Автор: Спанье Дж. Гелбард Э.
Теги: физика математическая физика атомная физика ядерная энергетика атомиздат
Год: 1972
Текст
И ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
с - >(
ДЖ. СПАНЬЕ, Э. ГЕЛБАРД
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
И ЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
Перевод с английского В. П. Ковтуненко
Под редакцией А. Д. Франк-Каменецкого
ней
тод
тет.
Се-
рге-
ев,
«у-
>да
Ло
>о-
;н-
од
то
ю
ь,
ii-
ie
х
о
I
т
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1972
JEROME SPANIER »oi ELY M GELBARD
Weste>fghouse Electric Corporation
Monte Carlo Principles
and Neutron Transport Problems
ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY
Reading. Massachusetts Menlo Park. California London Don Mills. Ontario
Спанье Дж., Г e л б a p д Э. Метод Мовте-
Карло и задачи переноса нейтронов. Перев. с англ.
Под ред. А. Д. Франк-Каменецкого. М., Атомиздат,
1972.
Авторы книги внесли большой вклад в развитие
теории метода Монте-Карло и в создание конкретных
программ расчета реакторов. В первой половине кни-
ги математически строго и весьма доступно излагают-
ся основы теории метода Монте-Карло. Вторая содер-
жит изложение оригинальных методов, лежащих в ос-
нове типовых американских программ расчета реак-
торов методом Монте-Карло. В ней рассматриваются
конкретные задачи переноса нейтронов: расчет потока
тепловых нейтронов, расчет вероятности избежать
резонансного захвата.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Книга Спанье и Гелбарда является первой монографией
по методу Монте-Карло, вышедшей в США, где этот метод
интенсивно развивается и используется уже более 20 лет.
Как видно из названия книги, авторы не ставили перед со-
бой цель описать все области применения метода Монте-
Карло, а ограничились лишь задачами переноса нейтронов.
Следует, однако, иметь в виду, что задачи переноса излу-
чения занимают совершенно особое место в теории метода
Монте-Карло. Именно в этой области метод Монте-Карло
далеко отошел от простого моделирования реальных про-
цессов. В связи с задачами переноса разработано большин-
ство методов уменьшения дисперсии, и именно здесь метод
Монте-Карло применяется на практике достаточно давно
и наиболее плодотворно.
Более половины книги (гл. 1—3) посвящено изложению
общей теории метода Монте-Карло. Интересно отметить,
что содержание этих глав почти не пересекается с материа-
лом изданных ранее монографий*. Авторы сознательно не
останавливаются на решении однородных задач (расчетах
критичности ядерных реакторов) и задач защиты от излу-
чений. В то же время в книге впервые достаточно подробно
описываются оценки, используемые для вычисления линей-
ных функционалов от решения уравнения переноса, в том
числе оценка по пробегу и ее обобщения. При изложении
теории оценок авторы удачно используют понятие дельта-
рассеяния. К сожалению, в книге не упоминается о наибо-
лее остроумном применении дельта-рассеяния — методе
* Н. П. Бусленко, Ю.’А. Шрейдер. Метод стати-
стических испытаний. М., Физматгиз, 1961; Метод статистических
испытаний (метод Монте-Карло). Под ред. Ю. А. Шрейдера. М.,
Физматгиз, 1962; J. М. Н ammersley, D. С. Hands-
с о m b. Monte Carlo Methods. London, Methuen, 1964.
3
выравнивания полного сечения, предложенном Вудкоком*
и позволяющем в ряде случаев существенно упростить и ус-
корить расчет геометрически сложных систем методом Мон-
те-Карло.
Последние три главы книги адресованы в первую оче-
редь специалистам по реакторной физике. В гл. 4 описы-
вается использование соотношения взаимности, метода по-
верхностного источника и других приемов физики реакто-
ров для повышения эффективности расчета ячеек методом
Монте-Карло. В гл. 5 и 6 подробно описаны методики мно-
госкоростных расчетов спектров тепловых нейтронов и ве-
роятности избежать резонансного захвата. Читатель полу-
чает представление о том своеобразном комплексе вопросов
теории реакторов, математической статистики и програм-
мирования, с которым приходится сталкиваться при созда-
нии программ расчета реакторных параметров методом
Монте-Карло.
Для некоторых английских терминов, относящихся к ме-
тоду Монте-Карло, еще нет устоявшегося русского эквива-
лента. При переводе в большинстве случаев использовалась
терминология, принятая в сборнике «Метод Монте-Карло
в проблеме переноса излучений» (Атомиздат, 1967).
А. Франк-Каменецкий
* См. Е. R. Woodcock et al. In: Proceedings of the
Conference on the Application of Computing Methods to Reactor
Problems (Argonne, USA, 1965), ANL-7050 (1965); P. J. He m-
m i ngs. The GEM Code. UKAEA Report AHSB (S) R105, Lon-
don, 1967; W. A. Coleman. Nucl. Sci. Engng., 32, 76 (1968);
Г. А. Михайлов. «Атомная энергия» 28, 175 (1970).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Возможно, что некоторые читатели никогда не встре-
чались с методом Монте-Карло. Они вправе ожидать, что
предисловие даст им представление об этом методе.
Книгу следовало бы начать с объяснения термина «ме-
тод Монте-Карло». Однако трудно дать определение, кото-
рое бы характеризовало этот метод точно, полно и кратко.
Можно лишь сказать, что метод Монте-Карло всегда связан
со случайными испытаниями. Расчет по методу Монте-Кар-
ло заключается в случайной выборке из некоторой «гене-
ральной совокупности» в соответствии с определенными ве-
роятностными законами.
Каким же образом выбираются эти вероятностные зако-
ны? В различных приложениях метода Монте-Карло это
делается по-разному В некоторых случаях используются ис-
кусственные вероятностные законы, специально придуман-
ные для конкретных задач (например, при решении диффу-
зионного уравнения, обращении матриц). Такие методы
не находят широкого применения, хотя бывают очень
интересны. Гораздо чаще метод Монте-Карло используется
для изучения сложных многокомпонентных систем, в кото-
рых взаимодействие между компонентами подчиняется из-
вестным вероятностным законам.
Если при расчете по методу Монте-Карло разыгрывают-
ся реальные вероятностные законы, т. е. моделируется из-
учаемое явление, то расчет представляет собой «аналого-
вый» процесс, или процесс «прямого моделирования». В ос-
нове аналоговых методов лежат очень простые соображения,
что с практической точки зрения весьма привлекательно.
Однако аналоговые методы обладают и серьезными недостат-
ками. Предположим, что нас интересуют события, которые
происходят в реальной системе очень редко. Эти события
также редко будут происходить в модельной аналоговой
5
Системе, и огромный объем вычислений даст мало ценной
информации. Что же необходимо делать в такой ситуации?
Эта интересная проблема будет рассматриваться в книге.
Разработано много способов, позволяющих'при расче-
тах по методу Монте-Карло получать больше информации.
Такие способы будем называть «способами уменьшения
дисперсии». Они используются для дополнения аналого-
вых методов, когда последние не отвечают необходимым
требованиям. Способы уменьшения дисперсии основаны на
искажении аналоговых процессов с целью более частого
появления интересующего нас события.
Другими словами, расчеты методом Монте-Карло мож-
но проводить на основе как реальных, так и искусственных
вероятностных законов. При этом можно выбрать такое ис-
кажение вероятностных законов, которое приведет к повы-
шению эффективности расчета. Конечно, искажение или
смещение процесса моделирования усложняет анализ слу-
чайных величин. В таком процессе необходимо исключить
какое-либо смещение окончательного результата расчета.
На практике в одном расчете часто объединяются и искус-
ственные, и аналоговые методы.
Некоторые из стандартных способов уменьшения диспер-
сии были предложены еще при проведении первых расчетов
методом Монте-Карло, другие появились сравнительно
недавно. В книге подробно описано несколько старых спо-
собов уменьшения дисперсии и рассмотрены два способа,
которые еще не получили широкого распространения.
Это — сопряженный метод и метод суперпозиции. Во мно-
гих случаях эти методы подобны. В обоих основная задача
заменяется вспомогательной, более легкой для решения.
Сопряженный метод применяется при расчетах потоков
нейтронов в точках и средних потоков в очень малых об-
ластях. При вычислении потока нейтронов в точке необхо-
димо использовать специальные приемы, так как аналого-
вые методы в данном случае неприемлемы. В принципе сред-
ние значения потока нейтронов в малых областях можно оце-
нить с помощью аналоговых методов, но при стремлении
размеров области к нулю точность аналоговых оценок
сильно ухудшается. Оказалось, что в этих случаях соп-
ряженный метод наиболее эффективен и не слишком сло-
жен для практического применения.
Метод суперпозиции применяется при вычислении ве-
роятности избежать резонансного поглощения. Он более
эффективен, чем метод прямого моделирования, когда ве-
6
роятность избежать резонансного поглощения близка к еди-
нице. Задачи расчета потоков тепловых нейтронов и резо-
нансного поглощения обсуждаются во второй половине
книги.
Фактически книгу можно разделить на две части. Та-
кое деление соответствует целям, поставленным авторами.
Книга будет полезна в качестве введения в метод Монте-
Карло, так как в первых трех главах с единой математиче-
ской точки зрения дается изложение общих принципов это-
го метода.
В последних трех главах основное внимание уделено
методу суперпозиции и сопряженному методу, показано,
как можно использовать эти методы для решения конк-
ретных задач переноса нейтронов. Последние главы адре-
сованы читателям, которые знакомы с задачами и мето-
дами теории ядерных реакторов.
В книге в основном рассматриваются методы, которые
непосредственно были использованы авторами, и не об-
суждаются специальные методы, применяющиеся при рас-
чете защиты, расчете критичности. Таким образом, авторы
не претендуют на написание всеобъемлющей монографии
о методе Монте-Карло.
Еще десять лет назад метод Монте-Карло невозможно
было широко использовать при проектировании реакто-
ров из-за недостаточного быстродействия вычислительных
машин. В настоящее время расчет потоков тепловых ней-
тронов, расчет вероятности избежать резонансного погло-
щения занимают на ЭВМ несколько минут. Трудно предста-
вить, к чему приведет развитие ЭВМ в ближайшее десяти-
летие, но есть все основания полагать, что метод Монте-
Карло будет использоваться широко. При дальнейшем со-
вершенствовании вычислительных машин будут доступны
более точные, более реалистичные и, следовательно, более
сложные расчеты реакторов. Задачи усложняются, и пре-
имущества метода Монте-Карло перед другими методами
становятся все более и более значительными.
ГЛАВА 1
ОСНОВЫ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
§ 1.1. Введение
Случайная выборка играет важнейшую роль в методе
Монте-Карло; наличие ее в расчете является, в сущности,
единственной отличительной чертой этого метода. В настоя-
щей главе изложены элементы теории случайной выборки.
В § 1.2 приводятся основные определения, в § 1.3 и 1.4 —
некоторые необходимые сведения из теории вероятностей.
Следующие четыре параграфа посвящены описанию неко-
торых наиболее широко используемых приемов выборки.
Наконец, в § 1.9 обсуждается фундаментальная проблема
выработки равномерно распределенных случайных чисел.
§ 1.2. Случайные величины
Метод Монте-Карло является вероятностным по своей
природе, и для его понимания необходимо знакомство с тео-
рией вероятностей. Поэтому начнем с краткого изложения
некоторых основных понятий этой теории. Для более под-
робного изучения теории вероятностей можно рекомендо-
вать книги Халмоша [1] и Лоэва [2].
Основным в теории вероятностей является понятие со-
бытия. Под событием понимается определенный исход экс-
перимента. Например, если эксперимент заключается в бро-
сании игральной кости, то событием будет выпадение любой
из 6 цифр, скажем, цифры А. Комбинированием несколь-
ких событий можно получать другие события. Так, одно-
временное выпадение цифр А и В (Л #= В) есть событие,
причем событие невозможное, обозначаемое р. События
будут обозначаться греческими буквами A, Q, ... При
классификации событий применяются элементарные законы
теории множеств.
Прежде всего постулируется существование достовер-
ного события Q, которое включает все возможные события
8
и следовательно, всегда имеет место. Символически это вы-
ражается следующим образом: А с Q для любого события
Л, т. е. Л содержится в Q. В примере с игральной костью
Q является множеством из 6 элементов, по числу граней.
Каждому событию Л соответствует дополнительное собы-
тие Д', которое происходит тогда и только тогда, когда не
происходит события Л. Событие Д', называемое дополнением
Л, состоит из всех элементов Q, не входящих в Л. В част-
ности, £2' = 0 — невозможное событие.
События комбинируются с помощью элементарных опе-
раций теории множеств. Событие Л (] Г называется пере-
сечением Л и Г и состоит из всех элементов, общих для Л
и Г. Событие Л р Г происходит тогда и только тогда,
когда происходят оба события Ли Г. Если Л П Г = 0,
то говорят, что события Л и Г несовместимы. Например,
Л П Л' = 0 для любого события Л. Событие Л (J Г назы-
вается объединением Л и Г и состоит из всех элементов,
принадлежащих Л или Г или им обоим. Событие Л (J Г про-
исходит тогда и только тогда, когда происходит Л или Г
или оба эти события вместе. Для обозначения одновремен-
ного наступления п событий Л,- используется запись f] ,Л,
вместо Л! П Л2 П ... П Лп. Наступление любого из событий
Л, обозначается (J7= гЛг вместо Л! (J Л2 (J ... (J Дп.
К этим операциям применимы элементарные законы
теории множеств, например:
(ЛПГ)'=Л'иГ', (ЛиГ)'=Л'ПГ'. (1.1)
Для подробного знакомства с соотношениями между со-
бытиями читатель может обратиться к уже упоминавшимся
руководствам [1, 2]. При исследовании различных исходов
эксперимента все комбинации событий, которые могут быть
получены с помощью операций', (J считаются собы-
тиями, относящимися к данному эксперименту.
Сделаем небольшое отступление, чтобы пояснить, что
мы понимаем под экспериментом. Тематика этой книги свя-
зана с численными экспериментами, условия и вероятност-
ные законы которых заданы и могут контролироваться в от-
личие от реальных экспериментов, условия которых могут
изменяться неконтролируемым образом. В результате мы
имеем дело с абстрактной вероятностной моделью с извест-
ными условиями и вероятностными законами. Такая модель,
будучи чисто математической конструкцией, может быть
построена в соответствии с действительной физической си-
9
схемой, но может и не иметь никакого реального аналога.
Прямое моделирование процесса случайных блужданий для
решения стационарного уравнения переноса (см. гл. 2) яв-
ляется примером абстрактной вероятностной модели, по-
строенной на основе действительного поведения нейтронов.
С другой стороны, можно сконструировать такие абстракт-
ные вероятностные модели, в которых будут сохранены лишь
некоторые интегральные характеристики равновесного рас-
пределения потока, в то время как детальное поведение
нейтронов будет отличаться от действительного. Еще более
далекие от действительности модели используются в гл. 2
для решения матричных уравнений. Искусственные модели
использовались также при решении методом Монте-Карло
уравнения диффузии.
Расчеты, проводящиеся на основе абстрактной вероят*
ностной модели, будем называть идеализированным экспе-
риментом. В § 1.5 — 1.9 и в гл. 2 будет показано, как имен-
но проводятся такие расчеты. Для того чтобы пояснить,
какого рода идеализированные эксперименты будут рас-
смотрены в этой книге, вернемся к примеру с игральной
костью. При построении абстрактной вероятностной модели
можно отвлечься от таких физических параметров, как вес
кости, размеры граней и т. д. и задать для характеристики
эксперимента единственный вероятностный закон: выпа-
дение любой из 6 цифр с вероятностью 1/6. В более сложном
примере случайного блуждания частицы необходимо за-
дать условия эксперимента (геометрию системы, сечения
взаимодействия в определенном интервале энергий) и ве-
роятностные законы для определения пути, пройденного
частицей между соударениями, выбора типа взаимодейст-
вия при соударении и т. д. Так как речь идет о численном,
а не о физическом эксперименте, можно считать условия
эксперимента и вероятностные законы просто заданными,
оставляя в стороне вопрос об их соответствии с действи-
тельностью.
Интуитивное представление о вероятности связывает
это понятие с частотой появления события Л при много-
кратных независимых повторениях эксперимента. Более
точно вероятность определяется как вещественная функ-
ция на множестве событий (исходов эксперимента), удовлет-
воряющая условиям:
1) Р(0) = О, Р(Й) = 1, 0^Р(Л)^1 для любого Л;
10
2) р(и Лг)= 2Р(ЛД если ЛгПЛ; = с2 , i=^j. (1.2)
\i=i / г=1
При анализе идеализированного эксперимента кроме
вероятности — вещественной функции, определенной на
подмножествах, содержащихся в й, — необходимо исполь-
зовать и другие вещественные функции, которые определе-
ны на точках со, принадлежащих Q. Пусть £(<о) — такая
функция и Л(/) = {со : £(<о) /}, что означает: множество
всех точек со, таких, что £(со) t. Здесь Л(/) — подмно-
жество множества Q, зависящее от действительного числа
t. Если при любом t множество АД) является событием, то
функция £ называется случайной величиной на Q. Если £—
случайная величина на Й, то для любого t определена ве-
роятность:
р (Л (/))=р{ш|ё («>)</}.
Вместо Р(Л(/)) мы будем часто писать /’{£<Д}. Вещест-
венная функция вещественного переменного, определен-
ная как
F(t) = P{l t}, (1.3)
называется функцией распределения случайной величины
Функции распределения F обладают следующими важны-
ми свойствами:
1) F непрерывна справа при любом I;
2) F — монотонная неубывающая функция;
3) F(—оо) 0, F(oo) — 1;
4) F(b)—F(a) = P{a<l^b}, a<Jr,
5) если в точке /0 функция F имеет скачок высоты
р, то р и имеется отличная от нуля вероят-
ность того, что случайная величина принимает значение
t0. Если в точке t существует производная F' то
limPtf А/2 < | < t + А/2) /(/)-Д.
д->о
Функция /(/) = F'(f) (если она существует для всех t) на-
зывается плотностью распределения или плотностью ве-
роятности случайной величины Е.
Для иллюстрации изложенного рассмотрим опять экспе-
римент с бросанием игральной кости. Достоверное событие
Q можно считать множеством, состоящим из 6 точек <оь
и>2, - <о6, соответствующих 6 граням кости. Все возможные
подмножества Q являются исходами эксперимента (собы-
11
тиями), и вероятность определяется, как Р{<ог} = 1/6,
1 6. Множество {со,} J {<о2} отвечает событию
«1 или 2» при одном бросании, а соотношение {(Oj} |~|
{со2} = 0 означает, что при одном бросании не могут
выпасть одновременно цифры 1 и 2. Определим случайную
величину на £2 следующим образом: £(<вг) = г, 1 4/ i 6.
Любая вещественная функция на О определяет случайную
величину, так как любое подмножество Q является событием.
Например, {со | g(<o) 3} = {ац, <о2, <о3} представляет со-
бой, очевидно, событие, вероятность которого может быть
вычислена с помощью (1.2):
Р {®ь <02, <о3} = Р {«,} +Р {<о2} + Р {со3} = 1/2,
так как <ог несовместимы.
Случайная величина £ и ее функция распределения F
называются дискретными, если /?(х) — ступенчатая функ-
ция с конечным числом скачков в любом конечном интерва-
ле. Для полного описания такой функции достаточно за-
дать последовательности хх, х2, ... точек и р1г р2, ... ве-
роятностей, так что = х,} = pt, i = 1,2, ... и =
= 1. Функция распределения Д(х) имеет вид
(1.4)
В противоположность дискретному случаю случайная
величина | и ее функция распределения F называются не-
прерывными, если плотность распределения F'(x) = f(x)
существует везде и непрерывна всюду, кроме, возможно,
конечного числа точек на любом конечном интервале.
В этом случае
F(x)= § (1.5)
—оо
Большинство случайных величин, встречающихся на прак-
тике, принадлежит либо к дискретному, либо к непрерыв-
ному типу. Ясно, что любое непрерывное распределение мож-
но достаточно точно аппроксимировать дискретным распре-
делением.
Важным примером непрерывного распределения явля-
ется случайная величина £ с плотностью вероятности:
/(*) =
1 i
---- при а < х <Г Ь,
Ь— а
О в остальных случаях.
(1-6)
12
Такая случайная величина называется равномерно рас-
пределенной в интервале (а, Ь). Ее функция распределе-
ния имеет вид:
F(x) =
О при х < а,
--- при а<.х<о,
1 при х > Ь.
(1-7)
Важнейшую роль в большинстве приложений теории ве-
роятностей играет нормально распределенная случайная
величина с плотностью вероятности
<р(х)
!_ е-х’/2.
S 2л
—оо
оо
(1-8)
и функцией распределения
X
ф(х) = у— Jе— /s/2 dt, —оо-Сх^оо. (1.9)
В одном эксперименте нередко наблюдается не одна слу-
чайная величина, а две или более. В связи с этим возникает
необходимость обобщения вышеизложенного на случай
многих переменных; для простоты ограничимся двумя пере-
менными. Пусть Е, т| — случайные величины, относящиеся
к одному эксперименту. Вероятность того, что одновре-
менно £ примет значение и г] примет значение оп-
ределяет совместную функцию распределения £ и rj:
F (s, t) = Р {Е s, т] < t}.
(1-Ю)
Свойства этой функции аналогичны уже перечисленным
свойствам одномерной функции распределения. Распреде-
ление F(s, t) называется дискретным, если оно дискретно
по каждой из переменных, т. е. если F — ступенчатая функ-
ция с конечным числом скачков в любом конечном интер-
вале по каждой из переменных. Пусть рц — вероятность
того, что одновременно £ примет значение х, и р примет
значение ур
Pij=P{l=Xi, H] = yj}, /,/=1,2,... (1.11)
Тогда
Р(х, У)= Z Ра
(1.12)
13
и
2pm=i.
а/
Обозначим теперь через рг вероятность того, что £ = х
при любом значении т]. Тогда
Р1 = ^РИ (1-13)
1
и функция
Fi(x)= pt (1.14)
будет частным распределением величины £. Аналогично
определяется частное распределение величины т].
Двумерное распределение F(x, у) называется непрерыв-
ным, если соответствующая плотность вероятности
_d2F(x, у)
дхду
существует и непрерывна всюду, кроме, возможно, некото-
рых кривых на плоскости. В этом случае имеем:
V X
F(x,y)= J ^f{s, t)dsdt. (1.15)
—со —со
Точно так же для частного распределения £ имеем
Л(х) = Р(|<х)= J (f(s,t)dt ds, (1.16)
—оо L—°°
и частная плотность распределения £ равна
Л(х) = ВД= ]f(x,t)dt. (1.17)
Рассмотрим две случайных величины т] с совмест-
ной функцией распределения F(x, у). Если
р {«I < i < &1, Оа < »| < =
= Р{‘Ч <Kb1}P{ai<r]^b2} (1.18)
для всех alt Ьъ а2, Ь2, то говорят, что случайные величины
£ и т] независимы. Устремляя аъ а2к— оо, получаем, что
для независимых случайных величин
F(x,y)=F1(x)Fa(i/), (1.19)
14
где ft и f2—частные распределения. Если плотности
вероятности существуют, то можно также показать, что
f(x,y)=fi(x)f2(y), (1.20)
где fi и /2 — частные плотности вероятности. Можно пока-
зать, что каждое из этих соотношений является необходи-
мым и достаточным условием независимости. Для функций
п переменных условия независимости имеют вид
Е(хъ .... xn) = F1(x1)...Fn(xn) (1.21)
/ (хт,..., хп) = fi (х,)... fn (х„), (1.22)
если плотности существуют.
В качестве примера непрерывной двумерной плотности
распределения рассмотрим обобщение равномерного рас-
пределения (1.6):
1
f (х, у) =
Ш. I "РИ ^<Х<ЬЪ^<У<Ь^ ,,
(*1—щ) (62—С2) (1.23)
0 в остальных случаях.
Легко видеть, что это совместная плотность распределения
двух независимых случайных величин £ и т] с равномерны-
ми частными распределениями.
Пусть £ и т] — непрерывные случайные величины с сов-
местной плотностью f(x, у) и частными плотностями
оо
fi(x) = ^f(x,y)dy;
—со
fi(y)= ]f(x,y)dx.
—оо
Определим новую функцию
f(y\x)
_ f(x,y)
fi(x) ’
(1-24)
(1.25)
(1.26)
Эта функция обладает всеми свойствами плотности распре,
деления при любом фиксированном х, таком, что Д(х) #= 0,
15
Она называется условной плотностью т) относительно пред-
положения | — х. Действительно,
оо f f(x, у) dy
§f(y\x)dy = =£---------=1 (1.27)
~°° J f (x, у) dy
—oo
и f(y Ix) 0- Меняя местами E и т), получаем условную плот-
ность | относительно предположения т] = у.
= (1-28)
(г/)
Если случайные величины Е и т] независимы, то, исполь-
зуя (1.20), получаем:
f(x\y) = fi(x) и f(yjx) = f2(y). (1.29)
И наоборот, если f (х | у) = р (х) не зависит от у, то
f(x,y) = p[(x)f2(y), (1.30)
откуда следует, что £ и т] независимы.
Каждой случайной величине Е отвечает ее среднее зна-
чение или математическое ожидание, которое обозначается
£[£]. В общем случае математическое ожидание случайной
величины | с функцией распределения F равно
оо
£&= JxdF(x). Х1.31)
—00
Входящий в это выражение интеграл Стильтьеса в диск-
ретном случае переходит в сумму:
= (L32>
i=l
а в непрерывном—в обычный интеграл:
£[£] = ]xf(x)dx. (1.33)
—00
Считается, что математическое ожидание существует, если
сумма или интеграл в только что приведенных формулах
абсолютно сходятся. В нашем примере с игральной костью
£К1 = 1>| = 3,5. (1.34)
<=1 6
16
В качестве примера случайной величины %, у которой мате-
матическое ожидание не существует, рассмотрим распреде-
ление Коши с плотностью вероятности
f(x) =-------, —ОО<Х<ОО. (1.35)
1 ' ’ л (1 +%* *) ’
Так как интеграл
dx
(1.36)
5W3
не является абсолютно сходящимся*, математическое ожи-
дание в данном случае не существует.
Пусть заданы случайная величина £ и некоторая функция
tp. Если математическое ожидание случайной величины г] —
= <р(£) существует, то его можно вычислить по формуле
Е[тЦ= J<p(x)dF(x), (1.37)
где F (х)—функция распределения случайной величины Е.
Из определения (1.31) легко получить, что
Е[аЦ-6]=аЕ[^Л-Ь, (1.38)
где а и b—константы, и что
+ = (1-39)
для случайных величин £ и т]. Другой важный результат
заключается в том, что для независимых случайных ве-
личин Е и т]
£[I-Tj]=£[a£bil- (1-40)
Это прямое следствие условия независимости (1.20).
м
* Предел Um I f(x) dx, если он существует, часто называется
М-»°о
ОО
главным значением Коши интеграла J f(x)dx. Интеграл (1.36) имеет
—ОО
главное значение Коши, равное 0. Абсолютная сходимость, необхо-
димая для су ществомиия Дйатематического ожидания, эквивалент-
на гораздо боЛееД силКнегму- условию существования предела
lim J f(x)djf прн/йезависимом стремлении М и N к бесконечности.
~М / / ‘
Если В — случайная величина, ап — неотрицательное
целое число, то математическое ожидание
оо
= §xndF(x) (1-41)
—оо
называется п-м’моментом случайной величины Е. Введем
обозначение т=Д[Е]. Часто используются моменты
цп = Е В-/пИ, (1.42)
которые называются центральными моментами случайной
величины Е- Особенно важен второй центральный момент,
р,2, который называется дисперсией и используется как ме-
ра рассеяния случайной величины вокруг ее среднего зна-
чения т. Для дисперсии часто используется обозначение
о'я[£], а = ]/р,2 называется стандартным (или средне-
квадратичным) отклонением.
Для иллюстрации значения стандартного отклонения
как меры рассеяния приведем следующую теорему, при-
надлежащую П. Л. Чебышеву.
Теорема 1.1. Пусть 5 — случайная величина, имею-
щая математическое ожидание т и стандартное от-
клонение о, и пусть k > 0. Тогда
(1-43)
Так как в теореме 1.1 не делается никаких предполо-
жений о распределении Е, кроме предположения о сущест-
вовании тиа, она не дает точных указаний о скорости спа-
да распределения на больших расстояниях от среднего.
Для получения более точных оценок надо иметь больше
информации о распределении. Дальнейшее обсуждение это-
го вопроса проводится в § 1.3.
Определение математического ожидания непосредствен-
но распространяется на многомерный случай: если и т] —
случайные величины с совместным распределением Е(х, у),
а ф(х, У) — некоторая функция двух переменных, то
£[ф(В, П)1= J JvC*. V)dF(x, у), (1.44)
—со —оо
при условии, что сумма или интеграл абсолютно сходятся"
Аналогично вводится понятие условного математиче-
ского ожидания. Например, для непрерывных случайных
18
величин | и т] с совместной плотностью распределения f(x, у)
условное математическое ожидание т] относительно пред-
положения g = х определяется, в соответствии с (1.26),
следующим образом:
«, J yf(x,y)dy
£И|£ = *1= [ yf(y\x)dy = ^--------------. (1.45)
J f(x,y)dy
§ 1.3. Статистический анализ
В этом параграфе дается краткий обзор теории, позво-
ляющей проводить точный статистический анализ резуль-
татов, полученных методом Монте-Карло.
Рассмотрим эксперимент с двумя возможными исходами:
с вероятностью р происходит одно событие, с вероятностью
q = 1 — р — другое. В этом случае достоверное событие
Q является пространством, состоящим из двух точек мио',
и вероятность на Q определена так:
Р (<о) = р; О Р < 1;
Р (<»') = <7 = 1—р.
(1-46)
Определим случайную величину £ на Q:
g(<o)=l; £(<о') = 0.
(1-47)
Запишем функцию распределения случайной величины
F(0 = P{|<O =
или, иначе,
О при 7<0,
q при 0 < / <С 1,
1 при t > 1
(1.48)
F(t) = p%(t— 1)+?X(O,
(1-49)
где
о при t < о,
1 при t > 0.
(1.50)
19
Таким образом, случайная величина g принимает значение
1, если происходит событие и, и 0 — в противном случае
Это простейший и в то же время весьма важный пример
случайной величины.
Если эксперимент повторяется независимо N раз, вво-
дится вероятностное пространство точками которого
являются всевозможные комбинации ((ob со2, ..., <±щ) из
N точек пространства Q. Вероятность на определяется,
как
(1.51)
z=i
Определим N случайных величин на
= 1<4<ЛГ. (1.52)
Каждая из —дискретная случайная функция N пере-
менных. Сумма
<L53)
z=i
также является случайной величиной на Qw. Дискретная
величина — число появлений события <о при TV-крат-
ном повторении эксперимента — может принимать значе-
ния 0, 1, 2, ..., N. Соответствующая ей функция распреде-
ления
Fn(1) = P{1W <t} = y.CkNpkqN-k. (1.54)
k<zt
Здесь См — биномиальные коэффициенты. Распределение
(1.54) называется биномиальным. Используя определения
§ 1.2, легко получить, что
Е [B(7V)] = Np; о [g(W] = VWq- (1 -55)
В предыдущем параграфе было введено нормальное
распределение
Ф(х)= e~l'/2dt, —оо х оо. (1.56)
—оо
Это непрерывное распределение с плотностью
ф(х) = Ф'(х) = ^=е-'*/2. (1.57)
20
Можно показать, что случайная величина £ с функцией
распределения Ф имеет нулевое математическое ожидание
и единичную дисперсию:
£[^1=0; о[8 = 1. (1.58)
Будем называть случайную величину £ нормальной
(т, ст) (со средним значением т, стандартным отклоне-
нием ст), если она имеет функцию распределения
ф(—-У ст>0.
\ о )
Нетрудно показать, что если £ нормальна (tn, ст), то
(£ — /тг)/ст нормальна (0, 1).
Вернемся к биномиальному распределению. Если
g(7V)—число повторений события <о в N испытаниях, то
(1-59)
является частотой появления события со. Используя (1.38),
(1.39) и (1-40), получаем:
Е ||(7V)] = р, о [f(JV)] = |/%- (1 -60)
Пусть е>0 и k — E yN/pq. Согласно теореме Чебы-
шева (§ 1.2):
(1.61)
We2 4Л'е2
При достаточно большом 7V правая часть этого выражения
становится сколь угодно малой. Отсюда вытекает следую-
щее утверждение.
Теорема 1.2 (Бернулли). Для любого е > 0 вероят-
ность того, что частота ^(yv) отличается от вероятно-
сти р больше чем на е, стремится к нулю при N,
стремящемся к бесконечности.
Теорема Бернулли помогает осознать смысл понятия
вероятности. В ней, однако, ничего не говорится о том, ка-
кова будет величина погрешности в случае использования
частоты для оценки вероятности. Оценку сверху этой по-
грешности дает теорема Чебышева. Более конкретные ре-
зультаты позволяет получить теорема, которая в соответст-
21
вии со своим местом в теории вероятностей называется цен-
тральной предельной теоремой.
Пусть имеется N независимых нормально распределен-
ных случайных величин Н2, •••> Можно показать, что
случайная величина
z=i
(1-62)
также распределена нормально. Согласно центральной пре-
дельной теореме, при весьма общих условиях g распределе-
на приблизительно нормально и в том случае, когда не
являются нормально распределенными. Приведем одну из
формулировок этой теоремы (см.^ например, [3]).
Теорема 1.3. Пусть ?2, •••—последовательность
независимых, одинаково распределенных случай-
ных величин с математическим ожиданием т и
дисперсией о2. Тогда среднее
I N
= (1.63)
асимптотически нормально (т, o/YN), т. е.
lim р[-Ц^-<х! = Ф(х) = —U (1.64)
N-оо ( o/^N j V ' /2л ’ ' ’
—оо
Эта замечательная теорема постоянно применяется при
анализе результатов расчетов методом Монте-Карло. От-
метим, однако, что в приведенной формулировке теоремы
требуется, чтобы тио существовали. Без этого требования
теорема может оказаться неверной. Рассмотрим, например,
две случайные величины и |2, каждая из которых имеет
распределение Коши (см. § 1.2) с плотностью вероятности
f(x)= оо^Х^оо. (1.65)
л (1 + №)
Плотность распределения суммы равна
л2 J [1+(х-02][1 + «г] л(4-|-х2)" (1’66)
—оо
Поэтому среднее (|х -р £2)/2 имеет плотность распределения
2/т (2х) —А— , (1.67)
Л (1 +*2)
22
Т. е. опять подчиняется распределению Коши. По индук-
ции приходим к заключению, что для N независимых слу-
чайных величин с распределением Коши среднеарифмети-
ческое также имеет распределение Коши при любом N.
Это расхождение с центральной предельной теоремой объяс-
няется тем, что у случайной величины с распределением Ко-
ши математическое ожидание не существует.
Посмотрим, как центральная предельная теорема может
применяться к результатам расчетов методом Монте-Карло.
Предположим, что случайные блуждания частиц подчине-
ны определенным вероятностным законам, о которых будет
подробно говориться позднее. Пусть Й — множество всех
возможных траекторий. Сопоставим каждой точке со из й
определенное число t, показывающее, какой вклад в ве-
личину, подлежащую оценке в данном расчете, дает тра-
ектория со. Это эквивалентно заданию на Й случайной ве-
личины g(co) = t. Пусть случайная величина g имеет функ-
цию распределения
F(t) = P{t>^t} (1.68)
с математическим ожиданием
m = £[£] = j tdF(t)
—00
и дисперсией
<та = Е[(|—т)2] — \ (t—m)2dF(t),
(1.69)
(1.70)
которые предполагаются конечными. Если проследить К
независимых случайных траекторий tof, 1 i К, то
можно определить К случайных величин на ЙЛ сле-
дующим образом:
®Л) = 5(<0г),
(1-71)
Случайные величины независимы и одинаково распре-
делены; таким образом, условия теоремы 1.3 выполнены,
и можно заключить, что
1 к
К
(1-72)
асимптотически нормальна (т, о/]/К). Случайная вели-
23
Чина Ik—результат расчета методом Монте-Карло, в ко-
тором рассмотрено К частиц. Согласно центральной пре-
дельной теореме, значения приближаются к т с ро-
стом К- Обозначим aK = c/YК- Так как асимптотиче-
ски (при больших К) нормальна (т, ак), случайная вели-
чина (1^.—т)/ик асимптотически нормальна (0,1). Таким
образом, при достаточно больших К имеет место следую-
щее асимптотическое равенство:
е е'____р ™ р
—- <е')-------f е 2 dt---------Д=Се zdf,(1.73)
I °х / /2л J р 2л J ' '
—оо е'
где символ ~ означает «асимптотически равно». Отсюда
следует, что для любого е 0
Е/Ол
J е- 2 di. (1.74)
о
При К, стремящемся к бесконечности, правая часть (1.74)
приближается к единице (так как ак -> 0), а это значит, что
стремится к т. Полученное равенство позволяет также
оценить вероятность того, что |к отклонится от т более
чем на е.
§ 1.4. Выборочные распределения и доверительные
интервалы
Рассмотрим опять случайную величину |, определенную
на множестве Q, которое соответствует некоторому экспе-
рименту. Как мы уже видели, если эксперимент повторяет-
ся п раз, можно определить п независимых случайных ве-
личин ......на Й":
....®n) = |((of), l^i^n. (1.75)
В предыдущем параграфе уже говорилось о том, как можно
использовать величины для статистического анализа ре-
зультатов эксперимента. В этом параграфе задача будет ис-
следована более подробно. Будет показано, что для оценки
параметров неизвестного распределения случайной величи-
ны | можно использовать параметры известного распреде-
ления, которое определяется значениями |(со,).
Если случайная величина | имеет функцию распреде-
ления F, то и величины имеют ту же функцию распреде-
24
ления. Последовательностью выборочных значений при вы-
борке из распределения F называется последовательность
чисел ^2 = £(®2). • •-, соответствующая последо-
вательности <оп точек из Q. Рассмотрим при фикси-
рованном п случайную величину
= fe = 0, 1,2,..., (1.76)
п i=l
определенную на Q". Здесь k—произвольное целое неот-
рицательное число. Если при rz-кратном повторении экспе-
римента осуществилась цепь событий ..., <оп, то по
полученным выборочным значениям ^ = ^(®г) можно
вычислить значение величины ah
I " ь
аь(<01, со2, ..., сйп) = —V/7, (1.77)
« й
называемое fe-м выборочным моментом выборки 4, ^п-
Полученное число является, по определению, /г-м моментом
следующей дискретной функции распределения F*(t), по-
строенной по результатам выборки:
F* (?) = —, (1-78)
где I—число значений tiy таких, что tt t. Действитель-
но,
aj®1,...,a>n)= [ t'‘dF*(t)=± v tl. (1.79)
J n
Функцию F*(t) иногда называют выборочной функцией рас-
пределения*, соответствующей выборочным значениям
..., tn. Дискретное распределение F* аппроксимирует в не-
котором смысле распределение F. Более точно это утверж-
дение сформулировано в теореме 1.4.
Фундаментальную роль в статистике играет тот факт,
что при весьма общих условиях данная характеристика вы-
борки (например, выборочное среднее сц) сходится, в неко-
тором вероятностном смысле, к соответствующей характе-
ристике истинного распределения (например, математиче-
скому ожиданию £[£]) при бесконечном увеличении объема
выборки (числа испытаний). Будем говорить, что последо-
* Функция F*(f) обычно называется эмпирической функцией
распределения. — Прим. ред.
25
вательность случайных величин £1( Н2, ... сходится по мере
к случайной величине £, если для любого е>0
limP{|gn-g|>e} = 0. (1.80)
п —►оо
Справедлива следующая общая теорема сходимости [31.
Теорема 1.4. Любая рациональная функция или
степень рациональной функции случайной величи-
ны ah сходится по мере к такой же функции от k-ro
момента истинного распределения F(t) при условии,
что упомянутые моменты существуют и конечны.
Это весьма важный результат: увеличением объема вы-
борки можно добиться сколь угодно близкого совпадения
выборочных значений с истинными значениями оценивае-
мых величин. Однако эта теорема не дает никакой инфор-
мации о том, как уменьшается величина ошибки при воз-
растании объема выборки. Для получения ответа на этот
вопрос требуется произвести опять более точный
анализ и выяснить, как распределена случайная величина
ak — £[£ft] при больших п.
Прежде всего заметим, что случайная величина
" ь
naft=V^ (1.81)
z=i
является суммой п независимых и одинаково распределен-
ных случайных величин, каждая из которых имеет матема-
тическое ожидание
£|g*]=rh= J tk dF (t)\ (1.82)
—co
и дисперсию
оЧЙ]=£[(^-ч)2|=тгй-т|; 1 (1.83)
Из центральной предельной теоремы следует, что при
<т2 [£*] 00 и при стремлении п к бесконечности
случайная величина ak асимптотически нормальна
(ть, У (т2А—т^)/м). В частности, при k = 1 величина
1 п
cq = — У L
26
асимптотически нормальна со средним значением т1==£[^]
и стандартным отклонением
и
1 «
где о — стандартное отклонение Этот результат позво-
лил бы предсказывать величину ошибки, связанной с ис-
пользованием значений
1
вместо тъ если было бы известно значение о. На практике
значение о обычно также неизвестно, и приходится оцени-
вать его по результатам выборки. Для этой цели можно
было бы воспользоваться выборочной дисперсией
1 " / 1 п
;2= (а2 — а2)(<о ...,<о ) = — V tf— — Vtt
” I п
=1 \
которая является значением случайной величины а2 — af,
соответствующим последовательности испытаний (<В1, ...
..., (1)п). Действительно, согласно теореме 1.4, «2 — а? схо-
дится по мере к о2. В этом случае говорят, что а2 — а2 яв-
ляется состоятельной оценкой о2. С другой стороны, легко
показать, что математическое ожидание а2 — а2 равно не
о2, а [(п — 1)/п] • о2. Это означает, что если при фиксиро-
ванном п вычислить значения $2 для различных последова-
тельностей <01, ..., <оп и затем усреднить все значения s2, то
полученное среднее будет стремиться не к о2, а к меньшему
значению [(п — 1)/п]о2. Поэтому вместо оценки а2 — а2
используют оценку {п!(п — 1)1(а2 — «?), так что
(1-84)
Такая оценка называется несмещенной. Таким образом,
[п/(п—1)](сс2—с^) является несмещенной состоятельной
оценкой дисперсии о2.
Анализ нормально распределенных случайных величин
приводит к одному важному распределению, которое назы-
вается ^-распределением Стьюдента. Пусть случайная ве-
личина £ распределена нормально (т, о). Определим ah по
27
формуле (1.77). Можно показать, что случайные величины
У п(аг—т) и 1п/(п—1)](ех2 — «1) независимы и что случай-
ная величина У— т) нормальна (0, о), а случайная
величина [п/(п — 1)](а2 — “i) распределена как сумма квад-
ратов (п — 1) независимых нормально распределенных
(О, о) случайных величин, деленная на (п — 1). Отношение
I n («1—ffl)
V[n/(n— l)](a2 — af)
ах—т
И 2 (L85)
I a2—a*
имеет плотность распределения
Sn— i (x) — —
| (и—1)л
Г
x2
п — 1
Г
где Г (/)—гамма-функция
Г(/) = [ х/-1 е-х dx, t^>0.
b
(1.87)
Распределение с плотностью (1.86) называется /-распределе-
нием Стьюдента с (и — 1) степенями свободы. Функции
Sn-i(x) табулированы (см., например, [3]) и часто исполь-
зуются на практике. Отметим, что в распределение Стью-
дента не входит значение дисперсии <т2. С помощью
этого распределения можно оценить, не зная, чему равно
<т, насколько выборочное значение ссх может отличаться от
истинного среднего значения т нормально распределенной
случайной величины. Покажем, как это делается.
Пусть (щ, ..., <оп — результаты п случайных испытаний;
tt = £(®;) — выборочные значения случайной величины £,
распределенной нормально (т, <т). Будем считать, что зна-
чения тио неизвестны.
Определим, как и раньше, выборочное среднее
«!(©!, ... ,(0п)=— 2 ti (1.88)
п
и выборочную дисперсию
1 " ( 1 " \2
S2=(a2-a2)(<o1,...,®n) = -Vd- -54 • (1-89)
” i=l \ ” i=l J
28
Случайная величина
/=| п—1
(«1—«О
/а2—af
(1.90)
подчиняется распределению Стыодента с (п—1) степенями
свободы. Поэтому можно написать:
ь
Р {a<Zt^.b} = ^ Sn_j (х) dx
a
(1-91)
или
P-------bLs_ m a1—— I = [S„_i(x)dx. (1.92)
У n—1 У n — 1 J
4 7 a
Таким образом, найдены не зависящие от <т границы, меж-
ду которыми с известной вероятностью находится значение
истинного среднего т. Интервал
И S2
| П-Л ’
«1
a/s2 \
| гп— 1J
называется доверительным интервалом.
Если независимо повторять выборки «>!, ...,<оп объема
п из Q и вычислять для каждой выборки граничные зна-
чения
) п-1 п £ Гп-1
(1.93)
то частота попадания истинного среднего т в интервал
ь
(а,|3) будет приблизительно равна J Sn~\(x)dx. Значение ин-
а
Ь
теграла J Sn—\(x)dx называется доверительным уровнем. Ва-
а
рьируя пределы а и Ь, можно задавать различные довери-
тельные уровни, в частности сколь угодно близкие к едини-
це. Формула (1.92) позволяет оценить возможное отличие
выборочного среднего
1
от истинного среднего т для выборки объема п.
29
Использование полученных доверительных интерва-
лов законно только в том случае, когда выборка произво-
дится из нормального распределения. Более общих методов,
пригодных для любых распределений, не существует. По-
этому часто возникает потребность в критериях, которые
позволили бы проверять, действительно ли данная случай-
ная величина является нормально распределенной.
Существует много критериев нормальности; ниже будут
перечислены некоторые из них и указаны ссылки на литера-
туру, где они подробно описаны. Следует подчеркнуть, что
каждый критерий проверяет сходство данного распределе-
ния с нормальным по какому-нибудь одному признаку и не
может обеспечить всестороннего анализа. Различные кри-
терии могут по-разному реагировать на отклонения от
нормальности. Например, некоторые классические тесты
довольно нечувствительны к отклонению от нормальности,
если рассматриваемое распределение симметрично.
Вероятно, наиболее известными и распространенными
являются общие критерии согласия (которые применяются
не только для нормального распределения): критерий %2
[4, 5], критерий Колмогорова — Смирнова [6—8] и крите-
рий Крамера — Мизеса [9—11]. В работе [12] был предло-
жен новый критерий, который имеет два преимущества. Во-
первых, этот критерий сравнительно легко применять, во-
вторых, он весьма чувствителен к отклонениям от нормаль-
ности.
При анализе результатов расчетов методом Монте-Кар-
ло рекомендуется всегда, когда это практически осуществи-
мо, использовать критерии нормальности. В тех случаях,
когда обнаруживаются достаточно большие отклонения от
нормального распределения, использование рассмотренных
в настоящем разделе доверительных интервалов становится
незаконным. Тем не менее выборочное среднее остается,
естественно, и в этом случае наилучшей оценкой матема-
тического ожидания.
§ 1.5. Получение случайных чисел с заданным
распределением
Рассмотрим случайную величину £ с плотностью распре-
деления f(x). Выборкой из плотности распределения /(х)
называется последовательность чисел tlt t2, (— сю
сю), таких, что
30
b
P {a <^t ^.b} = § f (x) dx, —co^.a<Zb^.oo (1.94)
a
И
Р{а<*Ь...tin^b} =
= P ^b}...P{a<tlit^'
' b "In
^f(x)dx ’(1.95)
_a
при условии, что все ilt ..., in различны. Здесь Р{а<
< tilf ..., Л'п Ь} — вероятность того, что все значения
6П удовлетворяют неравенству a<Zt^Zb. Числа
tlt t2, ... можно рассматривать как значения случайных
величин 51. ?2. ••• Тогда (1.94) означает, что каждая из ве-
личин 5; имеет плотность распределения f(x), а (1.95) озна-
чает, что 5/,. •••, независимы, если все ilt ..., in различ-
ны. Существуют различные пути получения последователь-
ностей ti, начнем с наиболее общего способа. Прежде всего
дадим определение последовательности равномерно рас-
пределенных случайных чисел. Последовательность рь
р2, ... есть последовательность равномерно распределенных
случайных чисел, если числа рг являются независимыми
значениями случайной величины с равномерной плотностью
распределения на отрезке 0 х 1:
0^Рг^1;
ь
P{a<Pi^b}= [ \dx = b—а\ 1; (1.96)
а
Р{а< рг1. -, Pin < b} = (b—a)n.
(1-97)
если все iu...,in различны. С помощью равномерно рас-
пределенных случайных чисел, являющихся выборкой из
плотности распределения
£(*) = {
1 при О х 1
О в противном случае,
(1-98)
можно осуществить выборку из произвольной плотности
распределения f(x).
31
Пусть F(x) — функция распределения случайной вели-
чины %:
F(x) = P{£<x} = (1.99)
—оо
Рассмотрим уравнение
F(x) = p. (1.100)
При изменении х от —оо до ф-оо значения р остаются
внутри отрезка’О р 1.
Определим функцию <р(р) следующим образом (см.
рис. 1.1):
<р(р) = supх, F(x)<p (1.101)
Очевидно, что <p(F(x)) = x и F(<p(p)) = p, так что функции
F и <р взаимно обратны. Отсюда следует, что <р (р) х
тогда и только тогда, когда
p<F(x). (1.102)
Пусть теперь рь р2, ... —последовательность равномерно
распределенных случайных чисел. Тогда числа
G = <P(pi). х = 1,2,... (1.103)
представляют собой выборку из плотности распределения
f(x), так как
РК-СМ P{<p(p,)^x} = P{p/<Fl(x)} = F(x). [(1.104)
Последнее равенство справедливо из-за того, что рг рас-
пределены равномерно. Из (1.104) легко получить (1.94)
для любой пары чисел а < Ь. Независимость выборочных
значений tt является прямым следствием независимости р{.
32
Итак, мы обнаружили, что если а) р имеет равномерное
X
распределение на отрезке [0, 1] и б) р = \ то плот-
ностью распределения х является функция /(х). Функцио-
нальной соотношение (б) между двумя случайными величи-
нами позволило установить связи между их плотностями
распределения. Мы сталкиваемся здесь с частным проявле-
нием общего принципа: обычно из соотношения между слу-
чайными величинами нетрудно установить соотношение меж-
ду их функциями распределения. Рассмотрим случайные
величины х и р с функциями распределения F(x) и G(p).
Пусть х х(р) —монотонно возрастающая функция. Про-
изведем выборку pj, р2, .... p.v из функции распределения
G(p) И ВЫЧИСЛИМ Xj = x(Pi), х2 = х(р2), ..., хх = х (p,v)-
Последовательность ху, ..., xn можно считать выборкой из
распределения F(x). Если п значений рг лежат на отрезке
I— сю, рс], то на соответствующий отрезок [ сю, хс], хс =
х(рс), попадет п значений хг. Очевидно, что
Hm-^=G(pc) F(xc). (1.105)
Если существуют плотности распределения, т. е. если
р X G(P)= и Е(х) - р(/)Л,
ТО dG , , dF dx ар ах ар
или fl V s(p) = ар (1.106)
Соотношение (1.106) часто оказывается полезным при пере-
ходе от одной случайной величины к другой, связанной с пер-
вой.
Когда случайная величина р распределена равномерно
на отрезке [0, 1], имеем:
Е(х)= р(0Л; —оо
X
G(P) = р = р(0Л; (1.107)
—оо
X = <f (р).
2 зак. 38 5
33
Таким образом, мы еще раз убеждаемся в том, что числа
/, = q?(p,) могут рассматриваться как выборочные значения
случайной величины с плотностью распределения f(x).
Рассмотрим в качестве примера экспоненциальную плот-
ность распределений
/а-)-
2е—\
О ,
О^л'^оо, 2 const,
х<0.
(1.108)
Такую плотность распределения имеет длина пробега ней-
трона между двумя последовательными столкновениями
в бесконечной среде с полным сечением 2. Соответствующая
функция распределения имеет вид
F(x) =
1—е--*,
0 ,
х 0,
х<0.
(1.109)
Для вычисления значений случайной величины с таким рас-
пределением достаточно решить уравнение
р = Р(х)=1—е-2Л х>0, (1.110)
и выразить х как функцию р. Решением является функ-
ция
* = ф(р) =--^1п(1 —р).
(МН)
Подставляя в правую часть (1.111) равномерно распреде-
ленные случайные числа, получаем экспоненциально рас-
пределенные на всем отрезке [0, оо] случайные значения
/f==_±ln(l-Pi).
На практике используют формулу
tt =----—lnPi, « = 1,2.............. *1-112)
которая аналогична (1.111), так как случайные величины р
и 1 — р имеют одинаковое распределение.
Итак, для получения на ЭВМ одного значения экспо-
ненциально распределенной случайной величины надо по-
лучить одно равномерно распределенное случайное число,
вычислить натуральный логарифм и произвести деленье
на 2. При использовании для вычисления логарифма стан-
дартной программы на эту процедуру будет тратиться до-
вольно значительное машинное время. Иногда для уско-
34
рения счета применяют специальные программы вычисле-
ния логарифма, в которых экономия времени достигается
за счет уменьшения точности. В таких программах исполь-
зуется либо меньшее число членов ряда, либо более прос-
тая аппроксимационная формула.
Другой подход, резко уменьшающий время счета, за-
ключается в том, что в оперативную память машины поме-
щают таблицу логарифмов (напомним, что нас интере-
сует только область 0 < х 1). Значения логарифма либо
берутся прямо из таблицы, либо используется линейная
интерполяция. Этот прием существенно уменьшает время
счета, но одновременно ухудшает точность и требует до-
полнительной памяти. Такая ситуация типична для расче-
тов методом Монте-Карло. Для того чтобы уменьшить ста-
тистическую погрешность, необходимо многократно повто-
рять однотипные вычисления. При этом крайне желательно
минимизировать число арифметических и логических опе-
раций, приходящихся на одно случайное испытание. Для
уменьшения числа операций можно использовать таблицы.
При этом возникает проблема размещения таблиц в памяти
машины. Ограниченный объем таблиц неизбежно приводит
к понижению точности расчета. На практике всегда при-
ходится принимать компромиссное решение с учетом всех
трех факторов: скорости расчета, точности и емкости
памяти.
Описанный метод применим для выборки из непрерыв-
ных распределений. При расчетах методом Монте-Карло
нередко встречаются и дискретные распределения. Рассмот-
рим дискретную случайную величину (см. § 1.2), прини-
мающую значения xt с вероятностями рг (Sp; = 1), и обоз-
начим '
К(х)=^рг (1.113)
функцию распределения такой случайной величины.
Определим, как и раньше, функцию <р(р) следующим
образом (см. рис. 1.2):
<p(p) = sup(xz), Д(хг)<р.
Значениям р, удовлетворяющим неравенству
' / + 1
= 0 i = 0
(1-114)
(1.115)
2*
35
соответствуют значения <р(р) = лч |р j~ 0, 1,... Как и
в непрерывном случае, достаточно взять в качестве после-
довательности р,, р2, ... последовательность равномерно
распределенных случайных чисел, чтобы соответствующие
значения
xh = <p(pft), k=\,2, ... (1.116)
являлись выборкой из распределения F(x). Получается
следующий алгоритм розыгрыша значения дискретной слу-
чайной величины: берется случайное число р и затем подби-
рается j такое, чтобы удовлетворялось неравенство (1.115).
При выполнении неравенства F(Xj) < р F(Xj+ [) выби-
рается значение Xj.pi.
Рассмотрим следующий пример. Нейтрон испытал со-
ударение с ядром некоторого изотопа, полное сечение кото-
рого можно представить в виде
с/ — а1 + п2 + + °7i> (1.117)
где ot — сечения различных реакций, например поглоще-
ния, упругого рассеяния, деления и т. д. Требуется разы-
грать тип реакции. Отношения р; = о;/о( представляют
собой вероятности различных реакций. Берется случайное
число р и подбирается значение j такое, чтобы удовлетворя-
лось неравенство (1.115), после чего считается, что произош-
ла реакция (/ + 1)-го типа. Если, например, оказалось,
что это упругое рассеяние, то затем переходят к розыгры-
шу нового направления движения нейтрона и его энергии
после рассеяния
36
§ 1.6. Метод исключения
Метод, изложенный в § 1.5, часто весьма полезен, одна-
ко для некоторых непрерывных распределений он неудобен
с вычислительной точки зрения, так как приводит к громозд-
ким формулам. Существует другой столь же общий метод,
который будет рассмотрен в настоящем параграфе. Метод
исключения получил свое название благодаря тому, что
в нем для построения последовательности случайных чисел
с заданным распределением используются не все выраба-
тываемые равномерно распределенные случайные числа;
некоторые из них отбрасываются. Несмотря на это, метод
исключения может оказаться более экономным, чем метод
инверсии, описанный в § 1.5, из-за большей простоты фор-
мул.
