрезвычайно простой характер На-
пряженности таких полей убывают с рас-
стоянием по тому же геометрическому зако-
ну. что и интенсивность, например, света,
излучаемого источником равномерно по
всем направлениям в пространстве. Этот
закон пропорциональности напряженности
поля величине 1/г2 говорит о том, что на
каком бы конечном расстоянии от источника
поля ни находилось пробное тело, оно везде
264
8. Па ля
будет испытывать действие силы. Эта сила
обращается в нуль только на определенном,
но физически недостижимом расстоя-
нии г оо.
Ядерные силы имеют совершенно иной
xapaKiep. Действие этих сил не простирается
до бесконечности: напротив, оно отрапичено
чрезвычайно малой областью, окружающей
источник Какова природа ядерного поля?
И вообще пригодно ли понятие поля для
описания таких сложных и странных сит,
как ядерные силы?
ПИОННОЕ ПОЛЕ Представление о поле
применимо к большим по величине ядерным
силам, но характер проблемы в этом случае
требует совершенно иных рассуждений. Ос-
новная идея, которая привела к современ
ному (но все еще неполному) пониманию
природы ядерных сил, была высказана в
1935 г. японским физиком Хилеки -Юкава
(род. в 1907 г.). ‘Юкава предположил, что
два нуклона испытывают притяжение па
малых расстояниях благодаря взаимному об-
мену гипотетической тогда элементарной
частицей, названной мезоном. Эта частица
имеет массу, промежуточную между масса-
ми электрона и протона*. Сегодня известно
несколько разновидностей мезонов. Те мезо
ны, которые ответственны за ядерные силы,
имеют массу, примерно в 273 раза превы-
шающую массу электрона (т. е. составляю-
щую около 15% массы протона); они назва-
ны п-мезонами, или пионами**
Детальное исследование пионных обмен
ных сил требует привлечения сложного мате
магического аппарата; мы приведем каче-
ственное описание обменных сил Предпо-
ложим для примера, что два мальчика тре
нируются, играя в баскетбол Один из них
получает мяч от другого и тут же кидав)
его обратно, и эго перебрасывание снова и
снова повторяется В результате такого по-
стоянного обмена мячом оба мальчика как
* Поэтому она и называется мезоном «мезос»
по-гречески значит передний». — Прим, перев
* * Пионы — основные частицы ответствен
ные за ядерные силы; но теперь однако. известно,
что свою долю в сильное ядерное взаимодействие
вносят и другие, более массивные мезоны (см
раздел 16 4)
бы «привязаны» друг к другу, т. е. здесь как
бы действует «баске) больная обменная
сила».
А теперь предположим, ч<о сталкиваются
протон и нейтрон. Процесс столкновения
управляется ядерной силой (пиопной обмен-
ной силой), действующей между обеими
частицами. Где находится пион, который
является посредником в этом взаимодей-
ствии? В известном смысле он всегда «где-то
здесь» Очень удобно представ тять протон
как бы состоящим ит нейтрона и положитель-
но заряженного пиона:
Р*—+ П + к*.
Иными словами, протон как бы состоит из
нейтронного «остова», окутанного «мезон-
ным облаком» Или па языке ноля, можно
говорить, что вокру> нейтрона сушсствуе)
пионное поле и в целом это образование вы-
) лядит как протон. При столкновении про-
гона и ней)рола происходи) обмен л-мезо-
ном между двумя нейтронами, и этот мезон
осуществляет ядерное взаимодействие меж-
ду частицами Такой обмен пионом — чрез-
вычайно быстрый процесс; он происходит
за время порядка 10 23 с.
Но протон и нейтрон различаются по мас-
се лишь примерно па 0,1%. Как можно в
этом случае считать, что протон состоит из
нейтрона и пиона, если масса пиона дости-
гает 15% массы протона? На этот вопрос
мы не сможем о+ветить подробно, пока не
познакомимся с принципом неопределенности
квантовой механики (раздел 12 6). Эт от прин
цип утверждает, что процесс р-»н + л+, в
котором масса нс сохраняется, допустим,
если в течение короткого промежутка вре
мени происходит и обратный процесс
п+л+-»р, в результате чего все возвраща-
ется в исходное состояние. Обмен пионом
между сталкивающимися нейтроном и про-
тоном разрешен, поскольку процесс обмена
завершается за время порядка 10 !3 с.
Представление о том, что в основе ядер-
ных сил лежит пионное поле, позволило
достигнуть больших успехов, хотя многое
еще нужно понять, прежде чем мы придем
к полной ясности относительно этих основ
ных сил природы Значительно более скром-
ными пока что являются наши знания в об-
8.6. Энергия поля
265
ласти слабых взаимодействий. Скорее всего
существует элементарная частица, которая
переноси! взаимодействие между электро-
нами и нейтрино, но о природе этой частицы
еше пел четкого представления.
8.6. Энергия поля
ОБЛАДАЕТ ЛИ ТЕЛО ПОТЕНЦИАЛЬ-
НОЙ ЭНЕРГИЕЙ? Если тело подняло на
высоту /1 над поверхностью Земли, мы ю-
ворим. чго тело обладает граниiанионной
потенциальной энергией mgh но сравнению
с его исходным положением. Но обладает ли
тело на самом деле этой потенциальной
энергией? Может быть, ему приходится раз-
делять эту потенциальную эн epi июс Землей’
В соответствии с описанием i равитационно-
го взаимодействия на основе понял ия ноля
мы не должны приписывав изменения по-
тешила плюй энергии какому бы то ни было
телу. Для изменения относительною поло-
жения двух тел следует совершить рабо-
ту mgh над полем, и эи работа перейдет в
энергию гравитационного поля. Энергию по
ля можно извлекать, создавая условия, при
которых поле приводит тела в движение.
Апало! ичные соображения применимы к
электрическому полю и полю ядерных сил.
Но помня, что потенциальной энср! ией
обладает поле, мы все же будем следован,
нашему обыкновению и будем говорил ь о
потенциальной энергии тела или системы
тел.
Фш.8 22. Для распространения радиосигнала
от Луны до Земли требуется примерно 1,3 с
В течение этого времени переданная энергия за-
ключена в электромагнитном поле.
ОБЛАДАЕТ ЛИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ПО-
ЛЕ ЭНЕРГИЕЙ? Мы только что скачали,
что поле обладает энергией. Но может бьпь,
это заблуждение? Как может пустота, в ко-
торой нет никаких материальных чаетиц,
обладать столь реальной физической харак-
1сристикой, как эпер1ия?
Рассмотрим следующую сизуацию. Кос-
мический корабль после прилунения переда-
ет па Землю телеметрическую информацию
с помощью радиоволн (фиг. 8.22). Радио-
волны. как мы узнаем в гл. 10. представляют
собой распространяющиеся в пространстве
возмущения электромагнитного поля Уста-
новленный на Луне передатчик посылаем
сигнал, который содержит некоторое коли-
чество энергии. Этот сю пал распространя-
ется со скоростью света и спустя 1,3 с досзи
1 ает приемника на Земле Энер1 ия была
передана лунным прибором и приняла зем-
ным прибором. Где нах шлась эта энергия
в течение 1,3 с. прошедших между посылкой
ее с Луны и прибытием на Землю? Согласно
закону сохранения энергии, она должна была
•де-то быть; в действительности она могла
содержаться только в э юктро магнитном
поле.
ТРИ ВИДА ЭНЕРГИИ Собрав все извест-
ные нам виды эпер| ии и переименовав «по-
тенциальную энер! ию» в «энергию поля»,
мы получим такой перечень:
1) кинетическая энергия,
2) энергия поля,
3) собственная энергия.
До сих пор теоретический подход к физи-
ческим явлениям на основе представления о
поле оказывался столь успешным и плодо
Луна
Радиосигнал
Земля
-384000 км
266
8. Поля
гворным. что можно ожидать дальнейшего
ею развития, которое позволит объединить
все известные нам виды энергии в единую
концепцию энергии по г.ч Э го стало бы шагом
в направлении к большей простоте теорети-
ческой физики, ибо появилась бы возмож-
ность рассматриваю все виды энергии па
единой основе, вне зависимости от источника
энергии.
Основные выводы
В самом широком смысле любую физиче
скую величину, плавно меняющуюся в про-
странстве и однозначно определенную во
всех ею точках, можно рассматривать как
note.
Поля могут бьпь либо скалярными, либо
векторными.
Характеристикой гравитационного пом
является сила, приходящаяся на единицу
массы (т. е. ускорение), которая действует на
пробную массу.
Силовые линии гравитационного поля все
гда направлены к источнику поля.
Силовые линии и жвипотепциальные по-
верхности всегда пересекаются друг с другом
под прямыми углами.
Движение по эквипсиепциальной поверх-
ности не требует совершения работы.
Характеристикой электрического пом яв-
ляется сила, приходящаяся на единицу заря-
да, которая действует на пробный заряд
Грави! анионный (электрический) потен-
циал ecib потенциальная энерт ия единицы
массы (заряда).
Силовые линии электрического поля все-
гда начинаются на положительных зарядах
и оканчиваются на отрицательных зарядах.
Электрическое поле внутри полото про-
водника (или внутри сплошного проводника
без тока) равно нулю.
Электрическое поле между двумя парал
дельными равномерно заряженными пласти-
нами однородно.
Поля обладают энергией. Существуют три
основных вида энертии: кинетическая энер-
гия, энергия поля и собственная энергия
Вопросы
8 1 При каких условиях имеет смысл считать полями следующие величины
а) распределение плотности вещества по объему Земли,
б) плотность населения в стране,
в) плотность населения в городском квартале,
г) плотность звезд в талактике,
д) плотность воздуха в атмосфере9
Укажите, какие из полей будут скалярными и какие векторными
8 2 Как можно получйть полезную работу, перемещая тело в области, в ко горой существуют ра пюсти
давлений как например, на фиг. 8.1 ? (Предложенный вами метод не обязательно должен быть прак
тически осуществимым.)
8.3 . Если тело «отпустить» в поле силы, к действию которой оно чувствительно, то движение тела нс
обязательно будет происходить по силовой линии. Объясните, почему это так. При каких особых
условиях тело будет двигаться точно вдоль силовой линии9
Задачи
267
8.4 . 1ве концентрические полые сферы несу i
равные ратноименные заряды. Существует ш
ноле в областях Л. В и С? Ответьте на юг же
вопрос в случае, когда обе сферы несу i равные
одноименные заряды
8.5 Отличен и от нуля гравитационный потен-
циал внутри шарообразной полости в веществе?
Задачи
8.1. Скалькируйте карту на фиг. 8.1. Изобразите на ней ряд изотерм, проставив около каждой значе-
ние температуры, так чтобы на карте стали видны зоны низкой температуры в северо-западных тихо-
океанских и северо-вос точных атлантических нт та т ах, области высокой т емпературы на ют о-западс
и на юге Флориды и зона средней температуры на Среднем Запале
8.2. Вода течет но цилиндрической трубе. Нарисуйте векторы скорости для точек, расположенных
по диаметру трубы. Сделайте такой же чертеж для потока нефти в трубе, принимая, что за единицу
времени объем протекшей по трубе нефти такой же, как и объем воды. (Течение нефти более вязкое,
чем течение воды, поэтому по мере приближения к сзенкам грубы нефть течет медленнее воды.)
8.3. Вода втекает в овальный бассейн через отверстие у дна в одном конце бассейна, а вытекает через
отверстие у дна в дру ом конце. Нарисуйте линии тока (ко горые изображают течение волы в бассейне),
если смотреть из точки, расположенной над бассейном, и из точки сбоку бассейна
8 4. Какова разность гравитационных потенциачт в в точках на цоколе и на вершине монумента Ва-
шингтона (h«170 м)?
8.5. Чему равен гравитационный потенциал поля тяготения Земли на лунной орбите?
8 6. На некотором расстоянии друт от друга находятся два шара, масса одного из них вдвое больше
массы другого Нарисуйте силовые линии гравитационного поля и эквипотенциальные поверхности
(подобные тем, что изображены на фит 89 и 8 12)
8.7. Вычислите отношение гравитационных потенциалов полей тяготения Солнца и Земли в точке,
где находится Луна во время новолуния (лунного затмения). Вычислите то же отношение для мо-
мента солнечного затмения и сопоставьте оба результата. Что вы можете сказать об изменении гра-
витационного потенциала, в котором находится Луна?
8.8. Чему равен гравитационный потенциал земного поля тяготения на поверхности Земли?
8.9* . Три заряда, один в +2 ед. СГСЭ и два других в —1 ед. СГСЭ, расположены в вершинах равно-
стороннего треугольника. Нарисуйте силовые линии поля этих зарядов.
8.10. Заряд Q -50 ед. СГСЭ расположен в начале координат Чему равны напряженность и по-
тенциал электрического поля в точке с координатами г 4 см. у 4 см9
8.11. В некоторой точке /’ пространства точечный заряд создает электрическое поле напряженностью
30 ед. СГСЭ потенциала'см. направленное в положительную сторону оси х. В той же точке другой
268
8. Поля
точечный заряд сот лае । поле 60 ед. СГСЭ потенциала,см в положительном направлении оси у. Какая
сила будет действовать на протон, помешенный в точку Р?
8.12. Какая сила дсйшвует на электрон в однородном поле напряженное 1ью 100 сд СГСЭ ио1ен-
пиала.'см?
8.13* . Было установлено, что на расстоянии 100 км от маленького элск!рически заряженного асте-
роида напряженное 1ь ею поля составляет 0.1 сд. СГСЭ потенциала.см. Какой заряд несет астероид
и какова плотность заряда на поверхности астероида, если он имеет форму шара радиусом 1 км?
(Заряд равномерно распределен по поверхности шара.)
8.14. Допустим, что на поверхности Земли равномерно распределены избыточные элек1роны в коли-
честве 1 электрон на 1 см2 Чему будут равны заряд Земли и элек 1 рический потенциал на се поверх
ности?
8 15. Нарисуйте эквипотенциальные поверхности для двух разноименных равных зарядов, находя-
щихся на некотором расстоянии друг от друга.
8.16. На одной прямой расположены три заряда: Q 4 2 ед. СГСЭ при х, 10см, Ql —4ед.СГСЭ
при х2 0 и Q} 2 ед. СГСЭ при х3- — 10 см Нарисуйте электрические силовые линии
8.17. Вычислите гравитационный и электрический потенциалы на расстоянии 10 м см от протона.
8 18. Какое ускорение будет испытывать ядро атома гелия в однородном электрическом поле напря
женностью 50 сд. СГСЭ 1Ю1енциала,>см?
8.19. Представьте себе, что прогон имеет форму равномерно заряженного шара радиусом 10 13 см
(это вряд ли вполне приемлемая модель протона). Чему будет равно электрическое поле на поверх-
ности протона?
8 20 Сфера радиусом 1 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда 0,3 ед СГСЭ
потенциала см2.Чему равны напряженность и потенциал электрического поля на поверхности сферы
ив 10 см от нее?
8.21. В противоположных вершинах квадрата со стороной 50 см размешены два заряда Q, 5 ед.
СГСЭ и Q2-----3 ед. СГСЭ. Чему равен потенциал поля в каждой из незанятых вершин квадрата?
8 22 В углах квадрата со стороной 10 см размешены четыре заряда, величины которых, сети смочршь
по часовой стрелке, равны +3 —8, —5 и 10 сд СГСЭ. Постройте на рисунке векторную диаграмму
сил и найдите результирующую силу, действующую на заряд 4-10 ед СГСЭ. Повторите построение
для случая, когда заряд —8 ед. СГСЭ измени 1 свой знак.
8.23. На окружности радиусом 1 м на равных расстояниях друг от друга расположены шес ть одина-
ковых зарядов Q 4-10 ед. СГСЭ Чему равны напряженность и потенциал электрического поля в
центре окружности? Вычислите эти величины для случая, когда знаки первого, третьего и пятого за-
рядов поменялись на противоположные
8 24. Электрический потенциал в некоторой точке пространства равен Ф м = 800 ед. СГСЭ. Какую
потенциальную энергию имеют в этой точке а) электрон и б) протон?
8.25. В точках Л и В электрические потенциалы соответственно равны 100 и—150 ед. СГСЭ Какую
работу следует совершить, чтобы переместить из Л в В электрон? Равна ли она работе, которая нужна
для перемещения из Л в В протона?
8 26. Две параллельные пластины, отстоящие друт от друга на 2 см подсоединены к батарее, которая
создает между ними напряжение 600 В. Какая электрическая сила будет в этом поле действовать на
мае гяную каплю, несущую заряд 4 е?
Три радиационны г по яса протонов с низки ии знергш ми
9 Движение
электрических
зарядов
9.1. Электрический ток
9.2. Магнетизм
9.3. Магнитные поля
электрических токов
9.4. Действие магнитного поля на
движущиеся заряды
9.5. Момент сил, действующий на
контур с током. Магнитные
моменты
9.6. Траектории заряженных
частиц в магнитных полях
9Л. Движение заряженных частиц
в магнитном поле Земли
9.8. Переменные во времени пол.ч
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Движение электрических зарядов лежит в основе многого, что происходит во Вселенной.
Движение зарядов не только сказывается на динамике процессов, происходящих на Солнце
и в недрах гвезд, по и порождает земной магнетизм. В виде электрического тока упорядочен-
ное движение зарядов нашло бесчисленные приложения в современной человеческой пиви
лизании и работает в различных электродвигателях, радиосхемах и многих других устрой-
ствах. Практически нет такой области дея тельности современно! о общества, которая самым
решительным образом не тависела бы от эффектов, порождаемых движением электрических
зарядов.
В данной главе мы рассмотрим не многочисленные применения движущихся зарядов
в электроприборах, а фундаментальную проблему электрического тока и его связи с маг-
нитным полем Большое место будет отведено движению заряженных частиц в магнитных
тютях. С помощью магнитных полей удерживают на орбитах в ускорителях и направляют
на мишень частицы высокой энергии, которые используются при изучении строения атом-
ных ядер и свойств элементарных частиц. Заряженные частицы в космических лучах, взаимо-
действуя с магнитным полем Земли, вызывают много интересных явлений, например по-
лярные сияния. Земное магнитное поле также способно захватывать заряженные частицы,
в результате чего возникают окружающие Землю радиационные пояса. С точки зрения
экономики исключительно важен тот факт, что заряженные частицы, захваченные магнит-
ными полями, рано или поздно смогут обеспечить выработку в термоядерном реакторе
огромных количеств чрезвычайно дешевой электроэнергии.
В заключение этой г гавы мы рассмотрим четыре уравнения Максвелла, которые лают
полное описание всех явлений с участием электромагнитных полей. Изучение электромаг-
нетизма мы продолжим в следующей главе, где будут рассмотрены основные свойства
электромагнитных волн
9 1. Электрический ток
ПЕРЕНОС ЭЛЕКТРОНОВ. В основе э лект-
рического тока лежит движение электриче-
ских зарядов Практически почти во всех
случаях положите тьно заряженные атомные
ядра остаются по существу неподвижными
по сравнению со значительно менее массив-
ными электронами. Таким образом, почти во
всех явлениях, которых мы коснемся, ээгект
рический ток обусловлен движением элект-
ронов.
В проводниках часть электронов нс связа-
на с определенным атомом и может свобод-
но перемещаться но всему обьему вещества
В отсутствие приложенного к проводнику
электрического поля такие свободные злект
роны (или т лектроны проводимости) движут
ся хаотично. часто сталкиваясь с неподвиж-
ными атомами и изменяя при этом направ
тонне своего движения. Через тюбое сечение
проводника в одну сторону проходит столь
ко же электронов сколько в нротивопо
ложную сторону (фит. 9.1) Поэтому резу и,
тирующего переноса э зек т ронов черег такое
сечение нет и электрический ток равен
нулю
Если концы проводника присоединить к
зажимам батареи (фи 9.2). то в нем воз-
никнет электрическое поле. Теперь через
любое сечение проводника, перпендикуляр-
ное силовым линиям этого поля, появится
результирующий перенос электронов, иначе
говоря, черег это сечение на фит 9.2 справа
налево будет проходить меньше электронов,
чем слева направо.
Направление, в котором происходит такой
дрейф электронов, противоположно направ-
лению силовых линий. Однако мы услови
лись считать за направление силовых линий
направление силы, действующей на положи-
тельный заряд. Поэтому будем считать на-
правлением тока направление движения по-
ложительных зарядов (хотя на самом деле
в проводнике движутся только отрицатель-
но заряженные электроны) Ток отрицатель-
ных зарядов (ток электронов) в данном
направлении эквивалентен току положитель-
ных зарядов в противоположном направле-
нии Используя слова электрический ток,
мы всегда будем иметь в виду так называе-
мый условный ток, идущий в том же нанрав
лении, что и электрические силовые линии.
Термины э лекплрошлый ток или поток элек-
272
9 Движение ) метрических зарядов
Фит 9 1 В отсутствие элект-
рического по т электроны про-
водимости совершают хаоти-
ческое движение.
Фит 9.2. Приложение электри-
ческого по. 1ч к проводнику вы-
зывает резу 1ьтирующее движе-
ние (дрейф) электронов в на-
правлении. противоположно и
направлению силовых линий поля.
Но принятому соглашению счита-
ют. что ток идет в том же на-
правлении. что и силовые пати
тронов мы будем применять к движению
электронов. Такое соглашение выглядит до-
вольно искусственным, по вскоре выяснятся
его преимущества.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ТОКА Количе-
ственно сила электрического тока определя-
ется как скорость переноса электрического
заряда через какую либо поверхность. Ток
силой в 1 ампер (А) соответствует переносу
через некоторую поверхность заряда в 1 ку-
лон (Кл) за 1 с. В обшем виде сила тока /
соответствует переносу через некоторую
поверхность результирующею заряда Q
(фиг 9.3):
(9 1)
Разумеется, если необходимо определил ь
полную силу тока в проводнике, поверхность
должна охватывать все поперечное сече-
ние проводника.
Единицей силы тока в системе СИ служит
ампер:
[/] = - КУЛОН _ ампер
секунда
= 3 109 ед. СГСЭ заряда/с. (9.2)
Единица силы тока ампер скаталась удоб-
ною масштаба и получила распространение
в обиходе. Бытовые электроприборы по-
требляют ток силой в несколько ампер, а
электропроводка в домах рассчитывается
на токи 15—20 А.
СКОРОСТИ ДРЕЙФА ЭЛЕКТРОНОВ
В обычных проводниках свободные элект-
роны движутся со скоростями порядка
10 см/с. Как уже указывалось, в отсутствие
тлектрическою поля это движение происхо-
тит хаотично и не создает результирующего
гока. Если электронам, прилагая электриче-
ское поле, сообщить даже малую скорость
трейфа то возникнет значительный ток.
Предположим, что у нас имеется медный
проводник поперечным сечением 1 см2
(фиг. 9 4) Какая нужна скорость дрейфа,
чтобы по проводнику шел ток 1 А9
Рассмотрим участок медного стержня дли-
ной 1 см (ограниченный сечениями А и В на
фит 9 4) Мы ранее вычислили, что 1 г меди
содержит примерно 0,92-1022 атомов. Плот-
ность меди равна 8,92 г/см3, значит, в
1 см3 меди содержится 8 92-0,92 1022 —
= 8,2-1022 атомов На каждый атом меди
приходится один свободный электрон, так
что в элементе объема АВ находится
8,2 1022 свободных электронов. Элсктри-
9 1. Электрический ток
273
ческое поле влияет на движение всех свобод-
ных электронов совершенно одинаково
оно заставляет их перемешаться на расстоя-
ние d, так чго объем АН займет поло-
жение А'В'.
Для силы тока имеем соотношение
1 = 1~ = “Г ’ (9-3)
тле N число электронов, пересекающих
сечение В Для получения силы тока I А ве
личина Ne должна составлять 1 Кл за 1 с
Следовательно,
д, Ne__________________1 Кл_________
е 1,60- 10_1® Кл/электрон
— 6,2 • 1018 электронов,
т е. для получения силы тока 1 А че
рез сечение В за 1 с должно проходить
6,2 1018 электронов. Это число составляет
тишь небольшую долю f числе свободных
электронов в I см3:
/ = 6-2 ' 1018 = 7,6 . КГ».
' 8,2 1022
Поскольку длина участка АВ равна 1 см, это
означает, что величина результирующего
смещения d составляет такую же долю
от АВ, т е d —7,6 10 5 см. Поэтому ско-
рость дрейфа равна
7,6 • 10“* см _ „ 1П_ ,
Одо =------------= 7,6-10 5 СМ с.
₽ 1с
При уменьшении поперечного сечения про-
водника для сохранения неизменной силы
тока должна увеличиваться скорость дрей
фа. Обычный проводдля домашней э тектро-
Фиг 9 3. Если за I с через поверхность S про-
ходит количество электричества, равное I Кл.
то сила тока равна I А.
проводки имеет диаметр около I мм и сече-
ние 0,0083 см2 Поэтому для получения в
таком проводе силы тока 1 А скорость дрей-
фа электронов должна составлять
1 см2
0,0083 см2
7,6 • КГ5 СМ, С =
= 9,2 10"3 см/с,
т. е. приблизительно 0,1 м,м с.
Таким образом, благодаря тому что в
проводниках находится отромпое колнче
етво свободных электронов, для получения
лаже сильных токов достаточны очень малые
скорости дрейфа Не надо забывать, что ре-
зультирующая скорость дрейфа накладыва-
ется па огромные (порядка 10я см . с) скорос т и
хаотического движения электронов.
Фиг. 9.4. Свободные электроны в единичном
объеме АВ (/с.м3) смеи/аютс.ч в объем А' В'.
>то соответствует дрейфу электронов на
рассточние d
А А' В В'
TR 779
274
9. Движение и ктрических зарядов
МОЩНОСТЬ И ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕ-
СКОГО ТОКА. Величина электрической
мощности, требующейся для рабо1ы элект-
ромотора или радиоприемника, равна про-
изведению напряжения и силы гока:
Рэл = V/. (9.4)
В системе СИ единица мощности ватт.
1Р»л] — 1И • [/] - В • А — ватт (Вт).
(9.5)
В системе СГС единицей мощности являст
ся эрг/с; 1 Вт = 10 эрч/с.
Легко убедиться в тем, что произведе-
ние Ц имеет размерность мощности, т. е. ра-
боты. выполненной в единицу времени. В са-
мом деле, согласно (7.31), произведение
напряжении на заряд имеет размерность
работы. Разделив на время, мы получим
V , или VI = Р.
t t
Электроэнергия, потребляемая каким-ли-
бо электроприбором (и преобразующаяся
в нем в дру!ие виды энергии, например в
кинетическую или тепловую энергию), равна
произведению мощности на время, в течение
которою мощность подводится к потреби-
телю:
Еал Pa»t = Vlt. (9.6)
Пример 9.1
Электромотор номинальной мощностью 1 л. с. получает питание от сети напряжением 100 В
в течение 1 ч. Какая сила тока должна идти через мотор и чему равна потребленная им энер-
гия?
Сила тока
/ — Рял — 1 л' с~ _ 746 Вт _ 7 46 А
V 100 В 100 В
Электроэнергия
Езл = Рэл/ = 1 л. с. • 1 ч = 746 Вт-ч = 0,746 кВт-ч,
или, в единицах системы СГСЭ,
Езл = 746 Вт-ч • 10? эрг,с = 2,68-10‘3 эрг.
3 1 Вт 1 ч Е
9.2. Магнетизм
МАГНИТНЫЙ ЖЕЛЕЗНЯК И КОМПАС
Уже в древности людям было известно, что
некоторые камни (магнитный железняк) спо-
собны притягиваться друг к другу и притя-
гивать к себе кусочки железа. Такие камни
были обнаружены возле города Магнезия
в Малой Азии и получили название магни
тов Свойство магнитов притягивать к себе
железо (т. е. магнетизм) оказалось неунич-
тожимым в отличие от электричества, воз-
никающею при трении (и тоже известного
древним) Иначе говоря, магнетизм оказался
постоянным свойством вещества
Если продолговатый кусок мат нитного
железняка подвесить на нити или положить
на кусок дерева, плавающий в спокойной
воде, то он примет определенное направ.те
иие относительно Земли, а именно, его дли-
на будет расположена в направлении север
юг. Это наблюдение привело к изобретению
магнитного компаса, необходимого для це-
лей мореплавания. Такой компас представ-
ляет собой указатель направлений. Конец
компасного магнита, указывающий на север.
9.2. Магнетиз w
275
называется северным но носом (обознача-
йся N), а конец, указывающий на юг, на тыв.
ется ЮЖНЫ.М полюсом (обозначается S).
Широко известно свойство магнитов (по-
хожее на свойство электрических зарядов):
разноименные полюсы притягиваются, а од-
ноименные полюсы отталкиваются (фиг. 9.5).
Поэтому в действительности северный по
люс компасного магнита притягивается юж
ным магнитным полюсом Земли, который
расположен вблизи северного географиче-
ского полюса (но не совпадает с ним)
МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ. Известно, что в
каждой точке поверхности земного шара
компасная стрелка принимает определенное
направление. Иначе говоря, существует маг-
нитное поле Зем ли, связанное с земным маг-
нетизмом, так же как существует гравита-
ционное поле Земли, обусловленное ее мас-
сой. С помощью компаса можно снять
картину магнитного по тя Земли или любого
магнитною матсриата (Компас в любой
точке показывает направление магнитного
поля, хо1я непосредственно не дает никаких
сведений о напряженности этого поля.) Из-
мерение поля простого стержневого матнша
с помощью компасной стрелки позволяет
получить картину магнитных силовых линий,
показанную на фиг. 9.6. За направление
магнитных ситовых линий условно нринима
ют то, в котором смотри! северный конец
компасной стрелки, г. е. силовые линии вне
стержневого магнита выходят из его север-
ного полюса и входят в южный полюс, как
видно из фит. 9.6. Подобные измерения
земного магпитпот о поля показывают, что
оно практически совпадает с полем стержне-
вого магнита (фиг. 9.7)*.
Существует простой способ сделать мат
нитные ситовые линии видимыми. Если
поверх стержневого магнита положить лист
бумаги и посыпать его железными опилками
* Магнетизм Земли не постоянен, а медленно
меняется со временем Измерения, проведенные
на образцах магнитных материалов, возраст ко
торых был определен археологами, показа ш, что
напряженность земного магнитного поля колеб-
лется с периодом примерно ()( iem Кроме того
в течение последних 10 20 млн iem каждые
примерно 300 000 iem оно измене ю свое направ-
ление на противоположное.
3
Фит. 9.5. Одноименные магнитные полюсы om-
nia тиваются. разной ценные прит згива
ютс.ч.
Фиг. 9.6. Си ловые линии по ы простого
стержневого магнита
Ось
Фив . 9.7. Магнитное по ie ie м ш t ходно i по
гем стержневого магнита; южный геомаг-
нитный полюс распо южен вблизи северного
географического полюса.
18
276
9. Движение электрических зарядов
Фиг. 9.8. Силовые линии поля стержневого
магнита.
Они видны благодаря жезеэным опилкам, насы-
панным на шст бумаги, которым накрыт маг-
нит.
то опилки выстроятся вдоль силовых линий.
(Иными словами, опилки ведут себя подобно
маленьким компасным грелкам.) Получен-
ная >аким способом «Kapia» поля магнит
ного стержня показана на фиг. 9.8.
Э 1ЕМЕНТАРНЫЕ МАГНИТИКИ. Ес н,
как показано на фиг. 9.9, разрезать стержне-
вой магнит на два куска, то обе половинки
окажутся «полноценными» магнитами, име-
ющими северный и южный полюса и ориен-
тированными так же, как исходный магнит.
Разрезая в свою очередь эти магниты, мы
будем получать все новые и новые магниты,
полюсы которых располагаются так же как
и в первоначальном магните.
Что произойдет, если мы дойдем до того,
что разобьем магнит на отдельные атомы?
Сможем ли мы тогда отделить северный
полюс от южного? В следующих разделах
мы подробно покажем чго даже отдельные
атомы ведут себя как микроскопические но
тем не менее «полноценные» магниты с се-
верным и южным полюсами. И поскольку
мы не можем обнаружить у отдельных час-
тей атома те же магнитные свойства, что и
у атома в целом, приходится заключить, что
северный и южный пот юсы мат ни та не мо-
гут существовать друг без друга. Хотя, со-
гласно некоторым теоретическим представ-
лениям, отдельные магнитные полюсы (так
называемые магнитные монополи) могут
существовать, пока не удалось подучить ка-
ких-либо экспериментальных доказательств
этого (см. задачу 9.27).
9.3. Магнитные поля
электрических токов
ПОЛЕ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ Магне-
тизм стержневого магнита кажется совер-
шенно статическим свойством. Магнит элек-
трически нейтрален, и, казалось бы, в маг-
ните нет электрических токов. Какая же
может быть связь между электричеством и
магнетизмом? До начала XIX века действи-
тельно полагали, чю электричество и магне-
тизм совершенно не связаны друг с другом.
Однако в 1820 г. датский физик Ганс Хрис-
тиан Эрстед (1777 -1851) совершенно слу-
чайно обнаружил что ток в проводнике ока-
зывает влияние на ориентацию расположен-
ной поблизости от него магнитной стрелки.
После этого открытия, установившего связь
электрического тока и магнетизма, погре
бовалось лишь немного времени, чтобы
наблюдать на опыте многочисленные детали
явления электромагнетизма. Наиболее круп-
ный вклад в стремительное развитие этой но-
вой области физики внес французский физик-
теоретик Андре-Мари Ампер (1775—1836),
в честь которого названа единица силы тока.
Фит. 9.9. Разрезав магнит, мы получим два
новых магнита, северный и южный полюсы
которых ориентированы так же. как в исход-
ном магните.
9.3. Магнитные поля электрических токов
277
Одним из первых результатов этих экспе-
риментов явилось озкрьзтие, что проводник
с током создает магни зное поле (оно-то и
действовало на магнитную стрелку в опыте
Эрстеда); при этом было обнаружено, что
магнитные силовые линии представляют со-
бой окружности в плоскости, перпендику-
лярной проводнику с током, с центром на
оси проводника. Картина силовых линий,
полученная с помощью железных опилок,
показана на фи! 9.10.
ПРАВИЛО ПРАВОЙ РУКИ Наблюдая за
тем, как ориентируется стрелка компаса
возле проводника с током, можно устано-
вить направление силовых линий созданного
им магнитною поля Результаз выражается
так называемым правилом правой руки:
Если взязь проводнике юком в правую
руку так чтобы большой ззайезз указы
вал условное направление тока, то охва-
тывающие проводник остальные паль-
цы покажут направление магнизных си-
ловых линий (физ. 9.11).
Вектор наззряженности магнитного поля
(аналогичный вектору напряженности элект-
рического поля S) обозначают символом В
Вот здесь-то и проявляется преимущество
соглашеззия, по которому мы понимаем под
электрическим током поток по южитель-
ных зарядов: именззо это соглашение и по-
зволило нам ввести правило правой рукзз
для определения направления магнитных си-
ловых линий и вектора напряженности по-
ля В. В свое время мы уже определяли
направление вектора момента импульса (раз-
дел 5 10) с помощью правила винта и затем
оговорили дополнительно соз лашение отно-
сительно правила правой руки Таким обра
зом, сделанный нами выбор всезда позво-
ляет пользоваться для определения направ-
ления векторных величин ззравилом правой
руки.
ОДНОРОДНЫЕ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
Рассматривая в предыдущей главе электри-
ческие поля, мы видели, что существует
много случаев, когда было бы желательно
иметь однородное электрическое поле. Во
многих экспериментах требуются однород-
ные магнитные зголя Мы уже знаем, что
Фиг. 9 10. Сиювые линии магнитного поля
прямолинейного проводника с током имеют
вид окружностей с центром на оси провод-
ника.
Си ювые линии видны благодаря железным опил-
кам.
однородное электрическое поле можно по-
лучить, например, между параллельными,
равномерно заряженньзмзз пластинами. Как
можно создать однородное магнитное поле?
Одизз из простейших способов состоит в том,
чтобы согнуть стержневой мазнит так, что-
бы северный и южный полюсы оказалисз.
близко друз' к другу и притом были парал-
лельны (фиг. 9.12). Между полюсами такого
С-образного магнита поле В однородно.
Хотя С-образный магнит и позволяет по-
лучить однородззое поле, однако поскольку
магззит «постоянззьзй», ззаззряжсззззость маз -
ззитззого поля нельзя изменять. Это озра-
ззичивает применимость С-образных маз ни-
зов в экспериментах: во мноз их опытах
чрезвычайно важззо иметь однородное маг-
нитное поле с напряженностью, соответст-
вующей данному опыту
Один из сззособов получения однородного
магззитного поля с поддающейся измене-
27Х
9 Движение электрических шрядов
Фиг 9 11 И i кастрация применения пра-
вила правой руки для определения направления
силовых линий магнитного поля проводника
с током.
Фи! 9.12. Между полюса ми С-образного маг-
нита, полученного изгибанием стержневого
магнита создается однородное магнитное
поле.
Фш. 9.13. Силовые линии замкнутого конту-
ра с током.
Картина напоминает силовые линии стержневого
магнита. Здесь также приведен пример примене-
ния правила правой руки. Если кисть правой руки
поворачивать в там направлении. в котором идет
ток, то отогнутый большой палец укажет на-
правление прими 1Ывающих контур силовых линий.
(Можете убедиться, что это согласуется с тем.
как мы применяли прави м правой руки в преды-
дущем случае )
9.3. Магнитные поля электрических токов
279
нию напряженностью связан с пропускай»
ем тока через провод, навитый на железо
(ярмо), изогнутое в виде буквы С. Магнит-
ное поле создастся каждым витком токонесу
шсго провода, обвивающего железное ярмо
(фиг. 9.13). В цен । ре витка, где силовые линии
сгущаются, матнитное поле особенно силь-
но. Железное ярмо собирает силовые линии
и направляет их в пространство между по-
люсными наконечниками магнита, где воз-
никает однородное поле. При изменении
силы тока в проводе меняется напряжен
ность магнитного поля в межполюсном
промежутке. Такое устройство называется
электро магнитоле
Еще более аффективна конструкция Ш-об
разного электромагнита (фиг. 9 14), в ко-
торой токовые обмотки размещены на каж-
дом из полюсов и имеются два ярма в
которых силовые линии направляются по
железу от южного к северному полюсу маг
нита. Именно такую конструкцию имеет
большинство лабораторных электромагни-
тов с наиболее однородным полем (фиг. 9.15)
Во всех электромагнитах напряженность
поля В между полюсами зависит не только
от силы т ока в обмотке, но и от т еометричс-
ской формы ярма и полюсов а также о г
химического состава используемого желез-
ного сплава.
ГДЕ НАЧИНАЮТСЯ И [ ДЕ ОКАНЧИ
ВАЮТСЯ МАГНИТНЫЕ СИЛОВЫЕ ЛИ-
НИИ? Мы уже видели (в разделе 8 4). что
силовые линии электрического поля начина-
ются на положительных и оканчиваются на
отрицательных зарядах. Силовые линии маг-
нитного поля оказываются совершенно ино-
го свойства' они не имеют ни начала, ни
конца. Так, силовые линии прямолинейного
проводника с током представляют собой
окружности, силовые линии витка с током
не будут окружностями но тем не менее у них
все равно нет ни начала, ни конца Даже у
постоянного магнита в виде стержня (или
''псктромагнита) силовые линии пе начина
ются на северном и пе закапчиваю гея па
южном полюсе: они продолжаются внутри
намагниченного стержня или сердечника,
нигде нс прерываясь.
Тот факт, чю мапгигпые силовые линии
нс имеют шг начала, ни конца, эквивалентен
Фиг. 9.14. Схема устройства Ш-образного
> юктро магнита.
Фиг. 9.15. Фотография магнита с Ш-образ
ным ярмом, используемого для получения од-
нородных магнитных полей в лабораторных
условиях.
Поворачивая рукоятки на пару .жмых стенках яр-
ма. можно регулировать расстояние между по-
люсными наконечниками магнита.
280
9. Движение электрически* зарядов
утверждению, что не существует магнитных
зарядов (монополей). Электрические сило-
вые линии начинаются и оканчиваются на
электрических монополях (зарядах), но маг-
нитных зарядов, на которых бы оканчива-
лись магнитные силовые линии, не сущест-
вует. Непрерывность силовых линий магни г-
ного поля и отсутствие магнитных монопо-
лей являются отними из важнейших опыт-
ных фактов в теории электромагнетизма.
9.4. Действие магнитного поля
на движущиеся заряды
НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПО
ЛЯ Выше мы гголноегью определили на-
правление силовых линий магнитного по ля
(или, что то же самое, направление вектора
напряженности магнитного поля В). Однако
мы еще ничего не сказали по поводу количе-
ственного определения напряженности по т я
(т. е. величины вектора В) В случае электри-
ческого поля величигга I- определяется силой,
действующей па неподвижный пробный за-
ряд, помещенный в это поле. Аналогично
можно определить и величину В с помощью
силы, действующей на пробный заряд, по-
мещенный в магнитное поле. Но неподви.ж
ный пробггый заряд в магнитном поле не
испытывает действия никакой силы. Магни г-
ная сила действует только на движущийся
пробный заряд.
Было установлено, что сила, действующая
па заряд в данном маг ггитном поле, пропор-
циональна величине заряда и скорости его
движения. Коэффициент пропорционально-
сти, связывающий маг нитнуго силу Ел/ с
зарядом и скоростью (выраженной в до-
лях скорости света с) пробной частицы,
и есть напряженность магнитного поля В.
FM — Q — В (если v | В). (9.7)
с
Единица напряженности магнитного поля
в системе СГС называется гаусс (Гс) в честь
великого немецкого математика Карла
Фридриха Гаусса* (1777 1855).
* Гаусс внес крупнейший вклад в развитие тео
рии магнетизма и в определение элементов зеч
ного магнитного поля. Прим, перев.
[В] — гаусс (в системе СГС). (9.8)
Отметим, что размерность В есть сила,
деленная на заряд. Иными словами, единица
напряженности магнитног о поля В совпада-
ет с единицей напряженности электрического
поля £ в системе СГС (дин,ед. заряда). Во
избежание путаницы первая из них получила
специальное наименование «i аусс».
НАПРАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТ
НОИ СИЛЫ. Величины г и В в правой части
соотношения (9 7) суть численные значения
векторов v и В. a F,4 есть численное значение
вектора силы Fw. Как связаны между собой
направления этих трех векторов?
В случае электромагнитной силы эта связь
совершенно непохожа на ту, чго имеет мес-
ю для электрической силы Как видно из
фиг. 9 16, вектор электрической силыБ , (или
Fe), действующей на положительный проб-
ный заряд, направлен в ту же сторону, что
и вектор напряженности электрического по-
ля 8, независимо от направления векто-
ра скорости v С другой стороны, экспери-
ментально было установлено, что, когда
заряженная частица входит в магнит ггое
тюле, направление действующей на нее маг-
нитной силы перпендикулярно как v, так и В
(фиг. 9.17).
Направление F», относительно v и В опре-
деляется еще одним правилом правой руки:
вектор Fw направлен в ту сторону куда
движется винт с правой нарезкой, если вра-
щать его в направлении от вектора v к век-
гору В (фиг 9 18, а). Это правило можно
сформулировать по-другому: расположите
пальцы правой руки в направлении v и согни-
те их в соответствии с направлением В,
тогда отогнутый большой палец укажет на-
правление FM (фиг. 9.18,6). Отметим, что
это правило применимо к случаю по лежи-
те лыло заряженной частицы; для отрица-
тельно заряженной частицы направление
силы Fm противоположно указанному этим
правилом
Заряженная частица, движущаяся в мат
ни г ном поле, испытывает дейст вие макси-
мальной силы, когда направление ее скоро-
сти» перпендикулярно направлению вектора
напряженности поля В (фиг. 9 17). Величигга
9.4. Действие магнитного поля на движущиеся заряды
281
Фиг. 9.16. Вектор электриче-
ской силы¥-,„ имеет то же на-
правление, что и вектор ш пря-
женности электрического по-
ля S.
Фиг. 9.17. Вектор магнитной
силы F*/ перпендикулярен на-
правлениям v и В.
Правило правой руки позволяет
установить, что в данном случае
сим F*/ направлена вверх.
V
Фи1 9 18 И июстрация приме-
нения правила правой руки для
определения направления маг-
нитной силы FM. действующей
на движущийся положительный
заряд.
mm;
282
9. Движение электрических чир ядов
максимальной силы определяется соотноше-
нием (9.7). Если v не перпендикулярно В
то сила уменьшается и обращается в нуль,
котла v становится параллельно В. В общем
случае магнитная сила (в системе СГС) равна
Fm = 9 — В sin О
с
(9.9)
Фи1. 9.19. Be iwaiuu Fw чависит от синуса уг-
ла 0 между v и В.
Вектор силы FM всегда перпендикулярен плоско
ти. построенной на векторах v и В.
где 0 — угол между v и В. Если этот уго г
нс равен нулю, то на векторах v и В можно
построить плоскость Вектор силы Fw все-
гда перпендикулярен этой плоскости
(фиг 9.19).
Результат, выражаемый соотношени-
ем (9.9), можно сформулировать по-иному:
величина магнитной силы, действующей на
движущуюся заряженную частицу, опреде-
ляется только компонентой вектора скоро-
сти, перпендикулярной вектору В. Эта ком-
понента (фит 9 20)
= и sin 0. (9.10)
Именно эта величина и входит в форму-
лу (9 9)
СИЛА ЛОРЕНЦА Если заряженная час-
тица движется одновременно в электриче-
ском и магни г ном полях, то на нес дейс т вует
полней/ сила
Фит. 9.20. Перпендику мриа.ч В компонента v
равна г± = с мп 0
Вл = Ве+Лм, (9.1 Г)
тле
FE = q8, FM = q — В sin 9. (9.12)
с
Эта ложная электромагнитная сила Ея на-
тывается силой Лоренца или лоретшевой
силой, в честь голландского физика Гендри-
ка Антона Лоренца (1853 - 1928). чьи иссле-
дования э тек тромагнетизма подготовили
почву дтя создания теории относительности
Эйнштейна
Хотя элек громат нит ная сила Ел записана
в виде суммы двух сид электрической и
мат пит ной, однако важно представить себе,
что матнитная сила не является какой-го
новой силой, которую следовало бы внести
9.4. Действие магнитного поля на движущиеся заряды
283
а
в наш список основных сил природы. Как
уже говорилось, магнитные по 1я не суще-
ствуют независимо от электрических заря-
дов; магнитное поле возникает исключи-
тельно биагодаря движению электрических
зарядов относительно той точки, в которой
измеряется по те.
Предко южим, что в нашем распоряжении
имеются заряд q и прибор для измерения
магнитного поля Допустим чго оба нахо-
дя тся в покое в некоторой системе отсчета
(фиг. 9.21, а). Очевидно, прибор ничего не
покажет, поскольку В =0 (правда, там, где
находится прибор, существует э зектрическоз
поле). Если же заряд движется (фиг. 9.21,6). —
а мы знаем, что это равносильно наличию
э тектри чес кого тока, — возникает мат ни г
ное ноле, которое и будет зарегистрировано
измерительным прибором При этом, одна-
ко, существенно лишь относительное движт.
ние заряда и прибора (Все физические зако
ны имеют один и тот же вид во всех инер-
циальных системах отсчета.) Поэтому слу-
чай, когда заряд покоится в данной системе
отсчета, а движется прибор (фиг. 9.21, в), со
вершенно эквивалентен случаю, изображен-
ному на фиг 9 216, и движущийся прибор
опять зарегистрирует мат ни гное поле. Маг-
нитное поле создается только меняющимся
или движущимся электрическим позем
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕЙСЯ ЗА-
РЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ Напряженность
электрического поля заряженной частицы
Фиг. 9.21. Магнитное поле возникает только
при движении заряда </ относительно прибо-
ра. измеряющего напряженность этого по-
ля В.
убывает с расстоянием от источника поля
как 1/г2 Аналогично напряженность мат пит-
пою поля зависит от расстояния до движу-
щейся заряженной частицы как 1/г2 В пло-
скости, перпендикулярной вектору скоро-
сти v заряженной частицы (плоскость А' на
фиг. 9.22), напряженность магнитного по тя
в точке Р' определяется выражением
т. е магнитное поле в точке Р' с шбее элект-
рического поля в отношении v с. На той же
фигуре в плоскости А' показана магнитная
силовая линия, имеющая вид окружности,
проходящей через точку Р‘.
Плоскость А на фит. 9.22 тоже нерненди
кулярна вектору v. но расположена дальше
по линии твижения заряда q В точке Р этой
плоскости напряженность поля В пропор-
циональна 1 г- и, кроме того она должна
быть умножена на ветичину синуса угла <р
между направлением v и прямой, соединяю-
щей точки </ и Р. Таким образом мы полу-
чаем общее выражение для напряженности
магнитного ноля движущейся заряженной
284
9. Движение электрических зарядов
Фиг. 9.22. Магнитное поле движущейся hi
ряженной частииы пропорционально sm<p н оо-
ратно пропорционально квадрату расстояния
от частицы.
Поле в точке О равно нулю.
частицы (в системе СГС):
В = — Sin ф
(9 13)
На фиг. 9.22 показана силовая линия в
плоскости А, проходящая через точку Р.
Эта линия также имеет вид окружности
но напряженность поля на этой линии мень-
ше, чем в плоскости А’ (т. е. В< В) Именно
множитель sin <р в (9 13) показывает что
движущийся заряд не создает магнитного
поля вдоль линии своего движения (на кого
рой sin <р = 0).
ПОЛЬ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ Чтобы
вычислить в любой точке напряженноеib
магнитного поля, создаваемого постоянным
током в длинном прямолинейном провод-
нике, мы должны найти резулы ирующую
силу, действующую на пробный заряд. Для
этого надо просуммировать все силы, дей-
ствующие на него со стороны каждого из
зарядов, движущихся в проводнике. Подоб-
ный прямой расчет требует знаний ма1ема-
тики, выходящих за рамки этой книги. Мы
приведем лишь окончательный результат:
на расстоянии г от длинного прямолиней-
ного проводника с постоянным током I
(фш 9.23) напряженность магнитого поля
В = —
сг
(9-14)
Поле одиночного движущегося заряда,
как .мы видели [соотношение (9 13)], убывает
пропорционально 1 /г2, однако поле линей-
ного движущегося заряда (т. е. тока в длин-
ном прямолинейном проводнике) убывав!
пропорционально только 1/г.
Согласно приводившемуся выше правилу
правой руки, вектор напряженное in магнит-
ного поля в точке Р на фиг 9.23 направлен
от нас в плоскость черте ней. Силовые линии
при этом, разумевкя имеют форму окруж-
ностей (фиг. 9 10 н )
Фи1. 9.23 Магнитное поле на расстоянии г
от длинного пря ио нтейно о проводника с то-
ком I равно В 21 < г (вектор В направлен в
плоскость чертежа)
Пример 9 2
Чему равна напряженность магнитного поля на расстоянии 10 см от длинного прямоли-
нейного проводника, но которому идет ток 10 А?
Переведем ток в единицы системы СГС-
10 А = 10 А 3 • 109 ед. СГСЭА = 3 • 1010 ед. СГСЭ.
9.5. Момент, сил, действующий на контур с током
285
Тогда
В = — = 2 • 3 • 1010 ед- сгсэ = 0 2 Гс
сг 3 101° см/с • 10 см
Для сравнения укажем, чго это примерно равно величине магнитною поля Земли в средних
широтах.
ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО НОЛЯ СУ-
ЩЕСТВЕННО НЕСМОТРЯ НА МНОЖИ
ТЕЛЬ 1>/с. Мы уже видели, что магнитное
поле движущегося заряда слабее его элект-
рического поля в отношении vjc. Мы также
знаем (раздел 9.1), что скорости электронов
в проводниках с током порядка 10 2 см,'с.
Таким образом, это отношение порядка
10 12. Спрашивается, если полностью доми-
нирует электрическое поле, почему же маг-
нитные эффекты мот у г иметь какое-либо
практическое значение?Ответ состоит в том,
что в проводнике с током находятся равные
количества положительных и отрицатель-
ных зарядов, так что проводник оказывается
электрически нейтральным и не создает
электрического поля. Вместе с тем в таком
проводнике происходит дрейф электронов
(хотя и с малыми скоростями), тогда как
положительные заряды остаются неподвиж-
ными. В результате электростатические эф-
фекты, создаваемые зарядами обоих видов,
полностью компенсируют друг друга, тогда
как магнитные эффекты движущихся элект-
ронов оказываются существенными
щей на проводник с током, мы рассмотрим
элемент тока, т. е. короткий отрезок про-
водника, но которому идет постоянный ток.
Конечно, по такому изолированному от-
резку проводника не может идти постоянный
ток — для равномерною движения зарядов
необходима замкнутая цепь. Имея это
в виду, мы рассмотрим действие магнит-
ного поля на сегмент замкнутой пени с
током. Такой cei мент длиной 1 по которому
идет ток I показан на фиг. 9.24; этот cei мент
образует угол <р е направлением магии гною
поля В
Ток в сегменте равен количеству электри-
чества, проходящему через данную точку
в единицу времени. Полное количество элект-
ричек ва в сегменте равно Q Каждому за-
ряду для прохождения сегмента требуется
время г, так что скорость движения заря-
дов V —14. Таким образом, протекающий
в сегменте ток
/= = А _L = _Q р,
t i t i
9.5. Чо мент сил,
действующий на контур с током.
Магнитные моменты
МАГНИТНАЯ СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ
НА ЭЛЕМЕНТ ТОКА. При движении элект-
рических зарядов в проводнике, находящем-
ся в магнитном поле, на каждый из зарядов
действует маг пи тая сила. Поскольку дви-
жущиеся заряды образуют электрический
ток, при рассмотрении действия на провод-
ник магнитной силы обычно удобнее иметь
дело с результирующим током, а не с дви-
жением отдельных зарядов. Чтобы вывести
выражение для магнитной силы, действую-
Фиг 9.24 Э имент тока преостав мет собой
короткий отрезок проводника (в действитель-
ности часть замкнутого контура), по ко-
торому идет постоянный ток.
286
9. Движение злектрических' зарядов
так что
Qv-^ll. (9.15)
Магнитная сила, действующая на отдельный
заряд <i, движущийся со скоростью v в мат-
нитном поле В, согласно (9.8), равна
Fm= — В Sin ф,
С
где <р — угол на фиг. 9 24 Магни тную силу,
действующую па элемент тока с полным
зарядом в нем Q. .можно получить из этого
выражения для Ен, заменяя qv на Qi и пол
ставляя значение Qv из (9.15):
Fm = -у //В sin ф. (9.16)
КОНТУР С ТОКОМ В ОДНОРОДНОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ. Теперь мы рассмот-
рим дейст вис магнитного поля на замкнутый
контур с постоянным током Как видно
из фиг. 9.25, я, мы выбрали контур в виде
прямоугольной рамки шириной а и высо-
той Ь' перпендикуляр к плоскости рамки
обра тует угол 0 с направлением мат нитнот о
ноля В. По контуру идет постоянный ток
силой I.
Фит. 9.25. Рамка с током в однородном маг-
нитном поле (я): рамка испытывает дейст
вие момента си i со стороны магнитного
поля (о).
Момент сил направ ten так что стремите ч
ориентировать вектор магнитного момента р
вдоль вектора напряженности пиля В
Какие силы действуют на контур со сто-
роны магнитного потя? Рассмотрим для
начала верхний и нижний сегменты рамки.
Очевидно, что действующие на них магнит-
ные силы Fa/ имеют равные величины и
противоположные направления; эти силы
коллинеарны (т. е направлены вдоль одной
прямой) и в результате компенсируют друг
друга.
Силы, действующие на боковые сегменты
рамки, легче увидеть па фиг. 9.25. б. которая
представляет собой вид сверху фиг 9.24 я
Вновь очевидно, что силы, действующие па
каждый из сегментов, равны по величине,
но теперь уже оба вектора сиды не колли-
неарны А раз так, то возникает момент сил,
действующий на контур с током со стороны
магнитною ноля (момент сил был рассмот-
рен в разделе 5.10).
Величина момента силы Fa, равна произ-
ведению расстояния от оси вращения до
точки приложения силы и компоненты силы,
перпендикулярной этому направлению;
T=-^-aFM sin 9. (9.17)
Значение / и дается формулой (9.16), где
теперь пало взять sin<p 1, поскольку бо-
ковые сегменты рамки перпендикулярны на-
правлению поля:
Fm = —/IB. (9.18)
с
Подставляя (9.18) в (9.17) и умножая ре-
зультат на 2, поскольку момент создают
9.5. Момент сил, действующий на контур с током
287
силы, действующие на две боковые стороны
рамки, мы получаем величину полного мо-
мента сил:
Тполн= — JabB sin 0. (9.19)
с
Поскольку произведение ab равно площади 1
рамки, этот результат можно записать в
виде
ТПО(1Н =—/ЛВsin 0. (9.20)
с
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ Мы видим, та-
ким образом, что с точки зрения мат пит ных
эффектов представляют интерес только две
характеристики контура с током — его пло-
щадь* и текущий по нему ток В формулу
(9.20) входиг то тько произведение этих ве-
личин. поэтому удобно рассматривать это
проитведение в качестве новой величины,
являющейся полной характеристикой кон-
тура. Ее называют магнитным моментом
контура и обозначают р:
р=— (9.21)
с
Величину с мы включили в определение д.
чтобы в дальнейшем, не отоваривая специ-
ально, использовать единицы системы СГС
Теперь формулу (9.20) можно записать
в виде
Тполн^Р^пО. (9.22)
Напомним, что момент сил имеет
размерность [сила] • [путь] [работа] или
[энергия] Следовательно, рВ тоже имеет
размерность энергии, а единицей магнит-
ного момента в системе СГС является
эрг гаусс.
Магнитный момент контура с током пред
ставляет собой вектор. Направление векто-
ра р определяется точно так же, как и на-
правление вектора момента импульса а
* Ясно, что в поле напряженностью В на все
пря моугояьные контуры п ющидш А будет деист
вовать один и тот же момент сил. праведисво
и то (примем без доказательства), что этот мо
мент одинаков дзя всех контуров площадью А
независимо от их формы
Фиг. 9.26. Направление вектора магнитного
момента р совпадает с направлением движе-
ния правого винта, враириои/егос.я в направ-
лении в котором идет ток I.
именно р направлен по движению винта с
правой нарезкой, когда его поворачивают
в направлении тока (положительных зтря-
дов) в контуре. Для изображенного на фит
9.25 контура с током матнитный момент,
следовательно, имеет направление, показан-
ное на фит 9 26. Момент сил, действующий
на любую мат ни гнуто систему (контур с то-
ком, магнитный стержень и т. д.), внесенную
в магнитное поле, можно всегда вычислить,
зная магнитный момент системы
ЭЛЕМЕНТАРНЕЕ МАГНИТИКИ Наи-
меньшие «кирпичики» магнетизма были об-
наружены в мире атомов. Согласно чрез-
вычайно упрощенной модели атома, элек-
троны движутся по определенным орбитам
вокруг атомного ядра. Олин из электронов,
движущийся по круговой орбите вокруг не-
подвижного положительно заряженного яд-
ра, показан на фит. 9.27. Движение этого
электрона эквивалентно току в замкнутом
контуре (правда, направление тока противо-
положно направлению движения электрона).
Поэтому электрон создает магнитное поле
той же конфигурации, что и на фиг. 9.13.
Более тот о движущийся по орбите электрон
эквивалентен определенному магнитному
моменту
Вследствие квантовых эффектов (они бу-
дут рассматриваться в гл. 13) магнитный
момент, связанный с орбитальным движе-
нием электрона в атоме, нс может принимать
произвольные значения. Орбитаитый маг-
нитный момент электрона может иметь
288
9. Лвижение электрических зарядов
Фш 9.27. Электрон, двигаясь вокруг непод-
вижного атомного ядра, создает магнитное
поле, эквивалентное полю замкнутого конту-
ра с током
Отметим что направление тока противополож
но направлению скорости электрона, поскольку
злектрон заряжен отрицательно.
только целые шачсния (в том числе нуль),
кратные основной величине, называемой маг-
нетоном Бора в честь лискою физика-ieopc
тика Нильса Бора (1885 -1962). работами
которого были заложены основы квантовой
механики. Матстон Бора
Но = 9,27 • Ю-21эргГс. (9.23)
В разделе 5.11 мы указывали, что элемен-
тарные часшцы. в том числе электрон, обла-
даю! собственным моменюм импульса
спином. (Мы можем представить себе спин
электрона как результат вращения частицы
вокруг своей оси, однако же в действитель-
ности никакого механического движения тут
нет.) Поскольку вращающаяся частица экви-
валентна току, существует и магнитный мо-
мент. отвечающий спину электрона. Этот
собственный магнитный момент электрона
тоже равен магнетону Бора*.
АТОМНЫЙ МАГНЕТИЗМ Почему же все
атомы нельзя считать элемешарнымн маг-
нитиками, величина матизных моментов
которых пропорциональна числу электро-
нов на оболочках атома? Ответ на это! воп-
рос заключается в том, что электроны во
внешних оболочках всех атомов размеща-
ются согласно правилам квантовой меха-
ники. А именно, у большинства атомов
происходит спаривание электронных спинов,
и в результате магнитные эффекты компен-
сируются. В группе химических элементов,
именуемых ферромагнетиками (к их числу
относятся железо, кобальт и никель), все
атомы имеют по четыре электрона с нсспа-
ренными спинами и в результате этого —
сравнительно большие магнитные моменты
Если магнитные поля атомов твердого фер-
ромагнетика ориентированы преимущест-
венно в одном направлении, в веществе
возникают сильные результирующие магнит-
ные поля. Из такою вещества можно изго-
товляю постоянные Mai ниты
9.6. Траектории заряженных
частиц в магнитных полях
КРУГОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ Пусть в одно-
родном магнитном поле напряженностью В
* На самом деле его значение четь-четь больше
и равна 1.00115 рп вс бедствие некоторые попра
вок введения которых требует квантовая приро-
да электромагнитного пгеш (см. раздел 13 4)
Фит . 9 28 Заряженная частица, вектор ско-
рости которой v перпендик) лярен В, описы-
вает в однородном магнитном поле траекто-
рию в виде окружности.
9 6 Траектории заряженных частиц в магнитных полях
289
движется заряженная частица массы т со
скоростью v, причем v±B (фиг 9 28). Со
стороны магнитного поля на частицу дей-
ствует постоянная по величине сила
FM =
qvB
с
Направление этой Mai нитной силы все
время перпендикулярно направлению дви-
жения заряженной частицы, т. е. Fv -L v.
Следовательно, сила не имеет компонешы
вдоль направления движения и магнитное
поле не совершает над частицей работы.
Хотя направление движения частицы в ре-
зультате действия магии гной силы непре-
рывно меняется, величина скорости частицы
(т. е. г) остается постоянной; не меняется
и ее кинетическая энергия.
Магнитная сила создает центростреми-
тельное ускорение, постоянное по величине
и все время перпендикулярное v:
qvB
Ац — •
т тс
(9.24)
Таким образом, частица движется по кру-
говой траектории. Центростремительное
ускорение следующим образом выражается
через скорость и радиус траектории [см.
соотношение (4 31)]:
Приравнивая оба выражения для аи и решая
относительно R. имеем
(9.25)
Таким образом, заряженная частица, дви-
жущаяся нод прямым углом к силовым ли-
ниям однородного магнитного поля, опи-
сывает траекторию в виде окружности, ра
диус которой прямо пропорционален им-
пульсу частицы mv и обратно пропорцпо
нален напряженности поля В.
Фик 9.29. Путь заряженной частицы в пу-
зырьковой камере (заполненной жидким во-
дородом).
Этот путь становится видимым 6 шгодаря мно-
жеству крошечных пузырьков, образующихся
вдо ib следа частицы. На фотографии показана
траектория быстрого электрона в сильном маг-
нитном поле, которое существует в пузырьковой
камере. По мере того как электрон теряет энер-
гию. сталкиваясь с атомами водорода, радиус его
траектории уменьшается, в результате чего
злектрон описывает свертывающуюся спираль
Вблизи главного следа видны следы нескольких
вторичных электронов, выбитых из атомов водо-
рода при столкновениях с первичным электроном.
Следует иметь в виду, что заряженная час-
тица, описывающая замкнутую траекторию
в статическом магнитном поле в пустоте,
не теряет и не приобретает энергию*
* В случае переменного во времени магнитного
поля частица в общем случае может изменять
свою энергию (см. разе < 9.8).
19 779
290
9. Движение электрических зарядов
Пример 9.3
Чему равен радиус орбиты проюна с энергией 1 МэВ в поле напряженностью 101 Гс?
Мы имеем
т 1.67-10 21 г, q е 4,8 10“10 ед. СГСЭ.
Кроме того, из примера 7.12 мы знаем, что скорость протона с энергией 1 МэВ состав 1яег
п = 1,38-10’ см с. Поэюму
п mvc 1,6 • IO-24 г • 1,38 • 10е см.с • 3 - IO40 см с ...
R =--------= —---------------------------------------------- 14,4 см.
qB 4,8 • 10-1" ед. СГСЭ • 104 Гс
Практически во всех лабораториях, где
имеются ускорители частиц, магниты ис
ноль тую гея для направления пучков за-
ряженных частиц в различные ткспсримсн
тальные помещения, i те проводятся иссле
дования. Например, на фиг. 9.30 показана
«магнитная сортировочная станция» лабо-
ратории элект-ронных ускорителей Нацио-
нального Бюро Стандартов США. Пять
больших магнитов («Ш-образных», показап-
-ных.на фиг. 9 14 и 9.15) используются для
того, чтобы направлять электронный пучок
в три экспериментальных зала.
ЦИКЛОТРОН. Циклотрон является одной
из установок, часто используемых для уско-
рения заряженных частиц (протонов, дей-
тронов, альфа частиц и т. п.) до высоких
скоростей Основной принцип работы цикло-
трона состоит в том, чтобы ускорять заря-
женные частицы электрическим полем, удер-
живая их в то же время на орбите с помошью
магнитного поля.
Схема циклотрона изображена на фиг. 9.31.
Основными узлами циклотрона являются:
цилиндрическая полость, разрезанная ио
диаметру и образующая два дуанта (D-об-
разпые полости), элек ромагиит (не показан
на чертеже), в котором возникает мат нит ное
поле, перпендикулярное плоскости дуашов.
и генератор высокою напряжения, создаю-
щий разность потенциалов V между дуанта-
ми Заряженные частицы создаются источ-
ником S, расположенным возле центра дуан-
тов; в нем ионизуются атомы нейтрального
газа (например, водорода). Из источника
заряженные частицы инжектируются в ле-
вый дуант. Здесь они до момента выхода из
дуанта движутся по круговой орбите под
действием поля В. Затем при прохожде-
нии зазора между дуантами частицы уско-
ряются электрическим полем, и их энергия
возрастает на величину qV. Электрическое
поле существует только между дуантами,
внутри проводящих дуантов электрического
поля нет. Поэтому, попав в правый дуант,
частицы вновь движутся по круговой орбите,
только большего радиуса, соответствующе-
го возросшей скорости. К тому моменту,
когда частицы вновь достигают ускоритель-
ного промежутка, генератор высокого на-
пряжения переключает полярность напря-
жения на дуантах, так что в зазоре па части-
цы снова действует ускоряющее напряжение.
Такой процесс повторяется много раз; при
каждом прохождении через зазор между
дуантами частица увеличивает свою энер! иго
на qV и описывает спираль со все большим
и большим радиусом Оказавшись вблизи
внешней стенки дуантов, частицы понадают
в устройство вывода, представляющее собой
обычно пару пластин, на которые подается
высокое напряжение, и вылетают из ускори-
еля наружу в виде пучка частиц большой
энергии
Для работы цикло трона необходимо,
чтобы приложенное к промежутку между
луангами напряжение имело правильный
шак при прохождении частиц и ускоря
.то. а не замедляло бы их. Осушествигь
эго сравнительно просто благодаря тому,
что заряженная частица, двигаясь в одно-
родном магнитном поле, совершает один
оборот по орбите за одно и то же время
9.6. Траектории заряженных частиц в магнитных полях
291
Фиг. 9.30. «Магнитная сортировочная стан-
ция» в лаборатории электронного ускорителя
Национального Бюро Стандартов США.
Э зектронный пучок входит слева. Для того что-
бы направить его в три эксперимента гьных зала
расположенных справа испо зьзуются пять бо
ших Ш-оброзныл магнитов.
Ду ант
Фиг 9.31. Схема действия циклотрона.
!9*
292
9. Движение электрических зарядов
Фиг. 9.32. Один из первых циклотронов, по-
строенный в 30-х годах Э. Лоуренсом в Ка-
лифорнийском университете.
Фиг 9.33. Циклотрон Мэрилендского универ-
ситета, который может ускорять протоны
до энергии 140 МэВ.
Наибольший диаметр орбиты равен 230 см
независимо от своей скорости* (см. задачу
9.20). Следовательно, частице для того, что-
бы совершить половину оборота в дуанте
и попасть в ускорительный промежуток в
фазе с частицами, движущимися по орбитам
с другими радиусами, всегда требуется одно
и то же время. Для частип данного типа и
данной напряженное!и магнитного поля су-
ществует единственная частота (так назы-
ваемая циклотронная частота) изменения
полярное!и напряжения, которая обеспечи-
вает ускорение частиц.
Первый циклотрон (диаметром всего лишь
29 см) был построен Э. Лоуренсом и М Ли-
вингстоном в Калифорнийском универси-
тет в 1930 г. (За эту pa6oiy Лоуренс получил
Нобелевскую премию по физике в 1939 г.)
Одни из первых циклотронов Лоуренса по-
казан иа фиг. 9.32. На фш. 9.33 изображен
один из наиболее сложных по конструкции
циклотрон Мэрилендского университет.
Эго! ускоритель, завершенный постройкой
в 1969 I., в настоящее время используется в
обширной программе исследований строе-
ния атомных ядер и ядерных реакций.
Для ускорения частиц до сверхвысоких
(релятивистских) энергий в основной прин-
цип работы циклотрона пришлось внести
видоизменения Построенные на новых прин-
ципах ускори!е.чи получили название син-
хроциклотронов и синхротронов, оборудо-
вание на пути пучка частиц, выходящих из
одного такого ускорителя, было показано
на фиг. 4.38.
ВИНТООБРАЗНЫЕ ТРАЕКТОРИИ Если
век гор скорости v заряженной частицы, дви-
жущейся в магнитном поле, образует с век-
тором ei о напряженности В угол, отличный
от 90’, то траектория чащицы уже нс будет
окружностью. Напомним что в выражении
для мат нит пой силы [соотношения (9.9) и
(9 10)] фигурирует только компонента v
перпендикулярная В; на компоненту же v,
параллельную В поле не влияет Таким об-
разом, если скорость частицы имеет обе
компоненты — параллельную и перпенди-
кулярную полю, то полное движение
* "Это справед шва лишь д ля достаточно низких
коростей частиц, при которых можно пренеб-
речь релятивистскими эффектами
9.6. Траектории заря >. * < лых частиц в магнитных полях
293
частицы явится комбинацией движсв» по
окружности (действие поля на г.^) и пер ло-
щения с постоянной скоростью вдоль на-
правления поля (со скоростью гц , на ко-
торую поле не влияет). Эта комбинация
движений приводит к винтообразной траек-
тории, ось которой совпадает с направле-
нием магнитного поля (фиг. 9.34).
ЗАХВАТ ЧАСТИЦ 13 ПОЛЕ. Радиус тра-
ектории заряженной частицы, движущейся
в магнитном поле, обратно пронорцио
налей напряженности поля В; если В воз-
растает. то при данной скорост радиус
траектории частицы будет уменьшаться. Па
фит. 9.35 показано матнигное поле, на-
пряженность которого увеличивается в на-
правлении слева направо. (Возрастание
напряженности ноля обозначается сгуще-
нием силовых линий.) Если у таряженной
частицы, например электрона, при входе в
что ноле вектор скорости составляет с си
новыми линиями угол меньше 90 , то элек-
трон будет двигаться по винтообразной тра
екгорни. В начале этою движения, как видно
из фиг. 9.35, электрон описывает траекторию
в однородном, направленном вправо мат
нитном поле, и витки винтовой орбиты оди-
наковы Там же где напряженность поля
нарастает (т.е. где силовые линии стуща-
ются), электрон «накручивается» на силовые
линии. В этой области вектор напряженности
поля имеет как компоненту, направленную
вправо (В ), так и компоненту, направлен-
ную к оси «пучка» силовых линий (радиаль-
ную компоненту Вл). Используя для вычис-
ления силы, действующей на электрон со
стороны Вг, правило правой руки, мы най-
дем, чго эта сила всегда направлена влево
независимо от того, на каком участке
винтообразной траектории находится элек
трон. Иначе говоря, сгущение силовых линий
создает силу, которая, действуя на электрон,
замедляет его движение в направлении об-
лает с высокой напряженностью поля. В не-
которой точке (на гываемой точкой возврата)
движение электрона в область с сильным
нолем полностью приостанавливается, и
электрон отражается в область с более ела
бым полем. Поведение электрона в точке
возврата похоже иа упругий удар шара о
Фиг. 9.34. Если вектор скорости частицы v
не перпендикулярен вектору В, то частица
описывает траекторию в виде винтовой ли-
нии.
Фиг 9 35. Электрон «навивается» на сило-
вые линии нарастающего магнитного по ля и
отражается обратно в точке возврата
294
9. Движение электрических зарядов
Заряженные частицы удерживаются в ней. дви-
гаясь взад-вперед и отражаясь от сгущений
силовых линий в областях с высокой напряжен
ностыо магнитного поля.
стенку: электрон «ударяется» о магнитную
«стенку» и отражается от нее.
Если создать большую напряженность мат -
иитиого поля (т. е. сгустить силовые линии)
в двух различных точках (фиг. 9.36), то по-
лучится магнитная бутылка. Заряженные
частицы мот ут захватываться в ней благодаря
последовательным отражениям от областей
с сильным полем. Такое устройство откры
вает многообещающие перспективы удер-
жания от разлета частиц высоких энергии
(например, дейтронов) в течение времени.
Фит 9.37. «Стелларатор» установка для
удержания заряженных частиц с помощью
магнитного поля, построенная в Принстон-
ском университете.
Исследования, проводимые на подобных установ-
ках могут пос п жить основой для создания эко-
номичных термоядерных электростанций.
достаточного* для высвобождения полезной
энергии ядерных реакций, происходящих при
столкновениях частиц (см раздел 15.5). Воз-
можно. еше до конца нашего столетия будут
построены основанные на этом принципе
термоядерные реакторы Для достижения
этой цели сейчас ведутся многочисленные
эксперименты с разнообразными установ-
ками, в которых заряженные частицы удер-
живаются с помощью магнитных полей.
Одна из таких установок «стелларатор»,
сконструированный в Принстонском уни-
верситете, — показана на фиг. 9.37.
9.7. Движение заряженных частиц
в магнитно м по че Земли
КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ. Иаша планета
постоянно подвергается бомбардировке
заряженными частицами высоких энертии
приходящими из космического пространст-
ва. Некоторые из этих частиц возникают за
пределами Солнечной системы и в основном
представляют собой протоны (примерно
85%) и а-частицы (около 14%), а также
более тяжелые атомные ядра Чтобы отме-
тить тот факт, что эги частицы нс выходят
из какого-либо локального источника, им
присвоили название галактических косми-
ческих лучей** Кроме них известны также
солнечные космические .лучи', они также в ос-
новном состоят из протонов и все время вы-
брасываются Солнцем. Потоки этих частиц
особенно обильны в периоды сильных воз-
мущений (магнитных бурь) на поверхности
Солнца.
Энергии частиц солнечных космических
лучей достигают нескольких ГэВ (109 эВ),
в галактических космических лучах наблю-
дались частицы с энергиями до 10” эВ
(т. с. примерно до 1 Дж!). При подходе к
Земле эти частицы космическою излучения
попадают в зону действия земного магнит-
ного поля. Если кинетическая энергия части-
цы меньше некоторого значения, то частица
* Послпроить идеальные магнитные буты лки не
возможно, все они до некоторой елпепени «про
текают».
* * Бо лыиинство из элллих частиц, вероялпно, Об-
разуется в преде лах нашей Галактики
9.7. Движение заряженных частиц в магнитном ноле Земли
295
Фи1. 9.38. Движение заряжен-
ных частиц в магнитном note
Земли (в магнитосфере).
1 — энергия меньше пороговой (при-
6 шзительно полярная область};
2 — энергия больше пороговой (при-
близительно полярная об шсть);
3 — ось вращения; 4 — энергия
меньше пороговой (приблизитель-
на зкваториальная область); 5 и
6 — захваченный электрон, 7 —;
энергия больше пороговой (при
б шзителыю экваториальная об-
ласть); 8 — магнитная ось; 9 —
магнитный экватор.
отклоняется полем и никогда ие сможет
достичь поверхности Земли. Для протонов,
входящих в магнитное поле Земли в плоско-
сти геомагнитного экватора, эта минималь-
ная энергия составляет приблизительно
15 ГэВ. Иначе говоря, протоны с энергией
меньше 15 ГэВ «заворачиваются» обратно
в космическое пространство, а протоны с
большей энергией могут достигать земной
новерхноои. На более высоких гсомагннг
ных широтах 1раничиая энергия для прото-
нов уменьшается, а в области магнитных
но носов Moiyr «навиваться» на магнитные
силовые липни и достигать поверхности
Земли даже частицы с низкими энергиями
Траектории нескольких заряженных частиц
в магнитном ноле Земли показаны па
фиг 9 38
ПОЛЯРНОЕ СИЯНИЕ Интересным явле-
нием, связанным с движением заряженных
частиц в магнитном no ie Земли, является
полярное сияние. Полярные сияния наиболее
часто наблюдаются (фиг. 9.39) в высоких
северных широтах, но изредка их можно
наблюдать значительно южнее, например
в средней полосе Соединенных НПагов. Свет
в полярных сияниях гспернруе । ся солнечны-
ми протонами, проникающими в земное
магнитное поле до высо! примерно 100 км.
На этих высотах атмосфера чрезвычайно
разрежеиа, по все же в ней уже присутствуют
заметные количешва атомов кислорода и
азо га Столкновения протонов с этими ато-
мами возбуждают отчетливо видимое све-
чение. Хотя полярные сияния происходят
непрерывно, однако обычно интенсивность
излучаемого света недостаточна для их на-
блюдения Только когда на Солнце происхо-
дят сильные возмущения в виде солнечных
пятен и магнитных бурь, число протонов,
достигающих верхних слоев атмосферы, рез-
ко возрастает, и тогда можно наблюдать
величественное зрелище полярных сияний.
РАДИАЦИОННЫЕ ПОЯСА ЗЕМЛИ
Во время полета искусственного спутника
«Эксплорер I» в 1958 г. Джеймс Э Ван Аллен
и его сотрудники получили свидетельства
того, что в космическом пространстве вблн
296
9. Движение электрических зарядов
Фиг. 9.39. Фотография полярного сияния, сня-
тая в Северной Канаде с самолета, подняв-
шегося над облаками.
Фиг. 9.40. Карта радиационных поясов Ван
Аллена, построенная по данным, полученным
с искусственных спутников Земли.
Заштрихованы внутренний и внешний радиацион-
ные пояса, в которых п ютность электронов осо-
денно высока.
9 7. Движение заряженных частиц в магнитном поле Земли
297
Фш 9 41. Три радиационных пояса протонов
с низкими энергиями.
В действительности пояса перекрывают друг дру-
га и между ними нет промежутков. Показанные
здесь пояса соответствуют областям макси-
мальной плотности протонов с различными энер-
гиями. Протоны с наименьшей энергией концент-
рируются во внешнем поясе, протоны с наивыс-
шей энергией сосредоточены главным образам во
внутреннем поясе.
зн Земли есть области, содержащие в боль-
ших количествах заряженные частицы. Эти
обяаезн, получившие название радиацион-
ных поясов Ван Аллена, представляют собой
«ловушки», в которые заряженные частицы
захватываются магнитным полем Земли.
На фиг. 9.40 воспроизведена одна из первых
«карт» радиационных поясов, построенная
по данным искусе' венных спутников Земли.
Линии на карте проведены через точки с оди-
наковым значением плотности электронов;
цифры на кривых — это числа отсчетов в се-
кунду, зарегистрированных счетчиками Гей-
гера на искусственных спутниках На карте
видны две облает (они заштрихованы)
в которых плотность электронов особенно
высока; эти области образуют внутренний
и .внешний радиационные пояса.
Сейчас известно, что магнитное поле Земли
захватывает не только электроны, но и про-
тоны. Как и плотность электронов, плот-
ность протонов гоже меняется в зависимо-
сти от положения. Распределение протонов
с низкой (примерно до 10 МэВ) энергией по-
катано на фиг 9.41 Три радиационных пояса
па этой фигуре в действительности четко нс
разделены, скорее имеет место непрерывное
распределение протонов. Частицы с наимень-
шими энергиями концентрируются во внеш-
нем поясе; распределение протонов с наи-
большей энергией обладает максимумом,
расположенным значительно ближе к Земле.
Один из механизмов, вероятно обуслов-
ливающих удержание по крайней мерс части
электронов и протонов земным магнитным
полем, состоит в следующем. Выброшенные
из Солнца прогоны высокой энергии до-
стигают верхних слоев земной атмосферы.
Здесь они сталкиваются с ядрами атомов
атмосферных газов, и в результате ядерных
реакций испускаются нейтроны. Нейтроны
не имеют электрических зарядов, и поэтому
на них не действует магнитное поле Земли
Благодаря этому нейтроны покидают зону
ядерных реакций и движутся по прямолиней-
ным траекториям, попадая в области маг-
нитосферы* с меньшей напряженностью маг-
нитного поля (области радиационных поя-
сов). Нейтрон неустойчив, спустя в среднем
12,8 мни он распадается на протон, электрон
* Магнитосфера в данном случае область
космического пространства, в которой существу-
ет земное магнитное поле. Прим перев
298
9. Движение электрических зарядов
и нейтрино. Образующиеся при распаде
пеЙ1ронов электроны и протоны захваты-
ваются магнитным полем и образуют в
конечном итоге радиационные пояса. Нен
трино не несут электрического заряда и
поэтому улетают.) Этот процесс схема гиче-
ски изображен на фиг. 9.42
Распад нейтронов, очевидно, може) быть
ответствен лить за часть элеюропов и про-
тонов, находящихся во внутреннем ради-
ационном поясе. Частицы во внешнем поясе,
вероятно, непосредственно инжектируются
в него солнечными космическими лучами.
Эксперименты на искусственных спутниках
и геофизических ракетах дали за последние
годы огромную информацию о радиацион-
ных поясах, но до сих пор мы не имеем удов-
ле творительной теории, которая позволила
бы во всех подробностях объяснить данные
о заряженных частицах в магнитосфере.
ДЕЙСТВИЕ СОЛНЕЧНОГО ВЕТРА НА
МАГНИТОСФГРУ MaiHurnoe ноле Земли
не остается постоянным во времени; вмесге
с тем на больших расстояниях от Земли оно
не имеет простои структуры поля стержне-
вого маг нита (фиг. 9.7). Исключительно силь-
ное возденс!вие на ма!ннтосферу оказывает
так называемый солнечный ветер. Эю
постоянный поток выбрасываемых Солнцем
протонов и электронов, которые вблизи по-
верхности Земли движутся со скоростями
около 400 км/с. (Такая скорость соо' ветшву-
ет энер)ни протонов 170 кэВ.) Вблизи Земли
плотность частиц солнечного ветра состав-
ляет от 10 до 100 частиц в 1 cmj и меняется
в зависимое)и от времени и солнечной ак-
тивности. Ч гобы определить результирую-
щее Mai ни гное поле, нужно векторно сло-
жить ма) нил ное поле, создаваемое этими
движущимися заряженными частицами, с
.магнитным полем Земли. В результате сол-
нечный ветер в некоторых областях магни
тосфсры компенсирует («выдувает») земное
магнитное поле. Силовые линии земного
поля искажаются в направяеиии к Солнцу
настолько сильно, что магнитосфера резко
обрывается на расстоянии 8—10 земных
радиусов, в направлении же от Солнца си-
ловые линии образуют длинный хвост в
проел ранстве.
Фиг. 9.42. Захват электронов и протонов, об-
разовавшихся при ра паде нейтронов
Нейтроны возникают в результате взаимодейст-
вий протонов космических лучей с ядрами атомов
газов в верхних слоях атмосферы. / — внутренний
радиационный пояс; 2 — захваченный протон;
нейтрон', 4 - захваченный электрон', 5 —
силовая линия магнитного поля; б — протон кос-
мических лучей; 7 ядерное соударение, 8 — ат-
мосфера.
9.8. Переменные во времени поля
ГОКИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ 01 НОС И-
ТЕ ЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ПРОВОДНИКОВ
И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ До сих пор
мы рассматривали явления, возникающие
при взаимодействии движущихся зарядов
и токов со статическим магнитным нолем.
Теперь мы обратимся к изучению явлений.
зависящих от времени, и в их числе —
случаев, кот да либо проводники с током
движутся относительно магнитного поля,
либо магнитное поле меняется во времени.
Аналогично тому, как заряд, движущийся
в магнитном поле, испытывает действие
силы, на движущийся в магнитном поле
проводник с током (он эквивалентен линей-
ному движущемуся заряду) также действует
магнитная сила (фиг. 9 43). Если выключи <ь
источник питания (например, батарею), под-
держивающий ток в проводнике, то магнит -
ная сила, разумеется, исчезнет. Допустим
теперь, что мы перемещаем обесточенный
проводник в мат нитиом поле, как показано
на фш*. 9.44. В результате этого движения
появится магнитная сила, действующая па
заряды в проводнике, и заряды начнут двн-
9.8. Переменные во времени пол.ч
294
гаться вдоль проводника 1ок будс! про-
должаться, пока проводник перемешается
в магнитном поле; иными словами, ток на-
водится, индуцируется в прово>шке. Эю
явление электромагнитной индукции было
открытое 1831 г. английским физиком Майк-
лом Фарадеем (1791 1867).
Для индукции тока в проводнике несуще
ственно, постоянно магнитное поле во время
движения или пег. Важно лишь относитель-
ное перемещение проводника и поля. По
этой причине случай, изображенный на фиг.
9.45, где магнитное поле движется направо
относительно неподвижною проводника, со-
вершенно эквивалентен случаю, изображен-
ному на фиг 9.44 где проводник движется
налево относительно неподвижного поля
Индуцированный ток в обоих случаях идет
в одном и том же направлении.
Другой случай, koi да относительное дви-
жение проводника и магнитною поля на-
водит в проводнике ток, показан на фиг. 9.46
Здесь в проволочный контур, соединенный
с измеряющим гок прибором (ампермет-
ров). вдвигается магнитный стержень. Об
ратим внимание на то, что вектор скорости
движения проводника (и зарядов в нем)
направлен противоположно движению ма! -
нита, поскольку этот вектор соответствует
скорое I и проводника ошосительно магнит-
ного поля. Применяя для определения маг-
нитной силы F*, правило правой руки (на
фиг 9.46 показано, как это делается для
верхней части контура), мы найдем, что если
Фиг. 9.43. ( титичеркас магнитное note ока-
зывает действие на проводник с токам.
Когда проводник движется в поле, в нем возни-
кает ток. т. е. ток наводится в проводнике. Это
явление, названное электромагнитной индукцией,
было открыто Фарадеем в 1831 г.
Фиг 9 44. При движении проводника в маг-
нитном поле в нем наводится э лектрический
ток
Iля получения постоянного тока проводник до «-
жен иметь вид замкнутого контура (фиг. 9 43),
здесь показана только часть этого контура.
300
9. J внесение электрических зарядов
Фиг. 9.45. Ток в проводнике наводится при от-
носительном движении проводника и поля.
Изображенная здесь ситуация полностью экви-
ва юнтна показанной на фиг. 9.44.
Фиг. 9.46. При относительном движении про-
волочной петли и стержневого магнита в про-
воднике наводится ток, который регистри-
руется амперметром
смотреть со стороны ссвернот о полюса приб-
лижающегося магнита, то ток в контуре
пойдет по часовой ст релке. Если продолжат ь
двигать магнит, го наведенный ток посте-
пенно упадет до нуля в тот момент, котла
через контур будет проходить середина мат -
нита. Дело в том, что в этот момент движе-
ние проводника (и находящихся в нем за-
рядов) происходит точно вдоль силовых
линий, но, как мы знаем, если v параллельно
В, мат нит пая сила обращается в нуль. Затем,
когда через контур проходит южный полюс
магнита, вновь появится наведенный ток,
но ею направление будет противоположным
показанному на фиг. 9.46. (Объясните, по-
чему.)
ТОКИ СОЗДАВАЕМЫЕ МЕНЯЮЩИМИ
СЯ ВО ВРЕМЕНИ ПОЛЯМИ Рассмотрим
замкнутый проводник, соединенный с ба-
тареей через выключатель. Если цепь ра-
зомкнута, ток нс идет и магнитном) ноля
нет При замыкании цепи по проводнику
идет ток. Но ток не сразу достигает оконча-
тельного, установившеюся значения. В тот
момент, когда выключатель замыкает цепь,
ток еще равен нулю, а затем он нарастает до
своего окончательного значения в течение
корот кого промежутка времени Аналогично
и создаваемое этим током магнитное поле
равно нулю в момент замыкания цени и
вместе с током нарастает до своего устано-
вившегося значения. Следовательно, в лю-
бой точке нобли тост и от проводника в пе-
риод, пока ток достигнет установившегося
тпачсния, мат нит ное поле нарастает во вре-
мени
Эту ситуацию можно наглядно описать,
говоря, что на проводнике возникают кру-
говые магнитные силовые линии (в момент
замыкания цепи) и затем расходятся кругами
в пространство от проводника, пока поле не
достигнет окончательной конфигурации. Та-
кое разбегание силовых линий в пространстве
по своему действию эквивалентно эффекту
механического движения мат пита. Следова-
тельно, в проводнике, оказавшемся иа пути
«движущихся» силовых линий, должен на-
водиться ток Эта ситуация изображена на
фиг. 9.47: матпиттюс поле, «разбегающееся»
от правою контура при замыкании цепи,
индуцирует ток в левом контуре. Как только
Наеденный
ток
9 8. Переменные во времени поля
301
Ак:-ерметр
Фиг. 9.47. При за мыкании цепи ключом S а
правой рамке начинает идти ток.
При нарастании тока в правой рамке в простран-
стве около нее распространяете я магнитное по-
ле ; движущиеся си ювые линии этого поля, пере
секая левую рамку, наводят в ней ток.
Батарея
ток в нравом контуре достигает установив-
шеюся значения, его маюитное поле псре-
ciaer расширяться и наведенный юк спадает
до нуля Если теперь разомкнуть выключа-
тель, манштиое поле начнет «сжиматься» и
в левом контуре вновь наведется ток, но ею
направление будет обратным тому, которое
было при расширении магнитного поля
ПЕРЕМЕННОЕ МАГНИТНО!: ПОЛЕ СО
ЗДАЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. Рас-
смоз ренные в этом разделе результаты мож-
но суммировать следующим образом. Если
в определенную точку пространства поме-
стить заряженную частицу и допустить из-
менение во времени магнитного поля в этой
точке, то частица будет испьпывать дейст-
вие силы. Изменяющееся магнитное поле
можно создал ь, либо перемещая постоянные
магниты или проводники с током, возбуж-
дающие это поле, либо меняя ток в провод-
никах Если вместо заряженной частицы
взять проводник, в котором имеются сво-
бодные электроны, то сила, действующая
на эти заряды при изменении поля, вызовет
их движение, т. е. индуцирует электрический
ток
Рассма1ривая выражение для лорепцевой
силы, действующей на заряженную частицу
[формулы (9 11) и (9.12)], мы видим, что.
когда частица находится в покое (с 0),
FM 0, однако Fe^O Иными словами, заря-
женная частица, покоящаяся в статическом
ма1НИ1ном поле, ociaeica в состоянии по-
коя: на неподвижный заряд может действо-
вать лишь электрическое поле. Эю должно
означать, что переменное магнитное поле
создает э зектрическое поле, которое и при-
водит заряды в движение. Такое утверждение
можно символически выразить следующим
образом:
(9.26)
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПО-
ЛЕ СОЗДАЕТ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ. Мы
знаем, чго вблизи движущихся заряженных
частиц возникает магииiное поле Сущест-
вую! ли другие способы создать это поле?
Оказывается, что подобно тому, как пере-
менное магнитное поле создает электриче-
ское поле, так и переменное электрическое
поле создает магнитное поле.
Рассмотрим случай, изображенный на
фиг. 9.48 Пусть имеются две пластины с за-
рядами + <? и —q. Пока цепь разомкнута.
равные и разноименные заряды создают в
пространстве между пластинами постоян-
ное электрическое поле. Ток по проводам
не идет, и вокруг цепи нет никакого магнит-
ного поля. Но вот цепь замкнули, по прово-
дам пошел ток, и вокруг них, как уже гово-
302
9. Движение электрических зарядов
Фиг. 9.48. При замыкании цепи ключом S от
положительно заряженной к отрицательно
заряженной пластине начинает идти ток.
Этот ток создает магнитное поле В. в свою оче-
редь переменное э гектрическое поле в простран
стве между пластинами создает магнитное по-
зе В . Отмети и, что В и В имеют одинаковое
направление.
рилось выше, возникло магнитное поле.
Однако в пространстве между пласi инами
никакого тока в обычном понимании нет —
там происходит только изменение электри-
ческого поля. И несмотря на то, что в этой
области нет движения электрических заря-
дов, в ней все же присутствует магнитное
поле, созданное меняющимся электрическим
полем. Таким образом, эксперимент пока-
зывает, что магнитное поле может созда-
ваться как электрическим током, так и из-
меняющимся электрическим полем. Это
можно символически выразить в следующем
виде:
ЛС о
-----И ТОК ~ В.
А/
(9.27)
Напряженность мат нит ных нолей, созда-
ваемых переменными электрическими поля-
ми, в общем значительно меньше, чем по-
лей, создаваемых электрическими токами
Все же в благоприятных условиях можно
обнаружить существование таких полей; экс-
перименты полностью подтверждают точ-
ное соотношение, связывающее АЙ/А/ и В
Выше мы уже говорили, что магнитные
поля не могут существовать самостоятельно
и полностью зависят от движения электри-
ческих зарядов. Тот факт, что магнитные
поля можно создавать в областях, где ме-
няются электрические поля, даже если там
и нет движущихся заряженных частиц, во-
все не лишает справедливости высказанное
выше утверждение, поскольку электрические
поля не могут изменяться, если в друт их
частях цепи не возникают токи. Поэтому
можно сказать, что в конечном и готе при-
чиной возникновения магнитных полей яв-
ляется движение зарядов.
ПРАВИЛО ЛЕНЦА. В результате действия
магнитной силы па проводник с током
(фиг. 9.43) он приходит в движение Но как
только проводник начинает двигаться отно-
сительно магни того поля, возникает новая
магнитная сила Fw, действующая на заряды
в проводнике вследствие их движения в на-
правлении первоначальной силы Fw. При-
меняя правило правой руки, можно убе-
диться в том, что сила F^ направлена в
сторону, противоположную току. Иными
словами, она индуцирует ток, стремящийся
ослабить первоначальный ток. Это утверж-
дение имеет общий характер: если какое-либо
изменение А движения зарядов или полей
вызывает эффек В, то этот эффект в свою
очередь оказывает реакцию С, которая стре-
мится свести на ист изменение А. Эго пра-
вило было установлено русским физиком
Э. X. Ленцем (1804 1865) и получило на-
звание правила, или закона, Ленца. Ею мож-
но всегда использовать для определения
направления тока, индуцируемого в цепи
под действием внешних факторов.
Правило Ленца несколько напоминает тре-
тий закон Ньютоти на самом же деле между
ними пет ничего общею. Правило Ленца
представляет собой просто закон сохране-
ния энергии в применении к индуцирован-
ным токам. (В самом деле, если бы индуци-
рованные токи складывались друг с другом,
в противоположность тому, что утверждает
правило Ленца, то токи могли бы безгра-
нично нарастать без всякого подвода эпср-
т ии в систему. Это — явное нарушение за-
кона сохранения энергии.)
Основные выводы
303
Фиг 9 49 Творцы э вектромагнепшз via —
Майкл Фарадей (слева) и Джеймс Клерк Мак-
свелл.
Фарадеи провел тысячи экспериментов изучая
всевозможными методами э зектрические и маг
нитные несения; он открыл явление электромаг
нитной индукции и ввел представление о силовых
линиях паля. Максвелл на оыюве результатов Фа-
радея разработал всеобъемлющую теорию элект-
ромагнитных полей
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. Более века
назад, в 1865 г., великий английский физик
Джеймс Клерк Максвелл (1831—1879) по-
казал. что все явления электромагнетизма
можно полностью описать всею четырьмя
уравнениями. Во многом подобно тому
как Нью юн обобщил деятельность своих
предшественников, сформулировав знаме-
нитые уравнения динамики Максвелл опи-
рался на многочисленные эксперимент а ль-
ные и теоретические исследования электри-
ческих и магнитных явлений, выполненные
другими учеными, в особенности на работы
Фарадея Максвелл не изобрел уравнений
которые теперь носят его имя (ему можно
было бы приписать только одно из этих
уравнений) Важнейшей его заслугой явля
ется доказательство тою, что эти уравнения
могут быть положены в основу истолкова-
ния всевозможных электромагнитных явле-
ний (в юм числе электромагнитных волн,
которые мы будем изучать в следующей
главе).
Четыре уравнения Максвелла можно оха-
рактеризовать следующими словами:
I . Закон Кулона, электрическое поле то-
чечного заряда
2 Магнитные силовые линии непрерывны
и не имеют ин начала, ни конца; матнитных
зарядов (монополей) не существуем
3 Переменное магнитное поле порождает
электрическое поле (электромагнитная ин-
дукция).
4 . Магнитное поле может создаваться как
электрическим током, так и переменным
электрическим полем
Основные выводы
Электрический ток представляет собой дви
жение электрических зарядов
Одноименные магнитные полюсы оттал-
киваются, разноименные — притягиваются
304
9 Движение электрических зарядов
Свободный магнит ориентируйся так, что
его северный и южный полюсы располага-
ются вдоль магнитных силовых линий.
Магнитные силовые линии в пространстве
вне магнита направлены от северною к юж
ному полюсу магнию.
Южный магнитный полюс Земли распо
лате гея вблизи северного географического
полюса.
По носы магнита не существуют незави-
симо друг от друга: северный и южный по-
люсы всегда встречаются совместно.
Направление силовых линий магнитного
поля проводника с током определяется пра-
вилом правой руки.
Магнитные силовые линии непрерывны
они не имеют ни начала, ни конца. Это рав-
носильно утверждению, что магнитных за-
рядов (монополей) не существует
Магнитные поля не существуют нсзав!
симо от электрических зарядов.
Магнитная сила Fv действующая на дви
жушуюся положительно заряженную части-
цу, направлена перпендикулярно плоскости,
в которой лежат векторы v и В. Направле-
ние Fm совпадает с направлением перемеще-
ния винта с правой нарезкой при его враще-
нии от вектора v к вектору В
Любая обладающая магнитным момен-
том система испытывает в однородном маг-
нитном поле действие момента сил (при этом
равнодействующая сил равна нулю).
Магнитная сила, действующая на заря-
женную частицу, не совершает работы (если
юлько магнитное поле ие меняется во вре-
мени)
Величина Mai нитной силы определяется
только той компонентой вектора скорости
частицы, которая перпендикулярна В.
Заряженные частицы могут удерживать-
ся в неоднородных магнитных полях.
Поля орбита шных электронов образуют
элементарные атомные магнитики
Элементарные заряженные чащицы пред-
ставляют собой крошечные магнитики; их
магнетизм обусловлен собственным враще-
нием их зарядов
Переменное магнитное поле порождает
электрическое поле; переменное электриче-
ское поле порождает магнитное поле.
Четыре уравнения Максвелла полностью
описывают электромагнитное поле.
Вопросы
9.1. Объясните подробно, как в проводнике может идти постоянный ток, если дрейфовая скорость
электронов составляет всего лишь КГ2 см/с, тогда как тепловые скорости электронов порядка 108 см. с.
9.2. Электрический ток могут проводить некоторые жидкости (называемые электролитами) Носи-
телями зарядов в них являются не электроны, а ионы. Даже вода обычно в небольшой степени иони-
зована, и ее молекулы диссоциированы на ионы Н* и ОН Сернокислый натрий Na,SO4 образует при
растворении в воде два иона Na* и один ион SQ, Объясните качественные различия между прохожде-
нием электрического тока через электролит и медный провод.
9.3. Перед вами лежат два одинаковых по виду стержня, одни из них намагничен, а другой нет Как
узнать, какой из них намагничен, не прибегая к помощи других стержней или магнитов9 Можно ли
это сделать, не используя ма1нитного поля Земли?
9.4. Электрон движется точно по осн замкнутого контура с током Каково его движение? Что про-
изойдет, если вектор скорости электрона будет составлять небольшой угол с осью контура’
Вопросы
305
9.5. Была высказана гипотеза, что магнитное поле Земли возбуждается кольцевым током электронов,
циркулирующим в ее расплавленных металлических недрах. В каком направлении должны дви1агься
электроны для правильной полярности магнитною поля Земли9
9.6. На две картонные трубки одинаково навит провод. Обе трубки расположены одна за друюй,
и через их обмотки пропускаются одинаковые токи в одном направлении. Будут ли они притягиваться
или отталкиваться?
9 7 Проводник с током расположен в направлении с севера на юг Над проводником расположен
компас, причем северный конец его стрелки показывает на восток. В каком направлении движутся
электроны в проводнике?
9.8 Электрон движется на восток вблизи экватора. Как направлена сила, действующая на электрон
со стороны матитного поля Земли9
9.9. Проводник расположен в направлении с севера на Ю1, и по нему идет ток в северном направлении.
Поблизости от проводника движется положительно заряженная частица. Как направлена действую-
щая на нее сила F,/, если а) частица движется над проводником на север, б) частица находится с во-
стока от проводника и приближается к нему; в) частица находится с запада от проводника и удаляется
от него9
9.10. Опишите, что произойдет, если в замкнутом контуре, изображенном на фиг 9.25, изменить на-
правление тока на обратное
9 11 Используя тот факт, что магнитный стержень состоит из атомов, обладающих магнитными
моментами, объясните, почему такой магнит ориентируется вдоль силовых линий матитного поля
9.12. Почему для получения пучка протонов с энергией 100 МэВ подойдет циклотрон, а генератор
Ван ле Граафа непригоден?
9 13. На большой высоте над Землей «высвободили» некоторое количество электронов с различными
скоростями Опишите качественно, что произойдет с теми электронами, которые начали свое движе-
ние более или менее вдоль силовых линий магнитного поля. (Такие эксперименты проводились с по-
мощью высотных взрывов атомных бомб.)
9 14. Магнитный стержень одним концом вдвигается в проволочный виток В витке появляется на-
веденный ток, текущий по часовой стрелке, если смотреть по направлению движения магнита. Каким
полюсом магнит обращен к витку9 В каком направлении пойдет ток, если магнит выдвигать из витка?
9 15. По проволочному витку 1 идет ток в направлении, указанном стрелкой. В каком направлении
пойдет ток, индуцированный в витке 2, если к нему приближать виток /?
2
20—779
306
9. Движение электрических зарядов
9.16. Короткий отрезок провода первоначально покоится в статическом магнитном поле. К проводу
внезапно прикладывается механическая сила приводящая его в движение с постоянной скоростью
Почему в провозе на короткое время появляется ток. а затем исчезает, несмотря на ю, что провод
продолжает двина 1ься в поле?
9.17 Магнитный стержень падает сквозь горизонтальный проволочный виток северным концом вниз.
Опишите наведение тока в витке. Используя правило Ленца, выясните, замедлится или ускорится
падение стержня при прохождении им витка
Задачи
9.1. По медному проводу диаметром 2 мм идет ток 10 А. Сколько времени цотрсбуе1ся в среднем
электронам, чтобы продрейфовать в таком проводе на расстояние 1 м?
9 2. Из медного провода площадью поперечно! о сечения 0,5 мм2 свита круглая петля радиусом 60 см.
Чтобы совершить один оборот в петле, электрону требуется в среднем 10 ч. Какой ток идет по проводу?
9 3 Нарисуй ie силовые линии поля двух пар стержневых магнитов, показанных на чертеже
а [ШНИ
б
9 4. По двум длинным параллельным проводам идут одинаковые токи в противоположных направ-
лениях. Нарисуйте силовые линии В в плоскости, перпендикулярной проводам. Будут ли оба провода
притягиваться или отталкиваться?
9.5. Электронагревательный прибор потребляет ток 15 А при напряжении ПО В Какова суточная
стоимость его работы, если электроэнергия стоит 2 пента за 1 кВт ч?
9.6. Какую максимальную силу испытывает электрон с энергией 10 кэВ при движении в магнитном
поле напряженностью 101 Гс? Чему равна в этом случае минимальная сила и при каких условиях
достшается этот минимум?
9.7. Магнитное поле на расстоянии 1 м от проводника с током имеет напряженность 0,5 Гс. Какое
количество электронов проходит каждую секунду через поперечное сечение проводника?
9.8. Электрон находи гея в точке, показанной на чертеже, н движется со скоростью 8 • Ю9 см/с. Каковы
величина и направление магнитною поля, созданного им в точках А, В, С?
4-Ю~£см
А Х-*----------*-Х Б
4 • Ю~6см
Задачи
307
9 9. Область однородного магнитною поля (ее размеры указаны на чертеже) отделена резкой гра-
ницей от пространства, в котором нет поля Частица из области, в которой ист поля, входит в облас1ь
ноля и движется перпендикулярно силовым линиям. Опишите, как будет двигаться частица впослед-
ствии, если радиус ее орбиты R имеет следующие значения: a) R < 1/21, б) 1/21^- /• в) R > L.
+ч
В (Мерге)
I Цмг •
9.10. Параллельно проводнику, по которому идет ток силон 100 Л, на расстоянии 5 10 7 см от него
летит протон с энергией 1 МэВ Какая магнитная сила действует на протон9 Как направлена эта сила,
если протон движется в том же направлении, что и электроны в проводнике?
9 11 Первоначально покоившийся электрон ускоряется проходя разность потенциалов 1000 В, затем
входит в магнитное поле и описывает в ием круговую траекторию радиусом 20 см Чему равна напря-
женность магнитного поля?
9.12* . Протон описывает винтовую траекторию в магнитном поле напряженностью 1000 Гс (см.
фиг 9 34) и за 0,3 мкс смещается на 30 см вдоль силовых линий. Радиус винтовой линии равен 10 см.
Чему равна скорость протона?
9.13. Две частицы имеют одинаковые импульсы, но заряд одной из них вдвое больше, чем другой
Как будут относиться радиусы их траекторий в одном и том же однородном магнитном поле?
9.14. Однозарядный иои углерода (С12+), попав в магнитное поле, описывает в ием такую же траек-
торию что и протоне энергией 2 МэВ Чему равна энергия иона углерода?
9.15* . Протон с энергией I МэВ движется горизонтально в восточном направлении вблизи земного
экватора где напряженность магнитного поля составляет 0,3 Гс. На какую величину и в каком направ-
лении отклонится протон от первоначальной траектории по прохождении 10 м?
9.16. Протон и дейтрон, пройдя одинаковую разность потенциалов, попадают в однородное магнит-
ное поле. Чему равно отношение радиусов их траекторий?
9.17 Величина BR, где R радиус траектории частицы в магнитном поле напряженностью В, на-
зывается магнитной жесткостью заряженной частицы Чему равно отношение магнитных жестко-
стей протона и альфа-частицы (Не4“) с энергией 5 МэВ?
9 18 Частица массой 1 г движется на экваторе (где в 0,3 Гс) к востоку со скоростью г 0,1 с. Какой
заряд должна нести частица, чтобы направленная вверх магнитная сила полностью уравновесила
направленную вниз силу тяжести?
9 19 Протон с энергией I018 эВ в составе космических лучей ведет себя так, как если бы его масса при-
мерно в миллиард раз превышала ту, что он имеет в покое (вследствие релятивистского возрастания
массы с увеличением скорости). Скорость такого протона практически равна скорости света Вычисли-
те радиус траектории такого протона в межзвездном пространстве, где напряженность магнитного
поля в среднем составляет 3 • 10-6 Гс. и сравните его величину с размерами нашей Галактики.
чн
308
9. Движение электрических зарядов
9.20. Частица с массой т и зарядом q движется в Mai ни том поле напряженностью В по круговой ор-
бите. Покажите, что время полного оборота по орбите не зависит от скорости частицы
9.21. Какая требуется напряженность матитною поля, чтобы альфа-частицы с энертей 40 МэВ
описывали в циклотроне траекторию радиусом 1 м?
9.22. * Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. За какое время протоны делают полный
оборот, если напряженность магнитного поля в циклотроне составляет 10* Гс? Сколько оборотов
должен совершить протон, пока наберет указанную энергию, если между дуантами приложено уско-
ряющее напряжение 40 кВ? Сколько времени займет весь процесс ускорения?
9.23. В некоторой области пространства существуют однородные электрическое и магнитное поля.
Векторы напряженностей этих полей 8 и В образуют друг с другом прямой угол. В згу область вхо-
дит частица, вектор скорости которой v направлен под прямым углом к 8 и к В. Покажите, что частица
пройдет область поля и не отклонится от первоначальной траектории, если v с81В. (Устройство для
отбора частиц с заданной скоростью, основанное на этом принципе, называется анализатором со
скрещенными полями) Если частицей является протон с энергией 1МэВ и если £ 10* В см, то при
каком значении В протон пройдет без отклонения?
9.24. В круглом кольце радиусом 1 см идет ток |А Чему равен магнитный момент кольца в магне-
тонах Бора?
9.25. Протон с энергией 1 МэВ движется по круговой траектории радиусом 1 м. Чему равен связанный
с этим движением магнитный момент?
9.26. Вычислите орбитальный магнитный момент электрона в атоме водорода в магнетонах Бора.
(Параметры орбиты см. в примере 6 6)
9.27* . Согласно некоторым теоретическим. взглядам, moi ут существовать магнитные монополи.
(Магнитный монополь является магнитным аналогом фундаментальною электрического монопо-
ля— электрона.) Магнитный монополь пока не удалось обнаружить экспериментально, ио если
он существует, то его заряд f должен быть примерно в 70 раз больше заряда электрона:/<«70 е. При
внесении монополя в магнитное поле напряженностью В иа монополь должна действовать сила
Ел, /В (аналогично тому как на заряд q в электрическом поле напряженностью 8 действует сила
Ft =ч£).-Какую энергию (в МэВ) приобретет монополь, ускоряясь под действием силы Емиа пути
10 см в поле напряженностью 103 Гс? Какие выгоды для получения высокоэиергичных частиц дало
бы ускорение магнитных монополей вместо электрических?
«Светящееся море» (М. Эсхер)
10 Колебания,
волны и излучение
10.1. Простое гармоническое
движение
10.2. Во товое движение
10.3. Стоячие волны
10.4. Принцип Гюйгенса и
дифракция
10.5. Интерференция
10.6. Электромагнитное
излучение
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Колебательные процессы играют исключительно важную роль во всех областях науки и в
нашей повседневной жизни Раскачивается подвешенный на нити грузик маятника- колеба-
ния поршня в цилиндре двигателя приводят в движение автомобиль; сами мы совершаем,
можно сказать, «колебательное движение» из дома на работу и обратно Периодически по-
вторяются многие процессы во Вселенной, поэтому они оказываются очень похожими (по
крайней мере, математически) на простое колебательное движение маятника
Основу волнового движения также составляют колебания. В волнах, бет утих по морской
поверхности молекулы воды колеблются вверх и вниз; нрй распространении в воздухе
звуковых волн молекулы воздуха колеблются взад и вперед. И в том и другом случае частицы
среды совершают периодические колебания в небольшой области, а волна распространя-
ется все дальше и дальше Электромагнитное излучение (радиоволны, свет, рентгеновские
лучи и др.) также имеет колебательный характер, но в этом случае нс требуется колебаний
част иц среды распространение волн обусловлено колебаниями электро магнитного по л.ч
В этой главе мы начнем с подробного знакомства с одним из простейших типов колеба-
тельного движения — колебаниями малой массы, прикрепленной к пружине Затем мы
используем результаты этого знакомства для анализа волновых процессов и процессов
излучения. Перейдя к следующим главам, мы убедимся в огромном значении волновых
процессов во всех областях современной физики Мы увидим, что даже поведение матери-
альных частиц можно описывать на языке волн.
10.1. Простое гармоническое
движение
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ Колебагель-
нос движение массы, прикрепленной к спи-
ральной пружине, является прототипом об
ширного и важного класса колебательных
явлений простык гармонических движе-
Х=0
Фиг. 10.1. Прикрепленная к пружине .масса т
на поверхности без трения.
