/
Автор: Веников В.А. Анисимова Н.Д. Долгинов А.И. Федоров Д.А.
Теги: электротехника электроэнергетика электрические системы теория колебаний
Год: 1964
Текст
В. А. ВЕНИI(ОВ, Н. Д. АНИСИМОВА,
А. И.долrИНОВ,Д.А. ФЕДОРОВ
САМОВОЗБУЖДЕНИЕ
САМОРАСКАЧИВАНИЕ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
Допущено
М инистерство.м вblсшеео и среднеео
сnецuальноео образованuя СССР
в качестве учебноео пособия
для студентов энереетuческuх вузов
и факультетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Mockba-1964
ПРЕДИСЛОВИЕ
На тоящая работа в значительной мере отражает
содержание факультативных курсов, читавшихся ка-
федрои электрических систем на электроэнерrетическом
факультете MOCKOBCKoro энерrетичеекоrо института, и
частично содержание разделов курсов «Дальние элек-
тропередачи» и «Переходпые процеСGЫ в электрических
системах», читающихся там же.
Тематика исследований, Ita основе которых появилась
эта книrз, была подсказана потребностями практики
nроектирования и эксплуатации энерrосистем. Решение
задач по определению самовозбуждения reHepaTopOB
при работе на холостые линии и емкостные наrрузки,
изучение самораскачивания при малых иаrрузках, изу-
чение возможности емкостной компенсации были на-
чаты на кафедре еще в 1948 r. и за истекШие 15 лет
прод.олжались и развивались преимущественно авто-
рами этой работы.
Вопросы самовозбуждения и самораскачивании на
первый взrляд MoryT представиться ДОВОЛЬНО узкцми,
имеющими оrраниченное практическое значение. Однако
в настоящее время это далеко не так.
Осуществление синхронизации мощных машин, ра-
ботающих на дальние передачи, их рабояие и аварий.
3
ные режимы в условиях компенсации емкостью реак-
тивноrо сопротивления линий, работа при малых
наrрузках - все это связано с, рассматриваемой темой.
Расширяется применение емкости для компенсации
реактивноrо сопротивления reHepaTopoB и синхронных
компенсаторов, особенно работающих в специальных
режимах (например, при толчках наrрузки). В ряде
случаев возникает необходимость проверки и нахож-
дения путей устранения самовозбу дения асинхронных
двиrателей, подключенных к сети через емкость, ком-
пеНСИРУIОЩУЮ реактивное сопротивление, или имеющих
параллельную емкость, улучшающую коэффициент мощ-
ности. Устранение самораскачивания имеет большое
значение для автономных установок.
Изучение проблемы самовозбуждения и Cal\10paCKa-
чивания, кроме упомянутоrо утилитарноrо значения,
имеет весьма большое методическое значение.
Вопросам самовозбуждения и самораскачивания
в вузовских дисциплинах до cero времени уделялось
мало внимания. Материал разбросан по различным
курсам: основные теоретические положения имеются
в курсе теоретических основ электротехники, ряд физи-
ческих и математических представлений - в курсе
электрических машин, непосредственное рассмотрение
явлений самовозбуждения и самораскачивания начи-
нается в курсе переходных процессов в электрических
системах и более подробно продолжается Б курсе даль-
них электропередач, обычно читаемом для студентов,
спецнализирующихся по электрическим системам и
электропередачам. Однако роль явлений самовозбуж-
дения и самораскачивания сейчас стала значительно
шире, чем раньше, и поэтому представляется, что на-
стоящее учебное пособие, дающее более широкий Kpyr
сведений, будет своевременным.
Авторы надеются, что настоящая книrа привлечет
внимание и инженеров, занимающихся проектированием
4
и эксплуатацией электрических систем, различных как
по размерам и мощности, так и по назначению.
В данной работе нашли отражение некоторые иссле-
дования и расчеты, проведенные аспирантами, студен-
тами-дипломниками и сотрудниками кафедры электри-
ческих систем.
Количество числовых примеров в настоящей работе
оrраничено ввиду незначительноrо объема книrи, однако
читатель может найти ряд примеров частично в книrе
«Переходные процессы электрических систем в приме..
рах и иллюстрациях» под ред. В. А. Веникова, roc..
энерrоиздат, 1962 r., и в выпускаемой в ближайшее
время книrе «Примеры анализа режимов электропе-
редач».
Данная книrа является первой попыткой простоrо
и cTpororo изложения этих вопросов, сложных физиче-
ски и требующих серьезноrо математическоrо аппарата.
Поэтому авторы полностью отдают себе отчет в том,
что предлаr..аемая работа нуждается в улучшении, и за-
ранее блаrодарят читателей за те замечания и предло-
жения, которые MoryT улучшить дальнейшее изложение.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЯВЛЕНИЯ
САМОВОЗБУЖДЕНИЯ И САМОРАСКАЧИВАНИЯ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
1. Значение ЯВJJений самовозбуждения
и самораскачивания
Самовозбуждение и -еамораскачивание - это две раз-
новидности неустойчивости режима электрических ма-
шин. Самовозбужденuе, представляющее собой электро--
маrнитную неустойчивость, возникает при определенном
соотношении реактивноrо сопротивления машины и
eMKOCTHoro сопротивления, включенноrо на ее зажимы.
Самовозбуждение характеризуется самопроизвольным
ростом токов и напряжений во всех элементах системы.
Процесс роста токов и напряжений при этом происходит
либо апериодически, либо путем колебаJlИЙ. Персонал
электрической станции теряет B03MOJКHOCTЬ управления
режимом самовозбуждающейся машины; при появлении
опасных значений токов и напряжений, устанавливаю-
щихся в этом режиме, обычно необходимо немедленно
отключить машину от сети.
В некоторых случаях в электрических системах мо-
жет возникать особое нарушение статической устой-
чивости, происходящее при паrрузках на станциях,
значительно меньших, чем пропускная способность их
электропередач. Это так называемое самораекачuванuе
синхронных машиН, которое связано с наличием в си-
стеме значительных активных сопротивлений. Саморас-
1
качивание развивается в результате появления отри-
цательноrо демпферноrо момента, возникающеrо при
работе машин через сеть, имеющую относительно боль-
шое активное сопротивление, и проявляется в форме
колебаний роторов. Эти колебания MoryT или длительно
существовать во время синхронной работы машин, или,
увеличиваясь, приводить к нарушению синхронизма.
Условия самораскачивания существенно зависят от
возбуждения машины и ее наrрузки.
Применение продольной емкостной компенсации на
линиях дальних электропередач, установка синхронных
компенсаторов, компенсированных емкостью, coopy)l{e-
ние сверхдальних электропередач, настроенных на полу-
волну или выполненных кабельными линиями, повы-
шают sероятность возникновения самораскачивания и
самовозбуждения машин в системах, содержащих TaKoro
рода элементы.
11еренапряжения и сверхтоки при самовозбуждении
MoryT приводить к повреждениям оборудования системы.
Частота тока и напряжения при самовозбуждении
машин электрических систем соответствует частоте соб-
ственных колебаний электрическоrо контура, составлен-
Horo цепью машины и внешней сетью. Эта частота
обычно близка к синхронной.
В ненасыщенной машине условия самовозбуждения
практически не зависят от возбуждения машины. Уста-
новившийся в результате самовозбуждения режим опре-
деляется насыщением и возбуждением машины.
Явления самовозбуждения и самораскачив'ания MoryT
проявляться совместно. Например, увеличение степени
продольной емкостной компенсации может вызывать и
самовозбуждение, и самораскачивание.
В протекании этих явлений есть MHoro общеrо, и фи..
зику их разбирать можно совместно. Однако в практике
проверку системы на отсутствие самовозбуждения и са..
мораскачивания удобнее проводить раздельно.
При значительных постоянных инерции роторов ма-
шин начало развития самовозбуждения происходит прак-
тически всеrда IПрИ неизменной скорости вращения ро-
тора. Кроме Toro, мероприятия, направленные на устра-
нение самовозбуждения и самораскачивания, различны,
а иноrда даже противоположны: включение активноrо
сопротивления в цепь статора может устранить самовоз-
8
буждение, но одновременно стимулирует самораскачи-
вание; поперечная демпферная обмотка практически ис-
ключает появление самораскачивания, однако расши-
ряет область асинхронноrо самовозбуждения.
Самораскачивание в электрических системах леrко
устраняется реrулированием возбуждения обычноrо
типа. Самовозбуждение устранить значительно труднее.
Обычные реrуляторы устраняют только некоторые виды
самовозбуждения (так называемое синхронное). Пол-
ностью устранить самовозбуждение можно только pery-
ляторами специальноrо типа, пока еще не созданными
и не применяющимися в практике работы энерrосистем.
9 2. Физическая природа и методы математическоrо
исследования самовозбуждения
Явление самовозбуждения может возникать в си-
стеме, в которой reHepaTop (или reHepaTopbI) совместно
с внешней сетью образуют колебательный контур с ча-
стотой колебаний, близкой к рабочей. Следовательно,
для развития самовозбужде-
ния в системах должна присут-
ствовать значительная емкость.
Простейший колебательный
контур с вращающейся маши- т С
нои показан на рис. 1. Такая
схема, в частности, соответст- ,
вует работе reHepaTopa на не- Рис 1 Колебательный КОН-
наrруженную линию передачи, тур «машина-емкость»
приближенно замещаемую ем-
костью С. Колебательный контур образован в этой схеме
емкостью и индуктивностью машины (к которой можно
также отнести индуктивность трансформатора и ЛИ1Iии).
в _колебательном контуре, изображенном на рис. 1,
при известных условиях возникают колебания, нарастаю-
щие во времени; машина при этом может быть невоз-
буждена, необходимо лишь вращение ротора с задан-
ной, обычно синхронной, скоростью. Осциллоrраммы
развивающихся колебаний напряжения на емкости С
показаны На рис. 2. Одна из форм процесса характе-
ризуется тем, что колебания развиваются на синхронной
частоте при малой скорости нарастания амплитуд
(рис. 2, а). Это так называемое синхронное самовоз-
9
буждение. Друrая форма характеризуртся БОЛЫIlОЙ на-
чальной скоростью нарастания колебаний. Это так
называемое асинхронное самовозбуждение.
а)
!:1II:'1:1!:::::::: :
о)
1
/
Ip
/
Рис. 2. осциллоrраммы колебаний напряжения и тока в контуре.
изображенном на рис. 1:
а)- синхронное самовозбуждение, б)-- асинхронное самовозбуждение явно-
полюсных синхронных машин
в установившемся режиме при асинхронном само-
возбуждении синхронных машин, особенно ЯВНОПQЛЮС-
ных, возникают биения с периодом, исчисляемым секун-
дами (рис. 2, б). При самовозбуждении асинхронных
машин биения отсутствуют.
В линейной цепи при обеих формах самовозбуждения.
колебания нарастали бы беспредельно. В реальной
системе нарастание амплитуд колебаний обычно orpa-
ничивается насыщением маrнитопроводов машины - re-
нераторов и трансформаторов. В силу этоrо на рис. 2
оrибающая амплитуд колебаний стремится к пределу,
оrраниченному насыщением. Следует, однако, заметить,
10
чtо рост напряжения может быть оrраничен И нелиней-
ностью друrоrо вида - пробоем изоляции. В этом случае
саМОВf>збуждение приводит к аварии в системе.
Указанное на рис. 2 разделение на синхронное и
асинхронное самовозбуждение справедливо при уело..
виях отсутствия возбуждения и постоянной скорости
вращения ротора. Именно при таких идеализированных
с
q
о) ,
Х(Т)
L ('()
Xd
Ld Xq,
L
Т=Т(
Рис. 3. Резонансная СИСiема с реактив-
ной машиной:
а) - система среаКТИSная машина - емкость».
б) - изменение индуктивности фазы в систе-
ме, представленноА на рис. 3.а
условиях проще Bcero изучать это явление. В реальной
сети наличие возбуждения и возможность колебаний
ротора при возникновении самовозбуждения искажают
указанную идеализированную картину. В частности,
асинхронное самовозбуждение может по своей фОРl\-lе
выродиться в синхронное. Все эти особенности будут
рассмотрены в этой работе, хотя оrраниченный ее объем,
а в ряде случаев и недостаточная изученность явленйй
не позволят везде дать достаточно полное освещение.
Рассмотрим физическую природу явления самовоз-
буждения. Обратимся преЖД,е Bcero к простейшей си-
I 1
стеме, показанной в однофазном изображении: реактив-
ная машина (т. е. явнополюсная, без обмотки возбуж-
дения) - емкость С (рис. 3, а). Потери в цепи пред-
ставлены активным сопротивлением R. С точки зрения
теории цепей, это - колебательный контур с переменной,
периодически изменяющейся индуктивностью. При вра-
[(7:)
1:
РИl. 4. Изменение тока и индуктивности машины
щении ротора индуктивность фазы трехфазной статорн6й
обмотки изменяется с частотой 2Ша в пределах Xd при
совпадении оси ротора с осью фазы и X q - при перпен-
дикулярном расположении оси ротора (рис. 3, б).
Предположим теперь, что собственная частота коле-
баний в цепи равна или близка к Ша и в цепи в резуль-
тате какоrо-либо воздействия возникло колебание тока i
с частотой Ша сколь уrодно малой амплитуды, по фазе
сдвинутой относительно кривой L( ) так, как это пока-
Зано на рис. 4.
Из выражения для маrнитной энерrии
Li 2 Х i 2
W ----
- -
2 2ro o
следует, что для изменения индуктивности, обтекаемой
током i, требуется затратить энерrию или же энерrия
отдается индуктивностью, т. е. для изменения L тре-
буется приложить механический момент к валу ротора
12
машины; при возрастании L момент положителен, пр-и
снижении L\- отрицателен. Однако, как видно из рис. 4,
при заданном сдвиrе кривых i(1') и L(1') на участках
возрастания L (t) ток по абсолютной величине больше,
чем на участках снижения L (1'). Это означает, что
средний момент на валу ротора больше нуля, так как
на вращение ротора затрачивается механическая энер-
I ия. Соrласно закону сохранения эта энерrия должна
переходить в электромаrнитtIУЮ энерrию цепи. Если
мощность, соответствующая механическому моменту на
валу ротора, превосходит потери мощности в аКТИВНОl\1
сопр.отивлении цепи R, то ток в цепи будет нарастать от
периода к периоду. Это и есть явление самовозбужде-
ния в простейшей цепи (рис. 3, а).
Из изложенноrо можно сделать следующие общие
выводы относителЬНо условий возникновения самовоз-
буждения:
1) частота собственных колебаний в цепи должна
бqJТЬ близкой к частоте вращения ротора (в рабочем
режиме системы это синхронная частота 50 2Ц);
2) потери в цепи должны быть достаточно малы.
Схема, изображенная на рис. 3, а, с реактивной
машиной является простейшей системой, в которой
может развиваться самовозбуждение. Самовозбуждение
в этой системе развивается под действием реакцион-
Horo момента, или момента явнополюсности.
Реакционный момент, или момент явнополюсности,
выражается формулой
М р = и 2 (-.!.- - ) .
2 x q xd
Этот момент всеrда действует в машине. Однако
,L:/IЯ Toro чтобы он обусловил самовозбуждение, необхо-
димо также выполнение фазовоrо условия - сдвиrа
между током i и L (t), соответствующеrо рис. 4. Анализ
показывает, что это условие выполняется при частоте
колебаний внешней цепи, близкой к 1, и достаточно
малых активных потерях.
В синхронных машинах обмотка возбуждения замк-
нута на возбудитель. Так как самовозбуждение есть
процесс свободных колебаний, то в пределах линей-
ности цепи оно развивается независимо от напряжения
возбудителя и, следовательно, обмотку возбуждения
13
можно представить закороченной на малое сопротив-
ление возбудителя (рис. 5, а).
В цепи, изображенной на рис. 5, а, момент явно..
полюсности может быть двоякоrо рода. Если ток в ста-
а)
d
t
с
о)
x(tt)
L(r)
X g
LfJ
t-
Т-Й"
Рис. 5. Резонансная система с синхронной ма-
шиной:
а) - система «явнополюсная машина с закороченной
обмоткой возбуждения - «емкость:., б) - изменение
индуктивности" сопротивления машины, изображен-
ной на рис. 5, а
торной цепи при самовозбуждении нарастает очень
медленно, то в обмотке возбуждения наводится прене-
брежимо малая э. д. с., и поток свободно проникает
в маrнитопровод ротора. В этом случае самовозбужде-
ние развивается так же, как и в реактивной машине,
под действием простоrо момента явнополюсности *. Если
же ток в статорной цепи нарастает при самовозбужде-
нии очень быстро, то в обмотке возбуждения наводится
* Обычно термин «простой:. не употребляется применительно
J\. моменту явнополюсности. Здесь он введен для Toro, чтобы отли-
ЧIlТЬ последний от динамическоrо или переходноrо момента явно-
GОЛЮСНОСТИ.
14
трансформаторная э. д. с., препятствующая проникнове-
иию маrнитноrо потока в контур ротора и вытесняющая
маrнитный поток за пределы этоrо контура, направляя
ero по путям рассеяния (аналоrичный процесс имеет
место в первый момент при коротком замыкании)
В этом случае реактивное сопротивление фазы ста..
торной обмотки при вращении ротора изменяется уже
,
не в пределах Xd и X q , а в пределах Xd и X q (рис. 5, б).
Самовозбуждение разви-
u
вается, как в реактивнои
u
машине, но под деист&и-
ем момента явнополюс-
ности, который носит наз-
вание динамичеекоrо. Та-
кое название связано с
тем, что этот момент мо-
о
жет деис'Твовать только
в динамическом режиме рез
нарастания с большой
скоростью тока (и, следо-
вательно, всех друrих пе- Рис. 6. Система «асинхронная ма.
ременных цепи). шина - емкость».
Совершенно очевидно,
u
что просrои момент явнополюсности может
возникать только в явнополюсных машинах
(т. е. в машинах, у которых реактивные сопро-
тивления Xd и X q различны), но не в неявнополюс-
ных (у которых Xd=Xq=X). Кроме Toro, динамический
момент явнополюснасти может возникать как в явно-
полюсных, так и в неявнополюсиых машинах (поскольку
,
у тех и друrих Xd=1=x q ). Более Toro, динамический момент
явнополюсноети может развиваться и в асинхронных
машинах с симметричным ротором (рис. 6). Действи-
тельно, в динамическом режиме при нарастании тока
статорной цепи реактивное сопротивление по оси, совпа-
дающей с направлением реЗУJIьтирующеrо потока,
равно х', а в поперечном направлении, rде стержни
ротора не пронизываются маrнитным потоком, равно х.
Изменение реактивноrо сопротивления в пределах х' - х
вызывает действие динамичеекоrо момента явнополюс-
ности.
Динамический момент явнополюсности выражается
формулой
,
"o
Х С
15
М р = и 2 (+- ).
2 x d x q
Действие динамическоrо момента явнополюсности
оrраничено насыщением маrнитопровода машин. При
насыщении прекращается быстрый рост тока и маrнит-
Horo потока, необходимый для поддержания тр-ансфор-
маторной э. д. с. Но развившиеся в цеп-и колебания MoryT
поддерживаться за счет возникновения э. Д. с. вращения.
В этом случае результирующие маrнитные потоки, оста-
ваясь неизменными по величине, вращаются относи-
тельно ротора с некоторым скольжением s. Мощность,
расходуемая в активных сопротивлениях цепи, покры-
вается теперь уже за счет асинхронноrо rеиераторноrо
момента. Такой режим может поддерживаться стабиль-
ным в асинхронных машинах. В синхронных машинах,
как показывает анализ, имеет место периодическая
смена действия асинхронноrо момента и динамическоrо
момента явнополюсности, что на осциллоrраммах вы-
является в форме биений.
Теперь можно дать физическое истолкование раз-
личным формам самовозбуждения, показанным на
рис. 2. Синхронное самовозбуждение связано с дей-
ствием простоrо момента явнополюсности и возможно
только у явнополюсных машин. Асинхронное самовоз-
буждение обязано по своему наименованию действию
асинхронноrо момента в устанавливающемся режиме;
ero возникновение связано rлавным образом с динами-
ческим моментом явнополюсности. Асинхронное само-
возбуждение может возникать как у синхронных, так и
у асинхронных машин.
Разделение на синхронное и асинхронное самовоз-
буждение, кроме указанных на рис. 2 внешних различий,
имеет и важный практический смысл. Сущность ero
заключается в том, что синхронное самовозбуждение
может быть подавлено обычным автоматическим pery-
лированием возбуждения, в то время как для асинхрон-
Horo самовозбуждения таких практически простых
средств пока еще не имеется.
Перейдем теперь к методам математическоrо иссле-
дования явления самовозбуждения. Так как самовоз-
буждение есть форма электромаrнитной неустойчивости
в системе, то это явление должно исследоваться обыч-
16
ными методами, известными из курса «Переходные ПIJU-
цессы». Здесь исходные уравнения должны быть пол-
НЫМИ в том смысле, что необходим учет переходных
процессов в стаТОРlIОЙ цепи. В то же время большая
скорость нарастания колебаний (по крайней мере при
r О I z(p) I i
I I
I
\ I
1-._ -- -- - - --_ - --__ -- - __J
Рис. 7. Система «невозбужденная ма-
шина - пассивная цепь Z»
асинхронном самовозбуждении) дает возможность при-
нимать частоту вращения ротора постоянной.
Напишем эти уравнения для схемы, в которой невоз-
бужденная машина замкнута на пассивную (т. е. без
источников) внешнюю цепь Z (рис. 7). Как уже отме-
чалось, эта схема приrодна для изучения свободных
колебаний в системе с одной машиной caMoro общеI'О
вида, например для системы reHepaTop - трансформа-
тор - линия - шины бесконечной мощности.
Основное операторное уравнение, связывающее по-
токосцепление 'Фа и ток ё а в одной из фаз статорной
цепи, имеет вид:
- РФа = Z (р) i a ,
(1)
rде Z (р) - операторное сопротивление цепи Z.
Выражаем Фа и i a через составляющие по осям d и q:
i a = i q sin r + i d COS 1 }
Фа= qsiП1+ dСОS1. ·
(2)
Уrол " = (J)ot = 'С. Связь между потокосцеплениями и
токами в осях d и q задается операторными сопротивле-
ниями X d (р) И X q (р), в которых учитывается влияние пере-
ходныIx токов в контурах ротора:
17
Фd = X d (р) i d ; фq = X q (р) i q . (3)
Выражения Xd(P) и xq(p) известны из курсов элек-
трических машин и переходных процессов в электриче-
ских. сисrемах. Для синхронной машины с контуром
возбуждения, одним демпферным контуром в продоль-
ной оси и одним демпферным контуром в поперечной
оси эти ВЬ1р_ажения имеют вид:
Xd(p) = X d -
р 2 (XlldX fd - 2Xjld X ald X ajd + XjfdX ld) +
- -+
р2 (Xl1d X jjd - X;ld) +
+ Р ( X fd R1d + X ldRjd)
,
+ Р (Xlld R jd + XjjdRld) + R 1 dR/d
2
PX a1q
Х (р) = Х -
q q P X l1q + R 1q ·
Демпферный эффект машин, имеющих массивный ро-
тор (турбоrенераторов), обусловливается появлением
токов в большом числе замкнутых контуров ротора.
Вывод общих выражений Xd (р) и X q (Р) в этом случае
затруднителен. Целесообразно для этих машин, как,
впрочем, и для машин с явно выраженными полюсами
(rидроrенераторов), использовать частотные характери-
стики Xd (jffi) И X q (jю), задающие связь между потоко-
сцеплением и током при изменении частоты ffi в конту-
рах ротора от О до 00:
d = Xd( w)j ) .
Ф" = X q (I Ш ) 1 q
Заметим, что выражения Xd(jro) и Xq(Jro) MoryT быть
получены из Xd(P) и Xq(p) ПQдстановкой p=jro.
Пользование частотными характеристиками (изме-
ренными или вычисленными) облеrчает анализ условий
самовозбуждения машин.
Продолжим вывод уравнений для схемы, изображен-
ной на рис. 7. Выразим в (2) sin V и cos V соrласно
формулам Эйлера:
. _e/'t _ e-}'t
sln т = - J I 2
(4)
(5)
(6)
e}'t + e-Jt
COS l' = 2
18
Подставляя выражения (2) и (3) в исходное урав-
нение (1), получаем
р [ei*t Xd (р) i d ] + Z (р) [eJ*t i d ] -
- j {р [ei'C Xq (р) i q ] + Z (р) [ei*ti q ]} +
+ сопряженное выражение = О. (7)
Переходим в область символических изображений
функций id И i q на комплексной плоскости, полаrая
i d = I e pt и i q = i q еР'С.Отбрасывая в уравнении (7) со-
пряженное выражение (что соответствует переходу в
область символических изображений функций), пр-оиз-
ведем почленное дифференцирование и интеrрирование,
представляя Z(p) в виде ряда
. . . + а:... з р-з + а_ 2 р-I + a_ 1 P-l + а о + а 1 Р +
+ а 2 р2 + а'; + . . .
в результате, сокращая на ej't, получим
[(р + j) X d (р) + Z (р+ j)i d -
- j [(р + j) X q (р) + Z (р + j)] i q = о. (8)
Для заданной внешней цепи опервторное сопротив-
ление Z (р) можно представить в раскрытом виде; тоrда,
разделяя действительную и мнимую части, находим
уравнение цепи в операторной форме:
А (р) i d + В (р) i q = О }
F (р) i d + Н (р) i q = О ·
(9)
Приравнивая нулю определитель этой системы урав-
нений, получаем характеристическое уравнение
D (р) = А (р) Н (р) - в (р) F (р) = О, (1 О)
анализ KOToporo дает все необходимые сведения об
условиях и характере самовозбуждения в начальной ero
стадии, коrда цепь еще может считаться линейной.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо составить
характеристическое уравнение для цепи, изображеннои
H;I рис. 5, а с явнополюсной машиной с одним контуром
(возбуждения) в продольной оси.
19
Операторное сопротивление' внешней цепи - последо-
вательноrо соединения активноrо сопротивления R и
eMKOCTHoro Хс - имеет вид:
ХС
Z(p) =R+-
Р
и, следовательно,
. Х С
Z (р + J) = R + +' ·
Р J
Подставляем Z (р + j) в уравнение (8) и приводим
ero к общему знаменателю:
[(р+ j)Xd(p) +R+ p;J i d -
- j [{р+ j)X q (р) + R+ / J i q =
= 1 . {[(-1 + 2jp + p2)X d (p) + R(j + р) + xC]i d -
Р+}
- j [(-1 + 2jp + р2) x q (р) + R \j + р) + Х с ] i q } = О.
Приравнивая нулю выражение в фиrурных скобках
(порознь действительную и мнимую части), получаем
уравнения (9) для заданной цепи:
[(-1 + р2) X d (р) + pR + Х с ] i d +
+ [2pX q (р) + pR] i q = О
[-2px d (р) -R] i d + [(-1 +
+ р2) x q (р) + pR + Х с ] i q = О
(9, а)
ПО определителю этой системы находим характери-
стическое уравнение (1 О). Однако для ero анализа не-
обходимо раскрыть выражения Xd(P) и xq(p). Для син-
хронной машины с одним контуром f на роторе зти
выражения, соrласно (4) и (5), имеют вид:
, )
pXd T do + Xd
Xd-(p) = т + 1
Р do ·
x q (р) = x q
(11 )
20
Подставляем эТИ выражения в уравнения (9,а), рас-
крываем скобки и вычисляем определитель D (р) =
=А(р)Н(р) -В(р)Р(р)=О. Записывая выведенный ре-
зультат в виде степенноrо полинома, получим уравне-
ние (1.6), приведенное в rл. 1.
Рассмотренный пример показывает методику вывода
характеристическоrо уравнения для системы типа, пока-
занноrо на рис. 7. Эта методика, понятно, в принципе
ничем не отличается от изученной в курсе переходных
процессов. Однако она специально приспособлена к част-
ной задаче - исследованию самовозбуждения в электри-
ческих системах.
Ilосле Toro как выведено характеристическое урав-
нение, ero анализ дает условия неустойчивости системы.
Поскольку в исходные уравнения не включено уравне-
ние моментов, то можно rоворить только об электро-
маrнитной неустойчивости, т. е. о самовозбуждении.
Об устойчивости или неустоичивости заданной си-
стемы можно судить, используя алrебраические критерии
rурвица или Рауса [1] при анализе переходных про-
цессов. Друrой путь состоит в применении частотных
методов анализа устойчивости.
В характеристическом уравнении осуществляется
подстановка Р= jw, соответствующая расположению
корня на rр-знице устойчивости. Для заданной системы,
если известен порядок характеристическоrо уравнения,
обычно строится rодоrраф Михайлова. Часто ставится
задача построения областей самовозбуждения (неустой-
чивости) по каким-либо, обычно двум, параметрам цепи.
для простейшей цепи, изображенной на рис. 3, а, этими
параметрами удобно считать R и Хе. При таком анализе
применяют метод Д-разбиения или MHOrQKpaTHO исполь-
зуют метод Рауса. Последний прием особенно употре-
бителен при использовании цифровых вычислительных
машин.
Частотный метод построения областей самовозбуж-
дения дает возможность непосредственно выделить зоны
апериодической неустойчивости, соответствующей корню
р = о (ы = О), и колебательной неустойчивости, соответ-
ствующей корню p=jw (ы>О). Для первой зоны харак-
терно апериодическое нараста ие колебаний, для вто-
рой - нарастание колебаний с биениями. Эти зоны и
являются зонами синхронноrо и асинхронноrо самовоз-
21
буждения. Следовательно, указанная в начале rлавы
классификация форм самовозбуждения имеет не только
практическое, но и CTporoe математическое обоснование.
Составление хар ктеристическоrо уравнения для ма-
шины с полной демпферной клеткой представляет собой
весьма трудоемкую задачу. Поэтому на праК1'ике поль-
зуются упрощенными методами расчета. Эти методы
рассматриваются в последующих rлавах. Применение
частотных методов расчета дает возможность найти
cTporoe решение относительно простым путем. Как ука-
зывалосъ, соrласно этим м,етодам, в характеристическое
уравнение подставляется p=jffi. Но при такой подста-
новке нет необходимости в составлении развернутоrо
характеристическоrо уравнения в виде степенноrо MHoro..
члена. Можно составить уравнения (9) и (1 О), не рас-
крывая выражений Xd (р) И X q (р), и далее произвести
замену р = jffi. В примере таким образом составлено
уравнение (9,а). Подста'Вляя n (9,а) Р= jw, записываем
определитель уравнения в комплексной форме:
А (jш) Н (jw) - В (jw) F (jш) = о.
(12)
Разделяя действительные и мнимые части, приводим
это уравнение к форме:
М(ш)- jN(ш) = О
(13, а)
или
м (ш) = О; N (00) = О.
(13, б)
Из этих уравнений можно определить значение ro
и какоrо-либо параметра цепи на rранице устойчивости.
Для заданной цепи оценка устойчивости производится
по признаку чередования корней уравнений М (ю) = О и
N(w) =0.
Чтобы избежать ошибок, необходимо Иl\1еть в виду,
что подстановка Р= jffi возможна только в ура}3нение (9)
после Toro, как в уравнении (8) разделены действитель-
ные и мнимые части. Непосредственная подстановка
р = jffi В исходные уравнения приводит к иной методике
расчета
22
3. Физическая природа и методы математиqескоrо
исследования самораскачивания
Самораскачиваиие проявляется в форме нарастаю-
щих во времени колебаний ротора rеиератора, работаю-
щеrо параллельно с сетью. Эти колебания нарастают
до тех пор, пок.а reHepaTop не выходит из синхронизма.
Для возникновения самораскачивания требуется РЯД
tJ
условии, встречающихся на практике относительно
-
....
z(p)
Рис. 8. Система «возбужденная синхронная ма-
шина -- внешняя цепь»
редко, однако возможных как в системах малой мощ-
ности, так и в сверхдальних электропередачах.
Понимание физической природы самораскачивания
дает rипотеза о параметрической природе этоrо явления.
В пользу этой rипотезы свидетельствует то, что колеба.-
ния в системе действительно по внешнему впечатлению
появляются и развиваются «самопроизвольно». Пара-
метрический характер явления предполаrает, что имеет
u u u
место изменение параметра системы с двоинои частотои
по отношению к частоте колебаний.
Протекание процесса несколько упрощенно может
быть представлено в следующем виде. Допустим, что
в схеме, изображенной на рис. 8, ротор возбужденной
машины reHepaTopa вследствие случайноrо толчка начал
колебаться с некоторой частотой Q. Период этих коле-
баций измеряется секундами. Как ранее было указано,
индуктивность фазы статора при вращении ротора из-
u u u u
меняется с двоинои синхроннои частотон в пределах
,
Xd -X q (для машины с замкнутой обмоткой возбуждения
малоrо сопротивлеНИЯ t без демпферной клетки). Кроме
23
Toro, раскачивание ротора reHepaTopa ведет к колебанию
индуктивности фазы статора с частотой 2Q. В резуль-
тате кривая L (1') имеет вид, показанный на рис. 9.
Колебание L(1') с двойной синхронной частотой
обусловливает реакционный момент, который при за-
данной постоянной скорости вращения ротора и выпол-
нении условии для создания reHepaTopHoro момента
(собственная частота колебаний внешней цепи близка
:r(tt-)
L{')
T.
7=..1- = 9t CJ.J
2.2 20 о
Рис 9. Изменение имдуктивности и сопротивления фазы маШИНbl
при самораскачивании
к 1, малые потери) возбуждает нарастающие во времени
электромаrнитные колебания в цепи. Аналоrичный
эффект может возбудить и колебание индуктивности
L (1')@ С частотой 2Q. В результате раскачивания ротора
с частотой Q под действием разности э. д. с. reHepaTopa
и системы в цепи статора протекает ток качания Ё к
частоты Q. Предположим, что кривые Ё к и L (t)g сдви-
нуты так, как это показано на рис. 10. Рассуждаем, как
и ранее: для изменения индуктивности L (Т)2, обтекае-
I\10Й током i K , требуется приложить механический мо-
мент на валу ротора; при возрастании L момент поло-
жителен, при снижении L - отрицателен. Но теперь,
в отличие от рис. 4, на участках возрастания L ток по
абсолютной величине меньше, чем на участках сниже-
ния L. Это означает, что средний момент на валу ротора
меньше нуля, т. е. является двиrательным. Этот момент
ведет к увеличению амплитуды качания ротора, Что
в свою очередь ведет к возрастанию тока i и и т. д.
Возникает самораскачивание.
24
Момент, действующий на ротор при самораскачи-
вании:
М К = 2 [ xd :jQ) ..- X q /jQ) ].
Этот момент появляется при качании ротора в любых
условиях. Однако, чтобы он вызвал самораскачивание,
необходимо также выполнение фазовоrо условия -
сдвиrа между током i R и индуктивностью L (,;) @, соотяет-
(14)
L(r),2
....Р ис. 10. Й зменение индуктивности и тока машины при саморас :-
качивании
ствующеrо рис. 10. Анализ показьшает, что это условие
выполняется, если активное сопротивление внешней це-
пи превышает некоторое критическое значение R ир .
Таким образом, самораскачивание имеет параметри-
ческую природу, связанную с отличием реактансов по
продольной и поперечной осям. Приближая X q (jQ)
к Xd (jQ) путем выполнения демпферных контуров в по-
перечной оси, можно снизить опасность самораскаЧИВа-
ния. Склонность к самораскачиванию растет и при
повышении возбуждения.
Склонность R самораскачиванию проявляют системы
с большим активным сопротивлением статорной цепи,
например системы малой мощности с линиями малоrо
сечения. Большое отношение активноrо сопротивления
к результирующему реактивному может иметь место
и в электропередачах с продольной компенсацией.
В этих системах, очевидно, возможно одновременное
25
возникновение самовозбуждения и самораскачивания.
Возможно также, что при самораскачивании вследствие
u
отклонения частоты вращения ротора от синхроннои
возникнет и самоцозбуждение.
Теперь можно ответить на вопрос, поставленный
в начале введения, и объяснить целесообразность па-
раллельноrо изучения явлений самовозбуждения и само-
раскачивания. Это, во.первых, общность физической
природы обоих явлений и, во-вторых, - общность их
проявления в колебательных системах.
В то же время целесообразно разделить аналити-
ческое исследование явлений самовозбуждения и само-
раскачивания даже в тех случаях, коrда они возникают
совместно. Такая возможность связана с реЗf{ИМ раз-
личием частот колебаний в том и друrом случае (см.
рис. 9), в результате чеrо условия возникновения само-
возбуждения можно изучать при заданной скорости
вращения ротора. Кроме Toro, при и;зучении саморас-
качивания иноrда можно не учитывать переходные про-
цессы в цепях статора, которые протекают за время,
малое по сравнению с периодом качания ротора.
Изложенные физические уарактеристики показывают
тот путь, по которому следует идти при математическом
исследовании явлений самораскачивания. В основу ис-
следования должны быть положены дифференциальные
уравнения си темы с учетом уравнений моментов, дей-
ствующих на валу роторов машин. Уравнения для ста-
торных цепей в этом случае MoryT записываться в со-
кращенном виде при пренебрежении электромаrпитными
переходными процессами.
rЛАВА 1
САМОВОЗБУЖДЕНИЕ В ПРОСТЕЯШЕИ
СИСТЕМЕ
1. 1. Самовозбуждение явнополюсной синхронной
машины без демпферных обмоток
Синхронная машина, работающая на емкостную на-
rрузку, образует колебательную систему с периодическй
меняющейся индуктивностью фаз машины. В такой
колебательной системе при опред ленном соотношении
параметров машины и емкостной наrрузки возникают
свободные колебания, амплитуда которых f1еоrрани-
ченно возрастает, если не учитывать нелинейности си..
стемы. Практически блаrодаря насыщению стали ампли-
туда свободных колебаний конечна, однако может
достиrать опасных величин. При этом для возникнове-
ния самовозбуждения не требуется возбуждения, а для
создания начальноrо импульса достаточно наличия
только остаточноrо намаrничивания стали машины.
В процессе проектирования и эксплуатации электри-
ческих систем важно знать соотношения параметров
цепи машина - емкостная иаrруэка, при которых воз-
никает самовозбуждение, поэтому остановимся на этом
более подробно.
для ненасыщенной явнополюеиой синХронной ма.
шины, работающей на шины неизменноrо напряжения
через емкостное сопротивление Хс, внешнее индуктив-
ное ХВН и актИвное сопротивление R (рис. 1.1), спра.
21
ведливы следующие дифференциальные уравнения *:
Р (и d + P'fd + Рlфq + idR) + xCi d =
= - Р1 (U q + Рфq - PI d + Ri q )
Р(U q +Рфq-РIФd+ i qR) + Xci q =
= РУ (и d + Pfd + Рlфq + idR)
(1.1 )
r
Же
I
R
, и
Рис. 1.1. Система «явнополюсная синхронная машина - ем-
кость - шины Ifеизменноrо напряжения»
Потокосцепления обмоток статора можно выразить
уравнениями **:
Фd _ G(P) /d+Xd(P)id}.
фq - X q (Р) t q
Для машины без демпферных обмоток операторные со-
противления X d (Р) И X q (р)*** и операторная проводимость
G (р) записываются в виде:
(1.2)
px Tdo + xd )
X d (р) =
pT do + 1
X q (Р) = X q
G _ 1 Xafd
(Р) - pTdo + 1 Rfd
(1.3)
Принимая условие постоянства возбуждения машины
Ujd=const и скорости вращения ротора РУ= 1, получим
* Аналоrичные уравнения имеют место при коротком замыка-
нии за емкостью. В этом случае напряжения Ud и U q будут Зd-
висеть от вида KOPOTKOI'O замыкания; так, при трехфазном коротком
Зhмыкании U=О, т. е. Ud=U q=O.
** Внешнее сопротивление ХВН введено в сопротивления маши-
,
flbI Х d, X q И Х d .
*** СМ. выражение (11).
28
систему линейных неоднородных дифференциальных
уравнений:
i d [X d (р) - p 2 X d (р) - pR - Х с ] - i q [2pX q (р) + R] =
= U fd [р2а (р) - G (р)] + U q
-i d [2px d (р) + R] + i q [p 2 x q (р) - x q (р)+ pR+ Х с ] =
= 2ра (р) U fd + U d
(1.4)
Решение системы уравнений (1.4) относительно пе-
ременных i d и i q дает:
i ( ) = D 1 (р)
d Р Dip)'
i q (р) = D 2 (р)
DJp)
(1.5)
rде D (р) - определитель системы.
Характеристическое уравнение системы (1.4) после
замены операторных сопротивлений Xd(P) и Xq(p) и
операторной проводимости G (Р) их выражениями при-
водится к уравнению пятой степени относительно опера-
тора р:
аор5 + а1р4 + a2p3 + а з р2 + а 4 р + а 6 = О. (1.6)
Коэффициенты уравнения (1.6) определяются через
параметры системы следующим образом:
,
а О = TdOxqXd
а 1 = TdOR (X q + x ) + 'CqX d
а 2 = T dO (2XqX + XcX + XqX C ) + T dO R2 +
+R(x d + X q )
а з = XdX c + XqX c + 2x d x q + R2 + TdOR Х
Х ( 2х с + X q + X )
а 4 =T dO (Xc-X q ) (Х с - X )+TdOR2 +R (2х с +
+ X q + X d )
а ь = (Х с - X d ) (Х с - X q ) + R2
)
(1.7)
Возможность возникновения самовозбуждения свя-
зана с наличием правых корней в характеристическом
уравнении (1.6). Последнее имеет место, если не соблю-
даются условия rурвица, а именно положительность
свободноrо члена а5 и предпоследнеrо определителя 4,
29
составленноrо из коэффициентов (1.6). Таким образом,
самовозбуждение происходит, если ВЫПО.пняются нера-
венства:
а б < о или < О.
