П. А. Шмелев
ТЕОРИЯ РЯДОВ
в задачах и упражнениях
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
высших технических учебных заведений
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1983

ББК 22.161.5
Ш72
УДК 517.52
Рецензенты
кандидат физ.-мат. наук доцент В. М. Говоров и кафедра высшей
математики МФТИ (зав. кафедрой — проф. Л. Д. Кудрявцев)
Шмелев П. А.
Ш72 Теория рядов в задачах и упражнениях: Учеб.
пособие для студентов втузов. — М.: Высш. шк., 1983.—
176 с, ил.
35 к.
Задачник составлен в соответствии с новой программой по курсу
высшей математики для технических вузов. В нем подобраны задачи по
широкому кругу вопросов, связанных с теорией рядов (числовые ряды;
функциональные ряды; ряды Фурье и интеграл Фурье). Рассматриваются основные
методы решения задач по теории рядов.
t 1702050000--172 ББК 22.161.5
Ш - 58—оо С1-п
001(01)—83 517.2
© Издательство «Высшая школа», 1983

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга представляет собой расширенный задачник
по одному из важнейших разделов математического анализа —
теории рядов и предназначена для студентов втузов, в том числе с
повышенной математической подготовкой, инженеров, а также для
лиц, желающих пополнить свое математическое образование.
В книге подобраны задачи и примеры, достаточно полно
иллюстрирующие различные положения теории рядов и методы решения
задач с их использованием. Она содержит три раздела: «Числовые
ряды», «Функциональные ряды», «Ряды Фурье. Интеграл Фурье».
Каждый раздел состоит из параграфов. В начале каждого параграфа
приводится теоретический материал (определения, теоремы, формулы),
необходимый для сознательного решения последующих задач; затем
подробно разбираются типовые примеры и задачи; после этого даются
упражнения для самостоятельного решения. Все задачи и
упражнения снабжены ответами, а в ряде случаев — указаниями или даже
решениями.
Формулы, приведенные в книге, на которые имеются ссылки,
имеют сквозную нумерацию. Однако часть формул, на которые имеются
ссылки только в данном параграфе и которые, как правило,
фиксируют промежуточные результаты в решении примеров вводного
текста, обозначены прописными буквами русского алфавита (в каждом
параграфе эти обозначения повторяются).
В книге приняты следующие обозначения:
N—множество натуральных чисел,
Ζ — множество целых чисел,
R — множество действительных чисел,
^, ► — значки, означающие соответственно начало (окончание)
доказательства теоремы или начало (окончание) решения примера
(знак &> ставится по мере надобности),
• — значок, заменяющий слово «Указание» (см. в ответах).
Подобная структура книги делает ее особенно полезной для
студентов вечернего и заочного отделений.
Всем работающим над книгой читателям автор советует, прежде
чем приступать к самостоятельному решению примеров и задач,
внимательно прочитать вводный текст соответствующего параграфа,
запомнить приведенные определения, теоремы и формулы, разобрать
рассмотренные в тексте примеры.
з

В процессе работы над задачником автору оказали большую помощь
своими советами и указаниями профессор С. И. Похожаев,
профессор М. Л. Краснов, доцент Л. А. Кузнецов (МЭИ). Всем им автор
выражает свою глубокую благодарность.
Автор также глубоко и искренне признателен рецензентам
книги — докторам физико-математических наук, профессорам
Л. Д. Кудрявцеву, Б. И. Голубову и кандидату
физико-математических наук, доценту В. М. Говорову за подробные и обстоятельные
рецензии, которые позволили автору во многом улучшить изложение
материала.

ГЛАВА I
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. РЯД И ЕГО СУММА
Пусть задана последовательность чисел %, а2, ..., ап,... . Если ее члены
соединить знаками «+», то получится выражение вида
Ят 4- «г + аз -Ь ·.· 4-^4- ...»
называемое числовым рядом и сокращенно обозначаемое символом
23 а*· <*)
Числа а±, <*>%> ».»> β«» ... называются членами ряда; /z-й член ряда называется
также общим членом ряда. Ряд считается заданным, если задано гаравило, позволя
ющее по известному номеру его члена η записать этот член ряда. Чаще всего
ряд задается формулой общего члена ап = f(n)t
Сумма η первых членов ряда называется п-й частичной суммой ряда и
обозначается символом Sn:
Sn β «ι + «2 + «з 4- ... + ап.
Если существует конечный предел S = lim Sn, το ряд называется схо-
П-*оо
дящимся, а число S — суммой ряда. В этом случае пишут
оо
Таким образом, символом (1) обозначается как сам ряд, так (в случае
сходимости) и его сумма (см. [12], с. 546).
Ряд называется расходящимся, если limS^ не существует (в частности,
если limSrt=oo).
Ряд
ат+\ + ат+(г т" · · · + ат+п "г · · · ==г J£j ат+п>
полученный из ряда (I) отбрасыванием первых его т членов, называется т-м
остатком ряда (1).
Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через Rmi то, очевидно,
Справедливы следующие теоремы:
1. Отбрасывание от ряда или присоединение к ряду любого конечного числа
начальных членов не меняет его сходимости или расходимости,
2. Если ряд (1) сходится, то предел его т-ео остатка при /и -*■ оо равен
нулю, т. е. lim Rm = 0.
5

3. Если члены сходящегося ряда (1), имеющего сумму S, умножить на число
оо
λ, то полученный ряд ^ (λαΛ) будет также сходящимся, а число \S — его
/ι=1
суммой.
4. Умножение членов расходящегося ряда на число К Φ 0 не нарушает его
расходимости.
Одна из важнейших задач теории числовых рядов — разработка методов
вычисления их сумм. Точное вычисление суммы ряда, если оно возможно,
почти всегда связано с громоздкими вычислениями. Поэтому чаще всего
ограничиваются приближенным вычислением суммы ряда, полагая S ^ Sm и допуская
оо
при этом ошибку, равную сумме ряда^ ат+п- Но прежде чем браться за вы-
п=\
числение суммы ряда, нужно выяснить, сходится или расходится данный ряд,
ибо расходящийся ряд суммы не имеет. При этом особое значение приобретает
задача об исследовании ряда на сходимость.
Приведем теоремы, выражающие общие признаки сходимости числовых
рядов.
5. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (1) сходится, то
предел его общего члена равен нулю:
lim ап = 0.
П-^-оо
Отсюда вытекает, что если lim ап Φ 0, то ряд расходится,
/2->оо
Если же lim ап = 0, то о сходимости ряда еще ничего нельзя сказать, но есть
П-+оо
смысл исследовать ряд дальше.
Примером расходящегося ряда, удовлетворяющего необходимому признаку
сходимости, служит так называемый гармонический ряд
оо
ι ι ι Чп ι
ι+-γ+—+· ■ ■+—+ ■ · ·=2^~·
я=1
Здесь lim — = 0, но ряд расходится. Это вытекает из того, что, как это можно
/Z->oo П
показать, Sn -*- оо при η —>■ оо.
6. Критерий Коши. Для того чтобы ряд (1) сходился, необходимо и
достаточно, чтобы для всякого е> 0 существовало число /V> 0 (зависящее только от
ε) такое, что для всех η> Ν и любого натурального ρ было справедливо
неравенство
Κ+ϊ + ап+.£ Η + оп+р\ < ε.
Этот признак сходимости ряда имеет большое теоретическое значение, но
практическое его применение связано с большими трудностями. При
использовании критерия Коши для исследования сходимости рядов следует иметь в
виду, что упомянутое в нем число N не должно зависеть от р.
Критерий Коши можно применять и для доказательства расходимости
некоторых рядов.
Если найдутся хотя бы одно значение ε.> 0 и одно натуральное ρ такие,
что для любого Л/> 0 найдется п> Ν, но \ап+1 -f an+2 -f ... -t an+p\ > ε, то
оо
ряд ^ ап будет расходящимся.
Пример 1. Известно, что ряд начинается членами -γ + -j- + ~т-+
-f-g-4-·" Написать формулу общего члена ряда в наиболее
простой форме.
6

<4 Нетрудно заметить, что числители данных членов являются
квадратами натуральных чисел, а в знаменателях стоят натуральные
числа начиная с 2. Простейшая формула общего члена ряда поэтому
будет иметь вид ап = п2/(п +1).
Замечание. В этом примере требовалось написать формулу общего
члена ряда именно в простейшей, наиболее «прозрачной» форме. Это не
случайно, ибо построить ряд единственным образом по нескольким его начальным
членам невозможно. Пусть, например, даны первые три члена ряда 1 -f 2 -f-
4' 4 ... . Нетрудно заметить, что это нулевая, первая и вторая степени двойки.
Поэтому простейшей формулой общего члена будет формула ап = 2/г~1. Однако
можно составить еще сколько угодно различных формул, которые при η = I,
2, 3 дают соответственно первые члены (1, 2 и 4) данного ряда, как, например,
β (п + 1) .
я2 — га + 2 ~7 —, пфЪ, 8
ап =
" лг2 — 7/2+14
1, я = 5,
Ряды, задаваемые первыми двумя формулами, расходятся (для них не
выполняется необходимый признак сходимости), а третий ряд сходится (в этом можно
убедиться с помощью признака сравнения II с табличным сходящимся рядом
°° 1
У) п2 у этот признак рассмотрен в § 2).
/2=1
оо
Пример 2. Показать, что ряд V удовлетворяет необходи-
мому признаку сходимости, но является расходящимся.
<4 Запишем ряд в развернутом виде:
^J n jm^Yn У 2 УЗ У 4 У η
/1=1 Г2=1
Необходимый признак сходимости выполняется, так как
lim ап = lim —— = 0.
П->оо П-*оо у η
Для доказательства расходимости данного ряда оценим его п-ю
частичную сумму:
Sn = 1 + — + —— + .. .Η—— >
γτ уз у η
1,1,1, ,1 η /.-.
У η У η У η Уп γη
η раз
итак, Sn >> V~n. Очевидно, что при η ->оо У η ->οο, а следовательно,
Sn ->oo. Ряд расходится.
Пример 3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда
Σ
/г=1
п
(п + 1)2*'

<4 Зададимся произвольным числом ε > 0 и докажем
существование такого числа N > 0, чтобы из справедливости неравенства
п> N вытекала справедливость неравенства
Κ+ι + αΛ+2 + · · · + βΛ+Λ<· (Α)
при любом натуральном р. Это значит, что число N не должно
зависеть от р\ В нашем случае
п+1 , п + 2
(п + 2) 2п+1 (я + 3) 2Л+2
4- "+ρ 1 <-_L J. -ί— Ч l·—i- =
~ (/ι4ρ+1)2Λ+ρ| 2Λ+1 2Λ+2 2Λ+^
(1/2*·") (1 — 1/2?) \_(Λ \\ 1
= -ίΐ--)
1 — 1/2 2Λ V 2? / 2η
Итак, при любом ρ \αη+ί + αη+2 + ... + αη+ρ\ < ^ Так как
неравенство 1/2"<: ε равносильно неравенствам 2" > 1/ε и м > log2 (1/ε),
то, полагая
;vJlog2(^)'eCJW е<Ш> (Б)
( 1, если ε > 1/2,
заключаем, что из справедливости неравенства п> N вытекает
справедливость неравенства 1/2* <с ε, а следовательно, и справедливость
неравенства (А) при любом р. Отсюда вывод: для любого числа ε > О
существует число N (вычисляемое по формуле (Б)), зависящее от ε
и не зависящее от р, такое, что неравенство п> N влечет за собой
справедливость неравенства (А) (при любом р). В силу критерия Ко-
ши данный ряд является сходящимся»
Пример 4. С помощью критерия Коши доказать расходимость
ряда
Σ
2п
^ В данном случае
k+i + ^+2+--- + ^J=^ (В)
2/2 + 1 2/г+З 2п+2р—1
Нужно выяснить, существуют ли числа ε > 0 и натуральное ρ такие,
чтобы сумма (В) была не меньше ε. Нетрудно догадаться, что,
полагая ε = 1/4, а р = 2п, имеем
Κι + <V2 + · · ■ + ап+р\ = —L- 4 —з- + ■ · ■ + —Ц >
2/г41 2/г43 6/2—1
> =2п = —>ε= — .
6п 6п 6п 6/г 3 4
2п

Отсюда вследствие критерия Коши делаем вывод, что данный ряд
расходится.
Пример 5. Найти сумму бесконечной геометрической
прогрессии а 4- Щ + &Ф + ··· + Щп~х + ···> а Φ 0. (Термином «бесконечная
геометрическая прогрессия» мы будем называть как
последовательность a, aq, aq2> ..., aqn~x, ...5 так и ряд, составленный из ее членов;
в каком смысле употребляется этот термин, всегда ясно из контекста.)
<4 Сразу заметим, что при \q\ > 1 \imaqn~1 Φ 0. Следовательно,
необходимый признак сходимости не выполняется; геометрическая
прогрессия в этом случае расходится. Пусть \q\ < 1. Так как сумма
η первых членов геометрической прогрессии подсчитывается по
формуле Sn = α(1 — qn)/(l — q), то нетрудно заметить, что limS^ при
П-г ОО
η ->оо существует и равен а/(\ — q). Отсюда следует вывод:
геометрическая прогрессия есть ряд, расходящийся при \q\ > 1 и сходящий-
оо
ся при \q\ < 1; в последнем случае V aqn"x =jzr-
ОО
Σ 2 (га2 -|- Зп + 3)
Я(П+|,(П + 2Н«+3) ·
^ Часто для нахождения суммы ряда, общий член которого —
рациональная функция от п, полезно разложить общий член ряда
на простые дроби. Поступим здесь именно так:
2 (/г2 + 3/2 -f 3) __ п(п+ \) + (п + 2)(п + 3) _
η (η + Ι) (η -f 2) (η + 3) η (η + 1) (λ + 2) (я + 3)
^ 1 , 1 ^ (^2+ Ι)-η (η + 3) - (η + 2) ^
й(л + 1) (λ + 2)(λ + 3) λ(λ+1) (я + 2)(л + 3)
_ J 1_ 1 1_
η η+ \ η + 2 η + 3
Выпишем теперь столбцом п первых членов ряда, расположив
слагаемые с одинаковыми знаменателями друг под другом:
1.1 1
б
j !_
5 " 6 7 '
_ J l_ , J 1_
α& ~ 5 6 7 8*
α,> -----
ο3 -
0, -
2
3 + 4 5 *
3 4 5
4—ί- +
9

1 J , 1 1
η ό /2 — 3 /2 — 2 /2—1 η
1 1,1 1
α*-2 = : Η
/Ι — 2 /2—1 /2 /2+1
_ _1 1_ 1 1__
ββ~1 ~~ η— Ι η η + \ η +2*
1 1,1 1
/2 /2 + 1 ' /2+2 /2+3"
Сложив выписанные члены ряда, получим:
1 1 1
S„=l +
3 /2+1 /2+3
S = limS^ = lim fl + 4" 7-; У = 4 ·
/i->oo /i->oo\ 3 /2 + 1 «+3/ 3
Пример 7. Доказать расходимость ряда '
2ln(l+^)=ln2+1n|+lnA + lnA+...
4 Запишем общий член данного ряда в виде
In f 1 +±\ = \п!±±}- = \п(п+ 1) — Inn;
так как
ах = In 2 — In l,
а2 = In 3 — In 2,
а3 = In 4 — 1η3,
α«-ι = Inn— In (η— Ι),
αβ = In (η + 1) — In я,
то Sn = α! + α2 + ... + ^τι = 1η(/ι + 1). Ясно, что limSn =00. Ряд
суммы не имеет и является расходящимся.
Упражнения
К Даны формулы общих членов рядов:
2 /22 + 1 .ч .π
а) ап = —ζ= ί б) ал = cos η π sin — ;
Ϋ2η + 1 2n
в) а„~ 2 + (71)Я ; г) a, = i^^A; всюду /г=1,2,3, ....
«1 Ял ]А/2
10

Написать соответствующие ряды в развернутом виде. (По
определению, (2л — 1)!! = 1 · 3 · 5 ... (2л — 1); (2л)!! = 2.4-6... (2л);
О!! = 1.)
2. Написать возможную (простейшую) формулу общего члена
для следующих рядов:
в)
д)
е)
3 7 15 31 ' ^1-2 1-2-3 т 1·2·3·4 ^
sin (π/2) sin (π/4) . sin (π/6) sin (π/8) .
/2" /5" У"б" VW
2 + T + ^ + F + i+-'-)T + T + T+iH
+-Ϊ+····
3. По первым трем членам рядов 1) 1 + 3 + 7 + ...; 2) 1 + 3 -+■
+ 9 + ... восстановить их общие члены сначала в наипростейшей
форме, а затем в виде а) ап = an2 + bn + с; б) 6П = —5—г-;—;—;
. an + b
В) Сп = ρ—г.
4. Показать, что ряд "V ν п. удовлетворяет необходимому приз-
наку сходимости, но тем не менее расходится.
5. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих
рядов:
оо оо оо
а) у«±1; б) У s-*^-; в) У
я=1 п~1 я=1
cos /г*— cos (п+ \) χ
η
(χ — действительное число).
6. а) Опровергнуть следующее «доказательство» сходимости гармо-
°° I
нического ряда "V —.
Воспользуемся критерием Коши; тогда
1 +-ί^ + ··· +
/ι-f-l η +2 Л + /7
я+1 п+ 1 л+1 л + 1
<
Π

Так как при любом фиксированном ρ lim —^ = 0, то для ЛЮбО-
го ε> 0 найдется такое число N > О, что для всех п> N и любом
натуральном ρ будет справедливо неравенство р/(п + 1) <ε, а сле~
довательно, и подавно |ая+1 + а„+2 + ... + ап+р\<: ε, что и
доказывает сходимость данного ряда.
б) Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
гармонического ряда.
Найти суммы или установить расходимость следующих рядов·
ОО "О СЮ
7. V^. 8. V In2"2. 9. V
я=] n—i n=l
оо сю сю
^ я + 1 \ η J jiJ4n*-l j£№
1
л —3)(4л + 1)·
f7=l Al=l Π=\
ОО ЭО СЮ
13. V ! . 14. У -«-. 15. У nq"-K
16.
/1=1 П—\ П—\
1
Σ—. 17. У,/г2<Л 18. У
2» ^J ^ " (и + 1) (η + 2) (η + 3)
«=/ г<= f /2=1
ОО
1
19 V 5 /i« -+ /ι — 1 20 ^ 3*+4* 2, ^
a=l «=1 «—1
сю оо сю
22 V 2n + 1 23 У Зя* + 3" + ' 24 V n + 1
^ я» (« + l)a ' " ^ «»(«+!)» ' ' Jjn2(« + 2)2'
«=1 n=l я=1
σο σο
25· Harct§2-b· 26· I]arct^·
σο
27. У(^+2_2^ТТ + ^Г)·
оо
28. Доказать, что если общий член ряда^я^ представим в форме
Яп = Ьп+1 — bn, то сумма ряда подсчитывается по формуле S =
= \'\mbn — &!. Пользуясь этой формулой, найти сумму ряда
ГС — 1
12

Вычислить суммы следующих рядов:
3 1
nh
V п+3 — Уп Уп + Ь—Vn + l
оо
31. V.arctg ! . 32. V
30. γιη*2+5,+6
. V(n+ ψ— 1—V«2 — 1
arcsm^--^ ' r
. n(n+l)
■ Σ(sin^r«cosli-n)· 34· Σ1о^зч -io^+ w·
η радикалов
γΓα+ ya+l/a+-..+ Va j
η—1 радикалов
§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Пусть задан ряд
^ап (1)
с положительными членами ап> 0. Нужно ответить на вопрос, сходится он
или расходится. Следующие достаточные признаки позволяют судить об этом.
Признак сравнения I. Пусть даны ряды (1) и
оо
с положительными членами, причем для всех достаточно больших η ап < Ьп.
Тогда
из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Сравнение исследуемых рядов производится обычно с табличными рядами:
оо
2 aq*1*1, αφ 0 (геометрическая прогрессия, сходящаяся при М<1 и
расходящаяся при ]q\ > 1),
ОО J
2 -jr (расходящийся гармонический ряд),
ОО j
2 —β (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при р> 1 и расходя-
щийся при ρ <: 1).
13

Признак сравнения II. Исследуется на сходимость ряд (1). Известно
поведение ряда (2). Если существует конечный и отличный от нуля предел ΙΊπ&ί,
П-+ооЬп
то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если
же lim Ък = 0, то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
П->оо Ьп
Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквивалентны при η ->
-*■ оо (ап — Ьп), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.
Признак Даламбера. Если существует число q<. 1 такое, что для всех
достаточно больших η справедливо неравенство ίϋ±1 <; qy то ряд (1) сходится;
ап
если же начиная с некоторого номера отношение f±ti > 1, то ряд (1) расходится.
На практике удобнее пользоваться более слабым признаком Даламбера
в предельной форме.
Если существует предел lim n+1 = р, то при р< 1 ряд (1) сходится,
п-+оо ап
а при р> 1 — расходится (при ρ = 1 ряд может сходиться или
расходиться — в этом случае вопрос о сходимости ряда остается открытым).
Признак Коши (радикальный). Если существует число q<. 1 такое, что
пг—
для всех достаточно больших η справедливо неравенство у ап <: q, то ряд (1)
пг—
сходится; если же начиная с некоторого номера у αΛ> 1, то ряд (1) расходится.
На практике чаще пользуются признаком Коши в предельной
форме: если существует предел ^т ]/αβ = ρ, то при р< 1 ряд (1) сходит-
П->оо
ся, а при р> 1 — расходится; (при ρ = 1 возможны случаи как сходимости,
так и расходимости ряда).
Заметим, что признак Коши сильнее признака Даламбера, так как предел
п/— αη+ι
lim у ап может существовать, а предел lim —— — нет. Если же предел
п—>оо /г-»оо а
an+i аГ—
lim существует, то существует и предел limy ап , причем оба эчи пре-
п-><х> ап п->оо
дела оказываются равными. Отсюда вытекает, что если применение
одного из предельных признаков (Даламбера или Коши) не дает ответа о сходи-
αη+ΐ п/—
мости ряда (один из пределов, lim или lim у ап , равен единице), то при-
п-*оо ап п->оо
менение другого признака также бесполезно.
Обобщенный признак Коши. Если существует верхний предел
МтУ ап
= р, то при р< 1 ряд (1) сходится, а при р> 1 — расходится. (Понятие
верхнего предела разъясняется в примере 20, см. также [12].)
Интегральный признак Коши (основан на сравнении рядов с
несобственными интегралами). Пусть общий член ряда (1) ап — f(n)> 0. Если функция
f(x), принимающая в точках χ — η, η = 1, 2, 3, ... значения f(n), монотонно
убывает в некотором промежутке а< х<. оо, где а > I, то ряд (\) и несобствен-
оо
ный интеграл Г f(x)dx сходятся или расходятся одновременно (см. [9], [12] или
[24]).
Сразу же заметим, что функцию f(x), принимающую в точках χ = η
значения f(n), чаще всего удается построить с помощью замены натурального η
в выражении f(n) на непрерывно изменяющийся аргумент х. Так, например,
если f(n) = l/n2, Tof(x) = Vx2; если f(n) = 2п1 пп, то /(*) = 2*1 χ* и т. п.
Однако не всегда таким путем можно получить функцию f(x). Если, например, f(n) =
= XIп\, то в этом случае нельзя заменить η на х, так как символ х\ при нецелых
14

х лишен смысла. Это, однако, не означает, что не существует функции /(*),
принимающей в точках χ = η значения f(n). Напротив, она всегда существует, но
ее аналитическое выражение не всегда просто найти.
Достаточный признак расходимости ряда. Пусть члены ряда (1)
неотрицательны. Если существует предел lim пап φ О, то ряд (1) расходится.
Более тонкими, чем перечисленные, являются следующие признаки
сходимости (расходимости) рядов.
Признак Раабе. Если существует число г>1 такое, что для всех достаточно
больших η
V Ол+1 /
то ряд (1) сходится; если же начиная с некоторого номера Rn <: 1, то ряд (I)
расходится.
Предельная форма признака Раабе: если существует предел
ни я(-2а- _ λ = R>
то при R> 1 ряд (1) сходится, а при R <1 — расходится; при R = 1 признак
ответа о сходимости ряда не дает.
Признак Бертрана. Если существует предел
lim [ η f—— — l) — ll In я = В,
то при B> 1 ряд (1) сходится, а при B< 1 — расходится.
Признак Гаусса. Если для ряда (1) отношение αη/αη+ί может быть
представлено в виде
ап+1 η ηΡ
где р> 1, \Qn\ <: Μ (А, В, Μ, ρ — постоянные), то а) при А> I, б) при Л =
= 1, £> 1 ряд (1) сходится. Если же А < 1 или /4 = 1, α В <: 1, тб) ряд (I)
расходится.
Если, в частности, отношение an/an+i можно представить в виде
ап f В С / 1 \
—2-=1+—+ -Г + 0 — где
fl« , , Β , С
°Ш'
вл+ι я — я (η — α)2 ι -2 /1
где В, С и а — некоторые константы, а о(\/п2) — бесконечно малая высшего
порядка малости по сравнению с \/п2 при η ->- оо, то при £> 1 ряд (1) сходится*
а при В < 1 — расходится.
Для случая, когда отношение ап1ап+\ представляет собой рациональную
функцию от аргумента η
ап _n™ + Cinm-i+ ···+£?„
«л+ί /ι" + 6ιΛ*-ι+...+6ΙΙΙ *
признак Гаусса перефразируется так: при с% — bi> 1 ряд (1) сходится, а при
€ι — ЬЛ <: 1 — расходится.
ос
Логарифмический признак. Ряд 2 αη с положительными членами схо*
дится, если существует число q<. 1 такое, что для всех достаточно больших
15

η справедливо неравенство —Ξί?— < q. Если же начиная с некоторого номера
1η(1/α„)
In nlIn (\lan) > 1, то данный ряд расходится.
оо
Признак сравнения Кош и. Если члены ряда ^ ап положительны и моно-
тонно убывают с возрастанием п, то этот ряд сходится или расходится одно-
оо оо
временно с рядом ^ 2fta2fe (или 2 mk(Xmk » г^е т — любое натуральное число).
k=\ fc=i
Замечания. 1. При оценке факториалов больших чисел и рычислении
пределов, содержащих п\, часто бывает полезна формула Стирлинга
п\ - УъГ пп+1/* е~п9
которая означает, что lim — = 1.
η-*οοΥ 2πηη+ /2 е-п
Применение формулы Стирлинга при исследовании рядов на сходимость будет
рассмотрено в примере 15.
2. В дополнение к признакам сравнения скажем, что никакой сходящийся
(расходящийся) цяд не может служить универсальным средством для
установления путем сравнения с ним сходимости (расходимости) других рядов [24J.
оо
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд > J .
^J (n+ 1)3"
«^ Сравнивая общий член данного ряда с общим членом сходя-
оо
щейся геометрической прогрессии у>—» гДе 9 = —< 1»
Замечаем 3 3
ем, что < — при всех п. Следовательно, исследуемый ряд
сходится по признаку сравнения I.
оо
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Vj —2 .
п2 1
<4 Замечаем, что lima„=lim— =—=^0. Необходимый
/г-»оо η->·οο 2η -f- 1 2
признак сходимости не выполняется. Ряд расходится.
оо
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд \ .
jfeeA In η
<4 Так как -— > — для η > 2, а общий член расходя-
\п η η η
щегося гармонического ряда, то в силу признака сравнения I данный
ряд расходится.
ОО j
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд "V —г-.—.
^ш4 η~τ~\ϊΐη
п=2
^ Сравнение с гармоническим рядом по признаку сравнения I
здесь ничего не дает, так как п , {ш < ~, и никакого
заключения о сходимости данного ряда сделать нельзя. Воспользуемся приз-
№

наком сравнения II с тем же гармоническим рядом. Имеем: ап =
= \/(п + \пп)у Ьп = 1/п, следовательно,
,. ап ,. l/(n + In η) ,. 1 ι / л
lim —— =hm = hm = 1^0.
«->oo &л ГС-*оо Μ Π П-*оо (In Λ)/Λ -f- 1
Получен конечный и отличный от нуля предел. Сравниваемые ряды
ведут себя одинаково, и так как гармонический ряд расходится, то
расходится и данный ряд.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд V 1η "Ζ*" ■
4 Так как
, гс4 + 2гс2 , /, , 2п2—1\ 2п2—\ 2
ln(l +
я4 + 1 V я4 + 1 / "4 + 1 п2
(знак ~ означает эквивалентность последовательностей при η -νοο),
то данный ряд ведет себя (в смысле сходимости) так же, как ряд
~ 2
\* -g. Последний сходится как обобщенный гармонический с пока-
зателем ρ = 2> 1. Следовательно, сходится и данный ряд.
~ γι
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд \ ^.
4 Применяем признак Даламбера. Здесь
ал = 2"/л!, ап+1 = 2^/(п+ 1)!,
Р= lim-2^ - lim 2"+l п] = lim —— = 0<1;
следовательно, ряд сходится.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
2 (из)"
Щ Общий член данного ряда представляет собой п-ю степень
некоторого выражения, поэтому удобнее всего применение признака
Коши^в предельной форме:
ι- п + 1 1 ^ ι.
= lim —ί— = — < 1;
р= lim v^ol = lim ι/ —Γ = li.._
У \3n+2j 3/1-Ь 2 3
так как ρ < 1, то данный ряд сходится.
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд V 1п .
гс=2
^ Применим интегральный признак Коши. Так как /(/г) =
= 1/(/г1плг), то функцией, принимающей в точках χ = η значения
/(η), будет функция /(#) = l/(xlm;). Она непрерывна в промежутке
17

2 < #<оо и монотонно в нем убывает. Вычислим несобственный
оо
интеграл f f(x)dx:
оо Ь
f-Ji-^lim Г^^ = lim [lnln&~!nln2] = co.
J х\пх ь-*оо J In д: ь-*-оо
2 2
оо
Интеграл f f(x)dx расходится. Из его расходимости следует
расходимость данного ряда.
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд V пП{2П)\\ *
<4 Если применить к данному ряду признак Даламбера, то, как
нетрудно проверить, ρ = lim ^«±1 = ι. Следовательно, признак
rt-*oo аП
П. /
Даламбера ответа не дает. Но в этом случае и limy ап = 1. Следова-
тельно, применение признака Коши также бесполезно. Интегральный
признак Коши здесь применить затруднительно, так как общий член
ряда содержит факториалы.
Попытаемся использовать признак сравнения I. Оценим общий
член данного ряда:
_ (2/2— 1)11 = 1-3-5 ... (2/2— 1) __ J_ # JL . JL . J? 2/2— 1
п~~ /2(2/2)!! ~~ /2-2.4.6... (2/2) ~~ л " 2 " 4 " 6 " 2/2*
Увеличивая в каждом множителе начиная со второго числители и
2/2—1 ^ 2/2 ,
знаменатели на единицу и учитывая, что ~ <С у-ту (п0_
скольку 4п2 — 1 «< 4ft2), получаем неравенство
/1 Λ 1 А 2" х
/2 3 5 7 2я + 1 2 1-3-5... (2/2— 1) (2/2 + 1)
«.2-4.6...(2/2)
1
п2ал(2и+ 1)
Так как 2/2+ 1 > ft, то и подавно ап От—» откуда я! < -γ, и, еле
/2 £Ζ^ *2
довательно, αΛ <-——. Но ряд с общим членом —т=- = ^го схо-
Л]//! /2 У /2 ^/^
дится как обобщенный гармонический с показателем р = 3/2>1.
Следовательно, по признаку сравнения I, сходится и исследуемый
ряд с общим членом ап.
, „ ~ In2/г
Пример 10. Исследовать на сходимость ряд > лг ·
*d у 3/г5—1
<4 Нетрудно убедиться в том, что данный ряд (в смысле сходи-
18

In2/?
конечен и от-
мости) ведет себя так же, как и ряд "V τρζ. (lim ^
личен от нуля).
Исследуем на сходимость второй ряд. Представим его общий член
в виде произведения общего члена сходящегося обобщенного
гармонического ряда и частного от деления In2 n на некоторую
положительную степень п\ например, так:
In2 n In2 η 1
у η5 j/Oz
— Я9/8
Так как
.. In2 η
llm1
,. In2*
= lim
2 In*· —
= Hm ^ = 161117!-^- -
я-^оо 1 —7/8 - x-+oo J№
1
= 16 lim = 128 lim-
*->oo 1 —7/8 x->oo
1
1/8
Υ
= 0
(здесь дважды применено правило Лопиталя), то начиная с
некоторого номера \п2п/у η < 1 и, следовательно, для достаточно больших
4 ,
п справедливо неравенство \п2п/у пъ < 1/я9/8. Ряд с общим членом
1/пд/8 сходится как обобщенный гармонический с показателем ρ =
= 9/8>1. Следовательно, по признаку сравнения I, сходится ряд
> 17=г, а его сходимость, в свою очередь, по признаку сравнения
-« Ί/ ПЪ
п=\ ¥
II, влечет за собой сходимость исходного ряда.
Рассмотрим теперь любопытный пример, когда предельная форма
признака Даламбера ответа о сходимости ряда не дает, в то время
как первоначальная форма признака Даламбера вполне эффективна.
Пример 11. Исследовать на сходимость ряд "V (п\) ·( —)
я=1 ^
^ Наличие факториала в общем члене данного ряда наталкивает
на мысль использовать признак Даламбера:
Ρ = lim 2s±i - lim ί-^
+ 1)!
n\ e" (n+l)n
»n 1 1
= e lim = e lim = e — = 1.
rt->oo (П + 1)П
19

Таким образом, предельная форма признака Даламбера ответа о
сходимости ряда не дает. Замечаем, однако, что при всяком η
справедливо неравенство ап+1> ап. Действительно,
/ ι 1м / е \n+1 n\en+1 - -п
п+\) (я+ \)п п (п+ \)п
= а„ > а„,
п (1 + 1/я)л
так как (1 + \/п)п < е. Следовательно, при всяком η для данного
ряда ап+1/ап> 1. По признаку Даламбера, данный ряд расходится.
Рассмотрим пример, когда радикальный признак Коши
оказывается сильнее признака Даламбера.
оо
Пример 12. Исследовать на сходимость ряд "V τ(η)οη, где 0 «<
/1=1
<с<1, а %{п) — число делителей натурального числа п,
отличных от 1 и п.
<4 Здесь признак Даламбера неприменим ввиду того, что общий
член данного ряда ап = %(п)сп бесконечно много раз обращается в
ноль (при каждом простом ή). Поэтому для этих η отношение <^±1- =
ап
= (/ не определено.
Воспользуемся признаком Коши. В силу неравенства %{п) < η
имеем лГа~п ^ \^^{п)сп < c^fn. Так как Нт(с>/7г) = с< 1, то
существует число # <; 1 такое, что для всех достаточно больших η
справедливо неравенство |/яп <с q. Следовательно, по признаку
Коши, данный ряд сходится.
Следующий пример — на применение формулы Стирлинга.
~ п\
Пример 13. Исследовать на сходимость ряд > —г^.
^ Предел отношения an+i/an = ηλ η/(η + 1)] "4"1~1 в данном
случае вычислить затруднительно. Поэтому применение признака
Даламбера отпадает. Используем признак Коши. При вычислении
предела воспользуемся формулой Стирлинга и заменим п\ на1/2шг'*+1/2 е-":
Ит ν^ β ,im ΐ/"w = !im 1/

Υπ
2/1/--- , L 4- -L.
Ряд расходится.
оо
Пример 14. Исследовать на сходимость ряд у — In——.
/t=l
20

З/ι2 -Ι- 1
<4 Так как lim nan = lim In —— = In 3=^0, то в силу достаточ-
/2->оо П->оо П
ного признака расходимости данный ряд расходится.
Рассмотрим теперь применение более тонких признаков Раабе,
Бертрана и Гаусса.
Пример 15. Исследовать на сходимость ряд ^ 1Ь84 3(з^+4я3+4)·
<4 Попытаемся применить признак Даламбера. Так как
а^ = 3"+i[(/i+l)t]Ml-84 ... (3/ι* + 4/|3 + 4) =
ап И-84... (Згс4 + 4«з + 4) [3 (я + I)4 + 4 (л + 1)»+4]-3Л (я!)4
ι 3(я + I)4 -
= ν τ ; >· 1 При Л->- оо,
3(я+1)4 + 4(я+1)3+4
то признак Даламбера ответа о сходимости ряда не дает.
' Применим признак Раабе в предельной форме:
η г I ап Л ι· Г 3(я+ 1)4 + 4(я + 1)3 + 4 Л
R = limn —- 1) = lim n\ ν τ ; τ ν ; 1 =
/ι-*οο \ αΛ+1 / «-►оо L 3 (я + Ι)4 J
= Ит И (/ι+Ι)8+ 4]/ι = _£> j
ΑΖ->00 3(П+1)4 3
Так как R > 1, то, по признаку Раабе, данный ряд сходится.
Пример 16. Исследовать на сходимость ряд "V рТ^яТи р ^ ^'
/1=1 *- " " -* '
^ Воспользуемся признаком Гаусса и вычислим отношениеап/ап+1:
(2я — 1) !! у Г (2я + 2) 11 γ ( 2я + 2 у __ (я + 1)^
α„ = Г (2я— 1) 11 γ Г (2я + 2) 11 γ = / 2я + 2 \*
αη+ι ~ L (2я) 1! J L (2я+ 1) И J ~~ V 2я + 1 j
1 \р
Разложим теперь найденное отношение с помощью формулы Тей-
1 .
лора по степеням выражения
(>+
2я+1
1 +-L·- + PJP-1) ! + 0{±
2п + 1) ' 2я + 1 2 (2я + I)2 V "2
= 1 ι Р/2 4- ;?(;?"""~ !) * 4- о
я+1/2 8 (я+1/2)2 U2
Мы представили отношение —— в виде (А) (см. с. 15). Поэтому в
нашем случае В = р/2 и, следовательно, для всех действительных
значений ρ > 2, по признаку Гаусса, ряд сходится, а при /? < 2 —
расходится.
Пример 17. Исследовать на сходимость ряд
оо
Σ[1-4-7 ... (3/1 — 2)1 [5-8-11 ... (Зя + 2)]
л1(я + 1)1-9л
21

^ τ л an+i (3/2+1) (3/2 + 5) ,
<4 Имеем -£ϋ = -—J—Li—Л—ί—>. ι при п^. ^
αη 9(/ι + 1)(/ι + 2)
и так как
13)
ηί сщ _ Λ = ^Γ 9 (/ι+Ι) (/ι + 2) _ Л = /2 (9/2 + 1
[ αη+1 J [ (3/2 + 1) (3/2 + 5) J (3/ι + 1) (3/2
->1
+ 5)
при я ->оо, то признаки Даламбера и Раабе ответа о сходимости ряда
не дают. Применим признак Гаусса
ап 9(/2+1) (/2 + 2) 9/22+18/2+18
«л+1 (3/2+1)(3/2 + 5) 9п2+18п + 5
Частное αη/αη+ί представляет собой отношение многочленов, поэтому
о сходимости ряда можно судить по величине разности ct — fct. Здесь
Ci = 18, &! = 18, следовательно, с^ — Ь^ = 0 < 1. Ряд расходится.
00 ι
Пример 18. Исследовать на сходимость ряд "V j с помощью
признака сравнения Коши.
оо оо I
^ По признаку сравнения Коши, ряды Уап и 2^α2Λ сходятся
я=1 /г=1
или расходятся одновременно. В нашем случае
ап = —— , 2ka2k =2к l l
п /2 In/2 2 2Λ1η2* /г In 2 '
оо ^ 1 °° 1
^яд 2 а» 1 2 = 1ΪΓΤ 2 Τ Расх°Дится как гармонический.
Следовала 1 /г=1
тельно, расходится и данный ряд. Впрочем, расходимость гармони-
ОО j
ческого ряда "V -^ моментально устанавливается с помощью того
же признака сравнения Коши. Действительно, он ведет себя одинако-
^ _ 1
во с рядом
т=\
и следует его расходимость.
Пример 19. С помощью логарифмического признака исследовать
На СХОДИМОСТЬ РЯД ^ (ln Mlnln. '
In/2 In/г in/2
с рядом У 2т ρ = 1 + 1 + 1 +..., явно расходящимся, откуда
^ Составим отношение
1п _L 1п(1пя)1п1шг (In In n)2
Так как
ι. In η «. λ;
lim - · = lim = оо
/Z->OQ (In In /г)2
22

/здесь замена 1гш на χ позволила вычисление предела
последовательности свести к вычислению предела функции непрерывного аргумента;
затем применено правило Лопиталя), то начиная с некоторого номера
-J^-r> 1.
В силу логарифмического признака данный ряд расходится.
^, /22Г2-М \)п]п
Пример 20. Исследовать на сходимость ряд > 1 ,п ' J .
<4 Первая мысль, возникающая при рассмотрении данного ря-
да? — применить признаки Даламбера или Коши. Но оба предела
jim 5гш. и \irn^an здесь не существуют. Однако верхний предел
Ш Г^= Пт lf~^L - -f (n = 2k)
существует и меньше единицы. По обобщенному признаку Коши,
данный ряд сходится.
Напомним читателю, что из любой ограниченной последовательности можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой называется
частичным пределом. Таких подпоследовательностей может быть несколько.
Наибольший частичный предел (который в случае ограниченной
последовательности всегда существует) называется верхним пределом данной
последовательности. Аналогично определяется нижний предел. В данном примере из
последовательности \У ап] можно, в частности, выделить подпоследовательности
2 k—\
\V 2k 3*/4*J и [V (2k—1)2/4^-1/. Предел первой из них будет верхним, а
предел второй — нижним.
Упражнения
С помощью признаков сравнения исследовать на сходимость
следующие ряды:
оо оо оо
36. V — 37. V —— 38.
^U п.Ьп £± 2п — \
п—1 я=1
оо
39. V —— 40. V - 41.
(Ьп — 2)2
п=1 п=\
42. V '- . 43. V.2nsin^-. 44.
оо
оо
2l·
я2 + 1
Я3 + Г
1п(я + 1)
Зя + 1
п2+ 4
{п2+2) 2п '
45.
V -J- 40. У
ZJ243 J.U
оо оо
У ! . 43. У S
оо оо оо
! . 46. ytg2-^—. 47. У 2»arctg—,α>0.
п=.\ п—\ п=\
оо оо
у-Ь- 49. у-4^-·
23

50. Доказать расходимость гармонического ряда сравнением его|
с рядом ^ In (1 + —).
С помощью признака Даламбера исследовать на сходимость сле*|
дующие ряды:
. γ * 52. Y-L. 53. Υ -21-.
JiU У1 JmA П\ JU (2ή)\
η—\ η—] '<= 1
оо оо сю
γ * + *.+ ! 55 γ «! 56 γ (2П-1Ц
57. V VV+JHT. 58. Y^ln-i
я=1 " /?==!
Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью признака
Коши:
/1=1
VI (ft+l)'2'
1пл(я+1)
/z=J /г=1 п—\
62
Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью
интегрального, признака Коши:
сю сю оо
63. V —1—. 64. V JL·. 65. V -"
«=2 п=1 л=1
°° σο т/*/Г
^ \пп \^"
2Л /г (In4 /г -Ь 1) ' 2шк
/г=2
γα
68. Доказать, что ряд V -у-сходится при/;> 1 и расходится при
р<\.
Исследовать на сходимость следующие ряды различными
способами:
69. Υ \±Jt 70. Υ —2Ц-. 71. Υ fW
л=1 n=l «=l
24

72.
75.
78.
1
„2 _ ln2 n '
<Sf(2n-l)jA2+2
"■tm"'-
42n (n 1)3
(Зл) !
oo oo
76. V ! . 77. У
jZhJl η In я In In η ^Д
(2л)!
84.
87.
oo
/2—1 α=ζ »t=i
oo oo oo
У *LtI. 79. V 1·4·7·"(3"-2) . so. у_1_;рел
ΖΑ η* ΖΑ 2.7.12...(5λ-3) ^(logfln)"
ΙιΞΓ ι=Ι *=2
oo oo oo
Σ3„3 + η2 + 2η_2 8g y, , _ 83 ул η
n=l 1=9 r n=I
oo oo oo
Σ&$· δ5·Σ-7τ· *Σ-"«4
J
v In /2
88.
1 ол ^Τ^/ί^—]/ΓΛδ=2
oo
/2=3
(Inn)
In In η
89.
■^2 (ln")
OO
90. У {уη + 2 — 2}/~^Г\+ Vn ) ■ 91. У-
η
/2=2
7-13·19··-(6/ι+1)
1.8.27··· я3
92.
95.
98.
oo
^Tl Inn
oo
rc=2
У vnl
93.
n=-.l
|4·10·16···(6η — 2)
|12.42.72...(3„_2)2
94.
1 —
1п/г\"
-. 96. yiy^-llaX). 97. V-i-.
rc=2
99.
1п(я 1)
η ln лл
/2=2
101.
j арл* + ap_t nP'1 Η + агп + α0
^„ /iff + Vi ^_1+ · · · + Μ + &o
loo. V-1-.
, α,=^0, 6^0, p>0, g>0.
«=1 n—[
3n + 2
104.
oo
(—l)nn
n + 1
2) In (3n— 1)
n(n—1)/2
n2 + (_1)л-1 2 ln «
,05. У "3+(~')
n + 2
+ 1]1п2(/г2-)-1)
25

