САМАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Университет Наяновой»
А.А. Андреев,
Ю.Н. Кузьмин,
А.Н. Савин
Серия А:
MATEMATUKA
Выпуск 3
САМАРА
1997

САМАРСКИЙ МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС
НЕПРЕРЫВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Университет Наяновой»
АЛ. Андреев, ЮИ. Кузьмин, АН. Савин
Функциональные уравнения
Серия А: Математика
Выпуск 3
Издательство «Пифагор»
Самара
1997

Серия а:
Математика
Андреев А. А., Кузьмин Ю. Н., Савин А. Н.
Функциональные уравнения. Учебное издание. Серия А:
Математика. Вып. 3. — Самара: Пифагор, 1997. — 45 с.
Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми методами решения
функциональных уравнений.
Книга предназначена для учащихся старших классов, а также окажет
неоценимую помощь в работе школьного математического кружка.
Учебное издание
Редактор серии канд. физ.-мат. наук, доцент Андреев А. А.
Рецензент докт. физ.-мат. наук., профессор Кислое Н. В., кафедра
математического моделирования, Московский
Государственный Технический Университет (МЭИ)
© Андреев А. А., Кузьмин Ю. Н., Савин А. Н., 1997

Введение
С функциональными уравнениями вы наверняка сталкивались не
раз, но, наверное, и не подозревали, что они так называются. Так,
функциональные уравнения Дх) = Л-х),Л-х) - -/(х),/(х+7) = Лх)
задают такие свойства функций, как чётность, нечётность,
периодичность.
Вообще говоря, функциональное уравнение — это уравнение, в
котором неизвестными являются функции (одна или несколько).
Например,
Лх) + хЛх+1)=1,
Л*) + ,(1-*) = у(4у.
Крупнейшие математики (в их числе Эйлер, Гаусс, Коши, Далам-
бер, Абель, Лобачевский, Дарбу, Гильберт) неоднократно обращались
к функциональным уравнениям и уделяли много внимания разработке
методов их решения. Под выражением "решить функциональное
уравнение" понимается нахождение неизвестной функции, при подстановке
которой в исходное функциональное уравнение оно превращается в
тождество (если неизвестных функций несколько, то необходимо найти
их все). Ещё раз подчеркнём, что соотношения, задающие
функциональные уравнения, являются тождествами относительно некоторых
переменных, а уравнениями их называют постольку, поскольку
неизвестные функции — искомые.
Как вы уже заметили, в функциональных уравнениях кроме
неизвестных функций могут присутствовать функции известные, заданные
2
в любой форме — явной (такие как х+\, ——, cos хит. п.) или
неявной.
Одними из простейших функциональных уравнений являются
уравнения Коши
Лх+у)=Лх)+М, (1)
Лх+у)=Лх)М, (2)
Лху) =Дх) +М, (3)
Лху)=Лх)М- (4)
Эти уравнения Коши подробно изучил в своём "Курсе Анализа"1,
изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных
уравнений имеют соответственно вид
Лх) = ах, cf, log^, х"(х>0).
1 A. Cauchy, Cours d'analyse de i'Ecolepolytecfanique 1. Analyse algebreque, V (Paris, 1821).
3

В классе разрывных функций могут быть и другие решения. Уравнение
(1) ранее рассматривалось Лежандром и Гауссом при выводе основной
теоремы проективной геометрии и при исследовании гауссовского
закона распределения вероятностей.
Многие функциональные уравнения, так же как и уравнения (1)-(4),
содержат несколько переменных (х, ^ит. д.), и необходимо понимать,
что эти переменные являются независимыми. Это значит, что
равенство, определяющее функциональное уравнение, выполняется для любых
значений переменных х, у (независимо друг от друга), и если даже мы
зафиксируем у (например, подставим в уравнение у=0), то равенство
будет по-прежнему выполнено для каждого значения х. Этот факт
широко используется при решении почти всех функциональных
уравнений, содержащих несколько независимых переменных, и, по-видимому,
является одним из основных. Тем не менее, в некоторых задачах может
быть оговорено, что функциональное уравнение справедливо,
например, для значений х и у таких, что х <, у. Здесь уже наложено
ограничение на свободу выбора значений переменных, и различного рода
подстановки нужно применять с осторожностью. К этому мы ещё вернёмся
при рассмотрении различных методов нахождения общих решений
функциональных уравнений.
Следует упомянуть ещё об одном очень важном обстоятельстве.
Всегда чётко должно быть оговорено, на каком множестве
функциональное уравнение задаётся, т. е. какова область определения каждой
неизвестной функции. Это необходимо потому, что общее решение
функционального уравнения может зависить от этого множества.
Пример 1. Рассмотрим функциональное уравнение Коши
Лху)=Лх)+М- (3)
а) Если мы будем искать решения, определённые на всей
вещественной оси (- оо, + оо), то, подставив у=0 в уравнение, получим ДО) =Дх) +
ДО) или Дх) = 0 (это единственное решение).
б) На множестве же (- <», 0) и (0, + оо) уравнение имеет также
решения
Ах) = 1о&|4
Пример 2. Другим примером может служить функциональное
уравнение
Д2х) = 2Дх).
а) Если здесь функция определена для всех действительных х и
имеет непрерывную производную, то решением будет функция
Ах) = ах.
б) Если же ослабить условия, накладываемые на искомую функцию,
то, как нетрудно проверить, решением является также функция
Дх) = х tg (я log^x).
4

Кроме области определения самих функций, важно знать, в каком
классе функций ищется решение. Количество и поведение этих решений
очень строго зависит от этого класса. Решение Дх) = 1о&,|х| есть общее
непрерывное решение функционального уравнения (3) на множестве (-
оо, 0) и (0, + оо), но, как уже говорилось, уравнение (3) имеет также
разрывные (и только неизмеримые) решения на этом множестве. Это одна
из характерных особенностей функциональных уравнений, и мы по
мере сил будем говорить о ней на протяжении нашего рассказа.
Не начав ещё решать сами функциональные уравнения, мы уже
видим, как много здесь "подводных камней". Задача решения
функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом
анализе. Они появились почти одновременно с зачатками теории
функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с
проблемой параллелограмма сил. Ещё » 1769 году Даламбер свёл
обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнений
Ах+у)+Ах-у) = 2Лх)М. (5)
То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в
1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем
как в 1821 году Коши нашёл общие решения
Дх) = cos ах,
ах --ах
Дх) = сЬох = ^-^-,
Дх)-0
этого уравнения, предполагая только непрерывность Дх).
Даже известная формула неевклидовой геометрии для угла
параллельности
Ax) = tg±II(x) = e~~k
была получена Н. И. Лобачевским из функционального уравнения
ЛхУ=Ах-уЫх+у), (6)
которое он решил методом, аналогичным методу Коши (это уравнение
можно привести к уравнению/(* = ^^^^)-
Функциональное уравнение (1) было опять применено Г* Дарбу к проблеме
параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии; его главное
достижение — значительное ослабление предположений. Мы знаем, что
функциональное уравнение Коши (1) характеризует в классе непрерывных функций
линейную однородную функцию Дх) = ах. Дарбу же показал, что всякое решение,
непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в
произвольно малом интервале, также должно иметь видДх) = ах. Дальнейшие
результаты по ослабленгию предположений следовали быстро один за другим
(интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажо
рируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна
какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (1)), отличная от
линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко! В § 3 мы покажем,
5

что при рациональных х значения любой аддитивной функции должны
совпадать со значениями некоторой линейной однородной функции, т. е. fix) = ах для
хе<^ Казалось бы, что тогда fix) = ах для всех действительных х. Earn fix) —
непрерывна, то это действительно так, если же данное предположение отбросить —
то нет. Первый пример отличного от fix) = ах разрывного решения
функционального уравнения (1) построил в 1905 году немецкий математик Г. Гамель (Hamel) с
помощью введённого им базиса действительных чисел.
Многие функциональные уравнения не определяют конкретную
функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство,
характеризующее тот или иной класс функций. Например,
функциональное уравнение Дх+1) =Дх) характеризует класс функций, имеющих
период 1, а уравнение Д1+х)=Д1-х) — класс функций, симметричных
относительно прямой х=1, и т. д.
Иногда для функциональных уравнений определяют понятие
"порядка". Под порядком уравнения подразумевается порядок
искомой функции, входящей в уравнение. В качестве примера рассмотрим
два уравнения:
Лх+1) = хЛх), (7)
Мх)]=х. (8)
Существует важное различие между уравнениями (7) и (8). Первое из
них не содержит суперпозиции неизвестной функции /, а второе —
содержит. Так что (7) имеет первый порядок, а (8) — второй.
Мы будем в основном изучать уравнения 1-го порядка одной или
нескольких переменных. Функциональные уравнения нескольких
переменных — это уравнения типа
Лх+у) =Лх) +М,
(в которых встречаются функции одной переменной, а самих
независимых переменных несколько),
а также типа
Лх,у)=Лх,г)+Лг,У),
(т. е. уравнения, в которых сами неизвестные функции зависят
от нескольких переменных).
Кроме этого, мы затроним вопрос о решении функциональных
уравнений с несколькими неизвестными функциями и систем
функциональных уравнений.
Вообще, для функциональных уравнений, не сводящихся к
дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов
решения. Далее будут рассмотрены некоторые приёмы, позволяющие
решать функциональные уравнения.
6

