Автор: Маркушевич А.И.   Дубнов Я.С.   Ляпунов А.А.  

Теги: математика   естественные науки   история математики   просвещение  

Год: 1957

Похожие

Математическое просвещение. Выпуск 6. Математика, ее преподавание, приложения и история

Историко-математические исследования. Выпуск XXI

Математика учебник для 4 класса средней школы

Математика 4 класса средней школы

Текст 
                    Hug. Vecf
1958
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОСВЕЩЕНИЕ
МАТЕМАТИКА, ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ,
ПРИЛОЖЕНИЯ И ИСТОРИЯ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Я. С. ДУБНОВА, А. А. ЛЯПУНОВА,
А. И. МАРКУШЕВИЧА
ВЫПУСК 2
Из книг-
Ник. Бескина
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1957
Математического
Колледжа НМУ


В составлении и редактировании
принимали участие
И. Н. БРОНШТЕЙН, А. М. ЛОПШИЦ, И. М. ЯГЛОМ
. МАТЕМАТИ^СКОЕ ПРОСВЕЩЕНИЕ, вып. 2.
Редактор И. Н. Бронштейн
Техн. редактор Н. Й- Мурашова
Корректор Г. Г. )Келтова
Сдано в набор 8/VH 1957 г. Подписано к печати 1S/XI 1957 г. Бумага 60X92"',,,.
Физ. печ. л. 20. Услови. печ. л. 20,0. Уч. изд. л. 20,61. Тираж 20 000 экз. Т-10358.
Цена книги 6 р. 20 к. Заказ № 677.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Первая Образцовая типография имеии А. А. Жданова Московского городского Совнархоза.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.


I. ОБЗОРЫ, СТАТЬИ, ПЕРЕВОДЫ
ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович
(Москва)	(Иваново)
Топология — одна из самых молодых ветвей геометрии. Однако,
несмотря на большую наглядность и геометричность ле-
лежащих в ее основе идей, топология является одним из самых абст-
абстрактных отделов современной математики. В существующих совет-
советских (и иностранных) руководствах по топологии читатель встречается
с довольно громоздким и абстрактным аппаратом, хотя и необходимым
для строгого построения теории, но затрудняющим проникновение в
существо предмета, затрудняющим ознакомление с основными идеями
и методами. Этот абстрактный аппарат можно сравнить с лесами, воз-
возведенными для строительства нового здания, совершенно необходимыми,
но мешающими легко, непосредственно разглядеть изящество архитек-
архитектурных форм. Единственной сравнительно общедоступной книгой по топо-
топологии был очерк П. С. Александрова и В. А. Ефремовича1), изданный в
1936 г. Однако книга эта давно уже стала библиографической редко-
редкостью, а кроме того, несколько устарела, так как за последние двад-
двадцать лет лицо топологии сильно изменилось.
Цель настоящей статьи — познакомить читателя с самыми основными
фактами и идеями топологии. Авторы старались сделать изложение лег-
легким и наглядным, стремясь дать лишь общее, наглядное представление
о топологии. Они сознательно пошли на пренебрежение второстепенными
деталями и (зачастую) пренебрежение математической строгостью.
Современная топология содержит два больших раздела: «теоретико-
множественную топологию» и «комбинаторную (или алгебраическую) то-
топологию». Понятиям теоретико-множественной топологии посвящена вто-
вторая часть статьи (первая, вводная часть содержит изложение основных
первоначальных понятий); она требует от читателя некоторой способ-
-	ности к абстрактному мышлению и поэтому несколько труднее, чем
первая и третья части. Комбинаторной топологии посвящена третья
-	часть. Она более геометрична и непосредственно примыкает к первой
части.
*) П. С. Александров и В. А. Ефремович. Очерк основных поня-
понятий топологии, Гостехиздат, М. — Л., 1936.


В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Предмет топологии
Топология — одна из наиболее новых геометрических наук. Созда-
Создание ее связано с именами Эйлера, Пуанкаре, Фреше, Рисса и других
ученых. Топология как самостоятельная математическая дисциплина су-
существует немногим более полустолетия.
В основе, в истоках каждого отдела математики можно видеть
основную идею. Она пронизывает всё здание рассматриваемого
отдела математики и, так сказать, определяет его лицо. Какова же ос-
основная идея, приведшая к созданию новой науки — топологии? Это —
идея непрерывности. Идея непрерывности встречается уже в ма-
математическом анализе, но там она не является основной, там она под-
подчинена другим идеям и поэтому не получает сколько-нибудь полного
развития. Свое полное и всестороннее развитие идея непрерывности по-
получает в топологии.
Непрерывные функции и непрерывные отображения
В математическом анализе мы встречаемся с различными функция-
функциями и чаще всего с непрерывными функциями. В топологии поня-
понятия о функции и о непрерывности обобщаются.
Когда мы говорим, что у есть функция от х и пишем у==/(х),
то понимаем под этим, что у зависит от х, т. е. каждому значению
величины х определенным образом поставлено в соответствие
некоторое значение величины у. Функция может быть задана формулой
[например, у = log10 (xz-\- I)] или может быть связана с геометрически-
геометрическими свойствами некоторой фигуры (если известен радиус окружности, то
длина дуги сегмента является функцией площади этого сегмента), или
задана каким-либо иным путем; наконец, может случиться, что мы рас-
рассматриваем функцию у=/(х) вообще, т. е. считаем, что у неко-
некоторым образом зависит от лг.
Функция yz=f(x) может быть задана не для всех действительных
значений х, а лишь для некоторых. Например, функцияy=loglBx опре-
определена лишь для положительных значений х, функция j/ = arcsin (log,,,*)
определена лишь для значений х, заключенных между т^ и 10 (включая
крайние значения), и т. д. Вообще, для каждой функции y = f{x)
имеется своя область определения, т. е. множество тех значений х,
для которых соответствующее значение y — f(x) определено.
Задать функцию — это значит каждой точке дс некоторого множе-
множества А (области определения функции) поставить в соответст-
соответствие определенную точку f(x) некоторого другого множества В. Тако-
Таково общее понимание функции. Говорят в этом случае также, что


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
на множестве А задана функция со значениями в множестве В
или что задано отображение множества А в множество В.
Когда говорят об отображении одного множества в другое, то да-
далеко не всегда предполагают, что рассматриваемые множества состоят
из действительных чисел. Обозначим, например, через А множество
точек, расположенных на сторонах некото-
некоторого равностороннего треугольника, а через
В—множество точек, лежащих на описан-
описанной вокруг этого треугольника окружности
(рис. 1). Тогда центральное проек-
проектирование точек множества А на ок-
окружность является отображением
множества А в множество В.
Обратимся теперь к понятию непре-
непрерывной функции. Напомним, что функ-
функция у=/(х) называется непрерывной в
точке лгп, если для значений ху «мало»
отличающихся от х0, значения функций
f(x) и f(x0) также «мало» отличаются друг
от друга. Более точно, функция f(x)
непрерывна в точке х0, если для любого числа е ^> О можно подо-
подобрать такое число §^> 0, что для любого значения х, отстоящего от
х0 менее чем на §, соответствующее значение /(х) отстоит от/(х0)
менее чем на в. Для того чтобы это определение имело смысл, необ-
необходимо, чтобы и в множестве Л, и в множестве В было определено
расстояние между точками. В том
случае, когда мы имеем дело с числами
(действительными или комплексными), за
расстояние между а \\ b принимают
\а — Ь\.
Условимся множество U всех точек,
которые отстоят от х0 менее чем на 5,
называть Ъ-окрестностъю точки х0;
аналогично, все точки, отстоящие от
f(x0) менее чем на г, составляют г-ок-
рестность V значения f(x0). Таким об-
образом, окрестность некоторой точки чис-
числовой прямой представляет собой не-
небольшой отрезок (без концов) с цент-
Ром в этой точке. Если, например, А
есть поверхность шара, а х0 — «северный полюс», то окрестностью U
точки х0 в А будет сферический сегмент (рис. 2); чем меньший сфе-
сферический сегмент мы берем, тем меньшую окрестность U точки х0
получаем. Вообще, для любой фигуры А, расположенной в пространстве,
5-окрестностыо точки х0 фигуры А является та часть фигуры Л, кото-
которая попадает внутрь шара радиуса 5 с центром в точке х0.
Рис. 2.


6
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
В этой терминологии непрерывность отображения (т. е. функции)
определяется так: отображение / непрерывно в точке х0, если, какую
бы малую окрестность V точки / (хь) мы ни взяли (в множестве В),
можно подобрать (в А) настолько малую окрестность U точки х0,
что все точки, соответствующие при отображении f точкам ок-
окрестности U, расположены в окрестности 1/. Иначе говоря, вся окре-
окрестность U отображается (переходит) в окрестность V.
Легко видеть, например, что отображение, схематически показанное
на рис. 1, непрерывно в каждой точке х0 фигуры Л.
Если отображение / множества А в множество В непрерывно в
каждой точке х множества А, то говорят просто, что отображение
/ непрерывно. С наглядной точки зрения непрерывность отображения
В
(
5
- —
)
б)
Рис. 3.
/ означает, что «близкие» между собой точки множества А переходят
(в результате отображения /) снова в «близкие» точки множества В,
т. е. при отображении / не происходит разрывов, не происходит на-
нарушения цельности множества А. Заметим, что при этом различные
точки множества А могут переходить в одну и ту же точку множества
Ву могут образовываться «складки», «спайки» и т. п.
Рис. 4.
Пусть, например, А — некоторая кривая, а В — прямая, расположен-
расположенная с кривой А в одной плоскости. То1да проектирование кривой А
на прямую В (рис. 3, а) представляет собой отображение множества
А в множество В, причем отображение непрерывное. Это отображение
происходит со «складками», схематически изображенными на рис. 3, б.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
Рассмотрим еще непрерывное отображение окружности на «фигуру
восьмерки», заключающееся в «склеивании» двух точек окружности
(рис. 4). При этом отображении две различные точки окружности пере-
переходят в одну и ту же точку восьмерки.
Гомеоморфные отображения
Итак, непрерывные отображения происходят «без разрывов», но
могут иметь «спайки», «склеивания». Чрезвычайно важны такие отобра-
отображения, которые происходят и без разрывов, и без склеивания; такие ото-
отображения называются гомеоморфизмами. Рассмотрим это понятие под-
подробнее.
Отображение / множества А в множество В называется взаимно
однозначным, если в каждую точку у множества В отображается в
точности одна точка множества А. Таким образом, при взаимно одно-
однозначном отображении никакие две различные точки множества А не пе-
переходят в одну и ту же точку множества В, не «склеиваются» при ото-
отображении /; кроме того, каждая точка множества В поставлена в
соответствие некоторой точке множества А, т. е. множество А отобра-
отображается на всё множество В, а не на его часть. Для взаимно одно-
однозначного отображения / множества А на множество В можно определить
обратное отображение множества В на множество А: для этого нужно
каждой точке у множества В поставить в соответствие ту точку л: мно-
множества А, которая переходит в точку у при отображении /. Обратное
отображение обозначается через f~l.
Примером взаимно однозначного отображения может служить рассмот-
рассмотренное выше центральное проектирование контура треугольника на ок-
окружность (рис. 1 на стр. 5).
Отображение / фигуры А на фигуру В называется гомеоморфным
отображением (или гомеоморфизмом), если оно, во-первых, взаим-
взаимно однозначно и, во-вторых, взаимно непрерывно, т. е. не
только само отображение / является непрерывным, но и обратное ото-
отображение /-1 также непрерывно. Отображение контура треугольника на
окружность, схематически показанное на рис. 1, является гомеоморфным
отображением.
Если две фигуры А и В таковы, что одну из них можно гомеоморф-
но отобразить на другую, то говорят, что фигуры А и В гомеоморфны
между собой. Например, контур треугольника (или, вообще, любого
многоугольника) гомеоморфен окружности. Наглядно гомеоморфизм двух
фигур можно представлять себе, например, следующим образом: будем
считать, что обе фигуры «изготовлены» из некоторого очень прочного
и эластичного материала, и будем допускать любые растяжения и ис-
искривления этого материала без разрывов и без образования складок и
склеек; если мы сможем при этих условиях «наложить» одну фигуру
на другую, то эти фигуры гомеоморфны между собой. Не следует,
однако, думать, что любые две гомеоморфные между собой фигуры


8	В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
можно, изгибая и перемещая их в пространстве, перевести одну
в другую. Рассмотрим, например, фигуры, изображенные на рис. 5, а
(лента, гомеоморфная боковой поверхности цилиндра) и на рис. 5, б
(дважды перекрученная лентаI). Эти две фигуры гомеоморфны (почему?);
однако, перемещая и растягивая одну из этих фигур в пространстве
(без разрывов и склеиваний), невозможно наложить ее на другую из
этих фигур. Строгое доказательство этого факта непросто 2).
Поучительно сравнить понятие
.s^i : .-. »-	. . гомеоморфизма фигур и понятие
^л	равенства фигур В геометрии
рассматриваются отображения спе-
специального вида — так называемые
движения, т. е. перемещения фигур
""""	(«совмещения», «наложения») как
а'	твердого целого, без изменения рас-
• ...	стояний (без искривления и растя-
{':::^> жения или сжатия частей фигуры).
Две фигуры, которые переводятся
¦\ ;ч - одна в другую с помощью движения,
называются в геометрии равными
(или конгруэнтными), т. е. рассмат-
Рис. 5.	риваются как одинаковые, как не
отличающиеся (с геометрической точки
зрения) друг от друга. В топологии рассматриваются отображения, более
общие чем движения, а именно гомеоморфные отображения,
которые могут не сохранять расстояний, а сохраняют лишь непрерывность
расположения точек в фигурах (т. е. не допускают разрывов и склеи-
склеиваний). В соответствии с этим две гомеоморфные между собой фигуры
рассматриваются (с топологической точки зрения) как одинаковые, как
не отличающиеся друг от друга s).
Приведем еще некоторые примеры гомеоморфных между собой фигур.
Поверхность шара, поверхность куба, цилиндра, эллипсоида и т. п.—
все гомеоморфны между собой. Однако эти поверхности не гомеоморф-
гомеоморфны тору, т. е. поверхности, которую можно себе наглядно представ-
представлять как поверхность баранки или автомобильной шины (рис. 6, а).
Поверхность гири (рис. 6, б) гомеоморфна тору. Если буквы русского
алфавита представлять себе в виде линий, то можно сказать, что бук-
буквы Г, Л, М, П, С гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т,
1) На рис. 5 и следующих поверхности изображены «толстыми», т. е. как
бы изготовленными из некоторого материала. Читатель должен иметь в виду,
что это сделано только для наглядности и представлять себе математические
поверхности, не имеющие толщины.
2) С основной идеей такого доказательства читатель познакомится в треть-
третьей части этой статьи.
8) Ср. И. М. Я г л о м, Геометрические преобразования, М., Гостехиздат,
1955—1956 гг. (текст «Что такое геометрия»).


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
Ч, Ш, Ц, Э также гомеоморфны между собой, но не гомеоморф-
ны указанным ранее буквам. Буква же О не гомеоморфна никакой дру-
другой букве русского алфавита.
Рассмотрим еще один пример гомеоморфизма. Пусть А —полу-
—полуокружность с центром о, а В — прямая, касательная к полуокружности
а)
6)
Рис. 6.
и параллельная ее диаметру (рис. 7). Будем проектировать точки полу-
полуокружности из центра о на прямую В. Тогда каждой точке полуокруж-
полуокружности, за исключением концевых ее точек р и q, будет на прямой соот-
соответствовать определенная точка. Исключив из полуокружности концевые
точки р и <7> мы получим фигуру Л, которая гомеоморфно отображается
(проектируется) на прямую В. Таким образом, прямая линия гомеоморфна
Рис. 7.
полуокружности без концевых точек. В свою очередь полу-
ок^ужнхть гомеоморфна отрезку (ее можно распрямить). Следовательно,
прямая линия гомеоморфна отрезку без концов (отрезку,
из которого выброшены концевые точки), или, как говорят еще, от-
открытому отрезку.
а
- XJ -О -"Q
Рис. 8.
Наконец, еще один пример. Обозначим через А отрезок, из кото-
которого выброшена одна (левая) концевая точка, а через/ — отображение
этого отрезка на окружность В, заключающееся в склеивании отрезка
в замкнутую кривую (рис. 8). Это отображение / взаимно однозначно


10	В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
(склеивания двух точек не происходит, так как лишь один конец от-
отрезка является точкой множества А) и, как легко видеть, непрерывно.
Однако это отображение не является гомеоморфным, так как обратное
отображение /-1 не непрерывно в точке а, соответствующей правому
концу отрезка: если на окружности В точка х неограниченно прибли-
приближается к точке а слева, то соответствующая точка отрезка А не при-
приближается к правому концу отрезка, т. е. при отображении /~г фи-
фигура В «разрывается».
Топологические инварианты
Теперь уже нетрудно разъяснить, чем занимается топология. Так
как с точки зрения топологии две гомеоморфные между собой фигуры
считаются как бы одинаковыми, то ясно, что в топологии интересуются
только такими свойствами фигур, которые сохраняются при переходе
от одной фигуры к другой, гомеоморфной ей фигуре. Ведь две «топо-
«топологически» одинаковые фигуры должны иметь и «топологически» оди-
одинаковые свойства. Те свойства фигур, которые не изменяются при
гомеоморфных отображениях, называются топологическими
свойствами фигур, или топологическими инвариантами
(от латинского слова invariant — неизменный). Изучением фигур с то-
топологической точки зрения, т. е. изучением топологических свойств
фигур, и занимается топология.
Контур треугольника имеет три вершины. Однако свойство иметь
три вершины не является топологическим инвариантом, так как контур
квадрата (гомеоморфный контуру треугольника) имеет уже четыре вер-
вершины, а окружность (также гомеоморфная им) совсем не имеет «вершин».
Какие же свойства фигур являются топологическими инвариантами?
Кроме того, чтб понимать под термином «фигура» (который здесь при-
применялся исключительно ради наглядности)? Без выяснения этих вопро-
вопросов нельзя составить себе сколько-нибудь ясного представления о то-
топологии. На эти важные вопросы мы и попытаемся пролить свет в
дальнейшем
2. Простейшие топологические инварианты
Роль топологических инвариантов
Для того чтобы утверждать, что две фигуры гомеоморфны между
собой, достаточно фактически указать гомеоморфное отображение
одной фигуры на другую и доказать, что это отображение действи-
действительно является гомеоморфизмом. Именно таким путем мы выше пока-
показали, что контур треугольника гомеоморфен окружности, что прямая
линия гомеоморфна открытому отрезку, и т. д.
Но как доказать, что две фигуры не являются гомеоморф-
гомеоморфны ми? Ведь из того, что мы не сумели найти гомеоморфного


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ	//
отображения одной фигуры на другую, не вытекает еще с достовер-
достоверностью, что такого гомеоморфного отображения не существует.
Выше мы говорили, что поверхность шара (т. е. сфера) не гомео-
морфна тору, что буква О не гомеоморфна другим буквам русско-
русского алфавита, что буквы Г и Т не гомеоморфны между собой, и
вряд ли у читателя возникло сомнение в том, что, например, сфера
и тор действительно топологически «различны» (т. е. не гомеоморф-
гомеоморфны). Но одно дело — не сомневаться в том, что сфера и тор
не гомеоморфны между собой, а другое дело — строго доказать
этот факт.
Для доказательства того, что две фигуры не гомеоморфны между
собой, пользуются топологическими инвариантами. Чаще
всего применяют такие инварианты, которые являются числами (или
другими алгебраическими объектами), так как с такими инвариантами
удобнее всего обращаться. Пусть, например, мы установили некоторое
правило, с помощью которого каждой фигуре ставится в соответствие
определенное число, причем так, что числа, соответствующие двум
гомеоморфным между собой фигурам, всегда оказываются равными
между собой. Тогда это число выражает некоторое свойство фигуры,
причем свойство, сохраняющееся при гомеоморфных отображениях,
т. е. это число является топологическим инвариантом. Если теперь
две фигуры А и В таковы, что соответствующие им числа оказа-
оказались различными, то эти фигуры не могут быть гомеоморфными
между собой.
В настоящее время изучено много различных топологических инвари-
инвариантов. Некоторые наиболее простые из них мы здесь и рассмотрим.
Число компонент
Буква Ь1 представляет собой фигуру, состоящую из двух «кусков»,
из двух не связанных между собой частей. Большинство остальных
букв русского алфавита состоит из одного связного куска (исклю-
(исключение составляют Й, Ё). Но число связных частей, число «кусков»,
из которых состоит фигура (говорят также: число компонент фигуры),
является топологическим инвариантом: если две фигуры гомеоморфны,
то обе они состоят из одинакового числа частей (компонент). Поэтому
буква Ы не гомеоморфна, например, букве О, букве П, букве Ц и т. д.
Число компонент фигуры является простейшим топологическим инвариан-
инвариантом.
Разбивающие точки
На фигуре восьмерки (рис. 9, а) имеется такая точка х, что после
удаления из восьмерки любой, сколь угодно малой окрестности точки х
мы получаем несвязную фигуру (т. е. фигуру, содержащую более одной
компоненты (рис. 9, б). Точку, обладающую этим свойством, называют


12
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
разбивающей точкой фигуры. Нетрудно видеть, что никакая отлич-
отличная от х точка восьмерки не является разбивающей точкой: для любой
точки х", отличной от х, можно выбрать такую (сколь угодно малую)
окрестность точки х1 (рис. 9, в), что после удаления этой окрестности
мы получим связную фигуру (т. е. фигуру,
состоящую из одной компоненты).
Итак, фигура восьмерки (рис. 10, а)
содержит лишь одну разбивающую точку.
Нетрудно гакже видеть, что окружность
(рис.10, б) не содержит ни одной разби-
разбивающей точки, а фигура, изображенная
на рис. 10, в, содержит две разбивающие
точки. Далее, все точки отрезка (рис.10, г),
кроме его концов, являются разбивающими.
Фигура Т (рис. 10, д) содержит три точ-
точки (концевые), которые не являются раз-
разбивающими, а остальные точки — разби-
разбивающие. Наконец, фигура, изображенная
на рис.10, е (она гомеоморфна буквам
Р,Б,Ь,"Ь), содержит бесконечно много разбивающих точек и беско-
бесконечно много неразбивающих точек.
Заметим теперь, что понятия «разбивающая точка» и «неразбиваю-
щая точка» топологически инвариантны: если х есть разбивающая точка
CXDQo<>o
е)
Рис. 9.
б)
г>
фигуры Л, а /— гомеоморфное отображение фигуры А на фигуру В,
то f(x) есть разбивающая точка фигуры В. Поэтому число разбиваю-
разбивающих точек данной фигуры есть ее топологический инвариант, число
неразбивающих точек — также топологический инвариант. Отсюда сле-
следует, например, что никакие две из изображенных на рис. 10 фигур
не гомеоморфны между собой.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ	13
Индексы точек
Укажем, далее, еще один топологический инвариант, называемый
индексом точки. Пусть А — некоторая фигура, составленная из
конечного числа дуг, ил:—ее точка. Число дуг фигуры А, сходящихся
в точке х, называется индексом точки х в фигуре А. Индекс точки
является топологическим инвариантом. На
рис. 11 изображена фигура буквы Ж. Точка
а на этом чертеже имеет индекс 1, точка
b имеет индекс 2, точка с—индекс 3, а
точка d — индекс 4. Число точек
число точек индекса 3, индекса
все это различные топологические инварианты.
С помощью понятия индекса легко доказать,	Рис. 11.
что буквы Ю и Ф не гомеоморфны между
собой (с помощью же рассмотренных ранее топологических инвариан-
инвариантов негомеоморфность букв Ю и Ф установить невозможно.)
— индски о, a	f
эчек индекса 1, bJ
сса 4 и т. д. — /
Уникурсал"ьные кривые
Интересным топологическим инвариантом является у ни кур-
сальность фигуры; состоящая из конечного числа дуг фигура
называется унику реальной, если ее можно «нарисовать одним росчер-
росчерком», т. е. пройти ее всю непрерывным движением, не проходя одну
-и ту же дугу дважды. Свойство фигуры быть уникурсальной является,
очевидно, топологически инвариантным. Однако этот топологический
инвариант не является новым, а выражается через^ понятие индекса
точки: можно доказать, что фигура тогда и только тогда уникур-
сальна, когда она либо совсем не содержит точек нечетного индек-
индекса, либо содержат ровно две такие точки1).
«Д о м и к и и колодцы»
Будем говорить, что фигура является плоской, если она гомео-
морфна некоторой фигуре, лежащей в плоскости. Ясно, что свойство
фигуры быть плоской является топологически инвариантным. Хорошо
известны два примера, связанные с этим топологическим инвариантом.
Первый пример («домики и колодцы»). На плоскости даны
шесть точек Д„ Д„ Д3 (домики) и К„ К2, К3 (колодцы); можно ли
на плоскости провести тропинки от каждого домика к каждому колодцу,
так чтобы никакие две тропинки не пересекались? Ответ отрицатель-
отрицательный: если мы проведем все тропинки, кроме одной, то для последней
тропинки уже «не будет места» на плоскости (на рис.12 проведены
1) Доказательство этой теоремы читатель может найти в книгах: Г. Р а д е-
махери Р. Теплиц, Числа и фигуры, ОНТИ, М.— Л., 1936; Д. О. Ш к л я р
с к и й, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Избранные задачи и теоремы эле-
элементарной математики, ч. II (задача 382), Гостехизцат, М., 1952.


14
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
все тропинки, кроме Д3КгI). Таким образом, фигура, состоящая из
шести точек Дг, Д2, Д3, А\, К2, К3 и девяти соединяющих их
непресекающихся дуг (от каждой точки Д к каждой точке К)% не
является плоской. Условимся эту фигуру обозначать через Рх,
Рис. 12.
Второй пример. Возьмем пять точек и для каждых двух из
них проведем соединяющую их дугу (таких дуг нужно провести С]= 10);
эту фигуру условимся обозначать через Р2. На рис. 13 проведены
девять соединяющих дуг (сплошные линии);
однако десятую дугу а^а^ (штриховая) в
плоскости провести невозможно: она обя-
5 зательно пересечет одну из уже проведен-
проведенных дуг. Можно доказать, что и при
другом положении соединяющих дуг про-
провести все десять дуг в плоскости невоз-
невозможно без их пересечения1). Таким обра-
образом, фигура Р2 также не является плоской.
Мы выше рассмотрели ряд примеров
фигур, состоящих из конечного числа дуг.
Такие фигуры называют в топологии ко-
конечными графами. В общем случае ко-
конечный граф (мы будем говорить просто
граф, так как не конечные графы рассматриваться не будут) определяется
следующим образом: имеется конечное число точек (называемых вершина-
вершинами графа), и некоторые из этих точек соединяются непересекающи-
непересекающимися дугами (эти дуги называются ребрами или звеньями графа); при
рис
1) См., например, книгу Е. Б. Д ы н к и и а и В. А. Успенского, ука-
еанную на стр. 20.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
15
этом две вершины графа можно соедттнять несколькими ребрами и,
кроме того, допускаются ребра, которые начинаются и кончаются в
одной и той же вершине (замкнутые ребра). Пример графа изображен
на рис. 14, буквы русского алфавита также дают примеры графов;
Рис. 14.
описанные выше фигуры Рх и Р2 являются графами. Графы Рх и Я2,
как было сказано выше, не являются плоскими. Интересно отметить,
что эти два графа являются типичными: если некоторый граф не
является плоским, то он обязательно содержит (как часть) либо
фигуру Ри либо фигуру Р2. Этот результат был в 1927 г. доказан
советским математиком Л. С. Понтрягиным, но не был им опубликован;
позже доказательство этой теоремы было получено (независимо) и
опубликовано польским математиком К. Куратовским.
Теорема Ж о р д а н а
Наконец, упомянем еще об одном топологическом инварианте. Пусть
J\ — некоторый плоский граф. Вообще говоря, этот граф можно разме-
размести гь в плоскости различными способами; так, например, на рис. 15
Рис. 15.
изображены три одинаковых (т. е. гомеоморфных между собой) графа,
по-разному расположенных в плоскости. Из чертежа видно, что во всех
трех случаях этот граф разбивает плоскость на одинаковое число


16
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
частей. Вообще, число частей, на которые плоский граф разбивает
плоскость, не зависит о г того, как расположен этот граф в плоскости.
Это число является, таким образом, топологическим инвариантом рас-
рассматриваемого графа. Доказательство это-
этого факта непросто; ниже мы к этому ео-
просу еще вернемся. Например, граф,
содержащий только одну вершину и только
одно ребро (замкнутое), т. е. граф, гоме-
оморфный окружности (рис. 16), разбивает
плоскость на две области (одна из кото-
которых называется внутренней, а другая —
внешней). Иначе говоря, всякая простая
замкнутая кривая на плоскости (т. е,
кривая линия, гомеоморфная окруж-
окружности) разбивает плоскость на две об-
области (внутреннюю и внешнюю). Это —
знаменитая теорема Жордана.
Рис. 16.
3. Топология поверхностей
Чрезвычайно интересный и важный топологический инвариант был
впервые описан в трудах гениального Эйлера. К описанию этого инва-
инварианта, называемого эйлеровой характеристикой, мы и переходим.
Теорема Эйлера
Издавна известны пять правильных многогранников (так называ-
называемых а л а тоновых тел): тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр
*. &
о
/ ':Щ&
Рис. 17.
и т?косаэдр (рис. 17). Числа вершин, ребер и граней для этих много-
многогранников приведены в следующей таблице:


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
17
Название
многогранника
Тетраэдр
Куб .
Октаэдр
Додекаэдр ....
Икосаэдр
Число
вершин
4
8
6
20
12
Число
ребер
6
12
12
30
30
Число
граней
4
6
8
12
20
Из рассмотрения этой таблицы без труда видно, что для каждого
из правильных многогранников сумма числа вершин и числа граней
на 2 больше, чем число ребер. Иначе говоря, если мы обозначим
через В число вершин многогранника, через Р — число его ребер,
а через Г — число граней, то имеет место соотношение
В~Р + Г=2.	A)
Соотношение A) легко проверяется и не только для правильных много-
многогранников, но и для других многогранников, например для пирамид,
призм и т. п. Эйлер впервые подметил и доказал это замечательное
свойство многогранников. Соотношение A) называется теперь теоремой
Эйлера о многогранниках.
Уточним формулировку этой теоремы. Прежде всего заметим, что
каждая грань каждого из рассмотренных выше многогранников является
многоугольником, т. е. г о м е о м о р ф н а кругу. Существуют и такие
многогранники, у которых не все грани гомеоморфны кругу; напри-
например, верхняя горизонтальная грань многогранника, изображенного на
рис. 18,я, не гомеоморфна кругу (она гомеоморфна кольцу). У этого
^•••"*'•¦•¦:*¦*;•¦¦•-
а)
6)
Рис. 18.
многогранника #=13, Р=20, Г=10, т. е. соотношение A) не вы-
выполняется. Происходит это только потому, что имеется грань, не гоме-
оморфная кругу; если мы проведем еще два «ребра», разбив упомя-
упомянутую грань на две (рис. 18,6), то все грани станут гомеоморфными
кругу, и при этом мы получим: #=13, Р=22, /"=11, т. е. соогно-


18
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ ИВ. А. ЕФРЕМОВИЧ
шение A) будет уже справедливо. Поэтому в дальнейшем, когда мы
будем говорить о «многограннике», мы будем предполагать, что каж-
каждая его грань гомеоморфна кругу (в этом случае она ограничена одним
замкнутым контуром, а не, скажем, двумя, как для «грани», гомеоморф-
ной кольцу).
Далее, поверхность каждого из рассмотренных выше многогранников
гомеоморфна сфере (поверхности шара). Действительно, если вокруг
любого из правильных многогранников, изображенных на рис. 17, описать
шар, а затем спроектировать (из центра шара) поверхность многогран-
многогранника на поверхность шара, то мы и получим искомый гомеоморфизм.
Поверхность многогранника, изображенного на рис. 18,а (или 18,6), также
гомеоморфна сфере. Для
многогранника, поверх-
поверхность которого не гоме-
гомеоморфна сфере, соотноше-
соотношение A) не имеет места.
Например, на рис. 19 изо-
изображен многогранник, по-
поверхность которого, как
легко видеть, гомеоморфна
тору (рис. 6, а на стр.
9). Для этого многогран-
многогранника ?=16, Р=32,
Рис.19.	/"=16, т. е. В— Р +
-\~Г=0, и соотношение
A) не выполняется. Таким образом, в теореме Эйлера неявно предпо-
предполагается, что поверхность рассматриваемого многогранника гомеоморфна
сфере. (Заметим, что поверхность любого выпуклого многогранника
всегда гомеоморфна сфере.) Итак, теорема Эйлера в уточненной форму-
формулировке принимает следующей вид:
Для всякого многогранника, поверхность которого гомеоморфна
сфере, а каждая грань гомеоморфна кругу, справедливо соотно-
соотношение A).
Наконец, можно придать этой теореме следующую чисто топологи-
топологическую формулировку. Прежде всего заметим, что все вершины и ребра
многогранника образуют граф (называемый сеткой ребер рассматри-
рассматриваемого многогранника). Если мы разрежем поверхность многогранника
по ребрам этого графа, то поверхность многогранника распадается на
отдельные грани, т. е. куски, гомеоморфные кругу. Мы получаем сле-
следующее (несколько более общее, чем теорема Эйлера) утверждение:
Пусть на сфере (или гомеоморфной ей поверхности) построен
такой граф, который «разрезает» эту поверхность на куски, гомео-
гомеоморфные кругу. Ооозначим число этих кусков через Г, а числе
ребер и вершин построенного графа — соответственно через Р и В
Тогда справедливо равенство


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ	19
Доказательство теоремы Эйлера несложно (его можно было бы изло-
изложить на трех-четырех страничках); однако мы не будем приводить здесь
этого доказательства — при желании читатель может найти его в книге
Г. Радемахера и Р. Теплица «Числа и фигуры» и многих других книгах1).
Эйлерова характеристика
Рассмотрим некоторые следствия из теоремы Эйлера. Будем гово-
говорить что некоторая поверхность А допускает разбиение на многоуголь-
многоугольники, если можно на этой поверхности «нарисовать» такой граф,
который разбивает ее на конечное число «многоугольников» (т. е. кусков,
гомеоморфных кругу). Обозначим число вершин построенного графа
через Б, число его ребер — через Р, а число многоугольников, на ко-
которые разбивается этим графом фигура А, —через Г. Число В — Р-\-Г
называют эйлеровой характеристикой построенного разбиения фигуры А
па многоугольники. Сферу (или гомеоморфную ей поверхность) можно
разбить на многоугольники. Теорема Эй-
Эйлера утверждает, что для поверхности,
гомеоморфной сфере, эйлерова харак-
характеристика не зависит от выбора раз-
разбиения на многоугольники, а, так сказать,
определяется самой поверхностью, яв-
является ее топологическим инвариантом.
Изучим некоторые другие поверх-
поверхности, допускающие разбиение на мно-
многоугольники. Обозначим через А фигу-
ру (рис. 20), получающуюся из сферы
вырезыванием из нее нескольких круглых
отверстий (мы будем называть их дыра-
дырами). Нетрудно построить разбиение этой	Рис- 20-
фигуры на многоугольники. Если к раз-
разбитой на многоугольники фигуре А добавить все круги, которые мы
вырезали из сферы для получения фигуры А, то мы получим разби-
разбиение всей сферы на многоугольники. Обозначив число вершин, ребер
и граней фигуры А через В, Р и Г, а число вырезанных в сфере
ДЫр — через q\ мы найдем, что полученное разбиение всей сферы
на многоугольники имеет В вершин, Р ребер и F-\-q граней. Следо-
Следовательно, по теореме Эйлера получаем:
откуда
B P\r2	B)
) Например, в «толстых» курсах элементарной геометрии Ж. Адамара
«Элементарная геометрия» и Д. И. П е р е п е л к и н а «Курс элементарной
геометрии».


20
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
Итак, для фигуры Л, получающейся из сферы вырезыванием q дыр,
эйлерова характеристика равна 2 — q (каким бы образом мы ни разби-
разбивали эту фигуру на многоугольники). И в этом случае эйлерова харак-
характеристика определяется самой фигурой Л, а не ее разбиением на мно-
многоугольники, т. е. является топологическим инвариантом.
Можно доказать, что и вообще для любой фигуры эйлерова харак-
характеристика является топологическим инвариантом и, в частности, не
зависит от разбиения фигуры на многоугольники. Топологическая инва-
инвариантность эйлеровой характеристики имеет огромное значение. Например,
для вычисления эйлеровой характеристики некоторой фигуры мы
можем выбрать любое разбиение этой фигуры на многоугольники;
естественно поэтому стараться выбрать возможно более простое раз-
разбиение (имеющее по возможности меньшее число вершин, ребер, гра-
граней) 1).
Склеивания
Вычислим эйлерову характеристику некоторых фигур. Прежде всего
сделаем следующее замечание. Пусть Ах и Л2—две фигуры, у каж-
каждой из которых имеется край, гомеоморфный окружности (рис. 21).
л,
Рис. 21.
Соединив края этих фигур, мы получим одну новую фигуру. Эту опе-
операцию называют склеиванием. Говорят также, что дыра, имеющаяся
в фигуре Аг, заклеивается фигурой Л2 (или, наоборот, дыра, имею-
имеющаяся в фигуре А,, заклеивается фигурой Ах). Оказывается, что эйле-
эйлерова характеристика фигуры, получившейся в результате склеивания,
) Интересной топологической характеристикой поверхности является на-
наименьшее число красок, которым можно раскрасить всякую изображенную на
поверхности «карту» (задаваемую каким-либо графом) так, чтобы никакие сосед-
соседние «страны» (или «грани») карты не оказались закрашены в один цвет.
По поводу связанных с этой характеристикой топологических задач см. книги:
Е. Б. Дынкин и В. А. Успенский, Математические беседы, М. — Л., Гос-
техиздат, 1952; Г. Радемахер и О. Теплиц, Числа и фигуры, ОНТИ,
М.— Л., 1936; Р. Курант и Г. Роб б и не, Что такое математика, Гостех-
издат, М. — Л., 1947; Л. И. Головина и И. М. Яг л ом, Индукция в
геометрии, Гостехиздат, М. — Л., 1956.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
21
равна сумме эйлеровых характеристик фигур Ах и А2. В самом деле,
мы можем предполагать фигуры А1 и А2 разбитыми на много-
многоугольники таким образом, что окружности, являющиеся краями этих
фигур, разбиты на одинаковое число равных дуг. Склеивание этих
краев произведем так, что вершины совпадут с вершинами, ребра—
с ребрами; в результате мы получим разбиение всей склеенной фигуры
на многоугольники. Если теперь обозначить числа вершин, ребер и
граней в Ах через BY, Plt /\, а эти же числа для фигуры А2 — через
В2, Р2, Г2, и если обозначить число вершин (а следовательно, и число
ребер) на каждом из склеиваемых краев через т, то в получившейся
после склеивания фигуре будет Вг-\-В2—т вершин (всего в фигу-
фигурах А1\\А2 имеется Вг-\~В2 вершин, но т пар вершин попарно склеива-
склеиваются), Рг-\-Р2—т ребер и Г1-\-Р2 граней. Поэтому эйлерова харак-
характеристика склеенной фигуры будет равна
(?,+ В,- т) - (Р,+ Я,- т) + (/\+ Г2) =
И" <В-~ Р
что и доказывает наше утверждение.
Круг имеет эйлерову характеристику, равную единице (круг гомео-
морфен сфере с одной дырой, т. е. в формуле B) нужно положить #=1).
Поэтому из сказанного выше вытекает, что заклеивание дыры кругом
увеличивает эйлерову характеристику на одну единицу. Наоборот, вы-
вырезывание круглой дыры уменьшает эйлерову характеристику фигуры
на одну единицу. Из рассмотрения многогранника, изображенного на
рис. 19 на стр. 18, следует, что эйлерова характеристика тора равна
нулю. Если же на торе вырезать круглую дыру, то мы получим фигу-
фигуру (рис. 22), эйлерова характеристика
которой на единицу меньше, чем у
тора, т.е. равна—1. Эта фигура
называется ручкой. Из сказанного
'¦'>>• • "V-'^P4
л •..т
•V=»
. i
. , -г
¦ Jr..»
* -л. •
Рис. 22.
Рис. 23.
выше следует, что если мы к круглой дыре, вырезанной в некоторой
фигуре, приклеим ручку, то от этого эйлерова характеристика умень-
уменьшится на единицу.
Рассмотрим теперь сферу, в которой вырезано р круглых дыр
(эйлерова характеристика такой фигуры, как мы знаем, равна 2—р)}
и заклеим каждую из дыр ручкой Полученная фигура (рис. 23), назы-


22
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
ваемая сферой с р ручками, имеет эйлерову характеристику, равную
2 _ 2р.	C)
Заметим, что сфера с одной ручкой гомеоморфна тору (рис. 24), а
Рис. 24.
Рис. 25.
сфера с двумя ручками гомеоморфна поверхности «кренделя», получаю-
получающейся склеиванием двух ручек (рис. 25).
Поверхности
Сфера вблизи любых двух своих точек «устроена одинаково». Для
того чтобы это понять, обратимся к рис. 26, на котором изображена
«книжка с тремя листами». Рассмотрим точки х, уу z, показанные на
этом чертеже. Вблизи каждой
из этих точек изображенная фигу-
фигура устроена по-разному. Окрест-
Окрестность точки х гомеоморфна полу-
полукругу, причем точка х лежит н а
гран и ц е этой окрестности. В
этом случае говорят, что точка х
лежит на крае фигуры. Окрест-
Окрестность точки z состоит из трех по-
полукругов, соединенных по общему
диаметру; говорят, что в этом мес-
месте фигура разветвляется (т. е. к
некоторой линии примыкает три
Рис. 26.	или более «листов» рассматривае-
рассматриваемой фигуры). Наконец, точка у
имеет окрестность, гомеоморфную кругу; здесь фигура не имеет ни
края, ни разветвления. У сферы же каждая точка имеет окрестность,
гомеоморфную кругу, т. е. сфера нигде не имеет ни краев, ни развет-
разветвлений.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
23
Фигура, у которой каждая точка имеет окрестность, гомеоморф-
ную кругу, называется поверхностью. Поверхность не имеет
краев и разветвлений, т. е. вблизи каждой
своей точки топологически «устроена оди-
одинаково». Сфера с р ручками (рис. 23) яв-
является поверхностью. В частности, сфера,
тор, поверхность кренделя — поверхности.
Иногда рассматривают также поверхности
с краем, т. е. фигуры, которые .имеют края,
но не имеют разветвлений. Круг есть
поверхность с краем. Сфера, в которой вы-
вырезаны несколько дыр, также представляет
собой поверхность с краем. Вообще, если
мы вырежем в сфере p-\~q дыр и р из
них заклеим ручками (рис. 27), то мы по-	P|iC- 27.
лучим поверхность с краем (сферу с р
ручками и q дырами). Из сказанного выше легко следует, что эйле-
эйлерова характеристика этой поверхности с краем равна 2—2р — q.
Лист Мёбиуса
Чрезвычайно интересный пример поверхности с краем был описан
в 1862—1865 гг. в работах немецких математиков Мёбиуса и Листинга.
а)
к .У i"""'-''"'У-'*»'.'... '?,* '" v-..i"-;:' : " i-'" • ——-J—•:'-'' ¦'¦ ¦ ¦ •" •-.".•^¦•¦••¦'¦•-,'¦¦--. ¦¦••.•¦^¦••¦•¦•-•¦•¦••¦¦¦•.••У-'/ -v^'-.r j^;;-yf|">i.-j;:-" -^ tvi
б)
Рис. 28.
Эта поверхность называется листом Мёбиуса и получается следую-
следующим образом. Длинная гибкая лента прямоугольной формы (рис. 28, а)
один раз перекручивается (рис. 28, б), затем концы ее (уже без пере-


24
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ II В. А. ЕФРЕМОВИЧ
¦ л
г. '•;
•-¦\'<Г.
кручивания) сближаются (рис. 28, в) и склеиваются. Полученная повер-
поверхность с краем (рис. 28, г) и называется листом Мёбиуса. Эта поверх-
поверхность замечательна тем, что она имеет лишь одну сторону.
Поясним, что это значит.
Если концы длинной прямоугольной ленты соединить друг с другом
без перекручивания, то получится поверхность с краем (рис. 29), гомео-
морфная, очевидно, боковой поверх-
поверхности цилиндра. Эта поверхность,
если, например, она сделана из бу-
бумаги, имеет две стороны, одну
из которых можно окрасить в один
цвет, а другую — в другой. Лист
Мёбиуса подобным образом окрасить
в два цвета нельзя: перемещая
кисточку все дальше и дальше по листу Мёбиуса (на рис. 30 последо-
последовательные положения кисточки помечены цифрами /,2,3,...), мы при-
придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обрат-
обратной стороны. Продолжая закрашивание, мы непрерывно окрасим
ленту, из которой склеен лист Мёбиуса, с обеих сторон. Итак, лист
Мёбиуса является односторонней поверхностью.
v.
'•*•
Рис. 29.
Рис. 30.
Разумеется, такое наглядное описание односторонней поверхности
с помощью «окрашивания» возможно лишь для «поверхности», имею-
имеющей толщину (т. е. изготовленной из некоторого материала); математи-
математически же поверхность не имеет толщины. Поэтому мы приведем также
другое (чисто математическое) описание «односторонности». В каждой


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
25
¦;	<
точке а листа Мёбиуса можно провести два взаимно противоположных
вектора, перпендикулярных в этой точке к листу Мёбиуса (рис. 31, а).
Эти векторы называют нормалями, проведенными к листу Мёбиуса в
точке а. Выберем одну из этих нормалей и начнем перемещать точку а
по листу Мёбиуса; тогда вместе с точкой а будет перемещаться и наша
нормаль (рис. 31, б). Предположим теперь, что точка а обойдет весь
лист Мёбиуса и вернется в первоначальное положение. Тогда, как лег-
легко видеть, перемещающаяся
нормаль перейдет не в свое
перроначальное положение, а
в положение, противопо-
противоположное первоначальному
(рис. 31, в). Итак, на листе
Мёбиуса существует такой
замкнутый путь (обход), что
при прохождении этого пу-
пути нормаль к поверхности
приходит не в свое перво-
первоначальное положение, а в
положение, противополож-
противоположное первоначальному. По-
Поверхности, обладающие та-
такими обходами, и называ-
называются односторонними (для
примера рекомендуем чита-
читателю убедиться в том, что на
сфере, на торе, на непере-
крученной ленте таких об-
обходов нет). Легко сообра-
сообразить, что это математичес-
математическое описание односторонних
поверхностей эквивалентно	Рис. 31.
раскрашиванию поверхности
(вместо «кисточек» мы рассматриваем здесь нормали к поверхности).
Однако и такое описание односторонних поверхностей имеет свои
недостатки. Вопрос о том, имеет ли данная поверхность одну или две
стороны, относится к выяснению структуры самой поверхности; когда
же мы говорим о нормалях, то изучаем не только эту поверхность, но
также то, каким образом она расположена в пространстве. Между тем,
например, фигуры, изображенные на рис. 5, а и 5, б на стр. 8,
хотя и расположены в пространстве по-разному, но гомеоморфны меж-
между собой. Можно ли дать «внутреннее» определение односторонних
поверхностей, т. е. такое определение, которое не было бы связано с во-
вопросом о расположении фигуры в пространстве?
Такое «внутреннее» определение нетрудно получить из предыдуще-
предыдущего. Для этого условимся вокруг точки я, из которой проведена нормаль,
в)


26
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
описывать небольшую окружность и на ней брать такое направление
обхода, которое , из конца проведенной нормали мы видели бы как
направление «против часовой стрелки» (рис. 32, а). Если теперь точ-
точка а будет перемещаться, то вместе с ней непрерывно будет пе-
перемещаться и нормаль, а также
и окружность с имеющимся на ней
направлением обхода. Когда мы
обведем окружность по всему листу
Мёбиуса, она возвратится в свое
первоначальное положение, но так
как нормаль изменит свое направ-
направление на противоположное, то и
направление обхода на окружности
изменится на противоположное
(рис. 32, б). Итак, на листе
Мёбиуса имеется такой замк-
замкнутый путь (обход), что при
перемещении окружности вдоль
этого пути направление обхода
на окружности меняется на про-
противоположное. Такие обходы назы-
называются обращающими ориентацию. Поверхности, на которых нет обра-
обращающих ориентацию обходов, называются ориентируемыми или дву-
двусторонними (сфера, тор, неперекрученная лента); поверхности, на
которых имеются обходы, обращающие ориентацию, называются не-
неориентиру емыми, или односторонними (лист Мёбиуса и другие поверх-
поверхности, о которых будет идти речь ниже). С наглядной точки зрения
Рис. 32.
'-i ¦
Рис. 33.
ориентируемость поверхности означает, что можно всю поверхность
покрыть маленькими окружностями и выбрать на всех этих окружнос-
окружностях такие направления обхода, что «близкие» окружности будут ориен-
ориентированы одинаково (т. е. будут иметь одно и то же направление об-
обхода). На неориентнруемой поверхности выбор таких «согласованных»
направлений обхода на окружностях, заполняющих поверхность, невоз-
невозможен.
Другим интересным свойством листа Мёбиуса является то, что край
его гомеоморфен окружности. Это легко видеть на рис. 33, где лист
Мёбиуса изображен рядом с линией, являющейся его краем.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
27
Так как край листа Мёбиуса гомеоморфен окружности, то можно
попытаться приклеить лист Мёбиуса своим краем к краю дыры,
вырезанной в некоторой поверхности. Для этого следовало бы так
изогнуть, растянуть лист Мёбиуса, чтобы край его расположился в
пространстве как обычная окружность, а сам лист Мёбиуса находился
по одну сторону от плоскости этой окружности; тогда склеивание мож-
можно было бы осуществить непосредственно. Однако расположить лист
Мёбиуса таким образом в трехмерном пространстве невозможно.
Такое расположение листа Мёбиуса возможно, однако, если мы позво-
позволим поверхности пересекать самое себя.
Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим два треугольника
amb, cmd, пересекающихся, как показано на рис. 34, по отрезку тп.
Рис. 34.
Рис. 35.
Присоединим, далее, к этой фигуре еще 4 треугольника апс, bnd, amd
и bmc ipuc. 35.) Полученная фигура пересекает самое себя по отрезку
тп и имеет край в виде четырехугольника acbd. Мы хотим считать,
что в действительности эта фигура не должна иметь отрезка самопере-
самопересечения тп, а это самопересечение возникает лишь из-за «неудачного»
Ь
т
расположения этой фигуры в пространстве. Покажем, что построенная
фигура, если ее расположить так, чтобы она не пересекала самой
себя, окажется гомеоморфной листу Мёбиуса. Для этого мы разрежем
эту фигуру по отрезкам cm, dm, an, bn% расправим ее, а затем снова
склеим ее по тем же отрезкам. После разрезания фигура распадается
на две части, изображенные на рис. 36. Расправив эти части, мы но-


28
В. Г. ЬОЛГЯНСКИЙ II В. А. ЕФРЕМОВИЧ
лучим два плоских куска, изображенных на рис. 37. Эти куски можно,
в свою очередь, превратить в изображенные на рис. 38 прямоугольни-
прямоугольники. Теперь произведем обратное склеивание по отрезкам cm, dm, an,
bn. Склеивание по отрезкам an, bn соединяет оба прямоугольника в
одну прямоугольную ленту (рис. 39), которую теперь (для соединения
отрезков dm, cm) следует склеить с перекручиванием, что и дает лист
Мёбиуса.
Итак, на рис. 35 изображен лист Мёбиуса, расположенный с само-
самопересечением.
Рис. 37.
Если теперь в некоторой поверхности вырезана четырехугольная
дыра, то мы можем приклеить к ней лист Мёбиуса, изображенный на
рис. 35. В результате мы получим новую поверхность, расположенную,
однако, в пространстве так, что она пересекает сама себя. Эту операцию
называют заклеиванием дыры листом Мёбиуса.