106. Дан ряд 1 + а + ah + a2b + a2b* + asb2 + ... + а«Ъ*-* ^
+ anbn + ... с положительными членами. Убедиться в том, что npj
а < 1, Ь > 1 и при а > 1, Ъ > 1 признак Даламбера к исследован^
ряда на сходимость неприменим. Исследовать ряд на сходимость
помощью признака Коши. Как ведет себя ряд при а = Ъ = 1?
Пользуясь признаками Раабе, Бертрана и Гаусса, исследоват|
на сходимость следующие ряды:
оо сю
J07 V (2")!? 1Пй V 3-8-13 ■■■ (5/1 + 3)
9-14-19··· (5/г +9)
V (2я)" . 108. V
^ (2л+1)1! ^
оо оо
ί^ι! . по. у
9-13-18 ··· (4и + 5) ^
109 ж ι - ■»■ ιιπ ^ (2я-1)П
(2л) !!-(2и + 1)
(я!)»
СЮ СЮ
т. У *ίϋ£ . иг. У —
^ 4-11 ·.. (2/г2 + /г+ 1) ^J 5-18.47... (я* + 2/г2+2)
я=1 я=1
сю
ИЗ. ^ - γ-·
Щг? (2 + 3 sin 1) l4 + 6sin — ··· 2« + 3nsin— I
оо оо
114 V Г (2/i~l)H 13/2. П5 yi 13-У-5»--- (2/1-1)'
Jj L (2n)\\ \ ' ΖΛ 23·43.63·.. (2/г)3
α=Ι η=1
«=1
сю
«=1 η=1
ΥΈ
__ (2 + /Γ) (2 + /2") . · · (2 +yT)
119.
У H^f , p>0,q>0.
/1=1
сю
ΣΓ2/ί~1)Ι! f 1 r0
120.
191 ι ι m m(m—\) . m (m — 1) (m — 2)
121. 1 + m JT— +
+(_1Γι m(m-l).--(m-»+D + ...,m>1,
«1
26

122. Пользуясь признаком Гаусса, исследовать на сходимость
ги пер геометрический ряд
123. Исследовать на сходимость ряд Л■ α *~~I , α £/?.
124. Пользуясь логарифмическим признаком, исследовать на
сходимость следующие ряды:
σο оо оо
*> Σ^;б)Σ"""·*>0;Β)Στ^^·
125. Пользуясь признаком сравнения Коши, исследовать на
сходимость следующие ряды:
оо оо оо
'Συ*·· «Σ^ °>Σ
η—Ι η=.\ η—2
οο οο
Γ' ^ η\η η In In η * ^ j£j
1
In (η !)'
η—2 лг=2
126. Пользуясь обобщенным признаком Коши, исследовать на схо-
оо
_ . , 1 + 3 cos η2 \3/ι~ΐη»/ι
димость ряд m ' х
7 + 2 sin2n
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
Достаточные признаки сходимости рядов можно использовать для
доказательства равенств вида lim f(ri) = 0. Действительно, указанное равенство
«-►оо
в силу необходимого признака сходимости будет верным, если сходится ряд
оо
Σ f (*)·
1/7 = 1
Имеет место и более сильное утверждение.
Если ряд ^ с положительными и монотонно убывающими членами
сходится, то lim f(n) = 0.
/2->оо
Теорию числовых рядов можно применять и для исследования
сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами.
Действительно, в силу интегрального признака Коши несобственный интеграл
/. ОО
J ι{χ)ύχ и ряд У! f(ri) сходятся или расходятся одновременно, если толь-
27

ко функция f(x), принимающая в точках χ = η, η— 1,2..., значения f(n)l
совпадающие с членами ряда, положительна при χ > а и монотонно убываем!
для достаточно больших значений аргумента.
Пример 1. Доказать, что lim = О, а>0.
П->оо П !
Ч Здесь /(л) = -Ц- , /(п + 1) = -
п\ (л+1)1
оо
Составим ряд Χ -ί— и исследуем его на сходимость с помощью!
^-* η\ I
признака Даламбера:
ρ = lim ; =lim = lim- = 0< 1.
rt-»oo / (ft) Л-»оо (Λ + 1)! ·αη η-+οο η+ 1
Так как ряд с общим членом сходится, то lim = О,
η ! я->оо η !
λ"2
Пример 2. Доказать равенство lim = 0.
«-►со [(3/2) !)Л
оо 2 сю
^ Составим ряд % — = \ ая и исследуем его на сходи·1!
гс=1 «=1
мость с помощью признака Коши: \\ту ап = lim .
/г-»оо я->оо (Зм) I
Покажем, что предел равен нулю. Для этого, в свою очередь, рас-
оо оо
смотрим ряд \ 6 = X —-— . Он сходится по признаку Далам-
**Л *и (3//)!
п=1 п=1
бера, так как
lim ^=,imil±iriiMi e J_ lim 0 + Ш-f , o<l.
rt-»oo 0/z ГС->-оо (3/2 + 3)1/2" 3 «-^oo (3λ+1)(3λ + 2)
оо
Следовательно, общий член ряда V &„ стремится к нулю при гс->оог
Λί=1
откуда lim —— = 0. А так как lim Van = 0< 1, то, по признаку
П-*оо (3/2)! л-*· со
ОС
Коши, ряд 2^л сходится. Отсюда вытекает, что предел его общего
члена равен нулю, т. е. данное равенство справедливо.
оо
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл f YH e~A' dx.
_ _ о
Μ Заметим, что функция f(x) = Υ χ ег* = Yx/e* непрерывна и
положительна для л;> 0 и монотонно убывает, например, для *> Ь
28

Составим ряд V * " . Он сходится по признаку Даламбера, так как
1 ^
hm v ; = lim-— = —< 1.
я->оо / (л) п~+оо en+1 V η e
Из сходимости ряда вытекает сходимость данного интеграла.
оо
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл I ' dx,
J χ*
ι
оо
где Г (х) = ( а·*""*1 е~а d а — гамма-функция.
о
4 Докажем вначале, что подынтегральная функция ^ 7"
монотонно убывает при #->+оо. С этой целью воспользуемся
приближенной формулой Г(х) « Ϋ2π χχ~χΐ2?Γχ (χ -> +оо), означающей,
что
^ >- 1 при х-++ со (см. [17]).
Отсюда следует, что при больших значениях аргумента χ функция
-~jt- ведет себя (в смысле монотонности) так же, как функция
= |^2π —— , которая убывает при χ ->4-(χ>.
Следовательно, и функция ^ начиная с некоторого
значения χ монотонно убывает при χ ->+οο.
Воспользуемся теперь известным для гамма-функции равенством
Т(п + 1) = п\ и докажем сходимость ряда
оо оо
\Ч Г (п+ 1) ^1 /г!
Σ -£· (А)
Действительно, он сходится по признаку Даламбера, так как
1· «Л+1 1- (П+\)\ПП х- ( П \П I ,
hm -^=hmv ^ ; = hm = —< 1.
п->оо ап п-><х> (п+ \)п η ! п-*оо\п+\) е
Из монотонного убывания подынтегральной функции и сходимости
ряда (А) вытекает сходимость данного несобственного интеграла.
Упражнения
Доказать следующие равенства:
127. lim — = 0. 128. Игл -2— =0. 129. lim^^ = о.
«-*оо пп * η-*** (2/г) I п-юо пп
29

130. lim {2п)П = 0. 131. lim-^- = 0. 132. lim-^- = 0.
/7—>oo (2я — 1) ! (2n) ! n^oo (я!)2
133. lim -^ =0. 134. lim -^ = 0. 135. lim (2*-1)i! =-0.
Исследовать на сходимость следующие несобственные интегралы:
оо оо оо
136. [*+/* άχ. 137. Г £ . 138. fi£lUll£d*.
ОО ОО ОО
139. Г ^ж2 · 2"* dx. 140. ftg— b*. 141. f _£Ё£_ .
1 1 1
σο оо оо
142. f T-V^ . 143. f^+^d*. 144. f ***(*+'> d*.
J ЗТ(2дс+1)Г(дс) Jr»(*+1) J Г(Здс+1)
1 1 1
§ 4. СХОДИМОСТЬ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Ряд
*Σαη
Π)
с членами произвольных знаков называется знакопеременным.
Если знакопеременный ряд содержит конечное число отрицательных Спо-
ложительных) членов, то его исследование на сходимость сводится к
исследованию знакоположительного ряда, так как отбрасывание от ряда конечного
числа начальных членов (в частности, до членов одного знака) не нарушит
его сходимости или расходимости. Поэтому особый интерес представляет
случай, когда знакопеременный ряд содержит бесконечно много как
положительных, так и- отрицательных членов.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
2!«»ι.
(3)
составленный из модулей членов данного ряда. Оказывается, что всякий абсо»
пю'1ио сходящийся ряд является сходящимся, т. е. из сходимости ряда (3)
всегда следует сходимость ряда (1).
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (3),
составленный из модулей его членов, расходится.
Относительно знакопеременных абсолютно и условно сходящихся рядов
имею г место следующие теоремы.
Сходящийся знакопеременный ряд (в том числе и знакопостоянный)
остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой группировке его
членов, произведенной без изменения порядка их следования.
Сразу же заметим, что обратная теорема в общем случае не имеет места.
Так, например, ряд 1 — 1 + 1 — 1 + ... расходится, а ряд (1 — 1) + (1 — 1) +
+ ...=0 + 0+ ··.» полученный попарной группировкой его членов,
является сходящимся
2. Абсолютно сходящийся ряд (в том числе и знакопостоянный) остается
сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов.
3 Изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно
30

сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или дао/се сделать
ряд расходящимся.
4.. Если знакопеременный ряд (1) сходится абсолютно, то сходятся ряды
составленные из его а) положительных членов) б) отрицательных членов. Если
же знакопеременный ряд сходится лишь условно, то упомянутые выше ряды
расходятся.
Из теоремы 4, в частности, вытекает, что абсолютно сходящиеся ряды
сходятся только за счет того, что их члены достаточно быстро стремятся к нулю
при я->°о. Условно же сходящиеся ряды сходятся за счет частичной
компенсации членов с разными знаками.
Таким образом, выделение класса абсолютно сходящихся рядов
целесообразно потому, что по сравнению с условно сходящимися рядами они обладают
рядом важных свойств, связанных, в частности, с возможностью произвольной
перестановки их членов.
Исследовать на сходимость знакопеременный ряд — значит не только о?-
зетигь на вопрос, сходится он или расходится, но и как сходится: абсолют*]:*
и или условно.
Среди знакопеременных рядов особо выделяют класс знакочередующихся
рядов. Ряд
оо
«ι — «2+«з—«4 н h (— υ72"1 ««и— == 2 (-0я-1 мл, (4)
n==l
в котором все ип, η = 1, 2, 3, ..., — числа одного знака, называется
знакочередующимся.
Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный
признак сходимости.
Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (4)
начиная с некоторого монотонно убывают по абсолютной величине и если
lim un — 0, то ряд (4) сходится.
Я«*оо
Исследование сходимости знакочередующихся рядов следует начинать с
исследования их абсолютной сходимости, так как это часто быстрее приводит
к цели, чем применение признака Лейбница с последующим исследованием
абсолютной сходимости ряда.
При исследовании знакопеременных рядов на абсолютную сходимость
пользуются всеми признаками сходимости для рядов с положительными
членами. В частности, ряд (1) сходится абсолютно, если хоть один из пределов
, lim fr\an\ , lim —-—- ■ --
η->οο η-><χ> η {\αη/αη+1 J — ι)
существует и меньше единицы. Если же хоть один из перечисленных пределов
больше единицы, то ряд (1) расходится.
Следующие признаки сходимости знакопеременных рядов являются более
гонками, чем р.г-г-ечисленные.
Сочетательный признак. Исследуется на сходимость ряд (1) с членами
произвольны Очаков. Если сходится ряд
(ах + а2-\ Ь akl) + (akl+i + α*1+2 Η h ak2) -\ h
+(akm+i + akm+2 Η l· akm+1) Η (ki < k2 < · · · < km < km+i <···)>
полученный из ряда (1) путем группировки его членов без изменения порядка их
следования, то при условии постоянства внаков у всех слагаемых внутри одних
и тех же скобок сходится и ряд (1).
Признак Абеля. Исследуется на сходимость ряд
оо
2 anbn = atbx + a2b2 Η (- anbn -\ . (5)
/ζ=1
31

Если ряд 2 bn сходится, а последовательность {ап} монотонна и ограниченна
(]ап\ <: М), то ряд (5) сходится.
Πs;nn^ Дирихле, hсследуется на сходимость ряд (5). Если частичные
суммы ряда У\Ьп ограничены некоторым числом Λί> 0, а последовательность {ап}
чэнотонно стремится к нулю, то ряд (5) сходится.
Тот факт, что исследуемый ряд записывается в форме (5>5 а не в форме (1),
не мешает применять признаки Абеля и Дирихле к исследованию рядов вида
(1). Так, ряд ^ ^-можно рассматривать как ряд вида (5), в котором ап = γη,
оо
Ьп = 1/2л. Вообще, ряд 2сп можно рассматривать как ряд вида (5), в котором
п=\
ап — U ЬТ1 = сп либо ап = 1//х> Ьп = псп и т. п.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
!_J L + -L + J- + J L _J ί L+...
22 32 "^ 42 52 Q2 72 82 92 юг"*"
(плюс, два минуса, три плюса, четыре минуса, пять плюсов и т. д.;
\ап\= \/п%
оо
«4 Составим ряд из модулей членов данного ряда ^V -^. Он схо-
/2=]
дится как обобщенный гармонический ряд с показателем ρ = 2> 1.
Следовательно, сходится и данный ряд, и притом абсолютно.
Пример 2. С помощью признака Лейбница исследовать на схо-
димость знакочередующийся ряд > -—^ э выяснить характер
сходимости.
^ Так как 1 > у> у ... > — > ^-ру ... (члены ряда
монотонно убывают) и так как limun = lim —= 0, то, по признаку Лейб-
П-*оо /7-*оо /2
ница, данный ряд сходится. Однако он сходится лишь условно, так
как ряд, составленный из модулей его членов, расходится (он
является гармоническим).
Пример 3. Показать, что если изменить порядок следования чле-
нов условно сходящегося ряда Лейбница > -— так, чтобы за
каждым его положительным членом следовало два отрицательных,
то получится ряд
1 * 1 . ] ] 1 ι l l l I /Ач
^т-т + т-т-т + т—i?—iF+"·· (А)
сумма которого будет в два раза меньше, чем у исходного ряда.
32

<4 Условная сходимость данного ряда доказана в примере 2.
Обозначим его сумму через S, т. е. положим
,_J. + _L__L + _L__L + _L__L + ...=S. (Б)
2 3 45 67 8
-£+"-
Преобразуем теперь ряд (А) следующим образом:
{ i I 4 \3 6 / 8 \ 5 10/
__L_J_ + _L__L + J___L + ....
2 4 6 8 10 12
2 \ 2 3 4 5 б / 2
Как видно, сумма ряда (А), полученного простой перестановкой
членов ряда Лейбница, в два раза меньше еуммы ряда Лейбница.
Заметим, что 5^=0, тач как
5=(1-т)+(т-т) + --1-(2-^-^) + ->0
ввиду положительности чисел, стоящих внутри каждой пары скобок. Кроме
того, преобразования нового ряда сделаны при неоговоренном допущении о
том, что члены нового ряда можно группировать без изменения порядка их
следования. Может показаться, что причина изменения суммы ряда (Б) при
перестановке его членов состоит не в самой перестановке, а в группировке
членов нового ряда. Покажем, что группировка членов здесь не имеет значения,
для чего вычислим сумму нового ряда другим способом. С этой целью
подсчитаем сначала его частичные суммы σ . σ„„ , и σο„ :
oil ο/ι—1 oft—ύ
J_ J_ J_ J_ J_ 1 1 J
«зл= l — 2 — 4 + 3 — 6 - 8 Η + 2n—\ ~~ 2(2/2— I) 4лг ~~~
= (1-τ)-τ+(τ-τ)-τ+(τ-ι^)-ι?-1-··· +
+ \2n-\ "~ 2 (2/i — 1)/ 4/2 ~~ 2 ~ 4 + 6 ~~ 8 "^ 10 12~ H +
-τ(ι-τ
_ _ . _ j__ _ ji_ _i_ 2. ι j_
"*" 4/i — 2 ~ 4я ~ 2lU2 + 3~4","5~6+ l" 2/i—1 ~ 2n
где Sq,n — частичная сумма 2/г членов ивходн@го ряда;
2 5a/lt
1 1 J_
\п ~ 2 ^ + 4/2
1_ _1 1_„ 1 I
\п 4/2—2 ~" 2
ι Λ . ι
"s*-i-°8«+ 4„ ~ 2 S«« + 4я
"811-2-*ал+ 4„ +4/2-2" 2 ^ + 4/2 + 4/2-2'
"Гак как lim S2„ = S, lim — = 0, lirn -— = 0, то
α-*οο η,-^οο 4/2 1->οο 4/2 2
lim σ3Λ = lim a3n^ = lim σ8„_2 = — St
П-*-х Ί~*οο П->оо ^
33

а следовательно, lim ση =-~.S, т. е. сумма нового ряда действительно равна
5/2.
оо
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд V ^"7^ .
^ Исследуем данный знакочередующийся ряд сразу на абсолют-
ную сходимость. С этой целью составим ряд из модулей членов данно-
оо
го ряда: Л . Применим к этому ряду признак Даламбера:
Hmgm^Hm С +1)"*Ч2/») ι д lim Г(1 + 1/л)я —"|=0<1.
Я-*оо αΛ «->«, (2/2 + 2) ! · /2Λ L 2(2rc+l)J
Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд сходится
абсолютно.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
! + JL _ J_ _ _L + -L + _L _ J_ _ _L +... +
22 42 52 72 82 Ю2 И2
+ ' +—! ί L_+...
(6Я — 5)2 (6/2 — 4)2 (6/2 — 2)2 (6/2 — I)2
(два плюса, два минуса и т. д.).
^ Из модулей членов данного ряда составим ряд
1+ — + — + — + — + — + —Η (В)
22 42 52 72 82 102 V '
Он сходится, так как его частичная сумма Sn монотонно возрастает
с возрастанием η и является ограниченной, например, числом S =
оо
= \ —. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Замечание. Сходимость ряда (В) можно доказать и другим способом.
Составим ряд
, , J L + -L.J L + JL + J L + _Lj-.-
22 З2 42 52 б2 72 82 92 102 "*"'""
ОО J
Θη сходится абсолютно, так как сходится ряд 2η2' е0ставленный из модулей
его членов. Но тогда, по теореме 4, ряд, составленный из его положительных
членов, т. е. ряд (В) является сходящимся.
оо П(П—1)
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд V С""*!) 2 ~τ=· ♦
34

^ Данный ряд
ι L· !=г+-1_ + _' L.__i_+...
/2 /3 /Τ /5 /6 /7
является знакопеременным, и если сходится, то лишь условно, так
как ряд, составленный из модулей его членов, расходится как
обобщенный гармонический с показателем ρ = γ< 1- Из данного ряда
попарной группировкой его членов образуем ряд
/2* + I )
Он сходится по признаку Лейбница. Так как внутри одних и тех же
скобок члены полученного ряда имеют один знак, то его сходимость
на основании сочетательного признака влечет за собой сходимость
исходного ряда. Ответ: данный ряд сходится условно.
Рассмотрим теперь примеры на применение признаков Абеля и
Дирихле.
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд > (—1) 2 --—-[(1-|— .
{U γη \ п)
<4 Ряд, составленный из модулей членов данного ряда, расхо-
1 /, , I \я е ~ е
дится, так как "7=4А + Т") ~ ~7= ПРИ п -+°°> а ряд > -=■
У П \ П J У П Jmd У η
расходится как обобщенный гармонический е показателем ρ = 1/2<
<1. Следовательно, речь может идти только об условной сходимости
данного ряда. Признак Лейбница здесь неприменим, так как ряд не
является знакочередующимся. Применим признак Абеля. Пуеть
? ι / 1 \п
&« = (-!) -Ь, α„= (1 + -±-)·
γη V « /
оо
Ряд 2^п сходится (см. пример 6), а последовательность {ап} монотон-
на и ограничена (ап -> е), поэтому данный ряд, по признаку Абеля,
сходится (и притом лишь условно).
оо
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд "У — (а = const).
<4 При а = nkt где k £ Ζ, сходимость ряда очевидна. Если а Ф
Φ nk, то данный ряд — знакопеременный. Для исследования его
сходимости применим признак Дирихле. Положим Ьп = sin an, an=
35

=—. Докажем, что частичные суммы оп ряда ^V&n= "V sin an»
ограничены:
η—] п—\
sina&
a ^U\
2 sin— k=i
2 sin a k sin —
2
/I
ι cos (a& —]— coslak + —
a ju\ [ 2 \ 2
2 sin — k=\
2
1 { ( a 3 \ , / 3 5 , ,
'cos cos— a + cos —a — cos— a )-\ -b
2 2 / \ 2 2
a
2 sin —
2
+ | cos [an )—cos Ian Η
cos
a
2
/ a V
— cos an 4- —
2 sin —
2
<
<
+
cos I an + ■
<
2
2
sin —
2
sin
a
Итак, |ση| <
при всяком п, т. е. частичные суммы ряда
^Vsinan ограничены. Так как последовательность | — 1 монотонно
убывает и lim— = 0, то, по признаку Дирихле, данный ряд сходится
п-+оо П
при любом а).
Упражнения
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие
знакочередующиеся ряды:
145.
К-0я-1
/1=1
Vn
146.
(-1)".
О"
(п+1)
148.
2u in
/1=2
О*
149.
η =2
(-1)" (
Vl '
l/ In /2
150.
(— l)n+1
n-7n
/i=l
36

η=\ η—\ η=\
οο οο
γ, (2η + 1) (- ΐ)»-ι 155 у, (-1)Я(Я_3)
154.
π=Τ
156.
7Ξ3
га2—1
(- 1)""
y (-l)-i f ρζ/?< 157_ у
^J я In я (In In η)" ^ V~n-p (n + 1)8
• Σ (-τ)"· - Σ
158. V. f -Г. 159. >;iz^lsin.^
160.
n+ 1
/2=1 /2=1
oo oo
У <-3>* . 161. V -
164.
166.
Σ^1· Ι63· Σ'-1»""16
rc=l rc=I
oo oo
y, (- ΐ)π-ι „* ^ 165. V -i-ii""1^ !)2
1
4/г
, . , (2/2)
1ΞΓ 2+— ^=7
/2
(_1)л-1.л
oo oo
Σ'2°"!Γ'·"· Ι67-Σ
/1=1 «=1 5 2 _ „a
168. У(_1Г1 '-4-7 ■••(3^-2) ^ ,69_ у (-D"ln«
2j 7.9.1..· -(2Я+5) Zi ^Γ+β
170.
oo
/1=3
я /ft2 + Sn + 1 — /ft2 —3/2+1
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость следующие
знакопеременные ряды:
171. 1 f ··· (плюс, два минуса,
2 5 10 17 26 37 ' J
плюс, два минуса и т. д.; \ап\ = 1/(п2+ 1)).
о2 ОЗ 94 95 26
172. 2 — 1 1 1 ··· (плюс, два минуса,
2! 3! 4! 5! 6!
три плюса, четыре минуса и т. д.; \ап\ = 2п/п !).
37

,73. ,__L--L + -L l__JL + ... + _!__ J
/7 2 2 yj 2* η ff
174. ^ (- !)"
n(n—\)
2 _Я_
3"
.75. l-± + ±-±+±--L + ±_± + ...+
+ J--J- + ....
176 l—L+-! L + _L__L+ ...+ J L + ....
2 2a 22 32 23 я2 2"
объяснить, почему здесь нельзя воспользоваться признаком
Лейбница.
177.-^ ±- + -J: ±-+-..+
/2—1 /2+1 /3—1 /3+1
+ -J ^—+.··.
|/ Λ — 1 //2 + 1
оо
178. V (-^sin^
/1=1
179. 1 L L· + _L· L· !_+...+
/2 /3 /4 /5 /6
+ -4= =1=—4+·.·.
|/ Зл — 2 /3/2 — 1 у/'Зп
,80. JL + _! ! ! !_ + _!_ + _!__
2 In 2 3 In 3 4 In 4 5 In 5 6 In б 7 In 7 8 In 8
· · · (два плюса, три минуса, два плюса, три минуса и т. д.;
|aj= l/((n+l)ln(n+l)).
181. Следующие ряды получены с помощью изменения знаков у
некоторых членов гармонического ряда:
ч ι ι ! 1 1 , 1 f 1 1 1 , ,
а) 1 + т-т_т + т + т_т-т+··· <*ваплюса·
два минуса и т. д.);
*ч ι ■ ! 1,1.1 1,1,1 1 , ,
б) 1 + т-т + т + т-т + т + т-т+ •••(два
плюса, один минус и т. д.);
38

в) * + — + ~t ; — ... (три
7 2 3 4 5 6 789 F
плюса, три минуса и т. д.);
Г' 2 "*" 3 4 5^~6Φ7 + 8 9 10 +
+ . · · (три плюса, два минуса и т. д.);
°° Г УТЛ
/г=1
какие из этих рядов сходятся, какие — расходятся?
оо
182. Дан ряд ^аП9 в котором \ап\ = \χ\η/ηγη\ знаки чередуются
следующим образом: два плюса, пять минусов, два плюса, пять
минусов и т. д. Исследовать ряд на сходимость.
183. Исследовать на сходимость следующие ряды с помощью
признака Дирихле:
оо оо
ч XI cos an. ^ч χ^ /ι , 1 , , 1 \ sin α/ζ ,
a) 2и-7Г' 6) 2^(1 + τ+···+τ)-τ-' a = const-
/г=1 F /г=1
Применяя различные способы, исследовать на сходимость ряды:
оо оо
хи 2 + (-1)" ■ Λν у (-»)"
/1=2
184. a)2(-l)-l±biil; б) ]£
/г=1 / ~
оо оо
185. Y^i^sin™. 186. V
^7+(_1)«
I 2 %П
In·* «· cos-ο-
Ι 87. Χ1. - . 188. Χ'cos/A
π/ζ
Σ
/1=1 /2 |Λ/2 + Sin "ξ" /ι=1
οο _°°_
V (_l)»l!i^L. 190. У
189. Χ1 (-ly^LJL·. |90. V ! cos ™
In2 (n+1) «+1
i91._L__L + J___L+_L__L+...+ _L_
\P 2* 3^ 4? 5" 6* (2/e— 1)^
!
192 V^ _(— l) cosan
[YT]
+
frn*+l
/1=1
39

193.^(_ΐΓ^η^ίΐ + 251η^°^
2п V η
194. V (2 + ± + -L + .·. + -L)£21^, α = const
SU\ 2 I 3! я I / /IT
m(m—l)...(m—rc-f 1)
erkP. η v^ wim—1)..лт—n-\-i)
195. Доказать, что ряд > — *-^y ί—^- сходится абсо
лютно при т > 0 и условно при —1 < m < 0.
196. Доказать, что если члены сходящегося ряда > —т^г—пере-
ставить так, что за каждыми тремя его положительными членами
будет следовать один отрицательный, то получится расходящийся ряд
(предполагается, что порядок следования как положительных, так
и отрицательных членов данного ряда при этом не меняется).
§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ РЯДА
ос
Для приилиженного вычищения суммы 5 «ход.-'шегобг ряда ^f n) пола-
/ι==Ι
Π ο
FaKS>T S ^ Sn *** 2^)» пренебрегая остатком Rn =* ^ /W Чтобы оценить
/г=1 fe=n-H
ошибку, допускаемую при эгом, нужно оценить остаток
Для сходящихся $накоп,®ложительыых рядов, члены которшх мовочснно
убывают начиная е (п -f 1)-го, справедливы следующие оценки остатка.
эо
(λ:) άχ, (6)
j / (*) d* < Rn < f (n + 1) + j f (x) dx, (7)
«-fl /z-fl
рдо /(я) — общий член даннвг® ряда, а /(#) — функция, принимающая в точ-
ча;* ж = /г, я « 1, 2, ..., значения /(/г) и моьот®нн© убывающая в промежутке
интегрирования.
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница,
справедлива следуют пя оценка остатка:
|ЯЯ| < Ifl/i+il (8)
Указанные оценки часто весьма грубы, но все же дают возможность
вычислить сумму ряда с любой наперед заданной точностью.
В некоторых случаях оценка остатка ряда по формулам (6) и (7) оказыва-
тся чрезвычайно трудной, например если общий член ряда содержит
факториалы (см. пример 3). В этих случаях следует прибегать к различным
искусственным приемам. К искусственным приемам прибегают и тогда, когда данный
ряд является знакопеременным общего вида или не удовлетворяет условиям,
при которых имеют место оценки (6), (7) и (8).
40

Пример I. Оценить я-й остаток ряда V -ς. Вычислить сумму
ряда с точностью до 0,1· Сколько нужно взять членов, чтобы
вычислить сумму ряда с точностью до 0,001?
4 Воспользовавшись оценкой (6) остатка ряда, получим
Если взять первые 10 членов ряда, то Rn < 1/10,
оо
Σ
Λ«ι + — + 4-+■■■+ — ~ l>6
η2 4 9 100
(с точностью до 0,1). Чтобы обеспечить точность в 0,001, нужно взять
1000 членов ряда, так как тогда Rn < 1/1000.
Пример 2. С какой точностью будет вычислена сумма ряда
оо
- , если для ее подсчета будут взяты первые 7 членов
п2п
ряда?
<4 Данный ряд является знакочередующимся с монотонно
убывающими членами. Следовательно, для его остатка справедлива оценка
(8), в силу которой \Rn\ < |αη+1! = 1/((я + 1)2Λ+1). При η = 7 имеем
1 7| 8·28 2000
Пример 3. Оценить n-й остаток ряда \ — и вычислить его
*=]
сумму с точностью до 0,001.
4 Оценки (6) — (8) остатка ряда в данном случае неприменимы,
так как ряд не является знакочередующимся и его общий член
содержит факториалы. Поэтому попытаемся оценить остаток ряда
непосредственно:
1 , 1 , ι
k\ ~~ (я Η
ft=7l-H
D ___ Х^ _ί_ __ ' ι κ_ Ι * I
П JU ^ ("+ 0' (« + 2)l (я+3)!
' '•/1+-Ц;+. ' „ +···)<
(л + 1) I \ η + 2 (η + 2) (л -f 3)
(/i+i)l l Я+1 (/1+ I)8 /
(здесь все множители в знаменателях заменены на η + I). Суммируя
геометрическую прогрессию, стоящую в скобках, получаем
п (я + Ι) ι 1— 1/(л -Ь 1) я-я'
41

Получено весьма простое выражение для оценки остатка ряда.
Нетрудно видеть, что уже при η = 6 R6 O^T^f = -^о- Это
значит, что, взяв только первые б членов ряда, мы значительно
превысим требуемую точность. Таким образом, с точностью до 0,001
оо
V J_«i-|--L-|- — + — + — + — « j 718
^J n\ 2! 3! 4! 5! 6!
Упражнения
Установить сходимость нижеследующих рядов; найти формулы
для оценки их остатков; сколько членов ряда, следует взять, чтобы
обеспечить указанную точность а? Вычислить сумму ряда с
точностью β.
оо оо
197. V —, α = 0,0002; 8 = 0,01. 198. V —— , α = 8 = 0,1.
п—Л п=1 '
199. V -J5-—, α = 0,001; β = 0,01. 200. V (""1)""1 ,α=β = 0,001.
rc=l «=1
оо
201. V (~ 1)В"г , α = 0,0001; 8 = 0,01.
202. V ! , α = Β = 0,001.
Вычислить суммы следующих рядов с указанной точностью β:
ОО ОО
203· 2 -J ' β = 10"4' 2θ4· Σ "έ" ' β = ΐθ4
«=1 гс=1
205. V ! ' Ρ = 10~4·
я=1
Оценить остатки следующих рядов:
206. V ! . 207. У ^ . 208. У ±ζΰϋ
^ (/2+ l)ln3(/2+l) ^J ГС2 ^J Я— 1ПЯ
«=1 я=1 п=\
209. V—. 210. V 211.
Σ?-· г10· Σ
. /2" + 1 <*J Л(«8 + 1)
гс=1 «=1 r ' rc=l
42

212. Найти формулу для оценки остатка ряда V ~. Вычислить
сумму ряда при а = 2; а = 1/2; α = 1/4; α = 0,1 с точностью до
0,001.
~ ап
213. Дан ряд > —, 0 < а < 1. Дать оценку остатку ряда. Вы-
числить сумму ряда при а = 0,5 с точностью до 0,001.
Оценить ошибки, допускаемые при замене суммы следующих
рядов суммами их первых η членов:
оо оо оо
216. ^ п2П
14. Y^±i.
ОО
17 V 1
jmmA (2/2-1) !*
2|5· Σΐ·
«=1
оо
"18 V 1
£± а2п~1(2п -
-1)
«=1
(Зп + 1) 5"
, α>1.
оо
219. 2"S"f |fl|<1, Р>°-
гс=1
§ 6. ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ
оо оо
Суммой (разностью) двух рядов 2ап и 2^г называется ряд
/2=1 П=\
оо
2к±щ. (9)
Ясли сходятся слагаемые ряды, то сходится и суммарный ряд (9), причем
оо оо оо
Σ ап ± 2 &„ = 21 (α«± &«)· (10)
«=1 «=ι «=ι
оо оо
Произведением двух рядов ^ап и Σ^ι (по Коши) называется ряд
п=] п=]
2 (aibn + a2Vi Η l· anbi) =
= αΑ + (α A + a^j) + (fll&8 + a2b2 + flgftj) Η . (11)
Если перемножаемые ряды сходятся и притом хотя бы один из них
абсолютно, то сходится и ряд (11), причем
оо оо оо
Σ ял 2 *л = 2 (агЬп + а2Ьп_г + · · · + апЬг). (12)
п=\ п=\ п=\
Произведение условно сходящихся рядов может оказаться либо рядом
сходящимся (и тогда справедлива формула (12)), либо расходящимся.
43

Разумеется, понятия суммы и произведения распространяются на любое
конечное число рядов. Квадрат ряда определяется как произведение ряда
самого на себя. Аналогично определяются степени ряда третья, четвертая и т. д.
Частным от деления ряда 2 ап на ряд^ Ъп называется ряд ^ сп такой,
п=\ п=\ п=1
оо оо оо
что 2 сп*У\Ьп = 2 ап- Если все три ряда сходятся, то
п=\ п=\ п=1
оо оо / оо
Σ °п = Σ а« Σ ьп-
п=\ п=\ I п=\
оо оо
Заметим, что даже при абсолютной сходимости рядов 2β^ и 2^ ряд ^сп
п=1 п=1 п=.\
может оказаться расходящимся. В любом случае имеем
оо
Ь\ Ь\ Ь\
■ f4_ _«ι&4 _а^з __<ЧК 2«Ί b2 °з аг62 _ аА .
+ \Ьг Ъ\ Ь\ 6? b\ + 6? Ь\ I
ОО
Каждый последующий член ряда ^сп может быть выражен через предыдущие
по формуле
сп= . (13)
bi
Практически ряд на ряд можно делить углом по тем же правилам, по
которым многочлен делят на многочлен (см. пример 4).
оо оо
Пример 1. Найти разность двух рядов V — и "V а , . Убе-
п=\ п=1
диться, что данные ряды расходятся, а их разность есть ряд
сходящийся.
4 Первый из данных рядов расходится как гармонический. В
расходимости второго можно убедиться с помощью признака
сравнения II с гармоническим рядом. Составим разность данных рядов:
оо
Σ
м=1
1 л \ VI 1
η п2+\) JaJ η (п2 4- I)
Полученный ряд сходится, по признаку сравнения I, со сходящимся
оо ^
обобщенным гармоническим рядом V -^~.
44

oo
Пример 2. Найти произведение рядов у — - и
л=1
(-0я
^ (2/2 — 2)!
<4 Оба ряда сходятся абсолютно (в чем можно убедиться с
помощью признака Даламбера), поэтому
оо сю
^ (2/2—1)! J^ (2/2 — 2)!
" ' = ίΐ—L + i__L + ...Wi__L + _L__L + ,
V 3! 5! 7! A 2! 4! 6!
\ 2! 3! / \ 4! 3! 2! 5! '
+ (—1)^1 Γ ! μ ! + ! +
L(2/2— 2)! ЗЦ2/2- 4)! 5! (2/2 —6)!
+ f + —!—1+ ... = i_^ + _i^_^_ + f^_
'~ "4 ' ~* '2/2- 1) !J ni ' r'
J , 1 1 ^ ^ ^ = . 4_ _16 64_ 256
(2/2—3)1-2! (2/2— 1) Ij 3! 5! 7! 9!
22/г-
+ (-i)
n-1
(2/2— 1) !
так как общий член полученного ряда после вынесения множителя
1/(2п — 1)! принимает вид
/-1V.-1 ϊ \(2η -D+ (^-\)(2п~2)(2п~Ъ)
7 (2/2-1) IL ' 3!
. (2/2—1)(2/2 —2) (2/2 — 3) (2/2 — 4) (2/2 — 5)
5!
. (2/2—1) (2л —2) (2/2 —3) (2/2 —4) . (2/2—1) (2/2 — 2) . Л
+ J + 21 + Ί =
в (-^1-ΐη+(2η-1)+ <2"-')(2"-2) +
(2/2-1) 2 L V ' 2'
. (2/2—1) (2/2 — 2) (2/2 —3) , , (2/2— 1) (2/2 —2) (2/2 —3) ,
+ Я + ,"+ ϋ +
(2.-0(2/2-2) +{2п_1) + J 1 Jzl£li(i + 1Γ-ι β
2! V J (2/2-1)! 2
02/Z-2
= (-iy-i.
(2/2 — 1) !
Найденный ряд является абсолютно сходящинря.
45

σο
Пример 3. Доказать равенство \ — -п =
п=2
2 3 jiJi п-Зп
^ Прежде всего дробь 2/(п3—п) разложим на сумму простых
дробей:
2 _ 2 = _J 2_ , 1_
п3 — η (η—l)n(n+l) η—1 η /2+1*
Пользуясь этим разложением, представим данный ряд в виде суммы.
трех рядов:
1
η + \)Зп
^ (п? — п)Зп Σΐ (я — 1)3" ^1 пЗп jLl О
«=2 п=2 п=2 П—2
Преобразуем теперь каждый ряд в отдельности:
оо оо оо оо
уч ι = V^l ι = ι γ ι _ ι γ ι
2U(n—\)3n jZd m3m+1 3 ^тЗт 3 jZd n3n
1=2 rn=l т=\ п=\
(здесь сначала положено η = т + 1, затем т заменено на п)\
оо оо оо
yj_ = l+yj L = y
j^i пЗп 3 ^U пЗп 3 £±
(А>
ι
пЗп
(здесь добавлена 1/3 для того, чтобы суммирование начиналось сл =
= 1);
= з
п=2 п=2
r-»S
пгЗ"
т=3
= 3
J ι ι_
тЗт 3 2-32
3 2·32 .ΧΑ·
m=3
I JHjm3m 2-32 I ^ яЗ" б
Подставим теперь полученные результаты в (А):
46

OO OO ЭО
^A (пЗ — п)Зп Т jLsi n3n _ ^ «3Л
oo oo
3 ^£| «3* 6 2 3 j£jn3n
n=) /1=1
Пример 4. Разделить ряд 1 + 2 + — + — + — Η +
r 2! 3! 4!
2η
Η ; h · · ·
на ряд 1 — 1 + + h ί— 1)л — + · · ·.
2! 3! 4! η\
^ Первый способ. Вычислим коэффициенты искомого ряда по
формуле (13);
с == fl3 — *f &3 — Ά = J ί 3(— 1)= —
3 Ъг 2! 2! 2!
«4 — с1&4 — 62^3 — С3^2 ^ ι ^ 3 , З2 З3
С4"" &~ "" "зГ "ϋ IT "if = ~зГ"
_ а>ь — ^1^б — ^4 — g3^3 — ^2 _ _16 L 4. 3._L 32 . J_ 4.
5 bf 4! 4! " 3! 2! 2!
_3з^ ^ 34
3! ~" 4!
Методом математической индукции нетрудно доказать, что сп =
Зп~]
.. Следовательно, искомый ряд имеет вид
(/1-1)!·
о2 q/z-i о/г
1+3 + -^- + ··· + , n, +JT +
2! («-—1)1 «'
Второй способ. Будем делить первый ряд на второй углом так,
как поступают при делении обычных многочленов:
47

21 31 41
1
1 +
1
21
—
1
3!
+
1
4!
2! 3! 4!
21 31 4!
3 +
3 —
4 +
3 +
2!
2!
3!
3
2!
f 0 +
_ 32
2!
33
3!
33
3!
4!
31
27 J.
г · · ·
4!
+ t+...
4!
QS
+ — + · ·
31
3*
... и
4!
и т. д.
Получен тот же ряд, что и при решении первым способом.
Упражнения
220. Показать, что разность двух расходящихся рядов ^ζ — и
"V ^го еСТЬ РЯД СХОДЯЩИЙСЯ.
/1=1
гт ^ Γ24-η42~ηΛ?>
221. Доказать сходимость ряда > —
^—ι L J
ri=l
g помощью его
разложения на сумму рядов и исследования сходимости каждого
ряда отдельно.
222. Доказать равенство > = V^ .
r j£j п(п—\)2п 2 £А Мп
№2
ОО ОО
223. Сложить ряды ^^-Ь^-5] и ]£
2я-' + (— 5)л+1
10Л
Вычислить сумму полученного ряда.
48

Найти суммы рядов:
224. ^ ™ ψ· 225 2 й * 2 .1«М<1-
Найти первые пять членов произведения рядов:
226' J£j 2я " JLl л! ' ^ 2п " JL а*
σο оо
228. Доказать равенство \^ — \ *~~ =
1.
/г1
Найти произведения рядов:
оо оо
229. V. ■£■ ηΥΛ. 230. V, -£- и V. Ь^
я=0 α=0 α—0 ^=0
Σ ν ·Σν· 23°·Σ^"Σ
оо
Σ'
231 Л1—-£L_ и У а». 232. У L_
а—1 Ai=0 rt=l
Σ-
(2/2- 1) (2я + 1)
Следующие ряды возвести в квадрат:
233. V -г^-т-. 234. V —
A2=J
L 2fl V 2fl 8о2 / ^ 2α 4α2 16α:7 V
2α
4α2 8α2 16α> 128aJ ' +
236. Доказать, что ί V qn^ j = V мс/""1 при \q | < 1.
оо η|2
Σ^ ■
η=1 r J
237. Вычислить
ченного ряда.
оо
238. Возвести ряд Vj (~~ ' в куб,
исследовать сходимость полу-
п=0
49

239. Вычислить
■ оо -ι 2 г- оо -|2
^ (2/2-1)! + + 2Л (2/1) !
«=ι J L aj=i J
240. Возвысить ряд V -—г в целую степень т.
241. Разделить ряд 1 + 0 + 0 + 0 + ... на ряд 1 + 1 + _L 4
4- ...+ η*-* +···· Найти первые четыре члена.
242. Разделить ряд > ^ ' , на ряд > v ' . Найти первые
пять членов.
243. Разделить ряд ^ ψ на РЯЛ 2 ~2^—*
244. Разделить ряд 1 + 0 + 0 + ... + 0 + ... на ряд 1 + 1 +
-f 0 + 0+ ... + 0 + ... . Убедиться в том, что полученный ряд
будет расходящимся.
~ 5Л ^» Зп
245. Разделить ряд ^ —{ на ряд ^ ^р
ri=0 м=1
246. Разделить ряд > ^ на ряд V -^р-.
rt=0 /2=0
247. Найти первые пять членов ряда, пси
оо
ряда 1 + 0 + 0 + ... + 0 + ... на ряд У ап
ГЛАВА II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД И ОБЛАСТЬ ЕГО СХОДИМОСТИ
Ряд
оо
членами которого являются функции от аргумента х} определенные на
некотором множестве D, называется функциональным. Если подставлять в ряд (14)
определенные числовые значения χ £ А то будут получаться различные
числовые ряды, среди которых могут оказаться как сходящиеся, так я
расходящиеся.
Множество всех значений я, для которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости функционального ряда.
Может случиться, что для некоторых χ ζ D ряд (14) сходится абсолютно,
а для некоторых — условно. Поэтому различают также области абсолютной
и условной сходимости функционального ряда.
£0

