Автор: Солодовников А. С Кантор И.Л.
Теги: алгебра математика математический анализ математическая физика математическая логика
Год: 1973
Текст
йд«7;л
;d
vT*V,
^ >¦¦¦;' ,«
к
- ь'
И. Л. КАНТОР, А. С. СОЛОДОВНИКОВ
ГЙПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ
ЧИСЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973
517.1
К 19
УДК 512.8
АННОТАЦИЯ
Эта брошюра посвящена гиперкомплексным чис-
числам — обобщению обычных комплексных чисел. В ней
рассказывается о том, к чему приводит замена одной
«мнимой единицы» i несколькими мнимыми единицами,
иначе говоря, рассказывается о величинах вида
а + bi + cj... В частности, книга знакомит читателя
с замечательными примерами гиперкомплексных чи-
чисел — кватернионами и октавами. Эти числа играют
большую роль в различных математических вопросах.
В книге рассматриваются два таких вопроса: разыска-
разыскание «алгебр с делением» (теорема Фробениуса) и ра-
разыскание «нормированных алгебр» (теорема Гурвица).
© Издательство «Наука», 1973.
Исай Львович Кантор, Александр Самуилович Солодовников
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
М., 1973 г., 144 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко
Техн. редактор Е. Н. Земская Корректоры О. А. Бутусова, А. Л. И патова
Сдано в набор 17/VI 1973 г. Подписано к печати 11/XII 1973 г. Бумага
84X108Vs2. тип. № 2. Физ. печ. л. 4,5. Условн. печ. л. 7,56. Уч.-изд. л. 6,93.
Тираж 60 000 экз. Т-19920. Цена книги 22 коп. Заказ № 671
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
I -, ¦ ; ¦ — "
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, г. Ленинград, Измайловский проспект, 29
.0223-1854
Л 042@2)-73
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предметом этой книжки являются различные системы
«чисел», которые можно построить, исходя из действи-
действительных чисел, путем добавления ряда «мнимых еди-
единиц». Классический пример такой системы — это систе-
система комплексных чисел.
Одно из важнейших свойств комплексных чисел вы-
выражается тождеством
| = М-|г'1 A)
е-
е(модуль произведения равен произведению модулей).
Если обозначить z = ах-\-а21, z' — bx-\-b2ii то A) п
репишется в виде
(«,&, - a2b2f + (axb2 + a2b{f = {а\ + a*
Прочитанное справа налево, это тождество звучит так:
«произведение суммы двухч квадратов на сумму двух
квадратов есть снова сумма двух квадратов».
Существуют ли подобные тождества с большим, чем
2, числом квадратов?
Как описать все такие тождества?
Еще Л. Эйлер указал пример тождества для 4 квад-
квадратов; позже было найдено тождество для 8 квадратов.
Однако полное решение вопроса удалось получить толь-
только в конце XIX века.
Можно предположить, что каждое тождество «для п
квадратов» связано с формулой A), в которой гиг'
обозначают уже не комплексные числа, а «числа» бо-
более общего вида:
ах + a2i + a3j + ... + <*nU
где /, /, ..., / — мнимые единицы. Несколько упрощая
положение вещей, можно сказать, что это действительно
так. Установление связи между тождествами «для
п квадратов» и формулой A) для некоторых систем
«гиперкомплексных» чисел составляет одну из основных
линий в общем построении этой книжки.
Другой вопрос, которому уделено в этой книжке
много места, — это вопрос о делении гиперкомплексных
чисел. Дело в том, что в любой системе гиперкомплекс-
гиперкомплексных чисел определены только три из четырех «арифмети-
«арифметических» операций: сложение, вычитание и умножение.
Что же касается деления, то вопрос о возможности этой
операции для данной системы гиперкомплексных чисел
требует отдельного рассмотрения. Вообще, следует ска-
сказать, что гиперкомплексные системы, в которых возмож-
возможно деление, составляют большую редкость. Разумеется,
системы действительных чисел, так же как и комплекс-
комплексных, являются примерами систем с делением. Но, кроме
них, имеются и другие примеры. Самыми замечатель-
замечательными среди них являются система так называемых ква-
кватернионов и система октав. Проблема разыскания всех
гиперкомплексных систем с делением исчерпывающим
образом не решена и до сих пор. Несколько вариантов
этой проблемы будут рассмотрены в данной книжке.
Первая глава этой книги знакомит читателя с раз-
различными примерами гиперкомплексных чисел, в том
числе с «кватернионами» и «октавами»; для тех и дру-
других справедлива ^формула A), и те и другие составляют
«систему с делением». Третья глава посвящена исклю-
исключительной роли, которую играют три системы: комплекс-
комплексных чисел, кватернионов, октав по отношению к постав-
поставленным выше вопросам. Вторая глава является вспо-
вспомогательной: в ней излагаются на элементарном уров-
уровне основные понятия линейной алгебры.
Книжка рассчитана на учащихся математических
школ и просто всех интересующихся математикой. Пер-
Первая и вторая главы в основном доступны школьнику
старших классов, чтение других разделов может потре-
потребовать от него довольно напряженных усилий. Во всех
случаях никаких предварительных знаний от читателя
не требуется.
Глава 1
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа
1°. Вступление. В элементарной алгебре наряду с
действительными числами рассматривается и более ши-
широкая система комплексных чисел. Причина, заставляю-
заставляющая рассматривать, комплексные числа, связана с ре-
решением квадратных уравнений. Дело в том, что неко-
некоторые квадратные уравнения, например,
*2+1=0, . A)
нельзя решить, ограничиваясь только действительными
числами (не существует такого действительного числа
а, чтобы а2 было равно —1).
История комплексных чисел начинается с XVI века.
Итальянские математики Джироламо Кардано и Ра-
Рафаэль Бомбелли, решая квадратные уравнения, ввели
в рассмотрение символ V—1— формальное решение
уравнения A), а также выражения ЬУ—\ — формаль-
формальные решения уравнений
Выражения более общего вида a -\~bY —^ можно рас-
рассматривать тогда как формальные решения уравнений
(х - аJ + Ъ2 = 0. B)
Впоследствии выражения а-\- b Y — I стали называться
«мнимыми», а затем «комплексными» числами и запи-
записываться а-\-Ы (символ i для обозначения V—1 ^ввел
Л. Эйлер в XVIII в.). Этих чисел оказывается уже до-
достаточно для решения любого квадратного уравнения
(если дискриминант квадратного уравнения неотрица-
неотрицателен, то, как известно, корни такого уравнения —
действительные^, числа, если же дискриминант отрицате-
отрицателен, то уравнение обязательно приводится к виду B)).
Итак, комплексным числом называется выражение
вида
а -| Ы,
где а и b — действительные числа, а символу i припи-
приписывается свойство i2 = —1. Заметим, что среди ком-
комплексных чисел содержатся, в частности, все действи-
действительные числа (они получаются' при b = 0), а также все
«чисто мнимые» числа Ы (они получаются при а = 0).
Обозначая для краткости комплексное число одной
буквой г, будем дальше писать
z = а + Ы.
Число а называется действительной частью, а число
Ы — мнимой частью комплексного числа г; сам символ
i называют «мнимой единицей». Название «мнимая» не
следует понимать буквально; оно сохранилось с тех
времен (XVI—XVII вв.), когда комплексные числа счи-
считались чем-то нереальным и были окружены ореолом
глубокой таинственности. Для теперешней математики
комплексные числа — вещь совершенно естественная (не
более «мнимая», чем сами действительные числа).
2°. Действия над комплексными числами. Сложение,
вычитание и умножение комплексных чисел естественно
определить следующим образом:
(а + Ы) + (с + di) = (a +
(а + Ы) -{с + di) = {a —
(а -\- bi) (с + di) — ac-{- adi + bci + bdi2 =
= {ас — bd) + {ad + be) i
(определяя умножение, мы учли тот факт, что i2=—1).
Отметим попутно, что если в равенстве, определяю-
определяющем умножение комплексных чисел, положить b = 0, то
получим правило умножения действительного числа на
комплексное:
а {с + di) = ac+ adi.
Нетрудно проверить, что законы, которым подчи-
подчиняются определенные выше операции над комплексными
числами, те же самые, что и законы действий над дей-
ствительными числами. Сложение обладает перемести-
тельным и сочетательным свойствами:
z{+z2 = Z2 + zb (г, + z2) + z3 = zx + {Z2 + 23),
то же самое относится к умножению:
\Z1Z2) ?3 = Z
наконец, справедлив распределительный закон, устанав-
устанавливающий связь между этими двумя действиями:
23) =
Проверим, например, справедливость равенства C).
Пусть
Имеем
*i (г2 + 23) = («1 + bxi) {{a2 + а3) + (&2 + *з) 0 =
= (<?i («г + а3) — Ь{ (Ь2 + 63)) + («1 (&г + &з) + Ьх (а2
zxz2 + zxz3 = (а, + bxi) (a2 + b2i) + (а, + bxi){a3 + b
= {axa2 — bxb2 + ахаэ — bxb3) + {afa + bxa2 + axb3 + bxas) i\
сравнивая результаты обоих вычислений, убеждаемся
в том, что они совпадают.
3°. Операция сопряжения. Остановимся теперь на
других свойствах системы комплексных чисел.
Каждому комплексному числу
z = а + Ы
можно сопоставить другое комплексное число а — Ы,
которое называется сопряженным к г и обозначается г.
Таким образом, по определению,
z = а —ч Ьи
Легко убедиться, что справедливы формулы
и
иначе говоря, сопряженное к сумме равно сумме со-
сопряженных и сопряженное к произведению равно про-
произведению сопряженных. Проверку этих формул мы
предоставим читателю.
Складывая и перемножая числа z и z, находим
z + z = 2а
и
zz = а2 + б2,
т. е. сумма и произведение сопряженных комплексных
чисел всегда являются действительными числами.
4°. Модуль комплексного числа. Тождество для двух
квадратов. Неотрицательное действительное число
Va>2jtb2 называется модулем комплексного числа z и
обозначается \z\:
Итак,
~~ ZZ = | Z
Из последнего равенства вытекает одно замечатель-
замечательное следствие. Пусть zx и z2 — два комплексных числа.
Имеем
I2 = (ад)(г&2) = zxz&xz2=*zxzx • z2z2 = | гг |2| z2
следовательно,
iW=i«iiW D)
или
= | «1 || 2?2|. ; E)
Таким образом, модуль произведения равен произведе-
произведению модулей. Это — чрезвычайно важное свойство ком*
плексных чисел; в § 16 ему будет присвоено специаль-
специальное название (свойство нормированности). А сейчас по-
посмотрим, как выглядит равенство D) в подробной
записи.
Если
гх = ах-\- Ьх1у z2 =» а2 + Ь21,
то
= (аха2 — bxb2)
и равенство D), записанное справа налево, принимает
вид
К+ЬЪ («I +6!) = («л - W + (aife2 + «2*iJ-
Получилось довольно любопытное тождество. Допуская
некоторую расплывчатость формулировки, его можно
8
прочитать так: произведение суммы двух квадратов на
сумму двух квадратов есть снова сумма двух квадратов.
Естественно возникает вопрос: существуют ли ана-
аналогичные тождества с большим числом квадратов?
Вопрос, как мы дальше увидим, совсем не простой;
в течение многих лет он занимал умы математиков.
В настоящей книжке этому вопросу отводится одно
из центральных мест. В § 3 мы сформулируем его
более отчетливо, а в гл. 3 расскажем, как он- решается,
5°. Деление комплексных чисел. До сих пор мы со-
совсем не касались вопроса о делении комплексных чи-*
сел; поговорим об этом теперь.
Пусть zr и z — два комплексных числа, причем z=?Q*
Частное от деления z' на z есть, по определению, реше«
ние уравнения
zx = z'. F)
Умножив обе части уравнения на 2, получим zzx=zz'
или
z |2 х = zz'\
если теперь умцожить обе части на действительное чио
ло tjjj , то будем иметь
х — T7W 2*\ G)
В том, что найденное значение х действительно удовлет*
воряет уравнению F), легко убедиться непосредствен*
ной проверкой.
Проиллюстрируем деление примером. Пусть тре*
буется разделить zr = 5 — i на г = 2 — 3/.'По формуле
G) имеем
§ 2. Другие арифметики для чисел а + Ы
1°. Постановка задачи. Итак, мы построили число-
числовую систему из выражений вида а + bi, определив ело*
жение и умножение таких выражений по формулам
(а + Ы) + {с + di) =- (а + с) + {Ь + d) t, {1)
(а + Ы){с + di) = {ас — bd) + {ad + be) и B)
9
Что касается формулы A), то она представляется
вполне естественной. Напротив, вид формулы B) не
вызывает такого ощущения. Посмотрим, нельзя ли из
тех же выражений а -f- Ы получить достаточно разум-
разумную числовую систему, сохранив правило сложения A),
но заменив B) каким-либо новым законом умножения.
Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значи-
значительной мере это зависит от того, какими свойствами мы
хотим наделить новое умножение. Скажем, было бы не-
нелепо ввести его формулой
(а + Ы) • {с + di) = ас2 + bdi,
ибо тогда, например, при 6 = 0, d = 0 мы получили бы
довольно странное равенство
Укажем те требования, которые мы собираемся
предъявить к новому умножению:
1) Умножение действительного числа а, рассматри-
рассматриваемого как элемент новой числовой системы
(а — а-\- 0t), на произвольное число z = b + ci должно
давать тот же результат, что и в случае комплексных
чисел, т. е.
(а + Oi) {b + ci) = ab -f act
и
(b + ci) (a -f- 0/) = ab + aci.
В частности, это означает, что для действительных
чисел новое умножение должно совпадать с обычным:
(а + О/) (Ь + 00 = аЬ + 0/.
Поскольку то же самое верно и в отношении сложения
(из (I) следует (а + 0i) + (b + 0i) = (a + b) + 0i), то
тем самым действительные числа включаются в новую
числовую систему с их естественной арифметикой.
2) Должно выполняться равенство
(агх) • (bz2) = {ab) - (z,z2),
где а и b — любые действительные числа. Например,
i) C0 = 6t2.
10
3) Как для первого сомножители, так и для второго
должно выполняться свойство распределительности, свя-
связывающее умножение со сложением:
и
(г, +г2)г3 = 2,г3 + г2гъ.
Конечно, эти требования еще не позволяют написать
до конца новьш закон умножения, но все же из них
следует многое. А именно,
(а + Ы) (с + di) = а (с + di) + (bi) (с + di) =
= ас + adi + bci + bdi2*
Теперь, чтобы написать результат, остается только ука-
указать, чему равно i2. Приняв i2 = —1, приходим к умно-
умножению комплексных чисел. Но это — отнюдь не един-
единственная возможность. В принципе ведь нужно лишь,
чтобы произведение i-l принадлежало рассматриваемой
нами системе чисел, т. е. было числом вида р + qi. За-
Задав р и q, мы окончательно устанавливаем вид закона
умножения:
(а + Ы) (с + di) = (ас + bdp) + (ad + bc + bdq) i. C)
Предмет нашего изучения, таким образом, опреде-
определился. Теперь можно забыть о «наводящих» соображе-
соображениях, которые привели нас к формуле C), и просто ска-
сказать, что рассматривается система чисел вида а + Ы
с законом сложения A) и законом умножения C), где
р и q — два фиксированных действительных числа
(определяющих собой, так сказать, «арифметику» дан-
данной системы чисел).
Внимательно рассмотрев формулу C), мы довольно
легко убеждаемся, что новое умножение обладает пе-
реместительным свойством (z\Z2 = z2z\) — довольно не-
неожиданный результат, если учесть, что среди требо-
требований, предъявленных к умножению, такого свойства не
было! Выполняется и сочетательное свойство (B122J3 =
5=^1 (г2г3)), хотя проверка этого факта требует несколько
И
большего терпения. Имеем
[{а + Ы) {с + di)\ {е + fi) =
= [{ас + bdp) + (ad + be + fofy) i] (e + fi) =
= ((ас + ferfp) g + (ad -\-bc-\- bdq) fp) +
+ ((ac + ftrfp) f + (ad + fcc + bdq) e +
+ (arf + be + frrfg) f ff) ^*>
« + 60 [{c + di) (e + ft)] =
= (a + bi) [(ce + dfp) + (cf + de+ dfq) i\ =
+ (a (cf + de + dfq) + b (ce + dfp) + b(cf + de + dfq) q) i\
сравнивая результаты обоих вычислений, легко убе-
убедиться в их тождественности (чтобы облегчить про-
проверку, мы подчеркнули-равные выражения одинаковым
числом прямых линий).
2°. Сведение к трем системам. Может показаться, что
мы нашли бесчисленное множество числовых систем,
поскольку в формулу C) входят два произвольных дей-
действительных числа р и q. Но это не совсем так. Сейчас
мы увидим, что любая система сводится к одной из трех:
I) числа а-\-Ыу где I2 = —1 (комплексные числа);
II) числа а + Ы, где I2 = 1 (так называемые двойные
числа)',
III) числа a-\-bi, где Р = 0 (так называемые ду-
дуальные числа).
Сведение любого случая к одному из этих трех осу-
осуществляется следующим образом.
Из равенства i2 = р + qi вытекает Р — qi = р или:
у — y) = Р + Т •" ^
Возможны три случая:
I- Р + ~jf —" отрицательное число, т. е. р + ^- = — k2f
где k — некоторое отличное от нуля действительное
число. Тогда
т. е.
12
Обозначив число, стоящее в скобках, через /, будем
иметь: ~"
При этом / = -|- -j- kJ9 так что любое число а + Ы мо-
может быть записано в виде
а + Ы = а + Ъ (| + */) — [а + | q) + bkJ;
иначе говоря, число а + Ы допускает представление в
виде а' + &'/, где Р = —1. Это означает, что фактиче-
фактически мы имеем дело с комплексными числами.
а2 /у2
II. р + ~— положительное число, т. е. р +-~- s= k
ф 0). Тогда вместо E) получим
Обозначив на этот раз число, стоящее в скобках, че-
через Е, будем иметь
Е2=1.
Таким образом, любое число а + Ы нашей системы
допускает представление в виде а' + Ь'Е9 но теперь
Е2 = 1. Закон умножения таких чисел будет
(а' + Ь'Е) {с' + d'E) = (а V + Ъ'й*) + (a'd' + b'cr) E.
Итак, при р+"х">0 получаем систему двойных
4исел.
а2
III. р + -х = 0. В этом случае, обозначив через Q
число / — у, будем иметь
Q2 = 0
Любое число а + bi нашей системы может быть пере-
/ Ь \ m
писано в виде- (а + у ?1 + #й> т. е. в виде а + BQ.
Закон умножения выглядит так:
{а + Ъп) {с + du) = ас -f Erf + be) Q.
5го — система дуальных чисел.
13
Подведем итог. Мы показали, что любая система чи-
чисел а -\-Ы с правилами действий A), C) фактически
есть одна из трех:
I) комплексные числа a -f- bJ, J2 — —1;
II) двойные числа а -\-ЬЕ, Е2 = 1;
III) дуальные числа а + bQ, Q2 = 0.
Свойства комплексных чисел мы изучили достаточна
детально. Дуальные и двойные числа менее интересны.
Главное их отличие от комплексных чисел заключается
в том, что дуальные числа, так же как и двойные, во-
вообще говоря, нельзя делить друг на друга. Впрочем,
здесь необходимо еще раз объяснить смысл слова «де-
«деление». Если задан некоторый закон умножения, то раз-
разделить Z\ на г2 (г2 ф 0) означает решить уравнение
oX == Z\.
Покажем, что в системе двойных чисел невозможно,
например, разделить число Z\ = 1 (т. е. 1 + 0Е) на г2 =
= 1 -J- Е. Действительно,, если бы уравнение
(l+E)x=l +0E
ч
имело решение, то, умножив обе части равенства на
I—?, мы получили бы A—Е2)х=\—Е9 т. еГ 0 —
= 1 —Е — неверное равенство.
Точно так же в системе дуальных чисел нельзя, напри-
например, разделить 1 на Q. Действительно, для любого х =
= а + bQ имеем x-Q = aQ Ф 1.
Конечно, невозможность деления ставит под сомне-
сомнение право двойных и дуальных чисел называться «чис-
«числами»: ведь главное в понятии числа именно в том и
состоит, что числа можно складывать, вычитать, умно-
умножать и делить. Однако в математике играют большую
роль и такие системы «чисел» (подобных двойным и
дуальным), где определены лишь действия сложения,
вычитания и умножения, в то время как деление вы-
выполняется не всегда (т. е. не для всех zu %2 Ф 0). В тех
же случаях, когда деление выполняется для любых
?ь Z2 Ф 0, говорят о системе с делением. В этой книжке
мы будем, в основном, рассматривать системы с де-
делением.
§ 3. Кватернионы
1°. Предварительные соображения. Опыт построения
системы комплексных (а также двойных и дуальных)
чисел наводит на мысль пойти дальше и рассмотреть
числа вида
z — a-\-bi-\- c]\
где а, Ь, с — произвольные действительные числа, а / и
/ — некоторые символы. В качестве правила сложения
для чисел такого вида, по-видимому, разумно принять
(fl + ы + cj) + {а' + 67 + с'}) =
что же касается правила умножения, то над ним при-
приходится задуматься. От этого правила мы хотели бы,
разумеется, чтобы оно не приводило к слишком стран-
странным последствиям; например, желательно, чтобы для
действительных чисел новое умножение совпадало
с обычным:
(а + 0/ + Oj)(b + 01 + 0/) = аЬ + 01 + О/.
В предыдущем параграфе были перечислены те требо-
требования естественного характера, которые предъявляются
к новому умножению. Повторим их снова:
1) Произведение действительного числа k = k-{-
+ Ot -f 0/ на произвольное число z = а + Ы + cj должно
равняться ka -j- kbi + kcj.
2) Должно выполняться равенство
где а и b — произвольные действительные числа.
3) Должен выполняться распределительный закон
как в форме
. *\ С% + 23) = ZXZ2 + Z{Z3y
так и в форме
+ Z2) Z3 = Z{Z3 + Z2Z3.
Придумать закон умножения, удовлетворяющий всем
перечисленным требованиям, не составляет труда. Мож-
Можно, например, принять
= аа' + {abf + ba') i + {acf -J- ca') /;
15
при таком правиле умножения рыполняются даже пе-
.реместительный и сочетательный законы (zxz2 = z2zx и
(ziZ2)Zs = Zi(z2Zz))9 но что определенно отсутствует —
так это возможность деления! Например, нельзя раз-
разделить 1 на i: уравнение
@+ li + 0j)x=l + 0i + 0f
не имеет решения.
И это не случайно. Можно показать, что при любом
правиле умножения чисел а-\-Ы-\- cjy удовлетворяющем
условиям 1), 2), 3), найдется хотя бы одна пара чисел
Zi, z2 (причем z2 ф 0) таких, что Z\ нельзя разделить
на z2. Таким образом, из чисел вида а + bi + cj постро-
построить систему с делением невозможно!
Однако оказывается, что если присоединить еще
один символ k и рассмотреть числа вида
а + pi + с} + dk, . A)
то можно получить систему с делением. Говоря более
точно, можно так ввести умножение для чисел A), что-
чтобы, "помимо требований 1), 2), 3), выполнялось еще и
обратное для умножения действие — деление. Наиболее
интересным примером такой системы являются кватер-
кватернионы («четверные» числа).
2°. Определение кватернионов. Так называются числа
вида A) с законом сложения
(а + Ы + cj + dk) + (а' + VI + c'j + d'k) ==
и весьма своеобразным законом умножения. Чтобы опи*
сать этот закон, достаточно указать, чему равны все-
всевозможные парные произведения чисел i, /, k. Положим,
по определению,
P=-l9 /2=-l, k*=-l\
jk = if ft/= —/, B)
Kb — у, Ifv — -~"~ у»
Запомнить эту «таблицу умножения» помогает рис. 1,
на котором кватернионы t, /, k изображены тремя
16
ками окружности, расположенными по направлению
движения часовой стрелки. Произведение любых двух
чисел из тройки i, /, k равно третьему, если движение
от первого множителя ко второму происходит по ча-
часовой стрелке, и равно третьему со знаком минус, если
движение происходит против часовой стрелки. Как ви-
видим, переместительное свойство умно-
умножения здесь не выполняется: произ-
произведение зависит от порядка сомножи-
сомножителей!
Умножение произвольных кватер-
кватернионов производится с помощью при-
приведенной выше таблицы и с учетом
требований 1) —3). Пусть
q = а + Ы + cj + dk,
q' = a' + b'i -f c'j + d'k. Рис- *•
По правилу умножения суммы на сумму (вытекающему
из 3)), имеем
qq''= аа' + a (b'i) + a (c'j) + a (d'k) + (Ы) а' + (Ы) (b'i) +
+ (Ы) (c'j) + (Ы) (d'k) + (cj) a' + (cj) (b'i) + (cj) (c'j) +
+ (cj) (d'k) + (dk) a' + (dk) (b'i) + (dk) (c'j) + (dk) (d'k).
Мы получили сумму 16 слагаемых. Преобразуя каждое
из них с помощью требований 1), 2) и таблицы .умно-
.умножения (например, (bi) (c'j) = bc(ij) = bc'k)t приходим
к результату:
qtf = (аа' — bb' — ее' - dd') + (abr + ba' + cd' - dc') i +
(ac' + ca' + db' — bd') j + (ad' + da' + be' — cb') k. C)
3°. Сочетательный закон для умножения кватернио-
кватернионов. Хотя умножение кватернионов не подчиняется
переместительному закону, все же вычисления с ква-
кватернионами не столь трудны, как может показаться
с первого взгляда. Дело в том, что для умножения
кватернионов выполняется сочетательный закон:
D)
Проверим справедливость этого равенства.
Поскольку каждый кватернион qa (а =Л, 2, 3) пред-
зляе^>^^^^г;срШй^^^с^1рех слагаемых (qa = аа +
-а
+ bj + CJ + &аЩ» то левая часть D) равна сумме
4 X 4 X 4 = 64 слагаемых вида
(щи2)щ, E)
где Ы\—любое из четырех слагаемых кватерниона </ь
и2— любое из слагаемых для q% Щ — любое слагаемое
для q3. Аналогично, правая часть D) равна сумме 64
соответствующих слагаемых
Щ (и2иъ). F)
Поэтому, если мы докажем, что каждое слагаемое E)
равно соответствующему слагаемому F), то этим ра-
равенство D) будет доказано.
Итак, все сводится к проверке равенства D), когда
в качестве #ь q2, q$ фигурируют (в любой комбинации)
кватернионы вида a, bi, cj, dk. При этом, так как чис-
числовой множитель можно выносить за знак произведе-
произведения, то равенство D) достаточно проверить для слу-
случаев, когда <7i, q% q$ — это любые из кватернионов 1,
i, /, k\ например, вместо -
достаточно доказать
.(//)/ =/(/*).
В тех случаях, когда один из кватернионов q\, <7г, *7з
равен 1, равенство D) очевидно. Поэтому задача сво-
сводится к проверке этого равенсува для случаев, когда
Яи #2, <7з — любые из кватернионов i, /, k.
Всего, таким образом, подлежат проверке 27 ра-
равенств. Выпишем для примера некоторые из них:
(it) I = Ци), {и) I = / (//), (//) / = / (/7), (if) к = i (jk).
Справедливость каждого из 27 равенств легко следует
из таблицы умножения B).
Итак, умножение кватернионов обладает сочетатель-
сочетательным свойством.
Ниже мы увидим, что система кватернионов во мно-
многих важнейших отношениях подобна системе комплекс-
комплексных чисел. Только что мы убедились в сочетательности
умножения кватернионов. Однако близость кватернио-
кватернионов и комплексных чисел простирается значительно
дальше. Во-первых, как уже упоминалось, для кватерн
18
пионов возможно деление. Во-вторых, можно естествен-
естественным образом ввести для кватернионов понятие модуля
так, чтобы выполнялось правило «модуль произведения
равен произведению модулей».
В основе указанной близости лежит наличие в си-
системе кватернионов операции сопряжения, обладающей
сходными свойствами с сопряжением комплексных
чисел.
4°. Сопряжение кватернионов. По аналогии с комп-
комплексными числами введем такое определение.
Пусть дан кватернион
q = a + Ы + с\ + dk.
Сопряженным ему называется кватернион ^
q — а — Ы — с\ — dk, G)
Очевидно, что сумма сопряженных кватернионов есть
число действительное. Но и произведение qq также яв-
является действительным числом, что сразу же следует из
формулы C) для умножения:
(a + bi + cj + dk)(a — bi-cj — dk) = a2 + b2 + с2 + d2. (8)
Продолжая аналогию с комплексными числами, на-
назовем число
I/ /7^ -4— л* —I— Г* —I— п?
модулем кватерниона q и условимся обозначать его \q\.
Тогда последнее равенство перепишется так:
qq = \q\2
— в точности та же формула, что для жшплексных
чисел.
Замечание. Если q' есть «чисто мнимый» кватер-
кватернион,
q' = bi+ cj + dk,
то лз формулы (8) следует
Обратно, если квадрат некоторого кватерниона есть
действительное число, меньшее или равное нулю, то
19
этот кватернион — чисто мнимый *)." Таким образом,
кватернионы Ы + cj + dk, и только они, могут быть
охарактеризованы условием, что их квадраты представ-
представляют собой действительные числа ^0. Учитывая это,
можно дать другое описание операции сопряжения: для
произвольного кватерниона q берется его единственное
представление в виде а + ц\ где qf — кватернион^ квад-
квадрат которого есть действительное число ^0, тогда
q = а — q'. Это замечание нам пригодится впоследствии
в § 17.
Непосредственная проверка показывает, что опера-
операция сопряжения обладает такими свойствами:
Яг + Q2 = Яг + h
(сопряженное к сумме равно сумме сопряженных) и
0°)
(сопряженное к произведению равно произведению со-
сопряженных, взятых в обратном порядке). Такие же ра-
равенства, как помнит читатель, справедливы и'в случае
комплексных чисел; нужно только иметь в виду, что для
комплексных чисел вместо z<&\ можно писать Z\Zi (ибо
произведение не зависит от порядка сомножителей), в
то время как для кватернионов, вообще говоря, Ц<Д\ не
равно qicjz.
Чтобы убедиться в справедливости равенства A0),
достаточно проверить его для каждого из случаев, ког-
когда вместо q\ и q% берутся l9 /, k. Проверка легко осуще-
осуществляется с помощью таблицы B). Например,
и = — 1 = — 1, но и и = (— /) (—- /) = i2 = — 1,
i] — k = — k, но и ji = (— /) (— i) = ji = — k
и т. д.
5°. Выполнимость деления в системе кватернионов.
Прежде всего обратим внимание на существенное от-
отличие в самой постановке вопросов о делении кватер-
кватернионов и делении комплексных чисел. Для комплексных
*) Действительно, для кватерниона q = а + Ы + с] + dk имеем
^2 = (а + ^/) (а + q') = a2 + q'2 + 2atf = а2 - Ъ2 - с2 - d2 + 2aq'.