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
29
Заклеивание дыры листом Мёбиуса часто описывают также в другом
виде, иногда более удобном. Для того чтобы это описание получить,
разрежем лист Мёбиуса по его средней линии, т. е. линии, получаю-
/77
и
t
6) -
4
а
/77,
/77г
/77,
п'
Пг
п,
пг
р
Р:
Рг
1
1
|
t
Рис. 40.
Рис. 41.
тейся из средней линии прямоугольника (рис. 40,«) при склеивании листа
Мёбиуса. Если мы склеим отрезок ab с отрезком ад' (точку а—с точ-
точкой а', точку д—с Ь'), то из неразрезанного по средней линии прямо-
прямоугольника мы получим лист Мёбиуса. Для того чтобы получить лист
Мёбиуса, разрезанный по средней линии, можно сначала разрезать
прямоугольник по средней линии (рис. 40,6), а затем произвести те же
склеивания, что и раньше.
Для склеивания повернем нижнюю половинку прямоугольника «наиз-
«наизнанку» (рис. 40,в) и затем расположим обе половинки прямоугольника
как изображено на рис. 41, после чего нетрудно
будет произвести необходимые склеивания
(рис. 42). Мы видим, что разрезание листа Мё-
Мёбиуса по ?редней линии дает фигуру, гомео-
морфную кольцу. На рис. <0—42 показаны точки
т^,т2; пх,пг\ р17р2, получившиеся нз точек т, п, р
при разрезании по средней линии. На рис. 42
точки т1 и т2, а также пх и «2 или р1 и р2
являются диаметрально противополож
н ы м и. Обратное склеивание точек т1 с ш2, п1
с и2 и т. д. снова превращает кольцо в лист	рис 42
Мёбиуса. Следовательно, если на одной окруж-
окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально
противоположные точки, то мы получим лист Мёбиуса.
Пусть теперь /—контур круглой дыры на некоторой поверхности А;
возьмем узкую полоску (кольцо) вокруг дыры / и наружный контур
этого кольца обозначим через /'. Вырежем теперь из рассматриваемой


30
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. Л. ЕФ РЕМОВИЧ
Рис. 43.
поверхности получившееся кольцо (рис. 43). Тогда получится та же
фигура, только с несколько большей дырой /' (т. е. фигура, гомеоморф-
ная первоначальной поверхности Л) и отдельно кольцо. Склеим теперь
на контуре / отрезанного кольца каждые две диаметрально противопо-
противоположные точки; тогда кольцо превратится в лист Мёбиуса. Этот лист
Мёбиуса мы и вклеим в дыру /' на
нашей поверхности. В результате опи-
описанных построений мы вклеим в рас-
рассматриваемую фигуру (точнее, в фи-
фигуру, гомеоморфную первоначальной,
что, однако, несущественно) лист
Мёбиуса. Но разрезание фигуры по
контуру /' и обратное склеивание этого
разреза можно было и не делать: до-
достаточно было просто склеить на
контуре / каждые две диаметрально
противоположные точки. Итак,
склеивание каждых двух диамет-
диаметрально противоположных точек на
контуре круглой дыры равносильно
вклеиванию в эту дыру листа Мё-
Мёбиуса. Заметим, что в действительности такое склеивание (произво-
(производимое в трехмерном пространстве) может оказаться невыполнимым, если
мы не будем допускать, что получаемая поверхность может сама себя
пересекать.
Нетрудно убедиться, что эйлерова характеристика листа Мёбиуса
равна нулю. Отсюда следует, что заклеивание дыры листом Мёбиу-
Мёбиуса не меняет эйлеровой характеристики фигуры. Если поэтому мы
вырежем в сфере q дыр и заклеим их все листами Мёбиуса, то полу-
получим поверхность, эйлерова характеристика которой равна
2—q.	D)
Основная тебрема топологии поверхностей
Мы подходим теперь к формулировке замечательной теоремы о
топологической классификации поверхностей, полу-
полученной во второй половине, прошлого столетия немецким математиком
Мёбиусом и французским математиком Жорданом. Условимся рассмат-
рассматривать только замкнутые поверхности, т. е. такие поверхности, не
имеющие края, которые допускают разбиение на конечное число
многоугольников. Плоскость, например, не является замкнутой повер-
поверхностью: никакой конечный граф, начерченный на плоскости, не раз-
разбивает плоскость на области, которые все гомеоморфны кругу. Задача
топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы
указать ряд замкнутых поверхностей, которые была бы попарно
не гомеоморфны между собой и обладали тем свойством, что


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ	31
любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе
говоря, нужно перечислить все топологически различные
замкнутые поверхности.
Решение этой задачи имеет следующий вид. Обозначим через
Ро сферу, через Рр (где р — целое положительное число) — сферу с
р ручками, а через N— поверхность, получающуюся из сферы выре-
вырезыванием в ней р дыр и заклеиванием всех дыр листами Мёбиуса. Мы
получаем бесконечное множество поверхностей
* о> '1> * а» ¦ • • » «jp> • ¦ ¦ I	/~\
ivi> i\2, . . . , />р, . . . )
Оказывается, что поверхности E) и дают полную топологическую клас-
классификацию замкнутых поверхностей, т. е. здесь перечислены все топо-
топологически различные типы замкнутых поверхностей.
То, что поверхности верхней строки попарно не гомеоморфны между
собой, вытекает из несовпадения их эйлеровых, характеристик [см.(З)
на стр. 22]. Из аналогичных соображений следует и попарная него-
негомеоморфность поверхностей, указанных в нижней строке [см. D)]. Нако-
Наконец, никакая поверхность верхней строки не гомеоморфна никакой
поверхности, указанной в нижней строке. Действительно, указан-
указанные в нижней строке поверхности являются односторонними (так
как они получаются вклеиванием листов Мёбиуса, а на каждом листе
Мёбиуса имеется обход, обращающий ориентацию) и потому не могут
быть гомеоморфны двусторонним поверхностям, перечисленным в
. верхней строке. Итак, все поверхности E) топологически различны.
Гораздо сложнее доказывается, что любая замкнутая поверхность
, гомеоморфна одной из поверхностей E); этого доказательства мы не
. приводим. (Отметим, что если мы вырежем в сфере несколько дыр и
, заклеим часть из них ручками, а часть—листами Мёбиуса, то мы не
. получим новой поверхности: вклеивание в сферу р ручек и q листов Мё-
Мёбиуса, где q]> 0, равносильно вклеиванию 1p-\-q листов Мёбиуса, т. е.
. дает поверхность N2p+g.)
Поверхности, перечисленные в верхней строке E), т. е. замкну-
замкнутые двусторонние поверхности, можно «изготовить» в трехмерном
пространстве фактически, т. е. можно построить их без всяких
) самопересечений. Замкнутые односторонние поверхности (ниж-
. няя строка) построить в трехмерном пространстве без самопересечений
и невозможно. (В четырехмерном пространстве можно построить любую
. поверхность без самопересечений.)
э	Примеры
Рассмотрим некоторые интересные примеры поверхностей.
Обычная евклидова плоскость не является замкнутой поверх-
а ностъю. Замкнутой поверхностью плоскость становится после присое-
J динения к ней несобственных (бесконечно удаленных) точек. Присоеди-
Присоединение бесконечно удаленных точек производится таким образом, что к


32
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
каждой прямой, проходящей в евклидовой плоскости, присоединяется одна
бесконечно удаленная точка, причем эта бесконечно удаленная точка
одна и та же для всех параллельных между собой прямых, а для не-
непараллельных прямых бесконечно удаленные точки различны. Пополнен-
Пополненная бесконечно удаленными точками евклидова плоскость называется
проективной плоскостью.
Построим полусферу, касающуюся плоскости и расположенную так,
что диаметральная плоскость полусферы параллельна плоскости (рис. 44).
Назовем открытой полусферой фигуру, получающуюся выбрасыва-
выбрасыванием из полусферы всех точек ограничивающей ее окружности. Цен-
Центральное проектирова-
проектирование из центра о полу-
полусферы является гомео-
морфным отображением
открытой полусферы на
всю евклидову плос-
плоскость (ср. рис. 7 на
стр. 9 и относящийся к
нему текст).
Произведем теперь
присоединение беско-
Рис. 44.	нечно удаленных точек.
Проведем через точку
?'
касания полусферы прямую / на плоскости, а через точку о—прямую
/', параллельную /. Прямые / и /' «пересекаются в бесконечности», так
что точки тх и т2, в которых прямая /' пересекается с краем полус-
полусферы, «проектируются» (вдоль прямой /') в одну и ту же точку — г
бесконечно удаленную точку прямой /. Следовательно, отображение
полусферы с краем на плоскость, пополненную бесконечно удален-
удаленными точками (т. е. на проективную плоскость), не является взаимно
однозначным: двум различным точкам тХЛ т2 полусферы соответст-
соответствует одна и та же точка проективной плоскости. Для того чтобы это
отображение стало взаимно однозначным (и гомеоморфным), нужно
склеить между собой каждые две точки полусферы (такие как
тх и w2), соответствующие одной и той же точке проективной плос-
плоскости. Иначе говоря, проективная плоскость гомеоморфна полусфере,
у которой склеены каждые две диаметрально противоположные точки
ее края, т. е. полусфере, к краю которой приклеен лист Мёбиуса.
Итак, проективная плоскость гомеоморфна полученной поверхности
Nj и, следовательно, является (в отличие от евклидовой плоскости).
односторонней поверхностью.
Другим интересным примером односторонней поверхности являете^
бутылка Клейна. Рассмотрим изображенную на рис.45, а поверх-
поверхность с краем. Для более ясного представления этой поверхности, ш,
рис. 45,6 показан разрез ее через «горлышко». Эта поверхность име-}
ет край /, гомеоморфный окружности. Заклеивание дыры кругом


ОЧЕРК ОСНОВНЫХ ИДЕЙ ТОПОЛОГИИ
33
изображенную на рис. 45, в замкнутую поверхность, пересекающую
самое себя. Она называется бутылкой Клейна. Эта поверхность являет-
является односторонней: на рис. 45, б показано, что, двигаясь но поверхности,
начиная от точки а, находящейся на внешней поверхности горлыш-
горлышка, мы можем пройти внутрь горлышка. Как замкнутая односторонняя
vy
поверхность бутылка Клейна гомеоморфна одной из поверхностей N .
Какой же именно? Представляем читателю подсчитать, что эйлерова
характеристика поверхности с краем, изображенным на рис. 45, а, рав-
равна «—1», Так как заклеивание дыры кругом увеличивает эйлерову
Рис. 46.
Рис. 47.
) характеристику на единицу, то эйлерова характеристика бутылки
Клейна равна нулю, и, следовательно, бутылка Клейна гомеоморфна
й поверхности N2.
Рассмотрим в заключение интересный пример двусторонней поверх-
а ности. На одной из граней правильного додекаэдра (рис. 46) продол-
'"жнм все стороны до пересечения. Мы получим правильную пятпконеч-
тную звезду (рис. 47). Построим такую же звезду для смежной грани
2 Матем. просвещение, вып. 2


34
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ И В. А. ЕФРЕМОВИЧ
додекаэдра. Тогда две построенные знезды будут иметь общий отре-
отрезок ad (рис. 48.) Однако мы условимся считать, что эти звезды при-
примыкают друг к другу только но отрезкам ab и cd, отрезок же be будем
считать «лишним» пересечением этих звезд, происходящим из-за «не-
«неудачного» расположения этих звезд в пространстве. Построим теперь
аналогичные звезды для всех граней додекаэдра (рис. 49); мы по-
получим некоторую поверхность, расположенную в пространстве с само-
самопересечениями («лишними» линиями пересечения будут ребра исходно-
исходного додекаэдра). Эта поверхность является двусторонней. Действи-
Действительно, окрасим каждую звезду в два цвета: красным цветом окрасим
внутреннюю сторону звезды (обращенную к центру додокаэдра),, а си-
сипим— наружную сторону звезды. В результате вся поверхность, состав-
составленная из двенадцати звезд, будет окрашена в два цвета (причем при
переходе от одной грани к другой, примыкающей к ней грани, окраска
оказывается согласованной).
Итак, построенная поверхность является замкнутой и двусторонней,
т. е. гомеоморфна одной из поверхностей Р . Какой же именно? Наша
поверхность имеет 12 граней (звезд). Ребрами се служат продолжения
Рис. 48.
Рис. 49.
ребер додекаэдра (такие, как отрезки ab, cd). Следовательно, у построен
ной поверхности ребер вдвое больше, чем у додекаэдра, т. е. 60
Наконец, вершин имеется 32: ими являются 20 вершин додекаэдра i
все «наружные» вершины звезд (их столько, сколько граней у доле
каэдра, т. е. .12). Эйлерова характеристика построенной поверхност!
равна 32 — 60 —|— 12 = — 16. Эйлерова же характеристика поверхнос
ти Я равна 2 — 2р. Таким образом, решив уравнение 2—2р= — 16
находим, что построенная поверхность гомеоморфна PQ, т. е. сфере
девятью ручками.
(Продолжение в следующем выпуске)


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
РАЦИОНАЛЬНЫМИ
А. О. Гельфонд
(Москва)
1. Алгебраические числа
Производя над целыми числами действия сложения, вычитания
и умножения, мы не выходим из класса целых чисел; для ры-
раженпя этого обстоятельства пользуются специальным термином:
говорят, что целые числа образуют кольцо. Действие же деления
приводит к расширению класса целых чисел: любую дробь можно по-
получить как отношение двух целых чисел. Совокупность всех рациональ-
рациональных дробей, к которым причислены и все целые числа, образует поле ра-
рациональных чисел; все четыре арифметических действия, примененные к
числам этого поля (за исключением деления на нуль), не выводят нас
за его пределы.
Дальнейшее расширение класса рациональных чисел может бьпь
произведено двумя способами.
Первый из них, чисто алгебраический, заключается в том,
что к полю рациональных чисел присоединяется какой-либо корень алге-
алгебраического уравнения с целыми рациональными коэффициентами, не
являющийся рациональным числом. Такой корень называется алгебра-
алгебраическим числом. Если левая часть алгебраического уравнения я-й сте-
степени с целыми рациональными коэффициентами
A)
не разлагается в произведение двух многочленов степени не ниже
первой тоже с рациональными коэффициентами, то уравнение A)
[а также и многочлен Р(х) | называется неприводимым; оно не имеет рацио-
рациональных корней, и любой его корень называется алгебраическим чис-
числом степени п. Если ао=1, то это число называется целым алгебра-
алгебраическим.
Простейшими примерами алгебраических чисел являются числа а",
где а — целые, а /га — любые рациональные числа. Таковы, например,
2*


36	А. О. ГЕЛЬФиНД
числа ]^2, l/i—корни уравнений х2—2 = 0, х3—4 = 0. Как из-
известно, алгебраические числа степени выше 4-й не всегда выражаются
через радикалы.
Мы будем предполагать, что все коэффициенты а0, ал, ..., ап не
имеют общего делителя, отличного от +1. При этом условии легки
доказать, что корень а неприводимого многочлена удовлетворяет
только одному неприводилюму уравнению типа A).
Действительно, допустим, что а удовлетворяет уравнению A) и
другому уравнению т - й степени
не совпадающему с A). Найдем общий наибольший дели гель d(x) двух
многочленов P(x)nQ(x); так как оба эти многочлена неприводпмы, то
этот многочлен не может быть многочленом от х степени первой и
выше, т. е. он является постоянным числом: d{x) = d, не равным
нулю. Но из процесса получения делителя d с помощью алгоритма
Евклида вытекает существование двух таких многочленов S(x) и Т(х)
с рациональными коэффициентами, что
d.	B)
Подставив в это равенство х = а, мы получим O = d=?Q; это
противоречие и доказывает наше утверждение.
Отсюда, в частности, следует, что алгебраическое число а сте-
степени п не может удовлетворять уравнению степени п — 1, т. е. ра-
равенство
+
невозможно ни при каких рациональных с0, с„ . . .
с=сг= . - •=е„_1 = 0.
С другой стороны, любая степень корня а уравнения A) может
быть представлена в виде линейной комбинации (с рациональными коэф-
коэффициентами) чисел 1, а, а2, ..., а". Действительно, из A) имеем
.. .+cn (Cl=b\+b2,. . .,cn=bxba),
и т. д.
Расширение поля рациональных чисел с помощью присоединения
алгебраического числа степени я заключается в том, что мы рассмат-
рассматриваем все числа вида
A = Co + «v* + .-. + <w"-1.	C)
где с0, clt.. -, сп_х — рациональные числа.


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 37
Для различных совокупностей чисел са, сх, ..., сп_1 соответствующие
им числа Л различны. Действительно, если допустить два различных
выражения C) алгебраического числа А
то получим
что, как мы видели выше, возможно лишь, когда с0 — c'0 = ct — с\ =...
...^сп_1—с'п_1 = 0.
Совсем элементарно доказывается, что все четыре действия над числами
А при заданном о приводят опять к числам А того же вида. Для сло-
сложения, вычитания и умножения это проверяется непосредственно [надо
только воспользоваться тем, что любая степень о представляется в
виде C)]; таким образом, остается убедиться, что частное
а»"» —
Q (а
где а есть корень уравнения A), может быть представлено в том же
виде C).
Так как уравнение A) неприводимо, многочлен Q(x) взаимно прост
с Р(х), для них можно найти такие многочлены S(x) и Т(х), что спра-
ведливо равенство B). Умножим обе части этого равенства на ~~—
и перепишем его в следующем виде:
Sx (х) Р (х) + T1(x)Q(x) = F! \x).
Подставив в это равенство х = а, получим 7", (a) Q (а) = R (а),
^! = 7\(а), т. е. дробь yJ^r представлена в виде C).
Если мы зададим число а, то совокупность всех чисел А называется
алгебраическим полем степени п. При этом любое число А этого
поля в свою очередь является алгебраическим числом степени не
выше п. Действительно, подставим в уравнение
L (х) = Аа х" + А.х"-' + • • • + Ап =0
вместо х, х2, ха, ... выражения
А = Сд+^а + .-. + ^-Х.
и т. д.,
получим уравнение (л — 1)-й степени относительно а. На основании
) доказанного выше мы можем в полученном выражении приравнять нулю
коэффициенты при о", <х"~\ .. .,а°= 1, и получим для определения
Д)> ^1>..-> А, систему л однородных уравнений с л-j-1


38	А. О. ГЕЛЬФОНД
неизвестными. Но такая система, как известно, всегда имеет
нетривиальное решение. При этом степень алгебраического числа А может
быть и меньше п, так как может оказаться, что уравнение L (х) = О
приводимо *).
Число а, присоединяемое к полю рациональных чисел, может быть
действительным или комплексным; в первом случае поле чисел А будет
действительным (т. е. будет содержать только действительные числа);
во втором случае это будет комплексное поле.
До сих пор мы говорили только о простом расширении поля
рациональных чисел, получаемом присоединением к нему одного
алгебраического числа. Пойдем теперь дальше и присоединим к раци-
рациональному полю все корни всех уравнений вида A) с целыми а0, с„ ...
... , ап или, что то же самое — рассмотрим совокупность всех (действи-
(действительных или комплексных!) чисел, удовлетворяющих таким уравнениям.
Тогда мы получим поле всех алгебраических чисел.
Это поле замкнуто по отношению к четырем арифметическим дейст-
действиям, т. е. сумма, разность, произведение и, частное двух алгебраи-
алгебраических чисел являются алгебраическими числами. Действительно,
пусть йх и Pj — алгебраические числа соответственно степеней я и т, и а2,
а3, ... , ап— алгебраические числа, сопряженные с <хг [т. е. явля-
являются корнями того же уравнения A)], а р2, ($„,...,?„, —¦ алгебраи-
алгебраические числа, сопряженные с рх. В таком случае, основные симметри-
симметрические функции от (ocj, ос2,. . . , ос„) и от (?„ р2, ..., рт) будут рацио-
рациональными числами, так как — согласно формулам Виета — они
просто выражаются через коэффициенты уравнения с корнями a.lz a2,..
. .., ап (соответственно J5lf Р2,. . . , рт). А отсюда легко вывести, что
п элементарные симметрические функции от тп чисел
будут рациональными числами (так как они будут выражаться через
элементарные симметрические функции отдельно от au a2, . . . , an п
отдельно от р,, р2,..., рт); поэтому эти числа, и среди них число
ах —J—pt, будут корнями (может быть — приводимого) уравнения пт-й
степени с рациональными коэффициентами. Отсюда и следует, что чис-
число ax -f- Pj — алгебраическое.
Точно так же доказывается, что и числа a — [5, сф и-^-—алгебраи-
и-^-—алгебраические2).
х) Заметим еще, что в полученном поле чисел А можно выделить кольцо
целых алгебраических чисел, замкнутое по отношению к сложению, вычитанию
и умножению.
2) В поле всех алгебраических чисел можно также выделить кольцо целых
алгебраических чисел, замкнутое но отношению к сложению, вычитанию и
умножению.


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАПЧРСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 39
Аначогнчно можно показать, что поле алгебраических чисел зам-
замкнуто по отношению к операции решения любою алгебраическою
уравнения с коэффициентами из этого же поля; иными словами:
Все корни уравнения
*-I+...+X,=O,	D)
ide a,, Pj, . ... А, — алгебраические числа, суть также алгебраиче-
алгебраические числа.
Для доказательства следует рассмотреть числа
а2, а3, ..., ат; р2, р3, .... jjn; ... ; Л2, Х3, ..., Аг,
сопряженные соответственно числам
«,; р\; ¦••; К
и образовать уравнение — «произведение» тп ... г уравнений
ПК*+Р>**-1+•.-+*!) = о,
где
г=1, 2, ...,т; /=1, 2, ...,л; ...; /=1, 2	г.
Все коэффициенты этого уравнения будут симметрическими функ-
функциями от всех а,., ру, ..., Xz; следовательно, они будут рациональ-
рациональными числами, а все корни этого уравнения — и, в частности, уравне-
уравнения D)—суть алгебраические числа. Отсюда вытекает, что одними
алгебраическими средствами мы не можем расширить поле рацио-
рациональных чисел дальше поля алгебраических чисел.
2. Действительные числа; трансцендентные числа
Рассмотрим теперь другой, существенно не алгебраический
способ расширения поля рациональных чисел. Присоединим к рацио-
рациональному полю все действительные числа, получающиеся как пределы
последовательностей рациональных дробей; другими словами — все чис-
числа а, определяющиеся какой-либо сходящейся последовательностью ра-
рациональных дробей
El Ei	Ел
Яг' ?2 ' " " " ' Яп '
Pn + k
Яп + k Яг,
E)
где р{, <7, ('"=1. 2, ..., п, ...) — целые числа, е—любое (сколь
угодно малое) положительное число 1).
1) Действительное число можно определить как последовательность типа
E) рациональных чисел (фундаментальная последовательность): нужно только
условиться, что две конфина.гьные последовательности (разность соответству-
соответствующих членов которых при увеличении номера членов становится и остается
меньше любого заданного числа) определяют одно и то же действительное
число.


40	А. О. ГЕЛЬФОНД
В курсах анализа доказывается, что построенная таким образом
совокупность образует поле действительных чисел D.
Если мы рассмотрим всю совокупность чисел вида d^ -j- id2, где
d1 и d2—действительные числа, а / — мнимая единица, то мы полу-
получим поле всех комплексных чисел К (короче—комплексное поле).
Это поле замкнуто не только по отношению ко всем четырем арифме-
арифметическим операциям, но н по отношению к операции решения любого
алгебраического уравнения с коэффициентами из ноля комплексных чи-
чисел — это является прямым следствием из определения комплекс-
комплексного числа как предела последовательности рациональных комплекс-
комплексных чисел — -|	i (p, q, r, s — целые числа) и основной теоремы
высшей алгебры (любое алгебраическое уравнение имеет комплексный
корень).
Любое алгебраическое число (корень уравнения с целыми коэффици-
коэффициентами) принадлежит полю комплексных чисел. Обратное утвер-
утверждение неверно. Существуют числа — и действительные и ком-
комплексные, — не являющиеся алгебраическими. Такие числа получили
название трансцендентных. Трансцендентным числом называется
число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с
целыми коэффициентами. К ним, например, относятся числа е
и тт — основание натуральных логарифмов и отношение длины окруж-
окружности к диаметру. Из трансцендентности числа тт вытекает, в частно-
частности, невозможность построения (с помощью циркуля и линейки) отрезьа.
равного по длине окружности круга с диаметром, длина которого рав-
равна единице (или другому рациональному числу).
Существование трансцендентных чисел было впервые строго докала-
но лишь в середине XIX века французским математиком Ж. Лиувиллем,
хотя еще задолго до него Л. Эйлер был уверен в их существовании
и утверждал, в частности, что отношение логарифмов рациональных
чисел при рациональном основании будет или рациональным, или не
алгебраическим числом').
Лиувилль установил необходимый признак алгебраичности чис-
числа а. Этот признак состоит в том, что алгебраическое число а не
может «слишком хорошо» приближаться рациональными дробями
(более точную формулировку результата Лнувилля мы приведем ниже).
3. Приближение иррациональных чисел цепными дробями
Мы уже говорили выше, что всякое действительное число есть пре-
предел последовательности рациональных дробей. Можно высказать более
сильное утверждение: для каждого иррационального числа а суще-
существует бесконечная последовательность рациональных несократимых
') Это утверждение было доказано (в более общей форме) только в 1934 г.
автором настоящей статьи. (Прим. ред.)


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 41
р
дробей -^Р- со всё возрастающими знаменателями, таких, что
Докажем это. Будем считать а. положительным и обозначать сим-
символом [х] наибольшее целое число, не превышающее х. Построим две
последовательности чисел qt, q,, ...,qn, ... и оЛ, а„, . .., аи, ...,
бесконечные при иррациональном а, следующим образом:
Тогда, выражая последовательно а^, через ак, мы получим разложе-
разложение а в цепную или непрерывную дробь:
<8)
Так, например, при а = У2 будем иметь:
и, следовательно,
<х=1 +


42	А. О. ГЕЛЬФОНД
Положительные числа qn (я=1, 2, ...) называются неполными
частными цепной дроби, а несократимые дриби
I (9)
— подходящими дробями *).
В теории непрерывных дробей большую роль играет следующий
простой закон образования числителей и знаменателей подходящих
дробей:
+ Pv Qn = 1nQn-, + Qn-* (Я>2).	A0)
Докажем его методом полной индукции. Для я = 3 он проверяется
непосредственно. Действительно, из равенств
следует:
Предположим, что выражения A0) верны для (л—1)-й подходящей
дроби
*""	"л-1 __ Qn-iTn — г "т~ "в —»
Рв-i	4n-\Qn-t + <?n_s "
Из самого определения подходящих дробей вытекает, что л-я под-
яшая дробь пи
поэтому получаем:
ходящая дробь пилучаетсн из (я—1)-й заменой qn_^ на qn_x-\—-;
	Чп
Чп
_ ЯпРп-i
4nQn
') С цепными дробями можно познакомиться, например, по книжке А. Я. X и и-
чина «Ценные дроби», М. — Л., 1950.


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 43
Числитель и знаменатель полученной дроби имеют вид A0), и мы их
обозначаем через Рп и Qn. Но, чтобы завершить доказательство, нужно
еще убедиться в том, что полученная дробь д" "->+"-»
гича. Это следует из того, что для всякого я справедливо равенство
K = PnQn-i-Qnt}n-i = (-Пв:	(П)
если бы Рп и Qn имели общий делитель d, отличный от + 1, то и Л„
делилось бы на d. Равенство же A1) также доказывается методом
полной индукции: очевидно, что
К = (ЯпРп - г + Рп-,
Теперь соотношения A0) доказаны полностью.
Соотношением A0) (вторым) нам еще придется пользоваться в даль-
дальнейшем; теперь же сделаем некоторые выводы из равенства A1). Оно дает
Рп Ря~1	 Д" 	(__П"__!		A2)
отсюда вытекает, что каждая нечетная (четная) подходящая дробь
меньше (соответственно больше) предыдущей подходящей дроби и
Р Р __
разность между двумя соседними дробями -^ — ^—* с ростом номе-
pa n неограниченно уменьшается.
Из этого следует, что при любых целых положительных неполных част-
частных 01! q2, qa,. .. последовательность подходящих дробей
стремится к определенному пределу, т.е. каждая бесконечная цепная дробь
определяет некоторое (и притом единственное) иррациональное число %.
Нечетные подходящие дроби представляют собой приближения чис-
числа а с недостатком, а четные дроби—с избытком.
Из формулы A2) следует также, что при всяком я
Р.
Qn
1
'QnQn+г'
A3)
непосредственным следствием неравенства A3) является утверждение F),
которое требовалось доказать.
Заметим, что неравенство F) можно еще усилить: пользуясь аппара-
аппаратом цепных дробей, нетрудно показать, что для каждого иррациональ-


44	А. О. ГЕЛЬФОНД
ного числа а. существует сколько угодно несократимых рациональ-
р
ных дробей jj таких, что
^ 1
Известная теорема Гурвица утверждает даже, что для любо-
р
р
го иррационального а существует сколько угодно дробей -^ таких, что
v
прччем это неравенство является окончательным: для любого а,
меньшего -=, можно найти такое число а, что неравенство
У 5
Р
будет иметь лишь конечное число решений в целых взаимно про-
простых числах P,Q.
Доказательство всех этих теорем можно найти, например, в указанной
сноске на стр. 42 книги А. Я. Хинчина или в статье того же автора
в I томе «Энциклопедии элементарной математики» (М.— Л., 1951).
4. Иррациональные числа, «плохо» приближающиеся рациональными
Согласно теореме Гурвица существуют иррациональные числа а,
плохо приближающиеся рациональными дробями: для этих чисел суще-
существуют такие постоянные числа а, что неравенство
|а-Ы<<?	(И)
имеет лишь конечное число решений в целых числах P,Q, или,
что то же самое, при всех значениях Q, больших некоторого фикси-
фиксированного числа, имеет место обратное неравенство. Нетрудно видеть,
что такие числа ос характеризуются тем, что в разложении их в цеп-
цепную дробь все неполн - частные qt, q2, qs,... будут ограничены.
Прежде всего ясно, что если неполные частные при разложении я
в цепную дробь неограничены, то такого а указать нельзя: действитель-
действительно, в этом случае для каждого а найдется сколько угодно номеров п
таких, что <?„}> — , и для этих п, согласно второй из формул A0) и в
силу A3), будет иметь место неравенство
Р I	1	1	1	я
„
<*>„_, I ^<?„.,<?„—<?„_, (?„<?„_,+<?„_„) ^9я<3:_, <?*_, *


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 45
Пусть теперь все неполные частные qt, q2,.. .,qn ... ограниче-
ограничены: <7„<С<7о—!• Докажем, что в таком случае неравенство
I _^ /Ж	A5)
|а Q ^ Q2
не может иметь бесконечно много решений в целых числах Р и Q.
Из второго соотношения A0) и ограниченности qn следует, что
Это показывает, что знаменатели Qn растут не скорее членов геомет-
геометрической прогрессии с знаменателем ц0. Из того же соотношения
непосредственно вытекает, что
т. е. "что знаменатель Qn растет и не медленнее, чем члены геомет-
геометрической прогрессии с знаменателем У 2 .
Предположим, что неравенство A5) имеет бесконечное множество
решений, выражающихся взаимно простыми числами Р и Q. Так как
числа Рп н Qn монотонно возрастают, то для всякого достаточно боль-
большего Q найдется такое п, что Qn^Q<CQn+i- Легко видеть, что имеют
место неравенства
1
1
Р Р
О Q,n
Но приведенные выше соображения о росте Qn показывают, что
Поэтому мы будем иметь, что
A6)
Wn-t-з
Q
Q
Так как в левой части последнего неравенства стоит целое число,
которое по модулю меньше единицы, то оно может быть только нулем.
Отсюда следует, что PQn+3=QPn+3, 77 = 77^ и значит ^==C?»+s'
' V Vn+з
Р Р
так как дроби -^ и -р^5 несократимые.
Но поскольку Q<C Qn+i<C Qn+s->то мы прчшл" к противоречию,
которое и показывает конечность числа решений неравенства A5) уже
при а == тг-г.


46	А. О. ГЕЛЬФОНД
Примером числа, «плохо» приближаемого рациональными дробями,
может служить рассмотренное на стр. 41 число |/~2~ |1ЛИ число
из доказанного выше вытекает, что для этиго числа неравенство
РI 1
а	7i <С 57^5 не может иметь бесконечно много решений. Нетрудно
видеть, что это число равно ~*~ — . Действительно, очевидно, имеем
1+1
откуда получаем квадратное уравнение, единственным положительным
1 + Уъ ~
корнем которого является число —Цт	• Точно так же «плохо»
приближается рациональными дробями любое число, неполные частные
которого — сначала или с некоторого места —периодически повторяются:
Яп+к~Як ПРИ и=1, 2, ... или п = п0, по-\-\,. . . A7)
Легко показать, что числа такого рода являются квадратичными ирра-
цаонильностялш вида
^Р	A8)
Действительно, в случае п0 = 1 число а удовлетворяет квадрат-
квадратному уравнению
Ц
Як +-.	A9)
в случае и„^> 1 может быть представлено в виде
1
"<7а +
,1
Q „ 	1 I г.
и	р >
где р удовлетворяет квадратному уравнению типа A9). Еще Лагранж
доказал и общую теорему о том, что у любой квадратичной ирра-
иррациональности вида A8) неполные частные повторяются периодически,


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 47
откуда следует, что каждая такая иррацпонлльносп «плохо» прибли-
приближается рациональными дробями ').
5. Неравенство Лиувиллп
Познакомившись с некоторыми общими свойствами приближений
нррациональностей рациональными дробями, вернемся к признаку алгеб-
ранчности числа, найденному в 1851 г. Ж. Лпувнллем. Лнувнлль дока-
доказал, что для всякой алгебраической иррациональности а степени т
неравенство
U~E <4r	B0)
при некоторой постоянной с, не зависящей от pug, имеет лишь
конечное число решений в целых числах р и q.
Этим Лнувилль впервые доказал существование трансцендентных
чисел, так как легко построить примеры чисел а, как угодно хорошо
приближающихся рациональными дробями. Например, положим
г, ,	О	„ 	 СР	_ 	 /-K	_ 	 Л"
с/2 — z> Чз	Vs» '/4	*<з' • • • 1 Чп — чп-и • • •
Тогда при помощи второго соотношения A0) мы сможем последовательно
определить qn и Qn и получим для этих qn число а, которое, в силу A3)
и A0), удовлетворяет неравенствам
Из неравенства B1) и теоремы Лпувилля следует, что это число а
не может быть алгебраическим и, значит, является трансцендентным.
Работой Лиувнлля начинается история проблемы приближения алгеб-
алгебраических чисел рациональными.
Доказательство неравенства Лиувилля настолько просто, что ми
можем здесь его привести. Пусть а — корень неприводимого алгебраиче-
алгебраического уравнения т-?\ степени
Р(х) = а„хт + alXm-1 -f- . . + ат = 0,
где а.— целые коэффициенты. В силу неприводимости многочлена число
р(Е\ ГДе -^ — рациональная дробь, не может быть нулем, иначе много-
многочлен Р(х) делился бы на х — — или (qx—р). Поэтому
так как в числителе стоит целое число, отличное от нуля. Заметим
теперь, что поскольку а есть корень многочлена Р (х), то по теореме
г) Доказательство этой теоремы имеется, например, в книге А. Я. Хинчин.1
(см. стр. 42).


48	А. О. ГЕЛЬФОНД
Безу этот многочлен делится на х — а и, значит,
P(x) = (x — a)Q{x),
где Q (х) есть какой-то многочлен степени т — 1. О гсюда имеем
Но — есть приближение числа а; поэтому можно считать, что —
заключено в интервале между а — 1 н a -j- 1 (в противном случае раз-
разность а—— будет по модулю больше 1 и B0) может иметь место
лишь при qm<C.c). Теперь достаточно обозначить наибольшее значение,
которое может принимать многочлен Q (х) в интервале от а — 1 до a -j- 1,
через — и заменить в B2) Q (—) на —, чтобы получить неравенство
Лиувилля.
6. Усиление неравенства Лиувилля. Результат Рота
Понадобилось более 50 лет для того, чтобы математики смогли уси-
усилить неравенство Лиувилля B0). В 1909 г. норвежский математик А. Туэ
доказал более сильное утверждение: если а—любое алгебраическое
число т-й степени, то неравенство
— — <Л	B3)
в целых числах р, q имеет конечное число решений при любом
^ т .
Туэ доказал свою теорему, рассматривая многочлены двух перемен-
переменных Р(х, у) с целыми рациональными коэффициентами, удовлетворяющие
условиям
Р(х. у) = {у — а.) ¦ Р1 (х, у)-{-(х — я)к- Р2 (х, у).
Допуская существование двух пар достаточно больших чисел рх, q1 и
р2, q2, образующих решения — и — неравенства B3), он полагает
К =5= . ' 2 и выбирает коэффициенты многочлена Р(х, у) в известном
Ч\
смысле наименьшими и такими, чтобы Р(—, -^-)=^0. Последнее ipe-
бованне является в этом методе наиболее существенным, и реализовать
его представляло наибольшую трудность. Дальнейший ход рассуждений
Туэ такой же, как и у Лиувилля.
Результат Туэ показал возможность снижения показателя s в не-
неравенстве B3). Возник вопрос о величине нижней границы этого
показателя, в частности вопрос — не равна ли эта граница числу 2 н,


О ПРОБЛЕМЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ 49
более того, не ограничены ли неполные частные у любой алгебраичес-
алгебраической иррациональности, а не только у квадратической.
Примерно через 10 лет после Туэ немецкий математик К. Зпгель
усовершенствовал метод Туэ и, по-прежнему используя два решения
неравенства B3), доказал конечность числа его решений при s^>2\^m.
Около 10 лет назад английский математик Д. Дайсон и автор на-
настоящей статьи независимо друг от друга усилили метод Туэ—Зигеля.
Они показали, что неравенство B3) имеет конечное число решений уже
'фи *>V 2m.
Наконец, в 1955 г. английский математик К. Рот, не выходя за
пределы круга идей метода Туэ — Зигеля, но используя многочлены с
целыми рациональными коэффициентами от любого числа переменных,
доказал, что неравенство B3) имеет конечное число решений при s > 2.
Этот результат Рота, доказавший уже давно сложившееся предположение
об определенной близости всех алгебраических чисел к квадратическпм
иррацпональностям, следует считать большим успехом в теории чисел.
Но даже и сегодня, после работы Рота, проблему приближения
алгебраических нррацпональностей нельзя считать решенной полностью.
Существующие методы не позволяют пока дать ответ на вопрос, бу-
будут или не будут ограничены неполные частные алгебраических чи-
чисел, и даже на более слабый вопрос о том, нельзя ли заменить
число s в неравенстве B3) на функцию 2 —J— tp (и), где щ(х)^>0 и
убывает с ростом х медленее, чем —	. Из результата Рота
111 ОС
следует, например, только следующая оценка порядка роста неполных
частных qn алгебраического числа а: <?„<СеA+е* (?!>0).
7- Теорема Туэ об уравнениях в целых числах
Результаты, о которых было сказано в предыдущем п°, находят
много приложений в теории решений уравнений в целых числах, теории
трансцендентных чисел и других проблемах теории чисел.
Например, уже сам Туэ вывел из своего результата, что уравнение
Р(х, у) = а0хт-\-а1хт-1у+а2х>"-*у* + ...-\-атУ'>~с, B4)
не сводящееся к одному из хорошо изученных уравнений ах-\-Ьу = с
и ах2 -\- Ьху -j- су2 = d (имеющих, как правило, бесконечное множество
решений в целых числах), т. е. такое, что многочлен Р (х,у) нельзя
записать в форме (ах-\-by)" или (ах*-\-Ьху-\-су*J, имеет конечное
число решений в целых числах. Это был первый общий результат,
относящийся к неопределенным уравнениям степени выше второй.
Нетрудно показать, как теорема Туэ связана с вопросом о при-
приближении алгебраических чисел рациональными. Запишем уравнение B4)
в виде


50	А. О. ГЕЛЬФОНД
и положим, для простоты, что многочлен Р (х) является неприводимым.
Обозначая корни этого уравнения через а,, а2, ..., ат [неравные между
собою в силу предположения о неприводимости Р(х)!], мы напишем B5)
так:
«•(т—0(f—)-(f -»-)=?•
Допустим, что уравнение B6) имеет бесконечное множество реше-
решений в целых числах х, у. В таком случае, очевидно, найдутся реше-
решения этого уравнения со сколь угодно большими значениями у. Но для
больших у правая часть B6) будет очень мала; в левой же части
одна из скобок на основании неравенства Туэ B3) не будет превосхо-
1	х
дить я»2 + 1' а остальные будут достаточно велики, ибо дробь —
у1	У
может служить приближением лишь для одного из попарно неравных
чисел а.х, а2, ..., ат. Можно, например, считать у достаточно боль-
большим для того, чтобы — было меньше половины наибольшей из разно-
разностей | я. — о^.| (/, j— 1, 2, ..., т). В таком случае для того из корней
а,-, который приближается дробью —, разность
¦ос,-
будет мень-
меньше _L |ау — а,|, где ]фг — любое из чисел 1, 2, ..., т, а, следо-
1
вательно, разность
-а
будет больше -~
а, — о,-
Таким образом, т — 1 скобок в правой части B6) будет больше
некоторого d, где 2й — модуль наименьшей разности между корнями
уравнения Р (х) = 0; поэтому вся правая часть будет больше —^
что при большом у заведомо больше левой части.
Полученное противоречие и доказывает теорему Туэ.
у 2+1
Мы рассказали здесь о происхождении и о современном состоянии
основной задачи приближения алгебраических чисел рациональными.
Существуют и решены в той или иной степени и другие задачи,
относящиеся к связям между алгебраическими и целыми числами. Более
подробные сведения о проблеме приближения алгебраических чисел
можно получить из книги автора настоящей статьи '); работа К. Рота
недавно опубликована на русском языке 2).
') А. О. Гель фонд, Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
'-) Периодические сборники переводов иностранных статей «Математика»
№ 1, январь — март 1957 (Изд-во иностранной литературы).


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
А. М. Лопшиц
(Москва)
В нашей учебной литературе по высшей алгебре существует много
тщательно выполненных ц методически продуманных изложений теории
определителей 1). Принятая в них схема изложения использует, в основном,
те научные » методические идеи, которые стали классическими
уже в начале нашего века; они нашли свое полное отражение в вышед-
вышедшем в 1909 г. широко известном руководстве Г. Ковалевского2). Характер-
Характерной чертой такого изложения является планомерное использование эле-
элементов теории перестановок (возникающее уже в самом определении оп-
определителя) и отсутствие идей геометрического характера.
А между тем целесообразность иной точки зрения, переводящей вни-
внимание изучающего с отдельных элементов определителя на совокупности
этих элементов, образующие строки или столбцы, была отмечена и осу-
осуществлена еще в работах Кронекера и Вейерштрасса3). Эти идеи, не исполь-
использованные длительное время в учебной мировой литературе, начали активно
проникать в учебные руководства по высшей алгебре только с тридца-
тридцатых годов нашего столетня в связи с выросшим интересом к вопросам
многомерной геометрии 4). Они нашли свое отражение и в русской учеб-
учебной литературе 5).
Настоящая статья имеет целью ознакомить читателя с векторно-гео-
метрпческой схемой построения основ теории определителей; она отличается
от упомянутых выше изложений тем, что в основу кладется рекур-
}) См., например, книги: В. Ф. Kara н, Основания теории определителей,
Одесса, 1922; Г. М. Шапиро, Высшая алгебра, М., 1935; Л. Я. Оку не в,
Высшая алгебра, М.— Л., 1936; А. Г. Курош, Высшая алгебра, М., 1955,
2i G. Kowalewsky, Einfiihrung in die Determinantentheorie, Leipzig, 1909.
3) L. К r one eke r, Vorlesungen fiber allgemeine Mathematik, 2. Abschnitt.
Determinantentheorie, B. 1, 1903; K. Weierstrass, Mathematische Werke,
B. 3, crp. 271—286.
") См. О. Шрейер и Г. Шпернер, Введение в линейную алгебру,
т. 1, М. — Л., 1936.
ъ) А. М. Л о п ш и ц, Аналитическая геометрия, М., 1947; «Энциклопедия
элементарной математики», т. II, М. — Л., 1951, статья А. И. Уз ко в а «Вектор-
«Векторные пространства и линейные преобразования» (стр. 11 — 128).


52	а. м. лопшпц
рентное определение детерминанта '). Это дает возможность отказаться
от изучения теории перестановок 2) и обратить главное внимание
учащегося на вопросы, близкие к кругу общих интересов линейной
алгебры. Естественным продолжением такого изложения могло бы слу-
служить рассмотрение с этих же позиций вопросов исследования систем
линейных уравнений — за недостатком места я этого не сделал, ограни-
ограничившись только выводом формул Крамера.
Статья написана, в основном, для преподавателя; поэтому я позво-
позволил себе только кратко изложить некоторые существенные моменты,
рассчитывая на хорошее знакомство читателя с основным материалом.
В то же время я пытался вести изложение так, чтобы оно было доступно
и для менее подготовленного читателя и, в особенности, для студентов,
уже прослушавших курс теории определителей. Я остановился на концен-
концентрической форме изложения: геометрический парафраз теории определите-
определителей второго и треть'его порядка (пп. 1 —2), подробное векторно-
геометрическое изложение теории определителей четвертого порядка
(пп. 3 — 9) и, наконец, изложение существенных черт геометрической
схемы для определителей произвольного порядка (пп. 10—15), так как
считаю, что она подскажет преподавателю методически целесообразную
схему изложения предмета.
1. Векторная запись основных фактов теории определителей
второго и третьего порядка
1. Определители второго порядка. Изложение теории определите-
определителей целесообразно начать с рассмотрения определителей второго порядка —
они возникают как удобное обозначение, служащее для записи формул
Крамера. Следует обратить внимание учащегося на то, что определи-
определитель ' ,1 представляет собой функцию от четырех аргументов,
обладающую «замечательными свойствами»: косой симметрией отно-
относительно столбцов (и строк) и линейностью относительно каждого столбца
и строки.
Эти свойства должны быть тщательно сформулированы; желательно,
чтобы они были записаны и в векторной форме8):
axbx
= /(а1У а2, bv bj = A (a, 6),
Д(а, Ь) = —ДF, с) (свойство «косой симметрии»),
а'! ^Й	'6)} <свойспю «™"ейностн»).
•) См. пп. 2, 3 и 10.
2) И в то же время указывает нетрадиционный путь для получения основ-
основных результатов этой теории (см. сноску на стр. 72—73).
*) Нужно полагать, что учащийся уже владеет элементарными сведениями
о векторах на плоскости и легко согласится с целесообразностью рассматривать
элементы столбца (д1) как координаты вектора а.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИЙ TFOPHII ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
53
Уже на этом этапе изложения можно указать, что система двух ли-
линейных уравнений
может быть записана в виде одного векторного уравнения (относительно
тех же неизвестных х, у):
и что формулы Крамера могут быть записаны так:
X:
Д (а, Ь)'
2. Определители третьего порядка. Решение системы трех урав-
уравнений
A)
целесообразно провести (имея в виду подготовить рекуррентное опреде-
определение понятия «определитель и-го порядка» — оно лежит в основе
излагаемой ниже схемы преподавания) путем «исключения неизвестных».
Умножая уравнения системы A) последовательно на определители вто-
второго порядка
получим:
3 3
I
}
^3
л
^3
Mi
м„
B)
Учащийся легко проверит, что коэффициенты при у и z равны
нулю, и охотно согласится с предложением ввести удобное обозначение:
*ася
*lfl
«1*1
C)


54
А. Ы. ЛОПШИЦ
{«.определитель третьего порядка-»); оно даст возможность записать B)
в удобном для запоминания виде:
ai by cx
pl ^ Cl
Р* b2 c2
Ps b3 c3
Вытекающая из определения C) формула
даст возможность убедиться в справедливости «замечательных»
свойств определителя третьего порядка: косой симметрии относительно
двух первых столбцов и линейности относительно первого столбца').
Естественно возникнет при этом понимание того, что определитель
третьего порядка представляет собой функцию от трех столбцов; это
приведет к целесообразному векторному обозначению
«i *i
: Д (а, 6, с)
и к наглядной векторной записи «замечательных» свойств определителя
Д (а, Ь, с)	= — Д F, а, с) («косая симметрия»),
Д (ш, Ь, с) —). Д (а, Ь, с),
а', 6, с) =Д(с, Ь,
«. Ь, с)
И «линейность»).
D)
Из рекуррентного определения C) сразу следует косая симметрия опре-
определителя третьего порядка относительно второго и третьего столбцов
(нужно только воспользоваться уже известным фактом косой симметрии
определителей второго порядка); записав это свойство формулой
Д (а, Ь, с) = — Д (а, с, Ь)
легко докажем, что и
D')
т. е. убедимся в том, что при перемене местами двух произвольных
столбцов определитель меняет только знак.
Д(с, 6, с) = — Д(с, Ь, аJ),
*) Это последнее свойство непосредственно следует уже из C).
а) В силу D) имеем:
Д (а, Ь, с) — — Д (ft, а, с),
Д (с, Ь, а) = —Ь(Ь,с,а).
Но в силу D') правые части отличаются только знаком, поэтому и левые части
отличаются только знаком, ч. т. д.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
55
Векторную запись полезно использовать (на этом этапе изложения)
и для доказательства линейности определителя не только относительно
первого, но и второго (и третьего) столбца:
Д (а, ).Ь, с).= — Д AЬ, а, с) = — 11 F, а, с) = (а, Ь, с),
Д (а, Ь + Ь\ с) = — Д F -|- Ь\ а, с) = — { Д F, а, с) + Л F', а, с)} =
= {Д (а, 6, с) + Д (а, Ь, с)}.
Мы не будем останавливаться на других деталях изложения,— их,
несомненно, выявит и расположит в необходимой методической последова-
последовательности всякий преподаватель, который поставил перед собой целью
не только сообщить традиционный минимум сведений, относящихся к
рассматриваемому вопросу, но и придать ему векторно-геометрнческий
характер1). Укажем только, что в заключительном этапе учащийся
должен ознакомиться с записью системы трех линейных уравнений в
векторном виде:
x-a-\-y-b-\-z-c = p,
а также и с векторной записью формул Крамера*)
дс-Д(а, Ь, с) = Д(р, Ь. с),
у-А(а, Ь, с) = Д(а,р, с),
z¦ Д (а, Ь, с) = Д (а, Ь, р).
II. Векторно-геометрическое изложение теории определителей
четвертого порядка
3. Рекуррентное определение. Основные свойства. Если поста-
поставить теперь перед учащимся задачу о решении системы четырех
линейных уравнений с четырьмя неизвестными
p = Pi (/=1,2,3,4),
E)
то это побудит его использовать для указанной цели новое понятие:
определитель четвертого порядка. Естественно возникнет при "этом
рекуррентное определение
2 2
b, с. d,
= аг
Ьг сг rfa
b3 c3d3
b.c.d,
bxcxdx
b3 c3 d3
b.c.d,
b\ сг dx
b2 c2 d2
b, c. d.
4 4 4
— «4
Ьг сг d1
Ь* С2 d..
b3 c3 d3
F)
и не составит особого труда проверка «замечательных свойств» опре-
определителя 4-го порядка.
') См., например, аналогичное изложение вопроса в книге: А. М.Лопшиц,
Аналитическая геометрия, Учпедгиз, 1947, стр. 318.
2) Эти формулы легко вывести, если рассуждать так, как это сделано в и. 6-


56
А. М. ЛОПШНЦ
В самом деле:
1°. Линейность относительно первого столбца непосредственно сле-
следует из формулы B);
2°. Косая симметричность относительно второго и третьего столбцов
(а также третьего и четвертого столбцов) следует из того, что все
определители третьего порядка, входящие в формулу F), кососнммет-
ричны относительно первого и второго столбца (второго н третьего);
3°. Косая симметричность относительно первого и второго столбца
может быть доказана следующим образом.
Разложим каждый из определителей третьего порядка, входящих
в правую часть F), по элементам его первого столбца; мы получим:
a, Ъг сг d1
а2 b2 с2 d2
а., Ьг с,, dt
-az[bl
c3 a3
c& di
c2 d.
c2 d2
— b3
~b3
~b2
-*.
c\d\
Cxd,
сi di
Cx dx
Cid,
Cx dx
c3d3
Л-bi
+ b>
+ b3
;D-
F')
Соединяя пары слагаемых, имеющих общим множителем какой-либо из-
определителей второго порядка, получим1)
Й4Л4
d
ui
d,
d3
di
{
I
«2^2
«2*2
C3C?3
C4tf4
с id.
alb1
a3b3
a2 b2
aibt
C2 d2
c,dt
Cxd,
c3d3
¦
«i*i
«4*4
a3b3
aibi
c2d2
c3d3
c\dx
ГЛ
F")
Легко убедиться, что правая часть изменяет свой знак, если переме-
/а\\ /Ьг\
, — это и требовалось доказать.
нить местами столбцы
4. Векторная запись основных свойств. Краткая и наглядная за-
запись доказанного свойства, очевидно, возникнет, если условиться обо-
обозначать каждый столбец определителя одной буквой 2). В самом деле,
г) Это равенство составляет содержание теоремы Лапласа для определите-
определителей четвертого порядка.
г) В печати ее набирают жирным шрифтом, в письме ее снабжают чер-
чертой сверху: а —а.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	57
если определитель F) четвертого порядка, имеющий столбцы
а=
условиться, для краткости, записывать:
asbscsds
a. bt ct dx
то доказанное только что свойство косой симметрии запишется, очевид-
очевидно, так:
Д (а, Ь, с, d) = — Л (Ъ, а, с, d).
Аналогичным образом запишется и доказанное выше свойство косой
симметрии определителя относительно второго и третьего (третьего и
четвертого) столбцов:
Д (а, Ь, с, d) = — Д (а, с, Ь, d)\ Д (а, Ь, с, d) = — Д (а, Ь, d, с). G)
Не составит теперь труда доказать вытекающую отсюда теорему:
Теорема I. При перемене местами двух произвольных столб-
столбцов, определитель меняет только знак1).
Следует обратить внимание учащегося на два важных следствия
этой теоремы:
Теорема 1а. Определитель, содержащий два одинаковых столб-
столбца, равен нулю. Так, например, из равенства
Д (а, Ь, с, d) = — Л (a, d,c,b)
следует, если положить в нем d=b,
Д (а, Ь, с, Ь) = — Д (а, Ь, с, Ь), ч. т. д.
Теорема 16. Определитель Д (/>,, />2, р3, /?4) может отличаться
только знаком от определителя Д (ра, />„, pv pf), построенного на тех
же столбцах, что и исходный определитель, но взятых в каком-либо
произвольном порядке.
В самом деле, если в перестановке а, C, у, 5 индексов 1, 2, 3, 4
индекс 1 стоит не на первом месте, то, поменяв местами столбец ра
со столбцом ри получим
А(/>„. Pp. Pv Рд= —д (P1./V.A. PJ.
где IX, v, п — некоторая перестановка индексов 2,3,4.
х) Так, например, в силу G)
Д (а, Ь, с, d) = — Д (а, с, Ь, d), Д (a, d, с, Ь) = — Д (а, с, d, b).
Но правые части отличаются только знаком, поэтому и левые части отличаются
только знаком, ч.т. д.


58	а. м. лопшнн
Аналогично покажем, что если в перестановке p., v, тг индексов 2,
3, 4 индекс 2 стоит не на первом месте, то
5. Алгебраические действия над векторами. Следует ли на этом
этане предложить учащемуся называть столбец вектором? Думаю, что
следует. Больше того, опыт преподавания показывает, что эту терми-
терминологию предлагают по своей инициативе сами учащиеся'). Не вызо-
вызовет также возражений предложение называть элементы а,, а2, а3, а4,
Га\
образующие столбец 2 I = а, координатами вектора а.
\а
Более серьезным по существу (но опять-таки не вызывающим ни-
никаких методических затруднений) является введение (уместное именно
на этом этапе изложения) аффинных операций над векторами:
1. Сумлюй двух векторов
¦называется вектор
ч
С —
Принято обозначение: а-\- Ь = с.
2. Произведением вектора а на число ). называется вектор
Аал
Принято обозначение: р = \а, или р = ак2). Векторы а и ш на-
называют пропорциональными векторами; если
p — la-\-ixb-\-\>c-\- ...,
то принято говорить, что вектор р есть линейная комбинация векто-
векторов а, Ь, с, ... ; числа X, jji, v, . .. называются коэффициентами этой
линейной комбинации.
') Преподавателю придется только уточнить термин («вектор четырехмерного
пространства»), подчеркнув условность этого целесообразного наименования.
2) Если изложение ведется для студентов-математиков, то следует, конечно,
указать (и проверить!), что введенные этими определениями векторные операции
подчиняются основным правилам формальной алгебры; для студентов-физиков
и тем более инженеров часто приходится, из соображений методического ха-
характера, пренебречь этими существенными с точки зрения логики деталями.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	59
6. Основная теорема. Формулы Крамера. Целесообразность вве-
введения этих аффинных операций над векторами сразу же проявляется
в том, что с их помощью можно кратко и наглядно записать свойство
линейности определителя относительно его первого столбца:
Д Aа, Ь, с, d) = \ 1 (а, Ь, с, d) (однородность),	\
Д (а-f- d,b,c,d) = Д (a,b,c,d) -\- Д (a',b,c,d) (дистрибутивность). \
Последовательное применение этих формул дает возможность убедиться в
справедливости более общей формулы
Д (Ы -j- I'a' + У'а" + .. . , b, с, d) =
= 11 (a, b, с, d) + >•' (a', b, с, d) -\-1" (а", Ь, с, d) +... (8'>
Следует также указать, что доказательство линейности определи-
определителя относительно любого другого столбца непосредственно вытекает
из формул (8) и теоремы I. Так, например,
Д (a, b, ).с, d) — — l (lc, b, a,d) = — I Д (с, b, a, d) = IД (а, Ь, с, d),
Д (a, b,c-\-c\d) = — b(c-\-c', b, a, d) =
= — &(с, b, a, d)~l(c',b,a,d) = Ma,b,
Более того, пользуясь векторной записью, можно теперь легко убе-
убедиться в справедливости следующей основной теоремы.
Теорема П. Если к какому-либо столбцу определителя доба-
добавить произвольную линейную комбинацию других его столбцов, то
получаемый определитель равен исходному. Так, например,
Д (а, Ь, с 4- >-а + V-b -\- vrf, d) = Д (а, Ь, с, d).	(8")
Действительно, в силу линейности относительно третьего столбца
Д (a, b, c-\-la-{-\i.b-{-vd, d) =
== Д (а, Ь, с, d) + Д (а, Ь, ш, d) + Д (а, Ь, у.Ь, d) + Д (а, Ъ, vrf, d);
учитывая, что Д (a, b, la, d) = l I (a, b, a, d)^0, получим (8"), ч. т. д.
Особая ценность этой теоремы проявляется при выводе с ее по-
помощью формул Крамера для решения системы линейных уравнений E):
ха
Xafi \ J"% [ ~~2 I "'"•2 	 ^2» \	/гт\
И8+Л + гС3 + ИЙз=/K. '
xai-\-ybi 4~ zCi + adi =p4.
Легко понять, что правые части этих уравнений представляют собой
4 координаты вектора, являющегося линейной комбинацией векторов
а, Ь, с, d; коэффициентами этой линейной комбинации являются неиз-
»+J'*i + «. + «'. = Pi. I


60	А. М. ЛО11Ш11Ц
вестные числа х, у, z, а. Поэтому, используя введенные векторные
аффинные операции, мы получаем возможность заменить систему урав-
уравнений E) одним Еекторным уравнением
xa-\-yb-\-zc-\-ud=p.	(9)
Используя теорему II, мы легко выполним теперь исключение не-
неизвестных у, z, и.
Рассмотрим с этой целью определитель
A(p,b,c,d).
Заменяя в нем вектор р левой частью уравнения (9), получим:
Д(р, Ь, с, d) — к(ха -{- yb -\- zc -{- ud, b, с, d).
Применяя к правой части теорему II, получим:
Д(р, Ъ, с, d) = x-b.(a, b, с, d).
Рассматривая последовательно определители
Д {р, b,c,d), Д (а, р, с, d), \(a,b, p, d), Д (a, b, с, р),
придем к формулам
Д (р, Ь, с, d) = х- Д (а, Ь, с, d),
Д (а, р, с, d) =у ¦ Д {а, Ь, с, d),
Д (а, Ь, р, d) = z• - Д {а, Ь, с, d),
Д (a, b,c,p) = u-l (a, b, с, d)
(формулы Крамера).
7. Формулы для вычисления определителя. Вычисление опреде-
определителей четвертого порядка, входящих в формулы Крамера, учащийся
может теперь выполнить, пользуясь всеми приемами, которые применя-
применяются в традиционном изложении, так как их правомерность базируется
только на уже доказанных нами теоремах I, la, II.
Целесообразно, однако, ознакомить теперь учащегося с тем специ-
специальным способом образования всех слагаемых, входящих в состав опре-
определителя четвертого порядка, с помощью которого дается (в большин-
большинстве принятых руководств по алгебре) определение детерминанта').
Условимся, ради удобства, обозначить четыре столбца
1) Не лишним будет предупредить учащегося, что этот способ мало приго-
пригоден для практического вычисления определителей по заданным его элементам, но
весьма удобен для доказательства различных общих свойств определителя (см.,
например, п. 10).