(1.8)
Первое условие (1.8) означает наличие одноrо поло-
жительноrо действительноrо корня в характеристиче-
ском уравнении системы и определяет зону синхронноrо
самовозбуждения. Выполнение BToporo условия (1.8)
соответствует появлению пары сопряжеННрIХ комплекс-
ных корней с положительной вещественной частью или
двух положительных действительных корней и характе-
ризует зону асинхронноrо самовозбуждения.
rраницы зон самовозбуждения получают из условий:
аБ= О - для зоны синхронноrо самовозбуждения, (1.9,a)
Ll 4 =O - для зоны асинхронноrо самовозбуждения. (1.9,6)
На rранице зоны синхронноrо самовозбуждения харак-
теристическое уравнение содержит один нулевой. корень.
Зона синхронноrо самовозбуждения, полученная из усло-
вия а б = О, в координатах R и х с оrраничена половиной
окружности, координаты центра которой R = О, х с =
Xd + x q
- 2 · Указанная окружность пересекает ось орди-
нат в точках Х С = X d И Х С = X q , т. е. при очень малых
активных сопротивлениях (точнее. при R = О) зона синх-
pOHHoro самовозбуждения определяется значениями емко-
u
CTHoro сопротивления внеllIнеи сети, соrласно неравенству
X q Х С < X d . (1.10)
Радиус окружности, определяемой уравнением аБ = О,
определяется максимальным значением аК1ивноrо со-
противления, при котором возможно появление синхрон-
Horo самовозбуждения:
Xd -X q
R MaKc = 2 ·
При R.>RMaRc синхронное самовозбуждение не про..
исходит при любых величинах хс. rраница зоны 1
синхронноrо самовозбуждения (рис. 1.2) не зависи" от
13еличины постоянной времени обмотки возбуждения Т с!о,
зо
и можно ожидать появления ero при разомкнутой об-
мотке возбуждения. В зоне самовозбуждения 1 скорость
вращения ротора точно равна частоте электромаrнитноrо
поля, созданноrо токами статора. Колебания тока и
напряжения статора в зоне 1 нарастают медленно
(рис. 2, а) и поддаются
управлению АРБ.
Зону са мовозt1yжде-
ния, оrраниченную кри-
вой d4=o., называют зо-
ной асuн,ХРОfl,Н,О20 са.мо-
возбуждения вследствие
Toro, что rраница этой J:'a"f" X i
зоны определяется по 2
мнимому корню Р= + jro
характеристиче с к о r о
уравнения, и характер
развития самовозбужде-
ния свидетельствует о воз-
никновении биений, при- , 0,5
сущих асинхронным ко- ; +
лебаниям. При некоторых 2 Q4
соотношениях параметров
системы Б этой области
скорость вращения рото-
ра не равна частоте коле-
баний в контурах стато-
ра, т. е. имеет место пере-
мещение поля статора
относительно ротора, что
является характерным
признаком асинхранноrо
режима. Область внутри
u 11 Рис 1 2 ЗОНЫ самовозбуждения
асинхроннои зоны са- явнополюсной синхронной маши-
мовозбуждения, на rpa- ны без демпферных обмоток
нице которой комплеке-
ные корни характеристи-
ческоrо уравнения обращаются в два кратных действи-
тельных корня, иноrда называют областью репульсuон-
Н,о-сuнхрон.н,оео самовозбуждения *)
Х С
q9
1
X
,
Ха
о
йl
qJ
R
Q2
* Методика н хождеJJИЯ 30"191 реПУЛьсиопио-сиltхронноrо aMO.
возбуждения приведена в 1.6.
31
Построение зоны II асинхронноrо самовозбуждения
можно проводить при помощи метода Д-разбиения или
критерия Рауса.
Из рис. 1.2 видно, что асинхронное самовозбуждение
(зоны 11 и 111) возникает в случае изменения eMKocTHoro
сопротивления ХС внешней сети при малых R от о до X q .
Для машины без демпферных обмоток зона 111 само-
,
возбуждения при XC<Xd узка и оrраничивается неболь-
шими значениями активноrо сопротивления, лежащими
в пределах активноrо сопротивления синхронной ма-
шины, трансформаторов, линии передачи и друrих
элементов. Поэтому зоной 111 часто пренебреrают.
В этом случае при проектировании и в эксплуатацион-
ных расчетах rраница асинхронноrо самовозбуждения
может быть определена приближенно из условия равен-
ства нулю предпоследнеrо коэффициента характеристи-
ческоrо уравнения *:
а.(=О
(1.11)
Зона 11 асинхронноrо амовозбуждения, найденная
по (1.11), оrраничивается дуrой эллипса, оси KOToporo
повернуты относительно осей координат R, ХС на 450,
а центр смещен относительно оси ординат.
Если постоянная времени обмотки возбуждения Т dO
составляет 3 -+- 4 и более секунд, то эксцентриситет эл-
липса и смещение ero центра малы. Можно принять, что
зона 11 асинхронноrо самовозбуждения также оrраничива-
ется половиной окружности. Радиус этой окружности равен
,
X q - X d
, а центр расположен на оси Х С на расстоянии
2
,
X q + x d
от начала координат. Она peceKaeT ось ординат
2
в точках Х С = X q и Х С = Xd, Т. е. при R =0 ,зона 11
асинхронноrо самовозбуждения определяется неравенством
(рис. 1.2):
,
Xd < Х С < X q .
(1.12)
* Зону асинхронноrо самовозбуждения. найденную из условия
а4=О, обозначают через 11, а зону асинхронноrо самовозбуждения
,
при х С <х d- 111 (рис. 1.2).
32
аксимальное значение активноrо сопротивления
зоны 11 асинхронноrо самовозбуждения при постоянной
времени обмотки возбуждения Т dо >З+4 сек опреде-
ляется из условия:
,
Xq-X d
R МЗКС =
2
(1.13)
RМQKC
q07
ЦО6
0,11
{},1
,
Ж," -Ха
2
0,05
1
2
э
4
5 t сек
.
Рис. 1.3. Зависимость максимальноrо активноrо сопро-
rивления зоны 11 от изменения постоянной времени Т do
При значениях T do от 3-4 до ,..., 1 сек сопротивление
Rмаис определяется из выражения:
TdO (2x q + xd + ) -
R MaKc = '-2
2 (1- Td-o)
- -{ (2x q + Xd +x )2 - (1- T o) (x q _x )2
-+
2 (l-T o)
(1.14)
которое получено из приближенноrо критерия а4 = О. Из
формулы (1.14) следует, что уменьшение постоянной
,
времени приводит к снижению R маис (рис. 1.3), что оз-
начает за собой сужение области асинхронноrо самовоз-
буждения.
33
Если постоянная времени обмотки возбуждения T dO
очень мала (меньше 1 сек), то J область самовозбужде-
ния, находящаяся в пределах Xd<XC<X q , искажается и
должна определяться по точному критерию А 4 =0.
В этом лучае критерий (1.11) не может быть пРименен
о)
Х С
Х й8
lJ
0,7
I
I , йв
I X d
а=О J
5 , 0,5
I
I
I 0,4
I
I R,
10
я МI1Кс
а)
Х С
х,
0,5
,
X d
0,4
R,%
2 4 б 8 10 12
R.MQI(C
Ри 1.4. Зона асинхронноrо самовозбуждения при различ-
ных значениях постоянной времени Т do:
а)-Т dо=О'З сек; б)-Т do=5 сек
для построения области асинхронноrо самовозбуждения.
На рис. 1.4 показана деформация зоны асинхронноrо
самовозбуждения при изменении постоянной времени
обмотки возбуждения.
Величина постоянной времени обмотки возбуждения
влияет и на значение активноrо сопротивления в зоне 111
,
самовозбуждения, rде XC<Xd'
Уменьшение Т dO приводит К расширению этой зоны са
мовозбуждения (рис. 1.5), т. е. росту R. Только при очень
малых зна чениях Т dO зависимость R = f (Т dO) меняет свей
характер и при T dO = о. что соответствует размы!QUIВЮ
об 10ТКИ возбуждения, зона 111 самовозбуждения ис ает.
Последнее может быть получено ИЗ раСС fОТрении xapвJtTe-
34
риетичеекоrо уравнения (1.6), которое при T dO = О превра
щается в уравнение четвертой степени:
X dXqp 4 + R (Х 4 + X q ) р3 + [(X d + X q ) Х С + 2x d x q + R2] р2 +
+ R (Ха + q + 2х с ) р + (Х с - X d ) (Х с - X q ) + R2 :;::: О. (1.15)
/f.X
6 I
I
" t
I
t
I
3 I
1
I
2 t,
I
I
1 I
I
I
о 1 2 а 4 5 6 , K
..
Рис. 1.5. Изменение rраницы зоны 111
при различных значениях постоянной
,
времени Т do (х с =0,95 Х d)
ИЗ (1.15) видно, что при T dO = О возможно ЛИШЬ синх-
ронное самовозбуждение в пределах X q < Х С < X d , а зона
асинхронноrо самовозбу ения вообll(е отсутствует.
При T do 00 (сверхпроводящий контур ротора) харак-
теристическое уравнение также вырождается в уравнение
четвертой степени и имеет вид:
XqX; р4. + R (X q + X ) р3 + [(X q + x ) Х с + 2XqX + R2] р2 +
+R{2x c + X q + x ) р + (х с - x ) (Х с - X q ) +R2 = о. (1.16)
35
Il этом случае существует только зона аСиНхронноrо
самовозбуждения в пределах
, j
xd < Х С < X q .
Эта область оrраничивается полуокружностью с ра-
,
X q -X d
диусом 2 · Таким образом, как при разомкнутой,
так и при сверхпроводящей обмотке возбуждения 30-
,
на III асинхроиноrо самовозбуждения (XC<Xd) исчезает.
Последнее иллюстрируется рис. 1.5, rде R = О как при
TdO=O, так и TdO-+ОО.
Асинхронное самовозбуждение является наиболее
опасным для электрических систем, поскольку в TaKOl\f
виде самовозбуждения колебания обычно нарастают
в течение нескольких периодов до установившеrося зна-
чения (рис. 2, 6), а существующие АРБ не в состоянии
подавить этот быстроразвивающийся процесс.
1.2. Определение областей самовозбуждения
синхронной машины, снабженной продольно-поперечной
демпферной обмоткой
Характеристическое уравнение для машины, имею-
Iдей на роторе продольно-поперечную успокоительную
обмотку, определяется из системы уравнений (1.1). Если
принять, что Pv= 1, а Xd(P) и xq(p) соьтветствуют выра-
жениям (4) и (5), то характеристическое уравнение мо-
жет быть представлено в виде следующеrо полинома:
аор7 + а1р6 + а2р5 + а з р4 + а4: Р 3 + а5р2 + а 6 Р+ а 7 = О. (1.17)
i
Коэффициенты уравнения (1.17) имеют вид:
" "
а о = TdOTQT2XqXd,
а 1 = T dO T Q T 2 R (Х; + X ) + TdOTQx x; +
" "
+ T D T Q x q x 1 + T dO T 2 x q Xd,
а 2 = TdOT QT 2 (Х с X + ХсХ; + 2x;x + R2) +
+ т dOT QR (х; + x ) + Т dOT2R (x + x q ) + Т QT Ifl (х; +
+ X 1 ) + т dOXqX + Т QXdx; + Т DXqX1,
36
аз = TdOTQT2R(x + х; + 2х с ) + TdOT Q (xcx +
+ хсх; + 2x Х; + R2) + T dO T 2 (Хс x + 2xqx + xqxc-t-
+R2) + TQT D (ХсХ; + ХСХl + 2х; X 1 + R2) +
+ TdOR (x q + x ) + Т DR (x q + Х 1 ) + TQR (x d + Х;) + XdX q ,
а 4 = TdOT Q Т 2 (x - Х с ) (X - Х с ) + T d0 7 Q T 2 R2+
+ TdOTQR (x + x + 2х с ) + TdOT rfi (x q + x + 2х с ) +
+ T Q Т DR (Х; + Х 1 r- 2х с ) + T dO (xcx + xqX c +
+ 2xqx + R2) + Т D (xqX c + Х 1 Х С + 2x}x q + R2) +
+ т fiJ (Х с x + Х С x d + 2XdX + R2) + R (x q + x d ),
а б === T d T QO (x - Х с ) (x -- .х с ) + T dO T Q R2 +
+ T dO T 2 (x - Х с ) (x q - х с ) + T dO T'}R2 +
+ т Q Т D (Х 1 - х с ) (X - Х с ) + Т Q Т D R2 +
+ TdOR (2Х с + x q + x ) + Т DR (x q 1- Х 1 + 2х с ) +
+ TQR{x d + x + 2х с ) + xqX c + 2x q x d + XCx d + R2,
а а = T dO (x - Х с ) (x q - Х с ) + T dO R2 + Т D (X q -
- х с ) (Х 1 - Х с ) + Т DR2 + Т Q (x d - Х с ) (X - Х с ) +
+T Q R2+R(x q + x d + 2х с ),
а 7 = (x d - Х с ) (x q - Х с ), + R2.
Постоянные времени Т dO, Т Q И Т D - соответственно
обмотки возбуждения, поперечной и продольной успо-
коительных обмоток определяются (в предположении,
что, помимо рассматриваемоrо контура, нет друrих
замкнутых контуров) из выражений:
Т _ Xffd
dO - ,
Rjd
Т Xllq Т Xlld
Q = D_ q ' D =
.Lч. R1d
(I 18)
37
Значения сопротивлений MoryT быть найд иы слелvю-
щим образом:
X/lrJ = X/ 1 + X ad ; X lld = X l1d + X ad
X 11q = X l1q + x ad
1
X =XI+
1
X/l
1
+
Xad
1 . (J..19)
1 +-L
xlld Xlld
1
1 1
-+-
XZlq Xaq
Здесь x 1 ' X/ 1 - сопротивления рассеяния обмоток статора
и ротора;
X l1d , X llq - сопротивления рассеяния успокоительной
обмотки в продольной и поперечной осях.
Реактивное сопротивление Х1 представляет собой пе-
реходный реактанс в продольной оси машины, имеющей
два контура в этой оси: обмотку статора и демпферную
обмотку (обмотка возбуждения разомкнута или отсут-
ствует) .
Реактанс Х1 можно вычислить по формуле
X ==X,+
1 +
X/l
Х; = X t +
2
X ad
X 1 =X a --.
Xl1a
(1.20)
Для типовых rидроrенераторов и крупных синхрон"
X
НЫХ компенсаторов отношение --;- составляет примерно
xd
0,7; для rидроrенераторов Волжской rэс им. В. И\ Ле..
нина - 0,9.
Постоянная времени успокоительной обмотки в про-
дольной оси при замкнутой обмотке возбуждения и
разо кнутой обмотке статора:
2
X ad
Xlld--
xffd
R1d
.
(1.21 )
Т 2 =
38
Анализируя .характеристическое уравнение (1.17),
можно определить зоны самовозбуждения машины с
демпферными обмотками (рис. 1.6). Наличие замкнутых
контуров демпферных обмоток
в llрОДОЛЬНОЙ И поперечной
осях ротора не влияет на зону
синхронноrо самавозбуждения.
rраница зоны синхронноrо са-
мовозбуждения остается од-
v u
НОИ И тои же независимо от
Toro, замкнуты ля контуры,
имеющиеся на роторе,. или они
разомк:нуты. Последнее под-
тверждается тем, что свобод-
ный член а7 характеристиче-.. XIJ
CKoro уравцения (1.17) имеет
то же выражение, что и в
уравнении (1.6). Следователь-
но, все рассуждения, касаю-
щиеся зоны синхронноrо само-
возбуждения для машины без
демпферных обмоток, остают-
ся в силе для машины, снаб-
женной продольно-поперечным
демпферным контуром.
Точным критерием зоны
асинхронноrо самовозбужде-
ния является равенство нулю
предпоследнеrо определителя
rУРlвица, в данном случае
6 = о. (1.22)
Прибл»жеRНЫЙ критерий
rраI:IИЦЫ зоны асинхранноrо са- Рис. 1.6. Зоны самовоэбуж-
б дения явнололюеиоi\ сии.
мовоз уждения соответствует хроиной машины, им t6щей
равенству нулю предпоследяе- демпферные обмотки
ro коэффициента характери-
стичеекоrо уравнения
а 6 = О. (1.23)
Кроме коэффициента а6; в уравнении (1.17) MoryT
обратиться в нуль коэффициенты а4 и аб, что указывает
на появление дополнительных зон асинхронноrо само-
возбуждения, обусловленных действием демпферных об-
39
Ха
,
.ха
оХ,
.z"
it
х"
f
а -о
6
IJ =0
I '6
I
R
Яо М11кс
моток и определяемых приближенными критеринми и4
=0 И as=O.
Kcf'K показывают расчеты и эксперимент, вполне
достаточно раССМО1 реть приближенный критерий только
основной зоны, а влияние демпферной обмотки в об-
,
ласти XC<Xd учесть полностью более точно по условию
dB=O.
Методика определения зон самовозбуждения ма-
шины, имеющей продольно-поперечную демпферную
обмотку, таким образом сводится к следующему: зона 1
синхронноrо самовозбуждения находится таким же точно
образом, как и для машины без демпферных обмоток
[критерий (I.9,a)]. Для обычных значений постоянной
времени обмотки возбуждения (Т dо>З-4 сек) и обыч-
ной конструкции демпферной обмотки зона 11 асинхрон-
,
Horo самовозбуждения в пределах Xd и X q определяется
достаточно точно половиной окружности с центром на
,
х +Х
оси ординат, находящемся на расстоянии d q от на-
2
,
xq-x d
чала координат, и радиусом , т. е. опять-таки
2
тем же способом, как и в случае отсутствия на машине
демпферных обмоток.
Более точно максимальное значение активноrо сопро-
тивления R МаИС для зоны 11 асинхронноrо самовозбуж-
дения можно найти, используя выражение, полученное
из ав=О:
v [т do (x q - x ) + т D (x q - Xl) + т Q (Xd - x )] 2 +
R bl3KC = 2 (Т do + Т D + Т Q) -+
+ 4Т doTQ (Xd - X q ) (x - x ) +4T Q T D (Xd-Xq) (XI-X )
-+ . (1.24)
2 (T do + Т D + T Q )
ИЗ (1.24) и рис. 1.7 видно, что уменьшение постоян-
ной времени обмотки возбуждения ПРИВОДИТ к росту
Rмаис, Т. е. к расширению зоны 11 асинхроиноrо само-
возбуждения машины с демпферными обмотками [в слу-
чае машины без демпферных обмоток снижение Т do,
наоборот, сужает область асинхронноrо самовозбужде-
ния, что видно из условия (1.14) и рис. 1.3].
40
Выражение (1.24) неприменимо, если ТdО<З сек, так
как дает заниженные значения Rмаис по сравнению с дей.
ствительными.
При малых значениях Т dO так же, как и при спе..
циальной конструкции демпферных контуров с сильно
Я макс
0,52
\
\
\
\',//J 6 =O
"
"
0,48
0,44
0,4 a 4 =O
Машина Оез ОемпфеРIlЬ/К
OOMoтOlr
1
2
з
4
5
б
7
8 o се/(
Рис. 1.7. Зависимость максимальноrо активноrо сопро-
тивления зоны II от изменения постоянной времени Т do
для машины с демпферными и без демпферных обмоток
увеличенными постоянными времени, определение зо..
ны 11 асинхронноrо самовозбуждения необходимо про..
водить путем ИСПОЛЬЗОJ3ания точноrо критерия (1.22).
При выявлении зоны 111 асинхронноrо самовозбуж-
,
дения (XC<Xd) во всех случаях следует использовать
условие 6 = О или любой друrой критерий устойчивости.
В данном случае целесообразно пользоваться критерием
Рауса *.
Для уравнения (1.17) седьмой степени таблица Рауса
имеет вид, представленный в табл. 1.1.
* Метод Д-разбиения при построении rраницы зоны саl\vIОВОЗ-
буждения требует значительноrо времени, так как параметры R
и хс входят в уравнение (1 17) нелинейно. При этом задача опре-
деления rраниц устойчивости в сущности решается методом под-
Qupa соответствующих значений R и хс'
41
Таблица 1.1
С 11 = а о
а2
й,
а6
С 12 = аl
аз
а5
а7
а о
Л 1 =-
01
С 13 = a - Лl а з С 23 = а4 - л 1 а 5 С ЗЗ = а6 - Лl а 7
Л 2 = С 14 = аз - Л 2 С 23 С 24 = аъ - Л 2 С З3
С 2З
С 34 = а7
1з = С 13 С С "':1 С С С "':1
1\ 15 = 23 - 1\ З 24 25 = З3 - I\з а 7
C 14
--s
Л, = C 14 С 1З == С 24 - Л 4 С 25
С 15
С 26 = а 7
-
)Ч == C 15
С 16
С 17 = С 25 - л б а 7
C 18 = а7
42
Критерию fурвица 6=O, определяющему зону асин-
xpoHHoro самовозбуждения, соответствует критерий
Рауса С;17=О, Расчет с помощью критерия Рауса вы-
полняется подбором значения R, которое для задан-
Horo ХС обращает в нуль коэффициент С 17 таблицы
Рауса. Подбор значения R можно осуществить с желае-
мой степенью точности.
Область 111 самовозбуждения может быть построена
также на основе использования асинхронных характе-
ристик машин методом, предложенным Н. А. Поля-
ком (2], или частотным методом при замене синхронных
машин асин ронными со средними частотными характе-
ристиками в ося d и q (подробно изложен в rл. 111).
Проанализируем влияние параметров демпфе ных
обмоток? на зоны 11 и 111 асинхронноrо самовозбуждения.
Продольная демпферная обмотка не влияет на верх-
нюю rраницу зоны 11, rде ХСl ';::;;:, X q , но сдвиrает нижнюю
rраницу зоны в сторону меньших значений (Х С2 -+ X 1 ).
Величина смещения зоны зависит от соотношения посто-
янных времени обмотки возбуждения T dO и продольной
успокоительной обмотки Т D' При слабом демпфирующем
действии обмотки, коrда T do » т D' нижняя rраница зо-
ны 11 приближается к значению X , что соответствует
отсутствию демпферноrо контура на машине. Большей
постоянной времени Т D соответствует сдвиr зоны само-
возбуждения, нижняя rраница которой в пределе (при
т D »T do ) может быть определена из условия JC C2 = x .
Поперечная демпферная обмотка оказывает влияние
как на верхнюю, так и на нижнюю rраницу зоны 11
самовозбуждения, причем верхняя rраница перемещается
в область Х С1 > X q , а нижняя - в обласТь Х с < x .
В предельном случае, коrда Т Q Т dO' зона 11 само-
воэбу>кдения оrраничивается значениями
11
Х С1 = X d ; Х С2 = X q ·
в результате влияния поперечной демпферной об..
мотки может появиться наложение зон синхронноrо и
nсинхроннorо самовозбуждения, что наиболее вероятно
при малом активнОМ сопротивлении ее или малой по-
стоянной времени машины T dO (рис. 1.8).
43
При наличии на машине продольно-поперечной демп"
ферной обмотки зона 111 асинхронноrо самовозбуждения
,
(XC<Xd) расширяется, характеризуется активным сопро-
тивлением порядка 5-1 О о/о и оказывается реальной для
возникновения самовозбужде-
ния, особенно в схемах с про-
дольной емкостной компенса-
цией. Расширение зоны 111 са-
мовозбуждения наблюдается
при реальных значениях по-
стоянных времени обмотки
возбуждения и демпферной
обмотки и зависит от (величины
этих постоя.нных. При этом
наибольшее расширение зоны
обусловливается демпферной
обмоткой, действующей в обе-
их осях ротора (рис. 1.9).
Определение зон самовоз-
буждения лашины с демпфер-
ными обмотками следует про-
водить с учетом зоны 111 само-
возбуждения, поскольку она
оrраничивается величинами ак-
тивных сопротивлений, значи-
тельно превышающими актив-
ное сопротивление схемы.
Соответствующим подбо-
ром параметров демпферной
обмотки можно умеtIЬШИТЬ
нижнюю зону 111 асинхронно-
ro самовозбуждения. В этом
смысле наилучшей оказывает-
ся симметричная в осях d и
q синхронно-асинхронная ма-
шина с большими постоянны-
" ,
ми времени Т d = Т q. Для такой машины нижняя зо-
на 111 самовозбуждения почти столь же узка, как и для
одноосной машины без демпферных обмоток. Хорошие
результаты с точки зрения уменьшения зоны 111 само-
возбуждения получаются при наличии демпферной об..
l\iОТКИ только в продольной-оси.
Х С
Xd
X q
Xd
R НОКС (!J б = О)
Рис. 1 8. Наложение зон
синхронноrо и асинхрон-
Horo возбуждения при
м алых значениях посто-
янной времени Т do(T do =
= 0,9 сек)
44
R
,
,
I
,
,
,
с::>'
11 ,
'С'
t:s\
\
,
,
,
н
С:::::>
C\;I
t::;)"'
ti l"fi
со
<::::>"'
СУ)
t::;)"'
t--.....
С:::::>"
С;::)..
<:::::>"'
t::;)..
о)
f:::::J"
=:>а
::t:::f
<1>=
:E::t:
(])
0..0..
I:Q
t.,)
11
со:)
= I
О ::t:
::t:
::t: :l
tI::: со:)
О
Е-< t--. I-t tr.>
U I-t C'I:)
0tl:::l-ttr.> с
1:::: = _ 11 11
::I: ,.Q со:)
a.>a.>::t: со:)
= t::!0
::t: м I
tI:: >- I
=\0
M :l
О
I:Q ,
00
о
-::s:: 11
1-1:::'::
f-o со:)
.0
U:E
=\0 I
а.. о
N
Q:::."
I " t'\S::S::
:::r:::.:: b t'3::f
=0 :s:s::t:::s::[-c
f-o\О o.::t: 0
м О Q)t'\S:S
:Е о C).f30 0.\0
0..\0 Q) t:: О
o I=::s::
..... ::t: I::t о
0..>< 0.0 "t'::t:
t:: .е.[-с, : i
I-t ::t: t:: ::t::S .f3o
1-t000:SС\:е::rt:r::t::
1-1 а.> Q) Q)::t::S
-е- I::tio-
:э t:: :s о-
::t::E t:r::t:r::OQ)::s::
О а.> t'\S::t:t::[)::s::
Mt::!; 1
фо. f-<
'>< o.Q)",:>::S::
::f tI::: Q) t> )!;>.
== t:: ..j!c;
::t:::f 0::s:: ::t:[-c
:::.:: t;=:s; O
c.' о ::s ::t: :s ::s::
o. ::t: о-
t o.C)t::
. ::t: о Е-< Q) _
о: О t'\S t> t'\S-
I-t :::.:: o. -
t::c;::S::O::S
U>< I :S:S::t:
=:э t'\S :а\О о
a..::t: ::t:OM
со
t.o
C.'\J
45
Неблаrоприятное влияние демпферной обмотки моЖ-
но также ослабить, если уменьшить ДО иекотороrо
предельноrо значеlIия ее. активное сопротивление или
увеличить постоянную времени обмотки возбуждения
машины (рис. 1.10).
1.3. Определение зон самовозбуждения
неЯВНОПЬJlЮСНЫХ электрических машин
(асинхронные reHepaTopbl, двиrатеJlИ и синхронные
турбоrенераторы)
Асинхронные машины. Уравнение переходных процес-
сов для асинхронной машины, работающей на шицы
постоянноrо напряжения через емкость и активное со-
противление (рис. 1.11) с постоянной скоростью Q *,
записывается rаким образом:
и = R/ + ХС / + (р + jQ)ф,
p+ifJ.
(1.25)
rде
ф = /х(р);
х ( } = х + рТх' .
Р рТ + 1 '
Q = 1 - s - для асинхронноrо двиrателя (АД);
Q = 1 + s - для асинхроиноrо rеператора (АТ).
Из уравн€ния (1.25) с учетом принятых обозначений
характеристическое уравнение системы запишем в' сле-
дующем виде:
D(p) = Тх'р3 + ('FR + х)р2 + j.2QTx'p2 +
+ (R + Tx c --ТQ 2 х') р+ jQ (TR + 2х)р + х с -
- Q 2 x + jQR = о.
Построение областей самоВ'озбуждения в данном
случае nелесообразио проводить методом Д-разбиения.
После подстановки в уравнение Р= jffi И разделения
* При переменной скорости вращения ротора можно прибли-
женно рассчитать зоны самовозбуждения машины, исходя из по-
стоянства скорости ротора в каждый момент времени.
46
u u u U
мнимои И деиствительнои частеи приходим к системе
двух уравнений:
,/
Тх' фЗ - 2rJTx' 002 - (R + ТХ С - TQ 2 x') Q) + &JR = о I
Т 'п · (1.26)
- ( l\ -t. х) (1)2 + g (TR + 2х) (t) + Х С - Q2 X = О
Решение системы уравнений (1.26) при разных зна-
чениях о) дает связь между R и хс на rранице устой-
чивости при определен-
ной, заранее заданной,
скорости Q вращения ро-
тора асинхронной ма-
шины.
Таким образом мож.
но определить точно rpa-
ницу зоны самовозбуж-
дения асинхронной маши-
u
ны при разнои скорости
вращения ротора (рис.
1.12) .
Следовательно, асин-
хронные маШИНbI MoryT
самовозбуждаться при
наличии в цепи статора
eMKocTHoro сопротивле-
ния, оrраниченноrо вели.
чинами (при g = 1) :
О<хс<х.
Рис. 1.11. Система «асинхрон-
Коrда Q<l, область са. ная машина-емкость-шины
мово уждения сужается неизменноrо напряжения> (а)
и векторная диаrрамма (6)
(рис. .12).
r1раницу зоны само-
возбуждения асинхронной машины МОЖtНО построить уп-
рощенно при пренебрежении переходными процессами
в статоре и постоянстве скорости вращения ротора из
рассмотренйя следующих соотношений, описывающих
процесс в системе IПРИ принятых допущeuиях:
а)
1
..
Х С и
Н
Ar
ь)
lJ
9
-UdQ = -RQi d + [Q2 X + PX 'T -Xc]i q ,
l+рТ
_ и qg :::; [Х с - Q2 Х + рх'Т ] i d - RQi q .
! +рТ
47
Отсюда можно получить характеристическое уrавие-
ние системы:
rде
D(p) = аотУ + а 1 р + а 2 = О,
а о == Т2 [(х с - S2 2 x')2 + R2Q2J,
а 1 = 2Т [(х с - Q2 X ) (х с - Q2 X ') + R2Q2],
а 2 = (Х с - 2x)2 + R2Q2.
.х с
х
I-i
....C-\J
C'I
ot
х'
S2 (X 2 X )
Q=l
I
'
R
Рис. 1.12. Зона амовозбуждения асин-
хронной машины
Так как а о и а 2 положительны при любых значениях
Х С ' то условие устойчивости системы можно записать
так:
а 1 = 2Т [(х с - g2X) (Х с - Q 2 x') + R2Q2] > о.
Критерий (1.27) можно представить и в друrом
2 ( х' + х )2
х с - Q 2
+
g4 ( Х х' у Q2 ( Х -; х' )2
(1.27)
виде:
R2
= 1.
(1.28)
48
Уравнение (1.28) определяет приближенную rраницу
самовозбуждения асинхронной машины. Область само-
возбуждения представляет собой эллипс, иентр KOTopbro
I х + х' )
расположен на оси ординат на расстоянии Q2 t 2
Q (х - х')
от начала координат; полуоси эллипса равны
2
,
n2 х-х
И i:IIJ .
2
Каждому значению Q соответствуют определенные
rраницы самовозбуждения по хс и R. При Q= 1, т. е.
при синхронной скорости асинхронной машины, область
самовозбуждения вырождается в окружность, уравне-
ние которой
(х с - х) (х с - х') + R2 == О.
Таким образом, при синхронной скорости rраница
приближенной зоны асинхронноrо самовозбуждения
определяется соотношениями:
х' < Х С < х,
х-х'
R MaKc -< ·
2
На рис. 1.12 приведены зоны самовозбуждения
асинхронной машины при разных скоростях вращения
ротора.
Критерием (1.28) нельзя определить_ нижнюю часть
rраницы асинхронноrо самовозбуждения (хс<х'). Для
построеАия этой части зоны асинхронноrо самовозбуж-
дения Можно воспользоваться характеристическим урав-
нением системы и частотным методом достроить недо-
стающую часть зоны (см. 1.4).
Из (1.25) можно получить условия, определяющие
значения ХС и R на rранице зоны III асинхронноrо
самовозбуждения, в следующем виде:
R == (Q --=- ш) ыТ (х - х')
1 + ы 2 Т2
х + ы 2 Т2 х '
х с = (Q - ш)2
1 + оо2Т2
(1.29)
49
Придавая (/) различные значения, можно найти rpa-
ницу нижнеF части зоны асинхронноrо самовозбужде-
ния при ПРИrlЯТОЙ величине Q.
Критерии (1.28) и (1.29) совместно дают возмож-
ность получить полную зону самовозбуждения асинхрон-
ной машины, т. .е. при О<Хс<Х.
Турбоrенераторы. Неявнополюсные машины (ТУР-
боrенераторы) имеют массивную бочку ротора, которая
эквивалентна ряду демпферных контуров в осях d и q.
Это обстоятельство приводит к определенным затруд-
нениям как в получении выражений Xd (р) И X q (р), так и
в получении характеристичеекоrо уравнения системы.
При упрощенном анализе процессов в турбоrенераторе
можно рассматривать ero как машину с одним про-
дольным и одним поперечным демпферными контурами
или как симметричную в осях d, q машину, не имеющую
демпферных обмоток. Процессы в реальных турбоrене-
раторах будут занимать некоторое промежуточное ПО
отношению к этим допущениям положение.
Проанализируем самовозбуждение турбоrенератора,
исхо..дя из BToporo условия, Т. е.
,
pxdTdo+Xtt
Xd(p) = X q (р) = ·
1 + pT d ()
Если подставить Р= jffi В характеристическое уравне-
ние маrнитносимметричной машины, то можно получить
систему уравнений с двумя неизвестными ХС и R:
002 (X d + RТ dO ) - (t) (RT dO + 2x d ) + (x d - х с ) = о
ro3х T dO - 2ш2х T dO + Q) [T dO (X - х с ) - R] +
+R =O
(1.30)*
Эту систему уравнений используют при построении
зон самовозбуждения.
Придавая (i) различные значения, по (1.30) вычис-
ляют связь между ХС и R на rранице устойчивости.
Исследование характеристическоrо уравнения показы-
вает, что турбоrенераторы не имеют зоны синхронноrо
самовозбуждения.
* Система уравнений (1 30) в друrих уравнениях овпада т с
(1 26).
50
Полная зона асинхронноrо самовозбуждения турбо-
reHepaTopa лежит в пределах O<XC<Xd (рис. 1.13).
Ни няя зона самовозбуждения турбоrенераторов
(XC<Xd) значительно шире, чем у rидроrенераторов.
3то связано со способно-
СТрЮ турбоrенераторов раз-
вивать достаточно большой
асинхронный момент при
работе как с малыми, так и
с большими скольжениями.
Если постоянные време-
ни обмотки возбуждения
достаТОЧНQ велики, то зона
11 самовозбуждения турбо..
rеиератора приближенно
описывается полуокружно-
u
стью, уравнение которои
(Х с - Ха) (Х с - x ) +
+ R2 = О. (1.31)
rраница зоны, опреде-
ленная по приближенному
критерию (р.авенство нулю
коэффициента при первой Рис. 1.13. Зона самовозбужде-
ния турбоrенератора
степени р) , соответствует
неравенству:
tXCэ
X d
48
, Цб
Ха;Х а
Ц5
q4
З
л
1-
.ха
Ш//
I
IJ 1 I
I
,
'ха;Х а
о 41 q2 З 44 R э
x < Х С < Ха'
,
Зона самовозбуждения 111 при XC<Xd в случае
необходимости может быть найдена также по выра-
жениям, аналоrичным (1.29), с учетом синхронной
скорости вращения ротора Q = 1, а именно:
(J}T do (Xd - )
R = (1 - ю)
1 + оо2т 2
dO
+ 2т 2 '
Xd (t) dO xd
Х === (1- (0)2
с 1 + ю2т2
dO
(1.32)
Для получения полной -области самовозбуждения
rраницы зон 11 и 111, найденных соrласно условиям
51
(1.31) и (1.32), сопряrают плавной кривой. При этом
область самовозбуждения турбоrенератора достаточно
хорошо совпадает с областью, найденной точным мето-
дом [по уравнениям (1.30)]. Целесообразность приме-
нения критериев (1.31) и (1.32) заключается в том,
что построение с их помощью зон самовозбуждения
требует меньше времени, чем по уравнениям (1.30).
1.4. Построение rраницы зоны III асинхронноrо
самовозбуждения с учетом частотных характеристик
синхронной машины
В зоне 111 асинхронноrо самовозбуждения скольже-
ние поля статора относительно ротора может изменяться
от нуля до единицы. При этом параметры СИНХRОННОЙ
машины вследствие наличия в ней массивноrо ротора
и вытеснения тока в обмотке возбуждения являются
функциями скольжения. Учет зависимости параметров
синхронной машины от скольжения можно осуществить
двумя путями: или заменой цепей ротора через маrнит-
носвязанные контуры в осях d и q, или использованием
частотных характеристик синхронной машины.
Первый способ, как наиболее rромоздкий, практи-
чески не применим. Использование частотноrо метода,
который все больше применяется в современной технике
анализа, позволяет упростить расчетную работу. По-
этому для определения rраницы зоны 111 асинхропноrо
самовозбуждения синхронных и асинхронных машин
целесообразно учитывать частотные характеристик.и син-
хронной машины.
В настоящее время существуют методы, позволяющие
экспериментально снять частотные характеристики син-
хронных машин в виде jX d (- jш) И jX q (-jО). Эти харак-
теристики учитывают изменения параметров синхронной
машины в зависимости от скольжения.
Частотные характеристики синхронной машины мо-
ryT быть также рассчитаны по выражениям оператор-
ных сопротивлений Xd (р) И X q (р) при подстановке в них
p=-jw и умножении на j. После этоrо выражения
Xd(-jW) и xq(-jw) разделяются на две составляющие
части: вещественную и МНИlVlУЮ. Вещественная их часть
соответствует отрицательному активному сопротивле-
нию, которое пропорционально развиваемой активной
52
мощности синхронной машины в асинхронном режиме.
Частотные характеристики синхронной машины без
демпферных обмоток, полученные из выражений опера"
торных сопротивлений Xd (р) И X q (р), MoryT быть за-
писаны в виде:
( ') , 2 2
. . Х d - Х d 00 Т do . Х d + Х d 00 Т dO
JXd(-JШ) = - +! -
1 + oo2T o 1 + U)2T o
(1.33)
= R d (00) + jX d (О))
jX q (- jm) = jX q .
Для синхронной машины с демпферными обмотками
частотные характеристики запишем следующим обра..
зом:
jX d (- jm) =
(1- crdD Т doTD U)2) (X T do + Х1Тп) - (Т do + Т п ) Х
(1 - (JdD Т dо (2 )2 +
Х (Xd-аdDХ ТdОТDш2)
-+ 00+
+ (Т do + Т п)2 ш 2
"
. (Xd - crdD x d Т do T D (02) (1 - crdD Т doT поо2) +
+!
(1 - crdDT doT D U)2) +
+ (Tdo + Т п ) (X Tdo + Х1ТО) 002 .
+(T do +T D )2u>2 = Rd(w) + JХd(Ш)
jx (_ jw) = _ (X q -Х;) ШТ Q +
q 1 + U)2T
Х + х" ф2т 2
+ j q q 2 Q = R q (ю) + jX q (ю),
1 + оо2Т Q
)
(1.34)
rде (JdD - коэффициент рассеяния между обмоткой воз-
буждения и продольной демпферной обмоткой.
На рис. 1.14 приведены частотные характеристики
синхронной машины без демпферных обмоток в функ-
ции ш; анализируя кривые, вцдим, что частотные харак-
теристики машины без демпферных обмоток по осям d
и q существенно различны. Так, при больших скольже-
53
ниях ПО продольной оси имеется сопротивление машины
,
Xd, а по поперечной - сопротивление 1X q .
На рис. 1.15, а, б показаны частотные характери-
стики машины с демпферными обмотками, построенные
соrласно выражениям, приsеденным выше. При малых
частотах U) частотные характеристики в осях d и q
(ц;);-Лd(G;); (иJ)
0,5
4
0,2
х'
'd
0,1
r-z
а.
/3
,
'-.
\ 1/
'" /2
о
0.02
0-04
0,06
0.08
йJ
0.'
Рис. 1.14. Частотные характеристики rидроrенератора без
демпферных обмоток:
l-х d (ш); 2-R d (00); 3-X q {ю)
значительно отличаются друr от друrа, что объясняется
явнополюснострю машины и ее однооеностью. При
ш=О,2 и выше частотные характеристики синхронной
машины в осях d и q практически совпадают, т. е. син-
хронная машина становится как бы симметричной, близ-
кой к асинхронной. Отсюда видно, что при больших
скольжениях машину с демпферными обмотками можно
замещать эквивалентной асинхронной. Частотная ха-
рактеристика такой эквивалентной асинхронной машины
определяется как среднее значение частотных характе-
ристик замещаемой СИRХРОННОЙ машины в осях d и q,
т. е.
jx (- jш) = L {X d (- jш) + x q (- jю») =
2
1 ·
= - [R d (О)) + R q (ш)] + L (X d (w)+X q (ш)].