Если это выражение является действительным числом и а^О, то
qf = 0; но тогда q = а и, следовательно, q2 не может быть 0
20
чисел, как помнит читатель, частным от деления Z\ на
z2 называется решение уравнения z2x = zx. Но для ква-
кватернионов произведение зависит от порядка сомножи-
сомножителей, поэтому вместо одного уравнения нужно рассмат-
рассматривать два:
q2x = qx A1)
и
q{. . A10
Соответственно этому решение первого уравнения бу-
будем называть левым частным от деления q\ на q2 и обо-
обозначать хл, а решение второго — правым частным хп (в
случае комплексных чисел, оба частных, очевидно, сов-
совпадают).
Чтобы решить уравнения A1) и (ПО, применим тот
же самый прием, что и в случае комплексных чисел.
Умножим обе части уравнения A1) слева сначала на
q2i а затем на -j—w - Получим
Непосредственной подстановкой в уравнение A1) убеж-
убеждаемся, что это выражение действительно является ре-
решением. Таким образом,
1 _
Аналогично находится хи:
1
В качестве примера найдем левые и правые частные
от деления А на \ -\-i-\-k:
Итак, мы установили два наиболее важных свойства
системы кватернионов:
1) для умножения кватернионов справедлив сочета-
сочетательный закон;
2) кватернионы — система с делением.
21
6°. Модуль произведения. Еще одно важное свой-
свойство кватернионов состоит в том, что модуль произве-
произведения равен произведению модулей. Доказательство в
точности такое же, как и в случае комплексных чисел;
в нем используется формула qxq2 = q2q\ и свойство со-
сочетательности для умножения кватернионов. Вот это
доказательство:
I Я\Яъ Р = (<7i92) (qlq2) = (?i<72) (<Mi) = Я\ (<?2?2) Я\ = I <7i I21 Q212-
7°. Тождество для четырех квадратов. Общая поста-
постановка задачи о сумме квадратов. Полученное нами ра-
равенство
A2)
если записать его подробно, приводит к интересному
тождеству. Пусть
Яг — # + Ь1 + с] + dk, q2 = а' + b'i + с'/ + d'&,
тогда q\q2 есть выражение, стоящее в правой части ра-
равенства C). Следовательно, формула A2), читаемая
справа налево, принимает вид
(а2 + Ь2 + с2 + d2) (а'2 + Ь'2 + с'2 + d'2) =
= {аа' - ЬУ - ccr ~ dd'f + (аб' + Ъа' + cd7 - rfc'J +
+ (ас' + са' + db' — bd'f + {ad' + da' + 6c' - cb'f. A3)
Напомним, что в случае комплексных чисел равен-
равенство |2i22|2 = |2if2|z2|2 привело нас к аналогичному
тождеству
(а2 + Ь2) {а'2 + Ь'2) = {аа' - bbf + (ab' + Ьа')\ A4)
которому мы дали такое истолкование: произведение
суммы двух квадратов на сумму двух квадратов есть
снова сумма двух квадратов. Аналогичное истолкование
допускает, очевидно, и тождество A3): произведение
суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов
есть снова сумма четырех квадратов.
Отвлекаясь от комплексных чисел и кватернионов,
естественно поставить - теперь такой вопрос: для каких
п найдется тождество «произведение суммы п квадра-
квадратов на сумму п квадратов равно сумме п квадратов»?
При п = 1 решение приходит сразу;
a2b2 = {ab)\
22
но это слишком просто. При п = 2 и п — 4 ответ, как
мы видим, тоже является положительным — это заранее
совсем не очевидно! А как обстоит дело с п = 3?
С п = 5, 6 и т. д.? Как уже отмечалось, этот вопрос дол-
долгое время не получал окончательного решения. Исчер-
Исчерпывающий ответ был получен в 1898 г. немецким ма-
математиком А. Гурвицем, который доказал удивительную
теорему: тождества интересующего нас типа возможны
только при я = 1, 2, 4, 8 и невозможны ни при каких
других п.
Чтобы у читателя не оставалось никакой неясности
в постановке «задачи о сумме квадратов», сформули-
сформулируем ее сейчас более точно.
Пусть аи а2у ..., ап и Ьи Ьъ ..., Ьп — два ряда
букв. Назовем формой второй степени от этих букв лю-
любую сумму, слагаемые которой устроены следующим об-
образом: каждое из них есть произведение одной из букв
первого ряда на одну из букв второго, взятое с числен-
численным множителем. Например; выражение
axbx + 8axb2 —
есть форма второй степени. Точная постановка «задачи
о сумме квадратов» состоит в следующем. Требуется
ответить: каким должно быть число п и как должны
быть выбраны п форм второй степени — обозначим их
для краткости Фь Ф2, . .1, Фп — для того, чтобы было
справедливо тождество
Обнаруженные нами ранее тождества для комплекс
ных чисел и кватернионов, очевидно, были именно та
кого типа. Для комплексных чисел:
(а? + а!) (Ь\ + bf) = (а,*, - a2b2f + (а,62 + a2btf
и для кватернионов:
+ al + al)(b* + bl + bl + bl) =
— a2b2 — a3b3 — aAbAf + (агЬ2 + a2bx + афА — a4b3J +
(в соответствии с общей постановкой задачи мы изме-
изменили обозначения в тождествах A3) и A4)).
23
В § 6 на базе еще одной системы чисел (так назы«
ваемых октав) мы построим тождество (!) для п = 8.
Таким образом, перечень значений п в тождестве (!)
включает числа Ц 2, 4, 8. Упомянутая выше теорема
Гурвица, утверждающая, что другие значения п невоз-
невозможны, будет доказана в гл. 3 после того, как мы озна-
ознакомимся со всеми необходимыми для этого фактами.
§ 4. Кватернионы и векторная алгебра
Открытие кватернионов в середине XIX века дало толчок раз-
разнообразным исследованиям в области математики и физики. В част-
частности, благодаря кватернионам возникла чрезвычайно плодотворная
область математики — векторная алгебра. О связи, которая суще-
существует между исчислением кватернионов и операциями над вектора-
векторами в трехмерном пространстве, мы расскажем в этом параграфе.
1°. Числовая и векторная части кватерниона. Напомним чита-
читателю некоторые положения, известные из геометрии. Если ввести
в обычном пространстве прямоугольную систему координат и обо-
обозначить через /, /, k векторы дли-
длины 1, выходящие из начала коор-
координат и направленные вдоль коор-
координатных осей (рис. 2), то любая
сумма вида
bi + cj + dk,
где 6, с, d — действительные чис-
числа, будет представлять собой не-
некоторый вектор. Этот вектор идет
из начала координат О в точку М
с координатами 6, с, d.
Возвращаясь к кватернионам,
заметим, что каждый кватернион
q =¦ а + Ы + cj + dk
представляет собой формально сумму действительного числа а
с вектором Ы + cj + dk. Число а мы будем называть числовой (или
действительной) частью, а выражение Ы + cj + dk — векторной (или
мнимой) частью кватерниона q.
Рассмотрим теперь два чисто векторных кватерниона
qx г= bxi -f" C\j -f- d\k и q2 = b2i -\
№,c,cf)
Рис. 2.
Перемножая их по правилу умножения кватернионов, будем иметь
<7i<72 = — (М2 + cici'+ dxd2) + (c{d2 — dxc2) i +
+ (d\b2 — b{d2) j + (bxc2 — c\b2) k. A)
Выпишем по отдельности числовую и векторную части кватер-
кватерниона <7i<72-
Числ. часть qxq2 = — {bxb2 + cxc2 + dxdy). B)
Вект. часть qiq2K=x(cid2 — dxc*) i +
+ (d\b2 — bxd2) j + (bxc2 — cxb2) k. C)
24
2°. Скалярное произведение. Каждое из выражений B), C)
имеет определенный геометрический смысл. Сумма Ьф2 -f C\C2 + d\d2$
как мы сейчас покажем, равна \q\\ l^lcos ф, т. е. произведению
длин векторов q\ и q2 (или, что то же, модулей кватернионов #i
и q2) на косинус угла между ними. Такое произведение прихо-
приходится рассматривать в математике
чрезвычайно часто; оно носит специ-
специальное название «скалярное произведе-
произведение векторов q\ и q2» (подчеркнем, что
скалярное произведение есть число, а не
вектор) и обозначается обычно (^ь^г).
Таким образом, по определению,
(<7i> #2) == | Я\ 11 #2 I cos Ф>
¦ч
мы же хотим доказать формулу
{Я\> Яг) = bib2 + схс2 + dxd2. D)
На рис. 3 изображен треугольник,
построенный на векторах q\ и q2. Одна рис з
его вершина находится в начале коор-
координат, две другие вершины — точки Mi
и М2 (концы векторов qi и q2), координаты которых равны соот-
соответственно bi, си d± и b2, c2, d2. Имеем
ОМ\ =
OAfi-
г2
2
С2
MlM^ = (bl-
откуда
ОМ
-2(bib2 + clc2 + dld2).
Но по известной теореме косинусов
МХМ% — ОМ? + ОМ22 -
ОЛГ2 • cos
где ф — угол при вершине О (угол между векторами q\ и
Сравнивая написанные равенства, получаем
• ОМ2 • cos ф = bib2
что и требовалось доказать.
Итак, действительная часть произведения векторных кватерн
нионов q\ и «72 равна взятому со знаком минус скалярному произве*
дению q\ на q2.
Заметим, что если векторы q\ и q% перпендикулярны, то их ска-
( п А
лярное произведение равно нулю 1ф = -д-, cos ф = 01, следовав
тельно, равна нулю и действительная часть произведения <7i#2»
В этом случае qiq2 будет «чистым» вектором. Обратное, конечно,
тоже верно: если qiq2—«чистый» вектор, то скалярное произведение
25
qi на Цг равно нулю, значит, cos q> == 0, и векторы qu qz перпен-
перпендикулярны. Стоит еще заметить, что в случае, когда qx и q% пер-
перпендикулярны, q{q2 = —ЯчЦи это сразу же видно из формулы (I),
если учесть, что действительная часть q\q% равна нулю.
3°. Векторное произведение. Что касается векторной части про-
произведения qiq2, т. е. выражения, стоящего в правой части равен-
равенства C), то установить ее геометрический смысл несколько труд-
труднее. Это выражение называют векторным произведением вектора q\
на q2 и обозначают [qu #2]:
[Яи <7г1 = (c\d2 — dxc2) i + (dxb2 — M2) / + (bxc2 — сф2) k. T
Оказывается, вектор [qXi q2] перпендикулярен каждому из век-
векторов q\ и #2, а длина его равна | q\ \ \ q2 \ sin ф или, что то же, —
площади S параллелограмма, построенного на векторах qx и Цг.
Чтобы доказать перпендикулярность векторов [qu q2] и qu Д°*
статочно, как мы знаем, проверить, что действительная часть про-
произведения этих кватернионов равна нулю, или что их произведение
является «чистым» вектором. Но в силу (I) и D) имеем [^i, q2] =*
= Я\Я2 + (<7i, q2)* поэтому
Справа получилась сумма двух векторов, т. е. снова вектор.
Перпендикулярность векторов [qu Я2] и q2 доказывается анало-
аналогично.
Найдем теперь длину вектора [qu q^\ Квадрат ее равен
(c{d2 — dxc2J + (d{b2 — М2J
или (после тождественных преобразований)
[b\ + c\+ d2x)(Ь\ +с22 + 4) - (bxb2 + с{с2 + dx
Последнее выражение есть |<71|2|<Ы2—(Яи Я2J или, если вспо-
вспомнить определение скалярного произведения,
' Ui I2 1?2 I2 - I Ях ? I Я212 cos2 Ф, т. е. \qx |2 | q2 |2 sin2 Ф.
Итак, квадрат длины вектора [<7i, дъ] равен |^i|2|^2|2sin^, т. е. S2,
что и требовалось доказать.
Обнаруженные нами свойства вектора [<7i, <7г]: перпендикуляр-
перпендикулярность к q\ и q2, а также равенство его длины S — еще не опреде-
определяют его полностью; такими свойствами обладают ровно два вза-
взаимно противоположных вектора (рис. 4). Какой же из них есть
[qu Я2]? Последний штрих, завершающий описание вектора [qu <7г],
заключается в следующем: векторы qu ^2, [<7ь #2] ориентированы
в пространстве подобно ?, /, k.
*) В процессе вычислений мы заменили qx числом —l^il2. Это
можно сделать в силу формулы A): из этой формулы следует
2S
Этим мы хотим сказать, что если смотреть из конца вектора
[Qu Q2] на плоскость векторов q\ и q^ го поворот на наименьший
угол от <7i к q2 будет представляться происходящим в том же са-
самом направлении (т. е. по направлению часовой стрелки или про-
против), в каком из конца вектора k видится поворот на наименьший
угол от i к / (рис. 5) *).
Итак, для умножения чисто векторных кватернионов справед-
справедлива формула
(
где (<7ь#2)—скалярное, a [qu #2] — векторное произведение векто-
векторов qx и q2. Мы видим отсюда, что скалярное и векторное произ-
произведения являются как бы «облом-
«обломками» произведения кватернионов. \/Ч 91
Операции скалярного и век- \ /> 2
торного умножения (наряду со
сложением векторов и умножением
вектора на число) лежат в основе
Рис. 4.
Рис. 5.
целого раздела математики — векторной алгебры, имеющей много-
многочисленные приложения как в самой математике, так и в физике
(особенно в механике). Некоторые из этих приложений, вероятно,
знакомы читателю (работа есть скалярное произведение вектора
силы на вектор перемещения и т. п.). Заметим, что в ясно очерчен-
очерченном виде векторная алгебра появилась' значительно позже первых
работ по теории кватернионов (труды создателя теории кватернио-
кватернионов английского математика В. Гамильтона относятся к 50-м годам
прошлого века, между гем основные положения векторной алгебры
были сформулированы в трудах американского математика и фи-
физика Д. Гиббса только в 80-х годах прошлого века).
*) Вог краткое пояснение этого факта. Представим себе, что
концы векторов i и /, перемещаясь в пространстве, приближаются
к концам векторов q\ и q^ (соответственно). В начальном положении
тройка /, /, [г, /] ориентирована подобно i, /, k (ибо [/, /] = &). Так
как в процессе перемещения ориентация измениться не может, то и
конечная тройка qu ^2, [<7ь <7г] должна иметь ту же ориентацию, что
и U U k-
4°. Геометрический смысл умножения произвольного кватернио-
кватерниона на чисто векторный кватернион. Благодаря тому, что умножение
кватернионов объединяет в себе два вида умножения векторов (ска-
(скалярное и векторное), кватернионы являются замечательным сред-
средством для решения некоторых задач геометрии и механики. Не-
Несколько ниже мы приведем пример весьма трудной задачи, решение
которой с помощью кватернионов получается особенно просто и кра-
красиво. Однако для этого мы должны поговорить сначала о геомет-
геометрическом смысле умножения произвольного кватерниона на чисто
векторный кватернион.
Пусть
q = а + Ы + cj + dk
— произвольный кватернион, модуль которого равен 1:
а2 + Ъ2 + с2 + d2 = 1.
Запишем, что
где qf есть вектор Ы + cj + dk. Так как |а2| + |<7'12== 1, то суще-
существует такой угол ф, что
v а = cos ф, | qf | = sin ф.
Очевидно, q'= \q'\pt где р— вектор длины 1. Следовательно,
q = cos ф + Р sin ф.
Еще раз подчеркнем, что в таком виде (где р — вектор длины 1)
может быть представлен любой кватернион с модулем, равным 1.
Умножим теперь кватернион q на какой-либо векторный ква-
кватернион и, причем ограничимся случаем, когда Еектор v перпенди-
перпендикулярен р. Получим
qv = (cos ф + р sin ф) v = v cos ф + pv sin ф.
Поскольку р и v перпендикулярны, произведение pv будет иметь
действительную часть, равную нулю; векторная же часть будет
равна [р, if], т. е. вектору длины | р | •) о | • sin -^- == I o|, перпенди-
перпендикулярному р и v и ориентированному относительно р и v таким
же образом, как вектор k ориентирован относительно i и /. Обозна-
Обозначим згот вектор через v\ можно сказать, что v получен из v пово-
поворотом вокруг вектора р *) на -~-. Итак,
qv = v cos ф + v sin ф.
Теперь достаточно взгляда на рис. 6, чтобы понять, что вектор qv
получается из v поворотом вокруг оси вектора q на угол ф.
*). Слова «поворот вокруг р» звучат несколько двусмысленно,
поскольку поворачивать можно в любом из двух направлений. Всю-
Всюду дальше мы имеем в виду поворот (вокруг р) в том же самом
направлении, в каком совершается кратчайший поворот от i к /
(вокруг /г),
28
Итак, если р — какой-либо вектор длины 1, a v — произвольный
вектор, перпендикулярный р, то умножение v слева на кватернион
q = cos ф + Р sin ф
осуществляет поворот вектора v вокруг оси р на угол ф.
До некоторой степени этот факт можно рассматривать как
геометрический смысл умножения (слева) на q\ разочаровывающим
моментом является то, что вектор v выби-
выбирается не произвольно, а только перпенди-
перпендикулярно р.
5°. Представление произвольного пово-
поворота в пространстве с помощью кватернио-
кватернионов. Можно, оказывается, записать в ква-
тернионной форме и поворот вокруг оси р
любого вектора у, но только для этого при-
придется усложнить действия над v: вместо
умножения на q слева потребуется взять
более сложное выражение Рис. 6.
go
Здесь q~l обозначает кватернион, обратный q% т. е. такой, что
qq~l = 1. Легко видеть, что
q~~l = cos ф — р sin ф
(действительно, (cos ф + р sin ф) (cos ф — р sin ф) = cos2 ф—р2 sin2 <р=
Покажем, что вектор qvq-1 получается из v поворотом вокруг
оси р на угол 2ф!
Пусть сначала v перпендикулярен р. Имеем
qvq- = qv (cos ф — р sin ф) = qv cos ф — (qv) p sin ф.
Но как мы уже знаем, qv есть снова вектор, перпендикулярный р,
поэтому (qv)p=—p(qv). Кватернион p{qv), как мы видели рань-
раньше, есть вектор, получаемый из qv
поворотом вокруг оси р на угол -«г
(рис. 7). Обозначим его, как раньше, qv.
Итак,
qvq~l = qv cos ф + qv sin ф.
Выражение, стоящее справа, представ-
представляет собой вектор, полученный из qv
поворотом вокруг р на угол ф. Если
еще учесть, что сам вектор qv получен
из v таким же поворотом, то и окажется, что qvq получается
из v поворотом вокруг р на угол 2ф.
Для того, чтобы рассмотреть общий случай, заметим: если век-
вектор v пропорционален р (т. е. v = Яр), то, очевидно, qv = vq и
qvq-1 = vqq~l = v.
Пусть теперь v — произвольный вектор. Разложим его на две
составляющих: v = vi + v^ где vi — вектор, перпендикулярный р,
29
a v2 пропорционален p. Тогда
qvq~l =gVlq-1 -f qv2q~l = qvtq~l -f
Отсюда видно, что составляющая V\ поворачивается на угол 2ф
вокруг ру а составляющая v2 остается неизменной- В итоге весь
век гор v поворачивается вокруг оси р на угол 2ф.
Таким образом, мы доказали, что при повороте вокруг оси р
на угол 2ф произвольный вектор v переходит в qvq~l, где
q = cos ф + р sin ф.
Учитывая это, мы скажем, что указанный поворот соответствует
кватерниону q.
6°. Задача о «сложении» поворотов. Еще раньше мы обещали
проиллюстрировать применение кватернионов на примере трудной
задачи из геометрии. Сделаем это теперь. Задача, о которой будет
идти речь, носит название задачи о сложении поворотов (в про-
пространстве).
Пусть производится поворот на угол 2ф1 вокруг некоторой оси,
характеризуемой единичным вектором р\\ следом за ним пусть про-
производится другой поворот — на угол 2фг вокруг оси, характеризуе-
характеризуемой единичным вектором р2. В итоге получим некоторый новый
поворот (результат последовательного выполнения двух данных).
Спрашивается, как найти ось и угол результирующего поворота?
При первом повороте произвольный вектор v перейдет, как мы
знаем, в V\ — q\vq~\X% где q\ = cos Ф1 + р\ sin фь При втором по-
повороте Vi перейдет в
»2в W72 = Я2{Я\Щ'\1)Я21 = (Я2Я1) v (ЯтЯ\ТХ
(заметим, что (^i)" Равно ЯГ1ЯТ1> так как (Я2Я{){яТ1ЯТ1) === О*
В итоге последовательного выполнения двух поворотов вектор v
перейдет в
Таким образом, в результате последовательного выполнения
двух поворотов, соответствующих кватернионам q\ и */2, получается
третий поворот, соответствующий кватерниону q2Q\.
Вычислить кватернион q2qi не составляет труда — ведь прави-
правило умножения кватернионов известно. Найдя q2Qu представим этот
кватернион в виде
q2qx = cosi|) + psinip, E)
где р — векгор длины 1. Тогда результирующий поворот есть пово-
поворот вокруг оси р на угол 2г|з. Как видим, ответ получился с по-
помощью кватернионов весьма просто!
Рассмотрим пример. Пусть первый поворот совершается вокруг
п *
оси * на угол —, а второй — вокруг оси у на тот же угол.-Первому
я я \^2
повороту отвечает кватернион qx = cos-j + /sin " = ~^~О + О»
30
а второму — кватернион q2 = —s~ О +/)• В данном случае
q2Q i = у A + /) A + i) = у A + / + / - k).
Чтобы представить этот кватернион в виде E), заметим, что дей-
1 п т_
ствительная часть его равна -х- = cos -^-. Исходя из этого, запишем
= cos -- + —r=- (/ + / — k)\ sin ---;
таким образом, результирующее вращение происходит вокруг
вектора р = г_^. и + / — k) на угол —.
/3 " 3
§ 5. Гиперкомплексные числа
1°. Определение гиперкомплексной системы чисел.
Рассмотренные нами комплексные, двойные, дуальные
числа и кватернионы охватываются более общим поня-
понятием гиперкомплексной (сверхкомплексной) системы
чисел. Теперь, когда мы знаем наиболее простые при-
примеры таких систем, нам будет легче понять общее опре-
определение гиперкомплексной системы чисел.
Зафиксируем натуральное число п и рассмотрим вы-
выражения вида
+ з I • I I • /1 \
1*1 ~Т" ^2^2 ~Т" • • • i~ С^п^т \ /
где а0, пи а2, ..., ап — произвольные действительные
числа, a i\, i% ..., in — некоторые символы (которые мы
будем иногда называть «мнимыми единицами»). Преж-
Прежде всего условимся, что равенство двух таких выражений:
>ч
+ • I I a flCtl 1С*
означает, по определению, что
Для сокращенной записи выражений A) будем поль-
пользоваться полужирными латинскими буквами а, &, с, и,
31
vy wt ..., делая исключение только для выражений вида
00+0*1 + 0*2+ ... +0in,
которые иногда будут обозначаться просто а0.
Над выражениями A) мы будем производить дей-
действия сложения, вычитания и умножения. Сложение и
вычитание определяются формулами
(aQ + CL\hJt ... + cinin) — F0 + bxix + ... +bnin) =
а умножение вводится следующим образом.
Задается «таблица умножения», т. е. указывается,
чему равны всевозможные произведения
Мр
где а и Э — любые номера от 1 до п (всего таких про-
произведений имеется, очевидно, пУ(п = п2). Каждое про-
произведение Уз должно представлять собой снова выра-
выражение вида A), т. е.
' Up = Po + Pih + Pik + ... + Pnh, B)
где /?о, Pi, ..., рп — некоторые действительные числа.
Любой комбинации номеров а, р отвечает, конечно, свой
набор коэффициентов р0, Ри -•-, Рп\ чтобы подчерк-
подчеркнуть зависимость этих коэффициентов от а, р, мы за-
запишем /?а?, i вместо ри тогда B) заменится, быть может,
более громоздким, но зато охватывающим сразу все слу-
случаи равенством
Up = Pap, 0 + Pap, 1*1 + Pap, 2*2 + • • • + Pap. «*«• C)
Набор чисел pap,Y и задает собой таблицу умножения
(всего этих чисел должно быть п2{п-\-\) — по я+1
числу для каждой комбинации a, P).
Например, в случае комплексных чисел таблица ум-
умножения состоит из единственного равенства
#•*= — ! + 01.
32
В случае кватернионов таблица содержит девять ра-
равенств и может быть записана следующим образом:
•
/
к
г
j
—k
/
•
к
-1
•
к
ч
i
1
Понятно, что каждая клетка заменяет одно из равенств
tC) таблицы умножения: например,
После того как задана таблица умножения, мы опре
деляем произведение
(а
anin) (bQ + b{ix
bnin)
по обычному правилу умножения суммы на сумму (каж-
(каждое слагаемое первой суммы умножаем на каждое сла-
слагаемое второй и результаты суммируем), причем про-
произведения вида (<Va) * (b$i$) переписываем как
aabft(iai$) и заменяем iai$ по формуле C); затем при-
приводим подобные члены. В итоге получается снова не-
некоторое выражение вида A).
Множество всех выражений вида A), в котором опе-
операции сложения и умножения введены как указано
выше, называется гиперкомплексной системой размер-
размерности л+1, а сами выражения A) называются гипер-
комплексными числами. Как следует из приведенного
выше описания, гиперкомплексная система данной раз-
размерности полностью определяется своей таблицей умно-
умножения.
Отметим некоторые свойства операции умножения,
справедливые в любой гиперкомплексной системе.
1) Умножение действительного' числа <v рассматри-
рассматриваемого как гиперкомплексное число а + 0i\ + ... + 0int
на произвольное число b0 + b\i\ rh • • • rh Ьп*п сводится
2 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников
33
к умножению всех коэффициентов 60, Ьи ..., Ьп на at
(а+ 01,+ ... +Oin)(b0 + blil+ ... +bja) =
= abo + ablil + ... +abnin
и
+ *i'i + ... +bnin)(a + Oil+ ... + 01») =
0
В частности,
1 • v = v и и • 1 =г>,
где v — любое гиперкомплексное число.
2) Если и и v — гиперкомплексные числа, то
(аи) (bv) = (ab) {uv)9
где a u b — произвольные действительные числа.
3) Справедливы оба варианта (левый и правый) рас-
распределительного закона:
и (я.+ w) = uv + uw9
V + W) U = VU +
Свойства 1), 2), 3) очевидным образом* следуют из
самой процедуры умножения. Еще раз подчеркнем, что
они справедливы в любой гиперкомплексной системе.
2°. Коммутативные, ассоциативные системы, системы
с делением, В противоположность указанным выше свой-*
ствам другие «хорошие» свойства операции умножения,
такие, как
uv = vu (переместительный закон)
и
(uv) w = u (vw) (сочетательный закон)
выполняются далеко не в каждой пшеркомплексной си-
системе. Если для любых двух чисел миг;, принадлежа-
принадлежащих данной гиперкомплексной системе, справедливо ра-
равенство
UV = VU,
то такая система называется коммутативной.
В этом месте необходимо сделать замечание по по-
поводу дальнейшей терминологии. Дело в том, что в со-
современной математике вместо слов «переместитель-
«переместительность» и «сочетательность» приняты имеющие соответ-
34
ственно тот же смысл термины «коммутативность» и
«ассоциативность». Начиная с этого параграфа, мы бу-
будем пользоваться только ими.
Рассмотренные ранее системы комплексных чисел,
двойных и дуальных являются коммутативными; напро-
напротив, система кватернионов не коммутативна.
Нетрудно сообразить, что должно означать условие коммута-
коммутативности в терминах таблицы умножения C). Поскольку в случае
коммутативной системы должно быть
*а*з — i$ia (а. Р """ любые номера от I до /г),
то
Ра$, о + Pap.i'i + • • • + Pap, rJn = Pflaso + Ppa, i'i + • • • + Ppa, rdn
и, следовательно,
Pafl.o = Pfla.o, Pa0,i = Pfta.i» • • •» Pap. n = Ppa, n D)
(a, p — любые номера от 1 до п).
Обратно, если выполнены эти равенства, то данная система, оче-
очевидно, является коммутативной. Таким образом, наличие соотноше-
соотношений D) между числами ра$,у> задающими таблицу умножения, есть
необходимое и достаточное условие коммутативности.
В случае, когда для любых трех чисел и, v, w из
данной гиперкомплексной системы выполняется равен-
равенство
(uv) w — u (vw),
система называется ассоциативной*).
Условие ассоциативности тоже, разумеется, означает наличие
определенных соотношений между числами ра$,у> каких именно —
предоставляем выяснить читателю.
Как мы знаем, системы комплексных, двойных, ду-
дуальных чисел, а также кватернионов являются ассо-
ассоциативными. Простой пример неассоциативной системы
дают числа вида а + Ы + cj с таблицей умножения
|2 = о, /2 = 0, /7 = 0, */ = /.
В этом случае
Согласно определению гиперкомплексных чисел, над
ними можно производить действия сложения, вычитания
и "умножения. Что касается деления, то оно возможно
для очень немногих гиперкомплексных систем. Впрочем,
¦*) Заметим здесь, что, определяя гиперкомплексную систему,
мы отступили от исторической традиции. Обычно условие ассоциа-
ассоциативности включается в определение гиперкомплексной системы.
2* • 35
здесь следует точно сказать, что подразумевается под
возможностью деления.
Говорят, что данная гиперкомплексная система есть
система с делением (или что в ней возможно деление),
если каждое из уравнений
и
XV = U
имеет^ решение, и притом единственное, при любых и,
v, где v Ф 0. Решение первого уравнения называется
левым частным от деления и на г>, решение второго —
правым частным. Вообще говоря, левое и правое част-
частные не совпадают.
Примерами систем с делением являются комплекс-
комплексные числа и кватернионы. Размерность первой из этих
систем равна 2, размерность второй равна 4. Удивитель-
Удивительный факт, о котором мы еще будем говорить впослед-
впоследствии, установлен совсем недавно: гиперкомплексные
системы с делением могут иметь только размерности 2,
4 и 8. Отсюда видно, что в общей массе гиперкомплекс-
гиперкомплексных систем системы с делением встречаются весьма ред-
редко. В частности, гиперкомплексная система, состоящая
из чисел вида a-\-bi-\-cj с любой таблицей умножения
(размерность такой системы равна 3), является систе-
системой без деления.
§ 6. Процедура удвоения. Октавы
Мы расскажем здесь еще об одной замечательной си-
системе гиперкомплексных чисел, называемых октавами. '
Так же, как для комплексных чисел и кватернионов,
для октав определены не только сложение, вычитание и
умножение, но и деление. Кроме того, рассмотрение ок-
октав позволяет сделать еще один шаг в «задаче о сумме
квадратов», поставленной в конце § 3, и получить тож-
тождество (!) для /г = 8.
Как показывает само название «октавы» (восьмер-
(восьмерные числа), это — выражения, состоящие из восьми чл.е-
нов. Для записи таких выражений необходимо иметь 7
«мнимых единиц» *ь 1*2, . ••, h> Итак, октавы — это вы-
выражения вида
36
где а0, аи а2у #з, а4, а$, а6, а7 — произвольные действи-
действительные числа.
Закон умножения октав довольно сложен, поэтому
определять его сразу мы не будем. Вместо этого мы опи-
опишем одну процедуру, которая позволяет весьма есте-
естественным путем строить октавы, исходя из кватернионов.