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	61
буквами ех, е2, е3, ei соответственно; отметим тут же, что
Д(е;, е2, е3, е4) = 1
[это непосредственно следует из рекуррентного определения F)].
Легко понять, что любой столбец (вектор)
может быть представлен как сумма четырех столбцов (векторов)
а = агег + а2ея + а,е3 + я4е4
(это обстоятельство дает основание называть векторы elt е2, е3, et ба-
базисными, т. е. основными); поэтому
Д (а, Ь, с, d) = Д (а^ + а2е2 + а3е3 + а4с4, 6, с, rf);
используя формулу (8'), получим:
Д (с, Ь, с, d) = аг Д (*>!, 6, с, d) -(- й2 Д (е2, 6, с, rf) +
+ а3 Д (е3, 6, с, d) -\- а4_Д (е4, 6, с, d),
или, в сокращенной записи:
Д (а, Ь, с, d) = ''If 4а„Д (в„, 6, с, rf).	A0)
а
Учитывая теперь, что
получим аналогичным образом:
Д (в„ 6, с, d) = Ъх (е„ ег, с, О) + Ь2 (еа, е2, с, d) +
+ *3 (е„, е„, с, rf) + *4(e,, e,, с, d),
т. е.
Д(еи, 6, с, d)= '2' *рД(еи, вр.е, d) (« = 1,2,3,4). A0')
с
Подставляя из A0') в A0), получим:
1,2,3,4 /1,2,3,4	\
Д(в, ft,c,d)= 2 а«[ 2 *рД(вя,вр,е, d) =
\ 3	/
= *'"?'\ь?\(еа,е?,с, dI).	A0")
I, 2, 3, 4
х) Символ 2 (?и3 означает, как это принято, сумму 42 слагаемых:


62	А. М. ЛОПШНЦ
Используя далее равенство
с = схех + с2е2 + cse2 + cAeit
получим аналогичным образом:
Д (е„, вр, с, d) = ' 2' с7 А (е„, ep, eT, d)	A0,)
и, следовательно, подставляя A0j) в A0"):
1,2,3,4	/1,2,3,4	\
Д (а, Ь, с,О)= 2 аА I 2 ci А К- ер- er rf) =
*.3	\ v	/
= ll24^cIA(e.,ep,eI,tfI).	A0.)
«.зл
Остается выполнить последний шаг этого процесса: используя ра-
равенство
d = d\ex + d2e2 + d3e3 + d4e4,
получим:
1, 2, 3, 4
Д(ев> ep, ev d)= 2 d,(«.. e?. «T. ««)
и. подставляя в A02), получим окончательное выражение определителя
Д \а, Ь, с, d) в виде следующей суммы 44 слагаемых:
1, 2, 3, 4
Д(а, 6, с, d)= 2 йЛсЛ'А(е«' еР' ет- е'-)'	A1)
• «,ЗЛ,в
Коэффициент Д (е,, во, е , ет) равен, очевидно, нулю, если совокуп-
совокупность индексов а, р, у. 8 содержит два равных индекса (см. теоре-
теорему 1а). Поэтому в правую часть A1) фактически входят только такие
слагаемые, для которых совокупность индексов а, р, у» ^ образует
некоторую перестановку индексов 1, 2, 3, 4 (т. е. входит всего толь-
только 4! слагаемых). Очевидно также, что в этом случае, т. е. если а, р,
у, о есть какая-либо перестановка индексов 1, 2, 3, 4, то опреде-
определитель Д (е„ е~, е , еъ) равен либо единице, либо минус единице
(см. теорему 16).
Таким образом, в состав определителя Д (а, Ь, с, d) входят все
возможные слагаемые, которые получаются в результате перемно-
перемножения элементов, взятых из четырех разных столбцов и принад-
1, 2, 3, 4
') Символ 2 Q(x3t означает, как это принято, сумму 43 слагаемых, ко-
»,3
торые получаются, если в выражении Q=cT придавать каждому из индексов
a, ji, 7 (независимо друг от друга) произвольные значения, взятые из последо-
последовательности 1, 2, 3, 4.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	63
лежащих при этом четырем разным строкам. Каждое такое
произведение
входит с коэффициентом Д (еа, е„, е , е-), равным либо единице,
либо минус единице. Этот результат принято записывать в следующей
условной форме:
1, 2, 3, 4
Д(а, Ь, с, </)= V ааЬрС^ъ-А(е„, еь, ev ef).	A2)
з, 3, Г, 8 ф
В некоторых случаях предпочитают всё же пользоваться формулой
A1), в правой части которой производится суммирование по всем
возможным совокупностям четырех индексов а, р, у, 3, каждый из
которых может принимать, независимо от других, любые из значений
1, 2, 3, 4. Укажем также, что принято пользоваться обозначением
Это значит, что символ еас_-, изображает «знакопеременную» функцию
от индексов 1, 2, 3, 4, значение которой:
равно нулю, если в совокупности индексов а, р, у> ^ имеются
равные, и
разно единице (минус единице), если среди индексов а, C, у. ^
нет равных и если от перестановки a, J3, у, ^ можно перевести к пе-
перестановке 1, 2, 3, 4 с помощью четного (нечетного) числа транспо-
транспозиций1) двух индексов.
8. Двухиндексная система обозначений. Теорема о равноправ-
равноправности строк и столбцов. Для того чтобы выявить роль, которую
играет в формуле A2) не только номер элемента в каждом столбце,
но и номер столбца (в который этот элемент входит), принято обозна-
обозначать столбцы не различными буквами а, Ь, с, d (как мы это до сих
пор делали), а одной и той же буквой, снабженной разными индек-
индексами, а именно:
а„ а2, а3, о4.
Элементы первого столбца (т. е. координаты вектора а^) обозна-
обозначают в этом случае а1Х, а21, аЯ1, atl; элементы второго столбца а3
обозначают а12, а.,2, а32, а4„ и т. д. (т. е. первый индекс элемента
atJ- означает номер координаты, а второй индекс—номер столбца, ко-
которому эта координата принадлежит).
*) Переход от перестановки (a...i:...!;...S) из каких-либо и элементов к пере-
перестановке (з...р...71.„3) этих же элементов, т. е. переход, возникающий в резуль-
результате перемены местами двух каких-либо элементов, называют транспозицией.


64
А. М. ЛОПШИЦ
В этих, обычно принятых обозначениях формула A1) примет сле-
следующий вид:
Д (аг, а2, а31 а4) =
1, 2, 3, 4
= S аа1а92а^лг^. A3)
*, 3, Tf, 8
Естественно возникает теперь вопрос: с каким знаком войдет в правую
часть этой формулы произведение
««W^'	О4)
где i, j, k, I—некоторая произвольная перестановка	индексов 1, 2
3, 4? Легко убедиться, что произведение A4) войдет	в состав опре-
определителя Л [аг, аа, as, а,) с множителем
В самом деле, в силу формулы A3) имеем:
Л (я,-, «у, «л, я2)=2йа,-йр
С другой стороны (см. рассуждения на стр. 63),
Д(а,., а.;, ак, аг) = Д(а1, а2, а3, а,)е|>м	A5)
и, следовательно (учитывая, что {tijkjf ^\),
Malt а2, а3, а4) = Д(а., а,, аЛ, аг) eiJU:
Подставляя в правую часть из формулы A5), получим окончательно
1,2,3,4
ijkf ч- т- Д-
°, 3, Т, 8
Отсюда следует, в частности, что произведение
войдет в состав определителя 1(а1, а2, as, at) с множителем е//и. Соста-
Составив все 4! возможных слагаемых такого рода, мы придем еще к одной
формуле для вычисления определителя:
Д(а15 аа, а3, а4) = 2 ^(/WWVW
Следствие — теорема о равноправности столбцов и строк.
Вместе с заданным определителем
Д (ах, а2, а3, а4) =
1, 2, 3, 4
A7)


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
рассмотрим также и определитель
A7')
элементы которого a{j связаны с элементами ард исходного определи-
определителя A7) равенствами
а\, = ап,	A8)
т. е. рассмотрим определитель
а'а, a'J =
(столбцы исходного определителя являются строками нового определи-
определителя).
Вычисляя определитель A7') по формуле A3), получим:
1, 2, 3, 4
вХа>Х,(.	A9>
Д (а[, а'ш, а'3, <) = ? «^
jxl vf itt p
т. е. в силу A8)
Д(а;, «;, a's, «;)=2«^А
Сопоставляя A9') и A3) убедимся, что
A(at, a2, as, ai) = L(a[,
т. е. в иной форме
A9')
а'3, a't),
«ч
«21
Й31
«4,
«12
«22
«32
«42
«13
«23
«33
«48
«14
«24
«34
«44

«11
«12
«13
«14
«21
«22
«23
«24
«31
«32
«3 3
«34
«41
«42
«43
«,4
B0)
Замечание. Эта формула показывает, что всякое утверждение,
высказанное о столбцах определителя, будет, очевидно, справедливо
и для его строк.
Для краткой II наглядной записи этих теорем условимся обозначать
строку
( Щ т2 т3 mi )
одной буквой т (точка, поставленная вверху справа от буквы т,
служит для отличения строки от столбца). Строку принято называть:
вектор второго рода х).
х) Принято также называть векторы-столбцы — контравариантными
векторами, а векторы-строки — ковариатпными векторами.
3 Матем. просвещение, вып. 2


66	А. М. ЛОПШИЦ
Определитель Д ia\, a2, as, at) естественно теперь записывать
в виде Д(о'г, а2, а'3, ал), где строка о, имеет координаты ап, aiv
ai3, o,4 (/=1, 2, з; 4).
Если еще установить (понятным образом) аффинные операции для
векторов второго рода и Евести обозначения: а'-\-Ь =с (сумма),
],а =/» (умножение на число), то основные теоремы относительно
строк определителя запишутся следующим образом.
Теорема I. ГЦ и перемене местами двух произвольных строк
определитель меняет только знак, например,
Ь(а\, а\, а.„ ai)= — k(a[,ai, ая, a't).
Теорема 1а. Определитель, содержащий две одинаковые строки,
равен нулю. Например,
Д( а4Г а3, а4) = 0.
Линейность определителя относительно его первой строки запи-
запишется так:
Д().а', Ь', с', d') = l\(a , Ь', с, сГ) (однородность),
Д(а" + 'а", Ь\ с, d) = b(a, Ь, с, *Г) + Д('а\ Ь', с, d)
(дистрибутивность).
Теорема II. Если к какой-либо строке определителя доба-
добавить произвольную линейную комбинацию других строк, то полу-
полученный определитель равен исходному. Например,
Д(а\ Ь', с-\- la -{-}ib'-\-\d', d) = dL(a, b\ c, d).
9. Умножение определителей. Применим использованные геометри-
геометрические методы и обозначения для вывода теоремы о произведения
определителей.
В основу вывода мы положим следующее предложение (имеющее
и самостоятельное значение).
Если каждый из векторов /и,, /и2, /и3, /и4 представляет собой
линейную комбинацию векторов в1, и2, иа, и4, определяемую фор-
формулой
1,2,3,4
,+ Ji4«-»4= S IV*. (/=1,2,3,4),
Иа, И3 «J. B1)
гпо
11 ^12 f*13
/ra2, /и3. т*) =
^32 ^33 ^34
^42 ^43 ^44
Для доказательства достаточно повторить рассуждения, которые
привели нас к формуле A2) на стр. 63.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
67
В самом деле, учитывая A2), получим:
I. 2, 3, 4
к (т.!, т2, та, /и4) = 2 И«1Д
it ma, /я4),
(na, /и2, /и3, /га4)=
1, 2, 3, 4
Д(Ва, »э, /И3, /И4)=
1, 2, 3, 4
т
1. 2, 3, 4
«р
«p
Д (Ва, Ир, Ит, /И4) =
и, следовательно,
A(/nlt /Иа, /«з. «
Приняв во внимание, что
а, Вр, иг »6) = ев?т,Д(в1, и2, в3, в4),
1, 2, 3, 4
2
1,2,3,4
о. ?, ТГ, *
«V
получим:
Д^, m2, /га3, 1Я4) = Д(»1, в„ в3) в4)
В силу формулы A3) имеем
2
«, 3, if, 6
11 1*12 V-13
^42 ^43
B2)
B3)
Подставляя в предыдущее равенство, получим B1), ч.т.д.
Следствие — теорема об умножении определителей:
Обозначим координаты вектора пр (р = 1, 2, 3, 4) буквами vgp
(q=\, 2, 3, 4), т. е. положим
1,2,3,4
+	+	^
Тогда в силу формулы A3)
и, следовательно,
Д AЯ1? /и2, г
Д(и, и
в силу
иа, /и4)
2. «3.
B1)
=
и-
1*12
Р-22
}*32
}*42
}*1
}*2
}*3
Vii
V.1
^31
V4l
i JJ^X
^43 ^4
V
12
V22
*32
^42
4
4
4
4
•
13
V23
Сз
Vii
V21
V31
v4l
vu
V24
V34
^44
V,
V2
^3
1 v;3
1 V23
• ^зз
V4I V43
VM
^24
V34
V44
B5)
3*


68
А. М. ЛОПШНЦ
Примем теперь во внимание, что в силу формул B0) и B4)
1. 2, 3, 4
2
m
. , ,
о
1,2,3,4	1,2,3,4	1,2,3,4
= 2 ^ 2 ^--= 2
1.2,3,4
2
т. е., короче,
1,2,3,4
/га,
1,2,3,4
З 2 Wj
ш41е4,
1,2,3,4
4 2 »*HV*"
где
(О
Поэтому
/у =
+ 11.,-уу, + ]Lti\Jt.	B6)
Д (/п„ /га2, /и3, /ra4) =
«21 «22 «23
B7)
Сопоставляя формулы B5) и B7), придем к окончательному ре-
результату:
Р-21 г^22 f*23 г^24
1*31 Шг ^33 ^34
^41 ^42 !*43 ^44
*^22 23 ^24
«4
«13	«14
«23	«24
«33	«34
«43	«44
т. е. убедимся, что произведение двух определителей 4-го порядка
Может быть представлено в виде одного определителя 4-го порядка,
элементы которого ш(у выражаются через элементы p.ik и vfty- по
формулам B6).
Замечание. Содержание доказанной теоремы об умножении
двух определителей легко запоминается, если воспользоваться следую-
следующим понятием: скалярное произведение столбца «(щ, р.2, р.3, }Х4)
и строки п (vx, v2, v3, v4), понимая под ним число ш, вычисляемое
по формуле
1, 2, 3, 4
2	2
Принято обозначение
=/га-я .
Легко теперь видеть, что в силу B6) элемент о>/у- определителя
•произведения (т. е. элемент, принадлежащий /-у столбцу и г'-й строке)
представляет собой скалярное произведение i-то столбца определи-
определителя-множимого на у-ю строку определителя-множителя; теорему


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
"об умножении определителей можно теперь записать в следующей
форме:
/га2,
т\-п%
lt и2> па, и4) =
т3-па
III. Геометрическая теория определителей «-го порядка
(на основе рекуррентного определения)
10. Теорема Лапласа (частный случай). Материал, изложенный
выше, подготовит учащегося к усвоению рекуррентного определения
детерминанта произвольного порядка.
Определитель п-го порядка, порождаемый таблицей (матрицей)
'«11 «12
«о, «„
B9)
содержащей п столбцов и п строк, есть число Д, обозначаемое
символом
г„
которое вычисляется по формуле
1, 2	п
2
C0)
здесь Ма означает определитель (п — 1 )-го порядка, порождаемый
матрицей, возникающей из матрицы B9) в результате вычеркива-
вычеркивания первого столбца и а-й строки.
Га
Если условиться обозначать столбец а.2 I символом а («вектор
первого рода», имеющий координаты ах, аг, -... , ап) и обозначить
строку (jXj jx2 |i3	 jjlJ символом т («вектор второго рода», имею-
имеющий координаты jJLj, }jl2	}ХП), то определитель Д естественно
будет обозначать
либо Д = Д[ах, а2	ап), либо Д = Д(/ях, тг, ..., т„),


70	А. М. ЛОПНШЦ
где a-f означает столбец с координатами а^-, а21-, ... , o.ni, a rrtj —
строку с координатами al4, ai2, ... , ain.
Изложение теории определителей л-го порядка не потребует теперь
существенно новых рассуждений по сравнению с теми, которые были
использованы при выводе основных теорем для определителей четвер-
четвертого порядка. Единственно новым будет доказательство следующего
утверждения:
Определитель п-го порядка кососимметричен относительно двух
первых столбцов.
Оно является непосредственным следствием следующей теоремы
(частный случай теоремы Лапласа; общий случай рассмотрен в п. 15):
Теорема.
1, 2, ... ,п
(ol)
где M^ означает определитель (я—2)-го порядка, порождаемый
матрицей, возникающей из матрицы B9) в результате вычеркива-
вычеркивания первого и второго столбца, а также а-й и р-й строки; сум-
суммирование в правой части должно быть выполнено по всем возможным
парам индексов а, р(а<^р), взятым из индексов 1, 2, ..., л1).
Для доказательства формулы C1) применим рекуррентное правило
вычисления C0) к определителям Мг, М2, ... , Мп\ мы получим:
C2)
Важно понять, что в формулу для Жа войдет слагаемое
ViM—1)?-1,есл"
так как в этом случае элемент ар2 будет принадлежать [3-й строке
определителя Мф и войдет слагаемое
l)?-1, есл"
так как в этом случае элемент а^г будет принадлежать ф—1)-й
строке определителя Жр (ведь а-я строка будет уже зачеркнута).
Подставляя выражения для Ма из формул C2) в формулу C1), мы
убедимся, таким образом, что какова бы ни была произвольная пара
индексов X, }х (к<^ц), в окончательную формулу для Д войдет вместе
со слагаемым
х) Таким образом, в правой части C1) имеется -^ и (я — 1) слагаемых.
Частный случай этой формулы (дли и = 4) рассмотрен в .п. 3 (формула F")).


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	71
также и слагаемое
Учитывая, что УИ^ = УИиХ, мы объединим оба этих слагаемых
а,, а.
в одно:
">2
Для вычисления Д понадобится, таким образом, сложить все
я(я| 1) слагаемых этого вида, которые получатся для всех воз-
возможных пар X, ja (X <I P-). ч. т. д.
11. Косая симметричность. Символ e^r...s- Если в каждом из
определителей Mt, входящих в формулу (гЮ), поменять местами два
первых столбца (их элементы составляют второй и третий столбец
определителя Д), то, согласно теореме I, изменится знак всей суммы;
мы убеждаемся, таким образом, в том, что определитель кососим-
метричен относительно второго и третьего столбца.
Если теперь в каждом из определителей Mt поменять местами вто-
второй и третий столбец (их элементы составляют третий и четвертой
столбец определителя Д), то изменится знак всей суммы: таким обра-
образом, определитель кососимметрнчен относительно третьего и четвертого
столбца.
Продолжая аналогичным образом, мы убедимся в том, что при
перемене местами двух смежных столбцов определитель меняет
знак. Это свойство (кососимметричность определителя относительно
двух смежных столбцов) вл'ечет за собой более общее свойство: косо-
кососимметричность относительно любой пары столбцов. Иначе говоря,
имеет место
Теорема I. При транспозиции двух столбцов (т. е. при пе-
перемене их местами) определитель меняет только знак.
. Приведем для полноты доказательство (несколько отличающееся
от традиционного):
Д(а1, а2, ... , ap_lt ар, ар+1, ... , aq_lt aq, ... , а„) =
= (—\I-Ь(а1, а2, ... , ар_х, ар+1, ар, ... , aq_x, aq, ... , ап) =
= (—1J-A(«i, «2,..-.«р_1, ар+1,ар+я, ар,..., «„_!,«„, ...а?)=...
и, наконец,
A(alt а„ ... , ар_\, ар, ар+1, .... aq_\, aq, ... , ап) =
= (—\)т^(а1, а2)..., ap_-v ap+lt.. ..а,.,, ар, aq, a?+1,..., ап), C3)
где т есть число столбцов, расположенных между столбцами ар и aq.
Аналогичным образом убедимся, что
Д(а,. а2, ... , ар_\, aq, ар+1, ... , aq_\, ар, аа+1, ... , ап) =
— (— l)m(<*i, «2. ••¦ .°Р-1. «р+1. ••• . «?-i. аг аР' •••»««)• C4)


72
а. м. лопшиц
Правые части равенств C3) и C4) отличаются только знаком; поэтому
Mflx, ..-.Ор, ...,о9, ...,а„)= —Д(а17 ...,aQ, ...,ap, ...,ап), C5)
ч. т. д.
Полагая в этом равенстве а — а?
Д(ах, а8, .... ар_г> а, а
р+1,
= а, получим:
. а?_х, а, а?+
= 0. C6)
Таким образом имеет место
Теорема 1а. Определитель равен нулю, когда он содержит два
одинаковых столбца. Это свойство используется при выводе других
«замечательных свойств» определителя (они перечислены ниже, п. 12).
Уместно здесь же ознакомить учащегося еще с одним важным след-
следствием теоремы I.
Введем в рассмотрение «.базисные векторы»
т. е. обозначим через е(- вектор-столбец, у которого /-я координата
равна единице, а все остальные нули. Легко убедиться, чти
следует только при вычислении определителя
1 0 0 ... О
1» С2' ' * * ' til
о о 6 ... 1
последовательно применять рекуррентную формулу C0).
Если теперь произвести в определителе Д (ех, е2, ..., еп) транспо-
транспозицию каких-либо двух столбцов, в полученном определителе снова
поменять местами два каких-либо столбца и т. д., то после выполне-
выполнения некоторого числа т таких транспозиций, мы придем к определителю
Д (eai вр, в^, ..., в^),
в котором индексы а, р, у. • • • > 8 образуют некоторую перестановку
индексов 1, 2, 3,	, п. В силу теоремы I получим:
е,} = (— 1)т.	C7)
Если условиться, как это принято, называть перестановку
а, р, у.	. 8 четной (нечетной), когда бна может быть получена из
перестановки 1, 2, ..., п четным (нечетным) числом последовательно
выполненных транспозиций двух индексов1), то мы придем к следующему
1) Очевидно, что перестановка а, р, f	8 может быть получена из пере-
перестановки 1, 2, 3, ..., п различными способами; ясно, однако, что если в каком-
либо одном способе было выполнено, для перехода от совокупности индексов


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	73
результату:
	/ 1, если перестановка \ четная,
&\еа> е$' ег • • •• еь)- | — ]1 а, р, у,	, 3 / нечетная.
Мы будем в дальнейшем пользоваться следующим кратким обозна-
обозначением:
Д F 6 6 ... €~) — ?
Не следует забывать, что е^ _8 = 0, если среди индексов а, р,
у, ..., 8 имеется два равных.
Замечание. Чтобы узнать, будет ли заданная перестановка чет-
четная (нечетная), можно поступить следующим образом: если индекс а
не равен единице, то в перестановке 1, 2, 3, ..., а, .... л выполним
транспозицию индексов 1 и а; мы получим перестановку а, 2, 3, ...,
1, ..., л; если в полученной перестановке индекс ^ не стоит на вто-
втором месте, то мы поменяем его местами с индексом, который стоит на
втором месте; мы получим перестановку а, р, 3,	, л; продолжая
аналогичным образом, мы придем, выполнив некоторое необходимое
число т транспозиций, к исходной перестановке a, fi, у, ..., 5; оче-
очевидно, что она будет четной (нечетной), если число т четное (не-
(нечетное).
12. Основные свойства определителя. Формулы Крамера. Мы не
будем здесь задерживаться на доказательствах остальных «замечатель-
«замечательных свойств» определителя л-го порядка, так как они совсем не отли-
отличаются от тех, которые были указаны в пп. 3, 4, 5 для определите-
определителей 4-го порядка.
Перечислим только главнейшие свойства:
а) линейность определителя относительно каждого столбца:
«2. ¦•-. «„-1. «р. «р+1. •••. «J +
-[-Д^!, а2, .... ар_\, а'р, ар+1, ..., а,),
, а2, ..., ap_lt lap, ар+1, ..., а„) =
«,..-•- v» ar <w- •••• в->- C8)
1, 2, 3, .-., п к совокупности а, р, у, ..., S четное (нечетное) число т транспо-
транспозиции, то и в другом способе понадобится для перехода к этой же совокупно-
совокупности а, р, f, .... 8 число транспозиций /и', которое также будет четным (нечет-
(нечетным): ведь только в этом случае вместе с равенством C7) будет также иметь
место и равенство
ДК, <??><?т	<-) = (-1)т'.
Мы не будем здесь приводить вывода других предложений теории перестано-
перестановок, так как они не понадобятся для излагаемой схемы построения теории оп-
определителя. Укажем всё же на то, что простой вывод многих результатов те-
теории перестановок может быть получен, если воспользоваться только что ис-
использованной функцией Д (еа, вр е , ..., е0) от совокупности индексов а, р, у	о.


74
а. м. лопшиц
Последовательное использование этих формул приводит к весьма
важному в теории определителей соотношению
2
а=1
C8')
б) неизменность определителя при прибавлении к какой-либо его
строке произвольной линейной комбинации остальных строк (тео-
(теорема II):
+ V+i «р+1 + '•«««> «/,+!• • • • > ап) =
= &№„ а2, .... ар_\, а„, ар+1, ..., ап).	C9)
Покажем в заключение, как используются эти свойства при выводе
формул Крамера для решения системы уравнений
«,1*1 + ai2x2 + • • • + ainxn — Pi (/ = 1, 2, ..., я).
Эта система равносильна, очевидно, одному векторному уравнению
«.*i + «Л + • • • + а„хП =р.
Исключение всех неизвестных, кроме х17 выполним так (см. п. 6):
= л:^ («!, а2, ..., а„).
Аналогичным образом получим и остальные формулы Крамера:
Xfb(alt а2, ..., а^^/Ь^, а2, .... a,_u p, ai+1, ..., ап)
(/=1, 2, ..., я).
13. Формулы для вычисления определителя и-ro порядка. «За-
«Замечательные свойства» определителей я-го порядка, выраженные фор-
формулами C0), C4), C5), C6), C8), C9), дают, как известно, разнообраз-
разнообразные возможности для практического вычисления определителей я-го
порядка.
Существенно, однако, что эти же формулы приводят естественным
образом к выводу специального правила для вычисления всех слага-
слагаемых, входящих в состав определителя я-го порядка (оно служит в
большинстве принятых учебных руководств определением определителя).
Примем раньше всего во внимание, что вектор а(-, имеющий коор-
координаты аи, а21-, ..., ani может быть «разложен» по базисным векторам:
т. е. представлен формулой
1. 2	п
2
aaiea.
D0)


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	75
Заменяя в определителе Л (аг, а2, ..., ап) вектор ах его разложением,
получим в силу формулы C8):
1,2	л
Д (а„ а2, ..., а„) = 2 аа1Д (ел, а2, ..., ап).
а
Аналогично, заменяя а2 его разложением D0), найдем:
1,2, ... , л
Д (е„, а2, ..., ап) = 2 % д (е*. ез- ез- - • • • ««)
и, подставляя в правую часть предыдущего равенства, получим:
1,2	п
АК, а2, ..., ап)= 2 ас1Й?2Д(^. ер, а3, ..., а„).
ос, 3
Учитывая, далее, что
д(^. «р. «з. •••. «„) = ИЙ,^К, е?, еу аг	ап),
получим:
1,2	л
Д^, а2, а3	ап)= 2 а^а^а Д (е„ е„, е, а4, ..., ап)
и т. д. Последний (п-й) шаг этого процесса приведет, очевидно, к
формуле
1,2	л
Д(аг, а8> .... а„)= 2 ав1ар2, ..., а „ Д (еа, е„, е , ..., е ). D1)
я, р, Т	6	р	i-l
Учитывая теперь, что коэффициент Д(еа, е„, ..., е;) равен нулю,
если совокупность индексов а, |В, у, ..., 8 содержит два равных ин-
индекса [см. формулу C6)], придем к выводу, что в правую часть D1)
входят только такие слагаемые, для которых совокупность индексов
о, р, у, . .., 8 составляет некоторую перестановку индексов 1,2,3, ..., п
(т. е. войдет всего п\ слагаемых).
Принимая, наконец, во внимание, что если а, [5, у, ..., 8
есть какая-либо перестановка индексов 1, 2, ..., п, то
Д (еа, е„, е , .. ., е^) равен либо единице, либо минус единице, в
зависимости от четности или нечетности перестановки а, р, у, ... , 8
(см. п. 11), мы приходим к следующему результату: в состав
определителя Д (а1У а2, ..., ап) входят все возможные слагаемые,
которые получаются в результате перемножения элементов а/у-,
взятых из п разных столбцов и принадлежащих при этом п раз-
разным строкам.
Каждое такое произведение
а<чав2атз • • • «8л
входит с коэффициентом
Д(еа, ер, eY..., еь) = еа37... 8,


76
А. М. ЛОПШНЦ
равным единице {минус единице), если перестановка а, C, у, ... , S
четная (нечетная). Этот результат записывают в следующем виде:
... «in
1, 2	п
2
о, Р, Т	6
D2)
14. Равноправность строк и столбцов. Умножение определителей.
Повторяя почти дословно рассуждения, приведенные в п. 8, мы пока-
покажем, что произведение
войдет в состав определителя Д (аг, а2, ..., ап) с множителем
Это обстоятельство даст возможность установить еще и следующую
формулу для вычисления определителя (см. п. 8):
1, 2	п
Д =
X, (л, v, ... , л
п»
D3)
с помощью которой сразу доказывается (см. п. 8) теорема о равно-
равноправности строк U столбцов. Не потребует новых рассуждений и вы-
вывод формулы
Д(/K
в которой
А„1 • • • V-nn
1, 2,..., в
(«и Я2, ••• i «„),
а также непосредственно получающееся из нее доказательство теоремы
об умножении двух определителей w-го порядка:
V-ln
vnl
.. co
ln
здесь
I, 2	и
Ю,/= 2 Kt*i« = mi-n'f
15. Теорема Лапласа. Алгебраические дополнения. Миноры. Нам
остается изложить только вывод формулы Лапласа, легко возникающей
из тех векторно-геометрических рассуждений, которые были изложены
выше.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ	77
В силу линейности определителя Д (ах, а2, ... , ап) относительно
каждого из его столбцов, мы получаем (см. рассуждения н. 12):
1,2	п
A(ax, а2, ..., ап)= 2 аа11(е„. а2, ..., «„) =
а
1,2, ... ,п
= 2 «ai«p2 Д (*«, вр, а3, ..., а„) = . ..
1,2	п
...= 2 аа1«В2 • • " °1к Д (*«' «Я. ' • • > *о> afc+l' ak+2> • • • > «„) D4)
я, ?, ... , 8	'	р
Суммирование в правой части этого равенства распространяется по
всем возможным группам k индексов а, [5, . . ., $, взятым из совокуп-
совокупности индексов 1, 2, ..., п.
Выберем какую-либо определенную из таких групп; пусть она со-
содержит индексы
«1, «2. • • • • ak-	D5>
Любая другая группа из этих же индексов будет содержать ин-
индексы
где 1г, lz, ... , lh—некоторая произвольная перестановка, составлен-
составленная из индексов 1, 2, ... , k.
Тогда совокупность всех тех слагаемых правой части D4), кото-
которые соответствуют выбранной группе индексов D5), составит, очевидно,
сумму
1,2	k
¦Sea,...„„= 2 a ia*. 2 ¦••аау йлК, ,е„ , ...,е , ак г,....ап),
в которой суммирование должно быть выполнено по всем перестанов-
перестановкам \, \, ..., \k, которые могут быть составлены из индексов
1, 2, .... k.
Учитывая теперь, что (ср. с формулой A5))
Ме« . е , ..., е , ak+1, .... а„) =
:=Д(^а1» ^оB> ...| Cceft, aft+u '-ч an)"?'i'-2 — '-A>
получим:
1,2	k	\
2 % 1% 2 • • ¦% ft's"'ib ->s ) X
ll ' 2, ¦•• , 'ft	12	ft	/


78
а. м. лопшиц
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой, очевидно,
(см. формулу D3)) определитель
D6)
и, следовательно,
Так может быть представлена совокупность всех тех слагаемых правой
части D4), которые соответствуют только одной возможной группе ин-
индексов D5). Чтобы исчерпать все слагаемые, входящие в правою часть
D4), нужно будет составить суммы SQl,2... aft для всех различных
групп D5), которые можно получить, выбирая какую-либо совокупность
k возрастающих индексов из совокупности 1, 2, ..., п. Таким об-
образом,
1,2	п
Д(а„ а2, ..., ап) = 2 •$«,*„...*к-
Используя D7), получим:
2, ..., а„) =
1,2	п
2
l, ..., а„). D8)
Это равенство и составляет содержание теоремы Лапласа.
Замечание. Определитель л-го порядка
¦"сехяз ... ak = Д (^ot!! ^otji ... j ?aft) aft+i> • • • ,an) (ai *C И2 "^ i • • • i "^ aft)
называют дополнением [в определителе Д (a15 a2, ... , an)] к опреде-
определителю &-го порядка Да,а2... aft, т. с, согласно формуле D6), к опре-
определителю, у которого первая строка содержит координаты с номером оц
векторов Cj, a2, ..., aft, вторая строка — координаты с номером а2,
и т. д.
Покажем, что
(»!<«,<•• •<««).	D9)
где Л^сс,ссг...ccft представляет собой определитель п — k порядка, кото-
который получится, если в таблице, столбцы которой составлены из коор-
координат векторов а,, а2, ..., ап, сначала вычеркнуть первые k столб-
столбцов, а затем вычеркнуть k строк, имеющих номера а,, а2, ..., аА.


К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
79
(Этот определитель М^... ,А называют: минор, принадлежащий опреде-
определителю
... ak
-)
j k
Действительно:
¦"сс!*!!...аА =
0 0 0
100
о' i'	6
о'о"	i
о" о"	6
о'6	6
,k+i
,k+i
,k+i
i
0 an^k+i ... апп
Разлагая этот определитель л-го порядка по элементам первого
столбца, получим (в силу рекуррентного определения C0)):
Лл ....* = (—I)*1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
...0
0
... 0
1
0
«I.
о.,
Он
a*k
а„.
k+i ... aln
k+i... ачп
*+i.-.ov
*+i ... aakn
k+i ... an>n
В определителе (п— 1)-го порядка, расположенном в правой части
этого равенства, первый столбец содержит единицу, расположенную
только в строке, имеющей номер а2 — 1 (так как строка, имеющая
номер alt меньший чем а2, уже вычеркнута из исходного определителя
и-го порядка). Поэтому, разлагая по формуле C0) этот определитель
по элементам его первого столба, получим:
.—2
0
1
0
0
...0
...0
... 1
0
a\.
Oh
a*k
k+l
,k+l
,k+l
k+l
...arn
. • • ca3.i
... an,
Продолжая аналогичным образом, убедимся в справедливости фор-
формулы D9).


80	А. М. ЛОПШИЦ
Используя ее, мы можем записать содержание теоремы Лапласа
(т. е. формулу D8)) в следующей традиционной форме:
к^,^, ..., с„) =
=	' 2Г	Д.Л ... .* МЯ1„ ... eft (_1)С+«.+ - +«*> + (Н-2 + »> . E0)
Формулы C0) и C1) представляют, таким образом, только частные
случаи (для k=l и k = 2) формулы E0).
Рекуррентное определение детерминанта (п. 10) привело нас, таким
образом, к выявлению важного обстоятельства: определитель я-го по-
порядка представляет собой числовую функцию ]) от п аргументов — век-
векторов а,, а2, ..., ап (их координаты составляют столбцы или строки
определителя), обладающую свойствами
а)	линейности относительно каждого аргумента (п. 12, свойство а),
б)	кососимметричности — значение функции меняет знак только
при транспозиции двух аргументов (п. 11, теорема I).
Естественно возникает мысль о рассмотрении числовой функции
<р(а,, а2, ..., ak) от произвольного числа k^n векторных аргументов,
обладающую свойствами а) и бJ). Повторяя почти дословно рассуж-
рассуждения п. 15 и заменяя в них Д (а1, ... , ak, ak+1, ..., ап) через
q(at, аг, ..., ak), мы придем к обобщению теоремы Лапласа:
1,2	п
!р(а,, а2, ..., aft)= 2 A	)
В случае же, когда & = я, получаем теорему (Вейерштрасса):
<Р(«1. «2. •••• «„) =
= Д12...п-<р К, е2, .... е„) = Д(а!, а2, ..., ап)-!р(е„ е2, ..., еп),
т. е. всякая числовая линейная и кососимметрическая функция от
п векторов п-мерного пространства отличается только постоян-
постоянным множителем от определителя, построенного на этих п век-
векторах.
1)	То есть функцию, значения которой суть числа.
2)	Такие функции называют: кососимметрический тензор ?-ой валентности;
см., например, П. К. Р а ш е в с к и й, Риманова геометрия и тензорный анализ,
М., 1953, §§ 26 и 35 или Я. С. Дубнов, Основы векторного исчисления,
ч. II, М.—Л., 1952, § 30.


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
А. А. Ляпунов и Г. А. Шестопал
(Москва)
1. Появление автоматических быстродействующих цифровых вычис-
вычислительных машин (АБЦВМI) привело к расширению круга проблем,
допускающих математические методы исследования. Основой нового об-
общего подхода к самым различным областям науки и техники становятся
понятия управляющей системы и процесса управления.
Процессы управления можно обнаружить в самых разнообразных
явлениях, составляющих предмет изучения различных наук. С такими
процессами сталкиваются и технические и биологические науки, эко-
экономика, лингвистика и даже некоторые социальные науки. Постепенно
выясняется, что у процессов управления, независимо от их происхож-
происхождения и конкретного содержания, имеются весьма существенные общие
черты. Эти общие черты можно проследить, рассматривая автоматиче-
автоматическое регулирование движения машин, автоматическое управление раз-
разнообразными технологическими процессами, работу автоматических вы-
вычислительных машин, функционирование нервной системы, управляющей
поведением животных, механизм передачи признаков по наследству,
процессы эволюции форм живой природы, механизмы управления эко-
экономикой и, наконец, проблемы управления коллективами людей.
Установление единой общей точки зрения при изучении процессов
управления оказалось в настоящее время необходимым. Оно позволило
использовать идеи, возникшие в одних областях науки, для развития
многих других ее областей и привело к нахождению общих и важных
закономерностей.
Наука, занимающаяся изучением общих закономерностей, присущих
управляющим системам и процессам управления, получила название
кибернетики. Настоящая статья посвящена изложению некоторых раз-
разделов кибернетики — именно описанию алгоритмов, перерабатывающих
информацию. В начале статьи рассматриваются некоторые принципы,
х) См. нашу статью в 1-м выпуске «Математического просвещения».


82	А. А. ЛЯПУНОВ II Г. А. ШЕСТОПАЛ
лежащие в основе работы всяких управляющих систем и приводится
несколько примеров, затем дается понятие об алгоритмическом описа-
описании функционирования таких систем и вводится понятие о логической
схеме алгоритма.
2. Для описания принципов строения и функционирования всякой
управляющей системы мы будем пользоваться некоторыми общими по-
понятиями. Введение этих понятий оказалось очень плодотворным для
изучения общих свойств управляющих систем.
Можно считать, что всякая управляющая система состоит из двух
основных устройств (рис. 1): управляющего (I) и управляемого (II),
которые соединены между собой
каналами связи 1, 2. От управ-
управляющего устрвйства к управляе-
4 мому по каналам / передается в
1 виде некоторых сигналов управ-
управляющая информация, которая
	^__	вызывает те или иные изменения в
<?	состоянии управляемого устрой-
рис. [.	ства. Часто и в управляющее
устройство из управляемого (по
каналам обратной связи 2) также поступают сигналы — осведоми-
осведомительная информация, содержащая сведения о состоянии управляе-
управляемого устройства. Кроме того, как к управляющему, так и к управляе-
управляемому устройству может поступать некоторая информация извне (кана-
(каналы 3, 4).
Управляющая информация формируется на основании переработки
всей информации, поступающей в управляющее устройство. Это значит,
что сигналы, поступающие в управляющее устройство, преобразуются
там в другие сигналы (перекодируются). Такая перекодировка сигналов
(т. е. переработка информации) может происходить и в других частях
управляющей системы.
Та или иная информация может иногда сохраняться с тем, чтобы
быть использованной в дальнейшем.
Таким образом, процесс управления осуществляется при помощи
циркуляции информации между различными частями системы управле-
управления. Он начинается после того, как управляющее устройство получает
какую-то исходную информацию и состоит из процессов хранения,
переработки, передачи и восприятия информации.
Поясним описанную общую схему тремя примерами управляющих
систем различной природы.-
В качестве первого примера рассмотрим регулятор Уатта —
устройство, изобретенное около 200 лет тому назад.
Регулятор Уатта является одной из простейших управляющих си-
систем, применяющихся в технике. Его назначение состоит в автомати-
автоматическом поддержании постоянной скорости вращения вала паровой ма-


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
83
шины посредством регулирования количества пара, поступающего из
котла в цилиндр.
Схема регулятора Уатта показана на рис. 2.
На вал АА' насажен параллелограмм АВА'В' так, что вершины
А и А' находятся на валу, причем вершина А неподвижно закреплена,
а в вершине А' находится шарнир — муфта, которая может свободно
передвигаться вдоль вала. В двух других вершинах сосредоточены две
одинаковые массы В и В'.
Вал паровой машины и связанный с ним вал АА' вращается с тем
большей скоростью, чем больше поступает пара из котла М в цилиндр.
Под действием возникающей центробежной силы массы В и В' расхо-
расходятся — шарнир А и связанная с ним заслонка от поднимаются. Каж-
Каждому значению скорости вала паровой машины соответствует некоторое
положение заслонки т. Весь механизм может быть отрегулирован так,
чтобы при увеличении скорости вращения вала против заданной зас-
заслонка, поднимаясь, уменьшала бы приток
пара в цилиндр, а при падении скорости,
опускаясь, увеличивала приток пара.
Процесс, происходящий в регуляторе
Уатта, можно описать с помощью вве-
введенных выше общих терминов следую-
следующим образом.
Управляющим устройством в этой
системе является параллелограмм АВА'В'
вместе с заслонкой от, управляемым —
поток пара и рабочий вал паровой ма-
машины. После пуска паровой машины в
ход в управляющее устройство посту-
поступает исходная информация — начальная
угловая скорость вращения вала маши-
машины. Для ее переработки служат массы В
II В' (скорость вала преобразуется в соответствующее ей положение
масс). Переработанная информация передается шарниру А' (снова пе-
переработка: положение масс преобразуется в положение шарнира), от
него (по «каналам связи», соединяющим шарнир А' с заслонкой) — за-
заслонке. От заслонки в котел М передается управляющая информация,
под ее действием меняется количество пара, поступающего из котла
в цилиндр. В результате этого изменяется скорость вращения рабочего
вала машины (информация снова переработана). Информация об этом
по каналам обратной связи (соединяющим вал паровой машины с ва-
валом АА') поступает снова в регулятор, и процесс продолжается дальше
таким же образом в течение всего времени работы машины.
Рассмотрим теперь пример управляющей системы из другой области:
работу диспетчера на железнодорожном транспорте.
Можно сказать, что и в этом случае мы имеем дело с процессами
получения, переработки и передачи информации.
Рис. 2.


84	А. А. ЛЯПУНОВ И Г. А. ШЕСТОПАЛ
Диспетчер, находясь на диспетчерском пункте, принимает по се-
селектору информацию о состоянии железнодорожных составов на той
части линии, за которую он отвечает. Эта информация может состоять
из сообщений о готовности очередного состава к выезду, об опоздании
состава по сравнению с графиком движения поездов, о необходимости
отправления внеочередного (не предусмотренного графиком) состава, о
загруженности линий и т. п. Обязанность диспетчера состоит в пере-
переработке полученной информации и выработке решений, направленных к
выполнению графика движения поездов. Для этой цели он отдает рас-
распоряжения машинистам или начальникам станций о дальнейшем порядке
движения составов: об ускорении или замедлении хода поездов, о пере-
перекрытии путей или переводе поездов на запасные пути и т. п. (управ-
(управляющая информация). Работа диспетчера очень сложна: она требует
большого опыта и умения быстро принимать решения в зависимости
от сопоставления многих факторов.
Отметим, что при работе диспетчера процесс переработки инфор-
информации осуществляется не машиной (как это происходит в регуляторе
Уатта), а человеком в его сознании.
Сознанием человека управляет его центральная нервная система.
В качестве третьего примера мы и рассмотрим некоторые моменты
функционирования нервной системы человека или животного,
представляющей собой одну из наиболее сложных управляющих систем.
Здесь также происходит уже описанный характерный процесс циркуляции
информации. Рассмотрим два наиболее изученных и сравнительно элемен-
элементарных типа действий нервной системы: безусловный и условный рефлексы.
Как известно из физиологии, безусловный рефлекс состоит в
следующем. Внешнее раздражение вызывает поток нервных импульсов
от раздраженного места; эти импульсы по нервным волокнам передают-
передаются в нервные центры. В нервных центрах происходит переработка
полученной информации, в результате чего по другим нервным волок-
волокнам новые импульсы передаются определенному двигательному органу,
который видимым образом реагирует на полученное раздражение. Так
происходит, например, когда человек касается рукой горячего предмета:
ожог вызывает реакцию — рука отдергивается от горячего.
Схема действия условного рефлекса более сложна. Пусть имеются
дяа раздражителя а и ?J, действующие на организм, причем в нормаль-
нормальных условиях один из них, а именно а, вызывает некоторую реакцию
А организма, а $ не вызывает этой реакции. Опыт показывает, что
после достаточно длительного одновременного действия обоих
раздражителей аир раздражитель ?J, действуя отдельно, теперь уже
вызывает реакцию А. После некоторого времени самостоятельного дей-
действия раздражителя ?$ реакция перестает вызываться—рефлекс угасает.
Однако теперь достаточно уже значительно меньшего времени повтор-
повторного совместного действия обоих раздражителей аир для восстанов-
восстановления рефлекса, т. е. для того, чтобы самостоятельное действие $ вы-
вызывало бы вновь реакцию А.


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ	85
Схематически процесс выработки условного рефлекса может быть
записан следующим образом:
Раздражение Реакция
а ->¦ А	(а вызывает А)
(Р не вызывает А)
(совместное действие аир вызывает А)
(это продолжается многократно)
(в результате р вызывает А — рефлекс установлен)
(продолжаем действие р многократно)
ф перестало вызывать А — рефлекс угас)
(снова действуют аир одновременно, вызывая А)
р -> Л	(рефлекс восстановлен).
В качестве примера можно указать на общеизвестные опыты
И. П. Павлова по выработке условных рефлексов у собаки. В этих
опытах раздражителем а было появление пищи, р — звук звонка, а
А — выделение у собаки слюны.
С нашей общей точки зрения, в обоих рассмотренных случаях в
организм поступает некоторая информация о состоянии внешней среды
(в первом случае — сообщение о высокой температуре предмета, нахо-
находящегося в контакте с рукой, во втором — сообщение о предстоящем
кормлении собаки, сопровождаемое звонком). Эта информация перера-
перерабатывается и поступает в нервные центры в закодированном виде — в
виде нервных импульсов. В нервных центрах снова происходит процесс
переработки этой информации и передача управляющей информации
двигательному органу; при этом закодированная в виде нервного сиг-
сигнала информация, поступающая теперь из нервного центра, вызывает
механическое или химическое действие организма (отдергивание рук»
или выделение слюны).
3. Мы видим, что в одних случаях переработку информации может
осуществлять маши н а, в других случаях эта переработка осущест-
осуществляется живым организмом. Возникает вопрос — нельзя ли поручить
машине ту переработку информации, которую обыкновенно осущест-
осуществляют живые существа (например, диспетчер на железной дороге)?
Такая возможность позволила бы, во-первых, автоматизировать
сложные управляющие процессы и существенным образом облегчить
труд человека, а, во-вторых, моделировать на таких машинах разно-
разнообразные процессы, протекающие в живой природе, с целью их изу-
изучения.
В настоящее время этот вопрос решен положительно для очень
многих важных конкретных случаев. Как известно, машины, способные
осуществлять очень сложные переработки информации, существуют: в-


86	А. А. ЛЯПУНОВ II Г. А. ШЕСТОПАЛ
первую очередь сюда относятся универсальные АБЦВМ, которые
с успехом применяются не только для автоматического решения разно-
разнообразных сложных задач, но и для моделирования некоторых процес-
процессов, присущих живому организму.
Одним из основных разделов кибернетики является алгоритми-
алгоритмическое описание процессов управления, благодаря которому становится
возможным поручать машине переработку информации и управление.
В очень многих случаях полная переработка информации осуществля-
осуществляется в результате целесообразного сочетания элементарных актов
переработки информации, которые могут как-то чередоваться между
собой. Например, таким элементарным актом при работе регулятора
Уатта может считаться переработка в каждый момент угловой скорости
вращения вала в положение масс, положения масс — в положение
шарнира, положения шарнира — в положение заслонки; в работе дис-
диспетчера железной дороги это может быть регистрация каждого нового
поезда, выходящего на линию, или регистрация в каждый момент
положения поезда и т. п. Порядок выполнения элементарных актов
должен быть точно определен. Он может быть определен заранее раз
и навсегда; это будет, например, в наиболее простом случае диспет-
диспетчерской службы, когда обязанность диспетчера состоит лишь в том,
чтобы после получения сигнала об освобождении линии посылать туда
поезда по одному в заранее установленном порядке, и когда элемен-
элементарные акты переработки информации — «получен сигнал об освобож-
освобождении линии — послан поезд номер л» — следуют друг за другом
в установленной заранее последовательности.
Гораздо важнее, однако, другой случай, когда порядок выполнения
элементарных актов будет существенным образом зависеть от того,
какие результаты были получены в предыдущих актах, т. е. будет
зависеть от выполнения или невыполнения некоторых условий. В нашем
примере это будет случай, когда поезд посылается вперед по линии
только если он пришел на станцию без опоздания, в противном же
случае он переводится на запасный путь.
Здесь речь идет о том, что выполнение действия производится
после проверки некоторого логического условия. Если это условие
выполнено (поезд пришел без опоздания), то выполняется одно дейст-
действие (он посылается дальше), а если не выполнено (поезд опоздал), то
другое (он переводится на запасный путь).
Совокупность элементарных актов переработки
информации и выбранных логических условий, опреде-
определяющих порядок выполнения этих актов, которая осуществляет
полную переработку информации, т. е. решает постав-
поставленную задачу, называется алгоритмом для решения
данной задачи.
Изучение функционирования произвольной управляющей системы
сводится к ее описанию при помощи некоторого алгоритма, а затем — и
вопросу о материальной реализации этого алгоритма. В случае, если


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 87
оказывается возможным составить алгоритм, представляющий изучае-
изучаемый процесс управления, а также его реализовать в вычислительной
машине (например, в некоторой АБЦВМ), то этим самым переработка
информации, которая осуществлялась в изучаемом процессе управления,
будет теперь производиться машиной.
Таким образом, встает важный вопрос—какие процессы могут
быть алгоритмированы данными средствами? Некоторые из таких
вопросов изучаются в математической логике. Там ставится вопрос о
том, какие задачи допускают алгоритмическое решение. Но поста-
постановка вопроса в математической логике несколько отличается от его
постановки в кибернетике. Дело в том, что математическая логика
изучает возможности алгоритмов в полном объеме, не ставя огра-
ограничений на количество запоминаемой информации или на материальные
средства, с помощью которых реализуется данный алгоритм. Киберне-
Кибернетика же интересуется возможностями алгоритмов с учетом нхреа-
л и з а ц и и. Однако достижения математической логики в этом направ-
направлении очень существенны для развития кибернетики. Оказывается,
что существуют математические задачи, связанные с переработкой
определенной информации и не допускающие алгоритмического решения.
Важные результаты в этом направлении принадлежат П. С. Новикову 1).
Если даже алгоритмизация данного реального управляющего про-
процесса теоретически возможна, то далеко не всегда удается дать алго-
алгоритм, в точности эквивалентный этому процессу. В связи с этим воз-
возникает вопрос об оценке качества алгоритмического описания про-
процесса. Для его решения вырабатываются различные критерии. Оценка
качества алгоритмов для решения разнообразных задач управления
составляет предмет недавно возникшей области науки — анализа опе-
операции. С этими вопросами тесно связана теория игр, получившая
особенно большое развитие в последние годы.
4. Для описания строения алгоритмов, перерабатывающих инфор-
информацию, служит специальный математический аппарат — так называемые
логические схемы алгоритмов.
Будем обозначать большими латинскими буквами А, В, С, ... от-
отдельные элементарные акты алгоритма, перерабатывающие информацию.
Их называют также элементарными операторами. В качестве такого
оператора при составлении алгоритма, описывающего работу регулятора
Уагта, может быть принят оператор, перерабатывающий угловую ско-
скорость вращения вала паровой машины в положение заслонки, или опе-
оператор, перерабатывающий информацию о положении заслонки в поток
пара, поступающего из котла в цилиндр и т. п. Малыми буквами
р, q, ... мы будем обозначать проверяемые логические условия. На-
Например, проверяемое логическое условие может состоять в сравнении
двух чисел х н у по величине (например, сравнение истинной скоро-
1) См. «Математическое просвещение», вып. 1, стр. 32 и 106.


?8	А. А. ЛЯПУНОВ II Г. А. ШЕСТОПАЛ
сти вала регулятора Уатта с заданным значением). Если х=у, то
условие выполнено, если х=^у, то оно нарушено. В процессе работы
алгоритма величины хну могут изменяться; соответственно этому
будет изменяться и значение проверяемого условия.
Удобно пользоваться символикой, принятой в математической логике,
для обозначения логических предикатов*). Например, только что описан-
описанное логическое условие опишется символом р(х=у). Аналогично через
р(х ^у) или р(х2=у (mod 3)) обозначают логические условия, из кото-
которых первое выполнено, если х^у (и только в этом случае), а второе,
если число х3 дает при делении на 3 тот же остаток, что и число у.
Последовательное выполнение нескольких операторов обозначается
как их произведение, причем сомножитель, стоящий справа, действует
после сомножителя, стоящего слева.
Логическилш схемами называют выражения, составленные из опе-
операторов и логических условий, следующих друг за другом, и нумеро-
нумерованных стрелок, расставленных определенным образом. Как операторы,
так н условия называются членами данной логической.схемы. От каж-
каждого логического условия «начинается» нумерованная стрелка (знак
| — начало), которая «оканчивается» (знак \ — конец) у какого-либо из
¦членов логической схемы; одинаковыми номерами помечаются начало и
конец одной и той же стрелки.
Вот два примера логических схем, составленных из операторов А,
В и С и логических условий р и q:
\Ap\B\Cq\A,	A)
I 2 1,3 2 3
p\Aq\\B\q\C.	B)
Работа алгоритма начинается с того, что срабатывает самый левый
¦член схемы. После этого определяется, какой член должен работать
следом за ним. Если этот член был оператор, то следом за ним
должен работать тот член схемы, который стоит непосредственно справа
за ним. Если же этот член был логическим условием, то воз-
возможны два случая: или проверявшееся условие в ы п о л н е н о — тогда
должен работать следующий за ним член справа, или же оно нару-
нарушено— тогда должен работать тот член, к которому ведет стрелка,
начинающаяся после данного условия. Работа алгоритма оканчивается
либо тогда, когда последний из работавших операторов содержит ука-
указание о прекращении работы, либо тогда, когда на некотором этапе
не оказывается такого члена схемы, который должен был бы работать.
Таким образом, расположение членов логической схемы и расста-
расстановка стрелок в ней определяет порядок работы операторов в зависи-
зависимости от значений входящих в эту схему логических условий.
х) Предикат — логическое сказуемое, т. е. то, что в суждении высказы-
высказывается о предмете.


