Kassel_K__Turaev_V_G_-_Gruppy_kos-MTsNMO

Теги: топология геометрия
ISBN: 978-5-4439-0245-6
Похожие
Группы кос
Теория узлов
Лекции по математике. Том 13. Топология
Математическая энциклопедия
Текст
                    К. Кассель, В. Г. Тураев ГРУППЫ КОС
К. Кассель, В. Г. Тураев
Группы кос

Кристиан Касселъ
Владимир Тураев
Группы кос

Christian Kassel
Vladimir Turaev
Braid Groups
With the graphical assistance
of Olivier Dodane
Springer

К. КАССЕЛЬ, В. Г. ТУРАЕВ
Группы кос
Перевод с английского
С. Н. Малыгина
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 515.162.8
ББК 22.152
К28
Кассель К., Тураев В. Г.
К28 Группы кос / Перевод с англ. С. Н. Малыгина. — М.:
МЦНМО, 2014. —422 с.
ISBN 978-5-4439-0245-6
Книга посвящена увлекательному и актуальному разделу ма-
тематики— теории кос, сочетающей богатство чисто алгебраиче-
ской структуры и тесные связи с важными разделами маломерной
топологии, в частности, с теорий узлов и зацеплений. В данной
монографии, помимо прочего, обсуждаются такие недавние резуль-
таты, как точность представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу
и линейный порядок на группах кос.
Авторы книги — активно работающие математики, внесшие су-
щественный вклад в развитие излагаемой ими теории. Книга будет
полезна студентам старших курсов математических факультетов,
аспирантам и научным работникам.
ББК 22.152
Translation from the English language edition:
Braid Groups by Christian Kassel, Vladimir Turaev.
Copyright © 2008 Springer Science+Business Media, LLC.
All Rights Reserved.
ISBN 978-0-387-33841-5 (англ.)
ISBN 978-5-4439-0245-6
© Springer-Verlag
Science+Business Media,
LLC, 2008.
© МЦНМО,
перевод на рус. яз., 2014.

Оглавление
Предисловие 8
Глава 1. Косы и группы кос 12
§ 1.1. Группы кос Артина 12
§ 1.2. Косы и диаграммы кос 16
§ 1.3. Группы крашеных кос 33
§ 1.4. Конфигурационные пространства 41
§ 1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 48
§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы 53
§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные
пространства 60
Замечания 67
Глава 2. Косы, узлы и зацепления 69
§ 2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях .... 69
§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории 75
§ 2.3. Теорема Александера 84
§ 2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 87
§ 2.5. Теорема Маркова 96
§ 2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 101
§ 2.7. Доказательство леммы 2.11 117
Замечания 125
Глава 3. Гомологические представления групп кос 127
§ 3.1. Представление Бурау 127
§ 3.2. Неточность представления Бурау 133
§ 3.3. Приведенное представление Бурау 144
§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 148
§3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 156
§ 3.6. Шнуры и арки 164
§ 3.7. Доказательство теоремы 3.15 178
Замечания 194

6 Оглавление
Глава 4. Симметрические группы и алгебры
Ивахори — Гекке 196
§ 4.1. Симметрические группы 196
§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке 210
§4.3. Следы Окняну 218
§4.4. Полином Джонса — Конвея 221
§ 4.5. Полупростые алгебры и модули 223
§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке 243
Замечания 245
Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке 247
§ 5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц 247
§ 5.2. Решетка Юнга 252
§ 5.3. Полунормальные представления 260
§ 5.4. Доказательство теоремы 5.11 264
§ 5.5. Простота полунормальных представлений 269
§ 5.6. Простота приведенного представления Бурау 274
§ 5.7. Алгебры Темперли—Либа 277
Замечания 294
Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды
положительных кос 296
§ 6.1. Моноиды 296
§ 6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 301
§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 311
§ 6.4. Гарсайдовы моноиды 317
§ 6.5. Моноид положительных кос 323
§ 6.6. Обобщенные группы кос 331
Замечания 339
Глава 7. Порядок на группах кос 341
§ 7.1. Упорядочиваемые группы 341
§ 7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 347
§ 7.3. Порядок Деорнуа 352
§ 7.4. Нетривиальность σ-положительных кос 358
§ 7.5. Редукция ручек 363
§ 7.6. Подход Нильсена — Тёрстона 383
Замечания 385

Оглавление 7
Приложение А. Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z)
образующими и соотношениями 387
Замечания 390
Приложение Б. Расслоения и гомотопические
последовательности 391
Приложение В. Алгебры Бирман — Мураками — Венцля.... 393
Приложение Г. Самодистрибутивные слева множества .... 397
§Г.1. Самодистрибутивные слева множества,
автоморфные множества и квандлы 397
§ Г.2. Действие моноида положительных кос 398
§Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные слева
множества 400
Замечания 403
Литература 404
Предметный указатель 417

Предисловие
Теория групп кос представляет собой один из наиболее плени-
тельных разделов топологии малых размерностей. Ее красота про-
исходит из привлекательной геометрической природы кос и из их
тесных связей с другими замечательными геометрическими объек-
тами, такими как узлы, зацепления, гомеоморфизмы поверхностей
и конфигурационные пространства. На более глубоком уровне инте-
рес математиков к этой теме обусловлен той важной ролью, какую
играют косы в разнообразных областях математики и теоретической
физики. В частности, изучение кос естественно приводит к разным
интересным алгебрам и их линейным представлениям.
Группы кос впервые появились, хоть и неявно, в статье Адольфа
Гурвица, опубликованной в 1891 г., которая была посвящена разветв-
ленным накрытиям поверхностей. В явном виде понятие косы было
введено Эмилем Артином в 1920-х гг. с целью формализовать топо-
логические объекты, моделирующие переплетение нескольких нитей
в евклидовом трехмерном пространстве. Артин обратил внимание
на то, что косы с фиксированным числом η нитей образуют группу,
которую он назвал п-й группой кос и обозначил через Вп. С тех пор
косы и группы кос широко изучались топологами и алгебраистами.
Это привело к богатой теории с многочисленными ответвлениями.
В 1983 г. Воган Джонс, занимаясь операторными алгебрами, от-
крыл новые представления групп кос, из которых он вывел свои зна-
менитые полиномы узлов и зацеплений. Открытие Джонса привело
к сильному увеличению интереса к группам кос. Среди более недав-
них важных результатов в этой области — упорядочиваемость группы
кос Вп, доказанная Патриком Деорнуа в 1991 г., и линейность группы
кос Вп, доказанная Дааном Краммером и Стивеном Бигелоу в 2001-
2002 гг.
Главная цель настоящей книги—дать обстоятельное введение в
теорию групп кос и показать разнообразие ее аспектов. Книга пред-
назначена для студентов и аспирантов, а также для всех математи-

Предисловие
9
ков и физиков, интересующихся косами. Предполагая только базис-
ные познания в топологии и алгебре, мы даем более подробное изло-
жение тем повышенной сложности, включающих вспомогательный
материал по топологии и алгебре, часто выходящий за рамки тради-
ционных изложений теории кос. В частности, мы рассматриваем ос-
новные свойства симметрических групп, теорию полупростых алгебр
и язык разбиений и таблиц Юнга.
Теперь мы более подробно расскажем о содержании книги. Гла-
ва 1 касается оснований теории кос и групп кос. В частности, мы опи-
сываем связи с конфигурационными пространствами, автоморфизма-
ми свободных групп и с группами классов отображений проколотых
кругов.
В главе 2 мы изучаем связь между косами и зацеплениями в ев-
клидовом трехмерном пространстве. Центральный результат этой
главы — описание Александера — Маркова ориентированных зацеп-
лений в терминах классов марковской эквивалентности кос.
Глава 3 посвящена двум замечательным представлениям группы
кос Вп: представлению Бурау, которое было введено Вернером Бурау
в 1936 г., и представлению Лоуренс — Краммера — Бигелоу, которое
было введено Рут Лоуренс в 1990 г. Мы используем технику скручива-
ний Дена для доказательства того, что представление Бурау неточно
при больших п, как было впервые установлено Джоном Муди в 1991 г.
С помощью введенного Стивеном Бигелоу понятия шнуров в проколо-
тых кругах мы доказываем теорему Бигелоу—Краммера о точности
представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу. В этой главе мы так-
же строим для зацеплений полином Александера — Конвея от одной
переменной.
Глава 4 касается симметрических групп и алгебр Ивахори — Гек-
ке, тесно связанных с группами кос. В качестве их приложения мы
строим для зацеплений полином Джонса — Конвея от двух перемен-
ных, известный также под названием полином HOMFLY или поли-
ном HOMFLY-PT, который обобщает два фундаментальных полинома
от одной переменной для зацеплений, а именно уже упомянутый по-
лином Александера — Конвея и полином Джонса.
Глава 5 посвящена классификации конечномерных представлений
общих алгебр Ивахори — Гекке в терминах диаграмм Юнга. В каче-
стве приложения мы показываем, что (приведенное) представление
Бурау группы кос Вп неприводимо. Мы также обсуждаем алгебры Тем-
перли—Либа и классифицируем их конечномерные представления.

10
Предисловие
В главе 6 представлено решение Гарсайда проблемы сопряжения
в группах кос. Следуя Патрику Деорнуа и Луису Парису, мы вводим
понятие гарсайдова моноида, являющегося моноидом с соответству-
ющими свойствами делимости. Мы показываем, что группа кос Вп
есть группа частных гарсайдова моноида положительных кос с η ни-
тями. Мы также обсуждаем аналогичные результаты для обобщенных
групп кос, ассоциированных с матрицами Кокстера.
Глава 7 посвящена упорядочиваемое™ групп кос. Следуя Деорнуа,
мы доказываем, что для каждого π группа кос Вп упорядочиваема.
Книга завершается четырьмя короткими приложениями: прило-
жение А о модулярной группе PSL2(Z), приложение Б о расслоениях,
приложение В об алгебрах Бирман — Мураками — Венцля и приложе-
ние Г о самодистрибутивных множествах.
Все главы книги в большой степени не зависят друг от друга. Чи-
татель может начать с первого параграфа главы 1 и затем свободно
изучать остальную часть книги.
Несомненно, теория кос слишком обширна, чтобы ее можно было
исчерпывающе изложить в одной книге. В настоящей книге полно-
стью опущены ее важные разделы, которые касаются ее связей с мате-
матической физикой, квантовыми группами, алгебрами Хопфа и спле-
тенными моноидальными категориями. По этим темам мы отсылаем
читателя к монографиям [Lus93], [СР94], [Tur94], [Kas95], [Maj95],
[KRT97], [ES98].
Здесь также не представлены вычисления групп гомологии и ко-
гомологий групп кос (см. [Арн70], [Вай78], [Sal94], [CS96]), автомат-
ные структуры на группах кос (см. [ECHLPT92], [Mos95]) и приложе-
ния к криптографии (см. [СЧЯ93], [AAG99], [KLCHKP00]).
За дополнительными сведениями по теории кос мы отсылаем чита-
теля к следующим монографиям и обзорным статьям: [Bir74], [BZ85],
[Han89], [Kaw96], [Mur96], [MK99], [Вер99], [Iva02], [BB05].
Настоящая книга выросла из докладов [Kas02], [Tur02], сделан-
ных авторами на семинаре Бурбаки в 1999 и 2000 гг., и из лекций
для студентов, прочитанных К. Касселем в университете имени Луи
Пастера в Страсбурге в 2002-2003 гг. и В. Тураевым в университете
Индианы в Блумингтоне в 2006 г.

Предисловие
11
Благодарности
Нам приятно выразить свою благодарность Патрику Деорнуа, Ни-
колаю Иванову и Гансу Венцлю за полезные обсуждения и коммента-
рии. Мы особо обязаны Оливье Додану, нарисовавшему рисунки к этой
книге и проведшему нас через лабиринт форматов и команд ШсХа.
Кристиан Касселъ,
Владимир Тураев
Страсбург,
3 марта 2008 г.

Глава 1
Косы и группы кос
В этой главе мы обсудим основы теории кос и групп кос.
§ 1.1. Группы кос Артина
Здесь мы введем группы кос и обсудим некоторые их простые
свойства.
1.1.1. Основное определение
Дадим алгебраическое определение группы кос Вп для любого по-
ложительного целого числа п. Это определение формулируется в тер-
минах задания группы образующими и соотношениями.
Определение 1.1. Группой кос Артина Вп называется группа, за-
данная п—1 образующими аь а2,..., ση-\ и косовыми соотношениями
для всех i, ; = 1,2,..., η — 1, для которых \i — j\>2,n
ViVi+iai = ai+iaiai+i
для i = 1,2,..., η — 2.
По определению группа ßi = {1} тривиальна. Группа В2 порожде-
на одной образующей σ\> и соотношений для нее нет. Это бесконечная
циклическая группа. Как мы вскоре увидим, группа Вп при η > 3
неабелева.
Для всякого гомоморфизма / группы кос Вп в любую группу G
элементы {s* = /(oï)}i=i,...,n-i группы G удовлетворяют косовым соот-
ношениям _
SiSj — SjSi
для всех i, ; = 1,2,..., η — 1, для которых \i — j\>2,n

§ 1.1. Группы кос Артина
13
для i = 1,2,..., η — 2. Справедливо обратное утверждение, которое мы
запишем в виде следующей леммы.
Лемма 1.2. Если элементы sb ..., sn-i группы G удовлетворяют
косовым соотношениям, то существует единственный гомоморфизм
групп f:Bn-^G, для которого Si = /fo) для всех i = 1,2,..., η — 1.
Доказательство. Обозначим через Fn свободную группу, порож-
денную множеством {аь..., ση-\}. Существует единственный гомомор-
физм групп / : Fn —> G, для которого /(σ^) = Sf для всех i = 1,2,..., η — 1.
Этот гомоморфизм индуцирует гомоморфизм групп / : ßn —> G при
условии, что f{r~lr') = 1, или, что эквивалентно, при условии, что
/(г) =/(г/) для всех косовых соотношений r — r'. Для первого косового
соотношения мы имеем
/(σ;σ;·) = /(σ;)/(σ;·) = SiSj = SjSi = /(a;)/(af) = /(σ;σ;).
Аналогично для второго косового соотношения имеем
ffao-i+iai) = SiSi+1Si = Si+iSiSi+i = f(ai+iaiai+i). D
1.1.2. Проекция на симметрическую группу
Мы применим предыдущую лемму к симметрической группе G=<Sn.
Каждый элемент группы Θη представляет собой перестановку множе-
ства {1,2,..., п}. Рассмотрим простые транспозиции sb ..., sn_i G βπ,
определенные тем правилом, что Si переставляет элементы i и i H-1
и оставляет все остальные элементы множества {1,2, ...,п} непо-
движными. Легкое упражнение — проверить, что простые транспози-
ции удовлетворяют косовым соотношениям. По лемме 1.2 существует
единственный гомоморфизм групп π : Вп —> <5п, для которого s* = π(σ^)
для всех i = 1,2,..., η — 1. Этот гомоморфизм сюръективен, потому
что, как хорошо известно, простые транспозиции порождают груп-
пу 6П. (Дополнительные сведения о структуре группы 6П см. в §4.1.)
Лемма 1.3. Группа кос Вп при п>3 неабелева.
Доказательство. Группа 6П при η > 3 неабелева, потому что siS2 φ
Φ s25i. A так как проекция Вп —> 6П сюръективна, группа Вп тоже
неабелева при η > 3. D
1.1.3. Естественные вложения
Из соотношений, задающих группу кос Вп (см. определение 1.1),
ясно, что формула б(а^ = σ* для i = l,2, ...,п — 1 определяет гомомор-

14
Глава 1. Косы и группы кос
физм групп
!>'. Вп—> Bn+i.
В следствии 1.14 будет доказано, что гомоморфизм i инъективен. Он
называется естественным вложением.
Иногда бывает удобно рассматривать Вп как подгруппу группы
Bn+i посредством вложения t. Таким образом, мы получаем возраста-
ющую цепь групп В\ с В2 с В3 с · · ·
Взяв композицию вложения ь с проекцией π: Bn+i —> 6п+ъ мы по-
лучим композицию проекции π : Вп —> 6П с каноническим вложением
6П °-> 6п+1· (Последнее вложение продолжает каждую перестановку
множества {1,2,..., п) до перестановки множества {1,2,..., η + 1},
оставляющей неподвижной элемент п +1.) Иначе говоря, имеет место
коммутативная диаграмма
Вп >&п
'I I (1.1)
Вп+1 * ©n+i ·
1.1.4. Группа В3
Уже простейшая некоммутативная группа кос В3 представляет
значительный интерес. Эта группа порождена двумя образующими
G\ И Gl, ПОДЧИНЯЮЩИМИСЯ ОДНОМУ СООТНОШеНИЮ G\G2<J\ — G2<J\(Jl. ПО-
ЛОЖИВ х = G\GiG\ и у = G\G2, мы получим образующие х, у группы В3,
подчиняющиеся одному соотношению х2 = у3 (проверьте). Из этого
соотношения следует, в частности, что элемент х2 = (giG2g{)2 лежит
в центре группы Вз· (В п. 1.3.3 мы вычислим центр группы Вп для
всех п.)
Группа Вз обладает гомоморфизмом в SL(2, Z), который отобра-
жает Gi и G2 в матрицы
G 0 ■ U S)
соответственно. Этот гомоморфизм сюръективен, и его ядро есть
бесконечная циклическая группа, порожденная элементом (a^ai)4.
Доказательство см. в книге [МИ71, теорема 10.5] или в приложении А.
Группа В3 появляется в теории узлов как фундаментальная группа
дополнения к трилистнику К с S3. Трилистник К можно определить
как подмножество трехмерной сферы S3 = {(2i,22)€C2 : |si|2+|s2|2=l},
состоящее из точек (si, %2), для которых z\-\-z\ = 0; см. его изображе-

§1.1. Группы кос Артина
15
ние на рис. 2.1. В теории узлов хорошо известен изоморфизм
С алгебраической точки зрения основа этого изоморфизма — гомео-
морфизм
S3\K ^SL(2,R)/SL(2,Z);
см. [MÜ71, §10].
Упражнение 1.1.1. Покажите, что существует такой гомоморфизм
групп / : Вп -* Z, что /fo) = 1 для всех i = 1,..., η — 1. Докажите, что
он индуцирует изоморфизм Вп/[Вп, Вп] = Ζ, где [Вп, Вп] — коммутант
группы Вп.
Упражнение 1.1.2. Проверьте, что формула σ^σΓ1 для i=l,2,...,
π—1 определяет инволютивный автоморфизм группы Вп. Докажите,
что этот автоморфизм не является сопряжением ни на какой элемент
группы Вп.
Упражнение 1.1.3. Проверьте следующие соотношения в В$:
σΓ1σ2~1σΓ1 = σ21(711σ21>
σΙσ^σ^1 = σ^1σ^ 1σ2, σ^λσ2σ\ = σ^σ^"1.
Упражнение 1.1.4. Докажите, что для любого п> 1 группа Вп порож-
дена двумя элементами σ\ и α=σ\σ2.. .cj„_i. {указание: σΙ=α}~1σ\α1~1
для всех i.)
Упражнение 1.1.5. Пусть / — гомоморфизм из группы кос Вп в
некоторую группу. Если /(σ;) коммутирует с /fo+i) для некоторого i,
то f{Bn) — циклическая группа. Если /(σ/) =/(сг;) для некоторых i < ;,
причем либо j фг + 2, либо η Φ 4, то /(Вп) — циклическая группа.
Упражнение 1.1.6. Докажите, что каждый элемент σ^σ^"1,1 < i <
< ; < π — 1, принадлежит коммутанту [ßn, Вп] и порождает [ßn, ßn]
как нормальную подгруппу в Вп при условии, что либо j фг + 2, либо
η φ 4. (Указание: вначале рассмотрите случай j = i + 1.)
Упражнение 1.1.7. Проверьте тождество
где 1 < i < π — 3 и [α, b] = а-1Ь_1аЬ.
Упражнение 1.1.8. Докажите, что при η Φ 3,4 коммутант группы
[Вп,Вп] совпадаете [Вп,Вп].

16
Глава 1. Косы и группы кос
Упражнение 1.1.9. Докажите, что [В3,Яз]—свободная группа
ранга 2. (Топологическое доказательство: используйте тот факт, что
трилистник представляет собой расслоенный узел рода 1.)
Упражнение 1.1.10. а) Определим автоморфизмы σ[, σ'2, о'ъ сво-
бодной группы F2 с двумя образующими а и Ъ формулами
σ[{α) = α, а[(Ь) = аЬ,
а^а) = Ъ~1а, а&) = Ь,
аз(а) = а, а'2(Ъ) = Ъа.
Докажите, что существует такой гомоморфизм ψ : В4 —> Autfö), что
Ψ(<70 = σ[ ДОЯ i = 1,2,3. Проверьте, что гр^а^1) есть сопряжение
на элемент а и i/j^aiO^V^"1) есть сопряжение на элемент Ь~га в F2.
б) Рассмотрим гомоморфизм групп В4 —> В3, отображающий ai
и аз в ai, а σ2 в σ2. Докажите, что его ядро порождено элементами
σ\σ^λ и аг^о^"1^"1. Выведите из этого, что это ядро является сво-
бодной группой ранга 2.
§ 1.2. Косы и диаграммы кос
В этом параграфе мы дадим интерпретацию групп кос в геометри-
ческих терминах. Будем обозначать через I замкнутый отрезок [0,1]
в множестве вещественных чисел R. Под топологическим отрезком
мы будем понимать любое топологическое пространство, гомеоморф-
ное отрезку I = [0,1].
1.2.1. Геометрические косы
Определение 1.4. Геометрической косой из η > 1 нитей назы-
вается такое множество Ъ с R2 х I, образованное π дизъюнктными
топологическими отрезками, называемыми нитями геометрической
косы Ь, что проекция R2 х Ι-+Ι отображает каждую нить гомеоморфно
на/ и 0
Ъ Π (R2 x {0}) = {(1,0,0), (2,0,0),..., (π, 0,0)},
Ъ П (R2 x {1}) = {(1,0,1), (2,0,1),..., (π, 0,1)}.
Ясно, что любая точка геометрической косы Ъ пересекает каждую
плоскость R2 x {0}, te/, ровно в одной точке и соединяет точку
(i,0,0) с точкой (s(i),0,1), где i,s(i) € {1,2,...,π}. Последователь-
ность (s(l),s(2), ...,5(71)) представляет собой перестановку множе-

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
17
t = 0^
f — 1
<N
л
f
>
Рис. 1.1. Геометрическая коса из 4 нитей
ства {1,2,..., п}. Будем говорить, что эта перестановка соответству-
ет геометрической косе Ь.
Пример геометрической косы изображен на рис. 1.1. Здесь х,у —
координаты в R2, х-ось направлена направо, у-ось направлена вдаль
от читателя и t-ось направлена вниз. Этой косе соответствует переста-
новка (1,3,2,4).
Две геометрические косы b и Ъ' из η нитей называются изотоп-
ными, если b можно непрерывно продеформировать вУв классе кос.
На более формальном языке геометрические косы b и Ь' изотопны,
если существует такое непрерывное отображение F:bx/^R2x/,
что для каждого se/ отображение Fs: b —> R2 x /, переводящее х e b
в F(x,s), является вложением, образ которого представляет собой
геометрическую косу из η нитей, F0 = idb : b —> b и Fi (b) = b'. Всякое Fs
автоматически отображает каждую концевую точку косы b в себя.
Отображение F, а также семейство геометрических кос {Fs(b)}seI на-
зываются изотопией косы b = Fo(b) в косу У = Fi(b).
Очевидно, что отношение изотопии является отношением экви-
валентности на классе геометрических кос из η нитей. Соответствую-
щие классы эквивалентности называются косами из η нитей.
Для любых двух геометрических кос Ьь Ь2 с R2 х / из η нитей мы
определим их произведение Ъ\Ъ2 как множество таких точек (x, y, t) €
€ R2 x I, что {x, y, 2t) € bi, если 0 < t < 1/2, и (x, y, 2t - 1) G b2, если
1/2 < t < 1. Очевидно, ЬгЬ2 есть геометрическая коса из п нитей.

18
Глава 1. Косы и группы кос
Ясно, что если геометрические косы Ъ\ и Ьг изотопны геометрическим
косам Ъ[ и Ъ'2 соответственно, то геометрическая коса Ъ\Ъ2 изотопна
геометрической косе Ь'^Ь'Т Поэтому формула (Ьь Ь2) ^>Ъ\Ъч определяет
умножение на множестве кос из η нитей. Это умножение ассоциатив-
но и имеет нейтральный элемент, которым является тривиальная
коса 1п, представленная геометрической косой
{l,2,...,n}x{0}xJcR2x/.
Ниже мы увидим, что множество кос из η нитей относительно этого
умножения является группой, канонически изоморфной группе кос Вп.
Каждая геометрическая коса изотопна некоторой геометрической
косе Ъ с R2 х J, являющейся гладким одномерным подмногообразием
в R2 x J, ортогональным R2 х {0} и R2 x {1} вблизи концевых точек.
При работе с косами часто бывает удобно ограничиться такими глад-
кими представителями.
Замечание 1.5. Определение изотопии для геометрических кос
можно ослабить, заменив условие, что Fs(b) есть геометрическая коса,
на условие, что в процессе деформации Fs край db остается пото-
чечно неподвижным. Определение изотопии также можно усилить,
потребовав, чтобы отображения {Fs}s продолжались до некоторой
изотопной деформации произведения R2 x J, постоянной на крае.
Артин в статье [Art48a] доказал, что для обоих сформулированных
здесь условий получающиеся отношения эквивалентности на классе
геометрических кос совпадают с тем отношением изотопии, которое
было определено выше; ср. с теоремой 1.40.
1.2.2. Диаграммы кос
Для задания геометрической косы можно нарисовать ее проекцию
на R x {0} x J вдоль второй координаты и указать в каждой точке
перекрещивания, какая нить проходит «под» другой нитью. Чтобы
избежать локальных сложностей, мы будем применять эту процеду-
ру исключительно к тем геометрическим косам, проекции которых
на R x {0} x J обладают только двойными трансверсальными пере-
крещиваниями. Эти рассмотрения приводят нас к понятию диаграм-
мы косы.
Диаграммой косы из η нитей называется множество ® с R x /,
расщепленное в виде объединения η топологических отрезков, назы-
ваемых ниггыми диаграммы О), для которого выполнены следующие
три условия:

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
19
1) проекция R х I —> I отображает каждую нить гомеоморфно на I;
2) каждая точка произведения {1,2,..., п} х {0,1} является концевой
точкой некоторой единственной нити;
3) каждая точка произведения R x / принадлежит не более чем двум
нитям. В каждой точке пересечения двух нитей эти нити пересе-
каются трансверсально, при этом одна из них называется прохо-
дящей под другой (а также проходом), а другая — проходящей над
первой (а также переходом).
Заметим, что никакие три нити диаграммы косы <3 никогда не пе-
ресекаются в одной точке. Точка пересечения двух нитей диаграм-
мы 9) называется перекрестком или двойной точкой диаграммы ^.
Требование трансверсальности в условии 3
означает, что в некоторой окрестности пе-
рекрестка диаграмма ^ выглядит с точно-
стью до гомеоморфизма как подмножество
{(х,у): ху = 0} вШ2. Из условия 3 и компакт-
ности нитей легко следует, что количество
перекрестков любой диаграммы $) конечно.
На рисунках нить, проходящая под пе-
рекрестком, графически изображается разо-
рванной вблизи этого перекрестка; а нить, Рис. 1.2. Диаграмма
проходящая над перекрестком, изображается косы из 4 нитей
непрерывной линией. Пример диаграммы ко-
сы приведен на рис. 1.2. На нем верхняя горизонтальная прямая пред-
ставляет Rx {0}, а нижняя горизонтальная прямая представляет R x {!}.
Впоследствии мы иногда будем рисовать эти прямые, а иногда нет.
Опишем теперь связь между косами и диаграммами кос. Сначала
сопоставим каждой диаграмме косы ^ некоторый класс изотопии гео-
метрических кос. С помощью очевидного отождествления R х / = R x
х {0} х / мы можем считать, что диаграмма ^ лежит bRx{0}xJcR2x/.
В маленькой окрестности каждого перекрестка диаграммы ® мы не-
много сдвинем (вдавим) в 1 х (0, оо) x J ту нить, которая проходит
под другой, изменяя при этом только вторую координату и оставляя
неизменными первую и третью координаты. Тем самым диаграмма
косы @ преобразуется в геометрическую косу из η нитей. Ее класс
изотопии корректно определен и называется косой, представленной
диаграммой 9). Эта коса обозначается β {β). Например, диаграмма
косы на рис. 1.2 представляет косу, изображенную на рис. 1.1.

20
Глава 1. Косы и группы кос
Г\УЛКШ
Рис. 1.3. Изотопия диаграмм кос
Легко видеть, что любую косу β можно представить некоторой
диаграммой косы. Чтобы получить ее, вначале выберем представляю-
щую β геометрическую косу Ь, общую относительно проекции вдоль
второй координаты. Это значит, что проекция геометрической косы Ъ
в R х {0} х I = R х I может иметь только двойные трансверсальные
пересечения. В каждой точке пересечения этой проекции будем счи-
тать нитью, проходящей над другой, ту нить, в которую проецируется
поддуга косы Ъ с большей второй координатой. Таким образом, мы
получили диаграмму косы ®, и ясно, что β {β) = β.
Две диаграммы кос О) и & из π нитей называются изотопными,
если существует такое непрерывное отображение F:££x/—>RxJ,
что для каждого se/ множество % = F {β х {s}) с R x J является диа-
граммой косы из η нитей, @0 = ® и ®i = ®'·
II Понятно, что для каждого se/ перекрест-
I 0 I ки диаграммы ^ отображаются в перекрест-
на ^2 = il ки диаграммы % и при этом сохраняются
Ι Φ I свойства нитей проходить под или над дру-
' . 7.. » ^ гой. Семейство диаграмм кос {%}sei назы-
I I вается изотопией диаграммы % = @ в диа-
Рис. 1.4. Произведение грамму ®i = ®'. Пример изотопии приведен
диаграмм кос На рис. 1.3. Очевидно, что если диаграмма ®
изотопна диаграмме &, то /З(^) = β {β').
Для любых двух диаграмм кос ^ и 3*2 из η нитей их произведение
^i®2 получится, если мы расположим @i сверху ^2 и сожмем полу-
чившуюся диаграмму так, чтобы она поместилась в R x J; см. рис. 1.4.
Ясно, что если диаграмма @г представляет косу β\ и диаграмма @2
представляет косу β2, то произведение диаграмм ^i^2 представляет
произведение кос /З1/З2·
1.2.3. Движения Рейдемейстера диаграмм кос
Преобразования Ω2 и Ω3 диаграмм кос, изображенные на рис. 1.5а
и 1.56, а также обратные к ним преобразования Ω"1 и Ω^1 (получен-

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
21
Ω2
Ω2
Рис. 1.5а. Движение Рейдемейстера Ω2
ï wX
Рис. 1.56. Движение Рейдемейстера Ω3
ные обращением стрелок на рис. 1.5а и 1.56) называются движениями
Рейдемейстера. Эти движения произошли из теории узлов и диаграмм
узлов, где они были введены Куртом Рейдемейстером; см. [Rei83]
и § 2.1. Эти движения влияют только на положение диаграммы в круге
внутри R х /, а остальная часть диаграммы при этом не изменяется.
Движение Ω2 затрагивает две нити и создает два добавочных пере-
крестка (как показано на рис. 1.5а, имеется два типа Ω2-движений).
Движение Ω3 затрагивает три нити и сохраняет неизменным количе-
ство перекрестков. Все эти преобразования диаграмм кос сохраняют
соответствующие косы с точностью до изотопии.
Будем говорить, что две диаграммы кос ^ и & являются R-экви-
валентными, если О) можно преобразовать в & конечной последова-
тельностью изотопии и движений Рейдемейстера Ω^1, Ω31. Очевидно,
что если ^ и & являются R-эквивалентными, то β {β) — β {$>'). Следу-
ющая теорема показывает, что верно обратное утверждение.
Теорема 1.6. Две диаграммы кос тогда и только тогда представ-
ляют изотопные геометрические косы, когда эти диаграммы К-экви-
валентны.
Доказательство. Эта теорема является аналогом для кос класси-
ческого результата Рейдемейстера о диаграммах узлов; см. [ΒΖ85],

22
Глава 1. Косы и группы кос
[Mur96] и гл. 2. Главное утверждение здесь —что диаграммы изотоп-
ных геометрических кос R-эквивалентны. Доказательство его прове-
дем в четыре шага.
Шаг 1. Введем некоторые обозначения, которые будут использо-
ваться в последующих шагах. Рассмотрим геометрическую косу Ъ с
с R2 х / из η нитей. Для i = 1,..., η обозначим i-ю нить косы Ъ, т. е.
ту нить, которая проходит через точку (i, 0,0), символом Ь*. Каждая
плоскость R2 х {t}, tel, пересекает нить Ъ{ в одной точке; обозначим
ее через Mt). В частности, bi(0) = (i, 0,0).
Пусть ρ— евклидова метрика в R3. Для любого вещественного
числа ε > 0 цилиндрическая ε-οκρβατηΗΟΟτηυ нити Ъ{ состоит из всех
точек (х, t) G R2 х J, для которых р((х, t),bi{t)) < ε. Эта окрестность
пересекает каждую плоскость R2 х {t} с R2 х /, t G J, по открытому
кругу радиуса ε с центром в точке bi(t).
Для разных i, j G {1,..., π} функция t «-> рф{ф), bj(t)) есть непре-
рывная функция на J с положительными значениями. Ввиду компакт-
ности / у этой функции есть минимум. Положим
\Ъ\ = \ min mmp{bi{t),bj{t))>0.
£ Ki<j<n tel
Ясно, что цилиндрические \Ь\-окрестности всех нитей косы Ъ попар-
но дизъюнктны. (На самом деле \Ъ\ — максимальное вещественное
число, обладающее этим свойством.)
Для любой пары геометрических кос Ъ, Ь' из η нитей и любого
i = 1,..., л функция t ·-> p(bi(t), b[{t)) есть непрерывная функция на /
с неотрицательными значениями. Ввиду компактности I у этой функ-
ции есть максимум. Положим
рф, Ь7) = max maxp(bi(t), b'At)) > 0.
Ki<n tel l
Покажем, что функция ρ удовлетворяет аксиомам метрики. Действи-
тельно, рф, Ь') = рф', Ь); рф, Ь') = 0 в том и только том случае, когда
Ъ~Ъ'; для любых геометрических кос Ъ, Ь', Ь" из η нитей выполняется
неравенство „ , , „
р(Ъ,Ъ")<рф,Ъ') + р(Ъ',Ъ").
Последнее утверждение следует из того факта, что для некоторых
i = l,..., η и t € J мы имеем
p(b,b") = pMt),bl'(t))<
< PMt), цю)+р(ь;(0, b{Xt)) < р{ъ, ъ')+рф', ъ").

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
23
Заметим также, что
|Ы<|Ь'|+р(Ь,Ь')· (1.2)
Действительно, для некоторых t € / и разных i, j = 1,..., η имеем
|Ь| = Jp(bï(t),Mt))<
<
|(pfe(t), bi(o)+Р(ь;м, ь;со)+Р(ь;со, моз)
i (ρ (Ь, b') + 2|Ь'| + р{Ъ\ Ъ)) = \Ъ'\ + ]5(Ь, b').
^
Шаг 2. Назовем геометрическую косу полигональной, если все
ее нити составлены из последовательных (линейных) отрезков; см.
рис. 1.6. Покажем, что любую геометрическую косу b из π нитей
можно аппроксимировать полигональными косами. Выберем целое
число N > 2 и индекс i = 1,..., п. Для k = l,...,N рассмотрим отрезок
в I2 х I с концевыми точками ЪЛ—^—) и bA — J. Объединение всех
этих N отрезков является ломаной линией, которую мы обозначим
через bf. Ее концевые точки — bf (0) = Ьг(0) = (i, 0,0) и bf (1) = bf(l).
Для достаточно большого N эта ломаная линия лежит в цилиндри-
ческой |Ь|-окрестности нити Ъ{. Поэтому для достаточно большого N
ломаные линии Ь^,..., Ъ^ дизъюнктны и составляют полигональную
косу bN, аппроксимирующую исходную косу Ь. Кроме того, для любого
вещественного числа ε > 0 и всех достаточно больших N мы имеем
Рис. 1.6. Полигональная коса из 4 нитей

24
Глава 1. Косы и группы кос
рф, bN) < ε. Например, на рис. 1.6 показана полигональная аппрок-
симация косы, изображенной на рис. 1.1.
Теперь переформулируем понятие изотопии кос в полигональной
ситуации. С этой целью введем так называемые Δ-движения поли-
гональных кос. Пусть Л, В, С — такие три точки в R2 x /, что третья
координата точки А строго меньше третьей координаты точки В, а та
в свою очередь строго меньше третьей координаты точки С. Движе-
ние Δ (ЛВС) применяется к полигональной косе Ъ с R2 х I всякий
раз, когда эта коса пересекает треугольник ABC в точности по отрез-
ку АС. (Под треугольником ABC мы понимаем линейный двумерный
симплекс с вершинами Л, В, С.) При этом предположении движение
А(АВС) заменяет в полигональной косе Ъ отрезок АС на AB U ВС,
а остальная часть косы Ъ остается неизменной; см. рис. 1.7, на ко-
тором треугольник ABC затушеван. Обратное движение (А(АВС))~1
применяется к полигональной косе, пересекающей треугольник ABC
в точности по AB U ВС. При этом движении AB U ВС заменяется на АС.
Движения А(АВС) и (А(АВС))~г называются А-движениями.
t
Рис. 1.7. Δ-движение
Очевидно, что если полигональные косы связаны Δ-движением,
то они изотопны. Докажем обратное утверждение.
Утверждение 1.7. Если полигональные косы Ъ иЪ' изотопны, то
Ъ можно преобразовать в Ъ' некоторой конечной последовательно-
стью А-движений.
Доказательство. Сначала проверим это утверждение в предпо-
ложении, что р(Ь, Ъ') < |Ь|/10. Будем считать, что i-я нить Ь* состав-
лена из К> 1 последовательных отрезков с вершинами Л0 = (i, 0,0),
My ·. ·, Ак е. R2 х /. Будем записывать эту нить в виде bi = Л0Л1... Л#.
Аналогично будем считать, что Ь[ = B0Bi... BL, L > 1, В0, Вь ..., BL G
G R2 x /. Заметим, что Л0 = В0 и Л# = BL G R2 x {1}. Подразделяя

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
25
bi и Ь[ на меньшие отрезки, мы можем добиться того, чтобы вы-
полнялось равенство К = L, у точек А,- и В/ была одинаковая третья
координата для всех ; = 0,1,..., К и длины отрезков А/А/+1 и В/В/+1
были меньше |Ь|/10 для всех j = 0,1,..., К — 1. Из предположения,
что р(Ь,Ь') < |Ь|/10, следует, что длина каждого горизонтального
отрезка AjBj меньше |Ь|/10. Движение (A(AoAiA2))-1 преобразует
bi = A0Ai... Ак в нить А0А2 ... Ак = В0А2 ... Ак. Движение A(B0BiA2)
преобразует последнюю нить в BqBiA2 ... А#. Продолжая рассуждение
по индукции и применяя движения (A(ß;Aj+iAJ+2))_1 и A(BjBj+iAj+2)
при ; = 0,..., К — 2, мы преобразуем bi в Ъ[. Из условий на длины
следует, что все промежуточные нити, а также определяющие эти дви-
жения треугольники BjAj+iAj+2} BjBj+iAj+2 лежат в цилиндрической
\Ь\-окрестности нити bi и потому они дизъюнктны с цилиндрическими
\Ъ\-окрестностями других нитей косы Ъ. Применяя эти преобразова-
ния к i = 1,..., η, мы получим тем самым последовательность Δ-дви-
жений, преобразующую Ъ в Ь'.
Теперь рассмотрим произвольную пару изотопных полигональ-
ных кос Ъ,Ъ'. Пусть F: b х / —> R2 х / — изотопия, преобразующая
b = Fo (b) в V—Fi (b) (при 0 < 5 < 1 косы Fs (b) могут быть неполигональ-
ными). Из непрерывности отображения F следует, что функция 1x1-*
—> R, (5,57) ■-> ρ (Fs (b), Fs> (b)), непрерывна. Эта функция равна 0 на диа-
гонали s=s' квадрата / х /. Из этих фактов и неравенства (1.2) следует,
что функция J —» R, 5 ■-» |Fs(b)|, непрерывна. А так как |Fs(b)| > 0 при
всех 5, найдется такое вещественное число ε > 0, что |Fs(b)| > ε для
всех 5 € /. Далее, из непрерывности функции (s, s') >-> p(Fs(b), Fs>(b))
вытекает, что для некоторого достаточно большого целого числа N
и всех к = 1,2,..., N имеет место неравенство
/o(F(k_1)/N(b),Ffc/N(b))<^.
Проаппроксимируем каждую косу Fk/N(b) такой полигональной ко-
сой р/с, что p(Fk/N(b),Pk) < s/10. За ро и pN примем b и V соответ-
ственно. Ввиду неравенства (1.2) имеем
Ы > \Fk/N(b)\-p(Fk/N(b),Pk) > g.
В то же время
p(Pfc-bPk) < p(pfc_i,F(fc_i)Mb)) +
+ p(F(fc_1)/N(b),Ffc/N(b))+p(Ffc/N(b),pfc) < Ц.

26
Глава 1. Косы и группы кос
Следовательно, р{рк~ъ Рк) < \Рк\/2 ДДЯ к = 1,..., N. По доказанному
в предыдущем абзаце pk-i можно продеформировать в рк некоторой
последовательностью Δ-движений. Взяв композицию этих преобразо-
ваний b=po*-*pi'->...'->pN = b/y мы получим искомое преобразование
Ъ ·-> Ъ'. Доказательство утверждения 1.7 завершено. D
Шаг 3. Назовем полигональную косу общей, если ее проекция
в RxJ = Rx{0}x/ вдоль второй координаты имеет только двойные
трансверсальные перекрещивания. Немного пошевелив вершины про-
извольной полигональной косы Ъ (оставляя неподвижным ее край дЪ),
мы сможем аппроксимировать эту косу общей полигональной косой.
Кроме того, для любых общих полигональных кос Ъ и Ъ', связанных
последовательностью Δ-движений, мы можем, немного пошевелив
вершины промежуточных полигональных кос, добиться того, чтобы
эти полигональные косы также были общими. Запишем следствие
этих соображений и утверждения 1.7.
Утверждение 1.8. Если общие полигональные косы ЬиЪ' изотоп-
ны, то Ъ можно преобразовать в V некоторой конечной последова-
тельностью таких Α-движений, что все промежуточные полигональ-
ные косы будут общими.
Для представления общих полигональных кос мы можем приме-
нить технику диаграмм кос. Диаграммы общих полигональных кос
представляют собой диаграммы кос, нити которых составлены из по-
следовательных прямолинейных отрезков. Без потери общности мы
всегда можем считать, что вершины этих отрезков не совпадают с пе-
рекрестками диаграмм.
Утверждение 1.9. Диаграммы любых двух общих полигональных
кос, связанных Α-движением, являются R-эквивалентными.
Доказательство. Рассмотрим Δ-движение Δ (ЛВС), связывающее
общую полигональную косу Ъ с общей полигональной косой V. Выбе-
рем точки А! и С внутри отрезков AB и ВС соответственно. Выберем
точку D внутри отрезка АС так, чтобы ее третья координата находи-
лась строго между третьими координатами точек А; и С. Применив
к косе Ъ движения A{AA'D) и АфС'С), мы преобразуем отрезок АС
в ломаную линию AA'DC'C. Применив затем движения (A^A'DC))'1
и Δ(A/ßC/), мы получим косу Ъ''. Тем самым показано, что движе-
ние Δ (ЛВС) можно заменить последовательностью четырех Δ-дви-
жений по меньшим треугольникам (для этого следует выбрать точки

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
27
А', С, D так, чтобы промежуточные полигональные косы были общи-
ми). Это разложение движения Δ (ЛВС) можно итерировать. Таким
образом, подразделяя треугольник ABC на меньшие треугольники
и разлагая Δ-движения в композиции Δ-движений по меньшим тре-
угольникам, мы можем свести картину к случаю, в котором проекция
треугольника ABC в Ε х J пересекает остальную часть диаграммы
косы Ъ либо по отрезку, либо по двум отрезкам, пересекающимся
в одной точке.
Рассмотрим первый случай. Если обе концевые точки рассматри-
ваемого отрезка лежат на AB U ВС, то движение Δ (ЛВС) диаграммы
косы Ъ есть движение Ω2. Если же одна концевая точка отрезка ле-
жит на АС, а другая лежит на AB U ВС, то диаграмма преобразуется
изотопией.
Рассмотрим теперь второй случай, когда проекция треугольника
ABC вех/ пересекает остальную часть диаграммы косы по двум от-
резкам, пересекающимся в одной точке. Аналогично первому случаю
рассмотрим несколько подслучаев. Подразделяя при необходимости
треугольник ABC на меньшие треугольники и разлагая наше Δ-дви-
жение в композицию Δ-движений по меньшим треугольникам, мы
можем свести картину к случаю, в котором движение сохраняет ту
часть диаграммы, которая лежит вне некоторого маленького круга
в Ε х J, и изменяет диаграмму внутри этого круга по одной из следу-
ющих шести формул:
d'd^d^
d\d\d\, d\d+2d-~d-d\d+, d-d-d\~d+d-d-,
d2dxd2,
d\d~d\
d-d-dl <Cd+d+~d+d+<C.
Здесь d*1 и d\1 обозначают диаграммы кос из трех нитей, изобра-
женные на рис. 1.8; определение произведения диаграмм кос см. на
рис. 1.4. Мы советуем читателю нарисовать картинки этих преобразо-
ваний.
Рис. 1.8. Диаграммы à\,àx,à\,à2

28
Глава 1. Косы и группы кос
Остается доказать, что в каждом из этих случаев диаграммы в левой
и правой частях R-эквивалентны. Преобразование d^d^d^ ·-> d^d^d^
есть не что иное, как движение Ω3. Для остальных пяти преобразова-
ний R-эквивалентность доказывается следующими последовательно-
стями движений:
Доказательство утверждения 1.9 завершено. D
Шаг 4. Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 1.6.
Очевидно, что R-эквивалентные диаграммы кос представляют изотоп-
ные косы. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
две диаграммы кос @i, ®2, представляющие изотопные косы. Каж-
дую из этих диаграмм %, i = 1,2, выпрямим вблизи ее перекрестков,
а остальную часть аппроксимируем ломаными линиями так, как мы
делали это на шаге 2. Тем самым мы получим диаграмму @[ общей
полигональной косы Ь1. Если аппроксимация достаточно близкая, диа-
грамма <&[ будет изотопна диаграмме % (ср. упражнение 1.2.1 ниже).
Тогда косы Ь1 и Ъ2 будут изотопными. Из утверждения 1.8 следует, что
косу Ъ1 можно преобразовать в косу Ь2 некоторой конечной последо-
вательностью Δ-движений в классе общих полигональных кос. Соглас-
но утверждению 1.9 диаграммы $)[ и @'2 являются R-эквивалентными.
Следовательно, диаграммы 3>i и 0)2 являются R-эквивалентными. D
В следующем упражнении использованы обозначения, введенные
на шаге 1 доказательства теоремы 1.6.
Упражнение 1.2.1. Если геометрические косы Ъ и V имеют одно
и то же количество нитей и р(Ъ, Ъ') < \Ъ\, то они изотопны друг другу.
решение. Требуемую изотопию F: b х I ->Ш2 х I можно получить,
переместив каждую точку bi(t) в b[(t) по прямой, соединяющей эти
точки, т. е. по построению
F(bi(t),s)=sbi(t) + (l-s)b|(t)

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
29
для t, s € J и i = 1,..., π, где π — количество нитей косы b. Чтобы убе-
диться в том, что F — изотопия косы b в косу Ь', достаточно проверить,
что для каждого se/ отображение Fs : b —> R2 х J, переводящее b;(t)
в 5bi(t) + (1 — s)b[(t), является вложением. Так как третьи координаты
точек bi(t) и b[{t) равны t, третья координата точки sb{{t) + (1—s)b[{t)
тоже равна t. Поэтому ограничение отображения Fs на любую нить bi
косы b есть вложение. Кроме того,
p(J>i(t),FsMt))) < P(bi(t),bi(t)) < Р(Ь,Ь') < \b\.
Следовательно, образ нити bi при отображении Fs лежит в цилиндри-
ческой |Ь|-окрестности нити bi. Из этого следует, что образы разных
нитей косы b при отображении Fs не пересекаются.
1.2.4. Группы кос
Обозначим через £%п множество кос из η нитей с определенным
выше умножением. Из следующей леммы вытекает, что 0&п — группа.
Лемма 1.10. Каждый элемент β G <%n обладает двусторонним
обратным β~λ в 0&п.
Доказательство. Для i = 1,2,..., η — 1 определим две элементар-
ные косы σ+ и σ[~ представляющими их диаграммами, имеющими
только один перекресток; см. рис. 1.9.
Мы утверждаем, что косы σ^,..., σ*_ν af,..., σ~_λ g 9&n порож-
дают &η как моноид. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим произволь-
ную косу β из η нитей, представленную диаграммой @. Небольшой
деформацией диаграммы ^cRx/в некоторой окрестности ее пе-
рекрестков мы можем добиться того, чтобы у разных перекрестков
диаграммы S были разные вторые координаты. Тогда найдутся такие
вещественные числа
0 = to < ti < ... < tfc_i < tfc = 1,
что в пересечении диаграммы & с каждой полосой R x [t/, tJ+i] име-
ется ровно один перекресток и он лежит внутри этой полосы. Зна-
чит, это пересечение представляет собой диаграмму элементарной
косы σ+ или σ[~ для некоторого i = 1,2,..., η — 1. Получившееся в ре-
зультате разложение диаграммы ® в виде произведения к диаграмм
кос показывает, что
0 = |8(Э) = <£<£...<£, (1.3)
где каждое Sj есть либо +, либо — и ib ..., ik G {1,2,..., η — 1}.

30
Глава 1. Косы и группы кос
1 i-1 i ï+1 i + 2 η
1 i-1 i i+lï+2 n
Рис. 1.9. Элементарные косы σ+ и af
Ясно, что σ+σΓ = сгГа* = 1 для всех i. (Соответствующие диаграм-
мы кос связаны движением Ω2.) Следовательно, ß~1 = a[E]c... сгГ^сгГ*1
есть двусторонний обратный к β элемент в {Шп (здесь мы используем
. + = _и__ = +). Π
соглашение
Лемма 1.11. Элементы σ^,...,σ^_λ е S&n удовлетворяют косо-
вым соотношениям, т. е. crfcrf = σ^σ* для всех тех i,j = l,2,...,n—l,
для которых \i — j\ >2,и ^σ^_1σ^ = σ^1σ^σ^_1 для i = 1,2, ...,п — 2.
Доказательство. Первое соотношение следует из того факта, что
его стороны представлены изотопными диаграммами. Диаграммы,
представляющие стороны второго соотношения, отличаются на дви-
жение Рейдемейстера Ω3. D
Теорема 1.12. Для ε = ± существует единственный гомоморфизм
групп φε: 08п-* $п, аля которого φε (σ*) = σ[ для всех i = 1,2,..., η — 1.
Гомоморфизм φε является изоморфизмом.
Доказательство. Для определенности будем считать, что ε = +
(случай £ = — можно разобрать аналогично или свести к случаю ε = -f
с помощью упражнения 1.1.2). Существование и единственность го-
моморфизма φ+ вытекают непосредственно из лемм 1.2 и 1.11. Дока-
зательство леммы 1.10 показывает, что элементы σ^,..., σΓ^_1 порож-

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
31
дают Зп как группу. Эти образующие принадлежат образу гомомор-
физма ψ+. Следовательно, гомоморфизм φ+ сюръективен.
Далее мы построим такое отображение гр : 3ên—>Bn как множеств,
что ψοφ+ = id. Из этого будет следовать, что гомоморфизм φ+ инъек-
тивен. Как в доказательстве леммы 1.10, представим произвольную
косу β g Зп такой диаграммой ®, перекрестки которой имеют раз-
личные вторые координаты. Это приведет к разложению вида (1.3).
Положим
где (σ^)+ = en и (σ;)~ = σΓ1. Мы утверждаем, что г/>(0) зависит только
от /3. В силу теоремы 1.6 нужно проверить только тот факт, что ψ {β)
не изменяется при изотопиях диаграммы Э и ее движениях Рейдемей-
стера. Если изотопия диаграммы ® сохраняет порядок двойных точек
диаграммы относительно второй координаты, то разложение (1.3)
не изменяется и потому сохраняется я/>(©). Если изотопия меняет
порядок двух двойных точек диаграммы 0 (как на рис. 1.3), то для
некоторых i, j G {1,2,..., η — 1}, для которых |î — j\ > 2, член &*(&р
в разложении (1.3) заменится на сграр. Вследствие первого косового
соотношения в определении 1.1 оба разложения перейдут при отоб-
ражении ψ в один и тот же элемент группы Вп.
Движение Ω2 (соответственно Ω^1) диаграммы & вставляет (соот-
ветственно удаляет) в разложении (1.3) член σ+σ^ или <J[~cr+. Ясно,
что при этом ψ (β) сохраняется.
Движение Ω3 диаграммы ^ заменяет последовательность σ+σ^σ*
в разложении (1.3) на σ^σ*σ^. Благодаря второму косовому соот-
ношению в определении 1.1 оба разложения перейдут при отображе-
нии ψ в один и тот же элемент группы Вп. Движение Ω^1 рассматри-
вается аналогично.
Таким образом, мы показали, что отображение ψ из Зп в Вп опре-
делено корректно. По построению ψ о φ+ = id. Следовательно, гомо-
морфизм φ+ одновременно сюръективен и инъективен. D
Соглашения 1.13. Начиная с этого места мы будем отождеств-
лять группы Вп и £%п с помощью изоморфизма ψ+. Элементы груп-
пы Вп впредь будут называться косами из η нитей. Мы будем писать σ^
вместо σ+. В этом обозначении σΓ = (σ+)-1 = σΓ1.
Проекцию π : Вп —» ΘΠ группы кос на симметрическую группу мож-
но легко описать в геометрических терминах. Для геометрической
косы Ъ из η нитей перестановка я(Ь) G <5п переводит каждый элемент

32
Глава 1. Косы и группы кос
i € {1,2,..., п} в единственный элемент j € {1,2,..., η}, для которого
у той нити косы Ь, которая прикреплена к (i, 0,0), вторая концевая
точка — 0,0,1).
Следствие 1.14. Для всех η естественное вложение i : Вп -* Вп+х
инъективно.
Доказательство. На геометрическом языке отображение i : Вп —»
—» Вп+1 добавляет к геометрической косе b из η нитей еще одну верти*
кальную нить справа, которая совершенно не зацепляет косу Ь. Обо-
значим получившуюся косу из п+1 нитей через i(b). Если bi и Ъг —две
такие геометрические косы из η нитей, что коса i(bi) изотопна косе
i(l>2)y то, ограничив эту изотопию на первые слева π нитей, мы полу-
чим изотопию Ъ\ в Ъ%. Следовательно, отображение i инъективно. D
Замечания 1.15. 1. Некоторые авторы, включая Артина [Art25],
используют изоморфизм ψ- для отождествления групп Вп и Θ8η. Мы
следуем другой статье Артина [Art48a], в которой эти группы отож-
дествляются с помощью изоморфизма φ+.
2. В определении геометрических кос из η нитей мы за мно-
жество концевых точек приняли {1,2,..., п} х {0} х {0,1}. Вместо
{1,2,...,п} мы могли бы взять произвольное множество из η раз-
личных вещественных чисел. Но поскольку такое множество можно
непрерывно продеформировать в {1,2,...,п} в R, мы получили бы
тогда ту же самую группу кос.
Упражнение 1.2.2. Докажите, что для произвольной геометри-
ческой косы Ъ с R2 х I найдется такой круг U с R2, что Ь с U x J.
(Указание: проекция косы Ъ в плоскость R2 — компактное множество.)
Упражнение 1.2.3. Докажите, что для произвольной изотопии
кос {bs}se/ найдется такой круг U с R2, что Ъ$ с U х / для всех sel.
Упражнение 1.2.4. Пусть U — открытый круг в R2, содержащий
точки (1,0),..., (п, 0). Докажите, что любая геометрическая коса из
η нитей b с R2 x / изотопна некоторой геометрической косе, лежащей
bUxI.
решение. Согласно упражнению 1.2.2 существует такой круг U\ с R2,
что b с U\ х I. Увеличив U\, мы можем считать, что U\ э U. Существует
такое маленькое ε > 0, что
ЬП (R2 х [0,ε]) с U х [0, е] и bn (R2 х [1-ε, 1]) с 17 х [1-ε, 1].

§1.3. Группы крашеных кос
33
Оставляя неизменной ту часть косы Ь, которая лежит в
(R2 х [0, ε/2]) U (R2 х [1 - ε/2,1]),
и сжимая Ui х [ε, 1 — ε] в U х [ε, 1 — ε], мы получим геометрическую
косу в 17 х [0,1], изотопную исходной косе Ь.
Упражнение 1.2.5. Для такого круга U, как в упражнении 1.2.4,
докажите, что любые две геометрические косы, лежащие bî/x/и
изотопные в R2 х /, изотопны уже в U x /.
Упражнение 1.2.6. Для геометрической косы Ъ с R2 х / из η нитей
обозначим через Ъ ее образ при инволюции в R2 x /, отображающей
(дс, у, t) в (х, у, 1 — t), где х, у € R, t € /. Проверьте, что Ъ — геометри-
ческая коса. Покажите, что если Ъ представляет элемент β е Θ8η, то Ь
представляет обратный элемент β"1. Выведите отсюда, что если эле-
мент β представлен диаграммой косы Ф, то обратный элемент ß~l
представлен образом диаграммы ^ при отражении относительно пря-
мой R x {1/2}.
§ 1.3. Группы крашеных кос
В этом параграфе мы введем так называемые крашеные косы
и используем их для доказательства важных алгебраических свойств
групп кос.
1.3.1. Крашеные косы
Ядро естественной проекции π: Вп —> Θη называется группой кра-
шеных кос (а также группой чистых кос) и обозначается через Рп:
Рп=Кег(тг: Вл->6„).
Элементы группы Рп называются крашеными косами из η нитей (а так-
же чистыми косами из η нитей). Геометрическая коса из η нитей
представляет элемент группы Рп в том и только том случае, когда для
всех î = 1,..., п у той нити этой косы, которая прикреплена к (i, 0,0),
вторая концевая точка — (i, 0,1). Такие геометрические косы называ-
ются крашеными (а также чистыми).
Впоследствии важную роль будет играть крашеная коса Au из η
нитей, где 1 < i < j < η; она изображена на рис. 1.10. С помощью
образующих σα,..., ση-\ эту косу можно записать как
AU = <rj-iO)-2... σΜσ?σΓ+\ ... σ7}2στ\.

34
Глава 1. Косы и группы кос
1 i-l i f + 1 ;-l ; ; + l Π
...
1
I
...
Рис. 1.10. Коса Aifi из η нитей, 1 < i < j < π
Косы {Ai,j}i,j сопряжены друг другу в группе Вп. Действительно, поло-
жим
для любых i, j, 1 < i < j < п. Простое упражнение — проверить на кар-
тинках, что для любых t, j, к, К i < ; < к < л, имеют место равенства
ajykAuaj£ = Ai)k и a^A^jd^ = Л,,*. (1.4)
Вскоре мы увидим, что косы {Aijhj не взаимно сопряжены в под-
группе Рп.
Из коммутативности диаграммы (1.1) следует, что гомоморфизм
вложения i : Вп -> B„+i отображает Р„ в Pn+i. Индуцированный гомо-
морфизм Рп -> Pn+i будет обозначаться тем же символом t. На гео-
метрическом языке гомоморфизм i : Рп -> Ρη+1 добавляет к крашеной
косе Ь из л нитей еще одну вертикальную нить справа, которая совер-
шенно не зацепляет косу Ь. Согласно следствию 1.14 гомоморфизм
i : Рп -* P„+i инъективен. Иногда бывает удобно рассматривать Рп
как подгруппу группы Pn+i с помощью вложения t. Таким образом,
мы получаем возрастающую цепь групп Рх с Р2 с Р3 с ... Ясно, что
Pi = {1} и Р2 — бесконечная циклическая группа, порожденная эле-
ментом A\t2 = of-
1.3.2. Забывающие гомоморфизмы
Определим забывающий гомоморфизм fn: Pn~~* Pn_i следующим
образом. Представим элемент группы Рп некоторой геометрической
косой Ь. Для всех i = 1,2,..., η ее i-я нить соединяет (i, 0,0) с (i, 0,1).
Выдернув (т. е. удалив) η-ю нить из косы Ь, мы получим косу fn(b)
из η — 1 нитей. Очевидно, что если коса Ь изотопна косе Ь', то коса

§ 1.3. Группы крашеных кос
35
/П(Ь) изотопна косе /П(Ь'). Переходя к классам изотопии, мы полу-
чаем корректно определенное отображение /п: Рп —► Рп-\. Из опре-
деления умножения для геометрических кос ясно, что fn — гомомор-
физм групп. Из геометрического описания естественного вложения
t : Pn-i —» Рп ясно, что fn о t, = idpnl. Это дает еще одно доказательство
инъективности вложения i и следствия 1.14. Из этого равенства также
следует, что гомоморфизм fn сюръективен.
Для л > 2 положим
17„ = Кег(£:Рп->Р„-1).
Заметим, что, поскольку гомоморфизм fn имеет сечение, группа Рп
изоморфна полупрямому произведению P„_i с Un. Любую крашеную
косу β G Pn можно единственным образом разложить в произведение
ввда ß = W)ßn, (1.5)
где β' € Рп_! и /Зд g l/n. Здесь β' = fn(ß) nßn = i{ß'Ylß* Продолжая
это разложение по индукции, мы получаем, что каждую крашеную
косу β можно единственным образом записать в виде
ß = ßzß*...ßn, (1.6)
где ßj g Uj с Pj с Рп для j = 2,3,..., п. Разложение (1.6) называется
нормальной формой (а также расчесанным видом) крашеной косы β.
Авторы не могут удержаться от соблазна процитировать последний
абзац статьи Артина [Art48a]: «Хотя доказано, что каждую косу мож-
но продеформировать в аналогичную нормальную форму, автор этой
статьи убежден в том, что любая попытка выполнить это над живым
человеком приведет к яростным протестам и дискриминации матема-
тики. Поэтому он не советует проводить такой эксперимент».
Из рис. 1.10 ясно, что Α,·,„ G Un для i = 1,2,..., η — 1. Мы сформу-
лируем теперь фундаментальную теорему о вычислении группы Un.
Теорема 1.16· Для всех п>2 группа Un свободна с η — 1 образую-
щими {Ai,n}i=l,2,...,n-.l.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 1.4. Остальная часть
этого пункта будет посвящена следствиям из теоремы 1.16.
Следствие 1.17. Группа крашеных кос Рп допускает такую нор-
мольную фильтрацию
1 = Ц,тс17«С...сцГ1)=^
что U®/Ut1]
есть свободная группа ранга η — i для всех L

36
Глава 1. Косы и группы кос
Доказательство. Положим ï/„ = {1}, а для i = 1,2,..., η — 1 по-
ложим m
u£° = Ker(/„_i+i... fn-г/п : Рп -> Рп_;).
Тогда
U®/Ut1* = Ker(/n_i+1 : Pn_i+1 -» РпЧ) = [7n_i+1. D
Следствие 1.18. Группа крашеных кос Рп не имеет кручения, т. е.
не имеет никаких нетривиальных элементов конечного порядка.
Это утверждение вытекает непосредственно из следствия 1.17,
поскольку свободные группы не имеют кручения. Группа кос Вп так-
же не имеет кручения; этот факт будет доказан другими методами
в п. 1.4.3.
Следствие 1.19. Группа крашеных кос Рп порождена п(п — 1)/2
элементами {Aj}i<i</<n.
Это утверждение следует из формулы (1.6) и теоремы 1.16. Приве-
дем список определяющих соотношений для образующих {Aij}i<i</<re
группы Рп:
I Aij, если 5 < i или i<r <s < j,
- I Ar jAi jA~)9 если s = i,
A-MuA;s=< J J rJ 1 _Л (1.7)
ArJASfjAuAs]Ar^ если i = r<s<j,
\ArjAStjA;)A-)AuAsjArjA-)A;)9 если r<i<s<j.
Выполнение этих соотношений в Рп проверяется непосредственно
на соответствующих картинках. Тот факт, что все соотношения меж-
ду {Ai,j}i<i<7<n следуют из этого списка, можно проверить с помо-
щью процесса переписывания Реидемеистера—Шрейера; см. прило-
жение 1 к книге [Нап89], написанное Ларсом Гэде. В настоящей книге
мы используем соотношения (1.7) только один раз, в п. 7.2.3.
Следствие 1.20. Имеет место изоморфизм Рп/[Рп,Рп] — Zn(n_1)/2.
Доказательство. Ввиду следствия 1.19 абелева группа Рп/[Рп, Рп]
порождена элементами, представленными косами Aij, где 1 < i < j < п.
Для доказательства линейной независимости этих элементов доста-
точно для каждой пары 1 < i < j < η построить такой гомоморфизм
групп lij: Рп -> Z, что {у(Ау) = 1 и lij(Ar>s) = 0 для всех пар (г, s),
отличных от (i, j).
Возьмем элемент β е Рп и представим его диаграммой косы ®.
Ориентируем все нити диаграммы <&, начиная сверху (с уровня t = 0)

§ 1.3. Группы крашеных кос
37
и заканчивая низом (уровнем t = 1). Обозначим через Ζ^(®) количе-
ство перекрестков диаграммы ^, в которых i-я нить проходит над ;-й
нитью слева направо, а через ij".(®) — количество перекрестков диа-
граммы @, в которых i-я нить проходит над ;-й нитью справа налево.
Положим
Zu0S) = z+(®)-Ç}O).
Непосредственно проверяется, что число ii,j()3) инвариантно относи-
тельно изотопии и движений Реидемеистера диаграммы @. По тео-
реме 1.6 число Uj(ß) представляет собой корректно определенный
инвариант косы β. (Этот инвариант также можно определить как
коэффициент зацепления i-й и j-й компонент зацепления в R3, по-
лученного замыканием косы β; ср. гл. 2.) Отображение Uj: Рп —> Ζ
является гомоморфизмом групп, принимающим значение +1 на Aij
и значение 0 на всех остальных Ап$у т. е. при (г, s) Φ (i, j). D
Следствие 1.21. Группа кос Вп и все ее подгруппы финитно an-
проксимируемы.
Доказательство. Напомним, что группа G называется финитно
аппроксимируемой (а также резидуально конечной или остаточно ко-
нечной), если для каждого элемента β е G \ {1} существует такой гомео-
морфизм / из G в некоторую конечную группу, что /Q3) φ 1. Известно,
что свободные группы финитно аппроксимируемы (см. [LS77, гл. IV,
§4], [MKS66, §6.5]) и что полупрямое произведение двух конечно
порожденных финитно аппроксимируемых групп финитно аппрокси-
мируемо (последний результат принадлежит Мальцеву; см. [Мал40]).
Поэтому, применяя индукцию по п, из теоремы 1.16 получаем, что
группа крашеных кос Рп финитно аппроксимируема.
Заметим, что любое расширение (не обязательно полупрямое)
финитно аппроксимируемой группы Ρ при помощи конечной группы
финитно аппроксимируемо. Это утверждение можно легко вывести
из того факта, что пересечение конечного семейства подгрупп груп-
пы Ρ конечного индекса есть подгруппа конечного индекса. А так как
группа Вп представляет собой расширение группы Рп при помощи 6Л
и группа Рп финитно аппроксимируема, группа Вп тоже финитно
аппроксимируема. Остается заметить, что все подгруппы финитно
аппроксимируемой группы тоже финитно аппроксимируемы. D
Группа называется хопфовой, если все ее сюръективные эндомор-
физмы инъективны.

38
Глава 1. Косы и группы кос
Следствие 1.22. Группа кос Вп и все ее конечно порожденные под-
группы хопфовы.
Доказательство. Всякая конечно порожденная финитно аппрок-
симируемая группа хопфова (см. [LS77, гл.4, теорема 4.10], а также
[Neu67]). D
Следствие 1.23. Для i = 1,2,..., η выдергивание i-й нити опреде-
ляет гомоморфизм групп /„ : Рп —>Pn-i· Ядро гомоморфизма ft есть сво-
бодная группа ранга η — 1 со свободными образующими А^,..., Α;_1λ1·,
А.ц+1,..., Aiji·
Доказательство. Положим щ)П = ση-\ση-2 ...σ* и заметим, что
для любой косы β € Рп выдергивание п-й нити из косы a^ßcC^ дает
косу
ln-iÄG8)l„-i=Ä(jB).
Следовательно, /,{(/3) = fn(aiinßä7*), где /„ = /пп. Поэтому
Кег/,{ = а7*(Кег/п)аип = d^UnaUn.
Остается применить теорему 1.6 и заметить, что сопряжение на эле-
мент aj"*, как следует из соотношений (1.4), преобразует множество
{A/,nb=i,2,...,n-i в множество {Аи,..., At-Ui Ац+Ъ ..., AUn}. D
1.3.3. Центр группы кос Вп
Центром группы G называется ее подгруппа, состоящая из всех
элементов g € G, для которых gx=xg для любого х g G. Центр группы G
обозначается через Z(G).
Теорема 1.24. Если п>3,то Z(Bn) = Z{Pn) есть бесконечная цик-
лическая группа, порожденная элементом θη = Δ%, где
Ап = {σλσ2 ... ση-\){σ1σ2 ... ση-2).. · (σΙσ2)σ1 e Bn.
Доказательство. Косу Δη можно получить из тривиальной ко-
сы 1п, наполовину перекрутив ее, для чего нужно зафиксировать верх
этой косы и перевернуть ряд нижних концов на угол π. См. диаграмму
косы А5 на рис. 1.11.
Косу θη — Δη можно получить из тривиальной косы 1п, полно-
стью перекрутив ее, для чего нужно зафиксировать верх этой косы
и перевернуть ряд нижних концов на угол 2π. Имеем
п{Ап) = (п,п-1,...,1)е6п.

§ 1.3. Группы крашеных кос
39
Рис. 1.11. Коса Δ5
Рис. 1.12. Коса 75
Следовательно, θη € Рп. Простое упражнение состоит в том, чтобы
вычислить θη индуктивно исходя из 6(0n_i), где l: Рп-\ G Рп — есте-
ственное вложение. В результате получаем, что θη = 1{θη-\)γ, где
γ = γη= AitnA2,n - - - Ai-i,n € Pn;
см. диаграмму косы γ5 на рис. 1.12.
Возьмем в произведении σ^η единственный перекресток в диа-
грамме косы Gi и непрерывно опустим его сверху вниз. Как легко
видеть, мы получим Αηση-{. Итак,
atAn - Anan-i
(1.8)
для всех i = 1,2,..., η — 1. Из этого следует, что элемент θη коммути-
рует со всеми образующими группы Вп:
σβη = σ{ΑηΑη = Anan-iAn = AnAnGi = θησ{.
Значит, θη G Z{Bn).
Докажем теперь индукцией по η > 2, что все элементы центра
Ζ(Ρη) суть степени элемента 0П. Для η = 2 это очевидно, так как груп-
па Р2 порождена элементом А\у2 = 02 = σ\. Докажем индуктивный
переход. Возьмем элемент β G Z{Pn), n > 3. По формуле (1.5) имеем
ß = i(ß/)ßn, где ß/ = fn(ß)^Pn-i и /3n g £/n. Несложные геометрические
соображения показывают, что определенная выше коса γ = γη ком-
мутирует с любым элементом из подгруппы i(Pn-i) сРп,в частности
с i(/3')· Поскольку элемент /3 лежит в центре группы Рп, он коммутиру-
ет с γ. Поэтому γ коммутирует с ßn — i(ß')~lß. Следовательно, группа
G с Un, порожденная элементами ßn и γ, абелева. По теореме 1.16
группа Un свободная, и потому все ее подгруппы свободны. Из этого

40
Глава 1. Косы и группы кос
следует, что G — бесконечная циклическая группа. Далее напомним,
что в доказательстве следствия 1.20 был определен гомоморфизм
U,j - Рп -* Ζ для всех i, j, К i < j < п. Ясно, что 1\)П{у) = 1, поэтому эле-
мент у должен быть образующей группы G. Следовательно, /Зп = ук для
некоторого целого fc. Так как забывающий гомоморфизм fn:Pn-^Pn-i
сюръективен, получаем, что β' = fn{ß) € Z(Pn_i). По предположению
индукции /3' = (0n-i)m Для некоторого целого т. Далее мы докажем,
что т = к. Так как γ коммутирует с i{9n-{), мы получаем, что
β = i(ß')ßn = i((ft,-i)m)r* = i((0n-i)V = (t(Ö„-i)r)fc = #·
Из определений и разложения /3 = t((0n-i)m)yfc следует, что
ii,n(ß) = fc для всех i = 1,2,..., η — 1. В частности, li,n{ß) не зависит
от /. Так как β лежит в центре Ζ[Ρη), элемент ση-\βσ~^λ также ле-
жит в центре Ζ{Ρη). По доказанному выше целое число li,n(&n-iß&n-\)
не зависит от i = 1,2,..., η — 1. Исходя из определений и используя
разложение β = 1{{вп-{)т)ук, мы получаем равенства
h,n{Pn-\ß<7n-\> = lhn(ß) = m
и
Ιη-1,η{ση-1βση-1) = ln-\,n{ß) = fc·
Следовательно, т = к.
Центр группы кос Вп при π > 3 проектируется в тривиальную
подгруппу симметрической группы 6П, так как Ζ(<5η) = {1}. Поэто-
му Ζ(£π) с Ζ(Ρη) с (θπ) с Ζ(Βη), где (0П)—циклическая подгруппа
группы Вп, порожденная элементом θη. Значит,
Ζ(Βη)=Ζ(Ρπ) = (θη).
Применяя следствие 1.18, получаем, что (θπ) — бесконечная цикличе-
ская группа. D
Следствие 1.25. Для тфп группы Вт и Вп не изоморфны.
Доказательство. Из теоремы 1.24 следует, что образ центра Ζ(Βη)
в Вп/[Вп,Вп] = Ζ является подгруппой группы Ζ индекса п(п — 1).
Если группа Вт изоморфна группе Вп, то т(т — 1) = п(п — 1), откуда
получаем, что т = п. D
Упражнение 1.3.1. Выведите следствие 1.20 из задания группы Рп
образующими {Ау}к£</<„ и соотношениями (1.7).
Упражнение 1.3.2. Проверьте, что Δ„ = (σ^ ... ση-{)η.

§ 1.4. Конфигурационные пространства
41
Упражнение 1.3.3. Проверьте, что Рп — минимальная нормаль-
ная подгруппа группы кос Вп, содержащая элемент σ\ — Ai)2.
Упражнение 1.3.4. Проверьте равенства (1.4), используя только
выражение Aij через аь ..., (Jn-i и косовые соотношения между эти-
ми образующими.
Упражнение 1.3.5. Покажите, что всякая нетривиальная подгруп-
па группы крашеных кос Рп имеет нетривиальный гомоморфизм на Z.
(Указание: каждая свободная группа обладает нормальной фильтра-
цией со свободными абелевыми последовательными факторами.)
§ 1.4. Конфигурационные пространства
В этом параграфе мы обсудим подход к косам, основывающий-
ся на конфигурационных пространствах. В качестве приложения мы
докажем теорему 1.16.
1.4.1. Конфигурационные пространства
упорядоченных множеств точек
Пусть M — топологическое пространство и
Мп=МхМх...хМ
— произведение η > 1 экземпляров пространства M с топологией про-
изведения. Положим
&п{М) = {(иь и2,..., ип) еМп:щф щ для всех i φ ;}.
Это подпространство произведения Мп называется конфигурацион-
ным пространством упорядоченных наборов η (различных) точек
пространства М.
Если M — топологическое многообразие (возможно, с краем дМ),
то конфигурационное пространство &п(М) является топологическим
многообразием размерности η dim (M). Ясно, что каждый упорядочен-
ный набор η точек многообразия M можно продеформировать в неко-
торый упорядоченный набор η точек из внутренности М° = М\дМ
многообразия М. Если dim(M) > 2 и M связно, то всякий упорядочен-
ный набор η точек из М° можно продеформировать в любой другой
такой набор. Поэтому для таких M многообразие &пШ) связно. Его
фундаментальная группа называется группой крашеных кос (а также
группой чистых кос) многообразия M из π нитей.

42
Глава 1. Косы и группы кос
Для M = R2 мы снова получаем ту же самую группу крашеных
кос Рп, которую мы рассматривали выше. Чтобы убедиться в этом,
сопоставим каждой крашеной геометрической косе b сШ2 х I путь
I-*^п(12), отображающий tel в набор (ui(t), u2(t),...,un(t)), опре-
деленный тем условием, что i-я нить косы b пересекает плоскость
Ш2 х {t} в точке (ui(t), t) для всех i = 1,2,..., п. Этот путь начинается
и заканчивается в наборе η точек
qn = «1,0), (2,0),..., (π, 0)) G J^(M2).
Обратно, любой путь (ai, а2,..., an) · J —» ^ii(K2), начинающийся
и заканчивающийся в точке qn, определяет крашеную геометриче-
скую косу
i=l tel
Эти конструкции взаимно обратны и дают биективное соответствие
между крашеными геометрическими косами и петлями в (^(3R2), qn).
При этом соответствии изотопия кос соответствует гомотопии петель.
Поэтому Рп = 7riC^n(R2),qn). Группа кос Вп допускает аналогичную
интерпретацию, которую мы обсудим в п. 1.4.3.
Вернемся теперь к произвольному связному топологическому мно-
гообразию M размерности не меньше 2. Полезно обобщить опреде-
ление конфигурационного пространства ^П(М), запретив несколько
точек в М° = М\дМ. Точнее, зафиксируем некоторое конечное под-
множество Qm с М°, состоящее изт>0 точек, и положим
&m,n(M)=&n(M\Qm).
Топологический тип этого пространства зависит от M, m и п, но не от
выбора Qm. Ясно, что &0,пШ) = &пШ) и ^тД(M) =M\Qm.
Для описания связи между разными конфигурационными про-
странствами нам понадобится понятие локально тривиального рас-
слоения. Для удобства читателя мы напоминаем это понятие в прило-
жении Б.
Лемма 1.26. Пусть M — связное топологическое многообразие раз-
мерности не меньше 2 с дМ = 0. Для любых п,г,п>г>1у забывающее
отображение ρ : &п{М) —> ^Г(М), определенное формулой
p(lil,...,Un) = (üi,...,Ur),
является локально тривиальным расслоением со слоем #r,n-r(M).

§ 1.4. Конфигурационные пространства
43
Доказательство. Отметим точку и0 = (и®,...,u?) G «^-(M). Слой
р~г (и0) состоит из наборов (и°,... ,u^,v\,..., vn-r) еМг, где все и\,...,
и?, vi,..., vn-r различны. Положив Qr = {u°,..., u° L мы получим
&г,п-гШ) = {(Mi,..., Vn-r) € (M\Qr)n"r: i;f φ ц при i ^;}.
Очевидно, что формула (ц°,...,и°, Уь..., vn-r) *-*{v\,..., vn-r) опреде-
ляет гомеоморфизм p~l(u°) ъ ^г,п-гШ).
Докажем локальную тривиальность отображения ρ в некоторой
окрестности точки и0. Для каждого i = l,2,...,r выберем такую откры-
тую окрестность Ui с M точки и?, что ее замыкание Ui представляет
собой замкнутый шар с внутренностью Ui. Поскольку точки и\,..., и®
различны, мы можем считать, что окрестности U\,...,Ur попарно не
пересекаются. Тогда
U = и г х U г х ... х Ur
является окрестностью точки ц° в ^Г(М). Убедимся в том, что огра-
ничение отображения ρ на U есть тривиальное расслоение, т. е. су-
ществует гомеоморфизм p~l(U) ->[/x &г,п-гШ)> коммутирующий
с проекциями на 27.
Ниже мы построим для каждого i — 1,2,..., г такое непрерывное
отображение 0; : 17; х [/; —> Ui, что для каждой точки uet/j отображение
0" : Ui —» Ui, переводящее υ € Ui в в^и, ν), является гомеоморфизмом,
переводящим и? в u и поточечно неподвижным на граничной сфе-
ре dUi. Для любой точки и = (ui,..., ur) e U определим отображение
0" : M —> M формулами
iOi(iii,v), если ν s Ui для некоторого i = l,2,...,r,
ъш\ I Irr
υ, еслии €.M\[JUi.
i
Ясно, что это отображение ви:М ^>М представляет собой гомеомор-
физм, непрерывно зависящий от u и отображающий точки u\,..., и?
в üi,..., ur соответственно. Формула
(и, щ,..., vn-r) -> (и, ви{щ),..., 0"О>п-г))
определяет гомеоморфизм U х &г,п-гШ) —> P~l(U), коммутирующий
с проекциями на U. Обратный к нему гомеоморфизм определяется
формулой
(u, Vl,..., vn-r) -» {и, (eTVi),..., (етЧ^-г)).
Итак, р\и: р~г(и) —» U есть тривиальное расслоение.

44
Глава 1. Косы и группы кос
Осталось построить отображения fy. Мы можем считать, что
Ui = U — открытый единичный шар в евклидовом пространстве RdimM
с центром в начале координат щ = 0. Зафиксируем гладкую функцию
от двух переменных Я: [0,1) х [0,1] —» R, удовлетворяющую свой-
ствам Я(х, у) = 1, если х > у, и Я(х, у) = 0, если (х + 1)/2 < у, где
х € [0,1) и у G [0,1]. Для каждой точки и € U определим вектор-
ное поле /" на замкнутом единичном шаре U = {ν € RdimM: \\v\\ < 1}
по формуле
/и0;) = А(|ШИ)".
Выбор функции Я обеспечивает равенства fu = u на. шаре радиуса ||и||
с центром в начале координат и /" = 0 вне шара радиуса (||ц|| + 1)/2
с центром в начале координат. Обозначим через {θα>ν: U —> [/}t€R
поток, определенный векторным полем /", т. е. такое (единственное)
семейство диффеоморфизмов шара U на себя, что Θ"'0 = id и àQ^jat —
= fu(v) для всех υ G U, t G R. Диффеоморфизм 6u>t гладко зависит
от и nt, поточечно неподвижен на граничной сфере dU и отображает
начало координат в tu. Значит, отображение 0; : U x Î/ —> I/, опреде-
ленное формулой #i(u, у) = θ"'1^) для ueU, υ eU, удовлетворяет
всем требуемым условиям. D
Лемма 1.27. Пусть M — связное топологическое многообразие раз-
мерности не меньше 2 с дМ — 0. Для любых т, η, г, m > 0, η > г > 1,
забывающее отображение
определенное формулой p(u\, ..., un) = (иь ..., ur), является локально
тривиальным расслоением со слоем &т+г,п-гШ)-
Доказательство. Эта лемма получается применением леммы 1.26
KM\Qm. D
Напомним, что связное многообразие M называется асферичным,
если его универсальное накрытие стягиваемо, или, что эквивалентно,
если его гомотопические группы щ{М) равны нулю для всех i > 2.
Лемма 1.28. Для любых т>0,п>1 многообразие &тзП(№?) асфе-
рично.
Доказательство. Рассмотрим определенное выше расслоение
&т,п№2) "> ^m,l№2) - R2\Qm
со слоем ^m+i>n_i(M2). Напишем точную гомотопическую последова-
тельность этого расслоения:

§ 1.4. Конфигурационные пространства
45
... —> 7Ti+1(R2\Qm) —> ^(^m+1,n_i(R2)) —>
—> ^ (J^m,n (R2)) —> πΑ (R2 \ Qm) —>...
Заметим, что R2 \ Qm деформационно ретрагируется на букет m окруж-
ностей. Букет окружностей асферичен, так как его универсальное
накрытие представляет собой дерево и потому оно стягиваемо. По-
этому R2 \ Qm асферично, следовательно, щ (R2 \ Qm) = 0 для всех i > 2.
Из написанной точной последовательности следует, что для всех i > 2
имеет место изоморфизм
^•(^m,n(R2)) = ^(^m+fl-i>n_i(R2)).
Индукция показывает, что для всех i > 2 имеем
^(^m,n(R2)) = я£(^т+п-1д»2)) = ^(R2\Qm+n_a) =0. D
1.4.2. Доказательство теоремы 1.16
Применив лемму 1.26 к M = R2, мы получим локально триви-
альное расслоение р: ^n(R2) -* ^n-i(R2) со слоем <^n-i,i(R2). Его
гомотопическая последовательность дает короткую точную последо-
вательность
1 —> ^(^n_u(R2)) —> ^(^„(R2)) -^ ^(J^R2)) —> 1, (1.9)
где мы использовали тривиальность группы π2(<·^η-1№2)) (по лем-
ме 1.28) и тривиальность ЯоС^п-1д№2)) (так как <^n-i,i(R2) связно).
При изоморфизмах 7TiC^n(R2)) = Рп и ttiC^-iCR2)) = Pn_i гомо-
морфизм р# в точной последовательности (1.9) отождествляется с за-
бывающим гомоморфизмом /п : Рп —> Pn-i из п. 1.3.2. Перепишем по-
следовательность (1.9) в виде
1 —> π1(^rг_1,1(R2)) —> Р„ A, pn-1 _ i. (1.10)
Чтобы вычислить π1 С^п-1,1 (R2)) = TTi (R2 \ Qn-i), мы примем за Qn-i с
с R2 множество {(1,0), (2,0),..., (п — 1,0)} и в качестве отмеченной
точки в R2\Qn-i возьмем а0 = (п, 0). Ясно, что 7ri(R2\Qn_bao) есть
свободная группа ранга п—1 со свободными образующими хь ..., хп-ъ
изображенными на рис. 1.13.
Гомоморфизм п\{&п-\,\(R2)) ->РП = 7Ti(^n(R2)) в точной последо-
вательности (1.10) индуцирован вложением R2\Qn-i = <^n-i,i(R2) *-*
^> &п (R2), сопоставляющим каждой точке α е R2 \ Qn-i набор η точек
((1,0), (2,0),..., (п — 1,0), а). Сравнивая рис. 1.10 и 1.13, мы заме-
чаем, что этот гомоморфизм отображает Х{ в А;)П для всех i. Теперь

46
Глава 1. Косы и группы кос
y/l· (1,0) (i,0)
= (л,0)
Рис. 1.13. Образующие хь ..., xn-i группы пг (Е2 \ Qn_b α0)
утверждение теоремы 1.16 непосредственно следует из точной после-
довательности (1.10). D
1.4.3. Конфигурационные пространства
неупорядоченных множеств точек
Снова рассмотрим конфигурационное пространство &т,пШ), ас-
социированное с целыми числами m > 0, η > 1 и со связным тополо-
гическим многообразием M размерности не меньше 2. На &т}ПШ) =
= <-^n(AAQm) действует симметрическая группа 6П перестановками
координат. Рассмотрим факторпространство
Так как действие группы 6П на &т,пШ) не имеет неподвижных точек,
естественная проекция ^т,пШ) —> ^т,п(М) является накрытием. Сле-
довательно, ^(^^„(М)) = Щ^т^ШУ) Для всех i > 2 и ^^(М) есть
связное топологическое многообразие размерности ndim(M). Точка-
ми пространства ^т^пШ) являются неупорядоченные множества η раз-
личных точек из M\Qm. Группа Я1(^т)Г1(М)) называется группой кос
многообразия M\Qm из η нитей. Мы будем писать ^П(М) вместо
Для M = R2 мы таким образом снова получаем группу кос Ар-
тина Вп. Действительно, группа Вп канонически изоморфна группе
7üi(^n(R2),q), где q — точка в ^п№2) = %,n№2)> представленная
неупорядоченным множеством
{(1,0),(2,0),...,(п,0)}сМ2.
Этот изоморфизм получается сопоставлением геометрической косе
Ь сR2 х I петли / —> Ηη(Μ2), отображающей каждую точку t £ J в единст-
венное множество btcR2 из η точек, для которого bn(R2 x {t})=bt x {t}.
Следствие 1.29. Для любого п>1 группа кос Вп не имеет кручения.

§ 1.4. Конфигурационные пространства
47
Доказательство. По лемме 1.28 с m = 0 многообразие ^n(R2)
асферично. Значит, ^(^„(R2)) = щ(&п(Ш2)) = О для всех i > 2. Отсут-
ствие кручения в группе Вп = щ(^п(Ж2)9 q) мы выведем с помощью
следующих классических соображений с использованием целочислен-
ных гомологии пространств и групп. Если группа Вп содержит нетри-
виальную конечную циклическую подгруппу А, то существует накры-
тие ^ —> ^n(R2), для которого π\(*€) = А. Для этого накрытия имеем
щ(У>) = ^(^(R2)) = О ДЛЯ всех i > 2, следовательно, ^ есть про-
странство Эйленберга — Маклейна К(А, 1). Его группы целочислен-
ных гомологии суть Hi(^) = Hi(A) = А для всех нечетных i > 1. Но это
противоречит тому факту, что ^ — многообразие размерности 2гг. D
Замечание 1.30. Переформулируем следствие 1.29: если a е Bn
есть m-й корень из тривиальной косы (т. е. ат = 1), m > 1, то а = 1.
Вообще говоря, корни из нетривиальных кос неединственны. Напри-
мер, (aia2)3 = (σ2σ1)3, хотя σ\σ2 φ σ2σ\. Известно, что m-й корень
из любой косы единствен с точностью до сопряжения; см. [Gon03].
1.4.4. Пространство ^n(R2) как пространство полиномов
Имеется красивое описание конфигурационного пространства
^n(R2) в терминах полиномов. Отождествив R2 с С, мы получим
&n(R2) = ^П(С) = {(izi, и2,..., ип) е Сп : щ φ щ при i φ j].
Напомним, что fc-й элементарный симметрический полином от η ком-
плексных переменных определяется как
Рк (и) = (-1)* Σ utl щ2... щк
Kil<i2<...<ik<n
для к = 1,2,...,п. Рассмотрим рьр2,...,рп как функции на &п{С).
Эти функции инвариантны относительно действия симметрической
группы 6П на ß'niC) перестановками координат и потому индуциру-
ют отображение ^ПДО2) = %№) —> Сп. Это отображение является
гомеоморфизмом на множество всех {zi,z2, ...,zn) ξ Сп, для кото-
рых полином tn + z\tn~l + z2tn~2 + ... + zn не имеет кратных кор-
ней. Обратное к нему отображение сопоставляет каждому такому
набору (zi,z2}...,zn) неупорядоченное множество корней полинома
tn + zitn~l + z2tn~2 +... + zn.
Упражнение 1.4.1. Докажите следующее обобщение леммы 1.28.
Пусть M — связная поверхность с дМ = 0, и пусть m > 0—любое

48
Глава 1. Косы и группы кос
целое число (если поверхность M гомеоморфна сфере S2 или веще-
ственной проективной плоскости RP2, то мы считаем, что m > 0).
Тогда многообразия &т,пШ) и ^т^Ш) асферичны для всех п>'\.
(Указание: универсальное накрытие любой связной поверхности, от-
личной от S2 и RP2, гомеоморфно Ш2 и потому стягиваемо.) Выведите
из этого, что группы П\(^туп{М)) и ^i(^m>n(M)) не имеют кручения.
Упражнение 1.4.2. Проверьте, что ni(&2(S2)) — U}· (Указание:
используйте забывающее расслоение &2(S2) -*&i(S2) = S2.) Выведите
из этого, что ttiC^CS2)) = Z/2Z.
Упражнение 1.4.3. Проверьте, что отображение SO(3) —> <^з(>>2),
сопоставляющее каждому элементу g специальной ортогональной
группы SO(3) тройку векторов
(g(l,0,0),g(0,l,0),g(0,0,1)) eS2,
является гомотопической эквивалентностью. Выведите из этого, что
ni (&з (52)) = Z/2Z и card щ (% (S2)) = 12
(вычисление группы ni(c^n(S2)) для всех η см. в статье [FV62]).
Упражнение 1.4.4. Пусть U с R2 — открытый круг. Докажите, что
гомоморфизм π1(^η([/),ς) —> π1(^η(Μ2),ς), индуцированный вложе-
нием, является изоморфизмом для любой точки q е ^„(/7).
Упражнение 1.4.5. Пусть Ъ — крашеная геометрическая коса в
R2 х /, и пусть Ь' — ее подкоса, образованная несколькими нитями
косы Ь. Докажите, что любая изотопия подкосы V в классе геомет-
рических кос продолжается до некоторой изотопии косы Ъ в классе
геометрических кос. (Указание: используйте лемму 1.27.)
§ 1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп
В этом параграфе мы реализуем группу кос Вп как группу авто-
морфизмов СВОбоДНОЙ ГруППЫ Fn СП Образующими Х\,Х2,...,Хп.
1.5.1. Сплетающие автоморфизмы группы Fn
Автоморфизм ψ группы Fn называется сплетающим (а также ко-
совым), если выполнены следующие два условия:
1) найдется такая перестановка μ множества {1,2,..., п}, что эле-
мент φ(Χ^) сопряжен в Fn с элементом Χμ^) для всех ке {1,2,..., п};
2) φ(хгх2 ... хк) = Х\Х2 ... Хк-

§ 1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 49
Чтобы привести примеры сплетающих автоморфизмов группы Fn,
мы заметим, что всякий эндоморфизм группы Fn полностью опреде-
ляется его действием на образующих х\, х2,..., хп- Непосредственно
проверяется, что следующие формулы определяют два обратных друг
к другу сплетающих автоморфизма cii и σΓ1 группы Fn для i = 1,2,...,
п-1:
| Xfc+ь если k = i,
o~i(xk) = { x^Xk-iXk, если fc = i + 1,
^ xfc в остальных случаях,
( XkXk+iXk1, если fc = i,
a^Ofc) = < Хк-ъ если fc = i + 1,
^ xfc в остальных случаях.
Обозначим множество сплетающих автоморфизмов группы Fn че-
рез Вп. Из определений следует, что автоморфизм, обратный к спле-
тающему автоморфизму, тоже сплетающий и что композиция двух
сплетающих автоморфизмов тоже сплетающий автоморфизм. Поэто-
му множество Вп относительно композиции φ ψ = φ о ψ для φ, ψ Ε Βπ
является группой.
Сформулируем теперь основную теорему, связывающую косы со
сплетающими автоморфизмами.
Теорема 1.31. Сопоставление ai ·-> <ju i = 1,2,..., η — 1, определя-
ет изоморфизм ßn —> Βη.
Образ элемента β € Вп при изоморфизме Вп —> Вп будет обозна-
чаться через β. В доказательстве теоремы 1.31 мы дадим непосред-
ственное определение элемента β. Еще одна интерпретация β будет
дана в § 1.6.
Теорема 1.31 доставляет решение проблемы тождества слов в груп-
пе Вп. Дня группы, заданной образующими и соотношениями, пробле-
ма тождества слов заключается в нахождении алгоритма, позволяю-
щего решить вопрос, представляет ли заданное слово от образующих
нейтральный элемент группы. По теореме 1.31 коса β е Вп тогда
и только тогда равна 1, когда β = id. Последнее же условие может
быть проверено легко; достаточно проверить, что ß{xk) = Хк для всех
fc = l,2,...,n.
Факторизуя действие группы Вп = Вп на Fn по коммутанту послед-
ней группы, мы получаем ее действие на решетке Fn/[Fn,Fn] = Zn

50
Глава 1. Косы и группы кос
с базисом xi,... ,хп, определенным элементами xi,..., хп. Покажем,
что это действие определяется канонической проекцией π: Вп —> 6П.
Действительно, автоморфизм решетки Ζη, индуцированный сплетаю-
щим автоморфизмом σ*, представляет собой транспозицию векторов
Xi и jCi+i. Поэтому для любой косы β € Вп автоморфизм решетки Ζη,
индуцированный сплетающим автоморфизмом β, действует как пере-
становка π(/3) на векторах хь ..., хп.
1.5.2. Доказательство теоремы 1.31
Косовые соотношения для <ть..., ση-\ G Bn можно легко прове-
рить непосредственным вычислением (они также вытекают из после-
дующих рассуждений в этом абзаце). Поэтому соответствие σ; ·-> at
определяет гомоморфизм групп Вп-^Вп. Дадим теперь другое опреде-
ление этого гомоморфизма. Напомним естественное вложение t : Вп —>
—>Бп+1, группу крашеных кос Pn+i c#n+i и забывающий гомоморфизм
/п+1 : Рп+1-^Рп. Если ßeBnnue Un+1=Kerfn+1, то i(ß)ui(ß)-lePn+i,
так как Pn+i —нормальная подгруппа в ßn+i- Более того, из определе-
ния гомоморфизма fn+i следует, что
i{ß)ui{ßTl ^νη+λ.
Следовательно, соответствие и »-> i(ß)ui(ß)~l определяет некоторый
автоморфизм группы Un+\. Таким образом, мы получили гомомор-
физм ξ группы Вп в группу AutL^+i автоморфизмов группы i/n+i·
По теореме 1.16 группу Un+i можно отождествить со свободной груп-
пой Fn, если положить хк = Ak)Tl+i G Un+i, к = 1,2,..., п. Покажем, что
при этом отождествлении имеет место равенство ξ(/3) = β для всех
β G ßn. Действительно, это равенство достаточно проверить на обра-
зующих ai,..., ση_1 группы Вп. Это равносильно проверке равенств
{Ak+i,n+i> если к = i>
^kji+iAk-i,n+iAk}n+i, если к = i + 1,
Afcn+i в остальных случаях.
А для этого надо нарисовать соответствующие диаграммы кос и убе-
диться в том, что диаграммы обеих частей проверяемых равенств
представляют изотопные косы.
Докажем инъективность гомоморфизма Вп —> Вп, β *-* β. Рассмот-
рим косу β G Bn, для которой β = 1. При факторизации по коммутан-
ту (абелианизации) автоморфизм β определяет тождественный авто-
морфизм факторгруппы Un+i/[Un+i,Un+i]. Следовательно, π(/3) = 1,

§1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 51
поэтому β G Рп с Вп. Разложим β по формуле (1.6): β — ft ft · · · ßn,
где ßj G Uj с Pj с Pn, j = 2,3,..., п. Если β φ1,το какое-то ft отлич-
но от 1; возьмем наибольшее такое i < п. Тогда /3 = ft ft · · .ft· Так
как β = 1, имеем ξ(/3) = 1, следовательно, i(/3) G Рп+г коммутиру-
ет со всеми элементами из Un+i, в частности с А^п+\. Заметим, что
ft, ft>.. ·, ft-i — косы из i — 1 нитей, считая слева направо. Поэтому
они коммутируют с Ai,n+i. Следовательно, ft коммутирует с Ai,n+i.
Согласно следствию 1.23 косы А\уи ..., А{-\^ A^+i,..., Aijri+i являются
свободными образующими свободной подгруппы группы Ρη+1· Нам
известно, что ft коммутирует с Aijn+i и лежит в группе Ui cPtc Pn+i,
порожденной элементами A\tu · · ·, Ai-i,;. Это возможно только тогда,
когда ft = 1, что противоречит выбору i. Значит, β — 1.
Докажем сюръективность гомоморфизма Вп —> Бп,/3 ·-> ft Возь-
мем произвольный нетривиальный сплетающий автоморфизм ^ груп-
пы Fn. По определению для каждого к = 1,2,..., η имеем
y>(xk)=Akxßik)A~1,
где Afc — некоторое слово в алфавите xf1,..., х^1. Мы всегда можем
выбрать слово Ак таким образом, чтобы произведение Α^Χμ^Α^1
было приведенным, т. е. не содержало подслов вида хгх71 и х"1*,-.
По определению сплетающего автоморфизма имеем
Α1Χμ(1)Α~1Α2Χμ(2)Α2 λ . . . ΑηΧμ^Α'1 = Χ\Χ2 · . . Хп- (1-11)
Мы утверждаем, что найдутся такой номер j G {1,2,..., π — 1} и такое
(возможно, пустое) слово А от xf1,... ,Хп\ которые удовлетворяют
одному из двух следующих условий:
а) имеется равенство слов А; = Ay+i^o+i) A,
б) имеется равенство слов AJ+i = AjX~h A.
Из этого утверждения будет следовать, что φ лежит в образе гомо-
морфизма Вп —> ВПу β >-» ft Чтобы убедиться в этом, определим длину
автоморфизма φ как сумму чисел букв в словах Α^Χμ^Α^1 по всем
к = 1,2,..., п. Если выполнено условие а), то гомоморфизм
можно вычислить следующим образом. Оба автоморфизма φ и (/?σ;·
одинаково действуют на xfc при /с Φ j, j + 1, и
(/?аДх/) = φθθ+i) = Aj+i^ü+dAJ;1!,
<paj+i(j$+i) = <^>\*/*/+i) = Α;+1Χ-(1.+1)Α:+\Α;·Χμ0·)Α~^,·+1Χμ0·+1)ΑΓ+11 =

52
Глава 1. Косы и группы кос
~~ Α1+1Χμα+1)Λ)+1^+1Χμυ+νΑΧμυ)Α Xß(j+i)Aj+1Aj+iXß(j+i)Aj+1 —
= Aj+iAxß(ßA Aj+1.
Слово Aj+iA короче слова Aj = A;+ixM(j+i) А. Поэтому длина автомор-
физма φα} меньше длины автоморфизма φ. Аналогично если выпол-
нено условие б), то длина автоморфизма φστ1 меньше длины авто-
морфизма φ. Из этого следует, что φ можно свести к тождественному
автоморфизму, взяв его композиции с подходящими σ, и στ1. Та-
ким образом, φ есть произведение автоморфизмов σ,. Следовательно,
φ лежит в образе гомоморфизма Βη—>Βη,β>-+β.
Остается доказать сформулированное выше утверждение. Назо-
вем букву xß(k), входящую в середину слова Α^Χμ^Α^1, специальной.
Каждая буква xi,...,xn входит в левую часть равенства (1.11) как
специальная ровно один раз. Из равенства (1.11) следует, что его
левая часть редуцируется к правой за конечное число всевозможных
свободных редукций (т. е. сокращений вида хгх^г =х^гхг = 1). Предпо-
ложим, что при этих редукциях специальная буква xß(k) сокращается
с буквой х~}ку Переберем все случаи вхождения именно этой буквы
x~L· в левую часть равенства (1.11). Она не может входить в подслово
AkXßfäA^1, потому что оно по условию приведенное. Если она входит
в А^, то мы имеем равенство слов А^г = Bx'l.A^1 для некоторо-
го В. Его можно переписать как случай а) с ; = fc — 1 и А = В-1. Если
эта буква x~L· стоит где-нибудь справа от специальной буквы Χμ&+1),
то мы имеем случай а) с j = к. Аналогично если эта буква x~L· входит
в Afc+i или стоит где-нибудь слева от специальной буквы xM(k-i), то мы
имеем случай б). Остается разобрать случай, когда сделанное пред-
положение не выполнено, т. е. когда все специальные буквы в левой
части равенства (1.11) не сокращаются с другими буквами. Это может
быть только тогда, когда μ(&) = к для всех к, Ai и Ап — пустые слова
и каждая пара А^1Ак+\ сокращается, так что Ак = Ak+i для всех fc.
Но тогда φ = id, что противоречит нашему выбору φ. D
Замечание 1.32. Теорема 1.31 дает еще одно доказательство фи-
нитной аппроксимируемости группы Вп. Действительно, по теореме
Баумслага — Смирнова (см. [ВаибЗ], [СмибЗ]) группа автоморфизмов
произвольной финитно аппроксимируемой группы финитно аппрок-
симируема. Так как свободная группа Fn финитно аппроксимируема,
ее группа автоморфизмов и все ее подгруппы тоже финитно аппрок-
симируемы.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
53
Упражнение 1.5.1. Для любого целого г обозначим через ογ
автоморфизм группы Fn, определенный такими же формулами, что
и для а;, с тем единственным отличием, что
~ (г) г \ —г г
o\){xi+l)=xi;lxixri+v
Проверьте, что σ^ , σ\г,..., σ^ удовлетворяют косовым соотноше-
ниям. (Получающееся в результате представление Вп —> Aut(Fn) точное
для всех гфО; см. [ShpOl].)
Упражнение 1.5.2. Пусть F2n — свободная группа с 2п образую-
щими ai,..., ап, Ьь..., bn. Для ; = 1,..., 2п + 1 определим автомор-
физм σ· группы F2n следующим образом. Для четного j = 2i положим
v'j{ßi) = b~lai, а-(ак) = ак при кф{ и а-{Ьк) = Ьк для всех fc. Если j нечет-
но, то а!(ак)=ак для всех к. Далее, a[(b{) = а\Ъ\ и а[(Ьк) = Ьк при fc> 1;
σ2η+1^") = ЬпЯп и cr2n+1(bfc) = Ък при к < п. Для остальных нечетных
; = 2i +1 положим affa) = ЫщаГ^, a!(bi+1) = af+ia^bf+i и a/(bfc) = bfc
при кфi, i +1. Проверьте, что σ{,..., ^п+1 удовлетворяют косовым со-
отношениям. Проверьте, что соответствующий гомоморфизм В2п+2 —>
—> Aut(F2n) отображает центр группы В2п+2 в единицу. (При η = 1 мы
снова получаем формулы из упражнения 1.1.10.)
§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
Здесь мы обсудим подход к косам, основывающийся на их интер-
претации как изотопических классов гомеоморфизмов двумерного
крута.
1.6.1. Группы классов отображений
Пусть M — ориентированное топологическое многообразие (воз-
можно, с краем дМ). Пусть Q — некоторое конечное (возможно, пу-
стое) подмножество внутренности М° =М\дМ многообразия М. Под
автогомеоморфизмом пары (M, Q) мы будем понимать такой гомео-
морфизм f:M-^>M, который поточечно неподвижен на крае ЭМ, непо-
движен на Q как на множестве и сохраняет ориентацию многообра-
зия М. Первые два условия означают, что f(x) = х для всех х е дМ
и / (Q) = Q· Любой автогомеоморфизм пары (M, Q) индуцирует некото-
рую перестановку множества Q, которая может быть тривиальной или
нетривиальной. Заметим, что если многообразие M связно и его край
непуст, то любой его гомеоморфизм M -* М, поточечно неподвижный
на крае ЭМ, автоматически сохраняет ориентацию многообразия М.

54
Глава 1. Косы и группы кос
Два автогомеоморфизма пары (M, Q) называются изотопными,
если их можно включить в некоторое непрерывное однопараметри-
ческое семейство автогомеоморфизмов пары (M,Q). Точнее говоря,
два автогомеоморфизма /0 и /i пары (M, Q) называются изотопными,
если их можно включить в такое семейство {ft}t<=i автогомеоморфиз-
мов пары (M, Q), что отображение M х I —> М, переводящее пару
(х, t), х G M, t G J, в /t(x), непрерывно. Такое семейство называется
изотопией, связывающей /0 с f\. Ясно, что изотопия автогомеомор-
физмов пары (M, Q) является отношением эквивалентности и что изо-
топные автогомеоморфизмы индуцируют одну и ту же перестановку
множества Q.
Группой классов отображений 9Л(М, Q) пары (M, Q) называется
группа изотопических классов автогомеоморфизмов пары (M,Q),
умножение в которой определено как композиция: fg = f°g для
/,g е SW(M, Q). Положим ЯЯ(М) = Ш{М, 0).
Важный пример, в котором группу 9Я(М) легко вычислить, до-
ставляет шар. Для замкнутого шара D = Dn размерности η > 0 спра-
ведливо равенство 9#(D) = {1}. Оно следует из классической теоремы
Александера — Титце: всякий автогомеоморфизм шара D изотопен
тождественному отображению в классе автогомеоморфизмов шара D.
Приведем доказательство этой теоремы. Мы можем считать, что D —
единичный шар вМ"с центром в начале координат 0. Обозначим
евклидову норму вектора zeRn через \z\. Для любого автогомеомор-
физма h шара D формула
iz, если t < \z\ < 1,
thl - I, если \z\ < t,
определяет изотопию {ht: D —> D}teI, связывающ)оо h0 — id с h\ — h.
Заметим, что если h(0) = 0, то ht(0) = 0 для всех tel. Поэтому также
справедливо равенство 9K(D, {0}) = {1}.
Изучение групп классов отображений приводит к обширной и раз-
ветвленной теории; см. недавний обзор [Iva02] о группах классов
отображений поверхностей. Мы сосредоточимся на одной серии групп
классов отображений в случае, когда M — двумерный круг и Q —
подмножество в М° из η точек, где η = 1,2,... Оказывается, получа-
ющаяся в результате группа Ш(М, Q) есть не что иное, как группа
кос Вп. Остальная часть этого параграфа будет посвящена точной
формулировке этого утверждения.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
55
1.6.2. Полускручивания
Пусть M — ориентированная поверхность (возможно, с краем),
и пусть Q — конечное подмножество в М°. Под аркой (а также опор-
ной дугой или опирающейся на проколы дугой)г в (M, Q) мы понима-
ем подмножество в М, гомеоморфное отрезку I = [0,1] и не пересе-
кающееся с Q U дМ, не считая двух концевых точек, которые должны
принадлежать Q. Подчеркнем, что все рассматриваемые здесь дуги
простые, т. е. не имеют самопересечений.
Пусть а с M — арка в (M, Q). Полускручивание
Ta:(M,Q)->(M,Q)
получается в результате изотопии тождественного отображения id : M—>
->М, поворачивающей дугу α в M вокруг ее средней точки на угол π
в направлении, предписанном ориентацией многообразия М. Вне
некоторой малой окрестности дуги α в M полускручивание τα равно
тождественному отображению. Ясно, что τα{α) = α, Ta(Q) = Q и что τα
индуцирует транспозицию в Q, меняющую местами концевые точки
дуги а. Заметим, что при точно таком же повороте дуги а, только
в противоположном направлении, мы получаем τα1-
Ради полноты изложения дадим более формальное определение
полускручивания τα. Отождествим некоторую малую окрестность U
дуги а с открытым единичным кругом {z G С: \z\ < 1} так, чтобы
выполнялось условие а = [—1/2,1/2] и ориентация на M соответство-
вала ориентации комплексной плоскости С против часовой стрелки.
По определению гомеоморфизм та: М->М тождествен вне U и любую
точку Ζ G С, для которой \z\ < 1/2, отображает в — z, а точку z e С,
для которой 1/2 < |я| < 1, отображает в ехр(—2тп|2;|)2. Ясно, что τα е
G ШТ(М, Q) не зависит от выбора U. Действие полускручивания τα
на кривую в М, трансверсально пересекающую дугу а в одной точке,
изображено на рис. 1.14.
-
' G
а
Рис. 1.14. Действие полускручивания τα на трансверсальную кривую
Англ. термин — spanning arc.—Прим. перев.

56
Глава 1. Косы и группы кос
Сформулируем несколько свойств полускручиваний.
1. Если /: (M, Q) —> (M7, Q7) — сохраняющий ориентацию гомеомор-
физм двух пар и а — арка в (M,Q), то /(а) является аркой в (M7,Q0
Это свойство очевидно. Неформально говоря, оно утверждает, что
если мы применим конструкцию полускручивания для двух экземпля-
ров одной и той же поверхности, то получим два экземпляра одного
и того же гомеоморфизма.
2. Если две арки а и а7 в (M, Q) изотопны в классе арок в (M, Q)
(в частности, у них одинаковые концевые точки), то τα = τα>
bî01(M,Q).
Действительно, если дуги α и а7 изотопны, то существует автого-
меоморфизм / пары (M, Q), тождественный на Q, в целом изотопный
тождественному отображению и переводящий α на а7. В силу свой-
ства 1 имеем г
το! = τ/(α) = /τα/ .
А так как автогомеоморфизм / изотопен тождественному отображе-
нию, получаем, что /τα/_1 = τα.
3. Каждый автогомеоморфизм пары (M, Q) индуцирует автогомео-
морфизм многообразия М, для чего нужно забыть Q. Получаю-
щийся в результате гомоморфизм групп 9Л(М, Q) —> 9Л(М) отобра-
жает τа в 1. Это ясно из определений.
4. Если арки а и /3 в (M, Q) не пересекаются, то
τατβ = τβτα е Ш{М, Q). (1.12)
Для доказательства нужно выбрать непересекающиеся окрестно-
сти дуг а и β в конструкциях τα и τ^.
5. Для любых двух арок α и /3 в (M, Q), имеющих одну общую кон-
цевую точку и кроме нее нигде больше не пересекающихся, спра-
ведливо равенство
τατβτα = τβτατβ е 9Я(М, Q). (1.13)
Доказательство этой фундаментальной формулы начнем с равен-
ства τα()3)=τΓ1(α), которое можно проверить, нарисовав дуги τα(β) и
τ«^(ο0· Это равенство понимается как изотопия в классе арок в (M, Q).
По свойству 2 имеем
ττα03) = ττ-1(α).

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
57
В силу свойства 1 из этого следует, что τατβτα г = τβ ταΤβ. Последнее
равенство эквивалентно равенству (1.13).
1.6.3. Изоморфизм Вп = 9Jt(D, Qn)
Для п> 1 обозначим через Qn CR2 множество {(1,0), (2,0),..., (η, 0)}
из π точек. Пусть D — замкнутый круг в R2, содержащий в своей внут-
ренности множество Qn. Мы ориентируем круг D против часовой
стрелки. Для каждого i = 1,2,..., η — 1 рассмотрим дугу
cci = [i,i + l] x {0}cD.
Эта дуга пересекает множество Qn только в своих концевых точках
и потому определяет полускручивание
zŒiem(D,Qn).
Из формул (1.12) и (1.13) следует, что τα1,...,ταη1 удовлетворяют
косовым соотношениям из § 1.1. По лемме 1.2 существует такой гомо-
морфизм групп
ηΙΒη^ΤΙφΛη),
что η(σ0 = τα. для всех i = 1,..., η — 1.
Напомним, что в п. 1.5.1 была определена группа сплетающих
автоморфизмов Вп. Сейчас мы определим некоторый гомоморфизм
групп ρ : Wl(D, Qn) -> Вп. Выберем какую-нибудь отмеченную точку
d G 3D; см. рис. 1.15. Ясно, что фундаментальная группа tti (D\Qn, d)
есть свободная группа Fn ранга π с образующими хъ Х2,..., *п5 пред-
ставленными петлями Х\,Х2,... ,^п> изображенными на рис. 1.15.
d
Рис. 1.15. Петли Хъ ..., Хп в D \Qn

58
Глава 1. Косы и группы кос
Ограничение каждого автогомеоморфизма / пары (D,Qn) на D\Qn
дает автогомеоморфизм дополнения D\Qn. Последний автогомеомор-
физм отображает точку d G 3D в себя и индуцирует некоторый авто-
морфизм р(/) группы Fn = ni(D\Qn,d). Этот автоморфизм зависит
только от изотопического класса /: если два автогомеоморфизма па-
ры (D,Qn) изотопны, то их ограничения на D\Qn изотопны reldD
и потому индуцируют один и тот же автоморфизм группы Fn.
Проверим, что ρ (/) является сплетающим автоморфизмом груп-
пы Fn. Петлю Хк на рис. 1.15 можно продеформировать в D\Qn в ма-
ленькую петлю, обегающую точку (к, 0) по часовой стрелке. Гомеомор-
физм / отображает эту маленькую петлю тоже в маленькую петлю,
обегающую по часовой стрелке некоторую точку (р(к),0), где μ(κ) G
G {1,2,..., η}. Последнюю петлю можно продеформировать в D\Qn
в петлю Χμ{Κ)- Значит, петлю f{Xk) можно продеформировать в петлю
Χμ(\ς) в D \ Qn. (При этой деформации отмеченная точка f(d) = d может
перемещаться по D\Qn.) Из этого следует, что гомотопические классы
этих двух петель p(J)(xk) и Χμ^) сопряжены в группе ni(D\Qn,d).
Тем самым проверено условие 1 из определения сплетающего автомор-
физма. Условие 2 следует из того факта, что произведение Х\Х2 ...хп
представлено петлей 3D с отмеченной точкой d. Гомеоморфизм / по-
точечно сохраняет эту петлю, и потому гомотопический класс этой
петли в группе ni(D\Qn, d) инвариантен относительно р(/).
Из сказанного мы заключаем, что соответствие / ►-» ρ (/) опре-
деляет отображение ρ из 93?(D, Qn) в Вп. Это отображение является
гомоморфизмом групп, так как
p(Jg) = p(J°g) = p(f)°p(g) = р (J) ρ (ε)
для любых /, g G 9Jt(D, Qn).
Теперь мы можем сформулировать основную теорему, связываю-
щую косы с гомеоморфизмами.
Теорема 1.33. Для любого η > 1 гомоморфизмы η и ρ являются
изоморфизмами. Следующая диаграмма коммутативна:
Вп
"J Ч^ (1.14)
^{D,Qn)~f— Вп,
где Вп —» Вп, β »-> β, — изоморфизм, определенный в § 1.5.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
59
Эта фундаментальная теорема позволяет нам отождествить груп-
пу кос Вп с группой классов отображений 9Jl(D, Qn). Отныне у нас
есть три разные геометрические интерпретации группы Вп: с помо-
щью геометрических кос из η нитей, с помощью конфигурационного
пространства η точек на плоскости и с помощью гомеоморфизмов
двумерного круга с η выделенными точками. Именно это разнооб-
разие геометрических ликов группы Вп делает ее такой привлека-
тельной.
Коммутативность диаграммы (1.14) означает, что ß — p(r\(ß)) для
любого элемента β е Bn. Это равенство можно проверить сразу. Так
как ρ, η и β ·-> β — гомоморфизмы групп, достаточно проверить это
равенство на образующих σ\,... ση-\. Нужно проверить, что ρ (τα. )=σ;
для всех i = 1,2,..., η — 1. Формулы р(та.)(хк) = хк при к φ i, i + 1
и p(Ta.)(xi) = Xi+i вытекают непосредственно из определения τα.. Ра-
венство p(Ta.)(*i+i) = x^XiXi+i можно проверить непосредственно
или вывести из формулы ρ(τα.)(Χ1... хп) = xi... хп. Следовательно,
мы имеем ρ (τα.) = σ;. Ввиду коммутативности диаграммы (1.14) и тео-
ремы 1.31 для доказательства теоремы 1.33 только остается показать,
что η — изоморфизм. Это будет сделано в § 1.7.
Ясно, что для каждого i = 1,..., п — 1 полускручивание τα. : D ->D
представляет собой диффеоморфизм относительно стандартной глад-
кой структуры на круге D, индуцированной из стандартной гладкой
структуры на плоскости R2. Целые степени диффеоморфизмов и их
произведения тоже диффеоморфизмы. Поэтому из сюръективности
гомоморфизма η вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.34. Произвольный автогомеоморфизм пары (D, Qn)
изотопен в классе автогомеоморфизмов этой пары некоторому диф-
феоморфизму (D, Qn) -► (D, Qn).
Упражнение 1.6.1. Пусть M, Q такие, как в п. 1.6.2.
а) Рассмотрим вложенный г-угольник Ρ с M, г > 3, пересекаю-
щий Q в точности по своим вершинам. Двигаясь по его краю дР в на-
правлении, задаваемом ориентацией многообразия М, мы последова-
тельно пройдем по всем сторонам этого r-угольника Р, которые мы
обозначим аь a2,..., ar. Каждая сторона a* является аркой в (M, Q).
Докажите, что
^аг ^а2 · · · ^аг-1 = ^а2 ^аз ' ' ' ^аг *
(Указание: при г = 3 перепишите это равенство в виде τ^τ^τ^ = τα3;
при г > 4 воспользуйтесь индукцией.)