Мы назовем эту процедуру удвоением *) и определим
октавы как «удвоенные» кватернионы. Впрочем, про-
процедура удвоения имеет отношение не только к октавам;
мы увидим, что и сами кватернионы получаются удвое-
удвоением комплексных чисел и, в свою очередь, комплекс*
ные числа получаются удвоением действительных чисел-
1°. Другой подход к определению кватернионов. Нач-
Начнем с некоторого анализа системы кватернионов. Про-
Произвольный кватернион
dk
можно представить, пользуясь тем, что */ = k, в виде
или
где z\ = а + Ыу z2 = с + di.
Посмотрим, как при таком способе изображения ква
тернионов запишется" их закон умножения.
Пусть наряду с q задан еще один кватернион
Перемножив q и г, получим
qr = (z, + z2j) (w{ + w2j) =
+ г, (w2j) + (zj) w{ + (z2j) (w2j) =
= Z{ WX + ZiWii + Z2JWX + Z2]W2j
(мы убрали скобки в произведениях, так как умножение
кватернионов обладает свойством ассоциативности).
Заметим теперь, что' поскольку ij = —/7, то (а + bi)j =
= j(a — Ы)у т. е.
*) Часто ее называют процедурой Кзли — Диксона, по именам
математиков А. Кэли — автора системы октав — и Л. Диксона,
впервые рассмотревшего эту процедуру*
37
Кроме того, легко проверить, что любые два элемента
z и w вида а + Ы перестановочны:
ZW = WZ.
Исходя из этих свойств, можно переписать второе и
третье слагаемые в правой части A) соответственно
в виде W2Zij и ZiW\j, а вместо четвертого слагаемого на-
написать z^w2j2y или — W2Z2. Следовательно,
ЦТ = (*!», ~ W2Z2) + {W2Z{ +.Z2W])/. B)
Обращаясь к представлению кватерниона в виде
q = z\ + z2j, отметим один важный момент. Поскольку
i2 = —1, то все кватернионы a + fei, в частности, Z\ и
?2, можно трактовать как комплексные числа. Вместе с
формулой B) это приводит нас к такому заключению.
Кватернионы можно определить как выражения вида
Zi-\-z2j, где zu z2 — произвольные комплексные числа,
а / — некоторый символ, причем закон умножения таких
выражений задается формулой B).
Это — оч?нь существенное наблюдение. Оно поможет
нам понять процедуру удвоения гиперкомплексных
чисел.
2°. Удвоение гиперкомплексной системы. Определе-
Определение октав. Введем ряд определений. Пусть задана ги-
гиперкомплексная система °U, состоящая из чисел вида
с некоторым законом умножения.
Условимся называть элемент
и === а§ — ^l^i — а^2 ~~~" • • • —
сопряженным к и.
Удвоением системы °U называется новая гиперком-
гиперкомплексная система Ш^ размерности вдвое большей (чем
Щ)у которая строится следующим образом. Ее элементы
представляют собой выражения вида
Щ + и2е, - C)
где iii, и2 — произвольные элементы из °U, a e — неко-
некоторый символ. Сложение элементов из %№ произво-
производится естественным образом:
4
(щ + и2е) + (Vi + v2e) = (и, + v{) + (u2 + v2) e, D)
38
а умножение определяется по формуле
(и, + и2е) {v{ + v2e) = (ulvl — v2u2) + (v2u{ + u2v{) e E)
г(черта обозначает сопряжение в °U).
Читателю может показаться странным, что, опреде-
определяя систему °U^2\ мы отступили, во-первых, от обычного
способа записи гщтеркомплексных чисел, и, во-вторых,
от задания умножения с помощью таблицы. Числа из
№ должны были бы иметь вид
"Г #1М "Г • • • l #п*л г an+l*n+l ~Т~ *• • • 4" #2/г+1^2п + 1> F)
однако мы предпочитаем более короткую запись C)
Дело в том, что каждому выражению F) можно со
поставить два элемента исходной гиперкомплексной си
стемы:
Щ = Я/г-н ~Г #/х+2*1 1 ••• i
а значит, и выражение C) (оно является как бы «ко-
«кодом» гиперкомплексного числа F)); и обратно, ра-
разумеется, если задано выражение вида F), то по нему
можно составить C). Краткая запись C) по сравнению
с F) имеет существенное преимущество: вместо того,
чтобы задавать умножение в %№ с помощью таблицы,
мы можем записать его в обозримой форме E). Ко-
Конечно, из формулы E) можно извлечь таблицу умно-
умножения «мнимых единиц» iu i2, ..., fen+i. В общем виде
заниматься этой таблицей мы не будем, но для наибо-
наиболее интересующего нас случая октав приведем ее даль-
дальше полностью.
Итак, мы определили процедуру удвоения. Примером
может служить переход от комплексных чисел к кватер-
кватернионам: то, что было сделано в начале этого параграфа,
фактически означает, что система кватернионов есть
удвоение системы комплексных чисел. Легко также про:
верить (читателю рекомендуется сделать это самостоя-
самостоятельно), что комплексные числа получаются удвоением
действительных.
Главной целью этого параграфа, как уже говорилось,
является построение системы октав. Определение октав
может быть сформулировано теперь в нескольких сло-
словах: система октав есть удвоение системы кватернионов. t
Все свойства системы октав получаются, естественно, из
39
данного определения;" начиная со следующего пункта,
мы переходим к подробному изучению этих свойств.
3°. Таблица умножения в системе октав. Итак, со-
согласно определению, октавы — это выражения вида
где <7i, q2— произвольные кватернионы, причем закон
умножения имеет следующий вид:
(?i + Ч&) if\ + r2e) = (qlrl — r2q2) + (r2qi + ?2*ч) е. G)
Прежде всего посмотрим, как увязывается такое
определение октав с представлением октав в форме
а0 + <Mi + ^2*2 + «Л + я А + а<ьк + af>k + ^Л» (8)
точнее, составим таблицу умножения для мнимых еди-
единиц iu . ., ii.
Кватернионы qx и q2, отвечающие записи (8), суть
<7i = «о + at + «2/ + «з*. - ^2 = «4 + аъ1 + а6/ + a7k.
Договоримся для большего 'единообразия вместо (8)
писать
где а, 6, с, d, А, В, С, D — это прежние а0, аи ..., а7,
a i, /, ft, Е, /, /, К — новые обозначения для «мнимых
еДИНИЦ» I], ?2> • • •> «7-
В таких обозначениях кватернионы q{ и q2 будут
= A + Bi + Cj + Dk.
- Исходя из G), можно, как уже отмечалось, соста-
составить таблицу умножения для единиц «, /, fc,*E, /, /, К-
Наприхмер, полагая в формуле G) q2 = r2 = 0, получим
таким образом, октавы <7i и гх перемножаются как ква-
кватернионы. Отсюда следует, что для единиц i, /, k таб-
таблица умножения в точности такая же, как в случае
кватернионов:
if = fe, /i = — Л
40
Написанные равенства дают выражения только для 9
произведений из общего числа 49 (в нашем случае
имеется 7 единиц и, следовательно, 7-7 = 49 попарных
произведений). Выписывать остальные 40 произведений
нет необходимости, так как существует довольно про-
простой способ запомнить всю таблицу. Он состоит в ука-
указании следующих семи троек: *
i i
I
/
—i
\
J
i
1
-ft
1С
1С
i
i
k
E
Б
Б
I
J
К
Запомнить эти тройки нетрудно: каждая тройка в пунк-
пунктирной рамке получается из тройки символов i, /, fe,
если перед одним из них поставить знак минус, а два
других заменить на соответствующие заглавные сим-
символы; каждая из троек в сплошной рамке содержит Е и
два одноименных символа.
Чтобы объяснить таблицу умножения, обозначим а,
р, y любую из указанных семи троек (порядок симво-
символов в тройке существен).Тогда -
PY = <*,
и
=-l P2=-
P
= — P,
l,
1,
т. e. a, p, y перемножаются
в точности так же, как ква-
кватернионы i, /, k. I
Рис. 8.
Хорошей иллюстрацией к это-
этому правилу служит рис. 8. На- нем
изображен треугольник с -вершинами /, /Д и серединами сторон
i, /*, k\ в точке пересечения медиан поставлена буква Е. На каждой
прямой лежат три «мнимые» единицы. Кроме того, три единицы
i, /', k также считаются принадлежащими одной «прямой» (симво-
(символически обозначенной на рисунке окружностью). Итак, на рисун-
рисунке имеется 7 «прямых» и на каждой из них расположены три еди-
единицы. Для того, чтобы найти произведение любых двух единиц,
нужно рассмотреть «прямую», определяемую этими единицами, И
взять третью единицу этой «прямой» со знаком + или —.
41
Любопытно, что единицы i, /, k, Еу /t /, К могут быть расстав-
расставлены на этом чертеже многими способами. Достаточно взять
i, /, k лежащими на одной «прямой» (любой из семи), какую-нибудь
из оставшихся точек обозначить Е и затем проставить /, /, К на
прямых iE, jE, kE\ в результате мы придем снова к правильной
картине.
4°. Сопряжение в системе октав. Модуль октавы.
Пусть
и = а + Ы + cj + dk + АЕ + BI + CJ + DK (9)
— произвольная октава. Октаву
будем называть сопряженной к и.
Если вместо (9) воспользоваться более короткой
записью
где
q{ = а + Ы + cj + dk, q2=A + Bi + Cj + Dk,
то для сопряженной октавы получится выражение
Вычислим теперь, чему равно произведение произ-
произвольной октавы и на сопряженную октаву а. Мы уви-
увидим, что это произведение, как и в случае комплексных
чисел или кватернионов, равно действительному числу
(т. е. октаве вида а + 0* +.0/ + ¦ • • + 0К).
Имеем
ип = (q{ + q2e) (дг — q2e) = (qx~qx + q2q2) + (-?2<7i+?2<7i) e.
Учитывая, что для кватернионов qq — qq = \q |2, нахо-
находим отсюда
tftt = 9i9i +9292 = 1 9i P + I92I2. (ГО)
Квадратный корень из выражения |9i|2+l92|2 на-
называется модулем или нормой октавы и и обозначается
\и\. Заметим, что для октавы и, заданной в форме (9),
квадрат ее модуля-равен
а2 + Ь2 + с2 + d2 + А2 + В2 + С2 + D2. A1)
Таким образом, по определению модуля имеем
A2)
42
к этому равенству можно добавить другое:
ии = \и |2,
вытекающее из того факта, что квадрат модуля октавы
? совпадает с квадратом модуля сопряженной октавы
и (и то и другое равно A1)).
5°. Модуль произведения октав. Система октав имеет
много общего с системами комплексных чисел и ква-
кватернионов. Одним из проявлений этой общности яв-
является то важнейшее свойство, что модуль произведе-
произведения любых двух октав равен произведению модулей
этих октав:
\uv\ = \u\\v\ A3)
или, что эквивалентно,
|иг;|2 = |и|2М2. A4)
Доказательство равенства A4) можно провести не-
непосредственным вычислением. Подсчитаем по отдель-
отдельности \uv\2 и |м|2|?>|2. Так как
uv = {Ях + Я2в) (гх + r2e) = (qxrx — r2q2) + {г2Я\ +
то, применив формулу A0), получим
|2 = (qxrx — r2q2) (qxrx — r2q2)+(r2qx + q2rx) (r2q{ + q2rx)
или, учитывая свойства сопряжения для кватернионов,
\uv\2= {qxrx — r2q2) {rxqx — q2r2)+(r2qx + q2rx) (tfi^+fift)-
С другой стороны,
I и |21 v ? = (qxqx + ?2?2) (rxrx + r2r2).
Сравнивая оба выражения, находим, что они отли-
отличаются на сумму четырех слагаемых
S = r2qxrtf2 + q2rxq\r2 — qxrxq^2 — r2q2rxq{.
Поэтому остается показать, что S = 0 для любых че-
четырех кватернионов Яи ?2, ги Г2-
Начнем с очевидного замечания: S = 0, еслиг2 — дей-
действительное число. С другой стороны, если т2 есть чисто
мнимый кватернион (и, следовательно, г2 = —г2), то
S = r2 (qxrxq2 + fl^tfi) — (qxrxq2 + Я2ГХЯ\) **-
Выражение в скобках представляет собой сумму
двух сопряженных кватернионов и поэтому равно
43
действительному числу; обозначим его с. Тогда
S — r2c — сг2 = 0.
Теперь следует учесть очевидное свойство выражения
S: если оно равно 0 при г2 = а и г2 = Ь, то оно равно 0
при г2 = а -f Ь. Так как любой кватернион г2 представ-
представляется в виде суммы Действительного числа и чисто мни-
мнимого кватерниона, причем в обоих случаях S = 0, то
тем самым S равно нулю тождественно.
6°. Тождество для восьми квадратов. Установленное
в предыдущем пункте равенство
= \u?\v? A5)
означает новый вклад в решение «задачи о сумме квад-
квадратов», поставленной в конце § 3, так как в подробной
записи оно представляет собой (если читать его справа
налево) тождество: «произведение суммы восьми квад-
квадратов на сумму восьми квадратов есть снова сумма
восьми квадратов». Действительно, пусть
v = a' + b'l + c'j + d'k + A'E + B'l + CI +.D'K,
a
ш? = Ф0 + Ф^ + Ф2/ + Ф3к + Ф4Е + Ф5/ + Фб/ + Ф7К,
тогда равенство A5) принимает вид
(а2+ ... +D2){a'2+ ... +?'2) = Фо + Ф?+ ... +ф27.
Разумеется, вместо Фо, Фь •.., Ф7 сюда следует под-
подставить их выражения через а, ..., D, а', ..., ?)', исхо-
исходя из закона умножения октав. Проделав эту громозд-
громоздкую работу, придем к такому тождеству:
(а2 + Ь2+ с2 + d2 + А2+- В2 + C2 + D2) X
X {а'2 + Ь'2 + с'2 + d'2 + А'2 + В'2 + С'2 + D'2) =
= (аа' - W — ее' — dd'-AA' — В В' — СС — DD'f +
+ (аЬ' + Ьа' + cd' - dc' - А'В + В'А + CD ~ D'Cf +
+ {ас' + са' — bd' + db' - А'С + С А — B'D + D'Bf +
+ {ad' + da' + be' — cb' - A'D + D'A + B'C — C'Bf +
+ {A'a - B'b — С с - D'd + Aa' + Bb' + Cc' + Dd'f +
+ {A'b + B'a + Cd — D'c — Ab' + Ba' — Cdr + Dc'J +
+ {Afc + С a - B'd + D'b — Ac' + Ca' + Bd' - Db'J +
+ {A'd +-D'a + B'c - Cb — Ad' + Da' - Be' + Cb'J.
44
Интересно отметить, что именно поиски тождества
для 8 квадратов привели автора системы октав англий-
английского математика А. Кэли к их открытию!
7°. Неассоциативность октав. Свойство альтернатив-
альтернативности. Выше говорилось, что многие свойства октав
сходны со свойствами кватернионов и комплексных чи-
чисел. Сейчас мы обратим внимание на одно существен-
существенное различие между этими системами: в то время как
умножение комплексных чисел и кватернионов обладает
ассоциативным, (сочетательным) свойством, для умно-
умножения октав ассоциативный закон не выполняется. На-
Например,
так как (ij)E = kE = K, a
Отсутствие ассоциативного закона для октав вовсе
не означает, что для любых трех октав и, v, w будет
(uv)w ф u(vw). Более того, можно доказать, что спра-
справедливы следующие две формулы:
A6)
и
v (vu) = (vv) и, A7)
в которых и и v обозначают любые две октавы.
Формулы A6) и A7) можно рассматривать как не-
некий ослабленный вариант ассоциативности. Существует
специальное название для систем, в которых справед-
справедливы эти формулы; такие, системы называются альтер-
нативкыми.
Обращаясь к доказательству формул A6) и A7),
заметим, что вместо них можно доказывать
(uv) v^= и (vv) A6')
и _ _ v
v {vu) = (vv) и,
так как, заменяя в этих равенствах v на —v -f- 2a (где
а — действительная часть октавы v), легко получим A6)
и A7).
Докажем формулу A6'); формула A77) получается
аналогично.
•45
Пусть u — qx-\-q2e, i> = r1 + r2e. Имеем
(uv) v = ((q{ + q2e) (r{ + r2e)) (r, — r2e) =
r2flr2) + (r2q{ + q2r{) e) {r{ — r2e)
r2q2) rx +72 {r2qx + q2r{)) +
r2) (q{r{ — 72q2) + {r2q{ + ^) г^ в
r212)<7t + (| r, |2 + | r2 P)flr2e =
С другой стороны, I tw I = I v p, поэтому
и (zw)=|
Отсюда следует A6'}.
8°. Октавы — система с делением. Еще одно важное
свойство системы октав, сближающее их с комплекс-
комплексными числами и кватернионами, есть возможность деле-
деления. Пусть и и v — произвольные октавы, причем v Ф 0.
Напомним, что левое частное от деления и иа v есть ре-
решение уравнения
= u, A8)
а правое частное — решение уравнения
xv = и. A9)
Решим сначала уравнение A8). Поступая точно так
же, как в случае кватернионов, умножим обе части A8)
слева на v. Получим
г; (vx) = vu
или, учитывая A7'),
Отсюда
X — i nj~ %/U,
V
2
Непосредственная проверка (с использованием опять
таки формулы A7')) показывает, что найденное значе
ние х удовлетворяет уравнению A8). Итак, левое част
ное от деления и на v равно
*л =Tv?vu'
46
Аналогично доказывается, что правое частное равно
при этом нужно воспользоваться формулой A6').
Мы видим, таким образом, что октавы образуют си*
стему с делением.
§ 7. Алгебры
1°. Наводящие соображения. Вернемся еще раз к об-
общему понятию гиперкомплексной системы. Согласно
определению, данному в § 5, гиперкомплексная система
размерности л + 1 есть множество выражений вида
+ i + i+ ... + anin
(гиперкомплексных чдоел) с естественным правилом
сложения и некоторым правилом умножения. Послед-
Последнее заключается в том, что задается таблица вида
*а*р = Рсф,0 + Pap, 1*1 + ••• + Pa$,ntn A)
(таблица умножения «мнимых единиц» iu i2t ..., in),
после чего произведение двух гиперкомплексных чисел
определяется по правилу умножения суммы на сумму,
с последующей записью слагаемых (aaia) (b$i&) в виде
aab$(iai$) и заменой произведений iai& по форму-
формулам A).
Рассмотрим такой случай, когда все числа ра&, 0
(«свободные члены» в формулах A)) равны нулю.
Тогда произведение любых двух мнимых единиц ia, i$
есть снова комбинация мнимых единиц.
Обозначим через s& множество всех гиперкомплекс-
гиперкомплексных чисел вида
a = alil + a2i2+ ... + anin ¦ B)
(без свободных членов). Совершенно очевидно, что сум-
сумма двух таких чисел есть снова число вида B). Из
того, что сказано выше относительно произведений
iai*3, следует, что и умножение двух чисел вида B) дает
снова число вида B). Таким образом, множество s&
обладает тем свойством, что обе операции — сложение
и умножение — не выводят за пределы этого множества.
Наличие такого свойства позволяет рассматривать
47
как самостоятельную систему с двумя операциями —
сложением и умножением. Однако она не является, во-
вообще говоря, гиперкомплексной системой в том смысле,
какой мы придаем этому слову (о тех случаях, когда
систему s$> все же можно рассматривать как гиперкомп-
гиперкомплексную, мы скажем чуть позже).
Главное отличие системы s& от гиперкомплексной
сводится к следующему. Каждая гиперкомплексная си-
система обязана содержать некоторый особенный элемент
е такой, что
е • а = а • е = а
для любого элемента а из данной системы (этим эле-
элементом е является 1 +0i"i +... +0tn); между тем в си-
системе s& элемент с таким свойством, вообще говоря, не
существует. Имеется и еще одно отличие, тесно связан-
связанное с первым: в гиперкомплексной системе можно гово-
говорить о произведении действительного числа k на любой
элемент а данной системы (по определению, это есть
произведение элементов k = k -f-Oi'i + • • • + 0in и а);
в системе «5$, напротив, произведение ka не имеет смыс-
смысла. Однако это последнее отличие легко устранить: для
этого достаточно ввести операцию умножения действи-
действительного числа на элементы из s& по формуле
k (ajfj + #2*2 ~Ь • • • Ч~ anin)= ka>\i\ ~Ь ^2 ~Ь • • • Ч" kanin.
Снабженное такой операцией, множество S& (с уже
имеющимися в нем сложением и умножением) превра-
превращается в объект, носящий специальное название алгеб-
алгебра размерности п или просто алгебра*).
2°. Определение алгебры. Дадим теперь точное опре-
определение алгебры.
Алгеброй размерности п называется множество вы-
выражений вида
alil + a2i2+ ... + anin B)
(где аи а2, ..., ап — произвольные действительные чис-
числа, а *ь *2, ..-, in — некоторые символы), снабженное
следующими операциями:
*) Таким образом, слово «алгебра» имеет два смысла: алгебра
как раздел математики и алгебра как математический объект с оп-
определенными свойствами.
48
1) операцией умножения на действительные числа,
выполняемой по формуле:
k {ах1{ + a2i2 + ... + anin) = ka{i{ + ka2i2 + ... + kanin\ C)
2) операцией сложения:
(a1iI + a2*2+ ... +anin) + (blil + b2i2+ ... + bnin) —
= (al + bl)il + (a2 + b2)i2 + ... + {an + bn)ln; D)
3) операцией умножения, задаваемой таблицей вида
*a*p = Pap, 1*1 "f" Pap, 2*2 "Ь • • • H~ Pap, /Ai» E)
где a, p — любые номера от 1 до п (таблица используется
для нахождения произведений
в точности так же, как в случае гиперкомплексной си-
системы) .
Из данного выше определения алгебры видно, что
алгебра размерности п полностью определяется своей
«таблицей умножения» E), т. е. некоторым набором /г3
чисел Pap,v В принципе эти числа не подчинены ника-
никаким условиям; любой набор их задает некоторую ал-
алгебру.
3°. Гиперкомплексная система — частный случай
алгебры. Хотя для большей ясности изложения мы «из-
«извлекли» понятие алгебры из понятия гиперкомплексной
системы, следует отчетливо уяснить, что понятие ал-
алгебры — более широкое; иначе говоря, что любая ги-
перкомплексная система может рассматриваться как ал-
алгебра той же размерности. Разъясним это подробнее.
Пусть дана алгебра *я?, состоящая из элементов
+ a2i2 + ... + anin
с таблицей умножения
Мр === Pap, 1^1 ~Ь Рар,2^2 ~Ь • • • ~Ь Рар, гХп
(а, р — любые номера от 1 до п),
причем единица i\ обладает особым свойством:
Ma= 'а и Ml = *a Для всех а ОТ 1 ДО П. F)
Рассмотрим наряду с ней гиперкомплексную систему,
состоящую из элементов
^1 + ^2*2+ ... +anin
49
с таблицей умножения
*а*р = Рар, 1 "Ь Ра$, 2*2 "Г • • • "Т Ра$*п*п
(а, р — любые номера от 2 до п);
эту гиперкомплексную систему будем рассматривать
как соответствующую алгебре $$-.
Пользуясь таблицей умножения, можно найти про-
произведение любых двух элементов данной алгебры:
a2i2 + ... + anin) {bxix + b2i2 + ... + bnin) =
+ c2i2 + ... + cnin
Если теперь в написанном равенстве «убрать» 1Ь то по-
получится соотношение
(ах + а2*2 + ... + anin) (&i + b2i2 + - -. + bnin) =
cnin9
которое ввиду F) будет выражать закон умножения в
соответствующей гиперкомплексной системе.
Таким образом, любая алгебра с условием F) «вы-
«вычеркиванием» символа i\ из записи всех элементов пре-
превращается в гиперкомплексную систему той же размер-
размерности.
Более того, поскольку числа ра^у для а > 1, р > 1
в предыдущем рассуждении произвольны, то указанным
путем может быть получена любая гиперкомплексная
система.
Для иллюстрации рассмотрим пример. Пусть за-
задана двумерная алгебра зФ с такой таблицей умноже-
умножения:
Равенства F) здесь, очевидно, выполняются. Закон ум-
умножения в si- выглядит следующим образом:
(axix + a2i2) (Vt + Ь2г2) = (я А — a2b2) ц +
Если «вычеркнуть» iu то таблица умножения превра-
превратится в'
а закон умножения примет вид
(а{ + a2i2) (Ьх + b2i2) = {а{Ьх — a2b2) + (a{b2 + афх) i2,
60
откуда сразу же становится ясным, что рассматривае-
рассматриваемая алгебра совпадает, по существу, с системой ком-
комплексных чисел.
4°. Коммутативные, ассоциативные алгебры, алгебры
с делением. В § 5 мы ввели ряд терминов для обозначе-
обозначения некоторых свойств гиперкомплексных систем. Эта
терминология без всяких изменений переносится на ал-
алгебры. А именно, если для любых двух элементов а
и Ь алгебры $Ф справедливо равенство
db = 6а,
то алгебра называется коммутативной; если для любых
трех элементов а, 6 и с справедливо равенство
(ab) c = a (be),
то алгебра называется ассоциативной*). Далее, если
каждое из уравнений
ах = 6 G)
и
уа = 6, (8)
где а и Ь — произвольные элементы алгебры бФ, причем
а Ф 0, имеет единственное решение, то говорят, что s&
есть алгебра с делением; элемент х, определяемый из
уравнения G), называется в этом случае левым част-
частным, а элемент у, определяемый из (8), —правым част-
частным от деления 6 на а.
Нетрудно видеть, что в алгебрах с делением спра-
справедливо такое свойство: если произведение ab равно
нулю, то хотя бы один из сомножителей а или Ь равен
нулю.
Действительно, если а Ф 0, то 6 = 0, ибо единствен-
единственным решением уравнения ах = 0 является х = 0.
Позднее мы докажем (см. § 9), что справедливо и
обратное предложение:
если алгебра s& обладает тем свойством, что из ра-
равенства нулю произведения ab следует равенство нулю
хотя бы одного из сомножителей а или 6, то s& есть
алгебра с делением.
*) На первоначальном этапе развития теории алгебр условие ас-
ассоциативности представлялось настолько естественным, что его
включали в определение алгебры; под термином «алгебра» пони-
понималась «ассоциативная алгебра».
Если в алгебре si существует такой элемент е, что
ае = а и еа = а
для любого aei, то этот элемент называется едини-
единицей алгебры $Ф\ в этом случае также говорят, что st>
есть алгебра с единицей. Любая гиперкомплексная си-
система является, как уже отмечалось, алгеброй с еди-
единицей.
Простейшим примером алгебры с единицей является
одномерная алгебра .с таблицей умножения
Mi = *i«
Закон умножения в этой алгебре имеет вид
т. е. сводится к умножению действительных чисел.
В соответствии с этим указанную алгебру будем назы-
называть алгеброй действительных чисел.
5°. Примеры. Рассмотрим некоторые примеры алгебр,
не являющихся гиперкомплексными системами.
Пример 1. Нулевая алгебра произвольной размер-
размерности п. Таблица умножения в этой алгебре имеет пре-
предельно простой вид:
Мз = 0 (Для всех номеров а, р от 1 до п).
Отсюда сразу следует, что произведение любых двух
элементов также равно нулю.
Пример 2. Рассмотрим двумерную алгебру с таб-
таблицей умножения
¦ ¦ ¦
• ¦ ¦
t\t2 = 12,
Тогда закон умножения будет
+ a2i2) (&!*! + b2i2) = (a161 + a2b2) i, + {axb2 — a2bx) i2.
Хотя в этой алгебре умножение напоминает умно-
умножение комплексных чисел, однако она не совпадает с
алгеброй комплексных чисел. Предлагаем читателю про-
проверить самостоятельно, что в этой алгебре нет единицы
(тем. самым она не может" являться гиперкомплексной
системой). Более сложным упражнением является про-
52
верка того интересного "факта, что рассматриваемая ал-
алгебра есть алгебра с делением.
Пример 3. Алгебра трехмерных векторов с опе-
операцией векторного произведения. Эта алгебра состоит
из элементов вида
Ы + cj + dkt
перемножаемых в соответствии с таблицей
k ~~-~~ 1>у 3 ~~~- """"" '
Таким образом,
(Ы + cj + dk) (b'i + c'j + d'k) =
= (cdf - do') i + {db' - bd') j + (be' - cb') k. (9)
Если ввести в обычном пространстве прямоугольную систему
координат и под i, /, k понимать векторы длины 1, имеющие на-
направления координатных осей (рис. 9),
то выражение
q = Ы -f cj + dk
будет представлять собой (при
обычном геометрическом понимании
суммы векторов и произведения век-
вектора на число) некоторый вектор
в пространстве. Операция (9) носит
название векторного произведения
(ее геометрический смысл см. в § 4);
она играет .важную роль в геомет-
геометрии и физике.
6°. Важный пример: алгеб-
алгебра квадратных матриц п-го
порядка. Размерность этой алгебры равна д2. Соот-
Соответствующие мнимые единицы можно было бы обозна-
обозначить 1и *2, ..., inS но более удобным является другой
принцип нумерации: вместо номера а, пробегающего
значения от 1 до п2, удобнее пользоваться «номером»,
состоящим из двух чисел а, р, каждое из которых про-
пробегает значения от 1 до п (очевидно, число различных
пар а, р будет в точности п2). Таким образом, для мни-
мнимых единиц мы вводим обозначение ia$. Порядок следо-
следования мнимых единиц можно установить как угодно;
53
Рис. 9.
для определенности будем располагать их в такой по
следовательности:
Итак, элементами нашей алгебры являются выра
жения следующего вида:
А — *1 I * I
-™ = #ц'п "Т 2*12 "Г ••• Т ^lrt^ln "Г
vnn'
A0)
В такой записи становится особенно ясным тот факг,
что произвольный элемент А нашей алгебры опреде-
определяется таблицей
Ь* 1 1 ^* 19 • • • 1«]«) 1
а
пп
\ ап\ ап2 - •
состоящей из п2 чисел. Такие таблицы носят название
матриц, точнее, квадратных матриц порядка п (поряд-
(порядком называется число строк или столбцов в квадратной
таблице). В дальнейшем вместо A0) мы позволим себе
писать кратко:
аи а12 ... а]п \
А =
\ &
а
пп
и считать, что элементы нашей алгебры суть матрицы.
Определим теперь таблицу умножения единиц i
в ней и заключено все своеобразие алгебры матриц.
Положим
или короче,
= |"ар (а» Р> Я —любые номера от 1 до я);
все остальные произведения мнимых единиц по опреде-
определению равны нулю. Этим таблица умножения задана
полностью.
54
Впрочем, можно записать всю таблицу умножения
в более сжатой форме:
где символ 6^jx, по определению, равен 1, когда X = jx,
и равен 0, когда X ^ |х.
Посмотрим теперь, как запишется произведение лю-
любых двух элементов А и В нашей алгебры, т. е. вычис-
вычислим
~Г
\~h #/г1*/гГ+ . . . + Ctnninn / \~h
В результате должен получиться некоторый элемент С
Сц'п + ?Г12112 + • • • + ^l/t'lrt + \
4" ^21'21 ~Ь ^22^22 Л" • • • ~Ь ^2/г*2« "t"
\ l ?/г!*/г! i ?/г2*/г2 i • • • ™t"
Рассмотрим произвольное слагаемое ca$ia$ в составе С.