2 2
54
Замена синхронной машины эквивалентной асинхрон-
ной дает ВОЗМОЖНОС1Ь представить динамическую си-
стему, имеющую вращающие элементы, схемой со
а)
x d (uJ);-R d (6;); J:q{йJ) ':"ЯlJ )
qs
!
0,2
;х'
'd
0,4
0,1
о 4004 0,006 0,008 0,0,
(j)
б)
I d (GJ);-Я d (rи); х,fи);-л, (i;J).
45
Q4
41
0,2
х'
'd.
0,1
О ll2 а4 0.6 0,8 1
си
Рис. 1.15. Частотные характеристики явнополюсиой синхронной
машины с демпферными обмотками в продольной и поперечной
осях:
а) - при малых скольжениях. 6) - при больших скольжениях.
l-x d (00); 2-R d (00); 3-Х ц (00); 4-R q (00)
статическими элементами. После этоrо расчет rраниц
зоны 111 самовозбуждения сводится к определению усло-
вий резонанса в статической схеме, что облеrчает рас-
чет. Остановимся на этом более подробно.
55
Уравнения Парка - rореИ(:t, определяющие зоны
самовозбуждения для асинхронной машины, вращаю-
щейся с постоянной синхронной скоростью и работаю-
а)
l
,
lJ хни
о)
I
I
I
j (l-eи)xfv)-4-.
I
L
х с
J(l- CJ)
(I-ы)?( UJ )
а
...,
IJ(!-ev).x( jG.J)=Zg (ц;)
I
I
I
I
I
J
{j)
r-----
I
I g(UJ)
I 1-си
I
I
L____
Х С
j (/ -и )}
-----,
lЬ(еи) _ } Y(-JUJ)
-L:'- - I 1- (,)
1-си I
I
- - __1
Рис. 1.16. Эквивалентные схемы для постро-
ения зоны 111 асинхронноrо самовоз6У)l{де-
ния асинхронной машины:
а) -' схема работы асинхронной машины, б)-
машина I1редставлена сопротивлениями, 8) - ма-
шина представлена проводимостями
щей через емкость на шины неизменноrо напряжения
(рис. I.16,a), записываются таким образом:
U d = - [рх (р) + R] i d - х (р) i q ,
U q = х (р) i d - [рх(р) + R] i q ,
56
(р2 + 1) (Ud-U ) = xCPid-хсi q )
(р2 + 1) (U q - и ) = Х с i d + xCPi q .
Отсюда после некоторых преобразований можно полу-
чить характеристическое уравнение:
[(р + j) х (р) + R + р j ] [ (р - j) х (р) + R + р j ] = О.
Подставив в первый сомножитель р =-jw, rде ш-
частота свободных колебаний (В относительных едини-
цах) в контурах ротора, получим:
х
j(l-ш)х(-jФ)+R+ . с
J(l-O)
-о
- .
(1.35)
Здесь х(-jш) - частотная характеристика асинхронной
машины.
Уравнение (1.35) соответствует простому контуру пе-
peMeHHoro тока (рис. 1.16,6) с частотой (1-ш), в кото-
ром асинхронная машина замещена активныIM и индук-
тивным сопротивлениями, являющимися функциями ш.
Возможно также представление машины активной и
индуктивной проводимостями, зависящими от w
(рис. 1.16, в).
Схемы, изображенные на рис. 1.16,6 и 1.16, в, иден-
тичны, и при построении областей самовозбуждения
можно пользоваться любой из них. При этом rранице
зоны асинхронноrо самовозбуждения, определенной из
условий резонанса, например в схеме, представленной
на рис. 1.16,6, соответствуют уравнения:
R = Re Zд (0),
Х с = (l-s) ImZд(Ш),
rде ZA (00) = j (1 - 0)) х (- jro); здесь х (- jш) задано вы-
ражениями (1.33) для симметричной машины, т. е.
jx d (- jш) = jX q (- jw) = jx(-jО))..
Выражения (1.29) получены из равенств, приведен-
ных выше, причем в (1.29) принято, что скорость ротора
асинхронной машины равна значению Q, отличному от
синхронной.
57
В тех случаях, коrда рассматривается самовозбуж-
дение в синхронной машине, следует использовать экви-
валентные статиtreские схемы, предстаяленные на
рис. 1.17.
а)
l!
Ч
,
I
I
j(kJ)l! М+ Vl&Jп
.х с
: R j('
'r- J (I-61)1! I d jrи)+ zv f1 cи)j::: 2 r (u;)
,
,
I
J
о)
(t-GJ) i /11 rи)+R,,(GJJ)
а
х с
R j(I- Цj}
-- IiJ}! (- }6J)' ( flUJJ=;;. м
и I
:1
,
-- ,
о)
2P!ru;f 9.J {rи)+ J}
2r!cи;!b /6J)+tJ!GJ)j
Рис. 1.17. Эквивалентные схемы со статическими эле-
\1ентами дли построения rраницы зоны 111 самовозбуж-
дения синхронной машины с демпферными обмотками:
а) - схема включения синхронной машины, б) - машина пред-
ставлена сопротивлениями, 8) - машина представлена пропади-
мастями
Эквивалентные сопротивления и ПрОВОДИМОСТИ СИН-
ХрОННОЙ машины записываются таким образом:
1-00 j{l-(u) [( ()
Zr(O») = т [Rd(o» + Rq{ro)] + 2 X d ro)+X q 0>],
58
1
Y r (ю) "'" 2 (1- (1) [gd (ю) + gq (ю)] +
+ j [b d (ю) + Ь п (ю)],
2(1-00)
rде
(ю) а: Rd ( (fJ )
id [Rd ((I)]' + [Xd (111») ' '
R q (.)
_ gq (О)) == ' j) ,
[R q (ш)]1 + rX q «1»)]1
b d (Ф) -
Xd «(1)
[Rd (<1»]1 + [Xd (<1»]1 ·
X q (,,)
[R q (оо )ЗI + [X q «(1) )]1
b q (т) =
Представление синхронной машины средними про-
водимостями В осях d и q имеет определенный физиче-
ский смысл, так как активная проводимость пропор-
циональна средней активной мощности, развива мой
синхронной машиной в асинхронном режиме, а реактив-
ная проводимость пропорциональна средней реактивной
МОЩfIОСТИ машины, работающей в асинхронном режиме.
Рассмотрев условия резонакса в электрическом кон-
туре переменноrо тока с частотой (1 - ю), соответствую-
щей чаетоте свободных колебаний в неподвижных цепях
маШины (рис. 1.17), rде синхронная машина представ-
лена эквивалентным сопротивлением Zr (ю), получим
следующие уравнения, соответствующие rранице зо-
ны 1I1 асинхронноrо самовозбуждения:
Rd(OO) + Rq(oo)
R=-RеZr(ю)=--(l-ю) ,
2
Xd (Ф) + X q (ю)
Х С = (l-w)ImZr(ro);:: (l-ю)2 .
2
Если принять, что синхронная неявнополюсная
(турбоrенератор) машина не имеет демпферных кон-
туров, 1'0 получим выражение (1.32) для определения
зоны 111 самовозбуждения.
При построении зоны 111 асинхронноro самовозбужде-
ния поступают следующим образом. Задаваясь значениями
59
(t) в диапазоне от О до - 1, что соответствует reH pa l'UP-
ному режиму синхронных машин, определяют jX d (- jш)
И jX q (- j(J)), а затем по соответствующим равенствам-
величины R и Х с , оrраничивающие зону III самовозбуж-
дения.
В большинстве случаев для машин с демпферными
обмотками приведенный fi.1етод построения зоны 111
самовозбуждения упрощает расчеты, учитывает пара-
rvIeTpbI синхронной машицы при разной частоте свобод-
ных колебаний, не давая значительной поrрешности.
Следует заметить, что применение частотноrо метода
дает возможность достаточно просто найти зоны 1, 11, III
самовозбуждения в системе любой сложности без вывода
характеристическоrо уравнения. ПР11 этом используются
частотные характеристики синхронных и асинхронных
\
машин, а также всех статических элементов, входящих
в состав системы. Так, соrласно выражениям (1.29) и
(1.32), мо)кно построить полные зоны самовозбу)кдения,
а не только зону 111. Но так как зоны 1 и II самовоз-
буждения зiIачительно проще найти методами, изло)кен.
ными выше, то выражения (1.29) и (1.32) используются
только для построеНИfI зоны III самовозбуждения.
1.5. Устранение самовозбуждения синхронных машин
автоматическими реrуляторами возбуждения
Исследование условий работы реrУЛЯТОj)а возбуж-
дения, цель KOToporo предотвратить самовозбуждение,
проводится на основании системы уравнений, включаю-
щей в себя уравнения перехоДноrо процесса в машине,
записанные в форме уравнений Парка - ropeBa, в воз-
будителе и реrуляторе.
Переходный процесс в машине, работающей через
емкость и внешнее индуктивное сопротивление на шины
неизменноrо напряжения (рис. 1.18), описывается урав-
нениями (I.1) (I.3).
Переходный процесс в возбудителе можно отразить
уравнением
иB = Ufd (РТе + 1).
(1.36)
Уравнение реrулятора зависит от вида реrулирова-
ния возбуждения синхронной машины. При реrулиро-
вании по отклонению напряжения, ero первой и второй
60
производным уравнение реrУЛЯ10ра запишется в виде:
U в = _ [ 1 { Кои + РК 1 и +
рТ Р + 1 рТ ро + 1 рТ рl + 1
+ р2К2И } J U (1 37)
(рТ рl + 1)2 r · ·
Здесь Кои, К 1и , К2и - суммарный коэффициент усиления
в ей системы реrулнрования соответственно по отклоне-
нию, первой и второй производным напряжения.
7ё 7d o
dt f rv
и, Же Ж,,, и
f----'V'-t
Рис 1 18 Система «реrулируемая синхронная машина-
емкость - шины неизменноrо напряжения»
Роль реrулятора возбуждения заключается в пред-
отвращении самовозбуждения в ero начальной стадии,
поэтому в уравнениях 1.1 можно не учитывать изме-
нение скорости вращения ротора (Pv= 1). Опуская так-
же в этих уравнениях члены, учитывающие активное
сопротивление статора, получим следующую систему
уравнений:
[X d (Р) - p2 Xd (Р) - Хс] Д,i d - 2pX q (р) iq +
+ [О (Р) - р 2 О (Р)] flU jd = О
- 2px d (р) Ai d + [p2 Xq (Р) - x q (р) - х с ] Ai q +
+ 2ра (р) AU/ d = О
(1,38)
Уравнения (1.36) - (1.38) написаны для случая от-
клонения переменных величин и характеризуют собой
переходные электромаrнитные процессы цепей статора
и ротора машины, возбудителя и реrулятора.
Отклонение напряжения на зажимах синхронной
машины можно выразить через составляющие по осям
d и q:
U rqo ли + U rdo
dU r = u rq U дU rd ,
ro ro
(1.39)
61
rде U ro , U rqo , U rdO -::- значения в ИСХОДНОМ невозмущен"
нам режиме,
При работе машины без наrрузки и отсутствии a "\t
U rqo
тивноrо сопротивления Urdo=O, ;;:= 1, т. е.
U rO
AU r -= AU rq . (1.40)
Поперечная составляющая напряжения Urq и пере-
менные Al df Ai q И 4и Id связаны соотношением:
AU rq == - P4;IQ + '1a' (1.41)
rде
Фlq = x q (р) iq,
Фld = G (р) AU/ d + xd(p) Ai d ,
Уравнения (1.36)-(1.41) в 'случае пренебрежения
запаздываниями в дифференцирующих элементах pery-
лятора приводят к характеристическому уравнению
седьмой степени относительно оператора р:
аор7 + а 1р 6 + a2P Q + азр + а 4р В + а бр 2 +
+а в р+а 7 =О.* (1.42)
При условии, что все параметры системы линейны,
самовозбуждение математически отразится в появлении
в уравнении (1.42) корней с положительной веществен-
ной частью. В этом случае, как было указано ранее, в
зоне синхронноrо самовозбуждения имеет место одии
действительный положительный корень, тоrда как в зоне
асинхронноrо самовозбуждения появляются два сопря-
женных комплексных корня с положительной веществен-
ной частью.
Необходимым условием отсутствия корней с положи-
тельной вещественной частью для характеристическоrо
уравнения любой Степени является условие положитель-
ности всех ero коэффициентов. Если принять, ЧТО в за-
,кон реrулиро:вания не входят производные реrулируемых
величин (К 1и = K zv = О), и если пренебречь запаздыва..
* Коэффициенты уравнения (1.42) даны в приложении 1.
62
ниеIvI в реrуляторе (Т р = О), TtJ В уравнении (I.42) необ-
ходимо рассматривать коэффициенты, а 5 , а в , а 7 , поскольку
остальные ЯВЛЯЮТСЯ существенно положительными вели-
чинами при всех значениях параметров, входящих в них.
Условие a6 O определяет необлодимые значения по-
стоянной ВRемени возБУДИ1еля Те, а условия a5 O и
к ои ! й 5 ] 103
X qlJ й7] 'е
20 2 5000 t
18 1,8 t
16 1,6
14 7,4
12 1,2 3000
10 1
8 0,8 2000
6 0,6
4 0,4 1000
2 2
0,5
=17ЗОрад
о
X d
I
I
I
I
t
I
I
Ц7
Х С
Рис. 1.19. rраничные значения коэффициента усиления Кои и
постоянной времени Т е, ПI'И которых коэффициенты йБ, ав, а7
равны нулю: '
l-K ou [az]. 2-К ои [a5] 3-Т е [ав]
I
a7 O - значения коэффициента усиления Кои- На
рис. 1.19 приведены кривые для rраничных значений Те
И Кои, при которых а5, а6 и а7 обращаются в нуль. Из
рис. 1.19 ВИДНО *, что условие положительности коэффи-
циентов уравнения (1.42) в зоне синхронноrо самовоз-
буждения выполняется практически при любых значе..
* Направление штриховки кривых на рис. 1.19 соответствует
положительному значению коэффициентов.
63
ния:х коэффициента усиления Кои и постоянной времени
возбудителя Те-
Для проверки достаточных условий устранения само-
возбуждения реrулированием возБУ)l{дения синхронной
машины следует определить области устойчивой работы
в координатах Кои и Те. Построение областей устойчи-
вости целесообразно проводить методом Д-разбиения.
J
Хоу' /0
70
10
f;;;)'"
2
4
8
8
10
12
paa
14./03
Рис. 1.20. Изменение устойчивой области реrулирования в
зоне 1 с увеличением постоянной времени Т do при Т р = О;
ХС = 0,9:
l-Т do=2 сек; 2-Т do= 1 сек
При этом для зоны синхронноrо самовозбуждения по-
лучается устойчивая область (устранение самовозбуж<
дения) в достаточно большом диапазоне изменений Кои
И Те, а увеличение постоянной времени T do расширяет
устойчивую область (рис. 1,20) _ Учет постоянной време-
ни реrулятора Т р сводит допустимые величины коэффи-
циента Кои до практических значений.
Анализ показывает, что устранение самовозбужде-
ния в синхронной зоне не предъявляет каких-либо спе-
циальных требований к реrулятору возбуждения.
64
Требование положительности коэффициентов а 5 и а 7
в зоне асинхронноrо самовозбуждения приводит к проти"
воречию в отношении выбора величины коэффициента
усиления по отклонению напряжения КОИ' Удовлетворить
иеравеИСТ:Qа а б > О и а 7 > О м6жно лишь В непосредствен-
ной близости от rраниц области, соответствующей х с X q
и Х С X . Максимальные величины коэффициентов уси..
ления Кои при этом определяются условием а 7 > О и
получаются небольшими. Области устойчивости в коор-
динатах Те, Кои при Т р=О существуют лишь для ма-
лых Т dO - порядка нескольких десятков радиан. Запаз-
дывание в возбудителе не должно превыIатьь несколь-
ких сотых секунды. Постоянные времени существующих
сиСтем возбуждения в десятки раз превышаю't указан-
ные предельные значения. есткие требования, предъ-
являемые к электромаrнитной инерции элементов систе-
мы реrулирования, объясняются тем, что интенсивность
развития процесса асинхронноrо самовозбуждения ве-
лика (инкремент нарастания тока и напряжения порядка
10-20 ce,,-J), в то время как большие постоянные вре-
мени Т «О И отдельных элементов АРБ не дают возмож-
ности воздействовать на процесс с инкрементом более
0,1 в секунду.
Введение производных Отклонения напряжения в за-
кон реrулирования не дает существенных результатов
с точки зрения устранения асинхронноFO самовозбуж-
дения.
В случае применения реrулятора возбуждения, реа-
rцрующеrо Н9 отклонения продольноrо тока и ero пер-
вую и вторую производные, закон реrулирования запи-
сывается уравнением:
{ 1 [K Ol pK 1t +
UB= +
рТ Р + 1 рТ ро + 1 рТ рl + 1
+ pSK Zt ] } 6.'
(рТ р1 +1)2 ld-
(1.43 )
Уравнения (1.36), (1.38) и (1.43) дают возможность
получить характеристическое уравнение системы, кото-
рое имеет также седьмую степень (см. приложение 1).
При реrулировании только по отклонению продоль-
65
Horo тока (Kli=K 2 i=0 и Тр=О) условия положительно-
сти коэффициентов аб, а6 и а7 определяют допускаемые
величины коэффициента усиления KOi (неравенства
аБ>О и а7 >0) и соотношения между постоянными вре..
мени T do и Т е (а6>0)'
Минимальные значения KOi для зоны асинхронноrо
самовозбуждения _соответствуют уравнениям:
т doTe (Х с - X ) (x q - Х с ) xqx c + Х С xd +.2xdx q
K Ol > Х + 2х х + 2х
с q с q
(получено из аб О),
/(Oi"> Х С - X d (из а 7 "> О).
ДЛЯ обеспечения положительности всех коэффициен-
тов характеристическоrоуравнения в зоне асинхронноrо
самовозбуждения достаточно выбрать значение KOi,
удовлетворяющее первому условию, и подобрать отно-
т
тение --!L по неравенству аб>О. Однако при всех поло-
T do
жительных коэффициентах характеристическоrо уравне-
ния обеспечить устойчивость системы не представляется
возможным, поскольку области устойчивости при этом
отсутствуют. Друrими словами, в зоне асинхронноrо
самовозбуждения необходимое условие обеспечения по-
давления самовозбуждения не соответствует достаточ-
ному.
Области устойчивости в зоне асинхронноrо самовоз-
буждения MoryT существовать при отрицательных зна-
чениях коэффициента усиления по отклонению тока KOi.
Это означает, что для устранения асинхронноrо само-
возбуждения требуется специальный реrулятор возбуж-
дения с необычным законом реrулирования:
Аи в = - K Oi 6.i d .
Однако даже и в этом случае области устойчивости
можно получить так же, как и при реrулировании по
напряжению, для весьма малых постоянных времени
системы реrулирования, включая Т dO, далеких от реаль-
ных значений. Введение в закон реrулирования произ-
водных не вносит каких-либо существенных )fлучшений.
Таким образом, при существующих типах АРБ устра-
нение самовозбуждения возможно только в синхронной
66
зоне. Асинхронное самовозбужде.ние обычными реrуля-
торами возбуждения практически устранить не удается
Сказанное в этой rлаве касается использования для
устранения самовозбуждения существующих в настоя-
щее время автоматических реrуляторов возбуждения,
однако в исследованиях авторов показана возможность
создания специальных реrуляторов возбуждения HOBoro
типа, устраняющих любые виды самовозбуждения.
I.б. Уточнение характера самовозбуждения
в области X < Х С < X q
По своему характеру самовозбуждение разделяют на
синхронное и асинхронное. Характерной чертой асин-
xpOHHoro самовозбуждения является наличие скольжения
между вращающимися полями статора и ротора. Раз-
деление самовозбуждения на синхронное и асинхронное
проводится в соответствии с характером развития само-
возбуждения вблизи rраницы зоны Математически это
отражается перемещением Toro или иноrо числа корней
из левой полуплоскости комплексноrо переменноrо р в
правую. Например, условие а5=О [а5-свободный член
характеристическоrо уравнения (1.6)], определяющее об-
ласть синхронноrо самовозбуждения, соответствует пере-
ходу одноrо левоrо корня в правую полуплоскость чере 3
начало координат, при этом скольжение между полем
статора и ротора равно нулю. Соотношение 4=O { 4-
предпоследний определитель rурвица характеристиче-
cKoro уравнения (1 6)], определяющее область асинхрон-
Horo самовозбуждения, соответствует переходу пары
левых корней ч-ерез мнимую ось, при эт.QМ В системе п(')-
является скольжение, величина KOToporo определяется
мнимой составляюшей комплексных корней. Естествен-
но, что характер развития самовозбуждения вблизи
rраницы полностью не идентичен характеру развиrnя
самовозбуждения внутри облаСТfi.
,
Внутри зоны асинхронноrо самовозбуждения Xd <
<Хс<Х ч можно выделить область, на rранице которой
комплексные корни обращаются в два кратных действи-
тельных корня. Эту зону внутри области асинхронноrо
самовозбуждения иноrда называют зоной репульсuонно-
СИНХРОННО20 самовозбужд-енuя Поскольку репульсионно-
синхронное самовозбуждение ни по виду осциллоrраммы,
ни по визуальному наблюдению по приборам почти
67
нельзя отличить от асинхронноrо, такое выделение зоны
репульсионно-синхронноrо самовозбуждения не является
практически неоБХОДИl\lIЫМ. Но выделение этой области
небезынтересно, поскольку оно способствует уточнению
математическоrо описания и физики процесса, поэтому
остановимся на этом подробнее.
Исследование характера процесса самовозбуждения
сводится к анализу характеристическоrо уравнения:
D/(p) = аорn + atpп-l + a2Pn-! + . . . +
+ а п _ 1 Р + а n = о.
(1.44)
Определить число правых вещественных корней в
уравнении (1.44) можно при помощи теоремы Щтурма,
соrласно которой число правых вещественных корней в
точности равно числу потерянных перемен знака в ряду
Штурма *. Однако используя этот метод при выделении
зоны репульсионно-синхронноrо самовозбуждения, при-
ходится проводить трудоемкую работу, поэтому покажем
метод определеНИ5{ rраницы репульсионно-синхронноrо
самовозбуждения численным методом, который основан
на изложенных выще теоретических положениях.
На rранице репульсионно-синхронноrо самовозбуж-
v
дения имеет место пара кратных вещественных корнеи.
Известно, что пары комплексных корней MoryT исчезать
или появляться при перем-ещении изображающей точки
в плоскости двух варьируемых параметров (хс и R)
только при условии предварительноrо обращения в двой-
ной Действительный корень р = h. Это может ПРОИЗ0ЙТИ
лишь в тех точках, rде уравнения
D (р) = О, D' (р) = о
(1.45)
имеют общий I\OpeHb р = h.
При -вычислении rраницы репульсионно-син.хронноrо
самовозбужденй:я явнополюсной машины без демпфер-
* Метод определения числа вещественных правых корней, а
С.1едовательно, и характера процесса в рассматриваемой области
может быть проведен также приближенно с помощью обобщенной
строки Лаf1}анжа.
68
ных обмоток (рис. 1.1) уравнения (1.45) можно записать
в следующем виде:
aR2 + bR + с = о, !
R2 + db R + = О.
dp dp dp
Входящие в них коэффициенты:
а = (р2 + 1) (TdOp + 1);
Ь = Т dO (x + X q ) р2 (р2 + 1) + !x q + X d ) р (р2 + 1) +
+ 2х с р (Т dO Р + 1);
с = X XqTdOP (ТУ + 1)2 + xdx q (р2 + 1)2 +
+ Х С TdOP(X + X q ) (р2 -1) + Х с (x d + X q ) (р2-1) +
+ xC(TdOp+ 1).
(1.45, а)
Дифференцируя, получим:
dtJ
- = 3T dop 2+ 2р + T dO ;
dp
!!:!. = 4Т dO (X + X q ) р3 + 3 (x d + X q ) р2 +
dp
+ 2 [Т dO (x +X q ) -t- 2T dO x C ] Р+ [(xd+x q ) + 2Х с ] ;
!:!:.- = 5x xqT dO Р& + 4х d х qр З + 3 [2x xqT dO +
dp
+ Xc.TdO (x + X q )] р2 + 2 [2ХшХq + Х С (x d + x q )1 Р +
+![x xqT dO - TdOx C (x + X q ) + TdOX ] .
После необходимых преобразований системы уравне-
ний (1.45, а) можно записать выражения, определяющие
значение активноrо сопротивления R для kakoro-то ХС
на rранице репульсионно-синхронноrо самовозбуждения:
R=
dc da
а--с-
dp d p , R2 =
da db
Ь--а-
dp dp
dc db
Ь--с-
dp dp
db da.
а--Ь-
dp dp
(1.46)
69
При проведении расчетов с целью построения rpa-
ницы репульсионно-синхронноrо самовозбуждения по
равенствам (1.46) целесообразна следующая методика:
1. 11ринимается некоторое значение Х е в диапазоне
X < Х е < X q . Для даftной величины Х е задается ряд по-
ложительных вещественных корней р = h, причем h из-
меняется примерно от 0,01 (Х е X q ) до 0,1 (Х с x )
в относительных единицах.
2. Вычисляются значения а, Ь, с и их производные.
Затем по (1.46) находят R и R2 дЛЯ каждой заданной
величины h.
3. Строятся кривые R и R2 В зависимости от h. Точка
пересечения этих кривых дает rраничную точку зоны.
Придавая разные значения Хе, можно определить всю
зону репульсионно-синхронноrо самовозбуждения.
Коrда R=O, необходима переrруппировка характе-
ристическоrо уравнения (1.44) не относительно R, как
это делалось выше, а относительно Хе. Условию кратных
корней в характеристическом уравнении (1.44) теперь
соответствует система уравнений:
Lx + МХе + N = О,
dL х 2 + dM х + dN = О,
dp е dp с dp
[де коэффициенты имеют значения:
L = TdOp+ 1;
м = T dO (x + X q ) р 3 + (x d + X q ) р 2 _
- T dO (X + X q ) р- (x d + X q );
N ' Т 5 4+2' Т 3
= XdX q dOP + XdXqP XdX q dOP +
+ 2x d x q р2 + x xqT dOP + XdX q ;
dL _ Т. dM - 3Т (' ?
- - dO' - - dO x d + Х ) Р- +
dp dp q
+ 2 (x d + X q ) р- T dO (X + X q );
70
dN = 5Х ХqТdор{+4ХdХqрЗ+6Х ХqТdОр2+
dp
+ 4x d x q P + TdoX Xq.
Уравнения для определения rраничных значений хс
будут:
Х С =
L dN -N dL
dp dp
dL dM
M--L
dp dp
dL х 2 + dM Х + dN = о.
dp с dp с dp
Расчеты целесообразно вести в той последовательно-
сти, которая приведена выше. При R==O имеются два
rраничных значения Хс, одно из них всеrда равно X q ,
,
друrое - всеrда больше Xd.
Построенная указанным методом rраница репульси-
онно-синхронноrо самовозбуждения приведена на
рис. 1.21. Из этоrо рисунка видно, что область репуль-
сионно-синхронноrо самовозбуждения увеличивается с
ростом постоянной времени T do . Коrда T dO = 00, то об-
ласть репульсионноrо самовозбуждения точно совпадает
,
с полной областью II самовозбуждения, rде Xd <Xc<X q .
Следовательно, если обмотка возбуждения сверхпро-
,
водящая, то самовозбуждение в области Xd <Xc<X q
развивается за счет реакционной мощности синхронной
машины при наличии несимметрии ротора по ero осям.
Если обмотка возбуждения несверхпроводящая (Т do=F oo ),
то репульсионно-синхронное самовозбу:tкдение может
развиваться только при непрерывном возра тании тока
возбуждения, который компенсирует затухание свобод-
ных колебаний в обмотке возбуждения. Поэтому об-
ласть репульсионно-синхронноrо самовозбуждения при
обычных величинах T do всеrда меньше области 11 само-
,
возбуждеН!iЯ (Xd <Xc<X q ). Однако, как видно из резуль-
татов расчетов, область репульсионно-синхронноrо са-
мовозбуждения синхронной машины с реальными пара-
м( трами занимает большую часть зоны 11 самовозбуж-
, '\
дения (Xd <Xc<X q ). Следовате.пьно, можно считать, что
самовозбуждение в этой области развивается rлавным
образом за счет реакционной мощности синхронной ма-
71
шины при сверхпроводящей обмотке возбуждения (ди-
намическоrо момента явнополюсноети).
ПРИ определеНI:iИ зоны репульсионно-синхронноrо са-
мовозбуждения ДЛЯ машины с демпферными 09мотками
Х"
X'J
0,30
,
2
3
4-
0,15
0,20
Xd
0,15
0,05
0.1 R
Рис. 1.21. rраница зоны репупьсиои-
но-синхронноrо самовозбужденця при
разных значениях постоянн-ой време-
ни Т do:
l-Т do=1 сек; 2-Т do=5,5 сек; 3-Т do=
= 1 О сек; 4--Т dO=N
также МОЖНО воспользоваться приведенными выше СООТ-
ношениями, связывающими ХС и R, но коэффициенты
а, Ь, с, L, М, N и их ПрОИЗ80дные в этом СЛУЧf\е нахо-
ДЯТСЯ из характеристичеекоrо уравнения (1.17) для ма-
шины с демпферными оБМОТКЗl\fИ.
rЛАВА //
САМОРАСКАЧИВАНИЕ 8 ПРОСТЕИШЕП
СИСТЕМЕ
_ 11.1. Проверка на самор скачивание reHepaTopOB,
H имеющих демпферных обмот()к
Аналитическое исследование самораскачивания с
целью определения вероятности возникновения периоди-
ческой неустойчивости reHepaTopoB простеЙllIей электри-
[d,[q
r
t
I
P J
Рис. 11.1. Система «нереrулируемая стан-
ция --- шины неизменноrо напряжения»
ческой системы может проводиться на основе дифферен-
циальных уравнений Парка-rорева, линеаризованных
в точке исходноrо режима. Уравнения Парка-rорева
описывают полную картину переходноrо процесса в си-
стеме. Для проетейmей системы «нереrулируемая стан..
ЦИЯ -шины неизменноrо напряжения» (рис. 11.1) без
73
учета демпферных обмоток линеаризованные уравнения
имеют вид:
Р Фd + фq + R id + (фqо р - и cos 60) f) = о )
Фd - р6.фq - R iq + (ФdОР + и sin f)o) f!6 = о
т J p2 f) +iqО Фd - idо фq - фqо id + Фdо6.i q =0
,
I1Фd = X dE T do Р + X dE bl d
Т doP + 1
фq = X qE iq }
(11.1 )
Соответствующее характеристическое уравнение
имеет пятую степень:
а о р5 + a 1 p4 + а 2 р3 + а з р2 + а 4 Р + а 5 = О. (11.2)
Здесь
а О = TJT dO X }) X qE ; а 1 = T J [X dD x qE + ],
+TdOR(x E + X qD )];
а 2 =TJlR(XdE+XqE)+TdO(X DXqE+R2)] +
{ , [E qO
+ T dO X dE E qO R sin (lпQ +
ZqE
+ x qE cos (б о - (XIIQ)] + Х;Е (x qE - X E) Х
qE
Х [ E qo sin (XIIQ + sin (60 _ (XIIQ)] 2} ;
ZqD ZqD (11.2, а)
аз = Т J (X dE x qE + R2) + I:to {[ (R2 - X E X qE ) Х
,
Е;о ,
Х - sin a l1Q + R(X dE + Х Е) Х
E q
E U ] ,
х cos(60-аl1Q) +2(XqE-ХdЕ)RХqЕХ
ZqE
Х [ E qo sin (XIIQ + sin (60 - (XIIQ)] j' + .
Zq11 ZqE
74
+ {Xd'D Eqa [R E qo sln (1l1Q + X qE Х
Zq1}
Х E COS (1'>0 - (XlIQ) ] - X » (X dE - X qE ) Х
[ .. Е qo · и. ) ] 2, .
Х - Sln a llQ + -:- Sln (U O - CX llQ J '
ZqI1 2 qE
а 4 = T dO (X E X qD +R2)SE' +
d
+ [(R2_XdEXqE) E o sina llQ +R (X dE + X qE ) Х
ZqE
Х EqOU cos (60 - (1l1Q)] - 2x qD (X dD - X qE ) R Х
Zq11
[ Eqo . U. ( )] 2 .
Х -Slпа 11Q +-SlП UO-а 11Q ,
Zq11 ZqE
а 5 = (X dE X qE + R2)SEd;
rде
EqU X d1J - X qD
S Ed = COS (б - CX llQ ) - 2 Х
ZqE X d11 X qE + R
Х [2E q sin al1Q + и sin (б - CX l1Q )] и sin (б - CX llQ ),
,
EqU X dE - X ql1
SE' = соs(б- а l1Q )- , 2 Х
d Zq11 X dD X qE + R
Х [2E q sin CX l1Q + и sin (б - a llQ )] и sin (б - (ll1Q)'
E q и X q
SUrd = COS (1'> - IX lIq ) + + R 2 Х
- ZqE ХSИХ qЕ
Х [2E q sin <X llQ + и sin (6 - (ll1Q)] и sin (6 - cx 11Q ),
, 2
, XdD x qE + R _ / 2 2
Td=T dO Х Х +R2 ' Zql1 = r xqD+R ,
dI1 qI1
R
(ll1Q = arctg-.
X qD
)
(11.2, а)
в данном случае проще Bcero ВЫЯВИТЬ области само-
раскачивания с помощью критерия Рауса, который ДJIЯ
уравнения (11.2) записан Б виде табл. 11.1.
75
Т а б л F Ц а 11 1
аl
I
f
а2
а,
ао
аз
аъ
а о С lз = tlt - А 1 а з С 2З = а4 - A1a&
A 1 =- -
al
аl C 14 == аз - Л2 С 23 j
Л2=- а6 -
Си
С 13 C 15 = С 23 - лзаъ I
А а =- - -
С 14
- I аъ J - -
Области самораскачивания рассчитываются в сле-
дующем порядке:
1. Выделяем два варьируемых параметра, в данном
случае удобнее принять E q и б, и вычисляем коэффици-
енты характеристическоrо уравнения ао, al, а2, аз, а4, аб
в функции E q и б.
2. Задавшись рядом значений 6 для неизменной
величины E q , заполняем табл. 11.1.
Раньше всех проходит через нуль и становится
отрицательным С 15 Построив кривую С 15 = f (б) и найдя
точку пересечения ее с осью абсцисс, получаем rранич-
ное значение 6, соответствующее выбранному E q .
3. Принимая несколько друrliХ значений E q , повто-
ряем расчеты по п. 2.
Таким образом, получаем область самораскачивания
синхронной машины в координатах E q и 6 (рис. 11.2)
при неизменных всех остальных параметрах системы.
Величина области самораскачивания зависит от ряда
факторов:
1. Увеличенйе активноrо сопротивления системы рас-
ширяет возможную область самораскачивания reHepa-
торов. Следует заметить, что все расчеты, связанные
с выявлением областей самораскачивания reHepaTopOB,
должны вестись с учетом активноrо сопротивления в си-
стеме. При отсутствии активноrо сопротивления в схеме
замещения расс матриваемой системы характеристиче-
76
ское уравнение (11.2) ВЫIJождается в уравнение третьей
степени:
Xdr.Xg» (р2 + 1) [TJT p3 + T J p2 +T SE'dP + SEd] = О. (11.3)
Анализ уравнения (11.3) показывает, что при малых,
нзrрузкэх все коэффициенты этоrо уравнения так же,
?jJI1Q
60
SO
УсI1ЮiJVUЬОIl роОота
40
ЗО
20
10
.I.'1
О и
1,6
-10
-20
Ycтouvl/6aR
-зо f)I100тa
-40 ---
Рис. 11.2. Область самораСJ{ачивания
синх онной машины при
т J = 14,4 сек; Т do = 5,5 сек;
R -
х = 0,296:
qE
- - - - без учета переходных процесСО8
в статоре. с их учетом
как и уравнения (11.2), положительны; кроме Toro,
имеет место соотношение:
Т Т , (X d - x ) и 2 sin l 6
d 2 = J d , > О,
)Cdf.xdD x qE
(11.4)
которое положительно при всех значениях уrла 6.
77
Указанные условия являются, соrласно критерию
rурвица, необходимыми и достаточными для обеспече-
ния устойчивости reHepaTopoB во всех возможных ре-
жимах их раБОТЬJ. Таким образом, действительно нельзя
получить rраницы областей самораскачивания, отказав-
шись от учета R в схеме системы.
На рис. 11.3 приведена область самораскачивания
системы, изображенной на рис. 11.1, в координатах li- ,
x qE
6. Из рис. 11.3 видно, что рост активноrо сопротивления
системы ведет к расширению возможной зоны саморас-
качивания. Если R равно нулю, то самораскачивание
в системе невозможно.
Отметим, что в современных крупных электрических
R
системах отношение --- составляет величину порядка
x qD
0,1; поэтому нарушение статической устойчивости в ре-
зультате самораскачивания может возникнуть лишь
у машин без демпферных обмоток при малых наrрузках
(6 20+250). Но при таких наrрузках обычно экономИ-
чески целесообразно отключать часть reHepaTopoB пере-
даlощей станции, что ведет к уменьшению отношения
R П /-:
. ри этом увеличивается относительная переда-
X qE
ваемая мощность, а следовательно, и уrол б. Таким
образом, оказывается, что электрическая станция прак-
тически всеrда работает вне области самораскачивания.
В мелких системах, [де доля активноrо сопротивле-
ния выше, возможно возникновение самораскачивания
при малых наrрузках. Например, при наличии в системе
маломощных линий электропередач напряжением 220,
и 110 кв с марками проводов АС-240, АС-95, АС-70
и т. д., связывающих мелкие электростанции, отнош -
ние -!i- может дости['ать 0,15 и более. В таких системах
Xq
область самораскачивания может достиrать уrлов
30+45°.
2. Увеличение Т J сужает область самораскачивания,
так как синхронные машины с большими маховыми
массами труднее раскачиваются.
3. Область самораскачи:вания расширяется с увели-
чением постоянной времени Т dO. Последнее связано
78
ч
I
О
Q.
t::
ct:: ><
с::::; :а
:х::
\ о
Q.)
\
\ :t: I ..
«:::3 о) Q)
\ t::
"'" Q:) .. :s
\ ::r c::s >< .....
c::::s
, с:::5' c'\s 11 (1)
" E-t ::r
\ t:;j c'\s
=
= с;
1::(
с3 о. . ...
о
"'\ о
cv)
C'tJ - 1.с
, c:s I:Q
\ C"J ...
с:::) tQ
\ 11 4)
, = ..
\ c'\s с:> (1)
I:Q
\ °ro
\ ::r tc;
c'\s
\ C"J }l
"'" -.::t-- (,)
\ с:::) t't') c'\s tQa1
......... Р, (,.) 8
\ с:::5' о 1.0 tQc;
, 0(1)
c'\s ... ::!
\ (,) (() (1)
::!
, 11 О
\ E-t А
(,) t::
с: \ c'\s
, е::; ><
c:::s ""'" r:-..... \о :а
:::s с::) t(:) о :r:
I , t:::) ..... I::t
,.....
\ с:::) О
t::) er3 11 х
, (1)
\ А
щ"', :::> (1)
, t::
\ d
Е-<
рое (1)
<r-" t::) ::r
I..c')
, с::::) СУ')
Q)
\о
L.r;) u') I
I
t.e;;
C"J I
I
с ростом отрицательн rо демпфирующеrо момента об-
мотки возбуждения при малых иаrрузках и большей
возможностью запасать энерrию в ходе самораскачи-
вания.
4. НаJJичие продольной емкостной компенсации на
протяженных линиях электропередач расширяет область
самораскачивания rеиераторов, поскольку указанное
обстоятельство ведет к увеличению доли активноrо со-
противления по отношению к реактансу системы.
5. Увеличение возбуждения машины или снижение
напряжения на приеми()й подстанции системы расши-
ряет область самораскачивания rеиераторов передающей
станции. Целесообразно выявлять области самораска..
чивания reHepaTopOB 8 зависимости не от абсолютных
значений E q и и, а от отношения E q . что заметно сокра-
и
щает объем расчетной работы.
Следует особо остановиться на учете переходных
процессов в статоре при расчетах области самораска-
чивания rеиераторов электрических сиетем, поскольку
последние существенно расширяют ее. Условия возник-
цовения самораскачивания в схеме «станция - ШИНЫ»
без учета переходиых процессов в статоре находятся
из рассмотрения дифференциальных уравнении системы,
которые при принятых допущениях имеют вид:
Т J р2l::,.б+ДР = о
,
P = SEd6.fJ + PEdl:::.E d
, ,
f1p = SE'dt1fJ + PB'dIlEd
,
Т doPt1E d + AE d = О
(11.5)
Характеристическое уравнение системы (11.5) запи-
сывается в виде:
, ,
TJTdp B + T J p2 + TdSE'dP + SEd = О. (11.6)
При малых нзrрузках синхроиноrо rеиератора все
коэффициенты характеристичеС1<оrо УР'авнения (11.6)
положительны, а предпоследний определитель rурвица:
, , (X d - X,)Zq11
42 = TJT-JJ (SE'd -SЕd) = TJT d , Х
(X dE x qE + R") (XgEX qE + R" )
Х [2E q sin cx l1Q + U sin ( - CX 1IQ ») u sin (6 - (Jf1Q) (11.7)
80
может оказаться меньупе нуля в области, rде SEd>SE'd
(рис. 11.4). При этом )карактеристическое уравнение об-
u u
ладает паром правых комплексных корнеи, которые ука-
зывают на то, что машина самораскачивается. Из (11.7)
1,5 S[d' S[d.' SU;
1 '2 i
1,0
(
f
I
t
1
I
I
L
I
t
0,5
о
2О
1,.0
60
80
rf.efJllD
Рис. 11.4. Зависимость S Ed, S Е' d и Sиr от изменения уrлц :
l-S Еd ; 2-SE-'d; 3- S иr
вытекает простое условие возникновения самораскачи-
вания:
2E q sin (%llQ
- arC sin + a llQ -< -< a 11Q = arc tg
и
R
. (11.8)
x qD
Область самораскачивания в координатах E q и 6,
J)остроенная по условию (11.8), приведена на рис. 11.2.