Если функциональный ряд.имеет на некотором множестве своей суммой
функцию S(x), то говорят, что функциональный ряд сходится на этом множестве
/с функции S(x).
Для нахождения областей сходимости функциональных рядов можно
использовать табличные ряды и достаточные признаки сходимости числовых
рядов. Как это делается, рассмотрим на конкретных примерах.
°° 1
Пример I. Найти область сходимости ряда V —^ .
<4 Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический
ряд "V —, который сходится, и притом абсолютно, при ρ = л:> 1
п=\
и расходится при χ <. 1. Область сходимости ряда определяется
двойным неравенством 1 <л:<оо.
Пример 2. Найти область сходимости ряда V *~~ \—.
/2 = 1
<4 Для χ > 1 данный функциональный ряд сходится абсолютно,
так как для этих χ сходится ряд \ -^ , составленный из абсолютных
величин членов данного ряда (см. пример 1). Для каждого χ из
промежутка 0 < χ < 1 он сходится условно, как знакочередующийся
и удовлетворяющий признаку Лейбница; при χ < 0 — расходится,
как неудовлетворяющий необходимому признаку сходимости. Таким
образом, область сходимости данного ряда характеризуется
неравенством χ > 0.
оо
Пример 3. Найти область сходимости ряда V \пп х.
я=1
-4 Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую
прогрессию со знаменателем q ==■ \т. Так как прогрессия сходится
лишь при \q\ < Ι,τοοη сходится, и притом абсолютно, при |1т;| < 1,
т. е. при —1 < In* < 1, и, следовательно, неравенства е"1 < χ < е
определяют область сходимости данного ряда.
νι Χ
Пример 4. Найти область сходимости ряда > —.
/2=1
<4 При χ = 0 сходимость ряда очевидна. Пусть χ Φ 0.
Применим признак Даламбера. И так как этот признак применим лишь к
рядам с положительными членами, то исследуем ряд сразу на
абсолютную сходимость. Так как fn(x) = ~, fn+1(x) = Ajt-, то
П ' '*+1*"7 п+1
р= lim
fn+Ax)
fnW
= lim
yn+i
η
n-+oo Ι (Π + 1) ХП
Отсюда вытекает, что ряд сходится, и притом абсолютно, при |л;| < 1.
При \х\> 1 ряд расходится, как не удовлетворяющий необходимому
признаку сходимости. Если ρ = 1, то признак Даламбера ответа о
сходимости ряда не дает и, следовательно, при χ = ±1 ряд нужно
51

1
исследовать особо. При χ = 1 получается гармонический ряд V —,
п=\
он расходится; при х = —1— сходящийся ряд Лейбница "V ^-^—.
Таким образом, область сходимости данного ряда характеризуется
неравенством —1 <: χ < 1.
~ (х—3)п
Пример 5. Найти область сходимости ряда > —-—^Н—.
п=\
-4 Исследуем ряд на абсолютную сходимость с помощью признака
Коши. Так как fn(x) = (χ — 3)п/пп, то
р= lim ί^| /η (х) I = Hm ι/ -
л:—3 I n τ. | χ — 3 | Λ
!— = lim J L = 0
для любого х. Следовательно, ряд сходится абсолютно в бесконечном
промежутке —оо <; χ <;оо. Этими неравенствами и определяется
область сходимости данного ряда.
оо
Пример 6. Найти область сходимости ряда ^
п=\
<4 Применим признак Даламбера. Так как fn (χ) == xn/(l -f- χ2");
fn+l(x) = xn+l/(i + x2*+2), то
| xn+1(l +x™) ι , , ,.
о = lim ———— = a: lim
1 + *'
2Я
1 + *2
Μ χ | при | χ | < 1 (хфО),
= j 1 при | χ | = 1,
( 1/ | χ | при | χ | > 1
(при I x I > 1 вычисления производятся так:
1 + x2n , , ,. \/χ2η+2 + \/χ2
lim — = 1^1 Hm
ι + х2П+2 ' «_>οο \1х2П+2 + ι
Μ/
Так как при χ = 0 сходимость ряда очевидна, а при всех других
х φ ±1 ρ < 1, то, по признаку Даламбера, данный ряд сходится для
всех χ φ ±\. При χ = ±1 получаются ряды > , не удовлетво-
гс=1
ряющие необходимому признаку сходимости и, следовательно,
расходящиеся. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит
из всех χ Φ ± 1. ι
00 ι
Пример 7. Найти область сходимости ряда V — .
F F * £{(х*+\)(х2+2)...(х*+п) |

<4 Сразу же заметим, что при χ = 0 данный ряд расходится, как
принимающий вид 1 —|— 1 —|— 1 —f— — —4— 1 —|— — . Применение признака
Даламбера здесь ничего не дает, так как для любого χ
fn+i (*)
/nW
(я+ 1)! (х2+ 1)(*2 + ?) ■ ·■ (х2 + п)
(х2 + 1) (х2 + 2) ... (χ2 + η) (χ2 + η + 1) η Ι
я + 1 _ ι
R = limn
/2->·οο
при η ->οο. Применим признак Раабе:
-M<L\-l)-Hmn(* + a+l -1
/n+lWl / Λ->~ \ "+1
! . ПХ2 „
= lim = χ2.
ГС->оо AZ —j— 1
При х2 > 1, т. е. при х>1и х< —1, ряд сходится, а при х2 < 1,
т. е. при — 1 < χ < 1, — расходится. При χ = ±1 функциональный
ряд обращается в числовой V = V и, очевид-
£ 2-3... (»+1) £»+1
но, расходящийся ряд.
Таким образом, область сходимости данного ряда определяется
неравенствами х> 1 и а: <;—1.
Упражнения
Найти области сходимости следующих рядов:
248. ^ {nJ}" . 249. V (ηχ)". 250. V 1пл (1 + х2).
t=I п=\ п=\
оо оо оо
25,. 2<з_„». »я-21(тГ· 253·Σ^·
1=1 л=1 «=!
оо оо оо
254. V я (Эх-4)" ^ 255> ^ *3 о** VI 1
3"
«=1 «=1
Σ^· ~Σ
Sf /я·*"
257. У 1 . 258. У У*+х . 259. У-i
jid η (χ— 2)η ^U η2 (Ъх + 9)2/г~1 JU 1 +
ι=1 «=1
оо оо оо
У_Ь^-. 261. У?£5Л£. 262. У 2Mg-
л:
3^
260.
«=2 n=l *я=Г
53

σο οο
263. Vnsin^-, meZ. 264. ^ nsin ^J™, m6Z.
οο °°
265. 22"sin (τΓ,/η€Ζ· 266' 2^Sin^' m€Z·
οο °° .
οο οο οο
Σ-^π- 2™Σ^*· "'·2<»^>·
οο οο
7*ν
269.
η=1
272.
275.
278.
281.
283.
285.
287.
289.
291.
η=\
(ηχ)η
273.
1=1
(χ—5)"
274.
Σ
οο w
Σ1 + (^ . 276. V
(- *)« ^J
η=1
2" sin" χ
Σ
/ι=1
οο
2j η2 V л:2 + За: Ч- 2
οο
Σ
1
η tg χ'
\—χη
277.
4η sin 2П χ
280. Vn4e" — l
χ \η
/1=1 «=1
/ζ2 + 1 / *2 — 3χ + 2 \"
«=ι
282.
οο
Σ
(* — 3)η (2χ + η2)η
(л+ 1)/г2Л
jj[^lj-f7]7^. 284. ^
/2=1 " '
ΟΟ
Σ
°° arcsin"
χ — 3
л+1
0*+ι//ι
aieig" -■
Аг2 Η- 1
(^ ,ί
Γ 2η+Χ° +
[2П+Х+2+п
(η !)"
я*2 Ι
(*+2) J
S
σο
^ (*2+2) (2^+/Γ)... («*·+^2)
j£j [η2 (χ + 2) — n*2+lj *
288.
290.
η χ"
га! л:2"
292.
οο
Σ η* In" \l + —2—\.
и=2
(Ι +.ЧГ) (1 Η-λγ2) ... (1+*»)
жЧ (2я—1) ϋ / 2лг \я
^ (2n)l! U+W '
54

η (η~χ) η3 / jr\
с» η 1" Η I
^~ч г— η *—" V п)
*=1
,„п+л
296.
я=2
297.
~rt=2
299.
V ! . 295. У -fiL·
ЯГ (1 + α™*2) Ϊ^^Τ -^ *
оо
^ я (In я)·* (In In я)/' ' Ρζ
/2=2
оо
Σ
rt=2
оо
Σ
- (1 + 1/2+1/3 +
sin nx
я
... + 1/(/ι-1))
эо
300. У c-?^
n=\ r
298.
-·
"V\bnx arctg ϊ
«=1
oo
301. \\s\nnx.
«=1
2.. - . ^2ч(«+1)/2
oo oo
302. У Π·8·6...(2—1)V 303 у
^L 2-4.6...(2„) J ^J (2я. + я + ^
oo / η \ oo
304. yf/иП Γ** . )■ 305· У! (ДС2+1)П ·
Μ и i+^+чп·*.; ^ ln2sin_L
я
оо оо
306. У /cos—)"'. 307. У sin(«J/n2+x2).
п=1 гс=]
оо оо
308 у sin д-sin д» 309. У Infl + (—'Г
^ 1п2д: + я ^ V ^ пх
оо оо
зю. У —Ы£—. 311. У ί
[ΥΠ
n=2 «=1
312. Найти область сходимости ряда \τ(η)χ2η, где х(п) — число
делителей числа п, отличных от 1 и п.
55

§ 8. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Суммой функционального ряда
оо
ЦМ*) (15)
называется функция
SW= Mm Sn(x)y (16)
П-*оо
где Sn(x) = /t(*) + /2W -+-···+ /«W — л-я частичная сумма данного ряда.
Она определена для тех значений х, для которых определены функции }п(х).
η = 1,2, ..., и для которых предел (16) существует. Так, например, сумма
геометрической прогрессии 1 + χ + я2 + ... + *л"1 + ··■ мри. |*|< I равна
\ — хп 1
SW= Dm (1 + χ + χ2 Η + α:"'1) = Urn = .
П-+оо /ϊ-*-οο Ι — * 1 — #
Ответим на вопрос, что означает сходимобть функционального ряда в
точке и в промежутке. Сходимость функционального ряда (15) в точке х% означает
сходимость числового ряда 2''η(*β). ® этом случае lim Sn(x0) «= S(x0). бледо-
вательно, на языке 8—N сходимость функционального ряда (15) в точке
хо означает, что для лнэбого 8> 0 существует номер /V такой, что для всех п>
>> N справедливо неравенство
I RnM\ та \SM — S„(*0)|<3 8.
00 „
Здесь Rn(xo) — остаток ряда Σ,'η(*ο).
п=\
Выясним теперь, что означает сходимость функционального ряда к функ-
ции S(x) в некотором промежутке. Пусть ряд (15) сходится для всех значений*
из некоторого промежутка Е. Тогда при любом фиксированном fc> 0 каждому
значению χ.£ Ε будет соответствовать свой номер Ν(χ) такой, что из
справедливости неравенства п> Ν(χ) будет вытекать справедливость неравенства
\S(x) — Sn(*)|<i g. Это означает, что число /V в общем случае зависит не только
от 8, но и от х. Таким образом, сходимость функционального ряда (15) в
промежутке Ε к функции S(x) означает, что для любого е> 0 существует номер Λ7
(в общем случае зависящий от » и к) такой, что для всех п> N справедливо
неравенство \S(x) — Sn(x)\<< ε
Заметим, что число N по заданным χ и 8 определяется неоднозначно. Если
одно число N такое, что из я> N следует \S{x) — «Sn(*)|< e, уже найдено,
то всякое Ν\>> N будет также подходящим, ибо из п~> Nf и подавно будет
следовать справедливость неравенства \S(x) — 5п(л:)|<8.
Рассмотрим возможные случаи зависимости числа N от х. Мы видели, что
упомянутое число N зависит в общем случае от е и х. Фиксируем е и
рассмотрим зависимость N только от х. Возможны следующие случаи.
I. Существует функция N = N(x), ограниченная в рассматриваемом
промежутке Ε сходимости ряда и такая, что из я> Ν(χ) следует \S(x) — Sn(x)\<a
< ε. Тогда существует номер No такой, что для всех значений χ указанного
промежутка верно неравенство N(x) < No. И, следовательно, для любого
фиксированного 8> 0 существует номер No (теперь уже не зависящий от х\) такой,
что для всех п~> No и всех χ £ Ε одновременно справедливо неравенство
\S(x) - SnU)|<8.
II. Не существует функции N = N(x)t ограниченной в рассматриваемом
промежутке и такой, чтобы из гс> N(x) (при любом 8> 0) следовало
неравенство \S(x) — Sn(*)|< в. Тогда не найдется числа No такого, что при п> Nq
и любом χ из промежутка сходимости выполнялось бы неравенство \S(x) —
— Sn(*)|< ε (в этом случае номер N может неограниченно возрастать при
приближении χ к некоторому фиксированному числу; см. пример 1).
56

S(x)+e
В первом из рассмотренных случаев говорят о равномерной сходимости
функционального ряда в промежутке Е. Дадим точное определение.
оо
Сходящийся в некотором промежутке Ε функциональный ряд Ύ\ίη{χ) на-
зывается равномерно сходящимся в этом промежутке, если для любого ε> О
существует номер Ν, не зависящий от χ и такой, что для всех п> N
справедливо неравенство \Rn(x)\ = |S(*) — 5ЛМ|< ε,одновременно для всех значений χ
рассматриваемого промежутка.
Введение в рассмотрение класса равномерно сходящихся рядов
целесообразно потому, что последние обладают рядом чрезвычайно важных свойств,
связанных, в частности, с непрерывностью
суммы ряда, с возможностью
дифференцирования и интегрирования функциональных
рядов. Об этом пойдет речь ниже.
Понятию равномерной сходимости можно
дать геометрическое
истолкование. Если в рассматриваемом
промежутке построить графики суммы ряда у = S(x)
и функций у — S(x) -t ε и у = S(x) — ε,
то равномерная сходимость функционального
ряда к сумме S(x) будет означать, что
графики частичных сумм у = Sn(x) данного
ряда в упомянутом промежутке все начиная
с некоторого будут расположены между кри-
выми у = S(x) + ε и у = S(x) — ε (рис. 1).
Одно из важнейших свойств равномерно сходящихся рядов — свойство,
связанное с непрерывностью его суммы. Справедлива следующая теорема.
оо
Если функциональный ряд ^fn{x) имеет своими членами непрерывные в
лг=!
некотором промежутке функции и в этом промежутке сходится равномерно,
то и его сумма S(x) непрерывна в этом промежутке.
Требование равномерной сходимости является существенным;
неравномерно сходящийся ряд непрерывных функций может иметь разрывную сумму.
Рассмотрим теперь достаточные признаки равномерной сходимости
функциональных рядов.
σο
Признан Вейершграсса. Если члены функционального ряда 2 п(х) в некото-
п=\
ром промежутке не превосходят по абсолютной величине соответствующих
оо
членов сходящегося числового ряда ^ ап с положительными членами, т. е. если
\ίη(χ)\ < ап для всех к упомянутого промежутка, то данный функциональный
ряд сходится ъ этом промежутке абсолютно и равномерно.
оо
Числовой ρ яд V ап называется мажорирующим рядом или числовой мажо-
оо
рантой для функционального ряда V| ln(x) в некотором промежутке, если для
п=\
всех χ этого промежутка справедливо неравенство \fn x)\ < ап.
Признак Вейерштрасса можно сформулировать и так: функциональный
ряд сходится в некотором промежутке равномерно, если в этом промежутке
он мажорируется некоторым сходящимся числовым рядом.
оо
Заметим, что если к функциональному ρ яду Τ! fn{x) применим признак Вей-
п=.\
57

ерштрасса, то одновременно с ним будет равномерно сходиться и ряд^ 1/лМ|.
оо
Однако возможны случаи, когда ряд ^fn{x) сходится равномерно, но является
п=\
лишь условно сходящимся (см. пример 4). Возможны также случаи, когда ряд
оо оо
2/лМ сходится абсолютно и равномерно, в то время как ряд^ \fn(x)\ сходится
/2=1 /2=1
неравномерно (см. пример 5). Разумеется, в обоих отмеченных случаях признак
Вейерштрасса неприменим; здесь требуются более тонкие признаки.
оо
Признак Дини. Если членами ряда ^ϊη(χ) являются положительные и не-
/2=1
прерывные на отрезке [at b] функции, и если этот ряд имеет непрерывную на
этом отрезке сумму, то он сходится равномерно на отрезке [а, Ь\.
Признак Абеля. Пусть функциональный ряд имеет вид
/1=1
оо
Если ряд ^ $п(х) сходится равномерно в некотором промежутке, а функции
я=1
αηΜι я = 1» 2, ..., ограничены в этом промежутке одним и тем же числом и
при каждом χ образуют монотонную последовательность {αη(χ)}, то данный
функциональный ряд сходится равномерно в этом промежутке.
оо
Признак Дирихле. Пусть функциональный ряд имеет вид ^\ α,ηβη(χ), где
/2=1
ία7ΐ} — монотонная числовая последовательность, сходящаяся к нулю. Если
оо
частичные суммы Sn(x) ряда 2 βηΜ ограничены в некотором промежутке одним
/2=1
и тем же числом (т. е. существует число УИ> 0 такое, что \Sn(x)\ < Μ при
любом η и всех χ упомянутого промежутка), то данный функциональный ряд
сходится равномерно в этом промежутке.
Пример 1. Исследовать ряд 1 + χ + χ2 + · · · + χη~λ + ■ · · =
оо
= V хп~г на равномерную сходимость в интервале (0, 1).
^ Сумма данного ряда и модуль остатка соответственно равны
S(x) = —— , \Rn(x)\ = \S(x)—Sn(x)\ =
1 — χ
1 1 — хп
1-х 1-х
ι
Зададимся теперь произвольным ε > 0 и попытаемся отыскать номер
N так, чтобы из справедливости неравенства п> N вытекала
справедливость неравенства Ι^ΜΙ < в> т. е.
хп/(1 — *)<е. (А)
С этой целью разрешим неравенство (А) относительно п:
хп<(\—х)е\ /г 1η χ < In (1 — х)е; п> In [(1 — χ) e]/ln x (Б)
(смысл неравенства изменился, так как lav < 0).
58

Примем за число N целую часть дроби (Б), т. е. положим
N = [1п[(1 - х)г]/1пх]. (В)
формулой (В) определяется наименьшее из всех возможных целых
положительных чисел N таких, что из η > Ν следует справедливость
неравенства (А). Это вытекает из равносильности неравенств (А) и
(Б).
Заметим далее, что из полученной формулы (В) отчетливо видна
зависимость N от г и х. Остается исследовать поведение функции
Ν(χ) в интервале (0,1). Нетрудно видеть, что в этом интервале она
неограничена, так как при χ -> 1 lnx ->0 и, следовательно, N ->оо.
А так как даже наименьшее из всех возможных N неограниченно
возрастает при χ -> 1, то не существует числа N такого, чтобы для всех
χ интервала (0,1) остаток ряда был меньше ε. Таким образом, данный
ряд в интервале (0,1) сходится неравномерно. Однако в любом
полуинтервале вида (0, δ], где 0 < δ < 1, ряд сходится равномерно, так
как на нем функция (В) уже ограничена (предоставляется читателю
обосновать это самостоятельно).
оо
Пример 2. Показать, что сумма S(x) ряда х2 + V (х2п—х2п~2),
членами которого являются непрерывные всюду функции, имеет
точки разрыва. Объяснить причину их существования.
^ Вычислим п-ю частичную сумму данного ряда:
h(x) = x*
/9 \Х) — X X »
+ -
fn (χ) = χ2η - *2П-2 ( 0, если | χ | <1,
Sn(x) = xM; S(x)= \\шх2п=\ 1, если |χ|=1,
п-*°° { оо, если | л: | > 1.
Таким образом, ряд сходится на отрезке [—1, 1] и, хотя его члены
непрерывны на этом отрезке, сумма ряда терпит разрывы в точках
х == —1 и χ = 1. Для объяснения этого факта выясним характер
сходимости ряда на отрезке [—1, 1]. Для всех значений χ интервала (—1,1)
| Rn(x) | = | S(x)-Sn(x) I = I 0-χ»» | = **■.
Пусть ε > 0 — любое фиксированное число. Выясним, для каких η
справедливо неравенство \Rn(x)\ == х2п < ε. С этой целью разрешим
его относительно п:
я In л;2 < In ε;
так как 1пл:2<0, то
п> 1η ε/ In χ2. (Γ)
59

Так как неравенства х2п < ε и (Г) равносильны, то натуральное
число Ν,
д/__ ι flne/lnx2], если 1пе/1пл:2> 1,
п*
1, если 1пе/1пл;2< 1,
будет наименьшим из всех возможных, при котором из η > Ν следует
справедливость неравенства х2п «< ε. А так как даже наименьшее из
всех возможных N неограниченно возрастает при χ ->±1, то модуль
остатка ряда не может быть меньше произвольно малого ε>0 для
всех χ интервала (—1, 1), а следовательно, и подавно для всех χ
отрезка [—1, 1]. Это означает, что данный ряд сходится на отрезке [—1,
1] неравномерно, что и объясняет наличие точек разрыва у суммы)
ряда.
по I
Пример 3. Установить равномерную сходимость ряда V
п=]
на любом отрезке.
^ Для всех значений χ справедливо неравенство
\cosnx/n2\ < \/п2. (Д)
Это значит, что ряд с общим членом \1п2 мажорирует данный функ-
°° 1
циональный ряд. Так как ряд 2""2—сходящийся, то данный функ-
п=1
циональный ряд, по признаку Вейерштрасса, сходится равномерно
на любом отрезке.
Замечание. Данный ряд сходится равномерно не только на любом
отрезке, но и на всей числовой оси, так как неравенство (Д) справедливо для
всех х. Из равномерной сходимости ряда на всей числовой оси вытекает
равномерная сходимость на любом отрезке, но не наоборот. Существуют ряды,
сходящиеся равномерно на любом отрезке и неравномерно на всей числовой оси
(см. упражнение 320а).
оо
Пример 4. Исследовать на равномерную сходимость ряд > r—]_ г~
^d Υ/ η -Тух.
/2=1
^ Данный ряд сходится в промежутке 0 < χ <<°°, как
знакочередующийся по признаку Лейбница. В этом промежутке он сходится
лишь условно и поэтому признак Вейерштрасса неприменим. Однако,
пользуясь известной оценкой остатка знакочередующегося ряда
(\Rn(x)\ < Ι/η+ιΜ1)> легко получить неравенства
I Rn (χ) I < l/(ΚίΓ+Ί + 1/7) < 1/ΐΛΓ+Ί .
Каково бы ни было ε > 0, найдется номер Ν, Ν = [l/ε2— 1] такой,
1
что для всех п> N будет справедливо неравенство < е.
Тогда и подавно при п> N и всех χ промежутка 0 < χ < сю
выполняется неравенство \Rn(x)\ <C ε. Это и свидетельствует о равномерной
сходимости данного ряда в упомянутом промежутке.
Пример 5. Убедиться в том, что фукциональный ряд
60

у v— сходится на всей числовой оси равномерно, а ряд
>J (1-{-х2)п
оо 2
составленный из модулей его членов, хотя и сходится
£ (1+х2)п '
для всех значений х, но уже неравномерно.
<4 Данный ряд — знакочередующийся, поэтому
#п(*)|.< „ , ^2)Л+1 - 1 J_,„_1_IW2_| Uy2(/i+l)"
<
(1 + *Ύ+1 1 + (я+l) *2 Η h λ:
*2 1
(гс+1)*2 я+1
для всех χ Φ 0. При χ = 0 /?η(0) =0. Отсюда с помощью
рассуждений, аналогичных тем, которые приведены в предыдущем примере,
устанавливаем равномерную сходимость ряда на всей числовой оси.
Исследуем теперь на равномерную сходимость ряд V 2~й~'
составленный из модулей членов данного ряда. Так как этот ряд
представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q = . , 2,
то для χ Φ 0
ι ό (Υ\ ι - *2 , *2 , _ *2/0 + *Τ+1
(l+*2)"+1 (l+*2)"+2 1-1/(1+λ:2)
_ 1
~~ (1 -f *2)*
Когда χ ->0, το £!η(χ) -»· 1 (при любом д) и, следовательно, остаток
не может быть меньше произвольно малого ε > 0 для всех χ одновре-
00 2
менно. Это свидетельствует о том, что ряд V (1 , 2)П сходится
на всей числовой оси неравномерно.
2 а:4
п=--0
сходится равномерно на любом отрезке, не содержащем нуля.
^ Поскольку данный ряд представляет собой геометрическую
ι
прогрессию со знаменателем q = 77^- , то сумма ряда легко
находится. А поэтому напрашивается применение признака Дини. Итак,
найдем сумму ряда. При χ Φ 0
S(x) = xV[\ — 1/(1 + x4)\ = 1 + jc4;
так как при х = 0 S(0) = 0, то
1 + л:4, если хфО,
[ 1 + л;\ если хфО,
w [ 0, если л; = 0.
61

Сумма ряда S(x) непрерывна на всяком отрезке, не содержащем нуля.
А так как члены данного ряда положительны и непрерывны при
всяком х, то, по признаку Дини, данный функциональный ряд сходится
равномерно на любом отрезке, не содержащем нуля.
Пример 7. Доказать равномерную сходимость ряда
оо
Σ (l + —Υ _[~1)А?_ на отрезке |0,1].
<4 Будем рассматривать данный ряд как ряд вида
2 ап (х) Pn (x), где αη (*) = (1 + χ/η)η,
Рп1х) = (-0Й/(1^Г+ /Л.
Воспользуемся признаком Абеля. Ряд > PnfaJ == \ /— -и /—'
сходится равномерно в промежутке 0 < χ <οο (это доказано в
примере 4). Следовательно, он сходится равномерно и на отрезке [0,1].
Из курса математического анализа известно, что
последовательность {(1 +х/п)п} для любого л;>0 монотонно возрастает при η ->оо
и имеет пределом число е*. Поэтому функции ап(х) = (1 + х/п)п
ограничены на отрезке [0,1] числом е и при каждом χ £[0,1]
образуют монотонную (возрастающую) последовательность. Отсюда
следует, что, по признаку Абеля, данный ряд сходится на отрезке [0,1]
равномерно.
Пример 8. Доказать равномерную сходимость ряда V smn x на
любом отрезке, не содержащем точек вида χ — 2nk, k £ Ζ.
«4 В примере 8 пояснительного текста к § 4 доказано, что
данный ряд сходится при любом х. Исследуем его на равномерную
сходимость с помощью признака Дирихле. Данный ряд будем рассмат-
оо
ривать как ряд вида ^αη$η(χ), где ап = \/п, βη(χ) = sin/гл:.
Последовательность {\/п} монотонно сходится к нулю, и поэтому
первое условие признака Дирихле выполнено. Проверим ВЫПОЛНИ-
оо
мость второго условия. Для частичных сумм оп ряда Vsinm; спра-
ведливо неравенство |ση| < l/|sin —|, χ φ 2nk (см. тот же пример
8 § 4). В точках χ = 2nk sin (x/2) = 0, а на любом отрезке, не
содержащем этих точек, функция 1/sin (х/2) непрерывна и, следовательно,
ограничена. Поэтому существует число Μ > 0 такое, что \ση\ < Λί
на каждом из таких отрезков.
62

Вывод: так как последовательность {1/п} монотонно сходится
оо
к нулю, а частичные суммы ση ряда Vsimz* ограничены на любом от-
я=1
резке, не содержащем точек χ = 2я£, одним и тем же числом, то
данный функциональный ряд, по признаку Дирихле, сходится
равномерно на любом таком отрезке.
Упражнения
Исходя из определения суммы функционального ряда, вычислить
суммы следующих функциональных рядов и указать области их
определения:
оо оо
V 1 314 V L
4U 1п"(2*— 1)' ' ^ "С*:
313.
ν ι ctg χ
я=0 η—Ο
315.
2 {η + *2) + 1
У ! . 316. У -
JU (n + x)(n + x+l) j^i (η + χψ {η + 1 + χψ
η=0 η=1
317. ^βΙη,.^Τ'... cosi^r + r7-i-_ +
2я + 1 / 1 , 1 ,1
—— cos ' —
2/г2 {η + I)2 V 2/г2 2 (η + Ι)2
318. У хл sin/га. 319. V** cos па.
Исходя из определения равномерной сходимости, доказать
равномерную сходимость следующих рядов в указанных промежутках:
n=Q п=0
оо оо
ν ^2^Г · (~ *· 1}· 323· 2^'(1+8'+оо)'где8>0·
322.
"iteT "SSI
324.
оо оо
J , [0, 10]. 325. V ' , , (-оо, +оо).
2"-· V\+nx JmJ х? + "2
гс=1 лг=1
326. Доказать, что ряд V — сходится равномерно На ЛЮбОМ ОТреЗ-
п=0
ке и неравномерно — на всей числовой оси.
Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную
сходимость следующих функциональных рядов в указанных
промежутках:
63

327· 2j ~^~',_1,1J· 328· Σ i£"·r"3,3]·
n=l rz=j
oo oo
329. γ Ξ»« (-00, +oo). 330. У _ϋΞΐί^, (_οο, +oo).
:ю cos txx °°
331. У e 2 , (-00, + 00). 332. У (*~22>"д''"", [0, 4).
J^l η 1 η2 η ^^ η2 2η
00 30
333. V (~])П -Л-оо.+оо). 334. V -ζ-, [δ, Μ], 2<δ<Μ<
οο οο
335· 2 -TTF-' (~5· + °°>· 336· Σ ΤΤ^' {~ °°· + "*
эо
^arctg , (— οο, + οο).
337
οο
338. yin2/l + _^ V ί—100, 100].
^mJ Ι Уп \ώ η Ι
Доказать равномерную сходимость следующих функциональных
рядов в указанных промежутках!
339. V -±^£1, [0, 1,, 340. У ^р- , [1, 4].
341. Χ1 3η In fl + sin ! У (0, +оо).
οο
342. У , [1, +οο).
j^J (1 +χ)(\ + 2χ) ... (1 + ηχ)'
η=\
οο
343. Показать, что ряд 2*0 — *)* сходится на отрезке [0,1], но
//=0
его сумма не является непрерывной на этом отрезке. В каких точках
сумма ряда имеет разрыв? В каком промежутке сумма ряда
непрерывна?
344. Показать, что ряд > —' сходится равномерно на от-
п=)
резке [0,1]. При каких η и любом χ на этом отрезке \Rn(x)\ <0,1?
64

уЗ
345. Показать, что ряд V (. , 3^ сходится неравномерно при
х> 0 и равномерно при χ > 1. При каком η |i?nMI< 0,001 для
любого χ > 1?
00 ι
346. Показать, что ряд V , , , , п сходится равномерно
гс=0
к 1Д в интервале 0 < χ < оо. При каком η (и любом л: > 0)
|ДП(*)|<0,1?
347. Установить равномерную сходимость ряда > π-ί-χ2)* на
любом отрезке. Доказать, что ряд из модулей членов данного ряда
сходится неравномерно в бесконечном промежутке \х\ «<оо.
оо
348. Дан ряд ^!/*(*)» где Функции /п(л;) определены на отрезке
[0,1] равенствами
( 2пх, если 0 < χ < 1/2я,
fn (χ) = J 2 (1 — /и), если l/2n < л: < 1 ln>
I 0, если 1/n <; л: < 1.
Доказать сходимость ряда на отрезке [0,1]. Показать, что на этом
отрезке ряд сходится неравномерно.
Доказать непрерывность суммы следующих функциональных
рядов в указанных промежутках:
Σ-i—1^- , (—3, оо). 350. "V arcsin —ί— , (—оо, оо).
Зп + χ ; ^J χ2 + η2 '
349.
σο σο
ш V a^_ f (_oQf ^ 352- V ^_ > (0f TO)>
353.
Исследовать на равномерную сходимость следующие
функциональные ряды в указанных промежутках?
354. V 5ίΞ5£., [ε, 2π —ε] и 10, 2ic],0<e<ic.
σο
355. "V 2wsin —— , (0, оо).
J^A χ · 3я
оо оо
356. V (~ |)В , |0, 2«]. 357. Vi(l + -LY*, (0, оо).
^J п + sin χ ^^ пх \ η J
65

§ 9. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряд вида с0 -t- схх -+- с2х2 -г- c3xs-\- ... -f· спхп-χ ... = ^спхпу членами ко-
/2 = 0
торого являются степенные функции, называется степенным. Этот ряд всегда
сходится, по крайней мере при χ = 0.
оо
1. Теорема Абеля. Если степенной ряд ^>)спхп сходится при χ = хо Φ 0,
/7=0
то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству — |#o|< *< |λό| Если же степенной ряд расходится при χ = х0у
то он расходится и для всех значений х, для которых \х\> \хо\.
Из теоремы Абеля вытекает, что всякая точка его сходимости расположена
не дальше от точки χ = 0, чем всякая точка расходимости. Из нее вытекает
также, что существует интервал — /?<; х<С R, для всех точек χ которого степенной
ряд сходится, а для всех |х| > R — расходится. Этот интервал называется
интервалом сходимости, а число R — радиусом сходимости степенного
ряда. Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из
формул
R = lim
или R == lim (А)
при условии, что пределы, в них входящие, существуют. Так, например, этими
формулами нельзя пользоваться в тех случаях, когда бесконечное число
коэффициентов степенного ряда равно нулю. В частности, приведенные формулы
неприменимы, если ряд содержит лишь четные или нечетные степени х. Более
общей является формула Коши — Адамара
R = ■,' · (Б)
lim f I ап |
п~>оо
Характер сходимости степенного ряда характеризуется следующей
теоремой.
2. На всяком отрезке, целиком принадлежащем интервалу сходимости,
степенной ряд сходится равномерно.
Одновременно с рядами вида ^спхп будем рассматривать степенные ряды
п=0
более общего вида:
с* + сг (х - а) + с2 (х - а)2 + · · · + сп (х - а)п + ... = 2 сп (* - а)п. (В)
оо
Подстановка χ — а = у приводит последние к предыдущему виду *S\ cnyn. Если
м=0
оо
интервал сходимости ряда ^спхп симметричен относительно точки χ = 0, то
/2=0
оо
интервал сходимости ряда 2 сп(х ~~ а)п характеризуется неравенствами а —
— R<. х<~ а-\· R и симметричен относительно точки χ = а.
Исследовать степенной ряд на сходимость — значит найти его интервал
сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках ин-
66

тервала сходимости. Область сходимости степенного ряда всегда состоит
из его интервала сходимости и, быть может, граничных точек этого
интервала.
Для степенных рядов вида (В) имеет место следующая теорема, называемая
второй теоремой Абеля.
3. Если степенной ряд (В) сходится в интервале (а — /?, а т R) к функции
S(x), то его сумму в граничной точке χ = а — R(x = a ~t R) можно вычислить
по формуле
S(a — R)= lim S (x) (S (a + R) = Jim S (χ)) (Γ)
x->(a—R)+0 x-*(a-\-R)—0
при условии, что степенной ряд сходится в точке χ = а — R (х = а -г R).
Вычисление суммы степенного ряда в граничных точках интервала
сходимости с помощью формул (Г) называется методом Абеля
Функциональный ряд ^\cn[f(x)]n называется обобщенным степенным. Под-
оо
становка f(x) — у приводит его к виду ^спуп. Если \у\<. R — область
СХОДИЛО
оо
мости ряда ^cnynt то для нахождения области сходимости данного ряда
слегав
дует решить неравенство |Д*)|"< R относительно х.
Замечание. Операции над степенными рядами определяются так же,
как над функциональными. Примеры их умножения и деления рассмотрены
ниже. Способы практического деления степенных рядов ничем не отличаются
от способов деления числовых рядов. Однако возможно применение метода
неопределенных коэффициентов (см. пример 7).
оо
^5ΓΊ П2ХП
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда у —— .
. о п2 (п+1)2
4 Здесь сп = —, сп+1 = ^' , следовательно,
/?= lim
П-*оо
Сп
^п +1
= lim = 2.
η-** 2я(л+1)2
Интервал сходимости характеризуется неравенством —2 << χ < 2.
Исследуем сходимость ряда в граничных точках этого интервала.
При χ = ± 2 степенной ряд принимает вид
2"-^=Σ «=■>-·
Оба ряда расходятся, так как не удовлетворяют необходимому
признаку сходимости. Следовательно, область сходимости данного
степенного ряда совпадает с его интервалом сходимости: —2 <^<2.·
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
1
+2 п*х
п=\
<4 Здесь сп = пп. По второй формуле (А) найдем радиус
сходимости:
67

lim
1 ι. ι η
= hm — = 0.
n~*°° V ι cn ι η~*°° η
Следовательно, ряд сходится в одной точке χ = 0.
с»
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда \ .
Μ Так как сп = ; сп+1 = , то
п\ п+1 (Л+ 1) !
: ИГЛ
/2->оо
= Пт ("+1)1 = lim (η + 1) = оо.
Ряд сходится при всех значениях х: — оо <*< + оо.
2 2
η η
Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда 2 5 χ
/2=1
^ В развернутом виде ряд записывается так:
5* + 5V + 59*9 + · · · + 5*V2 + · ·. ,
и ясно, что бесконечное множество его коэффициентов равно нулю:
с0 = с2 = с3 = сь = с6 = с7 = с8 = г10 = с хх = ... = ст = ... = о
(т Φ η2). Следовательно, применение формул (А) для вычисления
радиуса сходимости недопустимо. Поэтому для нахождения области
сходимости ряда применяем непосредственно признак Коши
(возможно применение и признака Даламбера):
|оо, если |5*|>1, или \х\ > 1/5,
р= Hm y/r\bn*xn*\= lim | 5х\п =1 1, если |5л:| = 1, или л: =±1/5,
п-*°° п-*°° ( 0, если |5*| < 1, или — 1/5<л:<1/5,
Итак, исследуемый ряд сходится в интервале —1/5 < χ < 1/5.
В граничных точках этого интервала ряд расходится, так как при
х= ±1/5-он не удовлетворяет необходимому признаку сходимости
ряда.
Замечание. Более эффективным решением примера 4 является при-
менение формулы (Б):
а = ' _= ' _ '
Hm Ύ | сп | lim "{f 5" 5
оо
Пример 5. Найти область сходимости ряда \ (1 -| )п2 е~~пх.
<4 Данный ряд является обобщенным степенным. Положив е~* = у,
оо
получим степенной ряд \^ /1 -\ J yn с радиусом сходимости
R = Нтд 1 = Нт (1 + \1п)п = е.
/i->ooy^(l -|- Мп)—пг п-+°°
68

В граничной точке у ^ е данный ряд принимает вид *Уап =
оо п
= 2 (1 + 1/я)"' ' И ТЭК КЗК ДЛЯ ЛЮбоГО " у йп = (1 + ?/я)« > Ь ТО,
оо
по признаку Коши (не в предельной форме), ряд ^S^ctn расходится.
оо
Так как у = е~* > 0, то областью сходимости ряда V (1 + \ln)"niyn
будет множество чисел у, удовлетворяющих неравенству 0 «< г/ <c е.
Отсюда 0 < е~* < е, —оо < —χ < 1 и, следовательно, χ > — 1.
Последнее неравенство определяет область сходимости данного ряда.
оо оо
_ ^ri snxn ^ГЧ ( \)п хп
Пример 6. Перемножить ряды у и у - .
^^ η ' ^^ η !
п=0 п=0
гс=0
А 1 + Зх + — + — -\ + -5-ϊ_
1 21 31 я!
+ ··
l_x + _L_
21
77+··· +(-1)" -V +
3 ! « !
.)==i + (3_i)x + /|l_3+j-)xH·
+
+
3"
3«-ι
(η-1)1
22
qrc-2 ι ι
+ — + (_1)*J-] ** +
(η ~ 2) ! 2 ! V ' /ζ ! '
+ -.. = 1 + 2* + —*2-| + — 1^ — пЗ^1 + п(п~~1) 3«-2 —
3 1 я! L 2!
_ д(д-1)(д-2) 3^+-..+(-lH^+--- = l + 2^ + ^ X* +
3! J 3!
+ ··· +■
(3— \)пхп +
2ηχη
п=0
Все три ряда сходятся при всех х.
. оо сю
Пример 7. Разделить ряд 1 + -j "V (n+l) (п + 2) хп на ряд *Sxn.
-4 Области сходимости данных рядов характеризуются
неравенством \х\ < 1. Деление производим углом:
1 + Зх + б*2 + 10л:3 + 15л:4 Η | 1 + *+ *2 + *3 + х4 Η + *я Η
1+2л:+Зл:2+4л:3+5*Ч КМ-О *Ή
1 + * + jc 2 + л:3 + л:4 +
2л: + 5л:2 +9л:3 + 14л:4 +
2χ + 2л:2 + 2л:3 + 2л:4 +
Зл:2 + 7х3 + 12л:4 +
Зл-2 + Зл:3 + Зл:4 +
4л:3 + 9л:4+
4*3 -|_ 4л4 +
5*4 +
69

Таким образом, частным двух данных рядов является ряд
оо
\ (п + \)хп. Все три ряда сходятся при 'л:| < 1.
Произведем деление другим способом — методом неопределенных
коэффициентов. Пусть
1 + 3* + 6*2+ Юл:3 -Ь 15л:4 + ··· , . 2 . 3 , *
1 + λ· + λ:2 + χ'ά + χ4 -|- · ·
= c0 + сгх + с2х2 + с3х3 + сАх4 +
тогда
1 + Зх + 6х2 + Юл:3 + 15л:4 + ... = (с0 + слх + с2х2 + с3л:3 +
+■ с4х4 + · · · ) (1 + χ + *2 + л:3 + х* 4- · · · ).
Перемножая ряды, стоящие в правой части последнего равенства,
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
уравнения для определения неизвестных коэффициентов:
при х°
при χ
при х2
при хъ
с0 · 1 = 1,
^0 ~Ь С1 = 3,
^0 + <?1 + <?2 = б»
^0 ~Г С} -\- С2 ~г £3 ==
ю,
при х* с0 + d + с2 + с3 + · · · + сп = -у (л + 1) (η + 2),
Из этих уравнений последовательно определяются коэффициенты
искомого ряда: с0 = 1, сх = 2, с2 = 3, с3 = 4, ..., ^ = /1+1, ... .
Полученные результаты соответствуют уже выписанному ответу.
Упражнения
Найти области сходимости следующих степенных рядов:
358
361
363.
364.
70
V *" - 350 V ХП
j^A n+ 1 j^ n(n + 3)
оо оо
jOJl 5Л j^ (2л- 1) !
п=0 п—\
оо
у< (_1)»(2я-1)(п + 6)«»« χ2„+1
ΖΑ (2rt) >
η=0
σο oo
V η 1 χ". 365. V —
jhJ smA /(1+4/2) Ъп
360
366.
\4 (— 1)Л*Я
oo
VI д1лгл
JL (2л— 1)!!

