В.П. Ковальков
ПРИНЦИП ИМПУЛЬСА
В НЕРАВНОВЕСНОЙ
ТЕРМОДИНАМИКЕ
т
сЮм = dHM
С Rlx(x) R2x(x) £ = £ (A. Rlx(x) R2x(x) £)
da s (AmaxT) dx = /0ХI ST dx = 5H
I = JN
+ ^квХ„-T = 0
2 a/ af
Ц
V
x4 = pVr
r2
+ V0T
x = 0
2F
2f„
w
H = w T = —
ААПОЛН vv Аэ
с
W = Екин + m0c2
F m0c2 2
d£2M = dx
dHM = IM5L 8L = (Y?F -h^TF Л dx
Издательство «Миттель Пресс

ПРАВОСЛАВНАЯ РУССКАЯ АКАДЕМИЯ
Ломоносова-Умова Отделение естественных наук
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ им. проф. Д.Д. Иваненко
ГУ «ОТДЕЛ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ»
на правах научно-исследовательского института (АН СССР, РАН)
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Этап - Термодинамика нестационарная:
новое в исходных положениях (начала, принципы)
Том I
В.П. КОВАЛЬКОВ
ПРИНЦИП ИМПУЛЬСА
В НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ
Второе, стереотипное издание
с устранением неточностей и опечаток издания 1996 г.
в качестве учебного пособия для аспирантов, студентов
технических и физико-математических специальностей
МОСКВА
Издательство «Миттель-Пресс»
2011

УДК 536
Ковальков В.П. Принцип импульса в неравновесной термодинамике -
М: Изд-во «Миттель-Пресс», 2011. - 152 с. - /Курс теоретической физики.
Этап - "Термодинамика нестационарная": новое в исходных положениях
(начала, принципы). Том I/.
В монографии обобщены работы автора с 1967, когда было получено
параболическое дифференциальное уравнение теплопроводности с одной
пространственной криволинейной координатой и с введением геометрического
фактора - двух главных нормальных кривизн в центре участка криволинейной
поверхности трубки теплового потока - под знак первой производной по такой
координате. Доказывается существование и в диссипативных процессах закона
сохранения импульса (!), но только в расширенной форме, когда импульс стал
пониматься как результат взаимодействия двух субстанций - энергии и
сопротивления, которое оказывается движению энергии, что собственно и вызывает
появление времени процессов.
На таком осознании естественно вводится принцип движения энергии Н.А.
Умова и принцип сопротивления-инерции, который мировоззренчески
использовался ещё Аристотелем, Лейбницем, а также Махом и прекрасно осмыслен
в монографии Н.А. Мещеряковой (Воронеж, 1981). Используя этот принцип,
показано получение термодинамических уравнений не «энергетического», а
импульсного типа, которые напоминают собой формулы второго правила (закона)
Кирхгофа для разветвлённой электрической цепи. Подробнее всего рассмотрены
процессы, описываемые указанным дифференциальным уравнением
теплопроводности, и вскрыто как феноменологически квантуются нестационарные
температурные возмущения, поведение которых оказалось антисимметричным
гравитационному взаимодействию тел: в уравнениях происходит простая
перестановка местами (инверсия) пространственной криволинейной координаты и
времени.
В целом обнаруженная закономерность может трактоваться как
самостоятельное начало термодинамики - термодинамики нестационарной, в
которой фигурирует время процессов и которое глубже раскрывает суть закона
сохранения импульса как количества движения энергии, превращая этот закон во
всеобщий.
Приведены примеры приложения нового термодинамического формализма, в
том числе дан вывод более полного дифференциального уравнения
теплопроводности - гиперболического, учитывающего конечную скорость
распространения фононов.
Книга может служить пособием для студентов и аспирантов технических и
физико-математических специальностей, осваивающих современные направления
развития неравновесной термодинамики с её приложениями.
© В.П. Ковальков
ISBN 978-5-903185-69-6 1996 год

ПРЕДИСЛОВИЕ проф. И.П. БАЗАРОВА
Механическое движение, как известно, имеет три меры: одну
скалярную (энергию) и две векторные (импульс и момент импульса).
В науке о тепловом движении - термодинамике - количественным
аналогом скалярной меры является внутренняя энергия, которая при
процессах в замкнутой системе сохраняется (первое начало
термодинамики); второе же начало термодинамики характеризует
качественную меру теплового движения, отсутствующую у механического
движения.
В термодинамически равновесных системах макроскопические
движения невозможны, поэтому в равновесной термодинамике в качестве
количественной меры теплового движения используется лишь скалярный
аналог механического движения - внутренняя энергия. В термодинамически
неравновесных системах, вследствие существования макроскопических
движений, одной скалярной меры движения - внутренней энергии -
недостаточно, и возникает необходимость определения термического
импульса.
Такая мера теплового движения устанавливается в работах автора
монографии, и положение об этой мере, подобно принципу энергии
(первому началу), называется принципом импульса в неравновесной
термодинамике. В монографии показана эффективность развиваемого
автором нового оригинального метода исследования неравновесных систем.
1996 г.
Лауреат Государственной премии,
доктор физико-математических наук,
профессор И.П. Базаров.
3

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Монография посвящена новому направлению в неравновесной
термодинамике, основанному на обобщённой закономерности импульса,
которая объединяет феноменологически в единое математическое описание
и диссипативные, и иного рода процессы. Импульс, в отличие от энергии,
векторная величина, и видится удивительно естественный путь его
использования при различных неравновесностях, проистекающих во
времени. Автор даже берёт на себя смелость считать, что данная
закономерность (закон) имеет место и в микромире, хотя примеры
приложения неравновесной термодинамики на основе импульса -
нестационарной термодинамики, - приведённые в монографии,
затрагивают область только макромира.
Работа написана в стиле школы Умова-Предводителева-Лыкова, хотя
автор считает себя учеником также и школ К.А. Путилова /1/ и А.А. Гухмана
/2/. Обобщённая закономерность импульса автором была обнаружена более
сорока лет назад, см. /16/, и за этот период собран богатый материал
практических приложений теории, показывающий большую её
эффективность. Указанная закономерность - это дальнейшее развитие
принципа движения энергии Н.А. Умова, субстанциальной её концепции.
1996 г.
4

ПРЕДИСЛОВИЕ проф. В.Е. КОСЫРЕВА
Прошло 15 лет после выхода первого издания монографии В.П.
Ковалькова «Принцип импульса в неравновесной термодинамике» с
предисловием известного термодинамика, профессора МГУ на физическом
факультете Ивана Павловича Базарова, удостоенного в своё время
Государственной премии за учебник по термодинамике, как раздела
теоретической физики для университетов.
Выпуск книги В.П. Ковалькова как раз происходил в разгар разгрома
слаженного научного коллектива Отдела теоретических проблем РАН,
сотрудником которого является автор. Книга была напечатана в простейшем
виде - текст на пишущей машинке, а формулы от руки. Тем не менее, тираж
её (1000 экз.) в первые же годы полностью разошёлся. И сейчас нами
чувствуется необходимость оживить интерес к данному направлению
научной мысли.
Мне, как специалисту в области технологий обработки разного рода
материалов, видится не только научная, но и практическая её ценность и
особенно в том, что касается математического описания процессов в
сложных гетерогенных термодинамических системах.
К настоящему второму изданию книги добавлена аннотация-реферат
и отзыв 1985 года Кирилла Петровича Станюковича, известного
гравитационщика и теоретика в области осмысления роли второго начала
термодинамики во вселенских процессах, относительно обнаруженной
автором антисимметрии тепла и гравитации. Отзыв был написан при
отправке двух статей автора в редакции журналов «Теплофизика высоких
температур» и «Инженерно-физический журнал». Примечательно, что обе
эти статьи редакции журналов депонировали в ВИНИТИ, см. /11/ и /12/, но с
опусканием выводов о том, что существует такая антисимметрия. Нам
понятно теперь, что редакции этих журналов опасались реакции на то, что
обнаруженная автором антисимметрия явно затрагивает мировоззренческий
вопрос осмысления второго начала термодинамики. Сейчас, когда
недвумысленно стало ощущение кризиса в традиционных направлениях
теоретической физики, подобные опасения выглядят, по меньшей мере,
нелепыми, о чём свидетельствует, например, большой поток необыкновенно
смелых публикуемых в серьёзных изданиях подходов в теоретической
физике, наблюдаемых во всём мире.
2010 г. Доктор технических наук,
профессор В.Е. Косырев
5

ВВЕДЕНИЕ
Термодинамика до самого последнего времени оставалась вне поля
зрения передового рубежа физической мысли, прикладывающей усилия по
созданию единой, объединяющей все взаимодействия теории. Одной из
главных причин этому явилось, по-видимому, некоторое пренебрежительное
отношение к термодинамике, связанное с установившимся представлением о
развиваемом ею феноменологическом подходе как о недостаточно
«глубоком», или «поверхностном», с одной стороны, и - с представлением о
выделенных четырёх видах взаимодействия (гравитационном,
электромагнитном, слабом и сильном), которые суть основные
(объясняющие всё) и исследования которых якобы не несёт или почти не
несёт в себе феноменологического подхода, с другой стороны. Поэтому
неявно стало принятым подразумевать, что все физические явления требуют
объяснения больше с позиции внутренней структуры материи, с
использованием закономерностей микромира. На самом же деле в
существовании указанных четырёх видов основных взаимодействий,
видимо, повинны более фундаментальные причины мироздания, которые,
впрочем, могут быть обнаружены на любом качественном уровне материи,
включая макроскопический. И не следует видеть фундамент мироздания
лишь в глубинах микромира (!).
Замкнутая контрольная поверхность, определяющая форму тел,
одинаково принадлежит и телу, и внешнему его окружению. Оно же
бесконечно при устремлении в космическое пространство, как, впрочем, мы
можем вообразить и бесконечное самоуменьшение контрольной
поверхности при её сжатии в точку (!). На этом основании можно ввести
понятие об обобщённом измерении (обозначим его к (гр. «каппа»), - по
качественным уровням материи), и его введение имеет объективную почву -
каждый физик фактически мысленно «путешествует» в микромир или
мегамир, привнося туда все геометрические образы и представления из
макромира. Иначе, человеческая мысль по своему характеру (абстракциям и
аналогиям) легко перемещает образы по кг-измерению. И не следует,
например, забывать, что изучая явления микромира, в том числе и
статистические его закономерности, мы пользуемся образными аналогиями,
почерпнутыми из знания явлений макромира. Поэтому элементы
макроскопичности, или феноменологичности, неизбежно присутствуют в
представлениях закономерностей природы других качественных уровней
материи.
6

Данная работа ставит целью развитие методов физической (общей)
неравновесной термодинамики, предполагая, что обнаруженная
феноменологическая закономерность импульса на термическом уровне
может стать поводом для новых направлений теоретической физики в
целом, поскольку расширенное - для всяких процессов - понимание
импульса становится в этом случае не тождественным понятию «количество
движения» (для самого тела или внутренней энергии в нём).
В последние десятилетия делались попытки переосмысления с
позиций термодинамики теоретической физики в целом. Так Р.Е. Вар (1988)
предложил вариант обобщённой теории, который он назвал
гипертермодинамикой - для изложения единым термодинамическим языком
и ньютоновской теории гравитации, и общей теории относительности
(ОТО). А Луи де Бройлем ещё в 1964 году была выпущена оригинальная
монография «Термодинамика изолированной частицы (или скрытая
термодинамика частиц)». Таким образом, уже подмечены большие
возможности термодинамики, оперирующей феноменологическим
подходом, в разработке единых теоретических построений в физике, как в
плане непрерывных, полевых форм, так и дискретных, квантовых.
Характерно, что отечественный физик, профессор МГУ А.Б. Млодзеевский
(1883-1959) свой курс теоретической физики (однако не оконченный,
выпущенным был только 1-й том) начал не с механики, как обычно, а с
термодинамики (!), см. /54/.
Заметим, что феноменологический подход часто понимается слишком
узко - как исследование изучаемых объектов по закономерностям
изменения макроскопических параметров и что это даёт прямой выход в
практику, а поэтому мол «наивен и не достаточно теоретичен». Однако в
своём широком смысле феноменологический подход наиболее проверен
человеческим опытом и поэтому выступает наипервейшим инструментом
познания природы при построении моделей физических процессов и
явлений, увязывает воедино многосторонние экспериментально-
теоретические исследования, «отшлифовывает» понятия, чем способствует
установлению новых законов и закономерностей, выделяет в процессе
познания качественные уровни, признаки, элементы и стороны явлений.
Важной особенностью его является стремление к описанию физических
объектов с помощью укрупнённых параметров того же качественного
уровня, а также выделение существенных факторов в любых процессах и
явлениях. Более того - он приобрёл смысл противоположности
вероятностно-статистическому подходу! Поэтому феноменологическими
принято называть целые разделы физики - термодинамику, классическую
7

механику и электродинамику Фарадея-Максвелла, механику сплошных сред,
гидромеханику и др. Феноменологический подход - это главная
управляющая методология. И термодинамика, которой феноменологический
подход свойственен и в узком, и в широком аспектах, тем и характерна, что
выискивает общие свойства физического мира, анализируя явления на всех
качественных уровнях, используя при этом всевозможные подходы и
методы. Вооружённая же системным подходом она превратилась в
универсальный метод исследования. И думается, что физическая
термодинамика может составить ту рамку, в которую, мы надеемся, будет
помещена будущая единая теория физических взаимодействий', хотя, надо
заметить, часть серьёзных исследователей уже потеряла надежду на успех в
создании такой теории, см. например /57/.
Особым вопросом стоит взаимоотношение между физической
термодинамикой и классической механикой. Поскольку человеческому
мышлению ближе всего феноменология механического движения и
исторически классическая механика сложилась раньше других разделов
физики, логично достижения механики считать основополагающими, а
термодинамике стремиться максимально опираться на классическую
механику. Фактически так и произошло. Попытки феноменологического, с
позиций классической механики, описания тепловых явлений
предпринимались рядом учёных, особенно в позапрошлом веке, но эти
попытки полным успехом не увенчались. Тепловая форма движения
материи получила свои особые способы феноменологического
количественного описания с введением новых физических понятий,
наиболее неожиданным из которых оказалось понятие энтропии, в которое
первоначально вкладывался смысл координаты состояния /1/, 121. Здесь
важен вклад отечественной термодинамической школы А.А. Гухмана.
Однако не приходится говорить о полной неудаче механического
описания тепловых явлений. Оно было выявлено, но не на
макроскопическом уровне, а лишь на молекулярно-кинетическом подуровне
с применением вероятностного подхода, что сейчас вылилось в большой
раздел теоретической физики - статистическую физику. Этим фактом
утвердилось торжество «механической» теории теплоты над первоначально
возникшей «материальной» (на основе гипотетического флюида -
теплорода) теорией, чем и был, наконец, установлен мост между
классической механикой и термодинамикой. И только затем уже энтропии,
как новому физическому понятию, придаётся смысл функции состояния со
статистической интерпретацией. Но исторический опыт показывает - когда
налицо неувязка, то берётся на вооружение вероятностно-статистическое
8

описание, как своего рода «отдушина», иногда ведущая к ошибочной, по
нашему мнению, мировоззренческой концепции субстанциальности
вероятности в противовес детерминистической позиции. Примером является
волновое уравнение Э. Шрёдингера, см. /56, с. 91. В начале XX в. К.Э.
Циолковский, например, продолжал верить в возможность
механистического описания тепловых процессов на макроскопическом
уровне, исключая нововведённое в физику понятие энтропии. А великий
русский химик A.M. Бутлеров в 1884 году по этому поводу писал: «Дать
явлению, происходящему в веществе, объяснение, основанное на принципах
механики, - высшая цель современной науки; но чем выше порядок явления,
чем глубже оно, так сказать, захватывает недра вещества, тем труднее дойти
до такого объяснения... Нет ничего естественнее, что человек, убедившийся
в силе и значении механического объяснения для процессов наиболее
изученных, наиболее доступных нашему пониманию, хочет приложить его и
к явлениям высшего порядка. Он придерживается в этом лишь требования и
непременного правила здравой науки - не прибегать к новым интересам и
принципам до тех пор, пока прежние ещё годятся».
Современная история физики вторую половину XIX в. нарекла
периодом расцвета механицизма, навесив тем самым определённый ярлык
на этот период, чем способствовала притуплению интереса физиков к
дальнейшим поискам путей сближения классической механики и
термодинамики на одном - макроскопическом - уровне их описания. И всё
же в середине уже ХХ-го столетия появляется впечатляющая работа М. Био
/3/, в которой было дано феноменологическое описание нестационарной
теплопроводности с помощью гамильтонова формализма классической
механики, а также приводится удачный, но весьма громоздкий,
вариационный метод решения указанных задач. Тем самым было показано,
что ещё не все пути единого описания механики и термодинамики
исчерпаны.
В настоящей работе аналогично предложен единый формализм
феноменологического описания механических и термических процессов, но
иного вида, - обязанный некоторому нетрадиционному синтезу исходных
принципов. Так, с самого начала развивается редко употребляемая прежде
трактовка внутренней энергии систем как активной субстанции, естественно
движущейся и расширяющейся в трёхмерном пространстве (3-
пространстве); и причиной такого неустанного движения энергии служит
сама бесконечность 3-простраства, являющаяся своеобразным трёхмерным
аттрактором для энергии. Впрочем, в математической физике известны
примеры задач, когда в отрицательную область их решения мы попадаем
9

при переходе не через 0, а через оо на (-оо). Поэтому энергетические
процессы преимущественно и происходят в направлении из микромира в
мегамир, знаменуя, в целом, расширение Вселенной. Этот субстанциальный
взгляд на энергию не противоречит материалистической точке зрения /4/. Он
впервые был введён в теоретическую физику Н.А. Умовым 151 и может быть
назван принципом движения энергии.
Благодаря этому принципу мы можем понимать энергию не только
как меру движения материи, но и мыслить о перемещении и накоплении
энергии в пространстве и во времени, вводить понятия потока энергии,
плотности потока и др. Дальнейшее развитие принципа движения энергии,
его обобщение представлено в его связи с принципом сопротивления.
Последний предполагает присутствие всюду в видимом нами мире
сопротивления, понимаемого в смысле препятствия для движения энергии, в
результате чего любые процессы совершаются во времени, т.е. обязательно с
конечной скоростью распространения взаимодействия, которое мыслится
как нестационарный процесс, в отличие от связи (стационарное явление,
процесс). Такое сопротивление можно понимать как временное
сопротивление, т.е. определяющее время протекания физических процессов
и тем самым обусловливающее реальность физического мира. В разных
видах взаимодействий сопротивление имеет различные формы выражения.
Например, в термическом процессе оно соответствует термическому
сопротивлению, в электрическом - электрическому сопротивлению, в
механическом движении - обратной величине относительной скорости
перемещения в направлении взаимодействия, и т.д. Сочетание принципов
движения энергии и сопротивления позволяет в рамках термодинамики
записывать в едином математическом формализме протекание любого
процесса - механического, массопереносного, термического - как в
полевом, так и дискретизированном виде. И здесь фундаментальным
выступает понятие термического импульса, вытекающего из интегральной
формы уравнения теплопроводности. В работе далее устанавливается, что
закон сохранения энергии в процессе теплопроводности и закономерность
термического импульса так соотносятся между собой, как первый и второй
законы Кирхгофа для разветвлённой электрической цепи. Таким образом,
законы Кирхгофа на самом деле являются глубоко фундаментальными.
До сих пор считается физически непонятным, почему в классической
механике для поступательного движения имеется две его меры - энергия и
импульс, - а в феноменологической термодинамике своего аналога
импульса, как бы, не существует. Правда, акад. Л.И. Седов делает попытку
сгладить такое несоответствие введением некоторых вариационных
10

функционалов 161. В то же время с помощью принципа временного
сопротивления - векторной величины - вскрывается смысл механического
уравнения импульса-количества движения и видятся аналогии этого
уравнения в любом физическом процессе (с диссипацией энергии).
Благодаря чему открылась возможность для составления и «импульсного»
типа уравнений в сложных термодинамических системах. Такие уравнения,
оказываясь аналогом уравнений Кирхгофа, составляемых для разветвлённых
электрических цепей, могут пониматься как динамические уравнения
состояния.
Однако термодинамика - этот самостоятельный и относительно
молодой раздел физики - исторически развивалась иными путями. С самого
момента её зарождения, ещё в 20-е годы XIX в., уже были обозначены два
независимых направления развития, которые сейчас воспринимаются
логически как последовательные этапы, дополняющие друг друга: 1)
классическая термодинамика - это фундаментальный и почти законченный
раздел термодинамики, изучающий только предельные, равновесные
состояния тел и процессы обмена энергией и веществом между телами в
виде последовательной смены таких состояний; 2) неравновесная
термодинамика, или термодинамика неравновесных (иногда говорят -
необратимых) процессов, использующая системный подход и законы
классической термодинамики и исследующая протекание физических
явлений (процессов) макроскопического уровня во времени, опираясь на
понятия потоков и сопряжённых с ними сил, иногда различая силы активные
и силы сопротивления /49/.
Классическую термодинамику, имевшую изначально технический
уклон, принято видеть основой всей физической термодинамики, считая
началом её работу С. Карно «Размышления о движущей силе огня и о
машинах, способных развивать силу» (1824). Классическая термодинамика,
оперирующая понятиями о равновесных и обратимых процессах и
описывающая корректно такие процессы, в наше время часто
характеризуется как термостатика. Дальнейшее развитие и обоснование
классическая термодинамика получила в работах Б. Клапейрона, Р. Майера,
В. Томсона, Р. Клаузиуса, Г.Гельмгольца, М. Планка, Дж. Гиббса, Ф.
Массье, В. Нернста, К. Каратеодори, Т.А. Афанасьевой-Эренфест, К.А.
Путилова, А.А. Гухмана и др.
Начало неравновесной термодинамики было положено работой Ж.
Фурье «Аналитическая теория тепла» (1822), на два года раньше работы С.
Карно. Возникновение этого «продолжения» классической термодинамики
не сразу было замечено, оно понималось лишь как феноменологическая
11

теория теплопроводности. И только со второй трети XX в., после работ
американского физика Л. Онсагера (1903-1976), теория теплопроводности
получила смысл неравновесной термодинамики, «укороченной» её формы.
В целом, неравновесную термодинамику можно понимать как
макроскопическую термокинетику. Кинетика же, как раздел механики,
включает статику и динамику. Употребляя понятие термокинетики, мы
подчёркиваем, что имеем в виду расширение термостатики (классической
термодинамики). На самом деле все основные представления и положения
термостатики вошли в неравновесную термодинамику, - термокинетику.
Поэтому представляется, что существующие в настоящее время разные
версии неравновесной термодинамики лучше было бы объединить одним
словом - термокинетика (!). Такая термокинетика не есть известная
физическая кинетика, которая, как продолжение статистической физики,
устанавливает связь между вероятностными неравновесными состояниями
ансамблей микрочастиц и макроскопическими величинами потоков
вещества и энергии /7/, /47/.
Дополнительными фрагментами макроскопической термокинетики
теперь уже можно считать следующие, установленные независимым
образом макрофизические закономерности - уравнение движения вязкой
жидкости Навье-Стокса (1822), закон электрического тока Ома (1826), закон
диффузии Фика (1855), закон фильтрации Дарси (1856) и миграции
Букингема (1907). И ещё ниже нами будет показано, что правила (законы)
Кирхгофа (1847), устанавливающие соотношения для электрических токов и
напряжений в разветвлённых электрических цепях, также суть фрагменты
термокинетики - неравновесной термодинамики.
Простейшие же линейные законы (Ома, Фика, Дарси и т.д.)
фактически являются уравнениями импульсного типа. Поэтому указанные
два, якобы независимые, пути развития термодинамики на самом деле могут
пониматься в том аспекте, что каждый в отдельности отличительно
базируется на одной из двух упомянутых выше динамических мерах
движения, а именно: классическая термодинамика на скалярной мере
движения - энергии (фундаментальное первое начало термодинамики, закон
сохранения энергии), а неравновесная термодинамика (она же
термокинетика) - на векторной мере движения - импульсе, - используя в то
же время и закон сохранения энергии.
На этом основании вполне понятно, что обе термодинамики по своей
физической сути нераздельны. И можно предвидеть, что в дальнейшем не
будет особо подчёркиваться, идёт ли речь о равновесной или неравновесной
термодинамике: в целом мы имеем единую термодинамику с
12

динамическими мерами движения - энергией и импульсом, чем эта
термодинамика становится удивительно схожей с классической механикой,
объединяясь с ней своим математическим формализмом и обобщённо
понимаемой как термокинетика.
Термодинамика неравновесных процессов (термокинетика) -
наиболее подходящая арена применения разнообразных методологических
подходов. В наше время именно она интенсивно развивается, однако,
мнение ряда учёных о плодотворности современных направлений
неравновесной термодинамики сводится примерно к следующей фразе -
«шума много, результатов мало». Тем не менее, во всём мире
неравновесную термодинамику постепенно всё более признают очень
перспективной физической дисциплиной. /И к месту будет сказано:
директор нашего Отдела теоретических проблем АН СССР (РАН), д.ф.-м.н.,
проф. Э.И. Андрианкин часто употребляет крылатую фразу «термодинамика
- это половина всей науки»./
Сейчас обозначились несколько крупных направлений (школ)
неравновесной термодинамики, хотя различных версий её достаточно много
(десятки), - от широкоизвестных до малоизвестных. Наиболее
фундаментальным направлением считается онсагеровское, условно
называемое «классическим». Оно связано с работами Л. Онсагера (1931-
1932), К. Эккарта (1940), Г. Казимира (1945), И. Пригожина (с 1945 по
настоящее время) и его школы (П. Гленсдорф, Г. Николис, и др.), Дж.
Мейкснера (1959), Л. Вудса (1975), И. Дьярмати /8/ и его школы. Из других
направлений выделяется так называемая школа рациональной
неравновесной термодинамики, иначе - термодинамики сред с памятью,
возглавляемая К. Трусделлом (1973). Это направление, использующее
положения теории поля и механики сплошной среды, развито также в
работах ряда зарубежных исследователей - Б. Коулмена, У. Нолла, М.
Гартина, У. Уильямса, Н. Петрова и Й. Бранкова. Особо выделяется так
называемая школа синергетиков во главе с Г. Хакеном, рассматривающая
сложные диссипативные системы с мировоззренческих позиций
самоорганизации материи. Менее привлекательным и недостаточно
обоснованным, на наш взгляд, является направление неравновесной
термодинамики, опирающееся на достижения теории информации и
использующее в той или иной мере понятие «информэнергии», см. например
/9/; однако, взгляд с позиций неравновесной термодинамики на
кристаллические и органические структуры, осознающий, что они имеют
характерное упорядочение и поэтому при своём разрушении могут отдавать
13

энергию связи вовне, нам видится очень перспективным, особенно в плане
разработки новейших оригинальных технологий, см. /51/, /52/.
При подготовке настоящей работы особо обращено внимание на
динамический подход, принцип сопротивления /10/, геометрический,
симметрийный и атомистический подходы, принцип субстанциальности и
движения энергии /5/. Именно такое сочетание подходов и принципов
оказалось наиболее подходящим для цели сближения феноменологического
описания явлений классической механики и термодинамики. Роль
динамического подхода здесь важна, поскольку понятие силы чрезвычайно
способствует указанному сближению, тем более, что в неравновесной
термодинамике уже укрепилось это понятие, которое в данном случае мы
можем считать связующим. Действительно, если классическая
термодинамика пользуется понятием воздействия на систему,
определяемого как эквивалентная порция энергии в любом виде
взаимодействия (в механическом процессе - это работа), то неравновесная
термодинамика придерживается взгляда о связи с классической механикой
через понятие движущей силы процесса. Атомистический подход в оценке
поведения нестационарных энергетических полей обеспечивает связь с
движением дискретных систем /11/, /12/, тем самым определяя единый
формализм записи динамических уравнений в сравниваемых разделах
физики, отказываясь при этом от гамильтонова формализма, который весьма
«тяжеловесен»; его в ряде работ подчёркнуто избегают, см. /Н.Н.
Боголюбов, Д.В. Ширков - 1984/. Именно определяя на основании
атомистического подхода динамику центра термических возмущений в
твёрдых телах, мы приходим к удивительному пониманию того, что тепло и
гравитация феноменологически ведут себя как антисимметрично связанные,
в чём и видится их единство.
Понятно, разработка новых форм математического описания
естественных процессов требует апробирования на реальных физических
объектах, и оно станет тем доказательнее, чем более сложными с
термодинамических позиций будут выбраны эти объекты. Подобными
объектами при выполнении настоящей работы выступили преимущественно
системы физической геокриологии - промерзающие и оттаивающие
дисперсные грунты с протекающими в них процессами теплопроводности,
фазовых превращений, массопереноса (влагопереноса, криогенной миграции
воды), деформации и изменения напряжённого состояния. Апробация
проведена и на некоторых известных точных решениях задач
теплопроводности в твёрдых телах. Рассмотрено также обратное
14

применение найденного нового формализма записи закона сохранения
импульса-количества движения для механических явлений.
Но кроме апробации показана высокая эффективность применения
метода импульса-количества движения (энергии) при решении многих
прикладных задач, поскольку сама закономерность импульса оказалась
характерной для любого рода нестационарных систем, или систем вдали
от равновесия. Наглядной иллюстрацией этому служит приведённый вывод
более полного (чем известно) дифференциального уравнения
теплопроводности, учитывающего конечную скорость распространения
фононов в твёрдом теле /46/.
По-видимому, принцип импульса претендует на более весомое место
в системе положений физической термодинамики, чем быть простой
закономерностью. Время, возможно, покажет, что анализируемая (и в
значительной степени «экзотическая») закономерность импульса-количества
движения (энергии) может рассматриваться как отдельный
термодинамический закон (начало).
15

р
x
g)(x)
RlX и R2X
со(х)= R1X-R2^T
f
x = x
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
- время, с;
- период цикла, с;
- криволинейная пространственная координата, располагаемая
времени т, являющаяся одновременно криволинейной осью
некоторой выбранной нами трубки теплового потока, которая в
общем случае вдоль этой х может сжиматься или
расширяться, м;
- переменная вдоль х площадь криволинейной
изотермической поверхности, м2, характеризующейся двумя
главными нормальными кривизнами К1Х = R'ix/^ix и
K2X = R'2X/R2x,rae R'1X = dRlx/dx, R'2X = dR2X/dx;
- два главных нормальных радиуса кривизны изотермической
поверхности со(х) в точке х; производные R'ix и R'2x дают лишь
знак кривизны, т.е. равны либо +1, либо (-1);
, где фт - телесный угол охвата; например, со(х) = 1 - для
плоского участка поверхности, ш(х) = R1X (р - для
цилиндрического участка поверхности с радиусом кривизны
R1X и углом охвата (р; углы ср и фт могут быть выбраны
произвольным образом (по максимуму ф = 2к и фт = 4л - для
сферы);
- коэффициент формы, равный 3, 2, 1 соответственно для шара,
неограниченных цилиндра и пластины;
- наиболее удалённая от поверхности тела точка вдоль
траектории теплового потока, имеющая экстремальную
температуру; если тело конечных размеров и х = 0 - на
поверхности тела, то х = £ - характеристический размер тела,
например, полутолщина - для пластины, радиус - для цилиндра
и сферы;