Как показывает'таблица умножения (И), это слагае-
слагаемое возникает только от умножения
на
следовательно, оно равняется
Итак,
H" #
Запомнить эту формулу совсем нетрудно
взять а-ю строку матрицы А:
« (З-tf столбец матрицы В:
нужно
Б5
затем каждое число строки умножить на соответствую-
соответствующее число столбца и все такие произведения сложить]
в итоге получится число са$ из матрицы С.
Правило, которое м>1 сейчас установили, позволяет
для любых двух матриц А и В построить третью мат-
матрицу С; естественно называть ее произведением матриц
А и В. Таким образом, чтобы перемножить элементы А
и В нашей алгебры, нужно найти произведение соот-
соответствующих матриц А и В.
В качестве примера найдем произведение матриц
/1 2\
Л = C 4) и В-
Имеем
-3) 1 • (-4) +2-3
—3) 3 • (—4) +4-3
Возникающее таким путем умножение матриц играет
в математике чрезвычайно важную роль. Рамки на-
настоящей книжки не позволяют нам заняться более под-
подробным изучением этой операции. Ограничимся" только
установлением одного важного свойства умножения мат-
матриц: покажем, что умножение матриц ассоциативно или,
по-другому, — алгебра матриц является ассоциативной
алгеброй.
Для доказательства достаточно проверить, что ра-
равенство (АВ)С = А (ВС) справедливо, когда в качестве
А9 В и С берутся любые три «мнимые единицы» алгебры
матриц (см. аналогичное рассуждение при доказатель-
доказательстве ассоциативности умножения кватернионов в § 3).
Иначе говоря, нужно проверить, что
Но левая часть согласно A2) равна (bKllia^)ivy или, снова
в силу A2), равна б^й^ау* Аналогично находится пра-
правая часть: она равна *<дFр^цу) или ^p-Atn'oy ^ обоих
случаях получается один и тот же результат.
7°. Характеристические свойства умножения в про-
произвольной алгебре *). Из определения алгебры непо-
непосредственно вытекают такие свойства операции
*) .Содержание этого пункта носит вспомогательный харак
тер и понадобится нам только в §§ 16 и 18.
56
умножения:
2) ka-b = k (аб), a kb = k (аб).
Эти свойства являются в некотором смысле определяю*
щими для операции умножения. Точнее, имеет место
следующее предложение.
Пусть в множестве $& всех выражений вида
+ a2i2 + ... + ani
nin
введены: операция C) умножения на числа, операция
D) сложения, а также некоторая операция*) а°&,
обладающая указанными выше свойствами 1) и 2):
Тогда множество s& есть алгебра, в которой роль опе-
операции умножения играет а о 6.
Чтобы доказать это предложение, мы должны про-
проверить, что операция а о Ь есть умножение в том смысле,
как об этом говорится в определении-алгебры.
Рассмотрим выражение ia°h- Это — некоторый эле-
элемент множества s4>, т. е.
Из свойств 1) и 2) следует, что
i + ••• +bnin)=L
=1= 2 [(aJa) о (typ)l JL 2 aab^ {ia о if)
а, р a, C
(в равенстве; помеченном !, мы воспользовались свой-
свойством 1), в равенстве !! использовали 2)); после этого
для вычисления ас 6 остается только вместо ia°i& под-
подставить соответствующий элемент A3), умножить число
aab$ на этот элемент, затем привести подобные члены.
Но это —в точности та самая процедура, с помощью
которой определяется умножение элементов в произ-
произвольной алгебре
*) В этом месте слова '«задана некоторая операция» означают
только тот факт, что каждым двум элементам а и Ь ставится в со-
соответствие третий элемент, обозначаемый а © Ь.
Глава 2
л-МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Обратимся еще раз к определению алгебры раз-
размерности п. В этом определении наиболее сложным мо-
моментом является, бесспорно, наличие операции умно-
умножения. Останется ли хоть что-нибудь, если отвлечься
от этого свойства? Легко видеть, что останется, хотя и
не очень много: останется совокупность элементов, од-
однозначно представимых в виде
arf I y*v ^ I 1 /v 3
1 ш 1 M I ' //л! л ¦ * ¦ —fr™ fW Ж
с естественным правилом сложения элементов друг с
другом
f ... + anln) + (bxix + b2i2 + ... +bnin) =
и со столь же естественным правилом умножения эле-
элемента на действительное число:
k (alil + #2*2 + • • • + anin) = kalil + ka2i2 + ... + kanin.
Можно ли, базируясь только на этом материале,
развить сколько-нибудь содержательную теорию? Ока-
Оказывается, что можно. Больше того, существует целый
раздел математики, в основе которого лежат только
указанные выше операции. Этот раздел называется ли-
линейной алгеброй; он весьма богат содержанием и ис-
используется часто как в самой математике, так и в ее
многочисленных приложениях. В этой главе мы озна-
ознакомим читателя с некоторыми сведениями из линейной
алгебры. Они составят ту основу, на которой будет про-
продолжено изучение теории алгебр в гл. 3.
58
§ 8. л-мерное векторное пространство Ап
1°. Основные определения. Определение 1. На-
Назовем п-мерным вектором объект вида
^1*1+«2*2 + .-• +«Л» (О
где аи а2, >.., ап—произвольные действительные числа, а
it i
*1 > *2> • • • > */г
— просто п различных символов, которым не приписы-
приписывается никакого специального смысла.
Поясним, почему выражение A) названо «векто-
«вектором». Дело в том, что при п = 2 получается выражение
вида
a{ix + а2гъ B)
и если истолковывать iu Ч как два фиксированных век-
вектора на обычной плоскости, то написанному выше вы-
выражению тоже будет соответство-
соответствовать некоторый вектор на плоско-
плоскости*) (рис. 10); больше того, если
векторы iu *2 не лежат на одной
прямой, то в таком виде может
быть записан — и притом однознач-
однозначно— любой вектор на плоскости.
Определение 2. Два п-мер
ных вектора
а ?
г г
i
и
axtx
b{ix
считаются
^2^2 + • •
¦ ^2**2 + • •
равными
ах = ЬХ,
anin
bnin
тогда и только
"/I
Мотивом к такому определению служит уже упо-
упомянутый выше факт, а именно: однозначность представ-
представления любого вектора на плоскости в форме B), если
«базисные» векторы iu h выбраны не лежащими на од-
одной прямой.
*) Мы исходим из обычного геометрического понимания сум-
суммы векторов и произведения вектора -на число. Напомним, что сум-
сумма векторов определяется по «правилу параллелограмма», а умно-
умножение вектора на число k — это растяжение его в |?| раз с по-
последующим изменением направления на противоположное, если
k<0.
59
Определение 3. Сложение n-мерных векторов
производится по правилу
anin
а умножение я-мерного вектора на действительное чис-
число— по правилу
k {ахц + а2*2 + ... + anin) = kaxix + kafc + ... + kanin.
И это определение, разумеется, навеяно аналогией
с геометрическими векторами.
Для сокращенного обозначения я-мерных векторов
мы будем пользоваться полужирными латинскими бук-
буквами: а, 6, с и т. д. Равенство векторов а и Ь записы-
записывается обычным образом:
Легко видеть, что определенное выше сложение век
торов обладает свойствами
а + Ъ = Ъ + о> (коммутативность),
(а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативность),
а для умножения вектора на число справедливы сле-
следующие соотношения:
k(la) = (kl)a,
la.
Совокупность всех я-мерных векторов будем назы
вать п-мерным векторным, пространством и обозна
чать Ап.
Вектор вида
Oil + 0i2 + ... + Ып
называется нулевым вектором и обозначается 0. Оче
видно,
и
для любого вектора а. В дальнейшем нулевой вектор
мы будем называть просто нулем.
2°. Понятие линейной зависимости. Обычно при изу-
изучении какого-либо вопроса приходится иметь дело/ не
60
с одним отдельным вектором, а с целой системой п-мер-
ных векторов. В этом случае их обозначают, как пра-
правило, одной и той же буквой (скажем, а) с различными
номерами.
Пример.
а{ = — 5f, + 3*2 + 5i3 + 3i4'
О2=- ii+ *2 + 4*3 + 3*4, C)
а3= ix + 0*2 + 3f3 — 2i4
¦—система трех 4-мерных векторов.
Пусть
О\9 &2> • • • > От
— какая-либо система n-мерных векторов. Возьмем про-
произвольные числа
и составим вектор
а = kxax + k2a2 + ... + kmam.
Любой вектор а такого вида называется линейной ком-
комбинацией данных векторов аи а2, ..., ат, а числа
ku k2, ..., km — коэффициентами этой линейной комби-
комбинации.
Пример. Найти линейную комбинацию
векторов пи U2, &ъ из приведенной выше системы C).
Складывая векторы
ах = — 5*, + 3*2 + 5*з + 3*4,
= 2*,+ 0*2+ 6*з — 4*
получаем
а{ — За2 + 2а3 = 0*, + 0*2 — 1*3 —
Если вектор а является линейной комбинацией век-
векторов аи а2у ..., ат, то говорят, что
«а линейно выражается через аи а2, ..., ат»9
«а. разлагается по аи а2у ..., ат».
Мы будем чаще всего пользоваться последним из ука-
указанных выражений.
61
Введем еще одно важное определение.
Определение 4. Система векторов
ах, а2, ..., ар D)
называется линейно зависимой, если некоторая линей-
линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:
причем хотя бы один из коэффициентов sb s2, • • •» sp
отличен от нуля. В противном случае (т. е. если не су-
существует линейной комбинации такого рода) система
D) называется линейно независимой.
Из определения непосредственно вытекает, что си-
система, состоящая из одного вектора, линейно зависима
только в том случае, когда этот вектор — нулевой (дей-
(действительно, из Si^ = 0 и S\ Ф О следует ах = 0).
В случае системы из двух векторов линейная зави-
зависимость означает, что найдутся числа sx и s2, из кото-
которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что
s{a{ + s2a2 = 0.
Пусть, например, 5! Ф 0. Тогда из написанного равен-
равенства следует
(где& = —*—J. Два вектора, связанные такой зави-
зависимостью, называются пропорциональными.
Пусть теперь дана линейно зависимая система из
любого числа р векторов. Предположим, для определен-
определенности, что в равенстве E) отличен от нуля коэффи-
коэффициент S\. Тогда из этого равенства следует
а{ = k2a2 + k3a3 + •.. + kpapt
т. е. вектор ах линейно выражается через остальные
векторы системы.
Это рассуждение показывает, что линейно зависимая
система либо состоит из одного вектора (и тогда это 0),
либо один из векторов системы линейно выражается
через остальные векторы.
3°. Другое определение линейной зависимости. В даль-
дальнейшем нам будет удобнее пользоваться другой форму-
формулировкой понятия линейной зависимости: система D)
линейно зависима, если какой-либо из ее векторов
62
можно выразить линейно через предшествующие ему
векторы системы или же если ах = 0.
Покажем, что эта формулировка эквивалентна ис-
исходной.
В самом деле, если ах = 0, то система линейно за-
зависима, ибо в этом случае линейная комбинация
1 -их + 0а2 + ... + 0ар равна нулю, причем первый ко-
коэффициент отличен от нуля. Если один из векторов си-
системы линейно выражается через предшествующие,
то в этом случае система также линейно зависима: ли-
линейная комбинация &i#i + ... +&i-i#i-i — l#i +
-f- 0ai+x + ... +0ap равна нулю, причем коэффициент
при п\ отличен от нуля.
Обратно, пусть система линейно зависима, т.е. имеет
место E), причем хотя бы один из коэффициентов
su s2, • • •» sp He равен нулю. Рассмотрим последний из
отличных от нуля коэффициентов. Если это su то
Sidi = 0, следовательно, ах = 0. Если же указанный ко-
коэффициент есть su i> 1, то, прибавляя к обеим частям
равенства вектор —5гаг- и умножая обе части на —-—,
получим равенство вида
т. е. придем к разложению вектора аг по предшествую-
предшествующим ему векторам системы.
4°. Первоначальный базис. Вектор
Hi + 0i2+ ... +0in
естественно обозначать коротко через' i\. Таким обра-
образом, символ i'i, которому ранее не придавалось ника-
никакого специального смысла,* теперь отождествляется с
одним из векторов. Аналогично вектор
отождествляем с н и т. д., наконец, вектор
... +Un
отождествляем с in.
Определенные таким путем векторы
63
обладают тем свойством, что по ним можно разложить
любой вектор из Ап. Действительно, рассмотрим произ-
произвольный вектор fl?An. Он имеет вид формальной
суммы
+ a2i2 + .... + anin. F)
Исходя из данных выше определений 2 и 3, можем за-
записать
+ «2@*! + »2 + - • - +
откуда видно, что вектор а есть линейная комбинация
векторов ii, *2, . • •, *п с коэффициентами аи #2» ...» #п.
Таким образом, формальную сумму (В) теперь можно
рассматривать как настоящую линейную комбинацию.
Векторы i\9 «2, -.., in образуют так называемый ба-
базис пространства Ап. Точный смысл этого слова будет
определен в следующем параграфе. Пока же, забегая
вперед, заметим, что базисов существует бесконечное
множество, и среди них базис *ь i2t ..., in ничем осо-
особенным не выделяется,
§ 9. Базис пространства Ап
Iе Определение базиса. 'Базис пространства Ап — это
система из конечного числа векторов
#i> ^2, ..., Лр, A)
обладающая двумя свойствами:
1) любой вектор аеАл допускает разложение по
ним:
и = k{ax + k2a2+ ... + kpap; B)
2) это разложение единственно; иначе говоря, если
наряду, с B) имеет место еще одно разложение век-
вектора а:
а = 1хах + 12а2 + • - • + 1рпр>
то
Докажем одно свойство базиса: векторы, составляю-
составляющие базис, линейно независимы.
64
В самом деле, допустим, что векторы A) линейно
зависимы. По определению, это означает, что некоторая
линейная комбинация этих векторов равна нулю:
I I I Л /О\
причем среди чисел sb s2, ..., sp хотя бы одно отлично
от нуля. Складывая равенства B) и C), получим
s2)a2+
^р»
т. е. другое разложение а по векторам A). Но это про-
противоречит определению базиса.
2°. Способ получения других базисов. Примером ба-
базиса может служить система
т>
составленная из первоначальных базисных векторов;
условия 1) и 2) для нее, очевидно, выполняются. Но
это—отнюдь не единственный базис пространства Ап.
Например, из любого базиса можно получить много дру*
гих с помощью следующих действий:
1. Умножение любого вектора базиса на число, от-
отличное от нуля.
Так, умножая первый из векторов A) на произвол^
ное число k Ф О, получим новую систему
kau а2, ..., ару (Г)
которая, очевидно, тоже является базисом.
2. Прибавление к одному из базисных векторов дру-
другого базисного вектора.
Например, если к ах прибавить а2, то получим новую
систему
ах + а2» «2» • • •» #р>
которая тоже является базисом. Действительно, пусть
а — произвольный вектор. Тогда имеет место равенство
(B), из которого следует, что
— k{) а2 + k3a3 + ... + kpap,
т. е. что вектор а разлагается по векторам (I"). Далее,
из единственности разложения а по базису A) легко вы-
вытекает единственность разложения по A"). Значит, A")
есть тоже базис пространства Ап.
3 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников 65
Возникает естественный вопрос: как найги все без исключе-
исключения базисы пространства Ап? Ответ можно было бы мыслить в
виде процедуры, позволяющей из какого-либо одного базиса полу-
получать все остальные. В определенном смысле такой ответ содер-
содержится в следующем предложении, в котором под «элементар-
«элементарными преобразованиями» понимаются определенные выше дей-
действия 1 и 2.
От любого базиса к любому другому можно перейти с по-
помощью конечного числа элементарных преобразований.
В частности, если за исходный базис принять базис, составлен-
составленный из первоначальных базисных векторов i\t i2 .. , in, и подвер-
подвергать его всевозможным элементарным преобразованиям (в любом
количестве), то получим все без исключения базисы простран-
пространства Ап.
Доказательство сформулированного выше предложения мы не
приводим (хотя оно и несложно). Впрочем, для нас представляет
интерес не столько само Это предложение, сколько одно следствие
из него, а именно:
Любой базис пространства Ап состоит из п векторов.
Действительно, в первоначальном базисе tu *2, .. • > *« число
векторов равно п; но тогда из сказанного выше следует, что и в
любом другом базисе число векторов также равно п.
Ниже будет дано независимое доказательство этого предло-
предложения.
3°. Число базисных векторов. Нашей ближайшей
целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема 1. Любой базис пространства Ап состоит
из п векторов.
Поскольку первоначальный базис iu i2, ..., in со-
состоит из п векторов, то для нашей цели достаточно по-
показать, что любые два базиса состоят из одного и того
же числа векторов.
Доказательству этого факта предпошлем одно заме-
замечание.
Замечание. Пусть система векторов
такова, что любой вектор а разлагается по ней, — усло-
условимся называть такую систему полной. Присоединив к
полной системе в качестве первого вектора какой-либо
вектор Ь Ф 0, получим новую систему
0,
которая будет линейно зависимой (так как в силу пол-
полноты имеет место равенство вида Ь — kxa\ — /?2«2 —
... — kpap = 0). Согласно 3° § 8 в этой системе най-
найдется вектор аи который допускает разложение по од-
одним только предшествующим ему, — условно назовем
66
такой вектор аг «лишним». Вычеркнув «лишний» вектор,
получим систему снова из р векторов. Покажем, что
эта система, подобно первоначальной системе, будет
полной.
Это почти очевидно. Ведь любой вектор а разла-
разлагается по пу9 а2, ..., av\ если в этом разложении заме-
заменить «лишний» вектор at его разложением по 6,
аи а2у ..., a*_i, то придем к разложению вектора а по
указанной выше системе из р векторов. Последняя, та-
таким образом, является полной.
Доказательство теоремы теперь проводится в не-
немногих словах. Пусть
а,, а2, • • •> вр
и
6,, 62» • • •» Ья E)
¦—два различных базиса пространства А„. Наша цель —
показать, что р = q.
Допустим, что р ф q. Для определенности будем
считать р < q. Присоединим к системе D) в качестве
первого вектора Ьх и полученную таким образом систему
освободим от «лишнего» вектора. Мы придем к новой
системе
которая, по доказанному выше, будет полной. Обозна-
Обозначим ее D/).
Присоединим к системе D') в качестве первого век-
вектора Ь2 и полученную таким образом систему освободим
от «лишнего» вектора. Мы придем к системе
р-2
которая снова является полной, и т. д.
Заметим, что в роли «лишнего» вектора не может
оказаться ни один из присоединяемых векторов
Ь\> &2, ••-, ибо эти векторы по условию таковы, что ни
один из них не разлагается по остальным (ведь E) —
базис). Таким образом, на каждом шаге вычеркивается
один из векторов аи а2, ..., av.
После р шагов все векторы аи a2i ..., ар окажутся
вычеркнутыми, и мы придем к системе
3* 67
которая должна быть полной. Но это невозможно, так
как, например, вектор bp+i по этой системе не разла-
разлагается.
Итак, предположив, что q > р, мы пришли к проти-
противоречию. Теорема доказана.
4°. Число векторов, составляющих линейно незави-
независимую систему. По доказанному ранее, векторы, обра-
образующие любой базис, должны быть линейно независимы,
В качестве тривиального следствия отсюда получаем,
что в пространстве Ап существуют линейно независи-
независимые системы, содержащие п векторов. Но тогда есте-
естественно поставить вопрос: можно ли в пространстве Ап
построить линейно независимую систему из большего,
чем п, числа векторов? Покажем, что этого сделать
нельзя.
Теорема 2. Пусть в пространстве Ап дана линейно
независимая система векторов
Тогда р ^ п. Если р = п, то данная система есть базис
пространства Ап.
Доказательство. Обозначим для краткости
данную систему через S. Мы будем строить базис про-
пространства Ап, присоединяя к системе S векторы из ка-
какого-либо базиса
Рассмотрим вектор ег. Если он разлагается по си-
системе S, то оставим его без внимания; если же не раз-
разлагается, то добавим его к системе S (в качестве по-
следнего вектора). В обоих случаях полученную си-
систему обозначим S' (она либо совпадает с S, либо
получается добавлением к ней вектора ё{).
Затем переходим к вектору е2. Если он разлагается
по системе S', то оставляем его без внимания; если не
разлагается, то добавляем его к S'. В обоих случаях
полученную систему обозначаем S" (она либо совпадает
с S', либо получается добавлением к ней вектора е2).
Продолжаем так и далее. Перебрав таким образом все
векторы еи е2, ..., еп, получим систему S<4 Она обла-*
дает следующими свойствами:
I. Любой вектор аеАп разлагается по ней. Дей-
Действительно, вектор а разлагается по еи е2, ..., ent a
каждый из этих векторов, в свою очередь, разлагается
68
по векторам системы S(n\ как следует из самого спо-
способа построения этой системы.
2. Ни один из векторов системы S(?2) не разлагается
по предыдущим—(это опять-таки следует из способа по-
построения S(")). Это означает, что система S<n> линейно
независима.
3. Разложение любого вектора а по системе SW
единственно. В самом деле, если бы существовали два
различных разложения для а, "то, вычитая из одного
другое, мы получили бы линейную зависимость между
векторами системы S(n\
Свойства 1 и 3 позволяют сделать заключение, что
система S^ есть базис пространства Ап. По теореме 1
число векторов 6 этой системе равно п. Поскольку си-
система S<n) содержит исходные векторы аи а2у ..., ар,
то р ^ п\ в случае р = п исходные векторы сами обра-
образуют базис. Теорема доказана.
5°. Одно следствие из теоремы 2, относящееся к
алгебрам. В § 7 мы обещали доказать такое предложе-
предложение: если алгебра s& обладает тем свойством, что из
равенства нулю произведения ab следует равенство
нулю хотя бы одного из сомножителей а или 6, то s&
есть алгебра с делением. В тот момент мы не распола-
располагали необходимыми средствами, чтобы доказать это
предложение. Докажем его теперь.
Пусть требуется решить уравнение
ах = 6, F)
где а Ф 0. Выберем в векторном пространстве s& какой-
нибудь базис
Умножая базисные векторы слева на а, получим дру-
другие п векторов
G)
Покажем, что они снова образуют базис.
Согласно теореме 2, достаточно показать, что век-
векторы G) линейно независимы. Допустим, что это не так.
Тогда существуют числа ku k2i ..., kn, не равные одно-
одновременно нулю и такие, что
69
Отсюда
a {klel + k2e2 + ... + knen) = 0.
Так как по предположению из равенства нулю произве-
произведения двух элементов следует равенство нулю одного
из сомножителей и так как в нашем случае а Ф 0, то
kxex + k2e2 + ... + knen = 0,
что противоречит линейной независимости векторов
еи е% • ••» ?«•
Таким образом, векторы G) образуют базис. Раз-
Разлагая по ним вектор 6, можем записать
Ь = s{ae{ + s2ae2 + - -. + snaen
или
b = a (slel + s2e2 + ... + saen).
Отсюда видно, что элемент
+ + ... + snen
является решением уравнения F). Это решение един-
единственно: если х' — другое решение, то вычитая из ра-
равенства ах = Ь равенство ах' = 6, получим
а (х — х') = 0,
откуда следует х — х' = 0, т. е. х = х'.
Аналогично доказывается существование и единст-
единственность решения уравнения
\ ха = Ь.
6°. Координаты вектора в данном базисе. Последний
вопрос, которого мы хотим коснуться в этом парагра-
параграфе,— это вопрос о координатах вектора в данном ба-
базисе пространства Ап.
Пусть
..., ап
какой-нибудь базис пространства Ап и
р =
— разложение произвольного вектора реАп по этому
базису. Тогда числа ku k2, ..., кп называются коорди-
координатами вектора р в данном базисе.
70
Равенство
(Л, + /j) at + ... +{kn+ln)unf
вытекающее из свойств сложения векторов и умноже-
умножения вектора на число, показывает, что при сложении
векторов складываются их соответствующие координаты
(первая — с первой, вторая — со второй и т. д.). Ана-
Аналогично, равенство
k {kxax + k2a2 + ... + knan) = kkxax + &&2a2 + • • • + **«a
показывает, что при умножении вектора р на число k
все его координаты умножаются на. это число. Таким
образом, в произвольном базисе аи а2, ..., ап правила
сложения векторов и умножения вектора на число
остаются теми же, что и в первоначальном базисе
h> Н> • • •, К-
§ 10. Подпространства
Остановимся коротко на вопросе о подпространствах
пространства Ап. Так называются множества векторов,
обладающие некоторыми специфическими свойствами;
благодаря этим свойствам каждое из таких множеств
можно рассматривать как самостоятельное пространство
Ар, где р < /г.
1°. Определение подпространства. Пусть Р — некото-
некоторое множество векторов из А„. Условимся называть это
множество подпространством пространства Ап, если оно
обладает следующими свойствами:
1) из оеР и^еР следует а + б^Р;
2) из йеР следует ka е Р, где k — любое действи-
действительное число.
Иначе говоря, подпространство — это такое множе-
множество векторов, которое вместе с любыми своими векто-
векторами а, 6, с, ... содержит и все их линейные комбинации
ka ¦+- /6 ¦+- sc 4- ...
Тривиальным примером подпространства является
множество, состоящее из одного лишь нулевого вектора.
Это — так называемое нулевое подпространство.
Другой тривиальный пример — все пространство Ап.
Однако, кроме этих двух крайних случаев, могут быть
и другие подпространства. В следующем пункте мы
71
укажем, как устроено любое подпространство простран-
пространства Ап.
2°. Подпространство как самостоятельное векторное
пространство. Предположим, что подпространство Р —
ненулевое. Покажем, что тогда в Р можно выбрать си-
систему векторов, аналогичную базису.
Возьмем какой-нибудь вектор ах ge Р, отличный от
нуля. Если все векторы из Р разлагаются по аи то на
этом остановимся. Если же в Р имеются векторы, не
разлагающиеся по аи то выберем один из них а2 и при-
присоединим его к а\. Если все векторы из Р разлагается
по а\, а2, то на этом остановимся. Если же в Р имеются
векторы, не разложимые по аи а2, то выберем один из
них а3 и присоединим его к аи а-2 и т. д. Продолжая
этот процесс, мы будем последовательно строить векторы
п\, а2, в>з> • • • 1
причем ни один из них не будет разлагаться по пред-
предшествующим; таким образом, на каждом шаге будет
получаться линейно независимая система векторов.
В силу теоремы 2 предыдущего параграфа этот процесс
закончится не позднее чем после п шагов. Мы получим
тогда линейно независимую систему векторов
а19 аъ ..., ар (р<«), A)
принадлежащих подпространству Р и таких, что:
1) любой вектор из Р допускает разложение по ним;
2) это разложение единственно. В самом деле, если
бы существовали два различных разложения для век*
тора а, то, вычитая их друг из друга, мы получили бы,
что некоторая линейная комбинация S\ai + s2a2 + .. •
... + svav равна нулю, причем хотя бы один из коэф-«
фициентов su s2, ..., sp отличен от нуля; это означало
бы линейную зависимость системы A).
Итак, рассматриваемое нами подпространство Р со-
состоит из всевозможных векторов вида
kxa{ + k2a2 + ... + kpap9
причем представление любого вектора пееР в таком
виде единственно. Это позволяет нам рассматривать
подпространство Р как самостоятельное р-мерное век-
векторное пространство Ар с первоначальными базисными
векторами аи а2, ..., ар. Естественно, что в этом про-
пространстве справедливы доказанные ранее теоремы, в
72
частности: любой базис в нем состоит из р векторов.
Число р называкгг размерностью подпространства Р.
Оно, как мы видели, не превосходит /г; в случае, когда
оно равняется /г, система A) будет базисом всего про*
странства Ап (см. снова теорему 2 предыдущего пара*
графа) и, следовательно, Р совпадает с Ап.
Рис. и.
Рис. 12.
Из сказанного выше вытекает одно очевидное след-»
ствие, которое мы хотим подчеркнуть особо: любое под*
пространство Р совпадает с множеством всех линейных
комбинаций некоторых р век-
векторов аи а2$ ..., ар.
3°. Примеры. Проиллюстри-
Проиллюстрируем понятие подпространства
в случае трехмерного вектор-
векторного пространства Аз.
Пусть Р — ненулевое под-,
пространство в Аз. Базис Р со-
состоит не более чем из трех
векторов, т. е. имеет один из
видов:
¦ ах\ аи а2; аи аъ а3.
Рис. '3.
•В первом случае Р состоит
из всех векторов вида kau т. е. из всех векторов, пропори
циональных ах (рис. 11). Во втором случае Р есть множе-
множество всех векторов вида кхах + k2a2, следовательно, Р
состоит из всех векторов, лежащих в той же плоскости,
что и ai, 02 (рис. 12). В третьем случае Р есть множество
всех векторов вида ?i<*i + k2a2 + &3Яз, т. е. всех вообще
векторов пространства А3 (рис. 13).
73
§11. Лемма об однородной системе уравнений
Цель этого параграфа чисто вспомогательная. Мы
отвлечемся на короткое время от векторов и обратимся
к предмету, казалось бы, не .имеющему к ним прямого
отношения: к системам линейных уравнений. Собственно
речь будет идти только об однородных уравнениях,
а еще точнее — об одной лемме, относящейся к систе-
системам таких уравнений. В дальнейшем ссылка на эту
лемму поможет нам установить важные предложения.
Как известно, линейное уравнение называется одно-
однородным, если его свободный член равен нулю. Несколько
отступая от способа записи, принятого в элементар-
элементарной алгебре, мы будем обозначать неизвестные в урав-
уравнении одной и той же буквой х, но с различными номе-
номерами: Х\ — первое неизвестное, х2 — второе и т. д. Тогда
линейное однородное уравнение с п неизвестными за-
запишется в виде
а\хх + а2х2 + ... + апхп = 0.
Система, состоящая из однородных уравнений, сама
называется однородной. В общем виде однородная си-
система из /71 уравнений с п неизвестными запишется сле-
следующим образом:
а{х{ + а2х2 -+-•-• + апХп = 0 — 1-е уравнение
Ь{хх + Ъ2х2 + ... + Ьпхп = 0 — 2-е уравнение
A)
d{xx + d2x2 + ... + dnxn = 0 — m-e уравнение t
Полагая
Xi === U, Х2 — U, • . ., Xfi — и»
мы получим, очевидно, одна из решений однородной си-
системы. Это решение называется нулевым. Во многих
случаях бывает важно знать, имеет ли данная однород-
однородная система еще и ненулевое решение. Частичный ответ
на этот вопрос дает следующая лемма.
Лемма. Однородная система, в которой число урав-
уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет нену-
ненулевое решение.
Доказательство будем вести индукцией по m —
числу уравнений в системе A).
Если /71=1, то нам дано только одно уравнение,
в то время как число неизвестных больше единицы.
74
Ясно, что у такого уравнения обязательно имеется не*
нулевое решение.
Предположим, что утверждение теоремы справедливо
для систем, состоящих из m—1 уравнений, и тогда до-
докажем, что оно остается справедливым для системы из
т уравнений.