Рассмотрим ограниченную плотность распределения
Дх); предположим также, что f(x) отлична от нуля на ко-
нечном отрезке [а, М. Пусть
М= sup f(x) и f1(x) = ^-, (1.118)
а < < b М
так что 0 /i(x) 1. Использовав пару равномерно рас-
пределенных случайных чисел (рь р2), можно получить слу-
чайную точку (а 4 рх(Ь — а), р2), лежащую в прямоуголь-
нике с основанием (Ь— а) и высотой 1. Если эта точка ока-
зывается под кривой Л(х), т. е. если р2 < /1(а + рх(Ь — а)),
то t а + рх(Ь — а) принимается в качестве значения слу-
чайной величины с плотностью распределения /(х); в про-
тивном случае пара случайных чисел (рь р2) отбрасывается
и все повторяется сначала. Вычисленные по такому алго-
ритму значения t распределены с условной плотностью ве-
роятности
fi (О
J g (И Рг) dp2
. о
fi (О
J g (t I P2) dp2
о
dt
Подставляя в это выражение (1.26) и (1.98) и учитывая,
что совместная плотность распределения g(t, р2) имеет вид
1
Ь — а
О
£ (t, р2) -
при Os^p2^l,
в остальных случаях,
(1.119)
37
Получаем
f, о
1 С
J dp2
gi (d p2 < h (0) = ------------°7i(0
f dt f dp2
(b—a) j J
а о
-~L~ = (1-120)
J fi (0 dt
a
что и требовалось показать.
Как уже отмечалось, основной недостаток метода ис-
ключения состоит в том, что часть пар (рь р2) приходится
отбрасывать. Эффективность метода исключения (Е) равна
Рис. 1.3
отношению площади под кривой Д(х) к площади прямоуголь-
ника (см. рис. 1.3), в котором производится розыгрыш точки
(Л р2):
Е
------<1.
М (Ь — а)
(1-121)
Для того чтобы сделать выбор между методом исключе-
ния и методом инверсии, надо сравнить число операций
в методе инверсии и число операций, деленное на эффектив-
ность, в методе исключения.
Отметим, что метод исключения требует задания М =
= sup f(x) или, по крайней мере, оценки сверху для М. Ес-
а^х<Ь
ли эта оценка известна неточно, эффективность метода па-
дает.
38
Приведем пример использования метода исключения.
Рассмотрим плотность распределения
f(x) =
4
л(1 4 х2)
О
при 0 х 1,
(1.122)
при х<0 и х>1.
В данном случае
4
М = sup f (х) ----------
О 1 п
Соответствующая функция распределения
О,
х
О,
F(x) =
— С-------= — arctg х, 0 + х + 1
л J 1-р,С л
о
1, х>1.
(1.123)
В расчетах методом Монте-Карло такое распределение мо-
жет встретиться в тех случаях, когда надо вычислить тан-
генс угла, равномерно распределенного между 0 и л/2. При
выборке методом исключения берется пара равномерно рас-
пределенных случайных чисел (рь р2) и рй принимается в
качестве искомого выборочного значения, если р2 < 1/(1 +
+ pi) или, что то же самое, р2(1 + pj) < 1. Эффективность
метода равна л/4 (примерно 79%), т. е. достаточно высока.
Существуют различные обобщения метода исключения.
Предположим, например, что задана плотность распреде-
ления /(х), представимая в виде
f(*)
g (X) h (х)
f g(x)A(x)dx
— co
(1.124)
где g(x) — также плотность распределения, а й(х) 0.
Вычислим каким-либо способом выборочное значение t,
соответствующее плотности g(x), и возьмем равномерно рас-
пределенное случайное число р. Если р < h(t), принимаем
39
t в качестве выборочного значения, соответствующего плот-
ности f(x). Действительно,
(1.125)
Такой способ выборки является комбинированным. Ме-
тод исключения применяется только для учета функции
/;(/), а выборка из распределения g(x) может производиться
любым другим способом. При этом на f(x) не накладывает-
ся требование ограниченности; достаточно, чтобы ограни-
ченной была функция f(x) g(x).
§ 1.7. Обобщение на случай многих измерений
Мы рассмотрели два общих метода получения выбороч-
ных значений случайных величин с одномерными функ-
циями распределения: метод инверсии и метод исключения.
Прежде чем перейти к другим методам, обобщим изложен-
ные методы на случай многих измерений.
Пусть плотность распределения f(xlf ..., хп) — функция
п действительных переменных. Требуется произвести вы-
борку из плотности распределения /, т. е. построить после-
довательность /г-мерных векторов (Z*}1, ..., t(n), ...
.., Z(,V) ..., таких, что
НИ'’’........................$ f(xl,...,xn)dxl...dxn(\.\26)
Вп
1=1. 2. -
И
НИ'1’.....-•
= $ ••• , xn)dxA ... dxn 1Л/, (1.127)
. Вп
если все Д, ..., jN различны.
40
Запись (f{\ ..., t(n) £ B„ означает, что точка (<ф, ...
..., б?’) принадлежит множеству Вн, где Вп — любое мно-
жество, такое, что интеграл в правой части (1.126) сущест-
вует. Как и в одномерном случае, (1.126) выражает тот
факт, что выборка производится из распределения с плот-
ностью f, а (1.127) —что случайные испытания являются
независимыми.
Сведем задачу о вычислении значения многомерной слу-
чайной величины к многократной выборке из одномерных
распределений. Пусть p(xlf .. , х„)— функция распре-
деления, соответствующая плотности f(xlt ..., хп):
хп Х1
П*1.....*п) = $ ••• $ f(yi,-,yn)dyi...dyn. (1.128)
Легко видеть, что
F (xi..хп) = Р {(ZT, .... tn)£R„\,
где (flt ..., t„)—значение случайной величины с плотностью
распределения/, a Rtt—область «-мерного пространства, опре-
деляемая неравенствами —оо ух ^Xj, — оо */2^х2> •••»
Введем функции:
ОС оо
F1U1)= $ $ f(x1,y2,...,yn)dy2...dyn;
— оо —оо
/2 (Х., | Xj) —
оо оо
J ••• f f(xt.x2,ys, ....yn)dya... dyn
— оо —оо
А (Х1)
(1.129)
fn(x„ |хъ ..., хп_,) =---------Хп)-
оо
( f (xi > • •» хп) dxп
Каждая из функций /(-, l^z^/z является одномерной
плотностью распределения по переменной х;-. Функция
Л(х1)—частная плотность распределения (см.1.24); функции
/t(xi|Xj, ..., х;_() при z > 1— условные плотности распре-
41
Деления Xi при заданных хъ x;_v Справедливы следую-
щие соотношения:
, _ d"F(xt хп) . " 1 ' 0X1 д' F(x., .... х. оо,..., гк) f <V \ V V 1 ' 1 ' ' (1.130)
1 i И/ 1/ Л Л дх дх.
Рассмотрим последовательность уравнений:
Л(^) *1 = $ /1(У1)^У1=Р1;
х2 Xi) = § f2 (Z/al^i) ~ Рг! — оо (1.131)
Fn (хп хп | Xj, ..., Хп_1) - fn(FnlXli-‘ •1 xn—i) dyn = рп»
где (Pi, ...» рп)—независимые равномерно распределенные
случайные числа; £4(х4 |xlf х4_г)—условная функция
распределения xt при заданных хъ хг_,. Определим
функции Ф1(р1), фг(Рг I xi)> <Pn(Pnl xi> •••> xn-i) следую-
щим образом:
Ф1(Р1)= sup Xi,
Fl (*1) < Pl
фг (Рг I *1) = sup x*
Fl (x2 | x.) < pa
(1.132)
фп(Рп1*1»
.... xn_i) = sup X,
Fn (xn I *1 ’ xn-i) < pn
Как и в одномерном случае, функции фг (р, | хъ ..., х{_г)
и Fi(xi\xi, хг-1) являются взаимно обратными. Поэтому
ф(. (р. |xi, ...,хг_г) <хг тогда и только тогда, когда
Рг<Л(*г1*п (1.133)
42
Покажем теперь, что если взять п равномерно распре-
деленных случайных чисел рх, рп и вычислить
r=<Pi(pi);
Лг = <₽2 (Рг 1*1);
(1.134)
*п = фп(рп|*1, 1),
то вектор (tlt ..., tn) будет выборочным значением случай-
ной величины с плотностью распределения f (лу, ..., хп).
Мы ограничимся рассмотрением частного случая, когда Вп
(см. 1.126 и 1.127) является полубесконечным «-мерным
параллелепипедом Rn. Аналогично можно провести доказа-
тельство и для общего случая. Итак, пусть ..., tn опре-
делены в соответствии с (1.134). Тогда
Р|(А, .... -оо =
= Р I—(Pi)^!, ...,—OO^<pn (pJ/j.........Z„-1)<X„) =
= P{0<p1<F1 (xj, ...,Q^pn^Fn(xn\tl, ...» Z„_0} =
xi xn—i
5 ... § dFn-X (tn-i I ilt . ,/„_2)X
--OO ----OO
xn
X $ dFn (tn I tr, ...,tn-i) =
— OO
*1 xn-l
— fi (A) dt^ ... fn— i (fn— i 1 *i> •••, tn—2)dtn — 1 X
-----OO - OO
xn X1 xn
x $ tn-i)dtn= 5 S /(л.••.их
— 00 — 00 —00
x dtx... dtn = \-- $f (4,.... tn) dtx... dtn, (1.135)
что и требовалось доказать. Независимость полученных
выборочных значений следует из независимости равномерно
распределенных случайных чисел рг.
В качестве примера рассмотрим часто встречающуюся
задачу о выборе случайного единичного вектора в трехмер-
ном пространстве. В сферических координатах плотность
43
распределения углов (6, ф), 0 sgi 0 л, 0 ф 2л
(см. рис. 1.4) имеет вид
f(6,(p) = —— -------> 0<6<л, 0<ф<2л. (1.136)
4зт
Из того, что плотность f представляется в виде произведе-
ния функций от 0 и ф, следует, что соответствующие слу-
чайные величины независимы. Поэтому процедура выборки
упрощается: берется пара равномерно распределенных слу-
чайных чисел (ръ р2) и ре-
шаются уравнения
е
Z7! (0) = у Jsin?cft = pi;
о
ч>
х /72('р|0) = -^- [л = р2
2л J
(1.137)
относительно 0 и ф. Получаем
0 = arccos(l — 2р,);
Ф = 2лр2.
Часто бывает нужно вычислить не 0 и ф, а функции
sin 0, cos0, sin ф, соэф, где 0, ф имеют совместную плот-
ность распределения (1.136). Покажем, как можно по-
лучить sin ф и cos ф, не прибегая к стандартной программе
вычисления синуса.
Сначала покажем, как обобщается метод исключения
на многомерный случай. Пусть ..., tn — выборочное зна-
чение, соответствующее плотности f(xit ..., хп). Пусть при
tn ..., tn-i) вычисляется z h(tlt ..., tn), а при
tn~^g (llt ..., /n-i) случайный вектор (4, ..., tn) отбрасы-
вается. Функция распределения полученной таким спо-
собом случайной величины z дается выражением
f , xn)dx! ... dxn
h(xr xn)<z
G (z) = Xn<8(Xi....__________________________
J* * * J ПЧ, — * dxi • dxn
xn < S (X1.xn-l)
(1.139)
44
где неравенства определяют области в /г-мерном простран-
стве, по которым проводится интегрирование.
Возьмем теперь пару равномерно распределенных слу-
Р? — Рг
чайных чисел р1( р2 и положим г — —----- при
Pi + Рг
р.> < | 1—Р] • Нетрудно понять из геометрических сооб-
ражений, что г—косинус угла, распределенного равномерно
между Ойл. Докажем это формально с помощью (1.139).
Имеем:
f(t1,x2)=|1 при0<а'1<1; °<^ ь (Luo)
10 приду, х2<0 и хп х2>1;
xj —
h (xn x2) = —--------
V1 I VZ
При
этом
gUi) = I
1—%!.
| J dx} dx2
G(z) = -^—
j j dxj dx2
b2
J J dx2
в,__________
эт/4
(1-141)
где
- (Xj, х2) | h (ху, х2)
и
В2 {(ху, Х2) | Х2 < g (Х|^)}.
Делая замену переменных s = xy'x2 и t = x2, получаем
+ z)/( 1
-г)
в, о
I (1 -,-?)/(!-г)
' 2
О
1 — г
ds
2
о
следовательно,
G (z) = — arctg 1/ ——, ~ 1 < z < 1
n Fl—?
(1.142)
45
и
G'(z) = —J_ , —1<Z<1.
V ’ л/1-г2
(1.143)
Легко показать, что такую плотность вероятности имеет
случайная величина
z- cos пр, (1.144)
где р — случайная величина, равномерно распределенная
на отрезке [0, 1].
Определив coscp по формуле
coscp —
2 9
₽1 Р2
2 I 9
₽1 + Р2
вычислим с помощью той же пары чисел рн р3 значе-
ние sin ср:
sin <р =
± 2pi р2
2 2
Pl +Р2
(1.145)
С вероятностью 1/2 в этой формуле берется знак плюс или
минус. Итак, мы получили синус и косинус угла, равномер-
но распределенного между 0 и 2л. Этот метод был впервые
предложен фон Нейманом [18] и широко используется в рас-
четах методом Монте-Карло.
§ 1.8. Специальные методы
В большинстве случаев методы, описанные в §1.5 —
1.7, позволяют достаточно эффективно вычислять значения
случайных величии с различными распределениями. Иног-
да, однако, пугеъ| комбинирования методов или использо-
вания каких-либо специальных приемов удается достигнуть
дальнейшего ускорения процесса выборки Для подробного
ознакомления с различными специальными приемами мож-
но рекомендовать работу [19], в которой рассмотрен целый
ряд конкретных распределений, часто встречающихся на
практике. Для нахождения удовлетворительного способа
выборки требуется порой большая изобретательность.
В работах [13—17] рассмотрен класс методов, суть кото-
рых заключается в следующем. Произвольная функция
распределения F(x) представляется в виде:
F (х) = pF 1(x)+(l — p)Fz(x), р<1, (1146)
где коэффициент р близок к единице, a Fjx) — распреде-
ление, из которого легко производить выборку. На практи-
ке в качестве Лфх) используют дискретную аппроксима-
цию функции Т'(х), так как выборка из таблицы произво-
дится на ЭВМ исключительно быстро. С вероятностью р
для вычисления значения искомой случайной величины
используется функция распределения F^x), а с вероят-
ностью (1—р)—функция распределения F2(x). Среднее
время, затрачиваемое на вычисление одного значения слу-
чайной величины, определяется в основном временем рас-
чета с использованием F^x), если р достаточно близко к
единице. Расчет с использованием поправочного члена
F2(x) может быть весьма трудоемким, но это почти не влияет
на среднее время счета. Такой способ применялся, например,
для выборки из нормального распределения. Использова-
лось разложение
F (х) = Pi Fi (х) + р2 F2 (х) + (1 — рх—р2) F3 (х), (1.147)
где Fi(x)—дискретная функция распределения; Л2(х)—
функция, которой соответствует приблизительно линейная
плотность распределения; F3(x) — поправочный член. В
результате время счета оказалось почти таким же, как при
выборке из распределения Л1(х), а в памяти машины потре-
бовалось разместить только таблицу F}(x) и несколько до-
полнительных констант. Метод представляется очень пер-
спективным, так как он абсолютно точен*.
Другие методы основаны на том, что иногда оказывает-
ся возможным построить требуемую плотность распреде-
ления с помощью некоторых сравнительно простых случай-
ных величин.
Пусть, например,
z = max(p1,p2, ..., р„), (1.148)
где рь ..., рп — независимые равномерно распределенные
случайные числа. Легко доказать по индукции, что z
имеет плотность распределения
nzn~x, 0<z<l,
О в остальных случаях.
* Если (1 — — р2) достаточно мало, то может оказаться, что
выборка из распределения Е3(х) так и не будет ни разу произве-
дена, т. е. практически будет использована ацрроксцмация pi'Fi(x)+
+ PzEzW- В принципе тем не менее метод является абсолютно точ-
ным.
.149)
47
Такой плотности соответствует функция распределения
F(z) z". (1.150)
Для вычисления значений случайной величины с плотностью
распределения в виде полинома
р (z) = У (г + 1) пг z', O^z 1,
z = 0
где
а,.^0 и 2аг = 1, (1.151)
< = о
достаточно положить z = max (рь ..., р;) с вероятностью аг.
При этом коэффициенты а, используются для выбора одного
из членсв ряда, пссле чего применяется формула (1.148).
В качестве следующего примера рассмотрим усеченную
экспоненциальную плотность распределения
. 0 - Х^ХМ. (1.152)
1-е м
Такая плотность распределения встречается в тех случаях,
когда требуется разыграть длину пробега частицы до со-
ударения в ограниченной области. Для того чтобы исполь-
зовать обычный метод инверсии, надо вычислить функцию
распределения
F(x) =-----1 > \е- ‘dt=^ 1 ~е , 0<х х... (1.153)
1-е Л( J 1-е м
о
Решая уравнение
p = F(x), (1.154)
где р—равномерно распределенное случайное число, по-
лучаем
х= — 1п(1 — Р (1— e~*M)). (1.155)
Получившееся выражение включает логарифм и экспоненту,
поэтому вычислять х непосредственно по формуле (1.155)
было бы неэкономно. В работе [20] описан прием, который
позволяет избежать вычисления экспоненты. Пусть t —
значение экспоненциально распределенной случайной ве-
48
личины, т. е. случайной величины с плотностью вероят-
ности
n(x) = e~*, 0 A'<oo. (1.156)
Обозначим остаток от деления t на хм. Значения
распределены с плотностью h(y), совпадающей
с (1.152). Действительно,
h (у) = л (у) + л [У + хм) + л [у + 2хЛ1) 4- ... =
= е-у +е-(г/+хм) +е-Д+2М +... =
— х.. —2х\
1+е л'+е " + ...) =
= е7х , (1.157)
1-е м
что и требовалось доказать.
§ 1.9. Выработка равномерно распределенных
случайных чисел
Все описанные методы случайной выборки основаны на
использовании равномерно распределенных случайных чи-
сел. Перейдем к рассмотрению вопроса о том, как получить
такие числа на вычислительных машинах. Речь идет о не-
зависимых значениях случайной величины с плотностью
вероятности
1
О
при 0<х^1,
при х<0, х> 1.
(1.158)
Идея о возможности генерирования случайных чисел
с помощью детерминированного процесса возникла впер-
вые примерно в 1946 г. До этого их получали с помощью «слу-
чайного выбора» цифр из данных переписи населения, те-
лефонных справочников, а также с помощью различных
специально сконструированных устройств. В частности
для составления таблицы случайных чисел 121] использо-
валась электронная модель рулетки. Делались также по-
пытки оборудовать первые быстродействующие электронно-
вычислительные машины физическими датчиками случай-
ных чисел. Однако физические датчики делают невозмож-
49
иым повторение расчета, а это затрудняет поиск ошибок в
программе.
Почти все существующие методы получения равномерно
распределенных случайных чисел на ЭВМ основаны на сле-
дующем наблюдении: при перемножении двух многораз-
рядных чисел х и у средние разряды числа ху являются
достаточно сложной функцией х и у, так что кажутся вооб-
ще не зависящими от сомножителей. Именно это наблюде-
ние привело к созданию одного из первых методов построе-
ния последовательности, которую можно было считать бо-
лее или менее случайной (метод середины квадрата). В этом
методе (п + 1)-е случайное число получается выделением
нужного числа разрядов из середины квадрата п-го числа.
Хотя заданием первого числа полностью определяется вся
последовательность, числа ведут себя так, как если бы они
выбирались случайным образом. Это означает, что они рас-
пределены приблизительно равномерно и являются слабо
коррелированными, во всяком случае настолько, что ис-
пользование их вместо действительно случайных чисел не
приводит к большим ошибкам. Такие числа часто называют
псевдослучайными. Метод середины квадрата часто приме-
нялся с переменным успехом в практических расчетах ме-
тодом Монте-Карло.
В 1949 г. Лемером [22] была предложена модификация
метода середины квадрата, получившая название метода
вычетов. Алгоритм заключается в использовании следую-
щей рекуррентной формулы *:
Xi == axt_! (mod tri), (1.159)
где х0 и а — положительные целые числа; в качестве моду-
ля т берется большое положительное целое число. После-
довательность неотрицательных целых чисел {%,} полу-
чается в результате умножения x,_i на а, после чего про-
изведение берется по модулю т. Последовательность (хг-/т)
считается последовательностью равномерно распределен-
ных псевдослучайных чисел На практике в качестве моду-
ля т берется 2Р на ЭВМ, работающих в двоичной системе
счисления, и 10р на ЭВМ, работающих в десятичной си-
стеме (р — целое число). При этом, для того чтобы произ-
вести деление на т, достаточно вычесть р из порядка в ма-
* Запись х s {/(mod т) означает, что х равен остатку от деле
ния у на т, 0 < х < т.
55
шинном представлении числа. Эта операция производится
значительно быстрее, чем деление.
Относительно алгоритма (1.159) сразу возникают сле-
дующие вопросы:
а) сколько всего различных чисел х, можно получить
с помощью этого алгоритма? (Ясно, что не более чем т.)
б) насколько по своим статистическим характеристикам
последовательность [xz/m] похожа на случайную последо-
вательность?
Число различных значений х, в последовательности до
первого повторения называется периодом последователь-
ности псевдослучайных чисел*. С помощью теоретико-чис-
ловых соображений можно подобрать такие значения а,
х0 и tn, которым соответствуют последовательности с боль-
шим периодом. Результаты такого анализа представлены
в работах [23—26]. В них найдено много различных ком-
бинаций а, х0 и т, обеспечивающих значения периода, близ-
кие к предельно возможному значению, равному т. Ока-
залось, что последовательности с большим периодом хорошо
удовлетворяют различным критериям случайности. Зна
чения а, х0 и т, пригодные для практического использова-
ния, приведены в работе [27].
Существует модификация метода вычетов, основанная
на формуле
хг == [ах^ + с] (mod/я), (1.160)
где с также является специально подобранным целым чис-
лом. Основная цель введения дополнительной константы
с — сделать более случайными младшие разряды псевдо-
случайных чисел. Дело в том, что младшие разряды чисел,
полученных с помощью (1.159), повторяются с очень малым
периодом. Алгоритм (1.160) лишен этого недостатка, что
подтверждается статистической проверкой. В работах
[28—30] проведен анализ псевдослучайных чисел (1.160)
с целью выбора последовательностей, в которых корреля-
ция между псевдослучайными числами сведена к минимуму.
В действительности случайные числа не должны быть кор-
релированными, но в последовательностях, которые исполь-
зуются в расчетах методом Монте-Карло, наличие неболь-
* Более точно это число называют длиной отрезка апериодич-
ности. Период — расстояние между двумя одинаковыми числами
в последовательности — может быть много меньше длины отрезка
апериодичности. — Прим. ред.
51
шой корреляции вполне допустимо. Полный обзор всех
вопросов, относящихся к получению псевдослучайных чи-
сел, и обширная библиография имеются в работе [27].
В работе [31] изучен класс линейных преобразований
типа (1.160). Оказалось, что они обладают рядом интерес-
ных свойств. Пусть, например, х — случайная величина,
равномерно распределенная на отрезке [0, 1]. Рассмотрим
линейное преобразование
Т(х) = [лх-f-c] (mod 1), (1.161)
где п — целое число и 0 с < 1. Точки (х, 7(х)) распре-
делены равномерно на кривой у = Т'(х). Но при увеличе-
нии п график функции Т(х) все более заполняет единичный
квадрат, поэтому, хотя Т(х) и остается однозначной функ-
цией х, можно считать х и Т(х) значениями двух независи-
мых равномерно распределенных случайных величин.
В этом можно убедиться, нарисовав графики у = Т(х) при
различных п. В работе [311 показано, что для достаточно
больших п корреляция между х и Т(х) становится пренебре-
жимо малой и найдены два значения с, при которых эта
корреляция вообще исчезает при любом п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н а 1 m os Р. R. Measure Theory. N. Y., Van Nostrand, 1950.
X а л м о ш П. Теория меры. Перев. с англ. М., Изд-во иностр,
лит., 1953.
2. L о е v е М. Probability Theory. N. Y., Van Nostrand, 1950.
ЛоэвМ. Теория вероятностей. Перев. с англ. М., Изд-во
иностр, лит., 1962.
3. Cramer Н. Mathematical Methods of Statistics- N. Y., Prin-
ceton University Press, 1946. Крамер Г. Математические мето-
ды статистики. Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1948.
4. N е у m а и J., Р с а г s о n Е. S. Biometrika, 22, 298 (1930).
5. С h е г п о f f Н., Lehmann Е. L. Ann. Math. Statistics,
25, 579 (1954).
6 KolmogoroffA. N. Giorn. Inst. Ital. degli Attuari, 4 83
(1933).
7. Смирнов H. В. «Матем. сб.», 6 (48), 3(1939).
8. С м и p и о в Н. В. «Успехи матем. наук», 10, 179 (1944).
9 Kramer Н. Skand. Aktuar., 11, 141 (1928).
10. V о n VI i s е s R. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Leipzig-Wien,
Dentiske, 1931.
11. Anderson T. W., Darling D. A. J. Amer. Statist. As-
soc., 49, 765 (1954).
12. S h a p i г о S. S., Wilk M. B. Biometrika, 52, 591 (1965).
13. M a г s a g 1 i a G. Ann. Math. Stat., 32, 894 (1961).
14. M a r s a g 1 i a G. Ibid., p. 899.
52
15. Л1 а г s a g 1 i a G. Remark on Generating a Random Variable
Having a Nearly Linear Density Function. Boeing Scientific
Research Labs. Mathematical Note, No. 242 (1961).
16. M a r s a g I i a G. et al. Comm. ACM, 7, (1)4 (1964).
17. M a r s a g 1 i a G. et al. Comm. ACM, 7, (5) 298 (1964).
18. Von N e u m a n n J. NBS, Appl. Math. Ser., 12, 36 (1951)
19 К a h n H. Applications of Monte Carlo. Rand Corp.
A ECU-3259 (1954—1956).
20. L e i m d о r f e r M. In: On the Transformation of the Trans-
port Equation for Solving Deep Penetration Problems by the Apon-
te Carlo Method. Trans. Chalmers Univ. Technol., Gothenberg,
286 (1964).
21. A Million Random Digits with 100.000 Normal Deviates. Rand
Corp. Glencoe, Illinois, The Free Press, 1955.
22. L e h m e r D. H. In: Proceedings of the 2-nd Symposium on
Large-Scale Digital Calculating Machinery, 1949, p. 141; Ann.
Comp. Lab. Harvard Univ., 26 (1951).
23. C e r t a i n e J. J. Assoc. Comp. Mach., 5, 353 (1958).
24. T a u s s к у О., Todd J. In: Symposium on Monte Carlo
Methods. Ed. H. A. Meyer. N. Y.. John Wiley and Sons, 1956,
p. 15.
25. M e у e r H. A. et al. On the Generation and Testing of Random
Digits. Air. Res. Dev. Command. WADC Tech. Rep. 54—55,
Wright-Patterson Air Force Base, 1954.
26. P a g e E. S. Appl. Stat., 8, 124 (1959).
27. H u 1 1 T. E., Dobell A. R. SIAM Rev., 4, 230 (1962).
28. С о v e у о u R. R. J. Assoc. Comp. Mach., 7, 72 (1960).
29. G r e e n b e r g e г M. J. Assoc. Comp. Mach., 8, 163 (1961).
30. GreenbergerM. Math. Comp., 15, 4383 (1961); Math. Comp..
16, 126 (1962).
31. M a г s a g 1 i a G. In: Trans. Third Prague Conf. Information
Theory, Stat. Decision Functions, Random Processes (Liblice,
1962). Prague, Publ. House Czech. Acad. Sci., 1964, p. 499,
ГЛАВА 2
ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ
§ 2.1. Введение
В гл. 2 мы переходим от теории выборки и ее вероятност-
ных оснований к специфическим проблемам, относящимся
непосредственно к методу Монте-Карло. Обычно любое
руководство по методу Монте-Карло начинается с рассмот-
рения задачи о вычислении интеграла. Мы решили изменить
этой традиции и начать с другой задачи. В первых разде-
лах этой главы рассматриваются не интегралы, а системы
линейных алгебраических уравнений.
На примере решения таких уравнений будут продемонст-
рированы различные модификации метода Монте-Карло. Мы
видим в таком подходе два преимущества. Во-первых, срав-
нительно легко постепенно перейти от решения матричных
уравнений к решению простых интегральных уравнений,
а затем к уравнению переноса. Само изложение решения
методом Монте-Карло матричных уравнений естественно
проводить на примере многогрупповых уравнений перено-
са нейтронов в бесконечной среде. Во-вторых, при рассмот-
рении в гл. 5 многогрупповых уравнений переноса нейт-
ронов в тепловой области используются методы решения
как матричных, так и интегральных уравнений. Это свя-
зано с дискретным представлением энергетической пере-
менной в сочетании с непрерывным представлением про-
странственных переменных.
В гл. 2 мы ограничимся для простоты рассмотрением не-
размножающих подкритических систем. Обобщение на
случай подкритических систем с размножением будет про-
ведено для непрерывного случая в гл. 3. Как мы увидим,
такое обобщение не вызывает трудностей. Тем не менее при
отсутствии размножения многие формулы упрощаются.
Мы надеемся, что это облегчит чтение настоящей
главы.
54
Ё гл. 2 и 3 будет использоваться в основном интеграль-
ная форма уравнения переноса. Дело в том, что такая форма
представляется более удобной для получения основных
результатов теории оценок. Это связано с тем, что инте-
гральное уравнение (и его дискретный аналог — матрич-
ное уравнение) допускает естественную вероятностную ин-
терпретацию. Там, где речь идет непосредственно о теории
переноса (гл. 4 — 6), будет использована интегро-диффе-
ренциальная форма. Для того чтобы связать эти несколь-
ко различные подходы, в § 2.4 приводятся некоторые соот-
ношения между интегральными транспортными уравне-
ниями и интегро-дифференциальным уравнением переноса.
§ 2.2. Дискретные случайные блуждания
Как уже говорилось, при расчете методом Монте-Карло
траектории частиц (нейтронов, гамма-квантов и т. д.) про-
слеживаются от точки к точке в фазовом пространстве.
Вообще говоря, фазовое пространство является шестимер-
ным континуумом, а математическое описание процесса
дается уравнением переноса. Полезно, однако, рассмотреть
процесс переноса частиц в дискретном конечном фазовом
пространстве, что приводит к матричному уравнению. Ме-
тоды решения этой более простой задачи можно затем пе-
ренести на общий случай.
Начнем с вывода уравнения для дискретной плотности
столкновений. Пусть фазовое пространство содержит N
возможных состояний, помеченных индексами 1,..., N. Для
описания траектории частицы в таком пространстве доста-
точно указать состояния, в которых частица испытала пер-
вое соударение Д, последующие соударения 12, Д, •••> и, иа"
конец, состояние Д, в котором траектория закончилась
(считается, что каждая траектория заканчивается с вероят-
ностью 1). Процесс случайных блужданий полностью оп-
ределяется набором вероятностей первого соударения (р* —
вероятность первого соударения в состоянии i), вероят-
ностей переходов (р^ , — вероятность перехода из состоя-
ния j в состояние /)* и вероятностей гибели (р; —вероят-
ность того, что при попадании частицы в состояние i тра-
ектория заканчивается). Для траектории а = (Д, ...
* Такое «обратное» расположение индексов оказывается более
удобным при рассмотрении интегральных уравнений [см. уравнение
(2.45)].
50
ik—i, ik) c полным числом соударений k эти вероятности
определяются следующим образом:
Pi, j ~ Р (in+1 =- i | in = / и k > n);
pt = P(k = n\in = i).
При этом должны выполняться условия:
N
^P'i
i~ I
Р/>0; pit
N
1;2P| /=1—Pj 1 при любом j.
1=1
(2-1)
(2-2)
Последнее условие справедливо только в отсутствие раз-
множения.
Через Р" обозначим вероятность того, что п-е соуда-
рение частица испытает в состоянии /:
Pj=P(in = j\k>n-V), п^2-, (2.3)
Р/= P(,i=/)=p/- <2’4)
Справедлива следующая рекуррентная формула:
Pi = i Pj.bP’T1, «>2.
k= i
(2.5)
Формула (2.5) означает, что вероятность испытать п-е
соударение в состоянии j равна вероятности того, что (п—1)-е
соударение произошло в состоянии k, умноженной
на вероятность перехода из k в j и просуммированной по
всем промежуточным состояниям k.
Для каждого состояния / введем случайную величину
Xj, равную числу соударений в состоянии /. Это дискрет-
ная случайная величина, определенная на множестве всех
траекторий а и принимающая только целые положительные
значения. Нетрудно показать, что математическое ожида-
ние этой случайной величины равно
ОО
Е[Х,-] = 1р/+ 1'р/+ Ьр/+ - = 5р/. (2.6)
п= 1
Мы будем называть Pj = E[Xj] дискретной плотностью
столкновений.
56
Из формулы (2.5) следует, что
Поэтому плотность столкновений можно представить в виде
Pj = P'i + ^Pj,kPk К/ХЛ'. (2.7)
k= i
Введя обозначения Р для вектора (Рг, .... Рп) и К для
матрицы с элементами ,, запишем систему уравнений
(2.7) в виде матричного уравнения:
Р РЧ-КР, (2.8)
где Р* = (Р}, ...,P'n).
Полученное матричное уравнение связывает дискрет-
ную плотность столкновений Р с плотностью первых соуда-
рений Р’ и оператором К, описывающим вероятности пря-
мых переходов из одного состояния в другое.
Решением уравнения (2.8) является вектор Р, j-ю ком-
поненту которого, Рj, можно интерпретировать как плот-
ность частиц, которые испытают следующее соуда-
рение в состоянии /. Для определенности будем считать,
что характеристики частиц фиксируются в момент, непос-
редственно предшествующий соударению, а не после
соударения. Тогда источник Р1 есть плотность частиц
перед первым соударением, т. е. частиц, уже перешедших
из состояния, в котором они родились, в состояние, в кото-
ром они испытают первое соударение. В последующих па-
раграфах, посвященных уравнению переноса, будут рас-
сматриваться отдельно функции, описывающие плотность
рождения частиц и плотность первых столкновений.
Покажем, что рассмотренный дискретный процесс слу-
чайных блужданий описывает процесс переноса нейтро-
нов в бесконечной среде в многогрупповом приближении.
Начнем с того, что выпишем систему многогрупповых
уравнений переноса* для произвольной среды без размно-
* Вывод многогрупповых уравнений переноса из общего кине-
тического уравнения приводится в § 5.2.
57
жения:
w-V-F^r, (f>) + 2j(r)F‘(г, о) =
= 2/(r)C4(r, (O (o')F'(r, (o')4-Q' (r> w), (2.9)
где i — номер' энергетической группы, 1 i G; oi —
единичный вектор направления полета нейтрона; г — ра-
диус-вектор, определяющий положение нейтрона; F1 (г, to)—
векторный поток* в i-й группе в точке (г, со) фазового про-
странства; 2$ — полное макроскопическое сечение в груп-
пе i; Cli (г, со со') — ядро рассеяния, описывающее пе-
реходы из группы j в группу i и из о' в to; Q1 (г, со) — ис-
точник в точке (г, со) в группе I. Отметим, что ядро С1' —
полное ядро рассеяния с учетом всех элементов, присутст-
вующих в среде.
В бесконечной однородной среде с постоянным источ-
ником потоки F1 не зависят от координат, так что \/F‘ = 0,
1 i G. Предположим также, что источники изотропны,
т. е. Q‘((o) = Q74rr. Тогда система (2.9) примет вид
S/F‘(to) =
= 2 \ Uo' s;cz/ ((о о')^ (ю)+-^-
7 = 1 JJ 4п
1 < t < G. (2.10)
Проинтегрируем (2.10) по всем направлениям, введя для
скалярных потоков обозначение
Ф' = ^dtoF'(to).
Получим систему уравнений для скалярных потоков в беско-
нечной среде:
2, Ф* = У XjC'^' +Q'’, l<t<G, (2.11)
/=1
где
С''=| I C'ifto-to'Jdto' = —— •
J J %
Матрица с элементами 2^ является матрицей переходов
* Поток *Fl связан с плотностью столкновений ip' соотноше-
нием Tp‘=SjF‘.
58
из группы / в группу i. Элементы матрицы связаны
с макроскопическим сечением рассеяния S' и полным
макроскопическим сечением в группе j следующим
образом*:
2 = 1 /<G.
i = i
Введем скалярную плотность столкновений
о; s;oz.
Тогда (2.11) можно записать в виде
G yri $
6'= 2 + (2-12)
если 2(5^0 при любом /. Итак, мы получили матричное
уравнение
О K« + Q, (2.13)
где
0 = - 01— , Q = -Qi- т<г| w 1 s'2 2/ у 1G S?
_0С_ _QG_ sf1 sf2 2gg
St _
Из физических соображений ясно, что Q О, К О
и 0>0**.
S'?
Определим теперь рц — -Д , так что 0 рц 1 и
2
* Соотношение между сечением рассеяния S' и элементами
матрицы может быть другим при другом способе написания мно-
гогрупповых уравнений (см. гл. 5).
** Вектор X 0, если х, 0 для всех /; матрица А 0, если
aij 0 для всех i и j.
59
Введем также
где Si — (S'— S') — макроскопическое сечение поглощения
в группе /, и, наконец,
р\
Q'
G
Vq/
G
так что О Д plt 'Д 1 и V
Деля уравнение (2.13) на
о
v Q‘, получаем
0^—о^к-
v<2'
1
с
Vq'
Теперь достаточно ввести обозначения
Р = ^-0 и Pl = -^—Q,
v<2' VC'
<=I i=l
чтобы получить
Р = Р1 + ДР. (2.14)
Таким образом, процесс переноса нейтронов в бесконеч
ной среде в многогрупповом приближении является ди-
скретным процессом случайных блужданий, определенным
в начале настоящего параграфа. Вектор Р представляет со-
бой в данном случае нормированную плотность столкно-
вений; Pj—среднее число столкновений в группе /, де-
ленное на число частиц, родившихся во всей системе.
Отметим, что в данном случае вектор Р1 описывает как
распределение источников нейтронов, так и распределение
первых соударений. В отсутствие пространственной зави-
симости это одно и то же: частица, родившаяся в группе /,
испытывает первое соударение, находясь в этой же группе.
60
§ 2.3. Решение систем линейных уравнений
В настоящем параграфе рассматривается применение
метода Монте-Карло для решения систем линейных алгеб-
раических уравнений. Некоторые из методов, о которых
будет идти речь, были развиты еще в первых работах по ме-
тоду Монте-Карло. Наше изложение будет несколько от-
личаться от общепринятого. Дело в том, что под дискрет-
ным процессом случайных блужданий мы будем подразу-
мевать совершенно определенный частный случай — реше-
ние многогруппового уравнения переноса в бесконечной
среде, с тем чтобы потом перейти к общему случаю транс-
портного уравнения Больцмана в интегральной форме.
Рассмотрим матричное уравнение
х = Дх-|-а, (2.15)
где И — квадратная матрица порядка У; а—заданный век-
тор. Элементы матрицы и компоненты векторов х и а—дей-
ствительные числа. В этом случае скалярное произведение
двух векторов У-мерного пространства определяется сле-
дующим образом:
N
(х, У)= 2 Д У,- (2.16)
i= I
Обозначив А' транспонированную матрицу (Д');; = Д,-;,
можно написать
(Д'х, у)-(х, Ду) (2.17)
для любой пары векторов х, у. Уравнение
у = Н'у + Ь (2.18)
с произвольным вектором Ь будем называть сопряженным*
уравнению (2.15). Умножая (2.15) на у, а (2.18) на х и вы-
читая друг из друга полученные уравнения, находим:
(х, Ь) (у, а). (2.19)
Это соотношение понадобится нам в дальнейшем.
Предположим, что абсолютная величина] Н | матрицы
Н (т. е. матрица, составленная из модулей элементов мат-
* В действительности использование в данном случае термина
«сопряженное» является неточным. Однако такая терминология ста-
ла уже стандартной.
6
рицы Н) имеет спектральный радиус*, меньший единицы.
В дальнейшем мы приведем физические обоснования этого
предположения для случая многогруппового уравнения пе-
реноса. Пока это просто ограничение на класс рассматри-
ваемых алгебраических задач. Если р(| И |) < 1, то и
р(||) < 1, так как собственные значения матриц |//1
и | Н' | совпадают.
Рассмотрим произвольный дискретный процесс случай-
ных блужданий с числом состояний N\
= j и k>tn)\
Pj = P(k = m\im = j) = 1— pt,,
i=i
(2.20)
и наложим на него следующие ограничения: р^=£=0, если
htj =# 0, и р}=£0, если пг =^= 0 (й;; и at—элементы матрицы
Н и координаты вектора а в (2.15)). Предположим, что
матрица К = имеет спектральный радиус, меньший
единицы. Нетрудно показать, что при этом полное число
соударений в каждой случайной траектории будет конеч-
ным с вероятностью единица. Отсюда следует, что для
случайной величины g, определенной в пространстве
траекторий а, математическое ожидание Е[£] можно
представить в виде:
оо
E[E] = £P(a)£(tt) V V р(а)Е(а),
а k — 1 а €
где Ля — множество случайных траекторий, включающих
ровно k соударений. Ограничение р(К) < 1 нужно для
того, чтобы при вычислении математических ожиданий мож-
но было пренебречь вкладом частиц, испытывающих беско-
нечное число" соударений. Мы не будем останавливаться на
этом вопросе, так как в гл. 3 он будет исследован подробно
при рассмотрении непрерывных процессов случайных блуж-
даний.
* Спектральным радиусом р(Л) матрицы А будем называв
наибольший из модулей собственных значений этой матрицы.
62
Пусть а = («1, .... tj,) — случайная траектория, начи‘
кающаяся в точке и заканчивающаяся в точке ih, и пусть
\hiilPtj при рц=/=0,
Ц 0 при Ptj 0.
(2-21)
Определим случайную величину W7- (а) в прсстранстве
траекторий а:
Wfl {а) = Т Wi2 '1 •" W‘h ik-1' (2'22)
Теорема 2.1. Случайная величина £/о(°0 =
— Wh (a) Sik io pifi является несмещенной оценкой
х/о,/0-й компоненты решения (2.15).
Доказательство. Надо доказать, что математиче-
ское ожидание случайной величины равно XjQ. Дейст-
вительно,
£[?/„(«)] У *> (<№(«)-=
а
“У V ••• У ~T~Wi2li -Wikik
k=‘ ‘k ‘1 Pil
P‘k ‘h- i P‘h^‘k 'о P‘h ~
v V ... Vfl; hi i ... ht, . 6,- ,
_j >_j _j 'i 2 1 'A h-1 h 'o
A=1 ih
aio+ [Ha] /o +[№]/, ... = x/o,
при условии, что ряд Неймана является абсолютно схо-
дящимся. Сходимость ряда Неймана следует из условия
Р(Ю<1-
Если применить этот метод к системе уравнений (2.14),
положив
Qi
с
У Qi
^7/ G
Ра ~ Pi j
К
S1 ’
63
то jc'(J=1, если ри=^0, и wi} = 0, если pi7 = 0; №д(а)=1
при любых k и а, и, наконец
у 1к
V R
у 1°
~т при Д=/о,
у 'о
0 при tfe#=/o-
Согласно только что доказанной теореме, математиче-
ское ожидание случайной величины £/0(а) равно /,,-й ком-
поненте дискретной плотности столкновений: Е [£Уо (a)]-— Pjo.
Число поглощений в состоянии /0
у (0
\ ТГ0Р^ <223)
так как S/n—вероятность поглощения при соударе-
нии в точке j0, а Р,-— среднее число таких соударений.
Несмещенной оценкой А, является случайная величина,
принимающая значения 0 или 1 (ее называют двоичной
оценкой):
^л(а)6,- - Р’
к х А '0 |q
если ik = j0,
если
(2.24)
Использование оценки (2.24) сводится к простому подсчету
числа частиц, поглотившихся в состоянии /0. Это самая
простая из всех возможных оценок величины
Аналогично, если S'" — сечение любого процесса в
состоянии /0, случайная величина
у О
2'° . .
-р, если ih ]о,
у 10
О, если ih=^io
(2.25)
является несмещенной оценкой числа реакций
s/0 Рп
2'° Р>о
Оценки рассмотренного типа были предложены фон Ней-
маном и Уламом и впервые описаны в работе [1]. Другой
64
класс оценок [2] связан с использованием случайной вели-
чины
*
П,- (а)= У (2.26)
При вычислении выборочных значений т]/в(а) использует-
ся каждое соударение, в отличие от расчета с применением
оценки £/„(«), когда используется только последнее соуда-
рение в каждой траектории.
Теорема 2.2. Случайная величина является
несмещенной оценкой х,0, /0-й компоненты решения
уравнения (2.15).
Доказательство.
оо / k \
Е[»,.(«)] = 2 2... 2 2 r„(e.)S,„
оо оо
- Р1к lk-i Р‘н= 2 2 2 - 2 Wm (а) 6,- } р' р ...
rv rv—Л rv , * 9 •
m= 1 л=т ij izi
oo
- Pih Pik = 2 2 - 2 Wm (a) , p' p ...
m=l lm ‘1 12 1
- P‘m lm-l \Р1Л Pim+1 ‘mP‘m+l +
I tn+1
+ Р1т+2^т+1
*771+2 *771+1 J
С помощью соотношения
Plm+1 1 P‘m+2
‘m+2
[cm. (2.2)| выражение, заключенное в фигурные скобки, мож-
но привести к виду (1 — limP'), гдеР—матрица переходов.
t ->оо
Но lim Р'= 0, так как матрица Р = Н имеет спектральный
t ->оо
радиус, меньший единицы (см. [3]). Разложение в ряд
Е р]. (а)] оказывается совпадающим с разложением
Е [I/ (а)]. Следовательно, г]/п является несмещенной оцен-
кой х, .
/о
3 Зак. 3 85
65
Попытаемся теперь обосновать предположение о том, что
р(Р)< 1. Согласно [3], матрица Р имеет спектральный
радиус, меньший единицы, если соответствующий случай-
ный процесс является неприводимым, и сумма элементов
какого-либо столбца матрицы Р строго меньше единицы, т. е.
Г 6
^Ра< 1 при каком-либо /. Это означает, что частица,
i=i
находящаяся в каком-либо состоянии, может попасть в
любое другое состояние (неприводимость) и что вероят-
ность поглощения не равна нулю по крайней мере в одном
состоянии. Таким образом, наличие стока нейтронов гаран-
тирует, по крайней мере в дискретном случае, сходимость
ряда Неймана. Сформулировать разумные физические пред-
положения, которые гарантировали бы сходимость ряда
Неймана в непрерывном случае, значительно труднее. Этот
вопрос рассматривается в гл. 3.
Перейдем теперь к оценкам, основанным на сопряжен-
ном матричном уравнении. Рассмотрим уравнение
У=Л'у+6,0, (2.27)
сопряженное уравнению (2.15), где 6/0-—вектор, i-я ком-
понента которого равна 6г;-в. Заметим, что вектор у равен
/в-му столбцу матрицы
= 7+/7'+(Я')2 + ...,
где I—единичная матрица. Ряд абсолютно сходится, так
как р (| Н' |) = р (| Н |) < 1.
Для решения задачи методом Монте-Карло выбираем
произвольный дискретный процесс случайных блужданий
типа (2.20), удовлетворяющий условиям р(К)< 1 и р^=/=,0
при Задаем также р/о=^=0 и
w,.\hhlPij, если р,7#=0, (228)
11 ( 0 , если ро- = 0.
Случайная величина (2.22) принимает вид
(а)+(2,29)
Теорема 2.3. Случайная величина (а) =
= Wk(a)8ih ioipih является несмещенной оценкой
у.°, /0-й компоненты вектора у.
66
Эта теорема доказывается так же, как теорема 2.1.
Рассмотрим теперь случайную величину
N
6(«)= 2 bo^)alo = Wh(a)aik/plk, (2.30)
10~ 1
где а1в определены уравнением (2.15).
Теорема 2.4. Случайная величина 6(a) является
несмещенной оценкой скалярного произведения:
N
(У. а)= 2
/=1
Доказательство.
N N
Е [6 (а)] = 2 Ф.£1Ма)! = 2 altyle,
/.= i J0=i
что и требовалось доказать.
Так как, согласно (2.19),
(у, а) = (х, 6/о) = х/о,
Где х—решение уравнения (2.15), случайная величина
(2.30) также является несмещенной оценкой х1е, сопряжен-
ной оценке ?/„(«)• Точно так же оценке (2.26) соответ-
ствует сопряженная оценка:
ь
Ф,» = 2^m(«)«zm. (2-31)
т= 1
Вклад в оценки (2.30) и (2.31) делается только на тех тра-
екториях, которые начинаются в точке /0, причем в (2.31) —
при каждом соударении, а в (2.30) — только при последнем
соударении.
Вернемся к системе уравнений (2.14). Запишем сопря-
женное матричное уравнение:
Р=6Л + К'Р. (2.32)
Физическая интерпретация уравнения (2.32) не столь оче-
видна, как в случае уравнения (2.14). Однако и этому урав-
нению можно поставить в соответствие некоторый дискрет-
ный процесс случайных блужданий. Согласно уравнению
(2.32), все траектории должны начинаться в состоянии /0;
3*
67
переход из состояния / в состояние i должен происходить
с вероятностью pi]t пропорциональной (Л')гг-
Естественно положить
N
2 рп
i= 1
Тогда процесс случайных блужданий определяется одно-
значно:
(2.33)
При этом весовые множители (2.28) принимают вид
если р;>=^0,
если рц = 0.
(2-34)
Произведение весовых множителей для всех точек траек-
тории определяет случайную величину, соответствующую
оценке (2.30):
6(а) =
2tk
(2.35)
На практике оказывается, что оценки такого типа имеют
большую дисперсию, так как значения, вычисленные по
формуле типа (2.35) для разных траекторий, сильно отли-
68
чаются друг от друга. При рассмотрении интегральных
уравнений будет указано преобразование сопряженного
уравнения, в результате которого все весовые множители
становятся равными 1, что приводит к некоторому умень-
шению дисперсии оценки (2.35).
Изложенные здесь соображения могут создать впечат-
ление, что отличные от 1 весовые множители вообще неже-
лательно использовать в расчетах методом Монте-Карло.
На самом деле такой, например, метод, как выборка по
важности (см. § 3.7), основан на использовании отличных
от 1 весов, которые вводятся специально для того, чтобы
уменьшить дисперсию. Недостаток оценки (2.35) заключа-
ется в том, что статистические веса (2.34) никак не связаны
с важностью соответствующих событий. Мы надеемся, что
смысл сказанного станет полностью ясен читателю после
ознакомления с § 3.7.
Тот же сопряженный процесс случайных блужданий мо-
жет быть использован в сочетании с оценкой Ф/0(а).
Итак, мы получили четыре различных оценки компонент
Xj0 решения матричного уравнения (2.15), две из которых
основаны непосредственно на уравнении (2.15), а две дру-
гие — на сопряженном уравнении (2.27). Рассмотрим эти
оценки более подробно.
В том случае, когда дискретный процесс случайных блуж-
даний строится на основе прямого уравнения (2.15), рас-
пределение источников определяется вектором а, а весо-
вые множители при переходе частицы из одного состояния
в другое — матрицей Н. Если при этом используется
оценка Е,-о, где /0 — номер состояния, в котором заканчи-
вается траектория, то из каждой рассмотренной истории
частицы извлекается информация только о какой-либо од-
ной компоненте х. При использовании оценки т],-0 вклад
в вычисление какой-нибудь из компонент вектора х делает-
ся при каждом соударении, т. е. значительно чаще. Можно
ожидать, что оценка всегда имеет меньшую дисперсию,
чем g;-4. Однако на самом деле это не так. Рассмотрим слу-
чай, когда в системе уравнений (2.14) Qt произвольны,
Рц — Ss'/Sj = hij, Pj — 0 для всех j, кроме / = /0. Тогда
5,0(а) = S'"/Si0 для всех траекторий а, так как все они
заканчиваются в состоянии /0. Случайная величина
принимает одно и то же значение для всех историй частиц,
следовательно, она имеет нулевую дисперсию. Заметим, что
69
из условия Pj 0 при j j0 следует, что при j j0 S/ =:
= S', откуда, в свою очередь, следует С
другой стороны, оценка т]/о превращается в
г].° («) = &,
где k—число соударений в состоянии /0, принадлежащих
траектории а. Ясно, что дисперсия не равна нулю,
так что в данном случае дисперсия меньше дисперсии
т) . . В работе [2] рассмотрены условия, при которых дис-
персия т]^ меньше дисперсии и получен следующий
результат:
Теорема 2.5. Пусть а/о = 1 и аг=0 при i=£j0.
Тогда var var в том и только в том
случае, когда
где v/o — вероятность того, что траектория, начинаю-
щаяся в /0, никогда не вернется в состояние /0.
В только что рассмотренном частном случае v/0 = 0 и
Pio > 0.
Если дискретный процесс случайных блужданий стро-
ится на основе сопряженного уравнения (2.32), каждая
траектория берет начало в точке /0. В этом случае весь рас-
чет нацелен на вычисление единственной компоненты ре-
шения Xj0. Естественно ожидать, что в таком расчете x,t
вычисляется более эффективно, и это действительно так
и есть. Однако в тех случаях, когда надо вычислить все
компоненты решения, следует использовать прямой про-
цесс, основанный на уравнении (2.15), а не сопряженный.
Такая дилемма типична для метода Монте-Карло. Обычно
методы, позволяющие достичь максимальной эффективнос-
ти, пригодны только для узкого класса задач. Как правило,
следует использовать именно такие частные приемы, не
стараясь добиться общности.
Рассмотренные методы нетрудно распространить на
задачу об оценке скалярного произведения
(х, g) (2.36)
произвольного вектора g и вектора х, который является
решением уравнения
х = Ях-|-а.
(2.37)
70
В этом случае сопряженное уравнение имеет вид
y = //'y + g. (2.38)
Как уже отмечалось, имеет место равенство
(х, g) = (y, а). (2.39)
Если дискретный процесс случайных блужданий основан
на уравнении (2.37), то компоненты хг вектора х можно
оценить с помощью случайных величин или щ, а ска-
лярное произведение (х, g) — с помощью случайных вели-
N М
чин v Itgi или Tjigi- Если же процесс случайных блужда-
I =! 1=1
ний основал на сопряженном уравнении (2.38), то скаляр-
ное произведение (2.39) оценивается с помощью случайных
величин 2 или V Мы уже рассматривали частный
»=1 <=1
случай такой задачи при g = S/o. Сравнительная эффектив-
ность прямого и сопряженного^ методов зависит от век-
тора g.
§ 2.4. Интегральные уравнения теории переноса
нейтронов *
В этом и следующем параграфах будут рассмотрены ме-
тоды оценки различных характеристик решения интеграль-
ного уравнения Фредгольма второго рода. Уравнениями
этого типа описываются многие задачи теории переноса
нейтронов. Как будет показано в § 2.5, при решении инте-
гральных уравнений можно использовать многие из ме-
тодов, описанных в предыдущем параграфе применитель-
но к матричным уравнениям.
Введем шестимерное фазовое пространство Г, три
координаты которого описывают положение частицы, а три
других — направление и скорость ее движения. Как и
прежде, случайная траектория частицы определяется
последовательностью состояний (xlt ..., хь), в которых час-
тица испытала первое соударение**, промежуточные соуда-
* В этот параграф при переводе внесены незначительные изме-
нения. — Прим. ред.
** Как и в дискретном случае, мы пока не рассматриваем началь-
ную часть траектории от рождения до первого соударения. В ка-
честве источника в наши уравнения будет входить плотность первых
столкновений.
7!
рения и последнее соударение; xt — точки шестимерного
пространства Г. Непрерывный процесс случайных блуж-
даний без размножения будет полностью определен, если
задать плотность распределения точек первого столкнове-
ния р\х), плотность переходов р(х, у), которая является
условной плотностью распределения
/?(х„+1, xn) = /(x„+i |х„) при n<k, (2.40)
и вероятность поглощения в точке х (окончания траекто-
рии) р(х). Функции рх(х), р{х,у) и р(х) должны удовлет-
ворять следующим условиям:
рх(х)>0, р(х, у)>0,
р1 (х) dx = 1,
г
\р(х, y)dx=l~p(y)^l
для всех у£Г.
(2-41)
г
Пусть Рп(х)—плотность вероятности, с которой п-е столк-
новение происходит в точке х, п — 1, ... Очевидно, что
РЦх) = РЦх)-
(2.42)
Рп(х)’= р(х,у) Рп~1 (у) dy, п^2. (2.43)
г
Определим случайную величину Х(х) таким образом,
чтобы X (х) dx было равно числу столкновений в элементе
фазового объема dx около точки х. Тогда математическое
ожидание
Е [X] = 1 -pi (х) +1 -Р2(х)... = 5 рп (*)• (2.44)
П=1
Будем называть функцию Р (х) — Е [X (х)| непрерывной
плотностью столкновений или просто плотностью столкно-
вений в точке х. Используя (2.43), получаем
V р«(х)= 2 у)рп
п= 2 п = 2Г
(y)dy =
$р(*. У) J р,1~' (y)dy = ^p(x, у) yPn(y)dy.