60
Глава 1. Косы и группы кос
б) Рассмотрим г > 2 арок в (M, Q), имеющих одну общую конце-
вую точку α е Q и кроме нее нигде больше не пересекающихся. Обой-
дем вокруг точки а в направлении, задаваемом ориентацией многооб-
разия М, встречающиеся по пути арки обозначим через ai, аг,..., аг.
Докажите, что
Таг Та2 ^αλ = ^а2 ^аг ^а2
коммутирует с τα. при всех i, 3 < i < г. Выведите из этого, что спра-
ведливо равенство
t^pt^T^ — та2та1рта2,
где β — произвольный элемент группы, порожденной полускручива-
ниями τα3,τα4,..., таг.
Упражнение 1.6.2. Докажите, что OTfS1) = {1}. (Указание: для про-
извольного автогомеоморфизма / окружности S1 взяв при необходи-
мости его композицию с подходящим поворотом этой окружности, мы
можем считать, что / имеет неподвижную точку. Разрезав окружность
в этой точке, мы получим автогомеоморфизм замкнутого отрезка, ко-
торый, как нам известно, изотопен тождественному отображению.)
§ 1.7. Группы гомеоморфизмов
и конфигурационные пространства
В этом параграфе мы обсудим группы гомеоморфизмов многооб-
разий, их связи с конфигурационными пространствами и приложения
к косам.
1.7.1. Группы гомеоморфизмов
Пусть M — компактное связное ориентированное топологическое
многообразие (возможно, с краем), и пусть Q — конечное подмноже-
ство вМ°—М\ дМ. Обозначим через Тор(М, Q) группу всех автогомео-
морфизмов пары (M, Q), т. е. группу всех сохраняющих ориентацию
автогомеоморфизмов многообразия М, которые поточечно неподвиж-
ны на крае дМ и неподвижны на Q как на множестве. Умножение
в Тор(М, Q) задается композицией: fg = f°g для /, g е Top (M, Q). Мы
снабдим Top (M, Q) компактно-открытой топологией. Ради полноты
изложения напомним определение и основные свойства этой тополо-
гии, отсылая за доказательствами к книгам [ФР84, п. 2.7 гл. 1 и § 2]
или [Ке155]. Для любого компактного подмножества К с M и любого

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 61
открытого подмножества U с M пусть
N(K, !/) = {/€ Тор(М, Q) : /(К) с U].
Такие множества АГ(Х, I/), а также их конечные пересечения и произ-
вольные объединения таких пересечений объявляются открытыми
подмножествами в Тор(М, Q). Тем самым определена компактно-от-
крытая топология на множестве Тор(М, Q), превращающая его в то-
пологическую группу. Здесь обращение / »-> /_1 в Тор(М, Q) непре-
рывно вследствие очевидного равенства
{Г1 : f € NQC, U)} = N{M\U,M\K).
В этом месте необходима компактность многообразия М.
Известно, что отображение / произвольного пространства X в
Тор(М, Q) тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно отобра-
жение ХхМ->М, сопоставляющее точке (л:, у) € X х M точку / (х) (у).
Применяя этот факт кХ — I, мы получаем, что два автогомеоморфиз-
ма пары (M, Q) изотопны в том и только том случае, когда их можно
соединить некоторым путем в Тор(М, Q), т. е. тогда и только тогда,
когда они лежат в одной и той же компоненте линейной связности
пространства Тор(М, Q). Следовательно,
Ж{М, Q) = π0(Τορ(Μ, Q)). (1.15)
Положим Тор(М) = Тор(М, 0). Очевидное вложение Тор(М, Q) °->
<-> Тор(М) превращает Тор(М, Q) в замкнутую подгруппу топологиче-
ской группы Тор(М).
Группа Тор(М) тесно связана с конфигурационными пространства-
ми неупорядоченных точек из М°, которые были введены в п. 1.4.3.
Для η > 1 положим
<€п = <€п(м°) = &п{м°)1еп.
Чтобы описать связь между Тор(М) и *€п, выберем какое-нибудь под-
множество Q сМ°, состоящее из п точек. Определим отображение вы-
числения е = eQ : Тор (M) -> *#„ по формуле е(/) = /(Q), где / G Top (M).
Из определений легко вывести, что е — сюръективное непрерывное
отображение.
Лемма 1.35. Отображение вычисления е: Тор(М) —» Ηη является
локально тривиальным расслоением со слоем Тор(М, Q).
Доказательство. Пусть &п = &п(М°) — конфигурационное про-
странство η упорядоченных точек из М°. Покажем, что отображение е

62
Глава 1. Косы и группы кос
можно разложить в композицию некоторого отображения с : Тор(М) —»
—» &п с накрытием ^п —> ^п. Чтобы построить отображение с, как-ли-
будь упорядочим множество Q и определим с по формуле с(/) = /(Q),
где / G Тор (M), считая, что порядок в /(Q) индуцирован из порядка
в Q. Для доказательства леммы достаточно доказать, что с—локаль-
но тривиальное расслоение. Доказательство же последнего утвержде-
ния очень похоже на доказательство леммы 1.26. Докажем локаль-
ную тривиальность отображения с в некоторой окрестности точки
и0 = (üp ..., Un) G&п. Для каждого i = 1,2,..., η выберем такую окрест-
ность Ui с М° точки и9, чтобы ее замыкание Ui было замкнутым
шаром с внутренностью Ui. Так как все точки i/J, ...,ü„ различны,
мы можем считать, что окрестности U\,...,Un попарно не пересе-
каются. Тогда U — U\ х Ü2 х ... х t/„ — окрестность точки и0 в ^п.
Докажем, что ограничение отображения с на U является тривиальным
расслоением. Для каждого i — 1,2,..., η существует такое непрерыв-
ное отображение 0; : Ui х £/; —> Ui, что, положив 0"(υ) = 0;(u, v), мы
получим гомеоморфизм 0" : Ui—>Ui, который отображает u-вии для
которого граничная сфера dUi поточечно неподвижна (см. доказатель-
ство леммы 1.26). Для любой точки и = (иь ..., ип) g 1Г мы определим
гомеоморфизм 0" : M —» M по формулам
{0"! (у), если i/ G [/i, где i = 1,2,..., π,
у, если i> €M \ljl/i.
i
Ясно, что гомеоморфизм ви: М->М отображает точки ixp ..., ujj в точ-
ки ui,..., un соответственно. Заметим, что c_1(ü°) представляет собой
замкнутую подгруппу группы Тор(М), состоящую из всех / € Тор(М),
для которых /(и?) — и?, i = 1,2,..., п. Соответствие (и, /) >-» 0й/ опре-
деляет гомеоморфизм
Uxc-\u°)-*c-\U),
коммутирующий с проекциями на U. Обратный к нему гомеоморфизм
отображает каждую точку g G с-1 (LT) в пару (c(g), (0c(g))-1g) G U x
хс-Чи0). D
Замечание 1.36. Два элемента из Тор(М) имеют одинаковый об-
раз при отображении вычисления е в том и только том случае, когда
они лежат в одном и том же левом классе смежности подгруппы
Тор(М, Q) в группе Тор(М). Заметим, хотя нам это и не понадобится,
что отображение вычисления е индуцирует гомеоморфизм однород-
ного факторпространства Top(M)/Top(M, Q) на 4>η.

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 63
1.7.2. Параметризующие изотопии
Здесь мы покажем, что геометрические косы естественно опреде-
ляют однопараметрические семейства гомеоморфизмов двумерного
круга. Впоследствии эта конструкция будет служить рабочим инстру-
ментом.
Для η > 1 обозначим через D с R2 замкнутый шар, содержащий
в своей внутренности множество
Q = Qn = {(1,0), (2,0),..., (η, 0)}. (1.16)
Изотопия {ft: D —> D}teI в классе автогомеоморфизмов шара D на-
зывается нормальной, если /o(Q) = Q и /i = icb. Другими словами,
нормальная изотопия есть путь в Top(D), соединяющий некоторую
точку в Top(D, Q) с тождественным гомеоморфизмом icb G Top(D).
Для любой нормальной изотопии {ft: D —> D}tG/ множество
\J(ft(Q),t)cR2xI
tel
является геометрической косой из η нитей. Мы будем говорить, что
изотопия {ft}tei параметризует эту геометрическую косу.
Лемма 1.37. Для любой геометрической косы bcD° xi из η нитей
существует нормальная изотопия, параметризующая эту косу.
Доказательство. Рассмотрим отображение вычисления
e = eQ: Top(D) -> <£п = %(D°),
сопоставляющее гомеоморфизму / G Top(D) его значение /(Q). Как
уже было замечено в п. 1.4.3, коса Ъ определяет петлю fb: I —> ^η,
отображающую каждую точку t G J в единственное подмножество bt
из η точек в R2, для которого Ъ Π (R2 x {t}) = bt x {t}. Эта петля начи-
нается и заканчивается в точке q — e(idD) G ^п, представленной мно-
жеством Q. По лемме 1.35 и свойству поднятия гомотопии в локально
тривиальных расслоениях (см. приложение Б) петля /ь поднимается
до некоторого пути /ь : / —> Top(D), начинающегося в некоторой точке
из e_1(q) =Top(D, Q) и заканчивающегося в idD. Путь /ь является нор-
мальной изотопией, а равенство е/ь = fb означает, что эта изотопия
параметризует косу Ъ. D
1.7.3. Доказательство теоремы 1.33
nycTbD,Q = Q„,*ri=*n(D0),e=eQ:Top(D)^*riHq = e(idD)€«'n^
те же объекты, что и в п. 1.7.2. По лемме 1.35 отображение е является

64
Глава 1. Косы и группы кос
локально тривиальным расслоением со слоем е *(<?) = Top(D, Q). Это
расслоение индуцирует отображение
д: π!(%,ς) -> 7r0(Top(D,Q)) = 9Jt(D,Q).
Напомним определение отображения д, следуя приложению Б. Возь-
мем произвольный элемент β е n\{?€nyq) и представим его некото-
рой петлей /: / —> ^п, начинающейся и заканчивающейся в точке q.
По свойству поднятия гомотопии для расслоения е эта петля под-
нимается до некоторого пути /: / —> Top(D), начинающегося в ка-
кой-то точке из e_1(q) = Top(D, Q) и заканчивающегося в idD. Тогда
по определению д(/3) = [/(0)] е π0(Τορ(£, Q)). То, что d(ß) зависит
только от β, можно увидеть непосредственно: если /'—другая петля,
представляющая элемент β, то гомотопия между / и /' поднимается
до некоторой гомотопии между произвольными поднятиями / и /'
в Top(D). Эта гомотопия дает путь в Top(D, Q), соединяющий /(0)
с/'(0). Значит, [/(0)] = [/40)].
Покажем, что отображение д: η\{^η, q) —> 9K(D, Q) является го-
моморфизмом групп. Для этого рассмотрим две петли / и g в %,
начинающиеся и заканчивающиеся в точке q и представляющие со-
ответственно элементы β, γ G π\{?€η, q). Пусть f,g:I—> Top(D) —под-
нятия петель f,g, заканчивающиеся в idD. Заметим, что для любого
t G I выполняются равенства
e(/(t)g(0)) = /(t)f(0)(Q) = /(t)(Q) = /(t).
Поэтому путь / —» Top(D), t ·-» /(t)g'(t), является поднятием петли /,
заканчивающейся в точке /(l)g(0) = g(0). Произведение этого пути
на g есть поднятие произведения fg: I —» ^n, которое заканчивается
в leb и начинается в /(0)g(0). Следовательно,
а08г) = [/(o)g(o)] = [/(o)][g(o)] = а09)э(г).
Напомним, что Вп = п\(Ч>п,ц)\ см. упражнение 1.4.4. Покажем,
как можно описать гомоморфизм д: Вп = п\{Ч>Пу q) —» 9K(D, Q) в тер-
минах параметризующих изотопии. Пусть b — геометрическая коса,
представляющая элемент β G Вп. Тогда для любой нормальной изо-
топии {ft: D —> D}tG/, параметризующей косу b (см. п. 1.7.2), Э(/3) G
G 9K(D, Q) есть изотопический класс отображения /0 : (D, Q) —> (D, Q).
Мы утверждаем, что д — η, где η · Вп —> 9Jî(D, Q) —гомоморфизм,
определенный в п. 1.6.3. Для этого достаточно проверить совпадение
д и η на образующих σ^, i = 1,2,..., π — 1. А так как η{σ{) = τα., нужно

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 65
только проверить, что д(аО = τα.. Обозначим через {gt: D —> D}te7
ту самую изотопию, которая участвует в определении полускручива-
ния τα.. Она получается при повороте дуги щв D вокруг ее средней
точки против часовой стрелки. Эта изотопия связывает тождествен-
ное отображение g0 = id: D —> D с gi = τα.. Тогда
{/t = gi-t:D->D}t€/
есть изотопия, связывающая /0 — τα с /i = id. Легко видеть, что гео-
метрическая коса
U(/t(Q),t)cR2x/
tel
представляет элемент σ{ € Вп. Следовательно, θ(σ;) = [/о] = τα..
По теореме Александера — Титце (п. 1.6.1) любую точку множе-
ства Top(D, Q) cTop(D) можно связать с idD eTop(D) некоторым путем
в Top(D). Из этого следует, что гомоморфизм
η = д: π!(%,ς) -> 7i0(Top(D,Q)) - m(D,Q)
сюръективен. Из коммутативности диаграммы (1.14) и теоремы 1.31
следует, что гомоморфизм η инъективен. Значит, η — изоморфизм. D
Замечание 1.38. Доказательство теоремы Александера — Титце
в п. 1.6.1 на самом деле показывает, что точка {id^} является дефор-
мационным ретрактом пространства Top(D). Поэтому щ(Торф)) = О
для всех i > О, и из точной последовательности расслоения е : Top(D) —>
—> ^пФ0) непосредственно следует, что гомоморфизм д: n\{^ßn,q) —»
—> Яо(Тор(Б, Q)) является изоморфизмом.
1.7.4. Приложения
Мы сформулируем здесь два дальнейших приложения введенной
выше техники.
Теорема 1.39. Для любой геометрической косы b из п нитей то-
пологический тип пары (R2 х /, Ь) зависит только от числа п.
Доказательство. Выберем такой круг D с R2, чтобы выполнялось
условие b с D° х I. Тогда множество Q = Qn, определенное форму-
лой (1.16), будет лежать в D°. По лемме 1.37 существует нормаль-
ная изотопия {ft: D —» D}teI, параметризующая косу b. Соответствие
(х, t) ·-> (Jt(x), t) определяет гомеоморфизм F: D х J —> D x /, отобра-
жающий Q x / на b и поточечно неподвижный на 3D х /. Продолжив F
тождественным образом на (M2\D) x /, мы получим гомеоморфизм

66
Глава 1. Косы и группы кос
R2 х / —> R2 х I, отображающий Q х I на Ъ. Заметим, что этот гомео-
морфизм сохраняет уровни в том смысле, что он коммутирует с про-
екцией на /. D
Теорема 1.40. Всякая изотопия любой геометрической косы в
R2 x I продолжается до некоторой изотопии всего произведения R2 x J
на себя, постоянной на крае.
Доказательство. Обозначим Τ = R2 х J. Пусть Ъ с Г — геометри-
ческая коса из η нитей, и пусть F : Ъ х I -> Г — изотопия косы Ъ. Таким
образом, для каждого sel отображение Fs:b —>Т, переводящее х е Ъ
в Fix, s), является вложением, образ которого есть геометрическая
коса и Fo = idb. Далее мы построим такое непрерывное отображение
G: Τ х I -*Т, что для каждого sel отображение Gs: T —> Г, перево-
дящее х е Г в G(x,s), будет гомеоморфизмом, который поточечно
неподвижен на дТ, продолжает Fs и таков, что Go = idr.
Пусть Q с R2 — множество {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}, и пусть D —
такой замкнутый круг в R2, что Q с D° и F(b х I) с D° x I. Для лю-
бых s,tel обозначим через /(5, t) единственное подмножество в D°
из η точек, для которого
Fs(b)n(Dx{t})=/(s,t)x{t}.
Соответствие (s, t) ·-> /(s, t) определяет непрерывное отображение
/: I2 -> ^„(D"). Ясно, что /(s, 0) = /(s, 1) = Q для всех s € / и что
b = Utei/(°.t)x{t}.
Рассмотрим расслоение вычисления e = eQi Top(D) —> ^(D0). По
свойству поднятия гомотопии для этого расслоения петля t »-> /(0, t)
поднимается до некоторого пути t ►-> /(0, t) в Top(D), заканчивающе-
гося в ido и начинающегося в некоторой точке из Top(D, Q). Приме-
нив теперь свойство поднятия гомотопии для этого же расслоения
относительно пары (/, dl), в результате получим, что последний путь
продолжается до такого поднятия / : I2 —> Top(D) отображения /, что
/(s, 1) = idD и /(s, 0) = /(0,0) для всех sel.
Определим гомеоморфизм g (s, t) : R2 —>R2 как тождественное отоб-
ражение на R2 \D и как /(s, t) о (/(0, t))-1 на D. Ясно, что g(s, t) есть
непрерывная функция от s, t G J и что
g(0,t)=g(s,0) = g(s,l) = id
для всех s, tel. Имеем
g(s, 0(У(0,0) = *(s, t)(/(0, t)(Q)) = /(s, t)(Q) = /(5, t).

Замечания
67
Теперь непосредственно проверяется, что отображение G : Г х I —> Г,
переводящее (a, t, 5) в (g(s, t)(a), t), где а е R2, s, tel, обладает всеми
требуемыми свойствами. D
Упражнение 1.7.1. Пусть / — произвольный автогомеоморфизм
двумерной сферы S2, неподвижный в некоторой точке а € S2 и изо-
топный тождественному отображению id: S2 -> S2. Докажите, что он
изотопен тождественному отображению в классе автогомеоморфиз-
мов сферы S2, неподвижных в точке а.
решение. Применив лемму 1.35 kM = S2, Q = {a} и п = 1, мы получим
локально тривиальное расслоение Top(S2) -> S2 со слоем Top(S2, {α}).
Так как 7r0(Top(S2, {α})) = 9JÎ(S2, {α}) и 7c0(Top(S2)) = M(S2), это рас-
слоение дает точную последовательность
n^s2) -> <m(s2, {α}) -> im(s2).
Поскольку tti(S2) = 0, ядро гомоморфизма Ш1(52, {а}) —> 9Jl(S2) три-
виально. Из этого следует требуемое свойство автогомеоморфизмов
сферы S2.
Замечания
Определения кос и групп кос, а также значительная часть резуль-
татов этой главы принадлежат Эмилю Артину; см. [Art25], [Art48a],
[Art48b]. Среди прочего эти работы содержат стандартное задание
групп кос образующими и соотношениями и теорию сплетающих ав-
томорфизмов из § 1.5. Следует отметить, что сплетающие автоморфиз-
мы изучались Гурвицем в работе [Hur91] в 1891 г.; см. также [Mag72],
[Bri88].
Образующие Atj групп крашеных кос Рп и определяющие соотно-
шения для них были введены Бурау в статье [ВигЗЗ]; см. также [Мар45],
[Art48a], [Cho48]. Теорема 1.16 принадлежит Фрёлиху (см. [Frö36]),
А. А. Маркову (см. [Мар45]), Артину (см. [Art48a]). Нормальная форма
кос была открыта Марковым (см. [Мар45]) и Артином (см. [Art48a]).
Теорема 1.24 была получена Артином (см. [Art48a]) и Чжоу (см.
[Cho48]). Следствие 1.25 принадлежит Артину (см. [Art48a]).
Теория кос с точки зрения конфигурационных пространств впер-
вые изучалась Фоксом и Нойвиртом (см. [FoN62]) и Фаделлом и Ной-
виртом (см. [FaN62]). Определения и результаты § 1.4 взяты из ста-
тьи [FaN62]. На интерпретацию конфигурационного пространства
^п№2) в терминах полиномов указал В. И. Арнольд в работе [Арн70].

68
Глава 1. Косы и группы кос
Использованная в п. 1.7.3 теорема Александера — Титце была до-
казана Титце (см. [Tiel4]) и Александером (см. [А1е23Ь]). Лемма 1.35
принадлежит Бирман (см. [Bir69a]). Теорема 1.40 принадлежит Артину
(см. [Art48a]).
Упражнения 1.1.4 и 1.1.5 принадлежат Артину (см. [Art25],
[Art48b]). Упражнения 1.1.6 и 1.1.8 принадлежат Е.А.Горину и
В.Я.Лину; см. [ГЛ69], а также [Lin96]. Упражнение 1.1.7 принадле-
жит Горину. Упражнение 1.1.10 принадлежит Касселю и Рейтенау-
эру [KR07] (см. также доказательство свободности ядра гомоморфизма
В4 —> #з в работах [Gas62] и [ГЛ69]). Упражнение 1.4.3 принадлежит
Фаделлу и Ван Бускирку (см. [FV62]). Упражнение 1.5.1 принадле-
жит Ваде (см. [Wad92]). Упражнение 1.6.1 принадлежит Сергиеску
(см. [Ser93]).

&ава 2
КОСЫ, УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ
В этой главе мы изучим связь между косами, узлами и зацеп-
лениями. На протяжении всей главы мы будем обозначать через /
замкнутый отрезок [0,1] в R.
§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях
Здесь мы кратко обсудим необходимые для последующего поня-
тия из теории узлов. За более подробными изложениями теории уз-
лов мы отсылаем читателя к монографиям [ΒΖ85], [Kaw96], [Mur96],
[Rol76].
2.1.1. Основные определения
Пусть M — трехмерное топологическое многообразие, возможно
с краем дМ. Геометрическим зацеплением в M называется локально
плоское замкнутое одномерное подмногообразие в М. Напомним, что
многообразие называется замкнутым, если оно компактно и его край
пуст. Замкнутое одномерное подмногообразие L с M называется ло-
кально плоским, если каждая его точка обладает такой окрестностью
U с М, что пара (U, U Π L) гомеоморфна паре (R3,R х {0} х {0}).
Из этого условия следует, что L с М° =М\дМ. Оно также исключает
все виды локально дикого поведения L в М°.
Будучи замкнутым одномерным многообразием, любое геометри-
ческое зацепление в M должно состоять из конечного числа компо-
нент, гомеоморфных стандартной единичной окружности
S1 = {zeC: \z\ = l}.
Пространство, гомеоморфное стандартной окружности S1, называет-
ся (топологической) окружностью. Геометрическое зацепление, со-
стоящее из η > 1 окружностей, называется зацеплением из η компо-

70
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
нент или η-компонентным зацеплением. Например, граница η дизъ-
юнктно вложенных двумерных кругов в М° является тривиальным
покомпонентным зацеплением в М.
Однокомпонентные геометрические зацепления называются гео-
метрическими узлами. Примеры нетривиальных узлов и зацеплений
в R3 показаны на рис. 2.1, где изображены узлы трилистник, восьмер-
ка и зацепление Хопфа.
gSCg)GD
Рис. 2.1. Узлы и зацепления в R3
Два геометрических зацепления L и V в M называются изотопны-
ми, если L можно продеформировать в V некоторой изотопией объем-
лющего многообразия M в себя. Здесь под изотопией многообразия M
(в себя) мы понимаем такое непрерывное семейство гомеоморфизмов
{Fs: M —» M}s€/, что Fo = idM : M-*M. Непрерывность этого семейства
означает, что отображение / —> Тор(М), 5 ·-» Fs, непрерывно, или, что
эквивалентно, непрерывно отображение
Мх1-*М, 0,s)->Fs(jt),
где х G M, 5 G J; см. п. 1.7.1. Говорят, что изотопия {Fs}5€/ многообра-
зия M является изотопией L в V, если F\(L) = V'. Зацепления L и V
изотопны, если существует изотопия L в V'. Изотопные геометриче-
ские зацепления имеют одинаковое количество компонент. Другими
словами, количество компонент есть изотопический инвариант гео-
метрических зацеплений.
Отношение изотопии, очевидно, является отношением эквива-
лентности на классе геометрических зацеплений в М. Соответству-
ющие классы эквивалентности называются зацеплениями в М. Зацеп-
ления, имеющие только одну компоненту, называются узлами. Основ-
ная цель теории узлов — это классификация узлов и зацеплений.
Если многообразие M имеет гладкую структуру, то любое гео-
метрическое зацепление в M изотопно такому геометрическому за-
цеплению, которое как одномерное многообразие является гладким

§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 71
подмногообразием в М. Поэтому, работая с зацеплениями в гладких
трехмерных многообразиях, мы всегда можем ограничиться их глад-
кими представителями.
2.1.2. Диаграммы зацеплений
Техника диаграмм кос, которую мы обсуждали в гл. 1, может быть
распространена на зацепления. Мы ограничимся случаем, в котором
объемлющее трехмерное многообразие является произведением по-
верхности Σ (возможно, с краем 3Σ) на отрезок L Для η > 1 диаграм-
ма зацепления с η компонентами на поверхности Σ по определению
представляет собой подмножество & с Σ\ΘΣ, являющееся объедине-
нием η окружностей с конечным числом пересечений и самопересе-
чений, причем каждое (само) пересечение есть такая точка, в которой
пересекаются ровно две ветви диаграммы ®, причем одна из них
считается выделенной и называется проходящей под другой (а также
проходом), а другая — проходящей над первой (а также переходом).
В некоторой окрестности любой своей точки диаграмма © выглядит
либо как прямая линия в R2, либо как множество {(х, у) : ху = 0} с М2,
в котором выделена одна из линий х = 0, у = 0. Окружности, со-
ставляющие диаграмму @, называются компонентами диаграммы @.
(Само)пересечения этих окружностей называются перекрестками или
двойными точками диаграммы &. Заметим, что никакие три компо-
ненты диаграммы @ не пересекаются в одной точке.
Ветвь диаграммы зацепления, проходящая под перекрестком, гра-
фически изображается разорванной линией. Картинки на рис. 2.1
можно рассматривать как диаграммы зацеплений на плоскости.
Каждая диаграмма зацепления ® на поверхности Σ представляет
некоторое зацепление
1(0) с Σ х /.
Оно получается из диаграммы 0 с Σ = Σ х {1/2}, если ветви, прохо-
дящие под перекрестками, вдвинуть в Σ х [1/2,1). Зацепление L(ß)
определено корректно с точностью до изотопии.
Заметим, что каждое зацепление в Σ х / можно представить неко-
торой диаграммой зацепления на Σ. Чтобы убедиться в этом, предста-
вим заданное зацепление таким геометрическим зацеплением L с Σ х /,
проекция которого в Σ имеет только двойные трансверсальные пе-
ресечения. В каждом таком пересечении будем считать проходом ту
ветвь, в которую проецируется поддуга зацепления L с большей /-ко-

72
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ординатой. Таким образом, мы получили диаграмму зацепления на Σ,
представляющую изотопический класс геометрического зацепления L.
Две диаграммы зацеплений 9) и & на Σ называются изотопными,
если существует такая изотопия поверхности Σ на себя, которая пре-
образует ^ в $)'. Точнее говоря, диаграммы ^ и ®' называются изо-
топными, если существует такое непрерывное семейство гомеомор-
физмов {Fs: Σ -» Σ}8(ΞΙ, что Fo = id^ и Fi(^) = ®'. Понятно, что Fi
отображает перекрестки диаграммы 3f в перекрестки диаграммы &
и при этом сохраняются свойства ветвей проходить под или над дру-
гими. Ясно, что если диаграммы @ и & изотопны, то геометрические
зацепления L{ß) и L{&) изотопны в Σ х I.
Преобразования Пь Ω2, Ω3 диаграмм зацеплений, изображенные
на рис. 1.5а, 1.56 и 2.2, а также обратные к ним преобразования назы-
ваются движениями Рейдемейстера. Эти движения влияют только на
часть диаграммы, которая лежит в некотором круге в Σ, и сохраняют
неизменной остальную часть диаграммы. Заметим, что для того, что-
бы осуществить эти движения, мы отождествляем этот круг в Σ с неко-
торым кругом в плоскости картинок. Если поверхность Σ ориентиро-
вана, то мы используем только такие отождествления кругов, которые
переводят ориентацию поверхности Σ в ориентацию в плоскости кар-
тинок, направленную против часовой стрелки. Для неориентирован-
ной поверхности Σ мы используем произвольные отождествления.
По сравнению с теорией диаграмм кос нам понадобятся здесь
два дополнительных движения Ω1, которые изображены на рис. 2.2.
Эти движения добавляют к диаграмме завиток или перекручивание.
Обратные движения Ω^1 удаляют такие завитки из диаграмм зацепле-
ний. С другой стороны, в ситуации диаграмм зацеплений достаточно
одного Ω2-движeния: два Ω2-движeния, изображенные на рис. 1.5а,
можно получить одно из другого изотопией поверхности Σ, повора-
чивающей маленький двумерный круг в поверхности Σ на угол 180°.
г
Рис. 2.2. Движения Ω!

§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 73
Покажем, что классическая теория Рейдемейстера для диаграмм
зацеплений на плоскости R2 обобщается на диаграммы на поверхно-
сти Σ: две диаграммы зацеплений на Σ тогда и только тогда пред-
ставляют изотопные зацепления в Σ х J, когда эти диаграммы можно
связать некоторой конечной последовательностью изотопии и движе-
ний Рейдемейстера Ω*1, Ω^1, Ω31. Действительно, любую изотопию
геометрического зацепления в Σ х I можно разложить в композицию
конечного числа локальных изотопии, которые изменяют зацепление
только внутри цилиндра вида U х I, где U — маленький открытый
круг в Σ. А так как пара (U xI,U х {1/2}) гомеоморфна паре (R2 x J,
R2 x {1/2}), мы можем применить стандартную технику Рейдемейсте-
ра к той части диаграммы зацепления, которая лежит в LT. Из этого
следует, что при такой локальной изотопии диаграмма изменяется
с помощью последовательности движений Ω*1, Ω^1, Ω31.
2.1.3. Упорядоченные и ориентированные зацепления
Зацепления допускают ряд естественных дополнительных струк-
тур. Здесь мы опишем две такие структуры: упорядоченность и ориен-
тацию. Геометрическое зацепление с η компонентами называется упо-
рядоченным, если его компоненты пронумерованы числами 1,2,..., п.
Под изотопией упорядоченных зацеплений мы понимаем изотопии,
сохраняющие порядок. Диаграммы зацеплений легко упорядочить:
для этого достаточно приписать числа 1,2,..., η к компонентам этой
диаграммы и не изменять их при изотопиях.
Ориентацией геометрического зацепления L в трехмерном мно-
гообразии M называется ориентация этого зацепления, рассматрива-
емого как одномерное многообразие. На рисунках ориентация ука-
зывается стрелками на компонентах зацепления. Под изотопиями
ориентированных зацеплений мы понимаем изотопии, сохраняющие
ориентацию. Каждое ориентированное зацепление L с M является
одномерным циклом и представляет некоторый класс гомологии
[L]€Hi(M)=Hi(M;Z).
Этот класс является изотопическим инвариантом зацепления L. В са-
мом деле, компоненты двух изотопных ориентированных зацеплений
попарно гомотопны и потому попарно гомологичны.
Чтобы задать ориентацию зацепления, представленного диаграм-
мой зацепления на поверхности, достаточно ориентировать все ком-
поненты этой диаграммы. Каждое движение Рейдемейстера опреде-

74
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ляет несколько ориентированных движений Реидемеистера диаграмм
ориентированных зацеплений, сохраняющих ориентации линий. Сле-
дует подчеркнуть, что при ориентировании всех линий на рис. 2.2
в одном и том же направлении (вверх или вниз) мы получаем четы-
ре ориентированных Ω1-движения. Аналогично два движения Ω2 на
рис. 1.5а дают восемь ориентированных П2-движений. В двух из них
обе линии направлены вниз (до и после движения). Эти два ориен-
тированных Ω2-движения называются косообразными и обозначают-
ся Ω^. Два ориентированных Ω2-движения, в которых линии направ-
лены вверх, можно представить как композицию движений Ω^Γ и изо-
топии, поворачивающих двумерный круг на угол 180°. Об остальных
ориентированных Ω2-движениях, в которых линии направлены в про-
тивоположных направлениях, говорят, что они некосообразны. Анало-
гично движение Ω3 на рис. 1.56 определяет восемь ориентированных
Ω3-движений. Любые семь из них можно представить как композиции
восьмого движения и ориентированных Ω2-движeний (см. [Tur88]
или [Тга98]). Поэтому достаточно рассматривать только то ориен-
тированное Ω3-движение, в котором все три линии направлены вниз.
Говорят, что это движение косообразно, и оно обозначается Ω^.
Из упомянутой в конце п. 2.1.2 теоремы Реидемеистера следует,
что любые две диаграммы ориентированных зацеплений на поверх-
ности Σ тогда и только тогда представляют изотопные ориентиро-
ванные зацепления в Σ х /, когда эти диаграммы можно связать
некоторой конечной последовательностью сохраняющих ориентацию
изотопии и ориентированных движений Реидемеистера.
2.1.4. Коэффициент зацепления
В качестве приложения диаграмм зацеплений мы определим це-
лочисленный коэффициент зацепления любых двух узлов в Σ х I, где
Σ — произвольная ориентированная поверхность (для неориентиро-
ванной поверхности Σ коэффициент зацепления определен только
по модулю 2). Пусть Li,L2 — не пересекающиеся ориентированные уз-
лы в Σ х /. Представим упорядоченное ориентированное зацепление
Li U L2 какой-нибудь диаграммой на поверхности Σ. Обозначим че-
рез 1+ (соответственно 1~) количество тех перекрестков этой диаграм-
мы, в которых линия, представляющая узел Lb проходит над линией,
представляющей узел L2, в направлении слева направо (соответствен-
но справа налево). Здесь левая и правая стороны ориентированной
линии s определены условием, что ориентация поверхности Σ совпа-

§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории
75
дает с ориентацией, задаваемой парой векторов, первый из которых
касается линии s и положительно ориентирован, а второй направлен
от правой стороны линии s к левой ее стороне. Непосредственно
проверяется, что коэффициент зацепления
lk(LbL2) = Z+-reZ
инвариантен относительно изотопии и ориентированных движений
Рейдемейстера. Следовательно, lk(LbL2) — корректно определенный
изотопический инвариант зацепления Li UL2.
Упражнение 2.1.1. Докажите, что произвольный геометрический
узел L в ориентируемом трехмерном многообразии обладает такой
открытой окрестностью U э L, что пара (U, L) гомеоморфна паре
(R2 х S1, {х} х S1), где х € R2.
Упражнение 2.1.2. Докажите, что если две диаграммы ориентиро-
ванных зацеплений на R2 изотопны в двумерной сфере S2 = R2 U {<*>},
то они представляют изотопные ориентированные зацепления в R3.
(Указание: достаточно проверить это утверждение для изотопии, в про-
цессе которой ветвь диаграммы проходит через точку оо е S2.)
Упражнение 2.1.3. Для любой ориентированной поверхности Σ
и любых двух непересекающихся ориентированных узлов Li, L2 с Σ х /
имеет место равенство
lk(LbL2)-lk(L2,Li) = [Li]-[L2],
где [Li] · [L2] €Z — индекс пересечения классов гомологии [Li], [L2] €
G Hi (27). {Указание: это равенство очевидно в случае, когда Li с 17 х
х [0,1/2], L2 с Σ х [1/2,1]; оно сохраняется, когда ветвь узла Li
проходит через ветвь узла L2.) Выведите из этого равенства, что если
поверхность Σ вложена в сферу S2, то lk(Li, L2) = lk(L2, Li).
§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории
Здесь мы введем некоторые зацепления в полнотории, называе-
мые замкнутыми косами, и классифицируем их в терминах кос.
2.2.1. Полнотории
Под полноторием мы понимаем произведение V — D x S1 замкну-
того двумерного круга D на окружность S1 = {z G С: \z\ = 1}. Полно-
торие V является компактным связным ориентируемым трехмерным

76
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
многообразием с краем
дУ = дВх8г &S1 xS1.
Ясно, что
V° = V\dV = D°xS\
где D° = D\dD. Полноторие естественно появляется в теории узлов
как замкнутая регулярная окрестность произвольного узла в любом
ориентируемом трехмерном многообразии. Используя гомеоморфизм
D ъ I х I, мы получаем
VkIxIxS1**S1xIxL
Техника диаграмм зацеплений из § 2.1 позволяет нам представлять
зацепления в V диаграммами на кольце S1 x L
2.2.2. Замкнутые косы
Геометрическое зацепление L в полнотории V^DxS1 называется
замкнутой η-косой, где η > 1, если L пересекает каждый двумерный
круг D x {z}, где z е S1, трансверсально в η точках. Ясно, что огра-
ничение на L проекции V —> S1 полнотория на второй множитель
дает неразветвленное η-листное накрытие L —> S1. Мы всегда будем
снабжать зацепление канонической ориентацией, которая получается
поднятием на L стандартной ориентации на S1, направленной против
часовой стрелки. Таким образом, точка, движущаяся по компоненте
зацепления L в положительном направлении, проектируется в точку,
движущуюся по S1 против часовой стрелки без остановок или измене-
ния направления движения. Класс гомологии [L] e Hi (V) = Ζ ориенти-
рованного зацепления LcV вычисляется по формуле [L] = n[{x} x S1],
где x g D —любая точка.
Например, если Q — конечное подмножество в D°, то зацепление
Q x S1 с V является замкнутой п-косой, где η = card(Q). Замкнутая
3-коса изображена на рис. 2.3. Наш интерес к замкнутым косам вы-
зван их связью с косами. Эта связь будет обсуждаться в последующих
пунктах.
Две замкнутые косы в полнотории V называются изотопными,
если они изотопны как ориентированные зацепления. Заметим, что
не требуется, чтобы промежуточные при изотопии зацепления были
замкнутыми косами. Несколько злоупотребляя краткостью, мы будем
изотопические классы замкнутых кос в V также называть замкнутыми
косами в V.

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
77
Рис. 2.3. Замкнутая 3-коса в У
Вообще говоря, произвольное зацепление в У не изотопно ни-
какой замкнутой косе в У. Например, зацепление, лежащее внутри
маленького трехмерного шара в У, никогда не изотопно какой-либо
замкнутой косе. Более общим образом, любое ориентированное за-
цепление в У, гомологичное т[{х} х S1], где m < 0 и хeD, не изотопно
никакой замкнутой косе в У. Еще одно препятствие будет обсуждаться
в упражнении 2.2.4.
2.2.3. Замыкание кос
Опишем, как любая коса β из η нитей определяет некоторую п-ко-
су в полнотории. Зафиксируем замкнутый круг D с R2, содержащий
в своей внутренности множество Q = {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}. Заме-
тим, что полноторие V = D х S1 можно получить из цилиндра D x I
отождествлением (х, 0) = (х, 1) для всех х € D. (Здесь мы отождеств-
ляем 1/д1 с S1 с помощью стандартного гомеоморфизма 1/д1 —> S1,
t ь-> ехр(2я1Г).) Выберем какую-нибудь геометрическую косу b с D° x /,
представляющую косу β (такая геометрическая коса b существует;
см. упражнение 1.2.4). Обозначим через b с У ее образ при проекции
D xi —>У. Очевидно, что b есть замкнутая гс-коса в У. Ее каноническая
ориентация определяется направлением на Ь, ведущим от Qx {0}
к Q х {1}. Если b'cDx / — другая геометрическая коса, представляю-
щая косу β, то коса b изотопна косе Ь' в D x I (ср. упражнение 1.2.5).
Из доказательства теоремы 1.40 следует, что существует изотопия про-
изведения D х I, постоянная на крае и преобразующая ^ocyb в косу Ь'.
Эта изотопия индуцирует некоторую изотопию между b и Ъ' в У. Сле-

78
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
довательно, изотопический класс замкнутой п-косы Ь зависит только
от /3. Этот класс называется замыканием косы β и обозначается β.
Заметим, что любая замкнутая п-коса L с V изотопна β для неко-
торой косы β G Вп. Действительно, мы можем продеформировать L
в классе замкнутых кос так, чтобы выполнялось условие
Ln(Dx{l}) = Qx{l}.
Разрезав полноторие V по кругу D х {1}, мы получим косу в D х I,
замыкание которой есть L.
Данное выше описание замыкания β несколько неудобно для ри-
сования картинок. Часто бывает удобнее следующее эквивалентное
описание. Заметим, что при склеивании двух экземпляров Dx/no
D x dI=D x {0,1} мы снова получим V. Рассмотрим в первом экземпля-
ре D х / геометрическую косу, представляющую косу β, а во втором —
тривиальную косу Q х /. При описанном выше склеивании мы полу-
чим β-, см. рис. 2.4. Диаграмма зацепления в S1 x /, представляющая
замыкание β, получается при замыкании косы β так, как изображено
на рис. 2.5.
Рис. 2.4. Замыкание косы β Рис. 2.5. Диаграмма замыкания β
Теорема 2.1. Для любого п>1и любых β, β' е Вп замкнутые косы
β и β' тогда и только тогда изотопны в полнотории, когда косы β
и β' сопряжены в группе Вп.
Теорема 2.1 дает изотопическую классификацию замкнутых п-кос
в полнотории: изотопические классы замкнутых п-кос биективно со-
ответствуют классам сопряженности в группе Вп. В частности, любой
инвариант сопряженности элементов группы Вп определяет некоторый

§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории
79
изотопический инвариант замкнутых п-кос. Например, характеристи-
ческий полином любого конечномерного линейного представления
группы кос Вп дает некоторый инвариант замкнутых п-кос. Теорема 2.1
ставит задачу найти алгоритм, решающий вопрос, сопряжены ли два
заданных элемента группы Вп. Мы займемся этой задачей в гл. 6.
2.2.4. Доказательство теоремы 2.1
Прежде всего заметим, что сопряженные элементы группы Вп
определяют изотопные замкнутые косы. Другими словами,
aßor^ = ß
для любых a,ßsBn. Для доказательства этого равенства нужно соста-
вить диаграмму косы aß от1 из трех диаграмм для трех сомножителей.
Затем будем двигать верхнюю диаграмму, представляющую косу а,
по π параллельным нитям направо и далее до тех пор, пока она не по-
дойдет снизу к диаграмме косы а-1. Отсюда следует, что
офог1 = for^a = β.
Докажем обратное утверждение: любые косы с изотопными замы-
каниями в V = D х S1 сопряжены. Для этого нам понадобится более
подробно изучить замкнутые косы в V. Положим V=D х R. Умножив D
на универсальное накрытие
R -> S1, t -> ехр(2тп0,
мы получим универсальное накрытие V —> V. Обозначим через Г сколь-
жение V —> V, переводящее (х, t) в (х, t + 1) для всех х € D, t e R.
Пусть L — замкнутая η-коса в V. Тогда ее прообраз L с V представ-
ляет собой одномерное многообразие, пересекающее каждый круг
D х {t}, где t G R, трансверсально в п точках. Из этого следует, что L
состоит из η компонент, каждая из которых гомеоморфна R. Больше
информации об L можно получить, представив L как замыкание неко-
торой геометрической косы Ъ с D х /, где мы отождествляем 1/д1 с S1.
Тогда
Г= (J Tm(b).
meZ
В силу п. 1.7.2 мы можем написать
b = U(Ä(Q).0,
tel

80
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
| Ъ |
| Ь |
| Ь |
Рис. 2.6. Гомеоморфизм (D xR,Qx .
:(DxR, L)
где {ft: D —> D}t€/ — такое непрерывное семейство гомеоморфизмов,
что /o(Q) = Q, /i = idD и для каждого t гомеоморфизм /t поточечно
неподвижен на крае dD. Определим сохраняющий уровни автогомео-
морфизм произведения V = D x R по правилу
(x,t)^(/t_[t]/-[t]W,t),
где л: g D, t G M и [t] — наибольшее целое число, меньшее или равное t.
Этот гомеоморфизм поточечно неподвижен на крае ЭУ = dD x R, и он
отображает Q x R на L; см. рис. 2.6. Значит, он индуцирует гомеомор-
физм (D\Q) x R « V\L, откуда следует, что D\Q = (D\Q) x {0} с V\L
является деформационным ретрактом пространства V\L.
Выберем какую-нибудь точку d G dD, как на рис. 1.15, и поло-
жим d = (d, 0) G У. Ясно, что индуцированный вложением гомомор-
физм i: Tii(D\Q,d) —» 7ii(y \L,d) является изоморфизмом. По опреде-
лению 7(d) = (d, 1). Ограничение скольжения Г на V\L индуцирует
изоморфизм 7ii(y\L,d) —> 7ii(y\L, T(d)). Рассмотрим изоморфизм
7Ci(y\L, T(d)) —» Tri (У \L,d), полученный сопряжением петель с по-
мощью пути d х [0,1] с dD x R с У \L. Композиция Г# этих двух изо-
морфизмов является автоморфизмом группы п\(у \Г, d). Из данного
выше описания многообразия L следует коммутативность диаграммы
7ii(D\Q,d) —
р(Л>)
rti(DN
\Q,<*)-
^—π1(ν\Ι,α)
^—rti(V\
τ*
t,d),

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
81
где ρ (/о) —автоморфизм группы tti (D\Q, d), индуцированный огра-
ничением автогомеоморфизма /0 на D\Q; ср. п. 1.6.3. Покажем, что
i~lT#i = ρ (/о). Действительно, доказательство теоремы 1.33 показы-
вает, что введенный в п. 1.6.3 гомоморфизм η: Вп —> 9JÎ(D, Q) отоб-
ражает косу β G Bn, представленную геометрической косой Ъ, в изо-
топический класс гомеоморфизма /о: (Р, Q) —> (D, Q). Отождествим,
как мы это делали в п. 1.6.3, группу 7ii (D\Q, d) со свободной груп-
пой Fn сп образующими xi, х2,..., хп. По теореме 1.33 получаем, что
Ρ (/о) = PV(ß) = β есть сплетающий автоморфизм группы Fn, соответ-
ствующий косе β. Следовательно, i-1T#i = /3.
Возьмем теперь две косы /3, β' G £п с изотопными замыкания-
ми в У. Представим их геометрическими косами Ь,Ъ' с D x I и обо-
значим через L, I/ с V их соответствующие замыкания. По условию
существует такой гомеоморфизм g: V —> V, который отображает L
на V с сохранением их канонических ориентации и который изото-
пен тождественному отображению idy : V —> V. Значит, ограничение
гомеоморфизма g на край dV изотопно тождественному отображению
id: dV —» dV. Поэтому g\dV продолжается до некоторого гомеоморфиз-
ма g' : V —> У, равного тождественному отображению вне некоторой
узкой трубчатой окрестности края dV в V. Мы можем считать, что эта
окрестность не пересекается с V, так что g' тождественно на V. Далее,
гомеоморфизм h = (g')-1g: V —> V поточечно неподвижен на крае dV
и отображает L на L' с сохранением их канонических ориентации. Так
как гомеоморфизм h поточечно неподвижен на dV и индуцированный
вложением гомоморфизм n\{dV) —> ni(V) = Z сюръективен, h индуци-
рует тождественный автоморфизм группы п\{у). Поэтому h поднима-
ется до такого гомеоморфизма h : V —> V, который поточечно неподви-
жен на dV, причем hT = Th и h(L) = V. Следовательно, h индуцирует
изоморфизм h#: ni(V\L,d) —> ni(y\L',d), коммутирующий с Г#.
Рассмотрим автоморфизм φ = {V)~lh#i группы Fn = tti (D\Q,d),
где/: 7Ti(D\Q,d) -> m(y\L,d) ni': 7ii(D\Q,d) -> tüi(V\ L', ^—изо-
морфизмы, индуцированные вложениями. Имеем равенства
и
Мы утверждаем, что φ является сплетающим автоморфизмом груп-
пы Fn. Из этого следует, что β и β' сопряжены в группе сплетающих

82
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
автоморфизмов группы Fn. А по теореме 1.31 из этого следует, что β
и β' сопряжены в группе кос Вп.
По определению классы сопряженности образующих
xi, х2,..., хп € Fn = π ! (D \ Q, d )
представимы малыми петлями, обегающими точки из Q в D. Вложе-
ние D\Q = (D\Q) x {0} с V\L отображает эти петли в малые петли
в V\L, обегающие компоненты прообраза L. Гомеоморфизм h: V —» V
преобразует эти петли в малые петли в V\i/, обегающие компоненты
прообраза V. Последние же петли представляют классы сопряженно-
сти образов элементов хь х2,..., хп при вложении D \ Q=(D \ Q) x {0} с
cV\L'. Следовательно, автоморфизм ψ преобразует с точностью до
перестановки классы сопряженности элементов хь х2,..., хп в себя.
Первое условие в определении сплетающего автоморфизма провере-
но. Второе условие гласит, что </?(х) = х, где
х = xix2 ...xneFn = n1{D\Q,d).
Заметим, что элемент х представим петлей 3D с отмеченной точкой d.
Вложение D \Q = (D \Q) x {0} с V\L отображает эту петлю в dD x {0}.
Так как гомеоморфизм h поточечно неподвижен на dV, получаем, что
h#i(x) = V{x), и потому </?(х) = x. D
2.2.5. Диаграммы замкнутых кос
Диаграммой замкнутой косы в кольце S1 xi называется такая диа-
грамма ® ориентированного зацепления в S1 x /, что при движении
точки по ® в положительном направлении ее проекция на S1 движет-
ся по S1 против часовой стрелки, не останавливаясь и не меняя своего
направления. Другими словами, ограничение проекции S1 x / —> S1
на @ является сохраняющим ориентацию накрытием над S1 (с ветвле-
нием в перекрестках диаграммы $). Количество точек диаграммы ^,
проектирующихся в заданную точку на окружности S1, не зависит
от выбора этой точки, если перекрестки диаграммы Я) считать с крат-
ностью 2. Это число называется числом линий диаграммы 9). При-
меры диаграмм замкнутых кос с η линиями в S1 x / можно получить,
замыкая обычные диаграммы кос из η нитей, как показано на рис. 2.5.
Каждая диаграмма замкнутой косы в S1 x / очевидным образом
представляет некоторую замкнутую косу в полнотории S1 x I х I;
ср. п. 2.1.2. Ясно, что каждая замкнутая коса в S1 x I х I может быть
представлена некоторой диаграммой замкнутой косы в S1 x /.

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
83
К диаграмме замкнутой косы мы можем применять движения Ω^Γ,
Ω31" и обратные к ним. Эти движения действуют так, как показано
на рис. 1.5а и 1.56, где проекции на горизонтальную и вертикаль-
ную оси на плоскости картинки соответствуют проекциям на J и S1
соответственно. Эти движения оставляют диаграмму в своем классе
диаграмм замкнутых кос и сохраняют изотопический класс замкнутой
косы, представленной этой диаграммой.
Лемма 2.2. Две диаграммы замкнутых кос & и & в S1 x / тогда
и только тогда представляют изотопные замкнутые косы в полното-
рии S1 x I х I, когда & можно преобразовать в @' некоторой конечной
последовательностью изотопии (в классе диаграмм замкнутых кос)
и движений (Ω*)*1, (Ω*)*1.
Доказательство. Нужно только доказать, что если диаграммы ^
и ®' представляют изотопные замкнутые косы в полнотории, то ® мож-
но преобразовать в ®' некоторой конечной последовательностью изо-
топии и движений (Ω^1")*1, (Пзг)±1· Выберем точку z е S1 так, чтобы
отрезок {z} x I не пересекал перекрестки диаграмм <$ и 9)'. Разрезав
® и ®' по этому отрезку, мы получим две диаграммы кос Ъ и V со-
ответственно. По теореме 2.1 они представляют сопряженные косы.
Применяя Ω^-ΛΒΗΗΟβΗΗε к диаграмме <$ в некоторой окрестности от-
резка {z} x J, мы можем преобразовать Ъ в афаг1 и σΓ-^σ* для любого
i = 1,2,..., η — 1. Применяя такие движения рекурсивно, мы можем пре-
образовать диаграмму косы Ъ в любую сопряженную к ней диаграмму.
Поэтому мы можем считать, что Ъ и Ь1 представляют изотопные косы.
Тогда в силу теоремы 1.6 эти диаграммы можно связать некоторой ко-
нечной последовательностью изотопии и косообразных движений. Эта
последовательность индуцирует последовательность изотопии и косо-
образных движений, преобразующих диаграмму Q в диаграмму &. □
Упражнение 2.2.1. Проверьте, что для любой косы β € Вп число
компонент ее замыкания β равно числу циклов в разложении пере-
становки π(/3) е 6П в произведение коммутирующих циклов.
Упражнение 2.2.2. Замыкание любой крашеной косы β е Pn яв-
ляется упорядоченным зацеплением с η компонентами, а его i-я ком-
понента является замыканием i-й нити косы β для всех i = 1,2,..., п.
Докажите, что для любых β, β' еРп их замыкания β и β' тогда и только
тогда изотопны в полнотории в классе упорядоченных ориентирован-
ных зацеплений, когда β и β' сопряжены в группе Рп.

84
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Упражнение 2.2.3. Докажите, что если две замкнутые косы L, V с
с V = D х S1 изотопны, то они изотопны в классе замкнутых кос
в V, т. е. существует такая изотопия {Fs : V —» V}seI замкнутой косы L
в замкнутую косу V', что FS(L) является замкнутой косой для всех s Gl.
(Указание: используйте теорему 2.1.)
Упражнение 2.2.4. Пусть L с V — замкнутая коса. Докажите, что
ядро индуцированного вложением гомоморфизма п\ (V \ L) —> п\ (V) = Ζ
является свободной группой. (Указание: в обозначениях п. 2.2.4 это
ядро изоморфно Ki(V\L,d).)
§2.3. Теорема Александера
Мы докажем здесь принадлежащую Дж. У. Александеру фундамен-
тальную теорему о том, что все зацепления в R3 изотопны замкнутым
косам.
2.3.1. Замкнутые косы в R3
Возьмем евклидову окружность на плоскости R2 x {0} с R3 с цен-
тром в начале координат О = (0,0,0). Отождествим замкнутую цилин-
дрическую окрестность этой окружности в R3 с полноторием V=DxS1.
Под замкнутой η-косой в R3 мы будем понимать ориентированное гео-
метрическое зацепление в R3, лежащее в V с R3 как замкнутая п-коса
с канонической ориентацией, определенной направлением против
часовой стрелки (ср. рис. 2.3, на котором плоскостью R2 x {0} служит
плоскость рисунка).
В частности, для любой косы β G Вп ее замыкание β cV определя-
ет замкнутую косу в R3 посредством вложения V с R3; ср. рис. 2.4. Эту
замкнутую косу мы также будем обозначать β и называть замыканием
косы β. Диаграмма замыкания β получается из диаграммы косы β
соединением нижних концевых точек с верхними концевыми точками
с помощью η стандартных дуг; ср. рис. 2.5, на котором нужно проигно-
рировать пунктирные окружности. Подчеркнем, что замкнутые косы
в R3 суть ориентированные геометрические зацепления.
Например, замыкание тривиальной косы из η нитей есть триви-
альное п-компонентное зацепление. Замыкание косы σ^1 € В2 пред-
ставляет собой тривиальный узел. Замыкание косы σ^2 G ß2 является
ориентированным зацеплением Хопфа. Более общим образом, замы-
кание косы σ{" g B2, m g Z, является так называемым торическим
(2,т)-зацеплением (или торическим зацеплением типа (2, m)). Оно

§ 2.3. Теорема Александера
85
состоит из двух компонент при четном m и одной компоненты при
нечетном т.
Можно дать эквивалентное и вместе с тем более непосредствен-
ное определение замкнутых кос в R3. Рассмотрим координатную ось
I = {(О,0)} х R с R3, пересекающую плоскость R2 x {0} в начале ко-
ординат О = (0,0,0). Вращение в плоскости R2 x {0} вокруг точки О
по направлению против часовой стрелки определяет положительное
направление вращения вокруг прямой t. Ориентированное геометри-
ческое зацепление LcR3\i называется замкнутой η-косой, если при
движении точки X е L по L в направлении, определенном ориентаци-
ей L, вектор, направленный из точки О в точку X, будет вращаться
в положительном направлении вокруг прямой t. Покажем эквивалент-
ность этого определения предыдущему. В открытой полуплоскости
в R3, ограниченной прямой Î, возьмем какой-нибудь круг D с центром
в R2 х {0}. Вращая круг D вокруг прямой £, мы заметем полноторие
V = D x S1. Взяв круг D достаточно большим, мы можем считать, что
заданное зацепление L с R3 \£ лежит внутри этого полнотория V. Ясно,
что L — замкнутая коса в смысле первого определения в том и только
том случае, когда L — замкнутая коса в смысле второго определения.
Теорема 2.3 (Дж.У. Александер). Любое ориентированное зацеп-
ление в R3 изотопно некоторой замкнутой косе.
Доказательство. Под полигональным зацеплением мы будем по-
нимать такое геометрическое зацепление в R3, компонентами ко-
торого являются замкнутые ломаные линии. Вершинами и ребрами
полигонального зацепления мы будем называть вершины и ребра его
компонент. Хорошо известно, что всякое геометрическое зацепление
в R3 изотопно некоторому полигональному зацеплению (ср. доказа-
тельство теоремы 1.6). Нам нужно доказать только то, что любое
ориентированное полигональное зацепление L с R3 изотопно некото-
рой замкнутой косе. Слегка пошевелив вершины зацепления L в R3,
мы получим полигональное зацепление, изотопное зацеплению L.
С помощью таких малых деформаций мы можем обеспечить, чтобы
выполнялось условие L с R3 \£ и чтобы ребра зацепления L не лежа-
ли в плоскостях, проходящих через ось i — {(0,0)} x R. Рассмотрим
в зацеплении L ребро
АС CL CR3\£,
считая, что направление от Λ к С совпадает с ориентацией зацеп-
ления L. Говорят, что ребро АС положительное (соответственно от-

86
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
рицателъное), если при движении точки X G АС от Л к С вектор,
направленный из начала координат О е £ в точку X, будет вращаться
в положительном (соответственно отрицательном) направлении во-
круг прямой Е. Из предположения, что ребро АС не лежит в плоскости,
содержащей прямую Î, следует, что это ребро либо положительное,
либо отрицательное. Говорят, что ребро АС зацепления L допустимое,
если найдется такая точка В е î, что треугольник ABC будет пересе-
каться с L только по АС.
Если все ребра зацепления L положительные, то L — замкнутая
коса и доказывать нечего. Рассмотрим далее случай, когда в зацепле-
нии L имеется отрицательное ребро АС. Опишем теперь процедуру
замены ребра АС последовательностью положительных ребер. Будем
предполагать, что ребро АС допустимое. Тогда имеется такая точка
Bel, что треугольник ABC пересекается с L только по АС. В плоскости
треугольника ABC возьмем несколько больший треугольник AB'С, со-
держащий точку В внутри себя, пересекающий прямую I только в точ-
ке В и пересекающий зацепление L по АС; см. рис. 2.7. К зацеплению L
применим Α-движение A(Aß'C), которое
заменяет АС на два положительных реб-
ра AB' и В'С (аналогичные движения гео-
метрических кос см. в п. 1.2.3; по сравне-
нию с ситуацией кос мы не накладываем
здесь никаких условий на третью коор-
11 с динату вершин). Получившееся в резуль-
тате полигональное зацепление изотопно
Рис. 2.7. Треугольник AB С исходному зацеплению L и имеет на одну
отрицательную вершину меньше, чем L.
Предположим теперь, что ребро АС не допустимое. Заметим, что
каждая точка Ρ отрезка АС содержится в некотором допустимом по-
дотрезке ребра АС. (Чтобы убедиться в этом, выберем точку Bei так,
чтобы отрезок PB пересекал зацепление L только в точке Р. Затем
немного «утолщим» этот отрезок внутри треугольника ABC так, чтобы
получившийся треугольник Р~ВР+ пересекал зацепление L по своей
стороне Р~Р+ с АС, содержащей точку Р. Эта сторона Р~Р+ и есть
допустимый подотрезок ребра АС.) Так как ребро АС компактное, мы
можем разбить его на конечное число допустимых подотрезков. Так же
как и ранее, применим к каждому из них Δ-движение. Для этого мы
предварительно выберем различные для разных подотрезков точки
Bein достаточно близкие к ним точки В', чтобы они оставались вне

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
87
других ребер зацепления L. Поскольку ребро АС не лежит в плоскости,
содержащей прямую t, определяющие эти Δ-движения треугольники
пересекаются только в общих вершинах последовательных подотрез-
ков ребра АС (чтобы убедиться в этом, рассмотрите проекции этих
отрезков и треугольников на плоскость {0} х М2, ортогональную пря-
мой t). Следовательно, эти Δ-движения не мешают друг другу, и их
можно выполнить в любом порядке. Они заменяют АС с L на конеч-
ную последовательность положительных ребер, начинающуюся в точ-
ке А и заканчивающуюся в точке С. Получившееся в результате поли-
гональное зацепление изотопно исходному зацеплению L в R3. Приме-
няя эту процедуру по индукции по всем отрицательным ребрам зацеп-
ления L, мы получим замкнутую косу, изотопную зацеплению L. □
Упражнение 2.3.1. Проверьте, что при замыкании кос σ2 G В2 и
σ^2 G В2 получаются неизотопные ориентированные двухкомпонент-
ные зацепления, которые в то же время изотопны, если их рассмат-
ривать как неориентированные зацепления. (Указание: рассмотрите
коэффициент зацепления его компонент.)
Упражнение 2.3.2. Убедитесь в том, что замыканием косы σα3
является трилистник, изображенный слева на рис. 2.1 и снабженный
некоторой ориентацией. Убедитесь в том, что замыканием косы
σ^1σ2σ^1σ2 является узел восьмерка, изображенный на рис. 2.1 и
снабженный некоторой ориентацией.
Упражнение 2.3.3. В замыкании косы σ^1 σ]2... or.m (гь r2,..., rm e
ll l2 lm
G Z) обратили ориентацию всех компонент. Покажите, что получен-
ное ориентированное зацепление в R3 будет изотопно замыканию
косы а]т ...σ.2σ]1.
lm l2 ll
§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
По теореме Александера каждое ориентированное зацепление
L с R3 изотопно некоторой замкнутой косе. Полезно уметь находить
такую косу исходя из диаграммы зацепления L. Приведенное выше
доказательство теоремы Александера не слишком полезно: в ходе это-
го доказательства диаграмма изменяется некоторыми глобальными
преобразованиями, которые мало контролируются. В этом параграфе
мы опишем простой алгоритм, по каждой диаграмме зацепления L
дающий косу, замыкание которой изотопно исходному зацеплению L.
Между прочим, это дает другое доказательство теоремы Александера.

88
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2.4.1. Предварительные определения
Прежде всего мы заметим, что любые две непересекающиеся ори-
ентированные (топологические) окружности на сфере S2 ограничива-
ют некоторое кольцо в S2. Говорят, что эти окружности несогласова-
ны, если их ориентация индуцирована некоторой ориентацией этого
кольца. В противном случае эти окружности называются согласован-
ными. Например, две ориентированные концентрические окружности
в R2 с S2 согласованы, если они обе ориентированы либо по направ-
лению часовой стрелки, либо против часовой стрелки.
Рассмотрим диаграмму ориентированного зацепления ^вМ2.
Вблизи каждого перекрестка х диаграмма ^ выглядит либо как 2-ко-
са σ\, либо как 2-коса σ^1. Сглаживание диаграммы @ в перекрест-
ке х заменяет эту 2-косу на тривиальную 2-косу, а остальная часть
диаграммы ^ остается при этом неизменной; см. рис. 2.8. Сглажи-
вая диаграмму ^ во всех ее перекрестках, мы получим некоторое
замкнутое ориентированное одномерное подмногообразие в R2. Оно
состоит из конечного числа непересекающихся ориентированных
(топологических) окружностей, называемых окружностями Зейфер-
та диаграммы $. Их количество обозначим η{β). Две окружности
Зейферта диаграммы $ называются согласованными (соответственно
несогласованными), если они согласованы (соответственно несогла-
сованы) в S2 = R2 U {оо}. Количество пар несогласованных окружно-
стей Зейферта диаграммы ^ обозначается h{ß) и называется высо-
той диаграммы <$. Ясно, что 0 < h(ß) < п(п — 1)/2, где η = η{β).
Оба числа п(^) и h{ß) являются изотопическими инвариантами
диаграммы <$.
Рис. 2.8. Сглаживание перекрестка
Диаграмму ориентированного зацепления ^ в R2 назовем диаграм-
мой замкнутой косы из η нитей, если она лежит в кольце S1 х / с R2
и является диаграммой замкнутой косы в этом кольце в смысле п. 2.2.5.
Понятно, что все нити диаграммы $ ориентированы против часовой
стрелки.

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
89
Примеры таких диаграмм получаются из диаграмм кос из η нитей,
в которых верхние и нижние концевые точки соединяются η непере-
секающимися дугами в R2 так, как изображено на рис. 2.5, а ориен-
тация нитей индуцирована ориентацией косы, направленной сверху
вниз. Сглаживая диаграмму замкнутой косы & из η нитей во всех
ее перекрестках, мы получаем некоторую диаграмму замкнутой косы
из η нитей без перекрестков. Такая диаграмма состоит из η непересе-
кающихся концентрических окружностей в R2 с ориентацией против
часовой стрелки. Поэтому п(^) = η и \i[ß) — 0.
2.4.2. Изгибания и сжимания диаграмм зацеплений
Рассмотрим диаграмму ориентированного зацепления ® в R2. Обо-
значим через , , 9
F |®| CR2
объединение всех компонент диаграммы @, в котором мы забываем
информацию о том, как одни из них проходят над (или под) други-
ми. Это 4-валентный граф в R2, вершины которого — перекрестки
диаграммы $). Под ребром диаграммы ® мы будем понимать ком-
поненту связности дополнения к множеству перекрестков в\&\. Реб-
рами диаграммы ® являются вложенные дуги или окружности в R2
(окружности возникают из тех компонент диаграммы ®, которые
не пересекаются с другими компонентами). Под областью диаграм-
мы ^ мы будем понимать компоненту связности дополнения R2\ |®|.
Будем говорить, что область / диаграммы ® примыкает к ребру а
этой диаграммы, если ребро а содержится в замыкании области /.
Будем говорить, что область / примыкает к окружности Зейферта S
диаграммы ^, если область / примыкает по крайней мере к одному
ребру этой диаграммы, содержащемуся в S. Область / диаграммы @
называется дефектной областью, если она примыкает к двум раз-
ным ребрам ai и а2 этой диаграммы, которые содержатся в разных
и несогласованных окружностях Зейферта этой диаграммы. Ориен-
тированная вложенная дута с с R2, соединяющая некоторую точку
ребра а\ с некоторой точкой ребра а2 и лежащая (за исключением
своих концевых точек) в области /, называется редукционной дугой
диаграммы ® в области /. Определение несогласованности окружно-
стей Зейферта Si и S2 можно переформулировать, сказав, что одно
из ребер а\ и а\ пересекает редукционную дугу с справа налево, а дру-
гое — слева направо. Если даны такие ai, a2 и с, мы можем применить
к диаграмме ® второе движение Рейдемейстера, потянув поддугу

90
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ребра ai по дуге с так, чтобы затем на-
двинуть ее над ребром аг\ см. рис. 2.9.
Мы назовем это движение изгибанием
диаграммы & по дуге с, включающим
[несогласованные) окружности Зейферта
Si и S2. Результат этого движения — диа-
Рис. 2.9. Изгибание по дуге с грамма изотопного зацепления. Обрат-
ное движение называется сжиманием.
Например, рассмотрим диаграмму ® тривиального узла в К3, изоб-
раженного слева на рис. 2.10. Ее граф |®| имеет две вершины и четыре
ребра. Сгладив диаграмму <3 в обоих перекрестках, мы получим три
окружности Зейферта. Все они ориентированы против часовой стрел-
ки, и одна из них окружает остальные две. Две меньшие окружности
несогласованы друг с другом и согласованы с большей окружностью.
Поэтому η[β) — 3 и h{ß) = 1. Диаграмма ® имеет одну дефектную
область. Редукционная дуга этой области изображена пунктирной
стрелкой в левой части рис. 2.10. Изогнув диаграмму ® по этой ду-
ге, мы получим диаграмму, изображенную в правой части рис. 2.10.
Эта диаграмма—диаграмма замкнутой косы в кольце, ограниченная
пунктирными окружностями. (Она изотопна диаграмме замыкания
косы σ1σ2(71σ^"1.) Позже мы увидим, что этот пример типичен в том
смысле, что любую диаграмму ориентированного зацепления можно
преобразовать некоторой последовательностью изгибаний и изото-
пии в диаграмму замкнутой косы.
Рис. 2.10. Пример изгибания
Следующие три леммы дают ключ к преобразованиям диаграмм
зацеплений в диаграммы замкнутых кос.
Лемма 2.4. Если диаграмма & получена изгибанием диаграммы ори-
ентированного зацепления & в R2, то η{β') = η{β) и h{ß') = 1n{ß) — 1.
ai

§ 2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 91
Доказательство. Рассмотрим несогласованные окружности Зей-
ферта Si и S2 диаграммы ®, фигурирующие в определении изгибания;
см. рис. 2.11. Малый двуугольник, возникающий при изгибании, да-
ет окружность Зейферта диаграммы @', которую мы обозначим So.
Оставшиеся части окружностей Si и S2 дают еще одну окружность
Зейферта диаграммы ©', которую мы обозначим S«,. Все другие окруж-
ности Зейферта диаграммы ^ переходят в @' без изменений. Поэтому
n(@/) = n($f). Заметим, что окружности Зейферта в © и & не проходят
через затушеванные области на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Окружности Зейферта до и после изгибания
Сравним теперь высоты h[ß) и h{ß'). Сначала заметим, что окруж-
ности Зейферта Si и S2 ограничивают непересекающиеся круги D\
и D2 соответственно в S2 = R2 U {<*>}. Для i = 1,2 обозначим через d;
количество окружностей Зейферта диаграммы ®, лежащих в откры-
том круге D° = Di\dDi. Пусть d— количество окружностей Зейферта
в ®, лежащих в кольце S2 \ (Di UD2) и не согласованных с Si. Наконец,
пусть ft — количество пар несогласованных друг с другом окружностей
Зейферта диаграммы <&, отличающихся от Si и S2. Мы утверждаем, что
ft(®) = ft + di + d2 + 2d + l.
Для этого достаточно проверить, что количество пар несогласованных
друг с другом окружностей Зейферта диаграммы ®, включая Si или S2
или обе эти окружности, равно di + d2 + 2d + 1. Для i = 1,2 любая
ориентированная окружность в D° не согласована либо с Si, либо с S2,
но не с обеими этими окружностями сразу. Такие окружности дают
вклад di + d2. Ориентированная окружность в S2\(DiUD2) не согла-
сована с Si тогда и только тогда, когда она не согласована с S2. Такие
окружности дают вклад 2d. Наконец, окружности Si и S2 не согласо-
ваны друг с другом, давая вклад 1.
Мы утверждаем, что
ft(©') = ft + di + d2 + 2d = ft(Э) - 1.

92
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Для этого достаточно проверить, что количество пар несогласован-
ных друг с другом окружностей Зейферта диаграммы ®', включая S0
или Sоо или обе эти окружности, равно d\ + d2 + 2d. Для i = 1,2 любая
неориентированная окружность в D° всегда не согласована либо с So,
либо с Soo, но не с обеими этими окружностями сразу. Такие окружно-
сти дают вклад à\ + d2. Ориентированная окружность в S2 \ (Di U D2)
не согласована с So тогда и только тогда, когда она не согласована с Soo,
иначе говоря, когда она не согласована с Si. Такие окружности дают
вклад 2d. Наконец, окружности So и Soo согласованы друг с другом.
Следовательно, h{&) = /z(^) -1. D
Лемма 2.5. Диаграмма ориентированного зацепления <$ в R2 то-
гда и только тогда имеет дефектную область, когда h(^) φ 0.
Доказательство. Разрезав сферу S2 по окружностям Зейферта
диаграммы ®, мы получим компактную поверхность Σ с краем. Для
перекрестка х диаграммы ® обозначим через γΧ прямой отрезок око-
ло этого перекрестка, соединяющий окружности Зейферта так, как
показано на рис. 2.12. Все эти отрезки не пересекаются друг с другом,
и каждый из них лежит в некоторой компоненте поверхности Σ.
Рис. 2.12. Отрезок γΧ
Ясно, что если диаграмма ® имеет дефектную область, то h{ß) > 0.
Докажем обратное утверждение: если h{ß) > 0, то диаграмма ® имеет
дефектную область. Сначала докажем, что существуют такая компо-
нента F поверхности Σ и такие две окружности Зейферта в dF, что их
ориентация индуцирована ориентацией этой компоненты. Возьмем
две не согласованные друг с другом окружности Зейферта Si и S2 диа-
граммы @ и рассмотрим какую-нибудь ориентированную вложенную
дугу с с R2, соединяющую точку окружности Si с точкой окружно-
сти S2- Мы можем считать, что дуга с пересекает каждую окружность
Зейферта диаграммы & трансверсально не более чем в одной точке.
Рассмотрим множество пересечений дуги с со всеми окружностями
Зейферта, включая концевые точки. Это конечное множество. В каж-

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 93
дой его точке соответствующая окружность Зейферта направлена либо
в левую, либо в правую сторону дуги с. Несогласованность окружно-
стей Зейферта Si и S2 означает, что эти направления в концевых точ-
ках дуги с противоположные. Перебирая последовательно все точки
этого множества в положительном направлении дуги с, мы найдем
пару подряд идущих точек, в которых направления соответствующих
окружностей Зейферта противоположны. Поддуга дуги с между этими
точками определяет компоненту F поверхности Σ с требуемыми свой-
ствами. Предостережение: эта поддуга может пересекаться с некоторы-
ми отрезками γΧ; тогда она не лежит ни в какой области диаграммы &.
Рассмотрим подробнее такую компоненту F поверхности Σ, что
в ее крае dF имеется не менее двух окружностей Зейферта, ориента-
ция которых индуцирована из некоторой ориентации компоненты F.
Зафиксируем эту ориентацию компоненты F. Назовем окружность
Зейферта в dF положительной, если ее ориентация индуцирована
ориентацией компоненты F, и отрицательной в противном случае.
По предположению в крае dF имеется не менее двух положительных
окружностей Зейферта. Если компонента F не содержит отрезков γΧ,
то F° — F \ dF является областью диаграммы @, примыкающей не ме-
нее чем к двум положительным окружностям Зейферта в dF. Следова-
тельно, эта область дефектная. Предположим теперь, что компонен-
та F содержит некоторые отрезки γΧ. Удалив их из F, мы получим
некоторую подповерхность F' с F. Ясно, что любая компонента /
этой подповерхности F' примыкает не менее чем к одному отрезку γΧ
и внутренность компоненты / является областью диаграммы ®. Каж-
дый отрезок γΧ с F соединяет положительную окружность Зейферта
BdF с отрицательной. Поэтому компонента / примыкает не менее чем
к одной положительной и не менее чем к одной отрицательной окруж-
ности Зейферта. Если компонента / примыкает не менее чем к двум
положительным или не менее чем к двум отрицательным окружно-
стям Зейферта, то / — дефектная область. Предположим теперь, что
каждая компонента / подповерхности F' примыкает ровно к одной
положительной и ровно к одной отрицательной окружности Зейферта.
Заметим, что, двигаясь из этой компоненты / в любую соседнюю ком-
поненту подповерхности F' по некоторому отрезку γΧ с F, мы встре-
тимся с этими же самыми окружностями Зейферта. А так как компо-
нента F связна, мы можем перейти описанным способом из любой
компоненты подповерхности F' в любую другую компоненту. Следо-
вательно, край dF содержит ровно одну положительную и ровно одну

94
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
отрицательную окружность Зейферта. А это противоречит нашим
предположениям. Итак, диаграмма 0 имеет дефектную область. D
Лемма 2.6. Любая диаграмма ориентированного зацепления $
в R2, для которой h{ß) — О, изотопна в сфере S2 = R2 U {оо} некоторой
диаграмме замкнутой косы в R2.
Доказательство. Пусть Σ и {γΧ}Χ те же, что и в доказательстве
предыдущей леммы. Предположим, что ft(®) = 0. Мы должны доказать,
что диаграмма ® изотопна в S2 некоторой диаграмме замкнутой косы
в плоскости R2 = S2\{oo}. Если край некоторой компоненты поверх-
ности Σ состоит из трех или более компонент, то две из них должны
быть несогласованы в S2, что противоречит нашему предположению
Всякая компактная связная подповерхность двумерной сферы,
край которой имеет одну или две компоненты, есть круг или кольцо.
Поэтому поверхность Σ состоит только из кругов и колец. Индукция
по числу кольцевых компонент поверхности Σ показывает, что окруж-
ности Зейферта диаграммы ® можно продеформировать некоторой
изотопией сферы S2 в объединение непересекающихся концентриче-
ских окружностей на плоскости R2. Применяя эту изотопию сферы S2
к диаграмме Of, мы можем считать, что с самого начала окружности
Зейферта диаграммы Of — концентрические окружности на плоско-
сти R2. Из равенства h{ß) = 0 следует, что все эти окружности ориен-
тированы в одном и том же направлении: либо по часовой стрелке, ли-
бо против часовой стрелки. В первом случае применим к диаграмме ®
еще одну изотопию, которая проталкивает все окружности Зейферта
через точку оо <е S2 так, что в конечном положении все они станут
концентрическими окружностями в R2, ориентированными против
часовой стрелки. Подвергнув диаграмму @ еще одной изотопии, мы
можем дополнительно считать, что все окружности Зейферта концен-
трические, а отрезки γΧ радиальные, т. е. содержатся в некоторых
радиусах. Получившаяся в результате диаграмма зацепления транс-
версальна ко всем радиусам и потому представляет собой диаграмму
замкнутой косы. D
2.4.3. Алгоритм
Теперь мы можем описать алгоритм, который любую диаграмму @
ориентированного зацепления L в R3 преобразует в некоторую диа-
грамму замкнутой косы этого зацепления. Для этого достаточно для

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 95
каждой дефектной области этой диаграммы выполнить операцию из-
гибания. В силу лемм 2.4 и 2.5 этот процесс остановится после /i(^)
шагов и даст диаграмму & зацепления L, для которой η(@7) = η{β)
и h{Q}') = 0. По лемме 2.6 диаграмма & изотопна в S2 некоторой
диаграмме замкнутой косы % вШ2. Эта диаграмма % также пред-
ставляет зацепление L; ср. упражнение 2.1.2. Так как число окружно-
стей Зеиферта есть изотопический инвариант, получаем, что п(%) =
= п(©') = п(@). Поэтому % —диаграмма замкнутой косы cn = η{β)
дугами. Если диаграмма @ имеет к перекрестков, то диаграмма %
имеет к + 2h{ß) перекрестков. Соответствующая коса представлена
некоторым словом длины к + 2/г(@) < к + п{п — 1) от образующих
Отметим одно следствие из этого алгоритма.
Следствие 2.7. Если ориентированное зацепление в R3 представ-
лено некоторой диаграммой с η окружностями Зеиферта, то оно
изотопно некоторой замкнутой п-косе.
Обратное к этому следствию утверждение также верно, так как
нам известно, что всякая диаграмма замкнутой косы из η нитей име-
ет η окружностей Зеиферта.
Упражнение 2.4.1. Докажите, что сглаживание любого перекрест-
ка (или произвольного числа перекрестков) в диаграмме ориентиро-
ванного зацепления не увеличивает числа дефектных областей.
решение. Пусть @—диаграмма ориентированного зацепления, х —
ее перекресток и ®х—диаграмма ориентированного зацепления, по-
лученная из диаграммы ^ сглаживанием ее в перекрестке х. Заметим,
что диаграммы @ и 3fx имеют одно и то же количество окружностей
Зеиферта. Обозначим через γΧ прямой отрезок около перекрестка х, со-
единяющий две окружности Зеиферта, такой, как показан на рис. 2.12.
Обозначим через / ту область диаграммы @х, которая содержит отре-
зок γΧ. Если дополнение f\yx связно, то диаграммы & и % имеют
одни и те же области. Поэтому они имеют равное количество дефект-
ных областей. Предположим, что отрезок γΧ разделяет область / на два
связных куска /i и /2, тогда это области диаграммы @. Достаточно
доказать, что если f\ и /2 не дефектные области диаграммы &, то /
не является дефектной областью диаграммы $fx. Так как область /г
(соответственно область /2) не дефектная, она примыкает не более
чем к двум окружностям Зеиферта. А так как отрезок γΧ с / соединяет

96
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
окружности Зейферта разных знаков (относительно любой ориента-
ции области /), эти окружности разные и согласованы друг с другом.
Следовательно, области f\ и /2 примыкают к одной и той же паре
разных согласованных друг с другом окружностей Зейферта. Область /
примыкает к тем же окружностям. Поэтому область / не дефектная.
§2.5. Теорема Маркова
В этом параграфе мы сформулируем фундаментальную теорему,
позволяющую описать все косы с изотопными замыканиями в R3. Эта
принадлежащая А. А. Маркову теорема основывается на так называе-
мых марковских движениях кос.
2.5.1. Марковские движения
Представление ориентированного зацепления в R3 в виде замкну-
той косы далеко не единственно. Как мы знаем, если две косы /3, /3' eßn
сопряжены друг другу (мы записываем это как β ~с /?')> то их замы-
кания /3, β' изотопны друг другу в полнотории и потому в R3. Вообще
говоря, обратное утверждение неверно. Например, замыкания кос σ\
и σ-j"1 из двух нитей представляют собой тривиальные узлы, хотя эти
косы не сопряжены друг другу в группе ß2 = Ζ. Имеется еще одна
простая конструкция кос с изотопными замыканиями. Для любой
косы β €Вп рассмотрим косы oni(ß) и Gnli{ß), где i — естественное
вложение Вп <—> Bn+i. На картинках легко заметить, что замыкания
кос ant{ß) и σ^Ι^β) изотопны замыканию β в R3.
Для кос β, γ^Βη преобразование β^-^γβγ"1 называется первым мар-
ковским движением и обозначается Mi. Преобразование β ·-» a,£t(/3),
где ε = ±1, называется вторым марковским движением и обозначает-
ся М2. Заметим, что преобразование, обратное к Mi-движению, тоже
является Mi-движением. Мы будем говорить, что косы β и β' (возмож-
но, с разным числом нитей) М-эквивалентны, если их можно связать
некоторой конечной последовательностью движений Mi, М2, М^"г, где
М^"1 —преобразование, обратное к М2-движению. Мы будем записы-
вать это как β ~ β'. Ясно, что М-эквивалентность ~ является отноше-
нием эквивалентности на дизъюнктном объединении \\п>1 Вп всех
групп кос. Например, косы σ\, σ^1 е В2 являются М-эквивалентными.
В самом деле, используя равенства
σ^σ^σ^1 = σ]"1σ^1σ]"1 и σ]~1σ^"1σ1 = σ2σ^1σ^"1,

§2.5. Теорема Маркова
97
мы получаем
σλ ~ σ~λσλ ~с {σ1σ2)~1(σ~1σ1)(σ1σ2) =
= σ2Y(JïY(J2l(JÎcr2 — σ{"1σ^1σ^"1σ2 =
= σ"Γ1(72^1σ1σ2 — ο-2σ1~1σ^1σ2 = σ2σ^ ~ σ^1.
Мы видели, что замыкания М-эквивалентных кос изотопны как ори-
ентированные зацепления в R3. Следующая глубокая теорема утвер-
ждает, что, обратно, любые две косы с изотопными замыканиями
М-эквивалентны.
Теорема 2.8 (A.A. Марков). Две косы (возможно, с разным числом
нитей) имеют изотопные замыкания в евклидовом пространстве R3
в том и только том случае, когда эти косы М-эквивалентны.
Фундаментальное следствие из этой теоремы дает описание мно-
жества изотопических классов ориентированных зацеплений в R3
в терминах кос.
Следствие 2.9. Пусть 5£—множество всех изотопических клас-
сов непустых ориентированных зацеплений в R3. Отображение
\Jn>iBn —> 5£, сопоставляющее всякой косе изотопический класс ее
замыкания, индуцирует биекцию фактормножества (Liri^i-Bri)/~ на S£'.
Здесь сюръективность следует из теоремы Александера, а инъек-
тивность — из теоремы Маркова.
Доказательство теоремы 2.8 начинается в п. 2.5.3 и занимает всю
остальную часть этой главы.
2.5.2. Функции Маркова
Следствие 2.9 позволяет отождествить изотопические инвариан-
ты ориентированных зацеплений в R3 с функциями на множестве
]_1Г1>1ВГ1, постоянными на классах М-эквивалентности. Это приводит
нас к следующему определению.
Определение 2.10. Функцией Маркова со значениями в множе-
стве Ε называется последовательность отображений множеств
{/п* Вп —» E}n>i,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) для всех η > 1 и всех α, β е Βη выполняется равенство
fn(aß)=Mßa); (2.1)

98
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2) для всех η > 1 и всех β € Вп выполняются равенства
fn(ß)=fn+lfrnß) И Mß)=fn+lfrnlß). (2.2)
Например, для любого элемента е е Ε постоянные отображения
Вп —> Е, отображающие Впве для всех п, образуют функцию Маркова.
Более интересные примеры функций Маркова будут даны в гл. 3 и 4.
Покажем, что любая функция Маркова {fn : Вп ->£}n>i определяет
некоторый Е-значный изотопический инвариант / ориентированных
зацеплений в R3. Пусть L — произвольное ориентированное зацеп-
ление в R3. Выберем косу β € Вп, замыкание которой изотопно L,
и положим f(L)=fn(ß)eE. Заметим, что /(L) не зависит от выбо-
ра косы β. Действительно, если β' € Вп>—другая коса, замыкание
которой изотопно L, то по теореме 2.8 косы β и β' являются М-экви-
валентными. Из определений М-эквивалентности и функции Маркова
непосредственно следует, что fn{ß) = fn'{ß')- Функция / есть изотопи-
ческий инвариант ориентированных зацеплений: если L и Î/ —изо-
топные ориентированные зацепления в R3 и β €ßn — коса, замыкание
которой изотопно L, то замыкание косы β также будет изотопно V
Η/α)=/ηβ=/α/1
2.5.3. Основная лемма
Мы сформулируем здесь важную лемму, которая понадобится в до-
казательстве теоремы 2.8. Начнем с того, что введем некоторые обо-
значения. Для любых двух кос a g Вт и β е Вп образуем их тензорное
произведение α Θ β G Вт+п, расположив β справа от а так, чтобы эти
косы не пересекались и не зацеплялись друг за друга; см. рис. 2.13.
Здесь вертикальные линии представляют семейства параллельных дуг,
количество которых указано у этой линии.
η
1 ß 1
η
т-\
α®β
т-\
m
а
m
Рис. 2.13. Тензорное произведение кос
Чтобы получить диаграмму тензорного произведения α Θ β, нуж-
но диаграмму косы β поместить справа от диаграммы косы а так,

§2.5. Теорема Маркова
99
чтобы у них не было общих перекрестков. Например, 1т <8> 1п — 1т+п,
где 1т — тривиальная коса из m нитей. Ясно, что
α® β = {а®1п)(1т® β) = (lm® ß)(a®ln).
Заметим также, что
(α $ β) <8> γ = α <8> {β ® γ)
для любых кос α, β, γ. Это позволяет нам не писать здесь скобки и пи-
сать просто α® β (Siγ.
Пусть даны знак ε = ± и любые целые числа т,п> 0, для ко-
торых т + п> 1. Определим для них косу σ^η G Bm+n. Рассмотрим
стандартную диаграмму косы σ\ G B2, состоящую из двух нитей с од-
ним перекрестком. Заменим ту нить, которая проходит над другой,
на m параллельных нитей, расположен-
ных очень близко друг к другу. Аналогич-
но заменим нить, которая проходит под
первой, на η параллельных нитей, тоже
расположенных очень близко друг к дру-
гу. В результате мы получим диаграмму
косы из m + η нитей и тп перекрестков.
Эта диаграмма представляет косу σ£,η G
Gßm+ri. Если в этой диаграмме заменить
все проходы нитей над другими в проходы под теми же нитями, мы
получим диаграмму косы а~}П G Вт+п. Косы σ+,π G Вт+п и а~)П G Вт+п
схематически изображены на рис. 2.14. В частности,
= 1т
σ„
Рис. 2.14. Косы
ат,0 ~~ στη,0 ~ σ"
для всех т>\. Ясно, что (σ^π)_1 = а^т Для всех т,пи ε.
Удобно определить символы σ^0, σ^0 и 10, считая, что все они
представляют пустую косу с нулевым количеством нитей 0, которая
удовлетворяет тождествам 0Θα=αΘ0=α для любой косы а.
Лемма 2.11. Для любых целых чисел т,п > 0, r,t > 1, знаков
ε, ν = ± и кос a G Bn+r, β G Bn+t, γ G Bm+t} δ G Bm+r рассмотрим косу
(α, β,γ,δ\ ε, ν) = (lm<8>α<8> lt)(lm+n®<г)(1т<8>/3 ® 1Γ)(σ^Θlt+r) x
x (1Π Θ γ <Ε> lr)(ln+m ® cr~tr)(ln ® δ Θ lt)(a^n (g) lr+t) G ßm+„+r+t.
Класс М-эквивалентности косы (α, β, γ, δ \ ε, ν) не зависит от ε, ν, и
(α, β,γ,δ\ ε, ν) - (δ, γ,β,α\ ε, ν). (2.3)

100
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Мы советуем читателю нарисовать диаграмму косы (α, β, у, δ \ ε, ν)
для ε = ν = +. Мы нарисуем замыкание этой косы, используя следую-
щие соглашения. Будем представлять себе диаграммы кос лежащими
в квадрате /х/сМх/и считать, что нити выходят из его верхней
стороны J х {0} и входят в нижнюю сторону 7 х {1}. Стандартная ори-
ентация нити в диаграмме косы направлена от ее начала (выхода)
к концу (входу). Квадрат 1x1 можно поворачивать вокруг его цен-
тра на угол π/2. Повернув квадрат I х I на угол π/2 против часовой
стрелки (соответственно по часовой стрелке), мы преобразуем любую
картинку а в этом квадрате в некоторую другую картинку в этом же
квадрате, которую мы обозначим через а+ (соответственно а_). Если
а—диаграмма косы, то у повернутых диаграмм а+ и а_ начала и кон-
цы нитей окажутся на вертикальных сторонах квадрата. Заметим
также, что а++ = а , где а++ = (а+)+ и а = (а_)_.
Выберем и зафиксируем какие-нибудь диаграммы кос α, β, γ, δ,
которые мы будем обозначать соответственно теми же буквами α, β,
γ, δ. Небольшое размышление должно убедить читателя в том, что
рис. 2.15 представляет замыкание косы (α, β, у, δ \ +, +).
η
Рис. 2.15. Замыкание косы (α, β,γ,δ\ +, +)
Остальная часть доказательства теоремы 2.8 пройдет следующим
образом. В § 2.6 мы выведем эту теорему из леммы 2.11. В § 2.7 мы
докажем лемму 2.11. В этих двух параграфах используется разная
техника, и их можно читать в любом порядке.
Упражнение 2.5.1. Проверьте, что косы
(α,β,γ,δ\ε,ν) и (α,β,γ,δ\-ε,-ν)
имеют изотопные замыкания. Проверьте, что
(α, β, у, δ | ε, ν) ~с {γ, δ,α,β\ -ε, -ν). (2.4)
(Указание: поверните замкнутую косу на рис. 2.15 на 180°.)

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
101
Упражнение 2.5.2. Проверьте М-эквивалентность (2.3) для т=п=0.
§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
Начнем с того, что введем еще одно марковское движение.
2.6.1. Движение М3
По определению второе марковское движение М2 преобразует
косу β G Вп в σ„ {β Θ li) G Bn+i, где ε = ±1. Мы определим еще одно
движение кос Мз, которое преобразует косу β G Вп в ai(li Θ β) G Bn+i.
Можно проверить непосредственно, что движение М3 сохраняет изо-
топический класс замыкания.
Лемма 2.12. Движение Мз разлагается в композицию движений
Mi и М2.
Доказательство. Напомним, что в п. 1.3.3 была определена коса
Ап G Bn. По формуле (1.8) имеем
AnaiA-1 = an-ieBn (2.5)
для всех η > 1 и всех i = 1,..., η — 1. В частности,
Zin+iai^"^ = ση G βπ+1.
Переходя в этом равенстве к обратным элементам в группе Вп+ъ по-
лучаем
Δη+^Δ-Ι, = σ* (2.6)
для ε = ±1. Далее проверим, что для любого β G Bn имеет место
равенство
Ai+iUi ® /?М~+1 = ΔηβΔη1 ® li. (2.7)
Обе части этого равенства мультипликативны по β, поэтому доста-
точно проверить его для β — σ; G Вп, где i — 1,..., η — 1. Имеем
li<g>a; = aH-iGjBn+i
и
Ai+lUl ® ^i) Aï+1 = ^n+iCTi+i^^ = σ(π+1)_(1+1) = an_i G βπ+1.
В то же время AnGiA^1 = σπ_; G Βη и
Δησ^Δη1 Θ li = σ„_* G Βπ+1.

102
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Равенство (2.7) доказано. Умножив равенство (2.6) на равенство (2.7),
мы получаем
Ai+io/(li ® β)Α-\λ = σ^ΔηβΔη1 ® lj,
или, что эквивалентно,
ai (li Θ β) = A-l^iAnßAn1 Θ 1α)Δη+1.
Следовательно, движение М3 является композицией сопряжения при
помощи элемента Ап движения М2 с сопряжением при помощи эле-
мента Α~\λ. D
Из этой леммы следует, что движения Mi, M2, Мз порождают то же
самое отношение эквивалентности ~ на множестве Ц^м^и, что и
движения Mi, М2.
2.6.2. Редукция теоремы 2.8 к утверждению 2.15
Сейчас мы переформулируем теорему 2.8 в терминах замкнутых
кос в полнотории V с R3. Обозначим через М2 преобразование замкну-
тых кос в полнотории V, заключающееся в замене замыкания косы β
из η нитей на замыкание косы a„(li Θ β), где ε = ±1. Обозначим
через М3 преобразование замкнутых кос в полнотории У, заключа-
ющееся в замене замыкания косы β из η нитей на замыкание косы
σ{(li ® β), где ε = ±1. Движения, обратные к М2 и М3, будем обозна-
чать через М^1 и М^1 соответственно. В силу теоремы 2.1 для доказа-
тельства теоремы 2.8 достаточно доказать следующее утверждение.
Утверждение 2.13. Любые две замкнутые косы в полнотории V,
представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3, мож-
но связать некоторой последовательностью движений М^1, М31 и изо-
топии в V.
Здесь и далее все последовательности движений считаются конеч-
ными. В утверждении 2.13 под изотопией в V мы понимаем движение,
заключающееся в замене замкнутой косы в У на другую замкнутую ко-
су в V, изотопную первой в классе ориентированных зацеплений в V.
Утверждение 2.13 можно переформулировать в терминах диаграмм
замкнутых кос в кольце, определенных в п. 2.2.5. Обозначим через М2
(соответственно М3) преобразование диаграмм замкнутых кос, заклю-
чающееся в замене замыкания диаграммы косы β из η нитей на за-
мыкание диаграммы косы σ^{β ® li) (соответственно σ\(li Θ β)), где
ε = ±1. Движения М2 и Мз суть в точности движения М2 и Мз, перефор-

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 103
мулированные в терминах диаграмм. Движения диаграмм замкнутых
кос, обратные к М2 и М3, будем обозначать через М^1 и 1VÇ1 соответ-
ственно. Напомним, что нами были определены (см. п. 2.1.3 и 2.2.5)
косообразные движения Рейдемейстера Ω^Γ и Ω^1". Для доказательства
утверждения 2.13 достаточно доказать следующее утверждение.
Утверждение 2.14. Любые две диаграммы замкнутых кос в кольце
А с R2, представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3,
можно связать некоторой последовательностью движений (Ω!^)*1,
(Ω%τ)±1, М^1, М31 и изотопии в классе диаграмм ориентированных
зацеплений в А.
Здесь изотопии должны начинаться и заканчиваться диаграмма-
ми замкнутых кос в кольце А (с их каноническими ориентациями),
но при этом не требуется, чтобы промежуточные диаграммы ориен-
тированных зацеплений были диаграммами замкнутых кос.
Далее мы редуцируем утверждение 2.14 к другому утверждению,
которое формулируется в терминах так называемых нулевых диаграмм.
Мы будем использовать обозначения и терминологию, введенные
в §2.4. Назовем нулевой диаграммой (или 0-диаграммой)2 такую диа-
грамму ориентированного зацепления 9) в R2, что h(^) = 0и все
ее окружности Зейферта ориентированы против часовой стрелки. Из
этих условий следует, что окружности Зейферта диаграммы $ обра-
зуют систему концентрических окружностей в R2. Пронумеруем их
числами 1,2, ...,п(^), начиная от самой маленькой (иначе говоря,
самой внутренней) окружности и продолжая к самой большой (иначе
говоря, самой внешней). Заметим, что косообразные движения Ω^Γ
и Ω^Τ преобразуют нулевые диаграммы в нулевые диаграммы. Движе-
ние Ω1, добавляющее к нулевой диаграмме завиток слева или справа,
вообще говоря, не дает нулевой диаграммы. (Здесь левая и правая сто-
роны диаграммы определяются ее ориентацией и ориентацией в R2
против часовой стрелки.) Однако для любой нулевой диаграммы ^
если Ω!-движение добавляет левый завиток в точке этой диаграммы,
которая лежит на самой внутренней окружности Зейферта, то в ре-
зультате получается нулевая диаграмма @''. Этот завиток становится
самой внутренней окружностью Зейферта диаграммы <$'. Такое пре-
образование $) —> $' будем обозначать через Ω1^. Аналогично если до-
бавить правый завиток в точке диаграммы &, которая лежит на самой
2 Англ. термин — 0-diagram. —Прим. перев.

104
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
внешней окружности Зейферта, и затем протащить этот завиток через
точку оо g S2 так, чтобы он окружил эту точку, то в результате получит-
ся снова нулевая диаграмма $)" в R2. Этот завиток становится самой
внешней окружностью Зейферта диаграммы ®". Такое преобразова-
ние ® —> 9J" будем обозначать через Ω^. Далее под Ω-движениями
нулевых диаграмм мы будем понимать преобразования Ω^Γ, Ω\τ, Ω1™,
Ω^, обратные к ним преобразования и изотопии в R2.
Утверждение 2.15. Любые две нулевые диаграммы в R2, представ-
ляющие изотопные ориентированные зацепления в R3, можно связать
некоторой последовательностью Ω-движений.
Покажем, что из этого утверждения следует утверждение 2.14. Сна-
чала заметим, что диаграммы замкнутых кос в кольце А с R2 являются
нулевыми диаграммами и для них Ω1™ = М2 и Ω^ = М2. Рассмотрим
теперь две диаграммы замкнутых кос ^ и ^ в А, представляющие
изотопные ориентированные зацепления в R3. Согласно утвержде-
нию 2.15 существует такая последовательность нулевых диаграмм
^ = ^i, ^2>..., ^т = @ в R2, что каждая нулевая диаграмма %+i
получается из нулевой диаграммы % некоторым Ω-движением. Кон-
струкция из доказательства леммы 2.6 показывает, что каждая диа-
грамма % изотопна некоторой диаграмме замкнутой косы 3&i в коль-
це А. Ясно, что если %+i получается из % в результате движения
(Ω*)*1, (Ω*)*1, (Ω1^)*1, (Ω"Χt)*1, το 9k+1 получается из 9k в резуль-
тате движения (Ω^)*1, (Ω^1*)*1, Μ3l, M^1 соответственно. Небольшое
размышление показывает, что если %+i получается из % в результате
изотопии в R2, то S&i+i получается из 3{ в результате изотопии в А.
Тем самым доказано утверждение 2.14.
2.6.3. Редукция к лемме 2.17
Напомним, что в п. 2.1.2 и 2.4.2 мы определили изотопии, изги-
бания и сжимания диаграмм зацеплений. Доказательство утвержде-
ния 2.15 начнем со следующей леммы.
Лемма 2.16. Пусть 8 и 8' — нулевые диаграммы в R2, представля-
ющие изотопные ориентированные зацепления в R3. Тогда существу-
ет такая последовательность нулевых диаграмм 8 = 8i,82)...,8m = 8/,
что для каждого i = 1,2,..., m — 1 диаграмма <%+i получается из диа-
граммы Si некоторым Ω-движением или некоторой последовательно-
стью изгибаний, сжиманий и изотопии в сфере S2 = R2 U {оо}.

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
105
Доказательство. Так как диаграммы 8 и 8' представляют изо-
топные зацепления, их можно связать некоторой последовательно-
стью следующих ориентированных движений Рейдемейстера: а) Ω*1;
б) (Ω^)*1, (Ω^)*1, изотопии в R2; в) некосообразные движения Ω^1.
Заметим, что создаваемые этими движениями промежуточные диа-
граммы могут иметь положительную высоту. Мы преобразуем эту
последовательность движений в другую последовательность, состо-
ящую только из изгибаний, сжиманий, изотопии в S2 и Ω-движений,
преобразующих нулевые диаграммы в нулевые диаграммы.
Напомним, что в п. 2.4.2 некосообразное движение Ω2, включаю-
щее две разные окружности Зейферта, названо изгибанием. Всякое
некосообразное движение Ω2, включающее только одну окружность
Зейферта, можно представить в виде композиции двух движений Пь
изгибания и сжимания; см. рис. 2.16. Поэтому мы можем считать, что
в рассматриваемой нами последовательности движений все движения
типа в) являются изгибаниями и сжиманиями.
< < <
/
< <
Рис. 2.16. Разложение движения Ω2
Пусть g — преобразование типа б) в рассматриваемой нами по-
следовательности, которое применяется к диаграмме зацепления ®
с h(9)) > 0. Заметим, что преобразование g сохраняет множество
окружностей Зейферта диаграммы и потому сохраняет ее высоту. Так
как h{ß) > 0, диаграмма & имеет дефектную область. В этой области
мы можем выбрать редукционную дугу, не пересекающуюся с тем
кругом, где преобразование g изменяет диаграмму $>. Обозначим че-
рез г соответствующее сжимание диаграммы ®. Ясно, что преобразо-
вания г и g диаграммы Ç& коммутируют. Мы заменим преобразование

106
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
<3 —> g(^) в рассматриваемой нами последовательности на последова-
тельность _1
Э -^ г(Э) -^ gr(0) -Σ-> r_1gr(@) = g(0).
Теперь операция g проделана над диаграммой с меньшей высотой.
Поступая таким образом, мы сможем постепенно понизить ее до ну-
ля. Тем самым мы сможем заменить преобразование g на последова-
тельность изгибаний, сжиманий и только одного движения типа б),
которое обозначим через g7, некоторой диаграммы & высоты 0. Если
окружности Зейферта диаграммы & ориентированы против часо-
вой стрелки, то & есть нулевая диаграмма, a g' — Ω-движение. Ес-
ли окружности Зейферта диаграммы & ориентированы по часовой
стрелке, то мы разложим движение g' в композицию изотопии сфе-
ры S2, преобразующей @' в нулевую диаграмму (ср. доказательство
леммы 2.6), Ω-движения последней диаграммы и обратной изотопии.
Пусть g = Ω1 — операция типа а) в рассматриваемой нами последо-
вательности, которая применяется к диаграмме зацепления & (в R2).
Добавляя в эту последовательность изгибания и сжимания, как мы
делали это выше, мы можем считать, что h{ß) — 0. Сопрягая в случае
необходимости преобразование g при помощи некоторой изотопии
сферы S2, мы можем считать, что окружности Зейферта диаграммы @
ориентированы против часовой стрелки, т. е. что ® является нулевой
диаграммой в R2. Предположим, что завиток, который добавляет пре-
образование g к дуге а диаграммы ®, расположен слева от нее. Если
дуга а лежит в первой (т. е. самой внутренней) окружности Зейферта
диаграммы ®, то g = Ω1^. Если дуга а лежит на тп-и окружности Зей-
ферта диаграммы 2f9 где m > 2, то мы применим m — 1 движений Ω^Γ,
чтобы протолкнуть дугу а под m — 1 меньшими окружностями Зей-
ферта диаграммы @ внутрь круга, ограниченного самой внутренней
окружностью Зейферта. Затем мы применим движение Ω1"1 к дуге а
и протолкнем получившийся в результате завиток под первыми m — 1
окружностями Зейферта на то место, где он должен был бы находиться
после первоначального движения g = Ω1. Это проталкивание должно
выполняться с осторожностью: сначала проталкиваются все рассмат-
риваемые m — 1 окружности Зейферта над перекрестком, создаваемым
движением Ω1™. Это равносильно m — 1 движениям
d\dfd~ -» d~dfd^
которые анализировались в доказательстве теоремы 1.6. (Этот ана-
лиз показывает, что эти движения представляют собой композиции

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 107
m-1 А
А 1
т-1 А
1 А
с
с<
\\
с
/
т-1 A Al m-1 A Al
Рис. 2.17. Разложение движения Ω!
движений (Ω^)*1 и (Ω^1")*1·) После этого мы проталкиваем эти т — 1
окружности Зейферта над остальной частью завитка, что равносиль-
но m — 1 сжиманиям. Получившаяся в результате цепочка движений,
которая схематически изображена на рис. 2.17, преобразует диаграм-
му © в ту же самую диаграмму g(^), что и само преобразование g.
Таким образом, мы можем заменить движение ^ —>g(®) на конечную
последовательность движений (Ω^1")*1, (Ω^1")*1, Ω1"1, преобразующих
нулевые диаграммы в нулевые диаграммы, после которых следуют
т — 1 сжиманий. Если завиток, который добавляет преобразование g,
расположен справа от дуги а, то мы действуем так же, как и в предыду-
щем случае, только проталкиваем дугу а по направлению к внешней
(бесконечной) области диаграммы ^ в R2, а затем применяем преоб-
разование Ω,ψ1. Π
Лемма 2.17. Любые две нулевые диаграммы в R2, связанные по-
следовательностью изгибаний, сжиманий и изотопии в S2, можно
связать некоторой последовательностью Ω-движений.
Из этой и предыдущей лемм следуют утверждение 2.15 и теоре-
ма 2.8. Остальная часть этого параграфа посвящена доказательству
леммы 2.17.