§ 1. Идея непрерывности
Нахождение непрерывного решения функционального уравнения —
как правило, непростая задача. Вся трудность обычно состоит в
использовании самого факта непрерывности функции. (Здесь речь не
идёт об уравнениях, для которых решение находится без
использования этого факта.) Поэтому для начала напомним определение
непрерывности.
Определение . ^ункщцб F(x) будем называть непрерывной в точке х0,
если для.неё выполняются следующие два условия:
1) хфО(Е),т-е- -*о принадлежит области определения функции;
2) lim F(x) = F^Xo), в предположении, естественно, что этот предел
х-»*0
существует.
Если хотя бы одно из данных условий не выполняется, то функция
не будет непрерывной в точке х0, т. е. является разрывной.
Определение непрерывности в точке часто используется как один из
методов в решении функциональных уравнений. В частности его мы
будем применять при нахождении общих решений основных уравнений
Коши и Даламбера (§§ 2, ?).
Будем называть функцию непрерывной на отрезке [а, Ь], если она
непрерывна в каждой точке этого отрезка. В этом случае широкое
применение находит следующее интуитивно понятное утверждение:
«Если ^функция f(x) непрерывна в некотором промежутке [а Ь] и на
концах эторо промежутка принимает неравные значения f(a)=A и
f(b)-B, то, она также принимает все промежуточные между А и В
значениями промежутке [a, b].»
Данное утверждение носит название теоремы Больдано-Коши,
строгое, доказательство которой можно найти в любом курсе анализа,
например, [1]. Здесь мы доказательство не рассматриваем. Теорема
имеет простой геометрический смысл: если провести прямую у=С, где
С — любое число между А и В, то график исходной функции обяза-
тельно её пересечёт (рис. 1).
В
Рис. 1. У=С
'У
' х
а ^
У 6 *
А
7

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим
следующие две задачи.
Пример 3. Функция / непрерывна на вещественной прямой и
удовлетворяет равенству Д/(х))=х для всех х. Доказать, что уравнение
Дх)=х имеет хотя бы один корень.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию g(x) - Дх) - х. Допустим, что Дх>чс
для всех х. Тогда g(x)*0 для любого х. Поэтому функция g(x) либо
везде положительная, либо везде отрицательная. (Если бы существовали а
и Ъ такие, что g(a)<0, g(b)>0, то по теореме Больцано-Коши функция
должна принимать все промежуточные между g(a) и gip) значения, в
том числе и нуль, что невозможно.) Пусть для определённости g{x) < О,
т. е. Дх) < х. Обозначим у=Дх), у<х. Поскольку ДДх))-х, то Ду)=х>у,
откуда g(y) = Ду) -у>0. Противоречие. Значит, при некотором х
имеем Дх) = х.
Пример 4. Функция F задана на всей вещественной оси, причём для
любого х имеет место равенство: F(x+l)F(x) + F(x+1) +1=0.
Доказать, что функция Fne может быть непрерывной.
РЕШЕНИЕ. Покажем, что значения функции F не могут изменяться
непрерывно. Во-первых, понятно, что функция F не может принимать
значение -1. Действительно, если F{x) = -1, то из исходного уравнения
имеем: -F(x+1) + F(x+l) +1=0, что невозможно. Кроме того, функция
F должна принимать значения как меньшие, так и большие чем -1.
Проверим это. Перепишем исходное функциональное уравнение так:
[F(x+l)+l][F(x) + l] = F(x). (9)
Если F принимает значения либо только большие -1, либо только
меньшие -1, то Дх+1) + 1 и F(x) + 1 имеют одинаковые знаки, и
поэтому из (9) находим, что F(x) > 0 для любого х. Но тогда левая часть в
первоначальном виде функционального уравнения больше нуля, а
правая равна 0. Пришли к противоречию. Итак, функция F принимает
значения, большие и меньшие -1, но не может быть равна -1, что для
непрерывной функции не выполняется (теорема Больцано-Коши).
Значит, F—разрывна.
Теперь рассмотрим типичную задачу, в которой главной идеей
решения является использование непрерывности функции в точке.
Пример 5. Найти все непрерывные функции Дх), удовлетворяющие
соотношению Д2х) = Дх) для любого х.
РЕШЕНИЕ. В данное функциональное уравнение вместо х подставим
^ (это можно сделать, поскольку функция/определена для всех х),
получим /(х) = Xj^J ■ Аналогичную операцию проделаем ещё несколько
раз:
8

/(?*)-?•/»• 01)
10
Положим теперь в основном уравнении (1) х=у=0; получим
ДО) = 2Д0), так что ДО) = 0. (12)
Если же взять у = - х, то, с учётом (9), найдём:
Д-х) = -Дх),
так что функция Дх) является нечётной. А тогда из (10) легко вывести:
Х-"*М?*)--?л*>- <1з>
Полученные соотношения (11)-(13) могут быть объеденены в
равенстве
Дгх) = гДх),
справедливом для любого вещественного значения х, каково бы ни
было рациональное число г.
Если взять здесь х=1, то получим
Аг) = г-А1) (14)
или, если обозначить Д1) через a, Ar) = or.
Таким образом, мы, собственно говоря, установили уже вид
функции /, но пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом
мы использовали только тот факт, что функция удовлетворяет
основному уравнению Коши (1). Далее в решении мы будем уже опираться
на конкретный класс функций, в котором ищется решение. Рассмотрим
некоторые наиболее общие классы функций.
Класс непрерывных функций.
Для рациональных х мы установили, что Дх) = ах. Осталось
показать, что это соотношение справедливо и для иррациональных х. Пусть
х будет любое иррациональное число. Тогда существует
последовательность рациональных чисел
г|, г2, ... , г„, . . . ,
сходящаяся к этому числу х (это известный факт; можно, например,
взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). По
доказанному
Ari = arn (л =1,2,3,...).
Перейдём здесь к пределу при п -> оо
lim/(r„)=lim(or„).
Л->00 Л-ЮО
Справа мы получим ах, слева же, именно ввиду предположенной
непрерывности функции /, получится
ШЯгп) = АшЛ=Дх),
л-мо \л-юо /
так что, окончательно,
Дх) = ах.

Таким образом, действительно, все непрерывные аддитивные
функции являются линейными однородными. Последняя формула даёт
самое общее решение функционального уравнения (I).
Класс монотонных функций.
Здесь мы будем предполагать, что функцияг/.че убывает на всей
действительной оси (случай невозрастания функции- рассматривается
аналогично). Значит, Дх,) ^Дхг) для любых х, < хг.
Для рациональных х доказано Дх) = хД1). Возьмём произвольное
иррациональное х. Известно, что любое иррациональное число можно
сколь угодно точно приблизить рациональными числами, поэтому для
любого натурально q существует целое р такое, что
£<х<£±1, (15)
9 Ч
и при достаточно больших q число х расположено между двумя очень
близкими рациональными числами, разность между которыми равна
Щ. Используя монотонность функции /, находим
откуда (воспользовавшись соотношением для рациональных значений
функции/)
a£-zf(x)<a2±±, а=Д1). (16)
Q 9
Так как из (12) ДО) = 0, тоД1) > 0, ведь функция / не убывает,
значит, а £ 0.
Если а = 0, то из неравенств 0 <Дх) < 0 имеем Дх) = 0.
Если а > 0, то из (16)
**Шй£+1. (17)
a a q
a a q
Сравнивая эти неравенства с (15), получим = х. Покажем это.
а
f(x)
Предположим, что это неверно, например, ^-^-<х для выбранного
а
иррационального х. Подберём q настолько большим, чтобы дробь
Ях)
попала между Jy ' и х, т. е,
а
№<£<х,
a q
11

что противоречиво с (17). Полученное противоречие показывает, что
f№ = х для любого заданного иррационального х, поэтому fix) = ах
а
для всех х.
Замечание. Из доказательства в частности следует, что если Дх) >
О при х > 0, то функция/ — линейная однородная. Для этого
достаточно вспомнить, что ДО) = 0, так что Дх) > ДО) при х > 0, и, значит,
функция Дх) монотонна при х > 0.
Класс ограниченных функций.
Пусть теперь функция Дх) ограничена с одной стороны (т. е.
ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (а, Ь). Нам
нужно доказать, что линейными однородными функциями исчерпы-
ваютя все решения (1) в данном классе. Мы исследуем решение
уравнения (1), предполагая/ограниченной сверху (случай, когда/ограничена
снизу, сводится к рассматриваемому случаю заменой/на -/).
Будем считать, что функция/ограничена сверху константой М, т. е.
Дх) < М для всех хе(а, Ь). Рассмотрим вспомогательную функцию
£<х)=Дх)-хД1).
По доказанному выше g(x) = 0 при любом рациональном х. Кроме
того, функция g(x) также является аддитивной. Действительно,
gix+у) =Лх+у) - (х+у)Л1) =Ах) +ДУ) - *Д1) -xfO) = g(x) + g(y).
Подставим y-r (г — рациональное) в равенство
g(x+y) = g(x) + g(y),
получим, учитывая g(r) = 0,
g(x+r) = g(x) + g(r) = g(x).
Значит, любое рациональное число г является периодом функции g(x).
Покажем теперь, что g(x) ограничена на интервале (а, Ь). Имеем
g(x) = Дх)-хД1)£Дх) + |х||Д1)|*М + |х|-|Д1)1 < А/„
где М{= М + тах{|а|, |6|}|/(1)|, поскольку |х| < тах{|а|, Щ} при а<х<Ь.
Отсюда тогда следует, что g(x) ограничена сверху на всей
вещественной оси. В самом деле, для любого действительного х существует
рациональное число г такое, что ге(о-х, Ь-х), т. е. а < х+г < Ь. Поэтому
g<x)=g(x+r)<M„
так как x+re(a, b), а на интервале (а, Ь) функция g ограничена числом
А/,.
Сейчас уже можно утверждать, что g(x) = 0 для любого
действительного х. Допустим это не так, т. е. для некоторого х0
g(xo) = A, А*0.
Поскольку для функции g(x), как для любой аддитивной функции,
верно соотношение (10), то
g(nx0) = ng(x0) = пА
12