Г п=2 ц п=1
6 результате приходим к интегральному уравнению
для Р(х):
Р (х) = р* 1 (х) + $ р (х, у) Р (у) dy. (2.45)
г
Отметим, что это уравнение похоже на соответствующее
матричное уравнение (2 8) для дискретного случая. Отме-
тим также, что здесь, как и раньше, ядро р(х, у) описывает
плотность вероятности перехода из у в х, а не из х в у. Фи-
зические процессы, о которых будет идти речь в этой книге,
а именно процессы переноса нейтронов, описываются ин-
тегральным уравнением типа (2.45). Интегральное уравне-
ние для плотности столкновений [4] имеет вид
ф(г, Е) = ^ф(г', Е')/<(г, Е; г', E')dE'dr' +
+ $ Q (г', Е) Т (г', г; Е) dr', (2.46)
где вместо х использовано обозначение (г, Е), для того что-
бы разделить пространственные координаты и скорость
нейтрона*. Функция Q описывает плотность распределения
источников нейтронов. Ядро К можно представить в виде
К(т, Е; г', Е') = С(Е', Е; г')-7(г', г; Е), (2.47)
где функция С описывает изменение энергии и направле-
ния движения нейтрона при столкновениях, а функция
Т — перемещения нейтрона между столкновениями. Если
нейтрон попал в результате столкновения (или при рожде-
нии) в точку (г', Е), то вероятность того, что он испытает
следующее столкновение в некотором объеме V, равна
§ Т (г', г; E)dr.
v
Нейтрон, имевший перед соударением координаты (г', Е'),
окажется после соударения в окрестности точки (г', Е)
с вероятностью С(Е', Е; r')dE.
* Здесь и далее авторы вместо общепринятого обозначения х =
~ (г, со, £) используют более краткое х = (г, Е). Таким образом,
Е = Есь — вектор, равный по величине энергии нейтрона и совпа-
дающий по направлению с единичным вектором направления движе-
ния нейтрона со. — Прим. ред.
73
Введем обозначение <о -Е/Е. Тогда
Т(г', г; Е) = 2((г, Е)ехр
Ю(Г-Г')
— § S((r'+s<o, E)ds
о
(2.48)
для всех г таких, что вектор г—г' параллелен со и
со (г — г')^0. Если полное макроскопическое сечение
Sz(r', Е) не изменяется вдоль направления <о (как в слу-
чае бесконечной однородной среды), то
Т(г', г; Е) = 2/(Е)ехр ( — 2<(E)d), (2.49)
где d—расстояние между г' и г.
Рассмотрим подробнее функцию С(Е', Е; г). Ее можно
представить в виде
С(Е', Е; г) = 2р(С((Е', Е; г),
(2.50)
где pi—вероятность рассеяния типа I, а С,—соответствую-
щее ядро рассеяния. Каждая функция С,- нормирована на
число вторичных нейтронов v:
Jc,.(E', Е; r)dE = Vi. (2.51)
Для упругого и неупругого* рассеяния v=l, для деле-
ния v>l. Очевидно, что
S,t(r, Е')
Pl 2«(г, Е') ’
(2.52)
где 2sj—макроскопическое сечение рассеяния i-ro типа.
При отсутствии деления, т. е. для неразмножающей среды
<2'63)
где 2S—макроскопическое сечение рассеяния любого типа.
В случае изотропного рассеяния
С;(Е', Е; г) = — /(£', Е; г), (2.54)
* Если не учитывать такие процессы, как реакция (л, 2л).
74
причем
^7(Е', Е- r)dE 1. (2.55)
функция f—плотность распределения энергии нейтрона
после рассеяния.
Если при соударении в точке (г', Е') среднее число
вторичных нейтронов равно с (г', Е'), то
(г, Е; г', E')dr dE = c(r', Е').
Строго говоря, это равенство справедливо только для бес-
конечной среды или для ячейки Однако им можно пользо-
ваться и для конечных систем, если окружить интересую-
щую нас область черным поглотителем и брать интеграл по
всему пространству. В дальнейшем мы будем считать, что
это соотношение выполняется для любых систем.
В теории переноса часто используется интегро-диффе-
ренциальное уравнение для нейтронного потока F(r, Е):
V и Е (г, Е) + (г, Е) F (г, Е) =
= $2«(г, E')F(r, Е')С(Е', Е; r)dE'+Q(r, Е). (2.56)
Плотность столкновений и нейтронный поток связаны между
собой следующим образом:
ф(г, E) = St(r, E)F(r, Е). (2.57)
Уравнениями типа (2.46) и (2.56) описываются все физичес-
кие процессы, которым посвящена эта книга.
В интегро-дифференциальное уравнение (2.56) входит
физический источник Q, описывающий действительное рас-
пределение источников нейтронов, в то время как в инте-
гральное уравнение (2.46) в качестве источника входит
плотность распределения первых столкновений. Получим
другую форму интегрального уравнения переноса, содер.
жащую физический источник Q.
Запишем плотность столкновений ф(г, Е) в виде
ф(г, Е)=-$%(г', E)7(r',r; E)dr'. (2.58)
Тогда, согласно (2.46):
Х(г, Е)-$ф(г, Е')С(Е', Е; r)dE'+Q(r, Е) =
= $$X(r',E')L(r, E;r', Е') dr' dE' + Q (г, Е), (2.59)
75
где
L(r, Е; г', Е') = T(r', г; Е')С(Е', Е; г). (2.60)
Интегральное уравнение (2.59) того же типа, что и уравне-
ние (2.46). Разница лишь в том, что в (2.59) входит физичес-
кий источник Q и что в ядре уравнения члены С и Т поме-
нялись местами. В уравнении (2.46) и формуле (2.47) коор-
динаты (г', Е') и (г, Е) описывали состояние нейтрона не-
посредственно перед соударениями (соответственно преды-
дущим и последующим). В (2.59) и (2.60) состояние нейтро-
на фиксируется сразу после соударения. Ядро L(r, Е; г',
Е') описывает распределение состояний нейтрона (г, Е)
после очередного столкновения, если после предыдущего
столкновения нейтрон находился в точке (rz, Е') или если
нейтрон родился в этой точке. Среднее число нейтронов,
рождающихся в единицу времени в объеме V фазового про-
странства и попадающих в этот объем в результате столк-
новений, равно
§ X(r, E)drdE.
v
С помощью (2.48) и (2.58) можно установить связь между
Х(г, Е) и нейтронным потоком F(r, Е):
ОО
F(r, Е) = ^х(г—so, Е)ехр
о
s
—\ 2((г—tot, E)dt
b
ds. (2.61)
Интегро-дифференциальное уравнение (2.56) можно пере-
писать в виде
V<oF(r, E) + Xt(r, E)F(r, E) = x(r, E). (2.62)
Функции ф столкновениям и х можно представить в виде суммы по
и оо Ф(г,Е)=2ф„(г,Е) (2.63) п= 1 оо X(r, Е)= Z хп(г, Е), (2.64) и—0
где ф — плотность частиц перед n-м столкновением, а
X—плотность частиц после /i-го столкновения (/г —0
означает рождение).
76
Тогда имеем:
Xo(r, E) = Q(r, Е); (2.65)
Хп(г> Е) = $фп(г, Е')С(Е', Е; r)dE', п=1,2, ...; (2.66)
ф„+1(г, E) = $Xn(r', E)T(r', г; E)dr', н = 0, 1,2... (2.67)
Приведенные соотношения полезно помнить. Они позво-
ляют делать переход между различными формами интеграль-
ного и интегро-дифференциального уравнений переноса.
§ 2.5. Основные оценки для интегральных уравнений
Оценки, используемые в непрерывных процессах слу-
чайных блужданий, во многом отличны от оценок, которые
были описаны для дискретного случая. Например, в ди-
скретном случае можно оценить одну из компонент решения
матричного уравнения Х/„ с помощью случайных величин
g, 11 Ч/.- Е непрерывном случае использовать аналогичные
случайные величины для оценки плотности столкновений
или потока в точке невозможно, так как при этом оценоч-
ная функция превращается в 6-функцию.
Рассмотрим задачу об оценке скалярного произве-
дения
(ф, g) = $ $ ф (г, Е) g (г, Е) dr dE. (2.68)
г
Допустим, что неизвестная функция ф удовлетворяет ин-
тегральному уравнению
ф(г, Е) = 5$ф(г', Е')Л(г, Е; г', Е')dr' dE'+S(r, Е). (2.69)
г
В дальнейшем мы будем предполагать, что с вероят-
ностью единица любая траектория в рассматриваемых
процессах случайных блужданий заканчивается после
конечного числа соударений. Подробнее этот вопрос обсуж-
дается в гл. 3. Так же как в дискретном случае, сопряжен-
ное интегральное уравнение имеет вид
ф*(г, Е) = Цф*(г', E')K(r', E';r, Ejdr’dE' +g(r, Е) (2.70)
г
и справедливо следующее соотношение:
(ф, g) = J) §ф£Йп/Е = (ф*, S) = § § ф* Sdr dE. (2.71)
' г г
77
Построим некоторый непрерывный процесс случайных
блужданий рг(х), р(х, у), р(х), удовлетворяющий следую-
щим условиям*:
К(х, у)-£0=>р(х, у)^=0, S(x)=^0=>pi(x)=^0,
g(x)=£0=>p(x)=£0.
Кроме того, как уже говорилось, надо будет наложить ог-
раничения, которые гарантируют, что любая случайная
траектория закапчивается после конечного числа соуда-
рений. Пусть а = (xlt ..., xh) —случайная траектория,
начинающаяся в точке х2 и заканчивающаяся в точке xh.
Рассмотрим случайную величину, аналогичную оценке
фон Неймана для дискретного случая:
= Ш(%21 Х) ... ау(х (2.72)
Px(*i) p(xh)
где
, . (К (х, у)1р(х, у), если р (х, у) Ф О, „
ш(х, у) = ( ' (2.73)
I 0 , если р(х, у) = 0.
Теорема 2.6. Если случайная величина £ ограни-
чена **, ее математическое ожидание равно (ф, g),
т. е. |—несмещенная оценка (ф, g).
Доказательство. Из ограниченности £ следует,
что ее математическое ожидание конечно. Тогда можно
написать
ДЙ] = 2^(а)1(а) =
а
Sf I $ (Xj) . . , , 8 (xh)
... dx± ... dxh—y1L w(x2, Xj)... w(xft,xft_i)—- X
*= iJ •> P1 Ui) P (xh)
X p1 (Xi) p (x2, Xi) ... P (xh, Xk-l)p (xh) =
co
= S \ \ dxi
..dxhS(xj)К(x2, Xj)... Д (xft, xft_i)g(xk) =
* Запись а=> b означает: если выполняется условие а, то долж-
но выполняться Ь. — Прим. ред.
** Это ограничение будет несколько ослаблено в гл. 3.
78
если предположить, что последовательность интегралов
сходится. Условия сходимости будут сформулированы в
гл. 3 (см. теорему 3.5).
Если определить
(а) = w (х2, Х1) ... w (хт, х„_,), (2.74)
Р1 (*1)
то можно получить для непрерывного случая оценку, ана-
логичную другой ранее рассмотренной дискретной оценке:
ь
т](а)= 2 Wm(a)g(xm).
т~ 1
(2.75)
Можно показать (см. § 3.6), что и эта случайная величина
является несмещенной оценкой (ф, g).
Рассмотрим случай, когда в уравнении (2.69) отсутст-
вует деление, и выберем
p1(x) = S(x); р (х, у) = К (х, у);
Р (р) (2.76)
р(х/)==1— \К(х, y)dx = ^-, ( >
9 (У)
где 2О и 2t—сечение поглощения и полное сечение.
Тогда оценки (2.72) и (2.75) принимают вид
W = g(x^f^- (2.77)
\xk)
т](а)= 2^(хт). (2.78)
т— 1
При определении числа поглощений в некотором объ-
еме V фазового пространства
£(*) = ^Ху(*). (2.79)
\Х)
где
( 1 при хеУ,
Ху(Л')— | q ПрИ х^у_
79
Тогда оценки ? и г] принимают следующий вид:
f 1 при xh^V,
Ц»)=(о при xh<£V, (2.80)
k т](а)= 2 m= 1 (хтп) (хт) ММ' (2-81)
Эти две основные оценки будут использоваться неодно-
кратно в дальнейшем.
Точно так же можно рассмотреть вместо уравнения (2.69)
уравнение (2.59). В этом случае процесс случайных блуж-
даний задается так*:
p* 1(x) = Q(x)- p(x,y) = L(x,y)-, р(у)=
= 1—^L(x,y)dx. (2.82)
Интеграл (2.68) представляется тогда в виде
= Wx(r', Е)Пг', г; E)g(r, Е) dr'dr dE,
г
так что в выражениях (2.77), (2.78), определяющих случай-
ные величины | и т], надо заменитьg на j T(r', г; E)g(r, E)dr.
Как мы увидим в дальнейшем, часто используется именно
такой подход.
Формулы (2.76) и (2.82) определяют процесс прямого
моделирования для задач, в которых отсутствует размноже-
ние. При реализации такого процесса имитируется дейст-
вительное поведение нейтронов в стационарном случае,
описываемом уравнением (2.69). Для построения выбороч-
ных случайных траекторий можно непосредственно исполь-
зовать методы, изложенные в § 1.5—1.7. Плотность распре-
деления точек первого столкновения S(r, Е) иногда зада-
ется аналитически; в этом случае выборка производится
непосредственно из этой функции. В противном случае сна-
чала разыгрываются точки рождения частиц, исходя из
физического распределения источников Q(r, Е). Затем рас-
пределение S(r, Е) реализуется в результате расчета поло-
жения точек первого соударения частиц с помощью ядра Т:
S (г, Е) = J Q (г', Е) 7(г', г; Е) dr'. (2.83)
* Некоторые проблемы, возникающие при использовании ядра
L, будут рассмотрены в гл. 3.
80
После того как определена точка первого соударения час-
тицы (гх, Ех), с помощью ядра С выясняется, произошло ли
в этой точке рассеяние или поглощение. Для этой цели ис-
пользуется дискретное распределение (2.52). Если частица
не поглотилась в точке (гх, Ех), то разыгрывается тип рас-
сеяния i (см. 2.52). Затем с помощью ядра Ct определяются
новые значения направления и скорости, после чего опять
используется ядро Т для определения расстояния до точки
следующего соударения. Такая процедура повторяется
до поглощения, вылета из системы или выхода за пределы
рассматриваемого интервала энергий.
Часто используется другой процесс случайных блуж-
даний, отличающийся от только что описанного тем, что
в нем исключается поглощение. Такой процесс задается
следующим образом:
pi(x) = S(x);
р (X, y) = K(x,y)l\ К (х, y)dx = K (X, у) S, (f/)/2s ({/); (2.84)
г
р(у) = 1 — ^р(х, y)dx=0 для всех у.
При отсутствии поглощения для обрыва траекторий при-
меняются специальные приемы, такие, как обрезание рас-
сматриваемой области энергий или рулетка (см. § 3.8).
Оценка (2.72) теряет смысл, так как р(у) = 0 для всех у.
Однако оценка (2.75) остается в силе. Теперь она принимает
вид
41 (а) =
т= 1
(2.85)
Так как 2S (x)/Sf (х) — вероятность того, что частица не
поглотится в точке х, статистический вес
fj Ss(xy)
/ = 1
равен вероятности «выживания» при столкновениях в точ-
ках хх, ...., хт. Если присваивать каждой частице при рож-
дении вес, равный 1, то вклад в оценку (2.85) при соударе-
нии в точке хт будет равен g(xm) с весом
т
f] S,(Xy)
/= 1 (Ху) '
81
Статистические веса, изменяющиеся при соударениях час-
тицы, широко используются в методе Монте-Карло; в даль-
нейшем мы рассмотрим моделирование с весом более под-
робно.
Очевидно, что при уменьшении объема V фазового про-
странства эффективность оценок £ и т; будет падать, так
как при этом будет уменьшаться число траекторий, закан-
чивающихся в области V, и число соударений в этой облас-
ти. Для оценки значения ф в точке пользоваться формула-
ми (2.72) и (2.75) вообще невозможно, так как g(x) стано-
вится при этом б-функцией. С другой стороны, допускается
использование 6-функции в качестве источника в сопря-
женном уравнении (2.70) (при этом все траектории будут
начинаться в одной точке); в таком сопряженном процессе
случайных блужданий по-прежнему можно пользоваться
оценками | и т;*. Соображения такого рода показывают, что
при малом объеме области, в которой производится регист-
рация событий, сопряженные оценки имеют меньшую дис-
персию, чем прямые оценки.
Приведем определение непрерывного процесса случай-
ных блужданий, основанного на сопряженном уравнении
(2.70):
Р1 (*)=£(*)/§ g(x)dx;
г
п/х ,Л-
₽! <2'86’
г
p(y)=l — ^Р(х, y)dx=l — 1^-.
г (У)
Для такого процесса случайная величина £(а) прини-
мает вид
% (а) = \g (х)dx\l< (хъ х) dx ... X
г Г (zl)
X $ Л (х*_,, х) dx S (xft) . (2.87)
Г "S (xh-ll (Xh)
* Существуют также специальные оценки для вычисления по
тока в точке без использования сопряженного уравнения (см. [6],
а также § 3.6).
82
§ 2.6. Оценка по пробегу
До сих пор мы рассматривали оценки, вклад в которые
делается только в тех точках, где частица испытывает со-
ударения. На практике нередко требуется вычислить поток
(или число реакций) в областях, размеры которых малы по
сравнению со средней длиной свободного пробега нейтрона.
В таких областях нейтроны испытывают столкновения очень
редко, в связи с чем оценки рассмотренного типа должны
иметь большую дисперсию. В этом параграфе будут рас-
смотрены оценки, вклад в которые делается непрерывно
вдоль всей траектории нейтрона. Такие оценки специально
приспособлены для оптически тонких зон, хотя они и не
заменяют рассмотренные в предыдущем параграфе сопря-
женные оценки. Дело в том, что хотя с уменьшением разме-
ров области эффективность оценки по пробегу падает, она
оказывается достаточно эффективной в удивительно широ-
ком интервале размеров зон и часто используется в различ-
ных модификациях метода Монте-Карло, включая и те,
которые основаны на сопряженном процессе случайных
блужданий.
Мы рассмотрим два семейства оценок, вклад в которые
делается только при соударениях, и с помощью предельного
перехода получим из них новые оценки, использующие ин-
формацию о всей траектории. Одна из этих новых оценок
есть оценка по пробегу, другая — экспоненциальная оцен-
ка, предложенная Рихтмайером [7].
Пусть необходимо определить число реакций какого-то
определенного типа в некоторой области V фазового про-
странства:
/? = g (х) ф (х) dx. (2.88)
V
Здесь ф(х) — плотность столкновений, т. е. решение урав-
нения (2.69). Если потребовать, чтобы g(x) было равно нулю
вне области V, можно переписать выражение для R в виде
интеграла по всему фазовому пространству Г
Р = £ (х) ф (х) dx. (2.89)
г
83
Функция g обычно имеет вид (Sr (х) / Sf (х)) %v (х),
где
I 1, xeV;
Ху (*) = ( 0
а 2Г (х) — макроскопическое сечение рассматриваемой ре-
акции. Если, например, Sr(x) = 2а(х), то R— число
поглощений в области V. В соответствии с формулой (2.81)
случайная величина
является несмещенной оценкой числа поглощений в облас-
ти V для процесса прямого моделирования (2.76). В общем
случае несмещенной оценкой числа реакций R для процесса
прямого моделирования* является случайная величина
k
1г<«)= 2 (2-90)
/71= 1 \ХТП)
В приведенных формулах по-прежнему предполагается,
что траектория а = (хъ ..., xft) заканчивается в состоя-
нии xh.
Оценка типа (2.85) для определения числа реакции R
в процессе случайных блужданий без поглощения (2.84)
имеет вид
k
П1(«) = Wm
т — 1
(хт)
(xm)
ММ’
(2-91)
где Wm — вес нейтрона после т столкновений, т. е. про-
изведение вероятностей выживания для первых т столк-
новений.
Поток нейтронов F (х) есть решение интегро-дифферен-
циального уравнения [см. (2.56)]
w-’\/E(x) + 21(x)F(x) =
= (х')С(х', x)F(x')^x' +Q(x).
(2.92)
* Это следует из теоремы 3.5 (см. § 3.6).
84
Перепишем уравнение (2.92), добавив в правую и ле-
вую части одинаковые члены:
ш V/7 (х) + (х) + Ss, в (х)] F (х) =
= § [2f (xz) С(х', х) + 2S, с (х') б (х'—х)] F(х’)dx' + Q (х) =
= $[2<(x')+2s.6(x')]C*(^.^)^(x')^x'+(2(x), (2.93)
где
С*(х', х) =
2/(*') Г! ’ Л I
------------------- С (х , х) -j-
(x'l + ^s, в (*')
zs,6 СИ6]*'—х)
Sj (x') + 2s,6<*')
(2.94)
Функцию Ss. б(х) можно интерпретировать как макроско-
пическое сечение фиктивного рассеяния на так называе-
мом дельта-рассеивателе — изотопе, при взаимодействии
с которым нейтрон не изменяет ни энергии, ни направления
движения.
Кроме того, некоторая часть а полного сечения погло-
щения 2О может быть присвоена этому фиктивному изото-
пу, так что его полное сечение будет равно 2Sr е + aSQ. В
дальнейшем мы будем предполагать, что та часть сечения
поглощения, которая передана дельта-рассеивателю, учи-
тывается только с помощью весов: при вычислении вероят-
ности поглощения она учитываться не будет, но при каж-
дом дельта-рассеянии вес частицы будет умножаться на
Ss, б/(2Л, в + <zSo). Тогда «действительные события» будут
иметь полное сечение 2S + (1 — а)2а. Введение погло-
щения у дельта-рассеивателя было предложено в работе
[8] в качестве добавления к результатам работы [9]. В
этом параграфе будут указаны также некоторые дальней-
шие возможности обобщения трактовки поглощения. Так
как уравнения (2.92) и (2.93) эквивалентны, поток Е(х)
инвариантен относительно добавления любого количества
дельта-рассеивателя. В то же время плотность столкнове-
ний при этом, естественно, возрастает. Впервые введение
дельта-рассеяния было предложено Канделором и Гастом
для увеличения эффективности программы расчета методом
Монте-Карло вероятности избежать резонансного захвата
RECAP [10]. При этом преследовалась цель увеличить число
столкновений, не изменяя поток, в оптически тонких зонах.
Мы покажем, однако, что в действительности нет необходи-
85
мости вводить дельта-рассеяние в расчет методом Монте-
Карло. Вместо этого достаточно использовать комбинации
оценок типа оценки по пробегу с оценками типа оценки по
соударениям. Мы используем здесь понятие дельта-рассея-
ния только как удобный инструмент для перехода от оценок,
вклад в которые делается при соударениях, к оценкам, ис-
пользующим всю информацию о пути частицы в среде.
Обозначим
s;(x) = S/(x) + SSrC(x) (2.95)
эффективное полное сечение в уравнении (2.93). Тогда в лю-
бом процессе — аналоговом или неаналоговом — модели-
рования уравнения (2.93) пробег частицы между соударе-
ниями станет короче, в соответствии с увеличением сечения
от до [см. (2.48)1. Случайная величина (2.90), кото-
рая служит оценкой R при прямом моделировании уравне-
ния (2.92), переходит в
k
(*т)
Tl,’(a)= 2
/п= 1
(2.96)
при прямом моделировании уравнения (2.93), так как
R= J g(x)ip(x)dx = J g(x)
г г
2< (х)
2* (х)
ф* (х) dx-,
(2.97)
ф* (х) = [s; (x)/2f (х)] ф (х). (2.98)
Здесь ф* (х) —• плотность столкновений, соответствующая
уравнению (2.93). Точно так же, оценка (2.91) переходит в
k
^(а) = 2 <4/4 (2.99)
т= 1 (Xm)
где Wm—вероятность выживания в задаче с дельта-рас-
сеянием:
К
-----:----, если щ-е столкновение —
2s, 6+а дельта-событие,
2S
-------5-----, если т-е столкновение —
действительное событие.
(2.100)
86
При введении дельта-рассеяния число столкновений воз-
растает, а вклад в оценку при каждом столкновении умень-
шается Случайные величины (2 96) и (2.99) остаются не-
смещенными оценками R при любом выборе Ss, в(х), как
будет показано в гл. 3. Возникает вопрос: во что пре-
вратятся оценки т)* и т]* при неограниченном увеличении
количества дельта-рассеивателя в каждой области? Как
будет показано ниже, именно таким образом можно полу-
чить новые разновидности оценок, о которых говорилось
в начале этого параграфа.
Ранее уже говорилось о том, что длина пробега нейтро-
на между соударениями имеет экспоненциальное распреде-
ление [см. формулы (2.48), (2.49)1. Пусть 5 — расстояние
между двумя последовательными соударениями в единицах
среднего свободного пробега, т. е. произведение расстояния
на полное сечение. Функция распределения случайной ве-
личины X
F(t) = Pr{S^t]
(2.101)
имеет вид F(f) = 1 — ехр(—t), 0 t оо. Распределение
длин пробега (X — Xi) сверх некоторой длины Xi при усло-
вии, что частица пройдет путь Хг без столкновений, будет
таким же, как распределение полной длины пробега X:
G(t) = Pr{S—X1</|X1<X)=F(0
при любом Хг
Допустим, что объем V фазового пространства можно
представить в виде произведения
V = VaXVe,
где Va — гомогенная область в пространстве координат
частицы, а 14 — подмножество пространства энергий и на-
правлений. Элементами множества являются произве-
дения £ю, £mln < £ < £max, где о) — единичный вектор,
определяющий направление движения частицы, a (£mln,
£max) — рассматриваемый интервал энергий. Будем счи-
тать, что все сечения постоянны в области VA-
Пусть х — (г, о, £) — произвольная точка* фазового
пространства, а х' = (г', <о, £) — точка, в которой нейтрон,
вылетевший из точки х, испытает следующее соударение.
Расстояние между гиг' имеет экспоненциальное распреде-
ление. Предположим, что на пути из х в х' частица пересек-
ла область Va- Тогда случайная величина Тх, равная час-
87
ти отрезка (х, х'), принадлежащей VA, выраженной в еди-
ницах среднего свободного пробега, имеет плотность рас-
пределения
е~г,
М0={
I —<тах)е та*
' ^тах’
2^ 'max'
(2.102)
гДе <тах— максимально возможная длина пути (в безраз-
мерных единицах) в области VA для частицы, вылетающей
из точки х.
Если обозначить Dx — Txl~Zt путь, соответствующий Тх
в сантиметрах, то плотность распределения Dx есть
*х(0 =
Ste-3»',
^ax)e-Zf',uaI,
' <~~ 'max’
' 'max'
(2.103)
где St—полное сечение в области VA для нейтрона с энер-
гией Е, а /тах = 'max'2!-
При моделировании уравнения (2.93) длина пробега
между столкновениями определяется сечением 2/(х). Для
того чтобы не вводить веса в процесс прямого моделирова-
ния, положим а = 0, т. е. будем рассматривать только не-
поглощающий дельта-рассеиватель. Математическое ожи-
дание числа действительных событий на пути ds равно (Ss +
+ Sa)ds = S(ds. Поэтому при прямом моделировании
плотность распределения длин пробега в VA между действи-
тельными событиями описывается формулой (2.103), неза-
висимо от того, производится ли расчет с дельта-рассея-
нием или без него.
В неаналоговом процессе (2.84) каждое соударение, при
котором возможно поглощение, должно сопровождаться
уменьшением веса. Если доля а от полного сечения погло-
щения присвоена дельта-рассеивателю, то число действи-
тельных событий на пути ds равно 2f,a ds, где 2t' a = 2S +
4- (1 — a)So. Плотность распределения длины пути в Va
между двумя действительными событиями равна в этом слу
чае
6(/-/тах)^’а
' 'max’
' 'max'
(2.104)
88
Заметим, что при а = 0
gx(0 = 2te~z'' для /</шах,
а при а= 1
ёх (О — 2s е 8 ДЛЯ I <Z 4пах
При увеличении доли поглощения, присваиваемого дельта-
рассеивателю, уменьшение веса при каждом столкновении
с дельта-рассеивателем становится все более значительным;
одновременно средний пробег между действительными со-
бытиями увеличивается от 1/S, до 1/2я. Итак, при прямом
моделировании уравнения (2.93) используется плотность
распределения (2.103), а при неаналоговом моделировании —
плотность (2.104).
Исследуем сначала случай прямого моделирования.
Пусть d — выборочное значение случайной величины Dx
(2.103) при фиксированном произвольном значении Ss,6(x).
Введем условную вероятность P(n\d), п = 0,1,..., того, что
на пути d в области Va частица испытает п псевдостолкно-
вений. Нетрудно показать [9], что P(n|d) можно предста-
вить в виде многократного интеграла, в результате чего
получается формула
P(n\d)^ d<lma„ л = 0, 1, ... (2.105)
n\
Аналогично
P (n I Lx) = ' 6 1^П e~£s’ 6 'WaX « = °> 1> - (2.Ю6)
Формулы (2.105) и (2.106) можно объединить:
P(n|d)= e-^d, d^lmax, n = 0, 1, ... (2.107)
nl
Мы видим, что при прямом моделировании Р(п | d) является
распределением Пуассона, математическое ожидание и дис-
персия которого равны, как известно, X = 2s,e^-
В неаналоговом процессе d выбирается из плотности
распределения (2.104). В этом случае получается следующее
выражение для Р(п | d) [9]:
Р (п | d) = в е-₽", d < /юах, п = 0, 1..... (2.108)
п!
89
где p = Ss.e-|-aSa, a P(n\d)— условная вероятность того,
что частица с любым начальным весом испытывает п псевдо-
столкновений на отрезке d в области Va. И в этом случае
P(n\d) совпадает с распределением Пуассона.
Перейдем к рассмотрению оценок (2.96) и (2.99) в пре-
дельном случае. При заданном пути d в области Va случай-
ная величина т]* (2.96) упрощается:
= + при d</max,
где п—число псевдостолкновений на пути d, или
При заданных
шева (теорема
при котором
<1^ = пА при d = /max.
е>0 и d < /шах, согласно теореме Чебы-
1.1), можно выбрать достаточно большое k,
Рг
T1;|d_(X + i)4
Таким образом, с вероятностью 1 — е оценка t]‘ при за-
данной длине пути d принимает значения между
(х+1)
2, 2,
и
(^+1)4+^/^
2, 2Z
Переходя к пределу, получаем определение оценки по про-
бегу для числа реакций R при d</max:
(Л + 1)4 ±
Пт
^s, 6~*
(2S fld+l) 2 42 I '2~Td
= hm -^s-6 , > ' + lim - u /-e =d\„
2S, 6-*00 2S, 6-*°°
При d = Zmax справедлива та же формула с заменой d на
Zmax. Итак, мы показали, что с вероятностью единица оцен-
ка т)г стремится к оценке по пробегу, если в каждой облас-
ти Ss, е(х) стремится к бесконечности.
W
Так как оценка по пробегу является предельным слу-
чаем несмещенной оценки* (2.96), она сама также является
несмещенной. Выбирая разные значения Ss, е(х), можно
получить семейство несмещенных оценок 7?. При Ss, е(х)=0
* z , X? (Хт) , \
т= 1
а при Ss, 6 (х) = оо
(°0 ^-4 ^r.m dm,
т
(2.109)
(2.110)
гдег/т—длина m-го пробега нейтрона в области Va, а£г,т —
значение Sr вдоль dm. Для некоторых задач дисперсия
оценки (2.109) меньше дисперсии оценки (2.110), для других
задач, наоборот, меньшую дисперсию имеет оценка (2.110).
Вообще говоря, оценка (2.109) предпочтительней в случае
очень больших и сильно поглощающих зон, а оценка
(2.110) — в случае тонких или слабо поглощающих зон.
Возникает, таким образом, естественная задача о выборе
в каждом конкретном случае сечения SSifi(x), обеспечиваю-
щего минимум дисперсии оценки (2.96).
Зная распределение (2.107), можно сконструировать
новые несмещенные оценки, производя усреднение по псев-
достолкновениям. Так,
ОО
= 2 P(n|rf)(n+i)4=
п = 0
= (1+Ss,6d)4. если d</max, (2.111)
и
ес™ d = (2.112)
определяют новую оценку R, которая должна обладать ря-
дом преимуществ по сравнению с т]г. Во-первых, можно ожи-
дать, что за счет усреднения произойдет уменьшение дис-
персии**. Во-вторых, при использовании оценки (2.111),
* Как уже было указано ранее, несмещенность оценки по со-
ударениям будет показана в гл. 3.
** Дисперсия может и не уменьшиться, так как усреднение про-
водится при каждом соударении, а не по целой истории.
91
(2.112) отпадает необходимость моделирования дельта-
рассеяний в расчете методом Монте-Карло. При больших
значениях Ss>c это может значительно ускорить расчет.
Еще одно преимущество этой оценки в том, что числа Ss. е
в выражениях (2.111) и (2.112) можно рассматривать как
параметры и получать в одном расчете несколько различных
несмещенных оценок R. Сравнивая эти оценки, можно по-
добрать приблизительно оптимальное значение Ss> 6.
Формулу (2.111) можно переписать в виде
E[n;id]=c1^+(i-c1)dsr,
где
2,
т. е. представить как линейную комбинацию несмещенных
оценок и dhr. Проблема выбора наилучшей (обла-
дающей наименьшей дисперсией) линейной комбинации
несмещенных оценок обсуждалась в литературе по статис-
тике [11]; линейные комбинации некоторых случайных ве-
личин использовались в расчетах методом Монте-Карло
[12—15]. Мы остановимся на этом вопросе более подробно
в гл. 3. Отметим, что при оптимизации можно сделать сече-
ние 2s>e(x) зависящим от пространственных координат,
энергии и направления. Эффективное использование зави-
симости 2S, е(х) от направления описано в работе [16].
Перейдем к рассмотрению оценки для моделирования
с весом (2.99). Легко видеть, что выбор
2 к
а= s’6
2s.e+2s
приводит к тому, что вес частицы умножается при каж-
дом соударении на
С = Ss>e+2s
2/
При таком выборе а формула (2.99) существенно упрощается:
исчезает необходимость различать при умножении на весо-
вой множитель истинные события от дельта-рассеяний. Со
всех других точек зрения выбор а безразличен. Поэтому
92
условимся выбирать а именно так и выпишем формулы для
т|1 при заданном пробеге d в области Va'-
^d = W^
d <1 Anaxi
ч;и=“!'5!1
d ^max>
(2.113)
(2.114)
где n— число псевдостолкновений на пути d, a W вес
нейтрона перед началом пути d. Используя (2.108), нахо-
дим, что т)* \d имеет при dclmax среднее значение, равное
Sa
[1 —ае—
(2.115)
и стандартное отклонение
о = W а Уе-х (°—’—°) _е-2*(°—’ —О , (2.116)
2a
где a = Ss*/S(, X = Ss. ^d. Как и раньше, применяя тео-
рему Чебышева и переходя к пределу при Ss, 6->оо, на-
ходим, что с вероятностью единица
lim (T);|rf) = F^[l_e-z«<'], d</max. (2.117)
Xs>6-»o°
Эта оценка была предложена Рихтмайером [7] для исполь-
зования в расчетах вероятности избежать резонансного
захвата при 2r = So. Предел (2.117) можно интерпрети-
ровать как произведение первоначального нейтронного
веса на множитель, непрерывно убывающий с ростом d,
по мере увеличения вероятности поглощения. При стремле-
нии Ss, в к бесконечности а стремится к единице. Поэтому
плотность вероятности (2.104) переходит в 2sexp (—£,/).
С помощью выражения (2.115) можно получить новые
оценки
= 117^ 1
So
£[Т); |d] =
d 4пах>
(2.118)
d=Ux. (2.119)
93
Имеющие те же преимущества перед оценками (2.113), (2 114),
что и ранее рассмотренные оценки (2.111), (2.112). При этом
опять возникает вопрос об отыскании оптимальных значе-
ний 2S, в- В работе [8] приведены формулы типа (2.118), в
которые а входит непосредственно в качестве параметра.
Отметим, что можно было бы исследовать зависимость всех
рассмотренных в настоящем параграфе оценок еще от одно-
го параметра, а именно от части сечения 2О, используемой
при розыгрыше поглощения (окончания траектории). Мы
не будем здесь подробно останавливаться на этом вопросе.
Заметим лишь, что такой подход позволил бы сравнить до-
стоинства расчета с весами для учета поглощения и прямо-
го моделирования.
§ 2.7. Обобщения оценки по пробегу
В двух предыдущих параграфах был рассмотрен целый
ряд оценок, предназначенных для определения числа реак-
ций R в задачах переноса. Главными среди них являются
следующие три оценки.
1. Оценка по поглощениям, при которой суммируются
значения 2г/2а при каждом поглощении.
2. Оценка по соударениям, которая заключается в сум-
мировании значений 2r/Sf при каждом соударении.
3. Оценка по пробегу, когда вклад от траектории, от-
резки которой суммарной длины d принадлежат рассматри-
ваемой области, равен </Sr.
Из этих трех оценок последняя является, видимо, наи-
более употребительной. Очень часто эта оценка имеет мень-
шую дисперсию, чем остальные. В гл. 3 будет продолжено
обсуждение затронутого в § 2.6 вопроса о формировании
линейных комбинаций несмещенных оценок для получения
новых оценок, имеющих меньшую дисперсию. Сначала, од-
нако, мы закончим изучение оценки по пробегу рассмотре-
нием различных обобщений и модификаций этой фундамен-
тальной оценки.
Начнем с модификации, затрагивающей только послед-
ний прямолинейный отрезок траектории перед поглощением.
Допустим, что случайная траектория полностью построена
и что частица поглотилась в точке х области А. Пусть рас-
стояние от точки предыдущего столкновения в А или от
точки последнего вхождения частицы в А до точки х равно
d. Вклад от этого последнего пробега в Л в обычную оцен-
ку по пробегу числа реакций R равен d2r.
94
Поскольку известно, что частица поглотится в области
Л, воспользуемся условной плотностью распределения пу-
ти I в области А при условии, что частица испытает соуда-
рение до вылета из А:
f(l) = Zte~stl0^/^D, (2.120)
где St— полное макроскопическое сечение в А при данной
энергии; D—максимально возможный пробег частицы в А.
Вычислим теперь математическое ожидание пути частицы
в Л на последнем участке траектории и умножим его
на 2/
D
Е [/ | поглощение] = § If (/) dl =
о
= [ 1--e-*'D(1 +!,₽>].
2/(1—e * )
(2.121)
Получаем следующую модифицированную оценку по про-
бегу: вдоль всей траектории, кроме последнего участка
перед поглощением, вклад в оценку R равен dXr; на по-
следнем участке делается вклад (2.121). При этом можно
ожидать уменьшения полной дисперсии. Однако следует
опять подчеркнуть различие между дисперсией на соуда-
рение (она уменьшается обязательно) и дисперсией на ис-
торию. Очевидно, что при безграничном увеличении облас-
ти А длина D стремится к бесконечности и
£[/2г]=^, (2.122)
т. е. оценка по пробегу переходит в оценку по соударениям,
и дисперсия на последнем участке траектории уменьшается
до нуля. Мак-Миллан [12] провел сравнение дисперсий мо-
дифицированной и обычной оценок по пробегу для опреде-
ленного класса модельных задач. Оказалось, что в рассмот-
ренных задачах применение модифицированной оценки
всегда приводит к уменьшению дисперсии.
Используя условные математические ожидания, можно
построить множество различных новых модификаций оцен-
ки по пробегу такого же типа, как только что рассмотренная
оценка (2.121). Это делается следующим образом (см. также
П7]).
Как и прежде, будем использовать обозначение х =
= (г, Е), где Е = Еы, ю — единичный вектор направле-
95
ния движения нейтрона. Допустим, что в гомогенной об-
ласти А появился нейтрон с координатами (г, Е). Этот ней-
трон либо только что родился в А, либо испытал в ней стол-
кновение, в результате которого приобрел параметры Е,
о, либо, наконец, попал в Л из какой-то соседней области.
Пусть Z) — кратчайшее расстояние от точки г до границы
области А вдоль ю, т. е. максимальный путь, который может
пройти нейтрон в области А др следующего соударения или
вылета. Имеет место равенство
е~г'°+ — (1—e~2‘D) + ^-(1 — e“2*D) = 1, (2.123)
2/ 2/
где Sa, Ss, — сечения в области А при энергии Е. Пер-
вый член в этом равенстве представляет собой вероятность
вылететь из области А без соударений, а второй и третий
члены — вероятности поглощения и рассеяния в области А.
Если г' — точка следующего соударения частицы, то рас-
стояние I от г до г' имеет плотность распределения
f(0 = (г') exp
- Z=|r-r'|
— § 2f (г -j- s®)c?s
о
, 0^/<оо. (2.124)
С другой стороны, случайная величина I*, равная расстоя-
нию, пройденному частицей в области А на пути из г
в г', имеет плотность распределения
1*<D,
l*^D.
(2.125)
Если точка г лежит вне области А, то плотность распре-
деления Г при условии, что луч r+s<o, s^O, пересекает
область А, есть
б (/*)(! — е-г»),
е-т0 e~z‘,
е-^б(/*-Огаах)е-°тах
/* = 0;
0</*<Dmax;
(2.126)
где То — расстояние от г до Л вдоль ю; Dmai—толщина
области А вдоль (л. Все величины I*, То и Птах выражены
в единицах среднего свободного пробега. Мы будем поль-
зоваться для простоты распределением (2.125); обобщение
на случай (2.126) не составляет труда.
96
Теперь можно написать условную плотность распреде-
ления длины пути в области А при условии, что произош-
ло какое-либо из следующих трех событий (или подмножест-
во пространства этих элементарных событий):
а) вылет из области А без соударений;
б) соударение в области А с поглощением;
в) соударение в области А с рассеянием.
Усреднение по этим условным распределениям позволяет
получить новые оценки R, эффективность которых опреде-
ляется скоростью счета при их реализации и дисперсией.
Плотность распределения I при условии а) есть
fa(l) = & (l—D), 0</<D, (2.127)
а при условиях б) или в)
/ь (0 = fc (0 = S?e_X. (2.128)
1 —е ‘
Для любого подмножества S событий а), б), в) услов-
ная плотность распределения I при данном S есть просто
2 fx(l)Px
S px
(2.129)
где Px — вероятность события (x), fx определяется либо
формулой (2.127), либо (2.128). Условное математическое
ожидание Es определяется стандартным образом:
D
Es = Ifs (/) dl.
b
Случайная величина Es используется в качестве оценки
числа реакций, когда происходит какое-либо из событий,
входящих в S. Можно также использовать по отдельности
две различные оценки, усредненные по подмножествам Sj
и S2.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай S = |(а),
(6), (с)|, когда усреднение проводится при всех трех воз-
4 Зак. 385
97
можных исходах. Тогда
В табл. 2.1 приведены все случайные величины, кото-
рые можно получить описанным выше способом. В таблице
использованы следующие обозначения: d — расстояние,
пройденное частицей в области А;
, = S, [1-е ZfC(StD+l)l .
С ' (1-е-Г'Д)
2sDe-^D+|^(1-e^D)
2se~2(D + 2o
De e 2<B)
Zoe"X'D+Zs
Eabc = ~~ (l-e-2«D).
Si
В табл. 2.1 указывается, при каких условиях Sj и S2 было
произведено усреднение оценки и какая случайная величи-
на должна использоваться в качестве оценки при наступле-
нии каждого из событий а), б) или в). Для событий, кото-
рые не входят в используется оценка по пробегу.
Как видно из таблицы, случайная величина I есть просто
оценка по пробегу. Действительно, усреднение в случае а)
не приводит к изменению случайной величины. Случайная
величина II есть модифицированная оценка по пробегу,
рассмотренная ранее [см. (2.121)].
98
Таблица 2.1
Случайные величины, используемые для оценки числа
реакций /?
№ S1 S. Оценка в случае
а b c
I а — VrD Zrd Yrd
11 а ь YrD Eb Yrd
III а с YrD Yrd Ec
IV а, b — Eab Eab Zrd
V а, b с Eab Eab Ec
VI а9 с — Eac Yrd Eac
VII а9 с ь Eac Eb Eac
VIII Ьс а 2rD Eb Ec
IX а, Ь, с — Eabc Eabc Eabc
В том случае, когда точка г находится вне области А,
используется плотность распределения (2.126). Оценки для
этого случая получаются из приведенных в таблице домно-
жением на е-7'». Одна из таких оценок будет выведена дру-
гим способом в гл. 3 [см. (3.66)]. Этот класс оценок исполь-
зуется в тех случаях, когда число частиц, попадающих в об-
ласть А, очень мало и необходимо использовать для оцен-
ки 7? также и те частицы, которые летят в направлении об-
ласти А, но не достигают ее. Типичным примером является
задача о прохождении излучения через оптически толстую
пластину.
Сравнительная эффективность оценок табл. 2.1 зависит
от параметров области, в которой вычисляется R. Экспери-
менты с многогрупповыми программами расчета термали-
зации нейтронов показывают, что оценки II, IV и IX могут
приводить к уменьшению дисперсии (по сравнению с оцен-
кой I), однако при этом несколько возрастает время расчета
на историю. Эти эксперименты, а также результаты работы
Мак-Миллана [12] приводят к выводу, что одной из наибо-
лее эффективных является, видимо, оценка II. Для дости-
4*
99
жения максимальной эффективности можно использовать
в одном расчете различные оценки табл. 2.1 в разных об-
ластях.
Выше уже говорилось о различии между дисперсией на
соударение и дисперсией на историю. Эффективность оцен-
ки зависит только от дисперсии на историю. В связи с этим
интересно рассмотреть про-
стой пример,в котором оцен-
ка по пробегу (оценка I)
имеет нулевую дисперсию, а
дисперсия оценки IX отлична
от нуля. Пусть мононаправ-
ленный пучок нейтронов па-
дает на пластину толщины/).
Если материал пластины —
чистый дельта-рассеиватель,
то каждый нейтрон пройдет
в пластине одинаковый путь
Dmax (Рис- 2.1). Поэтому
вклад в оценку по пробегу от
каждой истории будет равен XrZ)max. В то же время вклад
в оценку IX зависит от числа столкновений нейтрона в пла-
стине. Этот пример наглядно показывает, что, как правило,
не существует однозначного ответа на вопрос о том, какая
из двух оценок имеет меньшую дисперсию.
ЛИТЕРАТУРА
1. F о г s у t h е G. Е., L е i b 1 е г R. A. Math. Tables Aid
Comput., 4, 127 (1950).
2. W a s о w W. Math. Tables Aids Comput., 6, 78 (1952).
3. V а г g a R. S. Matrix Iterative Analysis. Englewood Cliffs,
Prentice-Hall, 1962.
4. Goertzel G., Kalos M. H. In: Progress in Nuclear Ener-
gy. Vol. 2, Ser. 1, N. Y., Pergamon Press, 1958, p. 315.
5. Spanier J. Monte Carlo Methods and Their Application to
Neutron Transport Problems, Bettis Atomic Power Laboratory
WAPD-195 (1959).
6. Kalos M. H. Nucl. Sci. and Engng., 16, 111 (1963).
7. R i c h t m у e r R. D. In: Proceedings of the Second United
Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic
Energy. Vol. 16, Geneva, 1958, p. 180.
8. M a с M i 1 1 a n D. B. J. SIAM Appl. Math., 15, 264 (1967).
9. Spanier J. J. SIAM Appl. Math., 14, 702 (1966).
10. G a n d e 1 о r e N. R., G a s t R. C. RECAP-2. A Monte Carlo
Program for Estimating Epithermal Capture Rates in Rod Ar-
rays. Bettis Atomic Power Laboratory Report WAPD TM-427
(1964).
100
11 H a 1 P er i n M. J. Amer. Stat. Assoc., 56, 36 (1961).
12 Mac Millan D. B. Nucl. Sci. and Engng., 26, 366 (1966).
I»' Burrows G. L., M a c Millan D. B. Nucl. Sci. and
Engng., 22, 384 (1965).
14 Martino M. A., Stone W. W. TRAM. A Monte Carlo
Thermal Neutron Code for the IBM-704. Knolls Atomic Power
Laboratory Report KAPL-2039 (1959).
15 G e 1 b a r d E. M. et al. Marc-A Multigroup Monte Carlo Pro-
gram for the Calculation of Capture Probabilities. Bettis Atomic
Power Laboratory Report WAPD-TM-273 (1962).
16 Steen N. M. A Simple Method to Improve the Efficiency of
the Estimator in Certain Monte Carlo Programs. Bettis
Atomic Power Laboratory Report WAPD-TM-609 (1966).
17 . G e 1 b a r d E. M. et al. J. SIAM Appl. Math., 14, 697 (1966).
ГЛАВА 3
СТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ ДИСПЕРСИИ
§ 3.1. Введение
В гл. 1 и 2 мы рассмотрели основные разновидности ме-
тода Монте-Карло, применяющиеся при решении задач тео-
рии переноса. Мы описали различные приемы выборки, спо-
собы построения процесса случайных блужданий, а также
основные оценки, которые позволяют использовать инфор-
мацию, содержащуюся в выборке, для вычисления конкрет-
ных функционалов.
Эффективность оценки определяется в первую очередь
ее дисперсией. Чем меньше дисперсия при заданном числе
историй, тем, вообще говоря, эффективнее оценка. Однако,
поскольку речь идет о реализации метода Монте-Карло
на вычислительных машинах, необходимо учитывать и вре-
мя расчета каждой истории. В [1] эффективность мето-
да определяется как величина, обратно пропорциональная
произведению дисперсии и трудоемкости оценки. Такое
определение подходит и для наших целей. В этой главе мы
сконцентрируем внимание на стандартных методах пони-
жения дисперсии, не забывая о том, что уменьшение диспер-
сии не должно приводить к слишком большому увеличению
времени счета. Мы называем эти методы стандартными,
чтобы отличать их от более специальных приемов уменьше-
ния дисперсии, основанных, например, на принципах су-
перпозиции и взаимности (эти методы будут подробно опи-
саны в гл. 4—6). Следует отметить, что наш выбор стандарт-
ных методов является субъективным. Мы отдавали пред-
почтение тем методам, которые сами применяли на практике
наиболее часто и успешно. Вне нашего рассмотрения остал-
ся, например, условный метод Монте-Карло [2], применению
которого к задачам переноса посвящена работа [3]. В моно-
графии [1] этому потенциально весьма полезному методу
посвящена целая глава (см. также работы [4, 5]). Другой
общий способ оценки определенных интегралов основан на
102
использовании ортогональных полиномов. Этот метод был,
по-видимому, впервые предложен С. М. Ермаковым и
В. Г. Золотухиным [6]. Он обсуждается также в книге [1]
и в работе [7|. Использование экспоненциального преобра-
зования подробно рассмотрено в работах [8, 9). В работе
[101, а также в §3.7 настоящей книги показано, что экспо-
ненциальное преобразование можно считать частным слу-
чаем выборки по важности.
Говоря об эффективности того или иного метода, необ-
ходимо иметь в виду следующее обстоятельство. Резуль-
тат сравнения различных методов по скорости счета сильно
зависит от типа вычислительной машины. Если учесть, что
в конструкции машин непрерывно происходят значительные
изменения, становится ясно, что сегодняшние представле-
ния о сравнительной трудоемкости различных методов мо-
гут оказаться совершенно неверными для следующего по-
коления ЭВМ. Поэтому в основном мы будем говорить о
дисперсии, а в тех случаях, когда это возможно, будет ука-
зываться, как данный способ уменьшения дисперсии влияет
на время счета.
§ 3.2. Общие принципы
Любой расчет методом Монте-Карло сводится к вычисле-
нию одного или нескольких интегралов. Этими интеграла-
ми являются математические ожидания случайных величин,
используемых в качестве оценок. Специфической особен-
ностью метода Монте-Карло является то, что исходная физи-
ческая задача заменяется эквивалентной вероятностной
моделью. Предположим, что в некоторой задаче теории
переноса надо вычислить интеграл
/ = $ (3.1)
г
где Г — фазовое пространство; g — известная функция*,
а ф удовлетворяет уравнению переноса, которое можно
формально записать в виде
£ф — <$.
(3-2)
* Пока мы не накладываем никаких ограничений на функцию
g, в частности, она может быть 6-функцией, что соответствует зада-
че о вычислении потока в точке.
J03
Вместо вычисления интеграла (3.1) производится оценка
математического ожидания:
/= $ g(Q4i(C), (3.3)
ь
где £2—пространство всех случайных траекторий; g—не-
смещенная оценка (на £2) функционала /; р (С)—вероятно-
стная мера, определенная на £2. Как уже говорилось, для
оценки неизвестного математического ожидания всегда
используется выборочное среднее
(3.4)
i= 1
по /V историям.
В гл. 2 было показано на нескольких примерах, как ус-
танавливается эквивалентность между физической и вероят-
ностной моделями. Вопросы, связанные с построением ве-
роятностной меры р(С), выходят, вообще говоря, за рамки
этой книги. Эти вопросы подробно рассмотрены в работе
[111. Тем не менее нам хотелось бы дать хотя бы некоторое
представление о том, как строится вероятностная мера р(С)
по заданному процессу случайных блужданий. Обсуждение
этого вопроса без углубления в теорию меры будет полезно
и даже необходимо для понимания некоторых методов умень-
шения дисперсии, рассматриваемых в настоящей главе.
§ 3.3. Процессы случайных блужданий
В этом параграфе будут получены важные результаты,
имеющие фундаментальное значение для установления точ-
ной связи между физической моделью, основанной на урав-
нении переноса, и вероятностной моделью, которая исполь-
зуется в расчете методом Монте-Карло. В первую очередь
будет показано, что если исходная физическая задача явля-
ется подкритической, то и вероятностная модель, соответ-
ствующая прямому моделированию, также будет подкрити-
ческой. Подкритической будем называть такую вероятно-
стную модель, в которой число столкновений конечно с ве-
роятностью единица. Позднее мы обсудим, как эти резуль-
таты распространяются на процессы случайных блужданий,
отличные от прямого моделирования. Хотя результаты это-
го параграфа будут использоваться в доказательствах в дру-
04
гих разделах книги, читатель, интересующийся в основ-
ном приложениями, может опустить, во всяком случае при
первом чтении, материал § 3.3, начиная с леммы 3.1. Это от-
носится к тем, кто готов игнорировать возможность того,
что частицы будут испытывать бесконечное число столкно-
вений, и кто готов поверить, что ряд Неймана всегда схо-
дится. Материал настоящего параграфа нужен для того, что-
бы сделать наше изложение метода Монте-Карло математи-
чески строгим и замкнутым.
До сих пор мы говорили, что £2 является пространством
всех возможных случайных траекторий. Более точно £2
определяется как пространство всех цепочек (бесконечных
последовательностей) С = {«а, «2, ...}. Состояния аг мо-
гут быть двух типов; (Р{, т) или (Pit т'). Здесь Pt — точка
фазового пространства Г, запись (Рг, т) означает, что стол-
кновение в точке Р( было не последним, а запись (Рь т') —
что в точке Pj траектория закончилась. Таким образом,
цепочка
С= {(Ръ т), (Р2, т), (Ра, т), (Р4, т'), (Р4, т'), ...}
соответствует случайной траектории*, начинающейся в
точке Pj фазового пространства и заканчивающейся в точ-
ке Р4. Естественно считать, что длина п(С) цепочки С рав-
на наименьшему целому числу k, такому, что ah имеет вид
(Pk, т ) Функция п(С) на £2 показывает, сколько столкно-
вений имеется в случайной траектории С.
Пусть подмножество Лй пространства £2 содержит все
цепочки длины k, а подмножество Лм — цепочки бесконеч -
ной длины:
ль=(сей|п(С)=^, ^=1,2,...,
Л,» = (С £ £21 п (С) = оо).
Очевидно, что множества Л;, (при конечных Р) и Лоо
являются попарно непересекающимися и что в результате
их объединения получается пространство £2, т. е.
(сю \
^^Л^иЛоо (3.5)
и
л{ п Лу = 0 при i j.
* В обозначениях гл. 2 такой траектории соответствует Цепочка
иь Р2, Рз, Рц). Математически более удобно считать Q про-
странством бесконечных цепочек, в связи с чем мы переходим к но-
вым обозначениям.
105
Вероятностная мера р — вещественная функция, оп-
ределенная на подмножествах Q, которую можно интерпре-
тировать, как вероятность данного подмножества. Покажем,
как ц(Л,) выражается через интегралы от функций, харак-
теризующих процесс случайных блужданий.
Пусть Г — физическое фазовое пространство, а Гп —
пространство всех наборов из п точек пространства Г. Про-
цесс случайных блужданий определяется последователь-
ностью [fn, рп\, где fn(Pi, .... Рп) — непрерывные плот-
ности распределения, определенные на Гп, a pn(Pi, ...
..., Рп) —функции на Гп, при условии, что выполняются
следующие соотношения*:
Fn (Ръ , Рь,ъо,, <х>) = Fh (Ръ ... Ph), (k<n,n>l), (3.6)
где
Р1 Рп
£П(РЪ.= $ ... $ fn(P’l,...,Pn)dP'i...dPn (3.7)
—сю —оо
являются функциями распределения, соответствующими
плотностям fn и
0^/7п(Л,...,Рп)^1, »=1,2,... (3.8)
для всех (Ръ ...,Рп). Интуитивно ясно, что /П(РЬ .... Рп)
представляют собой плотности вероятности случайных тра-
екторий с упорядоченной последовательностью точек соуда-
рения (Ръ .... Рп), а рп(Р!.. Рп) — вероятности обрыва
траектории в точках Рл. Тогда с вероятностью qn 1 —рп
траектория продолжается после столкновения в точке Рп.
Такое определение процесса случайных блужданий и ве-
роятностной меры р(С) заимствовано нами из работы [12]
и является обобщением дискретного и непрерывного слу-
чаев, рассмотренных в гл. 2. Обычно такая общность яв-
ляется излишней; например, в большинстве случаев/?„(₽!,...
..., Рп) не зависит от Ръ .... Рп i и от п, т. е. почти всегда
мы имеем дело с марковскими процессами (см. [13]). Тем не
менее представляется полезным показать, как строятся
доказательства и для немарковских процессов.