108
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2.6.4. Доказательство леммы 2.17, часть I
Здесь мы рассмотрим простейший случай леммы 2.17, в котором
последовательность движений, связывающих две нулевые диаграммы,
состоит из одних только изотопии.
Лемма 2.18. Если две нулевые диаграммы изотопны в S2=R2U{°°},
то они изотопны в R2.
Доказательство. Рассмотрим две нулевые диаграммы ^ и & в R2,
изотопные в S2. Тогда они имеют одинаковое количество окружностей
Зейферта N > 1. Если N = 1, то & и @' являются вложенными окружно-
стями в R2, ориентированными против часовой стрелки. По теореме
Жордана о кривой любая вложенная окружность в R2 ограничивает
некоторый круг. Из этого следует, что всякая окружность изотопна
некоторой малой метрической окружности в R2. A так как любые
две метрические окружности в R2, снабженные ориентацией против
часовой стрелки, изотопны в R2, это же утверждение верно для топо-
логических окружностей & и &'.
Предположим, что N > 2. Так как диаграммы ® и @' изотопны в S2,
существует такое непрерывное семейство гомеоморфизмов {Ft : S2 —>
-» S2}tei, что F0 — id и гомеоморфизм Fi преобразует Çd в &. По непре-
рывности все эти гомеоморфизмы Ft сохраняют ориентацию. Окруж-
ности Зейферта диаграммы ® разбивают сферу S2 на N — 1 колец
и два круга Di = D;(^) и D0 = D0(^), ограниченные соответственно
самой внутренней и самой внешней окружностями Зейферта диаграм-
мы 0. Напомним, что сфера S2 = R2 U {оо} ориентирована против
часовой стрелки и потому все окружности Зейферта диаграммы 3f
также ориентированы против часовой стрелки. Ясно, что ориентация
самой внутренней окружности Зейферта dDi согласована с ориента-
цией круга Di, индуцированной из ориентации сферы S2. Напротив,
ориентация самой внешней окружности Зейферта dD0 не согласована
с ориентацией круга D0, индуцированной из ориентации сферы S2.
Из этого следует, что гомеоморфизм Fi : S2 —>S2 отображает круг Di{ß)
обязательно на круг Д(^')> а кРУг А>(®) непременно на круг D0{ßf),
но не наоборот.
Так как оо g D0 [0), получаем, что Fi (оо) g D0 {β'). Поэтому найдется
замкнутый круг В в дополнении к диаграмме ®' в сфере S2, который со-
держит точки оо и Fi (оо). Переместив точку Fi (оо) в точку оо внутри кру-
га В, мы получим некоторое непрерывное семейство гомеоморфизмов
{gt : S2 —» S2}t€/, для которого g0 = id, gi(Fi (оо)) = оо и все гомеоморфиз-

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 109
мы gt равны тождественному отображению вне круга В (ср. доказатель-
ство леммы 1.26). Поэтому giFi(i^) = g\{ß') = &. Однопараметриче-
ское семейство гомеоморфизмов {gtFt : S2 —» S2}teI связывает g0F0 = id
с giFi. Иначе говоря, гомеоморфизм giFi изотопен тождественному
отображению в классе автогомеоморфизмов сферы S2. Согласно упраж-
нению 1.7.1 гомеоморфизм giFi изотопен тождественному отображе-
нию в классе автогомеоморфизмов сферы S2, неподвижных в точке оо.
Ограничив все гомеоморфизмы из этой изотопии на R2 = S2\{oo}, мы
получим изотопию диаграммы Sf в диаграмму 9' в R2. D
2.6.5. Доказательство леммы 2.17, часть II
Рассмотрим последовательность движений из условий леммы 2.17.
По соображениям общего положения мы можем считать, что все проме-
жуточные диаграммы, которые получаются в результате этих движений,
лежат в R2 = S2\{oo}. Мы будем обозначать изгибания и сжимания
стрелками, направленными в сторону диаграммы с меньшей высотой.
Так, обозначение ^ <^- 9) -^-» с€' означает, что диаграмма зацепления *ß
преобразуется в диаграмму <$ сжиманием, обратным к изгибанию s
диаграммы ®, а диаграмма 0 преобразуется в диаграмму с€' сжимани-
ем s'. Заметим, что h(^) = h(cg/) = /i(^) — 1, поэтому функция высоты h
имеет локальный максимум в ®. Мы назовем такую последователь-
ность ^ <^- ^ -^ *€' локальным максимумом. Наша стратегия будет
состоять в том, чтобы заменить локальные максимумы на (более длин-
ные) последовательности движений диаграмм с меньшей высотой.
Для локального максимума ^ <— <$ —> *£" рассмотрим редукци-
онные дуги изгибаний s и s'. По соображениям общего положения
мы можем считать, что для всех локальных максимумов в рассматри-
ваемой нами последовательности движений эти редукционные дуги
имеют различные концевые точки и пересекаются трансверсально
в конечном числе точек. Это число обозначим через 5 · s'.
Лемма 2.19. Для любого локального максимума <€ <^- $ -^-> <&'',
для которого s · s' Φ 0, существует такая последовательность из-
гибаний и сжиманий
что Si -s[ = 0 для всех i.
Доказательство. Поскольку редукционные дуги диаграмм зацеп-
лений ориентированы, мы можем говорить об их левых и правых сто-

110
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ронах (относительно ориентации в R2 против часовой стрелки). Каж-
дую редукционную дугу с диаграммы ® можно немного подвинуть
влево или вправо так, чтобы ее концевые точки остались на ®. В ре-
зультате мы получим непересекающиеся редукционные дуги, опреде-
ляющие то же самое изгибание (по крайней мере с точностью до изо-
топии). Будем обозначать эти дуги через q и сг соответственно.
Пусть сие7 — редукционные дуги изгибаний s и s' соответственно.
Сначала предположим, что s · s' > 2. Далее мы докажем, что существует
редукционная дуга с" диаграммы 9), не пересекающаяся с дугой с'
и пересекающая дугу с менее чем bs-s' точках. Рассмотрим последо-
вательность „ „ ,
где s" — изгибание по дуге с". Имеем
s-s''= enc" <s-s'
и
5'.5" = |С'ПС"| = 0.
Продолжая рассуждать таким образом, мы можем свести лемму к слу-
чаю 5 · s' = 1. А теперь построим дугу с". Возьмем в пересечении с П с'
две разные точки А и В так, чтобы поддуга AB с с не пересекала с''.
Обращая в случае необходимости ориентации дуг с и с', мы можем
считать, что обе дуги сие' направлены от Л к В. Сначала предполо-
жим, что дуга с' пересекает дугу с в точке А слева направо. Если дуга d
пересекает дугу с в точке В справа налево, примем за с" дугу, которая
сначала проходит по с[ до точки ее пересечения с q близ точки А,
затем по q до точки ее пересечения с с[ близ точки В и после того
по с[. Если дуга с' пересекает дугу с в точке В слева направо, примем
за с" дугу, которая сначала проходит по с[ до точки ее пересечения с сг
близ точки А, затем по сг до точки ее пересечения с с'г близ точки В
и после того по с'г. Легко проверить, что в обоих случаях дуга с" обла-
дает требуемыми свойствами; см. рис. 2.18. Аналогично разбирается
случай, когда дуга с' пересекает дугу с в точке А справа налево.
У
Рис. 2.18. Дуга с"

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
111
Остается рассмотреть случай 5 · s' = 1. Мы утверждаем, что су-
ществует редукционная дута с" диаграммы 9), не пересекающаяся
с с U с7. Считая это утверждение доказанным, мы добавим £^-^-> ^ £- ^
в рассматриваемую нами последовательность, как мы уже делали это
ранее, и лемма будет доказана. Перейдем к доказательству существо-
вания дуги с77. Обозначим через О единственную точку пересечения
с Π с7 и через / — ту область диаграммы ®, которая содержит дуги с
и с7 (кроме их концевых точек). Далее, обозначим концевые точки ду-
ги с на ^ через А\ и Дг, а концевые точки дуги с7 на ^ — через Лз и А4.
Обозначим через Si окружность Зейферта диаграммы &, проходящую
через Ai. По определению редукционной дуги Si Φ S2 и S3 φ S4. Заме-
тим, что дугу Ai О U ОЛз можно немного продеформировать так, чтобы
получилась некоторая дуга cij3 в /\(с и с7), идущая из точки на Si
в точку на S3. Ту же дугу с противоположной ориентацией обозначим
через сзд. Аналогично определяются дуги ci)4 и с4,ъ см. рис. 2.19.
Если две из окружностей Si, S2, S3, S4 совпадают, пусть для опре-
деленности Si = S4, то окружности Si = S4 и S3 φ S4 различны. Так
как с7 — редукционная дуга, они не со-
гласованы друг с другом. Следовательно,
с" — ci53 есть редукционная дуга, удовле-
творяющая нашим требованиям.
Итак, можно считать, что все окруж-
ности Si, S2, S3, S4 различные. Их тополо-
гическое положение в сфере S2 = R2 и {оо}
определено однозначно: они представля-
ют собой границы четырех дизъюнктных
кругов в S2, пересекающих перекрестко-
образный граф с и с7 в его четырех кон- _ _ л _ _ ,
г г ^ г Рис. 2.19. Дуги с, с
цевых точках. Если окружности Si и S3 и окружности Sb S2f Ss> S4
не согласованы друг с другом, то cij3 есть
искомая редукционная дуга в /\(с и с7) и доказательство заверше-
но. Будем считать, что окружность Si согласована с окружностью S3.
А так как окружность S4 не согласована с окружностью S3, окруж-
ность Si согласована также с окружностью S4. Заметим, что дуги с\$
и ci)4 не редукционные.
Напомним, что ранее были определены непересекающиеся от-
резки γΧ, соединяющие окружности Зейферта диаграммы @, где х
пробегает по всем перекресткам диаграммы @ (см. рис. 2.12). По со-
ображениям ориентации концевые точки каждого такого отрезка γΧ
О

112
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
непременно лежат на разных, но согласованных друг с другом окруж-
ностях Зейферта.
Далее мы разберем три разных случая.
Случай 1: к окружности Si не прикреплен ни один из отрезков γΧ.
Построим редукционную дугу диаграммы @, соединяющую S3 с S4.
Для этого сначала пройдем по дуге с3д до точки, близкой к Si, затем
обойдем вокруг Si, после чего пройдем по дуге cij4. Так как ни один
из отрезков γΧ не соединен с Si, построенная дуга лежит в /\ (с и с').
Случай 2: прикрепленные к окружности Si отрезки γΧ соединяют
ее с одной и той же окружностью Зейферта S. Сначала предположим,
что S Φ S3. Построим редукционную дугу с", соединяющую S3 с S
в /\ (с U с')· Для этого сначала пройдем по дуге с3д до точки, близкой
к Si, затем будем обходить вокруг Si до тех пор, пока не столкнемся
первый раз с отрезком γΧ, прикрепленным к Si, после чего, держась
близко к γΧ, продолжим движение, пока не дойдем до S. Если S = S3,
то S Φ Si и мы можем применить ту же самую конструкцию, только
заменив S3 на S4.
Случай 3: отрезки γΧ, прикрепленные к окружности Si, соединя-
ют ее не менее чем с двумя окружностями Зейферта. Можно найти
два таких отрезка γ\ и γ2, у которых одни концевые точки е\ и е2
лежат на Si, a другие на разных окружностях Зейферта, и такую дугу
d с Si\{Ai}, соединяющую точки е\ и е2, чтобы она не пересекала
все остальные отрезки γΧ9 прикрепленные к Si. Тогда небольшая де-
формация дуги γλ и d U γ2 дает редукционную дугу с" диаграммы ®,
не пересекающуюся с с и с/. D
Лемма 2.20. Для любого локального максимума Η <τ—9) —> <€\
для которого s · s' = О, существуют такие последовательности изото-
пии в S2 и изгибаний <€ —>... —> <€* и с€/ —>... —> ^ что либо Ч>* = ^,
либо *ε>* и ^1 суть нулевые диаграммы в R2, связанные ^-движениями.
Доказательство. Обозначим через end редукционные дуги из-
гибаний s и s' диаграммы ®. Из условия 5 · s' — 0 следует, что дуги с и с'
не пересекаются. Следовательно, изгибания 5 и s' выполняются в непе-
ресекающихся областях плоскости, и потому они коммутируют друг
с другом. Предположим, что они включают разные пары окружностей
Зейферта диаграммы @ (эти пары могут иметь одну общую окруж-
ность). Тогда с' является редукционной дутой для ^ = s{ß), а с являет-
ся редукционной дугой для <€' — s,($. Обозначим через <$' диаграмму
зацепления, полученного изгибанием диаграммы ^ по дуге с', или,

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
113
что эквивалентно, изгибанием диаграммы <€' по дуге с. Последова-
тельности ^ -» @' и с€/ —» ©' удовлетворяют лемме.
Предположим теперь, что изгибания 5 и s/ включают одни и те же
(разные и не согласованные друг с другом) окружности Зейферта Si
и S2 диаграммы ®. Сначала предположим, что диаграмма ® имеет
редукционную дугу сь не пересекающуюся с с и с7 и включающую ка-
кую-нибудь другую пару окружностей Зейферта. Тогда изгибания s, s',
5i по дугам с, с7, ci соответственно коммутируют друг с другом. После-
довательности ^ -^> ^i -^-> 9г/ и <£" -^» <€[ -^ @' удовлетворяют лемме.
Предположим теперь, что все редукционные дуги диаграммы ^,
не пересекающиеся с с U с', включают окружности Зейферта Si и S2.
Выберем такие их обозначения, чтобы дуга с была направлена от Si
к S2. Предположим сначала, что дуга с' тоже направлена от Si к S2.
Окружности Si и S2 ограничивают в сфере S2 непересекающиеся кру-
ги Di и D2 соответственно. Дуги сие' лежат в кольце S2\(Dl U Dp,
ограниченном Si U S2. Эти дуги разбивают это кольцо на два тополо-
гических круга D3 и D4, где D3 П D4 = с U с''.
Заметим, что отличные от Si и S2 окружности Зейферта диа-
граммы & не пересекаются с Si U S2 U с U с'. Поэтому множество
окружностей Зейферта диаграммы Of можно разбить на четыре дизъ-
юнктных семейства: окружности, лежащие в Db в D2, во внутренно-
сти D3 и во внутренности D4. Первые два семейства включают в себя
Si = dDi и S2 = dD2, тогда как другие два семейства могут быть пу-
стыми. Чтобы проанализировать положение окружностей Зейферта
в Di, заметим, что любая редукционная дуга диаграммы 0, которая
лежит в круге Di, либо уже не пересекается с с и с', либо ее можно
сделать не пересекающейся с с и с7 с помощью малой деформации
вблизи ее концевых точек. Поскольку такая дуга не может пересе-
каться с S2, из наших предположений следует, что диаграмма 9)
не имеет редукционных дут в круге Di. Те же самые рассуждения, что
и в доказательстве леммы 2.6, показывают, что окружности Зейферта
диаграммы ®, лежащие в круге Di, образуют систему t> 1 концентри-
ческих согласованных друг с другом окружностей, в которой самой
внешней окружностью является Si. Эта система t концентрических
окружностей с одинаковой ориентацией схематически изображена
на рис. 2.20 левым овалом. Аналогичные рассуждения показывают,
что окружности Зейферта диаграммы ^, лежащие в круге D2 (со-
ответственно в кругах D3 и D4), образуют систему г > 1 (соответ-
ственно п>0ит>0) концентрических окружностей с одинаковой

114
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Д^-Е- *—>-
Рис. 2.20. Диаграмма 0
ориентацией, изображенную на рис. 2.20 правым (соответственно
верхним и нижним) овалом. Диаграмма ^ восстанавливается из этих
четырех систем концентрических окружностей, если добавить в них
некоторые косы a е Вп+Г, β s Bn+t, γ e Bm+t, δ e Bm+r; см. рис. 2.20,
где мы использовали обозначения α_, /3_, γ+9 δ+, введенные после
формулировки леммы 2.11.
Так как окружности Si и S2 не согласованы друг с другом, они
должны иметь одинаковую ориентацию (по часовой стрелке или про-
тив часовой стрелки). Предположим для определенности, что они
ориентированы против часовой стрелки. (Случай ориентации по ча-
совой стрелке можно свести к предыдущему, обратив ориентации
диаграмм Η, @, <#'.) Тогда окружности из двух других семейств будут
ориентированы по часовой стрелке: иначе мы легко могли бы найти
какую-нибудь редукционную дугу, соединяющую Si с одной из этих
окружностей и не пересекающуюся с с и с7.
Напомним, что диаграмма ^ получается из диаграммы ^ в ре-
зультате изгибания s, которое заключается в том, что некоторая под-
дуга окружности Si тянется по дуге с по направлению к окружно-
сти S2 и затем нахлестывает S2 сверху. По аналогии с этой операцией
определим суперизгибание по дуге с, которое тянет слева по этой ду-
ге целую связку t окружностей, до тех пор пока они не нахлестнут
сверху г правых окружностей. Суперизгибание представляет собой
>

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 115
композицию rt обычных изгибаний, первое из которых есть s. Кроме
того, к получившейся в результате диаграмме зацепления мы можем
применить еще одно суперизгибание по дуге в S2, которая проходит
от нижней точки диаграммы ® вниз до оо и затем от оо вниз до верх-
ней точки диаграммы ^. (Здесь, конечно, важен тот факт, что мы
рассматриваем диаграммы в S2, так что допускаем редукционные
дуги и изотопии в S2.)
Выполнив два указанных суперизгибания диаграммы @, мы по-
лучим диаграмму зацепления %, изображенную на рис. 2.15. (На са-
мом деле легче заметить обратное, т. е. что диаграмма ^ дает диа-
грамму 0 с помощью двух суперсжиманий, обратных к описанным
выше суперизгибаниям.) Замечательный, хотя и очевидный факт со-
стоит в том, что ^ является диаграммой замкнутой косы и, в част-
ности, нулевой диаграммой. В обозначениях леммы 2.11 диаграм-
ма % представляет замыкание косы (α, β, γ, δ | +, +). Как мы видели,
существует последовательность rt + тп изгибаний ®—> ^ —>...—> ^
в сфере S2.
Аналогично мы можем применить к диаграмме ^ суперизгиба-
ние по дуге с', направленной от Si к S2, и затем еще одно суперизги-
бание по короткому вертикальному отрезку с", ведущему от нижней
точки верхнего овала к верхней точке нижнего овала на рис. 2.20.
В результате мы получим некоторую диаграмму зацепления, изотоп-
ную диаграмме зацепления ^4> изображенной слева на рис. 2.21.
(Здесь снова легче проверить, что обратные движения преобразуют
^4 в ®.) Как и выше, существует последовательность rt + тп изги-
баний 9 X <ß' ->... -> ^ в сфере S2.
Диаграмма ^ выглядит похожей на диаграмму замкнутой косы,
но это не совсем так, потому что ее окружности Зейферта ориентиро-
ваны по часовой стрелке. Протянув нижнюю часть этой диаграммы
Рис. 2.21. Диаграммы ^ и <#

116
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
через точку оо е. S2, мы получим, что диаграмма ^ изотопна в сфе-
ре S2 диаграмме замкнутой косы *£*, изображенной справа на рис. 2.21.
Эта диаграмма представляет замыкание косы (δ, γ, β, α | +, +). В силу
соотношения (2.3) косы (α, β, γ, δ | +, +) и (δ, γ, β, α | +, +) являются
М-эквивалентными. Поэтому диаграммы % и ^, представляющие
замыкания этих кос, связаны Ω-движениями. Тем самым мы получи-
ли последовательности изгибаний и изотопии ^ —> ...—>% и <£" —>
—>...—» ^4 —» ^, удовлетворяющие лемме.
Если дуга с7 направлена от S2 к Si, то рассуждения аналогичны,
только косу (δ, γ, β, α | +, +) нужно заменить на косу (δ, γ, β, α | +, —).
Но по первому утверждению леммы 2.11 это не изменяет класса М-эк-
вивалентности косы. Доказательство леммы 2.20 завершено. D
2.6.6. Доказательство леммы 2.17, часть III
Под высотой последовательности изгибаний, сжиманий и изото-
пии диаграмм зацеплений в S2 мы понимаем максимальную высоту
тех диаграмм, которые встречаются в этой последовательности. Мы
докажем лемму индукцией по высоте m последовательности, связыва-
ющей две нулевые диаграммы в R2.
Если m = 0, то последовательность состоит только из изотопии
в S2. В этом случае лемма 2.17 следует непосредственно из леммы 2.18.
Предположим, что m > 0. Ясно, что преобразование диаграммы
зацепления в S2, получающееся в результате изотопии, за которой сле-
дует изгибание (соответственно сжимание), можно получить также
как изгибание (соответственно сжимание), за которым следует изото-
пия. Поэтому все изотопии в рассматриваемой нами последователь-
ности изгибаний, сжиманий и изотопии в S2 можно передвинуть в ко-
нец этой последовательности. В частности, все диаграммы высоты m
в этой последовательности входят в нее как локальные максимумы,
т. е. они получаются из предыдущей диаграммы сжиманием и дают
следующую диаграмму с помощью изгибания. Согласно лемме 2.19
мы можем заменить эту последовательность на другую, имеющую
те же самые начальную и конечную нулевые диаграммы, ту же вы-
соту m и, кроме того, удовлетворяющую условию s - s' = 0 во всех
ее локальных максимумах Ч> <^- gj -% «g". По лемме 2.20 для каждого
такого локального максимума существует последовательность изото-
пии, изгибаний и сжиманий
^ > > 4>ц. ~ *#* < . . . < ^ ,

§2.7. Доказательство леммы 2.11
117
где ~ обозначает либо совпадение ^ — %', либо Ω-движения, пре-
образующие ^ в ^ (которые тогда являются нулевыми диаграмма-
ми). Высота всех диаграмм зацеплений в этой последовательности
меньше или равна, чем /i(^) = hi^ï') < h{ß) < m. Заменив каждый
локальный максимум ^ <^- ® -^-> c€f такой последовательностью, мы
получим конкатенацию последовательностей высоты не больше m — 1
с последовательностями Ω-движений нулевых диаграмм. По предпо-
ложению индукции из этого следует утверждение леммы. D
§2.7. Доказательство леммы 2.11
Мы начнем с того, что определим на множестве кос полезную
инволюцию β ■-> β.
2.7.1. Инволюция β —► β
Для любой косы β G Вп положим β = AnßA~l G Вп, где Δη G Bn —
коса, определенная в п. 1.3.3. Так как Л„ лежит в центре группы Вп, ав-
томорфизм β ·-» β группы Вп является инволюцией. Из формулы (2.5)
следует, что если
/3 = σ>[2...σ;\
1 ll l2 lm
где 1 < £i, i2,..., im < л -1 и гь г2,..., rm g Z, то
β = στη1.στη2. ...στ™. .
A из этого следует, что диаграмму косы β можно получить из диа-
граммы косы β в Ш хI = R х I х {0}, повернув ее вокруг прямой
{(п + 1)/2} х R х {0} в R3 на угол π. Это геометрическое описание
инволюции β*-+β показывает, что α Θ β = β Θ ä для любых кос a G Bm
и /3 G Bn. Заметим также, что aß = aß для любых α, β g ßn и что
1^ = 1^. Из определений легко вывести, что ат?п = а£т для любых
т,п> 0 и ε = ±.
Лемма 2.21. Если косы β и β' являются М-эквивалентными, то
и косы β и β' являются М-эквивалентными.
Доказательство. Имеем β ~с β ~ /3' ~с /3'. D
2.7.2. Призрачные косы
Здесь мы введем класс призрачных кос. Пусть μ G Bn+k, n>l,k>0.
Будем называть косу μ η-призрачной справа и писать μ ξ 1π, если для
любого т>0и любой косы β gBm+n имеет место М-эквивалентность

118
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
μ
Im |п \к \тп \п
Рис. 2.22. Формула (β Θ lfc)(lm ® μ) ~ β
(β Θ lfc)(lm ® μ) ~ /3; см. рис. 2.22. Примеры призрачных справа кос
будут приведены ниже. Если в этом определении взять m = 0 и β = 1„,
то мы получим, что μ = 1η => μ ~ 1п. (Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.)
Для любой п-призрачной справа косы μ eßn+fc мы определим неко-
торое движение (преобразование) кос, обозначаемое через Μ(μ). Для
любых m > О, α, β е Вт+п, ρ е Вт движение Μ (μ) преобразует косу
/3(р®1п)авкосу (/3®lfc)(p<S^,)(a<g>lfc); см. рис. 2.23. Обратное к нему
преобразование заменяет множитель ρ Θ μ на ρ Θ 1π и вычеркивает 1&,
стоящую справа в остальных сомножителях. Движение Μ (μ) и обрат-
ное к нему преобразование сохраняют класс М-эквивалентности косы.
Действительно,
β(ρ Θ 1„)α -с α/3 (ρ β 1Π) - {αβ{ρ Θ 1Π) Θ lfc)(lm Θ μ) =
= (α Θ ΙΟ 08 Θ Ik) (ρ Θ W) (lm Θ μ) =
= (α® lfcXjB Θ lfc)(p Θ μ) -c {β Θ lk)(p Θμ)(α Θ lfc).
τη
1
β
Ü
τη
D
m
α
m
τ
η
1
Μ(μ)
m
m
S
m
α
m
Рис. 2.23. Преобразование Μ(μ)

§2.7. Доказательство леммы 2.11
119
Пусть μ G Вп+к, η > 1, к > 0. Косу μ будем называть п-призрачной
слева и писать μ ξ' 1п, если (lfc Θ /3)(μ Θ lm) ~ /3 для любых m > 0,
/3 G ßn+m. Для любой п-призрачной слева косы μ и любых α, β е. Вп+т,
ρ G ßm мы обозначим через Μ'(μ) движение, преобразующее косу
/3(1П ® р)а в косу (lfc Θ /3)(μ Θр)(1*с ® а). Вычисления, аналогичные
приведенным выше, показывают, что это движение и обратное к нему
преобразование сохраняют класс М-эквивалентности косы.
Лемма 2.22. Пусть μ G Вп+к, п>1,к>0. Если μ = 1п, то μ =f 1п.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент /3 G ßn+m, m > 0,
и положим y=(lfc0/3) x (Д®1т). Нам нужно проверить, что γ~β. Оче-
видно, y~c7=(Д®lfc)x(lm®μ)· Такка^=1п, имеем (^Θ1^)(1Γη<8>μ)~
~ß~cß. Следовательно, γ ~ /3. Π
Для π ^ 1 положим 0^ = Л π G ßn и 6„~ — Δη2 G ßn. Ясно, что для
любого ε = ± имеют место равенства
ön^Ai^nAi = 0„.
В качестве упражнения читатель может проверить, что
0„« = (0^ ® Юа^^д = a^Clx ® Θ^Κ^. (2.8)
Следующая лемма доставляет основные примеры призрачных кос.
Доказательство этой леммы дано в алгебраической форме. Здесь и да-
лее мы настоятельно советуем читателю рисовать картинки, соответ-
ствующие таким формулам.
Лемма 2.23. Для любых η > 1 и ε = ± положим
μη,ε = (In ® Θηε)σ1η = σΙη(θηε ® In) eß2n-
Тогда
βη,ε = {θη£ ® lnXn = <π(1π ® θπ"') € ß2n
^ μπ,ε — 1η> μη,£· = -"-π> μ^,ε = -^π? μη,ε — In·
Доказательство. Мы будем изображать графически косу θ£ квад-
ратиком со знаком ε внутри него. Два изображения косы μη- пред-
ставлены на рис. 2.24. Из них получатся изображения косы μη,+, если
поменять в перекрестках прохождение над другой нитью на прохож-
дение под ней, а знак + в квадратике на знак —.
Указанные в лемме разложения элемента ЦП)£ получаются из раз-
ложений элемента μπ>ε и геометрической интерпретации инволюции
μ ь-> Д. По лемме 2.22 из формул μη,ε = 1П} μη,ε ~ 1п будет следовать,

120
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Μη- =
η
Рис. 2.24. Κο^μη_
что μη,ε ξ' 1η, μπε ξ7 1π. Чтобы доказать утверждение, что коса μη?ε
является п-призрачной справа, мы должны проверить, что
(ßQln)(lm®ßn,e)~ß
для любой косы β G Bm+n, m > 0. Ясно, что
(jB Θ In) (Im ® μη,,) = (j8 Θ In) (Im ® In ® ο~ε) (lm Θ <„) =
= (j8 ® 0n"')(lm ® <„) -с (Im ® <n)(ß ® 0"*).
Остается доказать, что
{Ιτη®σ^η){β®θ-ε)~β. (2.9)
Формула μη,ε ξ 1η также следует из формулы (2.9), так как
()8 ® 1П) (lm Θ μ„,ε) -с (1т Θ μπ,ε) (/3 Θ 1Π) =
= (Im ® <п)(1т+п ® θ^)(]Β β 1η) =
= (lm®<n)(/3®0n-*).
Доказательство формулы (2.9) проведем индукцией по п. Для π = 1
мы имеем θ~ε = li и lm Θ σ£η = am+1, где σ++1 = ат+1 и σ~+1 = σ~\ν
Преобразование 0"m+1(/3 <8> li) «—> /S есть обратное марковское движе-
ние. Поэтому формула (2.9) выполняется при η = 1. В индуктивном
шаге мы будем использовать тождество
<п - «_1?п ® li)(ln-i ® σε1η).
Для π > 1 имеем
= (Im ® <n)(lm ® In Θ 0-e)(j8 Θ In) =
- (lm Θ 0"' ® In)(Im ® <n)(/3 ® In) =
= (lm Θ θ~ε ® In)(Im ® <-! n Θ li)(lm+n-l ® <n)(^ ® In) ~c
~c (lm+n-1 ® <n)№ ® In)Um ® θ'* ® In)(Im ® <_ln Θ 11) =
= (lm+2n-2 ® σ£1)(1Γ71+η-1 ® ^{n-l Θ W*

§2.7. Доказательство леммы 2.11
121
х (/3 Θ ln)(lm Θ θη ε Θ ln)(lm Θ σεη_1η Θ 1J ~
~ (lm+n-i ® °Î „-iXß ® ln-i)(lm ® ο~ε Θ l„-i)(lm Θ σ*_1π Θ li),
где последнее преобразование есть MJ1. Полнившаяся в результате
коса сопряжена к
(lm ® θ~ε Θ l„_i)(lm Θ a^1>n)(lm+n-i Θ σ^Χ/3 β l„_i) =
= (lm Θ θ~ε Θ ln-i)(lm Θ σ*^ Θ ln-i)(lm ® <_i,„)(jS ® ln-i) -
= (lm Θ θ-εσΙη_λ Θ ln-i)(lm Θ σ*^ η)(/3 ® ln_i).
Подставляя в последнюю косу разложение
которое следует из формулы (2.8), мы получаем
= (lm®CT1^_1®ln_i)(lm®ane_lïn)(j8®0-i1)-c
-c(lm®^_1>J(j8®0-i1)(lm®ai;S_1®ln--i) =
= (1πΙ+1βσ^|1_1)0Β,Θθ^1},
где
^(lm^n^(lffl^^).
По предположению индукции
(lm+i Θ ^.^Х/З' Θ 0-Д) - /3' = (lm Θ <_1Д)/3(1т Θ σ*^)"1 ~с β.
Это завершает доказательство формулы (2.9) и леммы. D
Лемма 2.24. Для любых целых чисел т,п>0,г>1и кос β € Bm+r,
γ е Вт+п класс М-эквивалентности косы
(Χε = (β® 1п)(1т ® <г)(Г ® lr)(lm ® СГг7„е)
не зависит от ε = ±. (Здесь при т = п = 0 считается, что γ = 10.)
Доказательство. Если п=0, то а^г=а^ги, следовательно, а+=а-.
Если m = 0, то а+ = /3 Θ у = а_. Предположим, что m > 1 и η > 1.
Докажем, что α+ ~ а_; см. рис. 2.25.
Сначала перепишем множитель 1т <8> σ^Γ в выражении для а+,
используя очевидное разложение
1т ® σ^Γ = (1т Θ σ+ΓσΓ+)(lm+r Θ 1„)(1т 0 σ~Γ). (2.10)

122
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Рис. 2.25. а+ ~ а_
т
Рис. 2.26. ψ = xpifofo
По лемме 2.23 класс М-эквивалентности косы а+ сохраняется при
преобразовании, которое заменяет член 1п в множителе lm+r ® 1η
накосу _ гп+ л л _ _ ,л _+Л
μη _ = (0+ Θ 1π)σπ?η = σπ,„(1π Θ θη+),
а все остальные множители в выражении для а+ тензорно умножает
на 1п, При этом правая часть равенства (2.10) преобразуется в косу
ψ = (lm Θ σ£Γσ£η Θ l„)(lm+r ® θ£ Θ ln)(lm+r ® ^~n)(lm Θ σ~Γ Θ 1η).
Рисунок 2.26 показывает, что ψ = гр1г1)2грз, где
-01 = lm+гДп-, я/>2 = Im ® σ£Γ Θ 1η, я/>3 = lm+n ® σ^σ^.
Следовательно,
α+ ~ (/3 Θ l2n)^i^2^3ÎY ® lr+n)(lm ® o"r7n ® In) =
= Xpl(ß® l2n)lMr ® lr+n)^3(lm ® ^ ® 1„) ~c
~c (/3 ® l2n)^2(r ® Ir+ni^sflm ® 0>7* <g> ln)î/>i.

§2.7. Доказательство леммы 2.11
123
На соответствующих картинках мы замечаем, что
грз(1т ®сгт ® ln)i/>i = Um ® сг~п <8> 1п)(.1т+г ® ju/i,-)Um ® σ£ΓσΓ+π Θ 1П).
Поэтому
СХ+~ (/3®l2n)U
х (1т Θ σ~η Θ l„)(lm+r ® Дп-)(lm ® σ+ΓσΓ+π Θ 1Π).
Согласно лемме 2.23 мы можем заменить μη- на 1п и одновременно
вычеркнуть те 1п, которые стоят справа в остальных множителях.
С учетом тождества σ^ησ^ — lr+м мы получаем
а+ ~ (β Θ 1п)(Im ® ση,Γ)(γ ® lr)(lm ® σ+η ) = α_. D
Лемма 2.25. В предположениях леммы 2.24 класс М-эквивалент-
ности косы
(1„ Θ /3) (σ*π Θ lm) (lr β γ) (σ"Γε β lm)
не зависит от ε = ±.
Доказательство. Применим к утверждению леммы 2.24 инволю-
цию μ ·-> μ и воспользуемся леммой 2.21. D
2.7.3. Доказательство леммы 2.11
Независимость от знака ε следует из леммы 2.25, в которой сим-
волы г, п, m, ε, β и γ нужно заменить соответственно на
п, m,t + r, -ε, (a®lt)(l„®atyr)(/?®lr), (г® lr)(lm ΘσΓ"ν)(δΘ lt).
Независимость от знака ν следует из того факта, что сопряженные
косы М-эквивалентны, и леммы 2.24, в которой символы п, т, ε, β, γ
нужно заменить соответственно на
t, m + π, г, (ln®5)(am,n®lr)(lm0a), (lm ®/3)(a^m ® lt)Un®r)·
Докажем теперь формулу (2.3). В силу первого утверждения леммы
достаточно рассмотреть случай ε = ν. Рассмотрим косу
х (β β δ)(1η Θ a"ft Θ 1Γ)(1η Θ θ^ε <8) σ"/) Un ® ο^ β It) € Bm+n+r+t.
Заметим очевидную сопряженность
((α,β,γ,δ\ ε)) -c <(/3, α, δ, Г I -ε)). (2.11)
Мы утверждаем, что
(а, /3, г, δ | ε, ε) - ((a, j3, Г, δ | ε». (2.12)

124
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Рис. 2.27. Доказательство формулы (2.12)
Отсюда будет следовать формула (2.3) при ν = ε: применив формулы
(2.12), (2.11) и (2.4), мы получим
(α, β, γ, δ Ι ε, ε) ~ (/3, α, δ, γ \ -ε, -ε) ~ (δ, γ,β,α\ ε, ε).
Формула (2.3) при ν=—ε следует тогда из первого утверждения леммы.
Последовательность движений, доказывающая формулу (2.12) для
ε = +, изображена графически на рис. 2.27. (Эти движения можно опи-
сать алгебраически, что, однако, будет менее поучительным.) Здесь
вместо кос мы нарисовали их замыкания. Это экономит место и не ме-
шает аргументации, так как сопряженные косы М-эквивалентны.
Первая и последняя диаграммы на рис. 2.27 представляют замы-
кания кос (α, β, у, δ Ι +, +) и ((α, β, γ, δ | +)) соответственно. Первое

Замечания
125
преобразование — одиночное движение Μ(μΓη}_). (Было бы логичнее
писать ++ в квадратике, но мы пишем просто +.) Следующие два
движения — изотопии в классе диаграмм замкнутых кос (это равно-
сильно сопряжению кос). Заметим, что рядом стоящие квадратики С +
и — есть не что иное, как тривиальная коса; это разложение тривиаль-
ной косы нужно для следующего движения. Четвертое движение — об-
ратное к М7(Дт)_), а последнее — изотопия диаграмм замкнутых кос.
Поскольку все эти движения сохраняют класс М-эквивалентности кос,
мы доказали формулу (2.12) для ε = +. Случай ε = — рассматривается
аналогично с помощью зеркального образа рис. 2.27. D
Упражнение 2.7.1. Проверьте, что движения М2 и М3 соответ-
ствуют друг другу при инволюции β ■-» β на множестве кос.
Упражнение 2.7.2. Пусть μ G ВпЛк, η > 1, к > О, — п-призрачная
справа коса. Проверьте, что 1Г <8> μ ξ lr+n для любого г > О и что
(δ ® 1^)μ(δ-1 ® lfc) = 1η для любой косы δ G Bn.
решение. Для любой косы β G Вт+г+п, т>0, имеем
(/3 Θ lfc) (lm Θ lr Θ μ) = (β Θ lk) (lm+r ® μ) - /3.
Для любой косы /3 G ßm+n, m>0, имеем
(β ® lfc)(lm Θ (δ Θ 1^)μ(δ-1 Θ 1*)) =
= (β ® lfc) (lm Θ δ Θ lfc) (lm Θ μ) (lm Θ δ"1 Θ lfc) ~c
~c (lm Θ δ"1 Θ lfc) (jB Θ lfc) (lm Θ δ Θ lfc) (lm ® μ) =
= ((lm Θ δ"1)/^ Θ δ) β lfc)(lm Θ μ) - (lm ® δ"1)/?^ Θ δ) ~c j8.
Замечания
Содержание §2.1 стандартно. Теорема 2.1 впервые была указана
Артином (см. [Art25]) без доказательства; см. также [Mor78, Th. 1]
и [BZ85, Prop. 10.16].
Теорема 2.3 принадлежит Александеру; см. [А1е23а]. Алгоритм из
п. 2.4.3, преобразующий диаграмму зацепления в диаграмму замкну-
той косы, принадлежит Вожелю (см. [Vog90]), улучшившему предше-
ствующую конструкцию Ямады (см. [Yam87]). Изгибания были введе-
ны Вожелем (под другим названием). Высота диаграммы зацепления
была введена Трачиком (см. [Тга98]), который также сформулировал
леммы 2.4-2.6. Наше доказательство лемм 2.5 и 2.6 основывается

126
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
на соображениях из статьи [Vog90, Sect. 5]. Следствие 2.7 принадле-
жит Ямаде (см. [Yam87]). Упражнение 2.4.1 принадлежит Трачику
(см. [Тга98]).
Теорема 2.8 была анонсирована А. А. Марковым (см. [МагЗб])
в 1936 г. Первое опубликованное доказательство появилось в моно-
графии [Bir74]. Согласно книге [Bir74, p. 49] это доказательство «ос-
новывается на записках, сделанных на семинаре в Принстонском уни-
верситете в 1954 г. Докладчик нам неизвестен...». Разные доказатель-
ства были даны Беннекеном (см. [Веп83]), Мортоном (см. [Мог86])
и Трачиком (см. [Тга98]). Приведенное выше доказательство теоремы
Маркова следует работе Трачика [Тга98].

:1^1кавкфЩ|1 j;Hi^^b :^ iiî^p ■ Π iv
Гомологические представления
групп кос
Группы кос, рассматриваемые как группы изотопических клас-
сов автогомеоморфизмов проколотых кругов, естественно действу-
ют на группах гомологии топологических пространств, полученных
из этих проколотых кругов функториальными конструкциями. Здесь
мы обсудим две такие конструкции и изучим получающиеся линей-
ные представления групп кос: представление Бурау (§ 3.1-3.3) и пред-
ставление Лоуренс — Краммера — Бигелоу (§3.5-3.7). В качестве при-
менения представления Бурау мы построим в § 3.4 полином Алексан-
дера — Конвея от одной переменной для зацеплений в R3. В качестве
применения представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу мы дока-
жем в п. 3.5.4 линейность групп кос Вп для всех п.
§3.1. Представление Бурау
Для всех η > 1 В. Бурау определил линейное представление группы
кос Вп квадратными матрицами порядка η над кольцом лорановых
полиномов г , п
A = Z[t,r1].
Это представление широко изучалось с разных точек зрения. В этом
параграфе мы определим представление Бурау и обсудим его основ-
ные свойства.
3.1.1. Определение
Зафиксируем η > 2. Для i = 1,..., η — 1 рассмотрим следующую
квадратную матрицу порядка η над кольцом Л = Z[t, t"1]:
Ui =
r/-i
0
0
0
0
1-t
1
0
0
t
0
0
0
0
0
In-i-l

128 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где через 4 обозначена единичная матрица порядка к. При i — 1 в верх-
нем левом углу матрицы Ui нет единичной матрицы. При i = η — 1
в нижнем правом углу матрицы Ui нет единичной матрицы. Подста-
вив t — 1 в определение матриц U\,..., £/п-ъ мы получим перестано-
вочные матрицы порядка п. Поэтому матрицы U\,..., Un-\ можно рас-
сматривать как однопараметрические деформации перестановочных
матриц.
Каждая матрица Ui имеет блочно-диагональный вид, в котором
блоками служат единичные матрицы и матрицы
«=0г' о) p.«
порядка 2. По теореме Гамильтона — Кэли каждая квадратная матри-
ца M порядка 2 над кольцом А удовлетворяет равенству
M2 - tr(M)M + det(M)/2 = 0,
где tr(M) — след матрицы M и det(M) —детерминант матрицы М. Для
M = U мы получаем равенство U2—(l—t)U—tI2=0. Так как единичные
матрицы тоже удовлетворяют этому равенству, мы получаем, что
I/?-(l-t)I/£-tf„ = 0
для всех i. Полученное равенство перепишем в виде
Ui(Ui-(l-t)In) = tIn.
Следовательно, матрица Ui обратима над Л, и обратная к ней матрица
равна
Ur1 = r1(Ui-{l-t)In)·-
Из блочного вида матриц U\,..., Un-\ следует, что UiUj = UjUi для
всех i и ;, для которых \i — j\>2. Также имеет место равенство
UiUi+1Ui = Ui+1UiUi+1
для всех i = l, ...,п — 2. Чтобы проверить его, достаточно проверить
равенство
r\-t t ΟΛΑ 0 ОЛП-t t 0
1 0 0 0 1-t Ml 0 0
0 0 17 V0 1 07 V 0 0 1
r/-i
0
0
0
0
0
г1
0
0
1
1-Г1
0
0
0
0
In-i-1
1 0 OUl-i t OUI 0 0Λ
0 1-t t 1 0 0 0 1-t t
0 1 07 V 0 0 17 VO 1 07
Это простое упражнение на умножение матриц.

§3.1. Представление Буpay
129
По лемме 1.2 формула il)n(.oï) = Ui, i = l, ...,n — 1, определяет неко-
торый гомоморфизм г/>„ группы кос Вп при п>2в группу GL „(Л) обра-
тимых квадратных матриц порядка η над А. Это и есть представление
Бурау группы кос Вп. В частности, при η = 2 это представление явля-
ется гомоморфизмом В2 —> GL2(A), отображающим образующую ai
группы В2 = Ζ в матрицу (3.1). Условимся считать, что представление
Бурау i^i тривиальной группы ßi есть тривиальный гомоморфизм
Заметим, что аеЩ = — t для всех i. Из этого следует, что для
каждой косы β G Bn имеет место равенство
detV„Û8) = (-t)«'>,
где (/3) G Z — образ косы β при гомоморфизме Вп —> Ζ, отображающем
образующие cri,..., σπ_1 в 1.
Представления Бурау {\pn}n>\ согласованы с естественными вло-
жениями i : Вп <—> ßn+i, так как для любого η > 1 и любой косы /3 G ßn
справедливо равенство
^+1(108)) = (^} J). (3.2)
3.1.2. Унитарность
Изучение представления Бурау ψη : Вп —> GL „(Л) в значительной
степени было сосредоточено на его ядре и образе. В этом пункте мы
докажем простое свойство его образа, заключающееся в том, что он
содержится в довольно узкой подгруппе группы GLn(A). Впоследствии
это свойство не будет использоваться.
Рассмотрим инволютивный автоморфизм кольца Α, Я ·-» Я, Я G А,
отображающий t в t-1. Для матрицы А=(Я^·) над А положим Ä= (Я^·).
Через АТ будем обозначать транспонированную к А матрицу Ат = (Я;-д)·
Через Ωη обозначим нижнетреугольную квадратную матрицу поряд-
ка η над А, в которой на главной диагонали стоят 1, над ней нули,
а под ней 1 — V.
il О О
Ωη
1-t 1 О
1-t 1-t 1
Vi
о
о
и
1-t 1-t
Теорема 3.1. Для любого η > 1 и любой матрицы A G ψη{Βη) с
с GL„(A) имеет место равенство
ΑΩηΑτ = Ωη. (3.3)

130 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Доказательство. Если равенство (3.3) верно для матрицы А, то
оно верно также и для обратной к А матрицы, так как, умножив это
равенство слева на Л-1 и справа на (А7)-1, мы получим ту же самую
формулу, в которой А заменяется на Л-1. Если равенство (3.3) верно
для двух матриц А\ и А2, то оно верно и для их произведения:
A1A2Ün(AiA2)T = Α1Α2ΩηΑτ2Ατ1 = ΜΩηΑ\ = Ωη.
Далее, поскольку матрицы Ui,..., Un-\ порождают труппу ψη(Βη)> до-
статочно доказать равенство (3.3) для А = Ui, i = 1,..., π — 1. Предста-
вим матрицы А = Ui и Ωη в блочном виде:
А-1 0 0 Л ( Д_! 0 0 λ
А= 0 С/ 0 , f2n= #2,;-! ß2 0 ,
V 0 0 In-i-lJ \Kn-i-l,i-l ^n-i-1,2 Дг-i-l/
где
«=(';' »)· Η-· ?)■
a Кр,д — матрица размера ρ х q, у которой все элементы равны 1 — t.
Непосредственное вычисление показывает, что
( _^-i _ 0 0 λ
Ai7nAT = ШС2,1_1 t/i^t/7 0
V^n-i-l,i-l Kn-i-i}2U Qn-i-iJ
Заметим, что Z7iC2 é-i = ^2 i-i, так как
*Ш-г ?)G=0-G=0-
АнаЛОГИЧНО Kn-i-x^U7 = Kn-i-1,2, ТЭК КЭК
(1-г,1-01/г = (1-м-0^7г j) = (i-t,i-t).
С помощью непосредственного вычисления получаем, что \]Ω2\]τ—Ω2.
Подставляя эти формулы в выражение для ΑΩηΑτ, мы получим, что
ΑΩηΑτ = Ωη. Π
Применив к равенству (3.3) инволюцию А »-> Ä и транспониро-
вание, мы получим, что ΑΩ„ΑΤ = Ω„. Поэтому для любой матрицы
A G ψη(Βη) и любых Я, μ G A имеет место равенство
Α{λΩη + μΩη)Ατ = λΩη + μβ£.
В частности, полагая Я = μ = 1, мы получаем равенство
ΑΘΠΑΓ = θ„, (3.4)

§3.1. Представление Буpay
131
следующая матрица порядка п:
( 2 1-Г1 1-Г1 ... 1-гЛ
1 1-t 2 1-Г1 ... 1-Г1
1-t 1-t 2 ... 1-Г1
[l-t 1-t 1-t ... 2 у
Матрица Θη эрмитова в том смысле, что Θ„ = Θη.
Замечание 3.2. Сопоставив элементу t G Л комплексное число £
с абсолютной величиной 1, мы получим кольцевой гомоморфизм
Ρξ : Л —» С. Инволюция Я ►-> Я на кольце Л соответствует при ρξ ком-
плексному сопряжению. Применение гомоморфизма ρ ξ к элементам
квадратных матриц порядка η над Л определяет гомоморфизм групп
GLn(A) —> GLn(C), который также будет обозначаться через ρξ. Его
композиция с грп дает представление
Pç=PçV>n:Bn->GLn(C).
Из формулы (3.4) следует, что
Ρ^β)ρξ(Θη)Ρξ(β)τ = ρξ(Θη)
для всех β G Вп. Для С — 1 мы имеем ρ^(θπ) = 21п. Следовательно,
эрмитова матрица Ρξ(Θη) положительно определена для всех ξ, доста-
точно близких к 1. Для таких ξ матрицы в Ρξ(Βη) с GL „(С) получаются
транспонированием и сопряжением из унитарных матриц.
3.1.3. Ядро представления ψη
Гомоморфизм группы в группу матриц называется точным, если
его ядро тривиально. Гомоморфизм ψ г точен, так как В\ = {1}. По-
кажем, что гомоморфизм гр2 также точен. Матрица U — O\ G GL2(A),
в которую переходит при гомоморфизме ψ2 образующая σ\ группы
В2 = Ζ, удовлетворяет равенству
(1, —i)t/ = (—t, о = —t(i, —î).
Следовательно, (1,— l)Uk — (—t)fc(l,—1) для всех fc G Z, откуда мы
можем заключить, что 17 имеет бесконечный порядок в группе &,2(Л).
В п. 3.3.2 мы покажем, что Кег гр3 = {1}. Для η > 4 вопрос о точности
представления грп, т. е. вопрос, верно ли, что Кег ψη = {1}, в течение
долгого времени оставался открытым. Заметим, что Кег ψη с Кег ψη+1
при вложении Вп с Бп+1. Поэтому если Кег грп φ {1}, то также Кег грт φ
Φ {1} для всех т>п.
где θ„ = Ωη + i?£

132 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Теорема 3.3. Для η > 5 справедливо неравенство Кеггрп Φ {1}.
На момент написания книги (2007 г.) было неизвестно3, верно ли,
что Кегя/>4 = {1}.
Мы укажем в явном виде косы из пяти и шести нитей, которые
аннулирует представление Бурау. Положим
γ = σΛσ^1σ21σΙσ2λσ^2σ22σ^1σ^σ2σ^σΙσ2σΙσ2σ^1 е В5.
Тогда коммутатор
Ρ = [г°аГ~1, σ4σ3σ2σ2σ2σ3σ4]
является нетривиальным элементом в ядре Keri/>5 с В5- Здесь комму-
татор [а, Ь] элементов а и Ь определен по формуле
[a,b]=a-1b~1ab.
Коса ρ представлена словом длины 120 от образующих σ*1, σ^1,
σ^1, σ^1 (заметим, что коса γ имеет длину 26, а косы σ^γ и γ~1σ$
имеют длину 25). Для η — 6 мы можем предъявить более короткое
слово, представляющее элемент из ядра. Положим
γ = σ4σ^2σ2~1σ3σ:Γ1σ^1σ4 е β6·
Коммутатор
р' = [уо-зГ'1, сг3]
является нетривиальным элементом из ядра Кег ψβ с В6. Коса р' пред-
ставлена словом длины 44 от образующих. Тот факт, что косы ρ и р'
лежат в ядре представления Бурау, в принципе может быть проверен
непосредственным вычислением. А тот факт, что эти косы нетри-
виальны, может быть получен с использованием решения пробле-
мы тождества слов в группе Вп, которое было приведено в п. 1.5.1,
или с помощью нормальной формы кос, которая будет обсуждаться
в п. 6.5.4, или же с помощью редукции простых ручек из § 7.5. Однако
эти вычисления не выясняют геометрических причин, по которым
косы ρ и р' лежат в ядре представления Бурау. Такие причины будут
обсуждаться в § 3.2.
Упражнение 3.1.1. Покажите, что ядро Kerxjjn с Вп инвариантно
при инволютивном антиавтоморфизме h: Вп —> Вп, отображающем
ai в себя при i = 1,..., η — 1. (Указание: проверьте, что Uj = DUiD'1
для всех i = 1,..., π — 1, где O — Dn — диагональная матрица порядка п,
3 Ответ на этот вопрос неизвестен и в момент выхода перевода. —Прим. перге.

§ 3.2. Неточность представления Бурау
133
в которой на главной диагонали стоят 1, t, t2,..., tn г. Выведите из
этого, что
xl>n(Hß))=D-1i>n(ß)TD
для всех jSGßn.)
§3.2. Неточность представления Бурау
Цель этого параграфа—доказать теорему 3.3 для η > 6. Случай
η = 5 несколько более тонкий; в этом случае мы отсылаем читателя
к статье [Big99]. Начнем с изучения гомологических представлений
групп классов отображений поверхностей.
3.2.1. Гомологические представления
Пусть Σ — связная ориентированная поверхность (возможно, с кра-
ем θ 27). Напомним, что под автогомеоморфизмом поверхности Σ мы
понимаем сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Σ —> Σ, пото-
чечно неподвижный на крае. Изотопические классы автогомеомор-
физмов поверхности Σ образуют группу классов отображений ΤΙ(Σ);
см. п. 1.6.1, где мы принимаем M = Σ и Q = 0. Каждый автогомео-
морфизм поверхности Σ индуцирует некоторый автоморфизм груп-
пы гомологии Я = Η\{Σ\ Ζ). Ясно, что изотопные автогомеоморфиз-
мы поверхности Σ гомотопны и потому индуцируют один и тот же
автоморфизм группы Я. Тем самым определен гомоморфизм групп
Μ(Σ) —> АШ:(Я), который называется гомологическим представлением
группы $η(Σ).
Напомним определение формы пересечения Я х Я —> Ζ. Это косо-
симметрическая билинейная форма, значение которой [а] · [β] G Z
на классах гомологии [α], [β] £ Η, представленных ориентирован-
ными петлями α, β на поверхности Σ, равно алгебраическому числу
пересечения этих петель, которое вычисляется следующим образом.
Немного продеформировав петли а и β, мы можем считать, что они
пересекаются трансверсально в конечном множестве точек, отличаю-
щихся от самопересечений петель аи)5. Тогда
[α]'[β]= Σ e*>
peanß
где ερ = +1, если касательные векторы к петлям а и β в точке ρ обра-
зуют положительно ориентированный базис, и ер = — 1 в противном
случае. Эта сумма не зависит от выбора петель а и β в их классах

134 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомологии и определяет билинейную форму Я x Я —> Ζ. Тождество
[а] · [β] =—[β] - [α] показывает, что эта форма пересечения кососим-
метрична. Действие группы 0Α(Σ) на Я сохраняет форму пересечения.
Имеется более общий «скрученный» вариант гомологического пред-
ставления, который возникает в следующей ситуации. Для опреде-
ленности предположим, что 3Σ Φ 0, и зафиксируем какую-нибудь
отмеченную точку d е 3Σ. Рассмотрим некоторый сюръективный го-
моморфизм φ фундаментальной группы tüi(27, d) на группу G. Пусть
Σ —> Σ — накрытие, соответствующее ядру гомоморфизма φ. Группа
скольжений этого накрытия (накрывающих преобразований поверх-
ности Σ) отождествляется с G. Выберем произвольную точку d e Э27,
лежащую над d, и рассмотрим группу относительных гомологии Я =
= Η\{Σ, Gd; Ζ), где Gd — G-орбита точки d, т. е. множество всех то-
чек поверхности Σ, лежащих над d. Действие группы G на Σ инду-
цирует левое действие этой группы на Я и превращает Я в левый
модуль над групповым кольцом Z[G]. Это свободный модуль ранга
η = rkHifê, Ζ), как следует из того факта, что поверхность Σ дефор-
мационно ретрагируется на объединение η простых замкнутых петель
на этой поверхности, пересекающихся только в общей начальной
точке d (здесь мы существенно используем предположение 3Σ Φ 0;
ср. рис. 1.15, где Σ—дополнение к η точкам в круге). Обозначим
через АШ:(Я) группу Ζ [G] -линейных автоморфизмов модуля Я. Ясно,
4ToAut(ii) = GLn(Z[G]).
По определению любой автогомеоморфизм / поверхности Σ по-
точечно неподвижен на ее крае 3Σ, в частности неподвижен в точ-
ке d. Поэтому он индуцирует некоторый автоморфизм /# фундамен-
тальной группы π\(Σ,d). Обозначим через %Ιφ(Σ,α) группу изото-
пических классов таких автогомеоморфизмов / поверхности Σ, что
ψ ° /# = Ψ- Построим гомоморфизм Μφ (Σ, d) —> Aut(H), называемый
скрученным гомологическим представлением группы 9Я<Д27, d). Каж-
дый автогомеоморфизм / поверхности Σ, представляющий элемент
группы ΜΨ(Σ, d), единственным образом поднимается до некоторого
гомеоморфизма / : Σ-^>Σ, неподвижного в точке d. Равенство φ°/#=φ
обеспечивает коммутирование гомеоморфизма / с действием груп-
пы G на Σ. Поэтому гомеоморфизм / поточечно неподвижен на орби-
те Gd, так как /(gd) = g/(d) = gd для всех g € G. Пусть /* — автомор-
физм группы Я = Η\{Σ, Gd; Z), индуцированный гомеоморфизмом /.
Так как гомеоморфизм / коммутирует с действием группы G, этот
автоморфизм Ζ [G] -линеен. Сопоставление /■->/* определяет гомо-

§ 3.2. Неточность представления Бурау
135
морфизм групп Μφ{Σ, d) —> Aut(H). Это и есть гомологическое пред-
ставление. На группе Η имеется естественная форма пересечения,
которую сохраняет группа 9Αφ(Σ, d), но нам она не понадобится.
3.2.2. Гомоморфизм Ψη
Мы применим общую схему построения скрученных гомологиче-
ских представлений к проколотым кругам. Зафиксируем η > 1. Пусть
Q — множество {(1,0), (2,0),..., (п, 0)} с R2, и пусть D — замкнутый
евклидов круг в R2, содержащий Q в своей внутренности. Снабдим
круг D ориентацией против часовой стрелки, как на рис. 1.15. Заме-
тим, что для любой точки ρ из внутренности круга D группа
H1(D\{p};Z)^Z
порождена классом гомологии малой петли, обходящей точку ρ про-
тив часовой стрелки. Всякая петля γ в D\{p} представляет умножен-
ную на к эту образующую, где fc — число оборотов петли γ вокруг
точки р. Положим
E = D\Q
и зафиксируем какую-нибудь отмеченную точку d е 3Σ = 3D. Рас-
смотрим гомоморфизм ψ фундаментальной группы π\{Σ, d) в беско-
нечную циклическую группу {tk}kez, отображающий гомотопический
класс петли γ в t~wW, где w(y) — полное число оборотов петли γ,
которое определяется как сумма чисел оборотов петли γ вокруг точек
(1,0), (2,0),..., (п, 0). Ядро гомоморфизма ψ определяет некоторое
бесконечнолистное циклическое накрытие Σ —> Σ. Мы отождествим
группу его скольжений с бесконечной циклической группой {tk}kez·
Выберем какую-нибудь точку α^3Σ над d и положим
Н = Н1{ё} (J tkd;z).
fceZ
Заметим, что любой автогомеоморфизм круга D, переставляющий
точки подмножества Q, сохраняет полное число оборотов петель в Σ.
Это очевидно для малых петель, обходящих точки из Q, a для произ-
вольных петель верно потому, что их полные числа оборотов зависят
только от их классов гомологии в группе Hi (27; Ζ) = Ζ", которая по-
рождена классами гомологии малых петель. Поэтому ограничение
автогомеоморфизмов на Σ определяет гомоморфизм групп
2rt(D,Q)-*anv(E,d).

136 Глава 3. Гомологические представления групп кос
(На самом деле это изоморфизм, но нам это не понадобится.) Взяв
композицию этого гомоморфизма со скрученным гомологическим
представлением 9Αφ{Σ, d) —> Aut(H), определенным в п. 3.2.1, мы по-
лучаем гомоморфизм групп
#„:OT(D,Q)-*Aut(H).
Образ гомеоморфизма / g 9Jt(D, Q) при гомоморфизме Ψη есть авто-
морфизм /# группы Я, индуцированный поднятием / : Σ —> Σ огра-
ничения /\Σ: Σ -* Σ, которое оставляет неподвижной точку d.
В следующих двух пунктах мы покажем, что Кег Ψη ф{1} при η > 6.
После этого мы покажем, что гомоморфизм Ψη эквивалентен пред-
ставлению Бурау грп для всех п. Из этого будет следовать неточность
представления Бурау при η > 6.
3.2.3. Ядро гомоморфизма Ψη
Здесь мы изложим конструкцию элементов из Кег#п, в которой
используются полускручивания вокруг арок, определенные в п. 1.6.2.
Будем говорить, что арки а и β в (D, Q) трансверсалъны, если
у них нет общих концевых точек и если они трансверсально пересе-
каются в конечном числе точек. Для любых трансверсальных арок а
и β в (D, Q) мы определим их алгебраический коэффициент пересече-
ния (α, β) G Λ = Z[t, t"1]. Рассмотрим открытые дуги α Π Σ = а\да
и βηΣ = ß\dß на поверхности Σ = D\Q. Произвольно ориентируем
их и выберем произвольные поднятия a,ß с Σ этих дуг с индуциро-
ванными ориентациями. Далее положим
(a,ß) = YA{tka-ß)tkzA, (3.5)
где tkà · β G Z — алгебраическое число пересечения ориентированных
дуг tfc5 и /3 на Σ1. Заметим, что, несмотря на то что дуги tkà и /3
не компактны, число их пересечений конечно и, более того, сумма
в правой части равенства (3.5) конечна. Это объясняется тем, что
накрытие Σ —» Σ отображает дугу β биективно на β, а множество
(UfcGZ **<*) n ß — биективно на конечное множество α Π β. Из этого
также следует, что каждая точка ρ € α Π β с Σ поднимается в точку
пересечения дуги tka с β ровно для одного k = kp G Z. Поэтому
<a,j8)= ^ *pfkp> (3·6)
peanß

§3.2. Неточность представления Бурау
137
где ερ = ±1 — знак пересечения дуг аи β в точке р. В качестве упраж-
нения читатель может проверить, что для любых точек р, q € α П /3
разность кр — kq равна полному числу оборотов петли в Σ, которая
сначала идет от ρ к q по дуге a, a потом от q к ρ по дуге β. Выражение
(α, β) определено только с точностью до умножения на ±1 и степени
элемента t, зависящих от выбора ориентации на дугах аи β и выбора
их поднятий à и β. Для нас это не имеет значения, поскольку нас
интересует только вопрос, равно ли (α, β) нулю или нет. Заметим, что
{β, а) = ]T(tf-a)tfc = £(Д . t-fcgQfk =
keZ keZ
= - 2(Гка ■ ß)tk = - £(tka ■ ß)t~k = -J^ß),
keZ keZ
где черта сверху обозначает инволюцию в Л, отображающую t в t-1.
Следовательно, (α, β) — О => {β, а) = 0.
Как нам известно, каждая арка а в (D, Q) определяет полускру-
чивание τα: (D, Q) —» (D, Q), действующее тождественным образом
вне некоторой круговой окрестности дуги а и отображающее дугу а
на себя посредством инволюции, обращающей ориентацию. Ограни-
чив полускручивание τα на Σ = D \Q, мы получим автогомеоморфизм
поверхности Σ, который мы будем обозначать также τα.
Лемма 3.4. Пусть а и β — трансверсалъные арки в (D,Q). Если
(α, β) = 0, то Ψη{τατρ) = Ψη(τβτα).
Доказательство. Чтобы доказать эту лемму, мы вычислим гомо-
логическое действие полускручиваний. Для разминки вычислим дей-
ствие полускручивания τα на группе Η = Hi (Σ; Ζ). Рассмотрим пет-
лю а' в круге D, изображенную на рис. 3.1. Эта петля имеет вид вось-
мерки, и ее единственное самопересечение лежит на дуге а. Ориенти-
руем дугу а и петлю а' так, чтобы выполнялось равенство [α]·[α/]=—2,
где [a] G Hi (D, Q; Ζ) — класс относитель- α/
ных гомологии дуги а и [а7] € Я — класс f ^^^^^^Г^^^
гомологии петли а'. Точка · обозначает у ' ^^^Д^~* J
билинейную форму пересечения
Рис. 3.1. Петля а ,
Hi(D, Q; Z) x H —» Ζ, ассоциированная с аркой α
определенную ориентацией круга D против часовой стрелки.
Влияние полускручивания τα на любую ориентированную кривую,
трансверсальную к дуге а, состоит в том, что в каждое пересечение

138 Глава 3. Гомологические представления групп кос
дуги а с этой кривой вставляется (а')*1; см. рис. 1.14. Легко прове-
рить, что для любого элемента h g Я имеет место равенство
(T«).(h) = h + ([o].h)[a/].
Автоморфизм Ψη(τα) группы Η — Hi(27, (JfceZ tkd; z) определен
формулой #π(τα) = (τа)*, где τα: Σ —> Σ1 — поднятие гомеоморфизма
τα : 17 -> Σ, для которого точка d неподвижна. Заметим, что ассоции-
рованная с дугой а петля а' на поверхности Σ имеет нулевое полное
число оборотов и потому поднимается до некоторой петли а' на Σ.
Рассмотрим произвольный ориентированный путь γ в Σ с концевыми
точками в [Jk(EZtkd. Влияние гомеоморфизма τα на путь γ состоит
в том, что в каждое пересечение пути γ с прообразом петли а в Σ
вставляется поднятие петли (а7)*1· Поэтому автоморфизм (τα)* дей-
ствует на классе относительных гомологии [γ] еН по формуле
(τα)Λ[γ]) = [γ] + λγ[α%
где λγ G Л—лоранов полином, коэффициентами которого являют-
ся алгебраические числа пересечений пути γ с поднятиями петли а
на Σ. Так как (α, β) = 0, каждое поднятие петли а имеет нулевое
алгебраическое число пересечений с любым поднятием дуги /3 на JC
и, следовательно, с любым поднятием β' петли β' на 27. Поэтому
Яд/ = 0 и (та)Д[/3']) = [/3']. Аналогично (тД([у]) = [γ\+μγ[β'] для
всех таких путей у, которые мы рассматривали выше, и некоторого
μΤ G Λ. Из равенства (/3, α) = 0 следует, что (Τβ)*([α']) = [α7]. Отсюда
мы заключаем, что для всех γ имеют место равенства
(τατρΜΜ) = M +Яг[а/] +мг[Л = (τρτα),(Μ).
Следовательно, (τατ^)* = (τ^τ«)*. D
Для доказательства того, что Кег#п φ {1}, остается построить две
арки аи(3, удовлетворяющие условиям леммы 3.4 и такие, что ταΤβ Φ
Φ ΤβΤα в группе Шф, Q). Для η = 6 такие арки α и β изображены
на рис. 3.2. Для проверки равенства (α, β) = 0 мы используем фор-
мулу (3.6) и следующие после нее вычисления (это мы оставляем
а
Рис. 3.2. Арки а и β для π = 6

§3.2. Неточность представления Бурау
139
сделать читателю в качестве упражнения). Чтобы доказать, что τα
и τβ не коммутируют в группе 9Лф, Q), можно, например, выпол-
нить трудоемкое вычисление с использованием действия группы клас-
сов отображений на фундаментальной группе π\{Σ,α). В следующем
пункте мы дадим геометрическую аргументацию.
3.2.4. Скручивания Дена
К доказательству того, что два полускручивания не коммутиру-
ют, мы привлечем теорию скручиваний Дена. Начнем с соответству-
ющих определений. Пусть Σ — произвольная ориентированная по-
верхность. Под простой замкнутой кривой на поверхности Σ мы
понимаем образ вложения S1 <—> Σ° = Σ\8Σ. (Заметим, что простые
замкнутые кривые не предполагаются ориентированными.) Всякая
простая замкнутая кривая с на поверхности Σ определяет некоторый
автогомеоморфизм tc поверхности Σ, который называется скручива-
нием Дена вокруг кривой с. Это определение таково. Положим 7= [О,1]
и отождествим цилиндрическую окрестность кривой с в Σ с S1 x I так,
что c = S1 x {1/2} и произведение ориентации против часовой стрелки
на S1 = {z G С: |z| = 1} и направленной направо ориентации на I со-
ответствует заданной ориентации на Σ. Скручивание Дена tc : Σ —> Σ
тождественно вне S1 x J и отображает каждую точку (x, s) G S1 x J в
(e2nüx,s)eS1xI.
Ясно, что tc — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм. Его изото-
пический класс не зависит ни от выбора цилиндрической окрестно-
сти кривой с, ни от выбора ее отождествления с S1 x /. Заметим,
что если / — автогомеоморфизм поверхности Σ, то /(с)—простая
замкнутая кривая на поверхности Σ и t/(c) = ftcj~x, где равенство
означает изотопию в классе автогомеоморфизмов поверхности Σ.
Говорят, что две простые замкнутые кривые с и d на поверхно-
сти Σ изотопны, если существует автогомеоморфизм поверхности Σ,
который изотопен тождественному отображению и переводит кри-
вую с на кривую d. Ясно, что если кривые end изотопны, то tc = td.
Вопрос, коммутируют ли (с точностью до изотопии) два скручи-
вания Дена, имеет простое геометрическое решение, содержащееся
в следующей лемме.
Лемма 3.5. Пусть cud — простые замкнутые кривые на поверх-
ности Σ. Скручивания Дена tc и td тогда и только тогда коммутируют

140 Глава 3. Гомологические представления групп кос
с точностью до изотопии, когда кривые cud изотопны непересекаю-
щимся простым замкнутым кривым.
Доказательство. Если кривые с и d не пересекаются, то у них
есть непересекающиеся цилиндрические окрестности, поэтому скру-
чивания Дена tc и td) очевидно, коммутируют. Если кривые end
изотопны непересекающимся простым замкнутым кривым с/ и d', то
tc = tc> коммутирует с td — td>. Доказательство обратного утвержде-
ния основывается на технике и результатах, изложенных в трудах
семинара [Тга79], которые мы сейчас воспроизведем. Для простых
замкнутых кривых с и d на поверхности Σ обозначим через i{c, d) ми-
нимальное число пересечений простых замкнутых кривых на поверх-
ности Σ, изотопных кривым с и d и пересекающихся друг с другом
трансверсально, т. е.
i(c, d) = min(card(c' η d')) > 0,
c',à!
где с' и d' пробегают все пары простых замкнутых кривых на поверхно-
сти Σ, изотопных кривым end соответственно и таких, что с' и d' пере-
секаются трансверсально. В частности, i(c, с) = 0, так как кривая с изо-
топна некоторой простой замкнутой кривой, не пересекающейся с ней.
Предложение 1 на с. 68 трудов семинара [Тга79] включает в себя
как частный случай следующее утверждение: если с, d, e — три про-
стые замкнутые кривые на поверхности Σ, то
|i(tc(d),e)-i(c,d)i(c,e)|<i(d,e).
Полагая е = d, мы получаем
i(Ud),d) = i(.c,d)2. (3.7)
Из этого следует, что если сие7 — такие простые замкнутые кривые
на поверхности Σ, что tc = tc', то i(c, d) = i^d, d) для любой простой
замкнутой кривой d.
Предположим теперь, что два скручивания Дена tc и td коммути-
руют. Тогда _ ! _
td — tctdtc — ttc(d)·
В силу предыдущего абзаца i(tc(d),d) = i(d, d)=0. Ввиду равенства (3.7)
имеем i{c, d) = 0. Следовательно, кривые end изотопны непересека-
ющимся простым замкнутым кривым. D
Следующая лемма дает необходимое геометрическое условие того,
чтобы две простые замкнутые кривые на ориентированной поверхно-
сти были изотопны кривым с меньшим числом пересечений.

§ 3.2. Неточность представления Бурау
141
Лемма 3.6. Пусть cud — простые замкну-
тые кривые на поверхности Σ, трансверсалъно
пересекающиеся в конечном числе точек. Если /^чШЩ||^
кривые cud изотопны простым замкнутым I \ ^
кривым d и d' на Σ, которые трансверсалъны
-ч л г , -„ч Рис. 3.3. Двуугольник
и удовлетворяют неравенству card (с η α ) <
< card(c Π d), то кривые cud имеют «двуугольник», т. е. вложен-
ный в Σ круг, край которого состоит из некоторой поддуги кривой с
и некоторой поддуги кривой d, a его внутренность не пересекается
с объединением cöd; см. рис. 3.3.
Доказательство этой леммы см. в работах [Тга79, р. 46-48] или
[PROO, Prop. 3.2].
Полускручивания вокруг дуг связаны со скручиваниями Дена сле-
дующим образом. Предположим, что Σ = M\Q, где M — ориентиро-
ванная поверхность и Q — конечное подмножество в М° = М\дМ.
Пусть а — арка в (M, Q). Рассмотрим замкнутый круг в М, содержа-
щий в своей внутренности дугу а и пересекающий подмножество Q
только в концевых точках дуги а. Обозначим через с = с(а) с Σ край
этого круга. Эта простая замкнутая кривая определяется дугой а с точ-
ностью до изотопии в Σ. Скручивание Дена tc : Σ —> Σ можно вычис-
лить исходя из полускручивания τα : Σ —> Σ по формуле
Действительно, обе части действуют тождественным образом вне неко-
торой круговой окрестности дуги а, а также внутри меньшей концен-
трической круговой окрестности этой дуги. В кольце между краями
этих кругов обе части tc и τ« действуют как скручивание Дена вокруг
срединной окружности этого кольца.
Теперь мы можем доказать, что ассоциированные с изображенны-
ми на рис. 3.2 дугами α, β полускручивания τ«, τΙ € M(D, Q) не ком-
мутируют. Если бы это было так, то их ограничения на круг с шестью
проколами Σ = D\Q также коммутировали бы. Тогда коммутировали
бы скручивания Дена
tc(a) = τ« : Σ -> Σ и tc#) = τ% : Σ -> Σ.
В этом случае в силу лемм 3.5 и 3.6 кривые с{а) и с(/3) непременно
образовывали бы двуугольник в Σ. Но, нарисовав эти кривые, мы
видим, что они имеют 16 пересечений друг с другом и не образуют
никаких двуугольников в Σ. Следовательно, полускручивания τα и τβ
не коммутируют.

142 Глава 3. Гомологические представления групп кос
3.2.5. Эквивалентность представлений
Следующая теорема показывает, что построенное в п. 3.2.2 пред-
ставление Ψη группы кос Вп эквивалентно представлению Бурау грп
для всех η > 1. Напомним, что в п. 1.6.3 был определен изоморфизм
Теорема 3.7. Существует такой изоморфизм групп μ: GLn(A) -*
-♦ Aut(H), где Н = Нг(Σ, \JkeZ tkd; Ζ), что коммутативна диаграмма
Вп ,—^M(D}Q)
Ψη
(3.8)
GLn(A)—i—♦Aut(H).
Доказательство. Сначала вычислим Л-модуль
H = Hi(S, (Jt*d;z).
keZ
Заметим, что поверхность Σ деформационно ретрагируется на граф
Г с Σ, образованный одной вершиной d и η ориентированными петля-
ми Х\,..., Хп на поверхности Σ, которые изображены на рис. 1.15. Пол-
ные числа оборотов этих петель равны —1. Гомоморфизм ψ отображает
представленные этими петлями образующие фундаментальной группы
π\(Σ,α) в t. Бесконечнолистное циклическое накрытие Σ поверхно-
сти Σ деформационно ретрагируется на бесконечный граф Г с Σ с вер-
шинами {tkd}k(=z и ориентированными ребрами {tkXi}k<EZ,i=i,...,n, где
каждое ребро tkXt соединяет вершину tkd с вершиной t(tkd) = tk+1d
и ориентировано от первой из них к последней. Образующая t дей-
ствует на графе Г, отображая ребро tkXt на ребро tk+1Xt. Клеточный
цепной комплекс пары (г, [jksZ tkd) равен 0 во всех размерностях,
кроме 1, где он равен φ"=1 AXj. Поэтому
H = Hi(S, (J tkd; z)=H1(r, (J tkd; z) =0Λ[£]
keZ keZ i=l
является свободным Λ-модулем с базисом [Х{\9..., [Хп]- С помощью
этого базиса мы стандартным образом отождествим Aut(H) с GLn(yl).
Матрица (Я^;) е GLn(A) действует на Я так, что каждый элемент
базиса [Xj] отображается в £\ λ^[Χ{\.
Определим изоморфизм групп
μ: GLn(A) -> GLn(A) = Aut(H)

§3.2. Неточность представления Бурау
143
как композицию транспонирования матриц и их обращения: μ(υ) =
= (Ут)~г для U е GLn(A). Для проверки коммутативности диаграм-
мы (3.8) нам нужно убедиться в том, что для всех кос j3eßn выпол-
няется равенство
Ψηη{β)=μψη{β).
Так как обе его части мультипликативны относительно /3, достаточ-
но проверить его на множестве образующих группы Вп. В качестве
такого множества мы возьмем множество образующих aj"1,..., сг~\.
Выберем i = l,...,n—1. Гомеоморфизм τ)(σ^1) : D-+D меняет местами
точки (i, 0), (i -h 1,0) € Q, вращая дугу [i, i + 1] x {0} на угол π по часо-
вой стрелке. Этот гомеоморфизм оставляет петли Хк неподвижными
при к φ i, i + 1, преобразует петлю Xi в петлю, гомотопную произ-
ведению XiXi+iXf1, а петлю Xi+i преобразует в Xi. Поднятие этого
гомеоморфизма на Σ оставляет пути Хк неподвижными при кф 1,1 + 1,
преобразует путь Xi+i в путь Xt и растягивает путь Xi в путь
XiitXi+OitXf)"1.
Индуцированный автоморфизм Ψηη{σ^1) модуля Η действует по пра-
вилам
f (l-t)[X/]+t[Xi+1L ecrafc = i,
tôt]—M töL ecrafc = i + l,
^ [Xfc] в остальных случаях.
Матрица этого автоморфизма в базисе [Х\],..., [Хп] в точности равна
Замечания 3.8. 1. Аналогичными методами, распространенными
на дуги, соединяющие точки из Q с отмеченной точкой d € dD, можно
доказать, что Keri/j5 φ {1}; см. [Big99].
2. Применив конструкцию из п. 3.2.1 к естественной проекции
η\{Σ,d) -» Hi(17), мы получим матричное представление подгруппы
Торелли группы Μ(Σ), состоящей из автогомеоморфизмов поверхно-
сти Σ, тождественно действующих на группе Hi (27). В случае, когда
Σ—дополнение к η точкам в двумерном круге, подгруппа Торелли
есть группа крашеных кос Рп, а это представление — вариант пред-
ставления Гасснера группы Рп квадратными матрицами порядка η над
Z[H1(S)]=Z[tf1,...,tÎ1].
Дополнительные сведения о представлении Гасснера можно найти
в книге [Bir74] и в работе [РегОб].

144 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Упражнение 3.2.1. Покажите, что дуги а и β на рис. 3.2 (где
η = 6) можно вычислить по формулам а = гКп)(аз) и ß = ЫУгНаз),
где а3 — арка [3,4] х {0} в (D, Q), π = σλσ~1σ~λσΛ πγ2 = σ1~2σ2σ52σ~1.
Выведите отсюда, что коммутатор [γ\σ^σ^1, уг^зу^1] представляет со-
бой нетривиальный элемент ядра Кег я/>б. Из этого следует, что упоми-
навшаяся в п. 3.1.3 коса р' — [γ^lTiO'3ÏÏ1Ï2i <?з] есть нетривиальный
элемент ядра Кег грь-
Упражнение 3.2.2. Покажите, что определенный в п. 1.6.3 изо-
морфизм Вп = Шф, Q) переводит центр группы Вп на бесконечную
циклическую подгруппу в 9JÎ(D, Q), порожденную скручиванием Дена
вокруг простой замкнутой кривой в D \ Q, которая получается вдавли-
ванием окружности dD внутрь D\Q.
Упражнение 3.2.3. Покажите, что если простая замкнутая кри-
вая с на поверхности Σ ограничивает круг в Σ, то скручивание Дена tc
изотопно тождественному отображению.
§3.3. Приведенное представление Бурау
В этом параграфе мы докажем, что представление Бурау приво-
димо. В качестве приложения этого результата мы докажем точность
представления я/^. Во всем этом параграфе Л = Z[t, t-1].
3.3.1. Редукция представления ψη
Напомним, что в п. 3.1.1 были определены матрицы
l/b...,l/n_i€GLnU).
Как и ранее, символ 1к обозначает единичную матрицу порядка к.
Следующая теорема показывает, что представление Бурау приводимо.
Теорема 3.9. Пусть η > 3 и Vi, V2,..., Vn-i — квадратные матри-
цы порядка п — 1 над кольцом Л, заданные равенствами
Vi = l
-t 0
0
110
0 0 /п_з
Vi =
(h-г
0
0
0
[о
\
ь
J
0
1
0
0
0
Vn-
0
t
-t
1
0
-î —
0
0
0
1
0
fln-3
0
0 1
V о о
0 λ
0
0
0
In-i-l)
0
t
-t

§3.3. Приведенное представление Бурау
145
при 1 < i < η — 1. Тогда для всех i — 1,..., η — 1 имеет место равенство
С-ЪС = (* ;), (3.9)
где С — квадратная матрица порядка п, заданная равенством
С = Сп =
f1 г г
'011
0 0 1
и *i-
i = η
VO О О
•строка длины п — 1, равная 0 при i
-1.
1
1
\J
< η - 1 и (О,..., 0,1) при
Доказательство. Для i — 1,..., η — 1 положим
τ-β ï)·
Достаточно доказать, что UiC = CV/ для всех i. Зафиксируем i и за-
метим, что fc-й столбец матрицы UiC равен сумме первых к столбцов
матрицы Ui для любого к = 1,..., п. Непосредственное вычисление по-
казывает, что матрица UiC получается из матрицы С заменой (i, i)-ro
элемента на 1 — t и (i + 1, i)-ro элемента на 1. Аналогично 1-я строка
матрицы CV! равна сумме последних I строк матрицы V? для любого
I = 1,..., п. Непосредственное вычисление показывает, что матрица
СУ/ получается из матрицы С в точности теми же заменами, что опи-
саны выше. Следовательно, UiC = CV/. D
Так как матрицы 1/ь ..., Un-i G GLn(A) удовлетворяют косовым
соотношениям, сопряженные матрицы C~lU\C,...,C~xUn-\C также
удовлетворяют косовым соотношениям. Из формулы (3.9) следует, что
матрицы Vi,..., Vn-i также удовлетворяют косовым соотношениям.
Очевидно, что эти матрицы обратимы над Л и потому принадлежат
GLn_i(yl). По лемме 1.2 формула iprn(cri) = Vi определяет гомоморфизм
групп ψτη: Вп —> GLn-i(A) для всех η > 3. Этот гомоморфизм назы-
вается приведенным представлением Бурау. При η = 2 мы определим
приведенное представление Бурау как гомоморфизм ψτ2 : В2 —> GLi(A),
отображающий элемент σ\ в матрицу (—t). Это значение выбрано так,
чтобы формула (3.9) была верна и в случае η = 2. Из этой формулы сле-
дует, что для любого п>2и любой косы β GBn имеет место равенство
C~^n{ß)C
{ Ч У'
(ЗЛО)

146 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где *0 — строка длины η — 1 над Л, зависящая от β. Следующая лемма
показывает, как вычислить эту строку по матрице ψη(β).
Лемма 3.10. Пусть а^ — i-я строка матрицы ψη(β) —In-i для
i — 1,..., η — 1. Тогда
n-l
i=l
Доказательство. Рассмотрим Λ-модуль Λη, элементы которого
отождествляются со строками длины η над Λ. Умножение строк на
матрицы определяет правое действие группы GLn(A) на Ап. Непосред-
ственное вычисление показывает, что вектор
£ = (l,t,t2,...,tn-1)GA"
удовлетворяет равенству EUi—Ε для всех i. Следовательно, Εψη(β) =Ε.
Тогда вектор
F = £C = (l,l + t,H-t + t2,...,l + t-h... + tn-1)€An
удовлетворяет равенствам
Ρ(ΧΡ1(β) fj=ECC-1^n{ß)C = EC = F.
Вычитая из получившегося равенства FIn = F, получаем
ρ(ψη(β)-Ιη-1
V *ß
Это равенство означает, что линейная комбинация строк а^ матрицы
Ψη(β) -h-i с коэффициентами 1,1 +1,1 +1 +12,..., 1 +1 + ... + tn~2
равна -(1 +1 +... +171-1)*^ D
Эта лемма показывает, что при переходе от представления Бурау
к его приведенной форме информация не теряется. В частности, если
Ψη(β) = Ιη-ъ то *0 = 0 и ψη(β) — In- Поэтому Κετψη с Кеггрп. Обрат-
ное включение непосредственно следует из формулы (ЗЛО). Значит,
КеггрТп = Кеггрп.
Замечание 3.11. Гомологическая интерпретация приведенного
представления Бурау Кег ψΤη получается при замене Л-модуля
Н = Нг(ё, \Jtkd;Z)
keZ
-α

§3.3. Приведенное представление Бурау
147
на А-модуль Яг = Η\{Σ\ Ζ). Напишем точную гомологическую после-
довательность пары [Σ, (JfcGZ tkd):
Hi( (J tkd; z) -> Яг -* Η -+ H0( [J tkd; z) -> Я0(Г; Ζ).
fceZ keZ
В ней самый левый член равен нулю, так как пространство iJfc€Z tkd
дискретное. Поэтому гомоморфизм Нт ->Н есть вложение, так что мы
можем рассматривать Яг как подмодуль модуля Я. Ясно, что
Я0( (J tkd; z) - А, Я0(Г; Ζ) = Ζ
fceZ
и гомоморфизм Яо(УкеХ tkd; Ζ) —» Η0(Σ;Ζ) является гомоморфиз-
мом А —> Ζ, отображающим t в 1. Ядро этого гомоморфизма (t — 1)А
есть свободный Λ-модуль ранга 1. Поэтому фактормодуль Н/Нг явля-
ется свободным Α-модулем ранга 1, откуда следует, что Я = Яг Θ А.
Действие группы M(D, Q) на Я сохраняет Яг и дает гомологическую
интерпретацию приведенного представления Бурау гртп. Однако это
действие не сохраняет дополнительный модуль А. Это геометрическая
причина того, что представление Бурау можно редуцировать, но оно
не является прямой суммой своей приведенной формы с одномерным
представлением. В качестве упражнения читатель может проверить,
чтоЯг = Л'1-1.
3.3.2. Точность представления Бурау i/'з
Мы докажем, что представление Бурау я/>з точное. Рассмотрим
гомоморфизм групп φ : GL2(A) —> SL2(Z), получающийся при подста-
новке t ·-» —1. Он преобразует приведенные матрицы Бурау
«=("· О- Ч» -О
в целочисленные матрицы
ai = ¥>№) = (} J), a2 = ^(V2) = (j "j).
Согласно приложению А группа SL2(Z) порождена транспонирован-
ными матрицами А = a[, В = а^ с определяющими соотношениями
ЛВЛ = BAß и (ΑΒΑ)4 = 1. Следовательно, группа SL2(Z) порождена
матрицами ai,a2 с определяющими соотношениями а\а2а\ — a2aia2
и (aia2ai)4 = 1.
Гомоморфизм φ οψτ3: В3-+ SL2(Z) отображает стандартные обра-
зующие G\ и σ2 группы В3 в ai и а2 соответственно. Ясно, что этот

148 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомоморфизм сюръективен и его ядро является нормальной подгруп-
пой, порожденной косой (σ^σα)4. Так как эта коса центральна в В3,
изучаемое ядро есть циклическая группа ((cr^ai)4) с β3· Следова-
тельно,
Кеггр3 с КегО οψτ3) = ((aia2ai)4).
Заметим, что
V1V2V1 = (_°t ~£) и (ViV2V!)2 = (£ °3).
Поэтому для любого ненулевого k G Ζ имеем
^((σ^σΟ4*) = (VaV2V1fk = (Ç Д) φ Ι2.
Следовательно, Keri/^ = Кегя/^ = {1}.
Упражнение 3.3.1. Покажите, что ψτη{(σ\... ση-\)η) — tnIn-\ для
всех η > 2. (Указание: используйте гомологическую интерпретацию
представления гртп и заметьте, что косе (ai... ση-\)η соответствует
в группе Ш(В, Q) скручивание Дена вокруг окружности в D, концен-
трической с 3D,) Заметим, что аналогичное равенство для ψη невер-
но, например, i/^iof) Φ t2h-
§3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений
В этом параграфе мы с помощью приведенных представлений Бу-
рау гр[, я/>2>... и теории марковских функций из п. 2.5.2 построим по-
линомы Александера — Конвея от одной переменной для зацеплений.
3.4.1. Пример марковской функции
В этом пункте мы построим марковскую функцию со значениями
в кольце лорановых полиномов Z [s, s-1]. Ассоциированный с ней ин-
вариант зацеплений мы изучим в следующем пункте. Обозначим через
g:A = Z[t,r1]->Z[5,s-1]
кольцевой гомоморфизм, отображающий t в s2. Для любой косы β
из η > 2 нитей рассмотрим следующую рациональную функцию от s
с целочисленными коэффициентами:
Uß) = (-l)"+l5 /_Jn Jg(det(^«3)-Jn-i)),
где (β) G Ζ — образ косы β при гомоморфизме Вп —> Ζ, который отоб-
ражает образующие аь..., ση-\ в 1. Например, при π — 2 и k G Z

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 149
имеем
/2(σ{0 = -s-k(s + s-^tt-s2)« -1).
В частности, /2(01) = fii.^1) — 1· По определению f\{B{) = 1.
Лемма 3.12. Отображения {fn : Вп —> Z[s, s_1]}n>i образуют мар-
ковскую функцию.
Доказательство. Выберем какую-нибудь косу ßeBn,n>l. Сопря-
жение косы β в группе Вп сохраняет как (β), так и det(xpTn(ß) — Jn-i),
и потому сохраняет fn(ß). Отсюда следует первое условие из опреде-
ления марковской функции.
Положим ß+ = i(ß)an GBn+i, где t — естественное вложение Вп ^->
<--> Bn+i. Далее проверим, что fn+i(ß+) = fn{ß). При п = 1 мы имеем
β = 1, β+ = σ\ и /2(/3+) = /2(0*1) = 1 = /i(j3). Предположим, что η > 2.
Сначала заметим, что имеют место равенства
s-(0>(s_5-i)
sn-l-(ß)
sn-s-n 1 +s2 + s4 + ... + s2(n-1}
n-l-(j8) = (n + l)-l-(j8+).
Поэтому требуемая формула fn+i(ß+) — fn{ß) эьсвивалентна формуле
(1 +1 +... +1"-1) det«+1 (ß+) - In) =
= -(l + t + ... + tn)detWn(ß)-In-1). (3.11)
В силу равенств (3.2) и (3.10) получаем
*„.(.<«>-(*·<» ;)-(* î)(T ! ;)СГ î)·
Следовательно,
(Ψ"*^+) î) = Cn+iVw(/3+)Cn+1 = C1V„+i(t08))T/»n+i(a„)C„+1 =
-«-(о ?)(Т ! ;)(? Ci ν IK-(злэ
Заметим, что
Си
1 _
(1
0
0
0
V0
-1
1
0
0
0
0 .
-1 .
1 .
0 .
0 .
. 0
. 0
. 0
. 1
.. 0
ολ
0
0
-1
1/

150 Глава 3. Гомологические представления групп кос
0
0
1 о
1
0
0
t
1-t
1
0
1
1
Непосредственное вычисление показывает, что произведение первых
трех (соответственно последних трех) матриц в правой части равен-
ства (3.12) равно
UM) о ολ Α.-2 о о о>
*β 1 -1 I, соответственно
V о о \)
Чтобы перемножить эти две матрицы, мы представим первую из
них в виде
(т : П \ ! 1
где X — квадратная матрица порядка п — 2 над A, Y — столбец над А
высоты п—2, Ζ и Ρ — строки над А длины п—2 и Г, QgA. Перемножая,
получаем
Следовательно,
ÎX Y tY 0>
Ζ T tT 0
Ρ Q tQ-t 0
Vo о i i,
[X-In-2 Y tY Λ
Ψη+1(β+)-Ιη = [ Ζ T-l tT .
V Ρ Q tQ-t-lJ
Чтобы вычислить детерминант этой матрицы порядка п, мы умно-
жим (п — 1)-й столбец на — t и прибавим результат к п-му столбцу.
В результате получим
det(^+1(j8+)-/„)=detJ,
где
fX-In-2 Y 0 λ
J=\ Ζ T-l t .
V Ρ Q -t-lj
Заметим, что
ψ
Ш)-1п-х = {^~2П~2 Γ-l) И *ß=(P Q)·
Из этих формул и леммы 3.10 следует, что, складывая строки матри-
цы J с коэффициентами
1, 1 + t, 1 + t + t2, ..., l + t + ... + t"-\
мы получим новую нижнюю строку, в которой первые п — 1 элементов
равны 0. Последний, п-й ее элемент равен
(i + t + ... + tn-2)t + (i + t + ... + tn~1)(-t-i) = -(i + t + ... + tn).

§3.4. Полином Александера —Конвея для зацеплений 151
Поэтому
(l + t + ... + tn-1)det(^+108+)-/„) =
fX-In-2 Y О
= det Ζ Τ-1 t
V 0 0 -(l + t + ... + tn)
Отсюда следует формула (3.11). Таким образом,
/η+1(ση6(/3)) =fn+iW)an) =/n+i(j8+) =/„(j8).
Аналогичные рассуждения показывают, что /n+iforMß)) = fn(ß)·
Тем самым проверено второе условие из определения марковской
функции. D
Для любого ориентированного зацепления L с R3 положим f(L) =
— fniß), где β — произвольная коса из η нитей, замыкание которой
изотопно I. Согласно п. 2.5.2 и предыдущей лемме /(L) является изо-
топическим инвариантом зацепления L, не зависящим от выбора ко-
сы β. Мы изучим этот инвариант в следующем пункте.
3.4.2. Полином Александера — Конвея
Полином Александера — Конвея (от одной переменной) представ-
ляет собой фундаментальный и исторически первый полиномиаль-
ный инвариант для ориентированных зацеплений в R3. Он распро-
страняется до полиномиального инварианта от двух переменных для
ориентированных зацеплений в R3, известного под названием поли-
нома Джонса — Конвея или полинома HOMFLY-PT. Последний поли-
ном будет построен в § 4.4 в контексте алгебр Ивахори — Гекке.
Начнем с аксиоматического определения полинома Александе-
ра — Конвея. Будем говорить, что три ориентированных зацепления
L+, L-, L0 с R3 образуют тройку Конвея, если вне некоторого трехмер-
ного шара в R3 они совпадают, а внутри этого шара выглядят как
на рис. 3.4. Полиномом Александера — Конвея для зацеплений назы-
вается отображение V, сопоставляющее каждому ориентированному
зацеплению L с R3 некоторый лоранов полином V(L) € Ζ [5, s-1] и удо-
влетворяющее следующим трем аксиомам:
1) полином V(L) инвариантен относительно изотопии зацепления L;
2) если L — тривиальный узел, то V(L) = 1;
3) для любой тройки Конвея L+, L_, L0 с R3 выполняется равенство
V(L+)-V(L-.) = (5-1-5)V(Lo).

152 Глава 3. Гомологические представления групп кос
L+ L- Lq
Рис. 3.4. Тройка Конвея
о
L+ L_ L0
Рис. 3.5. Пример тройки Конвея
Последнее равенство известно как скейн-соотношение Александе-
ра— Конвея.
В качестве примера вычисления, в котором используется скейн-со-
отношение, рассмотрим тройку Конвея L+,L-,L0, изображенную на
рис. 3.5. Здесь L+ (соответственно L_) получается из ориентированно-
го зацепления L с R3 добавлением малого положительного (соответ-
ственно отрицательного) завитка. Оба зацепления L+ и L_ изотопны
зацеплению L, в то время как L0 есть дизъюнктное объединение зацеп-
ления L с тривиальным узлом. Из аксиом 1 и 3 следует, что V(L0) = 0.
Отсюда мы заключаем, что отображение V аннулирует все зацепле-
ния, получаемые как дизъюнктное объединение непустого зацепле-
ния с тривиальным узлом. В частности, отображение V аннулирует
все тривиальные зацепления с двумя или более компонентами.
Теорема 3.13. Полином Александера—Конвея существует и един-
ствен. Построенный в п. 3.4.1 инвариант f зацеплений в R3 совпадает
с полиномом Александера — Конвея.
Доказательство. Сначала мы докажем единственность, т. е. что
существует не более одного отображения из множества ориентиро-
ванных зацеплений в R3 в кольцо Ζ [s, s-1], удовлетворяющего акси-

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 153
омам 1-3. Для этого потребуется понятие возрастающей диаграммы
зацепления, которое мы сейчас введем. Диаграмма ® ориентирован-
ного зацепления на плоскости R2 называется возрастающей, если она
удовлетворяет следующим двум условиям:
а) компоненты диаграммы @ можно так занумеровать числами от 1
до m (где m — число ее компонент), что в каждом перекрестке
разных компонент компонента с меньшим номером проходит под
компонентой с большим номером;
б) на каждой компоненте диаграммы 0> можно так отметить неко-
торую точку (отличную от перекрестка), что, начав из этой точки
движение по компоненте в положительном направлении, мы все-
гда достигнем самопересечения этой компоненты в первый раз
по дуге, проходящей снизу, и во второй раз по дуге, проходящей
сверху.
Пример возрастающей диаграммы зацепления изображен на
рис. 3.6. Простое геометрическое упражнение — убедиться в том,
что зацепление, представленное возрастаю-
щей диаграммой, непременно тривиальное.
Предположим теперь, что существуют два
отображения из множества ориентированных
зацеплений в R3 в кольцо Ζ [s, s-1], удовлетво-
ряющие аксиомам 1-3 полинома Александе-
ра — Конвея. Обозначим через V их разность.
Нам нужно доказать, что V = 0.
Из аксиом и вычисления, сделанного пе- Рис. 3.6. Возрастающая
ред формулировкой теоремы, явствует, что диаграмма зацепления
V — изотопический инвариант зацеплений,
который аннулирует тривиальные узлы и зацепления и удовлетво-
ряет скейн-соотношению Александера — Конвея. Докажем индукцией
по N, что V аннулирует все ориентированные зацепления, представ-
ленные диаграммами зацеплений с N перекрестками. Для N = 0 это
очевидно, так как зацепление, представленное диаграммой без пере-
крестков, тривиально. Предположим, что наше утверждение верно
для некоторого N. Пусть L — ориентированное зацепление, представ-
ленное диаграммой с N +1 перекрестками. Поменяв местами порядок
прохода дуг в одном перекрестке, мы получим диаграмму другого
зацепления V. Зацепления L, V вместе с зацеплением Lo, полученным
из любого из них сглаживанием рассматриваемого перекрестка, обра-
сба

154 Глава 3. Гомологические представления групп кос
зуют тройку Конвея, такую, как изображена на рис. 3.4. Зацепление Lo
представлено диаграммой с N перекрестками. По предположению ин-
дукции V(Lo) — 0. Из скейн-соотношения получаем, что V(L) = V(L').
Таким образом, значение инварианта V на зацеплении L не изменит-
ся, если проходы дуг поверх других заменить на проходы под ними.
Вместе с тем этими операциями можно преобразовать нашу диаграм-
му в некоторую возрастающую диаграмму. А так как V аннулирует
зацепления, представленные возрастающими диаграммами, получа-
ем, что V(L) = 0. Это завершает шаг индукции. Следовательно, V = 0.
Чтобы доказать остальные утверждения теоремы, достаточно по-
казать, что построенный в предыдущем пункте инвариант зацеплений
/ удовлетворяет аксиомам полинома Алексавдера — Конвея. В силу
следствия 2.9 и изложенных выше результатов / является коррект-
но определенным изотопическим инвариантом зацеплений. Посколь-
ку тривиальный узел I есть замыкание тривиальной косы из одной
нити, получаем, что /(L) = 1. Теперь проверим, что / удовлетворяет
скейн-соотношению Алексавдера — Конвея.
Для любых η > 2, i G {1,..., η — 1} и двух кос α, β Gßn мы видим
непосредственно из определений, что замыкания кос ασφ, ασ^β
и aß образуют тройку Конвея зацеплений в R3. Доказательство тео-
ремы Алексавдера (теорема 2.3) показывает, что, обратно, произволь-
ная тройка Конвея зацеплений в R3 возникает таким образом при
некоторых п, i, a, β. Итак, нужно доказать тождество
}η{ασφ)-&{ασ71β) = (s-i-sX/^a/?).
Так как функция fn инвариантна относительно сопряжения в группе Вп
и коса ai сопряжена с косой σ\ в группе Вп (см. упражнение 1.1.4),
мы можем считать без потери общности, что i = 1. Дальнейшее сопря-
жение с помощью a позволяет считать, что a = 1. Следовательно, нам
нужно доказать, что для любой косы β е Вп выполняется равенство
/nfojS) -f„(a?ß) = (s-1 -s)f„(ß).
Оно сводится к равенству
5-^(0+) -sg(D_) = (s"1 -s)g(Po), (3.13)
где
D± = det^CaÎ1/?) -/„_!) и Do = det(t/>J,(j8) -In-i).
Умножив обе части равенства (3.13) на s, мы получим
D+-tD_ = (l-t)A).

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 155
Для проверки последнего равенства представим ψτη{β) в виде
(а Ь х\
t/>ü(j8)= с d у],
\Р q MJ
где a,b,c,deA, х и у — строки над Л длины п — 3, ρ и q — столбцы
над А высоты п — 3 и M — квадратная матрица над А порядка п — 3.
По определению Do = det A0, где
Также имеем
t/£(aij8) = | 1 1 0 ) ( с d
Вычтем In-i и затем умножим первую строку на —t_1, после чего
вычтем первую строку из второй. В результате получим D+ = —t det А+,
где
А+ =
Аналогично
Г-Г1 О
Ψη{σ-Ιβ) = \ Г1 1
V о о
Вычтем In-i и затем добавим первую строку ко второй, после чего
умножим первую строку на —t. В результате получим D- = —t'1 det A_,
где fa + t Ъ х \
А-= с-1 d-1 y
V ρ q М-/п_зУ
Матрицы Aq, A+, А- отличаются только первыми столбцами, которые
мы обозначим Aj, А\, ÄL соответственно. Ясно, что
-iAi+Ai = (l-t)Aj.
Отсюда мы заключаем, что D+ — tD- = (1 — t)D0.
Функция [и /(I) удовлетворяет всем условиям из определения
полинома Александера — Конвея за исключением того, что априори
она принимает значения в поле рациональных функций от s, a не в его
подкольце лорановых полиномов Ζ [s, s-1]. Однако, применив скейн-со-
отношение и индукцию по числу перекрестков в диаграмме зацепле-
ния, которую мы проводили в начале доказательства, мы замечаем, что

156 Глава 3. Гомологические представления групп кос
все значения инварианта / являются целочисленными полиномами
от s—s-1. В частности, все эти значения являются полиномами от s. D
§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу
В этом параграфе мы обсудим одно линейное представление группы
кос Вп, которое впервые было определено Р. Лоуренс и изучено Д. Крам-
мером и С. Бигелоу. Определение этого представления основывается
на изучении некоторого бесконечнолистного накрытия над конфигу-
рационным пространством пар точек в проколотом круге.
Зафиксируем η > 1 и будем использовать введенные в п. 3.2.2
символы D, Q = {(1,0), ...,(n,0)}, E = D\Q.
3.5.1. Конфигурационные пространства & и ^
Обозначим через & пространство упорядоченных пар отличаю-
щихся точек в проколотом круге Σ. Иными словами, пространство 9
является дополнением к диагонали {(х, x)}xez в Σ х Σ. Ясно, что & —
некомпактное связное четырехмерное многообразие с краем. Оно
имеет естественную ориентацию, полученную возведением в квадрат
ориентации в Σ против часовой стрелки. В обозначениях п. 1.4.1 мы
Соответствие (х, у) —> (у, х) для различающихся х, у е Σ определя-
ет инволюцию на &. Факторпространство ^ по этой инволюции есть
пространство пар отличающихся точек в Σ. Поскольку инволюция
{х. У) ·-* (Уу х) на & сохраняет ориентацию и не имеет неподвижных
точек, пространство Ч> является ориентированным некомпактным
связным четырехмерным многообразием с краем. Отметим, что про-
екция & —> ^ представляет собой двулистное накрытие. В обозначе-
ниях п. 1.4.3 мы имеем ^ — ^(Σ) = ^,2 Φ)·
Впоследствии неупорядоченная пара отличающихся точек xj€
G Σ будет обозначаться {х, у}. Отметим, что {х, у} = {у, х} е ^. Лю-
бой (непрерывный) путь ξ: / -> <#, где J = [0,1], можно записать в
виде ξ = {Ci, ξ2}, где ξ\, ξ2:1 —» Σ — (непрерывные) пути. Равенство
ξ = {Ci, ξ2} означает, что ξ (s) = {Çi(s), ξ2(*)} для всех sel. Путь ξ
является петлей, если {Çi(0), ξ2(0)} = {Ci(l), ξ2(1)}, так что либо
ξ1(0) = ξ1(1)^ξ2(0)-ξ2(1),
либо
ξ1(0) = ξ2(1)^ξ1(1) = ξ2(0).

§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 157
В первом случае пути ξ\ и ξ2 являются петлями в Σ. Во втором случае
пути ξ\ и ξ2 не являются петлями, но их произведение ξ\ξ2 опреде-
лено корректно и является петлей в 27.
Определим два числовых инварианта w и и для петель в <€. Рас-
смотрим произвольную петлю ξ — {Ci, Ç2} в ^. В случае, когда ξ\
и ξ2 — петли, положим α;(ξ) = if(Çi) + \υ{ξ2), где Ιν{ξ{) — полное
число оборотов петли ξ; вокруг {(1,0),..., (п, 0)}; см. п. 3.2.2. В слу-
чае, когда ξ\(1) = ξ2(0), произведение ξ\ξ2 будет петлей вГи мы
положим w(ξ) = Ιυ(ξΙξ2).
Чтобы определить второй инвариант и (ξ), рассмотрим отобра-
жение г , л г , ч
5^TFT1—rTT\:I~^S cC· (3.14)
|Çl(5)-Ç2(«)l
Оно отображает точки s = 0,1 либо в одинаковые, либо в противопо-
ложные числа. Поэтому отображение
'^Uw-boiJ·' s (ЗЛ5)
является петлей на S1. Ориентация окружности S1 против часовой
стрелки определяет образующую группы Hi^S1; Ζ) = Ζ. Петля (3.15)
на S1 гомологична умноженной на к этой образующей, где к G Z. Мы
положим по определению и (ξ) = fc. Заметим, что и (ξ) четно, если
£i и <^2 — петли, и нечетно в противном случае. Инварианты ш(С)
и и (ξ) сохраняются при гомотопиях петли ξ и аддитивны относитель-
но умножения петель.
Например, рассмотрим петлю ξ = {ξ\, ξ2}, где ξ\ —постоянная
петля в точке z G Σ и ξ2 — произвольная петля в 17\ {z}. Тогда Ιν(ξ) —
= Ιν(ξ2) и u(Ç) = 2υ, где i/ — число оборотов петли ξ2 вокруг точки z.
В частности, если ξ2 — малая петля, обходящая против часовой стрел-
ки какую-нибудь точку в Q, и z G 3Σ = dD, то α>(ξ) = 1 и u(Ç) = 0.
В другом примере выберем какой-нибудь малый круг В с Σ и две раз-
ные точки a,be dB. Пусть путь ξτ (соответственно ξ2) параметризует
дугу в dB, ведущую от α к b (соответственно от b к а) против часовой
стрелки. Для петли ξ = {£ь ξ2} имеем ш(С) = w(ξ\ξ2) = 0 и u(Ç) = 1.
3.5.2. Накрывающее пространство ^ и модуль J4?
Зафиксируем раз и навсегда две разные точки d\,d2 G Э27 — dD
и примем с = {di, d2} за отмеченную точку в пространстве Ч>. Сопо-
ставление ,ел ,ел

158 Глава 3. Гомологические представления групп кос
определяет гомоморфизм φ фундаментальной группы п\{?€, с) в муль-
типликативную свободную абелеву группу с образующими q, t. При-
меры из предыдущего пункта показывают, что этот гомоморфизм
сюръективен.
Обозначим через ^ —> Η накрытие, соответствующее подгруппе
Кег ψ фундаментальной группы п\ (^, с). Образующие q и t действуют
на <€ как коммутирующие скольжения, и ^ = ^/(q, t). Любая петля ξ
в ^ тогда и только тогда поднимается до некоторой петли в ^, когда
κ/(ξ) = 11(ξ) = 0.
Теперь убедимся в том, что двулистное накрытие ^ —> ^ является
фактором накрытия <£ —> *€. Заметим, что любая петля ξ = {Ci, Ç2}
на ^ тогда и только тогда поднимается до некоторой петли на β,
когда ξ\ и ξ2 представляют собой петли на Σ. А последнее условие
выполняется в том и только том случае, когда α (ξ) четно. Следова-
тельно, накрытие β —> *& определяется подгруппой фундаментальной
группы п\{4>, с), образованной гомотопическими классами петель ξ,
для которых υ(ξ) G 2Z. Поэтому β — ^/(q, t2) есть фактор простран-
ства <€ по группе гомеоморфизмов, порожденной q и t2.
Действия q и t на ^ индуцируют действия q и t на абелевой
группе Jtf? = Η2{^\ Ζ). Они превращают <#? в модуль над коммутатив-
ным кольцом R — Z[q±l, t*1]. Модуль Ж может быть вычислен в явном
виде с помощью деформационной ретракции пространства ^ на неко-
торое двумерное клеточное подпространство; см. [Big03], [PP02]. Это
вычисление показывает, что Ж является свободным R-модулем ранга
л(п-1)/2, т.е.
^^Rn(n-l)/2 (3.16)
Дополнительные сведения о структуре модуля Ж можно найти в п. 3.5.6.
3.5.3. Действие группы Вп на Ж
Как нам известно из § 1.6, группа кос Вп канонически изоморфна
группе классов отображений 9Jî(D, Q). В оставшейся части этой главы
мы не будем делать различий между этими двумя группами. Мы сей-
час построим действие группы Вп на Ж. Любой автогомеоморфизм /
пары (D, Q) индуцирует гомеоморфизм /: ^ —> ^ по формуле
/({*, у}) = {/(*),/Су)Ь
где х,у — различные точки в Σ = D\Q. Ясно, что /(с) = с, и потому
мы можем рассмотреть автоморфизм /# фундаментальной группы
п\[^е', с), индуцированный гомеоморфизмом /.

§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 159
Лемма 3.14. Имеет место равенство φ о /# = φ.
Доказательство. Нам нужно доказать, что шо/# = шиио/# = и,
Первое равенство доказывается точно такими же рассуждениями, как
в п. 3.2.2. Чтобы доказать второе равенство, рассмотрим вложение
конфигурационных пространств ^ = ^U?) *-* ^гФ), индуцирован-
ное вложением Σ *-> D. Определение числового инварианта и для
петель в ^ дословно распространяется на петли в ^(Р) и дает гомо-
топический инвариант для петель в %(0). Из доказанной в п. 1.6.1
теоремы Александера — Титце следует, что индуцированный автого-
меоморфизмом / пары (D, Q) автогомеоморфизм пространства %(£)
гомотопен тождественному отображению. Следовательно, и о /# = и,
и потому φ о/# = φ. D
Из равенства ψ о /# = φ следует, что гомеоморфизм / единствен-
ным образом поднимается до некоторого отображения /:<&-**£,
неподвижного во всех точках в ^, которые лежат над с. Это же ра-
венство обеспечивает коммутирование отображения / со скольжени-
ями пространства %\ Отображение / является гомеоморфизмом, об-
ратным к /_1. Поэтому индуцированный эндоморфизм /* группы
Ж = Н2(С&; Ζ) представляет собой Я-линейный автоморфизм. Рассмот-
рим отображение
B„ = OT(D,Q)^AutRG*f),
переводящее изотопический класс гомеоморфизма / в /* : Ж —> Ж.
Это отображение есть гомоморфизм групп. Он называется представ-
лением Лоуренс—Краммера — Бигелоу группы кос Вп. Фундаменталь-
ное свойство этого представления содержится в следующей теореме.
Теорема 3.15. Представление Лоуренс—Краммера—Бигелоу груп-
пы кос Вп точное для всех п>1.
Эта теорема доказана в § 3.6 и 3.7. Можно предъявить матрицы,
описывающие действие образующих аь..., ση-\ еВп на Ж ; см. [Кга02],
[BigOl], [Bud05]. В изложенном ниже доказательстве теоремы 3.15
не используются ни эти матрицы, ни изоморфизм (3.16).
3.5.4. Линейность группы кос Вп
Мы говорим, что группа G линейная, если существует инъектив-
ный гомоморфизм групп G —> GLN(R) для некоторого целого числа
N>1. Сформулируем важное следствие из теоремы 3.15.
Теорема 3.16. Для всех п> 1 группа кос Вп линейная.

160 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Покажем, что эта теорема следует из теоремы 3.15 и изомор-
физма (3.16). Выбрав какой-нибудь базис R-модуля Ж, мы можем
отождествить AutR (<#?) с матричной группой GLn(n_i)/2(R). Кольцо
R = Ij[q±l, t±l] можно вложить в поле вещественных чисел, сопоста-
вив q и t любые алгебраически независимые вещественные числа.
Это вложение индуцирует вложение
GLn(n_i)/2(R) ^ GLn(n_1)/2(R).
Взяв его композицию с представлением Лоуренс — Краммера — Биге-
лоу, мы получим точный гомоморфизм Вп —» GLn(n_i)/2(R).
Мы приведем еще одно доказательство теоремы 3.16, в котором
никак не используется изоморфизм (3.16). Это доказательство дает
вложение группы кос Вп в GLw(R) для N = п{п +1). Начнем с простой
алгебраической леммы.
Лемма 3.17. Пусть Ь — Ъ\х^, х^1] —кольцолорановыхполиномов
от переменных х\, х2. Пусть С — свободный L-модулъ конечного ранга
N > 1. Для произвольного L-подмодуля Η модуля С группа AutL(H)
его L-автоморфизмов вкладывается в GLN(R).
Доказательство. Обозначим через Q = Q(xi, x2) поле рациональ-
ных функций от переменных хь х2 с рациональными коэффициента-
ми. Ясно, что Q есть поле частных кольца L. Рассмотрим Q-векторное
пространство H = Q®LH. Так как Я — подмодуль свободного L-модуля,
он не имеет L-кручения, и потому естественный гомоморфизм Н-^Н,
отображающий h G Я в 1 Θ h, инъективен. Любой L-автоморфизм
модуля Я единственным образом продолжается до некоторого Q-ав-
томорфизма векторного пространства Я. Тем самым группа Аи^(Я)
вложена в GLm(Q), где m = сигп^Я. Поле Q можно вложить в поле
вещественных чисел R, сопоставив х\ и х2 какие-нибудь алгебраиче-
ски независимые вещественные числа. Это дает вложение AutL(H) с
с GLm (Q) с GLm (R). Заметим, что вложение i : H<-J>G индуцирует гомо-
морфизм Q-векторных пространств H-*C = Q®LC. Этот гомоморфизм
инъективен, потому что каждый элемент из его ядра, будучи умно-
женным на некоторый элемент из L, дает элемент из Ker(i) = 0. Сле-
довательно, m < dimQ C = N, поэтому Auti(H) с GLm(R) с GLN(R). D
Заметим, что для любого топологического многообразия M с кра-
ем дМ вложение М° =М\дМ °-> M является гомотопической эквива-
лентностью. Гомотопически обратное к нему отображение M —> М°
можно получить, вдавливая M в М° с помощью цилиндрической окрест-
ности края дМ в М.

§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 161
Теперь мы можем доказать теорему 3.16. Ясно, что &° — &\д&
есть дополнение к диагонали {(х,х)}хеЕ° в Σ° х Σ°. Согласно лем-
ме 1.26 сопоставление любой упорядоченной паре точек ее первой
точки представляет собой локально тривиальное расслоение &° —> 17°,
слой которого—дополнение к точке в Σ°. База Σ° этого расслоения
деформационно ретрагируется на букет η окружностей, а его слой
деформационно ретрагируется на букет η + 1 окружностей. Из этого
следует, что тотальное пространство &° деформационно ретрагиру-
ется на некоторое двумерное клеточное разбиение X с &°, имеющее
одну нульмерную клетку, 2п + 1 одномерных клеток и п(п + 1) дву-
мерных клеток. Так как вложение &° <-> & является гомотопической
эквивалентностью, вложение Хн^ также является гомотопической
эквивалентностью.
Напомним, что в п. 3.5.2 мы показали, что *€ можно рассматри-
вать как накрытие над & с группой скольжений Ζ х Ζ, порожденной q
и t2. Ограничение накрытия ^ —> & на X с & определяет накрытие
Х-+Х q той же самой группой скольжений, где X — прообраз подпро-
странства Хв^.А так как вложение Х^,? — гомотопическая экви-
валентность, вложение Χ^Η тоже гомотопическая эквивалентность.
Клеточный цепной комплекс пространства X имеет вид С2 -* Ci —> Со,
где каждый член Q есть свободный модуль над кольцом
Ä0 = Z[q±1,t±2]cR.
Ранг Яо-модуля Q равен числу i-мерных клеток в X. Следовательно,
Ж = Н2{$\ Z) = Н2(Х; Z) = Кег(Э: С2 -> Ci)
является R0-подмодулем модуля С2. Применим теперь лемму 3.17 к на-
шей ситуации
x1=q, x2 = t2, C = C2, Н = Ж и ΛΓ = η(η + 1).
По этой лемме группа Autj^Ji?) вкладывается в GLN(R). Композиция
с вложениями
Вп <-> AutR(J*f) ^ Aut^Oif),
доказывает теорему. D
3.5.5. Полуторалинейная форма на Ж
Определим на модуле Ж естественную R-значную полуторалиней-
ную форму. Ориентация многообразия ^ поднимается на ^, превра-
щая его в ориентированное (четырехмерное) многообразие. Рассмот-
рим ассоциированную форму пересечения Ж х Ж —> Z. Чтобы вычис-

162 Глава 3. Гомологические представления групп кос
лить ее значение g\ · g2 на классах гомологии g\,g2 Ξ Ж, надо пред-
ставить эти классы трансверсальными двумерными циклами G\, G2
в многообразии ^ и подсчитать пересечения этих циклов со знака-
ми ±, определенными ориентацией многообразия <€. Форма пересе-
чения Ж х Ж—»Z симметрическая и инвариантна относительно дей-
ствия сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов % -> ^. В частно-
сти, эта форма инвариантна относительно действия скольжений q, t.
Определим спаривание
{ , ):ЖхЖ->Я
по формуле
(?1,&>=Σ(?*^1·&)^· (3.17)
Сумма справа конечная, так как упомянутые выше двумерные циклы
Gi и G2 лежат в компактных подмножествах в ^ и потому циклы
qktlG\ и G2 пересекаются только для конечного множества пар (к, Z).
Спаривание (3.17) инвариантно относительно сохраняющих ори-
ентацию гомеоморфизмов Ч> —> Ч>, которые коммутируют со сколь-
жениями q, t. В частности, это спаривание сохраняется при действии
группы кос Вп на Ж.
Лемма 3.18. Для любых gi,g2€3tf ursR имеют место равенства
(g2,gl) = (gl, gl), (gl,rg2) = Г (gl, gl), (rgi,g2) = r(gi,g2), (3.18)
где r ·-> r — инволютивный автоморфизм кольца R, отображающий q
в q_1 ute t"1.
Доказательство. Имеем
(fö,gi) = J] (qkt^2 -gi)^ = J] (gi-qkég2)qké =
k,leZ k,l<=Z
= Σ (9"*^й * S2)qktl = J] (q¥gi · g2)q~krl = (g1)g2).
k,ZeZ k,leZ
Для проверки равенств (gi,rg2) = r(glyg2) и (rgi,g2) = r(gi,g2)
достаточно рассмотреть случай г = qlV, где i, j G Z. Имеем
k,leZ
= q4 £ fc, г € ZCq^t^g! · &)ςΜ^ = qV{gb g2)
υ

§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 163
и
(qitigi,g2)=Yi(qk+itl+jg1-g2)qktl =
k,leZ
= <flt4 Σ fo^'ft · S2)qk+itl+} = q-'r^ga, g2). Π
k,leZ
Согласно Бадни (см. [Bud05]) форма ( , ) : Ж х Ж -» R невырож-
дена в том смысле, что детерминант ее матрицы в некотором (и, тем
самым, в любом) базисе модуля Ж не равен нулю. Кроме того, если
мы заменим q и t на алгебраически независимые комплексные числа,
то получим отрицательно определенную эрмитову форму; см. [Bud05].
Это дает инъективный гомоморфизм группы кос Вп в унитарную
Группу 1/п(п-1)/2.
3.5.6. Замечания
Сделаем несколько замечаний, чтобы читатель освоился с моду-
лем Ж. Впоследствии эти замечания не будут использоваться.
Совсем легко убедиться в том, что модуль Ж нетривиален и на са-
мом деле довольно большой. Пусть X и X — те же пространства, что
в доказательстве теоремы 3.16. Заметим, что кольцо Ко — ^[ч±г, £±2]
вкладывается в поле Q = Q(q, t2) рациональных функций от пере-
менных q,t2. Для Ro-модуля Я обозначим размерность Q-векторно-
го пространства Q ®r0 H через rkH. Проверим, что гкЖ > л (л — 1).
Действительно,
гкН0(Х; Z) -rkHi(X; Ζ) + rk J*f = %{X) = л (л -1),
где х {Χ)—эйлерова характеристика пространства X. Для каждой
нульмерной клетки х в X существует путь в X, соединяющий ее с qx,
поэтому (1 — q)x является границей одномерной цепи. Значит,
Q®RH0(X;Z) = 0 и rkH0(X;Z) = 0.
Следовательно, rkЖ > л(л — 1). Из изоморфизма (3.16) следует, что
Ж = я£(п_1) как До-модуль.
Конкретные элементы модуля Ж могут быть получены из произ-
вольных непересекающихся арок а и β в (D, Q). Рассмотрим ассоции-
рованные с этими дугами петли а', )37 : S1 —> Σ, такие, как на рис. 3.1.
Выбирая эти петли достаточно близко к дугам а и /3, можно считать,
что они не пересекаются. Соответствие
(sl,s2)^{a'(s1))ß'(s2)}e<£

164 Глава 3. Гомологические представления групп кос
для 5i,52 Ξ S1 определяет вложение тора S1 х S1 в пространство Ч>.
Индуцированный этим вложением гомоморфизм фундаментальных
групп отображает всю группу ttiÎS1 x S1) в ядро гомоморфизма φ. От-
сюда следует, что это вложение поднимается до некоторого вложения
тора S1 x S1 в S^. Можно показать, что фундаментальный класс тора
представляет нетривиальный класс гомологии в Ж. Такие классы, со-
ответствующие разным способам выбора пар дуг α, /3, переставляются
действием группы Вп на Ж. Аналогичная, но более тонкая конструк-
ция применима к парам арок в (D, Q), которые пересекаются в одной
общей концевой точке. Эта конструкция дает некоторое отображение
ориентируемой замкнутой поверхности рода 2 в ^; см. [Big03]. Кроме
того, каждая арка в (D, Q) определяет некоторое отображение ориен-
тируемой замкнутой поверхности рода Зв^; см. [Big03] и п. 3.7.1.
Применяя эти конструкции к дугам
[1,2]х{0}, [2,3]х{0}, ..., [п-1,п]х{0}
в (D, Q) и к парам этих дуг, мы получаем п(п—1)/2 классов гомологии
в Ж, составляющих R-базис модуля Ж.
§ 3.6. Шнуры и арки
В этом параграфе мы определим и изучим так называемые шнуры
в круге с η проколами Σ = 0\<2, где Q = {(1,0),..., (η, 0)} с D и η > 1.
В следующем параграфе шнуры будут существенным образом исполь-
зованы в доказательстве теоремы 3.15.
3.6.1. Шнуры
Шнуром (а также опирающейся на край дугой)4 в проколотом
круге Σ называется такая ориентированная вложенная дуга NcE, что
dN = Nn ΘΣ.
Край dN дуги N состоит из двух ее концевых точек, лежащих на крае
круга 3Σ = 3D. Пример шнура изображен на рис. 3.7.
Далее мы сосредоточимся на пересечениях шнура N с арками
в {D,Q). Пусть а — арка в (D,Q), пересекающая шнур N трансвер-
сально в конечном числе точек. Рассмотрение пересечений шнура N
с аркой а можно упростить, если привлечь двуугольники, которые мы
Англ. термин — noodle (вермишелина, макаронина).—Прим. перев.