для любого целого п. Очевидно, что можно подобрать такое п (может
быть, достаточно большое по абсолютной величине), что
пА > А/,, т. е. ginxo) > А/,.
Но функция g ограничена сверху константой А/,. Получаем
противоречие. Значит, g(x) = 0, откудаДх) = xfll), что и требовалось.
Существуют и другие классы функций, в которых аддитивная функция
неминуемо будет являться линейной однородной, однако найден пример аддитивной
функции и в классе разрывных функций. Этот пример, как было сказано, построил
Гамель. Построенная функция обладает следующим свойством: на любом
(произвольно выбранном) интервале (а,Ь), пусть даже сколь угодно малом, функция
f(x) не ограничена, т е. среди значений, которые данная функция принимает на
этом интервале, имеется и такое, которое больше любого наперёд заданного
положительного числа. Для построения такой функции Гамель ввёл множество G
действительных чисел, называемое теперь базисом Гамеля, которое обладает
свойством, что любое действительное число х представимо и при том единственным
способом в виде
х = n,g, + п& + .. + ngk, n,eZ, g,eG.
Произвольно задав значения Дх) в точках множества G, можно однозначно
продолжить её на всю числовую прямую при помощи равенства
Лх) =An,gl + Ыг + - + л*&) = + лгЛ?2) + - + л*.Л&).
вытекающего из.свойства аддитивной функции. Такими функциями
исчерпываются все решения (1). Построение базиса Гамеля требует некоторых математических
навыков и более глубоких знаний, чем дает школьный курс математики, и мы его
рассматривать не будем.
2.2. Функциональное уравнение показательной функции.
Покажем, что все непрерывные на всей действительной прямой
функции, удовлетворяющие функциональному уравнению
Ах+У)=ЛхШ, (2)
задаются формулой
Дх) = а*(а>0)
(если не считать функции, тождественно равной 0)
Итак, пусть Дх) — непрерывная и определённая при всех
действительных х функция, удовлетворяющая (2). Исключим тривиальное
решение Дх) — 0. Тогда для некоторого значения х = хо эта функция
отлична от нуля. Положим в (2) у - хо - х:
Дх)-Дхо-х)=Дхо)*9;
отсюда ясно, что Дх) не равна нулю ни при каком х. Заменяя х и у в (2)
на х/2, получим
так1 что Дх) строго больше 0 для всех х. Тогда равенство (2) можно
прологарифмировать, например, по основанию е:
In Ах+У) = In Дх) + In Ду).
13

Положив в этом соотношении <р(х) = In Дх), придём к
функциональному уравнению Коши (1):
<р{х+у) = <р(х) + <р(у).
Учитывая, что <р — непрерывная функция (как суперпозиция
непрерывных функций), имеем по доказанному:
<р(х) = In Дх) = сх (с = const),
откуда находим, что
Дх) = е" = а* (если положить а-еГ).
Таким образом, единственной непрерывной функцией,
удовлетворяющей уравнению Коши (2), является показательная функция (или
тождественно нулевая функция).
В качестве класса функций, в котором искалось решение (2), мы
рассмотрели лишь класс непрерывных функций. Как и в п. 2.1, можно
было бы разобрать решения для монотонных и ограниченных
функций, но этого мы делать не будем, потому что (2), как было подмечено,
сводится к (1), а для него всё ясно.
2.3. Функциональное уравнение логарифмической функции.
Все непрерывные решения функционального уравнения
Дху)=Дх)+Ау), (3)
справедливого для всех положительных значений хм у, имеют вид
Дх) = \о%ах (а>0,а*1).
Докажем это. Для этого введём новую переменную 4,
изменяющуюся в промежутке (- оо; + оо), и положим
х = е^ (ведь х > 0), =Де\
откуда
4 = In х, Дх) = р(1п х).
Тогда функция <р удовлетворяет функциональному уравнению (1):
Р(4+Т1) =А*") =Де^ =Де*) +Де") = <ф + <р(ц),
а потому
<р{$ = с 4 и Дх) = clnх.
Если исключить случай с - 0 (тогда Дх) = 0), то полученный результат
может быть написан в виде
Дх) = log„x, а = е1/с.
2.4. Функциональное уравнение степенной функции.
Функциональному уравнению
Дху)=Дх)Ду) (х>0,у>0) (4)
удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида
Д*) = х".
Прибегая к той же подстановке, что и в п. 2.3, мы приведём
уравнение (4) к уравнению (2):
РЙ+П) =А^+Ц) =Де^) =А<*)Де^ = *©-*Л).
14

откуда
<p(Q = £ (с> 0), и, значит, Дх) = сых = ха (а = In с).
Метод последовательного анализа можно применить к решению
других уравнений.
ПРИМЕР 6. Функция / определена и непрерывна на множестве R, Д1)
= 1, и для любых действительных х и у
4р^7)=ях)+пу).
Чему равно Дх)?
Решение. Из данного равенства при х-у-0 получаем, что Д0)=0,
а при у = 0 имеем Дх) = Д|х|), так что функция / чётная и достаточно
рассматривать только положительные значения аргумента.
По индукции легко получить равенство
Дх,) + Ax2^...+f(xn) = f[4x^ + xl+...+x^;
в самом деле, по предположению индукции
f(xsfr...+f{xH)+f(x„+i) = /^4+...+^+Дхя+1) = f(j(x?+...+xZ)+x>+i).
Положив в доказанном равенстве х, = х2 = ... = х„ = *Щп, будем иметь
п/УЩ=/Щ=y(Vi+i+...+i)= kf(l) = k,
т. е. /{^к/п} = к/п.
Если теперь х - plq — положительное рациональное число, то
f{x) = f[iFTJqr) = p1lq1-x1,
если же х — иррациональное число, то х является пределом
последовательности рациональных чисел, х = lim г„, и в силу непрерывности/ бу-
дем иметь
Дх) = lira Д r„) = lira г„2 = х2.
§ 3. метод сведения функционального уравнения
к известному с помощью замены
переменной и функции
,, Здесь мы будем рассматривать определённый тип функциональных
уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения
которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным
уравнениям Коши (1)-(4). Метод основан на введении
вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после
15

преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из
известных функциональных уравнений. (Вообще говоря, в пунктах 2.2-2.4 §2
как раз был использован этот метод.)
пример 7. Найти все непрерывные функции Дх), определённые на
интервале (0, + оо) такие, что при любых допустимых значениях х, и х2
выражение Дх^у)-Дх-у) не зависит от у.
Решение. По условию выражение Дху) - Ду) (здесь х,=х, х2=1) не
зависит от у. Значит, если подставить вместо у какое-либо значение,
например, у=1, то это никак не повлияет на значение данного
выражения. Поэтому
Лху)-Ду)=Лх)-Д\)
для любых значений х и у. Введём новую функцию g(x) =Дх) -Д\),
тогда получим функциональное уравнение
gixy)-giy) = g(x) или g(xy) = g{x) + g(y),
аналогичное (3). Следовательно,
^х)=Дх)-Д1) = 1оёвх,
и, обозначив Д1) = Ь, находим
Дх) = log^x + Ь.
Подстановка показывает, что данная функция удовлетворяет условию
при любых значениях постоянных а и А (естественно, а > 0, а *■ 1).
Заметим, что проверка является важной составной частью решения
любого функционального уравнения. В процессе решения мы пытаемся
найти функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению, в
предположении, что она существует. Так что если нам удастся
установить её вид, то это не значит, что решение существует, а значит только,
что если оно есть, то оно обязательно будет иметь установленной вид.
Проверка покажет, так ли это на самом деле.
Пример 8. Найти непрерывные решения функционального
уравнения
Дх+у)=Лх)+Ду) + 2ху.
Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно
считать следующую функцию:
#(х)=Дх)-х2.
Тогда подставляя в исходное уравнение Дх) = g(x) + х2, получим
g(x+y) + (х+уу = g{x) + х2 + g(y) + у + 2ху,
gix+y) = g(x) + g(y)
[уравнение Коши (1)].
Окончательно находим
Дх) = хг + g(x) = х2 + ах,
и все такие функции удовлетворяют условию.
пример 9. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных
функций
16

/(крутую, xi,6r
Решение. Положим в уравнении (х+у) вместо л: и 0 вместо у,
получим:
Сравнивая полученное соотношение с первоначальным
функциональным уравнением, имеем:
Ах+у) + с=Ах)+Ау)-
Это уравнение переходит в уравнение Коши (1) при подстановке
ф)=Дх)-а,
тогда
ф) - ах, fix) = ах + с,
а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.
Пример 10. Найти все непрерывные функции/: (0, +оо) -» R, удов-
летворяющие тождеству
Аху)^хДу) + уДх).
Решение. Поделив тождество на ху, перепишем его так:
Я*г)=/(*) ,/(у).
ху х у '
отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию:
/ \ fix)
Тогда функция g удовлетворяет (3). Поэтому находим Дх) = х 1о|ус.
§ 4. Метод подстановок
Общая суть метода такова: применяя различные подстановки (т. е
заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо
конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями), мы
пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому
виду, что дальнейшее решение станет очевидным. В задачах, решаемых
таким методом очень часто не указывается класс функций, в котором
решение ищется. В таких случах предполагается, что нужно найти все
решения без всяких ограничений (непрерывные, разрывные и т. д.).
Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде
случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных
функций. Поясним метод на следующих примерах.
ПРИМЕР 11. Найти все решения функционального уравнения
Лху) = У*АХ) ~ натуральное).
17

Решение. Положим в уравнении х = 0: ДО) = _у*Д0). Так как у —
произвольно, то ДО) = 0.
Пусть теперь х ф 0. Подставим в уравнениеУ= ~> получим:
/0) = (£)* 'fix) или Дх) = ох* (а=Д1)).
Функция Дх) = ах* является, как нетрудно проверить, решением
исходного уравнения.
Пример 12. Пусть а * ±1 — некоторое действительное число. Найти
функцию Дх), определённую для всех х * 1 и удовлетворяющую
уравнению
f[jt])=af(x)+<Pix)'
где <р — заданная функция, определённая при х * 1.
Решение. При замене х -> -— выражение —=— переходит в х. По-
х-1 х-1
этому получаем систему
решением которой при а2 * 1 является функция
ПРИМЕР 13. Найти все функции р(х), заданные на промежутке
/ = (-оо, 0) и (0, 1) u (1, +оо), для которых выполнено равенство
^У+^-2?Кх) = х.
X —1
Решение. Выполнив последовательно две замены х —> и
х
х -> ~—, приходим к системе функциональных уравнений:
Ш*)+<р(¥)-Мх)=х,
Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е.
из данной системы функция q(x) однозначно не определяется. Из
первых двух уравнений находим
18