Существует специальная теорема Тулча [14], с помощью
которой по заданному процессу случайных блужданий
* Символом оо обозначается точка пространства Г, все коор
динаты которой бесконечны.
105
[/n> Pn\ может быть построена вероятностная мера р.. Для
наших целей достаточно указать, что
р(Ай)=\.-.\/й(Л, ...,Рй)П qtiPr.......Pi) х
Xph(Plt, Pk)dJ\dPh. (3.9)
Многократный интеграл в правой части этой формулы —
вероятность того, что цепочка будет иметь длину, точно
равную k. Для любой случайной величины £ математиче-
ское ожидание, взятое по АЛ, есть
ldp=\... U(Plt ...,Ph)fh(Pl,...,Ph)x
Aft Г г
k-1
X П qi(P1,...,Pi)pk(P1,...,Pk)dP1...dPk.
i=i
Такое определение интуитивно представляется естествен-
ным, так как £ умножается на плотности вероятности
k -1
fh, на произведение П qit гарантирующее, что цепочка не
i=i
обрывается в точках Рг, .... Pk~\, и на ph — вероятность
окончания траектории в точке Ph. В этих формулах пред-
о
полагается, что П = 1.
«=1
Наша задача заключается в том, чтобы выяснить, при
каких условиях длина п(С) конечна с вероятностью едини-
ца, т. е.
оо
5 1,
k=l
или, что то же самое,
ц (Лоо) = 0. (3.10)
Если условие (3.10) выполнено, мы будем говорить, что
вероятностная модель является подкритической. Прежде
чем перейти к получению условий подкритичности для не-
прерывного процесса случайных блужданий, введем неко-
торые определения.
Аналоговый процесс случайных блужданий в произволь-
ной (возможно, размножающей) среде, основанный на ин-
тегральном уравнении
ф (Р) = $ К (Р, Р) Ф(Р') dP' + S (Р) (3.11)
г
107
для плотности столкновений ф(Р) полностью определяет-
ся заданием функций
f1(P) = S(P);
(3.12)
fn(Pu- .,Р„) = П
1=2
KlPl.Pi-J
^(PbP^dPt
S(Pi), n
2; (3.13)
Pn (Plt ...,Pn) = p (Pn) = So (Pn)/2f (Pn), (3.14)
где SQ—макроскопическое сечение поглощения, —пол-
ное макроскопическое сечение. Для неразмножающей сре-
ды
$ A (Q, Р) dQ = Ss (Р)/2( (Р) = 1 - р (Р) = 7 (Р)< 1,
г
а для размножающей среды
q(P)^\K(Q,P)dQ = c(P).
г
(3.15)
В последней формуле знак равенства осуществляется для
точек Р, в которых отсутствует размножение. Величина
с(Р) равна среднему числу вторичных нейтронов при соуда-
рении в точке Р.
Аналогично определяется процесс прямого моделиро-
вания, основанный на интегральном уравнении (2 59) для
плотности нейтронов y(r, Е). В этом случае задаются функ-
ции:
fi(P)=Q(P);
(3.12а)
п
,р„)=П
i=2
Чрьр*-1)
f L(Pl,P,_l)dPl
г
Q(Pr), п>2, (3.13а)
Pn (Pl, - ,Pn) = P(Pn)-
(3.14a)
Напомним, что
/((r, E; r', E') = C(E',E; r')T(r',r; E);
L(r, E; r', E')-=-7(r',r; E')C(E', E; r).
При использовании ядра Л’ энергия и направление дви-
жения нейтрона (векторы Е' и Е) фиксируются перед рас-
108
сеянием в соответствующих точках (г' и г), а при ис-
пользовании ядра L — после рассеяния. Если обозна-
чить через с'(Р) = f L(Q, P)dQ среднее число вторич-
ных нейтронов при столкновении в точке Р в процессе, опи-
сываемом ядром L, то, вообще говоря, с(Р) =£ с'(Р), так как
с' (г', Е') = § Т (г', г; Е') с (г, Е') dr.
Тем не менее, поскольку уравнения (2.59) и (3.11) описы-
вают один и тот же физический процесс, процессы случай-
ных блужданий (3.12) — (3.14) и (3.12а) — (3.14а) на са-
мом деле ничем не отличаются друг от друга. Функции ф
и % могут вычисляться одновременно в одном расчете.
В дальнейшем мы будем использовать в каждом конкрет-
ном случае то из уравнений (2 59) и (3 11), которое будет
более удобным.
Вероятностная мера р может быть, по определению,
представлена в виде
1 = р (£2) = 5 р (Afe) + р (Лоо).
Л=1
Используя соотношение (3.9) и вводя сокращенное обоз-
начение q (Pj) = qt (Plt ..., РД получаем
p (Лоо) = 1 — 2 В (Ль) =
k=\
= 1-(Ръ ..-,P/1) п\(р/)р(рамр1...йрй.
ft=l г г 1=1
Для дальнейшего преобразования этой формулы нам по-
требуется следующая лемма.
Лемма 3.1. Для любого 1
N п /г-1
I Г-ЯНЛ.-.РД П q(Pi)p(Pk)dPl...dPh =
k=i г г «=1
= l-$...$fyv(P1,...,PN) П q^P^.-dP^
г Г 1=1
109
Доказательство. Так как p(Ph)= 1— q(Pk),
N - р k— 1
П 9(Рг)р(^)^1-^Л =
k=\ Г Г i=l
Л/ 7» р k~~ 1
= I V-.W* п «тКЛ)^...^-
й=1 Г Г i=l
N р р k
-£)•••№ п q(Pi)dP1...dPh =
k=l Г Г <=1
р N р р k—I
= \h(P)dP+ V \...\fk_x{P1,...,Pk_x)Y}q(Pi)dP1...dPk^~
Г k=2 i г i=l
N p p k
“2 У” УЛръ-,Рк) П q (Pt) dPr ... dPh —
k=l Г Г i=l
= 14"Ы-'Л) П q(Pi)dPl...dPN.
г г
Отметим, что лемма 3.1 имеет простую физическую ин-
терпретацию. Левая часть равенства — вероятность погло-
щения при одном из N первых соударений, а интеграл в пра-
вой части — вероятность избежать поглощения при N стол-
кновениях.
Формула для |х (Лоо) принимает теперь следующий вид:
lx(A0o) = lini $...$ П qiP^dPr... dPN. (3.16)
Г Г i=l
Для процесса прямого моделирования (3.12)—(3.14)
fx(Aoo) = lim
N оо
Г к (PN, Pfj—i)
Г c(PN-l)
KjP^Pi)
с (Pi)
XS(P!) П qtPJdP^.dP^
z=i
sC Um jj...\K(PN, PN_i)...K(Pz,P1)S(P1)dP1 ...dPN, (3.17)
N OO p p
так как sup q(P)^.l.
лег
110
Нам надо выяснить, при каких ограничениях на ядро Л'
вероятностная модель, соответствующая процессу прямо
го моделирования, будет подкритической. Введем еще не-
сколько обозначений.
Определим функции
кп{Р,Р^ = \...\К{Р,Рп)К{Рп,Рп-^..-К(Р2, рг) dP2...dPn
г г
(3.18)
при п > 1 и
К1(Р,Р1) = К(Р,Р1). (3.19)
Определим также интегральные операторы действую-
щие следующим образом:
^nf(P) \Кп(Р,РЛНР^Ръп>\. (3.20)
г
Отметим, что = Я1” и что ряд Неймана для уравне-
ния (3.11) имеет вид
MS+W1S+W2S + ...
Очевидно, что
Л'п+т (Р, Pl) = $ Л'п (Р, Q) (Q, Pi) dQ
г
(3-21)
для всех т, /г > 1.
Мы будем предполагать, что ядро Л' удовлетворяет
двум условиям*:
а) существует такая постоянная М < оо, что
sup \К(Р,Р )dP^M-,
Р'ег г
(3.22)
* В операторной терминологии условие а) означает, что ин-
тегральный оператор Ж ограничен в норме Lt. Условие б) озна-
чает, что Жп имеет норму L1: меньшую единицы, для п N.
111
б) существует такая постоянная с< 1 и такое целое(V,
что для всех /г > N
Ji А„ (Р„, Р) dPn ^K(Pn,Pn-l)...K(P1,P)dP1... dPn <
г г
<С<1 (3.23)
для всех Р ( Г.
Эти ограничения представляются разумными. Напри-
мер, как мы уже видели, для неразмножающей среды
^A'(Q, P)dQ= Ss(P)/S((P)^ 1 для всех Р £ Г, так что
г
условие а) выполняется при М = 1. Если, кроме того,
в какой-то части фазового пространства имеется погло-
щение, т. е. S-s (Р) <С (Р) и если во всех точках Р диф-
ференциальное сечение рассеяния не равно нулю для
всех направлений, то можно показать, что
WKtPbPJKtP^PjdP^PzCl (3.24)
г г
для всех Р. Таким образом, условие б) выполняется при
N=2. Если рассеяние в каких-то направлениях отсутствует,
может потребоваться задать N > 2, но все равно условие б)
будет выполнено. Единственный случай, когда условие б)
не выполняется — чистое дельта-рассеяние, т. е. рассеяние
без изменения направления движения частицы. Такая за-
дача не представляет практического интереса, хотя нечто
подобное имеет место при очень высоких энергиях.
Условие а) выполняется и в случае размножающей сре-
ды, так как интеграл в (3.22) равен с(Р') — среднему числу
вторичных нейтронов при соударении в точке Р'. Для вы-
полнения условия б) необходимо наличие достаточно
большого поглощения или утечки.
Основные результаты настоящего параграфа (теоремы
3.2 и 3.3) будут получены сначала в относительно сильных
предположениях а) и б). Затем мы кратко остановимся на
том, как можно ослабить эти предположения. Дело в том,
что доказательство этих теорем в более сильной формули-
ровке потребовало бы привлечения некоторых результа-
тов теории операторов.
112
Теорема 3.1. При выполнении условий а) и б)
hm |sup \Km(P,Pi)dp] = 0. (3.25)
т->со [ Pjtr г J
Доказательство. Из (3.21) следует, что
5 КЪп (Р, Pl) dP = 55 Кп (Р, Q) Кп (Q, PJ dQ dP.
г гг
Согласно условию б), при n > N
5 5 кп (Р, Q) Л'п (Q. Pl) dQ dP = J Л'п (Q, Рг) j\n(P, Q)dPdQ^
г г г г
c^KMPJdQ
г
и вообще для любого I ] Kln (Р, PJ dP^c1 для всех n~>N.
г
Представляя любое целое число т в виде т = kN + j, где
j<ZN, и используя условие а), получаем
f кт (Р, Pi) dP= f f KkN (P, Q) Kj (Q, Pi) dQ dP < Ml ck.
г г г
Устремляя т к бесконечности, убеждаемся в справедли-
вости теоремы.
Теорема 3.2. При выполнении условий а) и б) ве-
роятностная модель р, соответствующая процессу
прямого моделирования (3.12)—(3.14), является
подкритической.
Доказательство. Надо показать, что р(Л^) = 0. Вос-
пользуемся неравенством (3.17) и теоремой 3.1:
р(АД<Ит J ... J K(PN, PN_l)...K(Pi,P1)S(P1)dPl...dPN^
N->oo г p
Clim | sup J ... J N^P^P^) ...K(.Pz,Pi)dP2... dpJ x
N->oo I p p I
xf S(P1).dP1 = lim |sup \K^(PN,P1)dPN\ = 0.
г w-oo (щег f J
113
В следующей теореме формулируются условия сходи-
мости ряда Неймана в некотором интегральном смысле.
Для произвольной функции ' (Р) определим*
|1/(Р)||1=[|/(ПМР (3.26)
Г
и ’
IRIL- suP ТДГ1- (3.27)
Теорема 3.3. Условия а) и б) обеспечивают схо-
димость в норме Lj ряда Неймана к плотности
столкновений ф(Р); т. е.если Sn - S - Ж'З
... -\-CKnS -частичная сумма ряда Неймана, то
lira || Sn (Р)—ф (Р) || х = 0.
Л“-Оо
При этом решение уравнения (3.11) является
единственным.
Доказательство. Покажем сначала, что после-
довательность частичных сумм сходится в Lr. Для этого,
как известно, достаточно показать, что || Sm—5„||х-^-0
при стремлении т и п к бесконечности. Выберем такие
чтобы т—п = kN -|- /^0, /<ZN. Тогда
Sm Sn — Жп|_ 1 S + Жп^ S+ S -|-...
... + S + ... +^n+(fe—1) N-М S + ... - Kn+kN $ + •••
... -[-^‘n+kN+iS^.[^n+l~]7 5-p---\-KkN$}-
Таким образом,
II Sm-Sn || x < II ^„+1 +...+Wn+N II x II S+
-{- Ж n S -f-... -p Ж kN S || x.
Применяя неравенство треугольника для норм (|| f -р
+ g II II f II i + II ё II i), получаем
||S + ^A/S + ...+ ^ftA/S||1<l+c + ...+cfe^rly.
* Выражения (3.26) и (3.27) определяют норму в пространст-
ве 7.J функции f и оператора Ж (Ь± — пространство функций с огра-
ниченной нормой (3.26)). — Прим. ред.
114
Используем теперь неравенство
ll^+dL^sup \жп+,(Р, PJdP.
ЩСГ г
Применяя опять неравенство треугольника и теорему 3.1,
получаем для достаточно больших п
1 —с
Это и означает, что последовательность {Sn } сходится
в Lt. Обозначим предел последовательности { Sn } через
ф(Р). Функция ф (Р) удовлетворяет уравнению (3.11).
Предположим, что существует другое решение ф(Р). Тог-
да
Ф (Р)- Ф (Р) = [ К(Р, Р') [ф (Р') -ф(Р')1 dP' =
Г
= f КП(Р,Р')[Ф(Р')-Ф(Р')НР'
г
для всех и > 1, т. е.
Ф(Р)-Ф(Р)-^П [Ф(Р)-Ф(Р)1
для всех /г > 1. Выбирая n~>N и переходя к нормам,
имеем
IIФ—ф II1 С || II1IIФ~Ф II1 < с || ф—ф || ь
что противоречит условию с < 1 всегда, кроме случая ф =
= <р. Этим завершается доказательство теоремы 3.3.
Основные результаты этого параграфа были получены
с использованием предположений а) и б). Сделаем неболь-
шое отступление, чтобы показать, что в действительности
предположение б) накладывает на ядро Л' условия, доста-
точные для получения всех этих результатов.
Спектром интегрального оператора Ж, о(Ж) называет-
ся набор комплексных чисел X, таких, что для оператора
(Ж — X/) не существует ограниченного обратного операто-
ра. Здесь I — единичный оператор, I[f(P)i = f(P) для лю-
бой функции f(P). Физический процесс, определяемый урав-
нением (3.11), или оператор Ж называются подкритически-
ми, если
о(Ж) <= { X | [Х| < 1 }.
115
Следующий результат может быть получен различными
способами (см., например, [15]).
Теорема 3.4. Условие б) означает, что оператор
<% — подкритический.
Теоремы 3.2 и 3.3 в действительности являются следст-
виями предположения о том, что оператор СК — подкрити-
ческий [15], т. е. следствиями условия б).
Мы установили связь между физической моделью, соот-
ветствующей уравнению (3.11), и вероятностной! моделью,
основанной на процессе прямого моделирования, и показа-
ли, что эта вероятностная модель является подкритической
при естественных предположениях относительно физической
модели. Мы показали также, что эти предположения гаран-
тируют сходимость ряда Неймана для плотности столкно-
вений в некотором интегральном смысле, что неоднократно
потребуется нам в дальнейшем.
Для вероятностных моделей, основанных на процессах,
отличных от прямого моделирования, потребуются допол-
нительные предположения, для того чтобы установить их
подкритичность в смысле ц (Л^) = 0 Эти предположения
будут сформулированы ниже, при рассмотрении соответ-
ствующих процессов.
Реализация процесса случайных блужданий [fn, рп}
производится по следующей схеме. Сначала определяется
состояние Рг из Г. Для этого с помощью какого-либо из
подробно описанных в гл. 1 способов производится выборка
из плотности распределения Д(Р1). Затем траектория либо
заканчивается с вероятностью pt(Pi) в точке Ръ либо с ве-
роятностью q^Pi) = 1 — р1(Р1) продолжается. В послед-
нем случае разыгрывается состояние Р2 из Г с по-
мощью условной плотности распределения f2 (Р21 Pi) =
= А>(Рь PiVfiiPi), где Pi — ранее определенное началь-
ное состояние. При наличии размножения принимается,
что в состоянии Р2 находится c(P1)/q(P1) частиц. Если, та-
ким образом определены состояния Рг,..., P„-i ивыяснено,
что в точке Рп—\ траектория не заканчивается (вероятность
этого равна qn-i(Pi, - , Pn-i), то следующая точка Рп вы-
бирается с помощью условной плотности распределения
/Ж1Л, ..... Pn-i) = fn(Pi, .... Pn)lfn-l (Рг, .... Pn-i)-
На каждую частицу единичного веса в состоянии Pn—i при-
ходится c(Pn-i)/q(Pn-i) частиц в состоянии Рп. Обычно
fn(Pn\Pi, , Pn—i) зависит только от Рп—1 (марковский
процесс), но наша схема применима и в более общем слу-
116
чае Такой процесс повторяется, пока траектория не закон-
чится в некоторой точке Ph из Г. В результате получается
цепочка
С= {(Ръ т), (Р2, т), ..., (Рк_ъ т), (Pk, т'), (Pft, т'), ... }.
Если с(Р) = q(P) во всех точках Р, то все частицы будут
иметь единичный вес. В тех случаях, когда это не так (на-
пример, при использовании рулетки и расщепления,
см. § 3.8), приходится принимать специальные меры для ог-
раничения колебаний веса, приводящих к увеличению дис-
персии.
Мы рассмотрели кратко реализацию произвольного
процесса случайных блужданий [fn, рп}. Остановимся те-
перь более подробно на процессах прямого моделирования
(3.12) — (3.14) и (3.12а) — (3.14а). Обычно задается не плот-
ность первых соударений S(P) (3.12), а плотность распре-
деления источников Q(P). Поэтому моделирование начи-
нается с того, что разыгрываются точки рождения частиц
Ро. Точки первого соударения Р, определяются в резуль-
тате моделирования переходов частиц из Ро в Рг.
Точно так же, в процессе случайных блужданий, опре-
деленном формулами (3.12а) — (3.14а), обычно не произ-
водится выборка из условной плотности распределения
ЦРп, Pn-i)/c'(Pn-\). Было бы неудобно вычислять, напри-
мер, интеграл
с' (Pn—i) = ^L(Pn,Pn—i)dPn
при каждом соударении. К счастью, в этом нет необходи-
мости. На самом деле процессы (3.12) — (3.14) и (3.12а) —
(3.14а) реализуются совершенно одинаково. С помощью
функции Q(P) разыгрывается точка рождения, затем с по-
мощью ядра Т определяется точка первого соударения.
После этого используется ядро С для определения изме-
нения энергии нейтрона, затем опять с помощью ядра Т
находится точка следующего соударения. Так с помощью
поочередного использования ядер С и Т строятся случай-
ные траектории, которые можно рассматривать как реали-
зацию и уравнения (2.59), и уравнения (3.11). При этом
можно вычислить обе функции ф и %. Если состояния ча-
стиц регистрируются перед столкновениями, то плотность
распределения частиц есть функция ф, если после столк-
новений (и после рождений) — то та же плотность есть
функция %.
117
Итак, мы изучили, до некоторой степени, связь между
физической и вероятностной моделями; остается подобрать
случайную величину £, математическое ожидание которой
(3.3) было бы равно интегралу (3.1). Примеры таких слу-
чайных величин были приведены в гл. 2. Это, в первую оче-
редь, оценки по поглощениям, соударениям и пробегу. Каж-
дая такая оценка есть функция, принимающая веществен-
ные значения и определенная в пространстве траекторий
Q. Величину £(С) можно рассматривать как вес, присваи-
ваемый траектории С. Основной теоретической проблемой
метода Монте-Карло является выбор случайной величины
£, математическое ожидание которой
£[£]= $ ^(C)dp(C)
я
было бы равно I (несмещенность), а дисперсия
О2[?]= ^2(C)dH(C)-E2m
(3.28)
(3.29)
была бы минимальной. На практике, однако, эффективность
оценки определяется, как уже отмечалось в § 3.1, не только
дисперсией, но и временем счета.
§ 3.4. Двоичная оценка
В этом и двух следующих параграфах будут подробно
рассмотрены оценки, используемые в методе прямого моде-
лирования.
Запишем стационарное транспортное уравнение в ин-
тегральной форме;
ф(г,Е)=У [ ф(г',Е')К(г, E;r',E')dr'dE'+S(r, Е). (3.30)
г г
Здесь ф(г, Е) = 2Дг, Е)Ф(г, Е)—плотность столкновений,
Ф(г, Е)—нейтронный поток. Процесс прямого моделиро-
вания для (3.30) определен формулами (3.12)—(3.14).
В этих формулах использовано обозначение (г, Е) = Р.
Очень часто функционал, подлежащий оценке,
I = $g(P)q(P)dP,
г
может быть записан в виде
/=р(Л),
(3.31)
118
где Л — некоторое подмножество пространства случайных
траекторий Q Так как при прямом моделировании вероят-
ностная мера р совпадает с действительным распределе-
нием вероятностей траекторий, функционал I равен в дан-
ном случае вероятности того, что случайная траектория
принадлежит Л.
Пусть, например,
(3.32)
и
Х«(Р) =
11, если PeR.
jo, если P^R.
(3.33)
Тогда функционал I равен вероятности поглощения в об-
ласти R фазового пространства Г, если плотность столкно-
вений нормирована на единичный источник, как это дела-
лось в гл. 2
Очевидно, что в тех случаях, когда функционал J имеет
вид (3.31), несмещенной оценкой 1 может служить функция
UQ =
1,
о,
если CgeA;
если С(£Л,
(3.34)
принимающая значение 1 для всех случайных траекторий
из Л и значение 0 для остальных траекторий. Действи-
тельно, по определению математического ожидания
Е[И = f?(C)dp(C) = l p(A) + 0-p(Q-A)=/.
Q
Рассмотрим теперь N независимых случайных траек-
торий Сх, ...,Cn. Введем пространство с точками ви-
да (С),..., СЛ). Определим N независимых случайных ве-
личин в пространстве
§Z(C1,...,CW) = ?(G), 1^/^А, (3.35)
где £ определена формулой (3.34). Очевидно, что случай-
ная величина
(3.36)
N
N
119
также является несмещенной оценкой функционала I =±
— р(Л). Каждая из случайных величин имеет диспер-
сию /(1—/), откуда следует, что
(3.37)
а относительная ошибка
(3.38)
Из этого выражения для относительной ошибки оценки
видно, что при малых значениях I объем выборки N дол-
жен быть очень большим. Действительно, совершенно ясно,
что для определения вероятности очень редкого события
с помощью двоичной оценки потребуется очень много слу-
чайных испытаний. Такой расчет потребовал бы больших
затрат машинного времени. Поэтому необходимо отыс-
кивать другие несмещенные оценки, обладающие меньшей
дисперсией.
В гл. 2 обсуждалось использование двоичной оценки для
определения числа поглощений в дискретном и непрерывном
процессах случайных блужданий. Там же были рассмотре-
ны и другие оценки — по числу соударений, по длине про-
бега, и было указано, что эти оценки часто оказываются бо-
лее эффективными, чем двоичная оценка. В § 3.6 настоящей
главы будет показано, что оценка по числу соударений мо-
жет быть получена как частный случай при рассмотрении
класса несмещенных оценок метода математических ожида-
ний.
§ 3.5. Систематическая выборка из источника
В настоящем параграфе описывается прием, который
всегда приводит к некоторому уменьшению дисперсии. Бу-
дем опять предполагать, что I < р(А).
Допустим, что фазовое пространство Г можно разбить
на конечное число непересекающихся областей А,. Пусть
6г — подмножество Q, содержащее все цепочки С, в кото-
рых точка первого столкновения находится в области Лг.
Таким образом,
М л
г= и Л
i=l
120
и
6f = {C с ^|C = {|aj,a2> ...} и а1 = (Р1т) или
(РьПЛбД.}.
Тогда
м
Q= U Of
/ = 1
И
м
2н(б1-)=1.
«=1
Обозначим Pj ~ ц(6;) вероятность того, что точка пер-
вого столкновения окажется в области A j. Предположим
теперь, что полное число историй в расчете задано заранее
и равно N (или kN, где k — целое число). Метод системати-
ческой выборки из источника заключается в следующем.
Для первых ptN частиц точки первого соударения разыгры-
ваются в области (с условной плотностью вероятности
s(p1)/P1 f s(P)dp, р, е А), для следующих p2N частиц—
Г
в области А 2 и т. д. В том случае, когда надо разыграть kN
историй, этот процесс повторяется k раз. При этом предпо-
лагается, что все числа ptN — целые; если это не так, мож-
но использовать взвешенные траектории пли рулетку
(см. § 3.8). По формуле полной вероятности [16] имеем:
м м
/ = р(А)== 2 ргр(А|е,)= 2 Р/Л. <3-39)
/=1 /=1
где = |л( к [ 0г)—условная вероятность события Л при
заданном 6г. Для оценки величины Ц используются тра-
ектории, начинающиеся в области Аь. После того как
получены все Ц, значение р.(Л) вычисляется по форму-
ле (3.39); вероятности р;- считаются заданными.
Таким образом, из всех траекторий Съ ..., CN траекто-
рии Ci, ..., CPin начинаются в области Д, затем идут тра-
ектории, начинающиеся в области А2 и т. д. Пусть Сц —
/-я из траекторий, начинающихся в области Ait i = 1, ...
..., М, j = 1, ..., р^. Определим случайную величину
в пространстве QptN следующим образом:
Pt N
= v £(С„), 1<1<М,(3.40)
PiN
121
где
(3.41)
| 1, если Ctj Q Л 1 Л i Л M;
?(^j) j о, если Ci, ' A l^j ptN.
Так как, по определению,
И(Л|0г) = -^^Ш, (3.42)
И (6г)
легко видеть, что математическое ожидание по траек-
ториям Сц, начинающимся в Ah равно р.(Л|0г)= Ц, т. е.
Е[Ы = Л-. (3.43)
Поэтому, определив случайную величину Л на Qw со-
отношением
м
(G, ..., cv) = v р. %. (Сп, ..., Cip.N), (3.44)
получим
Е[^]=Р(Л) = /,
так что случайная величина является несмещенной
оценкой I. Величина — оценка, используемая в методе
систематической выборки из источника.
Посмотрим, насколько дисперсия случайной величины
%N меньше дисперсии (3.37), соответствующей двоичной
оценке I. Согласно формуле (3.44), определяющей
о2Ы = 2 P?o2lU (3-45)
i=l
где
2
=А-. (з-46)
Pi N pt N
Отсюда следует, что
Г / Т М п- П2
°2 Ы = У — . (3.47)
i-l N
а для разности дисперсий (3.37) и (3.47) можно получить
следующую формулу:
м
П2 Ы -О2 Ы =4 (Л— 7)2- (3-48)
Л <=1
122
Получившаяся величина, хотя и является заведомо неотри-
цательной, редко составляет большую часть от о2[£лЛ- Од-
нако, если учесть, что р{ обычно вычисляются очень легко
и что метод, как правило, не увеличивает среднее время
расчета, приходящееся на одну историю, можно рекомен-
довать его для использования всегда, когда это возможно.
Мы рассмотрели метод систематической выборки из ис-
точника применительно к определению точек первого со-
ударения. На практике этот метод обычно используется для
определения точек рождения частиц, а не точек первого
соударения, т. е. при выборке из физического распределе-
ния источников. При этом идея метода никак не изменяется,
и все вышесказанное остается в силе, только вместо интег-
рального уравнения для ф используется интегральное
уравнение для %.
§ 3.6. Использование математических ожиданий
В этом параграфе рассматривается метод, получивший
весьма широкое распространение. Он используется в раз-
личных формах и имеет много разных названий, из которых
наиболее употребительными являются «метод математичес-
ких ожиданий» и «метод аналитического осреднения». Идея
этого метода весьма проста. В любом расчете методом Монте-
Карло вычисляется среднее значение некоторой случайной
величины, используемой в качестве оценки. В методе мате-
матических ожиданий при усреднении используются как
детерминированные методы, так и случайная выборка. Рас-
смотрим в качестве примера очень простую задачу. Пусть
необходимо вычислить методом Монте-Карло определенный
интеграл
1 1 1
0 = 5 f(x)dx = j g(x,y)dxdy,
О 0 0
где
1
/(*) = ,1 g(x, y)dy.
b
(3.49)
(3.50)
Первый способ оценки 0 заключается в том, что берется
п пар равномерно распределенных случайных чисел рь
123
р2, ..., p2n_i, Ргп и Вычисляется
Тогда
п
1 V , ч
gn = — _J g'tpzj-l, Р2г)-
п Ci
п 1 1
Е Ы J §£(Р’Р'МрФ' = °
П 1=1 о о
= ~ f j g2 (х, у) dx dy — ~ .
п J J п
о о
(3.51)
(3.52)
(3.53)
и
При другом способе, соответствующем методу математи-
ческих ожиданий, берется п равномерно распределенных
случайных чисел рп ... ,рп и вычисляется
п
fn = - 1/(р,). (3.54)
п i=i
Как и раньше, Е [fn] = 0, но
1
°2 17л] =- j f2(x)dx— -
п J п
о
(3.55)
1 1 1
J J g2 (X, у) dxdy— J f2 (х) dx
-0 0 о
124
Это неравенство показывает, что второй способ лучше пер-
вого с точки зрения дисперсии. Этого следовало ожидать,
так как во втором способе устранена зависимость функции
g(x, у) от одной из переменных
Отметим, что во втором способе расчета значения х вы-
бираются случайным образом, однако для каждого значения
х производится детерминистическое усреднение случай-
ной величины, используемой в качестве оценки, по всем
возможным значениям у. Если считать «событием» выбор
каждой пары значений (х, у), то для каждой выбранной точ-
ки х мы рассматриваем все возможные события, которые
могли бы произойти. Детерминистическое усреднение по
«потенциальным событиям» — характерная черта метода
математических ожиданий.
Многие из оценок, рассмотренных ранее в этой книге,
являются фактически оценками метода математических
ожиданий. В частности, таковыми являются все оценки
§ 2.7. Пусть нужно вычислить число поглощений в облас-
ти А. Рассмотрим частицу, которая испытала соударение
в области А или влетела в эту область извне. Перед следую-
щим столкновением частица проходит в области А путь
длины d. Результирующий вклад в оценку по пробегу равен
Sod. Можно, однако, использовать вместо величину
т. е. среднее значение длины пути частицы в области А до
следующего столкновения. Оценка по пробегу аналитичес-
ки усредняется при этом по всем возможным длинам про-
бега. В этом смысле ЕаЬс — оценка метода математических
ожиданий. Как уже отмечалось в гл. 2, оценка ЕаЬс необя-
зательно имеет-меньшую дисперсию, чем оценка по пробегу.
Таким образом, хотя обычно метод математических ожида-
ний приводит к уменьшению дисперсии, возможны случаи,
когда этого не происходит.
Оценка по соударениям (2.46) также является оценкой
метода математических ожиданий. Рассмотрим опять зада-
чу об определении числа поглощений в области А. Если
при использовании двоичной оценки подсчитывается дей-
ствительное число поглощений, то при использовании оцен-
ки по соударениям в каждой точке столкновения фикси-
руется математическое ожидание числа поглощений. Та-
ким образом, опять фиксируются не только действительно
125
происшедшие события, но и события, которые могли бы
произойти. Перейдем теперь к доказательству несмещен-
ности оценки по соударениям.
Сначала, как обычно, выпишем интегральное уравнение
для плотности столкновений:
4 (Р) = [к(Р, Р') ф(Р)dP' + S(Р). (з 56)
Будем считать выполненными условия S О, К О,
( S(P)dP = 1, а также условия а) и б) § 3.3 (см. формулы
г
3.22, 3.23). Из теоремы 3.4 следует, что эти условия обеспе-
чивают сходимость следующего ряда:
$Ф (Р) dP = f S (Р) dP + 5 к (Р, PJ s (Рх) dPx dP + ...
Пусть g(P) — произвольная ограниченная функция. Тогда
ряд
Jg (Р) s (Р) dP + Ц g (Р) К (Р, Л) 5 (PJ dP1 dP +...
также сходится к J g(P)ty(P)dP I. Теперь мы можем
приступить к доказательству теоремы о математическом
ожидании обобщенной оценки по соударениям для непре
рывного процесса случайных блужданий с размножением
Теорема 3.5. Для процесса прямого моделирова-
ния (3.12) (3.14) случайная величина
Е(Р„
i=i L j=lW
(3.57)
является несмещенной оценкой I. В формуле (3.57)
Р,, .., Ph — точки соударений в случайной траек
тории, заканчивающейся в точке Рй, а отноше-
ние с (Pj)lq(Pj) можно рассматривать как коэффи-
циент, на который умножается статистический вес
частицы при соударении в точке Pj [ с учетом раз-
множения, см. (3.15)].
126
Доказательство. Пусть ц—вероятностная мера,
соответствующая процессу прямого моделирования. Тогда
, оо ~
£[Е] = | UQ^(Q = V \ ?(СШС) =
fi ft=l Ak
оо г»
V р(ЛА) $ ?(С)^(С)'р(ЛА)
*=1 лл
оо
V ц(ЛА)Д[?|Л(С) k],
л—1
где Е [£ | k (С) /е| - условное математическое ожидание g
для цепочек длины k.
Используя определение вероятностной меры р, можно
записать
£[g|fc(C) = /j| = -1— -.Рй)П(Рд ^-1)Х
pUHJ J /=2
xS(P.) П*
/=1
^Ap(Ph}dpl...dPk.
с(Рр
Тогда
оо k i— 1
яш- 2 1 $•••$ ^(Л) П[С(т(д>)]
k= 1 » = 1 Г Г L / = 1
X
А А 1
хП/<(РЛ Pj _,)5(РХ)П [q(PJ)/c(Pj)]p(Ph)dP1...dPh.
i=2 /= 1
00 k 00 00
Заменяя двойную сумму S У на У , полу-
ft = 1 t = 1 I = \ k—i
чаем
2 2 П с(Р>)/?(^) х
i = 1 * = i Г rL / = 1
П Р,_ ^StP,) Vi1 [qtPjyciP^ptP^dP^.dP^
i=2 /=1
127
= 2 $ S П c(P})/q(P}) П K(Pj, Pi
» = i г r|_ / = 1 /=2
xS(Px) П {q{Pj)lc{P])]dPl...dPiX
i=i
Х^р(Рг)+^К(₽1+1. Pi)[q(Pi)/c(Pi)]p(Pi+i)dPi+l+ ...
Так как p (P) + q(P) = 1, бесконечный ряд в скобках при-
водится к виду
p(P/)4-g(P/)- lim \... \К(РЬ, Pft-i)...tf(Pi+i.Pi)X
*^°°г J
k
x П [p(P>)/c(P;)HPi+1 ...dPh =
1 = 1
= 1 —
lim
/г—>oo
J ... \K(Ph, Pk-^.-.KiPi+b pt)x
Г Г
k
x П [q (Pi)/C (Pj)i dPi+l ...dPk=l,
i=i
согласно теореме 3.1 и благодаря тому что
supp(P),c(P)< 1.
нег
Применяя теперь теорему 3.3 и учитывая ограниченность
g, получаем
оо L
2 $ - и K(Pi, pi-i)s(p1)dp1...dpi=i.
i = 1 г г 1 = 2
Интересно отметить, что эту теорему можно доказать
и другим способом. Можно показать, что для фиксиро-
ванной точки Р± случайная величина
k
1—1
UP1, Р2,.... Р„)= 2 п с(р})/д(р})
»=1 / = I
(3.58)
128
является несмещенной оценкой сопряженной плотности
столкновений ф* (Р) в точке Рх. Функция ip* (Р) удовлет-
воряет сопряженному интегральному уравнению
Ф*(Р) = $/<(Р', P)ip*(P')dP' +g(P). (3.59)
Проведя усреднение ф*(Р1) по всем точкам первого
соударения с весом S(P1) и используя соотношение вза-
имности, получим
Е &=$ ip* (Рг) S (РО dP^g (РО Ф (РО dP, = I. (3.60)
С этой точки зрения естественно считать случайную вели-
чину £ обобщенной оценкой метода математических ожида-
ний. Действительно, согласно формуле (3.60), ip* (РО можно
рассматривать как средний вклад в I от частиц, испытав-
ших первое соударение в точке Рг. Сопряженное уравнение
(3.59) для чр*(Р) допускает следующую интерпретацию:
вклад в функционал I от точки Р складывается из g(P)
(прямого вклада без дальнейших столкновений) и интег-
рального члена, описывающего вклад в I от частиц, вышед-
ших из точки Р и испытавших соударения в точках Р'.
В этой интерпретации, соответствующей представлению
о 1р*(Р) как о функции ценности относительно функционала
/, g(P) является прямым вкладом в функционал от точки
Р; оценка g как раз равна функции g(P), усредненной с
надлежащим весом по всем соударениям.
Для процесса случайных блужданий без размножения
c(P) = <7(P) = Ss(P),2t(P). Если в теореме 3.5 выбрать
в качестве функции g отношение сечений
g(P) =
S(P)
2/ (Р)
где S(P) —макроскопическое сечение какой-либо реакции,
то случайная величина § будет несмещенной оценкой числа
реакций. Это оценка по соударениям, рассмотренная в гл. 2
[см. формулу (2.90)].
Другой важный результат получается при g(P) = 1.
Тогда случайная величина
g(pu...,ph)= 2 п'Ц^-
/=i q(Pj)
является несмещенной оценкой полного числа столкнове-
5 Зак. 385 129
ний, т. е. интеграла j ty(P)dP. (Отметим, что если с(Р)~
г
q(P), то Н k, т. е. £ равно числу столкновений за ис-
торию, как и следовало ожидать.)
В приведенной выше формулировке теоремы 3.5 слу-
чайная величина Е вычисляется только в точках соударе-
ния частицы. Между тем существуют методы, в которых
вклад от данной частицы в поток в области, находящейся
на пути частицы, делается еще до того, как частица достиг-
ла этой области и могла испытать в ней соударение. Для
получения таких оценок удобно пользоваться не уравне-
нием (3.56) для плотности столкновений ф, а интеграль-
ным уравнением (2.59) для функции х
Выпишем еще раз соотношение, связывающее функции
Ф и X 1см. формулу (2.58)]:
ф(г, Е) = ^х(г', Е)Т(г', г; E)dr'. (3.61)
Функционал I можно представить в виде
/= $£(Р)ф(Р)с1Р $g(r, Е)х(г', Е) х
г
X Т(г', г; Е) dr'dгd Е
или А = ^/(г', E)X(r'» E)dr'dE, (3.62)
где
f(P) = f(r, Е)=^(г', Е)Р(г,г'; E)dr'. (3.63)
Функция / описывает средний вклад в / от нейтрона, на-
ходящегося в точке (г, Е); интегрирование проводится по
точкам г', в которых нейтрон может испытать следующее
соударение. Теорема, аналогичная теореме 3.5, приводит
к следующей оценке функционала /:
* [ 1 с (Р
ф(Ро,..., Ph)=
, = о i=.oq(P}>
(3.64)
Обозначение Ро вместо Рх введено здесь для того, чтобы под-
черкнуть, что Ро является точкой рождения, а не первого
соударения и выбирается из распределения физических
источников нейтронов Q, а не из плотности распределения
точек первого столкновения 5.
130
Если выбрать
г(₽>=5^(₽>’
где характеристическая функция однородной об-
ласти R, то I будет равно числу реакций с сечением S
в области R. В этом случае
х exp
S((r + sa>, E)ds
2(E)
- exp
S( (E)
mln
0
X [1—exp(—2z(E)(Dinax Dmin))l> (3-65)
где DmIn- расстояние от точки г до области R по
лучу (г 4- sco), a Dmax— расстояние от г до выхода
луча (г 4- sto) из области R при условии, что этот луч пере-
секает R только один раз. Интеграл, стоящий в показателе
экспоненты в формуле (3.65), представляется обычно в виде
суммы по всем областям с постоянным сечением, находя-
щимся между точкой г и областью R. Если луч (г 4~ so)
пересекает область R несколько раз, то каждый раз вы-
числяется вклад в искомый функционал по формуле (3.65).
Очевидно, что при расчете ячеек, когда на одной из границ
ставится условие отражения, число потенциальных пере-
сечений области R может быть бесконечным.
Перепишем (3.65) в виде
f(P)= exp
Dmln
Si(r4-s<o, E)ds
о
Х I [1— СХР( 2i(£)(Dmax— OnlIn))]} •
I X/ (E) J
(3.66)
Это выражение представляет собой произведение вероят-
ности достижения области R на случайную величину ЕаЬс
(см. §2.7). Вместо ЕаЪс в выражение (3.66) можно подста-
вить любую другую несмещенную оценку числа реакций
в области R. Ясно, что с помощью функций типа (3.66) не-
5*
131
возможно оценить поток в точке, так как в этом предельном
случае вклад в искомый функционал будет делаться с ве-
роятностью, равной нулю. Тем не менее при вычислении
потока в малых областях оценки рассмотренного типа яв-
ляются весьма эффективными.
Рассмотренный процесс аналитического осреднения
может быть в принципе проведен по любому числу проме-
жуточных событий. При этом расчетные формулы будут ста-
новиться все более сложными. Поучительно попытаться
сделать еще один шаг в этом направлении. Для этого с по-
мощью соотношения
Х(г, Е)—Q(r, Е) = $ф(г, Е')С(Е', Е; r)dE' (3.67)
представим функционал I в виде
/ = Ц/(г, E)x(r, E)drrfE = gf(r, E)Q(r, E)drdE +
+®f(r, E)C(E', E; г)ф(г, E')dE'dEdr.
В теореме 3.5 вместо функции g можно использовать те-
перь функцию h следующего вида:
Л(г, E')=$f(r, Е)С(Е', E;r)dE =
= Ц g (г' Е) Т (г, г'; Е) С (Е', Е; г) d г'd Е. (3.68)
Если заменить в формуле (3 58) g на Л и добавить вклад от
нерассеянного излучения | j f(r, Е) Q(r, E)dr dE, получим
несмещенную оценку /. Использование функции h означает
усреднение по всем возможным направлениям и энергиям
Е в результате соударения в точке г, а также по всем точкам
следующего соударения г'. Вклад в функционал вычисля-
ется, таким образом, в точках (г', Е).
Допустим, что нужно оценить с помощью формулы (3.68)
поток в точке г0. Пусть точка г0 находится внутри малого
объема V с поперечным сечением А и толщиной d в направ-
лении г0 (см. рис. 3.1). Зададим
gr(r',E) = —J—Xv(r')/K (3.69)
(г , С)
так что I будет равен потоку, отнесенному к единице
объема.
132
Формула (3.68) принимает вид
Л -Лйп^''Е)х
хехр
S;(r4-sc))ds
С(Е', Е; r)dr dE.
Отметим, что полное сечение S^r+sw) берется при
энергии Е. Пусть теперь
С(Е', Е; г)=с(Е', r)P(E'-+E- г| о'г (<й'->(•)).
Здесь с(Е', г) — число вторичных частиц на соударение,
с(Е', г) = §С(Е', Е; r)dE,
а [Е, г(«'-><й) вероятность того, что нейтрон, испытав-
ший соударение в точке г при энергии Е’, рассеется из
ю' внутрь единичного телесного угла около направления ю.
Наконец, Р(Е'->Е; г| <о' —><о)—условная вероятность
того, что при изменении направления из <о' в <о энергия
133
нейтрона изменится из Е' в Е. Из точки г объем V ви-
ден под телесным углом A/t2, где / = |г г0|. Следова
тельно, имеем
h (г, Е') = KcfE exp
<l>0
(Го —г)
S, (г ф- s to) ds
о
ХР(Е'—>Е‘, г|<о'->(о)7£, г (о/ о)о) с(Е', г) Ad t2 V =
X fE',r(*i>'~+<ao)c(E', г)//2.
(3.70)
Здесь ю0—единичный вектор, направленный из г в г0.
В формуле (3.70) функция h(r, Е') представлена в виде
интеграла по Е. В ходе расчета методом Монте-Карло
обычно нет возможности вычислять интеграл при каждом
соударении. Однако в ряде случаев ситуация упрощается.
При упругом рассеянии на покоящемся ядре энергия после
рассеяния Ео полностью определяется* энергией до рас-
сеяния Е' и косинусом угла рассеяния р = (со' • го):
Ео = Е' {Л2-1+р2 + р}2/(Л + I)2.
Здесь А — отношение массы ядра к массе нейтрона. Если
в точке г среда состоит из одного изотопа и при энергии Е'
возможно только упругое рассеяние и поглощение, форму-
лы значительно упрощаются:
Р(Е’-+Е-, г | со'—> со) — 6(Е'—Ео)
и
/г (г, Е') = с(Е', r)fE. г (со'-> <оо) х
Хехр
(3-71)
Нетрудно обобщить формулу (3.71) для случая несколь-
ких изотопов и даже для тех случаев, когда кроме рассея-
ния и поглощения возможна реакция деления.
* См. С. Г л е с с т о н и М. Эдлунд. Основы теории ядер-
пых реакторов. Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1954.
134
В работе [17] было указано, что оценка, основанная на
формуле (3.71), имеет бесконечную дисперсию из-за того,
что I//2—>оо при t ->0. Тем не менее применение этой
оценки обеспечивает получение несмещенного и сходяще-
гося результата. В работе [17] показано также, как можно
изменить оценку (3.71), чтобы сделать дисперсию конечной.
Для этого вводится промежуточное столкновение между
точками г и г0 и проводится усреднение по всем возможным
точкам этого промежуточного столкновения. Однако для
пространственно неоднородных систем эта процедура ока-
зывается слишком сложной.
§ 3.7. Выборка по важности
С этого параграфа начинается изложение неаналоговых
методов, позволяющих получить оценки с меньшими дис-
персиями.
В краткой формулировке понятие «выборка по важнос-
ти» означает искажение реальных физических вероятнос-
тей перехода (т. е. искажение процесса прямого моделиро-
вания, определенного в § 3.3) таким образом, чтобы собы-
тия, которые представляют интерес для расчета, происхо-
дили более часто, чем это имеет место в аналоговом про-
цессе. Это искажение затем компенсируется соответствую-
щим выбором оценивающей случайной величины, позво-
ляющей получить несмещенную оценку интересующего
нас функционала.
Используя выборку по важности, можно (в принципе)
не только уменьшить дисперсию, но и полностью исключить
статистические колебания результата расчета. Выборка по
важности позволяет построить оценки, обладающие нуле-
вой дисперсией, для самых различных задач. Можно, на-
пример, придумать методы выборки по важности с нулевой
дисперсией для расчета скорости реакций в задачах пере-
носа нейтронов. Для каждой конкретной реакции такой
расчет состоял бы в построении историй нейтронов, каждая
из которых давала бы один и тот же вклад в оценку, т. е.
для получения точного результата было бы достаточно од-
ной истории. К сожалению, схемы расчета с нулевой дис-
персией невозможно непосредственно использовать для ре-
шения практических задач. Чтобы сформулировать такую
схему, необходимо уже знать значение величины, которую
нам предстоит оценить; т. е. скорость реакции невозможно
135
оценить без ошибки, если не знать этой величины заранее.
Если же мы располагаем такой информацией, то можно по-
строить много разнообразных и вполне законных схем
расчета с нулевой дисперсией. Схема расчета, использую-
щая выборку по важности, требует не только знания неиз-
вестной скорости реакции, но также знания распределения
нейтронного потока (или ему сопряженного) по всей системе.
Тем не менее такая схема расчета представляет не прос-
то математический курьез. Выборка по важности, обеспе-
чивающая нулевую дисперсию, представляет собой опти-
мальную стратегию расчета по методу Монте-Карло. Этот
оптимум невозможно практически достигнуть, но к нему
можно близко подойти. Если приближенно известен ней-
тронный поток (или ему сопряженный), можно сформулиро-
вать расчет, который будет почти оптимален. Таким об-
разом, при использовании выборки по важности в расчет
по методу Монте-Карло требуется заложить предваритель-
ную информацию о решении, т. е. необходимо использо-
вать приближенные решения транспортного уравнения.
Другие модификации метода Монте-Карло не используют
информацию такого рода, в отличие от большинства детер-
министических методов, для которых использование при-
ближенных решений является типичным. Например, при-
меняя итерационные методы решения дифференциальных
уравнений, итерации можно начинать от приблизительно
рассчитанного или предугаданного решения. Если это ре-
шение окажется близким к истинному, то итерационный про-
цесс будет сходиться очень быстро. Возможность исполь-
зовать предварительную информацию часто дает итера-
ционным методам большое преимущество перед неитера-
ционными методами. Целесообразно использовать такую
же возможность и в методе Монте-Карло.
Идея о применении выборки по важности к решению
задач теории переноса и теория розыгрыша с весом ценно-
сти, обеспечивающего нулевую дисперсию, были выдви-
нуты Герцелем [18]. В дальнейшем эта идея была развита
в работах [19—22]. В работе [12] обсуждался метод оценки
ряда Неймана и отдельных членов этого ряда в заданной
точке, который очень близок к выборке по важности. В дан-
ном параграфе объединены результаты работ [12, 19, 20].
Рассмотрим задачу оценки функционала
I = lg(P)q(P)dP,
(3.72)
136
где ф(Р)— плотность столкновений. Мы уже видели, что
оценка I при расчете по методу прямого моделирования
заменяется оценкой математического ожидания
Е [£]=$? (С) dp (С), (3.73)
я
где £ — случайная величина, обеспечивающая несмещен-
ную оценку функционала I; р — аналоговая вероятност-
ная мера, определенная в пространстве Q. Можно формаль-
но провести замену переменной и переписать интеграл
(3.73) в виде
(3.74)
где ——обобщенная производная р по р (Радона—Ни-
d р
кодима). На практике такие интегралы выражаются ря-
дами обычных римановых интегралов. Если определить
то
1(С) = ЦС)^(С),
d pt
e[I] =$|(C)dp(C).
О
(3.75)
(3.76)
Это показывает, что случайная величина £ дает несмещенную
оценку функционала I по отношению к новой вероятност-
ной мере р в пространстве Q. Именно на этом основана вы-
борка по важности. Новая вероятностная мера р в простран-
стве Q определяется в терминах процесса случайных блуж-
даний (fn, рп}. В этом процессе выбираются преимущест-
венно события, которые вносят наибольший вклад в оцен-
ку функционала I. Это достигается методом, аналогичным
тому, который использовался при определении аналоговой
вероятностной меры. Новая случайная величина |, опре-
деляемая выражением (3.75), дает несмещенную оценку
функционала I, при условии, что £ дает несмещенную оцен-
ку по отношению к аналоговой вероятностной мере.
Естественно возникает вопрос: как надо выбрать про-
цесс случайных блужданий [fn, рп], чтобы получить мини-
мальную дисперсию случайной величины Подразумевает-
ся, что процесс случайных блужданий (fn, рп] может быть
137
произвольным, но это не совсем точно, ибо необходимо вве-
сти ограничение, гарантирующее существование обобщен-
ной производной dp/dp (и, следовательно, Е). Также необхо-
димо гарантировать подкритичность вероятностной моде-
ли [в смысле (3.10)] В большинстве случаев новый
процесс случайных блужданий определяется форму-
лами, аналогичными (3.12)—(3.14), с той лишь разницей,
что используются новый источник S(P) и новое ядро К\Р,Р').
Можно считать, что источник -S и ядро Д определяют
новое интегральное уравнение переноса для трансформи-
рованной плотности столкновений ф(Р):
Ф (Р) = § Д (Р, Р') ф (P')dP' + S (Р). (3.77)
г
В уравнении (3.77) источник S представляет собой распре-
деление точек первых столкновений, а ядро Д описывает
переход частиц из одного состояния в другое. Для того
чтобы подогнать среднюю плотность столкновений к ана-
логовому значению, требуется приписать частицам соответ-
ствующие веса. Частице, которая испытывает первое столк-
новение в точке Р, необходимо приписать вес S(P1)/S(P1),
при переходе частицы из точки Р, в точку Pf-~j-i вес должен
умножаться на
K(pi+i,pi) °(pi)
^(Pi+bPi) -РУ
Наконец, когда история заканчивается в точке Pk, вес
частицы умножается на
p(Pfe)
Pk (Bl, . ., Bft)
Если среднее значение взвешенной плотности частиц, ис-
пытывающих столкновение в точке Р, обозначить через W(P),
то можно показать, что 1Е(Р) удовлетворяет такому же урав-
нению, как и ф (Р) и, следовательно, в силу единственно-
сти решения W(P) = ф(Р). Отсюда понятно, как с помощью
весов плотность столкновений можно подогнать к аналого-
вому значению. Мы будем рассматривать веса скорее как
составную часть случайной величины, нежели как состав
ную часть самого физического процесса.
138
Потребуем, чтобы источник 5 и ядро Д’ удовлетворяли
обычным условиям 5, Д О, J S(P)dP — 1 и условиям
г
а) и б) (см. стр. 111—112 как уже отмечалось в § 3.3,
эти условия можно заменить более слабым условием под-
критичности интегрального оператора Ж).
Условиями, необходимыми для существования обобщен-
ной производной dp/dp, являются:
S(P) = 0^>S(P) = 0;
К(Р.Р') О,; р,'> = 0'
Л с(Р') с(Р) ~ ’
РАР^-'Р)^, Р)=О^Р(Р)=&, I
^•(Рь .... Р/-,, P) = 0=^(P)=0. )
(3.78)
Кроме того, для С = (Р1, ..., Pft, Pk, ...) € Aft функция
Х(РЪ ...,Pft) =
К(рр pi-i)
/=2 K(Pj,Pj — l)
^Pi -l)
c(Pj-i) . -S(Pi) P(Pk)
c(Pj-i) S(Pt) PkiPi, ....Ph)
(3.79)
должна быть ограничена, за исключением лишь, возможно,
множества цепочек р-меры нуль. В последнем выраже-
нии с(Р) — f K(Q,P)dQ представляет собой среднее число
вторичных частиц, приходящихся на одно столкновение
в точке Р для ядра Д. В работе [15] доказывается существо-
вание обобщенной производной dp/dp при этих условиях.
Для существования такого неаналогового процесса
необходимо дополнительное условие, сформулированное
ниже (условие в)).
в) Существует целое число М, такое, что для п > 7И
п ~
П — 1 ’ pd 1 дЛЯ всех рх, ..., р (3.80)
х-=1 с (Pi)
Используя неравенство (3.17), видим, что условие в) гаран-
тирует р(Лто) = 0 для вероятностной меры р, которая оп-
ределяется новым процессом случайных блужданий.
В последующих теоремах предполагается, что оператор
& подкритичен, существует ~ и выполняется условие
dp
139
в) [неравенство (3.80)1. Докажем теорему, которая позво-
ляет распространить оценку (2.72) на случай размножаю-
щей среды.
Теорема 3.6. Случайная величина I (С), определен-
ная на цепочках С = {Рг..длины п,
= g(Pn)K(Pn.P„_i)...K(Pa>P1)S(P1) pj' c(Pj)
К (рп,Рп_х)..,К(Р2, PJW^PJ /=i ?(^)
(3.81)
дает несмещенную оценку функционала I по от-
ношению к процессу случайных блужданий
{/п. Рп\-
Доказательство. Для удобства обозначим
qi (Р1г ...,Pi) = q (Pj), ph (Plt..., Pk) - P (Ph) и т. д. Как
и в § 3.6, используя сходимость ряда Неймана в £т и
ограниченность функции g, можно записать
Е [1] = I] P[k(C) = k]E[i\k(C) = k\ =
k=\
Vf f S(Pk) c(pj) * K^-.P,-,) S(P1)
X П E(P},Pi-l)S(P1) п
/=2 7=1 c{ P
5 \ - \g(Pb)K(Pb, Pk-
*=1
,).../( (P2, Pi) X
xS(P1)dP1...dPh^I.
Выбирая S = S, К = l(, p — p, видим, что
1(C) = g(Pn)/p(Pn) п'с(^)/9(Л)
7=1
(3.82)
140
есть случайная величина, дающая несмещенную оценку
функционала I по отношению к аналоговому процессу. При
q(P)=c(P) = -^&- и £(Р) = -?1£1
’ St(P) ’ St (Р)
приходим к оценке по поглощениям
7(С) =
s (Рп)
Sa (Рп) ’
рассмотренной в гл. 2 [формула (2.77)]. Из этого дока-
зательства следует
Теорема 3.7. Пусть £(Ри..., Рп)—любая случай-
ная величина, дающая несмещенную оценку функ-
ционала 1 по отношению к аналоговому процессу.
Тогда случайная величина:
ЦРЪ ...Р^ЦР!.....РП)Х(Л....Р„),
где X определяется выражением (3.79), дает не-
смещенную оценку функционала I по отношению
к процессу случайных блужданий {[п, рп } .
Видно, что при выборе
ЦР1,
рп)=
ё (Рп)
Р (Рп)
1 = 1
С (Pj)
Q (Pj)
теорема 3.6 получается -как частный случай теоремы 3.7.