а масса и пружина в положении равновесия;
б — если сместить .массу т вправо на расстоя-
ние х0 (внешней силой) то во тикает возвращаю
щая сила F •= кх0 где к характеризует упру-
гость пружины
ний. На фиг. 10.1. а показана масса на по-
верхности без трения в положении равнове-
сия Если с помощью внешней силы сместить
массу вправо, а затем эту силу убрать, то па
массу со стороны пружины будет действо
вать возвращающая сила F направленная
влево (фиг. 10.1.6). В примере 7.2 мы на-
шли, что такая упругая сила прямо пропор-
циональна смещению, если оно нс слишком
не шко В общем случае для смещения х
возвращающая сила
F=~kx,
(10 1)
где отрицательный знак показывает, что
направление силы противоположно смеще-
нию*. Если массу вначале сместить влево,
го пружина сожмется и возвращающая сила
будет направлена вправо
Из уравнения движения Ньютона мы зна-
ем, что действующая на тело результирую-
щая сила равна произведению его массы
* В примере 7.2 мы писали F кх. так как че-
через F была обозначена приложенная внешняя
сила, здесь же F — сила, действующая на массу
со стороны растянутой пружины которая по
третьему закону Ньютона направлена в противо-
положную сторону
312
10. Колебания, волны и излучение
Фиг. 10.2. Простой метод записи движения
колеблющейся массы в функции времени.
на ускорение. Следовательно, для смешения л
F=-ma — - -kx.
откуда
(Ю.2)
Это основное уравнение движения тела
совершающего простое гармоническое дви-
жение.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ. Если освобо-
ди ib массу, имевшую начальное смешение
х -хо, то она будет двигаться ускоренно
Фиг. 10. 3. Зависимость смещения от времени
для массы, совершающей простое гармони-
ческое движение.
Период 1 представляет собой интервал времени
между любыми двумя соседними точками, зани
мающими одинаковые положения на кривой
под действием возвращающей силы. При
х х0 ускорение максимально По мере при-
ближения к точке х - 0 скорость возрасгаег,
а ускорение уменьшается. Когда масса до-
стигнет точки х 0, возвращающая сила
(а следовательно, и ускорение) уменьшится
до нуля, но скорость достигнет в этой точке
максимального значения, и масса по инер-
ции будет продолжать движение в область
от рицатслытых х (влево от х 0). В этой об-
лает и возвращающая сила (а следовательно,
и ускорение) направлена вправо, и движение
массы начинает замедляться В точке х —х0
движение прекрати гея*, а ускорение, кото-
рое по-прежнему направлено вправо, застав-
ляет массу измени гь направление движения
и вновь приближаться к точке х - х0. Процесс
колебаний массы между точками х=х0 и
х- —х0 является одним из видов колеба-
тельного, или периодического, движения.
Нетрудно записать движение массы во
времени. Как показано на фит. 10.2, к массе
прикрепляется карандаш, касающийся ру-
лона бумаги, которая движется с постоянной
скоростью перпендикулярно направлению
движения массы. Таким путем мы pei ист ри-
руем зависимость смещения от времени.
Эта зависимость представляет собой ко-
синусоидальную кривую**
X (t) — Хо COS — t,
т
(10.3)
где т — период колебаний, т. е. интервал
времени, после которого движение повто-
ряется (фит. 10.3 и табл. 10.1). Величина
х0 — амплитуда колебания, т. е. максималь-
ное оч клонение массы от положения равнове-
сия. Периодическая функция (синус или ко-
синус) обнаруживает простое и регулярное
изменение (изменяется гармонически). По-
этому движение, описываемое такой функ-
цией, называется простым гармоническим
движением
* Это. как мы вскоре увидим обеспечивается
законом сохранения энергии.
* * Или синусоидальную кривую в зависимости пт
того, какую точку мы выберем в качестве начала
отсчета I 0; запись х(г) означает «зависимость
смещения х от времени (».
10-1. Простое гармоническое движение
313
Таблица 10.1. Зависимость смещении колеблющейся
массы от времени
Г •Т' cos !"t ,v(r) - .VoCOS V l
0 О’ 1
т1 -уЛ или 90 0 0
1г л или 180 —1 —xo
ir -ул или 270 0 0
т 2л или 360 0 1 -To
Уравнение (10.3) описывает колебательное
движение, которое продолжается неопрстс-
ленно долю без изменения амплитуды
Это идеализированный случаи, не учитываю-
щий потерь на 1рение. Разумеется, в рсаль
ных условиях присутствует трение, и колеба-
1е.тьный процесс не может продолжаться
вечно, если к системе нс подводить этгерт ню
извне Трение вызывает посщпеннос умень-
шение амплитуды (затухание}, и в конце
концов колебания прекращаются.
СМЕЩЕНИЕ, СКОРОСТЬ И УСКОРЕ-
НИЕ. Сопоставим ienepb факт косинусои
дальний зависимое! и смешения о г времени
с уравнением движения (10.2), согласно ко
торому ускорение массы прямо пропорцио-
нально взятому с обратным знаком смеше-
нию. Используем для этого определения
мгновенной скорости (которая равна на-
клону кривой на графике смешение — время
в точке соответствующей этому моменту
времени) и мгновенного ускорения (которое
равно наклону кривой на г рафике скорость—
время)
На фи! 10.4 а показана та же зависимость
смешения от времени, что и па фиг. 10.3
Наклон кривой равен нулю в момент вре
мени г=0, а для всех моментов времени
между г 0 и г 1 т наклон отрицателен
(направлен сверху вниз), следовательно в
этом интервале времени скорость отрица-
тельна. Максимальный отрицательный на-
клон, а значит, и максимальная отрицатель-
ная скорость —г,„ соответствуют моменту
времени Физически это означает, что
масса, начав движение из точки х=х0, дви-
жется влево и, следовательно имеет отрица-
тельную скорость; эта скорость достигает-
максимума, когда масса проходит через
точку х 0. В моментt Ет масса достигает
крайней левой точки х —х0 и скорость
опять становится равной нулю. В интервале
времени между г / т и г т происходит
движение вправо с положительной скоро
Фиг 10.4 Зависимость смещения колеблю-
щейся массы от времени (а), зависимость ско-
рости от времени, полученная путем изме-
рения наклона кривой а в каждый момент вре-
мени (б), и зависимость ускорения от времени,
полученная путем измерения наклона кривой б
в каждый момент времени (в)
Кривая в представляет собой кривую а взятую
с отрицательны» знаком что соответствует
уравнению движения (10.2).
314
10. Колебания, волны и излучение
стью. Эта скорость достигает максимума
v„ в момент 1 4 т. Полностью зависи
мость скорости от времени показана на
фиг 10 4,6. Эю просто перевернутая си-
нусоидальная кривая-
9
v(t) = — timsin — t (10.4)
Таким же способом можно получит ь зави-
симость ускорения от времени, измеряя на
клон кривой на графике скорость — время
в каждый момент времени Эта зависимость
показана на фит 10 4, в и представляет собой
перевернутую косинусоидальную кривую на
фиг 10 4 а
а(1)~ — а0 cos — t.
(10 5)
Здесь —о0 начальное ускорение, коюрое
в соответствии с (10.2) равно — (к/т)х0.
Следова гельно
а(0------— x0cos^-t (10.5а)
Сравнивая это уравнение с (10 3), получаем
а —(kfm)x, т. е. уравнение движения (10.2).
Этот результат не случаен, единственная
функция, удовлет воряющая уравнению дви-
жения (10 2), — синусоидальная функция (си-
нус или косинус).
ЭНЕРГИЯ ПРОСТОГО ГАРМОНИЧГ
СКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА. В идеальном
случае простого гармонического осциллято-
ра потери энергии на трение отсутствуют и
энергия системы сохраняется В любой мо-
мент времени
Е ~ Епог + Якин = Const (10.6)
Из примера 7.2 мы знаем, что необходимо
затратить работу У2кх2, заимствованную
извне, чтобы удлинить пружину на величи-
ну х относительно положения равновесия.
Потенциальная энергия гармонического ос-
циллятора это энергия, запасенная в пру
жипе
ЯПОт = Y kx2.
(Ю7)
Кинетическая энергия осциллятора — это
энергия движущейся массы:
ЯКии = -у mva
(Ю8)
Следовательно,
Я — -i- kx2 4- mv2 = const. (10 9)
Прн х хо. когда пружина максимально
растянута, скорость равна нулю и полная
энергия равна У2кх%. При х 0 потенциаль-
ная шертия равна нулю, а скорость массы
максимальна (v=dw), и полная энергия со-
ставляет l/2mvm. Таким образом.
я = =— mv2m, (10.10)
откуда получаем соотношение между х0 и
________________
Г ь
рт=±1 — х0. (10.11)
I/ т
Положительный или отрицательный знак
указывает направление скорости относи-
тельно направления начального смещения
(Масса может проходить через точку х 0
в любом из двух направлений в обоих слу-
чаях vm будет иметь одинаковую величину,
но разные знаки.)
ПЕРИОД ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим дви-
жение массы из начального положения х х0
в положение х 0. Эю движение начинается
в момент времени t 0 и заканчивается при
t — '/4 г. Таким образом, масса достит ает
положения х 0 та ‘/4 периода При г = */4 т
скорость 1}т представляет собой произве-
дение усредненного за этот интервал време
ни ускорения на длительность интервала
рт = а--1-т (10.12)
4
Ускорение а (г) определяется формулой
(10 5а). Поскольку коэффициент кх01т
не зависит от времени, следует усреднить
лишь значение cos(2nZ/r) в интервале оз
t 0 до t у4т Такое усреднение проведено
графически на фиг 10 5 Аналитические мето
ды дают среднее значение, равное 2/л Ис-
10.1. Простое гармоническое движение
315
пользуя выражение (10.11) для г * и (10.12),
получаем
и оконча! ельпо
(10.13)
Фиг. 10.5. Среднее значение функцииcos(2m;t
в интервале от t 0 до t 14г равно 2 л
Подчеркнем что период не зависит от ам-
плитуды колебаний х0. Это характерно для
простого гармонического движения.
ЧАСТОТА. Период колебаний — это ин-
тервал времени, за который происходит одно
полное колебание системы Частота коле-
баний это число полных колебаний, со-
вершаемых системой в единицу времени
Обычно частоту обозначают символом v
Единица измерения частоты , число коле-
баний в секунду (или просто с'1) носит на-
звание герц (Гц) в честь Генриха Герца
(1857—1894), внесшего большой вклад в изу-
чение электрических колебаний Если период
колебаний системы равен т. то, очевидно,
в секунду совершается 1 г колебаний. Пе-
риод и частота обратны друг другу:
(10.14)
Пример 10.1
К массе 8 г, прикрепленной к концу пружины, прикладывается сила 0,01 Н. Это вызывает
удлинение пружины по сравнению с ее естественной длиной на 5 см. Каков период простых
гармонических колебаний 1акой системы?
Коэффициент упругости пружины
0,01 Н
0,05 м
= 0,2 Н/м.
Следовательно, период
т = 2л ]/"— = 2л 1/0,008 кг = 2л 0,2с = 1,26 с,
у k У 0,2 Н/м
а частота
V = — = —= 0,8 Гц.
т 1,26 с
* Здесь мы должны взять квадратный корень с отрицательным знаком, поскольку в момент врем
t %т направление скорос ти противоположно направлению начального смещения.
316
10. Колебания, волны и излучение
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК. Ре
зультаты, полученные выше для колебаний
массы на пружине, не ограничиваются этим
частным случаем. Существует много дру-
гих ситуаций, где мы имеем дело с простым
гармоническим движением. Вообще почти
каждый колебательный процесс можно при-
ближенно считаяъ простым гармоническим
движением, если амплитуда колебаний до-
статочно ма за.
Колебания математическою маятника*
представляю! собой просюе iармопическое
движение, если отношение возвращающей
силы к смешению остается постоянным
В соответствии с (10 1), эта постоянная
возвращающая сила
k —
смещение
(10.15)
Как показано на фиг. 10.6, па массу мая1-
ника действуют две силы - направленная
вниз сила тяжести Frp =/»g и натяжение
нити Т. Результирующая сида, действующая
на массу Fpt3 = Frp+T=7iig sin 0. и является
возвращающей силой. Смещение х представ-
ляет собой расстояние, пройденное массой
по дуге окружности от точки А, т. е. х=Ю
Таким обратом, уравнение (10.15) прини
мает вид
Фиг. 10.6. Математический маятник дли-
ной /.
На маятник действует результирующая си ia
Fpc) которая является векторной суммой силы
тяжестиГ1ри натяжения нити 1
mg sin в __ mg / sin в \
Z6 ~ ~Т~ \ в J ‘
(10.16)
3 тесь фигурирует величина вектора FpC3,
а отрицательный знак сократился ввиду
того, что смещение и возвращающая сила
имеют противоположные направления
Если угол 0 мал, то smO => в. Тогда
(sin 0)0» 1 и
(10.17)
Подставляя это выражение для к в (10 2),
получаем
а =-----— хж-------— х. (10.18)
т I
* Математическим маятником называется
маятник, состоящий из точечной массы подве-
шенной на невесомой и нерастяжимои нити
Поскольку gjl в уравнении колебаний мате-
матического мая!ника соответствует к/т
в уравнении колебаний массы на пружине,
мы можем сразу же iianncaib выражение
для периода колебаний математического ма-
ятника по аналогии с (10 13)'
(10.19)
Отметим, что период не зависит от массы
и прямо пропорционален квадратному кор-
ню из длины маятника.
Использованное нами приближение
sin0 _ 0 даст ошибку лишь 0,1% при 0 =7
и 1% при 0 23 '.
10.2. Волновое движение
317
Пример 10.2
Какова должна быть длина математическою маятника, чтобы период его колебаний на
поверхности Земли составлял I с?
Возведем в квадрат выражение (10.19) и решим ею относительно /:
t2g (1 с)2 • 980 см/с2 о . о
— —-----------—------------— = 24,8 см
4п2 4к2
10.2. Волновое движение
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВ. До
сих пор мы рассматривали колебательные
движения отдельной частицы или тела. Те-
перь обратимся к случаям, когда движение
данной частицы влияет на движение сосед
них с ней частиц и испытывает их влияние
Важным случаем такого коллективною яви
жения является во чновое движение
Примеры волнового движения можно
встретить повсюду. По морям кочуют мор-
ские волны. В воздухе распространяются зву
ковые волны. Характерное звучание пиани
но или скрипки обусловлено волновым дви
жением их струн. Атмосфера (и даже без-
воздушное пространство) заполнена элек-
тромагнитными волнами, в частности
световыми волнами и радиоволнами. В слу-
чае механических волн (в отличие от элек-
тромагнитных волн, которые связаны с пе-
риодическими изменениями элек т ромагнит-
ного поля) происходят колеба ельныс
движения частиц. Но хотя эти волны рас-
пространяются в воздухе, вдоль струны или
в океане, движения отдельных частиц ни-
когда нс бывают очень большими. Напри-
мер, на фиг. 10.7 показано распространение
волны вдоль спиральной пружины. Ленточ-
ка, которой перевязан один из витков, служит
меткой для наблюдения за движением опре-
деленного участка пружины. Видно, что ни
один из участков пружины не совершает
больших перемещений в горизонтальном на-
правлении, и тем не менее вдоль пружины
распространяется импульс. Это происходит
благодаря тому, что на частицы пружины,
находящиеся на переднем фронте возмуще-
ния, действует сила, которая заставляет их
двигаться вверх, а частицы на заднем фрон-
те возмущения испытывают действие силы,
которая заставляет их возврата 1ься вниз
к первоначальному положению (фиг. 10.8).
Отмечая положение импульса возмущения
в различные моменты времени, мы можем
определить скороеib распространения им-
пульса обычным способом (фиг. 10.9). Если
импульс проходит расстояние Дг за интер-
вал времени Ат, го скорость его распростра-
нения
v = — . (10.20)
м
СУПЕРПОЗИЦИЯ. Волновое движение -
еще одно физическое явление, подчиняющее-
ся принципу суперпозиции (см. разделы
8.2—8.4). Если два импульса распростра-
няются навстречу друг другу по одной и
той же пружине, их движения совершенно
независимы* На фиг 10.10 показаны за-
регистрированные на фотопленке два им-
пульса на спиральной пружине, которые
сближаются и проходят друг друга. После
этого они продолжают двитаться в противо-
положных направлениях, причем ни форма,
ни размеры (или скорость) импульсов не
претерпевают изменений. При прохождении
импульсами друг друга смещение пружины
представляет собой сумму двух отдельных
смешений. Если эти импульсы имеют одина-
ковые форму и размеры, но противополож-
ные знаки, то в момент встречи они гасят
* Оба импульса распространяются с одинаковой
скоростью, так как скорость их распространения
зависит не от формы или размера импульса, а
то лько от свойств пружины (если пренебречь по
терями на трение)
318
10. Колебания, волны и излучение
Фи1 10 7. Волновой импульс распространяет-
ся вдоль пружины слева направо
Показаны отдельные снимки движения импульса.
К одному из витков пружины прикреплена лента
(ее положение показано стрелками), чтобы про-
демонстрировать движение отдельного участка
пружины
Импильс
Направление движения
импульса
Тот же импульс
в следующий момент
времени
Фиг. 10.8. Связь движения участков пружи-
ны с распространением по ней импульса.
друг друга (5-й кадр на фиг. 10.10 и фиг
10.11, в). Импульсы одинакового знака в
момент встречи складываются.
БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ На фи 10.12 показа-
но образование бегущей волны. Струна (или
пружина) вначале туго натянута и не имеет
смещении ни в одной точке по всей своей
длине. В момент времени г 0 к одному
концу струны прикладывается внешняя сила,
которая начинает периодически поднимать
и опусказь его. Эго движение конца струны
распространяется на соседний участок, ко-
торый в свою очередь воздействует на сле-
дующий за ним, и так далее вдоль всей стру-
ны. В результате вдоль струны распростра-
няется («бежит») волпа
10.2. Волновое движение
319
Фиг 10.10 Суперпозиция двух почти одина-
ковых импульсов, бегущих вдоль пружины на-
встречу друг другу.
В момент встречи (пятый кадр) импульсы почти
полностью гасят друг друга. Однако следует за
метить, что хотя резу льтирующее смещение
пружины в этот момент практически равно ну-
лю два участка пр жины обладают значитель-
ными скоростями. Об этом говорит смазаиность
изображения на фотографии.
Фит 10 11 Схематическое изображение сг-
перпозиции двух одинаковых импульсов.
В положении в импульсы полностью гасят друг
друга.
Скорость распространения волны можно
вычистить по обычной формуле v Av Дг
Период т возбуждающего колебания явля-
езся и периодом во шы. За отрезок времени
т волна распространяется па расстояние,
называемое длиной волны Л. Следовательно,
если Дт т. то Дх Л. так что эти важные
характеристики волны связаны друт с дру-
том соот ношением
(10 21)
В тайной точке пространства изменение
амплитуды волны в зависимости оз времени
описывается уравнением
{/ (0 = У о cos — t
(10.22)
Расстояние х, которое данный участок
волны проходит за время г, равно
320
10. Колебания, волны и излучение
Фиг. 10.12. Возбуждение волны, бегущей вдоль
(трупы
Смещение конца
где для v использовано выражение (10.21).
Отсюда
— = -L
т А
Заменив в (10.22) г т на y Л. получаем зави
симость амплитуды волны от координа|ы в
любой момент времени:
У (*) = У a cos х. (10.23)
Л
Эти результаты для Х0 и Я-*) доказаны
на фиг. 10.13.
Левый конец струны ко геблется вверх и вниз по
синусоидальному закону (рафик справа), что
приводит к ооразованию синусоидальной бегущей
волны.
Фиг. 10.13. Смещение заданной точки струны
как функции времени и смещение струны как
функция расстояния в заданный момент вре
пени.
Обе зависимости являются синусоидальными.
ПОПЕРЕЧНЫЕ И ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛ-
НЫ. В рассмотренных нами волновых дви
жениях часа ины с (руны или пружины пере-
мешались перпендикулярно направлению
распространения волны. Такие волны назы-
ваются поперечными. Возможно и иное вол
новое движение, при котором частицы пере-
мешаю гея взад-вперед вдоль направления
распространения волны. Такие волны назы-
ваются продольными. Примером этого вида
воли являются волны сжатия-разрежения
в пружине (фиг. 10.14, о). В любой момент
времени разные учас!ки пружины окаты-
ваются либо сжатыми, либо растянутыми,
причем это изменение происходит вдоль
пружины по синусоидальному закону. Сход
пая ситуация имеет место в звуковых волнах,
которые можно создать в столбе газа
(фиг. 10.14.6). В этом случае вдоль столба
синусоидально изменяется и ютность мо-
лекул газа (и давление таза). Поскольку
некоторые характеристики (например, плот
ность частиц или давление) в продольных
волнах изменяются в зависимости от рас-
стояния и времени точно так же. как в попе-
речных волнах, эти различные виды волно-
вого движения описываются одинаковыми
математическими уравнениями. Например,
в уравнении (10.23) нужно только обозна-
чить через y(t) дав тение столба газа, чтобы
описать распространение звуковой во тны с
чае т о гой v
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ. Звуковые во тны рас-
пространяются в воздухе (при нормальных
10.2. Во.товое движение
321
Фиг. 10.14. Продольная волна сжатия-разре
жения в спиральной пружине создается пе-
риодической силой F, приложенной к одному
из концов пружины (а); продольная (звуковая
волна в сто 1бе газа создается периодической
силой F действующей на поршень (б).
УСЛОВИЯХ) СО СКОрОС 1ЫО около 330 м с*,
которая в широких пределах не тавпеиг oi
частоты Когда волна давления дошигает
нашего уха, она вызывает колебания бара-
банной перепонки, которые возбуждаю!
нервную реакцию, и мы слышим звук. Одна-
ко нервная система человека реагирует на
звук только в том случае, если частота зву-
ковой вотпы находится в пределах между
~16 и ~ 20 000 Гц. Для этих предельных
частот длины волн равны соответственно
В воздухе могут распространяться более
длинные и более короткие звуковые волны,
однако человеческое ухо не способно нх
воспринимать. (Встречаются индивидуаль-
ные различия в диапазоне слуха. Как пра-
вило, с возрастом верхний предел слышимых
частот снижается вследствие потери эластич-
ности барабанной перепонки уха.)
В твердых материалах звук может распро-
страняться не только в виде продольных
волн сжатия-разрежения, но и в виде попе-
речных волн. Плотность Твердых тел на-
много превышает плотность газов, поэтому
и скорость распространения звуковых волн
в твердых телах выше. В некоторых мате-
риалах скорость распрошраиеиия звука при-
ближается к 101 м/с (табл. 10 2).
Таблица 10,2. Скорость звука в некоторых
материи tax
Материи i
Скорость. 10} мс
v 330 м/с оп
1 = — =-----------— « 20 м
1 V, 16 с-
з
330 м/с
20000 с-
« 0,016 М—1,6 СМ.
Гранит
Железо
Морская вода
Свинец
Воздух
~6
5,13
1.53
1,23
0,331
Пример 10.3
Какова частота звуковой волны с длиной волны 2 см в морской воде?
И табл. 10.2 находим, что v 1,53-103 мс, поэтому
v 1,53 • 103 м/с _ с 1П, г- па г
v = — = —!--------------— = 7,6 • 104 Гц — 76 кГц.
X 0,02 м
Эго ультразвуковая волна (ее частота выше верхней границы диапазона с няшимостн
человека) Во ша с Л 2 см в воздухе была бы слышимой.
* Скорость самолетов часто выражают в единицах скорости звука. 9ти единицы называются чис-
лами Маха (Л/)_ 1 М соответствует скорости звука (око ю 1200 км-ч на уровне моря) 2 М соответ-
ствует скорости вдвое превышающей скорость звука, и т. д.
21 779
322
10. Колебания, волны и излучение
Фш 10 15. Различные методы модулчции не-
сущей волны
а — несущая одной частоты и неизменной амп-
литуды. 6 — амплитудная модуляция (AM в —
частотная мод\ляция (ЧМ). г- типичная зв\
кован волна, модулированная и по частоте, и по
амплитуде.
МОДУЛЯЦИЯ ВОЛН Звуковые волны и
радиоволны часто используются для пере-
дачи информации Для эюй цели простая
волна с единственной частотой и постоянной
амплитудой (фи! 10 15.а) ие подходи!. Ин-
формацию можно передавать, используя
различные методы изменения формы волны
(модуляцию) Радиовещание использует вол-
ны высоких частот (несущие волны), модули
рованные по амплитуде голосом и ти музы-
кальным сигналом, который необходимо
передать (фиг. 10.15, б) Этот способ называ-
ется амплитудной модуляцией (AM). Способ,
при котором амплитуда остается постоян-
ной, а модулируется частота, называется
частотной модуляцией (ЧМ) (фиг 10 15, в)
Типичная звуковая волна бывает модулиро-
вана и по частоте, и по амплитуде
(фиг. 10 15, г).
ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА Все мы знаем, что
частота звука, издаваемого сиреной движу
щейся машины, резко меняется при прохож-
дении машины мимо иас. При приближении
источника частота звука кажется высокой,
а когда источник минует нас и начинает
удаляться, частота кажется низкой. Зави-
симость частоты волнового импульса от
относительною движения источника и на-
блюдателя называется эффектом Доплера
по имени австрийского физика Христиана
Иогаина Доплера (1803 1853), который по-
дробно исследовал это явление.
На фиг. 10 16 изображены сферические
звуковые волны (с постоянной частотой и
амплитудой), источник которых S движется
с постоянной скоростью vs в направлении
к наблюдателю /.. (Нас интересует здесь не
трехмерный характер волн, а только те их
участки, которые движутся от источника
прямо к наблюдателю.)
Предположим, что в системе отсчета,
связанной с источником, звуковые волны
имеют частоту vs. Тогда за время I источник
испустит волн Рассмотрим отрезок вре-
мени от t 0 до t Волна, испущенная
при т=0, пройдет за это время расстояние
vt, где v — скорость волны в среде. (Ско
рость волн в среде зависит только от механи
ческих свойств среды, но не от скорости
источника.) К моменту испускания последней
из vsr волн источник пройдет расстояние
vst. Значит, все волн занимают в про-
странстве область длиной a vst, и с точки
зрения наблюдателя их длина волны
. _ расстояние ___ — vs^ __ 0 —
L число волн vsy *$
а частота
v — vs
или
(10 24)
(S’ движется к L)
10.2. Волновое движение
323
Фиг. 10.16. Источник тяг-
ло S движется к наб. йо-
дате ио L со скоростью
vs-
Волны «сгущаются» и вос-
принимаемая наб подателем
частота звука повышается
по сравнению с частотой
во ты. которая приходила
бы от неподвижного источ-
ника. Если бы наблюдатель
располагался с лева, он слы-
шал бы пониженную часто-
ту (Окружности, радиусы
которых обозначены наклон-
ны ии стрелками, показы-
вают. куда успели дойти в
момент t волны, uenvu/eu-
ные источником S в раз лич
ных точках пути)
Это выражение показывает, что частота
звука, слышимого наблюдателем L, увели-
чивается по сравнению с той, которую он
слышал бы, если бы источник покоился
Если источник удаляется от наблюдателя,
знак vs меняется и отрицательный знак в
знаменателе уравнения (10.24) становится
положительным. Следовательно, частота
понижается. Аналогичные результаты по-
лучаются, когда источник звука неподвижен
(относительно среды), а наблюдатель дви
жется к источнику или от него
Эффект Доплера имеет место для всех
видов волнового движения звуковых воли
в атмосфере, упругих волн в пружинах или
твердых телах, волн на воде и т. д. Даже
электромагнитные волны (например свет).
распространение которых существенно oi
личается от распространения механических
волн (см раздел 11 1), также обнаруживаю !
эффект Доплера Действительно, мы уже
видели (разделы 3 1 и 3.2), что измерение
доплеровского смещения частоты света о г
звезд и галактик представляет собой один
из важнейших методов изучения движении
астрономических объектов и расстояний до
них
Фиг. 10.17. Фотография волн, созданных на
поверхности воды движущимся источником.
Темная вертикальная линия - проволока, кото-
рая колеблется в воде и в то же время движется
слева направо Наблюдатель справа видит более
короткие волны (т е колебания более высокой
частоты), чем в случае неподвижного источника
21
324
10. Колебания. во.ты и излучение
Пример 10.4
На самолете, летящем со скоростью 0,5 М, установлен источник звука с частотой 1000 Гц.
Звук какой частоты услышит наблюдатель, находящийся на пути самолета?
1 — vs! V
скорость 0,5 М означает, что cxiv = 0,5, следовательно.
'’S
V, ----------
L 1—0,5
= 2vs,
т. е. наблюдатель услышит звук с частотой 2000 Гц. Звук какой часгсны услышит наблю-
датель после того, как самолет пролети! мимо?
4s 4s 2
L \+vs/v 14-0,5 3 s
г. e. наблюдатель услышит звук с частотой 667 Гц.
10.3. Стоячие волны
ИМПУЛЬСЫ НА ЗАКРЕПЛЕННОЙ
СТРУНЕ Рассмотрим струну (или пружи
ну), закрепленную на одном конце, например
с।руну, конец которой привязан к стене и
не может перемешаться. Допустим, что мы
послали вдоль такой струны импульс
(фиг. 10.18, а). Когда импульс достигнет
закрепленного конца, волновое движение
пе прекратится (поскольку энергия должна
Фиг. 10.18. Импульс распространяется
вдоль струны к точке закрепления («), отра-
зившись от точки закр< п ления. импульс дви
жется в обратном направлении с противопо
ложным знаком смещения (б).
Движение импульса подобно движению мяча, от-
скакивающего от стены
сохраняться): импульс отразится и побе-
жит вдоль струны обратно (фиг 10.18,6).
Отраженный импульс имеет те же размеры
и форму, что и начальный импульс, по знак
смещения изменился. Изменение знака сме-
шения обусловлено гем, чю сгепа дейс!вует
на струну силой, направленной вниз. Эта
сила являе гея реакцией стены на направлен-
ную вверх силу воздействия на стену перво-
начального импульса. Поскольку стена не-
подвижна, ее реакция проявляется в (ом,
что возникает отраженный импульс со сме-
шением обратного знака. На фи! 10.19
показан ряд последовательных фото! рафий
импульса, распространяющегося жтоль спи-
ральной пружины; импульс отражается от
закрепленного конца с изменением знака
смещения. Однако в этом случае от раженный
импульс несколько меньше первоначального
10.3. Стоячие волны
325
Фик 10.19. Фотографическая регистрация
отражения импульса от точки закрепления
пружины.
Отраженный импульс несколько меньше первона-
зального из-за потерь в точке закреп гения.
Фит. 10.20. Импульс движется туда и обрат-
но по струне с двумя закрепленными концами.
из-за потерь на трение в точке закрепления
пружины.
Если закреплены оба копна струны
(фиг. 10.20), го импульс будет отражаться
от обоих концов и бегать по с (руне гула и
обратно, причем при движении импульса
вправо смешение будет положительным, а
при движении в тево — отрицательным. Эту
ситуацию можно описать иным, по ностью
эквиватептпым способом. Предположим,
что мы возбудили в длинной с трупе ряд по-
ложительных импульсов, бегущих вправо,
и ряд отрицательных импульсов, бегущих
влево (фиг. 10.21) Выберем расстояние I.
между пос гс.човательными импульсами рав-
ным расстоянию между точками закрепле-
ния струны па фиг. 10.20. Сосредоточим
внимание на поведении импу гьсов в точ-
ках /1 и И на фиг 10.21. Когда положитель-
ный импульс Ь пробегает точку А слева на-
право, отрицательный импульс Ь' пробегает
ту же точку справа налево. Аналогично по-
ложительный импульс-с пробегает точку fl
слева направо одновременно с отрицатель-
ным импульсом с движущимся справа на-
лево. Поскольку расстояния между импуль-
сами одинаковы, то, очевидно, что этот
процесс на участке АВ будет периодически
повторяться Более того, на участке струны
АВ импульсы ведут себя точно так же, как
вели бы себя два импульса на куске струны,
закрепленном в точках А и В. Действитель-
но, импульс с отражается в точке В и пре-
вращается в импу тьс С, а импульс Ь отража-
ется в точке А и превращается в импульс Ь.
Таким образом, мы приходим к выводу,
что процесс распространения волновых им-
пульсов по струне с закрепленными концами
326
10. Колебания. типы и излечение
Фиг 10 21. Две последовательности импу ib-
сов а Ь. с. d и a h'.c </' ведут себя на участ-
ке АВ точно так же, как вели бы себя два
импульса на отрезке, струны, закрепленном
в точках А и В
можно представить как суперпозицию двух
последовательностей импульсов (двух бе-
гущих волн), движущихся в противополож-
ных направлениях
СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ВОЛНЫ НА ЗА
КРЕПЛЕННОЙ СТРУНЕ Рассмотрим те-
перь две синусоидальные волны, бе!ушие в
противоположных направлениях вдоль на-
тянутой струны. Волна, бегущая вправо,
показана на фиг. 10.22, а, а волна, бегущая
влево — на фш 10 22, б. Обе волны имеют
одинаковые амплитуды. Длины обеих волн
/. равны /те расстоянию между точками
А и В, которые в дальнейшем будут рас-
сматриваться как точки закрепления струны
Возбудим обе волны так чтобы в момент
времени t 0 поперечные смещения каждой
точки струны были одинаковыми, причем
в точках А и В смешения струны, создавае-
мые обеими волнами, равны нулю Тогда
в соответствии с принципом суперпозиции
Фи1 10 22. Две во ты с одинаковыми ампли-
тудой и длиной (X. Е) распространяются
вдоль натянутой струны в противополож
ных направлениях.
результирующее смещение каждой точки
должно ровно в два раза превышать смеше-
ние этой же точки при распространении
одной волны (иа фиг 10.23, а результирую
щее смешение показано пунктиром) В этом
случае говорят, что волны находятся в фазе
и усиливают друг друга За малый интервал
времени /У обе волны несколько сместятся
каждая в своем направлении. Если теперь
просуммировать их, то результирующее по-
перечное смешение по-прежнему будет пред-
ставлять собой синусоидальную кривую, но
уже с меньшей амплитудой (фиг 10.23, б).
Заметим также, что в точках А и В смещения,
создаваемые обеими волнами, равны и про-
тивоположны, так что результирующее сме-
шение в каждой из этих точек по-прежнему
равно нулю За время t % г каждая волна
пробежит расстояние, равное %/. Теперь
в любой точке смешения будут равными и
противоположными, т. е. суммарный эффект
всюду будет равен ну но (пунктирная прямая
иа фш 10.23, в). В этом случае говорят, что
волны находятся в противофазе и гасят друт
друга. За время t = 'А т каждая волна прой-
дет расстояние ’4 л. Обе волны снова ока-
жутся в фазе ио теперь результирующие сме-
щения противоположны 1вм которые на-
блюдались в момент г 0. Суммарная сину-
соидальная кривая (фш. 10.23, г) подобна
той, которая показана на фиг 10.23. а. но
имеет противоположный знак
Следует подчеркнуть две важные особен-
ности рассмотренного процесса' 1) в любой
момент времени обе бегупп е волны создают
в точках А и В равные и противоположные
смешения, так что результирующее смеше-
ние в каждой из этих точек всегда равно
нулю; 2) в любой момент времени изменение
результирующего поперечного смешения
вдоль струны описывается синусоида сьнои
кривой Амплитуда этой кривой изменяется
10.3. Стоячие волны
327
от максимального значения при t 0
(фиг 10.23, а) до нуля при t (фиг. 10.23,в)
и затем до максимального значения, имею-
щего обратный знак, при t - */т (фиг. 10.23,?).
При Г—г повторяется картина, изображен-
ная на фиг 10.23, а для t 0
Поскольку смешения в точках Ан В всегда
равны нулю, рассматривая волновое движе-
ние иа участке АВ, мы можем забыть о
длинной струне и ограничиться рассмотре-
нием отрезка струны, закрепленного в точ-
ках А и В Иначе говоря, суперпозиция двух
волн, бегущих в противоположных направ-
лениях по длинной струне, полностью описы-
вает процесс отражений волны от концов
закрепленной струны длиной L, равной дли-
не волйы А. Синусоидальная волна, форма
которой между двумя закрепленными точ-
ками остается неизменной, а амплитуда ме-
няется в зависимости от времени называется
стоячей волной
ДЛИНА СТОЯЧИХ ВОЛН Мы только что
убедились в том, что стоячую волну дли-
ной А можно возбудить в струне, натянутой
между двумя точками иа расстоянии L 2.
дру1 от дру1а. Но анализ фиг 10.23 пока-
зывает что единственным существенным
условием является равенство нулю сме-
шений в точках А и В (Точки, в которых
смещения в любой момент времени равны
нулю, называются узлами ) Следовательно,
иа струне длиной L может существовать
стоячая волна, если ее длина такова, что узлы
приходятся на точки закрепления струны
На фиг 10.24 показаны примеры таких волн
Очевидно, что на струне длиной L можно
возбудить стоячие волны, длина которых А
удовлетворяет условию
л — =L, п-1,2 3
2
(Ю 25)
Помимо поперечных стоячих воли иа на-
тянутой струне, существуют стоячие волны
и других типов Между двумя отражающими
звук стенками можно создать стоячие зву-
ковые волны Отражения от двух поверхно-
стей можно использовать и для создания
стоячих электромагнитных волн (в том числе
и световых) Стоячие волны могут возникать
в i=-fT
Фиг 10 23. Суперпозиция двух синусоидаль-
ных волн распространяющихся вдоль натя
нутой струны в противоположных направле-
ниях дает синусоидальную стоячую волну
Картина стоячих волн на участке АВ для
очень длинной струны и для отрезка струны за-
крепленного в точках А и В одинакова.
328
10. Колебания, волны и излучение
даже в автомобильных покрышках если
скорость распространения возмущения в ре-
зине покрышек окаже!ся равной поступа-
сльной скорости покрышки относительно
поверхноши дороги (фиг. 10.25). В этом
случае напряжения в местах прогиба покры-
шек резко возрастают, и покрышка можег
лопнуть, если продс тжать движение.
Фж. 10.24. Стоячие волны на закрепленной
струне.
б<е эти волны должны иметь лзлы в точках за-
крепления.
Фиг. 10.25. Стоячие волны возникают в по-
крышке колеса автомобиля. движущегося с
бо 1ыиой скоростью.
Хорошо видна деформация покрышки при скорос-
ти 225 км ч
Пример 10.5
Опрсдел гм наименьшую частоту стоячих звуковых волн, которые можно создать между
двумя стенками, отстоящими на 7.5
Вотна наименьшей частоты имев!
большая длина волны / — 2 L (фш
X = 2L = 2 • 7,5 м = 15 м.
м друг о г друга.
наибольшую длину Для заданного рассюящ|я L пап-
10 24 при и 1) Поэтому получаем
Чистота такой волны
о 330 м/с г
А 15 м
близка к-нижней Гранине слышимости человеческого уха. Следовательно, для возбуждения
стоячих волн самой низкой из слышимых звуковых частот (например, звучшпя органа на
частою 16 Гц) необходимо помещение длиной несколько больше 7,5 м.
10.4. Принцип Гюйгенса и дифракция
329
10.4. Принцип Гюйгенса
и дифракция
ДВУМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ
До сих пор мы рассматривали волны, рас-
пространяющиеся прямолинейно вдоль стру-
ны или пружины; такие волны называют
одномерными. Однако мпотне волновые про-
цессы происходят в двух и in ipex измере-
ниях. Например, если косиу 1ься гладкой
поверхности воды вибрирующим стержнем,
то по водной повсрхиост и iio6ei ут круговые
двумерные волны (фи1. 10.26). От источника
звука в воздухе распространяются во все
стороны сферические (трехмерные) звуковые
волны. Еще один важный ihh волнового
движения можно получиib следующим об-
разом Опустим в спокойную воду длинную
плоскую доску, так чюбы продольная ось
доски была горизонтальна и часть доски
оказалась пол водой. Придадим теперь до-
ске периодическое колебательное движение
в направлении, нериендикупярном се про-
дольной оси (фиг 10.27). При каждом
движении доска толкает перед собой воду
вперед. В результате по поверхности воды
распространяется вереница гребней со впа-
динами между ними. Мы получаем волновое
движение, причем длина волны равна рас-
стоянию между соседними гребнями (или
впадинами). Такие волны называются дву-
мерными плоскими волнами. Звуковые или
электромагнитные волны, которые распро-
С1раняются в виде ряда параллельных пло-
скостей в направлении, перпендикулярном
этим плоскостям, причем величина возму-
щения во всех точках каждой плоскости одна
и та же, называются трехмерны ии плоски-
ми волнами.
ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА Пусть плоская
волна длиной 2 падает на преграду, в кото-
рой прорезана щель шириной d, причем d
мало по сравнению с л (фиг 10.28). Будет ли
волна, прошедшая через шеть, сосредоточе-
на в узкой области шириной d‘! Ответ ока-
зывается отрицательным, и причиной ею
является дифракция. Для знакомства с явле-
нием щфракции воспользуемся остроумны-
ми рассуждениями голландского физика и
математика Христиана Гюйгспса (1629
Фит. 10.26. Круговые волны, возбуждаемые
колеблющимся стержнем на поверхности
воды.
Фиг. 10.27. Колеблющаяся доска возбуждает
на поверхности воды двумерные плоские вол-
ны
330
10. Колсоннн'/.
волны и излучение
Фиг. 10.28. Плоская волна падает на препят-
ствие, в котором прорезана щель.
Будет ш прошедшая волна ограничена узкой об-
ластью шириной d
А
Фиг. 10.29. Построение Гюйгенса д/ч волно-
вого фронта произво льной формы.
Каждая точка волнового фронта АВ расе матри-
вается в ио мент времени t как источник круговой
во ты. Волновой фронт А В в момент времени
t+М описывается огииающеи этих круговых волн.
10 5. Интерференция
331
1695), который впервые сформулировал вол-
новую теорию света В соответствии с прин-
ципом Гюйгенса картину распространения
волнового фронта произвольной формы
можно получить рассма!ривая каждую точ-
ку волнового фронта в данный .момент вре-
мени как источник круговой волны (в трех-
мерном случае — сферической волны) Изоб-
разив ряд круговых волн, испускаемых всеми
точками волнового фронта, и построив оги-
бающую этих круговых волн мы найдем
форму и положение результирующей волны
в последующие моменты времени Фиг. 10.29
иллюстрирует применение принципа Гюй
енса. Такое построение, очевидно, справед-
ливо для случаев плоских или круговых волн
(попробуйте сами провести это построение).
Можно обосновать применение принципа
Гюйгенса и в общем случае
Теперь мы в состоянии предсказать форму
волны справа от пре>рады на фиг. 10.28
Каждую точку щели можно рассматривать
как источник круговой волны, распростра-
няющейся вправо*. Если ширина щели мала
по сравнению с длиной падающей плоской
волны (</« ), то щель является, по суще-
ству, точечным источником. Поэтому спра-
ва от преграды можно ожидать появления
лишь круговой волны, излучаемой щелью
На фиг 10.30 показано построение волновых
фронтов в соответствии с принципом Гюй-
генса и фотография воли на воде, подтверж-
дающая наличие дифракции
* Бо tee детальный ана шз показывает, что в
обратном направ /ении волны не распроапранчют
ся. хотя принцип Гюйгенса и допускает такие
еояны
Фиг 10.30. Картина волн, возникающих при
падении плоской волны на щель.
Несмотря на то что ширина ще ш иена много
меньше длины подающей волны возникают круго-
вые волны. (Темный прямоуго н>ник < ева на фото-
графии является дета шо механизма, возбужда-
ющего плоские во ты)
Если ширина щели велика по сравнению
с длиной падающей волны (</> л), построе-
ние Гюйгенса показывает, чю справа от
преграды распространяется практически
плоская волна с закругленными краями
(фиг. 10.31). Таким образом, наличие пре-
грады почти не влияет иа волну, эффект
круговых воли сказывается лишь вблизи
краев щели
10.5 Интерференцич
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН О1 ДВУХ ИС
ГОЧНИКОВ. Комбинируя принцип супер-
позиции с принципом Гюйгенса, можно
объяснить ряд важных и интересных интер-
ференционных эффектов, которые наблю-
даются в волновых движениях всех типов.
В любых волновых процессах, где складыва-
ются две или несколько волн, происходит
интерференция. Импульсы противополож-
ных знаков, бегущие вдоль струны, при
встрече гасят друг друга (фиг 10 10и 10 11)—
это деоруктивная интерференция Если зна-
ки импульсов одинаковы, то при встрече
они складываются — это конструктивная ин-
терференция.
332
10. Колебания. волны и излучение
Фиг. 10.31. Если ширина щели вешка по срав- дятся в противофазе), чю приводит к де-
нению с д мной падающей во зны последняя
проходит через щель почти без искажении.
8 зияние дифракции заметно только вблизи крась
щели.
Интерференционная картина проявляется
в тех областях двумерного или трехмерного
пространства, где происходит распростра-
нение both от двух или более источников.
Рассмотрим например, два источника кру-
ювых волн на поверхности воды Пусть оба
источника, каждый из которых подобен
изображенному на фиг. 10.26, расположены
на некотором расстоянии друг от друт а и
излучают волны одинаковой длины В опре-
деленных местах на поверхности во ты вопил
от двух ис 1 очников создают смещения оди-
наковых знаков (волны. находятся в фазе),
что приводит к конструктивной ишерфереп-
цин В этих местах амплитуды возмущений
на поверхности волы возрастают В дру> их
местах волны от двух hciочников создаю!
смещения различных знаков (волны нахо-
структивцой интерференции В этих местах
«ода оааегся спокойной На фиг. 10 32 но-
казана фо Ю1 рафия интерференционной кар-
тины, созданной двумя системами крутовых
волн на воде.
Пусть плоская волна пабшаст на npei ра-
ду, в которой прорезаны две узкие щели
(ширина каждой щели ) ) Принцип Гюй-
генса утверждает, чю щели станут источни-
ками круювых волн Возникает интерферен-
ционная кар:ина, подобная показанной на
фиг 10.32 На фиг. 10.33 показана схема
опыта, а па фиг. 10 34 — фотография, кото-
рая подтверждает справедливость примене-
ния принципа Гюйгенса к интерференцион-
ным эффектам.
УСЛОВИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ Две ще-
ли .Sj и 5; (фиг. 10.35) являются источниками
двух систем круговых волн. Каким образом
мы можем установить, будет ли интерфе-
ренция в точке Р, находящейся на расстоя-
нии Г, oi .S’! и иа расстоянии L, от 5,, кон-
структивной или деструктивной? Характор
10.5. Интерферениия
333
Фиг. 10.32. Конструктивная и деструктив-
ная интерференция двух систем круговых
волн.
интерференции зависит от того, приходят
волны в точку Р в фазе или в противофазе.
Волна, испускаемая источником .S'2, должна
пройти большее расстояние, чем волна, ис-
пускаемая разность хода равна L2 Lt.
Если в L2— L] точно укладывается целое
число длин волн, то в точке Р окажу тся одно-
временно максимумы обеих воли (волны
придут в фазе), что приведет к конструктив-
ной интерференции (Обратившись к
фит 10.33, можно убедиться, что для любой
из точек, расположенных на пунктирных
линиях, разности расстояний до S, и 5,
всегда равны одной длине волны, а расстояния
от точек главного максимума до St и S,
равны.) Следовательно, условием конструк-
тивной интерференции является равенство
-2у£1- = N, N = 0,1,2...........(10.26)
Если же разность хода L, Lt состав тяет
нечетное число полуволн (т е. целое число
длин воли плюс еще полволны), то в точке Р
максимумы одной волны будут смещены
относительно максимумов другой волны
на Vt >. Значит, волны придут в точку Р в
противофазе, что приведет к деструктивной
интерференции. Условием этого яв тяется
равенство
-ii—£1_ ДГ + _L f N =0,1,2,
X 2
(10 26а)
В точках, для которых L2— Lt- лежит
между .VX и (N + '/)л, будут наблюдаться
колебания с амплитудами меньше макси-
мальной
ЭКСПЕРИМЕНТ ЮНГА Первый экспе-
римент. ясно продемонстрировавший вол-
новую природу света (т. е что световые вол-
ны должны интерферировать подобно меха-
ническим волнам), осуществил в начале
XIX века английский физик Томас Юнг
(1773 1829). Юнг направил солнечный свет
(т. е. практически плоскую волну) на плас-
334
10 Колебания. волны и изучение
Фиг. 10 33. П восках волы падает на препят-
ствие, в котором прорезаны две щели .S’, и
(ширина каждой щели в! X).
Круговые волны, испускаемые щелями образуют
интерференционную картину, подобную изобра-
женной на фи 10 32. Штрих-пунктирная шнич
указывает по вожение г завного максимума, а
пунктирные линии -положения побочных мах-
си му мое,
Фиг. 10.34. Фотография ззнтерференцизз волн
на поверхности воды.
Геометрия опыта подобно изображенной ни
фиг 10 33.
10 5. Интерференция
335
Фиг 10.35. Условием конструктивной интер
ференции в точке Р является равенство ве-
личины (L,—Lj)/X целому числу
тинку, в которой были прорезаны две очень
узкие щели или две очень маленькие дыроч-
ки* Схема эксперимента подобна изобра-
женной на фиг 10 34 и 10.35, но щели распо-
ложены значительно ближе друг к другу.
На экране, установленном на некотором
расстоянии от пластинки, -Юнг наблюдал
светлые и темные полосы в тех местах, где
выполнялись условия конструктивной или
деструктивной интерференции**
Чередование освещенности экрана можно
объяснить следующим образом. Рассмот-
рим фиг. 10.36 Световые волны с опреде-
ленной длиной волны А падают на две узкие
щели А и В расположенные на расстоянии D
друг от друга Интерференционная картина
наблюдается на экране, расположенном на
расстоянии L. (На фиг 10 36 масштаб иска-
жен в целях наглядности на самом деле L
значительно больше D) Если разность хо-
да Д световых волн, приходящих от А и В
в точку Р экрана составляет целое число
длин волн, то в результате конструктивной
интерференции в этой области будет наблю-
латься светлая полоска Условие этого
Д = №, = 0,1,2.......
Если /.»£>, то можно считать, что угол
л. АС В практически прямой, а АС прибли-
женно перпендикулярно PQ следовательно
* Например, два отверстия, проколотые игол-
кой в листе черной бумаги, или две царапины на
оконченной стеклянной пластинке
* * Интерференцию можно наблюдать для сол-
нечного света (который содержит световые вол-
ны различных частот) но она будет выражена
значительно сильнее, если использовать монохро-
матическое излучение (т е световую волну одной
частоты) См. вопрос 10 9 и задачу 10 21
угол ВАС примерно равен 0, т. е. углу,
определяющему положение точки Р на экра-
не. Отсюда можно найти разность хода Д
Д Ж D sin 9.
Таким образом, светлые линии на экране
наблюдаются в областях, для которых
угол 0 удовлетворяет условию
M«=:Dsin0, /V = 0,1,2,
( 0 27)
Значение N 0 определяет положение глав-
ного максимума (разность хода отсутствует,
Д 0); с обеих сторон от него располага-
ются побочные максимумы, соответствую-
щие большим значениям И
Темные линии на интерференционной кар-
тине соответствуют значениям Д, равным
нечетному числу полуволн:
+ —h«Dsin0,
\ 2 /
/V — 0, 1,2,.
(10 27а)
На фиг 10.37 показаны фотографии ин-
терференционных картин для трех различ-
ных расстояний между щелями
Расстояние между соседними светлыми
линиями на экране можно рассчитать сле-
дующим образом Поскольку L>D рас
стояние от Р до средней точки Q, располо-
женной между щелями, примерно равно L.
Значит, sin0 <=> х/ L и из (10 27) получаем
N\L
D~ '
(10.28)
Поскольку при переходе от одной светлой
336
10. Колебания. волны и tn.ij. "ие
линии к следующей N изменяется иа едини
цу, рассюяние между соседними светлыми
(или темными) линиями
(10.29)
Фи1 10.36. Схема эксперимента Юнга с дву-
мя ще 1ялш.
Расстояние до экрана велико по сравнению с рас-
стояние и между те i я ми (L Э» D)
Кример 10.6
В эксперименте с двумя щелями D = 0 1 мм и L= 1 м. Каким будет расстояние между сосед-
ними светлыми линиями, если использовать желтый ceei?
Длина волны желтого све>а равна примерно 6-10 7 м (раздел 10.6). Следовательно, рас-
стояние между линиями
А Е 6 ’ 10 М 1 М С\—3 /?
Дх й;------------------------ - 6 10 3 м = 6 мм.
D 1(Г4 м
ДИФРАКЦИЯ НА ОДИНОЧНОЙ ЩЕЛИ
Если плоская волна падает па узкую одиноч-
ную щель, то также наблюдаемся регулярная
интерференционная картина. На фиг 10 38
показана фотография волн на поверхности
воды, падающих на щель, ширина которо-
рой чуть больше длины падающей волны.
На волновой картине за щелью виден широ-
кий главный максимум. Болес тщательное
рассмотрение показывает, что существую!
также слабые побочные максимумы с интер-
ференционными минимумами между ними.
Подобный эффект наблюдается и в случае
световых волн На фиг. 10 39 представлена
фотография дифракционной картины, на-
блюдаемой на экране, расположен пом по-
зади освещенной щели. Виден широкий глав-
ный максимум и более узкие побочные мак-
симумы по обе стороны от него. Доаньный
анализ показывает, что рассюяние между
соседними темными линиями по обе сторо-
ны от главного максимума равно Л ЕЛ/,
где (/--ширина щели, а расстояние между
двумя центральными темными линиями со-
10.5 Интерференция
337
Фи . 10 37. Интерференционная картина от
<)eiх щелей д /ч трех различных расстоянии
между uie i4uu
Какай из фотографии соответствует мак-
симальному и какая —минимальному расстоя-
нию между щелями ?
г-774
338
10. Колебания. волны и излучение
Фит 10.38 Интерференционная картина от
одной щели для волн на поверхности воды.
Виден широкий главный максимум и слабые по
бочные максимумы
ставляет 2ALtd. График па фиг 10.39 схе-
матически показывает распределение интен-
сивности излучения по экрану. Для большей
наглядности интенсивноеiи побочных мак
симумов преувеличены на самом деле эти
максимумы очень слабые
ДИФРАКЦИЯ НА СИСТЕМЕ ЩЕЛЕЙ
Дифракционная картина, которая получа
ется в результате прохождения света через
щели, зависит от частоты света, поэтому
дифракцию часто используют вместо пре
ломления стеклянными призмами (фиг. 3.8)
дтя спектрального анализа света. В таких
случаях трудно использовать одну или две
шели, так как максимумы интенсивности для
данной частоты света оказываются относи
тельио широкими и дифракционные макси
мумы для близких частот перекрываются
Таким образом способность одной или двух
щелей различать (или разрешать) две близ-
кие частоты оказывается крайне низкой. От
этого недостатка свободна система, содержа-
щая большое число щелей’ чем больше ще-
лей, тем выше разрешение На фит 10 40
сопоставлены распределения интенсивное тэт
для двух щелей и для системы 20 щелей.
Видно, что во втором случае ширина линий
резко уменьшилась.
Если система содержит очень большое
число щелей, ее обычно называют дифрак-
ционной решеткой. Такую решетку можно
изготовить, например нанеся систему тон
ких царапин на эмульсию фотопленки Затем
пленка проявляется и укрепляется между
двумя стеклянными пластинками; прозрач
ные царапины и непрозрачные промежутки
между ними образуют систему щелей. Фото-
графии спектров, представ ленные на фит 3 7,
получены с помощью дифракционных ре
шеток
10.5. Интерференция
339
Фш 10.39. Дифракция на одиночной щели
Фото рафирование произведено с большой экспо-
зицией для выявления побочных максимумов; по-
этому участок фотопленки, соответствующий
главному максимуму, получился размыты» и не
дает полного представления об интенсивности
главного максимума. Распределение интенсивнос-
ти на верхнем рафике показано схематически,
побочные максимумы в действительности выра-
жены значительно слабее
Фиг. 10.40. Распределение ин-
тенсивности света, прошед-
шего через две ще ш (а) и
через дифракционную решет-
ку из 20 и/елей (б).
22*
340
10. Колебания, волны и излучение
10 6 ) 1ектромагнип1ное из /учение
ПЕРЕДАЧА ЭНЕРГИИ ПРИ УСКОРЕН
НОМ ДВИЖЕНИИ ЗАРЯДОВ. Из гл. 9 мы
знаем, чю идущий по проводнику постоян-
ный юк создаст вокруг него постоянное
магни гное ноле. На заряженную частицу,
движущуюся в гаком поле, всегда действует
сила, направленная под прямым углом к
направлению движения частицы Поэтому,
хотя поле может сообщать частице ускоре-
ние (заставляя се двигаться по круговой
орбите), величина скорости частицы не ме-
няется. Постоянное магни i ное поле не мо-
жет совершаю работу над частицей. Таким
образом, отсутствует передача энергии от
движущихся в проводнике зарядов к части-
цам вне проводника через посредство маг-
нитного поля.
Рассмотрим теперь случай, koi да но про-
воднику идет переменный жж. 11орождаемое
им магнитное поле уже не будет постоянным
Переменный ток создает переменное маг
ни гное поле, а переменное магнитное по ie
порождает электрическое поле, которое, дей-
ствуя на заряженную частицу, изменяет ее
энергию. Следовательно, от идущего но
проводнику переменного тока к заряженным
частицам, находящимся вблизи проводника,
может передаваться энергия* в случае по-
стоянною тока передачи энергии нс проис-
ходит Сущее гвснпос различие этих ситуаций
cociuiii в том. чю в случае переменного тока
заряды в проводнике испытывают ускоре-
ние, а в случае постоянного тока ускорение
заряженных частиц отсутствует. То 1ько дви-
жущиеся с ускорением заряды могут пере-
давать энергию через посредство создаваемо-
го ими электромагнитного поля.
9JIЕКТРОМ А ГН И TH Ы Е ВОЛ 11Ы Срав
тггелыю легко создать источник тока, ме-
няющеюся но синусоидальному закону. Ток
такою источника периодически меняется и
идет по нроводпику го в одном, то в проти-
воположном направлении. (Именно шкон
переменный ток протекает в бытовой элек!
росети в наших домах, частота эюю перс
мениого тока составляет S0 Гц) Протека
ние синусоидального тока в проводнике
соответствует ускоренному движению заря-
дов и может сопровождаться передачей
щергии заряженным частицам в простран-
стве вне проводника.
Если юк в проводнике изменяется по
синусоидальному закону, го по такому же
закону меняется и магнигное поле в любой
точке пространства вокруг проводника. Из-
менение магнитною поля порождает элект-
рическое поле, также синусоидальное. Та-
ким образом, в любой точке нроорансгва
изменение векторов электромагнитного по-
ля Г и В можно описать следующими вы-
ражениями:
8 = 80cos — t,
В — Во cos — t,
(10.30)
где £0 и В амплитуды векторов поля,
а т — период колебаний тока, возбуж даю-
шего поле.
Создание электромагнитного поля пере-
менным током в проводнике aiia.ioi нчно
возбуждению бегущей волны в струпе коле-
баниями ее конца, как было показано на
фит. 10.12. Подобно тому как вдоль оруны
раснросI раняегея синусоидальное смешение,
в пространстве распространяются синусо-
идальные изменения вскгоров £ и В
(фш. 10.41)
Апалотию между механическими и э.чект-
ромат пи । ними волнами можно продолжи т ь.
Для механического волнового движения,
изображенного на фш 10.13, смещение в
любой точке пространства является синусо-
ида тыюй функцией времени, и в данный мо-
мент времени смещение является синусо-
идальной функцией расстояния. Го же ха-
рактерно и для з leempo магнитной волны,
которая изменяется в пространстве и во
времени по синусоидальному закону*. В дан-
ный момент времени векторы поля 8 и В
вдали от проводника с переменным током
и вменяются но синусоидальному закону
* Иотолъко на бо imuux расстояниях от провод-
ника. по которому протекает переменный ток;
вблизи проводника злекп,ромагнитное пне меня-
ется по бо iee < iom.ho.mv закону.
10.6. Электромагнитное излучение
341
Переменный.
♦ ток
Антенна.
вдоль определенного направления в про
егранетвс (фиг. 10.42). Отрезок проводника
который благодаря идущему по нему пере
метшему юку излучает элек i ро.мат нитные
во шы, называется антенной. Простейшая
ангенпа изображена на фиг. 10.41. а на
фш. 10.43 показана большая радиовещатель-
ная антенная система.
В облает пространства, удаленной от
антенны (на фш 10.42 антенна находится
в области отрицательных л), в данный мо-
мент времени векторы поля практически
не меняются в плоскости yz. 1 аким образом,
электромагнитное поле однородно па по-
верхности, перпендикулярной направлению
распространения волны. Следовательно,
распространяющаяся электромагнитная вол-
на является плоской. Электромагнитные вол-
Фиг. 10.41. Синусоидальное изменение тока
в проводнике создает синусоидальные измене-
ния 8 и В
Эти изменения распространяются в прострат ni-
ne со скоростью с. Мы получаем про/ теишую ан-
тенну - источник электромагнитных вот.
Фит. 10.42. На оолъшом расстоянии от ан-
тенны (которая расположена в области от-
рицательных д) изменение 8 и В в зависимос-
ти от расстояния в заданный момент вре-
мени сша сойди 1ьно.
Электро магнитная волна является плоской во т-
ной, причем в любой точке пространства и в лю-
бой мо-мент времени 8 Вы $ -В (в систе-
ме С ГС).
342
10. Колебания, волны и излучение
Фиг. 10.43. Аэрофотоснимок четырех радио-
мачт, образующих антенную систему радио-
вещательной станции в Вашингтоне.
Такое расположение мачт вызвано необходи-
мостью излучать сигнал лишь в заданных направ-
лениях, чтобы избежать интерференции с сиг-
налами радиостанций, расположенных в других
местах и работающих на той же частоте
(630 кГц)
иы обладают следующими важными свой-
ствами :
1 Век юры электромагнитного поля 8
и В в плоской волне везде' взаимно перпен-
дикулярны:
б±В (10.31)
2. Величины векторов поля в плоской волне
везде равны друг другу*:
g = B (10 32)
Разумеется S и В меняются в зависимости
от времени и положения в пространстве, но
в каждой точке пространства и в любой
момент времени волна обладает обоими
этими свойствами.
3. Направление распространения электро-
магнитной волны определяется правилом
правого винта: если вращать винт, совмещая
* При условии, что величина вектора S выраже
на в единицах СГСЭ, а вектора В — в гауссах
вектор S с вектором В по кратчайшему
пути, то перемещение винта укажет направ-
ление распространения волны (фиг. 10.44).
Хотя направления векторов S и В меняются
во времени и пространстве, направление
распространения волны остается неизмен-
ным. В этом можно убедиться, применяя
правило правого винта к различным участ-
кам волны, изображенной на фиг. 10 42
4 Электромагнитные волны — попереч-
ные. Как видно на фиг. 10.42, векторы S
и В всегда перпендикулярны направлению
распространения волны; вдали от источника
векторы поля не содержат компонент, па-
раллельных направлению распространения
волны.
5. Скорость распространения в пустоте
электромагнитных волн всех типов (света,
радиоволн, рентгеновских лучей и у д.)
есть с ЗЮ8 м/с.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭНЕРГИЯ И
ИМПУЛЬС При ускоренном движении
электрических зарядов возникает изменяю-
щееся во времени электромагнитное поле и
источник испускает электромагнитные вол-
ны. Легко показать, что это электромагнит-
ное излучение обладает энергией и импуль-
сом. Поместим частицу с зарядом +</ на
пути электромагнитной волны (фиг. 10 45)
Если первоначально частица покоится, то
магнитное поле В не влияет на частицу, но
электрическое поле & действует на нее,
ускоряя частицу в направлении вектора &
Как только частица приобретет скорость в
направлении на нее начнет действовать
сила со стороны матитного поля. Если
применить к этой силе правило правой руки
(при повороте вектора v в направлении век-
тора В перемещение определяется правым
винтом), то окажется, что направление маг-
нитной силы будет совпадать с направле-
нием распространения волны Более того,
в следующий полупериод волны, когда на-
правления векторов £ и В изменятся на про-
тивоположные, сила сохранит свое направ
ление. (В этом можно убедиться снова с
помощью правила правой руки.) Электри-
ческое поле действует на частицу силой,
перпендикулярной направлению распрост-
ранения волны, причем направление этой
силы через каждые полпериода изменяется
10.6. Электро магнитное излучение
343
на противоположное, так чго усредненная
за период сила обращается в нуль. С другой
стороны, магнитная сила всегда действует
на частицу в одном и том же направлении.
Следовательно, усредненная сила, дейс гвую-
щая на частицу, совпадает с матитной си-
лой. Если элек । ромагнитиая волна сообщает
ускорение первоначально покоившейся час-
тице, то эго означает, что волна передает
частице энер! ию и импульс. Следует сделать
вывод, что электромагнитная волна облада-
ет энерт ией и импульсом.
Как определить энергию электромагнит-
ной волны, распределенной по некоторой
области пространства и изменяющейся во
времени? Оказывается, удобно говорить о
плотности потока энергии в волне, т. е. о ко-
личестве электромагнитной энергии, прохо-
дящей через единичную площадку, перпен-
дикулярную направлению распространения
волны, в единицу времени. Обозначим эту
величину буквой S. Расчет, который мы не
будем приводить из-за его сложности, дает
для S выражение
S= ($о + 'Во » (10.33)
где и Во -величины векторов $0 и В,
В системе СГС размерность S есть
эрг см-2-с-1. Поскольку для плоской вол-
ны 8 В, половину энергии, переносимой
волной, составляет энергия электрического
поля и половину энергия магнитного по-
ля. Для удобства расчетов можно в случае
плоских волн вместо 80 + В в (10.33) пи-
сать 2^о или 2Bq:
8=—8* = -^—В3. (10.34)
4л 0 4л °
Импульс электромагнитной волны можно
рассчитать аналогично потоку энергии, но
мы ограничимся простым рассуждением.
Рассмотрим порцию* электромагнитной
энергии Е В соответствии с формулой Эйн-
штейна (7.53) масса т обладает энергией
£ тс И наоборот, энергии £ соответ-
* Как мы уеиОим ниже электромагнитное излу-
чение действительно состоит из дискретных пор-
ций, называемых фотонами Здесь мы рассматри-
ваем один такой фотон с энергией Е.
Фиг. 10.44. Перемещение винта с правой резь-
бой указывает направление распространения
электромагнитной волны, если направление
вращения винта совпадает с направлением по-
ворота от вектора 8 к вектору В.
Фиг. 10 45 Электромагнитная волна всегда
воздействует на заряженную частицу с си-
лой направление которой совпадает с направ-
лением распространения волны (Зависит ли
направление силы от знака заряда7}
344
10. Колебания, юты и т /учение
Фиг. 10.46. Фотографии кометы Секи Лайн
са. полученная V августа 1062 г. в Калифор-
нии.
ствуегмасса т Следовательно, электромаг-
нитное из гученпс с эперг ней Е обладает
эквнваленгной массой т Е с1 А посколь
ку элек громаг ни гное излучение распростра-
няется со скорое I ью с. его импульс (т. е. про
изволение массы на скорость)
о Е
Р = тс = —
(10.35)
Гоч факт, что тлею рома! нит ное излучение
neeei энергию, не является для вас ново-
стью. Электрома! нитпое излучение перено-
си! на Землю игергию Солнца и снабжает
ее светом и теплом, необходимыми для
поддержания жизни. Значительно сложнее
представить наличие у электрома! нитной
волны импульса. Почему импульс, связан-
ный с громадным количеством падающей
па Землю солнечной энергии, не сталкивает
Землю с ее орбиты? Почему мы видим свет
и ощущаем тепло о г электрической лампоч-
ки. но не испытываем давления, обусловлен-
ного импульсом свЛовых both? Ответ за-
ключайся в том. что излучение с эперг ней Е
несет импульс Е.с. а с очень большое
число. Поэтому импульс электромагнитного
излучения всегда очень мал, и ею не так
прост измерит!, в лабораторных условиях*.
Но есть одно удивительное явление, кото-
рое легко наблюдать и которое служит пря-
мым доказательством наличия импульса у
электрома! нитного излучения. В состав Сол-
нечной системы входят комшы, представ-
ляющие собой скопления твер (ых частичек,
обломков пород и замерзших га юв** Орбп-
1Ы комет сильно вытянуты***, так чго боль-
шую часть времени комета движемся вдали
oi Солнца. Однако но мерс приближения к
Солнцу солнечное излучение приводит к
испарению и выбросу части вещества ко-
ме гы. Именно на эго вещество действуем
имну гьс солнечно! о излучения (радиацион-
ное давление, или давление света). В резуль-
тат испарившееся вещество отбрасывается
от кометы и образует видимый хвост ко-
ме гы (фиг. 10.46). Из-за радиационного дав-
ления хвосты комег направлены oi Солнц;!
(фиг. 10.47), так что хвост может даже ока-
заться впереди головы кометы при ее дви-
жении в пространстве. Такое поведение хвое
тов комег известно давно (еще со времен
* Впервые существование светового давления
было продемонстрировано в чрезвычайно чувст-
вительных опытах выдающегося русского физика
И Н Лебедева — При.м. ред
** 1строном Фред Уиппп назвал кометы
«гр.ч зными айсоергаыи».
* * * Орбиты комет представ чтот < одой эллип-
сы, которые обычно аасто съко сильно вытянуты
что их практически нельзя Ьтли шть от параб<>л
10.6. Электромагнитное тлгчеине
345
Кеплера), но обьяснение этого эффекта от-
сугствовало до тех пор. пока нс выяснилось,
что огг возникает под действием импульса
электромагнит ного излучения.
АМПЛИТУДА И ИНТЕНСИВНОСТЬ
Электромагии I ное поле в любой точке
пространства полностью определяется век-
торами 5 и В в ной точке. Однако практи-
чески во всех важных случаях нас будут
интересовать не векторы поля, а то, какую
работу может соверпгагь поле над заряжен-
ной частицей или i рунной заряженных час-
тиц. Поэтому мы будем прежде всего инте-
ресоваться энцр.ией ноля. Прием радиоси)
нала антенной или действие света на глаз
зависят от передаваемой энер! ии. Согласно
формуле (10.10), энергия колеблющейся мас-
сы пропорциональна квадрату амплитуды
колебаний. Из формулы (10.33) видно, что
ноток энергии элекгрома)ни гною поля так-
же пропорционален квадратам амплитуд
векторов поля.
Когда мы говорим об интенсивности излу-
чения, мы имеем в виду переносимую волной
энергию; следовательно, интенсивность вес-
та пропорциональна квадрату амплитуды
волны.
амплитуда равна £0,
интенсивное!ь пропорциональ-
на £„|2 81.
СПЕКТР ЭЛЕКН'ОМАГНИТНОГО ИЗ-
ЛУЧЕНИЯ. В 1862 г. Джеймс Клерк Макс-
велл на основе своей теории элекгромагне-
тизма предсказал существование электро-
магнитных во т. Из расчетов Максвелла сле-
довало, что скорое ь распространения элект-
ромаг нитных волн равна измеренной ранее
скорости света в воздухе (или в пусюге).
Этот факт однозначно свидетельствовал об
электромагнитной природе света.
Элсктромагпитые волны (кроме света)
не наблюдались до 1887 г., кота Генриху
Герцу удалось генерировать волны длиной
от 10 до 100 м с помощью искровою разряда
между заряженной и заземленной сферами
Экспсримсн!ы Герца показали, что эти вол-
ны во всем подобны световым, за исключс
нисм значительно больших длин волн
(10.36)
Фиг. (0.47. Под действием радиационного дав-
ления (т. е. импульса электромагнитного из-
лучений хвосты комет направлены от Солн-
ца.
Вслед за первым экспериментом Герца
началось освоение все новых и новых диапа-
зонов частот электромагнитых волн. Выяс-
нилось, что можно создать волны водой
частоты, если удастся найти соответствую-
щий способ возбуждать колебательное дви-
жение электрических зарядов нужной час-
тоты. По-видимому, физических пределов
частот электромагнитных волн нс сущее шу-
ст - нужно лишь найти подходящий их
источник. Электронные методы позволяют
1енерировать электромагнитные волны с
частотами до I0'2 Гц. Эга область часют
прошираегся ог радиоволн до микроволн
(фиг. 10.48). В диапазоне радиоволн рабога-
ют обычное радиовещание, часготно-моду-
лированное радиовещание, телевидение, воз-
душная и морская связь, любительские ра-
диос!аннии; ратиолокация и радиорелейные
линии использую। микроволновый (еверх-
высокочасготый) диапазон
Для генерации излучения с частотами вы-
ше границы микроволнового диапазона
обычные электронные методы непригодны;
здесь используется излучение атомов.
Инфракрасное, или тепловое, излучение за-
нимает диапазон часгог между микровол-
нами и узкой полосой частот, соответ с гвую-
ших видимому свету. Еще выше лежа г час
тоты т сьтрафио сетевого и рентгеновского
излучений. Верхний предел частот, когорыс
могут генерировать атомные системы, со-
ставляет около 102и Гц; излучение более
высоких частот (гамма-лучи) испускается
атомными ядрами
346
10. Колебания. волны и излучение
/ГГц
/МГц
/кГц
Частота, Название Длина волны, Гц диапазона см
йч ^5 3J *8 1 1 1 1 1 1 1 1 Гамма-лучи V-/0~" — 10~9 —КГе /Л
Рентгеновские лучи
Ультрафиолетовое излучение Чэ Ч) II 1
- -/(Г11
1 1 1 1 1 1 b 1л оииимыи свет Инфракрасное излучение —/0~3 —ПГг
Микроволны — 10 ‘ — / /см -/0
/о8 — Телевидение и ЧМ '^^—/0£ 1М
Л7 — 'W
]q6 Радиовещание —10*
। Г г 1КМ Радиоволны -—/0 е В— /О1
Фш 10.48. Часть спектра
злектрома, нитных волн
Деление электромагнитного из-
лучения на диапазоны не явля-
ется точным-, соседние диапа-
зоны значительно перекрыва-
ются.
Таблица 10.‘3. Характеристики волн видимой области спектра и прилегающих к ней участков
Наименование Длина волны, м Частота, I014 Гц
Ближнее инфракрасное излучение 1,0- 1(Г6 3,0
Красный свет максимальной длины волны в видимой
области 7,6-1 О*7 3.9
Оранжевый свет 6,1 • 10“7 4,9
Желтый свез 5,9 10“7 5,1
Зеленый свет 5,4 -10 7 5,6
Голубой свет 4,6 10 7 6,5
Синий свет минимальной длины волны в видимой
области 4,0 -10 7 7,5
Ближнее ультрафиолетовое излучение 3,0-10“7 10
Длинноволновое рентгеновское излучение 3,0 10” 1000
Вопросы
347
Различные диапазоны электромагнитных
воли получили разные названия, но не сле-
дует забывать об общих свойствах электро
магнитных волн: все эти виды излучения
имеют единую природу и отличаются дру1
от друга только своими частотами. Радио-
мачта высотой 150 м излучает электромаг-
ии тые волны, и точно такие же волны,
называемые жестким гамма-излучением, ис-
пускаются атомными ядрами, диаметр ко-
торых составляет всею 1(Г14 м; единствен-
ная разница между этими двумя видами
излучения состоит в том, что их частоты
отличаются друг от друга в 10*5 раз.
Основные выводы
Смещение, скорость и ускорение частиць
совершающей простое гармоническое дви-
жение, описываются синусоидальными функ-
циями времени.
Период гармонических колебаний не за-
висит от их амплитуды.
Для воли любых типов выполняется прин-
цип суперпозиции.
Звуковые волны в газах являются продоль-
ными, элек I рома! нит ные волны — попереч-
ными.
Наблюдаемая частота волны зависит от
относительной скорости источника и наблю-
дателя (эффект Доплера).
Стоячую волну можно представить как
суперпозицию бегущих волн.
Стоячие волны возбуждаются на струне
или в замкнутой полости при условии, что
в граничных точках имеются узлы.
При распространении волны в простран-
стве каждую точку волнового фронта можно
рассма1рива1Ь как источник расходящихся
сферических волн (принцип Гюйгенса).
Дифракция вызывает огибание волной пре-
пятствия и заставляет волну расходиться
после прохождения через узкое отверстие.
Если две (или более) волны приходят в
данную точку в фазе, в этой точке наблюда-
ется конструктивная интерференция, приход
волн в противофазе приводит к деструктив-
ной интерференции.
Электромагнитные волны могут излучать-
ся тоЛько ускоренно движущимися электри-
ческими зарядами
В плоской электромагнитной волне векто-
ры поля J и В взаимно перпендикулярны.
Электромагнитная волна переносит энер-
гию и импульс
Интенсивность волны (г. е. ее энергия}
пропорциональна квадрату амплитуды.
Все электромагнитные волны имеют тож-
дественные свойства; они различаются толь-
ко частотами.
Вопросы
10.1. Какие данные необходимы для расчета максимальной скорости математического маятника?
Продумайте путь расчета
10.2. Звуковые волны не могут распространяться в воздухе на большие расстояния — в конце концов
они затухают. Что происходит при этом с энергией звуковых волн?
10.3. Сравните среднюю скорость молекул воздуха (табл. 7.5) со скоросз ью звука в воздухе (з абл. 10.2).
Почему эти две величины так близки’ Почему скорость звука меньше скорости молекул?
34«
10. Колебания, волны и тлучение
10.4. Поперечные упругие волны возможны в I вердых телах, но невозможны в I азах. Какими различи-
ями физических свойств твердых тел и газов это можно объясни г ь?
10.5. Объясните, почему маленькие помещения непригодны для слушания музыкальных записей
высокого качества.
10.6. Какова будет реакция вашего организма на интенсивную звуковую волну длиной А = 50 м?
(Какова частота этой волны?)
10.7. Объясните, откуда на струне, точки которой не имеют смещения (фиг. 10.11. в), могут появиться
смешения в последующие моменты времени. Опишите физическую ситуацию допускающую появле-
ние смещений, если до этого смещения в системе отсутствовали
10.8. Будет ли наблюдаться эффект Доплера, если источник движется перпендикулярно линии, сое-
диняющей его с наблюдателем?
10.9. Опишите интерференционную картину, которая будет наблюдаться, если две щели освещать
вместо монохрома 1ическ01о света (т. е. света одной часто 1ы) белым светом (содержащим всевотмож-
U ые часто 1Ы)
10.10. Звуковая волна в воздухе и электро.ма! ни ная волна в воздухе имеют одинаковую длину волны,
равную 10 см. Опишите характер обеих волн (слышимая, неслышимая, свет, радиоволна и т. п.).
Почему лве волны с одинаковой длиной волны имеют столь разные свойства?
10.11. Солнце излучает 1шан1ские количества электромагни I ной энергии. Как известно, это излуче-
ние обладает импульсом Изменяется ли импульс Солнца со временем? Поясните ответ
10.12. Докажите, что давление света па достаточно малую частицу, находящуюся в межпланетном
пространшве Солнечной сишемы. может превзойж силу солнечного притяжения, и чаоица получит
ускорение, направленное от Солнца. (Предположите, что частица имее! шарообразную форму
Какие свойства частицы определяют величину гравитационной силы? Какие свойства определяют
величину давления света? Покажите, как меняются эти силы с уменьшением размера частицы.) Чащи-
цы радиусами меньше 2 10"6 м действительно вьпалкиваются радиационным давлением за пределы
Солнечной системы
10 13. Для излучения радиоволн нужны огромные антенны, рентгеновские же лучи испускакжя
атомами, а гамма-лучи атомными ядрами. Почему электромагнищые волны самых высоких
частот генерируются самыми малыми системами?
Задачи
10.1. Сила 0,005 Н действуя на массу 0,02 кг, прикрепленную к пружине, вызывает смещение массы
на 0,05 м от положения равновесия. Какую максимальную скорость приобретет масса после прекра-
щения действия силы? Каково будет максимальное ускорение массы? Определите также период
колебаний
10.2= Прикрепленная к пружине масса колеблется с периодом 0,5 с. Проходя через положения равно-
весия, масса движется со скорое 1ью 0,2 м/с. Какова амплитуда колебаний?
10.3. Масса 0.01 кг колеблется на пружине с периодом 2 с. Какая сила по!ребуется, чтобы растянуть
пружину на 0,1 м ит положения равновесия? (Используйте приближенное равенство 10).
Ю.4. Масса 0,02 К! колеблется на конце пружины. Проходя через положение равновесия, массе обла
дает скоростью 0.4 м/с. Какая работа потребовалась для первоначальною растяжения пружины?
Задачи
349
10.5. Математический маятник длиной 24,8 см совершает на поверхности Земли колебания с перио-
дом 1 с (см. пример 10.2). Каков будет период колебаний лого маятника на Луне?
10.6. Маятник колеблется на темном аква горе с периодом 2.00 с Каков будет период этого маятника
на Северном полюсе? (См. фиг 4 16.)
10.7. Через 8 с после вспышки молнии раздался удар грома. На каком расстоянии от места наблюде-
ния произошел грозовой разряд?
10.8. Заряд динамита взорван иа поверхности моря. Звук от взрыва распространяется в воде и в воз-
духе Какой сигнал будет услышан раньше на расстоянии 3 км от места взрыва? Какова будет раз-
ница во времени между приходом двух сигналов?
10.9. Какова длина волны звука с частотой 10 кГц в железе и в воздухе?
10.10. С какой скоростью (в км ч) движется подводная лодка в погруженном состоянии, если число
Маха для нее составляет 0,0025? (Числа Маха для заких малых скоростей обычно не используются.)
10.11* . Нарисуйте две синусоидальные волны с длинами Л и Л 4 и равными амплитудами. Сложите
эти волны графически и покажите, что в результате получается «модулированная» волна
10.12. Органный топ (л 6.71 м) звучит в течение 1 с. Сколько полных колебаний волны происходит
за аю время?
10.13. Струна длиной 2 м туго натянута между двумя опорами. Скорость распространения волны
в струне составляет 20 Mt. Определите частоты первых четырех стоячих во тн (начиная с самой длин-
ной), которые можно возбудизь в струне. Какие из этих колебаний будут источниками слышимых
звуков?
10.14. Поезд приближается к вам со скоростью 96 км ч и издает гудок частотой 2 кГц. Звук какой
частоты вы услышите? Звук какой частоты будет слышен после тою, как поезд пройдет мимо вас?
10.15. Когда поезд проходит мимо вас, частота ею гудка уменьшается с 1000 до 800 Гц. Какова ско-
рость поезда?
10.16. Покажите, что наблюдаемая на Земле длина волны л, определенной спектральной линии света
далекой галактики связана с длиной волны той же линии от табораторного источника излучения
соотношением л( (1 - г, с), где тт скорость удаления галактики от Земли.
10.17. Покажите геометрическим построением, что принцип Гюйгенса соблюдается при распростра-
нении (двумерных) плоских и круговых воли
10 18 Измерения показывают, что длина волн, изображенных на фит. 10.32, составляет 1/3 расстоя-
ния между двумя источниками. Пост ройте с помощью циркуля две системы круговых both, воспроиз-
водящих условия на фтп. 10.32. Покажите, что области конструктивной и деструктивной интерферен-
ции получаются в тех же местах, что и на фи 10 32
10.19* . Предположим, чю колебания двух источников, изображенных на фиг. 10.32, происходят не
в такт когда верхний источник создает максимальное смещение, нижний источник проходит черет
положение равновесия (т е. волны, создаваемые двумя источниками, сдвинуты по времени относи-
тельно друг друга на !4т). Используя принцип Гюйгенса, покажите, как это сделано на фит . 10.33.
расположение линий конструктивной и деструктивной интерференции Имеет ли интерференционная
картина главный максимум9
10.20. Две узкие щели расположены так близко друг к другу, что расстояние между ними трудно уста-
новить прямым измерением При освещении щелей светом с л = 5 -Юм оказалось, что иа экране.
350
10. Колебания, волны и излучение
располомеппом на расстоянии 4 м от щелей соседние светлые линии интерференционной картины
отстоят друг от друга на 2 см Каково расстояние между щелями?
10.21* . Две щели, расстояние между которыми составляет d02 мм, одновременно освещаются голу-
бым (11 4 10"7 м) и желтым (Аж 6 • КГ7 м) светом. На экране, удаленном на 2 м от щелей, образу-
ются светлые (голубые и желтые) линии. Если центральным линиям обоих цветов присвоить нулевой
номер, каковы будут номера линий в той области экрана, где желтая и голубая линии впервые (считая
от центральных линий) совместятся друг с другом? На каком расстоянии от центральных линий рас-
положена эта область?
10.22. Частота световых волн в воздухе (или в пустоте; равна их частоте, например, в стекле или в
воде. Однако скорость света в стекле или воде составляет около 0,7 с, поэтому длины световых волн в
стекле и воде отличаются от длины волны в воздухе Предположим что система с двумя щелями,
рассмотренная в примере 10.6, погружена в воду. Каково будет расстояние между соседними светлы-
ми линиями на экране
10.23. Желтый свет (А 6 • 10~7 м) освещает одиночную щель шириной 0,1 мм. Дифракционная к«рз и-
на наблюдается на экране, удаленном на 1,5 м от щели. Каково расстояние между двумя темными
линиями расположенными с одной стороны от главного максимума?
10.24. Микроволны (А=0,5 см) падают на две щели, расстояние между которыми составляет 25 см.
Распределение интенсивности излучения снимается с помощью детектора микроволн, который пере-
мещается вдоль экрана, расположенного на расстоянии 15 м от щелей. Опишите это распределение
интенсивности.
10.25. Какова длина волны излучения с частотой 25 МГц, которое используется для передачи сигналов
точного времени? Какая частота соответствует 10-метровому коротковолновому диапазону?
10.26* . Максимальная напряженность электрического поля плоской электромагнитной волны со-
ставляет 300 мкВ м (Это значение типично для ра иоволн.) Какое количество энергии проходит через
поверхность площадью 1 см2 за 1 с? (Необходимо перевести вольты в единицы СГСЭ.)
10.27. Протон совершает колебания вдоль диаметра атомного ядра (около 10-14 м), двигаясь со ско-
ростью p«sO,O5 с. Какова частота испускаемого излучения? (Частота излучения равна частоте коле-
баний ) К какому диапазону частот относится это излучение?
«Относительность» (М Эсхер).
11 Теория
относительности
11.1. Световые сигналы
фундамент теории
относительности
11.2. Преобразования Лоренца
11.3. Изменение массы
в зависимости от скорости
11.4. Масса и энергия
11.5. Общая теория
относите, ibiiocmu
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В конце XIX столетия стало ясно, что физика встретилась с серьезными трудностями. К этому
времени классическая, ньютоновская динамика находилась на прочном основании' счита-
лось, что эта теория справедлива в любой инерциальной системе отсчета и что все такие
системы равноправны Была также твердо обоснована максвелловская теория электромаг-
нетизма, н физики пришли к выводу, что свет представляет собой элеюромагнитные волны,
правильно описываемые уравнениями Максвелла. Важной составной частью теории рас-
пространения электромагнитных волн было понятие эфира*. В те годы царило механисти-
ческое воззрение на электромагнитные явления и считалось, что для распространения волн,
в том числе и световых, нужна среда — в данном случае эфир. Полагали, что уравнения
Максвелла справедливы в системе отсчета, покоящейся относительно эфира. В отличие от
уравнений Ньютона, которые, как было известно, годились во всех системах отсчета, урав-
нения Максвелла как будто требовали преимущественной системы отсчета
Механическое воззрение на природу электромагнитных явлений приводило ко все новым
трудностям Чюбы объяснить новые экспериментальные факты, физикам приходи-
лось вводить многочисленные пром твольные предположения В копне концов были полу-
чены почти все уравнения, которые мы по сей день считаем справедливыми, однако эти ре-
зультаты ннкого не удовдетворяли, поскольку их объясняли на базе шатких допущений
и неразрывно связывали с неуловимым эфиром
Наконец, теория эфира окончательно зашла в тупик, когда три различных эксперимента
привели к следующим выводам' а) эфир увлекается движущейся Землей, так что все лабо-
раторные установки, на которых проводятся эксперименты, всегда покоятся относительно
эфира** б) Земля свободно движется сквозь эфир, который покоится относительно «непод-
вижных» звезд, в) движущаяся материальная среда (скажем, вода), в которой распростра-
няется свет, увлекает за собой эфир, но уже со скоростью составляющей только по ювину
скорости среды Натолкнувшись на эти противоречивые результаты, теория эфира в конце
концов рухнула
В 1905 г. Альберт Эйнштейн (1879 1955) (фиг. 11.1) выдвинул новую радикальную идею
Одним смелым уларом он отбросил теорию эфира с ее произвольными предположениями
и заменил ее только двумя постулатами На базе этих постулатов Эйнштейн построил велн
чественную теорию, которая стала образцом логического совершенства. Теория относи-
тельности Эйнштейна перебросила мост между механикой и электромагнетизмом и связалд
воедино обе великие теории классической физики.
* Дополнительные замечания по поводу этого
понятия см. во введении к гл. 8.
** into заключение следует из знаменитого экс
перимента. проведенного Майкельсоном и Морли
в 90.x годах прошлого столетия.
Фиг 11.1. Альберт Эйнштейн (1905г.)
Л 770
354
11. Теория относительности
Найденное Эйнштейном решение проблемы потребовало отказа от прежних представ-
лений о том. что upoeipaHCTBO и время совершенно различные и не связанные друг с дру-
гом понятия. С точки зрения Эйнштейна, мы живем не в трехмерном пространстве, к ко-
торому присоединив 1ся понятие времени; напротив —пространственные и временная коор-
динаты неразрывно связаны друг с другом и равноправны, образуя чстырехмерное про-
странство-вр и«.
Тем, кто впервые сталкивается с теорией относительности, ее представления могут пока-
заться несколько оранными и искусственными. Однако предсказываемые этой теорией
явления становятся заметными лишь при скоростях, близких к скорости света, тогда как
наше мышление основывается на повседневном опыте, в котором столь высокие скорости
движения никотда не встречаются. Если бы мы жили в мире больших скоростей, го пред-
ставления теории относительности были бы естественными и легко воспринимались. И все
же мы обязаны следовать принципу: если экспериментальные факты нах тятся в противо-
речии с предшествующими воззрениями, то надо менять не факты, а воззрения В сущности
эти воззрения были проявлением того же «здравого смысла», который когда-то поддержи-
вал представление о том, что Земля плоская*.
11.1. Световые сигналы -
фундамент теории
относительности
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАЗ ИЛЕЯ И ИХ
КРУШЕНИЕ. Принцип относительное ти Га-
лилея (или классической физики) утверждает,
что законы механики остаются неизменны-
ми во всех инерциальных системах отсчета.
Ньютоновские уравнения динамики удовлет-
воряют этому принципу: если в инерциаль-
ной системе отсчета К справедливо урав-
нение F = та, то оно будет справедливо и
в системе К', движущейся относительно К
с постоянной скоростью (фит. 11.2). Обе
системы отсчета равноправны, так как уско-
рение представляет собой бы троту изме-
нения скорости; на нем нс сказывается отно-
сительное движение систем К и К', так что
ускорение оказывается в обеих системах
одинаковым (см. раздел 5.4).
Чтобы выразить положение тела в одной
из этих систем отсчета через координаты
другой системы отсчета, следует использо-
вать так называемое преобразование Гали еея.
Рассмотрим тело Р, которое находится на
расстоянии х от начала координат О сисге-
* Эйнштейн как-то заметил, что «здравый
смысл» — это наслоение предрасс дков, которые
человек накан швает до восемнадцатилетнего воз-
раста.
мы К (фиг 11.3). Для наблюдателе, связан-
ного с системой отсчета К', положение те-
ла Р будет меняться во времени по закону
х' = X—vt (11-1)
(штрихованные величины веет да будут отно-
ситься к системе отсчета К'). Это и есть
преобразование Галилея.
В ньютоновской динамике время является
абсолютной величиной; иначе говоря, время
определяется однозначно, а его численное
значение одинаково во всех системах от-
счета независимо от их движения, т. е. все-
гда Г Г.
Принцип относительности классической
физики, включающий преобразование Га-
лилея и понятие абсолютного времени, пра-
вильно описывает обычные механические
явления, однако терпит крушение в прило-
жении к электромат нит ным явлениям. Это
обстоятельство можно проиллюстрировать
с помощью ситуации, изображенной на
фиг. 11.4. Длинный прямолинейный равно-
мерно заряженный проводник расположен
параллельно оси х в системе отсчета К и
покоится относительно этой системы
(фиг. 11.4, а). На расстоянии г от провод-
ника находится неподвижный заряд q Ясно,
что на q со стороны заряженного проводника
действует сила отталкивания FM. На
фиг. 11.4,6 те же проводник и заряд пока-
заны с точки зрения наблюдателя в систе-
ме К', движущейся относительно К По-
11.1. Световые сигналы — фундамент теории относительности
155
скольку К' движется по отношению к Л
вправо, наблюдателю в К' кажется, что
проводник и заряд движу юя влево. Так как
проводник длинный и заряжен равномерно,
наблюдатель в К', вычисляя силу, дсйст
вутотцую со стороны проводника на заряд </,
получит ту же величину F , чю и неподвиж-
ный наблюдатель в К Но движущийся про-
водник представляет собой постоянный ток,
и так как заряд q тоже движется, ю для на-
блюдателя в системе К' в этом случае, по-
мимо электрической силы, на заряд q будет
действовать и магнитная сила. Применение
правила для определения направления маг
нитной силы показывает, что Fw направлена
противоположно F В резу-ibiaie наблю-
датель в системе К' приходит к выводу, что
результирующая сила, действующая па q,
меньше силы, определенной в системе К.
Это недопустимо, ибо, по сущее гну, озпа
чает, что есть принципиальное различие
между законами механического движения
(которые одинаковы во всех инерциальных
системах отсчета) и законами динамики
электромагнитных не lenuii электродина-
мики (которые оказываются в этих системах
неодинаковыми). Но где провести границу
между механически ми и электрическими си-
стемами? Вещество состоит из заряженных
частиц, и именно электрические сиды ле
жат в основе строения вещества. Иными
словами, все механические системы содер-
жат электрические заряды и во всех электро-
динамических системах движущиеся частицы
Фит. 11.2. Система отсчета К—инерциаль-
ная система отсчета К.', движущаяся с по-
стп iinimi скоростью относительно К
тоже инерциальная'. законы механики оди-
наковы в обеих системах.
Фиг. 11.3. Преобразование Галилея х‘ х—ы
связывает значения координаты точки Р из-
меренные наблюдателями в системах отсче-
та К и К
Фит 11 4 Основываясь на
принципе относительности
классической механики, на-
блюдатели в системах от-
счета К и К' приходят к
разным результатам д т
результирующей силы, дей-
ствующей на заряд q
О'
356
11. Теория относительности
имеют массы. Для нас может быть прием ie
мо только утверждение, чю псе физические
законы должны бьпь одинаковыми во всех
инерциальных системах отсчета. Мы вы-
нуждены признать, что какая-то важная
особенность проблемы ускользнула от нас.
Разрешение этой, а также других проблем
привело к созданию теории относитель-
ности.
СКОРОСТЬ СВЕТА ПОСТОЯННА Пусть
вдоль оси .v в системе отсчета К движется
автомобиль со скоростью V 60 км/ч
(фиг. 11.5). Если система отсчета К' движет-
ся относительно К со скоростью г 40 км ч,
то наблюдателю в К' будет казаться, что
автомобиль движется со скоростью
V' = V-v, (Н-2)
1де V = 20 км/ч. Если автомобиль развер-
нется и поедет с гой же скоростью в проти-
воположную сторону, то наблюдатель в К'
обнаружит, что скорость автомобиля рав-
на —100 км ч.
Л теперь допустим, что мы заменили ав-
томобиль световым импульсом, котбрый
распространяется со скоростью с в систе-
ме К (фит. 11.6). Наблюдатель в системе К
может определить скорость с' этого свето-
вого импульса в своей системе, измеряя
время распространения импульса Г между
двумя приемниками света А' и В’, находя-
щимися на точно известном расстоянии /'
друт от друга, а именно с' ГТ. Какой же
результат получит этот наблюдатель? Не
найдет ли он, что с' с vt С точки зрения
повес цтевного опыта, который покоится на
принципе относительности Галилея, ответ
окажется совершенно неожиданным изме-
ренная наблюдателем в системе К' скорость
света тоже равна с! Аналог ичпо если наблю-
датель в системе К измерит скорость све-
товою импульса, испущенного источником
в движущейся системе К" (фнг. 11.7), восполь-
зовавшись гой же процедурой измерения
времени распространения импульса между
приемниками света, расположенными в точ-
ках А и В. то он тоже обнаружит, что ско-
рость вето системе равна с.
Результаты этих зкепериментов можно
сформулировать очень просто: скорость све-
та не зависит от движение источника света
относительно наб.нооате зя. Согласно дан-
ным последних экспериментов, скорость све-
та (в пустоте) составляет с (2,997 925 Е
± 0,000 010) • 1О10 см/с. В пашей кните мы
будем пользоваться приближенным значе-
нием с 3 • 1О10 см/с.
В лабораторных условиях чрезвычайно
трудно достичь скоростей, превышающих
105 смс; поэтому в экспериментах описан-
ного выше типа, осуществленных в земных
условиях, трудно проверить постоянство
скорости света (При и = 105 см'е для того,
чтобы различить с и с—v, требуется фанта-
стически высокая точность.) Однако можно
провести астрономические наблюдения, ре-
зультаты которых четко доказывают по-
стоянство скорости света и ее независимость
от движения источника или наблюдателя.
На фиг. 11.8 показана двойная звезда — две
звезды, вращающиеся относительно общего
центра масс. Такие системы вовсе нс явля-
ются большой редкостью: вероятно, добрая
половина звезд в нашей Галактике — двой-
ные. Скорости орбитального движения двой-
ных звезд довольно велики, они часто пре-
вышают 3 • 106 см/с.
При построении фиг. 11.8 предполагалось,
что обе звезды имеют одинаковые размеры
и яркости и что мы смотрим па двойную
звезду по направлению, лежащему в плос-
кости орбиты. Поэтому, когда звезды нахо-
дятся в изображенных па фигуре положени-
ях, одна из них приближается к нам со ско-
ростью V, а другая удаляется с такой же
скоростью. Если скорость света зависела бы
от движения источника, то свег приближаю-
щейся к нам звезды (Л) распространялся бы
со скоростью с + V, а свет удаляющейся
звезды (В) имел скорость с — V. Если V—
= 3 • 106 см/с = 30 км/с и если двойная звез-
да находится ог нас на расстоянии 100 свето-
вых лет (это всего лишь примерно сотая
часть размеров нашей Галактики), то разни-
ца во временах прихода световых сигналов,
распространявшихся со скоростями с + И
и с И составит примерно неделю Иными
словами, световые сигналы со звезды В
должны были бы прийти на Землю на неде-
лю позже, чем сигналы со звезды А. Однако
если период обращения звезды составляет
11.1. Световые сигналы - фундамент теории относительности
357
Фш 11.5. Согласно класси-
ческой механике наб пода-
тель в системе отсчета К
до /жен бы I бы полу чнть д /ч
скорости авто моои ьч значе-
ние 20 км ч.
Фш. 11.6. Наблюдатель в
системе К' может опреде-
шть скорость светового и м-
пу леса, испущенного в акте
ме К измеряя его время
про /ета между приемника-
ми А' и В'.
В резу /ьтате окажется, что
свет распространяется со ско-
ростью с как в системе К так
и в системе К-\
Фш. 11.7. Наблюдатель в
системе К. измеряя в своей
системе отсчета скорость
светового импульса нс пущен
наго в системе К получает
для нее значение с а не с v
358
11. Теория относительности
' Звезда А 2вездаВ ' V|
Фш. 11.8. Если бы скорость света зависела
от движения его истопника, то свет от ком-
понент двойной звезды приходил бы к нам со
скоростями соответственно с V и с—V
Фиг. 11.9. Кривая блеска двойной звезды по-
лученная в предпо южении, что скорость све-
та не зависит от движения источника (а), и
та же кривая в предположении, что скорость
света зависит от движения источника (б).
_7лч всех двойных звезд, гео петрив наблюдений
которых соответствует изображенной на фиг
И.8. экспериментальная кривая блеска имеет
форму a. г — период обращения в системе двои
ной звезды, отсчитываемый между затмениями
каждой из компонент двойной звезды
12 суток, то звезда В уже через 6 суток ока-
жется в положении, занимаемом звездой А.
Следовательно, если население звезды В
заинтересовано в том чтобы передать сиг-
нал побыстрее, ему следовало бы подождать
6 суток, пока звезда не окажется в положении,
где скорость света равна с + V, и тогда,
послав сигнал, выгадать одни сугки во вре-
мени передачи сигнала на Землю Ко всему
еще заметим, что изменение скорости света
привело бы к совершенно великолепной си-
туации - в одно и го же время каждая из
звезд была бы видна в двух положениях на
небосводе1
Какие еше наблюдения помимо сравнения
дат прихода сигналов со звезд А и В. можно
использовать для заключения о скоростях
света, испущенного обеими звездами? Одно
из простейших определений заключается в
измерении интенсивности (т. е количества)
света, испущенного двойной звездой в це-
лом, в зависимости от времени (При этом
не требуется, чтобы инструменты давали
раздельные изображения обеих звезд.) Если
скорость света не зависит от движения источ-
ников, то так называемая кривая блеска
имеет вид. показанный на фиг. 11.9, а: интен-
сивность постоянна все время, за исключе-
нием коротких шпервалов, когда одна звезда
закрывает (затмевает) другую и интенсив-
ность спадает наполовину С другой сторо-
ны, если на скорость свеча накладывалась бы
(прибавлялась или вычиталась) скорость
движения источника, то к моменту достиже-
ния Земли часть «быстрого» света успевала
бы нагнать часть «медленного» света и обе
интенсивности складывались В результате
происходило бы «труппироваппс» света,т. е.
периоды с интенсивностью большей, чем
средняя, сменялись периодами с интенспв-
Время^— Время^*-
а б
11.1. Световые сигналы фундамент теории озпиосителыинти
359
ил = 0,39975с
иосгью. меньшей, чем средняя Кривая блес-
ка имела бы вид. показанный па фиг. 11.9. б
Эта кривая отражает синусоидальное измс
пение интенсивности, на которое накладыва-
лся эффект звездною загмвйпя. (Интервал
времени между максимумом интенсивности
и ее спадом, обусловленным затмением
зветды. зависит от скорое i и и периода отно-
сшельного движения звезд по орбите, а
лакже от расстояния до Земли.) Отмстим,
чго интервалы времени между последова-
тельными максимумами на фш. 119.6
и последовательными затмениями па
фш. 11.9,« одинаковы и равны половине
периода т обращения звезд по орбите
Кривая блеска имеющая вцд. изображен-
ный на фиг 11.9, б, никогда не наблюдалась,
все записи интенсивное гей свеча от двойных
звездных систем имеют форму, показанную
на фи 11 9, а. (Поскольку направление на
блюдения в общем случае не лежит в плос-
кое । и орбитального движения двойной звез-
ды, форма кривых оказывается несколько
иной, по их ин ернрегация неизменно соот-
ветствует ущерждению о постоянстве ско-
рости света.)
Изящное доказательство тою, чю ско-
рость света не зависит от скорости движения
источника бы то по тучено путем измерения
скорости излучения, возникающею при рае
и тде нейтральных пионов*, двигавшихся
со скоростью 0,99975 с. Этот эксперимент
* При распаде нейтральных пионов (л°- це нтов)
испускаются гам ма -кванты высокой энергии,
т. е кванты электромагнитного из зучения, и не
ющие ту же скорость распространения что и
свет. Прим, перев.
Фиг. 11.10. Нейтральный пион п° движется
со скоростью v=0.9W75c, измеренной на-
блюдателем в лаборатории.
Когда пион распадается, он испускает гамма-из-
лучение (эзектро.магззитное излучение очень вы-
сокой частоты), скорость которого три де лен-
ная тем же наблюдателем, равна с. Этот экспе-
римент наиболее точный из всех ставившихся
до сих пор опытов по проверке посту зата о том.
что скорость света всегда равна с независимо
от относите зьного движения источника света
и наб гюдатг. i ч
(фиг. 11.10) показал, что с точное и.ю до
1 I0 0U0 скорость света равна с.
Несмотря иа множест во проведенных экс-
периментов равного типа пи один из них
нс дал результата, который противоречил бы
утверждению, что скорость свеча одинакова
для всех наблюдателей
ПР,\ВИЛО СЛОЖЕНИЯ СКОРОС ГЕЙ.
Как согласовать утверждение о независи-
мости скорости света от движения источника
с алгебраическим сложением обычных ско-
ростей в механике (фиг. 11.5)? Эйппнейп
показал, что простая формула механики для
сложения скоростей неверна и должна быть
изменена сумма двух скорое ieii в действи-
тельности равна
V
1
£1___v2
4^2
&
(11.3)
Если г, п г малы но сравнению со скорост ью
света (случай обычных механических движе-
11. Теории относительности
360
ннй), слагаемое 1 и нм можно
пренебречь. Тогда сумма скоростей равна
К V, + с2, чю точно соответствует ре-
зультату механики Ньютона. Если одна из
скоростей равна скорости света, например
fi = с. то
Этот результат демонстрирует, что скорость
света одинакова для всех наблюдателей,
поскольку, какая бы скорость т>2 ии склады-
валась с с, но правилу сложения скорое i ей
всегда получается с. В частности, если в, с
и г2 = с, то все равно Е с.
V
С + Цг
1 + ^
С2
с Ц~ _ с + ^2
1 — (C~^V‘
с \ с )
Пример 11 1
Космический корабль удаляется от Земли с озносшелыюй скоростью г, 0,75 с, а затем
с него стартует ракета (в направлении от Земли) со скоростью г2 — 0,75 с относительно ко-
рабля. Чему равна скорос1Ь ракеты относительно Земли?
Р1 +
1+^
т с2
0,75с+0,75с
(0,75с) • (0 75с)
с2
0,96с
Следовательно, певзнрая на то что простая сумма обеих скоростей превышает скорость
света, действительная скорость ракеты относительно Земли все же меньше скорости света.
ИМПУЛЬС СВЕТА. Пусть наблюдатель
принимает световые сит палы двух одинако-
вых источников, причем один источник не-
подвижен, а другой движется относительно
наблюдателя Проведенное выше рассмот-
рение приводит к выводу, что в обоих слу-
чаях наблюдатель измерит одинаковые ско-
рости сигналов. Но вместе с тем очевидно,
что между ними существует физическое раз-
личие: в одном случае источник света дви-
жется, в другом - неподвижен Как это
различие скажется на самих сигналах?
Ответ заключается в учете эффекта Доп-
лера для движущихся источников. Как ука-
зывалось в разделе 10 2, частота звука или
света, излучаемого приближающимся к на-
блюдателю источником, увеличивается по
сравнению с частотой неподвижного источ-
ника Поэтому свет, приходящий к наблю-
дателю от источника В на фиг 1111, будет
иметь более высокую частоту, чем свет от
источника А, но оба сигнала будут распро-
страняться к наблюдателю с одинаковой ско-
ростью. Соотношение между частотами обо-
их сит налов имеет вид [см. формулу (10.24)]*
= -А- -
1 — v/c
В дальнейшем мы увидим, что энергия Е
электромагнитной или световой волны про-
порциональна частоте света. Мы уже знаем
(раздел 10.6), что импульс такой • волны
р Е/с. Таким образом,
Ра ~ 'а •
тле последнее приближенное равенство име-
ет место при v, малых по сравнению с с**.
* Согласно теории относительности, это соот-
ношение следует несколько видоизменить но сей-
час это обстоятельство для нас несущественно.
** Обозначая vic х. .мы используем раз юже-
ние 1 '(1 л) 1 + х + х2 + х3 + .. пренебрегая
членами х2, х3, ... при х « I
11 1. Световые сигналы— фундамент теории относительности
361
Следовательно,
Рв ~ РА + Ар,
где
Др ~ V.
Тем самым мы приходим к заключению,
что при движении источника света световой
волне передастся дополнительный импульс
(и энергия), но при этом се скорость распро-
странения остается неизменной
Тот факт, что световые волны, испущен-
ные движущимися источниками, обнаружи-
вают доплеровское смещение частоты, по-
зволяет астрономам определять скорости
разбегания удаленных галактик (см. раз-
дел 3.2).
РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ СВЕТОВЫМИ ВОЛ
НАМИ И ВОЛНАМИ В МАТЕРИАЛЬ-
НЫХ СРЕДАХ. Допустим, что мы снова
имеем две системы отсчета К и К', движу-
щиеся друг относительно друта со скоро-
стью V. Примем, что в системе К имеется
неподвижный пруд. В тот момент, когда
Фиг. 11.11. По определениям наблюдателя
частота (а значит и импульс) света излу-
чаемого движущимся источником В выше
частоты света излучаемого неподвижным
источником А (Скорость обоих световых
сигналов одинакова)
начала отсчета систем К и К’ совпадают
(фиг. 11.12, а), в пруд бросают камень, и из
точки О начинают разбегаться круговые
волны. На фиг. И 12,6 воспроизведена вол-
новая картина спустя некоторое время Ра-
зумеется, наблюдатель в системе К видит,
что волны разбегаются из точки, лежащей
в начале отсчета его системы. Но что вили т
наблюдатель в системе К ? Поскольку вода
является материальной средой и по этой
причине составляет систему отсчета для лю-
бого наблюдателя, движущегося или покоя
щетося, наблюдатель в системе К тоже
увидит, что волны разбегаются из точки О
(но вовсе не из начала отсчета О'своей соб-
Фнг 11.12. Волны на воде кажутся обоим
наблюдателям (в системах К и К ) распрост-
раняющимися из начала отсчета О
362
11. Теория относительности
Фш. 11.13. Световой импульс излучается в
тот момент, когда начала двух движущихся
систем отсчета К и К' совпадают.
Каждый из наблюдателей видит сферическую
световую волну, распространяющуюся со скорос-
тью с из нача ла его системы отсчета.
ствениой системы) Все мы наблюдали такое
или подобное ему явление, и объяснение его
совершенно очевидно.
Пов торим эт от эксперимент, взяв свеч овые
волны вместо воли на воде. Расположим
источник света в начале отсчета О систе-
мы К, и nycib в тот момент, когда начала
О и О' систем К н К совпадают, источник
испустит вспышку света (фиг ll.13.tr) По-
скольку источник света в системе К покоит-
ся. наблюдатель в этой системе увидит сфе-
рическую световую волну, распространяю-
щуюся из точки О. Наблюдателю же в си-
стеме К' будет кататься, что источник свега
приближается к нему со скоростью v и чго
вспышка света была испушена в момент,
когда источник находился в точке О'. По-
скольку скорость света не зависит от ско-
рости источника, картина, наблюдаемая в
системе К', будет точно такой, как если бы
неподвижный источник света находился в
начале отсчета О’ этой системы. Иными
словами, наблюдатель в К’ тоже увидит
сферическую световую волну, распростра-
няющуюся из начала отсчета своей системы,
т. с из точки О’, а не О (фиг. 11 13, б). Таким
образом, оба наблюдателя увидят в точно-
сти одно и то же сферическую световую
волну, распространяющуюся из начала от-
счета своей системы со скоростью с равно-
мерно по всем направлениям.
На первый взгляд этот результат кажется
удивительным (а то и вовсе невероятным).
В чем же состоит основное различие между
волнами на воде и световыми волгами, если
опо приводит к такому поразительному рас-
хождению результатов двух совершенно
сходных опытов? Ответ чрезвычайно прост.
В случае опыта с волнами на воде мы имеем
дело с покоящемся относительно системы К
ма термальной, осязаемой срс той (водой).
Волна иг воде распространяется благодаря
перемещениям молекул. Эти частички веще-
ства «принадлежат» системе К, и оба на-
блюдателя признают этот факт В экспери-
менте с волнами свет а никакой ма гериалытой
среды мет: свет распространяется в пустом
пространстве. Поскольку теперь нет тою, что
можно было бы отнести к той или другой
системе отсчета, каждый из наблюдателей
соотносит световую волну со своей собствен-
ной системой отсчета и поэтому видит излу-
чение сферических световых волн
ОДНОВРЕМЕННОСТЬ. Наш повседнев-
ный опыт приучил нас к тому, что все собы
Гия происходят во времени упорядоченно
и регулярно- существуют прошлое, па-
с гоящее и будущее, и мы всегда можем уста
повить, предшествовало ли одно событие
другому, или следовало за ним. или же оба
события произошли одновременно Однако
Эйнштейн показал, что в теории от носитель-
11.1. Световые сигналы — фундамент теории относительности
363
ноет и не существует четкого разграничения
прошлою и будущего: события, происхо-
дящие в определенной последовательности
с точки зрения одного наблюдателя, могут
совершаться в иной последовательности с
точки зрения другого наблюдателя, движу-
щеюся относительно первого. По-видимо-
му эю самый поразительный результат
теории относи(ельности Эйнштейна. Однако
легко показать, что он непосрсдсiвенно сле-
дует из постоянства скорости свео.
Чтобы продемонстрировать относитель-
ность понятия времени. рассмо1рим сле-
дующий пример (его придумал Эйнштейн)
Наблюдатель К видит два удара молний
в концы движущегося железнодорожного
ваюиа в тог момент, когда с ним поравня-
лась середина вагона (фиг. 11.14. а). По-
скольку копны вагона находятся иа равных
о г него расстояниях, вспышки молний до-
ходят до наблюдателя К одновременно. В се-
редине ваюиа стоит наблюдатель К' На-
б.тюдатсль К знает, что его коллега К
движется к точке В и удаляется от точки А.
