Текст
                    ПРОЕКТИРОВАНИЕ, КОНСТРУКЦИЯ
И ПРОИЗВОДСТВО ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
АВИА-
И РАКЕТОСТРОЕНИЯ

ПРОЕКТИРОВАНИЕ, КОНСТРУКЦИЯ И ПРОИЗВОДСТВО ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВИА- И РАКЕТОСТРОЕНИЯ В КОНСПЕКТАХ ЛЕКЦИЙ Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Ракетостроение» направления подготовки дипломированных специалистов «Ракетостроение и космонавтика» и специальности «Самолето- и вертолетостроение» направления подготовки дипломированных специалистов «Авиастроение » МОСКВА *2005
УДК 629.7 ББК 39.5 ТЗЗ Серия «Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов» Авторы: А. С. Чумадин, В. И. Ершов, В. А. Барвинок, В. И. Богданович, В. В. Васильев, А. Е. Волхонский, И. Н. Егоров, Ю. Л. Иванов, Н. Ю. Каратаева, А. И. Киселев, В. Н. Кобелев, Л. Н. Лысенко, Б. Н. Марьин, А. П. Петров, В. Е Попов, Г. А. Резниченко, М. Ю. Русин, А. В. Цырков, Ю. А. Цуриков, В. Г. Шахов, В. И. Якунин Рецензенты: д-р техн, наук, проф. В. А. Тарасов; кафедра «Летательные аппараты» Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С. П. Королева Теоретические основы авиа- и ракетостроения (в конспектах лекций): учеб. ТЗЗ пособие для вузов / А. С. Чумадин, В. И. Ершов, В. А. Барвинок и др. — М.: Дрофа, 2005. — 784 с.: ил. — (Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов). ISBN 5-7107-8537-7 Пособие является первым из серии «Проектирование, конструкция и производство летательных аппаратов». Излагаются современные представления в теоретических дисциплинах: гидро- газоаэродинамике, ракетной баллистике, динамике полета, строительной механике, проек- тировании и конструировании летательных аппаратов. Отдельные лекции посвящены те- ории изготовления деталей из композиционных материалов и методом пластического деформирования, теории надежности, методологии научного эксперимента, способам опи- сания аэродинамических поверхностей, системам автоматизированного проектирования, а также теории автоматического регулирования. Для студентов аэрокосмических вузов, обучающихся по специальностям «Ракето- строение» и «Самолето- и вертолетостроение». УДК 629.7 ББК 39.5 Учебное издание А. С. Чумадин, В. И. Ершов, В. А. Барвинок, В. И. Богданович, В. В. Васильев, А. Е. Волхонский, И. Н. Егоров, Ю. Л. Иванов, Н. Ю. Каратаева, А. И. Киселев, В. Н. Кобелев, Л. Н. Лысенко, Б. Н. Марьин, А. П. Петров, В. Г. Попов, Г. А. Резниченко, М. Ю. Русин, А. В. Цырков, Ю. А. Цуриков, В. Г. Шахов, В. И. Якунин ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АВИА- И РАКЕТОСТРОЕНИЯ (В КОНСПЕКТАХ ЛЕКЦИЙ) Учебное пособие для вузов Редактор Б. В. Панкратов. Художественное оформление А.Л.Кашеков Технический редактор В. Ф. Козлова. Корректоры Г. И. Мосякина, Н. С. Соболева Компьютерная верстка А. В. Егоров, А. В. Маркин Подписано в печать 15.03.05. Формат 70x100 Vi6- Бумага офсетная. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Усл. печ. л. 63,21. Тираж 1000 экз. Заказ № 666 ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93. © Коллектив авторов, 2005 © ОАО«КнААПО», 2005 ISBN 5-7107-8537-7 © Оформление. «Дрофа», 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ1 Предисловие ........................................ 4 ГЛАВА 1. Введение в ракетно-космическую технику (Киселев А. И., Кобелев В. Н.)...........................6 ГЛАВА 2. Гидрогазоаэродинамика летательных аппаратов (Шахов В. Г.)...........................................48 ГЛАВА 3. Основы проектной баллистики ракет-носителей и космических аппаратов (Лысенко Л. Н.)................107 ГЛАВА 4. Динамика полета и основы устройства самолета (Волхонский А. Е., Резниченко Г. А., Иванов Ю. Л.).....163 ГЛАВА 5. Основы устройства ракет-носителей (Кобелев В. Н.).234 ГЛАВА 6. Реактивные двигатели летательных аппаратов (Попов В. Г.). 284 ГЛАВА 7. Элементы строительной механики летательных аппаратов (Волхонский А. Е.)...............342 ГЛАВА 8. Основы теории автоматического регулирования (Цуриков Ю. А.)........................................393 ГЛАВА 9. Обеспечение надежности летательных аппаратов в процессе их производства (Барвинок В. А., Богданович В. И.).....................435 ГЛАВА 10. Методы оценки конструкторско-технологических решений (Егоров И. Н.).................................478 ГЛАВА 11. Методология научного эксперимента в производстве аэрокосмической техники (Ершов В. И., Петров А. П.)....523 ГЛАВА 12. Основы теории изготовления элементов конструкций пластическим деформированием (Чумадин А. С.)...........576 ГЛАВА 13. Проектирование конструкций летательных аппаратов из композиционных материалов (Васильев В. В.)..........625 ГЛАВА 14. Способы задания, описания и увязки аэродинамических поверхностей (Якунин В. И., Каратаева Н. Ю.)670 ГЛАВА 15. Системы автоматизированного проектирования в авиа- и ракетостроении (Цырков А. В., Марьин Б. Н., Русин М. Ю.) ... 716 гВ конце каждой главы имеется более подробное содержание. 3
ПРЕДИСЛОВИЕ XX век стал свидетелем бурного развития авиационной и ракетно-космической техники во многих странах мира и, в первую очередь, в России, Соединенных Штатах Америки, Германии, Франции, Великобритании, Японии и Китае. Еще ряд стран создают или потенциально способны создавать летательные аппараты, однако только указанные страны способны это делать самостоятельно и независимо друг от друга. И связано это не столько с ограниченными материальными, трудовыми, энергетиче- скими, финансовыми и другими ресурсами конкретного государства, сколько, в це- лом, с развитием науки, техники и наукоемких технологий. В настоящее время создать (спроектировать, сконструировать и изготовить) лета- тельный аппарат, который был бы конкурентоспособным на мировом рынке авиаци- онных и ракетно-космических услуг, очень сложная задача, решение которой требует участия в работе больших коллективов высококвалифицированных специалистов, обладающих современными знаниями и опытом в различных областях науки и техники: гидрогазоаэродинамике, динамике полета, строительной механике, мате- риалах, композиционных конструкциях, защитных покрытиях, технологии производ- ства, проектировании заводов и цехов, эксплуатации, менеджменте, маркетинге и т. д. Кроме того, эта работа требует согласованного взаимодействия и прогрессивного ди- намического развития всех предприятий-участников проекта: КБ, НИИ, заводов (са- молетостроительных, двигателестроительных, приборных, ремонтных и т. д.) и других предприятий и организаций. В связи с тем что от начала проектирования до момента серийного производства летательного аппарата проходит обычно несколько лет, необходимо учитывать, что за время создания летательного аппарата возможно существенное изменение экономи- ческих, политических, демографических, экологических и иных условий и обсто- ятельств, которые могут привести к изменению задач, решения которых возлагались на новый аппарат. Это накладывает еще одно условие на его создание: требование к возможной модернизации изделия или заранее предполагаемой многофункци- ональности. Более того, следует всегда предусматривать не самые благоприятные ва- рианты развития за это время событий внутри страны-производителя, связанные, на- пример, с кризисом той или иной отрасли. Таким образом, ясно, что создание нового летательного аппарата — задача со многими неизвестными, однако доподлинно известно, что без современных знаний в областях проектирования, конструирования и производства летательных аппаратов достичь каких-либо успехов в этом деле изначально не представляется возможным. В России, как в одной из ведущих авиационных и ракетно-космических держав мира, к настоящему времени опубликовано много капитальных трудов в областях авиа- и ракетостроения. Отметим лишь некоторые широко известные учебные изда- ния. Это труды Н. Я. Фабриканта (Аэродинамика), В. И. Феодосьева и Г. Б. Синярева (Введение в ракетную технику), М. Н. Шульженко (Конструкция самолетов), М. И. Шевелюка (Теоретические основы проектирования ЖРД), Ю. П. Григорьева (Строительная механика авиационных конструкций), Н. И. Безухова (Основы теории упругости, пластичности и ползучести), М. Н. Горбунова (Основы технологии произ- водства самолетов) и многие-многие другие. Однако непрерывное совершенствование конструкции летательных аппаратов и технологии их производства требуют постоянного обновления и учебных материалов. Настоящее пособие открывает новую серию учебной литературы — конспекты лекций в областях проектирования, конструкции и производства летательных аппара- 4
тов. Оно написано большой группой преподавателей и ученых известных аэрокосми- ческих университетов и предприятий страны, среди которых: • Московский государственный авиационный институт (технический универси- тет) им. С. Орджоникидзе; • Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана; • «МАТИ» — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского; • Самарский государственный аэрокосмический университет им. С. П. Королева; • Государственный космический научно-производственный центр им. М. В. Хру- ничева; • Комсомольское-на-Амуре авиационное производственное объединение им. Ю. А. Гагарина. Авторы предполагают издание нескольких подобных пособий, каждое из кото- рых, охватывая определенный круг дисциплин, носит вполне законченный и само- стоятельный характер, но вместе с тем объединенных одним объектом изучения — ле- тательным аппаратом. Данное пособие написано в виде конспектов лекций по теоретическим дисцип- линам для студентов аэрокосмических университетов, обучающихся по направлени- ям подготовки «Авиа- и ракетостроение», «Авиастроение» и «Ракетостроение и кос- монавтика» (большей частью по специальности «Ракетостроение»). Название курсов и их содержание авторы стремились привести в соответствие с образовательными стандартами. Цель настоящего пособия — дать студенту целостное представление о науке со- здания летательного аппарата, показать неразрывность связей всех этапов его созда- ния (проектирования, конструирования и производства), уяснить сущность этих эта- пов и закономерности их развития. Рукопись данного пособия готовилась с 2000 года. Авторы благодарны коллекти- ву сотрудников кафедры «Технология производства летательных аппаратов» МАТИ им. К. Э. Циолковского за помощь в оформлении рукописи. Идея написания такого пособия, содержащего различные курсы, считалась авто- рами (профессиональными преподавателями, много лет читающими эти курсы) инте- ресной и вполне достижимой. Итог этой работы — в Ваших руках. Все замечания и пожелания, связанные с настоящим изданием, авторы примут с благодарностью. Коллектив авторов
ГЛАВА 1___________________________ Введение в ракетно-космическую технику 1.1. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ РАКЕТ И РАКЕТНОЙ ТЕХНИКИ История развития ракет восходит к глубокой древности. Появление ракет нераз- рывно связано с изобретением пороха, продукты сгорания которого создают реактив- ную силу, способную сообщить ракете достаточно высокую скорость. В литературе указывается, что рецепт изготовления пороха был известен в Китае, Индии, арабских странах, но где порох появился впервые, до настоящего времени неизвестно. Считает- ся, что в Китае ракеты («огненные стрелы») применялись еще в X—XII веках (рис. 1.1). Использование ракет в качестве оружия всегда обусловливалось относительно высокими энергетическими возможностями реактивных устройств, что делало раке- ты эффективными при боевом применении. Однако постоянное соперничество дру- гих видов метания снарядов, как правило, приводило на многих этапах создания ра- кет к отказу от использования последних. В основном причиной отказа была низкая точность попадания в цель ракетами по сравнению с конкурирующими системами. Это связано с тем, что в неракетных системах сообщение требуемой скорости снаряду, пуле и т. д. производится на коротком участке движения снаряда по направляющей, которую можно достаточно точно навести на цель. В результате этого сориентировать вектор скорости бросания снаряда, величина которого формируется при движении снаряда в стволе, можно более или менее точно, и на него относительно мало влияют внешние условия полета снаряда. Однако эти же условия требуют сообщения снаряду больших ускорений, а следовательно, и больших нагрузок, вызываемых реакциями, действующими на метательное устройство. Это за- ставляет изготавливать неракетную метательную систему значительно более тяжелой по сравнению с массой снаряда (в сотни раз). В ракетной системе сообщение скорости снаряду происходит в основном вне пусковой установки, на сравнительно длинном участке траектории полета. Это при- водит к тому, что ускорения снаряда невелики, поэтому невелики и нагрузки на систе- му метания. Вес ракетной метательной системы становится сравнимым с весом раке- ты и может отличаться всего в несколько раз. Широкое распространение «огненные стрелы» получили в Индии. Европейцы (англичане) впервые столкнулись с «огненными стрелами» в период колонизации Индии. Изучением их занялся военный инженер полковник Вильям Конгрев. Он вы- вез ракеты в Англию, усовершенствовал их и добился принятия ракет на вооружение английской армии. Ракеты достаточно широко и успешно использовались в боевых действиях английской армии. Так, в 1807 году во время войны с Наполеоном англий- ский флот при осаде Копенгагена практически полностью уничтожил город с по- мощью ракет. Появление ракет на вооружении Англии заставило заняться ими и в других странах (рис. 1.2, 1.3). В России ракеты описываются в «Уставе» Анисима Михайлова, написанном им в 1607—1621 гг. При Петре I ракеты широко применялись в русской армии. В начале 6
Рис. 1.1. «Огненная стрела» (Китай): 1 — оболочка; 2 — порох; 3 — стрела; 4 — хвост a) Рис. 1.2. Ракеты начала XIX в.: а) ракеты конструкции Конгрева 1807 г.; б) шведская ракета 1827 г. 80-х годов XVII века в Москве было учреждено «Ракетное заведение», которое затем было переведено в Санкт-Петербург. В начале XVIII века в нем была создана сигналь- ная ракета, которая состояла на вооружении русской армии больше полутора веков. Одним из первых создателей боевых ракет для русской армии был генерал Алек- сандр Дмитриевич Засядко (1779—1837). Им были созданы удачные рикошетные и зажигательные ракеты, которые использовались в ракетных ротах и батареях рус- ской армии. В 1840-х годах русский ученый генерал К. И. Константинов разработал научные основы расчета и проектирования пороховых ракет, а также предложил стенды для их испытаний (рис. 1.4). Используя его методики, ученые создали ракеты с дальностью стрельбы до 4—5 км, которые стали эффективным оружием русской армии. Однако развитие во второй половине XIX века нарезной артиллерии, позволив- шей получить большую дальность стрельбы и более высокую точность и меньшее рас- сеивание попадания, вытеснило ракеты. Как уже отмечалось, воздействие внешних нагрузок (аэродинамических, вызванных неточностью изготовления снаряда, мета- тельной установки и др.) на снаряд-ракету при полете на участке разгона под действи- ем реактивной силы приводит к большим угловым отклонениям вектора скорости снаряда от требуемого значения, а следовательно, и к отклонениям параметров дви- жения снаряда по траектории. Эти отклонения значительно превышали аналогичные отклонения артиллерийских орудий, разработанных во второй половине XIX века. Точность стрельбы ракетами была много ниже, чем точность попадания снарядов при стрельбе из этих орудий. Это явилось причиной отказа от использования ракет в каче- стве снарядов для поражения целей. В ходе развития методов вооруженной борьбы в период бурного развития науки и техники в конце XIX — начале XX веков наметился переход к позиционным войнам, ведение которых требовало огромного напряжения всего экономического и мораль- ного потенциала стран-противников и расходования больших людских ресурсов, ор- ганизации управления хозяйством этих стран, маневра силами и средствами. 7
Рис. 1.3. Боевые ракеты середины XIX века: а) русская ракета 1849 г.; б) прусская ракета 1850 г.; в) французская ракета 1857 г.; г) русская ракета 1859—1863 гг. 8
Рис. 1.4. Ракетный баллистический маятник конструкции К. И. Константинова В ходе таких войн постоянно возрастали требования к возможности поражения объектов противника на значительном удалении от переднего края вооруженной борьбы сражающихся армий. К таким объектам относились центры управления, узлы коммуникаций всех типов, важнейшие центры энергоснабжения, производства про- мышленной продукции, скопления войск, боевой техники, основные склады различ- ных запасов. Для нанесения морального ущерба населению страны и для сокращения его трудовых ресурсов считалось возможным нанесение ударов по крупным населен- ным пунктам противника. Одной из первых попыток создания средств доставки боевого снаряда в глубокий тыл противника (по понятиям того времени) было создание в Германии в ходе Пер- вой мировой войны сверхдальнобойного орудия, предназначенного для обстрела це- лей, расположенных на удалении от орудия на 200—250 км. Уникальный опыт использования этого орудия показал, что эффективность та- кой метательной системы крайне низка. Для доставки к цели снаряда весом 7 кг по- требовалось создать орудие весом 350 т, обладающее малой скорострельностью, имеющее очень низкую живучесть в связи с крайне высокой нагрузкой на ствол при выстреле. Кроме того, круговое отклонение снаряда от точки прицеливания, равное 2 км, было столь велико, что реально мог быть осуществлен только обстрел площадных це- лей (например, крупного города). Это показало, что при подобных параметрах рассе- ивания повышение эффективности до приемлемого уровня может быть достигнуто только за счет резкого увеличения (в сотни раз) массы боевого заряда. То есть, ис- пользуя ствольные системы для доставки такого заряда к цели, добиться успеха практически было невозможно. Развитие авиации в первые два десятилетия XX века позволяло предположить, что использование самолетов решит поставленную задачу. Уже в конце Первой миро- вой войны во всех крупных воюющих странах были созданы бомбардировщики, спо- собные доставлять до тонны и больше бомбовой нагрузки на дальность 300 — 350 км (Fridrichshafen G-IV, Gotha G-V в Германии, Handley Page Н-12, Handley Page H-15 в 9
Англии, Илья Муромец в России, Martin МВ в США). Правда, в период Первой ми- ровой войны практически не было осуществлено ни одного авиационного налета на глубокие тыловые объекты противников, кроме нескольких бомбовых ударов, совер- шенных немецкими дирижаблями. Но накопленный опыт применения авиации для атаки наземных войск противника на переднем крае и ближних войсковых тылах, тенденции развития авиации (повышение дальности полета, скорости, грузоподъем- ности, развитие вооружения самолета) позволили создать теории авиационных войн, основоположники которых доказывали, что в таких войнах практически только сила- ми авиации можно подавить сопротивление противника, нанести непоправимый ущерб экономике противника и деморализовать население. Но авторы этих теорий не учли боевые способности развивающихся средств противовоздушной обороны (ПВО), построенных на применении современной истребительной авиации, зенитной артил- лерии, средств раннего обнаружения атакующих самолетов противника, средств связи и управления. Развитие ПВО позволяло срывать маневры противника даже ограничен- ными силами, обеспечивая местное противодействие в оборонительных целях. Понимание этого привело к тому, что в странах, имеющих развитую научно-тех- ническую базу (США, СССР, Германия), возникла идея создания боевых летательных аппаратов-роботов, сочетающих возможности самолетов в достижении удаленных це- лей, с повышением надежности выполнения задачи при сравнимых затратах матери- альных средств на создание и производство этих аппаратов — либо за счет массового их применения в относительно дешевом варианте, либо за счет повышения их неуяз- вимости при полете по таким траекториям и с такой скоростью, что делало их недося- гаемыми для средств ПВО того времени. Наибольших успехов в реализации этой идеи добились немецкие ученые и инженеры. В значительной степени это объяснялось тем, что в европейских странах — победительницах в Первой мировой войне, а также в США и СССР большое внимание было уделено развитию оправдавшей себя военной авиации. А в Германии Версальский мирный договор запрещал иметь и разрабатывать такую авиацию, и силы ученых были направлены на создание нетрадиционных средств нападения, инструмента подавления тыловых целей, на который не распрост- ранялись ограничения мирного договора. Таким инструментом оказались беспилот- ный крылатый самолет-снаряд V-l (FZG-76) и баллистическая ракета V-2 (А4). В Германии, которая в значительной степени сохранила научный и технический потенциал, а в середине 30-х годов получила экономические возможности создания новых систем вооружения, удалось создать значительно более мощный и более эф- фективный, чем в других странах, беспилотный баллистический аппарат, организо- вать его массовое производство, а также производство агрегатов наземного оборудо- вания, произвести испытания всего боевого ракетного комплекса, найти, создать и опробовать организационные и эксплуатационные принципы применения. Создание беспилотных летательных аппаратов типа самолетов-снарядов V-1 и управляемых баллистических ракет V-2 и использование опыта их эксплуатации и боевого применения резко активизировало работы над аналогичными системами вооруженной борьбы в различных странах мира, особенно в СССР и США. Это было связано с тем, что именно постановка на борт баллистической ракеты системы управления позволила повысить точность стрельбы ракеты по малоразмер- ным целям и сделать ее конкурентоспособной по эффективности любой метательной системе. В Советском Союзе в марте 1946 года на первой послевоенной сессии Верховного Совета СССР в числе других первостепенных задач развития страны называлась зада- ча обеспечения работ по развитию реактивной техники. Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР принимается решение о создании новых и развитии су- 10
шествующих научно-исследовательских, опытно-конструкторских и испытательных организаций, деятельность которых должна быть направлена на создание ракет раз- личных классов и назначения, в первую очередь баллистических ракет дальнего дей- ствия, наземного оборудования, обеспечивающего их подготовку, запуск, управление полетом и измерения параметров полета. В начале 50-х годов Советский Союз вышел на передовые рубежи по разработке и применению мощных ракет. Это позволило СССР в 1957 году сделать первый шаг в практическом освоении космоса — запустить первый искусственный спутник Земли (ИСЗ), а затем в 1961 году — и первого космонавта. При дальнейшем развитии ракетной техники ее создателями решались две за- дачи: • совершенствование ракет как средства вооруженной борьбы, повышение их не- уязвимости от воздействия противника и увеличение боевого могущества ракет. Решение этой задачи всегда связывалось со стремлением уменьшить габариты ракеты при сохранении или даже увеличении мощности боевого заряда, его эф- фективности. Это позволяло бы, в свою очередь, либо увеличить защитные свой- ства шахтных пусковых установок, увеличение размеров которых не допускалось международными соглашениями, либо создать приемлемых размеров подвиж- ные ракетные комплексы разных типов. Как правило, ракеты, удовлетворяющие этим требованиям, создаются твердотопливными; • увеличение возможностей ракет как инструмента для освоения ближнего и даль- него космоса. А на этом пути постоянно наблюдались тенденции к увеличению размеров ракет, так как задачи, которые ставились и ставятся в данной области, требуют обычно запуска более тяжелых объектов. На первом этапе этого развития почти все задачи освоения космоса решались пу- тем использования в качестве средства выведения космических объектов боевых ра- кет и их ступеней. В дальнейшем для решения задач освоения космоса были созданы специальные носители космических средств. Ракеты среднего и тяжелого классов, которые использовались для этой цели, ос- нащаются в основном жидкостным ракетным двигателем (ЖРД). И в настоящее вре- мя только очень небольшая часть задач по освоению космоса может решаться путем использования ступеней современных боевых ракет (ракеты двойных технологий). То есть все в большей мере прослеживается определенная дифференциация боевых ракет и ракет-носителей космических объектов. 1.2. ТЕОРИЯ ТЕЛ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ — ФУНДАМЕНТ КОСМОНАВТИКИ. РАЗВИТИЕ КОСМОНАВТИКИ И ПРАКТИЧЕСКОЙ РАКЕТНОЙ ТЕХНИКИ В основе создания теории и практики использования ракет лежат основные по- ложения механики тел переменной массы. Механика тел переменной массы — наука XX столетия. Современная ракетная техника ставит новые и новые задачи для этого сравнительно недавно возникшего раздела теоретической механики. Ракеты разных типов, реактивные снаряды, торпеды освоены сейчас промыш- ленностью почти всех стран мира. Все ракеты — это тела, масса которых существенно изменяется во время движения. Вообще случаи движения тел, масса которых изменя- ется с течением времени, можно видеть во многих явлениях природы. Например, мас- са падающего метеорита, движущегося в атмосфере, убывает вследствие того, что час- тицы метеорита отрываются вследствие сопротивления воздуха или сгорают. 11
Основной закон динамики точки переменной массы был сформулирован профес- сором Петербургского политехнического института И. В. Мещерским в 1897 году. По- казано, что имеется два фактора, отличающих уравнения движения точки переменной массы от уравнений Ньютона: переменность массы и гипотеза отделения частиц, опре- деляющих добавочную или реактивную силу, создающую движение точки. Закон движения точки переменной массы гласит: «Для любого момента времени произведение массы излучающего центра на его ускорение равно геометрической сумме равнодействующей приложенных к нему внешних сил F и силы реактивной R». d(m' V)/dt=F+R. Полученное И. В. Мещерским основное уравнение движения точки переменной массы дало возможность установить количественные закономерности для различных задач. Одной из существенных гипотез, лежащих в методе Мещерского, является ги- потеза близкодействия (контактного воздействия тела и отбрасываемых частиц). До- пускается, что в момент отделения частицы от тела происходит явление, аналогичное удару, частица за очень малый промежуток времени получает относительную скорость И2, и дальнейшее взаимодействие частицы и основного тела прекращается. Важный вклад в механику тел переменной массы внес русский ученый К. Э. Циолковский. В 1903 году он опубликовал работу «Исследование мировых про- странств реактивными приборами», в которой обстоятельно исследовал ряд интерес- ных случаев прямолинейного движения тел переменной массы (ракет). Простейшая задача, решенная в исследовании К. Э. Циолковским, касается самого принципа ре- активного движения. Изучая движение точки в среде без внешних сил, Циолковский показал, что при достаточно большой скорости отбрасывания частиц и величине от- ношения начальной массы точки к конечной массе можно получить весьма большие (космические) скорости. В механике тел переменной массы К. Э. Циолковскому принадлежит идея изуче- ния таких движений точки переменной массы, когда на некоторых интервалах време- ни масса точки изменяется непрерывно, а в некоторые моменты времени — скачком. Это позволило построить теорию многоступенчатых ракет. Космонавтика как наука, а затем и как практическая отрасль, сформировалась в середине XX века. Но этому предшествовала увлекательная история рождения и раз- вития идеи полета в космос, начало которой положила фантазия, и только затем по- явились первые теоретические работы и эксперименты. Так, первоначально в мечтах человека полет в космические просторы осуществлялся с помощью сказочных средств или сил природы (смерчей, ураганов). Ближе к XX веку для этих целей в описаниях фантастов уже присутствовали технические средства — воздушные шары, сверхмощ- ные пушки и, наконец, ракетные двигатели и собственно ракеты. Не одно поколение молодых романтиков выросло на произведениях Ж. Верна, Г. Уэллса, А. Толстого, А. Казанцева, основой которых было описание космических путешествий. Все изложенное фантастами будоражило умы ученых. Так, К. Э. Циолковский говорил: «Сначала неизбежно идут мысль, фантазия, сказка, а за ними шествует точ- ный расчет». Публикации в начале XX века теоретических работ пионеров космонавтики (рис. 1.5) К. Э. Циолковского, Ф. А. Цандера, Ю. В. Кондратюка, Р. X. Годдарта, Г. Гансвиндта, Р. Эно Пельтри, Г. Оберта, В. Гомана и других в какой-то степени орга- низовали полет фантазии, но в то же время вызвали к жизни новые направления в науке — появились попытки определить, что может дать космонавтика обществу и как она на него повлияет. 12
Н. И. Кибальчич 1853—1881 К. Э. Циолковский 1857—1935 Ф. А. Цандер 1887—1933 Ю. В. Кондратюк 1897—1941 Н. И. Тихомиров 1859—1930 И. Т. Клейменов 1899—1938 Г. Э. Лангемак 1898—1938 В. П. Глушко 1908—1989 С.П. Королев 1907—1966 Рис. 1.5. Пионеры отечественной космонавтики 13
Одним из пионеров ракетно-космической техники является Роберт Эно Пельтри (Einaut Pelterie) — французский ученый, инженер и изобретатель. В космонавтику он пришел после увлечения авиационной техникой. Он был од- ним из первых, кто обратил внимание на возможность использования в космической технике атомной энергии. В 1930 году Р. Эно Пельтри опубликовал в Париже первый том капитального тру- да «Астронавтика». Второй том вышел в 1935 году. В этих работах суммировано все, что имеет отношение к космическим полетам. В 1912—1913 годах Роберт Годдард (Goddard) в США разрабатывал теорию дви- жения ракеты. Годдард вывел дифференциальное уравнение движения ракеты и раз- работал приближенный метод его решения, определил минимальную стартовую мас- су для подъема одного фунта полезного груза на разные высоты, получил значение КПД ракеты. Им была показана возможность запуска многоступенчатой ракеты и оп- ределены выгоды ее применения. На рис 1.6 приведена схема двухступенчатой ракеты Годдарда. С 1915 года занимался стендовыми экспериментами с ракетами на твердом топливе. В 1920 году в Вашингтоне была издана фундаментальная работа Годдарда «Метод достижения предельных высот». Эта работа относится к числу классических в истории ракетно-космической техники. В 1921 году Годдард начал проведение экспериментальных исследований с ЖРД, используя в качестве окислителя жидкий кислород, а в качестве горючего — углеводо- роды. Первый запуск ЖРД на стенде состоялся в марте 1922 года. Впервые успешный полет ракеты с ЖРД, созданной Годдардом, произошел 16 марта 1926 года (рис. 1.7), ракета массой 4,2 кг достигла высоты 12,5 м и пролетела 56 м. Рис. 1.6. Схема двухступенчатой ракеты (патент Годдарда 1914 г.): 1 — первая ступень; 2 — вторая ступень Рис. 1.7. Ракета Р. X. Годдарда (1926 г.) 14
Надо сказать, что идеи соединить космическое и земное направление человече- ской деятельности принадлежит основателю теоретической космонавтики К. Э. Циолковскому. Когда ученый говорил: «Планета есть колыбель разума, но нель- зя вечно жить в колыбели», он не выдвигал альтернативы — либо Земля, либо космос. Циолковский никогда не считал выход в космос следствием какой-то безысходности жизни на Земле. Напротив, он говорил о рациональном преобразовании природы на- шей планеты силой разума. Люди, утверждал ученый, «изменят поверхность Земли, ее океаны, атмосферу, растения и самих себя. Будут управлять климатом и будут распо- ряжаться в пределах Солнечной системы, как и на самой Земле, которая еще неопре- деленно долгое время будет оставаться жилищем для человечества». В области теоретической разработки вопросов космонавтики и межпланетных пу- тешествий работал талантливый исследователь Ю. В. Кондратюк, который независи- мо от К. Э. Циолковского в своих работах «Тем, кто будет читать, чтобы строить» (1919 г.) и «Завоевание межпланетных пространств» (1929 г.) получил основные урав- нения движения ракеты. В ряде положений, рассмотренных в его работах, были до- полнены основные положения, изложенные в работах К. Э. Циолковского. Например, Кондратюк предложил при полетах на Луну выводить космическую систему на орбиту ИСЗ, а затем взлетно-посадочный аппарат направлять к Луне. Показана энергетиче- ская эффективность такого выведения полезной нагрузки, направляемой к Луне. Другим крупным представителем отечественной школы космонавтики был Ф. А. Цандер. В опубликованной в 1932 году книге «Проблемы полета при помощи реактивных аппаратов» собраны материалы по конструкциям ракет, теории полета ра- кет, предложения по использованию в качестве топлив для ракетных двигателей неко- торых металлов и сплавов. В 1921 году по инициативе и под руководством Н. И. Тихомирова в составе Воен- но-исследовательского комитета при Реввоенсовете РСФСР была создана Газодина- мическая лаборатория (ГДЛ), занимавшаяся разработкой реактивных снарядов на баллистических порохах. На основе этих разработок был созданы, успешно испытаны и приняты на вооружение РККА установки залпового запуска реактивных снарядов, сыгравшие немалую роль в боях на Халхин-Голе и в Великой Отечественной войне. В мае 1929 года в ГДЛ по инициативе В. П. Глушко был создан отдел, в котором в 1930—31 годах были разработаны жидкостные реактивные двигатели ОРМ-1 и ОРМ-2 (опытные реактивные моторы). В качестве компонентов топлива в двигателях использовалась четырехокись азо- та (окислитель) и толуол или смесь бензина с толуолом (горючее). Двигатели развива- ли тягу до 20 кг. На основе результатов испытаний в 1931—32 годах создана и испыта- на серия ЖРД вплоть до ОРМ-52 с тягой 250—300 кг. В 1931 году в Москве и Ленинграде при Осовиахиме были созданы группы по изучению реактивного движения (МосГИРД и Ленинград), которые на обществен- ных началах объединяли энтузиастов ракетостроения. В МосГИРДе работали Ф. А. Цандер, С. П. Королев, Ю. А. Победоносцев, М. К. Тихонравов и др. В МосГИРДе под руководством С. П. Королева была создана по проекту М. К. Тихонравова первая ракета ГИРД-09 с двигателем тягой 25—33 кг, работавшим на гибридном топливе — желеобразном бензине и газообразном кислороде. Ракета была испытана в августе 1933 года. В ноябре того же года под руководством С. П. Королева была создана ракета ГИРД-Х, работающая на жидком топливе — спирте и жидком кислороде. Двигатель ракеты развивал тягу до 65 кг. Ракета создава- лась по проекту Ф. А. Цандера. 15
В 1933 году на базе ГДЛ и МосГИРДа был создан в системе Наркомата обороны Реактивный научно-исследовательский институт РККА (РНИИ РККА), который че- рез несколько месяцев был передан в промышленность. В институте в 1934—38 годах был создан ряд ЖРД (от ОРМ-53 до ОРМ-102), причем ОРМ-65 (созданный в 1936 году) развивал тягу до 175 кг и был наиболее совершенным двигателем того вре- мени. В 1939 году по инициативе В. П. Глушко и под его руководством было создано опытное конструкторское бюро по жидкостным ракетным двигателям (ОКБ-ГДЛ), где в сороковых годах было разработано семейство авиационных ЖРД, послуживших прототипами при разработке мощных ракетных двигателей. В СССР сразу после Второй мировой войны практические работы по космиче- ским программам связаны с именами С. П. Королева и М. К. Тихонравова. В начале 1945 года М. К. Тихонравов организовал группу специалистов РНИИ по разработке проекта пилотируемого высотного ракетного аппарата (кабины с двумя космонавта- ми) для исследования верхних слоев атмосферы. Проект решено было создавать на базе одноступенчатой жидкостной ракеты, рассчитанной для вертикального полета на высоту до 200 км (проект ВР-190). Проект предусматривал решение следующих задач: • исследование условий невесомости при кратковременном полете человека в гер- метичной кабине; • изучение движения центра масс кабины и ее движения около центра масс после отделения от ракеты-носителя; • получение данных о верхних слоях атмосферы; • проверка работоспособности систем (разделения, спуска, стабилизации, призем- ления и др.), входящих в конструкцию высотной кабины. В проекте ВР-190 впервые были предложены решения, нашедшие применение в современных космических аппаратах (КА): • парашютная система спуска, тормозной ракетный двигатель мягкой посадки, система разделения с применением пироболтов; • электроконтакгная штанга для упредительного зажигания двигателя мягкой по- садки, бескатапультная герметичная кабина с системой обеспечения жизнеде- ятельности экипажа; • система стабилизации кабины за пределами плотных слоев атмосферы с применением сопел малой тяги. В целом проект ВР-190 представлял собой комплекс новых технических решений и концепций, подтвержденных ходом развития отечественной и зарубежной ракет- но-космической техники. В 1946 году материалы проекта ВР-190 были доложены Ти- хонравовым И. В. Сталину. С 1947 года Тихонравов со своей группой работает над идеей ракетного полета и в конце сороковых — начале пятидесятых годов показывает возможность получения первой космической скорости и запуска ИСЗ при помощи разрабатывающейся в СССР ракетной базы. В 1950—53 годах усилия сотрудников группы М. К. Тихонравова были направлены на изучение проблемы создания состав- ных ракет и ИСЗ. В докладе Правительству в 1954 году о возможности разработки и запуска ИСЗ С. П. Королев писал: «По вашему указанию представляю докладную записку тов. Тихонравова М. К. «Об искусственном спутнике Земли»». В отчете о научной де- ятельности за 1954 год С. П. Королев отмечал: «Мы полагали бы возможным произ- вести эскизную разработку проекта самого ИСЗ с учетом ведущихся работ (особенно заслуживают внимания работы М. К. Тихонравова)». 16
Развернулись работы по подготовке запуска первого ИСЗ ПС-1. Был создан первый Совет главных конструкторов во главе с С. П. Короле- вым, который в дальнейшем и осуществлял руко- водство космической программой СССР, ставшего лидером в освоении космоса. Созданное под руко- водством С. П. Королева ОКБ-1-ЦКБЭМ-НПО «Энергия» стало с начала 1950-х годов центром космической науки и промышленности в СССР. Космонавтика уникальна тем, что многое, пред- сказанное сначала фантастами, а затем учеными, свершилось воистину с космической скоростью. Всего 40 с небольшим лет прошло со дня запуска первого искусственного спутника Земли, 4 октяб- ря 1957 года, а история космонавтики уже содер- жит серии замечательных достижений, получен- ных первоначально СССР и США, а затем и дру- гими космическими державами. Уже многие тысячи спутников летают на орбитах вокруг Земли, аппараты достигли Лу- ны, Венеры, Марса; научная аппаратура посы- лалась к Юпитеру, Меркурию, Сатурну для по- лучения знаний об этих удаленных планетах Солнечной системы. С момента запуска первого космонавта Земли Ю.А. Гагарина на космическом корабле (КК) «Восток» (рис. 1.8.), после запусков других КК, долговременных орбитальных станций «Салют» и «Мир», СССР стал на долгое время ведущей страной мира по пилотируемой космо- навтике. Крупномасштабные космические сис- темы используются для решения широкого спектра задач (в т. ч. социально-экономических и научных), идет интеграция космических от- раслей различных стран. Первые мощные ЖРД (созданные под руко- водством В. П. Глушко), реализация новых науч- ных идей и схем, практически исключивших по- тери на привод турбонасосного агрегата (ТНА), выдвинули российское двигателестроение на пе- редовые рубежи космической техники. Началось развитие термо- и гидродинамики, теории про- чности, металлургии материалов, химии топлив, измерительной техники, вакуумной и плазменной технологий. В других странах (в первую очередь в Герма- нии) с 20-х годов XX века велись практические ра- боты по созданию ЖРД и разрабатывались проек- ты баллистических ракет. В работах приняли учас- тие крупные немецкие ученые и инженеры: Г. Оберт, Р. Небель, В. Ридель, К. Ридель. Герман Блок III ступени Рис. 1.8. Ракета-носитель «Восток»: 1,6 — головной обтекатель; 2 — КА «Луна»; 7 — КА «Восток»; 3, 9 — кислородный бак; 4, 10 —керосиновый бак; 5 — двигатель РД-0105; 8 — двигатель РД-0109; 11 — двигатель РД-108; 12 — двигатель РД-107 17