1 l^ + x-X
1 хЧг*-!
Мы можем определит р(х) произвольным образрм на одном из
интервалов'(-оо, Qb(Or 0. О» +00). и формрпа Ш дадут нам расширение <р{х)
на всё множество /.
§ 5. Предельный переход
В этом параграфе идея предельного перехода будет
проиллюстрирована на следующих двух примерах.
пример 14. Функция /: R -» R непрерывна в точке 0 и для любого
х е R выполнено равенство
2Л2х)=Лх) + х.
Найти все такие/.
решение. Пусть функция/удовлетворяет условию. Тогда
= lim~ Ига /(■£) + lira У 4 = т•
Тривиальная проверка показывает, что функция х1Ъ действительно
является искомой.
пример 15. Доказать, что уравнение
fiud~f(x>x' xet°-<x,> W
не имеет непрерывных решений.
Решение. Допустим, что существует нетэерьдоюе решение,
функционального уравнения (1). Подставим в исходное уравнение вместо х
х х
выражение (ведь если х > 0, то.й > 0), получим:
1 + х \ + х
fed-р)
Теперь сделаем такую же замену х —> —в соотношении (2):
19

Описанную операцию проделаем ещё несколько раз. На л-ом шаге
имеем:
^\+w)~^i\+(n-i)xJ= \+(п-1)х' (4)
Сложим все получившиеся выражения, начиная с (1) и кончая (4) (всего
будет л выражений), и приведём подобные слагаемые:
Равенство (5) верно для любого натурального п. Зафиксируем х, ал
устремим к оо. Ввиду непрерывности Дх) в точке х = 0, находим
где У-4— = lim Tl-^r- •
fol + kx n^xfoi + kx
В левой части (6) при конкретном (фиксированном) х стоит некоторая
константа, т. е. при данном х ряд в правой части (6) сходится к этой
константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого
значения х > 0, таким образом придём к противоречию.
Для любого натурального к и х > 0 верно неравенство
\
1 + кх к + кх 1 + х к'
так что
Т-х-=
t'A + kx
= jc + - + -—-—+...+-
t=0i ■ л—д. 1 + х 1 + 2х 1+лх
х + ^.1 + _^.1+...+_*_.1 =
l + x 1 1 + х 2 1 + х л
= х + -
1 + xV 2 3
Гармонический ряд 1 + — + ^+...+— неограниченно возрастает при уве-
2 3 л
личении л (известный факт), следовательно,
л
ИтУ * =оо,
я-»ю£^1 + КХ
оо
т. е. ряд У —х— расходится к оо. Этим доказательство завершается.
toi + kx
Пример 16. Найти f(x), ограниченную на любом конечном
интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению:
20

Решение.
X _ X
At t>2 '
_L/^_—/f—1=---
2" V2V 2n+1 Un+1J 4" 8"'
/W-^r/(^r)
,11 1
4 4Z
4"
,11 Г
8 82 8"
переходя к lim при х-*»; используя непрерывность Дх) и Д0)=0 получа-
ем, что /(х) = —х —х .
v 3 7
§ 6. Производная и функциональные уравнения
При решении некоторых функциональных уравнений удобно
применять производную.
Пример 17. Найти все действительные дифференцируемые функции,
удовлетворяющие функциональному уравнению
Ях + у) = + М (1)
РешениЕ/Лусть / удовлетворяет" данному уравнению. Тогда
f(x)= Дх)+Д0)
т. е. ДО) [1 + f2(x)] = 0, и, следовательно, ДО) = 0.
После преобразований имеем
f(x + h)-f(x)_f(h) Uf\x)
h h 1-/(х)ДЙ)'
откуда следует (с учётом lim /(A)=0), что
Л-*0
(2)
f'(x) = С(1 + Ах)),
(3)
21
x = 0 =>/(0) = 0;

где С =f(0). Значит,
Л») j *
о о
аг^Дх) = Сх + С,,
Дх) = 1ё(Сх + С,)-
Условие ДО) = 0 означает, что С, = 0, т. е. Дх) = tg Сх. Очевидно, все
функции вида tg Сх подходят под условие задачи.
Замечание. В решении было использовано лишь условие
дифференцируемое™ функции Дх) в нуле. Оно было применено при
выполнении предельного перехода (А -> 0) в равенстве (2). В левой части (2)
получится /'(х) = hmf(x + ty~f ^, в правой же имеем С(1+/2(х)), по-
скольку 1\т^Щ = /'(0) = С и lim /(Л) =Д0) = 0 (ведь / дифференцируе-
А->0 П h-*0
ма в нуле, а значит, непрерывна). К соотношению (3) можно прийти и
другим способом. Непосредственно прдифференцировав исходное
функциональное уравнение (1) по у, получим
Пх , у f(y)[i-.f(x).f(y)] + \f(x)+f(y)]f(x)f'(y)
[1-/(х)/Ш2
и, положив здесь у = 0 (опять-таки в предположении существования
производной в нуле) и учитывая ДО) = 0, приходим к (3)
/'(х) = С(1 +Я0с)),С=/'(0).
Пример 18. Решить функциональное уравнение
Дх + у) = Дх - у) + y\f\x + у) +/'(х -у)], х,уе R.
указание. Положить х-у и получить уравнение относительно
Д2х). Ответ: Дх) = ах1 + bx + c, а,Ь,с — произвольные постоянные.
Пример 19. Найти функцию Дх), удовлетворяющую уравнению
/'(х) + х/(-х) = ах, xeR, a=const.
Решение. f'(-x\ - хДх) = -ах. Введём новые функции
F{x) = + Л-х)\ G(x) = - /(-X)]
Ясно, что функция F(x) - чётная, a G(x) - нечётная функции, причём
Дх) = F(x) + G(x). Получим уравнения относительно новых функций
F(x) и G(x):
G'(x)-xG(x) = 0, F'(x)+xF(x) = ax,
2 2
х х
~ 2
G(x) = Ce2; F(x) = a + Ae
Так как (У(-х) = -G(x), то (?(х) = 0и Дх) = а+Ле 2 . Непосредственной
проверкой убеждаемся в том, что при любых числах а, А функция Дх)
является решением исходного уравнения.
22

§ 7. Функциональные уравнения, содержащие
несколько неизвестных функций
Впервые уравнения Коши для нескольких неизвестных функций
расмотрел Синцов Д. К.
пример 20. Найти непрерывные на всей действительной прямой
функции Дх), g(x) и й(х), удовлетворяющие обобщённым уравнениям
Коши:
Ax+y) = g(x} + h(y),
Ax+y) = g(x)fi(y),
Ax-y) = g(x)+m,
Ax-y)=gix)h(y).
решение. Рассмотрим последнее уравнение. Положим g(l)=a,
h(l)=B. Пусть ав ф 0. Тогда при х = 1 получаем Ду) = ah(y) или
Ах) - ah(x), а при у = 1 получаем Ах) = РЖХ), и, значит,
Яху)=л&ш.
ар
Новая неизвестная функция F(x) = удовлетворяет уравнению Ко-
ар
ши (4) F(x-y) = F(x)F(y). Его решением является функция F(x) = xf.
Следовательно, решением исходного уравнения являются функции
Ах) = аВх", g(x) = а-х°, h{x) = В-х". Случай аВ=0 не вызывает
затруднений. Первые три уравнения решаются подобным образом.
пример 21. Найти дважды дифференцируемые на всей
вещественной оси функции Дх) и g(x), удовлетворяющие уравнению
Ax+y)+Ax-y) = 2№-g(y).
решение. Пусть у = 0. Тогда Дх)[1-#(0)] = 0, и получаем решение:
Дх) = 0, g(x) — произвольная функция. Если Дх) Ф 0, то g(0) = 1.
Дифференцируя это уравнение дважды по переменной у и полагая затем
у = 0, будем иметь
/"(*) = аДх), a = g"(0).
Возможны следующие случаи и соответствующие им решения:
1) а = к2, Ах) = Af? + Вег*, А, В — произвольные числа, g(x) = сшТас);
2) а = -4с2, Ах) - Asm кх + ficos кх, g(x) = cos кх;
3)a = 0,Ax) = Ax + B,g{x)=l.
пример 22. Найти функции Дх), g(x) е CHR), удовлетворяющие
уравнению
Дх) + g{x + у) = g(y)Ax + ay),
где а — фиксированное число.
23

решение. Полагая у - О, будем иметьAx)\g(0) - 2] = 0. Отсюда
получаем решение исходного уравнения: fix) = 0, g(x) — произвольная
функция. Если fix) Ф 0, то g(Q) = 2. Дифференцируя данное уравнение
по переменной у и полагая затем у = 0, будем иметь
[1 - а-№\Г(х) = ёШй = [1 - МПх).
Если а * 1/2, то функция fix) = Се**, где число к = ^Щ-, а функция
1-2а
g(x) = 6*0-*)* + ег*". Если а = 1/2, то/(х) s 0 или g^O) = 0. Во втором
случае, дифференцируя исходное уравнение дважды по переменной у и
полагая затем у = 0, получаем
f"(x) = bfix), b = 2g"(0).
Возможны следующие случаи и соответствующие им решения:
l)b = к2, Ах) = Ле** + Be**, g{x) = 2ch(fcx/2);
2)b = -к2, Ax) = ^sin kx + Bcos kx, g(x) = 2cos(fo:/2);
3)b = 0,J{x) = Ax + B,g(x) = 2.
§ 8. Системы функциональных уравнений
Пример 23. Решить следующую систему функциональных
уравнений:
[l-<p(x)<p(y)f
Решение. Исследуем сначала некоторые свойства функций <р(х) и
уКх), удовлетворяющих данным в условии задачи уравнениям. Это даст
нам возможность попутно найти частные решения этих уравнений.
Если tf^xQ) = 0 для некоторого х0, то из второго уравнения следует,
что ip(x0 + у) = 0 при любом у, т. е. ip(x) а 0. Тогда из первого
уравнения получаем <р(х) = const, что даёт нам первое тривиальное решение
9(х) = с, <К*) = 0. (1)
В дальнейшем будем считать, что уКх) * 0 всюду. Полагая в первом
уравнении у = 0, находим, что уф) = 0.
Если <р(х0) = 0 для некоторого х0, то из первого уравнения при
у = х0 получаем
<р(х + х0) = <р(х), (2)
т. е. <р имеет период х0. С другой стороны, полагая в первом уравнении
х = х0 и используя (2), получаем
24