367.
oo
Σ
/2 = 0
368.
/2=0
5nxn
(2л + \γ/Ψ~
369.
oo
Σ
(χ- 0"
2n (n + 3)
OO
370. У 5"("2 + 1)(* + 2)«»,
371.
373.
376.
378.
379.
(x + 5)"
OO
oo
372. V 2"2 (jc + 2)"a.
/2=0
2n In (n + 1)
(2x+ 0я
3/-ϊ
374.
-i±lYV. 375.
2rt+ j;
377,
де („2 + 4) ,ЛЮЯ
«=i
5Г1 лЬ(* + Ю)я
(/2+ 1)1π(/ι+1)
«2
гс=0
(*+В)
(я + 1)"
/2=0
oo
381. ^ л* arctg*
In3 (п+ 1)
/2=1
п+ 1
я2+3
ГС2 + 1
(х- 1)п
383.
я —4
п=5
385.
387.
(*-0* 1п " + '
(3—2*)"
η — In2 n
380.
382.
384.
386.
1 +
χ".
oo
Σ
η=0
(2 — χ)« sin
2η
V^ 1Я*)Я
л/=0
Σ
«=1
(η')2
η! χ"1.
^ _£±31 {νϊΓΠ _ уЛГ^Г). 388. ^ (;/Т- ΐ)^,α>0.
Λί=1
oo
389. V -Ц^-, me/?·
^j^ я lnm η
390.
SHir*^
/zy-j- 1
^J 1/ (2я)Н V 3 J jjj an + b"

«•Σ *№)■*·
оо
Σ
394.
γη
5 · (2α:— 1)"
395. > ; —— χ" .
396.
1Я1 ^^ΓΓ
I m (m — 1) ... (m — я + 1)
Xn .
397.
2ii+4- + -+-i^·
n=\
398. V(2-l/e)(2-fe)...(2-f7) (* — e)n
399. Определить область сходимости ги пер геометрического ряда
оо
'+Σ
c(g+ 1) ...(« +η-1) Ρ (β + 1)·· ■ (β + я- 1) χη
1 · 2 ■ 3 ... η · γ (γ + 1) ... (γ + η — 1)
Найти области сходимости следующих обобщенных степенных
рядов:
400.
403.
оо
Σ
п=\
оо
Σ
2nncosnx. 401.
1 . π
sin
(2x— I)2""'
402.
n+\\2x+l
oo
404. V 38Β<*'>" tg»,.
^J (3/i) !
405
407.
408.
410.
Выполнить указанные действия над степенными рядами:
оо
4Л*Л
Σ* [Σ
(я + 1)*"). 406.
α—0 'ί=0
2"In"2
/2!
и-
2^J
«=--0 У
• оо
оо
оо
409. | Л* л*1
• л=0
.2/Ζ-1
(2/2— 1) !
411. (а + Ьх + сх2 + dx6 + ex* + fxb + · · · )2. Найти члены до хь
72

412.
413.
- oo
/i=l
n—Q
(2n-l)
+
L n=0
1)"
(2«)l
— , /ηζΜ m>2.
Γ °°
,4. Σ
L /г=о
(/i+l)(n + 2)(n + 3)^
Xя
n=0
415.
bnxn
η !
(— 1)Я2Л*Й
n=Q
32n— 1
416. [—V(—1>
L 4 ^J (2/2+1)
«=o
/ oo \
oo
(„ 1)11+12M-1 ^
(2/2)1
Z2*~h
417. 1 :
X"
a :
418. Найти первые пять членов частного ,
1 : (а + Ьх + сх2 + dx3 + cxq + fxb Η ).
419. Найти первые пять членов частного
2α \8а2 2а) \4а2 2а 16а3/
, (Ш Зс*_ е 1ЬЬ2с 35fr4\ 4 . ]2
\4α2 8α2 2α 16α3 128α4) * '">
§ 10. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ
При некоторых условиях функциональные ряды можно почленно инте-
грировать и дифференцировать. Рассмотрим соответствующие теоремы.
оо
1. Если функциональный ряд У\[п(х) имеет своими членами непрерывные
п=1
^а отрезке [а, Ь] функции и сходится на этом отрезке равномерно к функции·
Ь{х), то его можно почленно интегрировать на этом отрезке.
оо
Это означает, что из справедливости равенства Ύ\ΐη{χ) = S(x) вытекает
/ι=1
справедливость равенства
оо Ь Ь
гс=1 а
η

Иными словами, при условиях, оговоренных в теореме 1, знаки суммирования
V ] и интегрирования Г можно менять местами:
U = l/ \а/
оо Ь Ь
Σ jfa(x)dx=j
n=l a a
2/«w
_n=l J
dx.
Заметим, что теорема 1 дает нам достаточные (но не необходимые!) условия
для почленного интегрирования ряда. При отказе от требования равномерной
сходимости функционального ряда теорема может оказаться неверной либо
потому, что сумма S(x) не будет интегрируема (в этом случае не гарантирована
непрерывность функции S(x)), либо потому, что ряд интегралов расходится
ь
либо сходится, но не к [S(x)dx. Наоборот, существуют ряды, не удовлетворяю-
а
щие условиям теоремы, но, однако, допускающие почленное интегрирование.
оо
2. Если в некотором промежутке 1) функциональный ряд У^/п(х) сходится
/7=1
к сумме S(x); 2) члены fn(x) данного ряда имеют непрерывные производные Г п{х)\
00
3) ряд этих производных 2^'W сходится равномерно, то данный функциональ-
п=\
ный ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке упомянутого про-
межутка.
оо
Это означает, что из справедливости равенства 2^W = $(χ) вытекает
п=1
справедливость равенства
оо
Σ f'a (х) = S'(x),
n=l
верного в каждой точке упомянутого промежутка. Другими словами, при
условиях, оговоренных в теореме 2, знаки суммирования и дифференцирования
можно менять местами:
Σ f'a « =
η—Ι
[J2 Μ*) .
Применительно к степенным рядам теорема о почленном интегрировании
рядов формулируется так.
оо
3. Степенной ряд V спхп можно почленно интегрировать на любом отрезке
[а, Ь], целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда.
Таким образом, если S{x) — ^cnxn, то
п=0
ь
а п=0 а я=0
Справедлива и еще более сильная теорема.
оо
4. Степенной ряд^спхп можно почленно интегрировать на отрезке [О, χ],
целиком принадлежащем интервалу сходимости, сколько угодно раз.
74

Применительно к степенным рядам теорема о почленном
дифференцировании рядов формулируется так.
оо
5. Степенной ряд *S\ спхп можно почленно дифференцировать в каждой точке
/1=0
х его интервала сходимости.
Из этой теоремы вытекает, что степенной ряд можно почленно
дифференцировать в каждой точке χ его интервала сходимости сколько угодно раз.
Дифференцирование и интегрирование рядов часто применяется для
нахождения суммы S(x) функционального ряда. Если сумму S(x) некоторого ряда
трудно найти непосредственно, но легко найти сумму ряда производных (или
интегралов), то, дифференцируя (или интегрируя) ряд с известной суммой,
можно вычислить и сумму исходного ряда S(x).
Иногда после нескольких дифференцирований степенного ряда
обнаруживается линейная зависимость между суммой S(x) данного ряда и ее
производными. Тогда вычисление S(x) сводится к решению некоторого линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов
применяются и для вычисления сумм некоторых числовых рядов. Для этого
составляется вспомогательный функциональный ряд, который при χ = х0 совпадает с
данным числовым рядом. Если сумма S(x) функционального ряда найдена и
он сходится при λ- = λ'ο, то число S(xo) является суммой данного числового
ряда.
оо
Для вычисления суммы сходящегося числового ряда^^д в качестве вспо-
м=0
оо
могательного может быть взят степенной ряд ^,апхп. Тогда, по методу Абеля
А2=0
оо оо
2°β =lim 2 ап*п-
Пример 1. Найти сумму ряда χ + ^г + 4~+ ··· + ~—Ь ··· = $(х)-
2 о п
<$ Интервал сходимости данного ряда (—1, 1). На основании
теоремы о дифференцировании степенных рядов его можно
дифференцировать в каждой точке интервала (—1,1). Выполним
дифференцирование:
1 + χ + х2 + χ3 Η μ χη~ι + · · · = S' (χ).
Суммируя полученную бесконечно убывающую при |*| < 1
прогрессию, находим S'(x) = 1/(1 — л:), откуда
S(x)= Г— = — In (1 — х) + С.
J ι— χ
Постоянную С можно вычислить, зная, что при χ = 0 5(0) = 0 и,
следовательно, 0 = — 1п(1 — 0) + С, откуда С = 0. Таким образом,
сумма данного ряда S{x) = —ln(l — х). Данный ряд сходится к своей
сумме для \х\ < 1.
Заметим, что данный ряд расходится в граничной точке χ = 1
и сходится, по признаку Лейбница, в граничной точке χ = —1. По
второй теореме Абеля, в случае сходимости степенного ряда в гранич-
75

ной точке χ = а — R имеем S(a — R) = lim S(x). В нашем случае
а = 0, /? = 1, 5(а:) = —1п(1 — х) и, следовательно,
S(--l)= lim [— In (1 — *)] = — In 2.
χ-*—!+0
Таким образом, область сходимости данного ряда к функции
—1п(1 — л:) характеризуется двойным неравенством —1 < χ < 1.
оо
Пример 2. Найти сумму ряда V (п + 1) (л:2—1)".
/1=0
^ Положим г2 — 1 = у и найдем сумму S(i/) степенного ряда
оо
^ (л + \)уп, сходящегося для \у\ < 1 (что нетрудно установить с по-
«=0
мощью признака Даламбера). Интегрируя равенство S(y) = У](п +
+ \)уп на отрезке [0, у] (что возможно на основании теоремы об
интегрировании степенных рядов) и затем дифференцируя полученное
равенство по у, будем иметь
у оо
jS(i/)di/= ^y™= -JL·-; S(y) =
1
(i-y)2
но у = х2 — 1, поэтому
оо
1
(п+ \){х2 — \)п
(2—χψ
Разложение имеет место для всех значений х, удовлетворяющих
неравенству \х2 — 11 < 1, т. е. для —1 < х2 — 1 < 1; 0 < х2 < 2,
откуда — V2 <%<0и0<л:< Ϋ2. Эти неравенства и определяют
область сходимости данного ряда к сумме 1/(2 — х2)2.
~ Х2П
Пример 3. Найти сумму ряда > Щ)Г'
«=о
^ Обозначим сумму данного ряда через S(x) и найдем S'(x) и
γ2 ν& «fi
5'^ = -+f + Τ+1Γ + ···'
y2 y4 у6
5//(^)=1+^- + U + *_ + ....
2! 4! 6!
Замечаем, что S"(x) = S(x). Полученное соотношение можно
рассматривать как дифференциальное уравнение относительно искомой
76

функции S(x), для которого начальные условия имеют вид 5(0) = 1,
^'(Q) = 0. Так как это уравнение является линейным однородным с
постоянными коэффициентами, то оно решается с помощью
характеристического уравнения k2 — 1 = 0, корни которого k[,2 = ±1;
следовательно, S(x) = Qe* + C2e~x. Постоянные С\ и С2 найдем из
системы
1 S' (0) = 0 \ Са —Ся=0:
Cl = C2= I /2, следовательно, S(x) = — ех-\ е~х = ch x.
σο ^
Пример 4. Найти сумму ряда V -^ψτ-
п=\
4 Составим вспомогательный степенной ряд > —^ и обозначим
его сумму через S(x). Нужно найти 5(1). Для этого продифференци-
руем обе части равенства S{x) = > ^-^ по л: (это возможно на ос-
новании теоремы о дифференцировании степенных рядов) и вычислим
сумму ряда производных:
^>=ς^--τ:ς(τγ=τ
1 1
1—аг/2 2-х
Проинтегрируем теперь обе части равенства S'(x) = 1/(2 — л)
на отрезке [0,*]:
к
S (л:) - Г — = — Γΐη (2—*)"|*= — In (2 — χ) + In 2; тогда
о
оо
V — = 5(1) = In 2.
оо
Γ* Ην Ι
Пример 5. Исходя из соотношения \ —^ = —- , найти сумму
2
оо
ряда \ — (того же, что и в примере 4).
ОО ОО ОО ОО / ОО \ ОО
4 Σ^=Σί^=ί Σ^ dx=l^dx==
2 \ rt=l / 2
= [in (1 — 1/*) 1°°= — In (1 — 1/2) = In 2.
rt=l л==:1 2 2 \ «=]
77

Здесь мы поменяли местами знаки J и Σ. Эго можно ввиду
непрерывен ^
ности членов ряда "V ~я+т в промежутке 2 < χ < оо и его равно-
п=\
мерной сходимости в этом промежутке.
оо
(-1)"
Пример 6. Найти сумму ряда
Σ
п=0
Зл-f- 1
оо
о W^ ( \)П хЗП+1
^ Составим вспомогательный степенной ряд > -—-
Jmi Зя+1
и воспользуемся методом Абеля:
УЬ0!= Ига у1
^ Зп + 1 oi-o ^J Зп + 1
/1=0 "=0
ОО X / ОО
^J ЗЛ2 + 1 ,->1-0 J I ^J
— ПЛ ν8Λ+1
(— 1)ПХ<
Зп + 1
О \ /1=0 ' л-
(1л: =
lim
*-*■!—0
ОО
(— Ι)"*3
0 L /2=0
д.
ix = lim \
ж->1—0 J
άχ
— lim
1 + χ3 *-*■!—0
-Linil±iL +
б 1—*+**
. 1 2х—\
+ —— arctg ,_
/3 /3
.. Г 1 , (1 + *)2 . 1 , 2л:—1 .
= lim —In-—!—- arctg h
^i-o L 6 l-x + x* J-T ,/3~
/3 /3
+ ~ —1 = — ln2+ -JL^.
"3 6 J 3 3l/3
/3
Упражнения
Найти суммы следующих рядов и указать области их сходимости
к своим суммам:
420. У\(п+\)хп. 421. \
"/ϊ=0" /г=1
/2
422.
оо
Σ
(—!)"(«+!) л"
423.
426.
/ι=0
оо оо
Σ (-О'*"-1 424 V
3/2—1 ^J
/1=1 /2 = 1
оо сх
— . 427. У η я*»-*. 428. У (— + — W.
(4я-1) (4/1 + 3) ^J ^JU я+1/
n(n + 1)
425.
n=0
oo
Σ
(η2 + /г) χ"'1
2л-1
оо оо
429. V(2/22 — 2η+1)*Λ. 430. Ч^дф2—2)»-1,
я=0 я=1
78

431. V(n+ 1)(*3 + 1)"·
oo oo oo
432. У {χ3-ψ+1 ■ 433. V ' 434. V Δ..
^J л+1 ^п(\~2х)п £А хп
/1=0 п—\ п=\
oo oo
435 V 2 . 436. γ(-'>™«»?^1.
oo
(— \)n+1 tgn x
437. , ,
_!_' л (л+1)
/ι=Ι
438.
Σ
/ι=Ι
oo oo
/г=0 «=0
440. Доказать, что ряд V ^-^— сходится равномерно на всей
/2=1
оси Ох, но что его нельзя дифференцировать ни в каком интервале.
ос
441. Дана функция f(x) = V^eWJf. Доказать ее непрерывность
-I
при а: < 0 и вычислить ( / (χ) άχ.
—тз
442. Доказать равенство
00 /z-l
ί+* h 1+*-1 {~х
oo
443. Доказать, что функция f(x) = у непре-
<£-J η2 (η + 1)2 + χ2
/2=1
ос
рывыа при всех х, и вычислить [ / (χ) άχ.
Ь
оо
444. Убедиться в том, что ряд х2 + \(х2п — х2п~2) можно почлен-
/2=2
но интегрировать на отрезке [—1,1], несмотря на то что он сходится
неравномерно на этом отрезке.
ос
445. Доказать, что ряд ^ ,. , ,2)П нельзя почленно интегрировать
/2=1
ни на каком отрезке, содержащем точку χ = 0.
oo 1
446. Доказать, что функция С(л') =У — в промежутке х> 1
имеет производные всех порядков.
79

Составить линейные дифференциальные уравнения, которым
удовлетворяют суммы следующих степенных рядов. Воспользовавшись
полученными уравнениями, вычислить суммы данных рядов:
оо оо
447. V -^-. 448. V -ί .
оо оо
449. У(— 1)Л——. 450. у(_1)Я-£ .
451. \—2х— — + — + ±L _2L + (—1)я—
2! 3! 4! 5» 6! ' (2л)!
Ov-2/Z+l
; (2п+1)1
^,/^sin^ ^Ц 2„
452· 2j ""^ χη· 453· JLl ..(2,-i)" ·
я=0 «=0
454,у (-iyin»«t
Вычислить суммы следующих числовых рядов.·
Σ<~ 1)"'1 . 456. V (~ '^ . 457. V (-1)"-1
η ^U 2«-1 ^| З/г-2 "
/г=1 гс=1 «=1
оо оо оо
У±^1.. 459. V ' 460. Υϋ.
^J 4гс—3 ^J «3" ^ «5"
458.
~7г=1 гс=1 п=]
461
V (~ '^ · 462. а) У »~ ; б) У ^ .
^J гс4« ^(« + 2)7" ^J(n + 2)7"
Я=1 «=1 ГС=1
оо оо оо
У ' . 464. У"2+6^+5. 465. У «
^Jn(n—1)2" ^ 3"+1 ^ («4—5п2 + 4)5"
463.
/г=2 я=0 «—3
466. Л1—. 467. ^"'ί2^-1)
2 л χ ι 2л+2
я=1 /г=0
Σ
80

468.
oo
^("Ч-З/г-ИИ-б)1-*.
469. Используя метод Абеля, доказать справедливость следующих
равенств:
a)ybi21-JL; 6)VHl!. = I(JL_in2
и=0 л=0 '
оо
"И£?7-гЗг[-+Ш(|+,^]!
5
п=0
' ^J (2/1) ϋ /Γ
π/2
470. Исходя из соотношения \ cos2*#cb = -!LLiiZl_L· найти сум-
J 2 (2/2)!! J
о
му ряда
2 2-4 V ' (2/2) !!
§ 11. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ
Если функция f(x) имеет в точке χ ~= а и некоторой ее окрестности
производные до п-го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она
представима формулой Тейлора
/(*)=/ (a) + 1 (х — а) + (* — а)2 + · · · +
+ -—H-^-^+^w· (17)
η !
где Τη(*) — остаточный член формулы Тейлора, который может быть записан
в виде
Тп (х) = о ((х — а)") (форма Пеано). (18)
Запись (18) означает, что lim п^хК. = 0, т. е. что остаточный член формулы
х-*а (Χ—α)η
Тейлора является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению
с (л: — а)п при χ ->- а.
Если функция /(*) имеет в упомянутой окрестности точки χ = α
непрерывную производную (« -f- 1)-го порядка, то остаточный член формулы Тейлора
можно записать в следующих трех видах:
/(Ή-1) \а \ о (х а\]
Тп (х) = - j—! * }— (x — a)n+it 0 < θ < 1 (форма Лаграцжа);
81

Tn (χ) = - L ^ l ^ (1 —θ)« (л: — а)п+\ 0 < θ < 1 (форма Коши);
χ,
Тп (χ) = — I (л; —0й/(П+1) (0 & (интегральная
форма).
Пусть теперь функция f{x) имеет в точке χ = а и некоторой ее окрестности
производные всех порядков. Тогда число членов формулы (17) можно
неограниченно увеличивать и возникает вопрос: не получим ли мы в пределе при я->со
представление функции f(x) в виде бесконечного ряда
/' (a) f" (a) f^n) (a)
Па)+ II (χ-α)+"ΤΓ (*-<>)*+•■•+J-^Jlx-a)»+...1 (19)
Ряд (19) независимо от того, сходится он к функции f(x) или нет,
называется рядом Тейлора для функции f{x). Если же для всех значений χ из некоторой
окрестности точки а имеет место равенство
/' (а) Г (а)
f(x) = f(a) + J-±f- (х«а)+-Ш-(*-а)« + ...+
+ -^-^р (*-а)л+... , (20)
то функция f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности точки χ =
= а (или по степеням χ — а). При а = 0 ряд Тейлора имеет вид
F (0) Г (0) f(n) (0)
/(0)+ II <+ 21 Ι>+,,,+ /ι! * +*" <21>
и называется иногда рядом Маклорена.
Ответ на поставленный выше вопрос о возможности представления
функции f(x) в виде ряда (19) дают теоремы 1—4.
1. Пусть функция f(x) имеет β некоторой окрестности точки χ = а
производные всех порядков. Для того чтобы функция fix) была разложима в ряд Τ ей-
лора в окрестности точки χ =α, необходимо и достаточно, чтобы предел
остаточного члена соответствующей формулы Тейлора (17) при η ->· оо в каждой
точке χ упомянутой окрестности был равен нулю: lim Тп(х) = 0.
П-*-оо
Заметим, что ряд Тейлора можно составить для всякой функции f(x),
имеющей в точке χ = а производные всех порядков. Однако этот ряд не всегда будет
иметь своей суммой функцию f(x) (он даже может оказаться расходящимся
всюду, кроме точки χ = а). Если lim Тп(х) Φ 0, то ряд Тейлора, если даже он схо-
дится, не имеет своей суммой функцию f(x).
2. Если функция f(x) имеет в некотором промежутке, содержащем точку
χ =а а, производные всех порядков, ограниченные одним и тем же числом Μ > 0,
т. е. если |/<л)(*)| <: Μ при любом п, то функция f(x) в каждой точке
упомянутого промежутка разложима в ряд Тейлора по степеням χ — а (для нее имеет
место разложение (20)).
Имеет место и еще более сильная теорема.
3. Если функция f(x) в некоторой окрестности точки χ = а имеет
производные всех порядков и существует число λ>0 такое, что |/(π)(#)|<λΛ при
всяком п, то функция f{x) в каждой точке упомянутой окрестности разложима
в ряд Тейлора по степеням χ — α.
4. Если функция f(z) (комплексного переменного г) аполитична в точке а
и Zq = хо + iyo — ближайшая к а особая точка функции f(z), то функция f(x)
оо
(действительного переменного) разложима в степенной ряд ^сп(х — а) , сходя-
82

щийся к f(x) в интервале (а — R, а + /?), радиус которого равен расстоянию
между точками а и Zq:
R = |2о — а\ (А)
(функция f(z) называется аналитической в точке г0, если в этой точке и
некоторой ее окрестности она имеет производную; точка, в которой функция f(z) не
является аналитической, называется особой).
Значение теоремы 4 состоит в том, что она гарантирует сходимость
найденного ряда Тейлора к функции f(x) в интервале (а — \zo — а\, α + \ζο — а\)
и освобождает нас от исследования остаточного члена соответствующей
формулы Тейлора и от применения других достаточных признаков разложимости.
Относительно единственности разложения функции в степенной ряд имеет
место следующая теорема.
5. Каким бы способом функция f(x) ни была разложена в степенной ряд
оо
со + 2 сп(* — °)п » этот ряд будет для нее рядом Тейлора, т. е. его коэффици-
п=\
енты будут однозначно определяться формулами
c0=f(a); cn = f (а)/п\, дг = 1,2, ... .
При разложении функций в степенные ряды применяют следующие приемы.
1, Непосредственное разложение функции ffx) в ряд Тейлора. Прием
состоит в следующем:
а) формально составляют ряд Тейлора для функции f(x)\ с этой целью
вычисляют производные всех порядков функции f(x) в точке χ = а и подставляют
их в разложение (19);
б) находят область сходимости полученного ряда;
в) выясняют, для каких значений χ из области сходимости между
функцией f(x) и ее рядом Тейлора можно поставить знак равенства.
2. Использование табличных разложений. Основными табличными
разложениями являются следующие:
оо
ΣχΠ χ2 д.3 д4
— ='+*+— + ~+—+-U *к~>; (22)
Σ(_ 1)Л-1д;2Л-1 χ? ХЬ Х1
V-DI =х~ — + — - —+-(М<°°>; (23)
ςο^=2^ϋ4τ- = 1-ΤΓ + 4Τ-— + -U*I<-); (24)
я—О
оо
737 ^ Σ *»-!+* + *■ +*' + *«+... (\х\ <1); (25)
(1 + ,)^1 + £И(И-1)(т-д2)|-(т-"+1) Хп =
п=)
т(т — 1) о т(т— 1) (т — 2) 0
= 1 + т* + -^ ' *2 +—^ ff L *»... (1*1 <1) (26)
(т — любое действительное число; ряд называется биномиальным);
83

(__ \)п-1хп
arctg*:
2/г— 1
X?
3
X2
2
+
+
&
5
X*
3
—
X?
7
X*
4
+
+
...
···(-
(1*1
-1 < х<
КЧ·
1);
(27)
(28)
Используя эти разложения, можно довольно просто находить разложения
многих других функций. Так, например, для нахождения разложения в ряд
по степеням χ функции cos χ2 нужно в равенстве (24) заменить χ на х2. При этом
отпадает необходимость исследовать остаточные члены соответствующих формул
Тейлора с целью выяснения, можно ли между составленным рядом и самой
функцией поставить знак равенства, так как области сходимости табличных
рядов известны. (Для биномиального ряда (26) указан лишь интервал
сходимости. На границах интервала сходимости, т.е. при х = ±1, разложение (26)
ведет себя следующим образом: при т >. О абсолютно сходится на обеих
границах; при —1<: т < 0 расходится при χ = —1 и условно сходится при χ = 1;
при т < —1 расходится на обеих границах.)
3. Использование сложения и вычитания рядов и умножения ряда на число.
Иногда разложение функции в ряд получается суммированием табличных или
ранее найденных разложений, а также с помощью умножения известного
разложения на число. Так, например, для разложения функции (х2 — 1)е* в ряд по
степеням χ нужно разложение (22) умножить на числа х2 и —1, затем сложить
найденные разложения функций х2ех и —е*.
4. Использование дифференцирования и интегрирования рядов. При
разложении функций в ряд часто используют дифференцирование и
интегрирование рядов. Так, например, интегрируя известное разложение в ряд по степеням
χ функции , можно получить табличное разложение (27). Как посту-
пают в других случаях, будет показано на примерах.
5. Использование умножения рядов. Если функция f(x) представляет
собой произведение двух функций, то ее разложение в ряд может быть найдено
перемножением рядов, в которые предварительно разлагаются перемножаемые
функции; Так, например, для нахождения разложения в ряд по степеням χ
cos χ
функции f l нужно перемножить табличные разложения (24) и (26)
функций cos χ и (1 + а:)—1/2.
Пример 1. Составить ряд Тейлора для функции γ(χ) =
_ |е *, если χ Φ U, в окрестности точки χ = 0. Показать, что
[0, если χ = 0,
этот ряд не имеет своей суммой функцию ср(л;).
<4 Данная функция определена в промежутке (—со, со) и имеет
во всех точках производные всех порядков. Это утверждение очевидно
при χ Φ 0. При χ = 0 имеем
φ' (0) = Hm т(*>-т(0) = lim SOI =iim _L «Нт _!_- = 0
*_Я) X—0 х-+0 X t-> оо et& t-*oo 4.(3q
(здесь была использована подстановка χ = \/t и применено правило
Лопиталя). Так как для χ Φ 0 у'(χ) = -^ е~2/*4, то
84

φ"(0) - lim ^-^ - 4 lim J^l e 41im ^ =
X-+0 x— 0 x-9-o Xе ί-*οο e
= 4 1im-^— =6 lim — =31im—!— = 0.
t-*oo 4^3e ί-»οο e* t-Ь-оо ^2e
Теперь нетрудно заметить, что при любом η
Ф<л)(0) = Пт-^-,
где P(t) — некоторый многочлен, зависящий от t* Поэтому
применение правила Лопиталя приводит к результату ср(л)(0) = 0 при
любом п.
Ряд Тейлора для функции ср(л;) в окрестности точки χ = 0 имеет
вид
YW li 2! η Ι ^
+ 0χ2+ \- 0χη Η
и, следовательно, имеет своей суммой функцию, тождественно равную
нулю. Так как для χ Φ 0 у(х) =/= 0, то видим, что ее ряд Тейлора не
имеет своей суммой функцию у(х). Причина неразложимости функции
ψ(χ) в ряд Тейлора по степеням χ состоит в том, что остаточный член
соответствующей формулы Тейлора не стремится к нулю при η -^οο.
Пример 2. Разложить функцию f(x) = 2х в ряд Тейлора по
степеням х.
^ Применим прием непосредственного разложения.
а) Составим для данной функции ряд Тейлора. С этой целью
найдем сначала числовые значения производных всех порядков функции
2х в точке χ = 0:
/(*)=2* /(0) = 1;
/'(*) = 2* In 2, /'(О) = In 2;
f"(x) = 2x\n*2, /"(0) = 1п22;
f(,l)(*)=2*ln"2, f{n)(0) = \n"2;
Подставляя теперь найденные значения производных в
выражение (19) при а = 0, получаем ряд Тейлора для функции 2х по
степеням х:
« , In 2 . In2 2 „ . . 1пл2 я .
1 -\ χ Η χ2 + хп + · · · ·
^1 ! ^2! п\
б) Находим область сходимости полученного ряда. Так как
R =lim
П-Ь-ОО I
,. (я+ 1) ! 1п/г2
= lim - ^ ; = оо,
п-»оо п\ 1пл+12
то ряд сходится для всех значении х.
85

в) Выясним, для каких значений χ найденное разложение
сходится к функции 2х. С этой целью заметим, что производные всех
порядков данной функции на любом отрезке —R <; χ <з R ввиду
справедливости неравенства In* 2 < 1 ограничены одним и тем же числом
2r:
\fV(X)\= ι 2*1пл2 I <2*.
Отсюда следует, что найденное разложение (в силу теоремы 2)
сходится к функции 2х при всех значениях х:
Пример 3. Разложить в ряд по степеням χ функцию
f(x) = s\n(x*l3).
4| Полагаем х2/3 = у и используем табличное разложение (23).
Тогда
sin — = sin г/ = ί/ г— + -*— — -?—+ ... + * "' * + ... =
3!
*ι°
- +
5!
л;14
.JU-+.
7!
+ ··· + -
(2л—1)1
(_ l)«-1^4«-2
= _ί ί j_ — ζ 1 -) 1—n—ζ |_
3 3! · З3 5 1 ·35 7! · 37 (2η—1) 1 · З2""1
Так как разложение в ряд функции sint/ имеет место для всех у, то
и разложение в ряд данной функции имеет место для всех х.
Пример 4. Разложить в ряд по степеням χ функцию f(x) = . 2.
■4 Полагаем —х2 = у и используем табличное разложение (25)!
1+*2 1-,
= 1— х2 + х* — Xй А М—1)"**Ч =2 (— Ι)"*2".
rt=:0
Разложение имеет место для —1 <. χ < 1.
Может показаться странным, что функция . , 2, имеющая
производные всех порядков в любой точке оси Ох, разложима в
степенной ряд, сходящийся лишь в интервале (—1,1). Однако теорема
4 разъясняет это обстоятельство. Функция ^ . а имеет в
комплексной плоскости две особые точки ζ = ± iy расстояния которых до
начала координат равны 1. А радиус сходимости, по теореме 4,
должен как раз равняться расстоянию от точки а = 0 до ближайшей
особой точки функции /(г).
Пример 5. Разложить в ряд по степеням χ функцию f(x) ==
= з
«4 Полагаем х3 = у и используем биномиальное разложение (26):

уТ+χ»
. = {i+y)-^=i-JL+ з V^3 Ly2 +
+~τΓτ~1Η~τ~2)ί/3+->-+
.-ii-J-K-i-^-i-i-b-.,.,
= i_ 2*.+ JL·! ^ _ 1 ·4 ■7 ^9 _) +
3 32 · 2 ! 33 · 3 ί
+ (_ lyi 1'4.7. 10...(3/z-2) χ3« , . . . .
V ; 3n · η !
Разложение имеет место для —1 < л: < 1.
Пример 6. Получить табличное разложение в ряд по степеням χ
функции f(x) = arctgA:.
Замечаем, что функцию arctg* можно получить интегрированием
функции 1 , 2-, разложение которой в ряд найдено в примере 4,
поэтому
X X
arctgx = Г -^— = f (1 — х2 + xi — χ6 -\ + (— I)""1 *2й_2 +
о о
Так как полученный ряд сходится к функции arctg x и в граничных
точках интервала сходимости χ = ±1, то найденное разложение
имеет место для —1 < χ < 1.
Пример 7. Разложить в ряд по степеням χ функцию f(x) = { г
^ Имеем
-,. 'Л2 = ί-τ1—Уβ ([+*+*2+х*+· ■ ·+*■+· ■ · у =
(1-х)2 VI— л:/
= 1 + 2л: + З*2 + 4л:3 Η Ь я**""1 Η .
Так как при дифференцировании интервал сходимости степенного
ряда не меняется, то найденное разложение имеет место при
— 1 <л;< 1.
Пример 8. Разложить в ряд по степеням χ функцию -г—.
^ Представляя функцию в виде произведения двух функций,
раскладывая каждую из них в ряды и производя их умножение,
получаем.
87

1-х 1-х \ 2! ^3! 4! τ η! }
Χ(1+«+λ·+χ· + **+···+χ"Η )=1+(χ·1 + 1·χ) +
+ {1·χ*+χ*+γ·ι) + {ι'*3+χΒ+{τ + {ή +
+ (ι. χ* + χ* + _fL + -|L + -£-) + · · · + (ι · χη + χη +
+ — + — + · · · + —1 Η = 1 + 2x + h + —) χ* +
213! η\) \ 21 /
\ 21 3 1/ \ 2! 3! 4! / τ
+ (2 +
2131 η! '
Разложение имеет место для —1 <; χ < 1.
Во всех рассмотренных до сих пор примерах требовалось найти
разложение функции f(x) по степеням х. Рассмотрим теперь примеры
разложений по степеням разности χ — а (а Ф 0).
Пример 9. Разложить функцию f(x) — six в окрестности точки
а = 1, т. е. по степеням χ— 1.
■4 Применим способ непосредственного разложения. С этой целью
найдем значения данной функции и ее производных всех порядков
в точке χ = 1:
ί(Χ) = ΛΥχ, /(1)=1
Г(х) = ±-Х-2/3, /,(1)==Т'
Зз з3
Зп—1
Г (х) = (- lr1 2·5·8-3„(3"~4) *~~ /м (О = (-О-1 χ
ν 2·5»8 ... (З/ι — 4)
X ——————————^— .
зл
Числовые значения производных подставляем в разложение
Тейлора (20) при а = h
^7=1+—^—(*-1) 2 (^_1)2 + ^ι1.^_1)»_...+
^ 3· 1 ! З2 · 2! ' 33·3! '
+ (_1Г1 2'5'8'" (3^-4) (jg_lyi+ ... = ! +
4 ' Зл/г! V ;
оо
+ ]](-1Г ^-^8з-;!^-4)(,_1)п,
/ζ=1