Итак, пусть нам дана система A), в которой число
т уравнений меньше числа п неизвестных. Если все
числа #1, Ьи ..., d\ — коэффициенты при хл— равны О,
то система, несомненно, имеет ненулевое решение; на-
например, можно взять
Допустим теперь, что среди указанных коэффициен-
коэффициентов имеются отличные от^нуля. Поменяв местами, если
нужно, первое уравнение с одним из последующих, мо-
можно считать, что п\ ф 0.
Проделаем над системой следующее преобразование:
ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на
-. Получится новая система, очевидно, равносиль-
равносильная исходной. Второе уравнение в ней будет иметь вид
ЪгХъ + • • • + Ьпхп = 0
(члена с %\ не будет). Далее проделаем аналогичные
преобразования над третьим, четвертым и т. д. (вплоть
до т-го) уравнениями системы: к каждому из них'при-
них'прибавим соответствующее кратное первого уравнения*
В итоге получится система
ПО
равносильная исходной. Часть этой системы, обведен-
обведенная рамкой, представляет собой однородную систему
из т—1 уравнений с п—1 неизвестными. Так как
т < /г, то
т — 1 < /г— 1,
следовательно, в этой системе число уравнений меньше
числа неизвестных. Но для систем, состоящих из т — 1
75
уравнений, утверждение леммы справедливо по предпо-
предположению индукции. Следовательно, система в рамке
имеет ненулевое решение
Добавляя к нему значение хи определяемое из первого
уравнения системы (Г):
ЛГ! = — —
«1
получим ненулевое решение всей системы (Г), а зна-
значит, и исходной системы A). Лемма доказана.
§ 12. Скалярное произведение
В основе всех понятий, изучавшихся в этой главе
до сих пор, лежат две операции над векторами: сложе-
сложение векторов и умножение вектора на число. Между тем,
если иметь в виду обычные геометрические векторы*),
то круг понятий, связанных с ними, значительно
шире: например, каждый вектор имеет длину, суще-
существуют перпендикулярные векторы и т. д. Поэтому есте-
естественно попытаться найти для д-мерного случая разум-
разумный способ введения таких понятий, как длина, перпен-
перпендикулярность и т. п. Это и будет
сделано ниже.
Г. Скалярное произведение
обычных геометрических векторов.
Пусть на плоскости даны два векто-
вектора х и у, выходящие из начала О
прямоугольной системы координат.
Координаты первого вектора пусть
будут хи х2, второго у и у%. Итак,
X = Xtfi -f- Л^2>
У = У\1\ + У 2*2*
Рис 14.
где ii, *2 — векторы длины 1, имеющие направления ко-
координатных осей (рис. 14).
Обозначим концы данных векторов соответственно
через X и У. -Точка X имеет координаты хи х2, точка
Y — координаты у и Уъ
) Т. е. направленные отрезки на плоскости или в простран-
пространстве.
76
Из формулы для расстояния между двумя точками
имеем
OY2 = у2г + yl
откуда следует
ОХ2 + OY2 -XY2 = 2 (х{уг + х2у2). A)
Из этого равенства легко увидеть (если учесть теорему
Пифагора), что необходимым и достаточным условием
перпендикулярности х и у является
+ х2у2 = 0.
Заметим, что если это же рассуждение применить
к векторам не на плоскости, а в пространстве, то по-
получим условие перпендикулярности в аналогичной
форме:
= 0.
Формула A) наводит на мысль связать с каждой
парой векторов хиуна плоскости число
B)
а в пространстве — число
Х\У\ + ЧУ2 + ЧУъ- B0
Это число в геометрии называют скалярным произведе-
произведением, векторов х и у и обозначают (ж, у). «
Заметим, что длина произвольного вектора х выра-
выражается через скалярное произведение. А именно, в случае
плоскости
а в случае пространства
так что в обоих случаях справедлива формула
77
2°. Общее определение скалярного произведения.
Рассмотренное выше скалярное произведение векторов
на плоскости и в пространстве обладает рядом простых
свойств. Вот некоторые из них:
1) (*, ж)!>0, причем (*, #) = 0 только при дг = О;
2) (х, у) = (у, х);
3) (х, ky) = k (x, у), где k — любое действительное
число;
4) (*, у + г) = {х, у) + (х, z).
Первые три свойства непосредственно вытекают из
определения скалярного произведения. Что касается
последнего свойства, то его доказательство не намного
сложнее. Приведем его для случая пространства:
(х, у + г) = хх{ух + zx) + х2(у2 + z2) + х3{у3 + z3) =
= (xlyl + x2y2 + х3у3) + {xxz{ + x2z2 + x3z3) = {х, у)+(х, г).
Мы подходим теперь к центральному месту в этом
параграфе. При любом обобщении понятия скалярного
произведения на n-мерный случай желательно, чтобы
свойства 1)—4) сохранили силу. Ввиду этого.примем
следующее определение.
Определение. Будем говорить, что в л-мерном
векторном пространстве Ап задано скалярное произве-
произведение, если каждым двум векторам хну сопоставлено
некоторое действительное число — обозначим его (х, у) —
так, что выполнены свойства 1), 2), 3), 4).
Число (ж, у) будем называть скалярным произведе-
произведением вектора х на вектор у.
3°. Один способ введения скалярного произведения.
Данное нами определение оставляет открытым вопрос:
можно „ли хотя бы одним способом ввести в простран-
пространстве Ап скалярное произведение? Ответ на него
подсказывают выражения B) и Bх). А именно, выберем
в пространстве Ап какой-нибудь базис
#1» #2> • • • » &п
и сопоставим каждым двум векторам х и у число
(х, у) = ххух + х2у2 + ,.. + хпуп\ C)
здесь хи х2у ..., хп — это координаты вектора #, а
У и Уъ ••-, Уп — координаты вектора у в выбранном ба-
базисе, т. е.
X = XXUX -f~ Х2п2 -f- . . . -f- XnCLtu
У =
73
Тогда, как нетрудно показать, все свойства 1)—4) бу-
будут выполнены, и следовательно, (х, у) будет скалярным
произведением.
Если выбрать другой базис
ах, а2,'..., ап
и сопоставить векторам х и у число
(ж, уУ = х[у\ + х'2у'2 + ... + х'пу'п
(где х\, х'2, ..., х'п и y'v у2, ..., у'п суть координаты
векторов х и у в новом базисе), то, вообще говоря, ga-
венство
(*, у) = (*, у)'
выполняться не б^дет. Отсюда становится ясно, что в
пространстве Ап можно ввести много различных ска-
скалярных произведений.
В дальнейшем будет показано, что указанный выше
способ введения скалярного произведения является об-
общим: именно, как бы ни выбиралось в пространстве Ап
скалярное произведение, обязательно найдется такой ба-
базис (и даже не один), в котором имеет место фор-
формула C).
4°. Длина вектора, ортогональные векторы. После
того, как дано определение скалярного произведения,
такие понятия, как длина вектора и перпендикулярность
двух векторов, вводятся по аналогии с двумерным и
трехмерным случаями. А именно, длину, или норму,
я-мерного вектора х мы определяем формулой
(число, стоящее под знаком корня, неотрицательно в
силу свойства 1) скалярного произведения); перпенди-
перпендикулярными, или ортогональными, называем векторы х
и у, скалярное произведение которых равно нулю.
В этом случае мы пишем
х±у.
Итак, .
х JL у означает, что (дс, у) = 0.
5°. Выражение скалярного произведения через коор-
координаты векторов. Вернемся теперь к определению ска-
скалярного произведения и извлечем из основных свойств
1)—4) простейшие следствия.
79
Прежде всего установим, что справедливы следую-
следующие два свойства, дополняющие 3) и 4):
30 (**, y) = k (x, у);
40 {х + у, z) = {x, z) + (у, z).
Свойство 30 вытекает из цепочки равенств
(kx, у) = {у, kx) = k {у, х) = k (х, у),
в каждом из которых использовано одно из свойств ска-
лярнцго произведения. Аналогично доказывается свой-
свойство 40:
(х + у, г) = (г, х + у) = (г, х) + (г, у) = (х, z) + (у, z).
Комбинируя свойства 3) и 30, получим
3") (kx, Zy) = */(*, у).
Далее, из 4) и 40 сразу же следует, что
i + *2 + • • • + хр, у{ + у2 + ... + yq) =
т. е. скалярное умножение суммы на сумму подчиняется
обычному правилу: каждое слагаемое первой суммы
надо умножить на каждое слагаемое второй и резуль-
результаты сложить. Отсюда, а также из свойства 3") полу-
получается и правило умножения одной линейной комбина-
комбинации на другую:
! + k2X2 + . . . + kpXpy
= S kit, (Xh yj). D)
Из этой формулы мы сейчас получим выражение
скалярного произведения (ху у) через координаты век-
векторов х и у. Пусть в пространстве Ап выбран некото-
некоторый базис
#!, #2, . . ., пп. E)
Рассмотрим два произвольных вектора х и у. Разлагая
их по базису E), получим
х = ххаг + х2а2 + ... + хпа
п,
80
Теперь для подсчета скалярного произведения (#, у)
можно воспользоваться формулой D):
Величины
•—это постоянные числа, зависящие только от выбран-
выбранного базиса. Таким образом, если фиксирован опреде-
определенный базис, то для скалярного произведения полу-
получается выражение
, у) = 2 gtiXiVi. • F)
Это — весьма полезный результат; с его помощью мы
сейчас докажем ряд важных предложений.
6°. Существование вектора, ортогонального к дан-
данным р векторам, р < /ц Допустим, что вектор у мы за-
зафиксировали, а вектор х хотим выбрать так, чтобы он
был ортогонален у, т. е. чтобы было (х, у) = 0. Тогда
для определения хи *2» • • •» *п — координат неизвестного
вектора х — получается в силу F) уравнение
S йцХ%У1 = 0.
Поскольку gij и tjj — заданные постоянные числа, то ле-
левая часть уравнения после приведения подобных членов
принимает вид а\Х\ + а2х2 + ... + апхп\ следовательно,
полученное уравнение — линейное и однородное относи-
относительно неизвестных хи х<г, ..., хп.
Если нужно, чтобы вектор х был ортогонален не
одному вектору у, а нескольким векторам
У It У2> • • •» Уру
то для определения его координат получается уже не
одно уравнение, а система из р уравнений. По лемме
§ 11 такая система заведомо имеет ненулевое решение,
если число уравнений меньше числа неизвестных. От-
Отсюда вытекает следующаяг теорема.
Теорема. Если в пространстве Ап даны векторы
У и У2> • • •> Ур>
JB1
причем число этих векторов меньше п, то обязательно
существует ненулевой вектор ху ортогональный каждому
из данных векторов*).
Эта теорема имеет многочисленные следствия. Мы
рассмотрим здесь только одно из них; в дальнейшем
оно сыграет важную роль.
Следствие. Если подпространство Р простран-
пространства Ап не совпадает со всем пространством А„, то су-
существует ненулевой вектор X6AW, ортогональный каж-
каждому вектору из Р (или, как мы скажем короче, орто-
ортогональный всему подпространству Р).
Доказательство почти очевидно. Выбираем в Р ба-
базис из векторов
Уи Уъ • • •»
поскольку Р не совпадает с Ап, то р < п. По доказан-
доказанному, найдется вектор х Ф О, ортогональный каждому
из векторов уи У2, .. •, Ур- Но тогда х ортогонален и лю-
любой линейной комбинации этих векторов:
(*> &i0i + k2y2 + ... + kpyp) =
= k{ (x, yx) + k2 (ж, у2)+ • • • + kp (*, ур) = 0.
Следовательно, х ортогонален любому вектору из Р.
7°. Разложение вектора на два составляющих. Мы
закончим этот параграф одним утверждением, кото-
которое в двумерном и трехмерном случаях выражает гео-
геометрически очевидный факт; здесь оно
будет доказано для пространства лю-
любой размерности п.
Пусть i — какой-либо вектор, от-
отличный от нулевого. Тогда любой
вектор а можно разложить на два
слагаемых, из которых одно пропор-
пропорционально i, а другое ортогонально i
Рис. 15. (рис. 15):
a = ki-\-u, где и ±i.
Чтобы доказать это утверждение, необходимо про-
проверить, что существует число k, для которого вектор
а — ki ортогонален i; ' тогда, обозначив этот вектор
*) Слово «ненулевой» в формулировке теоремы существенно,
поскольку нулевой вектор ортогонален любому другому вектору у.
Это следует из равенств
@, 0) =
82
через, и, получим требуемое разложение для а. Итак,
необходимо, чтобы
(а — ku i) = 0
или, что то же,
(a, I) = k (*, I).
Отсюда сразу находим искомое число k:
(следует учесть, что (i, i) ф 0, так как вектор i — нену-
ненулевой) .
§13. Ортонормированный базис. Ортогональное
преобразование
Г. Определение ортонормированного базиса. Мы уже
знаем, что в пространстве Ап существует бесчисленное
множество базисов. До введения в
Ап скалярного произведения у нас
не было причин выделять чкдкие-
либо из них особо. Однако с того
момента, как возникает скалярное
произведение, некоторые базисы
начинают играть привилегирован-
привилегированную роль. Это — так называемые
ортонормированные базисы.
Базис
называется ортонормированным, если любые два базис-
базисных вектора ортогональны друг другу:
(а,, а,) = 0 (i\ j = 1, ..., п\ I Ф j) A)
и длина каждого базисного вектора равна 1:
(aifai)=l (/=1, ..., п). B)
В обычном трехмерном пространстве рртонормиро-
рауный базис — это любая тройка попарно перпендику-
перпендикулярных единичных векторов (рис. 16).
Заметим, что слово «ортонормированный» происхо-
происходит от соединения слов «ортогональный» и «нормиро-
«нормированный». Вектор а называется нормированным или
единичным, если его длина равна 1.
83
Ортонормированный базис замечателен тем, что в
нем получается особенно простое выражение для ска-
скалярного произведения. Воспользуемся формулой
*• у) = 2
доказанной в предыдущем параграфе. Если учесть, что
базис — ортонормированный, т. е. что справедливы ра-
равенства A) и B), то получается сразу
, У) = Х\У\ + *2#2 + • • • + *пУп\ C)
таким образом в ортонормированном базисе скалярное
произведение равно сумме произведений одноименных
координат (первой — на первую, второй — на вторую
и т. д.).
2°. Существование ортонормированных базисов. Хотя
мы установили важное свойство ортонормированного
базиса, но не знаем еще главного: существует ли хотя
бы один ортонормированный базис? Сейчас мы дока*
жем, что такой базис существует.
Начнем с такого замечания. Пусть вектор а не яв-
является нормированным (однако аФО). Тогда из него
можно получить нормированный вектор а' по формуле
a/ = -j—г а.
Действительно,
Переход от а к а' называют нормированием вектора а.
Существование ортонормированного базиса легко
следует из теоремы, доказанной в предыдущем пара-
параграфе. Мы берем любой отличный от нуля вектор Ь\\
нормируя его, получаем единичный вектор ах. Далее
берем любой отличный от нуля вектор Ь2, ортогональ-
ортогональный ах\ нормируя его, получаем а2. Далее выбираем век-
вектор &з Ф 0, ортогональный а{ и а2; нормируя его, полу-
получаем вектор а3 и т. д., пока не дойдем до вектора апу
ортогонального ранее построенным векторам аь а2, ...
..., ап_1# Полученная таким путем система
будет, базисом в силу тесцземы 2 § 9. Действительно,
число векторов в системе равно п и, кроме того, эта
84
система линейно независима: в противном случае, если
бы один из векторов системы разлагался по предшест-
предшествующим, например,
то, умножив обе части равенства скалярно н& вектор
а3, мы получили бы
(а3, а3) = О,
что невозможно, ибо (аг,а-6)= 1.
Заметим, что, доказав существование ортонормиро-
ванного базиса, мы тем самым выполнили обещание,
данное в предыдущем параграфе: мы показали, что
существует по крайней мере один базис, в котором ска-
скалярное произведение выражается формулой C).
3°. Способ получения всех ортонормированных базисов. При
изучении ортонормированных -базисов возникает ряд интересных
вопросов. Вот один из них: как получаются ортонормированные
базисы друг из друга? В § 9 мы говорили о том, что любые два
базиса пространства Ап получаются один из другого цепочкой
элементарных преобразований. Конечно, это предложение спра-
справедливо, в частности, и для ортонормированных базисов, но для
них оно не представляет особенного интереса: ведь, применив
к ортонормированному базису элементарное преобразование, мы
получаем, вообще говоря, *уже не ортонормированный базис (хотя
после нескольких элементарных преобразований может получиться
снова ортонормированный базис). Нам хотелось бы, естественно,
связать любые два ортонормированных базиса цепочкой таких пре-
преобразований, чтобы после каждого из них получался снова орто-
ортонормированный базис. Оказывается, это можно сделать следую-
следующим образом.
Пусть аи <*2» •••» оп—ортонормированный. базис. Назовем эле-
элементарным ортопреобразованием над базисом любое из следующих
действий.
1. Умножение любого из базисных векторов на —1. Ясно, что
в результате такого преобразования получается снова ортонормиро-
ортонормированный базис.
2. Замена каких-либо двух векторов аи uj (i ф j) данного ба-
базиса новыми векторами av а у по формулам
а\ = cosa at — sin a a;-,
ai = sina at + cosa a^
где a — любое действительное число.
Роль элементарных ортопреобразований вскрывает следующая
теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.
Теорема. От. любого ортонормированного базиса к любому
другому ортонормированному базису можно перейти с помощью
конечного числа элементарных ортопреобразований.
85
4°. Ортогональные преобразования. С понятием пре-
преобразования читатель, вероятно, уже знаком (некото-
(некоторые виды преобразований изучаются, например, в
школьном курсе геометрии). В данном случае речь
будет идти о преобразованиях л-мерного векторного про-
пространства Ап.
Мы говорим, что задано преобразование простран-
пространства А„, если указано правило, по которому любому
вектору аЕАп отвечает другой вектор a'ei.
Наличие такого правила можно отразить следую-
следующей записью:
а' = F (a),
где символ F служит для обозначения того способа, ко-
которым а! получается из а.
Преобразование F называется линейным, если оно
удовлетворяет следующим двум условиям:
2) F(kx) = kF(x)9
где х и у — любые два вектора, а k — любое число. Обо-
Обозначив векторы F(x) и F(y) через* х/ и у\ можно пере-
перефразировать эти условия так: тройку векторов х, у,
х-\-у преобразование F переводит в х\ у\ х'-\-у\ а
пару дс, kx — в пару х', kx'. Иначте говоря, преобразова-
преобразование линейно, если оно «не разрушает» ни суммы векто-
векторов, ни произведения вектора на число. Разумеется, от-
отсюда следует, что линейное преобразование не разру-
разрушает и линейных комбинаций:
. = kxF(ж,) + k2F(x2) + ... + kpF(xpy
Допустим, что в пространстве Ап введено скалярное
произведение. Тогда среди всех линейных преобразова-
преобразований особый интерес приобретают такие, которые «со-
«сохраняют» это скалярное произведение, т. е. обладают
свойством
(F {х), F (у)) = (*, у) для любых х, у <= Ап.
Такие преобразования называются ортогональными.
Ясно, что ортогональное преобразование сохраняет
и длину любого вектора х, т. е.
Это следует из того, что длина выражается через
86
скалярное произведение:
Сохранение длины любого вектора можно принять за
определение ортогонального преобразования. Это вид-
видно из того, что скалярное произведение, в свою оче-
очередь, выражается через длины. В самом деле, из оче-
очевидного равенства
(* + У> х + у) = {х, х) + (у, у) + (*, у) + {уу х)
вытекает
2 (х, у) = {х + у,х + у) — (*, х) — (у, у) =
= 1* + у12-1*12-1у!2
Ортогональные преобразования обладают рядом
важных свойств. Укажем одно из них.
Пусть аи а2, ..,, ап — ортонормированный базис.
Тогда векторы , -
также образуют ортонормированный базис.
Иначе говоря, ортогональное преобразование пере-
переводит любой ортонормированный базис снова в' орто-
ортонормированный базис.
В самом деле, поскольку преобразование F ортого-
ортогонально, то ,
(#., а^ = (а'г a'}) (/,/ —любые номера от 1 до п)9
следовательно, векторы • a'v a'v ..., а'п, подобно av
а>2* •••, вЛ, удовлетворяют соотношениям
«, <) = 1, «, а;.) = 0 (при / Ф /);
отсюда вытекает, что они образуют ортонормированный
базис (см. рассуждение в конце 2°).
5°. Преобразование, обратное к ортогональному.
Прежде всего установим такой факт.
Для ортогонального преобразования F уравнение
= Ъ D)
при любом ЬеАп имеет единственное решение.
Это можно доказать следующим образом. Пусть
аи а2у ..., ап — ортонормированный базис. Тогда, как
мы знаем, векторы а\ = F (at), а'2 = F (a2), ..., а'п = F(an)
тоже образуют ортонормированный базис. Разложим по
87
нему вектор 6:
6 = *1< + *йв2+ '•• +knan
и покажем, что вектор
а ==
удовлетворяет уравнению D). В самом деле, из линей-
линейности преобразования F следует, что
Этим доказана разрешимость уравнения D). То, что
решение единственно, доказывается совсем просто: если
F(xl) = b и
то F(x\) = F(x2), и значит, F(x\ — х2) = 0. Но тогда
|#i — *21 = 0, т. е. Xi = х2.
Если каждому вектору 6еАп поставить в соответ-
соответствие вектор х, являющийся решением уравнения D),
то получим новое преобразование, которое называется
обратным преобразованием к F и обозначается F~x.
Доказанное выше предложение может быть теперь
сформулировано по-другому: бля ортогонального пре-
преобразования всегда существует обратное.
Естественно возникает вопрос: будет ли обратное
преобразование снова ортогональным? Докажем, что
это так.
Линейность F~l очевидным образом следует из ли-
линейности F: если F переводит тройку векторов х, у, х-\-у
в тройку х , у , х -\-у , то, обратно, F~l переводит х\ у ,
х'+у в х, у, х + у; если F переводит пару *, kx в пару
х', kx , то F переводит х\ kx' в ж, kx. Далее, из равенства
(х, у) = (*', уО
следует
= (*', у).
Таким, образом, преобразование F~l линейно и со-
сохраняет скалярное произведение. Следовательно, оно
ортогональное.
Итак, преобразование, обратное к ортогональному,
снова является ортогональным.
6°. «Сколько» существует различных ортогональных преобразо-
преобразований? Возникают естественные вопросы: существуют ли вообще
ортогональные преобразования и насколько велико их число? Отве-
Ответить на них нам поможет следующее предложение.
Пусть даны два ортоноржированных базиса
av а2, ..., ап и а{, а2, ..., ап.
Тогда существует^ и притом единственное, ортогональное преобразо*
вание, переводящее первый базис во второй.
Искомое преобразование F определяется следующим образом:
каждому вектору
а = k\ux + k2a2 + ... + knan
сопоставляется вектор
knan.
Покажем, что это преобразование — ортогональное.
Линейность преобразования F очевидна. Остается только прове-
проверить, что F сохраняет скалярное произведение. Пусть
х = xxai + ... + хпап и у = угах + ... + упап E)
— два произвольных вектора из А». Имеем
F(x)=*xla[ + ... +хпап, F(y) = yxa\+ ... + упап. F)
Поскольку базис аи ...-. ап — ортонормированный, то из E) сле-
следует
(*, у) = ххух + х2у2 + ... + хпуп.
Но и базис al,...,atl — ортонормированный, поэтому из F) сле-
следует *
(F (*), F (у)) = ххУх + х2у2 + ... + хпуп.
Отсюда
(ж, у) = (F (х), F
т. е. преобразование F — ортогональное.
То, что не может быть другого ортогонального преобразования,
переводящего первый базис во второй, легко следует из линейности
ортогонального преобразования. Действительно, ввиду линейности
искомое преобразование обязано быть таким, как мы его определили.
Из доказанного нами предложения можно вывести такое заклю-
заключение: между множеством всех ортонормированных базисов и мно*
жеством всех ортогональных преобразований можно установить
взаимно однозначное соответствие. Для этого следует один из орто-
ортонормированных базисов — обозначим его Бо — зафиксировать, а лки
бому другому ортонормирвванному базису Б поставить в соответ-
соответствие то самое ортогональное преобразование, которое переводит Бо
в Б. Таким образом, ортогональных преобразований «столько же»4
сколько существует различных ортонормированных базисов.
Глава 3
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ АЛГЕБР
Среди бесконечного многообразия всех алгебр неко-
некоторые алгебры занимают исключительное положение.
Это — алгебра Ж всех комплексных чисел, алгебра Q*
кватернионов и алгебра О октав. Что же именно отли-
отличает эти алгебры от всех остальных? На этот вопрос
можно отвечать по-разному, но общий смысл всех отве-
ответов сводится к следующему: по сравнению с другими
алгебрами указанные три наиболее близки к своей пер-
первооснове — алгебре Ф всех действительных чисел. Эта
близость проявляется, например, в том, что:
1. Алгебры Фу Ж и Q — единственные алгебры с де-
делением, в которых умножение обладает свойством ас-
ассоциативности. Это предложение, в несколько более точ-
точной формулировке, носит название теоремы Фробениуса.
2. Алгебры Фу Ж, Q и О — единственные алгебры
с делением, в которых справедливы формулы ('uv)v =
= u{vv) и v(vu) = (vv)u (ослабленный вариант ассо-
ассоциативности, называемый альтернативностью). Это ут-
утверждение называется обобщенной теоремой Фробе-
Фробениуса.
3. Алгебры 3)у Ж, Q и 0 — единственные алгебры
с единицей, в которых можно ввести скалярное произ-
произведение так, чтобы выполнялось правило «норма произ-
произведения равна произведению норм». Этот факт состав-
составляет содержание теоремы Гурвица.
Словом, в иерархии алгебр положение представ-
представляется примерно в следующем виде. «Основой основ»
служит алгебра действительных чисел. Ее ближайшим
соседом является алгебра комплексных чисел, в кото-
которой умножение сохраняет все важнейшие свойства умно-
умножения действительных чисел: оно коммутативно, ассо-
ассоциативно, обратимо (иначе говоря — возможно деление)
90.
и для него существует единица. Далее следует алгебра
кватернионов — из перечисленных выше свойств в ней
теряется только коммутативность умножения. Еще
дальше расположена алгебра октав, где ассоциатив-
ассоциативность заменяется слабым подобием этого свойства —
«альтернативностью», но по-прежнему возможно деле-
деление и существует единица. Все остальные алгебры не
удерживают даже и этих свойств. Конечно, отсюда еще
не следует, что остальные алгебры менее интересны или
менее важны, — в данном случае речь идет только о
большем или меньшем сходстве с алгеброй действитель-
действительных чисел.
Ко всему сказанному мы можем добавить еще одно
замечание. В гл. 1 была поставлена «задача о сумме
квадратов», заключающаяся в разыскании всех тож-
тождеств определенного типа:
+ Ф1+ .-• +Ф« A)
(см. § 3). Исходя из одного упомянутого выше свой-
свойства алгебр S), Ж, Q и О (норма произведения равна
произведению норм), мы построили в гл. 1 конкретные
примеры таких тождеств для п= 1, 2, 4, 8. В настоя-
настоящей главе будет показано, что число п в тождестве A)
может принимать только эти четыре значения; решаю-
решающую роль в доказательстве этого факта будет играть
теорема Гурвица. Таким образом, и в «задаче о сумме
квадратов» основными персонажами выступают все те
же алгебры 55, Ж, Q и О.
Эта глава посвящена уточнению и доказательству
всех перечисленных выше фактов.
§ 14. Изоморфные алгебры
Согласно определению, данному в § 7, любая алгебра
размерности п состоит из элементов, однозначно пред-
ставимых в виде
h i #2*2 "Г • * • I ап*п>
с естественным законом сложения элементов между со-
собой и умножения их на действительные числа; другими
словами, каждая алгебра размерности п есть, прежде
n-мерное векторное пространство. Сверх того,
91
должна быть задана таблица умножения (первоначаль-
(первоначальных) базисных элементов *ь ^> ..., in, т. е. таблица из
nz соотношений вида
р р ар,2*2 "Ь ••• 4" #ар, л*я
(а, 0=1,2, ..., л),
где &Д0, Y — некоторые действительные числа. После того
как указаны правила перемножения базисных элемен-
элементов, произведение любых двух элементов
axix + ... + апгп и bxix + ... + bnin
алгебры производится по обычному правилу умножения
суммы на сумму, с последующим учетом соотноше-
соотношений A).
Можно сказать поэтому, что любая алгебра размер-
размерности п — это я-мерное векторное пространство Ап, в
¦котором дополнительно задана таблица умножения ба-
базисных элементов— таблица A).
Казалось бы, отсюда напрашивается вывод, что две
алгебры размерности п, определенные различными таб-
таблицами умножения, следует рассматривать как различ-
различные алгебры. Однако такая точка зрения была бы не
совсем правильной, и вот почему.
Пусть s& — алгебра размерности п с первоначальным
базисом iu i2, ..., in и таблицей умножения A). Перей-
Перейдем в векторном пространстве. $$< к другому базису
*ь **2, ..., in\ естественно, получим и другую таблицу
умножения
W& = /af5,l h + /aP,2*2+ ••• + Axfl.n in B)
(a, p=l, 2, ..., n).
Теперь представим себе еще одну алгебру — обозна-
обозначим ее s4>' — с первоначальным базисом iu h> ..., in и
с таблицей умножения B). Следует ли рассматривать
ее как новую алгебру? Формально, разумеется, это так,
но, по существу, $Ф' есть та же самая алгебра s&, толь-
только отнесенная к другому базису. Естественно поэтому
считать различие между алгебрами $Ф и зФ' несуще-
несущественным. Такая точка зрения находит свое выражение
в понятии изоморфизма.
Определение. Две алгебры одной и той же раз-
размерности п называются подобными друг другу или
92
изоморфными, если в них можно выбрать базисы с оди-
одинаковыми таблицами умножения.
Разумеется, совпадение таблиц умножения вовсе не
предполагает одинаковый выбор обозначений для ба-
базисных элементов обоих алгебр; например, базисные
элементы первой алгебры могут быть обозначены
Си ^2, . • •, сп, а второй, — скажем, du d2, . *., dn. Тре-
Требуется лишь, чтобы каждое произведение сас$ разлага-
разлагалось по си c2i ..., сп с точно такими же коэффициен-
коэффициентами, как и произведение dad$ no du d2i ..., dn. Это
означает, что если, например,
С6С2== 3^1 7с5,
то должно быть также
В математике две изоморфные алгебры не счи-
считаются различными: это — как бы два различных эк*
земпляра одной и той же алгебры. В связи с этим,
когда ставится вопрос об отыскании всех алгебр, обла-
обладающих каким-либо отличительным свойством, ответ
ищется в форме: искомая алгебра изоморфна либо та-
такой-то конкретной алгебре, либо такой-то и т. д.
В гл. 1 мы ввели понятие гиперкомплексной систе-
системы, а затем—более широкое понятие алгебры. Соотно-
Соотношение между ними в полной мере может быть вскрыто
только теперь, когда, мы владеем понятием изоморфиз-
изоморфизма. Было показано (§ 7), что любая гиперкомплексная
система может рассматриваться как алгебра, в которой
первый из первоначальных базисных элементов яв-
является единицей алгебры:
Ma == Mi = *а Для всех а-
Теперь мы можем добавить к этому предложение, в не*
котором смысле обратное: любая алгебра с единицей
изоморфна некоторой гиперкомплексной системе. В са-
самом деле, если дана алгебра с единицей 1, то, выбрав
в ней новый базис ii, 12, ...» in так, чтобы было
ii = l, мы получим таблицу умножения, в которой
Ua:=Wi = *a для всех а, т. е. таблицу умножения
в некоторой гиперкомплексной системе .#. Отсюда сле-
следует, что исходная алгебра изоморфна гиперкомплексной
системе М.