Оберт работал над созданием ракет. Еще в 1917 г. он создал проект боевой ракеты на жид- ком топливе (спирт и жидкий кислород), которая должна нести боевой заряд на дальность в несколько сот километров. В 1923 году Оберт написал диссертацию «Ракета в межпла- нетном пространстве». Дальнейшее развитие идеи Г. Оберта получили в книге «Пути осу- ществления космического полета» (1929 г.), в которой рассмотрен, в частности, вопрос о возможности использования при межпланетных перелетах энергии солнечного излучения. В 1957 году вышла книга Оберта «Люди в космосе», где он снова возвращается к использованию энергии излучения Солнца с помощью развертываемых в космосе зеркал. Обертом разработаны несколько проектов космических ракет с ЖРД, где предла- гаются в качестве горючего спирт, углеводороды, жидкий водород, а в качестве окислителя — жидкий кислород. Р. Небель работал над проектом ракеты, запускающейся по наземным целям с самолета. В. Ридель проводил экспериментальные исследования ракетных двигателей. В 1927 году в Бреслау было создано общество межпланетных сообщений, члены кото- рого создали и испытали в Руссельчейме ракетную тележку. В конце 20-х годов для проведения экспериментальных работ, направленных на создание ракет с ЖРД, при отделе баллистики и боеприпасов управления вооружения Рейхсвера создана группа по исследованию жидкостных ракетных двигателей под руко- водством В. Дорнбергера. В 1932 году в Кюнельсдорфе недалеко от Берлина в специаль- но организованной экспериментальной лаборатории началась разработка ЖРД для баллистических ракет. В этой лаборатории ведущим конструктором становится Вернер фон Браун. В 1933 году группой инженеров под руководством Дорнбергера и Брауна была сконструирова- на баллистическая ракета с ЖРД А-1 со стартовым весом 150 кг, длиной 1,4 м, диа- метром 0,3 м. Двигатель развивал тягу 295 кг. Хотя конструкция оказалась неудачной, но ее усовершенствованный вариант А-2, созданный на базе А-1, в декабре 1934 года был успешно запущен с острова Боркум (Северное море). Ракета достигла высоты 2,2 км. В 1936 году при полной поддержке командования Рейхсвера группа Дорбергера — Брауна приступила к разработке баллистической ракеты с расчетной дальностью 275 км с весом головной части в 1 т. Тогда же было принято решение о строительстве на остро- ве Узедом в Балтийском море научно-исследовательского ракетного центра Пенемюн- де, состоящего из двух частей: Пенемюнде-Вест для испытания новых видов оружия ВВС и Пенемюнде-Ост, где проводились работы над ракетой для сухопутных войск. После неудачных пусков ракеты А-3 начались работы над ракетой А-4 с ЖРД, имевшей следующие тактико-технические характеристики: стартовый вес 12 т, длина 14 м, диаметр корпуса 1,6 м, размах стабилизаторов 3,5 м, тяга двигателей на Земле 25 т, дальность полета около 300 км. Круговое отклонение ракеты должно быть в пре- делах 0,002—0,003 км. Головная часть имела заряд взрывчатого вещества, равный 1 т. Первый экспериментальный пуск ракеты А-4 состоялся 13 июня 1942 года и окончился неудачей, ракета упала через 1,5 минуты после старта. 3 октября 1942 года ракета пролетела 190 км, достигнув высоты 96 км, и отклонилась от расчетного места падения на 4 км. В период с сентября 1944 года по март 1945 года командование немецких вооружен- ных сил направило в боевые ракетные подразделения около 5,8 тыс. ракет А-4 (V-2). По- чти 1,5 тыс. ракет не достигло пусковых установок. Около 4,3 тыс. ракет было запущено в сторону Англии. Из них только 15% достигли цели. Такой низкий процент успешных пу- сков объясняется конструктивными недостатками V-2 («Фау-2»). Однако был получен опыт применения ракетного оружия большой дальности, который был в дальнейшем ис- пользован в СССР и США. 18
1.3. ОБРАЗОВАНИЕ РЫНКА КОСМИЧЕСКИХ УСЛУГ И РАЗВИТИЕ РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ ТЕХНИКИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ Если в первый период бурного развития ракетной техники (в первую очередь во- енной) решение задач в этой области осуществлялось любой ценой и для решения каждой новой задачи разрабатывалась новая, обычно более совершенная ракета, то уже в конце 1960-х годов встал вопрос об экономической эффективности ракетной техники. Это было связано с ростом ее эффективности и в гражданских областях че- ловеческой деятельности. Но часто собственных ресурсов у отдельных даже крупных государств на эти цели не хватало, поэтому начали создаваться интернациональные космические объедине- ния по реализации крупных космических проектов, например Европейское космиче- ское агентство (ЕКА) и ряд других. С конца 1970-х годов рынок космических услуг представляет собой уже устойчи- во и интенсивно развивающийся сектор мировой экономической системы. Это обус- ловлено возрастанием потребностей в услугах, которые предоставляются на коммер- ческой основе с использованием ракетно-космических систем: телекоммуникации, продукты и услуги дистанционного зондирования поверхности Земли, геодезические и навигационные услуги, выведение в космос летательных аппаратов и т. д. Кроме то- го, политические изменения привели к ослаблению государственного регулирования и к развитию частной инициативы в сфере космической деятельности. В результате создания перспективных технологий и разработки средств выведения и космичес- ких аппаратов открылись новые возможности в освоении космоса на коммерческой основе. Анализ состояния и прогноз развития космического рынка стал наряду с проект- но-конструкторской и промышленно-производственной деятельностью неотъемле- мой частью научно-практической работы ракетно-космической структуры любого достаточно развитого государства. Способность заблаговременно выявить возникающие здесь тенденции, понять новые формирующиеся потребности рынка космических услуг и перевести их в конк- ретные технические требования к перспективным образцам ракетно-космической техники является необходимым условием для успешной деятельности предприятий, предлагающих свои услуги в различных сферах космического рынка. Развитие мирового космического рынка в значительной степени зависело от зна- чительной государственной поддержки и целенаправленного финансирования со сто- роны государственных организаций деятельности, направленной на практическое ос- воение и использование космического пространства, осуществляемое в рамках госу- дарственных космических программ. В настоящее время собственные космические программы имеют свыше пятидеся- ти стран мира, однако уровень их финансирования значительно различается. Реально прогресс космической техники и технологии определяется ведущими космическими державами: Россией, США, Японией, Францией, Германией, Италией, Китаем, Вели- кобританией, Индией и Канадой. Основные разработки ракетно-космической техники (РКТ) иностранных государств представлены на рис. 1.9—1.17. Государственное финансирование космических программ направлено на разра- ботку перспективных проектов по созданию новых образцов РКТ Затраты на эксплуатацию и разработку новых космических транспортных сис- тем занимают третью позицию после перспективных разработок и фундаменталь- ных исследований. Возрастают относительные и абсолютные затраты на дистанци- 19
IV Рис. 1.9. Программа «Меркурий»: 1 — кабина экипажа; 2 — бак со спиртом; 3 — кислородный бак; 4 — двигатель (347 кН); 5 — система спасения; 6 — твердотопливная установка; 7 — парашют; 8 — герметичная кабина. I—VII — этапы полета онное зондирование Земли. Для стран со скромным космическим бюджетом ха- рактерно сосредоточение финансов на решении практических вопросов, в первую очередь, в сфере телекоммуникаций, дистанционного зондирования Земли и нави- гации. Затраты на освоение телекоммуникационных технологий значительны в бюдже- тах всех стран, имеющих национальные космические программы. Однако наиболее значительны расходы на эти цели в Японии и Китае. В последнее время резко возрос объем ассигнований на экономический монито- ринг и дистанционное зондирование Земли из космоса. Это направление космиче- ской деятельности особенно характерно для стран Западной Европы и Канады. Фи- нансирование работ по освоению технологии производства материалов и препаратов на орбите проводят преимущественно США и Япония. В области развития космических транспортных систем достаточно сильны пози- ции европейских стран, где расходы на эти цели значительно подкрепляются государ- ственным финансированием и можно ожидать дальнейшего усиления конкуренции с их стороны в сфере предоставления транспортных услуг. Страны Европейского космического агентства сосредоточили усилия в основном на развитии транспортной системы «Ариан», на создании технической основы для системы глобального экологического мониторинга и космических систем связи. Раз- 20
Рис. 1.10. Программа исследований Луны «Сатурн-5» — «Аполлон»: 1 — система спасения; 2 — КА «Аполлон»; 3 — водородный бак; 4 — кислородный бак; 5 — двигатель (900 кН); 6 — водородный бак; 7, 8 — кислородный бак; 9 — керосиновый бак; 10, 11 — маршевые двигатели 1-й и 2-й ступеней Рис. 1.11. Орбитальный самолет «Спейс Шаттл»: 1 — маршевые двигатели; 2 — двигатели маневрирования на орбите; 3 — манипулятор; 4, 7, 8 — сопла маршевых двигателей; 5, 6 — трубопроводы подачи водорода и кислорода соответственно; 9 — сопла двигателя маневрирования; 10 — горючее; 11 — гелиевые баллоны; 12 — окислитель ворачивается программа разработки Европейской Системы космической навигации, в том числе для неземных видов транспорта, что позволит ЕКА резко укрепить свои по- зиции на перспективном направлении навигационных услуг. В настоящее время в структуре мирового космического рынка можно выделить следующие сегменты: • производство ракет-носителей (РН>и космических аппаратов (КА); • запуски КА на коммерческой основе; • космические телекоммуникационные системы и услуги; 21
Рис. 1.12. Ракеты-носители «Атлас» различных модификаций (I—XVIII) и «Атлас-Центавр»: 1 — КА «Пионер-10»; 2 — водородный бак; 3 — кислородный бак; 4 — двигатель; 5 — бак с азотной кислотой; 6 — керосиновый бак; 7 — двигатель 22
Второе включение Отделение Работают двигатели РБ двигателей РБ Отделение РБ «Центавр» Сброс обтекателей Выключение двигателей полезного груза ♦ РБ «Центавр» уводится с орбиты Старт PH «Атлас» Сброс бустера Работает маршевый ЖРД РБ «Центавр-ПА», 2xRL10A-4N 2x185 кН Pratt&Whitney PH HAS и IIARS снабжены ускорителями Castor-IVA 4x434= 1 736 кН PH ПА и HAS снабжены двигателями RL105NA + 2RL89M 266+ 1 854 кН Rocketdyne PH IIARhIIARS снабжены двигателем РД-180 3 900/4 230 кН НРО «Энергомаш» Рис. 1.13. Ракета-носитель «Атлас» HAS—IIARS 23
60 м Наиме- нование 401 ПГГПО,т 5 Рис. 1.14. Ракета-носитель «Атлас-5» • космические навигационные системы и услуги; • дистанционное зондирование Земли из космоса; • долговременные орбитальные станции (ДОС) и космический «туризм»; • использование наземной космической инфраструктуры; • страхование космических рисков. Важной областью развития космической техники является создание долговре- менных орбитальных станций, позволяющих осуществлять комплексное исследова- ние и освоение околоземного пространства. В этих работах вместе с Россией и США принимают участие страны Европы через Европейское космическое агентство, Кана- да и Япония. Некоторые другие страны тоже хотели бы участвовать в этих работах. Примером такого содружества служит проект создания международной космической станции (МКС). Рациональное использование долговременных орбитальных станций возможно в следующих областях: • в области физики и астрономии при использовании спектров небесных тел, кос- мического излучения, характеристик потоков частиц; регистрации микромете- оритных частиц, спектров солнечных вспышек, излучения звезд, Луны, поверх- ности атмосферы Земли; изучения распределения газовых компонент верхней атмосферы Земли, спорадического метеорного вещества, температуры верхней атмосферы Земли, межзвездного пространства; определения химического соста- ва ядерного вещества, космических лучей; оценки пробивного действия микро- метеоритов; 24
Рис. 1.15. Ракета-носитель «Ариан-5»: 1 — головной обтекатель; 2 — полезная нагрузка; 3 — приборный отсек; 4 — 2-я ступень; 5 — 1-я ступень; 6 — ускорители; 7 — ЖРД «Vulcain». I—VII — этапы старта 25
N-I N-II H-I Масса, т 90 135 140 Длина, м 33 35 40,3 Диаметр, м 2,4 2,4 2,49 ПГ ГПО, кг 130 350 550 H-IIA212 н-п J-I (проект) 260 90 405 50 33,1 53 4 1,8 4 2 200 100 4 000 Рис. 1.16. Ракеты-носители Японии в области изучения природных ресурсов Земли путем фотографирования поверх- ности Земли в интересах геологии, геодезии, метеорологии, сельского, рыбного и лесного хозяйства; спектрографирования ореола Земной поверхности; фотогра- фирования и спектрометрирования Земли; в области медико-биологических исследований путем изучения влияния факто- ров длительного космического полета на организм человека, проведения оценки условий обитания и функционального состояния человека в условиях полета; разработки и испытания профилактических средств для снижения влияния на организм человека факторов длительных космических полетов; путем проведе- ния исследований различных биологических объектов, особенностей протекания жизненных процессов при обитании в условиях невесомости у различных орга- низмов; в области отработки новых систем и приборов организация испытания приборов и экспериментальных бортов систем различного назначения; отработка различ- ных двигательных установок, процессов дозаправки топливом и пополнения рас- ходуемых материалов, процессов сборки элементов крупногабаритных конструк- ций, испытания различных вариантов бортовых источников питания; в области технологических процессов производится отработка базовых техноло- гий получения перспективных материалов в условиях невесомости; исследование 26
40 м 30 м 20 м 10 м CZ-1D CZ-2C CZ-3 CZ-2E CZ-3A CZ-3B CZ-3C Орбита Грузоподъем- НОО НОО гпо НОО ГПО гпо гпо ность, кг 1000 2 400 1600 9 200 2 600 5 000 3700 Первый полет 1982 1984 1992 1994 1996 1996 Рис. 1.17. Ракеты-носители Китая механизма массопереноса и скорости роста кристаллов; процесса кристаллизации в невесомости и влияние микрогравитации на рост кристаллов; организуется про- цесс полупромышленного получения продукции в интересах микроэлектроники, лазерной техники, СВЧ-техники и др.; • в области биологического производства в интересах здравоохранения, сельского хозяйства, охраны окружающей среды; организация отработки базовых техноло- гий и создание аппаратуры экспериментального производства; получение опыт- но-промышленных партий особо ценных биопрепаратов; • в области военно-прикладного направления организация контроля выполнения международных обязательств по разоружению; • в области международного сотрудничества осуществление международных пило- тируемых полетов, разработка и реализация программы исследований по меж- правительственным соглашениям; • в области коммерческой деятельности выполнение программы исследований, сопутствующих полетам граждан других стран; выполнение рекламных действий; экспонирование в открытом космосе образцов новых материалов, предназначен- ных для использования в космической технике и др. Создание МКС (рис. 1.18), три модуля которой уже функционируют на орбите несколько лет, было бы невозможно без использования проектного, конструкгорско- 27
Рис. 1.18. Проект международной космической станции го, технологического, экспериментального и эксплуатационного опыта, полученного мировым сообществом в результате создания и эксплуатации российских ДОС «Са- лют» и «Мир». 1.3.1. Основные задачи, решаемые ракетно-космической техникой В настоящее время результаты планомерного освоения и использования космоса в интересах науки, социально-экономического прогресса, повышения обороноспо- собности используются более чем в 130 странах мира. В области прикладных космических работ космические аппараты дистанционно- го зондирования Земли стали основой национальных средств контроля, позволяю- щих составлять тематические природно-ресурсные карты, оценивать запасы водных ресурсов, состояние мелиоративных земель, ледовую обстановку, осуществлять эко- логический мониторинг атмосферы и поверхности Земли. Эффективно развиваются системы космической связи, телевидения, ретрансля- ции информации, которые позволяют охватить телевизионными программами всю территорию земного шара, осуществить международный обмен, магистральную меж- дународную связь. Важным направлением является развитие навигационно-геодезических систем, обеспечивающих привязку координат транспортных подвижных систем и различных объектов на поверхности Земли. В космосе постоянно находятся несколько десятков и сотен космических аппаратов, снабжающих навигационной информацией десятки тысяч наземных потребителей. Например, большинство более крупных морских су- дов оснащены спутниковой навигационной аппаратурой, что позволяет обеспечить 28
Рис. 1.19. Российские космодромы определение своего местонахождения с точностью менее 100 м. Кроме того, эти системы обеспечивают автоматическое определение местонахождения терпящих бед- ствие судов и самолетов, проводят высокоточные измерения движения земной коры, в том числе и для прогнозирования землетрясений с помощью космических средств, эффективно оценивают состояние атмосферы Земли, движение воздушных масс, что позволяет создавать оперативные и долгосрочные прогнозы погоды. Результаты научных исследований и практических работ в космосе применяются во многих отраслях народного хозяйства на Земле. Это и новые конструкционные ма- териалы, защитные экраны от различных излучений, постоянные магниты на основе редкоземельных элементов, позволяющие существенно уменьшить размеры прибо- ров и устройств, повысить ресурс различных электрических машин. С успехом применяются космические разработки в металлургии, автомобильной, нефтехимической промышленности. В настоящее время грузопоток в космосе постоянно растет, что требует создания более совершенных транспортных космических систем и средств обеспечения, рас- ширенной сети космодромов и автономных стартовых комплексов морского, воздуш- ного и наземного базирования. Начиная с пятидесятых годов XX века такие высокоразвитые страны, как СССР и США, начали создавать космодромы для научных и практических целей (рис. 1.19). Первым полигоном для испытания ракет-носителей в СССР стал Капустин Яр. Его размеры позволяли одновременно проводить пуски баллистических ракет разных типов в интересах не только Министерства обороны, но и академической науки. В связи с созданием первой межконтинентальной ракеты Р7 испытательная база полигона в Капустином Яру оказалась тесной для новой ракеты. Потребовался новый полигон протяженностью не менее 8000 км для испытаний ракет нового поколения. В середине 1950-х годов была создана комиссия по выбору места для нового полиго- на. Им стал космодром «Байконур» в Казахстане (рис. 1.20—1.23). К настоящему вре- мени отсюда произведено около 2450 пусков ракет, в космос выведено свыше 1380 ап- паратов различного назначения. В 1963 году было принято решение о создании космодрома в Архангельской об- ласти СССР в районе города Плесецк. А в 1967 году на космодроме был проведен пер- вый пуск ракеты-носителя (рис. 1.24, 1.25). США с 1950 года также вели интенсивные работы по созданию космодромов для использования ракет в интересах Министерства обороны и в исследовательских целях 29
Рис. 1.20. Космодром «Байконур». Стартовый комплекс PH «Протон»
Рис. 1.21. Космодром «Байконур». На стартовом столе ракета-носитель «Союз»
Рис. 1.22. Космодром «Байконур». Стартовая площадка ракеты-носителя «Энергия»
Рис. 1.23. Космодром «Байконур». Стартовый комплекс PH «Зенит»
Рис. 1.24. Космодром «Плесецк». Стартовый комплекс PH «Космос»
Рис. 1.25. Космодром «Плесецк». Стартовый комплекс PH «Циклон» Dryden Flight Research Center Edwards AFB, CA Jet Propulsion Laboratory Pasadena, CA Ames Research Center Moffett Field, CA
Lewis Research Center Cleveland, OH Johnson Space Center Houston, TX Stennlis Space Center Mississippi Kennedy Space Center Florida Рис. 1.26. Космические центры США Goddard Space Right Center Greenbelt, MD NASA Headquarters Washington, DC White Sands Test Facility Las Cruces, NM Wallops Flight Facility Wallops Island, VA Langley Research Center Hampton, VA Marshall Space Flight Center Huntsville, AL
Рис. 1.27. Восточный испытательный полигон. Полигон им. Дж. Кеннеди (рис. 1.26). Созданы Восточный испытательный полигон и Космический центр имени Дж. Кеннеди (рис. 1.27, 1.28). Они расположены на одной территории, но имеют са- мостоятельные технологические комплексы для решения задач в интересах ВВС и НАСА. В штате Калифорния на побережье Тихого океана расположен Западный ис- пытательный полигон США (рис. 1.29). Третьей страной, которая создала свою испытательную базу для запуска ракет, была Франция, которая в 1956 году создала на территории Алжира полигон Хаммагир, а позднее в рамках ЕКА— полигон Куру (рис. 1.30). Ныне космодромы имеют ряд стран, такие, как Япония (рис. 1.31), Китай (рис. 1.32), Индия, Израиль, Англия и другие. 34
Рис. 1.28. Космический центр им. Дж. Кеннеди Рис. 1.29. Западный испытательный полигон Рис. 1.30. Космодром Куру 35
Стартовый комплекс Ешиноби Стартовый комплекс Осаки Рис. 1.31. Космические центры Японии 36
КИТАЙСКИЕ КОСМИЧЕСКИЕ ЦЕНТРЫ, КОСМОДРОМЫ На стартовой позиции PH CZ-3B Рис. 1.32. Китайские космические центры, космодромы 37
1.3.2. Работы, выполняемые на ракетно-космическом комплексе при подготовке ракет-носителей к пуску и на этапе пуска Ракетно-космический комплекс (РКК) представляет собой сложную автомати- зированную техническую систему, состоящую из функционально связанных между собой ракет-носителей, полезных нагрузок (космических аппаратов, орбитальных ко- раблей и т. п.), технических устройств, систем управления и обеспечения, управляе- мых людьми, предназначенную для выполнения задач, определяемых назначением полезных нагрузок, которыми комплектуется ракета-носитель РКК. Исходной характеристикой, определяющей основные параметры PH (размер- ность ракеты), является масса полезной нагрузки, которую сможет вывести PH на ба- зовую (опорную) орбиту высотой Якр = 200—500 км. Полезная нагрузка в зависимости от назначения может включать: • космические аппараты (КА) или блоки модулей долговременных орбитальных станций, постоянно размещаемых на орбитах, близких к базовой; • КА с разгонными блоками, переводимые последними на другие орбиты (в том числе отлетные, геостационарные, солнечно-синхронные, высокоэллиптические и т. д.). Ракеты-носители космических объектов наиболее часто выполняются в виде многоступенчатых ракет с маршевыми жидкостными ракетными двигателями (ЖРД), в некоторых случаях снабжаемых стартовыми ускорителями с ракетными двигателя- ми твердого топлива (РДТТ). Конструкция современных ракет-носителей имеет высокую степень массовой эффективности. Высокая массовая эффективность PH, космических объектов в зна- чительной степени определяется строго ограниченными условиями полета PH, в том числе регламентируемыми в полете нагрузками на конструкцию PH с полезной на- грузкой. Вследствие этого в ракетостроении существует принцип, согласно которому ни при каких условиях наземной эксплуатации ракет-носителей и составных частей воздействия на них не должны превышать величин полетных нагрузок. Поэтому схемы конструкций технических устройств и систем обеспечения, вхо- дящих в состав наземного механического оборудования РКК, должны определяться, исходя из этого принципа. В частности, при эксплуатации PH, использующих только жидкостные ступени, целесообразно применять горизонтальную сборку и транспортировку на стартовую позицию с последующей установкой ракеты в вертикальное положение установоч- ным агрегатом. В случае использования ракет комбинированной конструкции с крупногабарит- ными стартовыми ускорителями с РДТТ, устанавливаемыми на техническом комп- лексе, следует использовать вертикальную сборку и транспортировку ракеты на стар- товую площадку в вертикальном положении. Процесс подготовки к запуску ракеты, состоящей только из жидкостных ступеней и полезной нагрузки, включает в отечественном ракетостроении следующие этапы: • прием и разгрузку составных частей PH и КА на техническом комплексе (ТК); • проверку правильности функционирования бортовых систем и агрегатов PH изо- лированно в ходе автономных испытаний, сборку PH и проверку на функциони- рование систем после сборки при их совместной работе в составе PH на ТК (комплексные испытания); • диагностику выявленных отказов в функционировании с последующей заменой неисправных приборов (агрегатов) и корректировкой по необходимости эксплу- атационной документации; 38
• заключительные операции с бортовыми системами после завершения полного объема испытаний на ТК с обеспечением технической готовности полезной на- грузки к стыковке с PH; • механическую и электрическую стыковки полезной нагрузки с PH (сборку) и совместную их проверку на ТК. При этом полезная нагрузка уже может быть за- правлена компонентами топлива и газами на специальной позиции либо на ТК; • операции по обеспечению готовности к вывозу PH с полезной нагрузкой на стар- товый комплекс (перегрузка на транспортный агрегат, при необходимости уста- новка защиты от воздействия внешней среды, установка и подключение элемен- тов термостатирования и т. п.); • транспортировку PH с полезной нагрузкой на стартовый комплекс в горизон- тальном положении; • подъем ракеты с полезной нагрузкой в вертикальное положение и установку ее на стартовое сооружение; • подведение к ракете устройств, обеспечивающих доступ к зонам обслуживания ракеты-носителя и полезной нагрузки; устройств, обеспечивающих электриче- ское и пневматическое соединение ракеты с соответствующими наземными ком- муникациями; устройств, обеспечивающих экранирование ракеты от действия ветровой нагрузки; подведение устройств, обеспечивающих экстренную эваку- ацию обслуживающего персонала и космонавтов при возникновении аварийных ситуаций; • отведение по необходимости транспортно-установочного агрегата; • установку химических источников тока на PH и полезной нагрузке (в некоторых случаях химические источники тока могут быть установлены на ТК); • проведение предстартовых испытаний ракеты-носителя и полезной нагрузки; • проведение операции по подготовке к заправке PH и при необходимости полез- ной нагрузки компонентами топлива, газами и служебными жидкостями и про- ведение заправки; • отстыковку при необходимости заправочных топливных и пневматических ком- муникаций; • проведение операций по прицеливанию ракеты (наведение и ввод полетного за- дания); • доукомплектование полезной нагрузки, посадка космонавтов в КА (при исполь- зовании КА с экипажем); • проведение заключительных операций перед стартом; • отведение всех наземных технологических устройств, кроме устройств электри- ческой связи, пневмогидравлической связи (предстартовый наддув, подпитка ра- кеты легко воспламеняющимся топливом, подача при необходимости газа для вскрытия ампул пускового горючего, проведение продувок, вентиляции, захола- живания и т. п.); • подачу команды на запуск двигателей и старт ракеты; • подготовку стартового оборудования к последующим пускам. В течение всего периода после установки ракеты на стартовое сооружение до мо- мента старта производится автоматизированный контроль состояния параметров комплекса, обеспечивающих безаварийное обслуживание ракеты. В случае выхода параметров ракеты, ее систем, систем наземного оборудования за допускаемые значе- ния и невозможности их приведения в пределы нормальных величин (путем замены, регулировки элементов систем) производится снятие ракеты-носителя с полезной на- грузкой со стартового сооружения и вывоз ее на технический комплекс. 39
Для этого проводятся все необходимые технологические операции: производится высадка экипажа; подстыковываются все электрические и пневматические коммуни- кации связи борта ракеты с наземным технологическим оборудованием; производит- ся слив компонентов топлива; подводится установочный агрегат, на который крепит- ся ракета; отводятся все необходимые агрегаты наземного оборудования, затрудняю- щие опускание ракеты в горизонтальное положение; ракета опускается и укладывается на транспортное средство и направляется на технический комплекс. В настоящее время в отечественной космонавтике реализован принцип подго- товки к пуску ракеты, при котором на заводе-изготовителе или технической позиции осуществляется комплектация PH агрегатами, обеспечивающими автоматическую стыковку всех коммуникаций ракеты с ответными частями наземных коммуникаций при установке ракеты на стартовое сооружение и автоматическую расстыковку раке- ты с соответствующими агрегатами в момент старта, либо непосредственно после взлета ракеты (например, отстрел желоба бортовых коммуникаций через 3—4 секунды после старта). Начиная с первых образцов ракетной техники перечисленные операции прово- дились в большем или меньшем объеме и были в той или иной степени автоматизиро- ваны. На общие принципы создания отечественных ракетно-космических комплексов влияет одно важное обстоятельство: эти комплексы размещаются в удаленных от за- водов-изготовителей малонаселенных, труднодоступных местностях, связанных с центрами производства ракет только железной дорогой. Данное обстоятельство, во-первых, заставляет, как правило, создавать раке- ты-носители, имеющие стартовую массу более 300—500 т (пакетной схемы), для обес- печения транспортировки блоков в железнодорожных вагонах, когда максимальный поперечный размер блока и его длина определяются габаритами железнодорожного вагона. Тем самым определяется конфигурация поперечного сечения собранной ракеты, которое имеет усложненную форму зон обслуживания. Последнее в значительной степени определяет схемы конструкции транспортно-установочного агрегата и осо- бенно агрегатов обслуживания. Во-вторых, несмотря на тот факт, что обычно системы и агрегаты отечественных ракет или их блоков изготавливаются на разных предприятиях страны, укомплектова- ние ракет и их полная проверка проводится на головном заводе-изготовителе, после чего ракета целиком или поблочно транспортируется к местам запуска. Поставка на РКК дополнительного оборудования, замена агрегатов и приборов является не прави- лом, а исключением. Это способствует упрощению технологической подготовки ра- кет к пуску, сокращению сроков подготовки ракеты на РКК и внедрению широкой автоматизации с использованием достаточно простых алгоритмов управления. 1.3.3. Состав ракетно-космического комплекса и полигона для испытаний и штатных запусков ракет-носителей Для обеспечения выполнения всех вышеперечисленных операций, а также опе- раций по контролю, управлению полетом, обработке информации о результатах вы- полнения всех работ, проводимых с ракетой-носителем и полезной нагрузкой на всех этапах их эксплуатации, полигон (космодром), в состав которого может входить один или несколько разнотипных ракетных комплексов, имеет следующие основные части (позиции): 40
• техническую позицию с техническим комплексом ракет-носителей и полезной нагрузки; • стартовую позицию со стартовым комплексом; • комплекс траекторных измерений и управления полетом ракет-носителей на тра- екториях полета ракеты в автоматическом режиме (стационарного или мобиль- ного); • комплекс траекторных телеметрических измерений (и управлений) полетом КА в космосе (стационарных и мобильных); • технические системы обеспечения основных технологических комплексов и бы- товых объектов водой, электричеством, теплом с соответствующими коммуника- циями; • хранилища (или заводы) по приему, длительному хранению и выдаче компонен- тов ракетного топлива для заправки PH и КА; • жилые городки с требуемыми бытовыми объектами и объектами обеспечения; • внутренние автомобильные и железные дороги, связанные с основными магист- ралями; аэродромы с терминалами для приема грузов, их разгрузки, хранения и транспортировки изделий на основные комплексы; • системы внутренней и внешней связи; • системы охраны территории РКК и объектов полигона; • отчуждаемые охраняемые поля падения ступеней (как правило, первых и вторых) и частей ракет с подразделениями сбора ступеней для передачи их для последую- щего анализа результатов пуска. Эти подразделения обеспечиваются авиацион- ной, автомобильной, подъемной, землеройной, подводной и транспортировоч- ной техникой поиска ступеней, а также местами складирования, хранения и пе- редачи ступеней заинтересованным организациям или захоронения; • подразделения поиска спускаемых с орбиты космических объектов с экипажем для оказания первой помощи космонавтам и доставки их в центр космодрома. В случае использования тяжелых спускаемых аэродинамически управляемых ор- битальных ступеней эти задачи выполняют подразделения обслуживания аэродромов посадки спускаемых орбитальных ступеней. Все подразделения, входящие в состав космодрома, размещаются на территори- ях, имеющих площадь в сотни квадратных километров. Пункты измерительных комп- лексов, поля падения ступеней могут быть удалены от центра полигона со стартовыми комплексами на сотни и тысячи километров. Для обеспечения синхронизации работ всех систем в едином масштабе времени в состав РКК входит комплекс системы единого времени. Создание космодромов производится с учетом следующих требований: • обеспечение необходимого набора трасс запусков PH; • обеспечение необходимыми районами падения отделяющихся частей; • удаленность от густонаселенных территорий; • благоприятные климатические и сейсмологические условия; • исключение траекторий полета PH над густонаселенными районами и террито- риями других государств; • возможность использования существующих транспортных коммуникаций; • относительная близость к головным предприятиям космической промышлен- ности. Место размещения пусковых устройств различного типа (в том числе и подвиж- ных в момент старта ракеты) определяется с учетом динамики полета КА с момента окончания активного участка траектории, т. е. с момента начала полета КА как небес- ного тела. 41
Плоскость, в которой лежит орбитальная траектория полета КА, после выведе- ния его в космос проходит через точки конца траектории выведения и центра Земли и наклонена к плоскости экватора на угол наклонения орбиты /, равный широте точ- ки конца траектории выведения. Скорость КА на этой траектории складывается из собственно скорости, разви- ваемой ракетой Кк, и скорости перемещения ракеты относительно поверхности Земли И3. Последняя максимальна на экваторе и добавляется к Ик, если пуск производится строго на восток, и вычитается из Ик, если пуск производится строго на запад. При за- пуске PH из точек, не лежащих в плоскости экватора, к собственной скорости ракеты добавляется только часть скорости вращения Земли, равная: ДИ= И3 • cos/K, где zK — широта точки старта. Это означает, что при запуске PH с экватора на восток одна и та же ракета облада- ет способностью вывести большую полезную нагрузку, чем при старте с более высо- ких широт. Именно поэтому космодромы всех стран стремятся разместить как можно ближе к экватору. Если такой возможности нет, создаются мобильные стартовые комплексы (морские, воздушные), способные перемещаться на экватор для запуска КА на более высокую орбиту или для запуска более тяжелых КА на орбиту одинако- вой высоты, но запускаемых с высоких широт. 1.4. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ СРЕДСТВ ВЫВЕДЕНИЯ Анализ тенденции совершенствования объектов ракетно-космической техники позволяет выделить два основных направления улучшения конструктивно-экономи- ческой эффективности ракет: • постепенное улучшение основных характеристик PH за счет применения новых конструкционных материалов, повышения качества отдельных узлов, систем и агрегатов, унификации на уровне узлов, систем, отсеков, агрегатов, ступеней и т. п.; • скачкообразное улучшение основных характеристик ракет за счет применения принципиально новых конструктивно-компоновочных схем, многоразовости применения как отдельных частей, так и ракеты в целом. Первое направление реализуется на протяжении всего периода развития ракетной техники. Каждая новая ракета отличается от ракеты с одинаковой компоновочной схе- мой более совершенной конструкцией, лучшими удельными характеристиками. Второе направление реализуется значительно реже, однако оно вносит конкрет- ные изменения в развитие ракетной техники и открывает новые возможности для дальнейшей реализации первого направления. Внедрение большинства мероприятий первого направления в практику создания и совершенствования ракет, как правило, осуществляется очень быстро, в то же время при реализации идей второго поколения всегда имеется много противников, которые часто не рискуют отходить от устарев- ших, но хорошо отработанных и надежных принципов совершенствования ракетной техники. Можно считать, что очередными факторами существенного улучшения эффек- тивности ракет станут следующие: • более интенсивное использование жидкого, а в дальнейшем и шугаобразного во- дорода, что приведет к более широкому использованию одноступенчатых ракет; • использование перелива топлива между параллельно работающими ступенями ракет, что повысит эффективность ракет, построенных на модульном принципе; 42
использование нового поколения трехкомпонентных двурежимных жидкостных ракетных двигателей; использование двигателей с широким диапазоном регулирования тяги для обес- печения оптимального с точки зрения массы нагружения ракеты при полете на активном участке траектории; более интенсивное и хорошо обоснованное с точки зрения надежности и долго- вечности конструкции внедрение композитных материалов. На настоящем этапе развития ракетно-космической техники большое значе- ние придается созданию семейств ракет-носителей на базе универсального ракетно- го модуля (рис. 1.33) и многоразовых транспортных космических систем (МТКС). В процессе создания МТКС первого поколения типа «Спейс Шаттл» и «Энергия» — «Буран» (рис. 1.34) была подтверждена практическая возможность реализации прин- ципа многоразовости применения элементов конструкции этих систем. Однако энер- гомассовая и экономическая эффективность таких систем первого поколения уже не отвечает все возрастающим требованиям перспективных космических программ. Унифици- рованные составные элементы PH 60 м Ускоритель II ступени 9 ЖРД РД0124А 50 м 40 м Универ- сальный ракетный модуль I ступени (УРМ-1) 20 м 30 м Юм Рис. 1.33. Семейство PH «Ангара» на базе универсального ракетного модуля: 1 — головной обтекатель PH «Рокот»; 2 — головной обтекатель PH «Протон»; 3 — разгонный блок «Бриз-М»; 4 — универсальный ракетный модуль УМР-1; 5 — универсальный ускоритель 2-й ступени; 6 — три УМР-1; 7 — пять УМР-1; 8 — кислородно-водородный разгонный блок; 9 — кислородно-водородная ступень 43
Рис. 1.34. Ракета-носитель «Энергия» Характеристики блока Ц: стартовая масса блока — 780 т; масса конструкции блока — 64,3 т; окислитель (жидкий кислород) — 602,3 т; горючее (жидкий водород) — 100,7 т; тяга двигателей у Земли — 4x147 кН Проводятся интенсивные работы по созданию многоразовых систем следующего по- коления, направленные на создание одноступенчатых ракетных или крылатых МТКС. В настоящее время в процессе создания нового поколения МТКС исследуются три направления. Первое направление предусматривает создание многоразовых ра- кетно-космических систем вертикального взлета и горизонтальной посадки, являю- щихся развитием МТКС первого поколения. Космические системы данного типа об- ладают высокими энергетическими характеристиками и обеспечивают выведение на орбиту полезной нагрузки массой до 50 тонн (рис. 1.35). Второе направление предусматривает создание авиационно-космических систем (АКС), использующих в качестве первой ступени дозвуковые самолеты-носители (ДСН), с которых осуществляется воздушный старт орбитальной ступени. За счет маневра ДСН в экваториальных широтах АКС способны выводить полезные грузы на экваториальные орбиты или орбиты с малым наклонением (рис. 1.36). 44
Рис. 1.35. Частично многоразовая ракетно-космическая система 45
Рис. 1.36. Одноступенчатый многоразовый космический ракетоплан и двухступенчатая АКС с гиперзвуковым самолетом: 1 — кабина экипажа; 2 — топливный бак; 3 — отсек полезной нагрузки; 4 — кислородный бак; 5 — маршевые двигатели Доставка спутника на низкую орбиту j, На низкий околоземной орбите спутник отделяется Торможение 96 ЖРД, установленных по периметру, осуществляют подъем аппарата Керосин «Ротон» осуществляет посадку, используя . подъемную силу 1; вращающихся лопастей L. Жидкий кислород Грузовой отсек Кабина экипажа «Ротон» возвращается на Землю Рис. 1.37. Пилотируемый МТКА «Ротон-С9» компании «Ротари Рокет» ротора 46
Третье направление предусматривает создание одно- или двухступенчатых ракет- ных или воздушно-космических систем. На рис. 1.37 приведен многоразовый транспортный космический аппарат (МТКА) и схема его полета. Каждое из этих направлений требует решения сложных научно-технических, экономических и экологических проблем, что обусловливает необходимость поэтап- ного создания соответствующих типов многоразовых космических систем. Крупные космические программы, в том числе и по созданию МКС новых поко- лений, требуют привлечения огромных материальных и интеллектуальных ресурсов. Решение задач в рамках таких программ для одной, даже высокоразвитой страны, ста- новится затруднительным. Стратегия развития космической техники должна форми- роваться при международном сотрудничестве различных стран, имеющих достаточ- ный научно-технический задел по проектированию, производству и применению объектов ракетно-космической и авиационной техники. ЛИТЕРАТУРА 1. Феодосъев В. И., Синярев Г. Б. Введение в ракетную технику. — М.: Оборонгиз, 1961. С. 506. 2. Киселев А. И., Медведев А. А., Меньшиков В. А. Космонавтика на рубеже тысячеле- тий. Итоги и перспективы. — М.: Машиностроение. 2001. С. 665. 3. Космодемьянский А. А., Таре С. М. Курс теоретической механики. 2-е изд., пере- раб. и доп. Ч-Б. — М.: Изд-во. ВВИАим. Н. Е. Жуковского, 1958. 4. Уманский С. П. Ракеты-носители. Космодромы. — М.: Рестарт+, 2001. С. 216. 5. Введение в аэрокосмическую технику: Учеб, пособие / В. Н. Кобелев, А. Г. Милованов, А. Е. Волхонский; Под ред. проф., д. т. н. В. Н. Кобелева; МГАТУ. - М., 1994. С. 264. СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1 1.1. Этапы развития ракет и ракетной техники.......................6 1.2. Теория тел переменной массы — фундамент космонавтики. Развитие космонавтики и практической ракетной техники.................11 1.3. Образование рынка космических услуг и развитие ракетно-космической техники на современном этапе...........19 1.3.1. Основные задачи, решаемые ракетно-космической техникой..................................28 1.3.2. Работы, выполняемые на ракетно-космическом комплексе при подготовке ракет-носителей к пуску и на этапе пуска.......38 1.3.3. Состав ракетно-космического комплекса и полигона для испытаний и штатных запусков ракет-носителей...40 1.4. Перспективы развития средств выведения.......................42 Литература............................................................47