Условия (3.78), хотя и использовались при доказатель-
стве теоремы 3.7, в действительности для некоторых прак-
тических случаев являются слишком строгими. Например,
в частном случае неаналогового процесса случайных блуж-
даний (2.84) при отсутствии поглощения (по крайней ме-
ре для первых М столкновений, (см. (3.80)) pj(Pi, ,Pj) =0
даже при p(Pj) =£ 0. Можно определить случайные вели-
чины, которые дают несмещенные оценки даже при невы-
полнении условия (3.78). Объяснение заключается в том,
что несмотря на невыполнение соотношения
f Edp = С £ dp
J J ац
£2 £2
для всех Е, оно выполняется для определенной случайной
величины. В следующем параграфе аналогичная ситуация
141
возникает для оценок с нулевой дисперсией. Приведенное
рассмотрение показывает, что следует проявлять осторож-
ность при формулировании условий, обеспечивающих не-
смещенность данной оценки.
Покажем, что дисперсию сл^ чайной величины 1 можно
сделать равной нулю путем соответствующего выбора д
и <S. Для этого необходимо знать функцию ценности, т. е.
решение уравнения
Ф* (Р) = $ К (Р', Р) ф* (Р) dP'+g(P). (3.83)
Как было показано в § 3.6, функцию ф*(Р) можно ин-
терпретировать как ценность нейтрона в точке Р, т. е. как
величину ожидаемого вклада от этого нейтрона в оценивае-
мый функционал /. Если предположить, что функция ф*(Р)
известна, то процесс случайных блужданий [/,*, р*п] мож-
но определить через источник S* и ядро Д'* в уравнении
Фредгольма следующим образом:
WP)S(P) . * р, К (Р,Р')Г(Р)
’ $q*(P)S(P)dP’ V ’ 1 q*(P’)
р* (Р) = £( 2
’ Ф*(Р)
(3.84)
Отметим, что
с* (Р) = С Д'* (Q, Р) dQ = f р)Ф* (Q) dQ =
J J ф* (Р)
г г
j g(p)
Ф*(Р)
<7*(Р)<1.
Таким образом, процесс случайных блужданий {/,*, рн\
удовлетворяет условиям (3.22), (3.23), (3.80), гарантирую-
щим подкритичность вероятностной модели. Даже при
нарушении условия (3.11) справедлива следующая теорема.
Теорема 3.8. Пусть процесс [/,*, рп] определяется
выражениями (3.84). Тогда случайная величина
(3.81) дает оценку функционала I с нулевой дис-
персией.
142
Доказательство. Находим, что для каждой це-
почки С = [Plt ..., Рп}
f(C) = — g(PnWPn> Pn-1)--^(P2>P1)S(P1) _
’ к*(Рп, рп_/с* (Р2 PJs*(PJg(Рп)/Г(Рп)
- W* (W (Л)1 - W* (Рп-0/Ф* (Рп)] Г(Рп) X
[ ip* (Р) S (Р) dP с
X 1 г <р.) JV(OSW₽ = '.
Так как каждая цепочка дает точный результат, процесс
должен иметь нулевую дисперсию.
Мы уже говорили о возможности использования при
вычислении функционала I как прямого, так и сопряжен-
ного процессов случайных блужданий, в связи с тем, что
имеет место равенство
I = ^g(P)q(P)dP = JS(P)t*(P)dP.
Остановимся на этом вопросе более подробно. Снова за-
пишем интегральное уравнение для плотности столкнове-
ний
ф (Р) = К (Р, Р') ф (Р') dP' + S (Р) (3.85)
и функционал, который требуется оценить:
/ = ^(Р)Ф(Р)</Р. (3.86)
Показано, что уравнения
чр* (Р) = $ Д (Р', Р)ф* (Р') dP' +g (Р) (3.87)
и
Л-$5(Р)ф*(Р)(/Р (3.88)
являются сопряженными по отношению к (3.85), (3.86),
и наоборот. Функция ф(Р) является функцией ценности
по отношению к (3.87), (3.88). Мы будем называть ее вто-
ричной функцией ценности. Ясно, что теория, разработан-
ная ранее для соотношений (3.85), (3.86), применима также
143
и для соотношений (3.87), (3.88). В частности, случайная
величина (3.81) заменяется на величину
I* (С) =
= 5(Pn)/<(Pn_1,Pn)---/<(P1, P2)g(Px) "*
K(Pn,Pn-l)---k(P2,Pi)S(P1)p(Pn) Ц q(Pj)’
(3.89)
которая дает несмещенную оценку функционала I по от-
ношению к процессу случайных блужданий {[п, рп}, оп-
ределяемому через S, Д и р. Доказательство аналогично до-
казательству теоремы 3.6, так как последовательность ин-
тегралов, представляющая функционал j S(P) ty*(P)dP,
совпадает с последовательностью, представляющей функ-
ционал
Можно показать, что соответствующим выбором Д и <S
можно устранить вариацию У* (С). В данном случае слу-
чайная величина содержит функцию, сопряженную функ-
ции ф*, т. е. плотность столкновений ф(Р). Если пред-
положить, что плотность столкновений ф(Р) известна, то
процесс, дающий нулевую дисперсию, определяется новы-
ми соотношениями [вместо соотношений (3.84)]:
S* (Р) = 4ХР) S (Р) . /р ргх _ К (Р' ,Р) ф (Р) .
J ф (Р) g (Р) ’ Ф(Д')
Ф(Р)
(3.90)
Дадим вторую формулировку теоремы 3.8.
Теорема 3.9. По отношению ко вторичному про-
цессу случайных блужданий {f„ , рп}, определен-
ному соотношениями (3.90), случайная величина
(3.89) дает оценку функционала I с нулевой дис-
персией.
Для вторичной выборки по важности также существует
теорема, аналогичная теореме 3.7. Сформулируем сначала
аналоговый процесс случайных блужданий для сопряжен-
ного уравнения. Предположим, что для сопряженного яд-
ра К(Р', Р) выполняются условия а), б), в), и определим
144
..."»-
г
л
= fn(P*
г K(Pl_l,pl)dPl -]
РП\Р1)К(Р1)=П Skip^pjdPl №
1 = 2
(3.91)
Величина pk остается произвольной, но иногда удобно
выбрать
Pk(Pk)=l-№(Pk, P)dP (3.92)
г
учитывая, что интеграл в правой части положителен
и ограничен единицей.
Теперь легко доказать следующую теорему.
Теорема 3.10. Если £ (Р1, ..., Рп)— случайная
величина, дающая несмещенную оценку функцио-
нала I по отношению к аналоговому процессу
(3.91), (3.92) для сопряженного уравнения, тогда
случайная величина
t (Ръ ..., Pn) = g (Ръ ..., Pn) X (Plf..., Р„) (3.93)
дает несмещенную оценку по отношению к про-
цессу случайных блужданий, определенному через
s, К, р.
Предыдущая теория базируется на естественных пред-
положениях относительно ядра X [условия а), б) (§ 3.3)]
и на предположении ограниченности функции g. Ясно,
что так же можно оперировать с ядром L интегрального
уравнения
X (Р) = $ L (Р, Р') % (Р') dP' + Q (Р) (3.94)
и что рассмотренная теория справедлива для уравнений,
подобных (3.94). Еще раз обратим внимание на то, что ис-
точник Q представляет собой физический источник, а ис-
точник <S — плотность первых столкновений. Кроме того,
в уравнении (3.94) предполагается, что состояние частиц
регистрируется сразу после столкновений (или после рож-
дения), а не перед столкновениями, как в аналогичном
уравнении с ядром К(Р, Q). Ядра К и Л описывают один
и тот же физический процесс, поэтому подкритичность од-
ного ядра означает подкритичность другого и предыдущие
теоремы справедливы для обоих ядер.
145
Как уже говорилось, условия, налагаемые на ядро,
гарантируют разумный аналоговый процесс в том смысле,
что бесконечные цепочки имеют нулевую вероятность, и обес-
печивают сходимость ряда Неймана в £х. Эта сходимость
и условие ограниченности функции g обеспечивают сходи-
мость последовательности интегралов, представляющей
функционал 1. Ослабим теперь предположение об ограни-
ченности функции g и посмотрим, можно ли получить оцен-
ки ф(Р0) в точке, устремляя g(P) к 6(Р — Ро). Предполо-
жим, что ряд Неймана сходится в точке Ро к значению
ф(Р0). При этом теорема 3.6 остается справедливой, но
приводит к неосуществимой оценке. Легко видеть, что вклад
каждой цепочки должен быть нулевым или бесконечным;
получающаяся при этом случайная величина будет иметь
бесконечную дисперсию. Использование теоремы 3.7 дает
такой же результат при всех разумных выборах случай-
ной величины £.
Случайная величина (3.89) при S(P) = g(P)=f>(P—Ро)
не имеет такого недостатка. Из уравнений (3.87)
и (3.88) видно, что для определения функционала / путем
розыгрыша сопряженного уравнения требуется знать функ-
цию 8, описывающую плотность первых столкновений.
Недостатком метода, основанного на уравнении (3.87), яв-
ляется то, что функцию 8 трудно записать в замкнутом
виде. Однако если используется интегральное уравнение
для %
X (Р) = $ L (Р, Р') х (Р') dP' + Q (Р) (3.95)
и функционал
I = У\g(г', Е) Т(г, г'; Е)X(г, Е) dг'dгd Е, (3.96)
то соответствующее сопряженное уравнение есть
X* (Р) = $ L (Р', Р) %* (Р') dP'+^g (г', Е) Т (г, г'; Е) d г' (3.97)
и имеем, что
/=§Q(P)x*(P)dP.
г
(3.98)
Интеграл (3.98) содержит физический источник Q, что
более удобно, нежели плотность первых столкновений 8.
Если принять g(r', Е) = 6(г' — г0)6(Е — Ео), то получим
146
вполне разумный сопряженный процесс, который можно
использовать для построения оценок функции %* и функцио-
нала I = ф(г0, Ео). Этот метод используется в гл. 5 с той
лишь разницей, что при выводе используется интегро-диф-
ференциальное уравнение.
Можно показать, что уравнение (3.97) совпадает с урав-
нением, которое получается из сопряженного интегро-диф-
ференциального уравнения для направленного потока
(ср. уравнение (5.17), гл. 5). При условиях теоремы 3.4 это
дает возможность отождествить значение %* с сопряжен-
ным потоком F*, даже если y^=F. Последнее обстоятельство
не является удивительным, принимая во внимание, что
F* получается при использовании сопряженного интегро-
дифференциального оператора, в то время как %* появля-
ется при сопряженном интегральном операторе. В то время
как х является источником в уравнении для F [см. уравне-
ние (2.62)1, х* не является источником в уравнении для F*.
Второй метод оценки ф(Р0) предложен в работе [12].
Покажем, как можно легко получить оценку работы [12],
используя понятие вторичной выборки по важности. Пред-
положим, что требуется оценить плотность столкновений
в точке Ро, ф(Р0). Из уравнения переноса
Ф (Ро)—S(Ро) - (Ро, Р)ф (Р) dP. (3.99)
Для оценки интеграла (3.99) можно воспользоваться из-
ложенной выше теорией, если положить g(P) = К(Р0,Р).
Используя выражение (3.89),. получаем случайную вели-
чину
/* (С) =
(РПИ(РП_„ Р2)К(Р0, Pj n~‘ 3(Py)
P(Pn, ₽„_,)--K(P2, PJS(PJp(PJ "«(P^ '
Можно показать, что случайная величина (3.100) дает
несмещенную оценку ф(Р0)—S(P0) при условии сходи-
мости ряда Неймана к значению ф в точке Р = Р0. Та-
ким образом, случайная величина
Z0(C) = S(P0) + /*(C) (3.101)
дает несмещенную оценку ф(Р0). Эта оценка интересна
тем, что при ней не требуется обязательно испускать час-
тицы из точки Ро.
147
Если в формуле (3.89) принять
ё (Л) = S (Рх) = б (Рх-Р0); к (Pl, Pl-l) = P(Pl-i, Pt),
то процесс случайных блужданий будет подобен сопряжен-
ному розыгрышу, при котором все частицы испускаются
из точки Ро. Частицы в точке Ро испытывают первые столк-
новения, так как S(A) = б(Рх — Рп). В этом процессе
розыгрыша различие между состояниями Ро и Рх заклю-
чается в том, что точка Ро не является реальной точкой
столкновения, поэтому процесс не обрывается в этой точке.
С другой стороны, Pi обозначает точку первого столкнове-
ния, в которой допускается возможность завершения про-
цесса. Случайная величина (3.89) представляется в виде
п'^у. п>1- (3.102)
р(Рп) /=1
Отметим, что для п=1 получаем S(P1)/p (Рх). Мате-
матическое ожидание этой случайной величины равно
р 6 р«)dp*=s (р«)-
J p(Pi)
Для п = 2 математическое ожидание (3.102) равно
£2 = ^7<(/’о. А)5(Pz)dP2 и для п>2
Еп = (Ро, Р.)К (Р2, Р3) ...К (Рп-,,Рп)S(Pn)х
X dPndPn-i ...dP2.
Таким образом, Еп являются членами разложения в
РЯД Ф (Ро)-
Если в формуле (3.100) выбрать
тогда с (Ро) = § К (Ро, Pi) dPi и выражение (3.100) запи-
шется в виде
п— I „
/* (С)= s(Pn)c(Po) т-| { (3.102а)
; = 1
148
Для п = 1 математическое ожидание (3.102а) равно
E'i = Г -- (Р1) с (Р°}- К(Р°'Р1) р (PJ dPi =
J Р (Л) с (Ро)
= ^К(Р0, PJSIPJ dPp,
для п > 2
(Ро, PJ К (Рь Р2)... К (Pn-t,Pn) S (Рп) dPn ... dPx.
Видим, что Еп = Еп+1 для п~^ 1. Таким образом, слу-
чайная величина (3.102а) учитывает все вклады в значение
ф(Ро), за исключением вклада от источника S(P0). Этого
следовало ожидать, так как, по предположению, случай-
ная величина (3.100) должна давать несмещенную оценку
ф(Д0) — Е(Р0)- Таким образом, случайная величина /„(С)
дает точную сопряженную оценку для плотности столкно-
вений в точке Ро. Вследствие только что установленного
соответствия между выражениями (3.102) и (3.102а) мож-
но считать, что при этой оценке все частицы испускаются
из точки Ро.
Таким образом, показано, что в частном случае оценка,
предложенная в работе [121, эквивалентна оценке, полу-
ченной при решении сопряженного транспортного уравне-
ния. В гл. 5 более подробно рассмотрена оценка потока и
скоростей активации в точке с помощью решения сопря-
женных уравнений.
Материал, который до сих пор излагался в § 3.7, носил
общий характер в том смысле, что трудно представить, ка-
ким образом можно практически реализовать эти идеи.
В качестве примера, иллюстрирующего использование вы-
борки по важности, получим формулы экспоненциального
преобразования. Экспоненциальное преобразование пред-
ставляет собой метод уменьшения дисперсии, который наи-
более успешно применяется при расчетах одномерной защи-
ты [8—10, 23—261. При выводе будем придерживаться ра-
бот Ляймдорфера и Калоса [8, 10, 22, 24, 25].
Если рассматривать выражения (3.84), определяющие
процесс случайных блужданий с нулевой дисперсией [fn,Pn},
в зависимости от функции ценности ф*(Р), то можно
увидеть, что приближения к процессу с нулевой дисперсией
можно выразить в зависимости от приближения функции
ценности. Для конкретности рассмдтрим уравнение
X (Р) = $L(P, Р') х (P')dP' + Q(P), (3.103)
149
где %(Р) — распределение частиц в момент после столкно-
вения. Предположим, что требуется оценить интеграл
§/г(Р)х(Р)ар. (3-104)
г
Используем подход близкий, но противоположный тому,
который применялся при выводе уравнения для взве-
шенной плотности столкновений. Чтобы выделить «ценные»
события, необходимо модифицировать источник Q и ядро
L. Для этой цели используем функцию, которую обозначим
/(Р). В некотором смысле функция /(Р) представляет
собой приближение к решению сопряженного уравнения
и, следовательно, является приближенной функцией цен-
ности. Если уравнение (3.103) умножить на
ПР)
J/(P)Q(P)dP ’
Г
получим
Х(Р)= $ L(P,P')x(P')dP' + Q(P), (3.105)
г
где
Q (Р) = LLP19^ ; £ (Р Р') = 1SEL L (Р ру
f I(P)Q(P)dP ' ЦР’) v 7
X (Р) = f Х(Р)/(Р)— = х(Р)/(Р); N = f / (Р) Q (Р) dP,
$l(P)Q(P)dP N J 7 v '
г г
поэтому
'="f ^^ip-
(3.106)
Таким образом, методы, ранее разработанные для оценки
интегралов, можно использовать для оценки интеграла
(3.106), содержащего трансформированную плотность %(Р).
На практике оказалось, что функция /(Р) должна быть до-
статочно простой, в противном случае сложно вычислять
нормировочный интеграл N. Интеграл N представляет со-
бой приближение к интегралу 1 и точно равен ему, если
1(Р) ~ Х*(Е). Кроме того, трудности могут появиться при
вычислении значения с(Р) = I £(Q, P)dQ для трансформи-
г
150
рованного ядра. Наконец, флюктуации весов должны быть
таковы, чтобы дисперсия не сильно увеличивалась.
Предположим, что в одномерной задаче источник
Q(z, Е, р) заключен в области вблизи z = 0, где ц = cos 0
и 0 — угол между осью z и направлением полета частицы.
Если требуется оценить скорости реакций на достаточно
больших расстояниях от источника, то метод прямого моде-
лирования уравнения (3.103) будет давать плохую статис-
тику, так как поток будет уменьшаться по оси z приблизи-
тельно экспоненциально и мало частиц проникнет на боль-
шую глубину. Можно попытаться использовать оценки ме-
тода математических ожиданий, рассмотренные в § 3.6. Эти
оценки дают вклады в интеграл I только от частиц, прони-
кающих не очень глубоко. Другой выход заключается в из-
менении источника и ядра таким образом, чтобы в уравне-
нии (3.105) число частиц приблизительно не зависело от г.
Из этих соображений в экспоненциальном преобразо-
вании выбирается I(z, Е, р) = exp(cz). Величина с может
быть произвольной, но, как мы увидим в дальнейшем, на
эту величину желательно наложить определенные ограни-
чения.
Для реализации уравнения (3.105) можно разыгрывать
начальные координаты частиц с использованием источника
Q(z, Е, р) и каждой частице приписывать вес
__________exp (cz)_______
JJJ exp (cz) Q (z, E, p) dz dE d[i
или попытаться непосредственно использовать источник
Q. Аналогичным образом для определения пробега из точки
z в точку z' можно использовать ядро L и затем умножить
вес на exp[c(z' —z)J. Наконец, в процессе счета для опреде-
ления окончательных взвешенных вкладов в интеграл сле-
дует использовать выражение Nh(P)/I(P) вместо /г(Р). Но
преимущество, которое дает использование уравнения
(3.105), будет сведено на нет, если отсутствует возможность
делать выборку непосредственно из распределения Q (или
из распределения, близкого к нему). Аналогичным образом
перемещение частицы в фазовом пространстве следует осу-
ществлять, используя ядро, близкое к L. Если же это не
удается сделать, то использование уравнения (3.105) не
дает никаких преимуществ (в смысле дисперсии) по срав-
нению с использованием первоначального уравнения (3.103).
151
Обычно в ядро переноса Т вводится коэффициент
exp (cz). Наиболее просто определить новое ядро переноса
Т* выражением (2.48), но вместо сечения использовать
S/ = — рс. Если для определения расстояний между
столкновениями использовать ядро Т\ то вес частицы не-
обходимо изменить на коэффициент
Т ^ехр(—2/2) 2/
= ^7---7—77^ = ТУ ехР (—!,С2)-
7* 2/ехр(— 2Z г) 2/
(3.107)
Требуется, чтобы S/ 0. Поэтому обычно выбирают
0< с < При этом величина 2/ будет меньше для по-
ложительных р, чем для отрицательных. Следователь-
но, пробеги, направленные вперед, увеличиваются, а про-
беги, направленные назад, уменьшаются. В работах [8, 10]
обсуждается вопрос о выборе параметра с и описываются
некоторые методы использования отрицательных значений
S/. Флюктуации весов в определенной степени контроли-
руются путем применения методов рулетки и расщепления,
которые обсуждаются в следующем параграфе.
§ 3.8. Рулетка и расщепление
В данном параграфе будут рассмотрены два способа
уменьшения дисперсии, которые трудно отнести как к ана-
логовым, так и к неаналоговым способам. Сначала пояс-
ним обе процедуры, а затем дадим их формальное определе-
ние.
При решении любой задачи теории переноса все фазовое
пространство можно разделить на области двух различных
типов, которые можно назвать ценными и малоценными.
В малоценных областях желательно ограничивать коли-
чество цепочек случайных блужданий, так как вероятность
вклада таких областей в оценку мала, или из-за того, что
такие цепочки нехарактерны и могут сильно увеличить
дисперсию расчета. В ценных областях желательно увели-
чивать число испытаний. Также желательно, чтобы частицы
переходили из малоценных областей в более ценные. Методы
выборки по важности, описанные в § 3.7, предназначаются
для достижения этой цели, но требуют некоторой информа-
ции о функции ценности или вторичной функции ценности.
Использование недостаточно точного приближения функции
152
ценности может привести к большей дисперсии, чем в расче-
те без использования выборки по важности. Методам, рас-
сматриваемым в настоящем параграфе, в определенной
степени присущ тот же недостаток, и их следует использо-
вать с осторожностью, если хотеть действительно повы-
сить эффективность расчета
Для частиц, которые влетают в «плохие» области, при-
меняется способ рулетки. Это означает, что число историй,
в которых имеют место такие случайные блуждания, ис-
кусственно ограничивается Для обеспечения несмещен-
ности окончательной оценки оставшимся в живых части-
цам приписывается дополнительный вес. В этом смысле
рулетка представляет особый случай выборки по важности,
при котором вероятности окончания процесса блуждания
принимаются большими в «плохих» областях и малыми
в «хороших» областях*. Расщепление представляет собой
противоположную процедуру, которая применяется в «хо-
роших» областях и заключается в разбиении каждой цепоч-
ки, попадающей в такую область, на п независимых частей,
каждая из которых несет вес, равный \/п веса начальной
цепочки. Объединяя эти два приема, можно значительно
уменьшить дисперсию, особенно в тех случаях, когда лег-
ко разбить систему на более ценные и менее ценные об-
ласти (например, при расчетах защиты).
Перед тем как формально определить способ рулетки,
рассмотрим процесс случайных блужданий [fn, рп]. Для
вероятностей перехода [п выберем аналоговые функции,
определяемые выражениями (3.12) и (3.13), т. е.
п
п
I = 2
Д (Р1г ...,Рп) =
р/-1)
5(Л), /i(Pi) = S(P1),
(3.108)
* Такое определение отличается от общепринятого. Метод ру-
летки в том виде, в каком он был описан в работе Кана (Н. Kahn,
Nucleonics, 6, 60, 1950, см также [21]), заключается в розыг-
рыше гибели частицы с вероятностью р только при пересечениях
границы (но не при соударениях), когда частица переходит из «хо-
рошей» области в «плохую». Вес уцелевших частиц увеличивается
в 1/(1—р) раз. Противоположный процесс, происходящий при пере-
ходе частицы из «плохой» области в «хорошую», называется расщеп-
лением. Существенной чертой методов расщепления и рулетки яв-
ляется то, что вес частицы в каждый момент определяется только
ее положением и не зависит от ее предыстории. —Прим. ред.
153
где
с(Р)= \K(Q,P)dQ.
г
Для вероятностей окончания блуждания не будем исполь-
зовать аналоговые вероятности рп(Р) = 2а(Р)/2ДР). Фак-
тически основным моментом в рулетке является увеличение
значений рп в «плохих» областях; следовательно, эти значе-
ния должны выбираться значительно большими, чем Sa/Sz.
При значениях fn, определенных соотношением (3.108),
при произвольных рп, удовлетворяющих условиям (3.78),
оценивающая случайная величина определяется выражением
(3.81), которое в этом случае упрощается:
7(C)
g(Pn) Уч1 С .
Рп (Рп) . _ ! <7 (Pj)
(3.109)
Случайная величина (3.109) дает несмещенную оценку, так
как является частным случаем (3.81).
Более сложно формально определить метод расщепле-
ния. Пусть G — область, в которой осуществляется расщеп-
ление. Для простоты рассмотрим случай, когда при столкно-
вении в области G каждая цепочка расщепляется на две не-
зависимые цепочки. Результаты легко обобщаются на ко-
нечное число областей расщепления Gj, ..., GT с nt незави-
симыми ветвями в области Gt, i = 1, ..., г.
Рассмотрим произвольный процесс случайных блужда-
ний {fn, рп]. Каждый раз, когда i-e столкновение происхо-
дит в точке Pi £ G и при этом нет обрыва цепочки, имеет
место расщепление на две независимые ветви, исходящие
из точки Pt. Расщепление осуществляется путем выбора
двух независимых точек P/+i, Pt'+i из условной плотно-
сти вероятности Д+1 (Qt-+1 | Plt ..., Р,). Этот процесс повто-
ряется каждый раз, когда происходит столкновение в новой
точке области G. В результате процесса расщепления из
начальной точки Plf выбранной из 7(pi), может выходить
много различных цепочек. Через 6(7*1) обозначим множест-
во всех цепочек, выходящих из начальной точки Pt.
Обозначим через C(k) цепочку, которая испытала ровно
k расщеплений, и через mh —число таких цепочек в G(J*i),
k — 0, 1, ... Цепочка C(fe) представляет собой цепочку,
154
содержащую ровно k рассеяний в области G. В процессе
прямого моделирования цепочки с бесконечной длиной име-
ют по теореме 3.3 вероятность, равную нулю. Следователь-
но, полное число цепочек, которые могут начинаться в
данной начальной точке, ограничено с вероятностью, рав-
ной единице. Таким образом, можно перечислить элементы
С(Л):
G(Pi)=
(3.110)
где индекс изменяется от 1 до rn j (если т} = 0, то это
означает, что нет цепочек, расщепляющихся ровно / раз).
Здесь Ж есть наибольшее число расщеплений, которое ис-
пытывает одна цепочка, исходящая из точки Р1; в процессе
прямого моделирования Ж" конечно с вероятностью, рав-
ной единице. Случайная величина, которая ставится в соот-
ветствие множеству G(P1), равна*
mk .
ис(л)}=2;
Л=0 «ь = 1
(3.111)
где £ — любая случайная величина, которая дает несме-
щенную оценку при прямом моделировании. Понятно, что
если какое-нибудь значение тк = 0, то такой член не вклю-
чается в правую сумму.
Математическое ожидание случайной величины (3.111)
равно
£[ИС(Л)}] = 2 =
* = 0 ik=l
k=0 k=0
* Внимательный читатель может заметить, что выражение
(3.111) соответствует несколько отличному от обычного подходу к
расщеплению (хотя и полностью эквивалентному ему). Обычно под
расщеплением понимается ветвящийся процесс, в котором число
потомков первоначальной частицы увеличивается при каждом пос-
ледующем расщеплении. Мы же считаем, что при некоторых соуда-
рениях частица распадается на фрагменты, которые затем вновь
соединяются в одну частицу перед соударениями с расщеплением.
155
где —условное математическое ожидание случайной
величины | для цепочек, которые начинаются в точке Рг
и расщепляются ровно k раз.
Для иллюстрации того, что t{G(P2)} дает несмещен-
ную оценку функционала
l=^I(P1)S(P1)dP1,
покажем, что
/г = 0
Каждую цепочку из G(Pi) можно рассматривать как
отдельную историю. Тогда всего в G (Pt) будет содержать-
ся N = У. mk историй, однако эти истории не равновероят-
но
ны. Действительно, предположим, что из точки Рх испус-
кается частица и надо выбрать для нее случайным обра-
зом одну из имеющихся N траекторий. В каждой точке
расщепления частица может полететь с равной вероят-
ностью в одном из двух направлений. Поэтому вероят-
ность pik каждой траектории С(£ длины k равна 1/2*, от-
куда непосредственно следует требуемый результат.
Отметим, что так как вероятность ft-цепочки, рав-
на 1/2* и частица должна выбрать одну из N цепочек, то
сумма
V
Q/L
V'' mk
2k
й = 0
должна быть равна единице. Это можно доказать с по-
мощью более формального рассуждения.
Теорема 3.11. В определенном выше процессе рас-
щепления
2 5=1’ (3.112)
k = 0
где mh равно числу цепочек, расщепляющихся
ровно ft раз.
156
Доказательство; Доказательство проведем
методом индукции по максимальному числу расщеплений
Ж. Если Ж = 0, то обязательно т0 — 1 и mk = 0 для k \J
> 0. Следовательно, для Ж = 0 теорема очевидна. Пред-
положим, что теорема доказана для некоторого Ж > 0
и докажем ее для Ж + 1. Рассмотрим совокупность G(Pi),
содержащую цепочки, которые расщеплялись (Ж 1)
или меньшее число раз. Ясно, что в этом случае ве-
личина т„... четная, так как при каждом (Ж + 1)-м рас-
щеплении возникают две цепочки. Запишем, что т^., , =
сЛ~Г 1
= 2N. Тогда N равно полному числу дополнительных
ДГ-цепочек, которые возникли бы, если бы не происходило
ни одного (Ж -|- 1)-го расщепления, т. е если бы каждая
Ж-цепочка обрывалась до наступления нового расщепле-
ния. Таким образом, если в первоначальной совокупности
G(Pi) содержится цепочек, расщепляющихся ровно Ж
раз (не считая N цепочек, которые вновь расщепляются),
то в новой совокупности, которая получается из С(РХ) в
результате обрыва всех цепочек после Ж-го расщепления,
число ^-цепочек будет ~ равно (т^ + N\ Последнюю
совокупность обозначим через G'(P1). Тогда для G'(P^
можно написать:
“у * tnw+N _
** 2* ' ' ~~ ’
k = o 2
Так как t =2АГ, то эта сумма равна
Ж-i Ж+1
V mk тж тж+1 у 2^
* = 0 2 “ й = 0
что и завершает доказательство.
Если случайная величина | из выражения (3.111) равна
случайной величине (3.109) в методе рулетки, то выражение
(3.111) одновременно включает в себя приемы рулетки и
расщепления. Как было показано, эти методы можно ис-
пользовать независимо, но часто их используют совместно.
Используя расщепление в ценных областях и рулетку
в малоценных областях, получают такой же эффект, как
157
и при использовании выборки по важности, но при этом не
требуется изменять вероятности перехода
Интересно отметить [21], что метод экспоненциального
преобразования можно получить с помощью простого рас-
суждения из методов расщепления и рулетки. Рассмотрим
одномерную задачу. Пусть точки z = a, (t = 1, 2, ..., ri)
определяют границы, на которых происходят расщепле-
ния. Когда частица пересекает какую-нибудь из этих гра-
ниц и двигается направо, происходит расщепление части-
цы в среднем на р > 1 частиц, каждая из которых несет
вес, равный р-1 первоначального веса. Когда частица пере-
секает границу и двигается налево, то применяется рулет-
ка. История обрывается с вероятностью 1—р~’, если же
частица выживает, то ее вес умножается на р.
Можно показать, что использование такой схемы соот-
ветствует следующему изменению ядра переноса Т:
2 (*'-Я()1
7*(z',z;E,p) = p‘ = ' T(z',z;E,li), (3.113)
где
11 х>0,
"«“(о х<0
и Т—первоначальное ядро переноса.
Если принять р = 1+(1/п) и аг=(!/п)П, где D—пол-
ная толщина слоя, то для достаточно большого п непре-
рывную переменную z можно приблизительно представить
в виде дискретной переменной (i!ri)D, тогда i-^nzjD.
Таким образом,
п
nz
Л 11(г—а;)= -/у-
« = 1
Предел при п-> оо равен
limp'=I
П —►оо
= lim
П-+оо
что соответствует экспоненциальному преобразованию
/ (z, Е, р) = eaz (см. § 3.7).
158
§ 3.9. Коррелированная выборка
Термин «коррелированная выборка» используется для
обозначения спаренных расчетов по методу Монте-Карло,
в которых имеет место сильная положительная корреля-
ция между связанными случайными величинами. Метод
особенно полезен при расчете дифференциальных эффектов,
т. е. тогда, когда требуется рассчитать малое изменение в
системе, вызванное каким-либо возмущением (например,
при расчете допплеровского коэффициента и т. д.). Если та-
кие эффекты рассчитывать путем выполнения двух незави-
симых расчетов по методу Монте-Карло, то часто оказы-
вается, что статистическая ошибка превышает величину са-
мого возмущения.
Для преодоления этой трудности необходимо скоррели-
ровать два расчета таким образом, чтобы статистической
флюктуации подвергались лишь эффекты, связанные с са-
мим возмущением.
Контролирование случайных чисел на протяжении двух
расчетов является простым, но достаточно эффективным
способом достижения положительной корреляции. По-
прежнему выполняется два расчета (основной и возмущен-
ной задачи), но, благодаря контролированию случайных
чисел, некоторые истории в этих расчетах совпадают.
Можно предложить следующий метод контролирова-
ния случайных чисел. Предположим, что программа гене-
рирования псевдослучайных чисел дает последовательность
Pi, р2, ... Перераспределением последовательности можно
добиться того, чтобы все истории в основном и возмущенном
расчетах начинались бы с одинаковых псевдослучай-
ных чисел. Введем двойные индексы t, / для обозначения
того, что число pi}- есть /-е псевдослучайное число в i-й ис-
тории, и символ 5(р) для обозначения псевдослучайного
числа, следующего за числом р. Тогда можно записать:
Р1.1—Р1» Р1,2 = р2. Р1.з = р3, ...» Pi.n = Рп;
Р2,1 = 1—Р1.2. р2,2 =5(р2.1), ...;
Рз,1 = 1—р2,2, р3,2 — S (рз, 1), ...;
(3.114)
Так как (1 — х) и х имеют одинаковое распределение при
условии, что х равномерно распределено на отрезке [0, 1],
159
то этот прием не нарушает статистических характеристик
последовательностей. Положительная корреляция дости-
гается при условии, что истории с одинаковым номером на-
чинаются с одного и того же псевдослучайного числа. Сле-
дует соблюдать единственную предосторожность, заклю-
чающуюся в том, что в каждой истории должно использо-
ваться по крайней мере два псевдослучайных числа. Если
же в какой-нибудь истории, скажем истории п, использу-
ется только одно случайное число, то можно получить вели-
чину S(pn,i) и использовать это значение лишь для получе-
ния pn+i. 1. Описанный прием используется в многогруппо-
вой программе расчета потоков тепловых нейтронов (2ЙЛРС)
для вычисления дифференциальных эффектов. Некоторые
результаты расчетов приводятся в работе [27].
При использовании коррелированной выборки прово-
дится статистический анализ дифференциальных эффектов,
если невозможно вычислить величину корреляции и исполь-
зовать ее непосредственно в формуле для дисперсии иско-
мого возмущения.
Более эффективный способ достижения корреляции за-
ключается в объединении двух расчетов, когда для розыг-
рыша историй используется единый процесс случайных
блужданий {fn, рп}, но для каждой из задач используют-
ся разные случайные величины. В этом случае уменьшает-
ся время расчета, так как прослеживается лишь один
набор траекторий. Метод применялся во многих програм-
мах (TRIGR—Р, TRIGR— S [28]) в случае, когда диф-
ференциальные эффекты являлись результатом изменения
геометрии задачи. В работе [29] разработан метод рас-
чета коэффициента Допплера, основанный на получении
выражения для производной через ряды Неймана и пос-
ледующей оценки этой производной. Метод работы [29]
также предназначается для расчета дифференциальных
эффектов и отличается от метода, который будет обсуж-
даться в дальнейшем.
Предположим, что два расчета можно описать соответ-
ственно двумя интегральными уравнениями для плотности
столкновений:
ф (Р) = J К (Р, Р') ф (₽') dP' + S (Р); (3.115)
ф(Р)= J М(Р,Р')ф(Р') JP' +$(Р), (3.116)
где S близко к S, а К близко к R.
160
Предположим, что требуется оценить функционал
/= W) [ф(Л-^(П]^Р,
г
(3.117)
где g(P)—известная ограниченная функция. Пусть {fn,pn},
{/„, Рп| соответственно описывают аналоговые процес-
сы для уравнений (3.115), (3.116) и определяются выраже-
ниями (3.12) — (3.14). Как и в § 3.7 [ср. выражения (3.78)[,
следует быть осторожными при выборе основного процесса
случайных блужданий. Предположим, что условия (3.77)
выполняются, полагаем далее, что функция X, определяе-
мая формулой (3.79), ограничена, за исключением лишь мно-
жества цепочек р-меры нуль. Тогда {fn,pn} можно исполь-
зовать в качестве основного процесса случайных блуж-
даний и записать
Х(Рх...........Ph) = -^(P1(
d[i
(3.118)
Теперь для определения случайной величины, по кото-
рой проводится оценка функционала /, можно непосредст-
венно использовать теорему 3.7. Примем, что случайная ве-
личина Н дает несмещенную оценку интеграла j g(P)ty(P)dP
по отношению к аналоговому процессу \fn, pnj. Тогда слу-
чайная величина
!(р1; ...,p/l)=g(p1,..., р„)Х(р1,...,р„)
также дает несмещенную оценку интеграла jg(P) ^(P)dP
по отношению к процессу {/„, рп]. Пусть есть случай-
ная величина для оценки интеграла J g(P)ty(P)dP, которая
в процессе \fn, рп] соответствует случайной величине £.
Случайные величины и £ фактически идентичны, когда
рассматриваются как функции последовательностей точек
столкновения. Теорема о коррелированной выборке, осно-
ванная на этих представлениях, формулируется следую-
щим образом.
6 Зак. 385
161
Теорема 3.12. Случайная величина |—дает не-
смещенную оценку функционала I = f g (Р) [ф (Р) —
Т
— ф (Р) dP по отношению к процессу случайных
блужданий {/„, рп}.
Доказательство теоремы непосредственно следует из
теоремы 3.7, так как
£[t- £*] = £||]-£[£*] =
= $£(Р)ф(Р)^Р~
г
$£(Р)Ф(Р)Г/Р.
г
Важность полученного результата очевидна. Если два
процесса случайных блужданий «близки», тогда случай-
ные величины | и £ почти равны и также будут почти
равны | и £*. Наиболее важно то, что случайные вели-
чины | и будут сильно положительно коррелировать,
поэтому дисперсия их разности
V [£-rl = V [|] + 2cov [£, £*]
(3.119)
может быть значительно меньше величины V % + V [£*],
равной дисперсии разности при отсутствии корреляции.
Так как
cov [gЛ*] = £ {(|- £ Ш) (Г - £ [Г])) =
= £[!?*]-£ [|]£[Г1, (3.120)
то можно заметить, что для двух абсолютно одинаковых
аналоговых процессов g = и выражение (3.119) дает
V [g-= 2V Ш -2 cov (L g) = 2V Ш - 2V Ш = 0.
Как и следовало ожидать, истинное среднее значение, кото-
рое равно нулю, оценивается с нулевой дисперсией.
162
§ 3.10. Метод противоположной переменной
В § 3 9 с успехом использовалась положительная кор-
реляция между двумя случайными величинами. В данном
параграфе рассмотрим случайные величины с отрицатель-
ной корреляцией.
Метод противоположной переменной впервые был пред-
ложен в работе [30] для оценки определенных интегралов.
В дальнейшем метод совершенствовался рядом авторов [1,
31]. В работе [1] сформулирована основная теорема метода
(доказательство дано в [32]) и подробно обсуждены следст-
вия из этой теоремы. В данном параграфе приводится лишь
краткое описание метода и один простой пример его при-
менения.
Трудно дать общее изложение метода, не связывая его
с конкретными расчетами, поэтому описание метода прове-
дем на примере оценки определенных интегралов. Пусть
х — случайная величина, равномерно распределенная на
отрезке [0, 1], а £(х) —произвольная положительная ин-
тегрируемая функция. Если п независимых значений рг
выбираются из равномерного распределения, тогда вели-
чина
п
(3.121)
представляет собой несмещенную оценку интеграла
1
р = § £ (*) dx
о
с дисперсией
v[t„] = -i- = l
п п
1
^2 (х) dx—р2
.о
(3.122)
(3.123)
В качестве простою примера, иллюстрирующего метод
противоположной переменной, рассмотрим случайную ве-
личину
g1(p) = iM±Hkz₽>
(3.124)
2
6*
163
Дисперсия V = Vi будет, естественно, зависеть от
поведения функции Е на отрезке О^х 1 Однако про-
стое применение неравенства Шварца дает
Vi < V,
(3.125)
так как
1 ।
Vi=
0 о
p(x)Ul-x)dx-p2 = V/2 + C,
О
где
С -.2-^(x)Hl-x)dx--^-.
о
Но
i
£2 (х) dx ^2 (1 — х) dx
о
1/2
и2
t = V/2,
поэтому получаем (3.125).
Обратим внимание на то, что оценка по требует в два
раза больше вычислений, чем оценка по £. Поэтому для по-
лучения выигрыша в эффективности расчета необходимо
иметь:
Vi < V/2.
(3.126)
Имеет место следующий результат.
Теорема 3.13. Если Е монотонная функция х, то
Vj. 'С V/2.
Доказательство опирается на следующую лемму.
Лемма 3.2. Пусть Цх) неотрицательная монотон-
ная неубывающая (невозрастающая) функция, a q(x) —
монотонная неубывающая (невозрастающая) функция с
I 1
q (х) dx = 0. Тогда £ (х) q (х) dx > 0.
о о
164
Чтобы доказать лемму, выберем х0, 0 х0 1, таким
образом, чтобы <7(х0) — 0 и
х„ I
\ q (х) dx = — \ q (х) dx = а.
О Л-О
По теореме о среднем существует 0, OC0s^xo, такое,
что
\ g (х) q (х) dx - g (0) § Я (*) dx,
о о
и существует Ф, х0 < 1, такое, что
1 1
\ g (х) (х) i/x = g (Ф) \q(x)dx.
Л'о ХО
Тогда
1
S g (х) д (х) dx = g (0) а - -g (Ф) а = [g (0)- g (Ф)] а.
о
Но g(0)~g^D) и а имеют одинаковый знак, что и дока-
зывает лемму.
Теорема логически вытекает из леммы при выборе
9(х)= I—’(3.127)
b
Теорему 3.13 можно иногда применять и для случаев, в ко-
торых g кусочно-монотонна.
Формулу (3.124) легко изменить и получить другие
оценки. Можно использовать случайную величину
g(P) = ag(ap) + (l-a)g[l-(l-a)p], (3.128)
которая наиболее эффективна при монотонной g, или
случайную величину, предложенную в работе [21],
g(p) = ag(ap)+(l-a)g[a + (l-a)p], (3.129)
которая может быть эффективна даже при немонотонной g.
Применение метода противоположной переменной для
оценок резонансных интегралов проводится следующим
образом. Для определения начальной энергии Е исполь-
165
зуются равномерно распределенные псевдослучайные чис-
ла р. Случайная величина с(р) представляет собой в данном
случае вероятность резонансного поглощения для нейтро-
на с энергией Е. Разумеется, что Е может быть очень слож-
ной функцией р, но из общих соображений ясно, что при пря-
мом моделировании £ должна быть монотонной неубываю-
щей функцией энергии Е. Действительно, нейтроны, рож-
денные при более высоких энергиях, вносят большие вкла-
ды в резонансный интеграл, чем нейтроны, рожденные при
малых энергиях, так как первые «видят» более широкую ре-
зонансную энергетическую область. Даже при расчете ре-
зонансных интегралов по методу суперпозиции, который
подробно рассматривается в гл. 6, эти тенденции сохра-
няются, хотя само распределение источника совершенно от-
личается от действительного физического распределения.
Если для определения энергии Е использовать псевдослу-
чайное число р, а для определения второй начальной энер-
гии Е' число (1 — р), то при значениях р, близких к 0 или
1, энергии Е и Е' будут располагаться на противоположных
концах области энергетического спектра источника. Ус-
редняя вклады от таких спаренных частиц, можно очень
эффективно уменьшить дисперсию расчета.
§ 3.11. Линейные комбинации случайных величин
В заключение данной главы рассмотрим следующую за-
дачу. Имеются две случайные величины и £2, каждая из
которых в определенном процессе случайных блужданий
дает несмещенную оценку функционала 1. Как надо выби-
рать коэффициент с, чтобы линейная комбинация
£ = (3.130)
имела наименьшую дисперсию? Если с—константа, то
£'[^]= I и
V & - с2 V fcj +(1 -с)2 V + 2с (1 -с) cov &, £2] =
= c2V14-(1-c)2V2+2c(1-c)VI2, (3.131)
где Vi = V'[g1]; E2 = VHj2]; 1/12 = cov[£j, |2]. Продифферен-
цировав выражение (3.131) по с и приравняв производную
нулю, находим, что
дает минимум.
166
к сожалению, сами величины Vi, V2, Кг практически
никогда не известны; их можно оценить только по резуль-
татам выборки. Это значительно усложняет задачу, так
как комбинация (3.130) оказывается суммой произведений
случайных величин.
Этот вопрос изучался в работе [33J, где дано решение,
основанное на предположениях, что случайные величины
и £2 распределены нормально и что вместо неизвестных
дисперсий используются их выборочные значения. Цен-
ность этой работы заключается в том, что она позволяет для
исходной линейной комбинации определить точные дове-
рительные интервалы, основанные на распределении Стью-
дента. Можно также определить доверительные интерва-
лы, основанные на распределении, близком к /-распреде-
лению. Вопрос о том, какой из этих подходов предпочти-
тельней, остается открытым.
Как уже неоднократно отмечалось, в задачах переноса
можно использовать большое количество оценок более или
менее стандартного вида. В гл. 2 подробно рассмотрены наи-
более важные оценки: оценка по числу поглощений, оцен-
ка по числу столкновений, оценка по длине пробега и их
комбинации. Вообще говоря, для больших и сильнопогло-
щающих областей оценка по числу поглощений имеет от-
носительно малую дисперсию, в то время как для оптиче-
ски тонких или слабопоглощающих областей лучше исполь-
зовать оценку по числу столкновений или оценку по длине
пробега. Таким образом, желательно объединить две оцен-
ки в линейную комбинацию с минимальной дисперсией.
Опыт показывает, что метод, предложенный в работе [33],
в большинстве случаев дает хорошие результаты.
В работе [34] на примерах нескольких специальных за-
дач изучались характеристики комбинированных оценок.
Более практические задачи, встречающиеся при расчете
реакторов, рассмотрены в работе [35]. Полученные резуль-
таты показывают, что всегда выгодно объединять оценку
по числу поглощений и оценку по длине пробега. Конкрет-
но, какой тип оценки по длине пробега необходимо ис-
пользовать в данной задаче, зависит не только от задачи, но
и от типа вычислительной машины.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hammersley J. М., Handscomb D С. Monte
Carlo Methods, bond., Methuen, 1964.
167
2 Trotter H. F., T 11 key J. W. In. Symposium on Monte
Carlo Methods. Ed. H A. Meyer. N. Y , John Wiley and Sons
1956, p. 64.
3. Drawbaugh D. W. Nucl. Sci and Engng., 9, 185 (1961).
4. H a m m e r s 1 e у J. M. J. Assoc. Comp. Mach., 3, 73 (1956)
5. W e n d e 1 J. G. Ann. Math. Stat., 28, 1048 (1957).
6. E p м а к о в С. M., Золотухин В. Г. «Теория вероят-
ности и ее применение», 4, 473 (1960).
7. Н а п d s с о m b D. С. Numerische Math , 6, 261 (1964).
8. Leimdorfer М On the Transformation of the Transport
Equation for Solving Deep Penetration Problems by Monte Carlo
Method. Trans Chalmers Univ. TechnoL, Gothenberg, 1964,
p. 286.
9. С 1 а г к F. H. The Exponential Transform as an Importance
Sampling Device — A Review. ORNL-RSIC-14 (1966).
10. Leimdorfer M. Nucleonik, 6, 58 (1964).
11. Spanier J. Monte Carlo Methods and Their Application to
Neutron I ransport Problems. Bettis Atomic Power Laboratory
Report, WAPD-195 (1959).
12. A 1 b e r t G. E A General Theory of Stochastic Estimates of
the Neumann Series for the Solutions of Certain Fredholm Inte-
gral Equations and Related Series. ORNL-1508 (1953)
13. Фел л ер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
ния. Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1952.
14. Т u 1 с е а С. Т. I. Atti. Accad. Naz Lincei Rend., Cl. Sci. Fis.
Mat. Nat., (8), 7, 208 (1949).
15. Spanier J. J. Math. Anal. Appl , 17, 549 (1967)
16. С г a m e r H. The Elements of Probability Theory. N. Y., John
Wiley and Sons, 1955.
17. Kalos M. H. Nucl. Sci. and Engng., 16, 111 (1963).
18. G о er t z e 1 G. Quota Sampling and Importance Functions in
Stochastic Solution of Particle Problems. ORNL-434 (1949).
19. К a h n H. Application of Monte Carlo. RAND Corp.,
AECU-3259 (1954, 1956, перераб.).
20. Kahn H. In Symposium on Monte Carlo Methods Ed.
H. A. Meyer. N. Y., John Wiley and Sons, 1956, p. 146.
21. G о e г t z e I G., К a 1 о s M. H. In Progress in Nuclear Ener-
gy. Ed. D. J. Hughes et al. N. Y. Pergamon Press, 1958, p. 315.
22. Kalos M. H. Nucl. Sci. and Engng., 16, 227 (1963).
23. L i e d к e R. A., Steinberg H. A. Monte Carlo Code
for Gamma-Ray Transmission Through Laminated Slab Shields.
WADC-TR 58—80 (1958).
24. Leimdorfer M. The Backscattering of Fast Neutrons
from Plane and Spherical Reflectors. Gothenberg, Trans. Chal-
mers Univ. TechnoL, 288, 1964
25. L e i m d 6 r f e r M. In: On the Use of Monte Carlo Methods of
Calculating the Deep Penetration of Neutrons in Shields., Trans.
Chalmers Univ. TechnoL, Gothenberg, 287, 1964.
26. В e a c h L. A., Th e u s R. H. Stochastic Calculations of Gam-
ma-Ray Diffusion. In- Symposium on Monte Carlo Methods. Ed.
H A. Meyer. N. Y., John Wiley and Sons, 1956, p 103—122.
27 C u r 1 e e N. J , О n d i s II L. A. Trans. Amer. Nucl. Soc.,
7, 2(1964).
168
28. Steinberg Н., Aronson R. Monte Carlo Calculations
of Gamma Ray Penetration Technical Research Group , Inc ,
WADC-TR 59-771 (1960).
29. Olhoef t J. E. The Doppler Effect for a Non-uniform Tempe-
rature Distribution in Reactor Fuel Elements. Ph. D. Disserta-
tion, Univ. Michigan., 1963.
30. Ha m m e г s 1 e у J. M., Morton K. W. Proc. Cambridge,
Philos. Soc., 52, 449 (1956).
31. Hammersley J M., M a u 1 d о n J. G. Proc. Cambridge,
Philos. Soc , 52, 476 (1956).
32. Handscomb D C. Proc. Cambridge Philos. Soc., 54, 300
(1958).
33. H a 1 p e r i n M. J. Amer. Stat Assoc., 56, 36 (1961).
34. M a c m i 1 1 a n D. В Nucl. Sci. Engng , 26, 366 (1966).
35. G e 1 b a r d E. M., О n d i s HL. A., Spanier J. J.
SIAM Appl. Math. 14, 697 (1966).
ГЛАВА 4
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ
И ПРИНЦИПА ВЗАИМНОСТИ
В ОДНОСКОРОСТНЫХ ЗАДАЧАХ
§ 4.1. Введение
В предыдущих главах читатель ознакомился с основ-
ными положениями и научился пользоваться стандарт-
ными приемами метода Монте-Карло. По всей вероятности,
читатель еще не успел ощутить всей силы и многогранности
метода Монте-Карло. Чтобы более ясно продемонстрировать
возможности метода, а также и его недостатки, необходимо
применить метод для решения какой-нибудь конкретной
задачи. В предыдущих главах мы обсуждали особенности
метода Монте-Карло на довольно общих примерах. Теперь
необходимо поставить более практическую цель. В связи
с этим обратимся к конкретным задачам переноса нейтронов.
Начнем с рассмотрения простых задач. При решении этих
задач мы сможем в основном использовать теорию, которая
была изложена в предыдущих главах, но как только встре-
тятся новые трудности, появится необходимость применить
и новые методы.
Располагая (более или менее) завершенным анализом
общих принципов метода Монте-Карло, отметим, что в даль-
нейшем мы будем рассматривать специальные методы, раз-
работанные для решения конкретных задач. Так как из-
меняется предмет рассмотрения, необходимо несколько
изменить характер изложения. В гл. 1—3 использовалась
преимущественно интегральная форма уравнения пере-
носа. До тех пор пока мы знакомились с теорией, лежащей
в основе метода Монте-Карло, такая форма представлялась
наиболее удобной. Теперь точка зрения изменяется. Само
уравнение переноса будет занимать значительное место
в наших рассмотрениях и часто придется проводить с этим
уравнением сложные преобразования. Необходимо будет
изложить некоторые элементарные положения теории пере-
носа. Для решения задачи, стоящей перед нами, удобно
использовать интегро-дифференциальную форму уравне-
ния переноса.
170
В последних главах книги преследуются две основные
цели. Во-первых, нас интересуют определенные конкрет-
ные задачи и мы хотим показать, как можно эффективно их
решить. Во-вторых, мы ставим более широкую цель, а имен-
но, хотим показать и подчеркнуть то, что метод Монте-
Карло нельзя использовать слепо, а можно часто приспо-
собить непосредственно для решения поставленных задач.
Первая задача, которая бу-
дет рассмотрена, является наи-
более простой, но, возможно, и
наиболее поучительной. Рас-
смотрим ячейку, состоящую из
двух областей (рис. 4.1). Область
I содержит изотропный нейтрон-
ный источник с равномерной
плотностью Qi. В области II
источника нет
г ERj,
г
Q (г, о) =
О,
Всюду в гл. 4 предполагаем, что нейтроны имеют оди-
наковую скорость. Требуется определить средний поток
в каждой области или же скорости поглощения в области I
и области II.
В принципе такую задачу можно всегда решить. На-
пример, можно разыгрывать отдельные истории с помощью
прямого моделирования. Для определения средних потоков
можно использовать комбинацию из оценок по числу погло-
щений и по длине пробега. Иногда такой простейший способ
является наилучшим, но нетрудно найти задачи, для кото-
рых он будет малоэффективным. Предположим, например,
что 2 а1 =7^=0. Тогда, если область II достаточно мала, то
маловероятно, что какая-либо частица попадает в нее.
В этих условиях прямой расчет среднего потока в области II
при использовании любой простой оценки может занимать
слишком много времени. Для метода Монте-Карло харак-
терно, что способ, разработанный для широкого класса
задач, неэффективен в отдельных частных случаях. В то
же время если особенности задачи точно определены, то
для ее решения можно использовать специальные разно-
видности метода Монте-Карло. Как же можно определить
средний поток в области II при условии, что область II
171
мала? На практике было найдено, что равно возможны
два способа. Один из этих способов — сопряженный ме-
тод — уже упоминался в гл. 2 и 3. В данной главе мы рас-
смотрим второй способ — метод суперпозиции. Два этих
метода будут сравниваться в последнем параграфе главы.
§ 4.2. Метод суперпозиции
Метод основан на принципе суперпозиции, который фор-
мулируется следующим образом. Поток, образованный
суммой двух источников, равен сумме потоков, образован-
ных отдельно каждым источником Таким образом, если
поток Fj удовлетворяет уравнению
<о (Е, г, <о) ф- %т(Е, г) Fj (Е, г, <о) =
= ^2S (£'->£, г, <i)«<i)')F1(£','r, (n')dE' do' ф- С?х (Е, г, о)
и соответственно если
о • \/£2 (Е, г, о) ф- 2Г (Е, г) F2 (£, г, о) =
= §2S (£' -> Е, г, о o') F2 (£', г, o') dE' do)' ~tQ2 (Е, г, о),
тогда
tt»-V^7'(£, г, o) + Sr(£, r)F?-(£, г, <о) =
= § 2S (£'->£, г, о-о') £/(£', г, (ii)dE' dm' ф-
+ &(£, г, o) + Q2(£, г, о).
Здесь
F?- (£, г, о) = F, (£, г, о) ф- F2 (£, г, о)
и в ранее принятых обозначениях
2S (£'->£, г, в ®>2Дг, £')С(Е', Е; г),
где Е=£®, Е'=£'©'.
Мы будем неоднократно обращаться к принципу су-
перпозиции, для того чтобы трансформировать задачу,
трудную для решения методом Монте-Карло, к задаче,
более удобной для решения. В первоначальной и трансфор-
мированной задачах все сечения одинаковы и будут раз-
личны только плотности источника. В дальнейшем транс-
формированная задача будет называться «задачей (3», а пер
воначальная задача — «задачей а». В качестве иллюстра-
172
ции используем метод суперпозиции при решении задачи
о двухзонной ячейке.
В задаче а источник содержится в области I и отсутствует
в области II:
г€ЯР
Qu (г, <о) =
О,
г<₽и.
С другой стороны, в задаче р
принимается, что источ-
ник равен
<?Р (г- ®) =
О,
Предположим теперь, что
<2п = 2ац Qi/Sai, (4.1)
и определим величину FT (г, <й):
FT(r, <o) = Fu(r, <o)+.Fp(r, о). (4.2)
Fa (г, w) и Fp (г, to) — соответственно потоки в задачах
аир. Тогда, следуя принципу суперпозиции, Fr(r, to)
представляет собой поток в ячейке, содержащей источники
Qi и Qu- Из выражения (4.1) следует, что в этой ячейке
отношение мощности источника к сечению поглощения не
зависит от координаты. Следовательно (это можно показать
путем прямой подстановки в кинетическое уравнение),
Fr(г, «) = —•—= —-—==—Фг, (4.3)
' 7 4л 2aI 4л Sa„ 4л
где Фг—скалярный поток, не зависящий от координаты.