§3.6. Шнуры и арки
165
Рис. 3.7. Шнур Ni
использовали в п. 3.2.4. Двуугольник для шнура N и арки а представ-
ляет собой вложенный круг βΣ° = Σ\ΘΣ, край которого образован
некоторой поддугой шнура N и некоторой поддугой арки a, a внутрен-
ность этого круга не пересекается с N и а; ср. рис. 3.3, где с, d следует
заменить на Ν, α. Каждый двуугольник определяет очевидную изото-
пию дуги a (relda), уменьшающую число точек пересечения N Па
на два. Следующая лемма показывает, что, обратно, если существует
такая изотопия, то пара дуг N, а имеет двуугольники.
Лемма 3.19. Если существует изотопия арки a (relda),уменьша-
ющая число точек пересечения Ν Π а, то пара дуг N, a имеет не менее
одного двуугольника.
Доказательство. Мы выведем эту лемму из леммы 3.6, продлив
дуги N и a до простых замкнутых дуг в некоторой большей поверхно-
сти. Выберем замкнутые круговые окрестности i/b [72 с D концевых
точек дуги а так, чтобы выполнялось условие [/i П £/2 = £/i П N = 0 для
i = 1,2 и чтобы каждая окружность dUi пересекала дугу а ровно в од-
ной точке. Рассмотрим проколотый круг D- = D\(Щ и Î/°). Ясно, что
dD-=dUiUdU2UdD. Образуем теперь новую поверхность S, склеив сле-
дующие три куска: проколотый круг D_, кольцо А = S1 x [0,1] и про-
колотый тор Г, который получается из тора S1 x S1 при вырезании
некоторого малого открытого круга. (Вместо тора можно взять любую
ориентируемую поверхность положительного рода.) Поверхности D-,

166 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Рис. 3.8. Поверхность S
А и Τ склеиваются по гомеоморфизмам дА ** dU\ U дЩ и дТ w 3D,
выбранным так, чтобы получившаяся в результате поверхность S была
ориентируемой. Соединив точки α Π dO\ и α Π dl/2 в кольце А, мы
продлеваем дугу α Π D_ до некоторой простой замкнутой кривой а
на поверхности S; см. рис. 3.8. Аналогично продлеваем дугу N с D_
до некоторой простой замкнутой кривой N на поверхности S, пройдя
один раз по параллели проколотого тора Г.
Если существует изотопия дуги a (rel да), уменьшающая число то-
чек пересечения Ν Π α, то существует изотопия продленной кривой а
в S, уменьшающая число точек пересечения Ν Π α. По лемме 3.6 пара
Ν, а имеет хотя бы один двуугольник в S. Такой двуугольник не может
подойти к N и α с разных сторон, и потому он не пересекается ни с Г,
ни с А. Следовательно, этот двуугольник лежит в D- и представляет
собой двуугольник для пары дуг Ν, α. D
3.6.2. Алгебраический коэффициент пересечения шнура и арки
Пересечение шнура N и арки а может быть измерено в терминах
так называемого алгебраического коэффициента пересечения (или про-
сто коэффициента пересечения) (Ν, а). Это элемент кольца Ij[q±l, t±l],
определенный с точностью до умножения на мономы qwtu, где w € Ζ
и и € 2Ζ с Ζ. Коэффициент пересечения (Ν, а) зависит от выбора ори-
ентации арки а, которую мы начиная с этого момента зафиксируем.
Как и ранее, мы снабдим проколотый круг Σ ориентацией против ча-
совой стрелки. Ориентации арки а и проколотого круга Σ позволяют
нам говорить о «правой» и «левой» сторонах арки а в Σ. Немного
сдвигая влево арку а (и оставляя неподвижными ее концевые точки),
мы получаем «параллельную» ориентированную арку а~ в (D, Q), име-

§3.6. Шнуры и арки
167
ющую те же самые начальную и конечную концевые точки, что и
арка а, и более нигде не пересекающуюся с аркой а. Немного поше-
велив шнур Ν, мы можем считать, что он пересекает арку а трансвер-
сально вт>0 точкахz\9...,zm (нумерация произвольна). Мы выбе-
рем параллельную дугу ог настолько близкой к арке а, чтобы арка аг
пересекала шнур N трансверсально в m точках z\,..., z^, где каждая
пара точек zr, Z{ соединена короткой поддугой дуги N, лежащей в уз-
кой полоске в Σ, ограниченной дугами а~ и а; ср. рис. 3.9, на котором
упомянутая полоска затушевана. Для i G {1,..., m} обозначим через
si = ±1 знак пересечения дуг N и α в точке Z{ (напомним, что обе эти
дуги ориентированы). Таким образом, et = +1, если шнур N пересе-
кает арку α в точке Zi слева направо, и В{ — — 1 в противном случае.
Обозначим начальную и конечную концевые точки шнура N через d~
и d соответственно. Зафиксируем произвольные точки
z~ G а~\да~, z€a\da
и зафиксируем пути 9~ и θ в Σ, ведущие соответственно от d~ к z~
ποτ d к z, образы которых не пересекаются (этим путям позволяется
пересекать дуги Ν, а~ и а в других точках).
Напомним, что ранее было определено пространство ^ неупоря-
доченных пар различающихся точек в проколотом круге Σ. Для любой
пары индексов i, j G {1,..., m} определим петлю ξ^ в ^ следующим
образом. Обозначим через /Зг поддугу арки а~, ведущую от z~ к z~r.
Это ориентированная вложенная дуга, причем ее ориентация может
быть противоположна к ориентации арки а~. Аналогично обозначим
через ßj поддугу арки а, ведущую от z к Zj. Затем обозначим через
γ~. и yij поддуги шнура N, ведущие от точек zj, Zj G N к концевым
точкам шнура N. Это непересекающиеся ориентированные дуги. Они
определены только положением точек zj и Zj на шнуре N и не зависят
от ориентации шнура N. Напомним, что в п. 3.5.1 было введено обо-
значение для путей в <й\ Рассмотрим пути {θ~, θ}, {ßf, ßj} и {γτ., уи]
В ^. ОНИ Ведут ОТ {d~, d} G ^ К {z~, z} G <£, ОТ {z~, Ζ} Κ {z7y Zj} G 4>
и от {zr, Zj] к {d~, d) соответственно. Произведение этих трех путей
ξυ = {θ-, θ}{β~, ßjHY'j, YiJ (3.19)
представляет собой петлю в S^, которая начинается и заканчивается
в точке {d~,d}. Положим
m m
(Ν, α) = J] Σ smw^h^ e ZEq", i"],
i=l j=l

168 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где w и и — целочисленные инварианты петель в ^, которые были
определены в п. 3.5.1. Выражение в правой части этого равенства
не зависит от нумерации точек в пересечении Ν η α. При другом
выборе точек z~, z, θ~, θ все петли ξ^ умножаются слева на одну
и ту же петлю в ^ вида {ξ\, ξ2], где ξ\ и ξ2 — петли в 17. Тогда (Ν, а)
умножится на некоторый моном от q±x, t±2.
Например, если шнур N не пересекается с аркой а, то (N, а) = 0.
Если шнур N пересекает арку а ровно в одной точке, то m = 1 и
(N, а) = qktl для некоторых к, I € Z.
Мы установим два фундаментальных свойства коэффициента пе-
ресечения шнура и арки.
Лемма 3.20. Коэффициент пересечения (N, а) инвариантен от-
носительно изотопии дуг N и а в проколотом круге Σ, постоянных
в концевых точках.
Доказательство. Достаточно зафиксировать N и доказать, что
коэффициент (Ν, α) инвариантен относительно изотопии арки а. Об-
щую изотопию арки а в Σ можно разложить в конечную последова-
тельность локальных движений трех типов:
1) изотопия арки α в 27, в процессе которой арка α все время транс-
версальна к шнуру Ν;
2) малая часть арки а сдвигается поперек малой части шнура Ν;
3) движение, обратное к движению типа 2.
Из определений ясно, что движение типа 1 не изменяет коэффициента
(Ν, а). Любое движение типа 2 добавляет две точки пересечения 2т+ь
zm+2 к множеству Ν Π а = {z\,... zn). Для определенности предполо-
жим, что поддуга шнура N, соединяющая точку zm+i с точкой zm+2,
лежит справа от арки а; см. рис. 3.9. Ясно, что при этом движении
сохраняются знаки et = ±1 для всех i = 1,..., m, а для всех i, j = 1,..., m
Рис. 3.9. Дополнительные пересечения

§3.6. Шнуры и арки
169
петли Çij, вычисленные до и после движения, гомотопны друг другу.
Поэтому такие пары индексов (i, ;) дают одинаковый вклад в выра-
жение для (N, а) до и после движения. Для i = 1,..., m + 2 петли
£i,m+i и Çi)m+2 гомотопны. Из очевидного равенства £m+i = —ет+2
следует, что вклады от пар индексов (i, m + 1) и (i, m + 2) противопо-
ложны по знаку, т. е. взаимно сокращаются. Аналогично для любого
i = 1,..., m петли £m+i,i и ξ,η+2,1 гомотопны, и вклады от пар индексов
(m +1, i) и (m + 2, i) взаимно сокращаются. Следовательно, коэффи-
циент пересечения (N, а) при этом движении сохраняется. D
Будем говорить, что арку а в (D, Q) можно снять изотопией со
шнура N, если существует такое непрерывное семейство арок {as}S€[o,i]
в (D,Q), что а0 = а и арка ai не пересекается со шнуром N. Такое
семейство {a5}s называется изотопией арки а. Заметим, что арки as
обязательно имеют одинаковые концевые точки.
Лемма 3.21. Арку а тогда и только тогда можно снять изото-
пией со шнура N, когда (N, а) = 0.
Доказательство. Если существует изотопия {as}s арки a = cto в Σ,
для которой арка а\ не пересекается со шнуром Ν, то (N, a)={N, ai)=0.
Трудная часть этой леммы — обратное утверждение. Применив к ар-
ке а предварительную изотопию, мы можем считать, что арка а пере-
секает шнур N трансверсально в минимальном числе точек z\,..., zm,
где т>0.В предположении, что m > 1, покажем, что (Ν, α) φ 0.
Будем придерживаться обозначений, введенных выше в определе-
нии коэффициента (Ν, а). Для любых i, j G {1,..., m} положим Wij =
= wtfij) € Ζ и uu = utéij) G Z. Тогда
m m
Заметим, что , ...
et = (-1)"^
для всех i. В самом деле, если £; = +1, то шнур N пересекает арку а
в точке %{ слева направо, и потому пути γτ\ и уц заканчиваются соот-
ветственно в точках d~ и d. Тогда ξ^ имеет вид {ξ\, ξ2}, где £ъ £г —
петли в Σ1. В этом случае
иц = и^ц) = 0 (mod 2).
Аналогично если ε^—1, то Ui5i=l (mod 2). В обоих случаях et = (—l)Uii.
Будем использовать лексикографический порядок в множестве
мономов qwtu, где ш, u G Ζ. Точнее говоря, будем писать сгшс" > q^V,

170 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где w, и, w', и' G Ζ, если либо w > wf, либо w = w' ии> и'. Назовем
упорядоченную пару индексов (i, ;), где i, j G {1,..., m}, максимальной
(для данных дуг N и а), если qwutuu > qwKituKi для всех /с, Ζ G {1,..., m}.
Максимальная пара обязательно существует, поскольку лексикогра-
фический порядок на множестве мономов линейный. Максимальная
пара может быть неединственной. Мы утверждаем, что
если пара (i, j) максимальна, то иц = Ujj. (3.21)
Из этого утверждения следует, что каждая максимальная пара индек-
сов (i, j) дает в коэффициент (N, а) вклад
Вклады от всех максимальных пар — один и тот же моном, который
после приведения подобных членов входит в (N, а) с положительным
коэффициентом. Следовательно, (Ν, α) φ 0.
Чтобы доказать утверждение (3.21), мы сначала вычислим инва-
рианты Wij для всех (не обязательно максимальных) индексов i, j G
G {1,..., m}. Обозначим через rjr петлю в Σ, полученную как произве-
дение пути 9~ßf на путь, идущий от точки zj к точке àr по шнуру N.
Обозначим через r\j петлю в Σ, полученную как произведение пути
6ßj на путь, идущий от точки Zj к точке d по шнуру N. Мы утверждаем,
что
ши = ш(т)Г) + ш(ть·). (3.22)
Действительно, рассмотрим сначала случай, когда входящий в форму-
лу (3.19) путь уг. заканчивается в точке d~. Тогда путь γ^ заканчива-
ется в точке d, a пути 0~ßfyf. и 0/3/Уи являются петлями и инвариант
Wij равен сумме их полных чисел оборота. В этом случае форму-
ла (3.22) следует из равенств r\J = Θ~β7γ~ и т}; = 0/3,7Ъ". Рассмотрим
теперь другой случай, когда путь уг. заканчивается в точке d. Тогда
путь Yij заканчивается в точке d~ и
η7 = θ-β7γ7.Ν-\ η^θβ^Ν,
где N рассматривается как путь из точки dr в точку d. По определению
инвариант Wij равен полному числу оборотов петли θ~β7γ~.θβ)ΥΙ^.
Эта петля гомотопна в Σ петле
θ-βΓγ-^θβ^ΝΝ-1 = чГ'ЛГтйАГ1.
Последняя петля гомологична в Σ петле r)7r\j. Из этого следует фор-
мула (3.22).

§3.6. Шнуры и арки
171
Внимательно рассматривая петли ητ и г/;, мы замечаем, что раз-
ность между их классами гомологии [ηγ], [η^ €Hi(JC; Ζ) представля-
ется петлей, которая сначала проходит от точки d к точке d~ по шну-
ру Ν"1, затем от точки dr к точке z~ по пути θ~, после чего от точ-
ки z~ к точке z по некоторому пути, лежащему в полоске между
арками а~ и а, и, наконец, от точки z к точке d по пути Θ-1. Сле-
довательно, разность [ηγ] — [η^ € Η\(Σ\ Ζ) не зависит от i. Из этого
следует, что число
W = w(^)-w^i)eZ
не зависит от i. Ввиду формулы (3.22) для всех i, j = 1,..., m имеет
место равенство
Wij = w{y]i) + w(t)j) + W. (3.23)
Предположим, что пара индексов (i, j) максимальная. Тогда чис-
ло Wij максимально среди всех целых чисел щ^. Согласно формуле
(3.23) оба числа w(r\i) и w{r\j) должны быть максимальными среди
всех чисел w(rjfc). Значит, w{j){) = w{j]j) и шц = Wij. Из максималь-
ности пары (i,;) следует, что иц < Uij. Мы утверждаем, что иц = Uij.
Для i = j это бесспорно, поэтому будем считать, что i φ ;.
Доказательство нашего утверждения проведем от противного. Пред-
положим, что иц < Uij. Обозначим через μ (вложенную) поддугу арки а,
соединяющую точки Z{ и zjy и через ν— (вложенную) поддугу шнура Ν,
соединяющую эти же точки. Дугу μ ориентируем по направлению от zt
к Zj, а дугу ν — по направлению от Zj к Z{. Произведение μ ν есть петля
в Σ с отмеченной точкой z^. Рассмотрим отдельно два случая.
Случай 1. Дуга ν подходит к арке α в точке zt справа (другими слова-
ми, дуга ν не проходит через точку z~[). Тогда петля μ ν не проходит че-
рез точку z~[ и мы можем рассмотреть число оборотов у € Ζ этой петли
вокруг точки яг. Мы утверждаем, что ν>0. Чтобы убедиться в этом, вы-
числим ν следующим образом. Как мы уже отмечали, 2ν = u({z7} μ ν}),
где и — инвариант петель в <#, определенный в п. 3.5.1, и zj обозна-
чает постоянный путь в точке яг. Заметим, что ßj ~ /3*μ, где символ ~
означает гомотопию путей в E\{z7} с фиксированными концевыми
точками. Из предположения, что дута ν не проходит через точку zT,
следует, что уг. = γ~. и уц — v~lYij; см. рис. 3.10. Тогда
ξυ = {θ', Θ}{β7, β,}{γ-, Υυ} ~ {θ-, Θ}{β7, ft}{*r, μvHry, mh
Последняя петля гомологична в <€ петле
{θ-, θ}{β~, &}{Гу, ГмЖ> ^} = ξΦΤ» MV}·

172 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Рис. 3.10. Случай 1: пути yf . и Yitj
Поэтому
2ν = u{{z{ , μ ν}) = ufêij) - ufêuï) = uu - иц.
Из предположения, что иц < utj, следует, что υ > 0.
Введем в рассмотрение еще одну петлю. Рассмотрим короткую
поддугу шнура Ν, соединяющую точку Zi с точкой z[ в полоске между
арками а и а". Выберем в малой окрестности этой поддуги такую
петлю р, что
1) петля ρ начинается и заканчивается в точке Z{\
2) петля ρ не проходит через точку %т и обматывается вокруг нее υ раз
по часовой стрелке;
3) петля ρ имеет υ — Ι трансверсальных самопересечений;
4) петля ρ пересекается с петлей μ ν только в точке Z{\ см. рис. 3.11.
Заметим, что число оборотов петли μνρ
вокруг точки яг равно 0. Следовательно, эта
петля поднимается в соответствующее накры-
тие над дополнением к {%г}. Опишем теперь
это поднятие более подробно.
Пусть D. = D\{z7} и ρ : Dm —>D. — универ-
сальное (бесконечнолистное циклическое) на-
крытие. Обозначим через μ: [0,1] -+D. произ-
вольное поднятие пути μ (так что ρμ = μ). Су-
ществует единственное поднятие 9: [0,1] —>
—» D. пути ν, для которого 9(0) = μ(1). Также
рассмотрим единственное поднятие ρ : [0,1] -»
—»D. петли р, для которого р(0) =г(1). Несколько злоупотребляя
обозначениями, мы будем обозначать пути μ, ν, ρ, μ,ν, ρ и их образы
одинаковыми буквами. Так как число оборотов петли μνρ вокруг точ-
ки гг равно нулю, ее поднятие μνρ есть петля. Благодаря нашему вы-
бору петли ρ ее поднятие ρ представляет собой вложенную дугу в D9)
которая пересекает μ ν только в концевых точках. Однако вложенные
Рис. 3.11. Петля ρ
для υ = 3

§3.6. Шнуры и арки
173
дуги μ и9в D. могут пересекаться еще в нескольких точках помимо их
общей концевой точки μ(1) = ν(0). Обозначим через а первую точку
на дуге μ, которая принадлежит дуге ν (возможно, а = Д(1)). Затем
обозначим через μα начальный отрезок дуги μ, идущий от точки μ(0)
к точке а, и через να конечный отрезок дуги ν, идущий от точки а
к точке 9(1). Положим
δ = fiaVap.
По самому построению петли δ она не имеет самопересечений. Поэто-
му образ этой петли есть вложенная окружность в D#, которую мы бу-
дем обозначать тем же символом δ. Отождествим D. с полуоткрытой
полосой R х [0,1) с R2 так, чтобы ориентация в D., индуцированная
ориентацией в D. против часовой стрелки, отождествлялась с ориен-
тацией в R2 против часовой стрелки. Из теоремы Жордана о кривой
следует, что окружность δ ограничивает вложенный круг В с D..
Теперь проверим, что петля δ обходит круг В против часовой
стрелки. Обозначим через С ту компоненту разности D.\p, которой
принадлежит точка z7. Сначала проверим, что С П р(В) = 0. Действи-
тельно, предположим, что существует такая точка Ъ G В, что р(Ъ) G
G С. Соединим точку р(Ь) с любой другой точкой Ь' G С некоторой
дугой в С. Эта дуга поднимается до некоторой дуги в D., начина-
ющейся в точке Ь. Последняя дуга не пересекается с петлей δ, так
как ее проекция в D. не пересекается ни с μ, ни с ν, ни с р. Значит,
эта поднятая дута лежит во внутренности В° = В\дВ круга В, и ее
конечная концевая точка проектируется в точку Ь7. Следовательно,
С с ρ (В). Так как круг В компактен, его образ ρ (В) также компактен.
С другой стороны, ясно, что компонента С не содержится ни в каком
компактном подмножестве проколотого круга D.. Это противоречие
доказывает, что С Г\р(В) = 0. Далее заметим, что компонента С ле-
жит справа от петли р. Если бы круг В лежал справа от ρ с δ, то
тогда мы бы непременно имели С η ρ (Б) ^ 0 — противоречие. Значит,
круг В лежит слева от ρ и от δ. Следовательно, петля δ обходит круг В
против часовой стрелки.
Мы утверждаем, что В Π ρ-1 (Q) = 0. В самом деле, будучи компакт-
ным подмножеством в D., круг В может содержать только конечное
число точек дискретного множества р~г(0,) с D.. Заметим, что пути
μ, ν, ρ лежат в Σ=D \ Q и потому не пересекаются с Q. Следовательно,
dB Π ρ~λ(0) = 0, так что В Π р~г(0) с В°. Петля δ = dB гомологична
в B\p~l(Q) сумме малых петель, обходящих точки из jB\p-1(Q) про-
тив часовой стрелки. Эти последние петли гомеоморфно проектиру-

174 Глава 3. Гомологические представления групп кос
ются на малые петли, обходящие соответствующие точки из Q против
часовой стрелки. Следовательно,
card (В Π p_1(Q)) = w(po δ),
где ш(р ο δ) —полное число оборотов петли ρ ο δ в Σ вокруг точек
из Q. Имеем равенство
ροδ = μαναρ,
где μα =ρ(βα) — начальный отрезок дуги μ, идущий от точки Zi к точ-
ке р(а) по арке а,ига= р(уа) — конечный отрезок дуги ν, идущий
от точки ρ (α) к точке zt по шнуру N. Значит, р[а) е Ν Π α, и, сле-
довательно, ρ (а) = zk для некоторого fce{l,...,n}. Так как петля ρ
стягиваема в Σ, петля μαναρ гомотопна петле μανα в 27 и
^(μαναρ) = ^(μανα).
Напомним, что для петель т^ и г); в Σ отмеченной точкой служит
конечная концевая точка d шнура N. Разность между классами го-
мологии этих петель [rjfc], [η^ е Η\{σ\ Ζ) не зависит ни от выбора
пути 0, ни от выбора его конечной концевой точки z e а. Принимая
Ζ = Zi, мы немедленно получаем из определения петель щ и г\и что
Ъ)к\ - im] = [μανα]. поэтому
w (μα Va) = w (rjfc) - w fa).
В итоге имеем
card(ßnp-1(Q)) = ω(ροδ) = Ιυ(μαναρ) = Ιυ{μανα) = w(r)k)-w(vi).
А так как число w(rji) максимально, мы получаем, что
card(ßnp-1(Q))<0.
Следовательно, В Π p~l (Q) = 0.
Нам понадобится несколько простых фактов о накрытии р: D9-^>
—» D.. Группа его скольжений представляет собой бесконечную цик-
лическую группу, порожденную скольжением g : D.-^D., соответству-
ющим петле, обходящей точку %{ против часовой стрелки. Множество
ρ-1 (N) состоит из бесконечного числа непересекающихся замкнутых
отрезков в D», концевые точки которых принадлежат краю dD.. Эти
отрезки можно так пронумеровать, что скольжение g будет увеличи-
вать номер на 1. Из этого следует, что всякое нетривиальное сколь-
жение D. —> D. отображает каждую компоненту прообраза p~l (N)
на другую компоненту этого прообраза. Те же факты справедливы
для прообраза р~1(а) с D. с тем единственным отличием, что его

§3.6. Шнуры и арки
175
компонентами являются замкнутые отрезки, лежащие во внутренно-
сти накрывающего пространства D#.
Мы утверждаем, что при наших предположениях пара дуг Ν, а
имеет двуугольник. Из этого будет следовать, что пересечение ΝΠα
не минимально. А последнее противоречит нашему выбору арки а
в ее изотопическом классе. Поэтому предположение иц < Uij должно
быть неверным, и, значит, иц = Uij.
Сейчас мы построим двуугольник для пары дуг Ν, α. Сначала пред-
положим, что
ß°np-1(N)^0 или В°Пр-\а)ф0
(или же верны оба условия). Заметим, что окружность δ = дВ состав-
лена из трех вложенных дуг: лежащей в р"1^) дуги μα, лежащей
в ρ-1(Ν) дуги να и дуги р, пересекающей множество ρ-1(Ν) и р~1(а)
только в двух своих концевых точках. Отметим, что край одномер-
ного многообразия ρ_1(Ν) содержится в 3D. и потому лежит вне
круга В. Если В° Π ρ-1 (Ν) Φ 0, το Β° Π ρ-1 (Ν) представляет собой
конечное множество непересекающихся вложенных дуг, концевые
точки которых лежат на μα. По крайней мере одна из этих дуг вместе
с некоторой поддугой дуги μα ограничивает круг Di с В, внутрен-
ность которого не пересекается с p_1(N). Если же Β°Γ\ρ~1(Ν) — 0, то
за Di мы примем круг В. Аналогично граница прообраза р~1{а) с D.
содержится в p~l{Q>) и лежит вне круга В. Если внутренность D\ кру-
га Di пересекается с р~1{а), то они пересекаются по конечному числу
непересекающихся вложенных дуг, концевые точки которых лежат
на р~г (Ν) Π dDi. По крайней мере одна из этих дуг вместе с некоторой
поддугой из ρ_1(Ν) Π dDi ограничивает вложенный круг D2 с Di, внут-
ренность которого не пересекается с ρ~λ{α). Если же DJ Пр_1(а) = 0,
то за Ü2 мы примем круг Di. В любом случае край круга D2 образо-
ван дугой из p_1(N) и дугой из р~1(а), а внутренность D^ круга D2
не пересекается с p~l(N U а). Тогда
D2Hh(aD2) = 0
для любого нетривиального скольжения h:D.^>D. накрытия р: D.->
->D#. Из упомянутых выше свойств множеств p_1(N) и р~1{а) следует,
что dD2 Π h(dD2) = 0. Из этого следует, что либо D2 Π h(dD2) = 0,
либо D2 содержится во внутренности круга /i(D2). Во втором случае
h~1(D2) с D£, что противоречит тому факту, что Щ не пересекается
с p~l{N U а). Остается первый случай D2 Π h(dD2) = 0. Итак, круг D2
не пересекается со своими образами при нетривиальных скольже-

176 Глава 3. Гомологические представления групп кос
μ
" g
Рис. 3.12. Случай v = 3
ниях накрытия p:D.^>D.. Следовательно, ограничение накрытия ρ
на круг D2 инъективно. Из этого следует, что образ p(D2) этого круга
является двуугольником для пары дуг JV, а в Σ.
Остается построить двуугольник для пары дуг N, а в случае, когда
В° Π ρ-1 (Ν и α) = 0. Множество р~г(р) состоит из υ экземпляров
прямой R, вложенной в D#; эти прямые пересекают друг друга в бес-
конечном числе точек (см. рис. 3.12, где υ = 3). Дуги μα и να лежат
в той компоненте разности D.\p, которая примыкает к dû. « S1 за ис-
ключением точек μα(0) = να(1) = Z{. Поэтому дуги μα и να лежат в той
компоненте разности D. \р_1(р), которая примыкает к dD. ^ M за ис-
ключением точек μα(0) = μ(0) и να(1) = 9(1), лежащих на p_1fe) с
с р~1{р). Ясно, что να(1) = gu(ßa(P)), где g: D. —> D. — выбранная
выше образующая группы скольжений и υ > 0 — число оборотов петли
μν вокруг точки zj~. Круг В, ограниченный петлей δ = μαναρ, должен
содержать область между дугой μανα и р~г(р) (эта область затушевана
на рис. 3.12). Рассматривая рис. 3.12, мы немедленно замечаем, что
при ν>2 эта область должна пересекаться с ^(μανα). А это противо-
речит предположению, что В° Π ρ-1 (JV и α) = 0. Из этого следует, что
υ = 1, так что р_1(р) есть не что иное, как прямая, и В — область
между этой прямой и дугой μανα. Тогда круг В проектируется в D.
инъективно, петля ρ ограничивает малый круг, содержащий точку z~[,
и объединение этого круга с ρ (В) и есть двуугольник для пары дуг
Ν, а. Это завершает доказательство равенства иц = Uij в случае 1.
Случай 2. Дуга ν подходит к арке а в точке Zi слева (другими сло-
вами, дута ν проходит через точку zr). Немного вдавим дугу ν вблизи
точки zT в Σ\ {zT} так, чтобы точка zt лежала слева от получающейся
дуги. Обозначим эту новую дугу через У; она также ведет от точки Zj
к точке Zi. Петля μ У не проходит через точку z7} и мы можем рассмот-
D. <

§3.6. Шнуры и арки
177
лГи Tu
Рис. 3.13. Случай 2: пути уц и уг-
реть число ν ее оборотов вокруг точки z~[. Мы утверждаем, что υ > 0.
Сначала заметим, что точка z[ разделяет дугу ν на две поддуги Vi
и v2, первая из которых ведет от точки Zj к точке zj, a вторая —
от точки zT к точке zt. Справедливы равенства γΓ. = у2уц иуг. = ν^1^;
см. рис. 3.13. Как и в случае 1, мы имеем $ ~ ^μ. Поэтому
ξυ = {Ö", 0}{j8f, ftMrû, Ги) - (θ", 0}{j8r, j8f}{v2, μν!}^, ru}·
Последняя петля гомологична в ^ петле
{θ-,θ}{]8Γ,^}{1τ-,^}{ν2,μν1} = ξ^{ν2,μν1}.
Из определений и конструкции дуги V легко вывести, что
u({v2^Vi}) = u({2^i/})-l = 2i/-l.
Следовательно,
2υ -1 = и({ ν2, μ vi}) = u(£u) -и^ц) = ии-иц.
Из предположения, что ц^ < Ufj-, следует, что i; > 0. Остальная часть
доказательства равенства иц = Uij протекает так же, как в случае 1,
с тем отличием, что вместо дуги ν мы всюду используем дугу V.
Аналогичные рассуждения доказывают, что Ujj = Uij для любой
максимальной пары индексов (i, j). Это равенство также можно выве-
сти из полученных выше результатов с помощью следующей симмет-
рии для петель ξ^·, определенных формулой (3.19), где i,j — произ-
вольная (не обязательно максимальная) пара элементов из множества
{1,..., m}. Будем записывать эти петли как
ξυ = ξυ{Ν,α,Ζ,Ζ+,θ-,θ),
подчеркивая их зависимость от данных, перечисленных в скобках.
Аналогичные обозначения будут использованы для Wij = wfëij) и
Uij = ufëij). Обозначим через — N шнур, получающийся из шнура N
обращением ориентации. Аналогично обозначим через —а и —а"
арки в (D, Q), получающиеся обращением ориентации из арок а маг

178 Глава 3. Гомологические представления групп кос
соответственно. Ясно, что арка —а лежит слева от арки — а~, так что
мы можем положить (—ог)~ = —а. Шнур — N пересекает арки — от
и (—а~)~ = — а в тех же точках, что и прежде, и мы пронумеруем их
точно так же, за исключением того, что Z{ превратится в %т и наоборот
(для всех /)· Из определений следует, что
ξ^Ον, α, z-, z, θ-, θ) = Ы-Ν, -α", z, z~, θ, θ")
для всех i,j. Отсюда следуют аналогичные формулы для шу и utj.
Далее, если пара (i, j) максимальна для дуг Ν, а, то пара (;, i) будет
максимальна для дуг (—N, —а~) и в силу полученных выше результа-
тов мы получим
Uij(N, α, z~, z, θ~} θ) = uj}i(-N, -α+, z, z~, θ, θ~) =
= Ujji-N, -α+, z, z-, θ, θ") = 4j(N, α, aT, z, θ", θ).
Из этого мы делаем вывод, что иц = Uij = Ujj для любой максимальной
пары индексов (i, j). Это доказывает утверждение (3.21) и лемму. D
§3.7. Доказательство теоремы 3.15
Доказательство начинается с двух конструкций. По каждой арке а
мы построим некоторый вектор в Ж, а по каждому шнуру N мы
построим некоторую ориентированную поверхность в ^. Затем мы
вычислим коэффициент пересечения (N, а) в терминах этих векторов
и поверхностей. Это вычисление будет использовано в последнем
пункте настоящего параграфа для завершения доказательства теоремы.
3.7.1. Классы гомологии, ассоциированные с арками
Зафиксируем произвольную ориентированную арку а в круге с про-
колами (D, Q), где Q = {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}. Выберем непересека-
ющиеся замкнутые круговые окрестности
Ul9U29...9UncD°=D\dD
точек (1,0), (2,0),..., (п, 0) соответственно. Мы всегда будем считать,
что арка а пересекает круговые окрестности Ui своих концевых точек
по радиусам этих кругов и не пересекает остальные l/f. Обозначим
через U множество всех неупорядоченных пар {х, у} € ^, для которых
хотя бы одна из точекx,yeE = D\Q принадлежит (J"=11/f. Пусть Uс
с ^ — прообраз множества U при накрывающем отображении 4>->4>.

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
179
Ясно, что пространство U инвариантно относительно действия сколь-
жений q,t на ^. Это действие превращает группы целочисленных
гомологии пространства U и группы целочисленных относительных
гомологии пары (^, U) в модули над кольцом Z[q±:L, 1±г]. Далее мы
ассоциируем с аркой а некоторое подмножество в Η2^, U; Ζ), состо-
ящее из так называемых α-классов.
Рассмотрим параллельную ориентированную арку от, такую, как
в п. 3.6.2. Напомним, что α U et- ограничивает узкую полоску в Σ и что
α Π or — да = да~. Рассмотрим множество Sa с ^, состоящее из всех
пар {х, у}, где хеа~\да~ и у € α \ да. Таким образом, Sa — {а~ \ дат) х
х (а\да). Так как Sa односвязно, вложение Sa с-> ^ поднимается
до некоторого вложения Sa <-» ^. Зафиксируем такое поднятие и обо-
значим его образ через Sa. Мы рассматриваем Sa и Sa как открытые
квадраты в силу отождествления
Sa**Sa = (а~\да~) х (а\да).
Поверхности Sa и Sa имеют естественную ориентацию, полученную
как произведение ориентации в а" и а. Выберем какие-нибудь под-
дуги s с а\да и s~ с а~\да~ так, чтобы их концевые точки и до-
полнения к ним в соответствующих арках а и а~ лежали в (J"=1 l/f.
Тогда S = s~ х 5 будет концентрическим замкнутым подквадратом в Sa,
граница которого и дополнение в Sa лежат в Ü. Ориентированная
поверхность S представляет некоторый элемент модуля Я2(^, U; Z),
не зависящий от выбора поддуг s и s-. Обозначим этот элемент че-
рез [S]. При другом выборе поднятия Sa элемент [S] умножается
на некоторый моном от q и t.
Образ элемента [S] при граничном гомоморфизме
Η2θ£υ;Ζ)->Η1(ΕΓ;Ζ)
представляется ориентированной окружностью dS с U. Следующая
лемма показывает, что ее класс гомологии [dS] е Hi (LT; Z) аннулиру-
ется элементом (q — l)2(qt +1).
Лемма 3.22. В модуле Hi(U; Z) имеет место равенство
(q-l)2(qt + l)[dS]=0.
Доказательство. Пусть арка а опирается на концевые точки (рь 0)
и (Р2,0), где ръР2 € {1,2, ...,п}. Для краткости мы будем обозна-
чать точку {pi, 0) просто через pt, где i = 1,2. Для / = 1,2 выберем

180 Глава 3. Гомологические представления групп кос
ft
а2
Рис. 3.14. Дуги аи а2, а3, ft, ft, ft, Гь Г2
какую-нибудь точку щ е UPi, лежащую в полоске между арками а
и а. Рассмотрим точки А, А', В, В' е Σ и восемь путей
«ь «2, «з, ft, ft, ft, Гь Г2
в проколотом круге Σ, изображенные на рис. 3.14. Пути аь а2, аз, ft,
ft, ft представляют собой вложенные дуги, а ^ — петли в круге UPi,
обходящие точку р; и имеющие отмеченные точки щ при i = 1,2. По-
нятно, что арка а сначала идет по радиусу круга UPl от точки р\ к точ-
ке А, затем по пути а2 от точки А к точке А', после чего по радиусу
круга иР2 от точки А! к точке р2 (упомянутые радиусы не изображены
на рис. 3.14). Арка а~ сначала идет по радиусу круга UPl от точки р\
к точке В', затем по пути β^1, обратному к пути ft, от точки В/ к точ-
ке В, после чего по радиусу круга UPl от точки В к точке р2. Пути а2
и ft следует представлять себе длинными и почти полностью исчер-
пывающими соответствующие арки α и a", a радиусы кругов UPl, UP2
и дуги ai, ft с i/Pl и аз, ft с UP2 представлять короткими.
Рассмотрим в U следующие петли с отмеченной точкой e = {ui,u2} =
= {u2,u1}eU:
а1 = {гъи2}9 а2 = {иъу2),
Ъ\ = {ab ftftft}{a2a3, Ui}, Ъ2 = {aia2a3, ft}{u2, ftft},
где символы u\ и u2 означают постоянные пути в точках и\ и и2
соответственно. Заметим, что обе петли bi и Ъ2 гомотопны в ^ петле
{aia2a3,ftftft}.
(Разумеется, из этого не следует, что петли Ь\ и Ъ2 гомотопны в U.)
Гомотопические классы петель ai, a2, Ьь Ъ2 в фундаментальной группе
π = ni(U, е) будут обозначаться теми же символами аь а2, Ъ\, Ъ2. Сим-
вол ~ будет обозначать гомотопию в U для петель в U с отмеченной

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
181
точкой е. Для любых х,у е π положим
ху = y~lxy G π и [х, у] = х-1ху — х~гу~гху е π.
Заметим, что в группе π выполняются следующие соотношения:
[ai, a2] = 1, [ai, МЛ] = 1, [a2, b2a2b2] = 1. (3.24)
Первое соотношение очевидно, так как
aia2~{yi,y2}~a2ai.
Соотношения [ai, biaibi] = 1 и [a2, b2a2b2] = 1 доказываются аналогич-
но друг другу, и мы докажем только первое из них. Рассмотрим ориен-
тированные дуги 01 и 02 на dUPl, изображенные на рис. 3.14. Эти дуги
ведут от точки В' к точке Л и от точки А к точке В' соответственно,
и их произведение θ\ 02 представляет собой петлю, параметризующую
край dUPl. Мы утверждаем, что
biaibi - {иъ /?i/320ia2a3}. (3.25)
Из этого будет следовать, что
aibiaibi ~ {уь и2}{иъ fefe0ia2a3} ~ {уь fefe0ia2a3} ~
~ {иъ fefe0ia2a3}{rb и2} ~ MiMi.
Таким образом, [ai,biaibi] = 1. Докажем теперь соотношение (3.25).
Сначала заметим, что
Mi ~ {ai, fefefe}{a2a3, Ы
и
Ъ\ ~ {ui, fefe}{aia2a3, fe} = {fefe, "lHfe, ага2а3}.
Поэтому
biaibi ~ {ai, fefefe}{a2a3/3i/32, η life, aia2a3}.
Путь a2a3ßiß2 гомотопен в 27\yi пути 02. (Под гомотопией путей мы
всегда понимаем гомотопию с неподвижными концевыми точками
путей.) Следовательно,
biaibi ~ {ai, fefefe}{02, Yi}{ßs, ага2а3} ~
~ {ai, fefeïM, /33}{02, η}{Β', ai}{/33, a2a3} -
~ {ai, fefe}{02, fenai}{fe, a2a3}.
Заметим, что путь β3γ\α\ гомотопен в UPl пути θ\. Поэтому
biaibi - {ai, ßiß2}{0i, 0iHfe, α2α3).

182 Глава 3. Гомологические представления групп кос
А так как произведение а^/Зз гомотопно постоянному пути и\, мы
получаем
МЛ ~ {üi, ßi&öiа2«зЬ
и соотношение (3.25) доказано.
Определим в группе π следующие четыре элемента:
а = а2Хаъ Ъ = Ъ~1ЪЪ с1 = [аъЪ1\, с2 = [а2,Ь2]·
Тогда справедливы равенства
afli = α, qiaiC! = 1 = съ22а2с2, c2bab* = аЪаЧъ (3.26)
Чтобы убедиться в этом, перепишем все эти четыре равенства в тер-
минах ai, a2, Ъ\, Ь2. Первые три соотношения являются следствиями
соотношений (3.24), а в последнем соотношении обе части равны
a^b^aibi.
Выберем какое-нибудь поднятие ее^ отмеченной точки е = {иь и2}.
Группа π = π1 ([/,?) равна подгруппе группы π = 7Ti(L/, e), образован-
ной гомотопическими классами петель ξ в 17, для которых ш(£) =
= u(Ç) = 0. Мы утверждаем, что a, b,Ci,c2 € π. Действительно, для
i — 1,2 мы имеем ш(а;) = ш(^) = 1 и
ш(^) = w(a1a2a3ßiß2ß3) = 0.
Из определений следует, что и(а{) = и(а2) = 0 и u(bi) = ü(b2) = 1.
Следовательно, ш(а) = и(а)=0и ш(Ь) = и(Ь) = 0, а значит, а,Ъ <Επ.
Коммутатор любых двух элементов группы π принадлежит подгруп-
пе π, поэтому ci, с2 € π.
Образ любого элемента х G π при естественной проекции π —>
-* Hi(Î7; Z) будет обозначаться [дс]. Ясно, что если х е π и у € π, то
ху € π. Мы утверждаем, что для любых х е π и у € π имеет место
равенство
[xy]=q-u,(y)f4i(y)M, (3.27)
где использована структура R-модуля на Hi(JJ; Ζ). Чтобы убедиться
в его справедливости, мы представим элементы х и у некоторыми
петлями ξ и η в U с отмеченной точкой е. Тогда элемент ху € π
представляется петлей η~τξη в [/. Эта петля поднимается до неко-
торого пути μ1μ2μ3 в U, где путь μ1 есть поднятие петли тр1, которое
начинается в точке е и заканчивается в точке
е' = q^^V^e = q-^Cy)t-üCy)g;
путь μ2 есть поднятие петли ξ, начинающееся в точке е', и путь μ3
есть поднятие петли η, которое начинается в конечной точке пути μ2.

§ 3.7. Доказательство теоремы 3.15
183
Так как петля ξ представляет элемент х е π, путь μ2 есть петля, кото-
рая начинается и заканчивается в точке е'. Путь μ3, будучи поднятием
петли η, начинающимся в точке г\ должен быть обратным к пути μ\.
Следовательно, путь μ\μ2μ3 является петлей, и ее класс гомологии
в модуле Hi(U;Z) равен классу гомологии петли μ2. А последний
класс гомологии равен q~w(yh~u^[x].
Применяя равенство (3.27), мы получаем [а01] — q~x\a\ и
[c*]QlCl] = q-h-ifa] + [Cl], [сЬ2^с2] = q-h-^ci] + Ы,
[c2bab>] = [с2] + [Ъ] +Гг[а], [ab^c,] = [α] + q~1[b] + [Cl].
Вместе с равенствами (3.26) мы получаем следующие соотношения
в модуле Hi(t7;Z):
(q-l)[a]=0, (qt+l)[Cl]=0=(qt + l)[c2],
(q-1-l)[b] = (r1-l)[a] + [c2]-[c1].
Комбинируя эти соотношения, мы получаем
(q-l)2(qt + l)[b]=0. (3.28)
Чтобы вычислить класс гомологии [S] G Н2{4>, U; Z), нам нужно
выбрать дуги 5 с α и Г с а~, которые используются в определении
поверхности S. В качестве 5 возьмем а2} а в качестве s~ возьмем β2.
Концевые точки этих дуг и их дополнения в а" и а, как и требуется,
лежат в UPl U UP2 с |J"=1 t/f. Окружность dS с U параметризована пет-
лей в U, являющейся поднятием следующей петли Ъ' в U с отмеченной
точкой {Л, β}: # Λ
ο' = {Α,β2}{α2,Β'}{Α/,β2Γ1{α2,ΒΓ1.
Мы утверждаем, что петля Ъ' гомотопна следующей петле Ь" в U
с отмеченной точкой {А, В}:
Ь" = {А, ß2ß3 }{а2а3,1ц}{и2, β2β3}"Υ{α2α3, Β}~\ (3.29)
Чтобы убедиться в этом, заметим очевидные равенства путей (с точ-
ностью до гомотопии в U)
{А, ß3}{a2a3, üi} = {а2а3, β3} = {α2) В'}{а3у 0зЬ
Поэтому
{а2а3} иг] = {А, ß3}-l{a2, B'}{a3i ß3}.
Аналогичные рассуждения показывают, что
{u2,ß2ß3}-1 = {a3,ß3yl{A\ß2}-l{a3)B}.

184 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Подставляя эти выражения в формулу (3.29) и замечая, что
{Α,β2β3} = {Α,β2}{Α,β3} и {а2а3,ВГ1 = {а3,В}-1{а2,В}-\
мы заключаем, что петля Ъ' гомотопна петле Ъ". Заметим теперь, что
Ъг = {аъ ßiß2ß3}{a2a3, иг} ~ {аъ ßi){A, ß2ß3}{a2a3, иг},
Ъ2 = {ага2а3, ßi}{u2, ß2ß3) ~ {аъ ßi}{a2a3,B}{u2, ß2ß3}.
Поэтому петля Ь" гомотопна петле
{auß^hb-Haußi}
в U. Последняя петля свободно гомотопна в U петле bib^"1. A так как
петля bib^1 сопряжена к петле b = b^"1bi в группе π, петли Ъ" и b сво-
бодно гомотопны в U. Отсюда мы заключаем, что петля Ь' свободно
гомотопна петле b в U. Поскольку петля V поднимается до петли дБ
в U, любая гомотопия петли Ъ' поднимается до некоторой гомотопии
окружности dS в U. Следовательно, окружность dS свободно гомотоп-
на некоторому поднятию петли b в U. Теперь утверждение леммы
непосредственно вытекает из равенства (3.28). D
Из леммы 3.22 и точной гомотопической последовательности
... -► Н2ф; Z) -> J#? -> Η2(<£, U; Ζ) -> Нгф; Ζ) ->...
пары {*€, U) следует, что класс гомологии
(q-l)2(qt + l)[S]eH2(<^t/;Z)
является образом некоторого элемента υ е Ж при индуцированном
вложением гомоморфизме Ж —> Η2(^, U; Z). Любой такой элемент
ν G Ж называется α-классом относительно кругов U\,..., Un или, ко-
роче, α-классом. Каждый α-класс можно представить некоторым дву-
мерным циклом в ^, который получается при склеивании двумерной
цепи (q — l)2(qt + 1)S с некоторой двумерной цепью в U, ограничен-
ной циклом (q — l)2(q£ + l)dS.
Ясно, что α-класс определяется аркой α только с точностью до при-
бавления элементов из образа гомоморфизма H2(U; Z) —> Ж, индуци-
рованного вложением U <^-> Η, и до умножения на мономы от q и t (по-
следние возникают из-за неоднозначности выбора поверхности Sa).
Это полностью описывает неопределенность в построении α-класса.
Действительно, легко проверить, что множество α-классов не зави-
сит от выбора дуг 5 с а\да и s~ с а~\Эа~, которые используются
в определении поверхности S. (Чтобы убедиться в этом, заметим,
что поверхности S, определенные дугами s, s~ и парой больших дуг,

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
185
отличаются друг от друга на некоторое кольцо в С/.) Покажем теперь,
что множество α-классов не зависит от выбора кругов Ui,...9Un.
Лемма 3.23. Множество α-классов в Ж не зависит от выбора
кругов иъ ..., Un.
Доказательство. Пусть имеются две системы {^}"=1 и {t//}"=i за-
мкнутых круговых окрестностей точек из множества Q = {(1,0), (2,0),
..., (п, 0)} во внутренности D°, такие, как в начале этого пункта. Пусть
U и U' —два подмножества в ^, ассоциированные с этими системами
кругов описанным выше способом. Сначала предположим, что U[ с U{
для всех i. Мы можем рассматривать Ut и U[ как концентрические
круги с центром (i, 0). По предположениям арка а либо не пересекает
круг U{, либо пересекает его по радиусу, пересечение которого с мень-
шим кругом и! является радиусом последнего круга. Стягивая каждый
круг Ui в и! по радиусам, мы получаем такую изотопию {Fs : D —>D}SG/
круга D в себя, что Fo = id, для каждого se/ гомеоморфизм Fs поточеч-
но неподвижен на 3D U Q и оставляет неподвижной (как множество)
арку а и Fi(L^) = U- для всех i. Индуцированные гомеоморфизмы
{Fs : ^ —» ^Ье/ образуют такую изотопию пространства ^ в себя, что
F1(U) = Ü'.
Далее заметим, что каждый автогомеоморфизм / пары (D, Q) преоб-
разует арку а в арку /(а) и ориентация арки а индуцирует ориентацию
арки /(а). Из определений ясно, что индуцированный гомоморфизм
/* : Ж —> Ж отображает множество α-классов, строящихся по системе
кругов {Ui}i, на множество /(а)-классов, строящихся по системе кругов
{f(Ui)}i- Применим это замечание к f = Fi и заметим, что /(а) = а,
f(Ui) = U! для всех i и /* = id (так как гомеоморфизм f = F\ изотопен —
и потому гомотопен — гомеоморфизму Fo = id). Отсюда следует, что
множество α-классов, строящихся по системе кругов {Ui}"=1, совпадает
с множеством α-классов, строящихся по системе кругов {i//}"=i· Общий
случай получается по транзитивности с использованием третьей систе-
мы кругов {i/"}"=1, такой, что U" cUiC\U[ для всех i = 1,..., п. D
3.7.2. Поверхности, ассоциированные со шнурами
Для любого шнура N в круге D множество
F = FN = {{x,y}e<é:x,ye№ = N\dN}
представляет собой поверхность вс£° = с&\дс&, гомеоморфную откры-
тому треугольнику {(xi, хг) Ξ (0,1)2 : х\ < Хг}· Поэтому поверхность F

186 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомеоморфна плоскости R2. Так как F стягиваема, она поднимается
до некоторой поверхности
также гомеоморфной плоскости R2. Ясно, что ^° — открытое ори-
ентированное гладкое четырехмерное многообразие и F — гладкое
двумерное подмногообразие.
Лемма 3.24. Поверхность F является замкнутым подмножеством
в<£°.
Доказательство. Выберем произвольную точку а G ^°\F. Обо-
значим ее проекцию в ^ через {х, у} G <%, где х, у — разные точки
из Σ. Так как a g с€°9 получаем, что х, у е Σ°. Если х φ Ν или у φΝ,
то точки х и у обладают такими непересекающимися открытыми
окрестностями Ux, Uy с Σ°, что по крайней мере одна из них не пе-
ресекается со шнуром N. (Здесь мы используем тот очевидный факт,
что N — замкнутое подмножество в Σ.) Тогда Ux x Uy является от-
крытой окрестностью точки {х,у} в ^°\F и ее прообраз в ^° явля-
ется открытой окрестностью точки а, содержащейся в ^0\F. Если
x, y G Ν, то точки х и у обладают такими непересекающимися от-
крытыми круговыми окрестностями Ux, Uy с Σ°, что каждая из них
пересекается со шнуром N по открытому интервалу. Тогда Ux x Uy
является открытой окрестностью точки {х,у} G F, гомеоморфной от-
крытому четырехмерному шару и пересекающейся с поверхностью F
по открытому двумерному кругу. Прообраз этой окрестности в ^°
состоит из непересекающихся открытых четырехмерных шаров. Один
из них пересекается с поверхностью F по открытому двумерному кру-
гу, а остальные не пересекаются с F. Точка αΕ^°\Ρ, лежащая над
{x, y} G F, должна принадлежать одному из тех открытых четырех-
мерных шаров, которые не пересекаются с F. Отсюда мы заключаем,
что во всех случаях точка а обладает открытой окрестностью в ^°,
не пересекающейся с F. Следовательно, множество cé?°\F открыто
в ^°, а множество F замкнуто в <€°. Π
Отметим одно важное следствие этой леммы: пересечение поверх-
ности F с любым компактным подмножеством в ^° компактно. Мы
используем это свойство для определения целочисленного коэффи-
циента пересечения поверхности F с произвольным элементом моду-
ля Ж. Прежде всего ориентируем поверхность F, считая, что в точке
{х, у} = {у, x} g F ориентация поверхности F равна произведению
ориентации шнура N в точках х GAP и у^№} причем вначале берется

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
187
та точка, которая ближе к начальной точке шнура N. Ориентация
поверхности F обычным образом поднимается на F, так что поверх-
ность F становится ориентированной. Поскольку, как было замечено
в п. 3.5.4, вложение <€° <-» ^ является гомотопической эквивалентно-
стью, получаем, что
Ж = Η2(<£;Ζ)=Η2(<£0;Ζ).
Остальная часть определения совершенно стандартна. Чтобы опре-
делить коэффициент пересечения F · υ G Ζ для υ е Ж, мы возьмем
какой-нибудь двумерный цикл V в с€°) представляющий элемент υ.
Ввиду сделанных выше замечаний цикл V пересекает поверхность
F « R2 по некоторому компактному подмножеству, которое непре-
менно лежит внутри некоторого замкнутого двумерного круга в F.
Мы можем немного пошевелить цикл V в ^° так, чтобы сделать его
трансверсальным к этому кругу и чтобы при этом цикл V по-преж-
нему не пересекался с остальной частью F. Тогда множество F Π У
будет дискретным и компактным. Поэтому оно конечное и мы можем
подсчитать его точки со знаками ±, определенными ориентациями
<£, F и V. Стандартные рассуждения из теории гомологических пе-
ресечений показывают, что получившееся в результате целое число
F · υ = F · V зависит только от υ. Точнее говоря, любые два двумер-
ных цикла Vi и V2 в ^°, представляющие элемент υ € Ж, отличаются
на границу некоторой трехмерной цепи в<&0; такую цепь можно сде-
лать трансверсальнои к F и рассмотреть ее пересечение с F, которое
представляет собой компактное ориентированное одномерное мно-
гообразие. Из того факта, что это одномерное многообразие имеет
одинаковое количество входов и выходов, следует, что F · Vi = F · V2.
По аналогии с формулой (3.17) мы для любого υ G Ж положим
по определению
(Р,и)=^{ЧЧР-и)ЧЧ. (3.30)
k,l GZ
Здесь qktlF есть образ поверхности F при скольжении qktl накрытия
^ —» ^. Заметим, что, когда к и I пробегают Z, поверхность qktlF про-
бегает все возможные поднятия поверхности Fbï. Априори сумма
в правой части равенства (3.30) может быть бесконечной, но лем-
ма 3.25 утверждает, что она конечная.
Такие же вычисления, как в доказательстве леммы 3.18, показы-
вают, что при другом выборе поднятия F поверхности F выражение
(F, υ) умножается на некоторый моном от q±l, t±l.

188 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Лемма 3.25. Пусть г —> г* — инволюция кольца R = Z[q±:l, t*1],
переводящая q в q и t в —t. Пусть N — шнур в круге D, и пусть а —
ориентированная арка в круге с проколами (D, Q). Тогда для любого
α-класса υ е J*f имеет место равенство
(FN, ν) = -(q - ï)\qt + 1)(Ν, α)*, (3.31)
где (Ν, α) G R— коэффициент пересечения, определенный в п. 3.6.2.
Доказательство. Заметим, что левая часть равенства (3.31) опре-
делена с точностью до умножения на мономы от q±l, t±l, в то время
как правая часть определена с точностью до умножения на мономы
от q±l, t±2. Это равенство понимается в том смысле, что обе его части
имеют общего представителя. Тогда все представители его правой
части будут также представлять левую часть.
Передвинув концевые точки шнура N по окружности dD, мы мо-
жем продеформировать шнур N в шнур АГ' с начальной точкой а\ и ко-
нечной точкой d2, где di,d2edD — точки, использующиеся в конструк-
ции накрытия ^. Поверхности FN и FN> отличаются только на некото-
рое подмножество в цилиндрической окрестности края д^ в ^. Мы
можем выбрать поднятия FN и FN< так, чтобы они отличались только
на некоторое подмножество в цилиндрической окрестности края дЧ>
в ^. Так как элемент υ может быть представлен двумерным циклом
в дополнении к такой окрестности, получаем, что (FN,v) = (FN>,u).
Из определений следует, что (Ν, α) = (Ν', α). Таким образом, без по-
тери общности мы можем считать, что начальная точка шнура N
совпадает с à\> а его конечная точка — с d2.
Равенство (3.31) достаточно доказать для специального выбора
поднятия F = FN с ^. Зафиксируем некоторое поднятие ?G <& точки
с = {di, d2} G <€. За F мы примем то поднятие поверхности F = FN,
которое содержит точку Z.
Нам нужно точно указать поднятие Sa с ^ поверхности Sa, опре-
деленной в п. 3.7.1. С этой целью зафиксируем точки z~ G а~ и z G α,
а также зафиксируем пути θ~ и θ в проколотом круге Σ = D\Q, кото-
рые идут от точки di к точке z~ и от точки d2 к точке z соответственно
и образы которых не пересекаются. Рассмотрим путь {0~, 0} в ^, иду-
щий от точки с = {di, d2) к точке {z~, z). Обозначим через θ поднятие
этого пути в ^, начинающееся в точке Ζ. Путь θ заканчивается в точке
θ(1), лежащей над {z~} z} g Sa. За Sa с ^ мы примем то поднятие
поверхности Sa, которое содержит точку θ(1). Поверхности Sa и Sa
ориентированы так, как это было сделано в п. 3.7.1.

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
189
Будем считать, что шнур N пересекает арку а (соответственно
арку а~) трансверсально в m точках z\,..., zm (соответственно в точ-
ках z^,...,Zm) так, как в п. 3.6.2. Тогда поверхность F пересекает
поверхность Sa трансверсально в точках {zJ,Zj}, где i,j — 1, ...,m.
Поэтому для любых к, l G Ζ образ поверхности F при скольжении qktl
пересекает поверхность Sa трансверсально не более чем в т2 точках.
Складывая соответствующие знаки пересечений, мы получаем целое
число, которое обозначается qktl(F) · Sa G Z. Положим
σ= ^tféF.SaiqVeR.
fc,ZeZ
Сумма в правой части равенства конечная (она содержит не более
т2 членов).
Далее мы вычислим σ. Заметим, что для каждой пары i,jе{1,..., m}
существуют и единственны такие целые числа fcy, Uj G Ζ, что qkutluF
пересекает Sa в точке, лежащей над {яг,%} G ^. Обозначим через
Sij = ±1 соответствующий знак пересечения. Тогда
m m
i=l j=l
Выразим теперь правую часть этого равенства в терминах петель ξ^
и других данных, определенных в п. 3.6.2 (где dr = d\ и d = dz). Мы
утверждаем, что
или, иными словами, что kij = wfëij) и Uj = u(Ç{j;·) для всех i, j. Дей-
ствительно, мы можем поднять петлю ξ^ до пути Θβγ в *€, начи-
нающегося в точке с, где Θ,β,γ — поднятия путей {θ~,θ}, {ßf,ßj},
{ΥΓρ Yu) соответственно. В силу выбора поверхности Sa точка Θ(1) =
= /3(0) принадлежит ей. Тогда путь β целиком лежит на Sa. Путь Θβγ,
будучи поднятием петли ξ^, заканчивается в точке
r(D = v(Çu)(c)€V(Cu)FN.
Следовательно, поднятие γ пути {γ7γ^} лежит на ^(ÇijOF, и точка
^(0) = /3(1) лежит над {zj9 Zj} и принадлежит ipfëij)F nSa. Тем самым
наше утверждение доказано.
Далее мы утверждаем, что для всех i, j имеет место равенство
ey = -(-l)u(^V;·,

190 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где В{ (соответственно £,·)— знак пересечения дуг N и α в точке Z{
(соответственно в точке %). Прежде всего заметим, что 6ij есть знак
пересечения поверхностей FN и Sa в точке Цг, Zj} € <ß. Обозначим че-
рез х~ (соответственно х) положительный касательный вектор к шну-
ру N в точке zT (соответственно в точке %). Обозначим через у~
(соответственно у) положительный касательный вектор к арке а~
в точке z~[ (соответственно к арке а в точке %). Для определенности
будем считать, что точка %т находится ближе к точке d\ по шнуру N,
чем точка %. Тогда ориентация поверхности FN в точке {zJ,Zj} опре-
деляется парой векторов (x~,x). Ориентация поверхности Sa в точке
{z~,Zj} определяется парой векторов (у~,у). Отмеченная ориентация
многообразия ^ в точке {z[, Zj} равна умноженной на £;£,· ориентации
этого многообразия, определенной четверкой касательных векторов
(х",у~,х,у).
Тогда
поскольку в рассматриваемом случае пути уг. и jij заканчиваются
в точках di и d2 соответственно и число и(£и) четное. Аналогично
рассматривается случай, в котором точка Zj находится ближе к точ-
ке di по дуге N, чем точка 2Г.
Подводя итог, получаем
m m
σ = J] ^(-(-ir^^SiS^^h11^^ = -(Ν, α)*.
i=l j=l
Теперь мы можем доказать равенство (3.31). Пусть Ui,...9UnnU
такие, как в п. 3.7.1. Выбирая круги U\,...,Un достаточно малыми,
мы можем считать, что они не пересекаются со шнуром N. Тогда
qktlFf)U = 0 (3.32)
для всех fc, l е Ζ. Напомним, что α-класс υ представляется суммой
двумерной цепи в U и двумерной цепи (q — l)2(qt + l)S. Ввиду фор-
мулы (3.32) двумерная цепь в Î/ не дает вклада в (F, v)y поэтому мы
можем без опасений заменить υ на (q — l)2(qt + 1)S. По определению
S с Sa есть такая подповерхность в Sa, что Sa\ScU. Вследствие этого
аналогичные рассуждения показывают, что в вычислении (F, υ) мы
можем заменить S на Sa. Точно такие же вычисления, как в доказа-
тельстве леммы 3.18, приводят к равенствам

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
191
(F, v) = (q- l)2(qt + 1) ]Г (qktlF · Sa)q V =
fc,Ï€Z
= (q-l)2(qt + l)a=-(q-D2(qt + l)(N,a)*. D
Лемма 3.26. Если автогомеоморфизм f круга с проколами (D, Q)
представляет элемент из ядра Кег(Вп —> Aut^(Jif)), mo оля любого
шнура N и любой ориентированной арки а в (D, Q) имеет место
равенство (N,f(a)) = (ΛΓ, α).
Доказательство. Как мы уже заметили ранее, гомоморфизм
J * » Уь —> συ
отображает каждый α-класс υ е Ж в /(а)-класс. Из формулы (3.31)
и условия /* = id следует, что
4q-l)2(qt + l)(Nj(^
Поэтому (N, /(a)) = (N, a). D
3.7.3. Завершение доказательства
Выберем произвольный элемент в ядре Ker(ßn —> Aut^J*?)). Со-
гласно следствию 1.34 его можно представить некоторым гладким
автогомеоморфизмом / круга D, переставляющим точки множества
Q = {(1,0),..., (π, 0)}. Мы докажем, что гомеоморфизм / изотопен
тождественному отображению (rel Q U dD). Из этого будет следовать,
что
Ker(£n-+AutR0#?)) = {l}.
Начнем со следующего утверждения.
Утверждение 3.27. Арку а в круге с проколами (D, Q) тогда и
только тогда можно снять изотопией со шнура N, когда арку /(a)
можно снять изотопией с N.
Чтобы убедиться в этом, произвольным образом ориентируем
арку a и снабдим /(a) ориентацией, индуцированной гомеоморфиз-
мом /. Из леммы 3.26 следует, что (N, /(a)) = 0 тогда и только тогда,
когда (N, а) = 0. По лемме 3.21 это значит, что арку a можно снять
изотопией со шнура N тогда и только тогда, когда арку /(a) можно
снять изотопией со шнура N.
Мы применим утверждение 3.27 к следующим аркам и шнурам.
Обозначим для i = 1,..., η — 1 через щ арку [i, i + 1] х {0} с D и через
Ni — шнур, изображенный на рис. 3.7. Мы будем считать, что шнуры

192 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Ni,..., Nn_i попарно не пересекаются (тогда их концевые точки рас-
положены на окружности 3D последовательно). Ясно, что арка а; не
пересекается со шнуром Nj при всех j Φ i,i + 1. Из утверждения 3.27
следует, что арку /(щ) можно снять изотопией со шнура Щ при
j φ i, i + 1. Значит, арка /(α;) может заканчиваться только в точках
(i, 0) и (i + 1,0). Другими словами, арка /(а;) имеет те же самые
концевые точки, что и арка щ для всех i. При п>3из этого следует,
что гомеоморфизм / индуцирует тождественную перестановку мно-
жества Q. Предположим, что η > 3, откладывая случаи η = 1 и η = 2
на конец доказательства.
Как уже было объяснено, мы можем снять изотопией арку /(ai)
со шнура N3. Эта изотопия продолжается до некоторой изотопии
(relQU 3D) гомеоморфизма /, так что мы с самого начала можем
считать, что арка /(ai) не пересекает шнур АГ3. Аналогично арку/(ai)
можно снять изотопией со шнура N4. В силу результатов п. 3.6.1 это
можно сделать некоторой последовательностью изотопии, уничтожа-
ющих двуугольники, образованные парой дуг (N4, /(ai)). Так как дуги
N4 и /(ai) не пересекаются со шнуром N3, ни одна из них не образует
двуугольника со шнуром N3. Следовательно, изотопии по упомянутым
двуугольникам не создают пересечений арки /(ai) со шнуром АГ3. По-
вторяя это рассуждение, мы можем обеспечить дизъюнктность арки
/(ai) со всеми шнурами Ni для i = 3,4,..., η — 1. Нарисовав эти (непе-
ресекающиеся) шнуры, мы легко замечаем, что в дополнении к ним
все арки изотопны арке ai. Тогда, применив еще одну изотопию, мы
можем устроить так, чтобы выполнялось равенство /(ai) = ai. Заме-
тим, что все автогомеоморфизмы замкнутого отрезка, для которых
концевые точки неподвижны, изотопны тождественному отображе-
нию. Поэтому мы можем далее произотопировать гомеоморфизм /
так, чтобы он стал тождественным на арке ai. Применив аналогич-
ную процедуру к арке а,2, мы можем обеспечить равенство f\Œl = id
при сохранении равенства /|ai = id. Продолжая в таком же духе, мы
сможем произотопировать гомеоморфизм / так, чтобы он поточечно
сохранял отрезок [1,л] х {0}. Еще одной изотопией мы можем до-
биться того, чтобы в некоторой открытой окрестности этого отрезка
в круге D выполнялось равенство / = id. Другими словами, / = id
вне некоторой кольцеобразной окрестности А края 3D в проколотом
круге E = D\Q.
Отождествим кольцеобразную окрестность А с 3D х [0,1] так,
чтобы окружность 3D с ЗА отождествилась с 3D х {0}. Гомеоморфизм

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
193
f\A: А —> Л должен быть изотопен (reldA) fc-й степени скручивания
Дена по окружности dD х {1/2} с А для некоторого fceZ; см., на-
пример5, [Iva02, Lemma 4.1.А]. Итак, гомеоморфизм / изотопен fc-й
степени gk, где g— автогомеоморфизм круга D, действующий на А
как скручивание Дена и на D\A как тождественное отображение.
Мы утверждаем, что гомеоморфизм g действует на модуле Ж как
умножение на моном q2ntb для некоторого b € Ζ. (На самом деле b = 2,
но нам это не понадобится.) Тогда индуцированный гомоморфизм
/* : Ж —> Ж будет умножением на q2nktbk. При fc φ О гомоморфизм /*
не может быть тождественным: если бы это было так, то выполня-
лось бы равенство
{q2nktbk- 1)Я? = 0,
что ввиду линейности отображения
œ->Z[q±l9t±l], v^{FN,v),
означало бы, что это отображение равно нулю для любого шнура N.
Согласно лемме 3.25 мы будем иметь {N, а) = О для всех дуг N и а.
Но последнее утверждение неверно, как было замечено перед форму-
лировкой леммы 3.20. Это противоречие показывает, что fc = 0. Следо-
вательно, гомеоморфизм / изотопен тождественному отображению.
Чтобы вычислить действие гомеоморфизма g на модуле Ж, рас-
смотрим гомеоморфизм g: <€—>*&, определенный по формуле
Ш*,у» = {*(*)> *(у)}
для различающихся х,у G Σ; ср. п. 3.5.3. Рассмотрим его поднятие
g: *& —> ^, неподвижное на всех точках, лежащих над отмеченной
точкой с = {di, d2} G ^. Так как g = id вне А, получаем, что g = id
вне множества {(х, у) G ^ : л: G А или у G A}. Обозначим через Лс^
прообраз этого множества при проекции накрытия ^ —> ^. Гомеомор-
физм g должен действовать на дополнении ^ \ А как скольжение qatb
для некоторых a, b G Z. Множество А представляет собой трубчатую
окрестность края дЧ? в ^, и поэтому любой двумерный цикл в ^ мо-
жет быть продеформирован в ^\А. Следовательно, гомеоморфизм g
действует на модуле Ж как умножение на qatb.
Далее мы проверим, что а = 2п. Для i = 1,2 определим путь 5i : I —>
—> А по формуле δ* (s) = di x 5, где s G J = [0,1] и dь d2 G dD — те точки,
5 В этой работе цитируемая лемма сформулирована для диффеоморфизмов, но вся-
кий гомеоморфизм двумерной поверхности изотопен некоторому диффеоморфизму. —
Прим. перев.

194 Глава 3. Гомологические представления групп кос
которые используются в конструкции ^. Положим δ = {δ1,δ2}:7—>^,
и пусть δ : J —» ^ — произвольное поднятие пути δ. Точка δ(0) лежит
над точкой с, и потому #(δ(0)) = δ(0). Точка δ(1) лежит в замыкании
дополнения *%\Α, и потому g(5(l))=qatb5(l). Итак, nyrbgoô: I-+V
идет от точки δ(0) к точке qatb5(l). Умножив на δ-1, мы получим
путь δ-1(£ο δ) в ^, идущий от точки δ(1) к точке qatb5(l). По опре-
делению накрытия <€ —> ^ целое число a должно равняться значению
инварианта w на петле, полученной при проектировании последнего
пути в <#. Эта петля есть не что иное, как
δ-1(?οδ) = {δ-1(^οδ1),δ-1(^οδ2)}.
Следовательно,
а = ш(5-г(?о δ)) = w(5?(g о 5г)) + w{5?(go δ2)).
Остается заметить, что ьи(57г^ о δ;)) = η для i = 1,2. Это завершает
доказательство в случае η > 3.
Остальные случаи η = 1,2 легки. Для π = 1 нечего доказывать,
так как В\ = {1}. Группа Вг бесконечная циклическая, и квадрат ее
образующей есть скручивание Дена, как и в предыдущих абзацах.
Как только что объяснено, оно представляет элемент бесконечного
порядка в Aut# (J*f).
Замечания
Представление Бурау ψη впервые определил Бурау в работе [Вш35].
Вариант теоремы 3.1 был впервые получен Сквайером (см. [Squ84]),
использовавшим вместо Θη другую, более сложную матрицу. Матри-
ца Θη в теореме 3.1 была указана Перроном; см. [РегОб].
Точность представлений гр2 и гр3 известна давно; см. [Bir74]. Муди
(см. [Моо91]) первым доказал, что представления ψη неточны при
η > 9. Лонг и Патон (см. [LP93]) обобщили аргументацию Муди на слу-
чай η > 6. Бигелоу (см. [Big99]) доказал, что представление ψ5 неточ-
ное. Наше изложение в § 3.2 следует идеям и технике этих статей.
Примеры из п. 3.1.3 взяты из статьи [Big99]. Доказательство лем-
мы 3.5 сообщил авторам Николай Иванов; см. также [PROO, Prop. 3.7].
Теорема 3.7 фольклорная. Приводимость представлений ψη хорошо
известна; см. [Bir74].
Полином Александера — Конвея представляет собой обобщенный
Дж. X. Конвеем полином Александера для зацеплений; см. изложение

Замечания
195
в книге [Lic97]. Бурау вычислил полином Александера для замыка-
ния косы исходя из ее матрицы Бурау; см. [Bir74]. Обобщение этого
результата на полином Александера — Конвея (§ 3.3 и второе утвер-
ждение в теореме 3.13) принадлежит В.Г.Тураеву (неопубликовано).
Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу—это одно из се-
мейства представлений, определенных Лоуренс в работе [Law90]. Эта
работа была инспирирована изучением полинома Джонса для зацеп-
лений и касалась представлений алгебр Гекке, возникающих из дей-
ствий групп кос на группах гомологии конфигурационных пространств.
Теорема 3.15 была доказана независимо друг от друга и с разных то-
чек зрения Краммером (см. [Кга02]) и Бигелоу (см. [BigOl]), после то-
го как Краммер доказал ее для η = 4 в работе [КгаОО]. Теория шнуров
(§ 3.6) и изложенное в § 3.7 доказательство теоремы 3.15 принадлежат
Бигелоу; см. [BigOl]. (В цитируемой работе Бигелоу также использует
понятие вилки, введенное Краммером в работе [КгаОО]. Здесь мы обо-
шлись без использования вилок.) Дополнительные сведения по этой
и связанным с ней темами можно найти в обзорах [Big02], [Tur02],
[ВВ05].

;i%ipä-¥f ν;;·.·
Симметрические группы
и алгебры ивахори — гекке
Изучение группы кос Вп естественно приводит к так называемой
алгебре Ивахори — Гекке Нп. Эта алгебра представляет собой конеч-
номерный фактор групповой алгебры группы Вп, зависящий от двух
параметров qnz. Наш интерес к алгебрам Ивахори — Гекке обуслов-
лен их связью с косами и зацеплениями, а также красивой теорией
их представлений, которая будет обсуждаться в следующей главе.
В качестве приложения теории алгебр Ивахори — Гекке мы опре-
делим полином Джонса — Конвея от двух переменных для ориенти-
рованных зацеплений в евклидовом трехмерном пространстве. Этот
полином, известный также как HOMFLY или HOMFLY-PT, обобщает
как полином Александера — Конвея, определенный в предыдущей гла-
ве, так и знаменитый полином Джонса для зацеплений.
Для q = 1 и Ζ = 0 алгебра Ивахори — Гекке Нп является групповой
алгеброй симметрической группы 6П. Для произвольных значений
параметров алгебра Нп обладает целым рядом свойств групповой
алгебры симметрической группы <5п. Поэтому мы начнем с того, что
напомним основные свойства симметрической группы 6П.
§4.1. Симметрические группы
Симметрической группой Θ„, η > 1, называется группа всех пе-
рестановок множества {1,2,...,л}. Групповым законом в ней слу-
жит композиция перестановок, а нейтральным элементом — тожде-
ственная перестановка, неподвижная на всех элементах множества
{1,2,...,л}.

§4.1. Симметрические группы
197
4.1.1. Задание симметрической группы βη
образующими и соотношениями
Зафиксируем целое число η > 1. Для целых чисел i и j, К i < j < η,
мы обозначим через Zij перестановку, меняющую местами i и j, и
оставляющую неподвижными все остальные элементы множества
{1,2,..., п}. Такая перестановка называется транспозицией. Всего име-
ется п(п —1)/2 транспозиций в группе 6П.
В случае ; = i + 1 мы вместо τ1>; будем писать S{. Транспозиции
5i,..., 5П_1 называются простыми транспозициями. Легкое упражне-
ние — проверить, что простые транспозиции удовлетворяют следую-
щим соотношениям для всех i, ; = 1,..., η — 1:
SiSj = SjSi, если \i — j\>2,
SiSjSi = SjSiSj, если \i — j\ = 1, (4.1)
*? = !·
Обозначим через Gn группу с образующими 5i,...,5n_i и соот-
ношениями, получающимися из равенств (4.1) заменой каждого 5*
на Si. Группа G\ тривиальна. Группа G2 имеет одну образующую к\>
подчиняющуюся единственному соотношению 5^ = 1; отсюда следу-
ет, что G2 — циклическая группа порядка 2. Для каждого η имеется
канонический гомоморфизм групп Gn —> Gn+i, отображающий S[ e Gn
в hi e Gn+i для i — 1,..., η — 1.
Теорема 4.1. Для всех η > 1 существует такой гомоморфизм
групп φ : Gn —> Gn+i, что φ(^) = 5^ для всех i = 1,..., η — 1. Гомомор-
физм φ является изоморфизмом.
Из определения группы Gn и соотношений (4.1) непосредствен-
но следует существование (и единственность) гомоморфизма φ. Би-
ективность гомоморфизма ψ будет доказана в п. 4.1.2 с помощью
лемм 4.2 и 4.3.
Теорема 4.1 доставляет стандартное задание группы Θη образую-
щими и соотношениями. В качестве ее применения определим знак
перестановки. По определению группы Gn существует единственный
гомоморфизм групп % : Gn —> {±1}, для которого x(sî) = —1 для всех
i — 1,..., η — 1. Знак e{w) G {±1} перестановки w G Θπ определяется
по формуле
Ясно, что e{si) = х {ßi) = —1 для всех i = 1,..., η — 1.

198 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Лемма 4.2. Для любого η > 1 каждый элемент группы Gn можно
записать в виде слова с буквами Si,..., sn-i, в которое буква sn-i вхо-
дит не более одного раза.
Доказательство. Будем действовать индукцией по п. Сделанные
выше вычисления групп G\ и G<i показывают, что это утверждение
верно при η = 1 и η = 2. Предположим, что лемма верна для η — 1 > 2,
и докажем ее для п. Так как 5? = 1, или, что эквивалентно, ij"1 = s* для
всех i = 1,..., η — 1, любой элемент группы G„ можно записать в виде
слова с буквами 5Ь..., 5n_i.
Пусть w = w\sn-\W2Sn-\W2 — такая запись элемента из Gn, в кото-
рую буква sn_i входит по крайней мере дважды. Мы можем считать,
что 5П_1 не входит в Ш2- Следовательно, w-i принадлежит образу груп-
пы Gn-i в Gn при каноническом гомоморфизме Gn-\ —> Gn. По предпо-
ложению индукции мы можем записать элемент и>2 в виде слова с бук-
вами 5i,..., 5П_2, в которое буква 5П_2 входит не более одного раза.
Если буква 5П_2 не входит в слово и>2, то оно представляет собой
СЛОВО С буквами 5ь ..., 5п_з. НО МЫ ИМееМ СООТНОШеНИЯ 5n__i5i = 5i5n_i
для всех i < η — 3. Поэтому w2 коммутирует с 5n_i и
W = WiSn-iW2Sn-iW3 = Ш1Ш25^_1Ш3 = WiW2W3.
Таким образом, мы уменьшили число вхождений буквы 5n_i в w на 2.
Если буква 5^-2 входит в слово w2 ровно один раз, то юг = w'sn-2w",
где w' и w" — слова с буквами s\9..., 5п_з. Ясно, что и/ и w" комму-
тируют С 5П_1 И
w = Wi^-iu^-i ш3 = Wi5„_i ш^п-ги/Чг-! ш3 = w\w'sn-\sn-2Sn-\w" w^
Используя соотношение 5n_i5ri_25n_i = 5n_25n_i5ri_2, получаем
Ш = W\W'Sn-2Sn-\Sn--2w" \иЪ.
Таким образом, мы уменьшили число вхождений буквы sn-\ в слово ш
на 1. Итерируя эту процедуру, мы добьемся требуемого. D
Определим в группе Gn следующие подмножества:
Z?i = {l,si},
Σ2 = {l,52,525i},
^3 = {Ι» 5з, 5з52,5з5251},
Ση-1 — {1> 5n_i, 5n_i5n_2, ... , Sn-iSn-2 ... 525i}.
Заметим, что card Σ{ = i +1 для всех i = 1,..., η — 1.

§4.1. Симметрические группы
199
Лемма 4.3. Любой элемент группы Gn можно записать в виде
произведения Wiu>2... wn-i, где Wi G Д для всех i = 1,..., η — 1.
Доказательство. Докажем эту лемму индукцией по п. Для η = 1
и η = 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно для
η — 1 > 2, и докажем его для п. Ввиду леммы 4.2 достаточно рас-
смотреть элемент w G Gn, представленный в виде слова с буквами
ii,...,5„_i, в которое буква 5n_i входит ровно один раз, а именно
w = ifiin-i^, где w\ и ш2 — слова с буквами si,..., sn-2. По предполо-
жению индукции w2 = u\u2 ... ün-2, где щ G Σ; для всех i = 1,..., η — 2.
Так как sn_iS{ = Siin_i при i < π — 3, все элементы из Д при i < π — 3
коммутируют с 5п_ь Следовательно,
W = WiSn-1W2 = W1Sn-1U1U2 .. . ün_2 = W1U1U2 . .. 1*Π_35Π_11ΖΠ_2.
В последнем выражении элемент WiUiu2 . ..ип_3 приходит из G„_i
и по предположению индукции может быть разложен в произведение
v\v2... υη-2, где щ G Д для всех i = 1,..., π—2, тогда как sn-\un-2 G £n_i.
Π
4.1.2. Доказательство теоремы 4.1
Хорошо известно (и легко доказывается), что простые транспози-
ции si,..., sn-\ порождают симметрическую группу 6П. Поэтому гомо-
морфизм ψ : Gn-><5n сюръективен. Следовательно, cardGn>card6n=n!.
С другой стороны, рассмотрим отображение φ', переводящее (шь w2,
..., wn-i) G Ï7i x Σ2 x ... Χ JC„_i в Ш1Ш2 ... wn-i G Gn. Из леммы 4.3
следует, что отображение φ' сюръективно. Следовательно,
п-1
card Gn < [~] card Et = π!.
Итак, cardGn = card&n. Значит, φ: Gn-*<Sn есть биекция. D
Как было только что подмечено в этом доказательстве, отображе-
ние φ' : Σ\ х Σ2 x ... x Ση-\ —> Gn сюръективно. Поскольку card Gn =
= n\ = card(I7i x Σ2 x ... x Z7n-i)> это отображение является биекцией.
Таким образом, мы получили следствие из теоремы 4.1.
Следствие 4.4. Рассмотрим в группе 6П следующие подмножества:
27i = {l,5i},
Σ2 = {l,52,525i},
^3 = {1, 5з, S3S2, 53525l},
^n-1 — {1, $п-Ъ Sn_i5n_2, ... , Sn-\Sn-2 . .. S25i}.

200 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Для любой перестановки w € Θπ существует единственный элемент
Оь u/2,..., u/n_i) € Ζα x Γ2 Χ · · - Χ Ση-λ9
для которого w = W\W2... шп_1.
4.1.3. Приведенные выражения и длина перестановки
Так как sr1 = Si для всех i = 1,..., л — 1 и элементы si,..., sn-i
порождают группу Θη, любая перестановка ш g 6n может быть разло-
жена в произведение w = s^... Sir, где ii, Î2,..., ir € {1,2,..., л — 1}.
Если г минимально среди всех таких разложений перестановки w,
то мы говорим, что SijS^...5^ есть приведенное выражение переста-
новки w и что s^s^... Sir есть приведенное слово. Перестановка может
иметь много разных приведенных выражений.
Определим длину А(ш) перестановки w как длину г любого приве-
денного выражения s^s^.-.s^ перестановки w. Отметим следующие
факты.
1. Если Si^... Sir —приведенное выражение перестановки w, то
Sir · · · Si2 5ij — sir * * * 5i25*i
есть приведенное выражение перестановки w~l, Отсюда следует, что
Xiw"1) — A(w) для любой перестановки ш.
2. Если s^s^.^.s^— приведенное слово, то для любых индексов
1 < ρ < q < г усеченное слово SipSip+l ... Siq является приведенным.
3. Нейтральный элемент 1 € <&п является единственным элемен-
том длины 0, а простые транспозиции — единственными элементами
длины 1.
4. Знак ε[\υ) любой перестановки w можно вычислить по его
длине А(ш) по формуле
e(w) = (-1)я(ш). (4.2)
Лемма 4.5. Для любой перестановки w e 6П и любой простой
транспозиции Si е 6n имеют место равенства
X{siw) = X{w)±l и X{wsi) = А(ш) ±1.
Доказательство. По определению длины слова имеем
X(siw) < А(ш) + 1.
Заменив в этой формуле w на SiW, мы получим
А(ш) = A (s? w) < Afow) + 1.

§4.1. Симметрические группы
201
Следовательно, А(ш) — К A(siw) < Я(ш) +1. По формуле (4.2) имеем
e(siw) = e(si)e(w) — — s(w),
откуда следует, что Afow) φ A(w). Значит, X(stw) = Я(ш) ± 1.
Заменим в этом равенстве w на w~l и используем факт 1 и соот-
ношение 5Г1 = Si, в результате чего получим
X(wsi) = А((Ш50-1) = A(sra w"1) = Afe-iiT1) = Afu;"1) ± 1 = А(ш) ± 1
—другое искомое равенство. D
4.1.4. Инверсии и теорема о замене
Для любой перестановки w G6n мы определим инверсию этой
перестановки как такую пару целых чисел (i, j), 1 < i < j < π, что
ш(0 > w(j). Обозначим через I(w) множество всех транспозиций
τ и ^ &п, соответствующих всем инверсиям (i, j) перестановки w.
По определению мощность множества I(w) равна количеству всех
инверсий перестановки w.
Ясно, что 1(1) = 0 и /(5i) = {st} для всех i = 1,..., η — 1. Также
заметим, что τ^ g /(τ^) для любой транспозиции τ^· g 6n.
Чтобы сформулировать следующую лемму, напомним, что сим-
метрической разностью ААВ двух подмножеств А и В данного мно-
жества G называется
ААВ = (АоВ)\(АПВ).
Симметрическая разность является ассоциативной и коммутативной
операцией на множестве всех подмножеств данного множества G,
нейтральным элементом которой служит пустое множество. Если G —
группа, то для всех g^G имеет место равенство
g"1 (Л Δ B)g = (g-lAg) Δ (g-^g), (4.3)
где g~xAg для Л с G и g G G определяется как
g~lAg = {g-1ag:aeA}.
В доказательстве следующей леммы мы используем элементарное ра-
венство
{A U {а}, если a é A,
(4.4)
Л\{а}, если α G Л.
Лемма 4.6. Для всех v,w G 6n имеет место равенство
I(vw) = шч1(у)шА/(ш).

202 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Доказательство. Докажем лемму индукцией по Я(ш).
1. Если А(ш) = 0, то w = 1 и
ги'Ч^ш A I(w) =1 (υ) Δ 0 = /(i;) - /(i/ш).
2. Если A(w) = 1, то ш = Sfc для некоторого к = 1,..., η — 1. Мы
должны доказать, что для всех υ g Θπ имеет место равенство
ДюО^/О^АЫ. (4.5)
Сначала проверим, что
I(vsk)\{sk} = s-1Uu)sk\{sk}. (4.6)
Действительно, транспозиция ту принадлежит J(i;sfc)\{sk} тогда и
только тогда, когда τ;>; ^ sk и (i^5fc) (i) > (vsk) (j). В случае Tij Φ sk имеем
5fc(0 < Sk0')j и поэтомУ (^5fc)(i) > (vsk)(j) тогда и только тогда, когда
пара (sfc(0,5fcü)) является инверсией перестановки υ. В свою очередь,
это эквивалентно тому, что Tij Φ sk и skTijs^1 = TSfc(£)jSfcö) € Я1*)· Α по-
следние условия эквивалентны тому, что τ^ G я^ДьО^А^к}· Таким
образом, равенство (4.6) доказано.
Далее, заметим, что включение ske.I(v) имеет место тогда и толь-
ко тогда, когда sk φ I(vsk). В самом деле, неравенство ν (к) > υ (к + 1)
эквивалентно тому, что
(i/sfc)(fc) = v(k + 1) < i/(fc) - (vsfcXfc + 1).
Теперь мы можем доказать равенство (4.5). Если sk G Ι (υ), то,
как мы только что заметили, sk φ I(vsk). Поэтому, используя равен-
ства (4.6) и (4.4), получаем
I(usk) = I(vsk) \ {sk} = s~lI(v)sk \ {sk} = s"1 J(i;)sfc Δ {sk}.
Если sk φ I(v), то sk Ε I(vsk) и, используя равенства (4.6) и (4.4), мы
получаем
I(vsk) = (I(usk)\{sk}) U {sk} = {s^I(u)sk\{sk}) U {sk} =
= s^IWsjc U {sk} = s^/OOsfc Δ {sfc}.
3. Если А(ш) > 1, то ш = usk, где u € 6n и A(tx) = Я(ш) — 1. Имеем
I(uw) = I(uusk) = s^/Ci/uJsjt Δ {sfc} =
= s-1{u-1I(v)uAimskA{sk} =
= (s^u^lMuSkAs^lWsk) Δ Ы =
= s^u-^)^ Δ (s~lI(u)sk A {sk}) = w~lî{v)w A î{w).

§4.1. Симметрические группы
203
Здесь второе и шестое равенства следуют из случая Я(ш) = 1, тре-
тье— из предположения индукции, четвертое — из формулы (4.3),
а пятое — из ассоциативности операции Δ. D
Лемма 4.7. Пусть Τ = {τ^· : 1 < i < j < η} с Θπ. Для любой пере-
становки w е6п справедливы следующие утверждения:
1) А(ш) = cardI(w);
2) Я(ш) < п{п —1)/2 и Я(ш) = п[п —1)/2 β том и только том случае,
когда l{w) = Τ;
3) /(ш) = {τ€Γ: λ(νυτ) < Я(ш)};
4) Я(ш5!) = Я(ш) + 1 тогда и только тогда, когда w(i) < w(i + 1).
Доказательство. 1. Пусть г = А(ш) и ш = s^..^—приведен-
ное выражение для перестановки ш. Повторное применение леммы 4.6
показывает, что
где ti,..., tr g 6П —транспозиции, определенные формулами
^ = ^+1···4Γ4(4+1···5υ (4.7)
для 1 < к < г. В частности, tr = Sfr. Заметим, что
wtk = Silsi2... sik_lSiksik+1... sir (sffc+1... Si,)-1 Sb (sik+1... sir) =
= sil...sik_1siksik+1...sir, (4.8)
где шляпка над элементом указывает на то, что его нужно вычеркнуть.
Мы утверждаем, что все транспозиции t\,..., tr попарно различны.
Докажем это от противного. Предположим, что tp — tq для некоторых
ρ < q. Аналогично только что сделанному вычисление показывает, что
w = wt% = wtptq = s^...£р...£q... sir.
Тогда Я(ш) < г — противоречие. Следовательно, I(w) представляет со-
бой дизъюнктное объединение одноточечных множеств {ti},..., {tr}
и имеет г = Я(ш) элементов.
2. Имеем Я(ш) = cardJ(w) < cardT = n{n-1)/2.
3. В доказательстве п. 1 мы показали, что J(w) = {t\9..., tr} и
wtk-Sil..Sik...sir
для всех к=1,..., г. Поэтому Я(ш^)<Я(ш) для всех к, т. е. Я(шт)<Я(ш)
для любого τ G 7(ш).

204 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Если τ G Г не принадлежит J(w), то τ = τ_1ττ φ t~1I(w)t, тогда
как τ G /(τ). Следовательно,
τ g т_1/(ш)т Δ /(τ) = Дшт).
Рассуждая, как выше, получаем
Я(ш) = А(шт2) < А(шт).
4. В силу леммы 4.5 и п. 3 равенство A(wsf) = А(ш) + 1 имеет
место тогда и только тогда, когда Si φ I(w), что эквивалентно неравен-
ству w(i) < ш(* + 1). D
Докажем теперь так называемую теорему о замене.
Теорема 4.8. Пусть s^,..., s;r — приведенное выражение для пере-
становки ш€бп (г = А(ш)). Если A(wsj) < А(ш), где j G {1,..., η — 1},
то существует такое k G {1,..., г}, что wsj = 5i2 5ï"fc Sir. Если
A(s/w) < A(w) для некоторого j G {1,..., η — 1}, то существует такое
k G {1,..., г}, что s;u; = sfl... fik... sir.
Доказательство. В доказательстве леммы 4.7 (1) мы показали,
что I{w) = {ti,..., tr}, где ti,..., tr — транспозиции, определенные фор-
мулами (4.7). Если A(wsj) < А(ш), то Sj G I(w) по лемме 4.7 (3). Сле-
довательно, Sj = tk для некоторого к G {1, ...,г}. По формуле (4.8)
получаем Л
u;s; = u;tfc = sil...5ik...sir.
Второе утверждение теоремы выводится из первого, если заменить w
на ш-1. D
Следствие 4.9. Пусть w G Θη. Если A(ws,·) < А(ш) для некоторого
j G {1,..., π — 1}, mo существует приведенное выражение для пере-
становки w, которое заканчивается на Sj. Если A(sjw) < А(ш) для
некоторого j G {1,..., η — 1}, mo существует приведенное выражение
для перестановки w, которое начинается с Sj.
Это следствие непосредственно вытекает из предыдущей теоремы:
если A(wsj) < А(ш), то wsj = s^... sïk... Sir, и ш = s^... sïk... SirSj есть
приведенное выражение для перестановки ш, так как его длина равна
г = А(ш). Второе утверждение доказывается аналогично.
Мы завершим этот пункт леммой, которая нам понадобится позже
в доказательстве леммы 4.18.
Лемма 4.10. Если XfawSj) = А(ш) и A(siw) = A(u/Sj) для w G Θη
и некоторых i, ; G {1,..., π — 1}, mo 5iU; = ws; и SiWSj = ш.

§4.1. Симметрические группы
205
Доказательство. 1. Сначала предположим, что
Xfaw) — X(wSj) > X(s{WSj) = X{w).
По лемме 4.6 получаем
I(siw) = w~ll(si)w Δ l(w) = {w~lSiw} Δ I{w).
Так как X{siWSj) < X(sîw) и X(wsj) > X(w), из леммы 4.7 (3) следует,
что Sj принадлежит I(siiu) и не принадлежит /(ш). Следовательно,
Sj = w^Siiv, а значит, SiW = wsj и SiWSj = wsf = w.
2. В случае X{ßiiv) = A(wsj) < X{siWSj) = X{w) будем рассуждать
аналогично, используя равенства
I(w) =I(si(siw)) = {w~lSiw) Δl{si\v). D
4.1.5. Эквивалентность приведенных выражений
Для п> 1 обозначим через Мп множество всех конечных после-
довательностей целых чисел из множества {1, ...,п — 1}, включая
пустую последовательность. Снабдим множество Мп ассоциативным
умножением, задаваемым конкатенацией. Таким образом, Мп стано-
вится моноидом, в котором нейтральным элементом служит пустая
последовательность.
На множестве Мп рассмотрим отношение эквивалентности ~, по-
рожденное следующими двумя семействами соотношений:
Si (i, j)S2~ Si 0\ 0*2 (4·9)
для всех Si,S2£Mn и всех/,; g{1, ...,п — 1}, для которых \i — j\>2, и
Si(i,;,0S2-SiÜ,i,;)S2 (4.10)
для всех Si, S2 G Мп и всех i, ; G {1,..., η — 1}, для которых \i — j\ = 1.
Заметим, что эквивалентные последовательности имеют одинаковую
длину. Отношение эквивалентности ~ было выбрано так, чтобы вы-
полнялось условие
(ib...,ik) ~ (ji>--->Jk)eMn => ^...5,^ =sh...sjk е6п.
Лемма 4.11. Если s^... Sik и s;i... sjk — приведенные выражения для
одной и той же перестановки w G 6П, то (ii,..., ik) ~ 0ъ · · · > Jk) β Μη.
Эта лемма показывает, что для любой перестановки w G<5n мы
можем перейти от одного приведенного выражения для этой пере-

206 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
становки к любому другому приведенному выражению для этой же
перестановки только с помощью соотношений
SiSj = SjSi, если \i — j\ > 2,
SiSjSi = SjSiSj, если \i — j\ = 1.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по к. Если к = О, то
ш = 1 имеет только одно приведенное выражение. Если к = 1, то ш = s;
для некоторого i и ш имеет только одно приведенное выражение.
Предположим, что к>2.Из равенства s^... Sifc = sjl... sjk следует,
что 5f2...Sffc = 5i,5/j...s,-fc. Так как Si2...Sik — приведенное выражение,
мы получаем, что
Я(5^5Л...sjk) = X(si2...Sik) = fc-1 < к = X(sh...5Л).
Следовательно, по теореме 4.8 существует такое целое число р,1<:р<:к,
что
Si2...Sik=Si1sh...sJk=sJ1..SJp...sJk. (4.11)
Так как слова Si2... s;fc и s^... sjp... sJfc представляют одну и ту же пере-
становку и имеют одинаковую длину /с — 1 и так как Si2...Sik — приве-
денное выражение, получаем, что s;i... sjp... sjk также приведенное вы-
ражение. По предположению индукции (i2,..., ik) ~ О'ъ..., jp,..., ;'к).
Следовательно,
(il, Î2, ·. ·, ik) ~ (ii, ji, · - -, 7p, - - -, À)· (4.12)
Слово SJJ...5/ , будучи частью приведенного слова s^...^, также
приведенное. Из второго равенства в формуле (4.11) следует, что
Si^... 5Jpl5;p = Sjj... 5Jpl. Домножив обе части этого равенства справа
на sjp и воспользовавшись тем, что sj = 1, получаем, что s^... sjpl =
= 5,-j...Sjp. Оба слова в последнем равенстве имеют одинаковую дли-
ну р, и второе из них (s;i... sjp) приведенное, поэтому первое из них
(s^s/j. ·. Sjp_г) также приведенное. Если ρ < fc, то мы можем применить
предположение индукции и получить эквивалентность
(ii,72,...,jp-i)~Ob...,Jp).
Используя ее и эквивалентность (4.12), получаем
(il, h, - - -, ik) ~ (il, Л, · · ·, Jp, · - ·, À) = (il, Л, · · ·, jp-i)ÜP+b · · ·, À) ~
~ Ob · · · > Jp)C/p+b · · · 9 )k) = (jl, . · · , jp, jp+1, · · -, )k),
что и требовалось доказать.

§4.1. Симметрические группы
207
Если ρ = к, то формула (4.12) превращается в эквивалентность
(il, Î2,..., У ~ (il, )ъ ·. -, Â-i). Отсюда следует, что
5iiSJi· · · sJk-i = ShSi2··· \ = SJiSh· * * SJk'
Итак, для того чтобы доказать импликацию
su...Sik = 5Л...Sjk => (ii,..., ifc) ~ (л,...,;fc),
достаточно доказать импликацию
Si^... 5Л-1 = sh... sjk =» (ii, л,..., л-i) ~ (л,..., л). (4.13)
Начнем теперь рассуждать заново с приведенными выражениями
Sj1... Sjk = s^Sj^^... 5jfc_1. Действуя, как и выше, мы видим, что для того
чтобы доказать импликацию (4.13), достаточно доказать импликацию
SJi Sh Sh · · ' SJk-2 = 5ii Sh Sh · * ' Sh-i =*
=> O'i, il, h,..., Jit-2) ~ (il, ji, J2,. ·., Λ-i). (4.14)
Докажем импликацию (4.14) сначала в случае |fi — ji\ > 2. Тогда
ShShSh · · · SJk-2 = 5JiSiiSJ'i * · · 5Л-2 ~ ShShSJ2 · ' · SJfc-i ·
Сократив слева на s^s^, мы получаем
SJl · · · SJk-2 ~ SJ2 · * * 5λ-2 *
Обе части являются приведенными выражениями длины к—2. По пред-
положению индукции ΟΙ,..., jk-i) ~ 0*2, - · -, Â-i)· Используя эту экви-
валентность и формулу (4.9), получаем
О'ь ii, Л, · · -, jk-i) = О'ь ii)О'ь - - -, jk-2) ~
~ (ii, ji)Ü2, - - -, Λ-i) = Öl, Ji, J2, - - -, Λ-i),
что и требовалось доказать.
В случае |ii — ;Ι| = 1 мы снова действуем, как ранее, и сводим
доказательство импликации (4.14) к тому, чтобы показать, что
Sh Sh Sh Sh * * · SJk-3 ~ SJi Sii Sh Sh · * · Sk-2 ^
=> (il, Л, il, Ji,.. ·, Jfc-з) ~ O'i, il, Ji, J2,. · ·, jfc-2).
Из этого равенства вместе с соотношением Sj1Si1sJ1 =5^5/^^ следует, что
sJiSiiSJiSh·· · 5Jjt-3 = Sii5JiSiiS;'i * * · 5Л-з = sJiShsJiSJ2· * · SJk-2'
После сокращения слева на s^s^s^ получаем
SJi---SJk-3 =Sh---S)k-2-

208 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Так как обе части этого равенства являются приведенными выра-
жениями длины fc — 3, мы можем применить предположение индук-
ции и получить эквивалентность 0'ъ · · ·, Л-з) ~ 0*2 · · · , Â-2)· Отсюда
и из формулы (4.10) получаем
(il, Л, il, Л, · ·, Л-з) = (il, Ji, ii)(/i, · · ·, Л-з) ~
~ O'i, il, ji)0*2, · · -, jk-i) = O'i, ii, Ji, J2, · · ·, Л-2),
что и требовалось доказать. D
Следующая теорема полезна для определения отображений сим-
метрических групп в моноиды.
Теорема 4.12. Для любого моноида M и любых элементов х\у...,
xn-i G M, удовлетворяющих соотношениям
XiXj = XjXi, если \i — j\>2,
XiXjXi = XjXiXj, если \i — j\ = 1,
формула , Л
p(w)=Xi1...Xik,
где w — перестановка u3<5nuw=Si1...Sik — произвольное ее приведен-
ное выражение, корректно определяет отображение ρ : бп —> M как
множеств.
Доказательство. Определим гомоморфизм моноидов р': Мп->М
по формуле .,. . Л
ρ (il,..., 11:)=^...^
для всех (ii,..., ik) € Мп. Мы утверждаем, что p'{S) = ρ7(S7) для всех
S, S7 G Mn, для которых S ~ S7. Действительно, по определению экви-
валентности ~ это утверждение достаточно доказать в случае, когда
S = Si(i, ;)S2 и S7 = Si(;, i)S2 (соответственно S = Si(i, j, i)S2 и S7 =
= Si0", i, ЛйО, где Si, S2 GMn и i, j G {1,..., n — 1} таковы, что |i—;| > 2
(соответственно \i — j\ = 1). По условиям теоремы
p'(Si(i,;)S2) = p'^XiXjp'fa) = p4Si)*j*ip'(S2) = p7(Si(;,i)S2),
если |i —;| > 2, и
p4Si(i,;,i)S2)=p4Si)x^^^
если |i — 71 = 1.
Проверим, что отображение р определено корректно, т. е. если
5i2... Sik и 5;i... sjk — приведенные выражения для перестановки w G 6n,
то

§4.1. Симметрические группы
209
По лемме 4.11 имеем (ib ...ik) ~ (jb ...,jk) в Мп, а по доказанному
выше утверждению получаем
xix... xik = p'(ii,..., У = р'О'ъ - - -, jk) = *,> · · x/k. □
4.1.6. Самый длинный элемент группы βη
Обозначим через шо g 6п перестановку i »-> η + 1 — i для всех i G
е{1,...,л-1}, т.е.
■»-(i Λ ::: V ;)· (415)
Ясно, что Wo — единственная перестановка w G Θη, для которой
w(i) > w(j) для всех i, j G {1,..., η — 1}, i < j. Иными словами, w = ш0
тогда и только тогда, когда множество l{w) состоит из всех транспози-
ций. По лемме 4.7 (1) имеем A(w0) = n(n—1)/2 и Я(ш)<п(п—1)/2для
w φ wq. По этой причине перестановка wq называется самым длинным
элементом группы 6„. Установим еще два свойства перестановки шо
(второе будет использовано в п. 6.5.2).
Лемма 4.13. Если перестановка w G(5n удовлетворяет неравен-
ству X(wsi) < А(ш) для всех i G {1,..., η — 1}, то w = w0.
Доказательство. Из леммы 4.7 (3) следует, что SiGl(w) для всех i.
Тогда w(i) > w(i + 1) для всех i. Этим неравенствам удовлетворяет
единственная перестановка ш0. Ü
Лемма 4.14. Для любых перестановок и, υ G <Вп, удовлетворяющих
условию uv = wo, имеет место равенство Х{и) + λ[ν) = A(wo).
Доказательство. Для и = шо и i; = 1 лемма тривиально верна.
Мы утверждаем, что для любой перестановки и G &п, и φ w0, суще-
ствует такая последовательность s^,..., s;r простых транспозиций, что
us^... Sir = wo и A(u5ix... Sir) = A(u) -h г. Прежде чем мы докажем это
утверждение, покажем, что из него следует лемма для иии = u~lwo —
— Six...Sir. Ясно, что λ(υ) < г и
А(ш0) = λ(μν) < A(u) + A(i/) < A(u) + r = Я(и5£1...51-г) = Я(ш0).
Значит, Я(ц) 4- λ[ν) = Я(ш0).
Теперь докажем наше утверждение. Так как и φ wo, по лемме 4.13
найдется такая простая транспозиция s^, что Я(и5^) > Х(и). По лем-
ме 4.5 мы имеем XÇusiJ — λ(μ) + 1. Если Я(и5^) = Я(ш0), то us^ = wo
ввиду единственности в 6П элемента w0 максимальной длины и все

210 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
доказано. Если Afüs^) < A(u), то опять по лемме 4.13 мы можем найти
такую простую транспозицию s;2, что ACuSijSiJ > Afus^). Тогда
A(usflSi2) = A(ii5fl) + 1 = A(u) + 2.
Если A(u5ijSi2) = A(w0), то üs^ = Wq и все доказано. Иначе мы продол-
жим действовать, как раньше, до тех пор пока не получим искомую
последовательность s^,..., Sir. D
Упражнение 4.1.1. Пусть A(si2... s;r) < г. С помощью теоремы 4.8
докажите, что найдутся такие р, q е. {1,..., г}, ρ < q, что
5ii · · · 5ir = 5ii · · · 5ip · · · siq · · · sir>
где шляпка над членом означает, что он вычеркнут из выражения.
Упражнение 4.1.2. Выведите теорему 4.1 из теоремы 4.12, ис-
пользуя ее для построения отображения 6П —» Gn, обратного слева
к отображению ψ : Gn -» 6n.
Упражнение 4.1.3. а) Покажите, что слово wk,z = адс-1 ...Sz яв-
ляется приведенным для каждой пары (fc, 1),К1<,к<,п — 1.
б) Докажите, что слово Щ^ъ11'Шк2у12 · · · ^ΓΛ> получающееся конка-
тенацией слов из п. а), является приведенным в случае fci < к2 <... < кг.
Упражнение 4.1.4. Для любого целого числа к > 1 положим [k]q =
= 1 + q +... + qfc_1 € Z[q]. Покажите, что
Σ 9A(u,) = [l]fl[2]j3]Q...[n]a.
(Указание: используйте упражнение 4.1.3 и следствие 4.4.)
Упражнение 4.1.5. Докажите, что для любой перестановки w e 6П
и любого целого числа i = 1,..., η — 1 тогда и только тогда имеет место
равенство А^ш) = А(ш) + 1, когда ш-1(0 < ш-1(* + 1).
§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
4.2.1. Задание образующими и соотношениями
Зафиксируем целое число п>1и коммутативное кольцо R вместе
с двумя его элементами q,z е R. Мы предполагаем, что элемент q
обратим в кольце R.
Определение 4.15. Алгеброй Ивахори—Гекке Нп = Hn(q, z) назы-
вается ассоциативная R-алгебра с единицей, порожденная элементами

§4.2. Алгебры Ивахори —Гекке
211
Т\,..., Tn-i, подчиняющимися соотношениям
Щ = Щ (4.16)
для i, j = 1,..., η — 1, удовлетворяющих условию \i — j\>2,
Ti1i+iTi = Tl+iTiTi+i (4.17)
для i = 1, ...,n —2 и
7J2 = Är£ + ql (4.18)
для i = 1,..., η — 1. По определению Яг = Н{*(q, г) = R.
Любой элемент алгебры Нп является линейной комбинацией мо-
номов 7^7^... Tir, включая пустой моном, который мы отождествляем
с единицей 1 алгебры Нп. Ввиду соотношения (4.18) каждая образую-
щая Ti обратима в алгебре Нп и обратным к ней служит элемент
Trl=q-\Ti-zï). (4.19)
Следовательно, каждый моном W... 7]г обратим в алгебре Нп.
По теореме 4.1 для q = 1, z = О мы имеем изоморфизм
4.2.2. Однопараметрические алгебры Ивахори — Гекке
Многие авторы рассматривают однопараметрическую алгебру
Ивахори — Гекке H^iq), которая по определению равна H^{q,z)y где
z — q — 1. Алгебра Н„ (q) является ассоциативной R-алгеброй с едини-
цей, порожденной элементами Ti,..., Гп_ь подчиняющимися соотно-
шениям (4.16), (4.17) и
7J2 = (q-l)75 + ql. (4.20)
По существу при рассмотрении однопараметрических алгебр Ива-
хори — Гекке, а не двухпараметрических алгебр Ивахори — Гекке не
происходит потери общности. Действительно, двухпараметрическая
алгебра Hn(q,z) изоморфна некоторой алгебре вида H* (q;), возмож-
но после замены кольца скаляров. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рим задание алгебры Я„ {q,z) образующими и соотношениями, опи-
санными в п. 4.2.1. Для i = 1,..., η — 1 положим Г/ = u~lTi для неко-
торого обратимого элемента и. Ясно, что элементы Т[,..., Т^_г удо-
влетворяют соотношениям (4.16) и (4.17). Из соотношения (4.18) мы
получаем {Т>? = и~^ + и~г q
для i = l, ...,п — 1. Обозначим через R' наименьшее кольцо, содержа-
щее R и корень и квадратного полинома X2 + zX — q: если R сод ер-

212 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
жит корень этого полинома, то R7 = R; в противном случае кольцо R'
является квадратичным расширением кольца R. Тогда отображение
Tt -> иТ? (i = 1,..., η — 1) индуцирует изоморфизм алгебр Н^ (q, z) =
^H£V2q).
4.2.3. Базис алгебры Нп
Вернемся к двухпараметрической алгебре Ивахори — Гекке Нп =
— Hn(q, z). Далее мы покажем, что Нп является свободным К-модулем
с базисом, индексированным элементами симметрической группы 6П.
Напомним обозначения из § 4.1: символ s; для i — 1,..., π — 1 обозна-
чает простую транспозицию, меняющую местами i и i + 1, а А(ш) обо-
значает длину перестановки w G6„.
Лемма 4.16. 1. Для каждой перестановки w G 6n существует
единственный элемент TwGHn, для которого Тш = 7^... \ всякий раз,
когда задано приведенное разложение w = Si1... Sir для перестановки w.
2. Для любой перестановки w € 6n u любой простой транспози-
ции Si имеют место равенства
{Ts.w, если X(siiv) > Я(ш),
qTs.w + zTw, если X(siiv) < Я(ш).
Заметим, что если w = 1 G Θη, то Tw = 1 G Яп.
Доказательство. 1. Это утверждение следует из соотношений
(4.16), (4.17) и теоремы 4.12.
2. Пусть Six... Sïr — приведенное выражение для перестановки ш.
Если A(siw) > Я(ш), то s/s^... s;r является приведенным выражением
для SiW. Поэтому Ts.w = T\TW.
Если A(siw) < Я(ш), то в силу следствия 4.9 мы можем считать, что
слово w начинается с Sf, т. е. s^ =Si. Тогда Sf2... s;r является приведен-
ным выражением для SiW. Используя соотношение (4.18), получаем,
что
TiTw = TiTil..^ir = T^Ti2...Tir=zTiTi2...Tir+qTi2..^^^ D
Теорема 4.17. Модуль Нп над R есть свободный модуль ранга п\
с базисом {Tw : w G 6n}·
Доказательство. Через Η обозначим R-подмодуль модуля Нп, на-
тянутый на векторы Tw, ш G 6„. По лемме 4.16 (2) Я является левым
идеалом модуля Нп. Так как 1 = Т\ GH, получаем, что Н = Нп. Остается
показать, что векторы Tw, w G 6П, линейно независимы над R. С этой

§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
213
целью построим некоторое действие алгебры Нп на свободном R-mo-
дуле ранга п\.
Пусть V — свободный R-модуль с базисом {ew}w€EGn, индексиро-
ванным элементами w е6п. Следующим образом определим 2п — 2
гомоморфизмов {Li, Ri : V —> V}*=î- Для i = 1,..., η — 1 положим
es.w, если A(siw) > A(w),
qeSlu, + zew, если Afow) < A(w),
и
(4.21)
WS;)
(4.22)
если A(wsi) > A(w),
деШ5. + zew, если A(wsi) < А(ш).
Для завершения доказательства теоремы 4.17 нам понадобятся следу-
ющие три леммы.
Лемма 4.18. Имеют место равенства
LiRj = RjLi
для всех i, ; = 1,..., η — 1.
Доказательство. Достаточно проверить, что 1^Деш) = RjLi(ew)
для всех ше6п. Разберем отдельно шесть случаев в зависимости
от длин элементов ш, Siiv, wsj и SiWSj. В доказательстве мы будем
неоднократно использовать формулы (4.21) и (4.22).
1. Если А(и/) < X(siw) = X(wsj) < Afows,), то
^i^-jyßw) = *-*i\ßwSj) = ZsiWSj ~ Rjyßsiw) — KyLi^e^J.
2. Если A(w) > Afou;) = XÇwsj) > X{siWSj), то
U^jißw) = qLiCeu,^) + гЬ;(еш) = q(qes.WSj + яеШ5.) + z(qes.w + zew) =
= q(.qeSiwSj + яе5.ш) + zCqe^ + zew) = qRj(es.w) + zRj(ew) = RjU(ew).
3. Если A(w) < Afou;) = А(ш5;) > Xfawsj), то неизбежно Afo ws,·) =
= A(w). По лемме 4.10 мы имеем Siiv = ws;. Тогда
4. Случай A(w) > A(siw) = A(ws;) < Afows/) доказывается анало-
гично случаю 3.
5. Если A(wsj) < А(ш) < A(siü;) > Afows,·) = А(ш), то
LiRj(eu;) = qU{eWSj) + *Ь;(еш) = qeSfU,s. + 2?е5.ш = R/(eSili,) = RjU(ew).
6. Случай Afow) < А(ш) < A(ws,·) > Afows;) = А(ш) доказывается
аналогично случаю 5. D

214 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Лемма 4.19. Пусть s^... Sir — приведенное выражение для пере-
становки w€i(5n. Положим R=Rir.. .R^R^ еЕпад(У) и L=Li1Li2.. .Lir €
G Епая(У). Тогда имеют место равенства
еш = К^1) = Цег).
Доказательство. Равенство ew = R(ei) доказывается индукцией
по г = А(ш). Для г = 1 это равенство вытекает из определения R = R^.
Для г > 2 положим w/=Si1 Si2... s^ hR7 = R;rl... R;2 Rtl и предположим,
что R'Oi) = ew>. Так как А(ш) = X(wfSir) > A(u/), по формулам (4.22)
имеем , ч , „ чч , ч
R(ci) = Rir(R'(ei)) = RiMw) = <Vsir = еш.
Аналогично доказывается равенство ею — L(ei). D
Лемма 4.20. Эндоморфизмы Ц,..., Linl R-людуля V удовлетворя-
ют соотношениям (4.16), (4.17) и (4.18), β которых Г; заменены на Li.
Доказательство. 1. Если X{ßiw) > Я(ш), то
\}{{еш) = U(es.w) = qew + zes.w = zU(ew) + Ww
Если X(siw) < A(w), то
Ь?(еш) = Lf (де5.ш + zew) = 2^(еш) + деш.
2. Пусть 5^5^... Sir — приведенное слово для перестановки w€&n
и R = R;r... RÎ2Rfl. Если \i - j\ = 1, то
LfLjLfCeu;) = LiLjLiR(ei) = RL^L^) = R(es.s.s.) = R(es.s.s.) =
= RLjLfLjCei) = LjLiLjR(ei) = LjUh&w).
Здесь второе и шестое равенства верны в силу леммы 4.18, первое,
третье, пятое и седьмое — в силу леммы 4.19, а четвертое равенство
следует из соотношения SiSjSi = SjSiSj в группе &п.
3. Аналогично доказываются равенства LfLj=LjLf в случае \i—j\>2
с помощью соотношений SfSi = S/Sf. D
По лемме 4.20 существует гомоморфизм алгебр Hn->EndR(y), отоб-
ражающий Ti в Li для i = 1,..., η — 1. Другими словами, алгебра Нп
действует на пространстве V по формуле
TiV=Li(v)
для всех υ € У и i = 1,..., η — 1. Из леммы 4.19 следует, что Гше1 = еш
для всех w €бп.