Из рис. 11.2 ВИДНО, что верхняя rраница области
самораскацивания, соответствующая rеператорпому ре-
жиму, не зависит от возбуждения машины, а опреде-
R
ляется лишь соотношением -. На нижнюю rраницу
X qE
(двиrательный режим) влияет как величина активноrо
сопротивления, так и величина возбуждения.
Нетрудно заметить по уравнен ю (11.8), что увели-
чение активноrо сопротивления системы или степени
продольной емкостной компенсации реактивноrо сопро-
81
тивления линии передачи приводит к расширению
области самораскачивания.
Здесь так же, как и в расчетах с учетом переходных
процессов в статоре, в схему замещения должно быть
введено активное сопротивление. Расчеты без учета
переходных процессов в статоре дают возможность
очень просто определить минимальную область само-
E q
раскачиванйя reHepaTopoB системы при и =0 и на.
rлядно показывают влияние активноrо сопротивления
на область самораскачивания reHepaTopOB. Однако в
этом случае нельзя учесть возбуждение fvtашины. Дру-
rими словами, если синхронный reHepaTOp возбужден,
то, провери.в систему по условию (11.8), можно получить
оптимистический результат в отношении самораскачи-
вания. Разница между верхними rраницами зон само-
раскачивания reHepaTopOB, полученными без учета
переходных процессов в статоре и с их учетом, прибли-
женно пропорциональна квадрату возбуждения машины,
Т. е. ( )2. Принимая во внимание последнее замеча.
ние, представляется возможным в ориентировочных
расчетах не учитывать переходные процессы в статоре,
а вводить поправку на возбуждение машины некоторым
поправочным коэффициентом К. При этом верхнюю
rраницу области самораскачивания reHepaTopOB можно
определить из условия:
б = б п [ 1 + К ( q У] '
(11.9)
rде
R
6 п = arctg T .
q"iJ
Поправочный коэффициент l( зависит в основном от
,
R Xd"iJ - Xd"iJ
параметров Т dO' Т J, - И
xq"iJ Zq'iJ
На рис. 11.5 приведена зависимость коэффициента К.
от отношения -.!i. при т J = 6,25 сек; Т dO = 5,5 сек;
xq"iJ
,
Xd-X d
= 0,213. Последнюю можно исполь-
2 q "iJ
Е
q - l'
-- ,
u
82
З0вать при построении верхней области самораскачивания
в системе с любыми параметрами.
С учетом скаЗ8нноrо проверку простеишеи системы
на ВОЗМОlКность возникновения самораскачивания целе-
сообразно вести следующим образом: прежде Bcero
составляется схема замещения системы с учетом актив-
Horo сопротивления всех ее элементов. После этоrо
4
к
5
з
2
о
0.1
0,2
R/Xq
ента К от относительной величины активноrо
Рис. 11.5. Зависимость поправочноrо коэфФици-
сопротивления
Е
т J = 6,25 сек; Т do ::::;: 5,5 сек; J = 1;
,
Xd- x d
= 0,213
Zq
u R
нетрудно наити отношение -, характеризующее воз-
Xq"iJ
самораскачивания
reHepaTopa
при'
можную область
E q
и=О и
R
ба = arctgx-.
qB
По зависимости l( = f (-!5-) (рис. 11,5) определяется
Xq
значение поправочноrо коэффициента 1(. Если рассматри-
ваемая система имеет параметры, отличные от Т J =
83
,
Xd'D -х dD
= 6,25 сек, Т dO = 5,5 сек и i = 0,213, то в (11.9-)
Zf}]
вместо 1( ВВОДИТСЯ поправочный коэффициент /(', который
находится из соотношения:
T dO
К' = О,242К
T J
ZqI:
(11.1 О)
,
Xil-Xd
ZqD
Здесь Т J, Т dO' , - параметры reиераторов и си-
Xd- X d
О,
lpaO
70
зо
1
60
2
50
40
20
10
п
0,5
1
ElJ
7J
Рис. 11.6. rраницы области самораскачивания, получен-
ные точным и приближенным способами:
l-Т ([0= 1 Q сек; 2-Т do==7 се"
точные rраницы, - - - приближенные rраннцы
стемы, в которой выявляется возможность возникнО8е..
ния явления самораскачивания. После определения коэф"
84
фициента l( или 1(' соrласно (11.9), строится верхняя rpa-
E q
ница самораскачивания reHepaTopOB в координатах и и
. Нижняя rраница облает.и самораскачивания находится
по левой части неравенства (11.8), а именно:
- аrСSIП 2E q sin allQ + (111Q -<: .
и
epaa
50
40
30
20
10
О 45 /,0
и
Рис. 11 7. Расширение области саморас-
качивания за счет переходных процес-
сов в УПК при Т do= 5,5 сек; Т J= 14,4 се";
,
X = 0,48; xdD = 2,13; xqD =: 1,97; x dE =
= 1,32;
1 - с учетом переходных процессов в УПК,
2 - без учета переходных процессов в YJifK
Как следует из мноrочислеННbIХ расчетов и экспери-
ментов, полученные таким образом области самораска..
чивания reHepaTopoB с достаточной степенью точнрсти
характеризуют режимы системы, в которых возможно
появление самораскачивания (рис. 11.6).
Учет переходных процессов в установке продольной
емкостной компенсации (УПК) также расширяет об-
ласть самораскачивания системы. Например, если про-
дольная компенсация индуктивноrо сопротивления линии
передачи составляет примерно 400/0, то учет переходных
процессов в УПК расширяет область самораскачивания
(рис. 11.7). Увеличение области самораскачивания в этом
случае можно упрощенно учесть соответствующим из-
менением поправочноrо коэффициента К' в уравне..
85
нии (11.9), который при наличии в системе УПК может
быть определен выражением:
КУПI( = К' [1 + : (X E - Xqj] - 2Хс) Х С ]. (11.11)
(xd'f. - Хс) (Xq - Х с ) - R2
Здесь К' - поправочный коэффициент без УПК, най-
денный соrласио выражению (11.10) и рис. 11.5.
8,ерао
50
-- ----- .-----.-_....
40
зо
20
10
о
Vffg
и
Рис. 11.8. Построение rраницы области само-
раскачивания при изменении постоянной вре-
мени r J:
l-Т J=20 сек; 2-Т J=14,4 сек; 3-Т J=l 0,3 сек
т J = 8 сек
0.5
1,0
Верхняя rраница области самораскачивания в си-
стеме, имеющей УПК, находится в соответствии с зави-
симостью (11.12):
= б п [1 + К rш< ( E п · (П.l2)
Следует заметить, что если в разных системах имеет
R U 2 T dO z
место подобие - и ( q , ) , то эти системы бу-
Xq T J Xd - Xd
дут иметь одинаковую область самораскачивания. Послед.
нее условие дает возможность в случае необходимости
проследить влияние изменения параметров Т dO И Т J маши-
86
ны на области самораскачивания. Для этоrо нет необходи-
мости строить еще ряд областей самораскачивания при
различных Т dO и Т l' а достаточно изменить масштаб оси
абсцисс соответствующим образом.
Если область самораскачивания определена в коорди-
E q
натах б и и при заданном Т l' то при Т Jl будет прак-
о, PlJoO
60
50
40
ЗО
20
10
О 0,5 1,0 5 YE
Tdol lJ
Рис 11 9 Построение rраницы области самораскачивания
при изменении постоянной времени Т do:
l-Т do=7 сек, 2-Т do= 1 О сек, а-т do=5,5 сек
тически (рис. 11.8) та же обл асть самораскачивания, НО
в координатах () и Е; V 1 . При переходе от T do К
T dt масштаб по оси абсцисс необходимо изменить в') ( Т;;;
V T d01
раз (рис. 11.9).
Если проверка простейшей системы на самораска-
чивание покажет возможность появления периодической
неустойчивости при наrрузках, имеющих меето в экс-
плуатации системы, то следует рассмотреть эти режимы
более подробно с необходимыми уточнениями. В первую
очередь подлежит проверке влияние демпферных обмо-
87
ток на области самораскачивания и возможность устра-
u u u
нения самораскачивания соответствующеи настроикои
АРе и АРВ машины.
11.2. Устранение самораскачивания применением
демпферных обмоток
Надлежащим выбором параметров демпферных об-
моток можно исключить возможность появления само-
раскачивания reHepaTopOB в системе практически при
любых режимах.
Анализ поведения машины с демпферными обмот-
ками, работающей в простейшей системе (рис. 11.1),
проводится на основе линеаризованных уравнений
Парка --- ropeBa, которые при наличии у машины про-
дольно-поперечной демпферной обмотки имеют вид:
Р Фd + фq + Rdi d + (фqоР-U cos o) б= О
Фd-Р фq-Rlliq + (ФdОР +Usiпб о ) t1 =O
ТJр2 б + i qо t1Фd + Фdо iq - idо Ч'q-
- фqо Ili d = О
tfd = x d (р) b.i d =
" 2 (' )
fJdDTdoT DXdEP + xdETdo +Х 1Е Т D P+XdD
Ai d
fJ dD Tdo T Dp2 + (T do + Т D) Р + 1
"
/1,1. = Х (р) 6.; = XqD T QP + x qD 6.;
'f q q q т QP + 1 q
. (11.13)
}
Ilервые два уравнения отражают протекающие в цепи
статора переходные процессы. Третье уравнение - элек-
тромеханический переходный процесс движения ротора.
Последние два уравнения - электромаrнитный переход-
ный процесс, протекающий в цепях ротора.
Характеристическое уравнение системы имеет cJIe-
дующий вид:
аор7 + а 1р 6 i- а2р5 + а з р4 + а.р3 + а5р2 +
+ а 6 Р + а 7 :::: О. (11.14)
Входящие в выражения коэффициентов ао+а7 *
* Выражения для коэффициентов уравнения (11.'4) приведены
н ПрИJlожении 2.
88
режимные параметры MoryT быть определены, исходя
из установившеrося режима, для KOToporo мож'но за-
писать:
U dO = -Usiпб о = -фqO-Ri dо )
U qo = и cos б о ; = ФdО -Ri qo
ФdО = dO + Xdl1i dO = E qO + (11.15)
+ xqEi dO
фqО = xq'Ei qO }
Учет переходных процессов, протекающих в демпфер-
ных обмотках синхронных машин, повышает степень
характеристическоrо уравнения по сравнению С уравне-
нием (11.2). Анализируя характеристическое уравне-
ние (11.14) системы на устойчивость с помощью кри-
т-ерия Рауса, получим области периодической неустой"
чивости для машины с демпферными обмотками. При
этом получается, что продольная демпферная обмотка
оказывает незначительное влияние на возможную об-
ласть самораскачивания reHepaTopa. Это объясняется
тем, что она располаrается в одной оси с обмоткой
возбуждения машины и при малых паrрузках создает
также отрицательный демпфирующий эффект.
Аналитические исследовании по выявлению области
устойчивости в координатах Т J И Т D для режима холо.
CToro хода (как наиболее опасноrо с точки зрения воз-
дикновения самораскачивания) показывают; что изме-
нением параметров продольной демпферной обмотки
невозможно устранить самораскачивания.
Наличие поперечной или полной демпферной обмотки
вызывает перемещение областей самораскачивания в
сторону большеrо возбуждения машины и тем самым
создаются условия полноrо устранения caMOp-з'скачи-
:\Зания в нормальных эксплуатационных режимах
(рис. 11.10).
Последнее можно объяснить следующим: демпфи-
рующий момент синхронной машины при малых колеба-
ниях можно приближенно раздеЛffТЬ на две составляю-
щие. Одна из них создае)'ся обмоткой возбуждения и
пр дольным демпферным контуром, а друrая - попе..
реЧf!ОЙ демпферной обмоткой. При работе в области
самораскачивания обмотки, расположенные в продоль-
ной оси, развивают отрицательный демпфируюший !.tO.
89
мент, а поперечная демпферная обмотка, ось которой
перпендикулярна оси d, - положительный демпфирую-
щий момент. Самораскачивание будет возникать только
тоrда, коrда отрицательный демпфирующий момент об-
мотки возбуждения больше положительноrо, развивае-
Moro поперечной демпферной обмоткой. Если параметры
поперечной демпферной обмотки заранее заданы, то
Рис. 11.10. Влияние параметров демпферной обмотки на
область самораскачивания при Т do = 5,5 сек:
l-TD =0, Т Q=O; 2-Т D =0,0118 сек, Т Q=0,q0995 сек;
3-Т D = 0,0236 сек, Т Q=.o,O 1 99 сек
самораскачивание будет иметь место при повышенном
возбуждении, машины (рис. 11.10), что увеличивает со-
ставляющую демпфирующеrо момента от обмотки воз-
буждения. Таким образом, важное значение в устране-
нии самораскачивания синхронной машины имеет попе-
речная демпферная обмотка. Следует заметить, что даже
слабые демпферные обмотки MoryT полностью устранить
самораскачивание. При этом минимальные значения
постоянных времени демпферных обмоток находятся
в пределах нескольких сотых секунд (0,01-0,03), а
максимальные составдяют величину порядка полутора
секунд (рис. 11.11). Верхнее оrраничение выполняется
всеrда, поскольку даже для турбоrенераторов с массив..
ными роторами ПОСТОЯliНые времrни эквивалентных
демпферных контуров имеICТ значения порядка
п,3+0,5 сек. Нижнее оrраНН' fiие в выпоре постоянной
90
времени поперечной демпферной обмотки также весьма
нетрудно обеспечить конструктивно.
ПОСТОЯННУIО времени Т Q, при которой полностью
устраняется самораскачивание в нормальных эксплуа-
тационных режимах, можно определять приближенно.
Приводимое ниже выражение относится к режиму хо-
лостоrо хода, как наиболее тяжелому:
т J E;oR2 (X dE - X E) (X EXqE + R2 )
T Q >-. +
Т '8 ( " )
do x d1J x qE - x qE
+
( '! 2 )
R xdE-R
(11.16)
.
X (X qE - X E)
/oJ
GJ=o,01
0,015
0,02
OOb/IIHOC
3HQlICHIJC
,
рао
10
1,0
10
/02
10 З
7 Q ,рад
Рис. 11.11. Область самораскачивания в координатах
E do E qo
Т Q' Т], при б о -= О; и = и = 1
Неравенство (11.16) получено на основании рассмот-
рения характеристическоrо уравнения системы (11.14)
при Тр= О. Последнее допущение вполне приемлемо,
поскольку продольная демпферная обмотка практически
не влияет на условия самораскачивания.
Ошибка в определении Т Q, получающаяся при поль-
зовании приближенным выражением (11.16) вместо ме-
тода Д-разбиения, невеликз.
91
Если в системе имеется УПК, то требования, предъ-
являемые к параметрам поперечной демпферной об-
мотки, повышаются. При этом параметры демпфеРНQЙ
обмотки, позволяющие исключить возникновение само-
раскачивания в системе, находятся по слеДУI9щему
выражению:
т J Eg o R2 (X dE - X E) r (X E - Х С ) (x qE - .хс) + R2 J
>-. +
T do (х:т - xC)3(x q }) - Х;Е)
[(X E - xc)2-RsНх D - хс) + 4хс (X E - хс)2 R (11.17)
+ ( , )з(,'' ) ·
Xd! - хс X qD - X qD
-118 -)54 aj54
I 1 1
J9б }48
Рис. 11.12. Схема, принятая в опытах по сам-ораскачиванию, при
,
xd=4 1 8 ом, Xq=3,25 ом, xd=I,63 oM;-Тdо=5,5 сек, T J =14,4 сек
Сопоставляя выражение (11.17) снеравенством (11.16),
можно заметить, что вследствие учета переходных про-
цессов -в УПК в выражении (11.17) по сравнению с (11.16)
( , )2
4Rx c x dD - Хс
появилась цовая составляющая , ко-
(X E - ХС)З(Х qЕ - Х;Е)
торая вызывает увеличение минимальноrо значения Т Q
u u
В зависимости от степени продольнои емкостнои компен-
сации реактивноrо сорротивления передачи, однако и при
этом не требуется мощной демпферной обмотки для УСТ-
ранения самораскачивания.
В проблемной лаборатории электрических систем
A10CKoBcKoro энерrетичеекоrо института были проведены
92
экспериментальные исследования влияния демпферных
обмоток на условия возникновения самораскачивания.
Экспериментальная схема приведена на рис. 11.12.
В рассматриваемом случае ротор модельноrо reHepa..
тора снабжен полными демпферными обмотками. По..
стоянные времена Т Q И Т D имеют значение порядка
0,2-0,3 сек. В середине линии была включена уста..
новка ПрОДОЛЬНОЙ емкостной компенсации ХС = 36 ом)
компенсирующая 800/0 индуктивноrо сопротивления пе-
редачи; в начале линии было включено активное сопро..
тивление 3,2 ом, что соответствовало увеличению актив-
иоrо сопротивления примерно в шесть раз. Заметим,
что даже при Таком весьма тяжелом режиме в системе
не наблюдалось параметрическоrо самораскачивания.
При отсутствии же на reHepaTope поперечной демпфер..
ной обмотки 'Самораскачивания в системе наблюдалось.
Следовательно, соответствующим подбором параметров
поперечной обмотки можно исключить возможность воз-
никновения самораскачивания.
11.3. Определение настройки автоматическоrо
реrУJlЯТЬра возбуждения, уетраняющеrо
самораскачивание
Устранение самораскачивания возможно не только
при помощи поперечных демпферных обмоток, но и
с применением автоматическоrо реrулирования возбуж..
дения синхронных машин.
Определим требования, которые необходимо предъ-
явить к АРБ дЛЯ устранения с ero помощью саморас..
качивания путем управления возбуждением машины,
полаrая при этом, что реrуляторы одновременно должны
обеспечивать как устойчивую передачу максимальной
мощности, так и отсутствие самораскачивания маШйнЫ
при малых наrрузках. При этом необходимо выявить,
возможна ЛИ общая настройка реrуляторов возбужде-
ния, выполняющих обе эти функции.
Аналитические исследования возможности устране-
ния самораскачивания reHepaTopoB в простейшей системе
при помощи АРБ MoryT проводиться на основе ли-
неаризованных в точке исходноrо режима уравнений
Парка - rOpeBa. Для простейшей системы (рис. 11.1),
93
reHepaTopbI которой не имеют демпферных обмоток, ука-
занные уравнения имеют вид:
рl:1Фd + l:1фq + Rl:1i d + (фqоР- и cos o) d = О )1
Фd - Р фq - R iq + ( dOP + и sin o) l:1 = О
Т J р2f 1 б + iqО Фd- idO фq - фqо id + фdоАiq=О ,
Ь.Фd = х; (р) Ai d + G (р) UfE/ (' (11.18)
l:1'f q = x q (Р) t1i q I
l:1U/ d = W (р) l:1П )
r е W ( ) = 1 (К + К 1п Р + К 2 пр 2 )
Д Р (TeP+l)(Tpp+l) оп ТрР+ 1 Тр! + 1 ·
Символ «П» обозначает параметры (б, i, U r ), по
которым может проводиться реrулирование возбужде-
ния. W(p) представляет собой передаточную функцию
реrулирующей системы, в которой учтены переходные
процессы, происходящие в реrуляторе и возбудителе.
Постоянные времени Т р1 И Т р2 учитывают запазды-
вание в дифференцирующих устройствах. Коп, К 1 п и К2п
являются коэффициентамЦJ усиления по отклонению ре-
rулируемоrо параметра и ero производным.
Из уравнений (11.18) видно, что изменение потоко-
сцепления R продольной оси зависит от реакции статора
!:1i d и напряжения обмотки возбуждения l:1U /d, которое
изменяется реrулятором возбу>кдения.
Реrулируемый параметр !:1П можно выразить через
l:1i d , l:1i q и l:1 в виде:
ДП = м (р) id + Л/ (р) iq + L (р) !J.б. (11.19)
Выражения М (р), N (р) и L (р) имеют вид:
а) для реrулятора по напряжению:
[ Urdo U rqo ]
М (р) = - (R + )СвиР) u - Х ВН и
ro то
[ lJrdo U rqo ]
N (р) = - Х нн U ro + (R + ХвнР) U ro
[ и; (11.20)
L (р) = - (ХвиiqоР - и cos бо) rdo - (ХвиidоР +
Uro
U rqo ]
+ и sin o)
Ито
}
94
б) для реrулятора по току:
М (р) = i o
ео
i qO .
N (р) = --:- ,
ео
L(p) = О
в) для реrулятора по уrлу:
М(р) = о,
/v(p)=0
L (р) = 1
(11.21 )
(11.22)
Решая систему уравнений (11.18) с учетом соотно-
шения (11.19), получим характеристическое уравнение
вида:
D (р) = т Jp2 {[px d (р) + R] fpx q (р) + R] + x d (р) x q (р)} +
+ [px d (р) + R]IФdО - idOx q (Р)][ФdОР + и sin б о ]-
- [px d (р) + R] [iqx d (р) - ФqоНФqоР - и cos бо] -
- x d (р) [ФdО - idOx q (р)] [фqоР - и cos бо] - x q (р) Х
+ [iqOx d (р) - фqо] [ФdОР + и sln бо] +
+ О(р) W (р) м (р) {Т Jp2 [(р2 + 1) x q (р) + pR] - [px q (р) +
+ R) iqо[фqоР - и cos oJ- x q (р) i qo [ФdОР + и sin бо] +
+ р [ФdО - idOx q (Р)][ФdОР + и sin бо] - [ФdО - idOx q (р)] Х
Х IфqоР - и cos ба]} - G (р) W (р) N (р) {T J p2R-
- [фqоР + iqoR] [ФdОР + и sin б о ] + фqо [фqоР - и cos бо]} +
+ G (р) W (р) L (р) {R [px q (р) + R] i qo + R [ФdО - idOx q (р)] +
+ фqО [(р2 + 1) Х а (р) + Rp]} = о. (11.23)
Задача исследования уравнения (11.23) заключается
u u
В определении оптимальнои настроики реrулятора, при
95
которой обеспечивается устойчивая работа системы при
всех возможных режимах. Подобный анализ в общем
виде представляет значительные трудности.
Если пренебречь запаздыванием в дифференцирую-
u
щих устроиствах, что, как показывает анализ, не дает
u
значительных поrрешностеи, то характеристическое
уравнение (11.23) упрощается, приобретая вид:
1) при реrулироваnии по току:
D(p) = (ТеР + 1) (ТрР + 1) (а о р 5 + a1fJ' + а 2 р3 + азPJ-+
+ а 4 Р + arJ + (Ьор' + b 1 P 9 + Ь 2 р2 + Ьзр + bjJ (/(Oi + Ktp +
+ /(2#) = о, (11.24)
rде ао+аб пояснены ранее, а Ь О +Ь 4 определяются выра.
жениями:
Ь - т х ido.
О - J q11 -:- ,
е о
bl=TJR i O ;
10
Ь 2 = jT J X q 11 + [(Фdо- i dоXg11)ФqO-Ф:О]) ldo -
'о
-(ТJR-ФdОфqG} l o ;
10
Ь з = - [(ФdО - idox,E) фqо + (ФdО + iqoR) фqо - (ФdO-
- i a oXgll) U sin Б О - фqоU cos б о 1 l o + (RiqOФdО +
lo
+ Ф qOU sin O - ф:о) l o ;
ео
b = - [ФqоV sin Б О - (o/dO - i dO x g 11 + iqoR) V сos боJ l o +
'0
i qO
+ iqO (xqJ и cos а о +RU sin o] t; ·
96
2) при реrулировании ПО уtлу:
D (Р) = (ТеР + 1) (ТрР + 1) (а о р 5 + a1pi + а 2 р'3 + а з р 2 +
+ а 4 Р + arJ + (Ь ор 2 + btp -t- Ь 2 ) (Коо + K10 Р +
+ K2 р 2 ) = О, (11.25)
Ь о = XqE qO;
rде
Ь 1 = 2R qo;
Ь 2 = R (ФdО - idoXq ) + (фqоХq + i qo R2).
3) при реrулировании по наПрЯ)I{ению на зажимах
reHepaTopa:
D (р) = (ТеР + 1) (ТрР + 1) (а о р 5 + a t p4: + а 2 р 3 + азр2 +
+ а 4 Р + а 6 ) + {(Ь о р4 + b lp 3 + Ь 2р 2 + Ьзр + Ь 4 ) [(R +
UrdO U rqo ] ? ., [ UI'dO
+ ХвнР) и - Хен U + (Сор- + C1p + С 2 ) Х ВН и +
ro rn ro
Urqo] ( 2 [.
+ (R + ХвнР) U ro + dop + d.lP + d 2 ) (ХвиtqоР-
Urdo . . U rqo ]}
-Uсоsб о ) U ro -(Х 8н t d ОР +Usщб о ) U ro (K oиr +
+ KturP + K 2urP 2) = О.
(11.26)
Здесь ао+а Б пояснены ранее, а значения Ь о +Ь 4 ' С О +С 2
И d o +d 2 определяются следующими соотношениями:
Ь о = -ТJХqD;
Ь } = -TJR;
Ь 2 = - TJXqt -- [( dO - idOXq ) ФdО - Ф;о];
Ь в = ( dо-idОХqD) qo+( do+iqoR) фqо - ( dO - Xq idO) и sin ()О-
- qOU cos ()о;
97
Ь 4 = qoV sin o - ( dO - idOxq}J + iq ) U cos o;
со =-= TJR - dO qO;
С 1 = - (- ф о + RidO'fdO + ФqоU sin o);
С 2 = - i qo (xq}JU cos O + RU sin o);
d o = - Хq}Jфqо;
d 1 = - 2R qo;
d 2 = - [i qo R2 - qOXq}J + R (- idOxqD + ФdО)].
Параметры режима системы 'l'qOt 'l'QO, i dO , i Qo МОЖНО
получить из уравнений установившеrося режима:
U dO = -Usin o = -Фqо.-Ri dо 1
U qO = U cos 60 = dO - Rt qo
Фd(J = E dO . + XdD i dO J ·
qO = x'l}J t qO
(11.27)
Задавшись по тем или иным соображениям видом
реrулирования возбуждения, исследуем одно из уравне-
ний системы (11.24)-(11.26) на устойчивость любым из
известных методов. Наиболее целесообразным в этом
случае является применение критерия Рауса или метода
Д-разбиения.
В результате анализа определяется настройка pery-
лятора и коэффициенты усиления по принятому пара-
метру реrулирования, при установке которых в сист-еме
исключается появление самораскачивания reHepaTopOB.
Следует иметь в виду, что если в уравнениях
(11.24)-(11.26) К 1п и К 2п принять равными нулю, то
получим случай, корда на синхронной машине установ-
лен реrулятор пропорциональноrо типа.
Приведем результаты аналитических и эксперимен-
тальных исследований различных типов АРБ с целыо
выявления возможности устранения периодической не-
устойчивости reHepaTopOB при малых наrрузках.
На основании анализа уравнения (11.24) * МОЖНО
* Коrда К1l и K 2 l равны нулю.
98
сказать, что при наличии на reHepaTopax системы ком-
паундирования для устранения самораскачивания ма-
шины необходимо настраивать реrулятор на отрицатель-
ный коэффициент усиления (рис. 11.13). Это означает,
что при увеличении тока статора реrулятор воздействует
на уменьшение возбуждения. При этом напряжение на
шинах передающей станции падает не только за счет
X Ol
0,3
0,2
0,1
О tf.zprJд
- 0,1
-0.2
-0,,3
Рис. 11.13. Настройка АРБ по току для устранения самораскачи-
вания при Те =0:
1 ;]о... с учетом переходных процессов в цепи статора, 2 - без учета пере-
ходных процессов в цепи статора, 3 - путем сдвиrа кривой 2
падения напряжения в сопротивлениях схемы, но и в ре-
зультате снижения возбуждения, что, естественно, небла-
rоприятно сказывается на работе наrрузки, питающейся
с шин станции, и сохранении устойчивости системы при
больших уrлах б. Если же напряжение на зажимах
reHepaTopoB поддерживается корректором напряжения,
то устранить самораскачивание не удается даже при
изменении настройки TaKoro реrулятора в широких
пределах.
При рассмотрении возможности устранения само-
раскачивания при помощи электронно-ионноrо реrуля-
тора напряжения анализируется уравнение (11.26)
с учетом Toro, что K1ur=K2ur=O. Области устойчивости
в координатах б и K our для этоrо случая приведены на
99
рис. 11.14. Пунктирная прямая разделяет ось абсцисс
на две части. Левая часть соответствует зоне саморас-
качивания при отсутствии реrулятора напряжения. Из
рис. 11.14 видно, что для устранения самораскачивания
необходима определенная настройка АРБ. Коэффициент
усиления реrулятора при малых наrрузках (6<40°) дол-
)кен быть больше Kour = 2-3. Если синхронный reHe-
ратор работает при больших наrрузках (6)60°), то
6 /{ov r
4
2
о
20
40
60
80
Ь,ерао
Рис. 11.14. Настройка АРВ по напряжению для устранения
самораскачивания при Т е == О:
1, 2 - при учете переходных процессов в цепи статора; 11, 21 - без
у чета переходных процессов в цепи статора
в целях устранения перереrулирования нельзя настраи-
вать реrулятор на коэффициент усиления больше 2,5-3.
Целесообразная настройка реrулятора должна выпол-
нять оба указанные условия. Например, если реrулятор
напряжения имеет коэффициент усиления Ko ur =2,4, то
система, показанная на рис. 11.1, может устойчиво ра-
ботать при уrлах 6 л = 10-;-90°. Следует заметить, что
настройка рассматриваемоrо реrулятора мало зависит
от коэффициента мощности передающей станции. По-
следнее обстоятельство облеrчает ero настройку.
Рассмотрим возможность устранения самораскачива-
ния при помощи АРБ сильноrо действия.
Самораскачивание в системе возникает за счет
отрицательноrо демпфирующеrо момента, развиваемоrо
синхронной машиной при малых наrрузках. Для кам-
100
пенсации эrОI'U момента необходимо иметь положитель-
ный демпфирующий lVIOMeHT. Такой момент может
создать реrулятор, реаrирующий на производные pery-
лируемоrо параметра.
К,;
Х 2 .]
-зо
Рис. 11.15. Настройка АРВ, обеспечп.
вающая vстранение самораскачива.
ния и передачу максимальной мощ-
E d
насти по линии при U == 1, KOi ==
===0,455, Те ===0
Исследования возможности устранения самораска-
чивания АРБ сильноrо действия сводятся при этом
к поискам областей устойчивости по коэффициентам
К 1П и К2П, Так как все коэффициенты уравнений (11.24)-
(11.26) при малых наrрузках существенно положительны,
то их анализ на устойчивость проводится с помощью
метода Д-разбиения.
Результаты анализа показывают, что АРВ сильноrо
Действия по току и уrлу (частоте) устраняют саморас-
качивание. При этом необходимо вводить в закон
101
реrулирования производные отклонения тока или уrла
Однако область устойчивости охватывает достаточно)
большую площадь в плоскости положительных коэф-
фициентов усиления по производным, поэтому настройка
реrулятора сильноrо действия для устранения саморас-
качивания не может вызывать затруднений. Обычно при
передаче максимальной мощности по линии требова-
ния, предъявляемые к настройке реrулятора, оказыва-
ются более жесткими. Тем не менее возможно иметь.
общую настройку реrулятора как для обеспечения
периодической устойчивости reHepaTopa при малых на-
rрузках, так и апериодической устойчивости при пере-
даче по линии максимальной мощности (рис. 11.15)..
Результаты расчетов и аналитических исследований про-
верены экспериментально в проблемной лаборатории
электрических систем Л10сковскоrо 9нерrетическоrо ИН-
ститута.
Схема для экспериментальных исследований на
динамической модели изображала линию передачи
Волжской rэс - Л10сква. Модельный синхронный [ене-
ратор не имел демпферных обмоток; в середине линии
была включена установка ПРОД<JЛЬНОЙ компенсации,.
компенсирующая 42 О/О реактивноrо сопротивления ли-
нии передачи. В начале линии (за повышающим транс-
форматором) включалось дополнительное активное
сопротивление, увеличивающее сопротивление передачи
в пять раз. При проведении эксперимента reHepaTop
снабжался соответствующим реrулятором возбуждения,
с помощью KOToporo исследовалась возможность устра-
нения ero самораскачивания.
На рис. 11.16 приведена осциллоrрамма, показываю-
щая процесс устранения самораскачивания при помощи
АРБ сильноrо действия по частоте (уrлу). До момента
включения АРБ сильноrо действия наблюдается само-
раскачивание reHepaTopa, и амплитуда колебаний уrла ()
достиrает 470, а отношение маКСИl\fальноrо тока к ми-
нимальному приближается к 2. Как видно из осцилло-
rpaMMbl, после включения АРБ колебания быстро зату-
хают, и примерно через одну секунду система возвра-
щается к исходному режиму, продолжая в дальнейшем
работать устойчиво.
Рассмотрим влияние учета переходных процессов в
статоре на область устойчивости системы и настройку
102
реrуляторов для устранения самораскачивания. Уравне-
ния (11.24)-(11.26) учитывают переходные процессы
в статоре, поэтому области устойчивости, определенные
по этим уравнениям, дают полную картину настройки
реrулятора в рассматриваемой зоне.
Отказ от учета переходных процессов в статоре дает
возможность упростить уравнения (11.24) - (11.26), что,
Момент 6КЛЮIIВНШl АРН CUIIIJIIOeD Веист4иll по '10стоте (geлу)
Рис. 11.16. Осциллоrрамма, иллюстрирующая процесс устранения
самораскачивания с помощью АРБ сильноrо действия
-естественно, сокращает необходимую расчетную работу,
однако при этом можно получиtь неправильный ре-
зультат.
Если пренебречь переходными процессами в статоре
и запаздыванием в дифференцирующих устройствах, то
характеристическое уравнение системы (рис. 11.1) имеет
вид:
йор5 + (a 1 + йl) р4 + (а 2 + Й2) р3 + (аз + аз) р2 +
+ (й. + й.) р + а 5 + a6 = О, (11.28)
rде
,
а о = T]TdTeT p ;
Ql = Т] (T Te + T Tp + ТрТ р );
а 2 = SE'dT ТеТ р + Т J (T + Те + Т р );
,
аз = SEdTeTp + SE'dTd (Те + Т р ) + T J ;
103
,
а 4 = SEd (Т(' + Т р ) + SE'dTd,
а б = SEd.
Здесь
, 2
, XdIJX qIJ + R
T d = T dO + R2 ·
Х dIJXqIJ
Добавки к коэффициентам характеристическоrо
уравнения (11.28) i1 a 1, i1a2, i1аз, i1a4, i1as зависят от
способа реrулирования возбуждения. Приняв тот или
иной вид реrулирования, а соответственно и добавки
к коэффициентам уравнения, можно получить уравне-
ния, аналоrичные (11.24), (11.25) и (11.26).
В табл. 11.2 даны выражения для добавок к ко-
эффициентам характеристическоrо уравнения (11.28)
в зависимости от вида реrулирования возбуждения.
В соответствии с уравнением (11.28) и табл. 11.2
были определены области устойчивости системы при
наличии на reHepaTopax различных типов АРВ. Сравне-
ние результатов, полученных точным и упрощенным ме-
тодами, показывает, что если на reHepaTope имеется
система компаундирования, то область устойчивой ра-
боты системы оrраничивается кривой 2 (рис. 11.13), если
не учитывать переходные процессы в статоре. Область
устойчивости системы, оrраниченная кривой 1, найдена
по уравнению (11.24) с учетом переходных процессов
в статоре. Сопоставляя области устойчивости, оrрани-
ченные кривыми 2 и 1, замечаем, что отказ от учета
переходных процессов в статоре дает большую поrреш-
ность в определении настройки реrулятора.
Однако, если кривую 2 переместить вправо парал-
лельно самой себе в соответствии с расширением обла-
сти самораскачивания, вызванным переходными процес-
сами в статоре (кривая 3), то получим область
устойчивости, которая приближенно соответствует об-
ласти, построенной по точным уравнениям. Например,
при отказе от учета Iпереходных процессов в статоре
область самораскачивания (рис. 11.13) будет соответ-
ствовать уrлу б= 16,50, а при учете переходных процес-
сов в статоре, эта область расширяется до уrла 6=380.
Выполняя построения, показанные на рис. 11.13, при-
ближенно найдем область устойчивости, близкую об-
ласти, построенной по полным уравнениям: Уrол 6,
104
*
С'1
с'о .. Щ
::f LQ
<] ее
о
\о
<]
со)
<]
<]
.,..,
/;j
<]
.. щ
ю
-
.. щ
:::J
CIJ
I
.. щ ..
:::::>
о
..t::e
1
h
.. щ .. :::J
:::,
с
I
1
<1
::::>
<:)
.tt
'О
- - -
,о;: '-с> '-с> '-с>
"'::S:::s: <1 <J <J
O :I:
(.) >. c':j (<) к> ю
O a;) О
C::Q)O
v о.. р.
-.....
tq
CIJ
.. щ
........
J 1 1
.. 'С"
........
.. [.ц
'---'
.
с>
..t::e
:::J
CIJ
1 1
.. .. :::J
:::::>
1""'1
-tt
,,-....
CIJ ........
.. .. :::J h
1
:::> "'-"
C'J .....
-tt с>
h
.. щ .. 1 I
:::::>
1""'1
h
1 I 1
.. LЦ .. :::J
с..
:::::>
с'1
::::> :::::> ........
<1 <1
::::> .
о
,...j с-1
..с:с
- -
...--.....
tq
CIJ
..
........
... (-О
........
"1:::!
.. Щ
с..
--- c'f)
.....
1""'1 ::s::
::s::
- - Q)
....--..... о
::s::
CIJ о..
"1:::! 1::
.. Щ
........
::5
.. '-0 ro
........
...
.. щ IQ
'- <J
I
,...j
- - <J
Lt.1
........ ::s::
Ef
h
1
- о
----
.....
1""'1 ...
::t=
::s::
-... ::r
::s::
"1:::! I:j
Щ а.>
........
'""') t:1::
Е---с ::s::
1 ::t=
а.>
----
;j с'о
о...
.tt ::5
- -
........ ........ *
<J <J
. N
..r:c
Рис. 11.17. ВЛ1'tяние переходных
процессов в цепи статора на rpa-
ницу области устойчивой работы
Е
u q l'
реrулируемои машины при U == ,
6= 16,5°; Те =0, K Oi =0:
оrраничивающий область самораскачивания при задан-
Е
ном -.!L и учете переходных процессов в статоре, должен
и
при этом находиться из выражения (11.9).
При наличии на reHepaTopax электронно-ионноrо
р.еrулятора напряжения
получаем ту же картину.
На рис. 11.14 кривыми }'
и 2' показаны области
устойчивости при прене-
брежении переходными
процессами в статоре;
кривые же } и 2 по-
строены по полному урав-
нению (11.26). Разница в
областях устойчивости,
полученных обоими мето-
дами, невелика. Требова-
ния, предъявляемые к на-
стройке реrулятора при
учете переходных процес-
сов в статоре, более жест.
K 2l ки, так как области устой-
ч чивости, оrраниченные
кривыми }' и 2', меньше,
чем области, оrраничен-
ные кривыми 1 и 2.
Разницу в областях
можно свести к очень не-
значитеЛьньtм поrрешно-
стям, если переместить
параллельно саIvIОЙ себе
rраницу области устойчи-
вости, которая находится
без учета переходных
1 - без учета переходных процессов процессов в статоре та-
в цепи статора, 2 - с учетом перехоц- ким образом, чтобы она
ных процессов в цепи СТатора
проходила через ось абс-
Е
найденном при известном --.!.L по СООТ-
и
K 1L
1
z
-20
цисс при уrле б,
ношению (11.9).
Учет переходных процеССО8 е статоре при наличии
на reHepaTop x АРБ сильноrо действия (по току, уrлу
106
или частоте) несколько сужает область устойчивой ра-
боты по сравнению с областью, определенной без учета
переходных процессов в статоре. Друrими словами, для
учета переходных процессов в статоре требуется более
тщательная настройка реrулятора (рис. 11.17). Но раз-
ница областей устойчивости, полученных обоими мето-
дами, невелика.
Учитывая сказанное выше, при прибли:tкенном вы-
боре настройки реrулятора сильноrо действия для
обеспечения устойчивой работы системы в области само-
раскачивания можно отказаться от учета переходных
процессов в статоре, что HaMHoro облеrчит расчетную
работу, связанную с построением областей устойчивости.
При этом выбор настройки АРВ сильноrо действия сле-
дуеr проводить для режимов работы, оrраничивающихся
R
уrлами 6 arctg-.
X qE
При рассмотрении друrих способов реrулирования
после построения области устойчивости без учета пере-
ходных процессов в статоре (б:s:;;аrсtg ) следует пе-
X qE
реместить rраницу устойчивой области в соответствии
с выражением (11.9).