Поэтому наблюдатель К приходит к выводу,
что вспышку из точки В наблюдатель К
увидит раньше, чем вспышку из точки А.
Но сам наблюдатель К' неподвижен в инер-
циальной системе отсчета — железнодорож-
ном ват оно и знает, что свет о г обеих
вспышек в его системе о-тсчета распростра-
няется со скоростью с. Поскольку наблюда-
тель К' находится на одинаковом расстоянии
от обоих концов вагона, а вспышка света
из точки В пришла к нему первой
(фиг 11 14,6), он приходи г к заключению,
что вспышка в В должна была произойти
раньше, чем в Л. В результате два события,
которые выглядят одновременными в си
стеме отсчета А, кажутся неодновременными
в системе отсчета К из-за относит сльиого
движения обеих систем
Если наблюдатель К увидел удар молнии
в точке А немного раньше, чем удар в точ-
ке В, то он заключит; что событие в А пред-
шествовало событию в В, тогда как наблю-
дателю К' по-прежнему будет казаться, чго
событие в В предшествовало событию в А.
В результате оба наблюдателя увидят собы-
тия. совершающиеся в противоположной
последова тельное тэт, прошлое и будущее для
них поменяются местами. Отметим, однако,
что наблюдатель К ие может сообщить на-
блюдателю К' о событиях, которые совер-
шатся для последнего в будущем (например,
о вспышке света в А, которую наблюла тель К
увидит после вспышки в В), поскольку ника-
кую информацию нельзя передать быстрее
чем со скоростью света с. Поэтому до на-
блюдателя К' информация о событии смо-
жет дойти только после того, как оп сам
увили т это собы । ие
Несмотря на то что последовательность
событий во времени с точки зрения различ-
ных наблюдателей зависит от их относитель
ной скорости в теории- от носитслытосгн
Фит . 11.14. Для наблюдателя в К удары мол-
ний в оба конца железнодорожного вагона про-
исходят одновременно; однако наблюдателю
в К'.движущемуся вправо со скоростью с, ка-
жется, что молния ударила в правый конец
вагона раньше чем в левый.
364
11. Теория относительности
сохраняется причинность, г. е. соотношение
причины и следствия. Ни один из набзюдате-
/ей (как бы он ни двигался) не сможет уви-
деть события в таком порядке, при котором
причина была бы после следствия.
11.2. Преобразования Лоренца
ПОСТУЛАТЫ ЭЙНШТЕЙНА В 1905 i.
Эйнштейн показал, чю все кажущиеся про-
тиворечия между механикой и электродина-
микой систем можно устранить, если по-
CIроить теорию на основе двух постулатов
1. Все физические законы одинаковы во
всех инерциальных системах отсчета.
2 Скорость света (в пустоте) одинакова
с точки зрения всех наб. иодате лей независи-
мо от движения источника света относи-
те тио наб подателя.
Основанная на этих постулатах теория
применимая ко всем системам, движущимся
без ускорения, была названа специальной
теорией относительности. (Колее сложный
случай систем, движущихся с ускорением,
стал предмеюм общей теории относите ле-
ности которую мы вкратце рассмотрим в
разделе 11.4.) Замечательно, что столь дале-
ко идущую теорию, которая заставила про-
извести полный пересмотр традиционных
воззрений на фундаментальные понятия про-
странства и времени и оказала огромное
влияние на истолкование атомных, ядерных
и астрофизических явлений, удалось постро-
ить на базе всего лишь двух постулатов, да
еще столь простых, как эйнштейновские
Если задача физической теории формули-
ровать законы природы как можно более
кратко и с минимумом допущений, то тео-
рия относительности, безусловно, вершина
науки
Из двух постулатов Эйнштейна можно без
груда вывести (подробностей этого вывода
мы здесь не даем) уравнения, которые
связывают значения пространственных коор-
динат и времени в двух системах, движу-
щихся равномерно друт относительно друга.
Эти уравнения сходны с уравнениями преоб-
разования Галилея х' х—а и г т, но при-
водят к существенно иным результатам,
кот да скорость относительного движения
становится сравнимой со скоростью света.
Указанные преобразования впервые были
получены Геидриком Антоном Лоренцем
(однако на базе нескольких произвольных
допущений, которые были впоследствии за-
менены постулатами Эйнштейна, радикаль-
но упростившими картину) и поэтому на-
зываются преобразованиями Лоренца Если
относительное движение двух систем отсче-
та происходит в направлении их осей х
(как на фит. 11.2), то значения пространс т вен-
ных координат и времени в обеих системах
связаны соотношениями
, x — vt ,
х = -__________> У =У,
j/l — 12
z' = z, t' =
] 1 — З2
(П4)
i де использовано общепрпня гое обозначение
Q _ »
' V (И-5)
Для того ч гобы можно было использовать
эти уравнения, наблюдателя в системе К
следует вооружить линейкой, которой он
будет измерять расс тояния х, у, z, и часами,
по которым он будет отсчитывать время г
Для соответствующих измерений в систе-
ме К наблюдателя в ней следует снабдить
такими же инструментами Оба наблюда-
теля еще должны, когда обе их системы
отсчета покоятся друг относительно друга,
убедиться в том, что используемые ими ин-
струменты имеют одинаковую градуировку.
Что касается часов то их следует сиихропи
зовать, т. е. оба наблюдателя должны за-
пустить часы одновременно в тот момент
когда начала обеих систем отсчета совпа-
дают.
Соотношения (114) означают, что, кот да
наблюдатель в системе К. измеряя коорди
11.2. Преобразования Лоренца
365
паты и время какого-либо события, при-
писывает им значения х, у, z и t, наблюдатель
в системе К', проведя точно те же измере-
ния, получает в своей системе отсчета ре-
зультаты х',у', z' и г' Отметим, что простран-
ственные координаты в направлениях попе-
рек относительного движения обеих систем
отсчета остаются одними и теми же в обеих
системах.
Когда относительная скорость v мала по
сравнению с с, так что /?»0, множитель
VI—fi2 практически равен единице, а член
(fitc)x становится пренебрежимо малым
Иначе говоря, при v-^c преобразования Ло-
ренца переходят в преобразования Галилея.
Поскольку в нашей повседневной жизни
редко встречаются скорости, сравнимые со
скоростью света, наш мир практически явтя
стся ньютоновским и эффекты, предсказы-
ваемые теорией относительности, как пра-
вило, отсутствую г.
Теперь мы опишем два наиболее важных
следствия теории относительности — сокра
щение длины и за мед ieuue течения времени
ЛОРЕНЦЕВО СОКРАЩЕНИЕ ДЛИНЫ
Рассмотрим стержень длиной I. располо-
женный вдоль осн х системы отсчета К так
что один его конец «упирается» в начало О
этой системы (фиг. 11.15). Чему равна длина
этого стержня по измерениям наблюдателя
в системе К' ? Наблюдатель в К' производит
это измерение, определяя время за которое
начало его системы О проходит вдоль стерж-
ня. Этот интервал времени отсчитывается им
от момента, когда начала отсчета обеих си-
стем О и О'совпадают; в этот момент И О
и rj 0. В момент, когда начало О', двигаясь
со скоростью v, достигает конца стержня
часы в системе К показывают 12, а в системе
К'—t2. Наблюдатель К видит, что начало О'
прошло путь I со скоростью v, так что
Интервал времени измеренный наблюда-
телем К',
К1 - З2
Фит. 11.15. Наблюдатель в системе К' опре-
деляет кажущуюся длину стержня, измеряя
промежуток времени, за который начало О
его системы пройдет от одного конца стерж-
ня до другого.
поскольку 0 и х2 1. Подставив сюда
вместо t2 его величину /,'т), мы получим
--4*
дг =. v *
|ч —зг
/
— (1 - З2)
V
I с* г
V С2 V
| 1 — З2
— j'l^-e2.
V
Умножая это выражение слева и справа на v
и замечая что гДг равно Г —длине с точки
зрения наблюдателя К , мы находим
Г = / /Г—з2.
(11.6)
Тем самым мы приходим к выводу, что
наблюдатель, движущийся относительно
стержня, увидит его более коротким (т. е.
сжавшимся) по сравнению с тем, что видит
наблюдатель, покоящийся относительно
стержня Такое положение совершенно сим
метрнчио относительно обоих наблюдате-
лей. Наблюдатель в системе К' видит со-
кращение стержня, покоящегося в системе К.
а наблюдатель в системе К также видит
сокращение аналогичного стержня, непод-
вижною в системе К
366
11. Теорил относительности
Сокращение длины движущегося стержня
есть совершенно реальный эффек т, поскольку
оба наблюдателя, используя одинаковые ли
нейки (которые были сверены в покое).
действительно измеряют разные значения
длины стержня. Физический смысл имеют
только реальные величины, т с тс. которые
можно измерить.
Пример 11.2
Наблюдатель движется мимо метровой линейки со скоростью, равной половине скорости
света. Какой длины по сто измерениям окажется эта линейка?
I' = / = (100 см) • у 1 — (0,5)2 (100 см) - 1<075"_ 86,6 см.
При численном решении задач, в которых
вез речае тся релятивистский множит елт.
х/1ji7 , в случаях, когда скорость г очень
мала по сравнению с с, пригодны следующие
приближенные выражения
/Гтр ~ 1 _ _ р2, (И 7а)
» 1 ч----- 02. (11.76)
( 1 — з2
Когда же г сравнима с с, т. с. /!»I, то
( 1-32«| 2(1-?).
(11.7в)
11ример 113
Примем, что скорость движения наблюдателя мимо метровой линейки в предыдущем при-
мере уменьшилась до 30 м/с (около 100 км/ч). Какую длину линейки он теперь измерит?
Г (100 см)
3 10э см с
3 101° см/с
= (100 см) /1 — IO’14»
«(100 см) - (1 —0,5 • IO’14) - 99,9999999999995 см.
Отсюда прекрасно видно, что релятивистское сокращение дайны нс имеет практических
следствий для нашей повседневной жизни
ЗАМЕДЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ
Движущийся и неподвижный наблюдатели
нс только получат разные значения длин
измеряемых ими тел, но и нс смогут прийт и
к согласию относительно скорости'хода ча
сов в обеих системах отсчета. Изготовим
«эталонные часы». Для этого на расстоя
нни L от начала отсчета вдоль оси у устано-
вим зеркало М как показано на фиг. 11 16. и,
'а в самом начале отсчета расположим лампу-
вспышку и приемник света. В качестве стан-
дартной единицы времени возьмем проме-
жуток, необходимый свету для распростра-
нения от лампы-венышки к зеркалу и воз
вращения в приемник света Наблюдатель
в системе К, включив лампу в момент t 0.
11.2 Преобразования Лоренца
367
обнаружит,- чио свет вернется в начало си-
стемы отсчша в момент
t — —
с
(11.8)
Точно такие же часы установим в системе
отсчета К' гак, чтобы наблюдатель в К ви-
дел. как они идут. Система К' движется от-
носительно системы К вдоль осн х со ско-
ростью V. (Отмстим, что мы установили
зеркало точно по оси у с гем, чтобы избе-
жать лоренцева сокращения длины.) В мо-
мент, ко! да начала, О и О' обеих систем
совпадают (t 0), срабатывает лампа-вспы-
шка в часах системы К . Поскольку система
К движегея относительно системы К, на-
блюла гель в К отмечает чго свет от вспыш-
ки должен пройти из О'в М'ио пути, который
длиннее пути, проходимого светом в систе-
ме К. Когда этот свет досшгает зеркала М'.
проходит время, равное половине стандарт-
ного интервала для часов К', г. е.
(фиг. 1116, б). Этот стандартный интервал
завершается, когда свет достигает вновь
точки О', пройля путь ОРО' (фш. 11.16, в)
За это время начало О сместилось на рас-
стояние Lt' от О
Чтобы сопоставить интервалы времени t
и г', используем теорему Пифагора для
треугольника ОМ'О' (фиг 11 16 б) или для
треугольника ОРР' (фи: 11.16, в). Мы по-
лучим
или, подставляя значение L из (11.8),
Фиг. 11.16. Согласно наблюдателю в систе-
ме К. в этой системе на распространение
света по замкнутому пути О МО требуется
меньшее время, чем на распространение по
пути ОРО в системе К'. Отсюда наблюда-
тель в К заключает, что часы в К' идут мед-
леннее, чем часы в К
откуда найдем
(С2_а2)Г =С2/2-
Отсюда
е 2 = Qi* _ Р
С® — 1 — (О2/С«) ’
или. окончательно.
(П-9)
Стандартный ишервал времени г; отсчи-
танный по часам в системе К', оказываегея
с точки зрения наблюдателя в системе К
продолжительнее ипгервала г, отсчитанного
по его собственным часам (Наблюдатель К
должен прийти к такому заключению, по-
скольку он видит, чго свет от вспышки в
системе К проходит больший путь, чем
свет в его собственной системе отсчета.)
Таким образом, с точки зрения наблюдателя
в системе К, часы в системе К идут мед teu-
нее, чем в его собственной системе. Разу-
меется, ситуация вновь совершенно симме!-
рична относительно обоих наблюдателей
наблюдатель в системе К следя за часами
в системе К, заключает, что они тоже плуг
368
11. Теория относительности
медленнее его часов. О i сюда мы можем
прийти к выводу, что б>./.ч любого шюлюби-
теля движущиеся относите гьно него часы
идут мед lemiee таких же. ио покоящихся
в его системе отсчета часов.
В наших рассуждениях мы использовали
в качестве часов световые вспышки. Изме-
нится ли что-нибудь, если мы используем
часы другого типа, скажем обычпыс меха-
нические часы? Oibct гласит, что все оста-
нется по-прежнему. В самом деле, пусть это
не так, и часы двигаясь относительно нашей
системы отсчета, не отстают. Тоща можно
было бы синхронизовать эти часы с нашими
«эталонными часами», а затем (по крайней
мере в принципе) взять эти часы с собой в
экспедицию па все инерциальные системы
отсчета с тем, чтобы синхронизован, там
все часы по «эталонным часам». Используя
эту систему синхронизованных друг с другом
часов, мы могли бы однозначно определить
последовательность во времени событии с
точки зрения любой из систем отсчета.
Однако, как мы уже знаем, конечная ско-
рость света препятствует установлению аб-
солютной Поспелова! ельност и событий во
времени в движущихся системах Мы, таким
образом вынуждены заключить, что по-
строить подобные «идеальные» часы невоз-
можно.
ЗАМЕДЛЕНИЕ РАСПАДА ПИОНОВ Ло-
реицево сокращение длины и замедление
течения времени находятся в определенной
и притом глубокой связи друг с другом
Правильное представление этой взаимосвя-
зи облегчает понимание обоих эффектов.
Для иллюстрации мы рассмотрим движение
короткоживущих элементарных частиц
пн-мезоиов (или пионов) В покое пионы
имеют среднее время жизни до распада на
другие элсмен гарные частицы т„ 2.6 • 10 8 с*
Пионы во множестве образуются при
взаимодействиях протонов высоких энерптй
* Кроме среднего времени жизни частицы им
системы испытывающей самопроизво 1ъный рас-
пад (как. например, радиоактивный распад, см
раздел 3 4), используют также период по лураспа-
да, равный 0.69 среднего времени жизни Таким
образом период полураспада пиона равен т,А
1.8 10 »с.
с веществом, поэтому их сравнительно nei ко
изучать.
Если пионы движутся со скоростью v=
0,75 с. то среднее расстояние, которое они
пролетают до распада, как будто бы долж-
но быть равно /л=^т>т» 0,75’3 Ю10 см с
х 2.6 10 8 с = 5,85 м. На циклотроне Колум-
бийского университета был получен пучок
пионов со скоростью 0.75 с. и оказалось,
что пионы пролегают то распада в среднем
не 5,85. а 8,5 ±0,6 м. Это различие можно
истолковать, принимая во внимание замед-
ление течения времени. Поскольку пионы
движутся в лабораторной системе отсчета
(соответствующей системе отсчета К), то
наблюдатель в лаборатории видит, что в
системе отсчета, движущейся вместе с пио-
нами (в системе К), часы идут медленнее.
Распад пионов есть своего рода часы, и,
таким образом, наблюдатель в лабора тории
определяет, что среднее время жизни пионов
должно быть больше, чем гл. В самом деле
"'я 2,6 • 10-8с
тла6 — _____ — —
J/1 —,12 У 1 — (0,75)®
= 3,9 • КГ8 с.
Поэтому среднее расстояние, пролетаемое
пионами в лаборатории до распада, равно
/ла6 — vzea6 — 0.75 • 3 • 1010 см/с-3,9 X
X 10-" с = 8,8 м
что находится в согласии с измеренным зна-
чением 8,5 ±0.6 м
Рассмотрим теперь ту же ситуацию «с точ-
ки зрения пионов» По «пиоиным» часам они
в среднем живут 2,6 -10 8 с и до своею рас
лада пролетают в среднем 5,85 м в соответ-
ствии с измерениями по линейке в «пионной»
системе отсчета Однако пионы «видят»,
что лаборатория Колумбийского универси-
тета проносится мимо них со скоростью
0,75 с. В соответствии с этим лаборатория
испытывает сокращение размеров, и рас-
стояние 8.8 м в лаборатории пионам «ка-
жется» равным только 8,8 м VI - /?2
=5,85 м
Этот пример свидетельствует о том, чго
замедление течения времени и сокращение
длины суть «две стороны медали» одного и
того же основного релятивистского эффекта
11.2. Преобразования Лоренца
369
ПАРАДОКС БЛИЗНЕЦОВ Одним из ре-
зультатов теории относительности, вызвав-
шим чрезвычайно многочисленные днскус
сии (и недоразумения) в недавние годы,
является так называемый «парадокс близне-
цов». Состоит он в следующем. Допусшм.
чю на Земле живут двое близнецов, Эл и
Боб, причем Боб — космонавт. Оп отправ-
ляется в космическое путешествие к звезде
на расстоянии 10 световых лет, а Эл остается
на Земле. Если космический корабль Боба
летит со скоростью v 0.99 с относительно
Земли, то по часам Эла это путешествие зай-
ме г*
. , 10 св. лет . п
ЮЛ =--------------« 10 лет.
0,99 с
Поскольку на возвращение затрачивается
1акое же время, когда кораб и. Боба при-
будет на Землю, Эл постареет на 20 лег
Экипажу корабля Боба, однако, представ-
лялось, что Земля и звезда цель их поле-
та двигались со скоростью 0,99 с относи-
тельно них, так что расстояние от Земли до
звезды сократилось до
/' = 10 св лет /1 — (0,99)2 =
= 1,4 св. года.
По часам Боба путешествие к звезде и об-
ра I по заняло 2,8 юда, и оп возвращается па
Землю, постарев всего лишь па 2,8 года
Обнимая брата при встрече. Боб обнаружи-
вает, чго его браг-блнзнец стал на 20—2.8
= 17,2 года старше его! Но мы знаем, что
любое движение относительно Следова-
тельно, если все путешествие фиксировать
в системе отсчета Боба, то с его точки зрения
такое путешествие совершили Земля и на-
ходящийся иа ней Эд. По этой причине часы
Эла должны были бы идти медленнее часов
Боба, гак что когда Эл (вместе с Землей)
вернется из своего «путешествия» и встре-
тится с братом, то Боб должен обнаружит!,
что его брат-близнец моложе его Мы, та-
ким образом, пришли к парадоксу.
* Поскольку расстояние я I световой год свет
проходит за 1 год. то 1 световой год, де ченныи
на скорость света с. просто равен 1 году
Этот парадокс, однако, основывается на
кажущейся симметрии братьев-наблюдате-
лей Вообще говоря, безразлично, кто из
близнецов отправится в космическое путе-
шествие, а кто останется дома. Но в данном
случае эго не безразлично, поскольку Эл
(домосед) все время находится в инерциаль-
ной системе отсчета, тогда как Боб (путе-
шественник) подвергался ускорениям. В са-
мом деле, покидая Землю, Боб ускорялся,
набирая скорость 0,99 с, затем он ускорялся,
описывая круговую орбиту около звезды и
ложась на обратный курс, и, наконец, оп
испытывал ускорение при подлете к Земле
и приземлении. Следовательно, положение
вовсе' ие симметрично относительно Эла и
Боба. Поскольку в этой ситуации системы
отсчета не везде являются ииерциалытыми,
авали т ее нужно проводи гь с чрезвычайной
тщательностью. Правильный расчет (кото-
рый можно провести в рамках специальной
теории относительности, приняв соответст-
вующие предосторожности) действительно
приводит к заключению, что Боб в полете
будет стареть нс так быстро, как остающий-
ся на Земле его брат-близнец.
Замедление течения времени позволяв!
нам вообразить заманчивую возможность
путешествий к далеким звездам. Если такое
путешествие будет совершаться со скоро-
стью, достаточно близкой к скорости света,
то космонавты смогут без труда преодоле-
вать чудовищные космические расстояния
за времена, достаточно малые по сравнению
с продолжигелыюстью человеческой жизни.
Но по возвращении домой они застанут уже
другую Землю, на которой за время их от-
сутствия пройдут сотни и даже тысячи лет
Конечно, нарисованная картина пока
чистейшая фантастика: сегодня мы нс имеем
никакого представления о том. как получить
энергию, необходимую для разгона косми-
ческого корабля до скоростей, близких к
скорости света.
Надо подчеркнуть, что «парадокс близне-
цов» — это реальный эффект путешествую-
щий близнец стареет медленнее, чем остав
шийся иа Земле его брат. Вместе с тем путе-
шественник ничего не выигрывает от своего
«долголетня», поскольку все биологические
процессы в его организме тоже идут с мент.- •
?4 779
370
11. Теория относительности
шей скоростью (по сравнению с их скорое гью
на Земле), и в результате все жизненные
отправления, умственная и физическая его
деятельность тоже будут происходив в за-
медленном темпе.
11.3. Изменение массы
в зависи мости от скорости
ЭКСПЕРИМЕНТ С СОУДАРЕНИЕМ
Первый постулат теории относительности
гласит, что все физические законы одинако-
вы во всех инерциальных системах отсчеш.
К числу таких законов относится закон со-
хранения импульса, и мы покажем, как спра-
ведливость этого закона приводит к тому,
что масса тела зависит от скорости ею
движения
Рассмотрим двух наблюдателей в сис то-
мах отсчета К и К движущихся друг отно-
сительно друга со скоростью v (фи!. 11 17)
В каждой из систем отсчета имеется непод-
вижное тело массой т0 (тождественное i ь
обеих масс можно установить, предвари толь-
но взвесив их, когда обе массы покоя 1ся дру>
относительно друга). Тела расположены так,
что, когда системы отсчета пролегаю! дру!
мимо лруга, происходит скользящее соуда-
рение тел. Иными словами, каждое из гел
при ударе приобретает небольшую скорость
под прямым углом к направлению отоси-
телыюго движения систем К и К' (т. е.
в поперечном направлении) (При подобном
соударении ни одно из тел ие может приоб
рести сколько нибудь значиюлыюй про-
дольной скорости по отношению к своей
системе отсчета.) Результирующее положе-
ние после соударения показано на фиг. 11.18.
Тело в системе К обла iaei поперечными
скоростью и и импульсом р, измеренными
наблюдателем, находящимся в этой систе-
ме; аналогичными (цприхованвыми) вели
чинами обладает тело в системе К’ Для
измерения поперечных скоростей 1ел в своих
системах отсчета каждый из наблюла!елей
пользуется линейкой и часами. Полученные
одним наблюдателем численные значения
скорости тела в «своей» системе он сообщает
своему коллеге в друiой системе отсчета.
Оба они с радостью отмечаю!, что получен-
ные ими результаты в точност и совпадают,
и поздравляют дру! друга с убедительным
доказательством справедливости закона со-
хранения импульса при соударении. Однако,
чтобы проверить полученные ими резуль-
таты, они договариваются повторить экспе-
римент снова, но теперь уже наблюдатель
в К будет следить, как проводит свои изме-
рения наблюдатель в К , а тот в свою оче-
редь будет следить за наблюдателем в К.
После первых опытов наблюдатель в К
подтверждает, что линейка, используемая
наблюдателем в К 1радуирована правиль-
но (взаимное движение систем отсчета нс
влияет на размеры предметов в поперечных
направлениях, лорепиево сокращение проис-
ходит только вдоль направления относитель-
ного движения систем), однако он говорит,
что часы наблюдателя в К идут слишком
медленно Поэтому когда наблюдатель в К
сообщает, что «его» тело прошло 1 м за Т
секунд, наблюдатель в К заключает, что но
его часам на прохождение телом этого рас-
стояния требуется время, большее, чем Т.
В результате по расчетам наблюдателя в К
скорость тела в системе К’ оказывается
.меньшей, чем та скорость и', о которой ему
сообщил наблюдатель в К', а именно мень-
шей в отношении х/Г^—/ Но если скорость
меньше, а закон сохранения импульса счи-
тается по-прежнему справедливым, то полу-
чается, что масса тела в системе К' должна
быть, по мнению наблюдателя в К, больше.
чем масса тела в системе К причем в отно-
шении 1/V1 /Р •
Разумеется, проведя следующую серию
опытов, наблюдатель в К придет к точно
тем же выводам в отношении измерений,
выполненных наблюдателем в К В резуль-
тате оба наблюдателя придут к мнению, что
масса движущегося тела больше массы та-
кого же покоящегося тела. Возрастание мас-
сы с увеличением скорости (точно так же,
как сокращение размеров и замедление те
чения времени) оказывается симметричным
дтя наблюдателей в обеих системах отсчета,
находящихся в относительном движении
Масса 1ела, измеренная в той системе
отсчета, относительно которой тело поко-
ится, называется массой покоя, или собствен-
ной массой, и обозначается т0. Тогда масса
11.3. Изменение массы в зависимости от скорости
371
Фш 11 17. Те ш массой т ,
неподвижны каждое а
своей системе отсчета и
движутся дру г относи-
те тно друга со ско-
ростью V.
Фш. 11.18. В резу зыпате
ско. 1ь зтцего со ударена ч
каждое теза приобрета-
ет скорость и импульс
в направлении перпенди-
кулярном направлению их
относите юного движе-
ния.
т, измеренная наблюдателем, движущимся
ошоситсльно тела со скоростью и, равна
(11.10)
Из этою cool ношения следует заключить,
чю скорость материального тела не может
достичь скорости света или превысить ее.
поскольку при v=c множитель V1—Р2
обращается в нуль и т становится беско-
нечно большой. Разумеется, бесконечная
масса нс имеет физического смысла, и отсю-
да вытекает, чго все материальные тела
мшут двигаться лишь со скоростями, мень-
шими скорости света. Вместе с тем, соглас-
но правилу сложения скоросюй [соотноше-
ние (11.3)], такой вывод будет справедлив в
любой системе отсчета.
Пример 11 4
10то, то
Какова скорость элементарной частицы если ее масса в 10 раз превышает массу покоя?
Поскольку т
Ютр = ---
У 1-^2
[ 1 З2 —
10
372 II. Теории относительности
Возводя обе части последнего равенства в квадрат, находим
1—0,01, У2- 1—0,01 0,99, 3 /03)9 = 0,995
Таким обратом.
v =• 0,995 с.
ЧАС ГИЦЫ С МЕНЯЮЩЕЙСЯ МАССОЙ
Ра тличие между массами т и т0 чрезвычай-
но мало до тех пор, пока скорость г не нач
нет составлять заметную долю скорости
света с. По этой причине релятивистское
возрастание массы с увеличением скорости
нельзя обнаружить в мире повседневных
скоростей. Возрастание массы у,чается за-
метить. только кот да мы имеем дело с эле-
ментарными частицами, разгоняемыми в
ускорителях до высоких скоростей. На
фит 11.19 соотношение (11 10) изображено
трафически; на трафике отмечены точки,
соответствующие привычному для нас дви-
жению (движение автомобиля со скоростью
80 км ч) и трем элементарным частицам,
обладающим высокой энергией Видно, что
масса протона с энергией 1 ГэВ вдвое превы-
шает массу покоящегося протона, тогда
как увеличение массы автомобиля совер-
шенно незначительно.
Возрастание массы тела, движущегося со
скоростью у, малой по сравнению со ско-
ростью света, равно
Фит 11.19. Релятивистское возрастание пас-
сы с увеличением скорости (см. также
фиг 111).
&tn — т — т0
т0
1
у Г-~
т_. 1
0
О
0,5
1,0
11.4. Масса и тергид
373
Поскольку г«сс, так что /«1, то, используя
(11 7 6), имеем
Awi « m0|71 Ч----!-
L\ 2
= т0 • — 82.
0 2
Полому относительное возрастание массы
Azri I ог
2 ‘
(11-11)
(и С с)
Пример 11.5
Чему равно относительное возрастание массы реактивного лайнера. летящего со скоро-
С1ьк> 1000 км/ч?
в v 2.8 - 10* см с „
Р = —---------------------10-6,
с 3 • 10>° см с
гак что
— 0,5.10-
"‘о 2
т. е. масса возрастает пгт совершенно ничтожную величину.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА
РЕЛЯТИВИСТСКОГО ВОЗРАС ГАНИЯ
МАССЫ. Существуют два способа ирон т
люстрировать чрезвычайно наглядным пу-
тем справедливость формулы теории отно-
сительности для возрастания массы. В пер-
вом из них рассматривается частица, скажем
электрон, проходящая некоторую разность
потенциалов и приобретающая высокую ско
рость. Если эту частицу пропустить через
магнитное поле, то обнаруживается, что ра-
диус сс траектории больше вычисленного по
простой формуле ньютоновской динамики
(9.25), если под массой понимать ее значе-
ние тп. Поэтому измерения радиуса траск
тории можно исполыовать для определения
массы частицы. Резз тьгаты измерений, вы-
полненных таким метолом, были показаны
на фит. 1.11, видно, что теоретические пред-
сказания и экспериментальные результаты
находятся в прекрасном согласии.
Чтобы познакомиться со вторым спосо-
бом, рассмотрим упругое столкновение меж-
ду движущейся и такой же покоящейся час т и-
цами И з примера 7.8 мы знаем, что. сот лас-
но ньютоновской динамике, векторы ско-
ростей обеих частиц после сто ткновения
должны быт ь направлены под пр.ч mm.ii г<> ю и
друг к другу (фиг. 7.7).Одпако, кот да были
исследованы столкновения быстрых элек-
тронов или протонов с покоящимися элек-
тронами или протонами, выяснилось, что
утлы меж ту векторами их скоростей после
столкновения меньше 90 . Это свидетель-
ствуете том, что налетающая частицгт имеет
бо ыиро массу, чем частица-мишень
(фит. 11.20).
11.4. Масса и энергия
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ МАССОЙ И
ЭНЕРГИЕЙ В случае, когда г-Сс. уравнение
(11.10) можно приближенно записать в виде
т v т0 11 +
Умножая обе части этого соотношения на
с2 и замечая, что с2 fl1 и2, мы находим
тс2 та тос2----mov2 (v с). (11.12)
374
11. Теория относительности
Сталкноеекие
Фиг. 11.20. Фотография следов, оставленных
в ядерной фотоэмульсии электроном с высо-
кой энергией, столкнувшимся с электроном
в атоме вещества эмульсии.
Угол между разлетающимися частицами, со-
гласно предсказаниям теории относительности,
меньше 90".
Член есть классическое выражение
для кинетической энергии. Член же ш0с2
выражает, очевидно, некое внутреннее свой-
ство тела, поскольку он зависит только от
массы покоя. Эта величина называется энер-
гией покоя, или собственной энергией, тела.
Сумма энергии покоя и энергии движения
(т. е кинетической энер! ии) есть полная энер-
гия тела:
тс2 (полная энергия) = т0с2 -г (собственная энергия)
1“ ^кин. (кинетическая энергия)
(11.13)
Если v не малд по сравнению с с, то в пра-
вой части (11.12) ПОЯВЛЯЮ1СЯ дополнитель-
ные слагаемые, являющиеся дальнейшими
членами разложения множителя 1, V1—[I1
по степеням //. Тем не менее разность между
полной и co6ci венной энергиями по-прежне-
му равна кинетической энергии, и соотноше-
ние (11.13) по-прежнему верно. Это и есть
соотношение Эйпппейпа между массой и
энергией:
Е тс2,
(11 14)
1 де Е — полная (собственная - кинетическая)
энерт ия тела.
Пример 11.6
Чему равна масса элек!рона с энергией 2 МэВ?
Прежде всего вычислим энергию покоя электрона:
т0с2 9,11 • IO"28 г (3 • 1О10 см/с)2 8,2 • 107 эрг-------------!__________
1,6-10 6 эрг/МэВ
0,511 МэВ
11.4. Масса и энергия
375
Кинетическая энергия электрона в единицах тос2 равна
£*"" 2МзВ
Поэтому
тс2 — т0с2 + Екии » тос2 + 4тосг 5т 0с2.
Следовательно, масса электрона с энергией 2 МэВ приблизительно в 5 раз превышает массу
покоящегося электрона.
Реля гивистское возрастание массы сущест-
венно для электрона даже при сравнительно
небольших его кинетических энергиях вслед-
ствие того, что собственная энергия электро-
на составляет всего лишь 0 511 МэВ По-
этому уже при электрона порядка не-
скольких десятков кэВ следует использо-
вать релятивистские уравнения движения.
Протоны же имеют энергию покоя 938 М >В.
так что даже при энергии 10 МэВ они все
еще «нерелятивистские», поскольку относи-
тельное приращение их массы при этом
составляет лишь около 1%.
Пример 11.7
1 грамму воды сообщено 10 калорий тепла. Насколько увеличится масса волы?
Возрастание полной энерти воды составляет
ДЕ 10 кал 10 • 4,19 - 10’эрг = 4,19 108эрг
Соответствующее увеличение массы
Лт = — = ---9 ' 106 эр.г =47 10‘13 г
с» (3-10’° см,'с)2
т. е. масса воды увеличивается с 1 г до 1 ..00000000000047 г — на совершенно ничтожную
величину! Но масса все же увеличивается. Откуда же берется дополнительная масса? Это
просто масса, связанная с увеличением кинетической энергии молекул воды при подводе
к ней тепловой энергии.
Пример 11.8
Чему равен переводной множитель, связывающий атомные единицы массы с мегаэлектрон-
вольтами?
Из соотношения (3 7) имеем 1 а. е м = 1,6605 10" г. Следовательно,
1 а. е. м. • с2 = 1,6605 • 10’24 г • (3 • 1010 см/с)2 -
1
1,4945 10'3 эрг -------------------------= 931,5 МэВ-
1,6022-10_| эрг/МэВ
используя более точные значения постоянных, получаем с2 =931,481 МэВ а е м
376
11. Теория относительности
11.5. Общая теория
относительности
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ УСКОРЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ До сих пор в этой главе мы
рассматривали только движение с постояв
ной скоростью. Если мы хотим рассмотреть
ускоренное движение, то для этой цели спе-
циальная теория относительности нс под-
ходит и мы должны обратиться к общей
теории относительности. Как мы увидим,
общая теория относительности имеет более
широкий смысл, нежели релятивистское опи-
сание ускоренною движения, она является
теорией гравитации.
Широкий круг предсказаний специальной
теории относительности прошел экспсри-
мен галытуто проверку и получил подтверж-
дение. Экспериментальная проверка обшей
теории относительности продвинулась го-
раздо меньше В современном виде общая
теория относительноеги может сделать всего
лишь несколько предсказаний, причем к на-
стоящему времени проверка пи одною из
них не привела к окончательному экспери-
мент альному подтверждению теории И все
же общая теория относительности поднима-
ет столь глубокие вопросы, что ее следует
рассмотреть хотя бы вкратце.
Первый постулат специальной теории от-
носительности, как мы помним гласит, чю
вес фитические законы одинаковы во всех
инерциальных системах отсчета В общей
теории относительности высказывается го-
раздо более решительное утверждение'
Все физические законы можно сфор.мули
ровать так, что они окажутся справедли-
выми <)т.ч любого наб ио дате кч. сколь слож-
ное движение он ни совершает
Если мы допустим, что наблюдатель со
верптает сложное ускоренное движение, то
математическое выражение физических за-
конов в его системе отсчета тоже усложнит
ся. И действительно, общая теория относи-
тельности использует мощный арсенал ма-
тематических методов. Несмотря на это,
мы все же попытаемся изложить некоторые
положения теории, итбетая математических
усложнений.
ПРИНЦИП ЭКВИВАЛ1 НТНО( 1И Пер-
вый важный вопрос, с которым имеет дело
общая теория относительности, касается эк-
вивалентности грави гапионпого поля и уско-
ренною движения. Если мы в лаборатории,
находящейся па Земле, выпустим из рук
предмет, то он будет падать вниз под дей-
ствием темного притяжения (фит. 11.21, я).
А теперь вынесем лабораторию в космос,
подальше от гравитационного притяжения
Земли и всех тел, и разместим ее в ускоренно
движущейся ракете (фиг. 11.21,6). Если уско-
рение ракеты а по величине равно ускоре-
нию силы тяжести на Земле у и если двита-
тель ракеты распо тожен под полом лабора-
тории. то пол буэтет ускоряться в направ-
лении предмета, который мы выпускаем из
рук. Если ограничиться наблюдением дви-
жения предмета относительно пола, то в
обоих этих случаях ускоренное движение
будет в точности одним и тем же. Если ла-
боратория лишена окон, то наблюдатель
никогда не сможет отличить ускорения, со-
здаваемою силой тяжести, от ускорения,
развиваемою двитателем ракеты.
Эйнштейн ввел это рассуждение в свою
общую теорию относительности, постули-
ровав принцип эквивалентности-
Не существует эксперимента, с по мощью
которого можно бы ю бы от шчить дейст-
вие гравитационного поля от действия уско-
ренного движения по отношению к непод-
вижным1» звездам.
Отметим, что в «эксперименте», изобра-
женном на фит. 11.21, мы имеем дело с
гравитационной (тяжелой) массой в первом
случае и с инертной массой во втором
(оба эти вида масс мы рассматривали в
разделе 5.5). Если между этими видами масс
оказалось бы какое-нибудь различие, то.
проведя достаточно точные измерения, на-
блюдатель мот бы выяснить, находится ли
он в поле силы тяжести Земли или же уско-
ряется в космическом пространстве. Таким
образом принцип эквивалентности требует,
чтобы тгр тки. Как уже говорилось в раз
деле 5.5, эксперименты доказывают справед-
ливость этого равенства с точностью до
10 “. Несмотря «та колоссальную точность
этого результата, было бы желательно под-
11.5. Общая теории относительности
3/7
г верди г ь принцип эквивалентности с еще
более высокой точностью, чтобы ешс более
«укрепи 1ь позиции» этого фундаментально-
го постулата обшей теории относительности
Когда Эйнштейн разрабатывал общую
теорию относительности (эго было более
полувека назад), он предложил два способа
ее экспериментальной проверки. Эти про
верки связаны с аномалиями в движении
внутренних планет Солнечной системы, в
особенности Меркурия и с поведением тек
троматнитных волн, в частности световых
лучей, вблизи таких массивных тел, как
Солнце. Теперь мы кратко опишем эти два
способа и их современные уточнения.
ПРЕЦЕССИЯ ПЕРИГЕЛИЯ ОРБИТЫ
МЕРКУРИЯ. В разделе 6 2 мы уже говорили
о том, что по наблюдениям псрителий ор-
биты Меркурия смещается в пространстве
(т. с. прецессирует) со скоростью, большей,
чем та, которая предсказывается классиче-
ской динамикой После учета вотмущепий
со стороны других планет остается «чистая»
прецессия, скорость которой составляет
43,11 -т 0 45' за столетие Если для вычисле-
ния эффектов, связанных с замедлением те-
чения времени и зависимостью массы от ско-
рости, использовать специальную теорию
относи гельносттт, го рассчитанное значение
скорости прецессии составит только поло-
вину наблюдаемого Эйнштейн па основе
обшей теории отттоситепыюсти получил зна-
чение 43,03". Блестящее совпадение между
вычисленным и наблюдаемым значениями
явилось наиболее выдающимся успехом об-
шей теории относительности
Исправленное экспериментальное значе-
ние скорости прецессии основывалось на
вычислениях, прове денных в предположении,
что Солнце имеет форму шара, так что си-
товые шттии его т равиташютшого поля пря-
молинейны. Выполненные недавно с высо
кой точностью измерения формы Солнца
показали, однако, что Солнце слет ка сплюс-
нуто у полюсов и имеет небольшую выпук-
лость у экватора. Как истолковать резуль-
таты этих измерений пока еще не очень
ясно; если они правильны, то в наблюдаемое
значение скорости прецессии орбиты Мер-
курия следует внести еще одну поправку,
Фит 11.21. Если а д. наблюдатель не может
отличить ускорение, создаваемое силой тя-
жести. от ускорения, создаваемого силой тя-
ги ракеты. (В лаборатории наблюдателя нет
окон.)
составляющую 4 за столетие. Введение
такой поправки расстроило бы согласие
между экспериментом и предсказанием об-
щей теории относительности. Если будет
установлено, что эта новая поправка в самом
деле верна, то тогда может потребоваться
коренная переработка теории. С другой сто-
роны, можно высказать возражение, что и
другие астрономические данные, использо-
ванные при расчете возмущений, могут иметь
ошибку, достаточную для компенсации .по-
правки на сплюснутость Солнца. Сейчас
разрабатывается новый метод для повыше-
ния точное!и измерения сплюснутости; вме-
сте с тем для измерения расстояний до пла
нет используются более точные радиолока-
ционные методы. Поэтому, наверное, уже
в ближайшие годы будет получено уточнен-
ное значение скорости прецессии, с которым
придется сравнивать предсказание обшей
теории относительности
ИСКРИВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ
СОЛНЦЕМ Общая теория относительности
предсказывает , что, когда луч света проходит
вблизи массивного тела, его путь должен
слегка искривляться Этот результат мы
можем качественно понять, припоминая, что
378
11. Теория относительности
Солнце
Фш. 11.22. Свет от звезды S отклоняется
от прямолинейного пути, проходя вблизи
Со iHi/ii, и это вызывает смещение кажуще-
гося положения звезды на небосводе в точ-
ку S'.
электромагнитное излучение, в том числе
свет, имеет энергию, и этой энергии соответ-
ствует масса. Следовательно, гравитацион-
ное поле может воздействовать на свет и
искривлять его путь точно таким же обра-
зом, как массивное тело действует на про-
летающую мимо него быструю частицу.
Поскольку свет распространяется с огром-
ной скоростью, это «притяжение», по су-
ществу, действует на него лишь в течение
короткого времени, и в результате отклоне-
ние света от прямолинейного пути мало
даже при прохождении возле такого массив-
ного тела, как Солнце. (Как и в случае пре-
цессии перигелия орбиты Меркурия, спе-
циальная теория относительности на основе
соотношения Е =тс2 предсказывает для это-
го отклонения значение, составляющее лишь
половину тего, что дает общая теория от-
носительности.)
Это предсказание можно проверить,
наблюдая кажущееся смешение положения
звезды на небосводе в том случае, когда
свет от нее проходит вблизи Солнпа
(фиг 11.22). Вследствие большой яркости
Солнца сравнение кажущихся положений
звезд следует производить в момент солнеч-
ного затмения и спустя несколько месяцев,
когда Солнце оказывается в другом участке
неба и можно получить обычные ночные фо-
тографии звездного неба. Разумеется, такие
измерения трудны. (И не только в силу ма-
лости самого явления, но еще, например
потому, что резкое изменение температуры
окружающих предметов в момент наступ-
ления затмения может вызывать тепловую
усадку фотографического аппарата.) Этим
методом, однако, все же были измерены
смешения положений нескольких сотен звезд,
и в среднем отклонение света оказалось рав-
ным 2"; общая теория относительности пред-
сказывает для него значение 1,75 К сожа-
лению, точность этих измерений составляет
лишь около 10% и ряд результатов противо-
речит друг другу так что указанные измере-
ния нельзя считать окончательным под-
тверждением теории.
В ближайшем будущем планируется про-
вести новые эксперименты при дневном
свече, чтобы не дожидаться редких солнеч-
ных затмений. Эти измерения позволят сни
зить ошибку опыта примерно до 1% и тем
самым дадут возможность осуществить од-
нозначную проверку обшей теории относи-
тельности.
ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕ-
ЩЕНИЕ. Если выпустить из рук какой-либо
предмет, он начнет падать вниз под дейст-
вием поля з яготения, ускоряться и набиразъ
кинетическую энергию. Аналогично, «падая»
в Iравитационном поле, будет набирать
энерч ию и свет благодаря наличию у неч о
массы, связанной с энергией излучения Уве-
личение кинетической эччергичч падающей
частицы обусловлено возрастанием ее ско-
рости Поскольку свет всегда распространя-
ется со скоростью с, увеличение его энерч ии
связано с возрастанием частоты свето-
вой волны Справедливо и обратное если
направление распространения света противо-
положно направлению вектора напряжен-
ности гравитационного поля (тучи его сило-
вых линий), то свет будет терять энергию,
а его частота будет понижаться. Видимый
свет, испускаемый Солнцем, имеет понижен-
ную частоту, или, что то же самое, увели-
ченную длину волны, смешенную к красному
кончху спектра Величина этого смешения
мала однако, сравнивая длины волн ряда
личчий в спектре излучения Солнца с длинами
волн тех же линий, полученных в лаборато-
379
11.5. Общая теория относительности
рии на Земле, удалось с точностью окото
10% подтвердить предсказываемую теорией
величину смещения.
Мы выведем выражение для относитель-
ного изменения частоты вследствие грави-
тационною красного смещения, используя
как положения ньютоновской механики, так
и эйпппейновское соотношение между мас-
сой и энергией. Поскольку энергия световой
волны пропорциональна ее частоте, относи-
тельный сдвиг частоты равен относитель-
ному изменению энергии:
Ду _ ЕЕ_
у Е
Но Е=тс2, а изменение энергии вследствие
изменения положения в однородном грави-
тационном поле напряженностью g па ве-
личину h равно ЕЕ—mgh. Следовательно,
ЕЕ _ mgh _ gh
Е тсг сг
откуда
Л- = -BL (11.15)
у с2
Для лабораторной проверки этого соотно-
шения электромагнитное излучение, испу-
щенное атомными ядрами, регистрировалось
после его «падения» в поле Земли на величи-
ну 22,6 м • 2,26 1 03 см. Предсказываемое
теорией смещение частоты равно
Ду _ 980 см/с2 2,26 103 см
у (3 101° см/с)2
- 2,5 • IO"15.
Это невероятно малое изменение частоты
удалось измерить с точностью 1% (!) с по-
мощью особого рода селектора частот ядер-
ных излучений (основанного на эффекте
Мессбауэра) Такая точность соответствует
тому, как если бы национальный долг США
(около 300 млрд, долларов) был определен
с точностью до 1/1000 цента!
Эти эксперименты не представляют собой
проверку общей теории относительности
поскольку предсказание гравитационного
смещения можно сделать уже на основе
одного лишь принципа эквивалентности
(а это только один из постулатов теории)
и соотношения между массой и энергией
Е=тс2.
Периодический характер колебаний в элек-
тромагнитных, в том числе световых, волнах
позволяет рассматривать эти волны в ка-
честве своего рода часов. Пусть имеются
два наблюдателя, один из которых нахо-
дится в сильном гравитационном поле вбли-
зи Солнца, а другой — в слабом поле в
космической лаборатории. Оба наблюдателя
имеют в своем распоряжении одинаковые
атомные источники света и эталонные часы*.
Каждый наблюдатель регистрирует число
колебаний в своем источнике за заранее оп-
ределенный промежуток времени, исполь-
зуя свои эталонные часы. Когда они затем
сравнивают свои результаты выясняется.что
наблюдатель в сильном гравитационном
поле насчитал большее число колебаний
(т. е. более высокую частоту света), чем
наблюдатель в слабом поле. Наблюдатели
приходят к заключению, что для того чтобы
в сильном поле за заданный промежуток
времени произошло большее число колеба-
ний, часы в этом поле должны идти медлен-
нее. Отметим, что в отличие от замедления
течения времени в специальной теории отно-
сительности оба наблюдателя делают вы-
вод, что часы отстают в сильном поле, так
что теперь в полученных ими результатах
нет никакой симметрии.
Поскольку эффекты силы тяжести и уско-
рения неотличимы друг от друга, мы вы
нуждены принять, что ускоренно движущие-
ся часы идут медленнее часов в инерциаль-
ной системе отсчета**
* Все, конечно, не так просто, как описывается
здесь. Рассмотрение часов (и даже световых ча-
сов) в рамках общей теории относительности яв-
ляется чрезвычайно с ложным.
** Это касается и «биологических часов», т. е.
периодических жизненных процессов, например в
организме космонавта о чем уже говорилось на
стр 369 — Прим, перев.
380
11. Теория относительности
НОВЫЕ ПРОВЕРКИ ТЕОРИИ В послед-
ние несколько лет был предложен ряд новых
проверок обшей теории относительности.
Например, теория предсказываем что ра-
диолокационный сшпал, отраженный от
Меркурия в тот момент, когда планета на-
ходится за Солнцем и близко к его краю
(при наблюдении с Земли), будет распро-
страняться несколько дольше, чем получа-
ется по классической теории электромагие-
тзма. Были проведены измерения этого
эффекта, и предварительные результаты по
казывают, что предсказание общей теории
относительсти оправдывается с точностью
до 10%. В ближайшем будущем должно
быть получено значительно более точное
значение времени распространения сигнала
Теория также предсказывает, чго радио-
локационный импульс, отраженный oi Мер-
курия. должен иметь смешенную частоту,
причем знак этого смещения (к большим
или меньшим часюгам) должен зависеть
от того, входит ли Меркурий в область по-
зади Солнца (если смотреть с Зем ш), или
же выходит из нее. Измерить сдвиг частоты
значительно труднее, чем время запаздыва-
Фи). 11.23. Установка для обнаружения гра-
витационных вот. построенная Лж Вейе-
ром с сотр дниками в Мэрилендском универ-
ситете.
Основной деталью установки яв ьчется a /юми-
ниевый ци гиндр массой 1400 кг подвешенный в от-
качанном ба.июне С помощью чувствите >ьны \
приборов можно зарегистрировать движение
торца цилиндра (вызванное гравитационной вол-
ной) соответствующее среднему перемещению
всего лишь на 10 14 с.м!
пня отраженного сигнала поэтому послед-
ний т описываемых методов проверки тсо
рии еще не осуществлен экспериментально
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В преды
душей главе мы выяснили, что ускоренно
движущийся электрический заряд испускает
электромагнитное излучение. Не должно ли
в таком случае по аналогии движущееся мас-
сивное тело создавать гравитационные вол-
ны? Общая теория относительности отвечает
па этот вопрос положительно. О шако коли-
чество излучаемой при этом энергии столь
мало, что для регистрации травит анионною
излучения даже от втрывающихся звезд (но-
вых и сверхновых) требуется предельно чув-
ствительная аппаратура. Сейчас такие экс-
перименты вечутся на установках типа изоб-
раженной на фиг. 11 23. Полученные резуль
гаты показывают, что примерно раз в не-
делю появляются сигналы, отличающиеся
от тех, которые вызываются локальными
эффектами (например, землетрясениями),
нарушающими работу установки. Гакая час-
тота появления сигналов близка к ожтщас
11.5. Общая теория относите ihnocmu
381
Фш 11.24. 1в\ мерные фишки стартуют я
точках А и В и движутся точно к северу но
пара. 1. if. июня дорогам.
Они приходят к выводе что их притягивает друг
к другу какая-то сила.
мой. если исходить из частоты взрывов
звезд в пашей Галактике. Поэтому весьма
вероятно, чп) общая теория относителыю-
С1И подучш подтверждение и в предсказы
ваемом ею существовании i равитацнонных
волн.
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАВИТАЦИЯ. Рассмот
рим двух двумерных физиков т. е. существ,
знающих, что такое длина и ширина, но не
имеющих никакого представления о высоте
Эш физики живут и работают в своем плос-
ко и мире. Но допустим, что их перенесли
па поверхность Земли и расположили в iоч-
ках А и В на ее эква горе (фиг. 11.24). Отсюда
физики начади nyiemeciBue на север по па-
раллельным доро!ам. Пройдя по этим до
ршам путь </, оба физика неожиданно обпа
ружили, что рассюяние s между ними стало
меньше, чем в момент начала их путешест-
вия. Физики приходят к заключению, что
их притягивает друг к другу некая «сила»,
и присваивают этой «силе» наименование
. равитация.
Разумеется, з |есь нет никакой «силы»
физиков ввело в заблуждение то обстоя! ел ь-
ство, чю их геометрия криволинейная, в то
время как для описания своею положения
они использовали евклидову геометрию на
НЛОСКОС1И. То же самое происходит и в на-
шем реальном мире. Если мы настаиваем
на том. Фго Вселенная может быть описана
геометрией Евклида, то возникает таинст-
венная сила — 1равитация, происхождение
которой мы пе можем объяснить. В общей
же теории от посительнос i и все эффекты
гравитации приписываются неевклидову ха
рак I еру геометрии Вселенной (четырехмер-
иой геометрии пространства-времени) На-
личие во Вселенной вещества искажает гео-
метрию, и вещество заявляет о своем при-
сутствии посредством «гравитационной си-
лы».
Эйнштейн до самой своей смерти (в 1955 г.)
пытался обосновать идею о том. что нс
только гравитацию, но и вообще всю физи-
ческую Вселенную можно целиком опи-
сать па основе одной лишь геометрии По-
следователи Эйнштейна пока не добились
успеха в построении такой теории, но тем
нс менее не оставляют дальнейших попыток.
382
11. Теория относительности
Фиг. 11.25. Альберт Эйнштейн в последние
годы своей .жизни.
Основные выводы
Специальная теория относите явности осно-
вывается на двух постулатах:
1. Законы физики одинаковы во всех инер-
циальных системах отсчета.
11. Скорость света в пустоте одинакова для
всех паблюла гелей
При разработке специальной теории отно-
сительности Эйнштейн отказался от трех
основных положений теории Ньютона:
I) представления об абсо потном простран
сттте и времени, 2) закона сложения скоро-
стей, 3) закона сохранения массы (заменив
ет о обобщенным законом сохранения массы-
эперт ии)
Никакое материальное n.i зо ни в одной
системе обсчета не может иметь скорости,
равной или большей скорости света с; ни-
какой сигнал не может быть передан со ско-
ростью, превышающей с
Последоватс шность событий во времени
с точки зрения двух наблюдателей зависит
от их относительного движения. Однако
никакой наблюдатель, как бы он ни двигался,
не может зарет истрировать следствие рань
ше причины.
Измерение длины предмета наб тюдате
лем, движущимся относительно него, дает
меньшее значение, чем измерение той же
длины наблюдателем, неподвижным отно-
сительно предмета (сокращение длины). (Со-
кращение испытывает только размер пред-
мета вдоль направления относительного дви-
жения; поперечные размеры остаются не-
изменными.)
Наблюдатель, движущийся относительно
часов, установит что они идут медленнее
точно таких же часов, находящихся в покос
в его системе отсчета (замедление течения
времени).
Вопросы
383
Тело, движущееся относительно наблюда-
теля, нмее! массу, большую чем такое же
тело, покоящееся относительно наблюда-
теля
Полная энергия тела равна сумме его соб-
ственной энергии тос2 и его кинетической
энергии, полная энергия Е=тс2.
Принцип эквивалентности утверждает, чю
эффекты >рави гании и ускорения нельзя
отличить друг от друга.
Эксперимеп галыю проверены следующие
предсказания общей теории относительно-
сти: а) прецессия перигелия орбиты Мер
курня, б) искривление световых лучей при
прохождении вблизи Солнца, в) запаздыва-
ние радиолокационных сигналов, проходя-
щих вблизи Солнца, i) существование гра-
витационных волн. Ни один из результатов
этих проверок не является окончательным,
но методика экспериментов совершенству-
ется и в ближайшем будущем будут прове-
дены новые измерения этих эффектов.
Гравитационное красное смещение явля-
ется прямым следствием принципа эквива-
лентности и того, что свет имеет «массу».
Этот же эффект обусловливает и замедление
хода часов в i равитационном поле.
Вопросы
11.1. «Скорость записи» осциллографа равна скорости, с которой электронный луч прочерчивает
линию на его экране. Изготовитель уверяет что скорость записи на ею осциллографах равна
6 10 см/с. Объясните, может ли быть правильным такое заявление?
11.2. Допустим, что скорость света внезапно уменьшилась до 50 км ч. Как при этом изменилось бы
то, что мы наблюдаем в окружающем мире? Приведите несколько примеров
11.3. Как выглядела бы теория относительности, если бы скорость света была бесконечно большой?
11.4. Рассмотрите фиг. 11.14 и предположите, что есть еше один наблюдатель К" движущийся влево
со скоростью —в, так что он находится в положении наблюдателя К в ситуации, изображенной иа
фиг 11.14, б. Увидит ли наблюдатель К" обе вспышки света одновременно или же одну раньше дру-
гой? Мотивируйте ваш ответ
11.5 Мотоциклист проносится мимо вас со скоростью 2,5 10ю см/с. Изобразите на рисунке, каким
вам покажется мотоцикл Будет ли ваш вил казаться обычным мотоциклисту9
11.6. В разделе 7.15 мы рассматривали связь между средней скоростью молекул вещест ва и его тем-
пературой В этой главе мы узнали, что существует верхний предел скорости любою материального
тела (а именно скорость света). Не следует ли из этого, что должен существовать также верхний пре-
дел допустимых температур?
11.7. Представьте себе, что на глубину 1000 км пробурена шахта и в эту шахту свободно падает на-
блюдатель в закрытом со всех сторон контейнере Покажите, что к этому случаю принцип эквивалент
ности неприменим. (Является ли в данном случае гравитационное поле однородным, а если нет.
то что нового вносит ею неоднородность9)
11.8. Объясните, могут ли двойные звезды излучать навигационные волны
384
И. Теория относительности
Задачи
11.1. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью 1,5 • IO10 см.с, и в некоторый момент
с него запускается небольшая ракета в направлении к Земле со скоростью 2,5 • 10ю см с относительно
корабля Какую скорость ракета будет иметь по измерениям земною наблюдателя? (Обратите вни-
мание на ю, чю знаки обеих указанных скоростей разные.)
11.2. Мимо наблюдателя проносятся со скоростью 0,9 с в противоположных направлениях два кос-
мических корабля. Чему равна с точки зрения этою наблюдателя скорость относительною движения
кораблей? (Внимательно рассмотрите зту задачу. Почему при ее решении не используется правило
сложения скоростей теории относительности?) Согласуется ли результат, полученный наблюдате-
лем. о тем, что получат пассажиры космических кораблей?
11.3* . С космическою корабля, движущеюся со скоростью 1,5 • 10ю см с относительно Земли, за-
пускается небольшая ракета в направлении движения корабля со скоростью 107 см(с но отношению
к нему. С какой точностью следует земным астрономам произвести наблюдения ракеты, чтобы сде-
лать выбор между правилами сложения скоростей классической механики и теории относительности?"
11.4. Подрывники смонтировали установку для дистанционного управления взрывом с помощью
электрических сит налов, посылаемых по проводам. (Сигналы распространяются со скоростью света.)
Через 1 мкс после тою, как подрывник нажал на кнопку, взорвался первый заряд на расстоянии 400 м,
а еше спустя 1 мкс — второй заряд на расстоянии 500 м. Можно ли считать, что оба заряда были по-
дорваны одним нажатием кнопки?
11.5. Наблюдатель, измеряя длину движущейся метровой линейки, получает значение 0,5 м. С какой
скоростью линейка пролетает мимо наблюдателя?
11.6, Придорожный плакат имеет форму квадрата со стороной 5 м и установлен параллельно шоссе.
Мимо плаката проносится автомобилист со скоростью 2 • 10ю см с. Какими ему покажутся размеры
плаката?
11.7. Самая близкая к Земле звезда называется Проксима Центавра (одна из трех звезд в скоплении
Альфа Центавра). Измеренное по звездному параллаксу расстояние до нее равно приблизительно
1,3 парсека (или 4,3 светового года). Космический путешественник летит от Земли к этой звезде со
скоростью v — 0,95 с. Сколько времени продлится ею путешествие по земным часам и по часам космо-
навта?
11.8. Мюонами называют элементарные частицы, образующиеся в верхних слоях атмосферы при
распаде пионов, которые в свою очередь возникают при взаимодействии космических лучей с атмо-
сферой. Скорости этих мюонов близки к скорости света (i^0,998 с). Из лабораторных экспериментов
известно, что среднее время жизни мюонов равно 2,2 10“6 с (в системе отсчета, в которой они поко-
ятся). Покажите, что мюон, образовавшийся на высоте 8000 м, сможет долететь до поверхности Земли,
несмотря на то,что указанное выше время его жизни как будто слишком мало для этого.
11.9* . Может ли космонавт, которому остается примерно 40 лет жизни, успеть (по крайней мере
в принципе) совершить путешествие в галактику находящуюся на расстоянии 10 млрд, световых
лет? (Такая галактика дотжиа находиться на пределе видимости Вселенной с Земли.) Если такая
возможность существует, то с какой минимальной скоростью должен лететь космический корабль7
Задачи
385
11.10* . В работе, опубликованной в 1905 iЭйнппейн писал: «Мы приходим к заключению, чю маят-
никовые часы на экваторе должны идти медленнее, хотя и на чрезвычайно малую величину, чем такие
же точно часы, расположенные на одном из полюсов, при прочих равных условиях». Пренебрегите
тем обстоятельством, что часы па экваторе вращаются вмесгес Землей, н считайте, что они движутся
с постоянной скоростью (т. е. рассматривайте задачу в рамках специальной теории относительное!и)
Покажите что за столетие расхождение между показаниями часов на экваторе и на по носе сощавш
приблизительно 0,0025 с.
11.11. Далекая звезда удаляется от нас со скоростью 0,8 с. По наблюдениям яркощь излучаемого ею
света меняется с периодом 5 суток. С какой периодичностью меняеюя яркость в системе отсчета,
связанной со звездой?
11 12. Наблюдатель, измеряя массу т и длину I неподвижного стержня, заключает, что линейная
плотность массы Р -m l. Предположим, чю он повгоряет те же измерения па стержне, движущемся
мимо него со скоростью г (движение происходит вдоль длины стержня). Какую при этом линейную
плотность массы он получит? Насколько изменится ее значение, если стержень буде> двигааься в на-
правлении, перпендикулярном его длине?
11.13* . Электроны на выходе из линейного ускорителя Стэнфордского уннверснieia имеют скорость
всего на 1.5 см.с меньше скорости света. Какую длину «с точки зрения» этих электронов имеет путь
их пролета в лаборатории длиной I км? Чему равна масса электронов? Сравните ее с массой ядра
атома железа.
11.14. Электролампа мощностью 100 Вт горела 1 год. Чему равна масса, эквивалентная энер) ин,
излученной лампочкой?
11.15. Чему равна скорость частицы, кинетическая энер, ия которой равна ее собственной энергии9
11.16. Какую энергию >ребуется сообщить электрону, чтобы его скорость удвоилась, если начальная
его скорость составляет 10ю см.с?
11.17. При какой скорости тела его масса Bipoe превышает массу покоя?
11.18. Метровая линейка движется в направлении своей длины с такой скоростью, что масса линейки
вдвое превышает ее массу покоя Какую длину будет иметь лннейка с точки зрения неподвижного
наблюдателя?
11.19*. Заполните свободные меша в следующей таблице:
£кин » МэВ wc
Элек 1 ропы 0,1 9
? 0,99
Прогоны ? 0.1
— 1000 ?
(Масса покоя протона соответствиеI приблизительно собственной энер) ни 1000 МэВ.)
11.20. Пройдя какую разиостыкненцналов, электрон (первоначально находившийся в покое) приобре-
тает скороегь 0,5 с?
11.21* . Удельная мощность падающего на Землю солнечного излучения составляет 0.14 Вт см2
С какой скоростью Солнце теряет свою массу? Если эта скорость сохранится и в будущем, то сколько
времени еще будет существовать Солнце?
25-779
)86
11. Теория относительности
11.22* . Вычислите радиус траектории электрона с энергией 2 МэВ в магнитном по те напряженностью
1500 Гс.
11.23. Световой импульс направлен параллельно земной поверхности. Насколько снизится пучок
света посте прохождения расстояния 10 км? (Напомним, что общая теория относительности дает
вдвое больший результат, чем классическая механика )
11.24* . Чему равна напряженность однородного гравитационного поля, если частота света, «падаю-
щего» в нем на расстояние 100 м. изменяется на Ю"6 ? Можно нт обнаружить поле с такой нот ряжен
ностьго где-либо в Солнечной системе0 Чему будет равно относительное смешение частоты света,
если этот эксперимент провести в поле земного тяготения на разности высот 1 км?
11.25* . Повторив вывод соотношения (11 15), получите выражение для гравитационного красного
смещения световою импульса, паправ генного с поверхности Солнца в бесконечность Для нахожде-
ния величины ДЛ определите разность потенциальных энерт ий тела на поверхности Солнца и на бес-
конечности по форму те (8.5). Покажите, что это смещение равно Av v G.W/c"R, где М и R — масса
и радиус Солнпа. и оцените его численное значение.
«Математические модели» (М Эс.хер)
12 Основы квантовой
теории
12.1. Электроны
12.2. Излучение абсолютно черного
тела и кванты
12.3. Фотоэлектрический эффект
12.4. Волны или частицы? Два
решающих экспери мента
12.5. Основы квантовой теории
12.6. Волновые функции
12.7. Принцип неопределенности
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В конце XIX века многие ученые считали, что развитие физики завершилось. Что еще значи-
тельного и тем более фундаментального в физических свойствах природы могло остаться
за пределами этой науки? Законы механики и теория всемирного тяютения были известны
ботее двухсот лет. Была завершена максве гтовская теория электромагнетизма и установле-
но, что вещество состоит из атомов. Благодаря развшию статистического подхода к систе-
мам, состоящим из большого числа частиц, был подведен прочный фундамент под термо-
динамику. Были установлены великие законы сохранения энергии, импу. ьса, момента им-
пульса, массы и электрического заряда. Ч го еще оставалось открыть из действительно
важного?
Однако, несмотря на всеобщее благодушие, царившее в среде физиков в конце XIX века
относительно положения дел в физике, все еще оставались нерешенные проблемы. Вскоре
стало ясно, что не все проблемы тривиальны и что они затрагивают самые глубокие основы
физики XIX века.
Преж ге всего теория относительности Эйнштейна потребовала коренного пересмотра
физических представлений о таких фундаментальных понятиях, как пространство и время.
Но еще до того, как ученые восприняли эту революционную ломку сложившихся представ-
лений, возникла новая группа далеко идущих вопросов, касающихся физической природы
из «учения и вещества, их сходства и ра тличия, вопросов, относящихся к внутреннему
строению атомов и к происхождению незадолго до того открытой радиоактивности. По-
пытки ответить на эти вопросы, предпринятые в первые годы нашего века, завершились
созданием современной квантовой теории
В этой главе мы дадим краткий очерк возникновения квантовой теории. Мы опишем
эксперименты, которые привели к открытию электрона п кванта излучения. Затем мы уви-
дим, что электроны и световые кванты обладают удивительно близкими свойствами этот
решающий факт непосредственно привел к первоначальной формулировке основных поло-
жений квантовой теории. В гл. 13 мы рассмотрим, как исследование атомных излучений
содействовало развитию этой теории. В последующих главах будут изложены современные
представления о строении молекул и твердых тел, а также атомных ядер. В данной главе
мы приступим к изучению наиболее важной в современной физике теории — квантовой
теории, которая находится в центре обширнейшей области физических исследований сегод-
няшнего дня.
Приступая к изложению, напомним коротко то, что уже рассматривалось выше, а именно
существование и свойства электрона. Рассматривая природу электрического тока, мы уже
использовали тот факт, что электрон является элементарным носителем отрицательного
электричества. Было рассказано также об эксперименте Милликена по измерению заряда
электрона Можно сказать, что мы уже усвоили представление об электроне, однако изуче-
ние современной физики, и в частности квантовой теории, удобно все же начать с описания
экспериментов, которые о гнаменовали новую эпоху в физике, с экспериментов Томсона,
в которых был открыт электрон
12.1. Электроны
КАТОДНЫЕ ЛУЧИ. Можно считать, чго
начало современной физики датируется от-
крытием электрона. В конце 80-х годов
прошлого столетия многие экспсрпменia-
торы наблюдали электрический разряд, ко-
торый возникал, если в частично откачанной
трубке помешались электроды, соединенные
с источником высокого напряжения*. Однако
природа этого разряда оставалась непонят-
ной. В 1897 г. английский фпзик Джозеф
Джон Томсон (1856—1940), исследуя свой-
сгва части, принимающих учащие в элек-
трическом разряде, окончательно установил
* Знакомый всем пример этого явления све
чение неоновых трубок, используемых в световой
рекламе.
390
12. Основы квантовой теории
атомистический характер отрицательного
электричества
Томсон проводин эксперименты с раз-
рядными трубками, из которых омачи-
вался воздух. Схема устройсзва таких тру
бок показана па фиг. 12 1 (на фиг. 12.2 при-
ведена фони рафия одной из разрядных тру-
бок Томсона). При наложении высокою
напряжения между электродом ( (огрица
тельным электродом, или катодом) и элек-
тродом Л (положительным электродом, или
анодом) через электрическую цепь и про
странство между А и С в разрядной трубке
идет электрический ток, который регнетри
рустся амперметром V/. Частично этот ток
обусловлен потоком отрицательных заря-
дов перемещающихся от С к А Это следует
из того, что атомы остаточного газа в от-
качанной трубке испускают свет возбужда-
ясь при прохождении тока через трубку, и
делают видимым путь зарядов в трубке
Если в аноде А проделать отвере i не, iо часi ь
отрицательных зарядов пройдет через эго
отверстие Сформированный с помощью oi-
верстия во втором кольце В пучок отрица-
тельно заряженных частиц затем выходиi
в расположенную справа oi В секцию труб-
ки, имеющую более крупные размеры Здесь,
падая на флуоресцирующий экран В. заряды
создают на нем ярко светящееся пято.
Отклоняя эти катодные лучи с помощью
электрического и магнитного но 1ей. Томсон
пришел к заключению, что они состоят из
Фи!. 12.1. Устройство рачр.чдной трубки, ис-
пользованной 1 ом с оном в исследованиях ка-
тодных лучей (пучков электронов).
отрицательно заряженных частиц вещества
Он смог также измерить отношение заряда
к массе е т для эт их частиц, оказавшееся
равным 6 7-1017 ед. СТСЭ'г Этот резуль-
тат несмотря па нет очность измерений Гом-
сопа не так уж далек от принятого теперь
значения
— 5,27 • 1017 ед. СГСЭ г. (12.1)
т
Томсон, кроме того, нашел, что опюше
нпе е т не зависит ot состава газа в разряд-
ной । рубке и от материала катода (на кото-
ром возникают катодные лучи) Из своих
опытов он сделал вывод, что катодные лучи
предс!авляю! собой поток крошечных но
отличающихся от аюмов частиц вещества,
являющихся носителями электричества и
совершенно одинаковых независимо от свое
го происхождения. Этими частицами явля-
ются просто электроны
АНОДНЫЕ ЛУЧИ Исследования электри-
ческого разряда в iрубках показали, что,
помимо катодных лучей, в нем возникают
и анодные лучи, представляющие собой по-
ток положительно заряженных част ни, иду-
щий в сторону, противоположную катодным
лучам. Природа анодных лучей зависит от
12.1. Электроны
391
Фиг. 12.2. Фотография установки ,1м: Дж
Томсона От определения отношения ет
cociaea газа, присутствующего в разрядной
трубке. Оказалось, что они сосюя! из поло-
жительно заряженных атомов (или молекул)
этого газа. Измерение отношения ет для
анодных лучей в водороде дало значение,
примерно в 1000 раз меньшее, чем для элек-
тронов (Теперь известно, что для иона
водорода, г. е протона, отношение ет в
1836 раз меньше, чем для электрона)
Сведения о свойствах анодных лучей на-
ряду с результатами экспсримепюв Томсона
над катодными лучами привели к несколь-
ким важным выводам. Катодные лучи суть
электроны, возникающие внутри вещества,
иными словами, они возникаю! из атомов
но электроны не могут служи 1Ь характери-
стикой атома, из которого они появляются
С другой стороны анодные лучи суть сами
атомы. Когда электроны в составе катот-
ных лучей сталкиваются с аюмами газа в
разрядной трубке, они выбивают из атомов
электроны (которые добавляются к потоку
электронов в |рубке), сообщая при эюм
атомам положительный заряд. Эти заря-
женные атомы называются ионами Прос тей-
шим из них являекя ион водорода про
тон
В своей статье в 1897 i. Томсон высказал
соображения по поводу размеров элек!рона
К тому времени уже было известно чю мо-
лекулярные ионы (анодные лучи) могут про-
ходить в воздухе лишь незначительное рас-
стояние электроны же до полной потери
кинетической энергии могут пролецть го-
раздо большие рассюяния. Длина пробы i
Таблица 12.1. Свойства электрона
Заряд е
Масса т
Собственная энергия »>tc2
Отношение заряла к массе едп
4,8032 К) ‘° ед СГСЭ
1,6022 10 19 Кл
9,1096 10 8 г
0,511 004 МэВ
5,2728 1017 ел СГСЭ
392
12. Основы квантовой теории
ионов и электронов в воздухе (как и в любом
другом веществе) зависит только от частоты
их столкновений с молекулами воздуха.
Отсюда Томсон заключил, что эвек троны
должны иметь много мепыиие размеры,
чем молекулярные ионы, и, следовательно,
гораздо реже испытывать столкновения с
молекулами; а раз электроны на единице
пути испытывают меньше столкновений, тор-
мозящих их движение, они должны иметь
больший пробет в веществе, чем ионы
12.2. Излучение абсолютно черного
тела и кванты
nFKIP ИЗЛУЧЕНИЯ, В то время как
Томсон надежно установил существование
-электрона и определил некоторые ею свой-
ства, другие физики бились над иной зада-
чей, решение которой также явилось крупной
вехой в разработке квантовой теории. Эта
задача касалась распределения энерт ии в
спектре излучения испускаемо! о раскален-
ными твердыми телами
При нагревании твердого тела оно рас
каляется и начинает испускать излучение в
непрерывной области спектра. Часть этого
излучения соответствует видимой области
спектра электромагнитных волн, блатодаря
чему мы и можем наблюдать свечение разо-
гретого куска вещества. Доля видимой не-
фти . 12.3. Абсолютно черное тело.
Его и> угчеиие иожои выходить только через ма-
лое отверс тис При men ioeo.il равновесии испуска-
емое тс юм излучение характеринет темпера-
туру тела.
вооруженным т лазом части излучения эави-
сит от темпера 1уры Тела; остальное излуче-
ние приходится на области бо тее коротких
и более длинных волн по сравнению с види-
мым излучением.
Рассмотрим теперь полость внутри ве-
щества, в которой проделано маленькое
отверстие во внешнее пространство
(фиг. 12.3). Приведем это вещество в тепло-
вое равновесие при некоторой температуре
Г*. В идеальном случае излучение будет
покидать тело только через отверстие(по-
добно излучению из топки, выходящему
через приоткрытую дверцу печи) Поэтому
можно сказать, что. за исключением малень-
кого отверстия, тело в таком случае будет
черным. Подобное идеальное тело называ-
ется абсолютно черным телом.
Если определить длины волн излучения,
выходящего через отверстие в абсолютно
черном теле при некоторой равновесной
(емпературе*, то мы найдем, что они обра-
туют непрерывный спектр, т. е. в спектре
излучения присутствуют все длины воли и
существует определенная вероятность излу-
чения каждой из этих длин волн спектра
независимо от того, каким способом под-
держивается тепловое равновесие тела.
На фиг. 12 4 показана форма спектра излу-
чения для нескольких равновесных темпера-
тур. Видно, что каждая из кривых имеет мак-
симум при длине волны, обозначенной z.„
а также, что 2„, уменьшается при повышении
температуры. Таким образом, тело, испу-
скающее яркий желтый свет, горячее тускло-
красного тела. Полное количество излуче-
ния растет с повышением температуры (этот
рост происходит пропорционально Т**)
Экспериментально было установлено, что
эначепие Л™ меняется в зависимости от Т*
согласно соотношению
Лт |см| — т~ ' (!2-2)
* Разумеется, дли того чтобы поддерживать
те ю при посто янной температуре, когда оно ис-
текает излучение, к телу надо все врем.я подво-
дить энергию, это можно сделать, по крайней
мере в принципе, установив в веществе вокруг по-
мета маленький электрический подог ревите /ь
12.2. Излучение абсолютно черного тела и кванты
393
где 7* — равновесная абсолюшая темпера-
тура
Многие нагретые тела (например, нагре-
ваемые электричеством проволочные спи-
рали) сильно отличаются от абсолютно чер-
ного тела, показанного на фиг. 12.3; однако,
несмотря на это, они излучают практически
как абсолютно черные тела.
КРУШЕНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ИЗЛУЧЕНИЯ. Было сделано много попы-
ток объяснить форму спектра изтучения аб-
солютно черного тела в рамках классической
элект рома! нитной теории. Две из таких
попыток принадлежали Максу Карлу Вину
(1866—1938) и лорду Ртлею (1842 1919)
Сравнение предсказаний разработанных ими
теорий с экспериментальным спектром дано
на фиг. 12.5. Видно, что пи одна из теорети-
ческих кривых нс позволяет удовлствори-
1ельно описать экспериментальные данные:
кривая Вина расходится с опытом в длинно-
волновой области, а кривая Рэлея только
в этой области сот тасуется с опытом. Та-
ким образом, классические теории оката 1ись
не в состоянии объяснить форму спектра
излучения абсолютно черного тела, и поло-
жение оставалось неудовлетворительным до
тех пор, пока немецкий физик Макс Планк
(1858 1947) не сделал смелою шага вперед.
КВАНТОВАЯ ГИПОТЕЗА ПЛАНКА.
В 1900 г. Планк попытался осуществить то,
что не удавалось Вину, Рэлею и другим уче-
Фит. 12.4. Спектры излучения абсолютно чер-
ного те га при нескольких различных темпе-
ратурах.
По мере возрастания температуры максимум
кривых смещается к меньшим длинам волн. (Ви-
димая часть спектра простирается примерно от
4 10~5 до 7 КГ’ см.)
Фит. 12.5. Сравнение полученного в экспери-
менте спектра излучения абсолютно черного
тела (красная кривая) с результатами тео-
рии Вина и теории Рэлея, видоизмененной
Дж. Джинсом.
394
12. Основы квантовой теории
Фш. 12.6. Макс Планк. лауреат Нобелевской
премии по физике 1918 г. за квантовомехани-
ческое объяснение спектра излечения абсо-
лютно черного тела.
пым, - объясни гь в деталях форму спектра
излучения абсолютно черного тела для всех
длин волн, а не только для длинноволновой
или коротковолновой областей спектра.
Планк получил единую формулу., которая
правильно воспронзвс шла весь спектр, но
она не имела никакого теоретического обо
снования. Пытаясь обосновать эту форму
лу, Планк вынужден был сделать совер-
шенно необычное предположение о том,
что обмен тпергией между излучением и
веществом, в котором проделана полосы,
не может происходить непрерывным обра-
зом. Вместо этою Планк выдвинул гипо-
тезу, чю обмен происходит дискретными
порциями, квантами. При этом количество
энергии, сопоставляемое квапту с частотой
v, равно некоторой постоянной, умножен-
ной па v, т е.
Е h>.
(12.3)
где /т - коэффициент пропорциональности,
ныне известный под названием постоянной
П шика Эта постоянная чрезвычайно мала:
h — 6,625 • 10~27 эрг • с. (12.4)
Поэтому в каждом кванте «заключено» край-
не малое количество энергии. Не удивитель-
но, чго в больших количествах энергии ее
дискретная природа незаметна, поскольку
небольшое изменение числа квантов оказы
вается пренебрежимо малым
В го время, котла Планк разрабатывал
теорию излучения абсолютно черного тела,
еще не было прямых экспериментальных
доказательств существования квантов излу-
чения; единственное, что говори то в их
пользу, это необходимость квантов дтя объ-
яснения спектра излучения абсолютно чер-
ного тела. В результате предложенный План-
ком метод описания этого спектра большин-
ство физиков того времени восприняло лишь
как «ловкий фокус», не имеющий серьезных
научных оснований. В 1900 г. еще придержи-
вались мнения, что все физические процессы
протекают непрерывно, и даже сам Планк
не шел столь далеко, чтобы предположить
квантовую природу всего элект ромагиитного
излучения: он полагал, что квантовая гипо-
геаа имеет отношение лишь к обмену энер-
гией между излучением и полостью В ре-
зультате действительно ве тикая итея, кото-
рой было лостат( ню, чтобы попять природу
излучения, — гипотеза о квантах — осталась
незамеченной и не получила немедленного
развития.
Идея Планка пребывала в забвении в те-
чение нескольких лет. Затем ею воспользо-
вался Эйнштейн для объяснения фотоэлек-
трического эффекта (описываемого в сле-
дующем разделе). Эйнштейн развил эту
гипотезу и постулировал, что все электро-
магнитное излучение имеет квантовый ха-
рактер (состоит из квантов излучения —
фотонов). В конце концов, идея П танка
получила признание в научном мире, и в
1918 г. ему была присуждена Нобелевская
премия ио физике за введение понятия кван
тов и объяснение спектра излучения абсо
лютно черного тела
12.3. Фотоэлектрический эффект
395
Пример 12.1
Тело массой 1 г падает с высоты Н = 1 см Если принять, что энергия, приобретенная телом
при падении, излучается в виде желтого света (z 6 10 см), то сколько будет испущено
фотонов?
Энергия. приобре1енная телом при падении, в точности равна его первоначальной потен-
циальной эперт ИИ
£n0T — mgH 1 г • 980 см с2 3 • 1 см — 980 эрг.
Энергия каждого фо юна желтого света составляет
г. , he 6,6 10"27эрг • с 3 • 1010 см/с „ 1п
Е hv — ------------------------------ 3 • 10 12 эрг,
Л 6 10-5 см н
так что с отдельным фотоном связана лишь ничтожно малая энергия. Следовательно,
число фотонов равно
980 эрг ~ 3 1014
3 • 10-12 эрг
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ АТОМНЫЕ ПО
СТОЯ ИНЫЕ. Постоянная Планка завер-
шает наш перечень фундаментальных атом-
ных постоянных с, те, е и h. Все друт ие важ-
ные величины, фитурирующие в теории ато-
мов представляют собой либо целые крат-
ные, либо комбинации названных постоян-
ных. Вследствие отромной величины с и
столь же существенной малости те, е и /т
связанные с этими постоянными физические
явления остаются совершенно незаметны-
ми в нашей обыденной жизни Именно по
этой причине истинная природа атомных
явлений не бы та вскрыта вплоть до тех пор,
тюка нс была создана тончайшая аппаратура
для измерений эффектов, происходящих в
атомах
Таблица 12.2. Фундаментальные атомные
постоянные
Скорость света с
Масса электрона те
Заряд электрона е
Постоянная
Планка h
2,9979 10’° см с
9,1096 1 0 28 г
4,8032 10 '° ел СГСЭ
6,6262 10’27 эрт с
12.3. Фотоэлектрический эффект
ВЫБИВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ СВЕТОМ
Генрих Герц, первооткрыватель электромаг-
нитных волн, в 1887 г. впервые обнаружил
что яркость электрической искры, проска-
кивающей между двумя высоковольтным и
электродами, увеличивается, если электроды
освещать ультрафиолетовым светом. Сразу
же вслед за Герцем эго явление начали нсслс
довать другие ученые; удалось, например
выяснить, что при освещении ультрафиоле-
том чистая цинковая пластинка приобре-
тает положительный электрический заряд,
(фиг. 12.7). Оба эти эффекта можно объяс-
нить, предполагая, что под действием пала
тощего света из вещества вылетают электро-
ны. В опыте Герпа выбитые электроны спо-
собствовали увеличению проводимости иск
ровото промежутка между электродами, и
в результате облучение электродов ультра-
фиолетом увеличивало яркость искры
В опыте с цинковой пластинкой в резу тыате
выбивания электронов ультрафиолетовым
излучением на пластинке оставался положи-
тельный электрический заряд. Явление вы-
бивания электронов из вещества светом
получило название фотоэлектрического эф
396
12. Основы квантовой теории
Фиг. 12.7. Фотоэлектрический эффект.
Ультрафиолетовый свет падает на металличе-
скую. например цинковую, пластинку, выбивает
из нее электроны, и п ластинка по южите льно за-
ряжается.
Фиг. 12.8. Установка дм изучения фото-
эффекта.
„Чвижение электронов высокой энергии, вы лелпало-
лцллх из п.ласлпины А. тормозится отрицательны м
напряжением .между п метинами В лл А
фекта (или фотоэффекта). Таким образом,
по иронии судьбы Герц, считавший волно-
вую теорию света «истиной в последней
инстанции», сам же случайно обнаружит
явление, коюрое оказалось первым убеди-
тельным свиде । ельст вом в пользу корпус-
кулярной природы света.
Качественное объяснение фотоэффекта как
процесса выбивания электронов из вещее 1ва
свето.м отнюдь не было революционным.
В то время полаэали, чго свет представляет
собой переменные электрическое и магнит-
ное поля, которые переносят электромаг-
нитную энергию. Предс1авлепис о том. что
электромагнитные волны могут передавать
энергию электронам в металле и что при
наборе электроном дос i а точной энергии он
может вылеэать за пределы металла, вполне
соответствовало классической теории. Одна-
ко дальнейшие экспериментальные иссле-
дования фотоэффекта обнаружили, что не-
которые стороны этого явления расходятся
с предсказаниями классической электромаг-
нитной теории
РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО
ФОТОЭФФЕКТУ. Количественные сведе-
ния о фотоэффекте были получены с помо-
щью установки, подобной тон, которая
схемаэически изображена на фиг. 12.8 Внут-
ри откачанной трубки расположены две
пластины А и В, присоединенные к источнику
напряжения; в ту же цепь включается прибор
для измерения тока (гальванометр или ам-
перметр). Пластина А представляет собой
фотоэмиссиопную поверхность, при облу-
чении ультрафиолетовым светом из нее вы-
летают электроны, пластина В служит для
собирания этих электронов. На этой уста-
новке можно проводить измерения зависи-
мости тока элекэропов от частоты и интен-
сивности ультрафиолетового излучения, а
также от величины напряжения между плас-
тинами А и В. На этой установке можно
также исследовать зависимость фотоэффек
та от характера материала, из которого
изготовлена фотоэмиссионная поверхность.
Оказалось, что некоторые вещества, напри-
мер литий, натрий и калий, испускают фото-
электроны при облучении видимым синим
светом, однако в большинстве других ве-
12.3. Фотоэлектрический эффект
в
3
з-
*
<и
е
с
е
а
з
?
с;
397
шеств фотоэффект происходит только при
облучении ультрафиолетовым излучением
более высокой частоты.
Один из важных экспериментов при иссле-
довании фотоэффекта состоит в измерении
максимального тормозящего потенциала,
который тормозит лаже самые быстрые
фотоэлектроны, вылетающие из пластины А
при облучении ультрафиолетовым светом
определенной частоты. Подавая на пласти-
ну В отрицательный потенциал относитель-
но пластины А. можно затормозить движе-
ние электронов от А к В. Если тормозящий
потенциал достаточно велик, то ни один
электрон не сможет достичь пластины В и
амперметр в цепи покажет нуль. Таким обра-
зом, повышая отрицательный потенциал В
и регистрируя при этом электрический ток
в цепи, можно определить потенциал Ко,
необходимый для полною запирания тока.
Подобные измерения привели к важному
результату: оказалось, чго значение V,, воз-
растает прямо пропорционально частоте
падающего на пластину А ультрафиолето-
вою света. Затем была обнаружена гранич-
ная частота v0, ниже которой фотоэлектро-
ны не появлялись, какой бы ни бы ia интен-
сивность падающего излучения. Выяснилось
также, что при любой частоте выше v0
число выбитых фот оэлектронов прямо про-
порционально интенсивности ультрафиоле-
тового излучения.
Фит. 12.9. Наибольший тормозящий потен-
циал. который могут преодолеть фотоэлек
троны, прямо пропорционален частоте ульт-
рафиолетового излучения при условии. что
она выше граничной частоты v = v0-
Точками показаны результаты измерений, про-
веденных на двух различных веществах при не-
скольких значениях частоты излучения Обе пря-
ные имеют одинаковый наклон, но разные гранич-
ные частоты.
Зависимость Ц, от частоты ультрафиоле-
тового излучения иллюстрирует фит. 12.9.
Все экспериментальные точки для данного
вида материала хорошо ложатся на прямую
линию, которая пересекает ось абсцисс при
v = v(>. Поэтому соотношение между Ц, и г
можно записать в виде
У0 = а(ч — v0), (12 5)
где а — постоянная, равная наклону прямой.
Оказалось, чго для фотоэмиссионных по-
верхностей из различных материалов полу-
чается зависимость в виде прямых с одинако-
вым наклоном., различающихся только зна-
чениями граничной частоты v0, характерной
для каждого материала (фиг. 12.9). Если
электрон останавливается при разности по-
тенциалов между плас। инами, то его
кинетическая эиер! ия £кии е т. е. е V{}
максима гъная кинетическая энергия выле-
398
12. Основы квантовой теории
тевших электронов. (Электроны, высвобо-
дившиеся под поверхностью вещества долж-
ны потерять час!ь своей кине1ичсской энер-
гии, прежде чем они выйдут наружу.)
Таким образом, теории фотоэффекта пред-
стояло объяснить следующие эксперимен-
тальные факты:
1 Oi интенсивное!и падающею ультра-
фиолетового света зависит только число
вылетевших электронов, но не зависит тор-
мозящее напряжение, необходимое для их
остановки (иными словами энергия выле-
тевших электронов).
2. Максимальная энергия фотоэлектронов
определяется только частотой ультрафиоле-
тового излучения
3. Для каждого вещества существует опре-
деленная граничная частота v(„ такая, что
ультрафиолетовое излучение меньшей час-
тоты не может выбивать фотоэлектроны,
какой бы ни была интенсивность излучения.
Однако если v >• v0, то даже очень слабое
улырафиолетовос излучение выбивает (хотя
и малочисленные) фотоэлектроны. При этом
между моментом включения источника излу-
чения и вылетом фотоэлектронов нет за-
держки во времени.
ОБЪЯСНЕНИЕ ФОТОЭФФЕКТА ЭЙН
ШТЕЙНОМ Согласно классической тео-
рии, ультрафиолетовое излучение сообщает
энергию фотоэмиссионной поверхности, и
как только па одном из электронов сконцент-
рируется достаточная энергия, он вылетает
с этой поверхности. Следовательно, класси-
ческая физика может объяснить первую по-
ловину первого из приведенных эксиеримсн
зальных фактов. Но она совершенно нс в
состоянии объяснить остальные факты. На-
пример, если интенсивность ультрафиолс
тового излучения мала, то классическая фи-
зика говорит что должно пройти некоторое
время, прежде чем на одном из электронов
соберется достаточная для вылета энергия
но это предсказание противоречит третьему
экспериментальному факту
В 1905 г Эйнштейн предложил теорию
которая давала объяснение сразу всей сово-
купности экспериментальных сведений о фо-
тоэффекте. Эйнштейновская теория фото-
эффекта удивительно проста и красива; для
Фиг. 12.10. Механическая аналогия фото-
эффекта.
Для того чтобы шарик «вылетел» из ямки и по-
катился да /ьше со скоростью V. ему нужно со-
общить достаточную энергию
нее характерны такие же краткость и эле-
т антность, что и для теории относительности
(предложенной Эйнштейном в том же го-
лу*). Эйнштейн обобщил высказанную
Планком гипотезу о квантовании обмена
энер!иен и предположил, чю новое элек-
тромагнитное излучение существует в фор-
ме дискретных сгустков электромагнитной
энергии, названных квантами. или фото-
нами. Затем он принят, чго при взаимо-
действии с веществом фотон ведет себя по-
добно частице и передаст свою энергию нс
веществу в целом, и даже нс атому в целом,
а голько отдельным электронам Существо-
вание граничной энергии фотоэффекта обус-
ловлено тем, что для освобождения электро-
на из вепгсст ва ему надо передать некоторое
количество энергии (даже если по выходе из
вещества его кинетическая энергия равна
нулю). Наконец, для разных веществ эта
граничная энергия имеет разные значения
Согласно Эйнштейну, кинетическая энер-
гия фотоэлектрона должна быть равна раз-
ности между энергией фотона падающего
ультрафиолетового излучения и минималь-
ной энергией, необходимой для освобожде-
ния электрона из вещества (называемой
работой выхода этого вещества), т. е.
кинетическая энергия фотоэлекгрона
= энергии фотона — работа выхода.
(12.6)
Используя для энергии фотона выраже-
ние hv [формула (12.3)] можно записать
* Наконец, в том же году появилась разработан-
ная Эйнштейном теория броуновского движется.
Поразите 1ьный пример взлета научного гения!
12.3. Фотоэлектрический эффект
399
соотношение (12.6) в виде
Екин = A v — ф,
(12.7)
где if —работа выхода для данного веще-
ства.
В качестве механической аналогии этого
объяснения фотоэффекта рассмотрим шарик
массы ж. покоящийся в ямке (фиг 12.10)
Если шарику сообщить достаточную энер-
ГИЮ £, он выскочит из ямки высотой // и
еще покатится по земле со скоростью v.
Уравнение энергии для такого процесса име-
.ет вид
— mv2 = Е — mgli.
В этом выражении mgH «работа выхода»
шарика из ямки (г. е. высота погенциального
барьера, который нужно преодолеть шари-
ку), а Е аналогично энергии фотона.
Пример 12.2
Чему равна максимальная кинетическая энср1ия фотоэлектронов, выбитых из магния Сия
него у 3.7 эВ) при облучении ею ультрафиолетовым светом с частотой 1.5-10” с 1 ?
Энергия фотона с частотой 1.5-10” с1 равна
Av 6,6 • 10-27эрг • с • 1,5 10’5 с’1
9 9 10 12 эрг = 6,2 эВ.
1,6- 10 12 эрг/эВ
Следовательно, максимальная кинетическая энерт ия
Еки„ — Av — <р — 6,2 — 3,7 — 2,5 эВ
Электроны, выбитые с фотоэмиссионной
поверхности при облучении ультрафиолето-
вым светом в действительности имеют раз-
личные кинетические энерт ии поскольку
электроны, освобожденные в толще мате-
риала, до выхода с поверхности теряют
энергию при столкновениях с атомами*
Поэтому в описанных выше опытах тормо-
зящий потенциал снижающий ток элект-
ронов до нуля, соответствует кинетической
энертии самых быстрых электронов Эта
кинетическая энергия £>„„ = еЕ0, гак что
* Еще более важно то обстоятельство что
расположенные в глубине атома э 1ектроны тре-
буют для своего освобождения больше энергии,
чем внешние атомные электроны Эти вопросы
структуры атомов будут рассмотрены в гл. 13
и 14.
формулу (12.7) можно привести к виду
eV0 — Av — <р, (12.8)
ИЛИ
vo= — b-v0), (12.9)
е
где ч> /т»'о. Сравнивая последнее выраже-
ние с формулой (12.5), мы видим, что коэф-
фициент пропорциональности а, согласно
теории Эйнштейна, должен быть равен част
ному от деления постоянной Планка на заряд
электрона: а = hie.
Тщательные измерения фотоэффекта для
нескольких химических элементов были про-
ведены, начиная с 1916 г американским
физиком Робертом Милликеном (1868
1953). Эти измерения показгцш, что наклон
400
12. Основы квантовой теории
Таблица 12.3. Некоторые характеристики различных виоов электромагнитного ич пченич
Вид излучения Характерная длина волны Частота, с 1 Энергия фотонов
Гамма-лучи 10“11 см ЗЮ21 12 МэВ
Рентгеновские лучи 10 9 см 3 Ю19 120 кэВ
Ультрафиолетовые лучи КГ’ см = 1000 А 3 IO,S 12 эВ
Видимый свет (желтый) 6 1(Г 5 см -6000 А 5 1014 2 эВ
Инфракрасные (тепловые) лучи 10“' см ЗЮ13 0 12 эВ
Микроволновое излучение 1 см ЗЮ10 1,2 1(Г4 эВ
Радиоволны ЗЮ4 см - 300 м 106 4- 1(Г9 эВ*
* Длина ноты здесь столь велика и соответствующая ей энергия сто 1ь ма ю. что квантовый харак-
тер радиоволн совершенно несуществен Иными с юва ин. энер. *ия отде энного кванта paduoin п'чения
столь ма ia. что мы не можем назвать эксперимента, в котором бы такой квант вызвал измеримый
эффект.
Таблица 12.4. Фотоэлектрические свойства некоторых элементов
Элемент Работа выхода. эВ Граничная час- тота 101* с~1 Граничная длина волны. А
Цезий 1,9 4,6 6500
Калий 2,2 5,3 5600 Видимый
Натрий 2,3 5,6 5400 свет
Кальций 2,7 6,5 4600
Магний 3,7 8,9 34001 Ультра- фиоле I
Серебро Никель 4,7 5,0 11 4 12,1 2600 2500
прямой, харак i-еризующей зависимость Vo
от V, в самом деле согласуется с предсказа-
нием >еории Эйнштейна, т е. этот наклон
для всех прямых действительно равен a hie.
Скомбинировав результаты точных измере-
ний наклона прямых с результатами прове-
денных до этого Милликеном определений
величины заряда электрона (раздел 8.5),
получили наилучшее для того времени зна-
чение постоянной П танка. (В последующие
годы для точных определений величины h
использовались другие методы)
Пример 12.3
При облучении серебра ультрафиолетовым светом с длиной волны ИМИ) А для полною
прекращения тока фотоэлектронов требуется напряжение 7,7 В. Чему равна работа выхода
для серебра?
Прежде всего энерюя фотона с длиной волны 1000 А равна
, he 6,6-10 --эрг с-3 10,0см/с
пч —---------——-----------------------— = 12,4 эВ
л 1,0-10-5 см 1.6-10-12 эрг эВ
12.4. BojHbi uju частицы? Два решающих эксперимента
401
Тогда
Ф Av — eV0— 12,4 -7,7 4,7 эВ.
(Мы использовали то „обстоятельство, что энергия электрона, который тормозится на-
пряжением 7,7 В, равна 7,7 эВ)
За теорию фотоэлектрического эффекта
(а вовсе не за теорию относительности!)
Эйнштейн был на 1 раж сен в 1921 г. Нобелев-
ской премией. Милликен получил Нобелев-
скую премию в 1923 г. за экспериментальные
работы по онреде тению численных значе-
ний е и h.
12.4. Волны или частицы?
Два решающих эксперимента
ДИЛЕММА ВОЛНЫ ИЛИ ЧАСТИЦЫ
Волновая природа света была установлена
в начале XIX века, когда ряд эксперимен-
тов по дифракции и интерференции света
штспроверт конкурировавшую с волновой
корпускулярную leopmo света. Теория фо-
тоэффекта Эйнштейна снова вызва ia к жиз-
ни вреде 1 ав ieime о свете, как о потоке
час । пн —по крайней мерс при взаимодей-
ствии света с атомными э тек тронами. Нс
означает ли это, что надо отбросить вол-
новую теорию н вернуться к старой кор-
пускулярной теории света? Или же в этом
специфическая особенность света, прояв-
ляющею го волновые, то корпускулярные
свойства? Если это так, то как узнать, когда
должны проявляться те и дру1 ие свойства
ceeia?
Эти вопросы возникли в связи с предпо-
ложением о квантовой природе электромаг-
ни итого излучения. В равной степени важен
вопрос о свойствах частиц- если свет играет
двойственную роль (то частиц, то волн),
то, может быть, и электрон, который мы до
сих нор всегда считали частицей, ведет себя
подобно вотне?
Ответы на эти вопросы были потучепы
в 20-х годах нашего столетия в серии экспе-
риментов, выполненных в США и Англии.
Эксперименты недвусмысленно показали,
что и свет, и электроны могут обнаруживать
свойства как волн, Дак и частиц. Этот кор-
пускулярно-волновой дуализм затем был
введен в качесюе основополагающего факта
в создаваемую в те годы волновую механику,
или квантовую теорию. Первый из упомяну-
тых экспериментов касается корпускулярно-
го поведения излучения, второй демонстри-
рует волновые свойства электронов.
КОМПТОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ. Если
эйнштейновское истолкование фотоэлектри-
ческого эффекта правильно и если для выби-
вания электрона необходимо, чтобы фотон
взаимодействовал только с этим электро-
ном, то Ю1да дотжен наблюдаться процесс
рассеяния, в котором фотон и электрон
взаимодействуют подобно двум сталки-
вающимся шарам. В 1924 г. американский
физик Артур Комптон (1892 1962) проде-
монстрировал наличие такого процесса.
Описывая эксперимент Комптона, мы для
простоты будем счи1а1ь электроны свобод-
ными частицами. Однако из экспериментов
по фотоэффекту нам известно, чю электро-
ны евчзаны в веществе причем энергии связи
имеют порядок нескольких электронвольт
В своем эксперименте Комптон использовал
фотоны реп 11еповских лучей с энергией
17,5 кэВ. Поскольку эта энергия намного
превышает энер ию связи электронов, мы
не сделаем заме!ной ошибки, считая элект-
роны свободными машинами
Пус ть фо юн с энерюей hv падает на по-
коящийся электрон (фиг 12.11). Рассмотрим
задачу строго классически. (Правда, когда
мы имеем дело с быстро движущимся элект-
роном. надо принимать во внимание эффек-
ты теории относительности.) Мы запишем
три уравнения, которые выражают следую-
щие утверждения:
1. Сохранение энергии: энер1 ия до ст олкно-
вепия (энер1 ия фо юна hv плюс энергия покоя
элек1рона) должна равняться энер1 ии после
26—779
402
12. Основы квантовой теории
Фш 12.11. Схема комптоновского рассеяния
фотона с энергией ftv иа э юктроне
столкновения (энергия /iv' рассеянного фо-
тона плюс полная энер1 ия получившего
отдачу элек1рона).
2. Сохранение компоненты импульса в на
правлении падающего фотона', импульс па-
дающего фотона р — Etc = hv 'c должен рав-
няться сумме компонент импульсов элект-
рона и рассеянною фотона в направлении
падающего фотона.
3. Сохранение компонент импульса в на-
правлениях. перпендикулярных направлению
падающего фотона: поскольку до столкнове-
ния импульс в поперечных направлениях
отсутствовал, полный импульс фотона и
электрона в этих направлениях после столк-
новения также должен быть равен нулю
иными словами, поперечные компоненты
импульсов рассеянного фотона и испы-
тавшего о 1 дачу электрона должны быть
равны по величине и противоположно на-
правлены
Выписав все эта уравнения и осуществив
необходимые (но трудоемкие) математиче-
ские действия, мы получим следующее соот-
ношение, которое связывает частоту v' рас-
сеянного фотона с частотой v падающею
фотона и углом рассеяния 0
_L = -L-b_A_ O-cose), (12.Ю)
v тес*
или, переходя от частот к длинам волн,
согласно соотношению л c/v,
л'— л Н—-—(1—cos 6). (12 11)
m^c
Величина hl тес называется комптоновской
длиной волны элещрона; ее численное зна-
чение равно
—— = 2,426 • 10~10 см (12 12)
тес
Эго длина волны фотона с энергией, рав-
ной тес2 — собственной энергии электрона
Комптои измерил величину л в зависи-
мости от в для нескольких различных длин
волн л падающих фотонов и получйл ре-
зультат, согласующийся с соотношени-
ем (12.11). Тем самым он продемонстриро-
вал. что фо гопы ведут себя подобно части-
цам не только в фотоэффекте, но и в про-
цессах рассеяния. За эти эксперименты и
истолкование их результатов Комптон в
1927 г был удостоен Нобелевской премии
по физике.
Пример 12 4
Фотон рентгеновских лучей с энер| ией 100 кэВ рассеивается на угол 90 Чему равна энергия
фотона после рассеяния?
Разделив обе чаши соотношения (12.10) на ft, найдем
—!— ——t-------—(1 —COSO).
/г/ h< тес
Подставляя сюда численные значения тгс2 511 кэВ и cos 90 0. получаем
— = ------------h -------,
ft/ 100 кэВ 511 кэВ
12.4. Волны или частицы? Два рещающих »ксперимента
403
или
h\ = 100 ' 511
1004-511
51100
611
— 84 кэВ.
Остальная энергия, разумеется, передается электрону:
Екин = 100 —84 - 16 кэВ.
ДЛИНА ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ Объясне-
ние фотоэлектрического эффекта Эйнштей
ном и эксперименты Комптона по рассея-
нию фотонов четко продемонстрировали,
что электромагнитное излучение обладает
такими свойствами, которые роднят его с
частицами вещества. В 1924 г молодой фран
цузский физик Луи Виктор де Бройль (род.
в 1892 г.) выдвинул в своей диссертации
предположение, что наряду с корпускуляр-
ным поведением волн должно обнаруживать-
ся и волновое поведение частиц.
Чтобы описать волну, нужно задать се
длину. Мы знаем, что импу тьс фотона свя-
зан с его
[см. (10.34)1
Е
Р-------=
с
.длиной волны соотношением
h*
h . ft
— t или A = —
A p
Де Бройль предположил, что точно тем же
соотношением должна описываться длина
волны, отвечающая движению частицы ве-
щества, т. е. длина волны де Бройля:
(12.13)
Не прошло и трех лет со времени появле-
ния замечательной гипотезы де Бройля (ко-
торая принесла ему в 1929 г. Нобелевскую
премию), как волновые свойства электрона
были продемонстрированы Дэвиссоном и
Джермсром в США и Томсоном в Англии,
обнаружившими дифракцию электронов Об
этих опытах мы вкратце расскажем ниже.
Пример 12.5
Чему равна длина волны электрона с энергией 10 эВ?
При столь низких энергиях электрона можно без заметной ошибки использова1ь фор-
мулы, не учитывающие эффектов теории относительности. Поскольку ЕКИИ 1, mv2 и
р = mv, мы имеем р — у/ 2теЕкиа, зак что
Р — I 2/Лг£КИ11,
) h ft 6,62 10~27 эрг • с _
Р У2теЕкан 2 • 9,11 -10"28 г • 10эВ1,60 10 «эрг/эВ
3,86 • IO’8 см - 3,86 А .
Фотон с той же длиной волны имел бы энергию
Е hv-^- 6-62' 10~” 9Pr._S.-.3. ..1010 см/с . = з,2 кэВ,
X 3,86 • 10 8 см 1 60 • 10“12 эрг эВ
т е. соогветс 1 вовал бы рен п еновским лучам
26*
404
12. Основы квантовой теории
Падающий
пучок
•d •
Дифраеированный
пучок
Фиг. 12.12. Падающий пучок рентгеновских
лучей (uju электронов) дифрагирует на ре-
шетке, образованной регулярно расположен-
ными атомами в кристалле.
ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУ
ЧЕЙ И ЭЛЕКТРОНОВ Если электроны,
прошедшие разность потенциалов в несколь-
ко тысяч вольт, направить на металлическую
мишень, то возникнет чрезвычайно корот-
коволновое излучение — рентгеновские лу-
чи В первые годы нашего века было сделано
много попыток измерить длины воли рент-
геновских лучей с помощью обычных ди-
фра коионных экспериментов, в которых ис-
пользовались дифракционные решетки с
большим числом штрихов на единице длины
(раздел 10.5) Эти эксперименты сопровож-
дались весьма скромным успехом до тех
пор, пока немецкому физику Максу фон
Лауэ (1879—1960) не пришло в голову ис-
пользовать в качестве дифракционных ре-
шеток расположенные периодически слои
атомов в кристаллах, расстояния между ко-
торыми порядка нескольких ангстрем.
В 1912 г Лауэ удалось получить картину
дифракции рентгеновских лучей на кристал-
ле кальцита. Расстояния между атомными
плоскостями в кристалле можно вычислить
приближенно, зная свойства кристалла. Про-
мер полученных дифракционных картин по-
казал, что длины волн ренттеповских лучей
имеют порядок 1 А, т. е много короче длин
волн ультрафиолетовых лучей
Дифракцию рентгеновских лучей схемати-
чески иллюстрирует фиг. 12.12, где точками
показано упорядоченное расположение ато-
мов в простой кристаллической решетке.
Ряды атомов отстоят на расстоянии d друг
от друга и образуют нечто вроде дифрак-
ционной решетки, через которую может
проходить излучение. В направлении, со-
ставляющем угол I) с направлением падаю-
щего пучка лучей, распространяются два
рассеянных луча, разность хода между ко-
торыми составляет JsinO. Поэтому если на
некотором расстоянии от кристалла помес-
тить фотопластинку, то она зарег иырирует
интерференцию обоих лучей, причем интер-
ференция будет конструк1ивной, если
</sin(? равно целому числу длин волн излу-
чения, и деструктивной, если JsinO равно
полуцелому числу длин волн. В реэулыате
на фотопластинке появятся чередующиеся
засвеченные и незасвеченные участки. По-
скольку кристалл в отличие ог двумерной
дифракционной решетки является трехмер-
ной атомной системой, число направлений
в пространы ве, по которым происходит
конструктивная интерференция, крайне огра-
ничено. В результате вместо характерной
для случая дифракции на системе щелей
дифракционной картины в виде линий при
дифракции на кристалле образуется сово-
купность пятен. Такая дифракционная кар-
тина (называемая лауэ раммой) показана
на фиг. 12 13, а. Если расстояния между
атомными плоскостями в кристалле извест-
ны, то, измеряя расстояния между пятнами
на лауэграмме, можно определить длину
волны падающего на кристалл излучения.
(На практике используют обрашый метод:
с помощью дифракции рентгеновских лучей
известной длины волны определяют де-
тали строения кристаллов*.)
Предположим, что вместо использован-
ных Лауэ монокристаллов мы в опыте по
дифракции применяем поликриста пы. По-
ликристаллы обычно состоят из большого
числа крошечных кристалтиков (называе-
* «Прямой» и «обратный» методы называв т
соответственно рент •еноспектра 1ьным и рент-
геноструктурны ч апаш юм Прим перев
12.4. Волны или частицы? Два решающих эксперимента
405
Фиг. 12.13. Лау эграммы образованные в ра-
зу льтате дифракции рентгеновских лучей (я)
и э сектропов (б) на кристалле каменной соли.
Светлые пятна — места на фотопластинке, за-
свеченные б лагодар.ч конструктивной интер
ференции. Обе дифракционные картины имеют
большое сходство Центральное пятно на обеих
фотографиях образовано частью пучка не испы-
тавшей дифракции
Фш. 12.14. Дифракция рентгеновских ty-
чей (а) и электронов (и) на поликристалле
алюминия.
Первая из фотографий получена в рентгеновских
лучах с длиной во лны 0.71 А Вторая фютографшя
получена с по мощью пучка э зектронов с энергией
ООО эВ (). 0,50 А). Д 1ч сопоставления обоих
снимков правая фотография увеличена в 1.6 раза.
406
12. Основы квантовой теории
мых кристаллитами, или микрокристал.ш-
ми), которые имеют хаотическую ориента-
цию apyi относительно друга. Если на поли
кристалл падает пучок рен ггеповских лучей
у1лы падения на отдельные кристаллин.!
будут распределены случайным образом
Наблюдаемая для прошедших через поти-
крис1алл рентгеновских лучей дифракцион
пая картина будет образована большим
числом пятен, расположенных под случай-
ными углами вокруг направления па
дающею пучка. Велело вис этого конструк-
тивная интерференция создаст вместо сово-
купное! и точек на лауэграмме от монокрис
талла систему дифракционных колец. Такая
дифракционная картина воспроизведена на
фиг. 12.14, а.
Col ласпо гипотезе де Бройля, электроны
должны проявлять волновые свойщва, а
значит образовывать дифракционные изоб-
ражения точно так же, как рентг егговскис
тучи В 1927 г. Джорджу Томсону (род.
в 1892 1.). сыну первооткрывателя электрона
Дж Дж. Томсона, удалось наблюдать ди-
фракцию электронов при прохождении через
тонкие поликристалличсские фолы и. При
мерно в то же время Дэвиссон (1881—1958)
и Джермер (род в 1896 г.) направили элект-
роны на поверхность монокристаллов и
наблюдали обусловленные дифракцией пики
в распределении отраженных электронов.
За эти эксперименты, (оказавшие волновые
свойства электронов, Дэвиссон и Джермер
в 1937 т были удостоены Нобелевской пре
мии.
Поразительное сходство между дифрак-
цией рентгеновских лучей и дифракци-
ей электронов наглядно иллюстрирует
фиг 12.14, на которой приведены фотогра
фии дифракционпых картин при прохожде
нии через алюминиевую фолы у рентгенов
ских лучей и электронов с приблизительно
одинаковой длиной волны. Аналогично на
фиг. 12.13 воспроизведены лауэтраммы, по
лученные в результате дифракции па крис-
талле каменной соли рентгеновских лучей
и нейтронов. Близкое сходство фотографий
в каждой парс является замечательным сви-
детельством тождественности волновых
свойств электромагни т него излучения и час
гиц вещества.