X
- эффективный коэффициент теплопроводности, учитывающий
эффект линейного расширения, Вт/м К;
q - удельный (на единицу площади поверхности) тепловой поток,
или плотность теплового потока, Вт/м ;
Q<d - тепло фазового превращения, Дж/м3;
С = СЭф - эффективная объёмная теплоёмкость, учитывающая тепло
фазовых превращений, если она происходит в спектре
температур, Дж/м3К;
Т -температура, К;
ST и ОТ - элементарное локальное изменение температуры во времени
и элементарное её изменение при смещении на дх = dx;
Тн, Тф, Тп, Тс - начальная температура, температура фазового превращения,
температура поверхности тела, температура среды, К;
а - область тепловыделения за время т в координатах Т-х,
имеющая место только в нестационарном процессе в теле, м К;
а = А/С - эффективный коэффициент температуропроводности, м2/с;
а - коэффициент теплообмена на поверхности тела, Вт/м2К;
Bi = at IX - критерий Био;
J = Jn + JBH - термическое сопротивление вдоль криволинейной
координаты х от некоторой её точки х до среды, К/Вт;
Jn - термическое сопротивление на поверхности тела;
JBH - внутреннее термическое сопротивление от х = 0 до точки х,
если х = 0 на поверхности тела:
J = J(T = J + J = + Г — •
JU,AJ J" ^ Jbh ~ a(T, x)a>(0) J0 A(T, x, Q co(0 '
a (T, x) и A,(T, x, 0 - функции, получаемые подстановкой в
зависимости коэффициентов а(Т) и Х(Т) профилей
17

распределения температуры вдоль х на любой момент
времени т.
N = Сэф со(х) - погонная теплоёмкость, Дж/м К = Н/К;
I = IT(x) = N(x) J(x) - «интергия» термическая, или здесь "термическая инерция" на
отрезке (0, х) трубки теплового потока в фиксированный
момент времени т= т*, с/м;
Q - термический импульс, К с;
Н - количество движения внутренней тепловой энергии (тепла),
К с.
Температурное поле твёрдого (не текучего) тела - потенциальное скалярное, а
поле градиентов температуры - векторное, везвихревое. Именно такие поля
температур и рассматриваются в работе.
L
- внешняя механическая работа, Дж;
и
- внутренняя энергия, Дж;
V
- объём тела, м3;
Р
- давление, Дж/м , или Н/м ;
Q
- тепло, подводимое (отводимое) к телу, Дж;
с
- скорость света, м/с;
V
- скорость, м/с;
- угловая скорость вращения, рад/с, С0вр = 2 я и;
и
-частота, об/с;
Екин
- кинетическая энергия, Дж .
18

ГЛАВА 1. ИСХОДНЫЕ ПРИНЦИПЫ, УРАВНЕНИЯ
И МЕТОД ТЕПЛОВЫХ МОМЕНТОВ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Данная глава - вводная. Здесь даётся удобная универсальная форма
записи трёхмерного дифференциального уравнения теплопроводности, с тем
чтобы в последующем уменьшить громоздкость выражений. Затем показан
кратко интегральный метод тепловых моментов, который приводит к
пониманию процессов кондуктивной нестационарной теплопроводности в
свете близости и единства их описания с механическими явлениями при
введении определённого понятия термического сопротивления как
фактора, обеспечивающего существование любого неравновесного
термического процесса во времени. Метод назван - «нулевого порядка»,
чтобы не путать его с методом моментов в математической физике.
Разработан автором в 1967-1969 и окончательно оформлен в /13/.../16/.
Именно с этого метода берут начало понятия количества движения
внутренней тепловой энергии, термического импульса и
термодинамическая теория импульса, изложенная в главе 2.
§ 1. Универсальная форма основного дифференциального уравнения
теплопроводности параболического типа
Классическая теория кондуктивной теплопроводности - это один из
наиболее наработанных разделов современной неравновесной
термодинамики. Начало этой теории положила гипотеза Ж.Фурье (1822),
часто называемая законом Фурье, о пропорциональности удельного (на
единицу площади поверхности) потока тепла q градиенту температуры.
Температура Т в сплошном теле есть непрерывная скалярная функция
пространственных координат и времени и, с позиции теории поля,
понимается как потенциал теплового взаимодействия. Если говорить о
нестационарном теплообмене не текучего (твёрдого) тела произвольной
конфигурации с окружающей средой и, следовательно, о трёхмерном
тепловом потоке, то в любой момент времени т через любую точку тела
будет проходить некоторая единственная криволинейная линия х -
траектория теплового потока. Важно, что вектор теплового потока всегда,
вдоль своей траектории скольжения, ортогонален семейству изотермических
19

поверхностей, которые он пронизывает. В теле мы можем в любой
фиксированный момент времени т выделить адиабатическую (не имеющую
теплообмена по боковым стенкам) произвольную трубку теплового потока.
Такая трубка будет вырезать из семейства изотермических поверхностей
«слоёный пирог», состоящий из бесчисленного множества криволинейных
лепестков изотермических поверхностей, и каждый из них будет иметь свою
площадь поверхности со = со(х), если х считать криволинейной
координатой, или осью, проходящей посередине выделенной трубки
теплового потока. Аналогично имеем q = q(x), и тогда в любом сечении х
трубки будет определяться общий тепловой поток q со = q(x) со(х), причём,
в стационарном режиме он будет постоянным:
Q(x) = q(x) со(х) = invar (1-1)
На рис. 1 показана трубка теплового потока вокруг центральной
криволинейной оси х траектории теплового потока в некоторый
фиксированный момент времени т. Две ортогональные криволинейные
координаты у и z располагаются произвольным образом в пределах
изотермической поверхности со(х). Сама трубка теплового потока вырезана
адиабатической внешней поверхностью F, которая также представляет
собой семейство траекторий теплового потока. Изотермическая поверхность
со(х), проходя через произвольную точку А, имеет температуру
Т(х) = Т(х,т). Соседняя изотермическая поверхность, отстоящая от точку А
на расстоянии dx, будет иметь другую температуру T(x+dx, т). Поверхность
со(х) характеризуется двумя главными радиусами кривизны Rix и R2x
соответственно в двух главных нормальных сечениях этой поверхности.
Условимся относительно наших обозначений. Если в классической
термодинамике время не учитывается вовсе, и локальное (оно же и для всего
объёма рабочего тела) изменение температуры всегда обозначается через
dT, то в теории теплопроводности есть необходимость отличать локальное
изменение температуры во времени и изменение её при смещении вдоль х.
Поэтому и используются частные производные дТ 1дх и дТ /9т, а под dT
понимается полный дифференциал. И то, что в классической термодинамике
было бы записано dT/dx, в теории теплопроводности будет дТ/дт. Для
приближения обозначений теории теплопроводности к принятым в
термодинамике мы будем обозначать элементарное изменение температуры
при смещении вдоль х через дТ = дТ(х, т), а элементарное локальное
20

приращение (изменение) температуры во времени через 8Т, чтобы не
спутать с полным дифференцмалом dT.
Рис 1. Схематическое изображение трубки теплового потока и двух
произвольных лепестков изотермических поверхностей в трёхмерном
пространстве твёрдого тела.
Поэтому частная производная дТ/дт будет записываться как 5T/dx, а
элементарное изменение теплового потока при смещении на дх = dx в
любой фиксированный момент времени:
a(qco) = a(q(x) со(х)), (1-2)
что означает разность входящего и выходящего тепловых потоков в
элементарном криволинейном слое dx - между двумя лепестками
изотермических поверхностей.
21

Термодинамическое понимание внутренней энергии системы
обязывает считать поток q > 0 при подводе тепла к телу, q < 0 - при
отводе. Тогда гипотеза теплопроводности Фурье вместо использования
векторной величины градиента температуры вдоль х может быть записана с
производной дТ/дх в двух вариантах
q = -X- (За)
или (1-3)
q = *.£. (36)
Поскольку всегда X > О, то знак в формулах (1-3) связан с выбором
начала координаты х, - по одну или другую сторону от рассматриваемого
элемента dx = dx, а, следовательно, со стороны поверхности тела или в
глубине его. На рис. 2 этому дана иллюстрация: если х = 0 выбрано на
контрольной граничной поверхности тела с окружающей средой, то следует
пользоваться формулой (За), если же х = 0 в глубине тела, то - (36); но
задание х = 0 на поверхности тела - это более обобщённо.
Однако формулы (1-3) непосредственно в таком виде в расчётной
практике почти не применяются, но дают возможность вывести основное
дифференциальное уравнение теплопроводности, называемое уравнением
теплопроводности Фурье, относящимся к классу параболических уравнений
математической физики. Такое дифференциальное уравнение получается
при необходимом привлечении закона сохранения энергии. Впрочем, тогда
специальный учёт знака в (1-3) становится ненужным, поскольку
автоматически происходит его самокомпенсация при наложении
чередования знака в законе сохранения энергии. Рассмотрим вывод этого
основного уравнения теплопроводности.
Закон сохранения энергии в классической форме первого начала
термодинамики гласит: тепло 8Q, подводимое к термодинамической
системе, идёт на увеличение её внутренней энергии dU и на совершение
внешней работы 8L, т.е.
8Q=dU + 5L, Дж. (1-4)
22

-Л bTlhx
ч
ъ
ч
6
а * о х
$*АЪТ/Ъх
ЪТ/Ъх * О ~оя>*атде*чм тшл*> дТ/Эх >0 -нагреб тем
Рис. 2. Знак производной дТ/дх меняется в зависимости от выбора
начала координаты х: на поверхности тела (а) или в глубине его (б).
В этом выражении внутренняя энергия системы U - функция
состояния, dU - полный дифференциал. Понятие функции состояния в
термодинамике означает независимость рассматриваемой физической
величины от пути перехода её от предшествующего значения к данному.
Функции состояния всегда относятся к точке объёма V тела (системы). К
ним, помимо внутренней энергии, могут быть отнесены температура Т,
давление Р. С другой стороны, ни работа L, ни тепло Q не есть функции
состояния. Они лишь выражают количественную меру термодинамического
взаимодействия тела с внешней для него средой, привязаны к его
контрольной граничной поверхности, а не к его объёму V.
23

В классической теории теплопроводности чаще всего
рассматриваются тела (системы) условно твёрдые (принцип «отвердения»),
и процессы соответственно изохорные, без совершения телом какой-либо
внешней работы, 5L = 0. Тогда изменение внутренней энергии тела dU
точно равно порции тепла 8Q, отводимой или подводимой к телу, как
термодинамической системе. Отсюда возникло понятие объёмной (на
единицу объёма V) теплоёмкости при V = const
учитывая, что тело (система) объёмом V при теплообмене как бы локально
изменяет температуру на 8Т. Объёмная теплоёмкость Су приобрела смысл
теплофизической характеристики вещества данного тела - изохорной. Для
такого случая во французской литературе используется удачное понятие
«ощутимой» (по изменению температуры) теплоты 8Q в отличие от
скрытой теплоты Q$ фазового превращения. И она, также как Су ,
получила определение теплофизической характеристики вещества, при
отнесении к единице объёма dV^, новой фазы в изохорных условиях
В отличие от классической термодинамики теория теплопроводности
рассматривает процессы в общем случае непрерывного изменения
температуры Т вдоль х и, следовательно, в качестве термодинамической
системы выбирается элементарный объём dV = со(х) dx в любой точке с
температурой Т(х) = Т(х, т) на фиксированный момент времени т. И тогда
мыв (1-5) приходим к величинам второго порядка малости
dU _ 6Q
Дж/м3К
(1-5)
V 6Т V 6Т
(1-6)
d2U
d2Q
со(х) dx ST
(о(х) dx 8Т
(1-7)
24

Следовательно, применительно к теории теплопроводности, мы
получаем запись уравнения первого начала термодинамики в форме связи
дифференциальных величин второго порядка малости, сравни с (1-4):
52Q = d2U + 82L , Дж, (1-8)
считая, что элементарная работа совершается элементарным слоем dx, как
отдельной системой,
82L = Р ю(х) 8(dx) , (1-9)
где 8(dx) - изменение, вариация толщины элементарного слоя dx.
В выражении (1-8) d2U может быть в виде суммы
d2U = d?U + d£U , (1-10)
где dTU = Су со(х) dx 8Т - изменение внутренней энергии вследствие
изменения температуры, согласно (1-7), а
d|U = Q*co(x) d2£ = % co(x) 8(d© (l-ll)
- изменение U вследствие фазового превращения, причём d2£ равно
приращению толщины слоя £ новой фазы, пересекающей рассматриваемый
элемент dx.
При наличии фазового превращения обычно говорить о теплоёмкости
не приходится. И всё же, мысленно можно представить, что из-за наличия
температурного градиента элементарное смещение d2£ фронта фазового
превращения (происходящее при некоторой температуре Тф) внутри
фиксированного элемента dx всегда будет связано и со снижением на 5Т
25

средней (т.е. отнесённой к середине элемента dx) температуры Т этого
элементарного слоя dx объёмом co(x)dx. Так мы приходим к понятию
эффективной изохорной теплоёмкости Сэфу, которая в сумме содержит в
себе не только изохорную теплоёмкость Су, появляющуюся собственно при
изменении температуры вещества тела, но и - тепло фазового превращения
при сопряжённом с 8Т смещении фронта на d2£:
d2U _d2U+d|u (Зф d25
СэфУ" co(x) dx 6T co(x) dx 6T U + dx ST ' (M2)
При условии, что фронт фазового превращения £ полностью
преодолеет расстояние dx, выражение (1-12) примет вид:
Сэфу = Су + ^р, Дж/м3К, (1-13)
причём, интервал ДТ = Тф - Тп . С помощью Сэфу удобно вести решение
задач, в которых фазовое превращение происходит в некотором
макроскопически ощутимом интервале температур, - это, например,
замораживание коллоидных тел, взвесей, водосодержащих тонкодисперсные
материалы, водных растворов.
Встречаются ситуации, когда тело находится в изобарных внешних
условиях, а сами линейные размеры тела меняются вследствие термического
расширения-сжатия незначительно. Тогда используют понятие изобарной
эффективной объёмной (т.е. отнесённой к единице объёма вещества)
теплоёмкости Сэфр, которая, следуя (1-8), будет больше изохорной
эффективной объёмной теплоёмкости Сэфу на величину работы 82L,
которую совершает элементарный объём тела со(х) dx против сил внешнего
давления и межмолекулярных сил сцепления. Обозначим через ?г - внешнее
давление на элементарный объём со(х) dx, а через Pi - внутреннее
давление межмолекулярного сжатия в нём, которое, хотя и отрицательно, но
направлено в одну сторону с Р2 (по отношению к выбранному объёму
элемента). Тогда (1-9) можно переписать так
26

52L = (P, + P2) ю(х) 5(dx)
(1-14)
Из уравнения (1-8) следует, что Pi определяется в изотермическом
(8Т = О, 52Q = 0) процессе как
Помимо механической работы против сил давлений Pi и Р2 система
может совершать и другие виды работ, например, увеличения поверхности
против сил поверхностного натяжения, омагничивания и т.д. Поэтому под
5 L в самом общем случае следует понимать сумму всех элементарных
работ, совершаемых системой в результате термического на неё
воздействия:
82L = (Pi + Р2) (о(х) 5(dx) + S52L( . (1-16)
Принято считать работу положительной, когда система отдаёт
энергию окружающей среде, т.е. когда энергия системы получила
расширение за пределы системы. Исходя из выражений (1-8) и (1-16),
впрочем, становится понятным, как с термодинамических позиций можно
управлять нагревом или охлаждением тел. Например, если потребуется
возможно более эффективно (т.е. при меньших затратах тепла) нагреть тело,
то для этого тело не должно совершать при нагревании никаких работ. И
наоборот, если необходимо более эффективно охладить тело, то надо
сделать так, чтобы тело могло совершать как можно больше работ разного
вида. В качестве примера можно привести известный способ ускорения
замораживания влагоёмких тел в магнитном поле, когда используется так
называемый магнитокалорический эффект.
Классическая форма первого начала термодинамики в виде уравнения
(1-4) или (1-8), первоначально данная Р. Клаузиусом и В. Томсоном,
выражает воздействие на систему порцией тепла, а ответная реакция - это
изменение внутренней энергии и сумма работ системы над окружающей
27

средой. На этом основании можно разделить задачи, встречающиеся в
термодинамике, на прямые, когда внешним воздействием служит порция
тепла 82Q, и обратные, когда в качестве внешнего воздействия выступает
работа 82L в какой-либо форме её проявления. Могут быть и смешанного
вида задачи.
Таким образом, подставив в (1-8) выражения (1-12) и (1-16),
получим обобщённое выражение первого начала термодинамики в удобной
для теории теплопроводности форме
52Q = СЭф.у со(х) dx 5Т + (Pj + Р2) со(х) 8(dx) + S52L( =
= Сэф.р co(x)dx5T. (1-17)
Откуда
Сэф.р = СЭф.у + (Р, + Р2) ос, +a^dxgT (1"18)
где 0Ср = _ сгт, - коэффициент линейного расширения, град .
F ax оТ
В теории неравновесной термодинамики подчёркивается особенно
принцип локального равновесия, одним из следствий которого является
условие локальной вневременной функциональной взаимосвязи между
интенсивными параметрами (на dx, внутри работ 52L) всех степеней
свободы системы. Такое условие обычно именуется термическим
уравнением (равновесного) состояния. И именно с позиций этого принципа
способность совершения различного вида работ системой в прямой
термодинамической задаче определяется значением температуры как
функции состояния. На этом основании при описании кондуктивной
теплопроводности обычно опускают второе и третье слагаемые в правой
части (1-18), но вклад их учитывают в первом члене и именно - в
эффективной теплоёмкости. И таким образом, вместо изохорной
эффективной объёмной теплоёмкости выступает некая, в общем случае уже
28

не изохорная, чаще всего изобарная эффективная теплоёмкость, которая
больше прежней и которую мы будем для удобства обозначать просто
С = С (Т, х).
И, наконец, количество тепла 82Q, согласно (1-17), должно по
закону сохранения энергии для элементарного слоя со(х) dx равняться
теплу за счёт разности (1-2) входящего и выходящего тепловых потоков на
момент времени т за отрезок времени dx:
52Q = d(qco)dT , (1-19)
или
^T = d(qco) , (1-20)
что и представляет собой сжатую форму дифференциального уравнения
теплопроводности Фурье.
Раскрывая значения 52Q и d(q со) и считая dx = dx, окончательно
получим дифференциальное уравнение кондуктивной теплопроводности
Фурье - трёхмерное параболического типа (не учитывающее конечность
скорости распространения фононов), в несложном виде, удобном для
дальнейших выкладок и рассуждений:
где X = А,(Х х) в общем случае следует понимать как эффективный
коэффициент теплопроводности, учитывающий коэффициент линейного
расширения ос, , Л = Х0/ (1 + оср); С = С(Т, х); х - криволинейная
координата, а площадью изотермических поверхностей со(х) определяется
геометрический фактор.
Примечание 1.
Уравнение (1-21) впервые было получено автором в 1967 и опубликовано в
/17/ и /16/. Такая форма основного дифференциального уравнения
29

теплопроводности в 1967 привлекла внимание и получила одобрение у академика
А.В. Лыкова, который указал тогда, что французский теплофизик Ф.М. Камья
также использовал подобную форму уравнения в своей книге (1967), о которой мне
(автору) в то время не было известно, см. /Camia F.M. Traite de thermocinetique
impulsionnelle. -Paris: Dunod, 1967, 282р. Русский перевод: Камья Ф.М. Импульсная
теория теплопроводности. Пер. с фр. - М: Энергия, 1972. - 272с/ Тогда Алексею
Васильевичу я давал на просмотр и отзыв свою диссертацию /16/, и он назначил
первым оппонентом на неё д.ф.-м.н., проф. Т.Л. Перельмана, который в своём
выступлении на защите и предложил разработанный в диссертации метод моментов
назвать методом тепловых моментов «нулевого порядка».
Заметим, что уравнение (1-21) по своей структуре одномерно, что
имеет огромное преимущество перед эквивалентным ему традиционным
трёхмерным уравнением теплопроводности в декартовых координатах
которое весьма громоздко.
Примечание 2.
При обсуждении настоящей работы после моего доклада на регулярном
теоретическом семинаре профессора А.А. Рухадзе (в ИОФ АН) было
рекомендовано наоборот - попробовать вывести уравнение (*) из уравнения (1-21),
что и было в последующем сделано, с привлечением взгляда А. Пуанкаре на
сравнительное использование геометрий Евклида, Римана или Лобачевского, см.
Итак, уравнение (1-21) - это универсальная запись основного
дифференциального уравнения теплопроводности Фурье, которое
справедливо для общего случая тел произвольной формы при любых
способах его термодинамического сопряжения с окружающей средой и при
нелинейных, в том числе и в связи с этим, коэффициентах С и X.
Возможность же придания трёхмерному уравнению одномерную запись
явила нам сама природа, поскольку температурное поле есть безвихревое,
потенциальное; поэтому-то и кривизна самой криволинейной траектории х
теплового потока не приводит к дополнительным членом (слагаемым) в
уравнении.
[х, у, z}:
(*)
/53/.
30

Впрочем, уравнение (1-21) можно переписать, раскрывая со(х),
тогда:
С Rlx(x) R2x(x) £ = R.x(x) R2x(x) 5 , x > 0, т > 0, (1-22)
а при постоянных С и X будем иметь
1 бт а2т , /r'1x , Rox v ат
= —- + (-^ + ——) — . (1-23)
a dx дх2 VR1X R2X ' дх К }
Производные R;lx и R'2x показывают знак кривизны 1/Rix и 1/R2X.
Например, при постановке внутренней задачи для шара радиусом £ и
выборе х = 0 на наружной поверхности уравнение (1-23) принимает вид
1 £г _ а^т 2_ /ат\
а йт дх2 4-х \дх/ '
тогда как при выборе х = 0 в центре симметрии
1 £г _ а^т + 2 /ат\
а йт дх2 х \дх/'
Далее мы изложим ряд решений характерных задач
теплопроводности, которые приведут к изменению общего взгляда на
термические процессы, когда они в математическом описании неожиданно
становятся удивительно похожими на явления механические.
С точки зрения удобства мы чаще всего ниже будем анализировать
лишь процессы охлаждения тел, не указывая при этом, что нагрев будет
описываться аналогичным образом.
31

§ 2. Нелинейная задача о продвижении границы фаз /14/
Симметричную задачу об охлаждении с фазовым превращением тел
простой формы (шара и неограниченного цилиндра радиусом £ и
неограниченной пластины толщиной 2£) при изотермической Тф
подвижной гранце 0 < £ < £ раздела фаз запишем так
N(T,X)^^(0(T,X)^); х>0; 0<х<5-«т); (1-24)
Т(х,0) = Тф = Щ, т) = const; (1 -25)
Т(£, т) = Тф; (1-26)
а(Тп) 0)(0) (Тп(т) - Тс) = Ф(Т, 0) ; Тс=соп8КТф ; (1-27)
®V*£)d-^ = Q№<»($)fT , (1-28)
где N(T,x) = С(Т,х) ю(х); Ф(Т,х) = ЦТ,х) ю(х); со(х) = 1, 2л (£ - х),
4л (£ - х)2 - соответственно для пластины, цилиндра и шара; х = 0 - на
поверхности тел; функции С(Т,х), ЦТ,х), <х(Тп) и ()ф(4) известны; Тс -
температура охлаждающей среды.
После первого интегрирования (1-24) от х до £ в некоторый
момент времени т с учётом (1-28) имеем
дТ(х, т)
ах ~</>(T.y)^dy-Q0©<o©£), (,-29,
32

или
дх Ф(Т, х) Jx ^ > JJ <Jt j' v 7
где знак (+) означает, что интеграл и свободный член объединены.
При фиксированном т интегрируя обе части (1-30) от 0 до х с
учётом условия (1-27), получим
При х = £ уравнение (1-31), учитывая (1-25), принимает вид
-^/>(т,у)^ау, „.32,
или
т.-т.-Д^jrf»Ncr.x)S^2_dx, (,-зз,
где знак (-) перед 0 означает, что область интегрирования простирается за
пределы поверхности тела (х=0) так, что к интегралу добавится слагаемое,
учитывающее граничное условие на поверхности тела.
Такая запись уравнения (1-33) позволяет правую его часть
представить в виде двойного интеграла по области,
33

{—О < ц < r\ < х < ^ +} , имеющего в свою очередь другую форму
повторного интеграла:
T.-Tc = -/0?+N(T.x)^(f0^)dx , (1-34)
или
T.-Tt = -/>(T.x)^(_i_ + /; _£_)dx +
Интегрируя обе части (1-35) по времени от т = 0 до некоторого
т = f < тк, меняя порядок интегрирования и производя замену переменной
интегрирования т на Т в первом слагаемом и т на £ во втором слагаемом
правой части уравнения, после деления обеих частей уравнения на (Тф - Тс)
получаем в окончательном виде формулу для определения времени от
начала процесса до момента, когда граница фаз § принимает любое из
своих значений 0 < £(т) < С:
t = ^/odx/;^}N(T,x)(^^+ £ ^^)оТ +
где И$(т); Т(х,т) = Р(х).
По формуле (1-36) можно приближённо определить
продолжительность движения границы раздела фаз, задаваясь
алгебраическими выражениями для линий распределения (профилей)
34

температуры по толщине тел, вдоль х. Впрочем, в этом состоит суть всех
интегральных методов, см. например /18/, /19/. Особенностью данных
методов является то, что с помощью их нет возможности находить
распределение температуры в теле на любой интересующий момент времени
процесса, а наоборот, - ищется время процесса нестационарной
теплопроводности до того момента, когда температура в какой-либо точке
тела примет заданное значение. В этих методах обычно используется какое-
либо интегральное уравнение, или интегральное соотношение, решение
которого удаётся получить только после того, как приближённо задаться
профилями распределения температуры в теле на любой момент времени.
В нашем случае мы также получили интегральное уравнение (1-36), в
котором функции а(Т, х), Ф(Т, х, г|), 0ф(0, Ф(£, х) раскрываются
подстановкой в зависимости их от температуры приближённых выражений
для распределения температуры вместо Т. Когда фронт фазового
превращения ярко выражен и значения критерия Коссовича
Ко = ()ф/С (Тф -Тс) высокие, профили температур в любой момент времени
хорошо описываются линейным законом /20/. Так, в случае условно
выбранного линейного распределения температуры по х, функция а(Т,х)
получается подстановкой в а(Тп) выражения
Тп = Тс + (Т - Тс) ^ = Fi(T, х); функция Ф(Т, х, ц) = ЦТ, х, ц) со(г|) -
подстановкой в ЦТ, х) выражения
t = Тс + (Т - Тс) ^ = F2(T, х, т|) вместо Т; функция а(£) - подстановкой в
к
а(Тп) выражения Тп = Тс + (Тф - Тс) — = F3(£); функция
Ф(£, х) = Ц<^, х) со(х) получается подстановкой в ЦТ, х) выражения
х+к
t = Тс + (Тф - Тс) — = F4(£, х) вместо Т, и кроме того,
Т(х, т) = Тс + (Тф - Тс)^-г = £(х), где к = А/а; А, а -некоторые
фиксированные (средние) значения X и а.
Для определения времени полного промерзания тел удобно, раскрыв
значения N, Ф и со, формулу (1-36) записать в виде
35

1
l
Ъ dx
;)<Ц +
(Тф-Тс) Jo
О (y-x)f-i Xftx)
+
(Тф-Тс) Jo
1
f;dxfFT(*x)C(T,x)(e-x)fl(;
ct(T,xXj
1
>f-i
+
rx dr|
о (■е-^-щт.х.цу
;)8Т,
(1-37)
где f = 1, 2, 3 - соответственно для пластины, цилиндра и шара; F(x) -
конечное распределение температуры при т = тк.
В частности, при задаваемом линейном распределении температуры в
процессе промерзания указанных тел и при постоянных С, X, а
формула (1-37) примет вид /14/:
где первый член даёт вклад теплоты фазового превращения а второй -
теплоёмкости С промерзающей зоны в общей продолжительности тк
процесса полного промораживания тела.
§ 3. О задачах теплопроводности при фазовых превращениях
В теории теплопроводности нестационарные задачи с фазовыми
превращениями и с подвижными границами фаз, в целом, принято
именовать задачами Стефана. Различают классические и неклассические
задачи Стефана. Постановка классической задачи Стефана предполагает, что
вся скрытая теплота Q$ фазового превращения выделяется (поглощается)
(1-38)
36

изотермически при Тф. Неклассическая постановка задачи описывает
выделение скрытой теплоты фазового превращений в интервале («спектре»)
температур, и в целом эта постановка задачи выглядит как и обычная
нелинейная задача теплопроводности с сильной зависимостью С = С(Т) в
уравнении (1-21).
При классической постановке задачи Стефана в системе
дифференциальных уравнений, включающей в себя основное
дифференциальное уравнение теплопроводности (1-21) (для каждой фазы) и
краевые условия (начальное и граничные), появляется дополнительное
условие баланса тепловых потоков на движущейся границе раздела фаз,
именуемое условием Стефана, см. (1-28). Эта классическая постановка
задачи более всего подходит, например, для описания явления замерзания
чистой воды, когда превращение в лёд всей влаги происходит при строго
определённой температуре Тф = О С.
В литературе встречаются термины - однофазная, двухфазная и
многофазная задача Стефана. Задача считается однофазной, если начальная
температура тела равна криоскопической Тф, при которой и происходит
изотермическое выделение (поглощение) скрытой теплоты Q$; в этом
случае температурное поле Т(х, т) подлежит определению только в одной
фазе. Так, приведённая нами выше задача (1-24)...(1-28) - однофазная
задача Стефана, в которой отсутствует тепловой поток к фронту фазового
превращения из незамёрзшей зоны. Когда такой поток есть, он пересекает
фронт фазового превращения, притормаживает его продвижение, и его
иногда называют «транзитным» /20/, /48/. Поэтому задача Стефана об
охлаждении тела будет называться двухфазной, если начальная температура
его выше Тф, и имеет место в связи с этим «транзитный» тепловой поток
через фронт фазового превращения.
Даже при независящих от температуры теплофизических
характеристиках задача Стефана всегда является нелинейной вследствие
нелинейности одного из граничных условий - условия Стефана. Но
употребление термина "нелинейная" задача Стефана подчёркивает, что
теплофизические характеристики вещества в какой-либо из зон или везде
являются зависящими от температуры. При независящих же от неё
характеристиках задача именуется линейной.
Впервые задача теплопроводности с фазовым превращением была
поставлена Г. Ляме и Б.Клапейроном в 1831. Они рассмотрели
затвердевание однородного плоского тела при начальной температуре
Тн =Тф, при постоянных теплофизических характеристиках, неизменной
температуре поверхности тела и предположили, что вся теплота фазового
37