Настройку реrуляторов следует проверить экспери-
ментально. Сочетание теории и эксперимента при про-
ведении исследований помоrает выявить возможные
допущения в решении поставленной задачи, которые
с одной стороны заметно упрощают анализ и сокра-
щают расчетную работу, с друrой - не вносят больших
поrрешностей в результаты исследований. В данноrvt
случае таким упрощением является отказ от учета
переходных процессов в статоре.
rЛАВА ///
САМОВОЗБУЖДЕНИЕ В GЛОЖНОй СИСТЕМЕ
111.1. Построение областей самовозбуждения
reHepaTopOB, работающих в сложных системах
При проектировании и эксплуатации сложных элек
трических систем, а также сооружении новых линий
электропередач возникает необходимость проверки их
на отсутствие самовозбуждения синхронных машин.
С подобной задачей приходится встречаться и в про-
цессе эксплуатации промышленных предприятий, rде
имеются крупные асинхронные двиrатели с продольной
или поперечной компенсацией.
Область самовозбуждения в сло)кных системах
больше, чем в системе «станция - шины». Это объяс-
няется тем, что реакционные и асинхронные мощности,
за счет которых возможно возникновение самовозбуж-
дения, создаются в таких систеI\1ах всеми синхронными
машинами, входящими в их состав. Следовательно, при
определении условий самовозбуждения электрических
машин сложных систем необходим учет всех станций,
работающих в системе.
Точный метод проверки системы на самовозбуждение
заключается в том, что для ка)I{доrо ее элемента С'о-
ставляются полные операторные уравнения, характери..
зующие переходный процесс. Исследование получаю-
щеrося при этом характеристическоrо уравнения дает
возможность построить области самовозбуждения rеие-
раторов. Здесь так же, как и в простейшей системе,
108
130ЗМОЖНЫ зоны синхронltоrО и аСИНХрОННОrо самовоз-
буждения.
Анализ характеристическоrо уравнения сложной си-
стемы с целью построения зон самовозбуждения сопря-
жен с рядом трудностей. Остановимся на этом по-
дробнее.
Порядок характеристическоrо уравнения сложной
системы с сосредоточенными параметрами приближен-
но определяется СООТНОIllением:
n = lп + 21,
(111.1)
rде т - число электрически не связанных м:ежду собой
обмоток на роторах машин. При этом демпферные
клетки роторов представляются двумя эквивалентными
контурами в осях d, q; l - число степеней свободы
статорных цепей.
Из уравнения (111.1) можно видеть, что усложнение
электрической системы и увеличение числа входящих
в нее машин приводит к резкому повышению порядка
характеристическоrо уравнения. Например. для схемы
с тремя синхронными машинами (рис. 111.8,6), снаб-
женными продольно-поперечными демпфеРНЫlVlИ конту-
рами, m==9, а l==4. Следовательно, характеристическое
уравнение трехмашинной системы будет иметь 17 -й по-
рядок. Безусловно, сам по себе вывод характеристиче-
cKoro уравнения такой высокой степени не прост, тем
более затруднено ero аналитическое исследование. Этот
путь решения задачи трудоемок даже при исследовании
на электронных вычислительных машинах.
Построение областей самовозбуждения сложной си-
стемы целесообразно проводить при помощи частотноrо
метода; при этом, как указывалось ранее, нет необхо-
димости получать в общем виде полное характеристи-
ческое уравнение.
Покажем построение этим методом зон самовозбуж-
дения машин в системе, имеющей две станции, соеди-
ненные между собой через Хс, R и пассивный четырех-
полюсник С (рис. 111.1).
Для получения характеристическоrо уравнения за-
пишем уравнения переходных процессов во всех эле-
ментах системы.
109
Дифференциальные уравнения для каждой фазы k
четырехполюсника С будут иметь вид:
U 1k (р) = Zl1 (р) i 1k (р) + Z12 (р) i 2k (р),
U 2k (р) = Z21 (р) i 1k (р) + 222 (р) i 2k (р).
Эту систему уравнений можно преобразовать, введя
оси d, q, жестко связанные с ротором какой-либо из
с
i 2
---
17-1
r-2
Рис. 111.1. Схема системы JlBYX станций, соединенных
через емкость и четырехполюсник С
машин. Допустим, что система координат d, q четырех-
полюсника С неподвижна по отношению к осям первой
маПIИНЫ. При этом уравнения статических цепей си..
стемы в матричной форме запишутся так:
U dl (р)
и ql (р)
и d2 (р)
и q2 (р)
Ан (р) 811 (р) А 12 (р) 812 (р) -
- В н (р) Ан (р) - В!2 (р) А!2 (р) Х
А 21 (р) В 21 (р) А 22 (р) 822 (р)
- В 21 (р) А 21 (р) - В 22 (р) А 22 (р)
i d1 (р)
Х i q ! (р)
i d2 (р)
i q2 (р)
(111.2)
Уравнения Парка - [орева для синхронной машиныI
110
r -1 и линии передачи ХС и R можн{) записать в сле-
дующем виде:
U d1 (р) = - [PX d1 (Р) + R + р::; 1 ] i d1 (Р) +
+ [X q1 (р) - p2X 1 ] i q1 (р) = М 1 (р) i d1 (р) +
+ N 1 (р) i q1 (Р)
U q1 (р) = [X d1 (р) - p2X 1 ] i d1 (р) - [PX q1 (Р) +
+ R + p: 1 ] i q1 (р) = L 1 (р) i d1 (р) + K 1 (p)i q1 (p)
Уравнения Парка - ropeBa для машины r -2, запи-
санные с помощью координат d, q, связанных с ротором
второй маШИНЫ 1 представим следующим образом:
и 2 = - PX d2 ,(P) ё 2 (р) - X q2 ( ) ё 2 (р) J.
U q2 = X d2 (р) id2 (р) - PX q2 (р) i q 2 (р)
Уравнения связи координат первой и второй машины
запишем в виде:
и = U d COS б + U q sin б J .
U q = - U d sin 6 + U q CQS ()
В последних выражениях 6 - уrол между поперечными
осями машин станции r -1 и r -2.
После преобразований соотношений (111.4) и (111.5)
дают следующие выражения:
U d2 (р) = - {р [X d2 (р) COs 2 () + X q2 sin 2 ()] +
+ [X d2 (р) - X q2 (р)] sin () cos б} i d2 (р) -
- {[X d2 (р) sin 2 б + X q2 (р) cos? ()] + р [X d2 (р) -
- X q2 (р)] sin б COS б} i q2 (р) = М 2 (р) i d2 (р) +
+ "l2 (р) i q2 (р)
U q2 (p) = -"{-[Хd 2 (Р)СОS 2 0 +x q2 (p)sin 2 o] + . (111".6)
+ р rXd2 (р) - X q2 (р)] sin о cos о} i d2 (р) -
- {р [X d2 (р) sin 2 о + X q2 (р) cos 2 б] - [X d2 (р) -
- X q2 (р)] sin () cos ()} i q2 (р) = L 2 (р) i d '} (р) +
+ К 2 (р) i q2 (р)
(111.3)
(111.4)
(111.5 )
)
J
111
Запишем СООТНОlпения (111-3) и (III-6), дающие
выражения баланса напряжений машин r -1 и r -2,
в матричной форме:
u dl (р)
и ql (р)
и d2 (р)
и q2 (р)
М 1 (р) N 1 (p) о 0-
L 1 (р) /(1 (р) О О
О О М 2 (р) N 2 (p)
о о L 2 (р) К 2 (р)
i d1 (р)
i q1 (р)
i d2 (р)
i q2 (р)
. (111.7)
Для определения условий самовозбуждения в рас-
сматриваемой системе необходимо совместно решить
матричные уравнения (111-2) и (111-7), которые дают
соотношения между токами и напряжениями статиче-
ских цепей (четырехполюсник С) и синхронных машин
{-1 и [-2.
Решение уравнений (111.2) и (111.7) дает возмож-
ность найти характеристическое уравнение системы:
A 11 (р) - М 1 (р) В 11 (р) - N 1 (р)
D (р) = - В\1 (р) - L 1 (р) A ll (р) - К 1 (р)
А 21 (р) В 21 (р)
- 821 (р) А 21 (р)
А 12 (р) В 12 (р)
-А В12 (р) в А12 (р) = О, (Ш.8)
22(P) M2(P) 22 (p)-/V 2 (PJ
- В 22 (р) - L 2 (р) А 22 (р) - К 2 (Р]
rде
A;k (р) = + [Zik (р + j) + Zik (р - j)],
B ik (Р) = ;j [Zlk (Р + j) - Zik (р - т.
На rранице uбластей самовозбуждения в системе
наблюдаются свободные консервативные колебания с ча-
стотой (й. Следовательно, характеристическое уравне-
ние (111.8) должно иметь решение при р= j(J).
l1Z
Подставив р = joo В (111.8), получим:
А 11 (jill) - М 1 (joo) В 11 (jm) - /'11 (joo)
D иro) = - B II ио» - L 1 ио» A II (jo» - К 1 ио»
А 2 1 (j ш ) В 21 (j ш )
- В 2 1 (j m ) А 21 (j 00 )
A 12 (jill) В 12 (jw)
- В 12 (j ш) А 12 (j <о )
А 22 (jш) - М 2 (jm) В 22 (jro) - N 2 (jш)
- В 22 (jю) - L 2 (jw) А 22 (jш) - К 2 (jш)
-о
- .
(111.9)
При самовозбуждении частота свободных колебаний
лежит в диапазоне от О до -1, что соответствует reHe-
раторному режиму. Каждый элемент (111.9) является
функцией частотных характеристик jXd (jw) И jX q (jw)
синхронных машин и статических цепей системы:
Z tk [j ( ш + 1)], Z lk [j (<о - 1)].
ltk [j (ш ::1= 1)] представляет собой частотные характе-
ристики взаимноrо (i =/= k) или собственноrо (i = k) соп-
ротивлений четырехполюсника С системы (рис. 111.1). Так
как при частоте свободных колебаний ш в статорных
цепях протекают токи с частотами 1 + Сй, то apryMeHT
частотных характеристик собственных и взаимных сопро-
тивлений будет 1 + ш.
Последнее положение можно cTporo доказать. В диф-
ференциальных уравнениях, описывающих переходный
процесс в четырехполюснике С (статический элемент),
все переменные имеют apryMeHT р.
При переходе от неподвижных осей к осям d, q,
жестко связанным с ротором машины, переl\ленные
должны быть умножены на e:f:)blot, в системе относи-
тельных единиц шо= 1. Соrласно теореме смещения, при
умножении ориrинала на экспоненту e:f:J(J)ot в области
изображений к apryMeHTy р необходимо добавить + jwo
или просто + j.
Поскольку преобразования к осям d, q проводятся
только С переменными, относящимися к четырехполюс-
нику, то ero собственные 11 взаимные сопротивления
113
должны иметь apryMeHT р + j И,,7JИ после подстановки
p= + jw будем иметь Zik[j((u + l)].
Частотные характеристики синхронных машин были
рассмотрены в rл. 1. Частотные характеристики стати-
ческих цепей системы можно определить также из
аналитических выражений или экспериментальным пу-
тем *. Следовательно, частотные характеристики каж-
доrо элемента определителя (111.9) будут известны.
Если выделить параметры Хс и R системы как варьи-
руемые (обычно в этих координатах строятся зоны
самовозбуждения), то решение комплексноrо уравне-
ния (111.9), при какой-то заранее принятой частоте
свободных колебаний 00, дает одну точку на rранице
области самовозбуждения в координатах Хс и R. По-
следнее становится ясным, если определитель (111.9)
предетавить уравнением вида:
D(jФ) = (а+ jb)x + (с+ jd)R2 + (е + it)xc +
\
+ (g + jh)R + (! + jт) xcR + (k + jп) = О. (111.10)
в (111.10) а, Ь, с, d, е, f, g, h, l, т, k, п - веществен-
ные величины. Они зависят от частоты свободных коле-
баний системы и определяются частотными характери-
стиками всех ее элементов (рис. 111.1).
I<Оf\lплексное уравнение- (111.10). можно разделить
на два вещественных:
ax + CR2 --1- ехс + gR + lXcR + k = О 1.
bx + dR2 + fxc + hR + mxcR + п = О (Ш.11)
Изменяя в (111.11) w от О до -1, что отражается на
численных значениях а, Ь, с, d, е, f, g, h, l, т, k, n,
можно построить зону синхронноrо и асинхронноrо са-
мовозбуждения II и 111.
Частотный метод расчета областей самовозбужде-
ния применим для систем с любым количеством вращаю-
* Если частотные характеристики всех элементов системы, по-
лученные тем или иным путем, известны, то использование их при
построении областей самовозбуждения уменьшает количество вре-
мени, необходимое л.ля расчета.
114
щихся электрических машин. Однако этот метод доста-
точно трудоемок и для практическоrо использования
целесообразно рекомендовать упрощенную методику по-
строения областей самовозбуждения, приняв некоторые
допущения.
Изложим сущность упрощенноrо метода расчета
областей самовозбуждения машин в сложных системах.
Этот метод базируется на рассмотрении мощностей или
электромаrнитных моментов, действующих в начальной
стадии различных зон самовозбуждениlI.
С энерrетической точки зрения самовозбуждение
развивается в результате Toro, что мощность, созда-
ваемая при этом rенераторами, больше мощности, рас-
ходуемой на потер'и. rраницы областей самовозбужде-
ния определяются балаfIсом этих мощностей. Так, в
зоне 1 процесс развивается под действием реакцион-
Horo момента явнополюсности. Реакционный момент
(мощность) может проявляться у синхронной машины
при различных синхронных реактивных сопротивлениях
в продольной Xd И поперечной X q осях и наличии на
ее шинах напря ения. Реакционный момент возникает
в машине независимо от Toro, возбуждена она или нет;
следовательно, при этом все контуры роторов можно
предполаrать разомкнутыми.
Асинхронное самовозбуждение в зоне 11, на rранице
которой частота колебаний близка к синхронной, воз-
никает за счет динамическоrо момента явнополюсности.
Этот момент при трансформаторной связи контуров
статора и ротора (т. е. при отсутствии скольжения
ротора по отношению к полю статора) проявляется при
значительных (теоретически бесконечно больших) п.о-
стоянных времени обмотки возбуждения. Большие по-
стоянные времени обмотки возбуждения приводят
к тому, что переходный процесс в ней затухает дли-
тельно. В этом случае реактивное сопротивление в про-
дольной оси машины, rде расположена обмотка воз-
буждения, соответствует переходному сопротивлению X .
В поперечной оси ьбмотки возбуждения нет, и сопро-
тивление машины в этой оси будет равно X q . Из-за
неравенства сопротивлений в обеих осях машины при
протекании переходноrо процесса в обмотке возбужде-
ния и наличия на ее зажимах напряжения возникает
динамический момент явнополюсности.
115
в зоне III самовозбуждение возникает за счет асин-
xpoHHoro момента машины. На rранице зоны 111 частота
свободных колебаний в цепи статора равна (1 - s),
rде s - скольжение ротора по отношению к полю ста-
тора. Так как в зонах 1, 11, 111 самовозбуждение
обладает различной природой, то методы определения
rраниц этих зон разные.
Учитывая сказанное, мо)кно рекомендовать опреде-
лять rраницы областей 1 и 11 самовозбуждения, прене-
бреrая переходными процессами в статорных цепях, а
rраницу области 111 при заl'vIене синхронных машин
асинхронными со средними частотными характеристи-
ками в осях d, q:
jx{- js)= ; [x d {- js) + X q (;- js)] = + [Rd(s) +
+ R q {s)J +..:L [X d (s) + X q (s)]. (Ш.l2)
2
Возможность TaKoro представления синхронных ма-
шин обоснована в rл. 1. При s O,2 частотные харак-
теристики машин с демпферными обмотками в осях d
и q практически совпадают (рис. 1.15, 6), т. е. синхрон-
ная машина обладает как бы симметричным ротором,
что присуще асинхронным машинам.
Представление синхронных машин в виде асинхрон-
ных дает ВОЗlVIО)КНОСТЬ, как и в простой систеl\Jlе, свести
динамичеСКУI-О систему, включающую в себя синхронные
машины, к статической CXel\tle, а расчет области 111
асинхронноrо самовозбуждения - к определению усло-
зий резонанса в этой схеме.
Покажем очределение областей 1, 11, 1...11 самовоз-
буждения точным (частотным) и упрощенным методами
на схеме рис. III 2. Удаленная станция через линию
передачи, имеющую продольную емкостную компенса-
цию, работает на систему оrраниченной мощности,
которая представлена эквивалентной синхронной ма-
шиной F-2.
Определение зон самовозбуждения частотным ме-
тодом. Если частотные характеристики rидроrенераторов
jX d1 (joo), jX q1 (jw) (рис. 111.3) и jXd2 (jw), jX q2 (jш) (рис. 111.4),
известны, то характеристическое уравнение системы, соот-
ветствующее (111.7), имеет вид;
116
D (р) = (р2 + 1)2 {X d1 (р) X q1 (р) + X d2 (р) X q2 (р) +
+ [X d1 (р) x q1 (р) + X d2 (р) X q2 (р)] sin 2 () + [X d1 (р) X q2 (р) +
+ X d2 (р) X q1 (р)] COS 2 о} + [(р2 - 1) (Rp + Хс) + 2Rp] [X d1 (р)+
+ x q1 (р) +- X d2 (р) -t- x q2 (р)] + (Rp + хс)2 + R2 == О (111.13)
[ВЫВОД уравнения (111.13) дан в ПрИJIо)кении 4].
а)
и
(-1
(-2
о)
..---- Ы О
d p
а
Рис. 111 2. Схема системы двух явнопо-
люсных машин, соединенных емкостью:
а) - схема замещения, б) - располо-
жение осей d, q обеих машин
Подставляя в (111.13) р=jш и разделяя МНИМУIО
и действительную части, получим систему двух квадрат-
ных уравнений относительно ХС и R вида (111.11), в ко-
торых все коэффициенты являются функциями ш. Опре-
делив далее величины коэффициентов в этих уравнениях
при разных значениях (t) (в диапазоне от О до -1),
117
решаем численным методом уравнения для принятой
частоты свободных колебаний (и.
Каждое решение системы уравнений (111.11) дает
одну точку на rранице зоны самовозбуждения в коорди-
натах ХС и R при заданной частоте ю.
jx
1,5
Xd
1,0
5'10-4
7810-'"
Xq
0,5
0.5
R
.1,0
Рис. 111.3. Частотная характеристика ЯВ-
нополюеной синхронной машины. Пара-
метры rидроrенератора r - 1;
, "
x d =1,5; хq=о,в; X d = 0,2; X d = 0,072; X t =
"
= 0,086; x q = 0,069; Т do = 1670 рад;
TD =16,7 рад; Т Q= 16,7 рад; (JdD =0,382
118
Построенные частотным методом области самовоз-
буждения rеиераторов r -1, работаIОЩИХ по схеме,
изображенной на рис. 111 2, при уrлах 6=00 и 90° при-
JX
0,5
0,1
0,4
510-4
0,3
0,2
о
0/
D.Z- fl
Рис 111 4 Частотная харак-
теристика явнополюсной
синхронной машины r - 2
с параметрами
,
xd=O 5, xq=O 338, x d = 0,169,
,
X d = 0,072. Х1- О 0862, X q =
= О, О 6 9, Т do -= 1 730 рад, Т D =
=37,2 рад. Т Q = 31,3 рад.
(JdD =0,382
й)
Х С
2;5
О)
z
2.6 с
,
15
Q5
1
2,0
-....
......,
"
\
\
\
2,0
1,5
л
/0
1,0
0,5
о
R О
OfJ
R
O,J
Рис 111 5 Зоны самововб)жде
нмя в системе, изображенноu на
рис 111 2, при разных уrла\.
а) - б 12 ;::::::ОО, в) - Б I2 =90 0
- - - - получены при замене
приемной: сист м;ы шинами неиз
MeHHoro на пряже ния за сопротив-
лением X q2 получены из пол
Horo характериетическоrо уравне
ния частотным методом
ведены Hd рис 111 5 (сплошные кривые) Сопоставляя
оБЛdСТИ самовозбуждения при этих уrлах 6, замечаеl'vl,
что уrол расхождения роторов машин, ОТр2iкаюпщи
119
режим работы системы, существенно изменяет верхнюю
rраницу зоны синхронноrо самовозБУ)l(дения (xc 2,5)
и практически не влияет на rраницу зоны 111 асинхрон-
Horo самовозбуждения. Последнее объясняется тем, что
развиваемая синхронными машинами реакционная мощ-
ность зависит от уrла б, а асинхронная мощность машин
не является функцией уrла О, особенно при больших
скольжениях, коrда асимметрия роторов по осям d и q
сrлаживается.
Определение зон самовозбуждения упрощенным ме-
тодом. Для сравнения определим области самовозбуж-
дения в той же схеме упрощенными методами. В этом
случае при построении зон I и 11 самовозбуждения
отказываемся от учета переходных процессов в статоре.
При принятых допущениях можно получить следую-
щее характеристическое уравнение системы:
О' (р) = {X d1 (Р) X q1 (Р) + Х Д2 (р) X q2 (р) + [X d1 (р) X d2 (р) +
+ !ql (р) X q2 (р)] sin 2 б t [X d1 (р) X q2 (р) +
+ X q1 (р) X d2 (р)] cos 2 б} - ХС [X d1 (р) + X d2 (р) + X q 1 (р) +
+ X q2 (р)] +X + R? = О. (111.14)
Если на роторе каждоrо rидроrенератора имеете}!
только один замкнутый контур обмотки возбуждения, то
окончательно характеристическое уравнение запишетсн
так:
, , ,
а4 р2 + а5 Р + а6 = О.
(111.15)
a = TdOlTd02 {[X lXql + X 2Xq2 + (X lX 2 + X q1 X q2 ) sin 2 б +
+ (X lXq2 + X 2Xql) cos 2 б - ХС (X l + X 2 + X q1 + X q2 ) +
+ R 2 + X } ,
* Степень характеристическоrо уравнения без учета переходных
процессов в статоре равна числу электрически не связанных кон-
Т) ров на роторах всех машин. При этом в уравнении (111.1) [=0.
Вывод уравнения (111.14) дан в приложении 4,
120
a = T d01 I [X IXql + X d2 X q2 + (X I X d2 + X q ! X q2 ) sin 2 6+
+ (X l x q2 + X d2 X q1 ) cos 2 6] -Хс (X l + X d2 +X q1 +X q2 ) +
+ R2 + x } + T d02 {[X d1 X q1 + X 2Xq2 + (XdlX 2 + X q1 X q2 ) Х
Xsin 2 6 l- (X d1 X q2 +X 2Xql)COS26] -ХС(Х d1 + X 2 + X q1 +
+ x q2 ) + R2 + x },
,
а6 = X dL X q1 + X d2 X q2 + (X d1 X d2 + X q1 X q ) sin 2 6 +
+ (X d1 X q2 + X d2 X q1 ) cos 2 6 - ХС (X d1 + X d2 + x ql + X q2 ) +
+R2 + X .
Исследование уравнения (111.15) на устойчивость не
представляет труда и мо-
жет быть выполнено лю- а)
бым из известных спо-
2.5
собов.
Зоны 1 и 11 самовоз-
буждения, полученные из
уравнения (111.15), пока-
заны на рис. 111.6 в виде 2,0
двух (б = 00) или трех
(б = 900) полуокружно-
стей.
Для построения этих
кривых достаточно пооче-
редно приравнять нулю
коэффициенты a , a и a
и найти два значения ХС
при R.=O.
Зону 111 самовозбуж-
Рис. 111.6. ЗОНЫ самовозбужде-
ния в системе двух станций:
а) - уrол б 12 =О, 6) - уroл б 12 =90 0 ,
- - - - - зоны 11, 111 определе-
ны ИЗ полноrо характеристическоrо
уравнения, зона 11 опреде-
лена без учета переходных про-
цессов статора, а зона 111 - из
рассмотрения резонанса в схеме со
статическими элементами
J
5
о)
2 5
х с
2,0
7,5
1,0
о
о
цения рассчитаем, заменив синхронные машины асин-
хронными со средними частотными характеристиками
121
1.0
0,5
о
о
Q осях d и q. При этом сложная динамическая система
превращается в схему со статическими элементами
(рис. 111.7). rраница зоны III самовозбуждения в рас-
сматриваемой схеме соответствует условиям воз-
никновения свободных колебаний в статической схеме
(рис. 111.7) и находится из выражений:
Х С
j (f-W)
R
lr1 (ы)
Zr2(wJ
Рис. 111.7. Эквивалентная
схема со статическими эле-
ментами для определения
rраницы зоны 111 асинхрон-
Horo самовозбуждения в
схеме, изображенной на рис.
111.2
R = - Re (2 r1 (ш) + 2 r2 (0))] =
[ jXdl' (- joo) + jX q l (- joo)
= - Re (1 - 0» +
2
jXd2 ( - jw) + jX q 2 (- jW)]
+ 2
ХС = (1 - 0» 1т (Zrl (О» + Zr2 (0»]
)
. (111.16)
Зона 111 асинхронноrо самовозбуждения, построенная
указанным упрощенным методом, приведена на рис. 111.6.
Там же пунктирными кривыми представлены области
самовозбуждения, которые получены из анализа пол-
Horo характериетическоrо уравнения (111.13) частотным
методом.
Проанализируем результаты расчетов построения об-
ластей самовозбуждения., полученных точным (частот-
ным) и упрощенным методами расчета.
122
Зоны 1 синхронноrо самовозбуждения, полученные
ТОЧНЫl\1 и приближенным методами, полностью совпа-
дают.
Зона II асинхронноrо самовозбуждения, полученная
упрощенным меТОДОl\1, несколько меньше, чем действи-
тельная. Это зависит от двух причин. Во-первых, в урав-
нении (111.15) не учтено влияние демпферных обмоток
и, во-вторых, не учтена дополнительная асинхронная
мощность, развиваемая синхронной машиной при малых
скольжениях. При этом исчезает часть зоны II
асинхронноrо самовозбуждения, расположенная вбли-
зи rраницы репульсионно-синхронноrо самовозбуж-
дения.
Зона III асинхронноrо самовозбуждения, полученная
упрощенным методом, несколько шире действительной.
Последнее можно объяснить отказом от учета дополни-
тельных потерь активной мощности в системе, созда-
ваемых переменной составляющей асинхронной мощ-
ности.
Проведенные расчеты показывают, что поrрешность
при построении областей самовозбуждения упрощенным
методом незначительна во всех областях самовозбуж-
дения. Следовательно, предлаrаемый метод определения
областей самовозбуждения в сложной электрической
системе вполне допустим.
Чтобы окончательно убедиться в правильности при-
нятоrо метода, сравним уравнения, по которым нахо-
дились зоны 1 и II самовозбуждения упрощенным и
точным методами.
Полное характеристическое уравнение (111.13) си-
стемы (рис. 111.2) при отсутствии на роторах машин
r -1 и r -2 демпферных обмоток, коrда
,
Xdl + Т dOl pX d1
X d1 (р) = 1 + Т '
Р dOl
можно записать в виде:
аор6 + a1P5 + а2р4 + а зр 3 + а.р'2 + а 5 р + а в = О, (111.17)
,
Xd2 + Т d02 pX d2
X d2 (р) = 1 + Т '
Р d02
rде
а о = TdOlTd02 [X l X q1 + X 2 X q2 + (X l X 2 + Xq,l X q2) sin 2 б +
+ (X l X q2 + X 2 X q1 ) cos 2 б];
123
а 1 = т dOl Т d02R (X l + X 2 + x q1 + X q2 ) + т dOl [X l x q1 +
+ X d2 X q2 + (X l X d2 + X q1 X q2 ) sin? () -+ (X l x q2 +
+ X d2 X q1 ) cos 2 6] + T dO '1. [X d1 X q1 -+- X 2 x q2 + (XdlX 2 +
+ X q1 X q2 ) sin 2 б + (X d1 X q2 + X 2 X q1 ) cos 2 б];
й2 = 2T d10 T d2J [X I x q1 + X 2 x q2 + (X l X 2 + x q1 X q2 ) sin 2 б +
+ (X l x q2 + X 2 X q1 ) cos 2 б)] + Tdl0Td20 [R2 +
+ XC(X l + X 2+Xql +- X q2 )] + Td1oR(x 1 + X d2 +
+ x q1 + X g2 ) + т d20R (X d1 + X 2 + x q1 + X q2 ) + [X d1 X q1 + -
+ X d2 X q2 + (X d1 X d2 + X q1 X q2 ) sin 2 б +
+ (X d1 X q1 + X d2 X q1 ) cos 2 б];
аз = T d10 T d '20 R lX l + X 2 + x q1 + x q2 + 2Х с ] +
+ т dlO {2 [X l x q1 + X d2 X q2 + (X l X d2 + X q1 X q2 ) sin 2 б +
-+- (X l x q2 + X d2 X q1 ) ros 2 б] + Х с (X l + x tn + x q1 + X q2 ) +
-t- R2} + T d20 {2 [X d1 x q1 + X 2 x q2 + (X d1 X 2 + x q1 X q2 ) sin 2 б +
+ (X d1 X q2 + X 2 X q1 ) cos 2 б + Х с (X d1 + X 2 -+- x q1 + X q ?) +
+ R2} + R (X d1 + X d2 + x q1 + X q2 );
а 4 = т dl0 Т d20 [X l x q1 + X 2 x q2 + (X l X 2 + x q1 X q2 ) sin 2 () +
+ (X l x q2 + X 2 X q1 ) cos 2 б - Х с (X l + X 2 + x q1 + X q ')) +
+ X + R ] + T d10 R (X l + X d2 + x q1 + x q2 + 2х с ) +
+ T d20 R (X d1 + X 2 + x q l 1 + x q2 + 2х с ) + 2 [X d1 X q1 +
+ X d2 x q2 + (X d1 X d2 + x q1 X q2 ) sin 2 6 + (X d1 x q2 +
+ X d2 X q1 ) cos 2 б] + Х с (X d1 + X d2 + x q1 + X q2 ) + R2;
а 5 = т dIO [X l x q1 + X d2 x q2 + (X l X d2 + x q1 X q2 ) sin 2 б +
+ (X l x q2 + X d2 X q1 ) cos 2 б - Х с (X l + X d2 + x q1 + X q2 ) +
+ X + R2] + T d20 [ X d1 x ql + X 2 x q2 +
+ (Xdlx 2 + X q1 X q2 ) sin 2 () + (X d1 x q2 + X 2 xq 1 ).cOS 2 б--
-- Х с (X d1 + X 2 + X{Jl + X q2 ) + X + R2] +
+ R [X d1 + X d2 -f- x q1 + x q2 + 2Х с ] ;
124
йв = X d1 X q1 + X d2 X q2 -1- (X d1 X d2 + X qt X q2 ) sin 2 +
+ (X d1 X q2 + X d2 X qt ) COS 2 б -Х с (X d1 + X d2 +
+ X q1 + X q2 ) -f- X + R2.
Сравнивая полное (111.17) и упрощенное (111.15)
характеристические уравнения системы, замечаем, что
в уравнении (111.15) отсутствуют члены высших сте-
пеней ао; й1; а2; аз и некоторые малые величины в осталь-
,
ных коэффициентах; например, в коэффициенте аб от-
сутствует составляющая R (Xd1 +Xd2 +X q 1 +X q 2 + 2хс), кото-
рая примерно в тысячу раз меньше остальных величин,
опредеЛЯJОЩИХ аб. Пренебрежение такой малой состав-
ляющей не внесет существенной поrреПIНОСТИ в расчеты.
Из уравнения (111.17) видно, что коэффициенты ао, а1,
а2, аз имеют такой же порядок, что и коэффициент а4.
Но вследствие Toro, что при определении зоны II само-
возбуждения скольжение поля статора относительно
ротора не превышает 0,01 (рис. 111.6), коэффициенты ао,
аl, а2, аз после подrтановки р == j(U оказываются в сотни
раз меньше а4. Следовательно, при определении rраницы
зоны II самовозбужд ния Иl'vlИ можно пренебречь.
После принятых допущений и упрощений в (111.17)
уравнения (111.15) и (111.17) совпадают, т. е. области
самовозбуждения, определяемые обоими уравнениями,
цол)кны быть одинаковыми.
Свободные члены уравнений (111.15) и (111.17) имеют
,
одинаковые выражения ав == а6. Таким образом, область
синхронноrо самовозбуждения будет одна и та же неза-
висимо от Toro, определена ли она точным или прибли-
женным методом.
Заметим, что результаты расчетов подтверждают
также предположение о том, что в мноrомашинной
сложной системе (рис. 111.2) области II и III самовоз-
буждения обширнее, чем в простейшей системе «стан-
ция - шины». На рис. 111.5 пунктирными кривыми
показаны области 1, 11, 111 самовозбужде ния при за-
мене приемной системы эквивалентным реактивным
сопротивлением X q 2 (в этом случае схема превращается
в простейшую систему «станция - шины») .
Сравнивая области самовозбуждения сложной и про-
стейшей схемы, замечаем, что учет электромаrнитных
Процессов, происходящих в приемной системе, приводит
125
к расширению област.ей самовозбуждения II и 111. Это
связано с тем, что в двухмашинной схеме реакционная
и асинхронная мощности, за счет которых развивается
самовозбуждение, создаются двумя машинами, а не
одной.
Расчеты также показывают, что обла ть 11 само-
возбуждения, определенная точным методом при учете
на машинах продольно-поперечной демпферной обмотки,
незначительно шире области 11, полученной упрощенным
А1етодом для машин без демпферных обмоток (рис. 111.6).
Следовательно, представляется возможным при построе-
нии области 11 самовозбуждения без учета переходных
процессов в статорных цепях не принимать во внимание
наличие демпферных обмоток ца роторе. Последнее, не
внося существенной поrрешности в расчет, в значи-
тельной мере ero упрощает.
Предлаrаеl'лая упрощенная методика проверки слож-
ных систем на самовозбуждение показана на примере
двухмашинной схемы; наиболее эффективно ее приме-
нение в схемах с 3-4-мя и более машинами.
Расчеты, проведенные для построения областей само-
возбуждения в таких системах, показали, что различие
в областях, полученных точным и упрощенными мето-
дами, не превышает 1 О О/О .
Определение областей 1 и 11 самовозбуждения в
сложной системе без учета переходных пррцессов в ста-
торе можно еще больше упростить, если при построении
зон самовозбуждения обойтись без использования ха-
рактеристическоrо уравнения системы, вывод KOToporo
сопряжен с определенными трудностями и большими
затратами времени.
Отказ от учета переходных процессов в статорных
цепях дает возможность физически обосновать условия
возникновения самовозбуждения в зонах 1 и 11 и опре-
делить эти зоны без вывода характеристическоrо урав-
нения системы.
Покажем построение областей 1 и II самовозбужде-
ния без вывода характеристическоrо уравнения и учета
переходных процессов в статоре на примере трех стан-
ций (рис. 111.8).
В областях 1 и 11 самовозбуждение развивается за
счет избыточной реакционной мощности, rенерируемой
синхронными машинами. rраница области самовозбуж-
126
дения соответствует балансу мощностей, создаваемых
rенераторами и потерями в системе.
На rранице области 1 синхронноrо самовозбуждения
в сложной схеме наступает установившийся с.инхронный
(-2
(-)
о)
XC
(-1
(-2
8)
(-)
[Q,
Рис 111.8. Схема системы трех станций:
а) - при любой связи между rенераторныМИ
станциями. б) - при соединении удаленной стан-
ции со станЦИЯМИ приемной системы через ин-
дуктивность, емкость и активное сопротивление,
в) - векторная диаrрамма э. д. с.
ре)f{ИМ, который описывается для рассматриваемой си-
стемы уравнениями:
. . . .
[1 = Yf1E Q1 - Y12 E Q2- У 1з Е Qз
. .
12 = - Y21 E Ql + Y22 E Q2 - У2з Е QЗ
i з = - УЗI Е Ql - УЗ2 Е Q2 + УззЕQЗ
(111.18)
Здесь У 11 , У 22 , У 12 , У13 И Т. Д. - собственные и взаим-
ные проводимости системы (рис. 111.8, а), rде инхрон-
ные машины представлены э. д. с. E Q за реактансом X q ..
127
с учетом взаИмноrо расположения роторов машин
из (111.18) можно получить продольные составляющие
полных токов машин в матричной форме:
[ ! dt] [ У 11 sin <Р1l
! d2 = - У21 sin ( 21 + 621)
! dЗ - У31 sin (ер31 + 6 з1 )
- у 13 sln ('Р13 + 613)] [E Q1 ]
- у 23 sin (<Р23 + 23) E Q2
У 33 sin <РЗ3 Е Qз
- У12 sin (<Р12 + 612)
У22 sln <Р22
- У32 sin ( 3? + 632)
(111.19)
в (111.19) Yl1' У22' У12' У23 И т. Д. - модули собствен-
ных и взаимных проводимостей, а Чill' ?2' <Р12, ер23 - их
арrумеиты.
Э. д. с. E Q1 , E Q2 , Е Qз связаны с продольными состав-
ляющими токов известными соотношениями:
E Q1 = E d1 - ! dl (X d1 - X q ]) I
E Q2 = E d2 -- ! d2 (X d2 - X q2 ) ·
Е Qз = Е dз - 1 d3 (Х dЗ - X q3 )
(111.20)
При выявлении областей самовозбуждения нас инте-
ресует режим свободных колебаний, т. е. режим при
отсутствии внешних возмущенйй E d1 =Е d2 =Е dз =О.
Тоrда (111.20) в матричной форме записывается так:
[ ] = [X d1 ;X Q1 Xd2 XQ2 ][ : ]. (111.21)
Е Qз О О X d3 - x q3 ! dЗ
Исключив из матричныIx уравнений (111.19) и (111.21)
E Q1 , E Q2 И Е Qз , получаем новое уравнение:
I [ У 11 SI n ер 11
- У21 sin (ер21 + 62'>
- УЗl sln (q> 1 + 631)
- У12 sin ( 12 + 612)
У22 sin ер22
- УЗ2 sin ('Р32 + 632)
128
- 913 sin (Ч'13 + 13)] [X dl - X ql О О ]
- У23 sin (q>23 + 23) О X d2 - x q2 О +
Узз sln <fJзз О О х dз - x qS
[ 1 О О]] [1 dl]
+ О 1 О 1 d2 = О.
о о 1 1 dЗ
(111.22)
Матричное уравнение (111.22) имеет нетривиальное
решение только в том случае, коrда ero характеристи-
ческий определитель равняется нулю, т. е.
[ УН SlП q>11
- У21 sin ('Р21 +621)
- УЗ1 sin (<(IЗl + 6 зl )
- Y12 sin (q>12 + 612)
У22 Sln )022
- УЗ2 sin ()О32 + б з2 )
- Yl3 sin (<Р13 + б 1з )]
- У23 sin ('Р23 + б 2З )
Узз Sln )0зз
[ X d1 00 X ql X d2 X q2 ] + [ь l] = О. (111.23)
О Х dЗ - Х qЗ О О
Соотношение (111.23) определяет область синхрон-
Horo самовозбуждения в любых варьируемых парамет-
рах. Обычно в качестве таких параметров принимаются
ХС и R.
Собственные и взаимные проводимости Ун, Jj22, Узз,
У12, У1З, У2З MoryT быть определены соrласно схеме,
изображенной на рис. 111.8, б, rде синхронные reHepa-
торы представлены реактивными сопротивлениями X q 1;
X q 2; X q 8. Тоrда урацнение (111.23) точно соответствует
равенству нулю свободноrо чле-на характеристическоrо
уравнения, полученноrо для трехмашинной схемы со-
rласно уравнениям Парка - ropeBa.
Рассмотрим схему, представленную на рис. 111.8, б, rде
удаленная станция r -1 связана линией передачи, имею-
щей продольную емкостную компенсацию с двумя мест-
ными системами. Каждая из этих систем представляет
собой эквивалентную синхронную машину r -2 и r -3.
Характеристический определитель (111.23) всей системы
129
в развернутом виде может быть записан следующим
образом:
АХа + ВХ С + AR2 + D == О,
(111.23, а)
rде
А = X d2 X q2 + ХdЗХ qЗ + (Х.42 Х dЗ + ХqzXqз) sln 2 (б 2 - 6 з ) +
+ (Х d2 Х qз + Х dз Х q2 ) cos 2 (б 2 - з),
8 = - [A(X d1 + X q1 ) + Х d2 Х dз (X d2 + x qp ) + Х q2 Х qз (X d2 + х dз )]
D = AX d1 X q1 + Хd2ХdзХq2Хqз + Хd2ХdзХq2 (X d1 sin 2 б з +
+ x q1 cos 2 бз) + X d2 X q2 Х qЗ (x q1 sin 2 б з + X d1 cos 2 6з) +
+ Х d2 Х dз Х qЗ (X d1 sin 2 62 + X q1 cos 2 62) +
+ ХdзХq2ХqЗ (X d1 cos 2 б 2 + X q1 Sln 2 б 2 ).
При выводе уравнения (111.23, а) rehepaq-орbI r -1,
r -2, r -3 были представлены синхронными сопротив-
лениями в поперечной оси X q 1; X q 2 и Хqз (сопротивление Х
было введено в сопротивление рассеяния reHepaTopa
r -1); собственные и взаимные проводимости УН" У12,
u
УIЗ, У22, У2З, Узз рассчитаны в соответствии со схемои
cI,cTeMbI (рис. 111.8,8). Уравнение (111.23, а) определяет
зону синхронноrо самовозбуждения reHepaTopoB удален-
ной станции в координатах R и Хс, если известны все
остальные параметры системы и ее режим. rраница
зоны синхронноrо самовозбуждения представляет собой
полуокружность. Центр полуокружности расположен на
оси ординат Хс, так как коэффициент при первой сте-
пени R равен нулю на расстоянии от начала координат,
В
равном -. Радиус окружности определяется отноше-
2А
V B2_4AD
ннем .