ГЛАВА 2____________________ Г идрогазоаэродинамика летательных аппаратов Гидрогазодинамика, как и всякая наука, возникла и развивается в соответствии с потребностями практики. Отвечая запросам древних кораблестроителей, Архимед (287—212 гг. до н. э.) сформулировал законы плавания и устойчивости плавающих тел. Строительство каналов, плотин, шлюзов, фонтанов, дальнейшее развитие судо- строения и мореплавания в XVII—XVIII вв. служило серьезным стимулом для разви- тия гидромеханики. Именно в это время появились фундаментальные работы членов Петербургской академии наук Д. Бернулли (1700—1782) и Л. Эйлера (1707—1783). Бернулли ввел термин «гидродинамика», и его книга, вышедшая в свет в 1738 г., так и называлась. Эйлер вывел общие уравнения движения невязкой жидкости, которы- ми мы пользуемся и в настоящее время. Зарождение и развитие авиации в конце XIX и начале XX в. обусловили расшире- ние работ по аэродинамике летательных аппаратов. И здесь, прежде всего, следует упомянуть профессора Н. Е. Жуковского (1847—1921). Формулы и профили Жуков- ского и теперь играют большую роль в аэродинамике. В связи с практическими проблемами повышения скорости полета самолетов, а затем и новых типов летательных аппаратов (ЛА) — ракет различного назначения, в середине XX столетия наступил период быстрого развития газовой динамики. При этом основополагающую роль в теории сыграла опубликованная в 1903 г. работа С. А. Чаплыгина (1869—1942) о газовых струях. Не имея достаточного места для подробного изложения истории развития меха- ники жидкости и газа, ограничимся лишь перечислением фамилий отечественных и зарубежных исследователей, внесших существенный вклад. Это, кроме упомянутых выше, И. Ньютон, Ж.-Б. Лагранж, Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф, И. С. Громека, В. Кутта, Ф. В. Ланчестер, Л. Прандтль, Т. Карман, А. Буземан, Л. Крокко, М. А. Лав- рентьев, М. В. Келдыш, Л. И. Седов, Н. Е. Кочин, С. А. Христианович, Л. Г. Лойцян- ский, А. А. Дородницын, Г. И. Петров и многие другие. Все материальные тела, в соответствии с молекулярно-кинетической теорией, имеют дискретное строение, состоящее из отдельных частиц (молекул, атомов и т. д.). Изучение движения всех этих частиц представляет колоссальные трудности даже с использованием современных суперЭВМ. Однако в малых, по сравнению со всей исследуемой областью, объемах содержится очень большое число таких частиц. Это позволяет рассматривать некоторые осредненные свойства материальных сред как непрерывные функции пространственных координат и времени, что составляет суть гипотезы сплошности и позволяет исследовать движение таких сред средствами мате- матического анализа, опирающегося на понятие непрерывных функций. Раздел теоретической механики, занимающийся изучением движения сплошных сред, называют механикой сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газооб- разным средам, — механикой жидкости и газа. Изучение прикладных задач, связан- ных с движением жидкостей, составляет предмет гидродинамики, движение воздуха изучает аэродинамика, а движение различных газов — газовая динамика. 48
Силовое взаимодействие жидкостей и газов, в том числе воздуха, рассматривается в разделе механики жидкости и газа, который носит название гидрогазоаэродинамика. При решении задач гидрогазоаэродинамики, так же как и задач теоретической механики, используют точные и приближенные математические приемы интегриро- вания основных дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения при движении жидкостей и газов. Значительная сложность явлений при этих движе- ниях вынуждает широко использовать экспериментальные методы исследования. Обобщение результатов этих исследований приводит к эмпирическим, а иногда и по- луэмпирическим теориям. При этом теория учит, как ставить эксперимент, как наи- более точно проводить измерения и, что особенно важно, как обобщать результаты отдельных экспериментов на целые классы явлений и устанавливать управляющие ими общие количественные закономерности. 2.1. СВЕДЕНИЯ О СВОЙСТВАХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Основной механической характеристикой жидкости или газа является их плот- ность. Плотностью р называется масса жидкости или газа, заключенная в единице объема. В случае однородной жидкости или газа массой М в объеме W их плотность определяется формулой р = Л//ИС (2.1) Удельным или объемным весом указывают вес единицы объема жидкости или газа у=б/РК (2.2) где G — вес жидкости или газа в объеме ИЛ Связь между удельным весом у и плотностью р с учетом очевидного равенства <7 = #Л/имеет вид p = G/(g4/)=y/g. (2.3) Здесь и далее g — ускорение свободного падения тел. Если жидкости или газы неоднородны, то формулы (2.1) и (2.2) определяют лишь средние значения удельного веса или плотности в данном объеме. Для определения ло- кального значения у и р в рассматриваемой точке, занятой жидкостью или газом, сле- дует рассматривать малый объем АРК, масса и вес которого АЛ/ и А(7 соответственно, и находить пределы соответствующих отношений, когда объем стягивается в точку, т. е. Polini о(АЛ//АИ/)иу=дКт ^(Аб/АИО, (2.4) тогда как связь между ними остается прежней (2.3). Вязкость представляет собой свойство жидкостей или газов сопротивляться сдвигу или скольжению их слоев. Это свойство проявляется в том, что в жидкостях или газах при определенных условиях возникают касательные напряжения. Вязкость жидкостей — свойство, противоположное текучести: более вязкие жидкости (глице- рин, смазочные масла и др.) являются менее текучими и наоборот. Согласно гипотезе, высказанной впервые И. Ньютоном в 1686 г., касательное на- пряжение в жидкости зависит от рода жидкости и характера течения и при слоистом течении изменяется прямо пропорционально так называемому поперечному градиен- ту скорости. В случае течения вдоль плоской безграничной стенки касательное напря- жение т вычисляется по формуле т = р((1и/ф0, (2.5) где ц — динамический коэффициент вязкости жидкости или газа; и — скорость жидкос- ти или газа вдоль плоской безграничной стенки; у — пространственная координата, направленная нормально к плоской безграничной стенке. В случае произвольного течения соотношение (2.5) усложняется. 49
Наряду с коэффициентом вязкости ц применяют еще так называемый кинемати- ческий коэффициент вязкости v, равный v = ц/р. Вязкость жидкостей уменьшается с ростом температуры, тогда как вязкость га- зов, наоборот, с повышением температуры возрастает. Объясняется это различием природы вязкости в жидкостях и газах. В газах вязкость обусловлена главным образом беспорядочным тепловым движением молекул, интенсивность которого увеличивает- ся с температурой, приводя к возрастанию вязкости. В жидкостях вязкость вызывает- ся силами молекулярного взаимодействия, которые с увеличением температуры уменьшаются, вызывая падение вязкости. Из других общих для газов и жидкостей свойств отметим их сжимаемость и тем- пературное расширение. Сжимаемость или свойство тел изменять свой объем под действием давления наиболее ярко выражено у газов. Для них это свойство проявля- ется в том, что под действием сравнительно небольших давлений происходит замет- ное изменение плотности. В жидкостях при достаточно больших давлениях, имею- щих место в различных устройствах, плотность настолько незначительно изменяется, что ее можно считать постоянной. Поэтому в большинстве случаев жидкости счита- ются несжимаемыми. Температурное расширение представляет собой свойство изменения объема при изменении температуры. В жидкостях это свойство проявляется слабо, за исключени- ем случаев, когда она занимает весь объем сосуда, который подвергается нагреву или охлаждению. Газы имеют значительно большее температурное расширение, но его су- щественное влияние также проявляется в определенных условиях, например, в так называемых свободно конвективных течениях. Жидкости и газы отличаются друг от друга тем, что газы стремятся занять весь предоставляемый им объем, тогда как жидкости могут легко менять форму объема, величина которого остается практически неизменной. В связи с этим жидкости обла- дают рядом свойств, не присущих газам. Так, в отличие от газов, в которых, по опре- делению, давления могут существовать лишь как сжимающие напряжения, внутри жидкостей сопротивление растяжению, в соответствии с молекулярной теорией, мо- жет быть весьма значительным. Однако при опытах с тщательно очищенной и дегази- рованной водой в ней были получены значительно более низкие кратковременные напряжения растяжения, а технически чистые жидкости, содержащие взвешенные твердые частицы и мельчайшие пузырьки газов, не выдерживают даже незначитель- ных напряжений растяжения. Поэтому считают, что напряжения растяжения в жид- костях невозможны, и в гидрогазоаэродинамике рассматривают только сжимающие напряжения. На поверхности жидкости действуют силы поверхностного натяжения, стремя- щиеся придать объему жидкости сферическую форму и вызывающие некоторое до- полнительное давление в жидкости. Это давление заметно сказывается лишь при ма- лых размерах или когда другие силы малы или отсутствуют. Так, в трубках малого диа- метра это дополнительное давление вызывает подъем (или опускание) жидкости относительно нормального уровня, называемый капиллярностью. Это обстоятельство требует учета, например в жидкостных манометрах. В условиях значительного пони- жения силы тяжести или в невесомости поверхностное натяжение совместно со сте- пенью смачиваемости жидкостью твердых поверхностей определяет форму объема, занятого жидкостью, что имеет первостепенное значение для работы различных уст- ройств на борту искусственных спутников. В зависимости от характеристик растека- ния жидкость считается смачивающей или несмачивающей. Смачивающая жидкость в отличие от несмачивающей растекается по поверхности. Степень смачиваемости жидкостью твердых поверхностей характеризует так называемый краевой угол — угол 50
между касательными к поверхности жидкости и контактирующей с ней поверхностью твердого тела. Для смачивающей жидкости краевой угол меньше 90°. При значении краевого угла больше 90° жидкость не растекается. Наконец, испаряемость свойственна всем жидкостям. Одним из показателей, ха- рактеризующих испаряемость жидкости, является температура ее кипения при нор- мальном атмосферном давлении. Чем выше температура кипения, тем меньше испа- ряемость жидкости. Более полной характеристикой испаряемости следует считать давление (упругость) насыщенных паров, зависящее от температуры. Чем больше дав- ление насыщенных паров при данной температуре, тем больше испаряемость жид- кости. В некоторых случаях при движении жидкости происходят явления, связанные с изменением агрегатного состояния жидкости, т. е. с превращением ее в пар, а также с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Примером таких явлений может служить кавитация. 2.2. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Для задания положения и движения жидкости или газа существуют два способа, известные еще Л. Эйлеру. Первый, широко используемый Лагранжем и связанный с его именем, заключа- ется в задании текущих значений координат частиц жидкости или газа как функций времени Z, т. е. совпадает с применяемой в кинематике системой материальных точек. Другой способ, являющийся основным в исследованиях Л. Эйлера по гидродина- мике и по этой причине названный его именем, значительно шире распространен- ный, чем метод Лагранжа, заключается в задании поля исследуемых характеристик течения. Так, поле скоростей вектора скорости F с проекциями к, v и w в декартовой системе координат (х, у, г) можно описать как и = и (х, у, z, t),v = v (х, у, z, t),w = w (х, у, z, t), (2.6) или И = И(х, у, г, 0- С математической точки зрения описанные методы задания движения жидкости или газа эквивалентны; всегда можно от одного метода задания движения перейти к другому. В дальнейшем будет удобнее пользоваться методом Эйлера и задавать движе- ние в форме (2.6). Поле скоростей является однородным, если векторы скорости во всех точках поля одинаковы. Поле скоростей называют стационарным, если оно не меняется с течени- ем времени (ЭИ/дГ= 0), в противном случае — нестационарным. Для более наглядного представления полей физических величин используют специальные приемы. Скалярное поле разбивается поверхностями уровня скаляр- ной функции. Примерами являются изотермы — поверхности одинаковой темпера- туры. В векторных полях рассматривают так называемые векторные линии. В гидро- газоаэродинамике при рассмотрении векторного поля скоростей такими линиями являются линии тока (рис. 2.1), т. е. линии, в каждой точке которых в фиксирован- ный момент времени вектор скорости жидкости или газа направлен по касательной к ним. Условие параллельности вектора скорости F в данной точке и дифференциала 51
dr = (dx, dy dz) (рис. 2.1) радиуса-вектора ? этой точки приводит к следующим диффе- ренциальным уравнениям для линий тока: dx dy dz ------Л - “7 Л = “7-------л , Г = const. (2.7) и(х, У, Z, t) v(x, у, z, t) w(x, у, Z,t) Так как в соотношениях (2.7) время входит как параметр, эти соотношения мож- но рассматривать как систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (третье — следствие остальных). Через каждую точку поля скоростей в данный момент времени можно, вообще говоря, провести линию тока и притом только одну. Существуют, однако, и такие — их называют особыми — точки поля скоростей, через которые проходят две или бес- численное множество линий тока. В этих точках скорость либо равна нулю и их назы- вают критическими точками, либо принимает бесконечно большие значения. От линий тока cлeдveт отличать траектории движения частиц жидкости или газа, определяемые как геомегрическое место точек последовательных положений отдель- ных частиц в пространстве в следующие друг за другом моменты времени. Их дифференциальные уравнения известны из курса теоретической механики, и им можно придать вид -Г^-й = = *• (2.8) w(x,y, z, 0 V(x,y, z, t) w(x,y,z,t) Здесь, в отличие от соотношений (2.7) для линий тока, время t будет таким же не- зависимым переменным, какх, у, z. Если поле скоростей стационарно, то время t не будет входить в проекции ско- ростей, исчезнет оно и из уравнений (2.8), которые совпадут с (2.7). Отсюда следует, что в стационарных полях скоростей траектории и линии тока в любой момент време- ни совпадают. Проводя в данный момент времени через точки замкнутого контура С (рис. 2.2) ли- нии тока, получим поверхность тока, заключающую внутри себя часть жидкости, назы- ваемую трубкой тока. В любой точке поверхности тока вектор скорости Р направлен по касательной к линии тока, поэтому жидкость или газ не проникает сквозь поверхность тока. На этом основании можно заключить, что любая непроницаемая поверхность, помещенная в движущуюся жидкость, совпадает с одной из поверхностей тока. В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример сплошной среды, имеет место теорема Эйлера о разложении вектора скорости V любой точки тела произвольных размеров на составляющую Ио поступательного движения вмес- те с произвольно выбранным полюсом О и вращательную составляющую с вектором угло- вой скорости Й. Аналогичная по содержанию теорема, учитывающая возможные дефор- мации среды и по этой причине ограниченная применением к бесконечно малому объему, справедлива для любой сплошной среды, в частности для жидкости или газа. Это так на- зываемая первая теорема Гельмгольца: скорости точек элементарного объема сплошной среды складываются из скоростей квазитвердого и деформационного движений. При решении обратной задачи теоретической механики, когда по заданному по- лю вектора скорости V устанавливается выражение вектора угловой скорости враще- ния тела Й, приходят к новому векторному полю вектора, именуемому ротором, или вихрем вектора скорости и обозначаемому символом rot К. В декартовой системе ко- ординат проекции этого вектора имеют вид (£-£) ™ 52
в ** r//dr + r Рис. 2.1. К определению линии тока Рис. 2.2. Трубка тока dr Рис. 2.3. К определению циркуляции скорости С А Если для простоты бесконечно малый объем сплошной среды в некоторый мо- мент времени выбрать в виде параллелепипеда, то его деформационное движение можно представить в виде суммы, вызывающей растяжение или сжатие сторон этого объема и скашивание первоначально прямых углов сторон параллелепипеда. Движение жидкости или газа, сопровождаемое вращением отдельных элементар- ных объемов, при котором Й = (1/2) rot 0, называют вихревым, а сам вращающийся объем (иногда его угловую скорость) — вихрем. Если движение элементарных объемов среды сводится только к поступательному и деформационному, то такое движение именуют безвихревым. Векторному полю вектора Й = (l/2)rot V или Й = rot V соответствуют свои вектор- ные линии, называемые вихревыми линиями, которые аналогично линиям тока явля- ются линиями, в каждой точке которых в выбранный момент времени касательная совпадает по направлению с вектором Й или Й. Подобно поверхности тока строится вихревая поверхность, а ограниченную ею часть жидкости, участвующую во вращении, называют вихревой трубкой. В соответст- вии со второй теоремой Гельмгольца поток вектора Й или Й сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени вдоль всей трубки. Из второй теоремы Гельмгольца следует, что вихревые трубки не могут заканчи- ваться внутри жидкости или газа, так как при этом Й или Й должны были бы стано- виться бесконечными. Отсюда вихревые трубки могут иметь вид замкнутых колец, либо начинаться и оканчиваться на поверхностях раздела твердой поверхности и жид- кости или жидкости и газообразной среды, либо один из концов вихревой трубки мо- жет уходить в бесконечность. Для нахождения вектора вихря Й или Й при экспериментальных исследованиях приходится прибегать к численному дифференцированию измеренных компонент век- тора скорости в соответствии с формулами (2.9), что приводит к большим ошибкам. Теорема Стокса позволяет заменить интенсивность вихревой трубки, вычисляемой как поток вектора Й или Й сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки, равной ей циркуляцией скорости по контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающему. Циркуляция вектора скорости V по произвольному конту- ру С (рис. 2.3) определяется криволинейным интегралом вдоль контура С: в rAB=^'dr. А 53
В случае замкнутого (В—> Л), самого себя не пересекающего контура С, циркуляция обозначается символом rc=p«dr. С Направление обхода контура С выбирается таким, чтобы ограниченная контуром по- верхность оставалась при обходе слева. Вихревая трубка, заключающая внутри себя завихренные части жидкости, может быть окружена жидкостью, частицы которой не вращаются вокруг своих осей, а дви- жутся поступательно по замкнутым, в том числе круговым траекториям. В этом случае для определения интенсивности вихревой трубки достаточно вычислить циркуляцию скорости по любому контуру, один раз охватывающему трубку. По измеренной циркуляции по замкнутому контуру в поле скоростей можно су- дить не о наличии или отсутствии внутри его вихревых трубок, а лишь о суммарной их интенсивности. Равенство нулю циркуляции скорости по замкнутому контуру не по- зволяет сделать заключение об отсутствии вихревых трубок, так как внутри этого кон- тура могут быть вихревые трубки с различными направлениями вращения, которым соответствуют разные по знаку интенсивности. 23- УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ньютоновской механике масса жидкого, т. е. состоящего во все время движения из одних и тех же частиц, объема сохраняет постоянную величину. Это положение на- зывают законом сохранения массы. Масса элементарного объема жидкости или газа непосредственно следует из оп- ределения плотности среды (2.4) ДЛ/=рДРИ (2.10) а масса М выделенного в среде конечного объема W находится интегрированием вы- ражения (2.10) М = J pdH< W В соответствии с законом сохранения массы ДЛ/ = рД№= const. Отсюда, диффе- ренцируя это соотношение по времени Г, имеем £ (ДМ) = £ (рДЖ) = % Д1Г+ р * (ДИО = 0. (2.11) Деля выражение (2.11) на Д РИи переходя к пределу при ДИ^—> 0, получаем Второй член в уравнении (2.12) носит название скорости относительного объемно- го расширения среды в данной точке и обозначается 0, т. е. в- lim (2.13) ДИ^— о Л Jv dr Вычисление скорости относительного объемного расширения среды по формуле (2.13) приводит к так называемой скалярной пространственной производной вектор- ной функции вектора скорости F, обозначаемой как div И. Эта производная носит на- звание дивергенции. В декартовой системе координат величина этой производной оп- ределяется формулой .. ди . dv . dw div V = з- + -г- + . дх оу dz 54
(Введенная ранее величина rot И является векторной пространственной производной той же векторной функции.) С учетом сказанного уравнение (2.12) принимает вид dp/dr + р div И = 0. (2.14) С точки зрения Эйлера, наряду с заданием вектора скорости V в виде (2.6), анало- гичное задание имеет место и для других параметров жидкости или газа. Поэтому плотность р является функцией времени t и пространственных координат х, у, z : р = = р(х, У, z,1). В свою очередь, при движении жидкой частицы плотностью р происхо- дит изменение ее пространственного положения, что необходимо учитывать при диф- ференцировании по переменной t. В соответствии с формулой дифференцирования сложной функции, используя кинематические соотношения (2.8), имеем dp _ Эр d7 Эр Яс + w Эр Я' (2.15) Величина, стоящая в левой части соотношения (2.15), т. е. dp/d/, носит название пол- ной производной плотности по времени. Так как она характеризует изменение во времени плотности частицы жидкости или газа, то ее называют еще материальной или субстанци- ональной производной. Частная производная Эр/dr характеризует изменение плотности в единицу времени в данной точке пространства х, у z и называется местной или локальной производной плотности. Последние три слагаемые в формуле (2.15) описывают изменение плотности, зависящее от движения частицы, и называются конвективной производной. Введем еще одну пространственную производную — векторную пространственную производную скалярной функции, — называемую вектором-градиентом, или кратко гра- диентом. На примере плотности в декартовой системе координат проекции этого векто- ра есть (grad р)х = др/дх, (grad = др/ду, (grad р)г = dp/dz. (2.16) Использование формулы скалярного произведения двух векторов три последних слагаемых в (2.15), т. е. конвективную производную, позволяет записать в форме и^Я + + * gradp- Эх оу oz г Тогда уравнение неразрывности (2.14) принимает вид Эр/Эг + (И • grad р + р div И) = 0. Вспоминая формулу дифференцирования произведения двух функций, уравне- ние неразрывности можно представить как Эр/Э/+ div (рИ) = 0. (2.17) Уравнение (2.17) представляет собой другой вид уравнения неразрывности (2.14), в котором отсутствует полная производная плотности по времени. Если поле плотности стационарно (Эр/Э/= 0), уравнение неразрывности примет вид div(pK) = 0, (2.18) или в проекциях скорости в декартовых координатах Э(рм)/Эх + d(pv)/3y + 3(pw)/3z = 0. Наконец, в случае постоянной плотности (однородная несжимаемая среда) полу- чим уравнение несжимаемости жидкости divP = 0 (2.19) или Эи , Эр , Эи> _ п зг F зг °- 55
2.4. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В динамике жидкости и газа рассматривают два вида действующих на частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми) и поверхностные. Под объ- емными силами понимают силы, действующие на элементы объема, например: силы веса, тяготения, инерции, электростатического притяжения или отталкивания, силы действия магнитного и электрического поля на частицы среды. К поверхностным от- носят силы, которые действуют на элементы поверхности, ограничивающей объем, например, силы давления или силы внутреннего трения (вязкости) в среде. В качестве поверхности, ограничивающей объем среды, могут выступать любые поверхности, в том числе и мысленно проведенные внутри объема, занятого жидкостью или газом. В гидрогазоаэродинамике имеют дело не с самими силами, а с их плотностями. Плотность распределения объемных сил f в данной точке среды равна пределу отноше- ния вектора ДГ сил, приложенных к точкам малого объема ДИ^, заключающего в себе данную точку, к массе ДЛ/= р ДИ^ когда объем ДРИстремится к нулю, сохраняя внутри себя рассматриваемую точку, т. е. /= lim д//ДЛ/= lim д//(рД[Г). ДЛ/—о ди^—о г Так как по закону Ньютона сила равна произведению массы тела на его ускоре- ние, то в случае силы тяжести f = g, где g — вектор ускорения свободного падения. Аналогично, поверхностные силы задаются вектором напряжения р = lim //Д5, AS—О где ДЛ — главный вектор сил, приложенных со стороны среды к выделенной в ней малой площадке Д5. Напряжения, как это следует из последнего соотношения, изме- ряют в Н/м2. Отметим, что вектор /* является однозначной векторной функцией точек про- странства и времени, т. е. образует векторное поле, тогда как вектор / принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжение, и, таким образом, вектор- ного поля не образует. Отличая лицевую и тыльную стороны площадки Д5, включающей рассматривае- мую точку М жидкости или газа, проведем к лицевой стороне единичный вектор нор- мали г? (рис. 2.4). Тогда вектор напряжения поверхностных сил, действующих на ли- цевую сторону площадки, будем обозначать как р*я, индекс п у вектора напряжения указывает на то, что поверхностные силы приложены к лицевой стороне площадки с ортом нормали г?. Наоборот, к тыльной стороне площадки, согласно закону дейст- вия и противодействия, будут приложены поверхностные силы, вектор напряжения которых есть —рп. Вырежем в движущейся среде элементарный тетраэдр МАВС с вершиной в дан- ной точке М, с основанием в форме треугольника АВС, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях (рис. 2.5). Обозначим площадь тре- угольника АВС через d5n, а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ, представляю- щих собой проекции треугольника АВС на координатные плоскости, соответственно d5x, d5r d5r причем индексы х, у, z при этих площадках, так же как и при напряжени- 56
Рис. 2.4. К определению вектора напряжений Рис. 2.5. К определению свойств вектора напряжений ях рх, ру, pz, приложенных к этим площадкам, обозначают оси, перпендикулярные площадкам. Записывая уравнение движения центра инерции системы жидких частиц, запол- няющих рассматриваемый бесконечно малый тетраэдр, пренебрегая величинами третьего порядка малости и оставляя лишь малые второго порядка малости, будем иметь Рп ASn = рх dSx + Fy dSy + dSr (2.20) Так как d5x = d5„ cos (Я, x) = nx d5n, d5y = d5n cos (n, y) = ny d5n, d5z = d5„ cos (Я, z) = nz d5„, где nx, ny, nz обозначают косинусы углов единичной нормали И с осями координат, после сокращения обеих частей уравнения (2.20) на dSn получим выражение Рп = пхРх + ПуРу + nzPv (2-21) или в проекциях на оси декартовых координат, Рпх = пхРхх + nyPyx + nzPzx’ Рпу ^хРху + ПуРуу + Hj>zy' (2.22) Pnz = nxPxz +nyPyz +nzPzz- Вспоминая определение напряжений рх, ру, pz, отметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжениях рхх, ... обозначает ось, перпендикулярно к которой ориентирована элементарная площадка, второй — ось, на которую спроектировано это напряжение. Например, pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси х. Величины с одинаковыми индексамир^,р^р^, представляющие проекции век- торов напряжений рх, ру, pz на нормали к соответствующим площадкам, называют нормальными напряжениями, а проекции р^, р^ pxz, ... на оси, лежащие в плоскости площадок, — касательными напряжениями. Из соотношений (2.22) следует, что напряженное состояние в рассматриваемой точке пространства, занятого средой, описывается совокупностью девяти величин Рхх’ Рух’ Pzx Рху Рур Рф Pxz’Pyz’Pzz 57 (2.23)
Рис. 2.6. К выводу уравнения количества движения жидкого объема Эти соотношения обладают определенными свойствами, что позволило связать их с тензором напряжений Р, компо- ненты которого определяются таблицей Рхх’ Рхр Pxz Pyx'* Рур Pyz Pzx’PzyPzz (2.24) В большинстве жидкостей и газов отсутствуют объем- ные и поверхностные пары сил. Если записать уравнение ра- венства нулю главного момента приложенных сил к тетраэд- ру МАВС, взятому в таких средах, то можно показать, что Рху Рух’ Pxz Pzx’ Pyz Р& (2.25) Равенства (2.25) выражают теорему о взаимности касательных напряжений и ус- танавливают факт, что компоненты тензора напряжений не зависят от порядка индек- сов, а это означает симметричность тензора напряжений. Таким образом, из девяти компонент тензора напряжений различными являются только шесть и можно менять порядок индексов при компонентах тензора напряже- ний, т. е. для таких сред таблицы (2.23) и (2.24) выражают компоненты одного и того же тензора. Выделим в жидкости произвольный конечный жидкий объем W(рис. 2.6). Тогда в соответствии с теоремой об изменении количества движения приходим к уравнению динамики жидкости или газа или просто к уравнению движения в напряжениях: dK Pd7 эл . э/$ . э# Эх ду dz * (2.26) Для записи этих уравнений в декартовой системе координат используем формулу вычисления полной производной скалярной функции (2.15). В данном случае в фор- мулу (2.15) вместо плотности р необходимо подставить проекции вектора скорости V. В результате из (2.26) следуют (ди , ди , ди , Э«Л_ z. .^Рхх . друх , дрzx Р(э7 + м^ +v^ +^ГрЛ + ^+<+^’ (dv , dv , dv dv\ , _>дрху др др p(di + ud-x +vTy +wd-zFpfy+ IF + -ЭГ’ (dw , dw , dw dw\ , .^p . ^Pyz . <*PZZ р(э7 + мЭх +va? + # + 17’ гдеfxJ fz — проекции вектора плотности распределения объемных сил f. При движении газа с большими скоростями происходит обмен энергией между его частицами, поэтому полная система уравнений динамики газа должна включать уравнение энергии, являющееся выражением закона сохранения энергии. В соответ- ствии с этим законом изменение полной энергии рассматриваемой частицы за время dr равно сумме работы приложенных к ней внешних сил и подведенной теплоты. Полная энергия частицы d£ складывается из кинетической энергии ее поступа- тельного движения и внутренней энергии dE= (y+tfj dM = (y+tf) Р<НК где U — плотность внутренней энергии или удельная внутренняя энергия среды в рас- сматриваемой точке. 58
Уравнение энергии в дифференциальной форме записывается как Р£ + £/) = pf • И + div (РИ) + pt,, (2.27) где q — удельное количество тепла, подведенное к частице извне. Дифференциальные уравнения неразрывности (2.17), количества движения (2.26) и энергии (2.27) выполняются для любых движений жидкостей или газов, не об- ладающих объемными и поверхностными парами сил. Однако различные жидкости и газы при одних и тех же внешних условиях ведут себя по-разному. Добавление соот- ветствующих граничных условий недостаточно, так как число уравнений меньше чис- ла входящих в них неизвестных, т. е. система незамкнута. Построение замкнутой сис- темы уравнений связано с установлением дополнительных соотношений между пара- метрами данной среды. 2.5. СЖИМАЕМЫЕ И НЕСЖИМАЕМЫЕ ТЕЧЕНИЯ Идеальной жидкостью или идеальным газом называют такую среду, в которой век- тор напряжения рп на любой площадке с нормалью Ft ортогонален площадке, т. е. рп параллелен Ft. В таких жидкостях или газах обращаются в нуль все касательные на- пряжения Рху ~ Рух ~ Pxz ~ Pzx ~ Pyz ~ Pzy ~ О’ а выражения нормальных напряжений имеют вид Р„ = Рп*’ Рх = Рх Ру = РуТ’ Рг = Pjc- (2.28) Используя вышеперечисленные соотношения и равенства (2.22), найдем Рхх~ Руу~ Pzz~ Рп’ (2.29) т. е. нормальные напряжения в идеальных жидкостях и газах не зависят от ориентации поверхности. В случае неподвижных жидкостей или газов, обладающих вязкостью, также не будут возникать касательные напряжения, и для них будут справедливы со- отношения (2.29), которые выражают закон Паскаля. Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со зна- ком минус, называют давлением в этой точке и обозначают буквой р, так что Pxx=Pyy=Pzz=Pn = -P- (2.30) Выбранный в (2.30) знак минус обеспечивает положительность давления р, т. к. считается невозможным возникновение в жидкостях или газах растягивающих напря- жений (см. п. 2.1). Дальнейшим упрощением модели жидкости или газа служит предположение об их несжимаемости. В несжимаемой жидкости плотность р есть некоторая постоян- ная, которая считается известной. Уравнение неразрывности (2.17) переходит в урав- нение несжимаемости (2.19). Учитывая (2.28), (2.30) и вспоминая определение векто- ра-градиента (2.16), можно записать _ др др др А + Ъ Ъ ~~Txl -yzk~~gTadp- После этого уравнение движения невязкой жидкости или газа — уравнение Эйлера принимает вид =/-^gradp, (2.31) 59
или в декартовой системе координат ди . ди . ди . ди г 1 Эр з?=£-p3v dv 37 dv + “3i . dv + v3y . dv _ r 1 dp P ’ (2.32) dw 37 dx . dw +v^ .div - 1 dp + w3i =Л-рЭ7- В системе из четырех уравнений (уравнение несжимаемости (2.19) и уравнения Эйлера (2.32)) неизвестными являются четыре величины: и, v, w, р, зависящая каждая от аргументов х, у, z, t. Величины fx,fyfz являются заданными функциями тех же аргу- ментов. Таким образом, задача исследования течения несжимаемых жидкостей или газов является замкнутой. В случае движения сжимаемых жидкостей или газов плотность р является пятой неизвестной функцией, и вместо уравнения несжимаемости (2.19) необходимо ис- пользовать уравнение неразрывности (2.17). Для исследования движения сжимаемой среды в общем случае оказывается необходимым учет нового фактора — обмена энер- гией как между частицами среды, так и между ними и внешней средой. Поэтому необ- ходимо привлечение уравнения энергии (2.27). В дальнейшем ограничимся случаем совершенных газов, в которых давление р, плотность р и температура Т связаны уравнением Клапейрона р = рЯ7; (2.33) где R — некоторое постоянное число, называемое газовой постоянной, различное для разных газов. Для совершенных газов, определяя температуру как характеристику средней энергии, приходящейся на одну степень свободы в хаотическом тепловом движении, удельную внутреннюю энергию U можно представить в виде U = cvT 4- const. (2.34) Значение постоянной в равенстве (2.34) несущественно, так как нас интересует изменение удельной внутренней энергии, а не сама ее величина. Поэтому в дальней- шем эту постоянную будем опускать. Коэффициент пропорциональности cv, входящий в (2.34), имеет простой физи- ческий смысл — он представляет собой количество тепла, которое необходимо под- вести к единице массы среды, чтобы при постоянном объеме поднять ее температуру на один градус. Поэтому cv называется теплоемкостью при постоянном объеме или изо- хорной теплоемкостью. Количество тепла, которое необходимо подвести к единице массы среды, чтобы при постоянном давлении поднять температуру на один градус, называется теплоемкостью при постоянном давлении или изобарной теплоемкостью и обозначается через ср. Для совершенного газа теплоемкости при постоянном давле- нии и объеме и газовая постоянная связаны формулой c„-cv = R. (2.35) Теплоемкости при постоянном давлении и объеме определяют так называемый показатель адиабаты k = cp/cv, с помощью которого можно связать давление и плот- ность для двух состояний в адиабатическом процессе, при котором отсутствует тепло- обмен с внешней средой. В общем случае, когда можно установить некоторую связь между плотностью и давлением, имеет место термодинамический процесс, называемый баротропным. Для 60
него вместо давления р можно ввести в рассмотрение однозначно связанную с ним функцию давления (2.36) Когда массовые силы обладают потенциалом Ф, т. е. вектор плотности массовых сил f определяется как f = —grad Ф, то уравнение Эйлера (2.31) для стационарного течения имеет своим интегралом так называемый интеграл Бернулли у2 -у + р' + Ф = const. (2.37) Это равенство выполняется как вдоль линий тока, так и вдоль вихревых линий. Численные значения постоянных в (2.37) на каждой линии тока или вихревой линии различны. Это же равенство (2.37) имеет место и для частного случая безвихревого движения, когда Й = (1/2) rot F = 0, и тогда численное значение постоянной одинако- во для всех точек области течения. Когда тепло извне к частице не подводится (q = 0) и можно пренебречь влиянием сил тяжести (/* = 0), в стационарных течениях идеального совершенного газа уравне- ние энергии (2.27) вдоль любой линии тока имеет интеграл у2 i 4- -у = const, (2.38) где i = срТ — удельная энтальпия, или, кратко, энтальпия газа, а постоянная в (2.38) может принимать различные значения на разных линиях тока. 2.6. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ (2.39) Рассмотрим один частный, но весьма важный случай движения жидкости или га- за, которое происходит без вращения частиц. Так как в этом случае Й = rot V = 0, то из соотношений (2.9) получается, что dw _ dv ди _ dw dv _ ди Эу 3z’ 3z Эх ’ Эх Эу ‘ Простой подстановкой можно проверить, что последним равенствам можно удовлетворить, если существует такая скалярная функция <р = <р (х, у, z,t), с помощью которой компоненты вектора скорости И выражаются как Эф Эф Эф и= з2-, v= V-, w= V-. дх ду dz Вспоминая определение вектора-градиента скалярной функции (2.16), равенства (2.39) записываются в виде, применимом для любой системы координат, V = grad <р. От- сюда понятно, почему введенная выше функция ср носит название потенциала скоростей. Так как условие Й = 0 означает отсутствие вихрей в рассматриваемом течении, то изложенное выше позволяет заключить, что безвихревое течение является потенци- альным. Верно и обратное — потенциальное течение будет безвихревым. В данном разделе ограничимся случаем несжимаемых потенциальных течений. Подставляя в уравнение несжимаемости (2.19) вместо компонент скорости их выра- жения через потенциал скоростей, получим ^Ф + дЧ + дЧ=0. Эх2 ду2 д?2 61
Таким образом, потенциал скоростей в случае несжимаемых жидкостей или га- зов удовлетворяет уравнению Лапласа. Любой потенциальный поток идеальной несжимаемой среды можно представить как результат наложения друг на друга более простых потенциальных течений. При наложении потенциальных потоков скорость результирующего потока является век- торной суммой скоростей составляющих потоков. Описанный выше метод получения сложных потенциальных течений носит название метода наложения потенциальных потоков. Рассмотрим простейшие плоские потенциальные течения несжимаемой среды. Уравнение несжимаемости (2.19) для плоских несжимаемых, не обязательно потен- циальных, течений принимает вид = 0. (2.40) дх ду v Простой подстановкой можно убедиться, что этому уравнению тождественно удовлетворяет некоторая функция \|/ = у (х, у), если „ = = (2.41) ду ’ Эх v Вспоминая дифференциальные уравнения линий тока (2.7), которые в случае плоских течений сводятся к одному, записанному в форме иду — vdx = 0, и подставляя в него соотношения (2.41), получаем ^dx+^dy = 0. (2.42) Эх ду л Так как полный дифференциал функции у есть d\|/ = fpdx + ^dy, Y Эх ду ” то условие (2.42) означает равенство нулю d\|/ вдоль линии тока, или постоянство функции v вдоль линии тока, поэтому эту функцию называют функцией тока. Два первых равенства (2.39) в плоских потенциальных течениях выпадают из рас- смотрения. После подстановки в последнее из этих равенств вместо компонент ско- рости их выражения через функцию тока (2.41) получаем -ч2 э у э у _п Эх2 Эу2 U’ т. е. в плоских потенциальных течениях несжимаемых жидкостей или газов функция тока, так же как и потенциал скоростей, удовлетворяет уравнению Лапласа. Соотношения (2.39) и (2.41) позволяют установить следующую связь между про- изводными потенциала скоростей и функций тока: Эф _ Эу Эф _ Эу Эх Эу ’ Эу Эх’ которая является условием ортогональности линий тока \|/ = const и линий посто- янных значений потенциала скоростей — эквипотенциален ф = const в каждой точке потенциального течения несжимаемой среды и условием существования аналитиче- ской функции w(^) одной комплексной переменной z = x + iy, определяемой соотноше- нием w(z) = <p(x,y) + /у(х,^). 62
Здесь и далее в этом параграфе w, z, i имеют особый смысл, а именно: w(^) — комплексный потенциал, z — комплексная переменная, i = — мнимая единица. Рассмотрим производную dw/dz комплексного потенциала по комплексному ар- гументу dw Э«р Эу = Эу .Эф = ,2 .... где использованы (2.39) и (2.41). Каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проек- циями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплекс- ного числа. Далее в этом параграфе буквой Ибудем обозначать комплексную скорость V= и + iv, а для величины скорости используем обычное обозначение модуля скорос- ти |И| = Ju2 + v2. Тогда сопряженная скорость К*, определяемая как V* = u-iv, (2.44) из равенства (2.43) оказывается равной производной от комплексного потенциала по комплексной координате Если 0 — угол между Vи осью Ох, то V = и 4- iv = |К| (cos 0 4- i sin 0) = |И| е'0, V* = и — iv = \V\ (cos 0 — isin 0) = |И| e_/0. Отделяя в произвольной функции комплексной переменной w(^) действитель- ную Re и мнимую Im части, получим потенциал скоростей ф (х, у) и функцию тока V (х, у) некоторого плоского потенциального течения ф (х, у) = Rew (г), \|/ (х, у) = Imw(^). (2.46) Приравнивая функцию ф(х, у) к различным постоянным ф(х, у) = С, получим се- мейство эквипотенциалей, а семейство линий тока определяет равенство у(х, у) = С. Приведем несколько примеров простейших плоских потоков идеальной несжи- маемой жидкости. По известным выражениям комплексного потенциала таких тече- ний в соответствии с (2.46) определяются потенциалы скоростей и функции тока, а по (2.44) и (2.45) — распределение скорости. Однородный поток с вектором скорости (мто, уто,) направленный к оси Ох под углом 0^ (рис. 2.7), характеризуется соотношениями: * * -/О Hz) = K»z, - iv„ = | Kje ~= | KJ (cos - i sin ), Ф = их 4- vv, w = -voox4-w y, V= И = w 4- iv. Очень часто удобно направление оси Ох выбирать совпадающим с направлением скорости однородного потока (0ТО = 0). В этом случае Hz) = Uxz, К~=К°° = и„, <р = итех, V = и„у, К= их. (2.47) Течение, вызванное источником или стоком, находящимся в начале координат (рис. 2.8) и обладающим секундным объемным расходом Q, имеет комплексный по- тенциал, описываемый логарифмической функцией комплексной переменной с дей- ствительным множителем: Hz)= glnz, Ф=^1пг, v=ge, r=^,|H=g. (2.48) 63