Справедливость найденного разложения еще не обоснована.
Теперь следовало бы выяснить, стремится к нулю или нет остаточный
член соответствующей формулы Тейлора. Однако прежде рассмотрим
другой способ решения.
Второй способ. Положим у = χ — 1, тогда χ = 1 + у и,
следовательно,
-ί--0
Hi-1) (τ-2)
J_(J__iW_L_2)...(JL_„+i)
oo
+ 2 (-i)-i 2·5·83;;,(3"-4) b-ir.
Здесь использован биномиальный ряд при т = 1/3. Так как
разложение бинома имеет место для —1 < у < 1, то найденное
разложение справедливо при —1 < χ — 1 < 1, т. е. при 0 <: χ < 2. Второй
способ решения освободил нас от исследования остаточного члена
соответствующей формулы Тейлора.
Пример 10. Разложить в ряд по степеням χ + 2 функцию f(x)=
= 1/(4 + За:) и указать область сходимости полученного разложения
к функции f(x).
4 Так как
4 + Зх — 2 + 3 (λ' + 2) 2 3 (χ + 2)
~~~ 2
11 3(*+2) .
= , где у = —-—■—- , то воспользуемся табличным
разложением (25):
ι ι ι ι /ι ....... ■ „з
~ (1 +у+ f + у*+... +уп+ ...) =
** -j- οχ ζ ι — у 2,
_ _Л [, + p±JL) + p±iL)· + ... + (ϋ£±ϋ)" + ...],
=-τΐ;(τί«+2>·
η=0
Полученное разложение верно для всех значений у, удовлетворяющих
неравенству —1 <ί/< 1. Следовательно, для нахождения области
сходимости найденного ряда к данной функции нужно решить нера-
89

венство — 1 < J" <1. Решение приводит к результату —8/3 <;
<; χ <с —4/3. Этими неравенствами и характеризуется область
сходимости ряда к данной функции.
Пример II. Не производя разложения функции 3 4л:а-1-13л: ВРЯД
Тейлора по степеням χ — 6, найти интервал сходимости этого ряда
к данной функции.
^ Рассмотрим функцию f(z) = г3_4г24-13 Нетрудно видеть,
что ее особыми точками являются точки ^ = 0и г2,з = 2 ± 3/.
Радиус сходимости ряда Тейлора для данной функции равен расстоянию
от ближайшей из них (z2 = 2 + 3/) до точки а = 6 и определяется
по формуле (А):
/? = | α — г0 | = | 6 — (2 + 3t) | = | 4 — 3ί | = j/42 + З2 = 5.
Следовательно, интервал (1,11) является искомым. ►
Иногда возникает необходимость разложить функцию не по
степеням χ — а, а по степеням некоторого другого выражения, т. е.
в обобщенный степенной ряд. При этом можно использовать все
рассмотренные выше приемы и, в частности, табличные разложения
функций в степенные ряды.
Пример 12. Разложить функцию. f(x) = In |cos-y| в ряд по
степеням cos χ.
<4 Преобразуем функцию следующим образом:
In
χ \ 1л 9 х 1 ι 1 +· cos χ
cos — = — In cos2 — = — In —-
2 I 2 2 2 2
= J_in(l +cos*) In 2.
2 2
Полагая cosx = у и разлагая в ряд функцию
In
X
COS
2
^Ml+y)-^ln2=-L[y-
+ ...+ <-')-У +...1-i_ln2-
я J 2
+ ·
оо
j_y (-1ГУ = _J_ln2 + _L
2 ZU η 2 2
In (1 + у), получаем
-J/L + JL — ILjl-
2 3 4 ^
-In 2 +
2
oo
'V1 (_ i)«-i cos"*
/2=1 '«=1
Найденное разложение сходится к функции In |cos -^-1 при —1 << у < 1
или при —1 <с cosx < 1, т. е. при всех χ Φ π(2£ — 1), где k— целое
число. Заметим, что только при этих χ определена и сама функция
ln|cos(*/2)|.
90

Ж^1 хп+2
Пример 13. Найти сумму ряда у (— \)п = S{x).
n=Q
4 Имеем S(x) = х2 — — + — — Η μ (— 1)" χ
w 2 14! 6! V ;
vtl+2
X
(2/i)
iuL + ... ^д;2 (l——+ — JL+ μ(_ΐ)π JiL„
[2/г) I V 214! 6! 'v/ (2/l) j
При x> 0
5w = ,4i_(/^ + (/iX_(^Z)l+...+{_lr
[ 2! 4! 6! '
X
xJ/ZZL + ,
(2/2) !
При лг<0, полагая x=—y,
= ^2
;TCOS
1/T.
..«
' ' 2 14 16! (2я) !
ι + iffll + ii^X + iffll + ... + J/D!1 + ..."L·
21 4! ^ 6! (2/2)! ^ J
= x2ch Yy =x2ch Y:=rx\
x" cos J/T при л: > О,
= x<
таким образом, 5 (л;) = χ
xl ch Υ— χ при л: < О,
Упражнения
471. Составить ряд Тейлора для функции ψ(χ) =1^ * пРи χφν>
[О при х=0
в окрестности точки χ = 0. Показать, что этот ряд не имеет своей
суммой функцию φ(κ).
Следующие функции разложить в ряд Тейлора по степеням χ и
указать области сходимости полученных рядов к своим суммам:
472.
475.
478.
481.
484.
. cos 5л;.
еЧ
5*.·
ch (2л-8).
JC2
ι ι «. *
473.
476.
479.
482.
485.
sin χ2.
1
2-*\
I
1 +* '
Xs arctg χ.
474.
477.
480.
483.
486.
ΔΧ"
COS .
3
—л;4
е
shx.
2
1-Зл:2
е*—1
1 +х
91

3*2-l „oo ι/Γ лоп sin3*
487. J ' . 488. xcosl/x. 489.
χ
490. fr\+x. 491. |Λ+2χ. 492. L
/T+V
493. ' 494. —. 495. In (1 — *).
496. In -ii-i. 497. агазтл;. 498. xb In (1 + л;2).
500. cos2(2л;). 501. sin3*.
503. . 504. '
499.
502.
505.
508.
1 — χ
sin2*.
1
2 + χ '
1
(i + *2)5
(2 + x)2
/9 + x2 (1—л)3
506. ln{x+VT+&). 507. (x8 + 2ctgA;)sinA;.
509. In Ι / ) + * · 510. ln(l—л; + л;2).
1 —л:2 I/ 1-х2
511. (x—l)2arctgA;. 512. 2IE*i*. 513. In (1 — 5x+ 4л;2).
1 —χ
516. (l + 2e*)4.
519. сЬ2л:.
514.
517.
520.
1 + χ3
(1-х)3 '
χ3 + \x + 1
x3— 1
sh3*.
515.
518.
521.
4* + 3
X2 — Зл; + 2
1
(2 — *2) / 2 — *2
arctg .
1 + 4*
522. ln(l+* + *4 h x2"1'1), rn^N.
523. л; arctg* — — In (1 + *2). 524. *arcsin* + ]Л—*2.
Ъ2Ъ (\ + х)\п(\ + х)-х и 526> e*sin^ 527 e*cos*.
1 —χ
528. /ϊ"arctg/Г. 529. ln2(l — χ). 530. arctg2*.
Следующие функции разложить в ряды Тейлора в окрестностях
указанных точек х0. Указать области сходимости найденных
разложений к своим суммам:
531. In*, *о=1· 532. 1/7", х0 = 2.
533. lii±iil + In 2, xQ = — 4. 534. *4 + 9*3-j-27*2+27*, *0 = — 3.
о
92

535. хъ, х0=—2. 536. —· (χ + 3) (2* — 5) — — , *0 = 2.
5 5
537. —, х0 = — 2. 538. —L-, л:0==3.
х \гт
539. ——■, х0 = — 2. 540. * , *0 = — 3.
3 + * /4ТГ
541. е*, JCb =■- 1. 542. —— , х0 = 3.
5 + 2*
543. cos л:, х0 = π/4. 544. sin л:, л:0 = α.
545. —-1—, jc0 = 1. 546. *_ , *0 = 2.
(3 — а:).2 /л: — 1
547. cos2*, х0 = π/3. 548. sin-^-, л:0 = 2.
549. ! , х0=— 2. 550. 1п(5*+3), л:0 = — — .
551. 1п(5х + 3), х0=1. 552. _^i__—, л:0 = 3.
(л: — 4) (х2 — 6х -\- 8)
1 4* 1 1
553. In , х0 = 1. 554. ———— , х0 = — .
555. arccos (— 2л:2 — 4л: — 1), л:0 = — 1.
Найти первые 3—4 члена разложения в ряд Маклорена для
следующих функций:
556. tg*. 557. 2cos2* 558. sec л:.
559. lntg (x+ —). 560. arctg -i—. 561. 1п(1+л;) .
\ 4 / 1 + χ cos л:
562. e"*cos "|ΛΓ. 563. ]/l -fsinx. 564. ln(l+e*).
565. arcsin2 x.
Найти первые 3—5 членов разложения в ряд Тейлора в
окрестности указанной точки х0 для следующих функций:
566. tg*, *0 = π/4. 567. , л:0= 1.
ν1 "г * ;
568. cosec λ:, χ0 = π/2. 569. In | cos λ: | , χ0 = 2,
570. е/Т+*\ *0 = —1. 571. i , χ0 = 1.
arctg #
93

Следующие функции разложить по степеням указанных
выражений:
SfTl X i-.-»r» а. 1 1
572. е , sin*. 573. arctg—, —.
χ χ
574. In x9 l~~x . 575. sec χ, sin — .
1 +χ 2
576. * ——. 577. f(x) = x, sin*.
/1+* 1+*
578. / (*) = *, ctg χ. 579. sec2 x, cos
2
580. £ , ±. 581. Об*-17) (3,-1) _J_
*2-|-л; —2 χ 54х2 — 51*+10 За:— 1
/ sin χ \
*1п 1 +
582. ^ ί-J-, JULL. 583. In I sin jc | , cos 2*.
χ + sin λ: χ
584. Разложить в ряд по степеням cos2# функцию /(*) = -—%—
непосредственно и с помощью дифференцирования разложения в ряд
функции ln|cos#|.
Доказать следующие равенства. Выяснить, при каких значениях
χ они имеют местоз
585·τΣ(τ)"=Σ"-4>··
/ι=0 α=0
ОО СЮ
2(-·>·ί·+'>-τ1ΐ<-,>*(£τ-Τ
rt=0 П—0
586.
587. 2~3/¥ + У(-1Г1 Ь4'"(3^2) г«
2 ^ ' 12я л!
oo
^(-irib4-;(ra3,n-2)(^+3)",
^=1
588. ! = 1 + Ei!i +
Σ(~1)
χ*
,Я-1
(2/1—1)1
η=1
/1=2
94

/ 8 V*
_o°_ 3П \X — _oo_
j] <-.)-> \ ') -,„2+2 (_1Г. *fc££
589.
7г=Т "7г=Г
oo
590. Доказать приближенное равенство \
cos%
η!
/ι *2 . *4
«el
\ 2 6
591. Не производя разложения следующих функций в ряд
Тейлора по степеням χ — α, указать интервалы сходимости этих рядов
к данным функциям:
а) 1п(1 +8*3), а = 0; б) е1Ь + * , а = 0; в) — , а = — 5;
г)—— , α = 4; д) In ! , α «= — 1; е) sin * ,а=3.
; ^«4-9 ' 2 + 2д:-Ьх2 V-6x24-25
Применяя различные приемы, найти суммы следующих рядов:
592.^(-ΐ)^.
/1=0
оо
594. V (— Ι)»"1 - - .
оо
W"! у2/г-2
596. V(— 1)"+1— .
2* ' (2я-1)!
593.
595.
V(-i)« *"
JU Зл (2/г) !
У хт
2J (2л) !
/г=0
599
оо
(_ !)/г ^гя
22п (2п + 1)
/г=0
Σ
/г=0
оо
Σ·
боо. >-arctg**. бок ν _<=!>?
л! ^ *2/г+* (2п + 1) 1
п=0
Σ<-""^τ·
602.
9Е

воз. v^^. m.^—y—j.
я=0
β05· 1 + ά + Σ
(—l)"-1^ —3) !!
η ! · 2n · х2П
n=2
606
Vl2^1og>, α>0; α^=1.
оо
607. V(—1)«"1 Jgu^L.
^J 2л— 1
оо
608. sin*+ V ЬЗ-5-(2п-1)(.»п^»
^-J 2η·η\.(2η+ 1)
«=ι
«ο 22cos^_
609. V —Л
§ 12. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ,
ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ
При вычислении пределов дробей, числители и знаменатели которых
стремятся к нулю, используют различные приемы: применяют табличные формулы,
эквивалентные бесконечно малые и правило Лопиталя. Существует, однако,
еще весьма эффективный способ вычисления пределов отношений, основанный
на применении степенных рядов. Он состоит в следующем. Числитель и
знаменатель дроби раскладываются в степенные ряды (по степеням одной и той же
разности χ — а). После этого производятся необходимые сокращения,
вследствие чего неопределенность обычно исчезает. Разумеется, применение рядов
не исключает применения других приемов.
С помощью рядов Тейлора можно находить числовые значения
производных любого порядка отданной функции. В частности, чтобы найти /(") (а), нужно
разложить функцию f{x) в ряд Тейлора по степеням χ — α, а затем по формуле
f(n) (a) = спп\
вычислить нужную производную (указанная формула получается из общего
выражения сп = L LJ для коэффициентов ряда Тейлора).
п\
Теорию рядов можно применить и к интегрированию функций. Если функ*
ция f(x) разложима в равномерно сходящийся на отрезке [а, Ь] ряд, то интеграл
х?
( /(*)cU, где а <: χ±<. χ2 <: 6, часто также легко представляется в виде сходя-
Χι
щегося ряда. Разумеется, и неопределенные интегралы можно вычислять с
помощью разложения в ряд подынтегральной функции с последующим
интегрированием этого ряда. Таким путем удается вычислить ряд интегралов, не вы-
96

ражающихся через элементарные функции в конечном виде, а также ряд
некоторых интегралов, вычисление которых другими способами представляет
значительные трудности.
Пример 1. Вычислить lim os *
*->о L *3 sin χ χ* J
<< НтГ?±«±_ Α1=ϋ
x-*o l xs sin χ χ* J χ
urn
2* + χ cos a: — 3 sin χ
a:4 sin a:
= Hm ■
*->0 L
a:2 a:4 a:6 \ / xs x5 x1
** + *\ I-2T+-iT-ir + -l·3 Λί-^Γ+5Γ-7Γ +
= lim
x->0
1 3 \ / 1 3 ,
— — — )x5+( + — \χΊ +
41 51 / τ\ 61 τ 7! ' ^
a:5
1
4!
3
5!
1
24
1
40
_ 1
~ 60
Пример 2. Найти производную 11-го порядка от функции f(x) =
= x5cos -^ в точке л: = 0.
^ Разложим данную функцию в ряд Тейлора по степеням л::
т)\(тГ (т)\(т*
ж0 cos — = х°
2
1-
21
= хь
+
41
6!
+
8!
+
Так как /<»> (0) = си· 11!, то /<п> (0) =
22·2! 24·4! 26·6!
И!
+
28·8!
2°·6!
_3465==_ 2g
4
Заметим, что непосредственное вычисление производной 11-го
порядка от данной функции было бы значительно сложнее.
Пример 3. Найти выражение для производной любого порядка
функции f(x) = X2+2x+s B точке х = ~~ L
^ Разложим данную функцию в ряд Тейлора по степеням χ + 1:
1
1
1
1
а;2 + 2а: + 5 (*+1)2 + 4
4 чт*
оо
-т2<-"·
п=0
·χ+1\2η __
2 ;
я=0
(-1)Л
22(«+1)
(*+1)2/г;
Так как сЯл = (- 1)*/22(β+Ι), а сш_х = 0, я = 1, 2, 3, .. · ,
то получаем следующие выражения для производных:
i(2rt)/ 1ч /о ч » (—1)ля! ΐ^-1)/ η η
/ (— i) = **, · (2η)! = 2;+2 ; / (— 1) = ο.
97

1/2
Пример 4. Представить интеграл \ "^ ~*~х' ах в виде ряда.
1/4
^ Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора по степе*
ням х:
1п(1 +х)
τΣ<-1»-Ιτ-Σ(-1,""'-£?-
п=1 п=\
Отрезок [1/4, 1/2] целиком принадлежит интервалу сходимости
полученного ряда, поэтому ряд на нем сходится равномерно, а
следовательно, его можно почленно интегрировать на этом отрезке.
Выполняя интегрирование, получаем
1/4 /ι=1 1/4 п=1
/2=1 1/4
(- О*-1
п=1
«==1
2 J I 4
1/2
1/4
σο
V(_l)«-i ?^i
Сумма найденного ряда дает точное значение исходного интеграла.
Х d
Пример 5. Представить в виде ряда функцию F(x) = Г -^-.
е '
«4 Пусть \пх = у, тогда χ = еу, a cU = eydy\
_eydy
Г
^И-^-Пт(,+»+£+-+£+-):
di/ =
In л;
J (-1+1+ x + ...+ ^-1
2!
n\
dy =
In Μ + у ■
У
2-2!
+ ·
In χ
1
= f In |ln x\ + In χ + — + . · · + — + · · λ
\ 2-2! n-n\ J
V 2-2! n-n\ J II' 1.Ц ^
. In2 a:— 1 , ,
1.1!
\nnx— 1
n-nl
Разложение имеет место для х> О, χ =^= 1.
Упражнения
Вычислить пределы:
л1Л !· а:—1п (г/ 1 + л:2 + л: ) ^. . 1#
610. hm ^———~—-. 611. hm
х-*о χ — sin л: х^.о I — cos л;
л: COS л: — ~\fx sin -/"л:
98

β12. lim g(tgx —slnx)—лс» > β13β lim *+arctg*-2sin*
° *-*o *δ *-*o (e·*2 — 1) ln(l + 2x3)
614. lim ^—J- lnO + *) +— — sm л
*-*> tg*x 615< Um __ г
*-»-o arctg3*
,„ ,. In (1 +x + *2) + ln(l — x + x2)
616. lim —*—!-—J—' —'
6l7 lim x In [(1 + *)"*] -h a:In |( 1 - χ)1-*] - in (1 + *У
x-*Q X3
x cos jc — sin χ 4- sin —
3
618. lim (4- — ctg2A 619. lim \x— *2ln (l + —)
x->0 \X2 ) *-*oo I \ X I
620. цт ^—my-l) ^ 62, Ит д-ц^-П-*)^
*->! e^""^"—1 «->o arc sin * — arc tg л:
622. lim /^ctg/T-* , 623e ,im *(esi"2'-ln(*2 + e))
«о Х(УЩГК^2) х-»° tg*-sin*
Пользуясь разложением данной функции в ряд Маклорена, найти
значения производных указанного порядка при χ = 0 от функций:
624. е~~; /<'»=? 625. ^ Г (0) = ?
626. ** ; f(5>(0) = ? /6(0) = ? 627. cosx-chx; /(?,(0) = ?
628. х2 4/ТТ^ ; /(5>(0) = ? 629. х4 In (l + —]; /(9,(0) = ?
бзо. -^f^r-i /,6)(0) = ?/<40)(0) = ?
л;2 — 4х + 3
(5)/Л, ^ г*")/
631. 7Т+Т; Г(0) = ? Г(0)==?
632. ^ arc tg ж; /°2) (0) = ? /(*3) (0)=?
633. ж3 1П(1 — * + я2 —я3); /(8)(0) = ? /(П)(0) = ?
634. Дана функция f(x) = YH * sinj/^. Найти lim f"(x) непосред-
ственно и с помощью разложения функции в ряд Маклорена.
Вычислить также lim /(10)(я).
*->о+о
635. Найти предельное значение производной 8-го порядка при
х -> 0 функции f(x) = xV~x arctg}/#.
99

638. Вычислить производные 5, 6, 7, 8 и 13-го порядков функции
f(x) = Vxarcs'm(x2Vx)9 принимая f(k)(0) = lim /(Л)(*)·
л:-0+0
Пользуясь разложением данной функции в ряд Тейлора, найти
производные указанных порядков:
637. (х — I)2Inx\ f\\) = ?; fn\\) = ? 638. ί=|; /(6)(4) = ?
fix
639.
! ; /(6)(-2)=? 640. iinilL; /(6)(1) = ?
** + 4* + 7 5* + 3 ' w
<7>,
641. (ж — 2)Чп(Зх + 2); f (2)=? 642.
643.
1+* ■; Г0,(0) = ?
>/" — * —2
(20),
;/(5)(-3)=?
644. #2е2лг; / (1) = ?
|/ 1 — дг
Представить в виде рядов следующие интегралы:
645.
["
е~х dx.
γί+*-1
651
■Ί
О
. (V 1 + *5
646.
dar. 649.
Г* arc sin x
J λ:
dr. 647.
J ιί\
άχ
/1 + *8
I COS a:3
da\
da\
652.
h
ax
γΐ+x*
650. J'^'+^d^.
653. f-*L·.
J l-*16
еЛ
654.
657. (-^
J in
da;.
655.
Tsin;
J ~
■dx.
656.
ί
/1 -f- лг3 — 1
dx.
d*
658. Jarctg2*d*. 659. j (*5 + 4*'-*+3).<k
χ J J (x —1)4
660. fsin-Ld*. 661. w*-* + n*-** + m** ,
662. farct*' * dx.
|/T~
663. f*~ tn(/l+*2+A:)
) a:3
665. U^^^Vdx.
dr. 664.
J"
arc tg2A:
d#.
•J
. f
J 'n(l + x)
xdx
ι
667. (Vxd*.
о
π/2
668. fin
ί
X
cos —
2
dx.
100

669. Выразить длину дуги эллипса χ = acos/, у = bs'mt (О < t <
^ 2π) с помощью ряда, расположенного по целым положительным
степеням эксцентриситета.
670. Разложить по целым положительным степеням модуля k
(0 < k < 1) полные эллиптические интегралы:
π/2
а) первого рода F(k) = — φ
-|/"1 — /e2 sin2 φ
>
б) второго рода £(£)= \ 1^1— &2sin2cp (1φ.
о
π/2
§ 13. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке х0 можно
использовать следующий прием. Функцию f(x) раскладывают в степенной ряд.
В полученном разложении полагают χ = х0. Затем для вычисления }(хо) с
нужной точностью берут необходимое число его начальных членов. Так, например,
для вычисления arcsin (1/10) следует функцию arcsin x разложить в степенной
ряд (по степеням х), а затем положить в нем χ = 1/10.
Особо отметим следующие случаи.
I. При вычислении различных степеней числа е пользуются приближенной
формулой
х2 хп
е*»1 + *+ —+ ·..+ — >
2! п\
допуская при этом ошибку ЯПУ которая при |*|< η -f 1 оценивается
неравенством ^
\х\п+1
]Rnl ^ п\ (п + 1 - |*|)
При χ <: 0 можно пользоваться более простой оценкой
II. При вычислении значений синуса и косинуса пользуются
приближенными формулами
д:3 д;5 д:2/2~1
slnx^x — —- + —- И— Ψ'1
3! ' 5! ' (2/2—1)
х2 х* х2п .
cos χ « 1 — — + — h (— l)n ■
2! 4! v ' (2n) !
при этом ошибки оцениваются соответственно неравенствами
\х\2П+1 х2П+2
1«2й-1 Ml = |К8я Ml * Т^ГГТТТ ■ №*п Ml = Κη+ϊ Ml <
(2/1+1)1' '^ " lwv,n(2/ι + 2)Ι
III. Для вычисления логарифмов чисел можно пользоваться рядом
1 + χ ( х3 хъ х2п~г \
ьйг*г-2(*+Т+Т + -+5ГГТ + - (W<1)-
101

Ошибка, получаемая при замене суммы ряда суммой его первых η членов, мс
жет быть оценена с помощью формулы
1?л1<
2д.2Я+1
(2л+1)(1— х2)
IV. При вычислении корней &-й степени из числа А > 0 полагают А =*
= ak + у (где ак — число, близкое к Л, из которого извлекается точный ко·
рень, и такое, что \y/ak\< 1), тогда
р7=ш a frl+yla* =a(l + у/а*)1'к.
Полученную функцию раскладывают в биномиальный ряд и берут затем необ*
ходимое число первых слагаемых.
ь
V. Для приближенного вычисления интеграла Гf(x)dx его предварительно
а
представляют в виде числового ряда, для суммирования которого берут
необходимое число начальных членов.
Пример I. Вычислить /ее точностью до 0,00001.
<4 В разложении функции е* полагаем χ = 1/4:
j/4_ ι ι — а—!—ι—!—ι—L· + ....
e "~ l ^ -4 42.2! 43.3! 44-4!
Если взять пять членов этого ряда (п = 4), то ошибка вычислений
не будет превышать 0,00001з
Я4< — = ! < 0,00001.
«(-т
Подсчитав сумму пяти выписанных выше членов ряда, получим j/'e &
« 1,28403.
Пример 2. Вычислить cos I9 g точностью до 0,0001;
<4 Так как cosl° = cosyj^, то, полагая в разложении косинуса
χ = -т^д, получаем
cos Г « 1 « 0,9998.
1802·21
Здесь первые два члена разложения уже обеспечивают значительно
большую точность, так как
|R2|<— <— = _J_< 0,0000001.
1 2| 1804·4! 1804·4! 454·24
3 у
Пример 3. Вычислить у 68 с точностью до 0,001.
102

Раскладываем в ряд функцию (1 + х)1/3:
(1+^)3 = 1+ 1χ+^ Lx* +
+
τ(τ-)(τ-'
31
- χ3 + · · · = 1 -) — χ
3
1-2
32·2!
_2·
33.3 Γ 34·4Ι
#2 +
1 по г» · л/1 4 · '
1
Полагая в полученном разложении χ = -^ и умножая ряд на 4,
получаем
i>"68 = 4(1 + 1L
1+г^-
1-2
3-16 32·2!·162
= 4+- -«4,082.
12 576
Здесь взятые три члена ряда обеспечивают нужную точность, так
как
1*з1 < 4
1-2-5
33·3!·163
: ο,οοι.
Пример 4. Вычислить In 2 с точностью до 0,0001.
<4 В разложении функции In —^ положим —^ = 2, тогда
χ = 1/3 и, следовательно,
1п2=2 (~ + -J— + -L· + —!_ + .,
V 3 33·3 35·5 37·7
Заданную точность обеспечивают четыре члена, так как для оценки
погрешности имеем неравенство
2χ2Π+1
К
(2п+ 1) (1 — л:2)
из которого при η = 4 и χ = 1/3 получаем
|Д4|<-^- = —< ο,οοοι.
1 4| 39·9·8 39·4
Таким образом, с точностью до 0,0001
In
:2« -L/l + -L + _L + J_J)^0,6931.
3 V 27 ^ 405 5103/
103

2
Пример 5. Вычислить интеграл I ΞίΞ-ί- d# c точностью до 0,001
о
предполагается, что = 1 при x = Q J.
л: л: \> 3! 51 7\ ^ ) 31
Интегрируем
0
я4
+ —
5!
—JL+.
7!
полученное разложение на
*3
χ
3-3!
л:5
+ —-
5-5!
7-7!
= 2-
отрезке
•I-
23
- — +
[0,2]:
25
27 ,
3-3! " 5-5! 7-7! ~Г
Для вычисления интеграла с указанной точностью достаточно
взять четыре члена ряда, так как при этом|/?4| <29/(9 · 9!) < 0,001.
Произведя вычисления, получаем
2
— d*^ 1,605.
X
о
Упражнения
Вычислить приближенно с указанной степенью точности а:
67i. e; а = 0,0001. 672. е2; а = 0,001.
673. ΫΤ; а = 0,0001. 674. уТ; а = 0,0001.
676. -^; а = 0,0001.
А
678. sin 1; а = 0,00001.
679. sinl°; а = 0,0001. 680. cos 2°; а = 0,001.
681. cos 10°;о=0,0001. 682. sin—; «=0,0001.
100
683. /17з; а = 0,001. 684. ^ИЩ}; а = 0,001.
675. —;
е
677. ——
а = 0,0001
; а = 0,001.
з^
685. j/80; а = 0,001. 686. у 250 ; а = 0,001.
104

687. —; α = 0,001. 688. ^90; α = 0,001.
689. νΠΌ8δ; α = 0,001. 690. —L ; α = 0,001.
ί/Тзб
β/
691. |/738"; α = 0,001. 692. 1η 3; α = 0,0001.
693. 1η 10; α = 0,0001. 694. lge; α = 0,0001.
695. 1η 5; α = 0,001. 696. π; α = 0,00001.
697. arctg (1/2); α=0,001. 698. lg 7; α = 0,001.
699. ch 2; α = 0,0001. 700. cos(l//T); α = 0,0001.
701. arctg (π/10); α = 0,001. 702. arcsin (1/3); α = 0,001.
703. —L- arctg-4=-; α = 0,0001. 704. sin3 — ; α = 0,001.
/10 /10 9
Для вычисления следующих величин взять три члена
соответствующего ряда и оценить погрешность, получаемую при этом:
705. ι/ΊΓ. 706. р!?. 707. arctg 0,2.
10,
708. In (3,5). 709. cos (π/7). 710. /1048.
711. Вычислить число π с точностью а) до 10~3, воспользовавшись
тождеством π/4 = arctg(l/2) + arctg(l/3); б) до 10~9,
воспользовавшись тождеством π/4 = 4arctg(l/5) — arctg( 1/239).
712. Указать погрешности приближенных формул a) sin* ж х;
б) cos* ^ 1 — г72; в) е* ^ 1 + л:; г) 1п(1 + х) ж χ — χ2/2; д) arctgAW
ж χ — χ3/3. При каких значениях х эти формулы дают погрешность,
не превосходящую 0,001?
713. а) Найти разложение в ряд функции lg((l + x)/x) по
степеням 1/(2* + 1) и с помощью полученного ряда вычислить lgll и lglOl
с точностью до 0,001;
б) получить формулу Щп + 1) = In/ι + 2[^-^+3(2Λΐ)3 + --·]
используя ее, найти 1п2 и 1пЗ с точностью до 10~5.
Следующие интегралы вычислить с точностью до 0,001:
ν2
1/4 1/2 Cos 2
714. (V*2cb 715. Г J dx. 716. Г^-сЬ.
0 1/4 1
1/4 1/2 0,5
717. fsin£2d*. 718. Г arctg* dx. 719. Г У 1 + χ3 dx.
0 0 О
105

2
720.
(V^cbc. 721. P-^d*. 722. f^J cos*d*.
2 0 0
1 0 10
ax . 79- f ln(l + x2)
723. f>d*. 724. f dx - 725. fbi-X^dJt.
0 —1 У 8 ~~ χ3 5
726. L-*S-· 727. Г£ЩЬ1ск.
(•_d*_. 72? Г
л-2
0
Вычислить следующие интегралы с помощью разложения
подынтегральной функции в ряд, ограничившись тремя первыми членами
ряда. Указать погрешность вычислений:
1 π/4 , 2/3
728. Г γ1&7 άχ. 729. Г — d*. 730. Г ^—.
J J x J ?/ΓΖΤ6
0 π/6 OK l^X
1,5 3
731. Г л:6 sin л: dx. 732. farctg — dx.
0 2
733. Вычислить длину одной полуволны синусоиды у = sinx с
точностью до 0,001.
734. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у2 = х3 +
+ 1, осью ординат и прямой л: = 0,5, с точностью до 0,001.
735. Фигура, ограниченная линией у = arctgx, осью абсцисс и
прямой χ = 0,5, вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем
тела вращения с точностью до 0,001.
§ 14. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Пусть требуется проинтегрировать дифференциальное уравнение второго
порядка
у" = F(x9 у, у'). (29)
Если его решение не выражается через элементарные функции в конечном виде
или обычные способы решения слишком трудоемки, то в отдельных случаях
его решение (частное или общее) удается отыскать в виде некоторого степенного
ряда. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с
помощью степенных рядов.
Способ последовательных дифференцирований применяется, когда требуется
найти частное решение y=f(x) уравнения (29), удовлетворяющее начальным
условиям /(*о) = Аоу f'(xo) = Af. Если в окрестности своих начальных условий
(в окрестности точки (*о, Ло, Аг)) уравнение (29) удовлетворяет условиям
теоремы существования и единственности решения задачи Коши для
дифференциального уравнения второго порядка, то можно попытаться искать его
частное решение в виде ряда Тейлора
г (*о) /" (*о) о /{П) (*о)
*/ = /(*о)+-рр (*-*о)+'-^(*--*о)2+··· + п\ (х~Хо)п+-~.
(30)
106

первые два члена которого известны, так как f(x0) = Л0,/'(*о) = Л1ф (Заметим,
что сама теорема существования и единственности решения задачи Коши не
обеспечивает существования решения уравнения (29) в виде степенного ряда
(30).)
Из уравнения (29) находим f"(xo) = F(x0t Ло, Аг). Если затем
продифференцировать уравнение (29) по х, то можно найти сколько угодно
производных искомой функции f (χ) в точке Хо:
f»> ι, ^ - dF(*°» Λο> Λι) .<«) tv ч _ d*-2F(*0, Л0, Аг)
t w- άχ , ···, ; w- άχη-2
dF dn~2F
Здесь под символами —, ..., , ... понимаются полные производные
dx dxn ~2
по χ от функции F(x, yt у') в предположении, что у и у' зависят от *, т. е.
^L — JL -EL· JL· J?L· l^L— JUL· JUL r 4. J!L·
ax " dx + dy d* + 3/ d*» " ад; + ду У ду' (** У% У']
и т. д. Подставляя найденные производные функции f(x) в разложение (30),
получаем искомое решение
у = А, + Лх (* — *0) + — F (xot Л0, At) {χ — *ο)2 Η 4-
Рассмотренный способ, разумеется, применим для решения
дифференциальных уравнений любого порядка.
Отметим, что метод последовательных дифференцирований в общем случае
не дает возможности исследовать полученный ряд на сходимость к решению,
ввиду того что во многих случаях не удается найти аналитического выражения
для общего члена искомого ряда. Однако этот метод применим, если заранее
известно, что решение уравнения в виде ряда существует. Особенно часто этот
метод применяется в инженерной практике, в исследовательских работах, где
решение может быть проверено экспериментально.
Заметим, что рассмотренный способ применим и для построения общего
решения дифференциального уравнения, если Ло и Af рассматривать как
произвольные постоянные.
Способ неопределенных коэффициентов применяется, когда требуется найти
либо частное решение y=f(x) уравнения (29), удовлетворяющее начальным
условиям }(хо) = Ло, f'(xo) = Aft либо общее решение в виде степенного ряда по
степеням χ — х0.
Если уравнение (29) в окрестности точки (хо, Ло, Лх) удовлетворяет
условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши для
дифференциального уравнения второго порядка, то его частное (или общее) решение
можно искать в виде ряда
оо
г/= 2%(*-*ο)*. (31)
я—0
коэффициенты сп которого подлежат определению.
Если точка (#о, Ло, А±)*) является особой для уравнения (29), то его част-
* В тех^случаях, когда «особенность» уравнения определяется лишь
координатой дго особой точки, (лго, Ло, Лх), мы будем говорить, что рассматривается
особгя точка хо вместо (хо, Ло, Аг).
107

ное (или общее) решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда
оо
У= ^оп(х-х0)п+\ (32)
/2=0
где ρ не обязательно целое число и подлежит определению вместе с
коэффициентами ряда.
Чтобы определить коэффициенты сп, η = 0, 1, 2, ..., искомого ряда (31)
или (32), поступают следующим образом:
1) дважды дифференцируют ряд (31) (или (32)) с неизвестными
коэффициентами и находят таким образом у' и у";
2) подставляют разложения у, у' и у" в степенные ряды в исходное
дифференциальное уравнение (29);
3) представляют функцию F(x, yt у') в виде степенного ряда по степеням
χ—хо, после чего равенство (29) принимает вид равенства двух степенных
рядов;
4) путем приравнивания коэффициентов полученных рядов при
одинаковых степенях разностей χ — хо получают уравнения для определения
неизвестных коэффициентов сп\ если решение ищется в виде (32), то, приравнивая
коэффициенты при наименьшей степени разности χ — лг0, получают так
называемое определяющее уравнение, из которого находят всевозможные значения
параметра р;
5) из полученных уравнений находят коэффициенты сп и подставляют их
в искомый ряд (31); если решение ищется в виде (32), то коэффициенты сп
находят для каждого значения ρ и таким образом получают столько частных
решений, сколько значений имеет параметр р.
Полученное в виде ряда решение может быть исследовано на сходимость
известными признаками. Если полученный ряд сходится в некоторой области,
то обязательно к решению дифференциального уравнения, так как его
коэффициенты определялись из условия, чтобы сумма ряда являлась решением.
Описанный способ решения дифференциальных уравнений, разумеется,
распространяется на уравнения любого порядка. Чаще всего этот способ
применяют для решения линейных дифференциальных уравнений, для которых
справедливы следующие теоремы.
1. Если функциональные коэффициенты а^(х), k = 0,1, 2, ..., η, линейного
дифференциального уравнения
<*п(х)У{п) + απ-ιΜ#(Λ_1) + ··. + а2(х)ув + ах(х)у' + а0(х)у = <р(х) (33)
и его правая часть ψ(χ) суть функции, разлооюимые в интервале \х — хо\<. Ri
в степенные ряды по степеням χ — χ0, α αη(χ) Φ 0 в интервале \х — *о|< #2>
то в интервале \х — хо\<. г, где r= min (Rlt R2), существует единственное
решение у = f(x) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
У(хо) = У0> У'(хо) = У'о, — , У{п~1)(хо) = У^~Х\где у0, у\, ..., y{Qn~l) —
произвольные числа, в виде сходящегося степенного ряда (31).
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что если ak(x) и ψ(χ) суть
многочлены, а ап(х) Φ 0 для всех х, то упомянутое выше решение будет рядом вида
(31), сходящимся на всей числовой оси.
2. Если линейное дифференциальное уравнение второго порядка предста-
вимо в виде
оо оо
(*-*0)V+ </'(*-*„) 2 ап(х-хо)П + У ^Ьп(х-х0)п = 0, (34)
п=0 п=0
оо оо
где ^ап(х — хо)п u^jbn(x — хо)п — сходящиеся в интервале \х — хо\<. R сте-
пенные ряды, в которых коэффициенты aQ, b0 и Ъх не равны нулю
одновременно, то существует по крайней мере одно частное решение у = / (х) данного
дифференциального уравнения в виде обобщенного степенного ряда (32),
сходящегося в интервале \х — *о|< R-
108

Пример 1. Найти первые шесть членов разложения в ряд решения
уравнения у" = #sim/', удовлетворяющего условиям у(\) = О, у'(\) =
= я/2.
<4 Точка χ = 1 не является особой для данного уравнения,
поэтому его решение можно искать в виде ряда
у = /(1) + -^г ι*- *> + "IT"**-'>2 + JirLix~ 1)3 +
Здесь /(1) = О, /'(Ι) = π/2. Находим 2, 3, 4 и 5-ю производные:
r(l) = bsin Jl = lf
/'" (%) = sin у' + xy" cos t/ = sin i/' + χ2 sin #' cos t/ =
= sin/ + -^-^sin 2/; /'"(1)=1;
аналогично, /IV(1) = —1, /v (1) = —6. Подставляя найденные значения
производных в искомый ряд, получаем решение данного уравнения
— — (*—1)6+ ... .
20 '
Заметим, что каждую последующую производную функции хъ\щ'
находить труднее, чем предыдущую. Формулу общего члена искомого
ряда найти здесь весьма затруднительно.
Пример 2. Найти общее решение уравнения у" — ху — 0 в виде
степенного ряда. Указать область сходимости полученного ряда.
-4 Так как точка χ = 0 не является особой для данного
уравнения, то его общее решение можно искать в виде степенного ряда
У = с0 + схх + с2х2 + с3х3 Η + спхп + сп+1хп+1 + сп+2хп+2 + · · · ,
который более кратко записываем либо в виде
оо
У= 2 е»*"» (А)
либо в виде
оо
у = 2 сп-1хП~1^ считая, что с_г = 0. (Б)
гс=0
Обе формы записи (А) и (Б) искомого ряда будут использованы при
подстановке в уравнение.
109

Производные у' и у" найдем дифференцированием ряда (А);
у' = сг+ 2с2х + Зс3х2 + · · · + пспхп'х + (л + \)сп+1хп +
+ (n + 2)cn+zX™+...;
у" = 2с2 + 3 · 2с3х + · · · + η (л — 1) спх"-2 + (л + 1) пс^х"'1 +
+ (л + 2) (л + \)СтЯр + · ■ · = J (л + 2) (л + 1) сп+2Хп.
Подставляя у и у" в данное дифференциальное уравнение, полу-1
чаем
^(п + 2)(п+1)сп+2хп-х 2^ι^"1β0
/г=0 я=0
ИЛИ
оо
2 f(п + 2) (п + 1) сп+2 - Ся_J *» = 0.
Приравнивая коэффициенты ряда нулю, найдем сп+21
(η + 2) (η + 1) e„+2 — £„_, = 0, С/г+2 =
un-i
(Λ+ 1)(я + 2)
При η = 0 с2 = 0 (так как c_i = 0); при η = 1 с3 = —^-; при η = 2
2*3
с4 = -^L; при п=3 с5=_£2_.=:0; при η =4 c6 = -^L-==
; при /г = 5 с7 = —— = £ί ; при η = 6
2.3-5-6 6-7 3.4-6.7
Со = ——— = 0. Вообще
8 8-9
при n = 3k — 3 c3hmml = 0 (k = 1, 2, 3,...);
при η = 3k — 2 c3ft —
2-
•3-
• б-
• 6
co
4
(3k-
.
-D(3fc) '
при η = 3k — 1 c«k.j =
K 3ft+1 3.4.6.7... (3k) · (3* + 1)
Подставляем теперь найденные коэффициенты в разложение (А):
и 012-3 3-4 2.3-5.6 3-4.6.7 ^
+ . . . Η & X*k +
2.3.5.6... (36—1)(36)
+ 2 *3*+1+ ... =Co/l + -^—+
3. 4-6.7... (3k) (3k + 1) °V 2.3
ПО

2.3.5.6 2 · 3 · 5· 6.,. (3k — 1) (3k) j^
+ cx (x + -£— Λ + · · · +
уЗ/г+ι
+ ~ + ··
3-4.6-7... (3k) · (3k + 1)
Это и есть общее решение данного уравнения. Его структура у=
= ^o^/i + cil/2 вполне понятна: решалось линейное уравнение второго
порядка; его общим решением является линейная комбинация двух
линейно независимых частных решений yt и у2(ояи стоят внутри
скобок). Их линейная независимость вытекает из того, что У\/у2 Φ const
Нетрудно убедиться, например с помощью признака Даламбера,
в том, что оба ряда у ι и у2 сходятся при всех х.
Пример 3. Найти общее решение уравнения 2х2у/г + (Зх—2х2)уг —
— (х+1)у = 0 в виде ряда по степеням х.
<4 Точка χ = 0 является особой для данного дифференциального
уравнения, поэтому его решения будем искать в виде ряда
оо .
у = 2d СпХ ■
в котором с0 Ф 0. Дифференцируя этот ряд, находим у' и у"\
представляем у' и у" в виде, удобном для подстановки в данное
уравнение:
оо
у"= ^(п + Р)(п + Р-1)спхп
п+р— 1 ^ / ь п п+р—2
х - L "
/1=0 гс=0
и+р-2
\ιι, τ Pj Ι'» Τ Ρ — Чип'
я=0
Представим теперь данное уравнение в виде
2х2у" + Ъхуг — 2χψ —ху — у = 0
и подставим в него значения у, у' и у'\ учитывая, что у =
00 ОО
я-Ьр—1
η—Q п~0
~~ 2^ спх — 2d °η'ιΧ
=0 я=0
2*2 2 (« + р) (» + ρ - 1) спхп+р-2 + зх 2 (« + ρ) νη+ρ_1 -
«==0 л=0
оо оо оо
_ п+р-2-* 2с»-^+р_1-!
п=0 п=0 /1=0
111

откуда после группировки и упрощений получаем
оо
2 {[(« + р) (2л + 2Р + 1) - 1] сп - [2л + 2р - 1] с^} = 0.
Приравняем коэффициенты ряда нулю:
[(n + 9)(2n + 2?+l)-l\cn-(2n + 2?-l)cn_1 = 0.
Отсюда при η = 0 получаем так называемое определяющее
уравнение, из которого находим ρ (при этом имеем в виду, что с х = 0, ас0Ф
¥=0):
Р(2р+1)-1 = 0; 2р2 + Р-1 = 0; Pl=-1; р2=1/2.
Рассмотрим два случая:
1) Pi = —Ι» уравнение для определения коэффициентов ряда
принимает вид
[(п —l)(2n—l)—l]cn — (2/i — 3)сп_х = 0 или псп—сп_1 = 0,
а рекуррентная формула — вид сп = -^ζ1-. При η = 1, 2, 3, 4, ...
последовательно получим:
Ci-60, с,_ —_ь2, с, ______ с4_ 4 _
— С0
» ^Л
Со
1.2.3-4 4! " п\
Итак, частное решение, соответствующее р4 = —1, имеет вид
ι ; ι , χ , χ2 , , χ"-1 , ι νι χη ех
χ 2! 3! η \ χ aLA η! χ
п=о
(здесь положено с0 = 1).
2) р2 = 1/2; уравнение для определения коэффициентов ряда
принимает вид
[(" + т)(2п + 2) ~*]°п ~ 2пСп-1 = °*
2с
откуда с„ — —^^ .
п 2п + 3
При л= 1, 2, 3, ... последовательно получаем:
Cl~ 5 ' 2_ 7 ~ 5-7 ' Сз~ 9 ~ 5-7.9 '-
2%
5 · 7 · 9 .,, (2ra + 3)
112

Таким образом, второе частное решение, соответствующее р2 = 1/2,
имеет вид
ι/— Л , 2 , 22х2 . 23х3 . . 2пхп \
U2 \ 5 5-7 5.7-9 5-7 ... (2п + 3) ^ /
(здесь также положено с0 = 1).
Данное уравнение является линейным уравнением второго
порядка, поэтому его общее решение имеет вид