Из формулы (4.3) заключаем, что
Fa(r,o>) = — -^--Fp(r, О) (4.4)
4Л Sall
и
Sail Фп (г) dr = Qii Vii- j Sall Фр (r) dr =
II II
= ^о1Фр(г)йг. (4.5)
i
Здесь Фц (r)= \ Fa (г, w) dco, Фр (г) = \ Fp (г, о) da>.
173
Формула (4.4) связывает потоки в задачах а и р. Выраже-
ние (4.5) означает, что скорость поглощения в области II
в задаче а равна скорости поглощения в области I в зада-
че р. Следовательно, решение задачи а полностью опреде-
ляется из решения задачи р.
Если использовать вероятности перехода, то выражение
(4.5) принимает более простой вид. Пусть
Pl-п = J SaII Фа (г) dr/Qt Vi;
п
Рц-*1 (г) dr/Qn V'n.
i
Здесь Pi-^ii — вероятность перехода из области I в об-
ласть II, т. е. вероятность того, что частица, рожденная
в области I, будет захвачена в области И. Аналогично
Рц->1 — вероятность перехода из II в I. Используя
формулу (4.1), находим, что
Vi Soi Pl->ii = Ец San Pii->I. (4.6)
Выражение (4.6) может быть (что обычно и делается)
получено из соотношения взаимности (см. § 4.10), но вы-
ражение (4.4), основанное на принципе суперпозиции,
содержит больше информации, чем (4.6). Используя (4.4),
можно определить пространственное распределение погло-
щений в задаче а по потоку задачи р. Применение соотно-
шения взаимности, как будет видно в дальнейшем, дает
только значения скоростей поглощения в каждой области.
Естественно задать вопрос: когда же необходимо не-
посредственно решать задачу а, а когда необходимо вместо
нее решать задачу р? Точно ответить на этот вопрос не-
возможно по двум причинам. Во-первых, для каждой зада-
чи нет простого способа определения дисперсии. Дисперсию
оценки по поглощениям можно просто рассчитать, так как
она имеет двоичный характер, а дисперсию более сложных
оценок рассчитать трудно. Во-вторых, нет простого способа
оценки среднего времени расчета истории, а это время
может значительно отличаться в первоначальной и транс-
формированной задачах. Однако, для того чтобы показать
возможности метода суперпозиции, не будем обращать вни-
мания на эти трудности. Примем, что и в первоначальной и
в трансформированной задачах используется только оценка
174
по поглощениям, и предположим, что время расчета одной
истории одинаково в обеих задачах. Так как оценка по
поглощениям двоичная, то
2
N
1 а
И
(4-7)
2 (1 —Ри-и)
о =: -----------
(4-8)
Здесь Оа и ор—дисперсии в первоначальной и трансфор-
мированной задачах соответственно. Аналогично Na и
Ар—число историй. Если относительные ошибки в зада-
ста
чах а и В равны, тогда -g---------= -5------- и
M-i.II М1-*1
Л'р
Согласно предположению, отношение Аа/Ар равно от-
ношению времени расчета задач а и 0. Таким образом,
целесообразно решать задачу [3 вместо задачи а, если
Рп-+1>Р1-+п, (4.10)
или [из (4.6)], если
Vi 2Я1 > Ец 2ац.
(4.П)
Принимая во внимание неточность предположений, нельзя
ожидать, что выражение (4.11) безошибочно указывает,
какой из методов нужно использовать. Это только способ,
приблизительно определяющий класс задач, для которых
метод суперпозиции может быть полезен.
§ 4.3. Метод поверхностного источника
Неравенство (4.11) в наиболее простом виде определяет
область применимости метода суперпозиции Однако метод
можно усовершенствовать и расширить область его приме-
нимости. В отдельных конкретных случаях эффективность
метода суперпозиции, в качестве способа уменьшения дис-
персии, можно значительно увеличить. В данном параграфе
покажем, как этого можно достичь в случае, если Ssn,
сечение рассеяния в области II, равно нулю, а в следующем
параграфе — когда 0.
175
Как видно из неравенства (4.11), невыгодно использо-
вать метод суперпозиции, если San очень велико. Когда
и достаточно велико, из области II будет вылетать мало
нейтронов и будет получена недостаточная информация
о скорости утечки. К счастью, процесс моделирования
легко модифицировать так, чтобы большее число рожденных
нейтронов покидало область. Например, после каждого
рождения можно выпускать нейтрон из топлива без столкно-
вения. При этом каждому нейтрону при рождении должен
быть приписан соответствующий вес*.
В данном случае более эффективен другой метод. Этот
метод (который мы будем называть методом поверхностного
источника) рассматривается ниже. Идея, лежащая в основе
метода поверхностного источника, очень проста. Объемный
источник внутри области II заменяется на источник, рас-
пределенный на поверхности области. Поверхностный и
объемный источники связаны таким образом, чтобы был
одинаковый поток в области I.
Теперь мы должны показать, что можно сформировать
поверхностный источник, который был бы эквивалентен
данному объемному источнику. Поступим следующим об-
разом. Обратим внимание в задаче р на поток Fu (г, о),
который создают «нестолкнувшиеся невозвращенные ней-
троны» Нестолкнувшиеся невозвращенные нейтроны —
это нейтроны, которые не испытали столкновения и ни разу
не покидали топлива.
Ясно, что
(г, w) +2aii Fu(r, (о) = --^- Qn, г GRn. (4.12)
4л
Предположим, что Р—точка на границе области II
(см. рис. 4.2), ап— единичная внешняя нормаль в точ-
ке Р. Пусть гр радиус-вектор точки Р. Тогда**
Fu (гр> «) = fp (со) = 0, ®-п = р^0. (4.13)
* Ясно, что начальный вес должен быть равен ехр(—SaIIZ), где
I — расстояние вдоль <в между точкой рождения и границей облас-
ти 11
** Строго говоря, поток Fu(r, <о) не определен при Гр, но можно
записать, что Fu(rp, го) s lim Fu(r, го), г £ Rn.
rrP
176
Из интегральной формы кинетического уравнения [см. (2.59)
и (2.61)] следует, что*
i
о
=-LQn(i-e-2‘,n 'Мп, ц>о.
Определив поток от объемного источника, заменим объ-
емный источник на поверхностный. Плотность поверхност-
ного источника на единицу площади равна
Q(rp, ю) =
-Ь Qn(l-e-Z“"
4л
Mi,
0:
р>0,
р <0.
(4.14)
Снова из интегральной формы кинетического уравнения
находим, что поток от поверхностного источника опреде-
ляется выражением
= (1-е-2аП 'Мп,
4 л
ц>0. (4.15)
Таким образом, видим, что
поверхностный и объемный ис-
точник дают одинаковый выхо-
дящий поток на границе погло-
щающей области**. Следователь-
но, оба источника дают одина-
ковый поток и одинаковую
скорость поглощения в об-
ласти I.
Обратим внимание на то, что
Q(rp,®) = pFp(®). (4.16)
Рис. 4.2
физический смысл. При
Формула (4.16) имеет простой
наличии потока Fp(<o) нейтроны вылетают из топлива в на-
* Чтобы получить приведенное здесь выражение, подставим
С(Е', Е; г) = 0 в уравнение (2.59). Тогда у(г, Е) = <?(г, Е) =
= 0п/4л. Выражение для Fp(u) следует из уравнения (2.61).
** Использование фиктивного поверхностного источника для
получения заданного потока на поверхности обсуждается в работе
177
правлении <о в интервале da со скоростью pR/co) da.
Источник Q (гр, <о) испускает нейтроны в интервал аа точно
с такой же скоростью. Именно по этой причине поверхно-
стный и объемный источники эквивалентны.
Мы уже рассмотрели все приемы, необходимые для моде-
лирования поверхностного источника. Можно записать
Q(rp, ®) = Г [Q(rp, <b)/W]=WP(rp, о);
W = § drp daQ (гр, о),
где т — поверхность области II. Функцию Р (гр, <о) можно
рассматривать как функцию плотности для розыгрыша точек
рождения гр и векторов направления <о. Если гр и со вы-
бирать из этого распределения, то каждому нейтрону надо
присвоить вес W. В противном случае начальный вес должен
быть соответствующим образом изменен. Предположим,
что начальные точки выбираются из распределения Р', рав-
номерного по т, а направления полета вылетающих нейтро-
нов <о — из изотропного распределения. Если Лц — пло-
щадь поверхности топлива, то
Р' (гр, <о) = 1/2лЛп.
Каждому рожденному нейтрону необходимо присвоить
вес
W(Гр, <о) = WP/rp, а)/Р' (гр, <о) == Wf' (гр, со); 1 „
1^(гр, <o)=Qn Лцр. [1 —e-Zan']/2S01I. J
Таким образом, начальные веса будут различными для
различных историй. t#
В гл. 2 отмечалось, что флюктуации нейтронных весов
часто приводят к увеличению дисперсии оценок. Поэтому
желательно ограничить эти флюктуации, что можно иногда
сделать с помощью метода исключения (см. § 1.6). Предпо-
ложим, что функция f'(rp, со) имеет верхний предел.
Тогда можно поступить следующим образом. Выберем на-
чальную точку и начальное ю из распределения Р’ (гр, со) и
вычислим f (Гр, ю). Определим отношение R=f’ (гр, со)//',
где f' — наименьший верхний предел для f. Выберем
случайное число р. Если р < R, то происходит рождение,
в противном случае рождение исключается. Вес рожденного
178
нейтрона равен Й?. Исключенные рождения не дают
вклада в оценки потока и активации. Видно, что
RA=s $SaIIOa(r)dr = f 2ДФ₽(г)Лг = W-I, (4.18)
n i
где I—вероятность поглощения рожденного нейтрона в топ-
ливе, умноженная на W.
До сих пор предполагалось, что вес 1Г известен и ничего
не говорилось о его вычислении. Ясно, что
W= dr 'p § d(»Q (гр, ю) = \ drp § dtop Fp (<о) — J.
X т
Здесь J равно числу нейтронов, которые бы вылетали из
топлива, если бы топливо было окружено идеально черным
поглотителем. Если Po(ii> — вероятность утечки из топ-
лива*, то
lF==J=QiIVI1PoUI).
Таким образом, можно определить W, если известно Р0(п)-
Вероятности утечки из поглощающих пластин, сфер,
полусфер и бесконечных цилиндров протабулированы в ра-
боте [1]. Очевидно, если величину Ро(П) можно выбрать
из таблиц, то рассчитать W легко. В противном случае
необходимо вычислять Ро(П). Существуют различные
способы расчета (например, см. [1]). В следующем парагра-
фе будет описана процедура розыгрыша, которую мы часто
использовали при вычислении вероятности утечки.
Из рассуждений, подобных рассуждениям гл. 1
(см. § 1.6), известно, что эффективность метода исключения,
Е, равна f'/f. Здесь f' есть величина f, усредненная по
всем гр и <о. Так как
Г (rp, ®) ss Р (гр, со)/Р' (гр, о);
Г — S drP $ deyf (гр> ®)P' <rP> ®) =
T
(4-19)
= drp daP (rp, <o) = 1.
(4.20)
* Вероятность утечки равна вероятности того, что нейтрон,
испущенный из равномерного источника в области, перейдет в чер-
ный поглотитель, окружающий эту область.
179
Из (4.19) следует, что
Г (гр. ю) =
____Мп_____
2Son Vji Ро (in
(1—е-2а11 ')•
Следовательно,
Е = max
Гр
_____Мп______
22оц Уц Ро (П)
Для пластины толщиной t или цилиндра диаметром t
max р (1—е 2°п/) = 1—е 2йП *,
<», гр
поэтому
Можно показать, что для пластин 0,500, для цилинд-
ров— 0,469. Что же дает использование метода поверх-
ностного источника? Если нейтроны рождаются равномер-
но в объеме, то они будут вылетать из него с вероятностью
Рощ)', если же использовать метод поверхностного ис-
точника с методом исключений, то приблизительно половина
рожденных нейтронов выйдет из объема. Следовательно,
если Р()(Н) -j , поверхностный источник дает значительно
больше информации на одно рождение, чем объемный ис-
точник.
Разумеется, при использовании метода поверхностного
источника предыдущие оценки эффективности метода супер-
позиции неприменимы. Легко определить, как изменится
неравенство (4.11) в случае использования метода поверх-
ностного источника и метода исключений. С этой целью
отметим, что в задаче [3
Jp = Q„VIIP1I.I. (4.22)
Здесь /р—полное число нейтронов, поглощенных за се-
кунду в области I.
Если записать
Рп-i =Ро (П) Пц .1,
тогда Пц_. I есть условная вероятность того, что нейтрон,
вылетающий из области II, будет поглощен в области I.
180
Делая такое же предположение, как и в § 4.2, находим,
что
Ор — Qii ^п Ро (И) Пц >i (1 —Пц. i),
где Пц >1—вероятность, которая оценивается по методу
Монте-Карло. Кроме того,
°р 1 ~~пи~ I
Jp Пп-1
Рассуждая, как и в § 4.2, получаем
У ПН Д1-Л . ц)
*₽ ^1_11 (’ ~ПП -> О
при условии, что в величину Лгр мы не включаем число
исключенных рождений. Приходим к заключению, что метод
суперпозиции с поверхностным источником более эффекти-
вен, чем метод прямого моделирования, если
(4.23)
Пц.1
или, другими словами, если
Пп . । >Pi-> п .
(4.24)
Так как Пц_1=Рц -i/Po(ii), то неравенство (4.24) можно
записать в виде
рп~1
Р0 (II)
>Pi»п-
(4-25)
Используя соотношение взаимности [выражение (4.6)],
приходим к условию
V У
£-^Жп20п. (4.26)
Р0 (II)
Если в Л'р включить нейтроны, которые были исклю-
чены при рождении, то придем к неравенству
> Иц Sa„. (4.27)
Р0 (II)
181
Так как Е приблизительно равно 0,5, то практически не-
существенно, использовать ли в качестве основного нера-
венства (4.26) или (4.27). Если вместе с методом суперпози-
ции применяется метод поверхностного источника, то не-
равенства (4.26) и (4.27) заменяют неравенство (4.11).
Если же при рождении не проводить исключений, то преды-
дущие рассуждения недействительны.
Следует отметить, что плотность поверхностного источ-
ника можно моделировать различными способами. Предпоч-
тительно выбирать ю из равномерного распределения на
единичной полусфере. Можно вместо этого выбрать р = ш-п
из косинусоидального распределения, т. е. из плотности
распределения Р (р) = 2р. В этом случае, используя
выражения (4.17) и (4.19), находим, что
Р" (гр, <о) = 2р/2лЛп
и
Г^Р(Гр, ^"(Гр.со),
поэтому
Fp ((")1 /Г 1
2W / 2пАи
_____________
42аП VI1 Р0 (II)
(4.28)
Ясно*, что
Г = f dr f dtoP-rp' <’>) P" (r (O) = l.
J pJ P"(rp,o>) v p’ 7
Модифицируя процедуру моделирования, находим, что
Е—эффективность нового процесса с исключением—опре-
деляется выражением:
Е= 4Son Ец Ро (П)Мп.
В следующем параграфе будет показано, что
Ро (П) ->-^n/4SQfl Ен (4.29)
при 2ац->оо. Следовательно, Е->1 при SaII->-oo. Вид-
но также, что Игл Е = 0, так как lim Po(ii) = l-
zall-*° ^all-*0
* В данной главе черточки используются для обозначения
средних значений по различным параметрам. Чтобы избежать пу-
таницы, примем, что одна черта означает осреднение по Р'(гр, <о),
а двойная черта — по Р"(гр, <»).
182
1 аким образом, новый метод розыгрыша значительно
эффективнее старого метода для черных областей и значи-
тельно хуже для прозрачных областей. Для практических
расчетов предпочтительней первый метод, так как он до-
вольно хорош для областей с различной чернотой. Однако
для упрощения расчетов можно иногда использовать и
второй метод.
Метод поверхностного источника включает аналити-
ческие расчеты и расчеты по методу Монте-Карло. Общий
недостаток таких полуаналнтических методов состоит в том,
что, уменьшая дисперсию при данном числе историй, они
увеличивают время расчета одной истории. Характерно,
что эти методы требуют расчета экспонент и других транс-
цендентных функций. Это справедливо и для метода по-
верхностного источника, в котором экспоненты встречаются
при расчете весовых функций.
На любой вычислительной машине расчет трансцендент-
ных функций длителен, и по возможности следует избегать
таких расчетов. Обычно это достигается использованием
таблиц (см. § 1.5), но хранить полную таблицу экспонен-
циальной функции неудобно, особенно на машинах с не-
большой памятью. Весовая функция содержит функцию
1 — е~х, которую можно протабулировать лишь в огра-
ниченной области изменения аргумента. Относительная
ошибка будет невелика, если принять функцию равной еди-
нице для больших значений х. Еще лучше протабулировать
более линейную вблизи источника функцию*
g(x)=ax/(l — е~*). (4.30)
Таблица функций g(x) с интервалами Ах = 0,2 от
х = 0 до х — 7 содержит только 35 величин. С помощью
линейной интерполяции можно рассчитать значения g (х)
с точностью 0,1%, что вполне достаточно для наших целей.
При значениях х > 7 можно принять функцию (1 —е-*)
равной единице.
* Отметим, что 1 — е~х = х + 0(х2). Если пренебречь чле-
ном 0(х2), то относительная ошибка составит 0(х). С другой стороны,
g(x) = 1 + х/2 + 0(х2). Если пренебречь членом 0(х2), то относи-
тельная ошибка функции g составит 0(х2). Именно это мы подразу-
меваем, когда говорим, что функция g «более линейна» вблизи ис-
точника, чем функция 1 — е—х.
183
§ 4.4. Вероятность столкновения и вероятность утечки
Отвлечемся на некоторое время от непосредственной темы
и рассмотрим расчет ячеек, содержащих блокированные
поглотители. Поглощение в блоках можно рассчитать ана-
литически, что делается в различных теориях резонансного
поглощения [2] и в расчетах коэффициентов теплового
использования [3]. В таких аналитических расчетах важную
роль играет вероятность утечки Р 0. Иногда вместо нее ис-
пользуют вероятность столкновения — G. Рассмотрим не-
которые особенности вероятностей Ро и G и покажем, как
их можно вычислить с помощью метода Монте-Карло.
Отметим, что из (4.20)
= J drv J d<»f' (rp, ®) Р' (гр, ®) =
Следовательно,
Л-------------------
Ро(П) = ^ "v {p(l-e~£gtt;)}- (4-31)
/2jaII v И
Напомним, что одна черта означает осреднение по по-
верхности области и по изотропным выходящим со. Из
(4.28) также видно, что
А -1 -
Po<n)=^r^r-{(1~e_2QllZ)> • (4-32)
42jaII •'ll
Предположим, что SoII стремится к нулю. Тогда
e-ZaI1 z-> 1 — Soli G
и известно, что
Ро (II) -> 1.
Отсюда следует, что
Гп = 4УИ/ЛП . (4.33)
Величина 7 обычно называется «средней длиной хорды» (4J.
Используя выражение (4.32), можно записать
Ро (П) = {1—e-z°n '} /SDII7„ (4.34)
184
или из выражения (4.31)
Ро (id = {2р. (1-е-^11 ')}/2aii7n . (4.35)
Из (4.34) и (4.35) можно заключить, что при Sull^-oo
Ро (id -> 1/7ц. (4.36)
Таким образом, для черного поглощающего блока ве-
роятность утечки зависит только от средней длины хорды
в блоке и не зависит от его формы.
Предположим, что входящий поток равномерен и изот-
ропен на поверхности поглощающего блока. Тогда число
поглощений в блоке на один влетающий нейтрон является,
по определению, вероятностью столкновения G. Легко
доказать, что вероятности Ро и G тесно связаны. Чтобы
проиллюстрировать эту связь, примем, что
2OI = SOII = SI = SII. (4.37)
При таких условиях поток в ячейке равномерен и изот-
ропен. Фактически
F(r, <о)=1/4л;. (4.38)
В каждой точке на поверхности блока входящий поток
равен 1/4:
2л л/2
JBX = J dip J cos 6 sin 6 d0 =. (4.39)
о о
Следовательно, число нейтронов, которые влетают за
секунду по всей поверхности блока, равно Ац/4. По опре-
делению, СцЛц/4 есть скорость поглощения в блоке (на-
помним, что, согласно (4.6), V[ £ai Рш п = Vn ^all Рц-i)-’
Сц Лп/4 = 5) V\ Pt-, ii = SQi Vi Pi-, и = 2ац Уц Рц_. i, (4.40)
где Vi, п — объемы зон.
Предположим, что область I только поглощает нейтро-
ны и бесконечна во всех направлениях. Тогда Pn-i=Po(ii).
Таким образом,
бц ~ —— 2оц Ро по = Snn Ро (П) /ц. (4.41)
лп
Соотношение между вероятностью столкновения и вероят-
ностью утечки содержит только физические свойства блока.
185
Предположения относительно области I или источника
Qu не имеют значения. На самом деле, соотношение (4.41)
справедливо для любого блока, из чистого ли он поглоти
теля или пет.
Вероятности утечки используются во многих физиче-
ских расчетах реакторов. Мы уже отмечали, что вероятно-
сти Ро протабулировапы для блоков различных одномер-
ных геометрий. Если требуется определить вероятности
утечки для поглощающих двумерных блоков, то их можно
вычислить по методу Монте-Карло, используя формулы
(4.34) или (4.35). Лучше использовать формулу (4.35) по
причинам, которые мы сейчас рассмотрим.
Предположим, что гр и <о выбраны из распределения
Р" (гр, ш). Тогда, согласно (4.34), величина
является случайной величиной, которая дает несмещенную
оценку Ро(И)- Эту величину, например, можно исполь-
зовать для расчета вероятности утечки из пластины. Если
пластина оптически тонкая, то для большинства хорд
«Р1^//Тц-
Можно показать, что дисперсия рх бесконечна. Так как
°2(pi)= (Pi)~(Pi)2==(pi) — К для пластины толщиной/
(Pi) = — f f —'j 2pdp = оо. Следовательно, lim о2(7?1) = оо.
4/2 ,) \ р2 / 2а1[ t >0
0
С другой стороны, если для оценки Р0(П) использовать
случайную величину
/?2 = 2p(l-e-2«”z);2aIiTn,
которая следует из формулы (4.35), тогда
lim о2(7?2)=0; lim о2(7?2)=—•
2ац*>0 2aI1 i-»oo 3
Разумеется, что необязательно использовать для расчета
Ро для пластины метод Монте-Карло. Следует обратить
внимание на то, что оценка по R± будет неудобной для
других геометрий. В некоторых случаях оценка по Р± может
быть удовлетворительной, например, если блок оптически
толстый.
186
Вероятность Ро легко рассчитать одновременно для
нескольких поглощающих блоков одинакового размера и
формы. Пусть сечение поглощения для /-го блока.
Выбрав гр и <о из распределения Р' (гр, о), определим для
каждого блока величину
/?2> = 2p(l-e-2^')/SQJ.
Ясно, что R2j = Poj. При определении R2j целесообразно
использовать таблицы g-функции (см. § 4.3).
Данный метод можно использовать для расчета неболь-
ших таблиц значении вероятностей утечки из поглощающих
стержней любой формы Небольшие таблицы вполне до-
статочны для большинства задач, если использовать опре-
деленные закономерности в поведении Ро. Обратим внимание
на регулярности, заключенные в рациональном прибли-
жении [2].
Для пластин, цилиндров и сфер
P0^l/(l+Sj). (4.42)
Формула (4.42) представляет собой рациональное при-
ближение Вигнера, которое часто используется в расчетах
резонансного поглощения [2]. Точность этого приближения
в пределах 20% для одномерных блоков. Величина, обрат-
ная Р о, почти линейна по 2И, что справедливо не только
для пластин, цилиндров и сфер, но и для тел с прямоуголь-
ным сечением. Следовательно, для блоков любой ф°Рмы
j Таблица 4.1
Значения 1 /Ро для цилиндров (р—радиус цилиндра
в средних свободных пробегах)
р п-о'СР) р О'(Р) р Р о^Р) р о1 (Р)
0 1,0 0,60 1,8256 1,6 3,4952 4,0 8,0998
0,05 1,0652 0,65 1,9011 1,8 3,8591 4,2 8,4947
0,10 1,1299 0,70 1,9775 2,0 4,2292 4,4 8,8896
0,15 1,1950 0,75 2,0548 2,2 4,6045 4,6 9,2851
0,20 1,2610 0,80 2,1334 2,4 4,8450 4,8 9,6815
0,25 1,3278 0,85 2,2125 2,6 5,3668 5,0 10,0776
0,30 1,3957 0,90 2,2930 2,8 5,7524 5,2 10,4745
0,35 2,4646 0 95 2,3739 3,0 6,1402 5,4 10,8719
0,40 1,5346 1,0 2 4561 3,2 6 5295 5,6 11,2689
0,45 1,6058 1,2 2,7920 3,4 6,9204 5,8 11,6673
0,50 1,6780 1,4 3,1389 3,6 7,3126 6,0 12,0642
0,55 1,7513 3,8 7,7059
187
лучше табулировать не Р 0, а 1/Р0. Линейная интерполяция
в таблице 11Р0 может быть достаточно точна даже при боль-
шом табличном интервале. Для иллюстрации в табл. 4.1
приведены значения 1/Р 0 для цилиндров. Линейная интер-
поляция в таблице из 46 значений дает точность Ро в преде-
лах 0,1%. Вне области таблицы выражение (4 36) позволяет
получить вероятность утечки с такой же точностью. Таблицу
из 46 значений можно получить очень точно с помощью
метода Монте-Карло.
§ 4.5. Использование метода суперпозиции
для расчета возмущений
Метод суперпозиции, описанный в § 4 2 и 4 3, часто
полезно рассматривать в качестве метода расчета возмуще-
ний. Как и в § 4.2 и 4.3, предполагаем, что область II за-
полнена чистым поглотителем. Предположим, что в задаче
а поток, падающий на поверхность блока, складывается
из двух составляющих. Одна составляющая не возмущается
при наличии блока. Невозмущенный поток входит в область
II и без препятствий пересекает ее. Внутри области II поток
создает отрицательные частицы, которые представляют
поглощенные нейтроны. Некоторые отрицательные частицы
после вылета из блока могут вновь возвратиться в блок.
Такие частицы образуют вторую составляющую падающего
потока, а именно возмущающую компоненту. Покажем, что
такой подход снова приводит к методу суперпозиции.
Если поглотитель в области II заменить пустотой, то
поток в ячейке (который будет равен невозмущенному пото-
ку) должен быть плоским и изотропным. На границе с пу-
стотой входящий поток изотропен и равен: Фвх = Qi/Sai-
Нейтроны, составляющие этот поток, будем называть «не-
возмущенными» нейтронами. Предположим, что невозму-
щенные нейтроны никогда не поглощаются в блоке. Однако
принимается, что когда нейтрон покидает область II, то
его вес равен
(1—e“2°IlZ)- (4.43)
Здесь I — длина пробега нейтрона внутри области II.
Так как невозмущенные нейтроны без препятствий про-
ходят через блок, то входящий и выходящий невозмущен-
ные потоки равны, т. е.
Фвых-Фвх-Ql/^l-
(4.44)
188
Следовательно, поток частиц с отрицательными весами,
которые вылетают из точки Р и двигаются вдоль со
(см. рис. 4.2), определяется выражением
f (ы) = ±Л(1-е-2«”')= 1 .^-(1-е (4.45)
М 4л 2й1 4л SaII' 7
Именно этот поверхностный поток моделировался в § 4.3
[см. (4.15)]. Таким образом, метод поверхностного источ-
ника дает возмущающую составляющую потока.
Отрицательные частицы, которые возвращаются в блок,
могут вновь поглотиться в нем. Эти новые поглощения опи-
сывают эффект уменьшения потока вблизи поверхности
блока. Истинная скорость поглощения в блоке (скорость
поглощения в задаче а) равна скорости, с которой нейтроны
с отрицательным весом покидают блок. Она, в свою очередь,
равна току из области II в задаче 0.
Аналогичные рассуждения показывают, что источник
Qn в § 4.2 можно рассматривать как фиктивный объемный
источник отрицательных нейтронов. Здесь также не учиты-
ваются вклады от поглощенных нейтронов из невозмущен-
ного потока.
Когда мы говорим, что метод суперпозиции предназна-
чен для расчета возмущений, то это не означает, что метод
применим при каких-нибудь приближениях. Расчеты,
основанные на методе суперпозиции, отличаются от расчетов
возмущений, основанных на обычных методах, тем, что рас-
четы по методу суперпозиции являются точными. Метод
суперпозиции может быть полезен даже если возмущение
велико, ибо неравенство (4 27) может выполняться и в этом
случае.
§ 4.6. Учет рассеяний. Первый способ
В предыдущих параграфах розыгрыш поверхностного
источника применялся только для чисто поглощающих
блоков. Очевидно, что метод суперпозиции можно исполь-
зовать в любом случае, если непосредственно разыгрывать
объемный источник в области II. Мы преднамеренно раньше
не пытались демонстрировать преимуществ розыгрыша по-
верхностного источника. Более целесообразно обобщить
этот расчет и распространить метод поверхностного источ-
ника на случай, когда Опишем два таких метода
(один из них будет обсужден в этом параграфе, другой
189
в § 4.8). Существует множество различных способов, кото-
рые позволяют учитывать рассеяния в расчетах с поверхно-
стным источником. Мы хотим ограничиться двумя подхода-
ми, которые считаем наиболее полезными не только для
односкоростных задач, но и для расчета вероятности избе-
жать резонансного поглощения. В действительности, одно-
скоростная задача не является для нас единственным и
главным предметом рассмотрения. Анализ односкоростных
задач представляет лишь удобный прием, позволяющий
в простой форме изложить основные идеи гл. 5 и 6.
Вначале предположим, что присутствие блока не воз-
мущает поток, падающий на блок. Тогда входящий поток
равен Qi Лп/45а1, скорость столкновений в блоке опреде-
ляется выражением *
(ЯС)о = [ SniOa(r)dr=^.A A.G(SriI) =
П 4 ~al
1 Q. „ Q,
= — -—Ai Sri! GiT’ofSrn ) = —- S/ti Vi! Po (2rn), (4.46)
4
а скорость поглощения равна
Q,
(/?A)0 = — SQn Vn P0(St-ii). (4.47)
Zal
Здесь G(Srn) и Po (Syn) — соответственно вероятность
рассеяния в области II и вероятность утечки при условии,
что рассеяния в области II заменены на поглощения. Ин-
декс нуль означает невозмущенную скорость реакции.
В § 4.5 для уточнения невозмущенной скорости погло-
щения использовался одни расчет по методу Монте-Карло.
Здесь же потребуется провести два расчета. Сначала мы
должны исключить из невозмущенного входящего потока
вклады всех нейтронов, которые испытали столкновение
в блоке. Затем надо восстановить вклады нейтронов, для
которых первые столкновения в блоке сопровождались рас-
сеянием, а не поглощением. Исключение нейтронов, испы-
тавших столкновение, проводится так же, как в § 4.5. Рас-
Из соотношения (4.41) получаем, чтоб(27-11)- 2 r[1/11P0(Srll).
190
пределение поверхностного источника вылетающих нейтро-
нов таково, что
е+((й)^Л(1_е-2™*), и^ю.п>0. (4.48)
Когда нейтрон поверхностного источника пересекает блок,
то считается, что рассеяние происходи1 обычным образом.
Если же нейтрон снова поглощается в блоке, то вес погло-
щенного нейтрона вычитается из общей суммы поглощений.
В любом случае, взвешенная длина пробега нейтрона в блоке
хранится с отрицательным знаком в счетчике длины пробега.
Допустим, что скорость поглощении, рассчитанная по пер-
вому методу, равна—UM)X.
Отбросив все нейтроны, которые испытали столкнове-
ние, необходимо заменить их нейтронами, для которых
первые столкновения в блоке явились рассеянием. С этой
целью моделируем невозмущенный поверхностный источник
влетающих нейтронов Qp (и) и разыгрываем столкновения
с рассеянием. Так как невозму'Ьснный входящий поток
равен Qi/(4jtSqi), то
Qp (®) =
|<оп| Qj
4л
pQi
4п2а1
р < 0.
(4.49)
(0П =
Смоделировать такой источник достаточно легко. Пред-
положим, что точки рождения выбираются из равномерного
распределения на поверхности блока, а входящие <о — из
изотропного распределения. Рассуждая так же, как в § 4.3,
заключаем, что каждый родившийся нейтрон должен иметь
вес, равный рЛц Q|/2Soi.
Таким образом, мы определим начальную процедуру
моделирования входящего источника. Что же известно
о последующей судьбе нейтронов? Мы знаем, что каждый
родившийся нейтрон испытывает столкновение в блоке до
того, как покинуть блок. Это столкновение должно сопро-
вождаться рассеянием, хотя реально могут происходить
и другие процессы. Опишем прием, с помощью которого реа-
лизуется такое поведение для всех родившихся нейтронов.
На рис. 4.3 изображен нейтрон, влетающий в блок в точке
в направлении <о. Часть ехр ( — SrII /) от веса нейтрона
выходит из блока без столкновения и отбрасывается. Со-
ответственно вес нейтрона умножается на коэффициент
[1 -—ехр ( — Syn/)]. Оставшаяся часть должна испытать
191
столкновение где-то на хорде PiP2- Вероятность столкнове-
ния в интервале dx пропорциональна ехр (— x)dx и
шах (S/п х) = Sth I
(4.50)
Величину Stu* можно выбрать из усеченного экспо-
ненциального распределения с помощью любого из методов,
описанных в гл. 1. Как правило, надо избегать использо-
вания обычных подпрограмм расчета экспонент, а вычислять
Рис. 4.3
их с помощью таблицы g-
функций (см. § 4.3).
После первого столкнове-
ния в блоке часть Saii/2ni
от текущего веса частицы ис-
пытывает поглощение, а
оставшаяся часть — рассея-
ние. Отметим, что частица
имеет окончательный вес
х
\ 2
X (1—е^”')/,^-'У (4.51)
\27Т1 /
Если возможно, то флюктуация веса устраняется с по-
мощью метода исключений, аналогично § 4.3. Легко
показать, что
1
4
W =
_L. дд sni р0(2гп)=_L
^TTl 4
Sai’
(4.52)
т. e. средний вес равен скорости первых рассеяний в блоке.
Далее история частицы рассчитывается с помощью обычных
методов прямого моделирования (следует отметить, что
длину пробега до первого столкновения не нужно включать
в счетчик длин пробегов). Обозначим через (Т?Л)2 вклад
в скорость поглощения в блоке от второго расчета. Так как
во втором расчете мы восстановили ранее исключенные ис-
тории, то его вклад будет положителен. Суммируя все
вклады, находим, что
RA = (Я Л)о - (РЛ), + (/?Л)а, (4.53)
где RA — полная скорость поглощения в области II.
Обратим внимание на связь между выражениями (4.53) и
(4.18). Если Ssn = 0, то (7?Л)0 = IV'; (RA)1 /; (Т?Л)2 =
= 0 и выражения (4.53) и (4.18) становятся идентичными.
§ 4.7. Дополнительное рассмотрение первого способа
учета рассеяний
В § 4.6 были даны простые физические обоснования ме-
тода, названного нами первым способом реализации метода
поверхностного источника при наличии рассеяния.
Перед тем как перейти к дальнейшему рассмотрению,
полезно сформулировать этот способ более формально. Как
и ранее, введем вспомогательную задачу — задачу р.
В задаче Р
Qp (г, <о) фп/4л = Syn Qi/4n Soi, г£7?ц;
Qp(r, со) = О, rGRi-
Пусть
FT (г, ®)=Fa(r, со) + Ер (г, to);
5£iF(r, <o) = to-VF(r, to) + SrlF(r. to);
ЖцЕ(г, <o)==to-VF(r, to) + SrnE(r, to).
Тогда
^iEr(r, <o) ( dot' S5l (to«')Fr (r, to')+-i Qi, r G Rr,
4Л
(4.54)
5fnFr(r, to) j do'S n(to to')Fr(r, to') + -^-Qn, rGRu-
(4.55)
Кроме того, FT (г, to) на границе ячейки удовлетворяет
условиям отражения.
Определим поток FTu (г, ®) таким образом, что
XiFTU(r, to) [did' Ssi (to-to')Fr[/(r, to)-]--1 Qi, r G 7?i;
J 4л
(4.56)
•ТцЕум(г, ю) — у-Qu, r G Rn- (4-57)
7 Зак. 385
193
Отметим, что в уравнении (4.57) полагается, что все
столкновения в области II сопровождаются поглощением.
Эффективное сечение поглощения в области II равно Syri-
Так как, по определению, Qi SaI = Qu'l^n,
FTu(r, ®) = Q1'4nS„I=QII 4nZriI. (4.58)
Теперь определим FTs (г, о») таким образом, что
5л FTs (r, <o)= j dta' 2S( (toco') FTs(r. <«>'), r Fi; (4.59)
S£llFrs(r, (t>) = [ dt<>' Svjj («-(o') FTS Ir, W')-f-
+ J da>' 4sn (g>-(o') Fy-u (r, <o'), r Fn- (4.60)
Складывая уравнения (4.56) и (4.59), а также уравне-
ния (4.57) н (4.60), видим, что
Fy-(r, со) - Fj-u (г, (o)4-Frs(r, <о). (4.61)
Последняя формула имеет простой физический смысл.
В формуле (4.61) поток FT(r, со) представлен в виде сум-
мы двух потоков. Поток Fru(f, (о) создается нейтронами,
которые ни разу не испытали столкновений в топливе.
Нейтроны, которые рассеялись в топливе по крайней
мере один раз, образуют вторую компоненту — поток
FTS(r, со). Из (4.61) видно, что
1 <2п
F„(r, <о) = —— 4-Fys;(г, ©)—F₽(r, <о). (4.62)
4л
Разделим теперь Fp на составляющие, генерируемые раз-
личными группами нейтронов. Чтобы осуществить такое
разделение, придется ввести довольно сложную терминоло-
гию. Будем говорить, что нейтрон в топливе называется
«невозвращенным» нейтроном, если он родился в топливе и
никогда не покидал его. Нейтрон называется «возвращен-
ным», если он родился в топливе, вышел из топлива по
крайней мере один раз и вновь вернулся в топливо Нейтрон
называется «нерассеянным до выхода», если он родился
в топливе и поглотился или вышел из топлива, не испытав
первого рассеяния. Если нейтрон родился в топливе и рас-
сеялся до поглощения или утечки, то он называется «рас-
сеянным до выхода». Таким образом, в топливе имеются:
Fa = Fp (нерассеянные до выхода, невозвращенные нейт-
роны) i
194
Гр (нерассеянные До выхода, возвращенные нейтроны)
+ Гр (рассеянные до выхода нейтроны).
Для сокращения обозначений запишем: Гр (нерассеян-
ные до выхода, невозвращенные нейтроны) = Гр„„; Гр (не-
рассеянные до выхода, возвращенные нейтроны) Гр,,,;
Гр (рассеянные до выхода нейтроны) - Гр.д
Гр = Гр„„ - Гр„г Г Tps.
В наших обозначениях:
1 Он
Га= -.-^-+Г7-5-Гр„„-Григ-Грз, гСГп. (4.63)
Т-?! 2_| у | [
Как и в § 4.6, оценим скорость поглощения
RA = [ dV \ d<a' ХсцГа(г, ю')= [ Фа(г)dV. (4.64)
п ii
Перед тем как перейти к дальнейшему рассмотрению, удобно
выделить ту часть скорости поглощения RA, которую мож-
но рассчитать обычными численными методами.
Пусть
р р Г 1 С,,
/0 dr do' Snii — ----------Гр„„ =
ii J [4л 2ni
= -^flQn— ^rn Фр,,и] dr. (4.65)
2TTI fl
Из определения Гр„„ видно, что
ЖцГр„„(г, <o) = -^-Qn, гбГп; (4.66)
4л
Гр„„(г;„ со) 0, (о-п<0. (4.67)
Здесь, как обычно, гр— радиус-вектор произвольной точки
на поверхности области 7?ц. Из формул (4.65)—(4.67)
ясно, что [Qu — Sni Фр„„] dr есть скорость утечки не-
II
столкнувшихся нейтронов из области Следовательно,
fn =~ Си п Го (II) (Sni) ^oii/^rn =
= Qi Ро по (^tti) —nii/Sai. (4.68)
у*
195
Сравнивая (4.68) и (4.47), находим, что /0=-(/?Л)0,
поэтому
RA = (RA)0— J 2flII Ф₽ЙГ dr + J Sqji (Ф75 — Фрь) dr. (4.69)
п п
Далее определим R = ) 2оП Ф₽иг dr.
и
Напомним, что Фриг есть скалярный поток, создавае-
мый в топливе нейтронами, которые вышли из топлива
без столкновений. Но нейтроны, которые покинули топ-
ливо без столкновений, можно получить, из поверхност-
ного источника (см. § 4.3):
Q*(«,) = £!! «L(l-_e-^i'),
(о-п^О;
Q^((o) = 0, со-п<0.
Такой же источник ранее использовался при расчетах
(RA)t. Отсюда следует, что I1 = (RA)1 и
RA = (ЯЛ)0—(КЛ^ + [ SQI1 (Ф75 — ФрД dr. (4.70)
и
Наконец докажем, что
4 = J 2ац (Фу-s—Фр5) dr = (/?Л)2.
п
Если определить FTs — F₽s = FAs; фг5—ф₽8 = фД8, тогда
72 — У ^all Фдя ^I’-
ll
(4-71)
Чтобы показать, что 12 и (RA)2 равны, необходимо вни-
мательно рассмотреть особенности FTS и F₽s. По опреде-
лению,
•ЗлЕрДг, G>) = ^d(o'SSI((t>.(t>')Fps(r, o'), r£/?i;
(4.72)
^IlEps^, G>) = ^i/(t>' 2SII (<O G>')Fps(r, G>') +
+ 2SH (ю ю') Fp„„ (r, (O'), rG7?n. (4.73)
196
Мы уже знаем 1см. уравнения (4.59) и (4.60)], что
£iFTs(r, w) = §d(o' 2sI (ю •<'»') ^т-s (г, (o'), r^Rf,
2 ц Frs (г, о) = ^<J(I)' Ssi! (co-G»') Fts (r, G>') +
+ § dos' Ssn (&&') FTU (r, co'), r ' Ru.
Таким образом,
£iF^s(r, (o)= §Ао'Ssi((0-(o') РдДг, co'), r£/?i; (4.74)
^nFAs(r, (o) = J rf(o' 2,„((o-(o')FAs(r, (o') +
-J- J d(o' 2sn ((o-(o')[Fz-t/ (r, (o')—Fpuu(r, (o')], r g Ru- (4.75)
Теперь для r g 7?ц поток FTU определим с помощью
соотношений
Т-п FTu (г, (o)-=y-Qn, г Ru’, (4-76)
4л
1 <2п 1 <2г
Frt7(r„, (о) = —^= — , (о-п<О. (4.77)
v р ’ 4nsni 4л SoI’ 4 ’
Аналогичным образом
£п Fp„„ (г, (о) -- A Q.j, г £ /?„; (4.78)
Fp„„(rp, (о) 0, (о п<0. (4.79)
Следовательно,
[Fru—Fputi] = O, г£/?п; (4.80)
1 Qu 1 Qi
Fru(rp, (о)—F₽„„(rp, (о)=—(о-п<0. (4.81)
тгЗТ iyi । тЗТ
Ясно, что величина [Fru (г, (о) — Fp„„ (г, (о) ] удовлетво-
ряет кинетическому уравнению в топливе и может интер-
претироваться как поток, создаваемый поверхностным ис-
точником.
Рассмотрим результаты анализа. Из (4.71) видно, что
12 есть скорость поглощения в топливе от потока FAs. Из
уравнений (4.74) и (4.75) следует, что поток FAs создается
нейтронами, рассеянными внутри области Ru в потоке
(Friz — Fpti„). Для расчета /2 необходимо:
197
1) смоделировать поток FTu — Fр»„;
2) смоделировать акты рассеяния в этом потоке;
3) проследить судьбу рассеянных нейтронов и, наконец,
4) оценить скорость поглощения рассеянных нейтронов
в топливе.
Используя соотношения (4.80) и (4.81), легко реализовать
п. 1. Выбираем точки рождения из равномерного распреде-
ления по т и входящие <о из изотропного распределения.
Каждый рожденный нейтрон имеет вес
W - |со-п | Qi 11-е- ~™l\/2Sal.
Длины пробегов до первых столкновений, х, выбираем
из плотности
Р(х) = 2гпе-2™х/(1-е“2™'), 0 ' х ' I.
Чтобы реализовать п. 2, умножим каждый вес на
SsII S/ti- Теперь каждый нейтрон имеет вес
r = |«>.n|4nQISSII(l-e 2™z)/22flI SnI.
Все первые столкновения обязательно должны сопро-
вождаться рассеянием С этого момента дальнейший расчет
проводится обычным образом.
Видим, что описанный процесс аналогичен процессу,
использованному в § 4.6 для расчета (RA)a, поэтому /2 ~
= (ДЛ)2 и
7?Л = (7?Л)0-(7?Л)1 + (/?Л)2.
Следует отметить, что описанная процедура имеет серь-
езный недостаток, который трудно устранить. По опреде-
лению,
(Я4)о = Qi ^oii Ai G №rn)/4'£ai Ху-ц-
Можно показать, что W7', — средний вес рожденного
нейтрона в первом расчете определяется выражением
W. QiAnG^Tu)^,
тогда как
U'2 - Qi 2sn Лц G (Syn) ISniSyn.
198
Когда SltII < S7-11, WrxW2' (RA)0. Таким образом, если
вероятность поглощения рожденного нейтрона в топливе
велика, то может оказаться, что
или даже, что
RA-(RA)0 (RA)0.
В любом случае (RA)0 составляет лишь малую часть
скорости поглощения в топливе и расчет (/?Л)П обычными
численными методами не дает большого выигрыша. Еще
хуже, когда оказывается, что
(RA^RA),;»^.
В этом случае результаты двух расчетов по методу
Монте-Карло компенсируют друг друга. Следовательно,
дисперсия разницы (RA)2 — (RA)x может быть велика по
сравнению с самой разницей и очень большой по сравне-
нию со скоростью поглощения. Таким образом, мы прихо-
дим к заключению, что первый способ полезен, только когда
Sail Ssn.
§ 4.8. Второй способ учета рассеяний
Рассмотрим теперь второй способ, который в некоторых
отношениях проще первого. Снова рассмотрим задачу |3, но
источник зададим точно так же, как в § 4.2:
|S„n Qi/4n 2(,| = Qn/4jt, г f
•"> = 1 0, г <4'82’
Следовательно, как и в § 4.2,
RA= Suii Ф„ (г) dr Qu V [! —-J Snii Фр (r) dr.
ii n
В обозначениях § 4.7
Фр = Фраи + Фраг + Фр«
II
и
RA — Qu Ун — J Sun Фраи (г) dr
— j SflIIO₽s(r)Jr.
и
- [ 20цФр«г(г)(/г-
ii
199
Напомним, что
=^п Ер(Ш (Г, <о) = —Qn, (4.66)
F₽KU(r;j, ®) = 0, <вп<0.
Отсюда следует, что
f Srn Фрн„ (г) dr = Qh Vn [1 -P0(SrII)];
11
(ra)0 = Qu Vn— Soii Фр11Н (r) dr =
ii
= QH Vn (p0 (2TII) +[1-P„ (2ni)l! =
I .1
= ^-20n(Po(2ni)+|^[l P0(2ni)l|. (4.83)
Zal ( ^741 I
Видно, что легко определить (га)0, если известно
P0(Srn). Обозначим
~ J ^aii Фр«г(г) dr, J2— Soil Фр5 (г)dr
II II
н запишем
RA (rajo—Jy—Jt. (4.84)
Для вычисления J} выберем начальные нейтроны из
поверхностного источника:
<7р (ю) = ю • nQ] 1 (1 — e“2jl1') /4л 2П1 =
= <в nQiSon 1 — е 2гп z)/4n Sni Sy-ц, wn>0;
qp' (св) — О, св n < О
и обычными методами смоделируем их истории. Процесс
моделирования источника уже достаточно знаком.
Расчет J2 можно выполнить различными способами.
Используем очень простую процедуру. Так как источник
Qu равномерен и изотропен, выберем начальную точку из
равномерного распределения по объему 1/ц и направление
полета св из изотропного распределения. Если родившийся
нейтрон покидает объем Рц при первом пробеге, то он от-
брасывается. В противном случае считается, что происходит
200
столкновение с рассеянием и нейтрону приписывается
вес
W2 = Qll Vi! ^sll [1—Pq (^TlOl/^yib
Далее история разыгрывается обычным образом и оце-
нивается вклад в скорость поглощения в области Уц от
каждого рожденного нейтрона. Ясно, что при вероятности
P0(Sni)> близкой к единице, много рожденных нейтронов
будет исключаться и процесс будет неэффективен. Как
мы увидим в § 6.5, этот недостаток в многоскоростных рас-
четах менее существен, чем в односкоростных.
Мы не будем подробно обсуждать использование второго
способа учета рассеяний в одногрупповых расчетах. Однако
этот способ обладает двумя особенностями, которые будут
использоваться в гл. 6. Во-первых, важно то, что величины
Jj и J2 входят в выражение (4.84) с отрицательными зна-
ками. Следовательно, если (ra)oxRA, то Jy<^RA и
Другими словами, если величина (га)0,
которая рассчитывается аналитически, приблизительно
равна RA, то обе поправки, рассчитанные по методу Монте-
Карло, должны быть относительно малы. Во-вторых, заслу-
живает внимания то обстоятельство, что выражение (4.83)
похоже по виду на выражение для скорости резонансного
поглощения в приближении узких резонансов [2]. В § 6.5
формула узких резонансов будет использована для оценки
скорости поглощения и с помощью метода Монте-Карло
будет уточнено приближение узкого резонанса. Для расчета
поправок мы будем использовать идеи и приемы, которые
применялись во втором способе учета рассеяний.
§ 4.9. Другие применения метода суперпозиции
В предыдущих параграфах мы использовали метод
суперпозиции для решения очень простойодноскоростной
задачи. Рассматривая эту задачу, мы преследовали одну
главную цель, а именно хотели познакомить читателя с идея-
ми, которые будут полезны в дальнейшем, в гл. 5 и 6. При
этом у читателя могло сложиться представление, что об-
ласть применимости метода суперпозиции очень ограни-
чена. Чтобы продемонстрировать большие возможности это-
го метода, обратимся к задаче, изображенной на рис. 4.4.
Область I представляет собой водяной канал, а области II и
III являются топливными областями с одинаковым составом.
201
Предположим, что источник в области I (источник замедле-
ния) достаточно мощный, поэтому
|l>_£!L = £ni = J2/ (4 85)
cI 2cII SaIII
Здесь Qz и Хп/ — соответственно источник и сечение
поглощения в топливе Требуется определить средний поток
в области II—Фц.
Это можно сделать с помощью метода прямого моделиро-
вания, но если область II достаточно мала, то такой расчет
потребует очень много вре-
мени. Лишь малая часть
нейтронов источника будет
попадать в область II, и
потребуется много историй
для достижения достаточно
малой дисперсии.
Представим себе, что
поток в ячейке складывает-
ся из двух составляющих
Ф = ФО + ФЬ, (4.86)
fl
/
Рис. 4.4
которые создаются соответствующими компонентами источ-
ника. Источник также разобьем на две составляющие
(4.87)
Q=Qa+Qb.
Пусть
Qall = Qal II = Qf',
Qal ~ Qf~~ ’
^af
(4.88)
(4.89)
что касается другой составляющей источника, то
Qbii = Qbin —0; (4.90)
Q6i = Qi-Qz^. (4-91)
Из (4.85) следует, что источник Qbt положителен, та
ким образом, Фа и Фь положительны. В действительнос-
ти, поток Фс равномерен и изотропен. Можно показать,
что
ф [ = ^£1 = ?£1£ = ?£Ш.. (4.92)
Sal 2OII 2aIII
202
Таким образом, поток Фа известен и для определения по-
тока Ф необходимо только вычислить поток Ф(). Сделаем это
с помощью метода прямого моделирования. Описанная выше
методика имеет два существенных преимущества по сравне-
нию с прямым расчетом ФП- Первое преимущество заклю-
чается в том, что метод Монте-Карло используется лишь для
расчета части потока Фц. Здесь мы снова видим, что ме-
тод суперпозиции приводит к расчету возмущения. ПотокФ,,
представляет собой поток на больших расстояниях от во-
дяной полости, а полный возмущающий эффект водяной
полости содержится в потоке Фь. В конкретном примере,
рассмотренном авторами, оказалось, что Ф/,ц « -% Фц.
Дисперсия Фиц равна нулю. Следовательно, в этом случае
дисперсия о2 для Фц равна дисперсии Ф^ц. Отсюда сле-
дует, что
о 1 °
Фц~ 2 '%n’
(4.93)
т. е. относительная ошибка Фц составляет лишь половину
величины относительной ошибки Ф^п- Использование ме-
тода суперпозиции в этом случае уменьшает число историй,
необходимых для достижения данной точности, в-четыре
раза.
Кроме того, необходимо отметить, что поток Фь создает-
ся источником, целиком расположенным в области I. Он не
содержит нейтронов, рожденных в топливе на расстояниях,
далеких от интересующей нас области. Такое распределе-
ние источников нейтронов способствует увеличению эф-
фективности расчета потока Ф(,ц. В целом можно ожидать,
что использование метода суперпозиции в данной задаче
значительно сократит время расчета.
Задача, которая была рассмотрена в § 4.1, значительно
отличалась от задачи, рассмотренной в данном параграфе.
Обсуждая эти две задачи, мы пытались показать, что метод
суперпозиции можно использовать различным образом.
Фактически принцип суперпозиции лежит в основе не од-
ного метода, а целого ряда приемов. В § 4.10 мы еще будем
обсуждать возможности и ограничения метода суперпози-
ции, но сперва рассмотрим другую группу расчетов, ко-
торая использует не принцип суперпозиции, а соотноше-
ние взаимности.
203
§ 4.10. Использование сопряженного
кинетического уравнения
В предыдущем параграфе мы обсуждали использование
метода суперпозиции в качестве способа уменьшения
дисперсии. С помощью принципа суперпозиции мы разра-
ботали эффективные методы расчета потоков нейтронов
в малых областях. Однако существуют и другие методы
для расчета потоков в малых областях В частности, методы,
основанные на принципе взаимности (см. § 3.6 и § 3.7), раз-
работаны специально для этой цели. В данном параграфе
мы хотим достаточно подробно рассмотреть расчет сопря-
женного потока, изучить применения соотношений взаим-
ности и сравнить характерные особенности сопряженного
метода и метода суперпозиции.
В дальнейшем будет удобно работать с интегро-диф-
ференциальной формой кинетического уравнения. Пусть
диффузия нейтронов происходит в области V, окруженной
отражающей границей С. В этой области нейтронный поток
описывается уравнением
св • у/7 (г, св) + (г) F (г, св)—
— [с/свЕДг, со-св') Г (г, <в') —Q(r, св). (4.94)
Для краткости запишем
TF(r, св) = Q (г, св), (4.95)
где Т—линейный оператор. Отметим, что
Ф (г св) св • уф (г, (в) + ф (г, св) (В • уФ (г, СВ) =
= у • свФ (г, св) ф (г, св).
Следовательно, по теореме Грина,
[ Ф (г, св) Тф (г, св) аы dr— [ ф (г, св) Т* Ф (г, св) da> dr =
v v
= \ св-пф (г, св) Ф (г, св)с/свdr (4.96)
с
204
для всех 1)? и Ф, удовлетворяющих заданным условиям
непрерывности. Здесь Т* — оператор, который определяет-
ся соотношением
Т* s • v + (г)- J 2S (г, о • со')] (4.97)
и часто называется оператором, сопряженным оператору Т.
Предположим, что ip и Ф удовлетворяют условиям отра-
жения на границе С. Определим их произведение. Полу-
чим
] о -nip (г, со) Ф (г, (o)’d(o dr = 0 (4.98)
с
и
} Ф (г, со) Tip (г, со) d(o dr = j ip (г, co) T* Ф (г, <о) dm dr. (4.99)
v v
Теперь введем сопряженное транспортное уравнение
Т* F* (г,'ю) = Q* (г, <о). (4.100)
В данный момент не будем давать точного определения
Q*. Умножим уравнение (4.95) на F*, а уравнение (4.100)
на F и проинтегрируем по© и V. Используя (4.99), находим,
что
[ Q* (г, m)F (г, m)drdm = Q(r, ©)F*(r, m')drdm. (4.101)
v V
Следует обратить внимание на связь между равенством
(4.101) и соотношением (3.98), полученным ранее из интег-
ральной формы уравнения переноса. Для моноэнергети-
ческих нейтронов соотношение (3.98) принимает вид
С g (г, ы) ip (г, ы) dr dm = f Q (г, co) %* (г, <о) dr dm. (3.98а)
V V
Если в (3.98а) принять g(r, <о) = Q* (г, ы)/^г (г), тогда
найдем, что
Q* (г, о») F (г, ы) dr dm Q (г, в>) %* (г, ю) dr dm. (3.986)
v 'v
205
Из уравнений (3.986) и (4.101) ясно, что
J Q (г, to) х* (г, to) dr da — Q (г, to) F* (г, to) dr da (3.98в)
v V
для всех Q(r, и), включая Q(r, to) —-^-6(г0—г).