Ф) = Фо +У) = Фо) + ^^у) = *У) **<»),
откуда либо ф) = 0, либо фа) = 1. Первая возможность приводит ко
второму тривиальному решению
ф) = 0, ф) ш а* (3)
[точнее говоря, цг должно здесь быть решением функционального
уравнения ф + у) = ф)ф)\ известно (см. §2, п. 2.2), что при
довольно общих дополнительных предположениях это даёт (3), если только
Ф) * 0].
Итак, если отбросить тривиальные решения, то ф)=1 там, где
ф)=0. Пользуясь симметрией первого уравнения относительно х и у,
получаем
^ } \-Ф)ф) ^У) 1-ФЖуУ
и если ф) * 0 и ф) ф 0, то
ф) п} ф) ф) пу) ф) 1'
Левая часть этого тождества зависит только от х, а правая только от у.
Следовательно, та и другая равны одной и той же константе, которую
мы обозначим 2с. Тогда
\|/(x) = 1 +2сф) + q>\x) = [q> + с]2 + 1 - с2. (5)
Это тождество мы доказали сейчас при условии, что ф) ф 0. Однако,
как мы видели выше, оно справедливо и при ф) = 0, а следовательно,
и при всех х. Подставляя (5) в первое из исходных функциональных
уравнений, получаем
<Кх+ )=Ф)+ф)+гсфур(у)
Непосредственной проверкой убеждаемся, что если <р удовлетворяет
уравнению (6), a iff находится из (5), то оба функциональных
уравнения, данные в условии задачи, удовлетворяются. Таким образом, нам
остаётся решить уравнение (6).
Прежде чем переходить к отысканию общего решения, решим (6) в
классе функций, имеющих производную в нуле, т. е. таких, у которых
существует предел
у-Л у
(выше мы уже нашли, что <рЩ = 0). Из (6) имеем
lJmg(*+J')-y(*)-limy(j') \ + 1сф)+<р\х)^
у-*о у у-*о у \-фУр{у)
= А(1 + 2сф) + <р\х)).
25

Следовательно, функция <р(х) дифференцируема и удовлетворяет
дифференциальному уравнению
^ = А(\+2с<р+<р2).
ах
Решая это уравнение с учётом «ачального условия <р(0) = 0, находим
<р(х)--
Vl-c2 Xf^AxJl-c* + arcsin cj - с,
Ax
если с <Х
если c = ±t
1-Лх'
-Vc2-lth(^Wc2-l + ln|c-Vc2-l|)-c, если с2>1
(th следует заменить на cth, если модуль аргумента > 1).
Из (5) находим соответствующие уг.
(l - c^sec^Wl-c2 + arcsin cj,
1
(8)
(l-Axf
(c2~i{-^ или ^Wc^I + lnb-V?^|), ec
Пусть с2 < 1. Запишем ^(x) в виде
если с <1;
если с = ±1; (9)
ли с2>1
pfx) = -Ji^?tgM-c (Ю)
Из (6) получаем функциональное уравнение для /
Лх + У) =Лх) +Ау) - arcsin с,
и, значит, F(x) = f(x) - arcsin с удовлетворяет уравнению
F(x+y) = F(x) + F(y).
Оставляя в стороне "патологические" решения этого уравнения
(см. §2, п. 2,1), имеем F(x) = ах, откуда опять приходим к первой
формуле (8) (a VI - с2).
Аналогично обстоит дело и при с2 > 1. Таким образом, все
"приличные" решения (например, ограниченные в некоторой
окрестности точки 0) даются формулами (1), (3), (8) и (9).
§ 9. Графический способ решения
некоторых функциональных уравнений
Пример 24. Решить функциональное уравнение
Лх) =Мх))
в классе непрерывных на всей числовой оси функций.
26

Ржа.
Решение. Сначала напомним,
как графически получить точку с
ординатой ДДх)), предполагая
известным расположение
графика функции у = Дх), — это
ордината точки Мъ (рис. 1)
На рис. 1 ординаты точек М2
и М3 по условию должны
совпадать, и поскольку совпадают их
абсциссы, то Мг = Мъ. Значит,
каждой точке графика у=Дх),
лежащей вне прямой у-х, соответствует точка графика, которая
лежит на прямой у = х и имеет ту же ординату. Сделаем теперь основной
вывод.
Вывод. Если функция у = f(x) непрерывна на всей числовой оси и
удовлетворяет уравнению Дх) -ДДх)), то частями её графика
обязательно являются части прямой у = х (или вся прямая, или её луч, или её
отрезок, или её точка), а сам график имеет один из пяти видов,
изображённых на рис. 2.
Для обоснования этого
вывода возьмём две точки
графика у =Дх), лежащие на прямой
у = х:
Л^х1,ЛхО)иЛГ2(х2,.Лх2)).
По теореме Больцано-Коши
значения функции Дх) в силу её
непрерывности заполняют на
оси Оу весь отрезок с концами
Дх,) и Дхг). А этому отрезку
будет на прямой у = х
соответствовать отрезок ТУ, 7У2 графика
у =Дх) (рис. 3).
Таким образом, на прямой
у-х графику функции у -Дх)
принадлежит множество,
которое либо состоит только из
одной точки, либо, наряду с лю- s mfa\
быми двумя различными точ- £
ками, содержит и весь отрезок
между ними. Необходимо об- p*c- 2
ратить внимание и на то, что в силу непрерывности функции у =Дх) на
всей числовой оси рассматриваемому множеству принадлежат его
граничные точки.
27

Рис.
Часть графика у=Ах),
лежащая на прямой у-Х,
определяет верхнюю и нижнюю
границы для частей графика, не
лежащих на прямой (рис. 3). В
остальном эти частя произвольны
— настолько, конечно,
насколько произвольны могут быть
части графика непрерывной на всей
числовой оси функции, так как
нетрудно проверить, что для
любой непрерывной функции, график которой принадлежит к одному
из пяти видов, указанных на рис. 3, справедливо равенство
Ах) =/№)■
Примечание. Подобные же соображения можно.применить и к
следующему^бобщению рассмотренного функционального уравнения
Ах) =А<р(Ах))),
где функция <р(х) непрерывна и строго монотонна на всей
действительной прямой. Предлагаем читаттелю рассмотреть графическое решение
этого функционального уравнения самостоятельно.
§ 10. Решение функциональных уравнений,
заданных на множестве натуральных чисел
Пример 25, Каждому натуральному числу л сопоставлено целое
неотрицательное числоДл) так , что выполнены следующие условия:
а) Дтии) =АтУ*Ап) ДДЯ любых двух натуральных чисел тип;
б) An) - О, если последняя цифра в десятичной Записи числа п
равна 3;
в)Д10) = 0.
Доказать, что Дл) = 0 для всякого натурального числа л.
Решение. Посколку Д10) =Д5) +Д2) = 6, Д5) 2гО,Д2) > 0, то
Д2)=Д5) = 0.
Любое натуральное число л можно представить в виде л = 2к-5'-Ь, где
(Ь, 10) = 1? Другими словами, Ъ = Юти ± 1 или Ъ - Юти ± 3. Отсюда
Ь1 - Ш/± ,1,и из последнего равенства получаем, что b4 - I0q + 1. Так
как последняя цифра числа ЗЬ4 есть 3, то согласно условию б) имеем
Д364) = 0. С другой стороны, из а) получаем 0 = Д364) = ДЗ) + 4ДА).
Следовательно,ДА) = 0 и
Дл) =А2к5Ч) = /сД2) + sA5) +ДА) = 0.
' Запись (a, b) = 1 означает, что числа а и b взаимно просты.
28

Пример 26. Найти функцию /, определённую на множестве
натуральных чисел, принимающую только положительные значения и
удовлетворяющую следующим двум условиям:
а)Д4) = 4;
б) 7Ш^+7^Ж^+л»)-л»+1)и7^о *- всех на1у-
рапьных и.
решение. Используя условие б), последовательно получаем:
! вЖ /2(1) = i
/©•/(2) №' JK) *
т.е.Д1) = 1;
Д2) Д2)-/(3) ДЗ)'
т. е.
ДЗ) + 1 =/Н2); (1)
+ I + 1 = Ш
Д2) Д2)-Д3) ЛЗ)/(4) Д4)'
/(3) 4/(3) 4 W
(здесь использовано и условие а)). Равенства (1) и (2) позволяют найти
Д2) иДЗ). Имеем Д2) = 2, ДЗ) = 3.
Докажем, чтоДи) = и для любого и = 1, 2, ... Во-первых, данное
равенство верно для и = 1, 2, 3, 4. Далее предположим, что оно верно для
некоторого к £ 4. Тогда
1 ■ 1 -+...+ , \ ,_I.+JU...+. 1 -
Я1)/(2) Д2)ДЗ) f(k-\)f{k) 1-2 2-3 (*-1)-А:
G-M-Msh-a--*-
Этот результат и свойство б) дают следующее соотношение:
1 = № ■
A: f(k)f{k + \) f(k + l)'
1 - *
/с АД/с + 1) Д/с + 1)
Из последнего равенства находим ДА: + 1) = к + 1. Доказательство
завершено.
29

§ 11. Функциональные неравенства
Пример 27. Функция /дважды дифференцируема на отрезке [0, я].
Известно, что
1?Лв)=Ля) = 0;
2)/"(*) +Лх) Z 0 для любого х е [0, я].
Доказать, чтоДэс) = a sin х.
решение. Рассмотрим вспомогательную функцию
g(x) =/'(*) sin х-Дх) cos х.
Продифференцировав её, получим
£(х) = (f"(x) +Лх)) sin jc > 0, jc е [0, я].
Следовательно, g не убывает на промежутке [0, я]. Но g{0) = g(n) = О,
что означает
g(x) = 0 для любого х е [0, я].
Тогдаf'(x) sin jc-Дрс) cos jc = 0, откуда
(f(xj\ ^ /'(*)sin х - f(x)cosx _ Q
Vsinjo' sin2jc
Таким образом, есть константа, и Лх) = a sin х.
sinx
ПРИМЕР 28. Найти все такие функции /, что для любых чисел хну
выполняется неравенство
Лх)-Ау)±{х-уу.
Решение. Поменяв местами переменные хну, получим
Лу)-Лх)±{х-уУ.
Следовательно, для любых jc, у
-{х^уУ±Лх)-Лу)${х-у)\
Разделим последнее двойное, неравенство на (jc - у) в предположении,
что jc ф у, получим:
-Ос - у) <. ~ № < (х - у) щ>их-у>0,
х У
Z.-(y-x) npHJC-j/<0.
х — у
Значит, для любых действительных х, у (х ф у) выполнены неравенства
х у
Теперь зафиксируем к примеру переменную jc, а значение у устремим к
jc. Тогда в полученном двойном неравенстве выражения, стоящие
справа и слева будут стремиться к нулю, а между знаками неравенства
будет стоять выражение для производной функцииДх:):
0 = -limbe->l<lim^~^<limbc-j| = 0.
у-** 1 х-у У-**
30