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
89
«Прочитаем» схему A). Она допускает четыре варианта:
1)	Если в схеме A) условие р выполнено, а д — нарушено (симво-
(символически это обозначается: />=1, q = 0), то порядок работы операто-
операторов окажется таким:
ABC ABC... ABC...
Здесь работа алгоритма продолжается неограниченно.
2)	Если в той же схеме р нарушено, а q выполнено (р — 0г
9=1), то порядок работы операторов окажется таким:
АСА,
и работа алгоритма закончится.
3)	Если р = q = 1, то получим:
АВСА
4)	Наконец, если р = д = 0, то порядок работы операторов будет:
АСАС...АС...
¦—работа алгоритма снова продолжается неограниченно.
Работа схемы 2 поясняется следующей таблицей:
р
0
0
1
1
я
0
1
0
1
Порядок работы
ВВ...В...
ВС
ABB...В...
ABC
В первом и третьем случае работа алгоритма протекает неограни-
неограниченно долго, во втором и четвертом она заканчивается после того, как
срабатывают соответственно 2 или 3 оператора.
В рассмотренных примерах значение логических условий оставалось
неизменным. Однако возможно, что работа каких-либо операторов из-
изменяет значение логических условий. Пусть, например, после каждого-
выполнения оператора А значение условия р меняется на противопо-
противоположное и пусть в начале p = q = O. Тогда работа схемы A) предста-
представится в виде
АВСАСАВСАС. ..АВСАС...
Предлагаем читателю рассмотреть в качестве упражнения работу
следующей схемы, содержащей три оператора D, Е и F и три логиче-


SO	А. А. ЛЯПУНОВ II Г. А. ШЕСТОПАЛ
CKiix условия т, п, p для различных значений этих логических усло-
условий (/?z = /z = p = O; т = п = 0, р=\ и т. д.):
1 123432 4
m\D\n\\E],p\],Fn\.
5. Дадим теперь алгоритмическое описание (т. е. составим логиче-
логические схемы алгоритмов) управляющих процессов, рассмотренных нами
выше.
Предварительно необходимо отметить, что для одной и той же
задачи можно составить различные логические схемы алгоритмов, выде-
выделяя различные системы элементарных актов переработки информации.
Полученные при этом алгоритмы могут иметь различную производи-
производительность: один алгоритм может быть более универсальным, но менее
выгодным для решения данной задачи, другой — менее универсальным,
но более выгодным для данной конкретной задачи. Вопрос о выработке
критериев для оценки «квалификации» алгоритма и вообще о преиму-
преимуществах одних алгоритмов над другими пока еще очень мало разра-
разработан.
1°. Логическая схема алгоритма работы
регулятора Уатта
Введем в рассмотрение следующие величины: 1Х — угловую скорость
вращения вала паровой машины, /„ — положение заслонки (или положе-
положение шарнира), /3 — интенсивность потока пара, регулируемого за-
заслонкой.
Эти величины представляют собой ту информацию, которая выра-
вырабатывается, перерабатывается и передается в рассматриваемой нами
управляющей системе.
В качестве элементарных операторов выберем операторы, описы-
описывающие действие различных частей системы, именно:
• через R обозначим оператор, перерабатывающий информацию /,
в информацию /2 (/j -v. /3) [регулятор];
через 6* обозначим оператор, перерабатывающий информацию /2
в информацию У3 (/2 -^- /3) [заслонка];
через D обозначим оператор, перерабатывающий информацию /3 в
информацию 1У G3 ~^- /,) [вал паровой машины];
наконец, через Г обозначим оператор передачи информации от
одной части системы к другой.
Действие каждого из операторов R, S и D описывается некото-
некоторым дифференциальным или алгебраическим уравнением, связывающим
поступающую к нему информацию и выдаваемую информацию.
В этих обозначениях логическая схема алгоритма регулятора Уатта
будет записана следующим образом:
J DT (/, — R) ЯГ (/, — S) ST (/, -, D) D \


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ	91
(в скобках после оператора Г указана передаваемая информация и тот
оператор, которому эта информация направлена).
Отметим, что приведенная логическая схема не содержит никаких
логических условий; поэтому порядок работы операторов сохраняется
все время неизменным.
2°. Логическая схема алгоритма, моделирующего
условный рефлекс
При моделировании схемы действия условного рефлекса следует
иметь в виду, что число экспериментов, после которых рефлекс уста-
устанавливается или угасает, является случайным. Закон распределения
числа необходимых экспериментов может быть установлен с достаточ-
достаточной степенью точности опытным путем.
Введем следующие обозначения: <х=1 означает, что раздражи-
раздражитель а действует, а = 0 — в противном случае, р=1—раздражи-
р=1—раздражитель р действует, р = 0 — в противном случае. (Интенсивность дей-
действия раздражителей здесь не учитывается.)
После каждого цикла работы алгоритма будет меняться некоторое
число с по формуле
В этом соотношении с„ — значение с, получившееся в предыдущем
цикле работы алгоритма, 7j — случайная величина с равным нулю мате-
математическим ожиданием и ограниченной дисперсией, закон распределе-
распределения которой подбирается так, чтобы приблизить действие модели
к реальному эксперименту, а 3 определяется соотношениями:
= 1 и а=\ Eх>0).
Таким образом, при длительном одновременном действии аир
число с будет, вообще говоря, увеличиваться, а при самостоятельном
действии р — уменьшаться.
Построим наш алгоритм так, чтобы
при а=1 реакция А всегда бы вызывалась,
при <х = 0, fi = 0 реакция А не вызывалась бы,
при <х = 0, р=1 реакция А вызывалась бы только в случае, если
с^> с0 (с0 — некоторое заранее выбранное постоянное число) и не вы-
вызывалось бы в противном случае.
Пусть оператор Ct заменяет с на с-\-Ьх,
«	С% « с на с — 31,
«	С3 « с на c-j-7j,
«	К(а, Р) задает значение 0 или 1 для величин а п
р каждый раз по произволу экспериментатора.


92	А. А. ЛЯПУНОВ И Г. А. ШЕСТОПАЛ
Логическая схема алгоритма условного рефлекса может быть тогда
записана в следующем виде:
=\)\р(* = 1) f сД	^
<Cдесь со означает тождественно-ложное логическое условие; после
этого условия дальнейший порядок работы всегда определяется стрел-
стрелкой, так как @ = 0.)
Рассмотрим работу этого алгоритма.
1-й случай: <х^р = О.
Порядок работы операторов будет таков:
в результате такого цикла реакция А не вызывается, с меняется на
случайную величину tj.
2-й случай: сс=1, E = 0.
Порядок работы:
KA,0)C3AK{ol, P)...,
реакция /4 вызывается, с снова меняется на случайную величину г]
3-й случай: сс = р=1.
Порядок работы:
K(\,\)CsC1AK{o., p)...,
реакция /4 вызывается, при этом с меняется по формуле
(т. е. при длительном совместном действии а и J число с будет воз-
возрастать— рефлекс подкрепляется).
4-й случай: к = 0, р = 1.
Пусть при этом с ^> с0; порядок работы:
К@,
т. е. реакция А вызывается, с меняется по формуле
(при длительном самостоятельном действии [3 число с будет умень-
уменьшаться — рефлекс угасает).
Если же с<^с0, то порядок работы операторов будет следующим:
#@, 1)С,С,#(<х,р).
При соответствующем выборе величины с0 и закона распределения
случайной величины г] устройство, работающее по этой схеме, будет
служить моделью описанного выше явления установления, торможения
и восстановления условного рефлекса.


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 93
3°. Логическая схема алгоритма работы диспетчера
железной дороги
Дадим алгоритмическое описание некоторого частного и идеализи-
идеализированного случая работы диспетчера, состоящего в следующем.
Движение поездов должно происходить согласно расписанию в одну
сторону по участку одноколейной линии (главному пути), содержа-
содержащей 5 остановочных пунктов, на каждом из которых имеется доста-
достаточно большое количество запасных путей. Между остановками запас-
запасных путей нет.
Диспетчер получает все сведения о движении поездов и об откло-
отклонении этого движения от расписания. Его задача состоит в принятии
решений и посылке таких приказов на станции, которые обеспечивали
бы регулярное безаварийное движение и давали бы возможность про-
пропускать в первую очередь поезда, идущие по расписанию. Эти ре-
решения принимаются в соответствии со следующими правилами:
1.	Могут посылаться четыре типа приказов: Ak— приказ об от-
отправлении поезда с главного пути, Bk—приказ о задержке поезда на
главном пути, Ск—приказ о переводе поезда на запасный путь
(в очередь за стоящими там уже поездами), Dk—приказ об отправле-
отправлении очередного поезда с запасного пути (если такой поезд там
имеется) (индекс k указывает здесь, что соответствующий приказ по-
посылается на k-ю станцию).
2.	На каждом перегоне между двумя соседними станциями может
находиться только один поезд.
Пока на перегоне между (k—1)-й и k-й станциями находится
поезд, на (к—1)-ю станцию дается приказ Bk_t.
3.	Если поезд приходит на k-ю станцию по расписанию и на эту
станцию не поступал приказ Bk, то этому поезду дается приказ Ак.
4.	Поезду, пришедшему на k-ю станцию с опозданием, дается
приказ Ck в случае, если на предыдущей станции стоит поезд, при-
пришедший туда по расписанию. Если же такого поезда нет и нет при-
приказа Bk, то дается приказ Ak.
5.	Приказ Dk дается в случае, если нет приказа Bk и если ни на
А-й станции, ни на перегоне между (k—1)-й и k-й станциями нет
поезда на главном пути.
6.	Никаким поездам не оказывается специального предпочтения.
Каждый из поездов может увеличивать свою скорость и нагонять поте-
потерянное время.
При составлении логической схемы мы будем считать Ak, Bk, Ck
и Dk элементарными операторами, осуществляющими соответствующие
приказы, посылаемые на k-ю- станцию.
Кроме того, обозначим через F (k) —¦ оператор, меняющий во всей
схеме k на (—1), (k — kp—1, где kp — предыдущее значение k),
F(k)—оператор, дающий значение k = s.


94	А. А. ЛЯПУНОВ И Г. А. ШЕСТОПАЛ
Введем следующие логические условия:
J 1, если на k-й станции есть поезд,
Pk==\ 0 — в противном случае;
j 1, если поезд прибыл на k-ю станцию по расписанию,
9fe=\ 0 — в противном случае;
( 1, если перегон между (k—1)-й и k-й станциями
rft=< свободен (на нем нет поезда),
[ 0 — в противном случае;
J 1, если на k-ю станцию поступал приказ Вк,
tk== \ 0 — в противном случае;
1, если k =fi= 1,
О, если k=\.
В этих обозначениях логическая схема алгоритма работы диспет-
диспетчера примет следующий вид:
3 _ 4 1 2 5	6,7,9, 12	3	4 15 6	7
2 8 10, 11	9 8	10	И	12
itfftt i Ak«>UPk-l t 9ft-1 t Cftwt
(со здесь имеет тот же смысл, что и в предыдущем примере).
Логическое условие с чертой сверху означает условие, ему проти-
противоположное (tk=\, если tk = 0 и lkz=0, если tk= 1).
Каждый цикл работы алгоритма представляет собой проверку со-
состояния и посылку приказов последовательно на все станции, начиная
с последней k = s (при этом некоторые сведения получаются и посы-
посылаются также на первую станцию следующего участка дороги (k = s -\- 1)
и на последнюю станцию предшествующего участка (k = 0). После
того, как становится k =¦ 1, цикл работы алгоритма начинается снова
и все старые приказы отменяются.
Предполагается, что время работы каждого цикла пренебрежимо
мало по сравнению с временем движения или стоянок поездов.
Рассмотрим несколько возможных случаев работы этого алгоритма.
Так как все условия проверяются по одинаковой схеме последова-
последовательно для всех станций, начиная с последней, то рассмотрим некото-
некоторый промежуточный этап работы алгоритма, положив 1 < k = kn < s.
1-й случай: pk=tk=\, т. е. на k-ю станцию пришел поезд,
который должен быть задержан.
В этом случае выполняются операторы Bk_tF(k), т. е. посылается
приказ задержки н на предыдущую станцию, а затем проверяются все
условия для этой станции.
2-й случай: pk=\, 'й=0, т. е. пришедший на k-ю станцию
поезд можно не задерживать.
Если поезд пришел по расписанию (qk=\), то выполняется AkF(k),
т. е. этот поезд отправляется, затем рассматривается положение на
предыдущей станции.


ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 95
Если же поезд опоздал (qk = 0), то он переводится на запасный
путь (Ck) или отправляется с главного (Ak) в зависимости от того,
пришел ли на (k—1)-ю станцию поезд по расписанию.
3-й случай: pk = 0— поезда на станции нет.
Рассмотрение этого случая связано с проверкой условий rk (свобо-
(свободен ли предшествующий станции перегон) и ~sk (отсутствие приказа
задержки).
Могут выполняться операторы
D*/7 (ft) ('* = ?*= 1)
или
или просто
F(k)(rk=\, 7, = 0).
Более подробное рассмотрение предложенной логической схемы чи-
читатель сможет теперь перевести самостоятельно. Предлагаем также
читателю построить логические схемы алгоритмов для приближенного
вычисления функции е* с помощью конечного отрезка ее ряда Тейлора
и для вычисления значения многочлена по схеме Горнера *).
6. Логические схемы алгоритмов играют очень большую роль
тогда, когда требуется реализовать этот алгоритм в вычислительной
машине, т. е. его программировать1).
Непосредственное составление программы для решения данной за-
задачи в виде последовательности приказов без использования логиче-
логических схем алгоритмов было бы весьма затруднительным. Поэтому перед
составлением программы сначала строится логическая схема алгоритма,
решающего данную задачу. После этого приходится заботиться лишь
о том, чтобы программировать каждый из операторов" и каждое из
логических условий, входящих в схему, т. е. осуществить их выполне-
выполнение при помощи приказов или подпрограмм машины (при осуществле-
осуществлении логических условий обычно бывает выгодно использовать приказы
условной передачи управления УП).
Кроме того, существенно и то обстоятельство, что одна и та же
логическая схема может быть использована для программирования за-
задачи в различных АБЦВМ, обладающих различным набором элемен-
элементарных операций.
В заключение мы рекомендуем читателю составить программы для
моделирования схемы действия условного рефлекса и для моделирова-
моделирования работы диспетчера железной дороги на УВМ1), используя приве-
приведенные выше логические схемы этих алгоритмов.
См. нашу статью в 1-м выпуске «Математического просвещения».


НОВЫЙ РЕЗУЛЬТАТ В ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В предыдущем выпуске «.Математического просвещения-»
(на страницах 162 и 166) сообщалось о достижении коллек-
коллектива московских математиков, доказавших возможность
представления каждой непрерывной функций трех и большего
числа переменных в виде суперпозиции функций двух пере-
переменных.
Совсем недавно А. Н. Колмогоров получил в этой облас-
области еще более сильный результат: он доказал, что каждая
непрерывная функция любого числа переменных может
быть представлена в виде суперпозиции функции-суммы
и непрерывных функций одного переменного.
Все эти результаты будут подробно освещены в статье,
которая печатается в 3-м выпуске «Математического про-
просвещения-».
А. ЭЙНШТЕЙН О СВОИХ ПЕРВЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВПЕЧАТЛЕНИЯХ
«В возрасте 12 лет я пережил -еще одно чудо совсем другого
рода: источником его была книжечка по евклидовой геометрии на
плоскости, которая попалась мне в руки в начале учебного года.
Там были утверждения, например, о пересечении трех высот тре-
треугольника в одной точке, которые хотя и не были сами по себе
очевидны, но могли быть доказаны с уверенностью, исключавшей, как
будто, всякие сомнения. Эта ясность и уверенность произвела на
меня неописуемое впечатление. Меня не беспокоило то, что аксиомы
должны быть приняты без доказательства. Вообще мне было дос-
достаточно, если я мог в своих доказательствах опираться на такие
положения, справедливость которых представлялась мне бесспорной.
Я помню, например, что теорема Пифагора была мне показана мо-
моим дядей еще до того, как в мои руки попала священная книжечка
по геометрии. С большим трудом мне удалось „доказать" эту тео-
теорему при помощи подобных треугольников; при этом мне казалось,
однако, „очевидным", что отношение сторон прямоугольного тре-
треугольника должно полностью определяться одним из его острых уг-
углов. Вообще мне казалось, что доказывать нужно только то, что
не „очевидно" в этом смглсле...-»
«.В возрасте 12—16 лет я ознакомился с элементами матема-
математики, включая основы дифференциального и интегрального исчисления.
При этом, на мое счастье, мне попались книги, в которых обраща-
обращалось не слишком много внимания на логическую строгость, зато
хорошо была выделена везде главная мысль. Всё это занятие было
поистине увлекательно; в нем были взлеты, по силе впечатления не
уступавшие „чуду" элементарной геометрии — основная идея анали-
аналитической геометрии, бесконечные ряды, понятия дифференциала п
интеграла...»
А. Эйнштейн, Творческая автобиография. Цит. по книге «Эйн-
«Эйнштейн и современная физика», М., 1956, стр. 31 и 33.


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА
Дж. Тодд
(J. Todd, США)
(Окончание)
в) Интегральные уравнения
Среди основных проблем применения численного анализа к интег-
интегральным уравнениям укажем на задачу, о связи между собственными
значениями симметрического ядра и собственными значениями апрокси-
мирующей матрицы. Достаточно полный обзор работ в этой области
был дан недавно Внландом *); он был подкреплен некоторыми экспери-
экспериментами по конформному отображению2), выполненными на ма-
машине SEAC (National Bureau of Standards Eastern Automatic Computer).
«Непрерывная задача» состоит в решении уравнения
1
о
Сделаем эту задачу «дискретной», заменяя интеграл по формуле
1
о
это приводит нас к матричной проблеме
Какова связь между конечным числом значений х и бесконечным
множеством значений k? Приведем типичный результат. Если в выра-
выражении E.1) выполним интегрирование по формуле трапеций
1
то при условии, что К удовлетворяет неравенству
где а, р пробегают значения —, — игде|д:—о. \<С^-. \У —
х) Н. W. Wieland, Error bounds for eigenvalues of symmetric matrices.
2) См. книгу, указанную на стр. 81 1-го выпуска «Математического про-
просвещения».
4 Матем. просвещение, вып. 2


98	дж. тодд
мы получим:
где наилучшим возможным значением константы С является
с) Сходимость и устойчивость1)
Вопросы сходимости и устойчивости решений дифференциальных
уравнений (как обыкновенных, так и уравнений в частных производ-
производных) очень интересны и совсем не элементарны. Некоторые сведения,
относящиеся к этому, в литературе многократно повторяются, а другие
остаются совершенно неосвещенными. Поэтому было бы особенно же-
желательно создание достаточно полного современного обзора этих вопро-
вопросов; однако в рамках этой статьи это не представляется возможным.
Рассмотрим сначала обыкновенное дифференциальное уравнение от-
относительно функции у=у(х). Получение численного решения сво-
сводится к тому, чтобы вычислить последовательность значений Yn =fe.y(-O
(для достаточно плотного множества значений {х„}), дающую прибли-
приближенные значения у(хп) при заданной границе ошибки. В случае ре-
решения задачи о нахождении собственных значений необходимо, кроме
этого, убедиться еще в том, что собственные значения дискретной
задачи достаточно близки к собственным значениям непрерывной за-
задачи. Существует много различных способов определения таких зна-
значений Yn. Как правило, однако, эти схемы выполняются не доста-
достаточно точно: вычисления производятся с округлениями. Последствия
этого могут быть катастрофическими2). Нам неизвестно ни одного
исследования численного решения дифференциального уравнения, где
настолько же подробно изучены детали вопроса, как в существующих
исследованиях решений задач об обращении или разложении матрицы").
Укажем на один из возможных источников трудностей. Предположим,
что мы хотим найти решение такого дифференциального уравнения,
которое имеет также и неограниченное решение, например ех для
уравнения у"=у. Может случиться, что ошибка будет содержать в
качестве компоненты неограниченное решение; эта компонента быстро
превзойдет всё остальное 4).
*) Этот пункт добавлен в немецком переводе Камке (см. сноску на стр. 75
1-го выпуска «Математического просвещения»).
2)	См., например, J. Т о d d, Notes on modern numerical analysis I, Math.
Tables and Other Aid to Computations, 1950, 39—44.
3)	Ср., однако, М. Lotkin, The propagation of error in numerical integra-
integration, Proc. Amer. Math. Sci., 5, 1954, стр. 869—887.
4)	Общее решение этого уравнения имеет вид С1е~х -\-С2е*. При соответ-
соответствующих начальных условиях С2 = 0. Если эти условия не удовлетворены
точно, С2 будет отлично от нуля. В результате приближенное решение будет
содержать слагаемое С8е*. (Прим. ред.)


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 99
Таким образом, кроме оценки качества приближения Yn к уп (за-
(задача сходимости), необходимо также исследовать вопрос о влиянии на
численный процесс того обстоятельства, что наши вычислительные
средства дают возможность получить только конечное количество цифр.
Вместо того чтобы получить Yn, мы фактически получаем некоторое Yn.
Исследование величины \уп— Yn | и составляет задачу об «устойчивости».
Аналогичные задачи, а также некоторые новые точки зрения воз-
возникают при изучении численного решения дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных. Рассмотрим простой пример.
Ставится задача решения уравнения
ttxx = ut при 0<х<1, *>0	E.2)
с граничными и начальными условиями
и @, 0 = 0, «A,0 = 0, t^O, a(x,0)=/(x).
Возьмем прямоугольную сетку, шаги которой имеют размеры h, k;
Л/А=1 (TV—натуральное число). Тогда простейшее уравнение в ко-
конечных разностях, апрокснмнрующее уравнение E.2), будет иметь вид
= r-U(m-\-\, n)-\-(\—2r)U(m, n)-\-r-U(от+1, л), E.3)
где
U(m, n) = U(mh, nk) =s= //(/я/г, nk), r = ^.
Все значения U(m, n) могут быть теперь вычислены по формуле
E.3), так как известны значения
U(m,0)=f{mh), U@,n) = 0 и U(N, п) = 0.
В рассматриваемом случае можно получить точные решения уравнений
E.2) и E.3) в явном виде; это дает возможность доказать для фик-
фиксированного значения г ( 0 <^ г <^ -к- J, что
U(m, п)—>-u(mh,nk) при п—»¦ оо (nk<^.T),
если предположить, например, что функция / непрерывна всюду, кроме,
быть может, конечного числа точек, в которых она имеет конечные
разрывы.
Допустим, что эти условия сходимости выполняются. Исследуем
теперь, какое влияние могут иметь ошибки вычисления. Предположим,
что заданы точные значения функции /; будем рассматривать теперь
ошибки округления в первой строке U(m, li (которые могут появиться
из-за того, что значения г и 1 — 2г не являются целыми) как началь-
начальные значения e(mh) некоторой новой задачи юго же типа, каь. и рас-
рассматриваемая.


100	дж. тодд
Пусть Е (т, п) является таким точным решением уравнения E.3),
которое соответствует начальным значениям e(sh) при s=l, 2, 3, ...
..., N—\.
Тогда
Л' —1
Е (т, п) = EN (т, п) = ^Г bt (N) sin mthu 1 — 4/- sin2 ( -^th тт J , E.4)
Л'-l
2 v^
гДе	bt(N)—-jr 2^ e (sh) sin sth-n.
5=1
Множитель p = 1 — 4r sin2 ( -к- tfrn J характеризует изменение от-
отдельных членов формулы E.4) при переходе от строки к строке. Если
1
принять, что г фиксировано иО<г<у, то существует такое р, что
|р|=^р<^1 для ^=1, 2, ..., N—1. Таким образом, абсолютная
величина каждого отдельного члена уменьшается. Мы не можем сде-
сделать заключения о том, что | Е (т, п) | убывает при возрастании п,
так как не все слагаемые в формуле E.4) имеют одинаковый знак.
Очевидно, однако, что если | е (sh) \ ограничено, например ^ ?, то
\Е(т, п) | s? 2 Л/е | р \" < 2Nb.
Предположим теперь, что значение N уже выбрано из соображений
сходимости. Тогда ошибка Е(т, п), вызванная изолированной последо-
последовательностью ошибок e(sh), может быть сделана малой за счет того,
что отдельные ошибки будут оставаться малыми. Общее влияние оши-
ошибок, возникающих в следующих друг за другом строках, может быть
оценено путем сложения. Очевидно, что при этих обстоятельствах чи-
численный процесс является «устойчивым». Из E.4) следует, наконец,
что при значениях г~^>-~- некоторые компоненты ошибки растут экспонен-
экспоненциально; однако в этом случае мы не имеем теоремы сходимости, за ис-
исключением тех случаев, когда / имеет специальное начальное значение.
Мы закончим этот параграф двумя замечаниями общего характера,
которые мы не будем развивать подробнее.
1.	Выбор размеров шагов сетки, который часто подсказывается со-
соображениями физического характера, совпадает, в случае устойчивых
способов решения дифференциальных уравнений, с тем, что является
целесообразным для численного решения задачи.
2.	В основу задачи об исследованиях ошибок можно положить ги-
гипотезу о том, что отдельные ошибки являются случайными величинами.
Конечно, это предположение несправедливо, так как поскольку вычис-
вычислительный процесс установлен во всех деталях, ошибки полностью
определены. Однако предположение о случайности ошибки может часто
принести пользу и привести к правильным оценкам ошибок.


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 101
6. Теория игр и связанные с ней вопросы
В этой области имеются проблемы, в которых существенную роль
может играть интуиция геометра; тут в высокой степени прнложима
теория многогранников и выпуклых тел н принцип неподвижной точки.
Основные положения теории игр, появившейся в 1928 г., были за-
заложены Нейманом1). Теория игр с двумя игроками и нулевой суммой
хорошо развита, но практическая задача нахождения цены такой игры
и оптимальных стратегий очень трудна; имеющиеся ее решения не
являются полностью удовлетворительными 2). (Можно указать на связан-
связанные с этой задачей и по существу ей эквивалентные проблемы реше-
решения систем линейных неравенств и линейного программирования в смы-
смысле Данцига.)
Среди методов решения этих проблем необходимо отметить методы:
симплекса, релаксации и двойного описания3). Мы приведем здесь
очень простой пример естественного подхода, разработанного Броуном,
законность которого была доказана Робинсоном4). Решение этой дпск-
*) J. von Neumann and О. Morgenstern, Theory of games and
economic behavior, изд. 2, Princeton Univ. Press, Princeton, 1947; J. С. С. М с-
K i n s e у, Introduction to the Theory of Games, New York, 1952.
2) Любая игра может быть приведена к следующей схеме. Имеются два
множества «стратегий» X и / и функция т (х, у), где х пробегает X, а у — К.
Два «игрока» выбирают определенные стратегии: первый иг.рок — стратегию х
из множества А", а второй — стратегию у из множества К; при этом второй
выплачивает первому сумму т (х, у). (Здесь уже подразумевается, что речь
идет и игре «с пулевой суммой», в которой общий капитал двух игроков
остается постоянным, т. е. выигрыш одного равен проигрышу другого.) Если
первый игрок выбрал стратегию х, то второму естественно выбирать такое у,
что т(х, у) минимально; при этом первый должен выбрать такое х, чтобы
min in (x, у) был максимальным.
У
Если
max min т (х, у) = min max т (х, у) = v.
х у	ух
то говорят, что игра имеет цену, которая в этом случае равна v. Стратегия х0,
такая, что min т (х0, у) = V, называется оптимальной для первого игрока;
у
аналогично определяется оптимальная стратегия для второго игрока.
Эта общая схема ниже иллюстрируется на простом примере, когда множе-
множества X и У состоят каждое из двух элементов. (Прим. ред.)
г) G. В. Dantzig, Maximization of a linear function of variables subject
to linear inequalities, в книге Aktivity Analysis of Production and Allocation,
New York, 1951, стр. 339—347; S. Agmon, The relaxation method for linear
inequalities, Canadian J. Math., 6, 1954, стр. 382—392; Т. S. Motzkin and
1. J. Schoenberg, The relaxation method for linear inequalities; там же;
стр.393—404; Т. S. M о t z k i n, H. R a i f f a, G. L. T h о m p s о n and R.M. Thrall,
The double description method, в книге Contributions of the theory of games,,
т. 2, Annals of Math. Studies 28, 1953, стр. 51—73.
*) G. W. Brow n, Iterative solution of games by fictitious play, в книге
Activity Analysis of Production and Allocation, New York, 1951, стр. 374—376.
J. Robinson, An iterative method of solving a game, Ann. Math., 54, 1951,
стр. 296—301.


102	дж. тодд
оетной задачи непрерывным методом было дано Броуном и Нейманом ');
мы еще вернемся к этой идее непрерывного подхода к дискретным
задачам (см. § 8, с).
Рассмотрим следующую игру с двумя игроками R и С, каждый из
которых располагает двумя возможностями. Эти возможности мы можем
интерпретировать как выбор строки или столбца в «матрице-выплате»
-G !)•
Если R выберет /-ю строку, а С— /-й столбец, то R получает р,-у
от С. Очевидно, что это — несправедливая игра, и R должен запла-
заплатить за право играть в нее.
Мы покажем далее, что пена этой игры равна 2,5, а оптимальные
стратегии состоят в следующем: R должен выбирать и первую и вто-
вторую строку с вероятностью -»-; С должен выбирать первый столбец
1	3
с вероятностью -г- и второй с вероятностью -j-. Эти утверждения
имеют следующий смысл: если R будут играть указанным способом, то
математическое ожидание его выигрыша будет не меньше, чем 2,5;
в то же время, если С выберет описанную стратегию, то математиче-
математическое ожидание- его проигрыша не будет превосходить 2,5.
Это утверждение нетрудно доказать. Пусть R выбирает 1-ю строку
с вероятностью г ^ 0 и 2-ю строку с вероятностью 1 — г ^ 0; пусть
С, в свою очередь, выбирает 1-й столбец с вероятностью с>0 и 2-й
столбец с вероятностью 1 — с ^ 0. Тогда выигрыш, на который может
рассчитывать R, равен
?= 1.re-f-4(l— r)c+3r(\— с)+ 2A— r)(l — с).
Это выражение можно преобразовать к виду
Это показывает, что если г=-^-, то ?=-^ для любого значения с,
а если г=^ь-^у то с может быть выбрано так, чтобы Е было меньше
5	1	,, 5
-»-; аналогично, если с=-т-, то Ь = -^
быть выбрано так, чтобы сделать Е больше -^
5	1	„ 5	, 1
-^-; аналогично, если с=-^, то Ь = -~-, а если с=^=-^, то г может
'1 G. W. Brown and J. von Neumann, Solution of games bv differen-
differential eauations, в книге, указ. в конце сноски ") иа предылушеи страниие. г. 1,
стр. 7.4—79.
'' (.[1. J. С. С. Me Kinsey, Introduction on the Theory ot Games, New
York, 1УЬ2


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 103
Как можем мы достичь этих результатов пли приближения к ним
другим способом? Представим себе, чго мы рассматриваем последова-
последовательность партий этой игры, в каждой из которых игроки выбирают
свои наилучшие стратегии следующим образом. Пусть из п сыгранных
партий С выбирал 1 в с^-п партиях, и 2— в остальных с^-п пар-
партиях. Если предположить, что С будет продолжать так действовать,
то математическое ожидание выигрыша R в следующей партии будет
равно
е1 = с1-|-Зс2, если ои выбрал I
и
ei = 4c1-\-2ci, если он выбрал 2.
Поэтому R выберет 1 или 2 в зависимости от того, будет ли е1 IS? e2
или ел <^ е2. Аналогично, если R выбрал 1 в r^-п партиях и 2 в осталь-
остальных гф-н партиях, то С выберет 1 или 2 в зависимости от ожидаемой
величины своего проигрыша, которая равна
/j = г, -\- 4г2 в случае, если он выберет 1,
и
/2 = 3r1 -J- 2г2 в случае, если он Еыберет 2.
Конечно, С выберет 1, если /isS/2, н 2, если fx ]>/2.
Таким образом, мы фактически описали алгоритм попеременного вы-
выбора игроками R и С. Последовательность выборов определится после
того, как мы произвольно сделаем начальный выбор для R, например I.
Возникающая при этом последовательность выборов может быть раз-
разбита на пары, т. е. на последовательность партий, именно: A, 1), B, 1),
B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), A, 2), A, 2), A, 2), {1, 2),
A, 2), A, 1), A, 1), B, 1), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), A, 2), A, 2),
A, 2), A, 1), A, 1), B, 1), A, 1), B, 1), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2),
B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), B, 2), A, 2), A, 2),
A,2), A,2), A,2), A,2), A, 2), A,2), A,2), A,2),...
Было доказано Робинсоном *), что если п—»-оо, то последовательно-
последовательности {?<">}, {г^} стремятся к оптимальной стратегии, т. е. с^">—*-т-,
г№—*--тг , а средняя выплата />(") стремится к цене игры. В нашем случае
/•(ЕС) = 0,48, с<5°) = 0,2, /f°> = 2,4.
Структура написанной выше последовательности, состоящей из сое-
соединений одних и тех же элементов, является типичной; очевидно, это
может быть использовано для ускорения сходимости 2).
х) См. сноску4) на стр. 101.
3) О некоторых практических экспериментах в этой области см. A. Hoff-
Hoffman, М. Mannos, D. S о к о 1 о w s к у and N. Wiegmann, Computa-
Computational experience in solving linear programs, J. Soc. Ind. Appl. Math, 1, 1953,
стр. 17—34.


104	дж. тодд
Другой алгоритм, сходимость которого также доказана, состоит
в следующем. Первым шагом производится одновременный произволь-
произвольный выбор ходов начальной партии, например A, 1). Следующие пар-
партии определяются путем одновременного выбора ходов игроками R н С
в соответствии с только что описанным принципом. Выпишем несколько
первых членов последовательности партий в этом случае:
A, 1), B, 1), B, 1), B, 2), ...
Было замечено, что первый из двух описанных алгоритмов сходится
быстрее.
Рассмотрим еще одно применение теории игр к так называемой
задаче назначения. Задача состоит в том, чтобы назначить п квад-
квадратных колышков для п круглых отверстий таким способом, чтобы
достичь их наибольшей пригодности. Другими словами, если дана мат-
матрица (с,у), то мы должны выбрать перестановку p(i) от A, 2, . .., и)
так, чтобы сумма
имела бы наибольшее значение1). Теоретически эта задача тривиальна:
для ее решения достаточно найти наибольшую из п\ сумм вида F.1).
На практике, однако, это может быть совершенно невыполнимо, по-
поэтому мы должны стремиться к тому, чтобы определить некоторое при-
приближение к указанному максимуму. Один из путей для выполнения
этого, указанный Нейманом2), состоит в построении эквивалентной за-
задачи теории игр — она оказывается одним из видов задачи об игре
«в прятки» — и ее приближенном решении только что описанным мето-
методом. Первый игрок выбирает пару индексов /, у (I ^i^n, I =^у ^и);
он располагает п2 стратегиями. Второй сначала назначает, какой индекс
Он будет отгадывать, первый или второй, а затем отгадывает назна-
назначенный им индекс путем стратегии k(l^k^n); он располагает 2и
стратегиями.
В первом случае, если k = i и во втором случае, если k=j,
первый игрок платит второму (а^), в других случаях выплата не
производится совсем3).
') Если а!р (,•) = ?>,- — dp(i) есть разность диаметров 1-го отверстия и описан-
описанной окружности р (/)-го колышка, вставленного в это отверстие, то естественно
Стремиться к тому, чтобы сумма^] aip(i) была возможно больше (чтобы колы-
i
шки входили в отверстия возможно более свободно). {Прим. ред.)
2) J. von Neumann, A certain zero-sum two-person game equivalent to the
assignment problem (стр. 5—12 книги, приведенной на стр. 101 в конце
сноски 3).
8) Если затем первый игрок снова выбирает пару индексов (/, у) из остав-
оставшихся еще значений и т. д., то множество стратегий первого игрока состоит
из всевозможных систем
С. Л&. А). D. Л). ••¦- Cm/n).
где /, iv i2, ... и /, jv ya, ... суть перестановки нумеров 1, 2, ..., п. Выбор


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 105
Проблема назначения была рассмотрена этим методом для случая
я=12. Было, однако, найдено, что непосредственное приближение,
которое рассматривает задачу назначения как частный случай «задачи
перевозки» *), оказалось очень плодотворным. Матрица перестановки
(Pij) выбирается так, чтобы 2Луй<у имела бы наименьшее значение;
решение производится, например, методом симплекса ).
Обзор этих проблем и их обобщений с современной точки зрения
был сделан Моцкиным 3). Среди этих проблем рассматриваются задачи
перевозки, поставки, контактов путешествующего коммивояжера. Реше-
Решения задач этого типа получаются теперь на быстродействующих вы-
вычислительных машинах, они оказывают помощь при принятии важных
решений в промышленности или военном деле. Среди других проблем
этого же характера, находящихся еще в стадии исследования, нужно
указать на проблемы, связанные с теорией организации, которыми за-
занимались Томкинс и Маршак.
7. Монте-Карло4)
Эта область имеет большое количество разделов, где многое
остается недоказанным. Это может быть замечено при рассмотрении различ-
различных сборников работ, ей посвященных5). Например, в течение четы-
четырех последних лет мы образовывали на машине SEAC миллионы псевдо-
псевдослучайных чисел, пользуясь соотношениями
или
г 	9~44v	v — v- _!— v imcA 944\ v = П v = 1
оптимальной стратегии сводится к выбору определенной подобной системы или
определенной суммы
«<•/+«/.л+<v, + • • •+*/„/„=2 а'р ('¦>•
(Прим. ред.)
*) См. статью Т. S. Motzkin, The assignment problem в книге J. H. Cur-
Curtis s, Proceedings of the Sixth Symposium on Applied Mathematics: Numerical
Analysis, Santa Monica, Calif, New York, 1953.
й) О методе симплекса см. G. В. Dantzig (см. сноску3) на стр. 101).
а) См. сноску *) на этой странице.
4)	Метод Монте-Карло заключается в том, что вычисляемая величина ин-
интерпретируется как функция распределения вероятностей (или плотность веро-
вероятности) для какого-либо случайного процесса; затем очень много раз осущест-
осуществляется соответствующий случайный процесс и распределение вероятностей
подсчитывается из этих экспериментов (т. е. вероятности заменяются соответ-
соответствующими частотами). (Прим. ред.)
5)	A. S. Householder, G. E. Forsythe and H. H. Gerraond,
Monte Carlo Method, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series,
№ 12, U. S. Government Printing Office, Washington, D. C, 1951; cp. Proceedings
of a Symposium on Monte Carlo Method, Gainesville, Fla., март, 1954.


108	дж. тодд
гп должны вести себя так, как случайные числа, равномерно распре-
распределенные на интервале @, 1). Результаты, которые мы получили, были
достаточны во всех тех случаях, где можно было провести независи-
независимый контроль1). Однако мы не имеем теорем о «случайности» этих
последовательностей или о распределениях в отрезках этих последо-
последовательностей таких размеров, которые использовались в наших вычи-
вычислениях.
Мы упомянем здесь также «процесс квази-Монте-Карло», которым
занимались Пек н Рихтмайер 2). Алгебраическая теория чисел на весьма
высоком уровне использована здесь для вычисления ошибки, совершен-
совершенной при замене интегралов суммами значений подинтегральной функции
в точках, определенных некоторыми алгебраическими числами.
8. Современная деятельность в области численного анализа
Мы упомянем здесь о немногих областях, с которыми мы хорошо
знакомы и которые нам кажутся интересными. Этот частный выбор не
включает поэтому описания многих областей, в которых были сделаны
существенные успехи (например, метеорологии), и областей, уже опи-
описанных в других работах 3).
а) Сверхсовременный численный анализ
Одно из направлений, в котором ведутся эксперименты, может
сыть охарактеризовано следующим образом. Обычно при рассмотрении
свойств материи считают процесс непрерывным, составляют для него
дифференциальные уравнения, изучают их, а затем заменяют их раз-
разностными уравнениями. Решая далее эти разностные уравнения, уже
не обращают внимания на их физический смысл. Другой подход со-
состоит в том, чтобы с самого начала считать задачу дискретной, сое-
соединяя «молекулы» в такие малые группы, которые допускаются воз-
возможностями вычислительного устройства.
Среди тех, кто решал задачи таким общим способом, нужно ука-
указать Снгера, Неймана и Полачека4), которые занимались ударными
г) J. Т о d d, Experiments in the solution of differential equations by Monte
Carlo methods. J. Washington Acad. Sci, 44, 1954, стр. 377—381.
2)	L. G. Pec k, On uniform distribution of algebraic numbers, Proc. Amer.
Math. Soc, 4, 1953, стр. 440—443; R. D. R i с h t m у е r, The evaluation of de-
definite integrals and a quasi-Monte Carlo method based on the properties of
algebraic numbers, Los Alamos Scientific Lab., Report LA-1342, 1951—1952.
3)	Transactions of the Symposium on Appjied Mathematics, held April 1954
at the University of Chicago, lnterscience, New York — London, 1955; G. В i r k-
hoff, К. О. Friedrichs and Т. Е. Stern, Transactions of the Symposium
"on Fluid Mechanics and Computing, held April 1953 at New York University,
lnterscience, New York — London» 1954.
4)	R. J. Seeger. On computational techniques for certain problems in fluid
lUnamics. Proceedings of a Symposium on Large Scale Digital Calculating Machi-
Machinery, Computation Laburatory, Harvard University, Annals, 16,1948, стр. 157—168.


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 107
волнами. Паста и Улам изучали таким методом вопросы о смешении
жидкостей и о движении групп звезд. Метрополнс и Ферми исследо-
исследовали уравнения состояния отдельных взаимодействующих частиц, обра-
образующих идеальную жидкость. Фрё'берг ') изучал модель фотографи-
фотографической эмульсии.
Ь) Приложения к биологии
Первой в этой области была работа Тюринга по поводу задачи
морфогенезнса 2). Тюрннг сконструировал математическую модель роста
эмбриона и показал, что для объяснения фактов, касающихся развития
его анатомической структуры, достаточно применить хорошо известные
физические законы.
Другим приложением явилось изучение реакции нервных волокон
на электрические возбудители. Это явление описывается системой че-
четырех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (Ходкнн—
Хаксли). Система рассматривалась на машине SEAC Кулом, Антосе-
впчем и Рабиновичем; в частности были определены пороговые значения
входного тока. Совпадение этих значений с результатами миллионов
экспериментов показывают надежность модели и побуждают произво-
производить дальнейшие исследования в этой области.
Баричелли изучал на машине Принстонского университета числен-
численные аналогии генетических и эволюционных процессов.
с) Комбинаторный анализ
Эта область является хорошим источником задач. Здесь недавно
появились работы Кэрнса и Томкинса3). Исследователь в области чис-
численного анализа часто, однако, и сам убеждается в силе этих методов,
когда он пытается решать задачу прямыми методами.
Одна из новых идей состоит в непрерывном приближении к диск-
дискретным задачам, в частности к отысканию совершенных систем разно-
разностей. Совершенной системой разностей называется система п -\-1
целых чисел, для которых все их п{п-\-\) разностей не сравнимы
с нулем по модулю я2-{-я-{-1. Например, разности чисел 1, 2, 4
равны ±1, +2, +3, т. е. все они не сравнимы с нулем по мо-
модулю 7; таким образом, 1, 2, 4 образуют совершенную систему раз-
разностей с модулем 7.
1)	С.-Е. F r f> b e r g, On a mathematical model of a photographie emulsion.
Arkiv for Hsik, 7, 1954, 497—502.
2)	A. M. Turing, The chemical basis of morphogenesis, Philos. Trans.
Royal Soc, London, серия В. 237, 1952, стр. 37—72.
3)	S. S. С a i r n s, Computational attacks on discrete problems, Amer. Math.
MontiI y, 61, 1954, Proc. Symposium on Special Topics in Applied Mathematics,
стр. 29—31. С. В. Т о m p k i n s. Application of automatic digital computers to
problems with discrete variables, в книге, указанной в сноске') на стр. 105.


108	дж. толд
Система совершенных разностей У может быть определена
N= rf-\-n-\-1 константами хг, где xr=l, если г ?of н хг = 0
в противном случае. В этом случае мы имеем:
*=1 (*=1, 2, ..., W—I)
г
(индекс v-|-s следует брать по модулю N); следовательно,
2Л = («+»)'.	(8.1)
Отсюда, таким образом, следует, что такая система хг минимизирует
выражение
так как, ввиду (8.1) J отличается только на константу
+И 2 (л)
S > О
Это внушает мысль о получении системы х, путем минимизации зна-
значения J, рассматриваемого теперь как функция от ./V непрерывных
действительных переменных хг, подчиненных условиям (8.1), может
быть, при других соотношениях, таких, что 0 sg; xv ==: 1. Такая попытка
была произведена на быстродействующей машине SWAC (National
Bureau of Standarts Western Automatic Computer) методом кратчайшего
спуска. В то время как приемлемые значения для у были быстро по-
получены, соответствующие значения для х. не были целыми.
d) Теория чисел и алгебра
Эти вопросы также являются естественными источниками для воз-
возникновения проблем, требующих применения быстродействующих мате-
математических машин; в частности,— это вопросы элементарной, алгебраи-
алгебраической и аналитической теории чисел, а также и чисто алгебраические
вопросы 1).
Д. Лемер и Е. Лемер и их сотрудники проделали недавно на
SWAC ряд работ, главным образом по элементарной теории чисел.
Среди других работ укажем на исследование вопроса о делимости
числа [(р—l)!-j-l]:p на р. Было известно, что делимость имеет ме-
место для р = 5ир=13; Гольдберг2) нашел, что она имеет также место
для р = 563 и ни для какого другого р<С 10 000.
г) К. Goldberg, log ехеУ in a free associative ring, Bull Amer. Math.
Soc, 60, 1954, стр. 332—333.
2) K- Goldberg, A table of Wilson quotients and the third Wilson prime,
J. London Math. Soc. 28, 1953, стр. 252—256.


МОТИВЫ ДЛЯ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА 109
Труднее описать задачи, возникающие в алгебраической теории
чисел. Обзор вычислительных задач в этой области был дан Таусской 1).
После этого появилась работа Кона и Горна о единицах в кубических
полях2).
Имеется много различных попыток изучения нулей дзета-функций
Римана; среди них отметим работу Тюринга 3).
Среди чисто алгебраических работ упомянем исследования Пэджа
и Томкинса о систематическом образовании перестановок н их приме-
применениях к задачам теории групп, а также работу Гольдберга о формуле
Бэкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа. Форсайт подсчитал все полугруппы
(их 126) четвертого порядка. Характеры полугрупп изучались Бэвннсом
и другими, а также Комеэтом.
е) Топология
Очевидно, что приближенное вычисление величин, о которых изве-
известно, что они должны быть целыми, может быть использовано для их
точного определения, если известно, что абсолютная величина ошибки
меньше -w ¦ Это использовано в уже упоминавшейся работе об опре-
определении тс (я). Паста и Улам высказали мысль о том, что дальнейшие
приложения могут быть сделаны в задачах по существу топологиче-
топологических, например, в задаче об исследовании структуры силовых линий
поля, вызванного током, текущим по двум бесконечным линейным про-
проводникам искривленной формы.
Простое приложение этого принципа может быть сделано также
к исследованию вопроса о расположении нулей многочлена P(z). Мы
используем тот факт, что
Р(г) •"¦•
где п — число нулей, находящееся внутри простой замкнутой, спрям-
спрямляемой кривой С. Можно выбрать в качестве С квадрат таких разме-
размеров, чтобы он содержал внутри себя все нули P(z), а затем процессом
разбиения квадрата на секции указать приближенно расположение
нулей. Интегрирование должно быть выполнено с абсолютной ошибкой,
меньшей -^-; если это окажется трудным из-за нсчезнозения или по-
почти полного исчезновения P(z) на границе, то тогда мы знаем, что
х) О. Т a u s s k у, Some computational problems in algebraic number theory,
в книге, указ. в сноске •) на стр. 105.
2)	Н. С о h n, Numerical study of signature rank of syclic cyclotomic units,
Math. Tables and Other Aids to Computation, 8, 1954, стр. 186—188.
3)	A. M. Turing, Some calculations of the Riemann zeta-function, Proc
London Math. Soc; серия 3, 3, 1953, стр. 99—117.


110	дж. тодд
ока^ачись вблизи нуля и можем действовать соответственно. Конст-
Конструктивное доказательство основной теоремы алгебры, использующее
эти идеи, было дано Розенблюмоч 1).
9. Теория машин или автоматов
Среди тех, кто спосооствовал получению основных результатов
в этом направлении, нужно указать на Тюринга, Шэннона и Неймана2).
Другие исследования имеют вспомогательный характер: использование
машин для проектирования новых лучших машин; построение само-
нсправляющих кодов и усовершенствования при пользовании машинами,
т. е. более автоматическое кодирование. Многие из этих вопросов
относятся скорее к области логики, чем численного анализа.
{Перевод с английского Г. А. Шестопал
под редакцией К. А. Семендяева)
х) Р. С. R о s e n b 1 о о m, An elementary constructive proof of the funda-
fundamental theorem of algebra, Amer. Math. Monthly, 52, 1945, стр. 562—570.
2) A. M. T u ring, On computable numbers with an application to the
Entscheidungsproblem, Proc. London Math. Soc, серия 2, 42, 1936, стр. 230—265,
и 43, 1937, стр. 544—546; С. Shannon, Computers and automata, Proc. Inst.
Radio Eng., 41, 1953, стр. 1234—1241; J. von Neumann, The general and
logical theory of automata, стр. 1—41 в книге Cerebral Mechanisms in
Behavior, New York, 1951. См. также сборник «Автоматы» под ред. К. Шенона,
Изд.-во Иностр. Литературы, М., 1956.
Поправка. В конце первой части статьи Тодда («Математическое про-
просвещение», вып. 1, стр. 86) в двух местах (строки 18 и 16 снизу) вместо буквы
Г («гамма») напечатано Y («ипсилон»).


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В. Бляшке
(W. Blaschke, ФРГ)
Предисловие
Зтп лекции я читал в Гамбургском университете на летнем семе-
семестре 1952 г. в цикле «Studium Generale»1). Они были задуманы не
столько для специально изучающих математику, сколько для более
обширного круга лиц, обладающих математическими знаниями в объеме
нашей полной средней школы.
Отправляясь от основополагающих вопросов, поставленных древне-
древнегреческими геометрами, я стараюсь показать, насколько эти проблемы
оказались плодотворными в последующие века. При этом я придержи-
придерживаюсь по возможности «наглядных» задач (я сознаю спорность этого
термина).
Я желал бы, чтоб "это сочинение послужило пробуждению геомет-
геометрического духа, который в последние десятилетия пребывает в состо-
состоянии летаргии.
§ 1. Пифагор
Наши сведения о греческой геометрии до Евклида крайне скудны.
Ионическая Малая Азия, где в восьмом веке до н. э. родились поэмы
Гомера, является также колыбелью точных наук в Европе. В 6 в. до
н. э. в богатом торговом городе Мплете жил и творил легендарный
Фалес, который со своим пристрастием к воде играет исключительную
роль во второй части «Фауста» Гёте. (По-виднмо.му, сам Гёте, проис-
происходивший из семьи виноторговцев, был далек ог этого пристрастия
Фалеса; впрочем, и к математике Гёте относился довольно холодно.)
Фалес (род. около 625, ум. в 546 г.) был современником афинского
законодателя Солона и поэтессы Сапфо 2) с острова Лесбос. Предпола-
1)	Лекции В. Бляшке были выпущены отдельной книжкой: W i I h e I m
Blaschke, Griechische und anschauliche Geometrie, серия «Mathematische
Einzelschriften», вып. 1, MOnchen, 1953, 59 стр.; перевод этих лекций помещает-
помещается здесь с небольшими редакционными изменениями и пояснительными приме-
примечаниями. (Прим. ред.)
2)	Sappho (в русской литературе более распространена транскрипция «Са-
фо»). (Прим. ред.)


112
В. БЛЯШКЕ
гают, что он занимался изучением фигуры, которая получается, если
в прямоугольнике провести диагонали и описать около него окружность
(рис. 1); при этом Фалес должен был обнаружить, что вписанный в
полуокружность угол является прямым. Для доказательства он, воз-
возможно, использовал свойства симметрии этой фигуры. По-видимому,
Фалес умел также, используя подобные треугольники, измерять высоту
пирамиды по ее тени (рис. 2):
- = -• h = ±-K
а а"	а' '
Кроме того, Фалес показал, к&к можно определить расстояние от на-
наблюдательной вышки до судна. Соответствующий материал можно
а'
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
найти уже в клинописных текстах; эти открытия вавилонских геомет-
геометров были ко времени Фалеса хорошо известны в Египте, откуда, по-
видимому, Фалес и почерпнул их.
Ему или его школе приписывают также теорему о том, что сумма
углов треугольника равна двум прямым (рис. 3). То, что углы можно
складывать так же, как и расстояния,
с первого взгляда не очевидно. На-
Наряду с Фалесом видную роль в раз-
развитии древней математики играл его
младший современник Анакснмандр,
которому, как и Фалесу, приписывают
также открытия в области астро-
астрономии.
Однако самым значительным математиком этого раннего периода
был Пифагор Самосский (род. ок. 580, ум. в 500 г.). Около 550 г.
он прибыл в город Кротон, расположенный на берегу Тарентского за-
залива на юге Италии. Там в Калабрии и, возможно, в Сицилии он уч-
учредил философско-политическое общество пифагорейцев, сообщение о
которых мы находим у Аристотеля и которые, пожалуй, первые заня-
занялись математикой, как «чистой наукой», т. е. ради нее самой. (Я сам
как раз недавно вернулся с берегов «Великой Греции»1) сюда, на су-
1) Так в древности называли греческие колонии в Южной Италии и в Си-
Сицилии. (Прим. ред.)


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
113
ровый Север, и надеюсь, что кое-что от духа пифагорейцев привилось
и мне.) Подобно тому, как после захвата Константинополя турками в
1453 г. византийская наука была перенесена беженцами в Италию, так
и за две тысячи лет до этого — около 550 г. до н. э.— после завоевания
персами побережья Малой Азии, ионийские беженцы перенесли иони-
ионическую и вавилонскую ученость на греческий запад, в южную Италию,
тогда еще богатую лесами.
От Пифагора, как и впоследствии от Сократа, не осталось никаких
письменных документов. Все покрыто таинственным мраком, отчасти
благодаря тому, что учение пифагорейцев было связано с пророчеством,
мистикой чисел и учением о гармонии; этот образ мыслей пифагорей-
пифагорейцев долго еще, вплоть до И. Кеплера A571—1630) оказывал влияние
на последующих математиков.
Однако уже в древние времена эти мистические теории Пифагора
вызывали порицание; так, например, младший современник Пифагора
Гераклит Эфесский пишет о нем:
«Пифагор, сын Мнезарха, предался исследованию больше всех
людей и, разыскав эти сочинения, извлек из них свою собственную
мудрость: многознанпе и обман».
Также и Аристотель рассказывает, что
Пифагор сперва занимался математикой и
изучал свойства чисел; впоследствии же он
недалеко ушел от сказок Фередика1).
К числу теорем, заимствованных Ппфаго- с<
ром в Египте или в ионической школе Фале-
са, относится также теорема Пифагора,
которая гласит: в прямоугольном треугольнике
со сторонами а, Ь, с (рис. 4) всегда
а?-\-Ь2 = с*.	Рис. 4.
Доказательство этой теоремы делается очевидным из воспроизве-
воспроизведенного здесь рисунка, давно известного в Индии и Китае и показыва-
показывающего, что
. 1
В частности, давно известен (по меньшей мере с 2000 г. до н. э.)
треугольник со сторонами 3, 4, 5, который (согласно М. Кантору)
египетские землемеры применяли для построения прямых углов с помо-
помощью веревки. Самое раннее упоминание о теореме Пифагора мы нахо-
1) Эти и другие исторические сведения я почерпнул, главным образом, из
новой книги О. Becker und J. Е. Н о f m a n n, Geschichte tier Mathematik,
Bonn, 1951. [Фередик — полулегендарный греческий философ, учитель Пифа-
Пифагора, автор не дошедшего до нас сочинения «О богах и природе». (Прим.
ред.)]