4л
Таким образом, принимая, что g(r, w)= Q* (г, со) 2г(г),
приходим к заключению, что х* (г> <о) = F* (г, о»), как и
утверждалось в гл. 3.
Если в области R (некоторая область ячейки)
Q* (г, to) =-J-2uJ? (4.102)
и если в других областях
Q* (г, w)=0, (4.103)
тогда
— VR ^r-\q (г, to) F* (г, to) dr dw. (4.104)
С другой стороны, если
Q*(r, ю) = -!-6(г—r0), (4.105)
тогда
Ф (r0) = Q (г, to) F* (г, to) dr da. (4.106)
v
Чтобы использовать формулы (4.104) и (4.106), необхо-
димо найти сопряженный поток. Рассмотренные до сих пор
модификации метода Монте-Карло предназначались для
решения прямого, а не сопряженного уравнения переноса.
В односкоростных задачах прямое и сопряженное урав-
нения по существу эквивалентны.
Если в сопряженном уравнении
— со • уЕ* (г, to) + Sr (г) F* (г, и) —
— JJdto' 2s(r, to-to')F*(r, w') Q* (r, to)
(4.107)
206
сделать замену [5]
— to = ы0, — го' = ю0, F* (г, го) = F* (г, — ы0) = f * (г, ю0),
(4.108)
то получим
®0 • vf* (г> ®о) + (Г) Г (Г- °о) —
— J drools (Г, го0-го0)Г(г, го0) = Q* (г, — го0). (4.109)
Кроме того, если F* (г, го) удовлетворяет условиям отра-
жения на границе С, то им удовлетворяет и f* (г, го0).
Таким образом, любой метод, предназначенный для реше-
ния кинетического уравнения в ячейках, дает функцию
f* (г, го0), которая связана с сопряженным потоком через
(4.108).
Часто нас интересует только сопряженный скалярный
поток
ф* (г) = | d(dF* (г, го).
Легко показать, что
Ф* (г) = § drof* (г, го),
т. е. что сопряженный скалярный поток в ячейке равен
обычному скалярному потоку от источника Q* (г, — го).
Если
Q(r, го) = -1 6(г—гх) (4.110)
4л
И
Q*(r,ro) = -^6(r-r2), (4.111)
4л
то видно из (4.101), что
Ф*(Г1)-Ф(Г2). (4.112)
Соотношение (4.112) является основной формулой теоре-
мы взаимности. Она констатирует, что скалярный поток,
возникающий в точке 2 от единичного изотропного ис-
точника в точке 1, равен скалярному потоку в точке 1 от
единичного изотропного источника в точке 2.
Принцип взаимности и принцип суперпозиции приводят
к двум различным группам методов уменьшения дисперсии.
Методы, основанные на принципе суперпозиции, и методы,
основанные на принципе взаимности, в некотором смысле
207
подобны, но неодинаковы. Чтобы выявить различия
между ними, снова обратимся к задачам, которые рассмат-
ривались ранее в этой главе. Рассмотрим сначала задачу
о двухзонной ячейке (см. рис. 4.1). Теперь решим эту
задачу с помощью соотношения (4.104) Так как в области
I источник Q (г, <о) постоянен и изотропен, а в области II
источник отсутствует
— —* /О. —.
V„ 2оц Фп = Qi Vi Ф! = Vi Soi ( — Фг
\ 2с1
(4.113)
Теперь сопряженный поток в уравнении (4,113) создается
источником с плотностью, равной 2ац. С другой стороны,
поток Фр в уравнении (4.5) генерируется источником
Qi
Qii=Soii-——. (4.114)
\i
Следовательно,
-Л-Ф1=Ф₽1; (4.115)
2а1
Vii 2о11 Фц = Vi 20j Фрц (4.116)
Формулы (4.5) и (4.116) одинаковы. Но из соотношения
взаимности мы не получаем выражения, эквивалентного
выражению (4.4). Другими словами, принцип суперпози-
ции позволяет связать значения потоков в задачах а и 0,
в то время как соотношение взаимности дает нам значи-
тельно меньше информации.
Решив сопряженную задачу, можно с помощью выраже-
ния (4.116) рассчитать средний поток в области II, но не
больше. Здесь проявляются основные недостатки методов,
основанных на принципе взаимности.
Ясно, что в односкоростной формулировке задача 0 и
сопряженная задача фактически представляют одну и ту
же задачу. Все методы, разработанные для решения задачи
0, можно использовать и в сопряженных расчетах.
Чтобы более отчетливо выявить различия между мето-
дами, основанными на принципе суперпозиции и принципе
взаимности, вновь рассмотрим вторую задачу (см. § 4.9).
Мы уже решали эту задачу с помощью принципа супер-
позиции.
208
Ясно, что вместо него можно использовать принцип
взаимности. Так как нас интересует скорость поглощения
в области II, примем в области I
Q*=J-2aIi (4.117)
4л
и вне ее
Q* = 0. (4.118)
Из (4.104) следует, что
Vn 2а11Фц = Vi Qi Ф1 + Vn Qu Фц + Vui Qin Фш-
Видим, что принцип взаимности и принцип суперпози-
ции приводят к различным методам решения. При исполь-
зовании метода суперпозиции источник располагается
в области I, в то время как сопряженный источник распола-
гается в области II. Благодаря методу суперпозиции мы
рассчитали только часть скорости поглощения в области,
в то время как сопряженный метод дал полную скорость
поглощения. С помощью метода суперпозиции можно
получить распределение потока, в то время как сопряжен-
ный метод дает лишь среднее значение потока в области.
Тем не менее сопряженный метод намного мощнее метода
суперпозиции. Предположим, что Qu меньше, чем Qin.
Можно по-прежнему с помощью метода суперпозиции ис-
ключить Qin, можно сформулировать задачу |3 с Qm = 0,
но в этой задаче Qi должно быть положительным, a Qu отри-
цательным. Присутствие в одной задаче источников с раз-
личными знаками приводит к увеличению дисперсии,
ухудшая эффективность метода суперпозиции. В сопряжен-
ном расчете такой трудности не возникает. Таким образом,
незначительное усложнение задачи может сделать метод
суперпозиции непригодным.
ЛИТЕРАТУРА
1. С a s е К. М., Hoffman F., Placzek G. Introduction
to the theory of neutron diffusion. Vol. I Los Alamos Scientific
Laboratory. Los Alamos, New Mexico, 1953.
2. ДреснерЛ. Резонансное поглощение в ядерных реакторах.
Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1962.
3. Amouyal A, BenoistP., Horowitz G. J. Nucl.
Energy, 6, 79 (1957).
4. Вейнберг А., Вигнер E. Физическая теория ядерных
реакторов. Перев. с англ. М., Изд-во иностр, лит., 1961.
5. S е 1 е п g u t D. S. Trans. Amer. Nucl. Soc., 2, 1, 58 (1959).
ГЛАВА 5
РАСЧЕТ ПОТОКОВ ТЕПЛОВЫХ НЕЙТРОНОВ
§ 5.1. Введение
В гл. 4 на ряде примеров мы пытались показать, как
можно использовать принцип суперпозиции и принцип
взаимности в расчетах, использующих метод Монте-Карло.
Теперь рассмотрим более практические задачи, с которыми
постоянно приходится сталкиваться физикам и инженерам,
занимающимся расчетом реакторов. В данной главе мы под-
робно обсудим многогрупповой расчет потоков тепловых
нейтронов, уделяя особое внимание методам, использован-
ным в программе MARC [11. Далее кратко коснемся обыч-
ных способов метода Монте-Карло, которые используются
при расчетах потоков. В первую очередь нас интересуют
задачи, которые трудно решить с помощью этих методов.
Большую часть этой главы посвятим обсуждению сопря-
женного метода, покажем, как этот метод можно объединить
с другими методами для расчета возмущений потока.
Следует еще раз подчеркнуть, что мы будем рассматри-
вать сугубо практическую задачу реакторной физики.
Теперь благодаря огромным возможностям современных
вычислительных машин стало реальным использовать метод
Монте-Карло для вариантных расчетов.
§ 5.2. Постановка задачи
При проектировании ядерных реакторов на тепловых
нейтронах расчет потоков тепловых нейтронов играет наи-
более важную роль. Нейтронный поток можно рассчитать
с помощью обычных методов [2], но иногда этого сделать
нельзя. Если реактор имеет сложную геометрическую
структуру, приходится использовать метод Монте-Карло.
Область тепловых энергий обладает двумя отличитель-
ными особенностями. Первая особенность состоит в том,
что при столкновении медленных нейтронов с ядрами за-
210
медлителя, находящимися в тепловом движении, может
происходить увеличение энергии нейтронов. Если же энер-
гия нейтрона намного превышает величину kT, то почти
каждое рассеивающее столкновение будет приводить к за-
медлению нейтрона. Таким образом, для быстрых нейтро-
нов можно пренебречь рассеяниями, которые приводят
к увеличению энергии, и нельзя пренебрегать такими рас-
сеяниями для тепловых нейтронов. Вторая особенность
области тепловых энергий состоит в том, что в этой области
необходимо учитывать эффекты химической связи ядер.
Пока начальная и конечная энергии рассеянного нейтрона
выше энергии связи ядер, эти эффекты можно не учитывать.
При этом энергетическое и угловое распределения рассеян-
ных нейтронов определяются с помощью обычных кинема-
тических законов. Если же начальная и конечная энергии
рассеянного нейтрона сравнимы с энергией связи или мень-
ше ее, эффекты связи становятся существенными. Соответст-
венно законы рассеяния сильно усложняются.
Так как в тепловой области встречаются специальные
проблемы и трудности, свойственные этому энергетическому
интервалу, то обычно искусственно вводят фиксированную
границу Ес между тепловой и эпитепловой областями. Для
энергий ниже Ес принимается, что
• \F (г, Е, со) + (г, Е) F (г, Е, со) =
Ес
— S((r, Е')С(Е', со', Е, со; г) F(r, Е', t»')dE' dco'+Q(r, Е, со).
о
(5-1)
Здесь мы использовали обозначения гл. 2 [уравнение
(2.56)1, но отделили скалярную энергию Е от единичного
вектора направления со. Полагаем, что ядро рассеяния
С (Е', со', Е, со; г) и плотность замедления Q (г, Е, со) из-
вестны [3].
Для удобства введем несколько важных допущений.
Предположим, что: а) плотность замедления изотропна;
б) только один элемент или вещество является замедлителем;
в) плотность замедления можно представить отдельными
функциями энергии и координаты, т. е. Q (г, Е, со) =
= ±Х(Е) <7(г).
Нас в основном интересует метод Монте-Карло, а не
физика процесса, поэтому не стоит подробно обсуждать
211
справедливость этих допущений. Однако необходимо дать
некоторые краткие пояснения. Допущения а) — в) очень
часто используются при расчетах потоков тепловых ней-
тронов. Имеется мало сведений относительно точности пер-
вого допущения, но есть основание полагать, что в низко-
энергетических областях анизотропное замедление обычно
несущественно. Что касается допущения б), то практи-
чески часто оказывается, что один элемент из состава актив-
ной зоны значительно эффективнее по замедляющим свой-
ствам всех остальных элементов. Будем рассматривать
только реакторы с водяным замедлителем. В таких реакто-
рах самым эффективным замедлителем является водород.
Замедление на других элементах играет незначительную
роль, особенно при низких энергиях (т. е. энергиях ниже
0,625 эв). Отсюда следует, что допущение в) обосновано.
Можно показать [4], что для атомарного водорода
Qh (г, Е) = QH (г, Е, <в) da = q (г) erf |ЛEjkT, (5.2)
где Т — температура водорода. В первом приближении
эффекты связи не меняют вида формулы (5.2). Они лишь
увеличивают температуру, и формула (5.2) принимает
вид _____
Q//(r.£) = 9(r)erf/£'/*T. (5.3)
При комнатной температуре kT = 0,025 эв, тогда как при
эффективной температуре kT = 0,117 эв 131. Мы пренебре-
гаем замедляющими свойствами всех элементов, кроме водо-
рода (эти элементы будем называть «тяжелыми элементами»),
ибо учет малых вкладов от рассеяний на тяжелых элемен-
тах дает лишь незначительное уточнение. Между тем можно
получить значительное преимущество, если упростить мо-
дель рассеяния на тяжелых элементах Будем считать, что
сечения рассеяния для всех тяжелых элементов изотропны
и не зависят от энергии. Для каждого тяжелого элемента
Gsh — (1 м) °soo.
(5.4)
Здесь ash — предполагаемое сечение рассеяния; os оо —
2
действительное эпитепловое сечение рассеяния; р = —
средний косинус угла рассеяния для свободных ядер с мас-
сой Mh\ А — отношение ЛД к массе нейтрона. Формула (5.4)
представляет собой транспортное приближение, которое
часто используется в расчетах реакторов [2].
212
Все перечисленные выше приближения облегчают расчет
потоков тепловых нейтронов методом Монте-Карло, но при
этом мы еще не получаем легкоразрешимую задачу. Чтобы
смоделировать уравнение (5.1), необходимо после каждого
рассеяния на водороде строить функции распределения для
энергий и углов полета нейтрона после рассеяния. В прин-
ципе такая процедура возможна, но сложность ядра рас-
сеяния делает ее практически неосуществимой. По этой
причине целесообразно предварительно рассчитать и хра-
нить матрицу рассеяния. Чтобы определить матрицы рас-
сеяния, необходимо ввести дискретную энергетическую
сетку. Это можно сделать различными способами. Опишем
подход, использованный в программе MARC.
По уравнениям, заложенным в программу MARC,
рассчитывается поток в энергетических точках Ег Е2 ...
... ~^En и по правилу трапеций оценивается интеграл рас-
сеяния. В результате приходим к системе связанных кине-
тических уравнений
ш \Fi (г, ю) + Xti (г) Ft (г, со) =
nh (г) 2 5Cil Wj F] (г’ d<°z +
+ ад ф (Г) + _^9(Г)> (5.5)
4л 4л
где 2Zi (г) = (г) + Ssft (г) -|- (г) — сумма сечения по-
глощения для всех элементов, сечения рассеяния тяже-
лых элементов 1см. (5.4)] и сечения рассеяния водорода.
Скалярный поток при энергии £; равен
Ф,(г) = §Л(г. ®)^<о.
Кроме того,
(г) си (ы’, со) = (г, Ej) Сн (Е}, со', Eh со; г);
(£/_1-£0+(^-^+1)_д«--.+Д‘
wi~ 2 — 2 ’
Обозначим Ех верхнюю границу тепловой группы
|£с в уравнении (5.1)] и Ех наименьшую энергию
в энергетической сетке, Ен^О. Так как при £ = 0 поток
213
стремится к нулю, то в уравнении (5.5) не будем ставить
индекс при этом значении энергии. В уравнении (5.5)
М//(г) — значение плотности замедлителя, которым по
предположению является водород.
Перед тем как перейти к дальнейшему рассмотрению,
для упрощения работы проведем замену переменной.
Пусть
Ф;(г, <») = Fi (г, (о) Wr, gi (г) -ФДг)№/; Bi - ^Wt.
Теперь можно записать:
n
(О • (г, <о) + 2ц(0фг (г, (О) NH (г) 2 | Wt cti ((О', (О) X
/=1 *
X ф, (г, (О') d(0' + g (г) + q (г). (5.6)
4л 4л
Следует обратить внимание на то, что величина 2(/(г)
равна сумме полного сечения водорода и транспортных се-
чений всех тяжелых элементов. В известном смысле это
есть полное сечение при энергии Et. Можно показать, что
решение уравнения (5.6) в бесконечной среде, в которой
отсутствует поглощение, не будет максвелловским. Модифи-
цируем уравнение (5.6) таким образом, чтобы оно давало
максвелловское распределение. С этой целью обозначим:
OsHi = 2 Wj I cji (о)', (О) tho';
j=i 1
^sHi (F) — Nh (r) GsHi J
^tl (f) = ^ai (r) + (r)+
Подставляя (г) вместо в уравнение (5.6), по-
лучаем
<o • уф; (г, <o) + 2(1- (г) фг (r, (o)
n
= Мц (r) 2 ( lFjC;j((o', (о)фДг, (O') d(o' +
j=i'
+ ^Д) (r) + A9(r). (5.7)
4л 4л
Для бесконечной среды, в которой отсутствует
поглощение, уравнение (5.7) принимает вид
n
фг 2 \ ci} ((О', (О) Wj Ф,- (1ы'. (5.8)
/=1 d
214
Если предположить, что поток Ф имеет максвелловское
распределение, ф; —ФЛ1/, тогда по принципу детального
равновесия [5]
n .
V j с;Д(о',и) IV/Фм/ dot'
Л' ~
= 2 \ Cj‘ (‘° ’ Фл1/ с1ы' = GsHt Фл1‘ -
/=1 J
Таким образом, поток с максвелловским распределе-
нием удовлетворяет уравнению (5.8). Легко показать, что
ибо
n
Nh (г) asHi = S W} \ (r, Et) Си (Et, co', Eh w; r) da'.
i=i
(5.9)
Переставляя ю и го' и используя то обстоятельство,
что Сн является функцией лишь скалярного произведе-
ния (£>'•(£>, получаем
~ Д'
Мн (г) aSHi = 2Е wi \ 2/н (г, EJ Сн (Eh <о, £;, о'; г) d<o'»
j= I
~ § § S/н (г, Ef) Сн (Et, (о, Е', <о'; г) f/ю' dE' =
'о'
NH (г) osH(-.
(5.10)
Фактически 2 Wj Сн (Eit со, Ej, со'; г) представляет
/= I
собой интеграл по трапециям по всем энергиям от ядра
рассеяния водорода.
До сих пор ничего не говорилось о зависимости ctJ от
угла рассеяния. Любое реальное ядро рассеяния представ-
ляет собой очень сложную функцию угла между векторами
скорости до и после рассеяния. Подробная таблица для
ядра рассеяния как функции и энергии и угла рассеяния
была бы слишком громоздкой. В настоящее время практи-
чески нет возможности включить угловую зависимость
ядра рассеяния в программу расчета по методу Монте-
Карло. Приходится рассматривать угол рассеяния в каком-
либо приближении.
215
Обычно в численных расчетах дифференциальное сече-
ние рассеяния разлагается в конечный ряд по полиномам
Лежандра. Приближенно*
си («>',<») = Сц (со' ы) = ~ ku (ро) =
2л
Здесь Цо — (в'-со, a Pt— полином Лежандра порядка /.
К сожалению, использование такого разложения затруд-
няет розыгрыш по методу Монте-Карло, в то время как
это не происходит в численных расчетах. Вблизи граничной
энергии, Ес, диагональные элементы матрицы ^iZ(p.o)
сильно увеличиваются при значениях р,0, близких к нулю.
Другими словами, когда происходит слабое изменение энер-
гии, приходится рассматривать скользящие столкновения,
при которых рассеянные нейтроны слабо отклоняются
от первоначального направления. В результате при неко-
торых значениях р.о ядро рассеяния при конечном разло-
жении будет принимать отрицательные значения. Напри-
мер, представление 6-функции в Р1-приближении (т. е. если
принять L = 1 в конечном разложении) имеет вид
1 ч
6(Ho) = V +
Очевидно, что б, (р.о) принимает отрицательное значение
при ро< — у • Чтобы смоделировать рассеяния по ядру,
которое принимает отрицательные значения при некоторых
углах, необходимо приписать некоторым нейтронам отри
цательные веса. При этом на протяжении расчета веса
нейтронов будут менять знак, что может катастрофически
сказаться на дисперсии оценки потока**. По этой причине
* Отметим, что Cjj(co' to) является дифференциальным сече-
нием рассеяния для рассеяний в телесный угол й<о, в то время как
Aiy(p0)dp0 является дифференциальным сечением рассеяния для
рассеяний в интервал dp0. Интервал dji0 стягивает телесный угол
2л<ф0.
** В гл. 6 нам придется использовать положительные и отри-
цательные начальные веса. Полный отрицательный вес, как прави-
ло, меньше положительного. Если отрицательный вес мал и не ме-
няется при столкновениях, то его влияние на дисперсию незначи
тельно, хотя и вредно.
216
при использовании метода Монте-Карло, по-видимому,
нежелательно брать конечное Ргразложение ядра рас-
сеяния*, тем более разложение малого порядка.
Существует много способов, позволяющих избежать
введения отрицательных сечений. Рассмотрим простой
способ, использованный в первоначальном варианте про-
граммы MARC.
Определим:
1
aij=Wi J (ц0) d|x0;
—I
]
Pjj ^ij t Pn ^ii (Po) ^Po-
— 1
Так как ^ij(Po)^O, то ясно, что |рг;|^1. Теперь
предположим, что нейтрон с энергией Ej испытал рас-
сеяние на водороде. Пусть
N
Pij ~ aij! akj = aij! asHJ
определяет дискретную плотность вероятности для энергий
после рассеяния £г. Выберем из этого распределения
энергию Е1. Далее считаем, что с вероятностью 1 — | p7J |
рассеяние изотропно и с вероятностью |р7/| направлено
вперед или назад в зависимости от знака p;j. Короче
говоря, делается предположение, что
^i^j(Po)
«г/
у (1 —ipi/l)+ip.-j|6 (к
= ^г^(Ро).
(5.И)
* Особое внимание мы уделяем использованию /^-разложе-
ний в расчетах потоков тепловых нейтронов. В расчетах потоков
быстрых нейтронов обычно берегся Рг-разложение в системе центра
масс, которое не вызывает таких затруднений. Отметим, что
Р/-разложение можно использовать и в тепловой области, что и де-
лается во многих программах.
217
Очевидно, что
1 1
$ kiS (ц0) 4i0 = ai} = Wt J ku (p0) dp0;
~1 —1
1 1
i Ho (Ho) = Hi; aii ~ j Ho kti (Ho) ^Ho-
—i —i
Таким образом, истинное и аппроксимированное ядро
рассеяния имеют одинаковые нулевой и первый члены раз-
ложения по полиномам Лежандра. В этом смысле описан-
ное приближение похоже на обычное Р,-приближение.
Однако в Pj-приближении все члены разложения, далекие
от первого, стремятся к нулю, в то время как все высокие
члены ^г;(ро) равны
Часто очень трудно оценить ошибку, которую вносит
то или иное приближение, так как отсутствует доста-
точная информация для точных выводов. В данном
случае мы находимся в подобном положении. Многое
неизвестно об ошибках, связанных с таким представле-
нием анизотропного рассеяния, но есть основание ду-
мать, что обычно эти ошибки малы. В односкоростной
задаче рассеяние вперед эквивалентно отсутствию рассея-
ния. Следовательно, для односкоростной задачи для
рассмотренный способ представляет собой обычное транс-
портное приближение. Как показывает опыт, транспортное
приближение часто вполне удовлетворительно. Можно
надеяться на то, что приближение (5.11) также удовлетвори-
тельно. Между тем целесообразно сделать по возможности
более точное приближение. В § 5.4 рассмотрим уточненное
анизотропное ядро рассеяния.
§ 5.3. Расчет потоков нейтронов методом Монте-Карло
В предыдущем параграфе мы получили систему свя-
занных транспортных уравнений
w • V (г, ю) + 2(г (г) Ф; (г, о) =
N
-NH(r) 2 -(О)ф;(г, -I-
/=1
_i_Sg/,(r)gi(r) +gL^(r)) (5.12)
4л 4л
где ац (о' ю) = ktj (<»' ю).
218
Чтобы решить уравнения (5.12), не требуется каких-либо
новых приемов. В гл. 4 были рассмотрены методы решения
односкоростных задач, а в гл. 2 — методы Монте-Карло
для решения матричных уравнений. Эти методы можно
объединить и сформулировать аналоговый процесс случай-
ных блужданий.
Такой подход и был использован при создании програм-
мы MARC. Процесс строится следующим образом. Нейтро-
ны вводятся в систему изотропно с энергиями источника
Bj с учетом пространственной плотности q (г), предпола-
гаемой постоянной по отдельным областям. Рассеяние на
тяжелых элементах предполагается изотропным в транс-
портном приближении, при этом рассеянный нейтрон остает-
ся в той же энергетической группе. Рассеяние на водороде
вызывает переход нейтрона из группы j в группу i или
приводит к новому направлению полета в группе j. Угловое
распределение рассеянных нейтронов, которое описывается
выражением (5.11), содержит изотропную компоненту и
компоненту рассеяния вперед или назад в зависимости от
знака среднего косинуса в группе. Нейтроны переходят
из группы в группу, из области в область до тех пор, пока
не поглотятся в какой-нибудь группе и области.
Основной случайной величиной, по которой проводится
оценка скорости реакции, является модифицированная
оценка по длине пробега — оценка II из табл. 2.1
(см. § 2.7). Случайные величины регистрируются в каждой
энергетической группе и пространственной области, затем
путем суммирования по всем группам и по всем областям
рассчитываются соответствующие скорости реакций.
Неоднократно отмечалось, что часто вместо прямого
транспортного уравнения лучше решать сопряженное тран-
спортное уравнение. Это справедливо и для многогруп-
повых, и для одногрупповых задач. Сопряженный метод
наиболее эффективен при расчете средних потоков в малых
областях или потоков в точках. Сформулируем сопряжен-
ный метод для многогрупповой задачи.
Определим векторы:
ф (г, w)
(г, ю)
ф2 (г, ю)
_ фЛ (г, (0) _
8 г)
81 (И
8г (И
£Л(Г)
(5.13)
219
В новом обозначений уравнение (5.12) запишется в виде
®-^ф(г, ю) + 2/ (г)-ф(г, <о) =
- Л7/(г) а (ы • (о') ф (г, io')cko,+
+a^l£(r)+(5.14)
4я 4я
где g (г) = § с/со-ф (г, о), a = (aj}), и вектор В =
= (Въ В2, .... BN).
Как и в § 4.10, запишем транспортное уравнение в сокра-
щенном виде:
Ж ш)=^!1в = С(г, w) = J-Q(r).
4я 4я
Находим, что
^Фг (г, (o)7\p(r, io)tf(i)tfr— (г, ю) Т* Ф (г, о) tfio dr —
V V
= § ю-пфг (г, ы)Ф (г, ю) Ao dr.
Здесь Ф7" (г, ю) и Ф7" (г, ы) соответственно заменяют век-
торы Ф и ф, а
T^I-oj.v + SJr)-
2«лК) Cd(d'_NfI (Г) Сао'^^.ю')] . (5.15)
4я J J J
Если Ф и 'ф удовлетворяют условиям отражения на гра-
нице,
j) Ф7" (г, ю) 7"ф (г, ю) tko dr = ^ф7’ (г, ю) Т* Ф (г, о) da dr.
v v
Пусть *
Г г (Г, w) = Q*(r, W).
Отсюда следует, что
$[f*(r, ы)Г Q(r, a) da dr = $[ф(г, ю)]7, Q*(r,o)dwdr.(5.16)
V V
* Осметим, что f* (г, ю) то же самое, что %* (г, ы) в (3.97) в гл. 3.
220
Для вычисления скорости реакции в области R примем
О, r^R.
Если
g* (г) = daf* (г, ы), 2 (г) = diag (2j (г), 22 (г), 2Л- (г)),
тогда
5 Ет (И 2 (О dr = [£* (г)Г Q (И dr.
R V
Отметим, что
$ g' (г) 2 (г) dr V Ф, (г) 2г (г) dr.
« i=i «
Сумму в правой части последнего тождества можно интер-
претировать как интеграл по энергии, взятый по трапе-
циям. Следовательно,
£с
$ gT (г) 2 (г) dr ж $ $ dE dr Ф (£, г) 2 (£, г).
k ok
Как и в гл. 4, видим, что скорость реакции можно оце-
нить путем решения прямого («прямая задача») или сопря-
женного («сопряженная задача») транспортного уравнения.
Если предположить, что область R стягивается в точку, то,
используя последнее уравнение, можно рассчитать скорость
реакции в этой точке.
В гл. 4 отмечалось, что прямое и сопряженное односкоро-
стные уравнения можно смоделировать с помощью обычных
приемов метода ^Монте-Карло. Однако при решении много-
групповых сопряженных уравнений возникают новые
трудности. Естественно, можно принять
ч]-* (г, —to) = Г (г, to), g* (г) = § dtof* (г, to)=§ сйочр* (г, ю).
Ясно, что
о) ф* (г, to) + 2t (г) ч|-* (г, ы) =
-= Мн(г)^ат (ы-ы')ф* (г. w')dw' +
+ ^£*(Г)+т-<?*(г).
(5-17)
221
Уравнения (5.17) и (5.14) подобны по форме, однако
между ними имеется очень существенное различие. Это
легко можно увидеть, если записать сопряженные урав-
нения для бесконечной гомогенной среды и построить
процесс случайных блужданий. В бесконечной гомогенной
среде
(2П + = g* + Q*,aT \ат (©' -о)du'. (5.18)
Используя наши обозначения, запишем
(\ + Д>н») g, =Мц 2 a], gj Qi —
i
= ^Hliahg; + Qi. (5.19)
При моделировании уравнения (5.19) естественно интер-
претировать величину как скорость рассеяний
в i-й точке (т. е. в i-й группе), а величину принять
за скорость, с которой частицы после столкновений в группе
j переходят в группу i. Тогда
1
Nh 2 ан gj = Nh 2 Wt j (Po) ^Po gj = %sHj gj,
‘ ‘ -i
но вообще
Nh 2 «м gj =NH^a}ig*^ SsHj g]. (5.20)
i i
Неравенство означает, то в сопряженной задаче число
частиц после рассеяний на водороде не равно числу столк-
новений. Действительно, когда в i-й группе происходит
рассеяние на водороде, то число частиц после рассеяния
или их вес равны У, ац^ш-
i=i
Чтобы сделать подход более формальным, вновь обра-
тимся к уравнению (5.17) и отметим, что если С; — источ-
ник в i-й группе от рассеяний на водороде, то
N
Cj = NH(r) 2 a(j(®,ю')ф/(г, <o')dw'—
= ЛД(г) 2 \ац(® ‘’)')Ф/ (г> ®') (5.21)
/=•’
222
Определяя а^(ыы')/аи, можно записать
л?
Ci Z \ dm' [Мн(г)о5Н/-ф* (г, «')] X
7= 1
w')l
(5.22)
Первый член в правой части формулы (5.22) представ-
ляет собой скорость рассеяний на водороде в группе /, вто-
рой член — вероятность перехода (в сопряженной задаче)
из группы / в группу I, третий член—плотность условной
вероятности того, что при переходе нейтрона из группы
/ в группу i косинус угла рассеяния будет равен со-®'. Так
как Сг равно скорости, с которой рассеянные частицы по-
полняют t-ю группу, то можно сделать вывод, что К, =
N
= ~ есть среднее число нейтронов, которое воз-
А = 1
пикает после одного акта рассеяния на водороде в группе /*.
Существует много способов, как включить коэффициенты
Kj в процесс случайных блужданий. Можно, например,
использовать Kj для определения числа вторичных нейтро-
нов, вылетающих после столкновений на водороде. Если
Ki < 1, то некоторые из рассеивающих столкновений на
водороде в группе j будут сопровождаться поглощением.
Такие искусственные поглощения не затрудняют расчет.
Если же Kj > 1, то рассеяния на водороде в /-Й группе будут
представлять размножающие процессы. Если Kj зна-
чительно больше единицы во многих группах (что обычно
и бывает), то различные нейтроны могут создавать на
протяжении своих историй сильно флюктуирующее коли-
чество вторичных частиц. Во всех расчетах по методу Монте
Карло очень неудобно прослеживать вторичные частицы,
которые возникают в процессах с размножением. Но самое
главное то, то флюктуации количества вторичных частиц
увеличивают дисперсию оценок.
* Отметим, что при анализе прямой задачи получаем: Kj =
= ajhlcsHi = I, т. е в прямой задаче среднее число вторичных
*=1
нейтронов, приходящееся на один акт рассеяния, равно единице.
223
Можно, используя коэффициенты К, в качестве весов,
добиться того, чтобы число частиц, которые вылетают после
каждого рассеяния, было бы равно единице. К сожалению,
в сопряженной задаче коэффициенты Kj не связаны с цен-
ностью рассеяний. Использовать в расчетах по методу
Монте-Карло веса, которые не выбираются из надежной
функции ценности, так же опасно, как и использовать нена-
Неудивительно, что сопряжен-
ные расчеты, в которых в
качестве весов используются
коэффициенты Kj, очень не-
эффективны.
Если мы хотим оценить
эффективность сопряженного
метода в более широком
смысле, необходимо ввести
какой-нибудь критерий эффек-
тивности. В качестве одного
из критериев полезно при-
нять дисперсию следующего
дежную функцию ценности.
Рис. 5.1
простого сопряженного расчета. В задаче, изображенной
на рис. 5.1, требуется рассчитать скорость поглощения А
в области II. Области I и II одинаковы по размеру и со-
ставу. Источник нейтронов равномерно распределен по об-
ласти I. Все внешние границы (показаны на рис. 5.1 пунк-
тирными линиями) являются границами ячейки. При рас-
чете прямой задачи нейтроны испускаются из области I и
регистрируются в области II, а при расчете сопряженной за-
дачи — наоборот. Так как области одинаковы, то безраз-
лично, где начинаются истории и где определяются оценки.
Тем не менее оказывается, что если в сопряженной задаче
в качестве весов использовать коэффициенты /(/, то диспер-
сия А в сопряженном расчете намного больше дисперсии
А в прямом расчете. Это различие не является следствием
геометрических факторов и, следовательно, вызвано осо-
бенностью, присущей сопряженному методу. Как показы-
вает опыт, это различие в значительной мере является
следствием флюктуаций весов частиц.
Кроме этого, существует второй критерий. Для оценки
эффективности многогруппового сопряженного расчета срав-
ним дисперсию скорости активации в многогрупповой задаче
с дисперсией той же величины, рассчитанной по сопряжен-
ному методу в одногрупповой задаче. Вообще трудно по-
строить одногрупповую задачу, которая точно была бы
224
эквивалентна данной многогрупповой задаче, но несложно
сформулировать приблизительно эквивалентную одногруп-
повую задачу [6]. Заслуживает внимания тот факт, что
дисперсии в многогрупповых сопряженных расчетах (если
в качестве весов использовать Kj) выше, чем в соответствую-
щих одногрупповых сопряженных расчетах. И вновь опыт
показывает, что большие различия в дисперсиях являются
следствием флюктуаций весов. Ясно, что требуется оценить
эти флюктуации. Покажем далее, как это можно сделать.
Если умножить уравнение (5.17) на матрицу ф°°
ф°° = diag (ф“, ф“, .... ф~),
то получим
<о • VT); (г, ю) + (г) т)г (г, ю) =
м
= NH(t) \clto' 6Я^;(<О-(О')Т];(Г, ®') +
+ (О (г) + фГ Qi (г), (5.23)
4л 4л
где
т]. (г, со) = ф“ фТ (г, о); в, (Г) = ф~ g* (Г);
aj-J^. (5-24)
Уравнения (5.23) представляют собой новую систему
многогрупповых уравнений, которую будем решать мето-
дом /Монте-Карло вместо уравнения (5.17). Здесь коэф-
фициенты фГ. являются просто неопределенными кон-
стантами. Предположим, что в рассматриваемых задачах
водород содержится только в воде. Тогда можно записать
2ц (г) = ^aWi (г) + (г) + Ss7l (г) -|- (г),
где San?/—сечение поглощения в воде, при этом Saz(r) =
= 2ai(r)~2a«zz(r). Видно, что 2гщ(г) И 2aUZj (г) явно не
входят в уравнения (5.23). Следовательно, ц. (г, <о) не изме-
нится, если изменить (г) и 2awi (г), сохраняя посто-
янной их сумму. По определению,
к N -»р°°
(<Т/п)эфф = 2 ~vhaij>
/=1 z = lVj
(г) + 2а^(г)]/Л/н(г); (5.25)
(Опи7»)эфф = °Wi— (о4Н/)эфф. (5.26)
8 Зак. 385
225
Из (5.25) и (5.26) получаем, что
N
и= S a .ib~ + (o ... =
Wi *i 4*1 \ alKj/эфф т,
N
= (5.27)
Из (5.25) следует, что после каждого рассеяния на водороде
испускается только одна частица с единичным весом.
В уравнении (5.27) можно свободно выбирать значения
величин Tt. При выборе будем следовать схеме розыгры-
ша, изложенной в гл. 3. Примем (см. § 5.2)
2 ^E^Wj. (5.28)
/=i
Уравнения (5.27) с данными значениями 1\ можно рас-
сматривать как многогрупповые уравнения для тепловой
области. Фактически это многогрупповые уравнения для
потока тепловых нейтронов в бесконечной водородсодер-
жащей среде с источником тепловых нейтронов:
Q(r, Е, «)=-*-х(^)Ун(г).
Соответственно — потоки в бесконечной водород-
содержащей среде. В то же время потоки фГ являются
функциями ценности по отношению к сопряженному рас-
чету в бесконечной среде. Таким образом, внеся изменения
(5.24), можно эффективно использовать процедуры выборки
по важности. Рассмотрим некоторые приемы розыгрыша,
которые используются при моделировании уравнения (5.23).
Предположим, что требуется оценить скорость акти-
вации / в области R:
/= 2 \Ф,(г)сГг,
»=' R
где — сечение активации. Тогда Q,(г) =2,-. Как обыч-
но, через Qi (г) обозначается источник в i-й группе
в многогрупповом кинетическом уравнении. Как и преж-
де, предположим, что Qt(r) = q (г) Tt.
226
Очевидно, что
/ = 2 Tf $ q(r)g*(r)dr =
i==I у
N
= 2 j q№(r)dr, (5.29)
где (г) определяется выражением (5.24).
Из уравнения (5.27) известно, что
Tj _ , .
— (ааиг«7эфф
и, следовательно,
/ = 2 J [2а™(г)1я** (r) dr- (5-30)
i = l V Я 'г’
В программе MARC предполагается, что q (г) и Nh (-г)
кусочно-постоянны в зонах разбиения, т. е. q (г) = qm,
Nh (г) = Nm, если rE^Rm. Таким образом, в программе
MARC
N
-- "ТП
т
2<2”").фф
&тп
(5.31)
В уравнении (5.23) (г) играет роль скалярного потока,
а истинное макроскопическое сечение поглощения в воде
в группе i и области т заменяется на (2аиг»)8фф. Следова-
тельно, величина в квадратных скобках представляет собой
эффективную скорость поглощения в воде в области Rm.
Скорость поглощения оценивается обычным образом:
1) выбираем начальную координату и номер группы из
плотности
,v
Р (г, О = Q- / VR % Qj =
= r^R,
p(r,i) = 0, r^R,
здесь Vn—объем области R;
8*
227
2) каждому родившемуся нейтрону приписываем вес
i=i ’ '
3) с помощью уравнения (5.23) моделируем историю
нейтрона; если нейтрон поглощается в области Rm в груп-
пе i, то регистрируется поглощенный вес
^т) (^ТНУт)эфф (^оОэфф-
*
Величина (2"(!)эфф равна сумме эффективного сечения
поглощения в воде и истинного сечения поглощения во
всех других материалах в области Rm и группе i. Средний
поглощенный вес на один рожденный нейтрон дает несме-
щенную оценку величины I (оценка по числу поглощений).
Величина I рассчитывается также и при использовании
оценки по длине пробега или комбинированной оценки.
В бесконечной водяной среде значение отношения
(2ац7г)3фф/(2а/)5фф равно единице. Следовательно, каждый
родившийся нейтрон дает вклад в оценку по поглощениям:
Wq!NH- Можно показать, что этот вес равен скорости акти-
вации: I — Ясно, что оценка по поглощениям
величины / имеет нулевую дисперсию. Это происходит по-
тому, что в сопряженном расчете использовался розыгрыш
по важности. Как уже отмечалось, фГ являются функциями
ценности по отношению к сопряженному расчету в беско-
нечной среде, и выражения (5.24) сформированы так, чтобы
осуществить выборку по важности.
Вновь обратимся к задаче, изображенной на рис. 5.1.
Предположим, что Q, (г)—плотность источника в области
I—равна qTt. Тогда скорость поглощения А в области
II равна Vi?Pi-hi, где — вероятность того, что
родившийся нейтрон будет поглощен в области II.
При расчете А методом прямого моделирования относитель-
ная дисперсия ог оценки по поглощениям будет равна
Pi_»n/(1 — Pi-+n). При расчете по сопряженному методу
находим, что
A = WqPn-.i/NH,
где Рн->1 — вероятность того, что в сопряженной задаче
рожденный нейтрон будет поглощен в области I. В сопря-
228
женной задаче относительная дисперсия ог оценки по
поглощениям равна Pn-^j (1—Pn-»i). В то же время
Суммируя уравнения (5.27), можно показать, что
N
Wq 17
м =Vl1^
NH
Следовательно,
Так как
Wq *
-~Pu^ = ViqP^u и IWn>
то можно заключить, что о,. = аг. Таким образом, оценки
по поглощениям в прямой и сопряженной задачах имеют оди-
наковую дисперсию. К сожалению, не удается теоретически
проанализировать оценки по длине пробега, но расчеты
показывают, что их дисперсии также приблизительно оди-
наковы. Таким образом, приходим к заключению, что
прямой и сопряженный расчеты обладают равной эффектив-
ностью и использование в данной задаче сопряженного
метода не дает преимуществ.
Сравнение особенностей прямого и сопряженного мето-
дов проводилось на примере довольно простой задачи.
Интересно сравнить эффективность сопряженного метода
в многогрупповом расчете с эффективностью метода в со-
ответствующем одногрупповом расчете. К сожалению,
сравнение дисперсий в сопряженном методе не дает возмож-
ности сделать строгое и точное заключение. Тем не менее
можно показать, что, если в данной задаче: а) все источники
нейтронов расположены в областях, содержащих чистую
воду, и б) всюду спектр приблизительно такой же, как
спектр в бесконечной водяной среде, оценки скорости акти-
вации в сопряженном методе имеют приблизительно оди-
наковую дисперсию в многогрупповом и соответствующем
одногрупповом расчетах.
§ 5.4. Уточнение задачи
В § 5.2 и 5.3 мы обсудили один из практических подходов
к использованию метода Монте-Карло для расчета потоков
тепловых нейтронов. Разумеется, наша формулировка мно-
гогрупповых уравнений для тепловых нейтронов не является
единственно возможной. Точность многогрупповых урав-
нений можно повысить различными способами. Вычисли
тельные машины становятся более мощными и более быстро-
действующими, поэтому естественно требовать от расчетных
методов большей точности.
Один недостаток многогрупповых уравнений является
наболее очевидным и наиболее значительным. Ясно, что мы
сильно исказили угловое распределение нейтронов, рас-
сеянных водородом. Как отмечалось в § 5.2, в программе
MARC мы располагаем лишь Ро- и /^-компонентами
в Pi-ядре рассеяния. Таким образом, в программе MARC
угловое распределение рассеянных нейтронов (для данных
начальной и конечной энергий) приходится описывать
только двумя параметрами.
Разумно предположить, что правильное угловое распре-
деление можно описать более точно с помощью большего
числа параметров. Предположим, что мы определили коэф-
фициенты ktj[ для 0 I 3. Другими словами, определили
первые четыре момента Лежандра для правильного диф-
ференциального ядра рассеяния. Построим различные ап-
проксимационные ядра ktj (Цо, аь а2, а3, а4) с четырьмя
параметрами. Эти параметры можно выбрать из условия
1
5 ?I (Ро) ^iJ (Ро> aliJ> a2jJ> а3<2> a4ij)^Mo ^iil ^Ul’ (5-32)
— 1
1 = 0, 1, 2, 3.
При этом необходимо стремиться к тому, чтобы аппрокси-
мационное ядро не было отрицательным. К сожалению,
нет гарантированного способа построения простой функции
k (ро, ai, а2> «з> «4). которая обязательно была бы неотри-
цательной при условии, что первые четыре ее момента
равны моментам данной неотрицательной функции.
Не будем пытаться получить совпадение с полными
моментами правильного ядра рассеяния. Вместо этого
добьемся совпадения первых четырех моментов по полу-
230
сфере. Пусть
1
ац= wt Я ^(МоИно;
О
1
Но atj=Wi $ НоМНоМНо;
о
о
aTj^Wi $^/(Ho)dHo;
—1
о
\i~jd~i =Wt $ IHoIMEoMHo-
— 1
Если Но>~~
то определим
kl} (Но) = «О [2 (1 -Но) + (2н£- О «(Но-1)] > (5-33)
Но > О-
В противном случае
W.ku- 4М + (1-2н^)6(н0)], (5.34)
Но о*
Легко показать, что
1 I
W, Jj ^o (Ho)dHo = ao= Wi S ^о(Но)^Н0;
О о
1 1
$ Но (Но) ^Но ~ ati ~ Wi § Но ^ii (Но) ^Но-
о о
Аналогично, если Но •
Wt ki}= aTi [2 (1 -но) + (2но- 1) 6 (н0 + 1)], (5.35)
Но<°>
в противном случае
Wt кп ац [2но + (1 —2но) 6 (Но)]» Но < 0. (5.36)
231
Кроме того,
о о
Wi $ ^/(Po)4io=^i $ МНоИНо;
—1 —1
о о
Wi $ lHol*ij(Po)dPo = WZi $ I Но I МНоМНо-
—i —i
Таким образом, выражения (5.33) — (5.36) определяют ядро,
которое является неотрицательным и у которого первые
четыре момента по полусфере совпадают с моментами пра-
вильного ядра. Именно такое ядро используется в самом по-
следнем варианте программы MARC.
Необходимо отметить, что aiS — at, + a~j, =
= Следовательно, любое ядро, у которо*
го откорректированы первые четыре момента по полусфере»
имеет и правильные полные моменты Ро и Рг. Подгоняя
первые четыре момента по полусфере, мы тем самым под-
гоняем два первых полных момента. Можно дать более про-
стой способ представления анизотропного рассеяния. Рас-
смотрим метод, который можно назвать «гистограммным
методом», так как дифференциальное ядро рассеяния в этом
методе представляется в виде гистограммы. В первом пред-
ставлении гистограммного метода разобьем интервал
—1 на М равных подынтервалов.
Пусть р<п> и р<]'!+1>—соответственно левая и правая
границы n-го подынтервала, тогда
au^ = Wt $ AUPo)<*Po, п=1, 2, ..., М.
Как и раньше,
j
$ МНоМро,
—1
поэтому
м
2 п<;>=1.
1
Обозначим
Wt ktj (р0) = аи П‘;>, рГ < р0 < р(о"+ °, п = 1, 2, .... М.
232
Значения к^(ц0) постоянны по каждому подынтервалу,
а П’,"' — вероятность того, что рассеянный нейтрон при
переходе из Е, в Е{ войдет в п-й подынтервал.
На самом деле необязательно принимать все подынтер-
валы одинаковыми. Лучше сделать так, чтобы все вероят-
ности П("/ были равны. Граничные точки в угловом интер-
вале при этом необходимо рассчитывать по уравнениям
— $ ku (Ио) ^0=^7. «=1. 2, ..., М. (5.37)
аи . . М
Ясно, что сетка разбиения интервала рс, определенная
по уравнению (5.37), будет наиболее частой в областях,
в которых дифференциальное ядро рассеяния имеет наиболь-
шее значение. Очевидно, что в гистограммном методе число
М совершенно произвольно, в то время как в ядре рассея-
ния, использованном в программе Л1Л7?С, нельзя произ-
вольно менять число степеней свободы. Чтобы ввести в угло-
вое распределение две дополнительные степени свободы,
необходимо существенно изменить структуру ядра. Какое
же преимущество дает метод, использованный в программе
MARC, перед гистограммным методом? Покажем, что этот
метод имеет два преимущества. Первое преимущество
заключается в том, что расчеты с гистограммным ядром
относительно более медленные, чем расчеты с ядром MARC.
Чтобы проиллюстрировать справедливость этого утвержде-
ния, рассмотрим расчет вектора направления О'.
Обозначим энергию частицы до рассеяния Ej и энер-
гию после рассеяния Et. Пусть Р(п) — вероятность то-
го, что р0 будет лежать в n-м угловом подынтервале.
Мы уже знаем, что Р(п) = П’,"*, и обычным способом можем
выбрать п из Р (и) (см. § 1.5). Для найденного п выберем
р0 из равномерного распределения в n-м подынтервале.
Таким образом, определяем скалярное произведение
Ро = <о-«)'. С этого момента в дополнение к лабораторной
(х, у, г)-системе координат удобно ввести систему коорди-
нат, связанную с «. Пусть i, j и к — соответственно еди-
ничные векторы вдоль осей х, у, г. Пусть i' = (o и
к' = [к—(<о • к)ы |/ [1—(о • к)211 /2 = [к — и]/ [1 — Юг]1 /2.
233
Легко показать, что к' есть единичный вектор, орто-
гональный Г. Наконец, определим
j' = k' х i' = k х <о/[1 —®2]1/2.
Можно убедиться, что i', j', к' образуют ортогональ-
ную правостороннюю систему основных векторов, для ко-
торых i' х j' = k', j' x k' = i', k' x Г = j'. В обозначениях
основных координатных векторов
= Во *' + j' 11 — Pol1/2 cos <р + k' [1 — Иц]1/2 sin <p, (5.38
где ф—угол, выбранный из равномерного распределения
в интервале (0,2 л). Используя формулу (5.38), можно
вычислить компоненты о/ в первоначальной координатной
системе. Отметим сначала, что
i-i' = <ox; (5.39)
i -j' = i-k х <о (1 —^2 = i X к'- со [1 —со2]—i/г =
= — %[1— <o2l-|/2; (5.40)
ik' = — <o2 ox [1— w2]-I/2. (5.41)
Аналогичным образом:
ji'=%; (5.42)
j-j' = (ox[l-o)2]-*/2; (5.43)
j-k'= —о)2(ву [1—<o2]~1/2; (5.44)
k-i' = (o2; (5.45)
k-j' = O; (5.46)
k-k' = [l—w2]1/2. (5.47)
Отсюда следует, что
= Ро 0)x —
— [1 —р2]1/2 cos ф <о2 <г>х sin <р] [1 —ы2]-1/2; (5.48)
coi,= p0os,+
+ [1—ро]1 /2 [<йх cos ф—sin ф] [1—<о2]-1/2; (5.49)
= р0 о>2 + [1 — р2]1 /2 [1 — а>2]1 /2 sin ф. (5.50)
234
Очевидно, что расчет р 0 и <р и последующая оценка ком-
понент вектора о' (формулы (5 48) — (5.50)] требуют
значительных вычислений.
В Р1-модели рассеяния программы MARC мы имеем
дело только с изотропным рассеянием и рассеянием, направ-
ленным вперед или назад. Если рассеяние направлено впе-
ред, то и' =<й и не надо вычислять ю'. Если рассеяние
направлено назад, то ы = — <о и расчет со' прост. Если
рассеяние изотропно, то ы' рассчитывается так же, как
в гл. 1. Выборка единичного вектора из изотропного рас-
пределения проста.
Более сложно использовать усовершенствованное ядро
в программе MARC. Дифференциальное ядро рассеяния,
определяемое формулами (5.33) — (5.36), может включать
столкновения с ро = 0. При таких столкновениях необ-
ходимо вновь рассчитать азимутальный угол <р и определить
компоненты о' по формулам (5.48) — (5.50). Если такие
столкновения происходят не слишком часто, то время рас-
чета не сильно изменится. Практически оказалось, что ис-
пользование усовершенствованного ядра вместо ядра, кото-
рое использовалось в первоначальном варианте программы
MARC, увеличивает время расчета менее чем на 5%. Мы
думаем, что метод, использованный в программе MARC,
имеет еще одно преимущество по сравнению с гистограмм-
ным. Гистограммное ядро дает правильные Р0-моменты:
1 N 1
И (Ро) ^Ро ~ — ОдП/Р = atj~ ^j;(Po)^Po-
— 1 п = 1 — I
Однако это ядро необязательно должно дать правильные
моменты. Вообще
1 1
5 и (Ро) Ро ^Ро ^,(|)
-1 —1
и ошибки в /Д-моментах могут быть довольно значитель-
ными, если N мало. В одной энергетической группе 2si,
Ргмомент сечения рассеяния, входит непосредственно
в транспортное сечение. В транспортном приближении
фактически только транспортное сечение и сечение погло-
щения оказывают влияние на поток. Следовательно, Р t-
момент, 2S1, должен иметь важное значение. Поэтому мы
считаем, что ядро программы MARC дает более точные зна-
чения потока, нежели гистограммное ядро при условии, что
оба ядра имеют одинаковое число свободных параметров.
235
Мы стремились уточнить угловое распределение рассеян-
ных нейтронов в программе MARC путем использования
четырех подгоночных параметров. Так же можно уточнить
и энергетическое распределение рассеянных нейтронов.
При построении матриц перехода постулировалось, что
нейтроны принимают лишь определенные дискретные зна-
чения энергии. Можно не разделять область тепловых энер-
гий на подынтервалы и присваивать энергии любое значе-
ние в любом интервале. Такой подход имеет большие пре-
имущества, когда в тепловой группе имеются резонансы.
Представление энергии непрерывной величиной позволяет
подробно описать резонансные сечения, в то время как
использование матриц перехода дает относительно грубое
описание. Элементы матрицы ai} опредепяют вероятность
перехода нейтрона при замедлении из /-го подынтервала
в i-й. Принимается, что энергия нейтрона в t-м подынтер-
вале выбирается из распределения, равномерного по этому
подынтервалу.
В заключение отметим, что необязательно разделять
тепловую и эпитепловую энергетические области. Можно
охватить обе области в одном расчете. В программах RECAP
[7] и DRAM [8] тепловая и эпитепловая области объе-
динены.
§ 5.5. Расчет малых возмущений
При проектировании и эксплуатации реактора часто
приходится рассчитывать малые изменения потоков и ско-
ростей активации, вызванные возмущениями в составе или
геометрии активной зоны. Малые возмущения могут быть
вызваны изменениями температуры, конструкции, помеще-
нием детектора и т. д. В принципе такие возмущения можно
оценить с помощью двух независимых расчетов по методу
Монте-Карло: возмущенного и невозмущенного состояний.
Практически такой простой подход часто оказывается неэф-
фективным. Предположим, что нас интересует разница
А между числами А и В, при этом АтлВ. Если А и В рас-
считываются независимо, то
(Д) = g2(A) — °2 И)+р2 (В)
Д2
Л2д2(Л)+д2о2 (Д)
Д2
(^-]2^(Л)Ч-а|(В)],
236
где or (А) = о2 (А)/А2; о2ц(В) = о2 (В)/В2. Таким образом,
если | А / А | 1, то относительная ошибка А будет значи-
тельно больше, чем относительные ошибки А и В. Эту
трудность можно преодолеть только путем использования
приемов коррелированной выборки.
В программу MARC включен один из методов коррели-
рованной выборки, описанный в § 3.9. Первая история во
всех задачах, которые рассчиты-
вают по программе MARC, начи- i 1
нается с одинакового псевдослу- < I
чайного числа |п. Вторая исто- ! у !
рия также начинается с одного и { I
того же числа £21 и т. д. В итоге } ]
малые изменения в начальных дан- [ {
ных вызывают малые и статиста- , 1 Ш ;
чески значимые изменения в оцен- , [
ках потоков и активаций. Если { *
параметры задачи изменяются не- [ {
значительно, то многие истории в [ i <
возмущенной и невозмущенной за- « ;
дачах будут совпадать. Вклады • I <
в оценки потоков от таких историй рис 5 2
будут одинаковы в обеих задачах
и не будут вносить различия в
эти оценки. Оказывается, что такой простой прием умень-
шает дисперсию А более чем в 10 раз.
Можно придумать более эффективные приемы коррели-
рованной выборки. Как мы уже видели в § 3.9, для полной
корреляции расчетов оценки для возмущенной и невозму-
щенной задач следует производить по одним и тем же исто-
риям. Если возмущение сложное, то трудно добиться полной
корреляции между возмущенной и невозмущенной задача-
ми. Однако при расчете простых возмущений легко осуще-
ствить полную корреляцию. Предположим, что мы хотим
определить возмущение, вносимое фольгой, помещенной
в топливный стержень. На рис. 5.2 фольга обозначена как
область I, топливный стержень как область II, замедлитель
(вода), в котором содержится источник нейтронов, как
область III. Для простоты рассмотрим эту задачу в одной
энергетической группе. В невозмущенной задаче сечения
в области I такие же, как и в топливе. Предположим, что
рассеяние в фольге и топливе изотропно. Для расчета
среднего потока в области I используем сопряженный
237
метод: поместим единичный источник в область I и оценим
интеграл от сопряженного потока в области II. Из принципа
взаимности
<M,= <2, Ф*(Г)^Г-
II
(5.51)
Учитывая соотношение (5.51) попытаемся рассчитать одно-
временно возмущенный и невозмущенный потоки.
Для расчета невозмущенного потока поместим источ-
ник в область I и проведем расчет по методу Монте-Карло,
используя невозмущенное кинетическое уравнение. При
этом будем предполагать, что в каждом событии одновре-
менно участвует две частицы. Одна частица (невозмущен-
ная) имеет единичный вес. Другая частица вначале имеет
единичный вес, который изменяется при каждом попадании
частицы в область I. Всякий раз, когда эта частица проходит
в области I расстояние I, текущий вес частицы умножается
на ехр[(2(ш — %цр )Л, при рассеянии вес умножается
на ^sip/^siu- Здесь %tip> ^tiu, %sip и ^siu — соот-
ветственно возмущенное и невозмущенное полные сече-
ния и сечения рассеяния в области I. При расчете интег-
рала от сопряженного потока можно использовать любую
оценку, при этом надо учитывать веса для возмущенных
частиц. Например, если для расчета невозмущенного потока
используется оценка по длине пробега, то для расчета воз-
мущенного потока необходимо использовать взвешенные
длины пробега. Если для расчета невозмущенного потока
подсчитываются поглощения в области II, то полный вес
поглощенных в области II нейтронов даст оценку возму-
щенного потока и т. д.