§4.2. Алгебры Ивахори —Гекке
215
Теперь мы можем доказать линейную независимость элементов TW)
ше6п, модуля Нп. Допустим, что существует аддитивное соотношение
/ , awTw = Q,
ween
где aw G R для всех w € 6П. Применив обе части к е\ е V, получим
О = 2и awTwei = 2J аые™ е v-
Так как множество {ew}we&n является базисом пространства V, полу-
чаем, что aw = О для всех ш. Это доказывает линейную независимость
элементов Tw еНпи завершает доказательство теоремы 4.17. Π
4.2.4. Следствия из теоремы 4.17
Здесь мы установим два полезных следствия из теоремы 4.17.
Сначала заметим, что существует гомоморфизм алгебр i : Нп —> Hn+i,
отображающий каждую образующую 75 алгебры Нп (i = 1,..., η — 1)
в образующую 7} алгебры Hn+i. Гомоморфизм t превращает Hn+i в ле-
вый и правый Нп -модуль по формулам ha = i(h)a и ah = ai (h) для
h€Hn,a€Hn+i.
Предложение 4.21. Гомоморфизм l: Hn~* Hn+i инъективен. Мо-
дуль Hn+i, рассматриваемый как левый Нп-модулъ, является свобод-
ным модулем ранга η + 1 с базисом {1, Тп, ТпТп-\,..., TnT^-i... Г2Г1}.
Доказательство. По определению элементов Tw имеем t(Tw) = Гш
для всех ш G 6П, где в правой части w рассматривается как элемент
группы 6п+1. По теореме 4.17 гомоморфизм t отображает базис моду-
ля Нп в подмножество базиса модуля Нп+\. Поэтому гомоморфизм t
инъективен.
Ввиду следствия 4.4 каждый элемент w е 6n+i\6n можно един-
ственным образом записать в виде w = w'snsn-\... s^ для некоторых
ш'ббпй такого целого числа fc, что 1 < к < п. Мы утверждаем, что
Tw = Tw<TnTn-1...Tk. (4.23)
Действительно, так как перестановка и/, рассматриваемая как эле-
мент группы 6„+i, неподвижна на η + 1, получаем, что
w'(n) <ш/(п + 1) = п + 1.
Поэтому по лемме 4.7 (4) имеем А(ш') < A(u/sn). Более общим обра-
зом, для любого I, 1 < I < п, имеем
(u/SnSn-i .. . 5Z+i)(i) = (w'SnSn-1 · · · 5î+2)(0 = . . . = (w's^n-lXO =

216 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
= (n/'sn)(0 = (и/ОО) < η +1 = w'(n + 1) = (n/'sn)(n) -
= (u/snsn_i) (π -1) = ... = (w'snsn-i... si+i)(I + 1).
Поэтому по лемме 4.7 (4) получаем
A(u/sns„_i... si+i) < X(w'snsn-i... 5I+isz).
Отсюда по индукции следует, что если s^.-.s^—произвольное при-
веденное выражение для перестановки w' G &п, то s^...Sirsnsn-i ...sk
является приведенным выражением для перестановки ш. Следова-
тельно, по определению элементов Tw и Гш/ имеем
Tw — 7i1... 7irTnTn_i... Tfc = Tw'TnTn-i ...Tk,
т. е. формула (4.23) доказана.
Так как элементы Гш, где w G Θη+ь порождают Hn+i как R-модуль, из
формулы (4.23) следует, что элементы {1, Тп, TnTn-i,..., ТпТп-\... Т2Т\]
порождают Яп+1 как левый Нп-модуль. Их линейная независимость
над Нп вытекает из линейной независимости элементов Tw, w G 6п+ъ
над Я. D
Предложение 4.22. Для любого п>2 имеется изоморфизм R-мо-
дулей
ψ : Нп Θ (Яп Θη^ Ηη) -> Нп+ь
который для любого а^Нпи любого конечного семейства {bi, q}* с Яп
задается формулой
i i
Доказательство. Так как алгебра Яп_1 порождена элементами
7Ι,..., Гп_2 и Т{Тп = TnTi при i < η — 2, получаем, что
φφΗ Θ с) = bhTnc = bTnhc = <р(Ь ® he)
для всех h G Яп_1 и Ь, с еЯп. Это показывает, что отображение φ
определено корректно. Ясно, что φ является гомоморфизмом левых
Нп -модулей.
По предложению 4.21 алгебра Нп есть свободный левый Яп_1-мо-
дуль с базисом
{1, 7*n_i, ТП_1ГП_2,..., Tn-iTn-2 ... r2Ti}.
Поэтому Нп θ (Яп ®яп_! 77п) является свободным левым Нп -модулем
с базисом
{1} U {1 ® 1,1 β Г„_1,1 ® Гп_!Гп-2,..., 1 Θ Г„-1ГП_2 ... Т2Т1}.

§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
217
Гомоморфизм φ отображает этот базис в множество
{1} U {Тп, ТпТп-ъ TnTn-iTn-2,..., TnTn-iTn-2 ... T2Ti},
которое по предложению 4.21 является базисом левого Нп-модуля Нп+\.
Отсюда следует, что φ — изоморфизм. D
Упражнение 4.2.1. Покажите, что сопоставление 7} ·-> —qTf1, i —
— 1,..., η — 1 определяет автоморфизм алгебры Нп.
Упражнение 4.2.2. Докажите, что любой гомоморфизм алгебр
Нп -* R отображает все 7}, i = 1,..., η — 1, в один и тот же корень
полинома X2 — zX — q.
Упражнение 4.2.3 (алгебра Гекке, ассоциированная с GLn(Cq)).
Пусть Cq — конечное поле мощности q, и пусть G = GLn(Cq). Обозна-
чим через C(G) комплексное векторное пространство всех функций
из G в С. Для любого элемента g^G определим функцию
5gGC(G),
равную нулю всюду, кроме элемента g, на котором ее значение рав-
но 1. Для любых функций /, /' G С (G) обозначим через / * /' G С (G)
функцию, заданную формулой
с/*лс*)=Σ/w/'tf1"1*)
heG
для всех g G G. Для / G C(G) положим
e(/) = I]/(g)eC.
а) Покажите, что {5g}gGG является базисом пространства С (G),
операция * ассоциативна и e(J */') = £(/)ε(/0 для всех /, f g С (G).
б) Пусть ß с G — подгруппа верхнетреугольных матриц. Опреде-
лим C(B\G/B) как подпространство пространства C(G), состоящее
из всех функций /, для которых f(bg) = f{gb) = f(g) для всех g G
eGyb^B. Покажите, что подпространство C(B\G/ß) замкнуто отно-
сительно операции * и что функция
является единицей (относительно операции *).
в) Для любой перестановки w g Θη рассмотрим множество BwB
всех элементов группы G вида bwV, где b, i/ G ß и перестановка ш

218 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
отождествлена с соответствующей перестановочной матрицей. Опре-
делим 5W как такую функцию на G, которая равна 1/ card(ß) на BwB
и 0 вне BwB. Покажите, что {5w}WG&n является базисом пространства
C(B\G/B). Указание: используйте разложение Брюа
G= [J BwB.
ween
г) Докажите, что для всех ш, ш' € &п и g € G имеет место равенство
(5Ш * 5ц/) (g) = ^фр c™diBwB n gß("/)_1ß).
д) Вычислите card (BsîB) для каждой простой транспозиции Si € 6П.
Покажите, что функция <5S{ * δ5. равна нулю вне В U ß5fß и
(δ5. *<55.)(g) = q50
для любого g G β. С помощью гомоморфизма ε : C(B\G/ß) —> С выве-
дите отсюда, что
5Si*5Si = (q-l)5s.+q50.
е) Докажите, что для всех простых транспозиций s* и перестано-
вок ш € 6П, для которых Я(5/ш) > А(ш), имеет место равенство
5Si * 5Ш = 5SiU;·
ж) Сделайте вывод, что алгебра C(B\G/B) изоморфна алгебре
Ивахори — Гекке Н^ (q).
§4.3. Следы Окняну
Как в предыдущем параграфе, мы зафиксируем коммутативное
кольцо R вместе с двумя его элементами q,z е R. Мы будем теперь
предполагать, что оба элемента qn z обратимы в R. Цель этого пара-
графа — построить для всех η > 1 некоторый след τη : Нп —> R на ал-
гебре Ивахори — Гекке Нп = H^(q, z). В следующем параграфе этот
след будет служить средством для построения полиномиального ин-
варианта от двух переменных для зацеплений.
Мы будем действовать индукцией по п. Для η = 1 мы определим
Ti : Hi — R —> R как тождественное отображение. Для π = 2 мы опре-
делим след τ 2 : Я2 —> R на базисе {1, Tj формулами
т2Ц) = ~ и τ2(7\) = 1. (4.24)

§4.3. Следы Окняну
219
Предположим, что след τη: Нп-> R определен для некоторого η > 2.
Далее мы определим след τη+1 : Hn+i —> JR с помощью изоморфизма
φ : Нп Θ (Яп ®нп_! Нп) -> Hn+i из предложения 4.22. Положим
τη+1(ν(α)) = -7^τπ(α)
и
Tn+i(v(b<8>c)) = Tn(bc)
для всех а,Ь,сеНп. Индукция по η показывает, что след τη: Нп-> R
линеен над R, т. е. тп(га) = гтп(а) для всех г eR,a еНп. Линейная
форма τп называется следом Окняну на алгебре Ивахори — Гекке Нп.
Предложение 4.23. Для всех η > 1 и всех а,Ъ^Нп имеют место
равенства
1) Tn(ab) = zn(ba),
2) τη+1(Τηα) = rn+i(Tnla) = τ„(α).
Доказательство. 1. Равенство τπ (ab) = τη (ba) мы докажем индук-
цией по п. Для η = 1 и η — 2 оно верно потому, что алгебры Hi и Н2
коммутативны. Предположим теперь, что это равенство верно для τη,
и докажем его для τπ+1. Так как алгебра Hn+i порождена элементами
Т\,..., Тп и ψ — изоморфизм, достаточно показать, что
Tn+dcoTi) = Tn+i(TiCu)
для всех элементов ω из образа изоморфизма φ и всех i = 1,..., п.
1а. Если ω = φ (а) для некоторого a G Hn, то по определению следа
τ^+i имеем ( 1-q
Vn+l(0>Ti) =
-Tn(aTi), если i < π,
если i = η,
-τ„(7;α), если i < π,
( τ„(α), если i = п.
Равенство Tn+i(coTi) = Tn+i(TiCu) следует отсюда по предположению
индукции.
16. Предположим теперь, что ω = φ (α Θ b) = aTnb для некоторых
a,b GΗη. Если i < π, то
τη+1(ωΓ0 = Tn+i(aTnbTi) = т^аЬГ;) = тп(Г/аЬ) =
= τπ+1№αΤ^) = τπ+1Κω),
где третье равенство верно по предположению индукции.

220 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
При i = η мы должны проверить равенство
Ъп+ЛаТпЪТп) = тп+1(ТпаТпЪ).
Рассмотрим четыре случая.
1бь Если α и b принадлежат Нп-\, то они коммутируют с Тп и ра-
венство очевидно.
102- Пусть a G Hn_i и b = h'Tn-ib", где b' b" G Hn_i. Заметим, что α,
b' и b" коммутируют с Тп. Имеем
Tn+i(aTnbTn) = Tn+i(aTnb'Tn-ib"Tn) = Tn+i{ab'TnTn-iTnb") =
= Тп+^аЬ'^ЪГ^Ь'') = ^{аЪ'Т^Ъ") =
= ^пСаЬ'Г^Ь'О + q^Cab'b") = «тп(аЬ) + q^T^Cab'b").
С другой стороны,
Tn+iCTnaTnb) = Tn+i(T„2ab) = *Tn+i (Tnab) + qTn+i(ab) =
= *T„(ab) + q^T^ab'T^b") = zTn(ab) + q^Tn-dab'b"),
Ζ Ζ
и мы получили то же самое выражение.
163. Аналогично рассматривается случай b G Hn_i и a = a'Tn-ia",
где a7, a^eHn-i.
164. Предположим, что а = a'Tn-ia" и b = b'Tn-ib", где α7, a" b7, b" G
€H„_i. Тогда
Tn+iCaT^bTn) = Zn+iiaTnb'Tn-ib^Tn) = zn+i(ab'TnTn-iTnb") =
= тп+1{аЬ,Тп-1ТпТп-1Ьп) = Tniab'T^b") =
= ZTn{ab%-1b") + qTniab/b") =
= zTn(ab) + qTn(a/Tn_ia//b/b") = zzn(ab) + qTn_1(a/a//b/b//).
С другой стороны,
тп+1(ТпаТпЪ) = Тп+гСГпа'Тп-га'ХЪ) = Тп^аХТп^Тп^'Ъ) =
= Тп^аХ-гТпТп-га'Ъ) = τη{α'Τ^_Υα%) =
= ÄTn(a'Tn_ia"b) + qTn(a'a"b) =
= zTn{ab) + q^a'a^X-^") = zTn(ab) + jvi(uVW),
и требуемое равенство доказано.
2. По определению следа τη+\ имеем
Тп+1 {Тпа) = τη+1 (φ (1 <8> α)) = τη (α)

§ 4.4. Полином Джонса — Конвея
221
для всех а^Нп. Так как Тпг = q гТп — q lzl, мы получаем
τη+ΛΤ^α) = q"4n+i(Tna) -q_12;Tn+i(a) =
= q-1/rn(a) ^q_1zTn(a) = τ„(α). D
Упражнение 4.3.1. Покажите, что значения следа τ3 : Н3 —> R на
базисе {1, Ть Г2, 7ΙΓ2, ^Гь 7ΙΓ27Ι} алгебры Н3 равны
τ3(1) = ^^, τ3(Γ1) = τ3(Τ2) = ^,
Ζ *>
Тз(Г!Г2) = ТзСГгГ!) = 1, T3(7ir27i) = z + SÜZSl.
§4.4. Полином Джонса — Конвея
В этом параграфе мы используем изложенную выше теорию ал-
гебр Ивахори — Гекке для построения полиномиального инварианта
от двух переменных для ориентированных зацеплений в R3. Напом-
ним, что в п. 2.5.2 было определено понятие марковской функции
на группах кос. Далее мы построим в явном виде одну марковскую
функцию. Пусть R — коммутативное кольцо, в котором выделены два
обратимых элемента q, z. Пусть Нп = H^iq, z) — соответствующая ал-
гебра Ивахори — Гекке, η > 1, и пусть Я„ —группа обратимых эле-
ментов алгебры Яп. Рассмотрим гомоморфизм групп ωη: Вп —» Я*,
отображающий σ* в Г; для i = l,...,n — 1. Композиция гомоморфиз-
ма ωη с построенным в §4.3 следом Окняну тп: Яп —> R дает отобра-
жение τ„οωπ:β„-> R. Из предложения 4.23 немедленно вытекает
следующее предложение.
Предложение 4.24. Семейство {τη о а>п: Вп —> R}n>i является
марковской функцией.
Далее докажем основную теорему этого параграфа. В ее формули-
ровке используется понятие тройки Конвея зацеплений из п. 3.4.2.
Теорема 4.25. Для любого ориентированного зацепления L с R3
и любой косы β е Bn, замыкание которой изотопно зацеплению L,
элемент , ч , ,^ΛΝ
IL{q,z) = Tn{con(ß))eR
зависит только от изотопического класса зацепления L. Для триви-
ального узла О этот элемент равен
/o(q,z) = l.

222 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Для любой тройки Конвея (L+,L_,Lo) ориентированных зацеплений
в R3 имеет место равенство
IL+ (q,z)- qIL_ (q,z) = zILq (q,z).
Доказательство. Первое утверждение следует из теории марков-
ских функций из п. 2.5.2 и предложения 4.24. Тривиальный узел О
можно реализовать как замыкание тривиальной косы 1 е В\ — {1},
П°ЭТОМУ /ο(9,«) = τ1(ω1(1)) = τ1(1) = 1.
Проверим, что элемент A=IL+ (q,z)—qIL (q,z)—zILo (q,z) равен нулю
для любой тройки Конвея ориентированных зацеплений (L+,L_,Lo)·
Как было замечено в п. 3.4.2, такую тройку можно произотопировать
в тройку Конвея (L+, i/_, Lq), где
L+ = ασφ, L'_ = остр/?, L'0 = ~aß
для некоторых α, /ЗеВпи1<1<гг — 1. Используя соотношение (4.18),
получаем
А = τη{ωη{ασ{β)) -qTn(<un{aa~lß)) -Ζτη(ωη(αβ)) =
= τη{ωη{α)ΤΙωηφ))-ςτη{ωη(α)ΤΓ1ωη(<β))-Ζτη{ωη{α)ωηφ)) =
= Tn{ü>n{a){Ti-qT[~l-zl)o>n{ß))=0. □
Следствие 4.26. Существует такой изотопический инвариант
L *-> Pl(x, у) ориентированных зацеплений в Е3 со значениями в кольце
Z[x, х-1, У, у"1], что его значение на тривиальном узле О равно 1
и для любой тройки Конвея ориентированных зацеплений (L+, L_, L0)
имеет место равенство
xPl+ (*, У) - x~1Pl_ {х, У) = yPLo ix, У)
(скейн-соотношение). Такой инвариант зацеплений L ·-> PL{x,y) един-
ствен.
Доказательство. Пусть R — Z[x, х-1, у, у-1] — кольцо лорановых
полиномов от двух переменных х, у с целочисленными коэффициен-
тами. Положим Pi{x, у) = h{q, z) е Я, где IL(q, z) — инвариант зацеп-
лений, который дает теорема 4.25 для q = х~2 и z = х-1у· Ясно, что
£Ь(х, у) = Jo(<Z, s) = 1. Если (L+, L_, Lo) —тройка Конвея, то по теоре-
ме 4.25 имеем
xPL+ (х, у) - x~lPL_ (х, у) - yPLo (х, у) =
= x{PL+ (х, у) - x~2PL_ (*, У) - *~~Vl0 О, У)) =

§4.5. Полупростые алгебры и модули
223
= x(lL+ (q, z) - qIL_(q, z) - zILq(q, z)) = 0.
Единственность полинома Pi{x, у) доказывается точно так же, как
единственность полинома Александера — Конвея в теореме 3.13. D
Мы назовем Рь(х,у) полиномом Джонса—Конвея зацепления L.
В литературе его также называют полиномом HOMFLY, полиномом
HOMFLY-PT и полиномом Джонса от двух переменных.
Заметим, что полином Джонса — Конвея Pi {х, у) является обобще-
нием полинома Александера — Конвея V(L), который был определен
в п. 3.4.2. А именно, V(L) =PL(1, s-1 —s). Это непосредственно следует
из единственности в теореме 3.13.
Положив х = Г"1 и у = t1/2 —Г~1/2 в Pl{x,y)y мы получим полином
Джонса от одной переменной
VL(t) =ft(r\t1/2-r1/2) €Z[t1/2,r1/2],
удовлетворяющий скейн-соотношению
г1 vL+ (t) - tvL_ (t) = (t1'2 - r^2)vLo (t).
Упражнение 4.4.1. Определим зеркальный образ L ориентиро-
ванного зацепления L в R3 как образ зацепления L при отражении
относительно некоторой плоскости в R3. Докажите, что
Pl(x,y)=PL(x-\-y)
Упражнение 4.4.2. Вычислите полином PL для узлов и зацепле-
ний, изображенных на рис. 2.1, если их снабдить всеми возможными
ориентациями.
§4.5. Полупростые алгебры и модули
Этот параграф представляет собой краткое изложение теории ко-
нечномерных полупростых алгебр над полем. Зафиксируем некото-
рое поле К, Под алгеброй мы понимаем ассоциативную К-алгебру
с единицей 1^0. Алгебра конечномерна, если она конечномерна как
векторное пространство над К.
4.5.1. Полупростые модули
Пусть А — алгебра. Под Α-модулем мы понимаем левый А-модуль,
т. е. iC-векторное пространство M вместе с таким IC-билинейным отоб-
ражением А х M ->M, {а,т)*~* am, что афт) = [аЪ)т и \т — m для

224 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
всех а,Ь G А и m g M. Отображение α —> (m —> am) (a g Λ, me M)
определяет гомоморфизм алгебр А —> Εηακ(Μ) со значениями в ал-
гебре iC-линейных эндоморфизмов Α-модуля М. Обратно, любой го-
моморфизм алгебр % : А —> Εηακ(Μ) определяет структуру А-модуля
на M по формуле am = % (a) (m) для аеАитеМ.
Под конечномерным Α-модулем мы понимаем Α-модуль, который
конечномерен как векторное пространство над К.
Гомоморфизмом Α-модулей f:M-*M' называется такое IC-линей-
ное отображение, что f(am) = af{m) для всех ае А и те М. Через
Нотд (М,М7) мы обозначаем векторное пространство всех гомомор-
физмов Α-модулей М-^М'. Мы также полагаем EndA(M)=HomA(M,M).
Если М/ — такое линейное подпространство Α-модуля М, что
am' G M' для всех ае А и m' G M', то мы говорим, что М' является
Α-подмодулем или, короче, подмодулем Α-модуля М. В этом случае
вложение М' ^-*М является гомоморфизмом А-модулей.
Определение 4.27. 1. Говорят, что А -модуль M простой, если
он не имеет никаких других Α-подмодулей, кроме 0 и М.
2. Говорят, что Α-модуль полупростой, если он изоморфен прямой
сумме конечного числа простых А-модулей.
3. Говорят, что Α-модуль M вполне приводимый, если для любого
Α-подмодуля М' модуля M существует такой Α-подмодуль М", что
М = М'®М".
Заметим, что всякий простой Α-модуль полупрост и что если А-мо-
дуль M вполне приводим, то любая короткая точная последователь-
ность А-модулей 0 —> М' —> M —» M" —> 0 расщепляется, т. е. Μ=Μ' θ Μ".
Предложение 4.28. Пусть M — конечномерный А-модулъ. Следу-
ющие утверждения эквивалентны:
1) модуль M полупрост;
2) модуль M вполне приводим;
3) модуль M разлагается в сумму M — ^ie/^ простых подмоду-
лей Mi.
Доказательство. Сначала докажем импликацию 2) => 3). Предпо-
ложим, что модуль M не равен нулю и вполне приводим. Так как он
конечномерен над К, он должен иметь ненулевые подмодули минималь-
ной размерности как векторные пространства над К; такие подмодули
обязательно простые. Обозначим через М' сумму всех простых подмо-
дулей модуля М. Это ненулевой подмодуль модуля М. Если М' — М, то

§4.5. Полупростые алгебры и модули
225
все доказано. Если это не так, то, поскольку модуль M вполне приводим,
существует такой ненулевой подмодуль М" с М, что Μ = Μ' Θ M".
Модуль M" должен иметь ненулевой подмодуль минимальной размер-
ности. Это простой подмодуль модуля М, не содержащийся в М', что
противоречит определению подмодуля М''. Следовательно, М' = М.
Далее докажем импликацию 3) => 2). Предположим, что M =
= ^ieIMi — сумма простых подмодулей М;. Пусть Г cl — максималь-
ное подмножество, для которого М^фО для всех i e/' и сумма ]£i€//^
прямая. Такое подмножество /' существует, и оно конечное, потому
что модуль M конечномерный. Обозначим М1 — Σ^γ Mi. Мы утвер-
ждаем, что М' =.М, откуда следует, что M — прямая сумма конечного
числа простых подмодулей. Чтобы доказать это утверждение, доста-
точно проверить, что Мк с М/ для каждого к е 1\Г. Ясно, что МкПМ/
является подмодулем модуля Мк. Так как Мк — простой модуль, полу-
чаем, что либо Мк Π M' = О, либо Мк Π M' = Мк. Если МкГ\М' = О, то сум-
ма Sieruifc} -ЭД прямая, что противоречит максимальности подмноже-
ства V. Следовательно, МкПМ' = Мк, откуда следует, что Мк с М'.
Наконец, докажем импликацию 1) => 2). Предположим, что M =
— 0ie7^i — прямая сумма простых подмодулей и индексирующее
множество / конечное. Пусть М'— подмодуль модуля М. Рассмотрим
максимальное подмножество V с I, для которого сумма Μ' + Σ^γ ^
прямая. Рассуждения, аналогичные тем, что были в предыдущем абза-
це, показывают, что M' + Sie/' -^ ~ М- Положим M" = ^]i€j, Aff. Тогда
Μ7 θ M" = M. Это значит, что модуль M вполне приводим. D
Предложение 4.29. Пусть M — конечномерный полупростой А-мо-
дулъ. Любой Α-подмодуль модуля M полупрост, и любой фактормодулъ
модуля M полупрост.
Доказательство. Пусть Mo — подмодуль модуля М. Обозначим
через Mq сумму всех простых подмодулей модуля М0. Так как по предло-
жению 4.28 модуль M вполне приводимый, получаем, что М = М'0®М",
где М"— некоторый подмодуль модуля М. Отсюда и из того, что
Mq с Mo, следует, что Μ0=Μ'0Θ (Μ0 П Μ"). Если М0 Π Μ" Φ О, то этот
модуль содержит некоторый ненулевой простой подмодуль, который
в свою очередь содержится в Mq, что невозможно. Следовательно,
М0 Π M" — 0, и М0 = Mq есть сумма простых подмодулей. В силу пред-
ложения 4.28 модуль М0 полупрост.
Докажем, что фактормодуль модуля M по подмодулю М/ полупро-
стой. По предложению 4.28 существует такой подмодуль М" с М, что

226 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Μ — Μ' Φ Μ". В предыдущем абзаце было доказано, что модуль М" по-
лупростой, следовательно, М/М/ = М" тоже полупростой модуль. D
Напомним, что кольцом с делением называется кольцо, в кото-
ром каждый ненулевой элемент обратим. Левый модуль над кольцом
с делением D называется левым D-векторным пространством. Любое
левое D-векторное пространство V имеет базис, и любые два базиса
пространства V имеют одинаковую мощность, поэтому имеет смысл
понятие размерности ситр V пространства V (эти результаты можно
доказать точно так же, как соответствующие результаты для вектор-
ных пространств над полем).
Следующее предложение называется леммой Шура.
Предложение 4.30. 1. Пусть M и М' — простые Α-модули. Если
M и М' не изоморфны как Α-модули, то HomA(M, Mf) = 0.
2. Кольцо ЕпсЦ(М) эндоморфизмов любого ненулевого простого
Α-модуля M является кольцом с делением.
3. Если основное поле К алгебраически замкнуто и M — ненулевой
конечномерный простой А-модулъ, то dimKEncU(M) = 1.
Доказательство. 1. Пусть / G Honu(M, M'). Ядро Ker/ гомомор-
физма / является подмодулем модуля М. Так как модуль M простой,
получаем, что либо Кег/ = М, либо Кег/ = 0. В первом случае / = 0.
Во втором случае гомоморфизм / инъективен. Его образ /(М) явля-
ется подмодулем модуля М'. Ввиду простоты последнего модуля либо
/(АГ) = 0, либо /(М) = M'. Если /(М) = 0, то / = 0. Если /(М) = М',
то / есть изоморфизм M —> M7, что противоречит условию. Итак, / = 0.
2. В доказательстве п. 1 показано, что каждый ненулевой эндо-
морфизм / G ЕпсЦ(М) есть биекция. Легко проверить, что обратное
к / отображение /_1 является гомоморфизмом Α-модулей. Следова-
тельно, элемент / G EncU(M) обратим.
3. Для любого скаляра Я G К эндоморфизм m ·-» Am принадле-
жит EncU(M). Обратно, пусть / G EncU(M). Так как поле К алгебра-
ически замкнуто и M — конечномерное iC-векторное пространство,
эндоморфизм / имеет ненулевое собственное подпространство для
некоторого собственного значения A g К\ Собственное пространство
Кег(/ — A idjvf), будучи ненулевым подмодулем простого модуля М,
должно совпадать со всем модулем М. Следовательно, / = A idjvf. Это
значит, что Епад(М) = К. D
Следствие 4.31. Если поле К алгебраически замкнуто иМ,М' —
изоморфные ненулевые простые Α-модули, то а\тк Ногпд (М,М') = 1.

§4.5. Полупростые алгебры и модули
227
Пусть А — множество классов изоморфизма всех ненулевых ко-
нечномерных простых Α-модулей. Для каждого λ е. А зафиксируем
некоторый простой Α-модуль Va в классе изоморфизма А. Для любого
целого числа d > 1 обозначим через v£ прямую сумму d экземпляров
модуля Va· Примем соглашение, что v£ = 0 при d = 0. Следующее пред-
ложение, известное как теорема Крулля — Шмидта, утверждает, что
разложение любого полупростого модуля в прямую сумму простых
модулей единственно.
Предложение 4.32. Если для некоторых семейств {а(Х)}хел и
{е(А)}А€Л неотрицательных целых чисел имеется изоморфизм А-мо-
дуЛСй ®vîw = ®vlw>
АеЛ АеЛ
то d(A) = е(Я) для всех λ е. А.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь Я0 € А и положим D =
= Епс1а(Уа0). Используя предложение 4.30 (1), получаем
HomA(0 v£m, VXo) = ff НотА«(Л), VaJ = П ^mA(Vx, VXo)dW =
АеЛ АеЛ АеЛ
^HomA(VA0,VA0)d(Ao)^Dd(^.
Аналогично
Нотл(0Уяе(Я),Уяо)=Ое(Яо).
АеЛ
Из условия следует, что Dd(Ao) = £)е(яо). По предложению 4.30 (2) коль-
цо D является кольцом с делением. Вычисляя размерности над D, по-
ЛуЧабМ d(Ao) = dimD Dd(Ao) = dimD Яе(Яо) = e(A0). D
4.5.2. Простые алгебры
Определение 4.33. Алгебра А называется простой, если она ко-
нечномерна и не имеет других двусторонних идеалов, кроме 0 и себя
самой.
Приведем типичный пример простой алгебры.
Предложение 4.34. Пусть V— конечномерное левое векторное про-
странство над кольцом с делением D. Тогда алгебра Endö(V) простая.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь базис {и\,...,щ} прост-
ранства V. Имеем V = Dv\ θ ... θ Dvd. Для i, j e {1,..., d} определим
fij G A = EndD (V) по формуле fij (i^) = öj^Vi для всех k = 1,..., d (здесь

228 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
5j>k обозначает символ Кронекера, равный 1 при j = к и 0 в остальных
случаях). Легко проверить, что {fij}ije{i,...,d} является базисом коль-
ца А, рассматриваемого как векторное пространство над D, и что
/и ° fk,i = 5j}kfUi для всех i, j, fc, l.
Пусть J — ненулевой двусторонний идеал в А, и пусть / G / —
ненулевой элемент. Разложим / по базису: f = Yiij O-ufij, где atj G D
для всех i, j G {1,..., d}. Предположим, что ak}i Φ О для некоторых fc, l G
€{l,...,d}. Тогда
d
fk,k ° / ° /l,Z = 2j aUjfk,k ° fiJ ° fl,l = aKlfk,l
U=l
принадлежит идеалу L Отсюда следует, что fkti G J. Из соотношения
/и = Л,к° fk,i ° fij следует, что fu el для всех i, j g {1,...,d}. Следова-
тельно, I = A. D
Следующее предложение обратно к предыдущему. Это вариант
теоремы Веддербёрна.
Предложение 4.35. Для любой простой алгебры А существуют
такое кольцо с делением D и такое конечномерное D-векторное про-
странство V, что А = EndD(V).
Доказательство. Возьмем в алгебре А какой-нибудь левый идеал
V с А минимальной положительной размерности над К (возможно,
V=A). Этот идеал является Λ-модулем и, ввиду условия минимальности,
простым модулем. Из предложения 4.30 (2) следует, что D = EncU(V)
есть кольцо с делением. Осталось применить следующую лемму (в ко-
торой нужно положить I = V). D
Лемма 4.36. Пусть А — алгебра, не имеющая никаких других дву-
сторонних идеалов, кроме 0 и самой себя. Для любого ненулевого ле-
вого идеала I с А существует изоморфизм алгебр А = ЕпсЬ (J), где
D=EncU(/) и рассматривается как левый D-модуль, в котором струк-
тура модуля, т. е. действие D на I, определена по формуле (/, х) ■-»/(х)
для всех f G D и х G L
В этой лемме мы не накладываем никаких условий на размер-
ность алгебры А, которая может быть конечной или бесконечной.
Доказательство. Для любого элемента аеА определим La (соот-
ветственно Ra) как левое (соответственно правое) умножение на а
в А. По определению
La(b) = ab и Ra(b)=ba (4.25)

§4.5. Полупростые алгебры и модули
229
для всех Ъ G А. Имеем равенства
La о Lb = Lab и Ra о Rb = Rba (4.26)
для всех a,bGA. Так как /—левый идеал алгебры А, получаем, что
La(J) с / для всех a G А, откуда следует, что La G Endx(J). А так как
LaCfM) = a/(x) = f{ax) = f(La(x))
для всех / G D и x GI, эндоморфизм La принадлежит End/)(J).
Определим теперь отображение L: A —> End/)(J), сопоставляющее
каждому элементу aGA эндоморфизм La GEndD(i). Так как LaoLb=Lab
для всех а, ЬеЛиЬа = id/, отображение L является гомоморфизмом
алгебр. Покажем, что L — изоморфизм. Его ядро является двусторон-
ним идеалом алгебры А. Так как L φ О, из условий леммы следует, что
это ядро должно равняться нулю, т. е. гомоморфизм L инъективен.
Доказательство сюръективности гомоморфизма L немного слож-
нее. Если х GJ, то RX(I) с L Мы утверждаем, что Rx G D = EndA(J). Дей-
ствительно, ^ , . Г Л Г Л т. f Л
aRx(y) = а(ух) = [ау)х = Rx{ay)
для всех аеАих,уе1. Если и G EndD(J), то
и{ух) = и(Кх(у)) = Кхи{у) = и{у)х
для всех xjG/.B частности, для любых а£Аих,уе.1 имеем
и{уах) = и{у{ах)) = и{у)ах.
Иными словами, для всех a g А и у е J имеет место равенство
uohya =Lu(y)a. (4.27)
Далее, ΙΑ является ненулевым двусторонним идеалом алгебры А. По
условию леммы ΙΑ = А. Тогда из равенства (4.27) следует, что и о Lb G
G L(A) с End£>(J) для всех и G EndD(/) и b G А. Это показывает, что
образ гомоморфизма L является левым идеалом в EndD(7). A так как
id/ = Li принадлежит этому образу, он равен всей алгебре EndD(I), т. е.
гомоморфизм L сюръективен. D
4.5.3. Модули над простой алгеброй
Здесь мы докажем, что каждая простая алгебра имеет единствен-
ный (с точностью до изоморфизма) ненулевой простой модуль.
Предложение 4.37. Пусть А — простая алгебра. Каждый ее нену-
левой левый идеал I минимальной размерности является простым
Α-модулем, и каждый ненулевой простой А-модулъ изоморфен модулю I.

230 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Доказательство. Пусть I — ненулевой левый идеал в А минималь-
ной размерности. Каждый А-подмодуль V в I является левым идеалом
алгебры А. В силу предположения о минимальности идеала / должно
выполняться либо условие V = 0, либо условие V = I. Следовательно,
/ — простой Λ-модуль; он конечномерен, так как алгебра А конечно-
мерна.
Пусть M — произвольный ненулевой простой Л-модуль. Положим
/0 = {а€Л: am = 0 для всех m €M}.
Легко проверить, что /о является двусторонним идеалом алгебры Λ
и ΙοφΑ, так как 1 G Λ не аннулирует модуль M. A так как алгебра Λ
простая, получаем, что /о = 0. Далее, IM φ 0; в противном случае мы бы
имели I с 10 = 0. Следовательно, существует такой элемент т^М, что
Im Φ 0. Рассмотрим гомоморфизм А-модулей / —> M, x ·-> хт. Этот
гомоморфизм не равен нулю и отображает один простой Л-модуль
в другой простой Л-модуль. По предложению 4.30 (1) этот гомомор-
физм / —> M является изоморфизмом. D
Следствие 4.38. Каждая простая алгебра имеет некоторый нену-
левой простой модуль. Он конечномерен и единствен с точностью до
изоморфизма.
Доказательство. Каждая конечномерная алгебра имеет некото-
рый ненулевой левый идеал минимальной размерности. Поэтому оба
утверждения этого следствия непосредственно вытекают из предло-
жения 4.37. D
Предложение 4.39. Каждый конечномерный модуль над простой
алгеброй полупрост.
Доказательство. Пусть Л — простая алгебра. Рассмотрим Л как
левый модуль над самой собой. Сначала докажем, что этот Л-модуль
полупрост.
Согласно предложению 4.35 мы можем считать, что Л = End^CV)
для некоторого кольца с делением D и некоторого конечномерного
D-векторного пространства V. Выберем какой-нибудь базис {щ,..., vd)
в пространстве V над D. Определим отображение Л = EndpfV) —» VD,
/€A-(/(i/1),...,/(i;d))6VD.
Это гомоморфизм Α-модулей. Ясно, что он инъективен. А так как
dini£> A = d2 = dim/) Vd, он является изоморфизмом. Чтобы доказать,
что Α-модуль А = Vd есть конечная прямая сумма простых А-модулей,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
231
достаточно проверить, что V — простой Α-модуль. Допустим, что су-
ществует ненулевой А-подмодуль V7 с У. Возьмем какой-нибудь нену-
левой вектор v' е V. Для каждого i = 1,..., d мы можем построить
такой элемент /jGA = ЕпсЬ(У), что /î(i/) = щ. Отсюда следует, что
Αν' = V и потому V = V.
Теперь рассмотрим произвольный конечномерный Λ-модуль М.
Так как он имеет конечное число образующих над А, он является фак-
тормодулем свободного Α-модуля Аг конечного ранга г (т. е. прямой
суммой г экземпляров А). Выше мы доказали, что Α-модуль А полу-
прост. Следовательно, Α-модуль Аг также полупрост. Полупростота
модуля M следует из предложения 4.29. D
Далее мы докажем важное следствие из этих предложений. Пусть
M — простой модуль над простой алгеброй А. Согласно следствию 4.38
модуль M конечномерен. Из предложения 4.30 (2) мы знаем, что
D = EncU(M) — кольцо с делением. Так как модуль M конечномерный,
кольцо D также конечномерно. Размерности алгебры А, модуля M
и кольца D над основным полем К связаны между собой следующим
образом.
Следствие 4.40. В принятых выше обозначениях А = ЕпсЬ(М) и
(аипкМ)2
штк А = —г. —.
dimK D
Доказательство. Кольцо с делением D = EncU (M) действует на M,
превращая M в левое D-векторное пространство конечной размерно-
сти над К с D. Это векторное пространство имеет конечный базис
над D мощности, скажем, d. Из леммы 4.36 и предложения 4.37 сле-
дует, что А = Encb(M), a последний модуль изоморфен матричной
алгебре Md(D). Следовательно,
dim*: А = dim^ Md(D) = dimD Md(D) dimK D = d2 dim^ D.
Остается заметить, что dim^ M = dim£> M dim^ D = d dim^ D. D
4.5.4. Радикал конечномерной алгебры
Пусть А — конечномерная алгебра над К. Выбрав в А какой-ни-
будь базис, мы можем отождествить End#;(A) с матричной алгеброй
Мп(К), где η = dim*: А. След матриц индуцирует линейную форму
Tr: Endtf(A) —» К. Легко проверяется, что форма Тг не зависит от вы-
бранного базиса.

232 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
С помощью изоморфизмов Ra G End*:(Л), a G Л, определенных фор-
мулой (4.25), мы определим билинейную форму ( , ) : Л х Л —> К по
Ф0РМУЛ6 <a,b)=Tr(Rab) (4.28)
для всех а,Ъ g Λ. Билинейная форма ( , ) называется формой следа
алгебры Λ.
Лемма 4.41. Для любых а,Ъ,сеА имеют место равенства
(а, Ь) = (Ъ, а) и (ab, с) = (a, be) = {b, ca).
Доказательство. Равенство (ab, с) = (a, be) следует из формулы
Щаъ)с = Ra(bc)· Доказательство равенства (а, Ь) = (Ь,а) основывается
на хорошо известном свойстве следа, а именно Tr(/ og) = Tr(g о /)
для всех /, g G Εηακ(Λ). Имеем
(a, b) = Tr(Rb о Ra) = Tr(Ra о Rb) = (b, a).
Наконец, используя доказанные равенства, получаем
(a, be) = (be, a) = (b, ca). D
Ядро J (Λ) формы следа, т. е. векторное пространство
J(A) — {аеА: (а, Ь) = 0 для всех b G Λ},
называется радикалом алгебры Λ.
Лемма 4.42. Радикал J (А) является двусторонним идеалом ал-
гебры Λ.
Доказательство. Пусть a g Λ и b g J(Λ). Нам нужно проверить,
что ab, Ъа G J {А), т. е. (ab, с) = 0 и (ba, с) = 0 для произвольного се. А.
Применяя лемму 4.41, получаем
(ab, с) = (Ъ, са) = 0 и (Ъа, с) = (Ъ, ас) =0. D
Пусть {Ля}яел — некоторое семейство алгебр над К с единицами
1я G Ля. Их произведением А = Пя<=л ^х называется алгебра, которая
как множество равна прямому произведению Пяел^я* а операции
сложения, умножения на скаляр и умножения задаются покоординатно:
(αλ)λ + {Ъх)х = {αλ + Ъх)х, /с(ая)я = (Ья)я, {αλ)λ · (Ья)я = (аяЬя)я
для всех ах, Ьх^АхикеК, где A g Л. Единицей алгебры Л служит век-
тор (1я)я· Для каждого A g Л имеется естественное вложение Ля ^-» Л,
отображающее элемент a G Ля в семейство {αμ)μ(=Λ G Л, где αμ = α для

§4.5. Полупростые алгебры и модули
233
μ = Я и αμ = 0 для μ φ λ. Мы будем отождествлять алгебру Ля с ее
образом в Л. При этом отождествлении А\ является двусторонним
идеалом алгебры А и Α^Αμ = О для λ φ μ.
Если все алгебры {Аа}а<ел конечномерны и индексирующее мно-
жество А конечное, то алгебра Пяел ^ конечномерна и следующее
предложение позволяет вычислить ее радикал.
Предложение 4.43. Если А — произведение конечного семейства
{Αλ}λ<=Λ конечномерных алгебр, то
J(A) = f[j(AA).
ЯеЛ
Доказательство. При сделанных предположениях алгебру А мож-
но отождествить с прямой суммой (&хелАх· Из определения произ-
ведения в А следует, что каждое правое умножение Ra € EndK(A), где
a = {βλ)λ Ξ А, есть прямая сумма правых умножений Καλ по всем λ е. А.
Поэтому форма следа ( , ) алгебры А равна сумме форм следа ( , )я
алгебр {Ля}яел, т.е.
ЯеЛ
для всех (αλ)λ, (Ъх)х G А. Отсюда следует, что Пяел Д^Аел) с J(A).
Докажем теперь обратное включение. Пусть {ах)х G J(A) и &μ G Αμ
для некоторого μ € Λ. Рассматривая Ьм как элемент алгебры А посред-
ством естественного вложения Αμ <—> А, мы получаем
{αμ^μ)μ = {(αλ)λ^μ)=0.
Поскольку это равенство верно для всех bM G Αμ, мы имеем αμ G 3{Αμ).
Следовательно, элемент {ßx)\ принадлежит Плел Д^*)· Π
Напомним, что идеал / алгебры А называется нилъпотентным,
если существует такое Ν>1, что Iм = 0, т. е. если ai... aN = 0 для всех
ai,...,aNeI.
Предложение 4.44. Любой нильпотентный левый идеал конечно-
мерной алгебры А содержится в радикале J (А).
Доказательство. Пусть / — нильпотентный левый идеал алгебры А.
Чтобы доказать включение I с J {А), нужно проверить, что (а, Ъ) = О
для всех а^1 и Ъ G А. Положим c = bael. Так как идеал J нильпо-
тентный, получаем, что cN = 0 для некоторого N > 1. Следовательно,
(Rc)n = Rcn = 0. Иными словами, Rc есть нильпотентный эндоморфизм

234 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
алгебры Л. Поэтому его след равен нулю. По лемме 4.41 и формуле
(4.28) имеем
(а,Ъ) = (Ъ,а)=Тг(Кс) = 0. D
4.5.5. Полупростые алгебры
Определение 4.45. Алгебра Л называется полупростой, если она
конечномерна и J (Л) = 0.
Эквивалентное определение: алгебра полупростая, если она ко-
нечномерна и ее форма следа невырождена.
Предложение 4.46. Конечномерная алгебра А тогда и только то-
гда полупроста, когда для некоторого базиса {ai,..., ап} этой алгебры
выполняется неравенство det((cii, aj)i,j=i,...,n) Φ 0.
Доказательство. Невырожденность симметрической билинейной
формы ( , ) на конечномерном векторном пространстве с базисом
{аь...,ап} эквивалентна тому, что детерминант det((af,α,·)^=1ν..)Π)
отличен от нуля. D
Примеры 4.47. 1. Если G — конечная группа и характеристика
поля К не делит card G, то групповая алгебра K[G] полупростая (это
утверждение известно как теорема Машке). Действительно, множе-
ство G является базисом алгебры K[G], и, как легко проверить, для
всех g, h € G имеет место равенство
( card G, eoiHgh = l,
{8, }~[0, если gh φ 1.
Отсюда можно вывести, что форма следа на групповой алгебре K[G]
невырождена.
2. Пусть А = Пяел^я — произведение конечного семейства ал-
гебр. Ясно, что алгебра А конечномерна тогда и только тогда, когда
все алгебры Ля конечномерны. Отсюда и из предложения 4.43 следует,
что алгебра А полупроста тогда и только тогда, когда все алгебры Ля
полупросты.
3. Все простые алгебры над полем характеристики нуль полупрос-
тые. Это следует из предложения 4.35 и упражнения 4.5.5 (см. п. 4.5.7).
Предостережение. Простая алгебра над полем К характеристики
ρ > 0 не обязательно полупроста. Например, алгебра МР(К) квадрат-
ных матриц порядка ρ над полем К простая по предложению 4.34,
но ее форма следа равна нулю, следовательно, J(MP(K)) — МР(К)
(см. упражнение 4.5.5).

§4.5. Полупростые алгебры и модули
235
4.5.6. Теорема о структуре полупростых алгебр
Под подалгеброй алгебры А над полем К мы понимаем такое нену-
левое JC-векторное пространство А! с А, что ab g А! для всех а,Ь еА'
и существует элемент V G А', удовлетворяющий условию Va = aV = а
для всех a G А'. Тогда 1;/0и ограничение умножения в Л на Л7
превращает А! в алгебру с единицей V. Ясно, что элемент V совпадает
с единицей 1 алгебры А тогда и только тогда, когда 1 G А!.
Лемма 4.48. Пусть А — алгебра и {Ах}хеЛ— такое конечное се-
мейство подалгебр алгебры А, что А = 0яел ^я и Α\Αμ = 0 для любых
λ Φ μ. Тогда верны следующие утверждения.
1. Подалгебра Ах является двусторонним идеалом алгебры А для
любого A G А.
2. Для любого A G Λ определим элемент lx G Ах из разложения
1 = Σ 1а.
ХеЛ
Этот элемент 1х принадлежит центру алгебры А и является едини-
цей подалгебры Ах.
3. Отображение /: Пяел^я ~~* А> определенное формулой
f((ax)x) = J] αλ G А,
является изоморфизмом алгебр.
Доказательство. 1. Имеем
ΑΑμ = vfc/ ^яДц = ΑμΛμ С Αμ.
Аналогично доказывается включение ΑμΑ с Αμ.
2. Если α G А, то
^] а1я = al = а = \а = ]Г 1яа.
Так как Ая —двусторонний идеал алгебры А, получаем, что alx, \xa G
G Ах. В силу единственности разложений в прямой сумме alx = 1яа.
Таким образом, 1я является центральным элементом алгебры А.
Так как ΑΧΑμ = 0 для λ φ μ, для каждого элемента αμ G Αμ имеем
αμ = 1αμ = 2j !λαμ = 1μαμ.

236 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Аналогично αμ = αμ1μ. Таким образом, 1μ является единицей подал-
гебры Αμ.
3. Ясно, что отображение / биективно. Если а = [ах)х, Ъ = (Ьа)а ξ
еПя€ЛАЯ,ТО
Да)/(Ь) = ÎJ] ая)(2 ЬЯ) = Σ аяЬя = /(аЬ).
^ЯеЛ ' ^ЯеЛ ' ЯеЛ
Здесь второе равенство следует из условия Α\Αμ = О для λ Φ μ. Тем
самым показано, что / — изоморфизм алгебр. D
Сейчас мы докажем основную теорему о структуре полупростых
алгебр.
Теорема 4.49. Для любой полупростой алгебры А существует
такое конечное семейство простых подалгебр {АяЬел алгебры А, что
А = 0яел ^я и Α^Αμ = 0 для любых λ φ μ. Такое семейство подалгебр
единственно.
Доказательство. Будем действовать по индукции по размерно-
сти алгебры А над полем К. Если dim^ А = 1, то алгебра А обязательно
простая.
Предположим, что dim^ A > 1 и что теорема верна для всех по-
лупростых алгебр размерности меньше dim^ А. Пусть IcA — произ-
вольный ненулевой двусторонний идеал минимальной размерности.
Ясно, что I не содержит никаких других ненулевых идеалов алгебры А.
Если I = А, то алгебра А простая и теорема доказана. Если Ι φ А, то
положим ,
J-1 = {а е А : (а, Ь) = О для всех Ъ е/},
где ( , ) — форма следа (4.28). Из леммы 4.41 следует, что I1 является
двусторонним идеалом алгебры А. Так как форма следа невырождена
и 0 φ Ι φ А, получаем, что О φ Ι1 φ А и
dimic I + diniic I1 = dim*; Л.
Пересечение J n J1 представляет собой двусторонний идеал ал-
гебры А, содержащийся в I. Ввиду минимальности идеала / имеем
либо Ι Π I1 = I, либо Ι Π I1 — 0. Равенство I П I1 = I эквивалентно
включению Ici1, что эквивалентно тривиальности формы следа на 7.
Мы утверждаем, что это невозможно. Действительно, так как идеал I
минимален, двусторонний идеал I2 cl равен либо 0, либо I. Из равен-
ства I2 = 0 следует, что алгебра А содержит ненулевой нильпотентный
левый идеал, что невозможно по предложению 4.44. Значит, I2 = I,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
237
поэтому любой элемент ze/ представляется в виде z = ^t xtyu где
*i, Уг GI- Если форма следа тривиальна на /, то
(l,z) =YÀ(l}xiyÎ) =^(хьУ1) = 0.
i i
Следовательно, 1 G /х, и двусторонний идеал I1 равен всей алгеб-
ре Л — противоречие.
Таким образом, мы доказали, что Ι ΠI1 = 0. А так как dim^ J +
+ dim^ I1 = dirn^ А, мы получаем А = J Θ Ι1. Поскольку произведения
идеалов II1 и ΙλΙ содержатся в Ι Π Ι1 = 0, они равны нулю. Точно
так же, как в лемме 4.48 (2), проекции единицы алгебры Ав I и I1
являются единицами в / и I1 соответственно. Таким образом, I и I1
являются подалгебрами алгебры А, и А = I x I1.
Любой двусторонний идеал J cl алгебры I автоматически являет-
ся двусторонним идеалом алгебры А. Так как идеал I минимален, мы
имеем либо J = 0, либо J = 1. Следовательно, алгебра I простая. Из ра-
венства А = I х I1 и предложения 4.43 следует, что Jtf1) с J (A). A так
как J (А) = 0, получаем, что и ./(J1) = 0, что доказывает полупростоту
алгебры I1.
Поскольку dim^ I1 < dim^ A, мы можем применить к I1 предпо-
ложение индукции. Поэтому существует такое конечное семейство
MaIaga' простых подалгебр алгебры J1, что
ХеЛ'
и ΑΧΑμ = 0 для любых Я Φ μ из А'. Мы получим искомое семейство
МяЬел простых подалгебр алгебры А, если положим А = A! U {Я0}
и Ах0 = I.
Чтобы доказать единственность семейства {Аа}а€Л, рассмотрим
произвольный ненулевой двусторонний идеал J алгебры А. Имеем
J = JA = ($JAx.
λ(ΞΛ
Каждое произведение J Ах является двусторонним идеалом в Ах, а так
как Ах — простая алгебра, J Ах равно либо 0, либо Ах. Следовательно,
существует такое непустое подмножество А0 с А, что J = флел0 ^я·
Это доказывает, что J есть подалгебра алгебры А. Кроме того, J про-
ста как алгебра тогда и только тогда, когда множество А0 состоит
только из одного элемента Яо, и тогда J = Ах0. Отсюда можно сделать

238 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
вывод, что семейство {АяЬел состоит из всех ненулевых двусторон-
них идеалов алгебры А, которые просты как алгебры. Это доказывает
утверждение теоремы о единственности. D
Выведем следствия из леммы 4.48 и теоремы 4.49.
Следствие 4.50. Любая полупростая алгебра является произведе-
нием простых алгебр.
Следствие 4.51. Пусть J — двусторонний идеал полупростой
алгебры А. Тогда J и факторалгебра A/J являются полупростыми
алгебрами.
Доказательство. Рассмотрим разложение А=0Я(ЕЛ Ая алгебры А,
доставляемое теоремой 4.49. Согласно примеру 4.47 (2) каждая подал-
гебра Ах полупроста. Как мы видели в доказательстве теоремы 4.49,
существует такое подмножество Л0 с Л, что */=0яело ^я- По лемме 4.48
получаем т—г ■*—г
J = Y] Ах и A/JÏÉ [[ Αλ.
λ€Λ0 λ(=Λ\Λ0
Опять используем пример 4.47 (2), утверждающий, что конечные
произведения полупростых алгебр полупросты. D
4.5.7. Модули над полупростой алгеброй
Сначала найдем вид простых модулей над полупростой алгеброй.
Предложение 4.52. Пусть А — полупростая алгебра, и пусть
{Αλ}λεΛ — семейство простых подалгебр алгебры А, доставляемое
теоремой 4.49. Для каждого ненулевого простого Α-модуля M суще-
ствует единственный элемент А е А, для которого M = АхМ. Кроме
того, M является простым Ax-модулем, и ΑμΜ = 0 для всех μ φ λ.
Доказательство. Пусть M — ненулевой простой Α-модуль. Каж-
дое произведение АхМ является Α-подмодулем модуля М. Мы можем
представить модуль M в виде суммы этих подмодулей:
Μ = ΑΜ = Σ ΑλΜ. (4.29)
Яеу\
Поскольку Μ φ 0, существует такой элемент А € А, что АхМ Φ 0. Ввиду
простоты модуля M имеем АхМ = М. Мы утверждаем, что ΑμΜ = 0
для μ Φ λ. Действительно, каждый элемент теМ можно разложить
в сумму m = ][]; aimi, где at е Ах и m* € M. Если a G Αμ, где μ Φ λ,
το am = J]i aatmi = 0, так как AßAx = 0, и наше утверждение доказа-
но. Далее, мы утверждаем, что Ая-модуль M простой. В самом деле,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
239
пусть N — ненулевой Ля-подмодуль модуля М. Определив действие по-
далгебры Αμ, μ φ А, на N как нулевое, мы превратим N в А-подмодуль
Α-модуля M. А так как M прост как Α-модуль, получаем, что N=M. D
Теорема 4.53. Любой конечномерный модуль над полупростой
алгеброй полупрост.
Доказательство. Рассмотрим конечномерный модуль M над по-
лупростой алгеброй А. Разложим алгебру А в произведение простых
подалгебр {Ах}хеЛ, предписанное теоремой 4.49. Каждое векторное
пространство АхМ с M является конечномерным модулем над Ах.
По предложению 4.39 Ах -модуль АхМ полупростой. Так как простой
Ах -модуль прост и как Α-модуль (где все Αμ,μφλ, действуют нулевым
образом), каждый Ая-модуль АхМ является полупростым А-модулем.
Из формулы (4.29) следует, что модуль M есть сумма простых подмо-
дулей. Из предложения 4.28 следует, что Α-модуль M полупростой. D
Теперь подведем итоги теории представлений (конечномерной)
полупростой алгебры А. Пусть {Ая}яел — множество всех ненулевых
двусторонних идеалов алгебры А, которые просты как алгебры. Это
множество конечно. Для каждого λ G Л существует единственный
с точностью до изоморфизма простой Ая-модуль Vx. Мы рассмотрим Vx
как Α-модуль, полагая АцУх = 0 для μ φ λ. Тогда Α-модули {УяЬел
простые и каждый простой Α-модуль изоморфен в точности одному
из них. Кроме того, для каждого конечномерного Α-модуля M суще-
ствуют единственная функция dM ' А —> N и изоморфизм А-модулей
М^01^м(я). (4.30)
ХеЛ
Функция ам называется вектором размерности модуля M.
Пусть Dx — кольцо с делением Епад(Уя)· Следующая теорема вы-
текает из следствия 4.40, леммы 4.48 и теоремы 4.49.
Теорема 4.54. В принятых выше обозначениях
ХеЛ АеЛ
Следствие 4.55. Если основное поле К алгебраически замкнуто,
то гомоморфизм алгебр
A^Y\EndK(Vx),
ХеЛ
определенный как произведение по всем Я G A гомоморфизмов алгебр
А —> Endic(V^), индуцированных действием алгебры А на Vx, является

240 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
изоморфизмом. Кроме того,
dimKA=Y^(dimKVx)2.
Доказательство. Применив предложение 4.30 (3) к простому
Л-модулю Va, мы получим dim^ Dx — 1. Следовательно, Dx = К. Тогда
настоящее следствие представляет собой переформулировку теоре-
мы 4.54. D
Упражнение 4.5.1. Пусть А — конечномерная алгебра с радика-
лом J = J(A).
а) Покажите, что факторалгебра A/J полупростая.
б) Докажите, что для каждого х е J элемент 1+х обратим в А.
Упражнение 4.5.2. Пусть V—конечномерное векторное простран-
ство над полем К. Покажите, что каждый 1С-линейный автоморфизм
алгебры А = End^ÎV) является сопряжением на некоторый элемент
алгебры А. (Указание: всякий автоморфизм алгебры А определяет
новую структуру Α-модуля на V; затем используйте тот факт, что
над алгеброй А имеется только один простой модуль с точностью
до изоморфизма.)
Упражнение 4.5.3. Пусть А — полупростая алгебра и M — конеч-
номерный Α-модуль. Покажите, что существует изоморфизм алгебр
EndA(M)^ У\ MdM(A)EndA(VA).
λ€Λ(Λ)
Упражнение 4.5.4. Пусть К — алгебраически замкнутое поле и
А — полупростая JC-алгебра. Докажите, что существует изоморфизм
Α-модулей А = 0Я€л(л) rfx> гДе dA = dim* Vx.
Упражнение 4.5.5. Пусть D — кольцо с делением. Для 1 < i, j < η
обозначим через Eij G Mn{D) матрицу, все элементы которой равны
нулю, кроме (i, j)-ro элемента, равного 1.
а) Проверьте, что след умножения справа на Eij в матричной алгеб-
ре Мп{р) равен п, если i = j, и 0 в остальных случаях.
б) Докажите, что форма следа алгебры Mn{D) задается формулой
(а,Ь) = пТг(аЪ)
для всех а,Ъ GMn{D).
в) Выведите из этих фактов, что алгебра Mn{D) тогда и только тогда
полупростая, когда число η обратимо в кольце D.

§4.5. Полупростые алгебры и модули
241
Упражнение 4.5.6. Пусть К — поле характеристики ρ > О и G —
циклическая группа порядка р. Покажите, что (g — 1)р = 0 g К[G] для
всех g eG. Выведите отсюда, что групповая алгебра K[G] содержит
ненулевой нильпотентный идеал и потому не полупростая.
Упражнение 4.5.7. Пусть А — конечномерная алгебра над полем К
характеристики нуль. Докажите, что все элементы радикала алгеб-
ры А нильпотентны. (Элемент a G Λ называется нилъпотентным, если
αΝ = 0 для некоторого целого числа N > 1.)
решение. Положим d — dim^ А. Для каждого a G J (А) и любого η > 1
имеем „ чпч . Ν . „ 1х
Tr((Ra)n) = Tr(Ran) = (a, a""1) - 0.
Обозначим через Аь ..., λα собственные значения правого умноже-
ния Ra в алгебраическом замыкании поля К. Из предыдущих равенств
следуемо Aî + ... + Ad" = 0
для всех η > 1. Ввиду формул Ньютона (которые требуют, чтобы ос-
новное поле имело характеристику нуль) все элементарные симмет-
рические полиномы от Ai,.-..,Ad равны нулю. Отсюда следует, что
характеристический полином правого умножения Ra является моно-
мом степени d и потому (Ra)d = 0. Следовательно, ad = (Ra)d(l) = 0.
Упражнение 4.5.8. Пусть К — поле характеристики нуль. Дока-
жите, что любая конечномерная К-алгебра А, не содержащая ненуле-
вых нильпотентных левых идеалов, полупроста.
решение. Достаточно доказать, что J = J (Λ) = 0. Предположим, что
J Φ 0, и рассмотрим какой-нибудь ненулевой левый идеал I с J ми-
нимальной размерности над К. По условию идеал I не нильпотентен
и, в частности, Ι2 φ 0. Следовательно, существует такой элемент х el,
что Ix φ 0. Ввиду минимальности идеала / и того, что Ix с /, мы имеем
равенство Ix = /. Значит, существует такой элемент е G J, что ех — х.
Отсюда следует, что . . 9
х = ех = е{ех) — ex.
Таким образом, мы получили, что (е — е2)х = 0. Левый идеал
I' = {yel:yx = 0}
является собственным подидеалом идеала J, так как Ix φ 0. Из мини-
мальности идеала / следует, что V — 0. Так как е — е2 G Г, получаем,
что е — е2. Значит,
е = е2 = е3 = ...

242 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Далее, согласно упражнению 4.5.7 элемент е s I с J нильпотентен
(в этом месте мы используем предположение о том, что характеристи-
ка основного поля равна нулю). Из этих двух фактов мы заключаем,
что е = 0. Следовательно, х = ех = 0 и Ix = 0, что противоречит выбору
элемента х. Значит, J = 0.
Упражнение 4.5.9. Элемент е алгебры А называется идемпотен-
том, если е = е2.
а) Покажите, что если ее А — идемпотент, то / = 1 — е также идем-
потент.
б) Предположим, что идемпотент ееЛ центральный, т.е. он комму-
тирует со всеми элементами алгебры А. Положим / = 1 — е. Дока-
жите, что Ае и Af являются двусторонними идеалами алгебры А;
что если рассматривать Ае и Af как алгебры, то элементы ей/
являются единицами этих алгебр соответственно; и что отобра-
жение Ае х Af —» А, (а,Ь)*-* а + Ъ является изоморфизмом алгебр.
в) Покажите, что единственным ненулевым центральным идемпо-
тентом простой алгебры является ее единица.
Упражнение 4.5.10. Ненулевой центральный идемпотент е алгеб-
ры А называется примитивным, если его нельзя представить в виде
суммы двух ненулевых центральных идемпотентов, произведение ко-
торых равно нулю.
а) Докажите, что если е — примитивный центральный идемпотент
алгебры А, то не существует таких алгебр Ai и А2} что Ае = Ai x А2.
б) Пусть А — произведение г < оо простых алгебр. Покажите, что су-
ществует единственное множество {еь ..., ег} примитивных цен-
тральных идемпотентов алгебры А, для которого е^е\ = 0 для всех
кф1из множества {1,..., г} и е\ +... + ег = 1.
Упражнение 4.5.11. Пусть А — конечномерная алгебра. Докажи-
те следующие утверждения.
а) Сумма любых двух нильпотентных левых идеалов алгебры А яв-
ляется нильпотентным левым идеалом.
б) Любой ненильпотентный левый идеал алгебры А содержит неко-
торый ненулевой идемпотент.
в) Сумма J всех нильпотентных левых идеалов алгебры А является
двусторонним идеалом.
г) Если основное поле имеет характеристику нуль, то J есть радикал
алгебры А.

§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке
243
§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке
Мы вернемся к алгебрам Ивахори — Гекке H^iq), которые были
определены в п. 4.2.2, где η — положительное целое число, R — ком-
мутативное кольцо и q — обратимый элемент кольца R.
Сначала проанализируем поведение алгебры Я„ (q) при замене
скаляров. Пусть задан гомоморфизм коммутативных колец f:R—>S.
Тогда для любого целого числа п>1и обратимого элемента q G R мы
имеем R-алгебру H^iq) и S-алгебру H^iq), где q— f(q) G S.
По теореме 4.17 алгебра H^iq) есть свободный JR-модуль ранга п!.
Поэтому мы можем отождествить End^ (H„(q)) с матричной алгеброй
Mn\(R). Это позволяет нам определить Я-билинейную форму следа
( , )R:H*(q)xH*(q)-*R
алгебры H^iq) по формуле (4.28), где Rc G Епая(Н„ (q)) —умножение
справа на элемент с G H^iq). Аналогично определим S-билинейную
форму следа { , )s:H*<S)xH*n<ä)->S
алгебры H„(q).
Предложение 4.56. Существует такой изоморфизм S-алгебр
</>:S®RH£(q)^->H*(q),
что
(4>{s®x),4>{s/®x/))s = ss/f((x,x/)R) (4.31)
для всех s, s' € S и х,х' G H^fa).
Доказательство. Положим φ (s Θ Γ;) = sTi G H^(q) для всех s e S
и i = 1, ...,n — 1. Легко проверяется, что тем самым определен гомо-
морфизм S-алгебр R, ч ς ,_ч
По теореме 4.17 алгебра H^iq) есть свободный Я-модуль с базисом
{Τω: w€бп}. Аналогично H^Çq) есть свободный S-модуль с тем же
самым базисом. Ясно, что при гомоморфизме φ базис {1 ® Τω : w G 6n}
алгебры S ®R H^(q) переходит в базис {Τω: w e&n} алгебры H^Çq)·
Поэтому φ — изоморфизм.
Ввиду S-билинейности для доказательства равенства (4.31) доста-
точно проверить его для s = s' = 1, х = Τω и х' = Τω>9 где ш, w1 G &n.
Имеем
(φ(1 Θ Γω), φ(1 ® Γω/)>Α = (Γω, Γω/>δ - Ττ(ΚΤωΤω, : H*(q) -> H*(q)) =

244 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
= /{Ττ{ΚΤωΤω, : H*(q) -> H^q))) = /«Γω, Г„/)А).
Здесь мы использовали тот факт, что структурные константы для
умножения базисных элементов Τω G Н„ (q) равны образам соответ-
ствующих структурных констант для умножения базисных элементов
Τω G Hn(q) при отображении /. D
Напомним, что элемент кольца называется алгебраическим, если
он является корнем некоторого ненулевого полинома с коэффициен-
тами в кольце целых чисел Z. Сейчас мы докажем основной результат
этого параграфа.
Теорема 4.57. Пусть К — поле, характеристика которого не де-
лит п\. Алгебра H%(q) полупроста для всех q G #\{0}, кроме некото-
рого конечного числа алгебраических элементов из q€.K\{0,1}.
Отметим без доказательства более точный результат Венцля (см.
[Wen88]): алгебра H%(q) полупроста, если q не является корнем из
единицы порядка d, где 2 < d < п.
Доказательство. Если q = 1, то алгебра H^(q) =K[<5n] полупро-
ста согласно примеру 4.47 (1).
Предположим теперь, что q Φ 1. По определению алгебра H^(q)
полупроста тогда и только тогда, когда ее форма следа ( , )к невы-
рождена. Рассмотрим базис {Γω}ω(Ξβη алгебры H^(q). По предложе-
нию 4.46 алгебра H^{q) тогда и только тогда полупроста, когда
det((TCÜ, Τω>)κ)ω,ω'<Ε&η Φ 0.
Пусть R = Z[q0, q^1]—кольцо лорановых полиномов от одной
переменной q0, и пусть i: R —> К — такой гомоморфизм колец, что
i(qo) = q· На R-алгебре H^(q0) имеется форма следа ( , )R, которая по
предложению 4.56 связана с формой следа алгебры H%(q) формулой
(Τω, Τω')κ = 1{(Τω, Τω')κ)
для всех ω, ω' G<5n. Поэтому
det((rw, Τω>)κ)ω,ω><Ε&η = i(P(Яо))>
где
D(qo) = det((r6>, Γω/)Α)ω,ω/€βη e R.
Иными словами, det((TCÜ, Γω/)κ;)ω,ω'€@η ξ Я равно значению лоранова
полинома D(q0) в точке qo = q.

Замечания
245
Мы утверждаем, что D(q0) Φ 0. Для доказательства этого утвер-
ждения рассмотрим гомоморфизм колец π : jR —> Q, отображающий
q0 в 1. По предложению 4.56 существует изоморфизм Q-алгебр
Q®RH%{q0)=H®{l).
Этот изоморфизм отображает базис {1Θ Γω}ω€θη алгебры Q®rH^ (qo)
в базис {Τω}ω€Εβη алгебры Н^(1). Форма следа ( , )R алгебры H^(q0)
связана с формой следа ( , )q алгебры Н^(1) формулой
(Τω, Toj')q = π((Τω, Γω/)Λ)
для всех ω, со'ебп. Следовательно,
det((rco, Γω/^)ω,ω/€6η = 7i(D(q0)).
Из полупростоты алгебры Н^(1) = Q[6n] и предложения 4.46 следует,
что det((rw, Γω/^)ω,ω'€6„ 7^ 0. Тем самым доказано, что D(q0) 7e 0.
В заключение отметим, что К-алгебра H^iq) полупроста тогда и
только тогда, когда значение лоранова полинома D(q0) в точке qo = q
отлично от нуля, т. е. тогда и только тогда, когда q не является корнем
полинома D(q0) в поле К. Наконец, заметим, что ненулевой лоранов
полином имеет конечное число корней и его корни алгебраичны. □
Упражнение 4.6.1. Пусть R = Z[q0, q^1]. Вычислите форму следа
на алгебре H^qo) при η = 2 и покажите, что соответствующий ло-
ранов полином D(q0) (который был определен в предыдущем доказа-
тельстве) равен (qo +1)2.
Замечания
Задание образующими и соотношениями (4.1) симметрической
группы принадлежит Е. X. Муру; см. [Моо97]. В §4.1 мы следовали
Матасу; см. [Mat99, Sect. 1.1]. Результаты этого параграфа будут рас-
пространены на группы Коксетера в § 6.6.
Следуя идее Андре Вейля, Шимура (см. [Shi59]) определил алгебру
преобразований в связи с операторами Гекке в теории чисел. Эта алгеб-
ра была определена как алгебра ß-биинвариантных функций на груп-
пе G с операцией свертки, где В — такая подгруппа группы G, что
[В : В η хВх~г] < оо для всех xgG.B статье [Iwa64] Ивахори назвал ал-
гебру преобразований Шимуры кольцом Гекке и предъявил ее задание
образующими и соотношениями в случае, когда G — группа Шевалле
над конечным полем Cq и В — ее подгруппа Бореля.

246 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Алгебра Ивахори — Гекке из определения 4.15 является алгеб-
рой Шимуры, ассоциированной с группой Шевалле G = GLn(Cq) (бо-
лее подробно см. упражнение 4.2.3), см. [Вои68, гл. IV, §2, упражне-
ния 22-24], [GHJ89, Sect.2.10], [GP00, Sect.8.4].
В §4.2-4.4 мы по существу следовали статье [HKW86, Sects 4-6].
Построенный в § 4.3 след принадлежит Окняну (см. [FYHLM085] и
[Jon87, Sect. 5]). Существование полинома Джонса — Конвея от двух
переменных, построенного в § 4.4, было доказано Фрейдом, Йетте-
ром, Хосте, Ликоришем, Миллетом, Окняну, Пшитыцким и Трачиком
вскоре после того, как Воган Джонс летом 1984 г. открыл полином
Джонса; см. [Jon85], [Jon87], [FYHLM085], [РТ87]. Открытие поли-
нома Джонса и его обобщений заложило основания для квантовой
топологии; см. [Tur94], [Kas95], [KRT97].
Содержание § 4.5 стандартно и может быть найдено в таких кни-
гах, как руководства Бурбаки [Вои58], Кэртиса и Райнера [CR62],
Пирса [Pie82], Дрозда и Кириченко [ДК94], Бенсона [Веп98], Ленга
[Lan02]. Заметим, что для полей положительной характеристики наше
определение полупростой алгебры более ограничительно по сравне-
нию с определением, данным в этих книгах. Лемма 4.36 принадлежит
М. Рифелю.

Шй&5;^
Представления алгебр
Ивахори — Гекке
В этой главе мы изучаем линейные представления однопараметри-
ческих алгебр Ивахори — Гекке, которые были определены в п. 4.2.2.
Наша цель — классифицировать их конечномерные представления
над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль в терминах
разбиений и диаграмм Юнга. В качестве приложения мы докажем,
что определенное в §3.3 приведенное представление Бурау неприво-
димо. Мы завершим главу обсуждением алгебр Темперли—Либа.
§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
Здесь мы введем язык разбиений, который обычно используется
для описания неприводимых представлений симметрических групп.
Мы используем этот язык в § 5.3 для построения простых модулей над
алгебрами Ивахори — Гекке.
5.1.1. Разбиения
Разбиением неотрицательного целого числа η называется конеч-
ная последовательность А = (Ai, λ2)..., Ар) положительных целых чи-
сел, удовлетворяющая условиям
Ai > А2 > ... ^ λρ и |А| = Ai + λ2 +... + λρ = п.
Тот факт, что А является разбиением числа п, мы будем записывать
как А Ч п. Целые числа Ai,A2, ...,АР называются частями разбие-
ния А, а р — количеством частей. По определению число η = О имеет
единственное разбиение, а именно пустую последовательность 0.
Пусть А = (Ai, А2,..., Ар) — разбиение на ρ частей. Положив Afc = О
для всех к > р, мы можем отождествить конечную последователь-
ность А с бесконечной последовательностью (Afc)fc>i целых чисел, ин-

248 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
дексированных числами к = 1,2,... Эта последовательность почти
нулевая в том смысле, что Хк = 0 для всех достаточно больших к,
и невозрастающая: Хк > Хк+\ для всех к. Каждая почти нулевая невоз-
растающая последовательность (Xk)k^i целых чисел возникает опи-
санным способом из разбиения А = (Ai, А2,..., Яр) числа η = ^к>1 Хк,
где ρ = max{fc : Хк φ 0}. В частности, пустое разбиение 0 соответствует
постоянной нулевой последовательности.
5.1.2. Диаграммы
Разбиение Я = (Ai, А2,..., Ар) числа η > 0 удобно представлять
его диаграммой D(X) (которую также называют диаграммой Ферре,
а также схемой Юнга), которая определяется как множество
D(A) = {(г, 5):1<г<ри1<5< Аг}·
В частности, диаграммой пустого разбиения служит пустое множе-
ство. Из определений следует, что D(A) = D(A') тогда и только тогда,
когда λ — λ1.
Диаграмму D(A) можно графически пред- ^
ставить как семейство клеток на плоскости R2, I | | | |
каждая из которых имеет центр в соответству- г ГТП
ющей точке (r, s) G R2. Первая строка диаграм- I
мы D(A) состоит из Ai клеток, вторая строка— ψ I I
из А2 клеток и так далее до последней, р-й стро- Рис# 51 Диаграмма
ки, состоящей из Ар клеток. Полное количество разбиения (3,2,2,1)
всех клеток равно |А| = п. На рисунках мы бу-
дем придерживаться соглашения, что ось г идет вниз, а ось s на-
право. Например, на рис. 5.1 изображена диаграмма D(A) разбиения
А-(3,2,2,1).
5.1.3. Операции над разбиениями
Здесь мы определим несколько операций над разбиениями, ко-
торые нам понадобятся впоследствии. Для любых двух разбиений
А = (Afc)fc>i и λ' = (A£)fc>i (возможно, разных целых чисел) мы опре-
делим последовательности целых чисел А Л А7 и А V А7 формулами
(А Л АОк = min(Afc, Хк) и (А V А')к = max(Afc, X'k)
для всех к> 1. Эти две последовательности не возрастают, почти
нулевые и потому определяют разбиения. Ясно, что
D(AAA')=D(A)nD(A') и D(A VA') =D(A) UD(A').

§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
249
Рис. 5.2. Диаграмма разбиения,
сопряженного к разбиению (3,2,2,1)
Сопряженным (а также транспонированным) к разбиению Я Ч η
называется разбиение Ят Ч п, диаграммой которого является множе-
ство {(г, 5) : (s, г) eD(X)}. Другими словами, диаграмма разбиения Яг
получается из диаграммы разбиения Я, если в ней поменять местами
строки и столбцы. Например, для разбиения Я = (3,2,2,1) сопряжен-
ным разбиением будет Ят = (4,3,1) (см. рис. 5.2).
5.1.4. Таблицы
Таблица Τ состоит из разбиения Я Ч η вместе с биекцией
Б(Я)->{1,2,...,п},
которая называется нумерацией таблицы (а также размещением или
расстановкой чисел по клеткам диаграммы) и обычно обозначается
той же буквой Г. Значения этой функции называются числами, соот-
ветствующими клеткам. Разбиение Я называ-
ется формой таблицы Г. На рис. 5.3 показаны
две таблицы формы (3,2,2,1).
Композиция размещения чисел в табли-
це Τ с π клетками с перестановкой σ множе-
ства {1,2,..., п} дает размещение чисел в дру- Рис. 5.3. Две таблицы
гой таблице σΤ той же формы. В частности, формы (3,2,2,1)
таблица s/ Τ получается из таблицы Т, если в
ней поменять местами размещение чисел i и i +1. Ясно, что σ = σ/ «=»
<=> σΤ = σ'Τ и что для двух таблиц одинаковой формы одну из них
можно получить из другой с помощью некоторой единственной пе-
рестановки чисел. Следовательно, количество таблиц формы Я Ч η
равно п\.
5.1.5. Стандартные таблицы
Таблица Г формы ЯЧп называется стандартной, если размещенные
в ней числа возрастают слева направо в каждой строке и сверху вниз
в каждом столбце, т. е. если размещение чисел Г : D(X) —> {1,2,..., η}
удовлетворяет условию
r(r,s)<r(rV)
[Г
2
3
8
5
6
4
"71
гг
2
3
14
5
6
8
71

250 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
для всех (г, 5), (г7, s') е D(A), удовлетворяющих условиям r<r/H5<s/.
Например, правая таблица на рис. 5.3 стандартная, а левая нет (так
как число 4 расположено под числом 6).
Обозначим через 5я множество всех стандартных таблиц формы Я
и положим /я = сага^я. Перемена местами строк и столбцов дает
биекцию между ^ и &λτ, где λτ — сопряженное к Я разбиение. Сле-
довательно,/я = /я.
Упражнения 5.2.2 и 5.2.3 (см. ниже) дают явные формулы для /я
для некоторых разбиений Я. Общая формула для /я, которая называ-
ется формулой крюков, дана в упражнении 5.2.6.
Следующее свойство чисел {/я}я будет играть ключевую роль
в классификации простых модулей над алгебрами Ивахори — Гекке.
Теорема 5.1. Для всех η > 1 имеет место формула
Σ(/λ)2="!·
λ-λη
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 5.2.4.
5.1.6. Осевое расстояние
Пусть Г — таблица с η клетками. Предположим, что число i е
€ {1,..., η — 1} стоит в клетке (г, s) таблицы Т, а число i + 1 стоит
в клетке (г', s') этой таблицы. Положим
dT(i) = (s' - г') - (s - г) € Z. (5.1)
Целое число 5 — г называется осевым расстоянием числа i в табли-
це Τ (это алгебраическое расстояние от клетки (г, s) до диагонали
{(х, х) : х G R} в R2). Тогда число dT(i) равно разности между осевыми
расстояниями клеток с числами i +1 и i. В следующей лемме выпишем
несколько важных свойств числа dr(0·
Лемма 5.2. Пусть Τ — таблица с η клетками и i,je{l, ...,п — 1}.
1. Тогда ,
i ,.л -dr(0, если j = i,
S'TW \ dT(0, eaiu\i-j\>2.
2. Предположим, что \фп — \,и положим d = dT(f), e = dr(i + 1)·
Гогоа
d5[T(i) - -dSisi+1r(i + 1) = dSi5i+lSir(i +1) = -d,
dSi+1TÜ + 1) = -ds.+lS.r(0 = d5.w.T(0 = -e,
dSir(i +1) = dSi+lT(i) = -dSiSi+lT(i) = -dSi+lSiT(i + 1) = d + e.

§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
251
Доказательство. 1. Пусть (г, s)—клетка таблицы Г с числом i
и (г7, s7) — клетка таблицы Г с числом i + 1. Тогда (г, s) является клет-
кой таблицы s{T с числом i + 1, a (г7, s7) является клеткой таблицы 5fT
с числом i. Из этого следует, что
d5ir(0 = (5-r)-(s/-rO=-dT(0.
Если j = i, то dSjr(0 = dSir(0 = —dr(0· Если I* "J I > 2, то таблицы Г
и SjT имеют одинаковые клетки с числами i и f + 1. Поэтому
dSjT(i) = dT(i).
2. Предположим, что числа i, i + 1, i + 2 стоят соответственно
в клетках (г, 5), (г7, s'), (r", s") таблицы Г. Тогда d = (s7 — г7) — (s —r)
и е = (s" — г") — (s7 — г7). Равенства dSir(0 = —d и dSf+1r(i + 1) = —e
вытекают из п. 1. Так как числа i 4-1 и i + 2 стоят соответственно
в клетках (г, s) и (г77, s77) таблицы SiT, получаем, что
dS(T(i + l) = (s"-r")-(s-r) =
= i(s" - г") - (s' - г')) + ((s' - гО - (5 - г)) = d + е.
Числа i и i +1 стоят соответственно в клетках (г, 5) и (г77, s77) таблицы
Sf+iT. Поэтому
d5f+1r(0 = (5//-r//)-(5-r) = d + e.
Аналогично вычисляются ds.5.+lT(;), ds.+lS.T(;) и ds.s.+lS.T0) для j = i, i +1.
D
Если таблица Т стандартная, имеется следующая дополнительная
информация.
Лемма 5.3. Пусть Τ — стандартная таблица с η клетками.
1. Если числа iui + 1 стоят в одной и той же строке таблицы Т,
mo dT(j) — 1.
2. Если числа i и i + 1 стоят в одном и том же столбце табли-
цы Т, mo dT(i) = —1.
3. Если числа iui + 1 стоят в разных строках и разных столбцах
таблицы Г, то |dr(i)| ^ 2.
4. Во всех случаях \ат(0\ < η — 1.
Доказательство. Пусть (г, s) и (г7, s7) — клетки таблицы Г с чис-
лами i и i + 1 соответственно.
1. Если числа i и i + 1 стоят в одной и той же строке, то они
обязательно находятся в соседних клетках, поэтому г7 = r ns/ = 5 + 1;
следовательно, dr(0 = 1.

252 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
2. Если числа i и i +1 стоят в одном и том же столбце, то г' = г +1
и 5/ = s; следовательно, dT{i) = —1.
3. Предположим, что числа i и i + 1 стоят в разных строках и раз-
ных столбцах. Если г' > г, то непременно s' <s. Действительно, в про-
тивном случае рассмотрим число к в клетке (г', s) таблицы Г. Так
как таблица Г стандартная, имеем i < к < i + 1, что невозможно.
Следовательно,
dT(i) = (s/-s)-(r/-r)<-l-l = -2.
Если г' < г, то по тем же причинам, что и выше, мы имеем s' > s.
В этом случае
dT{ï) = (s'-s) - (r'-r) > 1 + 1 = 2.
В обоих случаях |dr(OI ^ 2.
4. Число |dr(OI может достигать самого большого значения толь-
ко в случае, когда одно из чисел i и i + 1 стоит в самой нижней клетке
первого столбца, а другое в самой правой клетке первой строки. Если
форма таблицы Τ есть разбиение (Аь Яг,..., Яр) числа п, то
|dr(01 < (Ai -1) + (ρ -1) < Ai -1 + А2 +... + Ар = η -1. D
Упражнение 5.1.1. a) Определим бинарное отношение < на мно-
жестве всех разбиений, полагая А < А7, если D(A) с D(A0- Покажите,
что отношение < является частичным порядком.
б) Докажите, что для любых разбиений ЯиЯ7 верны следующие
утверждения:
1) λΛλ/<λ<λνλ/ΗλΛλ/<λ/<λνλ/;
2) если разбиение μ удовлетворяет неравенствам μ < А и μ < Я', то
μ < Я Л Ях;
3) если разбиение ν удовлетворяет неравенствам Я < ν и Я7 < ν, то
ЯУЯ;< v.
§ 5.2. Решетка Юнга
В этом параграфе мы изложим необходимые подготовительные
сведения и затем докажем теорему 5.1.
5.2.1. Углы
Углом диаграммы D{X) разбиения Я (или, проще, углом разбие-
ния Я) называется такая клетка (г,s) eD(X), что ни (r,s+l), ни (r+l,s)

§5.2. Решетка Юнга
253
I IX
х|
XI
не принадлежат диаграмме D(A). На рис. 5.4 крестиками отмечены
три угла разбиения (3,2,2,1).
Ясно, что всякое непустое разбиение имеет
по меньшей мере один угол и что разные углы
находятся в разных строках и разных столбцах.
Кроме того, каждое разбиение Я определяется
множеством своих углов: диаграмма разбиения Я
состоит из углов и клеток, лежащих левее угла
и выше угла.
Если (г, 5) —угол диаграммы D(X), то Яг > Ar+i. Если мы положим
f Хк при к φ г,
Хк — 1 при к — г,
Рис. 5.4. Углы раз-
биения (3,2,2,1)
μ*:
то последовательность (μ^ будет невозрастающей и потому будет
определять разбиение μ числа η — 1, где η = |Я|. Ясно, что 1>(μ) =
= 1>(Я) \{(г, s)}. Мы будем говорить, что разбиение μ получено из раз-
биения λ удалением угла, и символически записывать это как μ ^-> Я.
На рис. 5.5 изображены три диаграммы, полученные удалением угла
из диаграммы D(3,2,2,1).
Рис. 5.5. Диаграммы, полученные удалением
угла из диаграммы D(3,2,2,1)
Заметим, что если разбиения ЯНпидН(п-1) удовлетворяют
условию £(μ) с D{X), то μ «-> Я, т. е. разбиение μ получается из раз-
биения Я удалением некоторого угла.
Лемма 5.4. Пусть Я и λ'—разные разбиения одного и того же
положительного целого числа. Тогда существует не более одного раз-
биения μ, удовлетворяющего условиям μ^λπμ^λ^ΗΜ более
одного разбиения ν, удовлетворяющего условиям Я <-> ν и Я/с-> v. Кроме
того, разбиение μ, удовлетворяющее условиям μ <—> Я и μ <-> Я', суще-
ствует тогда и только тогда, когда существует, такое разбиение у,
что Я <-> ν и Я' <—> v.
Доказательство. Пусть разбиение μ таково, что μ <—> Я и μ <-> Я7.
Тогда D^) сD(A) nD(A') и card D (μ) = π-1, где η = \λ\ = |λ'| > 1. Так

254 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
как Я φ А', получаем, что card D (Я) DD (Я7) < п. Отсюда следует, что
D(ji) = D(A) П D(A7) = D(A Λ λ7),
где Я Л Я7 — разбиение, определенное в п. 5.1.3. Следовательно, μ =
=ΑΛλ', и разбиение μ непременно единственное. Заметим также, что
cardD(A V А7) = card(D(A) U D(A7)) =
= card D(A) + card D(A7) - card(D(A) Π D(A7)) =
= 2n-(n-l) = n + l.
Следовательно, ν = λ V А' есть такое разбиение числа η +1, что А с~> ν
и А; с-> г.
Аналогичные рассуждения показывают, что если разбиение ν та-
ково, что Ас-^ ν и А/с-> ν, то непременно ν=λνλ7 и разбиение μ=λΛλ7
таково, что μ^λ и μ ^ А7. Отсюда непосредственно следует лемма. D
Лемма 5.5. Пусть А = (Ai, λ2,..., λρ) — произвольное разбиение.
Предположим, что существует I таких разбиений μ, что μ0-» λ. Тогда
существует I + 1 таких разбиений ν, что А с—> v.
Доказательство. Ясно, что клетка (г, s) тогда и только тогда яв-
ляется утлом разбиения А, когда Аг > Ar+i (здесь мы отождествляем
разбиение А с бесконечной невозрастающей почти равной нулю по-
следовательностью целых чисел). Таким образом, количество I всех
тех разбиений μ, для которых μ <^-> А, равное количеству углов разби-
ения А, равно количеству всех тех г > 1, для которых Аг > Ar+i.
Если разбиение ν таково, что А с-» ν, то
fAfc при к ^ г,
ГкН α ^i ь (5'2)
[ Afc + 1 при к —г
для некоторого целого числа г>1. Если г > 2, то из условия, что ν яв-
ляется разбиением, следует, что
vr_i = Аг_! > vr — Ar + 1,
a значит, Ar_i > Ar. Обратно, если Ar_i > Ar для некоторого г > 2, то фор-
мула (5.2) определяет разбиение ν, для которого Я^г. Количество
таких разбиений равно количеству всех тех г > 2, для которых Ar_i > Аг,
следовательно, равно количеству Ζ всех тех г > 1, для которых Аг > Ar+i.
Но имеется еще одно разбиение ν, для которого А <—» v, a именно
разбиение, задающееся формулами vi = Ai + 1 и vk = А^ для fc > 2.
Итак, количество всех разбиений ν, для которых λ <-> ν, равно Ζ Η-1. D

§5.2. Решетка Юнга
255
5.2.2. Решетка Юнга и диаграммы Браттели
Рассмотрим ориентированный граф <3/, вершинами которого слу-
жат все разбиения неотрицательных целых чисел, включая пустое
разбиение 0. Вершины μ и Я соединены в графе %/ единственным
ориентированным ребром μ -> Я, если разбиение μ получается из раз-
биения Я удалением некоторого угла. Это ребро также обозначается
как μ с-> Я. Граф %/ называется решеткой Юнга.
Для каждого η > 0 обозначим через <% конечный ориентирован-
ный подграф графа % вершинами которого служат такие разбие-
ния Я, что | А| < п; каждое ребро графа <S/ между двумя вершинами из
% по определению является ребром подграфа %. Графы %, <&\, Щ,,...
называются диаграммами Браттели. Решетка Юнга <& равна объеди-
нению этих графов. На рис. 5.6 изображена диаграмма Браттели 3£,
у нее 18 вершин и 25 ребер.
гттп
ŒD
МММ
BF™
Ш' „ ^ ^ №
I
F
Рис. 5.6. Диаграмма Браттели <&5
Лемма 5.6. Для любого разбиения Я число /я = card 3~x равно коли-
честву ориентированных путей в решетке Юнга <3/, ведущих из 0 к Я.
Доказательство. Клетка с самым большим числом η в стандарт-
ной таблице Τ формы λ-\η обязательно является углом. Удалив эту
клетку, мы получим разбиение Я(г1_1) числа η — 1 и стандартную таб-

256 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
лицу формы Я^п_1). Удалив из этой таблицы угол с числом η — 1, мы
получим разбиение Я^п-2) числа η — 2 и стандартную таблицу формы
j^(n-2) Продолжая этот процесс до тех пор, пока не останется клеток,
мы получим ориентированный путь
0 = Я(0) с* Я(1) ->... ^ Я(п"1} ^ Я(п) = Я (5.3)
в решетке Юнга Ф/. Этот путь однозначно определяется таблицей Г.
Обратно, начнем с произвольного ориентированного пути (5.3)
в решетке Юнга ^, ведущего из 0 к Я Ч гг. На каждом шаге при
переходе от Я^-1^ к Я^ добавляется клетка с числом i е {1, ...,п}.
В результате мы получим стандартную таблицу формы Я.
Тем самым мы определили взаимно обратные биекции между
множеством Э"\ стандартных таблиц формы Я и множеством ориен-
тированных путей в решетке Юнга <2/, ведущих от 0 к Я. В частно-
сти, /я = card Э'х равно количеству ориентированных путей в решетке
Юнга ^, ведущих от 0 к Я. D
Рассуждения в ходе доказательства леммы 5.6 показывают, что
каждый граф <% и решетка Юнга <& — (Jn % связны.
5.2.3. Операторы D и U
Пусть Ζ[<^] —свободная абелева группа с базисом {Я}, индекси-
рованным всеми вершинами решетки Юнга (3/. Определим линейные
отображения D,U: Ъ\®/\ —>Z[<3/] следующими формулами: для λ~\η>1
положим
DW = ]Г μ и [/(Я) = J] ν·
Напомним, что если Я — разбиение числа η и μ <-» Я, то μ есть разби-
ение числа η — 1; аналогично если Я <-» г, то ν есть разбиение числа
π 4-1. Будем по определению считать, что D(0) = 0и U{0) — v0, где
Vo = (1) —единственное разбиение числа 1.
Выпишем одно комбинаторное свойство операторов D и U, связы-
вающее их с целыми числами /я. Мы будем использовать следующее
обозначение: для к > 1 через Dk (соответственно Uk) обозначается
композиция к экземпляров оператора D (соответственно U). Мы также
определим D0 и U0 как тождественное отображение id группы Z[^].
Лемма 5.7. Для любого разбиения Я Ч η > О имеют место равен-
ства „,
Drl(Я)-/я0 и [/"(0) = 2]/яЯ.
АЧп

§5.2. Решетка Юнга
257
Доказательство. Из определений следует, что для каждого к > 1
мы имеем
^(я)= Σ Σ ··· Σ **-*> =
Σ A(n_fc)= Σ /mV
где /^ — количество ориентированных путей в решетке Юнга, веду-
щих от μ к Я. Для к — η имеется только одно разбиение μ числа
η — к = О, а именно μ = 0, и тогда по лемме 5.6 выполнено равенство
/μ = /я· Тем самым получена требуемая формула для Dn(X).
Аналогичные рассуждения показывают, что для каждого разбие-
ния μ-\τη>0 справедливо равенство
ипш)= Σ #я·
λ-\(τη+η)
Применив это равенство ΚΓη = Οπμ = 0, мы получим требуемую
формулу для Un (0). D
Операторы D и U обладают следующим замечательным свойством.
Лемма 5.8 (соотношение Гейзенберга). Имеет место равенство
DU-UD = id.
Доказательство. Пусть Я Ч η > 1. По лемме 5.4 имеем
(шхА) = 2 D(v) = Σ ( Σ я'1=αλλ + Σ λ>> (5·4)
Α<-»ν A^vS/^v J A'€A+(A)
где α^ — количество всех разбиений ν Ч (π 4- 1), удовлетворяющих
условию Я ^-> ν, и А+ (Я) — множество всех разбиений Я' Ч п, отличных
от Я, для которых существует (не обязательно единственное) разбие-
ние ν Ч (п + 1), удовлетворяющее условиям Я с-> ν и Я' °-> ν.
С помощью той же леммы 5.4 мы получаем
(ш)(я) = 2 ад = Σ ( Σя')=аяА + Σ λ'> (5·5)
где α^ — количество всех разбиений μ 4 (π — 1), удовлетворяющих
условию μ ^-> Я, и А~(Я) — множество всех разбиений Я' Ч п, отличных
от Я, для которых существует (не обязательно единственное) разбие-
ние μ Ч (п — 1), удовлетворяющее условиям μ <-* Я и μ <-> Я'.

258 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
По лемме 5.4 множества А+(Я) и А (Я) совпадают, а по лемме 5.5
имеем <2д = <2д + 1. Вычитая равенство (5.5) из равенства (5.4), мы
получаем (ш-Ш»(А) = А.
Последнее равенство верно также для Я = 0, так как (DU — UD){0) =
= D(vo) = 0. D
Выведем следующую более общую формулу: для каждого η > 1
имеет место равенство
DUn-UnD = nUn-1. (5.6)
Оно доказывается индукцией по п. При η = 1 равенство (5.6) совпада-
ет с равенством из леммы 5.8. Для η > 2 по предположению индукции
и лемме 5.8 имеем
DUn = {DUn-l)U = (Un~lD + (η -l)Un~2)U = Un~xDU + (η - Ι)!/*"1 =
= Un~l(UD + id) + (η - Ι)!/""1 = [/"D + nU11'1.
5.2.4. Доказательство теоремы 5.1
Из леммы 5.7 немедленно получаем
(D"l/")(0) = i^(/A)2)0.
Поэтому для доказательства теоремы 5.1 достаточно проверить, что
также верно равенство
(DnUn)(0) = n\0.
Докажем это равенство индукцией по п. Случай η = О тривиален. Для
η > 1 имеем
(PnUn)(0) = (Dn~1(DUn))(<Zi) = (Dn~l(UnD + π[/"-1))(0) =
= (Dn~lUn)(D(0)) + n(Dri-1[/n-1)(0) = n(n - 1)! 0 = л! 0.
Здесь второе равенство следует из формулы (5.6), а четвертое — из
предположения индукции и того, что D(0) = 0. D
Замечание 5.9. Тождество из леммы 5.8 показывает, что Ъ\Ф/\
является модулем над алгеброй Вейля Z(D, U)/(DU — UD — 1). Другой
классический пример модуля над этой алгеброй дают полиномы от од-
ной переменной t, на которых D действует как дифференцирование
d/dt, a U действует как умножение на t.
Упражнение 5.2.1. Вычислите /я для всех разбиений Я Ч η, η < 5.
{указание: используйте диаграмму Браттели <&$ на рис. 5.6.)

§5.2. Решетка Юнга
259
Упражнение 5.2.2. Пусть А = (Аь Я2,..., Ар) —такое разбиение,
что ρ > 1 и Я2 = ... = λρ = 1. Покажите, что
'Ч\+!Т2)·
(Указание: используйте индукцию по λ\ +ρ.)
Упражнение 5.2.3.
а) Пусть Я = (Ai, А2) — разбиение на две части. Покажите, что
μ = (λλ + λ2\ ^Я1 + Я2л = Я1-Я2 + 1/Я1 + Я2л
1 I Я2 i U2-W λ! + 1 V А2 J'
б) Докажите, что
Σ (/,АЛ>)2=^т(?)-1.
А1+А2=Л
{указание: используйте тождество ^i=oy )[],[_ ) = у uS\ гДе г> 5 Д —
положительные целые числа, для которых /с < г + 5.)
Упражнение 5.2.4. а) Покажите, что существует единственное
семейство g(Ab..., Яр) целых чисел, где Ai,..., Ар — произвольные
неотрицательные целые числа, ρ > 1, для которого
1) ξ{λ\, . ·., Ар) = 0, если только не выполнены неравенства Ai >
>...>λρ,
2) g(0) = 1, и если λρ = О, то g(Ab ..., Ар_ь Ар) = g(Ab ..., Ap_i),
3) если Ai > ... > λρ > 1, то
ρ
g(Ab ..., Ap) = 2^g(Ab..., Ai — 1,..., Ap).
б) Докажите, что для любого разбиения А=(Ai, А2,..., Ар) числа η
имеет место равенство /я = g(Ai,..., Ар). {указание: задать стандарт-
изую таблицу с η клетками — то же самое, что задать стандартную
таблицу с η — 1 клетками и указать, куда поместить η-ю клетку.)
Упражнение 5.2.5. Пусть хь ..., хр — независимые переменные,
и пусть полином A(xi,..., Хр) определен формулой
Δ (xi,..., Хр) = ]~] (xi - xj)
Ki<j<p
при ρ > 2 и формулой A(xi) — 1 при ρ = 1.

260 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
а) Покажите, что
][]XiA(xi,..., Xi + у,..., Хр) = (xi + ... + хр + ^2—у) Д (*ъ · -., Хр).
(Указание: в левой части стоит однородный полином, антисимметрич-
ный ПО Х\, ...,Хр.)
б) Покажите, что целые числа g(Ab ..., Ар) из упражнения 5.2.4
удовлетворяют равенствам
g(Ab...,Ap) = Л(Я1+р-1Д2 + р-2,...Др)
(Ai + ... + Αρ)! (Я1+р-1)!(Я2+р-2)! ... Яр!
при условии, что λ\+ρ —1> λ2 + ρ — 2> ...> λρ.
Упражнение 5.2.6 (формула крюков). Пусть D = D(A) —диаграм-
ма разбиения Я. Для (i, j) € D крюк Hij состоит из клетки (i, ;) вме-
сте со всеми клетками диаграммы D, лежащими под клеткой (i, ;)
в том же столбце, и со всеми клетками, лежащими правее клетки
(i, ;) в той же строке. Количество hij клеток в крюке Hij называется
длиной крюка и вычисляется по формуле
hu = Xi + Xj-i-j + l,
где Яг — разбиение, сопряженное с Я.
а) Докажите, что
(Я1+р-1)!(А2+р-2)! ...Ар!
π
hij =
Л(А1+р-1Д2 + р-2,...,Ар)·
(i,j)eD
б) Используя упражнения 5.2.4 и 5.2.5, докажите формулу крюков
1 l(i,j)eD"iJ
§ 5.3. Полунормальные представления
В этом параграфе мы вернемся к алгебрам Ивахори — Гекке Η„(ς)
из п. 4.2.2 и для каждого разбиения А числа η построим н£(д)-модуль
V*. Начнем с того, что введем несколько обозначений.
5.3.1. q-целые числа и q-факториалы
Зафиксируем коммутативное кольцо R и обратимый элемент q eR.
Для каждого целого числа η > 1 положим
[n]q = l + q + ... + qn-1€R (5.7)

§ 5.3. Полунормальные представления
261
и [п] -q — [l]q [2]q · · · Mq Ξ R. MbI Также ПОЛОЖИМ [0]q = 0 И
[n]q=-qn[-n]q (5.8)
для η < 0. Заметим, что [l]q = 1, [—l]q = — q~l и
[m + n]q = [m]q + qm [n]q = q" [m], + [n]q (5.9)
для всех целых чисел тип.
Для заданного положительного целого числа π мы будем говорить,
что элемент q является η-регулярным, если элемент [n]\q обратим
в кольце R, или, что эквивалентно, если элементы [l]q,[2]q,..., [n]q
обратимы в кольце Я. Если элемент q является п-регулярным, то он
fc-регулярен для всех к = 1,..., п.
Напомним, что для таблицы Г по формуле (5.1) были определены
целые числа dT(l),..., dT(n — 1). Положим
атЮ = ШШ~ЕК И br(0 = aT(0-qeR. (5.10)
Поскольку 1 < |dr(0l < π — 1 по лемме 5.3, элементы ат(0 и bT(i)
кольца R определены корректно при условии, что элемент q является
(п — 1)-регулярным.
Позже мы будем использовать очевидную импликацию
dT(f) = dT'(i) => (аг(0 — ar (0 и bT(i) = br (0)·
Лемма 5.10. Если элемент q является (π — 1)-регулярным, то
aT(i) = q <=> dr(i) = 1 и aT(ï) = -1 <=> dT(i) = -1. (5.11)
Доказательство. Положим d = dr(i). Тогда
aT{i)=q <^ [d]q=qd~1 <=> [d-l]q = 0.
Так как элемент q является (π—1)-регулярным и d < π, элемент [d — l]q
равен нулю тогда и только тогда, когда d = 1. Аналогично доказыва-
ется вторая эквивалентность. D
5.3.2. Модуль νλ
Далее мы будем предполагать, что элемент q ER является (π—^-ре-
гулярным. В этом предположении мы для каждого разбиения Я Ч π
построим Hniq)-модуль Vf.
Рассмотрим свободный R-модуль Va = Vf с базисом {ντ}τ^3τλ, где
«^я — множество всех стандартных таблиц формы Я. Используя опре-
деленные в предыдущем пункте элементы ат(0 и bT{i) кольца R, мы

262 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
определим действие образующих Т\,..., Тп-\ алгебры H^iq) на базисе
модуля У* по формуле
TiUT = aT(ï)vT + bT{i)vs.T. (5.12)
Здесь SiT — таблица, получающаяся из таблицы Г переменой местами
чисел i и i + 1. Если таблица SiT не стандартная, то мы полагаем
uSiT = 0. Заметим, что элемент aT(i) обратим в кольце R.
Теорема 5.11. Формула (5.12) определяет на Va структуру левого
H*{с[)-модуля.
Доказательство теоремы 5.11 будет дано в § 5.4. Модуль Va на-
зывается полунормалъным представлением алгебры Я^(д). По опре-
делению его ранг над R равен количеству /я стандартных таблиц
формы Я, или, что эквивалентно, количеству ориентированных путей
в диаграмме Браттели %, ведущих от 0 к λ.
Примеры 5.12. 1. Рассмотрим разбиение Я = (п), соответствую-
щее одной строке из π клеток. Имеется единственная стандартная
таблица Τ формы (п). Поэтому модуль У(п) имеет только один базис-
ный вектор Ι/τ- По лемме 5.3 и формулам (5.10) и (5.12) образующие
алгебры H^(q) действуют на векторе ντ по формуле
TiVT = qvT (5.13)
для всех i = 1,..., η — 1.
2. Для сопряженного разбиения (1,..., 1) также имеется только
одна стандартная таблица Г'. Модуль V(i,...,i) имеет единственный
базисный вектор иг- По лемме 5.3 и формулам (5.10) и (5.12) об-
разующие алгебры H^(q) действуют на векторе иг по формуле
TiVr = —vT' (5.14)
для всех i = 1,..., η — 1 (здесь us.T< = 0 для всех i).
Так как q и — 1 суть все корни полинома X2 — (q — 1)Х — q, модули
У(п) и V(i,...,i) являются единственными Я* ^-модулями ранга 1 над R.
5.3.3. Ограничение на подалгебру H^^q)
Здесь мы установим одно важное свойство полунормальных пред-
ставлений. Мы будем пользоваться следующим обозначением: когда
Hn(q) -модуль V рассматривается как Н*_г (q)-модуль при помощи есте-
ственного вложения i : H^_j(q) <—> Hn(q) (см. предложение 4.21), мы
обозначаем его V\hr_ (q).

§5.3. Полунормальные представления
263
Предложение 5.13. Для любого разбиения Я числа η существует
канонический изоморфизм H^^q)-модулей
Доказательство. Как мы заметили в доказательстве леммы 5.6,
число η в стандартной таблице формы Я Ч η обязательно находит-
ся в некотором углу этого разбиения. Поэтому мы можем разбить
множество всех стандартных таблиц формы Я на подмножества, опре-
деляемые углами, в которых находится число п. Таким образом, мы
получаем разбиение
А так как базис {ντ} модуля Va индексирован элементами множе-
ства <^я, мы получаем разложение R-модулей
νλ=φνμ.
Из формулы (5.12) следует, что образующие Гь ..., Гп_2 (но не обра-
зующая Tn-i) сохраняют это разложение. D
Замечание 5.14. При замене скаляров полунормальные представ-
ления ведут себя хорошо. Пусть f:R->S — гомоморфизм коммута-
тивных колец и задан (п — 1)-регулярный обратимый элемент q e R.
Тогда его образ q = /(q) будет (π — 1)-регулярным в кольце S. В этой
ситуации мы имеем H*(q)-модуль V* и H^iq)-модуль V^. Согласно
предложению 4.56 имеем
S®RH*(q)^HÏ{q).
Аналогично имеется изоморфизм H^(q)-модулей
S®RV*^V*. (5.16)
ПустьRo = Q[qo,%1, ([гг — 1]!Qo)~"x] — наименьшее подкольцо поля
рациональных функций Q(qo), содержащее кольцо лорановых полино-
мов Q[qo, qö1] и дробь 1/[п — 1]\Qo. Ясно, что q0 является (п — ^-регу-
лярным обратимым элементом кольца Я0- Для любого разбиения Я Ч η
R Rn
изложенная выше конструкция дает Hn°(q0)-модуль V£°. Этот модуль
универсален в следующем смысле. Для любого коммутативного коль-
ца R и любого (п — 1)-регулярного обратимого элемента q e R суще-
ствует единственный гомоморфизм колец f:Ro-*R, отображающий

264 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
q0 в q. Ввиду формулы (5.16) мы имеем изоморфизм H^iq)-модулей
У**К®яХ°. (5.17)
Замечание 5.15. Применив изложенную выше конструкцию к R=Q
и q = 1, мы получим для каждого разбиения А Ч л некоторый модуль
V^ над Я^(1) = Q[6„]. Тем самым н£^)-модуль У^ является специа-
лизацией некоторого представления симметрической группы Θη.
Замечание 5.16. Обозначим через H^(q)x группу обратимых эле-
ментов алгебры H^fa). Напомним, что имеется гомоморфизм групп
ω: Вп —> Hn(q)x, отображающий образующую σ* группы кос Вп в Г;
для i = l,..., л — 1. Для любого разбиения Я числа л обозначим через
πλ: H*{q)-> EndR(VA)
гомоморфизм алгебр, индуцированный действием алгебры H^q) на
модуле Va- Композиция гомоморфизмов ω и π я дает гомоморфизм
групп ря : Вп —> AutR(V^)· Так как R-модуль Уя свободный ранга /я, мы
можем отождествить группу АШд(Уа) с группой обратимых матриц
порядка /я над R. Таким образом, мы получили представление рх
группы кос Вп матрицами порядка /я. По определению H^iq) матрица
р\{сп)у где i = 1,..., л — 1, удовлетворяет квадратичному соотношению
Ρλ(σ/)2 - (q - 1)ря(ст<) - qlfx = О
(здесь Ifх обозначает единичную матрицу порядка /я).
§5.4. Доказательство теоремы 5.11
Положим Ρ — {±1, ±2,..., ±(л — 1)} с Ζ. Для любого deP положим
/№-,£«*.
где элемент [d]q был определен в п. 5.3.1. Элемент /(d) кольца R кор-
ректно определен и обратим, так как элемент q e JR обратим и (л—^-ре-
гулярен.
Лемма 5.17. Пусть d,eeP таковы, что d-\-e^P. Тогда
l)/(d)+/(-d)=q-l,
2) /(d)/(e) =/(d + e)(/(d)-/(-e)).
Доказательство. 1. Применяя формулу (5.8), получаем

§5.4. Доказательство теоремы 5.11
265
2. Используя формулы (5.8) и (5.9), получаем
/№/(е) = № + е]я [d]q+qd[e]q i g*
f(d + e) [d]q[e]q [d],[e], M, [d],
= №--^=f(d)-f(-e). Π
Для доказательства теоремы 5.11 достаточно показать, что опре-
деленные формулой (5.12) операторы Гь ..., Тп-\ удовлетворяют со-
отношениям (4.16), (4.17) и (4.20).
5.4.1. Доказательство соотношения (4.16)
Если \i — j\ > 2, то по формуле (5.12) имеем
7}Г;1;т=ат(0ат(Л^г+ат(0ЬгО^
=ат(0ат(Я^т+ат(0Ьг0')^т+Ьт(0аг(Л^т+Ьт(0Ьг(Л^т.
Здесь последнее равенство верно потому, что по лемме 5.2 (1) имеем
dSiTÜ)=dT(j),
а так как скаляры clt(J) и ЬгО) являются функциями от drO), получа-
ет 0") = аг0') и bs.T(j) = bT(j).
Кроме того, SjSi = SiSj. Следовательно, выражение TjT{VT симметрично
по i и j. Значит, Т^ит = TiTjVT для всех Т.
5.4.2. Доказательство соотношения (4.17)
Пусть i G {1,..., η — 2}. Имеем
TiTi+iTiVT = (aT(QaT(i + 1)αΓ(0 + bTiQaSiT{i + l)bSir(i)K +
+ (aT(i)aT(i + l)bT(i) + bT(i)aSiT(i + 1)α5.τ(θΚτ +
+ aT{i)bT{i + l)aSi+lT(0i*i+1T + атСОЬтО + l)bSf+1r(0^iSi+1r +
+ bT{i)bs.T[i + l)as.+lS.T(i)i;s.+lS.T + bT{ï)bs.T{i + l)bs.+lS.r(i)i;s.s.+lS.T.
Аналогично
^^^^^(aTa + liariOaTa + li+bTa + lia^riObs^ra+l))^^
+ (aT(i + l)aT(i)bT(i +1) + bT(i + l)aSi+lT(0aSf+lT(i + 1)К+1г +
+ aT(i 4- l)bT(i)as.T(i + l)i;s.T + aT(i + l)bT(i)bSfr(i + l>si+1sfT +
+ bT(i + l)bSi+lT(i)as.Si+lT(i + l)i*A.+1r +
+ bT{i + l)bSi+lT(i)bSiSi+lT(i + l)vSi+lS

266 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
Чтобы доказать равенство нулю вектора
w = TiTi+1TiVT - Ti+1TiTi+1uT,
достаточно проверить, что равен нулю коэффициент при каждом из
шести векторов vT, vs.T, υ8.+1τ, vSisi+1T, Щ+&т, ν*&+&τ в ш.
1. Коэффициент А при vj в w равен
А = aT(i)aT(i + 1)αΓ(0 + bT(i)as.T(i + l)bs.T(i) -
- aT(i + l)aT(i)aT(i + 1) - bT(i + l)as.+ir(i)bs.+1r(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем as.r(i + 1) = aSi+lT{i), поэтому
A = aT(j.)aT(i + l)(aT(i) — aT{i + 1)) +
+ aSiT{i + l)(bT(i)bSiT(0 - br(i + l)b5l+1r(i + 1))·
Положим d = dT{i) ие = dT(i + 1). Из формул (5.10) находим
ατ(0 =/(dr(0) =/(d), МО =/(d)-9,
aT(i + l)=/(dT(i + l))=/(e) и br(i + 1) =/(е) -q.
По лемме 5.2 (2) имеем
d5lr(0 = ~d, dSiT(i + 1) = dSi+1r(i) = d + e, ds.+lT(i + 1) = -e,
поэтому aSir(i + 1) = <Ц+1т(0 = /(d + e) и
MO = /(-d) - q, b5i+lT(i + 1) = /(-e) - q.
Итак,
A = /(d)/(e)(f(d)-/(e)) +
+ /(d + e)((/(d)-q)(/(-d)-q)-(/(e)-q)(/(-e)-q)).
Используя лемму 5.17 (2), получаем Л = /(d H- e)A0> где
Ao = (/(d)-/(-e))(/(d)-/(e)) +
+ (Я<0 -q)(/(-d) -q) - (Де) -q)(/(-e) -q) =
= (/(d) -q)((/(d) +/(-d)) - (/(e) + /(-e))).
Используя лемму 5.17 (1), мы получаем Л0 = 0. Следовательно, А =
= /(d + e)Ao = 0.
2. Коэффициент В при vs.T в ш равен
B=aT(0aT(i>l)bT(0+bT(0as.T(i41)a5.T(0~aT(i+l)bT(0aSiT(i+l) =
= Ьт(0 (аг(0ат(1 +1) - (ar(i +1) -as.T(i))as.r(i +1)).

§5.4. Доказательство теоремы 5.11
267
Как и выше, положим d = dT(i) и е = dT(i + 1). Тогда по лемме 5.2 (2)
имеем в = Ш(тт _ (/(е) _/H))/(d + е)).
Применим к /(d)/(е) лемму 5.17 (2) и вынесем /(d + е) за скобки,
а внутри скобок после перегруппировки слагаемых останется
(/№ + /(-<*))-(/(е)+/(-е)).
Двукратное применение леммы 5.17 (1) показывает, что это выраже-
ние равно нулю.
3. Коэффициент С при us.+lT в w равен
C = aT(i)bT(i + l)aSi+lT(i)-
- aT{i + l)aT(i)bT(i +1) - bT(i + l)as.+1r(i)as.+lT(i + 1) =
= bT(i + l)(ar(i)asi+1T(0 -агСОатО + 1) - aSi+1T(ï)aSi+1T(i + 1))·
Используя те же обозначения, что и выше в п. 1 и 2, и лемму 5.2 (2),
мы получаем
С = bT(i + l)(/(d)/(d + е) -ДсОДе) - /(d + е)/(-е)).
Выражение в скобках равно нулю по лемме 5.17 (2).
4. Коэффициент D при vs.Si+lT в ш равен
D = aT(î)br(i + l)bSi+lT(i) -bT(i + l)bSi+lT(0aSiSi+lT(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем dT(i) = dSl.Si+1r(i + 1), откуда следует, что
D = (aT(0 -aSiSi+lT(i + l))bT(i + l)b5i+lT(i) = 0.
5. Коэффициент Ε при vSi+lS.T в w равен
Ε = bT(i)bSir(i + 1)<Ц+Лт(0 -aT(i + l)bT(i)bSi.T(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем ds.+lS.r(0 = dT(j + 1), откуда следует, что
Ε = (aSi+lifT(0 - aT(i + l))bT(i)bSir(i + 1) = 0.
6. Коэффициент F при vSiSi+lSiT в и; равен
F = bT(i)bSiT(i + l)bSf+lSiT(0 - ЬгС + l)bSf+lT(0bSiSf+lT(i + l).
По лемме 5.2 (2) имеем
dT(ï) = d4isi+1r(i + 1), dSiT(ji +1) = dSi+1r(0, dsi+1sfr(0 = <*г(* + 1),
из чего следует, что F = 0.