12.5. Основы квантовой теории
ФОТОНЫ. Описанные выше разнообразные
эксперименты недвусмысленно продемон-
стрировали двойственную природу излуче-
ния и вещества: электрон распространяется
наподобие волны, а свет взаимодействует
подобно частицам Мы уже познакомились
с тем, как описываются в классической физи-
ке электроны и электромагнитное излучение.
Как же описать «частицы света» и «электрон
ные волны»?
Мы часто пользуемся понятием частоты
электромагнитной волны. Однако это не
сколько произвольный термин, поскольк
и действительности о частоте тлектромаг
пипой волны нельзя говорить. Иными сло-
вами, излучение никогда нс может быть
охарактеризовано едиист венной точно onpv
деленной частотой. О частоте волны можно
говорить в том случае, когда эта волна рав-
номерно распределена во всем пространстве.
Это означает, что волна с единственной час
готой должна иметь бесконечную протя-
женность. Оцпако все генераторы электро-
магнитных волн, будь то агггеггггы или ато-
мы, излучают лишь в течение конечных
отрезков времени (фиг 12.15). Следова-
тельно, волны излучения никогда не имеют
бесконечной протяженности и не могут по-
этому характери«гнаться единственной час-
тотой. Существующее в действительности
излучение всегда состоит из набора (супер-
позиции) волн с разными частотами Если
эти частоты заключены в узкой облает и око-
ло центральной частоты, то интерференция
соответствующих волн оказывается конст-
руктивной в одной области пространства и
деструктивной во всем остальном прострап-
стве. Результат такой суперпозиции both
схематически показан на фиг. 12.16. Такая
локализованная группа колебаний называ
стся во шовым пакетом. Волновой пакет
Фиг. 12.15. Волна с единственной («точной»)
частотой до /жна быть везде одинакова, т. е
иметь бесконечную протяженность.
12.5. Основы квантовой теории
407
электромагнитною излучения (т. е фотон)
распространяется как целое со скоростью
свет а.
Область частот, соответствующая свето-
вому фотону, чрезвычайно узка. Возьмем
например, фотон жел т от о света с цен т
ральной частотой 5 10'4с~ При излуче-
нии такого фотона атомом область частот
вокруг центральной частоты соответствует
всего лишь Av v « 2-10 6, что отвечает диа-
пазону глин both 0,01 А. При средней длине
волны (1000 А разброс заключен от 5999,99 Л
до 6000.01 А. Это означает, что пи одна из
спектральных линий не является абсолютно
резкой; все они всегда имеют некоторую
естественную ширину.
На фит. 12.16 показан волновой пакет,
образованный только 7 колебаниями, в слу
чае светового фотона, подобною только
что описанному, волновой пакет состоит
примерно из 600 000 колебаний. Пакет, со-
ставленный из столь большого числа ко-
лебаний. сохраняет многие из своих вол
новых характеристик. Но вмесгс с тем он
будет дискретным образованием, так что
будет взаимодействовать, например при
комптоновском рассеянии или в фотоэлект
рическом эффекте, с каждым электроном в
отдельности.
ЭЛЕКТРОННЫЕ ВОЛНЫ Рассмотрим
очень простой эксперимент с электронами.
Предположим, чго мы направили пучок
электронов па плоскость, в которой прорс
заны две щели Пусть одна из щелей сначала
закрыта (обозначим сс В), так что все элект-
роны, проникшие за плоскость, прошит
через щель А (фш. 12.17, а). На некотором
расстоянии за плоскостью расположим эк-
ран ня наблюдения за местами, в которые
попадают отдельные электроны. 1акой эк-
ран можно изготовить, например, из сцин
тиллирующего материала, так что каждое
попадание в него электрона будет вызывать
вспышку света. Вместо сцинтиллирующего
экрана можно также воспользоваться дру
гим детектором электронов счетчиком
Гейтера и, перемещая его вверх и вниз
вдоль экрана, регистрировать число попа-
дающих в счетчик элект ронов в зависимост и
от его потожения относительно щелей
Фш. 12 16. Волновой пакет {или фотон) ло-
кализован в пространстве благодаря тому,
что суперпозиция волн различных частот со-
здает конструктивную интерференцию (< од-
ной области и деструктивную интерферен-
цию во всех остальных областях простран-
ства.
Фотон в действительности состоит не из не-
скольких колебаний, показанных на фигуре, а из
105 1(Г колебаний.
В этих случаях, а также применяя и друг ие
известные методы рет ист рации, мы полу-
чим распределение точек попадания элект-
ронов по экрану Кривая на фиг. 12.17, а
воспроизводит такое распределение интен-
сивности, из нее ви тно, что максимум рас-
пределения находится точно против щели А.
При этом, если щель узкая, распредетепие
будет широким (сравни фиг. 10.39).
Повторяя тот же опыт, но перекрыв
щель А и открыв щель В, мы, конечно, по-
лучим точно такое же распределение интен-
сивности, только теперь его максимум при
дстся против щели В (фиг. 12.17,6)
Что произойдет, когда мы откроем обе
щели? Если электроны ведут себя подобно
маленьким шарикам, то следовало бы ожи-
дать, что часть их, пройдя щель А и отразив-
шись от ее краев, создаст такую же картину
как на фиг. 12.17, а\ друтая же часть, пройдя
щель В создаст картину, показанную па
фит 12.17, б Общая картина тогда должна
получиться суммирование.» обоих распреде-
тений интенсивности Однако это предска-
зание, основанное па классических рассуж-
дениях, нс подтверждается экспериментом
с электронными пучками. Наблюдаемая кар-
тина оказывается значительно более слож-
ной (фиг 12.17, в). Максимум интенсивности
находится посредине между щелями, и по
обе стороны от центральною максимума
имеется несколько побочных максимумов
с постепенно уменьшающейся интенсивно-
408
12. Основы квантовой теории
стыо. Обратим также внимание иа то, чю
открывание второй щели приводи! к ослаб-
teiiuto интенсивности в некоторых участках
экрана. Единственное заключение, которое
можно сделать, что в эксперименте со
щелями электроны ведут себя как волны и
создают интерференционные эффекты ана-
логично световым волнам.
Фш. 12.17. Распределение частоты попаданий
J лектронов на трин при одной открытой ще
ли (а. б) и при двух открытых щелях (в).
Видно, что картина от двух ще щи не по 1учаетея
прочны м наложение к двух предыдущих картин
Это pat предо teltue изображено д.т с. зучая когда
расстояние между щая.ми в 3 раза больше ши
рииы каждой из ще leit. Ось интенсивностей на
графиках направлена в юво.
«САМОИНТЕРФЕРЕНЦИЯ» И ВЕРОЯТ-
НОСТЬ. Допустим, чю мы повторим экспе-
римент с двумя щелями, используя либо
свет, либо электроны (это не имеет значения
поскольку и свет, и электроны создают оди
паковые интерференционные картины). Но
теперь мы сделаем падающий пучок чрезвы-
чайно слабым — настолько слабым, что фо-
тоны или электроны будут приходить к ще-
лям буквально поодиночке. Как это повлия-
ет на наблюдаемое распределение интенсив
пости? Когда через щель проходит о т де ль-
ный фотон пли электрон, он не будет
«размазываться» в соответствии с распреде-
лением, пока танным па фиг. 12.17, в, а нро-
взаимодействуег с экраном в определенной
точке Установить место попадания тлекгро-
на тта экран мы можем, наблюдая вызванную
электроном вспышку света, но до того, как
электрон у тарптся об экран, мы абсолютно
не в состоянии предсказать, в какую точку
попадет злектрон.
После тою как через щели пройдут, на-
пример, первые 10 электронов или фотонов,
распределение может иметь вид, сходный
с изображенным на фиг. 12.18, а. где каждая
клеточка соответствует отдельной световой
вспышке в данном месте экрана. Пока чис то
событий (попаданий на жран) мало, виден
тишь случайный разброс клеточек. При на-
личии 40 событий (фш. 12.18,о) картина
обнаруживает определенную структуру; чис-
то событий около нейтрального максимума
явно больше, чем в других областях экрана,
и между группами клеточек появляются
выраженные провалы После большого чне
ла событий (в пашем случае несколько
тысяч) результаты распределения клеточек
можно изобразить плавной кривой
(фит. 12.18 в). Таким образом, для каж-
12 5. Основы квантовой теории
409
дою отдельною фотона ити электрона мы
можем говортл ь только о вероятности его
попадания в данную точку экрана. Ордината
кривой распределения для данной точки
экрана пропорциональна вероятности того,
что фоюн или jneKipoii про взаимодейству-
ет с экраном в этом месте. Указанная вс
роятнос!Ь максимальна для точек посредине
между шелями и минимальна в долинах,
разделяющих максимумы. Ш1риховая кри-
вая на фиг. 12.18, в, описывающая распре-
деление частоты событий, называется рас-
преде. tenuexi вероятностей. Эга кривая в
точности совпадает с предсказаниями вол-
новой теории для случая дифракции излуче-
ния с такой же длиной волны.
Тем самым мы приходим к выводу, что
ип герференцию обнаруживают отдельные
электроны или фотоны; но. для тою чтобы
наблюдаемую дифракционную карт ину мож-
но было сопоставить с предсказываемой вол-
повой теорией, нужно большое число час-
тиц. Когда щель в данный момент проходит
тотько одни электрон или фотон, он интер-
ферирует лишь с самим собой. Эта «самоин-
герферепцня» возникает из-за того, что часть
электронной волны, прошедшая через
щель А, интерферирует с той частью волны
которая прошла через щель В.
Из приведенных рассуждений следуют два
важных заключения, имеющих решающее
значение для ралиния квантовой теории:
1. Отдельные электроны или фотоны об-
наруживают волновое поведение, состоящее
в том, что они способны интерферирован,
сами с собой.
2. Отдельные электроны или фотоны име-
ют корпускулярное поведение состоящее в
том, что они взаимодействуют с веществом
только в дискретных точках; но указать
места, где происходят такие взаимодействия
в каждом отдельном случае, можно только
в вероятностном смысле.
Распределение вероя! пошей, описываю-
щее взаимодейшвпе элеюропов или фотонов
с веществом, совпадает с предсказанием
волновой теории; оно cooiBeiciByei картине
индивидуальных взаимодействий, которая
наблюдается при очень большом числе со-
бытий
Фиг. 12.18. Распределение световых вспышек
на экране пос ie а) 10 событий б) 40 событий
в) нескольких тысяч событий.
Событие прохождение фотона или электро-
на. Каждый квадратик соответствует одной
вспышке, зарегистрированной в данно м месте эк-
рана. Место, в котором произойдет отдельная
вспышка предсказать нельзя, можно лишь ука-
зать вероятность (штриховая кривич) того что
вспышка произойдет в данном месте
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО ЛИ СУЩЕСТВУЕТ
ДУАЛИЗМ ВОЛНА — ЧАСТИЦА? Как же
понимать тот факт, чю электроны и фо юны
появляются иногда в облике частиц, а иногда
в облике волн? Может быть, это «кентав-
ры» наполовину волны, а наполовину час-
тицы? А может быть они способны транс-
формироваться из одною обличья в другое?
Ответ па эти вопросы становится ясен,
если четко представшь себе, что когда мы
классифицируем поведение электрона или
фотона, как поведение частицы или волны,
го мы навязываем классическое описание
объектам. имеющим существенно некласси-
ческую природу. Электроны и фотоны не
подчиняю 1ся законам классической меха-
ники их поведение правильно описывается
только квантовой механикой. Поэтому нш
ничего удиви тельного, что при испотьзова
пни классических представлений для описа-
ния кванювых объектов возникает некото-
рая двусмысленность.
При квапговомсханическом описании при-
роды обьек! изучения и экспериментальный
410
12. Основы квантовой теории
прибор образуют единую систему. Рассмат-
ривать поведение изучаемого объекта имеет
смысл только исходя из результатов изме-
рений. Поэтому го. как проявляет себя ллек-
грон или фотон.— как волна или как ча-
стица. зависит ог характера проводимою
над ним измерения. Таким образом, корпу-
скулярный или волновой характер электрон
или фотон приобретают лишь в глазах экс
периментатора.
12.6. Волновые функции
АМПЛИТУДА И ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТ
НОСГИ. И так, если на самом деле взаимо-
дейст вие электронов и фотонов с веществом
выражается только на языке вероятностей.
то как можно дать математическое описание
таких процессов? Для этой цели мы введем
величину, которая называется волновой функ-
цией частицы или фотона. Эта функция обыч-
но обозначается буквой ф и используется
для вычисления вероятности того, чго час-
тицу или фотон можно обнаружит (ио их
взаимодействию с веществом) в данной
точке. Амплитуда вероятности чаешцы в
точке х0 равна ^/(v0) (эта запись выражав!
значение функции ф в точке л- х0).
Какой смысл имеет эта амплитуда вероя!-
ности и как использоващ ее для вычис 1енпя
вероятное!и нахождения частицы в какой-
либо точке? При распространении этсктро
магнитной волны происходят колебания на-
пряженностей ноля 8 и В- в механической
волне (например, звуковой волне, волне на
поверхпос!и воды) колеблются частицы ве-
щее !ва Чго же колеблется в квантовомсха-
нической вотне? Волновой функции ф[х)
нельзя дать классического (т. с. механиче-
ского или электромагнитного) толкования
не существует того, чго совершало бы коле-
бания. И в самом деле, функция ф(\) ие
имеет прямою физического смысла — это
лишь математическая функция, хотя во мно-
гом и сходная с амплитудой механических
или электромагнитных волн.
В разделе 10.1 мы нашли, что энергия со-
вершающего колебания тела пропорцио-
нальна квадрату амплитуды колебаний.
В разделе 10.6 мы выяснили, чго энергия
электромагнитной волны (т. е. интенсив-
<1>иг. 12.19. Лучок электронов падает на две
щели.
В точке х = х0 экрана во новая функция равна
-у(х0) Вероятность того, что ! 1ектрон попадет
в окрестность Ах точки х х0, равна 1 И(х0) "Ах.
ность волны) пропорциональна квадрату
напряженности электрического поля 8.
В квантовой механике мы тоже имеем д то
с интенсивностями; в частности, интенсив-
ность квантовомеханическои волны в какой-
либо точке и есть вероятность найти частицу
(или фотон) в этой точке. Вычисляя эту ин-
тенсивность (или вероятность), мы должны
брать квадрат кваитовомехапической вол-
новой функции, амплитуда которой рав-
на ф (х).
На фиг. 12.19 аналогично фи 12 17 и 12 18
изображен пучок электронов, падающих на
две ще ш В точке экрана с v„ волновая
функция равна |Дх0). Для вычисления вероят-
ности тою, чю элек!рон попадет на экран в
об !асти Av около точки х хо (т. е. для
вычисления интенсивности потока электро-
нов в этом Mecie экрана) мы должны воз
вести ^(v0) в квадрат и умножить эту вели-
чину на ширину интервала Ах и соответст-
вующий множитель пропорциональности.
I. е. эта интенсивность в точке х v0 равна
/м - Л|ф(х-0)|г-Ах. (12.14)
Амплитуду вероятности нельзя непосред-
ственно измерить: измерению поддастся
только пропорциональная ф (х) |2 интен-
сивность, или плотность вероятности По-
этому реальное физическое значение кванто-
вомсханичсская волновая функция ф(х) обре-
тает только в виде |^(х)|2.
12.6. Вотовые функции
411
Пример 12 6
В точке экрана х0 1 волновая функция электронного пучка равна +1 (в каких-го услов-
ных единицах), и в интервале Дх вокруг этой точки наблюдается 100 световых вспышек
в минуту. Какова интенсивноегь вспышек в точках х„ 2, 3 и 4. если ф в этих точках имеет
значения -| 4, +2 и 2 соответственно?
Имеем
/(х0) Л | (х0) |2 Ах.
Следовательно,
/ (х0 1) А | ф (х0 - 1) |2 Ах A -f- 1 2 Ах = ЛАх 100 вспышек/мин,
так что
Л Ах 100 вспышек мин
Тогда
(-'•о = 2) = Л | -| 4 |" Ах — 16ЛАх = 1600 вспышек 'мин.
I (Ао — 3) Л | 2 |3 Ах = 4 Л \х =. 400 вспышек мин,
/ (хс 4) Л | — 2 |2 Ах = 4ЛАх — 400 вспышек/мин.
Отметим, что несмотря на различие знаков ф(х0) в ггослсдних двух точках интенсивность
в них одинакова, так как она пропорциональна квадрату волновой функции
Изучая волновые явления, мы выяснили,
чго дифракционную картину от двух шелей
(и вообще дифракционную картину любого
вида) можно описать как результат интер-
ференции волн от отдельных шелей (раз
тел 10А) Аналогично если мы имеем
две волновые функции <//,(<) и г/д (л ), кото-
рые описывают электронные волны, исхо-
дящие от двух щелевых источников, то ве
роятноегь найти электрон в точке v х().
или интенсивность l(v0) потока электронов
в этой точке, равна
/(-vo) АI Ф1 (Ао) <М*о) I2(12 15)
т. е. при вычислении интенсивности амплиту
ды ф1 и ф, сначала надо сложить, а татем
уже их сумму возвести в квадрат Это чрез-
вычайно важный момент, так как волновая
функция имеет знак, т. е. может быть либо
положительной, либо отрицательной. Так.
если «Д) (хс)= -(-2 и ф>(х0) --2 условные
единицы, то имеет место деструктивная
интерференция и вероятность обнаружения
электрона в точке х х0 равна нулю:
/(х0) = ^l'?i(Ao) МАо)|2-^ =
ЛЦ+2) (— 2)|2Ах = 0.
Однако если ффхо) +2 и 1ЫАо) г2,
то интерференция будет конструктивной и
в итоге
/(х0) = Л|ф1(хо)--ф2(л-о)|2Ах
Л|(^ 2) ( 2)|®Ах 1бЛАх.
Полученный резутьгат можно сравнить с
величиной А (|(х0) 2 + | ^2(х0)12)Лх, соот
ветствующей сумме отдельных интенсивно-
стей воли, без какой-либо интерференции.
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА В квантовой ме-
ханике на энергию свободной частицы, дви-
412
12. Основы квантовой теории
Фш. 12.20. Зависимость кинетической энер-
гии свободной частицы от ее импг еъса выра-
жается параболической кривой, и все без ис-
ключения точки этой кривой соответству-
ют разрешенным значениям энергии и разре-
шенным значениям импульса частицы.
жущейся в пространстве, нс накладывается
никаких ограничений. Такая частица может
иметь любую длину волны A h,p и любую
кинетическую энергию, которая в перенят и-
вистском случае определяется выражением
£ки11 = — tnv2= —
кин 2 2
(тс)2 Р2
т 2т
(12.16)
Отсюда видно, что зависимость между кине-
тической энергией и импульсом является
квадратичной; соответствующий график
имеет вид парабо ы (фиг. 12.20), каждая точ-
ка которой характеризует разрешенную энер-
гию для частицы и соответствующий этой
энергии разрешенный импульс.
В случае свободной частицы пет различий
между результатами классической и кванто-
вой механики — частица может иметь
любую энергию Однако если каким-либо
образом ограничить движение частицы, на-
пример приложив к ней силы, то обе теории
уже не будут приводить к одинаковым ре-
зуль га гам.
ЧАСТИЦА, ЗАКЛЮЧЕННАЯ В ОДНО-
МЕРНОМ «ЯЩИКЕ». Рассмотрим частицу,
которая должна двитатъея вдоль прямой
(скажем, по оси х) между точками х 0 и
х L. С точки зрения классической физики
мы можем представить себе, чю частица
движется между двумя непроницаемыми
стенками, непрестанно совершая прямоли-
нейное движение в направлении +х или
—х. В этом случае опять-таки нс существует
никаких О1рапичепий на энергию, которую
может име|Ь чащица. Энергия и импульс
частицы по-прежнему связаны соотношени-
ем (12.16), и разрешена любая их комбина-
ция, удовлетворяющая этому соотношению.
А теперь рассмотрим движущуюся в ана-
логичных условиях квантовую частицу (на-
пример электрон). Мы должны принять во
внимание волновые свойщва частицы, и,
в частности, исследовать ie условия, кото-
рые накладывает на волновую функцию
ф(.х) наличие стенок. Решение этой задачи
оказывается чрезвычайно простым: оно в
точное I и совпадает с решением задачи о
стоячих волнах в струне, рассматривавшей-
ся в разделе 10.3. При этом существенно, чго
волновая функция частицы должна обра-
титься в нуль при х 0 и х L, поскольку
частица не имеет права покинуть «ящик».
(Напомним, чго квадрат ^(х) пропорциона-
лен вероятности найти частицу в какой-
либо точке, поэтому (&(•*) должна быть равна
нулю везде вне «ящика», а следовательно,
на его стенках.) Это означает, что в «ящике»
должны помещаться стоячие волны де Брой-
ля. Это возможно лишь при условии, что
на длине 21 укладывается целое число длин
волн. Следовательно, длины во;ш/л должны
удовлетворять соотношению
nXn = 2L, п- 1,2,3,.. . (12.17)
Четыре первые из разрешенных волн пока-
заны на фиг. 12.21.
Вероятность обнаружить частицу в какой-
либо точке внутри «ящика» протторцнональ-
на|^(х)'2. Эта величина для случая п=4
приведена на фиг. 12.22. Видны четыре обла-
сти где можно с большой вероятностью
обнаружить частицу, а также об-тает н, где
эта вероятность равна нулю, причем не
только на стенках, но и внутри «ящика».
Совершенно ясно, что этот результат про-
тиворечит классическим представлениям.
12.6. Волновые функции
413
РАЗРЕШЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ЧАСТИЦЫ В «ЯЩИКЕ». Теперь мы можем
вычислить энергии, соответствующие раз-
решенным длинам волн, используя соотно-
шение де Бройля и формулу (12.17). Разре-
шенные импульсы равны
= — = п —— , и = 1,2,3,... ,
п Ч U
(12.18)
а соответствующие им энергии
2
Е = — п2 —
КИИП 2т ~ (1219)
п - 1,2,3,... .
Мы получили очень важный результат: час-
тица в «ящике» может обладать только
определенными значениями энергии. В от-
личие от классического результата, в кото-
ром зависимость Е огр выражалась «сплош-
ной» параболой, квантовый результат гла
сиг, чю на пой параболе частице «доступ-
ны» только отдельные точки (фиг. 12.23).
Второй важный результат состоит в том,
что частице запрещено иметь нулевую кине-
тическую энергию, т. е. частица внутри
«ящика» не может находиться в покос. В са
мом деле, покоящаяся в «яшике» частица
имела бы равный нулю импульс и, следова-
тельно, бесконечно большую длину волны
де Бройля. Такую волну нельзя уместить ни
в каком «ящике» конечных размеров, и по-
тому подобное положение не может иметь
места. В общем случае нет такой квантовой
системы (за исключением абсолютно сво-
бодной частицы), которая имела бы нулевую
кинетическую энергию И даже при абсолют-
ном нуле температуры, когда, coi ласпо клас-
Фиг. 12.22. Амплитуда вероятности ц/( г) и
июппоеть вероятности zl'vfx) 2 для случая
п 4
С наибольшей вероятностью частицу можно об-
наружить только в некоторых местах «ящика»
х-0 X-L
Фиг. 12.21. У квантовой частицы, заключен-
ной в одномерный «ящик», длины стоячих де-
бройлевских во ш ^-функции) до лжны без ос-
татка укладываться в «ящике».
Поэтому разрешенные длины волн являются це-
лыми долями величины 2L.
414
12. Основы квантовой теории
1
о
п =4
-----------<
-------
-----« п = 2
__л = 1
р
h/2L
Фш 12.23. Квантовая частица, зак иоченна.ч
в «ящик». может обладать то зько дискрет-
ными значениями энергии (они показаны гори-
зонтальными пениями с точками).
Фиг 12.24 Волновые, функции частицы нахо-
дящейся в одномерной потенциальной яме со
стенками конечной высоты, не обязате зьно
обращаются в ну ть на стенках я чы — они
могут и «утекать» наружу но та м они быст
ро спадают до чрезвычайно малых значений
сической теории, всякое движение должно
прекратиться, квантовые системы все еще
обладают некоторой кинетической энергией
(она называется нулевой энергией).
Частицу в «ящике» (одномерном или трех-
мерном) можно считать находящейся в по-
тенциальной яме, иными словами, внутрен-
ности «ящика» соответствует конечная (ска-
жем равная нулю) потенциальная энергия,
а стейкам «ящика» и внешней области
бесконечно бо зьшая потенциальная энергия.
Поэтому частица никогда не может поки-
нуть «ящик», ибо для этою она должна
была бы иметь бесконечно большую энер-
гию. Реа зьные потенциальные ямы, разу-
меется, не имеют бесконечно высоких сте-
нок, и частицы, приобретя дос гаточную энер-
гию, могут покину гь их. Например, электро-
ны в металле находятся в своеобразной по-
тенциальной яме, по если этим электронам
передать достаточную энергию фотонов уль-
трафиолетового света, то электроны могут
вылетать из металла, что и происходит в
фотоэффекте.
Для потенциальных ям разных типов по-
лучаются разные значения дозволенных энер-
гий и «расстояний» между ними. Если стенки
ямы не являются непроницаемыми (именно
так обстоит дело в случае любого реальною
потенциала), то волновая функция нс долж-
на обращаться в нуль на стенках ямы, т. е.
может происходить некоторая «утечка» вол-
новой функции за пределы ямы. При этом
в яме по-прежнему существуют стоячие вол-
ны и значения энергии (которые, конечно,
меньше той минимальной энергии, с которой
частица может покинуть яму) по-прежнему
дискретны. Первые три значения энергии и
соответствующие им волновые функции
(стоячие волны) для случая одномерного
«ящика» с проницаемыми (г. е. не бесконечно
высокими) стенками показаны на фит 12 24
В следующей главе мы изучим другой важ-
ный пример системы с конечной потенци-
альной энергией — агом водорода.
12.7. Принцип неопределенности
ГДЕ ЭЛЕКТРОНЫ ПРОХОДЯТ «ЙА СА-
МОМ ДЕЛЕ»? Кот да отдельные электроны
падают поодиночке па двойную щель, каж-
12.7. Принцип неопределенности
415
дый из них приходится описывать, как если
бы «волна вероятности» [которая и есть^л)]
одновременно проходила через обе щели
Интерференция на экране обеих частей каж-
дой волны и определяет наблюдаемое рас-
пределение световых вспышек. Но электрон
вместе с тем есть частица и поэтому неде-
лим; мы не можем себе представить часть
массы и часть заряда электрона. Интуитив-
но мы понимаем, что электрон не может
проходить одновременно через обе щели —
он должен проЙ1и либо через одну щель,
либо через другую. Нельзя ли поставит
такой опыт, который позволил бы узнать,
через какую щель электрон прошел «па са-
мом деле»9
Давайте видоизменим эксперимент с дву-
мя щелями. Расположим за одной щелью
очень тонкий детектор, сквозь который элек-
троны могут проходить, давая вместе с тем
об этом сит нал. Затем мы сделаем так, чтобы
электроны попадали в установку поодиноч-
ке, и будем регистрирова।ь только ie вспыш-
ки света на экране, которые сопровождаются
сигналом, свидетельствующим о том, что
электрон прошел щель с детектором Какова
будет теперь картина регистрируемых вспы-
шек? Оказывается, опа точно совпадает со
случаем одной щели (фш 12.17, а)1 Акт фик-
сации щели, через которую прошел электрон
полностью разрушает интерференцию от
двух щелей.
Может быть, неудача вызвана введением
в эксперимент детектора? Может быть, де-
тектор недостаточно «тонок» и слишком
сильно искажает траектории проходящих
сквозь него электронов? Повторим экспери-
мент, установив позади одной из щелей
источник света Регистрируя фотон, рассеяв-
шийся на прошедшем через щель электроне,
мы будем фиксировать место падения элек-
трона на экран Но этот метод оказывается
не лучше предыдущего, результат новою
эксперимента не отличается от прежнею.
Действительно, какой бы метод регистрации
электрона, прошедшего через данную щель
мы ни использовали, интерференционный
эффект всегда будет исчезать.
Таким образом, интуиция подводит нас
Привычка представлять себе электрон на
подобие классической частицы вступает в
противоречие с природой. Из-за трудностей,
возникающих при применении классических
соображений к отдельным событиям микро-
мира, немецкий физик-теоретик Вернер Гей-
зенберг (род. в 1901 г.) пришел к мысли о
юм, что в природе должен существовать
общий принцип, ограничивающий возмож-
ности любых экспериментов. Этот принцип,
сформулированный Гейзенбергом в 1927 г.,
получил название принципа неопределенности
Согласно этому принципу, нельзя постро-
ить детектор для определения, через какую
щель прошел электрон, не нарушив при этом
интерференционной картины. Иначе говоря
нельзя создать такое устройство, которое
обнаруживало бы присутствие электрона и
не затрат ивало бы при этом интерференцион
ной картины: стоит «бросить взгляд» на
электрон хотя бы с помощью одного фото-
на, как это уже изменит волновую функцию
электрона и нарушит интерференцию
НЕ ОБЕДНЯЕТ ЛИ ПРИНЦИП НЕОПРЕ
ДЕЛЕННОСТИ КВАНТОВУЮ ТЕОРИЮ?
Что хорошего в теории, которая не может
ответить на такой простой вопрос: «Через
какую щель прошел электрон?» Однако
неспособность ответить на такой вопрос
вовсе не является слабостью квантовой тео-
рии, поскольку теории можно задава т ь толь-
ко те вопросы, на которые можно ответить
экспериментально. Физическая 1еория не
должна содержать величин, для которых
нельзя указать способа измерения. Посколь-
ку не существует измерения, которое позво
лило бы узнать, через какую щель пр'ошел
электрон в опыте с двумя щелями, то нечего
и ждать, что какая-либо теория ответит на
этот вопрос. Теория не может дать больше
эксперимента, для объяснения результатов
которого опа предназначена. Ценность кван-
товой механики ни в малейшей степени нс
умаляется принципом неопределенности —
напротив этот прицип является одним из
краеут ольных камней, на которых построена
квантовая теория.
О ЧЕМ ГОВОРИТ ПРИНЦИП НЕОПРЕ-
ДЕЛЕННОСТИ? Под частицей мы понима-
ем нечто локализованное в пространстве
Согласно классической теории, частица в
416
12. Основы квантовой теории
Фи| 12.25. При ограничении пучка элекнт
нов об шетыо размером d (шириной щели) г
электронов в результате дифракционных эф-
фектов почв гяется поперечный импульс, при
б т зительно равный Лр
Произведение неопределенности положения и не-
определенности импульса должно быть по край-
ней мере не меньше постоянной Планка.
каждый данный момент занимает вполне
определенное положение и имеет точно оп-
ределенную скорость движения. Попытаемся
применить эти представления к элсментар
ной частице, например к электрону
Рассмотрим задачу о том, как локализо-
вать электрон хотя бы в одном измерении
Для этого пропустим пучок электронов (если
уюдно, поодиночке) через узкую июль ши-
риной d (фиг. 12.25). Таким путем мы лока-
лизуем электроны в направлении х (по толь-
ко в этом направлении) с точностью до вели-
чины d Начальный импульс электронов р
направлен вдоль оси z. При прохождении
через щель элек!ронные волны дифрат ируют
и падают на экран на расстоянии L от щели,
образуя на нем дифракционную картину.
Э а картина в точности совпадает со слу-
чаем дифракции световых волн той же дли-
ны волны (раздел 10.5) Можно несколько
условно определить «ширину» дифракцион-
ной картины как расстояние лу между двумя
первыми минимумами по обе стороны от
центрального максимума. Таким образом,
если электрон в результате дифракции при
обретет поперечный импульс, величина ко-
торого заключена в интервале от Д/ц
до —Ар , как показано на фит. 12.25, то он
попадет на экране в область размером х,
возле центрального максимума. (Мы пре
небрсгаем малой вероятностью того, что
электрон может попасть на экран вне этой
области.)
Теперь, согласно результату, показанному
на фиг. 10.39, расстояние от центрального
максимума до первого минимума в дифрак-
ционной картине от одной щели равно
xt _ LA
2 d ’
т де А длина волны падающего излучения.
Для электронов она связана с импульсом
соотношением де Бройля
Р------- (12.21)
Из подобия двух треугольников на фит 12.25
находим
1/ах1 Арх
L рг
12.7. Принцип неопределенности
417
или
= —, (12.22)
ДрЛ рг
где р — импульс электронов вдоль оси z
после дифракции. Поскольку даже наиболь-
ший угол дифракции мал, р. практически
равно р и мы можем без заметной ошибки
заменить рг иа р. Тогда, подставляя выра-
жения для У2Х< и Р( Р--) в формулу (12.22).
найдем
U/d_______L_
Ьрх ~ h/1. ’
или
Lk _ Ел
&pxd h ’
так что оконча1ельно
\pxd-h. (12.23)
Иначе говоря, мы не знаем точно, в какое
место экрана попадет отдельный электрон,
мы знаем лишь, что большинство электро-
нов попадет в область размером Х| вокруг
центрального максимума. Поэтому величи-
ну Дрх можно рассматривать как неопреде-
ленность, вносимую в значение импульса
отдельные электрона дифракцией. Неопре-
деленность же начального положения элек-
трона Дх просто равна ширине d щели.
Следовательно, соотношение (12.23) гово-
рит, чю произведение неопределенное!и ко-
ординаты частицы Дх в направлении х и
неопределенности импульса частицы Дрх в
том же направлении равно постоянной План-
ка. В действительности наш расчет был до-
вольно !рубым, и мы можем лишь утвер-
ждаю. чю упомянутое произведение весьма
прид шнсенно равно этой постоянной:
(12.24)
(соотношение неопреде юнностеи Гейзен
6epia)
Если мы захотим определить местонахож-
дение электрона более точно, то это можно
сделать, взяв более узкую щель. Но при
уменьшении Дт должно возрасти Дрх так,
чтобы их произведение осталось постоян-
ным, как того требует принцип неопределен-
ности. Иначе говоря, более точно локали-
зовав электрон, мы оплатим более точное
знание его местоположения уменьшением
точности, с которой знаем его импульс.
И наоборот, если мы определяем с высокой
точностью импульс (скорое !ь) электрона,
то такое измерение лишает нас возможности
точно узнать, где находится электрон после
измерения.
В чем ограничение возможности точного
определения местоположения частицы с по-
мощью микроскопа? В микроскопе мы мо-
жем локализовать частицу с точностью при-
мерно до одной длины волны используемого
излучения, т. е. Дх«А.. 'Однако в процессе
определения положения част ины на ней дол-
жен испытать рассеяние (или поглощение)
по меньшей мере один фотон, так что неоп-
ределенность в импульсе частицы оказыва-
ется равной импульсу, переданному частице
фотоном, т. е. в среднем Др, «= h.'A. Следова-
тельно, произведение Дх и Лрх равно как
раз А-/1. Л, т. е. h. Мы видим, что и в этом
случае «работает» принцип неопределен-
ности Никому еще не удавалось обнаружить
(даже в мысленных экспериментах) наруше-
ние принципа неопределенности.
Важно понимаю, что принцип неопреде-
ленности относится к проблеме предсказания
событий. Когда электрон проходит через
щель на фиг. 12.25, мы знаем лишь, что ои
попадет на экран в область размером xt
около центрального максимума, а значит,
неопределенность в его поперечном импуль-
се составляет Ддх. После того как элек-
трон попал на экран мы знаем где это про
изошло, по вспышке света. Однако до того,
как это имело место, мы можем задать толь-
ко вероятность вспышки света в какой-либо
точке экрана. Квантовая теория не может
предсказать результат отдельного события,
однако она дает с большой точностью сред
ние значения для большого числа событий
В этом и состоит основной смысл принципа
неопределенности.
Не следует думать, что принцип неопре-
деленности есть некая таинственная прегра-
27 779
418
12. Основы квантовой теории
да природы, мешающая человеку слишком
глубоко проникнуть в за1адки поведения
атомов. Напротив, принцип неопределен-
ности является одним из проявлений корпу-
скулярно-волнового дуализма излучения и
вещества. Волну нельзя локализовать в про-
странс!ве, и поэтому любое измерение по-
ложения объекта, обнаруживающею волно-
вые свойшва, принципиально сопряжено с
неопределенностью. Принцип неопределен-
ности Гейзенберга дает количественное вы-
ражение этой неопределенности
Пример 12.7
Положение свободного электрона определено ошическим методом с ючпостыодо 10 4 см.
Чему равна неопределенноеп> в его скорости? Насколько точно мы будем знать положение
элек1ропа спустя 1 с?
В нереля гивистском случае cooi ношение неопределенностей можно записать в виде
Ар = тЛиг « --------,
х ' х Дх
откуда
« h 6,6- 10-27 эрг с -
t\V, ЯЛ ----- ------* 1-------*-----ЯЛ 7 10а СМ/с
теДх 9,1-IO 2» г 10’ см
Таким образом, спустя 1 с после измерения члекцэоп может оказаться где угодно в пре-
делах 7 105 см, или 7 км! Локализация элеюрона с точностью до 10 1 см в какой-то момент
в сильнейшей оепепи ограничила знание местоположения электрона в последующие мо-
менты времени.
Пример 12.8
Тело массой 1 i покоится на абсолютно i ладкой поверхности, и мы измеряем его поло-
жение с Iочностыо 0,1 мм. Какую скорость мы сообщим телу в процессе измерения его
положения ?
Арл
h
т&х
6,6 10-27 эр, С 66 10-25см/с
1 г 10 2 см
Эта скорость столь мала, что мы можем спокойно считать тело по-прежнему покоящимся.
Следствия принципа неопределенности для макроскопических тел несущее гвенны, но вот
для микроскопических объектов они оказываются решающими. Вместе с гем эта неопре-
деленность принципиально присуща всем измерениям, поскольку видеть 1ела мы можем
только благодаря рассеянию на них фотонов, а значит, в процессе наблюдения телам сооб-
щается импульс.
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И
ДЕТЕРМИНИЗМ Развитие ньютоновской
теории способствовало становлению детер-
министского взгляда иа природу. Сот лас -
но этому мировоззрению, можно опреде-
лить положения и скорости всех 1ел в замк-
нутой системе в какой-то момент времени
и если известны все силы взаимодействия
12.7 Принцип неопред) еннасти
419
между телами, то можно полностью рассчи-
тать поведение системы в будущем. Иными
словами, будущее системы предопределено.
Конечно, на практике провести такой расчет
невозможно. Даже если положение только
одного тела в системе определено с малей-
шей неточностью, в результате взаимодей-
ствий этого тела с другими не точное i ь бу де т
постепенно расти по величине, так чю (по
прошествии достаточно длите тьного вре-
мени) поведение системы будет существенно
отличаться от предсказываемою законами
Ньютона. Однако, кроме этой практической
трудности, существует еще и другое, прин-
ципиальное от рапичепие, обусловленное
квантовой теорией и принципом неопреде-
ленности
Квантовая теория вовсе не доказывает
ошибочность детерминизма, она лишь гово-
рит, что не существует' экспериментального
способа доказать правильность этого взгля-
да. Философы ие должны искать здесь дока-
загельств или опровержений детерминизма.
Физики вынуждены принимать те ограниче-
ния, которые накладываются на наб пиления
и измерения квантовой теорией (пока не
опровертнута ее справедливость) При этом
физикам приходится иметь дело с вероят-
ност ч ми.
ДРУГАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИ-
ПА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. Предполо
жим, что мы пытаемся измерить частоту
фотона, считая число колебаний за проме-
жуток времени Аг. Поскольку фотон не имеет
бесконечной протяженности, е о частота нс
единственна, а представляет собой смеет,
частот (см. фит. 12.16). Допустим, что вслед
ствис этою неопределенность в числе коле-
баний составила I колебание, т. с. неопре-
деленность в величине частоты равна
. 1 колебание 1
3v=-------:-------— Гц.
М
Соответствующая неопределенность энер-
гии фотона
АЕ - ftAv ж — ,
Д(
так чго
.\E\lxh. | (12.25)
Эта формулировка принципа неопределен-
ности имеет в точности то же содержание,
что и предыдущая (A.vA/>,«r />). В 1928 г.
Нильс Бор объедини г все выводы относи-
тельно индетерминизма квантовой теории
и высказал утверждение, что если в каком-
ибо эксперименте мы можем наб подать
одну сторону физического явления, то одно-
временно мы лишены возможности наблю-
дать допо тите гьную к первой сторону яв-
ления Это утверждение получило название
принципа дополнительности Бора Дополни-
те тьными свойствами, к которым применим
принцип Бора, могут быть положение и
импульс частицы, волновой и корпускуляр-
ный характер вещества или излучения, энер-
гия и длительность собы т ия. Кван говомеха-
ническая неопределенность, выражаемая
принципом неопределенное ги 1 ейзенберг а,
входит составной частью в более общий
принцип дополнительности
Пример 12.9
Атом излучает
тона?
ДЕ« — -
М
фотон в течение примерно 10 9 с Какова нсопре гслснность в энергии фо-
6,6 • 10"2? эрг-с
КГ» с
= 4 • 10-* эВ.
1,6 10-12 эрг/эВ
1
Ес ти длина волны фоюпа равна 6000 А. то ею энергия составляет 2 эВ (см табл. 12.3), гак
чго относительная неопределенность в энергии фоюпа
_ 4 10-в эВ = 2 1()_в
Е ~ -
2 эВ
27«
420
12. Основы квантовой теории
МАССА ПИОНА Соотношение неопреде-
ленностей для энерт ии и времени позволяет
сделать следующий вывод. Закон сохранения
энергии может нарушаться па величину ДЕ
при условии, чю система успеет вернуться
в исходное состояние до гот о, как произве-
дение &Е&1 превысит постоянную Планка
В разделе 8.6 мы уже отмечали, что принцип
неопределенности разрешает обмен пионом
между протоном и нейтроном, несмотря на
то, что масса пиона слишком велика, чтобы
обеспечи ть строгое сохранение энерт ии.
Сила, обусловленная нионным обменом,
действует лишь на расстоянии, примерно
равном размерам нуклона Ял’,5-10-13 см.
Если пион «переносится» от одного нуклона
к другому на расстояние 2R с характерной
для ядра скоростью, скажем составляющей
% скорости света*, то для этого требуется
время Af=2R/*^c=(3-КГ1’ см). (1 • 10 °см.'с)=
З-Ю"23 с. Согласно принципу неопреде-
ленности, допустимое приращение энергии
за такой промежуток времени соответствует
собственной энергии пиона:
Л£ тпс2 « ,
А/
откуда
тгС2
6,6-10-27 эрг-с
3 10"мс 1,6 10~«эрг/эВ
«135 МэВ
Иначе говоря, масса пиона оказывается при-
мерно в 270 раз больше массы электрона
(для которого тес2 ж 511кэВ ss 0.5 МэВ)
Интересные свойства пиона мы рассмотрим
в гл. 16
Основные выводы
Особенности излучения абсо потно чер-
ного теза и фотоэлектрического эффекта
можно объяснить только на основе представ-
ления о том, что электромагнитное излуче-
* Мы выбираем для нашего грубого расчета
точение гл Ч<. используя уже известный pe-
te ьтат точного расчета
ние существует в виде дискретных порций,
или фотонов
Фундаментальными атомными постоян-
ными являются: скорость света с, масса
электрона те, заряд электрона е и постоян-
ная Планка /т.
В зависимости от характера проводимого
измерения электроны и фотоны обнаружи-
вают либо свойства волн, либо свойства
частиц.
Частице вещест ва от вечаст волна де Бройля
с длиной волны л = /1 р Излучению отве-
чает эквивалентная масса т Eic1.
В эксперименте с двумя щелями нельзя
определить, через какую из них прошел
электрон, не нарушив интерференционной
картины от двух щелей
Вследствие того, что частицы и излучение
имеют волновую природу, нельзя предска-
зать точное повеление отдельного фотона
или частицы; можно лишь предсказать сред-
нее поведение большого числа фотонов или
частиц. От дельные события можно харак те-
ризовать лишь вероятностями их наступ-
ления
Амплитудой вероятности называется
квантовомеханическая волновая функция
ф(х), описывающая частицу или фотон Из-
мерить можно только квадрат волновой
функции, пропорциональный интенсивности,
и только эта величина имеет физический
смысл.
Все квантовомсханические системы, за ис-
ключением (абсолютно) свободных частиц,
могут обладать лишь некоторыми дискрет-
ными значениями энергии и импульса
Принцип неопределенности Гейзенберга вы-
ражает тот факт, что мы не можем одновре-
менно измерить со сколь угодно высокой
точностью дополнительные свойства части-
цы или фотона ( такие, как по южение и
импульс, энергия и продолжительность со-
бытия)
iadmu
421
Вопросы
12.1. Герман Гельмгольц как-то сказал, что он не может объяснить, чго такое электрический заряд
(т. е. электрон), и может сказать лишь, что это — «нечто», обозначенное буквой е Прокомментируйте
точку зрения, согласно которой «электрон» ее it, лишь общепринятое название для описания различ-
ных экспериментальных наблюдений, а не реально существующий объект
12.2. Опишите эксперимент, с помощью которого удалось бы отличить рентгеновский фотон от элек-
трона с такой же длиной волны, равной 10 s см. Какие эксперименты непригодны для этой цели?
12.3. Как изменились бы события, наблюдаемые в повседневной жизни, если бы постоянная Планка
внезапно возросла до 1 эр1 • с?
12.4. В эксперименте с двумя щелями, когда щель А открьпа, а щель В закрыт а, в определенном месте
экрана наблюдается 25 световых вспышек в секунду. Когда щель А закрыта, а щель В открьпа, в том
же месте наблюдается 16 вспышек в секунду. Подробно разъясните, можно ли, исходя из этих данных,
вычислить часгогу вспышек, когда открыты обе щели.
12 5. На фиг 12.22 видно, что вероятность обнаружения частицы в данном положении внутри «ящика»
максимальна для одних мест и равна нулю для дру! их. Как частица может «перемета i ься» из одного
места, которому отвечает максимальная вероятность, в другое, если ирн этом придется проходить
через такие места, где ей не разрешено находиться? Подробно разъясните эту ситуацию, используя
те эксперименты, которые вы можете предложить для решения задачи
12.6. Чему равны вероятосги обнаружения частиц, волновые функции которых изображены на
фиг. 12.24. в различных местах потенциальной ямы? Нарисуйте графики этих вероятностей.
12.7. Американский физик Дж. Уилер считает, чго дополнительными в смысле боровского принципа
дополнительное 1 и являются' а) использование слова для передачи информации и б) анализ смысло-
boi о значения слова. Обсудите дополнительность в этом случае.
12.8. Являются ли дополнительными в смысле боровского принципа дополнительности угловая
координата и момет импульса? Если да, то сформу шруйте соотношение неопределенностей для
этих величин.
12.9. Одна из причин, которой оправдывают необходимость сооружения дорогостоящих ускорите-
лей частиц.соетои! в том. что частицы высоких энер! ий (и фотоны) нужны для проникновения в глубь
строения агомных ядер и нуклонов Объяснит е, в чем здесь дело.
1210. Возьмите какую-либо физическую величину, которая когда-то считалась непрерывной, и рас
смотрите, как было доказано, что она дискретна. Найдите какую-нибудь величину которую когда-то
считали дискретной, и обсудите, как было доказано, чго она непрерывна
12.11 Как вы отнесетесь к предположению, что в конечном итоге удастся обойти все ограничения,
накладываемые иыне принципом неопре геленности, и рассматривать микроскопические явления
с такой же степенью детерминизма, что и макроскопические механические явления (г. е с позиции
классической динамики)?
Задачи
12.1. Какой должна быть температура абсолютно черного тела, чтобы максимум в его спектре излу-
чения приходился на желтый свет (Л 6000 А)?
422
12. Основы квантовой теории
12.2. Эффективная температура поверхности Солнца приблизительно равна 5X00 К. На какую длину
волны придется максимум излучаемого сто света, если считать, что Солнце излучает как абсолютно
черное тело (приближенно так оно и есть)?
12.3*. Пучок ультрафиолетовых лучей (Z 1000 А) передает фотоэмиссионной поверхности мощ-
ность 10 6 Вт Какое количество фотонов падает на эту поверхность ежесекундно? Каков будет элек-
трический ток с поверхности, если фотоэлектроны выбиваются 1% фотонов?
12.4. Граничная длина водны фотоэффекта для некоторою вещества составляет 3000 А. Чему равна
его работа выхода?
12.5. Для полной задержки фотоэлектронов, выбитых из некоторого вещества излучением с длиной
волны 2100 А. требуется напряжение 2,7 В Чему равна работа выхода этого вещества?
12.6. Работа выхода платины равна 5,32 В. Чему равна предельная длина волны фотона, при которой
он еще может выбить фотоэлектрон из платины9
12 7. Работа выхода бария равна 2,48 В Чему равна максимальная кинетическая энергия фотоэлек-
тронов, выбитых из бария фотонами с длиной волны 2000 Л?
12.8 . Для изучения фотоэффекта на литии в качестве источника ультрафиолетового излучения ис-
пользуется ртутная лампа. С помощью различных светофильтров из ее спектра можно вырезать
излучения с определенными длинами волн. Использованные длины волн н соответствующие нм на-
пряжения полной задержки тока фотоэлектронов приведены в таблице:
Л, Л
Ко. В
2536 3132 3663 4358 5770
2,4 1.5 0.9 0,35 Фотоэлектронов пет
Постройте по данным этой таблицы трафик зависимости Гс от v (не от Л!). Определите по нему работу
выхода для лития Вычислите полученное нз эксперимента значение йен сравните с тем, которое
можно вычислить, используя значения постоянных, приведенных в табл. 12.2.
12.9. При определенных условиях сетчатка человеческот о глаза может регистрировать веет о тишь
5 фотонов сине-зеленою света (Л—5‘ 10 “s см) Чему равно соответствующее количество энергии,
воспринятое сетчаткой, в эргах и электронвольтах? Какая мощность будет поступать в глаз, если
он каждую секунду поглощает 5 таких фотонов?
12.10. Какой массой обладает фотон с длиной волны 6’ 10 5 см (желтого света)? Сколько нужно
набрать таких фотонов, чюбы их масса сравнялась с массой покоя электрона?
12.11. Рентгеновский фотон с энергией 20 кэВ претерпевает комптоновское рассеяние на электроне
Чему равна длина волны падающего фотона н фотона, рассеянно! о на угол 90 ? Чему равны энерг ия
рассеянного фотона и кинетическая энергия электрона отдачи?
12.12. Фотон с длиной волны 0,8 А испытывает комптоновское рассеяние на 90 Чему равна энергия
рассеянного фотона и какую энергию фотон передал электрону?
12.13. Чему равна связанная е вамп лпитта воины, когда вы бежите со скоростью 10 м с? Какой смысл
имеет подобная длина волны9
12.14. Чему равны частота и энергия фотона с длиной волны 1 А .'
12.15. Какую разность потенциалов должен пройти электрон (из состояния покоя), чтобы ею длина
во шы ста га равна 1.6 X9
Задачи
423
12.16* . Заполните пропуски в следующей таблице:
Энергия. эВ Длина во ты см
1 •>
Электрон ? 1 10 я
1000 0
1 9
Фотон 9 1 1(Г5
1000 9
12.17 Протон, электрон и фотон имеют одинаковую длину волны 1 А Если все их выпустить из не-
которой точки в момент г 0, то когда они появятся в точке на расстоянии 10 м?
12 18. Чему равна скорость аюма телия, если его длина волны равна 1 Л?
12.19 Нейтрон, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой при комнатной темпера-
туре (такой нейтрон называется тепловым), имеет энергию 0.025 эВ. Чему равна длина волны тепло-
вого нейтрона?
12.20 Чему равна энергия фотона, если длина его волны равна: а) размерам атома (10*ясм), б) разме-
рам атомного ядра (5 • 10 13 см)?
12 21 Процесс испускания атомом фотона зеленого света (Л 5000 А) длится около 10'9 с. Сколько
колебаний содержится в фотоне? Чему равна «длина» этого цуга колебаний?
12.22 В некоторой точке экрана л0 значение волновой функции от источника А равно(fci(x0)-«+3;
этот источник создает 18 вспышек свега в секунду в узкой области около точки л0 Значение волновой
функции в той же точке от источника В равноfe(v0) ——5. Сколько вспышек в секунду будет наблю-
даться на экране от одного источника В и одновременно от источников А и В?
12.23 *. Разрешающая способное т ь опт ического микроскопа ограничена дифракцией, так что в пределе
она приблизительно равна половине длины волны света, используемого для наблюдения предмета.
Во сколько раз можно повысить разрешающую способность, используя синее освещение вместо крас-
ного? Чему равна максимальная разрешающая способность электронного микроскопа, если в нем
используются электроны с энергией 20 кэВ? Микроскоп какою рода следует использова1ь для на-
блюдения внутреннего строения клетки (диаметр примерно 0,1 мм) и для изучения вируса диаметром
около 100 А?
12.24 . Бейсбольный мяч массой 150 т бросили в щель в заборе шириной 20 см. Какую поперечную
скорость может приобрести мяч, пройдя эту щель9
12.25 . Пучок электронов проходит со скоростью 10я см.'с сквозь шель шириной 0,01 мм. Какова ши-
рина центрального дифракционного максимума на экране, отстоящем на 1 м от щели?
12.26 . Эксперимент по дифракции электронов проводится на кристалле, атомные слои в котором от
стоят друг от друга на расстоянии 1 А (см фиг 12.12) Первый дифракционный минимум располат а-
ется под ут том 30 к направлению падающего пучка Чему равны длина волны и энертия электронов?
12.27 . Положение электрона в направлении оси х локализовано с точностью 1 мм С какой точностью
можно опреде лить компоненту сю импульса в этом направлении?
424
12. Основы квантовой теории
12.28 . Протон в ядре локализован е точностью до размеров, равных радиусу ядра. Чему равна неон
ределенность в скорости протона, находящегося в ядре атома железа (Я*6 - 10 13 см)? Чему равна
соответствующая неопределенность в энергии протона? (В рамках принятой здесь точное!и расчета
можно не учитывать эффектов теории относительности.)
12.29 . Можно считать, что электрон в атоме водорода заключен в области вокруг ядра радиусом
5 • 10-9см С помощью соотношения неопределенностей оцените импульс электрона и отсюда его ки-
нетическую энергию. (Для этих оценок проведите вычисление только в одномерном случае, т. е
по соотношению Дх Др,- »h.) Почему, несмотря на такую кинетическую энер! ию, электрон остается
связанным с ядром атома?
12.30 Некоторое состояние атома обладает средней продолжительностью жизни 1(Г8с. (Иными ело
вами, если атом в этом состоянии возбудить каким-либо способом, то в среднем спустя 10 в с он само-
произвольно испустит фотон ) Чему равна неопределенность в энергии испущенного атомом излу-
чения?
Лазер
13 Атомы и кванты
13.1. Модели атома
13.2. А том водорода
13.3. Момент импульса и спин
13.4. Квантовая теория атома
водорода
13.5. Принцип Паули и структура
электронных оболочек ато мов
13.6. Атомные излучения
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В предыдущей главе результаты ряда важных экспериментов с электронами и фотонами
были использованы для построения основ квантовой теории. В действительности развитие
квантовой теории было значительно более сложным и основывалось на результатах гораздо
большего количества экспериментов. В данной главе мы дадим набросок еще одной линии
развития, основанной на объяснении экспериментов, выполненных на более сложных си-
стемах а именно на атомах. На этой стадии развития квантовой теории усилия были на-
правлены на объяснение оптических спектров атомов. Первые работы Нильса Бора, посвя-
щенные этой проблеме, положили начало oi ромному потоку теоретических и эксперимен-
тальных исследований, которые позволили за короткий период времени — всего лишь за
четыре года (с 1924 по 1928) - утвердить квантовую теорию, как теорию, дающую правиль-
ное описание атомных процессов
В этой главе нам удастся привести лишь краткое описание некоторых наиболее важных
путей столь быстрого возникновения новой теории о законах природы, действующих в мире
атомов. Эта теория служит нам и сейчас, после того как в ней учтены релятивистские эффекты
и введены сложные вычислительные методы; она обеспечивает самое точное описание яв-
лений природы, которое до сих пор знала наука. В конце этой главы мы рассмотрим неко-
торые из наиболее важных и интересных способов применения квантовой теории к пробле-
мам современной атомной физики.
13.1. Модели атома
МОДЕЛЬ ТОМСОНА. К 1902 г. было про-
ведено достаточно экспериментов, убеди-
тельно доказавших, что электрон является
одной из основных составных частей любого
вещества. Дж Дж. Томсон показал на основе
классической электромагнитной теории, что
размеры* электрона должны быть порядка
IO’13 см Кроме того, кинетическая теория
XIX века показала, что размеры атомов
составляют несколько ангстрем (1А —
10”8 см). На этом основании Томсон
сделал вывод, что положительный электри-
ческий заряд атома, который необходим
для уравновешивания отрицательного заря-
да электронов, чтобы в результате аз ом
оказался электрически нейтральным, дол-
жен быть распределен во всем объеме атома,
не занятом электронами. В 1906 г, Томсон
предложил модель, согласно которой атом
содержит число электронов, равное атом-
ному номеру элемента; весь заряд этих
электронов нейтрализуется положительно
заряженной средой, масса которой состав-
* В действительности мы не можем говорить
о размерах иш о радиусе электрона, так как до-
статочно строго можно определить только раз
меры твердого тела, каковым электрон конечно
не является.
ляет большую часть массы атома (фиг. 13.1).
Эта модель получила название «пудинга»,
так как электроны были вкраплены в поло-
жительно заряженную среду, подобно изюму
в пудинге.
Модель Томсона казалась привлекатель-
ной с той точки зрения, что предполагала
наличие электронов в атоме. Однако она
просуществовала только до 1911 г., когда
Эрнест Резерфорд доказал, что положитель-
но заряженная часть атома не распределена
по всему его объему, а сосредоточена в чрез-
вычайно малом объеме — ядре атома
МОДЕЛЬ РЕЗЕРФОРДА. Если в последнем
десятилетии XIX века самой крупной фигу-
рой в атомной физике был Дж. Дж. Томсон,
то в первом десятилетии XX века ведущая
роль перешла к Эрнесту Резерфорду (1871—
1937). Работая сначала в Университете Мак-
гилла в Канаде, Резерфорд в 1907 г. переехал
в Манчестер где исчерпывающим образом
исследовал недавно открытые излучения ра-
диоактивных веществ. Основное внимание
он уделил излучению, состоящему из поло-
жительно заряженных частиц, называемых
х-лучами, или а-частицами. К 1908 г. он
окончательно установил, что а-лучи пред-
ставляют собой атомы гелия, несущие за-
ряд 4 2е.
42К
13. Атомы и кванты
Положительно
заряженная
среда
Фиг. 13.1. Модель атома Томсона («пудинг»).
Электроны нал добие «изюма», вкраплены в по-
ложительно заряженный «пудинг». Диаметр
атома составляет несколько ангстрем
Фиг. 13.2. Эрнест Резерфорд.
Ему принадлежала ведущая роль в разрешении
загадок радиоактивности и в создании ядерной
модели атома. За свои работы по радиоактивно:
ти Резерфорд был награжден в 1908 г. Нобелев-
ской премией {по химий)
Почти немедленно по прибытии в Манче-
стер Резерфорд начал систематические ис-
следования рассеяния а-частиц веществом.
Он установил, что каждая а-частица, попа-
дая на экран из сернистого цинка создает
вспышку света. Поэтому для исследования
рассеяния а-частиц был сконструирован при-
бор, изображенный схематически на фиг.
13.3. С помощью свинцового коллиматора
выделялся узкий конус а-частиц из радиоак-
тивного источника. Испытав рассеяние в
золотой фольге, а-частицы ударялись затем
в экран из сернистого цинка и регистрирова-
лись с помощью небольшого микроскопа,
в который можно было наблюдать вспышки
света. Вращая детектор, можно было изме-
рять относительное число а-частиц, рассеян-
ных под различными углами в.
Согласно предложенной Томсоном моде-
ли атома, а-частицы должны были бы сво-
бодно проходить сквозь атомы золота и
только отдельные а-частицы могли слегка
отклоняться в кулоновском поте электрона
(фиг. 13,4). Поэтому следовало ожидать,
что пучок а-частиц при прохождении через
тонкую фольгу слегка расплывется и сред-
ние у1лы рассеяния будут порядка несколь-
ких градусов. Такое рассеяние на малые углы
действительно наблюдалось, но совершенно
неожиданно оказалось, что примерно одна
а-частица из 20 000, падающих на золотую
фольгу толщиной всего лишь 4-10'5 см,
возвращается назад в сторону источника
Резерфорд по этому поводу говорил: «Это
было самое невероятное событие, с которым
мне когда-либо приходилось сталкиваться
Это было почти так же неверояню, как если
бы вы выстрелили 15-дюймовым снарядом
в лист папиросной бумаги, а снаряд вернулся
бы назад и попал в вас».
Резерфорду понадобилось несколько лет
(вплоть до 1911 г.), чтобы окончательно по-
нять столь неожиданное рассеяние а-ча-
стиц на большие углы. Он пришел к выводу,
что эти экспериментальные результаты мож-
но объяснить, только предположив, что по-
ложительный заряд атома сосредоточен в
очень малом объеме в центре атома, а не
распределен по всему атому, как в модели
Томсона. Таким образом, Резерфорд пред-
ложил ядерную модель атома.
Свинцовый
контейнер
с источником
а частиц Свинцовый
коллиматор
Экран
из сернистого
цинка
Золотая
фольга
Фиг. 13.4. Согласно модели атома Томсона,
падающие а-частицы при рассеянии атомами
золота должны отклоняться лишь на малые
углы.
Опыты Резерфорда и его сотрудников показали
что такое описание рассеяния частиц неверно
Фиг 13.3. Схема прибора, с помощью кото-
рого Резерфорд исследовал рассеяние а-час-
тиц
Прибор помещался внутри откачанной камеры с
целью устранить поглощение а-частиц в воздухе.
Эти опыты были проведены Гейгером и Марсде-
ном под руководством Резерфорда.
Золотая фольга
а - _ Г
Рассеянные
а-частицы
430
13. Атомы и кванты
При столкновении а-частицы с атомом она
под действием отрицательного 1аряда атом-
ных электронов должна отклоняться лишь
незначительно (как в случае модели Том-
сона). Согласно Резерфорду, koi да траекто-
рия я частицы проходит вблизи ядра, силь
ное электрическое от 1алкивание может силь-
но изменить направление ее движения. Ти-
пичные случаи столкновений я-час!иц с ато-
мами показаны на фиг. 13.5.
Предположив, что кулоновская сила от-
талкивания между я-частицей и атомным
ядром изменяется по закону 1,г2 даже в
области чрезвычайно малых внутриатомных
расстояний (~1(Г 2 см), Резерфорд вывел
выражение для распределения я-частип. рас-
сеянных при столкновениях с ядрами Oi
показал, что сотласно ядерной модели ато-
ма вероятность рассеяния на угол в обратно
пропорциональна четвертой степени sin 0’2,
т. е. пропорциональна 1 sin4(0,2). График
этой функции приведен на фиг. 13 6: из пего
можно видеть, что вероятность рассеяния
на углы, превышающие 90’ (т. е. в направ-
лении назад), чрезвычайно мала по сравне-
нию с рассеянием на малые yi лы. Так, час i о-
та рассеяния на угол 0 = 120 относится к
частоте рассеяния на угол 0 5 приблизи-
тельно как 1 105.
Измерения тщательно выполненные Гей-
гером и Марсденом в лаборатории Резер-
форда, подтвердили правильность ядерной
модели Резерфорда во всех пунктах, было не
только убедительно показано, что атомы
состоят из ядер чрезвычайно малых размеров
(~10’12 см), окруженных электронами, но и
было проверено, что закон Кулона справед-
лив для таких малых расстояний.
13.2. Атом водорода
РЕЗУЛЬТАТЫ СПЕКТРОСКОПИЧЕ-
СКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ В середине XV111
века было обнаружено, что свечение различ-
ных пламен содержит не только сплошной
спектр (анало1ичный спектру черного тела,
фиг. 12.4), но и отдельные участки спектра
более интенсивные, чем непрерывный фон
с четко выраженными дискретными линиями
Линейчатые спектры различных источников
(включая Солнце) широко исследовались
Фш. 13.5. Согласно ядерной модели атома
Резерфорда а-частицы могут проходить че-
рез атом, испытав лишь незначительное от-
клонение, однако иногда а-чистица может
подойти достаточно близко к ядру и откло-
ниться на большой угол.
Фш 13.6. Относительная вероятность (чш ю
световых вспышек в детекторе в единицу вре-
мени) резерфордовского рассеяния а-частиц на
раз личные углы (пропорциональная 1 sin* (0 2)).
13.2. Атом водорода
431
Гианица
4861А
6562А
5000А
6000А
Фш. 13.7. Серия Бальмера в спектре водо-
рода.
Граница серии (3646 А) соответствует п = оо в
формуле Бальмера (13.1).
во второй половине XIX века, и атомная
спектроскопия стала хорошо развитой об-
ластью науки.
В 1885 г. швейцарский преподаватель му-
зыки HoiaHH Бальмер (1825—1898) обнару-
жил, чго длины волн оптического спектра
водорода (фиг. 13.7) можно описать простым
математическим выражением. Хотя Бальмер
вначале вывел формулу, в которую входила
длина волны Л, вскоре выяснилось, что удоб-
нее пользоваться обратной величиной 1/Л.
Формула Бальмера для спектра водорода
имеет следующий вид.
п = 3, 4,5 ... ,
(13.1)
где R называется постоянной Ридберга в честь
шведского спектроскописта, который про-
вел широкие исследования атомных спек-
тров. Значение R для спектра водорода равно
Я 109 677,58 см"1.
(13.2)
Конечно, во времена Бальмера это значение
было извес но не столь точно. Насколько
успешно формула Бальмера описывает
спектр водорода, можно видеть из табл. 13.1,
в которой сравниваются длины волн вы
численные Бальмером и полученные с по
мощью измерений, произведенных швед-
ским физиком Андерсом Ангстремом
(1814—1874). Приведенные в таблице че-
тыре линии лежат в видимой части спектра
На основе выведенной им формулы Баль-
мер предсказал также веско 1ько дру| их ли-
ний, которые до 1жны были существовать
в ультрафиолетовой области. И в самом деле,
в cncKipe некоторых звезд наблюдалось до
50 линий серии Бальмера*
Хо1Я формула Бальмера с исключитель-
ной точное 1ью соо । вез ствовала набтюдс
ниям, однако никто не понимал, почему
она справедлива. Прошло почти 30 лет,
прежде чем Нильс Бор дал физическую ин
терпретацию этой формулы.
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БОРА ЭНЕРГЕТИ
ЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ АТОМА В 1913 г.
Бор предпринял удивительно смелую по-
пытку объяснить результаты анализа спскт ра
атома водорода. Он принял предложенную
Резерфордом модель атома с сосредоточен-
ным в центре ядром и с внешними электро-
нами. Согласно классической теории, си-
стема, состоящая из массивного положи-
тельно заряженного ядра и легких отрица-
тельно заряженных электронов, може! бы i ь
устойчивой только в том случае koi да тлек-
троны находятся в движении Таким обра
* Звезды благодаря разреженной атмосфере яв-
ляются более «удобными» источниками излуче-
ния водородного спектра по сравнению с лабора-
торными источниками
432
13. tllKliihl и МИНИНЫ
Таблица 13.1. Сравнение длин волн линий спектра водорода с вычис-
ленными по формуле Бальмера
Обозначение линии п к, вычисленная Бальмером X, наблюденная Ангстремом
3 6562,08 А 6562,10 А
"₽ 4 4860,80 А 4860,74 А
Бз 5 4340,0 А 4340,1 А
Ни 6 4101,3 А 4101,2 А
зом, атом должен быть подобен миниатюр-
ной Солнечной системе, в которой роль
Солнца играет ядро, а планет электроны.
Аналогия была бы достаточно полной (ведь
электрические и гравитационные силы за-
висят от расстояния, как 1 г2) если бы пе
одно предсказание классической теории, со-
гласно которому ускоренно движущиеся
электрические заряды должны излучать энер-
гию в виде электромагнитных волн Поэто
му движущиеся по «планетарным» орбитам
электроны должны были бы путем излучения
терять энергию движения и в результате
быстро приближаться к ядру. Вычисление
на основе классической электромагнитной
теории показывает, что электрон в атоме
водорода должен излучить всю свою энер-
гию за малую долю секунды. Однако в ато-
ме этого не происходит. Что же неверно
в классической модели?
Смелое предположение Бора заключалось
в том, что классическая электромагнитная
теория просто неприменима к электрону,
движущемуся по орбите вокруг ядра. Одно
временно Бор предположил, что два члена
в формуле Бальмера представляют собой
полные энергии двух разрешенных орбит
(или энергетических состояний) электрона
в атоме водорода.
Чтобы преобразовать формулу Бальмера
для 1/Л в формулу для энергии фотона,
умножим обе ее части на he; тогда получим
Но с Л V. так что hclk hv £ где £
энергия фотона. Поэтому мы можем на-
писать
Е = Ь = hd? ( 2- _ _L\ = £ £
\ 22 п*) п 2
(13 3)
если ввести обозначения*
Е2 = — hc-^-, Еп ——he—. (13.4)
Бор предположил, что энерт ия электрона
не теряется на излучение, когда оп движется
по любой из орбит; электрон излучает энер-
гию только тогда, когда он совершает пе-
реход между двумя разрешенными орбита-
ми, причем энергия испущенного фотона в
точности равна разности энерт ий электрона
на этих орбитах.
Бор внес радикальные изменения в сущест-
вовавшие ранее представления об атоме, от-
рицая применимость классической электро-
динамики к внутриатомным явлениям. Сле-
дующий его таг был еще более смелым.
ГИПОТЕЗА БОРА О КВАНТОВАНИИ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Чтобы доказать
правильность предложенной им интерпрета-
ции спектра атома водорода, согласно кото-
рой излучение энергий происходит при пере-
ходах между разрешенными энергетически
ми состояниями, Бор попытался вычислить
энергии этих состояний Оказалось, что мож-
но получить ряд дискретных разрешенных
состояний только при том радикальном
предположении, что момент импульса кван-
туется. Принимая, что момент импульса
* Отрицательный знак в выражениях для энер-
гий электрона означает, что он находится в свя-
юнных энергетических состояниях; см. фиг 7 15.
13.2. /том водорода
433
должен быть кратным Л'2 л, Бор смог в за-
ключение вывести формулу Бальмера*. (Вы-
ражение h:2n так часто применяется в атом-
ной теории, что его стали обозначать спе
циальным симво лом** h 2 л ti) Поэтому
условие Бора можно записать в виде [см
формулу (5.13)]
L = mevr — nh, «=1,2,3. (13.5)
Величина и называется главным квантовым
числом .чайного состояния. Мы уже видели
(пример 6.5), что скорость электрона, дви-
жущеюся но круювой орбите в атоме во-
дорода,
Подставляя это значение v в (13.5), мы полу-
чим следующее выражение для квантован-
ною момента импульса:
m.r = nh
г = е
Возводя в квадрат последнее равенство и
определяя из пего г. находим следующее
выражение для радиусов разрешенных ор-
бит:
п2Я2
тее2
(13.7)
где индекс п указывает, что радиус cootbci
слвуел данному значению главного кванто-
вою числа п.
(13.6)
Пример 13.1
Чему равен радиус первой боровской орбиты для атома водорода?
(1,05 - 10-27 эрг • с)2
(9,1 -10—28 г) (4,80 - 10-ю ед. СГСЭ)
= 0,53- 10-8 см = 0,53А.
Пользуясь формулой (13.6) для v. напи-
шем следующее выражение для полной энер-
гии и-й орбиты
= Екин + Enet = ~ mev2-----------—
гп
(13.8)
* Постоянная II шика h была впервые введена
при исследовании излучения черного тела, однако
можно бы ю предпо южить что она как-то се ч
юна с моментом импульса, поско н>ку имеет ту
же размерность (зрг • с)
** Симво I h произносится uh перечеркнутое»
Численно h 2n й 1 0546-10 >рг • с - 6.583 X
10 16 лВ с.
Подставляя г„ из выражения (13.7). получим
1 тсе* 1
2 ft2 и2
(13.9)
Таким образом, пользуясь условием кван
гования момента импульса. Бор получил
ряд дискретных энер1елических состояний
Энергия данного сосюяния зависит от зна-
чения главною квантового числа п этою
состояния. Разность знергнй сосюянпн с
главными кванювыми числами п и и р<впа
ДЕп,,' = Еп — Еп- -
2К 779
1 тее1
2 h2
--------V (13Ю)
п'2 д2 )
4U
13. .4 темы и кванты
•bin 13.Я. Орбиты в моде-
ли Бори атама водорода
floeaiau ряд нити трех
(пектра н,ны г серии
Если электрон совершает переход между
этими состояниями (от п к и, где «>//')•
го длина во шы излучения будет определять-
ся следующим образом:
I = 'пп' = ^Пп' = А£пп-
Ллп с he he
1 / m^e* \ 1 / 1
2 \ ft* J he л'*
£)’ (13.11)
Подставляя в это выражение численные зна-
чения основных констант, Ьор нашел, что
величина перед скобками очень близка к
экспериментальному значению постоянной
Pn;i6epia, определенному из спеюра водо-
рода [формула (13 2)1’
R = = Ю9 737.31 см"1 (13 12)
1аким образом. Бору удалось почти в точ-
ности описать результаты измерений спект-
ра атома водорода*.
Успешное объяснение Бором спектра во-
дорода на основе наполовину классической,
* На самом деле Бор нользова ich нес ко и>ко иным
выражением. В приведенном здесь вычислении
предполагалось, что з /ектрон описывает круго-
вые орбиты около покоящегося ядра водорода,
тогда как в действительности электрон и ядро
вращаются относительно их общего центра масс.
Поправка на этот эффект, сделанная Бором, со-
ставляет 1-1836. т е равна отношению массы
электрона те к массе протона тр. Эта поправка
переводит численное значение R (13 12) в значение,
полученное из измерений спектра водорода (13.2).
Для других атомов поправка оказывается мень-
ше. Существуют, кроме того, ре ттивиспи кие
поправки к этой формуле, но они были введены
значите 1ъно по зднее
13.2. Атом водорода
435
~0,54зВ
О---
~0,38зВя
~0,85эВ
~1,51зВ
~3,39эВ
п-6
п=4
п-3
Серия
Пашена
Н<г
Ну
йг41
п = 2
Серия
дапьмера
э>=2,42-1014ДЕ Гц
„ 12400 о
Л=938А ;
Л= 950 В;
Л- 973
Л-1026k-,
Л=1216к;
ДЕ в эВ
э>^ 3,20-10* Гц
>> = 3,16-10* Гц
>> = 3,08-10* Гц
э>= 2,92-10* Гц
з> = 2,47-10* Гц
Фш. 13.9. Схема уровней
энергии атама водорода.
Вертикальны ми шнич.ми
гказаны переходы в трех
спектра зьиыз серичх.
-13,6эВ п=1
Серия
Лаймана
наполовину квантовой модели не вылилось,
однако, в триумф. Ьор подвергся суровой
критике за попытку ниспровергнуть господ
ствовавшие в течение столетий классические
теории; даже сам Бор затруднялся дать над-
лежащее объяснение фундаментального зна
чения такой странной смеси классической
динамики и гипотезы квантования. Прошло
более десяти лег, прежде чем развитие повой
квантовой механики позволило объяснигь
замечательные результаты Бора.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ АЮ
МА ВОДОРОДА Подставляя в (13.11)
п' — 2, Бор вычислил длины воли в серии
Бальмера Произведя расчеты при п 3,
он объяснил происхождение ряда инфракрас
ных линий, открытых в 1909 г. Пашеном.
Ьор показал, чго дру!ие значения ri должны
2; •
дать дополнительные спек|ра.1ьпые серии.
Действительно, Лайман нашел серию улы
рафиолетовых линий, которая была предска-
зана для п‘ 1, а в 1922 г. Бреккет и Пфунд
открыли серии для п = 4 и п = 5.
Первые 5 орбит воровского атома водо-
рода показаны на фи| 13.8; на этой же схеме
указаны переходы для спектральных серий,
соо ।вегегвуюшие л' 1.2иЗ Энергии элект-
ронов на этих орбитах (энергетические со-
стояния) показаны на диаграмме уровней
энергии (фиг. 13.9). Так как электрон связан
с ядром, мы должны в соответствии с приня-
той ранее договоренностью считать, чю
энергии электрона в атоме отритштельпы.
Энергия, необходимая для того, чтобы осво-
бодить электрон в данном состоянии из
атома, называется энергией связи этого со-
стояния.
436
13. Атолы и кванты
Пример 13.2
Вычислим энергию связи аюма водорода в ею основном состоянии.
Пользуясь формулой (13.9) для и 1, имеем
тее* _ _ (9,1 10~28 г) • (4,80 КН0 ед. СГСЭ)1
2h2 ~ 2 • (1,05 • 10-«7 эрг с)8
= — 2,18 • 10-» эрг------------------------ — 13,6 эВ.
г 1,60-Ю-i® эрг/эВ
Эта (отрицательная) энергия представляет собой полную энергию состояния, и, таким
образом, энергия связи (т. е. та энергия, которую надо добавить, чтобы увеличить полную
энергию до нуля и тем самым освободить электрон) равна 13,6 эВ.
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ В СЛУЧАЕ АТОМА
ВОДОРОДА. Боровская интерпретация
спектра водорода, основанная па квантова-
нии моментов импульса электронов, движу-
щихся по орбитам вокруг ядра, исключитель-
но успешно объяснила наблюдаемые па опы-
те спектральные линии. Однако правило
кван ования оставалось гипотезой, не имев-
шей более глубокого теоретического обос-
нования, до тех пор, пока де Бройль не вы-
сказал своего знаменитого предположения
о волновом харак ере ма1ерии. Как только
было установлено, чго электрону с импуль-
сом р о вечает длина волны Л hip, стало
ясно, почему в атоме водорода разрешены
лишь некоторые орбиты элек ропа.
Рассмотрим первую боровскую орбиту
атома водорода (т. е. орбиту с п 1). Со-
гласно (13.7), радиус этой орбиты
ft2
а. »--------
тее*
и длина окружности орбиты
(13.13)
2icft*
Длина волны элек трона на этой орбите
__ h _____ h_______ft
Р mev mev
(13.14)
Для случая п 1 соотношение (13.5) прини-
мает вид mevr tr, но для п 1 величина г
равна аХч так чго
v —* — •
Тогда (13.14) упрощается и переходит в слс
дующее выражение:
__ 2тсД
1 те (h/mea1)
— !2~а1.
(13 15)
Таким образом, длина этектронной орбиты
в точности равна лсбройлсвской длине вол-
ны электрона. Для друтих значений п мы
получаем в общем случае
2кгп=жпХп, (13.16)
т. е. длина окружности и-й орбиты равна
п длинам дебройлевских волн электрона.
Почему гак важно, чтобы на резрешенной
орби те укладывалось целое число длин волн ?
Ответ заключается в том, что волны могут
интерферировать между собой. Если волне,
чтобы совершить пе тое число колебаний,
ребуется пройти расстояние, равное длине
окружности орбиты, то волна плавно перей-
дет в самое себя и в результате будет наблю-
даться конструктивная интерференция, вол-
на сама себя усилит (фиг. 13.10, а). Если же
13.3. Момент импульса и спин
437
попытаться уложить на орбите волну, длина
которой не кратна длине орбиты, го будет
происходить деструктивная интерференция,
и амплитуда волны быстро уменьшится до
нуля (фиг. 13.10 б)
Таким образом, гипотеза де Бройля о
волновом характере вещества позволяет
просто и непосредственно объяснить пред-
ложенное Бором правило квантования мо-
мента импульса. (Это объяснение явилось
первым успешным применением гипо1езы
де Бройля.) Но, несмотря па некоторое
углубление описания благодаря введению
в теорию идеи де Бройля, модель атома
Бора по-прежнему сохранила в своей основе
классический характер: в ней предполага
лось, что электроны движутся по орбитам
вокруг ядра, и никто не понимал, почему,
двшаясь на разрешенных орбитах, электро
ни не излучают энергию, (’.зияние концеп-
ций Бора и де Бройля явилось стимулом
быстрого развития современной теории
строения атома, основанной па квант овоме-
хапических прсдсгавлепиях.
а б
Фиг 13.10. Амплитуда волны возрастает в
результате интерференции когда на окруж-
ности орбиты укладывается целое число длин
волн и состояние системы поддерживается
конструктивной интерференцией (а); если ус-
ловие пк„ 2пг„ не удовлетворяется, то в ре-
зультате деструктивной интерференции
амплитуда состояния затухает до нуля (б)
13.3. Момент импульса и спин
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ ЗОММЕР-
ФЕЛ ЬДА. Чтобы преодолеть трудноеib,
возникшую в теории Бора при се применении
к спектрам щелочных металлов (например,
лития или натрия), немецкий теоретик Ар-
нольд Зоммерфельд (1868 1951) опублико-
вал в 1915 т. работу, представляющую даль
пейшее развитие теории Бора. Бор в своей
модели атома водорода рассматривал толь-
ко круговые орбиты Однако движущаяся
по классической орбите частица с определен-
ной энергией может описывать как круговую
орбиту, так и любую из бесконечного числа
эллиптических орбит. Энергия части на
каждой из таких орбит одна и та же* а мо-
мент импульса различный (фиг. 13.11)
Зоммерфельд допустил существование эл-
липтических орбит и тем самым уст рани л
* Как мы увидим далее, при правильном кванта
во механическом описании энергия данного состоя-
ния лависит в некоторой степени и от момента
импульса этого состояния
а б в
Фит 13.11. I ри во эмнжные > i тптические ор
биты электрона
Для данного значения энергии состояния круга
вая орбита (а), представляющая содой частный
случай эллипса. имеет наибольший момент им
пульса Наиболее вытянутая эллиптическая ор-
бита (в) имеет наименьший момент импу льса
Ядро всегда находится в одном из фокусов эллип-
са (если пренебречь массой электрона по сравне-
нию с массой ядра)
438
13 Атомы и кванты
зависимоеть момента импульса от главною
квантового числа п.
В модели эллиптических орбиг Зоммср-
фельда главное квантовое число п определя-
с! только энергию состояния, а для характе-
ристики орбитального момента импульса
вводится новое квантовое число I. Орбиталь-
ный момент импульса по-прежнему кванту-
ется, принимая только значения, кратные h*
L = lh, /-0,1,2....
(13.17)
Величина I может принимать только поло
жигельные значения от нуля ю п— 1. Таким
обратом, в модели Бора — Зоммерфсльда
(как и в случае полного квантовомеханиче
скот о анализа) имеется нулевой момент им-
пульса. связанный с состоянием, тлавное
квантовое чисто которого равно 1 (т. е. 1т =
= п 1 0 для и 1). тогда как для п 2
вс тичина I может принимать значения 0 и 1,
а тля н-З I - О, I и нт 2 и т. д,-
/ — 0,1,2,..., п — 1.
(13.18)
Для характеристики состояний с разлнч
ными значениями орбитального момента
импульса электрона обычно пользуются еле
дующими буквенными обозначениями:
I = О
I = 1
I = 2
I = 3
I = 4
S-состояние,
Р -состояние,
£)-состояние,
F-состояние,
G-состояние,
Этот код представляет собой пережиток
ранней стадии спектроскопии, когда симво-
лами S, Р D и F обозначались спектра питые
линии, отвечающие переходам в состояния
с этими моментами импульса: они означали
резкую (sharp), главную (principal) диффуз
* Квантовая теория, получившая развитие пос-
ле работ Бора и Зом черфе 1ьда, показа la что
величина вектора момента импульса в деистви
телыюстиравна L y/i(/+ 1) h Однако в наших
рассуждениях это различие не играет существен-
ной роли
ную (diffuse) и основную (fundamental) спект-
ральные серии. Для более высоких значе-
ний / обозначения продолжались в алфавит-
ном порядке вслед за F.
Отметим различие между первоначальной
теорией Бора, сотласно которой в основном
состоянии атома водорода (г. с. в состоянии
сп 1) момент импульса L=fi. и теорией
Зоммсрфельда, сотласно которой для этою
состояния L 0. Каким образом, однако,
орбитальный электрон может иметь момент
импульса, равный нулю? Согласно класси-
ческим взглядам, в этом случае электрон
должен двигаться но прямой линии, прохо-
дящей через ядро. Такая ситуация не имеет
физического смысла, и мы можем сделать
вывод, что эта упрощенная 1еория не дает
правильного описания в деталях. Этому
нс следует удивляться, так как модель опи
растся в основном на классические пред-
ставления. Квантовый подход полностью
исключает вопрос об электронных «орби-
тах», и поэтому предсказание для некоторого
состояния нулевого момента импульса пи
в коей мере не является абсурдным. В самом
деле, непосредственно из эксперимента было
найдено, чго для основною состояния водо-
рода L 0.
Несмотря на значительные недостатки.
<еория Бора Зоммерфсльда довольно ус-
пешно применялась к одноэлектронным си-
стемам (таким, например, как атом водоро-
да, однократно ионизованный атом гелия
дважды ионизованный атом лития и т. д.).
Однако в случае более сложных электронных
систем возникали непреодолимые трудно-
сти Несмотря на поразительную изобрета-
1ельность, ни Бор, ни Зом.мсрфе тьд нс смог-
ли так скомбинировать крутовые и эллипти-
ческие орбиты в более сложных атомах
(фиг 13.12), чтобы получить правильные
результаты. Только применение всей мощи
квантовой теории позволило в конце концов
решить эту грандиозную задачу
ОРБИТАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МО-
МЕНТ*. Так как момент импульса век-
тору оп имеет не только численное значение,
* См также раздел 9 5
13.3. Момент импульса и (пин
4.39
Неон
Аргон
Фиг. 13.12. Электронные орбиты в атомах
неона, натрия и аргона согласно модели Ьо-
ра — Зоммерфельда
Си также модель атома радия, приведенную на
фиг. 1 6
но и направление. Обычно не существует
закон физической величины, которая имела
бы выделенное направление в пространстве,
и поэтому направление L не имеет значения
Однако если присутствует, например, маг
нитное поле, то некоторое направление в
просз ранствс оказывается выделенным
Связь магнитного поля с направ гением мо-
мента импульса обусловлена тем, чго орби-
тальный электрон эквивалентен круговому
току, когорый ведет себя подобно крошеч-
ному магниту, и поэтому взаимо зействуе г
с магнигным полем На фиг 13.13 показан
вектор момента импульса L электрона па
орбите. Так как движущийся заряд отрица-
телен, магнитный момент ц, обусловлен-
ный орбитальным движением электрона
направлен противоположно моменту им
пульса.
Орбитальный магнитный момент электро-
на порождается его зарядом и орбитальным
момеп гом импульса. Так как L квантуется
квантуется и р Действительно р можег
принимать только значеггия, кратные основ
Фиг. 13.13. Векторы момента импульса L и
магнитного момента р вращающегося элект-
рона.
440
13. А то мы и кванты
ной единице, называемой магнетоном Бора
Но = ~~ = 9.27-10-21 эрг/Гс. (13.19)
Если L 0 (т. е. I 0), то и д 0
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА Если атом поместии,
в магнитное поле В то на электроны в атоме
будет действовать магнитная сила, обуслов-
ленная их движением в этом поле. При этом
энергия состояния атома измени тся. В случае
большого числа атомов, находящихся под
действием поля, следовало бы ожидать со-
вершенно случайного распределения ориен-
аций атомных магнитных моментов р от-
носительно вектора магни i hoi о поля В
Поэтому энергия атомов, находящихся в
данном состоянии, может име1ь любое зна
ченис в пределах интервала, соответствую-
щего интервалу углов 6 (фиг 13 14) между
И и В (т. е. ин1ервалу 0 между 0 и 180 ).
Если атом может совершать переход из
сост ояния с любой энергией в этом интерва
ле, то энер! ия (или частота) перехода не
должна иметь единственное значение.
Поэтому, казалось бы, спектральные линии
излучения атома в магнитных полях должны
уширяться (фш 13 15, б). Однако, как пока-
зали эксперименты, этого не происходит.
Фи1. 13.14. Энергия взаимодействия вращаю-
щегося электрона с магнитным полем зави
сит от угла 0.
В 1896 г. Пигер Зееман (1865 1943) обнару
жил, что некоторые спек1ральныс линии
представляющие собой синглеты в отсут-
ствие магнитного поля, превращаются в
мультиплеты, когда испускание происходи!
в магнитном поле, причем каждая компонен-
та мультиплета представляет собой резкую
линию.
Этот эффект Зеемана можно объяснить
в рамках теории Бора только с помощью
дополнительной гипотезы, вводя еще одно
квантовое число.
Так как для атомов в магнитном поле
вместо уширенных спектральных линий на-
блюдаются дискретные линии, должно су-
щее твова1ь ограничение, накладываемое на
направления вектора магнитного момеша
(а следоват ельно, и век гора момента им-
пульса) относительно направления магнит-
ного поля. Эффект Зеемана можно объяс-
нить, сделав допущение, чю проекция L на
направление поля квантуется. Таким обра-
зом, не только величина L но и проекция L
на направ тенис поля должна бы i ь кратна й
(фиг. 13.16). Величина проекции момента
импульса на направление поля определяется
квантовым числом mt. Если принять за эго
направление ось z, то правило квантования
можно вырашть так:
£2 = I—1,...,
...,0,... /4-1, — I,
те проекция L на ось z.
Проекция L может быть ориентирована
как по направлению В, так и противополож-
но ему, поэтому может принимать как
положи 1ельныс, так и отрицательные зна-
чения всегда возможно значение mt 0
IL 1 В), а максимальное и минимальное
шачения ги( будут соответственно равны +1
и —I Таким обраюм, всегда имеется 21 1
разрешенное значение т( (табл 13 2)
Теперь лет ко попять происхождение муль-
типлетов Зеемана. Рассмотрим фиг. 13 15, в.
В присутствии магнитного поля состояние Р
расщепляется на три уровня, соответствую-
щие трем разрешенным ориентациям L по
отношению кВ т( + 1.0, 1; эти уровни
называются магнитными подуровнями Ниж-
13.3. Момент
импульса и спин
441
Фиг. 13.15. Спектральные линии, возникающие
при переходе между двумя состояниями, в
отсутствие магнитного поля и в магнитном
note.
а — резкая спектральная линия в отсутствие
магнитного поля ', б — согласно классической тео-
рии. присутствие ма нитного поля должно уши
рять линию (уширяется только состояние Р:
состояние S не имеет орбитального момента и.ч-
nv 1ьса и. следовательно, орбитального магнитно-
го момента и поэтому не уширяется; в при
квантовомеханическом представлении в маг-
нитном поле разрешены только дискретные со-
стояния (число которых 21+1), и состояние Р
расщепляется на три подсостояния Излучение
состоит из триплета спектральных линий. (Влия-
ние спина здесь не учитывается.)
Фиг. 13.16. В магнитном поле возможны
только такие ориентации момента импуль-
са L для которых его проекции на направле-
ние В равны целому числу ti: Ьг- т, Л.
Направление L никогда не совпадает, с направле-
нием В, так как величина L равна Vl (I - l)h и по-
этому всегда превышает lh.
т~ 0 О
mf-1---- mL--t
442
13. Атомы и кванты
Таблица 13.2. Магнитные подсостояния
Состояние 1 пц 21+1
S Р D F 0 0 1 1 +1, 0, - 1 3 2 +2, +1, 0, - 1, -2 5 3 +3, +2, +1, 0, -1, —2, 3 7
ний уровень имеет / = 0 (и, следовательно,
ц 0) и поэтому не расщепляема С каждо-
го из трех подуровней Р могут происходи i ь
переходы на уровень S, и для каждого пере-
хода существует характерная частота. Сле-
довательно, в спектре появляется трип ten
Чтобы задать некоторое направление в
пространстве, не обязательно нужно магнит-
ное поле. Для этого естественно использо-
вать направление электрического поля или
направление движения атома. Важно пред-
ставлять себе’следующее: если производится
измерение для определения проекции момен-
та импульса на любое заданное направление.
независимо от того, как выбрано это на-
правление, всегда получается число, крат-
ное h* Особая роль электрического или
магнитного поля в задании направления за-
ключается в том, что энергия системы зави-
сит от ее ориентации относительно направ-
ления поля, а частота испускаемого излуче-
ния зависит от энергии.
СПИН Несмотря на очевидный и большой
успех теории строения атома Бора—Зом-
мерфельда, оставалось еше много необъяс
ненных фактов, даже в случае сравнительно
простых систем. Прежде всего в интерпре-
тации атомных спектров оставалось неяс
ным, почему а) некоторые спектральные ли-
нии, которые должны были, согласно ожи
заниям. быть синглетами, в действитель-
ности при более близком рассмоз рении ока-
зались дублетами и б) некоторые зееманов-
ские мультиплеты оказались аномальными,
♦ Ест выбрано произвольное- направление в про-
странстве (например, на восток) то при измере
нии проекции момента импульса на это направле-
ние происходит квантование L в этом направ-
лении.
например группы линий, отвечающие пере-
ходам Р-* S, вместо ожидаемых трех содер-
жали большее число линий.
В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек пришли к
выводу, что оба эффекта свидетельшвую!
о наличии у электрона собственных момента
импульса и магни! кого момеп i а, помимо
тех, которые обусловлены орби тальным дви-
жением. С классической точки зрения можно
представить электрон в виде вращающегося
заряженного шарика механическое враще-
ние порождает момент импульса, а вращаю-
щийся заряд эквивалентен крошечному кру-
говому току и, следовательно, обладает
магнитным моментом. Эта классическая мо-
дель теряет смысл в рамках квантовой тео-
рии (где речь идет только о собственном
моменте импульса и собственном магнит-
ном моменте электрона*!, но тем не менее
это представление удобно и им часто поль-
зую 1ся; собственный момент импульса элск-
рона обычно называют спином.
Спин векторная величина и обознача-
ется символом S. Как и в случае орбиталь-
ного момента импульса, где L th, вели-
чина S определяется как**
5 = (13.21)
но в отличие от квантового числа орби таль
ного момента импульса, которое может при-
нимать значения 0, 1, 2, .., п—1, спиновое
♦ То есть эти величины являются внутренними
свойствами электрона, подобно заряду и массе
**На само и дезе 5 = 1) h (а также
/= \//(/+ 1) Л), но эти уточнения не играют
существенной рот в наших рассуждениях
13.3. Момент
импульса и СПИН
443
квантовое число s имеет только одно значе-
ние- s 1/2. Поэтому сущее звуют только
разрешенные проекции S на выбранное
направление, т. е. (фиг. 13 17)
Sz = msh, ws= + y’ —7-
(13.22)
Р1 зрешены только эти две проекции (напри
мер. S. = О не разрешено), так как проек-
ции L и SMoiyr отличаться золько на вели-
чины, кратные й.
ПОЛНЫЙ МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. Спин
и орбитальный момент импу зьса электрона
объединяются в полный момент импульса
Так как L и 5 квантуются, то полный моменз
J тоже квантуется
J = ih,
(13.23)
где J — квантовое число полного момента
импульса электрона, которое для данного I
может иметь только два значения:
/ = / + s = / + _L,
(13.24)
/ — I — s = I------— ;
2
в случае I 0 возможно только одно значе-
ние j = 1/2.
Поэтому для каждого орбитального мо
мен за возможны только два значения по t-
ного момеззза Д зя 1 1 мы имеем j У?, */ь
для I 2 мьз имеем / 3А, 5/2 и т. д. Значение /
в определенном состоянии характеризуется
нижним индексом у буквенного обозначе-
ния орби гальноз о момента. Так состояние
с 1 = 1 и /=3/2 обозначается как Рс12, а состоя-
ние с/ 1и / У2 как Л/,. В табл. 13.3 при-
ведены некоторые состояния атома водоро-
да; числа, стоязззие ззеред буквенными обо-
значениями состояний, указывают значе-
ния п
Спин элекзрозза существенно влияет зза
характер атомных спектров, поскольку свя
Физ 13.17. Проекция спина на выдранную ось
может принимать только два значении
4- У2Ь и — У-Л1
Таблица 13.3. Некоторые состочнич атома
водорода
п 1 Обозначение
1 0
2 0 2S./a
1 2Р./а, 2Л/а
3 0 3Sya
1 ЗА/а, 3Ps/j
2 3Dya, 3D./a
4 0 45уа
1 4Л/а, 4Руа
2 4О.уа, 40уа
3 4Ь/а, 4Еу,
444
13. Атомы и кванты
1=0
Без учета спина
а
J=l
С учетом спина
б
$>/г
Фиг. 13.18. Вследствие существования спина
электрона все состояния с неравным нулю
орбитальным моментом импульса расщепля-
ются на два состояния с j - 1 + /г и j=l Л/2
Переходы из этих двух состояний в состояние S>/2
дают в спектре тесный дублет линии Именно
это происходит в атоме натрия при возникнове-
нии желтых линий с длинами вот 5890 и 5896 А.
Расщепление состояний Ру, и Рз/2 по сравнению
с расщеплением состояний Р и S на фигуре сильно
преувеличено.
занный с ним магнитный момент (равный
Mai нетону Бора Цо) приводит к зависимости
энергии электрона в данном состоянии от
ориентации S относительно L Причина со-
стоит в том, что в системе отсчета, связан-
ной с электроном, положительно заряжен-
ное ядро вращается вокруг электрона и об-
разуем контур с током, создающий Mai нит-
ное поле в той области, где находится элек-
трон. Энергия взаимодействия собственного
машинного момента электрона с этим полем
зависит от ориентации магнитного момента
(и, следовательно, вектора спина) по отно-
шению к полю. Таким образом, имеет место
своего рода «внутренний эффект Зеемана»,
даже при отсутствии внешнего машитного
поля. На фиг. 13 18 показано Р-состояние
(1 -1), которое в результате взаимодействия
магнитных моментов* расщепляется на два
полсостояния А, и Р, Поэтому вместо
одной спектральной линии, соответствую-
щей переходу Р-'S, в действительности на-
блюдаются две близкие линии, соответст-
вующие переходам Р>/,~' Sy2 и Р/,-* Sy2 .
Именно эта ситуация приводит к появлению
дублета желтых линий 5890 и 5896 А в
спектре натрия
ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. До сих пор,
говоря о спине, мы упоминали только элек-
троны. В действительности для всех
элементарных частиц, а также систем таких
частиц (например, ядер) можно сделать оп-
ределенные утверждения, касающиеся их соб-
ственного момента импульса. Некоторые
элементарные частицы, например протоны
и нейтроны, имеют спин, равный спину
электрона (s У2). Пионы не имеют спина
(s 0), а спин фо юнов равен единице (s 1).
Существуют элементарные частицы (напри-
мер, омега-гиперон) с s=3/2. Спин ядра оп-
ределяется тем, как складываются спины
отдельных протонов и нейтронов в ядре.
Если ядро состоит из четного числа нукло-
нов, то спин может быть равен 0 1, 2,
♦ Это взаимодействие часто называют спин-
орбитальным взаимодействием, так как оно за-
висит от того, параллелен или антипараллелен
спин орбитальному моменту импульса
445
13.4. Квантовая теория атома водорода
Таблица 13.4. Спины некоторых элементарных частиц
Класс частиц Частица Спин
Электрон 2
Нейтрино '/2
Мюон Ц
Фермионы Протон 'А
Нейтрон 1А
Омега гиперон %
Пион (л-мезон) 0
Бозоны Каон (К-мезон) 0
Фотон 1
если из пене! кого — спин может быть равен
1/, Уг......Были обнаружены состояния
ядер с моментом импульса, достигающим 20.
В ряде квантовомеханических ситуаций
частицы с полуцелыми спинами (s=!^, %,...)
ведут себя совершенно иначе, нежели части-
цы с целыми спинами (я 0,1,2,...). По-
этому удобно подразделить частицы но
этому признаку на две группы. Частицы с
полуцелыми спинами называются ферми-
частицами, или фермионами, в честь Эпри-
ко Ферми (1901 1954), выдающегося италь-
янского физика, который создал теорию бе-
та-распада. Частицы с целыми спинами на-
зываются бозе-частицами, или бозонами, в
честъ индийского физика С Н Бозе (род. в
1894 г.), который впервые исследовал ста-
тистические свойства таких частиц (а именно
фотонов).
13.4. Квантовая теория атома
водорода
РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ К се-
редине 20-х годов стало яспо, чю теория
строения атома Бора Зоммерфельда, буду-
чи сплавом как классических, так и кванто-
вых представлений, нс может дать полного
и удовлетворительного объяснения свойств
атомов. В 1925 1926 гг. родился новый
ви ляд на природу атомных процессов, осно-
ванный не на использовании орбит электро-
нов и электронных «прыжков» с одной ор-
биты на другую, а на описании волновых
свойств электронов. Классическое представ-
тение об орбитах было отброшено; ею за-
менила волновая механика, или квантовая
теория элементарных процессов. В 1925 г.
Вернер Гейзенберг (род. в 1901 г.) и Эрвин
Шредингер (1887— 1961) дали эквивалентные
математические описания поведения элек
трона, а Гаудсмит и Уленбек ввели понятие
спина электрона. В следующем году Макс
Борн (1882—1971) дал вероятностую интер-
претацию волновой функции Вс юд за этими
новыми фундаментальными идеями в огром-
ном количешве стали появля1ься результа-
ты, полученные па основе новой теории.
В 1928 г Паули сформулировал принцип,
позволивший объяснить расположение атом-
ных электронов по оболочкам, Гейзенберг
сформулировал принцип неопределенности,
а П А. М. Дирак (род. в 1902 г.) разработал
релятивистскую квантовую теорию. Эти до-
стижения позволили получить ответ почти
на любой вопрос, связанный со строением
атомов; затруднения своди шсь лишь к вы-
числениям. (Конечно, некоторые из этих
«вычислительных проблем» были и остаются
чрезвычайно сложными.) Развитие кванто-
вой теории явилось гигантским шагом впе-
ред в понимании явлений природы; он пред-
ставляется особенно замечательным, если
учесть, что все основные идеи были сформу-
лированы за столь короткий промежуток
времени. По своему значению квантовая
446
13. Aiho.uh и кванты
теория соизмерима, а может быть, и прс-
взош, ia сформулированный Ньютоном за-
кон всемирного тяготения и объяснение
движения планег.
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ АТОМА ВОДО-
РОДА. Если отказаться о г классического
представления об электронных орбитах, то
как следует понимать различные уровни
энергии агома водорода? Шредингер по-
дошел к этой проблеме аналогично тому,
как в разделе 12.6 вычислялись волновые
функции и уровни энергии частицы в потен-
циальной яме. Оп составил уравнение, сход-
ное с тем, которое описывает распростране-
ние механических волн; в этом уравнении он
учел электростатическую потенциальную
шергию электрона в поле ядерпого прото-
на. Решение уравнения показало, что у дан-
ной системы сущее гвуст ряд дискретных раз-
решенных энергий. Эти энергии, полученные
из решения уравнения Шредишера, в точ-
ности соответствовали энергиям в теории
Бора, но электронные «орбиты» в данном
случае отсутствовали Вместо этого каждому
энерге I ическому состоянию соответс т вовала
волновая функция, коюрая описывала ам-
плитуду электронной волны в любой точке
в окрестности ядра. Квадрат этой амплиту-
ды пропорционален вероятности найти элек-
трон в заданном месте.
Решение Шредингера для атома водорода
иллюстрирует фиг. 13 19а На этой фшуре
привечен потенциал —е2/г и положения пер-
вых грех уровней энергии (ср фиг 12.24).
Радиусы «(, а2 и соответствуют радиусам
воровских орбит. На фиг. 13.196 приведены
радиальные волновые функции (или ампли-
туды вероятности) для этих первых трех
уровней Заметим, что в каждом случае
волновая функция простирается далеко за
пределы радиуса воровской орбиты; иными
словами, происходит как бы «утечка» волно-
вой функции из области потенциала конеч-
ной глубины. Заме!им также, что амплитуда
волновых функций S-состояния отлична OI
пуля вблизи ядра, "тогда как при />0 все
волновые функции обращаются в нуль в
точке г 0. Чтобы попять эти ретультаты
кнантовомеханических вычислений, вообще
говоря, можно обратиться к полу классиче-
ской модели Бора Зоммерфельда*. Состоя-
ниям с большими момен 1ами импульса соот-
ветствуют почти круювые орбиты
(см. фиг. 13.11), поэтому такие состояния на-
ходятся на наибольших средних расстояниях
от ядра. Нулевому моменту импульса дол-
жен соответствовать вырождающийся в пря-
мую эллипс, гак чго электрон должен «про-
ходить через ядро»; в классическом пред-
ставлении это единст венная возможность
получить равный нулю момент импульса.
Конечно, согласно квантовому представлс-
нию, электрон не «проходит через ядро»,
а существует лишь нейтронная плотность
вероятности в виде облака, симметрично
расположенного около ядра
Графики волновых функций на фиг. 13.196
показывают, что электрон не находится на
каком-то точно опреде теином расстоянии
от ядра. Не существует и электронных «ор-
бит»- вместо этого имеется «размытое» элек-
тронное распределение, и можно указать
лишь вероятность того, что электрон нахо-
дится на данном расстоянии от ядра. Поучи-
тельно рассмшреть размытость облаков
плотности вероятности на фит 13.20 Так
как состояния 1S и 2S имеют нулевой орби-
тальный момент, то они должны вьпля-
дсть одинаково в тюбом нанрав теннн,
т. е. имеют сферически симметричное рас-
пределение плотности вероятности. В со-
стоянии 1S имеется только один максимум
плотности вероятности (при г 0), тогда
как в состоянии 2S имеются два максимума,
один в центре и другой на расстоянии при-
близительно 2А от ядра Напротив, состоя-
ние 2Р (и любое состояние с I >0) не является
сферически симметричным Если задано
преимущественное направление в простран-
стве (как при наличии магнитного ноля), то
различные магнитные подуровни будут
иметь различные плотности вероятности
(т. е. различные волновые функции), как
это видно на фиг. 13.20.
♦ Модель Бора Зоммерфельда конечно, не
является правильной с квантовомеханической
точки зрения, однако если сравнивать орбиты со
средними значениями соответствующих вол-
новых функций, то по лучаетс.ч дово зьно хоро-
шее согласие результатов моде ш Бора Зом-
мерфельда с результатами квантовой теории
13 4. Квантовая теория атома водорода
447
Фш 13.19а. Потенциал и первые три энерге-
тических состояния атома водорода.
Сравните со схемой уровней энергии на фиг. 13.9.
Радиусы а„ а2 и а, соответствуют радиусам во-
ровских орбит.
Фиг 13.196 Радиа льные во товые функции
атома водорода для трех первых значений
г швного квантового числа
Все во лновые функции выходят ла преде лы боров-
ских радиусов Заметим, что волновые функции
S-состояния пересекают ось абцисс п I рал и
что при данно.ч п во иловая функция д ля каждого
лил лее высокого значения I пересекает ось на один
ра л меньше Вероятность наха ведения э лектролла
лла рал стоянии г от ядра в пределах инерваллл Ал-
ллропорииона льна r~|y(r)| 'dr
Г, А
448
13. Атомы и кванты
n=l 1=0
IS
n = 2 1=0
2S
n = 2 1=1
mt = 0
2P
mt = ±1
2P
Фи| 13 20 Об m, характеризующее плот-
ность распределения вероятности д ы э гект-
ронов в состояниях атома водорода с п - I
и п 2.
1S-u2S -состояния сферически симметричны Об-
лака 2Р-состояний изображены для случая вер-
тикально направленного поля. Полные трех мер
ные распределения можно получить вращением
изображенного на рисунке облака вокруг верти-
кальной оси. Центральная точка изображает
ядро
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА.
В 50-х годах стало ясно, чго релятивистская
квантовая теория Дирака нуждается в не-
больших поправках, связанных с квантовой
природой электромагнитно! о поля Дальней-
шее развитие теории Дирака привело к созда-
нию квантовой электродинамики, представ
ляюшей собой наивысшую ступень развития
современной квантовой теории. Точность
предсказания различных величин в кванто-
вой электродинамике поистине замечатель-
на: например, вычисленное на ее основе зна-
чение собственною магнитного момента
элек!ропа совпадает с полученным из экспе-
римента с точностью до 106 Несмотря па
столь удивительную ючность, мы не можем
с уверенное 1ью утверждать, чго совремеп
ная кванювая электродинамика «совершен
на». Еще предстоит выяснить, нс потребует
ли она каких- либо дополнений и усовершен-
ствований.
13.5. Принцип Нау ш и структура
электронных обо ючек атомов
СИСТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТОВ Создан-
ная Шредингером и Гейзенбергом в 1925 i
квантовая механика необычайно успешно
объяснила спектр атома водорода и других
одпоэлек тронных систем. Введение спина
позволило понять некоторые результаты в
случае более сложных атомов. Однако на
данной стадии развития теории нельзя было
утверждать, что во всех деталях объяснено
строение аюмов, содержащих большое чис
то электронов.
Из систематическою изучения атомных
спектров было известно, что число атомных
электронов меняется регулярным образом
при переходе от элемента к элементу и что
при этом заряд электронов компенсируется
равным но величине положительным заря-
дом ядра. Таким образом, у водорода один
орбитальный электрод и заряд ядра равен
+ е; гелий имеет два орбитальных электрона
и заряд его ядра равен +2е Число электро-
нов в нейтральном атоме (или, что эквива-
лентно, число положительных зарядов в
ядре) называется атомный номером элемен-
та и обозначав1ся 7
Было известно также, что многие физиче-
ские и химические свойства элементов можно
систематизировать и расположить элементы
в виде периодической таблицы (периодической
системы элементов Д И Менделеева)
(фиг 13 21). В этой таблице элементы
Труппы 1 Я
Ш Ш
о
Периоды
1
2
3
4
5
6
7
н
1,00797
3
Li
6.939
—Ti
Na
22,9898 4,312
19 ~
К
39,102
37
Rb
85,47
55
Cs
132,905
87
Fr
(223) (227)
4
Be
9,0122
12 ~
Mg
20
Са
40,08
38
Sr
87,62
56
Ва
137,34
~88~
Ra
*/1антаниды
t Актиниды
39
(89 1«
21
Sc
44,956
88,905
57'71
2 He 4,0026
5 В 10,811 6 c 12,01115 N 14 0067 8 0 15,9994 Э F 18,9934 10 Ne 2D.183
Переходные элементы 13 AL 26,9815 14 Si 28,086 15 P 30,9738 16 s 32,064 17 CL 35,453 18 Ar 39,948
22 Ti 47,90 23 V 50,942 24 Cr 51,996 25 Mn 54,9380 26 Fe 55,847 27 Co 58,9332 28 Ni 58,71 29 Cu 63,54 30 Zn 65,37 31 Ga 69,72 32 G-e 72,59 33 As 74,9216 34 Se 78,96 35 Br 79.909 36 Kr 83,80
40 Zr 91,22 41 Nb 92,906 42 Mo 95,94 43 Tc (99) 44 Ru 101,07 45 Rh 102,905 46 Pd 106,4 47 Ag 107,870 46 Cd 112,40 49 In 114,82 50 Sn 118,69 51 Sb 121,75 52 Те 127,60 53 I 126,9044 54 Xe 131,30
72 Hf 178,49 73 Та 180,948 74 W 183,85 75 Re 186,2 76 Os 190,2 77 Ir 192,2 78 Pt 195,09 79 Au 195,967 80 Hg 200,59 81 TL 204,37 82 Pb 207,19 83 Bi 208,980 84 Po (210) 85 At (210) 86 Rn (222)
(104) (105)
57 La 138,91 58 Се 140,12 59 Pr 140,907 60 Nd 144,24 6t Pm (145) 62 Sm 150,35 £ 151,96 64 Gd 157,25 65 Tb 158,924 66 Dy 162,50 67 Ho 164,930 68 Er 167,26 69 Tm 168,934 70 Yb 173,04 71 Lu 174,97
89 Ac (227) 90 Th 232,038 91 Pa (231) 92 U 238,03 93 Np (2S7) 94 Pu (242) 95 Am (243) 96 Cm (245) 97 Bk (249) 98 Cf (249) 99 Es (254) 100 Fm (252) 101 Md (256) 102 No (254) 103 Lw (257)
26 —
Fo
rtf EC ЙЛ7 —j
JJr
Атомный, номер Z
Символ элемента
Атомная масса естественной смеси изотопов для радиоак-
тивных элементов' числа в сковках- массовые числа
наиболее устойчивых изотопов
13.5. Принцип Паули и структура электронных оболочек атомов
Фи! 13.21. Периодическая система элементов
450
13. Атомы и кванты
Фит. 13.22. Энергия ионизации элементов в
зависимости от их атомного номера.
расположены группами и периодами, при
чем члены каждой группы имеют сходные
свойства. Так, элементы Li. Na, К, Rb, Cs
и Fr сходны с водородом тем, что учас твуют
в химических реакциях так, как если бы об-
ладали только одним эффективным электро-
ном (называемым валентным) Например,
элементы i руины I ле!ко соединяются е
элементами группы VII, образуя соединения
типа HF, НВ г, NaCl, NaF, К Cl, К В г. Эле-
менты труппы 0 так называемые благо-
родные, или инертные, газы — с трудом сое-
диняются с другими элементами*; эти эле-
менты не имеют валентных электронов.
Таблица (фит. 13.21) отражает периодич-
ность многих физических у химических
свойств элементов. Каждый из периодов
кончается благородным газом. Таким обра-
зом, различные периоды кончаются атом-
ными номерами 7 2, 10, 18, 36, 54 и 86.