превращения выделяется изотермически, т.е. решили задачу Стефана без
транзитного теплопотока. По существу ими было составлено уравнение
теплового баланса на границе раздела фаз, которое уже в последующем (по
исторической несправедливости) получило имя Стефана. В принятых нами
обозначениях это уравнение имеет следующий вид
Q.£ = A(X£). (1-39)
Поскольку при температуре фазового превращения наблюдается
скачок в изменении теплового потока, то площадь поверхности
элементарного слоя со(х) = со(£) в обеих частях данного уравнения
сокращается, и следовательно, она здесь перестала нести нагрузку
геометрического фактора. Уравнение (1-39) записано для двухфазной
задачи, при однофазной же задаче оператор Д опускается, т.е. приходим к
уравнению (1-28).
Точное решение было получено только для линейной плоской задачи
Стефана при постоянной температуре на поверхности тела (граничное
условие первого рода) сначала Ляме и Клапейроном (1831), затем
Л.Заалынютцем (1862) и, наконец, австрийским физиком Й. Стефаном
(1889) - уже для двухфазной задачи. Суи Лин в 1964-1966 получил точные
решения продолжительности промерзания шара и неограниченного
цилиндра в линейной однофазовой задаче при постоянном граничном
условии первого рода, см. /20/. Известно также очень важное точное
решение линейной однофазной плоской задачи Стефана при линейном
характере изменения температуры поверхности тела /21/. Заметим, что
точные решения бывают крайне необходимы при тестировании новых
приближённых методов и численных счётов. Нам они также понадобятся
ниже при проверке точности интегрального соотношения, выражающего
собой закономерность сохранения импульса-количества движения энергии в
термических процессах.
Из приближённых аналитических методов наилучшими признаны
интегральные /19/. В них используются соотношения, приводящие
уравнение с частными производными либо к обыкновенному
дифференциальному уравнению с начальным условием, либо к линейному
алгебраическому уравнению, или системе таких уравнений. Среди
интегральных методов различают вариационные и невариационные. В
38

невариационных методах фигурируют функционалы, которые
подставляются в балансовые уравнения без экстремализации
(минимизации). К ним относятся, например, методы Л.С. Лейбензона (1939),
И.А. Парного (1948), Т. Гудмена (1964), в которых используют в качестве
неминимализируемого функционала интегралы теплового баланса, с
подстановкой в них задаваемых профилей распределения температуры.
Изложенный нами выше, в §2, интегральный метод решения задачи Стефана
также относится к не вариационным, но отличным от других известных /19/.
Известны ещё и так называемые псевдоточные решения, которые
удовлетворяют основному дифференциальному уравнению и всем краевым
условиям, но в которых закон движения фронта фазового превращения
задаётся искусственно, это - Г.А. Мартынов (1955), Н.Н. Веригин (1961),
М.Я. Антимиров (1964), Ю.А. Буевич (1965), Д. Лангфорд (1967).
Из вариационных интегральных методов применительно к задачам
теплопроводности наибольшее распространение получил метод М. Био /3/,
использующий гамильтонов формализм и являющийся аналогом
вариационного метода Журдена в аналитической механике. Обоснование
вариационным методам в физической неравновесной термодинамике мы
находим в обобщениях И. Дьярмати /8/, объединяющих и принцип
наименьшего рассеяния энергии Онсагера и принцип наименьшего
производства энтропии Пригожина.
Заметим, что описанный нами выше, в §2, интегральный метод
решения задач теплопроводности отличается контролируемой точностью.
Действительно, если локальные значения коэффициента теплопроводности X
и коэффициента теплоотдачи а не изменяются во времени, то точность
вычисления всей продолжительности процесса промораживания тел тк
зависит только от правильности определения области тепловыделения в
координатах Т-х, что равносильно знанию распределения температуры в
теле только на конечный момент времени тк.. Таково решение (1-38),
которое наиболее точно в случае неограниченной пластины (f = 1),
поскольку в ней распределение температуры в конце промерзания близко к
линейному, рис.3, линия 1. Для шара и цилиндра результаты, полученные с
помощью формулы (1-38), будут несколько заниженными, т.к.
действительная область тепловыделения о будет большей ввиду вогнутости
линии профиля температуры в конце промерзания для этих тел, линии 2 и 3.
Иными словами, значение продолжительности промерзания, полученное по
формуле (1-38), будет отличаться от действительного на время,
соответствующее выделению количества тепла из зиштрихованной части
области а, см. рис.3. Ввиду же того, что для многих встречающихся на
39

практике процессов основное количество тепла, выделяющееся из тела,
составляет теплота фазового превращения, т.е. первое слагаемое в (1-38)
наиболее существенно, то погрешность формулы (1-38) может быть вполне
удовлетворительной не только для пластины, но и для шара и цилиндра.
Впрочем, «укороченная» задача с фазовым превращением, когда
влиянием теплоёмкости С пренебрегают, в литературе получило название
задачи Рудольфа Планка /20/, /22/, а сама формула (1-38) при отсутствии
второго слагаемого - формулы Р. Планка.
И в рассмотренном методе, в §2, если X и а переменны во времени, то
на точность решения будет оказывать влияние выбираемый профиль
распределения температуры на любой момент времени.
Рис.3. К оценке погрешности формулы (1-38) - схема профилей Т(х)
распределения температуры на конец времени промерзания тк: 1 - в
пластине, 2 - в цилиндре, 3 - в шаре.
40

§4. Принцип термического сопротивления
Проанализируем уравнение (1-36), обращая внимание на его
физический смысл, на функциональные связи между распределёнными по
толщине тела теплофизическими характеристиками, геометрическим
фактором. Подобно тому, как в дифференциальном уравнении
теплопроводности Фурье (1-24) мы имеем энергетическую характеристику
- N и кинетическую - Ф, соответственно связанные с левой и правой
частями смысловой его формы (1-20), в уравнении (1-36) энергетической
характеристикой выступает элементарное количество тепла
С(Т, х) со(х) 5Т dx («ощутимого», - по изменению температуры) или
Q$(£>) со(^) d^ (скрытого, при фазовом превращении), а кинетической -
интегральный комплекс соответственно:
W а(Т, х) а>(0) Jo Л(Т, х,
Л) <*>(л)
(1-40)
или
ш = —-—+ Г
vv а(Н) са(О) J0
$ dx
(JO со(0) J0 Л«,х) со(х)
(1-41)
Этот комплекс выражает собой понятие термического
сопротивления. Очевидно впервые оно было введено ещё в 1930-х годах
создателем гидротепловой аналоговой машины - гидроинтегратора - B.C.
Лукьяновым. Именно по аналогии с гидравлическими (тоже -
диссипативными) процессами данному комплексу поставлено в
соответствие гидравлическое сопротивление ламинарного течения
жидкости.
Комплекс J(x) есть мгновенное (на любой фиксированный момент
времени т = т ) термическое сопротивление от изотермической поверхности
с координатой х и температурой, соответственно, Т(х) = Т(х,т) до
охлаждающей среды вдоль х - криволинейной оси выбранной трубки
теплового потока. Комплекс J(^) есть J(x) при х = Здесь мы фактически
используем известный в теории теплопроводности принцип, который
справедлив, не касаясь специальной теории относительности (СТО): когда
41

мысленно фиксируется время т = т*, мы можем переходить от зависимости
коэффициентов X и С от температуры к зависимости этих характеристик
лишь от х, поскольку, подставив в зависимости А,(Т, х) и С(Т, х) какие-
либо задаваемые выражения Т(х, т ), мы получаем А,(х) = Х(х,т ) и
С(х) = С(х,т). Следовательно J(x) = J(x,t*).
На этом основании термическое сопротивление в интегральном
выражении (1-36) может пониматься как своеобразное расстояние -
«термическое расстояние», - которое преодолевается элементарным
количеством тепла 82Q = С(х) ш(х) 5Т(х) dx, выделяющимся в
элементарном слое со(х) dx при понижении в нём температуры на
8Т(х) = 8Т(х, т ) и отдаваемым в охлаждающую среду, либо количеством
тепла 5Q = Q<j) со(^) d£ за счёт смещения фронта фазового превращения на
d£, также отдаваемым в окружающую среду.
Таким образом, можно сформулировать принцип термического
сопротивления, понимая под ним следующую интегральную
закономерность: на участке однонаправленного теплового потока, в рамках
постановки задачи теплопроводности по уравнению Фурье, тепло,
выделяющееся из каждого элементарного слоя тела как при понижении в
нём температуры на 8Т, так и при фазовом превращении этого
элементарного слоя, будто мгновенно попадает в окружающую среду,
преодолевая всё термическое сопротивление (в виде суммы внутреннего и
поверхностного - для тела), существующее между этим элементарным
слоем и окружающей средой; и, если бы термическое сопротивление во всём
теле вдруг, по какой-либо причине, мгновенно стало нулевым, процесс
теплопроводности также закончился бы мгновенно - моментальным
самовыравниванием температуры всех точек тела с температурой
окружающей среды, и наступило бы полное термическое равновесие внутри
охлаждаемого тела.
Отсюда следует очень важный вывод: природа термической
неравновесности может быть объяснена с позиции существования
субстанциальной причины, а именно - термического сопротивления!
Пример приложения приниипа. В случае монотонного стационарного
температурного поля в теле любой конфигурации можно использовать,
опираясь на этот принцип, интегральную форму закона Фурье
42

(1-42)
при любом х как криволинейной координаты вдоль любой траектории
теплового потока в теле. Здесь Т(хк) и Т(хп) - температуры в точках Хк и
хп, принадлежащих двум изотермическим поверхностям, проходящим через
эти точки; Jk_n - термическое сопротивление на отрезке хп - Хк, т.е. между
изотермическими поверхностями, проходящими через точки Хк и хп. В
статье /23/, например, с использованием формулы (1-42) и метода
геометрических параметров Ляме получено точное аналитическое решение
задачи Дирихле об определении двумерного стационарного температурного
поля в грунте с двумя подземными трубопроводами, имеющими один
отрицательную температуру, другой - положительную, при нулевой (°С)
среднегодовой температуре грунта.
§5. Инерция термическая («интергия»)
В уравнении (1-36) мы находим и мгновенные (на т = т*)
инерционные характеристики процесса нестационарной теплопроводности,
это функции
Цх) = N(x) J(x) = N(x) ( , * , л + f* ^ , J , с/м (1-43)
TV/ v у v / v / \a(x)u>(0) JO Л(х;л)а>(л)
и
¥9 = (^5, + /о Щ^) , с/м (1-44)
где N(x) = N(x, т*) = С(х%т*) со(х); а(х) = а(х, т*); а© = а(£, т*) и,
следовательно, 1т(х) = 1т(х, т*) и 1ф (£) = 1ф (£, т*), а в целом, для любого т
имеем 1т = 1т(Т, х) и 1ф = 1ф(£,т).
43

Из сравнения выражений (1-43) и (1-44) мы, в частности, видим, что
сосредоточенная при Тф теплота фазового превращения Q$ в
нестационарном процессе скоррелирована с некоторой эквивалентной
теплоёмкостью, в виде «размазанной» по интервалу температур теплоты:
Это и ясно в связи с двояким смысловым определением
теплоёмкости: её можно рассматривать не только как количество тепла,
идущее на изменение температуры единицы объёма тела на 1°К, но и как
количество тепла, необходимое, чтобы распространить изменение
температуры на 1°С (1К) ещё на другую единицу объёма тела; перемещение
же фронта и означает такое эквивалентное распространение.
Поэтому (1 -44) - это
где 1ЧЭКВ (£) = Сэкв (£>) со(^) - погонная (вдоль трубки теплового потока)
теплоёмкость, Дж/К м.
Задачу (1-24)...(1-28) можно было бы рассмотреть и более упрощённо
в случае, когда Сусл(£) » С(Т,х) при всех Т и х. Тогда
дифференциальное уравнение Фурье (1-24) становится малосущественным в
сравнении с уравнением Ляме и Клапейрона (1-28), первое слагаемое в
интегральном уравнении (1-36) исчезает, и время процесса т определяется
одним вторым слагаемым, которое, с учётом (1-44), записывается в виде
простого интеграла
Сэкв.(^) —
Тф_Тс
Дж/м3К .
(1-45)
W = N,KB.(^)J© , с/м,
(1-46)
(1-47)
44

Формула (1-47) даёт нам ясный физический смысл инерционной
характеристики 1ф(£) процесса теплопроводности с фазовым превращением.
Она эквивалентна обратной величине «собственной» скорости £ф
движения фронта, т.е. без какого-либо влияния со стороны других
тепловыделений и «транзитных» теплопотоков через тело:
1ф© = Йф)"'^с1т/^ф . (1-48)
Аналогичный смысл имеется и у инерционной характеристики 1т(х).
Покажем, что она эквивалентна обратной величине «собственной» (т.е. без
какого-либо влияния соседних тепловыделений) скорости распространения
вдоль х «ощутимой» теплоты (52Q) для некоторой изотермы Т в точке х.
Для этого используем выражение (1-45), но только в обратном смысле, -
заменим теплоёмкость С при температуре Т эффективным скрытым теплом
РфэФФ. = С(Т-Тс) , (1-49)
считая, что вместо изменения температуры в окрестности некоторой точки х
тела происходит как бы эквивалентное смещение фронта изотермической
поверхности у этой точки. Тогда, с учётом (1-43) и (1-49), дифференцируя по
Т первое слагаемое в (1-36), получим
dxT = ijrijr J* ST (x, т*) IT(x)dx . (1-50)
И ещё раз дифференцируя (1-50) по х, находим «собственное» время
смещения изотермической поверхности, которое - второго порядка малости:
2 _ IT(x)6Tdx
^1тГ • ( }
45

Откуда
IT(x) = (60 dx/d2!)"1 = ^)(^С) , (1-52)
где 80 = — 8T/(T-TC) - относительное изменение температурного интервала
при фиксированном dx.
Таким образом, вклад в продолжительность общего времени процесса
элементарной области тепловыделения d2o = (—8Т) dx зависит не только от
1(х), но и интервала температур Т - Тс, который, непрерывно уменьшаясь,
увеличивает время процесса.
Поэтому видим, что неизменно возрастающей величиной, или
«причиной» приращения времени d2iT любого процесса нестационарной
теплопроводности выступает в формуле (1-51) лишь отношение
= l(T,x) , с/мК , (1-53)
которое можно понимать как модуль термической инерционности, или
модуль интергии, для любой точки области тепловыделения
о{0 < х < t\ Т(х, тк) < Т < Тн} в теле; 1(х)= 1т= 1(Т,х).
Модуль интергии - это величина, которая в нестационарном процессе
теплопроводности непрерывно самопроизвольно увеличивается. При
фиксированном х такое увеличение идёт лишь за счёт уменьшения
перепада Т - Тс, но не за счёт роста 1(х). При фиксированной температуре
Т, наоборот, растёт 1(х). Т.е. модуль интергии всегда либо сопрягается с
изменением температуры, либо с перемещением dx = d£r фронта
изотермической поверхности. В первом случае налицо проявление
«ощутимого» тепла, работает отношение 8Т/(Т-ТС), фиксируется интергия
1(х) и возникает после интегрирования логарифмическая (!) функция
температуры. Во втором случае за счёт углубления в тело фронта
изотермической поверхности модуль интергии i'(T,x) возрастает только
вследствие роста 1(х), при фиксированном интервале температур, и
возникает после интегрирования квадратичная зависимость времени
процесса от расстояния (!).
46

Таким образом, элементарное время нестационарного процесса
теплопроводности, связанное с областью тепловыделения о в {Т, х}, имеет
выражение
d2x = i(T, х) d2o , (1-54)
считая d2a = |5T|dx - по абсолютной величине, поскольку 5Т<0 - при
охлаждении и 5Т>0 - при нагреве.
Данную закономерность (1-54) можно использовать в методах
определения теплофизических характеристик вещества тел.
При таком анализе мы видим, что нестационарное температурное
поле определенным образом устанавливает нам физическую связь между Т и
х по единой характенистике i'(T,x), через которую температура Т проявляет
свойство, противоположное свойству координаты х. Эта противоположность
выражена в симметрии двух закономерностей самопроизвольного движения
точки температурного поля на плоскости Т - х, логарифмической и
квадратичной.
§6. Моменты теплоёмкости в уравнении теплопроводности с
интегралами Стилтьеса
Перепишем интегральное уравнение (1-36) с учётом нами
определённого понятия интергии:
* = фгс /о /т(х.х) ItCT.x)6Tdx + j* 1ф(9с15 . (1-55)
Здесь функции 1х и 1ф интегрируемы на [0,£] и на [0,f], т.к.
[0,£] с [0,€] и, следовательно, существуют интегралы с переменным
верхним пределом на каждый фиксированный момент времени т
47

Мс(х) = /* 1т(т1)с1л , х е [0, £] (1-56)
И
Мэкв.с©^^/ф(^, $е [о, г] .
С этими интегралами, как интегрирующими функциями, уравнение
(1-55) принимает вид уравнения с интегралами Стилтьеса
T = ^^/TT(:T/T(x,OdMc(x,xV
+ Мэквс© = Щ(§ + Мэкв.с(£) , (1-57)
где т'пробегает все значения от 0 до т.
Дифференциалы интегрирующих функций могут пониматься как
элементарные моменты теплоёмкости на каждый фиксированный момент
времени т*:
dMc(x) = Цх )dx = N(x) J(x)d х ; (1-58)
dM3KBC© = 1ф(0 di; = Сэкв.© «в© К® ,
в которых аналогом расстояния выступает термическое сопротивление J(x)
или J(£) от элемента dx или d£ до окружающей среды (индекс «с» при М
означает - по отношению к окружающей среде), а аналогом массы -
теплоёмкость элементарного объёма - С со(х) dx.
Моменты теплоёмкости имеют размерность времени, причём
Мэкв.с(^) эквивалентен «собственному» времени Тф, определяемому
48

формулой (1-47), для тепла фазового превращения. Член же Мс(£) в
уравнении (1-57) может быть также понимаем как среднеинтегральный
момент теплоёмкости зоны тепловыделения с теплоёмкостью С, который
даёт вклад тепла этой зоны в общее время процесса.
Использование понятия момента теплоёмкости наиболее удобно в
задачах, в которых теплофизические характеристики не зависят от Т, хотя
могут зависеть от х. Поэтому рассмотрим более простую задачу, чем
(1-25) ...(1-28), - с линейным основным дифференциальным уравнением
при симметричном охлаждении тел простой формы в следующей постановке
где N(x) = С(х) со(х); Ф(х) = Цх) со(х); со(х) = 1, 2лх, 4тгх2 -
соответственно для неограниченной пластины толщиной 2€,
неограниченного цилиндра и шара радиусом t; х =0 - в центре симметрии
тел.
Интегрируя основное уравнение дважды по х с учётом граничных
условий и производя, как и в (1-35), изменение порядка интегрирования,
приходим к следующему интегральному уравнению
N(X)£E = ^(Ф(х)^),
v 'dx dxv v 'dx'
0<x<e, т>0;
(1-59)
T(x,0) = TH(x);
a(T(e,T)-Tc(T)) = -X(t>
ЭТ(1,т)
ax
T(x,x)-Tc(x) = -/;
N(Q(—+ f— )dC +
vv каш{Г) J Ф(уУ ъ
n(q a
x dv
(1-60)
X O(v)
С использованием элементарных моментов теплоёмкости
49

dMc© = N(g(^+^)dc, o<;<e (Mi)
dM,© = N(0(/^)d^ o<;<x,
правая часть интегрального уравнения (1-60) может быть записана с
интегралами Стилтьеса
Т(х,т)-Тс(т) = - Jo'«ffi2dMeCQ + /0Х^dMx(0 . (1-62)
где моменты теплоёмкости суть интегрирующие функции
= Jo WQ = /0Л N(Q J(Q dC , 0 < л < £, (1-63)
MxOi) = J>(Q d;, o<4<x.
В данном случае интегралы Стилтьеса существуют, поскольку
функция —-— интегрируема в смысле Римана, а функции Мс(г|) и Мх(л)
ат
представимы в виде интегралов с переменным верхним пределом, в которых
подинтегральные функции абсолютно интегрируемы. И поэтому функция
ST^T^ на интервале [0,^] интегрируема по функции Мс(т|), а на [0,х] - по
функции Мх(т|)- При х = 0, т.е. в данном случае в центре тел, температура
всегда максимальна и, следовательно, будет определяться только первым
интегралом в уравнении (1-62).
Важным свойством интегрального уравнения (1-62) выступает
возможность его использования для описания теплопроводности в
50

многослойных телах. Для них оно сохраняет тот же вид, хотя постановка
задачи (1-59) в этом случае должна уже включать систему основных
дифференциальных уравнений (по числу слоев i =1,2,.. .п) и добавочные
контактные термические сопротивления Aj (j = 1,2,.. .n—1 - нумерация
контактов начиная с центра тела) на границах слоев при неплотном их
прилегании. А в общем виде внутренние граничные условия на контактах
записываются из соображения равенства тепловых потоков, хотя
температуры двух контактируемых поверхностей могут быть различны:
= f (Т(х; + 0,т)-Т(х;-0,т),
(1-64)
T(xj - 0, т)> T(xj + 0, т) при охлаждении, где Xj - координата контакта j
(нумерация в направлении увеличения х).
Условия (1-64) являются более общими, чем известные граничные
условия четвёртого рода /18/, поскольку равенство тепловых потоков
имеется, но равенство температур на контакте не обязательно. Классические
же представления вынуждают контактные термические сопротивления Aj
задавать дополнительными слоями с нулевой теплоёмкостью с
использованием этих указанных граничных условий четвёртого рода.
Иное дело - граничные условия (1-64). Из математического анализа
известно, что интегралы Стилтьеса существуют даже в том случае, если
функции Мс(г|) и Мх(л) имеют разрывы (первого рода, скачки). Поэтому
становится возможным с помощью интегралов Стилтьеса объединить одной
интегральной формулой разнородные случаи непрерывно меняющихся
теплофизических характеристик и скачкообразного их изменения. При этом
отпадает необходимость создавать искусственную модель с
дополнительными слоями с нулевой теплоёмкостью, как это принято, если
следовать классической теории теплопроводности /18/.
С граничными условиями (1-64) элементарный момент теплоёмкости
i-ro слоя для нахождения температуры центра тела (£ = 0) по формуле
51

T(0,T)-Tc(T)=-/0^dMc(Q
(l-62a)
при условиях (1-64) будет иметь вид
ЛШ=N(W +С* ^+/*>^> d6, (.-65,
и температура Т(0, т) = Ti(t) тела (1-62а) раскрывается следующим
уравнением
Т,(т) - Тс(т) = - HLi dMcCQ , d-626)
где An = $ = Tti £\ = xj ~ xj-i - толщина i-ro слоя; контакт с
внешней (по отношению к окружающей среде) стороны слоя i имеет номер
j=i.
Заметим, что в физике известен и иной путь для описания связи
непрерывных явлений с дискретными, - это использование 5-функции. В
прекрасно написанной монографии по теории поля /24/ обсуждён вопрос о
двух равноценных формализмах - интеграле Стилтьеса и 5-функции, но
отдаётся предпочтение последней. В настоящей же работе, с введением
тепловых моментных функций, видится в такой задаче большее
преимущество применения интеграла Стилтьеса!
52

§7. Взаимосвязь характеристик и параметров инерционности
в процессе нестационарной теплопроводности
Явление нестационарной теплопроводности в твёрдых телах несёт
нам две основные теплофизические характеристики вещества этих тел -
теплоёмкость С и коэффициент теплопроводности А,, которые традиционно
принято объединять в так называемый коэффициент
температуропроводности а = А/С, понимаемый как локальная
характеристика инерционности процесса /18/.
Но выше мы, на основании принципа сопротивления, показали
существование также и интегральной мгновенной (на любой
фиксированный момент времени т = т ) характеристики инерционности
процесса охлаждения тел - интергии, которая при выборе, например, х =0 в
центре тел простой формы с характеристическим размером £ представляется
выражением
I(x) = N(x) J(x) , (1-66)
гдеЫ(х) = С(х)со(х) ,
J(x) = Jn + JB„(x) = + f ' , (1-67)
v / n cta)(0 Jx Л(л)о)(л)
C(x) ^ С(х,т*); X(x) ^ X(x/); I(x) = l(x,x*) ;
слагаемые Jn и JBH(x) можно понимать как поверхностное и внутреннее
термические сопротивления охлаждаемого тела, а
^00 = 77^7-, О"68)
4 7 Я(х)со(х)
как сопротивление некоторого элементарного криволинейного слоя dx.
53

И далее мы использовали понятие моментов теплоёмкости (1-63) как
интегрирующих функций в уравнении теплопроводности (1-62) с
интегралами Стилтьеса. Если же мы эти две функции возьмём по
максимуму, соответственно при ц = I - для Мс(г|) и r| = х - для Мх(л)> то
получим две интегральные характеристики - параметра процесса
Мс - Щ.Ц - С Kx)dx н £ С(х)со(х)(^ + /х'^2_) dx , (,-69,
м, - м,(х) = £ с®ш(0 (£ ^) d;. (1-70)
Определение величин Мс и Мх не представляет труда, требуется
лишь запомнить, что dMc(Q есть произведение теплоёмкости объёма
элементарного слоя N(Q d £ на сумму всех термических сопротивлений от
этого слоя d£ до окружающей среды, a dMx(Q - это произведение
теплоёмкости объёма элементарного слоя N(Q d £ на сумму термических
сопротивлений от этого слоя до точки х£[0,^], температура которой
определяется, в направлении теплового потока.
Если же тело многослойно, то
Мс ^ Mc(t)=д., с(д а>(д +
+а-«С^+№«" (1-71)
а момент теплоёмкости Мх определён аналогично - от центра тела (£ i = 0)
до изотермической поверхности ш(£0 с температурой соответственно
Т«|,т).
Параметры Мс и Мх удобно использовать при получении
аналитических решений некоторых линейных задач нестационарной
теплопроводности. Простейшей из них является, например, задача о
температурном поле в телах с центральной, осевой или плоскостной
симметриях при регулярном режиме второго рода /18/, когда для всех точек
54

тела скорость изменения температуры одинакова и равна скорости
изменения температуры среды, т.е. при охлаждении
dTc/dT = 5T(x,T)/dx = - b = invar. Такой режим может наступить через
некоторое время от начала охлаждения, когда либо температура среды Тс
есть линейная функция времени
Тс(т) = Тн-Ьт , (1-72)
либо обеспечивается постоянный во времени тепловой поток на
поверхности тела (х = I) - постоянное граничное условие второго рода. В
этом случае имеем точное решение задачи, вытекающее непосредственно из
уравнения (1-62):
Т(х, т) - Тс(т) = b (Мс - Мх) . (1-73)
При х = 0 имеем и Мх = 0, т.е. искомой точкой выступает центр тел,
и тогда Мс становится всеобъемлющим параметром инерционности,
имеющим размерность времени.
Впрочем, для наглядности, подчеркнём следующую взаимосвязь трёх
характеристик термической инерционности при охлаждении, например,
плоского тела:
^0 = 1(Х), !*Ш = ^ = 1 . (1.74)
dx 4 ' dx2 dx а
§8. Основное интегральное соотношение тепловых моментов
Постараемся более обобщённо поставить задачу нестационарной
теплопроводности в твёрдых телах простой формы, беря симметричный
(классический) случай их охлаждения и используя достаточно общее
нелинейное уравнение теплопроводности Фурье (1-21). Это позволит нам
55

прийти к очень важному для физической термодинамики понятию
термического импульса. Рассмотрим задачу об охлаждении тел простой
формы (шара, неограниченных цилиндра и пластины) с характеристическим
размером £, с переменными А,(Т) и С(Т), причём в эффективной
теплоёмкости С(Т) может учитываться и тепло фазового превращения по
формуле (1-45),
С(Т)со(х)^ = ^МТ)ю(х)^), 0<х<£; (1-75)
Т(х,0) = Тн(х) ; (1-76)
^ = 0; (1-77)
а(т) (Т(£, т) - Тс(т)) = - ЦТ(1,х)) ; (1-78)
^Г^<0 , 0<х<£; т>0, (1-79)
где х = 0 - в центре симметрии тел; для выполнения условия (1-79)
постоянства направления теплового потока достаточно, чтобы dTc/di < 0
при т>0; дТн/дх<0.
После первого интегрирования по х в некоторый момент времени т
с учётом (1-77) получим
ат(х,т) _ 1 fx „(гтЛ , Л£7ХС/г)
ах
Интегрируя обе части (1-80) по х второй раз, находим
56

T<^ = J"oX«^/oy«T)<o(0^^ + C2W . О-S»
Уравнение (1-81) можно считать одним из двух повторных
интегралов двойного интеграла
Т<^>=#8 со(у)Х(Т(уд)) dx «У^+С^ (Ь82)
по области S[0 < у < х; 0 < ^ < у] и который имеет другую форму
повторного интеграла
Т(хд) = £с(7>(0^(/*;^)<К + С2(т) . (,-83,
Определяя Сг(т) из условия (1-78) и с привлечением (1-80),
окончательно получим для любого х G [0, €]:
T(x,t) - вд = £с(т) «коЕЙ* (J*^) dc-
откуда для центра тела (х = 0) в любой момент времени т:
Т(0,т)-Тс(т) = -//с(Т)о)(х)^(—^— + f\Jy, Jdx . (1-85)
57

Таким образом, системе дифференциальных уравнений (1-75)...(1-79)
соответствует одно интегральное уравнение (1-84) с начальным условием
(1-76).
Проинтегрируем обе части уравнения (1-85) по времени:
а - j><o,t) - tcW) dx=dx £ cm«„(x)=+
+ S\J?, Jdx = AH . (1-86)
Jx Л(Т)(о(у) 7
Геометрическая интерпретация левой части (1-86) при условии (1-79)
очевидна - это площадь П в координатах Т-т между линиями изменения
температур Т(0,т) и Тс(т) за время тк. В правой же части (1-86) ввиду того,
что функция Т = Т(х,т) непрерывна в области своего определения, порядок
интегрирования можно менять:
АН ев ff а)(х) (- fТк С(Т) (-тт-7^ + /'тТ^ГТТ ) ? <Ь) dx . (1-87)
Здесь выражение во внешних скобках представляет собой интеграл,
зависящий от параметра х. При любом фиксированном х =х* этот интеграл
получается заменой х на Т(х*,х) = ТДх) из интеграла
где Т.(0) = Т„(х,).
Выражение (1-88) справедливо для любого 0 < х < С, поэтому оно
определяет параметрическое задание функции, причём параметр х входит и
58

в подинтегральное выражение, и в пределы интегрирования. Следовательно,
определена функция
Ф(х) = I
рТ„(х)
Т(х,тк)
С(Т) J(T,x) 8Т ,
(1-89)
где
J(T,x) =
а(Т,х)ш(Л
1
'х А.(Т,х,у)а>(у) '
€ dy
а соотношение (1-86) можно записать так:
Q = /0Тк(Т(0,т) - Tc(x))dx = /0£ со(х) С(Т) J(T, х) 6Т dx = АН .
Таким образом, нами произведено интегрирование (1-75) дважды по
х и один раз по т с учётом всех краевых условий. Получено интегральное
соотношение (1-90), которое может быть разрешено относительно
изменения площади фигуры й(тк). С другой стороны, как и во всех
интегральных методах, нужно задать профили распределения температуры
по толщине тела t = t(T,x,y), которые подставляются в функции
а(т) =а(Т(у,т)) и Х(Т) = Х(Т(у,х)) вместо Т с целью получения
зависимостей а(Т,х) и Х(Т,х,у).
Ещё раз обратим внимание на замену переменной интегрирования (т
на Т) при переходе от формулы (1-86) к (1-88). В математическом анализе
известна формула
(1-90)
продолжительности процесса охлаждения
если известен закон
Jabf(x)dx = /aPf(x(0)x'(OdC
Именно согласно с ней мы от интеграла (Ja ...) переходим к (Ja ...), т.е. от
59