4А2
Чтобы не делать лишних расчетов, достаточно из
уравнения (111.23, а) найти два значения хс при R=O,
которые определяют точки пересечения окружности
с осью Хс, а их разность - диаметр окружности, кото-
рая оrраничивает зону 1 синхронноrо самовозбуждения.
Переходим к построению области 11 самовозбуж-
дения.
На rранице этой области устанавливается квази..
синхронный режим с малым скольжением поля статора
130
относительно ротора. При наличии скольжения можно
принимать сверхпроводящими либо одну или две об-
мотки возбуждения, либо обмотки возбуждения всех
машин.
Число сверхпроводящих контуров увеличивается
с ростом скольжения. Однако в действительности сверх-
проводящих контуров не существует. Эффект све-рхпро-
водимости создается тем, что часть ампервитков реакции
статора скомпенсирована индуктированным в переход-
ных процессах свободным током в обмотке возбуждения,
который затухает с постоянной времени данноrо кон-
тура возбуждения. Это соответствует появлению в элек-
U u U
трическои схеме некоторои дополнительнои э. д. С.,
компенсирующей часть реактанса синхронной машины
,
1 d (Xd - Xd). Если принять сверхпроводящими обмотки
возбуждения всех трех машин, то тем самым определим
одну часть области II самовозбуждения, исходя из ба-
U
ланса мощностеи на ее rранице.
Условие определения rраницы самовозбуждения 11
при сверхпроводящих обмотках возбуждения всех ма-
шин системы (рис. 111.8) записывается в следующем
виде:
[ У 11 sin <Рl1 - У12 sin (<Р12 + 612)
- У21 sin ( 21 + <\21) У22 sin <Р22
- У31 sin (ер31 + Б З1 ) - Узt. sin (СРЗ2 + 32)
- Y13 sin (q>13 + 13)] [X 1 - x q1 О О ]
- У23 sln (<Р23 + 623) о X 2 - x q2 , О +
уззsiп зз О О х dз -х qз
[ 1 О О]
+ О 1 О =0
О О 1
(111.24)
в записи определителя (111.24) нашел отражение
учет эффекта сверхпроводимости обмоток возбужде-
ния l\v13ШИН Синхронные сопротивления Xd [уравнение
(111.23)] заменены на переходные сопротивления ма-
Шин x , в остальном уравнение (111.24) такое же, как
131
tf (111.23). Раскрыв определит.ель (111.24), получим сле-
дующее равенство:
[( X l - Х С ) (x q1 - Х с ) + R2] [X 2 x q2 + Х з Х qЗ +
+ (X 2 Х з + Х q2 Х qз ) sin 2 (б 2 - 6 з ) + (X 2 Х qЗ +
+ Х з Х ч2 ) cos 2 ( 2 - б з )] + X 2 Х з x q2 х qз +
+ (X l - Х с ) [X 2 х з x q2 sin 2 6 з + X 2 Х q2 Х qз cos 2 6 з +
" 82.+' 9.]+
+ Хd2ХdзХqзSlП U2 ХdзХq2ХqЗСОS U2
+ (X q1 - х с ) [X 2 Х з X Q2 cos 2 6 з + X 2 х q2 х qз sin 2 б з +
+ Хd З х qз cos 2 62 + Х з X q2 Х qЗ sin 2 б 2 ] = о, (111.24, а)
которое определяет часть зоны II асинхронноrо само-
возбуждения в координатах R и Хе. rраница этой части
зоны II представляет собой полуокружность, для по..
строения которой достаточно найти два значения ХС
при R=O.
Можно убедиться, что в развернутом виде опреде..
,
литель (111.24) соответствует равенству нулю ав коэф-
фициента при высшей степени (р3) характеристическоrо
уравнения без учета переходных процессов в статоре,
которое дано в приложении 5. Но это уравнение не
выявляет полной зоны 11 самовозбуждения, так как воз..
можен целый ряд комбинаций сверхпроводящих конту..
ров обмоток возбуждения машин. rраница зоны 11
асинхронноrо самовозбуждения определится балансом
мощностей во всех возможных комбинациях из сверх-
проводящих контуров роторов в целом. При этом сле-
дует помнить, что обмотка возбуждения с большей
постоянной времени раньше друrих становится сверх-
проводящей, и переходные процессы в ней затухают
медленнее. Поэтому необходимо. учитывать влияние по-
стоянных времени контуров роторов на условия само-
возбуждения. Для трехмашинной системы можно соста..
вить еще два уравнения для определения rраницы
области 11 самовозбуждения с учетом постоянных вре-
мени роторных цепей:
132
[ УН sIn 'Р. 1 - У12 sin ('Р12 + 12)
Т dl0 - У21 sin (<Р21 + 21) У22 sin 'Р22
- УЗl sln ( Зl + бзд - УЗ2 sin (СРЗ2 + б з2 )
- УIЗ S n ( lЗ + lЗ)] [X l - x q1 О О ]
- У2З Sln (f2З + 2З) О X d2 - x q2 О +
Узз sin 'Рзз О О х dз - Х qз
[ 1 О О] [Ун Sln 1011
+ О 1 О +T d20 - У21 sin ( 21 + б 21 )
о о 1 - УЗl sin (1031 + б з1 )
- Y12 sin (СР12 + б 12 ) - УIЗ sin (ЧJIЗ + lЗ)]
У22 sin <Р22 - У23 sin (1О2З + б 2з )
- УЗ2 sin ('Р32 + б з2 ) Узз sin 'Рзз
[ X dl -;;- X ql X 2 X q2 ] + [ь ] +
о о х dз - Х qз О О 1
[ Ун sJn ер11 - YI2 sin ('Р12 + 12)
+ Т dЗО - У21 sln ( 21 + б 2 д У22 sin '22
- УЭI sin ('РЗl + 31) - УЗ2 sin ( З2 + З2)
- УIЗ sin ('РIЗ + б 1з )] [X d1 - X q1 О О ]
- У2З s n ('(>2З + б 2з ) о X d2 - X q2 , О +
УззS1Пffзз О О ХdЗ-Х qЗ
+ [ь ] = О, (111.25)
О О 1
Уравнение (111.25) учитывает, что сверхпроводящими
MoryT быть последовательно обмотки возБУlКдения пер-
вой, второй и третьей машин. Раскрыв характеристи-
ческий определитель (111.25) по правилам матричной
алrебры, получим уравнение (111.25, а):
T d10 {[(X l - х с ) (X q1 - Х с ) + R2] [X d2 X q2 + ХdзХ qз +
+ (X d2 Х dЗ + X q2 Х qз ) sin 2 ( 2 - бз) + (X d2 Х qЗ +
133
+ Х dЗ X q2 ) COS 2 (б 2 - б з )] + X d2 Х dЗ X q2 Х qз +
+ (X l - Х с ) [X d2 Хdз X q2 sin 2 б з + X d2 X q2 Х qз COS 2 б з +
+ X d2 Х dз Х qз sin 2 б 2 + Х dЗ X q2 Х qз COS 2 б 2 ] +
+ (X q1 - Х с ) [X d2 Х dз X q2 COS 2 6 з + X d2 X q2 Х qз sin 2 б з +
+ X d2 Х dз Х qз COS 2 62 + Х dз X q2 Х qз sin 2 6 2 1} +
+ T d20 {[(Xd1-X c ) (x q1 -X C ) +R2] [X 2Xq2 + ХdзХ qз +
+ (X 2 Х dЗ + x q2 Х qЗ ) sin 2 (б 2 - б з ) + (X 2 Х qЗ +
+ X d3 X q2 ) COS 2 (62 - 6 з )] + X 2 Х dз X q2 Х qз +
+ (X d1 - Х С ) [X 2 Х dЗ Х q2 sin 2 б з + X 2 Х q2 Х qз COS 2 б з +
+ X 2 Х dЗ Х qЗ sin 2 б 2 + Х dЗ X q2 Х qз COS 2 б 2 J +
+ (X q1 - Х с ) [X 2 Х dЗ x q2 COS 2 6 з + X 2 X q2 Х qЗ sln 2 б з +
+ X 2 ХdзХ qз cos 2 6 + Х dЗ X q2 Х qз sin 2 б 2 ]} +
+ ТdЗ {[(X d1 -- Х С ) (X q1 - Х С ) + R2] [X d2 X q2 +
+ Х з Х qз + (Хd2Х З + X q2 Х qЗ ) sin 2 (б 2 - б з ) +
+ (X d2 Х qЗ + Х з X q2 ) COS 2 (б 2 - б з )] + Хd2Х З X q2 Х qЗ +
+ (X d1 - Х С ) [X d2 Х з X q2 sin 2 6з + X d2 X q2 Х qз COS 2 6 з +
-1- Хd2Х З Х qз sin 2 б 2 + Х з X q2 Х qЗ COS 2 б 2 ] +
+ (X q1 - Х С ) [Хd2Х З X q2 COS 2 з + X d2 X q2 Х qз sin 2 б з +
+ Хd2Х З Х qз COS 2 б 2 + Х з X q2 Х qз sin 2 б 2 )} = о. (111.25, а)
Нижеследующее уравнение учитывает все возможные
комбинации из сверхпроводящих контуров двух машин:
[ Yll sin Ерll
Tdl0Td20 - У21 sin (ер21 + б 21 )
- УЗ1 sin (Ч'Зl + б з1 )
- У13 s!n ( lЗ + (13)] [X l - X q1
- У2З Sln (ff23 + 6 2з ) "О
Узз sin ffзз О
134
- У12 sin ( 12 + 612)
У22 sin ер22
- УЗ2 sin (f12 + б 12 )
О О ]
X 2-Xq2 О +
О Хdз-Х qз
[ 1 О О] [ Ун sin «>11
+ о 1 О + TdlOTd30 -У21 siП (<Р21+ б 2д
О О 1 _ - УЗ1 sin (ерЗ1 + Б З1 )
- Yl2 sin (ер12 + б 12 )
У22 sin ер22
- УЗ2 sln ( 12 + б 1 '2)
- УIЗ sin (ер13 + б 1з )]
- У2З S!n ( 2З + б 2з ) х
Узз Sln <Рзз
[ X l - X q1 О О ] [1 О
Х о X d2 - X q2 , О + О 1
О О Хdз-Х qз О О
] +
[ У11 sln ерll
+ Т d20 T dЗО - У21 sin (ер21 + б 21 )
- УЗ1 sin ('FЗl + 631)
- Y12 sin (<РЖ2 + б 12 )
У22 sin С-Р22
- УЗ2 sin (<Р12. -t- 612)
- УIЗ s!n (<РIЗ + б 1З )] [X d1 - X q1 О О ]
-У2з SIП (<Р2з+ б 2З) о X 2-Xq2 ,О +
Узз sin зз О О Х dЗ - Х qЗ
[ 1 О
+ О 1
О О
] = О.
(111.26)
Раскрыв характеристический определитель (111.26)
по правилам матричной алrебры, получим уравнение
(1II.26,a):
T d10 T d20 {[(X I - Х С ) (X q1 - х с ) + R2] [X 2Xq2 + ХdзХ qз +
+ (X 2 х dз + X q2 Х qз ) sin 2 (б 2 - б з ) + (X 2 Х qз +
+ Х dз X q2 ) cos 2 (б 2 - б з )] +X 2 Х dз X q2 Х qз +
+ (X l - Х С ) [X 2 Х dз X q2 sin 2 б з + X 2 X q2 Х qз cos 2 б з +
+ Х 2ХdзХqзsiп2 б 2 + ХdзХq2Хqзсоs2б2] + (X q1 - х с ) Х
х [X 2 Х dз X q2 cos 2 б з + X 2 X q2 Х qз sfn 2 б з +
+ X 2 Х dз Х qЗ cos 2 62 + Х dЗ X q2 Х qз sin 2 б 2 ]} +
135
+ T d10 Т dЗО {[(X l - х с ) (X q1 - х с ) + R2] [X d2 X q2 +
+ Х з Х qз + (X d2 х з + X q2 Х qз ) sln 9 (62 - 6 з ) +
+ (X d2 Х qз + х з X q2 ) COS 2 (б 2 - бз)] + X d2 х з X q2 Х qЗ +
+ (X l - Х с ) [X d2 Х з X q2 sln 2 6 з + X d2 X q2 Х qз cos 2 6 з +
+ X d2 Х з Х qз sin 2 62 + Х з X q2 Х qз cos 2 62] +
+ (X q1 - Х с ) [X d2 Х з X q2 cos 2 б з + X d2 X q2 х qз sIп 2 6з +
+ X d2 Х з Х qз cos 2 62 + Х з X q2 Х qЗ sin 2 б 2 ]} +
+ T d20 Т dЗО {[(X d1 - X C )-(X q1 - Х С ) + R2] [X 2 X q2 +
+ Х З Х qз + (X 2 Х з + X q2 Х qЗ ) sin 2 (62 - 6 з ) +
+ (X 2 Х qз + Х з X q2 ) cos 2 (62 - J + X 2 Х з x q2 Х qз +
+ (X d1 - Х С ) [X 2 Х З X q2 sin 2 б з + X 2 X q2 Х qз cos 2 б з +
" 2'" + ' 2 ]
+ X d2 Х dз Х qз sln и2 Х dЗ x q2 Х qз COS и2 +
+ (x q1 - х с ) [X 2 Х з x q2 cos 2 б з + X 2 x q2 Х qЗ sin 2 6 з +
+ X 2 Х з Х qЗ cos 2 62 + Х з X q2 Х qЗ sln 2 6 2 ]} = о. (111.26, а)
Характеристический определитель (111.26) записан
для всех возможных комбинаций двух сверхпроводящих
цепей роторов трех машин. Последнее нашло отражение
в записи характеристическоrо определителя, rде у машин
со сверхпроводящими обмотками реактанс Xd заменен
,
на Xd.
Уравнение (111.26, а) представляет собой характери-
стический определитель (III.26) в развернутом виде.
Можно видеть, что уравнение (111.25, а) соответст-
,
вует равенству нулю коэффициента ag, а уравнение
,
(111.26, а) - равенству нулю коэффициента аl0 в харак-
теристическом уравнении системы, приведенном в при-
ложении 5. Отсюда следует, что характеристические
определители (111.23) -;- (111.26) дают те же области 1
и 11 самовозбуждения, которые можно получить, при-
равняв нулю каждый коэффициент характеристическоrо
уравнения системы без учета переходных процессов в
статоре (рис. 111.9).
136
Таким образом, без вывода общеrо характеристиче-
cKoro уравнения системы можно построить области 1
и 11 самовозбуждения. Зона 111 асинхронноrо само-
возбуждения в системе трех станций, изображенная на
рис. 111.9, определена из
раССМО1рения условий резо-
нанса в статической схеме
(рис. 111.10). rранице этой
зоны соответствуют уравне-
ния:
а)
45 х
(
20
1,5
0.5
о
б)
2,6 z
,
1.5
fI
0,5
о
Рис. 111.9. ЗОНЫ самовозбужде-
ния, определенные упрощенным
методом, в системе трех стан-
ЦИЙ в зависимости от ее режи-
ма:
а) б 2 =О, б з =90 0 , БI=ОО, б) 61=0,
б 2 =45 0 , з=450
R = -Re [lrl (00) +
Zr2{W)Zrз(ro) ]
+ .
Zr2(<J)+Zrз(W) ,
Х С
-
j (1-Ш)
R
Zft (w) Zr2(W) 2,з((1,)
R
(J,5
Рис. 111.10. Эквивалентная
схема со статическими эле-
ментами для определения
зоны 111 асинхронноrо само-
возбуждения в системе, изо-
браженной на рис. 111. 8, б
[ Zr2(ОО)Zrз( ) ]
Х С = (1 - ш) 1т Zrl (О)) +
Zr2(u»+Zrз(ro) ·
После построения зон II и 111 их rраницы спряrаются
плавной кривой.
Приведем для примера уравнения для определения
137
областей самовозбуждения синхронной 1 и асинхрон-
ной 11 для двухмашинной схемы (рис. 111.2):
[ YI1 S n Ifll - YI2 S n (tp12 + б 12 ) ] х
- У21 Sln (<Р21 + б 21 ) У22 SIП <Рl1
Х [X d1 - x q1 О ] + [1 О] = О, (111.27)
О X d2 - x q2 О 1
T d01 [ УН s nq>11 - YI?S n\tpI2 +Б I2 )] Х
- У21 SlП (СР21 + б 21 ) У22 Sln <Р22
X[X I-Xql О. ]+[1 О] -1-
О X d2 - x q2 О 1
+ Т [ УН slп ерll - Y12 sin (<Pl + б t2 )] Х
d02 -- У21 sin (<(121 + б 21 ) У22 sin 'Р22
Х [X d1 - X q1 ,О ] + [1 О] = О, (111.28)
О Xd2 - X q2 О 1
[ Ун sin ffl1 - У12 sin (ер12 + б 12 ) ] х
- У21 sin (<Р21 + 621) У22 sin ер22
Х [X 1 - X ql ,О ] + [1 О] = О. (111.29)
О X d2 - x q2 О 1
Уравнение (111.27) составлено аналоrично уравне-
нию (111.23). В нем обе синхронные машины представ-
лены сопротивлением Xd, что соответствует случаю,
коrда обмотки возбуждения обеих машин разомкнуты.
Это уравнение дает зону синхронноrо самовозбужде-
ния 1.
Выражения (111.28) и (111.29) определяют rраницу
зоны 11 асинхроиноrо самовозбуждения. Первое из них
соответствует предположению, что обмотка возбуждения
у каждой из машин при расчетах-последовательно при-
нимается сверхпроводящей. Второе - условию, коrда
обмотки роторов обеих машин одновременно приняты
сверхпроводящими. Для системы из двух машин урав-
нения вида (111.26) отсутствуют.
138
Значения собственных и взаимных проводимостей и
их apryMeHToB для схемы, представленной на рис. 111.2,
определятся так:
Ун = !/12 = fl21 = У22 -
1
,
11 (X q l + X q 2 - Х с )2 + R2
X q l + X q 2 -Хе
ерl1 = СР12 =- q'l21 = q>22 = arc tg ·
R
Подставив в уравнение (111.27) значения собственных
и взаимных проводимастей и раскрыв определитель, по-
лучим выражение, полностью идентичное свободному
члену ха рактер истическоrо ур авнения (111.15), котор ый
определяет зону 1 синхронноrо самовозбуждения.
Аналоrично можно получить условие, при котором
(111.28) и (111.29) соответствуют двум друrим коэффи-
циентам уравнения (111.15).
Таким образом, не составляя характеристическоrо
уравнения системы, можно ПОСТРQИТЬ зоны 1 и II само-
возбуждения.
Приведенный выше метод проверки системы на са-
мовозбуждение дает возможность учесть любое коли-
чество машин, не требует значительноrо времени и дает
хорошую точность.
Сформулируем краткие выводы по определению об-
ластей самовозбуждения маП1ИН, работающих в сложных
электрических системах:
1. Области самов.озбуждения машин в сложных си-
стемах больше, чем в простейшей, поэтому при по-
строении областей самовозбуждения необходимо учи-
тывать все машины, работающие в системе.
2. Построение областей синхронноrо самовозбужде-
ния 1 и асинхронноrо II можно проводить упрощенно
без учета переходных процессов в статоре, причем мож-
но допускать, что машины не имеют демпферных обмо-
ток. Определение областей ведется без вывода харак-
теристическоrо уравнения, т. е. по выражениям вида
(111.23), (111.24) и (111.26), что соответствует прирав-
ниванию нулю поочередно всех коэффициентов харак-
теристическоrо уравнения без учета переходных процес-
сов в статорных цепях.
3. Упрощеннае построение области 111 асинхронноrо
139
самовозбуждения сводится к замене при значительных
u u
скольжениях синхроннои машины асинхроннои со сред-
ними частотными характеристиками в осях d и q. После
этоrо динамическая система сводится к статической, rде
рассматриваются условия параметрическоrо резонанса
на разных частотах свободных колебаний.
Преимуществом предлаrаемой упрощенной методики
определения зон самовозбуждения в сложных системах
является наrлядность, простота расчетов и возможность
определения областей самовозбуждения в системах лю-
бой сло)кности С любым количеством машин.
111.2. Определение областей самовозбуждения
синхронной машины, работающей через сложную сеть
на систему большой мощности *
Для определения областей самовозбуждения маши-
ны, объединенной с мощной системой через сложную
й) r
Сложная
сеть
и
.
[1
v
о)
z Х С
Рис. 111.11. К определению зон само-
возбуждения синхронной машины, ра-
ботающей через сложную сеть на
мощную систему:
а) -схема системы, б) -схема замещения
системы при учете наrрузки системы
сеть (рис. 111.11, а), точным методом необходимо соста-
вить характеристическое уравнение системы, степень КО-
* Следует заметить, что полученные в данном параrрафе со-
01 ношения являются частным случаем общих уравнений, выведен-
ных в Э 1 данной I'лавы.
140
Toporo зависит от характера сети, и анализировать ero
на устойчивость одним из известных методов. Однако
даже для TaKoro простоrо представления сложной сети,
как это имеет место на рис. 111.11, б, rде учтена наrруз-
ка, приложенная в одной точке (замещенная постоян-
ным активным Rи и реактивным Хн сопротивлениями), и
индуктивное сопротивление Х2 (учитывающее линии,
трансформаторы и друrие элементы в цепи приемной
системы), степень характеристическоrо уравнения буде..т
9-0Й, если на роторе машины OTCYTCTBYIOT успокоитель-
ные контуры, и ll-ой - при наличии на роторе продоль-
но-поперечной демпферной обмотки. Вывод подобноrо
уравнения встречает затруднения, не rоворя уже об ис-
следовании ero в общем виде.
Для рассматриваемой схемы можно найти области
самовозбуждения машин и без вывода характеристиче-
cKoro уравнения. Поrрешность, получаемая при этом,
небольшая.
В установившемся режиме системы токи MoryT быть
выражены уравнениями:
. . .
11 = Y11E Q - У12 и ,
. .
12 = - Y21 E Q + У22 и ,
Связь между токами в продольной оси, э. Д. с. E Q и
напряжением и запишем в матричной форме:
[ ! dl] [ YIl sin 1I - У12 S n (Ч>12 + 6)] [E Q ] ..
/d2 = -Y21sin( 21+6) У22S1П 22 и
Для выявления областей самовозбуждения рассмот-
рим режим свободных колебаний в системе, изображен-
ной на рис. 111.11,6. Этому режиму соответствует отсут-
ствие внешних возмущений, т. е. E d = и = О:
[ Q ] = - [X d1 Xql J [ : ] .
141
Из выражений, приведенных выше, можно получить
характеристический определитель системы:
[ Ун sin <р 11
- У21 sin (СР21 + б)
- У12 sin (<Р12 + б)]
. Х
У22 sln С?22
х [X d1 X q1 ] + [ ] = О,
раскрыв который, найдем уравнение:
1 +. (X d1 - X q1 ) Ун sin epll = О. (llI.30)
Критерий (111.30) дает возможность определить зону
синхронноrо самовозбуждения для машины, работающей
по схеме, 'изображенной на рис. 111.11, а. Если принять
ун = У12 = У22 = ul -<p ;
Ун = v R2 + (x q - Х с )? .
. Xq-XC
slп <р = т
V R2 + (x q - хс)2
что соответствует условию работы машины через внеш-
нее индуктивное, емкостное и активное сопротивления
на шины неизменноrо напряжения, то получим извест-
ное условие для определения rраницы синхронноrо са-
мовозбуждения (Xd-XC) (Xq-Xc) +R2=O. На rранице
зоны II самовозбуждения устанавливается квазисинхрон-
ный режим с малым скольжением поля статора отно-
сительно ротора, поэтому можно принять обмотку воз-
буждения сверхпроводящей. В этом случае, заменив Xd
,
машины на Xd, определитель системы запишем так:
[ Ун sin <Р11
- Y2I sin (С?21 -t- б)
[ X 1 - X q1
Х О
-1:'12 st. n ( 12 + б)] Х
У22 SlП <Р22
J + [ J = о.
rраница 11 асинхронноrо самовозбуждения при этом
описывается уравнением
1 + (X 1 - X q1 ) Y1l sin СРl1 = о.
142
(111.31 )
Критерий (111.31) идентичен приближенному крите-
рию зоны II асинхронноrо самовозбуждения при про-
стой связи машины с системой. Зону 111 асинхронноrо
самовозбуждения можно построить, если заменить син-
хронную машину асинхронной. При этом расчет области
асинхронноrо самовозбуждения для схемы, приведенной
на рис. III.ll.п, сводится к определению условий резо-
х с
J (1-W)
Рис. 111.12. Эквивалентная
схема со статическими элемен-
тами для определения зоны 111
асинхронноrо самовозбужде-
ния в системе, изображенной
на рис. III.11,a
нанса в статической CXeI\1e, показанной на рис. 111.12,
откуда получим уравнения, соответствующие rранице
зоны III самовозбуждения:
R = -Re[zl (ш) + (R и jXH)jX2 ] ,
R и + J (хн + Х2)
Х с = (1 - ш)2 1 m [z 1 (ю) + ( R н -+: j хн) j Х2 ].
R п + J (хн + Х2)
После построения зон II и 111 самовозбуждения их
u u
rраницы спряrаются плавнои кривои.
Раскрыв значения У11 sin ер11 для схемы, представлен-
ной на рис. 111.11, б, найдем приближенные критерии
(111.30) и (111.31) для rраницы зоны синхронноrо само-
возбуждения:
(X d + X - Х с ) (X q + X - х с ) + (R + дR)2 = О ([11.32)
и для rраницы зоны 11 асинхронноrо самовозбуждения:
(X + дх--х с ) (X q + дх - Х С ) + (R + дR)2 = О. (111.33)
143
+
'1
I
Rllx
R=
R; + (Х2 + х н )2
R; + ХН (хн + Х2)
X=X2
R + (Х2 + х н )2
При этом
:Id+ iJx
I
_.... с
.....
о
X q - x'cJ -tJR
2
Рис 111 13 ЗОНЫ 1 и 11 са-
мовозбуждения в системе,
представленной схемой за-
мещения (рис. 111 11)
Xd + tJx _.--
-jjR
Xq+J}X c
п
(111.34)
Из уравнений (111.32) и
(111.33) видно, что rраницы зон
1 и 11 самовозбуждения описы-
ваются двумя частями окруж-
ностей, центры которых нахо-
дятся соответственно на рас-
Xd + x q
стоянии 2 +!1х и
R
,
x d + x q
+ -l\x от оси абсцисс
2
и смещены на величину - !1R
от оси ординат (рис" 111.13).
Радиус окружности зоны
синхронноrо самовозБУLКдения
xd -X q
aBeH 2 асинхронноrо
,
xq-x d
самовозбуждения - .
2
Следовательно, учет
сложной сети перемещает
области самовозбуждения в
сторону больших значений
хс на ве,,11ИЧИНУ x; вели-
чина активноrо сопротивле-
ния, оrраничиваЮlI еrо 30
ны 1 и 11 СЗ1vfовозбуж-
дения, уменьшается на ве-
личину R.
rЛАВА /У
САМОРАСКАЧИВАНИЕ В СЛОЖНОЙ CIjCTEME
IV.I. Задачи исследования
При изучении работы объединенных электрических
систем возникает вопрос о допустимости Toro или иноrо
реЖ1iма системы и поведении ее в процессе эксплуата-
ции. В частности, приходится анализировать допусти-
мость режима малых наrрузок, коrда возможно появ-
ление самораскачивания reHepaTopoB, находящихся в со-
ставе сложной системы. Естественно, что если обнару-
жится недопустимость режима малых наrрузок вслед-
ствие возникновения самораскачивания reHepaTopoB, то
следует предусмотреть меры, которые бы подавляли
самораскачивание и тем самым способствовали поддер-
жанию устойчивой работы сложной электрической си-
стемы. В связи с этим необходимо иметь метод провер-
ки еложной системы на самораскачивание.
Полные аналитические исследования самораскачива-
ния в сложных электрических системах базируются на
рассмотрении уравнений Парка-rорева. Но усложнение
электрической системы приводит к увеличению числа
дифференциальных уравнений и значительному повы-
шению степени характеристическоrо уравнения, что за-
трудняет проведение исследований. Так, при исследова-
нии самораскачивания в простейшей системе «станция-
шины» приходится анализировать уравнение седьмой
степени, если учитывать наличие на reHepaTopax демп-
ферных обмоток. Степень характеристическоrо уравне-
ния для трехмашинной схемы будет уже выше 20-0Й.
145
Составление характеристическоrо уравнения слож-
ных систем представляет определенную трудность, не
rоворя уже об анализе ero на устойчивость. Задача
исследования характеристическоrо уравнения высоких
степеней с целью определения областей устойчивой ра-
боты решается путем применения электронныХ' вычис-
лительных машин.
Указанный путь решения поставленной задачи впол-
не допустим и в ряде случаев желателен. Однако, кроме
этоrо пути исследования самораскачивания, целесооб-
разно иметь и более простые методы исследования, ко-
торые позволяют практически с необходимой степенью
точности выявить возможность возникновения саморас-
качивания reHepaTopOB в сложной системе без приме-
нения rромоздкоrо математическоrо аппарата.
IV.2. Подавление самораскачивания параллельно
работающих синхронных машин
Определим возможность возникновения самораска-
чивания reHepaTopoB электростанции, присоединенной к
системе через линию передачи, имеющей продольную
емкостную компенсацию (рис. IV.l). Станция имеет п
reHepaTopoB.
При выявлении условий самораскачивания (рис. IV.l)
следует анализирьвать систему уравнений, состоящую
из уравнений, характеризующих:
1) электромаrнитные (в осях d, q) и электромеха-
нические переходные процессы каждой машины (таких
уравнений будет 3п);
Q) электромаrнитные переходные процессы в линии
и установке продольной емкостной компенсации (два
у равнения для осей d, q) ;
3) уравнения (d, q) баланса токов в узловой точке
системы (шины станции).
Анализ поведения reHepaTopoB системы при малых
hаrрузках проведем при следующих допущениях:
1) на роторах машин отсутствуют демпферные об-
lvIuТКИ. Это условие обеспечивает наибо,ЛЬШУЮ возмож-
ность возникновения самораскачивания *
* Однако в связи с тем, что анализ ведется в общем виде с ис-
пользованием операторных сопротивлений Xd (р) и Xq (Р), получен-
HbIe уравнения MoryT быть распространены и на случай, коrда ма-
шины имеют демпферные обм<:тки.
146
а)
(-1
r-z
r-k
U r
x
.-Х 8 Н ,
.
.
.
.
.
r-п
R, Id(P), X q (рl
о)
x l
r-X8
!!.. . Xd (р) . Xq (р)
ппп
б r
R, Xd (р), X q (р)
Рис. IV.l. Определение условий самораскачи-
вания синхронных машин:
а) - схема рассматриваемой системы, б) - схема при
нахождении условий самораска1lивания всех reHepa-
торов по отношению к шинам мощной системы,
8) - схема для рассмотрения самораскачивания одно.
ro rеператора станции по отношению напряжения
шин станции
147
2) параллельно работающие reHepaTopbI имеют оди-
наковые параметры и заrружены равномерно. Послед-
u
нее условие, не внося существенных поrрешностеи, дает
возможность упростить решение задачи.
Запишем линеаризованные уравнения, характеризую-
щие электромаrнитный и электромеханический процессы
в k-й машине станции:
- [pX d (Р) + R] b.i dk - X q (Р) iqk - фqОkрА6 k = ]
= AU rdk ,
X d (р) M dk - [pX q (р) + RJ 6i qk + ФdОk рА(\ = } (lV.l)*
= AU rqk , J
ТJр?А.б k + [iqOkXd(P) - ФqОk] &i dk +
+ [ФdОk - idOkX q (р)] di qk = О
Уравнения (IV.l) записаны в системе координат, же-
стко связанной с ротором k-й синхронной машины. Ана-
лоrИЧiные ураtвнения МlQЖН() записать для остальных n-l
машин.
Уравнения, характеризующие электромаrнитный пе-
реходный процесс в линии и УПК, получим из выраже-
ния для падения напряжения в линии передачи, кото-
рое для фазы а имеет вид:
U ra - U fl, = xcS iadt + R BH i a + Хан di a .
dt
(IV.2)
После преобразования (IV.2) к системе координат
d, q, связанной с ротором k-й машины и линеаризации,
получим:
- AUrd + pAUrQ = - (R BH + 2рх вн ) Ai d + [х с +
+ Rsиp + (р2 -1) Хан] Ai q + [dUrdop +
+ и сosБ Оk -Rвнi dО Р - Х В " i dO р2_
- 2х вн i qo р] t..fJ k ' (IV.3)
p Urd + f:"U rq = [Ха + R BH Р + Х ВН (р2 - 1)] Ai d +
+ (R BH + 2рх вн ) !.\i q + 1 - Аи rqO Р - и sin Б Оk +
+ R BH i qo Р + Х ВН i qo р2 - 2х вн idOp] Аб k
* Исходные уравнения, из которых получена система (IV.1),
приведены в приложении 6.
148
rде
-UsiП''Оk=U dО ' Ucost1 0k = U qO '
а и - напряжение приемной системы.
В уравнения (IV.3) входят значения приращений тока
линии Ai d И Ai q , KOTOp1;Je необходимо выразить через при-
ращения токов каждоrо из n reHepaTopoB.
Для этоrо запишем уравнения баланса токов в узло-
.,
вои точке:
i a1 + ё а2 + . . . + i ak -t- . . · + i aп = i a I
ы + b2 + · · · + Ьk + · . . + i. BH = ь ·
t c 1 + t с2 + · · · + t с k + · · · + t сп = t с
Уравнения (IV.4) следует преобразов&ть к системе
координат, связанной с ротором k-й синхронной маши-
ны. Последнее удобнее проводить в матричной форме с
использованием матриц преобразования. После преоб-
разований и линеаризации получим следующие уравне-
ния:
(IV.4)
di d1 + Ai d2 + · . · + idk + . · . + idп +i qо1 dб 1 + )
+ i q02 6.fJ 2 + . . · - (i qo - i qok ) /1fJ k +
+ · . · + i qOn 6б n = Ai d
Ai q1 + 6i q2 + . · + !!J.i qk + . . . + 6.i qп -
- i dQ1 бl - i d02 аб 2 - · . · + (i dO - i dOk ) Аб k --
- · · · - i dOп бп = !1i q )
Уравнения (IV.l), (IV.3) и (IV.5) полностью харак-
теризуют переходный процесс рассматриваемой системы.
На основании их анализа можно получить условия са-
мораскачивания reHepaTopOB.
После соответствующих преобразований и исключения
И3 системы уравнений переменных ДU rd ; J1U rQ ; id; iq
можно записать уравнения для k-й машины:
bAi d1 + b id2 + · · . + aAi dk + · . · + b idп + I
+ d iql + d iq2 + . . · + c iqk + . · . + d!1i qп +
+ е.\б 1 + еАб 2 + . . . + mA k + . . . + еАб п = О
fAi dl + fAi d2 + . . · + lM dk + · · · + fM dп + ( · (IV.6)
+ hAi q1 + h!1i q2 + . · · + g!!J.i qk + . . . + h1i qп + I
+ w!1б 1 + W!1 2 + . . . + sA6 k + . . . + w бп=О,
,Al1i dk + Bf1i qk + FАб k == о. J
(IV.5)
149
Два первых уравнения системы (IV.б) характеризуют
электромаrнитные процессы, протекающие в k-й машине
и линии электропередачи. Последнее уравнение опи-
сывает электромеханический переходный процесс k-и
машины. Аналоrичным способом можно представить
остальные 3 (п-l) уравнения Парка-fорева для ос-
тавшихся п-l маШ;IН станции.
Выражения для определения коэффициентов уравне-
ний (IV.6) даны в приложении 7.
Условия равномерной наrрузки всех м шин находят
отражение в соотношениях:
Б Оl . Б О2 = · · · = Ok = б оп ,
ФdОI = ФdОk = U rOq + ..!i. i qo = E dO + ...!- xdi dO = ф о .
n n
1
фqОl =-фqОk = - фqо,
n
. . 1 .
ldOI = tdok = - t do ,
n
. . 1 .
lqOi = tqOk = - t qo '
n
fраницы области самораскачивания reHepaTopOB
можно найти, если исследовать характеристический оп..
ределитель системы, который можно представить сле-
дующим образом:
аЬ.. .bcd,..d ml.. .l1
Ь а. . . ь d с. . . d 1 т. . . 1 2 номер
. . . . . . . .. ... : машин ы
ЬЬ.. .a/dd. .clll.. .m п
.. . . . . . . . . . . . .. . . «
ef.. .fgh...h sW...w
D (р) = f е. . . f g g. · . h w S. . . w
............... ..
f '. · .elhh. . .g/ww. . .8
(IV_7)
АО. . .ОВО. . ..О РО. . .0
ОА.. .ООВ.. .ООР...О
о О. . . АI о О. . . в I о О. . . F
150
Анализ определителя (IV.7) в общем виде без при-
менения счетно-решающих устройств невозможен.
Исследование характеристическоrо определителя
можно HaMHoro облеrчить, если с ero строками и столб-
цами проделать ряд преобразований. После этоrо опре-
делитель в сокращенном виде запишется в виде:
Н 1 Нз Нз' . . Нз
О Н 2 О... о
D (р) = о о Н 2 ... о (IV -8)
о о О... Н 2
В определителе (IV.8) Н 1 , Н 2 , Нз обозначают соответ.
ствующие миноры.
На основе известной в матричной алrебре теоремы
Лапласа определитель (IV.8) может быть разложен на
множители:
D (р) = HIH -l =
а + (п - 1) Ь с + (п - 1) d т + (n - 1) 1
е+(fl-т-l)f g+(п-l)h s+(п-l)w
А В F
Х 1 : А r ; в F Jn-l = о.
Таким образом, характеристический определитель
(IV.7) представляет собой произведение двух сомножи-
телей (IV.9); условия устойчивости системы опреде-
лятся, если исследовать два уравнения:
Н 1 =0; Н 2 ==0. (IV.IO)
Остановимся на каждом из условий (IV.IO) более
подробно. Запишем в развернутом матричном виде пер-
вое:
2p[ Xd P) + Х ВН ] + ( +RBH)'
H t = n (p2_l)[ Xd P) +Хвн]+Р( : +RBH)+X C
i qo { [ Xd ) + Х ВН ] + ( Х: + Х ВН ) }
=1
Jx
(IV.9)
151
[ X q (р) J ( R )
-(p2-1) n +Х ВН -Р n +R BH -Х с
[ X q (р) J ( R )
2р п +Х ВН + n +R.R
Е {( Xd ) [ X q (р) ] 1 .
dO + --;- + ХОН - n + ХОН J ldO
[E dO + i dO ( + Х ВН )] р2 + 2i q () ( + ХОН) Х
Х р + ( : + R ви ) i dO Р - и COS {)О
iqo( +XOH)p2_2[EdO+( +XBII)idOJ р+
+ ( + RBH) i qO Р - и sin ()о
nT J р2
Можно показать, что определитель (IV.l1) соответ-
ствует характеристическому уравнению системы (11.1),
определяющему условие устойчивости одной машины,
работающей через линию передачи на мощную систему.
Разница состоит в том, ЧТО в характеристическое
уравнение (11.1) входят параметры одной машины X d (Р);
X q (р); R, т J, а в определитель (IV.ll) - параметры fL
параллельно работающих машин:
1 1 1
- X d (р), - X q (р), - R, пТ J.
ппп
=0. (IV.ll)
Естественно, если заменить n параллельно работаю-
u u
щих машин однои эквивалентнои с параметрами
.!.... X d (р). .J.. X q (р). .l... R. nТ J' то условия устойчивости
ппп
(IV.ll) будут те же, что и для работы однэй машины
Нй систему, напряжение которой неизменно и равно и
(рис. IV.l, 6). Следовательно, одно из условий устойчи-
вой работы параллельно работающих rеиераторов на си-
стему при малых наrрузках сводится к проверке отсут
ствия самораскачивания одноrо эквивалентноrо rеиера-
тора, работающеrо на наrрузку системы. Методика по-
добноrо анализа проведена в rл. 11.
152
Второе условие (IV.12) устойчивой работы (при ма-
лых иаrрузках) n параллельно работающих reHepaTo"
ров с учетом соотношений, отражающих равномерную
заrрузку reHepaTopoB, может быть получено в виде:
X d (Р) - [Xq{p) + R]
Н 2 = (р2 + 1) pxd{p) + R xq(p)
i qOk x d (р) - фqОIl ФdОk - i dOk x q (р)
ФdОkр+Urslп б о
ФqОkР -Urсоsб о = о.
т J р?
(IV.12)
Сопоставляя характеристический определитель
(IV.12) с системой уравнений (11.1), убеждаемся, что
условие (IV.12) отвечает опреде 1Jению областей само..
раскачивания, коrда любая из n машин работает на
шины эафиксированноrо напряжения (рис. IV, 1, в). Оп..
ределение областей самораскачивания машины в этом
случае может также проводиться по методу, изложен..
ному в rл. 11.
Проведенные исследования показали, что в рассмат"
риваемой системе (рис. IV.l, а) возможно самораскачи..
ванне как станции в целом по отношению к мощной си..
стеме, так и каждой из машин станции относительно
всех остальных reHepaTopoB, работающих на общие щи..