У = С1У1+С2у2, т. е. , = Cl f + C'^(1 + §5.7 -2Х + 3))·
Это и есть окончательный ответ, так как решения #! и #2 линейно
независимы (г/±/г/3 Φ const).
Упражнения
Применяя метод последовательных дифференцирований, найти
указанное число членов разложения в ряд решений следующих
дифференциальных уравнений при указанных начальных условиях:
736. у' = arcsiny + A:; у(0) = 1/2 (четыре члена).
737. уг = ху + In (у + х)\ у (1) = 0 (пять членов).
738. уг = χ + у~г\ г/ (0) = 1 (пять членов).
739. у' =2х + cos у; г/ (0) = 0 (пять членов).
740. у' = ]—^- +1; у(0) = 1 (пять членов).
У
741. уг + у cos л: — Зе*г/2 — sin * = 0; ί/ (0) = 1 (четыре члена).
742. у' — у cos2* + у2 sin χ — ln(*+l) = 0, г/ (0) = 3 (четыре члена).
743. 2у' — (х + у)у — ех = 0; у (0) = 2 (четыре члена).
744. у' — 4у + 2χί/2 — е3* = 0; у (0) = 2 (четыре члена).
745. г/" == у cos/ + *; # (0) = 1, г/ (0) = π/3 (пять членов).
746. у" = х2 + у2] у(— 1) = 2, уг (— 1) = 0,5 (семь членов).
747. у" = еУ sin у'; у (π) = 1, уг (π) = π/2 (пять членов).
748. у" = (г/)2 + *у; у (0) = 4, / (0) = — 2 (пять членов).
749. у" = -ϊΐ ; ί/(1) = 1, у' (1) = 0 (шесть членов).
г/ л;
750. г/' =xyyr\ у(0) = 1, г/'(0) = 1 (шесть членов).
751. у"' = уес — х{у,)2\ у(0) = 1, у'(0) = 1, /'(0) == 1 (шесть членов).
752. у"' = у" + (уу + у* + х; г/(0) = 1, у' (0) = 2, f (0) = 0,5
(шесть членов).
из

753. y'v = ху + t/x2; у (0) = у' (0) = у" (0) = if" (0) = 1 (семь членов).
Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти общие
решения следующих уравнений:
754. у" = у. 755. у" + 2ху = 0. 756. у" — ху' — 2у = 0.
757. у" — х2у = 0. 758. у" + ху7 + у = 0.
759. (1 — х2)у" — W — 2г/ = 0. 760. (1 — х)у" + ху' — у = 0.
761. (1 + х2) у" + Ъху' 4- 3ί/=0. 762. (1 + χ2) у" + у = 0.
763. (х2 — х+ 1)у" + (4х — 2)г/'+2г/ = 0.
764. (1 + л:) г/" — у' + е* (х + 1) = 0.
765. (1-х2)t/" — 2хг/' + 2г/ =» 0. 766. г/'" = у.
767. г/'" = ху' 4- у. 768. г/"' — х2у" — хг/'—# = 0.
Найти частные решения следующих дифференциальных
уравнений в окрестностях особых точек:
769. ху" 4- 2г/ + ху = 0; у (0) = 1, г/ (0) = 0.
770. ху" 4- г/ 4- *г/ = 0; у (0) = 1, г/' (0) = 0.
771. х*у" + ху' + х2у = 0; г/ (0) = 1, у' (0) = 0.
772. х2у" 4- хг/' 4- (хг — 1) г/ = 0; г/ (0) = 0, у' (0) = 0,5.
773. ху" — ху' — у = 0; у (0) = 0, ι/' (0) = 1.
774. ху" + у'-ху=0; у(0)=*1, у* (0) - 0.
Найти общие решения уравнений в окрестностях особых точек:
775. ху" 4- 2г/' + ху = 0, 776. 9х2у" — (х2 — 2) у = 0.
777. х*у"—х*у' 4- (х — 2) г/ = 0.
778. *у + 2*#' — (л:2 4- 2х 4- 2) t/ = 0.
779. Найти линейно независимые частные решения уравнения
Бесселя ху" 4- у' 4- ху — 0. Записать его общее решение.
Найти линейно независимые частные решения следующих
дифференциальных уравнений в окрестностях особых точек:
780. х2у" 4- ху' 4- (х2 - \)у = 0.
781. х(х — 1)У 4- х(х — \)у' — у = 0.
782. х(х — \)у" 4- 2(х ~ \)у' — 2у = 0.
783. Найти частное решение уравнения Гаусса
х(х— 1)у" + [(1 4- α 4- β) х — Τ] У' + Φ = 0,
удовлетворяющее начальным условиям #(0) = 1, у'(0) = αβ/γ для
случая, когда γ не есть целое число.
114

ГЛАВА III
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 15. РЯДЫ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы функции f(x) и <р(*) такие, что их
произведение есть интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция. Функции f(x) и ψ(χ)
называются ортогональными на отрезке [а, Ь\, если
ь
J f(x)9(x)ax = 0.
о
Бесконечная система функций
<Ρι(*). 9г(х) ТпМ. ···
(которую мы будем сокращенно обозначать {ΨηΜ}^\) называется
ортогональной на отрезке [а, Ь], если
Ь
J <Pm (х) 9п (х) d* = О
а
для любых т и я, для которых тф п.
Здесь и в дальнейшем предполагается, что произведения Ц>т(х)Ц>п(х)
интегрируемы на отрезке [а, Ь].
Приведем примеры ортогональных систем.
1. Множество функций {sin пх}^__1 образует ортогональную на отрезке
[О, π] систему функций, так как при тф η
sinmx sin ηχάχ = 0.
2. Множество функций
1, cos*, sinx, cos2*> sin2x, ..., cosnx, sinnx, ...
(сокращенно обозначаемое {cosnx, sinnx}^^ и называемое тригонометрической
системой функций) образует ортогональную на отрезке |—π, π] систему
функций.
Чтобы убедиться в этом, достаточно вычислить интегралы
π π π
I 1 · cos ηχάχ, \ 1 · sin ηχάχ, \ cos mx · sin ηχάχ,
—π —π —π
π π
\ cos mx · cos ηχάχ, I sin mx · sin ηχάχ, тф п
и обнаружить, что все они равны нулю. Рекомендуем читателю это сделать.
( ηπχ ^π*)00
3. Множество функций {cos —г—, sin —,— > образует ортогональную
I ' ' )п=о
на отрезке [—/, /] систему функций. Рекомендуем читателю обосновать это
утверждение.
115

4. Множество полиномов Лежандра {^mW}m=0' где
J d
m ! · 2т ахт
образует ортогональную на отрезке [ — 1, 1] систему функций, так как
P0W= 1, Рт(х) = „,, пт -J^T (x2~-l)m, m= 1, 2, 3, ... ,
I Pw (*) Pn (*) άχ = 0 при m=j= п.
—ι
На доказательстве этого факта мы останавливаться не будем.
Наряду с понятием ортогональности функций рассматривают более
общее понятие ортогональности с весом.
Пусть функции f (х) и φ(*) интегрируемы на отрезке [a, b], a функция р(д-)
непрерывна и неотрицательна в интервале (а, Ь). Функции f(x) и ψ(χ)
называются ортогональными на отрезке [а, Ь\ с весом р(х), если
Ь
\ f(x)<?(x)?(x)dx = 0.
Функция р(х) называется весовой или просто весом.
Система функций
{?« (*)}„°li (A)
называется ортогональной на отрезке [а, Ь] с весом р(х) > 0, если
Ь
J ?да Μ <Рл Μ Ρ (*) d* = 0, тфп. (Б)
а
Приведем следующие примеры.
1. Множество многочленов Чебышева {Тп(х)}^0} где '
Тп(х) = cos (п arccos χ), η = О, 1, 2, ...,
образует ортогональную на отрезке [—1, 1] систему функций с весом р(х) =
= 1/У~\ — х2. Действительно,
1 π
С cos (m arccos x) cos in arccos χ) , Γ λ
\ ^ ' ν i- άχ = I COS /?2φ · COS ηφάφ= 0
J /1-х2 J
-1 r О
(здесь сделана замена φ = arccos χ. Тогда χ = cosq), d(p = —άχΐγ\ — χ2; при
λ: = —1 φ = arccos(—1) = π; при χ = 1 φ = arccosl = 0, знак минус
использован для перестановки пределов интегрирования).
2. Множество функций Бесселя W/?(~Tji целого порядка р, где
оо
k=0
a μη — п-и по счету положительный корень функции Jp(x), образует
ортогональную на отрезке [0, /] систему функций с весом р(х) = х, так как
/
ι Jp 1 7~) ' Jp 1 "" Г ) Х(^х~ °» ™>фп*
о
Доказательство этого факта мы опускаем.
116

Замечание. Если система функций {ц>п(х)}^=1 ортогональна на
отрезке [а, Ь] с весом р(*), то система функций {(pn(x)V^(x)}Z=i ортогональна на
том же отрезке (с весом р(х) = 1). Рекомендуем читателю убедиться в этом.
Пусть задана произвольная ортогональная на отрезке [а, Ь] система
функций (А). Ряд
с»
ctfrfx) + с&2(х) + ... + спуп(х) + ... = ^спуп(х), где с„, η = 1, 2, ... —
/2=1
произвольные числовые коэффициенты, называется рядом по ортогональной
системе функций (А).
В первую очередь мы рассмотрим ряды по тригонометрической системе
функций {cosnx, sin/2*}^L0, ортогональность которой на отрезке [—π, π] была
отмечена в примере 2. Ряд по указанной системе функций называется
тригонометрическим и записывается в виде
оо
с0 И- ^ {ancosnx -J- bnsinnx). (В)
я=1
Заметим, что сумма тригонометрического ряда, если он сходится на всей
числовой оси, есть функция периодическая, наименьший период которой не
больше 2π.
Приведем теорему, выражающую достаточный признак сходимости
тригонометрического ряда.
оо
1- Если сходится числовой ряд ^\(ап\ -J- \bn\), то тригонометрический
/ζ=1
ряд (В) сходится абсолютно и равномерно на всей оси Ох.
При некоторых условиях тригонометрические ряды можно
дифференцировать. Следующий признак дает достаточные условия дифференцируемости.
Если коэффициенты тригонометрического ряда (В) удовлетворяют
неравенствам
\ап\ <а/пР+*, \Ьп\ < β/я/»*,
где k — некоторое натуральное число, р> 1, α и β — любые положительные
числа, то ряд (В) можно почленно дифференцировать в любой точке χ не менее
чем k раз.
Пусть в некотором промежутке задана функция f(x). Поставим вопрос:
нельзя ли построить такой тригонометрический ряд, который в этом
промежутке сходился бы к функции f(x)} Как найти коэффициенты ап и Ьп такого ряда?
Эти вопросы помогает разрешить следующая теорема.
2. Если функция f(x) разложима в равномерно сходящийся на всей числовой
оси тригонометрический ряд
оо
/Μ = -γ~+ 2j (anCOsnx+bns\nnx)t (Г)
/2=1
то коэффициенты этого ряда определяются формулами
π π
а0= — \ f (x)dx9 an = — \ Ϊ (*) cos ηχάχ,
(Д)
π
bn = — I / (χ) sin nxdx, η = 1, 2, 3, ... .
π J
—π
117

Заметим, что теорема остается справедливой и в том случае, когда функция
t (χ) определена лишь на отрезке [—π, π] или всяком другом отрезке [a, a -+- 2π]
длины 2π, а тригонометрический ряд сходится на этом отрезке равномерно.
При этом пределы интегрирования в формулах (Д) заменяются соответственно
на α и a -j- 2π.
оо
Ряд 1Г+2 (ancosnx ~Ь bnsinnx), коэффициенты которого определяются
формулами (Д), независимо от того, сходится он к функции f(x) или нет,
называется рядом Фурье для функции f(x); это записывается так:
оо
/ (х) — + у. (ап cos пх + bn sin nx).
п=\
Коэффициенты ао, ап и Ьп, определяемые формулами (Д), называются
коэффициентами Фурье.
Формально для всякой интегрируемой на отрезке [—π, π] функции можно
составить ряд Фурье. Однако между функцией и этим рядом не всегда можно
поставить знак равенства. Следующая теорема (ее иногда называют теоремой
Дирихле) дает достаточные условия для разложимости функции в ряд
Фурье.
3. Если периодическая функция f (χ) имеет период Τ = 2π и является
кусочно-гладкой (на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не
более конечного числа точек разрыва, и притом лишь первого рода) или кусочно-
монотонной, то в каждой точке непрерывности функция f(x) разложима в ряд
Фурье, причем этот ряд сходится и в каждой точке хп разрыва функции f(x)
к среднему арифметическому правого и левого пределов функции f(x) в точке хп,
т. е. к числу 1/2(f(xn — 0) -f- f(xn -f- 0)).
Заметим, что в ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочно-
гладкую функцию f(x), заданную лишь в интервале (—π, π). При этом
полученный ряд будет сходиться к функции f(x) только в тех точках интервала (—π, π),
в которых функция f(x) непрерывна. Более того, полученный ряд будет
сходящимся на всей числовой оси, а его суммой будет периодическое продолжение
функции f(x) на всю ось Ох. Исключение составят лишь точки разрыва, в
которых сумма ряда будет равна среднему арифметическому правого и левого
пределов периодического продолжения данной функции.
Напомним, что функция F(x), совпадающая с f(x) в интервале (—π,π) и
удовлетворяющая для каждого χ условию F(x -\- 2π) = F(x), называется
периодическим продолжением функции f(x) на всю ось х.
Для всякой функции f(x), интеграл от квадрата которой на отрезке
[—π, π] существует, справедливо равенство
оо π
/2 = 1 —π
называемое равенством Парсеваля — Ляпунова. Из сходимости ряда, стоящего
в левой части этого равенства, вытекает, что коэффициенты ряда Фурье для
функции f(x) стремятся к нулю при п-^оо, откуда
lim
\ f (x) cos ηχάχ — 0, lim 1 / (χ) sin ηχάχ = 0.
Рассмотрим частные случаи разложимости функции в тригонометрический
ряд Фурье.
118

1. Если f(x) — четная функция (/(—χ) = /(*)), то функция f(x)cosnx будет
также четной, а функция f(x)sinnx — нечетной. Следовательно, имеем:
π π
I / (х) cos ямл* = — I / (я) cos nxdx,
—π 0
π
bn = — Ι / (*) sin лдсад: = О,
а поэтому
/ Μ = γ~ + ^j ап cos /ι*.
Получено разложение функции f(x) в ряд Фурье по ортогональной на отрезке
[О, π] системе функций {cos/z*}^0.
2. Если /(я) — нечетная функция (/(—х) = —f(x))t то функция f(x)cosnx
будет нечетной, а функция / (x)sinnx — четной. Следовательно,
2 π
«« = 0, а Ьп = — Г f(x)sinnxdxt
π о
поэтому разложение принимает вид
оо
f(x) = 2 bnsinnx.
п=\
Получено разложение функции f (x) в ряд Фурье по ортогональной на отрезке
[О, π] системе функций {sin nx}^=sl.
Замечания. 1. Функция, заданная в интервале (0, π), может быть
разложена в зависимости от требований либо только в ряд косинусов, либо
только в ряд синусов. Для этого она должна быть продолжена в интервале (—π,
0) либо как четная, либо как нечетная.
2. Функция, заданная в интервале (0, π), может быть разложена в ряд
Фурье бесконечным числом способов, смотря по тому, как построено ее
продолжение в интервал (—π, 0).
Тригонометрический ряд Фурье (Г) для функции / (х) можно
преобразовать к виду
Н-оо
2^-
+ С_пе-™* +■■■+ C_2e-2'* + C.xe-^ + С0 + С^* +
+ С2е^+...+Сгеег"*+··· , (Е)
Где Со=^, С„ = ^^-( С_п=^±^-, „=1,2
°2 2 2
или
Сп = [ f(x)e~inxdxt л=...,— 2,-1, 0,1,2,....
2π J
—π
Такая форма записи тригонометрического ряда Фурье называется
комплексной. Она удобна своей краткостью.
119

Рассмотрим ряды Фурье по ортогональной системе функций
{ηπχ ηπχ }°°
COS , Sin ; >
I I J/7=0
Если функция f{x) периодична и имеет своим периодом число Τ = 21, а
в остальном удовлетворяет условиям теоремы 3, то в каждой точке
непрерывности функции f(x) она разложима в ряд Фурье по ортогональной на отрезке
[—/, /J системе функций
{ηπχ ηπχ ϊ°ο
cos , sin — \ . Это разложение имеет вид
/ I Jai=o
оо
йл ^%Л ( ηπχ' ηπχ \
f (χ) = ~f + V [an cos ~T + n sin ~T) ' (Ж)
I I
1 С . ηπχ Ι (* ηπχ
гдеа„ = — / (χ) cos —γ- d*; bn = — f (χ) sin —— 4x.
В каждой точке разрыва хп ряд, стоящий в правой части равенства (Ж),
сходится к среднему арифметическому правого и левого пределов функции f (x)
в точке хп.
В случае четной функции f(x) равенство (Ж) принимает вид
оо
f W = — + V an cos — ,
п=1
2 С
где ап= ~ \ f(x)cos —— d^, n = 0, 1, 2, ... ;
ηπχ
f (χ) cos
ό
в случае нечетной функции —
2 Г т
Ь-а = — f (х) sin —
/(*) =
—— d*,
> , &7i sin ——
tt=J
л= 1, 2
где
о
Разложение (Ж) может быть записано и в комплексной форме:
ОС ΪΠΤΖΧ
f(x) = Σ с"е ' '
—оо
Ζ in-κχ
где СЛ=— /We d*, я = 0, =Ы, =Ь 2 , ... .
—ζ
120

Пример 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье в
интервале (—π, π) функцию
/(*) = ! π· -*<χ<°<
Ι π — χ, О < χ < π.
-4 Данная функция является кусочно-гладкой в интервале
(—π, π), а ее периодическое продолжение при дополнительном
условии f[(2k — 1)π] = π/2, k = 0, ±1,±2, ..., удовлетворяет всем
условиям теоремы 3.
Вычислим коэффициенты Фурье:
π 0 π п;
а0= — \ / (х) ах = — Ι πάχ Η Ι (π — x)dx = — ί πάχ —
π J π J π J π J
—π —π 0 —π
π
Ι χάχ — — π;
π J 2
ο
π π π
αη = — \ f (χ) cos ш;с1л; = — \ π cos ηχάχ Ι
χ cos ηχάχ
cosnx
(- ΐ)*+1-Η,
*ι.=™ J'WSI
sin ял;с1л;
π π
= — ι π sin ηχάχ — — \ χ
—π 0
cos /ζπ ( — 1)"
sin ηχάχ =
и подставим их в равенство (Г):
оо
Г(- О"»' +1
«^τ·+ Σ [!
cos пх + - — sin пх
Найденное разложение имеет место при всех значениях χ ζ
ξ(—π, π), однако ряд, стоящий справа, сходится при всех χ к функции,
график которой изображен на рис. 2.
Пример 2. Дана функция f(x) = χ2. Разложить ее в ряд Фурье
а) в интервале (—π,я); б) в интервале (0, 2π); в) в интервале (0, л)
в ряд синусов; г) в
интервале (0, π) так, чтобы
сумма ряда
тождественно равнялась нулю для
всех значений χ
интервала (—π, Ο).
4 а) Вычисляем
коэффициенты ряда. Так Рис. 2
121
1
-Зл
Ч
-л
у\
л
\
0
>1
л
Ч
Зж
ч
5%
X

2 с
как данная функция является четной, то £n=0, #n= — x2cos nxdx.
о
Интегрируя два раза по частям, получаем
2 Г х2 2х 2 Ίπ / ι \ 4 Л
а„ = — — sin дх Η cos ял; sin шм = (— l)n — , η Φ 0;
при я == 0 α0 = — \
χ2άχ
3π
Г*
= — π2
По найденным коэффициентам записываем искомое разложение:
л:2 = — π2 + 4
3
со
/ι=1
(-1)л
COS ΛΛΓ.
Полученная формула имеет
место для — η < χ < π, а
разложение, стоящее справа, при
всех л; сходится к
периодическому продолжению функции х2
на всю ось х. График суммы
ряда изображен на рис. 3.
б) Поскольку интервал (0,2π)
не симметричен относительно
нуля, но имеет длину 2π, то
формулы для коэффициентов Фурье принимают вид
2π 2π 2π
α0 = — x2dx, αη = — Ι χ2 cos nxdx, bn= — I x2 sin nxdx\
о о
вычисления приводят к результатам:
а
1 Г х2 2х 2 Ί^π 4
π2, αΛ = — — sin пх-\ cos пх sin nx\ = —,
π |_ η η2 η3 '~ "2
J0
, 1 Γ 2χ . ι χ2 2
Ъп = Sin AU—
Λ π [ я2 \/ι /г3
cos дл:
4π
По найденным коэффициентам записываем искомое разложение:
л:2 = — π2 + \^ (—7 cos ял; — sin пх);
я=1
я*
оно имеет место для всех значений χ ζ (0,2π), а ряд, стоящий справа,
сходится при любом χ к функции, график которой изображен на
рис. 4.
в) Функция, разлагаемая в ряд по синусам, должна быть
нечетной. Следовательно, нужно построить ее нечетное продолжение в
интервал (—п, 0); тогда ап = 0, а
122

b„= — i л:2 sin nxdx = — —— sin nx — f—
π J π I n2 \ η
cosnx
Ϊ-
-±-[(_ι>._„_ϋ_.,
π/ζ3 η
Искомое разложение будет иметь вид
X* =
(-1Г-1
sin nx — 2π
sin nx
η
η=\
οο
Π=\
sin (2η — 1) λ:
(2η— Ι)3
·2π
sin nx
η
Полученное равенство
имеет место для всех
значений χ £ (0, π), а ряд,
стоящий справа, сходится для
всех значений χ к функции,
график которой изображен
на рис. 5.
г) Фактически нужно
разложить в ряд Фурье функцию
х2 при 0 <с х < π,
О при — π < χ < 0.
Вычисляем коэффициенты
Фурье:
/(*)= {
π π π
If \ С π2 1 Г
а0 = — / (*) (к = — \ *2с1л; = —, ап== — I / (x) cos nxdx =
π J π J 3 π J
—π 0 —π
π
= J- Γ^cosnxdx = (— 1)" — ,
π J я2
0
π π
b„ = — Ι / (*) sin m;d# = — χ2sin nxdx= [(— \)η — 1] —;
π J π J ηπ3 η
следовательно
χ*
η=1 rt=l
шг.
123

Полученное разложение справедливо при 0 < χ < π, а ряд, стоящий
справа, сходится при всех χ к функции, график которой изображен
на рис. 6.
Пример 3. Записать разложение функции f(x)=x в интервале
(—π> я) в ряд Фурье в комплексной форме.
Рис. 5
<4 Искомое разложение должно иметь вид (Е). Вычисляем
коэффициенты Сп:
1
2π
1
2π
π
С* 1 Г ar-inx -\ π
xe-'^dx = -f- -^—— (- mx - 1) =
+ 1)l__L|2!li(iOT+l)
J 2π L Λ
cos ηπ . ι 1ч I 1 cos n7Z -
— (— 1Ш + I) = — ΐητζ =
Π2 I тг «2
π я*
(-1)*ί
/ζ
п^=0;
при
π
л = О С0 = I xdx = 0. Получаем разложение
—π
σο
Тригонометрические ряды Фурье можно применять для
нахождения периодических решений линейных дифференциальных
уравнений с периодической правой частью.
Пример 4. С помощью тригонометрического ряда Фурье найти
какое-либо частное решение
дифференциального
уравнения у" — 2у = f(x), где f(x) —
периодическая с периодом
Τ = 2π функция, заданная
в интервале (0,2π)
равенством f(x) = (π — х)/2.
^ Разложим функцию
Рис. 6 f(x) в ряд Фурье. Так как
124

она является нечетной, то ее разложение будет иметь вид
оо
f (χ) = 2 ^n sin "*>
/г=1
π
Где сп= — Ι π~~* sinnxdx. С помощью интегрирования по частям
π J 2
о
оо
получаем сп = 1М; таким образом, /(л;) = \^ £1£_^£ ? где хф2ък,
оо
/г ζ Ζ. Следовательно, нужно решить уравнение у" — 2г/ = \ Sln/2A: .
1=1
Будем искать решение данного уравнения в виде
тригонометрического ряда
оо
у —: Jfo. _]_ X (дл Cos пл: + &л sin пх), (3)
/1=1
тогда
оо
у" = \ (— п2ап cos Aix — n2£n sin nx). (И)
я=1
Подставляя результаты (3) и (И) в данное уравнение, получаем
равенство
оо
а0 + Лг [(— 2 — п2) ап cos пл: + (— 2 — п2) Ъп sin /u] =
оо
-Σ
я=1
м=1
из которого следует, что а0 = 0, ап = 0, (—2 — я2)&п = \/п.
Отсюда &п = —\/(п(п 2+ 2)). Осталось подставить найденные
коэффициенты в разложение (3):
оо
XI sin пх f с, и
jfaj η (η2 + 2)
Упражнения
784. Даны ряды:
оо оо
а) \^ (п + cos пх + (~~ ' sin ш; ]; б) π + \ —— cos nx;
я=1 я=1 " V п
125

oo
ч V^l / η , sin ηχ \ ν
в) >, cos шН — ; г)
; Ζλ U3+l η /Τ/
/ζ2 cos/ζ*— 4я sin я*
Требуется: 1) исследовать их на сходимость; 2) выяснить, что можно
сказать о возможности их почленного дифференцирования; 3)
проинтегрировать каждый из сходящихся рядов на отрезке [0, х\
Следующие функции разложить в тригонометрические ряды Фурье
в интервале (—π, η)ι
f — 1, если — π <; χ <; 0,
785. !(χ) = \Λ Π
' ν ' [ 1, если 0<χ<π.
786. /(*) = )°>-π<*<°> f<*<*.
b, 0<χ<π/2.
0, —π<χ<0,
ί 0, — π < * < (
787. /(*) = { 2> 0<^<πι
788. χ. 789. | χ | . 790. λ:3. 791. e* 792. cos (χ/3). 793. shx.
794. sin αχ, a$Z.
IX+ π, — π < л: < — π/2, |Ό, π/2< | χ | <π.
π/2, — π/2 < χ < π/2, 796. /(*)=]
— λ: + π, π/2 < α; < π. (— *> | Χ | < π/2.
797. Каковы будут коэффициенты Фурье для тригонометричес-
п
кого многочлена Тп(х) = V (afecos£x ■+· Pfesinfet)?
fe=0
798. Выяснить, какие коэффициенты Фурье для
тригонометрического ряда обращаются в ноль, если а) f(x + π) = —f(x); б) /(χ +
+ π) = /(*); в) /(-х) = /(*) и /(χ + π) - -/(χ); г) /(_*) = -/(χ)
и /(χ + π) = -fix); д) /(-χ) = /(χ) и /(χ + π) = /(χ); e) f(-x ) =
= —f(x) и /(л: + π) = f(x). Функция f(x) предполагается
периодической g периодом 2π.
799. Функцию f(x) = sin4* разложить в тригонометрический ряд
Фурье в интервале (—π, π).
800. Функцию f(x) = χ в интервале (0, π) разложить в ряд по
косинусам.
801. Функцию f(x) = \х\ в интервале (0, π) разложить в ряд по
синусам.
802. Функцию f(x) = И' ^<*<^> разложить в ряд по
косинусам в интервале (0, π).
803. Функцию f(x) = (π — х)/2 в интервале (0, π) разложить в
ряд по косинусам.
Следующие функции разложить в интервале (0, π) в ряды а) по
синусам; б) по косинусам.
126

804. 2x. 805. η/4 —χ/2. 806. e*. 807. ctu. 808. \ΐγ2χ.
IXy 0<λ;<π/3,
π/3, π/3<*<2π/3,
— χ + π, 2π/3 < χ < π.
Разложить в тригонометрические ряды Фурье следующие функции
в указанных интервалах:
810. /(*) = ( Ι' 3π<χ<*π> 8Π. (χ_2π)3; (π, 3«). 812. χ,
I <3, 4π<χ<5π, (όπ, 5π).
a) (—/, /); 6) (0, 4). 813. e*— 1, (0, 2π). 814. 4-х, (2, 6)
815. e*, (—/, /). 816. χ — 4π, (4π, 5π) в ряд по синусам.
817. х+ 2π, (—3π, —2π) в ряд по косинусам.
818. /(*)=( *' 1>5<*<2, (3/2, 3) в ряд по косинусам.
( О Χ, Δ <d X <С «3»
819. χ sin x, (0, π) в ряд по косинусам.
820. χ cos χ, (—π/2, π/2).
821. sinmx, (0, π) в ряд по косинусам, (/ηζΖ).
822. χ (π/2 — χ), (0, π/2) в ряды а) по косинусам; б) по синусам.
(х, 0 < χ < 1,
823. Функцию /(#) = ! 1, l<x<;2, разложить в тригонометри-
( 3 — х, 2 < * < 3
ческий ряд Фурье в интервале (0, 3).
Разложить в тригонометрический ряд Фурье следующие
периодические функции:
824. sin6 χ. 825. cos2nx(n£N). 826. arcsin (sin χ).
β27. I cos* | . 828. | sin χ | . 829. χ — \x\.
830. Как следует продолжить заданную в интервале (0, я/2)
интегрируемую функцию f(x) в интервал (—π, π), чтобы ее разложение
в тригонометрический ряд Фурье имело вид
a) f(x)= ^апсо$(2п-1)х, б) /(*)= ^bns\n(2n—l)x?
831. Разложить в тригонометрический ряд Фурье периодическую
(с периодом 2π) функцию f(x), определенную на отрезке
— π/2 < χ < π/2,
3 _
— π
2
рабством №-{Т·^2?^/!2
Построить график этой функции.
832. Разложить в тригонометрический ряд Фурье периодическую
с периодом Т=2 функцию, определенную на всей числовой оси и
заданную на отрезке [—1,1] равенством
1, —1<*<0,
f(x)= \ 0,5 при χ == 0,
к, 0<л;< 1.
127

Пользуясь формулами Эйлера для cos* и sin*, получить
разложения в тригонометрический ряд Фурье следующих функций (|^| < 1):
833. «^ . 834. ^ . 835. 1-ч«>**
1 — 2q cos x-\-q2 1 — 2q cos x+q2 1 — 2q cos x+q2
836. Почленным интегрированием разложения
χ = 2
оо
rt+1 sin/гя
η
получить разложения в ряд Фурье в интервале (—π, π) функций χ2,
χ3 и а:4.
Найти суммы следующих рядов, пользуясь разложением в
тригонометрические ряды Фурье указанных функций:
оо
837. V Jbl>^ :/W== J 1. 0<*<π
/ι=1
оо
838. ^ (2я11)2; /(*) = \χ I при -π< х< π·
/2=1
ОО ОО ОО
rt=l
При — π < χ < π.
840.
"л=1
Следующие функции разложить в тригонометрические ряды Фурье
в комплексной форме:
841. а) \х\ в интервале (—π, π);
оо
Σ/ ПЛ-1
3 \ f{x)~x(^ — х) в интервале (0, π) в ряд синусов.
"/«-{ίί-^δ?0-
5<*<1;
842. а) х2 в интервале (—π, π); б) е* в интервале (—/, /).
843. Записать тригонометрический ряд Фурье 1) в комплексной
форме, 2) в действительной форме для периодической функции f(x) (с
периодом 2π), определенной на отрезке [—π, π] равенством f(x) =
= cos(x/2).
844. Воспользовавшись комплексной формой тригонометрического
ряда Фурье, разложить в ряд Фурье следующие функции:
а) периодическую (с периодом 2π) функцию, определенную в интер-
вале (—π, π) равенством f{x) = | e-^ ο<*<π;
б) eh* на отрезке [—π, π]; в) sh χ в интервале (—π, π).
128

0,25π, — π<Λ:<;0,
(υ,ΖΟπ, —π<
О при χ = 0
0,25π, 0<Λ:<π
написать формулы Парсеваля — Ляпунова. С помощью этих формул
доказать равенства
оо оо оо
а) У J- β _uL; б) У 1 β Ji.; В) У ' β Ji_.
^ и2 6 ; JU η4 90 ' j£J (2я--1)2 8
«=1 п=1
846. Найти в виде тригонометрического ряда Фурье какое-либо
частное решение уравнения
оо
„ о г ^Л cos пх — п sin пх
у ~3у =2ι—гт^—·
847. Найти частные решения следующих дифференциальных
уравнений в виде тригонометрических рядов Фурье:
a) tf-y=h(x)\ б) y" + y = h(x)\
в) уГ' + V = /3 (*); г) у1У —6y = fA (χ),
где все правые части суть периодические с периодом Τ = 2π функции,
определенные в указанных промежутках равенствами:
j sign λ:, — π<*<π,
а) /ι (x) = j 0 ν = -^ π Ha отРезке l— π' π1;
б) /2(λ;) = (π — *)/2 в интервале (О, 2π);
в) /з (*) = siSn * в интервале (— π, π);
γ) /4(χ) = π2— χ2 на отрезке [—π, π].
§ 16. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ПРОИЗВОЛЬНЫМ
ОРТОГОНАЛЬНЫМ СИСТЕМАМ ФУНКЦИЙ.
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ
Пусть задана произвольная ортогональная на отрезке [а, Ь] с весом р(х)
система функций {q>n(x)}%Li. Справедлива следующая теорема.
1. Если функция f(x) разложена в равномерно сходящийся на отрезке [а,Ь\
ряд по ортогональной с весом ρ (я) > 0 на том же отрезке системе непрерывных
функций {^п(х)}^1-
эо
/(*) = 2Сп(?п w'
то коэффициенты этого ряда определяются формулами
ь
J / Μ φ* Μ ρ Μ d*
cn = Ή (Α)
J [/Ml* ρ Μ d*
a
129

Ряд 2слФлМ» коэффициенты которого определяются формулой (А), неза»
висимо от того, сходится ли он к функции f(x) или нет, называется рядом Фурье
для функции f(x) по ортогональной системе функций {ΨηΜ}^]· Коэффициенты
(А) называются коэффициентами Фурье, Тот факт, что этот ряд является рядом
Фурье для функции /(*), выражается записью
оо
f (х) - 2 спЧп М-
Оказывается, что формально составленный для
функции f(x) ряд Фурье по любой заданной
ортогональной на отрезке [а, Ь] системе функций может
расходиться на бесконечном множестве точек от-
резка [a, b) или сходиться, но не к функции /(*).
Это имеет место даже для таких простых
ортогональных систем, как тригонометрическая система
функций или система полиномов Лежандра.
В связи с этим о сходимости рядов Фурье говорят
еще и в другом смысле. Например, о сходимости
Рис. 7
ряда 2спФпМ к функции /(*) на отрезке [а, Ь\
можно говорить в том смысле, что
\ Ι / (х) — Sn (χ) Ι dx ->- 0 при п
(Б)
Условие (Б) геометрически означает, что площадь фигуры, ограниченной
графиками функций у = f(x), у = Sn(x) и прямыми χ = а и χ = b, стремится к
нулю при η ->- оо (рис. 7).
Однако по ряду причин вместо интеграла от модуля разности f(x) — Sn(x)
предпочитают рассматривать интеграл от квадрата этой разности.
Введем два определения.
Ряд Фурье для функции f(x) называется сходящимся к этой функции в
среднем на отрезке [а, Ь], если
[/ (х) — Sn (χ)]2 άχ -+ 0 при η ->· оо.
Ряд Фурье для функции f(x) называется сходящимся к этой функции в
среднем с весом р(*)> 0 на отрезке [а, Ь], если
J [/ (х) - Sn (χ)}2 ρ (χ) άχ -* 0 при η
Для многих практических приложений рядов Фурье сходимости в среднем
оказывается достаточно. Более того, можно значительно расширить класс
функций, разложимых в ряды Фурье, если не требовать обычной сходимости, а
ограничиться лишь требованием сходимости в среднем. Указанные соображения
наталкивают на мысль перейти к рассмотрению класса функций, интеграл от
квадрата которых существует. Такой класс функций мы будем называть
множеством функций, интегрируемых на отрезке [а,Ь] с квадратом.
оо
2. Теорема Парсеваля. Для того чтобы ряд ^спц)п(х) по ортогональной на
л=1
130

отрезке [α, b] с весом р(х) системе функций {φ^Μ}^ сходился на этом отрезке
в среднем с весом р(х) к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
σο b b
2 cn J ft* wi2 p wάχ = j" if wi2 ρ w d*>
rc=l α a
называемое равенством Парсеваля.
В частности, для тригонометрической системы функций {cosnx, sinnx}^L0
равенство Парсеваля имеет вид
9 оо π
ГС=1 -—π
где απ, bn — коэффициенты Фурье для функции f (x).
Введем следующие определения.
Множество функций, непрерывных на отрезке [а, Ь], называется классом
С [а, Ь] или, короче, классом С.
Множество всех функций, ограниченных на отрезке [а, Ь] и имеющих на
этом отрезке не более конечного числа точек разрыва, называется классом
С \а, Ь] или, короче, классом С.
Две функции из класса С будем считать равными, если они отличаются
друг от друга не более чем в конечном числе точек.
Следующая теорема выражает минимальное свойство коэффициентов Фурье.
3. Пусть заданы ортогональная на отрезке [а, Ь] с весом р(х) система
функций {фтгМ}^!^ С и произвольная функция f(x) £ С. Среди линейных
комбинаций вида
η
αι<Ρί (*) + α*?2 (*)+··· + ап<?п (*) = 2 "*?* Μ
наилучшим образом функцию f(x) будет приближать та из них, которая будет
совпадать с п-й частичной суммой ряда Фурье для функции f(x) no данной
системе функций в том смысле, что величина
b Г η Ί2
a I fe=l J
a
будет минимальна по всем коэффициентам aft, т. е.
ь ι
rnir
ЬГ η 12 ЬГ η "12
nin j / {χ) — 2 ah<?h (χ) ρ (χ) άχ = Ν / (*)— 2 <W* (*) Ρ (*) άχ>
где ck — коэффициенты Фурье для функции f(x).
Остановимся теперь на понятиях замкнутости и полноты системы
ортогональных функций.
Система функций {φηΜ}^_ι с С, ортогональных с весом р(х) на отрезке
[а, Ь], называется замкнутой в классе С, если, какова бы ни была функция
f(x) £ С, ряд Фурье для нее сходится в среднем с весом р(х) на отрезке \а, Ь]
к самой этой функции.
Очевидно, что для всякой функции f(x) £ С и всякой замкнутой системы
{Ψη(χ)}™=ι с £' ортогональных на отрезке [а, Ь] с весом р(х) функций
выполняется равенство Парсеваля.
131

Система функций {4>n(x)}%Li^ С» ортогональных с весом р(*) на отрезке
[а, Ь]у называется полной в классе С, если нет ни одной отличной от нуля
функции ψ(χ) £ С, ортогональной с весом р(*)> 0 ко всем функциям φη(χ) этой
системы на отрезке [а, Ь].
Справедлива следующая теорема.
4. Если система функций {^>n(x)}^L\ замкнута в классе С/то она является
полной в этом классе (предполагается, что данная система не содержит
функций, тождественных с нулем).
Из этой теоремы следует, что если из замкнутой системы функций,
ортогональных на некотором отрезке, исключить хотя бы одну, то оставшаяся
система функций будет уже не замкнутой.
Рассмотрим важные для приложений ряды по ортогональным системам
функций Лежандра и Бесселя.
Как было отмечено в примере 4 (с. 116), система полиномов Лежандра
{Pn(x)}%Lo ортогональна с весом р(х) = 1 на отрезке [—1, 1].
Ряд Фурье для функции f(x) £ С по системе полиномов Лежандра имеет
вид
Σ
спРп(х), (В)
п=1
ι ι
где сп = f f(x)Pn(x)dx/[ [Ρη(χ)]2άχ, что после вычисления интеграла, стоящего
—1 —1
в знаменателе, дает
ι
(Г)
2П+Х j / (х) Рп Μ ах.
Ряд (В), коэффициенты которого определяются формулами (Г),
называется рядом Фурье — Лежтдра для функции /(*).
Ряд Фурье — Лежандра для любой функции f(x) £ С сходится в среднем
с весом р(х) = 1 к функции f(x) на отрезке [—1, 1]. Эго означает, что система
полиномов Лежандра замкнута на отрезке [—1, 1] в классе С, и, следовательно,
является полной.
Приведем для справок некоторые из полиномов Лежандра:
Р0 (х) = 1; Рг (х) = х; Р2 (х) = Ч2 (За:2 - 1); Р3 (х) = V2 (5а:3 - Зх);
р4 (*) = ι/β (35а:4 — 30а:2 + 3); Рь (х) = V8 (63a:5 — 70а:3 + 15а:)
рв (χ) = Vie (231а:3 — 315д^ + 100а:2 — 5);
Р?И = 1/1в (429а:7 — 693а:5 + 315л;3 — 35а:) .
Как было отмечено ранее, система функций Бесселя |/ (~"7~м
целого порядка р, где μη — п-й по счету положительный корень функции Jp(x),
образует ортогональную на отрезке [0, /] систему функций с весом р(л;) = х.
Ряд Фурье для функции f (х) 6 С по указанной системе функций Бесселя
имеет вид
оо
2 с**, (ψ). (д>
/1=1
132

/
где сп = J xf (χ) Jp (^) dxH xJ*p {*f-) Ax,
0 / 0
теграла, стоящего в знаменателе, дает
что после вычисления ин-
p[j'm\2
I
-jx/W^pp) άχ·
(Ε)
Ряд (Д), коэффициенты которого определяются формулами (Е),
называется рядом Фурье — Бесселя для функции f(x). Ряд Фурье — Бесселя для любой
функции f(x) £ С сходится в среднем с весом р(х) = χ на отрезке [0, /] к
функции /(#). Это означает, что рассматриваемая система функций Бесселя
замкнута на отрезке [0, /] в классе С и, следовательно, является полной.
Для справок приведем таблицу положительных корней μχ — μ5
бесселевых функций Jo(x), Ji(x) и J2(x)·
Корни
J0(x)
Ji(x)
J2 (Χ)
μ-ι
2,4048
3,8317
5,136
μ2
5,5201
7,0156
8,417
μ·β
8,6537
10,1735
11,620
1*4
11,7915
13,3237
14,798
μ-β
14,9309
16,4706
17,960
Последующие корни могут быть найдены из приближенного равенства
Относительно ортогональных систем полиномов Лежандра и функций
Бесселя имеет место следующая теорема.
5. Если функция f(x) имеет на некотором отрезке конечное число точек
разрыва, и притом лишь первого рода, а во всех точках непрерывности имеет
непрерывные производные до второго порядка включительно, то функция f(x)
разложима в ряд Фурье по любой из ортогональных систем {Рп(х)}°°_0
(и,„Х \ Ί °°
\ .сходящийся к функции f(x) не только в среднем, но в каждой
I J J«=!
точке непрерывности этой функции, принадлежащей упомянутому отрезку,
в обычном смысле так, что \f(x) — Sn(x)\ ->- 0 при η ->- оо.
Эта же теорема имеет место и для ряда других ортогональных систем, как,
например, для ортогональной на отрезке [—1, 1] системы присоединенных
функций Лежандра {Р™ (x)}%Lm, где
Р™ (*) = (l-*2)
dx"
\Рп(х)], п^т,
sin* системы функций
или для ортогональной на отрезке [0, я] с весом р(л:)
{C(cos*)}-eW.