Ф(х> - - gс(х, т) +/;) s dT
переходим к
где а(т) заменяется на а(Т,х), поскольку а можно считать зависимым от
Тп = Тп(Т,х), т.е. зависит от фактического распределения температуры в
теле; точно так же С(х,т) и А,(х,т) заменяются на С(Т) и А,(Т,х,у), - здесь
не просто А,(Т), а учитывается фактическое мгновенное распределение
температуры в теле вдоль координаты х; у - текущая координата по х.
Интегральное соотношение (1-90) для большей наглядности при его
составлении можно представить двойным интегралом Стилтьеса по области
о[0 < х < f; Т(х,тк) < Т < Тн(х)]:
Q = Я(тк) ^ /0Тк(Т(0, т) - Tc(T))dT = //o J(T, х) 52Q(T, х) =
= // I(T,x) d2a = ДН(о) =АН , (1-91)
где 52Q(T, х) = С(Т) со(х) 5Т dx = С(Т) со(х) d2o = N(T, х) d2o.
Соотношение (1-91) можно считать интегральной формой закона
теплопроводности Фурье, т.е. уравнения теплопроводности с бесконечной
скоростью распространения взаимодействия в неподвижной системе
координат. Область a - область тепловыделения в координатах Т-х за всё
время процесса охлаждения тела тк.
Если X = invar или X = Цх) и а = invar, то термическое
сопротивление J =J(x) в течение всего времени охлаждении тк и тогда
интегральное соотношение (1-91) значительно упрощается:
Я = П(хк) = /0Хк(Т(0, т) - Tc(0))dx = £ J(x) dQ(x) = АН , (1-92)
60

где
dQ(x) = (j™^ С(Т)5Т) со(х) dx.
Интегральное соотношение (1-91) можно использовать для
определения продолжительности тк процесса охлаждения тела.
Аппроксимация левой части его при этом возможна, если известно
изменение во времени температуры центра тела (наиболее удалённой от
поверхности теплообмена точки х). Особенно это удобно в задачах с
фазовыми превращениями. Тогда при заданном характере изменения Тс(т),
например Тс = const, можно определить зависимость изменения во времени
площади ft = Q,(t) между линиями изменения этих температур в
координатах Т-т. В иных случаях для постановки задачи с помощью данного
соотношения (1-91) с целью определения тк бывает более удобным
использовать его в виде первых дифференциалов Q и Н с последующим
интегрированием:
dQ = (Т(х,т) - Tc(x))dx = 5(т) ffa J(T, х) d2Q(T, х) =
= б(т) ffa d2H = 5Н = J* J(T, х) С(Т,х) со(х) 5Т(х,т) dx =
= /* I(T,х) 5Т dx = I(T,х) d2a . (1-93)
В этом выражении под 5Т мы понимаем и как независимое
(произвольное) элементарное локальное изменение температуры, и как
5Т = 5Т(х, т) - вариацию по т локальной температуры. Из самой сути
формулы (1-91) и аддитивности функционала Н следует, что за всё время
тк процесса различие в понимании 8Т не окажет влияния на общий
интеграл и поэтому можно 5Т = dT считать независимым локальным
изменением температуры. Тем не менее, ниже мы покажем, что
61

интегральное соотношение (1-91) или (1-93), определяемое в указанном
смысле, - точное в проверке на некоторых известных точных решениях
задач теплопроводности.
ГЛАВА 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ
ИМПУЛЬСА-КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭНЕРГИИ
На основании феноменологического интегрального описания
нестационарной теплопроводности, приведённого в предыдущей главе, мы
приходим к более широкому, нежели в чисто механическом смысле,
пониманию того, что такое импульс. Напомним, что традиционно под
импульсом мыслится лишь одна из мер механического движения и что он
векторная величина, эквивалентная количеству движения mv, которое
определяется для материальной точки произведением её массы т на вектор
скорости v. Для замкнутых механических систем имеет место закон
сохранения импульса, который, впрочем, согласно теореме Нётер, может
иметь место лишь в условиях однородности пространства.
Однако мы сталкиваемся с совершенно неизвестным ранее
проявлением закономерности импульса на феноменологическом уровне
теплопроводности, и это позволяет углубить понимание физического мира,
получая в том числе новые смысловые и количественные зависимости там,
где до этого мы не могли подобного сделать. По существу здесь речь идёт о
новом формализме, который - не гамильтонов, и не лагранжианов, а он есть
дальнейшее развитие формализма термодинамики, вытекающего из
рассматриваемой закономерности термического импульса.
§1. Термический импульс-количество движения внутренней
тепловой энергии
Полученное в предыдущем параграфе интегральное соотношение
(1-91) и его полудифференциальная форма (1-93) фактически и выражают
собой закон импульса на термическом уровне. Эти интегральные уравнения
имеют прямую аналогию с законом сохранения импульса в механике, но
62

только смысл становится иным: на термическом уровне импульс численно
равен количеству движения энергии.
Действительно, левая часть уравнений - это импульс (интегральный
по времени или мгновенный) «термической» силы, аналогом которой
выступает разность экстремальных температур на участке
однонаправленного теплового потока и однонаправленного изменения
содержания внутренней тепловой энергии (в данном случае - её
уменьшения, т.к. идёт охлаждение). Правая же часть этих уравнений - это
«количество движения» внутренней тепловой энергии - тепла (если
внутреннюю энергию мыслить как переходящую через границы
элементарных слоев тела) через термические сопротивления. Элементарное
количество движения внутренней тепловой энергии (тепла) есть
произведение количества тепла 82Q = С(Т) со(х) 5Т dx, выделяющегося из
элементарного слоя объёмом со(х) dx при понижении в нём температуры на
8Т, на мгновенное термическое сопротивление J(T,x) от этого слоя до
охлаждающей среды в тот момент времени, когда происходит указанное
понижение температуры.
Термический импульс Q выражает меру теплового воздействия на
тело, а АН - это «отклик», изменение термического состояния тела под этим
воздействием в виде движения внутренней тепловой энергии (тепла). И в
зависимости от направления её потока импульс Q можно считать
положительным или отрицательным. С термодинамической зрения, при
охлаждении происходит убыль внутренней тепловой энергии в теле,
поэтому будем считать 52Q < 0, соответственно и АН < 0, поскольку
5Т < 0. В соотношениях (1-91) и (1-93) знаки Q. и АН всегда совпадают. А
поэтому при теплофизических расчётах удобно разность температур в Q
брать положительной, соответственно считать 5Т > 0 и АН > 0. На этом
основании в дальнейшем в левой части соотношений мы будем разность
температур иногда брать в прямые скобки, по абсолютной величине, и не
учитывать знак 8Т, см./15/.
С помощью указанной аналогии всегда легко составить интегральную
форму постановки задачи в виде соотношения (1-91), которое по существу
выражает собой теорему аддитивности величины АН: каждому элементу
площади области d a =8Tdx = 8do соответствует элементарное количество
выделяющегося в окружающую среду тепла 82Q = N(T,x) d2o = d2Q,
«количество движения» которого через сопротивление J(T, х) в
окружающую среду определяется как d Н = J(T, х) 82Q. Причём d2H = 82Н
всегда связано с соответствующим приращением термического импульса
воздействия, т.е.:
63

d2Q = д|T(0, т) - Тс(т)| dx = J(T, х) d2Q(T, х) = d2H.
(2-1)
Количество движения внутренней тепловой энергии (тепла) АН
является аддитивной величиной по теплу Q только вдоль траектории х
теплового потока, иначе - по области с, т.е. зоне тепловыделения. Вдоль же
поверхности тела со(С) или же вдоль любой изотермической поверхности
со(х) величина АН не аддитивна.
Выше, в главе 1, мы обращали внимание на подинтегральные
выражения, в которых фигурировали моментные функции в виде
произведения теплоёмкости элементарного слоя на термическое
сопротивление от этого слоя до окружающей среды (или до изотермической
поверхности, принятой за тепловой сток или источник), называя эти
функции моментами теплоёмкости (через термические сопротивления).
Теперь же мы, получив интегральное соотношение (1-91), видим в
подинтегральном выражении его правой части произведение изменения
количества внутренней тепловой энергии (тепла) в элементарном слое на
термическое сопротивление до окружающей среды. Такие моментные
функции мы иногда будем называть моментами количества тепла
(внутренней тепловой энергии) через термические сопротивления. Любая
порция тепла, 5Q - из выражения (1-4) или 82Q - из выражения (1-8),
выделяющаяся в каком-либо элементарном слое со(х) dx тела, как бы
«скатывается» по профилю распределения температуры в теле вдоль х, в
координатах Т-т, сразу в окружающую среду, преодолевая при этом всё
термическое сопротивление J(T, х) , существующее в данный момент
времени т между этим элементарным слоем и окружающей средой вдоль
траектории теплового потока.
Элементарный момент количества тепла, соответствующий любой
элементарной области d2o = dT dx из всей области тепловыделения с в
координатах Т- х, есть величина второго порядка малости
d2H = Jd2Q = JNd2a = Id2c = IdTdx , (2-2)
где в общем случае J = J(T,x); С = С(Т, х); N = С со(х); I = I(T, х) = J N -
интергия (инерция термическая, с/м).
64

Элементарный же тепловой момент от скрытого тепла фазового
превращения при смещении фронта на соответственно будет величиной
первого порядка малости
(1Нф = j dQ = j(T, Q 0ф(© cd© d£ . (2-3)
На рис.4 проиллюстрирован физический смысл интегрального
соотношения (1-91). Q - площадь в координатах Т-т между линиями
изменения температуры Тп = Тс (на внешней стороне пограничного слоя
окружающей среды) и температуры в центре тела (т.е.
наиболее удалённой точки). Количество движения внутренней тепловой
энергии АН берётся по всей области а как моментная функция теплот
элементарных слоев тела на термические сопротивления до окружающей
среды, выделяющихся каждое за отрезок времени dx.
OxjtamJeMu* тела
Л р о м ш р з a rt и е т в а л
Рис.4. Схема охлаждения (а, б) и промерзания (в, г) тела, показывающая
связь термического импульса П с количеством движения внутренней тепловой
энергии, выделяющейся в окружающую среду из области а (внутри тела).
65

Элементарная область 5а, рис.4а, (дважды заштрихованная) это:
(8(t)o) = /*,5Т(х,т) dx.
При промерзании тела в постановке задачи Рудольфа Планка (без
учёта влияния теплоёмкости промерзающей зоны) зона тепловыделения о
вырождается в линию Тф =const, рис.4в, и тогда интегральное соотношение
(1-91) за элементарный отрезок времени dx представится выражением
сШ = |Тп(т) - Т(т) |dx = (1НФ, где dH«> - по форуле (2-3).
§2. Интегральное соотношение термического импульса по известным
точным решениям задач нестационарной теплопроводности
Интегральное соотношение (1-91) можно проверить на точность по
известным точным решениям задач нестационарной теплопроводности.
Заметим, что задачи нестационарной теплопроводности, с позиций
неравновесной термодинамики, суть задачи для систем, находящихся вдали
от равновесия. Задачи же при стационарном тепловом потоке более просты
и являются объектом применения аппарата классической неравновесной
термодинамики Онсагера-Пригожина.
Задача А. Рассмотрим плоскую одномерную однофазную задачу
Стефана в классической постановке при граничном условии первого рода,
когда фронт фазового превращения движется в глубь полупространства с
постоянной скоростью v =ак. В этом случае известно точное решение
Стефана/21/при х=0 - на поверхности тела:
п. v т—vx
Тф - Т(х,т) = f(exp(——) - 1) . (2-4)
Тогда, имея Т(х,0) = Тф,, находим в слое толщиной dx за всё время
т процесса элементарное количество движения внутренней тепловой
энергии:
66

dH = J 8Q = (С(ТФ - Т(х,т)) + СЫ jdx ,
(2-5)
понимая J = xfk и со(х) =1 - для плоского тела.
Интегрирование (2-5) от х=0 до х = V т с учётом (2-4) даёт:
С другой стороны, находим элементарный импульс dQ, используя
Интегрирование (2-7) по т приводит к выражению, идентичному (2-6), т.е.
интегральное соотношение (1-91) выполняется.
Задача Б. Рассмотрим линейную задачу об охлаждении плоского
полупространства (0< х <оо), имеющего постоянные теплофизические
характеристики и постоянную по всей глубине начальную температуру Тн.
В начальный момент времени т = 0 температура на поверхности тела (х=0)
принимает значение Тп, которое затем поддерживается в течение всего
процесса охлаждения. Требуется найти распределение температуры на
любой момент времени т. Точное решение такой задачи известно/18/:
ДН = ^(^(ехр(^)-1)-х).
(2-6)
(2-4):
<Ю = (Тф - Т(0,т)) dt = ^ (ехр(—) - 1) dx
(2-7)
x
(2-8)
67

Находим элементарный момент количества тепла, выделившегося за
всё время т из элементарного слоя dx, находящегося на расстоянии х от
поверхности тела:
dH = C(TH-T)^dx = bLJxdx . (2-9)
Подставим (2-8) в (2-9):
и проинтегрируем его от х =0 до оо, т.е. определим количество движения
внутренней тепловой энергии по всей области тепловыделения о:
ДН = ^ЫГХ(Г°Х е-"2ф)ёх. (2-10)
x г— I
Вводя переменную у = —находим х= 2yVar и dx = 2 л/ат dy.
2у/ах
Тогда (2-10):
4(ТнЛ_НТп)т = С У erfc у dy = - i2erfc(0) +
+ ierfc(0) = -i + i = i , (2-1.)
см. /18/. И из (2-11) следует АН = (Тн - Тп) т, где правая часть - это Q.
Иначе, интегральное соотношение (1-91) выполняется.
68

Задача В. Рассмотрим задачу о промерзании тел простой формы с
постоянными теплофизическими характеристиками в следующей
постановке:
, v ST д , , v дТч
Т(х,0) = Тф = Т(0,т);
А—— = а(Т(€,т)-Тс(т)) ; -^-^ = Q<I>^> (2"12>
когда температура среды снижается с постоянной скоростью b = —— >0
по закону Тс(т) = Тсо - Ьт; Тсо = Тс(0) < Тф . Тогда для любого т имеем
Ь 2
Q = (Тф — Тсо) т + - X . Профиль температуры задаём в конце промерзания
ОС x
линейным Т(х) = Тф - (Тф - Тс)-
Определяя J(x) = + и dQ(x) = (С(ТФ - Т(х)) + Q+) со(х) dx,
1 Л dy
з(0 A Jx о)(у)
находим
дн=с т dQ(x)=ь^р-+'^Г"?. (2-й)
j0 2 Я / Bi 3a(/+l)(l+Bi) v 7
Тогда, согласно интегральному соотношению Q = АН, окончательно
получаем формулу продолжительности полного промерзания тел простой
формы
хк = Е (F + VF^Tbl)"1,
69

F = T#-TC0-bD; E = Q4>^(2JB1) + D (Тф - Tco) ; (2-14)
^2(3+Bi)
где D = ———— f =3, 2, 1 - соответственно для шара,
3a(f+l)(l+Bi)' *
неограниченного цилиндра и пластины.
При Ь=0 из (2-14) вытекает формула (1-38) о времени промерзания
тел при постоянной Тс, см. также/14/,/15/.
Влияние С?ф в (2-14) учтено точно, поэтому погрешность этой
формулы зависит только от ошибки в определении количества движения
внутренней тепловой энергии за счёт теплоёмкости промёрзшей зоны при
задании профиля Т(х) в конце промерзания, см. рис.3.
В случае задачи Рудольфа Планка, когда вместо системы
постановочных дифференциальных уравнений решается лишь одно
уравнение на границе фаз, то из (2-14) следует точное соотношение
устанавливающее квадратичную зависимость между одновременно
существующими постоянными скоростями b и v = d^/dx (скорость
движения фронта). Откуда полное время промерзания тел:
1 _i
тк = £(Q(|>(2 + Bi))2 (b X f Bi) 2. При учёте же С одновременное
постоянство скоростей b и v будет нарушено. Таким образом, уравнение
связи скоростей (2-15) существует лишь при больших значениях критерия
Коссовича Ко = (?ф/С(Тф - Тс).
§3. Интегральное соотношение импульса точно описывает
полудискретные схемы аналоговых вычислительных машин
Аналоговые вычислительные машины (АВМ) используют принцип
дискретности по пространственным координатам и принцип непрерывности
течения процессов по времени. Большое распространение в середине XX
века в нашей стране получил для моделирования процессов
70

теплопроводности так называемый гидроинтегратор системы B.C.
Лукьянова, см. /16/. В нём аналогом температуры выступает высота
столбика жидкости hi в i-том блоке, теплоёмкостью - сечение coj
стеклянных трубок, термическим сопротивлением - гидравлическое
сопротивление р\ в соединениях между трубками.
На рис. 5 показана схема гидрогенератора из п=9 равновеликих
последовательных блоков (тубок-пьезометров) с одинаковым сечением
coi=0,5 см2, соединённых через одинаковые сопротивления рх = 1 мин/см2;
Pi соединено с граничным уровнем ho = 0 см. Начальное условие:
hHi=h„=50cM, i=l,2,...9, т = 0.
Закономерность равенства импульса количеству движения энергии в
этом опыте выражается в том, что площадь под каждой кривой i-ro блока
рис.5 численно равна произведению количества жидкости (аналога
количеству энергии) на все преодолеваемые ею гидравлические
сопротивления между блоками от j=l до j=i, вплоть до граничного уровня
ho=0. Зависимость эта выглядит так:
+ Zj o)j(h„ - hj) =AHj , (2-16)
где второе слагаемое правой части выражает собой транзитный поток
жидкости; Zj = рк - суммарное гидравлическое сопротивление от блока
j до граничного уровня ho=0.
Для наиболее удалённого блока i = n = 9 формула (2-16) упрощается
Q9 ^ /0Тк h9(t) dt = I? o>i Zj (hH - hi) = AH9 , (2-17)
где hj - уровень жидкости в блоке i на момент времени т = тк.
71

Рис.5. Результаты опыта на гидроинтеграторе с одномерной схемой из 9
равновеликих блоков; Q - импульс, или площадь фигуры в координатах h-т.
Из графика рис.5 для i=9 и тк =28 мин было определено, учитывая
температурный коэффициент вязкости жидкости 0,82, значение = 956
мин см. С другой стороны, расчёт величины ДН9 показывает значение
940,2 мин см. Ошибка 1,65%, т.е. закономерность равенства Q. и АН по
параметрам аналоговой схемы гидроинтегратора подтверждена. Данный
опыт и подобные описаны в работе /16/. Заметим, что в аналоговых схемах
импульс £2 всегда непрерывная величина, а количество движения жидкости
(аналога энергии) дискретно, и мы вместо интеграла имеем сумму.
72

§4. Метод термического импульса интегральной постановки
и решения задач теплопроводности
Наконец, теперь можно сформулировать и метод решения задач
теплопроводности, основываясь на точном интегральном соотношении,
выражающем равенство термического импульса количеству движения
внутренней тепловой энергии через термические сопротивления. Данный
метод есть по существу тот же метод тепловых моментов нулевого порядка,
что мы описали выше, но оперирующий уже не с моментными функциями
теплоёмкости, а - моментными функциями внутренней тепловой энергии
(тепла). При определении таких моментных функций берётся произведение
изменяющихся количеств внутренней тепловой энергии (тепла) на все
термические сопротивления (J) до теплового потока (или источника). Эти
моментные функции и есть количество движения внутренней тепловой
энергии, которое за всё время процесса численно оказывается равным
термическому импульсу, определяемому как площадь в координатах Т-т
между линиями изменения температуры на концах отрезка £ координаты х
(в общем случае криволинейной), взятой на траектории теплового потока в
теле за рассматриваемое время т.
Выше были определены выражения для функционала количества
движения внутренней тепловой энергии (тепла) в разных вариантах: в виде
АН, dH, 8Н, d2H и 52Н, где АН - отнесено ко всему отрезку по х
теплового возмущения в теле за всё время т; dH - к элементу dx тела за
всё время х; 5Н -ко всему отрезку по х теплового возмущения в теле за
элементарное время dx; 82Н - к элементу dx тела при изменении в нём
температуры на 5Т за элементарное время dx; d2H - к элементу dx тела
при произвольном элементарном изменении в нём температуры на dT.
Сформулируем кратко предложенный метод, который по своей сути
уже не есть чисто теплофизический, а - термодинамический необратимых
процессов (ведь, здесь мы говорим о движении энергии, понимая её
субстанциально).
Как и прежде, мы будем рассматривать любой процесс
теплопроводности в твёрдом теле вдоль некоторой выбранной траектории х
теплового потока, которая в общем случае криволинейна. Но в телах
классической формы - неограниченных пластине и цилиндре, шаре, или
сфере, охлаждаемых (нагреваемых) в симметричных условиях, - эта
траектория всегда прямолинейна, а дополнительное влияние кривизн в
73

случае сферы или цилиндра учитывается через функцию со(х) - площадь
фронта криволинейной изотермической поверхности. Функция со(х)
поэтому выступает в роли ёмкости для движущейся в пространстве энергии.
На этом основании мы выше ввели теплоёмкость на единицу длины
(погонную) N(x) = С ш(х), Дж/м К.
Закономерность равенства термического импульса количеству
движения внутренней тепловой энергии (тепла) имеет место именно вдоль
х. И в зависимости от того, стационарный или нестационарный процесс
теплопроводности, переменно или постоянно во времени т (или от Т)
термическое сопротивление J, мы различным образом записываем эту
закономерность, которая и есть собственно сама интегральная форма
постановки задачи:
1) Если имеет место стационарное температурное поле через
стенку (тело), то используется уже приведённая выше формула (1-42);
формула эта и есть запись данной закономерности на любой момент
времени т.
2) Если процесс теплопроводности нестационарный и
термическое сопротивление J = J(x) на всём отрезке х2-х1 = I теплового
возмущения в теле есть функция только х (но не т или Т), то удобно
определить элементарный тепловой момент (или элементарное количество
движение внутренней тепловой энергии) для элемента dx тела за всё время
т процесса
элементарного слоя объёмом ш(х) dx за всё время т охлаждения тела, когда
в нём происходит снижение температуры от Тн(х) до Т(х) = Тк(х); dT = 8Т.
Далее производим интегрирование по х выражения (2-18):
dH(x) = J(x) dQ(x) ,
(2-18)
t (х)
где dQ(x) = (L" C(T,x)dT) со(х) dx - тепло, выделяющееся из
(2-19)
74

получая тем самым количество движения внутренней тепловой энергии на
всём отрезке теплового возмущения в теле за всё время т его охлаждения
(нагревания). Затем независимо определяется из эвристических
соображений (часто очевидных, поскольку в этом участвуют только
температуры на концах отрезка I) термический импульс за время т:
Наконец, согласно найденной нами закономерности термического
импульса, мы приравниваем ДН и Q, получая соотношение
тождественное (1-91) и которое в данном случае и есть интегральная
постановка задачи. Соотношение (2-21) далее разрешается относительно
какого-либо интересующего параметра процесса.
3) Если же процесс нестационарный и J зависимо от Т или т,
то интегральная постановка задачи состоит в записи 5Н, отнесённого ко
всему отрезку по х теплового возмущения в теле за dx с последующим
интегрированием по х; это - формула (1-93).
§5. Трактовка обратимости и необратимости термического импульса
Установленная выше неразрывная связь между импульсом теплового
воздействия Q на тело и изменением количества движения внутренней
тепловой энергии (тепла) ДН внутри тела существует как при охлаждении
тела (Q - отрицателен, поскольку воздействие охлаждающим импульсом на
тело приводит к убыли внутренней тепловой энергии в нём), так и при его
нагреве (Q - положителен). Изменение же количества движения внутренней
тепловой энергии (тепла) ДН всегда того же знака, что и Q, и в любом
(2-20)
£1 = ДН ,
(2-21)
75

случае АН аддитивно вдоль траектории теплового потока х в теле по всей
области тепловыделений, когда действует импульс Q соответствующего
знака.
С термодинамической точки зрения, количество движения
внутренней тепловой энергии становится функцией состояния Н, если
процессы охлаждения или нагрева тела мыслить только квазиравновесными,
т.е. когда Bi->0 и, следлвательно, ^/дх -> 0. В этом случае при условии,
что теплофизические характеристики С, X и а зависят только от х и Т
(но не, независимо, от т) величина Н будет однозначно связана с
температурами Тн (начальной) и Тк (конечной) тела:
ДН = Н(Т„) - П(ТК) = £ £ 32 ffl(x) £ -| dx 8Т , (2-22)
что характеризует Н как функцию состояния, когда её значение не зависит
от пути процесса, т.е. к одному и тому же значению функции Н мы
приходим, если суммарный импульс воздействия, состоящий из
чередующихся попарно охлаждающих (-Q) и нагревающих (+£2) импульсов,
будет нулевой. Здесь мы как бы совершаем циклический процесс с полной
симметрией охлаждающих и нагревающих импульсов, приводящих к
одному и тому же результату - данной функции Н. Отсюда и следствие:
если алгебраическая сумма охлаждающего (-Q) и нагревающего (+£2)
импульсов в цикле окажется равной нулю, то среднеобъёмная температура
тела останется неизменной. Такой процесс будем считать обратимым, по
импульсу.
Под необратимым же процессом термического воздействия на тело
в цикле тепловых импульсов (Ц) противоположного знака будем понимать
обратное явление - когда при равных по абсолютной величине нагревающем
и охлаждающем импульсах, произведённых по отношению к исходной
среднеобъёмной температуре тела, получается различие в поступлении и
уходе тепла, что изменяет в этом цикле среднеобъёмную температуру тела и
равносильно приводит к нарушению равенства абсолютных величин (-Q) и
(+Q). Подобное бывает при Bi»0 и зависящих от Т или т
теплофизических характеристиках.
76

§6. Принцип движения энергии
"Разработка общих принципов в науке
имеет гораздо большее значение и по
отношению к приложениям,
чем разработка деталей:
принципы играют роль всюду,
детали - лишь в определённых случаях."
A.M. Бутлеров /Ж-л "Русь", 1882, №7, с.21/
Физические принципы относительно понятия энергии к нашему
времени привели к утверждению всеобщего закона сохранения энергии. Они
же и ответственны за осмысление этого понятия - начала его, дальнейшего
углубления и расширения. Рассмотрим кратко последовательность развития
понятия энергии, выражающегося в её известных принципах.
Так, начало всему положил принцип сохранения энергии, системное
изложение которого осуществлено Максом Планком в 1887 году в
монографии с тем же названием /25/. Но прежде, чем этому принципу
вылиться в закон, пришлось выдержать борьбу в 20-х годах XX в. с
приверженцами статистических трактовок - Н.Бором, Х.Крамерсом и др.,
которые пытались объяснить закон статистическими закономерностями, как
и принцип причинности.
Луи де Бройль /26/ релятивистское продолжение закона сохранения
энергии именует принципом инерции энергии.
Наконец, для дальнейшего изложения необходимо будет оговорить,
будет ли нами мыслиться энергия лишь как мера движения или она -
субстанция. Напомним, что латинское substantia означает сущность, или
нечто лежащее в основе. Но исторически в это понятие часто вкладывали
разные смысловые оттенки, такие как способность к самостоятельному
существованию, независимая основа всего, материя, предельное
основание. В наше время, говоря о субстанциальной концепции какого-либо
физического понятия, обычно имеют в виду, что оно не производно от чего-
либо другого, т.е. нереляционно. Под субстанциальной концепцией
физического понятия можно мыслить и то, что оно исходно, что из него
могут получаться остальные (реляционные, или производные) понятия. Но
заметим, что общефизические понятия субстанциальности и реляционное™
суть «рабочие», поскольку по мере проникновения в сущность вещей и
расширения границ познания наши взгляды меняются - и то, что раньше
77

считалось фундаментальным, может оказаться производным. Иными
словами, субстанциальные физические понятия чаще всего стоят на
границах области познания, а внутри этой области понятия соответственно
производны (реляционны) /22/.
Концепция субстанциальности и будет положена в предлагаемую
нами термодинамическую теорию под видом принципа движения энергии.
Именно субстанциальное понимание энергии позволит нам далее
объединить единым формализмом описание на макроскопическом уровне
термических и механических явлений и др.
Субстанциальная концепция энергии, безусловно, претендует на
большие следствия, нежели реляционная, и является также
материалистичной в современном представлении.
Исторически просматривается чередование реляционной и
субстанциальной концепции энергии. В настоящее время реляционная
концепция - господствующая. Согласно ей, энергию мыслят производной от
движения. Она - его мера, а движение понимается субстанциально, как
атрибут материи (в смысле объективной реальности), которая немыслима
без движения. Какой-то период (от Р.Декарта до Э.Маха) часть физиков
были убеждены в законе сохранения движения. Влияние этого мы видим
сейчас: все энциклопедии XX в., как отражающие официальную точку
зрения науки, стоят на осторожной позиции реляционности энергии (от
движения), но и не нападая на субстанциальную её концепцию, впрочем,
относя её чаще всего к «энергетизму», авторами которого признают
Р.Ранкина (1820-1872) и В.Оствальда (1853 -1932), см. /4/.
В.Оствальду приписывалось, например, будто он отделяет материю
от движения. Однако он писал, что если при всех превращениях в природе
некоторая величина - энергия - остаётся неизменной, то мы можем принять
энергию за совершенный аналог весомой материи и иметь право также
называть её субстанцией /27/. Ему принадлежит мысль-предсказание:
«Название субстанции должно быть присвоено только весомой материи и
энергии, кои при всех обстоятельствах остаются сущими. Можно
утверждать, что лет через пятьдесят реальность и субстанциальность
энергии с такой же ясностью будет представляться сознанию образованного
человека, как ныне реальность весомой материи» /27, с. 15/.
Автором настоящей работы (- В.П.) усматривается ошибка
«энергетиков» в том, что они, как и известный А.И. Вейник, считали
энергию единственной реальностью в независимом существовании. Это -
недостаточная концепция. К независимо существующим следует, очевидно,
относить ещё реальное физическое пространство (а не математические
78