Рис. 2.7. Линии тока и эквипотенциали Рис. 2.8. Линии тока и эквипотенциали для течения, однородного потока вызванного источником (а) или стоком (б) В этих соотношениях Q — действительная величина, положительная в случае ис- точника и отрицательная в случае стока; г, е — полярные координаты (z = ге‘£). Если в формуле для комплексного потенциала перед логарифмом стоит мнимый множитель, то он описывает течение, образованное вихрем, расположенным в начале координат (рис. 2.9), для которого wW=2^ln^’ <Р = £е’ V = -^lnr, |И|=1!1, (2.49) где Г — действительная величина, равная циркуляции скорости по любому контуру, охватываемому один раз начало координат. Когда Г > 0, жидкость движется по кон- центрическим окружностям в направлении против движения часовой стрелки (рис. 2.9), при Г < 0 движение жидкости происходит по часовой стрелке. Метод наложения потенциальных потоков позволяет получать новые потоки. Так, складывая потоки источника и стока одинаковой мощности (2.48), размещенных по оси Ох симметрично относительно начала координат О в точках с абсциссами ±h , при предельном переходе (А —> О, |Q| —, Q* 2h стремится к конечной величине т) получаем w(z) = lirn ОПП. ^z + h)-4n(z-h) = т dlnz = т v ' a—o.iqi—оф 2л 2h 2л dz 2nz Q • 2h— откуда следует: m= mx =mx w= тУ = тУ И= m IH= |m| Г25П Ф 2л(х2+?) V 2л(?+?) 2Fr’ V ^-(2-5l) Конечная величина m называется моментом диполя; значение т > 0 соответствует расположению стока с положительной стороны оси Ох , т < 0 — противоположному случаю. Картина линий тока и эквипотенциалей для течения, вызванного диполем в начале координат, приводится на рис. 2.10. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса а потоком вдоль оси Ох (рис. 2.11) можно получить наложением однородного потока (2.47) на поток диполя (2.50) и (2.51) при т = 2ла2моо. Тогда 2ла2и„ 1 / а1 ч wfe) = и„ z + 2д - = [z + - J. (2.52) Нулевая линия тока (у = 0) для этого течения представляется двумя кривыми. Одна из них окружность х2 + у2 = а2 радиуса а с центром в начале координат; другая — ось Ох (у = 0). 64
Рис. 2.9. Линии тока и эквипотенциали для течения, образованного вихрем Рис. 2.10. Линии тока и эквипотенциали для течения, вызванного диполем Скорость К* в произвольной точке потока (2.52) равна Отсюда распределение скоростей по контуру окружности z - определяет- ся формулой |К| = 2i/oo|sin£|, где е— полярный угол между радиусом окружности и осью Ох. В точках Л (е = я) и В (е = 0) скорости равны нулю. Эти точки, как уже отмечалось в п. 2.2, называются критическими точками потока. При направлении движения, ука- занном на рис. 2.11, точка А называется передней критической точкой, точка В — за- дней. В точках С и Л миделевого сечения цилиндра (е = ±л/2) скорость на поверхно- сти цилиндра принимает максимальное значение, равное |Итах| = 2иж, т. е. равна удво- енной скорости набегающего потока. Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилиндра может быть представлено в форме коэффициента давления (2.53) _ Р~Р- Ср 1/2р«Г Рис. 2.11. Линии тока при бесциркуляционном обтекании цилиндра 65
Через рж обозначено давление в набегающем потоке. Применяя теорему Бернул- ли в форме (2.37), где отброшен член с потенциалом массовых сил как несуществен- ный в задачах гидрогазоаэродинамики, и при вычислении функции давления (2.36) учтено постоянство плотности для несжимаемых жидкостей и газов, и определяя константу как 4- (1/2)р и^, найдем в рассматриваемом случае с = 1 — = 1-4 sin2 е. Woo Полученное распределение давления по контуру окружности, как это прямо сле- дует из симметрии обтекания по отношению к осям Ох и Оу, результирующей силы не дает, что составляет суть парадокса Даламбера. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра получается наложением вихря с циркуляцией Г (2.49) на бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра (2.52). Комплексный потенциал составного движения будет Нг) = + ^.1пг, что при Г > 0 соответствует направлению циркуляционного движения по часовой стрелке. Определим сопряженную скорость откуда для точек на контуре окружности |H=«j2sine+^|. (2.54) В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания. а) Циркуляция мала: Г < 4памоо. В этом случае на контуре окружности существу- ют две критические точки, в которых И= 0. Их положения из соотношения (2.54) оп- ределяются значениями полярного угла, при котором sin£* = —х——. (2.55) 2паи00 v 7 Положение критических точек показано на рис. 2.12, а. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещаться, стремясь занять положение на пересе- чении окружности с осью Ох, как это и должно быть при Г = 0. б) Промежуточный случай: Г = 4twmoo. Положение критических точек на контуре ци- линдра, определяемое равенством (2.55), удовлетворяет условию sin £♦ = -1, откуда следу- ет, что критические точки совпадают и находятся на оси Оу, где £♦ = —тс/2 (рис. 2.12, б). в) Циркуляция велика: Г > 4ламоо. В этом случае в выражении (2.55) окажется sin £♦ < — 1, что невозможно. Это означает отсутствие критических точек на контуре цилиндра. Критическая точка А будет лежать вне круга на отрицательной стороне мнимой оси, а критическая точка В — на той же оси, но внутри круга (рис. 2.12, в). Найдем коэффициент давления на контуре цилиндра. Из (2.53) и (2.54) будет / г \2 с = 1 — [ 2sine + 5- I. (2.56) р V 2каиоо ) ' ' При циркуляционном течении в соответствии с формулой (2.56) симметрия распре- деления давления по окружности нарушается относительно оси Ох при сохранении сим- 66
Рис. 2.12. Схема линий тока при циркуляционном обтекании цилиндра метрии относительно оси Оу. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра R будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Оу. Над цилинд- ром скорость больше, а давление, согласно уравнению Бернулли, меньше; под цилинд- ром, наоборот, скорость меньше, а давление больше. Это приводит к тому, что главный вектор сил давления R будет направлен по оси Оу в положительную сторону (вверх). Тогда проекция R на ось Оу, вычисляемая как 2л = —$pnyds = -a J р sin е de, о где ds = flde — элемент дуги контура окружности, после подстановки в выражение Ya значения р по уравнению Бернулли и с учетом (2.56) оказывается равной zn 2 J f2"“sine + 2й) sinede = Pu«, Г. (2.57) Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления нет, но возникает поперечная сила. Ее называют подъем- ной силой. Выражение (2.57) для Ya является частным случаем общей теоремы Н. Е. Жуковского о подъемной силе: в плоскопараллельном безвихревом потоке идеаль- ной несжимаемой жидкости на произвольный контур действует сила, равная произ- ведению плотности жидкости на величину скорости набегающего потока и величину наложенной циркуляции. Направление этой силы (рис. 2.12) определяется поворотом на 90° вектора скорости набегающего потока в сторону, противоположную цирку- ляции. Н. Е. Жуковский своей теоремой впервые установил вихревую природу подъем- ной силы. Для определения этой силы Жуковский заменяет обтекаемый плоский кон- тур некоторым воображаемым жидким контуром, ограниченным замкнутой линией тока, внутри которого находятся вихри. Такие вихри он назвал присоединенными. Идея присоединенного вихря и дополнительное допущение, позволяющее опре- делять интенсивность присоединенных вихрей, составляют основу теории профиля и крыла (см. далее). 2.7. ВЯЗКИЕ ТЕЧЕНИЯ И ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется при деформации в виде внутреннего трения. Как отмечалось в п. 2.2, деформацион- ное движение можно представить в виде суммы, вызывающей растяжение или сжатие объема среды и скашивание первоначально прямых углов между линиями, состоящи- 67
ми во время движения из одних и тех же частиц среды. Уравнение изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости в векторной форме имеет вид Tfr = / “ | gradp + у. Др, (2.58) где символ Др — лапласиан V — обозначает вектор с проекциями Дм, Ду, Aw, a v* = ц/р называется кинематическим коэффициентом вязкости (использование не общеприня- того обозначения кинематического коэффициента вязкости со звездочкой в нижнем индексе связано с очень похожим очертанием греческой буквы «ню» с проекцией ско- рости v). Уравнение (2.58), называемое уравнением Навъе-Стокса, отличается от уравнения Эйлера (2.31) наличием члена у* ДИ. При решении задач гидрогазоаэродинамики в ка- честве исходных данных выступает значение скорости набегающего потока И^ и ее направление, а также некоторый размер обтекаемого тела £, который принимают за характерный. Тогда из соображений размерностей для рассматриваемой жидкости с известной величиной кинематического коэффициента вязкости у* может быть обра- зован безразмерный комплекс, например И^А/у*, который носит название числа Рей- нольдса Re, т. е. Re=HoeL/K. (2.59) Число Рейнольдса характеризует отношение инерционных и вязких сил и играет большую роль при изучении движений вязких жидкостей и газов. От числа Рейнольд- са зависит, в частности, коэффициент сопротивления различных тел, обтекаемых по- током вязкой жидкости или газа. Наблюдения показывают, что для вязкой жидкости возможны две существенно раз- ные формы движения. Одна из них носит название ламинарной, а другая — турбулентной. Ламинарный режим характерен для малых скоростей течения, турбулентный — для срав- нительно больших. Условия, которые управляют переходом течения из одной формы в другую, впер- вые были экспериментально установлены О. Рейнольдсом. Их можно охарактеризо- вать критическим числом Рейнольдса Rer для подсчета которого используется формула (2.59), а характерные значения скорости и линейного размера выбираются исходя из решаемой задачи. При ламинарном режиме течения каждая частица потока жидкости или газа дви- жется вдоль плавно изменяющейся траектории, определяемой в основном геометрией стенок, ограничивающих поток. Именно для ламинарного режима течения примени- мы уравнения изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости (2.58). Турбулентный режим течения характеризуется тем, что мгновенные значения скорости и давления испытывают случайные пульсации во времени. Наличием пуль- саций скорости в турбулентном потоке обусловлены дополнительные нормальные и касательные напряжения. Механизм турбулентного течения очень сложен и еще полностью не изучен. Поэтому расчетные методы турбулентных течений в большей или меньшей мере используют эмпирическую информацию, полученную в экспери- ментальных исследованиях. Так как коэффициент кинематической вязкости воздуха мал, то типичные значе- ния числа Рейнольдса очень большие, порядка 106...108 и выше. В этих условиях вяз- кость существенно влияет на течение только в тонком слое, прилегающем к поверх- ности обтекаемого тела, называемом пограничным слоем, и в следе (рис. 2.13). Вне этих 68
Рис. 2.13. Обтекание тела вязким газом или жидкостью областей влияние вязкости практически не проявляется. Понятие пограничного слоя ввел Л. Прандтль. Характерной особенностью течения жидкости или газа в пограничном слое, воз- никающем при обтекании тел, является быстрое возрастание касательной к поверх- ности составляющей скорости от нуля («прилипание» частиц среды к поверхности) до значения этой скорости при обтекании рассматриваемого тела невязкой жидкостью или газом. Расстояние, измеренное по нормали от поверхности тела до точки, в которой местная касательная составляющая скорости отличается на малую величи- ну (обычно равную 1%) от скорости при обтекании этого тела невязкой жидкостью или газом, называют толщиной пограничного слоя и обозначают 8. Давление по толщине пограничного слоя практически не меняется и равно дав- лению на его внешней границе, что является следствием малости толщины погранич- ного слоя по сравнению с радиусом кривизны обтекаемых поверхностей. Обычно пренебрегается взаимным влиянием пограничного слоя и невязкого течения, тогда давление внутри пограничного слоя равно давлению на обтекаемой поверхности при ее обтекании невязкой средой. Перечисленные особенности пограничного слоя позволяют существенно упрос- тить полные уравнения движения вязких сред — уравнения Навье-Стокса. Так, в слу- чае плоского стационарного течения несжимаемой жидкости или газа, когда парамет- ры потока зависят от двух переменных, например х и у, вместо (2.58) будем иметь: ди , ди tAU . д2U п,лч uTx+vTy=Ub+v^^ (2-60) которое должно быть дополнено уравнением несжимаемости (2.40). В уравнении (2.60) введено обозначение Uдля касательной к поверхности составляющей скорости при ее обтекании невязкой жидкостью или газом. Течение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. Вспоминая формулу Ньютона для касательного напряжения (2.5), уравнение движе- ния в пограничном слое (2.60) можно переписать в виде °б,> которое одинаково применимо как для ламинарного, так и для турбулентного режима течения в пограничном слое. Различие заключается в дополнительной связи между касательным напряжением т и скоростью и внутри пограничного слоя. Хотя система дифференциальных уравнений с частными производными, описы- вающая движение жидкости в пограничном слое, значительно проще уравнений Навье-Стокса, ее интегрирование требует применение численных методов. Т. Карман 69
еще больше упростил задачу. Для формулировки расчетных уравнений он применил так называемый метод контрольного объема. В дальнейшем его уравнение, называе- мое интегральным соотношением пограничного слоя, было получено формальными пре- образованиями системы уравнений (2.61) и (2.40). Один из возможных видов этого соотношения можно записать как ^_+11£(2 + Я)8"=Д, (2.62) dx U dx v 7 р у29 v 7 в котором т0 — касательное напряжение на обтекаемой поверхности, 8** — толщина потери импульса, Н= 8*/8** — формпараметр профиля скорости, 8* — толщина вытес- нения. Условные толщины 8* и 8** вычисляются по формулам 5 5 8’ = Ц1 ~v)dy и 8”=Ш1 -vft- <2-63) о о Строго говоря, условной толщиной является толщина пограничного слоя 8 (см. определение выше). Так как вне пограничного слоя подынтегральные выражения в (2.63) равны нулю, то толщины 8* и 8** не зависят от условия определения 8. Так как скорость течения внутри пограничного слоя меньше, чем при невяз- ком движении, то и расход жидкости или газа через сечение пограничного слоя мень- ше, чем при обтекании тела невязкой средой. Мерой уменьшения расхода служит толщина вытеснения 8*. Толщина вытеснения определяет также расстояние по нормали к поверхности тела, на которое вследствие влияния вязкости смещают- ся линии тока, соответствующие обтеканию этого тела потоком невязкой жидкости или газа. Толщина потери импульса 8** характеризует изменение количества движения движущейся среды, протекающей через рассматриваемое сечение пограничного слоя, вследствие действия сил трения. Интегральное соотношение (2.62) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого представляет простую задачу. Однако оно содержит три неизвестные величины (8**, И, т0), и для его интегрирова- ния необходимы дополнительные связи между этими неизвестными (скорость невяз- кого течения Uв теории пограничного слоя считается заданной). Наиболее просто задача интегрирования уравнения (2.62) решается для случая продольного обтекания плоской пластины, когда U = = const. Интегрирование (2.62) для такой задачи выполняется до конца аналитически, и толщина пограничного слоя изменяется вдоль пластины по закону 8/x = 5,O(Koox/v0“1/2 (2.64) для ламинарного пограничного слоя и 8/x = O,37(Koox/v0-1/5 (2.65) для турбулентного пограничного слоя. В выражениях (2.64) и (2.65) координата х измеряется вдоль поверхности пласти- ны от ее передней кромки. Вспоминая определение числа Рейнольдса (2.59), комп- лекс, входящий в формулы для толщины пограничного слоя 8, может быть назван местным числом Рейнольдса Rex = V^x/v*. Для ламинарного режима приближенная формула (2.64) практически совпадает с точной формулой, полученной Блазиусом при точном интегрировании системы дифференциальных уравнений с частными про- изводными (2.60) и (2.40). Поэтому ее можно использовать во всем диапазоне чисел 70
Рейнольдса ламинарного режима. Применимость формулы (2.65) в силу приближен- ности дополнительной информации, используемой при ее получении, ограничивает- ся условием Rex <5 • 106. Зная зависимость напряжения трения на поверхности пластины т0 = т0 (х), мож- но вычислить силу одностороннего сопротивления трения пластины длиной b и ши- риной / по формуле ь F=i\xq{x)6x. о В гидрогазоаэродинамике вместо сил рассматривают их коэффициенты, которые являются безразмерными величинами, независящими от размеров тела и скорости потока. Если коэффициент сопротивления трения плоской пластины определить как то для ламинарного пограничного слоя cF= 1,328/Re1/2, (2.66) а для турбулентного cF=0,074/Re1/5. (2.67) В этих формулах число Рейнольдса вычисляется по длине пластины: Re = VJj/v. Формула (2.67) справедлива при Re < 5 • 106. Более универсальна эмпирическая формула Прандтля-Шлихтинга cF=0,455/(lg Re)2’58, (2.68) которую можно использовать при 2,5 * 105 < Re < 5 • 108. В общем случае при турбулентном режиме течения в пограничном слое на вели- чину cF существенное влияние оказывает шероховатость обтекаемой поверхности. Когда высота бугорков шероховатости значительно меньше так называемого вязкого подслоя, коэффициент сопротивления трения шероховатой пластины рассчитывается по формулам (2.67) или (2.68). В вязком подслое молекулярные процессы обмена пре- обладают над турбулентными. Его образование является следствием демпфирующего влияния стенки. Течение в вязком подслое похоже на течение при ламинарном режи- ме, поэтому его ранее называли ламинарным подслоем. Толщина вязкого подслоя очень мала, она составляет величину порядка одного процента толщины погранично- го слоя. Обычно пограничный слой бывает смешанным. На передней части тела погранич- ный слой ламинарный, а далее он может стать турбулентным. Переход от ламинарно- го к развитому турбулентному течению происходит в переходной области. Обычно протяженность этой области невелика. Поэтому полагают, что переход ламинарного течения в турбулентное происходит скачкообразно в некотором сечении, продольная координата которого xt такова, что местное число Рейнольдса Rex становится равным критическому Re, = V^/v*. Если значение Re, известно, то относительную координа- ту точки перехода находят по формуле xt = xt/b = Re, /Re. Величина Re, для пластины зависит от многих факторов. Здесь этот вопрос не рассматривается. 71
Рис. 2.14. Зависимость удвоенного коэффициента сопротивления трения плоской пластины для несжимаемого газа или жидкости Зная положение точки перехода хп с помощью формул (2.66), (2.67) или (2.68) можно рассчитать суммарный коэффициент сопротивления трения плоской пласти- ны при смешанном пограничном слое в несжимаемом потоке. На рис. 2.14 приведены результаты таких расчетов для ряда значений хг Пограничный слой не всегда прилегает к обтекаемой поверхности на всем ее про- тяжении. Он может отойти от поверхности, не доходя до кормовой части тела. Такие те- чения называют отрывными (рис. 2.15). При обтекании криволинейной поверхности давление вначале убывает (до сечения АА\ рис. 2.15). Вниз по течению за сечением АА' давление возрастает. Частицы пограничного слоя, перемещаясь от этого сечения вниз по течению, затрачивают энергию для преодоления возрастания давления. Это приво- дит к уменьшению кинетической энергии, а следовательно, и скорости частицы. Части- цы, движущиеся вблизи стенки, имеют меньшую кинетическую энергию, быстрее ее израсходуют и затормозятся (сечение 55’). Ниже этого сечения возрастание давления вызовет у поверхности обратное движение жидкости или газа, навстречу основному по- току. В результате основной поток отделится от поверхности, произойдет отрыв потока. Точка 5 на обтекаемой поверхности называется точкой отрыва пограничного слоя. iA' Давление нарастает Рис. 2.15. Отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности 72
2.8. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЕЙ И КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ Профилем крыла называют сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости симметрии крыла, летательного аппарата или плоскости, принятой за базовую. Чаще всего под хордой профиля понимают отрезок прямой, соединяющий наиболее удален- ные точки контура профиля (рис. 2.16), и обозначают Ь. Переднюю точку хорды про- филя называют передней кромкой, а заднюю точку — задней кромкой. Толщина профиля с определяется как максимальное расстояние между точками профиля на верхней и нижней сторонах, измеренное по перпендикуляру к его хорде. Относительной толщиной профиля с называется отношение с = с/b. Положение мак- симальной толщины на профиле определяется ее абсциссой хс, измеренной от перед- ней кромки вдоль хорды. Относительная координата максимальной толщины профиля выражается в долях хорды хс = хс/Ь. Для определения кривизны или вогнутости профиля проводят среднюю линию профиля, для чего на хорде выбирается произвольное число точек, через которые проводят перпендикуляры к хорде. Середины отрезков этих перпендикуляров, огра- ниченных верхней и нижней сторонами профиля, определяют его среднюю линию. Максимальное расстояние средней линии от хорды, т. е. стрелка ее прогиба/, опреде- ляет кривизну профиля. Отношение / =f/b называется относительной кривизной или вогнутостью профиля. Положение стрелки f определяется абсциссой максимальной кривизны xf или ее относительной величиной xf= xf/b. Все относительные геометрические характеристики профиля с, хс, J, лу часто вы- ражаются в процентах хорды. Толщина профиля крыльев колеблется от 2 до 20%. Кривизна у профилей обыч- но не превышает 1...2 и редко 3...4%; кривизна симметричных профилей равна нулю. Формы крыльев в плане, оказывающие значительное влияние на их аэродинами- ческие свойства, очень разнообразны. На рис. 2.17 представлены некоторые из них. Основными геометрическими характеристиками крыла являются его размах /, площадь в плане S, корневая bQ и концевая Ьк хорды и стреловидность х (рис. 2.18). Стреловидность крыла обычно определяется углами стреловидности передней кром- ки крыла Хо> задней кромки Xi и линии фокусов Х1/4» условно проводимой через кон- цы четвертей хорд крыла, откладываемых от передней кромки. Для прямой стрело- видности (рис. 2.17, в) угол стреловидности принимается положительным, для обрат- ной (рис. 2.17, г) — отрицательным. Стреловидность у некоторых крыльев может изменяться по размаху (крылья с переменной стреловидностью). Относительное удлинение, или, короче, удлинение крыла X произвольной формы в плане определяется по формуле X = l2/S; в случае прямоугольного крыла X = 1/Ь. От- Рис. 2.16. Геометрические параметры профиля 73
Рис. 2.17. Формы крыльев в плане ношение корневой хорды крыла bQ к концевой Ьк называется относительным сужени- ем, или, короче, сужением т|, т. е. Т| = bQ/bK. Аэродинамическими характеристиками профиля называются аэродинамические характеристики элемента крыла бесконечного размаха. В общем случае вектор пол- ной аэродинамической силы Ra, действующей на профиль, можно разложить на две составляющие (рис. 2.19). В скоростной системе координат это сила сопротивления Ха, действующая вдоль оси х, направленной параллельно скорости набегающего потока, и подъемная сила Ya, действующая вдоль оси у, которая перпендикулярна скорости набегающего потока. По аналогии с введенным выше коэффициентом сопротивле- ния трения коэффициент сопротивления сха и коэффициент подъемной силы суа опреде- ляются как 'ха 1 2 И Суа 1 2 (2.69) В этих формулах в качестве характерной площади S для подсчета коэффициентов сха и суа используется площадь части крыла бесконечного размаха единичной длины, т. е. S= b • 1. Угол, образованный направлением скорости набегающего потока и хордой про- филя, называют углом атаки а. На рис. 2.19 он положителен. Точку приложения пол- ной аэродинамической силы Ra условно принимают в точке пересечения ее с хордой (точка D на рис. 2.19). Эта точка носит название центр давления. Его координата xd, измеренная вдоль хорды профиля, определяет относительную координату центра дав- ления xd = xd/b. Аэродинамические свойства профиля оцениваются его аэродинамическим каче- ством, или, кратко, качеством К. Аэродинамическим качеством профиля называется отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления К= Ya/Xa, или, исполь- зуя соотношения (2.69), отношение аэродинамических коэффициентов К = суа/сха. Эта величина представляет собой тангенс угла наклона полной аэродинамической си- лы Ra к направлению скорости набегающего потока (см. рис. 2.19). Момент полной аэродинамической силы относительно передней кромки крыла Mza называется продольным моментом или аэродинамическим моментом тангажа. Мо- мент Mza считается положительным, если он стремится повернуть крыло в сторо- ну увеличения угла атаки а, и отрицательным — в обратную сторону. Положитель- ный момент называется кадрирующим, а отрицательный — пикирующим. Коэффициент 74
Рис. 2.20. График зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки Рис. 2.19. Составляющие аэродинамической силы крыла и центр давления момента тангажа в общем случае связан с действующим моментом тангажа соотно- шением (2.70) = Mza mza 1 ? ’ где L — условное плечо момента (для профиля это хорда Ь). Как уже упоминалось ранее, согласно теореме Н. Е. Жуковского, подъемную си- лу, действующую на профиль, можно рассматривать как силу, действующую на вихрь или систему вихрей, находящихся в потоке жидкости или газа. Это обстоятельство ле- жит в основе теоретических методов определения подъемной силы и продольного мо- мента, действующих на тонкий профиль, установленный под малым углом атаки к скорости набегающего потока. При установившемся поступательном движении коэффициент подъемной силы профиля определяется соотношением = (2.7D где с^а = dc^/da = 2л — производная коэффициента подъемной силы по углу атаки; — угол атаки, при котором суа = 0. Угол а0 зависит от формы средней линии и практически не зависит от толщины профиля. Если профиль симметричный, то = 0. На рис. 2.20 штриховой линией показана теоретическая зависимость суа от а, за- даваемая соотношением (2.90), сплошной линией — типичная экспериментальная за- висимость. Абсолютная величина а0 и наклон кривой суа (а), измеренные в аэродина- мической трубе, оказываются меньше, чем это предсказывается теорией, и составля- ют примерно 85...90% теоретических данных. Различие между приведенными величинами объясняется влиянием сил вязкости. С ростом угла атаки эксперимен- тальные значения суа возрастают почти точно по линейному закону. При значениях а, превышающих 8... 15°, эта зависимость отклоняется от линейной и после достижения своего максимального значения суа начинает убывать. Угол, при котором суа достигает максимального значения (максимальный коэффициент подъемной силы суатю), называ- ется критическим углом атаки акр. 75
Рис. 2.21. Зависимость коэффициента продольного момента профиля от коэффициента подъемной силы Рис. 2.22. К определению фокуса профиля (2.73) Рис. 2.23. Зависимость коэффициента Т|с от относительной толщины профиля и положения точки перехода При углах атаки, приближающихся к а^, профиль перестает плавно обтекаться, так как возникающие большие градиенты давления на верхней стороне вызы- вают отрыв пограничного слоя (рис. 2.15). Коэффициент продольного момента профиля cmz принято представлять в виде зависимости от суа. В ре- зультате получается график, который в диапазоне линейной зависимости суа от а чрезвычайно близок к прямой, следующей из теории (рис. 2.21). Теория профиля для этой прямой дает уравнение Cmz ~ CmzO тсуа> (2.72) где коэффициент продольного момента при нулевой подъемной силе cmz0 = —л/, а коэффициент т = -0,25. В действительности cmz0 получается по абсолютной ве- личине значительно меньше из-за влияния вязкости, не учитываемой в теории. Относительная координата центра давления с уче- том соотношения (2.72) может быть найдена по формуле V — Cfnz — ™ CmzQ Xd с т С ''уа уа Ддя симметричного профиля cmz0 = 0, тогда из (2.73) следует постоянство положения центра давления на хорде. Если cmz0 * 0, то центр давления перемещается вдоль хорды с изменением суа и при суа = 0 он уходит в бесконечность. На хорде профиля можно найти такую точку, относительно которой продольный момент на ли- нейном участке его зависимости от подъемной силы ра- вен одной и той же величине. Эта точка называется фо- кусом профиля. Для того чтобы точка F (рис. 2.22) была фокусом, необходимо, чтобы xF=—m. (2.74) Возвращаясь к формуле (2.73), видим, что для симметричного профиля (cmz0 = 0) центр давления и фокус совпадают. При безотрывном обтекании профиля идеальным несжимаемым потоком коэффициент его лобового со- противления равен нулю. В реальной вязкой среде воз- никают сопротивление трения и вызванное вязкостью сопротивление давления. В первом приближении сопро- тивление трения равно сопротивлению двустороннего трения плоской пластины длиной, равной хорде профи- ля Ь. Минимальное сопротивление профиля будет при так называемом безударном обтекании. В этом случае коэффициент сопротивления профиля, обозначаемый как c^q, можно рассчитать по приближенной формуле сх»о = 2сЯс, (2.75) где коэффициент одностороннего трения плоской пластинки cF можно определить по соотношениям (2.66)...(2.68) или по графику рис. 2.14. Коэффициент Т|с зависит от от- носительной толщины профиля с и положения точки перехода xt (рис. 2.23). 76
При замене крыла конечного размаха присоеди- ненным вихрем он должен был бы окончиться вну- три жидкости на концах крыла, что противоречит теореме Гельмгольца о вихрях. В первом приближе- нии крыло можно представить вихревой схемой, по- казанной на рис. 2.24. Эта схема обычно называется П-образным или подковообразным вихрем крыла. П-образный вихрь состоит из фиктивного присоеди- ненного вихря и продолжающих его реальных сво- бодных вихрей, которые начинаются у концов крыла и под прямым углом к размаху уходят от крыла на- зад. При такой схеме циркуляция Г вокруг крыла во всех сечениях и вокруг каждого из свободных вихрей будет одной и той же, что удовлетворяет упомянутой теореме Гельмгольца. Схема П-образного вихря хо- рошо согласуется с движением воздуха около крыла, наблюдаемым в опытах. Крыло с П-образным вихрем является крылом с постоянной циркуляцией по размаху. Опыт показы- вает, что подъемная сила Ya, а следовательно, и цир- куляция Г распределены по размаху крыла неравно- мерно. Обычно в середине крыла Г имеет большое значение, а у концов падает до нуля. Для того чтобы не нарушалась теорема Гельмгольца, предполагают, что от присоединенного вихря вдоль всего размаха ответвляются элементарные свободные вихри, каж- дый из которых уносит с собой некоторую часть цир- куляции 6Г, уменьшая циркуляцию присоединенно- го вихря на эту величину. Таким образом, циркуля- ция постепенно убывает от Го в середине крыла до нуля на концах. В результате позади крыла образует- ся сплошная вихревая пелена (рис. 2.25). На некотором расстоянии от крыла вихревая Рис. 2.24. П-образная вихревая схема крыла Рис. 2.25. Вихревая пелена за крылом конечного размаха индуктивного сопротивления пелена сворачивается в два вихревых жгута, которые легко обнаруживаются экспериментально. В конечном счете получаются так называе- мые вихревые усы за крылом, которые предполагаются П-образной схемой. Система свободных вихрей, сбегающих с крыла, индуцирует в окружающей среде некоторое поле скоростей. Вызванные свободными вихрями скорости направлены вертикально вниз и изменяются по размаху, увеличиваясь к концам. Обозначим сред- нюю по размаху скорость v. через v/cp. Результирующая от геометрического сложения скорости v/cp и скорости набегающего поступательного потока Й» скорость Й« отклоня- ется вниз. В результате возникает скос потока у крыла (рис. 2.26). Средний по размаху крыла угол скоса Да будет зависеть от величины средней вертикальной скорости vzcp: tgAa = Aa = v,.cp/K.. Поворот вектора скорости на угол Да должен вызывать такой же поворот векто- ра подъемной силы (рис. 2.26), который, согласно теореме Жуковского, всегда направ- лен перпендикулярно истинному направлению скорости набегающего потока, т. е. Й«. Тогда действительная подъемная сила У/ в проекции на скоростную систему коорди- нат будет давать действительную поддерживающую силу Ya = Ya' cos Да « Ya\ которую и называют подъемной силой. Другая проекция силы Ya\ равная Xai = Ya tg Да ~ Ya Да, бу- 77
Рис. 2.27. Влияние удлинения прямоугольных крыльев на зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки дет направлена по потоку (в сторону, об- ратную движению крыла). Она называется индуктивным сопротивлением. Таким образом, оказывается, что у крыла конечного размаха, работающего в идеальной среде, т. е. при отсутствии тре- ния и отрыва потока, все-таки появляется сопротивление особого рода благодаря скосу потока из-за влияния концов крыла. Формулы для нахождения среднего по раз- маху значения угла скоса потока Да и ко- эффициента индуктивного сопротивления могут быть представлены в виде &а=суа/(пк) (2.76) и cxai=c2ya/(nX). (2.77) Формула (2.77) является вполне пра- вильной только для крыльев с эллипти- ческим распределением циркуляции по размаху крыла, у которых скос потока постоянен вдоль размаха и определяется формулой (2.76). Для всех других крыль- ев величины Да и cxai несколько больше, чем для крыльев с эллиптическим распреде- лением циркуляции по размаху крыла. Однако эти отличия невелики. При малых углах атаки коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха суа изменяется по линейному закону, как и для профиля (см. формулу (2.71)), если вместо геометрического угла атаки а использовать аэродинамический угол атаки а0 = = а - Да. Тогда получаем Cjokp а а0>- 1+-^ Л Л, (2.78) Из формулы (2.78) производная суа кр по геометрическому углу атаки а находится как а а ____ Суа Суа кр ~оГ ’ 1+-4? ЯЛ откуда видно, что с уменьшением относительного удлинения крыла X угол наклона кривой коэффициента подъемной силы крыла в функции угла атаки а убывает (рис. 2.27). При этом эксперимент показывает уменьшение суа тах и увеличение акр с уменьшением X. В случае крыльев малого удлинения (X < 3) кривые суа(а) теряют свой линейный характер при малых углах атаки и приобретают характерную для них 5-образность. Такой характер кривых объясняется тем, что торцевое перетекание по- тока с нижней поверхности крыла, где давление повышенное, на верхнюю, где образу- ется разрежение, приводит к срыву потока, особенно заметному при острых боковых кромках (рис. 2.28). Этот срыв создает вихревое разрежение, увеличивающее подъем- ную силу. Подъемная сила крыла малого удлинения при а ~ 10° и выше создается в меньшей степени за счет циркуляции, связанной со сходом вихревой пелены с задней кромки, и в большей степени за счет срыва и вихревого обтекания боковых кромок. 78
Рис. 2.28. Перетекание воздуха через боковые стороны и образование вихревых жгутов у треугольного крыла малого удлинения первого рода Лобовое сопротивление крыла конечного размаха складывается из профильного и вихревого сопротивлений. При безударном обтекании профильное сопротивление крыла минимально, и его коэффициент можно найти с помощью формулы (2.75) по значениям средней хорды и средней толщины крыла. Для коэффициента вихревого или индуктивного сопротивления используется выражение (2.77). Таким образом, коэффи- циент сопротивления крыла конечного размаха описывается следующей зависимостью: сха = СхаО + Cxai = Cxrt + <уа /(лА). (2.79) График зависимости между коэффициентами подъемной силы и сопротивления называют полярой первого рода (рис. 2.29). В дальнейшем будем называть ее просто по- лярой. Обычно на поляре проставляют углы атаки. В линейном диапазоне зависимости суа от а экспериментальные результаты подтверждают теоретическую формулу, расчет по которой на рис. 2.29 показан штриховой линией. Коэффициент пропорциональнос- ти перед cja в формуле (2.79), т. е. 1/(яХ), называют коэффициентом отвала поляры. 2.9. ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ В случае движения совершенных сжимаемых жидкостей или газов давление р, плотность р и температура Т связаны уравнением Клапейрона (2.33), внутренняя энергия Uопределяется по формуле (2.34), теплоемкости при постоянном давлении и объеме и газовая постоянная удовлетворяют соотношению (2.35). В общем случае не- обратимых термодинамических процессов, имеющих место при движении газов, рас- сматривается еще одна термодинамическая характеристика — энтропия, удельная ве- личина s которой для совершенных газов связана с давлением и плотностью как s = cv In (р/рк) + const. (2.80) Так как обычно интерес представляет изменение 5, значение постоянной не су- щественно. Процессы, при которых энтропия не меняется, называются изоэнтропическими. Из (2.80) следует, что при изоэнтропическом процессе в совершенном газе р/р* = const. (2.81) Это уравнение называется уравнением изоэнтропы. Уравнение состояния (2.33) и уравнение изоэнтропы (2.81) позволяют записать для изоэнтропических процессов в совершенном газе к 1 р/Т к -1 = const, р/ Т к -1 = const. (2.82) 79
Малые возмущения давления в газе распространяются, не вызывая изменения энтропии, как упругие волны сжатия — разрежения со скоростью звука а= Jdp/dp. (2.83) Видно, что а зависит от закона изменения плотности при изменении давления. Следовательно, скорость звука может служить характеристикой сжимаемости газа (чем выше скорость звука в среде, тем меньше ее сжимаемость). Для изоэнтропических процессов в совершенном газе из (2.81) и (2.83) получаем а = Jkp/p = JkRT. Рассмотрим установившееся течение невесомого идеального совершенного газа, полагая отсутствие теплообмена между его частицами. Такое течение является изо- энтропическим. Тогда уравнение энергии имеет своим интегралом выражение (2.40). Учитывая очевидные соотношения <2-84) имеем V2 к о У2 к V2 а2 V2 i + -у = const, j- + -у = const, -j—[RT4- -у = const, £—у 4- -у = const. (2.85) Термодинамические параметры изоэнтропически заторможенного потока назы- ваются параметрами торможения и отмечаются как /0, р0, р0, То, а0. Давление тормо- жения р0 называют также/юлным давлением. Определяя постоянные в (2.85) из условий изоэнтропически заторможенного по- тока (И= 0), получаем следующие соотношения: ..Г2 . к р , V2 к Ро к D^.V2 к Dr, а2 .V2 а20 2 °’£-1р 2 £-1р0’£-1 2 к-1 °’ к -1 2 к-I v ' Из соотношений (2.86) видно, что с ростом скорости потока V происходит уменьшение термодинамических параметров. Полагая в этих соотношениях i = р/р = = Т= а = 0, находим максимально возможное значение скорости потока Итах - Ж". - ». <2-8’> Используя эти формулы, из (2.86) получаем уравнения . । У _ Ивах к р .У ______ Нпах к туг t У ____ Ивах Л .У _______ Ивах / + Ыр Т ГЛ Разделив обе части первого соотношения (2.88) на И^/2 и учитывая, что по формуле (2.87) /0 = И^/2, получим выражение ///0=1-(К/Итах)2. (2.89) Из формул (2.84) следует, что Z/Zo = T/TQ = а//а^. Поэтому Г/Го = а'/ат- = 1 - (У/У^?. (2.90) Теперь зависимости давления и плотности от скорости с учетом (2.82) примут следующий вид: к 1 р/Ро=[1-(К'Итах)2]ГЛ, р/Ро = [1-(И/Итах)2]ГЛ. (2.91) 80
Зависимости термодинамических параметров от скорости, построенные по формулам (2.89)...(2.91), показаны на рис. 2.30. Разделив обе части четвертого соотношения (2.88) на а1/(к — 1), получим равенство -г = 1 + Ц-1 М2, (2.92) а 2 где М = V/a — число Маха, наряду с числом Рей- нольдса являющееся основным критерием подобия. Число Маха, так же как и скорость звука, является ме- рой сжимаемости движущегося газа. В несжимаемом потоке скорость звука принимает бесконечно боль- шое значение, поэтому для него М = 0. При М < 1 течение называют дозвуковым, при М > 1 — сверхзву- ковым. Течение газа со скоростями, близкими к ско- Р Р Т АьРо’ То Рис. 2.30. Зависимости термодинамических параметров от скорости роста звука, называют трансзвуковым или околозвуковым. Если М = 1, течение называют звуковым. Соотношение (2.92) позволяет последовательно получить формулы ? = (1+Ц^м7 1; 7=0+ЛмТ'- (2-93) При увеличении местной скорости потока от нуля до Итах местная скорость звука убывает от а0 до нуля. Следовательно, при некоторой скорости потока должны выпол- няться условия: V = а, М = 1. Сечение, в котором местная скорость потока равна местной скорости звука, называют критическим. Все газодинамические параметры в этом сечении называют критическими и отмечают нижним индексом *. Полагая в соотношениях (2.92) и (2.93) М = 1, получаем формулы, связывающие критические параметры и параметры торможения: 2 k 1 - Г* - Z* - 2 Р* - ( 2 Р* - ( 2 /О О/П в2 То i0 к+1’ р0 (л+1) ’ р0 U+1J • (294) Для струйки с малым поперечным сечением F, в котором все параметры газа предполагаются постоянными, уравнение неразрывности можно записать в виде уравнения постоянства массового расхода р VF = const. После его логарифмирования, последующего дифференцирования, исключения плотности с помощью уравнения Бернулли (2.37), представленного в виде VdV = —dp/p, и некоторых преобразований следует равенство ^=(М2-1)^. Это уравнение устанавливает связь между относительным изменением площади сечения струйки dF/F, скорости dK/Ии числом М. В дозвуковом потоке М < 1 и, следовательно, М2 — 1 < 0. Приращения площади dF и скорости d V имеют противоположные знаки. Это означает, что при расширении струйки (dF> 0) скорость уменьшается (dV< 0), а при сужении (dF< 0) — увеличива- ется (dV> 0). Когда поток сверхзвуковой (М > 1, М2 — 1 > 0), знаки приращений площади dFn скорости d Vодинаковы. Следовательно, при расширении струйки скорость увеличи- вается, а при сужении — уменьшается. Из сказанного следует, что для непрерывного увеличения скорости от дозвуковой до сверхзвуковой площадь проходного сечения струйки должна сначала уменьшаться, 81