/14	В. БЛЯШКЕ
дим в стихах математика Аполлодара, не прославившегося ничем дру-
другим; в этих стихах говорится:
«Когда Пифагор нашел свою знаменитую фигуру, в честь ко-
которой он принес блестящую жертву...»
С теоремой Пифагора связано открытие иррациональных чисел, а
именно — открытие того, что уравнение х2 = 2 не может иметь рацио-
рационального решения д: = — (р, q — целые). Одного геометра, распростра-
распространявшего это тревожное известие, утопили. Вероятно, теорию пересе-
переселения душ Пифагор тоже почерпнул у своих восточных предшествен-
предшественников; возможно, что он сам совершил путешествие в Египет. Откры-
Открытие правильных тел, которые мы называем Платоновыми в честь
Платона (род. около 429, ум. в 348 до н. э.), а именно тетраэдра,
куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра (см. рис. 7—11 на стр. 123)
восходит, по всей вероятности, еще к пифагорейцам.
Одним из последних пифагорейцев был полководец и государствен-
государственный деятель Архит Тарентский, умерший около 360 г. до н. э.; бла-
благодаря его связям с Евдоксом и Платоном, математика была перенесена
в Афины, где обосновалась в Академии Платона. Из этой школы, к
которой в IV веке до н. э. принадлежали Теэтет, Евдокс и Менехм, вышел
впоследствии Евклид1).
§ 2. Эпоха Евклида
Прежде чем обратиться к самому Евклиду, бросим взгляд на поло-
положение Греции тех времен. С 431 по 404 г. до н. э. в Греции шла
междоусобная пелопонесская война, описанная Фукидидом. Она на-
настолько ослабила собственно Грецию, что города-государства, которые,
несмотря на угрозу извне, не были подготовлены к объединению,
*) Подробнейшие сведения о ранней греческой геометрии содержит книга
Pau J-H enri Michel, De Pytha^ure a Euclide, Contribution a l'histoire des
mathematiques preeuclidiennes, Paris, 1950, 700 стр. В этом объемистом научном
труде собрано всё представляющее интерес о самом Евклиде и о его пред-
предшественниках.
Новую книгу о ранней истории математики в Египте, Вавилоне и Греции
написал В. L. Van der Waerden, Ontwakende Wetenschap, Grouingen, 1950.
Об этом же см. О. N е u g e b а и е г, Vorgriechische Mathematik, Berlin, 1934.
[Русский перевод О. Нейгебауэр, Лекции по истории античных матема-
математических культур, т. 1, Догреческая математика, М. — Л., 1937].
Из новых книг, содержащих исторические изыскания о состоянии грече-
греческой науки, см. выдающуюся книгу голландца Е. J. D i j k s t e r h u i s, De Me-
chanisering van het Werelbbeeld, Amsterdam, 1950, и обширный, но спорный
труд A. R й s t о w, Ortsbestimmung der Gegenwart, том II, Erlenbach — Zurich,
1952.
Итальянский геометр Ф. Энрикес A891—1946) устно высказывал мне-
мнение, что доевклидова греческая геометрия имеет большие преимущества для
историка, так как его фантазия очень мало сдерживается достоверными источ-
источниками.


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	115
стали жертвой нападения Филиппа Македонского (битва при Херонее
в Беотии, 338 г.). После его насильственной смерти в 336 г. власть
перешла к его старшему сыну Александру, воспитаннику Аристотеля.
В 334 г. Александр начал войну против Персии, в результате кото-
которой были покорены близлежащие земли Ближнего Востока; это при-
привело к распространению греческой культуры в персидском царстве.
После смерти Александра C23 г.) его империя была поделена между
его полководцами; важнейшая часть империи в Египте стала государст-
государством Птолемеев со столицей в блестящем городе Александрии, осно-
основанном Александром. Во время Птолемея II Фпладельфа, правившего
с 285 до 246 г.,. и в особенности при его сестре-супруге Арсииое II
в Александрии был создан очаг муз, Музей — первое государственное
средоточие высшей духовной культуры, вроде наших университетов и
академий; он был приспособлен для астрономических наблюдений, ана-
анатомических исследований и имел выдающуюся библиотеку и первую
государственную коллекцию греческих рукописей. В это время, как
можно узнать из книги Эрнста Корнемана *), государство Птолемеев и
его центр Александрия занимали господствующее положение в полити-
политическом, экономическом и культурном отношениях среди всех средизем-
средиземноморских государств.
Александрия и ее Музей более полутысячелетия оставались центром
духовной культуры, пока Музей не пал жертвой ярых поборников хри-
христианства. Еще при Птолемее I, царствовавшем с 306 по 283 г., в
Александрии начинается деятельность Евклида, венцом которой является
его основное сочинение «Элементы» или «Начала». Возможно, что
слово «элементы» происходит от названий первых букв Л, М, N (/, т, п)
древнего греческого алфавита.
По распространенности и длительности влияния «Начала» являются
важнейшей в мире научной книгой, которая вплоть до XX в. считалась
образцом в деле обоснования и преподавания геометрии; в течение
веков книга многократно переиздавалась, снабжалась дополнениями и
переводилась на многие языки.
Насколько велика наша осведомленность относительно «Начал»,
настолько мало нам известна личность Евклида; его даже, подобно
Гомеру, иногда считают мифической фигурой. Часто Евклида смеши-
смешивали с философом Евклидом из Мегары, жившем приблизительно в V в.
до и. э. [например, в исследовании по истории математики Региомон-
тана A436—1476 н. э.)].
С именем Евклида связывают две легенды.
Некий юноша спросил Евклида, какую пользу приносит геометрия.
Тогда Евклид велел рабу сунуть монету в руку юноши, желавшему
извлечь из геометрии практическую выгоду. Эта легенда говорит о
г) Е. Kornemann, Weltgeschichte des Mittelraumes, I, Miinchen, 1948.
О выдающейся Арсиное II C16—270) см. также книгу того же автора «Grosse
Frauen des Altertuins», 1947.


116	В. БЛЯШКЕ
существовавшей будто бы у греческих геометров антипатии к приклад-
прикладным наукам; это, однако, не помешало Евклиду написать сочинение го
оптике. Сократ, кажется, даже защищал мнение о том, что в матема-
математике надо оказывать предпочтение всему тому, что имеет практические
приложения.
Вторую легенду об Евклиде мы знаем благодаря Проклу Диадоху
Византийскому D12—485 н: э.), которому мы обязаны многими сведениями
о состоянии греческой геометрии. Царь Птолемей I спросил у Евклида,
нет ли более удобного подхода к геометрии, чем его «Начала»? На
это геометр ответил: «Нет, в геометрии не существует царского пути».
Когда в XIX веке расцвела проективная геометрия, то показалось,
что этот царский путь найден.
Как свидетельствует П.рокл, «Начала» основываются на совместной
работе круга геометров из Академии Платона, проделанной в период
между 370 и 350 гг. Таким образом, «Начала» являются прежде всего
собранием всего, что было открыто ранее; однако они содержат и но-
новые результаты. Прокл говорит:
«Составляя свои „Элементы", Евклид собрал многие теоремы
Евдокса, завершил то, что начал Теэтет, и дал строгие доказа-
доказательства тому, что нашли его предшественники».
Обычно сочинения Евклида рассматривают как исходный пункт, с
которого началось развитие геометрии; однако нам кажется, что их
лучше рассматривать как итог определенного, почти 300-летнего периода
построения этой науки; этот период начинается в ионической школе в
Малой Азии — около VI в., далее протекает в Южной Италии — в V в.
(пифагорейцы) и, наконец, завершается в Афинах (Академия Платона) —
в IV в. до н. э. (Если мы отнесем начало развития новой математиче-
математической мысли в Германии к эпохе Г. В. Лейбница A646—1716), то на-
насчитаем всего 250 лет ее развития.) Древность «Начал» и их тесная
связь с философской школой дали повод Мефистофелю сказать:
«Начнут сейчас дрессировать ваш ум,
Держа его в ежовых рукавицах,
Чтоб тихо он, без лишних дум,
И без пустого нетерпенья
Вползал по лестнице мышлеиья,
Чтоб вкривь и вкось по всем путям
Он не метался там и сям *)».
Таким образом, геометрия Евклида очень далеко ушла от «земле-
«землемерия», и наглядности в ней тоже довольно мало. В «Началах» впер-
впервые появляется «аксиоматический метод», согласно которому наука
строится логическим путем на базе некоторых простейших недоказы-
ваемых основных положений.
г) Перевод Н. А. Хлодковского.


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	117
Освоение «Начал» Евклида сложнее, чем, например, «Оснований
геометрии» Гильберта A899) по следующей причине. Гильберт облег-
облегчает себе и нам задачу тем, что считает известной арифметику (т. е.
учение о действительных числах) — это позволяет ему сводить обосно-
обоснование геометрии к учению о числе. Евклид же, наоборот, хочет на
геометрической основе построить арифметику и теорию действительных
чисел, что гораздо труднее.
§ 3. «Начала»
Сделаем теперь обзор содержания «Начал». Они состоят из 13 ча-
частей или «книг», к которым примыкают другие, добавленные поздней-
позднейшими авторами. Книги I—VI посвящены, главным образом, геометрии
на плоскости, VII—X —учению о числе, XI—XIII — геометрии в про-
пространстве.
Первая книга содержит три вводных раздела, а именно: первый —
Horoi 1), который не совсем удачно переводится как «.определения»,
второй — Aitemata или «.постулаты», третий — общие предположения
(Koinai ennoiai). Перечислим здесь некоторые из определений2).
1.	Точка есть то, что не имеет частей.
2.	Линия есть длина без ширины.
3.	Линия ограничена точками.
4.	Прямая есть линия, одинаково расположенная относительно
всех своих точек.
5.	Поверхность имеет только длину и ширину.
6.	Поверхность ограничена линиями.
7.	Поверхность называется плоской, если она одинаково располо-
расположена относительно всех своих прямых.
И далее,
23. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются парал-
параллельными, если они, сколь угодно продолженные, не встречаются.
Здесь, таким образом, речь идет действительно о чем-то вроде
наглядной геометрии и о перечислении, тех понятий, которые в даль-
дальнейшем будут использованы. В перечисленных высказываниях заключен
глубокий смысл. Определения 1, 2, 3, 5 и 6 образуют фундамент того,
что позже, благодаря Л. Брауэру (род. в 1881 г.) и Э. Шпернеру
(род. в 1905 г.), получило название теории размерности'1). Неясен
г) Греческая транскрипция здесь (как и в оригинале) заменена латинской.
(Прим. ред.)
2)	Автор не дает буквального перевода определений, излагая их содержа-
содержание. То же относится в дальнейшем к постулатам и общим предположениям.
(Прим. ред.)
3)	Точнее, определения 1, 2, 3, 5 и 6 образуют фундамент теории размерно-
размерности П. С. Урысона A898—1924); определение размерности по Брауэру и
Шпернеру [точнее — по А.Лебегу A875—1945) и Брауэру] имеют отправным пунк-


118	В. БЛЯШКЕ
смысл 4-го определения и еще темнее смысл 7-го. Делались попытки
заменить 4-е определение утверждением о том, что прямая характе-
характеризуется «подобием» любых двух ее частей. Герон заменил 7-е опре-
определение следующим положением: плоскость содержит каждую прямую,
проходящую через две точки плоскости, что вызвало некоторые воз-
возражения у К. Ф. Гаусса A777—1855). Во всяком случае «определе-
«определения» представляют собой хотя и весьма плодотворную, но совершенно
недостаточную попытку обоснования геометрии. Пожалуй, только
Д. Гильберт A862—1943) в своих «Основаниях геометрии» A899)
указал путь, на котором можно миновать евклидовы «Horoi».
Более убедительными являются «постулаты», которые показывают,
к&к связаны друг с другом введенные в «определениях» понятия. По-
Постулаты гласят:
1. Через две различные точки проходит в точности одна прямая.
2.	Каждая прямая может быть
С сколь угодно продолжена 1).
3.	В плоскости существует в точ-
точности одна окружность с заданными
центром и-диаметром.
4.	Все прямые углы равны.
5.	Если сумма углов а.-\-$ <
двух прямых (рис. 5), то прямые
А и В встречаются с той же сторо-
1	ны прямой С.
^нс- 5-	Последнее утверждение играло
в дальнейшем развитии геометрии
особенно большую роль. В основе его лежит требование, чтобы пря-
прямая С разрезала плоскость на два «бере'га». Если вместо плоскости рас-
рассмотреть поверхность сферы, диаметрально противоположные точки ко-
которой отождествлены, а прямые на плоскости заменить большими круга-
кругами сферы, то постулат о берегах утрачивает силу. Многие геометры пы-
пытались вывести 5-й постулат из остальных аксиом Евклида. Невозможность
этого была в принципе установлена в XIX в. К. Ф. Гауссом A777—
1855), венгром Яношем Больаи 2) A802—1860) и русским Н. И. Лоба-
Лобачевским A792—1856) путем построения неевклидовой геометрии, в
которой имеют место все положения Евклида, кроме 5-го постулата3).
Несколько слов об «общих предположениях» первой книги, которые
называют также, следуя пифагорейцам и Аристотелю, аксиомами;
том совсем иные соображения. Эти вопросы будут освешены во второй части
статьи В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича «Очерк основных идей тополо-
топологии» (эта часть будет помещена в следующем выпуске «Математического про-
просвещения»). (Прим. ред.)
') Евклид не различает терминов «отрезок», «луч», «прямая». (Прим ред.
2) Точнее — Бойаи. {Прим. ред.]
*) Как известно, Гаусс, Больаи и Лобачевский независимо пришли к идее
неевклидовой геометрии; первая публикация принадлежит Лобачев:кому.
(Прим. ред.).


ГРЕЧЕСКАЯ II НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	119
собстЕенно говоря, существенной разницы между аксиомами и посту-
постулатами нет. Аксиомы, в частности, утверждают следующее:
1.	Из a = ft, Ь = с следует а = с,
2.	Из e=ft	» a-\-c^b-\~c,
3.	Из a = b	» а— c = b— с.
И далее:
7. Покрывающие друг друга равны.
_8. Целое больше част.
Всё это трактуется исключительно геометрически. В аксиоме 7 со-
содержится, пользуясь современной терминологией, мысль о том, чго
понятие равенства должно быть инвариантным относительно движения,
т. е. конгруэнтным фигурам должны быть приписаны равные метриче-
метрические характеристики. Ясное понимание значения движения для элемен-
элементарной геометрии было достигнуто только после 1870 г. благодаря
исследованиям С. Ли и Ф. Клейна. Полностью отсутствуют у Евклида,
например, понятия, относящиеся к расположению точек на прямой,
скажем, понятие «.между». Ясность в этот вопрос была внесена в но-
новые времена Гауссом, Пашем, Гильбертом и в новейшие — Шпернером.
Далее в книге I «Начал» идут предложения или теоремы, как,
например, теорема о сумме углов треугольника, тесно связанная с аксио-
аксиомой о параллельных. Под номером 47 доказывается теорема Пифагора.
Непрозрачность этого доказательства осудил Шопенгауэр, сделавший
неудачную попытку улучшить его1).
Книга II содержит среди прочего материала геометрический вывод
формулы (а -\- Ь)" = а2 -{- 2ab -j- b2 и в связи с этим — решение квад-
квадратного уравнения.
В книге III изложено учение о круге; здесь помещена теорема
Фалеса об угле, вписанном в полуокружность.
Книга IV посвящена, главным образом, построению правильных мно-
многоугольников с помощью циркуля и линейки. Она базируется на иссле-
исследованиях пифагорейцев. Этими же вопросами занимался позднее
(около 100 г. до н. э.) Герои, затем арабы, еще позже — итальянцы
эпохи Возрождения, например, художник Пьеро делла Франческа из
Арреццо A410—Л 492), затем, в Германии.— Альбрехт Дюрер
A471—1528) и И. Кеплер A571—1630) в своем главном труде «Гар-
«Гармония мира» A619). Задача о делении круга была решена К. Ф. Гаус-
*) Шопенгауэр осуждал искусственность геометрических доказательств,
в частности, евклидова доказательства теоремы Пифагора (впрочем довольно
логичного, если глубже вдуматься в его содержание), считая, чго от подобных
рассуждений следовало бы требовать, чтобы весь ход мысли становился ясным
сразу, при одном взгляде на чертеж; с этой точки зрения он высоко ставил
доказательство частного случая теоремы Пифагора (равнобедренный треуголь-
треугольник), даваемое разбиением построенного на диагонали квадрата на 4 части,
равные половинам квадрата, построенного на катете. По-видимому, Шопенгауэр
не был знаком с древний индусским доказательством «стул невесты» и с бо see
поздними, основанными на равносоставлгнносгн; вероятно, он счел бы их удов-
удовлетворяющими поставленным требования..!. (Прим. ред.)


120	В. БЛЯШКЕ
сом в его «Disquisitiones Arithmeticae» A801). Он доказал: пра-
правильный многоугольник тогда и только тогда может быть построен
с помощью циркуля и линейки, когда число его сторон содержит про-
простые нечетные множители только вида
Так, например, можно построить 17-угольннк A7 = 22" -\-1), как
установил Гаусс 30 марта 1796 г.; об этом напоминает 17-конечная
звезда на его могиле в Геттингене.
В книгах V, VII и VIII «Начал» излагается в геометрической форме
учение о величинах, ставшее необходимым благодаря открытию ирра-
иррациональных чисел. В книге VII приводится алгоритм Евклида, даю-
дающий способ отыскания наибольшего общего делителя. Книга VI содер-
содержит умение о подобии, книга IX, среди прочего — полную индукцию
или заключение от п к п-\~\г), книга X — истолкование иррациональ-
иррациональных чисел с помощью измерения отрезков. В основе книги X лежат
результаты пифагорейцев, критика Зенона (около 460 до н. э.) и иссле-
исследования Академии Платона.
Остальные книги, а именно XI, XII и XIII посвящены геометрии
в пространстве или стереометрии. Они менее отточены (возможно
потому, что автор вскоре после их написания умер) и дошли до нас в
неполном виде. Главная задача этих книг — описание свойств правиль-
правильных тел, которые называются Платоновыми, так как появляются в диалоге
Платона «Тимей». Книга XI содержит попытку аксиоматического описания
точек прямых и плоскостей в пространстве; в книге XII приводится вы-
вычисление площадей и объемов по Евдоксу (в частности — нахождение
объема пирамиды); наконец, книга XIII посвящена Платоновым телам.
Объясним на нескольких примерах содержание и способы этих
стереометрических исследований. При этом мы не боимся использовать
способы выражения и ход рассуждений, характерные для новых времен.
§ 4. Выпуклые телаг)
Пусть />,, />„, . . . , рп— фиксированные точки4). Поместим в каж-
каждую точку р; массу /и,->0 и найдем центр тяжести системы:
s __ mlPl + mlPl + • • • + f"nPn
"Ч + '"а 4" • • • + тп
г) То есть имеет вид
2*-/v/v ... рп
где pi (fc=l, 2, ..., п) — различные простые числа вида р,- = 22"' -|- 1; г,
целые. (Прим. ред.)
2)	Такого взгляда придерживаются лишь некоторые комментаторы. См.
«Начала Евклида», книги VII—X, М.—Л., 1949, стр. 330—332. (Прим. ред.)
3)	Нем. Eikorper (буквально — яйцеподобпые тела). [Прим. ред.]
4)	Здесь под Р( понимается ралиус-вектор f-й точки. (Прим. ред.)


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	121
Если мы заставим т{ пробегать все вещественные неотрицатель-
неотрицательные значения, то точка s опишет выпуклую оболочку Н множества М
заданных точек р(.. Если Н не изменяется при исключении из М какой-
нибудь точки pt, то мы эту точку pi выбросим из рассмотрения. Остав-
Оставшиеся точки будут вершинами выпуклой фигуры Н.
Нас будет интересовать лишь тот случай, когда М, а следова-
следовательно и Н, не лежит в одной плоскости. В этом случае Н будет
многогранником с т гранями. Каждая грань лежит в некоторой плоско-
плоскости и является выпуклой оболочкой не менее трех точек из М; поэтому
т-
1-2-3
Пусть грань h тела Н имеет г вершин в некоторой плоскости е; тогда
она представляет собою лежащий в плоскости е л-вершннннк и огра-
ограничена г ребрами тела Н. Два соседних ребра примыкают к одной
вершине р грани Ь (и самого тела Н) и образуют при этой вершине
внутренний угол <х@<[а<[тт); соответствующий внешний угол равен
тт—а, где через тт, как обычно, обозначен угол, равный двум прямым.
Сумма внешних углов h равна четырем прямым:
если все углы между собой равны, то последнее .равенство дает
га = тс (г— 2).
Грань h называется правильной, если все г ее ребер и все г внутрен-
внутренних углов а равны. К каждому ребру к тела Н примыкает по две
грани Н. Рассмотрим внутренний угол fi@<^ p <[тс), образованный
плоскостями этих граней. Пусть в вершине р тела Н сходятся s ребер,
3 =^ &-^ п — 1. Если углы р при всех s ребрах, сходящихся в вер-
вершине р, между собой равны и если все s плоских углов а в гранях,
примыкающих к р, тоже равны другу другу, то вершина р называется
правильной.
Наконец, тело Н будет называться правильным, если все его грани
и все его вершины являются правильными, причем все его грани имеют
одно и то же число г ребер и в каждой вершине сходится одно и то
же число s ребер. Тогда для каждой грани, согласно нашей формуле,
имеет место равенство
ла = тт(л—2)
и для каждой вершины
sa > 2тт.
Из этих соотношений вытекает:
— >(г— 2)тт
и, следовательно,
rs<2(r-\-s).


122
В. БЛЯШКЕ
При этом мы предположили, что г > 2, s > 2. Чтобы найти цело-
целочисленные решения последних трех нера-
неравенств, положим г = х-\-2, s=^_
Тогда для х \\ у имеем
Эти неравенства определяют в плоско-
плоскости х, у треугольник, ограниченный обеими
осями и одной ветвью гиперболы (рис. 6).
В этом треугольнике лежит пять узлов
решетки, т. е. точек с целочисленными
у х, у, а именно:
Рис. 6.
X
У
г
S
I
1
1
3
3
II
1
2
3
4
III
1
3
3
5
IV
2
1
4
3
V
3
1
5
3
Соответственно этому мы получаем известные пять правильных пла-
тоновых тел. Если мы обозначим через п0, пг, п2 соответственно числа
вершин, ребер и граней, то получим такую таблицу:
"о
«1
пг
I
4
6
4
II
6
12
8
III
20
30
12
IV
8
12
6
V
12
30
20
в которой I соответствует 4-граннику (тетраэдру) (рис. 7)'),
II — 8-гранннку (октаэдру) (рис. 8), III — 6-граннику (кубу или гек-
гексаэдру) (рис. 9), IV— 12-граннику '(додекаэдру) (рис. 10), V—20-гран-
нику (икосаэдру) (рис. 11).
Во всех пяти случаях имеет место соотношение
Мы хотим показать теперь, следуя Р. Декарту A596—1650) и
Л. Эйлеру A707—1783), что это соотношение остается справедливым
для любого выпуклого многогранника Н, который может быть указан-
') Пространственные фигуры у нас изображены в прямоугольной парал-
параллельной проекции.


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
123
ным выше образом представлен в виде выпуклой оболочки п точек.
Для этого примем внутреннюю точку О тела Н за центр сферы S ра-
радиуса единицы и спроектируем границу Н на эту сферу лучами, нсхо-
Рис. 10.
Рис. П.
дящими из О. Мы получим на S, таким образом, п «.вершин? Р) (про-
(проекций вершин pt многогранника Н), соединенных между собой nt
дугами больших кругов; эти дуги разбивают S на п2 выпуклых обла-
областей (сферических многоугольников), являющихся проекциями граней Н.
Если h* — одна из этих областей на S и а* — ее внутренний угол, то
площадь / области h* будет равна
где суммирование распространяется на все вершины области h*. Эта фор-
формула восходит к И. Мюллеру A436—1476) (известному в романском
мире под именем Региомонтана), который родился в Кенигсберге и
жил кратковременно то в Вене, то в Нюрнберге, то в Риме. К дока-
доказательству этой формулы мы скоро вернемся. Из последней формулы
мы получаем, суммируя по всем л2 областям сферы S:
4тт= 2тш2 — '2ттг
2тш0.


124
В. БЛЯШКЕ
В самом деле, число слагаемых 2тт в правой части равно п2; кроме
того, число всех слагаемых (— тт) равно удвоенному числу ребер пг,
а сумма внутренних углов а* при каждой из п0 вершин равна 2тг.
Слева же стоит площадь единичной сферы (сумма площадей / всех
областей h*), равная, как показал Архимед (см. ниже, § 7), 4тт. Этим
завершается доказательство формулы Декарта — Эйлера.
Остается доказать формулу Регномонтана для площади выпуклой
области h* единичной сферы S. Если ввести вместо внутреннего угла а*
внешний угол у = тг—а*, то она запишется в виде
здесь сумма в правой части имеет смысл меры изменения направле-
направления или меры поворота при обходе границы области.
Если повернуть на угол у полуокружность сферы S вокруг дна-
метра, соединяющего ее концы, то она «заметет» площадь f , пропор-
пропорциональную у- Так как /Зл.^4тт, то
Если же «п е р е к а т ы в а т ь» плоскость е по выпуклому телу
(выпуклому конусу), которое получается, когда все точки h* соединены
с центром О шара, то большой круг,
высеченный на S этой плоскостью, за-
заме гет на S некоторую площадь, рав-
равную
Эта площадь покрывает всю сферу S,
за исключением области h* и «противо-
«противоположной области», которая получается
из h* отражением от точки О (рис. 12).
Отсюда получаем*)
Рис. 12.	из чего следует справедливость нашего
утверждения.
В частности, если h* — треугольник с внутренними углами ач = тт — у,-,
мы получим:
Выражению, стоящему справа, дали выразительное название сфе-
сферического избытка, так как оно показывает превышение суммы углов
г) Здесь опущено довольно простое доказательство того, что «противопо-
«противоположные области» на поверхности сферы имеют равные площади (см., напри-
например, Ж. А дам ар, Элементарная геометрия, ч. II, М., Учпедгиз, 1951,
стр. 205—206); впрочем, сам этот факт вряд ли может вызвать у кого-нибудь
сомнение. (Прим. ред.)


ГРЕЧЕСКАЯ II НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
125
треугольника над тт. Наша формула, которую, по-видимому, впервые
доказал Бонавентура Кавальерн A598(?)—1647) в 1632 г. в Болонье,
является простейшим случаем интегральной формулы Гаусса-Бонне
в теории поверхностей. Она была опубликована в 1848 г. О. Бонне
и довольно легко,была перенесена в рпманову геометрию Алендорфе-
ром, А. Вейлем и Чжень Шен-шенем (США). Таким образом, от
пифагорейцев, установивших, что сумма углов плоского треугольника
равна двум прямым, через начало и конец Возрождения, когда были
сделаны обобщения на случай сферы, через эпоху Гаусса и его откры-
открытие интегральной теоремы для кривых поверхностей ведет прямая дорога
к сегодняшним дням.
§ 5. Одно утверждение Евклида о многогранниках
Такую же тесную связь новых результатов с достижениями тыся-
тысячелетней давности мы сейчас покажем на другом вопросе, также исхо-
исходящем от Евклида. В 9-м и 10-м определениях XI книги «Начал»
содержится примерно такое утверждение: «Две поверхности конгруэнтны,
если они ограничены конгруэнтными гранями». Стоит подумать над
смыслом этого предложения.
В качестве примера рассмотрим куб W с центром О и выберем
вне W такую точку р, что при повороте на угол -^- вокруг оси Ор
(которая не проходит через вершины куба), куб W переходит в себя.
Выпуклой оболочкой W и р яв-
является выпуклое тело Н, напоми-
напоминающее домик с крышей (рис. 13).
Его граница состоит из 5 квад-
квадратов и 4 треугольников, сходя-
сходящихся в р. Исходя из Н, мы об-
образуем другой многогранник Н*:
оставим неизменными 5 квадрат-
квадратных граней Н, а 4 треугольные
грани зеркально отразим
от шестой грани куба. Если рас-
расстояние от точки р до куба W меньше ребра куба, то Н* тоже
ограничивает некоторое тело, которое не будет, однако, выпуклым;
оно получается из W выбрасыванием некоторой пирамиды. Очевидно,
что Н и Н* состоят из конгруэнтных граней, примыкающих друг
за другом в обоих случаях в одном и том же порядке; тем не менее
Н и Н* не конгруэнтны.
Уже на этом очень простом примере видно, что без дальнейших
уточнений утгерждение Евклида оказывается неверным. Легко заметить,
что в нашем примере нельзя осуществить такой непрерывный переход
от Н к Н*, при котором сохранялись бы конгр}энгиость и порядок
примыкания граней. Можно было бы попытаться спасти утверждение
Рис. 13.


126
В. БЛЯШКЕ
Рис. 14.
Евклида требованием непрерывного перехода. Однако и это не удается
сделать, как можно заключить из следующего примера.
Будем исходить из пространственного четырехугольника с верши-
вершинами р0, рх, р2, р3 (рис 14), у которого всг стороны равны; тогда
его диагонали р0р2 и р^,, являются скрещи-
скрещивающимися взаимно перпендикулярными пря-
прямыми. Мы можем, следовательно, провести
через р0р2 плоскость е02, перпендикулярную
g, и соответственно через рхр3 плоскость
е13, перпендикулярную к р0р2; при этом,
например, точки pt и р3 симметричны относи-
относительно е02. Пусть р4 — еще одна точка пло-
плоскости е13 и р6 — точка, симметричная ей отно-
относительно плоскости еA2. Соединим р4 (а так-
также р6) со сторонами нашего «косого» четы-
четырехугольника с помощью четырех треугольни-
треугольников. Полученные таким образом 8 треуголь-
треугольников образуют вместе некоторый многогранник А, того же «строе-
«строения», что и у правильного восьмигранника. То, что многогранник
сам себя пересекает, не должно нас смущать. Можно себе представ-
представлять, что все 12 ребер многогранника сделаны из проволочек, шар-
ннрио скрепленных в вершинах р. Легко видеть, что А можно непре-
непрерывно деформировать, сохраняя длины ребер, а следовательно, и не
изменяя граней, которые все суть треугольники. Такой подвижный
восьмигранник впервые указал новогреческий геометр К. Стефанос
A857—1917), а француз Р. Брикар (род. в 1870) в 1897 г. все их пе-
перечислил.
Возникает вопрос — можно ли обеспечить справедливость утвержде-
утверждения Евклида, если ограничиться рассмотрением только выпуклых
многогранников?
В 1812 г. юный О. Коши A789—1857), которому старик
Ж. Л. Лагранж A736—1813) предложил этот вопрос, дал чрезвы-
чрезвычайно интересное доказательство справедливости этой гипотезы; мы
его сейчас кратко наметим1). На этом примере еще раз подтверж-
подтверждается, что идеи родятся главным образом у молодых геометров, но
старые при этом полезны как повивальная бабка.
Пусть V—выпуклый многогранник, т. е. граница выпуклой обо-
оболочки конечного множества точек, и V* — другой выпуклый многогран-
') Полное доказательство теоремы Коши имеется в ряде русских книг
(см., например, упомянутую в сноске на стр. 124 книгу Ж. А д а м а р а, книги
Л. А. Люстерника «Выпуклые фигуры и многогранники», М., Гостехиз-
дат. 1956; Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова и И. М. Яглома
«Избранные задачи и теоремы элементарной математики», ч. Ill, M., Гостехиз-
дат, 1954, и особенно цитируемую ниже обстоятельную монографию А Д. A i e к-
сандрова «.Выпуклые многогранники», М.—Л., Гостехиздат, 194S, широко
освещающую весь этот круг вопросов). (Прим. ред.)


ГРЕЧЕСКАЯ II НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	127
ник, который допускает такое точечное непрерывное и однозначное
отображение на V, что каждая грань многогранника V конгруэнтна
соответствующей ей грани многогранника V*. Требуется доказать, что
существует единственное движение или отражение, которое осущест-
осуществляет это отображение V на V*. Здесь под «отражением» понимается
отображение, являющееся результатом последовательного выполнения
нечетного числа симметрии относительно плоскостей, т. е. такое отоб-
отображение, при котором сохраняются длины, но понятия «правый» и «ле-
«левый» меняются местами.
Пусть к—ребро многогранника V, к* — соответствующее ребро
многогранника V*, р @ <^ fl <^ тг) — двугранный угол при ребре к мно-
многогранника V, р* — соответствующий угол многогранника V *. Для
краткости мы примем, что fl^pi* для всех к в V, что, разумеется,
возможно лишь тогда, когда V не имеет вершин, в которых сходилось бы
только три ребра. Ребро к многогранника V будем называть поло-
положительным, если Р <С р *, и отрицательным — в противном случае.
Тогда согласно Коши справедлива следующая лемма (здесь мы ее
доказывать не будем): при последовательном обходе всех ребер, схо-
сходящихся в одной вершине V, получится не менее 4 перемен знаков,
т. е. найдутся по меньшей мере 4 таких плоских угла при этой вер-
вершине, что у каждого из них стороны имеют противоположные знаки.
Теперь мы сосчитаем двумя способами эти плоские углы многогран-
многогранника V с разнозначными сторонами и придем к противоречию. Пусть
as, ax, а5, ...—число треугольников, четырехугольников, ... среди
граней V. Тогда число граней л2 многогранника V равно
для числа пх ребер имеем равенство
2Л1 = За3 + 4а4 —5а6
Воспользуемся формулой Декарта — Эйлера
Из последних трех равенств выводим для числа п0 вершин V ра-
равенство
В силу леммы, из этого вытекает следующая оценка числа w плоских
углов с разнозначными сторонами:
С другой стороны, обходя треугольную грань многогранника V, мы
можем получить самое большее две перемены знаков; обходя четырех-
четырехугольную— не больше четырех; точно также можно оценить число


128
В. БЛЯШКЕ
подобных плоских углов, полученных при обходе пятиугольника и т. д.
Поэтому
4 +
что противоречит предыдущему неравенству.
В силу этого теорема единственности Евклида сведена Кошн по
существу к формулированной лемме. Доказательство последней, как
показал Кошн, тоже можно получить из следующего вполне наглядного
соображения.
Действительно, пусть h" — связная часть выпуклого многоугольника
h' нашей единичной сферы, состоящего из дуг больших кругов («ре-
(«ребер») и ограничивающего выпуклую область h сферы. Отобразим те-
теперь область h взаимно однозначно и непрерывно на другую область h0
сферы так, чтобы длины соответствующих ребер h и h0 были одинаковы.
Если h^ — образ незамкнутой, ломаной, h" и если каждый внутренний
угол а ломаной h" не превосходит соответствующего угла ломаной
h0(oc=^oc0), то дуга S полукруга, дополняющая h" до выпуклого мно-
многоугольника на сфере, не превосходит соответствующей дуги s", по-
построенной для ломаной h0. Это может
быть проиллюстрировано планиметриче-
планиметрическим рисунком 15.
Наряду с этой теоремой единствен-
единственности появляется и теорема существо-
Б
. Б
3
7
7
1
г
Рис. 15.
3
Рис. 16.
еания. Для того чтобы ее сформулировать, рассмотрим то, что в
элементарной геометрии называется разверткой многогранника. На
рис. 16 в качестве примера приведена развертка куба, т. е. по-
показана структура его граней с указанием, как эти грани склеиваются.
Каждое ребро на развертке обязательно должно встречаться дважды,
и для того, чтобы многогранник был выпуклым, сумма внутренних уг-
углов при связанных друг с другом вершинах должна быть меньше
четырех прямых. Наконец, надо следить за тем, чтобы наша развертка
определяла двуспюроннюю или ориентируемую поверхность. Ориенти-
Ориентируемость означает, что в каждой грани поверхности можно установить
такое направление обхода, что общее двум граням ребро пробегается
в этих двух гранях в противоположных направлениях. Отметим здесь же


ГРЕЧЕСКАЯ И НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ	129
результаты 1858 г. А. Ф. Мёбиуса A780—1868) и И. Б. Листинга
A808—1882): существуют развертки, которые определяют неориенти-
руемые замкнутые поверхности, например, если для приводимой на
рис. 17 развертки мы примем следующий способ склеивания: сторону
ab склеим со стороной cd (именно в этом направ-
направлении!), а сторону be— со стороной da1).
Напрашивается вопрос, не будет ли спра-
справедливой следующая теорема существования:
для каждой замкнутой, ориентируемой
развертки, удовлетворяющей лишь условию
2 а < 2тт для углов, лежащих при одной и
той же вершине, и теореме Эйлера
п0 — п\ -j- л2 = 2, существует выпуклый мно-
многогранник. Эту теорему существования наря-
наряду с многими другими, родственными ей,
доказал в своей книге А. Д. Александров2).
Теорема Коши о многогранниках может
быть перенесена на замкнутые непрерывно искривленные выпуклые
поверхности. Вместо отображения многогранников с сохранением поряд-
порядка склеивания и конгруэнтности соответствующих граней, в случае
произвольных кривых поверхностей появляются отображения, сохраняю-
сохраняющие длины или изометрические отображения, при которых сохраня-
сохраняются длины дуг всех кривых, расположенных на поверхности. Изоме-
Изометрические отображения поверхностей друг на друга впервые изучал
К. Ф. Гаусс в своих «Disquisitiones generates circa'superficies curvas»
A827). После попыток Ф. Миндинга A838) и И. Г. Желле A854) лишь
Г. Либман A899), Г. Минковский A900) и Д. Гильберт A901) доказали
теорему единственности для сферы: каждая выпуклая поверхность, до-
допускающая изометрическое отображение на сферу, сама является сферойs).
Более общую теорему доказал в 1927 г. С. Кон-Фоссен и (более
просто) в 1942 г. Г. Герглотц (род. в 1881 г.): изометрическое отобра-
отображение одной выпуклой поверхности на другую является либо движе-
движением, либо отражением. При этом на рассматриваемые поверхности
накладываются определенные ограничения гладкости. При более общих,
предположениях эту теорему единственности доказал в 1949 г. рус-
русский математик А. В. Погорелов; близкие к этим исследования провел.
в 1951 г. в Чикаго мой китайский друг Чжень Шен-шень.
К этим теоремам единственности сводится одно утверждение и»
статики, которое можно сформулировать следующим образом: в вы-
г) Ср. статью В. Г. Болтянского и В. А. Ефремовича в настоящем
выпуске «Математического просвещения», стр. 23 и след. (Прим. ред.)
2) А. Д. Александров, Выпуклые многогранники, М., 1948.
*) Здесь и далее предполагается, что рассматриваемые поверхности обла-
обладают достаточной степенью гладкости (см. по этому поводу реферат работ
Дж. Нэша иН. Кёйпера в настоящем выпуске «Математического просве-
просвещения» (стр. 261). (Прим. ред.)
б Матем. просвещение, вып. 2


130	В. БЛЯШКЕ
пуклой поверхности из гибкого и нерастяжимого вещества не мо-
может существовать внутреннего натяжения. Этими вопросами для
случая шара занимался в 1867 г. Максвелл A831—1879) и в общем
случае в 1917 году — Г. Вейль и автор настоящих лекций.
Для выпуклых поверхностей тоже имеет место теорема существо-
существования, которая, грубо говоря, утверждает, что каждая «метрика» мо-
может быть реализована на некоторой выпуклой поверхности евклидова
пространства. Эту теорему пытался доказать Г. Вейль в 1915 г.,
потратив на нее немало усилий1). Позже, в 1937 г., Герглотц и автор
настоящих лекций свели эту задачу к вариационной проблеме в рима-
новом пространстве. Наконец, итальянец Р. Каччополи и русские
А. Д. Александров и А. В. Погорелов полностью доказали эту теорему.
И здесь перед нами пример идеи Евклида, которая вплоть до на-
настоящего времени двигала геометрию.
') Рассуждения Вейля A885—1955) были завершены Г. Леви, получив-
получившем в 1937 г. доказательство рассматриваемой «теоремы существования» для
случая аналитической метрики. (Прим. ред.)
(Окончание в следующем выпуске)
Перевод с немецкого Г. И. Клейнермана
под редакцией И. М. Яглома.


ВВЕДЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
В СРЕДНЕЙ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
От редакции
Ниже печатаются три статьи и одна заметка, посвященные построе-
построению теории действительных чисел. Первая из них, принадлежащая
проф. Г. М. Фихтенгольцу, является обработкой его лекции, прочитан-
прочитанной ленинградским учителям осенью 1944 г. Указывая, что развернутая
формальная теория действительных чисел не отвечает ни потребностям,
ни возможностям школьников, автор излагает конкретный план работы
над иррациональными числами, начиная с 8-го класса и до конца
обучения. Хотя со времени опубликования статьи Г. М. Фихтенгольца
прошло 10 лет1) и в учебном плане и программах средней школы с
тех пор произошли изменения, статья эта сохраняет свое значение и
ныне и может быть использована в работе учителя.
Статья проф. А. А. Ляпунова излагает содержание трех лекций
по основам теории действительных чисел, прочитанных автором в курсе
математического анализа в Военно-артиллерийской академии. Предла-
Предлагаемое в ней изложение, развивающее подход к действительным чи-
числам, принятый в средней школе, доступно студентам первого курса
и достаточно корректно в научном отношении. Возможно, что подоб-
подобное изложение пригодно для общего курса анализа не только в тех
иысших технических учебных заведениях, которые отводят увеличен-
увеличенное число часов на изучение математики, но и на физико-математиче-
физико-математических факультетах педагогических институтов и университетов.
В статье доц. А. Я. Дубовицкого дается пример аксиоматического
построения теории действительных чисел, предлагаемого автором статьи
для курса теории функций действительного переменного в пединститу-
пединститутах. Мы полагаем, что оно может заинтересовать читателя, знакомого
обычно с классическими построениями Дедекинда, Мерэ — Кантора и
Вейерштрасса, имеющими характер конструктивных теорий (в них по-
понятие иррационального числа строится, конструируется, отправляясь от
рациональных чисел, как исходного «строительного материала»). В ак-
аксиоматическом же изложении множество действительных чисел со всеми
основными соотношениями между ними вводится сразу всё целиком,
1) Она была впервые напечатана в методическом сборнике «Математика
в школе», вып. II (Ленингр. обл. ин-т усовершенствования учителей, Ленин-
Ленинград, 1947 г.), имевшем очень малый тираж. Воспроизводится с разрешения
автора.


132 ВВЕДЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В СРЕДНЕЙ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
посредством системы аксиом, характеризующих это множество как поле,
определенным образом упорядоченное и обладающее свойством непре-
непрерывности.
Конечно, подобное изложение предполагает у читателя соответ-
соответствующую математическую зрелость и поэтому может быть рекомендо-
рекомендовано лишь для студентов старших курсов физико-математических фа-
факультетов или же для более сильных студентов I курса.
Заметка акад. А. Н. Колмогорова «К обоснованию теории вещест-
вещественных чисел» была первоначально опубликована в журнале «Успехи
математических наук» '). Она не ставит перед собой педагогических це-
целей. Автор рассматривает предлагаемый им способ обоснования теории
действительных чисел как современное формализованное изложение
евклидовой теории отношений. Этот способ является конструктивным,
так же как и упоминавшиеся выше классические теории, но в отличие
от последних построение А. Н. Колмогорова отправляется непосред-
непосредственно от натуральных чисел и сразу вводит всю совокупность дей-
действительных чисел, не требуя развития теории рациональных чисел
в качестве промежуточного этапа. Исходным для всей этой теории
является тот факт, что каждое действительное число ш (положительное)
можно охарактеризовать последовательностью одних только числителей
лг1г т2	тп, ... дробей:
т± т^ т^	щ,
1 ' 2 ' 3' '"¦' п ' •'•'
таких, что -11 является приближением числа <р с недостатком с точ-
точностью до —. Задача заключается в определении операций над дей-
действительными числами и отношений порядка и непрерывности в терми-
терминах этих последовательностей. В заметке А. Н. Колмогорова дается
лишь схематический набросок соответствующей теории. Развернутое
изложение этого замысла можно найти, например, в статье Н. И. Ка-
Кавуна «Обоснование теории вещественных чисел по способу А. Н. Кол-
Колмогорова», опубликованной в «Успехах математических наук», том II,
вып. 5. стр. 199—229.
х) «Успехи математических наук», том I, вып. 1, 1946 г., стр. 217—219.
Перепечатывается (с исправлением опечаток) с разрешения автора.


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Г. М. Фихтенгольц
(Ленинград)
1.	Иррациональные числа, но общему признанию, являются слабим
местом в преподавании математики в средней школе. Объясняется это
отчасти трудностью вопроса (в теоретическом и методическом отноше-
отношениях), отчасти же плохим изложением соответствующего раздела в
учебнике алгебры; правда, учебник геометрии частично берет на себя
его функции, но не может выполнить их целиком.
2.	С иррациональными числами математики фактически имели дело
в течение многих веков, главным образом, под видом радикальных вы-
выражений, а потом под видом отношения несоизмеримых величин. Но ло-
логическая сущность этих чисел и связь их с хорошо знакомыми рацио-
рациональными числами оставалась невыясненной, а закономерность произво-
производимых над иррациональными числами действий — необоснованной.
К началу прошлого века критическое направление в математике
поставило в порядок дня вопрос о подведении логического фундамента
под математический анализ, а для этого стало необходимым ра-
разобраться и в понятии вещественного числа. В семидесятых годах
появились (почти одновременно) целых три теории иррациональных
чисел —Дедекинда, Мерэ — Кантора и Вейерштрасса, полностью исчер-
исчерпавшие вопрос.
Неоднократно делались попытки — в той или иной обработке сделать
эти теории и достоянием средней школы. Однако нужно признать,
что попытки эти не увенчались успехом. Развернутая формальная
теория оказалась не отвечающей ни потребностям, ни возможностям
школьников. Поэтому и сейчас вовсе не ставится вопрос о какой бы
то ни было теории иррациональных чисел в средней школе. Вместе
с тем, некоторый минимум грамотности в отношении иррациональных
чисел для средней школы совершенно обязателен. Я формулирую этот
минимум так: создание у школьников ясного представления об ирра-
иррациональном числе и об его роли, в алгебре и геометрии. Это вполне
осуществимо и в то же время достаточно для целей, которые
люжет себе ставить средняя школа.
Перехожу к изложению развернутого плана всей работы над
освоением иррационального числа, имея в виду не только самое введе-
введение этого понятия в 8 классе, но также использование его в дальней-
дальнейшем преподавании и углубление его в повторительном курсе 10 класса.


134	г. м. фихтенгольц
3.	Целесообразно подойти к необходимости введения иррациональных
чисел одновременно и в алгебре и в геометрии. Для этого нужно
постараться, чтобы вопрос об измерении величин стал на очередь в
геометрии к тому моменту, когда в алгебре—после знакомства с извле-
извлечением приближенных квадратных корней — перейдут к установлению
понятия о точных значениях «неизвлекающихся» корней. Тогда, объе-
объединив уроки алгебры и геометрии, нужно всеми средствами убедить
учащихся в недостаточности имеющегося в их распоряжении запаса
чисел, познакомить их с иррациональными числами и вернуться к раз-
раздельному преподаванию этих предметов лишь после того, как перво-
первоначальное освоение иррациональных чисел будет достигнуто.
Расширение числовой области должно быгь тщательно подготовлено,
ибо сама мысль о создании новых чисел, в добавление к уже извест-
известным, может смутить учащихся.
С этой целью полезно заранее затронуть этот вопрос и напомнить
им, что уже дважды в их практике встречалось такое положение, когда
известных им чисел «нехватало» п приходилось вводить новые числа.
Первый раз это было в начальной школе. Учащимся тогда были
знакомы только натуральные числа; сложение и умножение над двумя
такими числами всегда было выполнимо, а деление — нет. Иными сло-
словами, для любых двух натуральных чисел (среди натуральных же чисел)
всегда находились и сумма и произведение, а вот частного могло и не
найтись. Введены были новые дробные числа, и деление стало выпол-
выполнимым во всех случаях!
В расширенной числовой области без отказа выполнялись сложение,
умножение и деление, но не всегда выполнимым было вычитание.
И вот, во второй раз, в 6 классе числовая область была вновь рас-
расширена добавлением новых чисел — отрицательных (и числа нуль), и
теперь уже все четыре арифметических действия стали выполнимыми *).
Важно, чтобы учащиеся освоились с тем, что в действительности
все известные им числа — натуральные, дробные и отрицательные —
были созданы людьми иод влиянием и для удовлетворения практиче-
практических потребностей (включая и потребности математической практики).
Если создание натуральных и дробных чисел уходит в глубь тысяче-
тысячелетий, то отрицательные числа вошли в математический обиход уже
в исторический период — лишь несколько веков назад.
4.	Следует подчеркнуть, что в обоих указанных случаях из прош-
прошлого опыта учащихся «повод» к созданию новых чисел давали обрат-
обратные операции — деление и вычитание, в то время как прямые опе-
операции— сложение и умножение — были без отказа выполнимы и в не-
нерасширенных областях. Третья прямая операция—возведение в сте-
степень (скажем, с натуральным показателем), аналогично этому, также
всегда выполнима и в области рациональных чисел. Естественно теперь
1) Исключая, разумеется, деление на нуль.


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ-	135
поставить вопрос о выполнимости обратной операцииг) — извлечения
корня. Она оказывается не всегда выполнимой даже в том случае,
если ограничиться корнями из положительных чисел!
В том, что среди рациональных чисел действительно нет некоторых
даже весьма простых корней, нужно создать у учащихся прочную и
сознательную уверенность. Невозможность найги, например, 1/2,
учащиеся никоим образом не должны понимать как наше неуменье
найти этот корень. Приходилось сталкиваться и с таким «пониманием»
вопроса, что рациональное значение этого корня потому затруднительно
найги, что его числитель и знаменатель непомерно велики!
Для установления правильной точки зрения на вещи, быть может,
даже нет необходимости в воспроизведении обычно излагаемой в курсах
георемы о несуществовании рационального корня из целого числа,
если не существует целого корня. Мне кажется, что можно было бы
ограничиться рассмотрением простейшего корня: \^2, но доказательство
его несуществования (в области рациональных чисел) провести с такой
выразительностью, чтобы обеспечить полное усвоение его учащимися.
Для этой цели лучше всего подходит блестящее доказательство
Евклида, имеющее двухтысячелетнюю давность. Оно общеизвестно, но
полноты ради я всё же приведу его.
Требуется доказать, что среди рациональных чисел нет квадрат-
квадратного корня из двух. Доказательство позедем от противного. Итак,
допустим, что |^2 существует среди (положительных) рациональных
дробей2), т. е. что найдется такая дробь — (где р и q — целые), что
квадрат ее в точности равен 2: f — J ;=2. Мы вправе предположить
при этом, что дробь — несократима (ибо, в противном случае,
ничто не мешало бы нам сократить ее).
Из написанного равенства легко выводим: p2 = 2q2.
Справа мы здесь имеем явно четное число (в него ведь входит
множителем 2!). Значит, и число р2 — четное, а тогда и р должно
быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы также нечет-
нечетным). Но мы взяли дробь — несократимой, и раз числитель р оказы-
оказывается четным, то необходимо: знаменатель q есть нечетное число.
Заметив это, продолжаем наше рассуждение. Четног число р может
быть представлено в виде
р = 2г (г—целое);
подставляем это в предыдущее равенство и получим: 2гг = д*.
*) Вернее, одной из двух обратных операций.
2) Непосредственно ясно, что среди целых чисел такого корня нет, ибо
I2 < 2, а уже 2г > 2.


136	•	г. м. фихтенгольц
Здесь слева мы снова усматриваем четное число, значит, и число
q2 — четное. А отсюда с очевидностью вытекает, что и само число
q является четным.
Итак, если бы корень У~2 выражался какой бы то ни было ра-
рациональной (несократимой) дробью —, то знаменатель ее был бы од-
одновременно и нечетным, и четным числом! Это яркое противоречие
полностью доказывает, что на деле такой дроби не существует.
5. После того как установлено, таким образом, что рациональные
числа не покрывают потребностей алгебры, ибо их не хватает для выра-
выражения даже простейших корней, крайне важно показать, что и потреб-
потребности геометрии настоятельно требуют расширения числовой области.
Действительно, поставим вопрос об отношении отрезка А к другому
отрезку В (или, что то же, о длине отрезка А, когда отрезок В принят
за единицу). Если оба отрезка соизмеримы и q-я доля В откладывается
в А ровно р раз, то это отношение выражается рациональной дробью — .
В случае двух несоизмеримых отрезков их отношение не может
быть выражено (рациональным) числом. Иными словами, если огра-
ограничиться рациональными числами, отрезки, несоизмеримые с единицей,
не имеют длины!
Как убедить учащихся в существовании несоизмеримых отрезков?
Наилучше подходит для этой цели классический пример—диагонали
и стороны квадрата, тем более, что здесь как раз «не хватает» того
именно числа \/~2, о котором только что было доказано, что его нет
в области рациональных чисел.
Однако приводимое в учебниках доказательство несоизмеримости
упомянутых отрезков — сложно. К тому же оно основано на «методе
последовательного откладывания», с которым учащиеся осваиваются не
без труда (так как они недостаточно знакомы с прототипом этого —
«методом последовательного деления» для разыскания наибольшего
общего делителя двух натуральных чисел). Наконец, строго говоря,
установление несоизмеримости двух отрезков, исходя из бесконечной
продолжительности для них «процесса последователь-
последовательного откладывания», требует еще дополнительных
пояснений. А между тем несоизмеримость диагонали
и стороны квадрата есть факт огромной принципиаль-
принципиальной важности и должен быть установлен просто и
убедительно.
рис j	По всем этим соображениям я готов отказаться
здесь от ненужного ригоризма и построить рассужде-
рассуждение на пифагоровой теореме, доказав ее элементарно специально для
этого случая.
Дан квадрат (рис. 1); требуется доказать, что его диагональ и
сторона несоизмеримы.


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	137
Допустим противное: пусть общая мера этих отрезков существует и
откладывается в стороне q раз, а в диагонали р раз. Если эту общую
меру принять за единицу длины, то длины диагонали и стороны квад-
квадрата выражаются просто целыми числами р и q, а пострознные на них
квадраты будут иметь площади, соответственно равные рг и q2 (квад-
(квадратных единиц)').
Но, как видно из классического чертежа 1, квадрат, по:троенный
на диагонали, вдвое больше данного квадрата (по площади), ибо
состоит из четырех таких треугольников, каких данный квадрат со-
содержит два.
Следовательно, p2 = 2q2, откуда ( —) = 2, т. е. дробь— оказы-
оказывается корнем квадратным из двух. Но, как мы видели выше, это
невозможно; значит, на самом деле диагональ и сторона квадрата не-
несоизмеримы.
Таким образом, если сторону квадрата выбрать за единицу —
диагональ квадрата окажется не имеющей длины (в области ра-
рациональных чисел).
Установление того факта, что «не все отрезки имеют длину»,
имеет большое принципиальное значение. Дело в том, что желанием
обеспечить существование корней из (положительных) рациональных
чисел нельзя мотивировать введение всех (положительных) иррацио-
иррациональных чисел; между тем потребности геометрии — необходимость
снабдить отрезки длинами — требуют их все.
При этом полезно подчеркнуть, что и для введения дробных чисел
причиной служила не только невыполнимость деления, но и (возможно,
даже в большей степени) та же задача измерения отрезков и других
величин в случае, когда единица не укладывалась в измеряемой ве-
величине целое число раз.
6. Итак, рациональных чисел действительно «не хватает», в этом
учащиеся, после всего изложенного выше, должны получить отчетли-
отчетливое убеждение.
Из прошлого опыта уже известно, что в подобных случаях прихо-
приходится создавать новые числа. Как же создаются нужные нам числа
сейчас? Начнем с конкретного примера — числа ]/~2~, о котором гово-
говорилось выше.
Извлечение корней с приближением, т. е. вычисление так назы-
называемых «приближенных корней» уже учащимся известно. Хорошо, если,
в частности, уже были вычислены — в качестве упражнения — прибли-
приближенные квадратные корни из двух:
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213; 1,4142135... (а)
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; 1,414214; 1,4142136... (а')
') Из всей теории площадей мы пользуемся здесь единственно лишь вы-
выражением площади квадрата, сторона которого содержит целое число единиц!