пространства, вводимые в физику), которое псевдоевклидово, и - всюду
присутствующее сопротивление - интергию (от латинского interjucio -
«помещаю между» любыми точками 3-пространства), рождающую время
течения любого физического процесса, о чём будет ещё идти речь ниже.
Удачное, казалось бы, применение для описания реальных физических
явлений (например, гравитации) математических криволинейных
пространств Римана (ОТО), Лобачевского, пространств с дробной
размерностью (В.Ю.Колосков, 1990-е годы), алгебраических пространств
(С.А.Меркулов, 1980-90 -е годы), видимо, следует рассматривать лишь как
определённых видов математические формализмы для соответствующих
физических явлений (картины мира).
Редактор русского перевода упомянутой монографии /25/ С.Суворов
отметил, что в целом у М.Планка энергия - это некоторая субстанция,
аналогичная материи. М.Планк, рассматривая энергию и силу, стоит на
позиции первичности (причинообусловленности) первой: «В механике мы
будем понимать энергию как первично существующее, а силу - как
проявление этой потенциальной или кинетической энергии, подобно тому,
как уже мы рассматриваем температуру как проявление теплоты. Там, где
нет никакой энергии, не может быть ни силы, ни температуры, ни какого-
либо другого ощущения» /25, с. 151/. Впрочем, сила может мыслиться и как
невидимая координата физического пространства /22/, следовательно, она
также может пониматься субстанциально!
Пионер открытия закона сохранения энергии Р.Майер (1814-1875), а
за ним и Р.Ранкин, также понимали энергию как субстанцию, но в свете
господствовавшей тогда «материальной» теории теплоты - как некой
невесомой жидкости. М.Планк же стоял на позиции субстанциальности
энергии уже в (новый) период господства механической - на микроуровне -
теории теплоты(!).
Самый решающий шаг в развитии субстанциальной концепции
энергии сделал первый дипломированный русский физик-теоретик,
профессор Московского университета (1871-1911) Николай Алексеевич
Умов (1846-1915), представивший в 1874 году докторскую диссертацию под
названием «Уравнения движения энергии в телах». Действительно, по
сравнению с реляционной концепцией энергии, субстанциальная требует
обратного, что движение идёт от энергии. Он писал: «Насколько движение
энергии и движение сжимаемого вещества обусловливается законом их
сохранения, настолько мы имеем право уподоблять движение энергии
движению подвижного и сжимаемого вещества» /5, с. 153/. В этой работе
Н.А.Умов впервые вводит понятие о скорости и направлении движения
79

энергии в веществе, о потоке энергии, плотности потока энергии. По
отношению к конденсированному состоянию вещества он рассуждает таким
образом: «Элемент объёма, произвольно взятый внутри какой-нибудь среды,
частицы коей находятся в движении, заключает в данный момент времени
определённое количество энергии. Эта энергия слагается из двух частей: из
живой силы движения частиц элемента объёма и потенциальной энергии,
т.е. работы, которая может быть отдана этими частицами при возвращении
их из данного положения в некоторое начальное, соответствующее
устойчивому равновесию» /5, с. 151/.
В современном физическом воззрении субстанциальная концепция
энергии непротиворечива, энергию можно мыслить как количественно
измеряемое субстанциальное начало, заполняющее трёхмерное
пространство и совершающее в нём в определённых направлениях движение
во времени. Это движение происходит в дух видах - совместно с
перемещением массы вещества и без её перемещения. Всё это позволяет
считать указанное понятие о движущейся энергии в пространстве, введённое
Н.А. Умовым, своеобразным физическим принципом - принципом
движения энергии. Движение энергии в пространстве воспринимается как
самопроизвольность; такое понимание более фундаментально, нежели
реляционные формулировки о «передаче» или «переносе» энергии, от
категории движения.
Можно увидеть, что принцип движения энергии связан с
классическим принципом относительности тем, что если мы не способны
выделить какое-либо начало отсчёта в пространстве, то чётко выделяются
определённые направления (!), которые суть пути движения энергии.
Поэтому, например, все инерциальные системы отсчёта, до начала какого-
либо взаимодействия между ними, будут представлять единую систему в
равновесном состоянии некоего энергетического уровня для всей суммы
указанных систем.
Если мы ещё проследим пути движения энергии во многих системах,
то заметим, как каждый иерархический уровень структуры мироздания
описывается из элементов предыдущего уровня в направлении движения
энергии. И нельзя поэтому, например, с помощью описания поведения
макросистемы описывать поведение отдельных микрочастиц, из которых
она состоит. В этом в целом и видится направление движения энергии - из
микромира в мегамир. Именно такой и предстаёт перед нами характеристика
мира расширяющейся Вселенной.
Следствием данного подхода, в частности, является введение понятия
об обобщённом измерении к - по качественным уровням материи, которые,
80

впрочем, коррелируют и с геометрическими размерами тел и элементов, из
которых они состоят, при переходе от микроуровня в макромир и из него в
мегамир. Тогда, например, любой макроскопический объект может быть
рассмотрен как имеющий конечный размер по оси к (проводимой из
бесконечности микромира, скрывающейся в точке, в бесконечность
мегамира) в виде отрезка А к = кг - к\, где кг будет соответствовать
внешней границе (по внешней поверхности) макрообъекта, а к\ - её
суммарной внутренней, т.е. по поверхности микрочастиц, статистически
определяющих значения термодинамических параметров состояния данного
макрообъекта. Такую модель удобно называть моделью «дырчатого сыра».
За положительное направление #с-измерения логично выбрать направление
от больших плотностей энергии к меньшим, т.е. из глубин микромира в
макро- и мегамир. Удобно по к выделять дискретности от наличия
качественных уровней материи и к даже считать дискретным измерением
по этим уровням, как бы стержнем всего физического пространства
реального мира. Действительно, если физический мир имеет иерархическую
структуру, то он должен обладать и измерением по иерархическим слоям!
Применение измерения к облегчает, в частности, систематизацию
при записи термодинамических уравнений. Так, например, известно, что
абсолютное значение внутренней энергии U* любой термодинамической
системы в принципе неопределимо, ввиду того, что со стороны микромира,
т.е. начиная с атомно-молекулярного уровня и в глубь вещества, система как
бы неограничена. Однако к вопросу внутренней энергии системы можно
подойти другим путём - говорить об укороченном абсолютном значении
внутренней энергии для системы на отрезке Ак = кг - к\ измерения к: U =
U*( кг) - U*( ici), где кг - макроскопический внешний размер тела, или
обозначение его внешней поверхности, а к\ - условный размер
микрочастицы (молекулы, атома), или обозначение суммарной поверхности
микрочастиц. В этом случае всякие химические реакции или
высвобождающаяся энергия радиоактивного распада ядер атомов, т.е.
источники и стоки, будут выступать как формы обмена энергией
термодинамической системы со стороны суммарной поверхности к\ всех
микрочастиц, движущихся внутри этой системы и статистически
определяющих её термодинамические параметры. Укороченное значение
внутренней энергии U, её кинетическую часть, мы и именуем внутренней
тепловой энергией.
Рассматривая теплопроводность как движение внутренней тепловой
энергии, мы легко различаем три принципиально отличных состояния
системы (тела): равновесное и два неравновесных (стационарное и
81

нестационарное). В равновесном состоянии, по определению, движение
внутренней тепловой энергии по объёму тела отсутствует. В практике же мы
часто за равновесное состояние принимаем квазиравновесное состояние,
когда движение внутренней тепловой энергии по объёму тела происходит,
но - при отсутствии температурного градиента внутри тела, - это известный
случай охлаждения или нагрева тела (по Ньютону) при Bi->0. В
стационарном состоянии, с позиции «классической» неравновесной
термодинамики, действует известный принцип локального равновесия, и
поток внутренней тепловой энергии постоянен во времени в любой точке
тела. О нестационарном же термическом состоянии системы (тела) обычно
говорят как о состоянии системы вдали от равновесия. Именно этот
последний случай наиболее удачно описывается с позиций принципа
движения энергии и принципа импульса, который термодинамически
раскрывается с применением принципа сопротивления, о чём и пойдёт
сейчас речь.
§7. Всеобщий фундаментальный принцип сопротивления (как
субстанции)
Согласно развиваемому нами подходу, принцип движения энергии
функционально связан с пока ещё не очень осознаваемым принципом
сопротивления. Впрочем, значимость последнего от такого сближения
возрастает, в результате чего он может быть, как представляется, возвышен
до ранга всеобщего принципа и даже закона.
О том, что этот принцип приобретает со временем всё большее
значение и всё ярче претендует на всеобщий закон природы, очень
обстоятельно изложено в философской диссертации Н.А. Мещеряковой /10/.
Эту работу, по-видимому, следует считать крупным вкладом в понимание
нового открывающегося нам фундаментального закона природы,
окончательное утверждение которого ещё предстоит. В диссертации
приведено многообразие случаев плодотворного использования понятия
сопротивления и инерционности в различных разделах физических знаний и
особенно в теории устойчивости.
Действительно, сопротивление, которое существует в любом объекте
по отношению к внешним воздействиям, есть фактор устойчивости.
Поэтому устойчивость-сопротивление и инерцию систем можно определять
82

как их «живучесть», что также согласуется с известным принципом Ле
Шателье-Брауна. Система лишь тогда является ею, когда в её структуре при
воздействии внешних сил возникают процессы, направленные на
противодействие этим силам и на сохранение данного состояния. Таким
образом, принцип сопротивления выражает способность любой системы
сохранять своё состояние в реальных условиях внутренних и внешних
изменений, оказывать противодействие возмущающим влияниям.
Выше мы уже показали возможности расширения понятия
сопротивлении до придания ему смысла фактора, «рождающего» время
любого процесса. Ведь при отсутствии сопротивления скорости всяких
процессов движения, в т.ч. и движения энергии, убыстрились бы до
бесконечности и, следовательно, мир завершился бы в одно мгновение.
Поэтому конечность скорости и наличие продолжительности какого-либо
процесса означает и наличие такого сопротивления, которое следовало бы
именовать временным, - дающим время существования мира вещества,
полей, потоков энергии и движущихся в 3-пространстве объектов. И это
временное сопротивление субстанциально, поскольку оно, как и энергия,
стоит на грани нашего понимания физического мира.
Как удивительно отвечает этому принципу устойчивости-
сопротивления-инерции введённое нами выше понятие интергии I = JN,
которая вначале нами понималась как инерция чисто термическая. Именно
это произведение термического сопротивления J на погонную
теплоёмкость N и заключает в себе всё то, что определяет время жизни
любого процесса нестационарной теплопроводности. И характерно, что
размерность I - обратная величина скорости, т.е. - [с/м], как и в
механическом движении!
Формулами (1-53) и (1-54) мы уже показали каким образом с
помощью интергии I определяется элементарное время процесса
нестационарной теплопроводности для каждой элементарной области
тепловыделения d2a = 8Tdx, где 8Т - независимое локальное изменение
температуры. И это позволяет нам трактовать интергию как характерное
время, приходящееся на единицу длины пути движения внутренней
тепловой энергии, совершающегося одновременно вдоль и х, и Т - двух
независимых координат. На этом основании интегральное соотношение
термического импульса-количества движения внутренней тепловой энергии
(1-91) удобно было бы выписать, с учётом принципа сопротивления-
инерции, во вполне определённом виде
83

О = J0Tk(T(t) - Тс(т)) dx = fla I(T, x) 6T dx ^
= ffa J(T, x) N(T, x) 5T dx = AH , (2-23)
где T(x) = Т(хд) - температура наиболее удалённой от поверхности
теплообмена точки тела вдоль теплового потока; с - вся область
тепловыделения в координатах Т- х за время тк.
В этом выражении мы фактически отходим от самой энергии, лишь
рассматривая её образ движения вдоль координат х и Т. Причём,
смещение внутренней тепловой энергии на dx связано с преодолением
термического сопротивления J(T, х), которое вдоль х, а смещение на 8Т
образа внутренней тепловой энергии вдоль координаты Т определяет
преодоление тепловой инерции в форме теплоёмкости N(T, х).
Таким образом, внутренняя тепловая энергия выступает как некое
«облако» в 4-пространстве {Т, х, у, "z}, что согласуется с результатами
работы /28/, в которой показано, что температура ведёт себя как невидимая
координата реального физического пространства, поскольку кривизна
профиля температурного поля в координатах Т-х является движущей
силой в нестационарном процессе теплопроводности и суммируется (как
дополнительное влияние) с двумя главными нормальными кривизнами
изотермической поверхности в рассматриваемой точке. И поскольку мы
введением криволинейной координаты х и функции со(х) свели трёхмерное
уравнение теплопроводности к одномерному (1-21), то мы фактически
получили двухмерное пространство {Т, х}, в котором и совершает движение
внутренняя тепловая энергия. Именно образующейся областью
тепловыделения а мы и определяем указанное движение, см. рис.4.
Принцип сопротивления-инерции на примере нестационарной
теплопроводности в выражении (2-23) разъясняет нам и принцип движения
энергии, который должен пониматься в том смысле, что любое явление в
природе (а оно всегда происходит во времени) есть процесс преодоления
(быстро или даже очень медленно) сопротивления-инерции, или интергии I,
порождая тем самым само время существования данного явления.
Соединение принципа движения энергии и принципа сопротивления-
инерции в единый принцип отвечает любым явлениям в природе, в т.ч. надо
иметь ввиду, что само вещество, согласно упомянутому выше принципу
84

инерции энергии по Луи де Бройлю, также будет олицетворять принцип
сопротивления-инерции: Е = тс2, или т с = Е(1/с).
Итак, закономерность термического импульса-количества движения
внутренней тепловой энергии отражает в себе действие указанных
принципов в их сочетании. Считая же эту закономерность как расширение и
углубление понимания закона сохранения импульса, который до сего
времени был известен лишь для механических явлений в замкнутых
системах, мы тем самым готовы перейти и к обобщению данного закона, но
уже с привлечением выработанного нами формализма описания явлений
термических (на феноменологическом уровне).
Общие же правила этого формализма при записи правой части
соотношения (2-23) или (1-93) - за время dx - суть следующие:
1) если берётся элементарное количество энергии, то должно
фигурировать сопротивление J:
<Ю = (AmaxT) dx = / * J d2Q(T, х) = 5Н ; (2-24)
2) если берётся элементарное изменение координаты или
координат образа движения энергии, то должна фигурировать интергия I:
dH = (AmaxT) dx = /* I ST dx = 8H . (2-25)
Причём очень важной выглядит форма (2-25), в которой размерность
интергии I всегда равна размерности обратной величины скорости
механического движения - с/м, поскольку I сопрягается только с
изменяющимися координатами реального физического пространства, где
происходит движение энергии (это - 8Т и dx в случае процесса
нестационарной теплопроводности), см. /28/.
Попробуем осмыслить с указанных позиций известный формализм
получения импульса движения в релятивистской механике.
Постоянство скорости света в вакууме можно понимать как
существование однородного эфира, главным признаком и свойством
которого является инвариантное в инерциальных системах отсчёта
85

временное сопротивление - 1э - интергия, которая предельно минимальна,
поскольку скорость света «с» максимальна:
1Э = ± . (2-26)
Отсутствие указанного сопротивления, или когда 1э=0, может быть
только при с-* оо, что отвергается специальной теорией относительности.
Видимо, существует особого рода взаимодействие движущейся материи с
подквантовой средой (по гипотезе Д.Бома и Ж.-П.Вижье).
Имеем следующее выражение для кинетической энергии подвижного
тела, когда оно проходит последовательность состояний от покоя до
скорости v относительно наблюдателя, см. /26/:
ЕКин = ^=-т0с2 , (2-27)
где (3 = v 1э = - .
Выражение (2-27) всегда больше нуля, поскольку идёт
неограниченное увеличение массы при v -» с, которое можно мыслить как
вовлечение подквантовой среды в инерционный процесс. Величина
m =mQ/y/l — /?2носит название релятивистской массы тела, где Шо - масса
покоя.
При переводе же всей массы тела в электромагнитное излучение
получим полное количество движения всей внутренней энергии этого тела
через интергию эфира 1э:
w
Нполн = W 1э = — , (2-28)
86

где
W = Екин + m0c2 -
(2-29)
- полная энергия тела (без потенциальных энергий внешних полей).
Подставив (2-29) и (2-27) в (2-28), получим при Р = 0 известное в
релятивистской механике выражение для количества движения от излучения
энергии W:
т.е. если тело излучает общую энергию W, то оно получает реактивную
силу отката по количеству движения энергии ШоС. Иначе, в веществе
массой покоя Шо содержится внутреннее потенциальное количество
движения энергии, равное т0с, через эфир с интергией 1э, что также
выражает собственно упомянутый выше принцип инерции энергии по Луи
де Бройлю /26/.
Таким образом, в релятивистской механике и теории
электромагнетизма мы видим тот же формализм записи закона сохранения
импульса, что и в термическом нестационарном процессе.
§8. Термодинамическое представление кинетической энергии.
Особого осмысления с позиций неравновесной термодинамики
требует кинетическая энергия, непосредственно связанная с силой инерции
(в механике) и, несмотря на очевидность повседневного опыта, наименее
всего поддающаяся термодинамическому описанию в традиционных
канонах. По-видимому, это - результат того, что классическая
термодинамика, как её иногда называют, есть термодинамика внешних
энергетических балансов.
(2-30)
механического импульса

Действительно, традиционно термодинамическим языком мы
описываем внешние воздействия на систему только в виде теплоты (8Q) и
внешних работ (8Lj), см. Гл.1, §1. При этом используем линейную связь
между элементарным внешним энергетическим воздействием в виде порции
энергии (теплоты, работы) и элементарным изменением координаты
(S,V,...), экстенсивной величины, а коэффициентом пропорциональности в
этой связи выступает потенциал (Т, Р,...) в каждом виде взаимодействия,
как интенсивный внутренний параметр. Таким образом, в классической
термодинамике внешние воздействия суть порции энергии:
8Q = Т dS, 8L = Р dV и, в целом, для любого вида немеханической работы
8Li = 9{ dXi.
Заметим также, что изменения координат (dS, dV, dXj) на самом
деле относятся не к самой системе, как это чаще всего подразумевается, а к
внешней среде (!). Эти изменения непосредственно прикладываются к
контрольной граничной поверхности системы и ведут к соответствующим
изменениям в этой системе. Так, в выражении для механической работы
8L = PdV изменение объёма dV традиционно мыслится как изменение
объёма данной системы. В действительности же, в этом выражении
фигурирует изменение объёма внешней среды (- dV), почему в выражении
первого начала термодинамики специально оговаривается факт, что dV
надо брать с обратным знаком, хотя это и ясно из самой сути процесса.
Аналогично - и с энтропией S, как координатой при термическом
взаимодействии. Фактически dS относится к изменению S в окружающей
среде, но, в силу обратимости процессов по условию, это dS равно dS для
самой системы. Это необходимо помнить. Подобную характеристику мы
обнаруживаем и при рассмотрении других видов элементарных работ.
Такую форму описания изменения энергетических величин для
внешнего воздействия на систему мы могли бы применить и к кинетической
энергии подвижного тела, записав
dEKHH = g>dX , (2-31)
где 9 и X - некоторые потенциал и координата, помня, что кинетическую
энергию принято относить к внешней составляющей полной энергии W
подвижного тела, см. формулу (2-29).
88

Допустим, у нас тело - идеальный газ. Рассматривая движение
отдельных микрочастиц внутри него, мы тем самым их кинетическую
энергию движения переводим в ранг внутренней энергии самого тела.
Используя упомянутую модель «дырчатого сыра», мы в данном случае как
бы определяем «энергетику пространства» в теле между движущимися
частицами, т.е. кинетическая энергия этих частиц есть внешняя
составляющая их полной энергии. И таким образом, кинетическая энергия
микрочастиц становится уже внутренней составляющей для тела,
образуемого этими частицами.
Обратим внимание на то, что в классической термодинамике есть
пример инверсии (перестановки местами) потенциала и координаты
при переходе из внешнего к внутреннему для системы. Так, если внешнее
воздействие на тело (систему) порцией движущейся энергии на термическом
уровне записывается 5Q = Т dS (где dS - изменение энтропии во внешней
среде), то описание изменения внутренней энергии тела (системы),
связанное только с изменением его температуры, - как dU = С dT. Иначе,
температура Т перешла из потенциала в координату при переходе от
внешней задачи к внутренней для рассматриваемой системы. И поэтому то,
что было бы интенсивной величиной (£Р) для отдельного подвижного тела,
становится экстенсивной величиной (X) для системы, состоящей из
множества подобных тел на микроуровне (атомно-молекулярном).
С другой стороны, мы знаем, что Екин = Екин(т, v), и тогда
2 v2
dEKHH = d(m v 12) = m v dv + — dm. Поэтому, если положить
Екин = Екин^, X), то можно было бы считать интенсивной величиной для
отдельного подвижного тела его массу, т.е. 9 = т, а экстенсивной -
X = v2/2; обе величины скалярные. Тогда перейдя к множеству подобных
тел, образующих идеальный газ, нам следует наоборот полагать
интенсивной величиной £Р = v2/2, а экстенсивной - X = m . Такой будет
наша нормировка, и при этом заметим, что разбиение Екин на пары
множителей mv/2 и v или mv и v/2 будет менее удачным, поскольку оба
множителя суть векторы.
Однако обратим внимание на то, что формула (2-25) для определения
импульса-количества движения энергии системы обладает замечательным
свойством - экстенсивная (X) и интенсивная (£Р) величины берутся как
изменения (дифференциалы) двух координат двухмерного пространства
X}, которые суть скаляры оба. И это избавляет нас от необходимости
особо придавать значение феноменологичности (т.е. интенсивный или
89

экстенсивный он - параметр) каждого из двух выбранных нами скаляров-
сомножителей m и v2/2. В этой формуле интергией механического
движения может только выступать сама обратная величина скорости
движения тела:
IM = J , с/м , (2-32)
и она величина векторная.
И тогда для изменения количества движения кинетической энергии
отдельно движущегося тела массой т, используя форму представления в
виде (2-25), т.е. -
сЮм = А тах 9dx = I , d2HM(X) = L х, I„ 83> dx = dHM ,
(2-33)
и полагая 9=ra, X = v2/2 и IM = l/v, получим:
d2HM = IM 89 dx = dv dm . (2-34)
Из (2-34) для всей массы т тела при изменении его скорости:
dHMi = J*(m) dv dm = m dv (2-35)
и, следовательно, -
dQM = Fadx = mdv = dHMi ,
(2-36)
90

где Рд - действующая на тело внешняя сила.
При разгоне же элементарной массы тела до скорости v имеем
Наконец, может быть суммарное изменение количества движения
кинетической энергии, вызванное и изменением v, и m -
сЮм = ¥д dx = dHMl + dHM2 = m dv +v dm = d(mv) =dHM , (2-39)
что и есть, собственно, известное общее выражение второго закона
Ньютона. Впрочем, нами выше, при комментарии к формуле (1-93), было
показано, что элементарное изменение и потенциала 5Т = 80* под знаком
интеграла может быть произвольным.
Таким образом, формула (2-33) есть обобщённое выражении закона
сохранения импульса-количества движения кинетической энергии
подвижного тела через интергию механического движения (2-32).
§9. Смысл температуры и нулевого начала термодинамики
Формула (2-33) позволяет нам также понять смысл температуры
идеального газа, переходя от рассмотрения закона сохранения импульса-
количества движения кинетической энергии подвижного тела к системе
подвижных микрочастиц. В этом случае, как мы уже показали, должна
произойти инверсия потенциала и координаты механического движения.
Поэтому для идеального газа, как системы из движущихся по инерции
(2-37)
и, следовательно, -
d£2M = Fa dx = vdm = dHM2 .
(2-38)
91

микрочастиц с упругими соударениями, потенциалом будет выступать
скалярная величина 9=v2/2, а экстенсивной координатой-
X = X(n) = £?m< = Mr (2-40)
- масса частиц газа.
Таким образом, температура идеального газа - это уменьшенная
вдвое среднеквадратичная скорость движения микрочастиц, передаваемая
нашим ощущениям, -
T< = >v2/2 . (2-41)
Она-то и пропорциональна Екин с коэффициентом
пропорциональности Мг , и эта масса Мг частиц газа в данном случае
проявляет себя в феномене теплоёмкости Cv идеального газа. Указанное
молекулярно-кинетическое определение и теплоёмкости Cv идеального
газа, и его температуры Т не противоречит традиционному, но вносит
дополнительную ясность в осмысление явления тепла. Ведь температура
может быть только составляющей энергетической величины, но не самой
энергетической величиной, поскольку в изохорном процессе, как мы знаем,
dU = Cv5T = dQ.
В §5 главы 1 мы уже говорили, что теплоёмкость на единицу объёма
тела Cv есть количество тепла, которое необходимо, чтобы увеличить на
один градус температуру единицы объёма тела, и также - чтобы
распространить изменение температуры на 1° ещё на другую единицу
объёма тела. Поэтому становится наглядным смысл универсальной газовой
постоянной Rr= Ср - Cv, ,т.е. она есть феноменологическое проявление (на
термическом уровне) всей взятой массы газа в приращаемом объёме 8V
газа за счёт его расширения, что согласуется с законом Авогадро. Это же
вытекает и из уравнения Клапейрона PV =RrT. Действительно, если
среднюю кинетическую энергию частиц идеального газа Екин = Мг v2/2
отнести к единице объёма, то получим выражение для давления Р = EKMH/V,
92

а поскольку Т - это v2/2, то Rr< = >МГ как феноменологическое
проявление массы идеального газа в тепловом явлении.
Если же тело реальное, да ещё и в конденсированном состоянии, то
его теплоёмкость будет включать в себя не только инерционную массу
частиц, но и моменты инерции при их вращательных движениях, а также - и
эквивалент перехода кинетической энергии в потенциальную в условиях
консервативных сил на микроуровне. Пусть, например, сначала был у нас
идеальный газ массой Мг, а потом в нём появились связи между частицами.
Тогда часть Екин перейдёт в ЕПОт, и средняя скорость v частиц упадёт,
станет меньше v2/2 и соответственно - температура Т. Поэтому
дополнительное появление связей (притяжения) между молекулами будет
выражаться в увеличении теплоёмкости Cv тела. В то время как
температура реального тела всегда будет определяться средней
квадратичной скоростью движения микрочастиц - по формуле (2-41).
Возникает вопрос и о так называемом нулевом начале
термодинамики, гласящим, что термодинамическое равновесие между
различными частями системы определяется равенством их температур и что
температура в любой изолированной системе самопроизвольно стремится к
выравниванию. С позиции традиционного понимания температуры Т, что
она есть величина, пропорциональная средней кинетической энергии
движущихся микрочастиц, данное начало термодинамики трудно
объяснимо, поскольку неясно, каким другим способом, если не путём
выравнивания скоростей, кинетическая энергия микрочастиц может
стремиться к самовыравниванию. Наоборот, мы знаем, что система из
микрочастиц всегда стремится к вполне определённому статистическому
распределению по скоростям. Однако опыт нам показывает, что
распределение по скоростям происходит лишь в условиях движения
микрочастиц в двух- или трёхмерном пространстве. В одномерном же
случае при упругих столкновениях частиц мы наблюдаем характерный
обмен скоростями между ними, который можно расценить как их
выравнивание.
Так, исходя из законов сохранения энергии и импульса при упругом
центральном ударе двух частиц произвольных масс mi и ш2 мы получаем
соотношение скоростей /60, с. 151/:
Vi+v;=v2+v^ , (2-42)
93

где v' - скорость частиц 1 и 2 после столкновения, с учётом их знака.
Из (2-42) следует, что обе частицы после удара как бы сохраняют
«память» того, какие они имели скорости до столкновения. И фактически, за
элементарный отрезок времени dt сближения, удара и расхождения двух
частиц, выделяется и элементарный объём со(х) dx внутри тела с
выравненными парами скоростей, согласно (2-42). В этом, собственно, и
раскрывается динамическая суть нулевого начала термодинамики на
молекулярно-кинетическом уровне.
§10. Движение и «антидвижение», диссипативные и концентративные
системы
Только что мы смогли убедиться, что скорость движения v
одновременно выступает и в роли фактора движения в кинетической
энергии макроскопического тела (X = v2/2) или микрочастицы (9>=v2/2),
и в роли фактора временного сопротивления - интергии IM = 1/v - что
заставляет думать о всеобщности и субстанциальности движения, как
всеобъемлющем свойстве природы, имеющим выражение в этой самой
скорости v. Однако не будем спешить с подобным выводом, а покажем, что
рассматриваемое нами понятие импульса как величины, равной количеству
движения энергии (через временное сопротивление), даёт все основания
осмыслить собственно явление движения и усмотреть его
противоположность - «антидвижение» - и наличие двух противоположных
типов систем, диссипативных и концентративных, с взаимным переходом
при характерной форме пространственно-временной инверсии
(перестановки местами) х £^ т . Причем, «антидвижение», или
неподвижность, с поиском определённых сил (сил сжатия) следует понимать
в абсолютном смысле как внутреннюю задачу для любой системы с полями
притяжения. Такие системы симметричны системам диссипативным в
смысле пространственно-временной инверсии (х ±5 т), чему и посвящен
данный параграф.
Феноменологически движение нами осмысливается двумя
способами:
94

- как смена состояний, или последовательность перемещения точек
качественного отличия; элементарное движение в этом смысле, собственно
dx, - вдоль траектории смещения материальной точки;
- как относительное перемещение, т.е. отнесение указанного
перемещения dx к характерному, или стандартному перемещению
контрольного тела, понимаемому нами в виде времени dx; и таким образом
возникает понятие о скорости движения V = dx/dx.
Именно относительная величина - вектор -
dr/dx = - = 1м (2-43)
есть универсальная кинематическая пространственно-временная
характеристика - интергия механическая 1м . Но используя уже принятый
нами формализм для термического процесса, см. формулу (1-66), мы
механическую инерцию - интергию - должны были бы определить как
Im = JmNm , (2-44)
понимая под NM некоторую «механическую ёмкость». Однако для
материальной точки при определении элементарного движения
кинетической энергии при m=invar мы оказываемся перед выбором
«энергетического» формализма, см. формулу (2-24):
1 771 V2
dnM = ¥R dx = dHM = JM dEKHH = - d(—) = m dv , (2-45)
следовательно, JM = - = IM, поэтому NM =1.
Если же по инерции движется не отдельное тело, а поток вещества со
скоростью v = vx - в направлении траектории х, - то будем иметь удельное
(на единицу площади со(х) ортогонального сечения потока) временное
сопротивление механического потока энергии в виде
95

и тогда ёмкостью механического явления выступает поверхность со(х) = NM
сечения потока, а в общем уравнении импульса-количества движения
энергии фигурирует давление Рд, посему
или
(Юм = Рдёт = JM сШкин = 6НМ , (2-47)
йЕкин т ЙЕКИН dv mdv
J ГУ KIM j гч Kin — -
Д ^M M , ,
dr dv dr co(x) dr
Инерционное самопроизвольное движение тела в любой
инерциальной системе фактически записывается как «немой» импульс,
хранящий «память» о работавшей до этого силе Рд , которая словно
вырождается:
(Юм = Бд dx = JM dL = IM dL = ^ ¥д dx (2-48)
или, просто, dx = dx/v = IM dx.
Рассмотрим же теперь кинематику самопроизвольного движения
внутренней тепловой энергии. И в такой задаче совершенно неожиданно
обнаруживается, что любое проникающее в глубь тела теплопроводностью
температурное возмущение имеет характерную точку - центр
термического возмущения, скорость перемещения которого
vu = Хц(т) = dxu(r)/dr - замедляющаяся по определённой закономерности,
свойственной диссипативным процессам.
96