268 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
5.4.3. Доказательство соотношения (4.20)
Если числа i и i + 1 находятся в одной и той же строке таблицы Г,
то по лемме 5.3 (1) имеем dr(0 = 1, что в силу соотношений (5.11)
эквивалентно тому, что aT{ï) = qnbT(Î) = 0. Следовательно, образую-
щие 75 действуют на ντ по формуле
75 υτ = qv-γ.
Тогда
{T?-(q-m-q)vT = {q2-iq-l)q-q)vT = 0.
Если числа i и i +1 находятся в одном и том же столбце таблицы Г,
то по лемме 5.3 (2) имеем dT(i) = —1, что в силу соотношений (5.11)
эквивалентно тому, что ajii) =—1. Так как таблица 5^Г не стандартная,
имеем vSiT = 0 и
751Лг = -1>т,
откуда следует, что
(T.2-(q-l)75-q)i;r = 0.
Если числа i и i + 1 стоят в разных строках и разных столбцах
таблицы Г, то векторы {ντ, vs.t} порождают свободный Я-подмодуль
ранга 2 модуля Уя· Образующая Г/ действует на этом подмодуле как
матрица г
м = Ыт{1) MQ
Vbr(i) as.T(i)
Чтобы проверить соотношение (4.20) на этом подмодуле, достаточно
доказать, что след матрицы M равен q — 1, а ее детерминант равен —q.
Положим d = dT{ï). Из лемм 5.2 (1) и 5.17 (1) следует, что
Tr M = αΓ(0 + aSir(i) = /(d) + /(-d) = q -1
и
detM = ar(i)aSir(i) -ЬтСО^тСО =
= №f{-d) - if id) - q) (/(-d) - q) =
= (ZW) + /M))<? - q2 = (q - Dq " q2 = -q.
Тем самым завершено доказательство соотношений (4.16), (4.17), (4.20)
и теоремы 5.11. D
Упражнение 5.4.1. Пусть /, g — функции из множества Ρ = {±1,
±2,..., ±(п — 1)} в множество обратимых элементов коммутативного
кольца R. Для любой стандартной таблицы Теп клетками и любого
i = 1,..., η — 1 положим aT{i) — f{dT[i)) G Я и bT[i) = g(dT(Q) £ Я.

§5.5. Простота полунормальных представлений 269
а) Покажите, что формула (5.12) определяет структуру левого
H*(q)-модуля на Va при условии, что функции / и g удовлетворяют
следующим трем условиям:
1)/(1) = дили/(1) = -1;
2) для всех d^P выполняются соотношения
/(d)+/(-d)=q-l и g(d)g(-d)=/(d)/(-d)+q;
3) для всех d,e£P, для которых d+eeP, выполняется соотношение
/(d + e)(/(d)-/(-e))=/(d)/(e).
б) Покажите, что если выполнены все условия из п. а), то для всех
deP выполняются соотношения
при /(1) = q,
/(d) =
при/(!)=-!
и
g(d)g(-d)=q
[d-l]q[d + l]q
Упражнение 5.4.2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле ха-
рактеристики нуль, и пусть Я— разбиение числа п. Покажите, что
формулы
1 , l-dr(0 1 , VdT(i)2-l
sîvt = Τ~Πλντ + а ал "s? и SiVT = -i-j^Vt + —-г-т-.—vSiT,
dT(i) dT(i) ' dT(i) dT(i)
где i = 1,..., η — 1, определяют две структуры К[6П]-модуля на IC-век-
торном пространстве с базисом {уг}т, индексированным стандартны-
ми таблицами Г формы Я.
§ 5.5. Простота полунормальных представлений
В этом параграфе К будет алгебраически замкнутым полем, харак-
теристика которого не делит п!, где η — фиксированное положитель-
ное целое число. Также будет фиксирован (п — 1)-регулярный элемент
q G iC\{0}, для которого алгебры Ивахори — Гекке H^(q),... ,H*(q)
полупросты. По определению (п — 1)-регулярности и теореме 4.57 это
предположение выполняется для всех значений q, кроме некоторого
конечного числа алгебраических элементов из 1С\{0,1}. Мы будем
свободно пользоваться определениями из §4.5. Для упрощения обо-
значений мы положим Va = V5 для любого разбиения Я.

270 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
Теорема 5.18. Модуль Va над H%(q) простой для любого разбие-
ния Я числа п. Для любого простого конечномерного Нп^)-модуля V
существует единственное разбиение λ~\η, для которого V = Va·
Так как Н^(1) = К[<5п], эта теорема, в частности, дает классифи-
кацию неприводимых представлений симметрических групп над К.
Доказательство. Будем действовать индукцией по п. При η = 1
мы имеем Я = (1). Как было замечено в примере 5.12 (1), модуль V(i)
одномерен и потому прост. Так как Hf (q) = К, ясно, что любой про-
стой Hf (д)-модуль изоморфен модулю %) = К.
Предположим, что νμ— простой H^fq) -модуль для любого раз-
биения μ числа η — 1 и что любой простой H^iq)-модуль изомор-
фен некоторому единственному модулю вида νμ. В этом утверждении
единственность означает, что из того, что νμ = νμ', следует, что μ = μ'.
Сначала покажем, что если Уя — У г — изоморфизм H^(q)-модулей,
где Я и Я' — разбиения числа п, то Я = Я'. Действительно, по предло-
жению 5.13 мы имеем изоморфизм H^_1(q)-модулей
По условию алгебра Н*_г^) полупростая, а по предположению ин-
дукции модули νμ и νμ> простые. Поэтому в силу предложения 4.32
имеем
{μ Ч (л-1): μ <-> Я} = {μ7 Η (π- 1): μ' -> Я7}.
Так как множество углов разбиения Я равно дополнению кС\ λΩ{μ)
в диаграмме D{X), разбиения Я и Я7 имеют одинаковые углы. А по-
скольку каждое разбиение определяется своими углами, получаем,
что Я = Я7.
Далее мы покажем, что H*(q)-модуль Va простой для любого раз-
биения Я числа п. Пусть V — ненулевой H^(q)-подмодуль модуля Va·
Рассмотрим V и Va как H^_1(q)-модули. Согласно предложению 5.13
имеем
По предположению индукции это разложение в прямую сумму простых
H^jCq)-модулей и модули νμ в этом разложении попарно неизоморф-
ны. Возьмем какой-нибудь ненулевой простой Я^_1(д)-подмодуль V
модуля V. Мы утверждаем, что существует такое разбиение μ<->λ, что
V = νμ. Сначала покажем, что существует такое разбиение μ <—> Я, что

§5.5. Простота полунормальных представлений 271
V7 = νμ. Если бы это было не так, то для всех таких μ по предложе-
нию 4.30 (1) мы бы имели Нотнк (q)(V7, νμ) = 0. Но в цепочке
0 HomH* i(q)(V, νμ) = HomH* i(q)(V', νλ) D Ногпнк i(q)(V', V)
μ*-* λ
самый левый модуль тогда был бы равен нулю, в то время как са-
мый последний отличен от нуля. Это противоречие доказывает, что
V7 = νμ для некоторого μ °-> Я. Простые модули νμ попарно неизо-
морфны, поэтому опять в силу предложения 4.30 (1) получаем, что
Нотнк (ς)(ν7, νμ') = 0 для всех μ7 φ μ, μ7 ^-> Я. В частности, проекция
подмодуля V7 с Уя на каждое слагаемое νμ> равна нулю для всех μ7 <-* Я,
кроме μ7 = μ. Отсюда мы заключаем, что V7 = νμ.
Если имеется только одно такое разбиение μ Ч (п — 1), что μ ^-> Я,
то У7 = νμ = Va· Следовательно, V = Va, и мы доказали, что модуль Va
простой.
Предположим, что имеется еще одно разбиение μ7 <--> Я, отлич-
ное от μ. Так как μ^λ, диаграмма Ω{μ) получается из диаграммы
D(X) удалением некоторого угла; пусть это будет угол (г, s). Анало-
гично диаграмма £>(μ7) получается из диаграммы D(X) удалением
угла (г7,57). Ясно, что, так как μ φ μ7, мы также имеем (г, 5) φ (г7, s7).
Рассмотрим стандартную таблицу Г формы Я, в углу (г, s) которой
стоит число п, а в углу (г7, s7) стоит число π — 1 (очевидно, такая таб-
лица Τ существует). Заметим, что таблица sn-\T, которая получается
из таблицы Τ переменой местами чисел η — 1 и п, тоже стандартная.
Рассмотрим вектор
Тп-гиг = ат{п - \)υτ + Ът{п - l)vSn_lT e νλ. (5.18)
Разложим этот вектор в соответствии с предложением 5.13. По опреде-
лению вложения νμ ^-» Va, данному в доказательстве предложения 5.13,
с учетом того, что μ получается из Я удалением угла (г, 5) с числом п,
мы видим, что
vT g V' = νμ.
Аналогично i^t € VM'. Поскольку числа η — 1 и π находятся в углах
таблицы Г, они расположены в разных строках и разных столбцах.
Поэтому по лемме 5.3 (3) имеем ат(п — 1) Φ 1. С учетом первой из эк-
вивалентностей (5.11) отсюда следует, что ат(п — 1) Φ q и, значит,
Ьг(п — 1) Φ 0. Тогда из равенства (5.18) мы получаем, что вектор
Vs^T Ξ VM' является линейной комбинацией векторов υτ и Τη-\υτ,
которые оба принадлежат V. Итак, модуль V содержит некоторый

272 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
ненулевой элемент из νμ*. А так как Ум>—простой H^iq)-модуль
и пересечение У η νμ> является его ненулевым H^_1(q)-подмодулем,
мы получаем У Π νμ> = νμ>, т.е.Уэ νμ>. Это включение верно для всех
разбиений μ' с-> Я, отличных от μ. Так как V э У = νμ, мы получаем
УэУме 0 νμ, = νλΩν.
μ'«-»Α
μ'φμ
Таким образом, V = V\, и модуль Уя простой.
Наконец, мы покажем, что любой простой конечномерный H^(q)-
модуль изоморфен модулю Va для некоторого Я Ч п. Это будет сле-
довать из соображений простого подсчета размерностей. Так как ал-
гебра H^(q) полупростая, она имеет конечное число простых конеч-
номерных модулей (рассматриваемых с точностью до изоморфизма).
Эти модули содержат попарно неизоморфные модули вида V\. Если бы
алгебра H%(q) имела хотя бы один ненулевой простой конечномер-
ный модуль, не изоморфный модулю вида Vx, то по следствию 4.55
и теореме 5.1 мы бы имели
din*H*(q) > J](dim,,Уя)2 = ]Г(/Я)2 = п!·
АНп АЧп
Но это противоречит теореме 4.17, утверждающей, что dimKH%(q)=n\.
Π
Для любого разбиения Я числа η обозначим через
πλ:Η£(ς)^Εηα*(νλ)
гомоморфизм алгебр, индуцированный действием алгебры H%(q) на
модуле У*. Следующий результат непосредственно вытекает из теоре-
мы 5.18 и следствия 4.55.
Следствие 5.19. Гомоморфизм алгебр пх индуцирует изоморфизм
алгебр ^
H«(q)-^ Y\EndK(Vx).
λ-\η
Упражнение 5.5.1. Найдите размерности всех простых модулей
над H%(q) для η < 5. (Указание: используйте упражнение 5.2.1.)
Упражнение 5.5.2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле, со-
держащее кольцо Z[q, ςΠ1]. Покажите, что существует изоморфизм
алгебр Hn(q) = K"[6n]. (Указание: используйте следствие 5.19 и заме-
чание 5.15.)

§5.5. Простота полунормальных представлений 273
Упражнение 5.5.3. Покажите, что оба К[6П]-модуля из упражне-
ния 5.4.2 простые и они изоморфны друг другу. (Указание: рассмот-
рите ограничения на К[&п-\] и проведите индукцию по п.)
Упражнение 5.5.4 (алгебры путей). Пусть К — поле и η — поло-
жительное целое число.
а) Определим 9п как JFC-векторное пространство с базисом {ES)t}s,t,
индексированным всеми парами (S, Г) стандартных таблиц одинако-
вой формы А Н п. Мы снабдим 9п структурой алгебры, полагая
_ | Es,r, если Г = S',
[ 0, если Τ ψ S .
Вектор ΣτΕτ,τ является единицей этой алгебры. (Алгебра 2Рп назы-
вается алгеброй путей.) Покажите, что алгебра S?n изоморфна произ-
ведению матричных алгебр
AHn
где /я — количество стандартных таблиц формы Я. (Указание: сна-
чала рассмотрите элементы ESj, где S,T — стандартные таблицы за-
данной формы Я, и покажите, что их линейная оболочка является
подалгеброй алгебры <РП9 изоморфной Mfx(K).)
б) Каждому базисному элементу ESj ^ £?n-i сопоставим элемент
Î(Es,T) = YÀEs',re^ni
s',r
где S' и Τ' пробегают множество всех стандартных таблиц с η числа-
ми, которые получаются из таблиц S и Г соответственно добавлением
клетки с числом п. Покажите, что таким образом определен инъек-
тивный гомоморфизм алгебр i: 2Рп-\ -* &*п-
в) Для Я Ч η определим ^-модуль U\ как i^-векторное простран-
ство с базисом {иТ}т, индексированным всеми стандартными табли-
цами Г формы Я, на котором алгебра 2?п действует по формуле
{us, если Τ = Τ',
О, если Τ φ Г.
Покажите, что если рассматривать Ux как 3?п-\ -модуль при помощи
вложения i : £?п-\ —> &п, то
l'A = 0 Ι/μ.
μ^->Α

274 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
г) Докажите, что ^-модуль Ux простой для каждого разбиения
Я Ч η и что любой простой й*п-модуль изоморфен модулю этого вида.
§5.6. Простота приведенного представления Бурау
В этом параграфе мы покажем, что определенное в п. 3.3.1 приве-
денное представление Бурау группы кос неприводимо.
Начнем с одного свойства матриц Vi,..., Vn-i £ GLn_i (Л), которые
были определены в теореме 3.9, где А = Z[t, Г-1]. Пусть К — алгебра-
ически замкнутое поле, содержащее кольцо Л (мы можем принять
К = С). Рассмотрим (п—1)-мерное векторное пространство S£n-\-> со-
стоящее из всех столбцов над К высоты η — 1. Матрицы Vi,..., Vn_i
действуют на !£п-\ как левое матричное умножение.
Лемма5.20. Пустъп>3и аеК. Равенствам V{V = av,где i/eifn_i,
удовлетворяет для всех i = 1,..., η — 1 только один нулевой вектор.
Доказательство. Из вида матрицы Vi явствует, что ее собствен-
ными значениями являются только 1 и —t. Поэтому достаточно дока-
зать лемму для а = 1 и а = —t.
Легко проверить, что собственное пространство действия мат-
рицы Vi на ifn-ъ соответствующее собственному значению —1, есть
гиперплоскость в ifn_i, состоящая из всех столбцов, i-й элемент ко-
торых равен нулю. Ясно, что пересечение всех этих гиперплоскостей
равно нулю.
Следовательно, собственное пространство матрицы Vf для второго
собственного значения, т. е. —t, одномерно. Для доказательства лем-
мы достаточно доказать, что эти одномерные подпространства, соот-
ветствующие i = 1 и i = 2, не совпадают. Немедленно проверяется, что
для матрицы Vi (соответственно V2) это собственное пространство по-
рождается вектором (1 + t)v\ — V2 (соответственно W\ — (1 +1)^), где
{v\,..., vn-i) —канонический базис пространства ifn-i· В заключение
заметим, что эти два вектора не коллинеарны (здесь мы используем
тот факт, что г2 + г + \ф0в К). D
Далее мы установим связь матриц Vi,..., Vn_i с алгеброй Ивахо-
ри — Гекке H^{t). (Здесь мы используем параметр t, a не q, который
мы использовали в предыдущих параграфах настоящей главы, что-
бы наши обозначения были согласованы с обозначениями из гл. 3.)
Согласно теореме 4.57, так как поле К имеет характеристику нуль
и элемент t е.К неалгебраичен, каждая алгебра H%(t) полупроста.

§5.6. Простота приведенного представления Бурау 275
Напомним, что алгебра Ивахори — Гекке была определена с помощью
образующих Гь ..., Тп-\.
Предложение 5.21. На векторном пространстве S£n-\ существу-
ет единственная структура Н^{г)-модуля, для которой каждая обра-
зующая Ti (i = 1,..., η — 1) действует на ££п-\ как умножение на мат-
рицу -Ц.
Доказательство. Из п. 3.3.1 нам известно, что матрицы Vi,..., Vn-\
удовлетворяют соотношениям (4.16) и (4.17). Поэтому матрицы —Vi,
..., —Vn_i также удовлетворяют этим соотношениям. Легко проверить,
что каждая матрица Vf удовлетворяет равенству
(Vi -In-i)(Vi + tf„-i) = Vi2 + (t-l)i/i-tf„_1=0.
Следовательно,
(-Vi)2 - (t - 1)(-V·) + t/n_!
для всех i — 1,..., η — 1. Другими словами, матрицы —Vi,..., — Vn_i
удовлетворяют соотношению (4.20), в котором q заменено на t. D
Из теоремы 5.18 следует, что H^(t)-модуль S£n-\ разлагается в пря-
мую сумму простых модулей вида Va, где Я — разбиение числа η (опре-
деление модуля Va см. в § 5.3). Как мы увидим ниже, на самом деле
модуль S£n-\ простой.
Теорема 5.22. Существует изоморфизм Н^^)-модулей -%-1==Уцп],
где λ[η] —разбиение (2,1,1,..., 1) числа п.
Доказательство. Мы докажем эту теорему индукцией по п.
1. Если η = 2, то в соответствии с п. 3.3.1 образующая Ti действу-
ет как умножение на матрицу (t) порядка 1. Положив t = q в фор-
муле (5.13), мы видим, что $в\ является простым модулем Va[2], где
Я [2] = (2) — разбиение, диаграмма которого состоит из одной строки
с двумя клетками.
2. Предположим, что теорема верна для всех положительных чи-
сел к < п, где π —заданное целое число, не меньшее чем 3. Рассмот-
рим естественную проекцию S£n-i -* %п-2, которая получается удале-
нием нижнего элемента в столбце из S£n-\- Заметим, что все матрицы
—Vi,..., — Vn-2 имеют вид
-«-U 4
где V.0 G GLn_2(A) —матрица, определенная приведенным представ-
лением Бурау группы кос Вп-ъ и bi — строка длины η — 2, равная 0

276 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
при i < η — 2 и (0,..., 0, —1) при i = n — 2. Таким образом, проекция
S£n-\ —> 5£п-2 индуцирует точную последовательность Η^_λ{ρ)-модулей
О -> У -> i?n-ilHi_l(t) -> -%-2 -> О,
где S£n-i\HK_ (t) есть i^-ъ рассматриваемый как Н^_г{р)-модуль при
помощи естественного вложения H^ft) <-»//£ (t), и У — одномерный
h£_i(0 -модуль, состоящий из столбцов, в которых первые п — 2 эле-
мента равны нулю. Так как образующие 7Ι,..., Гп_2 действуют на У
как умножение на —1, получаем, что H^ii:) -модуль У изоморфен
модулю νμ[η-1], где μ[η — 1] —разбиение (1,..., 1) числа п — 1. А из то-
го, что алгебра H*, (t) полупростая, следует, что модуль 5£п-\ \нк (t)
полупростой, а значит, в силу предложения 4.28 он вполне приводим.
Таким образом, существует изоморфизм Н^_г(1:)-модулей
Используя предположение индукции, мы получаем следующие изо-
морфизмы H^^t)-модулей:
«%-i k_l(t) = -%-2 θ У = νλ[„-1] θ VM[n-i]. (5.19)
Из предложения 5.13 и вида изоморфизмов (5.19) следует, что
если Va входит в разложение модуля Sân-\9 то диаграмма разбиения Я
такова, что при удалении любого из ее углов мы получим либо диа-
грамму разбиения μ[η — 1], либо диаграмму разбиения λ[η — 1] (и ни-
каких других). Далее, согласно лемме 5.20 модуль !£п-\ не может
содержать одномерного представления. Этот факт вместе с приме-
рами 5.12 показывает, что диаграмма разбиения Я имеет по меньшей
мере две строки и два столбца. Таким образом, для разбиения Я оста-
ется очень небольшой выбор — такое разбиение Я обязательно равно
либо разбиению λ[η], либо разбиению (2,2) числа η = 4.
Следовательно, при η φ 4 существует изоморфизм ifn-i — (Уя[п])а
для некоторого неотрицательного целого числа а. Если ограничить
этот изоморфизм на подалгебру Н*_г({), мы получим изоморфизм
*n-lkU(0 - 0Α[η-1])α Θ (Ум[г1-1])а.
Сравнивая его с разложением (5.19), в силу единственности разло-
жения (предложение 4.32) мы получаем а = 1, и теорема доказана
в случае π ^ 4.
При π = 4 имеем
^3 = (νλ[4])αθ(ν(2,2))5

§5.7. Алгебры Темперли— Либа
277
для некоторых неотрицательных целых чисел а и Ъ. Ограничив этот
изоморфизм на подалгебру H^t), мы получим
^з1н?ю = (^[з])(а+ь)е(ум[з)])а.
Снова сравнивая полученное разложение с разложением (5.19), мы
получаем а + Ь = 1иа = 1, откуда следует, что Ъ = 0, и теорема доказана
в случае η = 4. D
Следствие 5.23. Приведенное представление Бурау
неприводимо.
Доказательство. Неприводимость представления грТп означает, что
оно сохраняет в IC"-1 только подпространства 0 и Кп~1. Пусть имеется
такое подпространство W, тогда
(-V-)W = ViW CW
для всех i = 1,..., η — 1. По определению действия алгебры H£(t) на
S£n-\ векторное пространство W является H^(t)-подмодулем модуля
5£п-\. А так как согласно теореме 5.22 модуль ifn-i простой, мы полу-
чаем, что либо W = О, либо W = К""-1. D
Упражнение 5.6.1. Проверьте, что
ln-i-V\-V2 + ViV2 + ^Vi - ViV2Vi - 0.
Выведите отсюда, что ifn-i является модулем над факторалгеброй
алгебры H^(t) по двустороннему идеалу, порожденному элементом
1 + 7Ι + Т2 + Г1Г2 + r2Ti + Г1Г2Г1.
(Эту факторалгебру мы будем обсуждать в п. 5.7.2.)
§5.7. Алгебры Темперли —Либа
Мы завершим эту главу изучением семейства алгебр, тесно свя-
занных с алгебрами Ивахори — Гекке.
5.7.1. Определение и приведенные слова
Для простоты мы будем вести рассмотрения над полем С ком-
плексных чисел. Зафиксируем целое число п> 2 и ненулевое ком-
плексное число а.

278 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
Определение 5.24. Алгеброй Темперли—Либа Ап(а) называется
С-алгебра, порожденная η — 1 элементами еь..., еп-\, подчиненными
соотношениям , Λ ..
eiej = ejßi (5.20)
для i, ; = 1,2,..., η — 1, удовлетворяющих условию \i — j\>2,
tit^i = ei (5.21)
для i, j = 1,2,..., η — 1, удовлетворяющих условию \i — j\ = 1, и
e\ = aet (5.22)
для i = 1,2, ...,n — 1.
Любое слово e^... e;r в алфавите {еь ..., en_i} представляет неко-
торый элемент алгебры Ап{а). Пустое слово представляет единицу 1
алгебры Ап(а).
Определим индекс непустого слова w = е^... eir как максимум всех
индексов ii,..., ir, входящих в слово w. Если индекс слова w равен р,
то мы будем говорить, что ер—максимальная образующая слова ш.
Будем считать, что индекс пустого слова равен 0.
Лемма 5.25. Любое непустое слово w = е^.-.е^ равно в алгебре
Темперли—Либа Ап{а) скалярному кратному некоторого слова, в ко-
торое максимальная образующая входит ровно один раз.
Доказательство. Проведем индукцию по индексу ρ слова ш. Если
ρ = 1, то слово w представляет собой положительную степень бук-
вы е\. Из соотношения (5.22) мы получаем е\ = é~xe\ для всех i > 1.
Следовательно, лемма 5.25 верна для ρ = 1.
Предположим, что лемма 5.25 верна для всех слов индекса мень-
ше р. Рассмотрим непустое слово w = е^... е;г индекса р. Предполо-
жим, что буква ер входит в слово w не менее двух раз. Тогда слово w
имеет вид w = W\evw'evvü2, где w\yîvu2 — произвольные слова, aw' —
слово индекса I < р.
Если I < ρ — 1, то ввиду соотношения (5.20) слово и/ коммутирует
с ер. Поэтому, используя соотношение (5.22), имеем
w = wiepw'epW2 = w\w'e^u)2 = aw\w'epu)2*
Таким образом, мы уменьшили количество вхождений буквы ер в сло-
во w на 1.
Если I = ρ — 1, то по предположению индукции мы можем считать,
что буква е\ = ер-\ входит в подслово w' только один раз, так что
w1 — шзер_1Ш4, где шз и w^ — слова, индекс которых не превосхо-
дит ρ — 2. Следовательно, слова шз и ш4 коммутируют с ер. Используя

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
279
соотношение (5.21), мы получаем
w = w1epw/epw2 = w1epw3ep-iW4epW2 =
= WiW3epep-iepW4W2 = Ш1Ш3ерш4и;2·
Мы опять уменьшили количество вхождений буквы ер в слово w на 1.
Продолжая рассуждать рекурсивно, мы можем преобразовать сло-
во w в скалярное кратное такого слова, в которое максимальная об-
разующая входит ровно один раз. D
Для 1 < к < η — 1 определим ЕП}к как множество таких наборов
(il,..., ifc, ji,..., jfc) из 2fc целых чисел, что
О < ii < i2 < ... < ifc < π, 0 < л < j2 < ... < Λ < π
и
Для такого набора 5 = (ib ..., ik, ji,..., jfc) положим
e? = fa^-i... e;i)(eÎ2eÎ2_i... ej2)... (e^-i... eh).
В этом выражении для е§ внутри каждой пары скобок индексы убыва-
ют слева направо. Заметим, что индекс слова es равен ik. Мы будем
говорить, что слово вида е§, где
seEn= ЕП)1 U ЕП}2 LJ... U ЕП}П-\,
называется приведенным словом в алгебре Темперли—Либа Ап{а).
Лемма 5.26. Линейная оболочка множества {е§}§еЕп приведенных
слов совпадает со всей алгеброй Темперли—Либа Ап{а).
Доказательство. Достаточно доказать, что любое слово w—e^...eir
является скалярным кратным некоторого приведенного слова. Мы
проведем индукцию по индексу ρ слова w.
Если ρ = 1, то слово w есть скалярное кратное буквы еь являю-
щейся приведенным словом.
Пусть ρ > 1. Предположим, что каждое слово индекса, индекс
которого меньше р, является скалярным кратным некоторого приве-
денного слова, индекс которого меньше р. Пусть w — произвольное
слово индекса р. По лемме 5.25 слово w является скалярным кратным
некоторого слова Шо = w\epW2, где w\ и Ш2 — слова, индекс которых
меньше р. По предположению индукции мы можем считать, что сло-
во и)2 приведенное. Это значит, что
w2 = es = te^-i... ел)(е;2е;2-1... eJ2)... (eifceÎJc-i... ejk)
для некоторого s = (ib ..., ik, jly..., jk) G En>k) где ik < p.

280 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
Если ik<p — 2, то слово w2 коммутирует с ер и
epw2 = (e^-i... e;i)(eÎ2eÎ2_i... eJ2)... (eifceik_i... ejk)(ep).
Если ik = ρ — 1, то
epw2 = (ef.e^-i... e;i)(eÎ2eÎ2_i... eJ2)... (epeifceiic_i... еЛ).
В обоих случаях слово w0 равно в алгебре Темперли—Либа Λη(α)
некоторому слову вида u/(epep_i... eq), где w' — слово индекса р/ < ρ
и q < р. По предположению индукции мы можем ограничиться слу-
чаем w' = е§' для некоторого s' = (i'v...,i[,)[,--.,][) ξ Еп>г. Имеем
i[ = ρ' < ρ; положим q' = j[.
1. Если q' < q, то слово
wo = w'{epep-i...eq) = es/(epep_i ...eq)
приведенное.
2. Если q' > q, то ш' = w"{epiep'-\... eq>)9 где q < q7 < pf < ρ и сло-
во w" имеет индекс, меньший чем р'. Если q7 < ρ — 2, то, используя
соотношения (5.20) и (5.21), получаем
eq'(epep-i ...eq) = epep_i...eq'+2(eq'eq'+ieq')eq'-i ...eq =
— ëpëp—1 · · · €q'+2€q'€q/—l · · · ßq =
= (eq<eq>-i... eq)(epep_i... е^+2).
Поэтому
Шэ = w"{eq>eqi-\... eq)(epep-i... е^'+г).
Так как слово w"{eq>eq'-\ ...eq) имеет индекс, меньший чем р, сло-
во wo имеет вид, рассмотренный в случае 1, откуда и следует нужный
результат.
Если q7 = ρ — 1, то ρ' = q' = ρ — 1 и, применяя соотношение (5.21),
имеем
£q' [ßpGp—1 · · · £qj = \ßp—\£p£p—l) · · · ßq = ßp—1 · · · ßq·
Поэтому w0 = w"[ep-\... eq), где подслово w" имеет индекс, меньший
чем р/ = ρ — 1. Таким образом, слово ш0 имеет индекс ρ — 1, и нужный
результат следует из предположения индукции. D
Лемма 5.27. Имеет место равенство
cardio = 4т(2П)·
п + 1 V η )
Целое число ( п )/(п + 1) называется п-м числом Каталана.

§5.7. Алгебры Темперли—-Либа
281
Доказательство. Каждому элементу (ii,..., ik, j\,..., jk) GEn>k мы
сопоставим путь
(0,0) -+ (ib 0) -* (ii, h) -> (i2, Л) -> (Î2, Λ) -> - - -
• - - -> (ik, jfc-i) -> (ifc, À) -> (π, λ) -> (π, n)
в множестве (R x Ζ) U (Ζ x R) с R2. Это ориентированная полигональ-
ная линия, в которой чередуются горизонтальные и вертикальные
ребра, все горизонтальные ребра направлены направо, а все верти-
кальные ребра вверх. Назовем такой путь допустимым путем из (0,0)
в (п, п). Допустимый путь, возникающий из некоторого элемента мно-
жества Еп, лежит под диагональю {(x, y) е R2 : x — у}, т. е. в октанте
{(х, у) € R2 : 0 < у < х}. Ясно, что каждый лежащий под диагональю
допустимый путь из (0,0) в (η, η) может быть получен таким способом
из некоторого единственного элемента множества Еп.
Подсчитаем теперь допустимые пути из (0,0) в (п, п), лежащие
под диагональю. Перенеся параллельно допустимый путь из (0,0) в
(п, п) на вектор (1,0), мы получим допустимый путь из (1,0) в (п+1, п),
не пересекающий диагональ. Обратно, любой допустимый путь из
(1,0) в (п+1, п), не пересекающий диагональ, представляет собой неко-
торый параллельно перенесенный допустимый путь из (0,0) в (π, η),
лежащий под диагональю.
Чтобы подсчитать все допустимые пути из (1,0) в (п + 1, п), ко-
торые не пересекают диагональ, мы вычтем из количества всех допу-
стимых путей из (1,0) в (п + 1, п) количество всех допустимых путей,
пересекающих диагональ.
Любой допустимый путь из (1,0) в (п 4-1, п) имеет η единичных
горизонтальных ребер и η единичных вертикальных ребер. Поэтому
количество допустимых путей из (1,0) в (п + 1, п) равно биномиаль-
ному коэффициенту i J.
Каждому допустимому пути γ из (1,0) в (п + 1, п), который пере-
секает диагональ, мы следующим образом сопоставим допустимый
путь у7 из (0,1) в (п + 1, п). Возьмем точку (i, i) на пересечении диа-
гонали с путем γ, для которой i минимально, затем заменим часть
пути γ от (1,0) до (i, i) на ее отражение относительно диагонали,
после чего примем за γ' объединение этой отраженной части пути
от (1,0) до (i, i) с оставшейся частью пути γ от (i, Ï) до (п +1, п). Ясно,
что путь γ' допустимый. Любой допустимый путь из (0,1) в (п + 1, п)
обязательно пересекает диагональ и поэтому получается описанным
способом из некоторого единственного допустимого пути из (1,0)

282 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
в (п + 1, п). Далее, любой допустимый путь из (0,1) в (п 4-1, п) имеет
η + 1 единичных горизонтальных ребер и π — 1 единичных верти-
кальных ребер. Поэтому количество всех допустимых путей из (0,1)
в (п +1, п) равно биномиальному коэффициенту L^1])· Он также ра-
вен количеству всех допустимых путей из (1,0) в (п -f 1, η), которые
пересекают диагональ.
Подводя итог, мы видим, что
сага£п-^п j U + lJ- nlnl (n + i)!(n_i)! -
= (l ^^Ι = ^_(2Μ π
V n + lJn!n! π + lUi
Из лемм 5.26 и 5.27 немедленно вытекает следующее неравен-
ство.
Предложение 5.28. Имеет место неравенство
Мы позже (следствие 5.32 или замечание 5.35) увидим, что на са-
мом деле это неравенство является равенством.
5.7.2. Связь с алгебрами Ивахори — Гекке
Здесь мы установим связь между алгебрами Темперли—Либа Ап(а)
и однопараметрическими алгебрами Ивахори — Гекке Hn(q) = H^fa).
Напомним, что алгебра Hn(q) была определена с помощью образую-
щих Гь ·.., Гл-1.
Теорема 5.29. Пусть числа q,a е C\{0} удовлетворяют равен-
ству а2 — (q 4- l)2/q.
1. Существует такой сюръективный гомоморфизм алгебр Ψ : Нп (q) ->
->Ап(а),что
*№) = ^е4-1 (5.23)
для всех i — 1,..., η — 1.
2. Яри π = 2 гомоморфизм Ψ : Hn (q) —> An (α) является изоморфизмом.
3. Яри π ^ 3 ядро гомоморфизма Ψ является двусторонним идеалом
алгебры Hn(q), порожденным элементом 14- Т\ 4- Т2 4- TiT2 4- r2Ti 4-
+ Г1Г2Т1.
Заметим, что из условия на α и q в этой теореме следует, что

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
283
Доказательство. 1. Для i = 1,..., η — 1 положим
ti = #(7Ï) = ^е< -1 € Λπ(α). (5.24)
Формула (5.23) определяет гомоморфизм алгебр Ψ: Hn(q) —> Λη(α)
при условии, что элементы гъ ..., tn_i удовлетворяют соотношениям
(4.16), (4.17) и (4.20), в которых Т{ заменены на t;. Проверим эти
соотношения.
Соотношение (4.16), очевидно, следует из соотношения (5.20).
Убедимся, что выполнено соотношение (4.17). Если \i — j\ = 1, то,
используя соотношения (5.21) и (5.22), получаем
W- = (^e,-1)(a±i,-l)(î±i.,-l) =
= (î7i)3c'e'Cl"(îÎi)2('î,e-i+e'ei+e9 + (î?i)(2C|+e')~1 =
Отсюда и из равенства (q + 1)2/α2 = q следует, что
щи - tjtitj = (^)\ei - ej) - {^faiei - e}) + (^)(β( - e,) =
= ä±I(q-(q + l) + l)fo-<5) = 0.
Убедимся, что выполнено соотношение (4.20). Используя соотно-
шение (5.22), получаем
-(1 + 1\2„2 ,4 + 1 ., (q-l)(q + l) . , u п_
-l~5~J ei-2^-e« + 1 5 ei + (q-l)-q-
r<î + 1^ OÎ + 1. (q-lXq + l).
= l-T-J «i-2-^-ei - ei =
= i±l((q + l)-2-(q-l))ei = 0.
Из формулы (5.23) следует, что
для всех i = l,...,η — 1. Поэтому все образующие ег алгебры Λη(α)
принадлежат образу гомоморфизма Ψ : Нп (q) —> Ап (α), что доказывает
сюръективность гомоморфизма Ψ.

284 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
2. Алгебра Ä2(a) порождена одним элементом е, подчиняющимся
соотношению ez=ae. Легко проверить, что сопоставление е ·-> ———
определяет гомоморфизм алгебр А2(а) —> H2{q), обратный к Ψ.
3. Из формулы (5.24) следует, что
e^^-fc + 1). (5.25)
Подставляя эти выражения для еь..., гп-\ в соотношения (5.20)-(5.22),
мы получаем соотношения для tb ..., tn_i. Легко видеть, что соотно-
шение, полученное таким способом из соотношения (5.20) (соответ-
ственно из (5.22)), эквивалентно соотношению (4.16) (соответствен-
но (4.20)), в котором Ti заменены на t;.
Если \i — j\ = 1, то из соотношений (5.21) и (4.20) получаем
= ^fî^((ti+1)fe+1)(ti+1)"qfc+1)b
- а -{titjti + titj + tjti + t2i+2ti + tj + l-qti-q) =
(<2 + l)q
_ α
"(q + l)q
Это доказывает, что
(<? + l)q
[titfii + titj + tfii + iq-^ti + q + lti + ti + l-qti-q)'.
^f^ (titjti + titj + tjti + U + tj +1).
1 + ti + tj + tit; + t;^ + titjti = 0
для всех i, j, для которых \i — j\ = l. Поэтому ядро 1п гомоморфизма
Ψ: Hn(q) —> An(d) является двусторонним идеалом алгебры Hn(q), по-
рожденным элементами
1 + Ti + Tj + Щ + TjTi + TfTJTf
для всех i — 1,..., η — 1, для которых |i — j| = 1. Так как 7i7}7i = 7)757},
достаточно рассмотреть образующие, соответствующие парам (i, j),
где j — i +1. Следовательно, /п есть двусторонний идеал алгебры Hn(q),
порожденный элементами
1 + Ti + 75+1 + TtTi+1 + Ti+iTi + 7iTi+i7i,
где1 = 1,...,п-1.
Далее, как было замечено в упражнении 1.1.4, для i = 2,..., η — 1
в группе кос Вп имеет место равенство
сп = (στ.σ2 ... сТп-О^стхСстааг ... an_i)"(l_1).

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
285
Обозначим через ω образ элемента σ\σ2 ... ση-\ в алгебре Hn(q) при
мультипликативном гомоморфизме Вп -*Hn(q), отображающем σ*1 в
Г·*1 для всех /.Ясно, что элемент ω обратим в Нп(q) и Г; = ω*-1 7Ιω~^_1).
Отсюда следует, что
1 + Ti + Ti+i + TfTi+i + Г;+1Г; + TiTf+iTi =
= α/-1(1 + Ti + Г2 4- TiT2 + Г2Г1 + Τ1Γ2Τ1)ω"(£"1)
для всех i = 1,..., η — 1. Следовательно, двусторонний идеал /„ порож-
ден одним элементом 1 + 7\ 4- Г2 + Г1Г2 + T27i + Г1Г2Т1. D
5.7.3. Полупростой случай
На протяжении всего этого пункта мы будем предполагать, что q и
а — ненулевые комплексные числа, связанные условием a2 = (q + l)2/q
из теоремы 5.29, и что предположения § 5.5 выполняются для q и це-
лого числа η > 3. В частности, из них следует, что алгебра Ивахори —
Гекке Hn{q) полупростая и потому в силу следствия 4.51 алгебра Тем-
перли—Либа Ап{а) тоже полупростая.
Согласно теореме 5.18 любой простой Hn{q)-модуль имеет вид
Vx = V^ для некоторого разбиения Я числа п. Мы можем задаться
вопросом, какой модуль Vx индуцирован из некоторого Ап (а) -модуля
с помощью сюръекции Ψ : Hn(q) ->Λπ(α). Другими словами, для каких
разбиений Я числа η имеет место равенство
Ιηνλ = 0, где /„ = Ker(^: Hn{q) -> Λη(α))?
Лемма 5.30. Если Я = (Ai, Я2,..., Яр) — такое разбиение целого
числа п>3, что λ{ € {1,2} для всех i = 1,..., ρ, то InVx = 0.
Заметим, что разбиения в лемме 5.30 — в точности те разбиения,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов.
Доказательство. В силу теоремы 5.29 (3) достаточно показать,
что элемент
Х = 1 + Г1 + Г2 + Г1Г2 + Г2Г1 + Т1Г2Т1€Нз(9)сНп(д)
действует на Vx тривиально. Проведем индукцию по η > 3.
Пусть η = 3. В этом случае имеются только два разбиения числа п,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов, а именно
Я = (1,1,1) и μ = (2,1). Как нам известно, модуль Vx одномерен,
и все образующие 7} действуют на Vx как умножение на —1. Отсюда
следует, что элемент X действует на Vx тривиально. Модуль νμ двумер-

286 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
[Г
Li
Τ]
1
_2_
Τ]
ный с базисом {vt,vT'}, где Г и Г'— стан-
дартные таблицы формы μ, изображенные
j j, на рис. 5.7. Заметим, что V = 52Г и ни одна
из таблиц SiT и siT' не стандартная. Имеем
Рис. 5.7 Две стандарт- d (1) = г = ^ (1) и d (2) = _2 = _^(2)
ные таблицы формы μ ,С1Лч Гм оЛ
Используя формулы (5.10)-(5.12), мы полу-
чаем, что образующие 7\ и Г2 алгебры Hn(q) действуют на базисе
{ντ, иг) модуля νμ как умножения на матрицы
И = |? °1 и Т2 = —*' 2
^0 -iy q +1 Vl + ς + ς2 -q
Отсюда получаем, что
TiT2 =
Т2Тг=-
TiT27i=-
<?
q + 1 V-(l + <3 + q2) q
q -q
q + 1 U(l + q + q2) q2
q2 "Q2
q + 1 V~q(l + q + q2) -q\
Из этих вычислений следует, что X — 0 на Vß.
Пусть п> 4, и пусть Я — разбиение числа п, диаграмма которо-
го состоит из одного или двух столбцов. Далее, X е H3(q) с Hn_i(q).
По предложению 5.13 имеем разложение
где μ пробегает все разбиения числа η — 1, получающиеся из разбие-
ния Я удалением угла. Диаграмма такого разбиения μ также состоит
из одного или двух столбцов. По предположению индукции элемент X
действует на νμ как нуль. Следовательно, элемент X действует на Va
как нуль. D
Предложение 5.31. Для любого п>3 имеет место соотношение
dimc/n = n!-^(2nn)>0. (5.26)
Для любого разбиения Я числа η тогда и только тогда выполняется
равенство InVx = 0, когда диаграмма разбиения Я состоит из одного
или двух столбцов.

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
287
Доказательство. Обозначим через пх\ Hn{q) -> Endc(Va) гомо-
морфизм алгебр, индуцированный действием алгебры Hn(q) на
модуле Va· По лемме 5.30 имеем пх(1п) = 0 для всех разбиений Я,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов, поэтому
изоморфизм из следствия 5.19 инъективно отображает идеал 1п
в произведение
Y] Ende (Va),
λ€Λ>3(η)
где Л^з(п) — множество всех разбиений числа п, диаграммы которых
состоят не менее чем из трех столбцов. Следовательно, по теореме 5.1
имеем
dimc/„< J] (fx)2 = n\- 2 (/Я)2. (5-27)
λ<=Λ>3(η) ХеЛ<2(п)
где Л^2(п) — множество всех разбиений числа п, диаграммы которых
состоят из одного или двух столбцов. Напомним, что /я = /яТ, где
Ят — сопряженное к Я разбиение (см. п. 5.1.5). Для любого разбиения
Я € Л<2(я) сопряженное разбиение Ят состоит из не более чем из двух
частей, и мы выводим из упражнения 5.2.3 (б), что
Σ (/Я)2=Е(/ЯГ)2=^(2„")· <5·28)
АеЛ<2(п) Ят
Следовательно,
dimc/„<n!-^(2nn). (5.29)
С другой стороны, из определения идеала /„ и предложения 5.28 сле-
дует, что
dime In = dime Hn(q) - dimc An{d) >n\- ^-j- ( £). (5.30)
Сопоставляя неравенства (5.29) и (5.30), мы получаем равенство в фор-
муле (5.26).
Из формул (5.26), (5.27) и (5.28) следует, что
dimc/n= J] (/я)2. (5.31)
λ<ΞΛ>Ζ{η)
Так как /я > 0 для любого Я/0и множество Л>з (п) непусто, полу-
чаем, что dimc In > 0. Кроме того, из вычисления dimc In следует, что
инъекция
/„-* Y] Endc(VA) (5.32)
ХеЛ>3(п)

288 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
является изоморфизмом алгебр. Поэтому J„Va = nx(In)Vx = О тогда и
только тогда, когда Я φ Л>з(и)> что эквивалентно тому, что Я е Л^2(п).
Следствие 5.32. Пусть η > 2.
1. Размерность алгебры Ап{а) как комплексного векторного про-
странства равна ^ Г2п\
dimcA„(a) = irTT( J.
2. Множество {е$}§еЕп приведенных слов является базисом про-
странства Ап{а).
3. Гомоморфизм алгебр Ап{а) —> Ап+\{а), определенный правилом
е{ »-» е[ для всех i = 1,..., η — 1, является инъекцией.
4. Алгебра Ап{а) полупростая. Любой простой Ап{а)-модулъ изо-
морфен некоторому единственному модулю вида V\, где Я—разбиение
числа п, диаграмма которого состоит из одного или двух столбцов.
Доказательство. 1. Для η > 3 это утверждение следует из предло-
жения 5.31, так как
dimc Ап(а) = dimc Нп(q) - dimc In.
Для η —2 утверждение 1 проверяется непосредственно.
2. По леммам 5.26 и 5.27 множество приведенных слов порожда-
ет пространство Ап{а) и состоит из
^(2П")= dimc An{a)
векторов. Следовательно, это множество является базисом.
3. Этот гомоморфизм отображает базис пространства Ап{а) в под-
множество базиса пространства An+i(a); следовательно, он инъек-
тивен.
4. Мы уже заметили, что алгебра Ап (а) полупростая. Пусть Я —
разбиение числа п, диаграмма которого состоит из одного или двух
столбцов. По лемме 5.30 алгебра Ап(а) = Hn(q)/In действует на мо-
дуле Va· Если бы модуль Va не был простым как Ап(а)-модуль, то
он не был бы простым и как Нп(д)-модуль, что противоречило бы
теореме 5.18.
Ввиду следствия 5.19 и изоморфизма (5.32) мы имеем изоморфиз-
мы алгебр
An{a)^Hn{q)/în^ Y\ Endc(VA).
АеЛ<2(п)
Следовательно, каждый простой Ап (а) -модуль изоморфен модулю ви-
да Va для некоторого Я g Λ<200· □

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
289
5.7.4. Графическая интерпретация алгебр Темперли — Либа
Мы завершим наш обзор теории алгебр Темперли—Либа тем, что
дадим графическую интерпретацию их элементов.
Для η > 1 простой η-диаграммой D назовем такое дизъюнктное
объединение π гладко вложенных дуг в R х [0,1], что его край 3D
состоит из точек (1,0),..., (п, 0) и (1,1),..., (п, 1), D \ 3D с R х (0,1)
и касательный вектор к каждой из этих дуг в концевой точке парал-
лелен прямой {0} х R. Две простые п-диаграммы называются изо-
топными, если их можно продеформировать друг в друга в классе
простых п-диаграмм. На рис. 5.8 и 5.9 изображены все простые п-диа-
граммы с точностью до изотопии для η = 1,2,3.
Рис. 5.8. Простые 1- и 2-диаграммы
и υ
r\
г\ r\
Рис. 5.9. Пять простых 3-диаграмм
Лемма 5.33. Количество изотопических классов простых п-диа-
грамм равно п-му числу Каталана ——г ( п).
Доказательство. Под полуокружностью мы будем понимать ев-
клидову полуокружность в верхней полуплоскости R x [0, +<»), кон-
цевые точки (и центр) которой лежат на прямой R x {0}. Ясно, что
если в произвольной простой п-диаграмме верхние концевые точки
потянуть вниз так, как показано на рис. 5.10, то мы получим объеди-
нение η дизъюнктных вложенных дуг в полуплоскости R х [0, +°о),
2п концевых точек которых лежат на прямой R x {0}. Такое объеди-
нение мы можем произотопировать в систему η дизъюнктных полу-
окружностей. Эти преобразования устанавливают биективное соот-
ветствие между изотопическими классами простых п-диаграмм и изо-

290 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
1 D 1
Рис. 5.10. Превращение простой л-диаграммы
в систему полуокружностей
топическими классами η дизъюнктных полуокружностей. Поэтому до-
статочно подсчитать количество изотопических классов таких систем.
Припишем концевой точке полуокружности метку L (соответствен-
но R), если это левая (соответственно правая) концевая точка полу-
окружности. Пусть теперь дана система η дизъюнктных полуокруж-
ностей. Читая метки концевых точек этой системы слева направо
и перемещаясь по прямой R х {0}, мы получим некоторое слово w
длины 2п в алфавите {L, R}. Слово w в этом алфавите называется сло-
вом Дика, если в него буква L входит столько же раз, сколько буква R,
и если ни в каком префиксе этого слова число вхождений буквы R
не превосходит числа вхождений буквы L. Легко видеть, что каждое
слово Дика длины 2п возникает из некоторой системы η дизъюнктных
полуокружностей, единственной с точностью до изотопии.
Далее мы каждому слову Дика w длины 2п сопоставим полигональ-
ный путь Гш в R2 с последовательными вершинами (хо,уо), {х\,У\),
··-, {*2п,У2п)· Здесь х0 = уо = 0 и для каждого к е {1,...,2п} точка
(*к, Ук) определяется по индукции по формулам хк=xk-i +1 и ук=ук-\,
если к -я буква в слове w есть L, и хк = xk-i и ук = ук-\ + 1, если fc-я
буква в слове w есть R. Поскольку в слово w буква L входит η раз
и буква R тоже η раз, путь Гш ведет из точки (0,0) в точку (η, η).
Ясно, что путь Гш допустим в том смысле, который был определен
в доказательстве леммы 5.27. Кроме того, путь Гш лежит под диагона-
лью из-за условия на префиксы слова w. Обратно, любой допустимый
путь из (0,0) в (п, п), лежащий под диагональю, имеет вид Гш для
некоторого единственного слова Дика w длины 2п.
Итак, количество изотопических классов простых п-диаграмм рав-
но количеству допустимых путей из (0,0) в (π, η), лежащих под диаго-
налью. По лемме 5.27 это количество равно п-му числу Каталана. D
Зафиксируем ненулевое комплексное число а. Обозначим через
А'п{а) комплексное векторное пространство, натянутое на изотопи-
Г\

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
291
ческие классы простых п-диаграмм. По лемме 5.33 размерность про-
странства А'п(а) равна п-му числу Каталана. Каждая простая π -диа-
грамма D представляет некоторый вектор из А'п(а), который мы будем
обозначать [D].
Снабдим пространство А!п{а) структурой ассоциативной алгебры.
Для любых двух простых п-диаграмм D yîD' определим D #D' как од-
номерное подмногообразие в R х [0,1], полученное присоединением
диаграммы D к верхней части диаграммы D' и последующим сжати-
ем получившегося результата в M х [0,1]. Тогда D #D' представляет
собой дизъюнктное объединение π вложенных дуг и некоторого чис-
ла k(D, D') > О вложенных окружностей. Удалив эти окружности, мы
получим простую п-диаграмму, которую мы будем обозначать D oD'.
Положим mm=a^\DoD'].
Легко проверить, что эта формула определяет ассоциативное умноже-
ние на А'п(а). Простая п-диаграмма
1п = {1,...,п}х[0,1]
представляет единицу алгебры А'п(а).
Следующая теорема дает графическую интерпретацию алгебры
Темперли — Либа Ап (а).
Теорема 5.34. Для i = 1,..., η—1 обозначим через е[ простую п-диа-
грамму, изображенную на рис. 5.11. Сопоставление
*£-> l>iL i = l,...,n-l,
определяет изоморфизм алгебр Ап(а) —» А'п(а).
i-1 i
i+1 i+2
KJ
Рис. 5.11. Простая п-диаграмма е[
Доказательство. Приятное упражнение — проверить, что элемен-
ты [e'J,..., Wn_i\ алгебры А!п{а) удовлетворяют определяющим соот-
ношениям (5.20)-(5.22) алгебры Ап{а). Следовательно, существует

292 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
такой гомоморфизм алгебр /: Ап(а) —» Л„(а), что f{ßi) = [е[] для всех
i — 1,..., η—1. Проверим теперь, что / является изоморфизмом. Доста-
точно проверить, что гомоморфизм / сюръективен, так как по пред-
ложению 5.28 мы имеем
dime An{a) < ^(ï) = dimeK(a).
Таким образом, достаточно доказать следующее утверждение: если
простая η-диаграмма D не изотопна единичной η-диаграмме 1п, то
она равна в алгебре А'п{а) произведению элементов вида [е[], [е'2],...,
Докажем это утверждение индукцией по п. При η = 2 диаграмма D
изотопна диаграмме е[ и утверждение верно. Предположим, что это
утверждение верно для всех простых диаграмм с η — 1 дугами, и до-
кажем его для простой диаграммы Den дугами. Выпишем нижние
концевые точки диаграммы D в порядке слева направо: Рь..., Рп. Так
как [D] Φ [1п], в диаграмме D найдется дуга, соединяющая две ниж-
ние концевые точки этой диаграммы. А поскольку дуги диаграммы D
дизъюнктны, в диаграмме D найдется дуга, соединяющая две последо-
вательные нижние концевые точки этой диаграммы. Обозначим через
i = i(D) минимальное число i = 1,2,..., η — 1, для которого точки Pi
и Pi+i соединяются некоторой дугой диаграммы D. Далее проведем
индукцию по i(D).
Если i(D) > 1, то, как мы сейчас покажем, [D] = [D'] [е[], где D' —
простая п-диаграмма, для которой i{D') = i{D) — 1. Диаграмма D' по-
лучается из диаграммы D следующим преобразованием в некоторой
окрестности точек Р^-ъРь^+ь Вначале мы немного продеформируем
дугу диаграммы D, выходящую из точки Р{-\, чтобы для этой дуги
появились локальный максимум и локальный минимум функции вы-
соты. Затем потянем вверх эти локальные максимумы и минимумы,
пока не добьемся того, чтобы локальный минимум лежал строго выше
той дуги диаграммы D, которая соединяет точки Р{ и Pi+i. Тогда мы
можем обособить дугу е[ и представить D как D = D' о е[. Переходя
к изотопическим классам, мы получаем равенство [D] = [D7][e[].
Остается рассмотреть случай i{D) = 1. Построим простую п-диа-
грамму O" так, чтобы выполнялось условие [D] = [D"] [е^]. Рассмот-
рим ту дугу диаграммы D, которая выходит из самой левой верхней
концевой точки в R х {1}. Возьмем маленькую часть этой дуги вблизи
верхней концевой точки и потянем ее вниз так, чтобы она была близ-
ка к той дуге диаграммы D, которая соединяет точки Pi и Рч. Это поз-

§5.7. Алгебры Темперли—Либа
293
волит нам обособить дугу е\ и представить [D] в виде [D] = [D//][e/1].
Ясно, что диаграмма O" содержит нить, соединяющую самую левую
нижнюю концевую точку с самой левой верхней концевой точкой.
Другими словами, диаграмма D" получается добавлением слева вер-
тикального отрезка к некоторой простой (п — 1)-диаграмме. Из пред-
положения индукции следует, что [D"] является произведением эле-
ментов вида [е'2],..., [е^1_1]. Тем самым наше утверждение доказано
и доказательство теоремы завершено. D
Замечание 5.35. Из теоремы 5.34 следует, что размерность алгеб-
ры Темперли—Либа Ап(а) равна п-му числу Каталана. Это дает еще
одно доказательство следствия 5.32 (1). Но это доказательство более
общее, так как оно верно для произвольного значения комплексного
параметра а.
Упражнение 5.7.1. Пусть К = Си ï£n-\ —н£(д)-модуль, опреде-
ленный в § 5.6. С помощью теоремы 5.22 и леммы 5.30 покажите,
что S£n-\ является модулем над алгеброй Темперли—Либа Ап(а), где
a2 = (q + l)2/q.
Упражнение 5.7.2 (идемпотенты Джонса — Венцля). Пусть и —
такое ненулевое комплексное число, что и2к φ 1 для всех к = 1,..., п.
Положим а = — (и + и-1). Определим элементы /ь ..., fn € Ап(а) по ин-
дукции, полагая /] = 1и
uk-i_u-ik-i) £
Ik - Jk-i + ик_и-к Jk-iek-ifk-i
для всех к = 2,..., п. Покажите, что /fc2 = fc для всех к = 1,..., η и что
Uly - · · у fn) — единственная последовательность элементов алгебры
Ап{а), для которой /^ — 1 является линейной комбинацией непустых
слов в алфавите {еь ..., e^-i} для всех к = 1,..., η и для всех I < к
верны равенства
eifk = fkei = 0.
Упражнение 5.7.3. Пусть Сп = ( п)/(п + 1) — η-e число Каталана.
а) Покажите, что
η
^п+1 = / i ^i^n—i
для всех η > 0. (Указание: каждое слово Дика w длины не менее 2
можно единственным способом записать в виде w = LwiRw2, где W\
и vü<i — (возможно, пустые) слова Дика.)

294 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
б) Выведите следующую производящую функцию для чисел Ката-
лана:
п=0
Замечания
До 1983 г. по существу единственным интересным известным
линейным представлением группы кос Вп было представление Бу-
рау. Ситуация радикально изменилась, когда Воган Джонс ввел в рас-
смотрение алгебры Темперли—Либа и использовал их для постро-
ения новых представлений групп кос; см. [Jon83], [Jon84], [Jon86],
[Jon87], [Jon89]. Вскоре после этого Η. Ю. Решетихин и В. Г. Тураев,
воодушевленные трудами Джонса, показали, как получить конечно-
мерные представления групп кос из представлений квантовых групп;
см. [Tur88], [RT90]. Обстоятельные введения в теорию квантовых
групп и их связей с косами и зацеплениями см. в книгах [Tur94],
[Kas95], [KRT97]. В этой главе мы следовали «двойственному» подходу
к представлениям групп кос Вп, основывающемуся на теории алгебр
Ивахори — Гекке.
Содержание § 5.1 стандартное; см, например, [Jam78], [FH91],
[Ful97], [SagOl]. Наше доказательство теоремы 5.1 следует Стенли;
см. [Sta88], a также [SagOl, Sect. 5.1]. Эту теорему также можно доказать
с помощью соответствия Робинсона — Шенстеда, дающего биекцию
ЯЧп
см. [Knu73, Sect. 5.1.4], [Ful97, Chap.4], [SagOl, Chap.3].
Формула крюков в упражнении 5.2.6 принадлежат Фрэйму, Ро-
бинсону и Троллу (см. [FRT54]); доказательство см., например, в кни-
гах [Knu73, Sect.5.1.4], [Gol93, Sect. 12], [SagOl, Chap.3]. В формули-
ровке этого упражнения мы следовали книге [Mat99, Chap. 3, Ex. 25].
Упражнение 5.5.4 взято из книги [GHJ89, Chap. 2] (см. также статью
[Ram97]).
Модули Уя в § 5.3 были построены Хёфсмитом (см. [Ное74]) как
обобщение полунормальных представлений Юнга симметрических
групп. Общая теория полунормальных представлений дана в статье
[Ram97]. В § 5.3-5.5 мы следовали работам [Ное74], [Wen88], [Ram97].
Люстиг (см. [Lus81]) построил изоморфизм из упражнения 5.5.2 в яв-
ном виде.

Замечания
295
Изложение теории алгебр Ивахори — Гекке и их представлений
без предположения полупростоты можно найти, например, в работах
[DJ86], [DJ87], [Gec98], [Mat99].
Джонс (см. [Jon84], [Jon86], [Jon87]) обратил внимание на тот
факт, что приведенное представление Бурау группы кос Вп появляется
как простой модуль, ассоциированный с разбиением (2,1,..., 1).
Линейные представления алгебр Темперли—Либа впервые воз-
никли в физике в работе Темперли и Либа [TL71]. Сами алгебры
Темперли—Либа были введены Джонсом (см. [Jon83]) при изучении
подфакторов. Джонс (см. [Jon84], [Jon86]) также связал эти алгеб-
ры с алгебрами Ивахори — Гекке и с группами кос. Идемпотенты
Джонса — Венцля из упражнения 5.7.2 были введены Джонсом в ра-
боте [Jon83]. Определяющая их индуктивная формула принадлежит
Венцлю (см. [Wen87]). Эти идемпотенты играют важную роль в тео-
рии инвариантов трехмерных многообразий (см. [Tur94, Sect.XII.4]).
Читателю, интересующемуся числами Каталана, мы советуем побли-
же ознакомиться с книгой [Sta99, Ex. 6.19], где перечислены 66 мно-
жеств, мощность каждого из которых равна п-му числу Каталана.
В § 5.7 мы по существу следовали книге [GHJ89, Sects 2.8-2.11].
Дополнительные сведения о графической интерпретации алгебр Тем-
перли— Либа можно найти в работах [Kau87], [Kau90], [Kau91],
[Tur94, Sect.XII.3].
Также следует отметить, что Форманек и др. классифицировали
все комплексные неприводимые представления групп кос Вп в размер-
ностях не больше п; см. [For96], [FLSV03]. Дополнительную информа-
цию о представлениях группы кос В3 можно найти в работах [TW01],
[TubOl]. Факторалгебры групповых алгебр для групп кос по кубиче-
ским соотношениям были исследованы Фунаром и др.; см. [Fun95],
[BF04].

'Щт&6
Гарсайдовы моноиды и моноиды
положительных кос
Группы кос можно рассматривать как группы частных некоторых
моноидов, которые называются моноидами положительных кос. Эти
моноиды принадлежат более широкому классу так называемых гар-
сайдовых моноидов. В этой главе мы исследуем свойства моноидов
и особенно гарсайдовых моноидов. В качестве приложения этой тео-
рии мы изложим решение проблемы сопряженности для групп кос.
Мы также обсудим обобщенные группы кос, ассоциированные с мат-
рицами Коксетера.
§6.1. Моноиды
6.1.1. Определения и примеры
Моноидом называется множество М, наделенное бинарной опе-
рацией (умножением) M х M —> M, ассоциативной и имеющей ней-
тральный элемент. Для любых элементов а,Ъ е M образ пары (a, b) e
е M x M при умножении обозначается ab и называется произведением
элементов а и Ь. Ассоциативность означает, что {ab)с = а{Ъс) для всех
а,Ъ,с G M. Нейтральный элемент 1 е M удовлетворяет равенствам
al = la = a для всех аеМ. Такой элемент всегда единствен.
Говорят, что моноид M обладает свойством левого (соответствен-
но правого) сокращения, а также сокращения слева (соответственно
сокращения справа), если для всех а,Ь,с^М справедливы импликации
ab = ac =$> Ъ = с (соответственно Ьа = са => Ь = с).
Элемент а моноида M называется обратимым, если существует
такой элемент b еМ, что ab = Ьа = 1. Моноид называется группой,
если все его элементы обратимы.

§6.1. Моноиды
297
Отображение / моноида M в моноид М' называется гомоморфиз-
мом моноидов, если f(ab) = f(à)f(b) для всех а,Ъ е M и если оно
отображает нейтральный элемент моноида M в нейтральный элемент
моноида М/.
Примеры 6.1. 1. Множество неотрицательных целых чисел отно-
сительно операции сложения является моноидом. Он обозначается N.
2. Множество положительных целых чисел относительно опера-
ции умножения является моноидом. Он обозначается Nx.
3. Свободным моноидом над множеством X называется такой мо-
ноид X*, содержащий X как подмножество, что любое отображение
множества X в произвольный моноид M продолжается единственным
образом до некоторого гомоморфизма моноидов X* —> М. Это свой-
ство определяет X* с точностью до изоморфизма моноидов. Легко
показать, что каждый элемент w моноида X* можно единственным
способом представить в виде некоторого слова в алфавите X, т. е. в ви-
де произведения нескольких элементов из X с X*. Число элементов
из X в этом разложении (подсчитанное с кратностями) называется
длиной слова w и обозначается через l(w). Ясно, что 1(1) = О, Z(x) = 1
для х € X и l(ww') = l(w) + Ζ (и/) для любых w, w' € X*. Для X = 0
моноид X* состоит только из одного нейтрального элемента; это три-
виальный моноид.
Моноиды из примеров 6.1 обладают свойствами левого сокраще-
ния и правого сокращения, и их нейтральные элементы суть един-
ственные обратимые элементы.
6.1.2. Делимость в моноидах
Если а = be, где а,Ъ,с — элементы моноидаМ, то мы говорим, что
элемент Ъ является левым делителем элемента а, а элемент с является
правым делителем элемента а. Мы также говорим, что элемент а
является правым кратным элемента Ъ и левым кратным элемента с.
Мы пишем b ^ а и а £= с. Например, Наиа^=1 для всех a GM, так
как а — \а = al.
Лемма 6.2. Отношения ^ и £= в любом моноиде рефлексивны
и транзитивны.
Доказательство. Рефлексивность отношения =^ следует из тож-
дества а = al, a транзитивность — из ассоциативности умножения.
Доказательства для отношения ^ аналогичны. D

298 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.1.3. Атомные моноиды
Для любого элемента α φ 1 моноида M положим
||а|| = sup{r > 1 : а = аг... аг, где аь ..., аг G М\{1}} G {1,2,..., оо}.
Также положим ||1|| = 0. Легко проверить, что для любых элементов
а,ЬеМ имеет место неравенство
||аЫ|>||а|| + ||Ы|.
Заметим, что ||а|| = 0 тогда и только тогда, когда а = 1.
Элемент а^М называется атомом, если ||а|| = 1. Иными словами,
элементaGMявляется атомом, если аΦ1 и из разложения а = а\...аТ
следует, что для всех i, кроме одного, ai = 1. Любой элемент α G M,
для которого ||α|| конечное, разлагается в произведение а = а\...аг,
где г = ||а|| и аь ..., аг — атомы. Это объясняет следующее определе-
ние: моноид M называется атомным, если для всех а е. M число ||а||
конечное.
В качестве упражнения читатель может проверить, что опреде-
ленные выше моноиды N и Nx атомные, а также что все свободные
моноиды атомные. Моноид {1,х} с умножением
х2 = xl = lx = x, 11 = 1
не является атомным. Группы не имеют атомов и не атомны (за ис-
ключением тривиальной группы).
Лемма 6.3. Если элементы аиЪ атомного моноида M удовлетво-
ряют услови5\м a^b üb =^а,то а — Ъ. Аналогично если a^b ub^ а,
то а = Ь.
Доказательство. Так как а =$Ъ < а, существуют такие и, ν g M,
что b = auna = bv. Тогда α = auv и
||a|| = ||aui;||>||a|| + ||u|| + |N|.
Отсюда следует, что ||u|| = ||i;|| = 0. Следовательно, u = v = 1 na = b.
Аналогично рассматривается отношение ^=. D
Из лемм 6.2 и 6.3 следует, что отношения =^ и ^ на любом атом-
ном моноиде являются частичными порядками.
Для любого подмножества Ε атомного моноида M мы говорим,
что элемент aGE максимален (соответственно минимален) относи-
тельно =^, если Ъ ^ а (соответственно а^Ъ) для всех b G E. Макси-
мальный (соответственно минимальный) элемент подмножества Ε

§6.1. Моноиды
299
может не существовать, но если он существует, то он единствен в силу
леммы 6.3. Аналогичные определения применимы к отношению £=.
Уравнение ab = 1 в атомном моноиде M имеет единственное ре-
шение: а = 1, Ъ = 1. Действительно, если ab = 1 для а, Ъ GM, то 1 =^ а ^ 1,
откуда следует, что а = 1иЬ = 1.В частности, нейтральный элемент
является единственным обратимым элементом моноида М.
6.1.4. Задание моноида образующими и соотношениями
Рассмотрим множество X и некоторое подмножество R в X* х X*.
Обозначим через ~ наименьшее отношение эквивалентности на X*,
содержащее все пары (wirw2, wir'w2), где (г, г7) eR и wi, w2 еХ*. Ины-
ми словами, ~ есть наименьшее отношение эквивалентности на X*,
для которого w\vvû2 ~ w\v'vü2 для всех (г,г^еЯи wi, ш2 €X*. Опре-
делим M как множество классов эквивалентности для отношения ~.
Ясно, что на множестве M имеется единственная структура моноида,
для которой проекция Ρ : X* —» M является гомоморфизмом монои-
дов. Элементы множества X называются образующими моноида М,
а элементы множества R называются соотношениями в моноиде М.
Мы говорим, что (Х|К) является заданием моноида M образующими
и соотношеншти.
Ясно, что множество Р(Х) с M порождает моноид M в том смыс-
ле, что каждый элемент моноида M является произведением элемен-
тов этого подмножества. Для любого соотношения (r, r7) e R элемент
Ρ (г) — Ρ (г') моноида M называется релятором, ассоциированным
с заданием (Х|К). Впоследствии мы часто будем вместо соотношения
(г, r7) GR писать г = г7 и не различать образующую х еХ и ее проекцию
Р(х) в моноиде М.
Заметим, что любое отображение / множества X в моноид М'
тогда и только тогда индуцирует гомоморфизм моноидов M —» M7,
когда для продолжения /* : X* —» М7 отображения / на моноид X*
выполняются равенства /*(г) = /*(г7) для всех (r, r7) e R.
Определим несколько полезных классов заданий моноидов образу-
ющими и соотношениями. Задание (X|R) моноида образующими и со-
отношениями называется конечным, если оба множества X и R конеч-
ные. Задание (X\R) моноида M образующими и соотношениями на-
зывается взвешенным, если существует такой гомоморфизм моноидов
I : M —>Ν, что i[x)>\ для всехх€X. Гомоморфизм £ называется весом.
Задание (X\R) моноида M образующими и соотношениями назы-
вается уравновешенным по длине, если Ζ (г) = i(r7) для всех (r, r7) G Я,

300 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
где I — функция длины на моноиде X*, определенная в п. 6.1.1. Тогда
формула Î{x) = 1 для всех xgX определяет канонический вес I : M—>N.
Таким образом, все уравновешенные по длине задания моноидов об-
разующими и соотношениями суть взвешенные задания. Обратное
утверждение неверно: например, задание (х, у \ х3 = у2) является
взвешенным, но оно не уравновешено по длине.
Лемма 6.4. Если моноид M имеет взвешенное задание {X\R) об-
разующими и соотношениями, то он атомный и все его атомы со-
держатся в множестве X образующих. Если моноид M имеет урав-
новешенное по длине задание (X\R) образующими и соотношениями,
то множество его атомов совпадает с множеством X образующих
и \\а\\ = Ι (а) для всех аеМ, где I — канонический вес на моноиде М.
Доказательство. Пусть имеется такой гомоморфизм моноидов
I : M —> Ν, что Î(x) > 1 для всех образующих х G X. Тогда Î{a) > 1
для всех α gМ\{1}. Если элемент аеМ разлагается в произведение
ai... аг, где аь ..., аг G M \ {1}, то I (а) = t {a{) + ... + Î (аг) > г. Следова-
тельно, Î{d) > ||α||, поэтому M — атомный моноид. Из того факта, что
любое порождающее подмножество моноида должно содержать все
его атомы, следует, что все атомы моноида M принадлежат множеству
образующих X. Второе утверждение этой леммы является непосред-
ственным следствием из определений. D
6.1.5. Проблема тождества слов и проблема делимости
Проблема тождества слов для задания (X\R) моноида M образу-
ющими и соотношениями состоит в следующем: для любых двух слов
ш, wf G X*, представляющих некоторые элементы а, а7 G M, опреде-
лить, верно ли, что а = а'. Тесно связанная с этой проблемой проблема
левой (соответственно правой) делимости состоит в следующем: для
любых двух слов w, w1 G X*, представляющих некоторые элементы
a, a! G M, определить, верно ли, что а^а' (соответственно а ^ а').
Обе эти проблемы — проблему тождества слов и проблему дели-
мости— можно легко решить для конечного взвешенного задания
{X\R) моноида M образующими и соотношениями. Пусть I : M —> N —
вес, так что Î(x) > 1 для всех х G X. Заметим, что значение веса i
на любом элементе а^М, представленном некоторым непустым сло-
вом w G X*, больше или равно, чем длина слова w. Обозначим через
W(a) с X* множество всех слов, представляющих элемент а. Длина
всех этих слов не превосходит Î(a). Так как множество X конечное,

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 301
число слов, длина которых не превосходит Ι (а), конечное и множе-
ство W[a) конечное. Чтобы перечислить все элементы множества W(a),
мы начнем с заданного слова w, представляющего элемент а, и по-
следовательно применим к каждому уже найденному слову из множе-
ства W{a) всевозможные подстановки вида
W\VVÜ2 *—> W\V'VÜ2,
где (г, г') G R. Так как множество R конечное, эта процедура также
конечная. Она дает решение проблемы тождества слов: два элемента
а, а' е. M тогда и только тогда равны, когда W{a) = W{a').
Мы также получаем решение проблем левой и правой делимо-
сти. Именно, а^ а' тогда и только тогда, когда некоторый префикс
(начальный отрезок) слова из W{a') принадлежит множеству W{a).
Аналогично а! ^ а тогда и только тогда, когда некоторый суффикс
(конечный отрезок) слова из W(a') принадлежит множеству W{a).
§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности
В этом параграфе мы определим и изучим некоторый моноид ΜΣ,
получаемый по заданному моноиду M и заданному его подмноже-
ству Σ. При соответствующих предположениях мы получим нормаль-
ную форму для элементов моноида ΜΣ и решим проблему сопряжен-
ности в моноиде ΜΣ.
6.2.1. Моноид ΜΣ
Пусть M — моноид, и пусть Σ с M — его подмножество, содержа-
щее нейтральный элемент 1. Обозначим через ΜΣ моноид, порож-
денный символами [а], где а пробегает подмножество Σ, по модулю
определяющих соотношений [1] = 1 и [а][Ь] — [ab] для всех тех a,bG
€ Σ, для которых ab G Σ. Имеется гомоморфизм моноидов ρ : ΜΣ —» M,
определенный формулой ρ ([α]) —а для всех аеГ.
Определение моноида ΜΣ можно перефразировать, отождествив
произведение [ai]... [ar] в ΜΣ (где ai,..., ar G Σ") с последовательно-
стью (ai,..., ar). Тогда ΜΣ есть множество классов эквивалентности
конечных последовательностей (ai,...,ar) элементов из Σ относи-
тельно эквивалентности, порожденной соотношениями
(аь ..., cLi-i, а[а", ai+b ..., аг) ~ (аь ..., <ц-Ъ а[, а", ai+b ..., аг),
если а[а" G Σ, а также соотношением эквивалентности, в котором
пустая последовательность эквивалентна одноэлементной последова-

302 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
тельности (1), где 1 G Σ. Произведение в ΜΣ индуцировано конкате-
нацией последовательностей, т. е. записыванием их подряд.
Сформулируем основную теорему о структуре моноида ΜΣ.
Теорема 6.5. Пусть M — атомный моноид, и пусть Σ — такое
его подмножество, что Ig Σ и выполнены три следующих условия:
(*i) все левые делители и все правые делители элементов из Σ при-
надлежат подмножеству Σ;
(*2) для любых a,b,cG Σ если ab = ас или Ъа = са, то Ъ = с;
(*з) для любых а,Ъ G Σ множество {х G Σ: х ^ Ъ и ах G Σ} обладает
некоторым максимальным (относительно =0 элементом.
Тогда для любого ξ G ΜΣ существует единственный элемент α (ξ) G Σ,
для которого [α(ξ)] является левым делителем элемента ξ, макси-
мальным среди всех левых делителей элемента ξ, лежащих в множе-
стве {[α]}α(=Σ с ΜΣ. Кроме того, существует единственный элемент
ω (ξ) G ΜΣ, для которого ξ = [α(ξ)]ω(ξ).
Доказательство. Доказательство проведем в пять шагов.
Шаг 1. Согласно условию (*3) для любых элементов a, b G17 множе-
ство {х G Σ : х ^ b и ах G Σ} обладает некоторым максимальным эле-
ментом ce.Σ. Тогда b — cd для некоторого d G M. По условию (*i) име-
ем d G Σ, а по условию (*2) элемент d единствен. Положим а2{а, Ь) =
= ас G Σ и ω2(α, b) = d G 27. Ясно, что
a2{a, b)co2(a, b) = ab. (6.1)
Например, для всех a g Σ имеем
а2(а, 1) = а2(1, а)=а и ω2(α, 1) = ω2(1, а) = а.
Мы утверждаем, что для любых а,Ъ,с G Σ, для которых ab G Σ,
имеют место равенства
а2 {ab, с) = а2 (а, а2 (Ь, с)) (6.2)
и
co2(ab, с) = ω2(α, а2(Ь, с))со2(Ь, с). (6.3)
Оставшаяся часть шага 1 будет посвящена доказательству этого утвер-
ждения. Мы используем следующее наблюдение: если а,Ь,с£М та-
ковы, что ас G Σ и ab =4 ас, то b ^ с. Действительно, если ас = abd,
где d G M, то из предположения ас G 17 и условия (*i) следует, что
а, с, bd G 27. По условию (*2) мы имеем с = bd, так что b ^ с.

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 303
По определению а2(Ъ, с) = bd, где d — максимальный элемент, для
которого d =^ с и bd G Σ. Аналогично
а2{а, a2(b, с)) = а2{а, bd) = ad',
где d' — максимальный элемент, для которого d' ^ bd и ad' e Σ. Так
как Ъ ^ bd и по предположению ab G Σ, мы имеем b =$ d'. Записав
это условие как d' = be, где е G Σ, мы получим а2{а, bd) — abe, где
be^bdeΣи abe G Σ. Согласно сделанному выше наблюдению e^d=$c,
откуда следует, что е =^ с. Далее, а2{аЪ, с) = abf, где / — максимальный
элемент, для которого /=^си abf G Σ. Следовательно, е ^ f. С другой
стороны, из условий / < с и bf G Σ следует, что / =^ d и Ь/ < bd. Из того,
что ab/ G17, следует, что bf =4d' = be. Значит, / < е. Тогда по лемме 6.3
имеем е = / и
a2(ab, с) = abf — abe = ad' = а2{а, а2(Ъ, с)).
Равенство (6.2) доказано. Чтобы доказать равенство (6.3), заметим,
что, используя равенства (6.1) и (6.2), мы получим
а2{аЪ, с)со2{а, а2(Ъ, с))со2(Ъ, с) =
= ol2 (a, a2(b, ο))ω2{α, a2(b, c))œ2(b, с) =
= aa2(b, c)a>2(b, с) = abc = a2{ab, c))co2(ab, c).
В силу условия (*2) отсюда следует равенство (6.3), если мы дока-
жем, что произведение ω2{α, а2(Ъ, с))со2(Ь, с) принадлежит подмноже-
ству Σ. По определению существует такой элемент α^Σ, что а2(Ь, с) =
= bd G Σ и с = dco2(b, с). Обозначим через / максимальный элемент
множества Σ, для которого / ^bd naf G Σ. Так как b ^bdnabe Σ,
существует такой элемент e g Σ, что f — be. Тогда
bd = fco2{a, bd) = beco2(a, bd).
По условию (*2) имеем d = ea>2(a, bd) и
eco2{a, a2(b, c))œ2(b, с) = βω2(α, bd)a>2(b, с) = dco2(b, с) = с.
Последнее равенство показывает, что элемент ω2(α, a2(b,c))a>2(b,c)
является правым делителем элемента с G Σ, и потому по условию (*i)
он сам принадлежит подмножеству Σ.
Шаг 2. На этом шаге мы докажем следующее утверждение: суще-
ствует единственное отображение a : ΜΣ —> Σ, для которого
1) α(1) = 1;
2) a([a]rj) = а2{а, α(η)) для всех a G Σ и η G M^.

304 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Напомним, что в начале этого пункта был определен гомоморфизм
моноидов ρ : ΜΣ —> 27. Для любого ξ G ΜΣ положим Η (ξ) — ||ρ(ξ)|| > 0.
Мы назовем Я (ξ) высотой элемента ξ G ΜΣ. Ясно, что
Η(ξξ')>Η(ξ)+Η(ξ')
для любых ξ, ξ7 G Mi;. Заметим, что Я (ξ) = 0 тогда и только тогда,
когда ξ = 1, а также что Я (ξ) = 1 тогда и только тогда, когда ξ — [α],
где α — атом моноида М, принадлежащий подмножеству 27. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим разложение элемента ξ в произведение
ξ = [ai]... [ar], где ab ..., ar G 27. Тогда
Η(ξ) = ||ρ(ξ)||>||α1|| + ...||αΓ||.
Если Η (ξ) = 0, то а\ =... = аг = 1 и ξ = 1. Если Я(£) = 1, то все элементы
ai,..., аг € 27 равны 1, кроме одного элемента, являющегося атомом.
Для ξ G ΜΣ определим α (ξ) индукцией по высоте элемента ξ. Для
ξ = 1 мы положим α(ξ) = 1 G 27. Если Я(£) = 1, то ξ = [a] = [a]l для
некоторого атома a G 27, и для того, чтобы выполнялось равенство 2,
мы должны положить α(ξ) = ct2(a, 1) = a.
Предположим теперь, что для некоторого целого числа к > 1 отоб-
ражение a определено на всех элементах ξ высоты не больше чем к
так, что при этом выполняются свойства 1 и 2, если Η([α]η) < к. Возь-
мем произвольный элемент ξ моноида ΜΣ высоты к -h 1. Мы можем
представить элемент ξ в виде произведения ξ = [α]η, где a G 27, а ф 1
и η G М^. Тогда Я([а]) > 1 и Η(η) < Η([α]η), так что значение α(η)
уже определено. Для того чтобы выполнялось равенство 2, мы должны
положить α(ξ) = a2(a, a(r])). Мы должны проверить, что α2{α,α{η)
не зависит от выбора разложения ξ = [α]η.Πο определению моноида
ΜΣ и предположению индукции для этого достаточно проверить, что
а2(а, α{η) = а2{а\ a([a"]rj)),
где a = aV7 и a;, a" G 27\{1}. Так как
Η{[α"]η) < Η([α]τΙ) -Η([α']) < Η([α]η),
из предположения индукции следует равенство α([α"]τ)) = α2(α", α(τ))).
Используя равенство (6.2), получаем
a2(a7, a([a"]r7)) = α2(α7, α2(α", α(τ}))) = α2{α'α"9 α(η)) = α2(α, α(η)).
Следовательно, отображение α корректно определено на всех эле-
ментах моноида ΜΣ высоты не больше чем к + 1 и удовлетворяет

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 305
свойствам 1 и 2. Это завершает индукцию и доказывает наше утвер-
ждение.
Шаг 3. Далее мы проверим, что для любого ξ еМг элемент [α(ξ)]
моноида ΜΣ является левым делителем элемента ξ, максимальным
среди всех левых делителей элемента ξ, лежащих в множестве
{[а]}аегСМг.
Проведем индукцию по высоте Я (ξ). С помощью проекции ρ : ΜΣ->
—>М легко показать, что все делители единицы 1 в ΜΣ равны 1. По-
этому если Я (ξ) = 0, то [α(ξ)] = ξ = 1 является единственным левым
делителем единицы 1ε.Μς. Если Η{ξ) > 1, представим ξ в виде произ-
ведения ξ=[α]η для некоторых a G £\{1} и î]GMi;. Тогда Я (17) < Я (ξ)
и α(ξ) = α2(α, α(η)). Поэтому α(ξ) = ab для некоторого Ь g Σ1, удовле-
творяющего условию b ^ α(η). По предположению индукции элемент
[а(г7)] является левым делителем элемента η. Следовательно,
[α(ξ)] = [ab] = [a][b] 4 [a] [aft)] * [α]η = ξ.
Значит, элемент [α(ξ)] является левым делителем элемента ξ, при-
надлежащим множеству {[a]}aer· Покажем, что это максимальный
элемент с этими свойствами. Предположим, что ξ = [α'] τ/ для некото-
рых a' G Σ и η' G ΜΣ. Тогда α(ξ) = α2(α', α(η')) = α^ для некоторого
b' G Σ1. Следовательно, а' -4 α (ξ) и [α7] =^ [α (ξ)].
Шаг 4. Мы утверждаем, что существует единственное отображе-
ние ω : ΜΣ —» ΜΣ} для которого
1) ω(1) = 1;
2) ω([α]η) = [ω2(α, α(τ)))]ω(η) для всех а е. Σ и η е ΜΣ.
Значение отображения ω на любом элементе ξ g Μς мы опреде-
лим индукцией по высоте этого элемента. Положим ω(1) = 1. Предпо-
ложим, что для некоторого целого числа к > 1 отображение ω опреде-
лено на всех элементах ξ высоты не больше чем к так, что при этом
выполняются условия 1 и 2, если Η([α]η) < к. Возьмем произволь-
ный элемент ξ моноида ΜΣ высоты к + 1. Мы можем представить
элемент ξ в виде произведения ξ = [α]η, где a G 27\{1} и η g Μς.
Тогда Η (η) < Я (ξ) и значение ω (η) уже определено. Для того чтобы
выполнялось равенство 2, мы должны положить
ω(ξ) = [ω2(α,α(η))]ω(η).
Мы должны проверить, что ω (ξ) не зависит от выбора разложения
ξ = [a] r/. По определению моноида ΜΣ и предположению индукции

306 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
для этого достаточно проверить, что
ω2(α, α(η))ω(η) = ω2(α', α([α"]τ,))ω([α"]τ,),
где а —а'а" и а7, а" € Σ\ {1}. Нам известно, что α([α;/]η) = α2(α" α(η)).
Так как Η([α"]τ7) < Я ([α] η), из предположения индукции следует ра-
венство ω([α"]?7) = [ω2(α(97)]ω(τ]). Используя равенство (6.3), полу-
чаем
ω2(α/, α([α,/]τ,))ω([α,/]τ?) = ω2(α/, ^(α^, α(η)))ω([α//]τ?) =
= ω2(α' α2(α" αθ7)))[ω2(α" α(η))]ω(η) =
= ω2(α/α//, α(τ)))ω(τ)) = ω2(α, α(η))ω(η).
Следовательно, отображение ω корректно определено на всех эле-
ментах моноида ΜΣ высоты не больше чем к + 1 и удовлетворяет
свойствам 1 и 2. Это завершает индукцию и доказывает наше утвер-
ждение.
Шаг 5. Чтобы завершить доказательство теоремы, остается пока-
зать, что для любого ξ €ΜΣ элемент η = ω (ξ) является единственным
элементом моноида ΜΣ, для которого ξ = [α(ξ)]η. Проведем индук-
цию по высоте Η(ξ). Если Η(ξ) = 0, то ξ = 1, α(ξ) = 1, ω(ξ) = 1
и утверждение очевидно. Предположим, что для некоторого целого
числа к > 1 наше утверждение справедливо для всех ξ высоты не боль-
ше чем fc. Возьмем произвольный элемент ξ моноида ΜΣ высоты к +1.
На шаге 3 было показано, что ξ = [α(ξ)]η для некоторого η ^ΜΣ. Ясно,
что α (ξ) φ 1 и потому Η (η) < Η (ξ).
Положим 0 = [α(ξ)][α(η)]. По определению отображения α имеем
α(θ) = α2(α(ξ),α(η)) = α(ξ)5
для некоторого элемента Ъ е Σ, для которого [Ь] ^ [ct(r})] =^ rj. Следо-
вательно, α (ξ) =$ α (θ) и
[α(β)] = [α(ξ)][6Η[α(ξ)]τ, = ξ.
Так как [α(ξ)] —максимальный левый делитель элемента ξ в множе-
стве {[a]}aGi;, мы имеем [α(ξ)] = [α(θ)]. Проектируя это равенство
в моноид М, мы получаем
α(ξ) = α(0) = α2(α(ξ),α(η)).
Поэтому α(ξ)α(τ}) = α2(α(ξ), α(η))α(η). С другой стороны, в силу
равенства (6.1) имеем
α(ξ)α(77) = α2(α(ξ), α(τ/))ω2(α(ξ), α(η)).

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 307
Комбинируя эти равенства, мы получаем
α2(α(ξ), α(τ)))α(η) = α2{α{ξ), α(τ?))ω2(α(ξ), α(η)).
По условию (*2) мы можем сократить обе части этого равенства слева
на α2(α(ξ), α(η)). Поэтому α (η) = ω2(α(ξ), α(τ})) и
ω(ξ) = ω([α(ξ)]4) - [ω2(α(ξ), α(η))]ω(τ)) = [α(η)]ω(τ,) - τ/,
где последнее равенство следует из предположения индукции. Это
показывает, что ξ = [α(ξ)]ω(ξ) и что любой элемент η G M^, удовле-
творяющий равенству ξ = [α(ξ)]τ}, равен ω(ξ). D
6.2.2. Нормальная форма в ΜΣ
Если выполнены условия теоремы 6.5, то любой элемент ξ G M^
можно по индукции разложить в произведение следующим образом:
ξ = [α(ξ)]ω(ξ) = [α(ξ)] [α(ω(ξ))]ω2(ξ) =
= [ο(ξ)] [α(ω(ξ))] [α(ω2(ξ))]ω3(ξ) = ...
Этот процесс разложения в произведение может остановиться на г-м
шаге, где г — минимальное целое число, удовлетворяющее условию
ωΓ+1(ξ) = 1. Такое г существует и не превышает ||ρ(ξ)||, так как в лю-
бом разложении элемента ξ в произведение образующих [а], где a G Σ1,
самое большее ||ρ(ξ)|| образующих может отличаться от 1. (Здесь по-
лезно заметить, что α(η) φ 1 для любого η G ΜΣ\{1}.)
Эти наблюдения приводят нас к понятию нормальной формы для
элементов моноида ΜΣ. Нормальной формой элемента ξ G ΜΣ назы-
вается такая последовательность (ai, a2,..., ar) элементов подмноже-
ства Σ, все из которых отличны от 1, что ξ = [ai] [a2]... [ar] и
af = a([ai][ai+i]...[ar])
для всех i = 1,2,..., г. Сделанные выше замечания показывают, что
каждый элемент ξ G M^ имеет некоторую нормальную форму. (Нор-
мальной формой единицы 1ε.Μς служит пустая последовательность.)
Из единственности в последнем утверждении теоремы 6.5 следует
единственность нормальной формы.
6.2.3. Сокращения в ΜΣ
Здесь с помощью теоремы 6.5 и определенного в ее доказатель-
стве отображения а2 : Σ х Σ —> Σ мы установим свойство левого со-
кращения для моноида ΜΣ.

308 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Лемма 6.6. Если выполнены условия теоремы 6.5, то моноид ΜΣ
обладает свойством левого сокращения.
Доказательство. Нам нужно показать, что ξη = ξθ => η = θ для
любых ξ, η, θ G ΜΣ. Сначала предположим, что ξ = [а] для некото-
рого a G Σ. Тогда α(ξη) = а2{а, α(η)) = ab е Σ для некоторого b G Σ,
удовлетворяющего условию b ^ a (r/). Отсюда получаем равенства
ab = α{ξη) = α(ξθ) = α{[α\θ) = α2(α, α(θ)) = ас
для некоторого с =^ α(θ). Из них следует, что Ъ = с^ а(0). Тогда суще-
ствуют такие элементы η', θ' G ΜΣ, что [b]r)' = η и [b]0' = θ. Как нам
известно, ω(ξη) есть единственный элемент х G Мг, для которого
ξη = [a(Çrj)]x = [ab]x. Так как
Сг? = [а][Ь]т7, = [аЬ]т?/,
мы имеем ω(ξη) = η''. Аналогично ω(ξθ) = θ''. Следовательно,
г/ = ω(ξη) = ω(ξθ) = θ' и η = [b]rj7= [Ь]07 = 0.
В общем случае ξ = [ai] [a2]... [ar], где ai, a2,..., ar G Σ1. Как мы
только что доказали, из равенства [аг] [а2]... [αΓ]η = [ai] [а2]... [аг] θ
следует, что [а2]... [αΓ]η = [а2]... [аг]0. Продолжая по индукции, мы
получаем η = θ. D
6.2.4. Проблема тождества слов в ΜΣ
Мы говорим, что подмножество Σ с M является взвешенным, если
существует такое отображение £ : Σ1 —> N, что £ (1) = 0,1 (a) > 1 для всех
а т^1 и£(а)-Н (b)=£(a + b) для тех a, b G Σ, для которых ab G Σ. Тогда
отображение £ продолжается до гомоморфизма моноидов ΜΣ —> Ν,
который превращает описанное выше задание моноида М^ образую-
щими и соотношениями во взвешенное. Если к тому же множество Σ
конечное, то п. 6.1.5 дает решение проблемы тождества слов и про-
блемы делимости в ΜΣ.
6.2.5. Проблема сопряженности в ΜΣ
Проблема сопряженности в группе G состоит в нахождении проце-
дуры, позволяющей для любых заданных элементов α, β EG решить,
существует ли такой элемент γ g G, что a = γ β γ'1, или, что эквива-
лентно, αγ = γβ. Обобщение этой проблемы на моноиды — проблема
сопряженности в моноиде М, которая состоит в нахождении проце-
дуры, позволяющей для любых заданных элементов а,Ь Ε Μ решить,

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 309
существует ли такой элемент с G М, что ас — cb. Следующая лемма
дает ключ к проблеме сопряженности в моноиде ΜΣ.
Лемма 6.7. Пусть моноид M и подмножество Σ с M удовлетворя-
ют условиям теоремы 6.5. Для любых заданных элементов a,b G ΜΣ
тогда и только тогда существует элемент с G ΜΣ, удовлетворяю-
щий условию ас — cb, когда существуют такие последовательности
ао = α, ai, ..., ar = b элементов моноида ΜΣ и сь ..., сг элементов
подмножества Σ, что
ai_i [cf] = [ci]at
для всех i = 1,..., г.
Доказательство. Если такие последовательности имеются, то
ас = сЪ для с = [ci] [с2]... [сг]. Обратно, пусть существует такой эле-
мент с G Μς, что ac = cb. Проведем индукцию по длине г нормальной
формы (сь...,сг) элемента с. Если г = 1, то с = [ci] и доказывать
нечего. Предположим, что г> 2. Так как
[ci] = [a(c)] ^ с =^ cb = ac,
мы имеем
Ci < a(ac) = a2(a, a(c)) = a2(a, a(ci)).
Поэтому
[ci] < [a2(a,a(ci))] =$aci.
Следовательно, существует такой элемент ai G M^, что [ci]ai = a[ci].
Имеем
[ci]ai[c2]... [cr] = a[ci] [c2]... [cr] = ac = cb = [ci] [c2]... [cr]b.
По лемме 6.6 мы можем сократить последнее равенство слева на [с{\.
В результате получим aie7 = c'b, где с' = [с2]... [сг] — нормальная фор-
ма длины г — 1. Мы можем применить предположение индукции. D
Лемма 6.7 доставляет решение проблемы сопряженности в ΜΣ.
Предположим, что моноид M и его подмножество Σ удовлетворяют
условиям теоремы 6.5 и что подмножество Σ конечное. Также пред-
положим, что моноид ΜΣ допускает конечное взвешенное задание
образующими и соотношениями (например, достаточно предполо-
жить, что подмножество Σ является взвешенным в смысле п. 6.2.4),
вследствие чего в ΜΣ разрешима проблема тождества слов. Чтобы
определить, сопряжены ли два элемента a,b g Μς (в том смысле, что
существует такой элемент с g Μς, что ас = cb), сначала заметим, что
вес сопряженных элементов в ΜΣ одинаков. Так как в ΜΣ имеется

310 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
только конечное число элементов с заданным весом, для элемента а
имеется только конечное число сопряженных к нему элементов. Лем-
ма 6.7 показывает, что для того, чтобы найти все такие элементы,
достаточно ко всем уже известным сопряженным к а элементам при-
менять всевозможные сопряжения на элементы из Σ, до тех пор пока
мы не перестанем находить новые элементы. Таким образом, мы полу-
чим некоторый конечный список аь ..., as элементов, сопряженных
к а в ΜΣ. Если Ъ = щ для некоторого i, то элемент Ъ сопряжен к а,
в противном случае элемент Ъ не сопряжен к а.
6.2.6. Обширные множества
Подмножество Σ с M называется обширным, если 1 G Σ и моно-
ид M обладает таким заданием образующими и соотношениями, что
все его образующие и реляторы принадлежат подмножеству Σ.
Лемма 6.8. Пусть Σ — такое обширное подмножество моноида М,
что все левые делители элементов из Σ также принадлежат под-
множеству Σ. Тогда гомоморфизм моноидов ρ : ΜΣ —» M является
изоморфизмом.
Доказательство. Так как множество Σ содержит множество обра-
зующих моноида М, гомоморфизм ρ сюръективен. Нам только нужно
доказать его инъективность. Сначала заметим, что если аь..., ап —
такие элементы подмножества Σ для п>2, что a = а\а2 ... ап G Σ, то
[а] = [ai][<22]... [an]. Действительно, элемент а\а2 является левым
делителем элемента а, и по условию леммы а\аг G Σ. По определе-
нию моноида ΜΣ мы имеем [ai] [(22] = [a^]. Продолжая рассуждать
по индукции, мы получим [ai][02]... [ап] = [а].
Далее рассмотрим задание (X\R) моноида M образующими и соот-
ношениями. Пусть Р: X* -> M — естественная проекция. По условию
леммы Р(х) G Σ для всех х е X и Р(г) = P(r') g Σ для всех (г, г') G R.
Определим гомоморфизм моноидов Q: X* —> ΜΣ по формуле Q(x) =
= [Р(х)] для х G X. Из сделанного выше замечания следует, что для
любого г €Х*, для которого Ρ (г) G Σ, имеет место равенство Q(r) =
= Р(г)]· Поэтому для любого соотношения (г, г') G R мы имеем
Q(r) = [P(r)] = [P(r')] = Q(r').
Отсюда следует, что существует такой гомоморфизм моноидов q : M —>
—» ΜΣ, что Q = qP. Тогда
qp([PM]) = q(PM) = Q M = [РШ

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 311
для всех х GX. А так как множество Р(Х) порождает моноид М, по-
лучаем, что qp — id. Поэтому гомоморфизм ρ инъективен. D
Лемма 6.8 показывает, что при соответствующих предположениях
на подмножество Σ имеет место изоморфизм ΜΣ = Ми все получен-
ные выше свойства моноида ΜΣ будут верны для моноида М.
Упражнение 6.2.1. Покажите, что (ai,..., ar) является нормальной
формой элемента из ΜΣ тогда и только тогда, когда (а;, щ+г) является
нормальной формой произведения [щ] [ai+i] для всех £ = 1, , г — 1.
Упражнение 6.2.2. Заметим, что для любого подмножества Σ с M,
для которого 1 G Σ, подмножество {[a]}aer моноида ΜΣ обширное.
Выведите отсюда следующее утверждение, частично обратное к лем-
ме 6.8: если гомоморфизм моноидов ρ : ΜΣ —> M является изоморфиз-
мом, то подмножество Σ обширное.
Упражнение 6.2.3. Проверьте, что для любого множества X под-
множество Σ = Χυ{1} свободного моноида M = X* является взве-
шенным, обширным и удовлетворяет всем условиям теоремы 6.5. Для
этих M и Σ проверьте непосредственно все утверждения, доказанные
в этом пункте.
§ 6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды
6.3.1. Группы частных
Гомоморфизм моноидов i : M —> G называется универсальным, если
G — группа и для любого гомоморфизма моноидов / моноида M в про-
извольную группу G' существует единственный гомоморфизм групп
g: G —> G', для которого / = gi. Каждый моноид M допускает некото-
рый универсальный гомоморфизм в группу. Чтобы убедиться в этом,
возьмем произвольное задание (X\R) моноида M образующими и со-
отношениями и рассмотрим группу G, определенную тем же самым
заданием (X\R) образующими и соотношениями. Тождественное отоб-
ражение idx : X —> X продолжается до гомоморфизма моноидов M-+G,
который, как легко видеть, универсален. Из определения универсаль-
ного гомоморфизма M -> G следует, что он единствен с точностью
до композиции с изоморфизмом групп. В частности, группа G кор-
ректно определена с точностью до изоморфизма. Эта группа называ-
ется группой частных моноида M и обозначается Gm· Задание группы
частных Gm образующими и соотношениями можно получить, взяв

312 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
произвольное задание моноида M образующими и соотношениями
и рассмотрев его как задание группы.
Моноид M называется вложимым, если существует некоторый
инъективный гоморфизм моноида M в группу. Ясно, что моноид M
тогда и только тогда вложим, когда универсальный гомоморфизм
M —> Gm инъективен. Например, вложение N <—> Ζ показывает, что
моноид N вложим. Легко видеть, что это вложение является универ-
сальным гомоморфизмом, поэтому Gn = Ζ.
Ясно, что вложимые моноиды обладают свойствами левого и пра-
вого сокращения. Например, моноид {1,х} с умножением хх = х не
обладает свойством левого сокращения (так как х φ 1), и потому он
не вложим. Группа частных этого моновда тривиальна.
6.3.2. Предгарсайдовы моноиды
Определение 6.9. Предгарсайдовым моноидом называется пара
(Μ, А), состоящая из моноида M и такого его элемента А, что множе-
ство Σ = ΣΔ всех левых делителей элемента Δ удовлетворяет следую-
щим условиям:
1) множество Σ конечное, порождает моноид M и совпадает с мно-
жеством всех правых делителей элемента Δ;
2) если элементы α,αΕ.Σ таковы, что Δα = Ab или а А = ЪА, то а = Ъ.
Элемент Δ е. M называется гарсайдовым элементом моноида М.
Заметим, что множество Σ всех делителей элемента А замкнуто от-
носительно левой и правой делимости, т. е. все левые делители и все
правые делители элементов множества Σ принадлежат множеству Σ.
Ясно, что 1 G Σ и Δ G Σ.
Примеры 6.10. Любое положительное целое число является гар-
сайдовым элементом моноида N. Моноид Nx не имеет гарсаидовых
элементов. Все элементы конечной группы гарсайдовы. Более инте-
ресные примеры будут даны в последующих параграфах.
Лемма 6.11. Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, α ΣαΜ —мно-
жество всех делителей элемента А.
1. Для всех ауЬ,сЕ: Σ если ас = be или са = cb, то а = Ъ.
2. Существует такая биекция δ : Σ —> Σ, что Δα = δ (а) А для всех
α<=Σ.
3. Если N — порядок биекции δ (m. е. минимальное положительное
целое число, для которого δΝ = id), то ΔΝα = αΔΝ для всех а е. M.

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 313
4. Для любого элемента а е. M существует такое положительное
целое число г, что а 4 А и А ^ а.
Доказательство. 1. Так как с g Σ, существует такой элемент deM,
что cd = Δ. Тогда из равенства ас = be следует αΔ = acd = bed = ЬЛ.
Значит, а = Ъ по условию 2 определения 6.9. Аналогично доказывается
импликация са = сЪ => α = b с помощью такого элемента е е M, что
ес = Л.
2. Так как любой левый делитель гарсайдова элемента А является
его правым делителем и обратно, для каждого элемента a G Σ суще-
ствуют такие элементы α', δ {a) G Σ, что Л = а'а и Л = δ (а)а'. В силу
утверждения 1 этой леммы элементы а7 и δ (а) определены единствен-
ным образом. Имеем
Δα = δ[α)α'α = δ (α) Α · (6.4)
Так как множество Σ конечное, для доказательства биективности
отображения δ : Σ -» Σ достаточно проверить, что оно инъективно.
Пусть δ (α) = ö(b), тогда
Δα = δ(α)Δ = δφ)Δ = Ab.
По условию 2 определения 6.9 из этого следует, что а — Ъ.
3. Индукцией по π мы получаем из равенства (6.4), что Апа =
= δπ(α)А для всех a G 27. (Здесь δη — η-кратная композиция отобра-
жения δ.) Так как δΝ = id, получаем, что ΔΝα = δΝ(α)ΑΝ = αΑΝ для
всех а е. Σ. Другими словами, элемент ΑΝ коммутирует с каждым эле-
ментом множества Σ. А так как это множество порождает моноид М,
элемент ΔΝ коммутирует со всеми элементами моноида М.
4. Запишем элемент а в виде произведения а — а\...аг, г > 1,
элементов множества Σ. Для каждого элемента at существует такой
элемент b; G Σ, что b^ai = Δ. Положим b = δΓ_1 (br)... δ(b2)bi. Мы утвер-
ждаем, что Ьа = А, откуда следует, что А ^ а. Действительно,
Ьа = δΓ-α(Μ... 5(b2)biai... аг = δ^Ον)... ö(b2) Az2 ... ar =
= ör-4br)... Ab2a2 ... ar = 5^(Ьг) · · · 52(Ь3)Л2а3 ... ar =
= δΓ_1 (br)... A2b3a3 ... ar = ... = A^lva,. = A.
Аналогичное доказательство показывает, что если ад = Δ для i =
" '""ГИ c = cr5-1(c^i)...5-(^1)(ci),
то ас = А. Таким образом, a =$ A. D

314 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.3.3. Вложимость предгарсайдовых моноидов
Пусть (Μ, А) — предгарсайдов моноид. При условии, что моно-
ид M обладает свойством левого сокращения, мы дадим явную кон-
струкцию группы частных моноида М. Отсюда будет следовать, что
моноид M вложим.
Пусть N > 1 — порядок биекции δ : Σ —> Σ". Согласно лемме 6.11
элемент ΑΝ G M является центральным. Рассмотрим произведение
H = М xN моноидов M и N с покоординатным умножением
(a,p)(b,q) = (ab, ρ + q)
для всех α, b е M и ρ, q G N. Нейтральным элементом моноида Я
служит (1,0).
Определим отношение ~ на моноиде Я, полагая (а, р) ~ (b, q),
если AqNa — ApNb. Например, (AN, 1) ~ (1,0). Покажем, что ~ яв-
ляется отношением эквивалентности. Рефлексивность и симметрич-
ность очевидны. Проверим транзитивность. Предположим, что (α, ρ) ~
~ (Ь, <?) ~ (с, г). Это значит, что AqNa = ApNb и ^rNb = Л^с. Следова-
тельно,
AqNArNa = ArNAqNa = ArNApNb = ApNArNb = ApNAqNc = Л^Лр]Ус.
Так как моноид M обладает свойством левого сокращения, мы можем
сократить обе части получившегося равенства на Δς]ν и получить
равенство ArNa = Z\pNc. Таким образом, (α, ρ) ~ (с, г).
Обозначим через G = Я/~ множество классов эквивалентности
и через π: Η -* G — соответствующую проекцию. Так как AN — цен-
тральный элемент в М, на множестве G имеется единственная струк-
тура моноида, для которой π — гомоморфизм моноидов. Определим
гомоморфизм моноидов i : M —> G по формуле i(a) = π (α, 0) для α G M.
Теорема 6.12. Пусть (М, Л) — предгарсайдов моноид, и пусть мо-
ноид M обладает свойством левого сокращения.
1. Построенный выше моноид G является группой, а гомоморфизм
i: M —> G инъективен.
2. Любой элемент группы G можно записать в виде i(A)si(a), где
seZuaeM.
3. Гомоморфизм моноидов i: M —> G универсален, поэтому G пред-
ставляет собой группу частных GM моноида М.
Доказательство. 1. Если i(a) = i(b) для a,b GM, то (α,0) ~ (b,0)
в Я. Отсюда следует, что α — А°а — А°Ъ = Ь. Инъективность гомомор-
физма i доказана.

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 315
Любой элемент g ^ G имеет вид п(а,р) для некоторых a G M
и ρ € N. Проверим, что произвольный элемент g = π(α,ρ) обратим.
По лемме 6.11 (4) существуют такой элемент b g M и такое целое
число г > 1, что ab — Аг. Умножая элемент b справа на некоторую
степень элемента А, мы можем считать, что г = qN для некоторого
целого числа q > р. Тогда
(а, р) (b, q - ρ) = (ab, q). (6.5)
Так как A°ab = Аг = AqNl, мы имеем (ab,q) ~ (1,0) и я(аЬ,д) =
= π(1,0) = 1. Тем самым показано, что элемент g = π(α, ρ) обладает
правым обратным, который мы обозначим через g'. В свою очередь
элемент g/ обладает правым обратным g" и
g=g(g'g") = (gS')g"=g".
Иными словами, элемент g' обратен слева к элементу g. Это доказы-
вает, что G — группа.
2. Обозначим через ξ центральный элемент (1, +1) Ε Я = M x N.
Положив α = 1, b = AN и ρ = q = +1 в равенстве (6.5), мы полу-
чим π(ξ)1(Α)Ν = 1. Отсюда следует, что π(ξ) = i(A)~N. Любой эле-
мент моноида Я имеет вид (а,р) = ξρ(α, 0) для некоторых α G M
и ρ G N. Поэтому каждый элемент группы G можно записать в виде
π(ξ)Ρ i(a) = i(A)-PN i{a), где α G M и ρ G Ν.
3. Для любого гомоморфизма / моноида M в группу G' рассмот-
рим отображение Я = M х N —> G', которое элементу (а, р) G M x N ста-
вит в соответствие f(A)~pNf(a). Это отображение постоянно на клас-
сах эквивалентности в Я и индуцирует гомоморфизм групп G=H/ ~ —>
—> G7. Композиция последнего гомоморфизма с вложением i : M —> G
равна /. Единственность гомоморфизма групп G —> G7 в классе таких
гомоморфизмов, композиция которых с i равна /, следует из того
факта, что множество i(M) порождает G как группу. D
Следствие 6.13. Предгарсайдовы моноиды, обладающие свойством
левого сокращения, вложимы.
Это следствие показывает, в частности, что для предгарсайдовых
моноидов из свойства левого сокращения следует свойство правого
сокращения.
Впоследствии мы будем отождествлять элементы предгарсайдова
моноида М, обладающего свойством левого сокращения, с их обра-
зами в группе частных Gm', в результате такой моноид M становится
подмножеством своей группы частных GM-

316 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.3.4. Проблема сопряженности в группе частных
Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, обладающий свойством
левого сокращения. Проблему сопряженности в его группе частных
G — Gm следующим образом можно свести к проблеме сопряженности
в моноиде М. Как мы знаем, для любых α, β е. G существуют такие
а, Ъ G M с G и 5, t G Ζ, что а = Asa и β = Alb. Возьмем такое целое
число и, что оно не превосходит min(s, t) и делится на число N из
леммы 6.11 (3). Положим а' = Л5_иа е M и Ь' = Z\t_ub € M. Ясно,
что а = Аиа' и β = Aub''. Мы утверждаем, что элемент а сопряжен
с элементом β в группе G тогда и только тогда, когда а' сопряжен с V
в моноиде М. Действительно, предположим, что о!с — сЪ' для некото-
рого с еМ. Так как и делится на N, элемент Ли является степенью
элемента ΔΝ, и потому это центральный элемент. Поэтому
ас = Лиа'с = ЛисЪ' = сАиЪ' = cß.
Обратно, если αγ = γ β для некоторого γ G G, το γ = Avc для некото-
рого с G M и некоторого целого числа υ, делящегося на N. Заменив
a,|3jB равенстве αγ = γ β их выражениями от а', Ъ\ с и использовав
центральность элементов AU,AV, мы получим
Аи^о!с = Au+Vcb'.
Сократив обе части этого равенства слева на Au+V, получим а'с = сЪ1.
6.3.5. Случай атомного моноида M
Для атомного моноида M утверждение 2 теоремы 6.12 допускает
следующую более тонкую формулировку.
Теорема 6.14. Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, и пусть мо-
ноид M нетривиален, обладает свойством левого сокращения и атом-
ный. Тогда любой элемент его группы частных G = GM э M можно
единственным способом записать в виде Asb, где 5 G Ζ и Ъ — элемент
из М, не являющийся правым кратным гарсайдова элемента А.
Доказательство. Сначала заметим, что \\А\\ > 0. Действительно,
если || А || = 0, то А = 1. Поскольку M — атомный моноид, из замеча-
ний в конце п. 6.1.3 следует, что ΣΔ = {1}. А так как множество ΣΔ
порождает моноид М, получаем, что M — {1}, что противоречит нетри-
виальности моноида М.
По теореме 6.12 любой элемент группы G имеет вид Asa, где
s G Ζ и a g M. Обозначим через t наибольшее неотрицательное целое

§6.4. Гарсайдовы моноиды
317
число, для которого ЛЧ α в М; такое число t существует потому, что
из условия А1 4 а следует, что
t||a|| < ||ДЧ| < M < оо.
Тогда а = А1Ъ для некоторого Ъ^М, удовлетворяющего условиям А ^ b
и Asa = As+tb. Поэтому указанное число t существует.
Предположим, что Asb = As'b' для некоторых 5, s' € Ζ и таких
Ь, Ь' € М, что А^Ь и А^Ь;. Мы можем считать, что s> s'. Разделив
обе части этого равенства на As>', мы получим As~sb = b'. Так как
элемент V не является правым кратным элемента А в М, получаем,
что s — s' = 0. Следовательно, s = s' и b = b', что доказывает единствен-
ность. D
Упражнение 6.3.1. Пусть (М, А) —предгарсайдов моноид, и пусть
моноид M нетривиальный, обладает свойством левого сокращения
и атомный. Докажите, что любой элемент группы частных GM можно
единственным способом записать в виде aAs, где 5 € Ζ и элемент аеМ
не является левым кратным гарсайдова элемента А.
Упражнение 6.3.2. Обобщите конструкцию группы G из п. 6.3.3
на произвольный предгарсайдов моноид (М, А). (Указание: определи-
те отношение ~ на Я, положив (а, р) ~ (b, q), если As+qNa = As+pNb для
некоторого 5 > 0. Заметьте, что получившийся гомоморфизм M —> G
тогда и только тогда инъективен, когда моноид M обладает свойством
левого сокращения.)
§ 6.4. Гарсайдовы моноиды
6.4.1. Определение и леммы
Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, и пусть Σ — множество всех
левых (и правых) делителей гарсайдова элемента А. Заметим, что,
поскольку множество Σ порождает моноид М, все атомы моноида M
принадлежат множеству Σ. Иными словами, все атомы моноида M
обязательно являются левыми делителями гарсайдова элемента А.
Определение 6.15. Пара (М, А) называется гарсайдовым моно-
идом, если моноид M атомный и для любых двух его атомов s и t
множество
{ае Σ: s =^а и t 4 a}
обладает некоторым минимальным (относительно =0 элементом Ast.