Рис. 2.31. Изменение скорости и давления в сопле Лаваля для Р,ь.« с Р„ (0. Р.ых > рн (2) и в режиме трубки Вентури (3) а затем увеличиваться. Эти закономерности ре- ализованы в сопле Лаваля (рис. 2.31). Для его нор- мальной работы (расчетный режим) необходимы следующие условия: самое узкое сечение сопла Лаваля АА должно быть критическим (скорость потока и скорость звука равны); давление на вы- ходе из сопла рвых, определяемое формой сопла и параметрами торможения газа на его входе, рав- няется наружному давлению рн. При />вых > рн ре- ализуется режим недорасширения. Течение вну- три сопла на этом режиме не отличается от рас- четного, но за выходным сечением струя продолжает расширяться. Условие рвых < рн соот- ветствует режиму перерасширения. При этом на сверхзвуковом (расширяющемся) участке сопла образуется скачок уплотнения, при переходе че- рез который течение становится дозвуковым. Торможение сверхзвукового потока сопро- вождается появлением скачков уплотнения и рос- том энтропии (см. следующий раздел). Поэтому параметры газа, наблюдаемые при физическом торможении сверхзвукового потока, нельзя считать его параметрами торможения. Но всегда можно осуществить изоэнтропический разгон газа из со- стояния покоя до заданной сверхзвуковой скорос- ти. Параметры этого неподвижного газа и считают параметрами торможения сверхзвукового потока. Другим примером изоэнтропического течения служит случай обтекания выпуклого угла сверхзву- ковым потоком. Рассмотрим однородный сверх- звуковой поток идеального газа, обтекающего вы- Рис. 2.32. Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком пуклый угол, образованный плоскими стенками АО и ОВ (рис. 2.32). Расчеты показыва- ют, что поворот потока происходит плавно в пределах области между линиями слабых возмущений ОС и OD. Такое течение называют течением Прандтля-Майера. Оно хоро- шо изучено. Имеются формулы, таблицы и графики, позволяющие легко определять значения газодинамических переменных во всей области течения. Угол 9, при повороте на который звуковой поток (М = 1) разгоняется до скорости Итах, называют максималь- ным углом поворота потока 0тах. Для воздуха (к = 1,4) 0тах = 130,4°. 2.10. ТЕОРИЯ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ При движении тел со сверхзвуковой скоростью перед ними возникает ударная волна (рис. 2.33, а). Перед ударной волной газ не возмущен. Область между волной и телом является областью сильно возмущенного движения. Здесь давление, плотность и температура намного больше, чем в невозмущенном газе. В обращенном движении, когда невозмущенный поток набегает на неподвижное тело (рис. 2.33, б), ударную волну называют скачком уплотнения. При пересечении скачка уплотнения давление, плотность и температура потока скачкообразно возрас- тают, а скорость и число Маха скачкообразно уменьшаются, причем скорость может изменить направление. 82
Угол между вектором скорости невозмущенного потока и плоскостью, касатель- ной к скачку (не превышающий я/2), называют местным углом наклона скачка и обо- значают Р (рис. 2.33, б). Угол между векторами скорости до и после скачка обознача- ют 9 и называют местным углом поворота потока. При обтекании тел с затупленной головной частью всегда возникают отсоединен- ные скачки уплотнения (рис. 2.33, б). На тонком заостренном теле (например, в фор- ме клина) может образовываться присоединенный скачок (рис. 2.34). В дальнейшем ограничимся рассмотрением плоских скачков уплотнения, имею- щих вид бесконечной плоскости. Для них углы 0 и р остаются постоянными вдоль скачка. Скачок называют прямым, если он перпендикулярен скорости потока, т. е. 0 = я/2. В этом случае направление течения за скачком не изменяется (р = 0). В случае 9 < я/2 имеем косой скачок уплотнения. Так как при возникновении скачков уплотнения нарушается предположение о не- прерывности функций, описывающих изменение газодинамических параметров, нель- зя применять уравнения неразрывности, движения и энергии, выведенные выше. Для таких течений можно использовать так называемый метод контрольного объема. Выделим контрольный объем A BCD EGA (рис. 2.35), боковые грани которо- го ограничены линиями тока, а торцы AG и CD параллельны плоскости скачка. Так как все газодинамические параметры до скачка, отмеченные нижним индексом 1, и после скачка с нижним индексом 2 постоянны, закон сохранения массы принима- ет вид РЛ1 Р2^л2’ (2.95) Рис 2.33. Движение тела со сверхзвуковой скоростью (а) и обтекание тела сверхзвуковым потоком (б) Рис. 2.34. Присоединенный скачок уплотнения Рис. 2.35. Контрольный объем для вывода основных соотношений на скачке уплотнения 83
и, соответственно, проекции уравнения движения, выражающего закон изменения количества движения, и уравнение энергии запишутся как Р,+Р1^,2=Р2 + Р2^22> (2-96) Р1^1 = Р2^2^ (2-97) И2 У2 h + ^=h+^- (2-98) В последнем соотношении Из уравнений (2.95) и (2.97) следует важное равенство И(| = И,2=И„ (2.99) которое означает, что касательная составляющая скорости при переходе через скачок не изменяется. Уравнение энергии (2.98) позволяет сделать заключение о постоянстве во всей области течения энтальпии торможения и связанных с ней соотношениями (2.84) других термодинамических параметров или их комбинаций zoi = z02= z0’ Г01 = Т02 = Tq, а01 = а02 = а0, Poi/Poi = Рог /Рог- (2.100) Так как параметры торможения однозначно связаны с критическими параметра- ми формулами (2.94), то при переходе через скачок уплотнения сохраняют свои зна- чения /*, Т*, а*. Учитывая равенство (2.99) и связи (2.94), уравнение энергии можно записать в следующих эквивалентных формах • + = • + ^ к р' - к Р2 ^уп22 _к+\а2 У2 1' 2 Z2“r2’A:-lp12 к - 1 р2 2 Ы 2 2 ’ (2.101) £ DT । DT । Уп\ _ *2 Уп\ 2 к-\ 2 ’ Исключая из уравнения неразрывности (2.95), первого уравнения движения (2.96) и второй формы уравнения энергии (2.101) давления и плотности до и после скачка и учитывая равенство (2.99), приходим к основному соотношению для плоских скачков Ия1Кя2 = а?-^ГД (2.102) В случае прямого скачка уплотнения И, = 0, VnX = Vx, Vnl = И2 и вместо соотноше- ния (2.102) имеем VxV2 = al. (2.103) Так как Vx > а*, то из последнего равенства следует, что И2 < а*, т. е. за прямым скачком уплотнения скорость всегда дозвуковая. Причем чем больше скорость перед скачком, тем меньше скорость за ним. Подставляя в (2.103) Vx = Kmax, получим пре- дельную минимальную скорость за скачком В случае воздуха, когда к = 1,4, из полученной формулы находим, что Kmin2 = 0,41а*. 84
Из сравнения формул (2.102) и (2.103) видно, что на косом скачке уплотнения нормальная составляющая скорости уменьшается в большей мере, чем на прямом. Однако поток за косым скачком уплотнения при малых 0 может остаться сверхзвуко- вым вследствие большого значения касательной составляющей скорости, не изме- няющейся при переходе через скачок. Соотношения давлений, плотностей и температур до и после скачка находятся из уравнений (2.95), (2.96), (2.99), (2.101) и (2.33): Р_1 = Щ2 sjn2 R _ ______I рх к + 1 Mi Sin Р к + 1 Р2 = Г 2 + *-Г1 -I Pi 1(Л + l)M|Sin2P * + 1J ’ (2.104) II Т\ Р2Р1 _ ( 2к ..2 . 2а к-1) Г 2 , *-Г] Р1Р2 U+1 1 Р *+1J ЦЛ + l)Mjsin2p * + lJ’ Из этих формул следует, что с увеличением Mj sin 0 давление и температура за скачком растут неограниченно. Плотность также увеличивается, но не беспредельно. При Mj sin 0—> 00 из (2.104) получаем Р2 А-Н Pi Для воздуха р2/р! —* 6, если принять, что £=1,4. Неизменность касательной и уменьшение нормальной составляющей скорости при переходе через скачок уплотнения приводят в общем случае к скачкообразному из- менению не только величины, но и направления скорости. Из рис. 2.33, б следует, что tg (₽ - о) = тД2 tg р. "1 Учитывая соотношения (2.102), (2.94), (2.92) и очевидные геометрические соот- ношения (см. рис. 2.33, б), получаем выражение tg (Р - 0) = + гтт> Р- -г 1 Mj sin20 Л -г На рис. 2.36 приведен график этой зависимости. Штриховая линия здесь прове- дена через точки, соответствующие максимальным значениям 9, при которых скачок остается присоединенным и плоским. Из рисунка видно, что при заданном числе Маха каждому углу 9 < 9max (Mj) соот- ветствуют два значения угла 0. Дополнительные исследования показывают, что чаще всего реализуются слабые скачки уплотнения, которым соответствуют меньшие зна- чения 0. Штрихпунктирная линия на этом рисунке соединяет точки кривой, для которой М2 = 1. Если 0 оказывается в области, расположенной выше этой линии, то за скач- ком течение будет дозвуковым, если ниже — сверхзвуковым. На основании (2.199) при переходе через скачок остается неизменным отноше- ние Ро/Ро- Однако полное давление р0 и плотность изоэнтропически заторможенного потока р0 за скачком будут меньше, чем до скачка. Это связано с необратимым пере- ходом на скачке части кинетической энергии потока в теплоту. 85
Рис. 2.36. Зависимость угла поворота потока от угла наклона скачка при различных числах Маха Рис. 2.37. Зависимость коэффициента изменения полного давления от параметра Mtsin(3 Потери полного давления на скачке характеризуют коэффициентом изменения полного давления ъ=Ро2/Ры- (2.105) По определению полные давления — давления изоэнтропически заторможенных по- токов. Поэтому из формул (2.93), (2.103) и (2.105) выражение для о преобразуется к виду о = к Г 2* 2 . 2r к~ П1 ~к ( 2к 1 U+1 1sin Р fc+J U+lM?sin2P к — к + \) к На рис. 2.37 приведен график изменения о с ростом Mj sin р. С увеличением Mj sin р растет интенсивность скачка, увеличиваются потери кинетической энергии, приводящие к уменьшению давления торможения за скачком и снижению о. Необратимые потери давления торможения за скачком вызывают увеличение энтропии в этой области течения. Использование формул (2.80), (2.100) и определе- ния а позволяет получить формулу Ду = s2 - 5, = ev In gglj] = -cv In <j. Так как при Mj sin p > 1 коэффициент изменения полного давления а < 1, и из последней формулы следует, что As > 0, т. е. течения со скачками уплотнения — неизо- энтропические течения. 2.11. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА Распространение возмущений давления от непрерывно действующего непо- движного точечного источника слабых возмущений, расположенного в точке О, в по- коящемся газе (V= М = 0) происходит во всех направлениях с одинаковой скоростью а, образуя систему концентрических волн с центром в точке О (рис. 2.38). В дозвуковом потоке (0<М< 1, 0 < V < а) волны возмущения давления, сохраняя сферическую форму, сносятся вниз по потоку со скоростью Vи занимают последователь- но положения, показанные на рис. 2.39. Здесь возмущения распространяются во все сто- роны, в том числе навстречу потоку, и с течением времени они охватывают весь поток. В звуковом потоке (М = 1, V= а) скорость сноса волн возмущения давления рав- на скорости увеличения их радиуса (V= а), и волны возмущений образуют семейство сфер, касающихся нормальной к направлению потока плоскости АА, проходящей че- 86
рез точку О (рис. 2.40). В этом случае возмущения распространяются только в облас- ти, лежащей вниз по потоку от указанной плоскости. В сверхзвуковом потоке (М > 1, V > а) волны возмущений за время t сносятся вниз по потоку на расстояния, превышающие их радиус, соответствующий этому мо- менту времени. Возмущения в этом случае распространяются в ограниченной облас- ти, огибающей всю последовательность волн возмущений. Эта огибающая имеет вид конуса с углом при вершине ц (рис. 2.41). Из данного рисунка следует, что угол ц удов- летворяет условию sinp = ar/(P7) = a/K= 1/М. Тогда tgjx= 1/л/м 2 — 1. (2.106) Рассматриваемую поверхность называют конусом возмущений или конусом Маха, линии пересечения с плоскостями, проходящими через ось конуса, — линиями Маха, угол ц между линией Маха и вектором скорости невозмущенного потока — углом Маха. Из рис. 2.41 видно, что Vn = Ksin ц = а, следует, что нормальная к конусу возмущений скорость набегающего потока Vn будет равна скорости звука а. Для стационарного течения невесомого баротропного газа, когда р = р(р), урав- нение неразрывности (2.18) и уравнение движения (2.31) с помощью соотношения (2.73) сводятся к виду (и2-а2)^- +(v2-a2)^ + (w2-fl2)^ + v ’ ox v ’ dy v 7 dz + uv fdu . . (dv fe + + v"U (2.107) Рис. 2.38. Распространение слабых возмущений в неподвижном газе Рис. 2.40. Распространение слабых возмущений в звуковом потоке возмущений в дозвуковом потоке Рис. 2.41. Распространение слабых возмущений в сверхзвуковом потоке 87
Величина а1 выражается через составляющие скорости с помощью четвертой формы уравнения энергии (2.88). Уравнение (2.107) справедливо как для безвихрево- го, так и вихревого движений. В случае безвихревого движения необходимо присоединить еще условие отсутст- вия вихря. Это условие эквивалентно тому, что существует потенциал скоростей ф = = ф(х, у, z), с помощью которого компоненты вектора скорости И выражаются соотно- шениями (2.39). Тогда уравнение (2.107) принимает следующую форму: 2 2 2 2 2 2 (и2-а2)^ +(v2-fl2)^ + (и>2-я2)^-у 4-2fwv^-X + 1=0. (2.108) дх2 Эу2 dz V dxdy dydz azox ) v 7 Величина а2 снова исключается с помощью уравнения энергии. В соответствии с (2.39) составляющие скорости выражаются через частные производные потенциала скоростей ф. Таким образом, уравнение (2.108)— нелинейное дифференциальное уравнение относительно функции ф. Однако в него старшие производные искомой функции входят линейно, поэтому его называют квазилинейным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. В общем случае для решения такого уравнения требуется использование численных методов. Во многих аэрогазодинамических задачах большой интерес представляет опреде- ление возмущений, налагаемых на известное движение газа. В качестве такого движе- ния чаще всего выбирается установившееся движение с постоянной скоростью иж. Выберем систему координат, в которой эта скорость направлена параллельно оси х. Плотность, давление и температура при этом исходном движении также имеют посто- янные значения и обозначаются соответственно через , рж и Тж. Соответствующая скорость звука равна ах, а число Маха — = ujаж. Поле скоростей исходного течения определяется равенствами и = woo,v = 0,w = 0, которому отвечает потенциал скоростей ф^ = ижх. Если в этот однородный поток помещается некоторое твердое тело, например, крыло, оно вызывает возмущения исходного течения и изменяет поле его скоростей. Поле скоростей в присутствии тела можно представить как и = иж +u',v= v,w = w'. (2.109) Величины и, v' и w называют скоростями возмущения, а определяемое ими течение — возмущенным течением. Если вносимое в поток тело имеет малую относительную толщину и установлено в нем под малым углом атаки, то почти во всей области течения выполняется предпо- ложение и v w и ’ и ’ и •*оо а (2.110) Сделаем дополнительное предположение о том, что возмущенное течение без- вихревое, так что существует потенциал возмущенного течения ф’, определяемый ра- венствами (2.1Н) , Эф' , Эф' , Эф' Подставляя в уравнение (2.108) равенства (2.109) и (2.111), учитывая предполо- жение (2.110) и пренебрегая членами, содержащими квадраты и произведения ско- ростей возмущения, считая их малыми по сравнению с членами, содержащими пер- вые степени, представим его в виде линейного уравнения (1_м2А + ^ + ^-'=о. Эх э/ э? (2.112) 88
Более точный анализ показывает, что уравнением (2.112) нельзя пользоваться при трансзвуковых течениях, когда —> 1. Так как основное дифференциальное уравнение потенциального движения сжи- маемого газа подверглось линеаризации, то уравнение Бернулли, эквивалентное в этом случае уравнению энергии, также может быть упрощено. Существует несколько способов его линеаризации, которые приводят к одной и той же формуле р = рж — ижи. Тогда ко- эффициент давления для линеаризованных сжимаемых течений в соответствии с форму- лой (2.53) можно записать как cp = -2(u'/uj. (2.113) В качестве примера сверхзвукового по- тенциального течения рассмотрим обтекание тупых углов (рис. 2.42). Считая угол поворота потока во внешнюю сторону 0 > 0 (рис. 2.42, а), б) Рис. 2.42. К определению изменения давления при отклонении сверхзвукового потока на малые углы а во внутреннюю 0 < 0 (рис. 2.42, б) малым, можно использовать линеаризованное уравнение (2.112). Веер волн разрежения в течении Прандтля—Майера (рис 2.42, а) становится очень узким, и можно принять, что он совпадает с линией Маха набегаю- щего потока. В течении сжатия (рис. 2.42, б) из-за малости угла поворота потока 0 скачок уплотнения вырождается в слабую волну сжатия, наклоненную под углом Ма- ха к направлению движения невозмущенного потока. Так как течение плоское, то его характеристики не зависят от координаты z и w = 0. В этом случае > 1 и уравнение (2.112) будет гиперболического типа, поэто- му его решение можно находить в виде где >2 = У +х tg ц, a tg ц определяется в (2.106) для Мто. Функция /2(^) описывает распространение возмущений влево, т. е. навстречу набегающему потоку, что физически невозможно. Поэтому ее исключают из рассмот- рения. Тогда составляющие возмущенных скоростей определяют как и = Эф’/Эх = - /1 tg р, v’ = Эф’/Эу = /. Точка над функциейозначает дифференцирование по переменной Исклю- чая из двух последних равенств /, имеем и=— v’tgp. (2.114) Геометрические соображения, используя рис. 2.42, позволяют записать tg0 = 0 =---(2.115) В этом соотношении первый знак относится к течению разрежения (рис. 2.42, а), второй — к течению сжатия (рис. 2.42, б). Исключение из (2.114) и (2.115) составляющей возмущенной скорости v приво- дит к равенству «' = “„etg ц, 89
подставляя которое в выражение для коэффициента давления в линеаризованной за- даче (2.113) получаем формулу ср = -20 tg ц = -20/7м 2-1. (2.116) В соответствии с физикой явления в течениях с расширением (0 > 0) давление понижается и ср < 0, в течениях со сжатием (0 < 0) происходит возрастание давления и ср > 0, что согласуется с формулой (2.116). 2.12. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОФИЛЕЙ И КРЫЛЬЕВ КОНЕЧНОГО РАЗМАХА В ДОЗВУКОВОМ И СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКАХ Рассмотрим для простоты обтекание симметричного профиля, расположенного под нулевым углом атаки к скорости невозмущенного сжимаемого дозвукового потока невязкого газа. В этом случае нулевая линия тока перед и за профилем будет прямоли- нейной, совпадающей с осьюх, вдоль которой направлена скорость их набегающего по- тока (их < аж, < 1, см. рис. 2.43). Такое течение можно считать изоэнтропическим. Перед профилем поток замедляется до нулевой скорости на передней кромке. За- тем она возрастает вдоль поверхности профиля до максимальной скорости, большей скорости набегающего потока. После этого при безотрывном обтекании скорость снова убывает до нуля на задней кромке. В следе за профилем происходит рост ско- рости до ее значения в набегающем потоке. На рис. 2.43 такое изменение скорости показано сплошной линией. Так как в кормовой части профиля может возникать от- рыв потока, то в области около задней кромки скорость снижается не до нуля (см. штриховую линию на рис. 2.43). В соответствии с изоэнтропическими соотношениями (см. п. 2.9) при убывании скорости потока местная скорость звука возрастает и наоборот. Максимальное значе- ние скорости звука будет в точках торможения потока. Наименьшее значение скорости звука достигается на поверхности профиля в точке максимума скорости (см. рис. 2.43). При некоторых значениях числа Маха набегающего потока будет выполняться ус- ловие wmax < В этом случае во всей области потока течение будет дозвуковым. Если скорость набегающего потока возрастет до и'ж, то произойдут количествен- ные изменения распределения местной скорости потока и местной скорости звука, показанные на рис. 2.43 штрихпунктирной линией. При этом может оказаться, что w max = а min- Число Маха невозмущенного дозвукового потока, при котором где-либо на поверхности обтекаемого тела впервые местная скорость потока становится равной скорости звука, называется критическим числом Маха и обозначается через М*. Величина М* зависит от формы профиля и его относительной толщины с, рас- стояния максимальной толщины от передней кромки профиля хс и угла атаки. Для крыла конечного размаха критическое число Маха М* зависит еще от угла стреловид- ности и удлинения крыла. Так как местная скорость потока впервые станет равной скорости звука в той же точке на поверхности, в которой она имеет при заданной скорости набегающего пото- ка максимальную величину, то в этой точке давление будет минимальным. Тогда ми- нимальному значению давления соответствует минимум коэффициента давления cpmin. Минимальное давление будет меньше давления в набегающем потоке, поэтому минимальное значение коэффициента давления ср min < 0. 90
С. А. Христианович установил связь между М* и минимальным коэффициен- том давления на поверхности обтекаемого тела в условиях несжимаемого потока Ср min нсж (Рис- 2.44). В зависимости от величины числа Ма- ха набегающего потока различают: дозву- ковые течения (Мм < М*); трансзвуковые течения (М* < Моо< 1,2); сверхзвуковые течения (1,2 < < 5); гиперзвуковые течения (Мм > 5). Когда тонкий профиль установлен под малым углом атаки к скорости набе- гающего потока, можно использовать ме- тод малых возмущений, описанный в пре- дыдущем пункте. Потенциал скоростей возмущенного течения для дозвукового или сверхзвукового режима удовлетворя- ет уравнению (см. (2.112)) =0. (2.117) Эх ду Рис. 2.43. К определению критического числа Маха с pmin нсж -2,0- -1,5 - -1,0 —0,5- 0---------1---1----1---1----► 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 М» Рис. 2.44. Зависимость критического числа Маха от минимального коэффициента давления в несжимаемом потоке В дозвуковом потоке (Мм < М* < 1) уравнение (2.117) можно привести к урав- нению Лапласа, производя замену пере- менных. Известно, что уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал скорости потока несжимаемой жидкости (см. п. 2.6). Пользуясь уравнением Лапласа, можно найти потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости, обтекающей некоторый новый контур. Этот новый контур будет иметь ту же хорду Ь, что и исходный профиль. Все его поперечные координаты, следовательно, и толщина воз- растут в 1/J1-M~ раз, так что максимальная толщина нового профиля с , будет связана с максимальной толщиной исходного профиля с соотношением cl = c/^l—М^. В таком же соотношении увеличивается и угол атаки а1? т. е. а) = а/ а/1-М^ . Такие преобразования приводят к тому, что подъемная сила для профиля в сжи- маемом газе и подъемная сила для утолщенного профиля, установленного под увели- ченным углом атаки в несжимаемой жидкости, одинаковы. Если один и тот же профиль располагается при равных углах атаки в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости, то между коэффициентами сил и моментов этих про- филей существуют следующие связи: __ Суа нсж ОС _________ Суа нсж __ нсж (2.1 IS) Первое и последнее соотношения в (2.118) позволяют заключить, что фокус про- филя в дозвуковом потоке не зависит от М^, т. е. xF = хГнсж, так как увеличение подъ- емной силы и продольного момента происходит в одинаковой мере. 91
В этом диапазоне чисел Маха с ростом сопротивление трения профиля убыва- ет, а сопротивление давления возрастает. Для профилей средней толщины эти тенден- ции примерно одинаковые, и их коэффициент сопротивления в дозвуковом потоке ос- тается приблизительно постоянным. В случае тонких профилей возрастание сопротив- ления давления происходит медленнее уменьшения сопротивления трения, что приводит к незначительному уменьшению их коэффициентов сопротивления. При об- текании толстых профилей коэффициент сопротивления слабо возрастает, так как со- противление давления увеличивается быстрее, чем снижается сопротивление трения. В трансзвуковом диапазоне чисел Маха (М* < < 1,2) возникают зоны местных сверхзвуковых скоростей, которые замыкаются местными скачками уплотнения. При этом наличие необратимых потерь в скачках уплотнения вызывает дополнительное со- противление, называемое волновым сопротивлением. Коэффициент лобового сопротив- ления сха начинает резко возрастать, увеличиваясь в несколько (иногда в 15...20) раз. Зона местных сверхзвуковых скоростей при а > 0 вначале образуется на верхней по- верхности профиля. Это приводит к повышению давления за замыкающим ее скачком уплотнения, что вызывает уменьшение коэффициента подъемной силы по сравнению с зависимостью (2.118). С ростом интенсивность скачка увеличивается, увеличивают- ся и вызванные им потери подъемной силы, что приводит к снижению суа или с^а. Затем появляется местная сверхзвуковая зона снизу. Повышение давления за замыкающим ее скачком вначале замедляет уменьшение подъемной силы, а затем приводит к ее росту. Фокус крыла в трансзвуковом диапазоне чисел начинает резко перемещаться вдоль хорды профиля. Обычно сначала он передвигается вперед, а затем назад. Опи- санные выше изменения аэродинамических характеристик профиля вместе с вызы- вающими их причинами принято называть волновым кризисом. В сверхзвуковом потоке > 1 и уравнение для потенциала возмущенных ско- ростей (2.117) становится гиперболическим в противоположность дозвуковому режи- му, когда оно являлось эллиптическим. Это приводит к тому, что картины течения около всякого тела, в том числе около профиля, в дозвуковом и сверхзвуковом пото- ках оказываются различными. Если в сверхзвуковой поток поместить тонкую пластину (? = 0), поставив ее под некоторым малым углом атаки, то картина ее обтекания будет такой, как она пред- ставлена на рис. 2.45. Волна сжатия (слабый скачок уплотнения) появится снизу, где линии тока образуют углы, меньшие 180°. Сверху, где происходит поворот потока око- ло угла, большего 180°, возникнет веер волн разрежения. Вдоль самой пластины, как сверху, так и снизу, поток остается параллельным, давления и скорости постоянны вплоть до задней кромки, где поворот потока происходит в обратном порядке. Так как на передней кромке пластины сверху поток поворачивается на угол 0В = = а, а снизу — на угол 0Н = —а, то по формуле (2.116) коэффициенты давления на верхней и нижней поверхностях пластины равны соответственно Срв = -2а/- 1, cpH = 2а/- 1. Результирующая аэродинамическая сила давления будет перпендикулярна пласти- не или ее хорде. Такая сила называется нормальной силой и обозначается через Y. Коэф- фициент этой нормальной силы су равняется площади фигуры, образованной графиком распределения коэффициента давления на профиле единичной хорды. Для плоской пластины соответствующий подсчет можно произвести непосредственно; в результате имеем Cy=4a/jMj-l. (2.119) 92
Рис. 2.45. Картина обтекания плоской пластины под малым углом атаки в сверхзвуковом потоке Рис. 2.46. Картина обтекания ромба под нулевым углом атаки в сверхзвуковом потоке С учетом малости угла атаки коэффициент подъемной силы суа = су cos а = су и тогда, используя формулу (2.119), запишем суа = 4а/- 1, с“ = 4/Jm* - 1. (2.120) Проекция нормальной силы пластины на направление скорости набегающего потока имеет название волнового индуктивного сопротивления, а его коэффициент оп- ределяется как с^в1 = суыпа~суи. Тогда с учетом (2.119) получим ^/=4a2/jMj - 1. (2.121) Если из выражений для суа и схав1 исключить угол а, то получается следующая формула: 2 с . = —______С xaei 4 ya ’ что означает, как и для индуктивного сопротивления крыла конечного размаха в не- сжимаемом течении, квадратичную связь между индуктивной составляющей волно- вого сопротивления профиля в сверхзвуковом потоке и подъемной силой. Так как давление распределено по длине пластины равномерно, то точка прило- жения результирующей сил давления, а следовательно, и фокус находятся в средней точке хорды, т. е. Xf=1/2. (2.122) Анализ обтекания тонкого профиля (? Ф 0) приводит к тем же формулам (2.119)— (2.122), независимо от его формы и величины ?. По формуле (2.121) для a = 0 следует равенство нулю коэффициента волнового индуктивного сопротивления. Однако, если ? Ф 0, перед профилем при a = 0 будут об- разовываться слабые скачки уплотнения (рис. 2.46), что приведет к волновому сопро- тивлению, которое называют волновым нулевым сопротивлением XaeQ. Для ромба при a = 0 качественная картина обтекания представлена на рис. 2.46. Вдоль каждой стороны ромба скорость и давление не меняются. Углы поворота пото- ка относительно направления невозмущенного потока на передней части профиля как сверху, так и снизу будут одинаковыми и равными 0, = —а. На кормовой его части эти углы равны 02 = а. В результате простых подсчетов с использованием формулы (2.116) и малости угла а приходим к следующему выражению для коэффициента вол- нового нулевого сопротивления ромбовидного профиля в сверхзвуковом потоке: ^ = ^77м--1- (2.123) 93
Если профиль имеет форму, отличную от ромба, то линейная теория приводит к формуле cxae0 = ^K/jMi - 1, (2.124) где К — коэффициент формы профиля. Наименьшее значение К = 1 имеет место для ромбовидного профиля, когда (2.124) переходит в (2.123). Для всех остальных профи- лей К > 1. Волновое сопротивление Хав состоит из суммы волнового индуктивного и волно- вого нулевого сопротивлений, поэтому его коэффициент сопротивления с учетом (2.121) и (2.123) выражается как = схав0 + Cxaei = 4(KS2 + а2)/7мГП. На рис. 2.47 приведена качественная зависимость основных аэродинамических характеристик профиля в дозвуковом, трансзвуковом и сверхзвуковом диапазонах скоростей полета. При переходе от профиля к крылу конечного размаха в основном изменяются две характеристики крыла: с^а и cxaj. Для стреловидного крыла с углом стреловидности по передней кромке %0 в ос- новном изменяется составляющая скорости потока по нормали к передней кромке крыла, что приводит к уменьшению его подъемной силы. Если сравнивать стреловид- ное и прямое крылья при одинаковых углах атаки и одинаковых формах профилей в сечениях, параллельных скорости набегающего потока, то их основные аэродина- мические характеристики в несжимаемом потоке будут связаны между собой соотно- шениями СУаХ ~~ СУа прям Хо’ Суах~ Суа прям Хо» Сха^ ~ Сха прям’ Cmzx ~ ^тгпрям %q- (2.125) Поскольку cmz и суа изменяются одинаково и пропорционально cos %, то фокус стреловидного крыла сдвигается назад от носка корневой хорды на величину, равную X tg х/4 хорды. При определении дозвуковых характеристик стреловидных крыльев конечного размаха дополнительно следует учесть, что сжимаемость воздуха влияет на них только через поток, нормальный к передней кромке крыла, число Маха которого равно cos %. Тогда из соотношений (2.78), (2.118) и (2.125) можно записать При % = 0 и = 0 эта формула переходит в формулу (2.78), справедливую для прямого крыла и несжимаемого потока. Поделив обе части равенства (2.126) на X и выполнив преобразования, имеем Суа кр са уа нсж (2.127) са уа нсж Коэффициент индуктивного сопротивления для всех крыльев конечного размаха в дозвуковом сжимаемом потоке может быть с достаточной точностью выражен той же формулой (2.77), что и в несжимаемом потоке. 94
Рис. 2.47. Качественная зависимость основных аэродинамических характеристик профиля во всем диапазоне изменения чисел Маха Обтекание крыла сверхзвуковым потоком сопровождается образованием около него систем слабых скачков уплотнения и волн разрежения, которые создают качест- венно иную, чем на дозвуковых скоростях, картину распределения давления. На рис. 2.48 показана часть передне-боковой кромки крыла произвольной фор- мы в плане. Каждая точка кромки является источником возмущений, распространяю- щихся внутри конических волн, следы которых на плоскости рисунка показаны штриховыми линиями. Часть кромки BD встречает невозмущенный поток, другая его часть АВ встреча- ется с потоком, предварительно прошедшим через волны, возникающие в точках кромки, расположенных выше по течению. Скорости, давления и другие параметры газа в этой части потока начнут изменяться еще до того, как частицы газа подойдут к кромке АВ, подобно тому, как это происходит при дозвуковом обтекании. Из рис. 2.48 видно, что на кромке АВ касательная к кромке крыла образует с на- правлением скорости их слишком острый угол у < LV Поэтому составляющая скорос- ти, нормальная к кромке, 1 floo V„= «« sin у < и sin и = w = и — = а. fl оо | оо ”оо оо °° U ОО " т. е. нормальная составляющая меньше скорости звука в невозмущенном потоке Vn < аж. Такие кромки принято называть дозвуковыми. Наоборот, участок BD, как видно из того же рисунка, встречает поток под углами у > поэтому во всех точках этого участка кромки Vn > Такие участ- ки кромки называют сверхзвуковыми. Простейшей формой крыла конечного размаха является форма тонкой прямоугольной пластины (рис. 2.49). Передняя кромка такого крыла будет сверх- звуковой, а боковые — дозвуковыми. Возмущения от боковых кромок будут распространяться внутри кону- сов Маха с вершинами в угловых точках крыла а и ах. Это приведет, как и в дозвуковом потоке, к выравнива- нию давлений и перетеканию воздуха с нижней по- верхности на верхнюю, что вызвано повышением дав- ления снизу и разрежением сверху крыла. / а ____12L_?i Рис. 2.49. Концевые конусы возмущения на прямоугольном крыле 95
Перетекание вдвое уменьшает подъемную силу на концах крыла по сравнению с той, которую они имели, если бы данное крыло являлось частью крыла бесконечного размаха. Коэффициент подъемной силы прямоугольного крыла находится по формуле ( _ 1 tgp«\ Суокр S'*!/ )' (2.128) Заменяя в (2.128) tg его выражением через по соотношению (2.106) и ис- пользуя формулу (2.119) для коэффициента подъемной силы профиля в сверхзвуко- вом потоке, получаем (2.129) Величину Х^М^ — 1 называют эффективным удлинением крыла в сверхзвуковом потоке. Аналогично величинах У1 — , входящая в (2.127), может быть названа эф- фективным удлинением крыла в дозвуковом потоке. Коэффициент волнового индуктивного сопротивления для пластинчатого кры- ла, как и для профиля, находится по формуле С .= Г CL— Га ха в/ уа кр**' суа кр^ • Аэродинамические характеристики треугольного пластинчатого крыла сильно зависят от того, будет крыло обтекаться в режиме с дозвуковыми или сверхзвуковыми передне-боковыми кромками (рис. 2.50). Если ввести отношение tg7_ 1 _ Л — 7---7----7------7---- — Л—V7--- , (2. 1 3U) tg Poo tg Хо tgpTO tgXo XtgXo то треугольное крыло будет обтекаться в режиме с дозвуковыми передне-боковыми кромками, когда п > 1. В случае сверхзвуковых передне-боковых кромок треугольного крыла п < 1. Анализируя приведенные выше соотношения для с^а кр , можно сделать вывод, что эта аэродинамическая характеристика крыла зависит от числа М^, формы крыла в плане, характеризуемой для трапециевидных крыльев удлинением X, сужением Т| и углом стреловидности Таким образом, Суа кр = /(М^, X, т|, %). Из формул линейной теории (2.127), (2.129) и (2.130) последнее соотношение можно преобразовать к виду а ^=F(MM~-1|AtgX,n). (2.131) Результаты обработки экспериментальных данных показали, что в качестве ха- рактерного угла стреловидности в (2.131) следует брать угол стреловидности по ли- нии, проходящей через середины хорд, т. е. Хо,5- В этом случае влияние относительного суже- ния крыла Т| на кр менее значительно. В трансзвуковой области отношение Суа кр /X существенно зависит от параметра X . На рис. 2.51 в качестве примера приводит- ся график зависимости Суа кр для т| = «>. Из этого рисунка видно, что стреловидное крыло О О Рис. 2.50. Треугольное крыло с дозвуковыми и сверхзвуковыми кромками 96
Дозвуковые кромки Сверхзвуковые кромки Рис. 2.51. График изменения несущих свойств крыла во всем диапазоне изменения чисел Маха не имеет провала несущих свойств в трансзвуковой области, характерной для профи- ля и нестреловидного крыла большого удлинения (см. рис. 2.47). Коэффициент волнового нулевого сопротивления схаъОкр крыла с произвольным симметричным профилем можно рассчитать по формуле ^хавОкр — (Сха вОкр^ромбП + ф(^— DL где (сха вокр)ромб “ коэффициент волнового нулевого сопротивления крыла с ромбиче- ским профилем (см. рис. 2.52), зависящий от параметров т|, X tg и XV^, причем угол %с отсчитывается от линии максимальных толщин крыла с данным профилем, а не с ромбовидным; К — коэффициент формы профиля (см. формулу 2.124); вспомогатель- ная функция <р зависит от разности (ХдД/J—1 - X tg хс) и показана на рис. 2.53. Рис. 2.52. Зависимость коэффициента волнового сопротивления крыльев с ромбическим профилем от геометрических параметров и числа Маха 1 - Xtgxc Рис. 2.53. Зависимость коэффициента, учитывающего характер линии максимальных толщин крыла, от геометрических параметров и числа Маха 97
При дозвуковой и звуковой линии максимальных толщин — X tg х 0) значение ф принимают равным нулю. Когда — X tg хс) —> °°, функция ф—> 1. 2.13. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЧАСТЕЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ Аэродинамические характеристики летательного аппарата не являются простой суммой аэродинамических характеристик его изолированных частей. В результате взаимного влияния расположенных близко друг к другу в потоке воздуха тел картина обтекания каждого из этих тел изменяется. В одних случаях это взаимовлияние, или интерференция, может быть благоприятным, и тогда говорят о положительной интер- ференции, или неблагоприятным, когда интерференцию считают отрицательной. Увеличение сопротивления крыла на дозвуковых скоростях обусловлено наличи- ем сопряжений крыла с корпусом летательного аппарата, с гондолами двигателей и происходит главным образом из-за влияния частей летательного аппарата, соеди- няющихся с крылом. Рост индуктивного сопротивления крыла учитывается введени- ем эффективного удлинения крыла Х^ вместо геометрического удлинения X в форму- лу (2.77). Эффективное удлинение определяется по формуле Х^ = Х(1 + SQ/S), где 50 — площадь крыла, занятая корпусом, мотогондолами и другими частями летатель- ного аппарата, размещенными на крыле. Кроме того, вследствие сопряжения крыла с корпусом и другими частями возрас- тает профильное сопротивление крыла. Это обусловлено тем, что в месте стыка крыла с фюзеляжем вблизи задней кромки крыла образуется диффузорный участок, где воз- никает отрыв пограничного слоя. При расчете профильного сопротивления его уве- личение вследствие интерференции обычно определяется по формуле Сха 0 кр “ Сха 0 изжр Р ~ ^инт*у I > где сха 0 и — коэффициент сопротивления изолированного крыла; £инт — коэффи- циент интерференции. Чем большая часть крыла занята корпусом и другими частями, тем меньшая по- верхность крыла обтекается потоком и, следовательно, полный коэффициент сопро- тивления уменьшается. Отрицательные явления, связанные с взаимным влиянием крыла и корпуса, учитываются коэффициентом интерференции, который меньше единицы. Чем меньше коэффициент интерференции, тем больше коэффициент со- противления крыла Для летательного аппарата схемы низкоплана £инт = = 0,25...0,6, для среднеплана £инт = 0,85 и для высокоплана £инт = 1. Аналогично учи- тывается влияние корпуса на горизонтальное и вертикальное оперение. При определении аэродинамических характеристик как горизонтального, так и вер- тикального оперения необходимо учитывать уменьшение скорости за крылом, располо- женным выше по потоку от оперения. Скоростной напор у горизонтального оперения, осредненный вдоль его размаха, может уменьшиться на 20 и более процентов. С умень- шением удлинения горизонтального оперения торможение потока увеличивается. Кроме того, при полете летательного аппарата скос потока, имеющий место за крылом, достига- ет горизонтального оперения и существенно изменяет его действительный угол атаки. Угол скоса потока в области горизонтального оперения увеличивается с ростом угла атаки или коэффициента подъемной силы крыла и с уменьшением удлинения 98
крыла и уменьшается с увеличением расстояния от крыла до горизонтального опере- ния. На угол скоса у горизонтального оперения оказывает влияние расположение го- ризонтального оперения по высоте относительно крыла. С ростом расстояния до плоскости расположения крыла угол скоса потока уменьшается. При аэродинамическом расчете дозвуковых летательных аппаратов обычно при- нимают, что подъемная сила системы крыло—корпус равна подъемной силе условных изолированных крыльев, образованных продолжением передней и задней кромок консолей до плоскости симметрии. Такое предположение хорошо подтверждается опытом при небольших значениях отношения диаметра корпуса D к размаху крыла (D = D/1) и при малых числах Маха полета. У современных сверхзвуковых летательных аппаратов отношение D/1 доходит до 0,3...0,5. В этом случае замена системы крыло—корпус изолированными крыльями может привести к значительным ошибкам в определении подъемной силы. Рассмотрим комбинацию крыло—корпус, установленную в потоке под углом атаки а (рис. 2.54). Для простоты предположим, что на корпусе в форме бесконечно длинного кругового цилиндра крыло закреплено по схеме среднеплана. Разложим на- бегающий на комбинацию со скоростью Уж невозмущенный поток на две составляю- щие: направленную вдоль оси корпуса со скоростью Ухоо = Уж cos а и нормально к ней со скоростью Ууж = Ко sin а. При обтекании корпуса этим поперечным потоком его скорость v увеличивается по сравнению с Ууоо. Полагая скорости Ууоо малыми, из теории потенциального обтекания цилиндра поперечным потоком со скоростью Ууоо = У» sin а для местных скоростей обтекания вдоль оси OZ в плоскости OXZ можно получить (см. п. 2.6) v = ИД! + r$/z2) sin а, где г0 — радиус цилиндра, z — координата рассматриваемой точки на оси OZ. Из последнего соотношения видно, что в точках на поверхности цилиндра, т. е. при z = rQ, поперечные скорости обтекания в два раза больше, чем Ууоо, а вдали от ци- линдра стремятся к этой величине. Увеличение поперечной скорости обтекания v вблизи цилиндрического корпуса вызывает увеличение местных углов атаки. Вслед- ствие этого возрастает и подъемная сила сечений, причем тем больше, чем ближе се- чение крыла к поверхности корпуса. Наибольший прирост подъемной силы за счет интерференции реализуется в схеме среднеплана. В свою очередь, крыло оказывает влияние на обтекание корпуса. При положи- тельном угле атаки повышенное давление с нижней поверхности крыла передается на Рис. 2.54. Схема обтеканий комбинации крыло — фюзеляж 99