Определение центра термического возмущения.
Рассмотрим охлаждение однородного полуограниченного тела при
х= 0 на его поверхности, которая может быть любой конфигурации. Тело с
неизменными X и С имеет равномерную начальную температуру Тн на
всю его глубину. На начальный момент времени т = 0 произошло
скачкообразное изменение температуры AT = Тн - Тс(т) на поверхности
тела, в результате чего начался теплообмен тела с окружающей средой, при
постоянном граничном условии третьего рода (а = const« оо). Координата
х криволинейна, совпадает с траекторией теплового потока, она
ортогональна всему семейству изотермических поверхностей.
Для такой задачи на любой момент времени т можно записать
интегральное соотношение термического импульса в следующем виде:
(Ю = (Тн - Тс(т)) dx = /0 N(x) J(x) 5Т(х,т) dx = jQ I(x) 8T(x,x) dx =
^ /0°° J(x) 52Q(x,x) = 6H, £ > 0, 0 < x < cx> , (2-49)
где 62Q(x, x) = N(x) d2a; N(x) = С co(x); d2a = 5T(x,x) dx;
j(x) = j„ + j„«-^ + i/;^; (2-50)
функция co(x) = 1 - для плоского полупространства; co(x) =2л{1 +x) - для
полупространства с цилиндрической поверхностью; со(х) = 4п(1 +х)2 - для
сферической поверхности; £ - радиус кривизны граничной поверхности при
х=0; со(х) в общем случае имеет зависимость от двух главных радиусов
кривизн вдоль трубки теплового потока.
Интегральная постановка задачи (2-49) будет справедлива, если
вместо начальной TH=const ввести температуру Т(х) = Т(х(т)) гребня
убегающей в глубь тела температурной волны, где х = х(т) -
97

перемещающееся во времени положение этой максимальной температуры
Т(т). Тогда интегральное соотношение (2-49) принимает вид
(Т(х) - Тс(т)) dx = /0*(т) N(x) J(x) 5Т(х,т) dx = J™ J(x) 62Q(x,x).
Выше уже было показано, что термическое сопротивление J(x)
выступает в роли аналога расстояния для каждой элементарной порции
тепла 62(?(х,т), вследствие чего возникают моментные функции 52Н, 5Н,
ДН, названные тепловыми моментами и которые суть количества движения
внутренней тепловой энергии из тела. Но вспомним, что в механике через
подобные моменты (но только моменты масс через расстояния)
определяется центр масс твёрдого тела. Следовательно, мы можем
определить подобным образом центр тепловыделений, или центр
термического возмущения, считая количество тепла Q аналогом массы m, а
сопротивление J(x) от поверхности тела в его глубину - аналогом
расстояния х.
На этом основании может быть определено термическое
сопротивление Ju = Ju(x) - от поверхности тела до указанного центра
термического возмущения на любой момент времени т, исходя из уравнения
(2-51)
(2-49):
ш =
бН(т) _ Jx=0J(x) S2Q(x,x)
5QW " йоб2(^)
f0°°co(x)J(x) 6Т(хд) dx
/0°°а)(х) бТ(хд) dx
, (2-52)
или
ш =
dfi(x) Т„-
Тн-тс(х)
= Тн-Тс(х)
Яп (т)
(2-53)
6Q(x) С/0"со(х)
dx
Если же исходить из интегральной постановки задачи (2-51), то
98

_ jff?j(x)62q(x,t)
ш =
_ Т(т)-Тс(т)
япсо с
Т(т)-Тс(т)
гя(т) , чбТ(хд) .
/о '«(x)-jj^-dx
(2-54)
Здесь везде qn(t) - тепловой поток на поверхности тела, при х = 0.
Термическое же сопротивление Ju = тц(т) определяет и
соответствующее расстояние хц=хц(т). А оно может быть найдено,
приравнивая (2-50) любому из выражений (2-52) - (2-54). Тогда получаем
такие параметрические уравнения:
_J_ 1_ ,хц(х) _d£ Тн-Тс(т) =
aco(O) xh co(Q c/^^^-dx ' С '
1 ^1 гхц(т) d^ Тн-Тс(х)_
Г(х,1
dT
или
+ i f^-EL. bcbw = 0 (2.56)
или
>(0) X J0 со(0 qn (т)
асо(0) X А) со(0 qn(T) ^ }
Полученные выражения (2-55) - (2-56) удивительны тем, что хц(т)
возможно определять опытным путём, измеряя граничные температуры Тн,
Тс или Т(т) и тепловой поток qn(x) на поверхности тела. Формально
приведённые формулы напоминают интегральную закономерность гипотезы
Фурье и в то же время хранят возможность определения термического
сопротивления Ju(t) и расстояния хц(т).
О движении центра термического возмущения.
Таким образом, нестационарное температурное поле на каждой, в
общем случае криволинейной, траектории х теплового потока в теле
предполагает центр движущейся порции внутренней тепловой энергии,
похожей на расширяющуюся квазичастицу, один край которой остаётся на
поверхности тела (х=0), а другой углубляется в него. Этот центр (а
99

фактически это - изотермическая поверхность) независимо от того,
охлаждается тело или нагревается, всегда перемещается самопроизвольно от
поверхности тела в его глубину. Зависимость хц(т) или хц(т) может быть
найдена из формул (2-55) - (2-57) при рассмотрении конкретных задач:
1) Классическая задача об охлаждении однородного
полупространства (0< х < оо) с плоской поверхностью, со(х) = 1, при
Тн = const, отсутствии фазовых превращений и при постоянном граничном
условии первого рода (а-> оо). Начиная с т = 0, температура Тс = Тп =
const < Тн. Эту задачу мы рассматривали в §2 настоящей главы. Согласно
известному решению /18/, тепловой поток на поверхности тела переменный
и равен
qn(T) = -(TH-Tn)J^, (2-58)
и тогда из (2-56) легко находим
или
Хц(т) = хц = у/пат , (2-59)
Хц(х) = (хц)=-^-Г. (2-59)
Подставив (2-59) в общее решение этой задачи (2-8), найдём точное
значение температуры Тц, соответствующей центру (или «центральной»
термической поверхности) расширяющейся зоны термического возмущения,
причём, неизменной во времени:
©ц s (Тц - ТП)/(ТН - Тп) = erf = 0,4693 = 0,47 . (2-60)
100

Следовательно, мы устанавливаем, что хц = /?л/т, где /? = у/а л, и
что только изотермическая поверхность относительной температуры
0ц = 0,47, соответствующая положению хц(т) центра термического
возмущения в данной линейной задаче, будет перемещаться по данному
закону. Иначе, движение центра возмущения в однородном
полупространстве при постоянном граничном условии первого рода
соответствует перемещению изотермы относительной температуры в —0,47.
2) Однофазная задача Стефана в однородном плоском
полупространстве, со(х) =1, Тн = Тф= Т(оо,т), при синусоидальном
характере изменения температуры на поверхности
Тп = Тп(х) = Тф + (Т™п - Тф) Sin , (2-61)
где Т™1П - минимальное значение температуры поверхности тела;
р - период цикла.
При больших значениях критерия Коссовича Ко -> оо решению
подлежит по существу дифференциальное уравнение Ляме и Клапейрона
^ = Q<d' 0^§(т); 0<т<р/2, (2-62)
где £ = ^(т) - глубина проникновения фронта фазового превращения, и,
поскольку мы пренебрегаем в данном случае влиянием теплоёмкости С, на
фронте § и будет сосредоточено всё термическое возмущение, т.е. хц =
Имея при С-> 0 линейный профиль распределения температуры
з: = (ТФ-тп)Д
и подставив его и (2-61) в (2-62), найдём скорость фронта:
101

хц ^ fx = X (Тф - T™n) (sin ^) / Q* § . (2-63)
Интегрируя (2-63), получим на любой момент времени т:
хц(х) = т = (2 Л (Тф - Tnmin) р/% пУ sin Ц . (2-64)
И при т = р/2 получим глубину проникновения фронта:
xmax s Г ах = (2 Л (Тф _ Tmin) p/Q+ пу (2.65)
Именно в выражении (2-65) прослеживается та же закономерность
«квадратного корня»:
3) Для классической однофазной задачи Стефана в однородном
полуограниченном теле с плоской поверхностью при С»0 и при
постоянном граничном условии первого рода закономерность /?>/т
устанавливается известным решением Стефана /18/.
4) В задаче Рудольфа Планка для тел простой формы при условии
снижения температуры среды Тс по линейному закону b = - dTc/dr >0 и
постоянном коэффициенте теплоотдачи а мы получаем в стадии
регулярного режима второго рода точное решение (2-15), устанавливающее
квадратичную зависимость между одновременно существующими
постоянными скоростями b и хц, что также подтверждает закономерность
движения центра хц термического возмущения по закону «квадратного
корня» из т.
102

Итак, обнаруживается явная закономерность для самопроизвольного
движения центра термического возмущения в теле, а именно:
где (5 - некоторая константа, которая чётко выражена лишь в случае
фиксированного интервала граничных температур AT = Т - Тс. При
переменной же температуре среды (поверхности тела) Тс(т) на систему
(тело) как бы непрерывно наводятся новые температурные возмущения,
поэтому данная закономерность становится скрытой.
Если же на поверхности тела действуют устойчивые колебания
температуры Тс (или Тп), то температурные возмущения в теле имеют
ограниченную глубину проникновения, причём эта глубина
пропорциональна у[р. Когда система (тело) ограничена в размере, то
термическое возмущение продолжается в направлении уже координаты Т,
иначе - идёт снижение температуры Т тела. В §5 главы 1 было показано,
что логарифмическая закономерность, как свойственная самому процессу
понижения температуры, фактически та же, что и закономерность
«квадратного корня» из т, но - действующая для случаев тел конечных
размеров!
Таким образом, мы можем считать формулу (2-66) выражением
кинематического свойства температурных возмущений в твёрдых телах,
отражающего внутреннюю природу данного явления.
Возникновение в телах конечных размеров регулярных режимов
первого и второго рода физически связано с тем, что центр термического
(температурного) возмущения хц(т), сначала углубляясь в тело по
закономерности /?л/т, выходит на своё устойчивое положение, не
изменяющееся затем при т -» оо. И вот с этого времени в теле начинается
регулярный режим, при котором идёт процесс только понижения
температуры тела (хотя имеет место некоторый период плавного
«разворота» температурного поля). При этих регулярных режимах хц
фиксируется. Если же тело неограниченных или полуограниченных
размеров, то в линейных задачах нестационарной теплопроводности мы
наблюдаем своеобразную регуляризацию в виде механизма
(2-66)
103

автомодельности с закономерностью /?л/т движения центра термического
возмущения, - при фиксированном интервале граничных температур
ДтахТ — Т — Тс.
Поэтому термическое возмущение, однажды наведённое на тело
(систему) в виде неизменяющегося перепада граничных температур ДтахТ,
проявляет все свойства солитона, но солитона расширяющегося со
своеобразным центром хц («антимасс»), который совершает свойственное
ему движение, могущее восприниматься как явление механическое с
характерной кинематикой.
О физических системах.
В свете изложенного возникает необходимость и уточнения наших
понятий о физических системах. Традиционно принято подразделять их на
две категории - консервативные и диссипативные системы. Под первыми
подразумеваются механические системы с сохраняющейся суммой
кинетической и потенциальной энергий подвижных макроскопических
составных частей. Диссипативными же определяются системы с рассеянием
упорядоченных энергий и переходом их на уровень внутренней тепловой
энергии. Мы несколько поменяем эти представления и введём понятие о
третьей категории - системах концентративных.
Начнём с того, что к консервативным будут относиться не только
системы с подвижными макроскопическими составными частями, но и
любое вещество в равновесном термическом состоянии, т.е. с
неизменяющейся равномерной температурой. Но как только начинается
процесс охлаждения вещественного тела, внутренняя тепловая его энергия
стремится рассеятся в пространстве. Иначе, трёхмерное пространство (3-
пространство) на бесконечности становится аттрактором для любых
избыточно сконцентрированных порций внутренней тепловой энергии.
Нагрев же тела конечных размеров, в сравнении с окружающими
телами с более низкой температурой, можно считать процессом обратным
диссипации, иначе - процессом концентративным. На этом основании
нагреваемое тело, как отдельная система, может рассматриваться как
временная концентративная система для внутренней тепловой энергии. В
целом же, к концентративным системам мы фактически должны относить
все системы сжатия с любого рода силами притяжения, включая
конденсированное вещество с силами межмолекулярного сцепления,
гравитирующие системы и т.д.
104

В такой трёхкатегорийной классификации физических систем класс
консервативных систем есть та грань, или та «трёхмерная контрольная
граничная поверхность», которая и разделяет физические процессы на две
группы с противоположными качествами по кинематике.
Именно определённого типа кинематика движения пробного тела,
частицы, материальной точки даёт нам представление о категории
физической системы. Причём, говоря о кинематике пробного тела, частицы,
материальной точки, мы тем самым подчёркиваем, что их движение
пассивно, т.е. не вызывается их внутренней какой-либо причиной
(свойством, отличительной характеристикой, величиной внутренней силы),
а лишь внешним свойством среды, в которую они помещены и в которой
совершается их перемещение. Эта внешняя среда и должна именоваться
истинным полем.
Принципиально мы можем выделить три типа кинематик и
соответственно три категории физических систем, но мы не будем здесь
касаться кинематики распространения электромагнитных излучений, считая
этот вопрос до конца ещё экспериментально не изученным.
1) Кинематика прямолинейного равномерного движения -
идеальный случай. Системы с таким типом кинематики носят известное
название инерциальных систем. Сюда же следует отнести и кинематику
равномерного вращения, и упругого соударения тел, поскольку линейные
скорости их точек проявляют всё то же самое «результирующее» свойство
сохранения своих значений, или - сохранения интергии I. А в целом, это -
консервативные системы с сохранением интергии их движения.
2) Кинематика с ускоренным движением, как правило - это
движение пробного тела, частицы в каком-либо поле притяжения, например,
гравитационном, электрическом, магнитном и т.д. Системы с таким типом
кинематики это - системы сжатия, с силами взаимного притяжения. Их мы
уже условились именовать концентративными.
3) Кинематика с замедленным движением частиц (солитонов).
Это собственно и есть истинно диссипативные системы с
соответствующими силами отталкивания, которые затухают по мере
удаления движущихся частей системы. Таким типом систем являются
системы с нестационарной теплопроводностью, осмысливаемые с позиции
существования расширяющихся термических солитонов, как порций
внутренней тепловой энергии с подвижной «центральной» изотермической
поверхностью (или с центром термического возмущения хц(т) на
траектории х, ортогонально пересекающей эту поверхность), движение
105

которой определяется не величиной самого термического возмущения
(перепада температур ДтахТ), или импульса воздействия сЮ, а лишь
свойствами вещественной среды, в которой термическое возмущение
распространяется. Это распространение вполне характерно, - оно
самопроизвольно и замедленно. И нам остаётся показать его особенности на
некотором модельном уравнении, которое, как мы ниже увидим,
оказывается симметричным уравнению гравитационного падения пробного
тела с инверсией пространственных координат х т. И мы также увидим,
что замедленное движение, например, брошенного в поле силы тяжести и
против этой силы пробного тела с некоторой начальной скоростью не есть
аналог данного типа систем (диссипативных), поскольку не повторяется
своеобразный тип модельного уравнения, свойственного для кинематики
точки в истинно диссипативной системе.
Принцип эквивалентности в теории гравитационных
и тепловых процессов.
Известный принцип эквивалентности в теории гравитации (ОТО)
утверждает, что однородное поле тяготения по своему проявлению (надо
полагать - внешнему) тождественно ускоренной системе отсчёта, благодаря
чему пробные тела любых масс и размеров в таком поле двигаются
ускоренно с постоянным для всех них коэффициентом ускорения.
Подобную картину мы наблюдаем при движении центра
термического возмущения, см. (2-66), но это движение замедленное.
«Размер» же возмущения, т.е. перепад температур ДтахТ, который в данном
случае выступает аналогом массы тяготеющих тел, не оказывает никакого
влияния на замедленный характер процесса: коэффициент /? постоянен,
см.(2-59) - (2-60), и зависит только от физических свойств вещества тела и
его геометрии. Иначе, здесь мы видим тот же принцип эквивалентности
применительно к нестационарной теплопроводности в твёрдом теле, которое
и являет собой обратный аналог поля гравитации с пробными падающими
телами, только в роли таких тел выступают центры термических солитонов.
Заметим, что в формулах, где есть Q<j>, например (2-65) и (1-38),
присутствует и ДтахТ, но оно по существу определяет лишь эффективную
теплоёмкость согласно (1-45).
Таким образом, мы приходим к следующим удивительным выводам:
106

1) Температурное «поле» не есть истинное физическое поле, а
оно - солитон, «частица», которая движется, саморасширяясь, внутри
вещества. Хотя гравитационное поле - это, действительно, истинное
физическое поле, в котором пробное тело (массой т) имеет определённую
кинематику самопроизвольного движения, не зависящую от величины т.
Истинное физическое поле всегда обладает свойствами, которые задают
самопроизвольность движения, в одном случае - пробного тела (это -
гравитационный процесс), а в другом - самопроизвольное движение центра
расширяющегося термического солитона.
2) Физическим полем для термического процесса является само
вещество тела, в котором он происходит. Поэтому и вещество, и
гравитационное поле суть истинные физические поля. А вещество само -
это ещё и поле инерции, /56/.
3) Вещественное тело, в котором происходит теплопроводность,
можно называть системой. В гравитационном же процессе, по аналогии,
системой должно являться само гравитационное поле, как вмещающее в
себя движущиеся пробные тела. Также и вещество, как система, вмещает в
себя движущиеся термические солитоны.
4) Температурное «поле», температура, нулевое начало
термодинамики олицетворяют собой движение, а вещество (тело, как
система) - «антидвижение», неподвижность. С другой стороны, подвижное
пробное тело в гравитационном поле означает движение, а само
гравитационное поле - «антидвижение», неподвижность. Таким образом,
истинное физическое поле это и есть категория «антидвижения», или
неподвижности, коим выступает само вещество и его гравитационное поле.
5) Поэтому всякое кинематическое движение тела или центра
термического солитона есть результат существования трёх принципиальных
видов истинных физических полей, которые суть и системы:
- гравитационного поля (имеем кинематику ускоренного движения
падающего пробного тела);
- вещества (имеем кинематику замедленного движения центра
термических солитонов); и, наконец,
- эфира (имеем движение электромагнитного излучения, как
«традиционно» считается, с нулевым ускорением, и тел - по инерции, с
постоянной скоростью v).
107

В нашем понимании, эфир и есть система с движущимися в ней
таким характерным образом телами (и излучениями электромагнитных
волн), традиционно носящими название «инерциальных систем отсчёта»,
хотя этот термин, с наших позиций, видится неверным.
Три указанных принципиальных вида истинно физических полей
(гравитационное, вещество и эфир) соответствуют и приведённым выше
трём категориям физических систем: концентративные, диссипативные,
консервативные.
Заметим, что движение термического солитона есть бесконечно
замедленное, если тело теоретически бесконечно, например, -
полуограничено. И в этом состоит свойство самих термических солитонов,
хотя вещественные тела по своей природе конечны. Движение же
брошенного вверх тела также замедленно, но оно конечно (не бесконечно),
хотя гравитационное поле само имеет природу распространяться в
бесконечность (ослабевая).
Действительно, пусть брошенное вверх пробное тело имело
начальную скорость vG. Тогда, при неизменном ускорении силы тяжести g,
получим на любой момент времени т:
v = dx/dx = v0 - g т , или x = v0 x —— ,
откуда при условии v = 0 придём к максимальной (следовательно,
конечной) высоте подъёма тела Xmax = Vo/2g.
О симметрии уравнений движения в нестационарных гравитационном
и термическом процессах.
Кинематика движения в нестационарных гравитационном и
термическом процессах являет собой определённую симметрию, которая
феноменологически выглядит так. Если центры масс гравитирующих тел
самопроизвольно сближаются, то центры термического возмущения, как
расширяющихся солитонов, в двух введённых в соприкосновение тел с
разными температурами всегда удаляются, разбегаются друг от друга,
двигаясь от поверхности соприкосновения в глубь одного и другого тела.
Причём, в случае гравитирующих масс процесс сближения ускоренный, а в
108

случае разбегающихся термических солитонов процесс разъединения
замедленный. Гравитационное поле вызывает сжатие вещества и энергии, в
определённых условиях сопровождающееся повышением температуры, а
процесс теплопроводности это диссипативный процесс распространения в
пространстве внутренней энергии, сопровождающийся понижением
температуры.
В качестве модельного уравнения для сравнения движения
термического солитона со свободно падающим пробным телом (например, в
поле земного притяжения) воспользуемся известным точным решением
задачи Рудольфа Планка, когда вся выделяющаяся при охлаждении тела
внутренняя тепловая энергия сосредоточена на фронте фазового
превращения в нём, здесь же соответственно будет располагаться и
подвижный центр хц термического возмущения (солитона), см. формулу
(1-38) при С=0:
tJab(l+i), <2.67)
или
Хц С
^ + ^Хц-т = 0 , (2-68)
2 а/ af
где Сэкв = <2ф/(Тф - Тс) - согласно (1-45).
Теперь сравним это модельное уравнение (2-68) с формулой для
определения пути х, пройденного свободно падающим телом с ускорением
g и начальной скоростью v0:
2
^- + VoT-X = 0 . (2-69)
Вид уравнений (2-68) и (2-69) идентичен, различие же обусловлено
только инверсией х±5 т. Инверсным же аналогом g здесь выступает 1/а/;
f = 1 - для плоского случая.
109

Посмотрим, годится ли подобная инверсионная подстановка в
обычное уравнение теплопроводности (1-21) для плоского случая (со(х) = 1)
и постоянных Л и С, тогда после инверсии х ±5 т и при введении
некоторого потенциала ср вместо Т получим уравнение
дер б2ф
(2"70)
d2x
которое при вырожденном ср переходит в известное тождество = |g| ,
где |g| < = > т.е. инверсным аналогом ускорения свободного падения
является обратная величина коэффициента темпратуропроводности.
Заметим, что, действительно, в падающем теле вырожден сам
гравитационный потенциал ср (в нерелятивистском смысле), поскольку
свободно падающее в вакууме тело не испытывает на себе никаких сил,
точнее - сила тяготения уравновешена противоположно направленной силой
инерции, как сопротивления движению; поэтому падающее в вакууме тело,
как система, по внутреннему своему состоянию ничем не отличается от
любой «инерциальной системы отсчёта»; следовательно, сам упомянутый
нами принцип эквивалентности в ОТО сформулирован «половинчато» -
лишь с позиции внешнего наблюдателя!
Подобное вырождение потенциала мы видим у двигающегося по
инерции тела в вакуумном пространстве, см. формулу (2-48). Таким
образом, выражениями (2-68) - (2-70) подтверждается закономерность
инверсии х 5т при переходе от теплопроводности к движению пробного
тела в гравитационном поле, а это фактически - «двойная» симметрия
процессов, или их антисимметрия.
110

§11. Принцип Даламбера
Формулой (2-45) было показано, что для отдельного твёрдого тела,
прямолинейно двигающегося со скоростью v, временное сопротивление и
интергия совпадают, т.е. JM = IM = ^ , поскольку NM = 1, и, следовательно,
можно использовать «энергетический» формализм для записи количеств
движения энергии этого тела вдоль выбранной телом траектории х. Под
воздействием силы ¥д такое тело может испытывать на себе действие
встречных сил: консервативных (например, сил упругости) и диссипативных
(например, от трения) сил. Поэтому проекция на х всех этих сил и
определит суммарную их работу при перемещении на dx
Тогда количество движения dHM этой порции энергии (в виде суммы
работ), переходящей в диссипативные или потенциальные формы через
механическую интергию 1м, определится
Следовательно, уравнение равенства воздействующего импульса количеству
движения механической энергии, уходящей в потенциальную и
диссипативную формы существования, примет вид
(2-71)
dHM = IM8L .
(2-72)
(toM^dT = dHM = IM5L ,
(2-73)
или, используя (2-71),
Рд Yii ^конс i
1 дис j •

Но случай (2-73) - при неизменной скорости тела. Объединяя же
формулы (2-45) и (2-73), получаем выражение закономерности равенства
импульса воздействующей силы количеству движения механической
энергии на самый общий случай
(Юм = ¥дйх = dHM = IM(dEKHH + SL) , (2-74)
которое и представляет собой известный принцип Даламбера
Рд ~ + Til ^конс i + ^дис j » (2-75)
означающий, что воздействующей силе Рд вдоль х всегда противостоят
сила инерции, диссипативные и консервативные силы в их проекции на
направление х; т— = гин.
В случае, например, растягивания вязкого тела длиной / = /(х)
выражение (2-74) принимает вид формулы (2-24):
dnM = FMdT = J0'lM(x)d(6L(x)) .
§12. Принцип импульса и феноменология дискретности
Закономерность равенства импульса количеству движения энергии
вдоль траектории её движения (х) создаёт феноменологию дискретности
рассматриваемого явления вдоль этой траектории. Это обобщение мы
продемонстрируем на механических и термических явлениях.
Импульсы и количества движения энергии, как и силы, суть
величины векторные, и направления векторов первых совпадают с
направлением соответствующих им сил. Поэтому в уравнении (2-75) силы
уже стоят со своими знаками (подставляются в уравнение со знаком плюс),
также как и количества движения энергии в (2-74), учитывая при этом, что
112

мы всегда ведём речь о траектории х движения энергии и проекции на эту
траекторию всех механических сил.
Оперируя данным термодинамическим пониманием любого рода
взаимодействия, мы всегда легко можем всякое сложное явление, систему,
поделить на такие части, где выполняется указанное нами равенство
воздействующего импульса, с одной стороны, и отклика суммы реакций -
количеств движения энергии, с другой стороны, с обратным знаком.
Поэтому, выделяя в сложном явлении такие его части - «замкнутые
отделения» - мы фактически приходим к известной формулировке закона
сохранения импульса, гласящего, что он выполняется лишь в замкнутых
механических системах. В плане нашего логического анализа, этот закон
полностью объясним.
Можно привести примеры механических систем, в которых
необходимо вести разделение на части, чтобы в каждой из них выполнялась
закономерность равенства импульса количеству движения энергии, в т.ч. и
закон сохранения импульса в его традиционном понимании. Вот пример
летящей ракеты с выбрасываемой струёй газа. Такая система разделяется на
две части, у одной из которых действующая сила направлена к корпусу
ракеты от струи газа и определяет ответную реакцию к себе со стороны
этого корпуса, а у другой части действующая сила направлена к струе газа
со стороны корпуса ракеты и вызывает к себе реакцию сил от газового
потока. И для каждой из этих частей мы можем составить свои уравнения
воздействующего импульса с ответными реакциями количества движения
энергии.
Укажем особенности выделения подобных частей в термическом
процессе. На рис. 6 представлено произвольное непрерывное распределение
температуры по х в некотором теле (системе тел) в виде температурной
волны. И выше нами уже было показано, что закономерность термического
импульса начинается от точки с экстремальной температурой
(где дТ/дх = О, q = 0) и продолжается вдоль х на участке, где тепловой
поток не меняет направления на обратный.
ИЗ

5)
О
г
run
Рис.6. Схематическое изображение частей систем, механических или
термических, в пределах которых проявляет себя закономерность импульса-
количества движения энергии:
а) в механической системе вдоль х сила ¥д имеет противоположный
знак, чем все остальные;
б) в термической системе, изображено нестационарное температурное
поле вдоль х в виде произвольных волн; здесь точки А - экстремальные, Б
- перегиба температурного профиля в координатах Т-х, а отрезки АБ или
БА суть те части, где действуют свои отдельные самостоятельные
закономерности импульса-количества движения энергии.
114

Но это условие ещё не полное. Есть второе ограничение - чтобы
все точки тела либо только нагревались, либо только охлаждались. Точнее,
общее условие для закономерности термического импульса-количества
движения внутренней тепловой энергии (тепла) состоит в том, чтобы на
рассматриваемом участке Ах знаки производных дТ/дх и ST/dr не
менялись. А это означает, что границами участка Ах являются две точки:
одна - экстремальная (точки А на рис.6), другая - перегиба (точки Б на
рис.6), где д2Т/дх2=0, или ST/dr = 0. Поэтому «квантованные» участки
Ах - это отрезки АБ и БА на рис.6, которые суть аналоги замкнутых
систем. Видно, что такие отрезки обязательно чередуются попарно.
Отсюда вытекает и своеобразная дискретность, характерная для
любых волновых процессов, и она именно и проявляется в попарно
направленных друг к другу импульсах (количествах движения энергии), в
регулярном их повторении. Аналогичную картину в попарно направленных
друг к другу импульсах мы наблюдаем и в механических взаимодействиях,
следствием чего в классической механике фигурирует третий закон
Ньютона. В этом законе равенство сил (действующей и
противодействующих) обеспечивается равенством отрезков времени (любых
dx или Ат) для одного и другого из тел и равенством механических
интергии IM = ~ (которые при соприкосновении тел имеют v = 0 и,
следовательно, вырождаются) у двух тел, см. формулы (2-73), (2-75). Но в
релятивистской механике, известно, третий закон Ньютона не выполняется,
вследствие, как понимают, релятивистского искажения времени. В
термическом же процессе, в общем случае температурной волны, см. рис.6,
нет равенства между собой перепадов температур (как аналогов сил) от
точек А до Б и от Б до А в прямом и обратном направлении движения
волны, вследствие различия термических интергии I = JN в
соседствующих участках (АБ и БА); поэтому аналога третьего закона
Ньютона в термических явлениях нет тоже, если сравнивать между собой
все участки.
На рис.6 для этих характерных участков указаны знаки производных
д7/дх и ST/dr, а также знак термической интергии I, который
определяется направлением (вдоль х) движения изотермических линий на
данных участках. Модельное уравнение связи знаков трёх рассматриваемых
величин следующее:
115

причём, в данном случае I, согласно (1-52), выражает собой обратную
величину «собственной» скорости распространения вдоль х изотермической
поверхности с температурой Т.
Закономерность термического импульса объясняет и местоположение
особых точек А (где дТ/дх = 0) и Б (где д2Т/дх2=0) нестационарного
поля, см. рис.6. Точка Б, при остановленном своём движении вдоль х,
определяет среднеобъёмную температуры на отрезке А-А. И само
положение т. Б вдоль х в этом случае находится из условия равенства
моментов теплоёмкости левого и правого отрезков БА от т. Б. Точка А
останавливается с началом регулярных режимов первого и второго рода; в
этом случае границы охлаждаемого (нагреваемого) тела определяются двумя
ближайшими точками Б, на которых температура должна быть либо
постоянной, либо меняться линейно во времени. Положение т. А в данном
случае находится из условия равенства моментов теплоёмкости отрезков БА
справа и слева от неё, но только эти моменты берутся не по отношению к т.
А, а по отношению к граничным для тела точкам Б , /16/. Знание
положения т.А облегчает расчёты в случае несимметричного охлаждения
(нагревания) тела, поскольку обе половины тела (БА + АБ) охлаждаются
(нагреваются) как бы независимо в симметричных условиях, /16/.
Таким образом, осмысление принципа импульса с позиции движения
энергии и изменения его направления позволяет осмыслить феноменологию
явления дискретности в пределах рассматриваемого вида взаимодействия.
С другой стороны, анализом движения энергии представляется
возможность исследовать и свойства физического пространства, его
структуру. Первые крупные оценки, с термодинамических позиций,
позволяют нам выделить не только к -измерение, считая его интенсивным
дискретным измерением по качественным уровням материи (в
положительном направлении к идёт самопроизвольное движение энергии
из глубин мироздания в макро- и мегамир), но и экстенсивное дискретное
измерение \|/ — как «набор» степеней свободы любой термодинамической
системы. По такому пониманию, качественные уровни материи - это
фактически дискретности (дискретные слои) по измерению к. Каждая же
термодинамическая степень свободы - это тоже своеобразный экстенсивный
качественный уровень материи, отдельная «нить», или определённый путь
для потока движущейся энергии. И таким образом, мы приходим к
116