Эта периодичность поразительным образом
проявляется в энергиях ионизации элементов.
(Энергия ионизации — это минимальная
энергия, необходимая для того, чтобы уда-
лить электрон из атома, превратив атом в
однократно заряженный ион.) На фиг 13.22
показано что энергия ионизации очень вели-
ка для инертных тазов и мала для элементов
с атомным номером на единицу выше (эле-
менты группы I с одним лет ко отчуждаемым
* При специальных условиях удалось получить
некоторые соединения инертных газов.
валентным электроном). На протяжении лю-
бого периода от т руппы 1 к т руппе 0 происхо-
ди г более или мепес равномерное увеличение
энергии ионизации.
Несмотря на то ч го систематическое пове-
дение физических и химических свойств эле-
ментов имеет важное значение, причина
этого оставалась невыясненной как в старой
модели Бора—Зоммерфсльда, так и в перво
начальном вариан те квантовой теорит Мож-
но было только сказать, что электроны,
по-видимому, располагаются слоями или
оболочками, причем каждая оболочка за-
по шлется целиком у инертнот о таза, так
что валентные электроны, которые могут
принимать участие в химических реакциях,
у этих элементов отсутствуют. Элементы,
соответствующие началу оболочки (труп-
па -I), имеют один валентный электрон'
элементы группы II имеют два валентных
электрона. Значение этой структуры элек-
тронных оболочек и смысл чисел 2, 10. 18,
36, 54 и 86 электронов в заполненных оболоч-
ках оставались неясными, пока Вольфганг
Паути не решил эгу загадку простым и
изящным способом
ПРИНЦИП ПАУЛИ Ключ к решению
проблемы оболочечной структуры атома
был найден Паули в 1925 г. Заполнение атом-
ных оболочек подразумевает что на данной
оболочке не может находиться произвольно
большое число электронов Паули считал,
что такое ограничение должно иметь фун-
даментальную причину, и сформулировал
13.5. Принцип Паули и структура электронных оболочек атопит
451
следующий принцип, известный под назва-
нием принципа запрета, или принципа Паули.
в ато ме не может существовать двух
электронов с одинаковыми квантовыми
числами.
Таким образом, если один атомный
электрон находится в квантовом состоя-
нии. характеризуемом набором кванто-
вых чисел п, I, mt и т,, го другие электроны
данного атома уже не могут находиться в
этом квантовом состоянии* Самое замеча-
тельное заключается в том, что детальное
сIроение атома оказывается следствием это-
ю столь просто сформулированного прин-
ципа. Но в этой простоте и заключается
красота законов природы.
СТРУКТУРА ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛО-
ЧЕК АТОМОВ. Чему равно число состоя-
ний электрона в атоме? Мы ограничимся
рассмотрением основных состояний ней-
тральных атомов, когда Z электронов в
атоме расположены так, что полная энергия
системы минимальна. Для п 1 возможно
только 1=0, и поэтому возможно только
Mi 0. Однако при этом возможны два
состояния спина: т, У2 и т, =—у2. По-
этому в состоянии с и = 1 могут находиться
два электрона, и первая оболочка оказыва-
ется заполненной при Z 2 (гелий), как по-
казано на фиг. 13.23. Первая оболочка с
п 1, содержащая только два 15-электрона,
называется К-оболочкой**
* Принцип Паули распространяется не тс гько
на электроны {ему подчиняются все фермионы)
и даже не только на атомные явления В с лед\ю-
щей главе мы будем рассматривать явления, про-
исходящие в веществе в целом, которые требуют
для своего объяснения введения принципа Паули
Бозоны принципу Паули не подчиняются.
** Обычно электронам с одним и тем же глав-
ным квантовым чис лом дакт буквенные обозна-
чения ) а троны с п — I называются К-элект-
ронами. с п — 2 [^электронами, с л 3 —
М-электронами и т д Первые две электрон-
ные обо ючки содержат то гько К-э сектро-
ны и I-электроны. Но, как мы увидим в дальней-
шем, зедующие оболочки содержат электроны
с песка льки ми значениями п.
Чтобы образовать литий (Z 3), мы долж-
ны добавить третий электрон в состоянии
с п---2, начав тем самым заполнять I. -обо-
лочку. Для п -2 имеются два 25-состояния
(/ 0. Щ| 0. ms ± 2) и шесть 2Р-состоя-
ний (два состояния с/==1,Ш| = + l,ms =±1/2,
два состояния с I I, т, 0, ms =± 1/2 и два
состояния с I 1, Щ| -1, ms 12). По-
лому L-оболочка содержит всего 8 возмож-
ных электронных состояний и отвечает 8
элементам от Z 3 (литий) до Z 10 (инерт-
ный газ неон), как показано на фиг. 13.23.
Все возможные состояния для л 1 и п=2
приведены в 1абл. 13.5.
ВНЕШНИЕ ОБОЛОЧКИ. Следовало ожи
дать, чю третья оболочка будет содер
жать все Л/-соетояния си 3: два 35-состоя-
ния, шесть ЗР-состояиий и десять 3D-co-
сгояний, что составляет всего 18 возможных
состояний. Однако при заполнении третьей
оболочки начинает играть роль другой эф-
фект. Из предыдущих рассуждений мы зна
ем, что электроны в состояниях с большим
моментом импульса находятся в среднем
дальше от ядра, чем электроны в состояниях
с малым моментом импульса. На удаленные
от ядра электроны действует заряд, несколь-
ко меньший заряда ядра Ze, так как внут-
ренние электроны с малым моментом им-
пульса чаетично экранируют ядро Поэтому
на внешние электроны действует меньшая
сила притяжения, и они слабее связаны в
атоме. Для состояний си 3 (и более высо-
ких) этот экранирующий эффект вызывает
значительное изменение в энергиях атомных
состояний. Энер! ия 45-состояния в действи-
тельности оказывается ниже энергии 3D со-
стояния (т. е. 45-состояние связано сильнее).
Следовательно, 45-состояние заполняется
раньше, чем ЗР-состояние. Аналогично 55-
состояние заполняется раньше 4 D-состоя-
ния. Это нарушение «нормальной» схемы
уровней энергии показано на фиг. 13 24
где третья оболочка завершается ЗР-состоя
нием и содержит только 8 электронов. Чет-
вертая оболочка включает 45 3D- и 4Р-со-
стояния и содержит всего 18 электронов.
Подобным же образом пятая оболочка со-
держит тоже 18 электронов.
452
13. Атомы и кванты
Фиг. 13.23. Заполнение двух первых электрон-
ных оболочек в атоме.
В первом столбце находятся S-состояния (IS
и 2S), в следующих трех столбцах — Р-состоя-
ния (I — 1. mt = 1, О, -/). Клетки изображают
магнитные подсостояния; каждому подсостоя-
нию соответствуют два состояния спинов т =
= +’А. показанные стрелками К-оболочка за-
полняется в атоме гелия, и следующие 8 элект-
ронов должны находиться в L-оболочке, которая
заполняется при 7. = 10 (в атоме неона)
Заполненная
К-оболочка
13.6. Атомные излучения
453
Таблица 13.5. Электронные состояния в первых двух электронных
обо ючках атомов
Оболочка п 1 Число элект- т1 т' ронов
К 1 0 0 ; за
L 2 0 0 0 0 + '/г1 -'/г 2 (25)
1 0 + '/2 8
1 0 -'4
1 1 -ы + 1 + '/г ~'А 6 (2Р)
1 —1 + '/2
1 - 1 -%
Порядок заполнения электронных оболо-
чек таков:
IS, 2S, 2Р, 3S, ЗР, 45. 3D, 4Р, 5S,
4D, 5Р. 6S 4F, 5D, 6Р, 75, 5F, 6D.
Переходные элементы в периодической
системе соответствуют атомам, у которых
экранирующий эффект смещает состояния,
в результате чего происходит заполнение
состояний с «неправильным» значением и.
Например в случае аргона (Z 18) первые
18 электронных состояний (включая
ЗР-состояние) заполняются нормально (см.
фиг 13.24). Но 19-й и 20-й электроны бла-
годаря экранирующему эффекту вместо
3 D-состояния оказываются в 45-сосгоянии.
При дальнейшем добавлении электронов мы
должны будем «вернуться назад» и запол-
нить 10 возможных 3 D-состояний, а затем
уже перейти к заполнению 4Р-сосгояний
Эти 10 элементов, образующихся при за-
полнении 3D-состояний, представляют собой
переходные элементы 4-го периода. Переход-
ные элементы других периодов получаются
подобным же образом Когда мы достигаем
Z 57 (а также Z 89), заполнение происхо-
дит таким образом, что целый ряд элемен-
тов ( шнтаниды, начиная с / 57, и актини-
ды, начиная с Z =89) попадает в одну клетку
первого столбца переходных элементов. Эти
две группы элементов приведены отдельно
внизу периодической таблицы (фиг. 13.21).
Сочетание принципа Паули и эффекта
экранирования заряда ядра внутренними
электронами полностью объясняет структу-
ру электронных оболочек атомов.
13.6 Атомные излучения
РЕНТ ГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ Почти все свой-
ства атомов — химические, электрические,
магнит ные, оптические и т. д. зависят о г
конфигураций внешних электронов. Только
в случае очень сильного воздействия на атом
в игру вступают сильно связанные внутрен-
ние электроны Легко понять, почему это
происходит: например, чтобы удалить внеш-
ний электрон из атома свинца (Z 82), тре-
буется веет о 7,4 эВ, а для тот о чтобы удали гь
один из К-электронов, потребуется энергия,
равная 75 кэВ, или 75 000 эВ Конечно, для
атомов с более низкими атомными номера-
ми это различие меньше, но всегда лет че
удаяить внешний электрон, нежели внутрен-
ний.
Если сообщить атому достаточную энер-
гию за счет столкновения с быстрым элек-
т роном (как это происходит в реп п еновской
трубке) или облучая его фотонами большой
энергии, го удастся выбить один из внутрсн-
S Р
(L=0) (1 = 1)
D F
(1 = 2) (L = 3)
5D/'
х'\ю)
5Р '''п = 5«» /
^''^) 4D /
X (10)
(2) /-xn = ^’(W)
4Р /'
^'(6) 3D
у U0)
(2) X п = 3(М)
ЗР^''
38 (6)
(2)
2Р
ZS (6)
(2) n = 2(L)
1S
(2)
п = 1 (К)
с
к:
Фиг. 13.24. Нарушение «норма лъной» после-
довательности заполнения подсостояний
вследствие экранирования заряда ядра внут-
ренними электронами имеющими малый мо-
мент импульса.
В результате экранирования энергия электронов
с большим моцентом импульса увеличивается,
т е их связь с ядром ослабевает, 3D -электроны
переходят в четвертую оболочку, a 4D-электро-
ны переходят в пятую оболочку. (Энергии даны
не в масштабе.)
4F
/(11)
/
18
18
8
2
<ъ
Z=54
z-зв
Z=18
Z=10
Z=2
a>
E .<=>
Qj
к
О
13.6. Атомные излучения
Фш 13.25. Возникновение рентгеновских п -
чей.
а фотон с большой энергией паоает на атом,
из самой внутренней оболочки он вырывает оОин
К-эзектрон, б — один из L-эмктронов соверша-
ет переход, заполняя вакансию в К-оболочке и ис-
пуская квант рентгеновского К^-излученич Затем
происходит переход Li-электрона. который запол-
няет освободившееся место в L-оболочке. испус-
кая квант рентгеновского -излучения. Наконец,
вакансия в самой внешней оболочке заполняется
путем захвата свободного э сектрона из окружа-
ющей среды, и атом опять становится электри-
чески нейтра иным.
них К-электронов (фиг. 13.25, а) Атом не-
долго остается в таком состоянии с вакан-
сией в К-оболочке. Электрон с более уда
ленной от ядра оболочки перейдет на К-обо-
точку и займет освободившееся место
(фш 13.25,6) Вероятнее всего, такой перс
ход соверши । L-электрон. испуская при этом
жесткий фоюн (линию К, рентгеновского
спектра). Но тогда в L-оболочкс также обра
зуется вакансия, которая будет заполнена
электроном с одной из внешних оболочек.
В копне концов, после переходов электронов
с одной оболочки па другую и испускания
серии рентгеновских квантов, из окружаю-
щей среды внешней оболочкой будет за-
хвачен свободный электрон и атом вернется
в электрически нейтральное состояние
В табл. 13.6 приведены энергии ионизации
К-оболочки, энергии рентгеновских квантов
К, и минимальная энергия ионизации (т. с.
энергия, необходимая для удаления внеш
него электрона) для нескольких элементов.
Линия Кх. соотвегсгвуюшая переходу меж-
ду L и К-оболочками, является наиболее
характерной линией атомного рентгенов-
ского спектра, хотя переходам М->К (линия
Kfi), N~»K (линия К,) и т. д. соответствуют
более высокие энергии.
Подробные исследования рентгеновских
спектров различных элементов были выпол-
нены в 1913—1914 гг. Г. Мозли (1887—1915),
блестящим учеником Резерфорда, безвре
менно погибшим во время первой мировой
войны. На основе систематики рентгеновских
спектров Мозли показал, что существует
прямая связь между энергией рентгеновских
лучей и атомным номером испускающего
их элемента. Он нашел, что энергия, соответ-
ствующая линии Кг характеристического
рентгеновского спектра а г ома с атомным
456
13. Атомы и кванты
Таблица 13.6. Энергия ионизации и энергия рентгеновской линии Ка для некоторых элементов
Элемент Z Энергия иониза- ции К-оболочки, кэВ Энергия рентге- новской линии Ка кэВ Минимальная энергия иониза- ции, зВ
А1 13 1,56 1,49 6.0
Си 29 8,99 8,06 7,7
Мо 42 20,0 17,5 74
Ag 47 25,5 22,1 7,6
W 74 69,6 59.3 8,1
Pb 82 88,1 75,0 7,4
номером Z, с большой точностью описы-
вается выражением
ЕКа = 10,3(2-1)аэВ. (13.25)
Появление в этом выражении множителя
(Z—I)2 вместо Z2, следующего из простой
теории*, объясняется тем, что при удалении
одного из К-электронов остающийся К-элек
трон экранирует заряд ядра, уменьшая тем
самым «эффективный атомный номер» на
единицу. Конечно, в случае водорода второй
электрон отсутствует и формула Мозли
должна в этом случае давать значение энер-
гии излучения, равное 10,3 эВ. В самом деле,
переходу L—>K (или от и 2 к п 1) в атоме
водорода отвечает /глина волны 121 бА (см
фиг 13.9), что соответствует энерг ии 10,2 эВ.
Формула (13.25) дает очень точные значения
энергий линий Ка рентгеновского спектра
для элементов с Z -С 50; для больших Z зна-
чения, вычисленные по этой простой фор-
муле, оказываются несколько меньше экспе-
риментальных.
До исследований Мозли элементы разме-
щались в периодической таблице в порядке
возрастания масс их атомов, однако в неко-
торых случаях это приводило к несуразно-
* В (13.9) энергия атома водорода в данном со-
стоянии пропорциональна е* этот множитель
получается благодаря возведению в квадрат про-
изведения заряда электрона иа заряд ядра, т. е
[Ze)• е]2, где Z I для водорода Поэтому в об-
щем случае энергия пропорциональна Z1. [Множи-
тель е4 как и другие постоянные, включен в об-
щую константу 10.3 эВ в (13 25)]
стям. Исходя из систематики pen i гсновских
спектров, Мозли впервые установил атом-
ные номера ряда элементов. После этого ста-
ло очевидно, что несуразности получаются
только в тех случаях, для которых обычное
увеличение массы атомов с атомным номе-
ром Z нарушается*, и что проблему можно
разрешить, располагая элементы в периоди-
ческой сисгеме в порядке возрастания не масс
атомов, а атомных номеров Мозли удалось
также показагь, что существуют гри элемен-
та, ие внесенные тогда в периодическую си-
стему элементов (с Z 43, 61 и 75). Впослед-
ствии эти три элемента были открьпы.
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ МЕЗО-
АТОМОВ Пи-мезои, или пион, — частица,
ответственная за ядерное взаимодействие
нуклонов в ядре в свободном состоянии
неустойчив и распадается в течение 10~8 с
на электрон и мнюн (обозначаемый симво-
лом д). Мюон также неустойчив, но живет
достаточно долго (~ 2 1(Г6 с) и за это время
может быть захвачен атомом, заменяя в нем
один из электронов. (Это справедливо, ко-
нечно, лишь для отрицательно заряженных
мюонов, положительные мюоны не могут
захватываться атомами.)
♦ Хотя масса атома элемента обычно (за
исключением водорода) приблизительно в два раза
больше его атомного номера, порядок возраста-
ния этих двух чисел не всегда один и тот же. На-
пример, масса атома кобальта (Z 27) больше,
чем нике ня (Z 28) другие примеры можно найти
на фиг. 13 .21.
13.6. Атомные излучения
457
Чем будет отличаться атом, содержащий
мюон, от обычного атома9 Из формулы
(13.7) мы видели, что радиус электронной
орбиты в модели Бора атома водорода об-
ратно пропорционален массе электрона те.
Если электрон замешеп мюоном, масса ко-
торого равна 207 те, то соответствующая
орбита будет иметь в 207 раз меньшие раз-
меры. Таким образом, орбита, соответству-
ющая основному состоянию атома, содержа-
щего мюон, гак называемого мезоато-
ма — будет иметь радиус, равный не 0,53 х
х 10-8 см. а 2.6-10-11 см Далее энергия пере-
хода между любыми двумя состояниями,
которая, согласно (13.10), пропорциональна
те, увеличится в 207 раз, если электрон за-
мешен мюоном Поэтому переход L~>K
которому в случае водорода отвечает энер-
гия 10,2 эВ, будет в мезоатоме иметь энер-
гию 2.1 кэВ
В приведенных выше рассуждениях мы
пользовались моделью Бора, однако общие
результаты остаются справедливыми и в
квантовой теории. Так, энергия линии К,
будет приблизительно (хо1я и не совсем
точно) в 207 раз больше в том случае, когда
переход Ь~>К совершает не электрон, а
мюон. Точно так же среднее расстояние
мюона на К оболочке от ядра атома при-
близительно в 207 раз мепыпе соответствую-
щего расстояния для К-элек трона. Поэтому
исследование рентгеновского излучения ме-
зоатомов представляет значительный инте-
рес, так как для элементов с большими зна
чениями Z «орбита» мюона на К-оболочке
фактически оказывается внутри ядра1 Излу-
чение мезоатома оказывается чувствитель-
ным к распределению ядерпото заряда, с ко-
торым взаимодействует движущийся по сво-
ей «орбите» мюон. Поэтому измерения из
лучения мезоатомов могут дагь интересную
информацию о детальной ст рук г уре поверх-
ности ядра
ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМА ВОДОРОДА С
ДЛИНОЙ ВОЛНЫ 21 СМ Ядра, подобно
электронам, имеют спин. Поэтому полный
момент атома J не есть просто полный мо
мент его электронов, а представляет собой
векторную сумму полного момента элек-
тронов и спина ядра В атомных спектрах
Энергая=Е0
а
Энергия - Ео + 5,9-10 в эВ
5
Фиг. 13.26. В нормально и. и и основном со-
стоянии атома водорода спины электрона и
протона направлены в противоположные сто-
роны (а); сообщая атому энергию 5,9-КГ6 эВ,
можно «.перевернуть» спин электрона (б).
Наоборот, при переходе из состояния б в состоя-
ние а испускается фотон с энергией 5,9 КГ6 эВ
(Х=21,1 см).
имеются небольшие особенности, завися-
щие от того, совпадает ли направление
полного момента электронов с направле-
нием спина ядра или противоположно ему
В этом отношении большой интерес пред-
ставляет излучение атома водорода. В со-
стоянии с п 1 орбитальный момент элек-
трона равен нулю, так чго полный момент
атома равен сумме спинов электрона и про-
тона. Основное состояние атома водорода
состояние сп I, в котором спины электро-
на и протона направлены в противополож-
ные стороны, так что полный момент атома
J 0 (фит- 13 26, а). Требуется совсем не-
большое количество энергии, 5,9-10-6 эВ,
чтобы «перевернуть» один из спинов и соз-
458
13. Ллио.мы и кванты
тать состояние, при котором оба спина
будут направлены в одну сторону и J будет
равно 1 (фиг. 13.26, б). Так как разность
энергий двух спиновых состояний мала,
эффект «переворота» спина обычно не имеет
существенного значения Однако именно эт и
спиновые переходы дали богатую инфор-
мацию о распределении водорода в нашей
Г алактике
Ббльшая часть вещества во Вселенной
представляет собой водород; водород —
основной материал, из которого в звездных
«печах» создаются более тяжелые элементы.
После того как первичный водородный газ,
сконденсировавшись, образовал протозвез-
ды, в межзвездном пространстве осталось
значительное количество водорода. Так, в
нашей Галактике в межзвездном прост ран-
ствс находится даже больше водорода, чем
в звездах. Средняя плотность межзвездного
водорода составляет около 1 атома в I см’.
Даже при столь чрезвычайно малой плот-
ности атомы водорода иногда (примерно
раз за 25 лег) сталкиваются друт с другом.
Эти столкновения могут перевести атом из
основного состояния с J 0 в состояние с
J I. Бблыпая часть возбужденных атомов
вернется в основное состояние при повтор-
ных столкновениях, однако некоторая доля
самопроизвольно испустит при этом пе-
реходе фотон с энергией 5.9-10'6 эВ. Эки
процесс, несмотря на его редкость, можно
обнаружить благодаря тому, что в косми-
ческом пространстве содержится огромное
количество водорода.
Благодаря постоянному переходу атомов
водорода в межзвездном пространстве в
состояние с J I и последующему излуче-
нию части этих атомов при переходе в основ-
ное состояние можно обнаружить присут-
ствие водорода и определить его количество
в межзвездном пространстве. Фотон с энер-
гией 5.9-10 6 эВ, испускаемый в процессе
«переворота» спина, имеет длину волны
21,1 см (v 1,42 109 с’1). Это излучение ле-
жит в микроволновой области электромат-
нитного спектра (см. фиг. 10 47). Пользуясь
радиотелескопами, настроенными па излу-
чение с длиной волны 21 см, можно соста-
вить подробные карты распределения во-
дорода в нашей Галактике (см. раздел 17.2).
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЛА
ЗЕРЫ. Вероятность того, что переход между
двумя состояниями атома произойдет в те-
чение определенного интервала времени, за-
висит от произведения волновых функций
описывающих эти состояния, на величину,
характеризующую переход. Таким образом,
с квантовомеханической точки зрения не
существует различия между переходом из
состояния А в состояние В (А—>В) и перехо-
дом из В в Л (В—М), так как в описание каж-
дого перехода входи г одно и то же произве-
дение волновых функций и величины, ха-
рактерной для перехода. На фш. 13.27 схе-
матически изображены два эквивалентных
процесса возбуждения и высвечивания; в
каждом из них фотон имеет энергию hv=
= Е-В-£л.
Отсюда следует, чго если на агом в со-
стоянии В (в возбужденном состоянии) па-
дает фотон с энергией hv Ев—Ел то этот
фотон стимулирует процесс высвечивания.
(Фотон не может возбудить атом, так как
атом уже возбужден, но может вызвать
процесс, эквивалентный возбуждению. —
высвечивание с переходом атома в исходное
состояние.) Такой процесс называется вы-
нужденным, или стимулированным, излуче-
нием; он показан схематически на фиг. 13.28.
Существенной особенностью вынужден-
ного излучения, делающей его не только
интересным для исследования, но и полез-
ным, является то, что падающий и испу-
щенный атомом фотоны оказываются в фа-
зе. Иными словами, они распространяются
в одном направлении и колеблются в такт.
Таким образом,эти фотоны усиливают друг
друга. Если мы имеем некоторое количество
атомов и часть из них находится в одном и
юм же возбужденном состоянии, то един-
ственный падающий фотон может стиму-
лировать вынужденное излучение этих ато-
мов. Каждый испущенный фотон может
в свою очередь стимулировать испускание
фотонов дру1ими атомами, так чго система
в целом может почти разом излучить всю
энергию возбуждения в виде сгустка фото-
нов. находящихся в фазе друг с другом
Чго мы вышрываем в результате такого
процесса? Так как все возбужденные ато-
мы в конце концов отдали бы свою энергию
13.6. Атомные излучения
459
/
hv /
JWvZaA/WI/V*- е
В
hv
JUVUVVVXfXfXrt-
----1/
Возбуждение
Высвечивание
Фи . 13.27. Падающий фотон с энергией hv
возбуждает атом, переводя электрон в со-
стояние с более высокой энергией (а): элект
рои возвращается в основное состояние и ис-
пускает фотон с энергией hv (б).
Согласно квантовой механике, эти два процесса
мате матически эквива зентны. Физическое их раз-
личие заключается в том, что в первом процессе
энергия hv пог илцается, а во втором испус-
кается.
Фиг. 13.28. Вынужденное излучение
Падающий ф >тон с энергией hv попадает в атом,
находящийся в возбужденном состоянии, и сти-
мулирует его высвечивание. Возникают два фо-
тона с энергией hv, которые движутся в одном
направлении и находятся в фазе
Падающее+
+ вынужденное
Падающее s' излучение
излучение /hy * JVWW\Ar>
1/l/VWVWW'''' v JMMWVWV*
460
13. Атомы и кванты
2
Е0
JVJV
hv
JV^
hv
АЛЛЛМЛг+бг
Фотоны красного
f Света (6934А)
Основное состоя-
ние
Фиг. 13.29. Некоторые уровни энергии ато-
мов хрома в криста cie рубина.
Излучение накачки (стрелки, направленные вверх)
возбуждает электрон в две энергетические поло-
сы Е2 и Eit затем происходит переход в состоя-
ние Ev которое является рабочим состоянием
лазера. Лазерное излучение (красная стрелка) со-
стоит из красных фотонов (л 6934 А)
возбуждения в результате самопроизволь-
ною испускания, мы, стало быть, лишь сти
мулировали процесс, который так или иначе
должен был произойти. Различие заключа-
ется в том, что в самопроизвольном процессе
фотоны изучаются в случайных направле-
ниях и с разными фазами, а при вынужден-
ном излучении фотоны испускаются практи
чески одновременно и в фазе.
Как использовать вынужденное излуче-
ние, чтобы создавать интенсивные пучки ко-
герентного излучения (г. е. излучения, в ко-
тором фазы всех волн совпадают)? Если
это излучение находится в диапазоне све-
товых волн, то устройшво для его получе-
ния называют лазером (слово «лазер» со-
ставлено из первых букв английского назва-
ния, которое в переводе означает «усилитель
света, основанный на вынужденном излу-
чении»*).
* Первые практические устройства, построен-
ные на этом принципе работали на микроволнах
и получили название мазеров («микроволновые уси-
лители, основанные на вынужденном излучении»)
При создании лазера необходимо решить
две главные проблемы: 1) «накачать» энер-
гию в систему атомов так, чтобы достаточ-
ное число атомов находилось в возбужден-
ном состоянии, и 2) добиться того, чтобы
большинство фотонов испускалось в одном
направлении.
Если верхнее (возбужденное) состояние
оказывается узким (подобно состоянию В
на фиг. 13.27), то падающее излучение также
должно иметь строго определенную энер-
гию. Источник белого света в данном случае
не подходит, так как он испускает фотоны
в широком интервале энергии, и лишь не-
многие из них имеют энергию подходящую
для эффективной «перекачки» атомов в верх-
нее состояние В 1960 г. Чарльз Таунс и
Артур Шавлов из Колумбийского универси-
тета обратили внимание на интересное свой-
ство кристаллов рубина, которое, по-види-
мому, позволяло решить эту задачу. Рубин
состоит из бесцветной окиси алюминия,
которая содержит в виде примеси небольшое
количество хрома. Примесь хрома и придает
рубину его характерный красный цвет. На
фиг. 13.29 приведены некоторые энергети-
ческие состояния атомов хрома в рубине.
Отличительная особенность этой диаграммы
состоит в том, что энергетические уровни
Е2 и Ej на самом деле представляют собой
полосы. Это означает, чго состояние атома
не связано с одной точно определенной энер-
гией, а может иметь любую энергию в ок-
рестности Е2 и Es. Так как ткмюсы достаточ-
но широки, белый свет от источника оптиче-
ской накачки содержит большое число фо-
тонов с энергиями внутри полос. что позво-
тяет проигводить накачку Сначала нроис
ходит переход с каждой из полос в состоя
ние £’[ Следовательно, лазерным будет
переход Е, -• Е„, и соответствующее из-
лучение лежит в красной части спектра
при 6934 А
Проблему направленности можно решить
следующим образом. Кристаллу рубина при-
дают форму цилиндра со строго параллель-
ными основаниями (фиг 13.30) Одно осно-
вание цилиндра посеребрено и представляет
собой зеркало, а другое покрыто серебром
лишь частично, так чго некоторая доля излу-
чения может пройти через него. Накачка
13.6. Атомные излучения
461
Мощная
лампа
производится с помощью разрядной лампы
большой мощности, которая имеет форму
спирали, обвивающей цилиндрический кри
сгалл. Как только при самопроизвольном
переходе Е,—»Е0 образуется один фотон
начинается усиление света вынужденным
излучением. Фотоны, движущиеся парал-
лельно оси цилиндра, отражаются от его
горцов и снова проходят через кристалл,
стимулируя испускание дополнительных фо-
тонов. Часть этого излучения выхолит через
не полностью о т ражающий торец и образует
лазерный пучок. Бдльшая часть самопроиз-
вольно испущенных фотонов движется не-
параллельно оси; эти фотоны отражаются
в кристалле и в конце концов выходят через
боковую поверхность цилиндра. Они не
вносят вклада в лазерный пучок, однако
достаточное число фотонов отражается от
торцов цилиндра и поддерживает действие
лазера.
Энергия непрерывно накачивается в кри-
сталл источником света, и некоторая ее доля
(обычно очень незначительная) испускается
в виде лазерного пучка, это излучение ко-
герентно, почти монохроматичпо и имеет
высокую степень направленности Однако
лазер никоим образом не является «исгоч
ником» энергии. В действительности в пу-
чок преобразуется только малая доля за-
траченной энергии. Однако вся излучаемая
энергия сосредоточена в тонком пучке с
малой площадью поперечного сечения и с вы-
сокой монохроматичностью Недавно скон
струированы лазеры, способные давать
вспышки, в которых за 10 12 с излучается
энергия, равная десяткам джоулей. Мотц
Фиг. 13.30. Схема рубинового лазера.
Излучение накачки создается интенсивным ш
точником белого света. Испущенные фотоны от-
ражаются параллельными зеркалами и накапли-
ваются. Направленный пучок образуется фото-
нами, вылетающими через частично отражаю-
щий торец цилиндра
ность в этом случае превосходит 1013 Вт*
и она может быть направлена на площадку
меньше 1 мм2'
Найдены сотни материалов — твердых
тел, жидкостей и газов, которые обнару-
живали лазерный эффект. Лазеры быстро
нашли огромное число применений в фун-
даментальных исследованиях, технике и ме-
дицине. Одно из наиболее эффектных при
менений лазера — при глазных операциях.
Оказалось, что лазер с идеальной точно-
стью сообщает как раз то количество энер-
гии, которое необходимо, чтобы «прива-
рить» отслоившуюся сетчатку к глазному
дну (фиг 13.31). С помощью лазерных пуч-
ков можно просверливать микроскопические
отверстия в твердых материалах; с их по-
мощью удается сваривать материалы, ко-
торые недоступны никаким другим методам
сварки. Модулированные лазерные пучки
эквивалентны огромному числу каналов ра-
диосвязи, и влияние, которое они окажут
на развитие техники связи, должно быть
* Эта мощность прибли зительно в 100 раз пре-
вышает мощность всех электростанции США,
однако импульс лазера длится всего лишь
~ 10 12 с.
462
13. Атомы и кванты
Фш 13.31 Приваривание отслоившейся сет-
чатки глаза к г шзному дну пучком рубиново-
го лазера.
Этот метод бы г впервые применен в 1064 г . и
с тех пор с его по мощью бы го совершено несколь-
ко тысяч успешных операций
колоссальным Мы уже упоминали о том,
что лазерный пучок используется для точ-
ного измерения величины g (фиг. 4.17).
Отражая лазерный пучок от зеркала, поме
щенного на Луне, можно получать инфор-
мацию о флуктуациях расстояния от Земли
до Луны, которая имеет важное значение для
геофизики Земли и Луны Недавно выясни-
тесь, чго лазерный пучок можно промодули-
ровать так, чтобы он давал импульсы излу-
чения продолжительностью всею лишь
10 2 с. Использование таких световых им-
пульсов может дать новую информацию о
взаимодействии излучения с веществом
Основные выводы
Проведенный Резерфордом анализ экспери-
ментов по рассеянию а-частиц показал, чго
большая часть массы атома сосредоточена
в крошечном положительно заряженном
ядре.
Вопросы
463
Чтобы объяснить происхождение спект-
ральных линий водорода, Бор постулировал,
что каждая спектральная линия соответству-
ет переходу между двумя разрешенными
дискретными уровнями энергии и что момент
импульса атома может быть равен только
дискретным величинам, кратным Й. Бор всту-
пил в противоречие с классической электро-
магнитной теорией, постулировав, чго излу-
чение происходит только при переходе с
орбиты на орбиту.
Согласно модели Бора, на каждой ра {ре-
шенной орбите должно умещаться целое
число электронных волн де Бройля.
Для объяснения эффек а Зеемана требу-
елся, чтобы проекция момента импульса
атома на направлет не магнитного поля (или
любое заданное направление в пространст-
ве) была квантована Наличие спектральных
дублетов требует вве тения спина электрона.
Кван товомехапическое состояние электро-
на в атоме характеризуется четырьмя кван-
товыми числами и, /, mt и ms, которые опреде-
ляют соответственно энергию, момент им-
пульса проекцию момента импульса на за-
данное направление, и проекцию спина на
направление момента импульса.
Принцип Паули утверждает, что в атоме
не может существовать двух электронов
с одинаковым набором четырех квантовых
чисел. Принципу Паули подчиняются только
фермионы (частицы с полуцелым спином).
Наличие электронных оболочек в атоме
можно объяснить на основе принципа Пау т
и экранирующего действия внутренних элек-
I роков.
Когда фотон стимулирует вынужденное
излучение атома с той же частотой, оба фо-
тона распространяются в одном направле-
нии, в фазе, усиливая друг друга На этом
основано .действие лазеров.
Вопросы
13.1. Какой смысл имеет граничная частота (и—>оо) серии Бальмера для водорода? Существует ли в
спектре в действительности линия с траничной частотой’ Как может возникнуть такая линия9
13.2. Перечислите, пользуясь моделью Бора, все спектральные линии, которые могут возникнуть
при переходе атома водорода в следующие состояния а) л=3; б) л=4, в) и = 5.
13.3. Спектр поглощения возникает при прохождении «белою» света (т. е. света, содержащего вес
частоты) через вещество Линии поглощения выглядят темными на светлом фоне. Из каких линий
состоит спектр поглощения водорода?
13 4. Омега-i иперон находится в состоянии с I -2. Каковы возможные значения квантового числа
j его полного момента импульса?
13.5. С принципом Паули тесно связан принцип тожОе твенности элементарных частиц Сотласно
последнему, например, нельзя отличить один э тектрон от другого. Сравните столкновение двух
бильярдных шаров со случаем столкновения двух электронов Можно ли измерить угол, на который
падающее тело рассеивается в обоих случаях? (Бильярдные шары перенумерованы, а как обстоит
дело с электронами?)
464
13. Атомы и кванты
13.6. Как изменилась бы структура элек|ронных оболочек атома, если бы электроны были не фер-
мионами, а бозонами?
13 7. Чему равны максимальные значения проекций полного момен>а импульса на ось 2 для L-,
М- и Л-электронов?
13.8. Какие положения в периодической системе занимают элементы с нами работой выхода фото-
эффекта? Сравните ваш ответ с тем, что указано в табл. 12.4.
13.9 Какие квантовые числа имеет внешний, или валентный,электрон в основном состоянии атома
натрия (калия)?
13 10. Магнитный момент протона Имеет то же направление, что и спин, тогда как у электрона на-
правления этих векторов противоположны. (Почему?) Докажите, рассмотрев взаимодействие маг-
нитных полей обеих частиц, что нри J 0 протон и электрон в атоме водорода будут притягиваться
(фит. 13.26, а), а при J=1 — отталкиваться (фиг. 13.26, 6). Покажите на этом основании, что случай
J—0 соответствует более низкой энергии (основному состоянию).
13 И. Рассмотрите фиг. 13.21 и найдите три случая, в которых возрастание атомного номера не соот-
ветствует возрастанию атомной массы
Задачи
13.1. Альфа-частица с энергией 5,3 МэВ из радиоактивного источника Ро2,° приближается к ядру
атома золота. Насколько близко к ядру опа может приблизиться, прежде чем остановится и повернет
обратно? (Друт ими словами, на каком расстоянии от ядра электростатическая потенциальная энергия
становится равной начальной кинетической энертии падающей а-частицы?) Проведя такое вычисле-
ние Резерфорд показал, что ядра гораздо меньше атомов
13.2. Какой самый длинноволновый фотон может вызвать переход атома водорода в основное со-
стояние? Излучение какой спектральной серии будет при этом испущено?
13 3. Какой самый длинноволновый фотон может ионизовать атом водорода в основном состоянии?
К какому диапазону — видимому, инфракрасному или ультрафиолетовому — следует его отнести?
13.4. Какую частоту должен иметь фотон, чтобы перевести атом водорода из основного состояния
в состояние с и 4’ Будет ли это «видимый» фотон?
13.5. Чему равна скорость электрона на второй боровской орбите в атоме водорода (радиус орбиты
-2,12- 10 8 см)? Чему равна длина волны де Бройля такого электрона?
13.6. Чему равна длина волны, соответствующая границе серии Лаймана для водорода?
13 7. Нанесите на шкалу длин волн четыре или пять линий каждой из первых трех спектральных серий
водорода (серий Лаймана Бальмера и Пашена)
Задачи
465
13.8 Следующая за серией Пашена серия линий спектра водорода называется серией Бреккета. Чему
равны самая длинная и самая короткая длины волн в серии Бреккета?
13.9. Пучок электронов с энергией 12,5 эВ бомбардирует газообразный водород и возбуждает его
атомы. Чему будут равны длины волн наблюдаемого излучения?
13.10. Покажите, что формулу (13 9) можно записать в виде Еп ~ —13,6/и2 эВ
13.11. Сложите массы свободного протона и свободного электрона. Как изменится полученная
сумма, если обе частицы образуют атом водорода в основном состоянии9
13.12* . Распространите теорию Бора на случай иона Не (однократно ионизованный атом >елия).
Чему равен радиус первой его боровской орбиты? Какую надо затратить энергию, чтобы удалить
оставшийся электрон? Каковы длины волн переходов из состояния с л -2вл = 1иизл = Звл-2?
13.13. Между электроном и нейтроном действует только гравитационная сила (по крайней мере
на расстояниях больше ~10-13 см). Постройте модель, аналогичную модели Бора для атома водо-
рода, и получите радиус наименьшей дозволенной орбиты. Могут ли такие «атомы» играть сколько-
нибудь важную роль в природе? (Магнитными эффектами пренебрегите.)
13 14. Аналогично фиг. 13.10, а изобразите схематически волны ле Бройля для атома водорода в со-
стояниях с и=2, 3 и 4.
13.15. Продолжите табл. 13.3 для я =5 и я—6.
13.16. Нарисуйте распределение плотности вероятности для атома водорода в 35-состоянии.
13.17. Сколько раз волновая функция 45-состояния атома водорода пересекает ось абсцисс? По-
стройте график этой волновой функции. Сможете ли вы также построить графики волновых функ-
ций АР- 4D- и 4Т-состояний?
13.18. Расширьте табл. 13.5, включив в нее А/-электроны. Сколько имеется Л/-электронов9 Какие из
них отсутствуют в третьей атомной оболочке?
13.19. Постройте диаграмму, подобную изображенной на фиг. 13.23, для гипотетического случая
электрона со спином 3/2 Какие элементы будут соответствовать К-оболочке? На каком элементе
кончится заполнение L-оболочки?
13.20. Энергия линии Ка рентгеновского излучения неизвестного элемента оказалась равной 6,45 кэВ
Что это за элемент?
13.21. Чему равна энергия линии Ка рентгеновского излучения для серебра (Z=47)?
13.22. Покажите, что орбита мюона с и — 1 в атоме свинца (Z «82) в самом деле располагается внуг ри
ядра радиусом 1,6 10"12 см. (Так как электроны находятся гораздо дальше от ядра, чем мюон, можно
пренебречь их присутствием и рассматривать только «голое» ядро свинца и движущийся вокрут него
мюон, т. е. решать задачу, как в случае модели Бора атома водорода, но с Z=82.)
13.23. Чему равна энергия связи мюона с протоком в состоянии с и—1?
13.24* . Угловая расходимость пучка фотонов лазера равна КГ4 рад. Лазер испускает излучение мощ-
ностью 1 мВт, направленное на мишень на расстоянии 1 км Чему равен диаметр светового пятна па
30 779
466 13. Атомы и кванты
мишени? Чему равнялась бы выходная мощность источника, излучающего изотропно (т е. одинако-
во по всем направлениям) и выделяющего такую же мощность па единице площади мишени?
13.25. Рассмо1рим атом, состояния которого имеют следующие энергии:— 13,2 эВ (основное со-
стояние), 11,1 В 10.6 эВ, 9,8 эВ. Только состояние 11,1 эВ проявляет лазерное действие
Состояние —10.6 эВ переходит с излучением главным образом в состояние —11,1 эВ. Состояние
9,8 эВ переходит с излучением в основное состояние. Излучением с какой длиной волны надо вос-
пользоваться для накачки лазера? Какую длину волны будет иметь излучение лазера?
13.26. Какую протяженность в пространстве занимает лазерный импульс длительностью 10-12 с?
Если лазер даст красный свет, го сколько колебаний произойдет на протяжении импульса?
Бриллиант
Строение вещества
14.1. Связь между атомами
14.2. Органические молекулы
14.3. Твердые тела
14.4. Явления при низких
темпера турах
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Для детального изучения микромира физики в первую очередь приступили к решению проб-
лемы строения атомов. В предыдущей главе мы видели, как решение этой проблемы способ-
ствовало развитию представлений о сложном электронном строении атомов и атомных
спектров, объяснению периодической системы элементов, возникновению таких фундамен-
тальных концепций, как спин электрона и принцип Паули, а также наглядно продемонстри-
ровало, сколь обширна область применения квантовой теории.
Однако в повседневной жизни нам не приходится иметь дело с атомами. Окружающий
нас мир построен из объектов, образованных из гигантского числа атомов, в виде твердых
тел жидкостей и газов. Следовательно, нашим следующим шагом до 1жно бьпь изучение
того, как агомы взаимодействуют друг с другом, образуя молекулы, а затем и макроскопи-
ческое вещество. Мы обнаружим, что при переходе от микроскопических к макроскопиче-
ским явлениям мы не избавимся от квантовомеханических эффектов Действительно, кван-
товая природа вещества существенно сказывается на многочисленных свойствах макро-
объектов. Тот факт, что медь хороший проводник электричества, а кварц и тефлон
плохие проводники, обусловлен квантовым эффектом. Существование сверхпроводч цих
материалов, приобретающих все большее практическое значение, также представляв! собой
прекрасный пример действия кваптовомеханических эффектов в макромире. Даже челове-
ческая индивидуальность (и вообще поведение всех живых организмов) является результа-
том различий в структурах гигантских молекул, несущих генетическую информацию, и,
следовательно, также обусловлена квантовыми эффектами
В этой главе мы изучим важные свойства молекул и строение вещества. Мы уже излагали
вкратце кинетическую теорию газов (см. гл. 7), а развитие теории жидкошей все еще нахо-
дится в начальной стадии. Поэтому, говоря о строении вещества, мы сосредоточим внима-
ние на твердых телах (за исключением особого случая жидкого гелия).
14.1. Связь между атомами
ИОННАЯ СВЯЗЬ. Все мы знакомы с хими-
ческим соединением, называемым хлорис-
тым натрием (NaCI), это обычная пова-
ренная соль. Молекула хлористого натрия
cocioHi из двух аюмов—атома металла на-
трия и атома газа хлора и яв 1яется типич-
ным представителем большого класса про-
стых молекул. Каким образом два разно-
родных атома — а юм металла и атом ia-
за образуют такое устойчивое соединение,
как молекула NaCI9 Обращаясь к периоди-
ческой системе элементов (фиг. 13.21), мы
видим, что натрий (Z 11) является первым
элементом третьего периода и имеет один
электрон впе замкну!ой (—оболочки (т е
Na — элемент 1 i руины). Хлор (Z 17) —
элемент третьего периода, VII группы и,
следовательно, имеет 7 электронов впе зам-
кнутой L-оболочки, или, что эквивалеп гно,
ему недостает одного э юктрона до запол-
нения третьей оболочки.
Единственный Л/-элек i рбн натрия срав-
нительно ле! ко удалить из атома; для его
удаления и образования положительно за-
ряженного иона натрия !ребустся зака-
тить энергию всего лишь 5,1 эВ (фиг. 14.1, а).
Вместе с тем атом хлора обладает сродст вом
к электронам и может захватить свободный
электрон на!рия на свою внешнюю оболоч-
ку, заполнив ее таким образом*. При этом
образуется отрицательно заряженный ион
хлора С1 и освобождается энергия 3,7 эВ
(фиг. 14 1, б)
Освобож (енис электрона из атома на-
трия и захват электрона атомом хлора —
процессы, взаимно дополняющие друг друга
Поэтому натрий и хлор moi ут существова i ь
вместе в виде химического соединения NaCI.
в котором электрон атома натрия завершав!
* Обычный газообразный хлор представляет со-
бой молекулярное соединение с \ 2 и не имеет срод-
ства к зле тронам. Только ami марный хюр мо-
жет существовать в виде ионаС. 1 В тех случаях
когда образуется NaCI. хлор находится в ато-
марном (ионном) состоянии
470
14. Строение вещества
Фш 14.1. ,/ся отде. сепия от натрия М-пек-
трона и образования иона Na* нужно затра-
тить энергию 5.1 эВ (а). атом хлора, захва-
тив находящийся вблизи него электрон, за-
no тит третью оболочку, образовав ион С! ,
при этом освободится энергия 3,7 эВ (б).
Два иона. Na и СГ притягивают друг друга и
образуют ионную молекулу соли NaCl (ши прос-
то NaCl)
внешнюю электронную оболочку атома хло-
ра. Но может ли такое соединение быть
устойчивым, если для удаления электрона ит
атома натрия нужно затратить 5,1 эВ, а при
образовании иона СГ выделяется только
3,7 эВ? Ответ на этот вопрос заключается
в том. что при переходе электрона возникают
два нона, Na* и СГ. которые затем притяги-
ваются друг к другу электростатической си-
лой При расстоянии между центрами двух
ионов, равном 11 А, электростатическая по-
тенциальная энерт ия системы обеспечивает
необходимые для перехода электрона 1.4 эВ.
В действительности электростатическое при
гяжение сближает ионы еще больше и свя-
зывает их еще сильнее. Однако оба иона
могут сближаться лишь до некоторого пре-
дела (2.4 А), если все электроны в них нахо
дятся на иаипизших энергетических уровнях
если бы расстояние между нонами умснь
шилось еще более, то два электрона с одина-
ковым набором квантовых чисел оказались
бы в одной и той же области пространства,
что запрещено принципом Паули Впрочем
один или несколько электронов могли бы
перейти на более высокие энергетические
уровни, однако при этом молекула уже не
была бы связанной системой атомов. При
равновесном расстоянии 2,4 А, задаваемом
принципом Паули, энергия связи ионной
молекулы составляет 5,5 эВ
Связь атомов посредством электростати-
ческого притяжения ионов, образующихся
при переходе электрона от одною атома к
другому, называется ионной связью. Многие
молекулярные соединения, кроме NaCl,
образованы подобным образом, например
NaBr, КС1. Rbl н LiF. Соединение MgO
образуется при переходе двух электронов от
атома магния к атому кислорода с образо-
ванием ионов Mg и 0 .Соединение Na2S
образуется путем перехода электронов по
одному от каждого атома натрия к атому
серы с образованием 2 Na* и S
КОВАЛЕНТНАЯ С ВЯЗЬ Иопная связь воз-
никает в результате перехода одного или
нескольких электронов от одного атома к
другому; кова сентная связь возникает вслед-
ствие обобществления атомами одного или
нескольких электронов. Простейшим слу-
чаем обобществления электрона яв тястся мо-
лскулярпый иои водорода Ht, в котором
оба протона имеют один общий электрон
Классическая картина иона Н+ показана на
фиг. 14.2; круговые боровские орбиты каж-
дого атома превращаются в единую орбиту,
имеющую форму восьмерки, по которой
электрон движется вокруг обоих прогонов.
Электрон па орбите бблыпую часть времени
проводит между двумя протонами В этой
области сила притяжения между электро
ном и каждым из протонов превышает силу
отталкивания между протонами. В резуль-
тате эта система оказывается устойчивой
при расстоянии между протонами, равном
1,06 А для удаления одного из протонов
и образования атома водорода в нор-
мальном состоянии требуется энергия
2,55 эВ. Конечно, согласно квантовой теории,
электронных орбит нс существует, мы мо-
жем лишь сказать, что электронная волна
имеет большую плотность вероятности в
центральной области иона
Описание молекулы Н, по существу, сов
14 1. Связь меж г атомами
471
падает с описанием иона Н различие лишь
в том, что в этом случае присутствуют два
электрона и молекула электрически ней-
тральна. Сила притяжения при этом оказы-
вается больше, а равновесное расстояние
между протонами соответственно меньше
(0,74 А); энергия связи (т. е. энергия, требу-
емая для образования из молекулы двух
атомов водорода) составляет 4,5 эВ, чтт так-
же превышает ее значение для И 2
Существует одно важное различие меж ту
ионом Н2 и молекулой Н2. В последней
присутствуют два электрона, поэтому очень
важную роль играет принцип Паули. Ч тобы
молекула была устойчивой, как в случае
иоиа Н2, волновые функции электронов
должны быть сконцентрированы в цен траль-
ной области молекулы; тогда электрические
силы притяжения могут создавать связан-
ную систему (фит 14.3, б). Когда два элек-
трона занимают одну и ту же область про-
странства, их волновые функции должны
быть, но существу, одинаковыми, т. с. элек-
троны будут находится в одинаковом кван-
товомеханическом состоянии и иметь одни
и те же квантовые числа я, I и т:. Это воз-
можно лишь при условии, что спины элек-
тронов направлены в противоположные сто-
роны. Если спины направлены в одну сто-
рону, то наиболее выгодное энергетическое
состояние электронов (т. е состояние с ми-
нимальной полной энергией) запрещено
Фиг. 14.2. Классическая картина иона П,.
Один ектрон движется вокруг двух протонов
по орбите, имеющей форму восьмерки.
Фиг. 14.3. Влияние принципа Па ш в случае
молекулы Н .
а — отдельные атомы с нормальным э ектрон-
ным облаком плотности вероятности', б — мо-
лекула Н, с противопо ложно направленными спи-
нами электронов; плотность вероятности скон-
центрирована в центральной области; в — « мо-
лекула» Н2 с параллельными спинами электронов;
> лектронные оолака расположены на периферии
системы, и молекулярная связь отсутствует.
а Отдельные атомы
6 Спины
• ф
в Спины
472
14. Строение вещества
Фиг. 14.4. Схематическое изображение ко-
валентной связи в воде (а) и аммиаке (б).
Двойными линиями указаны связи, возникшие при
обобществлении двух электронов.
Фиг. 14.5. Схема молекулы воды Н О (пря-
мыми линиями обозначены ковалентные
связи).
Фиг. 14.6. Схема молекулы аммиака NH3.
принципом Паули; разрешенным же будет
такое состояние с наименьшей энергией,
при котором максимумы волновых функций
лежат на периферии молекулы. В этом слу-
чае притяжения между электронами и про-
тонами будет недостаточно для преодоле-
ния отталкивания между протонами, и мо-
лекулярной связи не будет (фиг. 14.3, в).
Среди большого числа других молекул
с ковалентной связью можно назвать моле-
кулы воды (Н,О) и аммиака (NH3). На фиг.
14 4 схематически показано, как в этих
молекулах действуют ковалентные связи.
Из диаграмм для кислорода и азота мы ви-
дим, что спиновые состояния электронов
на К- и L-оболочках те же, что на фиг. 13.26.
Кислород имеет два неспаренных электрона
на L-оболочке, тогда как у азота три таких
электрона. Каждый из этих электронов мо-
жет обеспечить ковалентную связь с атомом
водорода, образуя Н,О и NH3. Прост ран-
ственное строение этих молекул схемати-
чески показано на фиг. 14 5 и фит. 14.6.
Конечно, молекулы не имеют жестких свя-
зей, как на диаграммах, и лишь средние
ориентации измеренных распределений элек-
тронов совпадают с указанными на диаг-
раммах направлениями. Значения углов свя-
зей на диаграммах определяются квангово-
механическими ограничениями, накладывае-
мыми на волновые функции электронов, и
взаимным электрическим отталкиванием
ядер водорода. (Если бы не было этого от-
талкивания, то все углы между связями были
бы равны 90 )
14.2. Органические молекулы
473
14.2. Органические молекулы
УГЛЕРОДНЫЕ СВЯЗИ Электронная кон-
фигурация атома углерода в основном со-
стоянии, показанная на фиг. 13.23 (и воспро-
изведенная вновь на фиг. 14.7, я), указывает
на наличие в Е-оболочке двух неспаренных
Р электронов. Поэтому можно ожидать, что
атомы углерода будут образовывать кова-
лентные молекулы с помощью двух своих
электронов. Однако оказалось, что углерод
участвует в молекулярных структурах почти
всегда с четырьмя ковалентными связями.
Причина того, что в образовании молеку-
лярной связи участвуют все четыре Е-элек-
трона атома углерода, а не только два ие-
спареиных электрона основного состояния,
состоит в следующем Сообщив атому утле-
рода в основном состоянии небольшую энер-
гию (около 2 эВ), можно разбить электрон-
ную дару в 25-состоянии и перебросить один
из ее электронов в 2Р-состоянис (фиг. 14.7,6),
получив тем самым четыре неспарепных
электрона для образования связей. Эта энер-
гия выделяется в самом процессе образова-
ния связи, так как выигрыш в энергии бла-
годаря созданию четырех ковалентных свя-
зей вместо двух с избытком компенсирует
та трату энергии на разрушение 25-пары.
Три ковалентные связи образуются Р-элск-
тролами и одна—5-электроном. Этот тип
связи атома углерода с другими атомами
с помощью четырех эквивалентных электрон-
ных связей называется 5Р3-связью, или гиб-
ридизацией.
МОЛЕКУЛЫ УГЛЕВОДОРОДОВ Боль-
шая часть животного и растительного мира
образована соединениями углерода с водо-
родом, кислородом, азотом и некоторыми
другими элементами. Вследствие связи с жи
вой (органической) природой эти вещества
первоначально называли органическими сое-
динениями в отличие от ионных (неоргани-
ческих) соединений, обсуждавшихся в пре-
дыдущем разделе. Со временем вера в то, что
орт анические соединения обязаны своим су-
щест вованием некоему жизненному началу,
совершенно отличному от физических прин-
ципов, управляющих поведением неживой
природы, была полностью отвергнута, и сей-
час ясно, что к молекулам всех веществ, как
неорганических, так и орт анических, приме-
нимы одни и те же физические законы и кван-
говомеханические принципы. В самом деле,
многие органические соединения, которыми
мы постоянно пользуемся, производятся из
таких неорганических веществ, как вода, из-
вестняк, аммиак, кислоты и основания
Простейшими из органических молекул
являются углеводороды, состоящие только
из атомов углерода и водорода. Возможны
самые различные комбинации С и Н; из-
вестны тысячи таких комбинаций, находя-
щихся в газообразном, жидком и твердом
состояниях при комнатной температуре.
Обычные виды топлива бензин и природ-
ный иди сжиженный таз — представляют
собой смеси углеводородов. Простейшим
углеводородом является метан СН», в ко-
Фит 14 7. Электронная конфигурация атома
углерода в основном состоянии (а) и в воз-
бужденном состоянии (б)
Чтобы разрушить пару 2s -электронов и перевес-
ти один из электронов в 2Р-подоболочку где он
остается неспаренным, надо затратить очень
малую энергию В возбужденном состоянии име-
ются четыре неспаренных электрона, причем все
они участвуют в ковалентной связи.
474
14. ( 'троение вещества
н
Н—С—Н Метан СН4
Н
Пропан
с3н8
Фит 14.8. Первые три молекулы ряда угле-
родных молекул с линейными цепочками
тором каждая из четырех yi дородных связей
использована для присоединения к молекуле
атома водорода. Структура молекулы ме
гана схематически показана па фш. 14 8, а.
где каждая черточка изображает ковалейт
ную связь, осуществляемую двумя э текгро-
нами. В молекуле этана (фиг. 14.8, о) одна
из yi лсродных связей исполь туется для при-
соединения другого атома углерода, так что
образуется С,Н6 Следующим в этом ряду
является пропан С3НВ (фш 14 8, и)-
При комнатной температуре первые че-
тыре члена этого ряда представляют собой
газы, следующие десять — жидкости, а все
более массивные члены ряда образуют уже
твердые тела Твердые углеводороды с ли-
нейными цепочками* молскут представляют
собой воскообразные вещества, как, напри-
мер. парафин, поэтому нх объединяют под
общим названием «парафины» В принципе
последовательное отщепление атома водо
рода Н и добав тение вместо нет о т руппы СН 3
(называемой мети льны и радикалом) может
продолжаться до бесконечности. Однако
когда молекула становится очень длинной
* На самом деле атомы углерода не распо юже
ны на одной прямой, а образуют зигзагообразную
цепочку (см. фиг 14 10. а).
любое приложенное к веществу механнчс
ское напряжение (например, изг нбаюшее)
или любой нагрев будет разрывать свя-
зи, практически ограничивая длину моле-
кулы Свойства углеводородов с очень длин-
ными молекулами не имеют существенных
различий, и поэтому разрыв связей не ока-
зывает заметного влияния на свойства ве-
щества.
ИЗОМЕРИЯ Структуры первых трех чле-
нов в ряду парафинов — метана, этана и
пропана единственно возможные. Это зна-
чит, что существует лишь один способ,
которым два атома углерода могут соеди-
няться с шестью атомами водорода, образуя
с помощью ковалей гных связей этан, а имен-
но способ, схематически показанный па
фиг. 14.8.6. Однако для молекул ряда па-
рафинов. содержащих 4 или более атомов
углерода, существует несколько возможных
структур. Так. например, молекула С4Н|0
имеет две различные формы (или два изо-
мера). Линейная молекула (фнг 14 9. а и
14.10. а) называется нормальным бута-
ном (или н-бутаном), тогда как разветвлен-
ная структура (фиг 14.9, би 14.10 6) назьгва
ется изобутаном. Эти два изомера бутана
содержат о. иго и го же число одинаковых
атомов, но вес же несколько различаются по
своим свойствам, например их точки кипе-
ния различаются приблизительно на 10 С.
Высшие парафины обладаю г большим чис
лом изомеров. Существуют 3 изомера пен-
тана (C5Hj,), 5 изомеров гексана (С6Н14),
9 изомеров ген тана (С7Н 6) 75 изомеров
декана (С,0Н ,) и более 4 миллионов изо-
меров молекулы состава С31)Н6: Все легкие
изомеры были выделены и подробно ис-
следованы.
Нормальные (т. е. линейные) уз гсво.юро-
ды представляют собой гге очень эффектов
ное топливо, в то время как более летучие
развез пленные изомеры легче сгорают и
эффективны в качестве топлива.
ДВОЙНЫЕ СВЯЗИ И ЦИКЛИЧЕСКИЕ
(ОБВИНЕНИЯ Лгомы углерода вместо
обобществления четырех внешних электро-
нов с четырьмя другими атомами могут
14.2. Органические молекулы
47S
Фш. 14.‘>. Два июмера бутана
(ум. также фиг. 14.1(0-
а
н н н н
I
н—с—с-с с-н
I I
н н н н
н-бутан С4Н10
н
н
н -с—н
н
б
н с с— с—н
Изой у тан С4 Н j 0
н
н н
«удваивать» свои связи и использовать два
электрона для связи друт с другом. Та-
кая двойная связь имеется у этилена С,!^.
как это видно из фиг. 14.11. Кроме того
двойные связи обнаружены в так называе-
мых циклических соединениях, в которых
6 углеродных аюмов группированы в коль-
цо с чередующимися одинарными (просты-
ми) и двойными связями. Прототипом цик-
лической молекулы является бензол
(фиг 14.12)
Производные циклические соединения (на-
званные ароматическими, потому чю все
они имеют характерные запахи) можно по-
лучить, заменив один или несколько атомов
водорода группами других атомов, как у
юлуола (фиг. 14.13, а), или объединив вмес-
те два или более колец, как у нафта шпа
(фиг. 14 13, б).
СЛОЖНЫЕ ОРГАНИЧЕСКИЕ СО£ДИ-
НЕНИЯ. Многие из органических соедине-
ний, встречающиеся в повседневной жизни,
содержат, кроме углерода и водорода, ряд
других элементов. Так, одним из основных
элементов всех кислот (например, шион-
Фиг. 14.10. Трехмерные Струк-
туры двух и гомеров бутана.
476
14. Строение вещества
Н /Н
/С=С\
н н
Этилен С2Н4
Фиг. 14.11. В образовании двойной ковалент-
ной связи в молекуле этилена участвуют по
два электрона от каждого атома углерода.
Бензол СсНс
Фнг. 14.12. Бензольное кольцо.
Одинарные и двойные связи между атомами уг-
лерода в кольце чередуются. Для обозначения бен-
зольного кольца обычно применяется символ спра-
ва, в котором опущены символы углерода и во-
дорода.
Нафталин С10Н8
б
Толуол С6Н5СН3
ной кислоты, присутствующей почти во всех
фруктах, фиг. 14 14, а) и всех спиртов (на-
пример, этиювого спирта, фиг 14 14, о)
является кислород. Молекула никотина со-
держит азот в двух положениях (фиг. 14.14,в):
один атом азота замещает группу СН в бен-
зольном кольце, а другой присутствует вмес-
те с атомом углерода в пятичленном кольце
с простой связью.
Искусственные волокна типа нейлона, ак-
рилана и дакрона представляю т собой орга-
нические соединения. Дакрон, например, со-
стоит из повторяющихся ячеек, содержащих
углерод, водород и кислород (фиг. 14 15)
Свободная углеродная связь слева в ячейке
присоединяется к свободной кислородной
связи справа в другой ячейке. Около сотни
таких ячеек-звеньев образуют цепочку. Эти
длинные молекулы, называемые полимера-
ми, можно уложить в почти параллельные
ряды; они могут до некоторой степени сме-
щаться друг относительно друга. Получен-
ное таким образом эластичное волокно об-
ладает великолепными качествами для про-
изводства одежды
Недавно стало известно, что молекулы
воды при определенных условиях соединя-
ются, образуя полимеры с сильно развет-
влеппыми длинными цепочками (фиг. 14 16).
Это интересное вещество (названное поли-
водой) обладает совершенно иными свойст-
вами, чем обычная вода: оно имеет плот-
ность, равную приблизительно 1,4 г'см3,
затвердевает, переходя в стеклообразное со-
стояние при температуре ниже 40J С, оста-
ется устойчивым (и не кипит) вплоть до
~ 50011 С. Если удастся разработать методы,
позволяющие получать поливоду дешево
и в больших количествах, то опа может ока-
заться исключительно полезной в разнооб-
разных применениях (например, в качестве
теплоносителя).
Фиг. 14 13. Один из атомов водо-
рода в бензольном кольце замещен
метиловым радикатой, в результа-
те чего образовался толуол (раст-
воритель) (а), два бензольных коль-
ца соединены в молекуле нафтали-
на (б).
14.3. Твердые тела
О
II
с—с—о—н
о
н—о—с—с—о—н
о
с—с-о—н
а
н н
н—с—с—о—н
н н
Фиг. 14.14. Три сложных органических соеди-
нения.
а лимонная кислота; б — этиловый спирт
в — никотин.
Фиг. 14.15. Молекулярная ячейка дакрона.
Множество таких ячеек связываются друг с дру
гом концевыми связями и образуют д зинные нити
• Кислород
• Водород
Фиг. 14.16. Предполагаемая молекулярная
структура полимерного состояния воды (по-
эиводы).
47К
14. Строение вещества
Фиг 14.17. Модель части молекглы ЛИК.
♦
Многие молекулы в живой природе, в част-
ное tn молекулы белков, чрезвычайно слож-
ны. Несмотря на это, в последнее время
были достигнуты большие успехи в опреде-
лении состава, С|рукгуры и функций этих
молекул. В частное tn, многое стало извест-
но о структуре молекулы ДНК (дезоксири-
бонуклеиновой кислоты), несущей гснсти
чсскую информацию, хотя эта молекула
может содержать до мил шопа at омов. Мо-
дель част молекулы ДНК показана на
фиг. 14.17.
14.3. Твердые те га
ИОННЫЕ КРИСТАЛЛЫ. Все молекулы
соединений элементов 1 и VII групп (NaCl
1.1F и т. д ), а также mhoi ис другие двухатом-
ные соединения при образовании из них
Твердых тел складываются в кубические
струмуры. Хорошо известны крошечные
кубические кристаллы обычной соли. Объ-
яснение этого явления было впервые пред
ложено Уильямом Барлоу, который более
70 лет назад предположил, чго NaCl состоит
из шарообразных at омов, плотно упакован
пых в кубики (фиг. 14.18). Предложенная
Барлоу картина кристаллической структуры
аС1 оказалась удивительно точной. Совре
менные методы анализа кристаллических
структур, основанные па дифракции ренпе-
новских лучей, показали, что NaC 1 в твердом
виде действительно образует кубическую
ионную решетку (фи! 14 19) Для точною
определения расстояний между атомами в
кристалле испо тьзуе гея рентт епос груктур-
14.3. Твердые тела
479
пый анализ; в с 1учае NaCI сторона кубиче-
ской ячейки составляет 2.8 Л.г. с. несколько
больше расстояния между ионами в изоли-
рованной молекуле, которое равно 2.4 А.
Кристалл NaCI является более устойчи-
вой конфит урацней ионов, нежели изолиро-
ванная молекула. Столь высокая Э1 icpi ия
связи, составляющая 16.5 эВ па пару ионов,
обусловзена тем. что каждый ион Na' ок-
ружен 6 ионами СТ и наоборот (фш. 14.19).
Электростатическая энергия иона, находя-
щеюся в поле 6 соседних ионов, обеспечивав i
добавочную энергию святи
ГЕОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ. Кристалл
образуется путем рыулярного повторения
расположения атомных трупп в пространст-
ве. Существует всего 14 различных основных
типов кристаллов. Например, NaCI имеет
гранецентрированную кубическую решетку, а
кварц (SiO,) имеет ексагональную структуру
(фит 14.20*и 14.21).
КОВАЛЕНТНЫЕ КРИСТАЛЛЫ. Углерод
образует кристаллические структуры двух
типов в зависимости о-т характера ковалент-
ной связи. В трафите атомы ут тсро та со
ставлены в плоские шее иуголытики с чере-
дующимися одинарными и двойными свя-
зями (фиг. 14.22, а). В алмазе элементарная
ячейка содержит веет о лишь 4 атома ут леро-
да и все межатомные связи являются оди-
нарными (фиг. 14.22,6). Атомы графита
распо татаются плоскими слоями (фиг. 14.23)
Между соседними плоскостями действуют
слабые силы, поэтому т рафит легко расслаи-
вается: с помощью летвия бритвы от куска
графита легко отделить тонкие пластинки
Напротив, кристаллическая структура алма-
за не является плоской. Четыре атома, с ко-
торыми связан любой атом, не находятся
в одной плоскости. Это предполагает су-
щее гвованис сильных связей между атомами
соседних плоскостей (фит 14.24). Следова-
тельно, алмаз имеет значительно более жест-
кую структуру, чем графит (однако кристал
ты алмаза можно колоть вдоль плоскостей,
определяющих грани кубических ячеек).
МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ. Ме-
тал ты образуют еще один тип крисгалличе-
Фит. 14.18. Расположение атомов натрия и
хлора в твердом NaCI. предложенное Уилья-
мом Барлоу в 1898 г.
Схема Барлоу, согласно которой ионы натрия
меньше ионов хлора, оказалась праьи зызой и была
не Отверждена методами рентгеиоструктурного
ана ш за
Фиг. 14.19. Твердый хлористый натрий имеет
кубическую структуру, в которой каждый
ион натрия окружен 6 иона з«н х юра и каж-
дый ион хлора окружен 6 ионами натрия.
Размеры ионов на фигуре меньше действитель-
ных размеров в сравнении с расстояние t между
ними; то еде нано, чтобы яснее выявить струк-
туру решетки.
480
14. Строение вещества
Фиг 14.20 Кристаллы кварца.
Фиг. 14.21. Гексагональная структура
кристалла кварца.
Черные шарики атомы кремния, бете — ато-
мы кислорода
ских структур. Характерная особенность ме
талла состоит в следующем. Электрические
поля, в которых находятся его атомы, та-
ковы, что внешние электроны нс связаны с
каким-либо определенным атомом; эти элек
I роны могут свободно перемешаться внутри
металла (электроны проводимости, о кото-
рых мы уже говорили в разделе 9 1 и о кото-
рых будет идти речь в следующем разделе)
Свободные электроны образуют своего рода
отрицательную электрическую жидкость, в
которой находятся положительно заряжен-
ные ионы металла, как схематически пока-
зано на фиг 14.25. В ионных и ковалентных
кристаллах каждый электрон связан с опре-
деленным атомом или парой атомов; сво-
бодные электроны отсутствуют. Поэтому
кристаллы типа NaCl или алмаза плохо
проводят электричество; металлы со сво-
бодными электронами в межатомном про-
странстве являются хорошими проводни-
ками.
Металлическая связь обычно имеет место
только для атомов с малым числом элек-
тронов во внешней оболочке. Ес ти у каждот о
атома имеется слишком много таких элек-
тронов, то принцип Паули вынудит некото-
рые из них занять более высокие энерт ел и-
чсские уровни, и сил притяжения окажется
недостаточно, чтобы обеспечи гь связь в
металле. В результате кристаллы металлов
образуются лишь элементами I и II групп
периодической системы, переходными эле-
ментами и некоторыми элементами III и
IV групп.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ В ТВЕРДЫХ
ТЕЛАХ. В предыдущей главе мы обсуждали
поведение электронов в изолированных ато-
мах. Рассмотрим теперь как меняется их
поведение, если атомы оказываются в крис-
таллической решетке.
На фиг. 14.26 показан ход электростатиче-
ского потенциала в окрестности изолиро-
ванного атома лития. Горизонтальная ли
пия, помеченная «0», соответствует потен-
циальной энерт ин, равной нулю а две более
низкие линии энергетическим уровням
1S и 2S состояний. (Сравните с фиг. 13.19, а
для атома водорода.) Два электрона лока-
лизованы в IS-состоянии и один — в 2S-co-
14.3. Твердые тела
V zC\ /Q /
c c c Y c
С С C
5
стоянии. Элекiрои. находящийся в 2S-co-
сюянин. имеет niepi ик> связи 5.4 эВ. иначе
говоря, iiiepi ия ионизации изолированного
атома лигня равна 5.4 эВ
Если атомы лития образуют крисгал г ю
результирующее элсктросiашчсскос ноле в
любой точке внутри кристалла представляет
собой сумму полей отдельных атомов. Сле-
довательно. потенциал между атомами ни-
когда не возрастает ло нулевого значения
Действительно, потенциал в побои точке
между атомами впу три крист ал та сущее i вен-
по ниже потенциала в точке, находящейся
па таком же расстоянии oi июлированното
атома (фш 14 27) Эю понижение потен-
циала в кристалле настолько значительно,
что 2Х-з.чектропы. связанные в изолирован
пом атоме, в криста тле уже не встречают
потенциального барьера, способного удер-
жат их в окрестности определенного атома.
2Х-электропы в кристалле лития представ-
ляют собой свооодные электроны, или э./ск-
троны проводимости.
Электроны проводимости «принадлежат»
не отдельным атомам а кристаллу в целом
Волновые функции 25-э.чск тронов пс лок i
шзованы, а размазаны ио всему кристаллу
Фи! 14.22. Криста л лические структуры
•рафшпа (а) и алмаза (6) рт шчаютсч тем
что в графите имеются двойные связи и элек-
тронная ячейка содержит 6 атомов, тогда
кик алмаз содержит mi гько атомы с оди-
ночными связями, расположенные группами
по 4 атома.
Лпюмы грифита лежат в одной плоскости, ато-
мы алмаза нет (см. фиг. 14.23 и 14.24).
Фи1. 14.23. Трехмерная криста i шческа.ч
структура грифита.
Отдельные плоскости в которыV зежит атомы
юно связаны между сооои потному кристалл
рафита легко расе заикаете, ч
14. Строение вещества
Фш 14 24о Трехмерная структура крш
гнал га алмаза.
Четыре атома (А В. С, D к с которыми связан
атом О. не лежат в одной плоскости. Поэта и с
между соседними атомными плоскостями суще-
ствует сильная связь.
Энергия
Фи! 14.25. Типичный кристалл металла.
Внешние электроны огпщеп гены от агпомов ме-
талла (на фигуре показано, что внешняя элект-
ронная оболочка пуста) и могут свободно пере-
мещаться в кристал te.
Фш 14 26 Диаграмма потенциальной энер-
гии для изолированного атома лития.
Внешний электрон (2S-электрон) имеет энергию
связи 5 4 эВ: чтобы удалить один IS -электрон
нужно затратить энергию 75 эВ. а чтобы \ до-
лить и второй IS -электрон, нужно еще ''420 )В
14.3. Твердые тела
483
Энергетическое 25-состояние изолирован-
но! о а I ома лития становится энергетическим
«состоянием» кристалла. Если в кристалле
содержится N атомов, то все они будут на-
ходиться в этом «состоянии». Мы знаем,
однако, что принцип Паули нс позволяет
находиться в одном и том же эперт етичсском
состоянии более чем двум электронам. Сле-
довательно. 25-состояние атома должно рас-
шириться и превратиться в ряд близких по
энергии состояний, в каждом из которых
могут находиться два электрона. Расстояние
между этими состояниями в кристалле
столь мало* что они, по существу, распре-
делены непрерывно. В результате дискрет-
ное состояние атома превращается в крис-
талле в энергетическую зону (фиг. 14 27).
Эта зона представляет собой зоиз проводи-
мости, а находящиеся в ней элек роны явля-
ются электронами проводимости.
Ряд интересных физических свойств эле-
ментов или соединений в виде твердых тел
(например, электропроводность, теплопро-
водность, магнитные свойст ва) в значитель-
ной степени определяется характером их
зонной структуры. Рассмотрим теперь, как
энергетические зоны кристалла о тределяют
ет о элек гропроводность.
* Эти состояния занимают интервал энергий,
равный нескольким эВ для размещения N лектро-
нов требуется 1 N состоянии Для 1 см3 кристал-
ла N^IO22, так что расстояние между уровнями
порядка 10~22эВ
Фиг. 14.27. Когда атомы пития образуют
кристалл, понижение потенциального барье-
ра между атомами освобождает 28-элект-
роны. которые частично запо няют зону про-
водимости.
Значения энергии приведены не в масштабе, в дей
ствите гьности энергия связи JS-электрона рав-
на 65 эВ. Электропы в зоне проводимости, пока-
занные на диагра м ме. в действительности не ло-
кализованы', волновые функции э ектронов рас-
пространяются на весь кристалл.
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ПРОВОДНИКОВ И
ИЗОЛЯТОРОВ В общем случае все энерге-
тические состояния атома превращаются в
кристалле в зоны; в число этих состояний
входят и те, которые нс заполнены, когда
атом находится в основном состоянии. Так,
в кристалле лития существуют зоны (неза
полненные), соответствующие 2Р-, 35-, ЗР-,
5D- и т. д. состояниям. Дискретные атомные
уровни проявляются в кристалле либо в виде
изолированных зон (фит. 14 28. б), либо в ви-
де перекрывающихся зон, для которых уже
нельзя установить, к какой подоболочке
первоначально принадлежали ее уровни
(фиг. 14 28, в). Высшие энергетические зоны
всегда перекрываются; низшие состояния
обычно остаются в виде индивидуальных
зон кристалла. Энергия уровней, при кото-
рой зоны начинают перекрываться, опрсле
ляется деталями структуры кристаллической
решетки.
31
484
14. ('mpocmic естества
ЗР
33
23
2Р
а
в
Фш. 14.28. Дискретные атомные уровни энер-
гии (а) соответствуют в кристалле либо от
дельным зонам (<•»). шбо перекрывающимся зо-
нам (в).
1S -состояние ксегда расположено .иного ниже
других и не показано на диаграмме
Фит 14.29. Разрешенный переход электрона
из заполненной зоны в пустую (а); переход
такого рода обычно требует затраты энер-
гии 5—К) эВ Переход электрона из запол-
ненной зоны в запрещенную область запре-
щен (б). В частично заполненной зоне элект-
рон может совершить переход в иобое неза-
нятое состояние внутри зоны (в), на такие
переходы обычно затрачивается очень малая
энергия.
Заполнение энергетических зон элек i ро-
ками происходит по тем же законам, что и
заполнение энергетических уровней в атоме.
Гак. например, в 25-состоянии атома могут
находиться два электрона, а в кристалле,
состоящем из N атомов, 25-зона может со-
тержать 2N электронов; ЗР-зона (если она
нс перекрывается с 35- и 3 D-зона ми) может
содержать 6<V электронов и г. д. Если зона
целиком заполнена, пи один из электронов
не может приобрести дополнительной энер-
гии, если только эта энергия не достаточна
для гого, чтобы перевести электрон в неза-
нятое состояние в более высокой зоне
(фит 14.29. а, б). В зависимости от положе-
ния различных зон энергия, необходимая для
переброски электрона из одной зоны в дру-
гую, может составлять 5 ЮэВ Вместестем
если высшая энергетическая зона заполнена
лишь частично (например. 25 зона лития,
которая содержит N электронов и. таким
образом, заполнена лишь наполовину), то
в этой зоне для находящихся в ней электро-
нов доступно большое чисто энергетических
о
14.3. Твердые теш
4Ь5
Частично запол-
ненная зона
проводимости
Пустая зона
проводимости
Запрещенные области
Запрещенные области
Проводник
а
Изолятор
б
уровней. Поэтому электрону частично за-
ношенной зоны можно сообщить любую
добавочную энергию, если только его но тая
тнергпя не превосходит максимальной энср-
гпи, допустимой для данной зоны
(фш 14.29, й).
Если высшая зона заполнена только
частично, го элек роды в ней можно засга
вить двигаться в определенном направле-
нии, приложив внешнее электрическое ноле
Возросшая прн таком движении энергия
электрона может «размещаться»среди имею-
щихся свободных энергетических состояний
в зоне. Полому материалы с частично за-
полненными зонами могут проводить элек-
тричество и называются проводниками
(фиг. 14.30, а).
Если высшая зона заполнена целиком,
пек троны в ней не могут получать добавоч
нон энерт ии и внешнее электрическое поле
не сможет заставить их двигаться Такие
материалы сопротивляются прохождению
электрического тока и называются изолято-
рами (фит 14.30. б)
Дтя большинства изоляторов требуется
довольно большая энергия (5- 10 эВ) для
переброски электрона через запрещенную
энергетическую область из заполненной зо
ны в пустую зону проводимости Например,
в алмазе энерт с т ичсская щель Д£ между
таполисиной 1Р/2-Зоной и пустой 2Ру, то-
ной* составляет S эВ (фит’. 14.31). Какое элек-
трическое иоле необходимо приложить, что
Фит. 14.30. Проводник (а) характеризуепи я
частично заполненной зоной, а изолятор (б)
совершенно заполненной зоной, выше которой
находится запрещенная облаешь и еще вы-
ше — пустая зона.
151/г
* В большинстве ковалентных кристаллов тон-
кое расщепление энергетических атомных состоя-
ний (например, расщепление 2 Р-ан точный на
2Ру и 2Ру2 -состояния) сохраняете ч и в зонной
структуре
Фш. 14.31. Энергетические зоны модифика-
ции углерода алмаза (ие в масштабе).
Гак кик ширина щели меж Оу заполненной 2 Рц - зо-
ной и пуспит 2 Ру,- юной относительно велика,
алмаз чешется хорошим изолятором.
486
14. Строение вещества
бы перевести электрон из 2Pii-3oiru в 2/\, -
зону? Чтобы ответить на эки вопрос, мы
должны прежде всего указать, что ни один
реальный кристалл не имеет той идеальной
кристаллической структуры, которую мы
рассматривали В реальных кристаллах всег-
да присутствуют примеси и, кроме того,
всегда имеются дефекты структуры кристал-
лической решетки. Эти отклонения от иде-
альное ги мешают электронам беспрепятст-
венно двигаться в кристалле Действи т-елыто,
даже в самых чистых кристаллах электрон
может пройти всего лишь ~10 6 см. не испы-
тав столкновения с атомом примеси или с
дефектом решетки и не рассеявшись с поте-
рей кинетической энерт ин (При этом кине-
тическая энергия электронов переходит в
энерт ню движения кристаллической решет-
ки, г. е. в телм>. Именно поэтому все обыч
ные материалы нагреваются при прохожде-
нии через них элсктрическот о тока ) Следо-
вательно, чтобы приобрести па пути 106
кинетическую энергию 5 эВ, электрон дол-
жен ускоряться по тем напряженностью
5-10 В/см! Это поле примерно в 1О10 раз
превышает поля, создающие ток в металли-
ческих кристаллах Li Na Кит. д.* Поэтому
алмаз является исключительно хорошим
изолятором Сушес т вование аналогичных
энергетических шелеп у кристалла тина квар-
ца (SiO,) и у полимеров типа майлара и
тефлона** делает их прекрасными изоля-
торами.
* Даже в идеально чисто и чета слическом крис-
талле имеется некоторое сопротивление току
электронов из-за колебаний решетки (тепловых
колебаний), зависящих от температуры Поэто-
му движущиеся электроны могут терять энер
гию при столкновениях с колеблющимися атома
ми решетки. Для некоторых материи юв при
очень низких температурах этот вид потерь
энергии исчезает и материал становится сверх-
проводником. Это явление будет рассмотрено в
следующем разделе.
** Основная молекулярная ячейка майлара
подобна молекулярной ячейке дакрона (фиг. 14 15)
тефлон подобен у г зеводороду с д шиной цепочкой,
в которой атомы водорода замещены атомами
фтора
ИСПУСКАНИГ ЭЛЕКТРОНОВ ТВЕРДЫ
МИ ТЕЛАМИ В металлическом кристалле
потенциальный барьер между атомами на-
столько низок, что атомные электроны с
наибольшей энергией могут свободно пере-
мешаться по кристаллу Однако на поверх-
ности кристалла потенциальный барьер все
же существует (фит. 14 27). Этот барьер,
конечно, ограничивает размытие электрон
ных волн линейными размерами кристалла.
Так как электроны располагаются попарно
на близко расположенных уровнях в зоне
проводимости, для электронов на высших
энерт етичсских уровнях энерт ия связи с крис-
таллом оказывается значительно меньше
энерт ии связи в атоме. Например, в атоме
лития энергия связи 25-электрона равна
5,4 эВ. тогда как в кристалле лития электро-
ны на высших уровнях имеют энергию связи
всего 2,4 эВ Поэтому вырвать электрон из
твердого тела значительно легче, чем из
изолированно!о атома. Электронная эмиссия
из твердых тел может происходить тремя
путями
1. Фотоэлектронная эмиссии. Фотоэлск
троны испускаются в том случае, когда
энергия, необходимая для преодоления по-
тенциального барьера на поверхности, сооб-
щается им квантами света (см раздел 12.3).
Работа вы хода фо гоэлектронов для т вердого
лития равна энергии связи электрона 2,4 эВ
и соответствует той минимальной энергии,
которую нужно затратить, чтобы вырвать
электрон Иа вырывание электрона, находя-
щегося на энергетическом уровне вблизи
«дна» зоны проводимости, требуется затра-
тить соответственно большую энергию. По
згой причине у фотоэлектронов всетда име-
ется разброс по энергиям; измерение паи-
оо сыпей энергии электронов при заданной
энергии падающих фотонов позволяет опре-
делить работу выхода для вещества.
2 Автоэлектронная эмиссия. Потснциаль
ный барьер на поверхности вещества можно
понизить, приложив внешнее электрическое
ноле Если напряженность ноля достаточно
велика (~ К)*’ В см), то из вещества смогут
вылетать электроны зоны проводимости
имеющие наибольшие энергии
В случае автоэлектронной эмиссии из кри
ста.тлов электронные волны интерферируют
14.3. Твердые те ia
4X7
между собой Регистрация интерференшюн-
пой кар 1 ины на фотопленке представ iaci
собой новый метод исследования с [роения
кристаллов. Впервые этот метол был при-
менен Эрвином Мюллером из Пенсильван-
ского университета. Полученная им микро-
фо tot рафия автоэлектронной эмиссии из
криоалла иридия приведена на фи!. 14.32.
С помощью этого метода удалось выяснить
мшиие детали строения кристаллов, кото-
рые было трудно изучать другими методами.
3. Термоэлектронная эмиссия. Если по-
высить до определенного уровня гемпсра-
iypy вещества, то чаечь тепловой энер! ни
будет передаваться электронам проводимо-
ст. Некоторые из них элек|ронов приобре-
тут энергии,превосходящие величину потен-
циального барьера на поверхности, и CMOiyi
покинуть вещество Нагрев каюда, покры-
того материалом с очень малой работой
выхода (например, цезием), наиболее рас-
пространствсниый метол Получения электро-
нов, ускоряемых в электронных «пушках»
электроннолучевых или телевизионных тру-
бок.
ПОЛУПРОВОДНИКИ. Некоторые Male
риалы, являющиеся по своим свойствам нзо-
1Яюрами, т. е материалы с заполненной
верхней зоной, имеют очень небольшую
ширину энергетической щели (1 эВ или ме-
нее). отделяющей заполненную зону от пу-
стой зоны проводимости. При низких тем
пературах практически ни один из электронов
в таком материале не об rajiaei достаточной
тепловой энергией, чтобы преодолеть эту
щель и перейти в зону проводимости. Однако
с увеличением температуры вследствие теп-
лового возбуждения в зоне проводимости
оказывается все больше электронов. В ре-
зультате такие материалы (типичными пред-
ставителями этого класса ма!ериалов явля
ются кремний и германии) обладают м той
электропроводностью и называю гея полу-
проводниками. Их элск1ропроводность быст
ро возрастает с темпера урои; например,
в интервале от 250. ю 450 К число электронов
проводимое!и в кремнии возрастает в 10*1
раз. Конечно, степень увеличения электро-
проводности полупроводника зависит от ши-
рины энерт ешческой щели, чем уже щель
тем больше число термически возбуждеи-
Фиг 14.32. Микрофотография кристалла ири-
дия, полученная с помощью автоэлектронной
>миссии
Дефекты в структуре криста >.1ической решетки
обус.юв швают ра зличи.ч в деталях микрофс то-
графии по разные стороны от центральной ее
части.
пых электронов и, следовательно, тем выше
>лек i ропроводиость. Энергетические щели
для некоторых полупроводников и нж>ля то-
ров приведены в табл. 14.1.
Э !екIропроводиость полупроводника по-
вышается также под действием Света. По
июшая свет, некоторые элск!ропы перехо-
дя! в зону проводимости и тем увеличивают
элекIропроводиость Материалы, обладаю-
щие атам свойством, называются фстопро-
нодниками Эчектропроводиость германия,
например, сильно возрастает при освещении
фотонами с энергией, превышающей 0,7 эВ
Если желательно получи и. полупровод-
ник с постоянной повышенной электропро
водностью, то нельзя рассчитывать на
фотопроводимость, так как это явление пре-
4КХ
14. Строение вещества
Гао ищи 14.1. Ширины энергетических щелей некоторых полупроводников и
изоляторов
Полупроводник Д£, эВ Изолятор Д£. тй
Кремний 1,14 Алмаз 5.33
Г ерманий 0.67 Окись цинка 3.2
Теллур 0,33 Хлористое серебро 3,2
Антимонид индия 0,23 Сернистый кадмий 2,42
кращается при удалении источника спета.
Поддерживать материал при высокой тем-
пературе с тем, чтобы большую электропро-
водность обеспечивало термическое вотбуж
дение, обычно тоже неудобно Чрезвычайно
эффективным способом выгнать стойкие
изменения в свойствах полупроводников яв
ляегся введение в кристаллическую решетку
малых количеств некоторых примесей. Вве-
дение примесей в полупроводники, например
в кремний и германий, состав тяст сейчас
неотъемлемую часть процесса производства
транзисторов.
Полупроводник ерманий предс гавлястсо-
бой элемент IV группы с 4 внешними. или
валентными. итек тронами. Германий имеет
кристаллическую структуру, похожую иа
структуру алмаза, в которой каждый атом
связан с 4 другими атомами двойными кова
ленптыми связями (фиг. 14.33. а). Мышьяк
принадлежит к V труппе (5 валентных элек
Фит. 14.33. Алмазоподобная кристалличе-
ская структура германия с двойными связя-
ми (а). При замещении атома в криста i ie
германия атомом мышьяка (б) возникает ион
мышьяка As+ и избыточный > еектрон, кото-
рый \егко переходит в зону проводимости.
тронов) и расположен в периодической т 16-
шце рядом с германием. Если заменить
в кристалле атом германия атомом мышья-
ка, то че т ыре валентных электрона нос тед-
нето обеспечат двойные связи с германием,
и останется один избыточный электрон.
Таким образом, атом мышьяка в кристалле
в действительности является ионом As’,
причем избыточный электрон, слабо связан-
ный с ионом мышьяка, находится в его ок-
рестности (фиг. 14.33, б). Энергия этой связи
чрезвычайно мала около 0,01 эВ. Она
намного меньше ширины энергетической
тцелн в чистом кристалле германия (0,7 эВ)
Следовательно, чтобы перевести этот элск-
т ротт в зону проводимое! и, достаточно сотой
доли эВ При комнатной темпера type почти
все избыточные электроны, обусловленные
примесью мышьяка, находятся в зоне про-
водимости, тогда как тишь немногие элск-
гроиы германия имеют достаточно теп ю-
вой энергии, чтобы совершить такой пере-
ход Таким образом, присутствие примеси
мышьяка в самой малой концентрации (К)6
или 1()7) оказывается решающим фактором,
определяющим электропроводность. (В 1 см1
термаиия с примесью мышьяка содержится
~ 106 тлектроиов проводимости — количест-
ве Ge Ge
% % #
Ge Ge
Ge^ \}e^ 4Ge
\}e^ V,e^
Ge Ge^ Ge
a
6
Избыточный,
электрон
14.3. Твердые тела
4X4
во, вполне лосин очное для тоги, ч обы
можно было получить значительные юкнл
Энергетические уровни слабо связанных
элек тронов. внесенные ионами мышьяка,
проявляются на схеме энерт ст ическнх уров-
ней германия в виде ряда дополни тельных
уровней, расположенных непосредственно
под нижней границей зоны проводимости
(фиг. 14.34) Так как электроны, населяющие
эти уровни, как бы «подарены» атомами
мышьяка, такие уровни называют донор-
ными. Полупроводник, образующийся в ре-
зультате введения донорной примеси, на-
зывается полупроводником и-г ина*. Для пре-
вращения чистого германия в полупровод-
ник и-типа можно применял, и другие эле-
менты V группы, например фосфор или
сурьму.
Если ввести в кристалл германия в качест-
ве примеси элемент ие V, a III группы, на-
пример галлий, получи гея аналогичный эф-
фект. Различие состоит лишь в том, чю
а тому галлия с тремя валентными электро
нами ire xiraiaei одною электрона, чтобы
обеспечить 4 двойные связи с четырьмя со-
седними атомами германия. Чтобы ском-
пенсировать недостающий электрон, атом
га глия «похищает» электрон у атома герма-
ния. при этом образуются ион галлия Ga
и поп германия GC. Вакантное состояние
в ионе германия, в котором ие хватает одно
го электрона, называется электронной дыр-
кой. Ион германия Ge' может затем в свою
очередь «похитить» электрон у другого ато-
ма германия, в результате чего парка пере-
мести гея из одного но тоження в кристалле
в другое. Таким образом, дырки могут' миг-
рировать в нижней энерт етической зоне,
подобно лопорпым электронам в гопе про-
водимости.
Гак как примесь т аллия «принимает» элек-
троны от атомов германия, атомы примеси
были названы акцепторами Энергетические
уровни, соответствующие атомам-акцепто-
рам, расположены очень близко к верхней
границе заполненной зоны (фит. 14.35). Это
означает, что для «похищения» электрона у
* Такое название объясняется тем, что в ре-
су сьтате введения примесей почвляюпи я носите
ли отрицательного {negative} заряда
. Зона проводимости
{►° т
р —Ко------- —Донор-
„ пп1пВ~}Ные энер-
0,7 ЭВ 0,01 эВ --‘готические
состояния
Ge
Фив. 14 А4 Энергетические состояния (до-
норные состояния], обязанные своим возник-
ноаением примесным атомам мышьяка, вве-
денным в кристалл германия, лежат непос-
редственно под юной проводимости.
Электроны в этих энергетических состояниях
могут легко совершать переходы в зону прово-
димости.
Зона проводимости
Акцепторные
энергетические
состояния
Ge
Фит . 14.35. Энергетические состояния. свя-
занные с акцепторными атомами. le.vtam не-
много выше заполненной зоны.
Благодаря тепловому возбуждению > <ектроны
могут заселять эти состояния оставлял дырки
в заполненной зоне.
490
14. Строение вещества
Германий п-типа
Фиг. 14.36. Электроны проводимости в полу-
проводнике п-типа движутся под действием
разности потенциалов V
Как всегда. i аправ tenue тока противоположно
<аправ зению движения электронов
Фи1 14.37. Дырка распространяется вдоль
цепочки атомов в результате последовате ь-
ного перехода электронов от нейтра юных
атомов германия к ионам Ge
соседнего атома германия и создания дырки
атому-акцептору требуется очень небольшая
энергия. Другими элеменшми III группы,
служащими акцепторами в кристаллах гер-
мания, являются бор, алюминий и индий.
Полупроводник с акцепторной примесью
называется полупроводником р-гина*.
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРО-
ВОДНИКОВ Большая часть донорных элек-
тронов полупроводника п-типа при обычных
темпера!урах находится в зоне проводи-
мости. Следовательно, если к полупровод-
нику приложи I ь разность потснциатов, элек-
троны начнут дви!а!ься пол действием при-
ложенного поля и возникнет электрический
гок (фиг. 14 36),
Каков механизм тока в полупроводнике
p-типа? В любом крисгал ie атомы связаны
в решетке и не покидают своих мест. Поэто-
му в твердых телах весь электрический ток
обусловлен движением э кктропов. 11о в
полупроводниках p-типа движение электро-
нов совершенно отлично от движения элек-
гронов проводимости. Как показано па
фи!. 14.37, атом акцептора получает электроп
от аюма 1срмапия, который превращается
в положительный ион Затем ион Ge полу-
чает электрон от другого атома германия
и т. д. Ни один электрон не перемещается
на расстояние, превышающее одно-два меж-
атомных рассюяпия, а вдоль цепочки ато-
мов распространяется положительный заряд
(т. с. дырка). Замшим, что направление дви-
жения дырки совпадает с направлением тока
и оба эти направления противоположны на
правлению движения элек i роков. Если к по-
лупроводнику p-типа приложи 1ь разность
потенциалов, то движение дырок создает
ток, как показано на фиг 14.38.
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ
С практческой точки зрения интерес к полу-
проводникам с примесями обусловлен гем,
что на их основе можно создать ряд важных
элементов электрических цепей. Во всех по-
эупроводниковых приборах используется на
Фиг 14.38. В германии p-типа ток переносит
сч дырками (ср. с фи 14.36).
* Такое название объясняется тем, что в ре
зулыпате введения примесей появляютс носи-
тели положительного (posiluei заряда.
14.3. Твердые тем
правлетшость тока, идущею через i раницу
между полупроводниками р- и «-типов. на-
ходящимися в кош акте* (р—«-переход)
(фиг 14.39). Даже при обычных темпера ту-
рах электроны диффундируют через р—«-пе-
реход из «-области в р-об.тасть; диффузия
дырок происходит в обратом направле
нии из p-области в «-область. Миграция
электронов и дырок стремится создать поло-
жительный потенциал в n-об части и отрица-
тельный потенциал -— в p-области. Be ичин т
этого потенциала ограничена гем, что элек-
троны и дырки стремятся рекомбинировать
Однако число дырок и электронов в действи-
тельности не уменьшается, так как благодаря
тепловому возбуждению в германии все
время создаются новые дырки и электроны
проводимости При равновесии интенсив
ность теплового возбуждения равна интен-
сивности рекомбинации В результате поток
электронов в p-область оказывается в точ-
ности равным потоку дырок в н-оСктасгь и на
р «-переходе возникает разность потен-
циалов
Если к р—«-переходу подключи т ь внешний
источник напряжения, так чтобы положи-
тельный полюс находился в р-обласги
(фиг. 14 40, а), то потенциал на р—«-переходе
(граничный потенциал) сложится с внешним
и увеличит таким образом ток Если же
полярност ь внешнего источника будет обрат-
ной, как па фиг 14 40 б, то потенциал на
р «-переходе окажется противоположным
внешнему потенциалу и будет препятство
вать току, т. е. I ,<&-! Таким образом, р—«-
переход пропускает ток преимущественно
в одном направлении, действуя как выпрями-
тель, или диод
Транзистор представляет собой устрой-
ство из । рех полупроводниковых элементов
находящихся в контакте друг с другом и рас-
положенных либо в порядке «—р—и, либо
в порядке р—«—р (фит 14.41): Такие устрой
* Нельзя просто сжать два образна по.лупро
водников, так как нерегулярности кристаллине
ской структуры на их поверхностях препчтст
вуют достижению желаемого эффекта Вместо
этого приме/ и вводятся в соответ/ твующие мел
та либо во время выращивания кристалла, либо
в готовый кристам путем диффузии с противо-
положных его сторон.
Фиг 14.39. Если полупроводниковые материа-
лы p-типа и п-типа привести в контакт друг
с другом (образовав р - п-переход), то в ре
зультате диффузии электронов и дырок через
границу установится разность потенциа-
лов V.
Фит. 14.40. Потенциал внутренней границы
(см фиг 14.39) увеличивает ток из p-области
в п-область. но препятствует прохождению
тока в противоположном направлении
При одной и moit же разности потенции ш « < ц
чаях а и б ток /, будет значительно до /ыне то-
ка
< л р
т
П к
а
Фит 14.41. Транзисторы типа п—р—п (о)
и р—н—р (б)
442
14. Строение вещества
Фш 14.42. Две современные интегральные
схемы
Д.ш сравнения покачан обычно употребляемый е
вычислите зьных машинах изолированный провод-
ник Каждая схема имеет размер 1.8 мм и со-
держит 55 полных схем с 213 транзистора мзз
Одна из этих интегральных схем служит по изы.м
.югическим з зементом быстродействующей вы-
числительной машины. Трав зепие чипов из коте
рых создается схема. проиэводипи я микро
электронным пучком Существуют еще бо/ее
сложные интегральные схемы с плотностью
~ 30 000 транзисторов на 1 см2.
ства используются в электронных схемах
для усиления электрических си, палов и .иля
управления ими. Например, напряжение,
приложенное к p-области и—р—«-транзи-
стора, можно использовать для изменения
потенциала в этой области; следовательно,
с помощью этого напряжения можно управ
пять током, идущим из одной //-облает в
друг ую.
Развитие полупроводниковых устройств,
начавшееся в 1949 г, произвело революцию
в промышленной электронике*. Средства
связи и электронно-вычислительная техника
в настоящее время почти полностью бази-
руются на полупроводниковых устройствах.
В последнее время достит нут колоссальный
прогресс в уменьшении размеров электрон-
ных приборов благодаря внедрению инте-
гральных схем. Эти миниатюрные устройст-
ва представляют собой законченные элек-
тронные блоки, состоящие из большого чис-
ла элементов (диодов, транзисторов, сопро-
тивлений и емкостей), собранных па одной
пластинке из полупроводникового материа-
ла (чине). Две такие интегральные схемы
показаны на фит. 14.42. Развитие интеграль-
ных схем нс только позволило уменьшить
размеры приборов и их стоимость, но при-
вело также к повышению надежности элек-
тронных схем и к значительному упрощению
их конструкции. (Очевидно, чго уменьшение
размеров очень существенно в устройствах,
предназначенных для установки на космиче-
ских кораблях, где в высшей степени жела-
тельны малые размеры и масса Кроме гот о,
малые размеры имеют решающее значение
при конструировании сверхбыстродействую-
щих электронных вычислительных машин,
в которых скорость работы ограничивается
быстротой передачи сигнала от однот о эле-
мента к другому, поскольку максимальная
скорость сигнала равна с, малые размеры
обеспечивают большее быстродействие.)
14.4. Явлении при низких
температурах
ПОЛУЧЕНИЕ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
Многие устройства, создающие низкие тем-
пературы (в том числе домашний холодиль-
ник). пспользуюг ожижение таза, который
проходит через никл сжатия и расширения
При сжатии таза сто темпера гура возраста
ет. Сообщенную газу добавочную тепловую
энергию можно удалить, обеспечивая пере-
дачу тепла в окружающую среду (в обыч-
* В 1956 г Джон Бардин, Уолтер Брзттейн и
Уильям Шокли получили Нобелевскую премию за
открытие и разработку теории транзисторов
14 4 Явления при низких температурах
493
Таблица 14 2. Точки сжижения некоторых газов при ат мо-
сферно м дав зении
Газ Темпера- тура. К Газ Темпера тура К
Хлор 238,6 Api он 87,5.
Ксенон 166,1 Азот 77,4
Криптон 120,3 Водород 20,4
Кислород 90,2 Гелий 4,2
ном холодильнике тепло отбирает цирку-
лирующий воздух). После этого получи!ся
шз, находящийся под высоким давлением,
но при комнатной температуре (или близкой
к ней) Если затем газ быстро расширится
го его температура понизься; в случае
когда понижение температуры значитель-
но, газ перейдет в жидкое состояние. Так
пар высокого давления, выходя из бой-
лера, конденсируется в процессе расшире-
ния и превращается в воду. Система, пред
назначенная для понижения температуры
других предметов, должна обеспечивать теп-
ловой контакт ожиженного газа с этими
предметами; затем цикл ожижения газа в
системе повторяется Если же жидкий газ
необходим для других целей, го его надо
удалить из системы
Системы с последовательными сжатием и
расширением могут быть использованы для
ожижения всех газов. Конечно, ести газ ста-
новится жидким только при очень низких
температурах (как, например, водород и
гелий, см. табл. 14 2), то требуется специ-
ально разработанная система Гелий (кою-
рый становится жидким при 4,2 К) был впер-
вые получен в жидком состоянии Камер
линг-Опнссом в 1908 г
Коль скоро удается достичь столь низких
температур, как темпера!ура жидкого ге-
лия, появляется возможность с помощью
других менее эффективных методов еще
больше понизить темпера!уру. Благодаря
тому что гелий остается в жидком состоянии
и не затвердевает* (при атмосферном давле-
* Геши в этом отношении уникален
нии), удается достигнут ь чрезвычайно низких
температур (вплоть до КГ3 К)
ЖИДКИЙ ГЕЛИЙ ОБЛАДАЕТ СВЕРХ
ТЕКУЧЕСТЬЮ. Жидкий гелий представ-
ляет собой особое вещество. Так. он сущест-
вует в двух совершенно различных формах.
В области температур от 4,2 до 2.I8K (!ак
называемая A-точка) гелий ведет себя как
обычная классическая жидкость; в этой об-
ласти температур его называют гелием I
Однако ниже А-точки свойства жидкого ге-
лия (называемого в этой области температур
гелием II *) приобретают необычный харак-
тер: он теперь представляет собой смесь двух
жидкошей, одна из которых сохраняет клас-
сические свойства гелия I, тогда как другая
обладает новыми замечательными свойст-
вами, ответственными за удивительное по-
ведение жидкости при столь низких темпе-
ратурах Обычная часть жидкости называ-
ется нор,мольной компонентой, необычная
часть — сверхтекучей компонентой.
Одним из свойств сверхтекучего гелия яв-
ляется способноеib проводить тепло без
какого-либо сопротивления тепловому по-
току. Иными словами, тепло, пошупающее
в сверхтекучую жидкость в какой либо одной
точке, распространяется затем в этой жид
кости без всяких потерь Таким образом,
оказывается чю теплопроводность сверх-
текучей жидкости бесконечна — не п рос го
очень велика, ио бесконечна1 Эго утвержде-
ние можно проверить качешвенно (возмож
* С верхтекучесть гелия II была открыта «
1938 г. выдающимся советским физиком Г1 Л Ка-
пицей. — Прим ред
494
14. С троение вещества
ны и точные количественные измерения),
наблюдая кипение жидкого гелия при пони
жении температуры за Л-гочку. Если подве-
ет небольшое количество тепла к опреде-
ленной точке некоторого объема жидкою
гелия, находящегося выше Л-точки, то жид-
кость в 31 ой точке закипит с интенсивным
выделением пузырьков Такое локальное ки-
пение объясняется тем, что жидкость имеет
конечную теплопроводность и тепло не мо-
жет распространяться настолько быстро,
чтобы темпера!ура объема в целом повыша-
лась равномерно Температура возрастает
только вблизи точки нагрева, и, если локаль-
ная температура превышает 4,2 К, жидкость
кипит и образуются пузырьки. Будем теперь
понижать температуру системы, продолжая
подводить тепло в одной точке. При дости-
жении Л-точки кипение внезапно прекраща
ется — пузырьки исчезают. Это происходит
потому, что ниже Л-точки сверхтекучая ком-
понента обладает бесконечной теплопровод-
ностью, и, едва поступив, тепло мгновенно
распрост раняе т ся по всей жидкости Поэтому
вся жидкость оказывается при одной и гой
же температуре, и пузырьки газа в этих усло-
виях не могут образоваться.
Другие эксперименты показывают, что в
сверхтекучем гелии нет никакого сопротив-
ления течению, иными словами, он имеет
нулевую вязкость Сверхтекучий гелий бес
препятственно протекает через узкие каналы
и тончайшие капилляры, не пропускающие
любую обычную жидкость, в том числе
гелий 1
Жидкий гелий II состоит из нормальной и
сверхтекучей компонент Относительное ко-
личество последней зависит от температуры,
его можно определи гь, измеряя силу, дейст-
вующую на предмет, движущийся в жидко-
сти. Сопротивление движению оказывает
только нормальная компонента, в сверхте-
кучей жидкости тела движутся без трения.
Подобные эксперименты показали, что кон-
центрация сверхтекучей компоненты возрас-
тает с уменьшением температуры' от нуля
в Л-точке до 100% для температур ниже ~ I К
Таким образом, при температурах ниже
1 К весь гелий переходит в сверхтекучее
состояние.
Жидкий гелий обладает рядом других
интересных свойств, причем все они удовлет-
ворительно описываются моделью, сот ласно
которой жидкость состоит из двух компо-
нент — нормальной и сверхтекучей.
Каким образом можно объяснить порази-
тельные свойства сверхтекучей компоненты
гелия? В случае потерь иа трение (вязкость)
и в случае сопротивления тепловому потоку
движение одной части жидкости должно от-
личаться от движения остальной жидкости.
Иными словами, кван говомсханическое со-
стояние неко т орых атомов должно отличать-
ся от состояния остальных. Потеря энергии
одним атомом с необходимостью означает
приобретение ее другим атомом, и именно
эта передача энергии (и изменение квантово-
механических состояний) полностью ответ-
ственна за вязкость и теплопроводность.
Атом гелия имеет равный нулю спин и,
следовательно, является бозоном-, бозоны
не подчиняются принципу Паули. Поэтому
совокупность атомов гелия не будет вести
себя, подобно совокупности фермионов*
Электроны проводимости в металле, напри-
мер, группируются попарно на дискретных
энергетических уровнях и образуют гем са-
мым зону проводимости При понижении
температуры гелия энергия его атомов
уменьшается, и в конечном счете при доста-
точно низкой температуре все его атомы
оказываются в наинизшем возможном со-
стоянии. В нем могут находиться все атомы
как уже сказано, принцип Паули к атомам
гелия неприменим Но если все атомы нахо-
дятся в одном и том же квантовом состоя-
нии, то они имеют одинаковую волновую
функцию. Таким образом, атомы сверхтеку-
чего гелия действуют согласованно, как еди-
ное целое** Поэтому невозможно сообщить
тепловую энергию какой-либо одной обла-
сти сверхтекучей жидкости воздействию
подвергаю гея в одинаковой мере все атомы.
По той же причине невозможен обмен энер-
гией между атомами (так как все они нахо-
* Бозонами являются атомы изотопа Не*.
Атомы же изотопа Не ’ — фермионы вс гедствие
чего этот изотоп не имеет сверхтекучей моди-
фикации. — Прим, ред
* * В сверхтекучем гелии нет «Беспорядка»
его энтропия равна нулю
14.4. Явления при низких температ -рах
495
лятся в наинизшем состоянии), и вязкоеть
равна нулю.
Объяснение свойств сверхтекучего гелия
являет ся замечательной демоне т рацией влия
ния квантовомеханических харак1ерис1ик на
процессы макромира*. Основные положения
теории сверхтекучего гелия в настоящее вре-
мя твердо установлены, однако многочис-
ленные детали этой теории еще разрабаты-
ваются. Нс исключено, что жидкий гелий
гаит еще в себе сюрпризы.
СВЕРХПРОВОДНИКИ. Если к проводнику
приложить электрическое поле, то свобод-
ные электроны придут в движение и возник-
нет электрический ток. Сопротивление ме-
талла току частично обусловлено столкно-
вениями электронов с примесями и тефек
тами кристаллической решетки Однако даже
в идеальном кристалле, где нет ни примесей,
ни дефектов, электроны нс могут двитаться
беспрепятственно, так как вследствие тепло-
вых колебаний атомов электроны могут
рассеиваться и обмениваться энертией i
кристаллической решеткой. С понижением
температуры тепловые колебания умень-
шаются и гораздо слабее влияют на движе
пие электронов. Поэтому с понижением тем-
пературы сопротивление надает'. В чистом
идеальном кристалле сопротивление при-
ближается к нулю только при стрем тении
температуры к абсо нотному нулю.
В 1911 г. Камерлпнг-Оннес обнаружил
замечательное свойство свинца. При тем-
пературе 7,2К электрическое сопротивление
свинца внезапно становится равным нулю
нс очень малой величине, а нулю! При этой
и более низких температурах свинец является
сверхпроводником. В одном из эксперимсн-
тов в сделанном из очень чистого свинца
кольце был наведен ток в несколько сотен
ампер; спустя год было обнаружено, что
ток в кольце продолжает идти, причем его
величина за это время практически нс изме-
нилась! Измерение сопротивления сверх-
проводящего свинца показало, что оно по
крайней мерс в 10" раз меньше сопрогивле
* Теория сверхтекучести бы ia развита выда-
loufUMGH советским физиком Л Д. Ландау в
1941 г Прим, ред
ния нормального свинца. Имеются все осно-
вания полагать, что сопротивление чистых
сверхпроводящих материалов действитель-
но равно нулю. В настоящее время известен
ряд элементов и свыше тысячи сплавов, ко-
торые при низких температурах являются
сверхп роводниками.
Явление сверхпроводимости, подобно яв-
лению сверхтекучести, представляет собой
макроскопический квантовый эффект
Огромный шаг вперед в понимании сверх-
проводимости был сделан в 1957 г. Джоном
Кардином, Леоном Купером и Робертом
Шриффером, которые создали теорию этого
явления. Она основана на им, что бозоны
не подчиняются принципу Паули. В сверх-
проводящих материалах взаимодействие
электронов проводимости с колебаниями
атомов решетки прсвосхотиг кулоновскую
силу их отталкивания, в результате чего
между электронами возникает слабая сип
притяжения Поэтому э ;ктроны стремятся
группироваться парами; каждая пара элек-
тронов с противоположно направленными
спинами ведет себя как бозон. Электронные
пары слабо локализованы расстояние
между парами меньше расстояния между
электронами в каждой паре, — но тем не
менее в кван говомеханичсском смысле пары
оказываются вполне определенными и ве-
дут себя как бозоны.
Результирующее притяжение между элек-
тронными нарами (энергия спаривания)
очень малб. и для разрушения пары доста
точно лишь небольшого теплового возбуж-
дения. Поэтому пары могут существовать
лишь при очень низких температурах. Так
как электронные пары ведут себя, как бозо-
ны, при уменьшении температуры все они
стремятся «осесть» на наинизшем энергсти
ческом состоянии. При достижении крити-
ческой температуры (7,2К в случае свинца)
все нары находятся в таком состоянии и все
имеют одну и ту же волновую функцию,
которая простирается на весь образец Так
как ни одна из пар не может изменить своего
энергетического состояния, электроны дви-
жутся все вместе, не теряя энергии и нс встре-
чая сопротивления.