без учета правила площадей (1) и с учетом этого правила (2) Рис. 2.56. Эффект применения правила площадей нижнюю поверхность корпуса, а пониженное давление с верхней поверхности крыла — на верхнюю поверхность корпуса. В результате на корпусе образуется допол- нительная подъемная сила, вызванная влиянием крыла. На дозвуковых скоростях этот прирост реализуется на всем корпусе, так как возмущения распространяются во все стороны. На сверхзвуковых скоростях возмущения распространяются только вниз по потоку, поэтому подъемная сила на корпусе увеличивается только в области, ограни- ченной конусами Маха, выходящими из начала бортовой хорды каждой консоли, и, следовательно, зависит от числа Маха набегающего потока. При трансзвуковых и сверхзвуковых режимах полета минимальное волновое со- противление летательного аппарата обеспечивается при выполнении так называемого правила площадей. По этому правилу, следующему из линейной теории сверхзвуковых течений, волновое нулевое сопротивление всего летательного аппарата определяется в основном распределением площадей его поперечных сечений вдоль продольной оси. Для того чтобы сопротивление летательного аппарата было наименьшим, эпюра площадей поперечных сечений летательного аппарата вдоль его продольной оси должна быть возможно более плавной (рис. 2.55). Внезапное увеличение объема тела, например, в месте неплавного сопряжения крыла с корпусом, необходимо компенсировать уменьшением объема других элемен- тов компоновки. Поэтому применение правила площадей приводит к характерному «поджатию» корпуса в зоне сопряжения крыла и корпуса (см. рис. 2.55, б). Эксперименты показывают, что при скорости полета, соответствующей числу Мю = 0,95... 1,05, «поджатие» корпуса снижает увеличение сопротивления на 60...80% (рис. 2.56). При дальнейшем увеличении скорости полета эффект от применения пра- вила площадей уменьшается и при Мю = 1,7...2,0 он исчезает. 100
2.14. СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ И АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ НАГРЕВ При движении летательного аппарата в атмосфере частицы газа, примыкающие к стенке, увлекаются стенкой или, что одно и то же, при обтекании аппарата из-за тре- ния тормозятся у стенки. Процесс торможения сопровождается выделением тепла и диссипацией кинетической энергии потока. Если скорость полета достаточно велика, то вблизи стенки образуется слой газа с высокой температурой, нагревающей поверх- ность аппарата. Температура газа может достигнуть значений, близких к значениям температуры торможения: Т0=Т„(1 + ^М.2). (2.132) Здесь Тж — температура набегающего потока газа. Уже при числах Мю > 2,5 температура в простеночном слое газа может достиг- нуть 575 К, что связано с переходом от обычно применяемых в авиационных конст- рукциях дюралюминиевых сплавов к более теплостойким материалам. При Мю > 5 стальные конструкции должны защищаться специальными покрытиями, а при Мю >10 не всегда удается создать необходимую конструкцию. Наконец, при еще более высо- ких скоростях полета температура газа у стенки и тепловые потоки становятся такими большими, что приходится допускать унос вещества самой поверхности в силу плав- ления, сублимации и др. Высокие температуры, возникающие в пограничном слое и передающиеся дви- жущемуся телу, оказывают обратное влияние на пограничный слой, изменяя его тол- щину 8 и напряжение трения т0 на стенке. Поэтому невозможно правильно рассчи- тать эти величины без учета нагрева. И наоборот, невозможно точно рассчитать на- грев, не имея данных о структуре и характеристиках пограничного слоя. Поскольку при больших скоростях температура в пограничном слое изменяется существенно, то оказывается переменной и плотность газа. Вследствие того, что дав- ление по сечению пограничного слоя примерно постоянно, плотность в пограничном слое изменяется обратно пропорционально температуре. При этих условиях по сече- нию пограничного слоя оказываются переменными вязкость ц(Г) и теплопровод- ность Х(Г). С увеличением температуры ц и X возрастают. Из-за нарушения адиабатичности движения в пограничном слое, вызываемого вязкостью газа, его температура около стенки будет несколько ниже, чем это следует из формулы (2.132). Если обтекаемая поверхность будет теплоизолирована, то теплота не сможет отводиться от поверхности тела или излучаться ею в окружающее про- странство и ее температура достигнет так называемой равновесной температуры или температуры адиабатического восстановления. Величина этой температуры восста- новления Тг зависит от числа Маха Мю (в общем случае от числа Маха на границе пог- раничного слоя) и от рассеяния кинетической энергии течения в пограничном слое вследствие трения и теплообмена: +гЦ-1м_2), (2.133) где г = (Tr — Te)/(TQ — Те) — коэффициент восстановления, представляющий собой от- ношение прироста температуры при адиабатическом торможении в пограничном слое (Тг — Те) и в идеальном внешнем и невязком потоке (Го — Те), здесь Те — темпе- ратура на внешней границе пограничного слоя. Величина г зависит от числа Прандтля Рг = ргр/Х. 101
Число Прандтля представляет собой отношение количества тепла, выделяемого за счет работы сил молекулярного трения, к количеству тепла, уносимого молекулами при непрерывном перемещении. Для воздуха число Рг изменяется от 0,75 при очень низких температурах до 0,65 при высоких. Ввиду того что оно изменяется очень мало, его считают постоянной величиной, равной осредненному его значению 0,72. Коэффициент восстановления температуры в ламинарном пограничном слое приближенно можно определить как г « ТРг, а в турбулентном как г ~ 2/Рг. Для возду- ха в ламинарном и турбулентном пограничных слоях принимаются г = 0,85 и г = 0,90 соответственно. Подставляя эти значения в (2.133) и полагая для воздуха к = 1,4, полу- чаем ддя ламинарного пограничного слоя Тг = 7^(1 -I- 0,17М£) и ддя турбулентного Тг = 7^(1 -I- 0,18М£). Из этих формул следует, что поверхность, обтекаемая турбулент- ным пограничным слоем, будет нагреваться сильнее, чем обтекаемая ламинарным слоем. Формула (2.132) дает максимальную величину повышения температуры плоской стенки при больших скоростях полета и кладется в основу расчета аэродинамического нагрева различных сверхзвуковых летательных аппаратов. По этой формуле темпера- тура поверхности тела или, точнее говоря, температура газа у стенки очень быстро (по квадратичной параболе) растет с возрастанием числа Маха полета Мм. Распределение температуры в пограничном слое существенно изменится при на- личии подвода или отвода тепла. При охлаждении стенки максимальная температура в пограничном слое меньше температуры восстановления. Поскольку у стенки темпе- ратура снижается вследствие отвода теплоты внутрь тела, то в этом случае температура газа имеет максимальное значение внутри пограничного слоя. При нагревании стенки до температуры, превышающей температуру восстанов- ления (Tw > Тг), появляется тепловой поток от стенки к пограничному слою. Это вы- зывает увеличение температуры внутри пограничного слоя. В общем случае толщина температурного пограничного слоя, т. е. слоя, где про- исходит основное изменение температуры, не совпадает с толщиной динамического пограничного слоя, определяемого как область изменения скорости. При больших скоростях характеристики пограничного слоя, т. е. формы профи- лей скорости, напряжения трения, толщина слоя и т. д., находятся под сильным влия- нием сжимаемости. Так как давление в одном и том же поперечном сечении погра- ничного слоя одно и то же, то из уравнения состояния следует, что плотности и темпе- ратуры в любом поперечном сечении связаны зависимостью р/ре = TJT, где ре — плотность газа на внешней границе слоя. Отсюда следует, что при больших числах М вследствие нагрева газа у стенки плотность pw сильно уменьшается по сравнению с плотностью на внешней границе. Как уже отмечалось, коэффициент вязкости воздуха ц увеличивается с ростом температуры. Поэтому в тонком пограничном слое на поверхности тела, движущегося с большими скоростями, имеется сильное возрастание кинематической вязкости жидкости v* = ц/р в направлении от внешней границы к стенке. Средняя величина v* в пограничном слое в несколько раз больше, чем на внешней границе слоя. Так как толщина пограничного слоя 8 находится в прямой зависимости от кине- матической вязкости V», то с ростом числа М толщины ламинарного и турбулентного пограничных слоев сильно возрастают. Меняется также и форма профилей скорости, которые находятся в тесной связи с профилями температуры, так как температура увеличивается за счет уменьшения ско- рости по мере приближения к стенке. 102
Влияние сжимаемости на коэффициент сопротивления трения плоской пластины при продольном обтекании обычно описывают коэффициентом т|м = cF/(cF)M = 0, где cF— коэффициент сопротивления пластины при заданном числе Мм, a (cF)M = 0 — ко- эффициент сопротивления пластины при том же числе Re, но в несжимаемом потоке (Мю = 0). Тогда для ламинарного пограничного слоя с учетом сжимаемости и теплоот- дачи можно определить по приближенной формуле Им = [0,45 + 0,55Tw/Te + 0,09(fc- 1)м27Рг]-°’12. Эта формула ценна тем, что показывает влияние на трение каждого из трех фак- торов: Tw/Te, Мю и Рг в отдельности. На рис. 2.57 приведен график (линия 7) этой за- висимости для теплоизолированной стенки Tw/7^= 1. Турбулентный пограничный слой также подвержен влиянию числа М и теплоот- дачи через стенку. Но это влияние имеет свои особенности. Толщина турбулентного слоя по сравнению с толщиной ламинарного слоя зна- чительно меньше зависит от вязкости. Поэтому с ростом числа М толщина турбулент- ного слоя нарастает значительно медленнее, чем ламинарного. Вследствие этого на- пряжение трения турбулентного слоя будет убывать быстрее по числу М^, чем лами- нарного. Соответствующая величина коэффициента т|м для турбулентного слоя представлена кривой 2 на рис. 2.57. Для вычисления коэффициента т]м при турбу- лентном обтекании используют приближенную формулу т)м = (1 + 0,1м5-2/3. Трудности расчета турбулентного пограничного слоя при сжимаемом течении возрастают по двум причинам. Первая, имеющая место в ламинарном пограничном слое, является следствием влияния, оказываемого на течение числом набегающе- го потока и температурой Tw обтекаемой стенки. Вторая причина связана с некоторой противоречивостью экспериментальных данных, что затрудняет разработки прибли- женных моделей турбулентности. Среди многочисленных способов решения задачи о пограничном слое сжимае- мого потока особенно часто применяют метод так называемой эффективной или опре- деляющей температуры. Основная идея этого метода состоит в том, что законы сопро- тивления, полученные для несжимаемого течения, сохраняются и для сжимаемого, если только для плотности и коэффициента вязкости ввести их значения, соответ- ствующие подходящим образом выбранной опре- деляющей температуре Г*. Значение этой температу- ры Г* обычно лежит между максимальным и мини- мальным значениями Т внутри пограничного слоя. Наиболее часто определяющую температуру Т вы- числяют по формуле Эккерта: Г* = Го + 0,5(7; -7^) + 4-0,22(7;— т;). Если режим полета летательного аппарата не- прерывно меняется, то еще одним фактором, суще- ственно влияющим на характеристики погранично- го слоя в сжимаемом потоке, является нестационар- ность, т. е. изменение поля течения и температур во времени. В этом случае реальные характеристики могут сильно отличаться от характеристик, вычис- ленных по формулам данного раздела. Рис. 2.57. Зависимость коэффициента влияния сжимаемости от числа Маха для ламинарного (/) и турбулентного (2) пограничного слоя 103
2.15. АЭРОДИНАМИКА РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ При движении летательных аппаратов на больших высотах большое значение приобретает аэродинамика разреженных газов. Основная особенность аэродинамики разреженных газов заключается в том, что в этом случае нельзя пользоваться гипоте- зой сплошности (непрерывности) среды. В условиях разреженного газа необходимо учитывать его молекулярную структуру. При этом газ можно рассматривать как сово- купность движущихся по всевозможным направлениям молекул, сталкивающихся постоянно друг с другом и с поверхностью обтекаемого тела. Молекулярная структура газа может быть охарактеризована длиной свободного про- бега молекул в промежутке между последовательными столкновениями. Поскольку скорости хаотического движения отдельных молекул могут изменяться в широких пре- делах, то длина свободного пробега для различных молекул также различна. Поэтому обычно рассматривают среднюю длину свободного пробега молекул. Эта длина зави- сит от числа молекул в единице объема (от плотности среды), скорости хаотического движения (температуры газа) и от размеров самих молекул. Из кинетической теории газов среднюю длину свободного пробега молекул можно вычислить по формуле /= 1,225 Jk v./a. (2.134) Из (2.134) следует, что средняя длина свободного пробега молекул на высотах по- рядка 80 км несколько менее 0,5 см, на высотах порядка 120 км она достигает уже не- скольких метров, а на больших высотах порядка 200 км — сотен метров. Безразмерное отношение величины / к характерному для данной задачи линей- ному размеру L (хорда профиля, длина корпуса и т. д.) называется числом Кнудсена и обозначается Кп. Подставляя сюда / по формуле (2.134), получим Kn = //Z= 1,255 zAM^/Re. (2.135) При исследовании пограничного слоя в разреженном газе характерным линей- ным размером рассматриваемой области является толщина пограничного слоя 8. Поэтому для характеристики степени разреженности среды в этом случае необходи- мо использовать число Кнудсена, определяемое как Кп = //8. При достаточно боль- ших числах Рейнольдса для ламинарного пограничного слоя из соотношения (2.65) 8/£ со 1/7Йё , тогда, снова используя формулу (2.134), Kn = //8 = (//£)(Z/8)~Moo/TRe. (2.136) Приочень малых значениях числа Рейнольдса (Re < 100) толщина пограничного слоя порядка характерного линейного размера тела L. В этом случае Kn^ML/Re. 2.137) Из формул (2.135)... (2.137) следует, что степень разрежения среды характеризует- ся отношениями M^/Re или М^/ТЙё, которые называются параметрами разрежения. Принято следующее деление газовых течений на основные области. Если //8 < 0,01 или М^/ТЙё < 0,01 — область обычной аэрогазодинамики. При 0,01 < //8 < 1 (0,01 < М^/л/Йё < 1) — течение со скольжением. Для чрезвычайно большой разреженности среды, когда 1/L > 10 (M^/Re > 10), те- ло находится в свободно-молекулярном потоке. На рис. 2.58 приведены области течения газа в зависимости от значений чисел Маха Мю и Рейнольдса Re. Из рисунка видно, что при заданном значении числа изменение величины числа Re может привести к изменению области потока. 104
В свободно-молекулярном потоке при расчете обтекания тел можно пренебречь изменением дви- жения вследствие соударения молекул друг с дру- гом по сравнению с соответствующим изменением от соударения с телом. Исследования в области сво- бодно-молекулярного течения проводятся метода- ми кинетической теории газов. В свободно-молеку- лярном потоке частицы газа не взаимодействуют между собой и пограничного слоя фактически нет. При течениях со скольжением скорость потока Рис. 2.58. Границы областей свободно-молекулярного (/) и переходного (2) течения, течения со скольжением (3) и течения сплошной среды (4) в зависимости от значений чисел Маха и Рейнольдса у стенки не равна нулю, а газ скользит по поверхно- сти с конечной скоростью. В пограничном слое скорость потока изменяется от скорости скольже- ния до скорости на границе пограничного слоя. При этом температура газа у стенки не равна темпе- ратуре поверхности тела. В переходной области от течения со скольжени- ем до свободно-молекулярного потока происходят чрезвычайно сложные явления. Здесь одинаково важно как взаимодействие молекул друг с другом, так и соударение молекул с поверхностью тела, поэтому необходимо учитывать взаимодействие отраженных молекул с молекулами набегающего потока. В области течения со скольжением уравнения Навье-Стокса и уравнения пограничного слоя, вообще говоря, не применимы. Эти урав- нения должны быть дополнены членами, учитывающими влияние разрежения. Кроме того, граничные условия задачи должны быть записаны с учетом явления скольжения. В общем случае для определения скорости скольжения и температуры газа у стен- ки необходимо кроме средней длины свободного пробега молекул знать производную от температуры вдоль поверхности и коэффициенты аккомодации и отражения. Наиболее вероятными схемами отражения молекул от поверхности являются диффузное и зеркальное. При диффузном отражении молекулы газа при столкновении с телом передают всю кинетическую энергию телу, адсорбируются, т. е. поглощаются Рис. 2.59. Коэффициент сопротивления сферы в свободно-молекулярном потоке при диффузном (I) и зеркальном (2) отражении поверхностью тела на некоторое время, в течение которого происходит уравнивание температуры газа и стенки, а затем отражаются от поверхности по произвольному на- правлению со средней скоростью, соответствующей температуре поверхности тела. При зеркальном отражении угол отражения равен углу падения молекулы. При этом тангенциальная составляющая скорости остается неизменной, а нормальная состав- ляющая меняет направление при неизменной величине. Коэффициент отражения есть отношение числа диффузно отраженных молекул ко всему числу отраженных молекул. При зеркальном отражении коэффициенты ак- комодации и отражения равны нулю, а при диффузном — они близки к единице. Так как в свободно-молекулярном потоке тело не влияет на набегающий поток, то принимают, что рас- пределение скоростей молекул в набегающем и отра- женном потоках подчиняется классическому распреде- лению Максвелла, а вычисление аэродинамических сил и теплового потока можно производить отдельно от на- летающих и отраженных молекул. Понятие скорости звука для свободного потока молекул теряет смысл, по- скольку звуковые волны, т. е. распространяющиеся в среде последовательные волны сжатия и разрежения малой интенсивности, в сильно разреженном газе не могут существовать из-за слишком большой длины сво- бодного пробега молекул. Вместо числа Маха Мм ис- 105
пользуется безразмерный параметр — аналог числа Маха /Vs = , рав- ный отношению скорости полета к наиболее вероятной скорости молекул Vs отно- сительно некоторой неподвижной системы координат. На рис. 2.59 приведены результаты расчета коэффициента сопротивления для сферы в функции безразмерного параметра . Хотя значения довольно велики, но из-за малой плотности аэродинамические силы в разреженном газе ничтожно малы и ими часто пренебрегают, в некоторых случаях (например, при длительном полете ис- кусственного спутника) даже небольшая сила лобового сопротивления сказывается на траектории полета и времени существования космического объекта на этой траектории. ЛИТЕРАТУРА 1. Аэрогидромеханика: Учеб, для студентов высших технических учебных заведе- ний / Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов и др. — М.: Машиностроение, 1993. С. 608. 2. Аэродинамика летательных аппаратов: Учеб, для вузов / Г. А. Колесников, В. К. Марков, А. А. Михайлюк и др. — М.: Машиностроение, 1993. С. 544. 3. Основы прикладной аэрогазодинамики (в 2 кн.). Кн. 1. Аэродинамика крыла (профиля), корпуса и их комбинаций: Учеб, пособие для техн, вузов / Н. Ф. Краснов, Е. Э. Боровский, А. И. Хлупнов. — М.: Высш, шк., 1990. С. 336. 4. Основы прикладной аэрогазодинамики (в 2 кн.). Кн. 2. Обтекание тел вязкой жидкостью. Рулевые устройства: Учеб, пособие для втузов / Н. Ф. Краснов, В. Н. Кошевой, В. Ф. Захарченко и др. — М.: Высш, шк., 1991. С. 358. 5. Петров К. П. Аэродинамика тел простейших форм. — М.: Факториал, 1998. С. 432. 6. Петров К. П. Аэродинамика транспортных космических систем. М.: Эдиториал УРСС, 2000. С. 368. СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2 2.1. Сведения о свойствах жидкостей и газов.....................49 2.2. Основные сведения из кинематики жидкости и газа............51 2.3. Уравнение неразрывности....................................54 2.4. Основы динамики жидкости и газа............................56 2.5. Сжимаемые и несжимаемые течения............................59 2.6. Потенциальные течения......................................61 2.7. Вязкие течения и пограничный слой..........................67 2.8. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха в несжимаемом потоке................73 2.9. Изоэнтропические течения...................................79 2.10. Теория скачков уплотнения.................................82 2.11. Потенциальные течения идеального сжимаемого газа..........86 2.12. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха в двузвуковом и сверхзвуковом потоках.90 2.13. Интерференция частей летательных аппаратов................98 2.14. Сверхзвуковой пограничный слой и аэродинамический нагрев.101 2.15. Аэродинамика разреженных газов...........................104 Литература.........................................................106 106
ГЛАВА Основы проектной баллистики ракет-носителей и космических аппаратов Баллистика представляет собой науку о движении летательных аппаратов (ЛА) различного назначения, ставящую целью изучение широкого спектра проблем полета в атмосфере и условиях космического пространства. В классической постановке основной или «прямой» задачи баллистики предпо- лагается, что ЛА, которому сообщена некоторая начальная скорость, совершает в пространстве движение, не ограниченное никакими механическими связями. Сле- довательно, баллистика имеет дело с наиболее общим видом свободного движения — движением твердого тела, обладающего шестью степенями свободы. Однако во мно- гих случаях на это движение накладываются сопутствующие эффекты, обусловлен- ные факторами взаимодействия аппарата с внешней средой, управляющими воздей- ствиями, изменением массы ЛА в процессе работы реактивного двигателя, перемеще- нием центра масс ЛА вдоль корпуса и т. д. В этом случае, строго говоря, движение ЛА уже не является баллистическим (в смысле движения «свободно брошенного тела»). Особенно это касается участков управляемого движения ЛА баллистического типа. Здесь уже при построении математических моделей движения и разработке уп- равления приходится учитывать не только априорную, но и непосредственно полу- чаемую в процессе полета информацию о параметрах движения. В этом смысле применительно к решению задач, связанных с управляемым дви- жением баллистических ЛА, возможно более корректным было бы применение вме- сто «баллистики» термина «теория полета». Несмотря на это, учитывая, что за многие десятилетия термин «баллистика» прочно укоренился в ракетно-космической техни- ке, ему отдается предпочтение, хотя с содержательной точки зрения различий между этими понятиями обычно не делается [2, 7]. Перечень вопросов, составляющих содержание баллистики как науки, позволяет выделить [4] в ней, по крайней мере, два основных направления, первое из которых называют баллистическим обеспечением полета (в ряде случаев используется [15] менее строгое название «исполнительная баллистика»), второе — проектной баллистикой. Баллистическое (более полно «баллистико-навигационное» [7]) обеспечение ста- вит своей целью выполнение совокупности операций, направленных на непосредст- венное решение задач полета. К числу таких операций может быть отнесено: • определение и прогнозирование параметров движения ЛА по результатам нави- гационных измерений; • анализ соответствия реализуемых параметров конечной цели полета; • расчет корректирующих поправок или необходимых управляющих воздействий для приведения движения ЛА в соответствие с реализуемой программой. Назначением раздела науки, называемого проектной баллистикой, является получение исходных данных для проектирования ЛА на основе анализа условий движения без привязки траекторий к конкретным географическим координатам точки старта или точки выве- дения полезной нагрузки, выбора наиболее выгодной обобщенной схемы полета и определения требуемого ресурсного управления, обеспечивающего решение поставленной задачи. 107
В стереотипных курсах баллистики обычно находят взвешенное отражение оба из указанных направлений [5, 7, 15]. Вместе с тем можно указать немало специальных изданий и учебной литературы, в которых акцент делается на каком-то одном из направлений. С определенной долей условности в качестве примера таких изданий могут быть указаны работы [2, 10, 12, 16]. В ограниченных рамках настоящего издания невозможно даже кратко описать содержание задач баллистики для всего многообразия существующих типов ЛА. В связи с этим изложение материала ограничивается рассмотрением основ про- ектной баллистики для ракет-носителей (PH) и космических аппаратов (КА) различ- ного назначения, выводимых в космическое пространство, в частности, беспилотных искусственных спутников Земли (ИСЗ), пилотируемых аппаратов и автоматических межпланетных станций (АМС). Учитывая данное обстоятельство, для более углубленного изучения обсуждаемых вопросов могут быть рекомендованы следующие учебники, учебные пособия и моно- графии: [2, 7, 11, 16]. Другие источники, использованные при подготовке материалов главы, ссылки на которые имеются в тексте, также приводятся в списке литературы. Ставя основной целью изложение с единых методических позиций основ проект- ной баллистики указанных типов ЛА, автор стремился при написании материала при- держиваться по возможности схемы, при которой предварительно выявляется физи- ческая сущность и особенности задачи, вытекающие из ее постановки, затем обсуж- даются целесообразные пути ее решения. Важно подчеркнуть, что проектные баллистические расчеты проводятся в несколь- ко приближений. Сначала определяются проектно-баллистические характеристики для «идеальной» траектории ЛА с учетом массы полезной нагрузки и целевого назначения полета. При проведении исследований на этой стадии баллистического проектирования считается уместным использование специально «затрубленных» упрощенных математи- ческих моделей, учитывающих лишь определяющие факторы. Дело здесь не столько в сокращении вычислительных затрат, сколько в стремлении к сохранению понимания физической сущности задачи, умению находить альтернативные варианты решения, привитию вкуса к аналитическому осмысливанию расчетных результатов [2]. В процессе последующей разработки ракетного либо ракетно-космического комплекса баллистические расчеты повторяются с введением в них новых уточнен- ных данных об аппарате, ограничивающих факторах и условиях, учитываемых при выборе приемлемого варианта проектно-баллистического решения. Анализ задачи движения ЛА при этом, конечно, не сводится к расчету какой-то одной траектории — он трансформируется в проблему комплексного «проектирования траекторий» [2], что невозможно без широкого использования современных высокопроизводитель- ных ЭЦВМ, оснащенных эффективным программным обеспечением. В конечном итоге никогда нельзя забывать, что от того, насколько удачно решена задача проектной баллистики, зависят важнейшие характеристики ЛА (стартовая мас- са, тяга двигательной установки, масса полезной нагрузки, выводимой на орбиту, и т. д.) и целевые задачи полета (дальность и точность доставки полезной нагрузки, эф- фективность и надежность функционирования ЛА и т. д.). В методическом отношении задача проектной баллистики обычно рассматрива- ется раздельно применительно к проблемам активного участка траектории, на кото- ром движение ЛА осуществляется за счет истечения из соплового блока газовой струи, образующейся от сгорания топлива, находящегося внутри его корпуса, и пас- сивного участка, отвечающего условию прекращения действия реактивной силы. 108
Причем, в свою очередь, последний участок, называемый также участком свободного полета, может представлять собой как участок выведения РН, так и участок спуска аппарата в атмосфере планеты [6,7, 11]. Свободное движение аппарата вне зоны действия атмосферы, подчиняющееся теории кеплерова движения (по имени И. Кеплера), принято называть невозмущен- ным орбитальным движением. Решение задач проектной баллистики на основе указан- ной теории обычно рассматривается в качестве первого приближения. Последующее уточнение полученных решений сопряжено с необходимостью учета эффектов не- центральности гравитационного поля притягивающего тела, либо действия несколь- ких притягивающих центров [7]. Это бывает особенно важным при решении задач проектной баллистики межпланетных аппаратов. Учет соответствующего эффекта позволяет, с одной стороны, исследовать такие схемы, при которых улучшение бал- листических характеристик достигается за счет использования гравитационных полей планет, пролетаемых АМС попутно, с другой — использовать методы расчета и опти- мизации проектно-баллистических характеристик, базирующихся на кусочно-кони- ческой аппроксимации межпланетных траекторий [16]. 3.1. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА В АТМОСФЕРЕ 3.1.1. Системы координат, характеризующие положение ЛА в пространстве Одним из центральных понятий, широко используемых в баллистике вообще и в проектной баллистике в частности, является понятие траектории движения ЛА. Под траекторией принято понимать [5] геометрическое место точек последова- тельного положения центра масс ЛА в функции времени относительно выбранной системы координат (СК). Системы координат, относительно которых определяется траектория, в отличие от подвижных СК, связанных с ЛА, называют базовыми. Уже из сказанного становится очевидной роль, которая отводится выбору той или иной системы координат при решении рассматриваемых задач. Краткое описание используемых СК предварим изложением общего принципа их построения: прежде всего оговаривается тип СК (обычно используются декартовы правые СК), выбирается основная «отсчетная» плоскость системы и в ней — положе- ние начала отсчета и направление основной оси. Учитывая, что положение основной плоскости и ориентация основной оси СК могут меняться со временем, оговаривает- ся, соответствуют ли они некоторому фиксированному моменту времени или выбира- ются средними за определенный промежуток времени. Для решения задач теории полета ЛА, движущихся в поле земного тяготения, ис- пользуются две большие группы систем координат, различающиеся расположением начала систем отсчета [2,4, 5]. К первой группе относятся системы координат, связан- ные с Землей или другими точками пространства, ко второй — системы координат, связанные с ЛА. Для исследования абсолютного движения часто применяется инерциальная сис- тема координат OKXKYKZK. В общем случае под инерциальной системой координат по- нимают систему, оси которой не изменяют своего направления в пространстве. Поло- жение ее осей не зависит от суточного вращения Земли (в отличие от систем коорди- нат, связанных с Землей и вращающихся вместе с ней, используемых при изучении относительного движения ЛА). 109
Земная система координат О0Х0У070 имеет начало в точке OQ и оси, зафиксирован- ные по отношению к Земле. Прямоугольная система координат, связанная с Землей, начало которой совмещено с центром масс Земли, а одна из осей направлена на север по оси вращения Земли, называется геоцентрической земной системой координат. Если центр масс Земли выбран за начало сферической системы координат, то ее называют геоцентрической сферической системой координат. Системы координат с началом на поверхности Земли называются топоцентриче- скими. Нормальной системой координат O0XgYgZg называют систему, начало которой OQ фиксировано по отношению к Земле, ось OQYg направлена вверх по местной вертикали, а направление оси OQXg выбирается в соответствии с характером решаемой задачи. Стартовая система координат OQXCYCZC является разновидностью топоцентрической прямоугольной системы координат. Начало стартовой системы координат определяется положением пусковой установки (стартового комплекса) и совпадает с центром масс ракеты, подготовленной к пуску. При этом координатная ось OQYC направлена верти- кально вверх, a OQXC и OQZC лежат в плоскости стартового горизонта, причем ось OQXC указывает направление пуска. Вертикальная плоскость OQXCYC, проходящая через век- тор начальной скорости, называется плоскостью пуска, а иногда — плоскостью броса- ния. Положение плоскости пуска относительно Земли определяется азимутом пуска. Большая группа подвижных систем координат объединена общим признаком — расположением начала координат в характерной точке движущегося ЛА, обычно в центре масс. Направления осей подвижно ориентированной системы координат OXHYHZH неизменны в пространстве (относительно звезд). Оси неподвижной земной системы ко- ординат OXqYqZq направлены так же, как и соответствующие им оси земной (непо- движной относительно Земли) системы координат OqXqYqZq. В нормальной системе ко- ординат OXgYgZg, связанной с ЛА, ось Yg направлена вверх по местной вертикали и, в от- личие от оси OQYg нормальной земной системы координат, изменяет свое направление в пространстве в процессе движения ЛА относительно Земли. Оси OYg и OZg нормаль- ной связанной системы координат параллельны плоскости местного горизонта и на- правлены удобным образом для решения поставленной задачи. Оси связанной системы координат OXYZнаправлены следующим образом: продоль- ная ось ОХ — в плоскости симметрии ЛА или в плоскости, параллельной ей, если нача- ло координат О помещено вне плоскости симметрии (для осесимметричных аппаратов ось ОХ направлена по оси симметрии к носовой части ЛА), ось ОУ располагается в плос- кости симметрии или параллельно ей и направлена к верхней части ЛА. Поперечная ось OZ направлена вправо перпендикулярно плоскости симметрии. В скоростной (аэродина- мической) системе координат OXaYaZa скоростная ось ОХа совпадает с вектором воздуш- ной скорости летательного аппарата (вектором скорости ЛА относительно атмосферы И, ось подъемной силы OYa лежит в плоскости симметрии ЛА или в параллельной ей плоскости. Боковая ось OZa дополняет две названные оси до правой СК. Начало траекторной системы координат OXKyKZK обычно помещено в центре масс ЛА, ось ОХК направлена по вектору земной скорости ЛА (скорости ЛА относительно Земли ¥к), ось ОУК направлена вверх от поверхности Земли в вертикальной плоскос- ти, проходящей через ось ОХ„ ось OZK направлена горизонтально. При безветрии на- правления вектора скорости, оси ОХа и оси ОХК траекторией системы координат сов- падают, так как при этом совпадают векторы воздушной и земной скоростей. ПО
Связь между скоростной и связанной системами координат осуществляется с по- мощью угла атаки а, угла скольжении 0, пространственного угла атаки ап и аэродина- мического угла крена фп [5]. Связь между нормальной OXgYgZg и связанной OXYZ системами координат про- изводится с помощью углов рыскания, тангажа и крена (рис. 3.1). Угол рыскания у представляет собой угол между осью OXg и проекцией продоль- ной оси ОХ на горизонтальную плоскость OXgZg. У некоторых ЛА угол рыскания мо- жет определяться в зависимости от приборной реализации измерений в плоскости, перпендикулярной плоскости бросания O$XgYg и проходящей через продольную ось ЛА ОХ. Если угол рыскания, определяемый в указанной наклонной плоскости, обо- значить через фп, то sin фг1 = sin у cos О. Очевидно, при О = 0 получим фг1 = у. Угол тангажа О — угол между продольной осью ОХ и горизонтальной плоскостью. Следует различать угол тангажа по отношению к стартовой горизонтальной плоскос- ти, т. е. по отношению к нормальной земной системе координат, и местный угол тан- гажа, измеряемый от плоскости местного горизонта. Это различие целесообразно учитывать при определении характеристик движения ЛА, предназначенных для поле- та на большие дальности. Угол крена у — угол между поперечной осью OZ и осью OZg, смещенной в положе- ние, соответствующее нулевому углу рыскания. Связь между нормальной системой координат OXgYgZg и скоростной OXaYaZa осу- ществляется с помощью так называемых скоростных углов рыскания, тангажа и кре- на. Скоростной угол рыскания — угол между осью OXg и проекцией скоростной оси на горизонтальную плоскость OXgZg. Скоростной угол тангажа Ьа — угол между ско- ростной осью ОХа и горизонтальной плоскостью OXgZg. Скоростной угол крена уа — угол между боковой осью OZa и осью OZg, смещенной в положение, соответствующее нулевому скоростному углу рыскания. Положение траекторной системы координат относительно нормальной опреде- ляется двумя углами: 0 и 4х, 0 — угол наклона траектории (угол между земной скоростью ЛА и ее проекцией на горизонтальную плоскость); 4х — угол пути (угол между осью OXg и проекцией земной скорости ЛА на плоскость OXgZg (путевой скоростью Vg)). Угловая ориентация одних координатных осей относительно других, принимае- мых за опорные или базовые, может быть определена с помощью эйлеровых либо иных углов на основе применения матриц направляющих косинусов [2,5]. 3.1.2. Поле тяготения Земли и учет его влияния на движение ЛА Потенциальной функцией, или потенциалом, называют функцию П(х, у, z), полный дифференциал которой равен элементарной работе силы, действующей на точку: ЭП . dn = Fdr = ^-dx+^-dy + (3.1) Проекции на оси координат равнодействующей приложенных к точке сил соот- ветственно равны Fx = ЭП/Эх; Fy = дП/ду; Fz = ЭП/Эг (3.2) Потенциал для точечной единичной массы, находящейся вне Земли на расстоя- нии / от элементарной массы Земли dM, по закону тяготения Ньютона определяется выражением dnT=fdM/l9 111 (3.3)
Рис. 3.1. Схема взаимного расположения связанной и нормальной систем координат при первом повороте относительно оси OYg Рис. 3.2. Координаты точечной единичной массы, находящейся вне Земли где f — гравитационная постоянная; / — расстояние между точками с единичной мас- сой и элементарной массой 6М. Потенциал силы тяготения Земли для точечной еди- ничной массы получают интегрированием по всей массе Земли: nr=/JdA///. (3.4) м Положения точек с единичной массой вне Земли и элементарной массы Земли 6М определяются (рис. 3.2) сферическими координатами: для точки (тела) с единич- ной массой — г, (ргц, X; для элементарной массы Земли 6М — р, (р'гц, X'. Потенциал гра- витационного поля Земли (ГПЗ) в функции сферических координат представляется следующим образом: П (г, <pruД) = f J Tt-xdA/ , . (3.5) Интеграл в выражении (3.5) может быть вычислен только приближенно, так как неизвестна точно форма Земли, а плотность вещества Земли ц3 существенно изменя- ется по всему ее объему. Обозначая угол между риг через у, получим / = Jr2 + р2 - 2rpcosy. (3.6) В процессе полета ракеты относительно Земли будут изменяться величины г и у, а следовательно, и величина /. Очевидно, что потенциал будет изменяться в процессе движения ракеты относительно Земли в некоторых пределах, и он может быть опреде- лен приближенно при введении различного рода допущений. Наиболее существен- ные допущения касаются формы Земли, ее размеров и распределения масс. За более близкую к реальной форме Земли принимают фигуру, называемую геои- дом. Геоид — это фигура, ограниченная уровневой поверхностью потенциала силы тяжести, во всех точках которой значение потенциала одинаково и которая совпадает с поверхностью океанов, находящихся в невозмущенном состоянии, т. е. при отсутст- вии приливов, отливов, атмосферных и каких-либо других возмущений. Точное мате- матическое описание геоида невозможно. При проведении различного рода вычисли- тельных работ (геодезических, астрономических и баллистических) в качестве после- довательных приближений к геоиду принимают: сферическую модель Земли — сферу, сфероидальную модель — сфероид (эллипсоид вращения), трехосный эллипсоид. 112
Ограничимся тремя членами разложения и представим потенциал суммой трех интегралов Пг= f- JdA/ + La/ |JpcoscpdAf + Jp2^cos2(p - jjdAf м r м v 7 (3.7) Значение первого интеграла очевидно: jdAf = Мг Остальные интегралы могут м быть взяты в конечном виде, если наложить некоторые ограничения на распределе- ние массы и форму Земли. Влияние суточного вращения Земли на полет ракет легко проследить, если рас- смотреть их движение в инерциальной геоцентрической системе координат. В момент пуска начальная скорость ракеты в относительном движении Vo, а в абсолютном дви- жении Vfl0 = Vo + Vnep0, где Vnep0 — скорость ракеты, определяемая переносным враща- тельным движением Земли с угловой скоростью Q и зависящая от географической широты места расположения стартовой позиции (здесь и далее элементы траектории центра масс в абсолютном движении будем отмечать индексом «а»). Очевидно, Vnep0 = Q r0 cos фгц0, где г0 — расстояние стартовой позиции от ус- ловного центра Земли; фгц0 — геоцентрическая широта расположения стартовой позиции. При свободном полете траектория абсолютного движения ракеты в первом при- ближении, т. е. для сферической Земли с равноконцентрическим распределением масс, является плоской кривой и ее плоскость занимает неизменное положение в пространстве. В то же время в результате вращения Земли положение точки падения либо фиксированной точки (цели) в инерциальном пространстве изменяется. За пол- ное время полета ракеты цель изменит свое положение на величину Д£ц = £2Лз'псо8<Ргц> (3-8) где Д£ц — перемещение цели по долготе; /п — полное время полета; фгц — геоцентри- ческая широта цели, которая остается неизменной в процессе вращения Земли. Место старта и место падения ракеты находятся на Земле, наблюдение за поле- том ракеты осуществляется с пунктов, расположенных на земной поверхности. По- этому часто расчет траекторий движения ракет проводят в системе координат, связан- ной с Землей, т. е. в относительном движении. 3.1.3. Атмосфера Земли и ее модели Атмосферу Земли по химическому составу принято называть азотнокислород- ной, она содержит -76% азота, -21% кислорода, -3% водяного пара, водорода, угле- кислого газа и некоторых других газов. Известны различные схемы построения клас- сификации моделей атмосферы по слоям. По составу воздуха атмосферу подразделя- ют на гомосферу и гетеросферу. В гомосфере, простирающейся до высот « 95 000 м, состав воздуха с высотой почти не изменяется. В гетеросфере азот, кислород и другие газы под воздействием ультрафиолетового излучения Солнца диссоциируют и находятся в ионизированном состоянии. Поскольку температура воздуха является основным параметром, определяющим характеристики состояния атмосферы, наибольший интерес для баллистики пред- ставляет схема построения моделей атмосферы по характеру распределения темпера- туры с высотой. В этой схеме атмосферу Земли подразделяют на пять основных слоев, называемых сферами. 113