дискретной картине физического мира, представленной характерной
укрупнённой «клеточно-нитевой» структурой от пересечения интенсивных и
экстенсивных качественных уровней «слоев и нитей» материи.
Устанавливать закономерности движения энергии внутри этих "клеток" и на
связях между ними в макромире и состоит главная задача физической
неравновесной термодинамики. И здесь обнаруживается, что известные в
электродинамике два закона Кирхгофа для разветвлённой электрической
цепи на самом деле являются универсальными термодинамическими!
§13. «Пути» движения энергии и универсальность управляющих
законов Кирхгофа
Ещё раз подчеркнём на основании живого опыта, что средняя
статистическая скорость движения микрочастиц макроскопического тела,
определяющая его температуру (Т), при соприкосновении с другим телом,
имеющим другую температуру и, соответственно, иную
среднестатистическую скорость движения его микрочастиц, может изменять
только скорость микрочастиц (в направлении на "парное «до и после
столкновения»" выравнивание этих скоростей между собой), но не
макроскопическую скорость второго тела, несмотря на одну и ту же природу
явления, - механическую. Поэтому мы, анализируя связи макроуровня с
молекулярно-атомным уровнем материи, говорим как о двух качественно
различных уровнях, дискретно отдалённых друг от друга (по измерению к),
и соответственно - о наличии в результате этого двух степеней свободы
термодинамической системы: механической (т.е. «макромеханической») и
термической (иначе - «микромеханической»).
Отсюда же мы видим и явление разветвления, или в данном случае -
бифуркации, движения энергии в положительном её направлении (из глубин
микромира в макромир, по измерению к), что собственно и находит
выражение в первом начале термодинамики в форме уравнения (1-4). В
таком случае мы говорим о двух степенях свободы, или «путях» движения
энергии, макроскопической системы: термической и механической (при
совершении механической работы).
Введение понятия «пути» движения энергии связано с тем, что их
число (п) может быть больше числа форм движения энергии (тепловой,
механической, электрической и т.д.). Как правило, п соответствует числу
117

алгебраических членов в уравнении первого начала термодинамики, которое
выражает собой аддитивность всех составляющих разветвляющегося потока
энергии. Именно об этом и говорит первое правило (закон) Кирхгофа для
разветвлённой электрической цепи: «Алгебраическая сумма токов,
сходящихся в узле, равна нулю, если считать подходящие к узлу токи
положительными и отходящие - отрицательными».
Первое начало термодинамики известно как закон сохранения
энергии при нескольких формах (степенях свободы), или «путях», её
движения. Для этого закона характерна аддитивность энергий. Поток
движущейся энергии растекается по ряду степеней свободы (или более шире
-по п «путям» движения энергии) термодинамической системы, иначе -
это экстенсивное расширение (или более узко - бифуркация) по
\|/-измерению (дискретному); причём заметим, что по у-измерению, как
«набору» степеней свободы, нет аддитивности по импульсу, но имеет место
аддитивность энергий (как бы - в «узле» ответвления).
Иное имеем с закономерностью импульса-количества движения
энергии. Закономерность гласит, что аддитивность количеств движения
энергии выполняется лишь вдоль выбранной траектории х движения
энергии.
Действительно, выше, на примере нестационарной
теплопроводности, мы показали, что количество движения внутренней
тепловой энергии (тепла) АН является аддитивной величиной только по
области о выделения (поглощения) тепла в теле в координатах Т-х, вдоль
же любой изотермической поверхности тела величина АН не аддитивна.
Она зависит по существу только от толщины тела, определяемой по
направлению траектории х теплового потока, и вовсе прямым образом не
зависит от «ширины» тела (т.е. от размеров поверхности теплообмена тела).
Поэтому количество движения тепла АН, взятое вдоль любой
траектории х теплового потока, всегда одинаково между любыми
изотермическими поверхностями (изотермами)! В классической
термодинамике, например, принято параметры окружающей среды вокруг
рассматриваемой системы считать находящимися в равновесном состоянии.
Следовательно, количество движения тепла АН от любой криволинейной
изотермической поверхности в теле до окружающей среды также всегда
постоянно вдоль любой траектории х теплового потока.
Иначе, если происходит разветвление (например - бифуркация)
потока движущейся энергии, то закономерность импульса будет
выдерживаться вдоль каждого из этих разветвлений. И, собственно,
аддитивности количеств движения энергии вдоль дискретного
118

\|/-измерения нет. И именно об этом говорит второе правило (закон)
Кирхгофа для разветвлённой электрической цепи: «Алгебраическая сумма
произведений токов на сопротивления равна алгебраической сумме
электродвижущих сил, действующих в замкнутом контуре».
Таким образом, закон сохранения энергии (первое начало
термодинамики) и закономерность (закон) импульса-количества движения
энергии так соотносятся между собой как первое и второе правила (законы)
Кирхгофа для разветвлённой электрической цепи, в результате чего эти
правила (законы) Кирхгофа мы вправе считать универсальными
термодинамическими управляющими законами «путей» движения энергии
(т.е. вдоль дискретного \|/-измерения), в т.ч. и при переходе её с одного
качественного уровня материи на другой (т.е. по дискретному
^-измерению).
Закон сохранения энергии составляется как бы вдоль замкнутой
изопотенциальной поверхности, заключающей в себе рассматриваемую
систему, а закономерность (закон) импульса-количества движения энергии -
вдоль любой выбранной траектории потока энергии в пространстве; причём,
между разными уровнями изопотенциальных поверхностей импульсы
любых траекторий движения энергии будут равны. Это позволяет придти к
очень важному результату, а именно: появилась возможность составления
совершенно нового типа уравнений описания различных физических
процессов и явлений, - уравнений «импульсного» типа.
Действительно, в настоящее время физика наиболее широко и
осознанно овладела аппаратом составления уравнений «энергетического»
типа, т.е. - на основе закона сохранения энергии, или первого начала
термодинамики. Уравнения же «импульсного» типа встречаются в тех или
иных разделах физика, но они не осознаны в том плане, что это особый тип
физических уравнений, объединённый упомянутым вторым правилом
(законом) Кирхгофа, а точнее - законом равенства воздействующего
импульса количеству движения данного вида энергии (через временное
сопротивление).
Примером этому, в частности, является описанное нами выше
обобщённое уравнение (2-74) импульса-количества движения механической
энергии, которое, как это и показано в §12, есть объединение второго и
третьего законов Ньютона и принципа Даламбера. Впрочем, первый закон
классической механики - Галилея-Декарта-Ньютона - также может быть
причастен к этому же уравнению, но при вырождении всех сил.
Необходимо особо подчеркнуть, что подобное подразделение
физических законов с выделением двух типов - «энергетические» и
119

«импульсные» - обязано именно введённому нами всеобщему
фундаментальному принципу сопротивления, иначе - принципу интергии,
как соединения сопротивления и ёмкости для любого вида взаимодействия.
В целом, в структуре мироздания, интергией можно называть
неразрывное дополнение к энергии, которое и образует то, что мы
воспринимает как материю, существующую во времени и в пространстве, в
т.ч. сложном, многомерном. По своей сущности, интергия, видимо, не
включает в себя ни времени, ни пространства, но является субстанцией
мироздания, дополняющей своим существованием существование энергии и
взаимодействующей с ней. Интергия проявляет себя на всех степенях
свободы любой системы (существующей во времени) и - во всяких
процессах движения энергии с конечными скоростями распространения.
Следствие от причины всегда отделено запаздыванием, и оно косвенно
определяется величиной интергии I, которая и в термическом, и
механическом процессах, как мы видели, оказалась одной и той же
размерности - [с/м]; в результате чего интергия становиться прямым
связующим звеном между данными физическими явлениями. Природа
запаздывания в любых процессах скрыта в едином свойстве систем
образовывать временные и пространственные структуры. И такое их
свойство определяет интергия (временное сопротивление, слитое с
ёмкостью). По-видимому, она есть только форма феноменологического
проявления некоей, более глубокой внутренней сущности «вакуумного»
физического пространства. При анализе путём геометризации физического
пространства, интергия видится многомерной и объёмной в нём /28/, /29/,
/22/. Она - антипод энергии, препятствие её движению, фактор совершения
его во времени.
Заметим также, что введение понятия временного сопротивления,
интергии, в корне отличает развиваемый нами подход от подхода
классической термодинамики. В ней равновесными считаются те процессы,
которые совершаются при т -» оо после каждого элементарного изменения
в системе. Поскольку в реальной действительности время устремить в
бесконечность невозможно, то как эквивалент этому, в нашем подходе при
определении идеального равновесного процесса достаточно предположить
интергию 1=0, что характеризует собой бесконечную скорость
распространения взаимодействия, или мгновенное взаимодействие системы
с окружающей средой, поскольку система внутренне становится лишённой
всякого сопротивления движению энергии и последняя в этом случае
перемещается с бесконечной скоростью. Поэтому в классической
термодинамике принципа сопротивления вовсе не существует. В
120

неравновесной же термодинамике видится обоснованность и
фундаментальность принципа временного сопротивления, интергии.
Впрочем, мы не рассматривали ещё вращательное движение.
Покажем, что вращательным сопротивлением в нём при осевом вращении
материальной точки массой m является величина
JBP =— , (2-77)
где совр - угловая скорость; совр = dcp/dx = 2тти, рад/с; о - частота, об/с.
Действительно, исходя из того, что интергия механического
движения 1=1 /v, то она должна быть таковой и для вращательного
движения, поэтому
IBp= l/v =JBpNBp = -1— , (2-78)
0)bd к
где NBp = 1/R - «ёмкость» вращательного движения, она же кривизна; R -
радиус (вектор). С другой стороны, нам известно Екин = s о)вр2/2 и
dEKHH = s совр dcoBp , где s = m R2 - момент инерции. Тогда, используя
«энергетический» формализм (2-24), получим:
dY = JBp dEKHH = s dcoBp - элементарный момент количества движения
энергии, который должен быть равен элементарному моменту импульса
внешней силы, т.е.
dA = ¥д R dx = dY = s dcoBp , (2-79)
или ¥ддт = m dv, где dv = R dcoBp - получили то же соотношение равенства
импульса количеству движения механической энергии.
121

То есть, при вращательном движении материальной точки (тела)
количество движения энергии (или импульс) приобретает «моментную»
форму - момент количества движения энергии (или момент импульса), с
появлением ёмкости - кривизны NBp = 1/R.
§14. Термодинамические уравнения импульсного типа
Итак, мы установили, что закон сохранения энергии и закон
(закономерность) равенства импульса количеству движения энергии
объединяются именно благодаря введению принципа временного
сопротивления, интергии, причём, закон сохранения энергии соответствует
случаю движения энергии при параллельном расположении сопротивлений
(интергии), а закон импульса - при последовательном. Отсюда - и два
принципиальных типа уравнений: «энергетического» и импульсного типа.
Можно и так ещё сказать о действии указанных типов уравнений.
Если наблюдатель движется вместе с потоком энергии (придерживаясь,
например, какого-то значения потенциала), то он подчиняется уравнению
импульса, составляемому вдоль траектории х потока энергии. Причём
наиболее ярко эта закономерность проявляется в интегральной форме -
после интегрирования по пространственной координате вдоль траектории
потока энергии. В дифференциальной же форме это - известные законы
Фурье, Фика, Дарси, Букингема и др., устанавливающие связь между
потоками и градиентами потенциалов (интенсивными параметрами). В том
же случае, когда учитывается расширение (сжатие) потока энергии или его
разветвление (соединение потоков), то в этом случае используется закон
сохранения энергии. Наконец, дифференциальные уравнения
теплопроводности (Фурье), см. (1-21), диффузии, фильтрации и т.д. - это,
собственно, объединённые уравнения энергии и импульса для каждой
отдельной формы движения, соединяющие в себе два указанных типа
уравнений.
Рассмотрим обобщённо «импульсный» тип уравнений.
Выше нами были даны примеры аддитивности термических
сопротивлений в теплофизических задачах, см.§4 главы 2. Всё это случаи
последовательного расположения сопротивлений, интергии, и мы при
составлении (термодинамическим методом) уравнений движения энергии
122

использовали соотношения импульса и количества движения энергии в
любом виде - интегральном или дифференциальном: £1 = АН, dft = 8Н,
5Q = dH, d2Q = d2H, в которых и прослеживается аддитивность
сопротивлений, интергии. Данные соотношения, по существу, являются
вторым правилом (законом) Кирхгофа применительно к термическому
процессу. Закон сохранения импульса-количества движения энергии
действует в пределах замкнутого контура системы, в пределах каждой из
степеней свободы термодинамической системы.
В плане установления дополнительных свойств импульса для
системы с несколькими степенями свободы, обратим внимание, что в
интегральном соотношении термического импульса (1-91), (1-93), (2-1)
возможен переход в правой части к потоку количества движения энергии,
или вариационной производной по времени функционала Н, в левой же
части будут фигурировать силы Д(? в виде конечной разности интенсивных
факторов (потенциалов):
А/7> dn 6Н .
Д9> = — = — =Н , (2-80)
dx dx
где при тепловой форме движения энергии Д£Р = AT, при механической
форме движения, например, при изменении скорости движения потока, -
дд>^д>д = ^ = 1м^^1м(^м)^(Нм) , (2-81)
dQM =dEKHH; IM = JM co(x) = 1/v,
где QM - поток энергии (мощность) в данной механической форме её
движения.
Одинаковое А9 между двумя изопотенциальными поверхностями
вдоль любой из траекторий движения энергии, ортогональных к этим двум
поверхностям, будет означать вместе с тем и одинаковость потоков Н
количеств движения энергии вдоль каждой такой траектории. Степени же
свободы термодинамической системы мы вправе понимать как качественно
123

отличные «каналы», или параллельные пути (вдоль \|/-измерения) движения
энергии. И тут видится прямая аналогия между указанными траекториями
движения энергии между изопотенциальными поверхностями в одном виде
взаимодействия и степенями свободы термодинамической системы,
которые, как отдельные качественные пути движения энергии, встречаются
по экстенсивному дискретному у-измерению.
Тогда может быть применимо следующее правило: если траектории
движения всех форм энергии совпадают, т.е. ложатся в пространстве на
единую некоторую траекторию х, то на фиксированном расстоянии Ах по
этой траектории потоки Hj количеств движения этих форм энергии в
системе по разным степеням её свободы будут равны потоку Н количества
движения внутренней тепловой энергии, также как и перепад температуры
AT должен быть равен разности потенциалов Д9^, но только - с отличием
на соответствующий размерный множитель Dj; j =1, 2,...m - пути
движения энергии, кроме термического. Это правило может быть записано
следующим образом:
H = DjHj; AT = DjAg>j; j=l,2,...m, (2-82)
- на отрезке Ах между двумя изотермическими поверхностями в теле, при
этом мы предполагаем, что в точках на концах Ах существуют
соответствующие уравнения состояния с учётом степеней свободы системы.
Учитывая (2-80), система интегральных уравнений (2-82)
записывается объединение:
AT = Н = Dj A£Pj = Dj Hj, j = 1,2,...m , (2-83)
Уравнения (2-82), (2-83) по существу являются динамическими
уравнениями состояния термодинамической системы на любом отрезке Дх
вдоль единой траектории движения х рассматриваемых форм энергии, в
т.ч. и для Дх-»0, в точку. Коэффициенты Dj, устанавливающие
соответствие между силами (разностями потенциалов) для каждой формы
движения энергии в сравнении с движением внутренней тепловой энергии,
124

могут пониматься как своеобразные «дроссельные» коэффициенты,
имеющие смысл физических параметров.
Для области между двумя изотермическими поверхностями в теле из
конденсированного вещества можно, аналогично (2-83), также записать
AT dx = 5Н = Dj A3* dx = Z), 8Hj, j = 1,2,...m, (2-84)
где Dj - «дроссельные» коэффициенты, усреднённые на Ах.
Таким образом, для любой неравновесной системы в принципе
существует два пути термодинамического анализа, - с позиций первого
начала термодинамики, например, записываемого в форме уравнения
энергетических потоков
U = IS" Qj , (2-85)
либо - с позиций закона равенства термического импульса количествам
движения энергии по всем степеням свободы на основе уравнений (2-83),
(2-84);эта последняя закономерность чем-то напоминает принцип
Даламберадля механических сил.
Совместный же анализ с помощью двух этих типов уравнений
исторически уже был применён Кирхгофом в системах электрических цепей
и получил название двух правил (законов), носящих его имя. Разветвлённая
электрическая цепь - это всё же система с одной (электрической) степенью
свободы, и в ней удачным оказалось применение второго правила Кирхгофа
- правила аддитивности сопротивлений (электрических) и - первого правила
Кирхгофа, которое есть правило аддитивности обратных величин
сопротивлений.
В случае нескольких степеней свободы нам видится возможным
проведение анализа не только с традиционных позиций первого начала
термодинамики, например, уравнения (2-85), как аналога первого правила
Кирхгофа в широком, термодинамическом, смысле, но и - с использованием
уравнений (2-83), (2-84), являющихся термодинамическим изложением
второго правила Кирхгофа. В последних же, вместо суммирования обратных
125

величин разноимённых сопротивлений, применена связь между импульсами
различных форм энергии с помощью динамических коэффициентов Dj.
§15. Соотношение импульсов-количеств движения различных форм
перехода энергии в сложной термодинамической
системе на примере промерзания тонкодисперсного грунта /33/
Известно, что промерзание тонкодисперсного грунта связано с
одновременно протекающей криогенной миграцией влаги к фронту
промерзания и пучением. В этом случае грунт можно рассматривать как
сложную термодинамическую систему, у которой больше, чем две, степени
свободы.
При естественном промерзании грунта тепло и влага устремляются
вверх вдоль криволинейной (в общем случае) координаты х, в этом же
направлении идёт механический процесс пучения грунта. Первопричиной
этих процессов выступает охлаждающий импульс. Пренебрегая влиянием на
криогенную миграцию влаги внешних условий, связанных с действием
гравитационных, электрических и магнитных полей, можно считать
однонаправленными такие составляющие этого процесса, как плёночное
течение связанной воды, диффузию пара и термодиффузию /22/. Тогда
влагоперенос можно описать нелинейным дифференциальным уравнением:
= й«>(х) *в(х, Wc, Л) , (2-86)
где х совпадает с одноимённой координатой в уравнении (1-21); Wc -
суммарная влажность грунта, доли единицы; Хъ - эффективный
коэффициент влагопроводности при криогенной миграции, м/с; (р -
суммарный потенциал влаги в грунте, м; Л - льдистость грунта, кг/кг.
Рассматривая ближайшую к земной поверхности зону [0, х(т)]
однонаправленного движения внутренней тепловой энергии в период
естественного промерзания грунта, запишем уравнение термического
импульса-количества движения тепла на любой момент времени т:
126

(Т(т) - Тп(т)) dx = /0*(т) J(x, т) С(х,х) ю(х) 8Т(х,х) dx = 5Н , (2-87)
где
J(x, х) =
а(т)со(0) J0 Х&т)ш(0 '
(2-88)
- мгновенное термическое сопротивление на отрезке [0,х] на момент
времени т; 8Т - изменение температуры в интервале [х, х + dx] за dx;
Х(х,т) и С(х,т) однозначно могут быть заданы функциями ЦТ, х, Wc, Л) и
С(Т, х, Wc, Л); х(х) - глубина положения гребня летней температурной
волны в грунте.
Предположим, что на отрезке [0, х(т)] экстремальным значениям
температуры Т(т) и Т(0,т) соответствуют и экстремальные значения
суммарного потенциала влаги (р(Т) и <р(Т (0,т)), зависимость
ф = (р(Т) - неубывающая. Тогда для влагопереноса, который вызывается
движением энергии вследствие разности потенциалов влаги
(р(Т) - ф(Т (0,т)), легко составить интегральное уравнение импульса-
количества движения мигрирующей влаги, аналогичное (2-87). Такое
уравнение после умножения обеих частей на коэффициент DB, который
вводим согласно (2-83) - (2-84), имеет вид:
DB(cp(T) - ф(Т(0,т))) dx = DBJ0X(T)JB(x, т) ш(х) 8WC dx = DB 6HB, (2-89)
изменение суммарной влажности в интервале [х, х + dx] за dx; DB -
температурный коэффициент миграции влаги, означающий тот перепад
температуры, который вызывает разность суммарных потенциалов влаги в
1м; среднее значение DB определяется как
где JB(x,x) = /х
х(т)
- сопротивление влагопереносу, с/м2; 5WC -
Яв(х,т) oj(0
127

Т(т)-Т(0,т)
ф(Т)- ф(Т(0,т))
Ав(х,т) однозначно может быть задана функцией А*(х, Wc, Л).
Уравнение (2-89) получается интегрированием основного уравнения
влагопроводности (2-86) дважды по х и один раз по т с заменой
переменной интегрирования т на Wc и последующим варьированием по т.
Это уравнение можно также получить наглядным составлением на основе
принципа движения энергии, считая, что элементарное количество влаги
со(х) 8Wc(x,t) dx преодолевает сопротивление на отрезке х(т) до х, причём
элементарное сопротивление на любом отрезке dx определяется как
dx/AB(x,x) о)(х).
Найдём далее интегральные соотношения импульса-количества
движения энергии при механическом перемещении и деформировании в
процессе пучения. Временным сопротивлением перемещения и
деформирования грунта под действием внутренних напряжений будем
считать величину, обратную его объёмной скорости (потока) перемещения,
см. (2-46):
&„(Х,Т)
где v(x,t) - скорость релаксации напряжений в направлении х, м/с.
Формой движения энергии в каждом элементарном объёме грунта
со(х) dx является элементарная работа перемещения и деформирования, см.
(1-9):
82Цх,т) = ох(х,т) (£п(х,т) + £д(х,т)) со(х) dx , (2-92)
где ох(х,т) - внутреннее напряжение (давление), Н/м2; £п = 6n(dx)/dx -
относительное перемещение элемента толщиной dx в направлении х;
£д = 6A(dx)/dx - относительное деформирование элемента толщиной dx;
деформирование же объёмного криволинейного элемента со(х) dx в
128

направлении, ортогональном криволинейной координате х, в этом случае
учитывается изменением площади поверхности со(х) данного элемента.
Тогда уравнение механического импульса-количества движения
грунта вдоль х с учётом (2-91), (2-92) и (2-84) запишется на любое т так:
DM(Amaxax) dx = DM/0*(т) JM(x, т) 52L(x,x) = DM 8HM , (2-93)
где DM - температурный коэффициент внутренних напряжений,
означающий тот перепад температуры, который вызывает повышение
внутренних напряжений на единицу давления, град м2/Н; среднее значение
DM задаётся так:
Таким образом, уравнениями (2-87), (2-89) и (2-93) может быть
задана без начальных условий интегральная постановка задачи о
взаимосвязанных криогенных физико-геологических явлениях в
промерзающей горной породе.
Приравняем, после деления на dx, между собой правые части этих
уравнений согласно соотношению (2-82) или (2-83) и получим следующие
уравнения взаимосвязи различных импульсов-количеств движения энергии
при термодинамически неравновесном процессе промерзания горной
породы:
(2-94)
(2-95)
(2-96)
(2-97)
129

Раскрыв значения Н, Нв и DB согласно (2-87) - (2-90), получим
отношение изменения влажности некоторого элемента dx к изменению в
нём температуры на 8Т, следуя соотношению (2-95):
6WC = КХД) (ф(Т)-ф(Т(0д))) = Wc
5Т 1в(х,т)со(х)(Т(т)-Т(0д)) f ' {~ >
где 1(х,т) = J(x,x) С(х,т) со(х) - интергия термическая, с/м.
Аналогично раскрыв в (2-96) значения Н, Нм и DM, получим
отношение модуля пучения грунта в некотором элементе dx к изменению в
нём температуры на 5Т:
1(хд)(Дтахах) _£
ST 1м(хд) ах(хд) (Т(х)-Т(Од)) t '
где £ = £(х,т)= £п(х,т) + £д(х,т) = 5(dx)/dx - модуль пучения грунта, м/м;
1м(х,т) =1/v(x,t) - интергия релаксации напряжений, с/м.
Подставив в (2-97) значения всех составляющих, получим отношение
модуля пучения грунта в некотором элементе dx к изменению его
суммарной влажности:
(Дтах<Гх) 1в(х,х)
6WC JM (хд) ах(хд) (ф(Т)-ф(Т(0#т)) Wc '
(2-100)
где Jm(x,t) = 1м(х,т)/а)(х), с/м3.
Величины 5WC/6T, 5ах/5Т, 6ax/6Wc являются локальными
характеристиками для любого фиксированного х и т в промерзающей зоне
грунта; они могут быть также представлены как отношение скоростей
изменения каждого параметра. С помощью этих характеристик возможно,
130

например, проведение качественного и количественного анализа процесса
промерзания грунта, определение интегральных и дифференциальных
характеристик взаимосвязанного неравновесного процесса по опытным
данным; f, Wc, г - соответственно локальные скорости изменения
температуры и суммарной влажности, модуля пучения грунта.
В качестве простейшего примера дадим приближённую оценку
зависимости по глубине х скорости И£(х,т) накопления мигрирующей
влаги со льдонакоплением в естественно промерзающей зоне грунта с
плоской поверхностью (х = 0) на основании однофазной задачи, т.е. при
Т = Тф и х(т) = h(x). Известны режимы, когда в первые месяцы зимы
локальная скорость Т(х, т) изменения температуры грунта в промерзающей
зоне примерно постоянна. Принимая при граничном условии первого рода
(т.е. при а-* оо) постоянными С, X и Хъ, будем иметь для плоского
случая, со(х)=1, величину J - пропорциональную х, а величину JB -
пропорциональную (h - х). Тогда из уравнения (2-98) получим, что И£(х,х)
пропорциональна отношению x/(h — х), иначе - имеет место примерно
гиперболический характер льдонакопления в слое [0, Ь(т)] грунта, что
подтверждается экспериментально. Действительно, при х=0 (т.е. на
поверхности грунта) имеем скорость льдонакопления Wc = 0, а при х = h(x)
= х(х) эта же скорость Wc -> оо. Здесь h - глубина нахождения фронта
изотермы Тф фазового превращения грунтовой влаги.
Уравнения (2-98) - (2-100) - это своеобразные динамические
уравнения состояния промерзающей горной породы, как неравновесной
системы, связывающие параметры Т, ср, е, Wc и ах. Эти уравнения
показывают, что изменения Wc и г всегда взаимосвязаны с изменением
температуры, т.е. нестационарный процесс льдонакопления и пучения
вызывается только температурной нестационарностью. И вот именно в
этом состоит отличие результатов анализа по настоящему
термодинамическому методу от результатов, которые вытекают из теории
«классической» неравновесной термодинамики Онсагера - Пригожина,
согласно которой стационарный тепловой поток является той причиной,
которая вызывает поток мигрирующей влаги. Экспериментальные данные
не согласуются с этой теорией. На рис.7 приведены кривые из опытов В.Е.
Борозинца (1981), наглядно показывающие, что, при приближении
распределения температуры в грунте к стационарному неравномерному,
миграция влаги и пучение грунта прекращаются. В.Е. Борозинец даже
отмечает существование начального (критического) значения скорости
промерзания, ниже которого миграционный процесс влаги не развивается.
131

Нам видятся результаты опытов В.Е. Борозинца очень важными (хотя автор
экспериментов на данный факт мало обращает внимания), поскольку они
свидетельствуют, что «классическая» теория неравновесной термодинамики
Онсагера - Пригожина к данным явлениям не приложима.
Напротив, динамические уравнения (2-98) - (2-100) подтверждают
правильность выбранного нами подхода при описании рассматриваемого
физическо-геокриологического процесса.
Рис.7. Кинетика глубины промерзания (£), водопоглощения (QB),
миграционного потока (i) и пучения (hn4) в течение опыта, по В.Е.
Борозинцу.
§16. Об уравнениях теплопроводности, учитывающих конечную
скорость фононов /46/.
Рассмотрим ещё одно эффективное приложение принципа
термодинамического импульса, а именно: для составления уравнения
132

теплопроводности (в интегральной и дифференциальной формах),
учитывающего конечность скорости распространения фононов.
До этого нами рассматривались скорости релаксаций температурных
возмущений в твёрдых телах при негласном предположении, что скорость
носителей внутренней тепловой энергии в них - фононов - бесконечна.
Такое означает, что любое температурное возмущение на поверхности
полуограниченного тела мгновенно уходит на бесконечно большую глубину
хотя бы в бесконечно малых изменениях температуры там.
В подавляющем большинстве случаев учёт ограниченности скорости
w3 фононов (звука) несущественней, но в коротко текущих
высокоградиентных термических процессах (тепловых «ударах») в тонких
поверхностных слоях тел, например, при решении задач сверхзвуковой
аэродинамики, это бывает необходимым. В дифференциальном уравнении
теплопроводности (Фурье) в этом случае должно появиться дополнительное
слагаемое с w3 в знаменателе с тем, чтобы при w3-> оо оно выпадало,
согласно принципу соответствия. Такой подход в описании нестационарной
теплопроводности был предложен независимо акад. А.В. Лыковым (1941), а
затем французами П.Верноттом (1962) и Ж.Тавернье (1962). К настоящему
времени уже имеется большое количество публикаций, в т.ч. монографий,
посвященных задачам теплопроводности при учёте конечности скорости
фононов.
Дифференциальное уравнение теплопроводности при этом получило
вид/18/:
ST . 62Т а2т
Т* + Х'7? = ам- (2-,01>
где а = А/С; тв - постоянная времени передачи теплового возбуждения
фононами, или время релаксации.
Величина тв трудно поддаётся экспериментальному определению, и
в монографии /18/ приближённо задана как тв = а/w32, (2-101 а).
Однако в работах /16/, /17/ было показано, что время температурной
релаксации в телах классической формы при Bi-> оо приблизительно равно
£2/2af и поэтому должно быть тв = 2 a f/w2. А это говорит о том, что
точность задания коэффициента тв по формуле (2-101 а) при решении
конкретных задач весьма низкая; f - коэффициент формы тела.
133

Благодаря наличию второго слагаемого в левой части,
дифференциальное уравнение (2-101) относится к гиперболическому типу.
Мы поставим цель по-иному составить уравнение этого типа, используя
установленную нами интегральную закономерность термического импульса-
количества движения внутренней тепловой энергии, полагая, что такая
закономерность позволит нам явно использовать скорость звука w3 в теле,
поддающуюся более точному, чем т„, экспериментальному определению.
Для удобства будем также говорить об охлаждении тела. Поскольку
чисто тепловые фононы двигаются как бы инерционно вдоль любой
криволинейной координаты х их потока, скорость их w3 окажет влияние
только чисто на нестационарную часть движущейся внутренней тепловой
энергии (тепла) в теле, иначе - только на зону тепловыделения о в теле в
координатах Т - х; площадь области - а имеет размерность [м град]. И
тогда, исходя из принципа временного сопротивления, или интергии, мы
можем охарактеризовать движение нестационарного потока внутренней
тепловой энергии (тепла) в теле как её движение через два
последовательных сопротивления, или интергии, - термическую I = JN и
механическую (инерционную) IM = l/w3, т.е. общая интергия равна (здесь
действует второе правило Кирхгофа):
1общ = 1 + 1м = ^ + -^- , (2-102)
где J = J(T,x); N = С(Т,х) со(х); I = 1(Т,х).
Согласно методу импульса, интегральную термодинамическую
постановку задачи осуществляем следующим образом. Определяем
элементарное количество движения внутренней тепловой энергии (тепла),
соответствующее элементарному изменению площади области а, см.(2-25):
d2H = 10бщ d2a = 10бщ 5Т(х, т) dx =
= (J(T, х) С(Т, х) ш(х) + ^-Ц) 5Т(х, т) dx. (2-103)
134