Некоторые аспек т ы сверхнроводимос т и до
сих пор не вполне понятны и предо тжают
496
14. ( троение вещества
исследоваться. Однако принципиальное объ-
яснение явления дано теорией Бардина, Ку-
нера и Шрнффера, и сверх проводимость
не представляется столь таинственной, какой
казалась прежде.
Сверхпроводящие материалы начинают
широко использоваться при конструирова-
нии магнитов как для исследовательских
целей, так и для техническою применения.
Электромагниты. создающие сильные маг-
нитные поля, дороги в эксплуатации из-за
существенных потерь, обусловленных со-
противлением обмоток. Стандартный элек-
тромагнит. создающий поле 1(Р Гс ( я о наи-
большее ноле, которое удается достичь в
магнитах такого тина), может попребова i ь
для поддержания поля мощности 1 МВт.
Ьолее тот о. для работы такого магнита
нужна система охлаждения, потребляющая
тысячи ли тров воды в минуту, иначе обмотки
могут расплавиться из-за натрсва В настоя-
щее время уже применяются магниты, об-
мотки которых изготовлены из различных
сверхпроводящих материалов и которые ра-
ботают при температурах ниже критической.
После тою как и обмотках такого магнита
устанавливается ток, он продолжает течь
уже без джоулевых потерь. Поэтому един
ст венные за т ра т ы мощи ост и в сверхпроводя-
щем магните происходят при пуске тока;
чтобы поддерживать ток, необходимо толь
ко сохранять температуру ниже критической
для данною материала*
При конструировании сверхпроводящих
магнитов их обмотки более выгодно изго-
товлять не из чистых элементов, а из метал-
лических сплавов и соединений. Широко
используется соединение Nb^Sn, позволяю
щее получать ноля до 88 кТс**. Можно ожи-
* Конечно, ни один применяющийся ни практике
сверхпроводник не может быть абсолютно чис
тын и некоторые потери энергии будут иметь
место. Но все же, чтобы подо ер живать час нит
ное поле сверхпроводника, требуется подводить
очень небольшую мощность
** Существует верхний предел величины по 1ч.
которое можно получить с помощью сверхпро-
водника. так как электронные пары разрушаются
под действием не только высоких температур,
но и сильных магнитных полей.
дать, что применение соединения V3Ga по-
зволит достичь тюлей ~ 500 кГс. На фш. 14.43
показан огромный сверхпроводящий маг-
нит. с помощью которою проводятся иссле-
дования элементарных частиц в Артопиской
национальной лаборатории. Обмотки этого
магнита изготовлены из соединения Nb3Tr:
поле, которое можно получить с его помо-
щью, составляет 20 кГс.
Если бы удалось исключить или сущест-
венно уменьшить джоулевы потерн при пе-
редаче элсктроэперт пи, это дало бы колос-
сальный выигрыш в ее стоимости. Поэтому
возможность применения сверхпроводящих
материалов в пиниях передач имеет огром-
ное экономическое значение. Возможно, уже
в близком будущем иа смену т ромоздкп.м
стальным мачтам электропередач придут
подземные сверхпроводящие элек тричсскис
линии.
Основные выводы
Ионная (вязь двух (или более) атомов, обра-
зующих молекулу, осуществляется в том
случае, когда электрон переходит от одною
атома к другому и электростатические силы
объединяют атомы в молекулу. Свя л» будет
сильной, если в результате удаления пли до-
бавления о итого или двух электронов элек-
тронная оболочка оказывается замкнутой
Ковалентная связь атомов в молекуле
возникает в г ом случае, koi да атомы обоб-
ществляют два электрона. Связь будет силь-
нее в том случае, когда два электрона обра-
зуют пару с противоположно направленны-
ми спинами. Согласно принципу Пауне дан-
ное энергетическое состояние не может быть
занято более чем двумя электронами (т9 =
= + 1/2). В случае макрос ко пи чес кот о образ-
на это состояние охватывает не отдельные
атомы, а все вещество в це том В результате
энергетические уровни атома распределя-
ются но некоторому интервалу энергий,
образуя энергетические зоны.
В проводнике часть наивысшей энергети-
ческой зоны (зоны проводимости) остается
свободной для электронов, приобретающих
Основные выводы
49’’
Фиг 14.43. Сверхпроводящий магнит Ар-
гоннской национальной лаборатории.
Магнит имеет диаметр 5 4 м. Обмотка состоит
из 40 км и/готов /енной специальны и образом
сверхпроводящей ленты Этот магнит будет и< -
по /ыоваться с пузырьковой камерой д /я исследо-
ваний в об юсти элементарных частиц.
В полупроводнике высшая энертетическая
юна. содержащая электроны, целиком за-
полнена, но энергетическая щель между ней
и следующей пустой зоной настолько узка
что электронные переходы мот уч происхо-
дить уже при тепловых энерт иях
дополнителытуто энергию (ч с. возможны
переходы внутри этой зоны, требующие
очень малой энергии).
В изоляторе высшая нтертст плеская зона,
содержащая электроны, целиком заполнш/а.
Поэтому переходов внутри зоны не пропс
ходит, и возбуждения возможны только
тогда, котла электрон переходит в следую-
щую пустую зону; такие возбуждения тре-
буют значительно большей энергии, чем
возбуждения в проводниках.
Элек т ропроводиость полупроводника
можно увеличить, вводя в него определен
ные примеси благодаря которым возникают
добавочные энергетические уровни в щели
между заполненной зоной и зоной прово-
димости.
В полупроводниках п-типа носителями за
ряда являются электроны, в полупроводни-
ках p-типа носителями таряда являются
дырки
32 -
498
14. Строение вещества
Необычные свойства жидкого ге.т.ч II
объясняются тем. что атомы гелия представ-
ляют собой бозоны и полому не подчини
ются принципу Паули. Все атомы при низ-
ких темпера гурах находя 1ся па одном (иаи-
низшем) энер1 етическом уровне и имеют
одну и ту же волновую функцию. В резуль-
тате все атомы движутся вместе, и нс про-
исходи । ни обмена энерт ией. пи энергетиче-
ских по 1 ерь.
Яв 1ение сверхпроводимости также явля-
ется следствием того, чю бозоны (электрон-
ные пиры) находятся иа наинизшем энерге-
тическом уровне и твижутся все вместе без
по 1 ерь энерт ии
Вопросы
14 1. Почему нейтральные атомы лития химически более актины, чем ионы Li1?
14.2. Натрий и хлор, соединяясь, образую! NaCI. Два а тома хлора, соединяясь, образуют С12. Почему
аюмы натрия не образуют молекулу Na,?
14.3. Опишите, как соединяются в молекулу магний и хлор. (Обратитесь к фиг. 13.21 и определите,
сколько электронов может внести ма> иий в молекулярную связь )
14.4. Пользуясь химическими обозначениями, подобными приведенным на фиг. 14.8, покажите, как
с помощью трех ковалентных связей образуется молеку ia N ас помощью двух ковалентных свя-
зей — молекула О.
14.5. Изобразите схематически расположение электронов в молекулах MgO и Na.S.
14.6. При полном сгорании (окислении) углеводородов аюмы утлерола и водорода соединяются с
кислородом, образуя воду и двуокись углерода. Сколько молекул волы и двуокиси углерода образу-
ется при полном окислении бутана? Если вещество окислилось не полностью, то часть атомов yi теро-
да соединяется только с одним атомом кислорода каждый. Почему этот эффект нежелате тен при сго-
рании топлива?
14.7. Постройте схему простейшею способа соединения хлора с углеродом. Сравните полученную
молекулу с метаном.
14 8. Два атома ут теро та мотут быть связаны в молекулу тройной ковалентной связью Используя
этот факт, изобразите структурную формулу ацет и зона (С,Н ). Следующий чтен этой т руины, содер-
жащий одну тройную связь, называется этилацетиленом (CjH,); какова его структура? Найдите дру
тую возможную структуру С,Н4
14.9. Объясните, почему нельзя образовать молекулу, содержащую два атома гелия (Не,). (Рассмот-
рите ковалентную связь.)
14.10. Пользуясь принципом Паули, покажите, что три атома водорода не могут быть связаны ко-
валентной связью. (Однако ион Hj может существовать. Почему?)
14.11. Ксилол (органический растворитель) подобен толуолу (фиг. 14.13, а) с той .тишь разницей,
что он содержит две метильные труппы (СН,). присоединенные к бензольному кольцу. Изобразите
структурные формулы всех трех изомеров ксилола (г е. покажите, что возможны три способа при
соединения грех метилытых групп к кольцу)
14.12. Образуйте новое соединение, добавив к нафталину (фит. 14.13.6) третье бензольное кольцо.
Покажите, что существуют только два способа присоединения этого кольца Если кольцо присоеди-
няется в ряд с двумя первыми ко гитами. соединение называется антраценом: ею изомером является
Задачи
499
фенантрен. [Скелетная структура фенантрена особенно интересна, так как она содержится во многих
сложных природных соединениях, включая алкалоиды опиума, желчные кислот ы, некоторые гормоны
(например, коры надпочечника).]
14.13. Химическая формула пеитана С5Н12. Приведите структурные формулы для трех различных
изомеров пеитана (одни из изомеров представляет собой линейную молекулу).
14.14. Что произойдет с шириной энергетических зон твердою тела, если это тело подвергнуть дав-
лению, достаточному для уменьшения объема атомов? (Воспользуйтесь принципом неопределенно-
сти и принципом Паули.)
14.15. Будут ли благородные газы (в твердой кристаллической форме) хорошими проводниками?
Мотивируйте ответ.
14.16 Смогла бы воображаемая рыба, которая никогда не замерзает, плавать в жидком гелии при
0,5К ? при 2К7
14.17. В естсствет пом гелии примерно одни из 106 атомов пре гставляет собой легкий изотоп Не’,
который имеет спин '/2 Будет ли чистый жидкий гелий Не сверхтекучим?
14.18. Имеется кольцо из сверхпроводящего материала, находящееся при температуре ниже крити-
ческой. Ток в кольце отсутствует, но оно помешено в магнитное поле (созданное обычным электро-
магнитом). Как можно вызвать ток в кольце7
14.19. Селен является полупроводником. Какую примесь следует ввести, чтобы превратить его в по-
лупроводник л-типа? р-типа?
Задачи
14.1. Энергия ионизации калия равна 4,3 эВ, а энергия электроннот о сродст ва хлора 3,7 эВ. В молекуле
КС1 расстояние между ионами К и CI равно приблизительно 3 А. Чему равна энергия связи моле-
кулы? (Вычислите вначале £nci ^е2 R\ считайте ионы точечными зарядами.)
14.2* . Двухатомную молекулу можно схематически представить в виде гантели — двух массивных
шаров, соединенных невесомым стержнем Такие молекулы могут совершать вращательное движение
вокруг оси, перпендикулярной стержню Если каждый атом имеет массу W и если расстояние между
атомами равно d то кинетическая энергия вращения ЕКНИ L2IMd2, тле L—момент импульса мо-
лекулы, который квантуется согласно правилу L- /й В молекуле водорода d 0.742 А. Вычислите
энергию фотона (в эВ), который испускается при переходе молекулы из состояния с I 2 в состояние
с / = 1. Начертите диаграмму вращательных уровней энергии молекулы водорода. Сравните эти мо-
лекулярные уровни с атомными уровнями водорода.
14.3* . Вычислите расстояние между ионами К' и СГ в кристалле KCI исходя из того что плотность
твердого КС1 равна 1,984 г/см’ Почему это расстояние много больше расстояния между ионами
Na* и Cl в NaCl?
14.4. Сторона кубической ячейки алмаза равна а (см. фиг. 14.24). Покажите, что расстояние между
ближайшими соседними атомами углерода в этом кристалле равно (у/З'З) а
14.5. Кристаллы серы имеют бледно-желтый цвет и прозрачны Сера один из лучших изоляторов
Пользуясь только эгими данными, оцените ширину энергетической щели между зоной проводимости
и высшей заполненной зоной в кристаллах серы
500 14 Строение нешеспми
14.6. Нервная система человека (как и любая нервная система) состоит из отдельных клеток, назы-
ваемых нейронами. Центральная нервная система человека образована приблизительно 10ю нейро-
нами. Эти нейроны принимают, хранят и передают электрические сигналы, связанные со всеми функ-
циями человеческого организма. Были сконструированы электронные модели нейронов, в которых
примерно 10 транзисторов в совокупности с сопротивлениями, емкостями и т. п выполняли основ-
ные функции одного нейрона Воспользуйтесь фиг. 14.42 и оцените размеры вычислительной маши-
ны па интегральных схемах, имеющей ту же информационную емкость, что и нервная сиоема че-
ловека. Можно ли построить такую вычисли 1ельную машину? (Оцепите стоимость ее и время изю-
товления; примите, что все ее элементы имеют форму интегральной схемы, подобной изображен-
ной на фиг. 14.42, и что при массовом производстве стоимость одною элемента можно снизить до
1 доллара.)
Тандемный ускоритель Тан де Граафа
15 Атомные ядра
15.1. Свойства ядер
15.2. Массы ядер
15.3. Радиоактивность
15.4. Модель ядерных оболочек
15.5 Ядерные реакции
15.6 Деление и синтез ядер
Основные выводы
Вопросы
Задачи
В 1911 i Резерфорд обосновал ялерную модель а кома, а в 1919 i. он впервые наблюдал ялер-
нуто реакцию. Однако рождение .чдериой физики как науки следует отнести к 30-м годам
В период с 1932 г. (когда был открыт нейтрон) но 1939 г. (koi да было открыто деление ядер)
ядерная физика благодаря ряду достижений заняла выдающееся положение в физических
исследованиях, а в течение нескольких последующих лет —также и в политической и со
циальной жизни всею населения земного шара
Ядерная физика изучает свойства и взаимодействия атомных ядер. Но результаты огкры
гий. сделанных в этой области, оказали и продолжают оказывать огромное в тияние на пов-
седневную жизнь и на исследования в различных областях науки. Так. например, радиоак-
тивность используется в медицине Оде радиоактивные изотопы широко применяются для
диагностики и терапии злокачественных опухолей), на производстве (где измерения толщи
ны и плотности изделий произво тятся на конвейере с помощью ядерных излучений). При-
менение радиоактивных изотопов как индикаторов в биохимических исследованиях внес то
огромный вклад в развитие этой области науки.
Исследование ядерных реакций позволило установить, как рождается энергия в звездах
и как в результате различных процессов в звездах возникают химические элементы В лабо-
раториях проводились исследования, результаты которых используются в настоящее время
для определения температуры недр Солнца. Ядерные реакции использую 1ся при поисках
нефти и определении содержания минералов в различных рудах. Проводя анализ вещест-
венных доказательств с помощью этих реакций, удается получать ответы на мпотне кри-
миналистические вопросы. Даже историки пользуются этими методами: так, недавно с по-
мощью ядерных реакций было установлено, что причиной смерти Напо пеона было оiрав-
нение мышьяком (однако осталось неизвестным, кого следует обвинять в совершении этою
преступления).
Ядерные реакторы действие которых основывается на делении ядер, в настоящее время
вырабатывают значительное количество электроэнергии, и их роль в дальнейшем будет
возрастать. Однако урановые руды, как и друтие ископаемые, которые могут служить в
качестве топлива (например каменный уголь) в конце концов исющатся. Проблему разре-
шат термоядерные реакторы (если их удастся создать), обеспечив в огромных количествах
дешевую энергию ядерных реакций с участием дейтерия, запасы которого в водах океана
почти неистощимы
По-вилимому, наиболее широко известным (и устрашающим) результатом ядерных
исследований было создание ядерного оружия, оказавшее огромное влияние па мировую
политику. Но и это оружие чудовищной разрушительной силы можно использован, для
мирных целей Так. при строительстве гаваней и каналов для перемещения больших масс
грунта, вероятно, наиболее экономично пользоваться ядерными взрывами, а подземные
ядерные взрывы уже используются при создании огромных пещер для газохранилищ.
Побочные результаты ядерных исследований уже давно применяются во многих областях
науки и техники, однако мы еще далеки от конечной цели этих исстедований полною по-
нимания ядерных процессов и структуры ядер
В этой главе мы более подробно рассмотрим вопросы, которые обсуждались ранее в раз-
делах 3 4 (протоны и нейтроны размеры ядер, радиоактивность), 5 11(/i распад и нейтрино).
6.5 и 8.5 (ядерные силы). 7.17 и 114 (масса и энергия)
15 1 Свойства чдер
РАДИУСЫ ЯДЕР Проаиали тировав опы-
ты по рассеянию а-частиц. Ре терфорд пока
зал (в 1911 т.). чю радиусы ядер но порядку
величины равны 10-12 см (см также раздел
13 1) Однако более точные значения радиу-
сов ядер были получены лишь после откры-
г ия нейтрона и разработки методов исследо
вания рассеяния нейтронов. Как уже говори-
лось в разделе 3 4, этн эксперименты пока-
тали что радиусы ядер возрастаю! с увели
5114
15 Атомные ядра
а
Фи1 15.1. Различные эксперименты продемон-
стрировали, что ядра не имеют резких гра-
ниц (а), более вероятно, что имеет место
постепенное \меныиение плотности вещест-
ва во внешних областях ядер (б).
«Радиус» ядра R„ обычно определяется как рас-
стояние на котором плотность ядерного веще-
ства у меныиается в два раза по сравнению с ее
значение и в центре рс.
чсписм массового числа в соответствии с
соотношением (3.12)'
Rf&XAA4* • КГ1’см.
(15 1)
Позднее с помощью быст рых элект ронов
(длины волн которых малы по сравнению
с размерами ядер) были проведены дета п>-
ные исследования распределения вещее 1ва
внутри ядер. Подобные исследования были
выполнены 1акже путем регистрации излу-
чения, которое возникает при захвате мюона
атомом, кот да он замешает один из элек-
тронов (раздел 13 6) Эксперименты пока
за.ти что ядра не имеют резких границ
(как па фш 15 1,«); в цеп i ре ядра сущест-
вует определенная плотное 1Ь ядерного ве
шсства, и она постепенно уменьшается до
нуля с увсличисм рассгояния от центра.
Из-за отсутствия ченго определенной ipa-
пицы ядра его «радиус» определяется как
расстояние от центра, на ко юром плот ность
ядерного вещества уменьшается в два раза
(фш. 151, о)
ФОРМА ЯДЕР Ядра нельзя рассматривать
просто как крошечные капельки ядерного
вещее 1ва Их нельзя также рассматривать
как совокупность крошечных шариков (про
тонов и нейтронов), которые удерживаются
в определенном положении благодаря не-
коему ядерпому «клею» Таким образом.
приводившиеся выше рисунки (фи! 3.26 и
3.27) не дают правильного представления
о ядрах. I [одобно тому как динамика атом-
ных электронов надлежащим образом опи-
сывается нс механическими орбитами, а
распределением пло шести вероятности,
ядерные чаш ины также следует рассматри-
вать пс с классической, с квантовой точки
зрения Как и атомы, ядра оказываются
«размытыми» (см. фш. 3.30).
По анало! ии с описанием средних положе-
ний электронов в атомах или атомов в мо-
лекулах мы можем говорить и о форме ядер.
Даже при таком кванговомехапичсском опи-
сании среднее распределение пло гное ш ма-
1срии для большинства ядер оказывается
нс просто сферическим (фиг. 15.2, а) В дей-
ствительности большинство ядер деформи-
ровано. Степень деформации, г. с. степень
отклонения формы ядра от сферической,
изменяется от о того ядра к другому. Не-
которые ядра имеют форму вытянутых
эллипсоидов* (фиг. 15.2, о), другие — форму
сплющенных эллипсоидов (фиг. 15.2, в). Су-
ществуют ядра, имеющие еще более слож-
ную форму.
Форма ядра характеризует пространствен-
ное распределение внутри ядра как вещества,
так и заряда. Песферичсское распределение
заряда приводит к разнообразным эффек-
там. которые можно обнаружить экспери-
ментально. Изучая свойства, зависящие oi
распределения заряда внутри ядер можно
определять их форму
MIEPI ЕТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
Квантовая теория строго ограничивает зпа
чения энергий, которыми могут обладать
электроны в атомах: для атомов данного
э юмента разрешены только некогорые дис-
кретные энергетические состояния Состав-
ные части ядер также подчиняются законам
квантовой механики, и поэтому совокупно-
сти прогонов и нейтронов в ядрах могут на-
ходиться только в определенных дискретных
энергетических состояниях, характерных для
данного изотопа.
* Эллипсоидом называется тело, получаемое
вращением эллипса вокруг его большой или малой
оси (см фиг. 6.6).
15.1. Свойства ядер
Фиг. 15.2. Сферическое ядро (а), вытянутое
>1 luncouda.iwioe ядро (б), сп поименное эл iunco-
идальное ядро (в).
В каждом случае поперечное сечение в п юскол пт
vr представляет собой окружность.
Следует ожидать, что уровни энергии ядра
утлерода-12 (С12) будут совершенно иными,
нежели уровни энергии ядра азота-14 (N1 ).
точно так же, как уровни энер! ии атома ут ле-
рода сильно отличаются от уровней энергии
атома азота. Разные изотопы одного и того
же элемента также имеют различные наборы
энергетических состояний. Так, например,
энергетические состояния С12 и С13 значи-
тельно отличаются друг от друга из-за до-
полнительных взаимодействий лишнего ней
трона в С13. Вместе с тем если рассмотрен.
Два ядра, которые отличаются друг от друт а
только заменой протона нейтроном, то обна
ружится поразительное сходство их уровней
энергии. Так, например, ядро бора-11 (В"),
содержит 5 протонов и 6 нейтронов; если
один из нейтронов заменить протоном, то
получится ядро с 6 протонами и 5 нейтро-
нами, а именно ядро углерода-11 (С“).
Состав нуклонов в этих ядрах симметричен:
5--6 и 6—5; такие пары ядер называются
зеркальными ядрами. На фиг. 15.3 приведе-
ны энергетические уровни* ядер В11 и С";
мы видим, что между двумя системами уров-
ней имеется точное соответствие, если не
считать незначительных сдвигов значений
энергий.
Существование зеркальных ядер является
одним из наиболее убеди гельных доказа-
* Обычно энергии ядерных уровней отсчитыва-
ются от основного, энергия которого принима
ется за нуль, в отличие от атомных уровнен
Например, как показано на фиг 13.9, несвязанное
состояние протона и Электрою oomeemcmevem
энергии, равной нулю, а энергия основного состоя-
ния атома водорода равна — 13,6 эВ
Фиг. 15.3. Энергетические уровни В11 и С"
Около каждого уровня указана его энергия к М лИ.
Видно одно тачное соответствие энергети кч ки \
уровней этих зеркальных ядер.
5П6
15. Атомизме ядра
3,58
Фш. 15.4. Энергетические уровни В ”.
Энергия уровня выражена в М эВ. Вертика зьны-
ми стре зками накачаны наблюдаемые у-переходы
Энергия, выделяющаяся при соединении частиц
в дейтрон (энергия связи). излучается в виде
у-кванта.
тсльств тою, чю между парой нуклонов дей-
ствует одна и та же сила независимо от
того, какова эта пара: про юн протон,
протон — нейтрон или нейтрон нейтрон
(см. раздел 6.5). Таким образом, структура
ядер В 1 и С* в первую очередь зависит от
того, что в этих ядрах имеется И нуклонов,
а то, что в одном случае это 5р • 6л, а в дру-
гом — 6р 5п, является лишь вюростспен-
ным обстоятельством.
ками указаны наблюдаемые /-переходы, на-
пример. '/-квант с энергией 0,72 МэВ испу-
скается при переходе ядра из первого воз-
бужденною состояния в основное, ау-кваш
1,43 МэВ испускается при переходе ядра из
состояния с энергией 3,58 МэВ в состояние
с энергией 2,15 МэВ.
15.2. Массы ядер
ЭНЕРГИИ СВЯЗИ ЯДЕР На очень малых
расстояниях, которые характерны для раз-
меров ядер, между парами нуклонов дейез-
вую! ядерные силы (см. раздел 6.5). связы-
вающие эн! частицы в ядра Оценить эф-
фекты этого взаимодействия можно, иссле-
дуя энергии связи ядер.
Рассмсмри.м сначала простейшее ядро, су-
щее юовапис которого обусловлено ядерпы-
мн силами, а именно дейтрон, сосюящий из
одного протона и одного нейтрона. Масса
дейтрона ш,( несколько меньше суммы масс
свободного протона тр и свободною пей-
ipona т„. Пользуясь значениями атомных
масс* водорода 11. дейтерия D и нейтрона и.
получаем
тн = 1,007825
______тп — 1,008 665
тИ + тп = 2,016 490
mD = 2,014 102,
(тн + тп) — mD = 0,002 388 а. е. м
ЯДЕРНЫЕ ПЕРЕХОДЫ. Когда аюм пе
реходш из более высокого в более низкое
энергетическое состояние, разность энергий
излучается в виде фотона: энергии фоюнов
при злом обычно имеют порядок нескольких
элек Грон во л ьт. В случае ядер энергии уров-
ней лежат в интервале от — I до 10 МэВ
(см. фш. 15 3). и при переходах между этими
уровнями испускаются фотоны очень боль
ших энергий (называемые ’/-квантами)
На фиг. 15 4 приведены пять первых уров
ней энергии ядра В10 Вертикальными стрел
* В .ядерной физике вычисления почти всегда про-
изводятся не с чдерны ии а с ато ины ии весагии
Это позволяет авто матически i читывать в iрав-
нениях массы-энергии атомные электроны При
сравнении массы дейтрона с массой системы »+
+ р не возникает трудностей с атомны ми э зект
ранами, так как и водород, и дейтерии содержат
каждый по одному электрону и масса э зектрона
при определении разности масс исключается.
В других случаях, однако, использование атомных
масс упрощает вычис leaua (особенно в < зучае 0
распада) Поэтому мы всегда будем по зьзоватьс.ч
ато ины ми мезз сами.
15.2. Массы idep
>П7
Этот результат является совершенно об-
щим: массы всех ядер меньше, чем массы
образующих их протонов и нейтронов в сво-
бодном состоянии. Величина этой разности
масс характеризует степень связи протонов
и нейтронов в данном ядре. Согласно соот-
ношению Эйнштейна между массой и энер-
гией, разность масс соответствует разности
энергий. Для дейтрона эта разность энергий
равна
£CB = [(mH +mn) — mD] -с2 =
= 0,002 388 а. е. м. х
X 931,481 МэВ/а.е.м. = 2,224 МэВ.
Здесь с2 931,481 МэВ'а.с.м.— переводной
коэффициент, вычисленный в примере 11.8
Этот результат означает, что для разделения
дейтрона па свободные протон и нейтрон
нужно затратить энерт ию 2,224 МэВ*. Таким
образом, энергия связи дейтрона Д., равна
2,224 МэВ. Для любых сложных ядер под
энергией связи ядер понимается энергия,
которую нужно затратить, чтобы разло
жить ядро на свободные протоны и сво-
бодные нейтроны. Энергия связи нуклона
или част шт в ядре означает энерт ию, которую
нужно затратить, чтобы удалить из ядра
протон, или нейтрон, или какую-либо опре-
деленную т руину нуклонов (например, 7-час-
тицу). Для дейтрона, который состоит толь-
ко из двух нуклонов, оба понятия означают
одно и то же.
Энергию связи ядра можно также интер-
претировать следующим образом. Если, на-
пример, медленно движущийся нейтрон (т. е.
нейтрон с ничтожно малой кинетической
энергией) захватывается протоном и обра-
тует дейтрон, то начальная энерт ия системы
(ти,, | л?т„)с2 будет больше конечной энергии
mDc2 и разность энергий Есв будет испущена
в виде '/-кванта, как показано на фиг 15.5.
* Если соиби/ить дейтрону энергию больше
2.224 МэВ, то избыток ее перейдет в кинетиче-
скую энергию протона и нейтрона
* у- квант
2,224 МэВ
Начальное Конечное
состояние состояние_
•—► © 8
Медленный Протон Дейтрон
нейтрон
Фиг. 15.5. Схематическое изображение про-
цесса захвата медленного нейтрона прото-
ном и образования дейтрона.
Дейтрон имеет исключительно низкую
энергию связи; для большинства ядер энер-
гия связи нуклона равна приблизительно
8 МэВ. Таким образом, чтобы разделить
ядро Ne20 на 10 свободных протонов и 10
свободных нейтронов, нужно затратить при-
близительно 20-8 МэВ 160 МэВ. На фиг.
15.6 показана зависимость Еся (в МэВ на
нуклон) от массового числа.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЯДЕР И ИХ МАС СЫ
Большинство встречающихся в природе ядер
устойчиво. В устойчивом ядре нуклоны на-
ходятся в самом низком ит возмож........
энергетических состояний; такие ядра не
могут самопроизвольно испускать нуклоны
или испытывать радиоактивный распад. Что-
бы отделить нуклон или группу пук. тонов от
устойчивого ядра, нужно затратить эпер-
тию. Например, как видно из табл. 15.1,
нужно затратить по меньшей мере 19,8 М >В.
чтобы разделить Нт? на любую комбинацию
нуклонов, и всего лишь 7,55 МэВ для гою.
чтобы отделить от N14 наименее связанную
с ядром частицу (протон). Ядро Не4 (т с
а-часгица) поэтому является особенно устой-
чивым ядром. (Из фиг. 15.6 видно, что энер-
гия связи на нуклон у Не4 значительно боль-
ше, чем у соседних ядер) С другой стороны,
ядро Нс5 неустойчиво (т. е. не связано).
т (Не5) — 5,012 297 а. е. м.
т (Не4) — 4,002 603 а. е. м.
__________тп — 1,008 665 а. е. м.
т (Не4) + тп = 5,011 268 а. е. м.
S()8
15. Атомные t pa
Фиг. 15.6. Зависимость энергии связи нуклона
от массового числа ядра.
Точками нанесены некоторые измеренные энергии
связи. Точка, соответствующая Нс4 лежит зна-
чительно выше кривой, описывающей среднее по-
ведение ядер, так как ядро Не4 (а-часпнща) пред-
ставляет собой исключительно тесно связанную
группу нуклонов.
Так как масса Не5 больше суммы масс Не4
и нейтрона, ядро Не5 неустойчиво и само-
произвольно распа чаел ся на Не4 и п, причем
избыточная энергия переходит в кипешче-
скую энергию пегирона и ядра Нс4. Полому
изотоп Не' не встречается в природе.
В табл. 15.2 приведены массы а юмов не-
которых изотопов легких элементов. Ис-
пользуя эти данные, легко показать, чго ядра
Нс5, Не7, Li5, Be6 и Be8 (и только эти из при-
веденных в таблице ядер) неустойчивы и
испускают нуклоны или группы нуклонов
Не8 -> Не4 4- п,
Не7 Не* + п,
Li8 Не4 + р.
Be® Не4 4- 2р,
Be8 -► 2Не4.
509
15.2. Массы . дер
Тио. ища 15.1. Энергии связи ядер Не1 и N 14
Энергия связи нуклонов
Группа частиц в ядре, МэВ
Н3 Н1 19,814
Не4 -» Не3 п 20,578
Н2 Н2 23,847
Полная энергия связи (-* 2Н1 2п) 28,296 МэВ
Энергия связи нуклон 28296 7,074 МэВ
С’2 Н1 7,550
С12 Н2 10,272
-,14 N13 и 10,553
N "* В10 | Нс4 11,613
В11 4 Нс3 20,736
С" 4 Н3 22,736
Полная энергия связи (-> 7Н1 7и) 104,659 МгВ
Энергия связи на нуклон — 10 7 475 МэВ - —.
Таб ища 15.2. Атомные массы некоторых изотопов зегки.х э к ментов *
Ядро Z Масса, а. е. .и.
п 0 1,008 665
н1 1 1,007 825 (устойчивое)
Н2 или D2 (дейтерий) 1 2 014 102 (устойчивое)
Н3 или T3 (тритий) 1 3,016 050
Не3 2 3,016 030 (устойчивое)
Не4 2 4,002 603 (устойчивое)
Не5 2 5,012 297
Не6 2 6,018 893
Не7 2 7,028 031
Li5 3 5,012 538
Li6 3 6,015 125 (устойчивое)
l.i7 3 7,016 004 (устойчивое)
Li6 3 8,022 487
Be6 4 6,019 717
Be7 4 7,016 929
Be8 4 8,005 308
Be9 4 9.012 186 (устойчивое)
Be10 4 10,013 534
* Сравните с табл 3.2 и таблицей на внутренней стороне осложни. где приведены
массы встречающихся в природе смесей изотопов
510
15. Атомные ядра
Пример 15.1
Какая энергия потребуется, чтобы разделить ядро С'2 на три а-частицы? По onpi те гению
атомная масса С'2 раина 12 а. е. м. (точно), и
3 т (Не4) = 3 • 4,002 603 а е. м. — 12,007 809 а. е. м.
Полому требуе!ся энергия
Е = [3 т (Не4) — т (С*2)] • с2 = (12,007 809 а. е. м. — 12 а. е. м.) • с8 =
= 0,007809 а. е. м. • 931,481 МэВ/a. е. м. = 7,274 МэВ.
И наоборот, мы можем сделать вывод, что при образовании ядра С12 из трех а-часгиц
освобождается энергия 7,274 МэВ Этот процесс играет очень важную роль при образова-
нии углерода в звездах (см. раздел 17.1).
ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ ЯДЕР
Уменьшение итерт ии связи с увеличением
массового числа у тяжелых элементов и тот
факт что я ipa перестают быть устойчивы
ми вблизи .4 210. являются с тедс гвием двух
фактов: б иикодействующего характера ядер-
ных сил и гото. что протоны и нейтроны по
отдельности подчиняются принципу Паум<.
Поскольку ядерные силы близкодейсг вуго-
тцис. силы притяжения действуют только
между данным нуклоном и ею непосред-
ственными соседями. Вместе с кем, так как
кулоновские силы дальнодействуюшие. меж-
ду данным протоном и всеми остальными
протонами в ядре действует электростати-
ческое отталкивание Для ядер с достаточно
большими атомными номерами кулонов-
ское отталкивание превышает ядерное при-
тяжение. Таким образом, должен существо
вагь предел, за которым при добавлений
протонов уже не может образоваться устой-
чивое ядро Действительно, не существует
ус тоичивы.х ядер с Z>83.
Какую роль играет при этом принцип
Паули? Если пара протонов (с ггротивопо
ложно направленными спинами) находится
в определенном энергетическом состоянии
в ядре, то следующий протон (вследствие
принципа Паули) должен занять иное со-
стояние с бо /ее выс окон энерт пей. 11о мере
того как добав тяготея новые прогоны, они
должны занимать все более высокие энерге-
тические состояния В конце концов энергия
одного из этих состояний превысит энергию
связи и ядро окажется неустойчивым. Та-
ким образом, принцип Паули, так же как
и кулоновское отталкивание, ограничивает
число протонов в ядрах.
Принцип Паули играет аналогичную роль
в отношении энергетических состояний, ко-
торые могут занимать нейтроны. По мерс
добавления к ядру нейтронов они занимают
все более высокие энергетические состояния
и в коште концов ядро также становится,
неустойчивым.
Ограничения, накладываемые близкодей-
ствующим характером ядерных сил и прин-
ципом Паули, означают, что сколь угодно
крупные устойчивые ядра существовать не
могут; действительно, все ядра с А >210
(и многие с меньшими массовыми числами)
неустойчивы Неустойчивость эта имеет раз-
личный характер; мы рассмотрим сначала
^-радиоактивность.
15.3. Радиоактивность
БЕТА-РАДИОАКТИВНОСТЬ Внутри ядра
нейтрон представляет собой такую же устой-
чивую частицу, как и протон. Однако из
табл. 15.3 видно, что масса свободного ней-
трона больше массы атома водорода (г. е.
больше суммы масс протона и электрона)
15.3. Радиоактивность
511
Таблица 15.3. Свойства пук. юное
Свойство Протон Нейтрон
Масса т Энергия покоя тасг Заряд с] Спин s Период полураспада Ту Тип распада тр 1.007 276 а. е. м * т„ = 1,008 665 а. е. м. 938,259 МэВ 939,553 МэВ е 4,803-IO’10 ед. СГСЭ 0 '/г Ч оо (устойчив) 12,8 мип отсу тст вуе г и -» р — е + v* *
* )то масса протона', масса ато ма водорода (см. табл. 15.2) равна тИ 1.007 825 а. е. м
** Значение ра шчных символов дл.ч обо значени i нейтрино объ.чс н.четс.ч в разделе 16.2.
Поэтому с энергетической точки зрения сво-
бодный нейтроп может превратться в про-
тон и электрон, и действительно, свободные
нейтроны распадаются таким путем, причем
период полураспада равсп 12.8 мип*. Энер-
гия распада нейтрона определяется выра-
жением
Епр = [тп — (тр 4- те)] • с2 =
= (тп— тн) -с2 =
= (1,008665 — 1.007825)- 931,481 =
- 0,782 Мэн (15.2)
Превращение пей троил и протон и элек-
трон представляет собой прототип ядерных
процессов, называемых /{-радиоактивное тын,
или fl-распадом. Многие ядра (некоторые из
них встречаются в природе, лрут пе можно по-
.тучи т ь искусе т венно в табора тортит) йены ты-
ватог /(-ра над. испуская электроны, подобно
свободным ней тронам На самом деле во всех
подобных процессах распада, кроме элек-
тронов. испускаются нейтрино** (см. рат
дел 5.11). Энертия распали (и момент им-
пу тьса) тетнтся между нейтрино, электро-
* Об определении периода n i.ilраспада и о чв ге-
нии радиоактивности см. раздел 3.4.
** Как е ied\ет из разде ia 16 2. не и иенпцие час
сы частицы, сопровождающие испускание элект
ронов при /I-распаде представ ! чют собой анти
нейтрино (v,)
ном и остающимся после распада ядром.
Поэтому при распаде нейтрона электрон
не уносит всю энергию 0,782 МэВ, эта энер-
гия делится между протоном, электроном и
нейтрино В результате электроны, испускае-
мые в тюбом /1-распаде, пс имеют одной
энергии; их энергиираспреде эены в интервале
от нуля до максимального допустимого зна-
чения. На фиг. 15.7 приведено полученное
экспериментально распределение электро-
нов по эпертиям (/(-спектр) ,тля /(-распада
Bi’".
Все радиоактивные процессы, при которых
испускается электрои, можно рассматривать
как результат /(-распада нейтрона внутри
магсрипското ядра Рассмотрим, например.
Фиг. 15.7. Спектр электронов /{-распада Вт211
Энергия электронов ограничена энергией распада
/ 17 МэВ
15. Атомные чдра
Фш 15.8. Схематическое изображение ^-рас-
пада Li8.
Один из нейтронов ядра Lt8 превращается в про-
тон, и образуется новое ядро Be8.
случай Li8 (фиг. 15.8). Ядро Li8 сосюит из 3
протонов и 5 нейтронов и распадается с
испусканием 0-частиц с периодом полурас-
пада 0,85 с. В процессе распада Li8 один из
этих нейтронов превращается в протон, и,
таким образом, новое ядро состоит из 4 про
гонов и 4 нейтронов оно представляет
собой ядро Вс8. (На фиг. 5.11 показан
0-распад ядра Li8; получающееся в резуль
тате ядро Be8 распадается па две а-частицы.)
При 0-распаде заряд ядра увеличивается
на единицу (Z-»Z 1), а массовое число А
остается неизменным, так как общее число
нуклонов остается тем же; 0-распад ядра с
атомным номером Z и массовым числом А
энергетически возможен, если масса атома
с атомным номером Z 1-1 и массовым чис-
лом А (дочернего атома) меньше массы пер-
воначального (материнского) атома По-
этому, чтобы произошел 0-распад, должно
выполняться следующее соотношение;
m(Z, A)>m(Z + 1, А).
Если это соотношение выполняется, то ней-
трон в ядре (Z, А) может превратиться в
протон (плюс электрон и антинейтрино),
так что в результате получи гея ядро (Z + 1, Д)
Энергия распада в этом случае равна разности
масс Дпт, умноженной на с2] ср с формулой
(15.2)]
Ер = Д/п • с2 = [т (Z, Л) —
— m(Z+ 1, Л)] с2 (15.3)
Заметим что так как мы пользуемся здесь
атомными массами, то нет необходимости
вводить в выражение для Ддг массы элек-
тронов Масса образовавшейся системы со-
стоит из массы я ipa (Z+1, А), массы 7
электронов, которые представляют собой
атомные электроны первоначального атома
(Z, А), и массы испущенного электрона. Эти
массы в сумме как раз равны массе атома
(Z+ 1, А)
Типичные энергии распада 0-радиоактив-
ных ядер лежат в интервале 0,01 3 МэВ
(см. табл. 15.4). За вычетом малой кипетиче
ской энергии, получаемой дочерним ядром
при испускании электрона и нейтрино, энер-
гия распада соответствует максимальной
кинетической энергии, которой .может обла-
дать электрон. Например, максимальная
энергия, которую могут иметь элек троны при
0-распаде Bi ", равна 1,17 МэВ (фш. 15.7).
Средняя кинетическая энергия электрона рав-
на приблизительно 1/3 максимальной энер-
гии Нс всегда получающееся в резулы-ате
0-распада ядро находится в основном состоя-
нии Во многих случаях дочернее ядро ока-
зывается в возбужденном состоянии и, пе-
реходя в основное состояние, испускает один
или несколько у квантов.
ПОЗИТРОННЫЙ РАСПАД. На фиг. 15.9
приведены относительные массы различных
ядер с А 65 Из этих ядер устойчиво только
ядро Си65; масса Со65 больше, чем масса
Ni65, поэтому Со65 превращается путем
0-распада в Ni6'; затем, так как масса Ni6'
больше массы Си65, происходит 0-распад
Ni65 и образуется устойчивое ядро Си65.
Таким образом, ядро Со65 путем двух по-
следовательных 0-распадов превращается в
ядро Cu6S (Одновременное испускание двух
электронов, которое непосредственно пре
вратило бы Со65 в Си65, крайне маловероят-
но.)
Из фит . 15.9 видно также, что существуют
ядра с Z >29, массы которых больше массы
Си6 Эти ядра не могут испытывать обыч-
ный 0-распад, так как заряд каждою из них
больше заряда соседнею ядра с меньшей
массой Для этих ядер возможен друт ой тип
0-распада, при котором они теряют единицу
своего избыточного положительною заряда
15.3. Радиоактивность
513
Таблица 15.4. Некоторые ^-радиоактивные ядра
Ядро Период полу- распада Тип рас- пада Максимальная кинетическая энергия элект- рона, МэВ Примечания
Н3 (тритий 12 26 г Г 0,0186 Применяется в термо- ядерных устройствах (водородных бомбах)
С14 5730 л р- 0,156 Применяется для уста- новления дат в архео- логии, а также как индикатор при био- химических исследо- ваниях
Na2* 2,60 г г 0,54 Полезный источник по- зитронов
Na24 15 0 ч г 1,39 Применяется в медици- не для диагностики чтобы следить за пе- реносом натрия в ор- ганизме
К40 1,3 10’ л р- 0 0118 Применяется в археоло- гии для установления дат
Со60 5,24 г г 0,31 Сопровождающие про- цесс распада fлучи применяются в тера пии и для облучения пластмасс, пищевых продуктов и пр.
Sr’"’ 28,8 г р- 0,54 R ясный продукт деле- бн: руживается к ах, выпадаю после взрыва атомных бомб)
I131' 8,05 сут р- 0,61 Применяется в медици- не для диагностики и терапии, в частности при лечении базедо- вой болезни
33—779
514
15. Атомные чдра
Такие ядра, как Ge65, Ga65 и Zn6’, испускают
частицы, тождественные во всех отношениях
электронам, но с положительным зарядом
равным по абсолютной величине заряд)
электрона. Э|и частицы называются пози-
тронами (/Г), а процесс, при котором они
испускаются, называется позитронным ра<-
падом. Мы познакомимся с этими интерес-
ными частицами более подробно в следую-
щей главе, когда будем обсуждать свойства
элементарных частиц. Пока отметим только,
что сущест вуют два вида /(-распада — /Л -рас-
пад и /Л-распад, которые можно представить
следующим образом:
^"-распад: п р + ег + (15 4а)
?+-распад; р -* п + е+ + v (15 46)
Мы, конечно, должны понимать, что эти
процессы происходят внутри ядер; электрон
(или позитрон)и нейтрино создаются в мо-
мент распада (они не существовали ранее
в ядре) и немедленно вылетают из ядра.
&(тсг\ МэВ
Сиъ\устойчивый'}
27 28 29 30 31 32
Z—►
Фиг 15 9^3 распад и Р -распад ядер с А 65.
Существует единственное устойчивое ядро с
этим массовым числом (Си65)
Пример 15.2
Какое выражение соответствует формуле (15.3) в случае позитронного распада?
При позитронном распаде ядра (Z, А) образуется ядро (Z — 1, А). Первоначально мы
имели ядро и Z атомных электронов с общей (т. е. атомной) массой т (Z А). В процессе
распада испускается позитрон и образуется ядро с атомным номером Z—1. Так как заряд
ядра уменьшился на единицу один из Z первоначальных атомных электронов становится
лишним и теряется. Поэтому образующаяся система состоит из ядра (Z 1. А) плюс
Z 1 атомных электронов плюс испущенный позитрон и лишний электрон. Полная масса
системы равна »т (Z—1, А) ли (/?') т (е ) или ли (Z—1 А) + 2т. Следовательно, пол-
ная энергия позитронного распада
£.. = >гп (Z, + 2те]) • с2 =
г
— [т (Z, А) — m(Z — 1, А)] - с2 — 2тес2 = Лт с2 — 2тес2,
и максимальная кинетическая энергия позитрона меньше разности энергии материнского
и дочернего атомов на Зли.-с2 1,02 МэВ
15.3. Радиоактивность
515
ЭЛЕКТРОННЫЙ ЗАХВАТ. В некоторых
ядрах происходит третий тип 0-распада.
Рассмотрим ядро Вс7 Из табл 15.2 мы
видим, чго разность масс Be7 и Li7 равна
Д/н /н(Ве7) »/(Li7) 0.000925 а. е. м,
так что максимальная энерт ия распада рав-
на 0,862 МэВ. Атомный номер Be7 равен 4,
тот да как Li7 имеет Z 3 Поэтому ядро
Be7 должно было бы превращаться в ядро
Li 7, испуская позитрон, однако энерт ня рас-
пада (0.862 МэВ) оказывается меньше тре-
буемой для этого типа распада (1,02 М>В)
Вследствие этого ядро Be7 захватывает один
из атомных электронов, что разрешено с
энергетической точки зрения и равносиль-
но /Г-распаду, и одновременно испускает
нейтрино Этот процесс называется элек-
тронным захватом: его можно представить
следующим образом:
р + е~^п + »е (15.4в)
Протон в ядре захватывает атомный элек-
трон и превращается в нейтрон; заряд ядра
при этом уменьшается на единицу.
Электронный захват возможен, если
m(Z •-!, Z)>m(Z, Л). Поэтому если возмо-
жен /Г-раснад ядра (Z 1 А), то всегда воз-
можен и электронный захват, однако в по
лобных ситуациях (Р-распад обычно гораз-
до вероятнее электронного захвата.
СКОРОСТЬ РАДИОАКТИВНО! О РАС-
ПАДА. В разделе 3.4 говорилось о том, что
за время, характерное для данного материа-
ла (период полураспада), количество радио
активных атомов в образце уменьшается
вдвое по сравнению с первоначальным ко-
личеством. Период полураспада радиоактив-
ного вещества свойство ядра, не завися
щее от физических условий, в которых на-
ходится вещество (таких, как температура,
давление или кристаллическая структура)*.
Свойства ядра определяются квантовоме-
* Исключением является электронный чах ват
Очевидно, что если, напри мер нагреть образен
так чтобы атомы Вс7 полностью нонизирочилисв
(как это имеет место в недрах звезд) то спо-
собность ядра захватывать электрон будет о<
лаблена из за уменьшения час ia электронов а пе-
риод полураспада будет соответственно увели-
чен
хаиической волновой функцией этого ядра.
Если ядро радиоактивно, его волновая функ-
ция будет описывать вероятность распада
ядра в единицу времени. Волновая функция
нс зависит от времени—она имеет одно н
го же значение в любой момент времени
(пока не произошел распад). Поэтому в
какой бы момент мы ни задали вопрос.
«Какова вероятность распада данного ядра
в интервале времени т начиная с данного
момента?», ответ будет всегда одним и гем
же. В частности, если этот интервал времени
равен периоду полураспада . вероя т ноет ь
распада равна точно 1,'2.
Если мы имеем образец, содержащий А!
одинаковых радиоактивных ядер, то для
каждого из них вероятность распада в тече-
ние интервала времени Ту2 равна 1/2. По-
этому, если N — бо тыпос число*, то к концу
такого интервала времени 1/,А' ядер распа-
дется, а % А' останется. К концу следующего
за ним такого же интервала распадется
половина тех ядер, которые существовали
в начале этого интервала (т. е. !А /> N
*4 А), а %А' ядер останется. Процесс рас-
пада будет продолжаться, причем за каждый
интервал г, будет распадаться половина
оставшихся ядер. Получающаяся в рсту.ть-
тате кривая распада приведена на фиг. 3.32
для случая радия (Ra ’6).
АЛЬФА РАС НАД. Некоторые пеустойчи
выс ядра, т тавпым образом с массовы-
ми числами больше 200, самопроизвольно
испускают ядра гелия (а-частипы) При ис
пускании а-частицы заряд первоначапито-
го ядра уменьшается на 2 единицы, а мас-
совое число уменьшается на 4 единицы
Если масса ядра (Z, А) больше, чем сумма
масс ядра (Z—2, А—4) и ядра Не1, то ядро
(Z, А) неустойчиво и может распадаться
с испусканием а-частицы Энерт ня а распада
определяется следующим образом:
Еа — [т(Z, А) — m(Z — 2, А — 4) —
— т(Не4)]-с2 (15.5)
* Так как мы имеем ое ю с вероятностями. ню
если N мало, флуктуации могут быть довольно
значительными но сравнению с числом частиц в
образце
516
15. Атомные ядра
Пример 15.3
Чему равна энергия я-распада Ро210? Ядро Ро210, испуская я-частицу, превращается в яд-
ро РЬ206. Массы этих ядер равны.
т (Ро210) 209,98287 а. е. м. т (РЬ20в) = 205,97447 а. е м.
__________/и (Не4) 4,00260 а е м.
т (РЬ206) 4- т (Не4) = 209,97707 а е. м.
Следовательно.
£о = (209,98287 а. е. м. —209,97707 а е м.) с2 =
— (0,00580 а. е. м.) (931,481 МэВ а, е. м.) = 5,40 МэВ
В действительности эта энергия распада разделяется между я-частицей и ядром РЬ 6 (так-
как импульсы осколков должны быть равны и направлены в противоположные стороны)
Следовательно, я-частица, испущенная Ро210, имеет кинетическую энергию 5,30 МэВ и ядро
отдачи РЬ!<>6 имеет кинетическую энергию 0 10 МэВ (см. задачу 15 15)
По существу, все ядра с А ^100 нсустой
чивы относительно распада с испусканием
я-часгицы, но только для ядер с А й2(Н)
я-распад становится существенным. Перио-
ды полураспада массивных я-радиоактив
ных ядер достаточно малы, чтобы можно
было наблюдать испускание я-часгиц дан-
ным образцом, тогда как периоды полу-
распада более легких ядер столь велики, чго
я-распад нельзя зарегистрировать, хотя он
возможен энергетически
Причину того, что у большинства ядер
с А >200 не удается зарегистрировать я-рас-
пад, можно объяснить следующим образом
Два протона и два нейтрона, которые груп-
пируются в ядре, образуя я-частицу, нахо-
дятся в потенциальной яме, создаваемой си-
лой притяжения, с которой на них действуют
остальные нуклоны и ядра. Гак как ядерные
силы близкодействующие, радиальная про-
тяженность потенциальной ямы порядка
всего лишь 1СГ'2 см (т. е. равна радиусу
ядра R). Внутри ятра ядерное притяжение
преобладает над кулоновским отталкива
нисм, действующим между я-частицей и
остальными Z—2 протонами ядра Однако
на расстояниях, превышающих R, ядерные
силы исчезают, а кулоновские продолжают
действовать Поэтому я-часгицы находятся
в потенциальной яме, состоящей из двух
частей — ядерного потенциала (который от-
рицателен, так как здесь действуют силы
притяжения) на расстояниях r<R и куло-
новского потенциала (который положите-
лен, так как действуют силы отталкивания)
на расстояниях r>R (фиг 15 10)
Если энергия я-частицы в потенциальной
ямс отрицательна (т. с. если полная энергия
я-частицы Е-, меньше того значения, которое
она имеет на бесконечном расстоянии о г
ядра, где £„от=0), я-частица связана и нс
может вылететь из ядра. Такая ситуация
изображена на фиг. 15.10, а, энергия связи
я-частицы равна £св- На фиг 15.10,6 пока-
зан случай, когда полная энергия я-частицы
положите льна. Если бы эта я-частица уда-
лилась на бесконечно большое расстояние
от ядра, она имела бы положительную кине-
тическую энергию £,нн— Еа. Однако я-час
тица нс может удалиться на бесконечно боль-
шое расстояние от ядра, так как этому
препятствует кулоновский потенциальный
барьер выедтой £«ул ; чтобы я-частица могла
вылететь из ядра, ее энергия должна быть
15.3. Радиоактивность
517
Фиг. 15.10. Ядерный потенциал для а-части-
цы отрицателен (т. е. имеет место притя-
жение) на расстояниях меньше радиуса R
на больших расстояниях действует положи-
тельный кулоновский потенциал.
а — по гнав энергия а-частицы Е, отрицате гьна
и она связана; б паяная энергия а-частицы по-
гожите гьна и она может вылететь из ядра бла-
годаря туннезьному эффекту, т. е. пройдя сквозь
барьер в области К < г < R,-
больше Екул, т. с. Е, >£»ул. Все эти рассуж-
дения справедливы с к юссическои точки
зрения. Однако, согласно квантовомехани-
ческим представлениям, а-частица с положи-
тельной полной энергией может покинуть
ядро, даже если Ез<Екуз. Эю объясняется
гем. что волновая функция а-частицы в ко-
нечной потенциальной яме «просачивается»
сквозь барьер (см. фи1 12.24). Таким обра
зом, волновая функция а-частицы на рас-
стояниях r>Rt имеет хотя и малое, но все
же отличное от нуля значение Это означает,
чго существует очень малая, по пс равная
нулю вероятность тою, что а-частица (ка-
жется не внутри, а вне ядра. (Вспомните,
что вероятность найти частицу в некоторой
точке пропорциональна квадрату волновой
функции в этой точке.) Оказавшись вне ядра,
а-частица будет удатяться от пего и, выйдя
за пределы атома и сферы действия кулонов-
ского потенциала, будет обладать кинети-
ческой энергией ЕКИн Таким образом, вылет
а-частицы из ядра возможен блат одаря «тун-
нельному эффекту» — проникновению а-час-
тицы через потенциальный барьер; этот
эффект всецело обусловлен волновой при-
родой а-частицы
Пример 15.4
Какова высота кулоновского барьера для а-частицы в ядре РЪ’(И>?
Высота кулоновскою барьера Екуп равна электростатической потенциальной энергии
двух ядер при расстоянии между их центрами, равном сумме их радиусов (з е когда ядра
находятся в непосредственном «контакте»). Радиусы мы находим по формуле (15.1):
ЯРЬ«1,4 • 20б'Л
» 1,4-5,91 КГ13« 8,2-10-*3 см.
Ra w 1,4 • 47’ - 10"13«
«51,4-1,59-10~13» 2,2-10~13 см.
518
15. 4 то мные ядра
Следовательно,
Е _ (^е)рь (/с)с_____________________82е • 2е____________~ 164е» .
кул— Ярь+Я» ~ (8,2 • 10-13см)-г (2,2 • IO’» см) ~ 10,4 • 10-13 см '
е~ 1,44-10 1Л МзВ-см (см. таблицу па впуiреппей стороне обл< жки киши). Гакпм об-
pajow,
и <!.« .а МэВ
к>л 10,4 • Ю-м см
Эта энергия значительно превышает кинетические энергии а-частпц. испуск темых радиоак-
тивными ядрами.
Энертия связи а частицы так велика, чю
разность масс ядра (Z, Я) и ядра (/ 2. .4 4)
прпво ти т к положительному значению Е*
лишь для ядер с .4 ^100. Однако вероятность
того, что а-частица может пройти через по-
тенциальный барьер, сильно зависит от Еа.
Если Еи ве тико, то ширина потенциитытот о
барьера, сквозь который она должна прой ти
мала, и вероятность тот о, что а-частица
окажется вне ядра, будет большой; друтими
словами, период полураспада окажется ма-
лым. Наоборот, сети Е, мало, потенциаль-
ный барьер будет широким и период полу-
распада ядра окажется очень ботыпим
У ядер с 1~ 100 —200 величина Е, слишком
мала, так что период полурас гада слишком
велик, и а-распал нс удастся наблюдать*.
Только йри ЛЙ200 значения Е, оказываются
достаточно большими и а-распад можно
зарсгистрирова т ь.
Зависимость периода полураспада от Еа
изображена па фш. 15.11 для изо топов тория.
При уменьшении Е, от 6,3 МэВ до 4,0 МэВ
т>2 возрастает в 1014 раз.
Следует отметить, что эти тяжелые ядра
испускают только я-частицы, а не протоны,
нейтроны, дейтроны или лрутие группы
содержащие небо тыпое число нуклонов.
* В этом интерна, /с массовых чисел имеется не-
сколько ядер, для которых вследствие некоторых
особенностей их структуры Е,а до/ /паточно вели-
ко, чтооы происходил до/тупный измерению и-
распад; периоды полураспада таких ядер чрезвы-
чайно велики от 10 ' до 10'5 /ет (с и таг / 15.5}
Только я-чаешца имеет достаточно боль-
шую энергию связи, так что ее полная энер-
гия в ядре положите еьна. Чтобы удали ть
из ядра с ,4~ 200 нуклон, надо затратить
энергию, равную ~ 7 МэВ а чтобы удалить
из такого ядра дейтрон, надо затратить
~ К) М тВ. Кроме деления на два осколка
примерно одинаковой массы, а-распад
е.типе 1 вешний энергетически возможный про-
цесс самопроизвольного испускания нукло-
нов из тяжелых ядер
РАДИОАК 1ИВНЫЬ РЯДЫ. Нанбо се тя-
желыми пз встречающихся в природе эле-
ментов являются уран (U, / 92), протак-
тиний (Ра, Z 91) и торий (Th, Z 90).
Все изотопы этих элементов радиоактивны,
но каждый »темен т имеет по крайней мерс
одни изотоп с достаточно большим перио-
дом полураспада, который и поныне сушест
вуст в природе. Например, U218 имеет пе-
риод полураспаде т 1,4-10’ лет. Распа-
даясь эти ядра образуют дочерние элемен-
ты, которые также радиоактивны. Некото-
рые из этих ядер ^-радиоактивны, прут не
испускают а-частицы. Некоторые ядра мо-
гут распадаться, испуская как а-, так и р-ч\с-
тпцы. Происходит ряд последовательных
радиоактивных распадов, который продол
ждется до тех пор, пока нс образуется
устойчивый изотоп свинца (РЬ. 7. 8"’) иш
висмута (Bi, Z 83). Устойчивыми изото-
пами свинца являются РЬ’"6, РЬ’07 и РЬ-"8-
у висмута устойчив во тько изотон Bi- ’
Этими четырьмя ядрами заканчиваются все
15.3. Радиоактивность
519
Таблица 15.5. Некоторые х-радноактивные ядра
Ядро Перши) по гурас- пада Кинетическая )нер- ги.ч ь-частицы. MjB* Примечания
Се142 5 10” 1 1,5 Самое легкое из встречаю- щихся в природе я-радпо- акшвных ядер
Ро210 138 су г 5.30 Широко распространенны!! источник я-часгип
ВГ’4 19,7 мин 5.51 Претерпевает также //-рас- пад
Ро 18 3.05 мип 6.00 Образу е 1 ся в ре i\ л ь ra i е двух поеледова т еяьных я-расна юв Ra226; извест- но также как радий-А. применялось в опыте Ре зерфорда по рассеянию я-частии
Ra226 1620 л 4.78 а-частипы, испускаемые этим источником, были впервые отождествлены с ядрами гелия Резерфор- дом.
* Энергия распада немного превышает эту величину (см. пример 15.3 и задачу 15.15).
Фиг. 15.11. Зависимость периода полураспада
от энергии а-частицы для ряда изотопов то-
рия.
Малые изменения знергии вызывают чрезвычайно
до 1ьшие изменения периода полураспада Другим
группам изотопов соответствуют кривые анаяо-
гичного вида. веско 1ько сдвинутые одна по отно-
шению к другой
520
15. Атомные ядра
Фиг. 15.12. Радиоактивный
ряд U238 (заканчивается на
РЬ206г)
Заметим, что В1214 может рас
податься либо путем fl-pac-
пада, либо путем х-распада- и
что после одного распада обе
ветви, соедин.чясь.ведут к РЬ 10
ряды радиоактивных превращений, начина-
ющиеся с долгоживущих тяжелых элементов.
Один из таких рядов начинается с U238
и заканчивается РЬ20в; эта последователь-
ность а- и р распадов показана на фиг 15,12.
ДОЛИНА УСТОЙЧИВОСТИ Ряд свойств
ядер удобно представлять с помощью таб-
лицы, приведенной на фиг 15.13. Каждому
ядру в таблице соответствует клетка с опре-
деленным числом протонов и ней гронов
N А — Zb ядре. Для устойчивых ядер
(красные клетки) ука ана распространен-
ность в природе изотопов, а для неустой-
чивых ядер — тип распада и период полу-
распада. Ядра, распадающиеся с испуска-
нием ядерных частиц (Не5, Li5, Be*, Be8 и В’
среди приведенных в таблице), имеют пе-
риоды полураспада меньше ~ 10 ’* с, и
такие периоды полураспада не указаны.
В таблице легко просле щть радиоактивную
историю данного ядра по стреткам. указы-
15.3. Радиоактивность
521
н’(₽)
99,985%
С9 с10 С11 С12 С<3 С14
₽+ ₽+ ₽+ ₽"
0,13с , 19с v 20,5мин 98,89% 1,11%* 5730лет
В® В9 В10 В11 В12 В13
0,78 ,9«та% 80,22% о,О2Ос 0,019с
Be® Be7 Be® Be9 Be10 Be11 Be12
-*a+2p ’30T^2“ 2,7-Юле» 13,6c
/ Li5 Li6 / Li7 Li® Li9
I m/ % jsc qP7c
He3 \ He4Ж^не5 не® не7 ^не®
(«)<*— В" <* к Р
0/00013% <00% о,о1 с -*Не+п 0>122с
н2 (d)*4 н®
0,015% 12,26лет р распад Испускание
₽’
0,011 с
протона
\п
Р'
760 с
\ распад 4______ Испускание нейтрона
» (эл. зам.)
О 1
2 3 4 5 6
7 8
Число нейтронов N —►
Фиг 15 13. Таблица ядер легких элементов
Для устойчивых ядер (красные клетки) приведена
распространенность встречающихся в природе
изотопов', для неустойчивых ядер, распадаю-
щихся путем испускания частиц, указан тип
распада, для ^-радиоактивных ядер дан период
полураспада.
вающим типы распада. Например, Не8,
испуская /?-частицу, превращается в Li",
который в свою очередь испускает /2-части-
цу и превращается в Be а этот последний,
наконец, распадается на две а частицы
Ядра Н4, Н5, He2,LiJ и т. д. не существую!
в виде достаточно долговременных образо-
ваний нук тонов, чтобы их можно было идеи
тнфицировать. и потому в таблице не ука
залы.
Полная 1аблипа известных ядер должна
содержать более 1600 клеток, примерно
330 изотопов встречаются в природных ус-
ловиях на Земле (около 260 из пих устойчи-
вы) и почти 1300 изотопов были созданы
искусственно в лаборатории. Схематическая
тиаграмма известных в настоящее время
ядер приведена на фиг 15 14
При рассмотрении этой диаграммы мож
по видеть ряд интересных особенностей си-
стематики свойств различных ядер
1. Устойчивые ядра с порядковыми номе-
рами до Z « 20 имеют приблизительно оди-
наковые числа протонов и нейтронов (Z ~ N).
2. При Z> 20 в устойчивых ядрах начинае!
возрастать отношение числа нейтронов к
числу протонов NIZ; например, уран имеет
N Z 1,6. Причину этою эффекта легко по-
нять, если вспомнить, что ядерные силы —
близкодействующие, а кулоновские — даль-
нодействующие Чем больше нуклонов до-
бавляется при образовании более массив-
ных ядер, тем больше становится среднее
расстояние между нуклонами. Поэтому даль
недействующее кулоновское отталкивание
становится более эффективным, чем близко-
действующее ядерное притяжение, и оказы-
вается все труднее прибавлять к ядру новые
522
15. Атомные ядра
Фиг. 15.14. Диаграмма известных ядер.
Стрелками указаны положения изотопов i юна
{самого тяжелого из встречающихся в прироое
злементов), свинца (злемента. которым закончи
вается распад большинства массивных радиоак
тивных ядер) и железа {наиболее распространен-
ного злемента в об ласти максимума кривом знер-
гии связи). Заметим что координаты Nu7 по
сравнению с фиг. 15 13 по меняюсь местами. Око-
ло линий, отвечающих постоянному значению
массово, о чис ia, указаны значения А.
протоны; к м тссивпым ядрам энергетически
выгоднее добавлять нейтроны. С юдователь-
но, N Z возрастает с ростом Z
3. Устойчивые ядра располагаются вдоль
узкой по юсы значений N Z, называемой
до липой устойчивости. Вдо 1Ь линий с по-
стоянным А ядра, расположенные но скло
нам долины устойчивости, имеют большие
массы и переходя- в устойчивое состояние
путем радиоактивного распада, испуская /Г
или /Г-частицы. (Конечно, для более мае-
15.4. Модель ядерных оболочек
523
сивттых ядер возможен а-распал. и некоторые
ядра, стремясь к стабильности, самопроиз-
вольно делятся.)
4. Ядра, распо юженныс выше долины
устойчивости, имеют избыток нейтронов
и распадаются, испуская /Г-частицы (/Г-рас
пад). По мере удаления от долины устойчи-
вости вдоль линии A const: а) масса ядер
растет (г. е. они становятся менее устойчи-
выми); б) энергия //-распада Г.р увеличива-
ется: в) период полураспада уменьшается.
При большом уда тении от долины устончи
вости избыгок нейтронов становится очень
ботыпим и неустойчивость ядер возрастает
настолько, что процесс /Г-раснада, при ко-
тором нейтрон превращается в про юн, усту-
пает место непосредственному испусканию
нейтрона.
5 Ядра, расположенные ниже долины
устойчивости, содержат избыток протонов
и распадаются путем //'-распада (иди •элек-
тронного захвата) Подобно ядрам располо-
женным выше области устойчивости, ядра,
лежащие значите тыю ниже этой области,
испускают (с малым периодом полураспада)
позитроны большой энергии или распада-
ются с испусканием протонов.
Перечисленные особенное пт определяют
поведение ядер в среднем; в отдельных слу-
чаях, конечно, имеются исключения. Как
мы уви дим в следующем разделе при обсуж-
дении модели ядерных обо ючек, многие
отклонения свойств ядер от среднего, плав-
ного поведения способствуют пониманию
строения ядер.
15.4. Модель ядерных оболочек
«МАГИЧЕСКИЕ» ЧИСЛА В п< ом свой-
ства ядер плавно меняются при изменении
чисел протонов и нейтронов в ядре, однако
более детальное исследование показывает,
что существует много удивительных откло-
нений от среднего поведения. Гак. распро-
страненность в природе некоторых ядер
значительно выше, чем соседних с ними
ядер. Для неко горых ядер энерт ия связи
последнего нейтрона значительно превы-
шает эту величину для соседних ядер (см
табл. 15 6). Энергии первых возбужденных
состояний некоторых ядер много больше,
чем соседних. Эти и другие отклонения от
среднего повеления имеют место главным
образом при определенных значениях N или
Таблица 15.6. Энергия связи последнего нейтрона в некоторых
ядрах
Ядро 7 А )нергия связи последнего нейтрона, М эВ
Не4 2 2 20,58
Не’ 2 3 —1,0 (т е не связан)
О'* 8 8 15,67
О17 8 9 4 14
Са40 20 20 16,62
Са41 20 21 8.36
Кг"6 36 50 9,76
Кг87 36 51 5.51
Се140 58 82 9,06
Се’41 58 83 5 53
<24
15. Атомные ядра
Z, которые называются «маг ическими» чис-
лами
Магические числа N или ""''•х
2 = 2, 8. 20 , 28 , 50 , 82 и N = 126 (15 6)
Например, существует семь устойчивых изо-
топов с N 82, а с N 81 и с N 83 - только
по одному такому изотопу (фиг 15 14). С
Z 50 (олово) существует десять устойчивых
изотопов, а с Z 49 — только один и с
Z 51—только два. С N 20 существует
пять устойчивых изотопов, а с N 19 и
21 —ни одного. Подобное «концентрирова
ние» устойчивости наблюдается и для дру
тих магических чисел. Несколько ядер имею
магические числа и по N и по Z; это так на-
зываемые «дважды магические» ядра: Не
(N=Z 2). О16 (A Z 8), Са40 (N Z 20)
и Pb208 (N 126, Z 82). Дважды магические
ядра отличаются особенно высокой устой-
чивостью*.
Из ядра с N (или Z), равным магическому
числу плюс единица, сравнительно легко
удалить нейтрон (или протон) (см. 1абл. 15.6).
Эта ситуация подобна той, что имеет место
в случае атома: энергия ионизации заметно
уменьшается после завершения электрон-
ной оболочки (см. фиг. 13.22). Для оболочеч-
ной модели атома решающую роль сьпрал
тот факт, что электроны подчиняются прин-
ципу Паули. Протоны и нейтроны представ-
ляют собой фермионы, поэтому они также
подчиняются (независимо друг от друга)
принципу Паули Можно ли сделать отсюда
вывод, что протоны и нейтроны в ядрах
также располагаются по оболочкам?
МОДЕЛЬ МАЙЕР И ЙЕНСЕНА Несмотря
на большое число попыток создать модель,
которая воспроизводила бы наблюдаемую
оболочечную структуру ядер, все они оказы-
вались несостоятельными. Только в 1948 т
Мария Майер и Г Йенсен* (совместно с
О. Хакселем и Г. Зюссом) пришли к выводу,
чго существенным моментом для оболочеч
ной модели ядра является сильное ядер-
ное спин-орбита п>ное взаимодействие нук-
лонов.
В разделе 13.3 (см., в частности, фиг. 13.18)
мы видели, что взаимодействие спина
электрона и его орбитального момента
приводит к расщегпению всех состояний с
данным значением I на два состояния с пол-
ными моментами импульса j =/ s I l/2-
Состояние c I 1, например, превращается
в два состояния, одно с j Уг (Pi/2) и другое
с 1 = 3/2(Р%).
В атомах спин-орбиталыюе взаимодейст-
вие относительно слабое, и расщепление
энергетических состояний всегда мало но
сравнению с их энергиями (см. фиг. 13 18)
В ядрах же спин-орбиталыюе взаимодейст-
вие велико и расщепление существенно. В ре-
зультате значительного расщепления энер-
гетическое состояние может иногда перейти
из своего «нормального» положения в дру-
гую оболочку. Поэтому ядерное спин орби-
тальное взаимодействие создает эффект, ана-
логичный э гектронному экранированию в
атоме (см. фиг. 13.24) некоторые шергстиче
ские состояния, обычно находящиеся в отной
и той же оболочке, расщепляются и перехо-
дят в разные оболочки. Главным достиже-
нием Майер и Йенсена был именно вывод,
что этот эффект обусловлен сильным спин-
орбитальным взаимодействием
Включение сильного спин-орбиталыюго
взаимодействия в модель ядерных оболочек
позволило построить схему уровней энергии,
приведенную на фиг. 15.15. Заметим, что
между некоторыми соседними парами уров-
ней имеются значительные интервалы; эти
интервалы соответствуют завершению обо-
лочек (ср с фиг. 13.24). Согласно квантовой
теории, общее число частиц (прогонов или
ней г ронов), которые мог ут одновременно на-
ходиться в состоянии с данным;, равно 2; 1.
Эго число частиц в данном состоянии и по
* Число 28— «слабое» магическое число; поэта- * Майер и Йенсену в 1963 г. была присуждена
му ядро til56 (N Z 28) неустойчиво; однако Нобелевская премия за их вклад в теорию модели
ядро Са48 (Z 20, N 28) устойчиво чдерных оболочек
15.4. Модель ядерных оболочек
525
Фет 15.15. Схема расположения уровней со-
гласно модели ядерных оболочек при сильном
спин-орбиталъном взаимодействии
Пунктирные линии соответствуют завершению
оболочек. Числа в скобках около обозначения со-
стояния указывают возможное число нуклонов
в данном состоянии. Каждое число в кружке оз-
начает полное число частиц в состояниях с мень-
шими энергиями , эти числа называются «маги-
ческими». (Числа, предшествующие буквенным
обозначениям орбитальных моментов. не соот-
ветствуют главному квантовому числу, как при
обозначении атомных состояний В обозначе-
ниях, принятых для нуклонов, 1р,/2 означает
первое состояние р, , 2р,/2 означает второе со-
стояние рч2 и т д.)
^13/2 (14)
3₽1/2 (2)
ЗРз/2 (4)
2Г5/а (6)
2^7/2 (8)
1^9/2 (10)
"1^11/2 (12)
3S1/2 (2)
2^3/2 (4)
2^5/2 (6)
Ч?/г (6)
^9 9/2 1 (10)
(2)
(4)
^5/2 (6) I
"^7/2 (8) I
2^1/2 (2)
2*3/2 (4)
2*5/2 (6)
1₽1/2 (2)
1₽3/2 (4)
1^/2 (2)
рядок следования уровней на фиг. 15.15 по-
зволяют в точности воспроизвести магиче-
ские числа.
Последовательность заполнения уровней
в оболочечной модели ядра можно понять
из фиг 15.16 На самом нижнем уровне 1s ,
согласно оболочечной модели, могут помес-
титься две частицы с противоположными
спинами, поэтому первое магическое число
равно 2. Точно такая же ситуация имеет мес
то в случае атомного уровня 1S ,/2 , на кото-
ром могут находиться только два электрона.
Но протоны и нейтроны порознь подчиня-
ются принципу Паули и по отдельности за-
полняют уровни в оболочечной модели По-
этому уровень 1s 1/г заполняют 2 протона и
2 нейтрона; следовательно, ядро He4(Z N
= 2) является дважды магическим Так
как спины всех нуклонов в Не4 спарены
(фиг 15.16, в), то результирующий момент*
основного состояния Не4 / О
После заполнения оболочки 1 s’/2 следую-
щая частица должна попасть на уровень 1р%
Если эта частица — нейтрон, как показано
на фиг 15 16, б, то образуется Не5 и спин ядра
будет равен полному моменту импульса по-
следнего непарного нейтрона, а именно 1—
= % При добавлении двух нейтронов и
одного протона к Не4 образуется Li7
* Величина, о которой мы здесь говорим, в дей-
ствительности представляет собой полный мо-
мент ядра (т е векторную комбинацию отдель-
ных спинов нуклонов и орбитальных моментов),
однако обычно ее называют просто спином ядра I
526
15. Атомные ядра
Фиг. 15.16. Схематическое представ. сение
расположения протонов и нейтронов в моде-
ли ядерных оболочек.
В состоянии /s,/2 могут находиться 2 протона
и 2 нейтрона; в состоянии lp3j, —4 протона и
4 нейтрона, в состо чнии lpt 2 протона и 2 ней
трона Д гя каждого ядра показана конфигурация,
соответствующая наименьшей энергии (т е ос-
новное состояние}.
вовалась, чтобы объяснить накапливающие-
ся экспериментальные результаты. Хотя она
не даст исчерпывающего от вета на все вопро-
сы (и даже страдает серьезными недостатка-
ми), 1см не менее кажется очевидным, чго
иобая более полная теория ядра, которую
разработают в будущем, во многом будет
опираться па достижения оболочечной мо-
дели ядра
(фиг. 15.16, в). Все |ри частицы находятся
на уровне 1р.д , и у двух нейтронов спарены
спины (и орбитальные моменты импульса)
Поэтому спин Li7 равен /= ’ 7
На уровне 1ру2 могут поместиться 4 про
топа и 4 нейтрона ои оказывается заполнен-
ным у С12. Если добавляется седьмой ней-
трон и образуется С13 (фиг. 15.16, г), го этот
нейтрон должен находиться на уровне lpi/2
Поэтому снигг С13 равен / ’ 2 Два про юна
и два нейтрона могут заполнить уровень
\руг, и это происходит в случае О'® (А /
8), у ядра О16 вторая ядерная оболочка за-
полнена как протонами, так и нейтронами.
Если в ядре имеются и непарный протон,
и непарный нейтрон, то, чтобы определить
с помощью оболочечной модели спин ядра,
необходимы подробные квантовомеханиче-
ские вычисления Одним из главных досто-
инств оболочечной модели является то, что
она позволяет правильно предсказывать спи-
ны ядер
Оболочечная модель ядра сыграла очень
важную роль в развитии наших представле-
ний о строении и свойствах ядер. Эта модель
постепенно видоизменялась и усовсршенс т
СВЕРХТЯЖЕЛЫЕ ЯДРА Продолжая
гычттслсния схемы уровней по оболочечной
модели, можно предсказать, что магическим
числом нейтронов, следующим за 126, бу-
тст 184 Из-за некоторых различий в запо ше-
пни нейтронных и протонных состояний в
। яжелых ядрах мат ическим числом протонов
следующим за 82, по всей вероятности, бу-
тет 114. Поэтому дважды мат ическпм ядром,
следующим за Pb’0R (Z 82, N 126). долж-
но быть ядро с Z 114 и А 184 Такое ядро
будет лежать далеко за пределами исследо-
ванной до сих пор области таблицы ядер
(фиг. 15 14). (Самым массивным из полу-
ченных в настоящее время эксперимснгаль-
но является ядро элемента с Z 106.) Однако
очень заманчива перспектива получения и то
топа (А 298) элемента с Z 114, имеющею
достаточно большой период полураспада,
чтобы его можно было идентифицировать
п исследовать. Действительно, может ока-
заться, что существует целый «остров»сверх-
тяжстых ядер вблизи Z 114, А 184. кото
рыс удастся исследовать. Возможно, через
несколько лет дальнейшее развитие техники
позволит получать сверхтяжелыс ядра, ко-
торые никогда прежде не существовали на
Земле.
15.5. Ядерные реакции
527
15.5. Ядерные реакции
ЗАХВАТ НЕЙТРОНОВ Ядерной реакци
ей называется процесс, при котором нуклоны
присоединяются к ядру-мишени, уда.тяю1ся
ш нею пли перераспределяются в нем при
бомбардировке нуклонами (т е про юна-
ми или нейтронами), группами нуклонов
(например, дейтронами или а-частицами*)
или у-квантами. Простейшая ядерная ре-
акция захват ядром с массовым чис-
лом А нейтрона и образование ядра с массо-
вым числом А 1 при одновременном испус-
кании у-квапта Мы уже рассматривали про
цесс захвата пей|рона (раздел 15.2), а именно
захваг нейтрона протоном с образованием
лей рона
H1 + n->D2 + T. (15.7)
Обычно ядерные реакции записываю! со-
кращенно; например, приведенная выше ре-
акция записывается в виде
H*(n, 7)D2, (15.7а)
где первый символ (Н1) обозначает ядро-
мишспь. а последний (D~) конечное (или
оста ючное) ядро; в скобки заключены по
порядку падающая частица (и) и вы летаю-
щая частица в данном случае у-квант. За
хват нейтрона ядром С1’ записывается сле-
дующим образом: С (л.у) С13.
Если кинетическая энергия нейтрона нич
гожио мала, ю при захвате нейтрона всегда
освобождается энергия, равная энергии свя-
зи нейтрона в конечном ядре. В разделе 15.2
мы видели, что для дейтрона эта энергия рав-
на 2,224 МэВ.
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ С УЧАСТИЕМ ЗА-
РЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В 1919 । Резер-
форд** подверг бомбардировке а-чаептцамн
* Другие сложные бомбардирующие частицы
такие как ионы Н Нс' Ll6. Li7, С12 и О16, также
использовались дщ осуществления ядерных реак-
ций, применялись также быстрые э лектроны и
ме юны.
* * Почти псе значите юные открыта я в ядер
ной физике в начале ее развития сделаны Резер
фордо м и его сотрудниками.
ог радиоактивною источника газообразный
азот, надеясь, чго некоторые а-частицы до-
стигнут ядер азота и вызовут их расщепле-
ние. Резерфорду было известно, какой путь
проходит я-часгица от данного источника
в газообразном азоте, прежде чем се кинети-
ческая энергия рассеипае1ся в результате
столкновений с атомами азота. Однако он
заметил, что иногда наблюдается чащица,
имеющая пробег в газе, значительно пре-
вышающий пробег а-чашицы от источника.
Он пришел к выводу, чго эти длинпонробеж-
ныс частицы представляют собой протоны,
которые рождаются в результате расщепле-
ния ядер азота быстрыми а-частицами Та
ким образом. Резерфорд впервые наблюдал
ядерпую реакцию
N14 + Не4О17 + Н1, (15.8)
или в сокращенной записи N14(a, р)О17, где
мы, следуя привычке, записываем бомбар-
дирующую и вылетающую из мишени час-
тим в ядерных, а нс в атомных обозначе-
ниях (а вместо Не4 и р вместо Н1). Фснсн ра-
фия реакции N14(a, р)О 7 в камере Виль-
сона* впервые была получена П. Блекет том;
эта фотография приведена на фиг 15.17.
Во всех ядерных реакциях должен соблю-
даться баланс протонов и нейтронов в на
чазьном и конечном состояниях. Для реак-
ции № '(а, д)О17 мы имеем
N14 -He4->0* +Н1,
Число протонов 7+2=8 - 1 ,
Число нейтронов: 7 + 2 = 9 + 0.
(15 9)
Пользуясь этим правилом, всегда можно
идентифицировать четвертое ядро, если из-
вестны три других ядра
* Камера Вильсона — прибор, в котором мож-
но непоз редственно наблюдать след частицы б ш-
годаря конденсации капелек воды на ионах, обра-
зующихся вдоль ее пути. Эти приборы в настоя-
щее время почти полностью вытеснены пузырь-
ковыми камерами (с м фиг 9 29).
528
15. Атомные ядра
Фиг 15.17. Полученная в камере Вильсона фо-
тография реакции Nl4(a. р)О17 среди следов
многочисленных а-частиц которые не вызы-
вают реакций
17
Пример 15.5
Ядро В ’ бомбардируется нейтронами, и наблюдается испускание a-частиц Какое получит-
ся остаточное ядро?
В10 п -* (?) + Не4,
Число протонов: 5 4- О — Z + 2,
Число нейтронов- 5 + 1 = N + 2.
Очевидно, что Z —3 и N — 4: следовательно, остаточное ядро— Li7.
Баланс массы-энергии в ядерной реакции
можно рассчитать тем же методом, что и
энергии связи, а именно путем сравнения
суммы масс ядра-мишени и бомбардирую-
щей частицы с суммой масс остаточного
ядра и вылетающей частицы Для реакции
N14(a, р)О17 мы имеем (в а.е м )
m(N14) = 14,003074
_________/п(Не4)= 4,002603
т (N14) + tn (Не4) = 18,005 677
m(O17) = 16,999133
_________т(1Р) = 1,007825
m (О17) + m (H1) = 18,006 958
15.5 Ядерные реакции
529
Разность эиср1ий начальной и конечной пар
частиц равна
Д/пс2 = f[m(N14) 4-m(He4)]—[m(O17)+
+ /n(H1)])_c2 =
= —0,001281 • 931,481 =
= — 1,193 МэВ
Таким образом, масса N'4 Не4 меньше
массы О'7 Н1. поэтому, чтобы реакция
происходила, системе N14 Не4 надо сооб-
щить энергию 1,193 МэВ. Необходимая энер-
гия может чсрпа1ься из кинетической энер-
г ии падающей а-часгицы.
Разность масс начального и конечного со-
стояний называеюя величиной Q для дан-
ной реакции и выражается обычно в едини-
цах энергии. По южительнач величина Q
означает, ч ю в ходе реакции высвобождаете ч
энергия, а отрицательное Q означает, что
системе следует сообщить энергию, напри
мер
H1 + n->D24-T, Q=+2,224MaB
N14 + Не4 -> О*’ + Н1, (15.10)
Q = —1,193 МэВ.
В случае реакций типа Nl4(a, /?)О17 просто
сообщить системе количество энергии, .до-
статочное для восстановления баланса мас-
сы-энергии (в данном случае 1,193 МэВ),
еще не означает обеспечить протекание реак-
ции. Точно так же, как а-часгица с положи-
тельной энерт ией должна прн а-распадс про-
никнуть через барьер, так и падающая а-час-
гица (с £к.„„ < £кул ), чтобы вызвать реак-
цию, должна благодаря туннельному эффек-
ту проникнусь в ядро Более того, вылезаю-
щая из ядра заряженная частица, например
протон в реакции N14(a, р)О17, вообще го-
воря, тоже должна проникнуть сквозь куло-
новский барьер.
Если системе N14 Не4 сообщить энер-
гию, равную только 1,193 МэВ то система
О 7 Н' будет иметь равную ну ио кинет и
ческую энергию и поэтому протон не сможет
пройти через кулоновский барьер Вслед-
ствие этого ядерные реакции с участием
заряженных частиц происходят с заметной
вероятностью только тот да, когда энерт ии
падающей и вылетающей частиц достаточно
велики, чтобы частицы могли сравнительно
тетко проникать через кулоновские барьеры.
Конечно, кулоновские эффекты нс препят
ствуют поглощению или испусканию ней
тронов, поэтому захват медленных нейтро-
нов ядрами происходит без затруднений
СОСТАВНОЕ ЯДРО — РЕЗОНАНСНЫЕ
РЕАКЦИИ Когда а-частица сталкивается
с ядром N14, вылет протона и образование
остаточного ядра О17 происходят не мгно-
венно Система N14 | а в течение некоторого
времени пребывает в виде промежуточного,
или составного, ядра и лишь затем распада-
ется на протон и ядро О'7. Составное ядро
№4+а должно иметь 2 = 7 2 9 и А
14+4 - 18; следовательно, это ядро F18:
N14 + а F18 -> О17 + р (15 11)
В течение какою времени существует ядро
F 8, прежде чем оно распадется? Определим
сперва «характерное ядерное время» Со-
гласно (15 1) радиус ядра N14 равен прибли-
зительно 3,4 10 13 см. Типичная скорость
а-частицы 3109см'с( =0,1 с). Поэтому а-час-
тица, обладающая такой скоростью (которая
соответствует кинетической энертии при
близительно 20 МэВ), будет находиться в
окрестности ядра N14 в течение времени
г « (3,4 10 13 см)/(3-10 9 см/с)® 10'2 2 с. Сле
дова тельно, если а частица и ядро N14 оста-
ются вместе в течение промежутка времени,
большого по сравнению с 10 22 с, то можно
говорить об образовании составного яд-
ра F18.
Если бомбардировать N'4 а-частицами и
измерять зависимость скорости испускания
протонов от энергии а-частиц (которую
мы будем менять), то мы найдем, что отно
сительная вероятность испускания протонов
будет существенно изменяться при сравни-
тельно небольших изменениях энергии бом
бардирующих частиц. В случае реакции
N 4(я, р)О17 как и для большинства других
34-7/9
530
15. Лпю.чиые ядра
£kuh <*- частицы
Фиг. 15.18. Ядерные реакции, например реак-
ция N 4(а. р)Оп. обнаруживают резонансы,
соответствующие возбужденным состояни-
ям составного ядра.
реакций, на кривой вероятности испускания
протонов при определенных значениях энер-
гии бомбардирующих частиц обнаружива-
ются резко выраженные максимумы (или
резонансы) (фиг. 15.18). Эти максимумы сви-
детельствуют о том. что при определенных
дискретных энергиях имеется большая ве-
роятность образования составного ядра. Та-
ким образом, резонансы соочвечсчвуюч воз-
бужденным энергетическим состояниям со-
ставного ядра. Ширина резонансных макси-
мумов обычно лежит в пределах о г 1 до
100 кэВ, и, согласно принципу неопреде-
ленности (АЕ-Ач*/ч), периоды полураспада
соответствующих состояний составного яд
ра заключены в инчервале от 10 18 до 10“’” с.
Эти периоды мною больше характерного
ядарпого времени 10 22 с. Поэтому есть пол-
ный смысл говорить о существовании энер-
гетических состояний составного ядра. Со-
стояния с энергиями меньше энергии связи
наиболее легко отделяемой частицы явля-
Ю1ся связанными по отношению к испуска-
нию частиц, эти состояния не могуч образо-
ваться в качестве резонансов при я. черных
реакциях под действием частиц; например,
все состояния ядра N14 ниже 7,55 МэВ —
связанные (см. табл. 15.1). Из этих связанных
состояний ядра могут выходичь только ччу
тем у излучения, и они имечоч периоды ччоччу-
раснада в интервале от 1(Г15 до 10 8 с. а в
некоторых случаях даже больше.
Исследование резонансов составного ядра
позволило получить богатую информацччю
об энергетических уровнях ядер. Ряд наибо-
лее точных сведений о свойствах возбужден-
ных состояний ядер был получен в экспери-
ментах именчю такого рода.
15.6. Деление и синтез ядер
ОТКРЫТИЕ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР. В 1937 г .
незадолго до смсртчч. Резерфорд учвержда.ч:
«Перспективы получения полезной энергчччч
ччу чем искусе ч венного превращения атомов
не выглядят мноч ообечцачощимн». Хотя ин-
туиция Резерфор а в научных вопросах поч-
ти всегда была безошибочной, ряд научных
и технических достижений показал, что в
этом случае его точка зреччия оказалась не-
верной, причем в высшей счепепи неверной
В 1939 г. немецкий радиохимик Отто Гачг
совмесчччо с Фрицем Штрассманом бомбар-
дировал уран нейтронами и ччроизвел очеччь
тщачелычьче химические исследования полу-
чившегося радиоактивного вещества. Иссле-
довачели обнаружили, что среди продуктов,
возникавших в результате поглощения ура-
ном нейтронов, имелся радиоактивный ба-
рий (Z 56) — элемент с массой, много мень-
шей. чем масса урачча. Как мог из урана обра-
зоваться столь леч кий элемент? Эта загадка
была вскоре решена Лизе Мейтнер и Отто
Фришем — немецкими физиками, бежавши-
ми из гитлеровской Германни°и работавши-
ми в Швеции; они ччредположнтн, что прчч
поглощении нейтронов ураном происходит
деление ядра на два легких осколка-
U(Z = 92) + п Ba(Z = 56) +
+ Kr(Z = 36).
Это была ядерная реакция совсршеччно но-
вого тчччча. Вместо обмена между падаюшей
частицей и ядром-мишенью всего нескойь-
кими нуклонами, как в реакции (а, р), здесь
происходило деление ядра на две чаеччч.
обладающие зччачительной массой.
ДИНАМИКА ДЕЛЕНИЯ. Как мчя виделчч
чча фиг. 15.6, энергия связи нуклона в массив-
ном ядре (Л~240) равна ччрибли зччтсльно
15.6. Деление и синтез ядер
531
7,5 МэВ. Если такое ядро разделится на две
части с А * 120, то энергия связи нуктона
должна увеличиться до ~ 8,5 МэВ. Таким
образом, уменьшение энергии связи нуклона
с увеличением массового числа ядра озна-
чает. что тяжелое ядро может расщепиться
на два легких осколка с высвобождением
значительною количества энергии. Такое
расщепление i яжелого ' ядра до некоторой
степени анало! ичио де дению колеблющейся
капли жидкости, как показано на фиг 15.20.
Хотя целение па две чащи энерт е i ически вы
годно тля гяже юго ядра ядерные си ты
притяжения препятствуют этому процессу и
оба осколка не в состоянии проникнуть через
взаимные потенциальные барьеры (как в
случае а-распада ,ия ядер с /Й200). Ядро
может деформироваться (см. левую часть
фиг. 15.20), но при этом оно принимает
свою первоначальную форму и совершат!
колебания относительно равновесной фор-
мы. Вероятность самопроизвольного Ос ления
ядра чрезвычайно мала, поэтому соответ-
ствующий период полураспада крайне велик
(~ 1017 лет для U235). Однако если сообщить
ядру добавочную энергию в виде энергии
связи захваченного нейтрона, то увеличение
энергии может вызвать большую деформа
цию ядра, которой будет дос га точно, чтобы
ядро путем туннельного эффекта сравни-
тельно ле! ко смогло рат делиться на два
осколка; таким образом может произойти
деление (см. правую часть фиг. 15.20). Для
МНО1ИХ тяжелых ядер вероятность деления
под действием нейтронов оказывается чрез-
вычайно большой (период полураспада
~ 10 ’ с)*.
Массы осколков, получающихся при деле-
нии 1 яжелого ядра, не равны. Обычно
массовые числа двух осколков сильно разли
чаются На фиг 15.21 приведено распреде
ление по массовым числам, наблюдающееся
при детении U235 под действием нейтронов
Наиботее вероятная комбинация массовых
чисел — это 95 и 139. (Их сумма пе равна
235+1 236, так как в процессе /деления в
среднем освобождаются 2 3 нейтрона.) Две
* Захват нейтрона ядром LT235 увеличивает ве-
роятность деления лтого нора в Нд^раз1.
Фиг. 15.19. Отто Гаи (7Я79—1968) один из
-.савных участников работ, завершившихся
открытием деления ядер.
Н 1944 г. Гану была присуждена Нобелевская пре-
мия по химии.
типичные реакции деления U235 имеют вид
U235 4- п Ва139 + Кг95 + 2п,
(15 12)
-► La144 + Вг89 + Зп.
Изотопы Ва139, Кг9', La,4J и Вг”9 обла-
дают избытком нейтронов по сравнению
со стабильными ядрами (см фиг 15.14).
Поэтому эти осколки дс тения (как почти
нее осколки деления) радиоактивны и испы-
тывают II распад.
Из табл. 15.7 можно видеть, как в среднем
распределяется энергия деления между раз-
ичными продуктами деления Если объем
вещее I ва. в ко т ором происходи г ак г деления,
достаточно велик и все продукты деления
34"
532
15. Атомные ядра
о со
О ©о
Фиг. 15.20. Кинокадры изменений формы кап-
ли обычной воды, взвешенной в масле.
Деформация возникает под действием приложен
ного к маслу напрчжения В левом ряду капля
возвращается к первоначальной сферической фор-
ме, не разделившись на две части. Правый ряд
соответствует случаю, когда начальная дефор
нация достаточно ве шка, чтобы вызвать деле-
ние кап и. В 1939 г Ни лье Бор и Джон Уи iep
предложили капельную модель деления ядер, ко-
торая успешно объяснила основные особенности
процесса де гения.
поглощаются (за исключением нейтрино,
которые вылетают), то в тепловую энергию
превращается приблизительно 190 МэВ Это
огромное количество энергии. Из примера
7.18 мы видели, что при делении 1 кг U’
высвобождается эиерч ия приблизительно
8-1O20 эрг. Этого количества энергии дос га-
точно для того, чтобы нагреть 750 000 000 л
воды от комнатной температуры до точки
кипения.
ЦЕПНЫЕ РЕАКЦИИ. Благодаря тому что
при делении испускается несколько нейтро-
нов (в случае U-33 в среднем 2,5), может
15.6. Деление и синтез ядер
533
возникнуть самоподдерживающаяся цепоч-
ка процессов деления под действием нейтро-
нов. Если нейтрон, испущенный при деле-
нии, вызовет деление другого ядра, а ней-
трон, испущенный в этом процессе, вызовет
еще одно деление и т. д., то эта последова-
тельность процессов деления будет поддер-
живать сама себя и в результате будет проис-
ходить цепная реакция. Регулируя условия,
в которых реакция происходит, можно до-
би гься того, чтобы на каждый процесс деле-
ния приходился в среднем один и только
один нейтрон, вызывающий новый акт деле-
ния. Таким образом, скорость выделения
энергии (мощность) будет поддерживаться
на постоянном уровне. На использовании
управляемой цепной реакции (фи>. 15.22)
основано действие ядерного реактора, ши-
роко используемого в настоящее время для
получения электроэнергии.
Можно также сосредоточить в малом объе-
ме достаточное количество делящегося ве-
щества с тем, чтобы из системы выходило
как можно меньше нейтронов деления; при
этом новые акты деления будут вызываться
не одним нейтроном, а большим числом
нейтронов, получающихся в результате каж-
дого акта деления. На фиг. 15.23 показана
последовательность реакций деления, в ко-
торой возникающие при каждом акте деле-
ния два нейтрона вызываю! следующие
акты деления. Быстрое размножение деля-
щихся ядер в этой неуправляемой цепной
10
Массовое число А
Фиг 15.21. Распределение по массам осколков
деления, образующихся при делении V2 35 под
действием нейтронов.
Наиболее вероятные значения массовых чисел
равны 95 и 139. Кривая характеризует среднее
распреде ление осколков деления по массам Она
имеет смысл только в точках, соответствую-
щих целым массовым числам. Причины резко
асимметричной формы кривой пока не вполне
понятны
Габпща 15.7. Энергия различных продуктов делении
Продукты деления Средняя энергия МзВ
Осколки деления (кинетическая энергия) Нейтроны, испускаемые при делении (кине- тическая энергия) у-квангы (жеегкие) Р -частицы, испускаемые осколками деления (кинетическая энергия) у -кванты, испускаемые осколками деления Нейхрино, сопровождающие /Г-распады 168 5 5 5 7 10
200
5.М
15. Атомные ядра
1
потерянный
нейтрон
Делящееся
ядро
Осколки
деления
Нейтрон
деления
реакции приводит к выделению энергии де-
ления ядер в виде взрыва. На этом принципе
основано действие атомной (правильнее го-
вори 1ь ядерной) бомбы.
Для того чтобы происходило неуправляе-
мое высвобождение энергии деления, внутри
деляще! ося материала должно удерживаться
по возможности большое число нейтронов
деления. Если масса делящегося вещества
не превышает некоторой величины (называе-
мой критической массой), из материала вы-
летает слишком много нейтронов и скорост ь
высвобождения энергии недостаточна для
взрыва Поэтому основная задача при кон-
оруировании атомной бомбы состоит в том.
чтобы сконцентрировав в малом объеме
такое количество делящегося материала, ко
горое по меньшей мере было бы равно кри-
тической массе. Такую массу следует скоп
центрировать в течение очень короткого
промежутка времени (~103с), поскольку
в противном случае будут иметь место мед-
ленные процессы деления невзрывного ха-
рактера. Один из методов решения этой за-
дачи состои! в соединении двух или более
подкритических масс с помощью обычного
(химического) взрыва. Первые атомные бом
бы (1945 г.) содержали около 2 кг делящегося
материала и приводились в действие указан-
ным способом.
HI ПТУНИЙ И ПЛУТОНИЙ С точки зре-
ния процесса деления наиболее важны два
Фиг. 15.22. Управляемая цепная реакция де-
ления, в которой один нейтрон, возникающий
в каждом акте деления, вызывает еще один
акт деления.
Один или два нейтрона в каждом акте деления
вылетают из системы и теряются
изотопа урана — U235 и U238. Ядро U235
легко делится при поглощении медленного
ней|ропа; U238 делится под действием быст-
рых нейтронов. Однако содержание U235
в природном уране составляет всею лишь
0,7%. Поэтому, чтобы сконструировать атом-
ную бомбу или построй 1ь ядерный реактор
на этом изотопе, надо заграють большие
усилия* На что пригоден распространенный
изотоп U238? При облучении U238 медлен
ными нейтронами происходи! реакция их
захвата и образуется ядро U239. Это ядро
испытывает /Г-распад, причем образуется
трансурановый элемент нептуний (7. 93)
U238 + п -> U239, (15.13)
U239 Np239 (xVi = 23,5 мин). (15.14)
Изотоп Np’39 тоже радиоактвеп и в ре
зулыате его /Г-распада образуется > icmchi
* В течение второй мировой войны в Ок Ридже
(США) были построены огромные заводы, единзт-
веннои задачей которых являлось выделение U235
ил природно о урана.
15.6. Деление и синтез ядер
535
плутоний (Z 94)'
Np839 4. Ри239 (г, j = 2,35 сут). (15.15)
Ри239 имеет достаточно большой период
полураспада (24 360 лет), поэтому его можно
отделить от урана и накопить в значительных
количествах. Важное значение Ри 39 опреде-
ляется тем, что он легко делится под дейст
вием медленных нейтронов — даже легче,
чем U235. Таким образом оба указанных
выше изотопа урана можно использовать
Фиг 15.23. Неуправляемая последователь-
ность процессов деления
Быстрое выделение энергии деления в такой си-
стеме приводит к взрыв).
иля получения процессов деления под дейст-
вием медленных нейтронов: U235 можно
использовать непосредственно, a U238 мож-
но превращать в Ри239.
ЯДЕРНЫЙ СИНТЕЗ. Перестройка любой
1 руппы частиц в систему с большей энергией
связи сопровождается высвобождением энер-
гии. Деление ядер является одним из приме-
ров такого процесса, полная энергия связи
двух ядер, скажем бария и криптона, больше
полной энергии связи ядра урана, и, следо-
вательно. при делении высвобождается энер-
I ия. К решению проблемы извлечения энер-
гии из ядер можно подойти также, рассмат-
ривая кривую энергии связи со стороны
меньших масс ядер При соединении двух
легких ядер и образовании прочно связан-
536
15. Атомные чдра
кого ядра со средним значением массового
числа А также происходит высвобождение
энер! ии. Такой процесс называется ядерным
синтезом. Например, если два ядра Ne20
(энергия связи нуклона 8 МэВ, см. фиг. 15.6)
соединяются в ядро Са40 (энер: ия связи
нуклона 8,5 МэВ), при этом высвобожда
era энергия 40-0,5 МэВ=20 МэВ В этом
случае трудность, конечно, состоит- в том,
ч го необходима большая сила для преодоле-
ния кулоновского отталкивания и такого
сближения ядер неона, чтобы произошла
реакция синтеза.
Влияние кулоновского отталкивания мень-
ше для ядер с малыми Z. Если мы соединим
два дейтрона, чтобы образовалась а части-
ца. то высвободившаяся энергия будет равна
почти 24 МэВ (см табл. 15.1), или 6 М)В
на нуклон. Это количество высвободившейся
энергии в расчете на нуклон более чем в 6 раз
превосходит энергию, освобождающуюся
при делении (200 МэВ на 236 нуклонов).
Однако в действительности, когда соеди-
няются два дейтрона, имеется значительно
большая вероятность, чго будет испущен не
у-квант, а нейтрон или протон. Иначе говоря,
более вероятно, чго произойдут реакции
D2(d, и)Не3 и D (d, р)Т3, для которых зна-
чения Q равны соответственно 3,269 и
4,033 МэВ Средняя энергия, высвобождаю-
щаяся в каждой реакции D D, составляет
приблизительно 1 - МэВ на нуклон, т. е.
сравнима с энер! ией, выделяющейся при де-
лении массивных ядер.
Так как дсй!ерий сравнительно ле! ко отде-
ли!ь от обычного водорода, в нашем рас-
поряжении имеется колоссальный источник
дейтерия в виде воды, в частное ш, в океанах.
Как можно использовать это! отромный
запас энер! ии? Кулоновское оналкиванис.
«работающее» на нас при делении тяжелых
ядер, в процессе синтеза предшавляет собой
препятствие. Реакции D2(d, л)Не3 и D2(<(, /»)Т3
будут происхо щть только в том случае,
если два дейтрона сблизить до расстояния
10 12 см. Чтобы свести дей!роны на столь
малое рассюяние, им нсобхо тимо сообщи ть
кинетическую энергию, которая была бы по
мсныпей мере равна их электростатической
потенциальной энергии на этом расстоянии.
^пот
еа
г
1,44 10-13 МэВ-см
10-1“ см
« Q14 МэВ.
Такую кинетическую энергию можно сооб-
щить дей1рона.м, повысив температуру та-
юобразного дейтерия. Согласно соотноше-
нию (7.51),
Я™ = kT*.
так что
2 £кин 2 0,14-10* эВ
3 k 3 8,62- 10-6эВ/К
«1,1 • 108К-
В действительности реакция D D будет
происходить (но с гораздо меньшей ско-
ростью) даже при !емпсратурс газа* значи-
тельно ниже 109К Скорость реакций ока
зываегся значительной даже при Т*~107К
Ядерные реакции, которые могут происхо-
дить то тько при чрезвычайно высоких тем-
пературах, называю !ся термоядерными.
Одним из способов получения температу-
ры порядка 1()7К** является атомный взрыв
В течение долей секунды, которые длится
взрыв, темпера!ура окатывается достаточ-
но высокой для осуществления термоядср
ной реакции, коюрая высвобождает энерт ню
и поддерживает температуру, необходимую
для того, чтобы все i ермоядерпос юрючсс
успело «выгореть». На этом основан прин-
цип действия водородной бомбы.
Нсуправтяёмуто термоядерную реакцию
удалось осушес i вить (в водородных бомбах)
однако до сих пор не достит путо успеха в
создании устройств, которые позволили бы
осуществи I ь управляемую т ермоядерную ре
* Конечно, при такой температуре атомы no.i-
ностью ионизованы. и мы не имеем дею с «га-
зом» в обычном с мыс ie слова. Находящаяся при
высокой температуре смесь положительных
ионов и электронов называется плазмой.
** В разделе 17.1 мы рассмотрим термоядер-
ные процессы, происходящие в недрах звезд, где
существуют столь высокие температуры
Вопросы
537
акцию и поддерживать ее дольше ничтожных
долей секунды. Эксперименты, подобные
тем, которые проводились на стеллараторе
(см. фиг. 9.37), могут в конце концов привести
к созданию термоядерных энер1етических
установок.
Основные выводы
Между нуклонами в ядрах действуют ядер-
ные силы Масса любого ядра меньше массы
образующих его протонов и нейтронов;
эта разность представляет собой знергию
связи ядра
Размеры ядер ограничиваются кулонов
ским отталкиванием и принципом Паули.
Не всякие группы нуклонов образуют
устойчивые ядра; если нуклоны ядра могут
образовывать конфигурацию с меяыпей мас-
сой, то будет происходить радиоактивный
распад, в результате которого первоначаль-
ное ядро преврагится в ядро с меньшей
массой. Радиоактивный распад может про
исходить различными способами: путем ис-
пускания электрона, испускания позитрона,
захвата атомного электрона ядром или ис-
пускания а-частицы. (В первых трех процес-
сах испускаются также нейтрино.)
Устойчивые ядра с А ^40 содержат при-
близительно одинаковые числа протонов и
нейтронов (Z *N) В более тяжелых ядрах
число нейтронов превышает число протонов.
При некоторых значениях N или 7 (назы-
ваемых «магическими» числами) ядра обла-
дают исключительной устойчивостью. Объ-
яснение этого факта дала оболочечная мо-
дель ядра.
Когда нуклону (или ядру) сообщается
большая скорость и он сталкивается с дру-
гим ядром, происходят ядерные реакции,
при которых испускаются ядерные частицы
(или фотоны) и образуются новые ядра.
В некоторых случаях сталкивающиеся ядра
сначала образуют промежуточное (или со-
ставное) ядро, а затем происходит его рас-
пад на конечные продукты
Тяжелые ядра (такие, как ядра урана
или плутония) могут, поглотив нейтрон,
испытать ядерное деление на два осколка
сравнимой массы. В каждом акте деления
высвобождается количество энергии, равное
приблизительно 2(Х) МэВ Энергия высво
бождается и в том случае, когда два легких
ядра, соединяясь, образуют более массивное
ядро; этот процесс называется ядерным син-
тезом.
Вопросы
15.1, Почему в экспериментах по изучению распределения вещества внутри ядер следует пользоват ься
быстрыми электронами? (Рассмотрите длину волны электрона.)
15.2. Ядро Be8 самопроизвольно превращается с чрезвычайно малым периодом полураспада в две
а-частицы. Какую форму — сплющенную или вытянутую — будет иметь деформированное ядро Be8 ?
(Какую форму будет иметь система в самый момент развала?)
15.3 Перечислите энергии всех 7-квантов, которые испускаются при образовании ядра В10 в состоя-
нии с энергией 3,58 МэВ (см фиг 15.4)
15.4. В области массовых чисел вплоть до А 209 только для двух значений А не существует устой-
чивых ядер Воспользуйтесь фиг 15 13 и найдите эти значения Л (Это обстоятельство играет важную
роль при рассмотрении образования элементов в звездах, см раздел 17 1 )
15.5. По какой схеме будут распадаться следующие ядра. О14 (Z 8), Са50 (Z 20), Си6,7 (Z 29)
Sn*11 (Z 50)? (Воспользуйтесь фиг 15 14 чтобы определить, как расположено относительно области
устойчивости каждое из ядер)
538
15. Атомные пора
15.6. Рассмотрите последовательность распада С9 (см. фиг. 15.13). Во что превратятся первоначаль-
ные девять нуклонов в результате последовательности процессов распада?
15 7. Почему нс существует пар устойчивых ядер с одним н тем же качением ,4 п значениями Z.
отличающимися на единицу?
18.8. Если ядра (Z, .4) и (Z - 2. 4) устойчивы, то какие общие выводы можно сделать о ядре (Z -1. 4)?
Радиоактивно ли это ядро? Если оно радиоактивно, то каков тип его распада?
15.9. Когда ядро Be захватывает атомный электрон и образует Li , испускаются рентгеновские лучи
Почему?
15.10. Рассмотрите фиг. 15.10,6. Где волновая функция я-частицы будет больше — при r<R, или
при г > R19 Что означает «большая» волновая функция по сравнению с «малой» волновой функцией ?
15 11 При распаде ядра Th232 последовательно испускаются следующие частицы: я, р, ft. а, а я, я,
Р. я, р. Постройте для этого случая диаграмму, аналогичную фиг. 15.12. Идентифицируйте промежу-
точные (радиоактивные) ядра и конечное (устойчивое) ядро
15.12. В первоначальной модели ядра предполагалось, что ядро (Z, А) состоит нз А протонов и A Z
электронов. Докажите, рассматривая спины частиц, что такая модель не соответствует измеренному
на опыте спину N14, а именно 1 = 1 (Иначе говоря, покажите, что спины 14 протонов и 7 электронов
не могут в сумме дать 1—1.) Этот результат является убедительным доказательством неправильности
модели, основанной на предположении, что ядра состоят из протонов и электронов.
15.13. Почему нельзя рассматривать нейтрон как частицу, состоящую из протона и электрона?
15.14. Следуя схеме, приведенной на фиг 15.16, найдите спины следующих ядер в основном состоя-
нии: Не3, Be®, Be9, N'3, N15 и О16.
15.15. Чему равны согласно оболочечной модели спины следующих ядер, находящихся в основном
состоянии. О17 (Z 8), F17 (Z 9), Са40 (Z 20), Са41?
15 16. В каком ядре протоны заполняют
все состояния оболочечной модели, включая состояние
2/,32
, а нейтроны заполняют все состояния включая состояние
2pi^? Устойчиво ли это ядро9
15.17. Цирконий (Z—40) имеет устойчивые изотопы Zr90. Zr91 Zr92 Zr94 и Zr96. Какое наивысшее
состояние оболочечной модели в цирконии заполнено протонами? Какое состояние оболочечной
модели заполнено нейтронами в различных изотопах циркония?
15.18. Захват нейтрона устойчивым ядром мишенью редко приводит к позитронному распаду По-
чему?
15.19. Экспериментатор бомбардирует мишень из естественного бора дейтронами и обнаруживает
что образовались два различных ра иоактивных вещества, одно с периодом полураспада 20,5 мин
и другое с периодом полураспада 0,020 с Какие реакции привели к образованию этих веществ? (Обра
титесь к фиг 15.13 и вспомните, что природный бор представляет собой смесь изотопов.)
15.20. Какие остаточные ядра образуются в результате реакции (р, а), когда ядром-мишенью явля-
ется Be9 В11, О,в и F19?
15.21. Объясните, почему реакция (р, л) на устойчивом ядре-мишени всегда имеет отрицательное зна-
чение Q (При положительном Q было бы ядро-мишень устойчивым?)
15.22. Перечислите некоторые устойчивые ядра-мишени и бомбардирующие частицы, которые
можно было бы использовать, чтобы вызвать ядерные реакции дающие в конечном состоянии N13 Ь л.
Задачи
539
15.23 Мишень из бора бомбардируется пучком протонов. После выключения протонного пучка
детектор /i-частиц регистрирует 100 отсчетов,с, вызываемых радиоактивностью мишени. Через
40 мин скорость счета уменьшилась до 25 отсчетов с. Каков источник радиоактивнос ти и какая про-
исходила реакция? (Воспользуйтесь фиг 15 13)
15.24. Перечислите некоторые реакции, которые происходят при бомбардировке Be’ протонами.