Нижний слой — тропосфера, простирается в средних широтах до высот - 11 000 м, а в экваториальных областях — до высот - 16 000 м. Высота тропосферы зависит от времени года, увеличиваясь летом и уменьшаясь зимой. В тропосфере содержится -75% всей массы атмосферы и основная часть водяного пара. Отличительная черта тропосферы — понижение температуры воздуха с увеличением высоты. Однако зи- мой и летом после ясных холодных ночей могут наблюдаться температурные инвер- сии, при которых температура с увеличением высоты сначала возрастает, а затем на- чинает убывать. В тропосфере имеют место значительные горизонтальные и верти- кальные течения воздушных масс — ветры. Горизонтальные ветры вызываются разностью давлений в разных местах земной поверхности, вертикальные — разностью температур по высоте. Следующий слой — стратосфера, простирающаяся в средних широтах от-ll ООО до -50 000 м. Стратосфера до высот -30 000 м характеризуется постоянством темпера- туры; на большей высоте, по мере приближения к верхней границе стратосферы, тем- пература возрастает, причем имеют место значительные суточные и межсуточные ко- лебания температуры. Изменение температурного градиента между тропосферой и стратосферой происходит в относительно узком слое, называемом тропопаузой. Тол- щина слоя тропопаузы колеблется от нескольких сотен метров до -2000 м. В относи- тельно узком слое, охватывающем тропопаузу, наблюдаются мощные перемещения воздушных масс (так называемые струйные течения) с запада на восток со скоростя- ми, доходящими до -110 м/с (400 км/ч). Область струйных течений в атмосфере характеризуется большими скоростными градиентами в вертикальном и горизонтальном направлениях. Над стратосферой расположена мезосфера, которая находится в пределах высот -50 000 до -90 000 м. Она характеризуется понижением температуры до верхней гра- ницы слоя и повышенной турбулентностью. Термосфера — это слой атмосферы от -90 000 до -500 000 м, характеризующийся непрерывным повышением кинетической температуры [5]. В верхней части термосфе- ры на высотах 400 000... 500 000 м кинетическая температура воздуха достигает — 1500 °К. Слой, расположенный от высот 500 000 м до внешней границы атмосферы, т. е. примерно до 2 000 000...3 000 000м, называется экзосферой. В экзосфере атмосфе- ра очень разрежена. Обычно говорят о «следах атмосферы». Переходные слои между названными сферами носят соответственно названия стратопаузы, мезопаузы и термо- паузы. Физические параметры атмосферы значительно изменяются в зависимости от климатических условий, времени года и высоты. Баллистические расчеты проводятся для нормальных метеоусловий, соответствующих средним статистическим опытным данным или стандартным атмосферам. Отклонение метеоусловий от их нормальных значений учитывается отдельно с помощью теории поправок. Стандартная атмосфера предназначается для использования при расчетах и про- ектировании ЛА, при обработке результатов геофизических и метеорологических на- блюдений и приведения результатов испытаний ЛА и их элементов к одинаковым ус- ловиям. В модели СА-81 (ГОСТ 4401—81) установлены стандартные численные зна- чения параметров атмосферы в функции геометрической (й) и геопотенциальной (Н) высот в диапазоне от 2000 до 50 000 м. По мере накопления данных, характеризующих состояние и динамику измене- ния состояния атмосферы под действием различных внешних факторов (в частности, уровня солнечной активности), модели атмосферы подлежат периодическому уточне- нию (см., например, ГОСТ 25646.115—84 и др.). 114
Формулы, определяющие изменение давления с изменением высоты, основаны на гипотезе о вертикальном статическом равновесии атмосферы. По этой гипотезе вес горизонтального слоя воздуха элементарной толщины dh и единичной площади урав- новешивается элементарной разностью dp давлений, действующих на верхнее и ниж- нее основания слоя, т. е. dp = -gpdh. (3.9) Уравнение состояния для идеального газа где R — универсальная газовая постоянная; М— молярная масса воздуха. Для высот до 94 км значение молярной массы остается постоянным отношением R /М = /Г, где R* — удельная газовая постоянная. Тогда р = р/Г7? (3.11) В зависимости от характера изменения температуры модель атмосферы СА-81 по высоте разбита на ряд слоев; температура в каждом слое аппроксимируется линейной функцией геопотенциальной высоты Т=7; + Р(Я-Я*), (3.12) где Р = dT/dH— градиент температуры по геопотенциальной высоте; TtnHt- темпе- ратура и геопотенциальная высота нижней границы соответствующего слоя. Для изо- термических слоев (Р = 0) имеем In 4 =-^т(Н-Н.) (3.13) или р=р.ехр[-^(Я-Я.)], (3.14) Для слоев с линейно изменяющейся температурой (Р * 0) ln^ =1п (г.-£(Я-Я.)) (3.15) ИЛИ р=р. [1 + £(Я-Я.)] 55 (3.16) Плотность определяется из уравнения состояния р=р/{КТ). (3.17) Удельный вес Y = pg. (3.18) Скорость звука а = №? = 20,046796 JT, (3.19) N М где Л° = ср /cv = 1,4 — показатель адиабаты. Вместо барометрического давления р (в Па) введем давление, измеряемое в мм рт. ст. и обозначаемое А. Так какр = h = 13,6А, то П = 13,6^4^. Давление влажного воздуха h может быть определено как сумма парциальных давлений сухого воздуха h с в и водяного пара е А = Асв + е. (3.20) 115
Удельный вес влажного воздуха в единице объема (м3) находится по аналогичной зависимости П = Псв + Пе. (3.21) Считая с достаточной для практики точностью, что при одинаковых давлении и температуре плотность водяного пара равна ~5/8 плотности сухого воздуха, получим Пе=|13,6^,, (3.22) и окончательно п-^АО-м) <зи> Для учета влажности воздуха в баллистические расчеты вводят [2, 5] «виртуаль- ную» температуру <3-24> и в последующем вместо реального влажного воздуха, характеризующегося парамет- рами А, П, Т и е, рассматривают условный «сухой воздух», который оказывает такое же сопротивление движущемуся в нем телу, как и реальный воздух. С учетом т форму- лы для удельного веса и плотности имеют вид П=13,бД; (3.25) R х v Р-В.6г4-Т. (3.26) -Я? Значения давления рассчитывают по формуле h =h0Ne 0 и тогда У 1 [<fy h П=13,6-^е 0 . (3.27) Если отнести этот удельный вес к нормальному удельному весу воздуха у поверх- ности Земли, то можно получить безразмерную функцию изменения удельного веса с высотой. Пусть у поверхности Земли no.-wfe. тогда П г П _ XON о Поу Т Соответственно можно написать и для давления у 1 (<1У Д =е » . nON Для линейной зависимости т =/(у) получим 1 h ( т Д =я(у)=[Д) (3.28) nON \XON / И ^-=Я(у) = л(у)^. (3.29) 116
3.2. СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЛА В ПОЛЕТЕ 3.2.1. Аэродинамические силы и моменты На ракету при полете в атмосфере действует сопротивление воздуха, называемое аэродинамическим. Аэродинамическая сила Ял складывается из сил давления воздуха, направленных по нормалям к поверхности ЛА, и сил трения воздуха, касательных к ней. Равнодейст- вующая сила Ra приложена к ЛА в точке, которую называют центром давления. Обыч- но центр давления не совпадает с центром масс ЛА, и сила ЯА относительно него со- здает момент М. Силу ЯА, приложенную в центре масс ракеты, называют полной аэро- динамической силой, а момент М — полным аэродинамическим моментом. Действие аэродинамической силы приводит к уменьшению скорости полета ракеты. Действие момента М вызывает вращательное движение ЛА вокруг центра масс. Наука, изучаю- щая явления, сопровождающие взаимодействие ЛА с набегающим потоком воздуха, называется аэродинамикой (см. главу 2). Здесь приведем только сведения, непосредственно связанные с практическим применением в проектной баллистике формул для расчета аэродинамических сил и моментов. Для определения ЯА используют формулу Ra = ?5СЛ(М, Re, а, 0), (3.30) где q = рК2/2 — скоростной напор набегающего невозмущенного потока; 5— харак- терная площадь ЛА; CR — безразмерный аэродинамический коэффициент, зависящий в основном от формы ЛА, числа Маха М = V/a, числа Рейнольдса Re = Kdp/p, углов атаки а и скольжения 0. Если при вычислении RA окажется необходимым учитывать изменение углов а и 0 во времени или угловые скорости ЛА ц относительно /-х осей, т. е. нестационар- ность обтекания корпуса воздухом, то следует под знак функции CR внести величины а, 0, coj и время t. Полный аэродинамический момент определяется формулой M=qSlm, (3.31) где / — характерная длина ЛА (например, длина ракеты от ее днища до вершины кор- пуса); т — безразмерный аэродинамический коэффициент, зависящий от формы ра- кеты, ее положения на траектории, скорости вращательного движения, времени и др. В проектных расчетах удобнее иметь дело с составляющими сил и моментов, вы- раженных через их безразмерные коэффициенты: Х= qScx; Мх = qSlmx\ Y=qScyfMy = qSlmy; (3.32) Z= qScz; Mz = qSlmz\ где cx, cy, cv mx, my, mz— соответствующие безразмерные коэффициенты сил и мо- ментов. В некоторых случаях вектор полного момента аэродинамических сил удобно представлять в виде суммы М=МСТ + Ма, (3.33) где МС1 — стабилизирующий или опрокидывающий момент; Л/д — демпфирующий момент. 117
Название момента Л/ст определяется характером его реакции на угол атаки а или скольжения 0. Если момент увеличивает эти углы, он называется опрокидывающим, если уменьшает — стабилизирующим. Момент демпфирования Л/д действует против направления вращения ЛА при колебаниях относительно его центра масс. Он стре- мится затормозить (погасить) колебания ракеты и ее вращение. Отдельно взятый мо- мент демпфирования может быть представлен выражением = 9Sl V = qSl I т^‘ I (3 •34) где |т°'| — соответствующая «вращательная производная» [5], а Ш, = со^/И— безразмерная угловая скорость ЛА. В некоторых случаях моменты демпфирования представляют зависящими от первой степени скорости полета = qSl |«7'| ГО,- = 5рИ/ 2|тф| ю,.. (3.35) Здесь тщ называют коэффициентом демпфирования; он равен /ид/ = . При решении задач пространственного движения коэффициент демпфирования должен быть определен по всем трем связанным осям (т^ m^Y Коэффициенты и мо- менты демпфирования ЛА могут быть представлены как суммы соответствующих ко- эффициентов основных конструктивных узлов ЛА. Например, чтобы найти демпфи- рующий момент ракеты, выполненной по самолетной компоновочной схеме относи- тельно оси OZ, нужно определить общий демпфирующий момент как сумму демпфирующих моментов оперения, крыльев и корпуса. У ракет, не имеющих резко выступающих поверхностей, т. е. бескрылых и неоперенных, коэффициент демпфи- рования корпуса будет одинаков по экваториальным осям, а разница в демпфирую- щих моментах будет определяться различием значений сог и соу. В процессе невозмущенного сбалансированного полета ракеты происходят плав- ные изменения углов атаки и скольжения. При этом, как показали многие исследова- ния, угловые скорости мало влияют на полный вектор аэродинамических сил и его составляющие. Поэтому аэродинамические коэффициенты для подъемной и боковой сил часто определяют без учета угловых скоростей, но обязательно учитывают их при определении аэродинамических коэффициентов моментов. Принято также для упро- щения считать, что при малых а и 0 подъемная и боковая силы не зависят друг от дру- га. С учетом отмеченных упрощений имеем 5-=£>0 + с”а; <з.зб> сг=сг₽р. (3.37) Для ЛА самолетной схемы при а = 0 су = для осесимметричных ЛА су0 = 0. При расчете характеристик движения осесимметричных ЛА в первом приближе- нии можно принять (в скоростных осях) Ya = 5с“ а; Za = ; (3.38) Mv Slmfa. ', М = ^-Slm^. (3.39) Z У a L Уа 118
Для ЛА, близких по аэродинамической форме, графики зависимостей (М) ла оказываются также близкими, что позволяет в ряде случаев пользоваться на началь- ном этапе проектирования аэродинамическими коэффициентами, определенными для существующих, хорошо себя зарекомендовавших объектов. Так как тождествен- ное подобие далеко не всегда имеет место, то в расчет вводят коэффициент пропорци- ональности /, называемый коэффициентом формы: сХв(И/а) (3.40) где сх (V/a) — неизвестный аэродинамический коэффициент для вновь проектируе- мого объекта; эт( V/a) — аэродинамический коэффициент известного, аэродинамически по- хожего на проектируемый объекта-аналога (эталонного). Если известно сх эт( V/a) какой-либо ракеты, то для ракеты, близкой по аэродина- мической форме, можно принять X=^SicXa„{V!d}. (3.41) Если формы ракет и условия полета нетождественно подобны, то, очевидно, i * 1 и зависит от отношения V/a. Установить точно эту зависимость можно опытным пу- тем или получив теоретически значение сх эт( V/d) для вновь проектируемого объек- та, но при этом теряется преимущество введения коэффициента L Поэтому принято определять значение i приближенно, полагая его постоянным для расчета данной тра- ектории. Численное значение i зависит от формы вновь проектируемого объекта и значе- ний сх эт( V/a) для известных типов объектов, с которыми новый объект сравнивает- ся. Поэтому всегда необходимо указывать, применительно к какому эталонному зако- ну сопротивления воздуха сх эт( V/a) определяется коэффициент /. Удобно использо- вать / в качестве коэффициента согласования расчета по определению дальности полета с опытом. В этом случае i будет учитывать не только форму ЛА, но и все факто- ры, не отраженные в данном расчете, например, отличие числовых значений коэффи- циентов формы от эталонного значения коэффициента, а также различные характе- ристики колебаний относительно центра масс при различных начальных условиях движения ЛА. В уравнение Ха входит массовая плотность р, кг/м3. Если перейти к весовой плот- ности П, получим Хв=^П^Сх<эт(К/о). Умножим и разделим правую часть уравнения на произведение QTI0N • 103. В ре- зультате будем иметь х.~Й 1О’г^п?п“,'Ч-"(и/а)- <3-42> 119
В полученной зависимости множитель -q ' 103 = с называется баллистическим коэффициентом, а член Г(П=^п^и^эт(К/о) = 4,74 • 1(Нк\эт(И/о), являющейся функцией сопротивления воздуха, условно называют «законом сопро- тивления». После преобразований получим удобную формулу Xa = mcH(y)F(V). (3.43) F(V) При использовании в расчетах уже имеющихся таблиц для F( И) и G( У) = и при вычислении таблиц для новых типовых функций следует учитывать, что скорость звука а зависит от температуры воздуха и, следовательно, изменяется с высотой. Как известно, а = JkgRx, где к — показатель адиабаты. Если для относительно коротких траекторий (хс < 50 км) принять g = const, ак — независящим от температуры, то окажется, что скорость звука пропорциональна . Для того чтобы иметь таблицы функций для F(F) и G(F) с одним входом, надо рас- считывать их для одной фиксированной скорости звука, сохраняя при этом равенство Cxa(^) = CXa(^ON) (3-44) ИЛИ (V/a) = (Vx/a0N), где a0N — скорость звука при нормальных условиях, принимаемая постоянной при вычислении таблиц; — условная табличная скорость. Очевидно, что Тогда, используя найденное выражение, имеем F( V) = 4,74 • 10-4 И2 (А ). (3-45) XON \aON ) Обозначая А 2 ( Ут \ ЛГ,>-4,74 получим F(K)=-Lf(Kt). (ЗЛ6> Еще раз подчеркнем, что изложенный подход имеет право на существование толь- ко на самом раннем этапе проектирования, когда еще отсутствует облик будущей раке- ты, тем более нет представлений об ее основных данных. На этом этапе достаточно лишь грубо оценить в первом приближении потребную скорость, а следовательно, и за- пас топлива, которые ракета должна иметь ддя достижения поставленной цели полета. На более поздних этапах баллистического проектирования уже должны быть ис- пользованы индивидуальные значения аэродинамических характеристик, например, получаемых, как правило, расчетным путем для заданной компоновки ЛА, либо экс- периментально (что является более предпочтительным) на основе продувок моделей проектируемого ЛА в аэродинамических трубах. 120
3.2.2. Сила тяжести Вектор силы тяжести можно представить как сумму векторов F = FT + FU, (3.47) где FT — вектор силы земного тяготения; Fu — вектор центробежной силы инерции. В сферических геоцентрических координатах центробежная сила инерции, дейст- вующая на тело с массой т в направлении, перпендикулярном оси вращения Земли, Fu=mrQ2cos<pru, (3.48) где £2 — угловая скорость вращения Земли. Направление силы тяжести совпадает с направлением отвеса, т. е. с вертикалью в рассматриваемой точке земной поверхности. Угол между нормалью п к поверхно- сти и экваториальной плоскостью Земли называется географической широтой (рг в от- личие от геоцентрической широты (ргц (рис. 3.3). Географическая долгота отсчитывается от начального меридиана, за который принят меридиан Гринвича. Связь между геоцентрической и географической широ- тами устанавливается по приближенной формуле tg<pru = tg<pr(l-/f), (3.49) где /j — первый эксцентриситет. Разность между углами (рг — (ргц может быть найдена также из зависимости <Pr-<Pru = asin2<Pp где a = 1/(298,2 ± 0,2) — коэффициент полюсного сжатия Земли. Наибольшее значение разности (рг — (ргц равно 11,5' при (рг = 45°. Потенциал силы тяжести также можно представить как сумму потенциалов силы земного притяжения и центробежной силы инерции, определяемой суточным враще- нием Земли П = ПТ+ПЦ. (3.50) Учитывая, что 6ПЦ = £ц * dru, где гц = г cos (ргц, получим потенциал центробежной силы инерции, отнесенной к единице массы, в виде Рис. 3.3. Схема определения положения местной вертикали при географической широте фг и расположения вектора ускорения свободного падения по осям косоугольной системы координат Пц = Q2/*2 cos2 <ргц. (3.51) Если использовать для Пт формулу в виде разло- жения потенциала, то п = - + (3 sin2 <ргц - 1) + 2 Q2r2 cos2 <рга. (3.52) Получим формулу для определения ускорения свободного падения. По свойству потенциала, найденного для единичной массы, &=ЭП/Э5, (3.53) где gs — проекция ускорения свободного паде- ния на направление 5; ЭП/Э5 — производная от потенциала силы тяжести, взятая по направле- нию S. 121
Выберем в качестве направления S нормаль к поверхности сфероида, на которую вектор ускорения g проецируется полной величиной. Обозначая направление норма- ли к сфероиду через л°, будем иметь (3.54) Имея в виду малую разницу в углах фгц и фг производную по направлению п° за- меняют производной по направлению г ЭП =ЭП 71г (cos плг). (3.55) Учитывая противоположность направлений отсчета для лиги малость угла меж- ду л и г, можно записать -1 < cos (иЛг) < -0,999995, где число 0,999995 соответствует наибольшей разности углов фг и фгц, равной 11,5’. Учитывая малое отличие cos (лЛг) от единицы, получим g = Э П/Э п = — Э П/Э г. Да- лее, заменив в формуле для gr функции я, их значениями я0 =/Л/ и я2 =/(А — В), где А и В — моменты инерции Земли относительно главных осей, придем к выражению g=f-^ +^(A-B)(3sin2<p -1)-Q2rcos2<p . (3.56) г 2r Для сферической модели Земли, без учета ее вращения, получим g =1М/гг = gT. Зная величину ускорения от силы тяжести, определить значение собственно си- лы тяжести уже не представляет никаких сложностей. Действительно, F=mg, (3.57) где для активного участка полета h т = т0- ffml dt, (3.58) о или, учитывая, что для большинства решаемых в проектной баллистике задач секунд- ный массовый расход |/n| = const, т = т0 - |/n| t, (3.59) Для пассивного участка траектории т = тк = const. 3.2.3. Сила тяги Тягой ракетного двигателя называется равнодействующая реактивной силы и сил давления окружающей среды, действующих на его внешние поверхности, за исключе- нием сил внешнего аэродинамического сопротивления. Равнодействующая газо- и гидродинамических сил, действующих на внутренние поверхности ракетного двига- теля при истечении из него вещества, называется реактивной силой. Отдельно измерить реактивную силу не представляется возможным, и ее опреде- ляют вместе с силами статического давления, действующими в направлении продоль- ной оси ракеты. Укрепленная на стенде ракета удерживается от перемещения осевой силой Р’, ко- торая равна тяге, но направлена противоположно ей Р’ = —Р. На наружную поверх- ность ракеты действуют силы, определяемые атмосферным давлением р, соответст- вующим высоте, на которой находится ракета. По величине они равны произведению 122
давления на площадь и направлены перпендикулярно той площадке, на которую дей- ствуют. Все силы, действующие на боковую поверхность ракеты, уравновешивают друг друга. Но при работающем двигателе атмосферное давление не действует на выходное сечение сопла, через которое параллельно оси ракеты ОХ истекают газы со скоростью И^и, и появляется приложенная к корпусу неуравновешенная сила pSa, направленная в сторону истечения газов (Sa — площадь выходного сечения сопла). В выходном сече- нии сопла действует противоположно направленная сила paSa, где ра — давление исте- кающих из сопла газов в этом сечении (сила сопротивления истечению газов). Таким образом, применительно к стендовым испытаниям получим формулу для расчета тяги + (3.60) Заменив в этом уравнении |^| = , найдем выражение для тяги в другой форме: P^W^ + S^-P). (3.61) В случае, когда можно принятьр ~ 0, P=^WmH + Sapa. (3.62) Если ракета расположена у поверхности Земли на нулевом уровне, то для нор- мальных метеоусловий (у = 0; р = p0N) ее тяга равна P=<~^Wam +Sa(pa-p0N). (3.63) Если условия отличны от нормальных, то при у = 0; Р = Ро. Сравнивая формулы (3.61) и (3.63), получим ? = Л) + $aPoNО ” P/PoN )• Так как л (у) =p/p0N, получим окончательно формулу P=P^Sap0N[\-Tt(y)Y (3.64) широко используемую при решении задач проектной баллистики. При проектировании ракет чаще всего используют такую характеристику реактивного двигателя, как удельная тяга (называемая также удельным импульсом), под которой понимают тягу двигателя, отнесенную к весовому секундному расходу топлива. Тогда уравнение (3.63) может быть преобразовано к виду W V о *сек 3.2.4. Управляющие силы и моменты Управление ДА в полете осуществляется системой управления, неотъемлемой частью которой являются исполнительные органы (органы управления). Исполнитель- ные органы, или рули, как их часто называют, создают управляющие силы и моменты. По принципу создания управляющих сил и моментов органы управления принято разделять на три типа: аэродинамические, газодинамические и смешанные. Аэроди- намические (воздушные) органы управления работают только в плотных слоях атмос- феры при взаимодействии с потоком воздуха, обтекающим ДА. Газодинамические ор- 123
ганы управления могут работать и в нижних и в верхних слоях атмосферы (космиче- ском пространстве), так как они функционируют за счет энергии, выделяющейся при сгорании топлива. Многие из управляемых объектов имеют только аэродинамические органы уп- равления. Некоторые ракеты и, в частности, баллистические ракеты дальнего радиуса действия и РН космических аппаратов, имеют комбинированные органы управления, состоящие из различного рода аэродинамических и газодинамических устройств, Аэродинамические органы управления, используемые на различного типа ЛА, обыч- но делятся на рулевые поверхности (рули), поворотные крылья и прерыватели воз- душного потока (интерцепторы). Принцип действия рулей и поворотных крыльев состоит в том, что они, отклоня- ясь от своего нейтрального положения и поворачиваясь относительно связанных осей ЛА, изменяют в процессе полета свои углы атаки, что вызывает изменение угла атаки (или скольжения) ЛА в целом. Для учета в уравнениях движения управляющих сил и моментов необходимо выде- лять составляющие аэродинамических коэффициентов, определяемые поворотом уп- равляющих органов. Например, для рулей тангажа (высоты) и рыскания (направления) продольная, нормальная и поперечная управляющие силы соответственно равны х, - sP «<4 + ^s;s. + 1'r--s'p«£j5.’zp-'sp’c?;6. - <’-6S> где 5П — характерная площадь рулей; q — скоростной напор; , с?в, — со- р лр лр yv 4р ответствующие частные производные; 8Н и 8В — углы отклонения органов управления (рулей). Моментные характеристики определяются с учетом угловых скоростей поворота управляющих органов: тру= тру8» + '”р^н ; (3.66) '”рг='”р’8в +'”p?S»; а моменты управляющих сил по каналам тангажа и рыскания Mpy = Sq/mpy;Mpz = Sq/mpz. (3.67) Подавляющее большинство рассматриваемых типов ЛА осуществляют полет ста- билизированными по крену. Учитывая, что задача синтеза контура стабилизации относится к этапу динамиче- ского проектирования ЛА и выходит за рамки задач проектной баллистики, мы не бу- дем рассматривать здесь вопросы определения характеристик ЛА по каналу крена, ад- ресовав заинтересованного читателя, например, к работам [3, 4]. 3.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЛА 3.3.1. Уравнения движения ЛА в векторно-матричной форме и их проекции на оси выбранной СК Обозначим скорость и ускорение центра масс системы (корпус ракеты—топливо— газы) в абсолютном движении через Va и аа. Движение корпуса и жестко связанных с ним частей (т. е. и той точки тела, с которой в данный момент времени совпадает центр 124
масс) относительно неподвижной системы координат будет переносным. Скорость и ускорение центра масс корпуса в переносном движении обозначим через Ve и ае = dVe/ dt. Скорость и ускорение центра масс системы корпус—топливо—газы относительно корпуса ракеты обозначим через Vr и аг. Из механики тел переменного состава следует, что произведение массы тела на переносное ускорение его центра масс равно равно- действующей всех внешних и реактивных сил, действующих на тело, т. е. mae = EF + EFp. (3.68) Скорость и ускорение центра масс ракеты в абсолютном движении соответствен- но равны Vfl = Ve +Vr;afl = ae + ar + 2(<oxVr). (3.69) Из последнего равенства определим ае. Тогда уравнение движения центра масс систе- мы корпус—топливо—газы, записанное в векторной форме, получим в следующем виде: dV /nafl = /n-j^ = EF + EFp +/лаг+2/л(<о х Vr). (3.70) При выводе уравнений предполагалось, что взаимодействие основного тела с присоединяющимися или отделяющимися частицами происходит мгновенно. В дей- ствительности процесс взаимодействия ЛА с подвижными присоединяющимися или отделяющимися газовыми потоками сложнее. У ракет с двигателями на жидком и твердом топливе отделяющиеся частицы получают относительную скорость еще в ка- мере сгорания двигателя до момента выхода частицы за плоскость наружного сечения сопла, т. е. до потери связи с основной массой ракеты. Кроме того, у ракет на жидком топливе горючее и окислитель перемещаются в процессе работы двигателя внутри корпуса ракеты. При взаимодействии движущихся потоков с корпусом, колеблю- щимся в поперечном направлении, возникает кориолисова сила FKOp. Запишем урав- нения движения центра масс ракеты с учетом этой силы таа = EF + EFp + FKOp + /паг + 2/n(m х Vr). (3.71) Добавим в последнее уравнение слагаемое, учитывающее нестационарность дви- жения масс внутри корпуса ракеты. Пусть количество движения топлива и газов, пе- ремещающихся внутри корпуса, в момент времени t равно <?кор, а в момент времени t + dt равно <?кор + &7вар. Очевидно, за промежуток времени dr изменение количества движения подвижных масс равно 8^,, и уравнение движения ракеты может быть представлено в более полной форме: = EF + EF, + EFKop + mar + 2m(<o х Vr) + (3.72) Составляющую Sq^/dr принято называть вариационной силой. Уравнение соответствует так называемому принципу затвердевания, согласно ко- торому уравнения движения тела переменного состава можно представить в форме уравнений движения тела постоянного состава, имеющего мгновенно зафиксирован- ную (затвердевшую) массу. Только при использовании указанного принципа становится справедливым при- менение при составлении уравнений движения ракет теорем об изменении количест- ва движения, кинетического момента и кинетической энергии. Вариационные силы и моменты отражают нестационарность движения масс вну- три корпуса ракеты. Однако в большинстве случаев процесс перемещения рабочего тела внутри ракеты можно принимать за квазистационарный и вариационные силы не учитывать ввиду малости. 125
Силы Кориолиса, обусловленные движением масс внутри корпуса ракеты и ее колебаниями, на движение центра масс почти не оказывают влияния. Силы Кориоли- са, появляющиеся при рассмотрении относительного движения ракеты в связанной с Землей системе координат, оказывают заметное влияние на ее положение только при движении со скоростями, превышающими 600...700 м/с. В инерциальной системе координат уравнение движения центра масс летатель- ного аппарата записывается в виде dV„ W-^=EF + EFp, (3.73) где EF и EFp — векторы суммы внешних и реактивных сил. Для составления уравнений вращательного движения ракеты относительно осей, проходящих через центр масс и вращающихся по отношению к ракете с угловой ско- ростью со*, при вращении самой ракеты с угловой скоростью со надо воспользоваться известным уравнением + [(ш+<о’)хК], (3.74) где dK /dt — производная от кинетического момента, вычисленная относительно не- d*K 6К подвижной системы координат; -jy- = -jy — производная от кинетического момен- та, вычисленная относительно /-й системы координат OXiY^Zi (локальная производ- ная). Если система координат OXiYiZi не перемещается относительно ракеты, то со* = 0 и dK d*K dr = +шК = Л/Я’ (3.75) где MR — результирующий момент системы сил. Проекции векторного равенства на оси координат, связанные с ЛА, могут быть представлены через проекции на эти оси вектора момента количества движе- ния К: «X Ку И “А. где А/ — тензор инерции ЛА, выраженный матрицей инерции Аг Ау А^ ~lyx ly ~!yz Проекции кинетического момента К на оси координат А, УД Кх. = 1Х,(ох. - /х.у.(Оу - /хл<\; ^у, ^ул ^y^i ^xi ’ ^Z,- ~ ~ Iztxt WXt ~ ^Zjy, ®y, ’ (3.76) (3.77) где Ix ; Iy ; Iz — моменты инерции ракеты относительно осей Д Yi Д; Ix y IXZj IyjZ — центробежные моменты инерции, определяемые относительно координатных плос- костей. 126
При определении осевых и центробежных моментов инерции может быть учтено перемещение центра масс (начала координат) и вращение осей координат относи- тельно корпуса: п п ix = Z mv(yi + zjv); 1У = X mv(z2iv + x2ivy, ' v=1 ' V= 1 "M* iv~^~y /v)’ ^yjxi ~ (3.78) v = 1 v = 1 n n ^XjZj ~ ^ZjXj ^V^/V^/V» lyjZj [^У} V = 1 V = 1 Очевидно, осевые и центробежные моменты инерции в процессе работы двигате- ля и движения ракеты будут переменными величинами, зависящими от времени. Уравнения вращательного движения относительно центра масс в скалярной фор- ме наиболее часто представляют в следующем виде: 4, ®х, + (4, “А-, ~ + аУ, > + .2 .2 + 1у^-^) = мХ1 + мрХ1- .2 .2 1у, <ау. + (/х - IZj) (ох <вг - /Х.Л (<ах. + (йу. ©г ) + 1Х ,г. (<°Х, + <0г,) - - 1у.г. (®г, - <аУ1 )=Myj + Mpyt; (3.79) • 2 .2 /г йг. + (1у, - 1Х ) сох <0^ - 1Х ( <ЬХ. - (йу, ©г) - 1УЛ ( (by. + ®х ©г ) + 1х,у. (Пу, - <»х, ) = Правые части уравнений здесь содержат проекции суммы моментов относитель- но центра масс всех сил, действующих на ракету, на соответствующие оси координат. Моменты кориолисовых сил и дополнительный момент, определяемый перемещени- ем центра масс ракеты относительно корпуса, при решении многих проектных бал- листических задач ввиду малости не учитываются. Если подвижные оси координат совместить с главными центральными осями инерции OXYZ, то матрица Af превратится в диагональную: L О О О 1у О О 0 Iz а ее элементы Ix, Iy, Iz будут главными центральными моментами инерции. Проекции уравнений на оси связанной системы координат при этом запишутся в виде где (3.80) (3.81) 127
ЪМХ, ЪМу, ZMz — суммы проекций моментов всех внешних и реактивных сил на оси свя- занной системы координат; cbx, (by, <bz — составляющие вектора углового ускорения. Определяя угловые ускорения, запишем динамические уравнения вращательно- го движения ЛА относительно центра масс в проекциях на оси связанной системы ко- ординат (о/ Фу Л- ZMz - Aj (3.82) ЕЛ/Х- где Л7-1 — матрица, обратная Л7. Переходя от матричной формы записи к обычной, получим уравнения вращательного движения в виде динамических уравнений Эйлера (3.83) К динамическим уравнениям, определяющим величину линейной и угловой ско- ростей ЛА, необходимо добавить кинематические уравнения. Зададим положение ЛА относительно начала выбранной базовой системы коор- динат вектором г. Если рассматривать теперь движение ЛА относительно системы координат, изме- няющей свою ориентацию при движении ЛА относительно поверхности Земли с угло- вой скоростью со при вращении самой Земли со скоростью Q, то кинематическое урав- нение для определения абсолютных параметров движения ЛА записывается в виде d d* ‘r.= ^r + (Q+<»)xr, (3.84) d*r где — локальная производная вектора г относительно вращающейся системы ко- ординат. Если принять к рассмотрению случай, при котором движение описывается отно- сительно связанной с поверхностью Земли системы координат, например географи- ческой, начало которой совмещено с центром масс ЛА, то ^r = V-®xr, (3.85) где V — скорость ЛА относительно поверхности Земли, что соответствует системе ска- лярных уравнений Гх = + г = К - <0 гх + тхг (3.86) Гг = Vl~^xry + ^yrx Наконец, когда движение рассматривается относительно неподвижной системы координат, например стартовой, совпадающей с нормальной системой OXgYgZg, ^r = V (3.87) и система скалярных уравнений принимает вид dx dyr dx -т-с = Kcos 0 cos 4х; -£ = Ksin 0; = -Kcos 0 sin 4х. (3.88) dz dz dz 128
3.3.2. Упрощенная схема составления скалярных уравнений движения ЛА Ускорение ракеты при плоском криволинейном движении можно представить как сумму тангенциального ах и нормального ап ускорений. Эти ускорения направле- ны по нормальным (естественным) осям системы координат Охп. Тангенциальное уско- рение у направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение V2/p на- правлено по нормали к траектории в сторону мгновенного центра кривизны. Кривиз- на траектории \/р может быть представлена как \/р = |d0/d5|, где d0 — элементарное изменение угла наклона касательной к траектории; d5 — элементарный отрезок кри- вой. Здесь/? — радиус кривизны траектории. Проводя замену и преобразования, получим формулу для модуля нормального ускорения <W) Знак производной d0/d5 зависит от формы траектории: если 0 убывает с возрастани- ем дуги, то d0/d5 < 0, если наоборот, то d0/d5 > 0. Поскольку для траектории ракет 0 < 0, то в последующем формулу для нормального ускорения будем записывать в виде йя=и|^|=-^. п |dr| d/ Иначе, знак минус есть следствие того, что при рассмотрении движения в правой сис- теме координат O0XcYc положительному направлению оси п соответствует отрицатель- ное направление линии отсчета углов 0. Движение ракеты будем рассматривать в нормальной земной системе координат O$XgYgZg. При этом для упрощения записи влияние вращения Земли учтем введением постоянного по величине и направлению ускорения свободного падения, пренебре- гая кориолисовым ускорением; кривизну Земли учитывать не будем, что для актив- ных участков ЛА относительно малой протяженности вполне справедливо. Проще всего записать систему уравнений для определения скорости V поступа- тельного движения центра масс ракеты относительно Земли в проекциях на оси тра- екторной системы координат, так как в этой системе Vv = V, Vv = V7 = (Y Тогда лк У* 4к уравнения упростятся и будут иметь вид V =ых/т-, =-LF /пг, Уш = -XFz /т. (3.90) ZK Лк Ук к Для определения проекций угловой скорости движения траекторной системы координат OXKYKZK относительно неподвижной системы OQXgYgZg на оси траекторной системы координат воспользуемся соотношениями со„ = 4х sin 0; cov =4' cos 0; cor = 0. (3.91) к Ук Подставляя cov и со_ из (3.91) в (3.90), получим систему Ук 4к V = rpcose=---- т (3.92) При написании правых частей уравнений будем учитывать составляющие тяги, силы тяжести, аэродинамических и управляющих сил. 129
В результате получим скалярную систему уравнений, описывающую движение центра масс ракеты в траекторной системе координат: Й = - (Рх -ЪХ„ -Xx + Qx ); т v хк Рк к хк VQ = ^-(P +Y.Y —Y +Q Y, (3.93) PPcos6 = -l (Л + ZZ +QZ ). Уравнения вращательного движения ракет обычно записывают в проекциях на связанные оси. Любая другая не связанная с ракетой система координат перемещает- ся относительно ракеты, а это приводит к необходимости учитывать при исследова- нии ее движения переменность моментов инерции даже при т = const, что вносит из- лишние усложнения. Запишем уравнения вращательного движения в проекциях на связанные оси координат, предполагая, что они совпадают с главными центральными осями инерции: 1хсьх + (Iz - Iy) (&y(&z = LMX + ЪМрх; Iytoy + (/х - Iz) сохсог = ЪМу + ЪМру\ (3.94) 4<ог + (1у - 1Х) сохсоу = ZMz + Щ, где %МХ9 ЪМу9 ZMz — суммы проекций моментов внешних сил и тяги на связанные оси координат (без учета управляющих сил); %Мрх9 ЪМру9 ^Mpz — суммы проекций мо- ментов управляющих сил на связанные оси координат. Для осесимметричных ракет динамические уравнения вращательного движения можно принять в упрощенном виде 1хъх=ЪМх + ЪМр;9 Iytoy + (4 - 4) со/ог = ЪМу + ЪМру; (3.95) 4<йг + (4 _ 4) = При работающем двигателе вследствие изменения масс ракеты из-за расхода топ- лива моменты инерции будут переменными величинами. Значения 1Х, 1у9 1гддя раке- ты определяются так же, как и для всякого сложного тела, т. е. вычисляются на основе изучения чертежей конструкции ракеты при известном законе изменения ее массы в полете. Работа по расчетному определению моментов инерции и их изменению кро- потлива и трудоемка, поэтому при приближенных баллистических расчетах их прини- мают постоянными. При более точных расчетах, связанных с исследованием устойчи- вости и управляемости, переменчивость моментов инерции необходимо учитывать. Экспериментальные методы определения моментов инерции сложных тел, дающие более точные результаты в сравнении с расчетными, достаточно подробно разработа- ны в механике, и мы их касаться не будем. Для установления связей между производными О, у, у и угловыми скоростями сох, соу и сог воспользуемся формулами перехода сох = V sin О + у; (Dy = у cos О cos у + О sin у; сог = — v cos О sin у + О cos у. (3.96) 130
Решая эти уравнения совместно, получим О = соу sin у + сог cos у; V = cos Y- sin У); (3.97) у = сох - tg О ((Оу cos у- сог sin у). При определении аэродинамических сил в процессе решения пространственной задачи движения ракеты надо знать значения углов а, Р и уа. Определяя матрицу направляющих косинусов последовательного перехода от связанной системы координат к скоростной, от скоростной к траекторной, от траек- торной к земной и приравнивая ее диагональные элементы диагональным элементам матрицы направляющих косинусов непосредственного перехода от связанной систе- мы координат к земной, получим следующие соотношения между углами: sin О = sin 0 cos a cos Р + cos 0 (sin а cos yfl + cos a sin P sin yfl); sin cos у = sin v cos P cos yfl + cos у (sin P cos 0 + sin yfl sin 0 cos P) — -cos v sin 0 sin y; (3.98) cos 0 sin у = sin yfl cos P cos 0 — sin P sin 0. Если теперь использовать выражения для проекций вектора скорости центра масс ракеты на оси системы координат O0XgYgZg, то найдем: dxg/dt = Kcos 0 cos Я* dyg/dr= Ksin 0; (3.99) dzg /dt = - Kcos 0 sin T. Соответственно расстояние от начала координат до центра масс ракеты (наклон- ная дальность) будет равно (3.100) Приведенные уравнения рассмотренных подсистем вместе с уравнением (3.58) h т = mQ — J |тй| dr, о определяющим изменение массы, будут составлять систему из 17 уравнений (без уче- та уравнений управления), описывающую пространственное движение ракеты. 3.3.3. Принцип разделения движений При разделении пространственного движения ракет на продольное и боковое при- нимают, что в первом приближении продольное движение не зависит от бокового. В со- ответствии с этим в уравнениях для определения характеристик продольного движения учитывают только те силы и моменты, которые действуют в плоскости пуска. При опре- делении же характеристик бокового движения ракеты считать его независимым от про- дольного нельзя, поэтому в уравнения включаются все силы и моменты, которые в той или иной степени могут вызывать боковое отклонение движения ракеты. Другим, весьма существенным упрощением, широко используемым при прове- дении проектных баллистических расчетов, является допущение о независимости движений центра масс ЛА и относительно его центра масс. 131