Описанный метод применим как для многогрупповых,
так и для одногрупповых задач при условии, что в фольге
и в топливе нет водорода. В многогрупповых расчетах
необходимо хранить возмущенные и невозмущенные сече-
ния для каждой группы. Когда частица из группы i вле-
тает в область I, для изменения веса частицы используются
сечения группы !. Если в области I содержится водород
* Описанная процедура дает несмещенную оценку при от-
сутствии источника в области I, т. е. если Qj = 0. Если фольга
помещается в воду, а не топливо, то можно использовать очень
похожую процедуру. Отметим, что сечение не должно быть ну-
левым. Если это условие нарушается, то надо переменить опреде-
ления возмущенной и невозмущенной задач.
238
или если фольга помещается в воду, процедуру расчета
надо немного изменить.
В заключение рассмотрим задачу, которая давно инте-
ресует физиков, занимающихся расчетом и эксплуатацией
реакторов, особенно физиков-экспериментаторов. Малая
фольга помещается в бесконечную водяную среду, содержа-
щую равномерный и изотропный источник нейтронов за-
медления. Требуется рассчитать активацию фольги.
Сначала решим эту задачу с помощью метода суперпо-
зиции. В обозначениях § 5.3 плотность источника в i-й
группе равна 7\. Обозначим фольгу как область I и водя-
ную область как область II. Определим задачу р таким
образом, что
Q₽<(r) =
гбЯь . , Q
О, гел,,.'-’’2’
N.
Здесь So/j—сечение поглощения фольги в i-й группе.
Если Af—скорость активации фольги, то можно пока-
зать, что
N
Но величина Vf 2 Равна активации фольги
/= 1
в отсутствие возмущения потока А1н. Следовательно,
R^—1
Aju
(5.52)
Пусть P0(i) — вероятность того, что нейтрон из источника
задачи р попадет в воду; П — условная вероятность того,
что нейтрон, попавший в воду, будет поглощен. Тогда
Pi-»ir= Ро(1)П. (5.53)
Из формул (5.52) и (5.53) видно, что имеется два способа
оценки величины R. Во-первых, можно использовать
метод Монте-Карло в задаче р для вычисления Pi .ц.
Во-вторых, можно независимо вычислить P0(i)» а метод
Монте-Карло использовать лишь для определения П.
В первом случае относительная дисперсия *R равна
* Имеется в виду отношение дисперсии к квадрату математи-
ческого ожидания. — Прим. ред.
239
(1 — РшпУР^.п, во втором случае (1—П)/П. Легко
заметить, что вторая дисперсия всегда будет меньше.
Вероятность утечки также можно вычислить различны-
ми способами. Если в задаче р заменить воду на чистый по-
глотитель, то вероятность поглощения в области II будет
равна Po(i). Если исключить рассеяния в области II,
то истории частиц будут короткими и расчет Ро<1> будет
эффективным и быстрым.
При расчете задачи по сопряженному методу поместим
в область I источник плотностью
и вычислим
Af=^H
N
(ЗДефФ^ S,(r)dr.
/=» и
Вновь находим, что
(5.54)
где Pi_>ii—вероятность того, что в сопряженном методе
нейтрон поглотится в области II. Сравнивая выражения
(5.53) и (5.54), видим, что Р*^, = Р1_И1. Таким образом,
метод суперпозиции и сопряженный метод имеют одина-
ковую дисперсию для R при одинаковом числе историй.
Вероятность Р*-»п также можно разделить на две состав-
ляющие:
Р^и = Р0 (1)П
и отдельно вычислять вероятность Po<i).
В гл. 4 было показано, что для одной энергетической
группы между сопряженным методом и методом суперпо-
зиции существует точное соотношение. Ясно, что это спра-
ведливо и для некоторых многогрупповых задач, но не
справедливо для всех энергетических задач, в особенности
для задач резонансного поглощения. Эти задачи мы рассмот-
рим в следующей главе.
240
ЛИТЕРАТУРА
1. G е 1 b а г d Е, М., О п d i s Н. В., Spanier J. MARC —
A multigroup Monte Carlo Program for the calculation of capture
probabilities. WAPD-TM-273 (1962).
2. H о n e с к H. C. THERMOS—A thermalization transport theo-
ry code for reactor lattice calculations. Brookhaven National La-
boratory, 1961.
3. Nelkin M. Phys. Rev., 119, No. 2 (1960).
4. Clendenin W. W., George D. E., H a m i 1 1 B. S.
MAGMA — A Philco — 2000 program for the calculation of scat-
tering kernels, neutron spectra and few group parameters for ther-
mal neutrons. WAPD-TM-373 (1964).
5. Williams M. M. R. The slowing down and thermalization
of neutrons. N. Y. John Wiley and Sons., 1966.
6. Naval Reactors Physics Handbook. Vol. 1. United States Ato-
mic Energy Commission (1964).
7. CandeloreN. R., Gast R. C. RECAP-3—A Monte Carlo pro-
gram for estimating epithermal capture rates in rectangular or 60°
parallelogram geometry. WAPD-TM-437 (1964).
8. H a b e t 1 e r J. G. et al. DRAM — A Monte Carlo program for
the calculation of capture probabilities. KAPL-3013 (1964).
9 Зак. 385
ГЛАВА 6
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ
В РАСЧЕТАХ РЕЗОНАНСНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ
§ 6.1. Введение
В гл. 4 мы впервые использовали метод суперпозиции
в качестве способа уменьшения дисперсии в односкоро-
стных расчетах. В гл. 5 метод суперпозиции был при-
менен в специальной многоскоростной задаче. Метод су-
перпозиции не имел бы такой ценности, если бы его нельзя
было использовать в многоскоростных расчетах. В дейст-
вительности этот метод позволяет решать задачи резо-
нансного поглощения, которые не удается решить более
простыми способами.
Как отмечалось в гл. 5, сопряженный метод можно эф-
фективно использовать при расчетах потоков тепловых ней-
тронов вследствие некоторых специфических особенностей
этой задачи. При использовании сопряженного метода
можно избежать флюктуаций нейтронных весов, если пред-
положить, что замедлителем является только один элемент
или соединение. Так как это условие часто выполняется,
то и сопряженный метод часто оказывается полезным.
Однако в задачах резонансного поглощения приходится
иметь дело с замедлителем, состоящим из различных мате-
риалов с сильно меняющейся плотностью. В таком случае
не удается простым способом устранить флюктуации ней-
тронных весов. Следовательно, в данной задаче сопряжен-
ный метод становится неэффективен. С другой стороны,
многие задачи резонансного поглощения имеют характер-
ные особенности, которые позволяют эффективно исполь-
зовать метод суперпозиции.
Обычно расчет вероятности избежать резонансного по-
глощения проводится для отдельных ячеек решетки. В со-
став ячейки могут входить сложные композиции топлива и
конструкционного материала,1 hoJгеометрия ячейки часто
довольно проста. Типичная ячейка показана на рис. 6.1.
Область I представляет собой топливный стержень,
242
область II — покрытие и область III — замедлитель. Для
упрощения описания метода суперпозиции предположим,
что: а) сечения поглощения замедлителя и материалов покры-
тия пренебрежимо малы; б) сечения рассеяния замедлителя
и материалов покрытия постоянны; в) все рассеяния изотроп-
ны в системе центра масс.
Также предполагается, что материалы покрытия не
имеют резонансов, и пренебрегается эффектами химической
связи ядер и влиянием тепло-
вых колебаний на рассеиваю-
щие свойства замедлителя.
Оказывается, что для боль-
шинства расчетов резонанс-
ного захвата такие предполо-
жения допустимы. Они осно-
ваны на характерных свой-
ствах сечений в резонансной
области энергий. Используя
особенности задачи, можно
разработать специальные ме-
тоды для ее решения.
В дальнейшем будем рас-
сматривать очень простую
ячейку, содержащую один 'гомогенный топливный стержень,
окруженный гомогенным покрытием. Наши методы можно
применять и для ячеек, содержащих любое число одинако-
вых гомогенных топливных стержней. В данной главе будут
рассмотрены два различных метода. Первый метод, который
описывается в § 6.2, основывается непосредственно на
первом методе гл. 4. К сожалению, второй метод гл. 4 нель-
зя применить к многоскоростным задачам. Как будет пока-
зано в § 6.5, можно объединить первый и второй методы и
сформулировать метод, который полезен для многих рас-
четов резонансного захвата.
§ 6.2. Первый метод
Скорость резонансного поглощения будем определять
в пределах конечной энергетической области E^E^Et/.
Предположим, что все резонансные параметры в этой обла-
сти известны. Неразрешенные резонансы можно достаточно
хорошо описать приближенными аналитическими методами
[1]. Для расчетов резонансного поглощения необходимо
сделать некоторое предположение о поведении сечений при
9*
243
Е > Еи- В этом параграфе мы просто пренебрегаем всеми
сечениями топлива выше Еу, т. е. считаем топливный стер-
жень пустотой. Разумеется, что такое предположение не-
реально. Однако если граничная энергия Еи расположена
на один или два интервала летаргии выше, чем самый вы-
сокий резонанс, то предположения относительно сечений
выше Ец будут мало влиять на расчетную величину ве-
роятности избежать резонансного поглощения. В последую-
щих параграфах мы модифицируем метод таким образом,
чтобы можно было учесть рассеяния в топливе. Это даст
возможность описать сечения выше Еу более реально
В дальнейшем мы будем часто использовать положения,
изложенные в гл. 4. Как и в гл. 4, обозначим основную
задачу (т. е. задачу резонансного поглощения) как задачу
а. В задаче а плотность внешнего источника есть плотность
замедления* из области энергий Е > Ец- Выше Еи поток
на единицу летаргии, Ф(£), пропорционален 1/£. Удобно
принять, что Ф(£) = для Е Еи- Вновь введем допол-
нительную задачу |3. В задаче [» отсутствует замедление
из области выше £ц, но имеется источник нейтронов в топ-
ливе. Плотность источника в задаче |3 равна полному сече-
нию топлива, деленному на Е:
Q₽(£) = Stv (£)/£. (6.1)
Как и в § 4.7, определим
Ет = Еа+Ер, Fa = Fr—Fp. (6.2)
Снова запишем, используя обозначения гл. 4:
Ft= Ff у -ф Frs-
С помощью рассуждений, подобных рассуждениям § 4.7,
легко показать, что Ftu (г, ®) = —— , поэтому
4лЕ
Fa(E, г, <й) = 1/4л£ + £г5(£, г, (о)—£₽(£, г, <й). (6.3)
Как и в § 4.7,
Fa= \/4яЕ -}-Fts — Ffiuu—F pur—Fps- (6.4)
* Плотность замедления для энергии Е и координаты г есть чис-
ло нейтронов, замедляющихся в единичном объеме около точки г
в единичный энергетический интервал около Е.
244
Определим
Еи
Af = § dr 'i dE' d(iiXaf (£') Fa(E', r, o) =
i el
Eu
= $dr 5 dE' 2о/(£')Фи(£', r).
i el
(6.5)
Подставляя (6.4) в (6.5), находим, что
—Л + ^2-
Eu
Здесь 70 = pr $ d£'2o/(£')[(!/£')-Ф₽ы„(£', г)]; (6.6)
I el
Еи
Л = ^Г 5 </£'2о/(£')Ф₽иг(£', г);
I el
(6-7)
Еи
I3 = ^dr $ й£'2а/(£')[фге(£', г)-Фрз(£', г)]. (6.8)
I el
Легко показать, что
Еи
I0=Vf $ d£'2o/(£')P0 (£')/£'.
el
(6-9)
Так как интеграл в (6.9) можно оценить численно, только
А и /2 необходимо рассчитывать методом Монте-Карло.
Следуя положениям, изложенным в § 4.6 и 4.7, можно сфор-
мулировать расчет 11 по методу Монте-Карло.
Чтобы рассчитать /ь смоделируем истории частиц, вы-
летающих с поверхностного источника:
Q+ (Е, <й) = (£) [1 -е-'-П (£)]/4n£Srf (£),
р, = (й п > 0.
Это можно осуществить следующим образом. Сначала
выберем начальную энергию £0 из распределения
245
Jtj (£) = § dr § dtoQ* (E, to) / dr § da> x
x o>-n>0 x <o-n>0
Eu
X ^Q+(E',&)dE' = ZTf (£)Po (E)/E x
el
Eu
X 5 dE' 2Tf(E')P0(E'),E'.
el
(6.10)
В формуле (6.10) интеграл no dr берется по поверхно-
сти топлива т. Далее выберем точку рождения Р из рас-
пределения, равномерного по т, а направление полета
о—из изотропного выходящего распределения. Вычислим
f (Ео, ®>) = Q* (Ео, <о)/(1/2л) (1 /At) $ dr $ dwQ+ (Ео, о) =
X Ы - П>0
= 2р [1 -е-ЕП <£«>'] /2Г/ (£0)7Р0 (£о).
Затем образуем отношение
/? (£0, о) = ДЕ0, ©)//.
Здесь f—верхний предел* для /(£, о) по всем £ и <й и
по всем точкам Р на т. Выберем случайное число р.
Если R (Ео, ©) р, то родившаяся частица отбрасывает-
ся и выбираются новые Р и ©. В противном случае при-
нимается, что происходит рождение частицы и ей при-
писывается вес:
Еи
Wr^dr $ do'J Qt(E', a)dE' =
X <o • n>0 El
EU
C 2Tf (E )
= vi S -^r^-P^dE'.
el E
Далее история частицы моделируется обычным образом.
Скорость поглощения в топливе оценивается, как и всегда
в методе Монте-Карло, по всем родившимся нейтронам.
* Отметим, что для пластин f(E0, и) < 2, для цилиндров
/(Ео, <о) < 2,13, поэтому можно выбрать f = 2 в первом случае
и f = 2, 13 во втором.
246
Следуя рассуждениям § 4.6 и 4.7, построим процесс мо-
делирования для оценки /2. Для вычисления /2 разыгры-
вается поверхностный источник:
Q- (<о) = (р/4л) [1 -е-^ /2rf (£),
р= —<а-п>- 0.
Начальные энергии выбираются из распределения
л2 (£) =
Еи
— ^dr § (Е, <о)dr det Qp (E', w)dE' —
T <0-n<0 1 to-n<O eL
Eu
_^d pAE}/ I' j2df2p0(£')^'. (6.11)
el E'
Точки рождения P снова равномерны по т, но теперь на-
правления полета w выбираются из изотропного входящего
распределения. Процедура исключения остается прежней,
но оставшимся нейтронам приписывается вес
W2=Vf I* P0(E')dE'.
el
Как и в § 4.6, все родившиеся нейтроны обязательно испы-
тывают столкновение в топливе. Далее истории модели-
руются обычным способом и рассчитывается скорость по-
глощения в топливе.
В дальнейшем будут рассмотрены различные уточнения
описанной процедуры, но один способ мы хотим обсудить
в данном параграфе. В оценку !г включаются вклады от
нейтронов, которые поглощаются в топливе при первых
пробегах. Пусть скорость поглощения при первом пробеге
/}, а скорость поглощения в последующей части истории
/[. Тогда
4=Л1+Л';
£n/(£,)Po(£,)d£/ —
р'
247
Легко показать, что
Еи
Еи v
f P^E')dE',
el
поэтому
i Е
Ер Ха?(Е')
* f ’ Р (Е’) dE’—А-12-
J Е'
EL
Здесь P*(E) — вероятность того, что нейтрон с энергией
Е, выбранный из равномерного распределения в топливе,
испытывает первое столкновение вне топлива. Для вычис-
ления /j выбираем начальные энергии из распределения
, ^j-f (Е) ( 2Sf (£) 1 /
л, (Е) = —Е- |Р* (Е) + [Ро (Е)—Р* (Е)] jI С;
Еи
Г S77 (Е )|2о/ (£')
J Е'
el
^sf ) )
(£') + —L-------р (£') dE'.
2rf(£') К 2rf(E')
Точки рождения и углы полета нейтронов выбираем,
как и раньше, но если родившийся нейтрон поглощается
при первом столкновении, то он отбрасывается и не учиты-
вается в расчете. Далее необходимо выбрать новое Р и
новое со, не выбирая начальную энергию. Все родившиеся
нейтроны имеют вес: Wt = CVj.
Поглощения при первых пробегах ранее вычислялись
по методу Монте-Карло. Теперь вычислим скорость по-
глощения при первых пробегах аналитически. При этом
можно ожидать уменьшения дисперсии Af. Однако необхо-
димо оценить затраты на дополнительные расчеты, так
как теперь требуется вычислять Р*(Е). Величина Р*(Е)
играет важную роль в теории резонансного поглощения.
Расчет Р* подробно будет рассмотрен в § 6.3.
В данном параграфе мы рассмотрели расчетный метод,
который совершенно отличен от прямого моделирования.
При прямом моделировании относительная дисперсия
Af становится бесконечной, когда вероятность избежать
резонансного захвата стремится к единице. При исполь-
зовании метода суперпозиции относительная дисперсия
248
А остается конечной при стремлении Р к единице. Более
подробно эффективность метода суперпозиции будет об-
суждаться в § 6.4. Мы увидим, что метод суперпозиции
обычно более эффективен тогда, когда метод прямого моде-
лирования наименее эффективен.
§ 6.3. Расчет Р‘
Предположим, что все топливные стержни одинаковы,
а сечения покрытия и замедлителя не зависят от энергии.
Следовательно, Р*(Е) является функцией только сечения
топлива:
Р* (£) = Р* [7 2rf (£)] = Р* (/ 2rf).
Таким образом, при использовании метода суперпози-
ции нет необходимости точно табулировать Р* как функ-
цию энергии, а можно протабулировать и хранить таблицу
Р* как функцию оптической толщины топлива. Практи-
чески удобнее хранить таблицу 1/Р*. Подобный случай
уже встречался'в § 4.4 при табулировании Р 0.
Протабулируем 1/Р* для 46 оптических толщин в ин-
тервале 0^/2Tf <^12. В таблицах 1/Р* используем такие
же оптические толщины, как и^при табулировании 1/Р0
(см. § 4.4). Как уже отмечалось, для наших целей вполне
достаточна линейная интерполяция в таких таблицах. Ра-
зумеется, что Р* (0) = 1.
Для составления таблицы необходимо вычислить Р* для
46 различных оптических толщин. Между тем это не значит,
что надо вычислять 46 значений Р* методом Монте-Карло.
Можно эффективно использовать некоторые свойства Р*.
Оказывается [1], что
Р* (7Srf)«P0(7Srf) Gm/{ 1 — (1 -Gm) [\-Gf (7Srf)]}. (6.12)
Здесь Gm — вероятность столкновения. в покрытии и за-
медлителе для изотропного падающего потока. Другими
словами, Gm — вероятность того, что нейтрон, падающий
на покрытие и выбранный из изотропного потока, испыты-
вает столкновение, прежде чем попадет в топливо. Аналогич-
но Gf (/2П) — вероятность столкновения в топливе для
изотропного падающего потока:
G/(/2rf)=(SrfP0(/2r/).
249
Теперь определим величину ут, которая удовлетворяет
следующему уравнению:
Р*(Л2тО =
=P0U2rf)Ym(T2r/)/{l-[l-Ym(7Srf)][l-G/G2rf)]}- (6-13)
Сравнивая уравнения (6.12) и (6.13), видим, что
ут(1^п) = Gm. Следовательно, можно предположить,
что величина ут не очень чувствительна к изменениям
полного сечения. Предположив, что величина у1П является
слабо меняющейся функцией, поступим следующим обра-
зом. Вычислим Р* (по методу Монте-Карло) в точках
/Sj-f,- = 0; 1,2; 2,4; 3,6; ...; 12,0. Таким образом, сформи-
руем таблицу Р*. Выбрав Р* (72rfz)jUiH любого 72 =/= 0,
решим уравнение (6.13) для ym(T£Tli). При = 0
уравнение (6.13) не определено. Предположим, что
ym(®Tf) = ут (1,2) для 0<72?7 <1,2 и что ут линейна
в интервалах между любыми точками сетки. При этих пред-
положениях можно рассчитать ym(lZTjJ) для всех точек
/Srfj =0; 0,1; 0,2; ...; 2,0; 2,4; 2,8; 12,0. Снова, ис-
пользуя уравнение (6.13), вычислим Р* (7SrfJ) и l/P*(7Syfj)
в тех же точках. Таким образом, получаем таблицу
из 46 значений, в основу которой заложены 10 значений
Р*, рассчитанных по методу Монте-Карло. Осталось пока-
зать, как можно эффективно рассчитать Р* по методу Монте-
Карло. Необходимо одновременно рассчитать все Р*. Это
делается следующим образом.
Представим, что покрытие и замедлитель являются
чистыми поглотителями, при этом их полное сечение сохра-
няется. Начальные нейтроны распределяются равномерно
на поверхности топлива, а направления полета to выбирают-
ся из изотропного распределения. Каждый нейтрон рас-
щепляется на 10 частиц и содержит 10 весов. Первоначально
Ио) = 2ц [1 ]/72rflр0
где l^Tfi = 1,2; 2,4; ...; 12,0 для i — 1, 2, ..., 10. Для
каждого нейтрона из экспоненциального распределения
выбирается длина пробега. Путь, который проходит
рожденный нейтрон, определяется при условии, что топ-
ливный стержень является пустотой. Предположим, что
пробег пересекает топливо т раз. Пусть /г — длина хорды
250
при i-м пересечении топлива; L = — полная длина хорд
/=1
в топливе. Тогда окончательный вес i-й частицы равен
№’-т) = Ц7<0) e~^rf‘L,
а вес, который частица оставляет в топливе:
A№,- = №i0)[l—e~Erf‘L],
Легко показать, что
Р* = P0^rfi)E [l-A^J.
Другими словами, величина Рс(/2т-^)[1— AW7.] пред-
ставляет собой случайную величину, которая дает несме-
щенную оценку Р*. Расчет Р* проводится путем усреднения
этой случайной величины по всем рождениям. Следует
отметить, что при расчетах приходится неоднократно вычис-
лять функцию 1 — е_*. Это необходимо делать с помощью
таблиц g-функции (см. § 4.3).
§ 6.4. Анализ модельной задачи
В реальной задаче резонансного поглощения очень труд-
но предсказать дисперсию расчетной вероятности утечки.
Однако дисперсию легко вычислить в простой модельной
задаче. Отметим, что метод суперпозиции в реальных за-
дачах менее эффективен, чем в модельной задаче. Далее
мы увидим, почему это происходит Между тем анализ
модельной задачи позволяет показать все возможности
метода суперпозиции.
Предположим, что покрытие отсутствует, а области
I и III малы настолько, что ячейку можно считать гомоген-
ной. Будем считать, что область III заполнена водородом,
а в области I нет рассеяния. Так как ячейка практически
гомогенная, то
Р* (2rfT) Vm ZTm/[Vf + Vm Srm],
где Vm и 2Гт—соответственно объем и полное сечение
замедлителя. Видим, что приблизительно
£и
Г (£ ) Vf dE'
251
Так как в топливе рассеяние отсутствует, /2 = 0 и
Еи
El
Eaf (Е ) V/
[^(E'JVy+^Vj
dE'
Е'
л.
Теперь предположим, что замедлителем является водо-
род и что выше резонансной области Ф(Е)=1/£'. При
таких предположениях можно показать, что полное число
нейтронов, входящих в резонансную область, Q, равно
VmSrm. Так как Р—вероятность избежать резонансного
захвата—равна (1—Af/Q),
Г Saf(E')Vf dE'
l'i/VmSTm. (6.14)
Для чистого водородного замедлителя (пренебрегаем по"
глощением в водороде) [2]
Г ^а/ (Е ) Vf dE'
(6.15)
В результате
Л = — Vm2r,„[l-P + ln(P)|. (6.16)
Видим, что в модельной задаче l\ просто связано с Р. По-
кажем, что дисперсия вероятности утечки также опреде-
ляется через Р.
При расчете Ц все начальные нейтроны имеют вес
Еи
W'l = Vf^ ^~-P4E')dE'=~Vm^Tin\n(P).
el
Сама величина Ц равна среднему весу нейтронов, по-
глощенных в топливе. Если рт есть вероятность того, что
начальный нейтрон будет поглощен, то
pr =-Vm pr In (Р); (6.17)
Рг= —Л/Ет2Гт1п(Р).
Объединяя уравнения (6.16) и (6.17), видим, что
Рг = [1 -Р + In(Р)]/1 п (Р) = 1 +(1 — Р); 1п(Р). (6.18)
252
Следует заметить, что процесс моделирования, который
был разработан для расчета /ь можно использовать и для
расчета рг. Предположим, что оценка рг проводится путем
подсчета поглощений начальных нейтронов. Тогда диспер-
сия рг определяется выражением:
°2 (Рг) = Рг (1 ~Р,) = -(1 ~Р) [1 +(1 -Р)/1п (Р)]/1п (Р).
Кроме того, из (6.14)
os2 (1 -Р) = о2 [/! /St-ш Vm] = о2 [рт In (Р)]
или
os2 (1 -Р)= -(1-Р) [In (Р) +(1 - Р)Ь (6.19)
Выражение (6.19) представляет собой искомое соотно-
шение между дисперсией и вероятностью утечки. Относи-
тельная дисперсия равна:
о 02(1 — Р)
+ln(P)/(l-P)l. (6.20)
Выражение для относительной дисперсии ясно показы-
вает самую важную особенность метода суперпозиции.
Видно, что
2 ( = 0 при Р= 1,
(J. ч {
’ (=оо при Р = 0.
Другими словами, метод суперпозиции наиболее эффек-
тивен при больших Р. С другой стороны, в методе
прямого моделирования (вновь предполагаем, что исполь-
зуется двоичная оценка)
2 _ О2 (1-Р) р
& Г , С —— -- ----- >
(1-Р)2 (1-Р)
поэтому
2 1 = 0 при Р = 0,
°г,с ( = ОО при Р= 1.
Таким образом, метод прямого моделирования наиболее
эффективен при малых Р.
Для сравнения двух методов необходимо оценить эф-
фективность каждого Пусть Л^(о) — число историй, кото-
рое необходимо проследить для получения данной диспер-
сии в случае использования метода суперпозиции. Со-
253
ответственно Nc(o) — число историй, необходимое
для получения той же дисперсии в случае использования
метода прямого моделирования. Отношение р = NCINS в не-
котором смысле представляет отношение эффективностей
этих расчетов. В табл. 6.1 приведены значения р для раз-
личных Р. При значениях Р > 0,7 (наиболее важная об-
ласть для реакторных задач) р существенно больше 10.
Таблица 6.1
Величина р как функция вероятности избежать
резонансного поглощения
р е-1 0,4 0,5 0,6 0,7 0,75 0,8 1
р 1 1,26 2,69 5,40 12,3 19,7 34,7 оо
Ясно, что для значений Р, достаточно близких к еди-
нице, метод суперпозиции значительно эффективней обыч-
ного метода прямого моделирования. Оценка эффективности
будет недостаточна, если приблизительно не знать, сколько
времени занимает расчет одной истории в обоих случаях.
Очевидно, что метод суперпозиции требует много расчетов
в начале каждой истории. Однако у метода суперпозиции
имеется одна важная особенность. Функции плотности
(Е) и л2 (£), из которых осуществляется выборка началь-
ной энергии нейтрона, содержат в качестве коэффициента
ME. По этой причине в расчетах, использующих метод су-
перпозиции, родившиеся нейтроны преимущественно стре-
мятся выйти из области низких энергий. В расчетах, ис-
пользующих метод прямого моделирования, распределение
энергий родившихся нейтронов пропорционально плот-
ности замедления выше некоторой энергии Еу. Плот-
ность замедления от рассеяний на водороде равномерна по
энергии. Рассеяние на тяжелых элементах создает источник
нейтронов, у которых энергии сконцентрированы вблизи
Ец. Поэтому число столкновений, приходящихся на одну
историю, в расчетах по методу суперпозиции меньше,
чем в расчетах по методу прямого моделирования. Учиты-
вая это, априори нельзя сказать, что расчет одной истории
по методу суперпозиции занимает больше времени, чем
расчет по методу прямого моделирования.
254
В нашем анализе имеется серьезный недостаток. До
сих пор при расчетах дисперсий пренебрегалось рассея-
ниями в топливе. Легко заметить, что учет рассеяний в топ-
ливе может вызвать много трудностей (например, если
Ii и /2 намного больше, чем Af). Покажем, что это часто
имеет место.
Напомним, что W2 — полный вес родившегося нейтро-
на при расчете /2— равен
V, J ±^Дл0(£')Ж'.
4
Кроме того,
W'i = 4
So, (£')
Р*(Е')+ f
Е'
[Р0(Е')—Р*(Е') \dE'.
В большинстве расчетов вероятности избежать резонансно-
го поглощения сечение потенциального рассеяния при-
нимается независимым от энергии. Так как
lim lim f (E) > 0,
то получаем, что
lim lim 1Кг = оо.
Ey-t-oc
Для удобства обозначим расчет Д по методу Монте-
Карло как расчет А и расчет /2 как расчет В. Пусть рл —
вероятность того, что в расчете А родившийся нейтрон
в конце концов поглотится. Аналогичным образом опреде-
лим вероятность р,.2. Легко заметить, что
limprl>0; limpr2>0.
Efy—>00 Еу-ь-оо
Ho I'^PnW’p, I2^pr2W2
и, следовательно, lim Д = 00 = lim 4-
255
С другой стороны, скорость поглощения в топливе долж-
на быть конечной, т. е. ПтДуСоо.
Таким образом, если верхняя граница энергетической
области расположена высоко, то окажется, что
/1 12 Aj.
Всякий раз, когда Ц и 12 намного большему, расчет^
будет трудоемок. Дисперсия^ равна о2(Лу) = о2(/2—/t).
Так как расчеты А и В независимы, то
О2 И/) О2 (Vi) Р2(/а) о2 (Л) , О2(/г)
4 " 4 + я2 ([/;)2 + /2 •
Следовательно, относительная дисперсия Af будет намного
больше относительной дисперсии Ц или /2.
Мы видим, что метод суперпозиции неэффективен в рас-
четах, охватывающих большие энергетические области.
К сожалению, он не всегда эффективен и в расчетах малых
энергетических областей. В любой области, в которой
dE',
может оказаться, что Л или /2 или обе эти величины на-
много больше Ду. Это неравенство "может выполняться, даже
если область интегрирования имеет ширину одного резо-
нанса. Это происходит тогда, когда имеется сильное резо-
нансное рассеяние. Как в этом случае использовать метод
суперпозиции?
Несмотря на эти недостатки, даже данная формулировка
метода суперпозиции представляет определенную ценность.
Например, метод можно использовать при расчетах высоко-
обогащенного уранового топлива, где наибольшее коли-
чество поглощений происходит ниже 100 эв. При энергиях
ниже 100 эв скорость рассеяния U235 меньше скорости
поглощения. Метод суперпозиции можно также исполь-
зовать для расчета (1 —Р) в одиночном резонансе в от-
256
дельном топливном стержне. Практически это невозможно
сделать с помощью метода прямого моделирования. Ясно,
что если в ячейке много замедлителя и резонанс достаточно
узкий, то Р будет стремиться к единице. При расчете по
методу прямого моделирования лишь малая часть ней-
тронов будет пересекать топливо и вносить вклад в оценку
скорости поглощения.
Однако если использовать метод суперпозиции, то
количество замедлителя в ячейке и ширина резонанса не
вызывают трудностей. При расчете скоростей поглощения
в отдельных резонансах и изолированных стержнях метод
суперпозиции значительно превосходит методы прямого
моделирования. Это справедливо даже при сильном резо-
нансном рассеянии.
Метод суперпозиции рассматривался как альтернатива
сопряженного метода. По нашему мнению, сопряженный ме-
тод недостаточно хорош для расчетов резонансного поглоще-
ния, так как требует использования изменяющихся весов.
Уже отмечалось, что соответствующим выбором изменяю-
щихся весов можно уменьшить дисперсию расчета, но
вообще изменения весов приводят к увеличению диспер-
сии. Используя принцип суперпозиции вместо соотношения
взаимности, не удается полностью устранить изменения
весов: поглощение нейтрона в расчете А вносит отрица-
тельный вклад в оценку величины Af, в то время как
в расчете В этот вклад положителен. В известной сте-
пени это является основным недостатком метода супер-
позиции.
Основное его преимущество проявляется при сравнении
поведения весов в обоих методах. В расчетах по методу
суперпозиции нейтронам приписываются веса при рожде-
нии, и начальные веса не изменяются на протяжении всей
истории. В расчетах резонансного поглощения по сопряжен-
ному методу вес нейтрона изменяется при каждом столкно-
вении. Нейтронные веса не ограничиваются ни сверху,
ни снизу. Очевидно, что случайное появление в топливе
нейтронов с очень большим весом будет приводить к уве-
личению дисперсии.
Ясно, что любое рассеяние в топливе будет уменьшать
эффективность метода суперпозиции. Рассеяние в топливе
представляет наиболее серьезную проблему. В дальнейшем
мы будем стремиться различными способами уточнить
учет этого эффекта, для чего внесем существенные измене-
ния в метод суперпозиции.
257
§ 6.5. Второй метод *
Метод суперпозиции можно интерпретировать как метод
расчета возмущений (аналогично § 4.5). Если проанализи-
ровать метод в данной формулировке, то увидим, что не-
возмущенный поток равен 1/Е, а все столкновения в топливе
представляются как возмущения. В невозмущенном состоя-
нии топливо заменяется пустотой, и столкновения в топ-
ливе отсутствуют. Теперь представим, что «невозмущенное»
топливо только рассеивает нейтроны, а его сечения не со-
держат резонансов. В невозмущенном состоянии все резо-
нансные ширины равны нулю, а сечения потенциального
рассеяния в топливе сохранены. Снова предполагаем, что
сечения потенциального рассеяния не зависят от энергии
и все рассеяния изотропны в системе центра масс. При
таких условиях невозмущенный асимптотический поток
(т. е. поток при энергиях, значительно меньших энергий
источников) продолжает быть равен 1/Е. Отметим, что
с точки зрения нового определения невозмущенного состоя-
ния, можно изменить предположения-о поведении сечений
выше Еи. Существенной особенностью метода суперпо-
зиции является то, что топливо выше энергии Еи должно
находиться в невозмущенном состоянии. В дальнейшем не
будем допускать, что при энергиях выше Еи все сечения
топлива равны нулю. Вместо этого будем предполагать
отсутствие при этих энергиях резонансов и поглощения.
Каждый элемент топлива может иметь выше и ниже Еи не-
зависимое от энергии сечение потенциального рассеяния.
Изменив определение невозмущенного состояния, можно
теперь внести некоторые изменения в метод суперпозиции.
С этой целью необходимо дать новое определение задачи
р. В новой задаче р объемный источник в топливе равен
СДЕ) = 1[2а/(Е) + 2^(В)1 = А (£). (6.21)
л л
Источник вне топлива равен нулю. В последнем выраже-
нии введено сечение 2Sr^(E), которое будет неоднократно
* Этот метод является комбинацией первого и второго методов
гл. 4.
258
использоваться в дальнейшем. Для i-ro изотопа в обла-
сти I
^srf(E) = ^sf(E)-^Pf.
Здесь Ssf и —соответственно полное сечение рассея-
ния и сечение потенциального рассеяния изотопа. Разу-
меется, что 2>srf (Е) равно сумме всех сечений резонансного
рассеяния в области:
I
Снова примем, что Ft = Fa-[-Fp. Оператор Ж опреде-
лим следующим образом:
ZF(E, г, <o) = <o.v77(£, г, <о) + 2г(£, r)F(E, г, <о). (6.22)
Пусть Ftu (Е, г, <о) поток, удовлетворяющий следующе-
му транспортному уравнению:
£FTu(E, г, <о) =
Еи
= dE' YPf Е'->Е, r)Fru(E', г, <t>') +
el
+ (1/4л)&>(Е, г) + (1/4л)СДЕ), геД,;
XFTu{E, г, ы) —
Еи
= \dta' dE' Е' ->Е, r)FTu{E', г, <о') +
el
+ (1 /4л) Qs (Е, г), (6.23)
В уравнении (6.23) величина Qs(E, г) представляет
собой плотность замедления из области энергий выше
Еи- Более точно, Qs(E, г) dE — скорость, с которой ней-
троны из области энергии выше Еи замедляются в единич-
ный объем в интервал dE около Е.
Все сечения рассеяния в уравнении (6.23) постоянны.
Поглощение отсутствует всюду, кроме области I. Источ-
ник в области 1 равен 1/4лЕ от величины сечения погло-
* Отметим, что сечение интерференционного рассеяния может
принимать отрицательные значения. Следовательно, 2Srf может
быть отрицательным при некоторых энергиях.
259
щения. Если F(E, г, <о) = 1/4лЕ для Е>Ец, то это озна-
чает, что
FTu (Е, г, <о) — 1 /4лЕ
(6.24)
в области Еь^Е^Еу.
Определим Frs(E, г, <о) следующим образом:
Еи
XFrs(E, г, (o) — ^da>' t/E'Ssf ((оо', Е'->Е, г) х
el
X Fts (Е', г, u') + Qts (Е, г, о); (6.25)
Qrs(E, г, ®) =
Еи
§ dE’ SSrf (со a)', E'~>E,r)x
el
X FTU (E’, r, co'), ге/?р
0, r£7?i.
Складывая уравнения (6.23) и (6.25), видим, что FT =
— Ftu+Fts- Таким образом,
Fa = Ftu + Fts — Fp — (1 /4лЕ) + FTs — Fp. (6.26)
Далее поступим так же, как в § 4.7, несколько изменив
определение составляющих Fp. Через и SSr обозначим
сечения событий, которые назовем «потенциальным рас-
сеянием» и «резонансным рассеянием».
Пусть Fp = Fp (нерассеянные до выхода, невозмущен-
ные нейтроны) Fp (нерассеянные до выхода, возмущен-
ные нейтроны) + Ер (резонансно-рассеянные до выхода
нейтроны) +Fp (потенциально рассеянные до выхода ней-
троны). Более кратко, Fp = Fpuu+Fpur+FpSr+FpSp.
В сокращенном обозначении
Fa — (1/4лЕ)—FpuU—Fpur —Fpsp-\-Frs—Fp$r.
Eu
Как и в§ 6.2, Af = dE’ \dr So/(Е') Ф„ (Е', г).
el I
260
Если записать
Еи
10= $ г/£'рг2о/(£')[(1/£')-Ф₽„„(£', г)]; (6.27)
el I
Еи
К = \dE'l dr So/ (£') Ф₽ыг (£', г); (6.28)
EL ,
Еи
/2 = $ dE'\dr Ъа1 (Ef) Opsp(Е1, г); (6.29)
el i
Еи
.7 = 5 dE' S dr <£') [ф™ (£'’ г)~®₽sr], (6.30)
el i
тогда Az = /0—Д—/2+-7. (6.31)
С помощью простой алгебраической операции находим
(1/£)-ФРы„(£, г) [Q/(£)-Srf(£)®p„n(£,r)]/Sr/(£) +
+ (£) 2р, Ф₽„„ (r)/Srf (£) 2r/ (£)•
В результате
$ dr 2й/(£)[(!/£) -Фр„„(£, г)] =
I
V, 2О/ (£) |р0 (£) + [I-ро (£)]! / £;
Еи
Z0 = Vx f d£'Sa/(£)
el
^pf ) I
/0 можно вычислить с помощью квадратурных методов.
Рассчитать несложно. Аналогичными рассуждения-
ми покажем, что равно скорости поглощения, которую
создает источник, распределенный на поверхности т:
Q1P (Е, о) = р2г/ (£) [1 е /ЕП (£)] /4л£ 2rf (£),
ц = <о-п>0
= 0, р < 0. (6.32)
261
Как отмечалось в начале параграфа, этот источник мо-
жет быть отрицательным при некоторых энергиях. В других
отношениях он подобен источникам, которые встречались
ранее. Используя уже описанные процедуры, можно смоде-
лировать этот источник, проследить судьбу родившихся
нейтронов и оценить скорость поглощения в топливе.
Расчет /2 также прост. В задаче р число нейтронов
с энергией Е, которое испускает источник за секунду,
равно ViQf(E). Следовательно, если Q2 (Е) — скорость,
с которой невозвращенные нейтроны испытывают потен-
циальное рассеяние, то
Qz(£) = ^ | Sr/ (Е) 1XPf [1 -Ро (Е)]/Е (Е).
Для вычисления /2:
1) выберем начальную энергию из функции плотности
л2(Е) = (?2(Е)/ ^Q2(E')dE'-,
2) припишем родившемуся нейтрону вес — W2 =
= J Q-2 (Е') dE', если сечение Sr/(E) положительно (в про-
&L
тивном случае вес равен + Ц72);
3) выберем точку рождения из распределения равно-
мерного по объему Vi, направление полета <о из изотропного
распределения. Если родившийся нейтрон покидает объем
Vi при первом пробеге, то он отбрасывается. В противном
случае считаем, что при первом столкновении происходит
потенциальное рассеяние. Далее история моделируется
обычным образом.
Ясно, что если величина [1 — Ро (Е)] мала при неко-
торой энергии, то процедура с исключением будет малоэф-
фективной. Это обычно происходит при энергиях, далеких
от резонансных пиков, где функция плотности л2 (Е) не-
велика. Такие энергии выбираются редко*.
Осталось вычислить только один интеграл, который яв-
ляется наиболее сложным. Обозначим FTs — F$sr —
= Едд.
* Именно по этой причине малая эффективность процесса с
исключением при Ро = 1 менее серьезна в многоскоростных расче-
тах, чем в односкоростных.
262
Рассуждениями, аналогичными рассуждениям § 4.7,
легко показать, что
Еи
£F^S (Е, г, сй) — [ dE' da' YSf(u>-w',E' -> Е, г) х
el
X F^(E', г, ©')+QAs(E> г- <°У (6-33)
Qas(E, г,ю) =
Еи
(j dE' (j dm'Zsrf ,Е'-+Е, г) X
EL (6-34)
X[FTU(E’,r,<>)')—F^UU(E', г, ю')], ГЕ Еь
О, rf£Ei-
Так как FTU(E, г, со) = 1/4лЕ, то ясно, что
2Fra(E,r,«>) = Srf(E)/4nE, rg=Ei; (6.35)
FTU ГР> ®)=1/4лЕ.
По определению,
55F₽„„ (Е, г, со) = 2Г/ (Е)/4лЕ, г е Ер,
ЕРыи(Е,гр,(1)) = 0, ft)-n<0. (6.36)
Вычитая (6.36) из (6.35), получаем
5? [Fr[/ (Е, г, ft))—Е₽ыы (Е, г, со)] = Spf/4nE, г е Ei;
FTU(E, rp, ft))—FfiUU(E, rp, (о)=1/4лЕ, ft)-n<0. (6.37)
Из уравнения (6.37) видно, что величина
[Fro (Е,г, о))—F₽uu (Е, г, со)] удовлетворяет транспортному
уравнению в области I. Эту величину можно интерпрети-
ровать как поток, образованный совместным действием двух
источников. Одним является равномерный, изотропный,
объемный источник плотностью 2Р;/4пЕ, другим — входя-
щий поверхностный источник мощностью <о-п/4лЕ.
Приходим к следующим заключениям. Из формулы
(6.30) известно, что величина 3 равна скорости поглощения
в области Ei от потока Едх. Из уравнений (6.33) и (6.34)
ясно, что поток F^s возникает от резонансно рассеянных
263
нейтронов внутри области /?! в потоке (FTU —
Следовательно, для вычисления величины -7 необходимо:
а) смоделировать поток (Ftu — F$lltl)-, б) смоделировать
резонансные рассеяния в этом потоке; в) проследить рас-
сеянные нейтроны и, наконец, г) оценить скорость поглоще-
ния рассеянных нейтронов в топливе.
Чтобы реализовать эти операции, следует выполнить
два отдельных расчета.
Сначала определим
Qe (Е) = 1/, 12,Srf (Е) | [1 -Ро (E)]/ESrf (£);
Еи
л3 (£) = Q3 (E)l J Q3 (Е') dE'. (6.38)
el
Выберем начальные энергии из л3 (Е). Если
Ssrf(E) > 0, припишем родившемуся нейтрону вес
Еи
№3= j Q3 (Е) dE. В противном случае вес равен — №3.
el
Начальные точки Р распределяются равномерно по области
R\, а начальные направления полета со — изотропно. Если
родившийся нейтрон покидает область 7?i при первом про-
беге, то он отбрасывается. Сохраняя Е, выбираем новое
Р и новое со. В противном случае прослеживаем далее судьбу
нейтрона и оцениваем скорость поглощения в области Ri.
Пусть скорость поглощения нейтронов из источника
Q3 (Е) равна Ц.
Теперь определим входящий поверхностный источник
QTp (Е, co) = p|SSrf(E)| [1-е-'Е^(£)]/4лЕ277(Е),
ц== —wn>0.
(6.39)
Можно показать, что
Qt (Е) sb J dr J dw | (E,<o) I = | ^srf (E) | V, Po (E)/E.
r ©«neo
(6.40)
Определим
Eu
n4(E)=Q4(£)/ f Q4(E')dE'. (6.41)
el
264
Выберем начальную энергию из л4(Д) и начальную
точку из распределения, равномерного по поверхности
т. Припишем родившемуся нейтрону вес
Еи
W.= }Q4(£')sgn[2s,f(£')]d£'.
el
Выберем направление полета <о из изотропного рас-
пределения. Вычислим
f (Е, <ii)=-Q4P(E, <о)/(1/2зт) (1/Лт) \ dr duQ^p (Е, ю) =
t ип<0
= 2p[l-e-zW)]/72rf(E)P0(E).
Сформируем Д=| f (Е, о) | If. Выберем случайное число
р. Если R < р, то родившийся нейтрон отбрасывается,
в противном случае происходит столкновение с резонансным
рассеянием в области Дальнейшая судьба нейтрона
прослеживается обычным образом. Пусть скорость поглоще-
ния нейтронов из источника Q4 равна /4. Очевидно, что
Af = 7о-Л-72 + 13+ /4.
Заметим, что в 1х были включены вклады от нейтронов,
которые поглощаются при первом столкновении. Как и
в § 6.2, лучше вычесть эти вклады из /4 и включить в 70.
Снова запишем /г= 7} + l[. Легко показать, что
Еи
= Vt [ dE' Sr/ (Д') So/ (£') [Po (E')-P* (E')]/E' ZTf (Д')-
el
Следовательно,
Eu
Io^lo-I{ = V, f 2O/ (Д') (p*(£') + Ц_р*(Д')]|.
el l I ) J
(6.42)
В теории резонансного поглощения величина /о есть
скорость резонансного поглощения в /^^-приближении
[2]. Окончательно,
Л = /о-/;-/2 + /3 + /4- (6.43)
265
Таким образом, рассчитывая величины Л, /2, 13 и
/4, мы просто уточняем АЕ-приближение.
К сожалению, отсюда не следует, что поправки, рас-
считанные по методу Монте-Карло, будут малы при доста-
точной точности EE-приближения. Оказывается (как и
в § 6.2), что поправки имеют различные знаки. Отдельные
поправки могут быть значительными, даже если сумма
всех поправок мала. Какие же преимущества дает отдель-
ный расчет потенциального и резонансного рассеяния?
Убедимся, что мы получаем большое преимущество. В § 6.4
на примере простой модельной задачи изучались возмож-
ности первого метода. Анализ показал, что метод очень
эффективен, но анализ становится нестрогим при наличии
рассеяния в топливе. Рассеяние в топливе снижает эф-
фективность метода.
Предположим, что резонансное рассеяние в топливе
отсутствует. Применяя второй метод, находим, что /3 =
= Ц = 0. Если область I бесконечно мала, /2 = 0. Сле-
довательно, все рассуждения § 6.4 оказываются справед-
ливыми. Потенциальное рассеяние не снижает эффектив-
ности второго метода, и только резонансное рассеяние
вызывает трудности.
§ 6.6. Способы сокращения объемов
хранимой информации
В § 6.5 подразумевалось, что различные поправки Ц рас-
считываются независимо. Такой подход неэкономичен
с точки зрения хранения информации. Если по отдель-
ности рассчитывать Ц, 12, 13 и Ц, то необходимо отдельно
хранить таблицы функций:
Е Е
Fi (Е) = .[ л! (E')dE'; Е2(Е) = f n^E')dE';
el el
E E
F3 (E) = $ л3 (E') dE'; Fi (E) = $ л4 (E') dE'.
el el
Однако можно одновременно рассчитывать все четыре ин-
теграла и хранить только одну функцию распределения.
266
Поступим следующим образом. Определим:
(Е) = | Sr/ (Е) | {Ро (E)-Zaf (Е) [Ро (JE)—P* (E)]/Sn (Е)}/Е;
Q (Е) = Qi (Е) + Q2 (Е) + Q3 (Е) + Q4 (Е);
Еи
n(E) = Q(E)/ J Q(E')dE';
el
Еи
W = jj Q(E')dE'.
el
Выберем начальную энергию из плотности л (Е). Раз-
делим все родившиеся нейтроны на четыре группы. Пусть
Qf(E)/Q (Е)—вероятность того, что рожденный нейтрон
с энергией Е попадает в i-ю группу. Выберем группу. Пред-
положим, что была выбрана первая группа. Тогда если
(Е) > 0, то родившемуся нейтрону приписывается
вес, равный — W. В противном случае вес равен W. На-
чальные углы и координаты выбираются так же, как и при
расчете Ц. Предположим, что была выбрана вторая группа.
Тогда, если 2Srf(E) > 0, начальный вес равен — W.
В противном случае вес равен W. Начальные углы и коорди-
наты определяются так же, как при расчете 12. В группах
3 и 4 веса равны W, если SSr/(E) > 0, и равны —W в про-
тивном случае. Начальные параметры выбираются так же,
как при расчетах /3 и /4.
Вклады в скорость поглощения в области I от отдельных
историй вносятся с учетом условий рождения нейтронов.
Существуют и другие способы, позволяющие уменьшить
объем хранимой информации. Например, в случае, когда
изотоп не имеет резонансов, его сечение рассеяния (по
предположению) не зависит от энергии, что позволяет
легко хранить таблицу сечений рассеяния для многих таких
изотопов. Однако если изотоп имеет резонансы, его сечение
рассеяния является сложной функцией энергии. Таблица
сечений разонансного рассеяния вообще очень велика и
громоздка и требует больших объемов памяти для хранения.
В конкретных расчетах часто все изотопы с резонансами
имеют приблизительно одинаковую массу. Например, это
могут быть изотопы урана или тория. Не будет большой
267
ошибки, если предположить, что все изотопы имеют одина-
ковую массу. Можно принять в качестве фиктивной массы
некоторую среднюю по этим изотопам. Пренебрегая разли-
чиями в массах изотопов, можно хранить только одну таб-
лицу сечений резонансного рассеяния.
§ 6.7. Преимущества метода суперпозиции
В предыдущих параграфах мы показали лишь малую
долю тех преимуществ, которые можно получить, исполь-
зуя метод суперпозиции. Следовало бы обсудить, как наи-
более эффективно можно использовать этот метод и рас-
смотреть его возможности и ограничения.
Метод суперпозиции имеет два принципиальных огра-
ничения. Первое ограничение заключается в том, что метод
суперпозиции малоэффективен при малых значениях ве-
роятности избежать резонансного захвата (Р). В задачах,
в которых Р^0,5, лучше использовать другие расчетные
методы. Второе ограничение заключается в том, что метод
суперпозиции малоэффективен, если скорость резонанс-
ного рассеяния больше скорости поглощения. К сожале-
нию, резонансное рассеяние растет с увеличением энергии*.
Следовательно, метод суперпозиции наиболее полезен при
расчете низколежащих резонансов. Этот метод целесооб-
разно использовать при расчетах, охватывающих энерге-
тическую область 0,625 100 эв. На самом деле это
ограничение не слишком строгое. Именно в низкоэнерге-
тической части резонансной области метод Монте-Карло
наиболее полезен. Именно в этой области резонансы пере-
крываются, экранируют друг друга и распределение нейт-
ронного потока становится исключительно сложным. В об-
ласти более высоких энергий обычно вполне достаточны
'приближенные методы, например метод Нордгейма 11 1.
Метод суперпозиции и метод Нордгейма можно объеди-
нить в одной расчетной программе, которая будет и быстро-
действующей, и точной. Эту программу можно использо-
вать для расчета реакторов или для анализа экспериментов
с изолированными топливными стержнями.
В последних трех главах были рассмотрены специальные
методы для решения конкретных физических задач. Не-
смотря на актуальность самих задач, наиболее важен подход,
который был продемонстрирован. Мы пытались показать,
* Нейтронная ширина пропорциональна | Е, а радиационная
ширина почти не зависит от энергии.
268
что метод Монте-Карло не просто тяжелая артиллерия,
а тонкий, гибкий инструмент, с которым следует осто-
рожно обращаться.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nordheim L. W., Kuncir G. A program of research and
calculations of resonance absorbtion. GA-2527 (August 28, 1961).
2. Дреснер Л. Резонансное поглощение в ядерных реакторах.
Перев. с англ. М., Госатомиздат, 1962.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие к русскому изданию......................... 3 4!
Предисловие........................................... 5
Глава 1. Основы метода Монте-Карло................. 8
§ 1.1. Введение.................................... 8
§ 1.2. Случайные величины.......................... 8
§ 1.3. Статистический анализ...................... 19
§ 1.4. Выборочные распределения и доверительные ин-
тервалы ..........................................24
§ 1.5. Получение случайных чисел с заданным распре-
делением ........................................ 30
§ 1.6. Метод исключения...........................37
§ 1.7. Обобщение на случай многих измерений .... 40
§ 1.8. Специальные методы.........................46
§ 1.9. Выработка равномерно распределенных случай-
ных чисел.........................................49
Глава 2. Дискретные и непрерывные процессы случайных
блужданий.........................................54
§ 2.1. Введение................................... 54
§ 2.2. Дискретные случайные блуждания ... 55
§ 2.3. Решение систем линейных уравнений .... 61
§ 2.4. Интегральные уравнения теории переноса нейт-
ронов .............................................71
§ 2.5. Основные оценки для интегральных уравнений . 77
§ 2.6. Оценка по пробегу...........................83
§ 2.7. Обобщения оценки по пробегу..... 94
Глава 3. Стандартные методы уменьшения дисперсии . 102
§3.1. Введение................................. . 102
§ 3.2. Общие принципы.............................103
§ 3.3. Процессы случайных блужданий.............. 104
§3.4. Двоичная оценка........................... 118
§ 3.5. Систематическая выборка из источника . . . . 120
§ 3.6. Использование математических ожиданий ... 123
§ 3.7. Выборка по важности.................... ... 135
§ 3.8. Рулетка и расщепление......................152
270
Стр.
§ 3.9. Коррелированная выборка.................... 159
§3.10. Метод противоположной переменной...........163
§3.11. Линейные комбинации случайных величин . . 166
Глава 4. Использование принципа суперпозиции и прин-
ципа взаимности в односкоростных задачах ... 170
§4.1. Введение....... . 170
§ 4.2. Метод суперпозиции .... 172
§4.3. Метод поверхностного источнигл.......... 175
§ 4.4. Вероятность столкновения и вероятность утечки 184
§ 4.5. Использование метода суперпозиции для расчета
возмущений......................... 188
§ 4.6. Учет рассеяний. Первый способ ... . . 189
§ 4.7. Дополнительное рассмотрение первого способа
учета рассеянии.................................. 193
§ 4.8. Второй способ учета рассеяний ... . 199
§ 4.9. Другие применения метода суперпозиции . . 201
§ 4.10. Использование сопряженного кинетического
уравнения.........................................204
Глава 5. Расчет потоков тепловых нейтронов . 210
§ 5.1. Введение................ .... ... 210
§ 5.2. Постановка задачи...........................210
§5.3. Расчет потоков нейтронов методом Монте-Карло 218
§ 5.4. Уточнение задачи....... ................230
§ 5.5. Расчет малых возмущений.................... 236
Глава 6. Принцип суперпозиции в расчетах резонансного
поглощения . ........ - 242
§6.1. Введение . ..............................242
§ 6.2. Первый метод . ... 243
§ 6.3. Расчет Р*.......... .........................249
§ 6.4. Анализ модельной задачи ....................251
§ 6.5. Второй метод................................258
§ 6.6. Способы сокращения объемов хранимой информа-
ции ..............................................266
§6.7. Преимущества метода суперпозиции . . ... 268
Дж. Спанье, Э. Гелбард
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО НЕЗАДАЧИ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ
Прел Пре; Перев. с англ, под рсд. А. Д. Франк-Каменецкого Редактор Паршина Г. П. Художественный редактор Александров А. С. Художник Кулешов В В.
Г л ; Технический редактор Власова Н. А. Корректор Смирнова Н. А. Сдано в набор 21.VI. 1971 г. Подписано к печати 7.1.1972 г. Формат 84 X 1081/». Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 14,28. Уч.-изд л. 13.4 Тираж 2630 экз. Цена 1 р. 50 к. Зак. изд. 69267. Зак. тип. 385. Атомиздат. 103031. Москва, К-31, ул, Жданова, 5/7. Московская типография № 4 Главполиграфпрома Комитета по печати прн Совете Министров СССР Москва, Б Переяславская, 46
Г Л
Гл
270