15.25. Перечислите некоторые ядерные реакции, в результате которых может получиться Вев (Су-
ществуют по меньшей мере 16 таких реакций, происходящих при бомбардировке мишеней частицами
с Л<4).
15 26. Какие составные ядра образуются в результате следующих реакции: а) В10 (а,/>)С13;
б) Ве’(р <0Вев, в) Ве’(/>, а)Li6; г) F”(p, а)О16 и д) С12(Не3, а)С“?
15 27 Когда ядро U23S(Z 92) захватывает медленный нейтрон, оно делится с испусканием 2 или 3
нейтронов. Назовите 3—4 возможные пары ядер, получающиеся при делении [отличные от тех,
которые входят в (15.12)].
15.28. Ядерные реакторы создают большую рЗдиоактивность Объясните, почему это опасно? Будут
ли термоядерные реакторы иметь тот же недостаток?
15.29. Если образец материала, в состав которого входят все элементы, нагреть до термоядерной
температуры в некоем ялерном «котле», то какой элемент (или группа элементов) образуется, по ва-
шему мнению, в конечном счете, когда смесь будет «готова»?
Задачи
15.1. Ядро В1и в состоянии с энергией 0,72 МэВ (см. фиг. 15.4) распадается путем испускания 7-кван-
тов с периодом полураспада 6,7 • Ю-10 с Оцените неопределенность в энергии испущенного У кванта.
15.2. Какую группу нуклонов нужно отделить от Li7, чтобы получить Не4? Какую энергию надо
затратить, чтобы отделить эти нуклоны как единое целое? (Используйте данные, приведенные в
табл. 15.2.)
15.3. Когда распадается ядро Не' сумма энерг ий ядра Не4 и нейтрона равна приблизительно 0,5 МэВ
Каково среднее время жизни Не’? (Воспользуйтесь соотношением неопределенностей Д£Дга>/1)
15.4. Какую энерг ию надо затратить, чтобы отделить нейтрон от Li7? от Be’? (Энергия связи ней
тропа в Be’ меньше, чем в любом другом устойчивом ядре.)
15.5. Чему равна энергия связи нуклона в ядрах Не3, Li6 и Li7?
156. Воспользуйтесь табл. 15.2 и покажите, что ядро Вев неустойчиво и может распадаться только на
две а-частицы
15.7. Какое ядро может образоваться при соединении двух ялерЕг6и какая энергия выделигся при
этом?
15.8. Воспользуйтесь фиг. 15.6 и определите количество энергии, которое выделится, если 20 прото-
нов и 20 нейтронов соединятся в ядро Са40.
15.9. Масса ядра U238 равна 238,0508 а е м Какую долю полной энергии ядра U23B составляет его
энергия связи?
540
15. Атомные ядра
15.10. Масса Few(Z 26) равна 55,934 936 а. е. м., а масса CoM(Z 27) равна 55,939 847 а. е. м Какое
из этих ядер устойчиво, а какое радиоактивно и переходит при распаде в другое? Какая энергия выде-
ляется при распаде?
15.11. Чему равна максимальная энергия электронов, испускаемых при Д-распаде трития?
15.12. Чему равно значение £ для распада Li8?
15.13. Воспользуйтесь фиг 15 9 и определите максимальную энергию позитронов, испускаемых при
распаде Gees.
15.14. Энергия а-распада Ро210 равна 5,4 МэВ (см. пример 15.3). Воспользуйтесь законами сохранения
энергии и момента импульса и покажите как эта энергия делится между а-частнцей (5,3 МэВ) и оста-
точным ядром РЬ20в (0,1 МэВ).
15.15. Кинетическая энергия а-частиц, испускаемых Ra22e(Z 88, атомная масса 226,02536 а. е. м.),
равна 4,78 МэВ, а энергия отдачи дочернего ядра Rn222(Z 86) равна 0,09 МэВ Чему равна атомная
масса Rn222?
15.16. Какую кинетическую энергию приобретает каждая а-частица при распаде ядра Be (Восполь-
зуйтесь данными табл. 15.2.)
15.17. Ядро U228 испускает а-частицы с энергией 6,69 МэВ с периодом полураспада 9,3 мнн. Ядро
U232 испускает а-частицы с энертией 5.32 МэВ. Определите период полураспада U232 с помощью
фиг. 15.11.
15 18. Вычислите величину Q для реакции Li7 (d, и) Be8 Объясни re (качественно), почему все величи-
ны Q для реакций должны быть положительными и большими. Исключения из этого правила должны
иметь место в тех случаях, когда ядро-мишень необычайно устойчиво, как в реакции О1в(</, и) F17.
(Чему равна величина Q для этой реакции?) Чем объясняются эти исключения?
15.19. Чему равна величина Q для реакции Нё*(Не3, 7) Be7?
15 20. Ядро Li7 захватывает медленный нейтрон и испускает один у-кван Чему равна энергия этого
у-кванта?
15.21 Чему равна величина Q для реакции Li7 (р. а) Нё4 "> для реакции Н 4 (а, р) Li7?
15.22 . Возбужденные состояния ядра Be10 можно исследовать, наблюдая резонансы, возникающие
при бомбардировке Be9 нейтронами. Чему равна минимальная энергия возбужденного состояния
Ве>0, которое можно исследовать таким образом?
15.23 . При бомбардировке С13 протонами с энергией 1,75 МэВ образуется резонанс шнрнной 77 эВ
У какого ядра имеется соответствующее возбужденное состояние? Чему будет приблизительно ра-
вен период полураспада этого возбужденного состояния?
15.24 *. Какое количество энергии высвободится в результате полного «сгорания» 1 кг дейтерня в
термоядерных реакциях? [Считайте, что реакции (</, п) и (d, р) одинаково вероятны, так что средняя
величина Q равна |4(3,269 4,033) 3,651 МэВ] Сравните эту энергию с энергией, вы 1 бождаюшейся
при делении той же массы U23S
15 25. В водородной бомбе вместо реакции D D в качестве первичного источника термоядерной
энергии используется реакция T3(d л) Не4. Почему? (Вычислите величину Q.)
«Симметрия»
16 Элементарные
частицы
16.1. Частицы и античастицы
16.2. Лептоны и слабые
взаимодействия
16.3. Сильно взаимодействующие
частицы
16.4. Симметрии элементарных
процессов
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Во времена Аристотеля считалось, что весь материальный мир построен из четырех основ-
ных субстанций земли, воздуха, огня и волы. Это были своею рода «элементарные ча-
стицы» природы В начале ЗО-х годов нашего столетия современная наука смогла найти
более приемтемое описание строения вещества на основе четырех типов элементарных
частиц — протонов, нейтронов, электронов и фотонов. Это была чрезвычайно простая и
привлекате т >ная схема: с помощью всею лишь четырех типов элементарных частиц, следуя
законам квантовой механики, удалось объяснить .природу химических элементов, их соеди-
нений и испускаемых ими излучений. Добавление пятой частицы нейтрино позволило
объяснить также процессы радиоактивного распада Каза тось. что названные элементарные
частицы являются в конечном счете основными кирпичами мироздания.
Но эта кажущаяся простота вскоре исчезла. Не прошло и г< та после открытия нейтрона,
как был обнаружен позитрон. В 1936 г. среди продуктов взаимодействия космических лучей
е веществом был огкрыг первый иезон. В 1947 г. был обнаружен мезон второ о гипа, и вскоре
после этого удалось наблюдать мезоны иной природы, а также друтне необычные частицы.
Эли частицы рождались пол действием космических тучей столь редко, что поначалу нельзя
было провести детальных исс.те тований их свойств и взаимодействий. Однако нос ie того
как были построены ускорители, позволяющие получать частицы все больших энергий,
удалось нс только выполнить ряд таких исследований, но и одновременно открыть мно-
жество новых частиц.
В насгояшес время известно более сотни раз тичных мезонов и других частиц со странными
свойствами. Их массы лежат в пределах от 200 электронных масс до масс, в несколько ра
превышающих массу протона. Существование всех этих новых частиц скоротечно*, пи одна
из них не жинет дольше нескольких микросекунд, а многие частицы распадаются примерно
черет 10 с после своего образования. Конечные продукты распадов этих частиц - обыч-
ные составные части вещества, т. е. протоны, электроны н фотоны, а также нейгрино
Все это множество частиц принято называть «элементарными частицами». Такой термин
не означает, что эти частицы являются кирпичами мироздания в том смысле, что все они
образуют атомы, с этой задачей вполне удовлетворительно справляются протоны, нейтроны
и электроны Однако эти частицы возникают в результате основных взаимодействий часгип
обычного вещества, и многие из них прямым или косвенным образом участвуют в основных
взаимодействиях в обычном вешестве. (Например, п-мезоны ответственны за силы, дейст-
вующие между нуклонами )
Несмотря на то,что многие элементарные частицы существуют очень недолго, некоторые
из них можно в каком то смысле рассматривать как «стаби льные» Аналогичным образом
мы считаем, например, автомобиль «стабильным» объектом, однако он «распадается»,
пройдя 100 000 км или около того за несколько лет своего существования. Таким образом,
за время своей жизни автомобиль проходит расстояние, в 2 • 10 раз превышающее его дли-
ну Среднее время жизни пиона около 10 8с, и он движется обычно со скоростью ~1О10 см с.
проходя за время своей житии расстояние ~ 10 см. «Размеры» пиона составляют всего
тишь ~10 13 см Таким образом, за короткое время своею существования пион проходит
расстояние, в 10” раз превышающее его «размеры». Согласно подобным рассуждениям,
пион гораздо «стабильнее» автомобиля. При рассмотрении взаимодействий элементарных
частиц пион (как и любую другую частицу, время жизни которой превышает ~10 8с) можно
считать «стабильной» частицей Конечно, существуют и такие элементарные частицы (на-
пример, протон и электрон), которые никогда не распадаются это истинно стабильные
частицы.
Изобилие типов элементарных частиц поставило перед физиками трудный вопрос о том.
что сжит в основе строения вещества. Какую роль играет каждая нз этих частиц в основных
* Позитроны и как мы да tee I видим антипротоны в свооодно и состоянии устойчивы. но при взаи
содействии с обычным веществом они аннигилируют
544
16. Элементарные частицы
процессах, происходящих в субатомной области? Мы знаем. что пион является важным
участником нуклон-нуклонных взаимодействий, но у нас нет столь же ясного представления
о «причинах» существования большинства других необычных элементарных частиц. Имеется
ли какая-то общая схема, которая позволила бы просто и ясно объяснить взаимную связь
элементарных частиц? Физики упорно верят в то, что природе присуща внутренняя гармо-
ния, н большинство их полагают, что существует единый принцип, который, когда ею от-
кроют, позволит объединить множество разротненных фактов об элементарных частицах
и элементарных процессах. Иногда то здесь, то там физики как будто улавливают действие
могущественных фундаментальных принципов, но пока еше не удалось найти ключа к ре-
шению татадки элементарных частиц
16.1. Частицы и античастицы
ПОЗИТРОНЫ. Возникновение теории эле-
ментарных частиц можно отнести к 1928 г.,
когда П. А М Цнрак ввел теорию относи-
тельности в квантовую теорию. До этого
в качестве допущения в квант оную теорию
пришлось ввести значение собственного мат -
ннтного момента электрона. На основе своей
релятивистской квантовой теории Дираку
удалось непосредственно вычислить значе-
ние магнитною момента электрона, которое
оказалось в согласии с экспериментом* Это
было большим достижением, но теория Ди-
рака дала еще один важный (и совершенно
неожиданный) результат Релятивистское
уравнение Дирака описало не только части-
цу, которая легко идентифицировалась как
электрон, оно позволило описать также час-
тицу, подобную электрону во всех отноше-
ниях за тем лишь исключением, что ее заряд
равен не —е, a (- е. В 1928 г. о сутцсс гв< вании
такого по южитеяьного электрона еще ни-
чего не было известно, и многие ученые про-
сто игнорировали это предсказание, считая
его ложным, либо же пытались (безуспешно)
идентифицировать эту положительно заря-
женную частицу как протон. Однако в 1932 г.,
исследуя с помощью камеры Вильсона сле-
ды частиц космических лучей, Карл Андер-
сон (род. в 1905 т.) обнаружил, что один из
следов электронов искривлялся в магнитном
* В полученное Дираком значение магнитного
момента электрона впос ledemeuu (в 50-х годах}
были поедены небольшие попрачки, полученные с
помощью квантовой электродинамики (ел*, рал
дел 13 4)
поле, в которое была помешена камера Виль-
сона, так. как если бы электрон имел нс
отрицательный, а положительный заряд
(фиг. 16.1). Таким образом, Андерсону впер-
вые удалось наблюдать положительный элек-
трон (или позитрон), и предсказание Дирака
подтвер лилось*
Вскоре после открытия Андерсона было
установлено, что позитроны могут рождать-
ся при взаимодействии фотонов большой
энертии (у-квангов) с веществом. В таком
процессе, однако, всегда возникает пара по-
зитрон— электрон (фиг. 16.2), и поэтому
общий закон сохранения электрического за-
ряда не нарушается. При образовании нары
электрон — позитрон электромагнитная
энергия превращается в массу, чтобы создать
две электронные массы, фотон должен иметь
энергию, по меньшей мере равную 2тес2 =
1,02 МэВ (Фотон с большой энергией не
может создать пару позитрон—электрон в
вакууме, так как при таком процессе не со-
храняются энергия и импульс; образование
пары всегда происходит в тесном соседстве
с другой частицей — ядром или электроном,
которая уносит импульс отдачи )
Обра ювавшийся позитрон взаимодейст-
вует благодаря электромагнитным силам
с атомными электронами, оказавшимися
вблизи нею, и в конце концов теряет всю
свою кинетическую энергию. Так как по-
зитрон грейфуез с очень малой скоростью,
* За открытие позитрона Андерсон получил
и 1936 г Нобелевскую премию по физике Дирак
и Шредингер получили Нобелевскую премию
в 1933 г. за вклад, который они внес си в развитие
квантовой теории
16 1 Частицы ti античастицы
545
Фш 161 Первый снимок позитрона, пору-
ченный Андерсоном в камере Вильсона.
След частицы начинается в нижней части каме-
ры, где ее энергия равна 63 М )В ( зто значение по-
лучено по кривизне траектории в известном маг-
нитном поле В 15 кГс). После прохождения
свинцовой пластины толщинойзб мм частица име-
ет энергию. равную 23 МэВ. Потеря энергии при
прохождении через пластину позволяет с опре-
деленностью установить направление движения
частицы. На основе этой информации, зная не-
прав зение магнитного поля и знак кривизны с зеда.
можно сделать вывод, что частица обладает
положительным зарядом. Плотность капелек
вдоль следа показывает, что масса частицы рав-
на массе электрона (и. следовательно. этот след
не может принадлежать протону).
Фш 16.2. Полученная в пузырьковой камере
фотография образования пары позитрон —
э лектрон.
Гамма-квант е большой энергией входит в каме-
ру сверху и взаимодействует с одним из ядер (во-
дорода) в камере, образуя пару Камера помещена
в магнитное поле, поэтому с геды частиц искрив
зяются в противоположных направлениях
35—779
16. Элементарные частицы
е-
Начало
процесса
а
Фи» 16.3. Аннигиляция медленного позитрона
с электроном приводит к возникновению двух
фотонов, каждый с энергией Еу тес2 (анни-
ги гяционное излучение).
Фотоны движутся из точки аннигиляции в про-
тивоположных направлениях в соответствии <
законом сохранения и и пульса.
то он может столкну гься с элекIромом. При
эю.м произойдем аннигиляция обеих частиц,
и масса-энергия пары появится в виде двух
(редко трех) фотонов с полной энергией
2«?ес2 (фш. 16 3)*
АНТИЧАСТИЦЫ. Электроны и позитроны
называют по отношению друт к другу анти-
частицами Позитрон античастица элек-
трона и обратно, но так как электрон встре-
чается в окружающем нас мире, то мы обыч-
но называем его «частицей», а позитрон
«ант ичастицсй».
Электрой и позитрон не являются сдип-
с!венной парой частица — античастица,
действительно, релятивистская квантовая
хеория требует, чтобы любая элементарная
частица имела свою античастицу, и экспери-
менты показали, чго это в самом деле имеет
место Частица и ее ан i и частица имею i в точ-
ное I и одинаковые массы, периоды полурас-
* Л процессе аннигизяции позитрона и свободно-
го электрона не может образоваться только
один фотон, поскольку при этом нарушался бы
закон сохранения импульса.
Ньютон в своей «Оптике» (/704 г.), конечно,
вовсе не имея в виду процессов рождения и анниги-
ляции частиц, все же высказал любопытную
мысль «Превращение тел в свет и света в те ла
соответствует самому духу природы, которая
видимо, склонна к превращениям».
пада и типы распада* (если они нс стабиль-
ны), а также одинаковые квантовые числа
спина. Однако частица и античастица имеют
противоположные электромагнитные свой-
ства. Если частица обладает электрическим
зарядом, то ее античастица имеет электри-
ческий заряд противоположного знака. Если
векторы спина Sh собсхвенного магнитного
момента р имеют в случае частицы одну вза-
имную орисшацию. то в случае античастицы
они имеют противоположную взаимную ори-
ентацию. Например, векторы S и р в случае
электрона направлены в противоположные
стороны, а в случае позитрона они имеют
одинаковое направление
е~: f | е+: | |
S (i S ц
Электрой и позитрон легко отличить друг
от друга, так как они имеют заряды протнво
положного знака. Но даже koi да частица
электрически нейтральна (например, ней-
трон), се можно отличить ог ашичастины.
если она имеет и спин, и магнитный момеш .
у одной из части пары направления Suu
napa.i.ie.ibHbi, а у другой S и р антипара.ыель-
ны.
Как мы увидим в разделе 16.2, нейтрино
электрически нейтральны, имеют спин, но
нс обладают мл нитным момеп том. Однако,
так как ней грипо существуют, лишь двигаясь
со скоростью света, мы всегда (в любой си
стеме отсчета) можем определить вектор
импульса р этих частиц, коюрый направлен
однозначно. 1 аким образом, нейтрино отли-
чаются от антинейтрино ориентацией S oi-
носитсяыю | Векторы Sh р всегда антипа
раздельны у нейтрино и параллельны у
антинейтрино (см. фиг 16 5)
Если частица имеет массу покоя, то опа
нс может (подобно нейтрино) двигаться со
скоростью света, и поэтому всегда можно
найти такую систему отсчета, в которой час
типа будет покои 1ься. Следовательно, на-
правление импульса такой час i ицы нс од-
нозначно. Ес in, кроме того, частица лишена
спина (и, следовательно, не имеет магнит-
* Единственным известным исключением чв!ч
ннпеч нейтральные К-меЗоны (см разде i 16 3)
16.1. Частицы и античастицы
547
ного момента), то в этом случае частицу
нельзя отличить от античастицы: частица
такого типа тождественна с»оей античасти-
це* Нейтральный пион (л°) и нейтральный
эта-мезон (»J°), подобно фотону**, относятся
к этой категории частиц, античастицы кото-
рых тождественны самим частицам.
Фермионы (частицы с полуцелым спином,
такие, как электроны и нуклоны) всегда воз-
никают или аннитилируюг парами; исклю-
чения ит этого правила никот да не наблюда-
лись. С другой стороны, бозоны (частицы
с целым спином, такие, как фотоны, пионы
и К-мезоны) могут рождаться или попто-
шаться как по одному, так и группами по
неско льку частиц. Конечно, энергия импульс
и заряд должны сохраняться в любом про-
цессе как при рождении частиц, так и
при их аннигиляции.
АНТИПРОТОНЫ И АНТИНЕЙТРОНЫ.
После того как предсказанное теоретически
существование позитрона было подтверж-
дено экспериментом, естественно возник во-
прос, существуют ли антипротоны и анти-
нейтроны Эт и час т ины, подобно’ позн т ро-
кам. являются фермионами и могут рож-
даться только парами, совместно со своими
античастицами, т. е. с протонами и нейтро-
нами Чтобы создать пару электрон—пози-
трон надо затратить энергию 2тес2
1,02 МэВ; чтобы создать пару протон—
антипротон, надо затратин, энергию 2птгг
1876 МэВ, а для пары нейтрон—ангиней-
* Нейтральные К-мезоны являются исключено
ем; хотя зти частицы не имеют ни электриче
ского заряда, ни спина, ни магнитного момента,
тем не менее существует различие между части-
цей и античастицей, так как они обнаруживают
различные типы распада
* * Фотон и мест спин, равный еоинице: однако
в противоположность нейтрино фотон может
иметь спин, направ ленный либо в направлении дви-
жения фотона, либо противоположно ему. llo-
mio т между фотоном и «антифотоно м» не су-
ществует различия. Кроме того, из квантовой
теории следу ?т что нейтральную частицу цель
зя отличить от ее античастицы не потому что
их спин равен нулю, а скорее потому. что мни
частицы являются бозонами: фотоны пионы и
эта- мезоны представляют собой бозоны.
троп 2т„с2 879 МэВ Концентрацию та-
кою огромного количества энерт ии на одной
элементарной частице, которая вызывает
рождение пары, можно осуществить только
на самых больших ускорителях, которые
были созданы лишь в 50-х годах В 1955 т
группе ученых работавших на ускорителе
на 6 ГэВ Калифорнийского университета
удалось создать и идентифицировать анти
протоны р* в следующем году был открыт
антинейтрон п.
Между электронами и позитронами дей-
ствуют электромагнитные силы, и когда
происходит их аннигиляция, возникают кван-
ты электромагнитного поля — фотоны
Между нуклонами действуют в основном
ядерные силы, и, когда происходит аннит и-
ляция протона с антипротоном и ти нейтро-
на с антинейтроном, возникают пионы**
кванты поля ядерных сил. Так как пионы
являются бозонами, то при аннигиляции
р—р или п—п может образоваться любое
число пионов, совместимое с законами со-
хранения энергии и заряда, по не менее двух.
чтобы соблюдался также и закон сохранения
импульса. На фиг. 16.4 показана аннит иля-
ция антипротона с протоном, происходя
тая в пузырьковой камере; в результате
этого процесса образуется 8 заряженных пио-
нов (и. вероятно, несколько нейтральных
пионов, которые нс оставляют следов).
Антипротоны представляют собой ста-
бильные частицы, а свободный антинейтрон,
если нс испытает аннит тяции. в конце кон-
цов распадется па антипротон и позитрон
Ввиду того что период полураспада анти-
нейтрона велик (по всей вероятности, оп
равен периоду полураспада нейтрона, т с.
12,8 мин), аннигиляция происходит раныпе
распада; самопроизво тьный распад анти-
нейтрона никогда не наблюдался.
Наиболее сложной формой антивещества,
полученной и идентифицированной в лабо-
ратории, является антидейтрон (<1 р п)
* Античастицы обычно обозначаются чертой
кой, стоящей над символом частицы В некото-
рых случаях. например для е и е* черточка не
< тавипи. я
* * См разде л 8 5. в котором рассматриваетс я
роль пиона во взаимодействиях нуклонов
548
16 ) {г.нентарные частицы
Теоретически можно получить антиатомы.
состоящие из антипротонов, антинейтронов
и позитронов; но они должны немедленно
аннигилировать при контакте с обычным
веществом*
Фиг 16.4. Аннигиляция антипротона с про
тоном в водородной пузырьковой камере.
Образуются восемь заряженных пионов (и. ве-
роятно. несколько нейтральных пионов, которые
не оставляют в камере следов).
16.2. . /ептоны и слабые
в зап.иодействия
СЕМЕЙСТВО ЛЕПТОНОВ Частицы .малин
или нулевой массы, участвующие только в
слабых взаимодействиях**, пазывазозся леп-
тонами***. Электроны (/ и е ) и электрон-
пыс нейтрино (г, и з,) в различных слабых
взаимодействиях образуют одну ве1вь се
* В 1973 г. на ускорите зе в Серпухове были по-
лучены ядра антигезия. Прим, ред
* * Конечно, пара лептонов, обладающих заря-
дом и массой, участвует также в электромаг-
нитных и равитационных взаимодействиях,
существенным, однако, яв utemc.4 то обстоите зь-
ство, что лептоны не участвуют в си зьны х
в зап модеистви ч х
**% ()lfJ греческого слова «зептос» малый.
мсиства зон гопов. Мюоны* (/<+ и/з ) и мюон
ныс нейтрино (гр и v,,) образуют другую вез вь
семейства лептонов.
ЛЛЕК1РОНЫ И НЕЙТРИНО. Одной из
причин, побудивших Науди постулирован,
сущеетнование нейтрино**, явилась необхо-
димость сохранения момеп i а импульса при
/J-распаде. Например, если бы распад зри
зия ззроисходил следующим образом- Н’->
-♦Не3 t [1 , то нс удовлетворялся бы закозз
сохраззеззззя момента импульса, так как спи-
ны Н3, Не3 и электрона равззы 1/2, а согласно
правилам квантовой механики, два спина,
равные /, нельзя сложить так, чтобы полу-
* Мюоны возникают при распаде пионов (раз-
дел 16.3).
* * См раздел 5 11.
16.2. Лептоны и слабые взаимодействие
549
чился спин, равный также l. Эта трудное i ь
(как и проб гема сохранения энергии и им
пульса) о гпадает ее ш вместе с электроном
испускается еще одна частица со спином 1 2.
Поэтому нейтрино Паули является фермио-
ном.
Как и друтие фермионы (например, элек-
трон и нуклоны), нейтрино имеет антича-
стицу. Частица, связанная с fi -распадом
ядра, называется антинейтрино (у,.), а части-
ца, связанная с Д'-распадо.м ядра, называ-
ется нейтрино (v,.); fi - и '-распады можно
представить следующим образом [см. фор-
мулу (15.4)]
Р"-распад: п р + е~ + *е, (16.1 а)
Р+-распад: р -*• п + е+ + ме. (16.16)
С уравнениями ядерных реакций можно
манипулировать, как с алгебраическими
уравнениями Например, если мы напишем
уравнение
о 4" h » с 4" d,
ю его можно переписать в следующем виде.
а Ч- Ь Ч- (— с) = d.
Таким образом, появление 4-е в одной час!и
уравнения эквиваленте появлению с в
другой ею час!и В уравнениях ядерных
реакций мы можем заменить частицу, на-
ходящуюся в одной час!и уравнения, анти-
частицей в другой час!и уравнения* По но-
му мы можем написать уравнение (16 16)
в виде
р ч «->« + ’,
(16.2)
Это уравнение описывает процесс электрон-
ного захвата [см (15 4в)] Подобным же
образом мы можем написан*. пользуясь
(16.16),
р 4- -*• п 4- в* (16 3)
Другими словами, испускание нейтрино эк-
вива юнтно поглощению антинейтрино.
* А ггебраические преобразования возможны, по-
тому что с — (—г)—0. Аналогично частицам
*- античастица — «нуль», т. е. частицы могут
аннигилироват ь
В 1953 I. Коуэн и Рейнс использовали ре-
акцию (16.3). чтобы впервые продемонстри-
ровать на опыте существование нейтрино.
Так как эта реакция вызвана слабым взаимо-
действием, вероя!нос!ь того, что протон
(который может оказаться ядерны.м прото-
ном) захвати! нейтрино, чрезвычайно мала.
Действительно, из каждых 1012 антиней-
трино, падающих на Землю, в среднем все,
кроме одного, проходя! сквозь Землю, нс
пснызав взаимодейс! вия! Поэтому, чтобы
iaрегистрировать процессы взаимодействия
р vt, необходим чрезвычайно мощный ис-
точник антинейтрино. Коуэн и Рейнс вос-
пользовались в качестве источника ядерным
реактором. |ак как образующиеся в резуль-
тате деления ядер осколки испытываю!
р -распад и. согласно (16.1а). испускают
антинейтрино.
Для регистрации антинейтрино Коуэн и
Рейнс использовали особенности поведения
исГпрона и нозшрона —продуктов реакции
р 4 ve. Нейтрон претерпевает в детекторе
захват, при котором возникают очин или
несколько у-квантов большой энергии; по
шгрон аннигилирует с электроном, чго со-
провождается появлением двух "/-квантов
с энергией 0 51 МэВ Одновременность этих
событий, связанных с появлением у-квантов
двух типов, однозначно свидетельствует о
том, что произошло образование нейтрона и
позитрона, т. с. что произошло взаимодей-
ствие р 4- ге. Заметим, что такой метод ре-
гистрации пригоден лишь для антинейтри-
но', если с ядром взаимодействует нейтрино,
оно будет поглощаться нейтроном
п Ч- »е -* Р + е“>
и собыIий, которые свидетельствовав бь
о реакции рА i;.. нс будет.
Ряд тщательно выполненных экспсримен
юв позволил Коуэну и Рейнсу получи и.
бесспорное доказатсльстао существования
процессов, вызванных антинейтрино, и окоп
чательно установить, что иеЙ1рино и анти-
нейтрино реа 1ьные частицы, а не Защит-
ные понятия, введенные лишь для тою.
чтобы спасти законы сохранения при Д-р.ю-
паде.
Несколько экспериментов убе штелыю ю-
каза in чю пшгенпыс массы чащицы. пс-
16. Э ю.иентарные частицы
а 6
Антинейтрино Нейтрино
Ve ve
Фиг 16.5. Векторы спина S и импульса р
имеют одинаковое направление у ij. и проти
вопо.южпое направ teiaie г Г;,.
Стрелками ука юны нап влепим «вращения» час-
тиц. Направление век юра спина определяется
правилом правой руки
пускаемые при /Г-распаде, не тождественны
частицам, которые испускаются при /Г-рас-
паде, т. е. что v€ и ve — различные частицы
Это было подтверждено, например, тем.
что реакция
С137 + уе -> Аг37 + е-
(запрешенная) не происходит, но может
идти (разрешенная) реакция
СР’ + V, -► Аг37 + Г, (16.4)
где v, заменено на ve.
Чем же нейтрино отличается от антиней-
трино9 Так как эти частицы не имеют ни
массы, ни заряда и всегда движутся со ско-
ростью света, различие между ними может
зависеть только от динамических свойств
частиц; эти свойства задаются векторами
собственною момента и импульса Экспе-
рименты показали, что векторы S и р в слу-
чае антинейтрино имеют одно и то же
направление, тогда как у нейтрино они на-
правлены в противоположные стороны
(фиг. 16.5) Антинейтрино всегда движется
в том же направлении, что и винт с правой
резьбой Поэтому мы говорим, что анти-
нейтрино правовинтовое', аналогично ней-
трино оказывается левовинтовым (пользуясь
современной терминологией, можно сказать,
что антинейтрино имеет положительную,
а нейтрино — отрицательную спиральность).
МЮОНЫ И НЕЙТРИНО. При превраще-
нии пионов в мюоны испускаются нейтрино-
тг+ -► рЛ +
к" -► [Г + V
(16.5)
Мюоны, образующиеся в этих распадах,
также нестабильны, но мюонные распады
существенно отличаются от пионных В oi-
личие от двухчастичного пионного распада
мюон распадается на три частицы, две из
коюрых нейтрино:
Р+ -* в+ + Чц + V
е~ 4- V 4- че.
Эксперименты по рождению и noi лоще-
нию мюонных нейтрино показали, что и
— различные частицы vp левовинтовое,
a v правовинтовос нейтрино Для теории
элемен1арных частиц важен также и toi
факт, чго электронные и мюонные нейтрино
по-разному участвуют в процессах слабого
взаимодействия. Иными словами, пара Ч, vt
не тождест венна парс v„, v„.
У электронных нещрино s 1/2, заряд и
масса равны нулю, одно из них нравовинто-
вое, другое лсвовинговос. То же самое от-
носится и к мюонным нейтрино. Чем же
тогда могут различаться электронные и
мюонные нейтрино настолько, что слабое
взаимодействие удостоверяет это различие?
Этого сегодня никю нс знает.
СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЛЕПТОНОВ Бла
годаря слабым взаимодействиям осущест-
вляется очень большое число разнообразных
превращений. Могут испускаться или по-
тно пша 16 1. С войства мюонов
Масса
Масса-энергия
Спвн
Период полураспада
Типы распада
206,77 те
105,659 МэВ
'/2
1,5 10’6 с
М+ + v„ • V,
Р +vM 4 ve
16.2. Лептоны и слабые влаимобештвич
jl
Таблица 16.2. /ентонные квантовые числа
Частица (античастица) Лептонное число Ni Электронное число N Мюонное число Nfi
е~ + 1 + 1 0
е* —1 1 0
vf + 1 0
ve —1 —1 0
р 1 0 ' 1
V? -1 0 —1
vv + 1 0 ч-1
—1 0 —1
глотаться нейтрино (и антинейтрино), рож
даются и распадаются мюоны, образуются
и поглощаются электроны и позитроны.
Нет ли в основе этого многообразия событий
какого-либо закона9 Ключом к ответу мо-
жет служить гот факт, что некоторые про-
цессы просто не происходят. Например,
мюон веет да распадается на электрон и два
нейтрино [уравнение (16 6)], но он никогда
не распадае тся на электрон и у-квант. Почему
этот последний процесс подавлен, а вот
можно, и вообще запрещен?
Многочисленные эксперименты с элемен-
тарными частицами показывают, что су
ществует общее правило (ие следующее из
какой-либо фундаментальной теории, а при-
нимаемое на веру), согласно которому мо-
жет происходить любой процесс, не запре-
щенный каким-либо из законов сохранения
Следовательно мы должны ожидать, что
существует какой-то закон сохранения, за-
прещающий те процессы, которые были бы
разрешены, если бы соблюдались только за
коны сохранения энергии, импульса и элек-
трического заряда.
Искомый принцип выглядит чрезвычайно
просто Он гласит, что число лептонов в замк-
нутой системе остается постоянным Но мы
знаем, что лептоны могут рождаться и анни
гилировать; поэтому, чтобы удовлетворить
этому принципу их надо учитывать опреде-
ленным образом. Каждому лептону (е , w.
р- »’я) мы приписываем лептонное число
N, 1, а каждому антилептону (е+, v,
д+, vw) лептонное число N, 1 (табл
16.2). У всех других элементарных частиц
(таких, как фотоны, мезоны и нуклоны)
лептонное число N 0. Таким образом,
согласно приведенному принципу, суммы
лептонных чисел в обеих частях уравнения
реакции или распада должны быть одина-
ковыми
Подсчитывая лептоны согласно этой схе
ме, легко проверить, что лептоны сохрапя
ются во всех процессах, вызванных слабым
взаимодействием. Например,
Лептонное Л —► р 4~ в 4- че,
число Np 0=04-1 4-(— 1),
(16.7 а)
Лептонное I1 ~е V 4" е
число Np. — 1 = — 1 -j- (— 1) 4- 1.
(16 76)
Лептоны, очевидно, сохраняются и в про-
цессе ц‘ ->е*+у, однако мы знаем, что этот
процесс не наблюдается Можно сформули-
ровать более сильный принцип сохранения
лептонов, который более четко определяет
типы разрешенных процессов. В этой схеме
мы делим семейство лептонов на две ветви,
электронную и мюонную, и каждой частице
приписываем либо электронное (Ne), либо
мюонное (А),) число. Для членов электронной
ветви электронные числа совпадают с лен
тонными, а мюонные числа равны ну ио
(см. табл. 16.2). Таким образом, для каждой
из част иц /V; NP N„ Согласно названному
более сильному принципу сохранения тепто-
нов, электронное и мюонное числа сохра-
няются по отдельности при тюбом процессе,
552
16. Элементарные частицы
вызванном слабым взаимодействием На-
пример,
-* е+ + \
Лептонное
число Nt: — 1 = — 1 (—])-}- 1,
Электронное
число Ne'. О = — 1 4-
0 +1,
(16.8)
Мюонное
число — 1 =
О + (-1) + 0.
Этот принцип И запрещает распад е‘ "у,
поскольку в нем не сохраняются ни электрон-
ное, ни мюонное числа.
Этот строгий закон сохранения лептон-
ного числа представляет собой очень важ-
ный физический принцип. Подобно другим
законам сохранения (импульса, момента им-
пульса, массы-энергии, элемричсского за-
ряда) закон сохранения лептонного числа
никогда не нарушается. В чем же заключа-
ется более глубокий смысл этого закона
которому гак ст рого следуют слабые взаимо-
действия? Ответ на этот вопрос пока неиз-
вестен. Можно лишь заметить, что прицин
сохранения лептонного числа позволяет.
по-видимому, наиболее просто обобщить
результаты mhoi счисленных экспериментов
По крайней мере он является первым шагом
на пути к созданию фундаментальной теории
слабых взаимодействий.
ЧТО ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ КВАНТ
СЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ?Сильное
взаимодействие между парой нуклонов пере-
носится пионом. Существует ли аналот ичная
пиону частица, ответственная за передачу
слабою взаимодействия между парой лсп
тонов? Пока на этот вопрос нет ответа
(См однако, задачу 16.10.) Может даже ока-
заться, что к слабым взаимодействиям не
применим подход теории поля (который
подразумевает введение частицы — перенос-
чика взаимодействия). Однако теория поля
оказалась столь плодотворной в других раз-
делах физики, что трудно отказаться от по-
пытки применить ее к решению проб темы
слабых взаимодействий Эта проблема про-
должает представлять интерес каке теорети-
ческой, так ис ткепериментальной точки зре-
ния, и только время покажет, окажутся ли
успешными теперешние попытки решения
этой задачи и приведут ли они к глубокому
пониманию природы слабых взаимодейст-
вий.
16.3. Сильно взаимодействующие
частицы
МЕЗОНЫ Термин меюн применяется к
любому бозону, прямо или косвенно участ-
вующему в передаче сильного взаимодейст-
вия* Из мезонов наиболее известен тг-мезон,
или пион Ниже в этом разделе мы расскажем
о других типах мезонов (К и ij-мезопах) и
о том, как они связаны с сильными взаимо-
действиями
Все мезоны распадаются в конечном счете
на электроны и нейтрино; периоды полу-
распада для этих процессов лежат в интер-
вале от 10 8 до КГ23 с. Все мезоны с массой
меньше ~0,6 массы протона имеют большие
периоды полураспада ( #sl0“18 с) и поэтому
яв тяются «стабильными» с точки зрения
элементарных процессов (см введение к
этой главе) В табл. 16.3 приведены характе-
ристики восьми «стабильных» мезонов Тя-
желые мезоны с т<з(),6 тр все «нестабиль-
ны» и имеют периоды полураспада О'21 с.
Вскоре мы увидим, какова причина «ста-
бильности» одних мезонов и «нестабиль-
ности» других.
ПИОНЫ Самым важным и наиболее изу-
ченным членом семейства мезонов является
пион Это объясняется, конечно, той ролью
которую пион играет в качестве кванта поля
ядерных сил. В разделе 8.5 уже упоминалось,
что Юкава указал на необходимость сущест-
вования частицы с промежуточной массой**
* Мюон, который является первичным продук-
том распада пиона, иногда называют ц- мезоном
Однако мюоны являются лептонами (т. е. части-
ца ми. участвующими в слабых взаимодействиях)
и их нельзя классифицировать как мезоны
* С и раздел 12 7, в котором д зя оценки массы
пиона по радиусу действия ядерных сил исполь-
зуется принцип неопределенности
16.3. ( ильма взаимодействующие частицы
553
Таблица 16.3. «Стадтьные» мезоны*
Частица СимвО ! Приб шженнан масса. те Приближенный период полу- распада с Античастица**
л-мезон (пион) п* 270 10 8 п
п° 260 10 16 (П°)
К-мезон (каон) К 965 10 * К
К 975 К*
//-мезон >1° 1080 10“18 (1°)
Г Эти мезоны «стабизысы». т. е. х,А Js 10Г 18 с. Спин их равен нулю (все они являются бозонаии).
** л°- и ip-мезоны тождественны своим античастицам
***К-мезоны — чрезвычайно загадочные частицы; некоторые из их необычных 'свойств описаны
здесь и в разделе 16.4 Нейтра зьные каоны К° и К0 не и иеют даже единого периода полураспада. так как
они состоят из смеси двух других каонов K°t и К°2 в отношении 1:1 Период полураспада Kut ра-
вен ~ 10~'° с а период полураспада К°2 состас чет ~ 10~я с
которая служила бы носителем силы при)я-
жения между нуклонами. Хотя предсказание
Юка вы относится к 1935 г., пион не был
открыт до 1947 г., когда было обнаружено
экспериментально присутствие этих мезонов
в космических лучах. В следующем го iy
пионы были впервые получены искусе венно
на ускорителе, и начиная с этого времени
стали получать пучки пионов, позволившие
подробно исследовать их свойства и взаимо-
действия.
Существуют два вида заряженных пионов
тг+и п (которые являются частицей и анти-
частицей) и нейтральный пион п° (совпадаю-
щий со своей античастицей). Масса заряжен-
ного пиона приблизительно на 9те больше
массы нейтрального. Пионы имеют равный
нулю спин и поэтому являю 1ся бозонами.
Сводка свойсш пионов приведена в
табл. 16.4.
При достаючной энертии бомбардирую-
щих час I ин образуется в результате столк
новений нуклонов с нуклонами множество
пионов. Може> происходить образование
как одно! о пиона, так и нескольких (в послед
нем случае, конечно, требуется ббльшая
энергия), например
р + р->р + п±г.\
п + р-^ п + р + Л (16,9)
Р+р-*р + р+«+ + «Ч-к°
Таб гиуа 16.4. ( тшетва пионов
п+ п± п nv
Масса 273,14 т„ 264,14 те
Энер|дя покоя 139.58 МэВ 134 98 МэВ
Заряд 4 е —е 0
Спин 0 0
Период полураспада 1,8 10 8 с 1 4 10 16 с
Продукты распада М* + 1'р (~Ю0%) у у (98.8%)
<' + v. (-0,01%) С + 1’г е' +е ~у (1,2%) е’ + е~ -с е' — е (0,0035%)
И + >’р +Y (-0,01%) р 1- Vp Y
554
16. Элементарные частицы
Фиг. 16.6 Распад п-мезона в фотоэмульсии,
облученной космическими лучами.
Пион останов, иваетсч в эмулы ии (в нижней час-
ти фото рафии). При распаде испускаете» мю-
он р а также нейтрино, которое не оставляет
следа < эмульсии Мюон н конце копит. также
оетОнавлцЛается к эмульсии (.. верхней части
фотографии) и распадается, испуская электрон
Пионы можно получить также, облучая
нуклоны у-квантами, бла! одаря процессу
фоторождения
7 + Р -* Р + «°,
-* П + я+.
(16.10)
Фоторождение пионов значительно менее
вероят но, чем образование пионов при ст олк-
новениях между нуклонами, так как элек-
громагнитное взаимодействие (которое от-
ветственно за процессы фоторождения) при-
близительно в 100 раз слабее сильною вза-
имодействия (ответственного за образова-
ние пионов при столкновениях нуклонов).
Пионы образуются также при анниги-
ляции нуклона с антинуклоном, например
р -f- р —я+ я” + ж0. (16.11)
Силы, действующие между нуклонами,
столь велики, чю нионы (кванты сильного
взаимодействия) сравнитезьно легко возни-
кают в любом процессе с участием нуклонов
высоких энергий.
РАСПАД ПИОНОВ. Впервые распады пио-
нов наблюдались в фотографических эмуль-
сиях, подвергавшихся воздействию косми-
ческих лучей (фит. 16.6). Когда тг+-мезон
останавливается в эмульсии*, он испускает
мюон, который всегда имеет один и гот же
пробег в эмульсии. Таким образом, при
л д-распаде мюон всегда имеет одну и
ту же энергию Это означает (вследствие за-
кона сохранения импульса), что распад пио-
на представляет собой двухчастичный про-
цесс, так как если бы в результате распада
возникало три или больше частиц, мюон не
имел бы всегда одну и ту же энергию (Срав-
ните со случаем /(-распада, рассмотренным
в разделах 5.11 и 15.2.) При распаде пиона
вместе с мюоном испускается мюонное ней-
трино:
(16.12)
-► |i+ + Vp. ,
4- Vp. .
В редких случаях (~ 0,01 %) заряженный
пион распадается непосредственно на элек-
* Если в эмульсии останавливается п -мезон,
то он быстро поглощается ядром, вызывая его
расщепление (фиг. 16.7). Поэтому отрицатель-
ные пионы редко распадаются в веществе
16.3. Сильно взаимодействующие частицы
555
трон ii нсшрино:
it+ -► й+ + Ve>
it —> e~ + »e.
(16.13)
Невральный пион распадается главным
образом на два у-кванта-
-> 7 + I-
(16.14)
Время жизни заряженных пионов состав-
ляет в среднем около 10 8 с, тогда как ней-
ральные пионы существуют всего лишь
~10“16 с (см табл. 16 4) Почему заряжен-
ные пионы живут так «долю» и почему су
шествует такая огромная разница во време-
нах жизни заряженных и нейтральных пио-
нов? Чтобы ответить на эти вопросы, мы
должны исследовать природу распада этих
час । иц.
Элементарная частица всегда распадается
преимущественно благодаря наиболее силь-
ному (и потому наиболее быстрому) вэаи.мо-
дсйствию, которое для нее доступно
(табл 16.5). Распад, обусловленный сильным
взаимодействием, всегда доминирует, если
только он разрешен. Если протону сообщить
энертию 300 МэВ то он перейдет в «возбуж-
денное состояние», подобно тому, как атом
водорода переходит в свое возбуж тенное
состояние, если ему сообщить энергию
10,2 эВ. Возбужденный атом водорода воз
вращается в свое основное состояние, испус-
кая квант элект ромагнитного поля — фотон.
Возбужденный протон возвращав! ся в свое
основное состояние, испуская квант ядерного
поля отвечающего за сильное взаимодейст-
вие, пион Этот процесс представляет со-
бой сильный распад, и измерения показали,
что период полураспада возбужденною про-
тона равен ~1(Г23 с. Такое время характер-
но дм всех процессов, обусловленных си юным
взаимодействием
Пионы сильно взаимодействуют с нукло-
нами и рождаются благодаря сильному вза-
имодействию, однако они не могут распа-
даться путем сильных взаимодействий, так
как не существует сильно взаимодействую-
щих частиц с меньшей массой. Поэтому
распад пиона может быть вьнван либо
электромагнитным, либо слабым взаимо-
Фи1 16.7 Несколько различных типов процес
сов с участием пионов в ядерной (фотоэмуль-
сии
Антипротон движется слева направо и анниги-
iupyem с протоном внутри ядра в э музьсии Про-
цесс аннигиляции разрушает ядро, причем возни-
кают пять заряженных мезонов В результате
аннигиляции испускаются также ядра Н’ Н
и Н ’. В нижней части фигуры один пион распада-
ется обычным путем, испуская мюон, а другой
пион испытывает редкий электронный распад
В верхней правой части фигуры п-мезон погло-
щается ядром, которое испускает два тяжелые
заряженных осколка. Наблюдать все эти про-
цессы в одном ядерном расщеплении удается чрез-
вычайно редко.
Таблица 16.5. Относительные величины ос-
новных взаимодействий в природе*
Сильные 1
Электромагн итные 10
Слабые 10'"
Г равитационные 10 ”
Подробнее см. таб а. 6 2
556
16. Элементарные частицы
кйствисм. Заряженные пионы не могут рас-
падаться путем чисто электромагнитных вза-
имодействий, поскольку элеюрический заряд
до тжен уноситься какой-либо частицей По-
эгому распад заряженных пионов может
бьнь вызван только слабыми взаимодейст-
виями, и продукты л'1'- и л'-распадов - мюо-
ны, элект роны и нейтрино — все являются
слабо взаимодействующими лептонами. Так
как распады, обусловленные слабыми взаи-
модейщ виями, представляют собой медлен-
ные процессы, следует ожидать, чго таря-
женные пионы будут относительно долго-
живущими частицами; действительно, пе-
риод полураспада заряженных пионов со
ставляст примерно 1()-8с. Распад же ней
тральных пионов происходит путем более
сильных электромагнитных взаимодействий,
и период полураспада порядка 1 (Г 16 с.
КАОНЫ В течение 10 лег, последовавших
за открытием пиона в 1947 г изучение взаи-
модействий космических лучей, а также ре-
акций с участием частиц больших энергий,
полученных на новых ускорителях, посо-
лило обнаружить более 30 элементарных
частиц. Многие из открытых в те голы частиц
обладали необычными свойствами и полу-
чили общее название странных частиц.
Первыми из открытых странных частиц
были К-мезоны, или каоны. В настоящее
время мы знаем четыре типа каонов поло-
жительно заряженный каон (К*), нейтраль-
ный каон (К0) и их античастицы (К- и
Каоны образуются при столкновениях силь-
но взаимодействующих частиц высокой энер-
гии, например при столкновениях протонов
с протонами или пионов с протонами. За-
ряженные каоны распадаются разнообраз-
ными способами на лептоны и пионы, на-
пример
/С -> и* + (64%),
+ (1615)
-► it+ + it+ + it" (6%),
-*e+ + \. + ’t° (5%).
Кроме указанных, известен ряд других спо
собов распада, происходящих с малой вс-
роя i нощью. Соответствующие распады К~-
мезона можно получить, заменяя каждую
частицу в (16.15) ее античастицей. Распад
заряженнш о каона на три заряженных пиона
изображен на фиг. 16.8.
НеЙ1ральные каоны К° и К0 обладаю!
уникальными среди элементарных частиц
свойщвами. Многие эксперимент показа-
ли, чго ни К0, ни К® не являются вполне
определенными частицами; скорее каждая
из них представляет собой смесь двух друг их
частиц, К® и К °, взятых в почти равной про-
порции (Заметим, однако, что хотя К° и
К° являются ашичастицами по отношению
друг к другу, К° и К° не обладают этим свой-
ством.) Чащицы K°t и имеют различные
периоды полураспада и идентифицирую !ся
эксперимешально по различным типам рас-
пада:
№ -* + С" +
—* чг -f- е* + ve.
-► it+ + р,- +
-* + Р+ + v
—>- it+ it- -4- it0,
—► я0 4~ it0.
(16.16)
Период полураспада К° равен приблизи-
тельно 6-10 11 с, а К° имеет значительно
больший период полураспада («« 4 10-8 с).
Каоны ведут себя значительно сложнее
всех мезонов. Почему каоны испытывают
как лептонные, так и нелеп юнные (пионные)
распады? Чем вызвано такое разнообразие
распадов9 Почему нейтральные каоны пред-
ставляют собой комбинации других чащиц?
На эти вопросы пока нет ответа Играют ли
каоны существенную роль в сильных взаимо-
действиях? По-видимому, ответ на этот воп-
рос должен быть положи!елы!ым, однако
никто нс знает, ни как, ни в какой степени
каоны переносят сильные взаимодейщ вия.
Если бы каоны не существовали (если бы
вообще не было щ ранных частиц!), мы могли
бы, вероятно, с уверенностью считать, что
16.3. Сильно взаимодействующие частицы
пионы являются едино I венными переносчи-
ками сильных взаимодействий, и для того
чтобы «понять», чю 1акое сильные взаимо-
действия, не требуется друт их частиц. Но
такое утверждение только отражает непол-
ноту теперешних знаний и те трудности,
которые мы испытываем, пытаясь понять,
что представляют собой странные частицы.
ГИНЬ РОНЫ Первая э тементарная частица
с массой, превышающей массу протона,
получила название ламбда-частицы. Эти
странные частицы (А0 и А*) электрически ней
тральны, однако их легко идентифицировать
по V-образным следам, которые оставляют
в эму. тьсиях или пузырьковых камерах про-
дукты их распада, обладающие электриче-
ским зарядом. На фиг. 16.9 приведена полу-
ченная в пузырьковой камере фотография
столкновения прогона и антипротона, в ре-
зультате которою образуется пара А'* А
Каждая ламбда-частица проходит в камере
небольшое расстояние до того, как произой-
дет ее распад:
Л° —► it” -|- р\ Л° —► я+ + р • (16.17)
Фкт. 16.8. Распад заряженного К мезона
(знак заряда не определен) на три заряжен-
ных пиона
Вскоре после открытия ламбда-частиц бы-
ли найдены и другие массивные странные
частицы; они получили названия £ (сигма-
частицы), Н (кси-частицы) и П (омега-части-
Фш. 16.9. Образование пары Л° Л° при
столкновении р р в пузырьковой камере.
Л° распадается на протон и п-мезон. а № распа-
дается на антипротон и тг+ мезон
Каон движется снизу справа и испытывает рас-
сеяние на угол почти 90г до остановки в точке Р
где происходит распад Процесс произошел в фо-
тоэмульсии, подвергавшейся облучению космиче
скими лучами
5'8
16 ) ie ментарные частицы
Тею тиа 16.6. Свойства барионов
Частица Энергия по- коя, МэВ Период по лу- распада с Спин Античас- тица*
Нуклоны Р п 938,2 939,6 (стабилен) 760 '/2 /1 1 =
А° 1115 5 1,7 10 10 '/2 А0
£+ 1189,5 5,6 10 11 '/г £‘
£° 1192,5 <10 '4 '/г £"
Г и пероны I 1197,4 1,1 1010 '/2 £
=0 1314,9 2,0 10 10 '/2 г/’
1321,3 1,2 10 10 '/2
а 1672 7,6 10 11 >/Z £2
Заметим, например, что Т.'_ (античастица по ю чсителыю заряженного гиперона £ ) имеет от-
рицательный заряд. Однако £4 -гиперон и £ -гиперон совершенно раз печные частицы (они имеют
разные массы и периоды полураспада, образуются и распадаются различными путями)
цы). Эта группа етранных частиц вместе с
ламбда-част ицами получила общее па звание
гиперонов*.
Все гипероны распадаются на пук юны
Поэтому гипероны и нуклоны объединяют
под обтним названием барионов**. Некото-
рые свойства барионов приведены в
табл. 16.6.
Ниже приводятся некоторые типичные рас
пады гиперонов:
2* Р + <
-> Л° 4-
3- _> ДО + гг,
Л°+К-
(16.18)
Особое значение имеет 12 -гиперон, су-
щее гвованне которого было предсказано до
его открытия. В 1961 г. физики-теоретики
М Гелл-Манн и И Нейман независимо друт
от друга предложили схему для класснфика
пин сильно взаимодействующих элементар-
ных частиц Все итвестные частицы точно
зкладывались в эту схему, но в ней осгава-
тось еттте одно незанятое место Следовало
ожидать, что отсутствующая частица сущест-
вует лишь в виде отрицательно заряженной
частицы £2’ (и положительно заряженной
античастицы £2”). Масса £2“-т иперона пред-
сказывалась равной приблизительно 3284 те.
Был поставлен специальный эксперимент,
цель которого состояла в обнаружении этой
частицы, и в 1964 т. £2-т иперон действитель-
но был найден Масса этой частицы, опредс-
тенная с помощью фотот рафии, полученной
в пузырьковой камере (фит 16.10), оказалась
равной 3272 те с неопределенностью всего
лишь 2 те. Таким образом теория Гелл-
Манна Неймана получила блестящее под-
тверждение*.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ. Обнаружение большого чиста
хтементарных частиц сделало необходимой
классификацию нх по отдельным группам
Мы уже говорили выше об этих группах,
для удобства опишем здесь классификацию
в целом.
* От греческого слова «гипер», означающего
«сверх» или «выше», так как все зти частицы
имеют массу, большую чем у протона.
** От греческого слова «барис» —тяжелый.
* Ге.и-Манн псыгчил в 1969 г. Нобелевскую пре
мию за работы по классификации элементарных
частиц, одним из результатов которых было
предсказание £2 гиперона
16.3. Сильно взаимодействующие частицы
SS4
Две основные группы элементарных ча-
стиц составляют сильно взаимодействующие
(адроны) и слабо взаимодействующие (леп-
тоны) частицы. Адроны делятся на мезоны
и барионы, а последние в свою очередь
подразделяются на нуклоны и гипероны.
(К странным частицам относятся каоны
и гипероны.) К лептонам относятся электро-
ны, мюоны и нейтрино. Таким образом,
«стабильные» элементарные частицы можно
сгруппировать следующим образом:
Адроны
(сильно взаимодействующие частицы)
Мезоны Барионы
(Т., К, ri) / \
f Нуклоны Гипероны
К р) (Л, S, Е, П)
т
Странные
частицы ......:
(каоны, гипероны)
Лептоны
(слабо взаимодействующие частицы)
/ * \
Электроны Нейтрино Мюоны
(е) / \ (1*)
Электронные Мюонные
нейтрино нейтрино
(V)
Фиг. 16.10. Фотография образования и рас-
пада Ji -гиперона в, пузырьковой камере
(1968 г.). использованная для определения
массы частицы (3272 те).
Последовательность распада JT и частиц, обра-
зующихся при этом, показана на схеме вниз v
До 1969 г уда юсь наблюдать всего зишь около
20 реакций с образованием 12 гиперонов
560
16. Элементарные частицы
СОХРАНЕНИЕ ЧИС 1Л БАРИОНОВ. При
обсуждении законов сохранения (раздел 7.17)
и процессов деления ядер (раздел 15.5) отме-
чалось. что для высвобождения энергии ядра
можно перераспределить протоны и нейтро
ны так, чтобы их конфи! у рация обладала
большей энергией связи; однако сами нукло-
ны неуничюжимы Мы знаем также, чю
антинуклоны рождаются только совместно
с нуклонами. Э>и факты можно объединить
в закон сохранения числа нуклонов, анало-
гичный закону, которому подчиняются леп-
тоны. Если мы будем приписывать каждому
нуклону число 1, а каждому антинуклону
число —1, то сможем утверждать, что в лю-
бом процессе число нуклонов остается по-
стоянным.
Закон сохранения числа нук юное выполня-
ется точно во всех ядерных процессах (ядер-
ных реакциях, реакциях деления, радиоак-
тивных распадах); но можно пойти даже
дальше. Будем исходить из того, что вес
гипероны распадаются в конечном счете на
нуклоны. Поэтому будем рассматривать все
барионы в целом, приписывая каждой час-
тице барионное чисто В - -I I и каждой
античастице барионное число В —I (для
лептонов и мезонов В—О). Тогда можно вы-
сказать общее утверждение, что барионное
число сохраняется в любом процессе.
Приведем некоторые процессы распада,
при которых сохраняется барионное число
и которые поэтому разрешены (и наблюда-
лись);
п -+• р + е~ + ve,
S“-*n + ir-, (16.19)
Л° р + я*.
Барионное число сохраняемся также в сле-
дующих (наблюдавшихся) реакциях'.
+ р Л° + Л°,
Л° + р — 2+ + <
- р —► П +
К' + d л° + р + к-.
(16.20)
число НС сохраняется.
s- — в + <
до к+ + К".
Эги распады запрещены и нс наблюдались
С1РАННОСТБ. Одного лишь закона со-
хранения барионов недостаточно, чтобы объ-
яснить. почему не происходят некоторые
процессы с участием адронов. Например
при бомбардировке ироюпов положи!ель-
ными пионами никшда не наблюдалась
реакция
Р + -► Е+ + ~+,
несмо!ря па то что барионное чисто в ней
сохраняется. Как и в случае лептонов, мы
нуждаемся здесь в более стротом принципе
сохранения. Дит пой цели М Гея -Мани
и К Нишиджима в 1953 г предложили
ввести новое квантовое число, которое они
п; «вали странностью. В табл. 16.7 приведе-
на классификация адронов по квантовому
числу странности S; соответствующий прин
цип сохранения формулируется следующим
образом: в сильных взаимодс зетвиях (но нс
в слабых взаимодействиях) странность со-
храняется.
Ниже приведены некоторые реакции, в ко-
торых сохраняются как странноегь, гак п
барионное число и которые поэтому разре-
шены (и наблю тлись)"
Р + р —- V + ДО
0 , 0 — (— 1)1. (16.21а)
В: 1+(—!)= I +(—1);
(фиг. 16.9)
р + К~ + К+ + Л°
S: 0 + (-1)-(-3) + 1 + Ь
В: 1+ 0 = 1 +0+0;
В следующих двух распадах барионное (Фиг 16 10)
(16.216)
16.3 Сиаьно взаимодействующие частицы
561
Пионы, rp-мезон и нуклоны не являются странными частицами, и для них квантовое
число S 0. Странность лептонов не определена
р + «- -> д° +№
J; 0 4-0 =(-1)4-1, (16.21В)
В. 1 4- 0 =1 4-0.
(фиг. 16.11)
Все эти реакции прот екают в течение чрезвы
чайнс коротких интервалов времени
(~1(Г23 с); это свидетельствует о том, чго
они происходят благодаря сильным взаимо
действиям Нафиг. 16.11 приведена фото! ра
фия реакции рТл~ -» Л°+№, полученная в
пузырьковой камере.
Ниже указаны некоторые реакции, >апре-
шенные законом сохранения странности (э| и
реакции не наблюдались):
п 4- к- 4- 2°,
р 4- Л° -*• S+ 4- Е-°.
(Можете проверить, что барионное число к
этих реакциях сохраняется, а странности в
правой и л^вой частях уравнений реакций
нс совпадают.)
Из табл 16.6 видно, что все гипероны
имеют большие периоды полураспада
(ту, I0"18 с) и поэтому «стабильны». Но
I ипероны— сильно взаимодействующие час-
тицы (адроны), а типичные времена жизни
в случае сильных распадов ~10 23 с Почему
же тогда времена жизни гиперонов столь
велики? На этот вопрос можно ответить
исследуя распады гиперонов, например [см
уравнения (16.18)]
2+ —* р 4- iv0,
(—1)^=0 4-0; (16.22а)
й- -> Л” 4- Л',
Л: (—3)^=(—1)4-(—1). (1622б)
В этих распадах странность не сохраняется.
Вместе с гем ддя этих чаотиц не существует
распадов с сохранением странности Напри-
мер, распады Е -> К°+/) и Q -» К Еи,
в которых сохранялись бы странность и
барионное число, запрещены законом сохра-
нения массы-энерг ии (Можете проверить,
что сумма масс продуктов распада в правой
части уравнения реакции в каждом случае
больше массы частицы в левой час> и урав-
нения )
Следует сделать вывод, что при распаде
гиперонов странность обязательно наруша-
ется. Таким образом, распад гиперона не мо-
жет происходить путем сильных взаимодей-
ствий (в которых странность сохраняется),
вместо этого распад происходит благодаря
слабым взаимодействиям* (которые не огра-
ничены условием сохранения странности)
* Существует также один чисто электромаг-
нитный распад'Е0-» Л° 4-у, в котором странность
сохраняется и который имеет промежуточный
период полураспада Ifi 9 с
36—779
562
16. Элементарные частицы
Фиг. 16.11. Отрицательный пион (движущий-
ся сверху) сталкивается в пузырьковой каме-
ре с протоном, и образуются две странные
частицы рп »А° - К°
Частицы № и К0 распадаются на заряженные
частицы внутри камеры.
П~
Поэтому распады гиперонов представляют
собой медленные процессы, откуда и следуют
большие времена жизни част иц (г, г $10 8 с)
Слабый распад гиперонов — не столь про-
стой процесс, как относи 1елыю хорошо изу-
ченный /f-расиад нейтрона n-*p^e~+ve. ко-
торый, конечно, также представляет собой
слабый распад. Распады гиперонов, такие,
как Е п п , происходят благодаря сла-
бым взаимодействиям иначе, чем /J-распад.
Подобные не зептонные слабые распады ги-
перонов пока еще недостаточно изучены
Существуют редкие типы распадов гипе-
ронов, в которых странность сохраняется.
Это лептонные распады, такие, как S —
-» Л* е~ ve, однако и здесь взаимодействие
оказывается более сложным, чем при Д-рас
паде. При интерпретации этих сохраняющих
странность лептонных распадов удалось до-
стигнуть больших успехов, чем в случае не-
лептонных распадов с нарушением стран-
ности.
НОВЫЕ ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Иссле-
дование лептонов и адронов дало нам три
новых закона сохранения:
I. Электронное и мюонное числа сохраня-
ются по отдельности во всех процессах
2. Барионное число сохраняется во всех
процессах
3. Странность сохраняется во всех силь-
ных взаимодействиях
16.3 с иаьно взаимодействующие частицы
563
Первые два закона сохранения, по-види
мому, никогда не нарушаются; они пред-
ставляю! собой абсолютные законы сохране-
ния наравне с законами сохранения импуль-
са, момента импульса, массы-энерт ии и элек-
трического заряда. Сохранение странности
отличается от других законов сохранения
тем, чго оно справедливо только для сильных
взаимодействий и несправедливо для слабых
Эти факт ы могут оказаться весьма полезны-
ми для окончательного установления при-
роды взаимодействий элементарных частиц.
Однако в настоящее время новые законы
сохранения представляют собой в основном
лишь эмпирические схемы, которыми мы
пользуемся для описания эксперименталь-
ных результатов. Более глубокий смысл этих
законов пока неясен.
ЧАСТИЦЫ-РЕЗОНАНСЫ. Возникновение
в ядерной реакции резонанса указывает на
существование возбужденного энергетиче-
ского состояния составного ядра (см. раз-
дел 15.4). Резонансы возникают и при взаи
модействиях элементарных частиц. Однако
большинство наблюдавшихся резонансных
состояний распадается за времена порядка
10 23 с. Поскольку измеряемые характери-
стики этих состояний обычно ассоциируются
с частицами (энергия, момент импульса,
странность), все резонансы принято назы-
вать «частицами», хот я этот термин нс впол
не соответствует столь коротким временам
жизни. При таком определении список час-
тиц содержит бо iee cia названий.
Наиболее долгоживущей резонансной
частицей является э/’-мезон, период полурас-
пада которого составляет 10 18 с, что, соглас
но определению (см. табл. 16.3), позвотяет
включить его в категорию «стабильных» час-
тиц. ц°-мезон можно считав резонансом в
системе трех пионов; основные типы распа-
да tf мезона
(16.23)
Вследствие малого времени жизни нс уда-
ется получить пионные «мишени». Слсдова
гсльно, нельзя восрроизвссти соударение
зм
рсх пионов, подобно тому как сталкивают
х-частицу и ядро N14 для образования состав-
ного ядра F18 Поэтому резонансные свой-
ства системы трех пионов нужно исследоват ь
ругим способом, например в одной из ре-
ткций, происходящих при бомбардировке
тейтсрия положительно заряженными пио-
нами:
D + тг+ —► р 4" Р + + "°-
(16.24)
И змеряя энер! ию пионов в большом числе
таких реакций, можно прий1и к выводу, чго
пионы в действительности рождаются как
единое целое, т е. в виде резонирующей груп-
пы Таким образом, реакцию можно запи-
сать в виде
D к+ р 4- р 4- тД (16.24а)
где т;11-мезон представляет группу • п
с л° и распадается на эти частицы с характер-
ным периодом полураспада МО 18 с. По-
скольку т/'-мезон имеет малое время жизни,
его пробег перед распадом не превышает не-
скольких ангстрем, и, следовательно, прямое
наблюдение вытета г;°-мезона невозможно;
вывод о его существовании можно сделать,
исходя из динамики частиц, испускаемых в
реакции.
Было обнаружено много других резонанс-
ных состояний, представляющих собой раз-
личные комбинации мезонов, гиперонов и
нуклонов, и даже начинает появляться не-
который порядок в классификации и описа-
нии свойств этих части!
КВАРКИ Одной из любопытных схем опи-
сания элементарных части является модель
кварков — еще одно изобретение М. Гелл
Манна. В этой модели предполагается, что
все элементарные частицы являются комби-
нациями трех основных частиц (называемых
кварками*) и их античастиц. Кварки имеют
необычные свойства, электрический заряд,
равный ± 1,,3 е или + 2 з е, и барионный за
ряд, равный ± ' з (табл. 16.8) Таким об-
разом, основные свойства кварков не похо-
* Название «кварк» взято из туманной фразы
романа Дж Тжоиса «.Поминки по Финнегану»'
«Три кварка для мастера Марка'.»
564
16. Элементарные частицы
Таблица 16.8. Свойство кварков
Символ Заряд q Стран- ность Барионное число В Спин s
♦ + Уэ е 0 ‘/з Уз
Кварки (^) Ц е 0 Уз Уз
е — Уз е - 1 ‘/3 Уз
-ф“ —>/3 е +1 -Уз Уз
Антикваркп г ’/з е 0 - Уз Уз
-ф- -Уз е 0 - Уз Уз
жи иа свойсша других час1иц. Однако раз-
личные комбинации этих гипотетических
частиц воспроизводят свойства всех извест-
ных адронов с поразительной точностью.
Можно считать, что барионы построены из
грех кварков, тогда как мезоны образованы
из двух кварков, например* .
(16.25)
Кроме того, модель кварков успешно вос-
прои «вела качественно известные времена
жизни, магнитные моменты и типы распада
элементарных частиц. Реальны ли кварки или
модель кварков служит лишь удобным сред-
ством описания элементарных частиц, но ли-
шена реального физического смысла? Пока
это неизвестно
* Стрелками указаны направления спинов. Па-
ра противоположно направленных стрелок озна-
чает взаимную компенсацию спинов.
Благодаря электрическому заряду кварки
можно было бы легко идентифицировать
(если они действительно существуют). Не-
смотря на попытки обнаружить кварки в ря-
де экспериментов, сделать этого пока не уда-
лось. Если кварки существуют, то они долж-
ны быть связаны столь сильно, чго для их
извлечения из элементарных част ин надо за-
тратить огромную энергию
Хотя модель кварков поразительно успеш-
но объяснила ряд свойств адронов, однако
пока она находится в весьма неудов ie гвори
тельном состоянии. Быть может, нам удастся
16.4. Симметрии элементарных процессов
565
в конце концов описать все сильные пронес
сы с помощью только ipex кварков и их ан-
тичастиц, вместо того чтобы иметь дело с
«зоологической коллекцией», содержащей
примерно сотню экземпляров частиц Но
прежде чем это окажется возможным, необ-
ходимо обнаружить кварки и исследовать их
свойства Эксперименты по рассеянию быст
рых электронов на нуклонах указывают на
сущее 1вование некоторой длины, малой по
сравнению с Ю“14 см, которая должна играть
важную роль в структуре нуклонов. Во тмож
но, внутри нуклона существуют некие ма-
лые объект ы - может быть, и кварки
16.4 Симметрии элементарных
процессов
СИММЕТРИИ И КЛАССИЧЕСКИЕ ЗА-
КОНЫ СОХРАНЕНИЯ Законы сохранс
ния в физике являются удобным средством
обобщенного описания характеристик физи-
ческих процессов Но следует ти их рассмат
ривать только как схемы, устанавливающие
едязи между результатами экспериментов,
или в них заключен более т лубокий смысл ’
Другими словами, являются ли законы со-
хранения окончательным результатом поис-
ков подхода к пониманию физических проб-
лем или мы должны стремиться к более глу-
бокому познанию?
Исследование этих вопросов показало что
по крайней мере некоторые из законов со-
хранения можно вывести из определенных
принципов симметрии Так как последние
связаны с фундаментальными свойствами
пространства и времени, эти принципы, по-
видимому, имеют большее значение, чем за-
коны сохранения. Вывод физических законов
сохранения из геометрических свойств сим
метрик пространства и времени представля-
ет собой, безусловно важный шаг вперед в
понимании природы.
В физике термину «симметрия» придается
более широкий смысл, чем в обычной гео-
метрии Чтобы объяснить, что понимают
под этим термином в современной физике,
тучнте всего рассмотреть связь между физи-
ческой симметрией и классическими закона
ми сохранения Мы нс будем, однако здесь
приводить математические расчеты, под-
тверждающие эту связь.
Симметрия относительно переноса. Одно-
родность пространства (т. е. тот факт, что
свойства пространства нс меняются от точки
к точке) означает, что свойства изолирован-
ной физической системы не меняются при
пространственном переносе Прямым след-
ствием симметрии пространства относи
тельно переноса является закон сохранения
импульса.
Симметрия относительно вращения. Изо-
тропность пространства (т е. тот факт, что
свойства пространства одинаковы в любом
направлении, проведенном из произвольно
выбранной точки) означает что свойства изо
лированной физической системы нс меняют-
ся при повороте на заданный угол относи-
тельно любой произвольно выбранной оси
вращения Прямым следствием симметрии
относительно пространственных вращений
является закон сохранения момента им
пульса.
Симметрия относительно переноса во вре-
мени Однородность времени (т. с. тот факт,
что свойств;) времени нс меняются при из-
менении начала его отсчета) означает, что
свойства изолированной физической сис
темы не зависят от времени. Прямым след-
ствием с имметрии относите /ьно переноса во
времени является закон сохранения энергии.
После того как стало известно, что клас-
сические законы сохранения можно вывести
из свойств симметрии пространства и време-
ни, предпринимались многочисленные по-
пытки найти новые свойства симметрии эле-
ментарных частиц Действительно, были об
наружены некоторые новые свойства сим-
метрии; другие же, надежда на существова-
ние которых еще не исчезла, пока нс найдены.
НОВЫЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИИ Ис-
следование реакций с участием элементар-
ных частиц и античастиц и процессов их рас-
пада привело к открытию некоторых новых
свойств симметрии
Симметрия относительно зарядового со-
пряжения. Если в уравнении данной реакции
каждую частицу заменить на античастицу
то получится уравнение, описывающее но-
вую реакцию. Эта операция называется за-
5<>6
16. Элементарные частицы
рядовым сопряжением (операция С). Приме-
няя эту операцию к реакции
РгР^ 2+ + ^и + К0 + К~, (16.26а)
получим реакцию
р + р -> X* 4- Л° + № + Л+, (16.266)
которая также является разрешенной Такие
элементарные процессы называют ' инвари-
антными относительно операции зарядового
сопряжения (При описании элеменгарных
процессов термин «инвариантный» не озна-
чает, чю каждая индивидуальная частица
должна оставаться неизменной, не меняют-
ся лишь вид процесса и действующие в нем
силы)
Зарядовое сопряжение (операция Q толь-
ко заменяет частицу на античаст ицу, импульс
и спин при этом не меняются. Вследствие
этого, как мы увидим ниже, слабые взаимо-
действия неинвариантны относительно заря-
довою сопряжения; одиако этот закон, по-
видимому, строго выполняется в сильных
взаимодействиях (примерами которых слу-
жа г приведенные выше реакции) и в элект рб-
матнитных взаимодействиях
а
Фит 16.12. Полярному вектору (например
вектору импульса р) соответствует «.нор-
мальное» зеркальное изображение (а). На-
правление аксиального вектора (например, век-
тора момента импульса L), определяемое с
помощью правила правой руки, при зерка льном
отражении изменяется на противополож
ное (б)
Симметрия относительно пространст-
венного отражения. Если наблюдать в зер-
кало теннисный матч, когда игрок ударом
справа посылает мяч в правую половину
площадки, то мы увидим в зеркале игрока-
левшу и мяч, летящий в левую половину пло-
щадки Нельзя утверждать, что мы наблю-
даем «настоящую» игру, хотя это безусловно
допустимая игра, подчиняющаяся всем три-
зическим законам Таким образом, теннис
инвариантен относительно зеркального от-
ражения, это отражение называется опера-
цией изменения четности (операцией Р).
Как выглядят в зеркале различные векто-
юры? Существуют два типа векторов, по-
разному ведущих себя при зеркальном отра-
жении Например, вектору импульса р соот-
ветствует обычное зеркальное изображение
(фиг. 16.12, и), а вектор момента импульса
L, направление которого определяется пра-
вилом правой руки, при отражении меняет
направление на обратное (фит 16.12,6). Век-
торы, ведущие себя так, как это изображено
на фит. 16.12, а (к ним относятся, в частности,
скорость, импульс, сила, напряженность
электрического поля), называются полярны-
ми; векторы, ведущие себя так, как изображе-
но на фит 16 12, б (к ним относятся в част-
ности, момент импульса, напряженность
магнитного поля), называются аксиальными
Любой вектор, связанный с физическими
процессами, является либо полярным, либо
аксиальным.
Законы классической физики (механики и
электродинамики) инвариантны относигель-
но зеркального отражения. Это означает,
что зеркальный образ лтобот о процесса, под-
чиняющегося законам классической физики
и происходящего в природе, подчиняется
тем же законам и также может происходит ь
в природе (как, например, отраженная в зер-
кале игра в теннис). Следовательно поляр-
ные и аксиальные векторы всегда образуют
такие комбинации, что законы классической
физики инвариантны относительно отраже-
ния Можно сказать, что классические зако-
ны удовлетворяют сохранению четности
В реакциях элементарных частиц четность
сохраняется при электромагнитных и силь-
ных взаимодействиях Но, как мы увидим
ниже, слабые взаимодействия неинвариантны
16.4 Симметрии
относшельно операции Р и четность в них
не сохраняется.
Симметрия относительно обращения вре-
мени. Мяч, брошенный с высоты h над по-
верхностью, приобретает в конце падения
скорое 1ь v x/2gh . Подобным же образом
мяч, подброшенный вверх с начальной ско-
ростью г, поднимается на высоту й, где будет
(одно мгновение) находиться в состоянии по-
коя. Эти процессы симметричны во времени;
каждый из них осуществим, и ни в одном из
них не нарушается какой-либо физический
закон
Если сня1ь какой-нибудь физический про-
цесс на кинопленку, а затем прокручивать
ленту в обратном направлении, то мы увидим
друт ой возможный физический процесс. Этот
обращенный во времени процесс может ока-
заться крайне маловероятным, но ни один
физический закон не будет в нем нарушен.
При прокручивании киноленты в обратном
направлении видно, как прыгун с вышки вы-
скакивает из воды (сперва из воды появля-
ются ноги) и, пролетев по воздуху, аккуратно
приземляется на подкидную доску. Это со-
бытие могло бы осуществиться, если бы мо-
лекулы воды, двигаясь соответствующим об-
разом, передали пловцу в бассейне энергию
и импульс, достаточные для того, чтобы он
мог подняться на вышку, однако вероятность
такого события, конечно, чрезвычайно мала.
Принцип возрастания энiронин (см. раздел
7.16) примени!ельно к макроскопическим
(г. е. содержащим большое число частиц или
тел) системам устанавливает, что время те-
чет в направлении реализации вероятных
процессов, хотя ни один физический закон
не запрещает (абсолютно) осуществление ка-
кого-либо маловероятного процесса. Дейст
вительно, оказывается, что все физические
процессы* могут происходить, если время
потечет вспять. Таким образом, все физиче
ские процессы инвариантны относительно
обращения времени (операции Т) Принцип
возрастания энтропии применим только к
макроскопическим системам, а не к собы ги
* За исключением по крайней мере одного про
цесса с участием элементарных частиц, о кото
ром мы расскажем позднее (Это снова К м<
зоны'.)
элементарных процессов 5^7
ям микромира (т. е. процессам, в которых
участвуют отдельные частицы), и, следова-
тельно, изучая такие процессы, нельзя опре-
делить направление времени.
В ядерных реакциях и в реакциях с элемен-
тарными частицами инвариантность относи-
тельно обращения времени означает, что ре-
акции в равной степени могут протекать в
любом направлении* Например, приме-
нение операции Т к реакции
Li7р —аa (16.27a)
приводит к реакции
а + а -> Li7 Р (16.276)
Подобным же образом распавшаяся чащица
может бы гь «воссоздана» с помощью обра-
щения времени; символически применитель-
но к распаду нейтрона операцию Т можно
записать следующим образом:
Т х [л -► р -ь е~ + ve] =
= 1р + е~ + V, -* л]. (16.28)
Хо1я образование нейтрона из протона,
электрона и нейтрино (при соответшвующей
затрате энергии) и возможно, вероятность
этого события крайне мала, так как, чтобы
оно имело место, необходимо собрать три
частицы в одной точке в один и тог же мо-
мент времени.
Симметрия ядерных сил. В разделе 15.1
отмечалось, чго силы, действующие между
нуклонами в ядре, почти нс зависят от типа
нуклонов, т е. ядерные взаимодействия р—р,
р пип—«одинаковы Эта симметрия ядер-
ных сил приводит к сохранению величины,
называемой изотопическим спином (изоспи
ном). Изоспин сохраняется в сильных взаи-
модействиях и не сохраняется в процессах,
вызванных электроманштными и слабыми
взаимодействи ями.
НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ В СЛА
БЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ. Одним нз
наиболее удивительных о i крытий в физике
* Напомним, что процессы поглощение и ис-
пускания излучения атомной системой экви-
валентны (см раздел 13.6).
568
16. Элементарные частицы
было доказвтельспю в середине 50-х годов
того, что процессы, вызванные слабыми
взаимо действиями, неипвариатны относи-
тельно зеркального отражения, т. е. доказа-
тельс1во нссохраиения четности в слабых
взаимодействиях. До 1956 г. существовало
убеждение, что все физические процессы ин-
варианты относительно отражения*. Одна-
ко несовместимость результатов ряда про-
цессов с участием элемен гарных частиц (осо-
бенно в различных распадах К-мезонов) за-
ставила Ли и Янга поставить вопрос, дейст-
вительно ли считавшийся «самоочевидной
истиной» закон сохранения четности не нару-
шается в слабых взаимодействиях. В 1957 г.
было выполнено несколько опытов по /7-рас-
паду ядер** и распаду пионов: в этих опьиах
гипотеза Ли и Янга о несохранении четност
получила полное подтверждение***
Нссохранение четности при распаде пиона
можно объяснить следующим образом. На
фиг. 16.13, а изображены направления векто-
ров импульса и спина, отвечающие реально-
му распаду я*-мезона. Диаграмма иллюст-
рирует следующие свойства пионного рас-
пада: 1) векторы импульсов рци pv равны по
абсолютной величине и направлены в про-
тивоположные стороны, как гою 1 ребуш за-
кон сохранения импульс»; 2) спины мюона
и нейтрино S,, и Sv ориентированы в проти-
воположные стороны (s I 2 для обеих час-
тиц), так как полный спин системы, т. е спин
пиона, равен нулю', 3) нейтрино являщея ле-
вовинтовым, т. с. векторы S и р„ангипарал-
тельны (см. также фиг. 16.5).
* Фейнман был настолько убежден в этом, что
держал пари на 50 долларов против 1 доллара
(пари он проиграл), а Паули говорил, что готов
поставить на сохранение четности кочень боль-
шую сумму» (по-видимому, противников не на-
шлось).
* * Первые эксперименты по (1-распаду были вы-
полнены в Колумбийском университете By и ее
сотрудниками из Национального Бюро Стандар-
тов
*** За классическую работу по несохранению
четности Ли и Янг nt сучили Нобелевскую пре-
мию по физике 1957 г., что ввилось иск зючительно
быстрым признанием важности их открытие
Применяя к реальному распаду л+-мезона
операцию пространственного отражения, мы
получим то, что изображено на фиг 16.13, б.
Здесь направления векторов спина измени-
лись на обратные, так как зеркальным изоб-
ражением левого винта является правый винт.
Следовательно, векторы Sv и pv направлены
одинаково, что невозможно, так так нейтри-
но (vu) всегда левовинтовое. {Правовинтовы-
ми могут быть только антинейтрино (vu),
по эти частицы не рождаю >ся при распаде
л+-мезона ] Таким образом, ситуация на
фиг. 16.13, б оказывается нефизической Мы
должны сделать вывод, что распад пиона
неинвариантен относительно зеркального от-
ражения, г. е. что четность при нем нс сохра-
няется.
Из затруднения, обусловленного нсин-
вариантностью слабых взаимолейстий от-
носительно отражения, можно выйш следу-
ющим образом. Рассмотрим сначала, к ка-
кому результату приведет применение к рас-
паду т?-мезона операции зарядовою сопря-
жения. Результат операции С > [тг+-»ц+ vu]
показан на фи!. 16.13, в. Здесь каждая части-
ца заменена античастицей п+-»л , р‘-»р ,
а направления векторов импульса и
спина остались неизменными. Относитель-
ная ориентация вект оров S?h pv оказывается
неправильной — антинейтрино являются не
лево-, а правовинтовыми. Следовательно,
применение к реальному распаду тг+-мезона
операции Р, подобно С, приводит к нефизи-
ческой ситуации. Распад пиона (а на самом
деле — любой процесс слабого взаимодейст-
вия) неинвариантен относительно зеркаль-
ного отражения и зарядового сопряжения.
Решение проблемы лежит в применении
к распаду тг*-мезона комбинированной опера-
ции СР Вместо того чтобы рассматривать
операции С и Р по отдельности, обратим
внимание иа конечный результат их совмест-
ного применения (фиг. 16.13, г). Нетрудно
убедиться, что результат не зависит от того,
в каком порядке применяются операции С
и Р Применив к распаду тг+-мсзоиа опера-
цию СР, мы получим наблюдаемый распад
л--мезона, в частности правильную относи-
тельную ориентацию векторов Ss и р для
правовиптового антинейтрино. Распад пио-
на (и любой процесс слабо! о взаимодейс i вия)
16.4. Симметрии элементарных процессов
569
Наблюдаемым распад
Я * - мезона
Операция С
◄-----►
Операция С
◄-----►
в Несризическая ситуация
Операция Р
о Несризическая ситуация
Наблюдаемый распад
7Г~ -мезона
Фиг 16.13. Ориентация векторов импульса
и спина при распаде п-мезона.
В результате применения к наблюдаемому рас-
паду л* -мезона (а) операций Р (б) или С (в) возни
кают нефизические ситуации Комбинированная
операция СР приводит к наблюдаемому распаду
п-мезона (в). Следовательно, п—р-распад неин-
вариантен относительно операций С и Р по от-
дельности и инвариантен относительно опера
ции СР
инвариантен относительно комбинирован-
ной операции СР*
ТЕОРЕМА СРТ. Какое значение имеет юг
факт, что для слабых взаимодействий имеет
место СР инвариантность? Что означает
этот довольно своеобразный вид инвариант-
ности. можно понять, обратившись к так на-
зываемой теореме СРТ.
Иногда характер физических теорем ока-
зывается таким, что из них удается подучить
* По образному выражению выдающегося со
ветского ученого Л Д. Ландау, впервые сформу
лировавшего понятие комбинированной четности
(СР). изображение в зеркале представляет собой
пе двойника предмета а его антидвойника.
При м ред
исключительно обширные и общие следст-
вия Например, классические законы сохра-
нения можно получить, рассматривая свой-
ства симметрии пространсгва и времени.
Другим весьма общим результатом являет-
ся теорема СРТ, которая всецело основана
на фундаментальных положениях квантовой
механики и теории относительности. Соглас-
но этой теореме, все виды взаимодействия
инвариантны относительно комбинирован-
ной операции СРТ.
В случае слабых взаимодействий теорс
ма СРТ приводит к следующему заключе-
нию Если (как было показано выше) слабые
взаимодействия инвариантны относитель-
но операции СР, а также инвариантны отно-
сительно операции СРТ, то они должны быть
инвариантными относительно операции Т.
Таким образом, СР-инвариантность слабых
взаимодействий означает, что все слабые
взаимодействия инвариантны относительно
обращения времени
Хотя непосредственно проверить теоре-
му СРТ исключительно трудно, тем не ме
нее считают, что эта теорема строго верна
Если будет обнаружено нарушение СРГ-ин-
вариантности в любом процессе, это пот ря
сет до основания всю современную теорепт
ческую физику Следовательно^ если бы в
570
16. Элементарные частицы
слабых взаимодействиях было обнаружено
нарушение СЕ-инвариантности. то это следо-
вало бы рассматривать как нарушение Т'-ин-
вариантности в этих процессах при пепоко-
лебленной СРГ-инварианзности. Действи-
тельно, небольшое нарушение СР-инвари-
антности было обнаружено в 1965 г группой
американских физиков при точном измере-
нии вероятностей распада К0- и К°-мезонов
Если распады К0 и К были бы СР-ивариатп
ними, то вероятности распада в единиц)
времени в т очности совпадали бы. Экспери-
мент, однако, показал, что между двумя ве-
роятностями имеется различие, хотя и очень
малое; отсюда следует, что распады нейт-
ральных каонов (и, насколько пока известно.
только эти распады) неинвариантны относи
тельно обращения времени. Таким образом,
эти распады являются единственными пока
известными микроскопическими процесса-
ми, в которых можно провести различие меж
ду возможными направлениями течения вре-
мени. Одна из самых серьезных задач, стоя
тцих в настоящее время перед физикой эле-
мент арных частиц, выяснить, ч т о же в дей-
ствительности происходит в сист еме № К
Возможно, объяснение этого явления (когда
оно будет найдеио) приведет к дейст ви тельно
фундаментальным выводам.
НЕИЗВЕСТНЫЕ СИММЕТРИИ. Что мож-
но сказать относительно других законов со-
хранения? В чем состоит глубокое значение
законов сохранения электрическою заряда,
лептонного числа (электронного и мюонно-
го), барионного числа, странности и изого-
пическот о спина? Можно ли связать эти зако-
ны сохранения со свойствами симметрии не-
которого абстрактного пространства9 Если
начать с принципа симметрии квантовой ме-
ханики, то окажется что он всегда позво тяет
вывести соответствующий закон сохранения
(Имеет ли полученный закон сохранения ка-
кой-либо физический смысл — это другое де-
ло.) Однако квантовая механика не указыва-
ет образною пути мы не знаем вообще, как
перейти or какого-либо закона сохранения
к лежащему в его основе принципу симмет-
рии Найдем ли мы когда-нибудь принципы
симметрии, coo I ветствующие всем законам
сохранения, это далеко не ясно.
Выдающийся физик-теоретик В. Вайс
конф следующим образом охарактеризовал
нынешнее состояние физики высоких энер-
гий:
«Фи тика высоких энергий представляет со-
бой в настоящее время эксперимензальпую
науку. Мы исследуем неизвестные с бороны
поведения материи в совершенно новых ус-
ювиях Мы делаем волнующие новые от-
крытия в девственной стране, в которой хра-
нятся нежданные сокровища, позволяющие
глубоко проникнуть в зайиы строения мате-
рии. Должно пройти некоторое время, преж-
де чем мы сможем составить разумную карту
этой новой страны»
Основные выводы
Все элемензарные част ицы имеют античасти-
цы. Фотоны, нейтральные пионы и ^’-мезо-
ны тождественны собственным античасли-
цам; у всех других элементарных частиц есть
от тичныс от них античастицы
Фермионы (например, электроны и нукло-
ны) могут создаваться только парами чащи-
ца — античастица Бозоны (например, пионы
и каоны) могут создаваться в любом числе,
которое совместимо с законами сохранения
заряда, импульса и энергии.
Элементарные частицы принадлежат либо
к лептонам (электроны, мюоны и нейтрино),
которые являются с забо взаимодействующи-
ми частицами, либо к адрона.м (мезоны и ба-
рионы) — сильно взаимодействующим час-
тицам.
В элементарных процессах сохраняются
следующие величины
1 Импульс.
2 Момент импульса.
3 . Энергия (масса-энергия)
4 Электрический заряд.
5 . Электронное число.
6 Мюонное число
7 Барионное число
8 Странность (за исключением слабых
взаимодействий)
9 И ютопический спин (только в силь
вых взаимодействиях).
Вопросы
71
Все элементарные процессы (за исключе-
нием слабых взаимодействий) инвариантны
по отношению к операциям пространствен-
ного отражения (Р) и зарядового сопряже-
ния (С). Слабые взаимодействия инвариант-
ны относительно операции СР.
Все элементарные цроцессы (за исключе-
нием распадов К и К0) инвариантны по от-
ношению к операции обращения време-
ни (Т).
Все элементарные процессы строго инва-
риантны относительно операции СРТ
Вопросы
16 1 Электрон и позитрон могут образовать «атомную» систему, называемую позитронием Чго
представляет собой «антипозитроний»?
16.2 Пучок жестких у-квантов падает на мишень из Не3. Напишите возможные реакции фоторожде-
ния пионов.
16.3 . Какие реакции возможны при поглощении отрицательного пиона (в состоянии покоя) прото-
ном? Какие реакции возможны при поглощении Покоящегося отрицательного пиона дейтроном?
16.4 Какие из приведенных ниже распадов возможны, а какие нет 9 Для последнего случая укажите
закон, который нарушился бы в этом распаде.
a) и -► е+ + е+ + в) к+ -► -° + е+ + V>
б) ц+ -► е+ -г + V г) г° [х+ -Ь ц" + + V
16 5. Какие из приведенных ниже реакций под действием нейтрино запрещены и почему?
а) + Р п + Н+; в) Уе + п -> р +
6) v + р п 4- е+; г) + р -+ п + е~.
16.6. Что произойдет в результате поглощения отрицательного мюойа протоном в ядре С12 ?
16.7. Назовите возможные типы распада К -мезона [см. уравнение (16 15)].
16.8. Что представляет собой прсхяейшая реакция образования антипротона при р—^-столкновении?
(Помните о законе сохранения барионного заряда )
16 9 В каких реакциях может образоваться антинейтрон при р—р-столкновении?
16.10. Проверьте различные законы сохранения в следующих реакциях. Будет ли реакция иметь
место с покоящимися чащицами или бомбардирующая частица должна сообщить некоторую энер-
гию? Нарушаются ли здесь какие-либо законы сохранения? Какая из приведенных ниже реакций яв-
ляется разрешенной, но крайне маловероятной?
а) р + П -> т+ Ц- п°; В) р -И р -► р 4- Р Р Р\
б) р + г. р п 4- р; r)p + p-+n4-₽4-«'4-V
16.11. Объясни ie, почему Г гиперон не может распадаться на /Р-гипсрои благодаря сильным взаимо-
действиям (Распад £ * -» Л° + е ’ +vf может иметь место благодаря слабым взаимодействиям. 11 роверь-
те, что в этом процессе не нарушаются законы сохранения )
572
16. Элементарные частицы
16.12. Рассмотрите следующие реакции с точки зрения различных законов сохранения Какие реакции
разрешены9 Какой из законов сохранения накладывает запрет на ту или иную реакцию?
а) Р + Р -* + р + к+;
б) р + л- + ДО;
в) Р+К~ -* 2+ +
г) S+ + S°;
Д) р + т -» S- 4- К0;
е) р + у -* S" + Л°.
16 13. Какие комбинации кварков воспроизводят свойства: а) нейтрона, б) Е i иперопа и в) <1 - ги-
перона?
16.14. Что получится в результате применения операции зарядовою сопряжения к следующим пре
цессам:
а) -> 2Т; б) 2+ -> р + к0; в) -> Л° + /(’?
16.15. Что представляет собой обращенная во времени реакция, соответствующая захвату нейтрона
протоном с образованием дейтрона и испусканием у-кванта?
16.16 Какая реакция получается в результате применения операции СРТ к реакции р рп
Может ли эта новая реакция происходить в природе?
16.17. Какая реакция получается в результате применения операции СТ к реакции р л-?
Может ли эта новая реакция происходить в природе? Если новая реакция возможна, можно ли ее на-
блюдать? Объясните.
16 18. При захвате уя протоном возникают нейтрон и положительный мюон р ! г^п д- Означает
ли это, что распад и-»/> /т-v,, разрешен? Почему этот распад никогда не наблюдается?
Задачи
16.1 Позитрон останавливается в веществе и аннигилирует с электроном Если в этом процессе
рождаются три фотона с одинаковой энертней, то чему равна энергия каждого фотона и каковы от-
носительные направления фотонов, испускаемых и:т точки в которой произошла аннигиляция?
16.2. При аннигиляции р р в состоянии покоя возникают четыре пиона с одинаковой энергией
Чему равна кинетическая энерт ия (в МэВ) каждою пиона?
16 3. Какая энергия высвободилась бы при аннигиляции атома антиводорода с атомом обычного
водорода? (Энергией связи атомов можно пренебречь.) Что представляют собой продукты анни
тиляции7
16.4. Какая энергия высвободилась бы при аннигиляции атома антилейтерия с атомом обычною
дейтерия? (Не забудьте учесть энергию связи ядра энергией связи атомов можно пренебречь.)
16.5. Какие размеры должна иметь пузырьковая камера, чтобы % возникших в центре камеры заря-
женных пионов распалось бы внутри камеры? (Предположите, что все пионы движутся со скоростью
равной 0,1 скорости света, и, таким образом, являются нерелятивистскими.)
16.6. Вычислите минимальную энерт ню фотона, необходимую для создания пнотгов в реакции
Р 4 7 ) л* (Учтите только закон сохранения энерт ии. пренебрегая тем фактом, что в Лействитсль-
Задачи
573
ноет требуется несколько большая энергия фотона для сохранения импульса.)
16.7 Отрица ельный пион (в сосюянии покоя) попющасгся ядром гелия, причем происходит реак-
ция Н^ + л -»Н3+и. Чему равна величина G-для этой реакции?
16.8. Чему равна ве.ичина G-для реакции 1л6(я-, р)Не5?
16.9. Предположим, что сильное взаимодействие осуществляется не только пионами, но и каонами.
Каким должен быть радиус каонного взаимодействия по сравнению с радиусом пионного взаимодей-
ствия? (Относительно вычисления радиуса пионного взаимодействия см. раздел 12.7.)
16.10. Если существует частица (называемая Жмезоном). которая переносит слабое взаимодействие,
то она должна иметь очень большую массу. С помощью рассуждений, аналогичных тем, что были
приведены в разделе 12.7 при оценке массы пиона, покажите, что если радиус слабою взаимодействия
меньше 10 14 см, то масса W-мезона должна по крайней мере в 2 раза превышать массу протона.
16.11. К*-мезон распадается (в состоянии покоя) на два пиона. Чему равна кинетическая энергия
каждого пиона? (Разностью масс заряженного и нейтрального пионов можно пренебречь)
16 12. Какая кинетическая энер! ия уносится пионами при распаде (в состоянии покоя) положитель-
ного каона К+-» л+ л+ л ?
16 13. Какое количество энергии высвобождается в виде кинетической энергии при распаде Е°-»р+л09
16.14. На фиг. 16 11 приведен снимок реакции, в которой А0- и Кп-частипы испускаются со скоростя-
ми, приблизительно равными скорости света. Определите, сколько времени прожила каждая частица
до распада Сравните время жизни Л° с ее периодом полураспада, приведенным в табл. 16.6 Распад К0
указывает на то, что он происходит через К?-частицу. Согласуется ли время распада с известным
периодом полураспада К®?
Туманность «Лошадиная голова» в созвездии Ориона
17 Астрофизика
и космология
17.1. Ядерные реакции в звездах
17.2. Неоптическая астрономия
17.3. Эволюция звезд
17.4. Космология
Основные выводы
Вопросы
Задачи
Тысячелетиями чс ювск глядел па звезды. И сейчас, как в прошлом, он взирает на небеса
с удив гением и трепетом. Современная наука добилась oi ромных успехов в изучении макро-
скопических и микроскопических свойств окружающего мира, однако ллролрссс в понимании
Все лепной в не лом был медленным и неуверенным. Как возникли звезды или, быть может
они существуют извечно? Почему так много различных типов звезд? Как развивалась Все-
ленная в прошлом и каково ее будущее?
Уже можно частично ответить на эти вопросы. Но каждый шал вперед открывает всегда
и новьле области неведомого Б тот ли Вселенная продолжать раслллирягься или, в коллллс колл-
ллов. сожмется? Сколько вслцсства во Все енной?Сущеслвует ли во Все енной антивещество?
Какова природа странных объектов, излучающих фанласлическое количество энергии из
отдаленных областей космоса? Нс являлогся ли источниками мой знергии звезд и галактик
неизвестные доныне процессы?
Одно из основных затрудллеллий при изучении аслрономических явлений состоит в том,
что над изучаемым объектом ллельзя провести конлрольноло экеллеримента. Можлло ллллллл.
набллодатл. естественный ход событий В настоящее время мы убеждеил.л, например что
основную ролл, в образоваллии тяжетых элеменлов во Вселенной илралот взрывающиеся звез-
1л.л (саерхновые). Поэтому изучение этих бурных собылий в мире звезд представ ляст особызл
иллтерес. Но сверхновые вспыхивают в налллей Галактике раз в ллескозлько столетий; прошло
более 350 лет с гсх пор, как можлло было набллодалъ невооружен! льлм глазом вспышку сверх-
новой. Эту трудность удалось до некоторой слеллеии преодоЯезл. 6 лал одари созданию моллл-
нл.лх телескопов, которые улавливают свез лалакгик, находящихся от нас на расстояллилл в
миллиарды световых лет, лло тем ллс менее мьл можем наблюда л л. лилллл. тс я леллия, которые
ллроисхо лят в природе.
Вс ледствис столь жестких ограничений возможное л ей аелрофизиков и космологов, пожа-
луй, наиболее поразительным является не безлраничное разнообразие наблюдаемых астро-
номических явлеллий, а возможность, анализируя эли яв ления, дела гл. вьлводьл отллоситсльлло
эволюции звезд и лалакгик лла протяжении миллиардов лет. Современная астрономия ода-
рила людей наиболее необычными и иллтересными научными проблемами. Можем ли мьл
дейсгвилельно ллрслсказьлватл. судьбу звезд и галактик? Лилллл, через 5 миллиардов лет мьл
получим отвел на л гот воллрос. Тем временем мы должны довольствоваться разработкой
леорий, сол ласулощихся с данными о современном сослоянилл Вселенной, козорьле ллам ) ла-
ется получить
17.1. Ядерные реакции в звездах
ОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗД. Ббльшуло часть
вещее л ва во Всслсллллой составлялот водород
и л елий. Распространенность гелия везде, где
ее удается измсри гь иллл оценить, на Солн
лле, больплих плаллстах и в звездах - состав-
ляв! около 10°, распространенности водоро-
да лло числу а л омов (или около 30“ „ по мае
се)*. Лллллп, малая часть этого водорода п
лелия содержи лея в звездах - остазьллос ко-
личество распределено в межзвездном (лл
межлалаклическом) простраллствс В звез-
дах, л де температура искллочитслыло велика,
* Гелий состав счет примерно 24“о массы Солн-
ца.
аломьл полностью ионизованы и образузол
п.игзму. В межзвездллом ллрос л раллс гве водо-
род и ле лий находятся в оелловллом в атомар-
ном сослояллии. Эли межзвездные ал >мы и
служа л исходным сырьем для образоваллия
новых звезд.
Распределеллие лаза в межзвездллом ллросл
раллс л ве неоднородно Средняя концелл л рация
вещества в ллалллей Га так лике сослав ляез ллрлл
мерзло I алом в 1см’, лло в различных час лях
Галак лики колщен л раллии различны* Эллл
флуктуации плотное л и объясняло лея хаоти-
ческим движением а л омов в ллрос л ране л ве
С лучайно пло л ноет ь велцеслва в оллределелл-
* Вне галактик средняя плотность меньше при
мерно е 106 раз
37—779
578
17. Астрофизика и космология
пой области может существенно превысить
СрСДИЮЮ. ЕСЛИ при 41 ОМ КОЛИЧССТВО BC1HCCI-
ва в какой-либо области превосходит опре-
деленное критическое значение равное при-
мерно 1000 солнечным массам, то в этой об-
ласти возникают достаточно сильные грави-
тационные поля, способные противостоять
разлету газовою облака и стремящиеся
сжать ею до возможно меньших размеров
Но при сжатии межзвездною газа вновь воз-
никают флуктуации плотности и в ряде об-
ластей трави г анионные поля становятся до-
статочно сильными. чтобы ускорить локаль-
ную концентрацию вещества. В результате
первоначальное т азовос облако с массой,
превосходящей 1000 солнечных масс, может
распасться на большое число меньших т т ю-
вых облаков, каждое из которых может про
должать сжиматься под влиянием локально
то гравитационною поля В ходе згою про-
цесса некоторая часть таза конденсируется
в «пылевые частицы» небольшие облака
таза и пыли, из которых татем образуются
отдельные звезды и, таким образом, возни
кают скопления звезд
Имеются многочисленные данные, под-
тверждающие предподожзмтне. что звезды
в скоп тениях образуются при конденсации
облаков пыли и таза. Плеяды (фит 17.1)
одни из наиболее известных примеров рас-
сеянного звездною скопления* образова-
* Рассеянное скопление представляет собой нс-
прзЗшиьную гргтн звезд в отличие от правильной
и коицентрированиои р ппы большого числа
звезд которые образуют шаровое скопление (см
фиг 6 2)
Фит 17.1. Лее фотографии скоп зени.ч в Пле-
ядах.
На зевой фютографии, сделанной с короткой вы-
держкой. видны только шесть звезд, набиодае-
мых невооруженным глазом, а на правой фотогра-
фии. еде. шиной е бо зьшой выдержкой мож но на-
блюдать большое количество других звезд и ту-
манности. которые видны благодаря отраж ению
света звезд от оо лаков пыли и газа, оставшихся
после конденсации звезд
лнсь скорее всею из тазового облака. Это
скопление содержит десятки близких звезд,
из которых шесть видны невооруженным
гла зом в виде небо тыпой ковшеобразной
группы всозвсз тин Тслыта В малой области
пространства оказалось так много звезд,
что эго трудно объяснить чем-либо, кроме
конденсации вещества из общею источни-
ка. Звезды II тся т. несомненно, образова-
тись одновременно. Снятые с большой вы
держкой фотографии (правая фотография
па фит. 17 1) темонстрнруют в Плеядах
несколько отчетливо видных туманных свс
тящихся областей Это свечение вызвано
отражением свет-а звезд от облаков пыли,
оставшихся пос те образования 'звезд
ТИПЫ ЗВЕЗД Большинство звезд состоит
нз однородной или почти однородной смеси
водорода (60 90% по массе), тетия (10
40%) и тяжелых элементов (0,1 - 3%). Звезды,
в состав которых входят, кроме водорода и
гелия, тяжелые элементы, выброшенные при
вспышках новых или взрывах сверхновых. на-
зываются звездами населения I Эти звезды
обычно имеют невысокое содержание во-
17.1. ЯОерные реакции в ieei&ix
дорола и от носи ie.паю большое содержа-
ние те шя. Солнце, 74°„ массы которого со
ставляс! водород, 24°,, ic.iilfi и 2“„ тя-
желые эдсмсты является обычной изсзяои
населения I. Звезды пасеи-нич II содержа!
гораздо меньше ociaioniioio материала дру-
т их звезд; они содержат много водорода,
мало гелия н совсем мало тяжелых э.темсн-
п>в Звезды населения II образовались, оче
видно, m первичного во юрода и гелия.
Различие первоначального состава звезд иа
селений двух типов приводиi к существенно
различным последовательностям ядерных
реакций, в когорык образуются новые эле-
менты в 31 их звездах. Болес того, даже не-
ботыное различие в концентрации различ-
ных тяжелых элементов в звездах населе-
ния I приводит к кому, чю в них итут разные
пос «словаic.tbiiocin реакций.
ПРОТОН-ПРОТОННАЯ ЦЕПОЧКА. При
конденсации звезды из облака газа и пыли
высвобождается i рави: анионная потенци-
альная энергия. 4acib этой энергии трагится
на излучение, а остальная энер! ия прсобразу-
е1ся в кинетическую энергию конденсирую-
щихся атомов, г. е. идет иа повышение тем-
пературы звезды. Долгое время считалось,
чю травитациопная энер!ия является един-
ственным источником энер!ии звезд Однако
в 20-х голах нашего века была показано, чю
одной только гравитационной энертии недо-
статочно. чтобы объяснить количество энер-
гии, излучаемое типичной звездой (напри-
мер. Солнцем) за время ее жизни, исчисляе-
мое миллиардами лет. Тогда обрати ти впи
мание на термоядерные реакции, которые
начинаются благодаря нагреву, происходя-
щему при I равитанионном сжатии; эти реак
ции и позволили объяснить гит антский выход
энергии.
В первой термоядерной реакции, происхо-
дящей при конденсации звезды из межзвезд-
ною вещества, участвует тишь водород. При
захвате протона протоном moi бы образо-
ва шея изотоп Не , но, как известно такого
ядра пс существует (см фш 15 14) Однако
прогоны участвуют не только в сильных, но
и в слабых взаимодсйс гвиях, и во зможеп про-
цесс захвата, при котором два прогона об
разую! стабильное ядро благодаря с табым
37*
в заимодейс т виям:
bP-t-H1 D2 + B++(17.1)
или в сокращенной записи. II (р Р‘ v, )D
Так как этот процесс обусловлен слабым
взаимодействием, сто вероятность крайне
мала столь мала, что образование дейт
рия при столкновении двух прогонов ни разу
не наблюдалось в лабораторных условиях
Оiкуда же мы знаем, что эта реакция лейст
вителыю происходит в звездах? Теория сла-
бых взаимодействий настолько разработана
и так тщательно проверена па реакциях, ко
горые можно осуществись и изучиль в табо-
ра горных условиях, что нет сомнений в пра-
вильное! и вычисления вероятности реакции
И'(/7, [)' v )D хотя сама реакция нсноерел
ст венно и пс наблюдалась.
Котла плотность в iienipc звезды достига-
ет ~ 1001/см'.а темпера!ура ~(07К, кинети-
ческая энер! ия протонов становится доела
1 очной для начала реакции захвата протонов
прогонами*. Как только в этой реакции об-
разуется дейтерий, начинают идти две до-
полнительные реакции, приводящие к обра-
зованию гелия:
D2 + Н1 Не3 +
или D2(p,7)He3, (17.2)
за которой следует реакция с участием двух
ядер Нс1'
Не3 + Не3 -> 2Н1 + Не4,
или Не3 (Не3, 2р)Не4 (17 3)
Конечным результатом этой последователь
ности реакций (называемой протон-протон
ной цепочкой) является превращение четырех
атомов водорода в один агом гелия, как изоб-
ражено схематически на фиг 17 2 Полная
энерт ия, выделяющаяся в этой последова-
тельности реакций, составляет 26,73 МэВ
Гамма кванты и позитроны, возникающие в
ттих реакциях, шн лощаются в центре звезды
* Напомним, что д 1я преодоления кулоновского
отталкивания между заряженными частицами
требуются чрезвычайно высокие температуры
(см раздел 15.5).
580
17. Астрофизика и космология
Фиг. 17.2. Схематическое изображение про-
тон-протоннои цепочки, в которой четыре
ато ма водорода превращаются в один атом
гелия.
В реакциях прини мают участие шесть протонов,
но два из них вновь возвращаются в среду в ко-
нечной реакции.
и окружающем его т азе, приводя таким обра-
зом к дальнейшему naipeey звезды. С дру-
гой стороны нейтрино из-за их слабого взаи-
модействия с вещее IBOM покидают звезду,
унося энер! ию С учеюм этой потери энергии
в каждой прогон-протонной цепочке вы-
деляется в среднем 26,3 МэВ, или ~ 6,5 МэВ
на нуклон. Каждый грамм водорода, превра-
щаясь в гелий, высвобождает примерно
6-1018 эрг. Солнце, где ежесекундно в реак-
цию вступает примерно 6 1014 г водорода,
выделяет мощность 4-Ю26 Вт.
Обычно условия, при которых могут идти
термоядерные реакции, существуют лишь в
центральных областях звезды. Энергия, вы-
деляющаяся в этих реакциях, излучается в
окружающее вещество в виде фотонов. Эти
фотоны оказывают радиациони >е давление
(см. раздел 10.6) на внешние слои звездною
газа. В равновесии действующее на любой
матый объем звездного вещества давление,
обусловленное гравишцией, уравновешива-
ется световым давлением. Как только термо-
ядерные реакции обеспечивают достаточное
излучение для гою, чтобы уравновесить на-
правленную впу1рь звезды гравитационную
силу, сжатие звезды прекращается.
Возникающие в ядре звезды фотопы, преж-
де чем покинуть ее поверхность, миллионы
раз поглощаются и вновь излучаю 1Ся ато-
мами I аза во внешних оболочках звезды Та-
ким образом, испускаемый звездой свет ха-
рактеризует более холодное вещество по-
верхности звезды, а не горячие внутренние
ее области, в которых идут термоядерные
реакции Тем нс менее, как будет показано
ниже, цвет поверхности звезды (вместе с из-
меренным блеском)даст полезные сведения
относительно термоядерных реакций, проис-
ходящих в недрах звезды.
УГЛЕРОД НО-АЗОТНЫЙ ЦИКЛ. Если в
звезде содержится некоторое количество уг-
лерода, то может происходить еще одна це-
почка реакций, в результате которой во го-
род превращается в гелий и высвобождается
Энергия. В этих реакциях углерод служит как
бы ядерным катализатором, нс расходуясь
17.1. Ядерные реакции в те шах
581
и участвуя в новых реакциях. Последователь-
ность реакций в цикле такова.
С12(р, I)N \
Ni3 с13 + Г + v,
c“(P,7)N“,
N14(p, 7) О15,
О -> N15 + 3+ + v„
N15(p, а) С12.
Таким образом, три протона захватываются
в следующих друт за друзом реакциях (/л у)
и Q-распадах, а после захвата четвертою
протона и излучения а-частицы вновь обра
зустся ядро С12. Конечный результат оказы-
вается тем же, что и в протон-протонной це-
почке: превращение четырех атомов водоро
да в атом телия с выяснением примерно
6,5 МэВ па каждый, участвующий в реакции
атом водорода. Так так зта последователь
поегь реакций протекает с участием и обра-
зованием углерода и азота, то ее называют
углсродно-атотным циклом Циклический
характер реакций можно видеть из фиг. 17.3.