93
В заключение приведем один пример, иллюстрирую-
иллюстрирующий роль понятия изоморфизма. Исходя из результа-
результатов, полученных в § 2, мы можем теперь сказать, что
любая алгебра размерности 2, обладающая единицей,
изоморфна одной из трех гиперкомплексных систем:
комплексных, двойных или дуальных чисел. Именно это
и есть перевод на точный язык того факта, который в
§ 2 мы выражали словами «любая система чисел а + Ы
сводится к одной из трех ...». «Сводится к» означает
«изоморфна»!
§ 15. Подалгебры
В гл. 1 мы неоднократно сталкивались с таким яв-
явлением, когда одна алгебра является частью другой:
например, алгебра действительных чисел является ча-
частью алгебры комплексных чисел, последняя является
частью алгебры кватернионов; эта алгебра, в свою оче-
очередь, входит в алгебру октав и т. п. В подобных слу-
случаях вместо слова «часть» употребляют термин «под-
«подалгебра».
Определение. Множество & элементов алгебры
М называется подалгеброй алгебры s?y если:
1) 9* является подпространством векторного про-
пространства s&\
2) 9> замкнуто относительно умножения в алгебре^,
т. е. если а е & и Ъ е й9, то аЪ е й9.
Первое требование равносильно (§ 10) тому, что 3*
есть множество всех линейных комбинаций
некоторых векторов аи а2у ..., ар. Последние могут
быть выбраны линейно независимыми; в этом случае
они составляют базис подпространства 9 (и число их
не превышает п).
Для того, чтобы было выполнено второе требование,
фактически достаточно, чтобы всевозможные произведе-
произведения базисных элементов
*а*р. (а. Р=1, 2, ..., р)
принадлежали снова 9*у т. е. чтобы имели место равен-
равенства
(а, р=1, ..., р).
94
Из данного выше определения непосредственно ясно,
что подалгебра 9* может рассматриваться как самостоя-
самостоятельная алгебра с первоначальными базисными эле-
элементами аи а2, ..., av и таблицей умножения A).
Приведем несколько примеров подалгебр.
1. В алгебре кваггернионов подалгеброй является
подпространство с базисом 1, /. Более общий пример:
подпространство с базисом 1, </, где q — какой-либо ква-
кватернион, не пропорциональный 1. Любая такая подал-
подалгебра изоморфна алгебре комплексных чисел.
2. В алгебре октав подалгеброй является подпро-
подпространство с базисом 1, I, ?, /. Эта подалгебра изоморф-
изоморфна алгебре кватернионов (в указанном базисе таблица
умножения — та же самая, что и в базисе 1, *, /, к ал-
алгебры кватернионов). Аналогичные примеры: любое под-
подпространство с базисом 1, а, 6, aby где а и Ь — любые
две мнимые единицы из первоначального базиса 1, i, /,
ft, ?, /, /, К алгебры октав.
3. В алгебре матриц данного порядка п подалгеброй
является подпространство матриц, у которых все эле-
элементы первых k строк (k — фиксированное число) равны
нулю. Более сложный пример: подпространство «шах-
«шахматных» матриц, т. е. матриц, у которых элементы аг-;,
где i + /— нечетное число, равны нулю. Например, при
п = 3 это будут матрицы вида
* 0 *
0*0
* 0 *
Проверку того, что указанные подпространства яв-
являются подалгебрами, предоставляем читателю.
§ 16. Перевод «задачи о сумме квадратов» на язык
теории алгебр. Нормированные алгебры
Напомним читателю формулировку «задачи о сумме
квадратов», поставленной в гл. 1. Требуется выяснить,
каким должно быть п и как должны быть выбраны п
форм второй степени
• • •> хп\ УЬ
УU #2» • • •» Уп)
95
для того, чтобы было справедливо тождество
Изучение некоторых конкретных алгебр (алгебр ком-
комплексных чисел, кватернионов, октав) позволило нам
построить в главе I примеры тождеств (!) для п = 2,
п =з= 4 и п = 8. Однако там ничего не было сказано о
том, как строится любое тождество (!). Этим вопросом
мы займемся сейчас.
1°. Связь тождества (!) с некоторой алгеброй si-.
Прежде всего заметим, что с каждым тождеством (!)
связана некоторая алгебра. Эта алгебра определяется
следующим образом. Мы рассматриваем /t-мерное век-
векторное пространство, элементами которого являются
векторы
i\ -г x2i2 +•..-{- xnin. A)
Произведение любых двух элементов этого пространства
X = Xfti -р Х212 "Г" • • • Хп1п
И
У = У\1\ + #2*2 + • • • + yJn
определяем формулой
ху = Ф& + Ф2?2 + ... +ФА- B)
Ввиду «линейности» форм Фь Фг, ..., Фп по перемен-
переменным Х\9 х2, ...., хПу а также по переменным у\, у2, ..., Уч
ясно, что выполняется каждое из написанных ниже ра-
равенств:
= k {ху\ х - ky = k (xy\
= хху + х2уу х (у} + у2) = хух + ху2.
Отсюда следует, что закон умножения B) действитель-
действительно определяет некоторую алгебру (см. 7° § 7). Обозна-
Обозначим эту алгебру М. Как следует из сказанного выше,
алгебра $Ф полностью определена, как только задано
тождество (!).
2°. Нормированность алгебры s4>. Посмотрим, какому
свойству алгебры s4> соответствует тот факт, что
Фь Фг, . *., Фп — не просто какие-то формы второй
96
степени, а такие, для которых справедливо тожде-
тождество (!).
С этой целью зададим в алгебре $Ф скалярное про-
произведение (#,у), определив его через координаты век-
векторов х и у в базисе i\, h* • • •, in'
(*, у) = ххуг + х2у2 + ... + хпуп. C)
В частности,
\Х, X) === Х^ -]- -^2 ~Г • • • I -^Л«
Заметим, что, определяя скалярное произведение ука-
указанным образом, мы тем самым заранее приписываем
базису, ii, I2, ••-, in роль ортонормированного базиса,
ибо
при всех а, р = 1, ..., п, а ф р. Для пояснения этих
равенств заметим, что у вектора ia отлична от нуля
только а-я координата (она равна 1), а у вектора ip —
только р-я.
Теперь, когда в алгебре ^определено скалярное про-
произведение, можно по-новому истолковать тождество (!).
Выражение, стоящее в правой части тождества, как
нетрудно заметить, равно (ху, ху)-— «скалярному квад-
квадрату» элемента ху\ левая же часть представляет собой
произведение двух «скалярных квадратов»: {х, х) и
(ууу). Поэтому вместо (!) можно записать
. (ху, ху) = (ж, ж) (у, у). D)
Впрочем, если ввести в рассмотрение норму элемента х,
определяемую формулой
то равенство D) можно, в свою очередь, записать так;
= 1*11у| D0
(норма произведения равна произведению норм).
Примем теперь следующее
Определение. Алгебра s& называется нормиро-
нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведе-
4 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников ' 97
ние таким** образом, что будет выполняться тожде-
тождество D).
Примерами нормированных алгебр являются уже
известные нам алгебры комплексных чисел, кватернио-
кватернионов и октав. Их нормированность следует из того, что
в каждой из этих алгебр справедлива формула D'); при
этом, чтобы все в точности соответствовало определе-
определению нормированной алгебры, нужно только указать
такое скалярное произведение (х, у), для которого
выполнялось бы равенство | х \ = Y(x> *)• В случае
алгебры комплексных чисел такое скалярное произведе-
произведение определяется формулой
(г, г') = ххух + х2у2,
где г = Xi + yxi, zf = Х2 + у&, для алгебры кватер-
кватернионов
, q') = ххух + х2у2 +
где q = хх + x2i + x3j + xAk, qf = yx+ y2i + y3j -(- yAk\ ана-
аналогичным образом определяется скалярное произведение
в алгебре октав.
3°. Заключение. Итак, мы доказали, что каждому
тождеству (!) можно сопоставить некоторую нормиро-
нормированную алгебру s$>. Умножение любых двух элементов.
x = Xiii + ...+xnin9 У — У1*1 + ". + Уп1п в этой алгеб-
алгебре определено по формуле
... +Фп1п, E)
а скалярное произведение — по формуле
(х, у) = ххух + х2у2 + ... + хпуп.
В алгебре зФ элементы iXt i2f ..., in образуют ортонор-
мированный базис; при этом тождество (!) есть не что
иное, как условие нормированности алгебры s&, запи-
записанное в этом базисе.
Легко видеть, что справедливо и обратное утвержде-
утверждение, а именно: если дана произвольная нормированная
алгебра зФ и в ней выбран любой ортонормированный
базис 1Ь 1% ..., in, то, записав закон умножения в этом
базисе, получим п форм Фи Ф2, ..., Фп, а записав ус-
условие нормированности алгебры st-i получим тожде-
тождество (!) с этими формами в правей части.
98
Подводя итог сказанному, приходим к такому за-
заключению.
Все наборы форм Фь Ф2, ..., Фп, удовлетворяющие
тождеству (!), могут быть получены следующим путем.
Нужно взять любую нормированную алгебру $& и в ней
произвольный ортонормированный базис iu i2, ..., tnt
затем записать закон умножения алгебры $Ф в виде E).
Отсюда видно, что задача перечисления всех тож-
тождеств (!) сводится к двум задачам:
1) разысканию всех нормированных алгебр;
2) записи закона умножения для каждой из таких
алгебр в каждом из ее ортонормированных базисов.
Первую из этих задач мы рассмотрим в ближайших
двух параграфах. На основе ее решения будет получено
обозрение всех тождеств (!).
§ 17. Нормированные алгебры с единицей.
Теорема Гурвица
1°. Формулировка теоремы Гурвица. В предыдущем
параграфе, обсуждая «задачу о сумме квадратов», мы
пришли к необходимости яайти все возможные норми-
нормированные алгебры. Ниже будет доказана теорема, впер-
впервые установленная немецким математиком А. Гурвицем
в 1898 г. Она хотя и не дает еще полного перечисления
всех нормированных алгебр, но все же снимает основ-
основную долю трудностей, связанных с решением этой за-
задачи.
Теорема Гурвица. Любая нормированная ал-
алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр:
действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов
или октав.
Условие, что а'лгебра имеет единицу, в формулировке
теоремы не может быть опущено. Как мы увидим даль-
дальше, существуют нормированные алгебры, не содержа-
содержащие единицы; такие алгебры не могут быть изоморфны
ни одной из четырех указанных в теореме, поскольку в
каждой из этих четырех алгебр единица имеется.
Итак, пусть зФ — нормированная алгебра с едини-
единицей. Напомним, что мы условились называть алгебру
нормированной, если в ней можно ввести скалярное про-
произведение со следующим свойством:
(а», а») = (a, a) (ft, 6). A)
4* 99
Приступая к доказательству теоремы, мы хотим за-
заранее оговорить, что оно будет довольно длинным. По-
Поэтому вначале мы изложим общую схему, раскрываю-
раскрывающую идеи доказательства, после чего заполним «дыры»
в проведенных рассуждениях.
2°. Набросок доказательства. Обозначим единицу
алгебры J& через 1. Каждый элемент aei одно-
однозначно представляется в виде суммы двух слагаемых*),
из которых одно пропорционально 1, а другое ортого-
ортогонально 1:
a = k\ +a\
где k — действительное число, а a'_Ll. Введем в ал-
алгебре следующую операцию сопряжения: элемент, со-
сопряженный а, есть __
a = k\ —a'.
В частности, если элемент а пропорционален 1, то а=а\
если же а ортогонален 1, то а = —а. Очевидно также,
что _
а —а
и
а + Ь =а + Ь.
Теперь, когда в алгебре s& введено сопряжение,
можно приступить к изложению идей, лежащих в основе
доказательства теоремы.
Пусть °U — какая-нибудь подалгебра алгебры М, со-
содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй. Вы-
Выберем в °U базис из элементов 1, i\, *2, ••-, in, где
*ь h, ••-, in ортогональны 1, тогда для любого элемента
а0 + «Mi + • • • + ал из °U сопряженный будет а0 —
— a\i\ —... — anin. Отсюда видно, что если элемент и
принадлежит °U, то и сопряженный ему элемент и так-
также принадлежит °U.
Согласно теореме § 12, существует ненулевой век-
вектор, ортогональный °Ы\ умножая его на подходящее
число, получим единичный вектор е, ортогональный °U.
Будет показано, что множество элементов вида
щ + ще (и\ <=<U1u2<= Щ B)
*) В этом месте, а также в последующих рассуждениях мы
опираемся на общие свойства скалярного произведения, рассмот-
рассмотренные в § 12.
100
замкнуто относительно умножения, т> е. снова образует
подалгебру. Обозначим последнюю °U + °Ue. Мы дока-
докажем, что:
I) представление любого элемента из сИ + сЫе в
виде B) возможно лишь единственным образом;
II) для произведения элементов вида B) справед-
справедлива формула
(щ + и2е) (vi + v2e) = {uxv{ — v2u2) +. (v2u{ + u2vx) e. C)
Сопоставив эти^факты с процедурой удвоения, описан-
описанной в § 6, мы приходим к следующему заключению: под-
подалгебра <kl + °Ue изоморфна удвоенной подалгебре °U.
Теперь основные трудности в доказательстве тео-
теоремы остаются позади. Прежде чем перейти к завер-
завершающему этапу доказательства, сделаем одно замеча-
замечание по поводу сопряжения в алгебре s4>.
Поскольку алгебра бФ содержит единицу, то в ней
имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k\.
Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чи-
чисел; обозначим ее 3). Если в предыдущих рассуждениях
в качестве °U взять подалгебру SD, то е будет любой
вектор длины 1, ортогональный 1. Из формулы C) то-
тогда следует, что
Отсюда можно сделать заключение, что квадрат любого
вектора а\ ортогонального 1, равен Я1, где к ^ 0. Легко
доказать и обратное: если квадрат какого-либо эле-
элемента равен Я1, где К ^ 0, то этот элемент ортогона-
ортогонален 1*). Таким образом, элементы, ортогональные 1, и
только они характеризуются тем, что их квадраты рав-
равны Я1, где Я ^ 0. Это позволяет нам описать по-дру-
по-другому сопряжение в алгебре s&: для произвольного эле-
элемента а^зФ берется его единственное представление
в виде
+а', где а'2 = М,
тогда a = k\ —a'.
*) Действительно, квадрат любого элемента, не ортогональ-
ортогонального 1, т. е. элемента вида а = k\ +а', где k Ф О, а'1 1, равен
(k\ + а') (И + а') = кЧ + а'2 + 2?д' = k4 + fxI -f- 2fca'.
Если это выражение пропорционально 1, то а' = 0, следовательно,
а = k\, но квадрат такого элемента не может равняться XI, где
103
Перейдем к завершающей части доказательства; она
представляет собой следующее весьма прозрачное рас-
рассуждение.
Рассмотрим снова подалгебру S). Если она не сов-
совпадает со всей алгеброй jg, то найдется единичный век-
вектор е, ортогональный Ф. Рассмотрим тогда подалгебру
Ж = 2) + ?Юе. Она является удвоением 3) и, следова-
следовательно, изоморфна алгебре комплексных чисел. Из того,
что сказано выше о сопряжении^ в алгебре *я?, следует,
что для элементов из Ж сопряжение совпадает с обыч-
обычным сопряжением комплексных чисел.
Если подалгебра Ж не совпадает со всей алгеброй
S0-, то опять-таки найдется единичный вектор е\ орто-
ортогональный Ж. Рассмотрим тогда подалгебру Q = Ж +
+ Же\ являющуюся удвоением Ж. Она изоморфна ал-
алгебре кватернионов. Из данной выше характеристики
сопряжения в алгебре $i< снова следует, что для эле-
элементов из Q сопряжение совпадаете обычным, сопря-
сопряжением в алгебре кватернионов.
Если подалгебра Q не совпадает со всей алгеброй
«s?, то снова выберем единичный вектор е", "ортогональ-
"ортогональный ??, и рассмотрим подалгебру O = Q-\-Qe'\ являю-
являющуюся удвоением Q и, следовательно, изоморфную ал-
алгебре октав (§ 6). Оказывается, эта подалгебра уже
обязательно совпадает с s&$ ибо, как мы докажем, лю-
любая подалгебра, содержащая 1 и не совпадающая со
всей алгеброй s&, ассоциативна. Поскольку умножение
октав не ассоциативно, подалгебра О обязана совпа-
совпадать со всей алгеброй зФ\
Подводя итог сказанному выше, мы получаем, что
если алгебра бФ не изоморфна одной из алгебр 3), Ж
или Q9 то она изоморфна алгебре О. Но это и есть
утверждение теоремы.
Итак, теорема будет доказана, если мы проверим
справедливость утверждений I) и II), а также докажем
утверждение III): любая подалгебра °U, содержащая 1
и не совпадающая со всей алгеброй $&, ассоциативна.
3°. Две леммы. Предварительно нам понадобятся две
леммы. Мы рекомендуем читателю ознакомиться вна-
вначале с их формулировками, оставив доказательства для
«второго чтения».
Лемма 1. В любой нормированной алгебре $?
справедливо тождество
{axbx, a2b2) + {axb2i a2b{) = 2 (аи а2) (Ьи Ь2). D)
102
Заметим, что это тождество связывает между собой
четыре произвольных элемента ах, а2, Ьх, Ь2 алгебры s&.
Доказательство. Подставим в основное тожде-
тождество A) вместо элемента а сумму ах-\-а2. Мы получим
{axb + a2b, axb + а2Ь) = (а, + а2, ах + а2) F, Ъ)
или
(axb, ахЬ) + (а26, a2b) + 2 (axbt а2Ъ) =
= (аи ах) F, Ь) + (а2, а2) F, Ь) +.2(ах, а2) F, 6).
Но в силу основного тождества первое и второе сла-
слагаемые левой части равны соответственно первому и
второму слагаемым правой части. Следовательно,
(#i&, п2Ь) = (#!, п2)(Ь, Ь). E)
Чтобы получить требуемый результат, нужно в тож-
тождестве E) заменить b на Ьх + Ъ2. Мы будем иметь тогда
ХЬХ + ахЬъ a2bx -f a2b2) = (ах> а2) (Ьх + 62, Ьх -\- Ь2)
или
(alblf a2bx) +
. 61) + («1» «2) F2» ^2) + 2 (а„ a2) Flf 62).
Но в силу E) первое и второе слагаемые левой части
равны соответственно первому и второму слагаемым
правой части. Вычеркивая равные слагаемые, приходим
к тождеству D).
Лемма 2. В нормированной алгебре $f> с единицей
справедливо тождество
(аЬ)Ь = (Ь,Ь)а. F)
Иначе говоря, элемент {ab)b всегда пропорциона-
пропорционален а,, пручем коэффициент пропорциональности равен
скалярному произведению (Ь9 Ь).
Доказательство. Прежде всего заметим, что
тождество F) достаточно доказать для случая, когда
?±1. Действительно, пусть V — произвольный элемент
алгебры s4-. Представим его в виде
где Ь ± 1. Тогда Ь — — Ь и
\аЪ')Ь' = (а{к 1 + &))(kI - b) = k4 - {ab) Ь = k2a + (ab)b.
103
Если теперь предположить, что формула F) справед-
справедлива для вектора &, то получим
(abf) V = k2a + (bb) a = [k2 + F, 6)] а = (&', Ъ') а *),
т. е. получим, что формула F) справедлива для век-
вектора Ь'.
Итак, будем доказывать тождество F) в предпо-
предположении, что 6 J_ 1 (или, что то же самое, 6 = —6). Для
сокращения дальнейших записей обозначим число F, Ь)
через К..
Рассмотрим элемент
с = (аЬ) Ь — Ха.
Мы должны показать, что с — 0 или, что то же самое,
(с, с) = 0.
В силу свойств скалярного произведения имеем
(с, с) = ((а, Ь) 6, {аЬ) Ь) + X2 (а, а) - 2Х ({аЬ) Ь, а). G)
Правая часть состоит из трех слагаемых. Первое из них
легко упрощается с помощью основного тождества A):
({аЬ) 6, (аЪуЬ) = (аб, аЬ) F, 6) = (а, а) F, бJ = К2(а, а).
Для упрощения третьего слагаемого воспользуемся
тождеством D). Предварительно запишем это тожде-
тождество в виде
(щЬи a2b2) = 2 (аи а2) (Ьи Ь2) — {ахЬъ а2Ь{).
Полагая здесь
будем иметь
{(аЬ) 6, а) = 2 (аб, а) F, 1) - (аЬ, аЬI
но первое слагаемое правой части равно нулю вслед-
вследствие Ь J. 1, а второе равно
, аб) = (аб, аб) = (а, а) F, 6) = Л (а, а).
*) Из равенства Ь'= k\ + Ь имеем F', V) = #A, 1) + F, 6);
далее нужно учесть, что A, 1) = 1, как легко следует из основного
тождества A) при а = Ь = 1,
104
Окончательно получаем
((ab) 6, а) = Л (а, а).
Возвращаясь к равенству G), можем теперь записать
(с, с) <= к2 (а, а) + К2 (а, а) — 2Л2 (а, а) = О,
что и требовалось доказать.
Следствие леммы 2. Из тождества F) мы вы-
выведем сейчас другое тождество, которое в дальнейших
рассуждениях сыграет очень важную роль.
Подставим в F) вместо Ь сумму х + у. Получим
(а(х + у))(х + у) = (х + У, х + у)а
или
(ах) х + (ау) ~у + (ах) 1} + (ау) х =
= (*, х)а + (у, у)а + 2(х, у)а.
Но в силу того же тождества F) первое и второе сла-
слагаемые левой части равны соответственно первому и
второму слагаемым правой части, следовательно,
(аде) 'у + (ау)х = 2 (ху) а. (8)
Это и есть требуемое, тождество.
Из тождества F) при а = 1 получается
ЬЬ = F, 6I.
Эта формула в^сочетании с F) дает
(аЬУЬ = а (ЪЪ)\
отсюда тотчас следует
Аналогичными рассуждениями можно получить формулу
Ь {Ьа) = (ЬЬ) а.
Две последние формулы показывают, что алгебра $Ф является аль-
альтернативной.
4°. Окончание доказательства теоремы. Мы присту-
приступаем теперь к доказательству утверждений I), II) и III).
Напомним, что в этих утверждениях °U обозначает лю-
любую- подалгебру алгебры <я?, содержащую 1 и не сов-
совпадающую со всей алгеброй, а е — любой вектор единич-
единичной длины, ортогональный Щ.
105
Прежде всего установим, что подпространства
и °Ue ортогональны друг другу, т. е. что щ±.и2е для лю-
любых двух элементов щ ^%, и2^ °U.
Для этого воспользуемся леммой 1. Если в тожде-
тождестве D) взять ах=ии Ь{ = и2, а2 = е, Ь2=19 то получим
(щщ, е) + («!, ще) — 2 (иь е) (и2, 1).
Теперь нужно учесть, что °U есть подалгебра и, зна-
значит, щи2 принадлежит °и. Итак, щ 1 е, ихи21 е\ по-
поэтому из написанного выше равенства следует
(%, ще) = О,
т. е. щ -L и2е. Таким образом, подпространства °U и Ше
ортогональны.
Отсюда легко следует утверждение I): представление
любого элемента из <2/ -f °Me в виде щ -f u2e возможно
лишь единственным образом, В самом деле, пусть
и2е — и' + и'ое.
Тогда
и, значит, элемент v = ii\ — щ принадлежит одновре-
одновременно подпространствам <U и °Ue. Но, по доказанному
ранее, эти подпространства ортогональны друг другу;
следовательно, (и, v) = 0 и тем самым v = 0. Это дает
ul — url—0 и (и'2 — а2) е = 0.
Далее, легко видеть чтов силу основного тождества A)
из ab = 0 следует а = 0 или 6 = 0. В данном случае
произведение (и'2 — и2)е равно 0, и поскольку еФО,
должно быть и'2 — и2 = 0. Итак, и{ = и'{, и2 = и'2, и
утверждение I) доказано.
Перейдем к доказательству утверждения II). Нам
нужно проверить справедливость формулы C). С этой
целью докажем, что для любых двух элементов и и v
из подалгебры %1 имеют место формулы
(ив) v = (uv) e, (а)
и (ve) = (vuU, (p)
(не) (ve) — — vu. (у)
Из этих'соотношений формула C) вытекает очевидным
образом. Действительно, по обычному правилу умноже-
Юб
ния суммы на сумму имеем
(щ + и2е) (vx -Ь v2e) = uxv{ + (и2е) (v2e) + (и2е) vx + щ (v2e)
и если последние три слагаемых правой части преобра-
преобразовать по формулам (а), (р), (y), to получим
(щ + и2е) (v{ + v2e) = (ulvl — v2u2) + (v2ux + u2vx) e,
т. е. формулу C).
Для* доказательства (а), (p), (y) будем исходить
из доказанного ранее тождества (8):
(ах)у + (ау) х = 2Гх,у)а. (8)
Полагая в этом тождестве
а='и, х = е, y=*v
и учитывая, что v ± еь будем иметь
(ue)v
Если учесть, что е = — е (ибо е ± 1), то получаем фор-
формулу (а).
Чтобы доказать (р), положим в тождестве (8)
Учитывая, что ve = — ve (ибо veL^l и, значит, ve±.\),
получим _
и (ve) — (ve) и = 0;
если теперь воспользоваться уже доказанной формулой
(а), то будем иметь
и (ve) = (ve) и = (vu) e.
Для вывода формулы (y) воспользуемся следующим
очевидным замечанием: если эта формула справедлива
при v = с и при v = йь то она справедлива и при v =
=.c-f-rf- Поскольку каждый элемент v можно предста-
представить в виде суммы двух слагаемых, из которых одно
пропорционально 1, а другое ортогонально 1, то из сде-
лкнного выше замечания ясно, что формулу (y) доста-
достаточно доказать для двух случаев: когда v = k\ и когда
Если v = kl9 то формула (y) принимает вид
k (ие) е = — ku;
107
но такое равенство действительно имеет место в силу
тождества F). _
Пусть v±.'l (и, следовательно, v = —v). Полагая
в тождестве (8)
будем' иметь _
, (ие) (ve) — (и (ve)) е = — 2(е, ve) и.
Но выражение (е, ve) в силу тождества E) равно
(l,v)(e,e)> т. е. равно нулю. Далее, в силу (Р) второе
слагаемое левой части равно — ((vu)e)e = — vu = vu.
Отсюда
(ие) (ve) = — vuy
что и требовалось получить. Итак, все три формулы (а),
(Р)» (y)» a вместе с ними и утверждение II) доказаны.
Чтобы завершить доказательство теоремы, нам оста-
осталось сделать последний шаг: показать, что (утвержде-
(утверждение III)) любая подалгебра °U алгебры s&, содержащая
1 и не совпадающая со всей алгеброй S&, ассоциативна,
т. е.
(uv) w — u (vw)
для любых трех элементов я, v9 w из °U.
Для этой цели воспользуемся снова тождеством (8).
Полагая в нем
y
будем иметь
((ve) w)(— ие) + ((ve) (ие)) w = Q
или, если применить формулы (а), (у),
и (vw) — (uv) w = 0.
Доказательство теоремы Гурвица теперь полностью
завершено.
§ 18. Способ построения любой нормированной алгебры
и вытекающие из него следствия для задачи
о сумме квадратов
1°. Способ построения новых нормированных алгебр.
Прежде всего укажем один специальный прием, с по-
помощью которого можно, исходя из данной нормирован-
нормированной алгебры j#, построить много других нормированных
алгебр.
108
Пусть А и В — два ортогональных преобразования
в s4- (т. е. два преобразования, сохраняющих норму лю-
любого элемента x^sfi). Определим в векторном про-
пространстве, алгебры s& новое умножение — будем обозна-
обозначать его с помощью значка «°»— по формуле
A)
Как видно из этого определения, для того, чтобы
получить произведение элементов и и v в новом смысле,
следует взять вместо и и v элементы А (и) и B(v) и
перемножить их в старом смысле.
. Нетрудно убедиться, что для новой операции спра-
справедливы такие соотношения:
и о (vx + v2) = и о v{ + и о г>2, и о kv = k {и о г>)
и
+ tl2) ° V = Щ о V + U2 ° V, ktl°V = k(uo v)\
первые два из написанных равенств вытекают из ли-
линейности преобразования В, два других — из ли-
линейности А. Эти соотношения показывают, что новая
операция «о» действительно является умножением
(см. 7° §7).
Векторное пространство алгебры s?, снабженное но-
новой операцией умножения, обозначим s^q. Таким обра-
образом, stf-'И s?o — это одно и то же векторное простран-
пространство, но снабженное различными операциями умно-
умножения.
В алгебре s4- по условию задано скалярное произ-
произведение (х, у). Оказывается, что по отношению к этому
скалярному произведению новая алгебра .s#o, подобно
старой, будет также нормированной.
В самом деле, из формулы A) следует
здесь мы воспользовались нормированностью исходной
А
р
алгебры s?t а также тем, что преобразования А и В —
ортогональные, т. е.
и \B(v)\ = \v\.
2°. Конструкция произвольной нормированной алгеб-
алгебры. Указанным выше способом можно из одной норми-
нормированной алгебры s& получать много других; для этого
в формулу A) нужно подставлять те или иные ортого-
ортогональные преобразования А и В. Нам известны четыре
109
замечательных нормированных алгебры: действительных
чисел, комплексных чисел, кватернионов, октав. Нельзя
ли, применяя к ним описанную методику, получить все
вообще нормированные алгебры? Оказывается, что мо-
можно. Поскольку по теореме Гурвица указанными че-
четырьмя алгебрами исчерпываются все нормированные
алгебры с единицей, то нам нужно доказать следующую
теорему.
Теорема. Любая нормированная алгебра s^q мо-
может быть получена из некоторой нормированной алгеб-
алгебры s& с единицей введением нового умножения по фор-
формуле A) (в этой формуле о обозначает умножение в
алгебре s?o).
Для доказательства возьмем любой элемент ее^о
с нормой, равной 1, и рассмотрим преобразование ал-
алгебры s&o, при котором каждый ее элемент х перехо-
переходит в хое. Такого рода преобразование (умножение
справа на е) называется правым сдвигом на элемент е
в алгебре s&0\ обозначим его кратко А. Итак, мы вво-
вводим преобразование
А (х) = х о е.
Нетрудно видеть, что преобразование А — ортого-
ортогональное. Действительно, из равенств
следует, что преобразование А сохраняет норму любого
элемента х.
Аналогичным образом можно рассмотреть другое
преобразование
В (х) = е о х
—-левый сдвиг на элемент е в алгебре s4>§ — и показать,
что оно также является ортогональным.
Из ортогональности преобразований А и В вытекает
'(§ 13) существование обратных преобразований А и
В~х, а также их ортогональность*).