Таким образом, установили существование производной функции Дх)
в любой точке х, причём /'(х) = 0. Отсюда следует, что функция / —
константа.
§ 12. Некоторые общие приёмы,
позволяющие находить частные решения
различных функциональных уравнений
ПРИМЕР 29. Пусть Q+ — множество положительных рациональных
чисел. Привести пример функции/: Q+ -> Q+ такой, что
для всех х,у е Q+.
решение. Заметим, что если Ду^ДУг), то из данного
функционального уравнения следует, что _у, = у2.
Полагая у=1, имеем д1)=1. При х=1 из уравнения получаем, что
fifty)) - - для BcexyeQ+. Тогда f(f(f(y))) = Д- , и, следовательно,
у \yJ
д — I = ~— для всех veQ+. Наконец, если у=дЦ , то отсюда следует,
\yj Ду) ч;
что ДхО = Дх) ДО для всех х, t е Q+.
Заметим, что любая функция /, удовлетворяющая при всех х, t е Q+
условиям:
а)Дх0=Дх)Д0,
6)/(/(*))4>
удовлетворяет данному в условии задачи уравнению. Функция
/: Q+ -> Q+, удовлетворяющая условию а), может быть, очевидно,
определена при помощи равенства
f{tf = (ЛЛ)Г •(/(А)Г--{/(А)Г •
где pj обозначает у'-е простое число и «,eZ. Такая функция будет
удовлетворять условию а) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
условию б) только для простых чисел.
Определим её для простых чисел следующим образом
, если j - не4ётно,
1
Ар)-
если j - 4етно.
P,-i
31

Построенная таким образом функция /: -> удовлетворяет
тождеству Af(p)) = ~ для любого простого р и, тем самым, удовлетворяет
Р
условию задачи.
§ 13. Уравнение Эйлера
Уравнение^ Эйлера. Непрерывная функция <р: R -> R такова, что
для любого вещественного х выполняется равенство
• •■:'.;,(' , la... р(х + ф)) - ф). (15.1)
Доказать, что функция <р постоянна.
Первое доказательство. Прежде всего по индукции докажем, что
для любого натурального п справедливо соотношение:
ф + пф)) = ф). , (15.2)
При п = 1 получается исходное равенство (1). В предположении
справедливости соотношения (2) для некоторого л > 1, докажем его
справедливость для п + 1. Для этого подставим в (2) х + ф) вместо х (ведь
(2) выполнено для любого х):
ф + ф) + пф + ф))) = ф + ф))-
Тогда с учётом (1) имеем
ф + ф) + пф)) = ф),
или ф + (п+ 1)ф)) = ф),
что и требовалось показать. Значит, соотношение (2) верно для всех
натуральных п.
х+пу=с
Выберем теперь действительное число а такое, что ф) * 0 («ели
таких х не существует, то ф) = 0 и является константой). Дшь,
определённости положим, что ф) > 0.
(Если ф) < 0, доказательство
аналогично.) Рассмотрим график
функции у - ф) на отрезке [а, а
+■ ф)] и покажем, что на этом
отрезке функция ф) постоянна и
равна ф). Из (1) следует, что на
концах данного отрезка, т. е. в
точках с абсциссами а и а + ф),
функция принимает равные
значения (рис. 1):
ф) = ф + ф)).
Допустим теперь, что ф) * ф)
для некоторого Ье(а, а+ф)). Тогда, очевидно, существует прямая L с
32

уравнением х + пу - с (п — натуральное число), отделяющая точку Сф,
<рф)) отточек А{а, ф)) и В(а+ф), ф)) (рис. 1). В самом деле, возьмём
произвольную прямую с уравнением х + пу = с, где п — достаточно
большое натуральное число, с — любое действительное число.
Эта прямая имеет очень малый наклон у к оси абсцисс (точнее к её
отрицательному направлению) (рис. 2),
поскольку tg у = — — мало при больших
п
п, а потому у тоже мало. Следовательно,
данная прямая близка к горизонтальному
положению. Будем двигать её
параллельно самой себе в направлении точек А, В и
С (если, конечно, она уже не находится
между этими точками). При этом наклон прямой будет оставаться
прежним, а в уравнении х + пу - с изменится лишь параметр с. Рано
или поздно прямая L отделит точки А, В от точки С.
Можно эту прямую построить несколько иначе. Достаточно взять
горизонтальную прямую, параллельную прямой АВ, которая отделяет
точку С от точек А, В. Если эту прямую чуть-чуть наклонить к оси
абсцисс под углом у» 0 (tg у- Мп, п»\ — натуральное), то взаимное
положение точек А, В и С относительно этой прямой не изменится. Итак,
существование прямой L доказано.
Ввиду непрерывности функции ф) такая прямая должна
пересекать график функции ф) по крайней мере в двух разных точках (х,, .у,)
и (х2, Уг), первая из которых расположена на участке АС кривой
у - <р(х), а вторая — на участке СВ (рис. 1). Поскольку эти две точки
лежат одновременно и на кривой у - <р(х), и на прямой х + пу - с, то
х, + лр(х,) = с и х2 + rnpix^ - с.
Заметим, что ординаты точек ух = ^(х,) и уг = (pfy^) хотя и мало
отличаются друг от друга, но всё-таки не равны, т. к. лежат на
негоризонтальной прямой.
Воспользовавшись условием (2), находим, что содной стороны
<р(с) - р(х, + пф})) = фх),
а с другой
<р(с) - ф2 + "Pfe)) = Фг),
откуда ^(х,) = ^(xj), что невозможно. Противоречие. Таким образом,
мы доказали, что на отрезке [а, а+<р(а)] функция <р(х) постоянна:
33

Кроме того, в силу формулы (2) значения функции ф) в точках
ф)
'У
• 1
у .,
у +
x
а а+ф) а+2ф) а+Зф) ...
Рис. 3.
а+пф) при различных натуральных п равны ф). Следовательно,
данное выше доказательство для отрезка [а, а+ф)] можно обобщить
на отрезки вида [а+кф), а+(к+\)ф)], ведь в доказательстве для нас
был важен лишь тот факт, что на концах рассматриваемого отрезка
значения функции ф) равны. Значит, на каждом из отрезков
[а+ф), а+2ф)], [а+2ф), а+Зф)], [а+кф), а+(к+1)ф)], ...
функция ф) постоянна и равна ф) (рис. 3), т. е. для любой действительной
точки х, расположенной правее а
ф) = ф) (х7>а). (3)
Осталось показать, что ф) - ф) при х < а. Допустим противное:
ф) * ф) для некоторого х < а. По теореме Больцано-Коши функция
ф) принимает в интервале (х, а)
,,у все значения между ф) и ф)
(напомним, что ф) > 0). Поэтому
существует х0 е (х, а) такое, что
фо) * ф) и фо) > 0 (рис. 4).
Подберём натуральное п такое,
что xQ + пф0) >а. С учётом (2) и
(3) получаем
фо) = фо + пфо)) - ф) .
Противоречие. Задача решена.
Примечание. Для случая ф) < 0 сначала нужно рассмотреть
отрезок [а+ф), а], далее показать, что ф) - ф) для всех х < а, и только
потом определить решение на всей числовой оси.
второе доказательство. Будем считать, что ф) Ф 0. Тогда
существует число а такое, что ф) 0. Допустим ф) > 0 (случай ф) < 0
рассматривается совершенно аналогично.) В этом случае в некоторой
окрестности точки а функция ф) принимает положительные
значения, и если допустить, что ф) * const, то не все из этих значений
равны. Рассмотрим некоторый промежуток [а, Ь] из этой окрестности, в
котором функция ф:) монотонна.
34

1 случай. Функция ф) возрастает на отрезке [а, Ь], 0 < ф) < ф).
На отрезке [а + ф), Ъ + ф)] функция принимает те же значения, что и
на отрезке [а, Ь], поскольку ф + ф)) - ф), но она как бы
"растянута" по всему отрезку.
Аналогично, те же значения она принимает на каждом из
промежутков [а + пф), Ъ + пф)], что следует из равенства (2): ф + пф)) =
ф). Поэтому на всех этих отрезках функция ф) возрастает.
Покажем, что это невозможно. Ясно, что найдётся такое натуральное число
п, что
а + пф) <а + (п + \)(р(а) <Ь + пуф),
т. е. О < ф) <ф-а) + п\ф)- фУ),
ведь ф) - ф) > 0. Это означает, что левый конец (л-И)-го отрезка
попадёт внутрь и-го отрезка [а + пф), Ъ + пф)]. Следовательно,
значение функции ф) в точке а + (и + 1)ф) с одной стороны равно ф), а с
другой, именно ввиду возрастания, больше ф) (рис. 5). Приходим к
противоречию. Значит, ф) = const.
2 случай. Функция ф) убывает на отрезке [а, Ь],0< ф) < ф).
В этом случае доказательство проводится так же, как и в случае 1.
Противоречие даёт следующее неравенство
Ь + пф) <Ь + (п + \)ф) <а + пф),
справедливое для больших п:
0<ф)<(а-Ь) + п(ф)- фУ).
Доказательство завершено.
Мы приведём ещё одно решение функционального уравнения Эйлера. К
сожалению, в нём предполагается, что функция ф) равномерно непрерывна на
действительной прямой, что несколько сужает класс искомых функций. Однако данное
решение достаточно оригинально, и его стоит рассмотреть.
третье доказательство. Выберем действительное число а такое, что
ф)*0.
Предположим, что ф) # const, т. е. существует такое действительное число Ь, что
ф) * <р(а) (для определённости положим, что Ь > а). Функция ф) непрерывна на
отрезке [а, Ь], т. к. она непрерывна на всей числовой оси, поэтому по теореме
Больцано-Коши на этом отрезке она принимает все промежуточные между ф) и
35