Во вновь образовавшейся звезде термо-
ядерная энертня выделяется вначале лишь в
реакциях протон-нротонной цепочки Естп
же в состав звезды входит углерод, то с зги
мн реакциями может конкурировать узле
родно-азотный цикл. Относите тыюс коли-
чество 'энергии, выделяемое в каждом из про-
цессов, зависит оз температуры в центре
звезды При температурах меньше ~ 2107К
доминирует протон-протонная цепочка; при
Г* Й2-1О7К основным источником энергии
служит ут леродпо-а то т пый цикл. Таким
образом, более массивные и яркие (а следо-
вательно, более торячие) звезды, как, напри-
мер, т олубая звезда Сириус, выделяют эпер-
тию за счет ут леродно-азо гною никла, тогда
как основным источником энерт ии Солнца
служит протон-протонная цепочка.
ВЫГОРАНИЕ ГЕЛИЯ. Выделение эттер-
।ии в протон-нротонной цепочке приводит
к повышению температуры в центре твезды,
вследствие чего основную роль начинает ш-
рать углсродио-азотпый цикл при условии,
что в звезде есть ут тсрод. Но откуда берется
углерод в звездах населения 11, которые
состояли первоначально только из водорода
и телия? Отсутствне устойчивых ядер с А 5
и А =8 (см. фит. 15.14) вызывает серьезные
Фиг. 17.3. Углеродно авотный цикл, в ходе
которого водород превращается в гелий: про-
исходит слияние четырех протонов и обри-
суется одно ядро гелия.
1. Бете в 1937 г. впервые выска за i upi дпо южчипе
что лпот цикл является источником тергии
звезд: в 1967 г. он получил Нобелевскую премию
по физике за свой анализ процессов возникновения
тергии в звездах.
17. Астрофизика и космология
затруднения в leopiin ооразовапия > .темен
iob 1 яжслсе юлня. Если в звезде содержа юя
только водород и гелий, ю едино венными
реакциями которые могут прпвеои к обра-
зованию более (яжелых ядер, являются за-
хват протона ядром Нс4 или реакция слияния
гвуг ядер Не4 Однако ни Li образующийся
в реакции Не4 р пи Be8, образующийся в
реакции Не4 i Не', не являю1ся ушойчивы-
ми. Казалось бы. неустойчивость ядер с А 5
н I 8 препятствуют образованию новых
Э1СМС11 гов.
Эта проблема была решена Солитером
и Оппком. Когда запасы водорода в ядре
звезды исчерпываются в npoion-npoioniioii
цепочке, происходи! быстрое ежаiне Петра
звезды и окружающее звез дное вещест во кол
лансирует на ядро При этом сущеетвенио
повышается гав.тепие в нет ре звеугы. темпе-
ра i ура гелия возрастаем до 108 К, а сю п тот
ность достигает 106 i см'. При этих усло-
виях сутпеет вует небольшая равновесная кон -
цеп грация Вс". возникающего при слиянии
двух ядер гелия, несмотря на го что изотоп
Вс8 живет лишь ~ 10 15 с. прежде чем опять
развалт ся на два ядра гелия Так как плот
ность в цешре звезды высока, ядра гелия на-
ходя 1Ся близко .три к друту, и за короткий
период сущее 1вованпя ядро Вс8 можш за
хватть ipeibe ядро гелия, так чю образу-
ется С1- 1акнм образом обходится пеустоп-
чивошь ядер с А 5 и Л 8, и в двухшупеп
чатой реакции выгорания гелия образуется
ут юрод: за реакцией Нс' Не4-» Be® следует
реакция Вс8 Не4-» С При образовании из
грех х-чаентц ядра С12 выделяется примерно
7,3 МэВ (см пример IS I)
Если в ядре шезды от пос и Тель по на ю во-
дорода* го образовавшийся в реакции
3 Пс4-»С12 углерод учас!нус। и дальнейшем
процессе выг орания ге.|пя
С12 + Не4 -► О1В + 7, (17.5а)
* То есть если запасы водорода исчерпаны в про-
тон-пропюнной испочке. в результате которой
образуется ге шй. Если же водород присутстсу
ет. то гораздо до tee вероятен углеродно-азотный
инк 1. нежели дальнейшее выгорание гелич.
соировождающемся реакция*! и
О,в + Не4 Ne.20 + 7,
Хе20 + Не4 -> Mg24 + 7
(17.56)
В noi ранпчной области (разумеется. доекз-
104110 размытой) между центром звезды, ще
11 С| вы'орание гелия, и содержащими во-
дород внешними областями звезды возмож-
ны реакции захвата протонов, такие, кук
О1е(р, 7)Н17,
I 17 -> О17 + 3+ + v
Хе20(р, 7) Na21,
Na21 -к Ne21 -f- 3+ +
Mg24(p, 7) Al25,
АГ25 -> Mg25 + Г +
(17.6a)
(17.66)
(17.6b)
в коюры.х образуются
различные изо юны
РЕАКЦИИ ЗАХВАТА НЕЙТРОНОВ. Об-
разованию тяжелых элементов в термоядер-
ных реакциях с участием водорода и гелия
в звездах препятствует ку юповское от та лкн
ванне заряженных частиц. С увеличением
атомного номера ядра iipoiony пли ot-част li-
ne псе труднее преодолевать потспциаяы|ый
барьер для образования более тяже югоядра
Даже в цеш ре самых горячих звезд iендовой
энергии час । иц недостаточно для образова
пня элементов с большими Z. О днако куло-
новское oi галкивапне нс влияет на захват
нейтронов, и эти реакции iei ко осушесгвля
клея. По современным представлениям все
тяжелые элементы в звездах образуимся в
результате нейтронного захвата.
Нейтроны могут рождаться в звездах в
реакциях гинаС'3(а, и)О'6 и Ne '(a. »i)Mg24
Последовательный захват нейтронов и /(-рас-
пад радиоактивных изтопов могут привест и
к образованию тяжелых элементов Образо-
вание ядер между Ге'6 и Zn68 нулем захвата
nciiipoiiOB изображено схематически па
ф|ц 17 4. Захват ней фонов происходит как
17.2. Неоптическая астрономия
583
30
23
36 37 38
в красных пиан lax. так и в новых п свсрхно
вых звездах.
Если образуется достаточно нейтронов. их
ii.'ioiноеть в звезде может возраст настоль
ко что буле i в< тможеп захват нейтронов
радиоактивными ядрами, прежде чем про-
изойдет их /( распад. Из фиг. 17 4 видно, что
Ni6’ и Си6 могут возникап> в згой последо-
вательности реакций только и результате за-
хвата нейтрона радиоактивным ядром. Дей-
ствительно, вес радиоактивные элементы с
атомным номером бо 1ьше номера cuiiniiu
(Z 82) образуются при захват нейтронов
радиоак гнвпымн ядрами
Обьедипяя полученные в лабораториях
данные о вероятности различных ядерных
реакций с информацией о свойствах звезд,
которую дани различные звездные модели,
можно вполне удовле! ворителыю обьясни iь
наблюдаемое распределение элементов во
Вселенной*. Совместные усилия специатнс
iob в области ядерной физики и асгрофпзп
ков смогли обьяснигь процесс образования
элементов в звездах и привели к одному из
величайших триумфов современной науки.
* Информацию о распределении ле ментов ио
Нселенпой можно получить различными способа
ми изучением состава Земли, метеоритов и
кос мических лучей, а также из наблюдений спект-
ральных линий атомов звезд.
27
26
30
31
N = A~Z
Фиг. 17.4. Образование тяжелых злементоь
в звездах в резу зыпате захвата нейтронов
и ^-распада радиоактивных изотопов.
Частью итого процесса явзчетсч образование
ядер on Fe 6 до ZnA“ Пунктирными гори зонта и
ными езпре зка ми указан захват нейтронов радио-
активны ми и затопи ми
17.2. Неоптическая астропо ии.ч
НОВЫЕ МЕТОДЫ НАБЛЮДЕНИЯ
ЗВЕЗД. Испускаемый звездами видимый cue i
изучался в течение столет ий Однако проис
ходящие в звездах атомные и ядерные про-
цессы связаны и с другими «неоптичсскими»
типами излучений: радиоволнами, инфра-
красным и ультрафиолетовым излучения
ми, рентгеновскими и у-лучами; испускаю!
ся !акже электроны, нейтрино и тяжелые час
типы (космические лучи). Часть этих излуче-
ний (например, инфракрасное и реппсион-
ское излучения) сильно поглощае >ся окружи
ю|цей Землю атмосферой и практически не-
доступна для наблюдений в обсерваториях
( друтои стороны нейтрино так слабо взап
модсйствуш с вешес1вом. что pei нс । рация
них частиц всегда затруднительна. Для пре-
одоления этих и друг их трудное! ей бы пи раз
5S4
17. Астрофизика и космология
Фж. 17.5. Радиотелескоп диаметром 64 и в
Парксе (Австралия).
( помощью иной установки была полу (сна радио
карта юлсиого звездного неба. на переднем п tune
виден передни меной радиотелескоп меньших раз-
меров. который <о«местно с большим радиоте-
лескопа м одра л уст радиоинтерферометр
работают новые методы peuici ранни неон
ТИЧССКО1О излучения твез.д. Ниже мы кратко
рассмотрим основные результаты, получен-
ные неон птческимн методами.
РАДИОАСТРОНОМИЯ В 1931 i К. Ян-
ский обнаружил радиоизлучение М 1ечного
Пути. Эти радиоволны испускаются пспрс
рывпо и в широкой полке частот Первая
установка, предназначенная специально для
приема радиоволн из космоса, радиоше
леской — была построена в 1936 г В настоя-
щее время действую! сотни радиотелеско-
пов. Типичная направленная антенна типа
«чаши» показана на фш 17.5 (см. также
фш 3.3). Эти установки регистрируют ра-
шоволны. испускаемые различными астр»
комическими объектами —Солнцем, lynoii
некоторыми планетами и звездами. тазовы-
ми облаками в нашей Галактике а также
другими ।азакт иками.
К концу 40-х годов были обнаружены н за
несены в каталог тысячи дискретных радио-
источников с малыми угловыми размерами
Один из наиболее мощных радиоле I очников,
обнаруженный в 1948 г , расположен в со
звезлпи Лебедя и обозначается Лебедь \
Эго первый Biiei алак1 ическии источник,
отождествленный (в 1951 i )с видимым аст
ропомнческим объектом (фш 17 6).
17.2. Неоптическая астрономия
Фш 17.6» Фотография (полученная с по-
мощью 2(Ю-дюймового телескопа) астроно-
мического объекта, отождествляемого с
мощным радиоисточником Лебедь А.
На основе изучения этого снимка было выски
зано предположение, что излучение энергии из Ле-
бедя 1 обуслов зено столкновением двух галактик
Однако последующие измерения показали, что эти
гипотеза ошибочна. В настоящее время считают.
что радиоисточник Лебедь .1 представляет со-
бой одну галактику, а заметное на фотографии
раздвоение объясняется присутствием темного
облака пыли, затемняющего жваториальную об-
ласть галактики Раоиои зл учение Лебедя 1 ис-
пускается двумя областями этого облака, рас-
положенными симметрично по обе стороны га-
лактики Природа процесса, в результате кото-
рого проза ходит мощное радиои з зучение Лебедя А
и некоторых других пекулярных галактик, пока
недостато чно я сна.
585
В пас поящее время с видимыми галакги-
ками отождествлены более 200 дискретных
радио источников. Мощность «нормального»
। алак гического радио источника ** 1()А8 )рт с,
г. е. весьма мала по сравнению с излучением
лтергии в видимом диапазоне. (Например,
Солнце излучает эрг/с в оптическом
диапазоне, а Галактика сххВержи т пример-
но 10“ звезд. С ледова тстыто. мощность оп-
тического излучения Галактики ~1044эрт с)
Вместе с тем мощность радиоизлучения нс
которых «пекулярных» галактик достигает
1040 1()44Эр, с- например. Лебедь А излу-
чает в радио диапазоне ^1()44эрт с. чго во
мною раз превышаем мощность, излучаемую
этой галактикой в оптическом диапазоне. Из-
вестно лишь около полудюжины других ра
дногалактнк с подобной мощностью излуче-
ния. Природа этого явления пока неизвест-
**S6
17. Астрофттка и космология
Фиг. 17.7. Точки пересечения белы х шний ска
зывают положения дискретных радиоисточ-
ников
а — область вокруг радиоиспючники ЗС4Ч ка-
жется цустой и не /к чя прои шести оточи <>ei те-
чения с каким- тоо онтичее ким объектом: о — и<>-
южение источника равной> сучения ЗСЗО9.1 поч-
ти в точности соответствует ква ш ше иСно.му
объекту квачару.
на. но, вероятно, оно связано с ускорением
заряженных частиц в га тактических .магнит-
ных полях
КВАЗАРЫ. В начале 60-х годов было сдела-
но важное открытие: ряд радиоисточников,
ио loxciiiie которых уда.тост, опре те ти т ь с до-
статочной гичтюстыо. был отождествлен с
видимыми объектами. имеющими необыч-
ный голубой цвет. На основании резу Пла-
тов двух важных паблтгыеиин был сделан
вывод, что эти объекты не являются обыч-
ными радиога тактиками. Эти наблюдения
покатали, во-первых, что изображения на
фотографиях были четкими, подобно пзез-
там, а нс «размытыми», как у тадакгик,
которые настолько удалены, что нс позво-
ляют различить в них отдельных звезд.
А во-вторых, ттаблтода тост, изменение интен-
сивности радиоизлучения них объектов с
периодом порядка суток Поскольку излу-
чение объекта не может существенно изме-
ниться за время меньшее тою. -т которое
световой сит на т пересекает этот объект,
размеры названных обт.сктов не могут зна-
чительно превышать одни световые сутки
С~.3-|()16 см. п из около 200 астрономи-
ческих единиц), т. е. весьма малы но сравне-
нию с размерами та тактик. Эти необычные
объекты, напоминающие звезды, были на-
званы кии ливе чдпы.ми объектами, или кии со-
ра ми.
При дальнейших наблюдениях в спектрах
квазаров были обнаружены исключит елыю
большие красные смещения. Если связывать
красные смещения с расширслйем Вселенной
(см. раз тел 3 2), то можно прийти к выводу,
что квазары принадлежат к самым удален-
ным и быстро движущимся объек там по Все-
ленной Для гого чтобы отдельная звезда,
находящаяся в отдаленной области Вселен-
ной. имела яркость квазара, она должна из-
тучать фантастическое количество энерт шт,
~ 1О‘Й К)47 эрт с. что в 10' 10” раз пре-
вышает энертню излучения Солнца При та-
кой мощное тэт излучения квазар за месяц нс
пускает количество энертии. соответствую-
щее массе Солнца! Чтобы объяснить столь
огромный расход энерт ии, квазарам следует
приписать массу, в 109 раз превышающую
массу Со шЦа.
Хотя квазары нельзя с абсолютной уве
ревностью считать чрезвычайно удаленны-
ми объектами, все же предположение о том.
что они очень далеки и обладают весьма
большой массой, кажется наиболее правдо-
подобным. Как возникают такие объекты?
Какова их история1' Как они связаны с талик
гическими яв тениями? Являются ли квазары
изолированными звездонодобпыми объ-
ектами или находятся внутри галактик. но
«забивают» своим излучением друт не звезды
талактик? В настоящее время пет ответов на
эти вопросы Несомненно однако, чво даль-
нейшее изучение квазаров позволит отве-
ны т. па этп и друт не важные вопросы, касаю-
щиеся природы и свойств Вселенной
17.2. Неоптическая астрономия
РАДИОИЗЛУЧЕНИЕ МЕЖЗВЕЗДНОГО
ВОДОРОДА Как указывалось в разделе
13.6. наличие атомарного водорода в косми-
ческом прост ранет вс можно обнаружить по
характерному излучению с длиной волны
21 см. которое испускается атомом водорода
при переходе с переворотом спина. Для со-
счавлепия карт распределения атомарного
водорода в межзвездном пространстве поль
зутотся pa шоте тескопами, наст роенными на
прием 31 ого излучения. Удалось не то ь-
ко обнаружить области копненiрации водо
ро ia, но но измерениям доплеровских сдви-
гов згою излучения определить скорости
атомов в лих области! (вдоль туча трения,
связывающего 'Землю с данной об lacii.io)
На фш 17.8 приведено изображение М чеч-
но1о Нули, нос।роенное на основании ре-
зультатов измерений излучения с длиной
волны 21 см. Отметим сходство спиральной
структуры пашет Галактики и галактики
NGC 5194 па фш. 3 14.
МОЛЕЖУЛЫ В КОСМОСЕ В 1963 г. была
открыта новая область радиоастрономии
в межзвездном пространстве удалось обтта
ружнть .молекулы и доказал. возможность
исследования их излучения и пот лощения па
радиочастотах. Первым типом молеку ты.
обнаруженным в космосе, был гидроксиль
ный радикал ОН*. Хотя водород повсемест-
но встречается в пашей Галактике, радпка т
ОН пай ей в основном в исключите н.но ма
лых областях пространства вб тизн очень го-
рячих звезд Здесь относительная концентра
ния ОН но отношению к водороду досчитает
~ 10 4, что является исключительно бо тыпоп
величиной для концентрации мо теку т в меж
звездном пространстве
После открытия в космосе ОН поиски дру
тих молекул позволили обнаружить также
наличие воды 1ЕО, окиси ут лерода СО, циа-
на CN, аммония Nil, и формальдетида
* Химическим равикещо.м называют непс тую
моаектп Радика 1 ОН химически активен и в
обычном состоянии быстро соединяется с раз-
личными веществами (например, Na ОН -»
-»NaOH). В космическом пространстве п ют
ность вещества столь мала, что радикал ОН мо
жвт существовать в течение долгого времени
не вступая в реакции.
Фиг. 17.8. Спиральная структура Млечного
П\ти, определенная на основании измерений
из сучения с длиной во псы 21 см галактическо-
го водорода и его доплеровских смещений.
Крестиком указан центр Галактики, кружком в
верхней части диаграммы обозначено положение
Солтса. Пустая ос засть в нижней части фото-
зафии часть Галактики, затененная плот-
ным галактическим центра т
СН.О Все ли молекулы были идентифици-
рованы но их спектрам испускания и пог до
тения в области радиочастот. Однако необ-
ходимо собрать много дополни те. плюй ин-
формации. прежде чем удастся объяснить
троис.хожДенис в космосе этих мо тек т
ИНФРАКРАСНАЯ И РЕНТГЕНОВСКАЯ
АСТРОНОМИЯ Поскольку т тект ре маг
тштпос излучение с частотами больше и
меньше, чем в видимой области, сильно по-
глощается атмосферой, тишь очень малая
доля его достигает поверхности Земли По-
зтому для исследования инфракрасного и
рентгеновского излучения астрономических
объектов используются ракеты, спутники
н самолеты, совершающие но темы па боль-
ших высотах.
Звезды и галактики па рашшх стадиях об-
разования имеют относительно низкую тем-
17. Астрофишка и космо torus
5КК
нературу. и максимум излучения этих объ-
ектов приходится на длинноволновую об-
ласть спектра. Это означает, что нрогозвез
ды и прогогалактики испускают интенсивное
инфракрасное излучение, даже когда коли
чество видимого света, испускаемого этими
объемами, столь мало, что ею нельзя обна
ружить оптическими телескопами. Поэтому
инфракрасные телескопы, устанавливаемые
па самолетах, ракетах и спутниках, позволя-
ют изучать процессы формирования звезд и
галактик. В этих экспериментах за последнее
время получено мною важных и интересных
результатов.
Рентгеновские телескопы, поднятые с по-
мощью ракет за пределы земной атмосфе-
ры. позволили обнаружить на небе около
пятидесяти дискретных рентгеновских источ-
ников. Некоторые из этих источников были
отож. ествленыс видимыми объектами. Наи-
более правдоподобное объяснение этого из-
лучения аналогично объяснению источников
радиоизлучения, а именно: электроны боль-
ших энергий захватываются магнитными тю-
лями и испускают высокочастотное излуче
пне при ускорении в этих полях.
Дополняя оптические наблюдения, экспе-
рименты с инфракрасным и рентгеновским
излучением а также радиоиз.мсрстшя, на-
чинают давать информацию, которая по-
зволяет построить картину неба в широкой
области частот электромагнитного излуче-
ния
НЕЙТРИННАЯ АСТРОНОМИЯ. Из всех
типов излучения звезд труднее всего ретисг
рироватъ нейтрино вследствие исключитель-
но слабого взаимодействия их с веществом
Но той же причине только нейтрино мотут
покидать недра звезд, не испытывая сколько-
нибудь заметного влияния внешних оболо-
чек звезды. Полому нейтрино обеснечива
ют уникальную возможность исследовать не-
посредственно внутренние области звезд Ес-
чп бы удалось сконструировать достаточно
чувствительные приборы для подобных ис-
следований. то можно было бы получить от-
веты иа многие вопросы относительно ядер
пых процессов внутри звезд.
В отличие ог обычных астрономических
обсерв тторий, которые часто распотатаюг
высоко в горах, чтобы уменьшить потлошс-
пие излучения атмосферой, нейтринные об-
серватории сооружают в глубоких шахтах,
чтобы максимально защитить детекторы or
нежелательных излучений (фона) Несколько
। лубоких шах т в Соединенных LH татах и Юж-
ной Африке используются сейчас в качестве
нейтринных обсерваторий.
Основным объектом исследований нейт-
ринной астрономии в настоящее время явля-
ются солнечные нейтрино, испускаемые при
/Г-распаде В8; если удастся измерить ско-
рость распада В” на Солнце, то можно будет
проверить современные теории строения
Солнца.
Кроме реакций протон-нро тонной цепоч-
ки и углеролтю-азотною цикла, в недрах
звезд мотут происходить и друт ие, побоч-
ные реакции. В этих реакциях В8 может обра-
зовываться следующим образом В протон-
нро тонной цепочке большая часть образо-
вавшихся ядер Не* взаимодействует друг с
другом согласно реакции Нс’ (Не3, 2р) Нс'
[уравнение (17.3)]. Однако некоторое число
ядер Не’ взаимодействует с ядрами Не4, об-
разуя ядро Вс
Не3 + lie- -> Be7 + f. (17.7)
Обычно Be распадается исключительно
путем электропного захвата (см раздел 15.2),
по при чрезвычайно высоких давлении н
температуре в центре звезды чарть ядер Вс7
успевает, прежде чем произойдет распад, за-
хватить протон и превратиться в ядра В8:
Be7 + Н* -> В8 + 7. (17.8)
Затем происходит быстрый /(’-распад В8
на Вея. ядро которого в свою очередь распа
дается па два ядра гелия.
В8 Be8 + 8* + уе, (17.9)
Be8 Не4 -ф Не4. (17.10)
Вероятности реакций Не’ (а, у) Be1 и Вс
(р, у) В8 были измерены в лабораторных ус-
ювиях. Зная их и пользуясь любой моделью
распределения температуры и давления в
звезде, излучающей энергию благодаря про-
тоннротонной цепочке, можно вычислить,
сколько ядер В8 будет образовываться (и рас-
падаться) ежесекундно
17.2 Деонтическая астрономия
5S9
Уникальная особенность распада В8, по-
зволяющая определить скорость распада В"
па Солнце, связана с гем, что образующиеся
при этом распаде нейтрино имею) макси-
мальную энергию* ~ 14 МэВ, тогда как энер-
гии нейтрино, испускаемых друг ими солнеч-
ными источниками, меньше 2 М )В. Таким
образом, измеряя количество испускаемых
в единицу времени Солнцем нейтрино высо-
кой энергии, можно определи)ь скорость об-
разования В8 внутри Солнца. Если бы уда-
лось созда । ь детектор, чувс гвительный толь-
ко к нейтрино с энергиями выше 2 МэВ. то
можно было бы регистрировать нейтрино,
образующиеся при распаде В8, полностью
исключив нейтрино друт ого происхожде-
ния**
Реакция которой воспользовался Р. Дэ-
вис для Доказательства не тождественнос-
ти vf и vP (см. раздел 16.2), обладает именно
геми свойствами, которые необходимы для
создания детектора нейтрино, образующих-
ся при распаде В8 В згой реакции
СР7 4- Аг37 + е- (17.11)
отношение масс О и Аг 7 таково, что реак-
ция идет под действием нейтрино только с
энергией выше 5 М тВ Следовательно, CI 7
будет превращаться только под действием
нейтрино, обратующихся при распаде В8
другие солнечные нейтрино привести к об
разеванию Аг 7 не могут***
* Спектр энергий нейтрино является «отраже-
нием» энергетического спектра электронов (или
позитронов) в Р распаде каждому электрону (и тм
позитрону) малой энергии соответствует нейт-
рино с оо илиои энергией и наоборот
* * По крайней мере от других источников нейт-
рино на Солнце. Нейтрино высоких энергий могут
образовываться и в распаде других радиоактис
ных ядер, но на Солнце реакции образования таких
ядер не идут
*** На самом деле реакция C/”(v,.e )Агэт об-
седает малой чувствительностью к нейтрино с
энергией ниже 2 М>Н. однако более 00"/„ реакций
с участием С1”, вызываемых солнечными неит
рино, происходят под действием нейтрино из рас
пида В", хотя по современным представлениям
последние составляют всего 0,05% солнечных
нейтрино
Фиг 17 9 Нейтринный детектор содержа-
щий около 400 000 л четырехх гористого у г те-
рода, в шахте Южной Дакоты
.(етектор регистрирует нейтрино образующие-
ся при распаде ядер В8 в центральных областях
( олнца.
Нейтринный детектор Дэвиса, содержа-
щий 400 000 л четыреххлорисюю углерода
был размещен в шахте на глубине почти
1500 м (фиг. 17 9) Количество нейтрино, об-
разующихся при распаде В8, оказалось мно-
го меньше, чем следовало ожидать. Более
того, до сих пор не удалось получить сколь-
ко-нибудь надежных доказательств регист-
рации этих нейтрино Можно лишь сказать
чтонасчет нейтрино, образующихся при рас-
паде В8, можно отнести не более 0,5 импуть-
са в сутки, это в 2 раза ниже тою, что пред-
сказывают современные теории для термо
ядерных реакций в недрах ('олнца. Кот та
эти измерения будут завершены то, поп.
туясь ими, возможно, удастся внести необ-
ходимые изменения в теорию внутреннего
строения звезд.
590
17. Астрофизика и космология
17.3. Эволюция звезд
ГЛАВНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО^ ГЬ
Итак, звездьч конденсируются из мсжзвсзл-
ною гача, сжигают свое ядерное горючее и
гибну ч, взрываясь в виде сверхновых или
просчо учасая чч превраигаясч. в небольшие
холодные кучки ядерччочо пепла. К счастью,
ч чя чочо чтобы проследить за тволютщей
звезды. достаточно знать две величины,
которые сравнительно легко измерить
собственную светимость и цвет (харакге
ризующий температуре поверхности) зчзе
зды
Каждая звезда в любой период своей жиз-
ни имеет определенную свеч имость и опреде-
ленный нвеч (или температуру ччовсрхносчи)
и поэтому может бычч> прсдсчавлсчча точкой
чча диаграмме, на которой но осям коорди-
нат отложены величины, соответствующие
цвечу и светимости. В течение жизни звезды
ччредсгавляючцая ее точка движется по дна
ч раммс. описывая некучо кривую. Гаки.м об-
разом, ччроцесс жизни и уч асания зве здч.ч мож-
но изобразить трафически в виде кривой чча
диачрамме нвеч —светимость
Дччч1амика поведения звезды зависит чоль-
ко от двух факторов — массьч вещества, из
которого сконденсирова.тасъ звезда, и соста-
ва этот о вечччеечва. В начальный период чче-
тории звезды для определения звездной ди-
намики важна го чько масса Химическим
состав влияет чча последовательность ядер-
ных реакций, которые происходя! в более
поздние периоды. Еслтч рассматривать звез
ды, химический состав которых подобечч
составу Сотнца (г. е. норма чычые звезды
населения Г), то окажется, что па проч иже
ччин большей час ч и своей истории чти звездьч
занччмачот положения чча дччачрамме ччвеч
светимость вблизи кривой, называемой г шв
ной последовательностью (фит. 17 10) На-
чальное ччоложеччие* звездьч на этой кривой
зависич от ее массы: более массивные звез
дй оказываются более горячими чч яркими
* Мы здесь считаем, что история звезды «на-
чинается» с момента возникновения термо чдер-
ных реакиий в ее центре
чогда как менее массивные звезды so-
чодччымн чч тусклыми*.
11о мерс кочч чеччеацчччч звезды высвобожда-
ется гравитационная ччотечччщалычая эперчпя
чч температура в центре звездьч расчеч до тех
пор, пока не начнутся термоядерные реак-
ччии. Появление нового источника тччерчичч
замедляет процесс сжатия, чак как ихчучсние
оказываеч давление чча внешние слои звезды.
В конечном ито1 е скорость выделения термо-
ядерной чччергни возрастает настолько, что
в лчобом объеме звездного вечччсства радиа-
ционное давление уравновешивает действие
ч равитациопччьчх сил В результате звезда ста-
билизируется и приобретает оччрсдс.теччччч.че
размеры и светимость. В этом состоячччччч
звезда проводит большую часть своей жиз-
ни. и за эточ период пре тставляющая ее точ-
ка ччроходич лчччччь небольшой участок вдоль
главной последовчч тслыюсти.
Так как большую час чь своей жчч зни звезда
стабильна, диаграмма ччвеч светимость
для любой группы звезд представляет собой
распределение точек вдоль главной последо-
вательности. Еслчч нанести чча диаграмме чоч-
ки, представляющие большое число звезд
(например, звезды нчаровочо скопления М3,
фчч! 17.11), чо обнаружится не только ч ручччча
точек вдоль главной последовательности
(как и следовало ожидать), но и значительное
число точек, отклонивчпихся от ч лавной по-
следовательности. Эти точки соответствуют
звездам. находящимся на более поздних ста-
диях своей эволюции, чем и обьясняе!ся их
отход от t тавноп последовательности
ОТХОД ОТ ГЛАВНОЙ ПОСЛЕДОВА-
ТЕЛЬНОСТИ Типичная звезда насе тения
I проводит 9 К) (или лаже большую часть)
жизни, сжитая в своих недрах водород ччо
прогон проченной цепочке или ччо узле
роднб-азотному циклу и медленно переме-
щаясь при этом вдоль члавной последова-
тельности. Солнце движется так уже 4,5 10’
чет и будет продолжать это движение еще
* Несмотря иа то, что звезда излучает огром
ное коаичестао тергии. ее масса остается при-
мерно постоянной в течение большей части ее
истории (елч задачу 17.3)
Светимость по отношению н Солнцу
592
17. Астрофизика и космология
Фиг 17 12. Упрощенная диаграмма аволюции
типичной звезды населения I (например,
Солнца).
5-10’лет, пока не перейдет к последним бур
ним этапам своей истории Бочее массивные
звезды эволюционирую! намного быстрее
звезда, которой соответ ст вуст начальная точ-
ка, расположенная высоко на главной после-
довательности, завершает свой цикл эволю-
ции за сравнительно короткий период
~ 107 лет.
Когда водород в ценiре твезды исчерпан,
она сжимается, что приводит к увеличению
температуры, и начинает выгорать гелий.
Так как при превращении гелия в углерод
выделяется большое количество энергии,
светимость звезды вотрастаст Но выделение
энергии приводит и к увеличению радиаци
оттого давления на внешние слои звезды
Следовательно, внешние слои звезды расши-
ряются. В результате расширения газ ох таж
дается и излучаемый звездой свет становится
более красным, так что звезда ретко смещает -
ся от главной последовательности (фш
17.12). Это расширение и покраснение про-
должаются до тех пор, пока диаметр звезды
не возрастет в 200—300 раз; звезда становит
ся красный гигантом*. Когда Солнце станет
* Красный цвет гигантской звезды Ьетельгейзе
[правое плечо Ориона) можно наб подать невоору-
женным глазом
17.3. Зволюция звезд
593
красным гигантом, оно сначала сожжет Зем-
лю дотла (из-за возросшего выделения энер
гни), а за!ем в результате зигантского рас-
ширения поглотит ее останки Однако oi
этой катастрофы нас отделяют 5 миллиар-
дов лет.
Стадия красного гиганта у типичной звез-
ды длится примерно 107 лет Достигнув на
этой стадии максимальных размеров, звезда
быстро эволюционирует, и ее положение
на диаграмме цвет светимость сдвигается
влево. Время эволюции от стадии красного
гиганта до пересечения с главной последова-
тельностью составляет всего лишь ~ 1%
времени жизни звезды. Следова гельно. Солн-
це совершит этот переход примерно за 100
миллионов лег В этот периоду большинства
звезд нарушается динамическое равновесие,
и они начинают пульсировать, то увеличи-
вая, то уменьшая свои размеры и светимость.
Большинство переменных звезд (например,
рассматривавшиеся в разделе 3.1 цефеиды)
находя гея в этой области диат раммы цве т
светимость.
НОВЫЕ. Считается, что до стадии красного
т ит анта все звезды эволюционируют пример
но одинаково (Скорость эволюции звезды
зависит о г ее массы.) Однако на стадии крас-
ного т ит анта и на последующих стадиях ста
новягея существенными различия в соста
ве зветд (в особенности различия между
звездами населения I и II). Когда звезда
выходит из стадии красного гиганта и дви
жется влево на диаграмме цвег — свети
мость, температура в ее центре (а также на
ее поверхности) возрастает Это означает
что в зависимости от состава звезды могу г
происходить те или иные термоядерные
реакции. Это весьма сложная стадия эво-
люции звезды, и теория эволюции звезды
после стадии красного гиганта до сих пор
несовершенна. Ясны еще не все детали, но
кажется несомненным, чго существуют по
крайней мерс две возможности поведения
звезды на заключительном этапе: массив-
ные звезды взрываются, а лет кие просто
угасают
Когда в легкой звезде (массой меньше
1,4 солнечной массы) израсходуются остат-
ки ядерного горючего, она начинает дви
т ат ься вниз на диаграмме цвет — светимос т ь
(фиг. 17.12); при этом выделение энергии и
светимость звезды уменьшаются, так как
травитационного сжатия уже недостаточно
для поддержания прежней температуры. Од-
нако, прежде чем произойдет существенное
охлаждение, звезда может пройти через еще
одну стадию неустойчивости, на протяжс
нии которой происходят периодические из-
вержения, выбрасывающие вещество звезды
в пространство. При каждом таком извер-
жении в пространство может выбрасываться
10 4—10 5 массы звезды и в зо же время
происходить увеличение светимости Звсз
лы, обнаруживающие подобную неустойчи-
вость светимости, называются новы ми* Све-
тимость типичной новой увеличивается до
стигая примерно о г 10 до 104 светимости
Солнца менее чем за сутки. Увеличение
интенсивности светового излучения продол-
жается неделю или две, а затем блеск
звезды убывает. Обычно этот процесс по-
вторяется** часто много раз, пока не дости-
гаются условия устойчивости звезды.
Прежде чем перейти в область диаграммы
цвет — светимость, занятую белыми карли-
ками (см фиг. 17.12), звезда может изверг
путь еще больше своего вещества, но не
так бурно, как новая. По-видимому, именно
эти выбросы ответственны за появление
внушительных кольцеобразных облаков га-
за (называемых планетарными туманностя-
ми), которые окружают некоторые звезды
(фиг. 17.13).
После того как израсходованы последние
запасы энергии белого карлика, он быстро
охлаждается, сначала приобретая красный
цвет (красный карлик), а затем становясь
черным карликом — плотной холодной куч-
кой пепла, оставшейся от некогда могучего
ядерною костра
* Эти звезды были названы так потому, что
в древности предполагалось, что это новые звез-
ды (обычно до взрывов их нельзя было видеть).
** У некоторых новых и tu г звезд напоми-
нающих новые, извержения повторяются с интер
ва лами от нескольких месяцев до нескольких iem,
у других звезд средний период между извержения-
ми может исчисляться тысячелетиями
38 779
S44
17. Астрофизика и космология
СВЕРХНОВЫЕ. Эволюция звез ы с массой
превышающей 1,4 массы Солнца. копчае1ся
весьма эффектно. Вместо сравни ie илю сла-
бых извержений вешесэва, как у небольших
твезд, достигших фазы новых, эволюция
массивной звезды кончается одним гигант-
ским взрывом. Интенсивность излучения
<акой сверхновой може! в 104 раз нревзойш
интенсивность типичной новой Имеются
пнсьмсннье свидетельства о ipex вспышках
сверхновых в нашей Галактике, которые
были видны невооруженным глазом* Пер-
вый взрыв, имевший место в созвездии Тель-
ца в 1054 г. (фиг 17.14), был зарегис|риро-
ван в Китае. Второй взрыв наблюдался
Тихо Браге в созвездии Кассиопеи в 1572 i ,
* Известно, что за последние десять веков в
нашей Галактике вспыхнуло семь сверхновых.
Фиг. 17.13. Планетарная туманность
NGC 7293 в созвездии Водолея, сфотографи-
рованная с помощью 200 дюймового теле-
скопа.
В настоящее вре и я известно более 1000 п lanemap-
ных туманностей. Извержение вещества, из ко-
торого образуются планетарные туманности,
являются, по-видимому, одним из этапов про-
цесса эволюции звезд, приводящего к образованию
ое 1ых карликов.
а пре юдняя сверхновая, вспыхнувшая в
1604 I. в созвездии Змеи, описана Кеплером
и Г алилеем В телескопы наблюдались мио
гочисленные сверхновые в других галактиках
(фиг. 17.15). В 1ипичпой (алактикс вспышка
сверхновой происходит раз в несколько сотен
лет
17.3. Эволюция звезд
59?
Согласно современным представлениям,
сверхновые возникают следующим образом.
Процесс выт орания гелия в центре звезды
на протяжении стадии красною гиганта
приводит к возрастанию температуры При
температурах порядка 10® К благодаря тер-
моядерным реакциям синтезируются все бо-
лее массивные ядра пока, наконец, не обра-
зуются ядра элементов, расположенных в
периодической таблице вблизи железа. Энер-
гия связи з< их ядер максимальна (см.
фиг. 15.6), гак чю в реакциях синтеза с этими
ядрами энергия не выделяется. В результате
Фиг 17.14 Крабовиднан туманность в со-
звездии Тельца, образованная газами выбро-
шенными при взрыве сверхновой в 1054 г., и
находящаяся на расстоянии 1300 пс.
в центральной области не может продол-
жаться выделение термоядерной энергии.
При этом радиационное давление уже не
в состоянии поддерживать равновесие внеш-
них слоев и происходит гравитационный
коллапс центра звезды. При сжатии в центр
попадает вещество оболочки звезды, содер-
жащее неиспользованное ядерное торючее.
По мере нагрева этого вещества возобнов-
ляются термоядерные реакции, что приводи т
к еще большему возрастанию температуры.
Появление нового источника энергии при-
водит к тому, что вместо коллапса происхо-
дит катастрофический взрыв. Во время кол-
лапса и последующею взрыва (который
происходит за исключительно короткий про-
межуток времени, порядка нескольких ми-
нут) возникает огромное число ней тронов
Учь
17. .(строфизнка и космология
Фиг 17.15. Три фотографии (верхшнзой
вспыхнувшей в 1937 г. в созвездии Левы
На первой снимке с 20-минутной вызЗерзккой
(1937 г.) видна яркая звезда. достигшая макси-
мальной интенсивности. На втором спичке < 45-
минутной выдержкой (1938 г ) видна угасающая
звезда. На последнем снимке звезду динару жите
не удается, несмотря на то что выдержка бьсиз
увеличена до 85 мин. Увеличение времени зкепо-
зщии позволим запечатлеть большое число сла-
бых звезд и некоторую туманность
и благодаря захва!у нейтронов образуются
тяжелые элементы При взрывах сверхновых
большая часть звездного вещества, сосюя
шею как из легких, 1ак и из тяжелых элемен-
тов, выбрасывается в пространство.
В звездах имею] мест два типа процессов
захвата нейтронов В красных i игантах ха
рактерные времена для захвата велики (так
на даваемый мед зенныи процесс), и радиоак-
тивные ядра, образующиеся при захвате ней-
тронов, распадаются прежде, чем произой-
дет следующий захват (см. фиг. 17.4). В сверх-
новых же характерные времена для захвата
малы (быстрый процесс), и вероятное >ь за-
хвата еще одного нейтрона радиоакшвным
ядром выше вероятности fi распада Д >я
объяснения наблюдаемой распространеннос-
ти элементов во Вселенной необходимо учи
тываю процессы обоих типов. Тяже ibie эле-
менты, образующиеся в результате захвата
нейтронов, выбрасываются в пространство
при вспышках новых и взрывах сверхно-
вых, за |ем при образовании из межзвездного
вещества звезд следующего поколения эти
элементы входят в их состав.
Согласно современным представлениям,
непрерывно бомбардирующие Землю косми
чсскис лучи представляют собой в основном
частицы, выброшенные в пространство с ис-
ключительно высокими скорое |ями при
взрывах сверхновых. В дальнейшем такие
частицы захватываются галактическими
магнитными полями и в конце концов до-
стигают Земли Изучение состава космиче
ских |учсй весьма важно для определения
относительной распространенности элемен-
тов во Вселенной
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ И ПУЛЬСАРЫ
Что же ощается после взрыва сверхновой?
Примерно 30 лет назад было предсказано
что после того, как в центре звезды достига-
ется' состояние с исключительно высокими
давлением и температурой, электроны ока-
зываются буквально «вжа!ыми» в ядра, где
вместе с протонами они образуют нейтроны.
В результате этого исчезает электростати-
ческое отталкивание, и под действием сил
1яго1епия нейтронное вещество коллапси-
pyei, образуя маленький сверхплотный шар.
он настолько плотен что обычный процесс
распада нейтрона оказывае!ся в нем запре-
щенным По-видимому, в недрах звезд, взры-
вающихся как сверхновые, существуют ус-
ловия для образования нейтронов' поэтому
предполагалось, что продуктом взрыва
сверхновых являются нейтронные звезды. Од
пако никто не знал, как обнаружить нейрон-
ную звезду, и вопрос об их существовании
оставался открытым. Недавние наблюдения
17.3. Эволюция звезд
597
позволили выявить несколько необычных
звездных объектов, которые, по-видимому,
являются ней)ровными звездами.
В 1968 г. радиоастрономы из Кембридж
ского университета объявили о сенсацион-
ном от крытии. Они обнаружили источник ра-
диоволн, пульсирующий с большой часто-
той — примерно раз в секунду Вслед за тем
бы зи обнаружены и друз ие переменные
(пульсирующие) радиоис гочникн; эти объ-
ект быт названы пульсарами
Периоды известных пульсаров лежат в ин-
тервале от 0,033 до 3 с. Пульсар СР 0950*
имеет период 0,253 с; часть импульса его
излучения изображена на фиг 17.16. От
метим, что импульс дошигает максимально-
го значения примерно за 0,005 с. Любой объ-
ект, если он может испускать излучение в
течение столь малого промежутка времени,
должен иметь весьма малые размеры, меж-
ду частями объекта больших размеров нель
зя досзаточно быстро передавать информа-
* С первая буква в слове Cambridge (Кемб-
ридж) Р в слове pulsar (пульсар), цифры 0950
указывают прио.шжепное прямое восхождение
пульсара на небе
Фиг. 17.16. Импульс излучения, принятого от
пульсара СР 0950.
Нремл между двсм.ч, посзедовитс 1Ы1ыми имп\ п>
< а \ш О 253 с
нию, чтобы короткие импульсы оставалисз.
в фазе. Так как за 0,005 с свет проходит толь-
ко 1500 км, максимальный диаметр СР 0950
ззе превосходит этой величины. Анализ ра-
диоизлучения других пульсаров показал, что
размеры этих объектов не превышают 30 км,
а вероятззб, еще меньше; скорее всего их диа-
метр составляет несколько километров. (На-
помним, что диаметр Солнца 1 4 106 км.)
Т. Голд из Корнсльского университета
предложил модель пульсара, способную объ-
ясни зь многие замечательные свойства этих
объектов. Согласно теории Голда, пуль-
сар это быстро вращающаяся нейтронная
звезда. Переменное излучение возникает
следующим образом. Элсктронзд и протоны
захватываются свсрхсильным магнитным
полем звезды (В ~ 10'2 Гс!). Вместе со звез-
дой вращаются маз ззитпое поле и захвачен-
ные им частицы У внешней границы удержи-
ваемой магнитным полем плазмы частицы
17. Астрофизика и кос ио.югич
Земля
движутся со скоростями, близкими к свето-
вой. Так как частицы движутся по окружнос-
ти, они испытывают ускорение и, следова-
тельно, излучают. Интенсивность излучения
особенно велика, поскольку велики ускоре-
ния частиц. Еще одним следствием реляти-
вистского характера движения частиц яв 1я-
стся тот факт, что излучение почти целиком
испускается вдоль направления движения
частиц. Так как частицы вращаются вмеое
с магнитным нолем звезды, она излучае!
как «прожектор», луч которого обегает небо
(фиг. 17.17). При каждом обороте пульсара
на Земле наблюдается вспышка.
Модель нейтронной звезды не только по-
зволила удовлетворительно объяснив из-
лучение пульсаров, но и разрешила давниш
нюю астрономическую загадку: почему Кра-
бовидная туманность, образовавшаяся при
взрыве сверхновой в 1054 г., продолжает све-
титься9 По общему убеждению, свечение
Крабовидной туманности объясняется излу-
чением быстрых электронов (Е^ЗТО^эВ),
ускоряющихся в слабых магнитных полях
(В~3 1б4 Гс) туманности Однако если бы
электроны приобретали энергию лишь при
взрыве сверхновой, во время которого были
выброшены 1азы, образовавшие Крабовид-
ную туманность, то эта энергия давно рас-
сеялась бы. Следовательно, должен сущест-
вовать непрерывный источник энергии, под
держивающии свечение туманности. В нас-
Фиг. 17.17. Модель пульсара, предложенная
Голдом.
Заряженные частицы удерживаются ма нитны.и
полем звезды. которое вращается вместе со звез-
дой. Излучение ускоряемых частиц подобно излу-
чению вращающегося прожектора.
гоящее время вблизи центра Крабовидной
уманности найден пульсар, накачивающий
в нее энергию. Количество энергии, излуча-
емое этим пульсаром ( ~ 1038 эрг/с), согла
суется с величиной, которая, как показывают
вычисления, необходима для поддержания
свечения туманности.
В 1969 г было обнаружено переменное
оптическое излучение пульсара в Крабовид-
ной туманности. Измерения, проведенные в
Ликской обсерватории, показали, что это
излучение меняется с тем же периодом
0,033 с, что и радиосигналы (фиг. 17.18).
Излучение пульсарами столь большого ко-
личества энер!ии позволило предположить,
что пульсары, в любое время действующие
в нашей Галактике*, ответственны за обра-
зование большей части космических лучей.
Таким образом, необычные свойства пуль-
* Считается, что время жизни типичного пуль-
сара ~ 10* лет.
17.4. Космология
599
Фиг 17.18. Оптическое излучение пульсара в
Крабовидной туманности в минимуме (а) и в
максимуме (б) блеска
Фотографии получены с помощью усиливающей
свет телевизионной камеры, присоединенной к те-
лескопу Ликской обсерватории Световые сигна-
лы пульсируют с тем же периодом, что и радио-
сигналы.
сэров позволяют по видимому, получить от-
веты на многие вопросы, стоявшие перед аст-
рофизиками в течение ряда лет.
Представление о вращающейся нейтрон
ной звезде способно объяснить большинство
имеющихся в настоящее время данных о
пульсарах Однако нельзя с уверенностью
считать, что эта модель выдержит испытание
при дальнейших наблюдениях. Все же она
дает интересное решение необычной астро-
номической задачи, подтверждая таким об-
разом, что для объяснения широкого круга
явлений во Вселенной необходимы новые
смелые идеи
17.4. Космология
ТЕОРИИ СТРОЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Предметом космологии является изучение ис-
тории, строения и зволюции Вселенной как
целого. Космология тесно связана с общей
теорией относительности, так как во Вселен-
ной приходится иметь дело с большими рас
стояниями, высокими скоростями и огром-
ными массами Первая современная космо-
логия* была создана в 1917 г. Эйнштейном
в качестве прямого следствия его первона
чальной формулировки теории относитель-
ности Эйнштейн показал, что общая теория
относительности может объяснить, причем
однозначно и самосогласованно, существо-
вание статической Вселенной, г. е Вселен-
ной. которая не изменяется со временем.
* Термин «космология» употребляется и в с.-ч
общем значении и применительно к конкретным
теорич и
600
17. Астрофизика и космо «огня
В ю время казалось, что Все енная стати-
ческая. и этот результат получил всеобщее
признание и рассматривался как важный
успех теории относительности.
Поскольку цель космологии — объясни 1ь
происхождение и историю Вселенной, мы не
можем поставить эксперимен г или провести
наблюдения для непосредственной проверки
какой-либо конкретной теории. Каждая тео-
рия принимается или отвергается в зависи-
мости oi того, насколько хорошо она пред
сказывает наблюдаемые величины Поэтому,
после того как Хаббл доказал в 1929 г., что
Вселенная расширяется (см. раздел 3.2). кос-
мология Эйнштейна разделила судьбу мно-
< их других теорий — она не выдержала пр -
верки результатами наблюдений*
Так как расхождение между статической
моделью Эйнштейна и паблю таемым расши-
рением Вселенной очевидно, эта модель нс
верна. Некоторые более поздние космолог и-
ческие модели не были столь очевидно оши-
бочными: они не смогли объясни «ь некото-
рые, довольно гонкие результаты. Вплоть
до недавнего времени все предлагавшиеся
космологические модели обладали сущест-
венными нсдоста г ками. После того как раз-
витие техники наблюдений позволило уточ-
нить и согласовать друг с другом прежние
результаты, оказалось, чго только одна кос
мологическая теория (теория большого взры-
ва) способна объяснить все (или почти все)
наблюдаемые яв тения. Разумеется, никогда
нельзя с уверенностью утверждать, истинна
ли данная теория, но на сегодняшний день
общее убеждение таково, что теория большо-
го взрыва имеет наибольшие шансы выдер-
жать экспериментальную проверку.
ТЕОРИЯ БОЛЬШОГО ВЗРЫВА Предпо-
ложение об образовании Вселенной в резуль-
тате гигантскою взрыва было впервые вы-
сказано Г. Гамовым в 1948 г Согласно тео
рии большого взрыва, примерно 1О10 лет на-
зад все вещество и вся энергия современной
Вселенной были сконцентрированы в одном
сгустке с плотностью свыше Ю2’ г см' и
♦ Теории раЛиир.чющейся Вселенной бы/a созда
на в 1923 а. <овепи ким ученым А 1 Фридманом
на основе обизей теории отноз чтсльности.
Прим ред.
температурой свыше 10|6К. Чудовищное ра
диационное давление внутри сгустка приве-
ло к его необычайно быстрому расшире-
нию — «большому взрыву». Составные час-
ти ст устка, разлетевшиеся с максимальными
относительными скоростями, теперь обра-
зуют далекие галактики (мы наблюдаем их
такими, какими они были ггримерно 2-10’лет
назад), очень быстро удаляющиеся от нас.
Таким образом, расширение Вселенной ока
зывается естественным следствием этой тео-
рии.
Гамов предположил также, что все элемен-
ты Вселенной образовались в результате
ядерных реакций в первые моменты после
большого взрыва Из этой гипотезы следо-
вало, что относительные распространен-
ности элементов во Все генной везде должны
быть одинаковыми. Однако исследование
спек т ров звезд показало, что даже для звезд
Млечного Пути относительные распростра
ценности элементов изменяются в широких
пределах. Современные теории эволюции
звезд не оставляют сомнения в том. что про-
цесс ядерного синтеза продолжается и по-
ныне. Извержения вещества звезд и звездные
взрывы возвращают продукты термоядер-
ных реакций в межзвездную среду, где они
служат материалом титя образования новых
звезд.
Уточнения теории Гамова показали, что
ядерные реакции действительно имели мес-
то при расширении сгустка, но их результа-
том могло быть лишь обрагование гелия*
На ранней стадии расширения температура
и давление были столь велики, что протоны
нейтроны, электрон-пози г ровные пары, ней-
трино и фотоны находились в т ермодинами-
ческом равновесии При дальнейшем расши-
рении сгустка температура и давление умень-
шались и ничто не мешало нейтронам испы-
тывать обычные процессы распада Но так
как период полураспада нейтрона составля-
ет примерно 13 мин. в течение нескольких
первых минут после начала расширения кон-
центрация нейтронов была высокой и проис-
ходили ядерные реакции с их участием, а
* При тон образовывались и бо зее тяжелые
цементы, но их количество было ма ю по сравне-
нию с современной распространенностью.
17.4. Кос моаогия
именно:
Нг + п —D2 + T>
. I Не3 4- п,
D2 + D2->| Тз+р (17.12)
Не3 -|- п -► Т3 + Р,
Т3 + D2 -> Не4 4- п.
Детальный расчет показывает, что в ре
зулыаге этих реакций содержание гелия
должно было достигнуть примерно 10% со-
держания водорода. Следовательно, теория
большого взрыва может обьяснтпь наблю-
даемую распространенность гелия (см. раз-
дел 17.1).
Наиболее эффектным подтверждением
теории большого взрыва явилось недавнее
обнаружение реликтового излучения, свя-
занного, по-видимому, с существованием
первоначально!о сверхплотного сгустка
вещества и излучения Это излучение внача-
ле представляло собой у-лучи. обладающие
огромной энер! ней, но расширение и охлаж-
дение сгустка привели к тому, чго у-излуче-
ние также «остыло» и энер: ия фот онов умень-
шилась (г. е. возросла их длина волны) Это
излучение и сейчас существует во Вселенной,
но теперь уже в виде радиоволн, микровол-
новою и инфракрасною излучения
Говоря о сгустке, мы должны помнить,
чго нельзя рассматривать его как бы со сто-
роны, с далекого расстояния, и считать, что
оп расширяется по направлению к нам. Ст ус-
ток представляет собой Вселенную, и Земля
(или по крайней мере тот материал, из ко
торою опа в конечном счете образовалась)
находится внутри него. При расширении
сгустка все остальное вещество во Вселен
пой движется в направлении от Земли (или
от любого куска вещества в сгустке). По-
этому излучение сгустка бомбардирует
(и бомбардировало) Землю со всех сторон
Действительно. любой наблюдатель во Все-
ленной должен регистрировать эго излуче-
ние как падающее на нею с равной интен-
сивностью с любого направления в про-
странстве
Так как расширение продолжается при-
мерно 10*0 лет, фантастически высокая на-
чальная температура уменьшилась настоль-
601
ко, чго в настоящее время, сотласно теории,
средняя температура Вселенной должна при-
близительно равняться 3 К Максимум в рас-
пределении длин волн равновесного излуче-
ния источника с температурой 3 К должен
приходиться на 0,1 см [см. фиг. 12.4 и урав-
нение (12 1)]. Если теория большою втрыва
верна, то должны наблюдаться два тффекта
1) спектр излучения должен соответствовать
равновесному излучению при 3 К и 2) это
равновесное излучение должно приходить с
равной интенсивностью с любою направле-
ния в пространстве, т. е. должно быть изот-
ропным.
В 1965 г были произветепы первые изме-
рения обнаружившие космические радиовол
ны с малой энергией, которые можно было
интерпретировать как равновесное излуче-
ние остывшего, но все еще расширяющегося
сгустка. Впоследствии было проделано до-
статочное количество измерений, которые
продемонстрировали равновесный характер
этого излучения, в соответствии с предсказа
ниями теории, и показали что оно соответ-
ствует температуре 2,7 К (фиг. 17.19). Болес
того, измерения показали, что приходящее
со всех сторон на Землю излучение изотроп-
но с точностью до десятых долей процента.
Итак, мы видим, что теория большого
взрыва успешно выдержала проверку реша-
ющими экспериментами которые удалось
провести до настоящею времени Однако
эта теория пока находится лишь в начальной
стадии, и более сложная экспериментальная
техника для ее проверки еще только созда-
ется. Следует ожида гь, что в ближайшие го-
ды чаще будет проводиться сопоставление
теории с экспериментом, и тогда выясни гея.
выдержит ли теория большого взрыва более
строгую проверку.
БУДУЩЕЕ ВСЕЛЕННОЙ В настоящее
время Вселенная расширяется, но будет ли
это расширение продолжаться бесконечно
так что в пределе плотность вещества во Все
ленной станет бесконечно малой? Общая
теория относительности дает определенный
ответ на этол вопрос. Согласно этой теории,
существует некоторая критическая масса
Вселенной Если действительная масса Все-
ленной меньше критической, травитацион
602
17. Астрофизика и космология
-г
Фиг 17 19. Измеренные значения интенсив-
ности низкочастотного космического радио-
излучения (черные кружки), нанесенные на
график спектра равновесного излучения.
Измерения показывают, что средняя температ\
ра Вселенной 2,7 К Тот факт что эксперимен-
тальные точки хорошо ложатся на теоретиче-
скую кривулр,является важным подтверждение и
теории большого взрыва.
него притяжения вещества во Вселенной бу-
дет недостаточно, чтобы остановить расши
рение, и оно будет продолжаться бесконечно.
С другой стороны, если действительная мас-
са Вселенной превосходит критическую, гра-
витационное притяжение в конечном сче>е
замедлит расширение, приостановит его и
затем приведет к сжатию. В этом случае Все-
ленную ожидает коллапс, в результате кото-
рого вновь образуется сгусток. Все будет го-
тово для нового большого взрыва и нового
расширения. Таким образом, Вселенная
должна пульсировать между состояниями
максимального расширения и коллапса
Содержит ли Вселенная достаточную мас-
су (в форме вещества и энергии) для того,
чтобы стала возможной ее пульсация? При-
близительное количество вещества в звез-
дах, галактических пыли и газе можно оце-
нить различными способами Можно оце-
нить также энергию излучения звезд, Mai -
нитных полей в космическом пространстве,
движения облаков газа, космических лучей
и нешрино. Все это, вместе взятое, оказыва-
ется меньше критической массы. В вычисле-
ниях существует, однако, большая неопреде-
ленное! ь, поскольку мы не знаем количества
вещества в межгалактическом пространст-
ве. Атомарный водород в галактических га-
зовых облаках регистрируется по излучению
на длине волны 21 см Но так как межгалак-
тический водород скорее всего почти пол-
ностью ионизован излучением галактик, ра-
шогалактик и квазаров, он не излучает на
этой волне Для регистрации ионизован-
ного водорода необходимы рентгеновские
методы, но такие эксперименты должны про-
водиться вне атмосферы Земли, чтобы избе-
жать поглощения излучения. Современные
измерения, проведенные с помощью ракет
и спутников, указывают на существование
значительных количеств ионизованного во-
дорода в межгалактическом пространстве.
Если предвари гельная интерпретация ре-
зультатов этих измерений окажется правиль-
ной, то межгалактического вещества доста-
точно для того, чтобы полная масса Вселен-
ной с избытком превышала критическую
Это будет означать, что мы живем в пульси-
рующей Вселенной, которая взрывается, рас-
ширяется и снова сжимается примерно каж-
дые 8-1O10 лет. В настоящее время прово-
дятся новые рентгеновские измерения, и мож
но надеяться, что в ближайшее время мы по-
лучим определенный ответ на этот важней-
ший космологический вопрос
17.4. Космология
боа
АНТИВЕЩЕСТВО И АНТИГАЛАКТИКИ
Применение принципов симметрии для ис-
толкования процессов с участием элементар
ных частиц оказалось столь успешным (см
раздел 16.5), что физики сейчас ищут аргу-
менты, основанные на симметрии, при по-
пытке ответить на новый вопрос. Поскольку
во Вселенной существует вещество должно
ли также существовать антивещество! Из
соображений симметрии этот вопрос надо
сформу шровать следующим образом: не
следует ли предположить, чго вещество и
антивещество встречаются во Вселенной в
равных количествах9 Не должны ли сущест-
вовать, кроме звезд и галактик, также ан
тизвезды и антига.юктики!
Как можно отличить ан i извезду, если она
сущест вует, от звезды? Казалось бы, просто
Атомы антиводорода должны испускать ан
тифогоны; обнаружив последние, мы долж-
ны были бы считать, что они излучаются
антивеществом. Трудность, однако, заклю-
чается в том, что фотон тождествен своей
античастице и не существует различия меж-
ду фотонами, излучаемыми атомами водо-
рода и атомами антиводорода. Следователь-
но, исследуя только электромагнитные излу-
чения, нельзя отличить вещество от антиве-
щества
Какие же данные можно использовать, что-
бы узнать, существует ли антивещество в на-
шей Галактике и во Вселенной? Можно оце-
нить верхнюю границу' количества антиве-
щества в Галактике с помощью следующих
соображений Если в Галактике имеется ан-
тивещество, то некоторую часть межзвезд-
ного газа должны составлять антиатомы.
Двигаясь в пространстве, они должны стал-
киваться с обычными атомами и при этом
аннигилировать. В каждом акте анпигиля
ции выделяется определенное количество
энергии, часть которой из Галактики унося)
фотоны и нейтрино, а другая часть энергии
(примерно 10%), принадлежащая захвачен
ным магнитными полями электронам и по
зитронам, остается в Галактике Эти части
цы, сталкиваясь с атомами (или антиатома
ми), передают свою энергию межзвездному
газу. Кроме того, столкновения электронов
и позитронов, происходящие гораздо реже,
приводят к их аннигиляции и излучению
у-квантов Из разных данных можно оцепи гь
среднюю плотность энергии в межзвездном
пространстве Галактики В результате полу-
чается значение 10 11—10~12 эрг-см-’ (I
-10 эВ см3). Если предположить, что вся
эта энергия возникает в результате анниги-
ляции вещества и антивещества, то мы по-
лучим верхний предел концентрации анти-
вещества в межзвездном газе, равный 10 7.
Так как доля антивещества в межзвездном
газе не может превышать этой крайне малой
величины, отсюда следует сделать вывод, что
звезды нашей Галактики состоят преимуще-
ственно (а вероятнее всего, исключительно)
из обычного вещества*.
Но если даже Галактика состоит лишь из
обычного вещества, не могут ли состоять из
антивещества другие галактики? Нельзя ли
объяснить некоторые из принимаемых нами
мощных радиосигналов из космоса столкно-
вением и анни) иляцией галактик и антига-
лактик? Исключительно трудно представить
как это происходит. Нет никаких надежных
свидетельств того, что столкновения галак-
тик и антигалактик имеют или когда-либо
имели место. Для возникновения антигалак-
тик необходимо, чтобы существовал про-
цесс, разделяющий вещество и антивещест-
во, в противном случае оба типа вещества
просто аннигилируют В частности, должен
существовать механизм разделения вещест-
ва и антивещества в момент большого взры-
ва, обеспечивающий образование галактик
и антигалактик. Такой механизм пока не из-
вестен**-
Были предприняты отчаянные попытки
устранить трудности, с которыми встрети-
лась модель симметричной Вселенной В од-
ной из гипотез предполагается, что исходный
* Нет никаких свидетельств того, что антиве
щество встречается в сколько-нибудь значитель-
ных количествах в космических лучах (которые,
как полагают образуются в основном в нашей
Галактике при взрывах сверхновых и в нейтрон-
ных звездах).
*# Было высказано предположение, что гравита-
ционное взаимодействие вещества и антивещест-
ва соответствует не притяжению а отталки-
ванию Пока это предположение не подтвержде-
но Более того, оно противоречит общей теории
относительности.
604
17. Астрофизика и космоюгич
сгусток разделился или образовал пару
сверхчастиц, кос.мон и антикосмон, из обыч-
ного вещества и ан i ивешества. Эти «части-
цы» разлетелись с огромной скоростью, и
при их взрывах образовались Вселенная и
Антивссленная Маловероятно, чго какие-
либо наблюдения могут подтвердить (или
опровергнуть) эту гипотезу. Вмесге с тем,
если удастся обнаружить значительное ко-
личество антивещества (например, с несом-
ненностью доказать существование сталки-
вающихся галактик и антигалактик), то со-
временные космологические представления
потребуют коренного пересмотра.
Основные выводы
Звезды конденсируются из облаков газа (и
пыли), состоящих преимущественно из водо-
рода и гелия. В состав некоторых облаков
входят тяжелые элементы, выброшенные в
пространство при взрывах новых и сверхно-
вых.
При конденсации звезды гравитационная
потенциальная энергия переходит в кинети-
ческую энергию атомов, и темпера гура звез-
ды повышается При температуре Р^Ю'К
и плотности р - 100 г см3 начинаются реак
ции протон-протонной цепочки. В этих ре-
акциях водорот превращается в гелий; они
служат основным источником энергии Соли
ца.
В звездах содержащих утлерод, при
^2 107К основным источником энерт ии яв-
ляется углсродно-азотпын цикл.
Поскольку не существует стабильных ядер
с А = 5 или А 8, углеро.Гобразуется в звез-
дах в результате реакции ЗНе4_> С12.
Тяжелые элементы образуются в звездах
в результате захвата нейтронов. При взры-
вах сверхновых плотность нейтронов доста-
точна для образования тяжелых радиоактив-
ных элементов
Некоторые пеку/нрные галактики и ква-
знзвездные объекты (квазары) испускают
грандиозное количество энергии. Процессы
в которых выделяется эта энерт ия, неизвест-
ны. Неясна также космологическая роль ука-
занных объектов.
Все звезды проводят бблыиую часть своей
жизни на главной последовательности за счет
энергии превращения водорода в гелии в ре-
акциях протонной цепочки и углеродно-азот -
ного цикла.
На диа. рамме цвет — светимость эво-
люция звезд выглядит как медленное дви-
жение вдоль главной последовательности с
последующим образованием красных гиган-
тов. переменных звезд и стадией неустойчи-
вости. Малые звезды (с массой, меньше 1.4
солнечной) в конечном итоге превращаются
в белые карлики, тогда как массивные звез-
ды (с массой, превышающей 1,4 солнечной)
взрываются, т. е. превращаются в сверхно-
вые Чем массивнее звезда, тем быстрее идет
процесс ее эволюции
Пульсары, по-видимому, являю гея быстро
вращающимися нейтронными звездами, об-
разевавшимися в результате взрыва сверх
новых.
Современные наблюдения говорят в поль-
зу того, что Вселенная возникла в результа-
те гигантского взрыва (теория большого взры-
ва). Звезды и галактики конденсирую гея из
тазов в расширяющемся сгустке. Вселенная
все еще расширяется Будет ли расширение
продолжаться бесконечно или замедлится и
сменится сжатием с образованием нового
сгустка, пока нс ясно
11о-видимому, Вселенная состоит почти ис-
ключительно из обычного вещества, кон
цент рация антивещества во Вселенной ско
рее всею крайне мала.
Задачи
605
Вопросы
17.1. Из большого газовою облака, имевшею первоначально более или менее сферическую форму
образуется галактика. Объясните, как такой процесс может привести к образованию галактики,
имеющей, как и наша Галактика, форму диска. (Учтите влияние момента импульса.)
17.2. Какие условия внутри звезды определяют тип и скорость идущих в ней термоядерных реакций?
17.3. Какие имеются свидетельства существования вещества в межзвездном пространстве?
17.4. Спутниками некоторых звезд главной последовательности являются белые карлики. Ecjhi звез-
ды образовались все в одно время, объясните, почему теперь их свойства столь различны.
17.5. В спектрах некоторых красных гигантов обнаружены спектральные линии элемента технеция.
Период полураспада наиболее долт оживушего изотопа технеция составляет 2 • 106 лет Как это сви-
детельствует в пользу того, что элементы образуются при ядерных реакциях в звездах?
17.6. В газовых облаках некой галактики содержится большое количество водорода и гелия, но отсут-
ствуют тяжелые элементы. Объясните, являются ли звезды этой галактики относительно старыми
или относительно молодыми?
17.7. Как проходила бы конденсация массы газа, если бы электромагнитное излучение не оказывало
радиационного давления? Является ли существование стабильных звезд достаточным доказатель-
ством наличия радиационного давления?
17.8. Как различаются между собой звезда молодых и очень старых (в космологическом масштабе
времени) галактик?
17.9. Известно, чго из космоса на Землю надают космические лучи с энергией до ~1020 эВ Согласно
современным теориям, лишь весьма малая часть космического излучения имеет энерт ню, превышаю
тцую -10“ эВ, т. е. спектр космических лучей практически «обрезается» при этой энергии Тем не
менее в настоящее время конструируются детекторы для регистрации излучения в диапазоне 1021
1022 эВ. Если наши представления верпы, эти детекторы не зарегистрируют ни одного события с
энергией S102' эВ Разумно ли с научной точки зрения конструировать такие детекторы?
17.10 Предположим, что модель пульсирующей Вселенной верна. Будет ли процесс образования
звезд идти на всех стадиях цикла Вселенной или на некоторых стадиях этот процесс прекратится?
17.11. Если Вселенная действизельно пульсирует, всегда ли будет наблюдаться красное смещение
в спектрах удаленных галактик?
17.12. Назовите свидетельства в пользу того, что Солнечная система состоит из обычною вещества,
что антивещество в ней отсутствует? (Рассмотрите метеориты, частицы солнечною ветра а также
посадку космических аппаратов на Луну, Венеру и Марс)
Задачи
17 1. Орбитальная скорость Солнца относительно центра Галактики равна ~300 км.с. а расстояние
до него порядка 104пс. Сколько оборотов сделает Солнце за оставшееся время своего существования?
17.2. Существуют пос теловательиости реакций подобные углеродно-азотному циклу, в которых
водород превращается в гелий, взаимодействуя с неоном и натрием. Постройте диаграмму, подоб-
ную изображенной на фиг. 17 3, для неоно-натриевого цикла. Если начать с Ne20, то дальнейшая по-
606
17. Астрофизика и космология
следовательность реакций будет такой же, как для углеродно-азотиого цикла — три реакции (р у)
и ^-распады с последующей реакцией (р, а).
17.3. Известно, что типичная звезда излучает огромное количество энер! ии и, следовательно, ее масса
со временем уменьшается Почему тем ие менее можно говорить об определенной массе звезды?
Какую часть своей массы потеряло Солнце за последние 10 лет? (В течение это! о времени Солнце
имело примерно постоянную мощность излучения )
17.4. Источник Лебедь А, находящийся на расстоянии ~7 10® световых лет, излучает ~1044 api с
в диапазоне радиоволн. Предположив, что излучение Лебедя А изо!ропно, определите энергию
падающую ежесекундно на 1 см2 поверхности Земли. Сколько фотонов и (лучения водорода (линия )
в секунду необходимо для создания такого not ока энергии?
17.5. Диаметр планетарной туманности, окружающей звезду (см. фиг 17.13), увеличивается на 0.2
за год. Измерения доплеровского смешения показывают, чго скороеib движения газов равна 600 км с.
Чему равно расстояние до звезды?
17.6. Звезда с массой, в 5 раз превосходящей массу Солнца, на стадии сверхновой 1еряет при взрыве
99% своей массы. При сжатии оставшегося вещества образуется ней (ровная звезда диаметром 10 км
Какова плотность вещества нейтронной звезды? Сравнше эту плотность с плотностью а томных ядер
«Вавилонская башня» (М Эсхер}
18 Нерешенные
задачи физики
6(19
За 300 лет, прошедших со времен Галилея, ученые накопили обширную информацию о физи-
ческих процессах. Значительная доля этой информации была приведена в порядок, и на ее
основе возникли различные физические теории Однако ни одна из теорий не является завер-
шенной — в каждой из них мы сталкиваемся в большей или меньшей степени с вопросами,
на которые пока не удалось получить ответа. В области ядерной физики, физики элементар-
ных частиц и космологии наши теории страдают массой недостатков; даже такие осново-
полагающие теории, как квантовая механика и теория относительности, не свободны от
них Ниже мы коснемся вкратце некоторых невыясненных вопросов современной физики.
Список этих вопросов ни в коей мере не является исчерпывающим — их перечисление может
служить лишь указанием наиболее важных проблем, которые занимают физиков в настоя-
щее время
Читатель не должен, однако думать, что все физики заняты сейчас непосредственным
разрешением этих фундаментальных вопросов. Напротив, подобными проблемами занято
лишь сравнительно небольшое число физиков Большинство же работает в узких областях,
сосредоточив свое внимание на специальных задачах, которые можно надеяться решить в
ближайшем будущем. Тем не менее всех физиков беспокоят эти не выясненные до сих пор
основные вопросы и каждый из них надеется, что его собственные исследования прольют
дополнительный свет на ту или иную фундаментальную проблему и будут способствовать
ее окончательному решению
Насколько надежны основы квантовом меха-
ники7 В основе квантовой теории лежит прин
цип неопределенности. По-видимому, следу-
ет считать неизбежным тот факт, что отдель-
ные события, в которых участвуют элемен-
(арные частицы, ядра и атомные системы,
можно предсказывать лишь в смысле их
вероятное (и. Однако некоторые выдающие-
ся физики выражали сомнение в правиль-
ности этого основною допущения кванто-
вой теории. (Так Эйнштейн никогда в него
нс верил.) Они задавались вопросом, ие
могут ли существовать какие-то неизвест-
ные переменные величины («скрытые пара-
метры»), которые действительно определя-
ют каждое элементарное событие, и вероят-
ностная интерпретация является единствен-
ной доступной для нас лишь потому, что мы
пока не обнаружили этих «скрытых парамет-
ров».
Никому еще нс удалось определить эти
«скрытые параметры» или описать элемен-
тарные процессы в обход принципа неопре-
деленности. Из всех теорий фи зичсских про-
цессов, развитых до сих пор, квантовая тео-
рия представляется наиболее глубокой и на-
дежной Но в принципе можез выясниться,
что квантовая теория в ее теперешней форме
неправильна. (Достаточно лишь одного чет
кого экспериментального опровержения тео-
рии, чтобы отбросить теоретиков, так ска-
зать, к исходным позициям ) Если когда-ли-
бо будет доказано, что принцип неопреде
ленности неверен, то мы должны будем ожи
дать полной перестройки физической теории
Какие силы действуют между нуклонами7
Мы многое знаем теперь о силах, действу-
ющих между нуклонами, однако наши све-
дения недостаточно подробны. Эти силы
имеют очень сложный характер, они отчасти
центральные (как в статических кавитаци-
онных и электрических взаимодействиях), а
отчасти зависят о г относительной скорости
двух частиц; вместе с тем они зависят от от-
носительной ориентации спинов нуклонов.
Позволит ли дальнейшее изучение взаи-
модействий между элементарными частица-
ми больше узнать о силах, действующих меж
ду нуклонами? Как каоны, т/’-мезоны и р-ме-
зоны помогают пионам переносить силы,
действующие между нуклонами мы не зна-
ем Окажется ли более полная информация
о нуклон-нуклонных взаимодействиях полез-
ной для установления свойств ядер? Возмож
но, окажется, а возможно, и нет, или по край
ней мерс не в очень большой степени, гак как
мы по-прежнему будем стоять перед проб-
лемой вычисления свойств большого числа
взаимодействующих частиц (Здесь имеется
39 — 779
610
Нерешенные вопросы физики
в виду задача многих тез, о которой будет
идти речь в следующем абзаце.) Мы не зна
см, куда нас мщут завести попытки полу-
чить исчерпывающий ответ на вопросы о
природе сил, действующих между нуклона-
ми, но эта основная проблема по-прежнему
остается не выясненной до конца и мы про-
должаем ею заниматься.
Можно ли решить задачу мног их тел? Если
сила, действующая между двумя телами, об-
разно пропорциональна квадрату расе i оп-
ция между ними (т. е. ~ 1;г2), го можно най-
ти полное и общее решение такой задачи и
выразить решение с помощью извест ных ма-
гемагических функций. (Такой является за-
дача Кеплера о движении планет.) Однако
если добавить к системе третье тело, то мы
уже не сможем записать решение с помощью
известных математических функций (за ис-
ключением некоторых специальных случа-
ев). В каждом отдельном случае, задав на-
чальные координаты и скорости тел, можно
всегда проследить последующее движение с
помощью численных расчетов, точность ко-
торых будет зависеть от нас. Если в явлении
участвует более трех тел (как, например, и
задаче о движении планет в Солнечной сис
теме), то вычисления становятся чрезвычай
но сложными, и даже современным элект
ровным вычислительным машинам требу-
ется много времени для подобных расчетов.
Хотя машинные вычисления вполне адек
ватно описывают движения малого числа
тел этот метол совершенно непригоден, ког-
да речь идет об очень большом их числе. По-
этому для решения таких проблем, как, на-
пример, поведение массы газа (где число час-
тиц порядка I023 или более), требуется со
вершенно иной подход. Для рассмотрения
этих проблем была развита статистическая
теория (статистическая механика), которая
может ответить на вопрос, каковы средние
свойства большого коллектива частиц. Ста-
тистическая механика представляет собой
дальнейшее развитие кинетической теории и
с успехом применяется при рассмотрении
термодинамических свойств вещества
Если мы хотим, например, рассчитать по-
ведение электронов в сверхпроводнике, го
классические статистические методы уже не
применимы, так как взаимодействия элек-
тронов усложняются квантовой природой
системы, и мы имеем дело с квантовомеха-
нической задачей многих тел. Первым успе-
хом в этом направлении было развитие тео-
рии Бардина Купера Шриффера. с по-
мощью которой удалось объяснить многие
свойства сверхпроводников. Но пока теория
многих тел в применении к твердому телу
находится лишь в начальной сталии разви-
тия, и многие основные проблемы еще пред-
стоит решить.
Теорию многих тел пытались также при-
менить для объяснения свойств атомных
ядер. Однако здесь имеется еще одно услож-
нение: силы, действующие между нуклона-
ми, не подчиняются принципу суперпозиции.
Другими словами, ядерные силы, связыва-
ющие нуклоны в ядре, не являются простой
суммой сил, действующих между всево- мож-
ными парами частиц в ядре: труппы из грех
(четырех и более) нуклонов дают добавоч-
ные взаимодействия. Поэтому нельзя объяс-
нить свойства такого ядра, как Не3 (2 про-
тона, 1 нейтрон), только двумя п — p-взаи-
модействиями и одним р — р-взаимодейст-
вием. Мы знаем, что в ядрах силы, действу
ющие между тремя частицами, много слабее
двухчастичных сил, по не можем сколько-
нибудь точно предсказать, как они дейст-
вуют
С задачей мнотих гел приходится сталки-
ваться в различных облас ях физики; напри-
мер, методы ее решения, развитые в теории
сверхпрово имости, применяются и в ядер-
ной физике.
Какова природа слабого взаимодействия?
В настоящее время мы знаем о слабом взаи
модействии безусловно много ботьше, чем
о сильном. Нам понято решающее значение
релятивистскою подхода к слабым взаимо-
действиям и роль, которую играют четыре
типа нейтрино и их участие в различных фор-
мах этого взаимодействия. Вместе с тем ос-
таются пока непонятными различия между
свойствами слабого взаимодействия при
/^-распаде и при лептонных распадах гипе-
ронов. Нет сведений о радиусе слабого взаи
модействия, и неизвестно, каким путем оно
передается В случае сильного взаимодейст-
18 Нерешенные вопросы фишки
611
впя это приблизительно известно: радиус
сильного взаимодействия равен примерно
10 13 см; мы знаем также, что за передачу
взаимодействия ответственны в основном
пионы (подобно тому как <|хэтоны переносят
электромагнитное взаимодействие). В насто-
ящее время полагают, что слабое взаимо-
действие может оказаться точечны м (т. с. с
равным нулю радиусом действия), но это. по
всей вероятности, не имеет физического
смысла. Вместе с 1ем, ее ти радиус действия
окажется конечным, то можно ожидать, что
существует некоторая частица (аналогичная
пиону), являющаяся носителем взаимодей-
ствия. Пока что частица, которая подходила
бы на роль переносчика слабою взаимодей-
ствия, нс найдена она остается «призра-
ком».
Почему существует мюон9 Среди большого
количества элементарных частиц, известных
к настоящему времени, хорошо поняты свой-
ства лишь немногих (например, электронов,
нуклонов и пионов). Что же касается осталь-
ных. то наиболее загадочными из них выгля
дят мюоны Известны свойства мюонов, сш
собы их рождения и распада, а также, что
мюон участвует в слабых взаимодействиях.
Но мюоны не укладываются в схему элемен-
тарных частиц, как мы ее себе представляем
в настоящее время, создается впечатление,
чго мюоны вообще не нужны. Когда мюоны
были открыты, надеялись, что они окажутся
частицами, ответственными за ядерные си
лы(т. е. переносчиками сильното взаимодей-
ствия). В течение примерно деся т и лет мюо-
ны ит ради эч у роль (справляясь с пей ие слиш
ком хорошо, поскольку мюоп-нуклоннос
взаимодействие оказалось безнадежно сла-
бым), пока не были открыты пионы Тотчас
же стало ясно, что именно пионы, которые
сильно взаимодействуют с нуклонами, а не
слабо взаимодействующие мюоны, являют
ся частицами, определяющими нуклон-нук
лонные силы Мюоны же оказались без дела
и ос таются «безработными» до сих пор.
Свойст ва мюоиов совпадают со свойства-
ми электронов с той лишь разницей, что они
массивнее и в конце концов распадаются на
электроны. Но электроны прекрасно справ-
ляются со своей ролью в природе, им не
требуется никакой помощи от мюонов. Воз-
можно, мюоны это электронц-т итанты,
стучайно созданные природой.
Кварки, магнитные монотюли и тахионы
существуют ли они? В некоторых совремсп
ных теоретических работах исследуется во т-
можноегь существования этих трех обьек-
тов. Кварки — это частицы с электрическими
зарядами 1уе и 2''}е (положительными и от-
рицательными), которые соединяются в т руп-
пы из двух или трех частиц, обратуя обьек
ты с зарядами 0 или ±е. Предполагается,
что получающиеся в результате объекты
можно отождествить с известными элемен
тарными частицами. В самом деле, с помо-
щью модели кварков были достигнуты не-
которые успехи в объяснении детальных
свойств элементарных частиц Магнитные
монополи (они были предсказаны Дираком
в 1931 г.) представляют- собой изолирован-
ные магнитные полюсы, т. е. полюсы, кото-
рые существуют поодиночке, а нс парами,
как в обычных магнитах. Если магнитный
монополь обнаружат, ею, вероятно, будут
рассматривать как элементарную частицу
особого типа с весьма странными свойст-
вами; так. например, он будет ускоряться
в статическом магнитном поле точно так же,
как электрический заряд ускоряется в ста-
тическом электрическом ноле. Тахионы*
но частицы, которые движутся со скоростя-
ми, превышающими скорость света, г. е
»>с Из теории относительности следует,
что ни одно тело не может быть ускорено от
скорости о < с до скорости т’ с Таким
образом, обычная частица не может дви-
гаться со скоростью V >с поскояьку при
этом пришлось бы пройти через запрещен-
ное значение скорости v с А что если су-
ществуют частицы (тахионы), которые всегда
движутся со скоростями г>с? По-видимому,
существование таких частиц нс противоре-
чит теории относительности. (Тахионы пи
когда ие могут иметь скорость г с, а их
масса является мнимой ) Скорости обычных
част иц заключены в ин гервале 0 < i < с, тогда
как скорости тахионов принадлежат интер-
на. т\ с < г< оо.
* От греческого слова ктахис» — быстрый
39'
612
18. Нерешенные вопросы фишки
Никто еще не регистрировал ни кварков,
ни магнитных монополей, ни тахионов, но
теории предсказывают свойства этих объек-
тов, и существуют методы регистрации эф-
фектов, обусловленных их свойствами. Та-
ким образом, если какой-либо из этих объек-
тов существует, можно обнаружить связан-
ные с ним эффекты при условии, разумеется,
чго методы регистрации достаточно чувст-
вительны. Поиски этих частиц продолжа-
ются, но надежных результатов пока не по-
лучено.
Насколько хороша общая теория относи-
тельности. Из всех фундаментальных физи
ческих теорий общая теория относительно-
сти предсказывает наименьшее число физи-
ческих эффектов и получила до сих пор наи-
меньшее экспериментальное подтверждение.
Ни один из экспериментов не дает опреде-
ленного подтверждения теории — слишком
велика неопределенность в измерениях.
Предсказанное теорией значение скорости
прецессии перигелия Меркурия хорошо со-
I ласуется с наблюдаемым значением, однако
если подтвердится, что Солнце несколько
сплющено у полюсов, то придется ввести
небольшие поправки в предсказанное значе-
ние Тогда теория и эксперимент будут рас-
ходиться примерно на 10%. Подобным же
образом предсказанное искривление свето-
вых лучей в гравитационном поле проверено
с точностью 10%. Если проводимые в на-
стоящее время новые измерения ла луг ре
зультат, отличающийся от предсказаний тео-
рии на 10%, то окажется необходимым пе
ресмотр общей теории относительности Мо-
дификация этой теории уже предлагалась:
cor ласно ей гравитационное взаимодействие
должно состоять из двух частей — основной,
которую мы в настоящий момент считаем
трави гационной силой, и малой час т и имею-
щей существенно иной характер
Один из постулатов общей теории о т носи-
тельности состоит в тождественности грави-
тационной и инергной масс (принцип зквива-
яентности) Их равенство было проверено
с точностью до 10-11, но необходима еще
более высокая точность, ч гобы можно было
не сомневаться в этом постулате.
Еще более фундаментальное значение име-
ет следующий вопрос общей теории относи-
тельности имеют ли все гравитационные
эффекты геометрический характер, т. е. яв
ляется ли гравитация прос о проявлением
искривления пространства9 Эйнштейн дол-
го работал над этим вопросом, но оконча-
тельного решения мы не имеем до сих пор
Не достиг нут прогресс и в попытках объе-
динить общую теорию относительности с
квантовой механикой. Было приложено мно-
го усилий, чтобы развить квантовую теорию
гравитации, но успеха пока никто не достиг
Космология Если есть в настоящий момент
область современной научной мысли, впло г
ную встретившаяся с фундаментальными
проблемами, так это космология. Основная
трудность состоит, разумеется, в том, что в
лаборатории нельзя провести детальный
контролируемый космологический экспе-
римент -- мы должны полагаться на наблю-
дения пад объектами, которые лежат на фан
засгических расстояниях от нас и на которые
мы никак нс можем влиять И поскольку об-
щая теория относительности тесно связана
с космологией, каждая нерешенная проблема
общей теории относительности приводит к
трудностям в космологической теории
Мы не знаем сколько-нибудь точно массу
или размеры исследуемой системы (Вселен-
ной). Мы не знаем будет ли наблюдаемое
расширение Вселенной продолжаться беско-
нечно или в конце концов прекратится и
сменится сжатием Мы нс знаем, существует
ли во Вселенной в каких либо значительных
количествах антивещество. Существуют ли
антигалактики? Возможно, и нет' мы не
имеем надежных доказательсв их существо-
вания Мы не знаем природы квазаров,
излучающих гигантскую энергию. Мы знаем
не слишком много о деталях эволюции
звезд после стадии красного гиганта. Мы
не можем понять, почему в космосе сущест-
вуют молекулы Мы не имеем надежной
теории космических лучей сверхвысоких
энергий
И, разумеется, мы ничего ие знаем-о про-
исхождении Вселенной, хотя имеющиеся в
настоящее время данные указывают на го,
что се расширение это результат проце-
нте штсго около 10 миллиардов лет назад
18. Нерешенные «опросы физики
613
чудовищного взрыва, мощь которого даже
невозможно себе представить. Но откуда
взялось это гигантское количество изна-
чальной энергии?
Существуют ли «бнотоническне» законы?
Применение физической теории и техники
физического эксперимента к биологическим
системам привело к ряду удивительных ре-
зультатов. Мы можем осуществить деталь-
ный анализ структуры гигантских мо гекул,
из которых построены живые организмы, мы
многое узнали о воспроизводстве клеток при
помощи ДНК, мы можем даже искусственно
создавать небольшие органические молеку-
лы и даже ферменты, являющиеся строитель-
ными кирпичами материи, но мы еще не спо-
собны создать жизнь физическими метода-
ми. У нас нет оснований сомневаться в том,
что молекулы живой материи подчиняются
тем же физическим законам, которые управ-
ляют повелением неживых объектов. Кван-
товую механику можно применять к молеку
лам живой клетки точно так же, как к ато-
мам кристалла. Но только ли квантовая ме-
ханика управляет повелением живой мате-
рии или верно старинное убеждение в том,
что существует некий жизненный принцип,
необходимый для создания живой ма герии ?
Иными словами, существуют ли некие био-
тонические фундаментальные законы, при-
менимые к биологическим системам, но не
действующие в физическом мире? Мы не
имеем доказательств существования таких
законов, и пока мы не поймем глубже физи-
ческие основы жизни, мы не будем, знать,
нужно ли постулировать существование по-
добных законов.
В каком направлено! нам двигаться? Мы на-
копили много сведений о физических явле-
ниях, однако кажется, что вопросов больше,
чем ответов. В некотором смысле именно
в этом и заключается смысл научного про-
гресса. Возможность поставить важный воп-
рос означает шаг по пути прогресса в понима-
нии законов природы, так как в этом случае
мы знаем, в каком направлении следует ис-
кать ответ на него Разумеется, в будущем мы
получим еще больше ответов - возможно,
мы даже найдем ответы на те вопросы, кото-
рые только что обсуждались, но столь же
несомненно, что мы встретимся и с новыми
фундаментальными проблемами. В этом
сущность физики и ее очарование.
Ответы на некоторые задачи
Глава 1
1.1. х=п2, п — 1, 2, 3,... экспериментальные резулыаты подтверждают этот вывод с точностью око-
о 1%.
1.3. а) 1.2 • 103; б) 4,8 10’; в) 2 4 108; г) 1,8 108
1.5. 14 миль, восток.
1.7. Теория справе лива.
1 9 а) у <*2.5: б) у=ь4.5. в) > «- 5.
Глава 2
2.1. 167 дней.
2.3. 3 мкс.
2.4. 2 мин
2.8. 2,5 109
2.10. 4 ч; 1,5".
2.11. 5 • 10“25 см3; ратом-3,3 г/см3; Рядро%2,3 10м г/см3.
2.14. 1,2 • 1046 атомов; 3 м.
I лава 3
3.2. Через один венерианский год. ^-ЗСЗ 135
3.3. 2,1 1024 см 6,7 10’ пс.
3.5. 0.004".
3.7. Нет, потому что обращение Земли вокруг Солнца приведет к изменению видимого положения
звезды на небе.
3.9. Примерно в 6 раз дальше
3.11. 5 • 10 2 ралдаЗ .
3.13. 1,2 103 св. лет3.
3.15. 1,8 1024
3.17. No 6,02 • 1023; 1 г-моль.
3.19. 1 24 л.
3.21. 3,68 • 1021.
3.23. ~ 10 8 см.
3.25. ~4 2 • 10 13 см.
3.27. -10’ с.м.
3.29. 2 ч.
3.31. 7. -82, А 206 (Pd206)
Глава 4
4.1 б) 60; 12; 50; 80; 0 40 км ч
в) Водитель в полдень сделал остановку, чтобы позавтракать, а в 13 ч 46 мин ею остановили за пре
вышение скорости (140 км/ч).
Отпеты на некоторые задачи
615
4.3. а) 9 м;с; б) 3 м/с; в) 5,4 мс; г) 7 м с.
4.5. 63.5 м.
। 4.7. 44 м; 29 мс
4 11 183 м; 15 с.
4 13. 148 м; 1340 м‘с2
4.15. 5,05 g нет
4 17 А В 2 единицы, под углом 30г по часовой стрелке от В
4 19 500 м/с
4.23 76,3 м с
4.25 . 1070 м/с; 155 с; ~30 км
4.27 R tog, h=gt2 2, г г0 следовательно, h = i-l4g R 4.
4 29 210 м с.
j 4 31 7,3 • 10 5 рал с; 0 47 км с, 0 33 км с.
4.33 Оц - 4л2г'т2 — 0,1 g.
4.35 . 2,1 • 10'° см Ас нет
I лава 5
5.1. 2 с.
5.3. 5 Н
5.5. 5,6 смс2 под утлом 27 к оси х
5.7. 2 Н
5.9. 3 104см. с
5 11 2000 Н в направлении, противоположном направлению первоначального движения.
5 13. ~6 см с; возможно
5.15. 2 м/с; скорость судна фактически не изменилась (Дед. 3 10 ‘)
5.17. v 1,67 м с поглощается Землей
5 19. 1,67 м с
5 21 2,7 1047 гсм2с
Глава 6
6 1. 9,5: 7,35; 3,62 м.с2.
6.3 3.62 м/с2; 0,362 Н
6.5. 1,2 см; 44 м; отношение равно 3600. т. е. квадратному корню из отношения расстояния между
Землей и Луной к радиусу Земли.
6.7. 13.6 сут (т. е. 0,5 истинного лунного месяца)
6 9. 77 сут, 0,72 км<
6.11. Не удовлетворяется третий закон Кеплера.
6 13 450 км; период тот же, что и на Земле.
6.15. 36 дин
6.17. 0,067 ед СГСЭ
6.19 9.8 ед. СГСЭ
6 21. 2,3 10 дин; ос 2 5 1024 см с2, <тр 1,38 1021 см/с2
6.23. 10 10 см
616
Отпеты на некоторые задачи
Глава 7
7.1. Первый человек —с силой 115 Н второй —с силой 100 Н; 104Дж каждый.
7.3. 9 8 103 Дж, в обоих случаях совершается одинаковая работа.
7.5. 274 4 Дж; 313,6 Дж; вторая величина больше, так как она включает потенциальную энергию каж-
дого ящика при начальных условиях, когда он стоял на полу; в первом случае перемешались лишь
7 ящиков
7.7. 9,8 см
7.9.7,84 108 Дж 1,18 109 Дж; нет, поскольку используется дополнительная потенциальная энергия
7 11. 5 105 эрг; 0.
7 13.1 47 107 м3
7.15. 3750 Дж
7.17. 22,6 м'с; 10.8 м'с
7 19 2,25- 10’ Дж
7.21. 140 Дж
7 23. 1 26 10’ Дж, 5 • 103 м'с.
7.25. На 2 эр , на 2 эрг- на — 6 api, нет
7.27. 2,67 эрг
7.29. 0, на 1 64 10 11 эрг.
7.31. 9,8 • 10’ см/с.
7.33. Ср —5,9 • 10е см.с: i це 3,9 108 см/с
7.35. На 0,47 С.
7 37. 6%.
7 39. 1,74 • 1024 эрг/с, 2,47 104 эрг
7 41 и = ЗР„ач
7.43. 4,76 а<м, АГ - 141 5 С
745. ГПУ.
7.47. 0,039 эВ, 1,37 105 см с.
7 49 1,57- 10е см/с; 12,9 кэВ
7 51. 1,1 • 107 кВт • ч
7.53. 3,6 • 105 кг
Глава 8
8.7 850, 855, гравитационный потенциал Луны практически постоянен
8.11. 3,22 10"8 дин под углом 63 4 к оси х
8 13. 106 ед СГСЭ; 8 10 6 ед. СГСЭ.см3.
8 17 4,р = 1,11 10 23 эрг'г, Ф,л=4.8 10'2 эрг/ед СГСЭ заряда 4 8 10 ед СГСЭ потенциала.
8.19 4,8 1016 ед. СГСЭ потенциала см
8 21. 0,04 ед. СГСЭ потенциала
8.23. Л?-0. ф, 0,6 ед. СГСЭ потенциала; Е 0, </>,, 0.
8.25 12 10 эрг для электрона -1,2 10 7 эрг для протона
Ответы на некоторые задачи
617
Глава 9
9.1 5,3 10’с.
9.5. 79 центов.
97. 1,56 1021.
9.11. 5,35 Гс.
9.13. Радиус орбиты частицы с большим зарядом будет в 2 раза меньше
9 15. На h~ 1 см вв:рх
9 17. (ВК)£=(ВЛ)«.
9.19. R 1021 см«1% размера нашей Галактики.
9.21. 9,15 10’ Гс.
9.23. В-725 Гс.
9.25 ц 11 10 ’ эрг/Гс
9.27 210 МэВ Для получения частиц высоких энергий требуются большие напряженности поля
из-за искрового пробоя напряженность электрического поля не может превышать ~30 кВ'см, для
напряженности же магнитного поля таких ограничений не существует (можно получить ~106 Гс).
Глава 10
10.1. 5-Л=11,2 см/с 25 см/с2; 2,81 с
10.3. 10’ дии
10.5. <6 2,45 с.
10.7. 2,6 км.
10.9. 51,3 см 3,3 см
10.13. 5,10 15,20 Гц звук частотой 20 Гц являегся слышимым, а звук частотой 15 Гц находится вблизи
порога слышимости
10 15. 37,2 м/с-134 км/ч.
10.21 12 см.
10.23. 1,8 см
10.25. 12 м 30 МГц
10 27 1,5 1021 Гц, у-лучи
Глава 11
11 1. 1,71 Ю10 см/с.
11-3. (Г„ьют — Грел )/Срел -0,017% «2 Iff4
11.5. с=(/з/2) с 0 866с 2,59 10’° см/с.
11.7 4,52 г; 1,41 г
11.9. v с—6 см /с.
II 11 2 6 сут
11 13. 1 см, т 105 т0- 54,5 а. е Masm(Fe).
11 15. (>/3/2)6= 0,866
11 17. (з/8/3)с 2,84 • 10ю см/с.
11.21.4 35 • 102' г/с; 1 45 1013 лет.(Ожидаемое время жизни Солнца определяется другими факторами
и составляет ~ 10ю лет.)
11 23 На 1,1 Iff6 см
11 25 2 - Iff6.
618
Ответы на некоторые задачи
Г лава 12
12.1. 4833 К
12.3 6,25 10’1 фотонов'с; 10"® А.
12.5. 3,2 эВ
12 7. 3 72 эВ
12.9. 12,4 эВ 1,98 Ю'" эрг; 1.98 10"18 Bi
12.11 0,62 А, 0,64 А; 19,3 кэВ, 0,7 кэВ
12.13. ~8 НТ35 см
12.15. 59 В
12.17 Электрон спустя 1,39 10 *с; протон спустя 2,55 10 3 с; фотон спустя 3,3 I0-8 с.
12.19.1,8 10 8 см.
12.21 6 10’ колебаний, 30 см
12.23. Приблизительно па 1 3 0,09 А; оптический электронный
12.25. 0,14 см
12 27 6,6 10 29 г - см с,
12.29 1 33 10 г смс, 6 эВ потому что полная энергия электрона остается постоянной
Глава 13
13.1 На 4,2 10 12 см
13.3. 910 А
13.5. 1,09 108 см.с. 6,65 10 8см
13.9. 1026 А, 1216 А, 6562 А; будут возбуждаться квантовые состояния с л«2 и 3.
13.11 Am.m 1,45 • 10 8, изменение составляет ~1 1СГ8
13.13. 1,22 1031 см; нет, потому что их размер превосходит размеры Вселенной
13.17. Волновая функция 45-состояния пересечет ось абсцисс 3 раза 4Р состояния— 2 раза 4/)-со
стояния 1 раз; 4Г-состояния ни разу.
13 19 К Оболочка заполнится при Z 4 (Be) L-оболочка заполнится при Z 20 (Са),
13.21. 21 8 кэВ.
13.23. 2,81 кэВ
13.25. 4770 А, 5900 А.
Глава 14
14.1. 4,2 эВ
14.3. 4 10 8 см; потому что ион К3 значительно больше, чем ион Na
14.5. ~ 2 эВ (свет, частота и энергия которого выше, чем у желтого света, поглощается при возбужде-
нии электронов в зону проводимости)
Глава 15
15.1. 6 10 6 эВ.
15.3. 8 Ю’21 с
15.5. 5,263 МэВ; 5,332 МэВ 5,606 МэВ
Ответы на некоторые задачи
619
15.7. С12; 28.18 МэВ
15.9. т(92р +146 и) 239,9878 а е. м • Еси тс2 0,8%.
15.11. 18,6 кэВ.
15.13. 5.4 МэВ
15.15. 222,02899 а. е м
15.17. 74 г
15.19. 1,58 МэВ
15.21. 17,35 МэВ; —17,35 МэВ
15 23. N14; 5 • 10 17 с
15.25. Q 17,6 МэВ, т е значительно больше, чем величина Q для реакции D + D.
Глава 16
16.1. 0.34 МэВ; под углом 120" лруь к друэу и все в одной плоскости.
16.3. 1877,6 МэВ пионы и ироюны
16.5. 1.1 м.
16.7. 119 МэВ
16.9. Радиус каонпого взаимодействия меньше в отношении масс пиона и каона, т. е. составляет 0.28
радиуса иконного взаимодействия
16.11. НО МэВ
16.13. 119,3 МэВ
Г лава 17
17.1. 20
17.3. '-0.01%.
17.5. 2000 св. лет.
Предметный указатель
Абсолютный нуль 225
Авогадро число 74. 75
Автоэлектронная эмиссия 486
Адроны 559
Акцепторы 489
Альфа лучи 83
Альфа-распад 515
Альфа-частица 85, 427
Ампер 272
Амперметр 299
Ангстрем 78
Андромеда (галактика) 42
Античастицы 544, 546, 603
Астрономическая единица 55
Астрономия 55, 577
Атмосфера 225
Атом водорода 184, 430
модель Томсона 427
ядерная модель 428
Атомная единица массы 74
Атомный номер 448
Атомов масса 74
размеры 77, 427
Атомы 71
Бальмера серия 431
Барионы 558
- сохранение 560, 562
Белые карлики 593
Бета-лучи 83
Бета распад 186, 511, 549
Близнецов парадокс 369
Бозоны 444 451, 494 547
Бойля закон 225
Больцмана постоянная 230
Большого взрыва теория 600
Бора магнетон 288. 440
Броуновское движение 76
Ван Аллена пояса радиацион-
ные 297
Ван де Граафа ускоритель 219
Ватт 196, 274
Вектор 114, 146
— аксиальный 566
компоненты 115
поля 249
— полярный 566
Вероятная ошибка 16
Вес 143
Взаимодействие гравитацион
ное 169
относительная величина
187, 555
— слабое 186
электростатическое 178
— ядерное (сильное) 185
Водорода атом 430
излучение 457, 587
квантовая теория 445
модель Бора 184, 257 431
Зоммерфельда 437
Волна — частица, дуализм 401.
409
Волновые функции 410
атома водорода 446
Волны 317, 361
бегущие 318
i равитационные 380
— де Бройля 413. 436
длина волны 413, 436
звуковые 320
стоячие 324
электромагнитные 340
— электронные 407
Вольт 217
Время 44
— атомный эталон 44
— замедление течения 366
— обращение 567
Всемирного тяготения закон
171
Вынужденное излучение 458
Выпрямитель 491
Газ, уравнение состояния 226
Газовая постоянная 226
Галактики 63
— красные смещения 67
Местная Система 66
— расстояния 65
Гамма-кванты 506
Гамма-лучи 83
Гаусс 280
Гей-Люссака закон 225
Гелия выгорание 581
Геостационарные спутники 172
Герц 315
Гипероны 557
Главная последовательность
590
Гравитационная постоянная
171, 177
потенциальная энергия 210
Гравитационное взаимодейст
вие 169
— поле 248
Гравизацня и геометрия 381
— — общая теория относи-
тельности 376
Гука закон 195
Гюйгенса принцип 329
Давление 225
поле 247
Движение 95. 138
— броуновское 76
в двух измерениях 119
— законы 138
— звезд 59
— планет 173
— по окружности 123
— простое гармоническое 312
снарядов 121
Деление ядер 530
энергия 235
Джоуль 194
Дина 145
Диод 491
Дифракция 329
на двух щедях 335
— одиночной щели 336
системе щелей 338
ренпеновских лучей 404
электронов 404
Длина 37, 39
— атомный эталон 40
— волны 319
--- де Бройля 40.3
сокращение 365
стоячих волн 327
ДНК 478
Доноры 489
Доплера эффект 60 67, 322. 360
Дополнительности принцип
419
Жидкий гелий 493
Задача многих тел 610
Закон отношения газовых объ
емов 72
постоянства состава 71
Заряд .электрический 179
сохранение 180
— электрона 182, 263
Зарядовое сопряжение 565
Затухание 313
Звезды 55 577
— движение 59
нейтронные 596
Предметный указатель
621
параллакс 58
переменные 61, 593
расстояния 57
типы 578
эволюция 590
— ядерные реакции 577
Звук 321
Зеемана эффект 440
Зеркальные ядра 505
Значащие цифры 30
И (сальный газ 226
Излучение черного тела 392
--------в теории большого
взрыва 601
Изоляторы 485
Изометрия 474
Изоспин 567
Изотопы 80. 503
Импульс 150
сохранение 151, 160, 565
Ин (укция электромагнитная
299
Индуцированный ток 299
Инерциальная система отсче-
та 142
Инерция 137
Интерференция 331
электронных волн 407, 436
Ионная связь 469
Ионы 78, 469 477
Калория 223
Каоны (К-мезоны) 556
Катодные лучи 390
Квазары 586
Квантовая теория 389, 401, 445
электродинамика 448
Квантовые числа 433, 451
Кванты 394
Кварки 563, 611
Кельвин 226
Кеплера законы 173
Кинетическая теория 227
энергия 197
Ковалентная связь 470
Колебания 311
Комптоновское рассеяние 401
Конденсатор 261
Космические лучи 294
Космология 599, 612
Красное смещение 67
(равитационное 378
Красные гиганты 592
Кристаллы 78. 477
Кулон 182
Кулона закон 181
Кулоновский барьер 517
Лазеры 458
Лаймаиа серия 434
Лауэграммы 404
Ленца правило 302
Лептоны 548
сохранение 550
Лоренца сила 282
преобразования 364
Лошадиная сила 196
Магнетизм 274
Магнетон Бора 288, 440
Магнитная бутылка 294
Магнитный момент 287, 438
Магниты 274
Максвелла уравнения 303
Максвелловское распределе-
нис 230
Масса 37, 47, 74, 141
атомная 74
(равитационная 145
динамическое определение
141
единица 74
инертная 145
и mepi ня 234, 373
критическая 534
молекулярная 74
нейтрона 80
— нуклонов 511
— пионов 420, 553
— покоя 370
— протона 80
сохранение 49
увеличение со скоростью 30,
370
электрона 30, 395
— ядер 506
Маятник 316
Мезоны 264 552
Ме(еориты 214
Метр 39
Млечный путь 63
Модуляция 322
Молекулы 71
в космосе 587
изомеры 474
масса 74
органические 473
размеры 76
связь 469
— скорости 230
углеводородов 473
— циклические 475
Момент импутьса 155, 437
квантование 432, 438
-----полный 443
собственный (спин) 161.
442
-----сохранение 156, 160, 565
— силы 155
-----действующий на виток
с током 285
Мощность 196, 274
Мюоны (д-мезопы) 456, 550,
611
Напряжение электрическое 255,
261
Научный метод 17
Нейтринная астрономия 588
Нейтрино 160, 186. 546, 548
Нейтрон 80, 510
Нейтронные звезды 596
Неопределенностей соотноше-
ние 417, 420
Неопределенности принцип
414 420. 609
Неупругие соударения 204
Новые 593
Нуклоны 185, 511, 558
Ньютон 145
Ньютона законы 138
Общая теория относительности
376, 612
проверка 377
Одновременность 362
Орбиты 174
— атома водорода 184, 432,
437
Относительности теория 353
-----общая 376, 612
------- проверка 377
постулаты 364
соотношение между мас-
сой и энергией 373
Параллакс 58
Парафины 474
Парсек 59
Паули принцип 448 450
Пашена серия 434
Переменные звезды 61, 593
Период 125, 312
полураспада 85, 515
простого гармонического
движения 315
Периодическая система элемеп
тов 448, 449
Пионы (л-мезоны) 264, 552
масса 420. 553
622
Пре дм с тн ый г к а у а тел л
распад 368, 554
Планет движение 173
Планеты 176
Планка постоянная 394, 4^3
Плотность 48
Земли 49
Позитронный распад 512
Позитроны 514, 544
— аннигиляция 546
Поле 245
— гравитационное 248
движущейся заряженной
частицы 283
магнитное 275
переменное во времени 298
пионное 264
— электрическое 254
ядерных сил 263
Полнвода 476
Полупроводники 487
Полярное сияние 295
Порядок величины 27
Потенциал 252
т равитационпый 252
граничный 491
элскт рический 255
Потенциальная энергия 198
— гравитационная 210
электростатическая 214
яма 414
Правило правой руки для маг-
нитного момента 287
поля 277
-----— магнитной сп ты
280
--------момента импуль-
са 160
Преломление 61
Прецессия 177
Призма 61
Прово гники 483
Простое гармоническое дви-
жение 312
Протон 80, 511
Протон-протонная цепочка 579
Пульсары 596
Р бота 193, 222
выхода 398
Радиан 28
Радиационные пояса 295
Радиоактивность 83, 510
Радиоактивные ряды 518
Радиоастрономия 584
Радиогалактики 585
Радиолокация 56
Разность потенциалов 216, 255
Расширение Все генной 68, 600
Резерфорда модель атома 427
Резонансы 563
Рентгеновские лучи 453
дифракция 404
энергия 455
Рентгеновское излучение мезо-
атомов 456
звезд и галактик 587
Рт гберга постоянная 431
Сверхновые 594
( верхпроволимость 495
Сверхтекучесть 493
Светимость 57, 590
Световой год 59
('ила 137, 193
консервативная 199
Лоренца 282
электромагнитная 184, 280
ядерная 185
Силовые липин 250
Силы электрические 184
Сильное взаимодействие 552
Симметрия 565
Синтез ядерпын 535
Скаляры 114
Скорость 96
дрейфа электронов 272
космическая 213
— молекул 230
света 129. 356
сложение в теории относи-
тельности 359
угловая 123
— установившаяся 114
Слабое взаимодействие 186
548, 610
— несохрапение четности
567
Солнечный ветер 298
Соударения 204
Спин 161. 442, 546
Спектр бета-распада 511
водорода 431
излучения черного тела 392
элек громат нптиот о излуче-
ния 345
Странность 560
сохранение 560
Странные частицы 556
Суперпозиции принцип 250, 317
1ахионы 611
Температура 222
Теорема С РТ 569
Теория 18. 86
Теплоемкость 224
Теплота 222
Термодинамика 222
второе начало 232
первое нача ю 222
Термоэлектронная эмиссия 487
Термоядерные реакторы 294
реакции 536
Ток 271
индуцированный 299
Траектории заряженных час-
ти в магнитном поле 288
293
Траншстор 491
Трение 113, 137
3 риаттгу.тяция 56
V «сводоро гы 473
Уг теродно-азотнын цикл 580
Упруг ие соударения 204
Ускорение 104
силы тяжесгп 109 249
пенг рос г рем и тельное 126
Ускорители 129
Ускоритель Ватт де Граафа 219
Ф рмноны 445, 45), 547
Фо гоны .395, 406. 555
Фотоэлектрический эффект 395
486
Фотоэлектронная эмиссия 486
Хаббла постоянная 68
Цвет и светимость 61
Цельсия градусы 222
Центр масс 161
Цен > рос т рсмителыгое \ скорс
игге 126. 170
Цепная реакция 533
Цефеиды 62
Циклические соединения 474
Циклотрон 290
Частота .315
Часы (в теории отпосигелыго-
сти) 366
Четность 566
песохранепне 567. 568
Предметный указатель
623
Эквивалентности принцип 145
376
Эквипотенциальные поверхно-
сти 253
Электрическое поле 254
Электромагнит 279
Электрома! ннтпая индукция
299
Электромагнитное излучение
340
-----вынужденное 458
-----импульс 342
----- энергия 342
Электрома! питы сверхпрово-
дящие 496
Электрон, заряд 182, 263, 395
масса 30, 395
отношение заряда к массе
390
Электронвольт 217
Электронный захват 515
Электроны валентные 450
— проводимости 271
Электропроводность 490
Электроскоп 179
Электростатическая потенци-
альная энергия 214
Электростатическое взаимо-
действие 178
Элементарные частицы 85, 543
спины 445
Энергетические состояния 431
435. 504
Энергия 193
— виды 202
кинеIическая I97
покоя 374
потенциальная 198, 210
простого I армопического
осциллятора 314
разрешенные значения 413
связи 222 435, 481, 506, 507
иа нуклон 507. 508
сохранение 201, 565
тепловая 222
электромагнитных волн 343
Энтропия 233
Эрг 194
Эфир 245, 353
Ядерные реакции 527
в звездах 577
резонансные 529
Ядерных оболочек модель 523
Ядра 79, 503
деление 530
теркальные 505
- массы 506
— размеры 81, 503
— сверхтяжелые 526
синэез 536
- составные 529
устойчивость 507. 520
форма 504
энергетические состояния
504
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги
ее оформлении, качестве перевода и другие
просим присылать по адресу'.
129820 Москва, И-110, ГСП
1-й Рижский пер., 2.,
изд-во «Мир»
ДЖ. Мзриои
ФИЗИКА
И ФИЗИЧЕСКИЙ МИР
Редактор И. Л Тслеснии
Художник В. С Стуликов
Художественный редактор Е К. Самойлов
Технический редактор А Г Рсзоухова
Корректоры (L А Гиря и И И Алексеева
Сдано в набор 19^X1 1974 г. Подписано к печати 12 V 1975 г
Бумага офсстн. N? I 70 X 90'/1в — 19 50 бум л Усл. псч. л.
45,63 Уч изд. л 45,33 Изд.М? 2 6719 Цена Эр. 31 к Зак 779
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, I-и Рижскии пер., 2
Ярославский полиграфкомбинат «Союзполиграфпрома»
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издатсльсгв, полиграфии и книжной торговли.
150014, Ярославль, ул Свободы, 97