Пример 1. Разложить функцию f(x) = 2\х\ — 1 на отрезке [—1,1 J
в ряд Фурье по полиномам Лежандра (ограничиться членами до Ρη(χ)).
^ Искомое разложение должно иметь вид
f(x) = c0P0(x) + c1P1(x) + ... +с7Р7(х)+··· ·
По формуле (Г) вычисляем коэффициенты этого ряда:
(Ж)
133

ι ι ι
Co=T j/MPoMd* = Y j(2|*| -1)άχ= j(2x-l)dx =
—1 —1
1
= [χ* — jc]i = 0; с*,.! = ^=^- f (2 \x | - 1) ?,„_! (*) dx = 0,
—1
n= 1, 2, 3,...,
так как интегралы от нечетных функций в симметричных пределах
равны нулю (полиномы Ρ2η-ι(χ) являются нечетными функциями,
а произведение четной функции на нечетную есть нечетная функция);
ι. ι
С2= Т J^'W^-Y J(2UI -1) 3χ2~1 dx =
—1 —1
= — Γ (6х3 — 3*· —2х + l)d* = —;
о
1 1
с4 = -|- Г (21 jc J — 1) зб**-30** + 3 djc = _|_J,(70jt6_35x*_ QOxs+
+ 30х* + 6х — 3)dx = -;
= JiL j(2Ul-l) 231,e-315.^ + 100^-5 dx ^ jj j (462χ7 _
-1 0
- 231л;6 — 630л:5 + 315л:4 + 200л:3 — 100л:2 — Юх + 5) d* =
Се
Z J ID ΙΟ J
-1 0
.91
192 *
Подставляя найденные коэффициенты в разложение (Ж),
получаем
1
+ ^ПГ1 I(2 ' х ' ~ ^W^ · р2„ W + · · · *
-1
Здесь ряд, стоящий справа, сходится в среднем с весом р(л;) = 1 на
отрезке [—1,1] к заданной функции f(x).
Пример 2. Разложить функцию f(x) = 1 —χ на отрезке [0,1] по
системе функций {</0(μτι*)}^=ι·
Μ Здесь / = 1, и разложение должно иметь вид
ι — χ = ^Л (μ·ι*) + ^Л (Μ Η Η ^ιΛ (ιν) + · ·« (З)
134

Коэффициенты ряда определяем по формуле (Е):
ι
—-? Г х (1 — х) J0 (μηχ) άχ.
0
Сделав замену переменной μηχ = ζ, получим
μη μη
с„ =
[♦/ο (μη)]2
Ц-j zJ0(z)dz L J zV0(Z)dz
μ« η *« η
а после упрощений с использованием известных из теории бесселевых
функций равенств
JQ (х) = — Л (х), [xJi (χ)]' = *</0 (*)» J zJo (ζ) &ζ = zh (ζ) + c>
μη
- Г^0(2)йг.
/ι(μη)Ρμ« J
V-n
Используя таблицы для Jt(z) и вычисляя f «/0(z)dz с помощью раз-
0
ложения функции J0(z) в степенной ряд, найдем ct = 0,984; с2= 0,666;
с3 = 0,992 с точностью до 0,001. Подставляя найденные значения
коэффициентов в равенство (3), получим
1 _ χ = 0,984У0 (2,4048*) + 0,666У0 (5,5201*) + 0,992У0 (8,6537*) -| ,
или в общем виде
°° μη
1 — χ = 2 V1 ! — f y0(z)dz- J0(pnx)
Здесь ряд, стоящий справа, сходится в среднем с весом р(*) = * на
отрезке [0,1] к функции 1—х.
Упражнения
( 1 . ΠπΧ ϊ°°
848. Доказать, что система функций] — sin——\ ортого-
нальна с весом х2 на отрезке [0, /]. Доказать, что эта система
замкнута на отрезке [0, /] в классе С
849. Разложить в ряд Фурье по ортогональной на отрезке [0,2]
системе функций
| sin [— -\—-) х\°° функцию f (χ) = cos -^-.
850. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра на отрезке
£—1,1] функции а) х3 — 2*2; б) 70*4 — 60л:2 + 6.
135

851. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра на отрезке
[—1,1] функции
[ 1, 0<x< 1, f 0, —1 «:х<0,
а> fW = l-i, _!<*«,; б> *(*>=■{ 1,0<*<1.
Вычислить несколько первых коэффициентов ряда.
852. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра функцию
f(x) = \х\ на отрезке [—1,1].
853. Разложить в ряд Фурье по полиномам Лежандра функцию
f(x) = sin nx. Найти члены до Рь(х).
854. Найти несколько первых коэффициентов ряда Фурье по
присоединенным функциям Лежандра второго порядка на отрезке [—1,1]
для функции f(x) = | j' __j ,^^^'q (присоединенные функции
Лежандра второго порядка определяются равенством Рп (х)= (1—х2)х
d2
х (Λζ (*))> гДе Ρη(χ) — полином Лежандра, д>2).
ах2
855. Разложить функцию /(Θ) = |cos θ| в ряд Фурье в интервале
О < θ <; π по ортогональной на отрезке [0, л] системе функций
{Рп (cos θ)}Ζ=ο (найти несколько первых членов ряда).
856. Разложить функцию /(Θ) = sin2 θ в ряд Фурье по
ортогональной на отрезке [0, л] системе функций {Pn(cos θ)}£10·
857. Разложить в ряд Фурье по функциям Бесселя
Wo ( μΗΧ )ί°° на отрезке [0, /] функцию f(x) = 1. Вычислить
несколько первых коэффициентов ряда (μΛ > 0 — k-й корень
функции J0(x)).
858. Разложить в ряд Фурье по системе функций Бесселя
Ά) (нх) | _^ на отрезке [0,1] функцию f(x) ={ q' q 5<τλΓ<Ί Вычис-
лить несколько первых коэффициентов ряда.
f I ak χ )°°
859. Доказать, что система функций —sin—-—ι , где а4 <
^ χ ι )k=i
< α2 < ... < ak < ... — положительные корни уравнения tg*=—х/29
ортогональна на отрезке [0, /] с весом р(л;) = х2. Разложить функцию
f(x) = 1 в интервале (0, /) в ряд Фурье по этой системе функций.
860. Многочлены Чебышева определяются равенством Тп(х) =
= cos(n arccos χ), η = 0, 1, 2, ... . 1) Доказать, что
тп(χ) = \ [(χ + Υ~^=Λ)η + (χ- 1/F=in;
2) написать многочлены Чебышева для η = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6; 3)
показать, что система {Tn(x)}ZL0 многочленов Чебышева ортогональна
на отрезке [—1,1] с весом ч(х) = г ; 4) для функции f(x) = \х\
у 1-х2
на отрезке [—1,1] написать ряд Фурье по системе
многочленов Чебышева; 5) написать ряд Фурье для функции у(х) =
136

~ {1! есПи О < χ 5 ?! П0 °Ртогональной системе {Тп(х)}%=о на
отрезке [—1,1].
861. Показать, что система многочленов
/1 -χ2
ортогональна на отрезке [—1,1] с весом Г(л;) = ΫΊ —х2. Написать
ряд Фурье для функции f(x) = \х\ по ортогональной системе {Un(x)}%L0t
862. Многочлены Лагерра определяются равенством
Ln(x) = & ¥-№ ег% я = 0, 1, 2, 3,....
ахп
[) Написать многочлены Лагерра для η = 0, 1, 2, 3, 4;
2) показать, что система многочленов Лагерра {Ln(x)}Z=o
ортогональна с весом Г(л;) = е~* в промежутке 0 < χ <Ζ°°\
3) написать ряд Фурье для функции f(x) = е~х (х > 0) по системе
многочленов Лагерра.
863. Многочлены Эрмита определяются равенством
Нл(ж) = (—1)ле*в.^е-Л л = 0, 1, 2,...
ахп
1) Написать многочлены Эрмита для η = 0, 1, 2, 3, 4;
2) показать, что система многочленов Эрмита ортогональна с весом
Г(л;) = е-А'2 в бесконечном интервале (—оо, оо);
3) написать ряд Фурье для функции f(x) по системе многочленов
Эрмита (— оо < χ < +оо).
864. Функции Радемахера определяются равенством
(1, *>0,
хп (χ) = sign sin (2η+ι πχ), η = 0, 1, 2, ...; sign χ = Ι 0, χ = 0,
Ι—ι,*<ο.
Построить графики функций Радемахера для η = 0,1» 2, 3. Доказать,
что а) система функций Радемахера {гп(х)}™=о ортогональна на
отрезке [0,1]; б) при п> т каждый интервал постоянства функции гт(х)
содержит четное число 2п~т интервалов постоянства функции тп(х).
оо
Доказать равенство 1 — 2х = V -~^, 0 < χ < 1.
865. Функции Уолша Wn(x), χ 6 [0,1] в нумерации Пэли
определяются следующим образом: W0(x) = 1, W2* (х) = гА(х); k = 0,
1, 2, ..., где ти(х) — функции Радемахера. Если η = 2"1 -f 2п* + ... +
+ 2 m , щ > п2 > ...пм > 0, то Ψη(χ) = Π Wa*/(*) = Π гщ (х); в
точках разрыва Ψη(χ) = -£-[Wn(* f 0) + Wn(^-0)]. Требуется:
1) построить графики функций Wn(x) при я = 0, 1, 2, ..., 8;
137

2) доказать, что система функций Уолша {Wn(x)}%Lo ортогональна
на отрезке [0,1]; 3) для функции f(x) = χ на отрезке [0,1] найти
первые четыре коэффициента ее разложения по системе функций Уолша.
§ 17. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Если функция f{x) ограничена в интервале {—IJ) и является в нем
кусочно-гладкой, то она разложима в ряд Фурье
оо
f(*)= -f+2j(ancos~r+bn τ)· (35)
где
ι ι
αΛ = — / (/) cos — d/, £л = — / (/) sin — d/
-/ —/
(предполагается, что в точках разрыва f(x) = 1/2[f(x + 0) +/ (л; — 0)]).
Поставим вопрос: как преобразуется это разложение, если интервал (—/,/)
будет неограниченно расширяться, т. е. если / ->■ оо? Ответ на поставленный
вопрос дает следующая теорема.
1. Если функция f{x) 1) определена на всей числовой оси, 2) является кусочно-
гладкой в каждом конечном промежутке, 3) абсолютно интегрируема в
бесконечное
ном интервале (интеграл Г |/(je)|d* сходится), то предельный переход в равен-
—оо
стве (85) при / ->· оо приводит к следующему интегральному представлению
функции f(x):
+оо
(36)
оо ρ -J-oo -|
/ (*)=* Г Г / (t) COS a (t — х) at da,
о L — oo J
или в несколько другой форме
оо
/ (*)= J [a (a) cos a* + Ь (a) sin ax] da, (37)
0
где
+00 -bo
a (a)= \ f(t) cos ctf df, b (a) = -i / (f) sin a/1 df.
(38)
Равенства (36) w (37) имеют место для всякой точки χ, в которой функция
f(x) непрерывна, а сами несобственные интегралы, стоящие в правых частях этих
формул, сходятся и в каждой точке хт разрыва функции f(x), но к числу
ЧДПхт - 0) + Нхт + 0)].
Выражение (37) называется интегралом Фурье для функции дя), а
выражение (36) — двойным интегралом Фурье.
Нетрудно заметить аналогию между интегральным представлением (37)
функции f{x) и ее разложением в ряд Фурье в интервале (—π, π):
оо
/ (*)= —— + γ (ап cos пх + bn sin nx).
138

Знак ^ преобразовался в Г ; символ η заменился на непрерывно изменяющийся
η=ι о
аргумент ос; вместо суммирования по индексу η имеем интегрирование по а;
вместо коэффициентов Фурье, зависящих от п, имеем функции от а,
определяемые формулами (38).
Интеграл Фурье можно записать и в комплексной форме либо с помощью
двойного интеграла:
т°р / -г°° \
(39)
либо с помощью однократного интеграла:
/(*)= Г С(«)егаЛ da, (40)
ОО
где С (а) =;-!- Г /(/) ГШ&.
—oo
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) /М — четная функция, тогда
ОО
(α)= τί
a(a)=:— f(t)cos<itat, b(a)=0
0
и, следовательно, из формулы (37) имеем
ОО / ОО
ОО ОО / ОО \
/ (х) = \ a (a) cos a *d a = I 1/(0 cos a № cos a xda; (41)
о о V о /
2) [ W — нечетная функция, тогда
oo
a (a) = 0, Ь (a) = / (0 sin ctfdi
0
и, следовательно,
σο oo / oo \
/ (*) = I b (a) sin ax da= \ I / (t) sin a id* sin a * da. (42)
0 0 \ 0 /
Если кусочно-гладкая функция f(x) задана в интервале (0, +°°) и интеграл
ОО
Г l/(*)|d* сходится, то функция f(x) может быть представлена интегралом Фурье
0
либо в форме (41), либо в форме (42), смотря по тому, четным или нечетным
образом она продолжена в интервал (—оо, 0).
Рассмотрим теперь так называемое преобразование Фурье.
1. Пусть функция f(x) определена на всей числовой оси, является кусочно-
Гладкой в каждом конечном интервале и абсолютно интегрируема в промежут-
139

ке(—oo, +оо). Тогда она представима формулой (39). Перепишем ее в виде
+оо г- +оо
1^2π J /2π J
/ (0 e df \elaxaat
положим здесь
тогда
?(а) :
ι^2π J
/Wed*.
-f-oo
/ W=—— φ («) e~"ia*da
1^2π J
OO
Функция φ(α) называется преобразованием Фурье функции f (t).
2. Пусть функция f(x) — четная; перепишем равенство (41) в виде
/ (t) COS a tat cos a x da.
(43)
(44)
oo ι- oo -ι
0 L о J
Положим здесь
oo
тогда
fix)·
/ (t) cos a idf,
Z7 (a) cos a #da.
(45)
(46)
Функция F(a) называется косинус-преобразованием Фурье функции f(t)·
3. Пусть теперь функция f(x) — нечетная; перепишем равенство (42) в
виде
ОО г- ОО
sin α χάα.
Положим здесь
тогда
Φ (α)
-УЦ
I (t) sinatdt,
;«-/4J·
(a) sin α χάα.
(47)
(48)
Функция Ф(а) называется синус-преобразованием Фурье функции /(/).
Пары формул (45), (46) и (47), (48) устанавливают закон взаимности: если
F(x) — косинус-преобразование Фурье четной функции /(*), то f (x) есть
косинус-преобразование Фурье функции F(x); аналогично, если Ф(х) есть
синус-преобразование Фурье нечетной функции /(*), то f(x) есть синус-преобразование
Фурье функции Ф(х).
140

Заметим, что равенства (43), (45) и (47) можно рассматривать как
интегральные уравнения относительно неизвестной функции f(t), тогда равенства
(44), (46) и (48) соответственно дают решения этих уравнений.
Рассмотрим более подробно преобразование Фурье. Тот факт, что функция
φ(α), определяемая равенством (43), является преобразованием Фурье функции
f(f) (которая может быть и комплексной), выражают записью
φ(α) = F[f(t)](a) (49)
или, еще короче, φ = F[f].
Если равенство (49) рассматривать как интегральное уравнение
относительно неизвестной функции f(t), то решение этого уравнения дается формулой
(44), правая часть которой после замены χ на —χ представляет собой
преобразование Фурье функции φ(α). Поэтому формулу (44) можно представить в виде
/(*) = Яср(а)](—*). (50)
Формула (50) определяет обратное преобразование Фурье, которое мы будем
обозначать также F~l[q>(a)](x); таким образом,
/7~1[φ(α)]Λ: = Я<р(а)](—*).
Преобразование Фурье обладает следующими основными свойствами:
1) F[Cf(t)](a) = CF[f(t)](a), С = const;
2) F[h(t) -t ft(t)№ = /[/ι(01(α) + F[f2(t)](a);
3) F[f'№a) = iaF[f(t)](a)\
4) F[f(n)(t)](a) = (ia)nF[f(f)](a). (51)
Из свойств 1 и 2 вытекает справедливость равенства
[2
Ck h (t)
(«) -^CkF[fk(t)\(a). (52)
k=l
Указанные свойства преобразования Фурье можно использовать для
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, сводя их к алгебраическим уравнениям относительно «образов»
(преобразований Фурье) искомых функций. Если найден образ (преобразование Фурье)
искомой функции, то с помощью обратного преобразования можно восстановить
и саму неизвестную функцию. Действительно, пусть задано линейное
дифференциальное уравнение
η
2 я* </*(*) = /W (А)
k=0
с постоянными коэффициентами ak. К обеим его частям применим
преобразование Фурье
[2
Lft=o
о
(α) =P[f (χ)} (α). (Б)
Обозначая правую часть равенства (Б) через φ(α) и пользуясь свойствами (51) и
(52), перепишем его в виде
η п.
2 ak F [0<*> WJ («) = <Р («) ИЛИ^] ak (i«)k F [у (х)\ (а) = φ (α).
141

Отсюда находим преобразование Фурье искомой функции у(х):
F [У (*)}(«) =
У(«)
2 Я/г (I «)*
k=0
Применяя обратное преобразование Фурье (50), для неизвестной функции у (χ)
получаем
y(x) = F
у(а)
2 **(<"«)*
k=0
(-*).
Формально уравнение (А) решено. Однако применение указанного метода
сильно ограничено следующими обстоятельствами. Как правило, частные
решения линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами содержат слагаемые вида ekx, θ^ΰΟΒβ*, θ^βΐηβχ и т. п., которые при х ->
->- ±оо становятся неограниченными. Соответствующие несобственные
интегралы от них расходятся, и, следовательно, преобразование Фурье этих функций
не имеет смысла. Указанное ограничение можно было бы обойти, вводя в
рассмотрение так называемые обобщенные функции, что, однако, выходит за рамки
настоящего пособия.
Все же преобразование Фурье в некоторых случаях применимо и в
рассмотренной, классической форме. Чаще всего это относится к решению
дифференциальных уравнений в частных производных.
( 0 для \х\ > 1,
Пример 1. Функцию f(x) = | 1 для 0<л:<1,
1—1 для — 1<х < 0
представить интегралом Фурье. Использовать результат для вычис-
ρ sin3 t
J " t
ления
At.
<4 Функция f(x) является нечетной, поэтому
oo 1
β(α) = 0; &(α) = — Γ /(/) since tat = — fsinccM/ =
π J π J
0 0
2_ ["cos a t V _ 2 1
π [ a Jo π
— cos a
Интеграл Фурье для данной функции имеет вид
оо оо
ί2 С* \ cos a
fe(a)sina^da = — I sin a xd a =
oo
4 f . 9 a . da
~ — \ sin2 — sin ax —.
π J 2 a
(B)
142

сю
Г sin3 t
Вычислим теперь dt. Из (В) имеем
о
сю
С · о а da π р/ч
\ sin2 — sin αχ— = f (x).
J 2 a 4
0
Положим здесь χ = 1/2. Учитывая, что /(1/2) = 1, получим
a
00 sin3
1 da = —. Полагая теперь — = t, получаем окончательно
оо
О
оо
sin31
at =
t 4
ό
Пример 2. Функцию f(x) = l * ПРИ , ^Ь представить инте-
гралом Фурье в комплексной форме.
<4 Имеем f(x)= \ с (a) e d а, где
ОО 1
2π J 2π J
—оо —1
1 Г е'а —е-1'а1 1 .
= ό— : = — 5Ш а>
2π [_ ι a J πα
оо
г / \ 1 fsina ί«,
следовательно, f(x)=— \ е da.
π J a
Пример 3. Решить интегральное уравнение
(π/2) sin a, 0 < a < π.
0, a > π.
Γ f(t) s'matdt
А Нужно найти f(x). Для 0 < а < π интегральное уравнение
перепишем так:
, .— °°
|/ysina = у — Г/(0 sin a id/
о
(обе части умножены на У2/п). Получено уравнение типа (47), в ко-
143

тором Φ(α) = l/n/2sina. Его решение дается формулой (48), в силу
которой имеем
оо π
f(x) = 1/ — I 1/ ^- sin α · sin α χάα = \ sin a · sin a #da.
о о
Выполняя интегрирование, получим f(x) = (s\rmx)/(l — л:2).
Пример 4. Найти то решение U (х, t) дифференциального
уравнения в частных производных
*L = a*™L, (Г)
dt дх2 w
которое удовлетворяет начальному условию U(x,0) = φ(*).
<4 Будем считать функцию U(x, t) определенной в полуплоскости
t > 0, а функцию ψ(χ) — достаточно быстро убывающей при χ ~> ± оо
так, что ее преобразование Фурье ψ(α) существует: Ρ[ςρ(χ)](α) = ψ(α).
Для решения поставленной задачи применим к обеим частям
уравнения (Г) преобразование Фурье по переменной x(t = const):
о
dt J Y2h J »
—oo
-boo
-^ -£- f t/ (*, 0 е~'"<1* = 4 f ^ (*■ 01 («). (E)
Здесь
-f-oo
г л// ι ι
где F[U(x, t)](a) обозначает преобразование Фурье по переменной χ
искомого решения U(x, t).
Правая часть равенства (Д) в силу (51) равна
a2(/a)8F[t/(x, t)](a) = — a2a2F[U(x, ή](α). (Ж)
С учетом результатов (Е) и (Ж) равенство (Д) представим в виде
-^ F\U(x,t)\(a) = —a*a*F[U(z,t)] (a).
Оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка с постоянными коэффициентами относительно
неизвестной функции F[U(x, 0](°0> зависящей от переменной t9 и имеет
своим решением функцию
F\U(x9t)\(a) = Сег°^\ (3)
Действительно, оно равносильно уравнению
y'(t) + a№y(t) = 0. (И)
144

Его характеристическое уравнение k + а2а2 = 0 имеет корень k =
= —α2α2, поэтому общее решение уравнения (И) записывается в
виде у(t) = Ce~a2a2t, что и соответствует результату (3).
Воспользовавшись начальным условием £/(л;,0) = ср(л;),
обозначением F[cp(a:)] = ψ(α) и положив t = 0 в равенстве (3), получим
F[U(x, 0)] = С, откуда С = ψ(α); следовательно,
F[U(x, ί)](α) = ф(а)е-2(
(К)
С помощью обратного преобразования Фурье (50) найдем искомую
функцию U(xt t):
U (х, t) - F [ψ (α) е аЪаЧ] (—*)= —L Г ψ («) е~^егаА da.
—сю
+ 00
Так как ψ (α) = —ί- Γ φ (ζ) e~/a2dz, то
V2n J
—οο
-{-σο г- Ч-оо
t/(*,*) = f U^ Гср(г)е-аад+г(*-г)а dz
—cx> L —oo
da,
или, изменяя порядок интегрирования,
-j-oo ρ Ч-оо
—aWt + i (x—z) a
U (Χ, f)
4-00 r- -f-oo
—oo L —то
da
φ (ζ) dz.
Интеграл, стоящий внутри квадратных скобок, может быть
1 -(х-г)У (4аЧ)
вычислен; он оказывается равным
окончательно имеем
1
U(x,t)-~
2aVnt
2 Υ πα2 t
-f-OO (X—Ζ)
Γ
Поэтому
е АаЧ <p(z)dz.
Упражнения
Следующие функции представить интегралом Фурье:
— х — 2, — 2<#<— 1,
χ, —1<#< ι,
— χ+2, 1<я<2,
10, И>2.
1; — 1<я<0,
0,5; * = -1, 0,+ 1,
х\ 0 <х<с 1,
,0; J*J>1.
866. /(ж)
867. /И =
145

868. /(ж) = е W 869. f(x)=—-ί—, α>0.
α2+χ2
870. f(s)=. * ,β>0.
α2 + α:2
ί Sin Ж, Ы < π, fcOStf, Ы < π/2,
871·^={ o.w>,. 872·'(Η
0, |*|>π/2.
873. /(*) = е ~. 874. /(я) = е ,v,cosz.
(1, \х\ <1,
875. Представить функцию /(л;) =|0,5, л: =1, интегралом Фурье.
[О, \х\>1
оо
С sin i _,,
Использовать результат для вычисления интеграла \ ~~ аг·
о
876. Функцию f(x) = е-·*, О^я^00, представить интегралом
Фурье, продолжая ее а) четным образом, б) нечетным образом.
877. Написать интеграл Фурье в комплексной, а затем в
действительной форме для функций 1) f(x) = е~а^хК а > 0; 2) f(x) = л:е~а|х1,
а> 0.
878. Найти преобразование Фурье φ(α) для функций
a) f(i) = e~k**\ б) / (/) = te~ Щ ; в) f (f) = e~ ^ .
879. Решить интегральные уравнения
оо оо
a) f (t) cos at dt= ; 6) ψ (у) sin (xy) dy = e~*, x>0.
J 1 +a"2 J
о о
880. Найти функцию U(x, t) распределения температур в беско-
dU 9 дЮ
нечном стержне, зная, что она удовлетворяет уравнению щ =
α2—τη что в начальный момент времени температура в стержне была
распределена в соответствии с условием
ί Г, 0<*<&,
U(x, 0) = —τ, —b<x<0,
[ 0, \х\>Ь
(предполагается, что теплообмен свободный).
881. Найти функцию U(x, t) распределения температур в беско-
dU 9 d2U
нечном стержне, зная, что она удовлетворяет уравнению — = а2 -^
и что начальное распределение температуры задается формулой
U(x, 0) = U0e~x2/h\ где U0 и h — некоторые постоянные величины
(теплообмен свободный).
146

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
3 9 19 2я2 + 1
1. а) —- + —— + —г +·--+ ——== +.·.; б)-1 +
_ у/Т /5 /Г /2п + 1
+-*у-— sin -£- + sin -~ + (-. i)« sin JL -| . φ Cos nu = (- i)«;
3 1 3 2 + (— 1)л f 3
2 ! 31 4! η! 22 ι/ΊΓ
15 . 105 (2л—1)1! 1 1 я
+ = + — +···+- ;=-+···· 2. а) — ; б)—.в)-
33 /3" 4*/? /Iя /Г "2 Зя 2я+1 - 1
(л—1)(л+1) MJL 1 π
r)fl,=l. fln=- . «-2» 3, 4, ...; д) (-1)^ -—^ sin —- ;
n\ γ 2n 2n
η + (_i)/i-i 1
e) 2 ϊ— * ж) —2 o~ · & 1) Простейшая форма общего члена 2п — 1 ?
^Я —^* 1 /2 —-■ Я ~р* о
an-n'-n+l. b«=5„2_229„ + 45. ^ = -т5^. ^5;с5=0;2)про-
1 -)_ (_ 1)л
стейшая форма общего члена Зп~1 или /г2 — ; ап = 2п2 — 4лг -+- 3,
9 Зя In2 2
Otl = —« Г" » 6'п = — , я Φ 4; сд = 0, 7. 1. 8. .
п 2я2 — 12я + 19 п я— 4 ^ 4 1 — 1пя 2
9. 1. 10. 1. 11. 0,5. 12. 0,25. 13. 0,25. 14. 0,75. 15. '—-, \q | < 1,
16. 6. 17. ^J*" ff . \Q I < 1- 18· "17 · 19· i»5· 20· °>5· 21. -|p 22. 1.
23. 1. 24. —-. 25. -J- . « S„ = arctg —y— . 26 4"π' ® ^ =
lo 4 я-f- l 4
= arctg(n+l) — arctg(n— 1). 27. 1— J2 · 28. ——2. 29. 1 —/ΊΓ . 30. in 2.
π π Ι
31. — . · arl = arctg (я + 1) — arctg я. 32. — .φ αΛ = arcsin —
1 / 2 2 \
— arcsin — . 33. 0,5 sin 2. φ αΛ = 0,5 sin — — sin . 34.-!og23.
η ~r 1 \ я я + 1 /
Φ en = logn+i3-lQgn3. 35. ι + ΥΙ + *<* β φ Sn==
^71-1 · 36. СХОДИТСЯ.
37. Расходится.
я радикалов
38. Расходится. 39. Сходится. 40. Сходится. 41. Расходится. 42. Сходится.
43. Сходится. 44. Сходится. 45. Сходится. 46. Расходится. 47. Сходится. 48.
Расходится. 49. Сходится, φ Сходимость ряда следует из справедливости неравен-
1 1
ства <: з:» его справедливость вытекает из равносильности нера-
я УТ\ п /Л
венет в У~п ! > К я , я 1 > яп/2 , —-— <: 1. Последнее неравенство для боль-
г п\
пп/2 со па/2
ших я очевидно ввиду равенства lim —-— = 0, так как ряд ^ —Г" сходит-
Я-»-оо Я I п_1 Я I
147

ся в чем можно убедиться с помощью признака Даламбера. 51. Сходится.
52' Сходится. 53. Сходится. 54. Сходится. 55. Сходится. 56. Расходится. 57.
Расходится. 58. Сходится. 59. Сходится. 60. Расходится 61. Сходится 62. Сходится.
63. Сходится. 64. Сходится. 65. Расходится. 66. Сходится. 67. Сходится. 69.
Расходится. 70. Расходится. 71. Расходится. 72. Сходится. 73. Сходится. 74.
Расходится. 75. Сходится. 76. Расходится. 77. Сходится. 78. Расходится. 79. Сходится.
80. Расходится при любом р. β Сравнить с гармоническим рядом. 81.
Сходится. 82. Расходится. 83. Сходится. 84. Сходится. 85. Расходится. 86. Сходится.
87. Сходится, β ПТГ7Г = mm η ' < ~ ПРИ больших п. 88. Расходится.
(ΙΠ tij ΤΙ ΤΙ
to 1 ι» „- = n„ in „\i > ■ i„ „ = — · 89. Сходится. 90. Сходится.
* (\nn)lnlnn e(lnlnn) elnn η
In я 1 In η 1
91. Сходится. 92. Сходится. % —ц—· = — ~^~Г <—~^~Ζ ПРИ доста"
П У П П j/ΊΓ yfn П yftl
точно больших п. 93. Сходится. 94. Расходится, φ Сравнить данный ряд с гар-
(1 —(1пя)/л)л
моническим; показать, что In >■ 0 при η -*-оо. При вычислениях
U η
воспользоваться разложением функции In (1 -\-χ) по формуле Тейлора,
ограничившись тремя членами, включая остаточный. 95. Сходится, так как <
γη νχτΤψ
1
η Υ η
Приведенное неравенство равносильно неравенствам у (п\)2 >> п,
п"
пп1(п !)2 < 1; последнее верно, так как lim ——— = 0. 96. Расходится.
п-*оо (п\у
97. Расходится, to Сравнить с рядом \ . — ; учесть, что п\ < пп для
^^ п\пп
л>1. 98. Расходится, φ Доказать, что lim пап = 1 φ 0; воспользоваться форму-
П->оо
лойСтирлинга. 99. Расходится (см. указание к примеру 98). 100. Расходится. 101. Схо-
оо
дитсяпри q—/?>1. φ Сравнить с рядом ^ ~~пЦ)' *02, Сходится при ρ > 0.
/2=1
103. Расходится. 104. Сходится. 105. Сходится. 106. При ab<\ ряд сходится, при
ab^\ — расходится. 107. Расходится. 108. Сходится. 109. Сходится. ПО.
Сходится. 111. Расходится. 112. Сходится. 113. Сходится. 114. Расходится. 115.
Сходится. 116. Расходится. 117. Сходится при р>3/2. 118. Сходится. 119. Сходится
при р + <7>1. 120. Сходится при p/2 + q>\. 121. Сходится. 122. Сходится при
γ—α—β>0. 123. Сходится при а>е. ® Для афе воспользоваться признаком
Раабе; при а = е применить признак Гаусса. 124. а) Сходится при р>1; б)
сходится при х<\/е\ в) сходится. 125. а) Расходится; б) сходится при р>\; в)
расходится; г) расходится; д) расходится, φ Данный ряд расходится
одновременен
Σ 2* . . 1
——пт:— » общий член которого превосходит ——— , так как
In (2й !) fe1n2
к=\
2к 2k 2k __
In (2k !) ~ In 1 + In 2 + In 3 Η μ In 2* > In 2* + In 2* + · · · + In 2Λ ~~
_ 2k 1_
= 2k In 2k ~~ k In 2 '
126. Сходится. 136. Расходится. 137. Сходится. 138. Расходится. 139.
Сходится. 140. Сходится. 141. Сходится. 142. Сходится. 143. Расходится. 144.
148

Сходится. 145. Сходится условно. 146. Расходится. 147. Сходится абсолютно.
148. Сходится условно. 149. Расходится. 150. Сходится абсолютно. 151.
Сходится абсолютно. 152. Сходится абсолютно. 153. Сходится условно. 154.
Сходится условно. 155. Сходится условно. 156. Сходится абсолютно при р> 1
и условно при ρ < 1. 157. Сходится абсолютно. 158. Сходится абсолютно.
159. Сходится абсолютно. 160. Сходится абсолютно. 161. Сходится абсолютно.
162. Сходится абсолютно. 163. Сходится условно. 164. Сходится абсолютно.
165. Сходится абсолютно. 166. Сходится абсолютно. 167. Сходится абсолютно.
168. Расходится. 169. Сходится абсолютно. 170. Сходится условно. 171.
Сходится абсолютно. 172. Сходится абсолютно. 173. Расходится. 174. Сходится
абсолютно. 175. Расходится. 176. Сходится абсолютно. 177. Расходится. 178.
Сходится условно. 179. Расходится. 180. Расходится. 181. Ряды а), в) и д)
сходятся условно; ряды б) и г) — расходятся; д) φ Доказать неравен-
етва bk = -£- + ^— +...+__^_ < ^ „ Ьш < Ък,
затем воспользоваться сочетательным признаком. 182. Сходится абсолютно.
183. а) Сходится при а Φ 2/ея, k £ Ζ\ б) сходится при любом а; в обоих
случаях сходимость условная. 184. а) Расходится; б) расходится. φ Данный
ряд представляется в виде суммы условно сходящегося ряда о
расходящимся:
оо оо
185. Сходится абсолютно. 186. Сходится условно, φ Воспользоваться
признаком Дирихле, для чего доказать монотонное убывание
последовательности·
< [и ограниченность частичных сумм ряда > cos ~r~. 187. Сходится
л=1
абсолютно. 188. Расходится, так как limcosn2 φ 0. 189. Сходится условно.
п=\ гс=1 п=1
последний ряд сходится по признаку Дирихле. 190. Сходится условно, φ
Так как
cos -^- = (- 1)" cos (π -ζ— - πη) = (- l)"* cos —^— .
п+1 \ «+1 / « + 1
то данный ряд можно представить в виде 2 \п2(п4-1) cos n4-l * ^ajiee пРИМе*
п=\
нить признак Абеля. 191. Абсолютно сходится при /?> 1, q> \\ условно
сходится при 0</?=<7<Μ. 192. Сходится условно при любом а.
193. Сходится абсолютно. 194. Сходится условно при а ф 2nk, k£Z.
1 2
197. Rn < — ; «>50; S^SS= 1,20. 198. Rn < — ; η > 4; S js S4 =
2n2 3/2 /λ
= 1,3. 199. /?η<-Τ-Γ; η^7: 5^S4 = 0,56. 200. | /?Λ | <:
3ns · '— · — ™-.-Λ. - („4-1)1
ns>6; S^S6 = 0,632. 201. \Rn\< {2n + 3)3 > ^>1Q> 5-5i = ^-
149

202. fln< — ; «>3; S»S3 = 0,5I6. 203. 1,0823. 204. 1,017343.205.1,0147.
n Ъпъ
206 «»< 2i*l+iy Ш*я<^· 208· '"'Κ,+ ι-Η, + ΐ)-
«4 1
209. /?„ <£ — · 210. #n <
1
2e*2
In 2. 2
Τ"1
211. /?n-
1
3n3
212. При α>0
η ! (^ + 1 — α)
; при α = 2 S sz Sd = 6,389; при α =1/2 5 —54=^
: 0,649; при а =1/4 S и S3 = 0,284; при α = 0,1 S ж 53 = 0,105; при α < О
\Rn\<
п+ 1)!
. 213 Rn <
(/»+l)(J-fl)
2 + я
2 > 3n (n-\- I)
4(л + l)2
215· ^n^-2-^11 · 216. #„<:— -Ι-Ξ-) · 217. Rn<
2n
1
5ri57 = 0,692. 214. Rn<
5_ / 2 \"+1
9 4 5
(2/2 + 1) ! (4/i2 + 8л + 3) η (2/2) !
. 218. /?л<
1
219. | Яп | <
223.
11
cos
2/ζπ
(Я+1)Р(1--а)
Λπ f — 0,5 при п =^=3/г,
224.
α2^1 (2/2+1) (α2— 1) ' ι
—. φ Учитывая, что
представить данный ряд в виде
- 1 —2 sin2— =
3 3 [ 1 при η = 3/г,
1 +&
разности двух рядов. 225. . φ Записать данный ряд в виде суммы
1—аЬ
Π
п~0
(ab)n ■
\ (ab)n. 226. — +
22 . 2!
16 72
п=0
376
+ +
1 5 5 31
227, + — -f- — + +
2 ^ 8 ^ 9 ^ 72 ^ 600
23 · 3 ! 24 · 4 I
187
229
4 Г 1
(-3)"
232. +
6 ^
231.
1
п+1 '
а\ < 1
233.
η
Зп~г
234.
2 (2л—1)(2л + 1)
6Л
+ ■·■ +
1
1
η (п+1) 1 · 3}
+ ■
я!
235. α + Ъ + б + с/ +
я=о
237. ^
неравенство
(- Ψ'1
/г==1
Yn — k + lYk
■ ряд расходится.
Доказать
1 1
z=^z=z=—zz" ^ — для я > 1 и 1 < к < п, показав, что оно
Yn—k+lYk п
равносильно очевидному неравенству (п — /г)2 + к (п — 1) > 0. Далее учесть, что
у,
150
Yn — k+lY'
Ι Υπ " ^J л ' 2^L
-3)"
239. 1.

240.
oo
Σ/ηη
n\
15 315
241.
62
2835
1-^
+ ·■
4 48 192
oo
• ·243· ι+Σ^-
n=0
• 242.
244.
1 + - +
^ 3 ^
oo
«=1
w oo / 2
—. 246. V— · 247. -§-+—- — -&-
ί 2α2α3 _ g4 _ 4 \ ( 2α2α4 °з __ α5 За1"з «2 \
V «ΐ α? αί j V αι °ι αι Ωί "ι/
248. *> 0,5; для *> 1 ряд сходится абсолютно, а для 0,5< χ <: 1 — условно.
249. Ряд сходится в единственной точке χ = 0. 250. Сходится абсолютно для
—У~е — К *< ]/"е — 1. 251. Сходится абсолютно для —2< *< —]/*2 и
]Л2<: *<: 2. 252. Сходится абсолютно для *< — 1. 253. Сходится абсолютно
для —4< *< 0 и условно в. точке χ = —4. 254. Сходится абсолютно для V3<
< *< 7/3. 255. Сходится абсолютно для \х\ > 1. 255. *> 1 и χ <: —1; для
1*1 > 1 сходится абсолютно, а при χ = —1 — условно. 257. —сю < л: < 1;
3< *< °°'> в точке л: = 1 сходимость условная. 258 —оо < * < — 2,
о
— —< *<оо; в точке я = —2 сходимости нет. 259. Абсолютно схо-
5
дится для |*| > 1. 260. —оо < *< — 1 и 1 < *<оо; в точке χ = 1
сходимость условная. 261. Абсолютно сходится при всех х. 262. Сходится
абсолютно при всех хф n(2k -f- 1)3/г/2, где η £ N, к £ Ζ. 263. При m > 0 сходится
абсолютно для |*|<Соо; при т = 0 сходится только в точках * = π&, где /г ζ
£ Ζ; при т< 0 сходится в точках χ = knl3p, где k, ρ £ Z. 264. При т> 0
ряд сходится абсолютно для |*|< 3; при /п = 0 ряд расходится при всех х\ при
т< 0 ряд сходится абсолютно для |*| > 3. 265. При т> 0 ряд сходится абсо-
т у—
лютно для |*|< 3/у 2; при т = 0 расходится для всех х\ при т< 0 сходится
И1/—
абсолютно для \х\ > 3]/ 2. 266. При т> 0 сходится абсолютно для (*(< 3;
при т = 0 сходится лишь в точках л: = π/г, где k ζ Ζ\ при m< 0 сходится
абсолютно для |лг|> 1 ив точках л; = kn/3p, где /г, /7 6 2. 267. При т > 0
сходится абсолютно для |*|< 3m/(m+i); при т = 0 сходится абсолютно для |*|< I,
при т< 0 сходится абсолютно для \х\ > Зт/{т-\-1)т 268. Сходится абсолютно для
0 <: *< 1. 269. Сходится абсолютно 2л/г< *< (2k + 1)π, где k ζ Ζ. 270.
Сходится абсолютно для *> 0. 271. Сходится абсолютно для }*|< 0,5. 272.
Сходится абсолютно при всех χ Φ 0. 273. Сходится абсолютно для х<. 4 и χ > 6.
274. Сходится абсолютно для е< *< oo, 275, Расходится при всех х. 276.
Сходится абсолютно для /гя< *< я(2/г + 0/2, k £ N. 277. Сходится абсолютно
для π/г — π/6< х<. nk + π/б, где к (= Ζ. 278. Сходится абсолютно для π/г -j-
+π/6< *< я/г+5я/б, где k £Z. 279. Сходится абсолютно для |*|< 1. 280.
Сходится абсолютно для |*|< 1. 281. Сходится абсолютно для *> 0. 282.
Сходится абсолютно для 2 <: *< 4. 283. Сходится лишь при χ = 1. 284. Сходится
1п2 1п2
абсолютно при всех*. 285. Сходится абсолютно для — < χ <
1+1п2 1—1п2
286. Сходится абсолютно для —у 3-f- 1<*<]/3-г 1. 287. Сходится
абсолютно для —К *< 2. 288. Сходится абсолютно для всех *> —0,5. 289.
Сходится абсолютно при всех χ φ 0. 290. Сходится абсолютно для всех хф — 1.
291. Сходится абсолютно при |*|< I. 292. Сходится абсолютно при \х\ Φ 1 и
условно при * = —1. 293. Сходится абсолютно при χ = nk, k = —2, —3, —4,
... и при а: > 0, χ φ η, η£Ν. 294. Сходится абсолютно при 0< |*|<оо,
если |а|> 1; расходится, если \а\ <: 1 или если * = 0. 295. Сходится абсолют-
151

по при х> 1. 296. Если ρ <: 1, то абсолютно сходится при *> 1; если ^> 1,
то абсолютно сходится при χ > 1. 297. Сходится при *> е и расходится при
х < е. φ При исследовании сходимости в граничной точке χ = е применить
признак Гаусса. 298. Сходится абсолютно при хф\. 299. Сходится условно
при |x|<oo. φ Применить признак Дирихле. 300. Сходится условно при
х φ 2nk, k ζ Ζ. 301. Сходится лишь при х = π/e, /е £ Ζ. φ При л: ^ nk не
выполняется необходимое условие сходимости. Действительно, если
предположить противное, т. е. что
lim sin nx = 0, (А)
Я-»оо
то и lim sin (λ + 1)*=0; отсюда lim (sin nx cos χ + cos nx sin x) = 0, а следо-
вательно,
lim cos nx = 0. (Б)
П-*>оо
Из (А) и (Б) следует равенство lim(sin2/zA: -j- cos2n*) = 0, что противоречит
формуле sirnz*2 + cos2m: = 1. 302. Сходится абсолютно при *> 2. φ
Применить признак Раабе или Гаусса. 303. Сходится абсолютно при |*|<Соо. 304-
Сходится абсолютно при |л:|<оо.
π
cos kx
1 + χ2 + sin2 kx
k=l
Ряд с общим членом
П-! 1
1 1 1+jc2 ГЦ-j
ΦΙ
+ jc2 (l-M2)"
сходится при всех дс, в чем можно убедиться,
например, с помощью признака Даламбера. 305. Расходится при всех χ. φ
Если воспользоваться очевидным неравенством sin2!> 2zln, справедливым
1 2 1
для 0< 2< π/2, то sin —>_=_ при ζ =— Функция 1п2г убывает в интерва-
п πη η
ле (0, 1), поэтому можно написать цепочку неравенств
(*2+1)л 1 1 1
In2 sin —
η
>
In2
2
In2
πη
ΊΓ
In
πη
"ΊΓ
1
πη устанавливается
Расходимость ряда ^
πη |η 7Ш
ного признака Коши. 306. Сходится абсолютно при χ φ 0.
признаку Коши,
с помощью интеграль-
При χ φ 0, по
lim
У ^cos
= lim cos —
< 1.
307. Сходится условно при | χ | < оо.
in (π γη2 + χ2) = (— 1)Я
Xsinb (j/я2 + a:2 —n)J = (—1)Λ sin
Vn2 + x2 + η
По признаку Лейбница, ряд с таким общим членом сходится при любом х. 308.
Сходится условно при х> 0. φ Воспользоваться неравенством
sin k sin k2
/2=1
\. (cos k (k — 1) — cos /e (/e + 1))
| 1 —cos (я + 1) я | < 1
152

и применить признак Дирихле. 309. Сходится при *> 1/2; при 1/2< χ <; 1
сходимость условная, φ Воспользоваться формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано
(\+ {~1)П\- {~1)П - 1 +и (—
\ пх ) пх 2п2х \ п2х
310. Сходится при *> 0; при 0< х < 1 сходимость условная, φ К общему
члену ряда применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
311. Сходится при #> 1/2; при 1/2< х < 1 сходимость условная (см.
указание к 181 д). 312. Сходится абсолютно при \х\<С 1.
In 1 +
313. а)
1 < *<
In (2*— 1)
In (2a: — 1) — 1
; х >
е+1
< х <
е+ 1
314.
*ctg*
yctg х
— и π/e < х < + π/e, & £ Λ". 315.
2 2
■2,
316.
318.
(1 + χψ '
Χ sin α