318 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
По лемме 6.3 минимальный элемент ASyt единствен. Отметим, что
As,t = AtjS G Σ, s ^ AS}t, t < ASit и
{a G Σ: s ^ a и t =$ a} = {a G Σ: AS}t ^ a].
Любой атом s G M является минимальным элементом множества
{a G Σ: s =4 α}, поэтому ASjS — 5.
Лемма 6.16. Если (M, A) — гарсайдов моноид, то множество Σ
удовлетворяет всем условиям теоремы 6.5.
Эта ключевая лемма позволяет нам применить результаты § 6.2
к гарсайдовым моноидам. Оставшаяся часть настоящего пункта по-
священа доказательству леммы 6.16. Нам нужно проверить, что мно-
жество Σ удовлетворяет условиям (*1)-(*з) теоремы 6.5. Условие (*i)
непосредственно следует из определения предгарсайдова моноида.
Условие (*2) было проверено в лемме 6.11. Проверка условия (*3) —
трудная часть доказательства. Начнем с двух лемм. В обеих леммах
мы предполагаем, что (М, А) — гарсайдов моноид, Σ — множество
всех левых (и правых) делителей гарсайдова элемента А и S с Σ —
множество всех атомов моноида М.
Лемма 6.17. Пусть Ε — непустое конечное подмножество монои-
да M, удовлетворяющее следующим двум условиям'.
1) если аеМ,Ъ Е.Е и а^Ъ,то aGE;
2) если аеЕ и s,t eS таковы, что as, at G Ε, то aAS}t G Ε.
Тогда множество Е обладает некоторым максимальным (относитель-
но =^0 элементом.
Доказательство. Пусть с — такой элемент множества Е, что ||с||
максимально (мы будем говорить, что элемент с имеет максимальную
в Ε высоту). Мы хотим показать, что Ε = {α G M : α =^ с}. По условию 1
этой леммы {a G Μ: α =^ с} с Е. Обратное вложение докажем от про-
тивного. Если оно не выполнено, то существует такой элемент Ь^Е,
что Ъ т^ с. Представим этот элемент Ъ в виде произведения атомов
Ъ — s\...sn для некоторого п, где s\,...,sn G S. Положим α = si...sjt,
где k < η — максимальное целое число, удовлетворяющее условию
а^4 с (возможен случай к = 0, тогда мы считаем, что а = 1). Ясно, что
α g Ε и что существует такой атом s^S (фактически s = sk+i), что as^E
и as ^ с. Среди всех элементов а с этими свойствами выберем элемент
максимальной высоты. Так как элемент с имеет максимальную высоту
в Е, получаем, что ||а|| < \\as\\ < ||с||, Отсюда, ввиду того что а ^ с,

§ 6.4. Гарсайдовы моноиды
319
следует, что существует такой атом teS, что at ^ с. Тогда непременно
t^s. Итак, мы имеем элементы a, as и at в множестве Е. По условию 2
имеем aASit G Ε, Из условий as ^ aASyt и as ^ с следует, что aAS)t ^ с.
Разложим элемент Л5/ в произведение
As,t = tqiq2 · -. <?m,
где qb..., qm G S. Существует такой номер i = 1,..., m, что
atqiq2 .·.çfi-i ^ с и atqiq2 ...qi^c
Положим α7=atqiq2... qi-i. Из включения aASytgE следует, что a', a!q{ G
GE. По выбору i мы имеем u/q* ^ с. Таким образом, элемент а' обладает
теми же свойствами, что элемент а. Вместе с тем \\а'\\ > \\at\\ > \\а\\,
что противоречит выбору а. D
Лемма 6.18. Для любых элементов а,Ъ G Σ множество
Е = {хеМ:х^аих^Ъ}сЕ
обладает некоторым максимальным (относительно ^) элементом.
Доказательство. Так как множество Σ конечное, множество Ε
также конечное. Ясно, что 1 G Ε и потому множество Ε непусто. Оче-
видно, что множество Ε удовлетворяет условию 1 леммы 6.17. Прове-
рим, что оно удовлетворяет условию 2. Нам нужно показать, что для
х G Ε если xs и xt являются левыми делителями обоих элементов а
и Ъ для некоторых s,t G S, то элемент xASjt также является левым
делителем элементов а и Ъ. Пусть элемент у G Σ таков, что ху = а.
По условию xs^a = xynxt^a = ху. По лемме 6.11 (1) из этого
следует, что s =^ у и t =4 у. По определению 6.15 имеем ASyt =^ у, следова-
тельно, xAS)t ^ ху = а. Аналогично xASjt ^ Ъ. Теперь можно применить
лемму 6.17, утверждающую, что множество Ε обладает некоторым
максимальным элементом. D
Теперь мы можем проверить условие (*з) теоремы 6.5. Возьмем
какие-нибудь элементы а, Ъ g Σ. Так как а =^ А, получаем, что А = аа'
для некоторого a' G Σ. По лемме 6.18 множество
{хеМ: х^а' их^Ъ} с Σ
обладает некоторым максимальным относительно =^ элементом с. Мы
утверждаем, что элемент с максимален в множестве
{xeM:x^bиaxeΣ}.
Действительно, по определению имеем с =^ а', откуда следует, что
ас ^ аа' = А, а значит, ас G Σ и элемент с принадлежит указанному

320 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
множеству. Покажем, что элемент с максимален в нем. Рассмотрим
произвольный элемент d из этого множества, т. е. d G Σ, d ^ b и ad G Σ.
Тогда ad ^ Δ = αα!', из чего по лемме 6.11 (1) (левой сократимости
в Σ) следует, что d^ а1. Поэтому элемент d принадлежит множеству
{х g M : х =^ а' и х ^ Ь}, значит, d ^ с. D
6.4.2. Обширные гарсайдовы моноиды
Гарсайдов моноид (Μ, Δ) называется обширным, если множество
Σ с M всех делителей гарсайдова элемента Δ обширно в смысле
п. 6.2.6. Выпишем свойства обширного гарсайдова моноида (М, А),
вытекающие из доказанных выше результатов.
1. Имеет место изоморфизм ΜΣ = M (лемма 6.8). Иными словами,
моноид M обладает заданием образующими [а], где а пробегает
множество Σ, и соотношениями [1] = 1 и [а][Ъ] = [ab] для всех
тех а,Ъ g Σ1, для которых ab G Σ.
2. Для любого элемента ае M существует единственный левый де-
литель а(а) G Σ элемента α, максимальный среди всех левых де-
лителей элемента а, лежащих в множестве Σ (теорема 6.5).
3. Любой элемент a G M единственным образом разлагается в произ-
ведение а — а\а2 ...аг некоторых элементов ai,a2,...,are. Σ\{1],
г > 0, удовлетворяющих условию а^ = afeai+i... ar) для всех i —
= 1,2,...,г (п.6.2.2).
4. Естественный гомоморфизм моноида M в его группу частных GM
инъективен (лемма 6.6 и следствие 6.13). В частности, моноид M
обладает свойствами левого и правого сокращения.
5. Если Μ Φ {1}, то любой элемент группы частных Gm э M можно
единственным способом записать в виде Asb, где s G Z и элемент
b G M не является правым кратным гарсайдова элемента Δ (тео-
рема 6.14).
6. Проблема сопряженности в группе частных Gm эквивалентна про-
блеме сопряженности в моноиде M (п. 6.3.4). Последняя проблема
разрешима, если моноид M обладает некоторым конечным взве-
шенным заданием образующими и соотношениями (п. 6.2.5).
6.4.3. Общие делители и кратные в гарсайдовых моноидах
Для любых к > 2 элементов ai,..., ак моноида M мы говорим, что
элемент d^M является левым наибольшим общим делителем (левым
НОД) элементов ai,..., ак, если d ^ а[ для всех i = 1,..., fc и d' ^ d

§6.4. Гарсайдовы моноиды
321
для любого элемента d' G M, удовлетворяющего условию d' ^ щ для
всех i = 1,..., к. Заменив =^ на ^=, мы получим аналогичное понятие
правого наибольшего общего делителя.
Мы говорим, что элемент m G M является правым наименьшим
общим кратным (правым НОК) элементов ai,..., а^, если α; =^ m для
всех i = 1,..., к и m ^4 т' для любого элемента m' g M, удовлетво-
ряющего условию ai ^ т! для всех i = 1,..., к. Имеется аналогичное
понятие левого наименьшего общего кратного. Для атомного моно-
ида M наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные
единственны, если только они существуют.
Условие в определении 6.15 можно переформулировать, сказав,
что любые два атома обладают некоторым правым наименьшим об-
щим кратным. Свойство 2 в п. 6.4.2 можно переформулировать, ска-
зав, что гарсайдов элемент А и любой элемент а^М обладают некото-
рым левым наибольшим общим делителем. Эти свойства гарсайдовых
моноидов можно обобщить следующим образом.
Теорема 6.19. Пусть (Μ, А)— обширный гарсайдов моноид. Тогда
любое конечное семейство элементов моноида M обладает единствен-
ным левым наибольшим общим делителем и единственным правым
наименьшим общим кратным.
Доказательство. Пусть Ъ,се.М. Рассмотрим множество
Ε = {a G M : α ^ b и α ^ с}.
Чтобы доказать, что элементы b и с обладают левым наибольшим
общим делителем в М, достаточно проверить, что множество Ε удо-
влетворяет условиям леммы 6.17. Условию 1 оно, очевидно, удовле-
творяет. Множество Ε конечное, так как ||а|| < ||Ь|| для любого а<ЕЕ,
поэтому элемент а является произведением не более чем ||Ь|| атомов
моноида М, а множество всех атомов моноида М, будучи подмноже-
ством множества Σ, конечно.
Проверим условие 2. Предположим, что заданы элемент a g E
и такие атомы 5, t GM, что as, ateE. Представим элемент b как b — ab\,
где b\ g M. Так как моноид М обладает свойством левого сокращения,
из условия as ^b = ab\ следует, что s =^ bi, a из условия at^b — ab\
следует, что t ^ Ъ\. Рассмотрим максимальный левый делитель а{Ъ\)
элемента Ъ\ в Σ. В силу его максимальности 5 =^ а{Ъ\) иГ^ а(Ъ\).
Поэтому ASft =^ a(bi) =$ Ъ\. Следовательно, ASyt ^ Ъ\ и aASyt ^ аЪ\ — Ъ.
Аналогично aASjt ^ с. Тем самым доказано, что aAS}t G E.

322 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Утверждение, что любое конечное семейство элементов моноида M
обладает левым наибольшим общим делителем, теперь легко доказы-
вается индукцией по мощности этого семейства.
Докажем существование правых наименьших общих кратных.
Пусть аь..., ак G M. Ввиду леммы 6.11 (4) существует такое целое
число г > 1, что щ ^ Аг для всех i — 1,..., к. Рассмотрим множество
X = {х G M : a.i =£ х ^ Аг для всех i = 1,..., к]. Так как множество всех
атомов моноида M конечное и все левые делители элемента Аг пред-
ставимы в виде произведения не более чем г||Л|| атомов, множество
всех левых делителей элемента Аг конечно. Поскольку оно содержит
множество X, множество X также конечное. Обозначим через m ле-
вый наибольший общий делитель всех элементов множества X. Мы
утверждаем, что m является правым наименьшим общим кратным
элементов аь..., ак. Действительно, элементы ai,..., ак являются ле-
выми делителями всех элементов множества X и потому левыми де-
лителями элемента т. Поэтому элемент m является общим правым
кратным элементов ai,..., ак.
Пусть т'—другое общее правое кратное элементов ai,..., ак. Обо-
значим через т" левый наибольший общий делитель элементов т!
и Аг. Проверим, что m" G X. Во-первых, т" =^ Аг. Во-вторых, так как
каждый элемент щ является левым делителем элементов m' и Аг, он
является левым делителем элемента m". Тем самым доказано, что
m" G X. По определению элемента m имеем m =$ τη". А так как m" =^ m',
получаем, что m =^ m', и наше утверждение доказано. D
Упражнение 6.4.1. Для a G Σ пусть а' е. Σ — элемент, однозначно
определенный равенством ао! = А. Пусть с—левый наибольший об-
щий делитель элементов а' и Ъ G Σ. Докажите, что с — максимальный
элемент множества {х е Σ : х 4 Ъ и ах g Σ}. (Указание: это доказатель-
ство содержится в доказательстве леммы 6.16.) Выведите из этого,
что ct2(a, b) — ас.
Упражнение 6.4.2. Пусть (М, А) — гарсайдов моноид, и пусть
Σ — множество всех делителей гарсайдова элемента А. Докажите, что
пара (Μς, [А]) является обширным гарсайдовым моноидом.
Упражнение 6.4.3. Пусть M — моноид с образующими х, у и опре-
деляющим соотношением хух = у2. Докажите, что пара (М,А = у3) яв-
ляется обширным гарсайдовым моноидом с атомами х, у. (Указание:
для различения элементов моноида M используйте гомоморфизмы
этого моноида в моноид N и в группу (a, b \ а2 = Ъ3 = 1).)

§6.5. Моноид положительных кос
323
§ 6.5. Моноид положительных кос
6.5.1. Задание образующими и соотношениями
Для η > 1 обозначим через Bj моноид, порожденный η — 1 обра-
зующими σ\, σ2,..., σπ_1 и соотношениями
GiGj — GjG{, если \i — j\>2,
GiGjGi — GjGiGj, еСЛИ \Î~j\ = 1,
где i,; = 1,2, ...,n — 1. Моноид В„ называется .моноидом положи-
тельных кос из π нитей, а его элементы — положительными косами6
из η нитей. По определению моноид В\ тривиальный. Моноид В^
порожден одной образующей σ\ и пустым множеством соотношений;
он изоморфен моноиду N неотрицательных целых чисел.
Данное выше задание моноида В* образующими и соотношени-
ями конечно и уравновешено по длине в смысле п. 6.1.4. В п. 6.1.5
дано решение проблемы тождества слов для моноида В„. Кроме того,
из леммы 6.4 следует, что моноид В^ атомный с атомами σ\,..., ση-\
и ||α|| = Î{a) для всех a € В+, где i : В+ —> N — гомоморфизм моноидов,
определенный формулой Ι {σ\) — 1 для i — 1,..., η — 1.
Положим
Лп = (<7i... σπ_2ση_1)(σ1... ση_2)... {σλσ2)σΙ g ßn.
Следующая теорема помещает моноид В+ в рамки теории гарсайдо-
вых моноидов и доставляет фундаментальный пример гарсайдовых
моноидов.
Теорема 6.20. Для всех η > 1 пара (ß+, Δη) является обширным
гарсайдовым моноидом.
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 6.5.3 с помошью
предварительных результатов из п. 6.5.2. В этом доказательстве мы
будем использовать терминологию и результаты из § 4.1. Применения
теоремы 6.20 будут обсуждены в п. 6.5.4.
6.5.2. Приведенные косы
Снова, как в §4.1, рассмотрим симметрическую группу 6„, состо-
ящую из всех перестановок множества {1,..., п}. Далее мы определим
отображение р: <5п->Вп как множеств. Рассмотрим простые транспо-
6 Коса тогда и только тогда положительная, когда ее можно представить некоторой
диаграммой косы без отрицательных перекрестков.—Прим. перге.

324 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
зиции si,..., s„_i е 6П. По определению простая транспозиция st пере-
ставляет местами элементы i и i +1, а остальные элементы множества
{1,..., п) оставляет неподвижными. Простые транспозиции порожда-
ют группу 6П, поэтому каждый элемент ш е6п можно выразить в виде
слова w=Si1Si2... Sfr, где i\, i2,..., ir G {1,..., π —1}. Если г минимально,
то это приведенное выражение и мы положим p{w) = σ^σ^ ...σΙ;..
По теореме 4.12 получаем, что p{w) есть корректно определенный
элемент моноида В*. Также определим гомоморфизм моноидов
π:Β+->6„
по формуле π(σ/) = Sj для всех i = 1,..., η — 1. Ясно, что π ο ρ = id,
откуда следует, что отображение ρ инъективно.
Положим Brnd = р{<Зп) сВ+. Это конечное множество мощности п\,
и ограничение гомоморфизма π : В^ —» 6П на подмножество ß„ed явля-
ется биекцией. Мы будем называть элемент моноида В„ приведенным,
если он лежит в В„еа. Атомы σ\... ση-\ моноида В„ —приведенные
элементы, так как сг£· = ρ (s;) для i = 1,..., η — 1.
Напомним, что в п. 4.1.3 была определена длина Я(ш) элемента
w G <5п как длина г любого приведенного выражения s^s^... Sir для
элемента w. Из определений ясно, что Α(π(α)) < £(α) для всех а G В+.
Дадим полезную алгебраическую характеризацию подмножества B„ed.
Лемма 6.21. Элемент а моноида В„ является приведенным тогда
и только тогда, когда Α(π(α)) = Ι (α).
Доказательство. Если а = р(ш) для некоторого w G 6n, то
*(а) = А(и/) = Я(я(а)).
Обратно, пусть α = σ^ ...σ1;. Gß+, где г = £(α) = Α(π(α)). Тогда π(α) =
= s^...Sir есть приведенное выражение в 6П и α = ρ(π(α)) GB^ed. D
Лемма 6.22. Любой левый или правый делитель произвольного
приведенного элемента из В„ является приведенным элементом.
Доказательство. Если а,Ъ £ВпиаЪ Gß„ed, то
1{а)+1{Ъ) =i(ab) = А(я(аЬ)) = А(тг(а)я(Ь)) < λ(π(α)) + λ(π(5)).
Так как i (α) > Α(π(α)) ni(b)> А(тг(Ь)), эти неравенства на самом деле
являются равенствами. По лемме 6.21 из этого следует, что a,bG B^ed.
D
Лемма 6.23. Для и, ν G 6П равенство ρ (и)ρ {υ) — p(uv) имеет
место тогда и только тогда, когда λ{μ) + λ(ν) = λ{μυ).

§6.5. Моноид положительных кос
325
Доказательство. Положим a=p(u)p(v)eB^. Мы имеем n(a)=uv
X(uv) = λ(π(α)) < 1(a) = i(p(u)) +1(рШ = A(u) + λ(ν).
Поэтому α GBrnd тогда и только тогда, когда X(uv) = Х(и) + λ(ν). С дру-
гой стороны, а G B„ed тогда и только тогда, когда а = ρ(π(α)) = p(uv).
Π
Напомним, что в п. 4.1.6 была определена перестановка ш0 =
= (п, п — 1,..., 2,1); это единственный элемент wq g Θη максимальной
длины. Легко проверить, что
Wq = (5i.. . Sn-2Sn-l)(s1. . . Sn-2) ... (SlS2)sb
Так как длина Я(шо) слова в правой части этого равенства равна
п(п —1)/2, это приведенный элемент. Поэтому
p(w0) = (аг... an_2an_i)(ai... ση-2)... (aia2)ai = Δη.
Таким образом, мы доказали, что Ап —приведенный элемент.
Лемма 6.24. Любой элемент моноида В„ тогда и только тогда
является приведенным, когда он является левым (или правым) дели-
телем элемента Ап.
Доказательство. Поскольку Ап — приведенный элемент, по лем-
ме 6.22 все его левые и правые делители являются приведенными
элементами.
Обратно, пусть a = p(n(a)) G ВТпа. Положим Ь = р(п(а)~гшо) G
G Brnd, и = π(α) nv = n(b) = n(a)~1Wo^ Имеем uv = wq- Следовательно,
по лемме 4.14 получаем
A(u) + λ(ν) = Я(шо).
Из этого равенства и леммы 6.23 следует, что ab = An. Следовательно,
а—левый делитель элемента Ап. Аналогичные рассуждения показы-
вают, что а — правый делитель элемента Ап. D
6.5.3. Доказательство теоремы 6.20
В п. 6.5.1 мы заметили, что моноид В„ атомный с атомами σ\,...,
ση-\. Докажем, что пара (В„, Ап) является предгарсайдовым монои-
дом, проверив условия 1 и 2 из определения 6.9.
По лемме 6.24 множество всех левых делителей элемента Ап сов-
падает с множеством всех правых делителей элемента Ап и совпадает
с множеством B„ed. Последнее множество конечно и содержит образу-
ющие ai,..., an-i моноида В„. Условие 1 проверено.

326 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Далее проверим условие 2. Вначале докажем, что Апа=АпЬ => а=Ь
для а, b €ß„ed. Применив гомоморфизм моновдов π : В„ —> &п, получим
п{Ап)п{а) = п(Апа) = п{АпЪ) = п{Ап)п{Ъ) G 6„.
Так как 6П — группа, получаем, что π (α) = я(Ь). Отсюда следует, что
а = р(тг(а)) = р(тг(Ь)) = Ь.
Аналогично доказывается импликация аАп = ЪАп =Ф а = Ь.
Для любых i, j G {1,..., η — 1} положим
ai, если i = j,
Α,* = <
σ;σ;·σ; = сг^о/, если |i — ;| = 1,
σ^σ; = GjGi, если |i — j\ > 2.
Положим 5ij = nicjij) G 6n. Легко проверить, что Sij = SiSj G 6n есть
приведенное выражение при \i — j\ > 2, а также что sy = 5î5/Sî € ΘΠ
есть приведенное выражение при \i — j\ = 1. Тогда ay = p(sy) G ß„ed
для всех i, j. Следовательно, множество Вг£а обширное.
Для завершения доказательства теоремы 6.20 остается проверить
условие из определения 6.15. Заметим, что α; =^ ay и α; =^ σ^; для всех
i,j. Мы утверждаем, что σ^ есть минимальный элемент в множестве
{a G ßifd : ax ^ a и о}· =$ а}.
Мы должны доказать, что для любого элемента a G ß„ed, удовлетворя-
ющего условиям а^аиа;·^a, имеем ay =^a. Случай i = j тривиален.
Рассмотрим случай гф j. Так как элементы множества ßjfd находятся
во взаимно однозначном соответствии с элементами группы <&п при
гомоморфизме π: Β+ —> 6П, достаточно установить, что если
w = π(α) =5/u = 5/У
для некоторых элементов u, i; G βη, удовлетворяющих условию A(u) =
= λ[υ) = Я(ш) — 1, то существует такой элемент w' G 6П, что w = sy u/
и А(ш') = А(ш) — A(sy).
Докажем последнее утверждение. Сначала заметим, что и Φ υ, так
как Si φ Sj. Рассмотрим для ν приведенное выражение s^^.s^, где
г = Я(ш) —1. Имеем
.5,-
Так как λ[μ) < λ{νυ), из теоремы 4.8 следует, что и получается из
SjS^...Sir вычеркиванием одной из образующих. Если эта вычеркну-
тая образующая — самая левая sj} то и — Si ... sir = ν, что невозможно.

§6.5. Моноид положительных кос
327
Значит, и = Sjiv', где
w' = sil...sip...sir,
и некоторая образующая Sip вычеркнута. Поэтому А (и/) < г — 1 =
= А(ш) — 2. Так как .
W — SiU =SiSjW ,
мы получаем, что А(ш') = А(ш)—2. Таким образом, наше утверждение
доказано в случае, когда \i — j\>2, т. е. когда stj = SiSj.
Далее рассмотрим случай |i — ;| = 1. Используя сделанные вычис-
ления, получаем
V — SjW = SjSiU = SjSiSjW' = SjSiSjS^ ...Si ...Sir.
Так как λ{υ) < λ{νυ) = г 4- 1, из теоремы 4.8 вновь следует, что υ
получается из SiSjS^...si ...Sir вычеркиванием одной из образующих.
Если эта вычеркнутая образующая — самая левая Si, то
v=sjsil...sip...Sir=sjw/ = и,
что невозможно. Если эта вычеркнутая образующая — образующая s,
во второй позиции, то
u = siSi1...sip...Sir=siw/.
Мы получили SiSjW' = w — SjV = SjSiiü', откуда следует, что SfS, = SjSi.
Но в рассматриваемом случае \i-j\-l это невозможно. Следователь-
но, ν = SiSjiv"', где w" получается вычеркиванием некоторой образую-
щей из w' — S[x... sip... Sir. Поэтому X(w") < г — 2 = А(ш) — 3 и
W — SjV = SjSiSjW" = Sijw".
Тогда, конечно, А(ш") = А(ш) — 3. D
6.5.4. Применения теоремы 6.20
По теореме 6.20 пара (Б^, Ап) обладает всеми свойствами обшир-
ных гарсайдовых моноидов; см. п. 6.4.2 и 6.4.3. Мы дадим здесь сводку
этих свойств.
1. Моноид В„ задается образующими [а], где а пробегает множе-
ство Brnd, и соотношениями [1] = 1 и [а][Ь] = [ab] для всех тех
a, be Brnà, для которых ab е B„ed. Используя биекцию ρ : Θη —> Br£a
и лемму 6.23, мы можем сделать вывод, что моноид В„ задается
образующими [и], где и пробегает симметрическую группу 6П,
и соотношениями [1] = 1 и [и][и] = [uv] для всех тех и, υ е. 6П,
для которых А(и) + λ(υ) — λ{μυ).

328 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
2. Любое конечное семейство элементов моноида В„ обладает един-
ственным левым наибольшим общим делителем и единственным
правым наименьшим общим кратным.
3. Любой элемент a G B„ имеет нормальную форму (ai, <i2,..., ar),
г > О, где ab a2,..., ar — единственные элементы из ß„ed \ {1}, для
которых a = aia2 ... ar и a; является левым наибольшим общим
делителем элементов щщ+г ...аг и Δη для всех i = 1,2,..., г.
4. Моноид ß„ вкладывается в свою группу частных. По определению
группа частных моноида В„ имеет то же самое задание образую-
щими и соотношениями, что и моноид В„, и есть не что иное, как
группа кос Вп. Таким образом, гомоморфизм моноидов В„ —» Бп,
отображающий Ji G ßj в ^ е Бп для всех i = 1,..., η — 1, инъек-
тивен. Впоследствии мы будем отождествлять моноид ß„ с его
образом в группе Вп.
5. При η > 2 любую косу β G Bn можно единственным способом
записать в виде ß = Asnb, где s G Ζ и элемент b G В+ с Вп не является
правым кратным косы Δη.
6. Проблема сопряженности в группе Вп эквивалентна проблеме со-
пряженности в моноиде В„ и может быть решена так, как описано
в п. 6.2.5.
Дополним этот список следующей теоремой.
Теорема 6.25. Любое конечное семейство элементов моноида В„
обладает единственным правым наибольшим общим делителем и един-
ственным левым наименьшим общим кратным.
Доказательство. Рассмотрим отображение rev: B„ —» В„, получа-
ющееся чтением слов от образующих σ\,..., ση-\ справа налево, т. е.
revCa^ ... σ^σ^) = σ^σ^ ... σ^σ^.
Это отображение определено корректно, поскольку определяющие
соотношения моноида В„, будучи прочитанными справа налево, дают
те же самые соотношения. Отображение rev является инволютивным
антиавтоморфизмом моноида В„ в том смысле, что rev2 = id, rev(l) = 1
и rev(ab)=rev(b)rev(a) для всех а,Ъ^В^. Ясно, что а^Ъ тогда и только
тогда, когда rev(a) ^ rev(b) для a, b Gß+. С помощью этих фактов легко
вывести существование правых наибольших общих делителей и левых
наименьших общих кратных из существования левых наибольших
общих делителей и правых наименьших общих кратных. Единствен-
ность следует из леммы 6.3. D

§6.5. Моноид положительных кос
329
Заметим, что гарсайдов элемент Δη G ß+ с Вп был определен как
коса в п. 1.3.3 (см. рис. 1.11 для η = 5).
6.5.5. Вычисления
Данное в свойстве 5 из п. 6.5.5 разложение β = Л„Ь любой косы
β GBn может быть вычислено в явном виде. Представим косу β некото-
рым словом от образующих аь ..., ση-\ и обратных к ним элементов.
Определим элементы Vi G ß+ формулами ν^σ; = Δη. Тогда σΓ1 = Δ^1 ν*.
В слове, представляющем косу β, заменим все вхождения букв σΓ1
на Δ^1 Vi и разложим все элементы Vi по образующим cri, ...,σ„_1.
Получившееся слово содержит только образующие σ± (но не обратные
к ним элементы) и отрицательные степени элемента Лп. С помощью
тождеств
σ^Δη = Anan-i, (6.6)
где i = l,..., π—1 (ср. с формулой (1.8) в § 1.3), мы можем передвинуть
все степени элемента Δη влево. Таким образом, мы получим разложе-
ние β — Δηο, где s G Ζ и b G B+. Если Ь не является правым кратным
элемента Δη, то это искомое разложение косы β. Если Δη < Ь, то
b = Δην, где b' eBn и β = Δη+1&. Заметим, что для проверки верности
условия Δn^b достаточно вычислить a(b) G Bned и посмотреть, верно
ли, что а(Ь) = Δη. Затем мы проверяем, верно ли, что Ъ' является
правым кратным элемента Δη, и т. д. Этот процесс останавливается
после не более чем 21 (Ъ)/(п(п — 1)) шагов.
Для примера применим эту процедуру к косе
β = σ-f 1σ2σ1σ^"2 G β4·
Как и в п. 6.1.5, обозначим через W{a) множество всех слов от аъ ...,
ση-1, представляющих элемент a G ß„. Из равенств
Δ4 = σ\σ2σ2σ\σ2σΙ = 0\0г0ъ0г0\02
мы получаем σ^1 = Δ~^Λg\G2(J->>v\02 и σ^1 = Δ~^0\0гаъ02&\. Следова-
тельно,
^ = (^41σ1σ2σ3σ"1σ2)(σ'2σ1)(Δ41σ1σ2σ3σ2σ1)(Δ41σ1σ2σ3σ2σ1) =
= (Δ'1 σΙσ2σ3σΙσ2)(σ2σ1)(Δ~2σ3σ2σ1σ2σ3)(σ1σ2σ3σ2σΙ)=Δ~3 abc2,
где
α = σ1σ2σ3σ1σ2, b = σ2σ1,
с = σ3σ2σ1σ2σ3 = σ1σ2σ3σ2σ1.

330 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Вычислим а{аЪс2), чтобы узнать, верно ли, что abc2 является пра-
вым кратным элемента А4. Заметим, что а, Ь и с являются приве-
денными косами. Согласно упражнению 6.4.1, так как са2 = А4, мы
имеем α (с2) = а2(с, с) = cd', где с' —левый наибольший общий дели-
тель элементов σ2 и с. Далее, множество W(c) состоит из шести слов
σ3σ2σ1σ2σ3, σ\σ2σ3σ2σ\, σ1σ3σ2σ3σ1,
σΙσ3σ2σ1σ3, a3aia2a3ab a3aia2aia3.
Поэтому с' — 1 и а(с2) = с. Из равенства Ь{о2о3о2о{) = Л4 мы получаем
а(Ьс2) = а2(Ъ, а{с2)) - а2(Ь, с) = ЪЪ',
где Ъ'—левый наибольший общий делитель элементов σ2σ3σ2σ! и с.
Далее,
W(a2a3a2ai) — {σ2σ3σ2σ1, σ3σ2σ3σ1, σ3σ2σ!σ3}.
Сравнивая с W(c), мы получаем b' — o3o20\. Следовательно, a(bc2) =d,
где d = σ2σ\σ3σ2σ\. Наконец, из равенства ασ\ = А4 следует, что
a(abc2) = а2(а, а(Ъс2)) = а2(а, d) = аа\
где а' —левый наибольший общий делитель элементов ai и d. Список
W(d) = \ο2σ\σ3σ2σ\, σ2σ3σ\σ2σ\, σ2σ3σ2σ\σ2,
σ3σ2σ3σ!σ2, σ3σ2σ!σ3σ2}
показывает, что a' = 1. Следовательно, a{abc2) = аф А4. Поэтому abc2
не является правым кратным элемента А4 и
β = Afabc2
есть искомое разложение косы /3.
Мы предлагаем читателю проверить, что нормальной формой
элемента abc2 является (a, d, е, Ь), где a, b, d определены выше ие =
= σ\σ2σ\σ3σ2.
Упражнение 6.5.1.
а) Дайте алгебраическое доказательство тождеств (6.6) в В„.
б) Докажите, что Ап является левым (и правым) наименьшим об-
щим кратным элементов аь ..., ση-\ в В„.
в) Докажите, что центр моноида В„ порожден элементом А2.
г) Покажите, что rev(An) — Ап.
д) Покажите, что rev(ß^ed) = Β^α. {указание: p{w~l) — rev(p(u/)) для
w G Θπ.)

§6.6. Обобщенные группы кос
331
§6.6. Обобщенные группы кос
Здесь мы определим обобщенные группы кос и обобщенные мо-
ноиды кос. Их определение непосредственно навеяно теорией групп
Коксетера. Начнем с краткого введения в теорию групп Коксетера.
6.6.1. Группы Коксетера
Матрицей Коксетера называется симметрическая матрица А =
= {as,t)s,t€S, где S — конечное множество, as,s = 1 для всехseS и aS}t €
€ {2,3,..., оо} для всех s Φ t e S. Каждой такой матрице А мы следую-
щим образом сопоставим некоторый граф ГА: его вершинами служат
элементы множества S, и вершины s,te.S соединены единственным
ребром, если aS)t > 3. В том случае, если as>t > 4, мы снабдим ребро,
соединяющее вершины 5 и t, меткой aSyt. Получившийся в результате
граф с метками называется графом с метками матрицы Коксетера Л.
Каждую матрицу Коксетера можно однозначно восстановить по ее
графу с метками.
Каждой матрице Коксетера А = (a5jt)5)tes мы также сопоставим
некоторую группу WA, следующим образом задав ее образующие и со-
отношения: ее образующими служат элементы множества S, a ее со-
отношения таковы:
(stT« = 1, (6.7)
где s, t пробегают все пары элементов множества S, для которых а5}1ф°о.
Так как as,5 = 1, соотношение (6.7) для s = t превращается в равен-
ство s2 = 1, которое эквивалентно соотношению s-1 = 5 для всех 5 G S.
Для 5 Ф t соотношение (6.7) можно переписать в виде
sts,., = tst..., (6.8)
ast множителей ast множителей
где 5, t пробегают множество S и обе части определены при 2 < aSyt < оо
и имеют aSjt множителей. Другими словами, группа WA порождена эле-
ментами множества S, подчиняющимися соотношениям s2 — 1 (5 g S)
и соотношениям (6.8). Группа WA называется группой Коксетера, ассо-
циированной с матрицей Коксетера А (или с графом с метками ГА).
Если S — {1,2,..., η — 1}, η > 1, и матрица А — (aij)ijes задана
формулой ,
1 при i = j,
аи=< 3 npH|i-j| = l, (6.9)
2 при |i-;| > 2,

332 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
то задание группы WA образующими и соотношениями совпадает с за-
данием (4.1) образующими и соотношениями для симметрической
группы &п. Таким образом, группы Коксетера обобщают симметриче-
ские группы.
Снова рассмотрим произвольную матрицу Коксетера А — {aSyt)Syt&s-
Ввиду соотношений s2 = 1 для 5 G S любой элемент w G WA может
быть представлен в виде произведения w = s\... sr элементов sb ..., sr
множества S. Минимальное число г в таком разложении элемента w
называется длиной элемента w и обозначается А(ш). Разложение w =
= si... 5Г, где г = Я(ш) и 5i,..., 5r G S, называется приведенным пред-
ставлением элемента w (вообще говоря, оно не единственно).
Нейтральным элементом группы WA является единственный эле-
мент длины 0. Элементы длины 1 в группе И^ суть в точности образу-
ющие 5 G S.
Многие свойства симметрических групп обобщаются на группы
Коксетера. Отметим следующее обобщение теоремы 4.12 (ее доказа-
тельство см. в статье [Mat64] и в книгах [Вои68, гл. IV, § 1, предл. 5],
[GP00, Sect. 1.2]).
Теорема 6.26. Пусть M—моноид, и пусть задано некоторое мно-
жестве его элементов xs€.M, s GS, удовлетворяющих соотношениям
XsXtXs · · . — XtXs%t · · ·
ast множителей ast множителей
для всех тех s,t eS, для которых 2 < as>t < оо. Для любого элемента
w G WA возьмем произвольное приведенное выражение w = si...sr. Фор-
мула ρ (ш) = xSl ... xSr корректно определяет отображение p:WA->M
как множеств,
В таблице 6.1 мы привели список графов с метками, состоящий
из четырех бесконечных семейств графов Ап (п > 1), ВСп {п > 2),
Ai (η > 4), him) {m = 5 и m > 7) и семи исключительных графов.
Нижние индексы в обозначениях графов в этой таблице указывают
на число вершин. Можно доказать, что все группы Коксетера, ас-
социированные с этими графами с метками, являются конечными
группами. Кроме того, любая конечная группа Коксетера является
прямым произведением некоторого конечного семейства групп Кок-
сетера, ассоциированных с графами из таблицы 6.1, см. [Вои68, гл. VI,
§ 1, п° 1] или [Hum90, Sect. 2.7]. Приведем также следующую лемму;
см. [GP00, Prop. 1.5.1].

§6.6. Обобщенные группы кос
333
Таблица 6.1
Графы конечных групп Коксетера
72(гл) о—о
Лемма 6.27. Группа Коксетера WA тогда и только тогда конечна,
когда существует такой элемент wq g Wa, что A(it>os) < A(wo) для
всех 5 € S. Такой элемент wq (если он существует) единствен и удовле-
творяет неравенствам Я(ш) < А(шо) для всех w G WA, w φ Wo.
Элемент wq g Wa называется самым длинным элементом группы
Коксетера WA.

334 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.6.2. Обобщенные моноиды положительных кос и группы кос
Для любой матрицы Коксетера А — (aS)t)Sjtes мы определим моно-
ид В\~ (соответственно группу ВА) как моноид (соответственно груп-
пу), порожденный элементами множества S и соотношениями (6.8).
(Отличие от WA состоит в том, что мы опустили здесь соотношения
s2 = 1, 5 G S.) Моноид Бд называется обобщенным моноидом положи-
тельных кос, ассоциированным с матрицей Коксетера А, а группа ВА
называется обобщенной группой кос, ассоциированной с матрицей
Коксетера Л. Из п. 6.3.1 следует, что группа ВА является группой
частных моноида B^.
По определению группа Коксетера WA является факторгруппой
группы ВА по нормальной подгруппе, порожденной элементами s2
для всех s g S. Ясно, что композиция
n:BX-*BA^WA
сюръективна. Когда А — матрица с элементами вида (6.9), мы имеем
ВА=Вп и ВА = Вп.
Описанное задание моноида В^ образующими и соотношениями
конечное и уравновешено по длине в смысле п. 6.1.4. Поэтому п. 6.1.5
дает решение проблемы тождества слов и проблемы делимости для
моноида Вд. Из леммы 6.4 следует, что моноид ß+ атомный, его ато-
мами являются 5 G S и ||a|| = t(a) для всех a G B^, где t : B\~ —> Ν —
гомоморфизм моноидов, определенный по формуле i (s) — 1 для всех
5 G S. Ясно, что моноид Вд тривиален тогда и только тогда, когда S = 0.
По теореме 6.26 существует единственное отображение ρ : WA —>
—>Вд как множеств, для которого ρ (ш) =si... sre.B^, где w =si... sr —
произвольное приведенное выражение. Ясно, что пор— iawA, где
π: Вд —> Wa — проекция. Следовательно, отображение ρ инъективно.
Положим Вда = p(Wa) с Вд. Мы будем говорить, что элемент мо-
ноида В^ приведенный, если он лежит в BrAed. Например, нейтральный
элемент и образующие s g S моноида B\~ — приведенные элементы.
Также заметим, что Α(π(α)) < i{d) для всех a G B^.
Следующая лемма обобщает леммы 6.21-6.23 и доказывается ана-
логично.
Лемма 6.28. 1. Элемент a G B\~ является приведенным тогда
и только тогда, когда Α(π(α)) = £(α).
2. Все левые делители и все правые делители любого приведенного
элемента из В^ являются приведенными элементами.

§6.6. Обобщенные группы кос
335
3. Для и, ν G WA тогда и только тогда имеет место равенство
ρ (и)ρ (ν) = p(uv), когда λ(μ) + λ(υ) — λ(υ.ν).
Предположим теперь, что группа WA конечная. По лемме 6.27
существует единственный элемент woGWA максимальной длины. По-
ложим А = р(шо) € ВА. Следующая лемма обобщает лемму 6.24 и до-
казывается аналогично.
Лемма 6.29. Любой элемент моноида ВА тогда и только тогда
является приведенным, когда он является левым {или правым) дели-
телем элемента А.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему этого пункта.
Теорема 6.30. Пусть А — произвольная матрица Коксетера, для
которой ассоциированная группа WA конечная. Тогда пара (ВА, А) яв-
ляется обширным гарсайдовым моноидом.
Доказательство. Мы уже заметили, что моноид ВА атомный. Так
как обе части соотношения (6.8) представляют приведенные выраже-
ния в WA, множество ВАа обширно. Доказательство условий 1 и 2
из определения 6.9 воспроизводит соответствующую часть доказа-
тельства теоремы 6.20 с очевидными изменениями. Остается прове-
рить условие из определения 6.15. Для s,teS положим
A>,t — \ sts . „ = tst..., если s Φ t.
множителей
Элемент AS}t принадлежит подмножеству BTAed и является правым об-
щим кратным элементов s и t. Мы утверждаем, что ASyt ^ a для любого
a G BAed, удовлетворяющего условиям 5 =^ а и t =^ а. Так как элементы
подмножества ВТАеа находятся во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы WA при отображении π : ВА —> WA, достаточно
установить, что если w = π (α) = su = tv для некоторых и, υ е WA,
удовлетворяющих условию A(u) = λ{υ) = А(ш) — 1, то существует
такой элемент ш' е WA, что w = n{AS)t)w/ и A(u/) = Я(ш) — Α(π(Λ^)).
Это сводит наше утверждение к некоторому утверждению о груп-
пах Коксетера. Его доказательство см. в книге [GP00, Sect. 1.1.7 и
Lemma 1.2.1]. D
Из теоремы 6.30 следует, что если группа WA конечная, то пара
(Вд, А) обладает всеми свойствами обширных гарсайдовых моноидов,

336 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
которые были сформулированы в п. 6.4.2 и 6.4.3. Мы дадим здесь
сводку этих свойств.
1. Моноид #J задается образующими [а], где а пробегает множество
Вда, и соотношениями [1] = 1 и [а] [Ъ] = [ab] для всех тех α, b €ß^ed,
для которых ab е ß^ed. Используя биекцию ρ : WA —> ß^ed и лем-
му 6.28 (3), мы можем сделать вывод, что моноид Вд задается
образующими [и], где и пробегает группу WA, и соотношения-
ми [1] = 1 и [и] [υ] = [1ш] для всех тех и, υ е WA, для которых
λ(μ) + λ(υ)=λ(μυ).
2. Любое конечное семейство элементов моноида Вд обладает един-
ственным левым наибольшим общим делителем, единственным
правым наибольшим общим делителем, единственным левым наи-
меньшим общим кратным и единственным правым наименьшим
общим кратным. (Существование правого наибольшего общего
делителя и левого наименьшего общего кратного доказывается
аналогично теореме 6.25 с помощью инволютивного антиавто-
морфизма моноида £д, поточечно неподвижного на S.)
3. Любой элемент а € ß+ имеет нормальную форму (ai,..., ar), г > О,
где ai,..., ar — единственные элементы из ß^ed \ {1}, для которых
a = ai... ar и at является левым наибольшим общим делителем
элементов aiai+\... ar и А для всех i = 1,2,..., г.
4. Естественный гомоморфизм моноидов ß^ —► βΛ инъективен.
5. Если S Φ 0, то любой элемент β £ВА можно единственным спо-
собом записать в виде β = Asb, где s € Ζ и элемент Ъ € ß^ с ВА
не является правым кратным элемента А.
6. Проблема сопряженности в группе ВА эквивалентна проблеме со-
пряженности в моноиде В а и может быть решена так, как описано
в п. 6.2.5.
6.6.3. Теорема Брискорна
В п. 1.4.3 мы интерпретировали группу кос Артина Вп как фун-
даментальную группу некоторого конфигурационного пространства.
Здесь мы дадим аналогичную интерпретацию обобщенной группы
кос ВА} ассоциированной с матрицей Коксетера А = (aS)t)S}teS·
Начнем с того, что отождествим группу Коксетера WA, ассоци-
ированную с матрицей Коксетера А, с некоторой группой матриц.
Пусть V — вещественное векторное пространство с базисом {es}s(=s,
индексированным множеством S. Определим симметрическую били-

§6.6. Обобщенные группы кос
337
нейную форму ( , ) на V по формуле
(es, et) = - cos ^- = cos(n --£-),
us,t ч as,tJ
где мы считаем, что n/aS)t = О, если as>t = оо. В частности, мы имеем
(е5) es) = cos(O) = 1 для всех s € S.
Для каждого s € S определим эндоморфизм μ5 пространства V
по формуле
Ms(i;) = i;-2(es,i;>es,
где уеУ. Так как (es, es) φ О, подпространство Hs = {ν € У : (es, υ) = 0},
ортогональное к вектору es, является гиперплоскостью, не содержа-
щей вектор es. Имеет место ортогональное разложение
V = Hs®Res.
Так как μ5(β5) = — es и μ8{ν) = ν для всех υ € Hs, эндоморфизм μ5
инволютивен и равен ортогональному отражению относительно ги-
перплоскости Hs.
Лемма 6.31. Для всехs,tsS порядок композиции μΒμ1 равен aS)t.
Доказательство. 1. Если aSyt = оо, то
^μ^^) = μ5(ε5 -h 2et) = -es + 2(et + 2es) = 3es + 2et
и
(Psßt)(ßt) = -Msfe) = ~2es -et.
Отсюда следует, что композиция μ^ неподвижна на векторе es + et.
Используя этот факт и равенство
(jXsVt){es) = es + 2(es -h et),
легко проверить по индукции, что
(μ5μΛΓ(β5) = es + 2r(es + et)
для всех г > 0. Это показывает, что композиция μ5μ,; имеет бесконеч-
ный порядок.
2. Выше мы заметили, что μ5 — инволюция. Поэтому при s = t
порядок композиции μ$μΖ = μ| равен 1 = aS)S.
3. Остается рассмотреть случай, когда s Φ t и aS)t < °°· Заметим,
что композиция μ5μυ поточечно неподвижна на Hs Π Ht и оставляет
инвариантным двумерное подпространство nSjt с V, натянутое на век-
торы es и et. Имеем V = (Hs П Ht) θ nS)t. Ограничив симметрическую

338 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
билинейную форму ( , ) на nS}t, мы получим симметрическую били-
нейную форму
(es,es> (es,et)\ = f 1 -cos(7i/as>tA
(es,et) {et,et)J \-cos{n/aStt) 1 J'
Из неравенств 2 < aSjt < oo следует, что 0 < cos{n/aSft) < 1, а значит,
последняя билинейная форма положительно определена. Поэтому
мы можем рассматривать TISit как евклидову плоскость, в которой
векторы es и et имеют норму 1, а угол между ними равен π — n/aS)t.
Хорошо известно, что композиция двух плоских отражений является
вращением на угол, равный удвоенному углу между векторами, опре-
деляющими эти отражения. Значит, ограничение композиции μ5μ1
на плоскость IJS}t представляет собой вращение на угол 2n — 2n/aS)t =
= —2n/aS)t (mod 2π). Поскольку композиция μ5μ^ поточечно непо-
движна на Hs Π Ht) ее порядок равен aS)t. D
Ввиду этой леммы отражения μ5 удовлетворяют соотношениям (6.7).
Следовательно, имеется гомоморфизм групп μ: WA —> Aut(V), опреде-
ленный по формуле μ(5) = μ5 для всех s G S. Можно показать, что μ
есть инъективный гомоморфизм на некоторую дискретную подгруппу
группы Aut(V). Он реализует группу WA как группу матриц, порож-
денную отражениями.
До конца этого пункта мы будем предполагать, что группа Коксе-
тера W = WA конечная. Пусть {Щ}^ — множество всех гиперплос-
костей пространства V, являющихся образами гиперплоскостей Hs
(s G S) при автоморфизмах пространства У, лежащих в подгруппе
μ(Η0 с Aut(V). Так как группа W конечна, множество {Hi}ieI также
конечное.
Обозначим через Vе = V <8>к С комплексификацию вещественного
векторного пространства V. Действие μ группы W на вещественном
пространстве V продолжается до некоторого действия группы W на
комплексном пространстве Vе комплексно-линейными автоморфиз-
мами. Рассмотрим комплексные гиперплоскости
Hf = Hi®RCcVc
для i G /. Так как действие группы W на вещественном простран-
стве V переставляет гиперплоскости {Щ}^, ее продолженное дей-
ствие на комплексном пространстве Vе переставляет комплексные ги-
перплоскости {НР}1€/. Следовательно, мы получаем действие группы W

Замечания
339
на множестве
E = Vc\\jHf.
iel
Это открытое подмножество в комплексном векторном пространстве Vе,
и потому оно является комплексным многообразием комплексной
размерности card(S).
Группа W действует на многообразии Ε гомеоморфизмами, не име-
ющими неподвижных точек и сохраняющими комплексную структуру.
Факторпространство W\E естественно наследует структуру комплекс-
ного многообразия размерности card(S). Проекция Ε —> W\E являет-
ся неразветвленным накрытием. Так как комплексные гиперплоско-
сти Hf имеют вещественную коразмерность 2 в Vе, многообразия Ε
и W\E связны.
Зафиксируем какую-нибудь точку
peVnE = V\[JHi.
iel
Для каждого s e S рассмотрим ломаную линию в Vе, последователь-
но соединяющую вершины ρ, ρ + V—îp, μ5(ρ) + V—ïp и μ5(ρ). Эта
ломаная линия лежит в Ε и проектируется в некоторую петлю в W\E,
начинающуюся и заканчивающуюся в проекции ρ е W\E точки р.
Эта петля представляет некоторый элемент фундаментальной группы
ni(W\E,p), который мы обозначим через 5.
Теорема 6.32 (Брискорн). Отображение S —» n\(W\E,p), s *-* s,
индуцирует изоморфизм групп ВА = ni(W\E,p).
Доказательство см. в статьях Брискорна [Bri71] или Делиня [Del72].
Эти авторы также доказали, что многообразие W\E асферично, т. е.
все его высшие гомотопические группы равны нулю; см. [Del72], [Bri73].
Так как Е—> W\E является накрытием, многообразие Ε также асферично.
Его фундаментальная группа изоморфна ядру проекции ВА —> W = WA.
Это ядро обобщает группу крашеных кос Артина.
Замечания
Проблема тождества слов в группах кос впервые была решена
Артином; см. [Art25]. Гарсайд (см. [Gar69]) определил моноиды по-
ложительных кос и изучил их свойства. Это привело его к новому
решению проблемы тождества слов и к решению проблемы сопряжен-
ности в группах кос. Он также распространил эти результаты на неко-

340 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
торые обобщенные моноиды положительных кос. Деорнуа и Парис
(см. [DP99]) абстрагировали идеи, содержащиеся в статье [Gar69],
и определили понятие гарсайдова моноида. При написании этой гла-
вы мы использовали следующие источники: [DP99], [Mic99], [GP00],
[Deh02], [BDM02]. Данное в этой главе определение (пред)гарсайдова
моноида немного отличается от определений, предлагаемых в этих
работах.
Систематическое изучение обобщенных моноидов положительных
кос и обобщенных групп кос, ассоциированных с конечными группам
Коксетера, было предпринято Брискорном (см. [Bri71], [Bri73]), Бри-
скорном и Сайто (см. [BS72]) и Делинем (см. [Del72]). Обобщенные
группы кос также называются группами Артина или группами Арши-
на— Титса. В литературе также можно найти выражение группы кос
сферического типа, означающее обобщенные группы кос, ассоцииро-
ванные с конечными группами Коксетера. Теорема 6.26 принадлежит
Мацумото; см. [Mat64]. Теорема 6.32 была высказана в качестве ги-
потезы Ж.Титсом и впервые доказана Брискорном; см. [Bri71]. Опи-
сание обобщенных групп кос в терминах диаграмм кос можно найти
в статье [А1102].

Глава J
Порядок на группах кос
Основная цель этой главы — показать, что группы кос обладают
естественным линейным порядком.
§7.1. Упорядочиваемые группы
В этом параграфе мы изложим общие сведения об упорядочивае-
мых группах. Все группы будут записываться мультипликативно, и их
нейтральные элементы будут обозначаться символом 1.
7.1.1. Порядки
Порядком на множестве X называется отношение < между эле-
ментами этого множества, обладающее следующими свойствами для
всехх, у, z €Х:
1) (рефлексивность) х < х;
2) (антисимметрия) (х < у) и (у < х) => (х = у);
3) (транзитивность) (х < у) и (у < z) => (х < z).
Мы также будем писать у> х вместо х < у. Мы пишем х < у или,
что эквивалентно, у > х, если х < у и х φ у. Ясно, что не существует
таких элементов х,у е.Х, что одновременно х < у и у < х.
Порядок называется линейным, если для любых х,у е X имеет
место одна из трех возможностей: либо х = у, либо х < у, либо х > у.
Отображением, сохраняющим порядок (а также монотонным или изо-
топным), из упорядоченного множества (X, <) в упорядоченное мно-
жество (X', <7) называется такое отображение / : X —> X', что для лю-
бых элементов х, у € X, для которых х < у, выполняется неравенство
/(*)<'/00-

342
Глава 7. Порядок на группах кос
7.1.2. Основные сведения об упорядочиваемых группах
Порядок < на группе G называется левоинвариантным (соответ-
ственно правоинвариантным), если
х < у => zx < zy (соответственно х < у ^> xz < yz)
для всех x,y,zeG. Порядок на группе, являющийся одновременно лево-
инвариантным и правоинвариантным, называется биинвариантным.
Группа называется упорядочиваемой, если она обладает некото-
рым левоинвариантным линейным порядком. Заметим, что группа G
с левоинвариантным линейным порядком < также обладает право-
инвариантным линейным порядком <', который определяется для
х, у G G по правилу х <' у, если х-1 < у-1.
Например, аддитивная группа поля вещественных чисел R упоря-
дочиваема, так как стандартный линейный порядок на R левоинвари-
антен. Ясно, что все подгруппы упорядочиваемой группы упорядочи-
ваемы.
Следующие конструкции позволяют строить из упорядочиваемых
групп новые упорядочиваемые группы.
Лемма 7.1.1. Пусть G\,..., Gr —упорядочиваемые группы. Тогда их
прямое произведение G\ х ... х Gr является упорядочиваемой группой.
2. Пусть G — группа и H — ее нормальная подгруппа. Если на H и
G/H имеются левоинвариантные линейные порядки, то на группе G
имеется единственный левоинвариантный линейный порядок, для ко-
торого вложение H c-^ G и проекция р: G —> G/H сохраняют порядок.
Кроме того, если левоинвариантные линейные порядки на H и G/H
биинвариантны и zxz'1 > 1 для всех z G G и тех хеЯ, для которых
х > 1, то определенный этими порядками левоинвариантный линей-
ный порядок на группе G биинвариантен.
Доказательство. 1. Пусть <i —левоинвариантный линейный по-
рядок на группе Gf. Определим отношение < на прямом произведении
G = Gi х ... х Gr, полагая (xi,..., xr) < (уь ..., yr), если либо Χ; = у для
всех i € {1,..., г}, либо найдется такой номер i е {1,..., г}, что х;· = у;
для всех j < i и xt <t у. Легко проверить, что это отношение является
порядком на G. Он называется лексикографическим порядком. Так как
порядки на Gi,..., Gr линейные, лексикографический порядок на G
также линейный. Докажем, что он левоинвариантен. Возьмем в G три
элемента
X = (Xi, . . . , Хг), у = (уЬ . . . , уг), Ζ = (%ь . . . , Zr).

§7.1. Упорядочиваемые группы
343
Если х < у, то найдется такой номер i е {1,..., г}, что Xj = 35 для всех
j < i и Xi <i у{. Поэтому ZjXj = Zjyj для всех j < i и ^х; <i s^ ввиду
левой инвариантности порядка <;. Следовательно, zx < zy.
2. Определим отношение < на группе G, полагая х < у, если
либо р(х) < ρ (у) для заданного порядка на G/H, либо р(х) = ρ (у)
и х~1у > 1 для заданного порядка на Я (заметим, что если р(х) = р(у),
то х_1у е Я). Легкое упражнение — проверить, что тем самым опре-
делен левоинвариантный линейный порядок на группе G. Кроме того,
любой левоинвариантный линейный порядок на G, относительно ко-
торого отображения Я ^-> G и ρ : G —> G/Я сохраняют порядок, непре-
менно имеет такой вид.
Предположим, что заданные на Я и G/Я линейные порядки би-
инвариантны и zxz~l > 1 для всех z e G и тех х е Н, для которых
х > 1. Проверим, что порядок < на G правоинвариантен. Пусть х < у
для х, у e G. Так как порядок на G/H правоинвариантен, из условия
р(х) < ρ (у) следует, что
p{xz) = p{x)p{z) < p{y)p{z) = p(yz)
для всех zeG. Следовательно, в этом случае xz <yz. Если р{х) —р{у)
и х~1у > 1, то
p(xz) = р(х)рО) = рО)рО) = p{yz)
и
(«r1(yz) = z-1(x"1y)z>l,
так как по условию сопряжение сохраняет элементы х > 1. Следова-
тельно, и в этом случае тоже xz < yz. D
Из леммы 7.1 и упорядочиваемое™ группы M следует, что все
конечномерные вещественные векторные пространства и их аддитив-
ные подгруппы упорядочиваемы.
Не все группы упорядочиваемы. Например, конечная группа упо-
рядочиваема тогда и только тогда, когда она тривиальна (см. также
предложение 7.5).
7.1.3. Положительный конус
Для любого подмножества 9 группы G определим
@>-l = {xeG:x~le&)
и
2?1 — {zeG: существуют такие х,у е 0Р, что z = ху].

344
Глава 7. Порядок на группах кос
Лемма 7.2. Для любого подмножества 9 группы G выполняются
импликации
9П{1} = 0 <=> 9~гп{1} = 0 <= 9п9~г=0.
Если 92 с 9, то 9 Π {1} = 0 => 9 Π й*-1 = 0.
Доказательство. Если 1 G <?, то 1 = I-1 G й*-1. Это доказывает,
что^-1П{1} = 0=>^П{1} = 0. Заменив здесь 5* на9~1, мы получим
обратную импликацию.
Для доказательства импликации 9 Π 5*-1 = 0 => ^ Π {1} = 0 мы
проверим, что ^ Π {1} ^ 0 => 9 Π^_1 ^ 0. Если 9 η {1} ^ 0, то 1G ^
и 1 = I-1 G 9~1. Следовательно, 1е9 П9~г.
Чтобы доказать последнее утверждение этой леммы, мы проверим,
что 9 Π9'1 ф0=>9п{1}ф0. Если хе9П9'1, то х-1 g 5* η9'1.
Поэтому 1 = хх-1 G 92 с 9. Следовательно, 9 Π {1} ф0. □
Лемма 7.3. Пусть на группе G задан левоинвариантный поря-
док <. Положим 5* = {x G G : х > 1}. Тогда 9~г = {x G G : x < 1}, ^2 с 9
и 9 Π {1} = «g2*-1 Π {1} = ^ Π 9~1 = 0. Если порядок < линейный, то
9\J{1}U9~1 = G.
Доказательство. Если хе9~г,то х-1 g <?, поэтому 1 <х-1. Умно-
жив это неравенство слева на х, мы получим х<1. Аналогично из нера-
венства х < 1 следует, что 1 = х_1х < х_11 = х-1, поэтому х-1 G 9
и х G 9~l. Это доказывает, что 9~l = {x g G: x < 1}.
Из аксиомы антисимметрии следует, что 9 h^-1 = {xgG:x<1}
не пересекаются. Дизъюнктность этих подмножеств с множеством {1}
вытекает из определения отношения <.
Если х,у G 9, то ху > xl = х > 1, поэтому ху G 9. Итак, 92 с 9.
Если порядок < линейный, то для любого xeG непременно имеем
либо х > 1, либо х = 1, либо х < 1. Поэтому 9 U {1} U 9~1 = G. Π
Определенное в этой лемме множество ^ = {xgG:x>1} на-
зывается положительным конусом, ассоциированным с порядком <.
Элементы множества 9 называются положительными относительно
порядка <. Следующая теорема показывает, что любой левоинвари-
антный линейный порядок на группе можно восстановить по его
положительному конусу.
Теорема 7.4. Пусть 9 — такое подмножество группы G, что
92с9 и1ф9. Тогда на группе G существует единственный левоинва-
риантный порядок <, для которого ^={xgG:x>1}. Если z9z~ld9

§7.1. Упорядочиваемые группы
345
для всехzeG,mo порядок < биинвариантен. Если 9 и {1} U 5*-1 = G,
то порядок < линейный.
Доказательство. Сначала докажем единственность порядка. В си-
лу левой инвариантности неравенство х < у эквивалентно неравен-
ству 1 = х~1х < х-1у. Последнее же неравенство эквивалентно вклю-
чению х~гу g 9. Это доказывает, что левоинвариантный порядок
на группе G с положительным конусом 9 непременно определяется
формулой _
х<у <=» (х = у илих Ly е&>). (7.1)
Далее мы докажем существование. По лемме 7.2 из условий 92 с
с9 и 1£9 следует, что 9 Π{1} = 9~г П{1}=9П9~1 = 0. Определим
бинарное отношение < на группе G по формуле (7.1). Проверим,
что оно удовлетворяет аксиомам порядка. Рефлексивность следует
из определения.
Антисимметрия. Если х < у и у < х, то либо х = у, либо x~ly G 9
и у-1* s 9. Так как у-1* = (х"1у)~1, во втором случае мы получаем
х-1у G9 Г\9~г = 0 — противоречие. Следовательно, х = у.
Транзитивность. Если х_1у, у-1* G ^, то x_1z = (x~1y)(y~1z) G
G^2 C^.
Покажем, что порядок < левоинвариантен. Возьмем два элемента
х,у eG, для которых х < у. Тогда либо х = у, либо х_1у G <P. Если
х=у, то zx = 2у для всех zeG. Если х-1у g9, то (юс)-1 (зу) =х-1у £9.
В обоих случаях zx < 2у.
Предположим, что z^z-1 с ^ для всех zeG. Возьмем два элемен-
та х, у G G, для которых х < у. Тогда либо х = у, либо х_1у G ^. Если
х = у, то xz = yz для всех z€G. Если х_1у g ^ и z G G, то элемент
{xz)~l{yz) = z~1(x~1y)z принадлежит подмножеству z~l9z и потому
подмножеству 9. Это доказывает, что отношение < правоинвариантно.
Если 9 U {1} U9~1 = G, то для любых x,yeG имеет место одна из
трех возможностей: либо х_1у g 9, либо х_1у g £5*-1, либо х-1у = 1.
В первом случае х < у, во втором случае у-1х = (*-1у)-1 ^9 и потому
у < х, в последнем случае х = у. Это доказывает, что порядок < ли-
нейный. D
7.1.4. Свойства упорядочиваемых групп
Здесь мы установим два свойства упорядочиваемых групп.
Предложение 7.5. Любая упорядочиваемая группа G не имеет
кручения.

346
Глава 7. Порядок на группах кос
Доказательство. Мы должны показать, что хп не равно 1 ни для
каких целого числа η > 1 и х G G, отличного от 1. Предположим, что
х > 1. Тогда в силу левой инвариантности
хп = (хп-1)х>хп-11=хп-1
для любого η > 1. По индукции хп > х > 1, следовательно, хпф\. Если
х < 1, то х-1 > 1 и х"п = (х-1)71 # 1. Значит, хп / 1. D
Предложение 7.6. Если G—упорядочиваемая группа и R — коль-
цо без делителей нуля, то групповая алгебра R[G] не имеет делителей
нуля.
Доказательство. Возьмем в R[G] произвольные ненулевые эле-
менты ω = Σ?=1 ngi и ω' = Σ?=1 s/h,·, где gi,..., gp и hi,..., ftq — эле-
менты из G, a ri,..., гр и si,..., sq — элементы из R. Мы можем счи-
тать, что все гь ..., гр и si,..., sq отличны от нуля и элементы группы
hi G G пронумерованы так, что hi < h 2 < ... < hq. В силу левой ин-
вариантности порядка gihi < gihj для всех i = 1,..., ρ и j — 2,..., q.
Поскольку порядок линейный, найдется единственный номер io, для
которого gi0hi < gihi для всех i Φ i0. Мы утверждаем, что (i0,1) —
единственная пара (i, ;), для которой g/0hi = gihj в G. Действительно,
как было замечено выше, gi0hi < gi0hj для всех j Φ 1 и если i ^ io, то
gi0hi < gihi < gihj. Следовательно, коэффициент при g;0hi в ωω; eR[G]
равен riosi. Поскольку R не имеет делителей нуля, этот коэффициент
отличен от нуля. Значит, ωω' фО. D
Гипотеза о делителях нуля (которую иногда называют гипотезой
Капланского) утверждает, что если G — группа без кручения и R —
кольцо без делителей нуля, то групповая алгебра R[G] не имеет дели-
телей нуля. Предложение 7.6 показывает, что эта гипотеза справедли-
ва для упорядочиваемых групп.
7.1.5. Биупорядочиваемые группы
Группа называется биупорядочиваемой, если она обладает неко-
торым биинвариантным линейным порядком. Например, любая упо-
рядочиваемая абелева группа биупорядочиваема, поскольку любой
левоинвариантный порядок на абелевой группе обязательно биинва-
риантен. Все подгруппы биупорядочиваемой группы биупорядочивае-
мы. Мы установим еще одно свойство биупорядочиваемых групп.
Лемма 7.7. Пусть G — биупорядочиваемая группа. Тогда хп=уп=>
=> х — у для любых х, у G G и любого положительного целого числа п.

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 347
Доказательство. Начнем со следующего наблюдения: в биупоря-
дочиваемой группе из неравенствх<у их'<у' следует, чтохх'<уу1.
Действительно, в силу левой и правой инвариантности порядка хх1 <
< ху' < х'у'. Исходя из этого замечания, применяя легкую индукцию,
получаем, что х < у => хп < уп для всех положительных целых чисел п.
Пусть теперь х,у е G таковы, что хп = уп. Так как порядок линейный,
имеет место одна из трех возможностей: либо х = у, либо х < у, либо
у < х. Ввиду предыдущего замечания последние два случая не могут
встретиться. Значит, х — у. D
Групповые кольца биупорядочиваемых групп имеют другие инте-
ресные свойства. Например, А.И.Мальцев (см. [Мал48]) и Нейман
(см. [Neu49]) доказали, что целочисленное групповое кольцо любой
биупорядочиваемой группы можно вложить в некоторую алгебру с де-
лением.
Первые две группы кос В\ = {1} \\В2 — Ъ биупорядочиваемы. Груп-
па кос Вп при η > 3 не биупорядочиваема. Действительно, согласно за-
мечанию 1.30 имеем σ\σ2 φ (J2&1, но (σ^)3 — (cr2ai)3. Из леммы 7.7
следует, что группа Вп не биупорядочиваема.
§ 7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы
Основной результат этого параграфа — следующая теорема.
Теорема 7.8. Группа крашеных кос Рп биупорядочиваема для всех
п>1.
Чтобы доказать эту теорему, мы сначала изучим разложения Маг-
нуса свободных групп и затем покажем, что свободные группы биупо-
рядочиваемы. Теорема 7.8 доказана в п. 7.2.3. Ни эта теорема, ни ее
доказательство не будут использованы в последующем.
7.2.1. Разложение Магнуса
Зафиксируем непустое множество X. Мы определим кольцо (неком-
мутативных) формальных степенных рядов над X. Обозначим через
X* свободный моноид над X; см. пример 6.1 (3). Под формальным сте-
пенным рядом над X мы понимаем произвольную формальную сумму
Σ wex* nwW, где W пробегает моноид X* nnw^ %. Такие формальные
суммы можно обычным образом складывать, тем самым они образу-
ют аддитивную абелеву группу, которая обозначается через Z[[X]].

348
Глава 7. Порядок на группах кос
Умножение в X* индуцирует некоторое умножение в Ζ[[Χ]]; оно пре-
вращает Z[[X]] в кольцо, единицей которого является нейтральный
элемент 1 GX*.
Напомним функцию длины I : X* —> N, представляющую собой
единственный морфизм моноидов, отображающий все элементы из
X в 1. Мы говорим, что формальный степенной ряд а = Σ W€EX* nwW G
€ Ζ [[X]] имеет степень не меньше г, где г — положительное целое
число, если nw = 0 для тех W G X*, для которых i(W) < г. Ясно, что
произведение формального степенного ряда степени не меньше г
на формальный степенной ряд степени не меньше 5 есть формальный
степенной ряд степени не меньше r + s.
Для формального степенного ряда а = Σνν<=Χ* nwW обозначим че-
рез ε (α) = п\ G Ζ коэффициент при нейтральном элементе 1G X*. Легко
показать, что ряд а обратим в кольце Z[[X]] тогда и только тогда,
когда ε {а) — ±1. Например, для любого х G X полином 1+хе Z[[X]]
обратим, и обратным к нему является формальный степенной ряд
Efc>0(-i)V.
Доказательство следующей леммы оставлено читателю.
Лемма 7.9. Для любых х G X u fc G Z существует такой формаль-
ный степенной ряд hk{x) от переменной х, что
(l + x)k = l + fcx + x2hfc(x).
Обозначим через G(X) с Z[[X]] подмножество тех формальных
степенных рядов a G Z[[X]], для которых ε (α) = 1. Это множество
является группой относительно умножения.
Предложение 7.10. Пусть F — свободная группа, свободно порож-
денная множеством X. Гомоморфизм групп μ : F —> G(X), определенный
формулой μ(Χ) = 1 + х для всех х G X, инъективен.
Формальный степенной ряд μ{νυ) называется разложением Магну-
са элемента w eF.
Доказательство. Существование и единственность гомоморфиз-
ма μ следуют из определения свободной группы F. Чтобы проверить
его инъективность, возьмем нетривиальный элемент w G F и запишем
где хь Х2,. ·., хг g X таковы, что х\ φ Х2, Х2 Φ хз, · · · ? Xr-i Φ X-r и все
целые числа fcb k2)..., kr отличны от нуля. По лемме 7.9 имеем

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 349
μ(υ/) = (1 + xi)kl (1 + Χ2Υ2 ... (1 + Xr)K = (1 + fci*!1 + x?hkl (*i)) x
X (1 + k2Xk22 + *f h*, (X2)) (1 + krXK + x2ftfcr (Xr))
Раскрывая скобки в правой части этого равенства, мы видим, что этот
ряд содержит единственный моном видах\х2 ...хг. Коэффициент при
этом мономе равен к\к2 ...кгфО. Следовательно, μ(νυ) ф\. D
7.2.2. Свободные группы биупорядочиваемы
Предложение 7.11. Пусть F — свободная группа, свободно порож-
денная множеством X. Любой линейный порядок на X продолжается
до некоторого биинвариантного линейного порядка на F.
Доказательство. Линейный порядок на X следующим образом
индуцирует порядок < на X*:
1) на X с X* порядок < совпадает с заданным порядком;
2) если для Wi, W2 G X* длины удовлетворяют неравенству I (Wi) <
< t{W2), то полагаем Wi < W2;
3) если Wi, W2 G X* имеют одну и ту же длину, то упорядочим их
лексикографически: пусть W\ =х\... хг и W2=у\... уг, где jq, yt GX
для всех i, тогда полагаем Wi < W2, если найдется такой номер
к < г, что Xk < ук и Xi = yi для всех i < к.
Порядок < на X* линейный и биинвариантный; последнее означает,
что из того, что W\ < W2, следует, что WW\ < WW2 и WiW < W2W для
всех W G X*.
По предложению 7.10 если элемент weF отличен от нейтрального
элемента 1, то μ(υΟ Φ 1 G Z[[X]]. Напишем
μ(υ0-1 = ^nwW,
w
где W пробегает множество всех тех непустых слов в X*, для которых
целое число nw отлично от нуля.
Одно из слов W в этом разложении μ{ω) — 1 должно быть наимень-
шим относительно определенного выше линейного порядка на X*.
Обозначим это наименьшее слово через V{w) и положим n{w) =
= ny(w) Ф 0. Наконец, положим 9 — {w G F\ {1} : п(ш) > 0}. Ясно, что
элемент w из F \ {1} тогда и только тогда лежит в <?, когда μ{\υ) имеет
вид
1 + n(w)V + ^Г nwW, где У / 1 и n{w) > 0.
w>v

350
Глава 7. Порядок на группах кос
Мы утверждаем, что множество £? удовлетворяет всем условиям
теоремы 7.4 и потому определяет некоторый биинвариантный линей-
ный порядок на F. Из определений следует, что 1 φ 2?. Для доказа-
тельства того, что 92 с &, рассмотрим два элемента w, w' G 9 и их
разложения Магнуса
μΟ) = 1 + n(w)V + ^ nwW
w>v
w>v
и
где п(ш) > 0 и η (и/) > 0. Разложим μ(1υω;) = μ{1ν)μ{\ν') как формаль-
ный степенной ряд. Используя биинвариантность порядка на X*, мы
легко получаем (
I n(w), если V < V',
n(ww;) = < n(V), если У > Vх,
[ л(ш) + п(ш7), если У = У'.
Во всех случаях п(шш') > 0, откуда следует, что ww' G <?.
Из тождества μ(α;~1) = (μ(αθ)-1 легко вывести, что 2?~λ есть
множество всех тех w g F \ {1}, для которых п(ш) < 0. Из этого вместе
с инъективностью гомоморфизма μ следует, что 5Ziu{l}U^~1=F.
Остается проверить, что ш0*ш~г с & для всех w G F. Если фор-
мальный степенной ряд /gZ[[X]] имеет нулевой свободный член
и при этом WgX*, то
(1+/)W(1+/)~1 = W + ]Г mW'W
для некоторых целых mW'. Отсюда следует, что
n{ww'w~l) = п(ш;)
для всех ш, и/ из F\{1}. Поэтому wg?w~l с ^ для всех w <eF. Π
Следствие 7.12. Все свободные группы биупорядочиваемы.
7.2.3. Доказательство теоремы 7.8
Напомним обозначения и результаты из § 1.3. Прежде всего, груп-
па крашеных кос Рп порождена п{п —1)/2 косами А1?; (1 < i < j < η),
изображенными на рис. 1.10. Далее, для каждого η > 2 имеется точная
последовательность
1 -> ип -> Рп -> Рп-1 -> 1,

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 351
в которой отображение Рп —» Рп-\ есть гомоморфизм fn выдергива-
ния самой правой нити из крашеной косы и Un — свободная группа
с η — 1 образующими Х\ = А\уП,...,Хп~\ = An-i,n- Мы снабдим груп-
пу Un определенным выше биинвариантным линейным порядком, счи-
тая, что на множестве образующих задан порядок Х\ < Х2 <... < Хп-\ ·
Так как Pi = {1}, получаем, что Рг = [/2 = Ъ — биупорядочиваемая
группа. Из леммы 7.1 (2) индукцией по π получаем, что группа Рп
обладает единственным левоинвариантным линейным порядком, от-
носительно которого гомоморфизмы ип-*Рпи/п: Pn-*Pn-i сохраняют
порядок.
По лемме 7.1 (2) этот порядок на группе Рп будет биинвариантным,
если мы покажем, что ßuß"1 > 1 для любой косы β G Pn и любого
элемента ueUn, для которого и > 1. Заметим, что из соотношений (1.7)
следует, что сопряжение образующей Xi = AiA группы Un с помощью
образующей АГу5 группы Рп при s <п равносильно сопряжению обра-
зующей Xi с помощью произведения образующих группы Un. Это же
верно и при s = п, так как АГ}П G Un. Таким образом, во всех случаях
A~}XiAr}S=Xi по модулю коммутанта [Un, Un] группы Un. Отсюда следу-
ет, что ßXiß~r= Xi по модулю [Un, Un] для всех /3GPn hîg{1, ...,п —1}.
Другими словами, ßXiß~l — Х^щ для некоторого щ G [Un, Un]. Вычис-
лим разложение Магнуса элемента βXiß'1 по формуле
μ{βΧ{β~1) = μ(Χ^) - (1 + XiMuf).
Из упражнения 7.2.1 следует, что №(щ) = 1 + (формальный степенной
ряд степени не меньше 2). Поэтому μ{βΧ^β~1) = 1+Xi + (формальный
степенной ряд степени не меньше 2). Тогда разложение Магнуса эле-
мента ßuß'1, где и G Un, получается из μ(υ) заменой каждого Х{
на сумму Xi с некоторым формальным степенным рядом степени не
меньше 2. Следовательно, разложения Магнуса элементов и и ßuß~l
имеют одинаковые первые непостоянные члены. Отсюда следует, что
ßuß"1 > 1 тогда и только тогда, когда и > 1. D
Упражнение 7.2.1. Покажите, что для любых х,уеХ имеет место
равенство μ(x~1y~1xy) — 1 + (ху — ух) + (формальный степенной ряд
степени не меньше 3).
Упражнение 7.2.2. Найдите все биупорядочиваемые группы G,
входящие в точную последовательность 0—>Zr—>G—>Z—>0.
Упражнение 7.2.3. Покажите, что для любой упорядочиваемой
группы G и любого кольца R все обратимые элементы групповой

352
Глава 7. Порядок на группах кос
алгебры R[G] имеют вид rg, где г — некоторый обратимый элемент
кольца R и g € G.
Упражнение 7.2.4. Элемент е кольца называется идемпотентом,
если е2 = е. Покажите, что всякое кольцо без делителей нуля имеет
только два идемпотента: 0 и 1.
§ 7.3. Порядок Деорнуа
Зафиксируем целое число η > 1. Цель этого параграфа — постро-
ить левоинвариантный линейный порядок на группе кос Вп, опреде-
ленный П. Деорнуа.
7.3.1. Косовые слова
Словом длины m > 1 над множеством А (его также называют сло-
вом в алфавите А) называется отображение w : {1,2,..., m} —> А, Та-
кое слово кодируется выражением ш(1)ш(2)... w{m). Например, для
а,Ъ G А выражение aba кодирует слово {1,2,3} —► А, отображающее
1,2,3 соответственно в а, Ъ, а. По определению имеется единственное
пустое слово 0 длины 0. Элементы множества А называются буквами.
Для любых a G А и m > 1 слово аа...а, составленное из m букв а,
обозначается через ат. Записывая подряд слова υ и w над А, мы
получаем их конкатенацию vw. Например, для любых аеАит, п>1
конкатенация слов ат и ап есть ат+п.
Мы будем говорить, что слово υ является подсловом слова w, если
w = w\vvü2 для некоторых (возможно, пустых) слов Ш1 и Ш2.
Косовым словом называется слово над множеством {аь ..., ση-\,
σ^"1,..., сг~}г}. Каждое косовое слово w представляет некоторый эле-
мент группы кос Вп. Поскольку слово w представляет тот же самый
элемент группы Вп, что и слово ^σ^σ^1)^ для любого fc > 1, каж-
дый элемент группы Вп может быть представлен бесконечным числом
косовых слов. Пустое косовое слово представляет нейтральный эле-
мент 1 группы Вп.
Обратным к непустому косовому слову w = σ*1... σ^Γ, где et = ±1,
называется косовое слово
w — σ. r... σ. \
lr lx
Если слово w представляет элемент β G ВП} то обратное слово ш-1
представляет обратный элемент /З-1.

§ 7.3. Порядок Деорнуа
353
Мы определим индекс непустого косового слова w как наимень-
шее целое число i е {1,..., л — 1}, для которого буква σ* или буква σΓ1
входит в слово w. Индексы любого непустого косового слова и обрат-
ного к нему слова равны. Пустое косовое слово не имеет индекса.
7.3.2. σ-положителыные и σ-отрицательные косы
Косовое слово w мы назовем а^положителъным, если его индекс
равен / и в него не входит буква σΓ1. В ^-положительное косовое
слово не входят ни буква σΓ1, ни буквы σ^1, для которых к < i.
Косовое слово w мы назовем а^отрицателъным, если обратное
к нему слово σ^-положительно. Это равносильно тому, что индекс
слова w равен i и в слово w не входит буква σ/.
Косовое слово w мы будем называть σ-положительным (соот-
ветственно σ-отрицательным), если оно σ;-положительно (соответ-
ственно ^-отрицательно) для некоторого ie{l, ...,л — 1}.
Определение 7.13. Элемент группы кос Вп называется а^-положи-
телъным (соответственно аготрицателъным), если он может быть
представлен некоторым σ/-положительным (соответственно ^-отри-
цательным) косовым словом.
Элемент группы кос Вп называется σ-положительным (соответ-
ственно σ-отрицательным), если он σ;-положителен (соответствен-
но at -отрицателен) для некоторого i е {1,..., л — 1}.
Образующие аь сг2,..., ση-\ группы Вп, очевидно, σ-положительны.
Более общим образом, любой элемент определенного в § 6.5 подмо-
ноида положительных кос В„ группы кос Вп есть σ-положительный
элемент. Существуют σ -положительные элементы группы Вп, не при-
надлежащие подмоноиду Вп (например, ai^"1).
Предупреждение: не все косовые слова, представляющие σ-поло-
жительные элементы группы Вп, σ-положительны. Например, возь-
мем косовое слово w = σ\σ2{σ^1)Ν, где N > 1. Индекс этого слова
равен 1, но оно ни σ-положительно, ни σ-отрицательно. Тем не ме-
нее оно представляет σ-положительную косу β е Вп. В самом деле,
повторное применение соотношения σ2σ\σ2 = σ\σ2σ\ дает равенство
Ν Ν
для всех N > 1. Умножив обе части этого равенства на σ^Ν слева
и на σ^~Ν справа, мы получим
β = σΙσ2σ^Ν = σ^σ^.

354
Глава 7. Порядок на группах кос
Слово σ^σ^, представляющее косу β, σ-положительно. Поэтому
коса β является σ-положительной.
Обозначим через & подмножество группы Вп, состоящее из всех
σ-положительных элементов.
Лемма 7.14. Подмножество группы Вп, состоящее из всех σ-om-
рицателъных элементов, совпадает с &~λ, и S?2 с SP.
Доказательство. 1. Пусть β — σ -отрицательный элемент груп-
пы Вп. Тогда его можно представить некоторым σ -отрицательным
косовым словом w. По определению обратное к нему слово w~l явля-
ется σ-положительным. Оно представляет косу β~λ^Βη. Тогда β~λ^&
и, следовательно, β е £Ρ~λ. Обратное включение доказывается анало-
гичным образом.
2. Пусть β, β' G 2?. Тогда коса β может быть представлена неко-
торым σ;-положительным косовым словом ш, a коса ßf — некоторым
σ}f-положительным косовым словом wf для некоторых целых чисел i
и ;. Если i < j, то слово ww' является ^-положительным. Если i > j,
то слово ww1 является σ;-положительным. В обоих случаях коса ββ1
представлена σ-положительным косовым словом. D
7.3.3. Определение порядка Деорнуа
Здесь мы сформулируем основной результат этой главы.
Теорема 7.15. Для любого п> 1 группа кос Вп обладает таким
левоинвариантным линейным порядком <, что 1 < β тогда и только
тогда, когда коса β является σ-положительной.
Этот порядок < на группе кос Вп называется порядком Деорнуа. От-
метим, что β < γ для любых β,γ^Βη, если либо β = γ, либо β~λγ G 9.
Из теоремы 7.15 следует, что группа кос Вп упорядочиваема. Поэтому
в силу предложений 7.5 и 7.6 группа кос Вп не имеет кручения (этот
факт уже был доказан в гл. 1; см. следствие 1.29) и групповое кольцо
Z[Bn] не имеет делителей нуля.
При η — 2 любое σ-положительное косовое слово обязательно име-
ет вид σ£ для некоторого fc > 1. Соответствие σ\ —> к устанавливает
изоморфизм группы В2 с группой Ζ. При этом изоморфизме порядок
Деорнуа на группе В2 совпадает со стандартным линейным порядком
на группе Ζ.
Теорема 7.15 является непосредственным следствием теоремы 7.4,
леммы 7.14 и следующих двух лемм.

§ 7.3. Порядок Деорнуа
355
Лемма 7.16. Подмножество @> не содержит 1.
Лемма 7.17. Любой элемент β G Bn, отличный от 1, либо σ-поло-
жителен, либо σ-отрицателен. Другими словами, ^ U {1} U ^~г — Вп.
Лемма 7.16 будет доказана в п. 7.4.2, а лемма 7.17 — в конце п. 7.5.2.
7.3.4. Свойства
Перечислим несколько свойств порядка Деорнуа. Сначала заме-
тим, что косы σ[ и σ?+1&[, где г > 1 и s G Z, суть σ-положительные
элементы группы Вп. Поэтому для порядка Деорнуа имеем цепочку
неравенств
... > σ\σ\ > σ\ > σλ > ... > σ\ > σ| > σ2 > ... > σ„_λ > σ^_λ > ση_1.
Предложение 7.18. 1. Коса ση-\ является наименьшим σ-поло-
жительным элементом группы Вп.
2. Группа Вп не имеет ни максимальных, ни минимальных элементов.
Доказательство. 1. Предположим, что существует такой элемент
ß^gP, что /3<ση_1;3το эквивалентно тому, что β~Χση-\^9. Пусть w —
^-положительное слово, представляющее косу β. Коса /3-1σπ_1 пред-
ставлена словом w~lGn-\. Если i < η — 1, то слово w~lon-i будет ^-от-
рицательным, что ввиду лемм 7.2, 7.14 и 7.16 противоречит σ-поло-
жительности косы /3_1ση_1. Следовательно, i — n — l,YLW — (ση-\Υ для
некоторого целого числа г > 1. Значит, элемент β~1ση-\ равен 1, если
г = 1, и принадлежит подмножеству ^_1, если г > 1. Оба утверждения
ввиду лемм 7.2, 7.14 и 7.16 противоречат σ-положительности косы
β~Υση-1. Следовательно, не существует такого β g g?, что β < ση-\.
2. Так как σ\ > 1 > σ^1, из левоинвариантности порядка следует,
что βσ\ > β > βσ^1 для любого β G Bn. Поэтому группа Вп не имеет
ни максимального элемента, ни минимального элемента. D
Стандартный порядок на группе Ζ архимедов, что в терминах
группы Β2 = Ζ означает, что для любых элементов α, β g В2, для кото-
рых 1 < а < β, найдется такое целое число г > 2, что β < аг. Иными
словами, для любого элемента а^В2ПЗ^ попарно непересекающиеся
интервалы {β ^ ^ ц β < ^^
покрывают всю группу В2- Это свойство не распространяется на Вп
при η > 3, так как 1 < σ2 < σ\ и σν2 < σ\ для всех г > 2. Тем не менее,
используя центральный элемент Δ* группы Вп (см. теорему 1.24), мы
получаем следующий результат.

356
Глава 7. Порядок на группах кос
Предложение 7.19. Интервалы {ßeBn: Δ^<β<^(k+1)}fceZ об-
разуют разбиение группы Вп.
Доказательство. Так как элемент Δ2 принадлежит подмоноиду
положительных кос В η, мы имеем Δ2 > 1. Следовательно, ... < Δ^6 <
< Δ^4 < Δ^2 < 1 < Δ2 < Δ4 < Δη <... Поэтому для доказательства пред-
ложения достаточно доказать, что для любого элемента β е Bn найдут-
ся такие положительные целые числа г и 5, что Л„2г < β и β < Δη .
Действительно, предположим, что такие неравенства имеются. Тогда
существует наибольшее целое число к, для которого Л2к < β. По опре-
делению числа к неравенство Л„< β уже неверно. А так как
порядок линейный, получаем, что Л„ fc+1) > /3.
Теперь докажем существование такого положительного целого
числа s, что β < Δ^ \ Рассмотрим какое-нибудь косовое слово w,
представляющее косу β еВп. Предположим, что в это слово буква σ\
входит ровно 5 раз (если она не входит в слово w ни разу, мы счи-
таем, что 5 = 0). Тогда мы можем написать w = wç>a\W\... G\WS, где
wo,..., ws — косовые слова, в которые буква σ\ не входит (но буква
σ-,"1 может входить). В моноиде положительных кос В„ образующая σ\
является делителем элемента Δη, а потому и элемента Δ2. Следова-
тельно, Δ2 = G\v для некоторого элемента υ € В+ с 3>. Тогда коса
β~1Δη представлена словом
а так как Δ2 —центральный элемент, коса ß~lA^s+1) также представ-
лена словами
w~Vf *Δ2 ws~\... σ^ΔηΙυ^Δ^ = wrlvw~\ ... vw^aiv.
В последнее слово буква σ\ входит по меньшей мере один раз, а буква
σ^1 ни разу. Поэтому это слово σ -положительно, откуда следует, что
1 < jS-Mf+1). Значит, β < Δ2η{3+1\
Мы оставляем читателю аналогичную проверку того факта, что
если буква σ^1 входит в слово w ровно г раз, то Л„2г < ß. D
Замечание 7.20. Лейвер (см. [Lav96]) доказал, что σ^β >β для всех
ßGBnHiG{l,... ,п—1}, откуда следует, что порядок Деорнуа обладает
так называемым свойством подслова (другие доказательства см. в ра-
ботах [Bur97], [Wie99]). По теореме Хигмэна (см. [Hig52]) из этого
в свою очередь следует, что подмоноид положительных кос ßj с поряд-
ком Деорнуа является вполне упорядоченным множеством, т. е. любое

§ 7.3. Порядок Деорнуа
357
его подмножество имеет минимальный элемент. Из этого следует, что
порядок Деорнуа < продолжает порядок делимости в моноиде В^,
который в гл. 6 обозначался =^, т. е. а ^ Ъ => а < Ъ для любых а,Ъ Gß^.
7.3.5. Группа бесконечных кос
Обозначим порядок Деорнуа на группе Вп через <„. Напомним,
что в п. 1.1.3 было определено вложение i: Bn <—» Вп+\. Следующая
лемма немедленно вытекает из определений.
Лемма 7.21. Вложение i: Вп <—> Bn+i сохраняет порядок Деорнуа,
т. е. β <η /3' => i(ß) <n+i i{ß') для любых β, β' е Вп.
Обозначим через Вое = Un^i^« индуктивный предел групп Вп
относительно вложений t. По определению любой элемент из В*»
лежит в некоторой группе Вп. Групповые структуры на группах Вп
естественно продолжаются до групповой структуры на Boo. Группа Bœ
называется группой бесконечных кос.
Предложение 7.22. На группе Bœ существует единственный ле-
воинвариантный линейный порядок, для которого вложения Вп <—> Вое
сохраняют порядок. Как упорядоченное множество Bœ изоморфно упо-
рядоченному множеству Q рациональных чисел.
Доказательство. 1. Пусть β, β' е Bœ. По определению найдется
такой номер п, что β, β' е Вп. Мы положим β <œ β', если β <π β'.
Из леммы 7.21 следует, что это определение не зависит от выбора п.
Таким образом, на группе Вое корректно определено бинарное отно-
шение <оо. Легкое упражнение — проверить, что отношение <х яв-
ляется левоинвариантным линейным порядком на группе Bœ и что
вложения Вп °->Βοο сохраняют порядок. Также легко проверить, что от-
ношение <оо есть единственный порядок на группе Bœ, для которого
вложения Вп °-> Bœ сохраняют порядок.
2. Со времен Кантора хорошо известно, что линейно упорядочен-
ное множество X тогда и только тогда изоморфно множеству рацио-
нальных чисел Q со стандартным порядком, когда X счетно, не имеет
максимальных элементов и между любыми двумя его элементами
найдется некоторый третий элемент. Проверим, что множество Bœ
удовлетворяет этим условиям.
Группа Bœ порождена элементами σ\, σ2, σ3,... Поскольку любая
группа со счетным числом образующих счетна (см. упражнение 7.3.3),
группа Bœ счетна.

358
Глава 7. Порядок на группах кос
Если бы группа Bœ имела некоторый максимальный (соответ-
ственно минимальный) элемент /3, то этот элемент β был бы мак-
симальным (соответственно минимальным) элементом группы Вп,
где η — номер той группы кос, которой принадлежит элемент β. Это
противоречило бы предложению 7.18 (2). Следовательно, группа ßoo
не имеет ни максимальных, ни минимальных элементов.
Чтобы доказать, что между любыми двумя элементами группы ßoo
найдется некоторый третий элемент, в силу левой инвариантности
достаточно доказать, что для любого β е ßoo, для которого 1 < β, су-
ществует такой элемент а, что 1 < а < β. Элемент β принадлежит
некоторой группе Вп. Мы положим
α = υ(β)σ~1 еВп+г.
Так как индекс σ-положительного слова, представляющего косу β,
меньше п, коса а является σ-положительной. Поэтому 1 < а в группе
Bn+i и потому в группе ßoo. С другой стороны, α~1β = σηΒ группе ßoo,
что показывает, что коса a~lß является σ-положительной. Следова-
тельно, а < ß. D
Упражнение 7.3.1. Покажите, что группа ßoo изоморфна группе,
порожденной счетным множеством образующих {аь σ2, σ3,...}, под-
чиняющихся косовым соотношениям из определения 1.1.
Упражнение 7.3.2. Пусть X — любое счетное линейно упорядо-
ченное множество без максимальных и минимальных элементов и та-
кое, что между любыми двумя его элементами найдется некоторый
третий элемент. Постройте сохраняющую порядок биекцию X —> Q,
где Q снабжено естественным порядком.
Упражнение 7.3.3. Покажите, что свободная группа со счетным
числом образующих счетна. Выведите из этого, что любая группа
со счетным числом образующих счетна.
§ 7.4. Нетривиальность σ-положительных кос
Цель этого параграфа — доказать лемму 7.16. Для этого мы опре-
делим действие группы кос Вп на свободной группе Foo со счетным
базисом.
7.4.1. Действие группы кос Вп на группе F«,
В п. 1.5.1 мы определили автоморфизмы <7Ь ..., ση-\ свободной
группы Fn со свободными образующими х\,... ,хп. Напомним формулы

§7.4. Нетривиальность σ-положителыных кос
359
&i(Xk) = {
хк+1, если к = U
-i~. v если fc = i + 1,
XkXk+lXk ,
Xk-i,
Хк
если к = i,
если к = i + 1,
в остальных случаях
^ Χ*: в остальных случаях.
Обратные к ним автоморфизмы стг1 задаются формулами
5i(jcfc) * =
Ясно, что эти формулы распространяются на свободную группу Fœ
со счетным числом образующих {хь х2, хз,. . ·}· Тем самым определен
гомоморфизм групп Вп —> Aut(Foo). Мы обозначим образ косы β е Bn
в группе Aut(Foo) при этом гомоморфизме через β.
Обозначим через τ эндоморфизм труппы Fœ> определенный фор-
мулой т(хк) = Xk+i для всех к > 1. Покажем, что эндоморфизм τ инъек-
тивен. Действительно, определим эндоморфизм τ_ группы F«, по фор-
мулам т-(хк) = Xfc-i для всех к > 2 и t_(xi) = 1; тогда инъективность
эндоморфизма τ следует из соотношения τ_οτ = id.
Наконец, для любого эндоморфизма φ группы Fœ мы определим
эндоморфизм Τ (ψ) по формулам
{xi, если к — 1,
т{ч>(хк-1)), если к > 1.
Лемма 7.23. 1. Для всех i е {1,..., η — 2} выполняются равенства
Τ (ai) = ofi+i.
2. Если φ Φ id, то Τ (φ) Φ id.
3. Если эндоморфизм φ инъективен, то эндоморфизм Τ(φ) тоже
инъективен.
Доказательство. 1. Утверждение следует из определений.
2. Если Τ(φ) = id, то
τ(φΟ*)) = r(»Uk+i) = Xk+\ = t(xk)
для всех k > 1. Так как эндоморфизм τ инъективен, отсюда следует,
что Ц){хк) — Xk для всех к > 1. Следовательно, φ = id.
3. Мы покажем, что Τ(φ){νυ) Φ 1 для любого w е F«,, отличного
от 1. Представим элемент w некоторым словом над множеством
{х\,Х2,...} и {х"1,*"1,...}. Мы можем считать, что это слово непусто

360
Глава 7. Порядок на группах кос
и приведено, т. е. оно не содержит подслов вида jQjcr1 и хт1х{ ни для
какого i > 1. (Впоследствии мы будем использовать тот факт, что
всякое непустое приведенное слово представляет некоторый нетри-
виальный элемент группы Foc; доказательство можно найти в кни-
гах [LS77, §1.1], [Ser77, §1.1].)
Если в приведенное слово, представляющее элемент w, не вхо-
дят буквы xi и х"1, то найдется такой элемент w' е Fœ, отличный
от 1, что w = τ (и/)· По определению преобразования Τ мы имеем
Τ(φ)(νυ) = τ(φ(ω/)). Тогда из инъективности эндоморфизмов ψ и τ
следует, что Τ{φ){νυ) Φ Ι.
Предположим, что в приведенное слово, представляющее элемент w,
входят буквы х\, где ε = ±1. Тогда мы можем записать это слово в виде
t(wo)x^t(wi)x*2 ...T{wr-i)xk{T{wr),
где ki,к2,...,kr — ненулевые целые числа и wq, w\, ..., wr-\, wr —
такие слова с буквами xf1^^1^^1,..., что слова T(wi),...,z(wr-i)
непусты и приведены. По определению преобразования Τ имеем
Г((/?)(ш) = т(^(ш0))х1Ч((/?(ш1))х^..т((/?(шг_1))х^т((/?(шг)).
Так как слова t(wi), ..., τ{\υΓ-\) непустые и приведенные, они пред-
ставляют нетривиальные элементы группы Foo. Ввиду инъективности
эндоморфизмов τ и φ элементы
^(^(^i)),...,T((^(u;r_i))
группы Foo нетривиальны, поэтому они представлены непустыми при-
веденными словами с буквами х^1, х^1, · · · Отсюда следует, что
Обозначим теперь через Ε множество тех элементов группы Foc,
которые могут быть представлены приведенными словами, заканчи-
вающимися на х~г.
Лемма 7.24. Имеют место вложения
1) а-г(Е)сЕ;
2) Τ(φ)(Ε) с Ε для любого инъективного эндоморфизма φ группы Foc.
Доказательство. 1. Возьмем произвольный элемент множества Ε
и представим его некоторым приведенным словом wx^1. Тогда w есть
такое приведенное слово, которое заканчивается не на х\. Предполо-
жим, что „_г _! „_г _г _г
σλ \νοΧλ } = σλ [w)X\x2 хг

§7.4. Нетривиальность σ-положительных кос 361
не принадлежит множеству Е. Тогда в слово а^г(ш) должна входить
буква х\, которая сокращается с последней буквой х^1. Из определе-
ния σ^1 следует, что слово w содержит либо Х2, либо х\, либо х^1.
В первом случае можно написать w = w\x2w2, где буква х2 такова,
что а^1{х2) =х\ сокращается с последней буквой х^1 слова оу^шх^1).
Так как слово w приведенное, слово w2 (также являющееся приведен-
ным словом) не может начинаться с буквы х^-1. Далее,
cr^iwxï1) = a^1(w)x\X21xî1 = &î1(wi)xi(JÎ1(w2)xiX21xî1-
Так как самая левая буква xi в правой части этого равенства сокра-
щается с последней буквой х^1, слово между этими двумя буквами
должно представлять 1 € Fœ, т. е. должно выполняться равенство
aï1(w2)xix~1 = l
в группе Fœ. Следовательно,
<J^l{w2) = X2XÏ1 = xïlx\x2xïl = ^1{х2 lx\)-
Так как автоморфизм σ^1 биективен, отсюда следует, что w2—x^X\ —
это приведенное слово, которое начинается с х^"1, что противоречит
выбору слова w.
Если слово w содержит букву х\, где е = ±1, то мы можем анало-
гично написать w = W\x\w2. Тогда
a^l{wx{1) = a^1(w)xiX21x\ = ^\l{^\)x\x2x^la^l{w2)x\X2lx:[1^
Так как самая левая буква xi в правой части этого равенства сокра-
щается с последней буквой х^"1, рассуждая как и выше, мы получаем
равенство е _г~_1г Λ _г л
Х2Х\ σ\ \У^г)Х\Х2 — 1
в группе Foo. Следовательно,
^il{w2) = хгх^х'1 = а~г{х1~е).
Ввиду инъективности автоморфизма σ"1 мы получаем w2 = х\~е, от-
куда следует, что w = w\X\, что противоречит выбору слова w. Итак,
во всех случаях _ -,, Лл
2. Как и ранее, представим произвольный элемент из Ε некото-
рым словом шх^"1, где w — приведенное слово, которое заканчивается
не на х\. Предположим, что Τ{ψ){ΙνΧ^1) не принадлежит множеству Е.
Так как

362
Глава 7. Порядок на группах кос
последняя буква х^1 в слове T(y)(w)x~^1 должна сокращаться с той
буквой хь которая входит в Τ(φ)(ω).
Мы утверждаем, что слово w содержит букву xj. Если это не так,
то слово w содержит только буквы х^1 и xfl, где i > 2. По определению
Τ (φ) из этого следует, что Τ (φ) (ш) содержит буквы х^1 и xf1, где i > 2,
и не содержит буквы х\ — противоречие. Поэтому мы можем написать
w = wiXiw2, где буква xi такова, что ее образ T((/0(*i) = xi сокраща-
ется с последней буквой xj-1 в слове ГС^Хшх^1). Таким образом,
П<р){шх?) = Τ(φ)(ω)Χ-1 = T^){w1)x1T^){w2)x^1.
По предположению самая левая буква Х\ в правой части этого равен-
ства сокращается с последней буквой jcJ"1. Следовательно, Τ{φ){\ν2)—\.
А так как эндоморфизм Τ(φ) инъективен по лемме 7.23 (3), получаем,
что w2 = 1. Значит, слово w — w\X\ заканчивается на х\, что противо-
речит выбору слова w. D
7.4.2. Доказательство леммы 7.16
Мы сначала докажем, что каждый ai-отрицательный элемент β^Βη
нетривиален. Для этого достаточно показать, что
J8(xi) Φ xi,
где β —образ элемента β е Bn в группе Aut(Foo).
Каждый ai-отрицательный элемент β имеет разложение вида
β = ftaf1 jBiaf1... ßr-^ßr,
где г > 1 и ß0, ßi,..., ßr-i, ßr — слова от образующих σ2,... ση-\ и об-
ратных к ним. По лемме 7.23 (1) для каждого к = 0,1,..., г существует
такой автоморфизм ц>к группы Fa>, что β к = Τ{φ^). Поэтому
β = βοσ^β^-1... ßr-iS^% =
= Τ{φ0)σ~λΤ{φ{)σ~1... Τ(φΓ-1)σ~1Τ(φΓ).
Применим обе части этого равенства к образующей х\ группы F«,. Так
как
T&r)(Xl) =Xl И (J^CXl) = XiX2XÎl9
мы имеем
JB(*i) = (ГСЫ^Г^!)^1... Τ{φΓ-1)){Χ1Χ2Χ^1).
Поскольку Х\Х^1Х\ принадлежит множеству Ε приведенных слов в Fœ,
которые заканчиваются на х^1, из леммы 7.24 следует, что также
ß(x\) G Ε. Следовательно, ß{x\) Φ Χ\·

§ 7.5. Редукция ручек
363
Для завершения доказательства мы используем гомоморфизм
групп sh: Bn-i —>ВП, определенный формулой sh(a;) = σ^\ для всех
i = 1,..., η — 2. На геометрическом языке отображение sh перемещает
геометрическую косу Ъ вправо, добавляя слева от нее вертикальную
нить, не зацепляющую ни одну нить косы Ъ. По этой причине мы
называем sh гомоморфизмом перемещения или сдвига (по-английски
shift, что объясняет обозначение sh). Этот гомоморфизм инъективен:
этот факт можно доказать с помощью рассуждений, аналогичных тем,
что использовались в доказательстве следствия 1.14; также можно
заметить, что гомоморфизм sh сопряжен к естественному вложению
i : Bn-i—>Bn (сопрягающим элементом служит о\Ог ... <Jn-i\ см. упраж-
нение 7.4.1).
Теперь мы докажем, что все элементы из £Р нетривиальны. Пусть
β — σ;-положительный элемент группы Вп, где i > 1. По определению
^-положительного элемента и гомоморфизма сдвига sh существует
такой ai-положительный элемент a G Вп, что β = shl_1(a). Тогда об-
ратный элемент а-1 является ai-отрицательным и по доказанному
выше α φ 1. А так как гомоморфизм sh инъективен, получаем, что
β Φ 1. Итак, мы доказали, что 1ф&>. D
Упражнение 7.4.1. Докажите, что для всех β G Bn-\ справедливо
равенство sh(/3) = {σλσ2 ... crn_i)t,(/3)(aia2 ... ση-\)~λ.
§7.5. Редукция ручек
Цель этого параграфа — доказать лемму 7.17, утверждающую, что
любая коса либо σ -положительна, либо σ -отрицательна, либо триви-
альна. Доказательство требует некоторых предварительных понятий
и вспомогательных результатов.
Зафиксируем целое число η > 1. Как и в п. 7.3.1, под косовыми
словами мы понимаем слова с буквами
ai,..., <7„_ь σ{"\ ..., σ^.
Мы говорим, что косовое слово w содержит косовое слово и, если
слово ν является под словом слова w. Косовое слово w' называется
префиксом косового слова w, если существует такое косовое слово w"y
что ш = w'w". Аналогично косовое слово w" называется суффик-
сом косового слова w, если существует такое косовое слово w', что
w = w'w".

364
Глава 7. Порядок на группах кос
7.5.1. Ручки
Определение 7.25. Косовое слово вида σ^σΓ1 или σΓ1^, где
ie{l, ...,п — 1}и и—либо пустое слово, либо косовое слово индекса
больше /, называется агручкой. Знак а^ручки и равен +1, если ν —
= G{ua^1, и —1, если υ — G^luG{.
Подручкой мы будем понимать любую а^ручку, где ie{l,.. .,п—1}.
На рис. 7.1 изображены две а^ручки, слева со знаком +1 и справа
со знаком —1 (пустые прямоугольники изображают произвольные
косы из η — i нитей).
...
У
( 1
\/
Л
1 i-1 i i +1i + 2 π 1 i-1 i i + li + 2 η
Рис. 7.1. агручки
Полезно заметить, что любая ση-\ -ручка обязательно имеет вид
°п-\<7п-1 ИЛИ ап-1°п-Ъ
Следующая лемма непосредственно вытекает из определений.
Лемма 7.26. Любое косовое слово индекса i е {1,..., η — 1}, не со-
держащее Oi-ручек, либо а^положительно, либо а^отрицательно.
Есть конкретный способ увидеть σ* -ручки, содержащиеся в любом
заданном Косовом слове w: для этого нужно вычеркнуть из этого
слова все буквы σ^1, где j > i, получив тем самым (возможно, более
короткое) слово w[i]. Косовое слово w содержит а^ручку, если w[i]
содержит под слово вида σ^σΓ1 или σΓ1^.
Рассмотрим, например, косовое слово
Тогда
w — σ1σ2σ3σ4σ3 Ισλ 1σ3 Ισ2 λσ·>)θ2θ\σ·>)σ2 Ισλ 1.
w[l]=a1a11aia11,
w[2] = σ\σ2σ^1 σ^1 CF2G\G2l (J^1,
w[3]
w[4] = ш.
rU-U-U-L

§ 7.5. Редукция ручек
365
Мы видим, что слово w имеем три ai-ручки, а именно о\а2о3о^оъ σλ ,
σ~1σ~1σ~1σ3σ2σΙ, σ^σ"^-1, одну а2-ручку σ~1σ3σ2, одну аз-руч-
ку σ3σ4σ^"1 и ни одной а4-ручки.
Определение 7.27. Ручка υ, содержащаяся в Косовом слове w,
называется простой, если w = w\vw2, где w\u — самый короткий со-
держащий ручку префикс слова w.
Лемма 7.28. 1. Всякая простая ручка не содержит других ручек.
2. Любое косовое слово, содержащее по крайней мере одну ручку,
содержит единственную простую ручку.
Доказательство. 1. Пусть имеется косовое слово w = w\vw2, где
υ — простая ручка. Предположим, что υ — w'uw", где и — некоторая
ручка. Тогда w\w'u представляет собой префикс слова ш, содержащий
ручку. По условию w\v = w\w'uw" есть самый короткий содержащий
ручку префикс слова w, поэтому w\w'u — w\w'uw". Следовательно,
слово w" пустое. Так как ν = w'u и и — ручки, первые и последние
их буквы противоположны друг к другу, поэтому первые буквы этих
слов одинаковые. Так как υ — ручка, получаем, что и = и.
2. Пусть w — косовое слово, содержащее по крайней мере одну
ручку. Рассмотрим множество всех префиксов слова w, которые со-
держат ручки. Это множество непусто, так как ему принадлежит само
слово w. В этом множестве имеется самый короткий префикс, он
имеет вид w\vw2, где υ — ручка. Так как префикс w\v содержит ручку,
получаем, что w2 = 0 и ручка ν простая.
Предположим, что существует другая простая ручка υ', для кото-
рой w\v — w[v'. Тогда одно из слов υ и υ' обязательно содержит другое.
В силу п. 1 из этого следует, что υ* = v. D
Ввиду леммы 7.28 мы можем говорить о единственной простой
ручке, определяемой данным косовым словом. Мы можем перефрази-
ровать определение 7.27, сказав, что простая ручка косового слова w
есть первая ручка этого слова, которая входит в него целиком, если
читать слово w слева направо. Например, простой ручкой слова
w = σ2σΙσ^λσΛσ2σ^1σ2σΙ
является σ^"1σ4σ3 (а не σ1σ^"1σ4σ3σ]Γ1).
7.5.2. Редукция простой ручки
Наша цель — начав с произвольного косового слова, получить σ -по-
ложительное или σ-отрицательное Косове слово, постепенно избавляясь

366
Глава 7. Порядок на группах кос
от простых ручек. Мы достигнем этой цели с помощью некоторого
итеративного процесса, который повторяется до тех пор, пока не оста-
нется ни одной ручки.
Определение 7.29. Пусть υ — а^ручка вида υ = а?иа^е, где i G
€ {1,..., π — 1}, е = ±1 и и —либо пустое слово, либо слово, индекс
которого больше i. Редукцией ручки υ называется косовое слово, по-
лученное из слова и заменой каждой буквы σ.+* на σ^σ^σ^.
Замечания 7.30. 1. Редукцией а^-ручки υ = а?иаге, где и — косо-
вое слово, индекс которого больше i +1, является слово и. В частности,
редукцией σ^-ручки crfa^ является пустое слово.
2. Индекс редукции ручки υ больше или равен индекса ручки υ.
На рис. 7.2 изображена редукция ai-ручки знака +1, в которую
не входят буквы σ^1, а на рис. 7.3 изображена редукция ai-ручки
"о
"о
Рис. 7.2. Редукция σλ -ручки, в которую не входит буква σ^1
"о
\
Ul
\À
Uq
Щ
"2
u2
Рис. 7.3. Редукция σα-ручки, в которую входит буква σ2

§ 7.5. Редукция ручек
367
знака +1, в которую входят две буквы σ2 и не входит буква σ^"1. Пря-
моугольники uo, ui, u2 на этих рисунках представляют косовые слова,
которые либо пусты, либо имеют индекс, не меньший чем 3.
Косы на рис. 7.2 изотопны. Косы на рис. 7.3 тоже изотопны. Это
частный случай следующего простого, но фундаментального свойства
редукции.
Лемма 7.31. Любая ручка представляет тот же элемент груп-
пы Вп, что и ее редукция.
Доказательство. Это утверждение следует из соотношений
е ±i -e f0"/1' если;>; + 2,
{σ1+\σ1 σΜ> ecraj = i + l,
которые вытекают из косовых соотношений в определении 1.1 (здесь
е = ±1). D
Пусть w — косовое слово, содержащее по крайней мере одну ручку.
Заменим в слове w простую ручку этого слова на ее редукцию и обо-
значим результат через red(if). Затем определим по индукции слово
redk(w) для к>0 следующим образом. Для к = О положим red°(if) = w.
Для к > 1 в случае, когда redfc_1(if) содержит хотя бы одну ручку, по-
ложим vedk(w) = red(redfc-1(u;)), а если redk_1(u;) не содержит ручек,
то считаем, что слово redfc(it>) не определено. Будем говорить, что
косовое слово вида redfc(it>), где к > О, получено из слова w редукцией
простых ручек. Согласно замечанию 7.30 (2) редукция простых ручек
не уменьшает индекса косового слова.
В качестве иллюстрации применим редукцию простых ручек к ко-
совому слову
w - σ1σ2σ3σ4σ^1σ2σ^1σ^1σ21σ3σ2σ1σ3σ21σ^1. (7.2)
Получаем (на каждом этапе мы отмечаем простую ручку фигурной
скобкой)
w = σ1α2 σ3σ4σ3"1 σ2σ^λ σ^1 σ^1 σ3σ2σλσ3σ21 σ^1,
red(w) = σ1σ2σ^1σ3σ4σ2σ^1 σ^1 σ^1 σ^σ^σ^1 σ^ \
red2(w) = σ^λσ\ σ2σ4~1σ3σ4σ2~1 σλσ2σ^1 σ^1 σ^σ^γσ^σ^1 σ^1,
red3(u;) = σ^1σ\σ^Λσ^Λσ2σ3σ4σ\ σ2σ^1σ21 σ3σ2σ\σ3σ2λ σ^λ,

368
"лава 7. Порядок на группах кос
red4(w) = σ^
red5(w) = σ^
red6(w) = σ^
red7(w) = σ^~
red8(if) = σ^~
red9(w) = σ^
red10(^) = a2-
red11(if) = &2
σλσ~
cn°4
σο
σο
σο
σ2σ3σ4σ1σ3 1 σ2 1σ3σ3σ2 σ1σ3σ2 Ισλ \
σ2σ3σ4σ1 σ2;1σ3 σ2σ371σ3σ2σ3"1σ1σ3σ2"1σ]"1,
σ2σ3σ4σ1σ2 σ371σ3 σ2σ371σ1σ3σ2^1σ^Χ,
σ2σ3σ4σ1σ2σ2σ371 σ^σ^σ^1,
4 ν '
σ2σ3σ4σ1σ2σ2 σ^σ^ σ2^1σ]"1σ2,
σ2σ3σ4σ1σ2 σ2σ2^"1 σ^~1σ2,
-1
σ2σ3σ4σ1σ2σ1 σ2,
σ2σ3σ4σ2 σ1σ2σ2,
red12(u;) = σ2 1σ\σΑ Ασ3 Ασ3 Ασ2σ3σ4σ1σ2σ2.
Слово red12(w) не имеет ручек; оно σ\ -положительно.
Процесс редукции простых ручек должен остановиться, как утвер-
ждает следующая лемма.
Лемма 7.32. Для каждого косового слова w существует такое
целое число к > О, что редукция redk(w) не содержит ручек.
Теперь мы можем доказать лемму 7.17 — последний недоказан-
ный ингредиент в доказательстве теоремы 7.15. Пусть дано косовое
слово w, представляющее косу β е Вп. В силу леммы 7.32 при неко-
тором к редукция redfc(if) не содержит ручек. Поэтому по лемме 7.26
косовое слово redk(w) либо пустое, либо σ-положительное, либо σ-οτ-
рицательное. Но по лемме 7.31 слово redk(w) представляет косу /3.
Значит, коса β либо тривиальна, либо σ-положительна, либо σ-отри-
цательна. Это доказывает лемму 7.17.
Итак, нам осталось доказать лемму 7.32. Доказательство опирает-
ся на четыре вспомогательных результата, а именно на леммы 7.35,
7.36, 7.37 и 7.39, и будет дано в п. 7.5.8.
Замечание 7.33. Лемма 7.32 дает алгоритм, превращающий каж-
дое косовое слово w в некоторое косовое слово, которое либо пусто,
либо σ-положительно, либо σ-отрицательно и при этом представ-
ляет тот же элемент группы кос Вп, что и исходное слово ш. Этот
алгоритм дает альтернативное решение проблемы тождества слов
в группе кос Вп.

§7.5. Редукция ручек
369
7.5.3. Граф Кэли
В упомянутых выше четырех вспомогательных результатах исполь-
зуются некоторые конечные подграфы графа Кэли группы кос Вп.
Определение 7.34. Графом Кэли группы Вп называется граф Г,
вершинами которого служат элементы группы Вп, а ребра определе-
ны следующим образом: для любых |ЗеВпи1 = 1,...,п-1 имеется
единственное ребро, соединяющее вершины β и βσ{.
Ориентированным ребром в графе Г называется ребро, в котором
отмечена одна из его концевых точек; эта концевая точка называется
начальной, а другая концевая точка называется конечной. Если име-
ется ориентированное ребро а, то это же ребро с противоположной
ориентацией обозначается а, т. е. начальной (соответственно конеч-
ной) вершиной ребра ä служит конечная (соответственно начальная)
вершина ребра а.
Следующим образом снабдим метками все ориентированные реб-
ра графа Г. Если ориентированное ребро а имеет начальную верши-
ну β и конечную вершину ßoi для некоторого i е {1,..., η — 1}, то
метка L(a) определяется как 1{а) = σ^ Если это ребро имеет конечную
вершину β и начальную вершину /3σ;, то метка L(a) определяется как
L(a) = сгг1. В обоих случаях метка L{a) есть однобуквенное косовое
слово, представляющее косу ß$lß\ €Вп, где ß0 — начальная вершина
ребра аи ßi — его конечная вершина.
Путем в графе Кэли Г называется такая конечная последователь-
ность ai,a2,...,ak ориентированных ребер графа Г, что для всех i =
= 1,..., fc — 1 конечная вершина ребра а; совпадает с начальной верши-
ной ребра czi+i. Начальной вершиной пути называется начальная вер-
шина первого ребра аь а конечной вершиной пути — конечная верши-
на последнего ребра а^ этого пути. Для каждого пути а = (ai, а2,..., а^)
определен противоположный путь ä= (äfc,..., ä2, äi). По определению
пустым путем в графе Г считается вершина этого графа, которая
рассматривается и как начальная, и как конечная вершина этого пути.
Пустой путь не имеет ребер.
Каждый путь a = (ai, a2,..., a^) в графе Г мы снабдим меткой,
представляющей собой косовое слово
L{a)=L{al)L{a2)...L{ak)
длины fc, полученное конкатенацией меток ориентированных ребер
а\,а2, ...,afc. Для пустого пути a его меткой L{a) считается пустое

370
Глава 7. Порядок на группах кос
слово. Ясно, что метка L{d) представляет косу ß^ßi € Вп, где βο—
начальная вершина пути а и ß\ — конечная вершина этого пути. Об-
ратно, для любой вершины βο графа Г и любого косового слова w
в графе Г имеется единственный путь а с начальной вершиной /30,
для которого 1{а) = w. Таким образом, имеется взаимно однознач-
ное соответствие между множеством путей в графе Г с начальной
вершиной βο и конечной вершиной β\ и множеством косовых слов,
представляющих косу β$λβο- Заметим, что для любого пути а спра-
ведливо равенство L{a) = (L(a))-1.
7.5.4. Подграф Гг
Рассмотрим определенный в п. 6.5.1 элемент Δη моноида поло-
жительных кос В„. Напомним, что в лемме 6.11 (4) было показано,
что каждый элемент моноида В„ является левым делителем элемента
Δη = (ЛпУ для некоторого г > 0. Определим для каждого целого чис-
ла г > 0 граф Гг как полный подграф графа Г, вершинами которого
являются левые делители элемента Лп подмоноида В„. Так как длина
любого левого делителя элемента Δη не может превышать длины
элемента Лп и множество элементов подмоноида Б„ заданной длины
конечно, множество вершин подграфа Гг конечно. А так как число
ребер, заканчивающихся в заданной вершине, не превосходит η — 1,
подграф Гг конечен.
Путь в подграфе Гг — это такой путь в графе Г, вершины и ребра
которого принадлежат подграфу Гг.
Лемма 7.35. Обозначим через Nr количество ребер в подграфе Гг.
Для i G {1,..., η — 1} любое а^положительное {соответственно 0{-от-
рицателъное) косовое слово, являющееся меткой некоторого пути
в подграфе Гг, содержит букву σ± {соответственно σΓ1) не более чем
Nr раз.
Доказательство. Мы дадим доказательство для ^-положительно-
го случая. Аналогичным образом можно рассмотреть ^-отрицатель-
ный случай.
Рассмотрим путь а = (ai, CZ2,..., a^) в подграфе Гг, меткой которо-
го является er;-положительное слово w. В слово w не входит буква σΓ1,
а каждая буква σ/ в слове w является меткой некоторого ориентиро-
ванного ребра, входящего в путь а. Чтобы доказать лемму, достаточно
проверить, что все ребра с меткой σ; в этом пути различны. Предпо-
ложим, что это не так, т. е. as = at для некоторых s и t, l<s<t<fc,

§ 7.5. Редукция ручек
371
и L(as) = L{at) = σ^ Рассмотрим непустой подпуть
α' = (α5, ...,at_i).
Этот подпуть лежит в подграфе Гг, и его меткой служит некоторое
подслово и слова w. Так как и есть под слово ^-положительного сло-
ва и в него по крайней мере один раз входит буква σ* (а именно,
L(as)), оно ^-положительно. С другой стороны, конечная вершина
подпути а! совпадает с начальной вершиной ориентированного ребра
at — as. Иными словами, путь а' является петлей. Поэтому слово и
представляет тривиальную косу. Но, как следует из леммы 7.16, σ-πο-
ложительное слово не может представлять тривиальную косу. Следо-
вательно, все ребра с меткой σ^ в пути а различны. D
Лемма 7.36. Для любого косового слова w найдутся целое число
г > О и путь в подграфе Гг с меткой w.
Доказательство. Рассмотрим произвольный путь а = (ai,a2,...,ak)
в графе Г с заданной меткой w. Обозначим начальную вершину реб-
ра ai через βο, а конечную вершину ребра at — через ßi (1 < i < fc).
По определению пути начальной вершиной ребра at является ßt-i для
i = 1,..., fc. Согласно п. 6.5.4 существует такое целое число 5 > 0, что
Asnßi G Вп для всех i = 0,1,..., fc. Рассмотрим «сдвинутый» путь
Asn(a) = (Asnai,...,ASnak),
где Asnai — ориентированное ребро графа Г с начальной вершиной
Asnßi-i и конечной вершиной Asnßi для i = 1,..., fc. Меткой пути Asn{a)
также является слово ш. Все вершины этого пути принадлежат подмоно-
иду Вп. По лемме 6.11 (4) существует такое целое число г > 0, что элемен-
ты Anß0, Asnßi, ..., Asnßk являются левыми делителями элемента Ап.
Отсюда следует, что сдвинутый путь Asn(a) лежит в подграфе Гг. D
7.5.5. Выполнение редукции простых ручек в подграфе Гг
Пусть a — путь в графе Г с начальной вершиной ß0 и меткой w.
Согласно п. 7.5.3 в графе Г существует единственный путь с началь-
ной вершиной ß0 и меткой red(w). Мы обозначим этот путь через
red (а). По лемме 7.31 слово red(w) представляет тот же элемент груп-
пы кос Вп, что и слово ш. Поэтому конечные вершины путей a и red (a)
совпадают.
Лемма 7.37. Если а — путь β подграфе Гг, г > 0, то путь red(a)
тоже лежит β подграфе Гг.