Это d Н всегда численно будет равно некоторому, также второго
порядка малости, элементарному термическому импульсу
d2H = d2Q = dTdx . (2-104)
Но полную определённость, т.е. - только на первом порядке малости
величины, мы получаем лишь после интегрирования выражения (2-104) по
всему интервалу [0,х]. И тогда это даёт искомое элементарное
соотношение термического импульса и количества движения внутренней
тепловой энергии (тепла), которое выполняется за некоторое элементарное
время dx нестационарного термического процесса:
сЮ(т) ее (Тп(т) - Т(х)) dx = /; /общ(Т, х) d2o ^
= I* 7общ(Т> х) 5Т(Х> т) dx > (2-105)
где Тп(х)^Т(0,х); Т(х) = Т(х,х).
Если в теле при этом происходит фазовое превращение, то мы имеем
возможность Q$ перевести, согласно (1-45), в эквивалентную теплоёмкость
Сэкв = (?ф/|Тф — Тс|, относимую ко всему интервалу Тф-Тс, и общая
теплоёмкость на нём будет С = См + Сэкв- И тогда общий вид
постановочного уравнения (2-105) сохраняется.
Для произвольной точки х, находящейся внутри тела, 0 < х < х,
соотношение (2-105) запишется так:
(Т(х, т) - Т(t))dx = /х* 10бщ(Т, х, О 8Т(С х) d С , (2-106)
или, с учётом выражения (2-102),
(Т(Х, Т) - Т(Т)) dT = /* I(T, X, О 6Т(С X) d С + ^ /х" 6Т(С X) dC • (2-107)
135

Заменив в (2-107) интеграл с I на другую форму повторного
интеграла, получим
1 гХбТ(^т) лу
+ ■—: I —т^- dC . (2-108)
Проведём дифференцирование (2-108) с тем, чтобы обратно, из
данной интегральной формы, получить дифференциальное уравнение
теплопроводности гиперболического типа. После первого
дифференцирования по х получим
ЭТ(хд) 1 fX^^ ул „^бТ(Сд) „ 1 8Т(С т)
—хсг. хжхЛ саоюсо—dc-j^f—it-.
или, учитывая направленность вектора скорости w3:
Х(Т,х)со(х)^ = -/хХС(Т,Оа)(0 ^d? +
Х(Т, х)со(х)5Т(х, т)
+ W V,—- . (2-109)
Дифференцируя (2-109) ещё раз по х, получим
136

—(л,(Т, х) со(х) —) = С(Т,х) ш(х)— + —— +
dxv v ' J v 7 dxJ v * ' v 7dt w3 dxdx
l 8t a
w3 dx dxv v 5 7 v "
или окончательно:
MT,x)<o(x)g + (g-i£)£WT,x)»(x)) =
ч , ч ят a(t, x) o)(x) 62t
C(T, x) co(x) — + } . (2-110)
7 dx w3 dx dx
Это и есть нелинейное уравнение теплопроводности
гиперболического типа, но со смешенной производной, в отличие от (2-101).
Физический смысл здесь в том, что «работает» собственно не изменение
градиента температуры т вдоль оси х, а его локальное изменение во
времени.
При постоянных X и С уравнение (2-110) принимает вид
-—+ ——— = -7-Т + (* —) Кх(х) , (2-111)
a dx w3 dx dx дх2 удх w3 dx7 xv 7 v }
где Kx(x) — = — H — - суммарная (традиционно ее называют
u)(x) я1ЛГ(х) /?2х(х)
«средней») кривизна изотермической поверхности в точке х; например, при
х = 0 на поверхности тела будем иметь Кх = 1/(1— х) - для
неограниченного цилиндра и Кх = 2/(1 — х) - для шара; Кх = 0 - для
плоского тела.
137

Для плоского случая (со(х) = 1) уравнение (2-111) ещё более
упрощается и известно в литературе как уравнение теплопроводности А.Д.
Чернышова
6Т , а б2Т а2т
—+ —-—Г = Я —7 • (2-И2)
dx w3 dx dx dxz
Заметим, что формально уравнение Чернышова (2-112) легко
переходит в наиболее широко утвердившееся уравнение Лыкова - Вернотта
(2-101) при tb = a/w32, если смешанную производную переписать
б2Т б2Т dr dx
= —г— и условно считать — = Wq. Тогда и получается, что
dxdx dx2 dx dr
некоторая неточность уравнения (2-101) должна исчезать в случаях, когда
скорости движения изотермических поверхностей (или термических
солитонов) в теле приближаются к скорости звука в нём, а это - случаи
очень тонких плёнок.
Таким образом, в задаче о составлении дифференциального
уравнения теплопроводности с учётом конечности скорости распределения
фононов наглядно проявила себя закономерность аддитивности термической
и механической интергии, которые выступили в данном физическом
процессе не только как физические величины одной размерности, но и
одной природы. Там, где происходит один вид взаимодействия (в данном
случае это термический процесс), и движение энергии имеет одновременно
и термическую (релаксационную), и механическую формы, интергии их
суммируются, означая этим, что они представляют собой
последовательность сопротивлений (особого рода, - временных) на пути
течению энергии. Именно таким способом мы можем учитывать конечность
скорости распространения любого вида взаимодействия.
Уравнение (2-105) - это интегральная форма гиперболического
уравнения теплопроводности. Благодаря аддитивности интергии I и 1м,
можно выделить отдельно член, интегрально учитывающий конечность
скорости фононов (звука) и который есть добавка к общему термическому
импульсу за всё время процесса т:
AH3 = tf-5Tdx = -tf d2o = - .
w3 w3 w3
138

Это же уравнение может быть также записано и в интегрально-
дифференциальной форме, - за отрезок времени dx:
8Н3 = — fftf 5T(x,x)dx
с тем, чтобы учитывать добавочное количество движения энергии на
каждый момент времени с последующей суперпозицией решений, при
численных расчётах.
Итак, с позиций основных физических принципов
термодинамической теории импульса нами проведено осмысление
известных уравнений теплопроводности, учитывающих конечность
скорости распространения фононов (звука). Показано, что эти уравнения
несут в себе некоторую неточность и по своей структуре, и в
коэффициентах. Получена более уточнённая форма нелинейного
дифференциального уравнения теплопроводности гиперболического типа
(2-110) со смешанной производной для тела произвольной конфигурации, в
т.ч. и для плоской, цилиндрической и сферической симметрии. Это
уравнение отличается от известного аналогичного уравнения
теплопроводности Чернышова наличием члена — ST/dr. Следует признать,
что уравнение Чернышова по своей физической сути более точное, чем
уравнение Лыкова - Вернотта. Уравнение Чернышова переходит в
последнее, лишь если скорость движения изотермических поверхностей в
теле приближается к скорости w3 фононов (звука). Поэтому, видимо,
уравнение Лыкова - Вернотта хорошо работает в быстротекущих процессах
лишь в очень тонких плёнках. Для более толстых тел следует использовать
либо уравнение Чернышова, либо ещё более уточнённое уравнение (2-110).
139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая работа явилась подробным изложением одного из
новейших направлений неравновесной термодинамики, основанного на
принципе импульса, описывающего не только системы равновесные и
квазиравновесные (стационарные), но и нестационарные, или - вдали от
равновесия. Это направление неравновесной термодинамики при несложном
математическом аппарате способно давать ощутимые практические
результаты при различного рода приложениях, и, что особенно важно, - для
сложных конденсированных систем. Так, в работе, в качестве примера
показано, что в почвенно-грунтовом комплексе (с протекающими в нём
совместными физико-геокриогенными процессами при промерзании)
льдонакопление, как нестационарный процесс образования структуры,
связано именно с температурной нестационарностью, а не просто с
температурным градиентом, что находит подтверждение в известных
экспериментах, которые не получали удовлетворительного объяснения в
«классической» теории неравновесной термодинамики Онсагера-
Пригожина.
Характерной особенностью настоящего подхода к неравновесной
термодинамике, и именно с позиции импульса, стало полное отсутствие
необходимости в использовании понятия энтропии. И можно вспомнить в
этой связи великого мыслителя К.Э. Циолковского, который называл
«энтропийный» путь в термодинамике неестественным. Он писал в 1905 -
«Не согласен с теми учёными, которые отчаялись объяснить явления
механическим путём. Мне кажется, новейший (энтропийный, - В.П.) путь
научного исследования продержится недолго: снова перейдут к
механическим основам» /34/.
И действительно, предложенная теория объединяет единым
математическим формализмом описание и термических, и механических
процессов, используя закономерность равенства импульса количеству
движения энергии, как вторую меру движения в классической механике
(первая мера - энергия). Оказалось, что, чтобы придти к
термодинамическому обобщению этого закона, необходимым стало свести
воедино два существовавших до этого раздельно и не очень широко
употребляемых принципа - принципа субстанциальности и движения
энергии, начало которого положено первым дипломированным русским
физиком-теоретиком Н.А. Умовым, и принципа сопротивления. Последний
в предлагаемой теории приобрёл смысл принципа временных
140

сопротивлений, т.е. «производящих» время любого нестационарного
процесса, который мыслится как связанный с движением энергии.
Неравновесную термодинамику на основе принципа импульса
можно считать естественным продолжением классической равновесной
термодинамики, поскольку оно смыкает на базе двух фундаментальных
законов природы (сохранения энергии и импульса) и механику, и
физическую термодинамику.
Список приведённой в конце книги литературы включает и
практические приложения настоящей теории для решения большого круга
технико-технологических проблем.
141

ОТЗЫВ проф. К.П. Станюковича
на рукопись статьи В.П. Ковалькова "О динамической антисимметрии
нестационарной теплопроводности и гравитационного падения тел", (поданой
в редакции журналов - сначала в ТВТ, а затем в ИФЖ; прим. ред.)
Рецензируемая работа - теплофизического уклона, касается совершенно
малоизученного вопроса о соотношении законов гравитационного и
теплового взаимодействия твёрдых тел. Автором обращено внимание на
своеобразную симметрию этих законов. Действительно, существование
вещества в природе обязано силам притяжения четырёх известных в физике
видов взаимодействия, включая гравитационное. С другой стороны,
динамическое состояние материи немыслимо без действия сил отталкивания,
обусловленных стремлением внутренней энергии перейти от более высоких к
более низким значениям потенциалов и распространиться в пространстве.
Следовательно, мы являемся свидетелями своеобразной симметрии между
распространением энергии (в рассматриваемом случае - в форме
кондуктивной теплопроводности) в пространстве и явлением гравитации.
Под таким углом зрения вполне очевидно, например, считать, что
процесс распространения тепла и действие гравитационного притяжения
являются главнейшими факторами естественного природного перемещения и
перераспределения масс конденсированного и газообразного вещества
различного химического состава и плотности в земных слоях.
В рукописи статьи проводится анализ нестационарной
теплопроводности в твёрдых телах одним из разновидностей интегрального
метода моментов, предложенного автором ранее. Показывается, что
нестационарное температурное поле, описываемое дифференциальным
уравнением параболического типа, фактически имеет вдоль любой линии
теплового потока своеобразный центр теплового возмущения, аналогичный
центру тяжести и определяемый через моментную функцию. Центр теплового
возмущения всегда имеет движение от граничной поверхности термического
воздействия в глубь тела. В случае рассмотрения, например, сопряжённой
задачи теплообмена двух тел с разной начальной температурой, введённых в
соприкосновение, центры теплового возмущения одновременно возникают в
двух этих телах и совершают движение от поверхности контакта в разные
стороны. На этом основании тепловое возмущение может быть уподоблено
квазичастице, причём - квазичастице фермиевского типа (если в общем виде
всегда рассматривать сопряжённую тепловую задачу).
Автором показано, что автомодельные решения нестационарного
температурного поля описывают движение центра теплового возмущения по
142

закону пропорциональности корню квадратному из времени, что
соответствует своеобразной симметрии для классического уравнения падения
тел в вакууме. Следуя акад. А.В. Шубникову, предложено такой вид
симметрии называть антисимметрией, а поскольку она относится ещё и к
процессу, то - динамической антисимметрией.
Любопытен и наводит на дальнейшие размышления вывод о том, что в
уравнениях движения термической квазичастицы и падающего тела имеет
место инверсия времени и пространственной координаты.
Статья рекомендуется к скорейшему опубликованию.
1985 год Лауреат Государственной премии,
Заслуженный деятель науки и техники РСФСР,
доктор технических наук, профессор
К.П. Станюкович
Примечание:
Статья была принята лишь к депонированию в ВИНИТИ с
изменением названия и с опущением всего, что касалось указания на эту
своеобразную симметрию тепла и гравитации, см. /11/, /12/.
143

РЕЦЕНЗИЯ
на научные работы В.П. Ковалькова - выступление Заслуженного деятеля
науки, доктора г.-м.н., профессора Б.А. Савельева на семинаре Ломоносова-
Умова Отделения естественных наук ПРА 15 января 1992.
Я могу высказаться на деятельность В.П. Ковалькова в Совете
криологии РАН, поскольку В.П. является членом возглавляемой мною
научной секции «Физика и химия мёрзлых горных пород и льда». За
последние восемь лет В.П. неоднократно представлял оригинальные
научные сообщения по физике геокриологических процессов. И всегда его
материалы вызывали активное обсуждение. Им найден новый, очень
эффективный термодинамический подход к описанию подобных процессов
- подход с позиций неравновесной термодинамики, позволивший получить
принципиально важные теоретические результаты по криогенной миграции
влаги и пучению.
В.П. пошёл дальше, чем просто описание физико-геологических
процессов разработанными им методами. Напротив, он использовал объекты
геокриологии для апробирования и совершенствования термодинамических
методов - методов «импульсной геометрической термодинамики
неравновесных процессов». Им подготовлена рукопись монографии на эту
тему, где показано, что известный в механике закон сохранения импульса
на самом деле более общ, феноменологически имеет свой аналог и в
диссипативных процессах. Геометрическое продолжение данного подхода
докладывалось и опубликовано в работах /28/, /29/, /38/.
Мне думается, что, исходя из факта эффективности получаемых
результатов, этот физико-математический аппарат может заслуживать
рассмотрения, например, на уровне известной неравновесной
термодинамики И. Пригожина.
Для ПРА будет иметь большое значение то, что В.П. продолжил
естественнонаучные взгляды Н.А. Умова на энергию как субстанцию,
дополнив их принципом сопротивления (которое - противоположная
энергии субстанция), а также положением К.Э. Циолковского и К.П.
Станюковича о замкнутости во Вселенной диссипативных и обратных им
(которые у В.П. названы концентративными) процессов. У В.П. найдено, что
сложное физическое пространство имеет дипольное (двудольное) строение,
привязано к структурам веществ и полям и «работает» на вызывание
движения энергии, как субстанции, причём в этом случае диссипативные и
концентративные системы обеспечивают противоположность свойств
измерений сложного физического пространства, что вызвано
144

существованием двух противоположного рода аттракторов в структуре
Вселенной.
Видятся также и большие мировоззренческие следствия импульсной
неравновесной геометрической термодинамики.
145

БИБЛИОГРАФИЯ
1. Путилов КА., Термодинамика. - М.: Наука, 1971. - 375 с.
2. Гухман А.А. Об основаниях термодинамики. - М: Энергоатомиздат, 1986. -383 с.
3. Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена /Пер. с англ. - М.: Энергия,
1975.-209 с.
4. Алексеев И. Энергетизм. - В кн. «Философская энциклопедия», т.5. - М.: Советская
энциклопедия, 1970, с.563.
5. Умов Н.А. Уравнения движения энергии в телах. Составл. и ред. А.С.
Предводителева и Д.Д. Иваненко // Избр. соч. - М.:Гостехтеориздат, 1950, с. 151-200.
6. Седов Л.И. Очерки, связанные с основами механики и физики // Серия «Физика»,
1983, №10. - М.: Знание, 1983. -62с.
7. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. -
М.: Наука, 1977. -552с.
8. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные
принципы /Пер.с англ. Мир, - М.: 1974. -304с.
9. Хваделидзе М.А. Означает ли энергоинформационный дуализм эквивалентность
взаимных преобразований энергии и информации в живых системах? - Изд. в АН
ГССР. Сер. биолог., 1975, т.1, №4, с.325-338.
10. Мещерякова Н.А. Категория устойчивости в методологии современного
естествознания. - Воронеж: Вор.ун-т, 1981. -175с.
11. Ковальков В.П. Интегральные закономерности распространения температурных
возмущений в твёрдых телах. - Ред. ж. теплофиз. высок, температур АН СССР, М.,
1988. -20с. -Деп. в ВИНИТИ 29.3.89 per. №2064-89 Деп.- Опубл. аннот. в ТВТ,
1989, №4.
12. Ковальков В.П. О закономерности движения центра порций внутренней тепловой
энергии в твёрдых телах при температурных возмущениях. - Ред. ИФЖ АН БССР,
Минск, 1989.- 16с. -Деп. в ВИНИТИ 02.08.89 рег.№5173-В89. Опубл. аннот. в
ИФЖ, 1990, т.58,№1.
13. Ковальков В.П. Постановка и решение задач теплопроводности в грунтах
интегральным методом тепловых моментов. -В кн.:«Мёрзлые грунты как
основание сооружений» / Труды ПНИИИС, т.44. -М.: Стройиздат, 1974, с.74-89.
14. Ковальков В.П. К расчёту движения границы фаз в телах с переменными
коэффициентами. - ИФЖ, 1974. т.26, №3, с.486-489.
15. Ковальков В.П. О продолжительности промерзания тел при переменной
температуре среды. - ИФЖ, 1984, т.46, №11, с.93-100.
16. Ковальков В.П. Продолжительность охлаждения тел. /Дисс. -М.: НИИстройфизики,
1969.-187с.
17. Ковальков В.П. К определению продолжительности охлаждения сплошных и
полых тел простой формы. -Холодильная техника, 1969, №3, с.37-42.
18. Лыков А.В. Теория теплопроводности. -М.: Высш. школа, 1967. -599с.
19. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.:Наука,
1975.-227с.
146

20. Ковальков В.П. Теплофизические проблемы замораживания мяса. - М:
ЦНИИТЭИмясомолпром, 1975.-35с.
21. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. - М: Наука, 1964. - 587с.
22. Швецов П.Ф., Ковальков В.П. Физическая геокриология. - М.: Наука, 1986. - 178с.
23. Ковальков В.П. Об экологически равновесном тепловом состоянии двух подземных
трубопроводов. - Транспорт и хранение нефти и нефтепродуктов, 1982, вып.9, с.21-
23.
24. Иваненко Д.Д. , Соколов А.А. Классическая теория поля. - М. - Л.:
Гостехтеориздат, 1949.-432с.
25. Планк М. Принцип сохранения энергии. /Пер.с нем. - М. - Л.: Гостехтеориздат,
1938.-235с.
26. Louis de Broglie. La thermodynamique de la particule isolee (ou Thermodynamique
cachee des particules). - Paris: Guathier - Villars, 1964. - 125p.
27. Оствальд В. Энергия и её превращения. / Пер. с нем. - СПб., 1890. -26с.
28. Ковальков В.П. Модификация дифференциального уравнения теплопроводности. -
ТВТ, 1983. т.21, №4, с. 759-764.
29. Ковальков В.П. Принцип геометризации при термодинамическом описании
криогенных физико-геологических процессов и явлений. - В кн.: «Инженерное
мерзлотоведение в гидротехническом строительстве». /Материалы конференций и
совещаний по гидротехнике. -Л.: Энергоатомиздат ЛО, 1984. с.50-54.
30. Сивухин Д.В. Термодинамика и молекулярная физика. -М.: Наука, 1979. -{Общий
курс физики, т.2). -551с.
31. Ковальков В.П. О феноменологии теплового импульса и его использовании при
описании неравновесных процессов на примере явления промерзания, протаивания
грунта. /Тезисы докл. П-ой Всес.конф. «Термодинамика необратимых процессов и
её применение». Черновцы, 18-20 сент.1984., ч.1 - Черновцы: АН СССР и ЧГУ,
1984. с.142-143.
32. Ковальков В.П. Описание взаимосвязанных криогенных физико-геологических
процессов методом импульса. /Тезисы докл. Всес. Совещ. «Геокриологический
прогноз при строительстве на осваиваемых территориях», Воркута, 23-25 апр.1985.
-М.:Научн. совет по криологии Земли АН СССР, 1985, с.250-252.
33. Ковальков В.П. Метод импульса при описании неравновесных криогенных физико-
геологических процессов. -Инженерная геология, 1986, №4, с. 101-114.
34. Циолковский К.Э. Второе начало термодинамики. -Калуга, 1914. -24с.
35. Ковальков В.П., Проняева Т.И. Интенсификация замораживания грунтов в
нефтегазовом строительстве. - М.: Информнефтегазстрой, 1981. -51с.
36. Ковальков В.П. О положении точки замера среднеобъёмной температуры в теле
после охлаждения. -Холодильная техника, 1970, №10, с.44-46.
37. Ковальков В.П. Кривошеий Б.Л. Обмерзание трубопровода охлаждённого газа на
обводнённых участках. - Строительство трубопроводов, 1978, №12, с.21-23.
38. Ковальков В.П. О закономерностях формообразования зоны промораживания
грунта сезоннодействующим охлаждающим устройством. - В кн. «Регулирование
147

температуры грунтов с помощью сезоннодействующих устройств». -Якутск: ИМ
СО АН СССР, 1983, с.58-71.
39. Ковальков В.П., Бучко Н.А., Васильев Л.Л. Рекомендации по применению
сезоннодействующих охлаждающих устройств в трубопроводном строительстве. -
М.: НИПИоргнефтегазстрой, 1984. -64с.
40. Ковальков В.П., Ионас Г.П. К расчёту длительности промывки измельчённых
продуктов. -В кн.: Труды ВНИРО, т.78. -М.: Пищепромиздат, 1971, с.59-66.
41. Ковальков В.П. Определение продолжительности промывки продукта в установках
непрерывного и периодического действия. -В кн.: Труды ВНИРО, т.95. -М.:
Пищевая промышленность, 1974, с.49-54.
42. Ковальков В.П., Швецов П.Ф. Интегральный показатель устойчивости почвенно-
грунтового комплекса криолитозоны. -В кн.: "Труды 5-ой Межд. Конф. по
мерзлотоведению", Норвегия, Трондхайм, 2-5 авг. 1988. - Трондхайм, V, I, р. 805-
808.
43. Ковальков В.П. Интегральный показатель процесса замораживания продуктов. - В
кн.: «Progress in refrigeration science and technology» /Труды XIII-го Межд.
Конгресса по холоду. -Вашингтон: IIF, 1973, р.371-375.
44. Ковальков В.П. Расчёт продолжительности замораживания продуктов сложной
конфигурации. - В кн. «Progress in refrigeration science and technology)) /Труды XIV-
го Межд. Конгресса по холоду, т.З. -489с.-.М.: Внешторгиздат, 1977, с.482-489.
45. Ковальков В.П. Метод определения коэффициента температуропроводности тел
простой формы в случае произвольных краевых условий при нагревании или
охлаждении. - Заводская лаборатория, 1975, №3, с. 295-297.
46. Ковальков В.П. Об уравнениях теплопроводности, учитывающих конечную
скорость фононов. - ИФЖ, 1997, т.70, №1, с. 130-135.
47. Базаров И.П., Николаев П.Н. Теория систем многих частиц. -М.: Изд. МГУ, 1984. -
312с.
48. Шейкин И.В. Температурный режим и глубины сезонного протаивания грунтов.
Авторефер. канд.диссертации. -М.: ПНИИИС, 1969. -22с.
49. Крылов А.Ф. Приближение баланса активных сил и сил сопротивления в
неравновесной термодинамике. /Тезисы докл. П-ой Всес. конф. «Термодинамика
необратимых процессов и её применение», Черновцы, 18-20 сент. 1984, ч. 1. -
Черновцы: АН СССР и ЧГУ,1984, с. 158.
50. Станюкович К. П. О несимметрии при возрастании энтропии в бесконечной
Вселенной. - ДАН СССР, 1949, т.69, №6, с. 793-796.
51. Иваненко Д.Д., Галиулин Р.В. Системы Делоне в пространствах постоянной
кривизны... - В кн.: "Космос, время, энергия. Сборник статей, посвященных 100-
летию Д.Д. Иваненко". Составит. В.Ю. Колосков. - М.: "Белка", 2004. -415 с, с.51-
62.
52. Токарев В.О., Косырев В.Е. Устройство для получения электрической энергии. -
Патент Росс. Федер. № 89788 от 31 июля 2009 г. и статья на основе этого патента:
"Универсальный энергетический модуль нового поколения" (к описанию патента). -
148

Федеральная служба по интеллектуальной собственности, патентам и товарным
знакам.
53. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. Пер. с франц. Предисл. проф. Н.А. Умова. - М., 1904.
-268 с.
54. Млодзеевский А.Б. Курс теоретической физики. Т.1. Термодинамика. - М.: Учпедгиз,
1939.- 160 с.
55. Логунов А.А. Релятивистская теория гравитации и принцип Маха. - Протвино:
ИФВЭ, 1995.-70 с.
56. Шипов Г.И. Открытое письмо к российским физикам. - Авторск. препринт, 2004.
-26 с.
57. Колосков В.Ю. Примечание к статье Д.Д. Иваненко. - В кн. "Космос, время, энергия.
Сборник статей, посвященных Д.Д. Иваненко". - М.: Изд-во "Белка", 2004, с.46-50.
58. Ковальков В.П. Нестационарная термодинамика и новые возможности в развитии
теоретической физики на её основе. - Доклад на регулярном семинаре проф. Д.Д.
Иваненко 17 июня 1993. - Кафедра гравитации, Физфак МГУ.
59. Светлов Ю.В., Ковальков В.П. Исследования тепломассообменных процессов на
основе макроквантового термодинамического метода. - Сб. "Труды третьей
международной научно-практической конф. совр. энергосб. тепловых технологий".
Том 1. - М.: Комитет по проблемам сушки..РосСНИО, 2008, с. 88-89.
60. Сивухин Д.В. Механика. - М.: Наука, 1974. - (Общий курс физики, т. 1). - 520 с.
149

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие проф. И.П. Базарова 3
Предисловие автора 4
Предисловие проф. В.Е. Косырева 5
ВВЕДЕНИЕ 6
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 16
ГЛАВА 1. ИСХОДНЫЕ ПРИНЦИПЫ, УРАВНЕНИЯ
И МЕТОД ТЕПЛОВЫХ МОМЕНТОВ
В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 19
§ 1. Универсальная форма основного дифференциального уравнения
теплопроводности параболического типа 19
§2. Нелинейная задача о продвижении границы фаз 32
§3. О задачах теплопроводности при фазовых превращениях 36
§4. Принцип термического сопротивления 41
§5. Инерция термическая («интергия») 43
§6. Моменты теплоёмкости в уравнении теплопроводности
с интегралами Стилтьеса 47
§7. Взаимосвязь характеристик и параметров инерционности
в процессе нестационарной теплопроводности 53
§8. Основное интегральное соотношение тепловых моментов 55
ГЛАВА 2. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ
ИМПУЛЬСА-КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
ЭНЕРГИИ 62
§ 1. Термический импульс-количество движения внутренней
тепловой энергии 62
§2. Интегральное соотношение термического импульса
по известным точнымрешениям задач нестационарной
теплопроводности 66
§3. Интегральное соотношение импульса точно описывает
полудискретные схемы аналоговых вычислительных машин 70
§4. Метод термического импульса интегральной постановки
и решения задач теплопроводности 73
§5. Трактовка обратимости и необратимости термического импульса .. .75
§6. Принцип движения энергии 77
§7. Всеобщий фундаментальный принцип сопротивления
(как субстанции) 82
§8. Термодинамическое представление кинетической энергии,
механического импульса 87
§9. Смысл температуры и нулевого начала термодинамики 91

§10. Движение и «антидвижение», диссипативные и концентративные
системы 94
- Определение центра термического возмущения 97
- О движении центра термического возмущения 99
- О физических системах 104
- Принцип эквивалентности в теории гравитационных
и тепловых процессов 106
- О симметрии уравнений движения в нестационарных
гравитационном и термическом процессах 108
§11. Принцип Даламбера 111
§12. Принцип импульса и феноменология дискретности 112
§13. «Пути» движения энергии и универсальность управляющих
законов Кирхгофа 117
§14. Термодинамические уравнения импульсного типа 122
§15. Соотношение импульсов-количеств движения различных
форм перехода энергии в сложной термодинамической системе
на примере промерзания тонкодисперсного грунта 126
§16. Об уравнениях теплопроводности, учитывающих конечную
скорость фононов 132
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 140
Отзыв проф. К.П. Станюковича 142
Рецензия проф. Б.А. Савельева 144
БИБЛИОГРАФИЯ 146

Научное издание
Вячеслав Павлович Ковальков
(8-926-412-83-32)
ПРИНЦИП ИМПУЛЬСА
В НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКЕ
Второе издание в качестве учебного пособия
для аспирантов и студентов технических
и физико-математических специальностей
Москва 2011
Подписано в печать 09.12.2010
Формат 70 х 100/16. Объём 9,5 п.л.
Тираж 1000 экз.
Отпечатано «Миттель-Пресс»
127254, г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6
Телефон 619-08-30
ISBN 978-5-903185-69-6
9Н785903Н1 85696

Неравновесная термодинамика на основе принципа
импульса - нестационарная термодинамика -
способна описывать процессы без ограничения на
скорость их протекания. Иначе, она предназначена
для применения к нестационарностям, в том числе и
«вдали от равновесия». Её можно считать естественным
продолжением классической равновесной термодинамики,
поскольку использованы известные фундаментальные
законы природы - всеобщий закон сохранения энергии
и закон сохранения импульса (из механики). Тем самым
произошло смыкание механики с термодинамикой
в первоначальном её смысле.
Предложенная теория, объединяя единым
математическим формализмом и термические
(вообще диссипативные), и механические процессы,
использует закономерность равенства (но не тождества!)
импульса количеству движения, которое мыслится как
"количество движения энергии". Такое стало логичным
при сведении воедино двух известных принципов:
принципа субстанциальности и движения энергии
по НА Умову и принципа сопротивления; последний в теории приобрёл смысл принципа
временных сопротивлений, то есть словно «производящих» время течения процесса -
и чем больше такое сопротивление, тем больше и это время.
Вячеслав Павлович Ковальков является заведующим Лабораторией термодинамики в
Государственном учреждении «ОТДЕЛ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ» на правах научно-
исследовательского института, который первоначально был при Президиуме АН СССР, затем
РАН. Возглавляет Институт теоретической физики им. проф. Д.Д. Иваненко (при Ломоносова-
Умова Отделении естественных наук ПРА) с направлениями исследований: термодинамика,
механика, теория гравитации, пространства, времени, движения.
«Супротив течения»