ны станции с напряжением и r.
Характеристический определитель (IV.12) учитывает
возможность отноаительноrо движения синхронных ма-
шин одной станции между собой. При выявлении режи-
мов, rде возможно самораскачивание машин станции
между собой за счет несинхронноrо качания одной из
них, за неизменное необходимо принимать напряжение
на шинах станции, куда присоединены все reHepaTopbI.
R
Однако следует заметить, что отношение - R цепях
X q
самих синхронных машин весьма незначительно., поэтому
возможность самораскачивания reHepaTopoB между со..
бой практически исключается.
СлеДQвательно, определение условий самораскачиваi
НИЯ электростанции с п параллельно работающими re-
153
нераторами практически сводится к выявлению режи-
u
мов, rде возможно возникновение периодическои не-
устойчивости одноrо эквивалентноrо reHepaTopa, пред-
ставляюшеrо собой станцию в целом, по отношению к
мощной системе, на шинах которой поддерживается не-
изменное напряжение. Параметры эквивалентноrо reHe-
ратора станции заlВИСЯТ от параметров каждоrо reHepa-
тора и числа включенных reHepaTopoB.
Так как области Iсамораскачивания определяются чис-
лом reHepaTopoB, включенных па параЛJIельную работу,
причем большему числу присоединенных к llIинам ма-
шин соответствует наиболее широкая зона периодиче-
сКой неустойчивости, то при определении условий воз-
никновения самораскачивания следует учитывать изме-
нение количества параллельно работающих синхрюнных
l\lашин и возможные изменения схемы станции в различ-
ных эксплуатационных режимах.
Метод пров рки получающейся в этом случае схемы
изложен в rл. 11. Остановимся на возможности устране-
u
иия самораскачивания в исследуемои системе при по-
мощи АРБ (рис. IV.2).
При такой постановке задачи можно рассмотреть
два случая, а именно:
1) на каждой синхронной машине установлен АРБ,
реаrИРУЮЩ1ИЙ на отклонение общеrо параметра, напри-
мер тока линии и ero производных;
2) АРБ каждой машины реаrирует на индивидуаль-
ные параметры, например ток собственной синхронной
машины.
При наличии на reHeparopax АРБ, действующеrо по
общему параметру, к уравнениям (IV.l) следует приба-
вить еще одно, учитывающее переходные процессы в си-
стеме реrулирования k-й машины:
U jdk = W(p) Ai+U jdOk =
= W(p) [ i o bl d + i: o Ai q ] + U/ dOk '
е-а 10
(IV.13)
которое после линеаризации принимает вид:
AU/ dk == W (р) [ dO Ai d + ' qO ] Ai q .
10 10
154
tI:: ' I ><
(1){-оС\!(])
:::> 1 :s: 0o..U:=
:I: g з-
cu
q G C\! :z:
>-.p., С\!
:>- :х: :х: f-<
' :=Q)C\!U
\о :S:o..
Н м t:: :=
о О tr' С\!
!=Q C1)C\! 0..
'-: tI:: :X: U
s..,t::!" :s: С\! <\1
-Ic:: :I: g:=g.o..
c\s:s: := (1)
..... !=Q lgC\!
о _ U
-..-:; р... C1) C\!
:s: 1:{ :x:
(]) :s:
-It::: р.,:а
1:-. 1:: := О
Q:: I t:: cu O(])Q. :s:
0-4 fo< t:: U :х:
C) ?1(1)
О := <\1 S
1:-. I:{U O
О С1):=:Х:
D C\!; 5
cu S I
::r >< 1::(0
:s: U -C1) t::
Е-4 I <\) о..
c\s J:: С\!
- - . . . . ......:: ::Е _!2 i 0o..
о \c :s: g
Е-4 Q) ::f С\!
!=Q :s:' :х: о..
c\s :s:: C\!I:{C1)
:s: ::fo..fo< :х:
:х: U<\IC1)
S C\!
О fo<::r::::r::Q)O
::Е CJ :S::><
SUO
о ;;... I :х:
1:: !2!2_1:t
:s: Q):S:::S::rt:)0
::=:Х::Х:
Р... t'З Q) Q) ;E
1:: Q.8SC\l
<\1 р.,
!=Q t::0OOO
I о i:
;;"'000..1
0::= <1J
Е-4 (1)00::r::_
c\s gJ::J::
'" С\!
:I: 0:s:: о..:а :а
(..) \...) - ClJ o f=
н '-с t::::ft'ЗфQ)
o.. t;
:s: (:QE-< C\!
-I :::t: p..uQ)Pcu
c'\s < ""С\!
з:: .... !=Q t::!2
ё5: 8.eC1)
Q:: - :s:
0..0g2lC1)
c'\s tl:f::'J
-1 u C\!PcO tJ::
c\s Q. Q) С\! о..
о- Q):X: >-.t::
о ::r:: ts:I::(C\!
с1) :Х::==
С\!CXI
c'\s >< :S:
U C\!C1):S:1:f:
:z:u::r:z:
L.. <l) CXlС\!:=!2
:::J :s: :S:: I :S::
:::t: :=tJ:: C\!:X:
t:::I'" cu tr':=o.:X:Q)
:::t: :S:::z:o S
c'\s g
-..... 0-4
:X::= gfo<
Е-4 tr' О
- -/- . . . . . u :S::C\! !2
o. >-'0
ct: t:: o.t::
С\! 0.0 Е
> ::s BC\!:s:
1-( C\! ё
UU:s: ==
CJ I :="«j
:х: I:Q Е-<
:s: _:= С1)о.. CJ
I:lc I::S == 0.<
Характеристический определитель системы с АРВ
при этом получим в следующем виде:
Из характери\стическоrо определителя (IV.14) можно
поJIучить два, которые в раЗ1вериутом виде запишутся
так:
Н 1 =п
2p[ Xd P) +Х вн ]+( : +RBH)+2 P 1:: G(p)W(p);
(р2 - 1) [ Xd ) + Х ВН ] + ( : + RBH) Р +
+x c +(p2-1) ' o G(p)W{p);
lo
. {[Xd (Р) ] (X q + )} · ido G ( ) W( .
tqo n +Х ВН - n Х ви +t qO i o Р Р),
(P2_1)[ xq P) +Х вн )-( : +RBH)P-X C +
i qo
+ 2р -:- G (р) W (р);
lo
2P[ xq P) +Х вн ]+( : +RBH) + (p2--1) ::0 G(p)W(p);
E dO [ ( Х: + Х вн ) - Xq ) - Х нн ] i dO +
. i qo
+ t qO -:- G (р) W (р);
lO
* Значения коэффициентов (IV.14) даны в лриложении 8.
156
r E dO + i dO ( х: ' + Х ВН )] р 2 +
+ 2i qo ( ; + Xbh)idOP-UСОS<>О;
i qO ( :q +XBH)p2_2[EdO+( Х: +Хвн)Х
Х i dO ] Р + ( + RBH) i qo - и sin <>0;
пТ р 2
=0 (IV.15)
Xd(p); - [X q (Р) + R];
H 2 =(p?+1) pxd(p)+R; xq(p);
i qkO Xd(p) - фqkО; ФdkО - i dkO X q (Р);
ФdkО + U r sin Б О
фqkО - U r cos 60 ;:::: О,.
TJp'?
(IV.16)
Условие (IV.15) соответствует случаю, коrда одна ЭК-
1
вивалентная синхронная машина с параметрами- Xd (р) ,
п
1 1
- xq(p),-R, пT J и собственным реrулятором возбужде-
п n
ния работает через линию передачи на мощную СИС1'е-
му, напряжение которой постоянно во всех 'режимах
(рис. IV.2, б). Определение условий устойчивой работы
подобной реrулируемой системы рассматривалось в
rл. 11.
Условие (IV.16) соответствует случаю, коrда рабо-
тает одна из п машин на ШИНЫ эафиксированноrо нап-
ряжения и r (рис. IV.2, 8).
Поскольку реrулирующая система действует в соот-
ветствии с общими параметраМ1И, то это обстоятельство,
естественно, не находит отражения в условИ'и устойчи-
вости (IV.16). Последнее означает, что реrуляторы воз-
буждения по общим ,параметрам (в частности, току ли-
нии) оказывают влияние на сохранение устойчивости
всей станции в целом по отношению к мощной системе
и не MoryT предотвратить появления относительноrо дви-
жения rеиераторов между собой.
157
Коrда АРБ каждой машины (рис. IV.2, 2) воздейст-
вует на индивидуальные /параметры reHepaTopa (напри-
мер ток), то систему уравнения (IV.l) дополняют соот-
ношением:
!::.и fdk = W (р) [ idok !!i dk + i: O k Aif(k].
lok lok
При этом получим характеристичеlСКИЙ определи-
тель *:
D(p) =
=HIH -l а t(n-l)b c+(n-l)d т+(n-l)l х
е + (n - 1) f g + (п - 1) h s + (п - 1) w
А В F
( а-ь c-d т-l j
Х e-f g-h s-w =0.
А В F
Уравнение н 1 =0 соответствует условию работы од-
Horo эквивалентноrо reHepaTopa, представляющеrо собой
электростанцию в целом и имеющеrо эквивалентный ре-
rулятор возбуждения с передаточной функцией -.!.. W(p)
n
(рис. IV.2, д).
Из определителя н 2 =0 получаем условия устойчи-
вой работы любой из машин, снабженной индивидуаль-
ным реrулятором и работающей на шины зафиксиро-
BaHHoro напряжения U r (рис. IV.2, е).
Так как реrулирующая система каждоrо reHepaTopa
приходит в действие от изменения их индивидуальны
параметров, что находит свое отражение в уравнениях
Н 1 =О и н 2 =0, вытекающих из выражения характери-
стическоrо определителя (IV.17), то указанные реrуля-
торы MoryT устранить самораскачивание обоих видов.
При этом необходимо обеспечить соответствующую на-
стройку реrуляторов возбуждения.
Методика исследования обеих с:хем, рассматривае-
l\1bIX при изучении поведения мноrомашинной станции,
rеиераторы которой имеют АРБ, по отношению к систе-
ме остается такой же, как и в rл. 11.
(IV.17)
* Выражения для коэффициентов (IV.17) через параметры
системы даны в прнложепии 8.
15&
* IV.3. Самораскачивание синхронной машины,
u u u u
соединеннои линиеи передачи с прием нои системои
u
соизмеримои мощности
Для выяснения влияния электромеханических и
электромаrнитных процессов, протекающих в прием ной
системе, учет которых желателен при соизмеримой мощ-
а)
и
(-1
(-2
о)
и
(-1
8)
(-2
W" d ,
d
q
q,
Рис IV 3 Самораскачивание в системе
двух станций
а) - схема системы в наrрузочном режиме,
б) - схема системы в режиме холостоrо хода
8) - расположение осей
ности передающей станции и приемной системы, пред-
ставим последнюю в виде одной эквивалентной станции
и наrрузки (рис. IV 3, а).
159
Возможные области самораскачивания в системе
(рис. IV.3, а) найдем из анализа характериетическоrо
уравнения {на устойчивость.
Характеристическое уравнение си'стемы мож'но полу-
чить 'Из раС'смотрения уравнений переходных ПрОЦе'ссов
в каждой из машин, а также в линии передачи и на-
rрузке.
В ра сматриваемой двухмашинной системе--
(рис. IV.3, а) наиболее опасным с точки зрения наруше-
ния устойчивости СИ1стемы вследствие возникновения са-
мора'скачивания является режим хол'остоrо хода
(рис. IV.3, 6). Составим характеристическое уравнение
для этоrо наиболее опасноrо режима системы. Упростим
решение, отказавшись от учета переходноrо процесса в
наrрузке. Введем сопротивления reHepaTopo станции 1
в сопротивление линии передачи. При этих упрощениях
будем 'иметь:
" "
- РФdl - фqi Р11- Rid -т U d
(
" "
-- P ql + фdl РАl - Ri q = U q
, ,
фаI = X d1 (р) i d + G (р) U/ ll1
, ,
фql = X q1 (р) i q
TJ1 pr, = Ммех1 - (i; ф l - ё 1 Ф l) I
Р! J = 1 + pfJ 1 }
)
(IV.18)
L{ля второй станции уравнения электромаrни ноrо и
электромеханическоrо перехо,цных процессов будут иметь
вид *:
"" "
Pfd2 + фq2 Р12 = U d
"" "
P q2 - фd2 Р12 =U q
" "
фd2 = X d2 (р) id + 02 (р) U/ d2
" "
фq2 = X q2 (p)i q
Т J2p212 = (i; Ф;2 - i; Ф;2) - МмеХ2
Р12 == 1 + fJб2
(IV.19)
* Оси d 2 , q2 связаны с ротором MaI.lМHЫ r - 2.
160
Если принять, что существует система координат d,
u
q, вращающаяся с синхроннои с оростью 00, то нетрудно
получить !Соотношения между координатами d 1 , d 2 ; ql,
q2 И d, q из рис. IV.3,8"
Заtпишем эти соотношения:
, .
U d = U d cos б 1 + и q sin б. 1
,
U q = -U d sin6 1 + UqCOS 1
"
и d = и d COS 62 + и q sin б 2
"
U q = - и d sln 62 + и q СОЭ 2
(IV.20)
Аналоrичные соотношения можно получить для токов
u
И потокосцеплении.
, , "
в приращениях переменных U dt U q , U d , U q , U d ,
"
и q, б 1 И 2 уравнения (IV.18) и (IV.19) соответственно
MoryT быть записаны в виде:
- Р Ф l - ф l -Rdi - фqОl рjб 1 = dU )
, " ,
dфdl - р фql -R iq + ФdОl р бl = Uq
, ,
dФdl = X d1 (р) b.id
, ,
dфql = X q1 (р) di q
, , ,
T J1P 2AfJ 1 + iqоdфdl - i dо 1фql- фqО1 6id +
,
+ ФdО16iq = О
(IV.21 )
"п "
pf:J. d2 + ФQ2 + Ф qО2рdб 2 = Аи d
ппп
- Фd2 + р фq2 + ФdО2Р 2 = b-U q
п "
АФd2 = X d2 (р) id
" "
Афq2 = X q2 (р) ig
"" "
TJ2P2 fJ2 - iqOA'fd2 + фq2idО + фqО26id-
"
- ФdО2Аiq = О
)
(IV.22)
}
161
Уравнение (IV. 20) в приращениях имеет вид:
Aи ..= t::.U d СО5 Б О1 + Аи q sin б 01 + (- U dO sin б 01 -t- )
+ U qO COS б 01 ) Аб 1
t::.U = - t::.U d sin Ч>Оl + 6.и q cos б 01 -
- (и dO cos ()01 -t- U qO sin б 01 ) Аб 1
t::.И = 6И d cos б 02 + !J.U q sin б 02 ) +
+ (- и dO sin б 02 + U qO cos /)02) t::./)2
"
AU q = - Аб d sin б 02 + I1и q cos б 02 -
- (и dO cos 602 +и qO sin 602) М 2 )
Так как характеристическое уравнение системы рас-
сматривается для режима холоетоrо хода, то следует
учесть условия, имеющие место в этом режиме:
E d10 = E d2 = U q = И О = 1 )
б 01 = 602 = 00
ФdОl = d()2 = 1
фqОl = фq02 = О
Из уравнений (IV.21) и (IV .24) получим характери-
с'! ическое уравнение си"Стемы в неразвернутом виде:
D (р) = р2 {р [X d1 (р) + Х: (р)] + Я} {р [X d2 (р) + X q2 (р)] +
+ R} + р2 (Xdl (р) + X d2 (р)] [X qt (Р) + X q2 (р)] +
+ ( T l + }J2 ) {,; [X d l (р) + X d2 (р)] + pR +
+ [X d1 (р) + X d2 (р)]} = О. (IV.25)
D (р) = аор7 + а 1р 6 + а2р5 + азр! + а 4 р3 +
+ а бр 2 + а 6 р + а 7 = О. (IV.26)
Исследование уравнения (IV.25) дает возможность
определить условия самораскачивания reHepaTopOB пе-
редающей станции.
Проанализируем наиболее тяжелый случай с точки
зрения возникновения самораскачивания, а именно: ма-
LLIИНЫ передающей станции не имеют демпферных обмо-
ток, а турбоrенераторы приемной системы снабжены по-
fiереч»ой демпферной обмоткой. После преобразования
из (IV.25) получим характеристическое уравнение седь-
l\10rO порядка:
162
(IV.23)
I
(IV.24)
Выражения для коэффициентов характеристическоrо
уравнения (IV.26) приведены в приложении 9.
Используя метод Д-разбиения, построим области устой-
т r
чивости системы в координатах T Q2 , Т JЭ = Jl J2 .
Т Jl + Т J2
Результаты расчетов в виде кривых приведены на
рис. IV.4. Из рисунка видно, что вся область устойчи-
вости лежит правее оси ординат Т Jэ.
J0 4
10
I
,fX!O - -
'3 '
#'
J (!".' l' , t
[, ! , ,1
f: : 7 ., lЗт
? / . аlJа
f I I Оел
,
, /
I , ,-'
;.. f " !
I ./ ....paa
J I I
OJ '- -( 5h r- h"ta п..' 'fo. 1 5103
1.
.\."
7
.
ОЖIIЫ"
паЗОIt
Ullшtы
:I
,5 10
2 ,r/
5 10
Рис. IV.4. Области устойчивости системы (рис. tv 3, 6) по ус-
ловиям самораскачивания в координатах Т Q2' Т Jэ
Следовательно, в ре)киме холостоrо хода в рассмат-
риваемой системе возможно самораскачивание, если на
турбоrенераторах приемной системы будут отсутствовать
демпферные обмотки в поперечной оси. Самораскачива-
ние в режиме холостоrо хода устраняется, если Т Jэ нахо-
дится в пределах (103-6. 103) рад, а Т Q2 - В диапазоне
(1,5 · 103-5 · 103) рад, хотя на машинах передающей
станции отсутствуют демпферные обмотки.
Современные крупные турбоrенераторы имеют посто-
янные времени демпферных обмоток порядка несколь-
ких сотен радиан. Следовательно, в системе, имеющей
подобные машины, самораскачивание не должно созда-
вать препятствий для ведения нормальных эксплуатаци-
онных режимов.
Изучение влияния мощности приемной системы на
условия у'Странения самораскачивания можно также
163
проводить, используя характеристическое уравнение
(IV.26) .
На рис. IV.5 построены области самораскачивания в
двухмашинной схеме при разных мощностях приемной
системы. Из этоrо рисунка видно, что увеличение мощ-
ности приемной системы приводит к увеличению мини-
lj, ,рад
10
4
... .\. !..-
R L- .\11 .
lJ r--. : ..,
J ' .
Jl 2 2 !(
rI ' .,'
"
. ,,'f
3 ,.j У ,,1
, ,
v.. iIWC. ;у LJLrи ..\1 'z."/f} J- , '(}J __
.\ :
.'1:
'О" .....'VТ
/0"
5 l
51fr_
2 l
21r1
10
,poi
'1
5!J
5/02
Рис. IV.5. Деформация областей устойчивости при изменении мощ-
ности приемной системы:
Xd2
1 - МОЩНОСТИ передающей станции и приемной системы соизмеримы - = 1,
xdl
2 - при увеличении МОЩНОСТИ приемной системы в пять раз
мальноrо значения постоянной времени Т Q2; в то же
время верхнее rраничное значение Т Q2 быстро снижает-
ся. ПО-ВИДliМОМУ, при каком-то соотношении мощности
передающей станции и приемной системы область ус-
тойчивоети исчезнет вообще; это значит, что демпфер-
ная обмотка reHepaTopOB приемной системы не может
u
устранить самораскачивания reHepaTopoB передающеи
станции.
Если в схеме (рис. IV.3) принять неизменным напря-
ение (И) в конце передачи, то для устранения само-
раскачивания reHepaTopoB передающей станции их сле-
дует снабжать поперечными демпферными обмотками
(область устойчивости в координатах Т Jl И Т Ql, пр иве-
дена на рис. IV.4 пунктирными кривыми).
Сопоставляя полученные области устойчивости
(рис. IV.4), замечаем, что учет электромехан»чес.l{ИХ
процессов, протекающих в прием.ной системе, несколько
расширяет область устойчивости, т. е. облеrчает требо-
вания, преДЪЯВ,,lяемые к параметрам демпферных обмо-
164
ток для устранения еамораекачивания. Друrими слова-
МИ, при одних и тех же параметрах демпферных обмоток
синхронных машин область самораскачивания в схеме
«станция-шины» больше/ чем в двухмашинной системе.
Последнее можно достаточно просто показать аналити-
чески. Для проетоты И1сследований в схеме (рис. IV, 3, а)
не будем учитывать переходных процессов в цепях ста-
торов.
Характеристическое уравнение системы при этом бу-
дет:
T dO m;l рВ + m 11р 2 + T do (т;l 812 - n;2 Р;2) р +
+ (m 11 S 12 -п I2 Р;2) = О, (IV.27)
rде
т;1 = 1 + (X l - X q1 ) YllQ СО! cx l1Q
т) 1 =: 1 + (X d1 - X q1 ) YI1Q cos IIQ
п;2 = (X l - X q1 ) Y12Q E d2 sin (б 12 - cx1?Q)
n 12 = (X d1 - X q / 1 ) Y12Q E d2 sin (б 12 - (l12Q)
s 12 = E q1 E d2 Y12Q [ 1 cos (a 12 - 1X 12Q ) + (IV 28)
т J1 · ·
+ 1 cos (612 + 1X 12Q )]
T J2
, 1
Р12 = [2E q1 YllQ sin a1JQ + E d2 Yl2Q sin (Б I2 -
T J1
-1X 12Q )] + 1 E d2 у I2Q siп (612 + 1X 12Q )
T J2 }
При малых иаrрузках коэффициенты уравнения
(IV.27) существенно полоЖ)ительны и условия неустой-
чивости при этом определяются предпоследним опреде-
лителем rурвица,Т. е.
т н
2=
TdOт;1
,
m ll S 12 - п 12 PJ2
(т 1 S 12 - п;2 Р;2) т dO
= T dO (т;l п 12 - т ll п;2) Р;2 < о
или
T dO [ 1 siп ( 12 -1X 12Q ) + -.!..- siп ( 12 + (l12Q) +
т Jl Т J2
165
1 2E q1 YllQ sin CtllQ] ( , )
+ - X d1 -X d1 Х
Т Jl E d2 Y12Q
х Y12Q E d2 sin (б 12 - Cl 12Q ) -< о.
(IV.29)
Из выражения (IV.29) имеем два условия возникно-
вения самораскачивания в системе двух машин, а
именно:
б 12 -< C%12Q'
T J1 sln (б 12 - Cl 12Q ) + TJ2sin( 12 + СЖ 12 ) +
1 2Е ql YIIQ sin Ctl1Q
+- >0.
т Jl E d2 Y12Q
(IV.ЗО)
Условие (IV.30) соответствует нижней rранице об-
ласти самораскачивания, которая располаrается в пре-
делах отрицательных уrлов б 12 .
Первое неравенство (IV.30) в развернутом виде мо-
жет быть записано так:
(RИХql - RХ И ) Xd2
R-
R 2 +x 2
б 12 -< Ct 12Q = arc tg н н
(RиR + Х И Х q l) Xd2
X q1 + Xd2+ R2 + х 2
и н
(IV.31 )
Это условие возникновения самораскачивания по сво-
ему виду похоже на правую часть неравенства (11.8),
определяющую самораскачивание reHepaTopa в схеме
«станция-шины» при отсутствии возбуждения машины.
Критерий (IV.31) относится к двухмашинной схеме с
активной и реактивной наrрузкой, rде a12Q обычно имеет
отрицательное значение, что соответствует возможности
появления самораскачивания при 612<0. Последнее
возможно только в случае работы reHepaTopoB станции
в режиме С'инхронных компенсаторов.
Следовательно, при любом возможном reHepaTopHoM
режиме работы станции самораскачивание rеиераторов
не ожидается. Если же машины передающей и прием-
ной станции работают на холостом ходу, то значение
R
a12Q = arctg будет наибольшим, т. е. соответст-
X q1 +Xd2
166
вует наиболее тяжелому режиму в смысле самораска-
чивания.
Так как отношение ..!3L всеrда больше !i для прием-
X q l х
ной системы, то уrол CX 12Q при работе станции в двух-
u R 1
машиннои системе всеrда меныпе (XllQ = -, коrда reHe-
X q l
ратор работает на шины неизменноrо напряжения.
Таким образом, самораскачивание в системе двух
сrанций менее вероятно, чем в схеме «станция - шины»)
неизменноrо напряжения, и возникновение самораскачи-
вания в системе двух станций наиболее вероятно в режи-
М( холостоrо хода. Поэтому определение условия возник-
новения самораскачивания в системе двух станций долж-
но проводиться, исходя именно из этоrо режима системы.
Результаты аналитических исследований самораскачива-
ния машин сложных оистем были проверены эксперимен-
тально в проблемной лаборатории электрических систем
Л10сковскоrо энерrетическоrо института на схеме, моде-
лирующей линию передачи Волжская rэс - Москва. В
начале линии передачи было включено дополнительное
активное сопротивление R == 3,2 ом, что соответствовало
увеличению активноrо сопротивления линии передачи в
шесть раз. На модельном rидроrенераторе были сняты
демпферные обмотки. Приемная система моделирова-
лась при помощи турбоrенератора и наrрузки в виде
асинхронноrо двиrателя.
Коrда напряжение и приемной системы зафиксиро-
вано, т. е. rидроrенератор работает на шины постоян-
Horo напряжения через линию Iпередачи, то 'при хс=
= 12 ОМ, соответствующем 250/0 компенсации сопротив-
ления линии Iпередачи, в системе наблюдается саморас-
качивание {при наrрузках Р < 0,2 по отношению к мак-
симальной передаваемой активной МОLЦности передачи.
Если же напряжение приемной системы может изме-
няться в различных режимах, т. е. в схеме на модели
вместо трансформатора связи включен турбоrенератор
или турбоrенератор с асинхронным двиrателем, то даже
при увеличении сопротивления продольной емкостной
компенсации в три раза самораскачивания не возника-
ет. Результаты экспериментов обънсняются тем, что
включение IB Iсистему одноrо турбоrенератора 1ИЛИ турбо-
167
reHepaTopa вместе с наrрузкой уменьшает уrол a12Qt ЧТО
затрудняет возникновение самораскачивания. Наличие
же на роторе турбоrенератора демпферных обмоток уст..
раняет возможность возникновения этоrо явления. Та.
ким образом, эксперименты подтверждают выводы, полу-
ченные аналитически: явление самораскачивания в слож-
и и u
нои системе менее вероятно, чем в простеишеи системе
«станция-шины».
Применяя изложенную выше методику исследования
самораскачивания к более сложным системам, можно
сказа1'Ь следующее: возможность возник,новения само-
u u
раскачивания каждом маШИНbI в сложнои системе ис-
следуется при зафиксированном напряжении на зажи-
мах остальных машин. Если при малых наrрузках каж-
дая машина не будет подвержена самораскачиванию, то
изучаемая сложная система в целом будет устойчиво ра-
ботать при малых наrрузках. После зафиксиров3tния нап-
ряжения на ш'Инах rеиераторов сложная система пре-
вращается в простейшую.
eTOД аналитнческоrо исследования самораскачива-
ния такой схемы подробно изложен в rл. 11.
rЛАВА v
ПРАКТИКА РАСЧЕТОВ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ
И САМОРАСКАЧИВАНИЯ
Необходимость проведения расчетов по выlснениюю
условий самовозбуждения и самораскачивания машин
возникает rлавным образом при проектировании стан-
ций, ЛЭП и дру:rих элементов, входящих в электрическую
систему. Реже приходится сталкиваться с TaKoro рода
расчетами в эксплуатационной практике. Однако и здесь
подобные расчеты необходимы, rлавным образом в тех
случаях, коrда в процессе эксплуатации вводятся те или
иные мероприятия, изменяющие характеристики отдель-
ных элементов и улучшающие работу электрической си-
стемы в целом. Примером этоrо мо)кет являться соору-
жение на линиях новых УПК или увеличение степени
компенсации существующих. И в том и друrом случае
необходимо праверить, не приведет ли выбранная сте-
пень компенсации к самовозбуждению или самораскачи-
ванию машин в каких-либо реЖИl'лах.
Рассмотрим более подробно ход подобноrо рода ac-
четов для наиболее характерных случаев, к которым от-
носятся:
а) режим синхронизации ЛЭП с приемной системои,
б) сброс наrрузки и отключение ЛЭП от системы,
в) работа малой машины при малых наrрузках,
r) самовозбуждение синхронных машин в сложных
системах,
Д) самовозбуждение асинхронных двиrателей в ста-
ционарных и пусковых режимах.
169
Синхронизация ЛЭ П с прием ной системой. Рассмот.
u
рим условия синхронизации электрическои станции
ЭС-1, связанной с приемной системой через линию на-
пряжением 330 К8. На станции ЭС-1 установлены два
турбоrенератора ТВВ-200-2, параметры которых, а
также параметры повысительных трансформаторов Т-1
и линии Л-1 указаны на рис. У.l, а. Синхронизация воз-
можна на выключателях В-1 и В-2, установленных на
станции ЭС-l и на узловой подстанции приемной си-
стемы. При СИНХРQнизации н'З станции линия Л-l
включается толчком к приемной системе; синхронизации
на подстанции приемной системы может предшествовать
подъем напряжения линии с нуля.
Определим ВОЗМОЖIНОСТЬ появления самовозбуждения
reHepaTopoB станции ЭС-1 при синхронизации на вы-
ключателе В-2. ДЛЯ этоrо случая схема замещения
представле[Iа на рис. V 1,6, rде сопротивлеljИЯ всех эле-
ментов даны в омах. Схема, изображенная на рис. V.l, 6,
может быть леrко преобразована к схеме, представлен-
ной на рис. У.l, 8, в которой reHepaTop включен на эк-
вивалентное сопротивление Zэ=4,13-j795 ом. Зона са-
мовозбуждения, найденная, соrласно (1.31), при рабо-
те на станции ЭС-l одноrо турбоrенератора, показана
на рис. У. 1, ё. Там же нанесена точка, соответствующая
полученному эквивалентному сопротивлению ZЭ. Из
рис. У.l,2 следует, что вкл;ючение одноrо reHepaTopa на
линию, работающую без наrрузки, опасно по условиям
самовозбуждения; синхронизация на выключателе узло-
вой подстанции В-2 может производиться только дву-
мя rенераторами станции ЭС-l. В последнем случае
верхняя rраница зоны самовозбуждения определяется
сопротивлением.
946
X d9 = - < 795.
2
Это означает, что 'Точка, изображающая эквивалентное
сопротивление Z8, будет находиться за пределами зоны.
Если предположить, что на станции ЭС-l установ-
лены rидроrенераторы, возможность самовозбуждения
которых при синхронизации проверяется, то ход расчеrа
остается таким же, за исключением Toro, ЧТО, кроме зо-
ны 11 асинхронноrо самовозбуждения, строится и зона
1 синхронноrо самовозбуждевия И в том и друrом слу-
170
ЗС-1
а)
Л-t
6)
1 -} 1710
I -Jf7fО
е)
8)
R.OM
40&
Рис. У.l. К определению условий синхронизации уда-
ленной станции с системой
a)-СХt ма системы и параметры.
,
ЭС-l :ТВВ-200-2, cos <1>=0,85, x d = 185%, x d = 27%,
и н =15,75 кв;
Т-l :2Х240мва, U K =12%, r=O,5%, КТ =347/15,75,
Л-l : 350 х.м, 2xACD-SОО, Х о =О,327 Ом'/км"
Ь о =3,34.1 о-в 1/0M'КAf" ro == 0,0342 ом/км,;
б) - схема замещения, в) - зквивалентная схема замещения,
2) - зона самовозбуждения турбоrенератора
о
чае, т. е. при анализе условий самовозбуждения турбо-
и rидроrенераторов, зона 111 строится только тоrда, Kor-
да мнимая составляющая сопротивления ZЭ оказывается
,
меньшей величины Xd машины При этом в приближен-
ных расчетах точноrо определения rраницы этой зоны
можно не делать, а оrраничиться условным построени-
ем, исходя из точки сопряжения зон 11 и 111, которая
соответствует значению активноrо сопротивления R=
=8+ 15% COOTBWCTBeHHO для rидро- и турбоrенера-
торов.
Самовозбуждение reHepaTopOB станций ЭС-2 и
ЭС-3 при включении линии Л-l, работающей без на-
.rрузки, к приемной _системе (рис. У.l) мало вероятно,
поскольку при этом действие емкости линии будет в зна-
чительной мере уничтожаться шунтирующим влиянием
наrрузок. Иными словами, если представить для этоrо
случая схему замещения, аналоrичную показанной на
рис. V.l, в, ТО получим эквивалентное сопротивление не
eMKocTHoro, а индуктивноrо характера
Отключение ЛЭП от системы. Этот случай мало чем
отличается от только что paccMoTpeHHoro Действительно,
если обратиться к схеме, изображенной на рис. У.l, а,
то при отключении выключателя В-2 условия самовоз-
буждения reHepaTopOB станции ЭС-l будут такими же,
как и при их синхронизации. Очевидно, что более опас-
ным явится отключение ЛЭП в режиме малых наrрузок,
коrда часть reHepaTopOB (для рис. У.1, а один reHepaTOp)
остановлена.
Работа малой машины при малых наrрузках. Рассмот-
рим схему, в которой два rидроrенератора rэс по
15 мва каждый связаны через протяженную двухцепную
линию 110 кв с мощной приемной системой. Параметры
reHepaTopOB, трансформаторов и линии даны на
рис. V 2-, а. Напряжение в конце линии U С можно при-
нять постоянным и равным 11 О кв. I-Ia рис. V.2, б пред-
ставлена соответствующая схема замещения, rде сопро-
тивления отдельных эпементов, приведенных к ступени
линии *, указаны в омах.
Предположим, что у rидроrенераторов демпферные
обмотки отсутствуют и пр верим возможность их само-
раскачивания в двух режимах: нормальном при двух-
* Активным сопротивлением rеиерзторов пренебреrаем.
172
цепной линии и послеаварийном, коrда одна цепь от-
ключена.
Нормальный режим. Пред льный уrол б, определяю-
щий Iверхнюю rраницу самораскачивания, находим по
(11.9) с учетом Iпоправочноrо коэффициента К:
б п = arctg = arctg 4,22+32,2 = arctgO,l15 =6,50;
x q1J 244 + 51 , 1 + 20
фазовый уrол Zq1J равен
Ф = arc tg x qD = 900 - 6,50 = 83,50.
R
а)
U r
I
I т
о) и,
I
. I
J244 I 4.22 J51.1
Ей -----
., р, = 24 м8т
и с .'1 0к6
I
65
и с .,10}(Ь
J J,.{) ;
Рис. V.2. Рассматриваемая система (а)
и ее схема замещения (6)
Параметры системы:
rэс: 2х 12 мвт. cos <р=0.8. x d = 0,815, x q =
"
= 0,50. x q = 0,20. Т do = -4 сек, Т J = 3 ceJ<.;
Т: 2Xl5 мва, и к = 10.5%; &Р м, = 130 квт,
Кт = 121/1 Q,5;
линия: 100 КМ, 2хАС - 50, Х о = 0,4 ОМ/КМ.
'0 = 0,65 ОМ/КМ
По рис. 11.5 для = 0,115 поправочный коэффи-
X q1J
циент K=4,1. Поскольку параметры рассматриваемой
системы отличаются от использованных при построении
кривой, изображенной на рис. 11.5, то для нахождения
поправочноrо коэффициента К' воспользуемся (11.10):
К' = о 242К T do
, T J
Zq1J
= 0,242.4,1.i-. 318 _ 1,71,
3 397 - 151
,
Xd -Х ц
\73
rде
X qE
Z =
qD sin 0/ '
Zg>J = 244 + 51,1 + 20 = 318' ом,
sin 83,5°
Х - Х (Ufiaq)1
ом - ,
Sбаз
тоrда
1212
X d = 0,815 - = 397 о'м,
30
, 1211
x d = 0,31 - = 151 ом.
30
Предельный уrол, определяющий верхнюю rраницу
области самораскачивания, находится по (11.9):
б = 6.5[1 + 1,71 ( q п.
в нормальном режиме напряжение reHepaTopa U r =
= 121 К8, отдаваемая мощность P r = 24 мвт. Этому
режиму соответствует E q = 147 кв и () = 25,4°*.
Тоrда
б = 65[1 + 1 71 ( )2] = 26 4°.
, , 110 '
Нижняя rраница области самораскачивания нахо...
дится по (11.8):
б = 6,5°_ar C Sin( 2.147 Sin6,5°) = -11,1°.
11 о
Послеаварuuный режим. В послеаварийном режиме,
коrда в работе находится только одна цепь линии, соот-
ветствующими расчетами можно определить, что при
поддержании напряжения reHeparopa U r = 121 К8 и ОТ-
* Определение Е q и при заданных U r , и с и P r произво-
ДhТСЯ -с ПОМОЩЬЮ обычных методов расчета нормальных режимов и
здесь не приводится.
174
даваемой МОЩНОСТИ P r =24 мвт значения э. Д. с. E q =
= 133 кв и уrла 6=29,10.
Расчеты по определению rраницы зоны самораскачи-
вания проводятся аналоrично сделанным для нормаль-
Horo режима.
Находим уrол б п :
" = arc tg 4,22 + 65 = arc tg 0,206 = 11,60.
244 + 51, 1 + 40
Поправочный коэффициент в соответствии с рис. 11.5
равен K=3,1.
одуль полноrо сопротивления ZqE найдем так:
z = 244 + 51,1 + 40 = 342
qE sin 78,40
ом,
rде
= 900 -11,60 = 78,40.
Далее определим Iпоправочный коэффициент К':
К' = 0,242.3 1 342 = 1 39.
, 3 397 - 151 )
Верхнюю rраницу области саморас ачивания при E q =
= 133 кв рассчитаем по уравнению:
б = 116°[1 + 1 З9( )2]=35 20.
, , 110 '
Уrол, соответствующий нижней rранице области са-
мораскачиванйя равен:
б = 11,60 - arc sin ( 2.133 sin 11,,60) = - 17,70.
110
Таким образом, reHepaTopbI rэс без демпферных об-
M TOK склонны К самораскачиванию в нормальном и в
послеаварийном режимах, так как
26,40>25,40>-11,10 в нормальном режиме.
35,20>29,1°>-17,7° в послеаварийном режиме.
Определим далее минимальную постоянную времени
т Q поперечной демпферной обмотки, при которой само-
раскачивание устраняется для режима (коrда включена
одна цепь линии), являю.щеrася более тяжелым в ОТ-
175
ношении самораскачивания. Для этой цели воспользу-
емся выражением (11.16).
Предварительно запишем сопротивления схемы в си-
стеме относительных единиц. Приняв за базисные вели-
чины мощность SB = 30 мва и напряжение Ив = 110 кв
эквивалентноrо reHepaTopa rэс, получим:
Xd = 1,21; Xq == 0,83; x '2J = 0,6; X; == 0,467; R == 0,172.
Минимальная постоянная времени для режима хо-
лоетоrо хода (Е q ==И с ==l):
Т 3 0,1722 (1,21 - 0,6) (0,6. 0,83 + 0,1722) +
Q = "4 · 0,63 (0,83 - 0,467)
+ О, 172 (0,62 - О, 1722) == О 82 ад.
0,62(0,83- 0,467) , Р
Демпферные обмотки обычной конструкции облада-
ют постоянными времени Т Q порядка десятков радиан.
Поэтому в данной конкретной CX Me при наличии у re-
нераторов rэс демпферных обмоток не будет наблю-
даться самораскачивания reHepaTopoB.
Самовозбуждение синхронных машин в сложной си-
С1еме. Рассмотрим систему, состоящую из трех станций
(рис. У.3, а). rидроrенератор r -1 связан через компен-
сированную линию с приемной системой, представленной
rидроrенератором r -2 и турбоrенератором r -3. На
шинах приемной системы ВКЛIочена эквивалентная на-
rрузка Н. Внешнее сопротивление в цепи reHepaTopa
r -1 х вн ==0,5; сопротивление компенсирующей еl\IКОСТИ
ХС == 012; активное сопротивление линии R == 0,08.
Параметры reHepaTopoB сведены в таблицу У.l *.
Найдем зоны 1, 11, 111 самовозбуждения для реЖИl\1а
холостоrо хода всех машин (б 1 ==б 2 =б з ==О). При этом
пренебрежем влиянием наrРУЗJ(И, а зоны 1 и 11 опре-
делим упрощенно без учета переХОДНЫI процессов в
статорных цепях.
Зону 1 синхронноrо самовозбуждения можно найти
по характеристическому определителю (111.23), который
* Внешние сопротивления в цепях rеиераторов r - 2 и J' - 8
при этом включены в их реактансы
176
а)
r-! Х 6 Jt R
о)
Х С
210
-- r----..
........
"
v
'\
\
'- "л'J J
, 7
J /
lIIIIIIIIIiiiIO " 1["1
ri л'
)
J
,А/
-
J
, ш
f f-Q0842-
/' ,
,--
-а;
и
rv (-2
1,5
r-з
11
1,0
0,5
о
f{
Ц5
Рис V 3 Схема системы (а) и зоны самовозбу)к-
деНI[Я для r:e)f(YIM3 холостоrо хода (б) (61 =
=6 2 =б з =О)
u
для схемы трех станции приводится к выражению
111.23, а.