*) Сделаем одно попутное замечание. Существование преобра-
преобразований Л~! и В~1 означает, что каждое из уравнений
х°е = а и е°у = а
имеет решение, и притом единственное. Тот факт, что \е\= 1,
здесь, конечно, роли не играет; важно только, что е ф 0. Отсюда
можно сделать такое заключение: любая нормированная алгебра
есть алгебра с делением.
ПО
Используя эти преобразования, мы введем сейчас в
векторном пространстве алгебры ^0 новый закон умно-
умножения. А именно, произведение элементов х и у в но-
новом смысле определим формулой
x9 = A-l(x)oB-l(t). B)
Полученную таким образом новую алгебру обозна-
обозначим л?.
Написанное равенство выражает новое умножение
через старое. Но из него легко получить и выражение
старого умножения через новое: полагая
будем иметь
' A(u)B(v) = uov. - 1
Таким образом, если принять алгебру s$> с операцией
умножения uv за исходную, то данная нам с самого
начала алгебра s?o будет получаться из нее заменой
умножения новым умножением иоу по формуле -
u°v = A(u)B(v).
Чтобы завершить доказательство теоремы, теперь
остается только показать, что алгебра s4> обладает еди-
единицей.
Проверим, что роль единицы в алгебре зФ играет
элемент е = еое, В самом деле,- рассмотрим два про-
произведения,
хе и еу.
Для первого из них имеем
По определению обратного преобразования, элемент
и = В (е) является (единственным) решением урав-
уравнения
или, что то же, уравнения еои = еое; отсюда ясно (в
силу единственности), что этот элемент равен е. Далее,
v = А (х) означает, что х = A (v), т. е. v oe= х.
Ш
>
Учитывая это, получим
*е = А (х) о В~х(е) = v ° е = х.
Точно так же находим, что
Этим мы показали, что е — единица алгебры s4>. Тео-
Теорема доказана полностью.
Итак, все без исключения нормированные алгебры
могут быть получены из четырех известных алгебр ?>,
Ж, Q, О введением нового умножения по формуле A).
До известной степени этот факт можно рассматривать
как способ описания всех нормированных алгебр.
3°. Число п в тождестве (!). В качестве одного из
следствий теоремы мы получаем, что размерность лю-
любой нормированной алгебры равна одному из чисел 1,
2, 4, 8 (размерности алгебр действительных чисел, ком-
комплексных чисел, кватернионов и октав соответственно).
Вспомним теперь, что существует определенная связь
между нормированными алгебрами и тождествами вида
... +Фп- (О
Это связь (см. § 17) заключается в том, что, взяв лю-
любую нормированную алгебру размерности я, выбрав в
ней произвольный ортонормированный базис и записав
закон умножения в этом базисе, получим п форм
<Di, Ф2, ..., Фп, удовлетворяющих тождеству (!); более
того, таким путем могут быть получены все без исклю-
исключения тождества (!). Учитывая эту связь, мы делаем
следующее фундаментальное заключение.
Число п в тождестве (!) может быть равно только
одному из четырех чисел: 1, 2, 4 и 8.
4°. Обозрение всех тождеств (!). Конечно, из доказанной выше
теоремы можно вывести нечто большее, нежели только заключение
о числе квадратов в тождестве (!). В самом деле, зная способ
построения любой нормированной алгебры, мы тем самым имеем
некоторый способ дать описание всех тождеств (!). Покажем, что все
такие тождества получаются следующим путем.
Для данного п, равного одному из чисел 2, 4 или 8, нужно
в соответствующей алгебре Ж, Q или С взять три ортонормиро-
ванных базиса
112
разложить произвольный вектор х по первому базису, произволь-
произвольный вектор у — по второму, а их произведение — по третьему, т. е.
записать
X = 2 хъеа> У = 2 00*Р» *У = 2 °Y?Y-
а Р Y
набор <j&opjw Фу(*ь. ..., хп; у и .... #п) *) удовлетворяет
тождеству (!), причем таким путем может быть получено любое
тождество (!).
Что указанный путь всегда приводит к формам, удовлетворяю-
удовлетворяющим (!), следует из равенства
а
2 ФУ*У
Действительно, беря норму от обеих частей равенства, получаем
тождество (!).
Обратно,, покажем, что любое тождество (!) может быть по-
получено указанным образом. Мы уже знаем, что любое тождество
(!) получается, если рассмотреть закон умножения вида
(гдф А и В — ортогональные преобразования) и записать его в про-
произвольном ортонормированном базисе h, 12, ..., in. Другими сло-
словами, формы Oi, Ф2, ..., Фп, входящие в данное тождество, бе-
берутся из равенства
А
B *<аЛ в B у?Н) = 2 «Vr
Но в силу линейности преобразований А и В имеем
I j-J "^ci'a ) ^j лал \i<x)* о ^j ifftlR I — ?д У ft D
a /a
Обозначая A (ia) через ea, a J5 (ip) через k$9 придем к следующей
записи равенства C):
^7j XqQq. I j ^^ Урц
a M 0
Учитывая теперь, что каждый из наборов ei, вг, ..., еп и fei, &2, ¦. ?
ч..., k^ является ортонормированным базисом, приходим к заклю-
заключению, что набор форм Oi, Ф2, ..., Фп получается так, как ука-
указано выше. v
*) Чтобы фактически найти выражения для форм Фу, нужно за-
записать
\ ( 2 ^|3*р) и 2
и каждое произведение eak$ заменить его разложением по
б И. Л. Кантор, А. С. Солодовников ИЗ
Для более подготовленного читателя приведем то же самое
обозрение тождеств (!) в других терминах. При данном я = 1, 2,
4, 8 нужно взять какой-либо один определенный набор Фи Фг, ...
..., Фп и менять его следующим образом: переменные Xi, X2, ...
.... хп в выражении для Фг заменяются переменными х{,х2, ..., хп,
выражающимися через Xi, хг, ..., *п с помощью некоторого
ортогонального преобразования А\ аналогичная операция про-
производится над у и (/г, ..., Уп с помощью другого ортогонального
преобразования В. После этого получившийся набор форм
Ф,, Ф2, ...» Фп подвергается третьему ортогональному преобразо-
преобразованию С.
Условимся считать два тождества (!) эквивалентными, если
одно из них получается из другого только что указанным спосо-
способом. Тогда будет справедливо следующее предложение: при дан-
данном п = 1, 2, 4, 8 существует только одно, с точностью до экви-
эквивалентности, тождество (!).
5°. Примеры нормированных алгебр размерностей
2 и 4 и связанных с ними тождеств (!). Среди нормиро-
нормированных алгебр размерности 2 только одна, как-мы зна-
знаем, обладает единицей; это — алгебра Ж комплексных
чисел. Учитывая, что переход к сопряженному комплекс-
комплексному числу:
есть ортогональное преобразование алгебры Ж (ибо
|дс| = |*|), мы можем построить еще по крайней мере
три новых алгебры. Для этого обычное умножение ху
комплексных чисел заменяем новыми операциями
х Ф у = хуу
х[® У = ху, D)
Получаются три новых нормированных алгебры Жи
•Я .2» «ЛЗ-
В качестве полезного упражнения предлагаем чита-
читателю доказать, что любая нормированная алгебра раз-
размерности 2 изоморфна одной из алгебр Ж, Ж\У Ж2, Ж^
причем среди этих четырех алгебр никакие две не изо-
изоморфны.
Приведем теперь примеры тождеств (!), связанных
с только что описанными алгебрами.
Для алгебры Ж\ в базисе 1, i имеем
х ф у=ху = (х, — x2i) {yx + y2i) =
+ х2у2) + (xty2
114
поэтому соответствующее тождество будет
(*? + 4) (У* + У%) = (*1# 1 + *2#2J + (Х1У2 - Х2
Оно, как видим, несколько отличается от уже знакомого
нам тождества
? + 4) {У\ + У%) = (*i0i - ^2J + (*#2 + *2#iJ> E)
отвечающего в том же базисе 1, * алгебре Ж.
Тождество, более отличающееся от E), можно полу-
получить, приняв в качестве исходной алгебру Ж и выбрав
в ней за базисные векторы элементы
и в2=
Нетрудно проверить, что эти два элемента образуют ор-
тонормированный базис. Запишем в этом базисе закон
умножения:
(uiei + u2e2){vlel + v2e2) =
у~ («i»2 + ^1^2 + "i^i — ЩУ2) е
+ — (uxv2 +
Соответствующее тождество будет
Обратимся к нормированным алгебрам размерно-
размерности 4. В этом случае единственная алгебра с единицей—
это, как мы знаем, алгебра Q кватернионов. Так же,
как в случае комплексных чисел, операция сопряжения
есть ортогональное преобразование алгебры Q. Поэтому
существует еще по крайней мере три нормирован-
нормированных алгебры размерности 4 — &и С?2, ??з с умножением,
определенным по формулам D). Однако в четырехмер-
четырехмерном случае существуют еще и другие нормированные
5* Пб
алгебры, например, алгебры с умножениями вида
axyb,
ахуЬу
ахуЬ,
axyb,
где а и Ъ — два фиксированных кватерниона.
Можно показать (предоставляем это читателю), что
любая нормированная алгебра размерности 4 изоморф-
изоморфна одной из алгебр такого вида.
Рассмотрим в качестве примера первое из указанных
умножений при а = i, Ь — /. Мы получаем нормирован*
ную алгебру Q с законом умножения
Найдем, какое тождество (!) отвечает этой алгебре, если
в качестве базисных элементов взять 1, i, ]\ k.
Имеем
xoy=(i(x0 + xxi + x2j + x3k)) ((y0 + У it + y2j + yzk) j) =
= (лго* — xi + x2k — x3j){yQj + yxk — y
— {Х1У2—Х2У1 + *оУз + ХзУо) + {—xoy2
+ {—Х1У0—Х0У1 + хъу2—х2ух) j + {x0y0—xlyl—x2y2—x3y3) k.
Соответствующее тождество будет
= (Х1У2—Х2У1 + x0y3 + x3yQJ+{—xQy2—x2y0 + xxy3—x3yxf +
— Х1У0 — xQy{ + x3y2 — x2yxf + (xQy0—xlyi—x2y2—x3y3J.
Примеров тождества (I) для п = 8 (отличных от
«стандартного» тождества на стр. 44) мы здесь не приво-
приводим, так как они громоздки, а получение их принци-
принципиальных трудностей не представляет.
§ 19. Теорема Фробениуса
1°. Формулировка теоремы Фробениуса. Одна из
классических задач теории алгебр.— это разыскание
всех алгебр с делением. Несмотря на ее, казалось бы,
фундаментальный характер (а также несмотря на то,-
что в решение этой задачи упирается ряд вопросов из
116
других разделов математики,.например, топологии), эта
задача в полном объеме не решена до сих пор. Важный
результат был получен совсем недавно. Он состоит в
том, что размерность любой из таких алгебр равна
одному из чисел 1,-2, 4, 8. Хотя, как видно отсюда, раз-
размерности алгебр с делением не слишком^ велики, все
же полного обозрения этих алгебр нет и сейчас.
Однако, если помимо существования деления, мы на-
наложим на искомую алгебру еще и другие требования
естественного характера, то, разумеется, наша задача
станет значительно легче. В 1878 г. немецкий матема-
математик Г. Фробениус доказал следующую замечательную
теорему.
Теорема Фробениус а. Любая ассоциативная
алгебра с делением изоморфна одной из трех: алгебре
действительных чисел, алгебре комплексных чисел или
алгебре кватернионов.
Впоследствии был установлен более общий резуль-
результат, который можно назвать обобщенной теоремой Фро-
бениуса.
Обобщенная теорема Фробениус а. Лю-
Любая альтернативная алгебра с делением изоморфна
одной из четырех алгебр: действительных чисел, ком-
комплексных чисел, кватернионов или октав.
Напомним, что альтернативной называется такая ал-
алгебра, в которой для любых двух элементов а и 6 спра-
справедливы равенства
(аЬ)Ь*=а{ЬЬ)
и
(ЬЬ)а = Ь{Ьа).
Очевидно, что любая ассоциативная алгебра автомати-
автоматически является альтернативной, поэтому теорема Фро-
Фробениуса1' вытекает из обобщенной теоремы Фробениуса
(следует учесть, что алгебра октав не ассоциативна).
Чтобы доказать обе сформулированные выше тео-.
ремы, мы перечислим сначала некоторые свойства ас-
ассоциативной алгебры с делением. Затем будет показано,
как из этих свойств выводится теорема Фробениуса.
Доказательства самих свойств будут даны вслед за
этим. В последнем пункте параграфа будет приведено
доказательство обобщенной теоремы Фробениуса, ис-
использующее теорему Гурвица,
117
2° Три утверждения о свойствах ассоциативной
алгебры с делением.
Утверждение I. Алгебра s& содержит единицу.
Утверждение II. Если элемент a^s& не про-
порционален 1, то совокупность Жа элементов вида
al + ра.
образует подалгебру, изоморфную алгебре комплекс-
комплексных чисел.
Утверждение III. Если элементы ai e*s#, a^e$$>
не принадлежат одной подалгебре Жа, то совокупность
Qn n элементов вида
al +
образует подалгебру, изоморфную алгебре кватернионов.
Отметим, что в процессе доказательства утвержде-
утверждения III будет установлен следующий факт: если bv и
t>2 — два элемента^ квадраты которых равны —1, то
ЬхЬ2 + Ъфх=Х\, A)
где К — действительное число.
3°. Доказательство теоремы Фробениуса. Исходя из
утверждений I, II, III, уже совсем нетрудно доказать
теорему Фробениуса. Пусть s& — ассоциативная алгебра
с делением. Согласно утверждению I, алгебра s& обла-
обладает единицей. Элементы вида k\ образуют подалгебру
3), изоморфную алгебре действительных чисел. Если ?&
не совпадает со всей^ алгеброй «5$, то, согласно утвер-
утверждению II, в яФ содержится подалгебра Жа, изоморфная
алгебре комплексных чисел. Если Жа не совпадает со
всей алгеброй S&, то, согласно утверждению III, в М> со-
содержится подалгебра Qa, ь, изоморфная алгебре ква-
кватернионов. В случае, когда Qut ъ совпадает со всей ал-
алгеброй s&, доказывать больше нечего. Предположим по-
поэтому, что существует элементе, не принадлежащийQa,ь>
и покажем, что тогда А не может быть алгеброй с деле-
делением.
В кватернионной алгебре Qa, ъ выберем базис 1, *,
/, k со «стандартной» таблицей умножения:
;2 :2 U2 |
ц = — ji = ft, jk = — kj = i, kl = — ik = /,
118
а элемент с представим в виде р\ + qe, где е2 = —1
(е есть «мнимая единица» комплексной алгебры Жс).
Преобразуем теперь элемент ie, используя ассоциа-
ассоциативность умножения в алгебре $&, а также соотношение
A). Имеем
= /(—eft+ А
= ~ (- ej + X"\) k + А'/ = ег — X"k + K'j
и, следовательно,
ie — ег = A'/ — K"k.
С другой стороны, опять в силу A),
Складывая эти два равенства, находим, что ie есть эле-
элемент из Qa, ь- Следовательно, ic = i (pi + qe)ecrh так-
также элемент из Qa, ъ- Мы видим, что умножение i на лю-
любой элемент, не принадлежащий Qa% ь, дает элемент из
Qat ь- Но и в том случае, когда с' е Qa> ь, произведение
ic' есть элемент из С?а,ь- Таким образом, элемент г в
произведении с любым элементом алгебры s4- дает эле-
элемент из Gayb. Но это невозможно, если М- есть алгебра
с делением (уравнение гх = с, где с не содержится в
?fa,ь, оказывается неразрешимым). Этим (если считать
справедливыми утверждения I, II, III) доказана теорема
Фробениуса.
4°. Доказательство утверждений I, II, III. Итак, что-
чтобы завершить доказательство теоремы Фробениуса, нам
осталось только проверить справедливость утвержде-
утверждений I, II и III.
Доказательство утверждения I. Пусть
а — какой-нибудь отличный от нуля элемент алгебры
Рассмотри^ уравнение
ха = а.
Так как s& есть алгебра с делением, то написанное
уравнение имеет решение, и притом единственное; обо-
обозначим это решение (т. е. искомый элемент х) через е.
Итак, еа = а. Умножая обе части этого равенства слева
ца 6, получим b(ea) = ba9 или, учитывая ассоциатив-
ассоциативность алгебры «5$, (be)a = ba. Ввиду единственности ре-
решения уравнения ха = Ъау отсюда следует
Ье = Ь.
119
Умножая теперь полученное соотношение справа на
с и рассуждая аналогично,"находим
Поскольку элементы бис произвольны, то два по-
последних равенства означают, что элемент е является
единицей алгебры s&. В дальнейшем единицу алгебры
будем обозначать, как обычно, 1.
Доказательство утверждения II. Для на-
нашей цели достаточно показать, что элемент а удовлет-
удовлетворяет квадратному уравнению
/1=0 B)
с отрицательным дискриминантом*).
Рассмотрим последовательные степени элемента 'а:
а°=1, а1, а2, а3, ..., ап,
где п — размерность алгебры. Из теоремы 2 § 9 выте-
вытекает, что эта система из п + 1 векторов линейно зави-
зависима, т. е. что некоторая степень должна разлагаться
по предыдущим:
Иначе говоря, элемент а удовлетворяет уравнению т-й
степени ,
— km_xxm~x — ... — k2x2 — kxx — kQl = 0.
Выражению, стоящему в левой части этого уравне-
уравнения, можно сопоставить обычный многочлен т-й сте-
степени
обозначим его коротко Р(х).
Как известно, любой многочлен с действительными
коэффициентами может быть разложен в произведение
многочленов первой и второй степеней; при этом,- разу-
разумеется, можно считать, что каждый множитель второй
*) Действительно, из B) следует а2 = —sa — И, значит, мно-
множество элементов вида al + Pa замкнуто относительно умножения;
тем самым указанное множество является гиперкомплексной си-
s2
стемой размерности 2. Согласно 2° § 2, при — — t < 0 (отрица-
(отрицательность дискриминанта) такая система изоморфна системе комп-
комплексных чисел.
120
степени уже неразложим (в произведение двух множи-
множителей первой степени). Итак,
Р(х) = Рх(х)Р2(х) ...Ра(х), C)
где каждый из множителей правой части есть либо
многочлен первой степени, либо неразложимый много-
многочлен второй степени.
Чтобы понять дальнейшее рассуждение, читатель
должен отчетливо представлять смысл равенства (ЗК
Каждый из многочленов *РХ (х), ..., Ps(x) представляет
собой сумму двух или трех членов:
х +1 или х2 + sx + U
Равенство C) говорит о том, что если перемножить вы-
выражения Р\(х), ..., Ps(x) по правилу умножения сум-
суммы на сумму, затем воспользоваться формулой
¦v*fe » у1 ——— ¦t'ft-H/
и сделать приведение подобных членов, то получится
выражение Р(х).
Но правила действий над степенями элемента а—*
те же, что и над степенями неизвестной х:
0Я . qI ___ ?fk + l
(ведь алгебра ?& предполагается ассоциативной). От-
Отсюда видно, что равенство C) останется в силе, если
вместо неизвестной х подставить элемент а:
Но поскольку Р(а) = 0, то
Pl(a)P2(a) ...Ps(a)=-0. D)
Воспользуемся далее тем, что s& есть алгебра с де-
делением. Из этого факта вытекает, что если произведе-
произведение нескольких элементов равно нулю, то хотя бы один
из множителей равен 0 (действительно, если uv = 0 и
и Ф 0, то ввиду единственности решения уравнения
их — 0 должно быть z/ = 0). В применении к D) это
означает, что для некоторого номера /
Pi (a) = О,
f 121
т. е. что элемент а удовлетворяет уравнению первой или
второй степени. Однако уравнение первой степени по-
получиться для а не может, ибо тогда
т. е. элемент а пропорционален 1, вопреки условию лем-
леммы. Следовательно, а удовлетворяет некоторому квад-
квадратному уравнению B). Так как при этом многочлен
второй степени Pi(x) неразложим, то его дискриминант
должен быть отрицательным числом. Утверждение II
доказано.
Доказательство утверждения III. Выберем
в подалгебре Жп1 такой элемент 6lf что 6? = — 1 Fj есть
«мнимая единица», в комплексной алгебре Жа)< Ана-
Аналогичным образом в подалгебре Жаг выберем элемент 62
такой, что &2 = — 1. Так как 6^ 62 отличаются от аи а2
(соответственно) на слагаемые, кратные 1, то совокуп-
совокупность элементов вида al + P#i + Y#2 + ^й{а2 совпадает
с совокупностью элементов вида a'l + $'bl + \'b2+b'bib2,
иначе говоря, Caitfl2 совпадает с Qb bt.
Далее, нетрудно видеть, что если
ei = bu e2 = k{bi + k2b2,
причем k2=?0t то множество Qo л будет то же самое,
чт0 Gh h> & значит, и Qn _. Покажем, что числа k{
и k2 можно выбрать так, чтобы были справедливы
равенства
-\ E)
(впрочем, первое равенство справедливо при любом
выборе &ь k2).
Для этой цели" запишем, что
(bx + b2f = b\ + bl + F162 + 6261) = -2-1+ F162 + 6261),
но, с другой стороны, квадрат элемента Ь{ + 62 должен
разлагаться по 1 и Ъ{ + 62:
Следовательно,
6i62 + 6261 = (р + 2) 1 + q (Ь{ + 62). F)
122
Аналогично,
Fi + 262J = b\ + Abl + 2 (M2 + 6261) =
= —5. 1 + 2F^2
+ 262);
следовательно,
6,62 + Mi = \ (p' + 5) 1 + \ ?' (fti
Если бы было q^O, то, приравняв два выражения
для 6162 + 62&i, мы получили бы, что 6, отличается
от Ь2 на элемент, кратный 1, т. е. Ь2^Ж^> что исклю-
исключено условием. Следовательно, q = 0 и равенство F) дает
Ь1Ъ2-\-Ъ2Ь{ = %\. A)
Итак, если Ъи Ъ2 — два элемента, квадраты которых
равны —1, то справедливо равенство A).
Теперь нетрудно определить искомые элементы ег
и е2. Рассмотрим для этой. цели элемент с = ХЬХ + 262»
где Я взято из равенства A). Его квадрат равен
с2 = — Я21 — 4- 1+2ЛF1&2 + &2&1) = (Я2-4)- I, G)
поэтому должно быть Я2 — 4 < 0 *). Положим
1 -
тогда из G) будет следовать, что е| = — 1, т. е. второе
из равенств E). Чтобы установить третье, заметим
сначала, что
е{е2 + е2ех = 0; (8)
это следует из
е{е2 + е2ех = у=^ (Ъг (Я6, + 262) + (Я», + 262) 6,) =
1 (— 2Я - 1 + 2 F,62 + Ь26,)) = 0.
]/-Я2
*) ^сли бы бьлло р = Я2 — 4 ^ 0, то из с2 = pi следовало бы
(с— ^р •l)(c + Kp"e 0 = 0, т. е. c^Vp'l или с = —У"р"«1.
Но это невозможно, так как &i и Ъ2 не лежат в одной комплекс-
комплексной подалгебре.
123
Используя (8), получаем
(е,е2J = (е,е2) (еке2) = (е,е2) (- е2е,) =
что и завершает доказательство равенств E).
У Q
вида
р р ()
Установим теперь, что множество Qo л элементов
al + $е{ + уе2 + Ьеке2
(совпадающее, как уже говорилось, с Q eJ есть под-
подалгебра алгебры s4-.
Для этого достаточно проверить, что произведение
любых двух элементов из четверки
1, еи е2, ехе2 A0)
разлагается по тем же четырем элементам. Нам уже
известны все произведения, кроме следующих:
Каждое из них легко вычисляется:
ei \е\е2)=== е\е2=== "~ в2»
\е\в2) е\ ~ "" (в2е0 ei = ~ в2в1
Итак, интересующее нас множество ($et ег является
подалгеброй.
Остается проверить, что эта подалгебра изоморфна
алгебре кватернионов. Для этого мы докажем, во-пер-
во-первых, что четверка элементов A0) образует в этой под-
подалгебре базис, и, во-вторых, что таблица умножения
для этого базиса — в точности такая же, как для ба-
базиса 1, i, /, k в алгебре кватернионов.
Для доказательства того, что элементы A0) состав-
составляют базис, заметим, что любой элемент подалгебры
@еие2 по ним разлагается; следовательно, остается
лишь показать, что указанные элементы линейно неза-
независимы или (см. 3° § 8) что ни один из четырех эле-
элементов A0) не разлагается по предшествующим ему
элементам этой четдерки. Но элемент е2 не разлагается
124
по еи 1 (это следует из того факта, что элементы еи &2
не принадлежат одной подалгебре Жа)- Остается по-
поэтому проверить, что exe2 не разлагается по е2, еХу 1,
т. е. что невозможно равенство вида
+ rl. A2)
Предположим, что такое соотношение имеет место.
Тогда ни одно из чисел р, q не равно нулю (если бы,
например, было р = О, то, умножив обе части A2)
слева на ех, мы получили бы, что е2 разлагается по ех
и 1, что невозможно). Умножая обе части A2) слева
на еи получим
— е2 == ре{е2 — q\ + гех
или
1 г , q 1
1 * р р р
Вычитая из одного выражения для exe2 другое, получим
В этом равенстве коэффициент при е2 должен быть ра-
равен нулю (иначе получилось бы, что е2 разлагается по
в\ и 1), что невозможно ни при каком действительном /?.
Таким образом, элементы
1, е{, е2, е3,
где еъ = ехе2, образуют базис подалгебры QeitC.
Чтобы установить, что подалгебра Qe^ e^ изоморфна
алгебре Q кватернионов, остается сделать последний
шаг: показать, что таблица умножения для алгебры
Qp _ в базисе
1, ех, е2, е3
в точности такая же, как для алгебры Q в базисе
1, I, /, к.
Но это непосредственно видно из соотношений E), (8),
5°. Доказательство обобщенной теоремы Фробениуса, опираю-
опирающееся на теорему Гурвица. Выскажем сначала некоторое -замеча-
-замечание но поводу определения альтернативной алгебры. Мы назвали
альтернативностью выполнение тождеств
(аЬ) Ь = а (ЪЬ) и Ь{Ьа) = {ЬЪ)а.
125
Однако, помимо этого определения, имеется еще и другое, которое
мы будем называть вторым определением альтернативности. Оно
состоит в следующем.
Пусть а и Ь — два произвольных элемента алгебры s&. Рас-
Рассмотрим всевозможные произведения, составленные из них. Если
каждое такое произведение не зависит от способа расстановки ско-
скобок, алгебра зФ называется альтернативной.
Например, это означает, что
(аЬ)Ь=а(ЬЬ),
(аЬ) (Ьа) = (а (ЬЬ)) а
и т. п.
Очевидно, из второго определения альтернативности следует
первое. Можно показать, что и обратно, из первого определения
следует второе (этот факт составляет содержание георемы Артина,
которую мы здесь доказывать не будем).
При доказательстве обобщенной теоремы Фробениуса мы бу-
будем исходить из второго определения альтернативности. Таким об-
образом, строго говоря, мы докажем следующую теорему: если ал-
алгебра з4> с делением такова, что любое произведение, составленное
из двух произвольных элементов а и Ь, не зависит от расстановки
скобок, то алгебра s4> изоморфна одной из четырех алгебр: дей-
действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октав.
Важным моментом доказательства является тот факт, что
утверждения I, II, III о свойствах ассоциативной алгебры с деле-
делением остаются справедливыми и в случае альтернативной алгебры
с делением.
Что касается утверждений II и III, то в их доказательствах,
приведенных выше, не нужно менять ни строчки. Действительно,
если внимательно просмотреть эти доказательства, то обнаружится,
что ассоциативность алгебры используется только в двух местах:
в формуле an-am = an+m для перемножения степеней и в соот-
соотношении (е 1еъ) (е2еi) ~ {?iet) ei> примененном в цепочке ра-
равенств (9). Но очевидно, и то и другое остается справедливым
в случае альтернативной алгебры.
Доказательство утверждения I для альтернативного случая
придется несколько изменить. Найдя элемент е из уравнения ха = а
и умножив обе части равенства еа == а слева на е, получим
е (еа) = еа или, учитывая альтернативность, (ее) а = еа. Отсюда
следует, что ее = е. Опять-таки в силу альтернативности имеем
(бе) е = Ь (ее) и е (ее) = (ее) с, т. е. (бе) е = Ье и е (ее) — ее.
Отсюда следует Ье = Ь и ее == с. Значит, е — единица алгебры.
Чтобы теперь доказать обобщенную теорему Фробениуса, мож-
можно было бы пойти по тому же пути, что и при доказательстве тео-
теоремы Фробениуса, т. е. показать, что если рассматриваемая нами
альтернативная алгебра $4- не исчерпывается подалгеброй Qa, ь,
то в ней содержится подалгебра, изоморфная алгебре октав; после
чего оставалось бы только доказать, что эта подалгебра совпадает
со всей алгеброй s&. Такой способ доказательства возможен, од-
однако он потребовал бы довольно длинных рассуждений. Поэтому
мы выберем другой путь, а именно, попытаемся доказать, что ал-
алгебра s& является нормированной. Отсюда по теореме Гурвица
будет следовать нужный нам результат.
126
Введем в алгебре s& операцию сопряжения следующим обра-
образом. Если элемент а пропорционален 1, то а = а. Если же а не
пропорционален 1, то, согласно утверждению II," он содержится в
комплексной подалгебре Жа. В_этой подалгебре для элемента а
имеется сопряженный элемент а, который мы и примем за эле-
элемент, сопряженный к а в алгебре S&. _
Из определения а непосредственно вытекает, что а = a, a
также
ka = k~a, A3)
где k — любое действительное число.
Для вывода других свойств сопряжения нам необходимо вы-
выяснить один вопрос. Пусть элемент а не пропорционален 1. Рас-
Рассмотрим какую-либо кватернионную подалгебру Qa^ а^ содержа-
содержащую а. В эгой подалгебре для а тоже имеется сопряженный "эле-
"элемент а. Будет ли он совпадать с определенным выше элементом а?
Покажем, что будет._
Элементы а и а, как сопряженные в комплексной алгебре,
удовлетворяют условиям
а + а = (действительное число) • 1 A4)
и __
аа = (действительное число)•1. A5)
Элементы ana как сопряженные в алгебре кватернионов удовле-
удовлетворяют аналогичным условиям:
а + а = (действительное число) «1 A4')
и
аа =(действительное число)•I. A5Л)
Вычитая из равенств A4) и A5) соответственно равенства A4')
и A5"')» получим
и
а — а =(действительное число)•1
а (а — а) = (действительное число) • 1.
Если афа, то из этих соотношений вытекает, что элемент а про-
пропорционален 1, что противоречит предположению.
Таким образом, элемент, сопряженный а, один и тот же, неза-
независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной
подалгебры Жа (т. е. как комплексное число) или же как элемент
какой-либо подалгебры Qaita2 (T- е- как кватернион).
Заметим попутно, что то же самое относится и к модулю эле-
элемента а. Поскольку (модуль аJ = аа как в случае комплексных
чисел, так и в случае кватернионов, то модуль элемента а не за-
зависит от tofo, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной
или же кватернионной подалгебры.