Вообще говоря, данное допущение является достаточно грубым. Его использова- ние эквивалентно предположению о возможности рассмотрения траекторного движе- ния ЛА как материальной точки. Подобный подход опять-таки допустим и находит широкое применение лишь на начальных стадиях баллистического проектирования. При расчете траекторий для сравнительно небольших дальностей во многих слу- чаях можно не учитывать кривизну Земли, а ее вращение учитывать приближенно че- рез ускорение свободного падения, предполагая его постоянным по величине и на- правлению, т. е. считая гравитационное поле Земли плоскопараллельным. Расчет параметров движения ракеты на пассивном участке траектории проводит- ся либо до точки ее пересечения с поверхностью Земли, либо до точки, находящейся на заданной высоте hB над поверхностью Земли. Для написания упрощенной модели невозмущенного движения неуправляемого ЛА достаточно воспользоваться двумя первыми уравнениями исходной системы, а также ее последним уравнением. В ре- зультате получим в развернутой форме систему уравнений, описывающую продоль- ное неуправляемое движение ЛА с учетом колебаний его продольной оси относитель- но центра масс: dK р5 . Q dr =-Ч^И-«япе; d0 _ а р5 v g cosO . dr СУа 2т а ~ ’ ="Г (т“ Г2а + m^pSPV^ ); (3.101) = -я? ~ ^cos 0; тг? = 0; а = о - о. dz z dt at При решении ряда задач можно полагать, что неуправляемый ЛА совершает про- дольное движение в однородном плоскопараллельном поле притяжения, в неподвиж- ной атмосфере и с пренебрежимо малыми углами атаки. В этом случае траектория ЛА— плоская кривая. Система уравнений, описывающая такое движение центра масс ЛА, при допущении, что cos а « 1, sin а = 0 и Ya = 0, может быть представлена в следующем виде: dK Ха . „ d0 g cos0 dr=-m -^sin0; dr =-S^’ = Ksin0; = Kcos0. at at Первые два уравнения написаны в скоростной (совпадающей в данном случае с траекторией) системе координат, т. е. в проекциях на касательную и нормаль к тра- ектории. Во многих случаях применительно к задачам проектной баллистики оказы- ваются удобными для решения системы уравнений, записанные в прямоугольной т> dVx dw v cosO ~ стартовой системе координат. Напомним, что = —Ха—^~ . Тогда, умножив числитель и знаменатель правой части приведенного уравнения на К, получим du/dt = —Xau/mV. Значение полной скорости по известной величине и может быть найдено как V = и + р2, где р = tg 0. Поэтому в качестве второго уравнения рас- сматриваемой системы возьмем дифференциальное уравнение dp = d(tgO) = _g dt dt и' 132
Обозначая для простоты написания Е = Xa/(mV) при т = тк и добавляя кинема- тические соотношения, получим известную систему уравнений: dw г dp g dy dx /o -г- = -Ей; = -- ; ~ = up; -г- = и. (3.103) dt 9 dt и9 dt п dt v Е(У) Если воспользоваться выражением Ха типа (3.43) и ввести функцию G( И) = , то первое уравнение системы будет иметь вид = -cH(y)G{V)u = -Ей, (3.104) где£=сЯ(у)С7(И). Для учета изменения скорости звука с высотой воспользуемся соотношением ти- па (3.46), и тогда du/dt = -cHx(y)G( Vx)u. Соответственно, E=-cHx(y)G(Vx). Второе уравнение системы можно заменить дифференциальным уравнением для определения вертикальной составляющей скорости dl^/dr = dw/dt = — Ха sin 0/m — g. Вводя составляющую скорости w = Ksin 0, будем иметь систему уравнений: dw г dw г dy dx di=~Eu’di w’Tt и- (3105) Для расчета характеристик движения баллистических ракет на пассивном участ- ке полета часто более удобно принять за независимую переменную не время, а коор- динату х. Получим систему уравнений при аргументе х, проведя очевидные преобра- зования первого и второго уравнений системы (3.103): du du dt z „ „ d-t = dlTX=(-Eu\u)=-E’ dp = dp dr = _g 1 = _g_ dx dt dx uu u2 ’ Тогда система уравнений при независимой переменной х будет иметь вид =_£;Ф? =_*;£*=!. (З.Ю6) dx ’ dx и2 9 dx dx и v ' 3.3.4. Уравнения продольного движения программно-управляемых ЛА на активном участке траектории Для обеспечения запрограммированного изменения определяющего параметра исполнительный орган системы управления ЛА должен устанавливаться в положе- ние, соответствующее отработке разности между измеренным и программным значе- ниями параметров [4]. Например, при задании программы по углу тангажа, угловой скорости и углового ускорения тангажного движения уравнение управления для оп- ределения отклонения руля тангажа будет иметь следующий вид: 80 = Х^ДО + (3.107) где К^, К1Ъ — коэффициенты усиления контура управления по каналу тангажа. При рассмотрении движения ЛА с балансировочным углом атаки (аБ), соответ- ствующим выполнению требования уравновешивания составляющей аэродинамиче- ского момента в уравнениях типа (3.95) управляющим моментом, угол рассогласова- 133
ния по тангажу может быть приближенно связан с углом поворота управляющего ор- гана с помощью первого слагаемого уравнения управления (3.107) 8^ = ^-Опр), (3.108) где — статический коэффициент усиления; Опр — программное значение угла тан- гажа. Запишем балансировочную зависимость, предполагая, что ракета имеет только один управляющий орган (рули тангажа), определяющий ее движение в вертикальной плоскости. Тогда Mz + Mpz = 0. (3.109) Раскрывая выражения моментов, входящих в равенство (3.109), получим 0,5р И2 Slmzaab + 5/, = 0, (3.110) 5 Э Y где Yp z = , причем Yp — подъемная сила принятого к рассмотрению органа управ- ления, 1р — средняя аэродинамическая хорда руля 2 Y^zI Я «Б = --Ь^=-еД. (3.111) ру jimz Знак минус показывает, что при повороте управляющих рулей, расположенных поза- ди центра масс в хвостовой части ракеты в одну сторону, например, по часовой стрел- ке, ракета повернется в другую сторону (против часовой стрелки). Используя (3.108), получим аБ = -Л(^-^пР) (З.И2) или, заменяя в (3.112) О = 0 + аБ, найдем Предположим, что вектор тяги направлен по продольной оси ракеты. Кроме то- го, включим Хр в полную силу лобового аэродинамического сопротивления Ха, a Yp в подъемную силу Ya. По малости угла атаки примем sin а = аБ; cos а = 1; Ya = У“аБ, где Г« = = с“Б (см.(3.38)). Тогда согласно (3.93) mV = Р — Ха — mg sin 0; тИ0 =(Р+ К“)аБ —mg cos 0. (3.114) Добавив к полученным дифференциальным уравнениям кинематические урав- нения для определения текущих координат и программное соотношение для угла тан- гажа, получим систему уравнений, приближенно описывающую продольное движе- ние управляемой по каналу тангажа ракеты на активном участке траектории mV = Р — Ха — mg sin 0; = е^(Р+ Wnp-tf) cos0 тУ(1 +гМ 8 V ’ 0 = 0 + аБ = 0пр(О; (3.115) yg = Ksin0; xg = Kcos0. 134
Простейшая система уравнений, приближенно описывающая управляемый полет центра масс ракеты, может быть получена из (3.115), если считать, что ЛА управляется идеально и его продольная ось совпадает с вектором скорости (О ~ 0). Тогда И = —gsin0; j^ = Ksin0; (3.116) 0(0 xg = Kcos0. т mQ — \rtt\t |/^| t Введя обозначение ll = — =------- = 1 — — t = 1 — , где 71 — фиктивное m0 m0 7ф ф время, имеющее физический смысл времени выгорания топлива ракеты при задан- ном постоянном секундном расходе \rti\ в предположении, что масса топлива равна начальной массе ракеты, получим очевидное соотношение d/ = -7^dp, (3.117) позволяющее осуществить замену независимой переменной в (3.116), задав програм- му изменения угла тангажа в функции относительной массы ц. 3.4. ВЫВЕДЕНИЕ СПУТНИКА НА ОРБИТУ 3.4.1. Качественный анализ основных участков траектории выведения Целью выведения искусственного спутника Земли (ИСЗ) на орбиту является его доставка ракетой-носителем на заданную высоту с заданной скоростью и в заданном направлении движения (на орбиту требуемого наклонения). Реализуемая при этом траектория подразделяется на ряд участков, отличающих- ся по своей специфике. Характер этих участков неразрывно связан с выбранной схемой полета, опреде- ляемой, в свою очередь, типом используемой ракеты-носителя. До настоящего време- ни, несмотря на наличие и перспективность (с точки зрения отдельных специалистов) многоразовых транспортных космических систем (МТКС), основным типом PH ос- таются одноразовые ракетные системы тяжелого («Протон-К», «Протон-М»), среднего («Союз-СТ») и легкого («Космос-ЗМ», «Рокот», «Старт-1») классов. Применительно к системам такого типа траекторию выведения принято подраз- делять на следующие участки: участок старта, работы первой ступени, разделения сту- пеней, полета последующих ступеней PH и отделения полезной нагрузки. Старт современной PH осуществляется при ее вертикальном расположении (0 = 0 = 90°) ввиду относительно невысокой, в большинстве случаев, начальной тяго- р вооруженности = 1,2...1,5 , где Рс — стартовая тяга двигателей. После 10... 15 с вертикального полета, в результате которого PH, как правило, не успевает достичь сверхзвукового режима движения, происходит относительно крат- ковременное изменение угла атаки, вследствие чего траектория PH отклоняется от вертикального направления. 135
Управление с ненулевым углом атаки (порядка нескольких градусов) обычно закан- чивается при значениях чисел Маха, примерно равных 0,8, после чего реализуемая про- грамма изменения угла тангажа обеспечивает полет с близкими к нулю углами атаки. Если не учитывать действие возмущений, то искривление траектории на этом участке достигается исключительно под действием силы притяжения. Поэтому дан- ный участок называют участком «гравитационного разворота». На последующих участках траектории выведения, где влиянием скоростного на- пора оказывается возможным пренебречь (его величина в самых «тяжелых» случаях не превышает в конце участка работы двигателей первой ступени 1000 кгс/м2), угол атаки может быть отличным от нуля и принимать значения, вытекающие из условий энергетической оптимизации траектории. Участок разделения начинается с момента подачи главной команды на выключе- ние двигательной установки предыдущей ступени и заканчивается, когда отделив- шийся ускоритель не в состоянии оказать влияние на полет последующей ступени. Характер движения PH на участке разделения в основном зависит от компоновки ЛА и принятого способа разделения. Сам процесс разделения протекает практически одинаково на всех ступенях. Принципиально возможно использование двух схем разделения: холодного и го- рячего. Холодное разделение (разделение торможением) предполагает запуск двигателя последующей ступени после достижения безопасного расстояния от отделившегося ускорителя. При горячем разделении двигатель последующей ступени запускается еще до мо- мента разрыва механических связей между разделяющимися частями ЛА. Для уменьшения возмущающих воздействий и исключения колебательных дви- жений PH на участке разделения за несколько секунд до начала процесса вводится ре- жим стабилизации достигнутого значения угла тангажа (участок «выравнивания»). Уменьшение возмущений от аэродинамических нагрузок достигается путем ограни- чений скоростного напора на момент проведения разделения. Процесс выведения заканчивается участком отделения полезной нагрузки при выполнении следующих конечных условий: Ик* = Ик*, где Ик* = JfM3/(R3 4- у ), 0*к = 0. Здесь М3 — масса Земли; Л, = 6371 км — так называемый «радиус Земли» (радиус сферы, объем которой равен объему геоида); у* — заданная средняя высота орбиты. С увеличением высоты орбиты у* возникает необходимость в дополнительном к гравитационному развороту искривлении траектории выведения с целью обеспече- ния одного из необходимых условий выхода ИСЗ на заданную орбиту: 0* =0. При этом, очевидно, будут иметь место возрастающие потери скорости на управление, а следовательно, и уменьшение массы полезной нагрузки. Поэтому выведение ИСЗ заданной массы при непрерывной работе двигательной установки PH (выведение «без дожога» [12]), начиная с некоторой фиксированной высоты орбиты уп* для конкретного типа PH, оказывается либо нежелательным по энергетическим соображениям, либо вообще невозможным при у* > упр*. В этих случаях становится целесообразным применение схемы выведения с про- межуточным пассивным участком и последующим повторным включением двигате- ля. Такая схема известна еще и как схема выведения «с дожогом топлива». При этом схема выведения подразделяется на два этапа. Предварительно производится выведе- ние полезной нагрузки ракетой-носителем на промежуточный пассивный участок круговой или эллиптической более низкой орбиты (высотой менее 500 км; обычно в диапазоне высот 200 км < уп* < 500 км). 136
Затем осуществляется межорбитальный переход с промежуточной орбиты (или ее ограниченного участка) на заданную «высокую» орбиту. В принципе для этого может быть использована последняя ступень PH с повтор- ным запуском ее двигателей. Однако на практике такая ситуация, особенно для комп- лексов, обладающих ограниченной тяговооруженностыо, маловероятна. Обычно для этого применяется специальная ступень PH, называемая разгонным блоком (РБ). РБ находят широкое применение также при решении задач межпланетных поле- тов, связанных с необходимостью выведения КА в определенную область космиче- ского пространства в заданное время. После достижения требуемых терминальных (конечных) условий начинается участок отделения полезной нагрузки — остающегося на орбите ИСЗ. Для уменьшения разброса параметров движения в конце активного участка, предшествующего участку отделения, считается целесообразным [ 15] уменьшать величину тяги либо за счет дрос- селирования основного двигателя, либо за счет его предшествующего выключения и завершения активного участка с работающими управляющими двигателями. В резуль- тате завершение активного участка будет осуществляться на низком уровне тяги, что приведет к уменьшению случайной составляющей импульса последействия, оказываю- щего непосредственное воздействие на ошибки выведения ИСЗ на орбиту. 3.4.2. Оптимизация программ выведения Выбранная траектория выведения должна гарантировать возможно меньшие энергетические затраты, что является непременным условием экономичности опера- ции доставки полезной нагрузки на заданную орбиту. В связи с этим под оптимальной программой выведения на орбиту при заданных характеристиках PH принято понимать программу, обеспечивающую наибольшую массу выводимой полезной нагрузки при одновременном удовлетворении вводимых ограничений на траекторное движение и функционирование систем. Имея в виду изложенное, оптимизация программ выведения должна быть отне- сена к оптимальному программированию опорного движения, как задаче количест- венного и качественного анализа оптимальных в смысле выбранного критерия режи- мов полета, доказательства существования и единственности решений, а также поис- ка путей их технического осуществления. Решение рассматриваемых краевых задач может быть получено с помощью мето- дов классического вариационного исчисления [3,17]. Аппарат классического вариационного исчисления основывается на представлении экстремали в виде точки пространства функций. Вариационные свойства этой точки вы- ражаются уравнениями Эйлера. Для того чтобы найти в каком-либо смысле оптималь- ную траекторию, приходится решать краевую задачу, подбирая начальные значения мно- жителей Лагранжа. В большинстве случаев это оказывается весьма сложным процессом, не соответствующим по трудоемкости требуемой точности получаемого решения. Более просто соответствующие оценочные результаты могут быть найдены с по- мощью «принципа максимума», разработанного представителями отечественной школы советских математиков под руководством Л. С. Понтрягина [14]. Следует иметь в виду, однако, что и на основе «принципа максимума» корректное решение соответствующей задачи в достаточно полной постановке может быть получено лишь численно с использованием ЭЦВМ. Другими словами, в этом случае можно рас- считывать только на получение частных результатов, что не может быть признано на- илучшим вариантом, особенно для начальных этапов баллистического проектирования. С другой стороны, надежда на нахождение общего решения может иметь место только для модельной задачи, предполагающей существенное упрощение ее постанов- 137
ки на основе принятия достаточно грубых, зачастую неадекватных реальным физиче- ским процессам, допущений. В результате получаемое решение оказывается весьма далеким от требований практики. Тем не менее считать, что подобный подход является бесполезным, было бы принципиально неверным. Дело заключается в том, что оптимальные решения по- зволяют получить ориентир, к которому следует стремиться при принятии техниче- ских решений. Имея в виду отмеченное, покажем в весьма конспективном изложении путь реше- ния одной из модельных задач выбора оптимальной программы выведения, приоритет в постановке и решении которой принадлежит Д. Е. Охоцимскому и Т. М. Энееву [13]. Значительно позднее аналогичные задачи рассматривались Д. Лоуденом [9]. За истекшие десятилетия появилось огромное количество работ, так или иначе связан- ных с решением обсуждаемых задач, которые тем не менее не дали оснований пере- смотреть изложенную выше позицию в части оценки практической значимости те- оретически оптимальных решений. В рассматриваемой постановке задачи принимаются следующие упрощающие допущения: • поле тяготения является плоскопараллельным; • вращение Земли не учитывается; • ускорение силы тяжести является постоянным и не зависит от высоты полета; • сила сопротивления воздушной среды отсутствует. Уравнения движения РН в плоскости выведения для рассматриваемой постанов- ки приобретают вид: В7 = £ cosd; S =£ sinfl-g; J =u; J =w;m = m0- |/й|г,Р=|л| (3.118) В данной системе в качестве «управлений» выступают параметры, воздействую- щие на изменение вектора тяги P(t). К таковым относятся ux = cos О; u2 = sin О; и3 = = тй (/). Тогда в общем виде система (3.118) может быть представлена в форме •••>хп> ui’ - u3’f); (i = 1,2, ...,n), при заданных начальных условиях xi(ty=xiO’ (i= t2, ..., n) и ограничениях вида q>j[ux(t), ..., wr(/)] < 0; C/ = l,...,m). Требуется найти такое управление u = [wp u2, u3]T9 которое для системы, описы- ваемой уравнениями (3.118), гарантировало бы при минимальном расходе топлива достижение заданных значений высоты и максимальной горизонтальной составляю- щей скорости (при нулевой вертикальной составляющей). Область допустимых управлений определяется техническими ограничениями Чзтт ^3 ^Зтах» (^3min и очевидным соотношением sin2 О + cos2 0=1,т. е. wf + wj=l. К данной постановке требуется дополнительная ремарка, касающаяся задания времени движения на участке выведения. Время Т> /к, где /к — время работы двигателя может быть фиксированным или свободным. В последнем случае оно получается авто- 138
магически из условия достижения наибольшей горизонтальной скорости в конце этапа выведения, поскольку выбор оптимального управления не зависит от его задания. Соответственно в этом случае не накладывается ограничений на горизонтальную координату конца активного участка, что позволяет исключить из рассмотрения третье дифференциальное уравнение системы (3.118). Тогда, обозначив хх = и= Vx; х2= у; х3 = w = Vy\ х4 = т, получим уравнения со- стояния PH в следующей канонической форме i/3i/i и3и2 — ^отн-^" ’ *2 —Х3’ *3 — ^отн“^ & -*4 W3’ для которых начальные условия х,(0) = хю (/ = 1,..., 4) известны. Для нахождения управления, доставляющего экстремум выбранному критерию качества, необходимо записать гамильтониан, предварительно сформировав вектор- ную функцию сопряженных фазовых переменных i|/z. Данная процедура является формализованной [14]. FK ИС- 1/3 Н(х, V, и) = V! —— и{ + + Уз—£7- и2 - Vtf - V4«3 или Н(х, 1|/, w) = Нх(и) 4- Я2(х, i|f), - -I где//,(«) = и3 (Vi«i + Y3«2)-Y4J представляет собой часть гамильтониана, зависимую от управления. Система дифференциальных уравнений для сопряженных фазовых переменных определяется как Ч(0 = -|^ О’= ь •••>«)• Следовательно, для рассматриваемой системы переменных состояния имеем: И^ 1/3 V1 = О, У2 = О, V3 = - V2 , V4 = -J— (V1«1 + V1“2)> х4 причем для данной системы задано единственное условие в конце участка выведения = —1, поскольку, помимо выполнения условия х2(Т) = /, необходимо гарантиро- вать нулевое значение вертикальной составляющей скорости х3( Т) = 0 и обеспечить тре- бование по фиксированной массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту х4(Г) = тк, В соответствии с принципом максимума для существования оптимального уп- равления необходимо, чтобы в любой момент времени /е [О, Г] функция Я(х, у, и) достигала абсолютного экстремума (min для max — оптимального и max для min — оптимального управления) на множестве допустимых управлений. Очевидно, что в нашем случае часть гамильтониана Нх(и), зависящая от управле- ния, будет достигать абсолютного минимума на рассматриваемом множестве при вы- полнении условий Vi Жз М| “ “/ 2_с 2j/i ’ “2 “ ~ 2 , 2JA (V1 + Уз) (V| + V3) И _ 1« max’ еСЛИ #* > О, “3 ~ I"1 min> если Я* <0, 139
где функция переключения Я* = —— (\gj + Жз)1/2 + ¥<• Таким образом, получим, что х4 при Я* * 0 циклограмма работы двигателя должна состоять из максимальных либо ми- нимальных (в пределе нулевых) интервалов тяги. При обращении же на некотором конечном интервале времени функции переключения в нуль возникает так называе- мое особое управление, для которого оптимальная величина т (0 на основе принци- па максимума определена быть не может. Рассмотрение этого случая приводит к необ- ходимости интегрирования первых трех уравнений сопряженной системы: Vi = q, v2 = с2> v3 = -q' + q- С учетом введенного граничного условия ^(Т) = — 1 имеем ct = — 1 и \|/j = — 1. При определении оптимальной ориентации вектора тяги можно принять, что а п и* 2 , поскольку участок вертикального подъема занимает лишь малую часть полного времени выведения. Тогда, имея в виду выражения управлений и и2, получим tgd=-2 = c2t-c3. (3.119) В результате пришли к так называемому «закону линейного тангенса», представляю- щему собой фундаментальный результат в теории оптимизации программ выведения. Постоянные сх и с2 в выражении тангенса угла тангажа, являющегося линейной функцией времени, должны выбираться из условия получения заданной высоты в конце участка выведения и нулевой вертикальной составляющей скорости. Определение времени выведения осуществляется на основе решения следующе- го соотношения: Я[х(Т),¥(П,и(Т)] = 0. Детальный анализ возможного поведения функции переключения на отрезке [О, Т] и определяемые ею режимы работы двигателя PH для рассмотренной модельной задачи приведены в [15]. 3.4.3. Выбор программы изменения угла тангажа и предъявляемые к ней требования Практическим средством технического воплощения выбранной оптимальной программы выведения является реализуемая на борту PH программа изменения угла тангажа. Действительно, программа угла тангажа служит основным, а чаще всего единственным фактором, определяющим форму реально обеспечиваемой траектории выведения существующих PH одноразового типа. Форма же траектории представляет собой связующее звено между конструкцией PH и решаемой ею задачей. На программу изменения угла тангажа 0пр (/) влияет большое число факторов, изменяющихся в зависимости от конкретной решаемой задачи полета. Однако существуют три достаточно общих группы факторов, оказывающих ре- шающее воздействие на структуру и вид обсуждаемой программной зависимости. К ним относятся: • основные проектно-баллистические параметры, особенности конструкции PH и ее системы управления; • цели и задачи, стоящие перед пуском PH; • ограничения, которым должна удовлетворять выбранная траектория. 140
Прежде всего, ориентируясь на работу [2], сформулируем основные требования и ограничения, которые следует учитывать при выборе 0пр (/). 1. Вертикальный старт является наиболее рациональным видом пуска РН одноразового действия, как обеспечивающий не только наилучшие условия предстар- тового обслуживания, но и минимальные нагрузки на конструкцию заправленной ра- кеты. Продолжительность вертикального участка полета определяется главным обра- зом временем, необходимым для обеспечения эффективной работы органов управле- ния. В общем случае следует стремиться к сокращению времени вертикального участ- ка движения. 2. Считается желательным строить программу в предположении о непрерывнос- ти функций b(t) и О (0 и ограниченности угловых скоростей и ускорений £(/) и О (0, испытываемых РН в полете, что обусловлено требованиями нормального функционирования приборов и исполнительных органов системы управления. 3. Определяющим считается гарантия достижения наилучших условий по нагру- жению конструкции, в частности обеспечению наименьших поперечных перегрузок и изгибающих моментов. Выполнение соответствующего требования обычно обеспечи- вается за счет введения ограничений на величину произведения угла атаки а(0 на рИ2 скоростной напор q = . В зоне q > 0,5gmax обычно стараются обеспечить a(f) —> 0. Однако это не всегда возможно из-за действия ветровых возмущений. Особенно опасным считается об- ласть высот 8... 13 км, в которой обычно достигается gmax, а скорость горизонтального ветра может составить 70 м/с. 4. Область трансзвуковых скоростей (М = 0,8... 1,2), характеризуемую резким из- менением аэродинамических коэффициентов, желательно проходить при а = 0. 5. Необходимо предусмотреть ограничения на q и а на участках разделения сту- пеней из условия обеспечения безударного удаления частей РН друг от друга. 6. Должны быть введены ограничения на параметры движения РН в момент сброса обтекателя, поскольку многие элементы конструкции полезной нагрузки до- пускают воздействие q, исчисляемого величиной не более нескольких десятков кило- грамм (в отдельных случаях нескольких килограмм) на квадратный метр поверхности. 7. Программа должна гарантировать приемлемое качество выведения в широком диапазоне решаемых РН задач. В частности, она должна обеспечивать допустимость выведения на орбиту с заданной высотой в точке выведения, но с различным пери- одом обращения (или высотой апогея) различных масс полезной нагрузки. Перечисленные ограничения относятся главным образом к условиям формиро- вания траектории первой ступени РН. Синтез программы для последующих ступеней должен ориентироваться на решение краевой задачи, поскольку выведение на задан- ную орбиту предполагает удовлетворение определенных краевых условий в конце тра- ектории выведения. Как было показано ранее, решение вариационной задачи на отыскание экстре- мума функционала, выражающегося в самом общем виде через параметры движения в конце активного участка, приводит к программе, соответствующей «закону линейно- го тангенса» (3.119). Более универсальной считается аппроксимирующая дробно-линейная функция tgo=^|;. (3.120) 141
На практике «квазиоптимальная» программа выбирается из семейства линейных программ вида 0(0 = Л) + О/, (3.121) имеющих два свободных параметра: О" + О77. Их выбор подчиняется удовлетворению краевых условий. Для трехступенчатой PH аналогично решается задача построения программы изменения угла тангажа для третьей ступени. 3.4.4. Методы решения проектно-баллистических задач выведения спутника на орбиту При решении задач баллистического проектирования PH находит применение широкий спектр методик, базирующихся как на наиболее универсальных методах численного интегрирования уравнений движения ЛА, так и различных приближен- ных аналитических и полуаналитических (графоаналитических) методах. Не имея возможностей для подробного рассмотрения этих методов, ограничимся здесь их кратким обзором. В общем случае уравнения движения ЛА представляют собой системы нелиней- ных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть проинтег- рированы численно при задании начальных условий. Применимость численного интегрирования при решении задач определения па- раметров движения PH на атмосферном участке траектории базируется на воз- мож- ности вычисления с их помощью значений интеграла от функции, заданной таблич- но. Для этой цели используется так называемая интерполирующая функция, которая под знаком интеграла заменяет действительную функцию, аналитический вид кото- рой неизвестен. При условии, что такая замена происходит на малом участке кривой, точность интегрирования может быть достаточно высокой. Пусть интерполирующей функцией будет функция у = /(х). Тогда приращение определенного интеграла в пределах от хп до хп + j будет Д/л = J уйх . Хп Самой простой является линейная интерполирующая функция У-Уп = х-хп УП + \~УП Хл-Ы-Хл’ где хп + J — хп = hx — интервал изменения аргумента или шаг интегрирования; уп + j - уп = = &уп — разность между значениями функции, соответствующими данному п и после- дующему п + 1 значениям аргумента. Искомую величину функции, соответствующую аргументу х, зададим в виде х — х„ У = У„+ —Ц—^Уп- При линейном интерполировании площадь под кривой, изображающей функ- цию /(х), будет разбита на ряд трапеций. Интегрирование по методу трапеций дает су- щественную ошибку, и, как правило, он редко применяется при баллистических рас- четах. 142
Простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравне- ний является метод Л. Эйлера. Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка Ух'=/(Х,У) при начальных условиях: х = х0, у = у0. При интегрировании шаг изменения аргумента hx выбирается так, чтобы в пределах этого шага можно было бы допустить, что функ- ция /(х, у) сохраняет постоянное значение. Заменяя производную отношением малых конечных приращений, можно записать Ух dx Дх ’ Для первого участка интегрирования Дх0 = — х0 = hx, Ду0 = - Уо, и тогда f<X0,y0)= В результате преобразования будем иметь У1=Уо + УМо)’ Повторяя операцию для последующих участков интегрирования, получают по- следовательные значения функций У2=У\+Ьх/(х{,у{У, Уз=У2 + ^х/(х2,у2). В общем виде формула численного интегрирования дифференциального уравне- ния первого порядка по методу Л. Эйлера запишется как Уп+\=Уп + Ьх.КХп’Уп'У При решении задач баллистики метод Л. Эйлера , так же как и метод трапеций, может привести к значительным ошибкам. Точность метода повышается с уменьше- нием шага интегрирования, однако при этом увеличивается общий объем вычисле- ний и сохраняется накопление ошибок в процессе интегрирования. Тем не менее, как наиболее простой, метод Л. Эйлера находит применение, как правило, на стадии решения задач баллистического проектирования, когда использу- ются достаточно простые математические модели, а точность решения не входит в противоречие с требуемым уровнем приближения. Наиболее распространенным методом численного интегрирования, используе- мым в баллистических расчетах, является метод Рунге-Кутта четвертого порядка и его различные модификации. В основу метода Рунге-Кутта положено разложение иско- мой функции y=f(x) около ее известной точки (хп, уп) в степенной ряд по аргументу (х-х„): УаУп + ^-хп}у'п + + ... + у™. Разложение дает возможность получить значение функции у(хп 4- hx) по извест- ному начальному значению у(хп) и шагу hx. Искомое последующее значение функции Уя + \=Уп + ^Уп- Основная расчетная формула для определения Дул имеет вид &У„ s g (*| + 2*2 + 2к3 + 143
где Л] = hxf(xn, уп); к2 = hxf(xn +^hx,yn+^ кх); кз = hxf <Хп + J кх’Уп + J к1У, к4 = hxf(Xn + Лх> Уп + кз )• Большим достоинством метода является однотипность вычислений для всех точек. При составлении программы на ЭЦВМ может оказаться более удобной практи- чески альтернативная по точности следующая формула для вычисления ДуЛ: Дг„ = 5 (*i + ЗЛ2 + кз + где к\ = kxf (*л> Уп ); к2 = hxf + 2 Ах’ Уп + 2 ); к3 = hxf + 2 Их’Уп - 2 + *2 ); *4 = hxf (Хп + Ьх’Уп + 2 к2 + 2 *3 ) Численные методы с использованием ЦВМ позволяют проинтегрировать любую из приведенных выше систем дифференциальных уравнений с заданной точностью. Вместе с тем эти методы трудоемки, и их целесообразнее всего использовать для про- ведения точных баллистических расчетов. На этапах проектирования, особенно на- чальных, требования к точности баллистических расчетов ниже. Для подобных расче- тов могут применяться различные аналитические и полуаналитические методы. Для подтверждения обоснованности этого утверждения приведем весьма впечат- ляющий пример, заимствованный из [2]. Предположим, что требуется провести исследование зависимости полезной на- грузки, выводимой на орбиту, от шести проектно-баллистических параметров двух- ступенчатой PH, например от значений удельных тяг на первой и второй ступенях, тя- говооруженности на этих же ступенях, соотношения масс ступеней и высоты круго- вой орбиты. Если даже допустить, что каждый параметр варьируется в пределах пяти значений (на самом деле число варьируемых значений каждого параметра в ряде задач исчисляется десятками), то количество вариантов расчета составит 56 = 15 625. Если учесть, что в каждом случае необходимо решать вариационную или, в край- нем случае, экстремальную задачу (по массе полезной нагрузки) с заданными краевы- ми условиями (высота круговой орбиты), то в среднем это потребует расчета 20...30 траекторий. Следовательно, суммарное решение поставленной задачи сведется к определе- нию 300...400 тыс. траекторий. Если принять, что для расчета одной траектории затра- чивается 10 с машинного времени (что является весьма скромным предположением с учетом необходимости решения вариационных задач), то всего потребуется около 1000 часов машинного времени. Из этого примера вытекают два важнейших вывода, сформулированных автора- ми уже цитированной выше работы: • в проектно-баллистических исследованиях следует ограничивать число варьи- руемых параметров и проводить их только в предварительно выявленной окрест- ности разумно выбранных решений; • на стадии предварительных проектных исследований следует использовать наи- более простые методы баллистических расчетов, избегая методов интегрирова- ния уравнений движения и добиваясь сокращения времени счета на два-три по- рядка. Данные обстоятельства стимулируют использование давно уже созданных методов приближенных расчетов и их дальнейшее совершенствование. 144
В зависимости от характера принимаемых допущений приближенные, в том чис- ле аналитические, методы решения задач баллистики можно разделить на четыре ос- новные группы. К первой группе следует отнести методы решения систем уравнений, в которых члены, учитывающие сопротивление среды, опущены. Методы данной группы ис- пользуются в основном для проведения качественного анализа и находят весьма огра- ниченное применение. Ко второй группе отнесем методы, в которых сила сопротивления воздуха учиты- вается в уравнениях в виде какой-либо аналитической функции, отражающей зависи- мость между силой сопротивления воздуха и скоростью движения центра масс. В подобных решениях, как правило, учитываются только одна-две аэродинамические характеристики, например, только лобовое сопротивление и подъемная сила, связь между которыми дается в виде специальной функции — поляры ЛА, для которой под- бирается аналитическое выражение. К третьей группе отнесем методы, основанные на искусственных преобразованиях основных дифференциальных уравнений движения, позволяющих разделить перемен- ные. Однако разделение переменных не всегда приводит к получению решений в конечном виде, позволяющих иметь численный результат. Во многих случаях оказы- вается необходимым интегралы представлять в виде таблиц или графиков. Заметим, что применение этих проектно-баллистических методов предполагает, как правило, переход при записи уравнений движения и программы 0пр(/) от аргумента t к аргументу ц на основе соотношения (3.117). Подобные преобразования не всегда бывают доста- точно строгими и требуют введения согласующих коэффициентов и вспомогательных таблиц. С примерами такого рода методов можно познакомиться по работам [1,2]. К четвертой группе относятся методы решений, в которых заранее задается вид функции, определяющей изменение той или иной характеристики движения. Напри- мер, может быть задан вид зависимости скорости движения центра масс ЛА от време- ни V(t). Последние методы требуют дополнительного задания закона сопротивления среды или проведения последовательных приближений при численном вычислении определенных интегралов, содержащих функции от силы сопротивления воздуха. Каждый из методов применим для конкретных условий полета, приближающих- ся к допущениям, принятым при составлении дифференциальных уравнений. Отдельного обсуждения заслуживают используемые на практике приближенные методы решения краевых задач, применяемые при синтезе программ изменения угла тангажа. К числу таковых, в частности, относится метод, получивший применительно к двухпараметрической краевой задаче название метода секущей плоскости [2]. Сущность подхода сводится к следующему. Производится расчет трех траекторий при некоторых, соответствующим образом заданных параметрах программы угла тангажа [О, О]; [03 + ДО), О]; [О, (О + ДО)]. Расчет ведется до достижения значения граничной скорости, отвечающей усло- вию выведения ИСЗ на орбиту V*. Этим программам будут отвечать следующие решения: [у, 0]; [у + Ду(О), 0 + Д0(О)]; [у + Ду(О), 0 + Д0(О)]. Далее вычисляются приближенные значения производных Эу _ Ду(О). Э0 _ Д0(О). Эу _ Ду(О) . Э0 _ Д0(О) Эд Ад ’ Эд Ад ’ эф Ад ’ Эд Ад 145
и определяются потребные приращения ДО и ДО, которые при условии линейной за- висимости у и 0 от этих параметров ликвидируют имеющиеся невязки по высоте у и углу 0: у-^=Йдд+^ДО; (3.122) Эй — ЛА 4- ЛА - -гд Ди + — Дт>. Эй е-ек* Найденные из (3.122) значения ДО и ДО составляют новую программу, для кото- рой следует повторить описанный расчетный алгоритм. При этом число итераций бу- дет зависеть от выбора начального приближения и требуемой точности, которой дол- жно удовлетворять искомое решение. При решении проектно-баллистических задач часто параметры движения в кон- це активного участка сами по себе самостоятельного значения не имеют. Постановка задачи в этом случае ограничивается поиском решения, обеспечи- вающим выполнение каких-нибудь более общих условий, например, удовлетворение требованию выведения на орбиту с заданным периодом обращения максимальной полезной нагрузки. При этом на ориентацию эллиптической орбиты в пространстве ограничений, как правило, не накладывается, но вводится ограничение снизу на высоту орбиты над поверхностью Земли [2]. Для данной задачи программа также выбирается из семейства двухпараметриче- ских линейных программ 0пр(/). При всей своей простоте описываемый алгоритм позволяет получить вполне приемлемые результаты по точности и сходимости, хотя в отличие от вариационной процедуры он ограничивается поиском решения в рамках тривиальной задачи нахож- дения экстремума функции. тк Значение относительной конечной массы цк = ~ аппроксимируется некоторой билинейной функцией параметров программы 0^7 и О77: цк = afttf + ЬЬП + + d. (3.123) Записав условия экстремума цк по варьируемым параметрам = а + сЬп =0, —г-н = Z> + cOZ7=0, ЭОП 0 получим Оопт = _ Е с ’ опт с (3.124) Определение коэффициентов a,b,cnd осуществляется в процессе расчета четы- рех траекторий с различным сочетанием параметров OJ7 и и подстановки результа- тов в (3.123). Расчет каждой траектории должен проводиться до tk, при котором достигается за- данный период обращения. При этом фиксируется получаемое значение цк. Условие нарушения ограничения по минимально допустимой высоте контроли- руется путем одновременного расчета параметров орбит. Далее на основании (3.124) находятся (Оопт77)7 и (О^/7); в первом приближении. Задавая в окрестности этих най- денных значений еще несколько их вариаций, процесс поиска повторяют, начиная с нахождения новых коэффициентов а, Ь, с и Jb уравнении (3.123). Итерационная процедура завершается, когда уточняемое значение цк будет отли- чаться от предыдущего значения менее чем на некоторую наперед заданную величину. 146
3.5. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПРОЕКТНО-БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОКОЛОЗЕМНЫХ И МЕЖПЛАНЕТНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ПОЛЕТОВ 3.5.1. Основы теории невозмущенного орбитального движения Предварительно ограничимся рассмотрением движения КА в предположении, что не только определяющим, но и единственным источником силового воздействия, испытываемого аппаратом, является гравитационное поле Земли. Будем считать, что гравитационное поле является центральным, т. е. его силовое воздействие подчиняет- ся ньютоновскому закону притяжения массы КА массой Земли при « М3. В рамках принятых предположений имеем дело с так называемой классической огра- ниченной задачей двух тел, исследование и решение которой составляет предмет те- ории невозмущенного орбитального движения. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела с массой т имеет вид: .2 mf=m=4=F, (3.125) At где f — полное ускорение, г — радиус-вектор, определяющий положение тела с мас- сой т относительно центра притяжения гравитирующего тела. Согласно (3.7), для центрального поля тяготения /Л/3 F = — т grad Пт = — т —у г, (3.126) где fM3 = ц — гравитационный параметр Земли (не путать с относительной массой, имеющей то же обозначение). Тогда Г + Цг = О. (3.127) Г Умножим почленно равенство (3.127) векторно на г: rx f + Hrxr = rx f =0. (3.128) Г Имея в виду, что X (г X f) = ^ х г + rxf=rxf, СП v запишем £(rxf)=£(rxV) = 0. Тогда rxf =rxV = c. (3.129) Выражение (3.129) отражает зависимость между радиусом-вектором и вектором скорости тела при его движении в центральном поле. Эту зависимость называют век- торным интегралом площадей, а вектор с — векторной константой площадей. Так как вектор с не является нулевым, он ортогонален плоскости, образованной векторами г и V, а поскольку начало вектора г совпадает с центром притяжения, это означает, что движение тела будет происходить в фиксированной плоскости, проходя- щей через центр притяжения, ориентация которой относительно выбранной СК из- вестна, если известны составляющие вектора с относительно осей координат этой системы. 147
В полярной СК выражение интеграла площадей принимает вид с = г2х = const, (3.130) где х угловая скорость вращения радиуса-вектора относительно выбранной отсчет- ной базы. При перемещении в орбитальном движении тела за малый промежуток времени Д/ радиус-вектор г сместится на малый угол Дх, описав площадь AS Д5=1г2Дх- (3.131) Разделив почленно правую и левую части равенства (3.131) на At и переходя к пределу при At---> 0, получим .. AS d»£ 1 ? ’ I /э 1 д,™0 Д' ~ di ~ 2Г ~ 2е’ (3.132) d5 „ о где производная ду называется секториалыюи скоростью, являющейся постоянной, согласно (3.132) при движении тела в центральном поле тяготения. Рассматривая далее совместно интеграл площадей и уравнение движения, запи- санные в форме Г =-^r, С = гх f, Г после векторного умножения друг на друга соответственно левых и правых частей этих выражений, найдем Г хс = -^гх(гх г). г Нетрудно показать, что п