372
Глава 7. Порядок на группах кос
Данное в п. 7.5.6 доказательство этой леммы основывается на сле-
дующем разложении редукций простых ручек на элементарные шаги.
Пусть w и и/ — косовые слова. Мы будем говорить, что слово и/
получается из слова w элементарной редукцией, если слово и/ получа-
ется из слова w заменой некоторого подслова и в слове w на слово и',
где замена и ·-> и' есть одна из следующих подстановок:
σ1σ1 е ""* 0' где е = ±1,
σ[σ^ ►-» σ^σ\, где е = ±1, к =
σ(σΜ -* cri+1icrr1(Ji+icrb
σ^σ;+1 -> σ^Ι^σ^σ^1,
σΓ+\σΙ -* σ1σ;+1σΓ1σ^1>
CTi+iar1 -► arV^CTiCTi+i.
= ±1 и |£
-J'l>2,
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Лемма 7.38. От любого косового слова w к его редукции red(w)
можно перейти некоторой конечной последовательностью элемен-
тарных редукций.
Доказательство. Достаточно проверить, что можно перейти от
простой ручки ν к ее редукции υ' некоторой конечной последователь-
ностью элементарных редукций. Далее, простая а^ручка υ обязатель-
но имеет один из двух следующих видов.
1. Если в ручку ν не входят буквы σ^, то
υ = afuoar*, (7.9)
где е = ±1и подслово и0 либо пустое, либо его индекс строго больше
i + 1. В этом случае υ' = и0. Подстановкой (7.4) мы преобразуем руч-
ку υ в слово a?aj~euo и далее это слово преобразуем ви0 с помощью
подстановки (7.3).
2. Если в ручку ν входит буква σ^+19 fc = ±1, то в него не входит
буква σΓ*; в противном случае оно бы не содержало ai+i-ручек, что
противоречило бы лемме 7.28 (1). Отсюда следует, что ручка υ имеет
вид
υ = G^uoG^lulaf+1u2 ... ur-iaf+lurG^e, (7.10)
где е = ±1, fc = ±1, г > 1 и подслова и0,..., иг либо пусты, либо их
индекс строго больше i +1. В этом случае редукцией ручки υ является
слово
υ' = ^σ-\σ*σ*+1^σ-\σ*σ*+^2 ... u^^a^Ur. (7.11)

§ 7.5. Редукция ручек
373
Разберем теперь отдельно четыре случая в зависимости от значе-
ний е и к.
A. Если е = 1 и к = —1, то
ν = GiUo σΓ+\ηΙσΓ+Ιη* · · · Ur-icr^Urar1.
Так как индекс под слова uq строго больше i + 1, к подслову, отмечен-
ному фигурной скобкой, можно применить подстановку (7.4), в ре-
зультате которой ручка υ преобразуется в слово
"о сп°Г+\ ηΙσΓ+\η2 · · · Ur-ia^Urar1.
Применив к подслову, отмеченному фигурной скобкой, подстановку
(7.5), мы получим
uofa^a^ai+ùlamVfriUi · · · Ur-ia^Uraf1].
Подслово в квадратных скобках имеет тот же вид, что и υ, но короче.
Итерируя подстановки (7.4) и (7.5), мы получим слово
Наконец, применив к подслову ац1га^1 подстановки (7.3) и (7.4), мы
получим слово υ', написанное в формуле (7.11).
Б. Если е = — 1 и к = 1, то мы действуем так же, как в предыдущем
случае, только используя подстановку (7.6) вместо (7.5).
B. Если е = — 1 и к = —1, то
υ = σΓ^οσ^ΖΙΙσ"1^ ... ur-iar+\urai.
Здесь мы начнем действовать справа: с помощью подстановки (7.4)
преобразуем ручку υ в слово
Далее с помощью подстановки (7.7) преобразуем это слово в слово
[а^иоаг^щаг^ ... ^-^(а^аг1^)^.
В полученном слове подслово в квадратных скобках имеет тот же вид,
что и ν, но короче. Затем, итерируя подстановки (7.4) и (7J), мы
получим слово
Наконец, применив к подслову g^uqGi подстановки (7.3) и (7.4), мы
получим слово υ', написанное в формуле (7.11).

374
Глава 7. Порядок на группах кос
Г. Если е = 1ик = 1,то мы действуем так же, как в предыдущем
случае, только используя подстановку (7.8) вместо (7.7). D
7.5.6. Доказательство леммы 7.37
Пусть слово w' получается из метки w пути а некоторой элемен-
тарной редукцией, и пусть а' — путь в графе Г с меткой w/ и той же
начальной вершиной, что и у пути а. Ввиду леммы 7.38 достаточно
доказать, что путь а' лежит в подграфе Гг. Последовательно разберем
каждую из подстановок (7.3)-(7.8).
1. Подстановка (7.3). Если слово w' получается из метки w подста-
новкой (7.3), то путь а' получается из пути α удалением некоторой петли.
Так как путь α лежит в подграфе Гг, путь а1 тоже лежит в подграфе Гг.
2. Подстановка (7.4). Мы можем предполагать, что слово σ?σ*
(e = ±l,fc = ±l) является меткой некоторого пути в подграфе Гг с на-
чальной вершиной β0 и конечной вершиной β\. По предположению
ßo, ßo^i и ß\ = βοσ^σ* — вершины подграфа Гг. Так как подстановка
(7.4) заменяет crfcr? на σ?σΚ мы должны проверить, что ßoaf являет-
ся вершиной подграфа Гг, т. е. является левым делителем элемента Лгп
в моноиде В„.
Если е = к = 1, то мы должны проверить, что /ЗоО} является левым
делителем элемента Лгп. Но /30σ) является левым делителем элемен-
та ßoCTjat = ßo^iCTj = ßi, который по предположению является левым
делителем элемента Лгп.
Пусть е = 1 и к — — 1. По определению вершин ß0 и ßi имеем равен-
ство ß\Gj = βο>σ{. В частности, Gi и Gj являются правыми делителями
элемента βο^. В § 6.5 мы доказали, что σ/σ; = GjGî является левым
наименьшим общим кратным элементов σ^ и σ;. Поэтому существует
такой элемент β е. В+, что ßo(Ji = βσ^-σ*. Следовательно, ßo = /3σ;·. Вер-
шина βοσ^1 = β лежит в В„ и является левым делителем элемента Агп,
что и требовалось.
Случай е — — 1 сводится к предыдущим, если обратить ориентацию
путей.
3. Подстановка (7.5). Предположим, что слово сцсг^ является
меткой некоторого пути в подграфе Гг с начальной вершиной /30 и ко-
нечной вершиной β\. Это значит, что косы ßo, ßo&i и β\ — βοο^σ^ при-
надлежат подмоноиду Вп и являются левыми делителями элемента Агп.
Мы должны показать, что косы
βοσ£ν β0σ[+\σ[-\ β0σ-\σ·Λ ai+1 (7.12)

§7.5. Редукция ручек
375
тоже принадлежат подмоноиду ß+ и являются левыми делителями
элемента Ап.
Элемент β0σ^ = ßiGi+i подмоноида В+ является левым кратным
элементов σ^ и σ;+1. Отсюда следует, что /3oc*i является левым кратным
левого наименьшего общего кратного элементов σ; и at+i, которое,
как было показано в § 6.5, равно а^а^ца*. Следовательно, существует
такой элемент β € Б„, что β0σ^ = βα^α^σΙ. Поэтому ß0 = ß&i&i+i>
Косы (7.12) можно выразить через косу β следующим образом:
А>ой = ßo-iai+1ar+\ = β аи
βοσ^1σ^ = βσ1σ^ = β,
βοσ^+\σ^1σΜ = βσΜ.
Ясно, что эти косы принадлежат подмоноиду В„. Так как они являются
левыми делителями элемента
ßaiGi+iai = ßai+iaiGi+i = ß0aiy
они также являются левыми делителями элемента Ап.
4. Подстановка (7.6). Предположим, что слово crr-^i+i является
меткой некоторого пути в подграфе Гг с начальной вершиной ßo и ко-
нечной вершиной ßi. Тогда косы
βο, β = βοσ^1, βλ = ßoa^ai+i = ßai+1
принадлежат подмоноиду В% и являются левыми делителями элемен-
та An- Мы должны показать, что косы ßoGi+i, ßoO'i+iO'i и /Зо^^стг^
принадлежат подмоноиду В+ и являются левыми делителями эле-
мента An.
Ясно, что косы ßo<Ji+i, ßoai+iGi и
ßo^i+i^i^i = ßoa^Gi+iGi = βλσ^
принадлежат подмоноиду B„. Нам известно, что косы ß0 = ßaiH ßi =
= ßai+i являются левыми делителями элемента Ап. Из этого следует,
что правое наименьшее общее кратное элементов βσ± и βσ^\ из под-
моноида Вп является левым делителем элемента Ап. Мы утвержда-
ем, что правое наименьшее общее кратное элементов β ai и βσ^\
равно /3μ, где μ = GiGi+\Gi есть правое наименьшее общее кратное
элементов θ{ и σ{+\. Действительно, ясно, что β μ является правым
кратным элементов βσ{ и βσ{+\. Пусть ν = βσ^β' — ßoiß"— произ-
вольное правое кратное элементов βσ{ и ßat+i, где ß\ /3" eß+. Так как
моноид Вп обладает свойством левого сокращения, Giß1 = Gi+\ß" есть

376
Глава 7. Порядок на группах кос
правое кратное элементов σ; и at+i и, следовательно, правое кратное
элемента μ. Поэтому ν является правым кратным элемента β μ и на-
ше утверждение доказано. Из предыдущих рассуждений следует, что
ß&iO~i+iai = ßat+iGiGi+i является левым делителем элемента Лгп. Тогда
элементы
ßo&i+i = ß&i(7i+i, ßoVi+iGi = ßaiai+iai
и
ßoVi+lViV^ = ßo°^lVi+\Vi = ßdi+iGi.
также являются левыми делителями элемента Лгп.
5. Подстановки (7.7) и (7.8). Слова в подстановках (7.7) и (7.8)
обратны к словам в подстановках (7.6) и (7.5) соответственно. По-
этому мы можем, обратив ориентации путей, рассуждать так же, как
и выше. D
7.5.7. Критические префиксы и критические ручки
Рассмотрим косовое слово w индекса i€{1,..., η—1}. Пусть e(w) —
= ±1 — таково, что самое левое вхождение буквы σ*1 в слово w есть
σ* . Определим критический префикс P(w) слова w как самый длин-
ный префикс слова w, заканчивающийся на букву σ^ и в который
не входит буква σ^~ . Например, если i = 1 и
w = σ\σ2σ·$σ21 &\&ïl сг\&ъ&21 σ\ 1^1ö"^"1aia2,
то e(w) = 1и P(w) = σ1σ2σ3σ^"1σ1σ3"1σ1.
Обозначим через h(w) количество сггручек, содержащихся в сло-
ве w. Если h(w) > 1, то существует единственная а^-ручка, первая
буква afш) которой является последней буквой критического префик-
са P(w). Мы назовем эту ручку критической ручкой слова ш. Легко
видеть, что критическая ручка слова w — это единственная а^-руч-
ка υ, входящая в разложение w = W\VW2, где w\v — самый короткий
префикс слова ш, содержащий σ* -ручку. Существенная разница между
критической ручкой и простой ручкой (см. определение 7.27) косово-
го слова индекса i в том, что критическая ручка — это всегда а^-ручка,
тогда как простая ручка может быть σ;-ручкой, где j > i. Из опреде-
лений следует, что простая ручка слова w содержится в критической
ручке и если простая ручка является σ;-ручкой, то она совпадает с кри-
тической ручкой. Проиллюстрируем разницу между критическими
и простыми ручками на примере следующих трех слов индекса 1.
1. Если w = σ1σ2σ3σ2"1σ1σ^1σ1σ3σ2"1σ:1"1σ2"1, то критическая ручка
этого слова есть α^σ^σ.,"1, а простая ручка — σ2σ3σ^"1.

§7.5. Редукция ручек
377
2. Если w = σγσ-Ισ^σ^1 σ\σ^λо\Оъо^х, то у этого слова нет ai-py-
чек и потому нет критических ручек, а простая ручка есть — это
σ2σ3σ~1.
3. Если w = σ\ σ2 σ3 σ2 σ\ σ^1 σ\ σ3 σ^1 σ^1 σ^1, то простой ручкой этого
слова является ai-ручка σ^σ^σ-,-1. Эта ручка также является
критической ручкой слова w.
Заметим, что если слово является меткой некоторого пути а в гра-
фе Г, то все его подслова, в частности критический префикс, простая
ручка и критическая ручка, являются метками соответствующих под-
путей пути а.
Лемма 7.39. Пусть w — косовое слово индекса i, содержащее по
крайней мере одну ручку. Предположим, что слово w является меткой
некоторого пути а в подграфе Гг с начальной вершиной βο. Тогда
h(red(w)) < h{w). Если ft(red(w)) = h{w) > 1, то е(гес!(ш)) = е(ш)
и в подграфе Гг существует такой путь а(ш), что
1) начальной вершиной пути a{w) служит конечная вершина пути
p(w) с начальной вершиной βο и меткой P(w), a конечной верши-
ной пути a{w) служит конечная вершина пути p(red(w)) с на-
чальной вершиной βο и меткой Р(геа(ш));
2) если индекс простой ручки слова w строго больше i, то путь a{w)
пустой; если же индекс простой ручки слова w равен i, то в метку
пути a{w) ровно один раз входит буква ар и ни разу буква ог{ .
На рис. 7.4 изображены пути a, red(a), подпуть p(w) пути а, под-
путь p(red(w)) пути red(a) и путь a{w).
Доказательство. Если h{w) = О, то слово w не содержит а^-ручек
и переход от w к red(i^) происходит редукцией некоторой о)·-ручки,
где j > i. Ясно, что редукция red(w) не содержит а^-ручек. Следова-
тельно, h(jed(w)) = 0 = h{w).
Рис. 7.4. Путь a{w)

378
Глава 7. Порядок на группах кос
Предположим теперь, что h(w) > 1. Мы можем написать
w = и0а*ига* ... Up-iafup σ*νρ+1σ[~6 νρ+2σ[..., (7.13)
V
где p>0,u0,vi,..., Vp-i, vp, vp+i, vp+2 — косовые слова, индекс которых
больше i, e = ±1 и фигурной скобкой отмечена критическая ручка
слова w, которая существует ввиду того, что h{w) > 1. Под σ( в фор-
муле (7.13) мы понимаем первую букву σ*1, находящуюся правее
критической ручки слова ш, в том случае, когда такая буква там
имеется, и пустое слово, если такой буквы нет, т. е. в том случае, когда
все буквы правее критической ручки суть σ*1, где j > i. Ясно, что
Р(ш) = υοσ*νλσΙ... Цг-1а?ц>а?.
Сначала предположим, что индекс простой ручки слова w строго
больше i. Тогда простая ручка слова w должна быть подсловом в vr для
некоторого г € {0,1,..., ρ + 1}, потому что по определению простой
ручки она не может лежать справа от критической ручки. Тогда слово
red(if) получается из w заменой vr на red(i;r). Эта операция не влияет
на а^ручки. Следовательно, h(red(w)) = h(w) и e(red(u;)) = е(ш). Кри-
тический префикс ведет себя при редукции следующим образом: если
г = ρ + 1, то P(red(u/)) = P{w); если г < р, то P(red(w)) получается
из Р(ш) заменой иг на red(yr). В обоих случаях P(red(if)) представ-
ляет тот же элемент группы кос Вп, что и Р(ш). Поэтому пути р(ш)
и p(red(w)) имеют одинаковые конечные вершины и мы принимаем
за a(w) пустой путь.
Предположим теперь, что индекс простой ручки слова w равен i.
Тогда эта ручка должна быть критической ручкой σ^νρ+\σ^ε. Слово
red(üO получается редуцированием этой ручки. По лемме 7.28 про-
стая ручка не содержит никаких других ручек. Поэтому слово vp+i
либо не содержит букв σ^ν либо содержит буквы σ^ν но не буквы
σ^ν Рассмотрим эти случаи отдельно.
А. Предположим, что слово vp+i не содержит букв σ^ν Тогда слово
red(u;) получается из w заменой простой ручки a?vp+ia^e на up+i.
Если ρ = 0, то
h(red(u/)) < h{w)
и лемма доказана. Предположим, что ρ > 1. Тогда
red(u;) = и0а*ига? ... vp-i a?vpvp+ivp+2af... (7.14)
4 ν '
Сравнивая формулы (7.13) и (7.14), мы видим, что h(red(w)) < /г(ш),
если не выполнено равенство σ( = ар\ В последнем случае в фор-

§ 7.5. Редукция ручек
379
муле (7.14) фигурной скобкой отмечена критическая ручка редукции
геа(ш),
h(red(w)) — h(w) > 1 и е(гес1(ш)) = е(ш).
Так как
P(red(w)) = У0а[ига[ ... ир-га*,
мы имеем
Р(ш)=Р(геа(ш))^.
Кроме того, путь p(red(u;)) является подпутем пути р(ш), следова-
тельно, подпутем пути а. Примем за a{w) путь с меткой ари^Г1, начи-
нающийся в конечной вершине пути р(ш). Ясно, что a{w) является
подпутем обратного пути а, следовательно, a{w) лежит в подграфе Гг.
Конечная вершина пути a{w) совпадает с конечной вершиной пути
p(red(u;)). На рис. 7.5 изображены части путей а и red (а) в подгра-
фе Гг. Путь а(ш) (с противоположной ориентацией) показан в серой
зоне этого рисунка. В метку cr^vf1 пути a{w) ровно один раз входит
буква а[~е и ни разу буква σ?.
критическая ручка слова w
Р(ш)
°f
| 1
P(red(w))
1
1
1 е ' УР+1
П/ * \°Т
Чр+2
of
критическая ручка редукции геё(ш)
Рис. 7.5. Доказательство леммы 7.39: случай А
Б. Предположим, что в слово vp+i входит буква στ£λ и не входит
буква σ^\ν т.е.
Vp+i = u0ai+\ui... uq-iai+1uq,
где q > 1 и u0,ui,..., uq_i,uq — косовые слова, индекс которых не
меньше i + 2. Если ρ = 0, то
red(w) = Moiiocr^af^a^üi... щ^аг^аг6a*+1uqv2af ...
Ясно, что h(jed(w)) < h(w) и все доказано. Если ρ > 1, то редукция
red(u;) равна
ща?ща?... Up-i a*upuoar+\are а*+1иг... Uq-ia^a^a^UqUp^af...

380
Глава 7. Порядок на группах кос
Фигурной скобкой отмечена критическая ручка редукции red(w), и мы
имеем h(red(if)) = h{w) >1и e(red(u;)) = е(ш). Кроме того,
P{w)=P(reà(w))vpal
как и в случае А, и точно так же можно завершить доказательство.
На рис. 7.6 изображены части путей а и red(a) в подграфе Гг. Путь
a{w) (с противоположной ориентацией) показан в серой зоне этого
рисунка.
критическая ручка слова w
P(w)
Uo
чСГ
°ï vp rS \ »^ σ,
f
.„ «fr+2
I
P(red(u/))
"o\
σ,
критическая ручка редукции red(w )
Рис. 7.6. Доказательство леммы 7.39: случай Б
В. Наконец, предположим, что в слово up+i входит буква σ?+1 и не
входит буква σ^, τ. е.
Vp+i = u0a*+1ui... Ug_iaf+1Uq,
где q > 1 и u0, ub... ,uq-i,uq — косовые слова, индекс которых не
меньше i + 2. Тогда редукция red(w) равна
ща?ща? ... Up-iafvpUoar^afa*^ ... uq-iar+\ σ*a*+1uqvp+2vf...
4 ν '
Если σ( — пустое слово или / — е, то h(red(u;)) < h{w) и все доказано.
Если / = —е, то h(red(u;)) = h{w) >1и критическая ручка редукции
red(u;) отмечена фигурной скобкой. Тогда мы имеем e(red(if)) = е(ш).
Полагая υ = vqG^v\G^ ... υρ-\σ^υρ, мы получаем
Р(ш) = υσ* и P(red(w)) = ии0а£га?a*+1ui... Uq-ia^a?.
Пусть а(ш) —путь с меткой
L = üoof+1üi... Uq-xa^iiqa^u^ar^,
начальной вершиной которого является конечная вершина подпути
р(ш) пути а. На рис. 1.1 путь а(ш) показан в серой зоне. Мы видим,
что конечная вершина пути a{w) совпадает с конечной вершиной под-
пути p(red(u;)) пути red (a), a ребрами пути а(ш) служат ребра либо

§ 7.5. Редукция ручек
381
критическая ручка слова w
P(red(u/))
критическая ручка редукции red(w)
Рис. 7.7. Доказательство леммы 7.39: случай В
пути а, либо пути red (а). По лемме 7.37 путь red(a) лежит в подгра-
фе Гг, следовательно, путь a(w) также лежит в подграфе Гг. В слово L
ровно один раз входит буква σΓε и ни разу буква σ?. D
7.5.8. Доказательство леммы 7.32
Здесь мы используем доказанные ранее леммы для доказательства
того, что процесс редукции простых ручек в конце концов останавливает-
ся. Доказательство проведем индукцией по убыванию индекса i слова w.
При i = n — l слово w состоит из букв σ^}τ и любая ручка имеет
вид <7η-\ση-\9 Редуцировать ее означает вычеркнуть ее, следовательно,
длина слова уменьшится на 2. Очевидно, что для достаточно большо-
го к слово reak(w) не будет содержать ни одной ручки.
Предположим, что лемма справедлива для всех косовых слов, ин-
декс которых больше i, и пусть w — некоторое косовое слово индекса i.
Допустим, что лемма 7.32 неверна для слова ш. Это значит, что для
всех к > 0 существует redfc(w), т. е. каждое косовое слово itfc = redfc(w)
имеет по меньшей мере одну ручку. По лемме 7.39 неотрицательные
целые числа h{u\) образуют невозрастающую последовательность,
которая на каком-то месте должна стать постоянной. Отбросив ко-
нечное число Щс, мы можем считать, что существует такое целое чис-
ло h, что h(i^c) = h для всех к > 0. По определению it^+i получается
из Щс редуцированием простой ручки, которая представляет собой
либо G{-ручку, либо σ;-ручку для некоторого j > i. Обозначим через К
множество всех целых чисел к, для которых простая ручка слова w^
является ai-ручкой. Далее мы докажем сначала, что К бесконечно,
а затем — что К конечно. Из этого противоречия следует, что наше
предположение было неверно, т. е. лемма 7.32 верна для слова ш.

382
Глава 7. Порядок на группах кос
Сначала докажем, что множество К бесконечно и h > 1. Для лю-
бого к > О косовое слово щ^ имеет вид
Wk = υ0σ*ν1σ*ν2 ... a?Vpw',
где е = ±1, слова v0, Vi, v2,..., fp имеют индекс строго больше i и сло-
во и/ либо начинается с буквы σΓε (в этом случае h = h(itk) > 0),
либо пустое (в этом случае h = 0). По предположению индукции для
каждого re {0,1,..., р} существует такое fcr > 0, что слово redfc(i;r)
не содержит ручек. Мы утверждаем, что
redk°Ok) = redk°(v0)a*uia*υ2 ... σ*υρω'. (7.15)
Ясно, что это верно для fco = 0, т. е. в случае, когда подслово vq не со-
держит ручек. Если подслово щ содержит какую-нибудь ручку, то оно
содержит простую ручку слова itfc, поэтому редукция red(it^) получа-
ется из слова Щс редуцированием простой ручки подслова щ. Процесс
редукции продолжается до тех пор, пока не будут устранены все ручки
в подслове Уо. Это доказывает равенство (7.15). Аналогичные рассужде-
ния показывают, что для fc' = fc + fco + fci +... + fcp имеет место равенство
uv = redfco+fcl+-+^(u^) =
= red*0(i*))a?redfcl (ui)afred*2(υ2)... of redfc*(up) u/.
Если w' = 0, то слово iiv не содержит ручек, что противоречит наше-
му предположению о бесконечности последовательности (ük)k- Следо-
вательно, слово и/ должно начинаться с буквы σΓβ. Но тогда мы сразу
видим, что σ/-ручка a?redkp(vp)a[~e является простой ручкой слова щ^.
Следовательно, fc7 е К. Таким образом, для каждого fc > 0 существует
такое к' G К, что к' > fc. Это доказывает, что множество К бесконечное.
Это рассуждение также показывает, что h = h(itfc) ^ 1.
Докажем теперь, что множество К конечное. По лемме 7.36 косо-
вое слово w является меткой некоторого пути в подграфе Гг для неко-
торого г ^ 0. Из леммы 7.37 следует, что для каждого fc > 0 слово Wk
является меткой некоторого пути в подграфе Гг. Применим к слову щ^
лемму 7.39. Выше мы заметили, что h> 1. Обозначим через е общее
значение чисел e(itk) для всех fc. Рассмотрим тот путь α(υ\), который
дает лемма 7.39, и его метку Lk = LÇaiwk)). Если fc φ К, то Lk = 0;
если же fc е К, то в слово Lk ровно один раз входит буква аге и ни разу
буква σ*. Для каждого целого I > 0 пути а(шо), a(w{),..., а(щ) можно
сцепить последовательно, поскольку согласно лемме 7.39 начальная
вершина каждого пути a{ws) совпадает с конечной вершиной пути

§7.6. Подход Нильсена —Тёрстона
383
a(w5_i). Каждый из путей a(w0), a{w{),..., а(щ) лежит в подграфе Гг,
поэтому сцепленный путь a(w0)a(wi)... а{щ) также лежит в подгра-
фе Гг. Меткой сцепленного пути служит конкатенация L0Ii... Lb в ко-
торую по лемме 7.39 не входит буква af, а буква аге входит столько
раз, сколько имеется элементов из К в множестве {0,1,..., Z}. По лем-
ме 7.35 число таких вхождений буквы сгге ограничено сверху некото-
рым целым числом Nr. Отсюда следует, что
card(Kn{0,l,...,Z})<Nr
для любого I > 0. Поэтому множество К конечное. Таким образом, мы
добились требуемого противоречия. Π
Замечание 7.40. Редуцирование простых ручек позволяет нам из-
бавиться от всех ручек в любом Косовом слове. Действительно, в дока-
зательстве леммы 7.17 нам нужно было только убить σ^ -ручки в косо-
вых словах индекса i. Этого можно было достичь редуцированием од-
них только критических ручек. А последние можно редуцировать после
того, как мы избавимся от содержащихся в них σ{+\ -ручек. Мы поддер-
живаем читателя в желании осуществить процесс редукции критиче-
ских ручек надлежащим образом. Соответствующим образом опреде-
ленная редукция критических ручек быстрее редукции простых ручек,
потому что при этом нужно убить меньше ручек, в чем можно убедить-
ся, например, применив оба способа редукции к косовому слову (7.2).
§7.6. Подход Нильсена — Тёрстона
В завершение этой главы мы кратко опишем геометрический ме-
тод введения порядка в группы кос. Этот метод, основывающийся на
предложении 7.41, требует достаточно хорошего знания гиперболиче-
ской геометрии и классической работы Нильсена [Nie27] о гомомор-
физмах поверхностей.
Предложение 7.41. Пусть группа G действует на линейно упоря-
доченном множестве X сохраняющими порядок биекциями и имеется
такой элемент множества X, стабилизатор которого тривиален.
Тогда группа G упорядочиваема.
Напомним, что стабилизатором элемента α е X называется под-
группа группы G, состоящая из всех элементов, неподвижных в точке а.
Доказательство. Для / G G и Ь G X обозначим через /(b) G X
результат действия преобразования / на точку Ь. По условию Ъ<Ъ'' =>

384
Глава 7. Порядок на группах кос
=^ /(b) < fib') в X для всех Ь, Ь' g X и / G G, a также существует такая
точка α GX, что /(α) = α =>/ = 1. Для f,geG определим / <α g, если
/(ß) ^ g (a) Для заданного линейного порядка на множестве X. Ясно,
что отношение <а на G рефлексивно и транзитивно. Покажем, что
оно антисимметрично. Действительно, из того, что / <а g и g <а /,
следует, что /(а) < g (а) < /(а). Значит, /(а) = g (а), что эквивалентно
тому, что (g-1/) (α) = α. Поэтому g-1/ = 1 и, следовательно, / = g.
Таким образом, мы проверили, что <а является порядком на группе G.
Так как порядок на множестве X линейный, порядок <а на группе G
также линейный.
Остается проверить, что порядок <а левоинвариантен. Пусть / <ag
в группе G и h G G. Так как /(α) < g (α) и элемент h действует на мно-
жестве X как сохраняющая порядок биекция, мы получаем
(h/)(a) = h{f(a)) < Hg(a)) = (hg)(a).
Следовательно, hf <α hg. D
Пусть S — замкнутая связная ориентированная поверхность рода
один с η > 1 отмеченными точками Рь..., Рп. Пусть на ней задана
простая замкнутая кривая G, разделяющая поверхность S на поверх-
ность Si рода один и круг S2, содержащий все отмеченные точки (слу-
чай η = 3 см. на рис. 7.8). По теореме 1.33 группа кос Вп изоморфна
группе классов отображений М, состоящей из изотопических клас-
сов сохраняющих ориентацию автогомеоморфизмов поверхности S,
тождественных на Si и переставляющих отмеченные точки.
Снабдим дополнение S\ {Pi,..., Рп} полной гиперболической мет-
рикой, для которой кривая С является геодезической, а отмеченные
точки каспами. Зафиксируем на кривой С какую-нибудь начальную
точку х0. Гиперболическая метрика позволяет нам отождествить уни-
версальное накрытие над S\{Pi,...,Рп} с внутренностью D° =D\dD
единичного круга D на плоскости С. Кроме того, мы можем считать,
что центр 0 круга D проектируется в точку х0. Любой сохраняющий

Замечания
385
ориентацию автогомеоморфизм ψ поверхности S, неподвижный в точ-
ке хо и переставляющий отмеченные точки, можно единственным
образом поднять до некоторого автогомеоморфизма ψ открытого кру-
га D°, неподвижного в точке 0. Нильсен (см. [Nie27, Sect. 10]) показал,
что автогомеоморфизм ψ продолжается до некоторого сохраняющего
ориентацию автогомеоморфизма Φ круга D. Он также доказал, что
θφ = <P\dD зависит только от изотопического класса автогомеоморфиз-
ма φ. Следовательно, группа классов отображений M = Вп действует
сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами на окружности dD.
Это действие неподвижно в некоторой точке z е dD. В качестве z мы
можем взять одну из концевых точек компоненты прообраза кривой С
в круге D, проходящей через 0. Тем самым мы получили действие
группы кос Вп на R = dD \ {z} сохраняющими ориентацию гомеомор-
физмами и потому сохраняющими порядок гомеоморфизмами.
Применим теперь предложение 7.41 к этому действию, где G = Bn
и X = R. Чтобы мы могли заключить, что группа кос Вп упорядочива-
ема, нам нужно проверить, что подмножество Y с R, состоящее из то-
чек с тривиальным стабилизатором, непусто. Дополнение Ζ = R\Y
представляет собой объединение множеств неподвижных точек дей-
ствий οφ, где φ пробегает все элементы группы Л = Вп, отличные
от единичного. Так как группа Вп счетна, Ζ есть счетное объединение
таких множеств неподвижных точек. Согласно работе [Nie27, Sect. 14]
для любого ψ Φ 1 множество неподвижных точек действия 3φ являет-
ся замкнутым подмножеством с пустой внутренностью. Из теоремы
Бэра (см., например7, [Ке155, гл. 6] или [Rud66, Th. 5.6]) следует, что
внутренность подмножества Ζ пустая. Поэтому дополнение Y = R\Z
всюду плотно в R и, значит, непусто.
Замечания
Общие сведения об упорядочиваемых группах можно найти в кни-
гах [MR77] и [Pas77]. Целый ряд возникающих в топологии групп
упорядочиваемы; см. [RW00], [SW00], [RW01], [Gon02], [BRW05].
В изложении доказательства биупорядочиваемости групп крашеных
кос мы следовали работам [KR03], [DDRW02, Sect. 9.2].
7 А также Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональ-
ного анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, или любое другое издание, гл. II, § 3, теорема 2. —
Прим. перев.

386
Глава 7. Порядок на группах кос
Представленный в § 7.3 левоинвариантный линейный порядок
был открыт Деорнуа в 1991-1993 гг.; см. [Deh94]. До тех пор не было
известно, упорядочиваемы ли группы кос. Изложение большей части
§ 7.3 следует работам [DehOO], [DDRW02, Chap. 1]. Теорема 7.15 при-
надлежит Деорнуа. Предложение 7.19 было доказано в статье [МНОЗ].
В изложении доказательства леммы 7.16 мы следовали статье [Lar94].
Редукция ручек впервые была определена в статье [Deh97]; см.
также [DehOO, Chap. Ill], [DDRW02, Chap. 3]. На практике алгоритм,
который дает лемма 7.32, оказывается весьма эффективным, более
быстрым, чем другие имеющиеся алгоритмы.
Геометрический подход, изложенный в § 7.6, основывается на на-
блюдении У. Тёрстона, которое было записано X. Шортом и Б. Вистом.
Этот подход приводит к семейству левоинвариантных линейных по-
рядков на группах кос Вп, в которое входит порядок Деорнуа. Клас-
сификация этих порядков дана в статье [SW00]; см. также [DDRW02,
Chap. 7]. Для предложения 7.41 имеется красивая обратная теорема
при X = R: любая счетная упорядочиваемая группа действует на R
сохраняющими порядок гомеоморфизмами так, что существует точ-
ка в R с тривиальным стабилизатором (см. [GhyOl] или [DDRW02,
Prop. 7.1.1]).
Имеются другие доказательства упорядочиваемое™ групп кос,
среди которых особенно следует отметить работы Фенна, Грини,
Рольфсена, Рурка и Виста [FGRRW99], Шорта и Виста [SW00], Функа
[FunOl] и И. А. Дынникова (неопубликовано). См. также моногра-
фии [DehOO], [DDRW02], [DDRW08] и обзор [Kas02].

Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z)
ОБРАЗУЮЩИМИ И СООТНОШЕНИЯМИ
Пусть SL2(Z) — группа квадратных матриц порядка 2 с элемента-
ми из кольца целых чисел Ζ и детерминантом 1. Ее центр — группа
порядка 2, порожденная скалярной матрицей —12, где /2 — единичная
матрица. Факторгруппа
PSL2(Z) = SL2(Z)/(-J2)
называется модулярной группой; ее можно отождествить с группой
рациональных функций на комплексной плоскости С, имеющих ввд
(az + b)/(cz + d), где a, b,c,d — такие целые числа, что ad — bc = l.
Рассмотрим следующие три задания групп образующими и соот-
ношениями:
(а, Ъ\аЪа = bab, (aba)4 = 1), (АЛ)
(s,t\s3 = t\t4 = l), (A.2)
(s,t\s3 = t2 = l). (A.3)
Лемма АЛ. 1. Задания (АЛ) и (А.2) определяют одну и туже груп-
пу G с точностью до изоморфизма. Группа G изоморфна факторгруппе
группы кос Вз по центральной подгруппе, порожденной элементом
(σ1σ2σλγ.
2. Группа Н, определенная заданием (А.З), изоморфна факторгруппе
группы кос В3 по ее центру.
Доказательство. 1. Легко проверить, что взаимно обратные под-
становки , , _1 , _1 о
s = ab, t — aba и a = s t, b = t s
преобразуют задание (АЛ) в (А.2) и наоборот. Это доказывает, что
задания (АЛ) и (А.2) определяют изоморфные группы.
Заменив α на ai и Ъ на σ2 в задании (АЛ), мы видим, что группа G
изоморфна факторгруппе группы В3 по нормальной подгруппе, по-

388
Приложение А
рожденной элементом (aia2ai)4. Этот элемент равен квадрату эле-
мента (<Tia2ai)2, который по теореме 1.24 порождает центр Z{B3)
группы Вз·
2. Из заданий (А.2) и (А.З) ясно, что группа Я равна фактор-
группе группы G по нормальной подгруппе, порожденной элементом
s3 — t2 g G. При отождествлениях s — ab — σ\θ2, t = aba = g\G2<J\ мы
имеем равенство Я = Β3/Ζ(Β3). □
Рассмотрим матрицы
Но 0 - Ч-î !)■
Ясно, что Л, ß G SL2(Z). Легко проверить справедливость равенств
АВА = ВАВ и (АВА)4 = 1.
Следовательно, существует гомоморфизм / : G -> SL2(Z), для которого
/(а)=Аи/(Ь) = В. Для s = ab и t = aba с помощью быстрого вычис-
ления получаем
/(5) = АВ = (_; }) и Z(t)=ABA = (_} J). (A.4)
fit2) = (/(t))2 = {ABA)2 = ("J _;) = -I2. (A.5)
Ввиду последнего равенства гомоморфизм / индуцирует гомоморфизм
/:H = G/(t2)-+PSL2(Z).
Теорема А.2. Гомоморфизмы
/:G-*SL2(Z) и /:H = ß3/Z(ß3)-^PSL2(Z)
являются изоморфизмами.
Доказательство. Мы утверждаем, что гомоморфизм / : G —> SL2(Z)
тогда и только тогда инъективен (соответственно сюръективен), когда
гомоморфизм /: Я —> PSL2(Z) инъективен (соответственно сюръек-
тивен). В самом деле, / отображает подгруппу (t2) с G на группу
порядка 2, порожденную элементом —/2. Так как t4 = 1, подгруппа (t2)
имеет порядок не более 2. Следовательно, гомоморфизм / индуцирует
изоморфизм подгруппы (t2) на подгруппу {±/2}. Из этого немедленно
следует наше утверждение.
Поэтому чтобы доказать теорему, достаточно показать, что гомо-
морфизм / : G —> SL2(Z) сюръективен, а гомоморфизм / : Я —> PSL2(Z)
инъективен.

Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z) образующими и соотношениями 389
Сначала проверим, что матрицы А = /(а) и ß = /(b) порождают
группу SL2(Z), из чего следует, что гомоморфизм / : G —» SL2(Z) сюръ-
ективен. С этой целью мы покажем, что произвольную матрицу M е
€ SL2(Z) можно выразить в виде некоторого слова от А±г и В±г. Нам
будет удобно обозначить элементы b и d матрицы
М = (ас 5)eSL2(Z)
через Ь(М) и d(M) соответственно. Положим Τ = /(t) = ЛВЛ € SL2(Z).
Если Ь = 0, то а = d = ±1 и либо M = В~с, либо M = -12ВС = Т2ВС.
Таким образом, в этом случае матрицу M можно выразить в виде
слова от А*1 и B±l.
Если d = 0, то be = —1. Либо Ъ = — с = 1 и тогда M = А~аТ, либо
Ъ = — с = — 1 и тогда M = ΛαΓ3. В обоих случаях матрицу M можно
выразить в виде слова от A±l и В±г.
Предположим теперь, что ни Ъ = Ь(М), ни d = d(M) не равны нулю.
Заметим, что
Ь(АМ) = Ъ{М) + d(M), d{AM) = d{M) (A.6)
и
b(TM) = d{M), d{TM) = -Ъ{М)· (А.7)
Из равенств (А.6) следует, что, умножив матрицу M слева на подхо-
дящую положительную или отрицательную степень матрицы А, мы
получим такую матрицу АпМ, что
0<\b(AnM)\<\d(AnM)\.
Из равенств (А.7) видно, что при умножении слева на матрицу Τ
элементы b и d с точностью до знака меняются друг с другом. Таким
образом, мы можем уменьшать абсолютные величины b и d до тех
пор, пока одна из них не станет равна нулю. Следовательно, умножая
матрицу M слева на степени А или Т, мы можем свести доказатель-
ство к рассмотренным выше случаям b = 0 или d = 0.
Докажем теперь, что гомоморфизм /: Я —» PSL2(Z) инъективен.
Из задания (А.З) группы Я видно, что это свободное произведение
циклической группы порядка 3, порожденной элементом 5, и цикли-
ческой группы порядка 2, порожденной элементом t. Поэтому любой
отличный от единичного элемент группы Я единственным образом
выражается в одной из следующих форм:
w = se4s£2t...ts£r9 wt, tw, twt, t,

390
Приложение А
где Sj — ±1 (i = 1,..., г) (определение свободных произведений групп
и описание нормальных форм их элементов можно найти, например,
в книгах [LS77, разд. 1.11], [Ser77, Sect. 1.1]). Следовательно, доста-
точно показать, что ни один из этих элементов не принадлежит ядру
гомоморфизма /.
Элемент t не принадлежит ядру гомоморфизма / ввиду соотноше-
ний (А.4). Так как элемент twt — twt"1 сопряжен kw ntw сопряжен
к wt, достаточно проверить, что /(ш) φ 1 и f{wt) φ Ι.
Начнем с wt ~ (se4)(se*t)... (s6rt). Так как 5~1t = α и
st = (r1s2)-1 = b~1eH,
мы имеем /(s-1*:) = А и f(st) = Б-1, где А и В — образы матриц А и В
соответственно в группе PSL2(Z). Отсюда следует, что f(wt) является
непустым произведением матриц Ä и Б-1. Тогда достаточно прове-
рить, что никакое непустое произведение матриц
Hi 0 и r,-G О
не равно ±/2- Такое произведение состоит только из неотрицатель-
ных элементов, и после каждого умножения на А или В~г сумма
недиагональных элементов строго возрастает. Поэтому никакое такое
произведение не может равняться ±12.
Если бы выполнялось равенство f{w) = 1, то мы имели бы
/(шо=/(о=(_; j).
Но это невозможно, так как f(wt) есть произведение матриц А и В-1
и потому состоит только из неотрицательных элементов, тогда как
у правой матрицы есть элементы противоположных знаков. Это про-
тиворечие доказывает, что /(ш) ф1. D
Замечания
Приведенные выше доказательства были инспирированы книгой
[Rei32, 2.8-2.9]. Имеются альтернативные доказательства, в которых
используется действие группы PSL2(Z) на верхней полуплоскости Пу-
анкаре (см. [Ser70, §VII.l]) или методы алгебраической К-теории
(см. [MÜ71, §10]).

Расслоения и гомотопические
последовательности
В этом приложении мы напоминаем некоторые понятия из теории
расслоений, нужные в основном тексте книги. За более подробными
сведениями мы отсылаем читателя, например, к книге [ФР84, гл. 5].
Непрерывное отображение ρ: Ε —» В называется локально триви-
альным расслоением со слоем F, если для каждой точки из В существу-
ет ее окрестность U с В вместе с гомеоморфизмом U x F —> p~l(JJ),
композиция которого с отображением ρ равна проекции на первый
множитель U x F —» I/. Ясно, что в этом случае слой F гомеоморфен
прообразу р~1(Ъ) при любом выборе Ъ € В. Пространства Ε и В назы-
ваются соответственно тотальным пространством и базой расслое-
ния р. Отображение / топологического пространства X в Ε называет-
ся поднятием отображения / : X —> В, если ρ о / = /.
Положим / = [0,1]. Говорят, что отображение ρ: Ε —> В облада-
ет свойством поднятия гомотопии относительно топологического
пространства X, если для произвольных отображений / : X —» Ε и
g: X х I —> В, удовлетворяющих условию g(x, 0) = р(/(х)) для всех
х € X, существует такое поднятие
g:XxI->E
отображения g, что g(x} 0) = f{x) для всех x g X.
Более общим образом, говорят, что отображение ρ : Ε —> ß обла-
дает свойством поднятия гомотопии относительно пары топологи-
ческих пространств {X, А с X), если для произвольных отображений
/: X —> Е, g: X xi —> Б и любого поднятия h: AxI —>Е отображения
gUxb удовлетворяющего равенствам g{x,0) = р(/(х)) для всех xgX
и /г(х, 0) = /(х) для всех x G Λ, существует такое поднятие
g:Xx/-»£
отображения g, что g(x, 0) = f{x) для всех хеХи gUx/ = h.

392
Приложение Б
Отображение ρ : Ε —> В называется расслоением в смысле Серра,
если оно обладает свойством поднятия гомотопии относительно всех
кубов Ιη, η = 0,1,... Например, все локально тривиальные расслое-
ния являются расслоениями в смысле Серра. Известно, что всякое
расслоение в смысле Серра обладает свойством поднятия гомотопии
относительно любой пары (полиэдр, подполиэдр).
Основное свойство расслоения в смысле Серра ρ : Ε —» В — это
существование точной последовательности, в которую входят гомото-
пические группы тотального пространства, базы и слоя расслоения р.
Точнее, выберем какую-нибудь точку е G Ε, положим Ъ — р(е) G В,
и пусть F = р~1{Ь) с Ε — слой расслоения ρ над точкой Ъ. Тогда име-
ется бесконечная (в левую сторону) последовательность
... —> n2(F, е) -1* π2(£,е) -Α π2{Β, Ъ) —> m(F9 e) -^
-^ щ{Е,е) -^ 7ii(B, Ъ) —> n0(F,е) -Α π0(Ε, е) -^ п0(В, Ь),
в которой морфизмы i# и р# индуцированы вложением i : F <--» Ε и про-
екцией ρ : Ε —> В соответственно. Члены этой последовательности яв-
ляются группами за исключением трех последних членов, каковые
являются множествами с отмеченным элементом, представляющим
отмеченную точку в пространстве. Морфизмы этой последовательно-
сти являются гомоморфизмами за исключением трех самых правых
стрелок, которые являются отображениями множеств с отмеченны-
ми элементами. Эта последовательность называется гомотопической
последовательностью расслоения р. Она точна в том смысле, что
образ каждого морфизма равен ядру следующего морфизма (для трех
самых правых стрелок под ядром мы понимаем прообраз отмеченного
элемента).
Граничный гомоморфизм д: пп(В,Ъ) —> nn-\{F,e) определяется
следующим образом. Представим любой элемент a G пп{В,Ъ) неко-
торым отображением а: 1п —> В, для которого а(д/п) = Ь. По свойству
поднятия гомотопии для расслоения ρ относительно пары (Г1-1, ЭР-1)
для отображения а существует такое поднятие а : 1п = 1п~1 х / —> Е, что
α(Γ_1 х {1}) = a{din~l xl) = e.
Ограничение поднятия а на 1п~1 х {0}=1п~г дает отображение 1п~г —>Е,
переводящее 1п~г в р~1(Ъ) = F, a dîn~l в е. Это отображение представ-
ляет d(a) G nn-i{F, e).

ЩшнжешеВ
Алгебры Бирман — Мураками —
Венцля
Здесь мы кратко обсудим одно семейство конечномерных алгебр,
являющихся факторалгебрами групповых алгебр для групп кос. Это се-
мейство называется алгебрами Бирман — Мураками — Венцля по име-
ни впервые определивших его Дж. Мураками, Дж. Бирман и Г. Венцля.
Мы также обрисуем интерпретацию представления Лоуренс — Крам-
мера — Бигелоу из § 3.5 в терминах представлений этих алгебр.
Мураками в работе [Mur87] и независимо Бирман и Венцль в ра-
боте [BW89] определили двухпараметрическое семейство конечно-
мерных С-алгебр , ,ч
Сп(а,0,
где а и I — такие ненулевые комплексные числа, что α4 Φ 1 и Ι4 φ 1.
Для i = 1,..., η — 1 положим
По определению алгебра Сп(а, I) есть факторалгебра групповой ал-
гебры С[Вп] по соотношениям
eiGi = Г1еи eiGi-iei = leÎ9 е{о~г\е{ = Г1еи
где i = 1,..., η — 1 в первом соотношении ni = 2, ..., η — 1в последних
двух соотношениях. Заметим, что первоначальное определение в ста-
тье [BW89] содержит больше соотношений; более короткий список,
воспроизведенный выше, см. в статье [Wen90]. Алгебра Сп(а, I) назы-
вается алгеброй Бирман—Мураками—Венцля (или, кратко, БМВ-ал-
геброй). Она допускает геометрическую интерпретацию в терминах
так называемых скейн-классов Кауфмана для плетений в евклидовом
трехмерном пространстве. Это семейство алгебр является деформа-
цией алгебры, определенной Р. Брауэром; см. [Вга37].

394
Приложение В
Алгебраическая структура и представления алгебр Сп{а, I) были
изучены Венцлем (см. [Wen90]), который доказал следующие три факта.
1. Для общих а и I алгебра Сп{а, Ï) полупростая. Здесь слово «общие»
означает, что а не является корнем из единицы и V--Î I не являет-
ся целой степенью числа — л/^-Га. (Последние два числа соответ-
ствуют г и q в обозначениях Венцля.) В последующем мы будем
считать, что а и I общие в этом смысле.
2. Простые конечномерные Сп (а, I)-модули индексируются разбие-
ниями Я неотрицательных целых чисел m, для которых m < η
ит = п (mod 2). Простой Сд(а, 0-модуль, соответствующий раз-
биению Я, будет обозначаться через Улд. Взяв композицию есте-
ственного гомоморфизма С[ВП] —* Сп(а}1) с действием алгебры
Сп(а, Ζ) на модуле У„д, мы получаем неприводимое представление
Bn->Aut(VM).
3. Естественное вложение ßn_i <-> ß„ индуцирует вложение
Cn-i(a,Z) *-><:„(α, Ζ)
для всех π ^ 2. Кроме того, Сп(а, 0-модуль Упд, где Я Ч m, раз-
лагается как Cn_i(а,/)-модуль в прямую сумму @μνη-\,μ, где μ
пробегает все разбиения, диаграммы которых получаются из диа-
граммы разбиения Я вычеркиванием или (при т<п) добавлени-
ем одной клетки. Каждое такое разбиение μ встречается в этом
разложении с кратностью 1.
Утверждения 2 и 3 позволяют нам нарисовать диаграмму Браттели
для последовательности
Ci(a,Z)cC2(a,Z)c...
На этажах этой диаграммы с номерами η = 1,2,... мы поместим все
разбиения Я Ч m, для которых т<:пит = п (mod 2). Затем каждое
разбиение Я на п-м этаже мы соединим ребром с каждым разбиением
на (п — 1)-м этаже, диаграмма которого получается из диаграммы раз-
биения Я вычеркиванием или (при т<п) добавлением одной клетки.
Например, первый этаж состоит из разбиения (1), соответствующего
тавтологическому одномерному представлению алгебры Ci (а, I) = С.
На втором этаже находятся три разбиения: (2), (1,1) и 0 — пустое
разбиение нуля. Все эти три разбиения соединены с единственным
разбиением на первом этаже. Каждое разбиение Я числа т>0 встре-
чается на этажах с номерами m, m + 2, m + 4,...

Алгебры Бирман — Мураками — Венцля
395
Как и в случае алгебр Ивахори — Гекке, диаграмма Браттели
БМВ-алгебр дает полезный метод вычисления размерности модуля
Упд, где Я— разбиение на п-м этаже. Из утверждения 3 ясно, что
dim Упд равно числу путей в диаграмме Браттели, ведущих из един-
ственного разбиения на первом этаже в разбиение Я. Здесь под пу-
тем мы понимаем путь, вершины которого лежат на последователь-
но возрастающих этажах. Проиллюстрируем этот способ вычисления
на нескольких примерах.
1. Обозначим через μ[π] = (1,..., 1) разбиение числа п, диаграмма
которого состоит из одного столбца с и клетками. Пусть μ'[π] = (и) —
сопряженное к μ[π] разбиение числа п, диаграмма которого состоит
из одной строки с н клетками. Имеется только один путь от единствен-
ного разбиения на первом этаже к разбиению μ[π], расположенному
на п-м этаже. Следовательно,
dimV^ftt] = 1
для всех η > 1. Аналогично
а{тУп^<[п] = 1.
Для η > 3 алгебра Сп(а, I) имеет два одномерных представления.
В обоих все et действуют нулевым образом, а все σ^ действуют как
умножение на одно и то же число, равное либо а, либо а-1. Мы
так выберем соответствие между неприводимыми Сп{а, /)-модулями
и разбиениями, чтобы все σ* действовали на модуле νη,μ[η] как умно-
жение на α и на модуле νη,μ'[η\ как умножение на а-1.
2. Для η > 2 обозначим через λ[η] — (2,1,..., 1) разбиение чис-
ла п, диаграмма которого имеет два столбца с п — 1 клетками в первом
столбце и одну клетку во втором столбце. Для η > 3 разбиение λ[η],
расположенное на п-м этаже, соединено только с двумя разбиениями
на (п — 1)-м этаже, а именно с λ[η — 1] и μ[π — 1]. Следовательно,
àimVnfx[n] = dim УП_1Д[П_1] +dimVn__ljM[n_i] = dim Vn-i,A[n-i] + 1.
Имеем Я[2] = μΧ[2], поэтому dim V2,x[2] = 1. Значит, dim Vn,x[n\ = π — 1
для всех п > 2.
3. Для η>3 рассмотрим разбиение μ [π—2], расположенное на п-м
этаже. Оно соединено с тремя разбиениями на (п —1)-м этаже, а имен-
но с μ[π —Ι], μ [π — 3] и λ[η — 1]. Следовательно,
dim νη,μ[η-2] = dimyn_ljM[n_i] +dimVn_ijM[ri_3] + dim Vn-i,A[n-i] =
= 1 + dim V„-i,M[n-3] + η ™ 2 = dim Vn-i,ß[n-3] + π -1.

396
Приложение В
Мы полагаем по определению μ[0] = 0 и выводим из утверждения 3,
что
dim νη,μ[ο] = dim VijM[i] = 1.
Поэтому для всех η > 2 имеет место равенство
а- т/ п(п-1)
dimVnjM[n_2] = —2—·
Из этого следует, что размерность модуля νη,μ[η-2] совпадает с ран-
гом представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу группы кос Вп над
Ζ[ς±λ, t*1]. Это наводит на мысль, что оба эти представления могут
быть связаны друг с другом. Для того чтобы описать эту связь, мы
перемасштабируем представление Вп —> Aut(yn^[n-2])f разделив дей-
ствие каждого ai на а.
Теорема В. 1 (Дзинно). Представление Лоуренс — Краммера—Би-
гелоу, вычисленное при q = —or2 ut — аЧ~1, изоморфно перемасшта-
бированному представлению Вп —> Aut(yn^[n-2]).
Из этой теоремы следует, что представление Лоуренс — Крам-
мера— Бигелоу неприводимо и что после подстановки q = —α-2,
t = a3l~l € С оно пропускается через проекцию Вп —> Сп(а, I).

Ш||ШФ|Ш1?й€ГГ::
Самодистрибутивные слева
множества
Мы дадим здесь краткое введение в так называемые самодистри-
бутивные слева множества, тесно связанные с группами кос.
§ Г.1. Самодистрибутивные слева множества,
автоморфные множества и квандлы
Самодистрибутивным слева множеством (или LD-множеством)
называется пара (X, *), состоящая из множества X и бинарной опера-
ции *:ХхХ^1, удовлетворяющей тождеству
а * (Ь * с) = (а * Ь) * (а * с) (Г.1)
для любых а,Ъ,с е X. Морфизмом /: (X,*) —> (X7,*) самодистрибу-
тивных слева множеств называется такое отображение множеств
/: X —> X', что для всех a,b GX выполняется равенство
f{a*b)=f{a)*f{b).
Понятие самодистрибутивного слева множества очень естествен-
но: для любого элемента а множества X, снабженного какой-нибудь
бинарной операцией * : X х X —> X, рассмотрим левое умножение
La: X —> X, определенное по формуле La(b) = а*Ъ для всех Ь е X.
Равенство (Г.1) можно переформулировать в виде
La(b*c) =La{b)*La{c).
Таким образом, самодистрибутивное слева множество есть множе-
ство, снабженное бинарной операцией, которая сохраняется всеми
левыми умножениями. Термин «самодистрибутивное слева» появился
в результате того факта, что бинарная операция, удовлетворяющая
тождеству (Г.1), дистрибутивна слева относительно самой себя.

398
Приложение Г
Дистрибутивное слева множество (X,*) называется автоморф-
ным множеством8, если левое умножение Ъ^а*Ъ биективно для всех
а еX. Автоморфное множество, удовлетворяющее тождеству а*а = а
для всех а е X, называется квандлом9.
Примеры ГЛ. 1. Формула a*b = b определяет самодистрибутив-
ную слева операцию на любом множестве. Тем самым оно становится
квандлом.
2. Для любого моноида Ь е M и любого фиксированного элемента
ее. M положим a*b = be, а,Ъ еМ. Тогда пара (М, *) будет самодис-
трибутивным слева множеством. Оно тогда и только тогда является
автоморфным множеством, когда для элемента е в моноиде Ъ е M
существует обратный слева к нему элемент. Оно тогда и только тогда
является квандлом, когда Ъе = Ъ для всех Ъ еМ.
3. Для любой группы G положим а*Ь = аЬа~г для а,Ъ eG. Пара
(G, *) является квандлом.
4. Пусть R — кольцо и t G R. Для любых a,beR положим
a*b = (l-t)a + tb. (Г.2)
Это самодистрибутивная слева операция. Пара (Я, *) тогда и только
тогда является автоморфным множеством (в действительности кванд-
лом), когда элемент t обратим в кольце R.
§ Г.2. Действие моноида положительных кос
Здесь мы свяжем самодистрибутивные слева множества с монои-
дами положительных кос Б„, которые были определены в § 6.5. Для
любого самодистрибутивного слева множества {X, *) и любого цело-
го числа π > 2 рассмотрим произведение η экземпляров множества
X: Хп = X х X х ... х X. Для i = 1,..., η — 1 положим
Giißi,..., ап) = (аь ..., Щ-1, at * щ+г, ai} ai+2,..., αη), (Γ.3)
где ai,..., ση-1 — стандартные образующие моноида положительных
кос Вп и ai,..., ап е X.
Лемма Г.2. Формула (Г.З) наделяет множество Хп левым действи-
ем моноида положительных кос В„. Это действие тогда и только
8 Англ. термин — rack, перевод следует предложению Брискорна (см. замечания
к этому приложению). —Прим. перев.
9 Англ. термин — quandle. —Прим. перев.

§ Γ.2. Действие моноида положительных кос
399
тогда продолжается до некоторого левого действия группы кос Вп,
когда пара (X, *) является автоморфным множеством.
Под левым действием моноида £„ на Хп мы понимаем такое отоб-
ражение , „ ,Л ч
BÏxXn->Xn, {β9Α)^βΑ,
что 1Л = А и βψΑ) = {ββ')А для всех A G Хп и β, β' G В+.
Дадим геометрическое описание этого действия. Представим косу
/3 GB+ некоторой диаграммой косы ^ из η нитей и только положитель-
ными перекрестками. Раскрасим η нижних концевых точек диаграм-
мы @ слева направо в цвета ai,..., ап G X. Продолжим эту раскрас-
ку вверх по нитям диаграммы @, руководствуясь тем правилом, что
цвета остаются неизменными до тех пор. пока
„ аг*а2 аг a3
мы не дойдем до перекрестка. В перекрестке
цвет a нити, проходящей сверху, остается неиз-
менным, тогда как цвет Ъ нити, проходящей
снизу, меняется на а * Ъ. Набор (Ьь ...,Ьп)еХп
цветов верхних концевых точек диаграммы &
удовлетворяет равенству ai аг аз
(Ьь ..., Ъп) = /3(аь ..., ап). Рис. ГЛ. Правило
^ « о л тп 1 раскрашивания косы
Случаи η = 3 и ρ = σ\ см. на рис. ГЛ. ^ г
Доказательство. 1. Для доказательства того, что формула (Г.З)
наделяет произведение Хп левым действием моновда положитель-
ных кос Вп, достаточно проверить, что для всех А == (ai,..., ап) G Xn
выполняются равенства
aifajA) = ajfriA)
для тех i, j G {1,..., η — 1}, для которых \i — j\ > 2, и
cri(aI+i(ajA)) = af+ifofo+iA))
для всех i G {1,..., η — 2}. Первое равенство тривиально. Для доказа-
тельства второго равенства сначала вычислим
o-i(ai+i(aiA)) =
= (аЪ · · · , Я£-1, (А* * ûi+l) * (öl * a;+2), ai * Щ+Ъ &U ^i+3, · · · , <ln),
а потом
o"i+i(a£(ai+iA)) = (ab ..., a^i, a;* (ai+i *ai+2), a/: *ai+i, a^, al+3,..., a„).
Ввиду тождества (Г.1) оба выражения равны.

400
Приложение Г
2. Действие моноида положительных кос В„ на Хп тогда и только
тогда продолжается до некоторого левого действия группы кос Вп, ко-
гда для всех i = 1,..., η — 1 отображения А ·-> σ*Α биективны. Из опре-
делений ясно, что это условие эквивалентно биективности всех левых
умножений Ъ*-+ а*Ъ. D
§ Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные
слева множества
Пусть даны самодистрибутивное слева множество (X, *) и элемен-
ты а, се X. Будем писать а<с, если а*Ъ = с для некоторого b € X.
Например, если X — автоморфное множество, то α -< с для всех а,сеХ.
Определим на любом самодистрибутивном слева множестве X би-
нарное отношение =^, полагая а^Ъ, если а = Ъ или существуют такие
элементы а.о,ai,...,агеХ, что a = a0-<ai -<...<аг = Ъ. Будем говорить,
что самодистрибутивное слева множество X упорядочиваемо, если
отношение ^ является порядком на X. В этом случае отношение ^
называется каноническим порядком на X. Например, автоморфное
множество (X, *) тогда и только тогда упорядочиваемо, когда мно-
жество X состоит только из одного элемента. Это наводит на мысль,
что упорядочиваемые самодистрибутивные слева множества сильно
отличаются от автоморфных множеств.
Приведем три примера упорядочиваемых самодистрибутивных
слева множеств. В п. 7.4.1 мы рассматривали свободную группу F«>
со счетным множеством образующих {х\, Х2, хз,...}. В обозначениях
этого пункта определим бинарную операцию * на группе автоморфиз-
мов Aut(Foo) по формуле
φ * ψ = φ о Г (я/0 о <7i о Τ(φ~1) (Γ. 4)
для любых φ, ψ G Aut(Foo). Читатель может проверить, что эта формула
действительно определяет самодистрибутивную слева операцию и что
самодистрибутивное слева множество (Aut(Foo), *) упорядочиваемо
(см. упражнение Г.3.4).
Второй пример упорядочиваемого самодистрибутивного слева мно-
жества доставляет группа бесконечных кос ßoo (см. п. 7.3.5), наделен-
ная бинарной операцией
ß*ß' = ß sh(/3')cri shOS"1), (Г.5)
где ß,ß/ G ßoo и sh — сдвиг, определенный в п. 7.4.2. Гомоморфизм
групп ßoo —> Aut(Foo), являющийся прямым пределом инъективных

§ Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные слева множества 401
гомоморфизмов Вп —> Aut(Fn), определенных в п. 1.5.1, представляет
собой морфизм самодистрибутивных слева множеств. Это наблюде-
ние можно использовать для проверки того, что операция (Г.5) са-
модистрибутивна слева и что самодистрибутивное слева множество
(В«», *) упорядочиваемо (см. упражнение Г.З.5).
Третий пример упорядочиваемого самодистрибутивного слева мно-
жества доставляет свободное самодистрибутивное слева множество
с одной образующей. Это самодистрибутивное слева множество ха-
рактеризуется следующим универсальным свойством.
Предложение Г.З. Существует такое самодистрибутивное слева
множество (D, *) с отмеченным элементом х е D, что для произволь-
ного самодистрибутивного слева множества (X, *) и любого элемента
аеХ существует единственный морфизм самодистрибутивных слева
множеств /: D —>Х, для которого f(x)=a. Такое самодистрибутивное
слева множество (D, *) единственно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Следуя Бурбаки, определим понятие магмы как
множества, наделенного бинарной операцией *. Рассмотрим свобод-
ную магму Mag с одной образующей х (подробности см. в книге [Вои70,
Chap. I, Sect. 7]10). Любой ее элемент можно представить в виде по-
ложительной степени образующей х, снабженной полным набором
скобок, например х, х * х, (х * х) * х, х * (х * х), ((х * х) * х) * х,
(х * (х * х)) * х, х * ((х * х) * х), х * (х * (х * х)), (х * х) * (х * х),...
Бинарная операция * на множестве Mag для слов w\ и ш2 определя-
ется по формуле [w\) * (w2).
Обозначим через ~ наименьшее отношение эквивалентности на
магме Mag, удовлетворяющее условиям t\ * (t2 * Ь) ~ (h * t2) * (ti * £з)
и t\ * t2 ~ t[ * t'2, если t\ ~ t[ и t2 ~ t'2. Далее, обозначим через D
множество классов эквивалентности ~ на магме Mag. Тогда по опре-
делению отношения эквивалентности ~ бинарная операция * на Mag
индуцирует на множестве D некоторую самодистрибутивную слева
операцию, которую мы также будем обозначать через *.
Для любого самодистрибутивного слева множества (X, *) и любо-
го выделенного элемента аеХ определим отображение f : Mag -> X
по индукции, полагая f'{x) = a и
//(tl*t2)=/'(tl)*//(t2)
Русский перевод этой книги выполнен с более раннего издания, в котором понятие
магмы отсутствует.—Прим. перев.

402
Приложение Г
для всех t\, t2 Ξ Mag. Так как множество X самодистрибутивно слева,
отображение /' индуцирует некоторый морфизм самодистрибутив-
ных слева множеств f:D—>X, для которого f(x) = а. Легко показать,
что такой морфизм / единствен.
Единственность самодистрибутивного слева множества D с точ-
ностью до изоморфизма следует из его универсального свойства. D
Теорема Г.4. Самодистрибутивное слева множество (D, *) упоря-
дочиваемо, и его канонический порядок линейный.
Доказательство см. в статье [Deh94] или в книге [DehOO, Chap. V].
Упражнение Г.3.1. Пусть Ех—множество ненулевых векторов
в евклидовом векторном пространстве. Для а,Ь^Ех определим а * Ь
как отражение вектора Ъ относительно гиперплоскости, ортогональ-
ной к вектору а. Докажите, что (Ех, *) — автоморфное множество.
Упражнение Г.3.2. а) Пусть Fs — свободная группа с множеством
образующих S. Наделим произведение Xs=FsxS бинарной операцией
Оь si) * (ш2,52) = Oisiu;"1, s2),
где wi, w2 е Fs и sb s2 e S. Докажите, что (Xs, *) — автоморфное мно-
жество.
б) Докажите, что всякое автоморфное множество X является фак-
тором автоморфного множества Xs, где S—любое порождающее мно-
жество автоморфного множества X.
Упражнение Г.3.3. Пусть A=Z[t, Г"1] — кольцо лорановых полино-
мов с целочисленными коэффициентами. Это автоморфное множество
относительно бинарной операции, определенной по формуле (Г. 2). До-
кажите, что соответствующее действие группы кос Вп на Лп линейное
и изоморфно представлению Бурау из § 3.1.
Упражнение Г.3.4. Докажите, что пара (Aut(Foo),*), где опера-
ция * определена по формуле (Г.4), является упорядочиваемым само-
дистрибутивным слева множеством. (Указание: используйте множе-
ство Ε из п. 7.4.1.)
Упражнение Г.3.5. Докажите, что пара (Aut(Ba>),*)5 где опера-
ция * определена по формуле (Г.5), является упорядочиваемым само-
дистрибутивным слева множеством.
Упражнение Г.3.6. Докажите, что существует биекция между сво-
бодной магмой Mag, определенной в доказательстве предложения Г.З,

Замечания
403
и множеством планарных бинарных деревьев с корнями. Покажите,
что число элементов магмы Mag, в которые образующая х входит η
раз, равно числу Каталана ( п J/(n + 1).
Замечания
Идею использовать автоморфные множества для слов и для по-
строения представлений групп кос можно найти, например, в статьях
Джойса [Joy82], С.В.Матвеева [Мат82] и Брискорна [Bri88] (термин
«автоморфные множества» принадлежит Брискорну; см. историческое
изложение теории автоморфных множеств в статье [FR92]). Джойс
и Матвеев сопоставили каждому узлу некоторый квандл, определя-
ющий этот узел с точностью до изотопии и зеркального отражения.
Поэтому уже немалое время автоморфные множества и квандлы при-
вычны для топологов.
С другой стороны, упорядочиваемые самодистрибутивные слева
множества, особенно те из них, канонические порядки которых ли-
нейны, изучаются совсем недавно, в основном в теории множеств.
Причина этого в том, что впервые упорядочиваемые самодистрибу-
тивные слева множества были замечены в теории больших кардина-
лов и их первая конструкция опиралась на аксиому большого карди-
нала. Чтобы избежать использования этой аксиомы, Деорнуа изучал
свободное самодистрибутивное слева множество D из § Г.З. Больше
подробных сведений о притоке идей из теории множеств в группы кос
можно найти в работах [Lav92], [DehOO, Chap. XII]. Отметим, что Лей-
вер (см. [Lav92]) доказал, что всякое упорядочиваемое самодистрибу-
тивное слева множество, порожденное одним элементом, изоморфно
свободному самодистрибутивному слева множеству D.
Теорема Г.4 принадлежит Деорнуа; см. [Deh94]. Упражнение Г.3.1
взято из статьи [Bri88], а упражнения Г.3.2-Г.3.5 — из книги [DehOO].

Литература
[Ale23a] Alexander J. W. A lemma on systems of knotted curves // Proc. Nat.
Acad. Sei. 1923. V.9, №3. P. 93-95.
[Ale23b] Alexander J. W. Deformations of an n-cell // Proc. Nat. Acad. Sei.
1923. V. 9, № 12. P. 406-407.
[Ale28] Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans.
AMS. 1928. V. 30, № 2. P. 275-306.
[А1Ю2] Allcock D. Braid pictures for Artin groups // Trans. AMS. 2002. V. 354,
№9. P. 3455-3474.
[AAG99] Anshel I.,Anshel M., Goldfeld D. An algebraic method for public-key
cryptography // Math. Res. Lett. 1999. V.6, №3-4. P. 287-291.
[Art25] Artin Ε. Theorie der Zöpfe // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1925.
V.4, №1. P.47-72.
[Art48a] Artin E. Theory of braids // Ann. of Math. (2). 1947. V. 48, № 1.
P. 101-126.
[Art48b] Artin Ε. Braids and permutations // Ann. of Math. (2). 1947. V. 48,
№3. P. 643-649.
[Bau63] Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups // J.
London Math. Soc. 1963. V. 38, №1. P. 117-118.
[Bax72] Baxter R. J. Partition function for the eight-vertex lattice model //
Ann. Physics. 1972. V.70, №1. P. 193-228.
[Bax82] Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics. London:
Academic Press, 1982. (Рус. перев.: Бэкстер Р. Точно решаемые
модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.)
[BF04] Bellingeri P., Funar L. Polynomial invariants of links satisfying cubic
skein relations // Asian J. Math. 2004. V.8, №3. P. 475-509.
[Ben83] Bennequin D. Entrelacements et équations de Pfaff // Third Schnep-
fenried geometry conference. V. 1 (Schnepfenried, 1982). Paris: Soc.
Math. France, 1983. (Astérisque; V. 107-108). P. 87-161.
[Ben98] Benson D. J. Representations and cohomology. I: Basic representa-
tion theory of finite groups and associative algebras. Second edi-
tion. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. (Cambridge
Stud. Adv. Math.; V. 30).

Литература
405
[BDM02] Bessis D., Digne F., Michel J. Springer theory in braid groups and the
Birman —Ko — Lee monoid // Pacific J. Math. 2002. V. 205, №2.
P. 287-309.
[Big99] Bigelow S. The Burau representation is not faithful for η = 5 //
Geom. Topol. 1999. V.3. P. 397-404 (electronic).
[BigOl] Bigelow S. Braid groups are linear // J. AMS. 2001. V. 14, № 2.
P. 471-486.
[Big02] Bigelow S. Representations of braid groups // Proceedings of the
International Congress of Mathematicians. V. II (Beijing, 2002). Bei-
jing: Higher Ed. Press, 2002. P. 37-45,
[Big03] Bigelow S. The Lawrence — Krammer representation // Topology and
geometry of manifolds (Athens, GA, 2001). Providence, RI: AMS,
2003. (Proc. Sympos. Pure Math.; V.71). P. 51-68.
[Bir69a] Birman J. S. Mapping class groups and their relationship to braid
groups // Comm. Pure Appl. Math. 1969. V. 22, №2. P. 213-238.
[Bir69b] Birman J. S. Automorphisms of the fundamental group of a closed,
orientable 2-manifold // Proc. AMS. 1969. V. 21, №2. P. 351-354.
[Bir74] Birman J. S. Braids, links, and mapping class groups. Princeton, NJ:
Princeton University Press, 1974. (Ann. of Math. Studies; V.82).
[BB05] Birman J. S., Brendle T. E. Braids: a survey // Handbook of knot
theory. Amsterdam: Elsevier B. V., 2005. P. 19-103.
[BKL98] Birman J., Ко К. H., Lee S. J. A new approach to the word and the
conjugacy problem in the braid groups // Adv. Math. 1998. V. 139,
№2. P. 322-353.
[BW89] Birman J. S., Wenzl H. Braids, link polynomials and a new alge-
bra // Trans. AMS. 1989. V. 313, №1. P. 249-273.
[Bou58] Bourbaki N. Algèbre. Paris: Hermann, 1958. Chapitre VIII. (Рус. пе-
рев.: Бурбаки H. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука,
1966. Гл. VIII, с. 119-325.)
[Bou68] Bourbaki N. Groupes et algèbres de Lie. Paris: Hermann, 1968. (Рус.
перев. глав IV-VI: Бурбаки H. Группы и алгебры Ли. Группы Ко-
кстера и системы Титса, группы, порожденные отражениями
системы корней. М.: Мир, 1972.)
[Bou70] Bourbaki N. Algèbre. Paris: Hermann, 1970. Chapitres I—III. (Рус.
перев. более раннего издания: Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраиче-
ские структуры, линейная и полилинейная алгебра. М.: Физмат-
лит, 1962.)
[BRW05] Boyer S., Rolf sen D., Wiest В. Orderable 3-manifold groups // Ann.
Inst. Fourier (Grenoble). 2005. V.55, №1. P. 243-288.

406
Литература
[Bra37] Brauer R. On algebras which are connected with the semisimple
continuous groups // Ann. of Math. (2). 1937. V. 38, №4. P. 857-872.
[Bri71] Brieskorn E. Die Fundamentalgruppe des Raumes des regulären Or-
bits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe // Invent. Math.
1971. V. 12, № LP. 57-61.
[Bri73] Brieskorn E. Sur les groupes de tresses [d'après Arnold] // Séminaire
Bourbaki (1971/1972), Exp. No. 401. Berlin: Springer-Verlag, 1973.
(Lecture Notes in Math.; V. 317). P. 21-44. (Рус. перев.: Брискорн Э.
О группах кос (по В. И. Арнольду) //Математика. Сб. переводов.
1974. Т. 18, вып.З. С. 46-59.)
[Bri88] Brieskorn E. Automorphic sets and braids and singularities // Braids
(Joan S. Birman, Anatoly Libgober, eds.). Providence, RI: AMS, 1988.
(Contemp. Math.; V.78). P. 45-115.
[BS72] Brieskorn E., Saito K. Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen // Invent.
Math. 1972. V. 17, №4. P. 245-271.
[Bud05] Budney R. D. On the image of the Lawrence — Krammer representa-
tion // J. Knot Theory Ramifications. 2005. V. 14, №6. P. 773-789.
[Bur33] Burau W. Über Zopfinvarianten // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.
1933. V. 9, № LP. 117-124.
[Bur35] Burau W. Über Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettun-
gen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1935. V. 11, №1. P. 179-186.
[Bur97] Burckel S. The wellordering on positive braids // J. Pure Appl. Al-
gebra. 1997. V.120, №1. P.l-17.
[BZ85] Bürde G., Zieschang H. Knots. Berlin: Walter de Gruyter, 1985.
(De Gruyter Studies in Math.; V.5).
[CP94] Chari V., Pressley A. A guide to quantum groups. Cambridge: Cam-
bridge University Press, 1994.
[Cho48] Chow W.-L. On the algebraical braid group // Ann. of Math. (2).
1948. V.49, №3. P. 654-658.
[CS96] De Concini C, Salvetti M. Cohomology of Artin groups // Math. Res.
Lett. 1996. V. 3, №2. P. 296-297.
[Con70] Conway J. H. An enumeration of knots and links, and some of their
algebraic properties // Computational Problems in Abstract Algebra
(Proc. Conf, Oxford, 1967). Oxford: Pergamon Press, 1970. P. 329-358.
[CR62] CurtL· C. W.f Reiner I. Representation theory of finite groups and
associative algebras. New York — London: Interscience Pubishers,
John Wiley & Sons, 1962. (Pure and Appl. Math.; V. XI). (Рус. перев.:
Кэртис Ч., Раинер И. Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.)

Литература
407
[Deh94] Dehornoy P. Braid groups and left distributive operations // Trans.
AMS. 1994. V.345, №1. P. 115-150.
[Deh97] Dehornoy P. A fast method for comparing braids // Adv. Math. 1997.
V.125, №2. P. 200-235.
[DehOO] Dehornoy P. Braids and self-distributivity. Basel — Boston: Birkhäu-
ser, 2000. (Progress in Math.; V.192).
[Deh02] Dehornoy P. Groupes de Garside // Ann. Sei. École Norm. Sup. (4).
2002. V. 35, № 2. P. 267-306.
[DDRW02] Dehornoy P., Dynnikov L, Rolf sen D., Wiest В. Why are braid groups
orderable? Paris: Soc. Math. France, 2002. (Panoramas et Synthèses;
V.14).
[DDRW08] Dehornoy P., Dynnikov I., Rolf sen D., Wiest В. Ordering braids. Provi-
dence, RI: AMS, 2008. (Math. Surveys and Monographs; V.148).
[DP99] Dehornoy P., Paris L. Gaussian groups and Garside groups, two gen-
eralisations of Artin groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1999.
V.79, №3. P. 569-604.
[Del72] Deligne P. Les immeubles des groupes de tresses généralisés // In-
vent. Math. 1972. V. 17, №4. P. 273-302.
[D J86] Dipper R., James G. Representations of Hecke algebras of general lin-
ear groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1986. V. 52, №1. P. 20-52.
[DJ87] Dipper R.} James G. Blocks and idempotents of Hecke algebras of
general linear groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1987. V. 54,
№ LP. 57-82.
[Dra97] Drapai A. Finite left distributive algebras with one generator // J.
Pure Appl. Algebra. 1997. V. 121, №3. P. 233-251.
[Eps66] Epstein D. B. A. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math.
1966. V. 115, № LP. 83-107.
[ECHLPT92] Epstein D. B. A., Cannon J. W., Holt D. F., Levy S. V. F., Paterson M. S.,
Thurston W. P. Word processing in groups. Boston, MA: Jones and
Bartlett Publishers, 1992.
[ES98] EtingofP., Schiffmann О. Lectures on quantum groups. Boston, MA:
International Press, 1998. (Lectures in Math. Phys.).
[FV62] Fadell £., Van Buskirk J. The braid groups of E2 and S2 // Duke
Math. J. 1962. V. 29, №2. P. 243-257.
[FaN62] Fadell £., Neuwirth L. Configuration spaces // Math. Scand. 1962.
V. 10. P. 111-118.
[FGRRW99] Fenn Д., Greene M. T., Rolf sen D., Rourke C, Wiest В. Ordering the
braid groups // Pacific J. Math. 1999. V. 191, №1. P. 49-74.
[FR92] Fenn R., Rourke С Racks and links in codimension two // J. Knot
Theory Ramifications. 1992. V. 1, №4. P. 343-406.

408
Литература
[For96] Formanek E. Braid group representations of low degree // Proc.
London Math. Soc. (3). 1996. V.73, №2. P. 279-322.
[FLSV03] Formanek £., Lee W., Sysoeva /., Vazirani M. The irreducible complex
representations of the braid group on η strings of degree < η //
J. Algebra Appl. 2003. V. 2, № 3. P. 317-333.
[FoN62] Fox R., Neuwirth L. The braid groups // Math. Scand. 1962. V. 10.
P. 119-126.
[FRT54] Frame J. S., Robinson G. de В., Thrall R. M. The hook graphs of the
symmetric groups // Canadian J. Math. 1954. V. 6. P. 316-324.
[FYHLM085] Freyd P. J., Yetter D. N., Hoste J., Lickorish W. B. R., Millett K.y Ocnea-
nu A. A new polynomial invariant of knots and links // Bull. AMS.
(N. S.). 1985. V. 12, №2. P. 239-246.
[Frö36] Fröhlich W. Über ein spezielles Transformationsproblem bei einer
besonderen Klasse von Zöpfen // Monatsh. Math. Phys. 1936. V. 44,
№ LP. 225-237.
[Ful97] Fulton W. Young tableaux. With applications to representation the-
ory and geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
(London Math. Soc. Student Texts; V.35). (Рус. перев.: Фултон У.
Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и гео-
метрии. М.: МЦНМО, 2006.)
[FH91] Fulton W., Harris J. Representation theory. A first course. New York:
Springer-Verlag, 1991. (Graduate Texts in Math.; V.129).
[Fun95] Funar L. On the quotients of cubic Hecke algebras // Comm. Math.
Phys. 1995. V. 173, № 3. P. 513-558.
[FunOl] Funk J. The Hurwitz action and braid group orderings // Theory
Appl. Categ. 2001/02. V.9, №7. P. 121-150 (electronic).
[Gar69] Garside F. A. The braid group and other groups // Quart. J. Math.
Oxford Ser. (2). 1969. V.20, №1. P. 235-254.
[Gas62] Gassner B. J. On braid groups // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.
1962. V. 25, №1-2. P. 10-22.
[Gec98] Geck M. Representations of Hecke algebras at roots of unity // Sémi-
naire Bourbaki (1997/98), Exp. No. 836. Paris: Soc. Math. France,
1998. (Astérisque; V.252). P. 33-55.
[GP00] Geek M., Pfeiffer G. Characters of finite Coxeter groups and Iwahori —
Hecke algebras. Oxford: Clarendon Press, 2000. (London Math. Soc.
Monographs (N.S.);V. 21).
[GhyOl] Ghys E. Groups acting on the circle // Enseign. Math. (2). 2001.
V.47, №3-4. P. 329-407.
[Gol93] Goldschmidt D. M. Group characters, symmetric functions, and the
Hecke algebras. Providence, RI: AMS, 1993. (Univ. Lect. Series; V.4).

Литература
409
[Gon02] Gonzalez-Meneses J. Ordering pure braid groups on compact, con-
nected surfaces // Pacific J. Math. 2002. V. 203, №2. P. 369-378.
[Gon03] Gonzalez-Meneses J. The nth root of a braid is unique up to conju-
gacy // Algebr. Geom. Topol. 2003. V.3. P. 1103-1118 (electronic).
[GHJ89] Goodman F. M., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter graphs and
towers of algebras. New York: Springer-Verlag, 1989. (MSRI Publ.;
V.14).
[Han89] Hansen V. L. Braids and coverings: selected topics. With appendices
by Lars Gaede and Hugh R. Morton. Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1989. (London Math. Soc. Student Texts; V.18).
[HKW86] De la Harpe P., Kervaire M., Weber C. On the Jones polynomial //
Enseign. Math. 1986. V.32, №3-4. P. 271-335.
[Hig52] Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc. Lon-
don Math. Soc. (3). 1952. V.2, №1. P. 326-336.
[Hoe74] Hoefsmit P. N. Representations of Hecke algebras of finite groups
with BN-pairs of classical type. Ph. D. thesis. University of British
Columbia, 1974.
[Hum90] Humphreys J. E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge:
Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Stud. Adv. Math.;
V.29).
[Hur91] Hurwitz A. Über Riemann'sche Flächen mit gegebenen Verzweigung-
spunkten // Math. Ann. 1891. V. 39, № 1. P. 1-61.
[Iva88] Ivanov N. V. Automorphisms of Teichmüller modular groups // To-
pology and geometry — Rohlin Seminar. Berlin: Springer, 1988.
(Lecture Notes in Math.; V.1346). P. 199-270.
[Iva92] Ivanov N. V. Subgroups of Teichmüller modular groups / Translated
from the Russian by E. J. F. Primrose and revised by the author.
Providence, RI: AMS, 1992. (Trans. Math. Monographs; V.115).
[Iva02] Ivanov N. V. Mapping class groups // Handbook of geometric topol-
ogy. Amsterdam: North-Holland, 2002. P. 523-633.
[Iwa64] Iwahori N. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group
over a finite field // J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. 1.1964. V. 10, № 2.
P. 215-236.
[Jam78] James G. D. The representation theory of the symmetric groups.
Berlin: Springer-Verlag, 1978. (Lecture Notes in Math.; V.682).
[Jon83] Jones V. F. R. Index for subfactors // Invent. Math. 1983. V. 72, № 1.
P. 1-25.
[Jon84] Jones V. F. R. Groupes de tresses, algèbres de Hecke et facteurs de
type Ü! // С R. Acad. Sei. Paris Sér. I Math. 1984. V. 298, № 20.
P. 505-508.

410
Литература
[Jon85] Jones V. F. R. A polynomial invariant for links via von Neumann
algebras // Bull. AMS. (N. S.). 1985. V.12, №1. P. 103-111.
[Jon86] Jones V. F. R. Braid groups, Hecke algebras and type Hi factors //
Geometric methods in operator algebras (Kyoto, 1983). Harlow:
Longman Sei. Tech., 1986. (Pitman Res. Notes Math. Ser.; V.123).
P. 242-273.
[Jon87] Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link
polynomials // Ann. of Math. (2). 1987. V. 126, № 2. P. 335-388.
[Jon89] Jones V. F. R. On knot invariants related to some statistical mechan-
ical models // Pacific J. Math. 1989. V. 137, №2. P. 311-334.
[Joy82] Joyce D. A classifying invariant of knots, the knot quandle // J. Pure
Appl. Algebra. 1982. V. 23, №1. P. 37-65.
[Kas95] Kassel С. Quantum groups. New York: Springer-Verlag, 1995. (Grad-
uate Texts in Math.; V. 155). (Рус. перев.: Касселъ К. Квантовые
группы. М.: ФАЗИС, 1999.)
[Kas02] Kassel С. L'ordre de Dehornoy sur les tresses // Séminaire Bourbaki
(1999/2000), Exp. No. 865. Paris: Soc. Math. France, 2002. (Astéris-
que; V. 276). P. 7-28.
[KR07] Kassel С, Reutenauer С. Sturmian morphisms, the braid group ß4,
Christoffel words and bases of F2 // Ann. Mat. Рига Appl. (4). 2007.
V.186, №2. P. 317-339.
[KRT97] Kassel С, Rosso M., Turaev V. Quantum groups and knot invari-
ants. Paris: Soc. Math. France, 1997. (Panoramas et Synthèses; V. 5).
(Рус. перев.: Кассел К.} Россо М., Тураев В. Квантовые группы и
инварианты узлов. М.: ИКИ, 2002.)
[Kau87] Kauffman L. H. State models and the Jones polynomial // Topology.
1987. V. 26, № 3. P. 395-407.
[Kau90] Kauffman L. H. An invariant of regular isotopy // Trans. AMS. 1990.
V.318, №2. P. 417-471.
[Kau91] Kauffman L. H. Knots and physics. River Edge, NJ: World Scientific
Publishing Co., Inc., 1991. (Series on Knots and Everything; V.l).
[Kaw96] Kawauchi A. A survey of knot theory. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996.
[Kel55] Kelley J. L. General topology. Toronto — New York—London: D. Van
Nostrand Company, Inc., 1955. (Рус. перев.: КеллиДж. Общая то-
пология. M.: Наука, 1968; 2-е изд, М.: Наука, 1981.)
[KR03] Kim D. M., Rolf sen D. An ordering for groups of pure braids and
fibre-type hyperplane arrangements // Canad. J. Math. 2003. V. 55,
№4. P. 822-838.
[Knu73] Knuth D. E. The art of computer programming. V. 3: Sorting and
searching. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co. — Lon-

Литература
411
don: Don Mills, Ont., 1973. (Рус. перев. :Кнут Д. Е, Искусство про-
граммирования для ЭВМ. Т. 3: Сортировка и поиск. М.: Мир,
1978.)
[KLCHKPOO] Ко К. Я., Lee S. J., Cheon J. Я, Han J. W., Kang J.S., Park С New
public-key cryptosystem using braid groups // Advances in crypto-
logy —CRYPTO 2000 (Santa Barbara, CA). Berlin: Springer, 2000.
(Lecture Notes in Comput. Sei.; V.1880). P. 166-183.
[KraOO] Krammer D. The braid group B4 is linear // Invent. Math. 2000.
V.142, №3. P. 451-486.
[Kra02] Krammer D. Braid groups are linear // Ann. of Math. (2). 2002.
V.155, № LP. 131-156.
[Lan02] Lang S. Algebra. Revised third edition. New York: Springer-Verlag,
2002. (Graduate Texts in Math.; V. 211). (Рус. перев. первого англ.
издания 1965 г.: Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.)
[Lar94] Larue D. M. On braid words and irreflexivity // Algebra Universalis.
1994. V. 31, № 1. P. 104-112.
[Lav92] Laver R. The left distributive law and the freeness of an algebra of
elementary embeddings // Adv. Math. 1992. V. 91, №2. P. 209-231.
[Lav95] Laver R. On the algebra of elementary embeddings of a rank into
itself // Adv. Math. 1995. V. 110, № 2. P. 334-346.
[Lav96] Laver R. Braid group actions on left distributive structures, and well
orderings in the braid groups // J. Pure Appl. Algebra. 1996. V. 108,
№ LP. 81-98.
[Law90] Lawrence R. J. Homological representations of the Hecke algebra //
Comm. Math. Phys. 1990. V.135, №1. P. 141-191.
[Lic97] Lickorhh W. B. R. An introduction to knot theory. New York: Springer-
Verlag, 1997. (Graduate Texts in Math.; V.175).
[Lin96] Lin V. Braids, permutations, polynomials — I. Preprint Max-Planck
Institut 118. Bonn, 1996.
[LP93] Long D. D., Paton M. The Burau representation is not faithful for
η > 6 // Topology. 1993. V. 32, № 2. P. 439-447.
[Lus81] Lusztig G. On a theorem of Benson and Curtis // J. Algebra. 1981.
V.71, №2. P. 490-498.
[Lus93] Luszdg G. Introduction to quantum groups. Boston, MA: Birkhäuser
Boston, Inc., 1993. (Progress in Math.; V.110).
[LS77] Lyndon R. C, Schupp P. E. Combinatorial group theory. Berlin: Spring-
er-Verlag — New York: Heidelberg, 1977. (Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete; Bd. 89). (Рус. перев.: Линдон Р., Шупп Я.,
Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.)

412
Литература
[Mag72] Magnus W. Braids and Riemann surfaces // Comm. Pure Appl. Math.
1972. V. 25, №2. P. 151-161.
[MKS66] Magnus W., Karrass Α., Solitar D. Combinatorial group theory: Pre-
sentation of groups by generators and relations // New York — Lon-
don — Sydney: Interscience Publishers, John Wiley and Sons, Inc.,
1966. (Рус. перев.: МагнусВ.,КаррасА., СолитэрД. Комбинатор-
ная теория групп. Представление групп в терминах образующих
и соотношений. М.: Наука, 1974.)
[МР69] Magnus W., Peluso A. On a theorem of V. I. Arnol'd // Comm. Pure
Appl. Math. 1969. V. 22, №5. P. 683-692.
[Maj95] Majid S. Foundations of quantum group theory. Cambridge: Cam-
bridge University Press, 1995.
[МагЗб] Markoff Α. Über die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe //
Матем. сб. 1936. T.l, №43, вып.1. С. 73-78.
[Mas98] Maschke Η. Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten
der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen // Math.
Ann. 1898. V.50, №4. P. 482-498.
[Mat99] Mathas A. Iwahori — Hecke algebras and Schur algebras of the sym-
metric group. Providence, RI: AMS, 1999. (Univ. Lect. Series; V.15).
[Mat64] Matsumoto H. Générateurs et relations des groupes de Weyl généra-
lisés // С R. Acad. Sei. Paris. 1964. V. 258. P. 3419-3422.
[Mic99] Michel J. A note on words in braid monoids // J. of Algebra. 1999.
V.215, № LP. 366-377.
[Mil71] MilnorJ. Introduction to algebraic K-theory. Princeton, N. J.: Prince-
ton University Press — Tokyo: University of Tokyo Press, 1971. (An-
nals of Math. Studies; №72). (Рус. перев.: Милнор Дж. Введение
в алгебраическую iC-теорию. М.: Мир, 1974.)
[Моо91] Moody J. A. The Burau representation of the braid group Bn is un-
faithful for large η // Bull. AMS. (N. S.). 1991. V. 25, № 2. P. 379-384.
[Moo97] Moore Ε. Η. Concerning the abstract group of order k\ and -k\
holohedrically isomorphic with the symmetric and the alternating
substitution-groups on k letters // Proc. London Math. Soc. (1). 1897.
V.28, № LP. 357-366.
[Mor78] Morton H. R. Infinitely many fibred knots having the same Alexan-
der polynomial // Topology. 1978. V.17, №1. P. 101-104.
[Mor86] Morton H. R. Threading knot diagrams // Math. Proc. Camb. Phil.
Soc. 1986. V. 99, № 2. P. 247-260.
[Mos95] Mosher L. Mapping class groups are automatic // Ann. of Math. (2).
1995. V. 142, № 2. P. 303-384.

Литература
413
[MR77] Botto Mura R., Rhemtulla A. Orderable groups. New York —Basel:
Marcel Dekker, Inc., 1977. (Lecture Notes in Pure Appl. Math.; V. 27).
[Mur87] Murakami J. The Kauffman polynomial of links and representation
theory // Osaka J. Math. 1987. V. 24, №4. P. 745-758.
[Mur96] Murasugi K. Knot theory and its applications / Translated from the
1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. Boston, MA: Birkhäuser
Boston, Inc., 1996.
[MK99] Murasugi K., Kurpita B. I. A study of braids. Dordrecht: Kluwer Aca-
demic Publishers, 1999. (Mathematics and its Applications; V.484).
[Neu49] Neumann B. H. On ordered division rings // Trans. AMS. 1949. V. 66,
№ LP. 202-252.
[Neu67] Neumann H. Varieties of groups. New York: Springer-Verlag New
York, Inc., 1967. (Рус. перев.: НейманX. Многообразия групп. M.:
Мир, 1969.)
[Nie27] Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossener zweisei-
tigen Flächen // Acta Math. 1927. V. 50, №1. P. 189-358. (English
translation by John Stillwell in Nielsen Jakob. Collected mathemat-
ical papers. Boston — Basel — Stuttgart: Birkhäuser, 1986.)
[PP02] Paoluzzi L., Paris L A note on the Lawrence — Krammer — Bigelow
representation // Algebr. Geom. Topol. 2002. V.2. P. 499-518.
[PR00] ParL· L., Rolf sen D. Geometric subgroups of mapping class groups //
J. Reine Angew. Math. 2000. V.521. P. 47-83.
[Pas77] Passman D. S. The algebraic structure of group rings. New York —
London — Sydney: Wiley-Interscience, 1977. (Pure Appl. Math.).
[Per06] Perron B. A homotopic intersection theory on surfaces: applications
to mapping class group and braids // Enseign. Math. (2). 2006. V. 52,
№1-2. P. 159-186.
[Pie82] Pierce R. S. Associative algebras. New York—Berlin: Springer-Verlag,
1982. (Graduate Texts in Math.; V. 88). (Рус. перев.: Пирс Р. Ассоци-
ативные алгебры. М.: Мир, 1986.)
[РТ87] Przytycki J. H., Traczyk P. Invariants of links of Conway type //
Kobe J. Math. 1987. V.4, №2. P. 115-139.
[Ram97] Ram A. Seminormal representations of Weyl groups and Iwahori —
Hecke algebras // Proc. London Math. Soc. (3). 1997. V. 75, №1.
P. 99-133.
[Rei32] Reidemeister K. Einführung in die kombinatorische Topologie. Braun-
schweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932.
[Rei83] Reidemeûter К. Knot theory / Translated from the German by L. Bo-
ron, С Christenson and B. Smith. Moscow —Idaho: BCS Associates,
1983.

414
Литература
[RT90] Reshetikhin N. Yu., Turaev V. G. Ribbon graphs and their invariants
derived from quantum groups // Comm. Math. Phys. 1990. V. 127,
№ LP. 1-26.
[Rol76] Rolf sen D. Knots and links. Berkeley, Calif.: Publish or Perish, Inc.,
1976. (Mathematics Lecture Series; V.7).
[RWOO] Rourke C, Wiest В. Order automatic mapping class groups // Pacific
J. Math. 2000. V.194, №1. P. 209-227.
[RW01] Rolf sen D., Wiest В. Free group automorphisms, invariant order-
ings and topological applications // Algebr. Geom. Topol. 2001. V. 1.
P. 311-320 (electronic).
[Rud66] Rudin W. Real and complex analysis. New York — Toronto, Ont. —
London: McGraw-Hill Book Co., 1966.
[SagOl] Sagan В. Ε. The symmetric group. Representations, combinatori-
al algorithms & symmetric functions. Second edition. New York:
Springer-Verlag, 2001. (Graduate Texts in Math.; V. 203). (First pub-
lished by Wadsworth & Brooks. Pacific Grove, CA: Cole Advanced
Books & Software, 1991.)
[Sal94] Salvetti M. The homotopy type of Artin groups // Math. Res. Lett.
1994.V.1, №5. P.565-577.
[Ser70] Serre J.-P. Cours d'arithmétique. Paris: Presses Univ. de France, 1970.
(Рус. перев.: Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.)
[Ser77] Serre J.-P. Arbres, amalgames, SL2. Paris: Soc. Math. France, 1977.
(Astérisque; №46). (Рус. перев.: Серр Ж.-П. Деревья, амальгамы
и SL2 // Математика. Сб. переводов. 1974. Т. 18, № 1. С. 3-51;
№2. С. 3-27.)
[Ser93] Sergiescu V. Graphes planaires et présentations des groupes de tress-
es // Math. Z. 1993. V.214, №3. P. 477-490.
[Shi59] Shimura G. Sur les intégrales attachées aux formes automorphes //
J. Math. Soc. Japan. 1959. V.ll, №4. P. 291-311.
[SW00] Short H., Wiest В. Orderings of mapping class groups after Thurs-
ton // Enseign. Math. (2). 2000. V. 46, № 3-4. P. 279-312.
[ShpOl] Shpilrain V. Representing braids by automorphisms // Internat. J.
Algebra Comput. 2001. V. 11, №6. P. 773-777.
[Squ84] Squier C. C. The Burau representation is unitary // Proc. AMS. 1984.
V.90, №2. P. 199-202.
[Sta88] Stanley R. P. Differential posets // J. AMS. 1988. V. 1, № 2. P. 919-961.
[Sta99] Stanley R. P. Enumerative combinatorics. V. 2. Cambridge: Cam-
bridge University Press, 1999. (Cambridge Stud. Adv. Math.; V.62).
(Рус. перев.: Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Де-

Литература 415
ревья, производящие функции и симметрические функции. М.:
Мир, 2009.)
[TL71] Temperley Я. N. V., Lieb Ε. Η. Relations between the "percolation"
and "colouring" problem and other graph-theoretical problems as-
sociated with regular planar lattices: some exact results for the
"percolation" problem // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1971. V. 322,
№1549. P. 251-280.
[Tiel4] Tietze H. Über stetige Abbildungen einer Quadratfläche auf sich
selbst // Rend. Cire. Math. Palermo. 1914. V.38, №1. P. 247-304.
[Tra79] Travaux de Thurston sur les surfaces // Séminaire Orsay. Paris: Soc.
Math. France, 1979. (Astérisque; V. 66-67).
[Tra98] Traczyk P. A new proof of Markov's braid theorem // Knot theory
(Warsaw, 1995). Warsaw: Polish Acad. Sei., 1998. (Banach Center
Publ.;V.42). P.409-419.
[TubOl] Tuba I. Low-dimensional unitary representations of B3 // Proc. AMS.
2001. V. 129, №9. P. 2597-2606.
[TW01] Tuba L, Wenzl H. Representations of the braid group B3 and of
SL(2, Z) // Pacific J. Math. 2001. V. 197, № 2. P. 491-510.
[Tur88] Turaev V. G. The Yang — Baxter equation and invariants of links //
Invent. Math. 1988. V.92, №3. P. 527-553.
[Tur94] Turaev V. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Berlin: Wal-
ter de Gruyter, 1994. (De Gruyter Studies in Math.; V. 18).
[Tur02] Turaev V. Faithful linear representations of the braid groups // Sémi-
naire Bourbaki (1999/2000), Exp. No. 865. Paris: Soc. Math. France,
2002. (Astérisque; V.276). P. 389-409.
[Vog90] Vogel P. Representation of links by braids: a new algorithm // Com-
ment. Math. Helv. 1990. V.65, №1. P. 104-113.
[Wad92] Wada M. Group invariants of links // Topology. 1992. V. 31, № 2.
P. 399-406.
[Wen87] Wenzl H. On a sequence of projections // C. R. Math. Rep. Can. J,
Math. 1987. V. 9, № LP.-9.
[Wen88] Wenzl H. Hecke algebras of type An and subfactors // invent. Math.
1988. V. 92, № 2. P. 349-383.
[Wen90] Wenzl H. Quantum groups and subfactors of type B, C, and D //
Comm. Math. Phys. 1990. V.133, №2. P. 383-432.
[Wie99] Wiest В. Dehornoy's ordering of the braid groups extends the sub-
word ordering // Pacific J. Math. 1999. V. 191, №1. P. 183-188.
[Yam87] Yamada S. The minimal number of Seifert circles equals the braid
index of a link // Invent. Math. 1987. V. 89, №2. P. 347-356.

416
Литература
[Yan67] Yang С. N. Some exact results for the many-body problem in one
dimension with repulsive delta-function interaction // Phys. Rev.
Lett. 1967. V.19, №23. P. 1312-1315.
[ZinOl] Zinno M. G. On Krammer's representation of the braid group //
Math. Ann. 2001. V. 321, №1. P. 197-211.
[Арн70] Арнольд В. И. О некоторых топологических инвариантах алгеб-
раических функций // Тр. ММО. 1970. Т. 21. С. 27-46.
[Вай78] Вайнштейн Ф. В. Когомологии групп кос // Функц. анализ и его
прил. 1978. Т. 12, вып. 2. С. 72-73.
[Вер99] Вершинин В. В. Группы кос и пространства петель // УМН. 1999.
Т. 54, вып. 2(326). С. 3-84.
[ГЛ69] Горин Ε. Д., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с непрерыв-
ными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической
теории кос // Матем. сб. 1969. Т. 78(120), №4. С. 579-610.
[ДК94] Дрозд Ю. Α., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. Киев:
Вища школа, 1980.
[Лин79] Лин В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и простран-
ства. М.: ВИНИТИ, 1979. (Итоги науки и техн. Сер. Алгебра.
Топол. Геом.; Т. 17). С. 159-227.
[Мал40] Мальцев А. Об изоморфном представлении бесконечных групп
матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8(50), №3. С. 405-422.
[Мал48] Мальцев А. И. О включении групповых алгебр в алгебры с де-
лением // ДАН СССР. 1948. Т. 60, №9. С. 1499-1501.
[МНОЗ] Малютин А. В., Нецветаев Н. Ю. Порядок Деорнуа на группе
кос и преобразования замкнутых кос // Алгебра и анализ. 2003.
Т. 15, вып. 3. С. 170-187.
[Мар45] Марков А. А. Основы алгебраической теории кос // Тр. МИАН.
1945. Т. 16.
[Мат82] Матвеев С. В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов //
Матем. сб. 1982. Т. 119(161), №1(9). С. 78-88.
[СЧЯ93] Сиделъников В. М., Черепнев Μ. Α., Ященко В. В. Системы от-
крытого распределения ключей на основе некоммутативных
полугрупп // Доклады РАН. 1993. Т. 332, №5. С. 566-567.
[СмибЗ] Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп //
Укр. матем. журнал. 1963. Т. 15, №4. С. 453-457.
[ФР84] Фукс Д. Б., Рохлин В. А. Начальный курс топологии: геометри-
ческие главы. М.: Наука, 1977.

Предметный указатель
Δ-движение 24
Ап 38, 101, 323, 355, 370
М-эквивалентность 96
PSL2(Z) 387
q -факториал 261
q -целое число 260
SL2(Z) 15, 147, 387
HOMFLY полином 223
HOMFLY-PT полином 223
Автогомеоморфизм 53
автоморфное множество 398
алгебра 223
— конечномерная 223
, радикал 232
, форма следа 232
— полупростая 234, 236, 238, 244, 288,
394
— простая 227
— путей 273
—, подалгебра 235
—, произведение 232
алгебраический коэффициент
пересечения 136, 166
Александера — Конвея полином 151,
223
— скейн-соотношение 152
Александера теорема 85
Александера—Титце теорема 54
арка 55
Артина—Титса группа 340
атом 298
Бирман — Мураками — Венцля
алгебра 393
биупорядочиваемая группа 346
Браттели диаграмма 255, 394
Брискорна теорема 339
Брюа разложение 218
буква 352
Бурау представление 127, 402
приведенное 145, 274
Веддербёрна теорема 228
Вейля алгебра 258
вектор размерности 239
вес 299
— канонический 300
высота диаграммы зацепления 88
Гарсайдов моноид 317
обширный 320
— элемент 312
Гекке кольцо 245
гипотеза о делителях нуля 346
гомоморфизм модулей 224
— моноидов 297
универсальный 311
гомотопическая последовательность
392
граф с метками 331
группа 296
— без кручения 36
— бесконечных кос 357, 400
— биупорядочиваемая 346
— классов отображений 54
— кос 12, 46, 328, 399
В3 14, 147, 387
многообразия 46
обобщенная 334, 340

418
Предметный указатель
группа кос сферического типа 340
, естественное вложение 14
, коммутант 15
• , центр 38
— крашеных кос 33, 41, 339, 347
, забывающий гомоморфизм 34
, многообразия 41
, центр 38
— линейная 159
— модулярная 387
— остаточно конечная 37
— резидуально конечная 37
— свободная 13, 35, 45, 48, 348, 400
— симметрическая 13, 46, 196, 212,
245, 323, 332
— упорядочиваемая 342
— финитно аппроксимируемая 37
— хопфова 37
— частных 311
— чистых кос 33, 41
Двуугольник 165
делитель 297
— левый 297
— правый 297
Дена скручивание 139
Деорнуа порядок 354
дефектная область 89
Джонса — Венцля идемпотенты 293
Джонса—Конвея полином 223
Джонса полином 223
диаграмма 248
— Браттели 255, 394
— замкнутой косы 82, 88
линия 82
— зацепления 71
возрастающая 153
— косы 18, 399
изотопия 20
перекресток 19
, нить 18
, —, проходящая под 19
— разбиения 248
— Юнга 248
Дика слово 290
длина перестановки 200, 212
— слова 297
— элемента 332
дуга опорная 55
—, опирающаяся на край 164
—, — на проколы 55
Забывающий гомоморфизм 34
задание моноида 299
взвешенное 299
— — конечное 299
уравновешенное по длине 299
замыкание косы 84
зацепление 70
— геометрическое 69
ориентированное 73
упорядоченное 73
— полигональное 85
— торическое 84
— тривиальное 70
Зейферта окружности 88
несогласованные 88
согласованные 88
знак перестановки 197
Ивахори —Гекке алгебра 210, 218, 246,
282
идемпотент 242
изгибание 90
изотопия автогомеоморфизмов 54
— арок 169
— геометрических зацеплений 70
— диаграмм зацепления 72
— кос 17
— нормальная 63
— параметризующая 63
— простых замкнутых кривых 139
инверсия перестановки 201
индекс косового слова 353
Капланского гипотеза 346
Каталана число 280, 289, 295, 403
квандл 398

Предметный указатель
419
Коксетера группа 331
— матрица 331
кольцо с делением 226
компактно-открытая топология 60
компонента диаграммы зацепления 71
Конвея тройка 151, 221
конкатенация слов 352
конфигурационное пространство 41, 46,
156
корень тривиальной косы 47
коса 17, 31
— σ-отрицательная 353
— σ-положительная 353
— G{-отрицательная 353
— Gi-положительная 353
— геометрическая 16
— замкнутая 76, 82, 83
— крашеная 33
— полигональная 23
общая 26
— положительная 323
приведенная 324, 332, 333
— призрачная 117
— тривиальная 18
— чистая 33
косовое слово 352
σ-отрицательное 353
σ-положительное 353
ai -отрицательное 353
G{ -положительное 353
косовой автоморфизм 48
косовые соотношения 12, 30
коэффициент зацепления 75
— пересечения 136
кратное 297
— левое 297
— правое 297
критический префикс 376
Крулля — Шмидта теорема 227
Кэли 369
— граф 369
Лексикографический порядок 169, 342,
349
линейная группа 159
локально тривиальное расслоение 42,
391
Лоуренс—Краммера—Бигелоу
представление 156, 159, 396
Магма 401
Магнуса разложение 348
Маркова теорема 97
— функция 97, 221
марковское движение второе 96
первое 96
третье 101
Мацумото теорема 332
Машке теорема 234
многообразие замкнутое 69
— локально плоское 69
множество автоморфное 398
— вполне упорядоченное 356
модуль 223
— вполне приводимый 224
— полупростой 224
— простой 224
моноид 296
— атомный 298
— вложимый 312
— гарсайдов 317
— положительных кос 323, 398
обобщенный 334, 340
— предгарсайдов 312
— свободный 297, 347
— тривиальный 297
Наибольший общий делитель 320
наименьшее общее кратное 321
некоммутативный формальный
степенной ряд 347
нильпотентный идеал 233
— элемент 241
Нильсена —Тёрстона подход 383
нить диаграммы косы 18
, проходящая над 19
, — под 19
— косы 16

420
Предметный указатель
нормальная форма 307, 328, 330, 336
косы 35
нумерация таблицы 249
Область диаграммы зацепления 89
примыкающая 89
обобщенная группа кос 334, 340
обобщенный моноид положительных
кос 334, 340
образующая моноида 299
обратимый элемент 296
обширное множество 310
Окняну след 219
осевое расстояние 250
остаточно конечная группа 37
отображение изотонное 341
— монотонное 341
—, сохраняющее порядок 341
Оерекресток диаграммы зацепления
71
перестановка 196
—, соответствующая геометрической
косе 17
переход 19
подмодуль 224
подслово 352
полноторие 75
положительная коса 323
положительный конус 344
— элемент 344
полунормальное представление 262
полуокружность 289
полупростая алгебра 234
полускручивание 55, 137
порядок 341, 400
— биинвариантный 342
— левоинвариантный 342
— лексикографический 169, 342, 349
— линейный 341
— правоинвариантный 342
— частичный 298
предгарсайдов моноид 312
представление гомологическое 133
скрученное 134
— полунормальное 262
префикс 363
приведенная положительная коса 324,
335
приведенное выражение 200
— представление элемента 332
— слово 200, 279, 360
проблема делимости 300, 308
— сопряженности 308, 316, 328, 336,
339
— тождества слов 49, 300, 308, 339, 368
простая алгебра 227
— замкнутая кривая 139
противоположный путь 369
проход 19
путь в графе Кэли 369
, конечная вершина 369
, метка 369
, начальная вершина 369
Радикал алгебры 232
разбиение 247
— сопряженное 249
— транспонированное 249
раскрашивание косы 399
расслоение в смысле Серра 392
расчесанный вид косы 35
ребро диаграммы зацепления 89
редукционная дуга 89
редукция простых ручек 367
— ручки 366
резидуально конечная группа 37
Рейдемейстера движение 21, 72
косообразное 74
ориентированное 74
релятор моноида 299
ручка 364
— критическая 376
— простая 365
Самодистрибутивное слева множество
397
свободное 401

Предметный указатель
421
самодистрибутивное слева множество
упорядочиваемое 400
, канонический порядок 400
, морфизм 397
самый длинный элемент 209, 325, 333
свободная группа 13, 35, 45, 48, 348,
400
свободный моноид 297, 347
свойство поднятия гомотопии 391
— подслова 356
— сокращения 296
сглаживание диаграммы зацепления 88
сдвиг 363, 400
сжимание 90
симметрическая разность 201
скейн-соотношение 222
слово 297, 352
— приведенное 200, 279, 360
— пустое 352
соотношения в моноиде 299
сплетающий автоморфизм 48
суперизгибание 114
суперсжимание 115
суффикс 363
схема Юнга 248
Таблица 249
— стандартная 249
Темперли—Либа алгебра 278
тензорное произведение кос 98
теорема о замене 204
точный гомоморфизм 131
трансверсальные арки 136
транспозиция 197
— простая 13, 197, 212, 324
Угол разбиения 252
узел 70
— восьмерка 70, 87
— геометрический 70
— тривиальный 151, 221
— трилистник 14, 70, 87
упорядочиваемая группа 342
Ферре диаграмма 248
финитно аппроксимируемая группа 37
форма пересечения 133
— следа 232, 243
— таблицы 249
формула крюков 250, 260, 294
Хопфа зацепление 70, 84
хопфова группа 37
Центр группы 38
цилиндрическая окрестность 22
Число оборотов 135
полное 135
Шнур 164
Шура лемма 226
Эквивалентность представлений 142
Юнга диаграмма 248
— решетка 255
— схема 248

Кристиан Касселъ
Владимир Георгиевич Тураев
Группы кос
Подписано в печать 05.08.2014 г. Формат 60x90Vi6· Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 26,5. Тираж 1000 экз. Заказ № 1516
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.
Отпечатано с электронных носителей издательства. ОАО «Тверской
полиграфический комбинат». 170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5.
Телефон: (4822) 44-42-15, (495) 748-04-67. Телефон/факс: (4822) 55-42-15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-72-85.
E-mail: biblio@mccme.ru, http://biblio.mccme.ru

Вы держите в руках монографию, посвя-
щенную увлекательному и актуальному
разделу математики - теории кос. Группы
кос замечательны тем, что сочетают бо-
гатство чисто алгебраической структуры
и тесные связи с важными разделами ма-
ломерной топологии, в частности, с тео-
рией узлов и зацеплений.
Авторы книги - активно работающие ма-
тематики, внесшие существенный вклад в
развитие излагаемой ими теории.
ISBN 978-5-4439-0245-6
9 785443 902456 >