Из того, что доказано нами относительно сопряжения, лег-
легко следует, что для любых двух элементов а и b алгебры зФ
.127
справедливы равенства
а + 6 = а + 6, A6)
а6="ба. A7)
Действительно, если а и 6 принадлежат одной комплексной под-
подалгебре (т.. е. Жа совпадает с Жъ), то написанные'равенства Суть
свойства сопряжения в этой подалгебре; если же 6 не содержится
в Жа, то эти равенства снова справедливы — уже как свойства со-
сопряжения в Qa, ъ.
Из формулы (Г7) и из 6 = 6 вытекает, что элемент, сопря-
сопряженный ab, равен Ьа\ следовательно,
* аЬ + Ьа = (действительное число) • 1.
Определим в алгебре зФ скалярное произведение (а, Ь) с помощью
формулы - __
аЬ + Ъа = Т{а, Ь) • 1.
Что выражение (л, 6) обладает всеми свойствами скалярного про-
произведения, проверяется просто. Напомним эти свойства: У
1) (а, а) >0, если а ф 0, и @, 0) = 0;
2) (а, Ь) = F, а);
3) (a, kb) =* ? (а, 6);
4) (а, fri + Ь2) = (а, 60 + (а, 62).
В-данном случае свойство 2) очевидно. Свойства 3) и 4) выте-
вытекают непосредственно из формул A3) и A6). Для доказательства
свойства 1) следует написать
(я, а) • 1 = аа = (модуль аJ • 1 A8)
и учесть, что модуль комплексного числа р. строго положителен,
если а ф 0, и равен нулю, если а = 0.
Заметим, что из равенств A8) следует
У (а, а) = модуль а,
т, е. норма элемента а в алгебре s& совпадает с модулем а как
комплексного числа (или кватерниона).
Так как любые два элемента а и b алгебры $Ф принадлежат
одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то
(модуль а6J== (модуль аJ-(модуль бJ
(ведь алгебра комплексных чисел, так же как и алгебра кватер-
кватернионов, является нормированной), или
(сб, а6) = (а, а) F, 6).
Но это равенство как раз и означает нормированность алгебры $1.
Дальше вступает в действие теорема Гурвица, согласно которой
алгебра s& изоморфна одной из четырех «стандартных» алгебр:
действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов, октаб,
В этом как раз и заключается обобщенная теорема Фробениуса.
128
§ 20. Коммутативные алгебры с делением
1°. Формулировка результата. В предыдущем параг-
параграфе мы нашли все алгебры с делением, удовлетворяю-
удовлетворяющие дополнительно условию ассоциативности. Ниже бу-
будет дано описание всех алгебр с делением при допол-
дополнительном условии коммутативности.
Прежде всего сошлемся на следующий факт, кото-
которого мы доказывать^здесь не будем.
Любая коммутативная алгебра с делением имеет
размерность не выше 2*).
Поэтому для решения поставленной задачи нам
остается перечислить все коммутативные алгебры с де-
делением размерности 2.
Чтобы сформулировать ответ, введем обозначение
•я?(а, р, y) Для коммутативной алгебры размерности 2
с таблицей умножения вида
k2 ° k2 = — ak{ — pfe2, A)
k{ о k2 =
где числа а, р, y удовлетворяют следующим условиям:
1) aY-p2=±l;
2) p>0;
3) a^O, причем если a = 0, то y^O.
Теорема. Любая коммутативная алгебра s4> с де-
делением размерности 2 изоморфна одной из алгебр
«я?(а, р, у). Все алгебры s?(a, p, у) суть алгебры с де-
делением и никакие две из них не изоморфны друг другу.
Дальнейшая часть параграфа посвящена доказа-
доказательству этой теоремы.
*) Остроумное доказательство этого предложения, использую-
использующее топологические соображения, нам сообщил Г. Шпиз. Приве-
Приведем это доказательство .для читателя, знакомого с элементарными
понятиями топологии.
ПусгьЧя^ — коммутативная алгебра с делением размерности п.
Если для каких-нибудь двух элементов х и у справедливо равен-
равенство х2 = у2, то в силу коммутативности имеем (х — у)(х + у)=0\
ввиду отсутствия делителей нуля это означает х = у или х = —у.
Отсюда видно, что отображение х-^х2 индуцирует мономорфное и
непрерывное отображение сферы Sn~l в проективное пространство
RPn~i. Как известно, такое отображение возможно только при
п = 2.
129
2°. Связь между операцией умножения в алгебре s4-
и умножением комплексных чисел. Итак, пусть бФ—
коммутативная алгебра с делением. Обозначим умно-
умножение в алгебре s& через¦ хи у.
Зафиксируем какой-нибудь элемент аФО и рассмот-
рассмотрим преобразование х —+а п х. Это преобразование яв-
является, очевидно, линейным. Обозначим его А. Так как
данная алгебра есть алгебра с делением, то для пре-
преобразования А существует обратное преобразование А~К
Введем для элементов нашей алгебры новый закон
умножения
11 B)
Алгебра с умножением х-у снова является алгеброй
с делением (из однозначной разрешимости уравнений
аи х = Ь и х ? а = Ь вытекает однозначная разреши-
разрешимость уравнений ах — Ь и х-а = Ь). В этой алгебре
элемент а ? а играет роль единицы (доказательство см.
на стр. 111, где рассматривается аналогичная конструк-
конструкция). Но единственная алгебра с делением, обладающая
единицей, — это алгебра комплексных чисел (§ 2). По-
Поэтому элементы х и у можно трактовать как комплекс-
комплексные числа, а операцию ху как обычное умножение ком-
комплексных чисел.
Обозначая А~1(х) через и и А*1 (у) через v9 пере-
перепишем B) в виде
и ? v = А (и) • A (v).
Тем самым умножение в исходной алгебре $4> мы выра-
выразили через умножение в алгебре комплексных чисел.
Сделаем теперь следующий шац: рассмотрим умноже-
умножение
и о v = А (и • v) C)
и покажем, что алгебры с умножениями и d v и и о v
изоморфны.
Для этого запишем таблицу умножения о в каком-
нибудь базисе еи е2 и докажем, что она в точности сов-
совпадает с таблицей умножения ? в базисе е'\ = А~1 (е\),
х
Действительно, пусть
130
Тогда
et и e'f = A {e'i) • Л (e,) = et • в/ = Л {еь ° еу) =
— Л (ов! + ре2) = аЛ fa) + рЛ (е2) = а* + Р<4
что и доказывает совпадение таблиц умножения.
Итак, мы показали, что исходная алгебра s4> изоморф-
изоморфна алгебре с умножением C), где uv есть обычное про-
произведение комплексных чисел, а Л — некоторое линейное
преобразование, для которого существует обратное пре-
преобразование А~К С другой стороны, очевидно, что любая
алгебра такого рода есть коммутативная алгебра с деле-
делением. Таким образом, задача перечисления всех алгебр
с делением размерности 2 свелась к тому, чтобы среди
алгебр C) выделить все неизоморфные между собой.
3°. Отыскание алгебры st> (а, р, \), изоморфной
алгебре s&. Нам необходимо в алгебре C) найти такой
базис ku k2, в котором таблица умножения имеет вид A)
(с некоторыми ограничениями на а, р, у). Запишем
сначала таблицу умножения алгебры C) в базисе
^- 01 = 1, е2 = «.
Поскольку
е2ое2 = А (е2 • е2) — А(—1) = — Л A),
в{ о е2 = Л (в! • е2) = A (i),
то, полагая А(\) = а-\- Ыу A(i) = с + diy будем иметь
в[О е{= ав\ + Ье2>
е2 ° е2 = — ае{ — be2i D)
в\ о е2 = св\ + de2.
Поставим вопрос: существуют ли, помимо еь е2 (т. е.
помимо 1, i), в алгебре s4> другие базисы, в которых
таблица умножения подобна таблице D):
k2 о k2 = — а&! — рй2, E)
иначе говоря, существуют ли базисы, для которых
k\°k\ = — ft2 о ft2* F)
131
Так как равенство F) равнозначно A(kx-kx)=a
= — A (k2 • к2) или A (ki • kx) = A (— k2 • k2), то из суще-
существования обратного преобразования А следует, что
ky • fe2 = — k2 * &2> ИЛИ
Следовательно, все, базисы, в которых таблица умно-
умножения имеет вид E), суть
kt=f, k2=±if> G)
/ — произвольное (не равное нулю) комплексное
число.
Базисов G), разумеется, существует бесчисленное
множество. Сейчас мы покажем, что среди них обяза-
обязательно найдется такой, в котором
выполняется условие
= 6,
Рис. 17.
т. е. базис, в котором таблица
умножения имеет вид A).
Для этой цели примем снова
за исходный базис ех = 1; е2 = i9
а искомый базис запишем в виде
ki = р (cos ф + i sin ф),
k2 = ± ip (cos ф + i sin ф).
Чтобы отыскать р и ф, мы должны:
a) вычислить произведение kxoku исходя из фор-
формул D),ji полученный элемент разложить по kx и k2t
b) вычислить таким же образом произведение kxok2
и полученный элемент разложить по kx и k2\
c) коэффициент при k2 в первом разложении при-
приравнять коэффициенту при kx во втором разложении.
Эту вычислительную работу мы предоставляем сде-
сделать читателю. Результат будет следующим: на р не
накладывается никаких ограничений, а ф находится иа
условия
1 О — С
ь т а + d '
Очевидно, это условие определяет угол ф с точностью
до слагаемого вида ял и, значит, определяет на пло-
плоскости два луча (рис. 17), составляющих одну прямую
1\. На этой прямой лежит вектор, изображающий ком-
132
плексное число k\ (или, как мы будем говорить, век-
вектор ki). Другой вектор k2—±iki лежит на своей пря-
прямой 12. Длины обоих векторов совпадают.
Итак, приходим к следующему описанию всех бази-
базисов k\9 k2, в которых таблица умножения имеет вид A).
Базисный вектор k\ выбирается на однозначно опреде-
определяемой прямой U, базисный вектор k2 — на перпендику-
перпендикулярной прямой 12\ длины р векторов должны быть одина-
одинаковы. Заметим, что при данной длине возможны ровно
4 искомых базиса (рис. 18).
V "*
Рис. 18.
Теперь следует сказать, что если от базиса ки к2 мы
переходим к другому базису Kku Xk2t где X— положи-
положительное действительное число, то все коэффициенты в
таблице умножения A) умножаются на X. Поэтому,
если наложить на бааис дополнительное условие '
ау — р2=* ± 1,
то этим самым определится единственное значение X,
Тогда от указанного выше бесчисленного множества ба-
базисов останутся ровно 4 базиса (см. рис. 18).
Итак, существуют ровно 4 базиса:
\ —~ _i- *v, IV2 —— _A_ f-fV,
для которых таблица умножения имеет вид
k2 о k2 = — ctfej —
yk2,
причем
aY~p2==±l.
Сделаем теперь последний шаг: покажем, что среди
указанных выше четырех базисов можно выбрать такой,
в котором р ^ 0 и а ^ 0, причем если а = 0, то у ^ 0.
133
Действительно, если в базисе ku k2 имеем р < 0, то,
перейдя к базису ku —fc2, получим новую таблицу, в ко-
которой р > 0. Аналогично, если а < 0, то, умножив пер-
первый базисный вектор на —1, получим таблицу, в кото-
которой а>0 (при этом знак р не меняется); если же
а = 0, то это же преобразование позволяет изменить
знак Y-
Подведем итог. Для каждой коммутативной алгебры
$$• с делением размерности 2 существует базис, в кото-
котором /таблица умножения имеет вид A), где
1) aY-p2=± 1,
2) р>0,
3) а^О, причем если а = 0, то
Этот базис, вообще говоря, единствен; в некоторых осо-
особенных случаях (когда р = 0 или a = у = 0) таких ба-
базисов будет два, но таблица A) для них будет одна
и та же. •
Отсюда видно, что каждой алгебре s4- отвечает един-
единственная таблица A) с указанными выше ограничения-
ограничениями на а, р, у» т- е- алгебра s& изоморфна одной и только
одной алгебре s&(a, P» y)-
То, что любая алгебра sfi(a, p, y) является алгеброй
с делением, следует хотя бы из того факта, что каждая
такая алгебра имеет вид
и о v = А (и • г>),
где преобразование А действует по формулам
A (fc,) = ak{
A (k2) = 0ft, +
а
причем «ту — P2 Ф 0. В самом деле, из условия -к- Ф ~
(эквивалентного ay—Р2 Ф 0) вытекает, что А(кх)Ф
ФХА(ко) и тем самым что векторы A (hi) и A(k2) об-
образуют базис. Отсюда нетрудно получить, что для пре-
преобразования А существует обратное преобразование
Л, а отсюда, в свою очередь — что алгебра с умноже-
умножением и о v есть алгебра с делением. Теорема доказана.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Большая часть того, о чем говорилось в этой книжке,
относится к первоначальному этапу в развитии тео-
теории алгебр. Мы хотим теперь рассказать, хотя и очень
бегло, о некоторых дальнейших результатах этой
теории.
Развитие теории алгебр начинается с работы В. Га-
Гамильтона о кватернионах, напечатанной в 1843 г. Позд-
Позднее ее содержание вместе с рядом других результатов
было им подробно изложено в «Лекциях о кватернио-
кватернионах». Влияние идей Гамильтона было весьма значи-
значительным: они подготовили почву для целой серии ра-
работ об ассоциативных алгебрах, завершившейся дока-
доказательством ряда глубоких теорем о строении таких
алгебр.
Чтобы рассказать об этих теоремах, уточним сначала
один существенный момент, которого до сих пор мы со-
совсем не касались. Он ^связан с величинами аи а2у ..., ап,
являющимися коэффициентами в выражении
+ a2i2 + ... + anin A)
для элементов n-мерной алгебры. В нашем изложении
эти величины всегда предполагались действительными
числами. В этом случае принято на самом деле говорить,
об алгебрах над полем действительных чисел. Наряду
с ними приходится рассматривать и другие алгебры,
элементы которых представляют собой выражения вида
A),ч где аи &2, • •., #п — произвольные комплексные
числа; такие алгебры называются алгебрами над полем
комплексных чисел. Кроме поля действительных и поля
135
комплексных чисел, имеется много других полей*) (на*
пример, поле рациональных чисел) и соответственно
этому много других типов алгебр.
Многие результаты в теории алгебр очень сильно
меняются в зависимости от того, какому полю принад-
принадлежат коэффициенты аи ..., ап в выражениях A), т. е.
над каким полем рассматриваются алгебры. Например,
над полем действительных чисел существуют, как мы
знаем, три ассоциативные алгебры с делением (и беско-
бесконечное множество неассоциативных алгебр такого рода),
и в то же время имеется только одна комплексная
алгебра с делением. Это — одномерная алгебра, состоя-
состоящая из самых комплексных чисел. Кроме нее не суще-
существует ни одной алгебры с делением над полем ком-
комплексных чисел (даже без условия ассоциативности).
Доказательство этого факта несложно, но мы на нем не
останавливаемся.
Введем теперь такие определения.
1. Идеалом алгебры $$> называется такое подпро-
подпространство °U, что
Это означает, что, каковы бы ни были элементы а^зФ
и и^Ш, оба произведения аи и иа принадлежат °U. Ина-
Иначе говоря, произведение элемента, взятого из идеала, на
любой элемент алгебры снова принадлежит идеалу.
При этом два крайних случая — когда подпростран-
подпространство °Ы совпадает со всей алгеброй зФ и когда °U со-
состоит из единственного элемента 0 — не принято рас-
рассматривать как идеалы (впрочем, иногда говорят, что
иО являются несобственными идеалами).
*) Общее определение поля таково. Пусть & — некоторое мно-
множество объектов, над которыми можно производить две операции;
одну из них условно назовем сложением и будем обозначать а + Ъ,
другую назовем умножением и обозначим а-Ь. Множество & назы-
называется полем, если обе заданные, в нем операции коммутативны,
ассоциативны, справедлив" распределительный закон, а также выпол-
выполнимо вычитание (иначе говоря, однозначно разрешимо уравнение
а + х = Ь) и выполнимо деление. Последнее означает, что одно-
однозначно разрешимо уравнение ах — 6, если а ф 0; здесь 0 обозначает
элемент множества 0> такой, что а + 0 = а для всех а^&* (суще*
ствование такого элемента нетрудно доказать).
Под словом «операция» в этом определении подразумевается
любое правило, ставящее каждым двум элементам а е !Р и Ь е &¦
в соответствие третий элемент сё^1.
136
Примером идеала может служить подпространство
элементов вида 6й в алгебре дуальных чисел (т е.
чисел а + 6Q, где Q2 = 0). Другой пример — подпрост-
подпространство элементов вида а(\ -\-Е) в алгебре двойных чи-
чисел (чисел а + ЬЕ, где Е2 = 1).
2. Алгебра, *~не имеющая идеалов, называется про-
простой.
Можно сказать, что понятие простой алгебры обоб-
обобщает понятие алгебры с дёлением.^Каждая алгебра с де-
делением обязательно является простой: действительно,
если у алгебры есть идеал °U, то уравнение
где и принадлежит идеалу, а 6 не принадлежит ему, не
имеет решения, поэтому такая алгебра не может быть
алгеброй с делением.
В конце XIX века'исследования, касавшиеся теории
алгебр, были сосредоточены в основном на изучении
ассоциативных алгббр (как мы уже отмечали, сам тер-
термин «алгебра» фактически понимался как «ассоциатив-
«ассоциативная алгебра»). 1В результате возникло довольно ясное
представление о строении ассоциативной алгебры. Пер-
Первый существенный результат относился к простым
алгебрам и был получен в 1893 г. Ф. Молином; незави-
независимо тот же результат получили Г. Фробениус и Э. Кар-
тан. Оказалось, что все простые комплексные ассоциа-
ассоциативные алгебры с точностью до изоморфизма — это
полные матричные алгебры произвольного порядка п
(т. е. алгебры всех квадратных матриц порядка п).
Более общую теорему, справедливую для алгебр над
произвольным полем й9, доказал в 1907 г. американский
математик Д. Ведерберн: все простые ассоциативные
алгебры нд,д полем $ — это в точности все полные мат-
матричные алгебры с элементами из ассоциативной алгеб-
алгебры с делением над &.
Например, согласно этой теореме все простые ассо-
ассоциативные алгебры над полем 3) действительных чисел
состоят из трех серий:
1) алгебры матриц с элементами — действительными
числами.;
2) алгебры матриц с элементами — комплексными
числами (подчеркнем, что эти алгебры следует рассма-
рассматривать как алгебры над полем S5), частным случаем
(при п = 1) является сама алгебра комплексных чисел—.
137
размерность ее равна 2; подобно этому алгебра всех
комплексных матриц порядка п имеет размерность 2/г2;
3) алгебры матриц с элементами — кватернионами
(для матриц порядка п размерность такой алгебры рав-
равна 4м2).
Предыдущая теорема о комплексных простых алгеб-
алгебрах легко получается из теоремы Ведерберна, .если вспо-
вспомнить, что единственная комплексная алгебра с деле-
делением— это алгебра самих комплексных чисел.
Таким образом, все простые ассоциативные алгебры
были найдены. Одновременно с этим было выяснено
(теми же авторами), что структура простых ассоциатив-
ассоциативных алгебр во многом определяет строение произволь-
произвольных ассоциативных алгебр. Чтобы точно сформулиро-
сформулировать последнее утверждение, нам понадобится еще не-
несколько определений.
.3. Пусть °Ui и °11г — две алгебры. Их прямой суммой
называется новая алгебра s&, элементы которой суть
всевозможные пары
(ии щ) (где uj.€
со следующими законами сложения и умножения:
+ «;, и2 +
Легко видеть, что элементы вида (ии 0) образуют-
подалгебру алгебры s&, причем эта подалгебра изоморф-
изоморфна °U\\ обозначим ее si>\. Аналогично элементы вида
@,и2) образуют подалгебру «5$2, изоморфную %. Обе
указанные подалгебры являются идеалами; например,
для первой из них это следует из равенств
(и,, 0)(«{, н2) = (и,и;, 0), (и[, и'2)(ир 0) = (u[ulf 0).
Заметим, что подалгебры s&i и s&2 являются взаим-
взаимно дополнительными: так мы называем две подалгебры,
обладающие тем свойством, что любой элемент алгебры
представляется, и притом единственным образом, в виде
Аналогично прямой сумме двух алгебр определяется
прямая сумма любого числа алгебр. Элементами прямой
суммы алгебр °Uu <%, ...,^/^ являются всевозможные,
наборы
(alf щ9 ..., uk) (где щ е= Ши ..., ик
138
Примером прямой суммы является алгебра матриц
порядка р + <7, имеющих «блочно-диагональный» вид
А I О
О
В
где А и В — произвольные матрицы порядков р и q со-
соответственно. Нетрудно проверить, что для произведе-
произведения таких матриц справедлива формула
А I 0 \ / А' I 0 \ [ АА'\ О
О В А О В' 1 \ О ВВ'
откуда видно, что данная алгебра изоморфна прямой
сумме алгебры всех матриц порядка р и алгебры всех
матриц порядка q.
Интересно отметить, что рассмотренная нами в на-
начале книги (см. § 2) алгебра двойных чисел изоморфна
прямой сумме двух алгебр действительных чисел. В са-
самом деле, выберем в качестве базиса следующие два
элемента алгебры $?\
• * —Б . _ \+Б
Очевидно,
Каждый элемент flGi можно однозначно представить
в виде суммы
axix + a2i2,
причем для произведения двух элементов справедлива
формула
(axix -f a2i2) (bxix + b2i2) = axbxix + a2b2i2.
Ставя в соответствие элементу а пару чисел (ai, a2), мы
видим отсюда, что алгебра «s^ есть прямая сумма двух
алгебр SD (действительных чисел).
4. Полупростой алгеброй называется прямая сумма
простых.
Так как прямая сумма однозначно определяется
своими слагаемыми, то все полупростые ассоциативные
алгебры можно считать известными, коль скоро известны
все простые ассоциативные алгебры.
Например, любая полупростая ассоциативная ал-
алгебра над полем комплексных чисел изоморфна алгебре
139
всех «блочно-диагональных» матриц с блоками поряд-
порядков ри /?2, ... ,ph по диагонали (числа ри Рг, ... ,ph фик-
фиксированы). В частности, при k = 3 получаем матрицы
вида
[А
0
0
0
В
0
0
0
с
5. Алгебра называется нильпотентной, если суще*
ствует такое число k, что произведение любых k элемен-
элементов равно нулю, причем скобки в произведении расстав-
расставлены произвольно. (Мы привели определение нильпо-
нильпотентной алгебры в общем случае, т. е. без условия ассо-
ассоциативности. Поэтому необходимо последнее добавление
о. произвольном порядке перемножения.) ¦*
Подалгебра некоторой алгебры называется нильпо-
нильпотентной, если она, рассматриваемая как самостоятель-
самостоятельная алгебра, является нильпотентной.
Простейшим примером нильпотентной алгебры яв-
является нулевая алгебра (произведение любых двух эле-
элементов равно нулю). Другой пример — алгебра с
'базисом iu fc, h и таблицей умножения
остальные iai^ равны 0.
* Заметим, что нильпотентные алгебры в некотором
смысле противоположны по своим свойствам полупро-
стым алгебрам. Например, для нильпотентной алгебры
s& некоторая «степень» s^h, т. е. множество произведе-
произведений каких угодно k элементов алгебры s&9 состоит /
из одного нуля (в этом" и заключается определение —
нильпотентной. алгебры); между тем в случае полупростой
алгебры любая степень совпадает со всей алгеброй.
Нетрудно доказать, что если Т\ и Тг — два нильпо-
тентных идеала произвольной алгебры $Ф, то их сумма
(т. е. совокупность элементов вида Vi + ^2, где Vi ^ Ти
V2^y*2) есть снова нильпотентный идеал. Отсюда легко
вывести, что среди всех нильпотентных идеалов алгебры
sfi существует максимальный, т. е. такой, который со-
содержит все другие нильпотентные идеалы.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему
в теории ассоциативных алгебр.
140
Теорема Ведерберна. В произвольной ассо-
ассоциативной алгебре $Ф существует полупростая подалге-
подалгебра °U, дополнительная к максимальному нильпотент-
ному идеалу Y.
Другими словами, каждый элемент OGi однознач-
однозначно представляется в виде суммы и + v, где первое
слагаемое принадлежит полупростой подалгебре %L% a
второе — максимальному нильпотентному идеалу Т\ тем
самым элементу а однозначно сопоставляется пара
(м, v), где u^°U, оеУ. При этом для. произведения
любых двух элементов алгебры «я? справедлива формула
(Щ, Oi)(«2i V2) = (U1U29 V), B)
где v = ulv2-\-ViU2'-\-vlV2^ T (следует учесть, что
Т — идеал).
В частном случае, когда подалгебра Щ тоже является
идеалом, каждое .из произведений и&2 и V\U2 равно О
(так как оно должно принадлежать одновременно Щ и
У) у и формула для умножения принимает вид
(Щ> vx){u2, v2) = (u[u2, vxv2).
В этом случае алгебра $Ф является прямым произведе-
произведением алгебр °U и Т. В общем же случае строение ал-
алгебры <я? не определяется целиком строением алгебр °U
и Ж по отдельности, так как элемент v в B) зависит не
только от vit г>2, но еще и от «i, u2. Однако все же то об-
обстоятельство, что любую ассоциативную алгебру $Ф
можно представить множеством пар (a, v), где и про-
пробегает некоторую полупростую алгебру, a v — нильпо-
тентную, причем умножение подчиняется закону B),
сильно проясняет строение ассоциативных алгебр.
В качестве примера к теореме Ведерберна рассмо-
рассмотрим алгебру матриц порядка p-{-qf у которых элементы
последних q строчек суть нули. Любую такую матрицу
можно записать в виде
u\v
I
О I 0
где и обозначает квадратную матрицу порядка р, a v —
прямоугольную матрицу с р строками и q столбцами.
Нетрудно' показать, что максимальный нильпотентный
идеал У состоит из матриц C) при и = 0 (и является
нулевой алгеброй); в1 качестве дополнительной к нему
полупростой подалгебры °U можно взять множество
- - ч . 141
матриц C) при v — 0 (в данном случае подалгебра °U яв-
является простой).
Чтобы подчеркнуть содержательность теоремы Ве-
Ведерберна,' приведем примеры двумерных алгебр (есте-
(естественно, не ассоциативных), для которых утверждение
теоремы неверно.
В первом примере таблица умножения имеет вид
Легко видеть, что элементы вида ke% образуют одномер-
одномерный нильпотентныйг"идеал Л3. Этот идеал максимален,
поскольку единственное содержащее его подпростран-
подпространство есть вся алгебра, а она не является нильпотентной
(любая степень элемента е{ отлична от нуля). Легко
проверить, что, кроме Jf, не существует других подал-
подалгебр данной алгебры; тем самым не существует и до-
дополнительной подалгебры к Jf.
Вторая алгебра имеет такую таблицу умножения:
В этой алгебре вообще нет нильпотентных идеалов.
Если бы алгебра «удовлетворяла» теореме Ведерберна,
то она была бы простой или полупростой. Первое не
имеет места, так как алгебра содержит идеал, состоящий
из элементов вида ke% второе также невозможно, по-
потому что этот идеал — единственный.
Результаты, полученные в теории ассоциативных ал-
алгебр, послужили моделью для дальнейших исследований.
Многие последующие работы состояли в доказательстве
того, что утверждение теоремы Ведерберна справедливо
для других классов алгебр (хотя для всех алгебр, как
мы только что видели, оно не может быть верным) и
в перечислении простых алгебр этих классов.
Было доказано (М. Цорн), что теорема Ведерберна
обобщается на альтернативные алгебры, т. е. на более
широкий класс алгебр, чем ассоциативные. Заметим, что
при исследовании простых альтернативных алгебр вы-
выяснился любопытный факт. Хотя, на первый взгляд,
класс таких алгебр должен быть много шире класса
простых ассоциативных алгебр, на самом деле первый
класс из второго получается — в случае поля комплекс-
комплексных чисел — добавлением только одной алгебры «комп-
«комплексных» октав; в случае поля действительных чисел
142
добавляется несколько алгебр такого же типа, как
октавы.
Укажем еще два класса алгебр, для которых спра-
справедлива теорема Ведерберна. Для этой цели возьмем
любую ассоциативную алгебру зФ и на ее базе построим
две новые алгебры «s$+ и s&~, состоящие из тех же эле-
элементов, со следующими законами умножения:
в М* а п'Ь = аЬ + 6а,
в $f а о Ъ =
В алгебре s&+ умножение коммутативно и, как нетрудно
проверить, выполняется тождество
(Ь2па)пЬ = Ь2п(апЬУ, C)
в алгебре s&~ умножение антикоммутативно (т. е. а о 6=
= —боа) и выполняется тождество
а'о F о с) -f Ь о (с о а) + с о (а о Ь) = 0. D)
Любая коммутативная алгебра, для которой спра-
справедливо C), называется йордановой алгеброй (по имени
немецкого физика П. Иордана); любая антикоммутатив-
антикоммутативная алгебра, для которой справедливо D), называется
алгеброй Ли. Норвежский математик Софус Ли в конце
XIX века впервые рассмотрел алгебры, названные по-
потом его именем, в связи с теорией «непрерывных групп
преобразований». В современной математике алгебры
Ли играют важнейшую роль и находят приложение по-
почти в каждом ее разделе.
Классификация простых йордановых алгебр была
получена американским математиком А. Албертом; им
же была доказана справедливость теоремы Ведербер-
Ведерберна для йордановых алгебр.
Основные теоремы о структуре алгебр Ли были по-
получены одним из крупнейших математиков XX века
Э. Картаном. Им была найдена в частности, классифи-
классификация простых алгебр Ли. Распространение теоремы Ве-
Ведерберна на алгебры Ли получил Э. Леви; при этом
понятие нильпотентного идеала оказалось нужным за-
заменить на более широкое понятие разрешимого идеала.
Рамки данной книжки не позволяют дам
ваться подробнее на этих вопросах. ^"^
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловиз , 3
Глава 1
ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа 5
§ 2. Другие арифметики дл(я чисел а + Ы ...'... 9
§ 3. Кватернионы 15
§ 4. Кватернионы и векторная алгебра 24
§ 5. Гиперкомплексные числа 31
* § 6. Процедура удвоения. Октавы 36
§ 7. Алгебры ' 47
Глава 2
-*
л-МЁРНЫЕ ВЕКТОРЫ
§ 8. n-мерное векторное пространство Ап 59
§ 9. Базис пространства Ап 64
§ 10. Подпространства 71
§11. Лемма об однородной системе уравнений .... 74
§ 12. Скалярное произведение 76
§ 13. Ортонормированный базис. Ортогональное преобра-
преобразование 83
Глава 3
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕТЫРЕХ АЛГЕБР
§ 14. Изоморфные алгебры 91
§ 15. Подалгебры 94
§ 16. Перевод «задачи о сумме квадратов» на язык тео-
теории алгебр. Нормированные алгебры 95
§ 17. Нормированные алгебры с единицей. Теорема Гур-
вица' 99"
§ 18. Способ построения любой нормированной алгебры и
вытекающие из него следствия для задали о сумме
квадратов . 108
§ 19. Теорема Фробениуса . 116
§ 20. Коммутативные алгебры с делением 129
Заключение и 135