138	Г. М. ФНХТЕНГОЛЬЦ
Сколько бы десятичных знаков здесь ни взять, ни одно из этих
чисел не является точным квадратным корнем из двух, ибо все они,
будучи возведены в квадрат, дают либо меньше двух (числа первого ряда),
либо больше двух (числа второго ряда)*).
Но квадраты этих чисел:
1; 1,96; 1,9881; 1,999396; 1,99996164 ...	(б)
и
4; 2,25; 2,0164; 2,002225; 2,00024449 ...	(б')
тем ближе к двум, чем больше десятичных знаков мы берем. Особенно
поучителен в этом отношении ряд (а) приближенных недостаточных
корней: раз полученный десятичный знак навсегда сохраняется и
при продолжении процесса (это не соблюдается в отношении избы-
избыточных корней), а накопление этих последовательно вычисляемых
знаков всё больше приближает квадрат числа к двум.
Это естественно приводит к мысли взять все эти знаки зараз,
т. е. в качестве нового числа рассмотреть бесконечную десятичную
дробь
1,4142135... ,
представив себе сразу всю бесконечную вереницу знаков, которые
при построении чисел ряда (а) выявляются лишь постепенно.
(Написать подобную дробь, разумеется, нельзя; мы, однако, счи-
считаем ее определенной постольку, поскольку известное правило вычи-
вычисления приближенных корней позволяет однозначно определить любой
знак после запятой. Например, тысячный знак имеет вполне опреде-
определенную величину, несмотря на то, что его никто не знает2).— Это за-
замечание я адресую скорее учителям, чем ученикам.)
Здесь уместно напомнить учащимся, что с бесконечными десятич-
десятичными дробями они уже имели дело в 5 классе. Ведь никого из них
не затруднит, деля, например, 1 на 7, представить дробь -=- в виде
бесконечной десятичной дроби:
-1 = 0,142857142857 ...
Правда, там речь шла специально о периодических дробях (такой
является и только что приведенная дробь), причем все они выражали
обыкновенные рациональные числа. Но, столкнувшись уже однажды
с тем, что можно рассматривать и бесконечные дроби, которые иной
*) Конечно, иначе и быть не могло, ибо мы уже хорошо знаем, что ни
одно рациональное число в квадрате не может дать двух.
2) Впрочем, при помощи современных автоматических быстродействующих
цифровых вычислительных машин найти тысячный знак этой дроби не пред-
представляет труда и на это потребуется немного времени. См. об этом статью
А. А. Ляпунова и Г. А. Шестопал в первом выпуске «Математического про-
просвещения». (Прим. ред.)


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	139
раз даже выражают «хорошие» числа, учащиеся не испугаются и те-
теперь полученной дроби.
Правда, зато сразу же встает вопрос: не будет ли и дробь
1,4142135 ...
также периодической?
Если бы это было так, то дробь эта представляла бы обыкновен-
обыкновенное рациональное число — , которое (как можно доказатьI) и было
бы точным значением \ 2, что невозможно.
Значит, полученная бесконечная дробь не будет периодической.
7. Теперь можно дать и общее определение для тех новых —
иррациональных—чисел, которые следует присоединить к старым —
рациональным — числам, чтобы удовлетворить насущные потребности
алгебры и геометрии* При этом достаточно ограничиться положи'
тельными числами, ибо отрицательные получаются из них так же,
как обычно. Итак (положительным) иррациональным числом назы-
называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь вида
a = a,aia2a3...an...
Наподобие У 2, и все другие неизвлекающиеся нацело корни 1^3,
1^5, v 6, ... также приводят к таким дробям. Но ошибочно было
бы думать, что иррациональные числа порождаются только корнями.
Любая бесконечная непериодическая дробь, по какому бы закону ее
ни составить, например
0,12112111211112...,
представляет иррациональное число, независимо от того, связана ли
она с каким-либо корнем или нет.
(Это обстоятельство приходится особенно подчеркивать потому,
что сбивчивое изложение этого вопроса в учебнике воспитало у целых
поколений учащихся неправильные представления об этих вещах.
В этой связи я вспоминаю о таком эпизоде. Однажды, на лекции по
математическому анализу я доказал иррациональность «неперова
числа» е; во время перерыва ко мне обратилась значительная группа
студентов с вопросом: из какого жг целого числа корнем является е?
Такою было их представление об иррациональных числах, вынесенное
из школы.)
Если объединить числа рациональные и иррациональные, то полу-
получится расширенная область вещественных (пли действительных) чи-
чисел. Таким образом, термином вещественное (или действительное)
число обозначается число рациональное либо иррациональное.
х) Я вовсе не считаю нужнмм в этом изложении всё доказывать; и впредь
во многих случаях придется довольствоваться пояснениями взамен доказательств.


140	Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ
8. Установим теперь понятие об отношении двух отрезков А и
В в случае их несоизмеримости (рис. 2).
Станем откладывать отрезок В в отрезке А; он отложится, ска-
скажем, а раз с некоторым остатком. Разделив В на 10 равных частей,
станем откладывать такую -гх долю В в этом остатке. Так как сам остаток,
естественно, меньше В, то -^ доля В отложится в нем ах<^\0 раз
новым остатком. В этом последнем у^ доля В отложится а2<[10 раз
и т. д. Этот процесс можно мыслить продолжающимся до бесконеч-
бесконечности; остатки будут получаться всё время потому, что иначе отрезки
А и В оказались бы соизмеримыми.
Таким путем получается бесконечная десятичная дробь:
<х = а,а1а„
которая и представляет отношение А к В (или длину А, если В при-
ьять за единицу). Так, в случае, изображенном на рис. 2, а = 2,52...
Если отрезки А и В несоизмеримы, то дробь а не может быть
периодической и, следовательно, выражает иррациональное число,
д	Теперь, когда в нашем рас-
I	!	1 i i i i и поряженни имеются и ирра-
иррациональные числа, все отрез-
е	ки имеют длины, какой бы
1 ' ' ' ' ' ' ' ' ' i	из них ни был принят за
Рис. 2.	единицу; лишь в случае со-
соизмеримости с единицей эта
длина будет рациональным числом, в случае же несоизмеримости —
иррациональным.
Если вообразить себе направленную прямую (ось) и выбрать на
ней начальную точку О, то любой точке А оси будет отвечать опре-
определенное число х, именно — длина отрезка А = ОЛ со знаком «-J-»
или «—» в зависимости от того, направлен ли этот отрезок одина-
одинаково с осью или нет. Обратное утверждение, что каждому вещест-
вещественному числу х отвечает — в указанном смысле — определенная
точка А, обычно принимается (в этой именно или в какой-либо экви-
эквивалентной форме) за основное свойство прямой, выражающее ее «не-
«непрерывность» или «сплошность».
Это соответствие между точками прямой с вещественными числами
играет важную роль в деле укрепления представлений учащихся о ве-
вещественных (в частности, иррациональных) числах. В этом отношении
полезно побудить учащихся представить себе, как выглядела бы пря-
прямая, если сохранить на ней только «рациональные» точки, т. е. та-
такие, расстояния которых от начальной выражаются рациональными
числами. «Дырок» в обычном смысле слова, т. е. пропущенных сплош-
сплошных отрезков в ней, конечно, не было бы: «рациональные» точки


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	141
расположены плотно на прямой, и в любом отрезке их будет беско-
бесконечное множество. Но тем не менее повсюду были бы, так сказать,
«точечные дыры»; например, не хватало бы точки, которая получится,
если отложить в качестве отрезка ОА диагональ квадрата со сторо-
стороной, равной единице длины.
9. Если дана какая-либо рациональная дробь ?-, то, как известно,
ее всегда можно представить периодической бесконечной дробью
Обрывая эту бесконечную дробь на том или ином знаке после за-
запятой, мы получим возрастающий ряд десятичных приближений нашей
дроби, которые все меньше точного значения —:
А1 = а,а1; А2 = а,а1а2; ...; Ап = а,а1ая.. .аа; ..
Если к каждому такому «недостаточному» приближенному значению
прибавить единицу на последнем месте, то получится убывающий ряд
«избыточных» значений:
А'1 = а,а1 -{- Jq\ А'г—а^пг-^-щ; ...; A'n = a,altaa.. .ап-\- у^„;
Распространим это построение десятичных приближений на случай
любого иррационального числа:
а = а,а1а2 .. ,ап...
Будем считать, что (при любом я=1, 2, 3,...):
так что Ап, А'п будут десятичными приближениями числа а, первое —
недостаточным, а второе — избыточным.
Например, для иррационального числа
получим такие последовательности приближенных значений:
Л! = 0,1; Л2 = 0,12; Д, = 0,121; Л4 = 0,1211; Л5 = 0,12112;..
и
Учащиеся легко усмотрят во всём этом обобщение практики прибли-
приближенных квадратных корней!


42	г. м. фпхтенгочьц
Я подчеркнул слова «будем считать», потому что мы еще не
умеем сравнивать по величине новые числа со старыми (и между со-
собой), и установленное соглашение есть первый шаг на этом пути.
В общем случае сравнение по величине двух вещественных чисел
(из которых, по крайней мере, одно — иррационально)
а — а,а1а2...ап... и
производится просто: будем считать а
если а~^>Ь, пли
если а = Ь, но al~^>bi или
если а = Ь и аг = Ьи но а2^>Ь2 и т. д.
Например, имея разложения] 10 = 3,16... и тг = 3,14..., за-
заключаем, что у 10 ^> тт.
Это правило, очевидно, справедливо и для двух рациональных чи-
чисел, но за одним исключением. Известно, что все рациональные числа,
которые равны конечным десятичным дробям, в виде бесконечных
дробей могут быть представлены двояко; например, число 0,257
можно представить так:
0,257000... или 0,256999...
Вот к таким двум изображениям одного и того же числа, разумеется,
каше правило неприменимо!
10. Таким образом, область вещественных чисел построена, и даже
в пределах этой области числа размещены в надлежащем порядке —
мы научились сравнивать их по величине. Однако для того, чтобы
вновь введенные числа были действительно числами, нужно установить еще
понятие об арифметических действиях над ними (и над старыми чис-
числами). Такой вопрос у учащихся, несомненно, возникнет, но ответить
на него тотчас же, или отложить подробный ответ до повторительного
курса, а здесь ограничиться констатацией факта, что арифметические
действия определяются и обладают обычными свойствами — это дело
педагогического такта учителя.
Вообще, в этом направлении едва ли можно в средней школе
сделать многое, но некоторое представление об этих вещах создать
необходимо.
Ограничимся, для примера, сложением и умножением положитель-
положительных вещественных чисел.
Начнем с суммы двух рациональных дробей — и —, которые
q	s
представим в виде бесконечных десятичных (периодических) дробей:
|-=а,а1а1.. .ап. .. , -j=b>bA- • ¦*»• • •


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	t43
Если взять их десятичные приближенные значения Ап, А'п и Вп, В'п,
то из неравенств
^	^	(/1=1,2,3,...),
почленно складывая их, получим:
Итак, сумма рациональных чисел содержится между любыми сум-
суммами соответственных недостаточных и избыточных десятичных при-
приближений. К тому же, очевидно, эта сумма является единственным
(рациональным) числом, которое обладает указанным свойством.
Это замечание делает естественным такой подход к определению
суммы двух вещественных чисел (хотя бы и иррациональных):
о. = а,аха2. . .ап...; ф = Ь,Ь1 Ь2. ..Ъп...
Станем складывать и их соответственные десятичные приближения
Л„ + е„, А'п-\-В'п (я=1, 2, 3,...),
как мы это делали только что для рациональных чисел. Можно до-
доказать, что всегда существует (и притом — одно только) вещест-
вещественное число
Ч = с,с1ся...ся...,
которое содержится между этими суммами:
АпЛ-Вп<Ч<А'"Л-в'п (я=1, 2, 3,...).
Это число у и называют суммой чисел а. и ф:
Поясним это на примере сложения иррациональных корней \ 2
и VY.	_	_
Так какV'1= 1,4142135 ..., V3 = 1,7320508 ..., то последо-
последовательные суммы десятичных приближений будут:
/1,4+1,7 = 3,1 /1,41 + 1,73 = 3,14 /1,414+1,732 = 3,146
\ 1,5+1,8 = 3,3 ^1,42+1,74 = 3,16 ) 1,415+ 1,733 = 3,148
/ 1,4142+1,7320 = 3,1462	I 1,41421 + 1,73205 = 3,14626
\ 1,4143+ 1,7321 =3,1464 \ 1,41422+1,73206 = 3,14628
Первое же вычисление делает ясным, что, поскольку искомая сумма
у содержится между 3,1 и 3,3,— ее целая часть есть 3; на следую-
следующем этапе выявляется и цифра десятых: 1. Так последовательно
определяются один за другим и дальнейшие знаки бесконечной дроби
Y = 3,1462...,
которая по определению и есть сумма \ 2 +к 3.


144	Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ
Это нехитрое упражнение хотя и лишено доказательной силы, не-
несомненно, посодействует усвоению учащимися того факта, что число
у, о котором говорится в определении суммы, действительно суще-
существует и единственно.
Следует, впрочем, оговориться, что такое постепенное совпадение
знаков в суммах
Ап + Вп и A'a+ffa,
благодаря чему последовательно и определяются знаки искомого числа у,
осуществляется не всегда. Исключение представляется в том случае,
когда число у оказывается целым числом или конечной десятичной
дробью и представимо в виде бесконечной дроби двояко.
Так будет, например, при сложении чисел
« = 0,121121112... и р = 0,878878887...
Складывая здесь недостаточные приближения, получим
0,9; 0,99; 0,999; 0,9999 и т. д.,
а от сложения избыточных:
1,1; 1,01; 1,001; 1,0001 и т. д.
Хотя знаки и не отождествляются, но совершенно ясно, что больше
первого ряда сумм и меньше второго будет единственное число
0,9999... =1,0000...
Оно и является суммой указанных чисел.
Совершенно аналогично исчерпывается и вопрос о произведении
чисел о и р. Здесь естественно перемножать десятичные приближения
Ап-Вп, А'п-В'п (л=1, 2, 3, ...)
я произведением чисел а и C называть такое вещественное
число
B = d,d1dt...dn...
(всегда существующее и единственное!), которое содержится между
этими произведениями:
(ц=1, 2, 3, ...);
его и обозначают символом й=а-C.
И в этом случае разумно ограничиться пояснением определения на
примере. «Перемножим» те же числа \^2 и у 3, которые мы толь-
только что «складывали».
Последовательные произведения приближенных значений будут:
/1,4-1,7 = 2,38	Jl,41-1,73 = 2,4393
11,5-1,8 = 2,70	) 1,42-1,74 = 2,4708
П ,414-1,732 = 2,449048	/1,4142-1,7320 = 2,44939440
I,415-1,733 = 2,452195	\ 1,4143-1,7321 =2,44970903 и т. д.


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	145
Заключенное между всеми этими парами число §, очевидно, начи-
начинается цифрами
8 = 2,449...
Учащиеся знают, что в произведении должен получиться 1^6; если
его предварительно вычислить:
У~6 = 2,449.,.,
то совпадение результатов будет очень поучительно. Собственно, ра-
равенство }Г2 • ]^3 = ] 6 (все три числа — иррациональные!) только
после сказанного по настоящему осмысливается.
В отношении умножения можно сделать то же замечание, что и в
отношении сложения: последовательное отождествление знаков не имеет
места в том случае, когда произведением является целое число или
конечная десятичная дробь.
Для иллюстрации этого исключительного случая можно теперь, на-
наконец, пояснить учащимся, в каком смысле иррациональное число
Х= 1,4142135 ...,
объединившее в себе все знаки последовательных приближенных кор-
корней из двух, само будет «точным» корнем из двух: ведь до сих пор
мы не знали, что такое квадрат иррационального числа, и не могли
проверить, что квадрат указанного числа есть два.
По определению умножения вещественных чисел (учитывая, что в
данном случае множимое и множитель тождественны), нужно возвести
в квадрат недостаточные и избыточные десятичные приближения числа;
это, собственно, и выполнено на стр. 138 (б) и (б'). Ясно, что между
парами чисел
1,96 и 2,25; 1,9881 и 2,0164; 1,999396 и 2,002225;
1,99996164 и 2,00024449 и т. д.
содержится именно число 1,9999 ... = 2,0000 .. .; значит, число 2 и
есть квадрат X, т. е. X есть «точное» значение у 2.
Всё изложенное претендует лишь на то, чтобы учащиеся приняли
новые числа как «настоящие» числа, которые можно сравнивать по ве-
величине и над которыми можно производить арифметические действия.
О сохранении обычных свойств арифметических действий доста-
достаточно лишь упомянуть.
11. Освоенное учащимися понятие об иррациональном числе может
и должно быть использовано в геометрии. Пресловутый «случай несо-
несоизмеримости» не должен играть роль балласта, который охотно выки-
выкидывается за борт при первой же нехватке времени. Между тем, доста-
достаточно при первой встрече со «случаем несоизмеримости» выяснить уча-
учащимся существо дела, чтобы потом уже можно было просто ссылаться
на аналогию с доказательством, хоть однажды доведенным до конца.


146	Г. М. ФИХТЕНГОЛЬЦ
Остановимся же на известной лемме: прямая, параллельная ка-
какой-нибудь стороне треугольника, отсекает от него треугольник,
подобный данному. Пусть даны треугольник ABC и пересекающая его
прямая DE, параллельная стороне АС (рис. 3).
Докажем пропорцию:
АВ	СВ
DB ЕВ*
Случай, когда отрезки АВ и DB имеют общую меру (тогда общую
меру имеют также отрезки СВ и ЕВ), легко исчерпывается ссылкой
6
Рис. 3.
на известную теорему о равных отрезках, отложенных на одной сто-
„	-	АВ СВ
роне угла и т. д. Здесь оба отношения -^ и -~s оказываются рав-
равными одной н той же рациональной дроби.
Пусть теперь отрезки АВ и DB (а с ними также СВ и ЕВ) будут
несоизмеримы. Как мы уже знаем, в этом случае оба отношения
АВ СВ	,
ргй и ~ws выражаются иррациональными числами, т. е. бесконечными
непериодическими десятичными дробями, и нужно доказать, что дроби
эти тождественны.
Применим для определения отношения отрезков АВ н DB процесс,
указанный в п. 8. Отложим DB на АВ, пусть он отложится а раз, с
остатком, меньшим DB (на рис. с =2). Проведя через точки деления
параллели стороне АС, видим, что и ЕВ в СВ отложится а раз. Та-
Таким образом, целые части обоих отношений уже оказались равны. Раз-
Разделив DB на 10 равных частей, станем такую ^ долю DB отклады-
откладывать в полученном на АВ остатке; пусть она отложится ах раз, с но-
новым остатком, уже меньшим -^ доли DB (на рис. с1 = 6). Снова,
проведя параллели, найдем, что и ^ доля отрезка ЕВ отложится а1
раз в остатке на СВ. Значит, и цифры десятых в обоих отно-
отношениях также равны.


ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ	147
Продолжая так дальше, убеждаемся в том, что оба отношения
действительно выражаются одной и той же бесконечной дробью
B,6...) — это и требоватось доказать1).
12. Не следует упускать возможности и в дальнейшем курсе на-
напоминать учащимся об иррациональных числах. В частности, разумеется,
должна быть настойчиво подчеркнута иррациональность числа тт.
Когда в 9-м классе устанавливается понятие о пределе переменной,
принимающей занумерованную последовательность значений, полезно
вернуться к иррациональному числу и его недостаточным и избыточным
десятичным приближениям Ап и А'п (л=1, 2, 3, . ..). Так как
°<° A< и 0<Ла<
то, очевидно,
а = lim Ап = lim А'„.
Л-+ОО	Л-+ОО
Таким образом, иррациональное число оказывается пределом сво-
своих рациональных приближенных значений.
Например, у2 есть предел переменной, пробегающей последователь-
последовательно значения 1; 1,4; 1,414; 1,4142, ... , а тг — предел переменной:
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415, ... и т. п.
Упоминание об этом не только создает возможность иллюстрации
понятия о пределе рядом нозых примеров, но и по-новому освещает
появление иррационального числа из его десятичных приближений.
Точно так же и результаты арифметических действий над иррацио-
иррациональными числами оказываются пределами, к которым стремятся ре-
результаты подобных же действий над их рациональными приближенными
значениями, например (при обозначениях п. 10):
а + р = lim (Л„+ ?»„), a$ = lim[Aa.BJ.	(*)
Впрочем, следует предостеречь учителей от одной распространен-
распространенной ошибки. Были попытки определить самое понятие иррационального
числа через предел: «иррациональным числом называется предел по-
последовательности рациональных чисел...» На деле слово «предел» здесь
ничего не уясняет, ибо, в свою очередь, пределом мы называем, прежде
всего,^число (обладающее такими-то и такими-то свойствами). Получа-
Получается порочный круг: ведь числа-то у нас еще нет, пока мы не создали
его на основе четкого определения. Итак, через предел определять
иррациональное число нельзя, хотя рассматривать иррациональное число
(определенное уже иными средствами) как предел, несомненно, полезно.
Определение результатов действий над иррациональными числами с
помощью предельного перехода — логически допустимо; можно опреде-
') Отмечу, что в последних изданиях учебника геометрии Киселева прово-
проводится та же точка зрения, что и в тексте.


148	г. м. фихтенгольц
лить, например, сумму и произведение чисел аир равенствами (*).
(Конечно, существование пределов нуждалось бы в доказательстве —
при строгом изложении.) Но определения п. 10 нам кажутся более
простыми и легче поддающимися разъяснению на примерах.
Степень с" с иррациональным показателем обычно определяется
именно с помощью предельного перехода:
с'= lime4".
п-м»
Но я и в этом случае предгочел бы определение в стиле пункта 10.
Логарифмы натуральных чисел, тршокометрические функции углов
(выражаемых целым числом градусов, минут и секунд) и их логарифмы,
вообще говоря, будут — за редкими исключениями — иррациональными
числами. Это непременно должно быть доведено до сознания учащихся;
а между тем — окруженные со всех сторон иррациональными числами —
они обычно даже не подозревают этого и благодушно считают, что
иррациональность — это редко встречающееся исключение.
Правда, учащимся при вычислениях приходится на практике иметь
дело лишь с приближенными рациональными «табличными» значениями
иррациональных величин. Но, скажем, в формулах
или
log (ab) = log a -f- log b
sin (a -\- b) = sin a ¦ cos b -\- cos a ¦ sin b
под логарифмами или синусами всё же разумеются их точные значения,
а не приближенные; значит, иррациональности не избежать.
Думаю, что из всего изложенного выше читателю ясна моя точка
зрения на положение иррациональных чисел в средне-школьном препо-
преподавании. Никакой «теории» иррациональных чисел там не место (по-
(повторяю это еще раз). Потребности в формальном обосновании всего
связанного с иррациональными числами у учащихся нет, в то же время
логическое развитие их недостаточно, чтобы воспринять эту теорию,
так сказать, в принудительном порядке. Но понять, в чем тут дело,
учащиеся могут и без формальной теории (со строгим проведением
всех доказательств), если соблюдать два условия:
во-первых, всё же доказательства излагаются в тех случаях, когда
они на деле обогащают сознание учащихся (например, в пунктах 4, 5) и
во-вторых, иррациональные числа не повисают в воздухе, упомина-
упоминаются и применяются в дальнейшем преподавании и обволакиваются
возможно большим числом ассоциаций.


ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(ПРЕПОДАВАНИЕ В ВЫСШЕЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ
С БОЛЬШОЙ ПРОГРАММОЙ МАТЕМАТИКИ)
А. А. Ляпунов
(Москва)
1. Действительные числа
Рассмотрим задачу об измерении длины отрезка ah.
Пусть отрезок cd — единица измерения. Допустим, что оч уклады-
укладывается полностью в отрезке ab а раз и что остается остаток, меньший,
чем единица измерения (рис. 1).
Запишем целое число а. Это — приближенный результат измерения.
Чтобы получить результат более точный, будем укладывать в ос-
остатке отрезок, равный ^ единицы измерения. Допустим, что он укла-
укладывается а1 раз (ясно, что ах ^ 9) и
что получается новый остаток, мень- о	b
1	I	~	1
шии чем -г|г единицы измерения.	ос.
Запишем число
[
(а целых и а1 десятых). Это — новый	'
приближенный результат измерения.	Рис. 1.
Для получения еще большей точности будем в новом остатке
укладывать отрезок, равный -г^ единицы измерения. Допустим, что он
укладывается а2 раз (ясно, что а2^9) и получается остаток, меньший
чем ^г» единицы измерения.
Мы запишем число
(а целых, ах десятых и а2 сотых). Это — следующий по точности ре-
результат измерения.
[


150	а. а. Ляпунов
Мы можем неограниченно повышать точность измерения, используя
всё более и более мелкие доли единицы измерения. Проделав такую
операцию с ткй-й долей единицы измерения, мы получим приближенный
результат измерения:
Если при каком-нибудь значении числа я остатка не будет, т. е.
если у™ единицы измерения укладывается целое число раз в пос-
последнем остатке, то измерение мы произвели совершенно точно, и ре-
результат его равен а,а,а2. . .ап. Например, если отрезок ab был
равен 2-5- единицы измерения, то результат измерения будет 2,125.
о
Однако не всегда это имеет место. Например, если отрезок ab
равен 1 -=- единицы измерения, то результат измерения окажется равен
о
1,333.. .33..., и мы никогда не избавимся от остатка. В таком случае
естественно считать, что результатом измерения является бесконечная
десятичная дробь.
Это приводит нас к необходимости изучения чисел, изображающих-
изображающихся бесконечными десятичными дробями. Примерами таких чисел могут
служить:
п = 3,141592..., 1/2" =1,4142..., 4- = 0,3333. ..
о
Всякую десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков, а
также всякое целое число можно, если угодно, считать бесконечной деся-
десятичной дробью, где все дальнейшие десятичные знаки суть нули. На-
Например, 1,232=1,232000. ..000. . .
Бесконечные десятичные дроби мы будем назызать действитель-
действительными числами. Основные свойства их мы определим дальше.
На практике действительные числа заменяют обычно их приближен-
приближенными значениями. Приближенным значением по недостатку дейст-
действительного числа а = а,а1а2.. .ап... называют десятичную дробь
а.э^а.,.. .ап, знаки которой совпадают с первыми знаками числа а.
Например, число 3,14159 является приближенным значением по недо-
недостатку действительного числа тт. Приближенным значением по из-
избытку числа ^называют десятичную дробь, у которой все знаки, кроме
последнего, совпадают со знаками числа а, а последний знак на еди-
единицу больше, чем у числа а. Например, числа 0,3334 и 3,1416 яв-
являются соответственно приближенными значениями по избытку дейст-
действительных чисел -=- и тт.
о


ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	151
2. Основные свойства действительных чисел
А)Равенство действительных чисел
Два действительных числа
а = а,сс1а2. . .а„. .. и й=р,ЗДа. . .р„. ..
равны между собой, если имеет место одно из двух:
1) Все значения цифр числа а и Ъ соответственно равны:
2) Первые значения цифр чисел а и b до некоторого места равны,
затем следующая цифра первого из них на единицу больше, чем сле-
следующая цифра второго, и далее у первого идут одни нули, а у
второго одни девятки:
а«+1 = ап+2 ==••¦ = аи+га = • • • = О,
Рп + 1	Рп + 2	•	Рп + т	¦	э'
Например:
1,23999...999... =1,24000...000...
199,999.. .999... =200,000.. .000...
Ясно, что если а = Ь и Ь = с, то и а = с.
Если запись какого-нибудь числа оканчивается девяткой в периоде,
мы всегда будем заменять ее другой записью того же числа, окан-
оканчивающейся нулями.
Б) Сравнение действительных чисел
Некоторое множество элементов называется упорядоченным, если
про всякие два различных элемента этого множества известно, что
один из них больше другого.
Если а больше, чем Ь, то пишут а^>Ь или b <^а.
Если а^>Ъ и Ь^>с, то непременно а^>с.
Например, множество целых чисел и множество десятичных дробей
являются упорядоченными.
На числовую ось десятичные дроби наносят так, что большее число
всегда помещается справа, а меньшее 0J 06 68 13 17
слева (рис. 2).	f	1	\—\—|	}	\	1
Посмотрим, по какому закону О	I	2
упорядочены десятичные дроби.	рис 9
Десятичные дроби упорядочены
следующим способом: пусть а = оца^... ап и b = В,^^... $п — две
различные десятичные дроби; тогда а^>Ь, если выполнено одно из


152	А. А. ЛЯПУНОВ
•следующих условий:
1)	<*>?,
2)	о = р, но о^р,,
3)	а = ?, 01, = ^, ...,а,. = 3,., но а/+1>?/+1.
Сравнение по величине любых действительных чисел мы опреде-
определим аналогичным путем.
Пусть а = а,а1а2.. .ап ... и Ь = $,$1$1. . .$п. ..—два раз-
различных действительных числа и пусть ни одно из них не оканчивается
девяткой в периоде. Мы будем говорить, что а^> Ь, если имеет место
одно из следующих условий:
2)	<х=р, но о^р,,
3)	а = р, а1 = р1, . ..,а/ = р1., но я/+1>Р/+1, т. е. либо целая
часть числа а больше, чем целая часть числа Ь, либо целая часть
и несколько первых десятичных знаков числа а соответственно равны
целой части и первым десятичным знакам числа Ь, а следующий де-
десятичный знак числа а больше следующего десятичного знака числа Ь.
Ясно, что если a^>b a b^>с, то а^>с.
Таким образом, действительные числа образуют упорядоченное мно-
множество. Каждому действительному числу а соответствует раз-
разбиение всех действительных чисел, неравных а, на два класса — на
классы чисел больших и меньших, чем а.
Упорядоченность действительных чисел сохраняет определенную выше
упорядоченность десятичных дробей.
Теперь мы можем дать полное определение действительных чисел:
Действительными числами называются бесконечные дроби с теми
определениями равенства и упорядоченности, которые даны выше.
В) Свойства множества действительных чисел
Пусть а и b — два действительных числа и а<^Ь.
Тогда множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих
неравенству а<^х<^Ь, называется интервалом или промежутком
(а, Ь), а множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих
неравенству а<^х^Ь, называется отрезком или сегментом [а, Ь~\.
Теорема. Всякий интервал (а, Ь) содержит по крайней мере
одну десятичную дробь.
Доказательство. Пусть
с = а, а^.-.а,,... и й = р,р1р2 — Р„ —
— ива действительных числа и а<^Ь. Мы можем предположить, что
ни одна из этих бесконечных дробей не оканчивается девяткой в
периоде. Пусть у чисел а и b первый неравный знак имеет номер п,


ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	153
т. е. Ъп >• ап. Пусть т — наименьшее число, такое, что ап+
Такое число найдется, так как запись числа а не оканчивается девяткой
в периоде.
Тогда рассмотрим число
с = а,а1а2...а„...ап+т_19.
Это—конечная десятичная дробь, удовлетворяющая условиям тео-
теоремы. В самом деле, с<^Ь. Это следует из того, что все знаки
числа b совпадают со знаками числа с до номера я—1, тогда как
Фп^>ап- Кроме того, а<^с. Это следует из того, что все знаки
чисел а и с до номера п-\- т—1 совпадают, а (Зп+т-<9.
Таким образом, десятичная дробь с удовлетворяет неравенствам
Множество действительных чисел М мы назовем ограниченным
сверху (или снизу), если существует некоторое число, превосходящее
все числа из множества М (или меньше, чем все числа из множе-
множества М).
Множество действительных чисел называется ограниченным с обеих
сторон (или просто ограниченным), если оно ограничено как сверху,
так и снизу.
Числом, ограничивающим множество М сверху, мы будем называть
всякое число А такое, что А Зг х для всех чисел х, принадлежащих
множеству М. Наименьшее из всех чисел, ограничивающих множество
М сверху, мы назовем верхней гранью множества М.
Пример: 0 (нуль) есть верхняя грань множества всех отрица-
отрицательных чисел.
Аналогично—числом, ограничивающим множество М снизу, мы
будем называть всякое число А ^ х для всех чисел х, принадлежа-
принадлежащих множеству М. Наибольшее из всех чисел, ограничивающих мно-
множество М снизу, мы назовем нижней гранью множества М.
Пример: число 1 есть нижняя грань множества всех целых по-
положительных чисел.
Теорема. Всякое ограниченное сверху множество действи-
действительных чисел имеет верхнюю грань.
Доказ ательство: Пусть множество М состоит из деистви-
тельных чисел:
Х1 = а,а1а2...ап...,
• "in •
II Т. Д.
Так как множество М ограничено сверху, то существует число
Л = с,с1с2... такое, что х1<^А, х2<^А, х3<^А и т. д. — все
числа из множества М меньше, чем А.


154	А. А. ЛЯПУНОВ
Рассмотрим целые части а, р, у, ... всех чисел хг, х2, х3, ...
из множества М.
Среди них найдется наибольшая, так как число А больше их всех.
Обозначим наибольшее из этих чисел через Ь. Сохраним те числа
множества М, у которых целая часть Ъ, и выбросим остальные. Рас-
Рассмотрим первые десятичные знаки всех сохраненных чисел. Выберем
из них наибольший. Пусть это — число Ьл. Выбросим те из ранее со-
сохраненных чисел, у которых первый знак меньше числа Ьг. Рассмотрим
вторые десятичные знаки всех чисел, которые остались. Пусть Ъ2 — наи-
наибольший из них, и т. п. Допустим, что мы дошли до числа Ьп и со-
сохранили только те из чисел множества М, которые имеют первые
знаки Ь,ЬгЬ2.. .Ъп. Расскотрим (п-\- 1)-е десятичные знаки всех сохранен-
сохраненных чисел; пусть ftn+1— наибольший из них. Мы вычеркнем все ранее
сохраненные числа, у которых (и-(-1)-й знак не равен ?п+1 и т.д.
Таким образом, мы последовательно определяем знаки некоторого
действительного числа:
Мы докажем, что число В является верхней гранью множества М.
Для этого мы должны доказать два положения:
1)	что число В ^ (больше или равно) всякому числу л: из мно-
множества /И,
2)	что если С=^=В и С^= всякому числу из множества М, то
В<С.
Докажем первое положение. Пусть число л: входит в Ж и
Тогда по построению числа В,
т. е. В^х.
Докажем второе положение. Пусть число
С	• СУС1С2 . • . Сп ...
таково, что для всякого л: из множества МС^х и
Если число В кончается девяткой в периоде, то мы потребуем,
чтобы С не оканчивалось нулем в периоде.
Мы должны доказать, что С^>В. Допустим противное, т. е. что
С<^В (равенство С = В невозможно). Это означает, что несколько
первых знаков числа С соответственно равны нескольким первым зна-
знакам числа В, а для некоторого п сп<^Ьп. Однако по построению
числа В, среди чисел л: из можества М найдется такое, у которого
первые знаки суть Ь,ЬгЬ2.. .Ьп. Тогда, очевидно, х<^С. Это проти-
противоречит исходному условию, что С~^>х. Полученное противоречие до-
доказывает, что допущение С<^В неверно. Следовательно, С^>В (по-
(потому что равенство С = В было заранее исключено).
Мы доказали, что В является наименьшим из чисел, больших или
равных каждому из чисел множества М. Иначе говоря, число В яв-
является верхней гранью множества М.


ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА	155
3. О действиях над действительными числами
Мы будем обозначать через а и Ъ два действительных числа,
а через а, а", Ь' и Ь"— какие-нибудь десятичные дроби, удовлетво-
удовлетворяющие неравенствам: а' <^а<^а", b'<^b<^b".
Для определения суммы чисел а и b заметим, что множество всех
чисел вида а'-\-Ь' ограничено сверху. В самом деле, a' -\-b' <^d' -\-b".
Следовательно, по теореме 2, множество всех чисел вида d-f- Ь' имеет
верхнюю грань. Ее называют суммой чисел а и b и обозначают а -\-Ь.
Разностью а — b чисел а и b называют верхнюю грань чисел
вида d— Ь".
Если а и b положительны, то произведением а-Ъ называют верх-
верхнюю грань чисел вида d-b', где а' и Ь' тоже положительны.
Для определения произведения любых чисел (не только положи-
положительных) поступают так же, как в алгебре:
всякое число, умноженное на 0, есть 0, а также
(+)•(+)=+; (-)•(-)=+; (-)•(+) = -; (+)•(-)=-•
Если а и b положительны, то частным -г- называют верхнюю
грань чисел вида ^. Кроме того, сохраняется правило знаков. Нуль,
деленный на любое число, есть нуль. Деление на нуль невозможно.
При таком определении действий над действительными числами
все законы арифметики остаются в силе. Приближенным результатом
действий над действительными числами может служить результат тех
же действий над их приближенными значениями, исключая случай де-
деления на нуль.
4. Принцип стягивающихся отрезков
Говорят, что отрезок [а2, Ь2] вложен в отрезок [а±, bj, или
содержится в отрезке [at, Ь±] (рис. 3), если al^a2 и Ьг^Ь2.
Длиной отрезка [а, Ь] называют
число Ъ — а.		I	I	|	1—
Говорят, что некоторая система о(	а, Ь, Ь2
отрезков содержит сколь угодно	р „
короткие отрезки, если, каково бы
ни было число е>0, в данной системе найдется отрезок [а, Ь] такой,,
что b — а<^?.
Система отрезков
К> М, К, Ь2], ..., [ап, Ь„], ...
где всякому целому положительному числу п отвечает отрезок \ап, Ьп],
называется последовательностью отрезков.
Последовательность отрезков называется стягивающейся, если
1) каждый отрезок [ап, Ьп\ содержится во всех отрезках, пред-
шествующих ему;


156	А. А. ЛЯПУНОВ
2) среди отрезков данной последовательности существуют отрезки
сколь угодно короткие.
Пример:
есть последовательность стягивающихся отрезков.
Теорема. Для всякой, стягивающейся последовательности от-
отрезков существует одна и только одна точка (действительное
число), входящая в эти отрезки.
Доказательство: Пусть дана стягивающаяся последователь-
последовательность отрезков
[аг, Ьг], [а2, Ь2], ..., [ап, Ьп], ...
Рассмотрим множество всех левых концов этих отрезков:
«1, а2, . . ., ап, ...
Докажем, что оно ограничено сверху. В самом деле, каково бы ни
было п, a1^an<^bn^b1; следовательно, ап<^Ь1.
Согласно теореме о верхней грани, у этого множества существует
верхняя грань. Пусть зто — число а.
Докажем, что
1)	Число а входит в каждый из отрезков [ап, ?„], т. е. что
ап^а^Ьп.	A)
2)	Число а является единственным, обладающим указанным свой-
СТЕОЧ.
Первая часть неравенства A) следует из того, что а есть верхняя
грань множества чисел аг, а2, ..., ап, ... . Докажем вторую часть.
Для этого покажем, что каковы бы ни были целые числа п и J,
*„>«/¦	B)
В самом деле, если n=j, то неравенство B) очевидно. Если n<^j,
то ап sg: uj < bj =^ bn. Следовательно, ау- < bn. Если п > у, то
aj ^ ав'<С Ьп <; bj. Следовательно, ау- < Ьп, т. е. для всех возможных
случаев неравенство B) дохазано. Следовательно, Ьп больше всех
чисел а13 а2, .. ., ап, .. .; однако а есть верхняя грань этого множества.
Поэтому а^Ьп, как-ОЕо бы ни было п. Этим доказана вторая часть
неравенства A).
Докажем теперь, что а является единственным числом, обладаю-
обладающим указанным свойством.
В самом деле, если бы число с, отлнчног от числа а, удовлетво-
удовлетворяло всем неравенствам ап <[ с <^ Ьп, то длина каждого из отрезков
[ап, ?„] была бы больше, чем число \а — с\. Это противоречит тому,
что в стягивающейся последовательности существуют сколь угодно
короткие отрезки.


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
(ПРЕПОДАВАНИЕ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ)
А. Я. Дубовицкий
(Вологда)
Введение
В статье дается один из возможных вариантов изложения темы
«Теория вещественного числа» из курса теории функций действитель-
действительного переменного в педагогическом институте. Изложение материала
по указанному плану, как показывает опыт, требует 8 лекционных
часов. Насколько можно было судить по результатам экзаменов, усвое-
усвоение темы не вызвало особых затруднений у студентов.
Существует два основных способа введения действительных чисел:
1) построение поля действительных чисел при помощи ряда после-
последовательных расширений, исходя из множества натуральных чисел
(задаваемого аксиоматически) — конструктивное построение.
1) аксиоматическое построение поля действительных чисел, т. е.
такое построение, при котором основные свойства их задаются ака.о-
матически.
Хотя первый способ имеет ряд преимуществ, признанных большин-
большинством руководств, в настоящем изложении мы будем придерживаться
второго способа, исходя из следующего:
1)	Задача создания общей теории действительного числа есть за-
задача теории чисел, а не теории функций.
2)	Конструктивное построение поля действительных чисел факти-
фактически проводится в курсе теории чисел, а дублирование нельзя при-
признать целесообразным.
3)	Аксиоматическое построэние числового континуума позволяет за
счет полученной экономии времени провести более детальный анализ
важного для теории функций свойства непрерывности.
4)	Логически оба пути равноценны.
Ниже мы дадим аксиоматическое построение вещественного конти-
континуума и исследуем более подробно следствия, вытекающие из его
СЕоЛства непрерывности.


158	А. Я. ДУБОВИЦКИЙ
1. Аксиомы числоеого континуума и основные следствия
Множество D называется числовым континуумом, а его элементы—
действительными числами, если в нем определены две алгебраические
операции — сложение и умножение, удовлетворяющие следующим усло-
условиям (аксиомам):
А. Аксиомы поля
1.	Для любых а и Ь из D
a-\-b — b-\-a.
2.	Для любых a, b и с из D
3.	В D существует элемент 0 такой, что а-(-О = а для любого а
из D.
4.	Для любого а из D существует —а такое, что a-f-(— а) = 0.
5.	Для любых а и b из D
a-b = b-a.
6.	Для любых а, Ъ и с
{a-b)-c = a-(b-c).
7.	В D существует элемент 1=^0 такой, что
а-\ =а
для любого а из D.
8.	Для каждого а=^0 из D существует а~1 такой, что
9. Для любых a, b и с
В. Аксиомы скалярного расположения
В множестве D определено некоторое отношение между элементами
а и Ь, обозначаемое знаком > (читается «я больше <?»; Еместо этого
можно написать Ъ <а—<i.b меньше а», удовлетворяющее следующим
аксиомам:
1.	Если a, b ? D, то
либо а^>Ь, либо а<^Ь, либо а = Ь («а совпадает с ft»).
2.	Если а>& и Ь^>с, то а^>с.
3.	Если а^>Ь, то а-|-с>?-|-с.
4.	Если а>? и с>0, то ас^>Ьс.


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
159
С. Аксиома непрерывности
Для формулировки аксиомы непрерывности дадим следующее
Определение: разбиение множества D на два непустых класса
А и В называется сечением, если каждое число из класса А меньше
любого числа класса В.
Пример. К верхнему классу отнесем все числа, большие нуля.
Остальные отнесем к нижнему классу.
В нижнем классе содержится наибольшее число 0.
Класс, содержащий крайний элемент, называют закрытым.
Аксиома (Дедекннда). Один из классов каждого сечения
континуума D закрыт.
Основные следствия из аксиом
На основе перечисленных аксиом можно уже чисто логически раз-
вигать теорию действительного числа и всех ее приложений. Но так
как возвращаться к исходным положениям при решении каждой кон-
конкретной задачи представляется затруднительным, то мы извлечем из
основных аксиом следствия, на которые в дальнейшем и будем опи-
опираться.
Следствие из аксиом группы А
Аксиомы группы А означают, что числовой континуум образует
поле.
Это следует из того, что введенные в нем операции удовлетворяют
всем аксиомам поля (аксиомы группы А).
Отметим сразу же, что группа А непротиворечива, приведя при-
пример поля.
Пример. Множество П состоит из двух элементов 0 и е.
Введем для них операции:
Сложение:	Умножение:
+
0
е
0
0
е
е
е
0
•
0
е
0
0
0
е
0
е
Непосредственной проверкой убеждаемся, что П — поле.
Следствия из аксиом группы В
Определение. Числа, большие нуля, называются положитель-
положительными, меньшие нуля — отрицательными.


160	А. Я. ДУВОВИЦКНЙ
Теорема. Из двух взаимно противоположных чисел а, — а одно
положительно, а другое отрицательно.
Доказательство. Пусть а^>0. Тогда, прибавляя к обеим
частям неравенства число —а, получим в силу монотонности сложения
а+(—«)>(—«), т. е. 0> — а.
На этом основании можно ввести следующее
Определение. Абсолютной величиной числа а называется
число а, если а^>0, —а, если а<^0 и 0, если а = 0. Обозначается
абсолютная величина числа а через \а\.
Из предыдущей теоремы следует:
Действительно: ^'^ и \b]^b.
значит, I а | -{-1 ? | 52 а -|- ft и | a I -f-
S* — (a -\- b). Одна из правых
частей больше нуля; поэтому |а\-j- b ^\a
2)	Число 1 положительно.
Если бы было 1 <0, то — 1 >0. В силу аксиомы В.4 (— 1)-(— 1)>
X—1)-0 = 0, т.е. 1>0, вопреки допущению.
3)	Если а>0, то и а-1>0.
Действительно, если бы было а'1 <0, то в силу аксиомы В.4
с-1 ¦ а<^а-0 = 0; значит, 1 <[0, что невозможно.
4)	Между любыми двумя вещественными числами а и р содержится
третье (свойство плотности).
Таким числом является ¦ Т~ . Действительно, если, например, аГ>8,то
в силу аксиомы В.З 2а ^> а-\-'$ и a -j- ji ^> 2fS, откуда и следует требуемое.
Из установленного свойства плотности следует, что один из клас-
классов любого сечения в D открыт.
Замечание. Приведенный выше пример поля II показывает, что
группа аксиом А не зависит от аксиом В, так как в поле П аксиомы
В не выполняются. Действительно, если бы II можно было скалярно
расположить, то е>0. Но е-\-е = 0, что невозможно (противоречит
аксиоме В.З).
2. Натуральный ряд. Принцип индукции
Для дальнейшего развития теории нам нужно будет, отправляясь
от основных аксиом, выделить из чисел, входящих в D, класс нату-
натуральных чисел.
Для этого введем следующее
Определение. Множество М называется правильным, если
оно содержит 1 и вместе с каждым числом х содержит число л: -j- 1.
Пример. Множество всех чисел, больших или равных 1, является
правильным.
Пересечение всех правильных множеств есть также правильное мно-
множество. Это, так сказать, наименьшее из правильных множеств.


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	161
Определение. Натуральным рядом называется пересечение
всех правильных множеств. Натуральными числами называются числа,
содержащиеся в натуральном ряду. Из приведенного выше примера
следует, что все натуральные числа S^l, а также, что 1, 2, 3, ...—
натуральные числа.
Обозначают натуральный ряд через N.
Теорема. (Принцип математической и н д у к ц и и):
Если предложение S справедливо для 1 и если из предположе-
предположения, что S справедливо для всех натуральных чисел т^п выте-
вытекает справедливость S для всех натуральных чисел т^ и —|— 1» то
S справедливо для всех натуральных чисел.
Доказательство. Назовем натуральное число п нормальными,
если предложение S справедливо для всех натуральных чисел т^п.
1 — нормальное число.
Согласно условию, если п нормально, то п -j- 1 также нормальноэ.
Следовательно, множество К нормальных чисел правильно; значит,
N с К. Но К состоит из натуральных чисел; значит, N ^> К.
Вывод: N=K.
Теорема. Если п — натуральное число, то сегмент [п, п -(- 1J
не содержит никаких натуральных чисел, кроме концов.
Доказательство: Число 1 обладает нужным свойством, так
как сегмент [1,2] не содержит других натуральных чисел, кроме
концов.
Действительно, множество Ж={ 1 }-(-{[2, оо]} правильно и не
содержит чисел на этом сегменте, кроме концов.
Предположим, что натуральные числа т^п обладают указанным
выше свойством. Рассмотрим множество М, состоящее из всех нату-
натуральных чисел т sg: п -\- 1 и всех чисел т ^ п -\- 2. Это множество
правильно и не содержит чисел на сегменте \п -(-1, п -(- 2]. Следова-
Следовательно, на этом же сегменте нет никаких натуральных чисел, кроме
концов.
Следствие 1. Каждое натуральное число есть или 1, или
и-j-l, где п — натуральное число.
Число 1 обладает указанным свойством. Предположим, что все на-
натуральные числа m^Ln обладают этим свойством. Любое число
т ^ п -(- 1 либо не превосходит п, либо равно п -j- 1. Значит, каждое
из этих чисел либо имеет вид т -(-1, где т — натуральное число,
либо равно 1.
Следствие 2. В каждом множестве натуральных чисел со-
содержится наименьшее.
Справедливость устанавливается непосредственным применением
принципа математической индукции.
Используя полученные результаты, легко показать, что любое на-
натуральное число можно получить последовательным применением опе-
операции сложения к единице, что сумма и произведение натуральных
чисел есть натуральное число и т. д.
6 Матем. просвещение, вып. 2


162	А. Я. ДУБОВИЦКИЙ
Все полученные предложения являются следствиями аксиом групп
А и В. Из них вытекают аксиомы Пеано для натурального ряда,
определенного аксиоматически.
Понятие целого числа вводится обычным образом.
3. Анализ группы аксиом С
Существует несколько эквивалентных предложений, каждое из ко-
которых можно принять за аксиому непрерывности числового континуума.
Эти предложения таковы:
I) Аксиома Д е д е к и н д а. Один из классов любого сечения
континуума D закрыт.
II) Каждое непустое ограниченное сверху множество Е обладает
верхней, гранью.
III)	Каждое бесконечное ограниченное множество имеет по край-
крайней мере одну предельную точку1).
IV)	Каждая монотонно возрастающая ограниченная последова-
последовательность имеет предел.
V) а) Аксиома Архимеда. Если а — произвольное число и
Ь~^>0, то найдется натуральное число N такое, что b-N~^>a.
б) Аксиома Кантора. Каждая стягивающая система сег-
сегментов имеет единственную общую всем им точку.
Теорема. Каждое из приведенных предложений эквива-
эквивалентно остальным (при выполнении аксиом групп А и В).
Доказательство проведем по схеме I —»¦ II —»¦ III —*¦ IV —>¦ V-»¦ 1.
1) I —^ II
Пусть множество Е ограничено сверху числом М и непустое. Ра-
Разобьем D на два класса. К классу В отнесем все верхние границы Е,
а к классу А — остальные числа.
Разбиение это есть сечение. Действительно:
a)	Каждое число попадает в один из классов;
b)	верхний класс непустой — он содержит М; нижний класс содер-
содержит число с — 1, где с — любое число из Е;
c)	если а?А, то в Е найдется число е, е~^>а; если b— произ-
произвольное число из В, то b^ с. Значит, Ь~^>а. Один из классов этого
сечения необходимо закрыт (в силу I).
Покажем, что класс А открыт. Действительно, пусть а?А; тогда
с<е, где е — некоторое число из Е. Число а"^~-с = а, меньше е;
значит, оно содержится в нижнем классе. Итак, класс А вместе с каждым
числом а содержит большее число а'. Это и значит, что класс А от-
открыт; значит, класс В закрыт.
') Точка с называется предельной для множества Е, если каждая ее ок-
окрестность содержит по крайней мере одну точку из Е, отличную от с.


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 163
Таким образом, существует наименьшая из верхних границ, т. е.
верхняя грань.
2) II-^ III
Пусть выполнено II, и Е—бесконечное множество, содержащееся
в [а, Ь\. Назовем число л: нормальным, если множество (—оо, х)-Е
конечно. Совокупность нормальных точек непуста (содержит а) и огра-
ограничена сверху (например, числом Ь).
Обозначим через с верхнюю грань множества нормальных точек..
Точка с является предельной для Е.
Действительно, пусть (а, р) — интервал, содержащий с. Тогда ин-
интервал (— оо, р), содержит бесконечное множество точек из Е, в то
время как интервал (—оо, а) содержит конечное множество точек из Е.
Следовательно, (а, р) содержит бесконечное множество точек из Е.
Это и значит, в силу произвольности интервала (а, р), что с — пре-
предельная точка для М.
3) III—HV
Пусть
аг, а2, .... ап, ...	A)
— монотонно возрастающая последовательность, ограниченная числом Л1.
Покажем, что она обладает пределом.
Действительно, множество чисел из последовательности A) ограни-
ограничено (нижняя граница есть а). Обозначим через с ее предельную
точку. Заметим, что с~5*ак при любом k. Действительно, иначе мы
имели бы с<^а^о; но интервал (—оо, ако) содержит всего лишь
конечное число членов последовательности A). Значит, точка с не могла
бы быть предельной. Пусть е >¦ 0 произвольно. Тогда интервал
(с — е, с-\-е) содержит хотя бы одну точку aN из A). Если п > ^V, то
Ов„^вдг<с —ап <^с — aN<^e; следовательно, \с — ап \ < S,
как только n~^>N. Это значит, что с есть предел для A).
4) IV-^ V
а) Аксиома Архимеда. Если а >¦ 0 и b — произвольное число,
то среди чисел
а, 2а, За, ...	B)
найдутся большие, чем Ь.
Доказательство: Допустим противное. Тогда последователь-
последовательность B) ограничена сверху и монотонно возрастает. Согласно IV,
B) имеет предел с (a-k<^c при любом /г).
Действительно, если бы при некотором k0 a-k^^c, то при k^>k^
a-k — c^>a-k — a-ko = a(k — ko)^a,
что невозможно, так как с есть предел для B).
Следствие. Если е>¦ 0 произвольно, то для любого а нсх~
а _,
дется натуральное число п такое, что — <^ е.
6*


164	А. Я. ДУБОВИЦКИЙ
б) Аксиома Кантора. Каждая стягивающаяся система сегмен-
сегментов имеет единственную общую всем точку.
Доказательство. Пусть
К ftjah, *,]=>...	C)
— стягивающая система сегментов. Тогда bs—as—>-0. Заметим, что
любые два сегмента системы C) [as, bs] и [ak, Ьк] обладают тем
свойством, что один из них содержится в другом. Пусть, например,
\as, bs] с [ak, bk]; тогда aks^bs и as^bk. Вывод: каждый правый
конец больше любого левого.
Значит, последовательность левых концов монотонно возрастает и
ограничена сверху; поэтому существует предел с левых концов, не мень-
меньший всех левых концов, т. е. с ^ as при любом s.
Заметим, что число с меньше bk при любом k. Действительно,
если бы это было не так, то нашлось бы число Ька<^ с. Тогда ак<^Ьк <^ с,
т. е. с — Ьк^<^с— ак, что невозможно, так как правая часть может
быть сделана сколь угодно малой, а левая часть—фиксированное по-
положительное число. Итак, при всех k: ак^с ^Ьк, т. е. с есть общая
всем сегментам точка.
Остается установить, что такая точка только одна. Действительно,
если бы существовала еще точка с', лежащая во всех сегментах си-
системы A), то \с — c'\<^bs—as при любом s, что невозможно, 1ак
как bs — as можно сделать меньшим любого числа из D.
5) V-> I
Пусть А | В — сечение в числовом континууме D, a?A, b?B.
Условимся в термине: будем называть сегмент нормальным, если
его концы содержатся в разных классах. Очевидно, одна из половин
нормального сегмента нормальна. Разделим сегмент [а, Ь] пополам и
обозначим нормальную его половину через [alt b^\, нормальную поло-
половину [аг, Ь,] — через [с2, Ь2] и т. д.
Продлим процесс выделения нормальных половин неограниченно.
Система {[as, bs] } — стягивающаяся. Действительно, по построению
каждый следующий сегмент содержится в предыдущем
.	b — a
Далее, 2s"^>s; следовательно, bs—as<C—;—• Значит, в силу
следствия из аксиомы Архимеда bs — as—>-0.
Пусть с есть общая точка сегментов построенной системы, с со-
содержится в одном из классов. Докажем, что она его закрывает.
Предположим противное. Пусть, например, eg А, причем с'(с'~^>с)
тоже содержится в А. Тогда Ьк^ с'~^> с~^>ак при любом k, что не-
невозможно (в стягивающей системе может содержаться лишь одна общая
точка).