<рф) значения. В частности, найдется число се(а, Ь) такое, что значение функции
ф(с) несоизмеримо с д>(а), т. е. отношение <р(с)/<р(а) не является рациональным
числом. Действительно, функция itfx) = <р(х)/<р(а) не может принимать лишь
рациональные значения на отрезке [в, Ь], поскольку ц4х) непрерывна вместе с функцией
р(дс) и не является постоянной. (Ясно, что найдется бесконечно много таких чисел
с, ведь на любом отрезке множество иррациональных чисел — континуум.)
Можно считать также, что р(с) имеет тот же знак, что и <р(а) (для этого достаточно
выбрать число с, близкое к а). В дальнейшем нам понадобится ещё соотношение
<р(х + тр(х)) = <р(х), (2)
доказанное в первом решении.
Использование равенства (2) и равномерной непрерывности функции <р{х)
будет являться ключевым моментом в нашем доказательстве. Функция <р(х), как и
любая равномерно непрерывная функция, характеризуется'тем свойством, что
малому приращению аргумента соответствует малое приращение самой функции, т. е.
каким бы малым ни было число в > 0, существует такое число 5, что при любых
допустимых х, и х2, для которых. J*i *- х2[ < 8; ^выполнено \<р(х{) - <р(х^)\ < е.
Подчеркнем ещё раз, что выбранное здесь яисдо Ь не зависит от значений х, и хг, так
что на любом достаточно цткщ промежутке функция <р(х) изменяется
незначительно. Рассмотрим две последовательности а + пф(а) и с + т<р(с) действительных
чисел. Далее мы покажем, что при некоторых натуральных пит члены этих
последовательностей близки друг к другу, т. е. для любого наперёд заданного числа
5 найдутся такие натуральные лит. что \{а + ыр(а) - (с + т<р(с)\ < 5. Что же это
нам даёт? Ввиду равномерной непрерывности <р(х) значения <р(а + п<р(а)) и gic +
пкр(сУ) тоже мало отличаются друг от друга. Но qffl + п<р(а)) = <р(а) и <р(с + »>р(с)) =
qfc) (из соотношения (2)), значит, qfa) и р(с) сколь угодно близки. Однако, р(а) и
<р(с) фиксированные величины, разность которых — некоторое конечное число.
Таким образом, мы приходим к ожидаемому противоречию.
Итак, нужно доказать, что для любого 5 всегда найдутся такие натуральные л
и т, что числа а + пф(а) и с + т<р(с) отличаются меньше чем на 5, т. е.
Ка + п<р(а) - (с + »яр(с)| < 5.
В этом нам поможет принцип Дирихле. Рассмотрим' окружность, длина которой
равна \<р(а)\. Выберем на ней произвольную точку в качестве нулевой. Каждому
действительному числу сопоставим точку иа окружности. Для определённости
договоримся откладывать положительные числа от нулевой точки против часовой
стрелки, а отрицательные — по часовой. Таким образом, вся числовая прямая
окажется как бы намотанной на эту окружность, и все точки, расположенные на
действительной оси с периодом |р(а)| совместятся в одну точку на данной
окружности. Отметим на окружности точку а (ей будут соответствовать также все точки
вида а + пф(а), где л — натуральное) и точку с.
удем последовательно откладывать дуги дли-
ной р(с), начиная от точки с, и отмечать по- /• ^*а+яр(а)
лучившиеся следы (рис. 6) (заметим, что /" 5
р(с)*0, поскольку ф(с){ф(а) — иррационально). с+2<р{с)\
Нам нужно показать, что хотя бы один из
этих следов попадет в 5-окрестность точки а.
Все такие следы имеют вид с + т<р(с) (meN), и
никакие два не совпадут в силу
несоизмеримости р(с) с длиной окружности, равной \<р(а)\, Рис. 6.
36

но всё же некоторые из этих следов будут приближаться сколь угодно близко друг
к Другу. В самом деле, разбив окружность на несколько дуг, каждая из которых
имеет длину меньше 5, по принципу Дирихле мы получим, что какие-то два следа
с+т,<р(с) и с+т2<р(с) (от, < окажутся на одной такой дуге. Значит, отложив от
некоторой точки дугу длиной (с + тг/р(с)) - (с + т^с)) = (т2 - »я,)р(с), получим
точку, отстоящую от исходной на расстояние меньше 8. Следовательно,
откладывая (тг - т{) раз отрезок <р{с), мы каждый раз будем смещаться по окружности на
расстояние, меньшее б, и рано или поздно попадём в 5-окрестиость точки а.
Мы показали, что при некотором натуральном т число с + т<р(с) будет
соответствовать на окружности точке, очень близкой к точке а (или точке а + пф(а),
что одно и то же). Поэтому для некоторых тип получим, что а + ntfa) * с +
т<р(с), точнее эти числа отличаются меньше чем на 5. (Подумайте, где здесь
использовано условие о том, что числа ф(а) и <р(с) одного знака.)
Для завершения доказательства возьмём произвольное (сколь угодно малое)
число е > 0, по нему определим число б таким способом, чтобы выполнялось
условие в определении равномерной непрерывности функции. Для данного 5 найдутся
натуральные числа пят такие, что |(а + пд>(а) - (с + т<р(с)\ < 5, а это неизбежно
влечёт неравенство
|?(« + пф)) - д*с + ир(с))| < е,
или, учитывая равенство (2),
\<р(а)-<р(с)\<е.
Это возможно только в том случае, когда р(в) = р(с), однако <р(а) и <p(d) — числа
несоизмеримые, значит, неравные. Полученное противоречие показывает, что
наше предположение было неверным и <р(х) = const.
§ 14. Разные задачи
Пример 30. Найти все функции Дх) такие, что
f(x) = max[xy-f(y)].
уеЛ
Решение. Так как f(x) = max[xy- f(y)], то при любом у е R вы-
уеЛ
полняется неравенство Дх) > ху -fly), отсюда Дх) + fly) > ху. Положив
здесь у = х, получим
л*)*у- 0)
Умножив неравенство (1) на -1 и заменив х на у, имеем -f(y)u-^-,
откуда ху—f(y)£xy-^-. В последнем неравенстве будем
рассматривать функции, стоящие в его левой и правой, частях, как функции
относительно j>, а х будем считать параметром. Тогда график функции,
записанной в левой части, расположен ниже (по крайней мере, не выше)
графика функции в правой части неравенства. То же самое можно
сказать и о точках максимума этих двух функций (в самом деле, значение
37

левой функции в точке, в которой достигается максимум, меньше
значения правой функции в той же самой точке, которое в свою очередь
меньше максимального значения правой функции). Следовательно,
В левой части (2) согласно условию стоит функция flx), в правой же
х2 х2 У2
имеем х-х-~ = —, так как максимум параболы ху- ^- достигается в
её вершине при у-х. Таким образом, (2) преобразуемся к виду
Я*)£у. (3)
Сравнивая условия (1) и (3) находим окончательно, что
/(*) = f
пример 31. Функция / задана на множестве рациональных чисел и
сама принимает рациональные значения. Доказать, что если для
любых двух рациональных чисел хиу выполнено равенство
flx + fly)) = flx) fly),
то / есть константа.
РЕШЕНИЕ. Если для некоторого у имеем fly) = О, то из равенства в
условии следует, чтоДх) = 0.
Положим теперь fly) * 0 для любого у. Прежде всего покажем, что
существует такое рациональное число г, что flr) = 1. Выберем
произвольное рациональное число у и подставим в равенство, данное в
условии, х-у- fly), получим
fly) = fly-fly)) fly)-
Так как fly) * 0, то fly - fly)) = 1, так что можно взять r = y- fly). Тогда
для любого рационального х имеем
А* +АГ)) =flx)flr), т. е. Дх + 1) =flx).
Отсюда по индукции следует, что
flx + n)=flx) (1)
для любого целого п. По индукции также получаем, что
flnflx)) =AWx)T
для всех натуральных п. Пусть — произвольное рациональное число
и fly) = plq, где pnq- целые и q > 0. Из полученного результата следу-
ар) =лШ) =тту.
Но так как вследствие (1) flp) =Д<9) * ft, то fly) = ±1. Предположим,, что
fly) - -1, тогда ввиду данного в условии равенства flx - 1) = -flx),
откуда с учётом (1) получаем flx) - 0. Это противоречит условию, что
fly) * 0 для всякого у. Поэтому fly) * -1.
Итак, доказано, что/константа (равная либо 0, либо 1).
38

Задачи для самостоятельного решения
Решите функциональные уравнения (1-20):
1. f(x + y)-f(x-y)-^Ax-y)+4jf(d<l-x)-4y
2.Дх + у)+2Дх-у) = ЗДх)-у;
3. 2Дх+у)±Дх-у) = Дх)(2е>+е>У,
4. Дх + у) + 2f(x -у)+ Дх)+2Ду) = 4х + у;
5. Дх + у) + Дх -у)- Дх) - х3-6ху}Щу) =0;
6. Дх + у)-2Дх - у)+Дх)-2Ду) = у - 2;
7. /(*)/(* + у) = [/O0f[/(* - >)f<Г, (/(0 * 0);
я.Ах + у)+Дх-у)=[Дх)]2;
9./(х2) + Дх) = х;
W.f(x) = 2
А!
-1;
п.Д*)+/
12.2Д2х) = Д;с) + ;с;
13./(Щ)=Л^Л20;
15./[/(x)] = l,(/*cw0;
1б-/(|) = Л^);
17.Д2*) = 2Д*);
18./0-*)=/(*);
19./(Vjc) = 1 + x;
ж/-^-1 = /(*);