Таблица У.l
r-l
r-2
r-З
Xd 1.5 0,5 0,5
x q 0,,6 0,338 0,5
, О, 169
x d 0,2 О, 1
" 0,0724
x d 0,072 0,06
" 0,05
x q 0,069 0.069
Xl 0,086 0,0862 0.065
T do 1670 1730 3140
T 16.7 37,2 200
TQ 16.7 31,3 300
(JdD 0,382 0,382 0,3
Определим коэффициенты уравнения (111.23, а):
А = 0,5.0,338 + 0,5.0,5 + 0,5.0,5 + 0,5.0,338 = 0,838;
В = 0,838 (1,5 + 0,5 + 0,6 + 0,5) + 0,5. 0,5 (0,338 +
+ 0,5) + 0,338.0,5 (0,5 + 0,5) = - 2,98;
D = 0,838 (1,5 + 0,5) (0,6 + 0,5) + 0,5. 0,5. 0,338. 0,5 +
+ 0,5. 0,5. 0,338 (0,6 + 0,5) -t- 0,5. 0,338. 0,5 (1,5 + 0,5) +
+ 0,5. 0,5. 0,5 (0,6 + 0,5) + 0,5. 0,338. 0,5 (1 5 + 0,5) =
= 2,45..
Центр окружности, соответствующий зоне 1, распо-
ложен на оси ХС на рассто нии
_!!--=_ -2,98 =178
2А 2.0,838 '
от начала координат. Радиус этой ОКРУЖRОСТИ
(рис. У.3, б) :
.. I B2_-4AD = " I 2,982-4.0,838.2,45 = О 488.
V 4А2 V 4.0,8382 '
178
Зону 11 асинхронноrо самовозбуждения определим
по частям. Часть зоны1, соответствующей сверхпроводи-
мости обмоток возбуждения всех трех машин схемы, изо-
браженной на рис. У.3, а, найдем по (111.24, а). Подста-
вив числовые значения в (111.24, а) и решив ero относи-
тельно Хс, получим:
Х С1 = 1,284; Х С2 = 0,773.
Искомая часть зоны, обозначенная как 11' на рис.
V.3, а, представляет собой полуокружность радиуса
1,284 - 0,773 = 0,255
2
с центром на оси ХС на расстоянии
1,284 + 0,773
2 =::= 1,028
от начала координат.
Часть З9НЫ 11, полученная в предположении, что од-
на из машин имеет сверхпроводящую обмотку возбуж-
дения, находится по уравнению (111.25, а). В результате
решения этоrо уравнения определяется зона 1111
(рис. У.3, б) радиуса 0,178 с координатами центра О; 1,5.
Наконец, часть зоны асинхронноrо самовозбуждения,
определяемая при условии двух сверхпроводящих конту-
ров возбуждения, найдется из (111.26, а). Решение это-
ro уравнения дает возможность получить зону 11'"
(рис. У.3, б). Радиус этой зоны равен 0,14, а координа-
ты центра О; 1,19.
Зона самовозбуждения III находится частотным ме-
тодом по характеристикам, приведенным на рис. 111.3
для reHeparopa r -1, на рис. 111.4 - для reHepaTopa Т-2
и на рис. У.4 - для reHepaTopa r -3 в соответствии со
схемой, изображенной на рис. 111.10. Здесь были опреде-
лены зоны самовозбуждения рассматриваемой схемы для
одноrо из режимов, а именно режима холостоrо хода.
В общем случае необходимо проделать расчеты для
ряда режимов и выявить из них тот, который будет со-
O'fBeTcTBoBaTb наиболее широким зонам саМО8'озбужде-
ния. В данном конкретном случае изменение исходноrо
режима системы мало сказывается на 1<онфиrурации
179
зоны 111, и точка, определяющая значение ХС и R
(рис. У.3, б), будет всеrда лежать за пределами этой
зоны.
Самовозбуждение асинхронных двиrателей. Основная
зона самовозбуждения асинхронных двиrателей в стаци-
JX
0,6
[J,2
{J4
lJ,З
о
0,1
0,2
-R
Рис. У.4. Частотная характеристика
турбоrенератора r - 3
,
X d = 0.5; x q = 0,5; x d =O,l; т do=3140 рад;
" "
Х d = 0,06; Хl = 0,065; x q = 0,05;
TD =200 рад; Т Q =300 рад; (JdD =0.3
онарном режиме достаточно точно определяется по
(1.28). Это же выражение может быть использовано и
для условий /пуска двиrателя. Задаваясь рядом значений
скорости Q, можно получить несколько зон самовозбуж-
дения и определить положение точки с координатами
R и Хс, изображающей параметры данной схемы, отно-
сительно этих зон. Если изображающая точка не ока-
180
зывается внутри какой-либо из зон, то, очевидно, при
пуске двиrатель не самовозбуждается. Выражение (1.28),
полученное при пренебрежении переходными процесса-
ми в цепи статора двиrателя, дает возможность полу-
чить зону самовозбуждения в пределах х' <хс<х. По-
этому для полноrо определения условий самовозбужде-
ния как в стационарном, так и в ,пусковых режимах дви-
rателя, необходимо дополнительно построить нижнюю
зону для хс<х/. Последнее делается с помощью частот..
Horo метода по выражению (1.29).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложен не 1
Коэффициенты характеристическоrо уравнения (1.42)
,
llo == Т doTpTexqx d ;
,
Ql = Т do (Т р + Те) xqx d + TpTexqXd + t1a l;
= т dO T рТе (х eX + XqX C + 2x-qx ) + Т dOXqX +
,
+ (Т р + Те) xqx d + a2;
,
йа = ТрТ е (XcXd + xqx e + 2X q Xd) + Т do (Т р + Те) (xexd +
+ xqX e + 2xqx ) + XqXd + &аз;
,
й4, = Т doTpT e (xd - .х е ) (x q - Х е ) + (Т р + Те) (XeXd + XqX e +
+ 2X q Xd) + Т do (XcX + xqx c + 2xqx ) + a4;
,
аБ = т do (Т р + Te).(x d - Х е ) (x q - хс) + TpTe(Xd -Х е) Х
Х (x q - Хс) + XeXd + xqx e + 2.x q X d + Аа5;
,
а6 = (Т р +Т е ) (Xd - .х е ) (x q - Х е ) + Tdo (x d - Х е ) (x q - xc)+ a6;
а7 == (Xd- Х е ) (x q - Х с ) + l1a7'
11 риращение Aal - l1a7 при pery лировании:
182
1) п о отклонению, первой и второй производным напряжения
Aal == К2UХqХаи;
Аа2 = KIUXqXBH;
Аа з == KOVXqXBIJ - К 2 и (XqX C - 3ХсХвн - 2х q х ви );
Аа4 == 7" К 1 и (XqX C - 3ХсХвн - 2x q X BH );
4al) = -- Кои (xqx c - 3Х с Х вн - 2X q X BH ) + К 2 и (Х ч - Хс) (Хон - Хс)'
Аа6 = К 1 и (X q - Х с ) (Х ВН - Х с );
да 7 == Кеа (x q - Х с ) (хон - х с );
2) по отклонению, первой и второй производным тока
Ааl == K 2t x q ;
!1а2 == K ll x q :
/!,.аз == Ko/,x q + К 2" (Хс + 2x q );
Аа, = К 1l (ХС + 2x q );
!1аъ = K Ol (Х с + 2x q ) + K 2l (Х ч - Хс);
dа6 = К 1l (x q - Х с );
dа7 == K Ol (x q - Х с )'
Пр иложе н ие 2
Коэффициенты характеристическ-оrо уравнения (11.14)
а о = r JT do T D T QadDX X; ;
аl == T J [TdOT D TQadDR (X E + Х;11) + TdOTQx X;E +
+ т do T D C1dDX 1)Xq + Т D Т QX 1 ЕХ;Е] ;
= т J [TdOT D adDR(x E + X qE ) + т doTQR (X E + Х;Е) +
+ т DTQR (Х 1Е + X E) + Т do T DTQC1dD (Х;ЕХ;Е + R2) +
,
+ TdOXdEXqE + T D x 1E x q D +
+TQXdEX;E] + TdoT п TQcr dD [ЧJdoХ Е (o/dO-idОХ;Е) +
+ o/ qO X;l1 (фqо - iqOX 1)} ;
183
{ ff 2) " )
GЗ==uТJ TdoTDl1dD(XdEXqE+R +TdOTQ(XdEXqE+R +
j
+ T D T Q (X 1E X;E +R2) +R [TdO(X D+ X qE ) +
+ T D (Х 1Е +. X qE ) + T Q (Xd2+Х;Е)] +Xd Xq } + TdoT D T Q l1 dD [фdо-
- idOX;E) (X Eи sin б о + R dO - Х Ефqо) + (фqо - iqOX;E) Х
х (- Х;Е и cos 60 + X;Eo/dO + Rr,fJqo)] + Т do T D cr dD [ dOX E ( dO -
- idox qE ) + o/qOX qE (o/QO - iqoX r)] + т do T Q [ dOX E (ФdО -
-idОХ Е) +o/qOX E (o/qo-iqоХ Е)] + TI)T Q [Хl dО( dО-ldОХ;Е) +
+ ФqОХ;Е ( qO - iqOx 1 ) 1;
Т [т ( ' 2 2"
а 4 == J do XdEX qE + R ) + Т D [(x 1E x qE + R ) + T Q (xdEx qE +
+ R 2 ) + R (X dE + X qE )] + т do T D Т Q' dD (Фdо - idOX;E) (RU sin б о +
+ X Eи cos б о ) + ( qo - iqOX E) (X; и sin Ь о -RU cos бо)] +
"
+ т do T D cr dD [( qO - iqOX dE ) (ХqЕФdО + R! qo - xqEU cos б о +
+ (ФdО - idOx qE ) (- X фqо + R dO + X Eи sin б о )] +
+ т do T Q crdD[(ffqo - iqoX ) ( dOXqE + R qo - xqEU cos бо) +
" " .
+ (ФdО - idOXqE) (XdEU sin б о + R do - XdEo/ qo )] + т doT Q [(o/qO -
, "" " ,
-l'qОХ dЕ ) ( dОХqЕ+R qо-ХqЕU caS б о ) + (o/dO - idOx qE ) (xdEU sin б о +
, ,
+ R dO - ХdЕфqо)] + Т do [( dO - idoXqE) XdEo/do + (фqо-
,
- i qo ) XqE qO] + Т D[( do - idO qЕ)ХdЕФdО + (o/qO - iqOx 1E ) XqE qO] +
" "
+ T Q (ФdО - idoXqE) xdEo/dO + (o/qO - iqOx dE ) XqE qO];
а5 == т J (XdDx qE + R2) + Т do T lJ cr dD [(o/do - idOx qD ) (RU sin б о +
+ x }JU cos б о ) + (фqо - iqOX E) (Xq U sin б о - RV cos б о )] +
+ т doT Q [(o/dO - idOX }J) (RU sin б о + x }JU cos б о ) + (o/qo-
1134
, 1/
- iqOxd}J) (Xq}JU sin б о - RU cos 60)] + Т D T Q [( dO-
"
- idOXq}J) (RU sin б о + Xl и cos 00) + (o/qO - iqOXl ) Х
х (X; и sin б о - RU cos 60)] + т do [( do - idOXq'iJ) (x и sin Б О +
, ,
+ R dO - xd}J qO) + (o/qo - iqOxd'JJ) (Хq}JФdО - Xq U cos б о +
+ R qo)] + Т D [( dO - idoXq}J) (х 1 }] и sin 00 - Xl qO + R1fdO) +
+ ( qO - iqOXl ) (Xql1 dO - xq'iJU cos Б О + Ro/ Qo )] + TQ [( dO-
" "
-- idoxq}J) (xd U sin Б О - xd}J qO + R dO) + ( qO - iqOxd'iJ) (Xq}J do --
"
- x ql1 U cos б о + R qo)] + (ФdО - idOxq}J) xd}J o/do + ( qo-
- iqOXd ) Хq фqо;
,
а6 ::= т do [(o/do -- idoXq ) (RU sin 00 + xd'iJU cos бо) + ( qo-
- iqOxd}J) (Xq U sin б о - RU cos бо)] + Т D [( dO - idOxq}J) (RU sin Б О +
+ Xl U cos Б О ) + ( qO - i qO x 1 }J) (xq'iJU sin Б О - RU cos бо)] +
"
+ т Q [( dO - idoXq ) (RU sin б о + xd'iJ и cos бо) + (o/QO - iqOXd ) '>(
Х (x;}JU sin 00 - RU cos Б О )] + ( dO - i do Xq ) (xd'iJ и sin б о +
+ R dO - xd qo) + ( qO - iqOxd}J) (Xq o/dO - xq'iJ U cos Б О + Rфqо);
а7 == (o/do - idOxq'iJ) (RU sin o -t- xd}JU cos Б О ) + ( qo-
.- iqoxd'iJ) (xq'iJ U sin б о - RU cos БО).
Приложение 3
8еличины' ЬХОДЯЩhе в таблицу 11.2
P d = ( ::d )0 = ( :;q )0 ( : : )0 =
-==
Kq'E .
2 [2E q SlП CLIIQ + и siп (б - allQ)],
X dD x q11 + R
185
, (дР) (дР) ( aE q \
Р Ed = дE 1) = aE q 1) дE ) 1) -
ZqD .
== , 2 [2E q Sln 11llQ + U S1П (fJ - (1llQ)];
XdDXq + R
, ( дР) (дР) ( aE q )
P UFd = дE 1) = aE q 1) дU Fd В =
z
qD Е' .
2 [2 q Sln 11l1Q + и SlП (u - 11llQ)]'
Х ВИ Х q11 + R
,
ИндеКСDl Ed, E q , Е d' и Fd' указывают, что при дифференциро-
ванин соответствующие величины сохраняются неизменными:
, (дI d ) ZqD .
J do == --;- == 2 и SlП (б - (111Q);
\ au Ed xdDxqD+R
, ( al d ) x qD
1 dEd == дЕ о == х х + R2 ·
d I dD q
Учитывая 1 = V I + l , имеем:
[' (aI) 1 [1 ( дI d ) ( д/ q) ]
о == д6 Ed == Т d дЬ Ed + д6 Ed
и [ I d _ / 2 + 2' 1.
= Xd XqD + R2 1 JI X qD R SlП \ U - CXI1Q) +
I q _ / 2 2
+ Т V XdE + R cos (б - 1211Q);
I Ed == ( дI ) = .!.-I d ( al d ) +I q (.!!!l-)] =::
aE d о 1 aE d о aE d о
ldXqD + xqR
- 1 (X dE x q11 + R2) ·
Соотношение между внутренним уrлом b r и полным уrлом 6, вы-
раженное через параметры:
к cos ( 6 л + (1 - (1вн) - 1
Ь = arc ctg + BH
К sin (6 л + а - а вн )
186
{) r = arc sin [ sin ( <'1 - анн) ] + а.
rде
V(.x q R)2 + (XBHXq +R2)2 и r
К= .--,
ZBHX q U
xqR R
(J. == arc tg , а вн == arc tg - ,
XBHXq + R2 Х нн
lHH = -V- X H + R2 .
Приложение 4
ВЫВОД характеристическоrо уравнеция для системы,
состоящей из двух станций (рис. 111.2)
Уравнения, описывающие переходный процесс в reHepaTope r -1 ,
индуктивности и емкости:
pU d + U q == - [ (р2 - 1) Xdl (р) + R p + Х с ] - [2pX q l (р) + R] i q -
- (р2 -1) 01 (р) U/ d ,
- U d + pU q == [2pXdl (р) + R] id - [(р2_ 1) X q l (р) + R p + Х с ] i q +
+ 201 (р) U/dl'
Уравнения ДЛЯ rеиератора r - 2, отнесенные к осям d, q, жестко
связанным с POTO OM r - 2:
, , /
U d = PXd2 (р) i d + X q 2 (р) i q + р 0 2 (р) и /d2,
, , ,
U q = -Хd2(Р) i d + PX q 2 (р) i q - 02 (р) U/ d2 .
Соотношения, связывающие координаты r - 1 и r - 2:
, ,
и d == и d cos + И q sin б , U q == - И d sin fJ + U q cos б t
, ,
i d == i d COS б + i q sin б, i" == - id sin б + i q cos б.
После преобразований получим уравнения Парка-rорева для reHepa-
тора r - 2, отнесенные к коордииа там d, q reHepaTopa r - 1.
и d':= {р [Xd2 (р) cos 2 6 + X q 2 (р) sin 2 6] [Xd2 (р) -- X q 2 (р) sin Ь Х
187
х cos 6} i d + {[Xd (р) sin 2 6 + x q2 (р) cos 2 6] + р [Xd2 (р)-
-хq 2 (р)]siпбсоsб} i q + 02(Р) [cos бр + siрб]Ujd2;
и q == {- [Xd2 (р) cos 2 6 + X q 2 (р) sin 2 б] + р [Xd2 (р)-
- X q 2 (r)] cos б sin б} i d + {р [Xd2 (р) sin 2 б + X q 2 (р) cos 2 6]-
- [xd2 (р) - X q 2 (р)] sin б cos б} i q + 02 (р) [sin бр - cos б] U jd2.
Решая совместно уравнения для reHepaтopoB r -1 и r - 2, полу-
чим характеристические уравнення (111. 13).
Упрощенное характеристическое уравнение системы (рис 111.2)
без учета переходных процессов в статоре reHepaTopOB
Уравнения rеиераторов первой станции r - 1:
U d == - Ri d -lx q (р) - х с ] i qt
и q -== [Xdl (р) - x(J i d - Ri q + 01 (р) Ujd o
.
Уравнения для reHepaTopoB r - 2 (отнесенные к осям d, q первой
станции r - 1):
1
и d ="2 [Xd2 (р) - X q 2 (р)] sin 2бi d + [Xd2 (р) sin 2 б + X q 2 (р) cos 2 Ь] +
+ 02 (р) Ujd2 sin б,
1
U q == - [xd2 (р) cos 2 б + X q 2 (р) sin 2 Ь] i d - 2 [Xd2 (р)-
- X q 2 (р)] sin 2бi q - 02 (р) Ujd2 cos б.
Характеристическое уравнение:
, ,
а 4 р2 + 05 Р + 06==0
(степень характеристическоrо ураВrения paBFa сумме электрически не
свstзанных между собой обмоток на роторах электрических машин;
в данном случае их две).
Приложение 5
Сложная электрическая система
Принимая, что на роторе каждоrо reHepaTopa имеется только обмот"
ка возбуждения, ПОЛУЧИ1\J упрощенное характеристическое уравнение вида
, , 2' ,
08 рЗ + а 9 р + 01 ор + 011 == О,
188
rде
, , 2 '
а в == т dl0 T d20 T dзо {[ (x d1 - Х с ) (X q l - Х с ) + R ] [x d2 X q 2 +
, " . 2
+ ХdзХ qз + (Х d2ХdЗ + Хq2Хqз) Sln (62 - 6з) +
" , ,
+ (Х d2 Х q з + Х dЗ Х q 2) COS 2 (б 2 - бз)] + Хd2ХdзХq'1.Хqз +
, , , , 2
+ (X dI -- Х с ) [Хd2ХdзХq2 sin 2 б з + Хd2Хq2Хqз COS б з +
" 2 ' " '2
+ Хd2ХdзХqs sin б 2 + ХdзХqаХqз cos 9 ба ]+ (X q l - Хс) [Хd2ХdзХq2 cos б з +
, · 2. " 2 ' 1'" }
+ Х d 2 Х qа Х qз Sln uз + Хd2ХdзХqз COS 62 + ХdзХqlХqЗ sin ua] ;
a = т dl0 T dlO {[(X l - хс) (X q l- X C) + RI] [X 2 xql + Xds X q8 +
, g--... .'
+ (Х d2 Х dЗ + Х q 2 Х qз) sin (62 - uз) + (x d2 Х qз + Хdз Х q2) Х
2 .t. ' , ,
х cos (U2 - бз) ] + Х d2 Хdз Х q'1. Х qз + (X dI -- Х с ) [Х d2 Хdз Х q2 Х
, ,
х sin '1. ба + Х d2 Х q 2 Х qз cos 2 б з + х d2ХdзХqз sin 2 б 2 +
2 ( , '2
+ Хdз Х q2 Х qз cos б 2 ] + X q l - Х с ) [Хd2ХdзХqIJ cos 6 з +
I
+ Х 2Хq2Хqз sin '1. б з + Х 2ХdЗ Хqз cos 2 62 + Хdз X q 2 Х q з sin 2 б 2 )} +
, '2'
+ т dl0 T d30 {[ (x d1 - Х с ) (X q l - Хс) + R ] [Xd2 X q'1. + ХdзХqз +
, ,
+ ( Хd2ХdЗ + Х q '1. Х qз) sin (б 2 - бз) + (Хd2 Х qз + Х dЗ Х q 2) Х
'2 .t. ' , ,
х cos (б 2 - uз)] + Хd2ХdЗ Х q '1. Х qз + (x dI - Х с ) [Xd2 X dзХql Х
-, ,
х sin '1. б з + Хd'1. Х q2 Х qз cos 2 б з + Хd2ХdзХqз sin 2 б 2 +Х dЗ -Хq'/,Хqз c s! 62]+
, /
+ (X q l - Хс) [Xd2't dз Х q2 cos 2 Оз + Хd2 Х q,2 Х qз sin 2 б з + Хd2ХdзХqз cos 2 6 з +
, 2 (
+ Х dЗ Х q 2 Х qз sin б 2 ]} + т d20 T dзо {[ (Xdl - Х с ) X q l - Хс) +
2' , " '2 '
+ R ] [Xd2 X q'1. + ХdзХ qз + (х d2 х dз + Х q 2 Х qз) Sln ( 2 --r- б,1) + (Х d2 Х q з +
, , 1
+ Х dЗ Х q 2) cos 2 (б 2 - 6з) ] + Хd2ХdзХq2Хqз + (Xdl -
" . 2 r 2
- хс) [Хd2ХdзХq'1. Sln б з + Х d2 Х q 2 Х qз cos б з +
189
" 2 ' 2 "2
+ Хd2ХdзХqз sin 62 + Х dЗ Х q 2 Х qз cos 62] + (X q1 - х с ) [Хd2ХdзХq2 COS 6 з +
, , , ,
+ Х d2Хq2Хqз sin 2 б з +х d2 X dзХqs cos 2 62 + Х dзХq2Хqз sin 2 б 2 ]};
, ,
аl о = т dl0 {[ (x d1 - Х с ) (X q l - Х с ) + R2] [Xd?X q 2 + Хdз Х qэ +
+ (Хd2 Х dЗ + Хq2 Х qз) sin 2 (б 2 - б 8 ) + (Хd2 Х qз + Хdз Х q2) х
,
х cos 2 (62 - б 8 )] + Хd2 Х d8 Х q2 Х qз +(Xdl - Хс) [Xd2 X d8 Х
Х X q 2 sin l б 8 + Хd2 Х q2 Х qз cos 2 ба + Хd2 Х dз Х qз sin 2 62 +
+ Хdз Х q2 Х qз cos 2 62] + (Xql - Хс) [Хd2 Х dз Х q2 cos 2 з +
+ Хd2Хq2Хqз sin 2 б з + 'хd2ХdзХqз cos 2 б 2 + ХdзХq?ХqЗ sin 2 б 2 ]} +
, ,
+ т d20 {[ (Xdl - Х с) (X q l - х с ) + R2] [x d2 X q 2 + ХdзХqз + (x d2 xd3 +
2 ' 2
+ Х q 2 Х qз) sin (62 - 6з) +( Х d2 Х qз + Хdз Х q2) cos (lJ2 - uз) ] +
, , 2
+ Х d2 Хd. Х q2 Х qз + (Xdl - Х с ) [Х d2 Хdз Х q2 sin б з +
, , 2л 2
+ Xd2Xq2Xq2 cos 2 6з + Х d2 Хdз Х qз sin U2 + Хdз Х q2 Х qз cos U2] +
, 2 ' 2
+ (X q l - Х с ) [Х d2 Хdз Х q2 cos б з + Х d2Хq2Хqз sin uз +
, 2 2 {
+Х d2 Хdз Х qз cos б 2 + ХdsХq2Хqз sin б 2 ]}+Т dзо [(Xdl - X C )+(X q l- Х С) +
2 ' , 2
+ R ] [ Xd2 X q2 + ХdзХqз + (Xd2 X dЗ + Х q 2 Х qз) sin (V2 - Vз) + (Хd2 Х qз +
, 2 '
+ Х dз Х q2 ) cos (б 2 - 6з)] + Xd2 X dз Х q2 Х qз +
, 2 2
+ (Xdl - Х С ) [Xd2" dз Х q2 sin 6 з + Хd2 Х q2 Х qз cos uз +
+Xd2 X зХqз sin 2 б2+Х зХq2Хqз Х cos 2 2]+(Xql - Х С )[ Xd2 X зХq2 cos 2 б з +
+ Хd2Хq2Хqзsiп2 б з + Хd2Х зХqз cos 2 62 + Х зХq2Хqз sin 2 {)2 ]};
, 2
а 11 = [(Xdl - Х с ) (X q l - Х С ) + R ] [Xd2 X 1/2 + ХdзХqз +
+ (Хd2 Х dЗ + Х q 2 Х qз) sin 2 (б 2 - бз) + (Хd2 Х qз +
+ Хdз Х q2) cos 2 (б 2 - 6з)] + Хd2 Х dз Х q2 Х qз + (Xdl -
- Х С ) [Xd2XdsXqi"sin2 б з + Х а 2 Х q2 Х qз cos 2 б з + Хd2Хdз"qз sin 2 б 2 +
190
+ ХdзХq2Хqз COS 2 62] + (X q l - Х с ) [Хd2 Х dз Х q2 cos 2 ба +
+ Хd'l.Хq Хqз Si n 2 6з + Хd2 Х dз Х qз cos 2 62 + Хdз Х q2 Х qз sin 2 б 2 ] ·
Приложение 6
Уравнения Парка- ropeBa, характеризующие переходныА процесс
k-A машины при п параJlJlеJlЬНО работающих машин на станции
- P dk - qkPrk - Ridk = и Fd (k) ,
- Po/qk + dkPlk - Riqk = и Tq (k),
o/dk = Xd (р) idk + G (р) U fd (k),
o/qk === X q (р) iqk,
Т JP21k == Ммех - (iqk dk - idk qk),
prk === 1 + рб k .
Индекс k в уравнеl ИЯХ Iсистемы означает, что принятая система
координат k -й машины жестко связана с ротором данной машины.
11риложение 7
Коэффициенты уравнения (IV.6)
а == 2pXd (р) + R + R ВИ + 2рх ви ,
Ь = R Bd + 2рх вн ;
с = - {(р2 - 1) x q (Р) + (R + R ви ) Р + {х с + (р2 -1) Х ВИ ]} ,
d == - [Х с -+ Rвир + (р2 - 1) Х ВН ],
е = (р 2 - 1) Xd (р) + (R + R BH ) р + [Х с + (р2 - 1) Х вн ],
t == х с + RBHP + (р2 - 1) ХВН,
g ::с: 2px q (р) + R + R BH + 2рх вн)
h == R ВИ + 2рх вн ,
1
1= --;; {i qo (R ви +2рх в и) + ido (Х С + Rвир + (р2_ l)х ви ]1,
191
фq , 1
т == пР + dOp2 + n [2х вн р - (n - 1) R ви ] i qo +
1
+ - [ хвар 2 + RBHP - (n - 1) (Х С - Х ВН )] ido - и TdO P - и cos o,
n
1
WJ == -;; {- i do (R BH + 2рх вн ) + i qo [Х с + RBHP + Х ВН (р 2 - 1]},
фqо , 1 1
$ = -n- р2 - 0/ dO P + -;; [(n - 1) R 8H -- 2х вн р] ido + -;; [RBHP +
+ хвнр2 - (n - 1) (хс - Х ВН )] i qO - VrqoP - и sin БQ,
1 1 ,
А = - [t'qoXd (Р) - qQ]; В = - IпФdО - idoXq (Р)],
n п
F = T Jp 2.
Приложение 8
Учет автоматичеекоrо реrулирования возбуждения
llри установке на reHepaTopax АРБ к коэффициентам, приведенным
в приложении 6, должны быть сделаны поправки, зависящие от типа
реrулятора возбуждения:
а) при реrулировании возбуждения по общему параметру для всех
reHepaTopoB:
i do i qo
Аа == b -== 2 --;- ра (р) W (Р); c = дd = 2 -:- ра (р) W (Р);
lo lo
ido
Ае == f == (р2 - 1) -:- G (р) W (р); l1g = h =
lo
t qO
= (р'2 - 1) -:- G (Р) W (р);
lO
1 ido
l == дm == дw == !J.s == О; A == - i qo ---:- G (Р) W (р);
n lo
1. i qo
B == - t qO -:- G (р) W (Р);
n t o
f1F == О;
1. ido
К == - t qo -:- G (р) W (Р);
n lo
1 i qO
L = --;;: i qo 7; G (р) W (Р);
192
В) при реrулировании возбу>Кдения по индивидуальным параметраам:
ido i qo
da == 2р -:- G (р) W (р); дЬ == О; де == 2р --:- Q (р) W (р);
lo lo
idO
Ad == О; 4\е == (р2 - 1) i G (р) W (р); 4t == О? B == (р2..-
О
i qo
-1) 7;;- а (р) w (р);
Ah = 41 = Ат = Aw = 65 = О;
1 ido 1
A = - i qo -, й (р) w (р); АВ = - i qO Х
ПОП
i qo
Х i; й(р) W(p):
АР = О.
Приложение 9
Коэффициенты характериетичеекоrо урав f,н ния (IV,26)
" "
ао==Т JЭ Т dlO T Q2 (X d1 + X d2 ) (X q l -J- X q2 ),
" " ,
аl == Т Jэ {Т dl0 T d20 T Q2 R (x d1 + x d2 + X q l + X q2 ) + Т dlr T d2{) (x d1 +
, " , "
+ X d2 ) (X q l + x q2 ) + Т dl0 Т Q2 (x d1 + Xd2) (Xql + X q2 ) + т d20 T Q2 Х
, "
х (Xdl + X d2 ) (X q l + X q2 )},
" "
а2 = т Jэ {Т dlO T d20 T Q2 [(x d1 + X d2 ) (Xql + X q2 ) + R2] + Т dlO T d20R Х
, , ,,,
)( (x d1 + xrlC>; + X q l + X q 2) + Т dl0 T Q2R(xdJ + Xd2 + X q l + X q2 ) +
, " ,
+ т d2{jT Q2R (Xdl + x d2 + X q l + X q2 ) +Т dl0 (x d1 + Xd2) (X q l + Xq ) +
, "
+ Т d2{j (Xdl + X d2 ) (X q l + X q 2) + Т Q2 (Xdl + Xd2) (Xql + X q2 ) +
, ,
+ TdlOTd'1JJTQ2 (x d1 + x d2 ),
аз= ТJЭ{ТdlОТd20[(Х l +x 2)(Xql+Xq2)+R2] + TdlOTQ2[(X 1 +
193
п , п
+ Xdi)(X q l + X q2 ) + RI] + Т d20 T Q2 [(Xdl + X d2 ) (X q l + X q2 ) + R9] +
, ,
+ Т doR (x d1 + xd2 + Xq + xqe) + Т d20R (Xdl + x d2 + X q l + X q 2) +
"
+ TQ 2 R (Xdl + Xd2 + X q l + X q2 ) + (Xdl + Xd2) (Xql + X q 2)} +
, , ,
+ (x d1 + Х(2) т dlO T dlQ + Т dlO T QI (x d1 + Xdl) + Т d20 T Q2 Х
,
Х (Xdl + X d2 ) + RT dl0 T d?JJ T QI;
, ! ' )
й4= Т Jз {Т dl0 [(x d1 + Xd2) (X q l + X q 2) + R ] + Т d20 [(Xdl + x d2 Х
Х (Xql + X q 2) + R2) + T Q2 [(Xdl + Xd2) (Xql + Х;2) +R2] +
, ,
+ R (xdl + Xd2 + X q l + X q 2)} + т dl0 (x d1 + Xd2)+ т d20 (Xdl + X d2 ) +
,
, ,
-f- т Q2 (Xdl + Xd2) + т dl0 T d20 T Q2 (x d1 + X d2 ) + R (Т dl0 T d20 +
+ т dl0 T Q2 + Т d20 T Q2),
QБ = Т Jэ [(Xdl + Xd2) (X q l + X q 2) + R2] + Т dl0 T d20 (X l + X 2) +
, ,
+ т dl0 T Q2 (x d1 + Xd2) + Т dzoT Q2 (ХI11 + X d2 ) + R (Т dl0 +
+ т d20 + T Q2 ) + (Xdl + Xd2) ,
, ,
й6 = Т dl0 (x d1 + Xd2) + Т d'Щ (Xdl + X d2 ) + Т Q2 (Xdl + Xd2) + R.
а7 == xdl + Xd2.
Т JI T J2
Т Jэ == Т +Т ·
Jl J2
ЛИТЕРАТУРА *
1. В е н и к о в. Переходцые электромеханические процессы.
rэи, 1958.
2. В. А. В е н и к о В, Л. А. Ж у к о в, Н. Д. А н и с. и м о ц а,
Холостые режимы дальних электропередач. «Электричество», Ng 7,
1953,
3. В. А. В е н и к о в. дальние электропередачи. rэи, 1960.
4. А. И. Д о л r и н о в. Резонанс в электрических цепях и си.
стемах. rэи, 1957.
5. Н. Н. Щ е Д рин. К вопросу О самовозбуждении синхронных
и асинхронных машин. Труды Уз. ин-та энерrетики. вып. 11, 1958.
6. С. Н. А н и с и м о в. Явление самораскачивания ротора
синхронной машины. Труды ЛПИ, М2 3, 1948.
7. А. А. r о рев. Переходные процессы синхронной машины.
rэи, 1950.
8. Переходные процессы электрических систем в примерах и
иллюстрациях. Под ред. В. А. В е н и к о в а, rэи, 1962.
9. д. А. Ф е Д о ров. Реrулирование возбуждения компенсиро..
BaHHoro емкостью синхронноrо компенсатора, работающеrо в усло-
впях самовозбуждения. Труды МЭИ, вып. 20, 1956.
10. д. А. Ф е Д о ров. Условия самовозбуждения явнополюсной
синхронной машины, имеющей продольно-поперечную успокоитель..
ную обмотку. Труды МЭИ, вып. 20, 1956.
11. Н. А. П о л я к. Инженерный метод расчета зон асинхрон-
Horo самовозбуждения электрической машины. «Электричество»,
l' g 11, 1956.
12. В. А. В е н и к о В, Д. А. Ф е Д о ров. Применение компен-
сированных синхронных компенсаторов в электрических системах.
Труды МЭИ, вып. 26, 1957.
13. д. А. Ф е Д о ров. Влияние возбуждения на характер асин..
xpoHHoro самовозбуждения синхронной машины. Труды МЭИ, вып.
26, 1957.
14. А. И. Д о л r и н о в, д. А. Ф е Д о ров. Исследование само-
возбуждения в типовых схемах электропередач. «Научные доклады
высшей школы - Энерrетика», NQ 3, 1958.
15.. А. И. Д о л r и н о в. К теории параметрическоrо самовоз-
буждения электрических машин. «Электричество:., NQ 12, 1955.
16. Н. Н. Щ е Д рин. Простейшие истолкования явления пара-
метрическоrо самораскачивания синхронной машины, соединенной с
шинами постоянноrо напрнжения и постоянной частоты. Труды
J1 ПИ, NQ 3, 1948.
17. Н. Д. А н и с и м о в а, Е Ц и-ч ж е н ь. О самораскачивании-
синхронных маIIIИН. «Известия вузов. Энерrетика», NQ 4, 1961.
18. А. И. Д о л r и н о В, Л и К у а н-ц и. Упрощенная методи-
ка расчета условий самовозбуждения в системах с несколькими син-
хронными и асинхронными машинами. «Известия вузов. Электро-
энерrетика»', NQ 5, 1960.
19. Н. Д. А н и с и м о в а и Е Ц и-ч ж е н Ь. Исследование влия-
ния АРБ на процесс самораскачивания синхронной машины. до-
КJtады IV межвузовской конференции по применению физическоrо
* Настоящий список не претендует на исчерпывающую библио-
rрафию вопроса.
195
и математичеекоrо моделирования в различных областях техники.
Л1ЭИ, 1962.
20. Э. С. л у к а шов. Самовозбуждение и самораскачивание
синхронноrо reHepaTopa в настроенных электропередачах. Авторе-
ферат, Новосибирск, 1959.
21. Е. А. К а з о- в с к и Й. Переходные процессы R электриче.
еких машинах переменноrо тока. Изд. АН СССР, 1962.
22. Б. В. Б у л r а к о в. Дискриминантная кривая и область
апериодической устойчивости. Прикладная математика и механик&,
Т. 24, 1950.
23. Н. Д. А н и с и м о в а, В. А. В е н и к о в, А. Н. Д о л r и н о в,
Д. А. Ф е Jl. о ров. Самовозбуждение и самораскачивание в элект..
рических системах. «Электричество» Ng 4, 1963.
24. Б. А д к и н с. Общая теория электрических машин. rосэнерrо
издат, 1960.
25, С r а r у. Two.Reation Theory of SYl1cl1ronons Machines. Trans.
AIEE, 56, 1937.
26. L. В u t 1 е r, С. Concordia, Analyses of series capacitor аррНса..
tion problems. Trans. AIEE, 56, 1937.
27. N. К n u d s е n. Abnormac ОsсiПаtiопs in Electric Circuits Con-
tainig Capacitance. Acta Polytechnica, 1953.
28. К. V о i Р i о. The intluence of magnetic Saturation l)n tran
sients of synchronons alternators \V'ith special raference to large са-
pacitance Coads. I(ge tekn, h6gskolans hande, 1955.
29. М. Л. Л е в и н ш т ей н. Явления параметрическоrо резонан-
са при работе синхронной машины на емкостную наrрузку. Труды
ЛПИ NQ 3, 1948.
30. Р. м. IK а н т о р. Некоторые вопросы из теории динамиче-
ских перенапряжений в электрических системах. «Электричество»
NQ 57 1955.
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 7
Общая характеристика явлений самовозбуждения
и самораскачивания _в электрических системах
1. Значение явлений самовозбуждения и самораскачива-
ния ........ 7
2. Физическая природа и методы м атем атическоrо ис-
следования самовозбуждения . 9
3. Физическая природа и методы математическоrо ис-
следования самораскачивания . 23
rлава 1
Самовозбуждение в простейшей системе
1.1. Самовозбуждение явнополюсной синхронной маши-
ны без демпферных обмоток ....... 27
1.2. Определение областей самовозбуждения синхронно;!
машины, снабженной продольно-поперечной демпферной
обмоткой . . . .. ., .... 36
1.3. Определение зон самовозбуждения неявнополюсных
электрических машин (асинхронные reHepaTopbI, двиrа-
тели и синхронные турбоrенераторы) ..... 46
1.4. Построение rраницы зоны 111 асинхронноrо само-
возбуждения с учетом частотных характеристик синхрон-
ной машины . . . . . . · . . · . . · 52
1.5. Устранение самовозбуждения синхронных машин ав-
томатическими реrуляторами возбуждения . . 60
1.6. Уточнение характера самовозбуждения в области
,
xd<xC<x q . 67
r JI а в а I1
Самораскачивание в простейшей системе
11.1. Проверка на самораскачивание reHepaTopoB, не име-
юших демпферных обмоток . 73
11.2. Устранение самораскачивания применением демп-
ферных обмоток . 88
197
э 11.3. Определение настройки автоматическоrо реrулято-
ра возбуждения, устраняющеrо самораскачнвание . 93
fлава I11
Самовозбуждение в сложной системе
111.1. Построение областей самовозбуждения reHepaTo-
ров, работающих в сложных системах. .. 108
111.2. Определение областей самовозбуждения синхрон-
ной машины, работающей через сложную сеть на систе-
му большой мощности . 140
r л а в а IV
Самораскачивание в сложной системе
IV.l. Задачи исследования . . . 145
IV.2. Подавление самораскачиван'ия параллельно рабо-
тающих синхронных машин . . . 146
IV.3. Самораскачивание синхронной машины, соединен-
ной линией передачи с приемной системой соизмеримой
мощности 159
rлава v
Практика расчетов самовозбуждения и самораскачивания
Приложения . 182
Литература . 195
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОI1ЕЧАТI\И
СТР. Строка Напрчзтано С.r.едует читать
162 Формула Формула (IV.26) поме- Формула (IV.26) должна
(IV.26) щена на 11-12 строке быть помещена в конце
('ни,;у страницы
184 10 св. ...T Q 1 dD (... . . . т Qcr dD [( . . .
9 сп. + TdOTQ1dD [(фqо- + TdoT Q l(фqо-
- iqox r.) (ФdоХq + - iqoX ) ( dOX; +
+ RфqО - xq'l-U cos б о ) + +R qо-х Uсоs (0)+
8 СН. + (o/dO - idoXq ) Х + ( ф do - i do X; ) Х
Х (x :.U sin 00 + R'fdo - Х (X 1и sin б о + RФdо -
- X o/qo)] + TdoT Q Х - x yqo)] + Т D T Q Х
Х [('fqo- х [(Ifqo -
7 сн. - iqoX )' . '(X 1и sin 00+ - iqOx 1 ). . . (Х } r..U sin 00+
6 сн. .. . - X o/qo)] +... . . . - Х 1 qo )] + . . .
/ - iqOX ) . . . Xl o/dO + . . .
5 сн - i qo) . . . Х d1 'f do + . . .
в е н и к о в. В. А.[ и др.]. Самовозбуждение и самораскачивание в
электрических системах. Заказ 143.