1 — 2x cos α + χ2
aina —ina
1 / 1 1
< οο. 317. sin — cos — +
2 V 2 χ
%
1
2/
σο
η=1
(χβίβ)"
Ι*Ι<1· ί
будем иметь
σο
2e
хфО, —1,
*=£0.
Воспользовавшись формулой Эйлера
оо оо та —та
^ ял sin па = ^ л:^
2ί
1
2/
и τ. д.
■ хе
319.
л: (cos а — л;)
| л: | < 1. 343. Ряд сходится на отрезке [0, 1] нерав-
1 — 2л: cos α + χ2
номерно; его сумма разрывна при χ = 0; в промежутке (0, 1] сумма ряда
непрерывна, φ S (х) = 1 при 0 < χ < 1; S (0) =0; | S (*) — 5П (*) | =(1 — х)п ->■ 1
<: 0,1 при я :> 9.
при л;
345
я> 10
1
- (ИМ3)*
0. 344. Для всех *£[0, 1] | Rn(x)
1 + *;
0, x = 0.
χ > 0,
Сумма ряда S (#) =
" я + 1
χ > 0,
Остаток 7?л (л;) =
При jc ->■ 0 /?я (д:) -> 1.
10 , л: = 0.
346. п~> 9. 354. На отрезке [ε, 2π — ε] сходится равномерно; на [0,2π] —
неравномерно. 355. Сходится неравномерно. 356. Сходится равномерно. 357.
Сходится равномерно. 358. —1 <: х<. 1. 359. —1 <: * <: 1. 360. —1<л:<:1.
361.— 5< *< 5. _362. |*|<οο._363. |*|<оо. 364. Сходится в одной точке
х = J). 365. —*|/"5/3 < х< /5/3. 366. —2< х< 2. 36^ —3< х< 3. 368.
—/3/5 <: χ < /3/5. 369. —1 <: х< 3. 370. —2 — 1//5< х< —2 + 1//5.
371. — б < χ <: —4. 372. —2,5< х< —1,5. 373. —1 < х< 3. 374. —2< х< 2.
375. — е — 10 < х< е — J0. 376. (—1 — ^Τθ)/2 <: χ <: (— 1 + уТб)/2. 377.
— 1 -f /2 <: л: < 1 + /2. 378. — б < χ < —4. 379. 0 < * < 2. 380.
—е-х< х< е"1. 381. —4/π< *< 4/π. 382. 0 < χ < 4. 283. 0 <: * <: 2. 381.
U|<oo. 385. К л: <: 2. 386. —1< х<. 1. φ При |*| > 1 расходимость
очевидна; при |*|< 1, применяя признак Даламбера, получаем
lim
/г-*оо
(»+!)! *<"+'>'
n\xnl
= lim (η + I) \x\'
-< lim(n + 1)1*1" = 0.
/2->oo
153

287. — 4 < χ <: —2. 388. — 1 <: χ < 1. 389. Ο < χ < 2 при m < 1; 0<*<2
при m> 1. 390. —1,5 <: χ <: 0,5. 391. —1 < χ< 5; при χ = —1 сходимость
условная. 392. —R< x< R, где R = max(a, b). 393. —1< χ < 1; при л: = ι
сходимость условная. 394. 0 < χ < 1. 395. |лг| < 1. φ При исследовании
сходимости в точке χ = 1 установить, что ап+\ > 1. 396. Интервал сходимос-
ти |#|< 1; при χ = —1 сходится абсолютно, если т > 0, и расходится, если
т< 0; при χ = 1 сходится абсолютно, если т > 0, и сходится условно, если
— К /Ж 0. φ При исследовании сходимости в граничных точках
воспользоваться признаком Гаусса. 397. |л;|<; 1. 398. е — К х<. е + 1. 399. Интер.
вал сходимости —1 <#< 1. При χ = —1 сходится абсолютно, если γ — α —
— β> 0, и сходится условно, если —1< γ — α — β <: 0; при χ = 1 сходится
абсолютно, если γ — α — β> 0, и расходится, если γ — α — β < 0. φ При
исследовании сходимости в граничных точках применить признак Гаусса.
400. — π/З -t- Jt/e < х< π/3 + π/e, k 6 Ζ. 401. x> 1 и К 0. 402. Сходится, и
притом абсолютно, для х> —1/3 и х< —1.
оо
403. |л:| > 1 /2. 404. \х — k%\ < π/4, k £ Ζ. 405. 1 + — \j (n + 0 (л + 2) **,
/2=1
oo oo
\x\ < 1. 406. V * }- , \x\ < oo. 407. V —(χ — α)η, \x\ < oo.
J^ η ! ^J η!
rc=0 /z=0
oo oo
Σ\ηχη x 1 VI
-^— , l*| < oo. 409. 1 + — 2j (n + 1) (n+2) **, Μ < 1.
oo
410. — V (— 1)"+1 *2"+\ Μ < oo. 411. a2 + 2abx +(b2+2ac) x2 +
/2=0
•\-2{ad-\- be) x3 + (c2 + 2ae -f 2bd) x4 + 2 (af + be + cd) хъ -\ . 412. 1.
00 00
—j- , Μ < oo. 414. 6 + 3 V (n + 1) (n + 2) xn, \x\ < 1.
n=0 /г=1
oo 00
—, и < со. 416. ^ (- »** ^ΓΤΠ · W < «··
я=о «=ι
оо
417. >/ —■ , |*<оо, 418. ——*+—— U2 +
^U « ! α а2 \а3 a2 J
/г=1
/ 2Ьс <Z &3 \ [2bd с2 е 3b2c Ь4 \
V а3 а2 а4 / \а « а « «б /
+ Ьх+ сх2 + dx* + ex* +·. · . 420. — , \х\ < 1. 421. — In 11 — 2*|,
(л; — I)2
1 1 л 9 , „ , 1 1—л; + л;2
1 2х—\ π
— ——-arctg — ~ , — 1 <л;< 1. 424. (1 — *) 1п (1 —*) +*, —1<:^^
154

16
< 1; S(l) = HmS (χ) = 1. 425.
χ-и-о (2 —л;)3
, |*| < 2. 426.
^з_ л^ — 1
4 + 16
1 +*
('-τί
•2arctg* J = S (*), — 1 < χ < 1; S (1) = lira S (x) = —
/ *-*i—о
S(-l) = lim S(*)= — . 427. —
лг-^—i-ьо 4 (1 —я2)2
, Μ<ι. ·
rt==l
сю λ; сю
= γ 2 (2П) *2"-1 = S (Χ)· J S {X) άΧ== ~2~ ^J ХШ = 2Π^
η=1 Ο η=1
*2)
; остается
продифференцировать полученную функцию. 428. S (χ) = — (1 +— ) Ιπ(1—лг)—1,
5д»2 2jc -4— 1 2х
х^О, \х\<1\ S(0)=0. 429. — -^-, |*|<1. 430.
О-*)3
(3 — χψ
1 < |*| < j/"3 . 431. — , — уТ < χ < 0. 432. — In |2 — х3\, О < χ < j/ 2
433. In
2л;— 1
2*
, х< О и *> 1. 434.
, * |ча , 1*1 > 1. 435. — , хфО.
(χ— 1)2 я4
436. (1 -}- cos x) In (1 + cos χ) —cos *, *=£π + 2π&; S (π + 2π£) = 1. 437. — (14-
+ ctg χ) In (1 + tg χ) — 1, — — + iik <. x < π/г, nk < *< + π/г, S (πβ) = 0,
k e Z. 438. — In
In χ
тл ^Π X
Ряд сходится для — 1 <: — < 1.
χ
З*6 — 9*5 -f- 1 Злг4 — 11*3 + 9*2 — Ъх + 4 1
439. —!- -!-— , *<0, *:> 1. 441. --
χ3 (χ— Ι)3 е— 1
— — . 443. π/2. 447. S' =3S, S = е3* 448. S" = S, S = sh *. 449. 4S" -}-
+ S = 0, S = cos(*/2). 450. S" + 2S' + S = 0, S = xe-*". 451. S" + S = 0,
S = cos л; — 2 sin x. 452. S" — 2S' + 2S = 0, S = e-*sin*. 453. е27*2*"0 »
*^ 1/2. 454. cos
JUL-, ^^o. 455. In 2. 456. — . 457. — fln2 +
Γΐη(1+/2 ) + -J-l 459. In·
π \ . 1
+ —— . 458. -
УЗ J 2 У2
5 49 7
461. In — . 462. a) oo, 6) —In —
4 ' * ' 32 3
3 , 5
— . 460. In .
2 3
Найти сумму ряда S (a;) -
сю
2 2U \ 7 j n+2
(с помощью дифференцирования) и положить за гем χ = 1,
155

1 9 343 32 5 1
463. —(1—In 2). 464. .465. — -—In—.φ — =
2 v ' 2 1200 25 4 w n* — 5rc2 + 4
oo
= τ?[„4-2-^τ+^τι-„-τ-2]; най™ sw =i 2 fch -
/г=3
2 2 11
— + —~ ^ * л как сумму четырех рядов и положить х — 1/5.
/2 — 1 /2+1 Л + 2 J
41 2 — Т/"2"
466. 6. 467. 7/2. 468. 3 —. 470. . 471. Ряд Тейлора для функции
ср (я) в окрестности точки χ = 0 имеет вид 0 + 0* + О*2 + · · · + 0хп + · · · и
имеет своей суммой функцию, тождественно равную нулю и, следовательно, не совпа-
оо оо
даЮЩую с 9 (,). 472. ^ —Ь__ . W < «, 473. ^ "^Г '
п=0 п=\
оо оо
w<-· 474· 2j з«(2д). '"ι<0°· 475· Ζι~' w<00·
/г=0 /ι=0
оо оо оо
JL ~^г- · w < *·477· 2j 4ι— · w <-·478· 2j— '
476.
"«=0 η=0 ~ήΞο
οο οο
ж^ (—1)" 1η" 2 V4 λ:2""1
Μ < οο. 479. 2j 1—^] *2". Μ < °°· 480- 2U (5^ΤΠ · W < °°·
η=0 η=\
οο οο οο
W <
5j~7~» Μ<οο. 482. \] (— 1)л^, Μ<1. 483. 2 V Зл *2Л,
м=0 л=0 п=0
оо оо
(_1)я^+»# М < 1. 485. ^2J 2/|_1 · Μ < 1.
ут _п_
1 п=0 п=\
486. γ . -—t , |*| < оо (предполагается, что / (0) = 0).
/2=0
οο
V4 x2n \nn+1 3
487. \ — — , |*| < оо (предполагается, что f (0) = 0).
,4ВНЯ (λ *"Г 1) '
л=0
оо оо
Σ( \\П χΠ+l VIC n/Z-lQ2/2-l
(in) l ' °<Χ<°°- 489· 24 (2п-1)1 У2""2' W<°°-
/г=0 /г=1
оо
490. I + -ί- + ^ (~ 'ί""1 3'7'П4П'ПГ~5) *"' Μ < 1· 491· ! + * +
/ι=2
л=2
156

1 < χ < 1. 493. 1 +
(2/2 — 1)11
2" я!
*2/г, /*/<: 1. 494. χ* +
rc=l
oo
Σ
/г=Г г л=1
л=1
(2/2—1) 1! *2Λ+1
1<:*<1. 496.2 > - , Ы < 1. 497. χ+ ..
^j2/i- Γ11 ^J (2«)ϋ 2/2 + 1
ГС=1 /2 = 1
Ы<1. 498.
Σ
(__ 1)Л-1 . д;2Л+5
, |*| <: 1. 499
-х*п,
п=\
(—1)^.2^-1
(2л)!
|лг| < оо. 500. 1 + >; ν "^ ч t х2П, \х\ < оо. 501. — \j (—\)η+1 χ
oo
32л _ ι чкг-ч (—\\n.vn
χ
(2/2 + 1) 1
oo
γΐ (-1)Μ2/ι
*2β+1, Μ <οο. 502. V
/ζ=0
32/ζ+ι
(~ Ο1**1 ■ 22^ ,.
^ (2/2) !
rz=l
оо
5οι·ΐ"Σ(_ΐ)η+]
/г=1
(—1)я·** . . _ _ а:
■ *ил+\ μ| <:
/г=1
\х\ < 2. 503. — +
оо
3. 504.-у V (/2+ 1) (я+ 2) *»,!*/< 1.
/г=0
1
505*1 + "2?5] ί-1)" («+1)(/2+2)(/2 + 3)(/2+4)д;2л, И<1. 506. х +
VI (2л-1)П-^1
^J (2/2) 11.(2/2 + 1)
, J*I<1. 507. 2-*2 + > (-1)ЛХ
/г=2
(2/2 —2) (2/2—1) (2/2)+2 V4
X V ,_ . *2/г, *¥=*&, fce-Z. 508. 4+ %j(4^-1
гг==1
(2/2) 1
+ 5*2Л), W< 1. 509.
+
п=\ /г=1
(—1 )*-!.**
1 <*<: 1. 511. * + 2
п=0
я=1
(—1)л ■ *2/г+3
(2/2+ 1)(2/2 + 3)
+
«Σ(^·'<— Σ
/г=1 /г=1
1 1 1
'-Т+Т-Т+- +
2/2—1
·]■
(_1)/г-1 \ I ^ 1 _|_4η 1
+ I,. , I · (**"-* + *2*) | , М<1. 513.- V-J—**, И<—·
оо оо
514. 1 + 3* + № + ^ (п* + 2) χ", \х\ < 1. 515. ^ (7 ~ "^т) «"·
/t=3 я=0
157

oo
Ы<1. 516. l+eV — (\+3-2η + 4-3η + 2·4η)χη, \x\ < oo.
^^ η I
oo oo
517. 1 — 2 V (*3/г + 2λγ3Λ+1), \x\ < 1. 518. γ¥ \] ^^ ) x2nt \х\<УТ.
η—] n~Q
oo oo
^ 22П-1.Х2П 3 ^ 9Л 1
2j "№?r ·w < ~·520· τ Zi (^τϊϊπ
519. ! +
521, arctg2-f-
(—1)«. 22«-1.д;2/г-1
2/2—1
. Μ
oo
< —- . 522. > —
«=1
Sy2m/z w-^ / ]\n+i.Y2n Y2
+
лг=1 L J «=1 \ 6=1
£(£+ 1)
*"+1. |*I<1-
9? 2 -sin ■
ππ
526.
528.
Σ
η—О
η Ι
(-1)*
2/2— 1
— 1 <*< 1. 530
— °° 2 · cos —
— *л, |л:| < οο. 527. V ; χη> W < °°·
Π=0
οο
,ο<,<ι. Me.2^(i + T+...+_j-Ti
531.
Σ(-1)"'1·(1+τ+-
1=1
V - — , 0 < χ <: 2. 532. Τ/2
2/2—1
Κ
\χ\<1.
+
(—1)*-ι.(2/2 — 3) !!
4я-л!
(*—2)Λ
>г=2
, 0 < χ < 4. 533. Ряд содержит лишь два
4 / у
отличных от нуля члена: In 2 + —(я+ 41 ; сходится при всех х. 534. —3 (л: +
+ З)3 + (л: + З)4 — ряд содержит лишь два отличных от нуля члена и сходится при
всех х, 535. — 32 + 80 (х + 2) — £0 (х + 2)2 + 40 (х + 2)3 — 10 (* + 2)4+(*+2)5--
ряд содержит лишь шесть отличных от нуля членов; сходится при всех х.
4 18 И
536. — (х — 2)2 + —(х — 2)— ряд состоит из трех отличных от нуля
о 5 5
членов и сходится при всех х. 537,
158
2 2d
гс=0
2п
, — 4 < х< 0.

538.
539.
¥*~ frr**
οο
■ 1)я. 1.4.7 ... (3Л —2)
9ля!
(—!)*(* + 2)л, — 3<* < — 1. 540. 1 +
(* — 3)л, 0< *<6.
"(2/2— 1)!!
п=0
я=1
2ля!
(* +
+ 3)л, — 4< *< — 2. 541. е
Σ(χ—\)η 1 VI
-ΊΓΤ— , „Кос. 542.-^(_1)«χ
ГС=0 >Ζ=0
χ Ш*<—"-т<'<т ■ "· -'=Σ!!%^('-
_°° Sin
\х\ <: оо.
/ mr \
_ Л Υ1 μ| < оо. 544. sin * = V1 ^ 2 ' (χ — α)Λ,
4 / ' ^J /1 !
оо оо
А2=0 п—\
ОО
1 V^ S""1 Г 2 π Τ / π \"
-2)м<,<з. β47.τ-^-ίτ-·,4τ*+(β-Ι)τΗ*-τ;
(λ: — 2)2r
(2/2) )
00
И<оо. 548. ^(-0Λ· ("J"
η=0
οο
-ί^)(*+2)*]·-5<λ:<1· 550· 2
, \χ\ <οο. 549,
οο
•Ж
«=0
6-3*
(_1)/г-1 . 5*
5
552.
οο
4-Σ
η=Ι L
П +
η=1
3+ (-!)■
00
4Ί (— Ο""1 / 5 \η , „ 3 13
= 1
(λ; — 3)λ+\ 2<*<4. 553. ^] (~~ ) (χ —
^[(*Ч)+|лн^(*ЧГ]·
-T<«i-»-^4+2^±fj,-2<,<o.
У п=\ >
12 / 2 \
556. * +—Xs + — *Ч . 557. 2 — (2 In 2) л:2 + In2 2+ — 1п2 *4 +
3 15 \ 3 /
1 5 61 4 4
+ .... 558. 1+ — *а + ^*й + ^*в+···· 559· 2х+ Т^3 + Т5"**+'" #
159
— 1)2/г, 0<*<2. 554. 2

ιτ Υ Χ2 Χ3 15 1
560· f-f+Τ-Έ+-' 561.,- — ^+—^-—^+ ....
3 25 0 331 χ χ2 χ3
562. 1-т* + -**--*з + .... 563.1 + —____ + ... .
564. Ш2+ + + ^_^+.... 565.** + f+^-*« + |-*s+... .
/ π \ / π \2 8 / π \3 1 χ—\
566. 1+2^__j+2^_Tj+T^_Tj+....567.T-— +
^ 2 4 ^ 2\ 2 / ^ 24 V 2 / ^
, , Λ1 tg2 (jc —2)2 2 sin 2 2+4sin22
569. In cos 2 — -2— (a:— 2)— — — (jc — 2)3— — (*—2)4+
1 ' 1 ! V ' 21 cos2 2 3! cos32 l ' 4! cos42 V } ^
Y~2
Η . 570. e
'-£f'4'+w)J^H-T-
-^(*-» + *-Ч^<*- ■)■ + ·- «2.2^· Μ<~·
πύ π3 ^J /2 ]
/1=0
573· Σ(^ίτ^·'^··574·-2ΐ];
I 2/2 + 1 \1 + χ
«=1 «=0
1__д^2Л+1
, 0<x < oo.
oo
575. >" 2" sin2" -~ , — π/2 + 2kn < χ < π/2 + 2£π. φ sec x= ;
'So 1—2sin2 —
2
χ 1 χ
положить у = 2sin2 — и разложить в ряд функцию . 576. +
2 1 — у 1 + χ
оо
, VI (2я—-1) !! / л: \"+1
/г=1
оо
VI (2/2— 1) !! о . π
+ 7 ι /о ч .. /о—ГТГ (sln *) » W < — · 9 * = arcsin (sin χ); положить
j^ (2ή) !! (2/2+ 1) 2
/ι=1
оо
π VI (—1)л
sinx=i/ и разложить в ряд функцию arcsin у. 578. Ь ^. L~(ctgA:)2/z"1>
π 3 π
"— <.х < — π. @ χ = arcctg (ctg χ) = — — arctg (ctg x) ; положить ctg χ =
oo
= i/ и разложить в ряд функцию arctg #. 579. \ (я + 1) 2я cos2" — , π/2 +
+ 2kn < χ < 3π/2 + 2 &π, /г £ Ζ. О Положить cos χ = у, тогда sec2 χ = 1 /у2;
разложить функцию — по степеням # + 1, затем в полученный ряд подставить
160

у + 1 = cos χ + 1 = 2cos2 — . 580.
οο
Σ-
_|_ (—l)*n.2*
*л
581.
. Μ > 2
л
1 + (_ 1)Л 6-л ^ . 2 _ χΐ , ._ Л . 1
/2=0
/1=0
(Зл:— 1)л
, *<0 и*>-^-. 582. ^ (-0я-1 (1+"f +
1 \ /sin х\п 11 VI cos" 2jc
оо
584. у (—l)""1 cos'2-1 (2л:), α: φ π/2 + πβ. 585. 3 < χ < 5. 586. — 2 < * < 0.
φ Оба ряда сходятся к функции 1/(* + 2). 587. —4 < л: <: — 2. Оба ряда схо-
з
дятся к функции 1 — 1/ -j/4 + χ. 588. π/4 + 2π& <: a: < 3π/4 + 2π&. ® Левая
часть равенства совпадает с 1/sinx; правая—с γ\ + ctg2A: при |ctg *| < 1.
Равенство = |/^1 + ctg2 лс справедливо при sin χ > 0, поэтому для определения
sin χ
χ надо решить систему неравенств { sin χ > 0, (ctg x\ < 1}. 589. 7/3 < * < 3.
оо
XI cos^ x
Оба ряда сходятся к функции In |3x —7|. 590.
п\
. ecos χ
n=Q
Найти несколько первых членов разложения в ряд по степеням χ функции ecos x.
591. а) μ| < 0,5; б) \х\ < 2; в) \х+Ъ\ < 8; г) \х — 4| < 5; д) \х + 1| < 1; е) \х—
— 3/ < УТ. 592. е-*2, |*|<оо. 593. cos (χ/ |/ΊΓ), \х\ < оо. 594. sin— ,
|*1 < оо. 595. ch Ху \х\ < оо. 59δ. J sin а: при хф 0, . 597. —- л:2 In (1 + *),
1 при χ = 0.
х
2arctg —
— 1 < χ <: 1. 598. 2— 1/j/jt+l, — 1 < χ < 1. 599. _L при 0 < |*| < 2
и S (0) = 1. 600. earct2*, |*| < оо. 601. sin — , 0 < \x\ <oo. 602. arctg (In*),
l/e<A:<:e. 603. —
+ ln
f X I
ctg —
s 2 ι
; a:^ -£- £ (*£Z). 604. cos [~^-
2 U+e*
УI 4- a:2
a; > 0. 605. — , |*| > 1. 606. x9 χ > 0. 607. arctg tg a: = χ — /ιπ, где
|*|
π π
«π — — < χ < Λπ + — , η ζ Ζ. 608. arcsin (sin α:) =
( χ — 2«π, 2/ζπ — π/2 < χ <: 2/ζπ + π/2,
= { η 6 Ζ.
( — * + (2л + 1) π, (2я + 1) π — π/2 < χ <: 2 (η + 1) π + π/2,
609. e*cos*, |*|<οο. 610. 1. 611. 1/3. 612. 1/4. 613. 11/120. 614. 1/3.
lim
1 — Τ/"1 -μ л:2
tg4*
= lim-
( 1 + *2)
-cos*
a:4
615. 1/2. 616. 2.
161

617. 20. 618. 2/3. 619. 1/2. 620. 0. 621. 4/3. 622. —4. 623. 2(1—6-!).
624. —945. 625. 0. 626. /(5>(0)=0, /(6)(0) = — 240. 627. 0. 628. 105/16.
629. 9 1/160. 630. /(6) (0) = — 6 ι (l + —) , /(40) (0) = - Wl + -|-] .
631. /«>(0) =_jl_; f<», ,o)B=hi,-i 2'5'283;;;3f~4). 632. ,<»>«»..
= 0, /(13) (0) = —^"· 633· /(8) (0) = -—, /(11) (0) = -^^.
7 5
634. lim /" (*) = — — ; Hm /(10) (*) = — — . 635. 81/13. 636. /(5)(0) =
*-»0+0 3 *->0+0 19 »
= /<6>(0) = /(7)(0)=0, /(8) (0) =8!/6,/(I3>(0) = -j · 13!. 637. /(5) (1) =
= 40, f(n) (1) = (—l)"-i , л>3. 638. — — -9 11 639. — . 640.-
5625 7! / 3 \5 ft 9!! n 197 i| . 399
- -йг ·641· τ · (τ) ·642· ^r · 643· —s=—·644·2 ·'16 e ·
Σ(—1)Я^2Л+8 ^Ч (2Л— 1)1)
, \x\ < oo. 646. x + Λ , *2Λ+1 ,
(2л + 3) л! ' ' ^ ^ 2" я ι (2л + I)2
оо
Σ(— 1)п(2п— 1) !! хзл+1 л;2
-—Чг Ч * Ι * I < 1- 648. ь
2п п\ (Зл+ I) 10
я=1
оо
(— \)п- х{
п=2 п=0
оо
μ|<οο. 650. С + X ^ ^ , [дс|<1. 651. С+х + — +
оо
+ 2 ^Т!2"??" *»«. W < >· 652. С+Х+
2п л! (5л + 1)
«=2
5Л+1
15Λ+Ί
у (-!)'■ 1- 4-7-■■(*.-2) 653. с+у ^
^ ^ Зл я! (4л + 1) ' jLi 15
,.=J n=Q
оо
— 1 <*< 1. 654. С- — + 1п|*| + V, , „„ , п, *^0. 655. С+1п|х| +
* ^J (л+2)!(л+1)
по ОО
(—1)* „ 1 β ^Μ—1)η-1-2·5···(3η—4)
3η+1 л! л
у—(_ψ— 656 — *s+ у
^4 л(2л + 1) ! 9 ^J
rc=l η=2
0< И < 1. 657.--— + 1η|1π*|+ >,— 77 + c» 0<*< 1, 1
«=2
162

658. — \ —. ^ + С> ~ °° < * < °- 659· с
(2/2—I)2 ' ' '" '" "' ™" ~ 5(*—Ι)*
п~\
3 26 17 20 7
2(л:— 1)« 7 (л;— 1)? 4 (л;— 1)« 9 (л:— I)9 10 (л; — I)10 * 66°* С +
190
+
1 тг4* ( пл-1 ι 190
+ ШИ--г^(я-1)(2№-1),-1=й·' ^°- 661· c-i3(, + 2p
281 184 57 7
_| _ + — . 662. С+
^ \2(х + 2)12 11 (х + 2)11 ^ 10 (х + 2)ю 9(* + 2)9 ^
сх> сю
Σ(— Ι)'2-1 *" VI (— О"""1 (2/2—1)!! *2Λ-ι
-Ц-- —, 0<*<1. 663. С+> J ■ , » ' , 0<Ы<1.
п(2п— 1) ' Jmd (2л) II (4/г2 — 1) м
оо
1 V! (— Π"""1 /1 1 \
c + .nW+T^^hi(i+T+---+i^T)^o<w<i.
664
%z
/ι=2
VI 22Λ+1 (/2 ! )2 VI 2" — 1
665. C + > — * , x2n+1, Ы<1. 666. C + V -
j^J (2/2+2) 1 (2/2+1) ' ' ' ^J "'"!
az=0 n=l
1пЛ(1 + *),
VI 1
— \ < x< оо, χφΰ. φ Положить In (1 + я) = ζ. 667. > — . φ лг* =
оо
Σ/ П^х'Чп^х
(считаем, что если / (л;) = хгх% то / (0) = lim х~х=
Π Ι л:->0+0
=0
= 1; если φ (я) = хп \пп χ (п > 1), то φ (0) = lim φ (я) = 0). Полученный ряд схо-
*-»0+0
дится в промежутке 0 < χ <: 1 равномерно, ибо максимум функции \х In x\ есть 1/е.
оо
Следовательно, данный ряд мажорируется рядом у — . Поэтому допустимо
j^A en η ι
п=о
ι ι
г» (—\)п п\ С
почленное интегрирование ряда; так как 1 хп \пп χάχ = , то \χ~Λάχ =
J (n+l)n+i J
о о
1 оо оо оо
С ^ (— Ψ *П № х , V4 1 VI 1 π
0 п=0 «=0 п—\
УЭ ОО
J_ VI (2/2 — 2) II _ JL \^ (2^—0 !!
+ 2 ^ (2/2—1) !!·(2/2—1)"" 8 J£j (2/2)!!
In
λ:
cos——
2
11 11 V!(—l^W1* 1
— In2 + —ln(l + cos*)== —— ln2 + — V ^ = — - ln2 +
2 ^| /г 2
163

COS
2П-1
2л —1
π/2
τΣ
= и \ cos2" xdx
(2л-1)!! J
cos*" χ
2n
(2л—1) 11
(2л) 1!
669. 2πα
ο
[-(τ
Далее учесть, что \ cos2'2"*1 χάχ =
о
\2
(1·3\2 ε4 1
— — — ... , где ε — эксцентриситет эллипса. 670. a) F (k)
+
(2/1—1) 1!
(2λ) Π
л=1
(2я—l)ll\a k2n
; б) £ (Л)
-*[-
ы-
, . 671. 2,7183. 672. 7,389. 673. 1,6487. 674.
(2л) И J 2я- л1
п=\
1,3956. 675. 0,3679. 676. 0,6065. 677. 0,716. 678. 0,84147. 679. 0,0175.
680. 0,999. 681. 0,9848. 682. 0,0314. 683. 1,140. 684. 2,030. 685. 4,309.
686. 3,017. 687. 0,302. 688. 3,079. 689. 2,031. 690. 0,496. 691 3,006.
692. 1,0986. 693. 2,3026. 694. 0,4343. 695. 1,609. 696. 3,14159. 697. 0,464.
698. 0,8451. 699. 3,7622. 700. 0,7603. 701. 0,304. 702. 0,340. 703. 0,0969.
5 4
704. 0,117. 705. 2,080; R3 < ТТ <0,001. 706. 1,48; Я3< 707.0,19740;
3 ·28 'о 325
#з<0,00001. 708. 1,25; #3<0,01. 709. 0,901; Я3<0,001. 710. 2,004639;
"" 711. а) 3,142; б) 3,141592654. 712. а) |Я|<|л:3|/6,|л:|< 0,18;
*|<0,04;
х + 1
#3< 0,000001.
5)
г) \R\ < μ|3/3,
2
б) |i?|<^/24, |х|<0,39; в) \R\<x*l\2—x\
х\
0,14; д) |/?|<М6/5, И < 0,34. 713. a) lg
1
,^ .-,-.,„-, ^ __ ,j 2,004. φ Что-
(2*+l)lnl0 j^ (2д + 1)(2д:+1)2П b b m
n=0
бы получить разложение по степеням l/(2* + l), положить в
lg
1+2
:2Z
1
1 — ζ JbU 2n + 1 2х + 1
n=Q
lgll « 1,041; lg 101
разложении
а затем перейти к десятичным
логарифмам. Для вычисления lg 11 и lg 101 удобно преобразовать ряд к виду lg (x -j- 1)—
оо
0,8686 VI 1
— lg χ —
s 2x +
оо
:; 6) In 2 ^ 0,69315; In 3 « 1,09861.
(2η + 1) (2л; + \)ш
714. 0,245. 715. 1,995. 716. 3,057. 717. 0,005. 718. 0,487. 719. 0,508.
720. 2,835. 721. 3,239. 722. 0,608. 723. 0,783 (см. указание к 667). 724.0,495.
725. 0,384. 726. 0,119. 727. 0,059. 728. 1,73; Я < 0,01. 729. 0,3230; |Д| <
< 0,0001. 730. 0,662024; |Д| < 10"в. 731. 1,572; \R\ < 0,01. 732. 0,385;
\R\ < 0,001. 733. 3,821. 734. 1,015. 735. 0,119. 736. у = +— +
π \ β 1/2 2π π2
+ — 1 + —=)* +— —-+—+—— μ3+···. 737. у =
3 VS I 6 l /3 9 27/3
(x-\f
■ +
(χ-Ι)» , (*-1)4
6
739. ys=x + x* — — -— +
6 4
164
740.
Xs Χ*
... . 738. ^ = 1 + д;+ — —+
4 17
у = 1 + 2* — л~Ч я8 —— **+·
3 9

61 5
741. y= 1 +2χ+7χ2 + — д;3-| . 742. у = 3+3х— —χ2 — 8х* + ... .
о Ζ
743. y = 2+-jx+ -^χ* + -^χ*+... . 744. г/ = 2 + 9* + -|- χ» -
11 π 1 1 / π ΥΤ \
_тлгз+....745.,= 1 + _,+ тДс2+_(т_2_ + 1^ +
1/1 π/з" VT\ л 1 5
+ 1ё"(* +1)4 + Τ(χ +1)5 + "з"{χ + Ι)β + "' ·747, ' =' + Τ(* ~
-*)+-§-(*-*)* +-^(*-*)8 + -^-(Υ + 62-63)(^-π)4+···. 748. ί/=
= 4-2^ + 2^-2^+ — *»+··.. 749. y=\- (x~l)* _Jlnili +
6 ^ * 21 4! τ
Α (χ — 1)5 *з 2а;4 За;5
+ -17l +"·· 750· ί/ = 1 4-^+ — +— +— +.···. 751.0 = 1+*+
д;2 д»3 д»4 1 11 29
+ ^ + F + 7T + 0,*5 + ···· 752· ^ = 1+^ + τΛ;2 + 17λ3 + ΐ8"^+
25 , , χ2 *3 ** 4α:6
+ хь +····. 753. г/= 1 -f * + J- — 4- + — 4- .... 754. у =
^48 и ' ^ 2! ^ 3! 5! ^ б! ^ У
оо оо
VI *2/г V4 *2/г_1
= C*2U "POT + Cl2ji (2я-1)1 = С° * * + cis[w= со е + с1 е~*· 755· * =
гс=0 «=1
^| + |,-о-.,..,..^-2,^+^ +
VI (—1)Л-2Л.2.5-8 ... (Зя—1) „ \ / V^ *ш \
+ 2/ (to + i). 1дг8"+1 l· 75β· '-^(1+2d^iTirГ
оо / оо ч хг /
+ ClXS^ = CT + S(i^5n7 +Ci^2· 757· tf==* 1 +
п=0 ^ и=1 / \
+ ^(3-4).(7.8)...(4я-1).(4я) \+сАХ +
^Г1 х^_ \ _ yi (— \)пх2П
+ Zj(4-5).(8.9) .••(4/г).(4/г+ 1) )' 758' ^~С°^ (2л) !! - +
оо
W^l / \\П χ2Π+1
+ ci V (2/|11)П - 759· # = Μ1+*2 + *4+···) + Μ* + *3 + *δ+···)-
165

= ° I . 760. у = с0 >^ — + *?!* = с0е* + схх. 761. г/ = с0 уг + q#2,
оо
^J (2/2+ 1) И * ° \ 2! 4! ^
'г=0
, f_n» (1 + 1·2)(1+3·4)...[1+(2»-3)(2Β-2)1 \
^ ; (2и)1 /
, / 1 , ,, <1.(1+г-3)(1+4-5)--.Г1+(2я-2)(2я-1)] .„„ , \
+ С1^--^+.·.+(-!)« (^ΓΤΊΤΊ *г*+]+···)
рекуррентная формула для коэффициентов искового ряда сп+2 =
1 + (я— 1)я
(я+1)(я+ 2)
с„. 763. у = с, (1 + * — х3 — х4 + *6 -Ь л;7 ) +
+ сг (х + л:2 - л;4 - л* + *7 + х* ) = ^χΤχ2 > 1*1 < 1· 764· У = со +
1 2 1 2 1 β 10 43
+ с,х + — (с, — I)*2—— Xs ——х* —— *5 +—х6 — *7 +—л* —
^ * ^ 2 V 1 ' 3 ! 4! 5! ^6! 7! ^8!
оо
266 VI х2п~1
— ^Г * Η · 765· У = со #i + с1#2» где i/i = *, ί/2 = 1 + χ 2j 2n—\ ^ 1 +
oo oo oo
1 , χ — 1 VI *3" V^ *3AZ+1 VI 2^Λ+2
n=0 n—Q n=0
oo
VI 1.4.7 ... (Зя — 2)
767. у = ^ + qi/2 + c2i/3, где y± =1+ > —— л?",
^J (3//) !
/z=l
00 00
VI 2.5.8... (Зя —1) „ VI 3-6... (Зя)
7fi« Λ , У1(Зг+1)(6г+1)---[(Зп-3)г+П .A , f ,
768. y = c0 ^+2j ^ ,3«j + Ci^ +
+ ;^^+»^+^--^-2)г+1] χ3„+1ν l +
(Зя + 1)!
Σ
n=i / \
00 \
Σ 2 (22 + 1) (52 + 1) · · · [(Зя — l)2 + 1] o„ \
xsn+2 ; рекуррентная формула
n=l
166

"2 + l пап л х2 , χ4 χ*
сп.ч = —— с„. 769. и — 1 — — 4 — — 4- ... =
п+3 (я + 1)(я + 2)(/1 + 3) * * 3! ^ 5! 7! ^
оо оо
sin* 77n , . V (-')"*" 771 V (-»)" / *
_ _. 770. ,-1+2, 22.42...(2„)2 · 771. „- 2, ^Г(Т
«=1 /2=0
оо
χ W""l ( 1)Λ χ2η χ3 χ4
772-^т2^2^.)г(п+1) ■ ™-у-*+* +^г+^г+··—■
ΑΖ=0
οο
VI *2/г / χ2 χ4 \ / 1
χχ3 \ c0 sin χ + с, cos л: з,— / л:2
-1Г + 1Г —·)-^ ΊΓ ·™·'-«/* (' + ^6 +
Я4 \ 3r-s-/ X2 X4 \
+ h · · · + л ΐ/х2 1 + + Η . 777. и =
^ 5·6.1Μ2Τ J 1 V \ ^ 6-7 ^ 6-7.12.13 / У
I \ х\ ( β х3 х4 хь \ / 1 л: \
= сЧт+1 + т)+С1Г+т+1г5+4—б+-) = сЧт+,+т) +
/е* — 1 л; \ / 1 1 1 *2 х3
+ 6cx _1_— . 778. */ = с0 — - — + — +— +— +
\ х 2 / \х2 χ 2 Ь 40
7Х4 \ / х2 х3 х4 \
+ 720+'" +С1Г + ~ + Т + ^0 +'"Г 779' K™y°(jt)' ГДе Л>(*) =
ОО
Σ(— 1)" / χ \2П
——— I— —функция Бесселя первого рода нулевого порядка,
х2 х4 / 1 \ хн I 1 1 \
Й-/.М1ПХ + — -c^^^ + TJ + iMiTir^ + T + Tj
— функция Бесселя второго рода нулевого порядка, обозначаемая символом К0 (х),
Общее решение: у = С^и(х)-{-С2К0(х). φ Определяющее уравнение имеет вид
Ρ (р — 1) + ρ = 0; его корни р1>? = 0, поэтому первое частное решение можно ис-
оо
кать в виде у ι = \ спхп, где с0ф0, а второе — в виде y2 = c^1yi In x -f-
гс=0
оо
Σ„ sin a: cos χ χ
άηχη. 780. yi = —— , y2 = ——- . 781. ί/, = , y2 =
ух ух ι —χ
rt=0
J д; 2χ 4- 1 JC
= ; + : In χ. 782. ^ = 1 - д, у2= :E— + 2(д;— 1) In .
1 — χ 1 — χ л: л;—1
αβ а (а+ 1)8 (В 4-1)
783. у=1+-^ + \J У2и ^2+··· +
γ 2 ! γ (γ + 1)
167

ряд называется гипергеометрическим). 784. Ряды а), б) и в) сходятся на всей
числовой оси; г) расходится при всех значениях х. Ряды можно дифференцировать; а) не
менее одного раза; б) не менее двух раз (три раза); в) один раз. Ряды интегралов:
а)
/г=1
пг + 1 . (—ψ
sin пх — ■— cos пх
п(п*+ 1)
п+ 1
б) их +
+ 71 —ν— 'sin я*; в)
/г=1 *
ОО
4 ,\Ч sin (2n + 1)д;
J /ι=1
\^ ISJRJ1L· cos η* ι , \Л ι
785
/2=0
2η + 1
786.
/2=1
n=l
sin ·
cos пх +
1 — cos
+
sin пх · 787. 1 + —
ι + ί-ΐ)*-1
sin я*.
AZ=1
oo
Σ
788. 2 > " (— ψ-1
7г=1
sin пх
-■ΗΣ
cos (2n—1) χ
(2η— Ι)2
790.
Е(-1)ге(^-тН*·791·
shrc/ ^Λ cos па:—nsm nx
мввш
/1=1
1 + я2
792. -i_l1+2^(_I)^-_ .ти.-
\ /г=1 / /ι=1
ОО
Σ
(-1)"
nsmnx
794.
2 sin απ
4rV f4„ /г sin па: 3
1+я2
+ 4 [(-')я+1-+«--+-'
η2 L π 2 π
796,
ηπ ηπ
, _5?_ Я π cos —2 sin
1 ^Π 2 2
-sin/г*. 797. Ряд Фурье для многочлена
я=1
Тл (л:) совпадает с этим многочленом и, следовательно, ak = α#, b# = β^ (& =
= 1, 2, · · ·, n)ak = bk~0 при /е > /г. 798. а) а2п = 62„ = 0. @ Кривая у =
= / (х) приводится в совпадение сама с собой горизонтальным смещением на π и
последующим симметричным отображен/1ем относительно оси х\ б) а2П-1 — Ь2Л_1== 0.
® Период этой функции равен π; в) £д = 0(я= 1, 2, ··· ), α2„ = 0; г) ал=0,
168

3 1
Ь2п = 0; д) bn = 0, α2η_ι = 0; е) ап = 0, b^-i = 0. 799. — — —cos 2л: +
1
cos (2/г—1) χ
+ Тсоз4,.800.^—±^
я=1
2Я / 1 V4 sln nh \ ом
802. -|- у , cos nx . 803.
. 801. 2
_π_ 2_ ,^ cos (2/г— \)х
4 + π 2U
(2/г— 1)2
лг=1 п=1
Σ sin 2 nx _ 2
Σ cos (2/г— 1) jc
С ""
V cos (2/г -f- 1)л:
806. a)
oo
- (-1)
807. a)
808. a)
„ π /ζ sin /гл;
J «2 + ι *
oo
\4 l — HI^C"7*
.ч βπ-1 2
б) + —
rc=l
f( — 1)л етс—ljcos/гл:
1 + /г2
1 + /г3
(-1)
/г sin nx; б)
shu
ОО -ι
^Ί „cos /гл;
1+22j(-1} гт^ ·
n=l J
_Ё_\^ Г (-1)" 1 п sin га* . 2 (Κ2π— l) _
«2j['""V^T^+lnV б) π^·^1η2
_ 4_1η2_γΐ Γ(-1)" _ 1
oo
cos /гл: 4
a , Λ . 809. а) —
4/г2+1п22 π
^Ц sin (2/г-1) —
■ \ ——s'm(2n—
(2/г—Ι)2
1—cos π/г
3
cos 2/г*. 810. 2+ —
π ^rf 2/г + 1
гс=0
ОО ОО
π2 V4 „cos/гл: 2/ Vl (— 1)"
811. — + 4 \ (-1)*-^-. 812. а) — >,—L
3 ^-J /г2 π ^j /г
«=1 n=\
6) 2-
— > . — sin . 813. — 1 Η
π ^н4 /г 2 π
· +
οο
2 ' ^J l 1+/г2
я=1
/г sin /гл:
1 + /г2
(—1)я . /гти:
814. — > , - — sin . 815. sh /
π jUJi η 2
+
169

ηπχ . Π π Χ
I cos — πη sin
+ 2 > (-1)*.
η=1
/2 + η2π2
ί— . 816. 2 V (— Ι)"-1
/ζ
π ' 4 V^ cos (2/г—1) л: 2
8'7· -Τ + τ2ΐ (*.-!)■ ·818·Τ
/г=1
1 ^^ cos 2я7тл; л cos л: χι cos nx
+ ^2^ ^^~ ·819·' - —+22i (-1)n_1 ^т
/ι=Ι я=2
2π2 Jj я2
2/гтсх
.cos-^-
+
820.
16 V4 (—1)Л+1я . o _ π ρ/ 4m\1cos2/i-lh
Г ι , о . о sln 2ял:. 821. При четном т Нх)=— > -— —*
π ^^ (4/г2—!)2 π ^J/
π ,^Jm2—(2/г—П2
2 4m Ж1 cos 2/г*
при нечетном m /(л:) = — + — γ . — —
пт π ^mi mL — 4/г2
/2=1
822. a) —
oo
(2/г+1)2
8(-1)Л
J
cos (2/г + 1) *> , 0 <χ<
π(2&-{-1)3
χ sin (2 k + 1) * } , 0<: χ <
οο
г=0
2(—1)*+1 ( 8
(26 + Ι)2 +π(26-Μ)3
2 π/гл;
i
π οοο 2 9 ^Π 1 2 π/гл;
—-. 823. — — > J —- cos +
2 3 2π2 ^J /г2 3 ^
1 XI cos 2π nx 1
+ — Τ j 1 » 0<*<:3. 824. —(10—15cos2* + 6cos4* —cos6*).
2π2
η=\
825. —τ С
2" 2η ' 2Λ-
-Σ
32
С* * cos 2kx. 826. —
2/2
{-ψ
π ^d (2л + I)2
η=0
sin (2/г+1) л;.
827.
π π ^-lJ 4/г:
η=\
οο
Σ
η=\
2-1
-cos 2/г*. 828.
2 4 ЧГ! cos 2nx
π ~~ π j^J 4/г2 — 1
/2=1
1 1 XI sin 2πηχ
829. — - — >, , χίΖ. 830. a) /(-*) = / (*); /(π -*) --/(χ):
1 cos x
6) /(-*) = _/(*), /(*-*) = /(*). 831. —-+-—— +
2 VI (—О""1 3 2 ч
+ T2jl^Tcos2ftJC· 832·Τ~^
/2=1
/1=1
cos(2ft—1) π*
(2/г—Ι)2
170

1 ^\^Ч sin ηπχ
π j^ n
«=1
·. 833.
οο οο
\^qnsinnx, \q{< 1.834. 1+2 у^ qn cos nx,\q\< 1.
«=1 rc=l
835. V <f cos nx, \q\<\. 836. *2= -j + 4 V (-1)" -~^-
•.=0 "=1
ХЧ sin «Л: XI _ sin nx 1
*3 = 2π* V (_ l)«+l —— +12 V (-1)» —j— ; X*= — «« +
+ ■
(-0*—Г-+48
(-1)"
■ cos /г*. 837. — . 838, .
n=)
/i=l
π- πΔ %ύ πά
839. a) — ; б) — ; в) — . 840. . 841. а)
' 6 ' 12 8 32 '
+ 00
{—1)«—1
»ta
(пфО)
_JL esix _ Ае-а ,jl _JLe^_JLe3/*· . б) —-ь
9π π ^2 π 9π ' 4
Σ! zl!
О
(ЛчЫ
-f-oo
-f-oo
e . 842. a) -^-+2 \\ ~Г~ е*ПХ> б) sh /
—οο
(ПфО)
т +
+
+
+ inn
1 -j- η?π2
(-lfe
I
(пфО)
π*
3 ' ^^ ηΔ
—οο
(ПФО)
+οο
2 VI (— 1)η+1 2
. 843. 1) — V ; / 1 e""; 2) — +
—οο
οο
π 2j 4/22 — 1
1—ε~π 1 V4 (— ι)η+1 е~тс+1
■ cos nx, 844. a) ——— + — у J ——- (cosnx-\-
2π π j^i l+n2
n=)
+ nsinnx)t x=^k%(k^Z)\ 6)
2sh π
I ^ (— l)ncosnx
2 + 2j ι+«2
/?=1
2sh^
; в) χ
οο π οο π
S(—\)n+ins'mnx n 1 ρ β , VI 4 1 ρ
x4ck =
οο π
2*« Χ^ 16 Ι (·
η=\
οο
ι=1
846.
«=ι
— 4/ΐ cos au + (η2 — 3) sin nx
η (η2 + 9) {η2 + 1)
·, *^π (2/г + 1).
171

οο σο
4 "IT! sin (2ft + 1) л: χ \^ sin ηχ
847-a)-TjL(2«+l)[(2«+l)2+l] ; 6)-TcoSJi- 2j^=IJ·
/?=0 п=2
οο
4 Vl 4cos(2re — 1)χ+ (2η— I) sin (2η— 1)χ π2
хф2кк; s)-—2j (2„_1)2[(2„_1)2+16]—ί г)-т +
ΟΟ
2 4—— cos да:. 848. φ При доказательстве замкнутости учесть, что
п=\
коэффициенты Фурье для функции / (х) по данной системе совпадают с
коэффициентами Фурье для функции xf (x) по системе синусов. Далее воспользоваться
замков * V^ 2* + 1 . ( π , kn \
нутостью системы синусов. 849. — у , -— —- sin +— χ.
π j£jk2 + k—0,75 14 2/
k=0 \ J
850. a) —- — P0 (x) + — Pf (#) — — P2 (a:) + — P3 (а:). Остальные коэффи
2 3 4 2
γΡο (x)+ — Pi (χ) ~—ρ2(χ) + γ
циенты ряда Фурье — Лежандра равны нулю, так как все полиномы Лежандра
Pk (χ) при k > 3 ортогональны многочлену л:3 — 2л:2; б) ряд состоит из одного члена
16Р4(*). 851. a) ^Pi(*)-^P3(*)+-ji-P5(A:)- ... ;-1<*<1;
^+Σ«-^<ν;Γ-ΐ,?'^<-»·»τ^
п=]
оо
■ VV (2я-1)1(4я+1) ω_,<χ<ι 853-^-Ρ-ω-
+ Jj ( } (я-1)1 (я + 1)! 2** Р» (*Ь ' < Х < U 853, « Pl W
5(15 —π2)" II (π" —105 π2-Ь 945)
- ——; '-Ρ3(χ) + —Κ- '/>,(*) + ·.. ,-1<ж<1.
π3 π5
854· ~Έ"*** W + 4i~P5 (*)+···.- » < * < !· 855. γ Ρ„ (cos θ) +
+ Ι- Ρ2 (cos θ) - γ- Ρ4 (cos β)+· · ·, 0<θ < π. 856. — Ρ0 (cos θ) —^-Ρ2 (cos θ).
ο lb ο ο
857. 1,603/0 (7^) ~ 1,066 70(^)+0»δ52/0(!ί~) . · Формулу для вычис-
2
ления коэффициентов Фурье привести к виду ck = -———. 858. 0,80 J0 (2,405 χ) -|-
+ 0,66 У0(5,520*)--0,29 7β(8,654*Η .859. V (— l)**1 fe
Χ
fe=T «A (6+«2)
1 akX „ Λ
χ — sin —— . φ ι юлучив для коэффициентов Фурье формулу с^ =
χ Ι
172

4/ (Xgak — «,)
= — , заменить tg ak на —akl2. 860. 1) Q Сделать
подставу (3 + 2 tg2 ak) cos c^
новку χ = cos θ и применить формулы Эйлера, 2) Г0 (*) = 1, 7\ (*) = а:, Т2 (х) =
= 2а:2—1, Т3 (х) = 4л:3 — Зх, Г4 (*) = ^ - 8л;2 + 1, Тъ (х) = 16** — 20л:3 + Ъхг
оо
Гв(лс) = 32л:6 - 48л:4 + 18л:2 - 1, 4) — + — j>j ^ __ Q ^ Т2П (л:); 5) 1 +
'2=1
ОО
4 V"! (—1)л
+ — ^ Т2П+1 (х). 861. φ При доказательстве ортогональности при-
«=0
оо
ι v^ (—i)n+1
менить подстановку л: = cos θ; \χ\ ~ — > ——— ί/2„ (л:).
π ^»J (/2 — U,5) (/2 + 1,5)
862. 1)L0W = 1, Lx (jc) = — x+ 1, L2 (л:) = л-2 — 4л: + 2, L3 (л:) = — xs — 9л:2 —
— 18л: + 6, L4 (χ) = л^ — 16л:3 + 72л:2 — 96л: + 24; 2) ® Интеграл
0, 1фк%
I L; (л:) Lk (х) e~*dA:= < (интегрировать по частям); 3) \ ·
о I Ш)2 i = k 'So
(/г!)2, ί = k T^q
863. 1) #o (*) = 1, #i (*) = 2л:, Я2 (л:) = 4л:2 — 2, Я3 (х) = 8л:3 — 12л:, Я4 (л:) =
= 16л^ — 48л:2 + 12; 3) f (х) ~-
оо -j-oo
У1. ся #„ (л:), где ся= !—; Г / (х) Нп (х) е~*2 ах. 865. 3) с0 = 0,5,
n=Q . —«
оо
4 f (1—cos α) sin α
^ = — 0,5, c2 = —0,125, c3 = 0. 866. — I -1 sina*da.
π J .a2
0
1 p I 2a sin a + cos a—1 sin a — a .
867. I cos αχ + sin ax da.
π J a2 a2
—oo L J
oo oo oo
2 Ρ cos ax If Γ
868· \ ; ;da· 869· e""aa cosaA:da. 870. \ e_a a sina*da.
π J 1 + a2 a J J
απ
с» COS '
2 С sin απ 2 С 2
871. Ι sin a A:da. 872. I —cos ал: da.
π J 1 — α2 π J 1 — a2
0 0
oo a2 oo /
-=- I e cos a A;da. 874. — I —
r% J ^ J I (a-
0 0 \
873. —zr- I e " cosaArda. 874. — I I — -+- — I cos a Arda.
Y* J * J I h«+it («+D2+i)
173

875.
О < χ < оо
2 ρ sin α ρ sin* π 2 ρ COS ал:
— I cos ал: da; — at = — . 876. a) — I —— da,-
π J a J * 2 7:J14-a2
0 0 0
ОО +00
2 p a sin ал: ар etax
> б) —\ Trrda· ° < * < °°- 877· ~~ T7T da β
π J 1 + α2 π J a2+a2
Ч-оо
2a Ρ cos а л: , 2a/ p aeIW , 4α Ρ a sin ал: da
-t-oo
(a2+a2 )2
oo
4a ρ a sin ал: da
= π J (a2 + a*)2 *
e . 879.a) e-*t*>0;
ι/ 2 fc2 i/8 a
• a) ΚττΤϊ"^^' "^<?+1)Г;|,)
(6 (г—х)2
2 w Г
6) — ТтЧ, </>0. 880.
π l+</2
2α]Αί
0 (г—*)*
(2Ert(s7f)-&«Cl7f)-"(s7=))—-
χ -t-oo г2 (г—·*)
2 Ρ -ί» 1 Ρ
= —=7 е at. 881. — \ £/0<
ΐ/"π J 2αΐ/"π* J
h* АаЧ
dz =
(У0 Я 4а2/_Нгг
■ е
]/"4а2г + Л2
)-e-.,d2. ,/ι

ЛИТЕРАТУРА
1. Задачи и упражнения по математическому анализу / Бараненков Г. С,
Демидович Б. П., Ефименко В. А. и др. М., 1959.
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Μ.,
1977.
3. Бугров Я< С, Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Μ., 1981.
4. Будак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. Μ., 1965.
5. Виленкин Н. Я. и др. Задачи по курсу математического анализа. Ч. II.
М., 1971.
6. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Μ., 1967.
7. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.
М., 1973.
8. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. Μ., 1962.
9. Ильин В. Α., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч.Ц.
М., 1973.
10. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные
функции- Преобразование Лапласа / Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И.,
ШишкинН. И. и др. Μ., 1964.
П. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Μ., 1978.
12. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Μ., 1981.
13. Ляшко И. И., Боярчук А. К-, Гай Я· Г., Головач Г. П.
Математический анализ в примерах и задачах 4.2. Μ., 1977.
14. Матвеев Η. Μ. Сборник задач и упражнений по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Μ., 1962.
15. Никольский С. М. Курс математического анализа. Μ., 1973.
16. Никольский С. М. Элементы математического анализа. Μ., 1980.
17. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции.
М., 1978.
18. Очан Ю. С. Методы математической физики. Μ., 1965.
19 Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической физики. М.,
1967.
20. Романовский П. И. Ряды Фурье. Μ., 1957.
21. Смирнов Μ. Μ. Задачи по уравнениям математической физики.
М., 1968.
22. Толстов Г. П. Ряды Фурье. Μ., 1980.
23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Μ., 1966, т. 1, т.2.
24. Филиппов Α. Φ Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
М., 1961.
25. Шмелев П. А. Ряды. Сборник задач и упражнений. Μ., 1964.
26. Шмелев П. А. Ряды. Μ., 1972.
27. Шмелев П* А. Руководство к решению задач по теории рядов.Μ., 1.976.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I. Числовые ряды 5
§ 1. Ряд и его сумма 5
§ 2. Сходимость рядов с положительными членами 13
§ 3. Некоторые применения теории числовых рядов 27
έ 4. Сходимость знакопеременных рядов 30
§ 5. Приближенное вычисление суммы ряда 40
§ 6. Действия, над рядами 43
Глава II. Функциональные ряды 50
§ 7. Функциональный ряд и область его сходимости 50
§ 8. Равномерная сходимость функциональных рядов 56
§ 9. Степенные ряды 66
§ 10. Дифференцирование и интегрирование рядов .... . . 73
§ П. Разложение функций в ряды -81
k i2. Применение рядов к вычислению пределов, производных и
интегралов .96
§ 13. Приближенные вычисления с помощью рядов 101
§ 14. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений . . 106
Глава III. Ряды Фурье. Интеграл Фурье 115
§ 15. Ряды по ортогональным системам функций. Тригонометрические
ряды Фурье 115
§ 16. Ряды Фурье по произвольным ортогональным системам функций.
Сходимость в среднем 129
§ 17. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье и его применения . . 138
Ответы и указания 147
Литература 175
Павел Александрович Шмелев
ТЕОРИЯ РЯДОВ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ
Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редактор А. И. Селиверстова. Младшие редакторы С. А. До-
ровских, Н. П. Майкова. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический
редактор Л. А. Муравьева. Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 4178
Изд. № ФМ-736. Сдано в набор 30.08.82. Подп. в печать 14.03.83. Формат 60Χ90Λβ. Бум.
тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 11 усл. печ. л. Усл. кр.-отт.
11,25. Уч.-изд. л. 10,20. Тираж 25 000 экз. Заказ 1430. Цена 35 коп.
Издательство «Высшая школа», Москва, К-51, Неглинная ул., 29/14.
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.

ВЫСШЕЕ
ОБРАЗОВАНИЕ
|П
П.А.Шмелев
д