21.Функция/определена на отрезке [0, 1] и удовлетворяет условиям:
Д0)=Д1);
если 0йх1¥^х2й1, то |/(х2)-/(х,)|<|х2-х,|. Доказать, что
если 0^х1 *х2« 1, то |/(х2)-Дх,)|<|.
22.Решите функциональное уравнение f (х) - f (2х) в классе не-
прерывных функций.
23.Найдите ограниченную в точке х-0 функцию, удовлетворяющую
1 х
уравнению: /(х) - T^fty = Х*'
24. Решите на полуоси х>0 функциональное уравнение
f(x*) — qf (х), где а - фиксированное действительное число, п -
натуральное число.
25.Найдите все непрерьшные на R функции / (х) ,
удовлетворяющие условию /(х) = / (sinx)TipH всех х.
26.Многочлен Р(х) удовлетворяет равенству:
Р(х)2 ~Р(уУ = Р(х + у)Р(х-у) при всех x,yeR. Доказать,
что Р(х) = ах для некоторого числа а.
27. Функция / интегрируема на [0,1 ] и удовлетворяет уравнению
28. Пусть /(J/) = 1. Определить /. Существует ли непрерывная
функция /(х), определенная на всей вещественной оси R, такая,
что /(/(х)) = е~х для всех х еЮ
29.Пусть р(х):[0,1] >R , р(0) = р(1) = 0 ,
X ~г* V
р( 2 ) - Р(х) + Р(у) "ЧР0 всех Х'У е[0Д]. Доказать, что
р(х) > 0 для всех х,^ е[0,1] и функция имеет бесконечное число
нулей на [0,1].
ЗО.Найдите все пары функций fug дифференцируемые в любой
точке х, отличной от -1, 0, 1 , что для всех х выполнены равенства
xf(x)--g(-) = l,
X X
\f(-) = x'g(x)-
X X
40

31.Найдите /(х) такую, что f(x)f(y) = f(x- у) для любых
x,yeR.
ЗгПусть /:[0Д] >[0,1]. Известно, что 0, 1 е/( [0,1] ) и для
всех х,у е[0Д] справедливо неравенство
33. Доказать, что существует единственное х e[0,l], для которого
/(*) = *.
34.Найдите все функции /, дифференцируемые для всех х#0 и
удовлетворяющие следующим условиям:
1) Для любого действительного числа выполнено равенство
/(-) = *(*)■
х
2) Для любых действительных чисел х и у таких, что х Ф 0, у Ф 0
и х + уфО, выполнено равенство
/(-)+/(") = ! + /(-!-)•
х у х+у
3)/(1) = 2.
35. Функция / дифференцируема на множестве целых
неотрицательных чисел, причем /(0) = 0 И /(х2 - у2) = f(x)f(y) для
хфу. Найдите /(х).
36.Решите функциональное уравнение х2/(х) + /(1 - х) = 2х - х".
37.Существуют ли такие действительные числа а и ft, что для
любого х е [0,2/г] функция /(х) = ах + Ь удовлетворяет неравенству
(/ (х)У - cosx/(x) < - sin2 х?
4
38.Функция g непрерывно-дифференцируема для любого х.
Докажите, что если g(0)=0 и \g'(x)\ < \g(x)\ для любого х, то g
тождественно равна нулю.
39.Найдите непрерывные решения функционального уравнения
Яхуг) = Ях)+/(у) + №
при следующих условиях:
a)x,y,z - произвольные действительные числа, отличные от нуля;
b)a<xj,2<A и \<аъ <Ь.
41

40.Найдите все непрерывные функции f,g и h , удовлетворяющие
функциональному уравнению
fix+у) + g(x+у) = А(х) + h(y)
для любых двух чисел х>0 и у>0.
41.Найдите все непрерывные функции /(х) (—оо<х< -ко),
удовлетворяющие для всех вещественных значений хиу уравнению
f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)f(y)
42.Найдите все непрерывные ограниченные функции /(х) и g(x)
(-00 < х < -И»), удовлетворяющие для всех вещественных
значений х и у системе уравнений.
f(x+y) = f(x)f(y)-g(x)g(y),
g(x+у) = f(x)g(y)+f(x)g(y),
сверх того, условиям нормировки. /(0) = 0 и g(0)=0
42

Историческая справка
ИЕНСЕН Иоганн Людвиг (Jensen Jochann Lndwig) (8.5.1859-5.3.1925)- датский
математик. Работал в Копенгагене. Профессор Копенгагского ун-та. Основные
труды относятся к различным разделам математики. В теории граничных свойств
аналитических функций известна формула Иенсена-Шварца, в геометрии-
теоремы Иенсена; неравенства Иенсена для выпуклых функций.
ГАУСС Карл Фридрих (Carl Friedrkh Gauss) (30.4.1777-23.2.1855)- немецкий
математик, астроном, физик. С раннего детства обнаружил выдающиеся
математические способности. В 1795-1798 учился в Геттингенском ун-те. Важные работы
относятся к алгебраическим исследованиям. Дал обстоятельную теорию
квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности.
Установил связь между уравнением д;" = 1 и построением правильных многоугольников.
Его теоремы чрезвычайно расширяют область теории чисел благодаря введению
чисел вида a+bi, где а и b целые числа.
АБЕЛЬ Нильс Хенрик (Niels Henrik Abel) (5 8.1802-6.4.1829)- норвежский
математик. Обучался в ун-те Христиании (Осло). Важные работы относятся к теории
рядов и созданию теории эллиптических функций Обнаружил ряд алгебраических
чисел, которые не интегрируются с помощью элементарных функций Его имя
носит теорема относительно непрерывности функций во всем круге сходимости
соответствующего ряда.
ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1.12.1792-24.2.1856)- русский математик,
творец неевклидовой геометрии С 1802 учился в Казанской гимназии В 1807 стал
студентом Казанского ун-та. В 1816 стал профессором. Он внес большой вклад в
развитие анализа и алгебры. Ученому принадлежат важные результаты в теории
тригонометрических рядов, теории Г-функции. Дал метод приближенного
решения алгебраических уравнений высших степеней с числовыми коэффициентами
(метод Лобачевского-Греффе). Внес значительный вклад теорию определителей.
ДАРБУ Жан Гастон (Gaston Darboux) (13.8.1842-23.2.1917)- французский
математик, чл Парижской АН (1884), чл.-кор. Петербургской АН(1895).
Многочисленные исследования Дарбу относятся почти ко всем отраслям физико-
математических знаний, но основные труды посвящены диф. геометрии и диф.
уравнениям. Важные результаты Дарбу получил в теории аналитических функций.
ЭЙЛЕР Леонард (Leonard Enter) (15.4.1707-18.9.1783)- математик, физик, астроном
Род. в Швейцарии. В 1726 г. по приглашению Петербургской АН приехал в
Россию и был назначен адъютантом по математике. Большое внимание на
протяжении всей жизни уделяет Эйлер навигации. Почти половина его трудов посвещена
гидродинамике, теории объективов, теории вероятностей и другим вопросам
естествознания. Он впервые вводит понятие функции комплексной переменной,
находит неожиданную связь между тригонометрическими и показательными
функциями.
КОШИ Опостен Луи (Angnstin Cauchy) (21.8.1789-23.5.1857)- французский
математик, член Парижской АН (1816). Род. в Париже. Окончил Политехническую
школу (1807) и школу мостов и дорог(1810). Работы отностся к различным областям
математики Всего он написал н опубликовал свыше 800 работ по арифметики
43

итеории чисел, алгебры, математическому анализу, диф. уравнениям,
теоретической и небесной механике и т.д. Особенно важное значение имеют такие
результаты: геометрическое представление комплексного числа, выражение аналитической
функции в виде интеграла, разработка теории вычетов и их приложений.
Д'АЛАМБЕР Жан Лерон (Jean le Rood d'Alembert) (16.11.1717- 29.10.1783)-
французский математик, механик, и философ. Уже в раннем детстве поражал умом и
наблюдательностью. Обосновал теорию возмущения движения планет. Основные
математические исследования относятся к теории диф. уравнений. Он нашел
решение диф. уравнения в частных производных 2-го порядка, выражающего
поперечные колебания струны. Его работы заложили основы математической физики.
ГИЛЬБЕРТ Давид (David Hubert) (23.1.1862-14.2.1943)- немецкий математик. Род.
В Белау. Окончил Кенигсберский ун-т. Его исследования оказали большое
влияние на развитие многих разделов математики. Работы по теории алгебраических
чисел преобразили эту область математики и стали исходным пунктом ее
дальнейшего развития. Дал полную систему аксиом евклидовой геометрии, разделил
их по группам и старался определить пределы каждой из этих групп аксиом. В
мат. Физике занимался вариационными принципами, а также проблемами теории
излучения.
ЛЕЖАНДР Адриен Мари (Andrien Marie Legendre) (18.9.1752-10.1.1833)-
французский математик. Род. В Париже. Он обосновал и развил теорию геодезических
измерений, сделал значительный вклад в тригонометриипо поверхности сфероида.
Одновременно с Гауссом, но независимо от него, метод наименьших квадратов.
Ему принадлежит ряд фундаментальных исследований по математическому
анализу и теории чисел.
ГАМЕЛЬ Георг Карл Вильгельм (Hamd) (12.9.1877-4.10.1954)- немецкий механик и
математик; Работал в Берлине. Основные работы относятся к теоретической
механике и гидродинамике, а также к теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, функциональному анализу (теория возмущения) и теории функций
(базис Гамеля).
БОЛЬЦАНО Бернард (Bernkard Bolzano) (5.10.1781-18.12.1848)- чешский
математик, философ, логик. Установил современное понятие сходимости рядов. Уточнив
понятие предела непрерывности, впервые строго доказал теорему о
промежуточных значениях. Сделал попытку построения теории действительных чисел,
которая после некоторых уточнений совпадает с теорией Кантора.
СИНЦОВ Дмитрий Матвеевич (20.11.1867-28.1946)- русский математик. Род. в
Вятке. Окончил Казанский ун-т. Выл одним из творцов геометрии т.н. неголоном-
ных систем, а его работы по теории конексов являются большим вкладом в эту
отрасль науки.
44

Содержание
Введение 3
§ 1. Идея непрерывности 7
§ 2. Уравнения Коши 9
§ 3. Метод сведения функционального уравнения к известному с
помощью замены переменной и функции 15
§ 4. Метод подстановок 17
§ 5. Предельный переход 19
§ 6. Производная и функциональные уравнения 21
§7. Функциональные уравнения, содержащие несколько
неизвестных функций 23
§ 8. Системы функциональных уравнений 24
§ 9. Графический способ решения некоторых функциональных
уравнений 26
§ 10. Решение функциональных уравнений, заданных на
множестве натуральных чисел 28
§11. Функциональные неравенства 30
§ 12. Некоторые общие приёмы, позволяющие находить частные
решения различных функциональных уравнений 31
§ 13. Уравнение Эйлера 32
§ 14. Разные задачи 37
Задачи для самостоятельного решения 39
Историческая справка 43
45