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	165
Таким образом, каждое из перечисленных свойств эквивалентно
остальным и может быть принято за аксиому непрерывности числового
континуума.
4. Изображение действительных чисел при помощи
бесконечных дробей
Исходя из приведенных выше результатов, покажем, что каждое
действительное число можно изобразить в виде бесконечной дроби
при любом натуральном основании счисления.
Выражение
C0 + f + pT+--.+fn + .--,	A)
где с0— любое целое число и Cj(i^\)— натуральные числа, не
превосходящие р—1, называется бесконечной р-ичной дробью. Она
символически обозначается
со,схс2. ..сп...	B)
Число с0 -f- — -f- ~\\-\- • • • -f--"л или символически с0, сх.. .ск называ-
называется отрезком дроби или приближением по недостатку. Обозначим
его через ак. Число ak -|—g будем называть приближением по избытку
п обозначать ak.
Лемма. С увеличением k числа ak не убывают, а числа ak не
возрастают.
Первое очевидно. Установим второе утверждение. ал+1==аА-|- \^\ .
Следовательно,	^
Сравнивая вторые слагаемые, заключаем, что aft+1^aft.
Вывод. Каждое as меньше любого аг.
Определение. Мы скажем, что .а изображается дробью A),
если
а= lim a.k.
Так как txk ^ a.s при любых k и s, то и а ^ as при любом 5.
Теорема. Каждая бесконечная дробь A) является изобра-
изображением некоторого действительного числа а (очевидно, только
одного).
Действительно, приближения по недостатку ak монотонно возра-
возрастают и ограничены сверху любым приближением но избытку. Значит,
в силу теоремы 3 предел ak при k —»- оо существует. Имеет место и
обратное.
Теорема. Каждое действительное число а можно изобразить
при помощи бесконечной, р-ичной дроби.


166	А. Я. ДУБОВИЦКИЙ
Пусть а — действительное число.
Построение бесконечной дроби, изображающей а, проведем после-
последовательным выделением ее отрезков.
За с0 прш.ем наибольшее из целых чисел, меньших а. Тогда
*„<«?*„+1.	C)
Через сг обозначим наибольшее из целых чисел (меньшее чем р), для
которого с0, с1<С_а,
и вообще, если знаки с^с^с^. .ck выделены, то ск+-1 определяется
как наибольшее целое число (меньшее чем р), такое, что
Тогда
Vi<V • -ckck+i. < a < сфсгс2 . .. ck (ck+1 -\- 1).	E)
По построению натурального числа, Cj^p—1. Очевидно, дробь
fo,V2 ... ck...	F)
является изображением числа а.
Покажем, что дробь F) не содержит нуля в периоде.
Действительно, если бы ck+1 = ck+2 = . . . =:0, то ak= ak+1 = ..,
Значит, ak+s=ak<as^a.k+s, откуда a — <xk<-^-y.
Последнее неравенство для больших s является противоречивым,
так как левая часть есть постоянное положительное число.
Итак, мы показали, что каждая бесконечная /з-ичная дробь без нуля
в периоде является изображением однозначно определенного веществен-
вещественного числа и каждое вещественное число можно изобразить при по-
помощи некоторой бесконечной дроби, не содержащей нуля в периоде.
Покажем, что эта дробь определяется однозначно.
с'о>с'А ¦¦¦с'к...к со,схсг ...ск...	G)
— две различные дроби без нуля в периоде. Пусть первый знак, ко-
которым они отличаются, будет /г-й, причем положим для определенности
ck > c'k. Через <хк, ak; a'k, a'k, обозначим приближения по недостатку
и избытку дробей G). Имеем
«ь^К-	(8)
Обозначая через а число, изображаемое дробями G), получим а > ak и, с
другой стороны, а^^=а или в силу (8) а>а^.^а, что невозможно.
Вывод. Между бесконечными р-ичными дробями без нуля в
периоде и действительными числами существует взаимно однознач-
однозначное соответствие.
Аппарат бесконечных дробей устанавливает единообразие в записи
действительных чисел и позволяет сводить операции над ними к опе-
операциям над их приближениями.


АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ	167
5. Установление взаимно однозначного соответствия между
действительными числами и точками геометрической прямой
Для установления такого соответствия воспользуемся свойством не-
непрерывности геометрической прямой, которое может быть задано,
например, при помощи следующих двух предложений.
1)	Аксиома Кантора. Если в системе сегментов
[ах, ftiJ^K, bt]zD...ZD[an, ?п]=э...	A)
каждый следующий является половиной предыдущего, то существует
единственная точка, общая всем им.
Последовательность отрезков A) называется стягивающейся.
2)	Аксиома Архимеда. Если АВ—-произвольный отрезок а
Bt, В2, ... — последовательность точек, среди которых следу-
следующая лежит правее предыдущей, и АВХ = ВХВ2 = В3В3 =. . . , то
среди точек В{ найдутся лежащие правее В.ч
Из аксиомы выведем три следствия.
1)	Каждый отрезок АВ можно заключить в некоторый, соизме-
соизмеримый с единичным, отрезок.
Достаточно вправо от А отложить последовательно точки Bt так,
чтобы отрезки АВХ, ВХВ2, ВгВ3, ... были конгруэнтны единичному, и
применить аксиому Архимеда.
2)	В каждом отрезке АВ содержится отрезок, соизмеримый
с единичным.
Действительно, предположим, что это не так.
Согласно 1) АВ можно заключить в соизмеримой с единичным
отрезок АС. Разделим АС пополам точкой Сх. Отрезок АСХ целиком
содержит АВ. Подобным же образом половина АСХ — отрезок АС2 со-
содержит АВ и т. д., что невозможно в силу аксиомы Кантора.
3)	Из 2) следует, что если АВсАС, то между В и С можно
найти точку С такую, что отрезок АС соизмерим с единичным.
Для доказательства достаточно взять соизмеримый отрезок, содер-
содержащийся в ВС, и отложить его достаточное число раз вправо от точки
А и воспользоваться аксиомой Архимеда.
Выберем единичный отрезок е. Если в отрезке Л содержится р раз
— -я часть е, то скажем, что
Непосредственно видно, если Д' и А" соизмеримы сей Д'сЛ", то
дл. Д' < дл. Д".
Покажем, что так введенная длина соизмеримого с единичным от-
отрезка не зависит от выбора общей меры этого отрезка и единичного.
Действительно, пусть е — единичный отрезок, Д — соизмеримый
с ним, dx — их общая мера, a d—наибольшая общая мера; тогда
длина Д, получаемая, исходя из dlt будет совпадать с длиной Д, по-
получаемой, исходя из d.


168	А. Я. ДУБОВПЦКИЙ
Действительно, пусть d содержится в е q раз, в Д р раз; тогда
Поскольку d1 есть другая общая мера, то она содержится в d целое
число раз, которое мы обозначим через k. Поэтому дл. Д, если исходить
из dlt будет ^-т——.
Пусть отрезок Д несоизмерим с е. Тогда за длину Д примем sup')
длины Д', где Д' — произвольный соизмеримый с е отрезок, содержа-
содержащийся в Д; sup длины Д' есть конечное число в силу 1).
Итак, каждый отрезок имеет длину, причем конгруэнтные отрезки
обладают равными длинами.
Покажем, что если АВ^зАО, то дл. АВ^>ап. АС. Действительно,
в силу 3) между В и D можно вставить точку С такую, что отрезок
АС соизмерим с единичным. Тогда дл. ^4В^>дл. АС^>ап. AD.
Вывод. Неконгруэнтные отрезки имеют разные длины.
Остается показать, что каждое положительное вещественное число
является длиной некоторого отрезка.
Если а рациональное, то построение такого отрезка очевидно.
Пусть а иррационально. Рассмотрим двоичное разложение а:
a = co,c1c2...ck...
Построим отрезок длины а. Для этого зафиксируем на прямой
точку А и отложим вправо от нее последовательность точек
^о' ¦"с 1' 1' • • • > *> *' • • •
таким образом, чтобы отрезки AAi и AAi имели длины а,- и а,-.
Тогда отрезки AjAi образуют стягивающуюся систему.
Обозначим через С общую всем им точку (существующую в силу
аксиомы Кантора). Тогда дл. АС=а.
Действительно, по построению, ал^>дл. AC ^> aft при любом k. Этим
же свойством обладает а. Значит, | а — дл. ^С|<Со? ПРИ любом k.
Значит, дл. ЛС= а.
Для того чтобы установить соответствие между точками геометри-
геометрической прямой и действительными числами, достаточно теперь вы-
выделить на прямой начало отсчета О, единицу масштаба и направление
(скажем, вправо). Тогда точке М отнесем длину отрезка ОМ со зна-
знаком плюс, если М правее О, и минус в противном случае. Этим са-
самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между D и
точками геометрической прямой.
l) sup — верхняя грань.


К ОБОСНОВАНИЮ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
А. Н. Колмогоров
(Москва)
Обычно при построении теории вещественных чисел предполагают
уже построенной теорию рациональных чисел. Возможно поступать
иначе и вводить вещественные числа непосредственно вслед за целыми.
Предлагаемый далее способ такого обоснования теории вещественных
чисел является не чем иным, как современным формализованным изло-
изложением евклидовской теории отношений. Ради достижения наибольшей
простоты и близости к классическому евклидовскому построению стро-
строится система положительных вещественных чисел. Присоединение
к ней нуля п отрицательных вещественных чисел можно произвести
хорошо известным обычным способом.
Мы предполагаем известными только неотрицательные целые числа
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
и обозначаем их малыми латинскими буквами. Эти числа, за исключе-
исключением нуля, называются натуральными. Если т — неотрицательное це-
целое, а п—натуральное число, то знак
т
обозначает неполное частное от деления т на п, т. е. наибольшее
целое число k, для которого
Определение 1. Положительным вещественным числом назы-
называется однозначная функция
определенная для всех натуральных п, с неотрицательными целыми
значениями т, которая обладает следующими свойствами:
1) для всех натуральных k


170	А. Н. КОЛМОГОРОВ
2) для любого натурального п существует такое натуральное k, что
<р (kn) > k (? («).
Положительные вещественные числа будем обозначать малыми гре-
греческими буквами, а множество всех положительных вещественных чисел
буквой Ф. Отношение порядка и операции сложения и умножения вво-
вводятся в множестве Ф такими определениями:
Определение 2. 0<СФ обозначает, что существует такое на-
натуральное п, для которого
<Р («) < Ф («)•
Определение 3. и> —|— ф = jf обозначает, что для всех нату-
натуральных п
X (я) = max p ;^fV ;] ,
где max берется по всем натуральным k.
Определение 4. <р-ф = ]? обозначает, что для всех натураль-
натуральных п
где max берется по всем парам натуральных k и k'.
Задача, предлагаемая вниманию читателей, заключается в доказа-
доказательстве того, что множество Ф с определенными выше отношениями
порядка и операциями сложения и умножения действительно обладает
всеми свойствами обычных положительных вещественных чисел (т. е.
изоморфно системе положительных вещественных чисел, построенных
любым другим общепринятым способом).
Замечание 1. При любом натуральном г функция
wr(n) = nr— 1
удовлетворяет условиям определения 1, т. е. является в нашей концеп-
концепции положительным вещественным числом *).
Это «число» <рг естественно идентифицировать с натуральным чис-
числом г. При таком соглашении система Ф делается расширением си-
системы натуральных чисел.
Замечание 2. Присоединив к Ф число нуль и условившись, что
0 + 0 = 0,
0 • 0=0
и для всех <р из Ф
0<<р,
f
х) Читатель легко обнаружит, что функция
Fr(n) = nr
ие удовлетворяет условию 2) и поэтому в множество Ф ие входит.


К ОБОСНОВАНИЮ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	171
получим систему Ф' неотрицательных вещественных чисел. Ф' после
соглашения, сделанного в замечании 1, содержит в себе в качестве
подмножества множество всех неотрицательных целых чисел. Естест-
Естественно теперь для любого <р из Ф по определению положить [<р] (це-
(целую часть <р) равным наибольшему из целых чисел, для которых
Замечание 3. Если определить деление в Ф' как действие, об-
обратное умножению, то можно показать, что для любого неотрицатель-
неотрицательного целого т и натурального п (рассматриваемых как элементы мно-
множества Ф') результат двойной операции деления и взятия целой части
совпадает с неполным частным, определенным непосредственно.
Замечание 4. Наконец, можно доказать, что для любого <р из Ф
<р (и) = <ря — 1 в случае <р целого:
= [<ри] — 1 в случае <р дробного (нецелого).
Таким образом <р(я) оказывается в конце концов не чем иным,
как наибольшим целым числом т, для которого
В формальном изложении нового способа построения системы дей-
действительных чисел это предложение неизбежно должно явиться лишь
заключительным звеном длинной цепи определений и выводов из них.
Но оно, конечно, является исходным пунктом для понимания замысла
этого построения.


А. ЛЕБЕГ О ПЛОЩАДИ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Раньше, например, в пору моего детства, простосердечно
говорили, что, так как многоугольника р [так у Лебега обо-
обозначен правильный многоугольник, вписанный в круг] отлича-
отличаются всё меньше и меньше от круга, то площадь круга есть
предел площадей р. О площади, рассматриваемой как пер-
первичное понятие, рассуждали одинаково хорошо как в случае
круга, так и в случае многоугольников, и опирались при
этом на несформулированные и молчаливо предполагаемые
свойства этих площадей. Конечно, с точки зрения логической
это было недостаточно; однако оказывалось, что ничего не-
неприемлемого не говорилось, тогда как нынешнее изложение
совершает, по-моему, большой грех если не против логики,
то, что еще хуже, против здравого смысла. Заодно обнару-
обнаруживают наивное легковерие во всемогущество слова, застав-
заставляющее надеяться, что затруднение будет побеждено искус-
искусством речи. Как будто бы настоящий прогресс может быть
достигнут столь дешевой ценой!
В самом деле, как поступают в настоящее время? Пло-
Площадь круга есть предел р. Это есть произвольное определе-
определение, название, которое может быть заменено всяким другим.
Отсюда следует, что недостаточно еще принять это, а не
другое, название, чтобы число, названное, таким образом,
площадью круга, поспешило благоразумно войти в семейство
тех чисел, для которых справедливы свойства а). Ь), с), d).
[Выше Лебег отмечает 4 свойства площади: а) существование:
положительного числа, выражающего площадь, Ь) аддитив-
аддитивность, с) инвариантность относительно движений, d) одно-
однозначная определенность после выбора единииы площади]. В
результате этого из известной формы для площади круга
нельзя логически вывести формулу площади сектора; верить
в это и пускаться в мнимые рассуждения, значит глубоко
заблуждаться. Площадь сектора равна .. fin no опреде-
лению. (S — площадь круга, а — мера центрального угла в се-
секунду). Из площади сектора, принятой, таким образом, по оп-
определению, нельзя вывести путем рассуждения площади сег-
сегмента; опять-таки определением является то, что площадь
ОКОНЧАНИЕ НА СТР. 180


II. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
АПРОКСИМИРУЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГАРМОНИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Э. Э. Балам
(Москва)
При решении многих вопросов математики и физики оказывается
полезным приближенное представление функций целыми рациональными
функциями — многочленами. Для получения этих многочленов обычно ис-
используют формулу Тейлора, в которой сохраняют несколько первых
членов, отбрасывая остальные.
Но формулу Тейлора можно использовать и для получения дробно-
рациональных выражений, которые часто оказываются лучше обычных
целых рациональных приближений.
В качестве примера рассмотрим логарифмическую функцию и вос-
воспользуемся известным рядом
z—1 . 1 (г — \у . 1 (z— \\3 .	...
Если мы заменим в A) коэффициенты — члены гармонической по-
последовательности 1, -=-, -=-,... — членами геометрической прогрессии
1, — , -j-,..., то получим дробно-рациональную функцию
2AI 1 (\\ш i 1
"I 4
которая является приближением для логарифма.
.,	„	,111
У гармонической последовательности 1, -s, ¦=¦, ...,-т-, ... и у
прогрессии 1, у, у,... трргх,... совпадают только два первых члена.
Найдем теперь возможно более простую последовательность, у которой
совпадают с гармонической последовательностью четыре первых члена:
1» -о" i -5- и -j-. Так как эта последовательность, очевидно, не может
быть геометрической прогрессией, то мы потребуем, чтобы она была


174	Э. Э. БАЛАШ
суммой двух геометрических прогрессий. В этом случае члены по-
последовательности должны удовлетворять рекуррентному соотношению')
«* = o«*-i+ *«*-¦•
Числа а и Ь определяются из условий
= j и ua = a
Отсюда имеем: а=1, b =	g.
Таким образом, члены последовательности удовлетворяют рекур-
рекуррентному соотношению
при начальных условиях #0 = 1 и их = -к-. Из условия B) следует
* . /з-УТ\*
+«а С—е—; •
З + Т^З 1 З-Кз
где *., = ——=	 и \ =	д	корни характеристического урав-
уравнения Х2 = Х—^ .
6
Используя начальные условия, можно определить ах и а2; в ре-
результате получаем формулу
Вот несколько первых членов рассматриваемой	последовательности
(начиная с и0):
- 1 1 1 7 11	.„ .
'  '  ' 4 ' 36' 72' **	{ >
Если в ряде A) мы заменим члены гармонической последовательности
членами последовательности C), то получим еще одно дробно-рацио-
«альное приближение для логарифма:
Аналогично можно получить и другие дробно-рациональные приближе-
«ия логарифма. При этом приходится рассматривать последовательно-
последовательности, у которых всё большее число первых членов совпадает с первыми
членами гармонической последовательности. Изучением свойств этих
последовательностей мы здесь и займемся.
1) См. А. И. Маркушевич, Возвратные последовательности, М.—Л.,
Гоаехиздат, 1950 (серия «Популярные лекции но математике», вып. 1).


АПРОКСИМИРУЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Назовем п-й апроксимирующей последовательностью гармо-
гармонической последовательности последовательность, удовлетворяющую
рекуррентному соотношению
«ft = a«*-i + K-2 + c«ft-3+ •• • +suk-n
с п постоянными коэффициентами а, Ь, с,..., s, 2я первых членов
которой совпадают с In первыми членами гармонической последова-
последовательности Гт. е. такую, что и0 =!,««! = -?-, И2 = -^-
Например, первой апроксимирующей последовательностью является
геометрическая прогрессия uk = 1pt; последовательность (За) яв-
является второй апроксимирующей последовательностью. Для третьей
апроксимирующей последовательности будем иметь м0 = 1,
«1=2". «2 = у, «з= 4-=a«2+K+c«o. ««=-5
«	а
„	3,31
Отсюда находим: а = -^, о =	=- и с = ^; следовательно, хат-
рактеристическое уравнение имеет вид
*3 = ~2 ^2~"з^ + го
или
20Г — ЗОГ + 12\ — 1 = 0.
Так как корни этого уравнения
\.== ~2 ' 2==z io~ > *¦»=
Есе различны, то
Определив из начальных условий числа я,, аг и аз, мы приходим
к следующей формуле:
Первые 8 членов третьей апроксимируюшей последовательности (начи-
(начиная с и0) равны
1 1 1 I I I ^7 99^	,4 .
1' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 400' 800'- ""	v J
2. Мы определили апроксимирующие последовательности как ре-
рекуррентные последовательности. Но отсюда еще не следует, что все
эти последовательности являются суммой нескольких геометрических
прогрессий. Например, члены любой арифметической прогрессии удо-
удовлетворяют рекуррентному соотношению uk = 2uk_1 — uk_2, но арнф-


176	Э. Э. БАЛАШ
метическая прогрессия не является суммой геометрических прогрессий.
Чтобы выяснить, является ли рекуррентная последовательность, опре-
определяемая соотношением uk = auk_l-\-buk_i-\-cuk_3 -}-.. .-\-suk_n,
суммой геометрических прогрессий, надо составить для этой последо-
последовательности характеристическое уравнение
^ = аГ-1 + *лл-2 + Лл-3+... + 5,	E)
— если оно не имеет кратных корней, то последовательность является
суммой геометрических прогрессий; если же характеристическое урав-
уравнение имеет кратные корни, то требуется дополнительное исследование.
Докажем, что апроксимирующие последовательности являются сум-
суммой геометрических прогрессий, а также ряд других свойств этих по-
последовательностей.
3. Теорема 1. Характеристическое уравнение для п-й апро-
ксимирующей последовательности имеет вид
+	iri.Ci-Ci + 1^ + (-l)- = O. F)
., ,	.ill
Чтобы это доказать, надо проверить, что числа 1, тг, -д-,..., — ,
1	1
—г—г 1 • • • j гг удовлетворяют рекуррентным соотношениям с теми же
коэффициентами. Следовательно, требуется использовать несложное
тождество:
(/=1, 2, 3, .... п),	G)
на доказательстве которого мы здесь не останавливаемся').
4. Т е о р е м а 2. Корни характеристического уравнения п-й
апроксимирующей последовательности все действительны, различны
U расположены в интервале @; 1).
Сначала, применяя правило Лейбница, доказываем, что
Затем, сравнивая коэффициенты при V (/ = 0, 1, 2, ..., п), убеж-
убеждаемся, что выражение, стоящее в квадратных скобках, равно левой
части характеристического уравнения F). При этом нам придется вос-
воспользоваться следующим тождеством5):
') Тождества G), (9) и A4) будут приведены в статье автора, которая по-
появится в одном из следующих выпусков «Математического просвещения».
(Прим. ред.)


АПРОКСИМНРУЮЩНЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	177
Далее, применяя к многочлену 1" (X—1)" и его производным тео-
теорему Ролля, доказываем указанные в теореме свойства корней харак-
характеристического уравнения.
Из того, что корни характеристического уравнения \lt 12, ..., 1п
любой апроксимирующей последовательности различны, вытекает фор-
формула
где и1-") — k-к член /г-й апроксимирующей последовательности. При
этом будем считать, что lt <[ \ <С • • •
5. Заметим, что корни характеристического уравнения симметричны
относительно -к-, т. е. если 1; есть корень, то и число 1 — \ тоже
является корнем того же уравнения. Доказательство этого непосред-
непосредственно вытекает из вида правой части формулы (8).
Теорема 3. Если л,- и I, — корни характеристического урав-
'	j
нения, симметричные относительно -=- ,то o.(^o.j [см. формулу A0)].
Возьмем произвольную последовательность а0, alt а2, ..., ап,...
Вычтя из каждого члена последовательности последующий, мы получим
последовательность первых разностей ak — аА+1 = hak. Для этой
последовательности снова образуем ее первые разности; мы получим
так называемые вторые разности ДаА—ДаЛ+1 = Д2аЛ. Затем рассмат-
рассматриваем третьи разности \3ak и т. д.
Составим из первых членов нашей последовательности треугольник
разностей:
ав а1 а2 ... ап
и рассмотрим левую боковую сторону этого треугольника. Индукцией
по п можно доказать, что	«^
Мы будем иногда заменять последовательность к0, а,, а2, ..., ап, по-
последовательностью а0, Да0, Д2а0, ..., Д"а0, составляющей боковую
сторону ее треугольника разностей. Для краткости мы будем говорить,
что эта замена получается поворотом ^треугольника разностей. Если
г) См., например, Д. О. Шклярский и др., Избранные задачи и теоремы
элементарной математики, ч. 1, М., Гостехиздат, 1954, стр. 79 и след. Заметим,
что и обратно, если число а равно выражению, стоящему в правой части ра-
равенства A1), то оно совпадает с я-й разностью Д"а0 для последовательности
а0, av аг, ..., ап.


178	Э. Э. БАЛЛШ
при повороте треугольника разностей последовательность переходит
в себя, то будем говорить, что она обладает треугольным свойством.
Поворот треугольника разностей переводит геометрическую прог-
прогрессию 1, \, V, Л3, ... в геометрическую прогрессию 1, A—У),
A—IJ, A—лK, ... Отсюда вытекает, что треугольным свойством
-	,111
обладает только прогрессия 1,^, у, -, ...
Нетрудно убедиться, что гармоническая последовательность 1,
-jr-, -=-, -р , ... также обладает треугольным свойством; доказать это
можно, показав с помощью индукции по г, что
,г	Л
Докажем, что треугольным свойством обладает и любая апрок-
симирующая последовательность. Для этого заметим, что п-я
апроксимирующая последовательность является суммой не более чем п
геометрических прогрессий; поэтому при повороте треугольника раз-
разностей мы также получим последовательность, являющуюся суммой не
более чем п геометрических прогрессий1). У полученной последова-
последовательности 2/z первых членов совпадут с 2/z первыми членами гармони-
гармонической последовательности; следовательно, это будет снова n-я апрок-
симнрующая последовательность.
Положим теперь в формуле A0) k = 0, 1, 2, ..., (п—1). Тогда
получим п равенств, которые можно рассматривать как систему п урав-
уравнений с п неизвестными а^ ос2, ..., ап. Так как определитель си-
системы не равен 0, то система имеет единственное решение. Преобразуем
последовательности, входящие в формулу A0), с помощью поворота
треугольника разностей. Мы получаем
аГ) = а1A-М* + а1A->,)*+. ..+«„A -*„)*. (Юа)
Так как 1 —\ = \пУ 1 —^2 = ^B_i и т. д., то это равенство можно
записать и по другому:
«f = ап\\ + *„_& + ... + «i?	(Юв)
Отсюда, ввиду единственности решения нашей системы, а! = ап,
а, = <*„_!> ..., ч. т. д.
6. Известно.что гармонический ряд 1 ~\- -^ -{- -s- + ~Ь" ¦ * Расх°Дится-
В то же время ряд «о"* -f- tti"**}- uf^ -\- ... сходится, так как | X,- j <^\
(( = 1, 2, ..., п). Найдем, чему равна сумма ряда
tt(on) + «(in) + иф + ...	A2)
*) Ибо преобразование последовательностей с помощью поворота треуголь-
треугольника разностей линейно.


АПРОКСИМИРУЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	179
Теорема 4. 1) Сумма S" членов п-й апроксимирующей последо-
последовательности равна ее (—1)-му члену1).
2) Сумма членов п-й апроксимирующей последовательности равна
удвоенной сумме п первых ее членов.
При этом формула A0) остается в силе и для отрицательных k.
Найдем сумму ряда A2), пользуясь формулой A0):
ft=0	1=1	'
п
Применив теорему 3, получим: 5(П)= У^ ^. Но по формуле A0)
^	/ = iА/
2^ rt=tt_i, что и доказывает первое утверждение теоремы.
/ = > '
Теперь воспользуемся равенством
И—1 —С„-С„4-1-Й0 -\~ <-п'<-п+2 -Hi —..
которое следует из формулы F) для характеристического уравнения.
Заменив ul—i, Uq'\ tti"\ ...i соответственно числами S{"\ 1, -^, ...,
получим формулу
s™=d.c)t+i~cl-cl+2.\-\-...-\-(-\)n-*-czn.±. A3)
Используя тождество
(доказательство которого мы здесь не приводим), получаем:
') Рекуррентную последовательность можно не только неограниченно
продолжать для положительных номеров k, но и распространить на отрицатель-
отрицательные k, пользуясь рекуррентной формулой. Поэтому имеет смысл говорить о
членах апроксимирующей последовательности с отрицательными номерами.


ОКОНЧАНИЕ ТЕКСТА СТР. 172
сегмента равна разности между площадью сектора и пло-
площадью треугольника.
Если бы предел р был назван «тарарабумбией» круга, то
вряд ли кто-нибудь позволил бы себе вывести из нее величину
тарарабумбий сектора и сегмента; но делать это разрешают
себе, когда вместо слова тарарабумбия употребили слово
площадь! Это — тягчайшее преступление против здравого
смысла. Однако иные находят оправдание в том, что они
сами этой ошибки не совершают, но лишь делают ставку на
то смешение, которое не замедлят совершить учащиеся,
уподобляя эту новую площадь тем площадям, с которыми
они привыкли иметь дело. Каждому, впрочем, предостав-
предоставляется возможность выбирать между заблуждением или
лицемерием.
Пусть не надеются, к тому же, выйти из затруднитель-
затруднительного положения, повторяя три раза, по случаю круга, сек-
сектора и сегмента, вещие слова по определению, так как опре-
определенные таким путем площади ни к чему не пригодны. С их
помощью нельзя разрешить ни одного вопроса, ни одной проб-
проблемы без того, чтобы не натолкнуться на предложения а),
Ь), с), а"), пользоваться которыми будет незаконно; так,
например, не мог бы быть рассмотрен классический вопрос о
луночках Гиппократа.
Из книги Лебега <Юб измерении величин» (М., 1938, стр. 79—80).


О ПОДСТАНОВКЕ КОРНЯ ОДНОГО РЯДА В ДРУГОЙ
В. А. Залгаллер
(Ленинград)
1. Рассмотрим следующую задачу. Даны степенные ряды
A)
B)
Требуется найти ф (jCj), где х1 — наименьший по абсолютной величине
корень уравнения ц>(х)^=0.
Допустим, что уравнение ф (л:) == 0 имеет простой вещественный
корень х1 и что, кроме того, | xt | меньше, чем абсолютная величина
любого другого корня того же уравнения. Тогда, как показал Уиттекер'),
c1= Hm ^i,
n-»oo *n
где
C)
D)
О айах
a\
ao
0
0

al
ao
0
«3
al
«0
«4
G3
или, в другой форме:
„2 gS	„3
«2 «3 «4
«1 «2 «3
E)
') Е. Whlttaker, A Formula for the Solution of Algebraic and Trascenden-
tal Equations, Proc. Edln. Math. Soc. 36, тетрадь 2, 1918, 103—106. Э. Уиттекер
и Г. Робиисон, Математическая обработка результатов наблюдений, Изд. 2,
1935, стр. 114.


182
В. А. ЗАЛГАЛЛЕР
Аналогично построенные выражения для других корней исходного
уравнения предложены А. Е. Гельманом *).
Цель настоящей заметки — дополнить результат Уиттекера следую-
следующим утверждением.
Теорема. Если имеет место равенство C) и если | л;, |
где R—радиус сходимости ряда B), то
или в другой форме
F)
bn
bn
«1
«0
0
1 «o °1- •
0
0
0.
«3--
0.
¦«0
•«П
«1 «2 «3
«О gj «2
«1 «2
k l
I «о «i I
«1 «2 «3
а0 at a±
О
2
«1 «2 «3 «4
О
а, а2 а3
«О «1 Д2
О а^!
«1 «2 «3 «4
«О «1 «2 Й3
О aoaia2
О 0 Дой!
-... G)
2. Рассмотрим выражения
Ниже мы убедимся, что в условиях теоремы
(8)
то есть
я + 1
Кроме того, как легко проверить, алгебраическое дополнение Вт эле-
элемента, стоящего в m-Pi строке первого столбца в определителе
аоа1---ап
0ап...а„.
0 0 ...с„
') А. Е. Гельман, Представление корней алгебраического уравнения
общего вида явными функциями его коэффициентов. Сборник студенческих
научных работ Ленинградского университета. I, 1948, стр. 26—37. Библиотека
Математического факультета (машинопись).


О ПОДСТАНОВКЕ КОРНЯ ОДНОГО РЯДА В ДРУГОЙ
183
равно Pm_i, поэтому
в-1-1
о а
1
а0Рп
О 0. ..с
И|Л=1	'
что дает равенство F).
3. Для задаваемых равенством D) определителей D, при
имеет место соотношение
+	m,	(9)
где Ат — алгебраическое дополнение элемента, стоящего в /я-м столбце
и последней строке определителя Dn+1. Действительно, рассмотрим
определитель
aoai---am-2 am-i а,„... ап
0 0
0
0
0
в котором выделим (рамкой) четыре элемента. Кроме того, рассмотрим
присоединенный определитель Dn_|_i, т. е. определитель, элементами
которого являются алгебраические дополнения соответствующих эле-
элементов Dn+1. Если в Dn_|_i выделить минор второго порядка М, который
отвечает отмеченным элементам Dn+\, и воспользоваться теоремой о
минорах присоединенного определителя1), то получим равенство
М' =
После сокращения на (—а,,)"* это дает (9).
4. Из (8) вытекает, что
но при л= 1, 2,...
A0)
поэтому
См. М. Бохер, Введение в высшую алгебру, М.—Л., 1933, стр. 37.


184
В. А. ЗАЛГАЛЛЕР
Равенства (9) позволяют придать последней сумме вид
.(-я„)п+1
с	с _(-Дд)"+1 V
Ои | [ ~~~ *^п 	 »~. г-.	/
A — (
(И)
Подстановка A1) в A0) дает разложение G).
5. Установим теперь сходимость Sn к ф (хг). Возьмем $^>0 таким,
что г = | хг | + 5 < R, где R — радиус сходимости ряда B). Согласно C),
существует такое я0, что при п^пв выполняется неравенство
Выберем число С = max | — -~^ ; 11 . Очевидно при я> я,
и любом
имеет место оценка
п0 —1
р	* ¦ * р
Теперь рассмотрим разность
тгт ^ С Vm.
- 02)
Ввиду того, что х1 и г лежат в промежутке сходимости ряда B),
для всякого е ^> 0 существует столь большое тг, что
оо	оо	со
Кроме того, из C) следует, что lim -Ц=^ = х^\ поэтому и первая из
п->со и
стоящих справа в неравенстве A2) сумм становится <С"ч" ПРИ Д°ста"
точно больших п. Тем самым равенство (8), а с ним и остальные
утверждения теоремы, доказаны.
6. Пример 1. Пусть
sin
Первые три члена формулы G) в этом случае дают
ф К) =*= 1-1 + ^ = 0,640.
2
Точные значения a:x = -7-
9
tJ = — =5= 0,6366.


О ПОДСТАНОВКЕ КОРНЯ ОДНОГО РЯДА В ДРУГОЙ
IS5
7. К задаче о подстановке корня одного ряда в другой может при-
привести исследование качества регулирования. Так, величина первого
максимума интегральной кривой есть значение ряда, выражающего
решение уравнения, в точке, отвечающей первому корню ряда для
производной. Аналогично площадь под графиком первого всплеска кривой,
которая описывает затухающий колебательный процесс, может нахо-
находиться как значение некоторого ряда в точке, отвечающей первому
корню самой кривой и т. п. В таких задачах, конечно, далеко не всегда
выполняется условие C) и не всегда сходимость (8) позволяет ограни-
ограничиться в формулах F), G) определителями небольшого порядка. Но
когда формулы F), G) применимы, буквенный характер получаемого
решения, рациональность производимых действий, наконец, применимость
метода к нелинейным уравнениям могут сделать использование этих
формул целесообразным.
Пример 2. Процесс регулирования величины у (/) описывается
уравнением
У"+У-\-A—р)У-\-у=0.
Параметру р могут быть приданы различные положительные значения.
Требуется выбрать р так, чтобы на интегральной кривой, которая
отвечает начальным условиям у @) = 0, У@) = 0, у"@)=:\ точке
первого перегиба соответствовало значение _у = '/д.
Из уравнения и начальных данных находим первые члены разло-
разложения в ряд Тейлора для y"(i) и у (t):
24
1
1
1
Мы хотим, чтобы значение второго ряда в точке, отвечающей наимень-
наименьшему корню первого ряда, равнялось '/,. Воспользуемся формулой F)
при л = 4:
р
24
1
6
1
	1
1
0
р
2
— 1
1
	 1
р
2
Р.
3
24
l-i ? -4
р.
з
о
о
— 1
1
р
2
— 1
Это дает для приближенного нахождения р уравнение
5ра_6р—1=0,
откуда р ^= 1,35. Результат надо проверить, исследуя уравнение при
выбранном р.


ОБОБЩЕНИЕ РЯДА ДЛЯ НАТУРАЛЬНОГО
ЛОГАРИФМА ДВУХ
Известный ряд (Лейбница)
допускает ряд любопытных обобщений. Так, например.
и=1
здесь а (п. N) обозначает сумму делителей d числа п, не превосходя-
превосходящих N. При N=2 имеем, очевидно,
, 9)	 U при л нечетном,
' ' ' \3 при л четном
(при п нечетном d=l; при п четном d=l, 2) и ряд A) переходит в ряд
Лейбница. При N = 3 имеем
/1, если n^sztzl (mod 6),
. ?.	 i 3, если /г =г±2 (mod б),
с (п, jfj— ^4 ест п ^ 3 ^mQd 6^
\6, если п= 0 (mod 6),
и ряд A) принимает вид
5 б )^\7 9+11 12
2
Вот еще один сходный ряд:
п=1
здесь - (п, N) — число делителей числа л, не превосходящих N. Так как
, 2> | /1 при п нечетном,
' ' '"•" \2 при л четном,
то и этот ряд при N=2 переходит в ряд Лейбница. При N=3 имеем
11, если л = ± / (mod 6),
х (п, 3)= 12, если п = + 2,3 (mod 6),
\ 3, если л s= 0 (mod 6),
и, следовательно, получаем [при умножении обеих частей B) на 6]
1 1 1,5
Наконец, из формул A) и B) нетрудно вывести еще следующий ряд:
00 l(N)
и=1
Здесь ?(n,N)={jy если п кпатно N ' При N—2 этот ряд также
переходит в ряд Лейбница; при N=3 он дает
Эти результаты в числе прочих содержатся в печатающемся
выпуске 3 «Математического просвещения» в статье И. И. Жогина.


СФЕРЫ ЭЙЛЕРА ОРТОЦЕНТРИЧЕСКОГО СИМПЛЕКСА
Г. П. Крейцер и Г. И. Тюрин
(Студ. II курса Орехово-Зуевского педагогического института)
1. Начнем с доказательства одной хорошо известной теоремы элемент
тарной геометрии. Пусть гг, г2, г3 — радиусы-векторы трех вершин
Alt А2 и As произвольного треугольника. Если принять за начало
отсчета векторов точку Н
пересечения высот тре-
треугольника, то будем иметь
(см. рисунок)
НА, _
или
откуда
rr=rr—rr( = a) C\\
Обозначим радиусы-векто-
радиусы-векторы середин сторон Blf В2 и Bs треугольника через гв==-
rBi = 3^~ *, гВз = Г1"^"Гг, радиусы-векторы середин отрезков высот
от ортоцентра до вершины (точек Clt С2 и С3)—через rCi = -^ ,
rc=-^, rc^ = ~. Если обозначить еще через О1 точку, определяе-
определяемую радиусом-вектором г / 3. т0 будем иметь:
О В — Г1
7^"	f
1С1
Q ft
"i f3
r\ Q ft
-_r1 + r2-r3
з	4


188	Г. П. КРЕЙЦЕР И Г. И. ТЮРИН
Учитывая A), получаем отсюда
где
Таким образом, точки Вг, В2, Bs; Сг, С2, С3 лежат на одной
окружности 5, с центром в точке Ох и радиусом Яг =	. .
Заметим еще, что, как следует из формул B), точки В1 и С1? В2
и С,,В3\\ С3 суть диаметрально противоположные точки окружности; от-
отсюда следует, что на окружности S1 лежат и основания D17 D, и D3 высот
треугольника AtA2As [у\Ьо/_CXDXBX =/_C%D&% = ^/С3ДД = 90°).
Окружность Sj называется окружностью Эйлера или окружностью
девяти точек треугольника A,A2AS.
Обозначим еще через О2 точку, определяемую радиусом-вектором
Г г + Г 2 + Га
. В таком случае, очевидно,
2
-_гг + гя-гх -т-рг _ П + гх — гл тту _rx + rs-ra
, —- 2	' Лз4—	2	' ^^U2—	2
откуда
Таким образом, точка О, является центром описанной окружности
треугольника, радиус R2 которой [авен удвоенному радиусу Rt окруж-
окружности Эйлера. Заметим еще, что точки Ог и О, лежат на прямой ИМ,
где М — центр тяжести треугольника f rM = 1 о" 3) > пРичем
О,Л^: ЛЮа = 3:1:2;
эта прямая называется прямой Эйлера треугольника.
2. Перейдем теперь к трехмерному пространству. Пусть г1Э г2> г3
и г4— радиусы-векторы вершин тетраэдра АгА2А3Ал, высоты
которого пересекаются в одной точке И (ортоцентре
тетраэдра), принятой за начало радиусов-векторов. Тогда
Г1Хпл- АЛЛ. rt±_nn. Л^зЛ^ Г3±_пл. АгАяАл, г4 _]_ ил.АгА2Аа
или
Г г ('"и — гз) = Г1 (гз — Г4> = Г2 (Г1 — rs) = Г, (Гг ~ rt) = Г3 (Г1 — Г8) =
= г3 (гг — г.) = г4 (гх — г2) = л4 (г, — г,) = О,
откуда
rir2 = rlra=--rlri^r2ra = r2ri = rsri ( = о).	C)
Из того, что rt(rk — rl) = rJ(rk — г,), где i, j, k, I — какая-то
перестановка цифр 1, 2, 3, 4, вытекает также, что
С,— rj) (г* — г,) = 0,	D)


СФЕРЫ ЭЙЛЕРА ОРТОЦЕНТРНЧЕСКОГО СИМПЛЕКСА	189
т. е., что А{А}-Х_АЬА{. если высоты тетраэдра пересекаются в одной
точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим), то любые два
противоположных ребра взаимно перпендикулярны.
Заметим, что справедлива также и обратная теорема: если любые
два противоположных ребра тетраэдра взаимно перпендикулярны
(для чего достаточно, чтобы две пары противоположных ребер обладали
этим свойством), то высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Действительно, при любом выборе начала уравнения высот имеют вид
Л, =г1-\-а1п1, где /»!_]_пл- ^8Л8Л4 и, в частности, nt _Lrs — г4
(а1 произвольно), fta = r2-}-a2ra2, где п2 J_ пл. AlAaAi и, в частно-
частности, га, J_r3—ri (сх2 произвольно).
Для пересечения высот ftj и h2 необходимо и достаточно, чтобы
при некоторых значениях о.г и а2 имело место равенство
4
Если имеет место D), то г,- — Гу лежит в плоскости, перпендику-
перпендикулярной ребру AkAt. Так как в этой плоскости лежат также линейно-
независимые векторы П; и tij, то из D) следует
ri — rj = — ainl-]rajnj, т. е. r(.-j-a,.»,. == г,-j-ауп;.
Таким образом, если соблюдается условие D), то высоты тетраэдра,
выходящие из вершин At и Л;-, пересекаются между собой. Значит,
если равенство D) имеет место для любой перестановки i, j, k, I номе-
номеров 1,2, 3, 4, то все высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Радиусы-векторы центров тяжести В,, В2, Ва, Bi граней тетраэдра:
Г„ -1- Г_ -I- Г.	Г. -I- Г
в,= з ' га=' о
радиусы-векторы точек С,, С2, С2, С4, делящих отрезки высот от орто-
ортоцентра до вершин в отношении 1:2, считая от ортоцентра:
гс, —"з» гс.==~з~» гСз=="з"» гс.=="з"-
Если обозначить через Oj точку, определяемую радиусом-вектором
!, то будем иметь:
6


190	Г. П. КРЕЙЦЕР И Г. И. ТЮРИН
Учитывая C) получаем отсюда
11	12	13	14	11	12	13	14	36*
где
Таким образом, точки Вх, В2, В3, /?4; Сг, С2, С3, С4 лежат на
одной сфере SL с центром в точке Ог и с радиусом, равным
Ri = ^j—. Заметим еще, что точки Вг и Сх, В2 и С2, Вг и С3, fi4 и С4
суть диаметрально противоположные точки Sx. Отсюда следует, что на
сфере Sx лежат и основания Dlt D2, D3, D4 высот тетраэдра
AltA,,A,, Л4 (Z.fii?>A = /_ B,D2C2 = Z. B3DZCS = Z_ Bfifi, = 90°).
Сфера S1 называется сферой 12 точек ортоцентрического тетраэдра;
ее можно также назвать первой сферой Эйлера.
Прежде чем идти дальше, заметим, что в ортоцентрическом тетра-
тетраэдре основания высот граней AiAkAl и AjAkAv опущенных на ребро
AkAv совпадают.
Действительно, пусть гр — радиус-вектор основания Р высоты Ар
грани AjAkAv В таком случае AtP J_ AkAlt т. е.
С,— гР)(г,-гг) = 0.	F)
Вычитая почленно равенства F) и D), получим (Гу— rp) (rk— г,) = 0,
откуда и следует, что AjP _]_ АЬАЬ, т. е. что Р одновременно является
основанием высоты, опущенной в грани AJ-AkAl из вершины А}.
Радиусы-векторы середин ребер тетраэдра (точек Ех, Е2, Ea, Eit Е&, Еь):
ГЕ, — 2 • &
r _
' е,— 2 ' Е*— 2 ' Е«	2
Если обозначить через О2 точку, определяемую радиусом-вектором
то
4
?3G>2=2^'3 2fl '4 и т. д.
Учитывая C) и E), имеем:
Это означает, что середины всех ребер тетраэдра лежат на одной
>2 с центром в точке О2 и радиусом R2 = -


СФЕРЫ ЭЙЛЕРА ОРТОЦЕНТРИЧЕСКОГО СИМПЛЕКСА	191
Нетрудно видеть, что сфера S2 пересечет все грани тетраэдра по
окружностям Эйлера этих граней. Поэтому на сфере S2 лежит 6 осно-
оснований высот, проведенных в гранях, и 12 точек, делящих пополам от-
отрезки этих высот от ортоцентров граней до вершин.
Сферу S2 можно назвать сферой 24 точек или второй сферой
Эйлера ортоцентрического тетраэдра.
Так как радиус-вектор центра тяжести М тетраэдра имеет вид
гм — Г Гз ~t"Г Г4 > т0 чентР Ог второй сферы Эйлера совпадает с цен-
центром тяжести тетраэдра.
Обозначим еще через О3 точку, радиус-вектор которой равен
2
Тогда
2	' аз — '
'	Т7Г— Г1
' 4 3 —
"з^з—	2
Учитывая C) и E), имеем:
„	„	„	ъ
Г) л 2	Г) А г	Г) А г	Г) А 2	 	/? 2
^s^i 	и8лг —°злз "—*ЛЛ4 	"	лз •
Таким образом, точка О3 является центром описанной сферы St
тетраэдра, радиус Rs которой в три раза больше радиуса R1 первой
сферы Эйлера. Заметим еще, что Ot и О3 лежат на прямой НМ, причем
НО1:О1М:МО3 = 2:1:3.
Прямую НМ можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического
тетраэдра.
3. Результаты пп. 1 и 2 можно перенести и на л-мерное евклидово
пространство1).
Симплекс л-мерного евклидова пространства определяется л -J-1
точками, не лежащими в одной гиперплоскости. Сами эти точки назы-
называются вершинами симплекса; отрезки (одномерные симплексы), соеди-
соединяющие отдельные вершины — ребрами (число их равно Сд+1); тре-
треугольники (двумерные симплексы) с вершинами в каких-либо трех из
п-\- 1 вершин — двумерными гранями (число их равно С„+1); тетра-
тетраэдры (трехмерные симплексы) с вершинами в каких-либо четырех из
вершин — трехмерными гранями (число их равно С„+1);...; наконец,
(л—1)-мерные симплексы, вершинами которых служат какие-либо л из
вершин — (л— \)-мерными гранями (их число С%+1 = п-\- 1). Очевидно,
что каждой вершине «противолежит» (л— 1)-мерная грань с вершинами в
остальных л точках, каждому ребру — (л—2)-мерная грань и вообще
каждой Л-мерной грани—(л — k—1)-мерная грань.
') Относительно n-мерного евклидова пространства см., например,
Г. Е. Шилов, Введение в теорию линейных пространств, М.—Л., Гостех»
издат, 1956.


192	Г. П. КРЕЙЦЕР И Г. II. ТЮРИН
Высотой л-мерного симплекса, опущенной из вершины А1 на грань
A2AS.. .AnAn_t, называется (одномерная) прямая, проходящая через
Ау и перпендикулярная гиперплоскости, определяемой точками А2, А3,. ..,
Ап+1. Симплекс, все w-j-1 высот которого пересекаются в одной точке,
называется ортоцентриг'еским, а точка пересечения высот — ортоцен-
ортоцентром симплекса. Если принять ортоцентр симплекса за начало отсчета,
то для радиусов-векторов г\, г2, ..., ги+1 вершин At, A2, ... , Ап+1
симплекса будем иметь:
г, J_ гнперпл. А2Ая...Ап+1,
r2 J_ гпперпл. AxAs...An+l,
rn+i ¦ ¦ • J_гпперпл. АХА2... Ап,
откуда вытекает, что
или r/rft =/у,, где/, ft,/=1, 2,..., я-|-1 и все различны
Из последнего равенства следует, что
*Va = r,ra =...= rprg =...= rnrn+1 (= a).	G)
Вычитая почленно равенства
П {rk —rt) = 0 и г,- (rk — rt) = 0,
получаем
(ri-rJ)(rk-rl) = 0,
где /, у, k, /== 1, 2,.., л-J-1 и все различны.
Таким образом, мы видим, что если высоты симплекса пересе-
пересекаются в одной точке, то любые два ребра, не исходящие из одной
вершины, ортогональны; отсюда вытекает, что ортогональны также
и любые две грани (каких угодно размерностей), не имеющие общих
точек. Для л-мерного случая, так же как и для трехмерного, имеет
место и обратная теорема: если любые два ребра симплекса, не вы-
выходящие из одной вершины, ортогональны, то высоты симплекса
пересекаются в одной точке (доказательство этой теоремы аналогично
данному в п. 2). Отсюда, в частности, следует, что k-мерная грань
ортоцентрического симплекса (k ^ 3) представляет собой k-мерный
ортоцентрический симплекс.
Так как (п — k—1)-мерная грань Tn_k_1, противолежащая ft-мер-
ной грани Tk, ей перпендикулярна, то через Tn_k_l можно провести
(л — ftj-мериую плоскость, ортогональную плоскости грани Tk. Эта
плоскость пересекает плоскость Tk в одной точке (при k ^ 2 совпада-
совпадающей с ортоцентром симплекса); основанием перпендикуляра, опущен-
опущенного на эту плоскость из любой точки плоскости Tn_k_1 (например,
из любой из противолежащих грани Tk вершин), будет служить эта
точка.


СФЕРЫ ЭЙЛЕРА ОРТОЦЕНТРИЧЕСКОГО СИМПЛЕКСА	193
Центр тяжести М симплекса определяется как точка, радиус-вектор
которой ')
Используя G), нетрудно показать, что п-\-\ центров тяжести
Вг, В2,... ,Вп+1 (п—\)-мерных граней симплекса
__r2 + ra+...+rn+1	_rl + r3+...+rn+1
в,—	„	- г&—	п	'••••
'вп+1	Л
и и-J-l точек Clf С2... , Си+1, делящих отрезки высот от орто-
ортоцентра симплекса до его вершин в отношении 1: (п — 1) ( гС] = —*,
гСз =—,..., гс = -^±1J | лежат на одной сфере Sm с центром (Уп)
и радиусом
2л
где
(т. е. что 0{тВЛ2= O(n)fi22= ... = &n>Ba+l*=OnC1*=OaCtt= ...
=OnCn+J* = Rm2). На этой сфере лежат также п-\-\ оснований высот
Du D2,... ,Dn+l (так как Z.Bfifix= ¦ ¦ • = Zfi«+A+1Cn+1 = 90°).
Сферу Sim можно назвать сферой Эйлера (или сферой 3(п-\~1)
точек) п-мерного ортоцентрического симплекса.
Далее можно показать, что при любом фиксированном k центры
тяжести всех k-мерных граней (их число равно С„Х\, & радиусы-
векторы имеют вид
r14-r2+...+rft+1 r1 + ri+..
k + l	'	k+l
лежат на одной сфере S^% с центром Cf^—
rO(n"Lft—	2(ft + l)
и радиусом
,/„\		 Г U -\~ iU [О« —ft -f- UJ+I 	 (Л 	 Л) (A -J- 1)]
¦»-* —	21^+1)
J) Центр тяжести симплекса можно определить по индукции как точку пе-
пересечения медиан симплекса, т. е. прямых, соединяющих вершины симплекса
с центрами тяжести противолежащих (л — 1)-мерных граней.
7 Матем. просвещение, вып. 2


194	Г. П. КРЕЙЦЕР И Г. И. ТЮРИН
Эту сферу мы будем называть (п— /г)-й сферой Эйлера ортоцентри-
ческого симплекса.
Таким образом, каждый ортоцентрическнй симплекс л-мерного ев-
евклидова пространства имеет п сфер Эйлера. Последняя из этих сфер (сфера
S?') является описанной сферой симплекса. Эту сферу естественно
обозначать просто Sn, а ее центр и радиус просто Оп и Rn. Очевидно, что
рассмотренная выше сфера S(n> будет являться первой сферой Эйлера.
Заметим еще, что (п — /г)-я сфера Эйлера 5'„_й пересечет каждую
(A-f-1 )-мерную грань симплекса по сфере Эйлера S{k+1> этой грани.
Отсюда следует, что на (я—/г)-й сфере Эйлера лежат основания вы-
высот, проведенных в (&-J- 1)-мерных гранях (т. е. ортоцентры А-мер-
ных граней) и точки, делящие отрезки этих высот от ортоцентров
(k-\-1 )-мерныу граней до их вершин в отношении \:k, считая от
ортоцентров.
Таким образом, на k-сфере ЭйлераS(^ (k^n — 2) лежат С"аГ*+1—
= С* + , центров тяжестей (п-—Щ-мерных граней, C^Zf+1 = C*+i
оснований высот, проведенных в (п — k -f- 1 )-мерных гранях {ортоцен-
{ортоцентров (п — k)-мерных граней) и (п — k-\- 1) C"jj:*+2= (л—k-\- ЦС^.\
точек, делящих отрезки этих высот от ортоцентров (п — k-\-\)-мер-
k-\-\)-мерных граней до вершин в отношении \:(п — k), считая от орто-
ортоцентров (так что эту сферу можно было бы назвать сферой 2С„ +1 -\-
-f (п — k + 2) СЦ+I точек).
Нетрудно заметить, что радиус /?Л) сферы Эйлера Sm> п-мерного
юртоцентрического симплекса в п раз меньше радиуса Rn описанной
, с г> _Уь + 2а{сГ^) f?ln)_Vb + 2a{
сферы Sn: К—	г	' Н —	2п
Аналогично этому проверяется, что вообще радиусы /?"_*- и
сфер Эйлера SnLk и «Sfc+1 имеют постоянное (не зависящее от симп-
симплекса) отношение
FgLk;Ft$.i = (n — A):(A+ 1).
В заключение заметим, что центры О<"^ = С^"^ Ог"\..., Oi"li,
О " = Оп всех сфер Эйлера лежат на прямой ИМ, где Н — орто-
дентр и М—центр тяжести симплекса, ибо
Г (п)
гм
При этом центр О| /-й сферы Эйлера делит отрезок ИМ в отношении
Нф: фм = (я + 1): (я — 2/ + 1).
Прямую НМ можно назвать прямой Эйлера ортоцентрического
песа
симплекса.


ОБОБЩЕНИЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО
В. И. Левин
(Москва)
Один из замечательных фактов анализа состоит в том, что если,
исходя из двух положительных чисел х и у (х<^у), образовать по-
последовательности
xn=Vrxn_1yn_1, yn = ^(xn_1-jryn_1), n=\, 2, 3,... ,
полагая лго = лг, УО:=У, то эти последовательности имеют общий
предел
-1
B	1 -*
	_п J л	М	I
^ 2 U Wcos'f+y'siir'f/
о
Число \i. называется арифметико-геолетрическим средним чисел х и у.
Целью настоящей статьи является выяснение того, чтб можно ска-
сказать об итерированных средних общего вида.
1. Пусть даны х и у, 0 <^х <Су- Под средним этих величин бу-
будем понимать функцию S(x, у), удовлетворяющую следующим условиям:
1)	S(x, у) непрерывна в угле 0<jc-<y.
2)	S(kx, \y) = lS(x, у) при любом Х>0, т. е. S (х, у) — одно-
однородная функция л; и у со степенью однородности единица.
3)	S(x,y) является возрастающей функцией каждой из переменных
при фиксированном значении другой.
4)	х <^S(x,y)<^y. Отсюда вытекает, что существует
lim S(x,y) = S(x, x)=x,
так что мы будем считать 5 (л:, у) непрерывной в угле 0 <^ х ^ у.
Если выполняется еще условие
5)	5 (х, у) = 5 (у, х), определяющее функцию S(x, у) в угле
O<^y<^jc так, что она будет непрерывна во всем квадранте
0<je, 0<^y, то мы будем называть среднее S{x, у) симметричным.
7*


196	В. П. ЛЕВИН
В силу условия 2)
где 2=— S»l. Функцию а (.г) будем называть приведенным средним.
Она удовлетворяет следующим условиям, являющимся следствиями
условий 1), 3) и 4):
Г) a (z) непрерывна на полуоси z^sl, причем a A) = 1.
3') a (z) и -у-г являются возрастающими функциями z.
4') 1 <^a (z) <^z, если z^> 1. Для приведенного симметричного
среднего из условия 5 вытекает условие
5') a(z)=za( — J, определяющее a(z) на интервале 0<.г<^1
так, что она будет непрерывна на всей полуоси 0 < z. Действительно,
откуда
Нетрудно проверить, что всякая функция а (г), удовлетворяющая
условиям Г), 3') и 4'), является приведенным средним для среднего
и что если а (г) удовлетворяет еще условию 5'), то 5 (х, у) является
симметричным средним.
Примерами симметричных средних являются средние порядка
и геометрическое среднее
Sa(x, у) =
Соответствующие приведенные средние имеют вид
°Л*) = (Чг^O и
Взвешенные средние


ОБОБЩЕНИЕ АРИФМЕТНКО-ГЕОМЕТРНЧЕСКОГО СРЕДНЕГО	197
при р>0, q^>0, p-\-q=:l представляют примеры средних, не являю-
являющихся симметричными.
2. Пусть даны два средних S (х, у) и Т(х,у), удовлетворяющие
условию
S[x,y)<T(x,y)
для всех 0<^х<^у. Соответствующие приведенные средние обозначим
через a (z) и ?(z), так что
для z ^> 1. Тогда можно, исходя из двух чисел л: и у, О <^ х
образовать последовательности
полагая лго==лг, У0=У- В силу условия 4)
хп_г<^л
и, кроме того,
Отсюда вытекает, что последовательность {хп} — возрастающая и огра-
ограниченная сверху, а последовательность {уп\ — убывающая и ограничен-
ограниченная снизу. Следовательно, существуют пределы.
ji' = Iim xn и ji' = Iim yn.
п -> оо	п -> оо
По непрерывности среднего из xn = S (xn_lt yn_t) следует, что
р.'= S{ii', ]i"y,
но так как S(x, у) — монотонная функция у и ji' = 5(}i', }i'), то мы
заключаем, что ji" = io.'. Итак, последовательности итерированных
средних {хп} и \уп\ имеют общий предел .
jjl = jjl'^jjl", который мы назовем ST-cped- "'
ним х и у:
H = ST(x, у).
Заметим, что последовательность точек
(vrn, yn) лежит внутри треугольника АМВ
(см. рис. 1), где М — точка с координа-
координатами х, у, а предел этой последователь-
последовательности — точка (]i, ji) лежит на гипотенузе
АВ (и отлична от А и от В).
Арифметико-геометрнческое среднее яв-
является 505,-средннм.
Исследуем теперь зависимость 5Г-сред-	рис- ^
него от х и у. Имеет место следующая
Теорема 1. ST-среднее является непрерывной функцией х и у.
Для доказательства заметим, что хп и уп как итерации конечного
числа непрерывных функций сами являются непрерывными функциями


198
В. И. ЛЕВИН
У
х и у. Далее, так как хп—s-jjl и уп—>-Д, то, начиная с некоторого
номера п, точка (хп, уп) будет лежать как угодно близко к отрезку АВ,
но выше его. Пусть теперь задано произ-
произвольное е ^> 0. Отметим на отрезке АВ
точки А' и &, отстоящие от точки (jx, Д)
по разные стороны на расстоянии el/2,
и построим треугольник А'М'В1, располо-
расположенный выше АВ и подобный треуголь-
треугольнику АМВ (см. рнс. 2). Для достаточно
большого номера п точка (хп, уп) попадет
внутрь треугольника А'М'В'. Далее, вы-
выберем настолько малую окрестность точ-
точки (л:, у), что для любой точки (xl0!, у"")
(л;<°>, у<®) [где х^> =
м
из
нее
точка
Рис. 2.
л=1, 2, 3, ..., причем x<$=xtD), у(о=Уф)] также будет лежать
внутри треугольника А'М'В' (это возможно в силу непрерывности хп и
уп как функций х и .у). Но тогда S7—среднее чисел л:10' и у0':
о!) уо>)= Iim x@)= lim уо)
G	СО
будет по предыдущему обладать тем свойством, что точка (д'0', Д(о>)
лежит на отрезке А'В', а это означает, что |д—jx'c'j<^e. Тем самым
непрерывность \j.^=ST(x, у) доказана.
Теорема 2. При любом I >¦ 0
Для доказательства образуем последовательности
*n = s(*»-Р Л-i)- yn = r«-i./n-i). «=1,2,3,...,
полагая Xp=Xje, у^=Ху. Тогда
и т. д. Вообще,
так как
=^-vn, откуда и вытекает утверждение теоремы,
STQjc, ly)= lim x'n.
е
Теорема 3. ST (х, у) является неубывающей функцией каждой
из переменных при фиксированном значении другой.
Пусть сначала 0<^х<^у <^у". Тогда, полагая
vy'n-i)> fl=l,2,3, ...


ОБОБЩЕНИЕ АРИФМЕТНКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО	/99
и х'0=х, y'Q = y', а также
K=S(x"n_vy"n^), У-П=ТК^У"П-^ «=1,2,3,...
и х'п = х, у'ц=у", последовательно найдем, что
x[=S(x, y')<S{x, у")=х\,
у\ = Т {х, /) < Т (х, у") =у\,
и, далее, что
Х'2=s(х[, у\)<5(x\, y[)<s(х-;, у;)=*•',
у'2 = Т(х[, у[) < Т (х"г у[) < Т (x"v у;) =у\.
Вообще, мы таким образом найдем, что х'п<^х"п, откуда вытекает
неравенство
ST(x, y')=\\m x'n^\\m x'^ — ST(x, у").
П -? ОО	П -? СО
Аналогично доказывается, что если 0<Сх'<^х"<^уу то
ST(x\ y)^ST(x",y),
и теорема доказана.
Чтобы обеспечить строгое возрастание ST(x, у), необходимы еще
дополнительные условия.
Теорема 3 бис. Если существует такая окрестность отрез-
отрезка АВ (см. рис. 1), в верхней части которой (х<^у) средние S(x, у)
и Т(х, у) удовлетворяют условию
S(=, y)—S(x, y)^p(- — x), \n .
°<Х<
где pug — некоторые положительные числа, причем р -\- q = 1, то
в треугольнике АМВ ST(x, у) является строго возрастающей функ-
функцией каждой из переменных при фиксированном значении другой.
Действительно, используя обозначения, введенные при доказатель-
доказательстве теоремы 3, заметим, что, начиная с некоторого номера п, точки
(х , у') и (х", у'^) будут принадлежать верхней части указанной в тео-
теореме окрестности отрезка АВ (см. начало доказательства теоремы 1),
так что
<+i —x'n+l=s К' У'п)—s «' у'п)=
= S(x'n, y:)S(x'n, y'n)+S{x'n, y"n)-S(x'n, ЛM*
и аналогично


200	в. и. левнн
причем, как видно из доказательства теоремы 3,
Далее,
и аналогично
у"п+2 -у'„+2^р (К -
Продолжая таким же образом, мы установим, что, вообще, для любого
*n — x'h^pK — О
откуда и вытекает, что
ST(x, y")—ST(x, у')^р(х'п — х'п)-\-д(у'а— у'н)>0.
Аналогично показывается, что и
ST{x", y") — ST(x\ y)>0,
и теорема доказана.
Теоремы 1, 2 и 3 бис показывают, что при некотором дополни-
дополнительном условии, сформулированном в последней из них, 5Г-среднее
удовлетворяет условиям 1), 2), 3), налагаемым на среднее. Выполнение
Sr-средним условия 4) вытекает из того, что точка (ji, ji) лежит
между точками А и В (см. рис. 1).
Что касается упомянутого выше дополнительного условия, то оно,
в частности, выполняется средними Sr{x, у) и S0(x, у), а также взве-
взвешенными средними Sr(x, у) и S0(x, у). Ограничимся проверкой его
для среднего Sr(x, у). Очевидно, чго достаточно показать выполнение
неравенства
дх * ду-^ '
но это легко усматривается из того, что
dSr__ 1 П + *ГУ „	\
"^	)
У „
дх 2^ 2 )	ду
у
где z = — , так как
X


ОБОБЩЕНИЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРНЧЕСКОГО СРЕДНЕГО	201
причем левая часть как угодно близка к 2, если z достаточно
близко к 1.
3. Таким образом, при выполнении дополнительного условия тео-
теоремы 3 бис, 5Т-среднее является некоторым средним:
y) = U{x, у),
где U (х, у) удовлетворяет	условиям 1) — 4). Отметим еще, что если
средние S (х, у) и Т{х, у)	симметричны, то и U(x, у)— симметричное
среднее.
Установим теперь еще	одно свойство среднего U(x, у). Так как
n -+ оо
является .ST-средним не только чисел х и у, но и чисел x1=S(x, у)
и уг = Т (х, у), то должно иметь место соотношение
U{x,y) = U{S(x,y), T(x, у)},	A)
являющееся функциональным уравнением для U (х, у) при заданных
S(x, у) и Т(х, у).
Для арнфыетико-геометрического среднего
S(x, y) = S0(x, y) = Vxj, T(x, y)=S1(x, y) =
dt
У х2 cos21 -|-_y2 sin21\
В этом случае полученное функциональное уравнение примет вид
"	"
Л	Г	dt
Г
Это равенство является следствием гауссова преобразования эллиптиче-
эллиптических функций и представляет собой весьма сложную формулу анализа.
В рассматриваемое функциональное уравнение A) входит три сред-
средних: S(x, у), Т(х, у), U (х, у). Определение отсюда последнего из
этих средних по данным первым двум является, вообще говоря, трудной
задачей. Более простая задача возникает, если мы зададим U(x, у)
и одно из средних S(x, у) или Т(х, у).


202	в. и. левин
Преобразуем функциональное уравнение A) к приведенным средним,
которые являются функциями только одной переменной. Обозначая через
y(z) приведенное среднее для U[x, у), будем иметь
U(x, y) = xy(z), S{x, у) = хв[г), T(x,y) = xz(z)
и
U{S(x,y),T(x,y)}=U{xa[z), xz(z)} = xa(z) w j^|J,
так что функциональное уравнение A) примет вид
В первую очередь заметим, что функциональному уравнению B)
удовлетворяют функции у(г) = ]/1г (приведенное среднее для гео-
геометрического среднего So (x, у) == \/Гху),
1
(приведенное среднее для S-r(x, у)) и
(приведенное среднее для Sr(x, у)), так как в этом случае действи-
действительно
= Vz= Vo[z)x[z) = a (z)
Отсюда вытекает, что для любого
S.rSr{x, y)=S0(x, у).
В частности, представляет некоторый интерес случай г=1. Так как
является гармоническим средним, то мы находим, что гармоникоариф*
метическое среднее есть просто геометрическое среднее. Это приводит
к быстро сходящимся рациональным приближениям квадратных ирра-
цнональностей вида \^R, где R — свободное от квадратов рациональ-
рациональное число. Представляя R в виде ab, где а и b — рациональные числа,
образуем итерированные последовательности {ап\ и {Ьп\, полагая яо = с,
bn = b и
(а„~1 + 6„~,) х	п„ .4-ft j
~ ,	п= 1, 2, 3, ...


ОБОБЩЕНИЕ АРИФМЕТНКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО	203
Тогда, по предыдущему,
lim яп —lim bn = \^R.
n -*¦ oo	n -> 00
Например, при до = — и ?0 = -=- получаем, таким образом, следующие
рациональные приближения у 2:
	140	, _99
Ci 99 '	°i — 70'
_ 27720	_19601
С2 1960Г	2 13860
и т. д., причем
С помощью функционального уравнения B) легко также установить,
что предел итерированных взвешенных геометрических средних есть
вновь взвешенное геометрическое среднее (что можно, впрочем, усмот-
усмотреть и непосредственно). Действительно, полагая a (z) = z^<, 0<^qt <^ 1,
t (z) = zg', 0 <^ qx <^ q2 <^ 1 и у (z) = z", из уравнения B) найдем, что
т. е. что
1 — (Qi — Qi)'
Это означает, что если хо=х, уа=у и
*n = -^-i^-i. J'»=-^-iJ^1-,. « = 1,2,3,...,
то
lim л;п= lim ^^гл:1-0^".
л -> оо	п ->. оо
Аналогично устанавливается, что предел итерированных взвешен-
взвешенных арифметических средних есть также взвешенное арифметическое
среднее. Действительно, полагая a(z) =/>, -f-qxz, pj-j-^^l,
¦c(z) = pi-{-q3z, рг-\-д3 = 1, 4i<4i и f (z) = 1— а + аг, из
уравнения B) найдем, что
т. е.
1 _ a -f az = A — a) (Pl -\- qxz) + a (/j2 -f ^),
или
1— a = p,(l— a)-f-apa,
откуда
a=^ '-Pi = ft
1 - (Pi - Pi) 1 - (tf2 - ft)"


204	в. и. левнн
Это означает, что если лго = лг, У0=У н
хп =Pixn-i + Wn-i. Уп =/'A
то
lim xn = lim j/n = A — а) л: -f- ay.
П-+ СО	П-+ 00
Более интересные случаи 5Г-средннх могут быть получены из
функционального уравнения B), если ему придать вид
и считать приведенные средние о (z) и <р (г) заданными.


НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРЕМЕ ПОМПЕЮ
3. А. Скопец
(Ярославль)
В плоскости, в которой задан равносторонний треугольник Д (<4,,42/43),
возьмем произвольную точку Р. Теорема Помлею утверждает, что
отрезки PAt могут служить сторонами некоторого треугольника п.
Если, в частности, точка Р принадлежит окружности, описанной около
треугольника, то из трех отрезков один равен сумме двух других и
поэтому вершины треугольника тт располагаются на одной прямой, т. е.
треугольник тг вырождается.
Ниже приводится такое доказательство этой теоремы, которое позво-
позволяет ее несколько усилить, а именно — не только доказать существова-
существование треугольника гс, но и то, что он может
быть вписан в данный треугольник Д.
1. Через точку Р (рис. 1) проведем
три прямые, соответственно параллель-
параллельные сторонам треугольника Д и обозна-
обозначим точки пересечения этих прямых со
сторонами (при надобности продолжен-
продолженными) через Р„ Р\, Pt, Р2, Ps, Ря (на
рис. 1 —5 отмечаются только три из этих
точек). Нетрудно проверить, что всегда
можно так распорядиться этими обозна-
обозначениями, чтобы каждый из 4-угольннков
с вершинами Р, P., Pjy Ak (i, j, k есть
1, 2, 3 или 2, 3, 1, или 3, 1, 2) был
проекцией (равнобочной).
Треугольник Р-^Р^РЯ является иско-
искоРис. 1.
мым треугольником тт. Действительно, РА1 = Р2АВ, ибо четыре точки Р,
A-l, Pz, Ps являются вершинами равнобочной трапеции, причем от-
отрезки PAt и РЯР8 являются ее боковыми сторонами или диагоналями.
Аналогичным образом устанавливаем, что РАг=РьАх, PA* — P\P*-
Если точка Р принадлежит описанной около треугольника Д окруж-
окружности, то один из углов треугольника п становится развернутым, и
три точки Р{ располагаются на одной прямой (рис. 2). Обратно,
если потребовать, чтобы три точки Р( принадлежали одной прямой,
то это влечет за собой принадлежность точки Р окружности, описан-


206
3. А. СКОПЕЦ
ной около Д. И в этом случае вершины Pt вырожденного треуголь-
треугольника к принадлежат сторонам данного треугольника.
р	Пусть точка Р расположена
внутри Д. Докажем, что если
Чз/ ХЧ	Z AiPAi — 4>k> Z PPtf3! — I»*,
то
(/, j, k=\, 2, 3; /, у, кф).
Для определенности дока-
докажем, что <fs — AK = 60°.
Действительно,
Складывая эти два равен-
равенства, получаем:
Рис. 2.
или
6s = 120° — A80°— (рз)?
т- е- <Рз —Ф3 = 6О°. '
Аналогично доказываются
два других равенства.
Если точка Р лежит вне
Д, то <р|- + <рл=«р/. Здесь
необходимо рассмотреть ряд
случаев.
1. Точка Р лежит вне Д,
но внутри описанной около Д
окружности (рис. 3). Пусть
Р лежит внутри угла АгА&А.г;
тогда f1 -|- у2 = (f8. Очевид-
Очевидно, что <Рз>120о и каждый
из углов <pj и <р2 больше 60°.
Легко доказать, что
= ?i —60°, ф,=?,-6
i 300°
Рис. 3.
A)
II. Точка Р лежит вне А и вне окружности, описанной около Д,
но внутри одного из углов Д. Пусть Р лежит внутри угла AXA3AZ


НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРЕМЕ ПОМПЕЮ
207
(рис. 4). Очевидно, что
III. Точка Р лежит внутри утла, вертикального с одним из углов Д.
Пусть Р лежит внутри утла, вер шкального с утлом А треугольника Д;
тогда 9, < 60°, <в2 < 60°,
<с3 <[ 60° и легко доказать
(рис. 5), что
ф1=60° + 4V ф,=60° + <р.„
фз = 60° — <р3.	C)
Теорем а 1. Если в пло-
плоскости равностороннего тре-
треугольника Д {A^A2AS) дана
точка Р, то на отрезках РА{
можно построить треуголь-
треугольник гг, который
1)	вписывается в данный
треугольник Д,
2)	вырождается тогда
и только тогда, когда точ-
точка Р принадлежит окруж-
окружности, описанной около тре-
треугольника А,
3)	имеет углы (!>;, связанные
углами <р, = /_AjPAk
а)	соотношениями <i>k —- d>A = 60'
для точек Р, расположенных
внутри Д;
б)	соотношениями A) или полу-
получающимися из A) перестанов-
перестановкой номеров 1,2, 3 для то-
точек Р, расположенных вне Д,
но внутри окружности, опи-
описанной около А;
в)	соотношениями B) или по-
получающимися из B) переста-
перестановкой номеров 1,2,3 для
точек Р, расположенных вне
описанной окружности, но
внутри углов треугольника Д:
г)	соотношениями C) или по-
получающимися из C) переста-	Рис. 5.
новкой номеров 1, 2, 3 для
точек Р, расположенных внутри углов, вертикальных с уг-
углами треугольника Д.


208
3. А. СКОПЕЦ
2. Выясним, для каких точек Р треугольник тг является прямо-
прямоугольным; для определенности примем, что прямым является угол ф3.
Согласно предыдущей теореме, для подобных точек, расположенных
внутри Д, должно быть <р3 — 90°= 60°, т. е. <ps=150°. Из таких
точек Р отрезок A^2 виден под углом в 150°.
Точек Р, расположенных вне А, но внутри описанной окружности
нет, так как из A>8 = 90° = 300°—<р3 следовало бы <р3 = 210°, чего
быть не может, а из Ф3 = 90° = <р:ч — 60° следовало бы <сз = 150°;
но таких точек вне Д, но внутри одного из углов Ах или А2 нет.
Точки Р, расположенные вне Д, но внутри угла Аа существуют,
так как согласно B) из (Ь3 = 90° следует <р3=30° и из точки Р
отрезок АхАг виден под углом 30°. Такое же расположение вне Д,
но внутри Ах или Аг не существует, ибо для него должно было быть
Фз = 90° = 60°-<Рз.
Внутри угла, вертикального с углом А3, точек Р нет, так как
согласно C), из ф3=:90о следовало бы, что <f>3 =—30°, чего быть
не может.
Внутри же углов, вертикальных с углами А1 и И2, существуют
точки Р, для которых Ф3 = 90°. Действительно, для точек, располо-
расположенных внутри угла, вертикального с углом А1г мы будем иметь
G.I-UUO
Рис. 6.
4>3 = 90° = 60°-}-!33; следовательно, <р3 = 30° и из точки Р отрезок
А^ виден под углом 30°. Аналогично доказывается, что внутри угла,
вертикального с А2, существуют точки Р, для которых <р3 = 30°.
Итак, все точки Р, которым соответствуют треугольники тт
с прямым углом ф8, расположены на одной окружности ks, для ко-
которой отрезок АхАг является хордой, стягивающей дугу в 60°;


НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРЕМЕ ПОМПЕЮ	209
нетрудно видеть, что центр этой окружности находится во внеш-
внешнем центроиде *) Оя треугольника Д (рис. 6).
Треугольникам тг прямыми углами d>j или <р2 соответствуют точки Р,
расположенные на oi- ужностях k1 или k2 радиуса о = Л|Ий с центрами
во внешних центроидах G1 или G2 треугольника Д. В вершинах А( тре-
треугольника Д эти окружности попарно касаются и пересекают описан-
описанную около Д окружность ортогонально. Для всякой точки Р, располо-
расположенной внутри одной из окружностей k(, соответствующий треуголь-
треугольник тг тупоугольный; для точек Р, расположенных вне этих трех
окружностей, треугольник тт остроугольный.
Теорема 2. Геометрическое место точек Р, которым соот-
соответствуют прямоугольные треугольники п, состоит из трех ок-
окружностей радиуса a^A[Ak с центрами во внешних центроидах
треугольника Д. Для точек Р, расположенных внутри этих ок-
окружностей, треугольники тг тупоугольные, а для точек Р, распо-
расположенных вне этих окружностей, треугольники тг остроугольные.
3. Теорема Помпею остается справедливой и в том случае, когда
точка Р не лежит в плоскости треугольника Д. Действительно, рас-
рассмотрим тетраэдр АгА2АяР, ребра которого равны AiAk^uj^=a,
PAi=.ri. Как известно2), произведение объема тетраэдра на радиус
описанной около него сферы равно одной шестой площади треуголь-
треугольника, стороны которого измеряются соответственно произведениями
противоположных ребер тетраэдра, т. е.
"° • R = 24 t(airi + a*r2 + а*г*) (а^ -\-а,г2 — а3г.6) X
i_
X Кг, — й2г2 -f asr3) (— a\rx -f- a2r2 + a3rs)f.
Учитывая, что ни один из сомножителей, стоящих в правой части,
не может быгь отрицательным или равным нулю, а также то, что
ai^=a, молено записать
Гг-\-Г, — Г,>0, Г, — Г2 + Г3>0, _Г1 + Г2 + Гз>0,
откуда следует, что на отрезках ri можно построить треугольник.
') Центроидом (центром тяжести) треугольника называется точка приложе-
приложения равнодействующей трех равных, параллельных и одинаково направленных
сил, приложенных в вершинах треугольника. Внешним центроидом называется
точка приложения равнодействующей трех равных и параллельных сил, прило-
приложенных в вершинах треугольника, если две из сил направлены в одну сто-
сторону, а третья — в противоположную; он совпадает с четвертой вершиной
параллелограмма, три вершины которого совпадают с тремя вершинами тре-
треугольника. Барицентрические координаты (см. сноску на стр. 210) центроида
треугольника имеют вид A, 1, \\ а одного из внешних центроидов —A, 1 — 1).
2) См., например, Ж. Адамар, Элементарная геометрия, ч. II, изд. 1,
1938, стр. 349.


210	3. А. СКОПЕЦ
Примем треугольник А за координатный треугольник барицентри-
барицентрической системы координат*). Точка Gs имеет нормированные барицент-
барицентрические координаты A; 1, .— 1), а точка Р—триполярные коордч-
наты *) rt, г„, г3. Расстояние d от точки М, заданной своими w >-
мированными барицентрическими координатами xt относительш Д,
до точки N, заданной своими триполярными координатами г,- от-
относительно А, выражается формулой
MN2 = d2 = ххг\ -f х2г\ -\- х3г\ — а2 (х,лг2 + х2х3 -f- xsxt),
вывод которой основывается на применении теоремы Стьюарта. Если
положить d = a, М = Gs, N=P, то из последней формулы находим
/•j-j-r* — Лд=0. Это значит, что треугольники тг, соответствующие
точкам Р, расположенным на сфере о3 радиуса а с центром в точке
Gs (и, как можно показать,— только этим точкам), соответствуют
прямоугольные треугольники тг с прямым углом ф3. Аналогичным обра-
образом устанавливается существование двух других сфер at и а2.
Теорема 3. Геометрическое место точек Р в пространстве,
которым соответствуют прямоугольные треугольники тг, состоит
из трех сфер а{ радиуса а с центрами во внешних центроидах G{
треугольника А и имеющих внешнее касание в вершинах этого
треугольника. Для точек Р, расположенных внутри о,-, треуголь-
треугольники тг — тупоугольные, а для точек Р, расположенных вне а,-, тре-
треугольники тг — остроугольные.
х) Триполярные координаты точки Р относительно треугольника Д — это
расстояния от точки Р до вершин треугольника, определяющие массы (по-
(положительные или отрицательные). Барицентрические координаты точки Р опре-
определяются как величины тех масс, которые надо поместить в вершинах Д для
того, чтобы центр тяжести этих масс совпал с Р (см. по этому поводу, напри-
например, дополнение I к цитированной выше книге Ж. А д а м а р а); эти координаты
можно нормировать, потребовав, чтобы сумма трех координат (трех масс) была
равна 1.


HI. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ СООБЩЕНИЯ
(Опыт преподавания и педагогический эксперимент)
ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ1)
И. Н. Бронштейн
(Москва)
Эта тема обычно делится на две части. Сначала выводятся канони-
канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы, определяемые их
бифокальными свойствами (для параболы — фокально-директориальным),
и из этих уравнений выясняются форма и свойства кривых. Затем
изучается общее уравнение 2-й степени и показывается, как привести
его к одному из рассмотренных типов или к случаю распадения на
пару прямых.
Такой путь имеет ряд недостатков:
1)	Во втузе часто не хватает времени на полное прохождение
всей темы, и тогда просто жертвуют второй частью (в большинстве
технических специальностей она не имеет приложений). При этом
важная идея преобразования координат почти не получает
в аналитической геометрии применений, учащиеся представляют себе
эллипс, гиперболу и параболу не иначе как в канонической форме и
не оценивают важности выбора системы координат наиболее удачным
способом, не умеют сделать этого выбора.
2)	При недостатке времени жертвуют и другими свойствами кривых,
важными для практики (например, сопряженные диаметры эллипса), но
со всей тщательностью изучают бифокальные свойства, с которых на-
начинается знакомство с кривыми. Но бифокальные свойства — и даже
фокально-днректориальное свойство параболы — далеко не самые важ-
важные свойства этих линий, и применяются они не часто. Пресловутое
вычерчивание эллипса по его фокусам «ниткой» используется только
в воображении математиков (да еще садовниками при изготовлении эл-
эллиптических клумб), а гиперболы и параболы — тем более; для вычерчива-
вычерчивания эти свойства никогда не применяются. Бифокальное свойство гипер-
гиперболы используется в исключительных случаях. Если еще вопрос об остав-
') Доклад на объединенном семинаре кафедр высшей математики москов-
московских втузов.


212	II. Н. БРОНШТЕЙН
леннп этих свойств в обязательной программе математики во втузе можно
считать спорным, то начинать с них изучение кривых 2-го порядка
безусловно нецелесообразно: ведь свойство, которое положено в ка-
качестве определения, запоминается крепче всего.
3)	Эти свойства не определяют непосредственно фс viy
кривой; более того, после получения канонического уравнения фс усы
w параметр с бесхпедао лкчезают п v\e вп\«жгс ва \лал\бопее важные
свойства кривых (симметрию, наличие асимптот у гиперболы, сопряжен-
сопряженные диаметры и др.).
4)	Вывод канонических уравнений традиционным путем прост только
для параболы; для эллипса и гиперболы вычисления удручающе гро-
громоздки, и при этом их проведении нужно делать ряд уточнений. При
этом выводе выпадают случаи, когда в каноническом уравнении эл-
эллипса а<^Ь, а фокальная ось гиперболы вертикальна1), об этих
случаях в общей теории приходится говорить специально. Появление
же мнимой полуоси гиперболы b настолько формально, что лектору
приходится преодолевать естественный протест слушателей, пока они
не познакомятся с асимптотами.
5)	Определение директрис эллипса и гиперболы как прямых, име-
имеющих уравнение х= + —, крайне искусственно. Между тем, фо-
?
кально-днректорпальное свойство этих кривых существеннее, чем бифо-
бифокальное, потому, что оно — общее для всех трех кривых, и к тому же
бифокальные свойства вытекают из него сразу (см. ниже).
Недостатки традиционного изложения' темы признаются многими, и
в некоторых руководствах с эллипсом впервые знакомятся как с сжа-
сжатием окружности, а с гиперболой,— как с графиком обратной про-
пропорциональности. Эта точка зрения более естественна, но затем бифо-
бифокальные свойства появляются веб же традиционным пу.тем независимо
от прежних определений.
В лекциях студентам Тульского механического института эта тема
была изложена способом, который приведен ниже — кратко в его
известной части и более подробно — в менее известной или совсем но-
новой. В качестве основных положений я принял следующее:
1) Из общего уравнения линии 2-го порядка наиболее часто
применяется тот случай, когда отсутствует член с произведением те-
текущих координат, т. е. когда ось кривой параллельна одной из осей
координат. Это — естественное обобщение уравнения окружности в общем
виде; к этому типу сводятся: график квадратного трехчлена, кривые
2-го порядка, касающиеся оси координат в своей вершине (в частности —
вершина находится в начале координат). Поэтому сразу же после вы-
выгода канонического уравнения кривых я перехожу к этому «почти
общему» уравнению (I) и устанавливаю простой признак различения
эллипса, гиперболы и параболы.
') Для удобства выражений ось Ох я считаю горизонтальной.


ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2"Го ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ	213
2) Бифокальные свойства, как наименее важные, не начинают, а
завершают изучение кривых. Можно (но не обязательно) вывести эти
свойства традиционным способом, но лишь в качестве упражнения на
геометрические места (на практических занятиях, а не на лекции).
Весь материал, который ниже назван программным, я разделил
на пять тематических двух1 (Совых лекций. 1-я лекция посвящена эл-
эллипсу, 2-я — гиперболе, 3-я (в ее первой части) — параболе (только аф-
аффинные свойства). 3-я лекция заканчивается теоремой о «почти общем»
уравнении (I), а также задачей о фокусе и директрисе кривой*).
4-я лекция посвящена фокусам и директрисам каждой кривой в от-
отдельности, а 5-я — общему уравнению линии 2-го порядка. При не-
недостатке времени можно ограничиться только первыми четырьмя
лекциями, сообщив результат 5-й лекции без доказательства, а при
особенно малом числе часов — только первыми тремя, рассмотрев
в конце 3-й лекции вместо общей задачи о фокусе и директрисе
только случай ?=1 и также сообщив результат 5-й лекции без до-
доказательства. Пусть лучше учащиеся ничего не знают о фокусах эл-
эллипса и гиперболы, но умеют преобразовывать координаты и перехо-
переходить от одного уравнения к другому!
На прохождение всего материала было затрачено не больше вре-
времени, чем у других лекторов при традиционном изложении. Упражнения,
конечно, пришлось также совершенно перестроить, подбирая специаль-
специальные примеры и в очень небольшой степени используя стабильные за-
задачники.
На студенческом математическом кружке в ТМИ были разрабо-
разработаны дополнительные вопросы из теории кривых 2-го порядка: сту-
студенты подготовили доклады: 1) уравнение «относительно вершины»,
2) оптические свойства, 3) конические сечения. Изложение этих докладов
дано ниже. При наличии времени некоторые из этих вопросов можно
перенести из дополнительной части в программную.
I. Программный материал
Предполагается, что учащиеся знают из школьного курса математики гра-
графики функций у = ах -\-Ь, у = х* иу = —; из аналитической геометрии —
уравнения прямой линии и окружности fn частности, что Ах2 -{- Ауг -)- IDx -f-
-j- 2Ey -f- F = 0 есть уравнение окружности — действительной, вырождающейся
в точку или мнимой), а также — преобразования координат. Кроме того, им
сообщаются следующие сведения о простейшем аффинном преобразовании:
Осевой равномерной деформацией2) плоской фигуры ш относительно оси
оо (лежащей в плоскости фигуры) называется такое преобразование фигуры ш
в фигуру Q, когда каждая точка та w переходит в точку М d 8, лежащую
на перпендикуляре, опущенном из т на оо, причем расстояние точки от оси
умножается на постоянное положительное число У (коэффициент деформации)
') Последнюю задачу естественнее было бы перенести на 4-ю лекцию, но
это практически не получалось.
г) В дальнейшем это преобразование именуется кратко «деформацией».


214
И. Н. БРОНШТЕЙН
и точка М остается по ту же сторону от оси, что и т. (Если точка т лежит
на самой оси, то она переходит в себя.) При X < 1 деформация является сжа-
сжатием, при X > 1 — растяжением, при X = 1 фигура остается неизменной
(рис. 1). При деформации относительно оси абсцисс Ох с коэффициентом X ли-
с
А
0
/\ \
8
С
Е ^\
d
D
0
(Г
gG
Рис. 1.
ЛН
м
ния
Рис. 2.
у) = 0 преобразуется по формулам Х=х, У=1у в линию
', у)=0 (рис. 2).
Лекция 1. Эллипс. Эллипс определяется как кривая, полученная в резуль-
результате деформации окружности относительно ее диаметра. Его уравнение выво-
выводится из уравнения окружности х'*-\-у2 = а2:
Из рис. 3 видно, что )jz = OC=b. Если не возвращаться к исходным коор-
координатам окружности, то можно вместо X, Y писать х, у, и каноническое урав-
уравнение эллипса записывается в известной форме
Если X < 1, то Ь<^а («лежачий» эллипс), если
Х>1, то 6>а («стоячий»), если Х= 1, то Ь = а
(окружность — частный случай эллипса).
Форма эллипса, его симметрия очевидны без
специального исследования — из происхождения
кривой. Вводятся термины — оси эллипса (полу-
(полуось а — не обязательно большая!), вершины, центр
и фундаментальный, прямоугольник PQRS (де-
(деформация квадрата pqrs, описанного около окруж-
окружности) ').
Из определения эллипса выводятся две важные
теоремы: эллипс есть 1) ортогональная проекция
окружности и 2) сечение круглого цилиндра. В
первом случае коэффициент деформации Х =
= cos о ^ 1, во втором X =	 ^ 1 где т — угол
cos ср
между плоскостями окружности и эллипса. Обе теоремы имеют большое значе-
значение в начертательной геометрии и в черчении.
При проектировании окружности ее ортогональные диаметры проектируются
в сопряженные диаметры эллипса, каждый из которых делит пополам все
*) Рекомендуется научиться рисовать эллипс на глаз, вписывая его в фун-
фундаментальный прямоугольник; можно, если есть время, вывести способ построе-
построения точек эллипса при помоши двух концентрических окружностей с радиусами
а и Ь, который обычно указывается в черчении.


ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ
215
хорды, параллельные другому диаметру. Эти диаметры имеют основное значе-
значение в аксонометрии, и поэтому их не следует опускать в курсе аналитической
геометрии (как это иногда делают); о диаметрах же гиперболы и параболы го-
говорить во втузе не стоит.
Связь между угловыми коэффициентами сопряженных диаметров эллипса
получается так. Пусть окружность jc2-|-v2 = fl2 проектируется с плоскости та на
плоскость П со своими двумя перпендикулярными диаметрами
у -foe и y = k'x (kk' = —l)	A)
(рис. 4). Точки плоско и л m (х, у) проектируются в точки плоскости П
М(Х, У), причем Х=х, Y= — у. Прямые A) спроектируются в прямые
% Y= kX, ?-Y=k'X или Y—k — X, Y=k' — X.
Ь	Ь	а	а
Их угловые коэффициенты—K=k —, K' = k' —; перемножая их, имеем:
От канонического уравнения эллипса переходят к общей форме
-|-|j.a2ys_ |j.a2ft2 = 0 или
Уравнение B) есть уравнение эллипса только в том случае, когда
коэффициенты А и С—одного знака (ЛС>0) и притом противоположного
знаку L. Если АС > О, но L = О
или имеет знак, совпадающий со	*Ц->
знаками А к С, то принято гово-
говорить, что эллипс B) вырождается
в точку или является мнимым (ана-
(аналогично окружности Ах2 -\- Ау2 -\-
-\-L = 0 при AL ^ 0). Оси эллипса
B) совпадают с осями координат.
При параллельном переносе
осей координат по формулам
jc = A'-|-a, y = Y-\-$ уравнение
B) переходит в АХ*+СУ*+2АаХ-\-
-f2CpK-fa2 + РЧ- L = 0 или
АХ*+СУ*+2DX-X-2EY+F=Q. C)
Рис. 4.
Коэффициенты при квадратах те-
текущих координат остались прежними, а по коэффициентам D, E, F всегда
однозначно определятся а, р и L; отсюда — важный результат: уравнение C)
в случае АС > 0 есть уравнение эллипса (действительного, вырождающе-
вырождающегося в точку или мнимого) с осями, параллельными осям координат.
Лекция 2. Гипербола. Из школьного курса алгебры известен график функции
y=z — . Эта кривая там называлась гиперболой1) (термин «равнобочная» вво-
дить нецелесообразно до тех пор, пока учащийся не знает иных гипербол); она
состоит из двух ветвей, симметричных друг другу относительно начала коор-
координат (центра) и безгранично приближающихся к координатным осям (асимп-
(асимптотам), имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии — прямые
х) Давать чисто геометрическое определение кривой при первом знакомстве
с нею необязательно: многие важные кривые (например, синусоида) сначала
определяются аналитически. Позже за определения гиперболы можно принять
любое характеризующее ее свойство.


216
И. Н. БРОНШТЕЙН
у — ± х. При т > О кривая расположена в нечетных квадрантах (I и Ш);
это расположение гиперболы удобно называть нечетным; при т < О — в чет-
четных квадрантах (II и IV) — четное расположение (рис. 5).
Кроме понятий «ветви», «центр», «асимптоты» — общих для всех гипербол,
имеющих уравнение х\ = т, вводятся вершины и ось гиперболы — индивиду-
индивидуальные для каждого т. Вершины — точки пересечения гиперболы с осями сим-
sfi>
Рис. 5.
РИС. 6.
метрии, наиболее близкие к ее центру; отрезок, соединяющий вершины,— ее ось').
Координаты вершин А, В (или А', В' для четного расположения) находятся из
системы уравнений | ХУ^т (т > °) (или) { ХУ_^™
х
Полуось а равна V ^е
гиперболы можно написать в виде
а"
откуда | т\ = -^-, и уравнение
D)
(плюс для нечетного, минус — для четного расположения).
Повернув оси координат на 45° (рис. 5), получим канонические уравнения
гипербол (обоих расположений) относительно их осей симметрии:
A-2-K2 = =ta2.	E)
Здесь знак «плюс» — для гиперболы горизонтального расположения (ось
гиперболы горизонтальна), а «минус» — для гиперболы вертикального располо-
расположения. Обе гиперболы для одного и того же значения а называются со-
сопряженными; они могут быть «вписаны» в один и тот же фундаментальный,
квадрат pqrs, диагона.ш которого служат общими асимптотами, а стороны —
касательными к гиперболам в вершинах А, В, А', В'2). Канонические уравнения
обеих гипербол напоминают уравнение окружности, вписанной в тот же квад-
квадрат (рис. 6):
22 2 22	2
(мы переходим от обозначений X, У к х, у, так как больше к старой системе
координат возвращаться не придется).
х) Термин «действительная ось» и понятие о мнимой оси вводятся позже.
2) Рекомендуется научиться рисовать гиперболу на глаз по ее фундамен-
фундаментальному квадрату с продолженными диагоналями — асимптотами.


ПРЕПОДАВАНИЕ РМЫ «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ЕО ВТУЗЕ
217
Переходим к рассмотрению новой кривой, получающейся в результате де-
деформации гиперболы хг — у2 = а2 (или хг — у~ = — а2) с коэффициентом А от-
относительно оси Ох. Фундаментальный квадрат pjrs преобразуется в фундамен-
фундаментальный прямоугольник PQRS с основанием SR = AB=2a и высотой SP=
— DC = 2b, где b = la. Асимптоты sq и рг гиперболы преобразуются в асим-
асимптоты SQ и PR новой кривой, имеющей сходство с преобразуемой гиперболой
(рис. 7). Эта кривая не имеет нового названия; она
называется просто гиперболой, а прежняя гипербола
(с фундаментальным квадратом) — равнобочной
гиперболой.
Уравнения сопряженных гипербол горизонтального
и вертикального расположения
JC2	V2
а* Ъ* ~ —	{)
получаются из уравнений равнобочных гипербол
х2 — _у2 = :±;а2 совершенно так же, как уравнение
эллипса из уравнения окружности. Для гиперболы вер-
вертикального расположения ее ось CD = 26 назы-
называется действительной, а отрезок АВ= 1а-—мнимой
осью; для гиперболы горизонтального расположения—
наоборот. Полезно проследить за формой гипербол
обоих расположений при а<С Ъ и а > Ь.
Аналогично эллипсу получается и уравнение
гипербол (с осями, совпадающими с осями координат) в общем виде:
Vm. 7.
но на этот раз АС < 0. Если знак L совпадает со знаком А, то гипербола вер-
вертикального расположения, если — со знаком С, то — горизонтального. В случае
же L = 0 линия перестает быть гиперболой в собственном смысле, это —
/ ~А
пара прямых у = ± 1/ 	х, которую можно
назвать выродившейся гиперболой [общие асим-
асимптоты гипербол G)].
Наконец, аналогично эллипсу, получается
уравнение гиперболы (горизонтального, верти-
вертикального расположения или выродившейся) с
параллельно перенесенными осями:	0
АХ2-\- CK2-f 2DX+2EY + F=0 (8)
(ЛС<0).
Лекция 3. Парабола. Задача о фокусе и
директрисе. Первая половина лекции A час)
посвящена параболе. Парабола известна из
Рис. 8.	школьной математики как график простейшей
квадратичной функции у = jc2 (рис. 8); мы будем
теперь называть параболой кривую \ = ах2, получаемую из него деформацией
с коэффициентом л = |а| относительно оси Ох, сопровождаемой в случае а < 0
зеркальным отображением относительно этой оси. Точка О называется вершиной
параболы, ось симметрии Оу — осью параболы (точнее, ось — это полупрямая,
идущая внутри кривой); ось Ох касается кризой в ее вершине.
Форма параболы известна; степень ее раствора зависит от | л [х).
Параллельный перенос осей координат дает уравнение параболы с верти-
вертикальной осью (график квадратного трехчлена) — «стоячую» параболу
') Полезно научиться рисовать параболу на глаз по ее вершине, направле-
направлению оси и одной точке М± (другая М\ симметрична относительно оси. При от-


218	и. н. бронштейн
у = ах2 -\- Ьх -\- с, а перестановка осей координат—уравнение параболы с горизон-
горизонтальной осью («лежачую» параболу) х = а'у2 -\- Ь'у -\- с'. В общем виде эти
уравнения запишутся так:
Ax2 + 2Dx-\-2Ey + F=0, Су2-\- 2Dx -f 2Ey -\-F—Q,	(9)
причем Л и С не равны нулю, а в первом из уравнений (9) Е Ф О, во втором
D ф 0. Оба уравнения можно представить в объединенном виде:
Ах2 + Су2-\- 2Dx + 2Ey-\-F = 0 (А С = 0).	A0)
Уравнение второй степени A0) при условии АС = 0 есть уравнение
параболы с вертикальной или горизонтальной осью, причем в особых случаях
парабола может вырождаться в пару параллельных, совпадающих или мнимых
прямых. Эти случаи: 1) Л = ?> = 0 и 2) С = ?' = 0.
Из всего изложенного вытекает важная теорема:
Уравнение второй степени
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey-\-F = Q	(I)
есть хравнение эллипса при АС > 0, гиперболы при АС <" 0 и параболы при
ЛС=0 (или же рассмотренные их вырождения). Оси этих кривых парал-
параллельны осям координат.
Построение кривой ([) можно провести, приведя ее к канонической форме—
уничтожая коэффициенты при неизвестных первой степени (в случае эллипса
и гиперболы) или хотя бы одного из них (в случае параболы) при помощи «до-
«дополнения до полного квадрата» и перенося начало координат в центр кривой
(для параболы — в вершину).
Второй час лекции посвящен специальной задаче — найти геометрическое
место точек, для которых отношение расстояния до данной точки (фокуса)
и до данной прямой, не проходящей через эту точку (директрисы), есть
постоянное число е (эксцентриситет)').
Для простоты вычислений расположим фокус F на оси Ох в точке (з, 0), а
директрису NN — вертикально, левее фокуса (ее уравнение х = р, где а > В)
(рис. 10). Параметры аир оставим пока произвольными, воспользовавшись позже
этим произволом для упрощения полученного уравнения.
Решение этой задачи:
Y(X-aJ+y2
сутствии навыка проведения параболы от руки по этим данным можно легко
получить еще две ее точки. Если данная точка М1 (xv Vi) близка к вершине,
то строят точку параболы М2 Bxv 4yJ; если же точка
Мг далека от вершины, то строят точку М3 I -^ , —- I.
Точки Мj и М'3 симметричны точкам А/2 и М3 (рис. 9).
') До аналитического решения этой задачи следует
наглядно показать, что такие точки существуют (по
меньшей мере две). В'самом деле, если е ф 1, то на
перпендикуляре, опущенном из фокуса на директрису,
лежат две точки, делящие этот перпендикуляр внут-
внутренним и внешним образом в данном отношении (по-
Рис. 9.	лезно построить их). Если же е = 1, то одна такая
точка лежит посредине между фокусом и директрисой
и еще две на прямой, проходящей через фокус параллельно директрисе (имен-
(именно точки, отстоящие от фокуса на том расстоянии, как фокус от директрисы).
Это не только целесообразно из педагогических соображений, но и будет су-
существенно использовано.


ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ
219
откуда получаем уравнение искомого геометрического места:
A - е2) х* -f у2 + 2 (Зе2 - а) х + (.а2 - Е2рг) = 0.
(И)
Уравнение (II) имеет вид ([); здесь Л=1 —е2, В=\. Следовательно, иско-
искомое геометрическое место — парабола при е=1, эллипс при t<l а гипер-
гипербола при е > 1 (фокально-директориальное свойство).
Это свойство можно принять в качестве геометрического определения трех
рассматриваемых кривых, разве только кривая (II) окажется одним из вырож-
вырождений эллипса, гиперболы или параболы, а также
мнимым эллипсом или окружностью.
Но сразу видно, что эти опасения напрасны. В
самом деле, для точки, движущейся по прямой
линии, отношение расстояний до фокуса и директрисы
не может оставаться постоянным (если прямая пе-
пересекает директрису, то в точке пересечения отно-
отношение = оо, а если параллельна, то расстояние ее точ-
точки до фокуса переменно, а до директрисы — посто-
постоянно). Случаи же нулевого или мнимого эллипса, а
также мнимых параллельных прямых также исклю- О
чаются, так как искомое геометрическое место имеет
по меньшей мере две действительные точки. Для
окружности же е = 0 [из уравнения (II)] и директриса
не существует («уходит в бесконечность»).
Решив задачу о фокусе и директрисе, рассмотрим
отдельно, где расположены фикус и директриса 1) у па-
параболы, 2) у эллипса и 3) у гиперболы (о втором фо-
фокусе и второй директрисе эллипса и гиперболы уча-
учащийся еще не знает!).
Лекция 4. Фокальные свойства параболы, эллипса и гиперболы. В слу-
случае е = 1 решение задачи о фокусе и директрисе дает параболу — гео-
геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы. Ее
уравнение получается из (II):
Рис. 10.
Для упрощения уравнения уточним положения фокуса и директрисы — вы-
выберем аир так, чтобы исчез свободный член — парабола проходила через на-
начало координат. Из а2— р2 = 0 (учитывая, что а ф (!) получаем р =—а (фокус
и директриса лежат на одном расстоянии от начала координат по разные его
стороны), и уравнение параболы примет вид: у2 = 4ах. Расстояние фокуса от
директрисы параболы называют ее фокальным параметром и обозначают
через р. Из /? = 2а получается каноническое уравнение параболы: у2 = 2рх.
Важная связь между параметром р и коэффициентом деформации | а | параболы
(или x = ay2 + by + c): Р
Перехолим к фокусу и директрисе эллипса. Чтобы определить, кик гни
расположены по отношению к эллипсу, и построить их, упростим уравнение (II)
(при е > 1), выбрав оси координат так, чтобы уничтожился коэффициент ре2 — а
при неизвестном первой степени. Введем еще обозначения для фокального рас-
расстояния — фокуса от центра эллипса: а = с, и для директориалъного расстоя-
расстояния
вид
— директрисы от центра: р = d I =-§¦); тогда уравнение эллипса прилет
C2(E2-I)
= 0


220
И. Н. БРОНШТЕЙН
или в канонической форме:
f)
Полуоси этого эплипса:
i— !•
(И)
Отсюда вытекают важные следствия:
1)
6, так как j- =
> 1; следовательно, эллипс (II) — «лежа-
V 1 - Е2
чий». Отсюда вытекает, что фокус F находится на большой оси эллипса;
2)	с<а f — ==е)> d>a I — =—^:— = —) • Следовательно, фокус эл-
эллипса лежит внутри него, а директриса — вне его;
3)	так как эллипс симметричен относительно осей координат и с Ф 0, d ф О,
го по другую сторону. малой, оси находится еще один фокус и еще одна
директриса, обладающие тем же свой-
свойством, что и первые: расстояния точек эл-
эллипса до второго фокуса и до второй
директрисы находятся в постоянном от-
отношении е (рис. 11);
4) разность квадратов полуосей рав-
на
рис
т. е. полуоси эллипса и его фокальное
расстояние находятся в пифагоровом со-
соотношении а2 = b2 -f- с2. Это дает извест-
известное построение фокусов эллипса по его
полуосям (рис. III).
Наконец, применяя фокально-дирек-
б ф
р	фр
ториалыюе свойство эллипса к любой его точке и обоим фокусам и директ-
директрисам (рис. 11), имеем:
т. е. сумма расстояний каждой точки эллипса до его фокусов есть вели-
величина постоянная, равная его большой оси. Это бифокальное свойство эл-
эллипса обычно принимают за его определение.
') По фокусам эллипса легко построить его директрисы: восставим из фо-
фокуса F перпендикуляр к большой оси, равный малой полуоси Ъ\ конец его Р
соединим отрезком с центром О и проведем PNJ__OP до пересечения с продол-
продолжением оси. Директриса пройдет через точку N. Действительно, из прямоуголь-
прямоугольного треугольника OPN^ имеем OPZ = OF'• ON или a2 ( = b'i-\- с2) = с -ON, откуда
at


ПРЕПОДАВАНИЕ Ti-MH «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ
221
В случае гиперболы рассуждения и вычисления совершенно аналогичны,
отличаясь лишь в деталях. Уравнение (II) при е > 1 и р = —^ приводится к ка-
ионической форме (? = а, d=$):
(т)"
A2)
Это—гипербола горизонтального расположения; следовательно,
вершины и фокус гиперболы лежат на одной прямой (действительной оси).
с . с 7/Р"^Т
Здесь й=:—, b=z-
с > a, d<a (рис. 12). У гиперболы так же как
и у эллипса,— два фокуса и две директрисы,
симметричные относительно центра, но на этот
раз фокусы дальше от центра, а директрисы —
ближе. Пифагорово соотношение между а, Ъ и с
принимает вид а? -\~ Ь2 = с3, что дает иное пост-
построение фокусов гиперболы: фокальное расстоя-
расстояние равно полудиагонали фундаментального
прямоугольника (рис. 13I).
Легко получается и бифокальное свойство
гиперболы (рис. 13):
| гх — гг [ = | р! — р2 | е = 2de = 2а
(модуль разности расстояний каждой точки
гиперболы до ее фокусов есть величина пос-
постоянная, равная действительной оси гипер-
гиперболы), которое обычно принимается за ее опре-
определение.
Лекция 5. Линия второго порядка. Изло-
Изложение этого вопроса мало отличается от обще-
общепринятого; существенно то, что если эту тему опустить (что часто делается
во втузах), то всё же важнейшие случаи — уравнения эллипса, гиперболы и
параболы со сдвинутыми осями — уже изучены.
Как было установлено, уравнение (I)
Ах2 + Су2 -f 2Dx -f 2Ey -f- F = О
есть уравнение эллипса, гиперболы или параболы (включая их вырождения),
смотря по знаку АС. Естественно поставить вопрос: что нового может полу-
получиться, если к левой части уравнения добавить член с произведением текущих
координат — какая линия определяется общим уравнением второй
степени
:0?	(III)
Рис. 12.
Основная теорема о линиях второго порядка (III) состоит в том, что ни-
ничего нового, кроме \же рассмотренных случаев, мы не получим. Поворачивая
оси координат на угол ср, мы преобразуем уравнение (III) к виду
А'Х1 -\- 2B'XY + СТ2 -f 2DX + 2EY + F — О
1) Для построения директрис гиперболы на мнимой ее оси откладываем
отрезок ОР=а и проводим отрезки FXP и PN\_FXP до пересечения с дейст-
действительной осью. Через точку N и пройдет директриса (доказательство анало-
аналогично случаю эллипса).


222	н. н. бронштейн
также 2-й степени; при этом всегда можно найти два угла
при которых
В' = — A sin у cos 9 + В (cos2cp — sin2ep) -+- С (sin у cos cp)
обратится в нуль1):
Легко проверяется равенство А'С — В'г = ЛС — В2 (инвариант преобразо-
преобразования), из которого делается следующий вывод (В' — О).
Уравнение (III) есть уравнение эллипса, гиперболы или параболы (включая
их вырождения) соответственно при I = АС — Вг^ 0.
Признак вырождения (распадения) кривой (III), Д = 0, сообщается без дока-
доказательства.
Следует указать, что на практике при преобразовании уравнения (III)
к канонической форме полезно сначала установить тип кривой по знаку о
и затем упрощать уравнение, начиная с поворота осей координат только
в случае 8 = 0; при о ф 0 практически целесообразно раньше переносить
начало координат в такую точку (центр), чтобы уничтожились члены средней
группы, а затем уже уничтожать В.
И. Дополнительный материал
В качестве факультативных (в виде докладов на студенческом математи-
математическом кружке или дополнительных лекций) можно рассмотреть следующие
вопросы:
1. Уравнение «относительно вершины». В уравнении (II), где а—абсцис-
а—абсцисса фокуса, ар — директрисы, выберем начало координат так, чтобы исчез
свободный член а2 — е2р2 (мы делали так только в случае параболы).
Тогда начало координат будет совпадать с одной из вершин кривой (в уравне-
уравнении (II) ось абсцисс совпадает с фокальной осью).
Введя обозначение а—§г2 — р (по аналогии с параболой, где а = —р =
= S- > 0), мы получаем уравнение (И) в виде
f = 2px + (^— l)x2	(IV)
— уравнение кривой 2-го порядка «относительно вершины.-». Замечая, что при
достаточно малом отрицательном х значение у = V 2рх -\- (е- — 1) х2
х) Достаточно рассмотреть только коэффициенты «старшей группы» А', В'
и С", так как линейное преобразование координат преобразует эту группу в
новую «старшую». Следует обратить внимание на особый случай, когда А—С
45°	135°)


ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2"ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ
223
мнимое, делаем вывод, что кривая (IV) расположена в координатной плоскости
так, как изображено на рис. 13 а, б, в.
6)
Определим абсциссу фокуса F хр = а, исключая р из соотношений а = рг,
Ре2— az = — р. Мы получаем:
хР=а = 7?^\	A3)
Ордината точки кривой с этой абсциссой («надфокусная точка») получается
подстановкой A3) в (IV): y=^^zp. Величина р называется фокальным пара-
параметром кривой 2-го порядка.
Рис. 14.
Уравнение (IV) геометрически интерпретируется так. В случае эллипса
у2 < 2рх, в случае гиперболы у2 > 2рх, в случае параболы у2 = 2рх. Следова-
Следовательно, для любой точки кривой М (рис. 14) площадь квадрата со сторо-
стороной у соответственно больше, меньше и равна площади прямо-
прямоугольника с основанием х и высотой 2р — «фокусным сечением» кривой. Это
свойство и породило названия «эллипс», «гипербола», «парабола».
2. Оптическое свойство кривых 2-го порядка. Воспользуемся уравнением
(IV). Абсцисса одного фокуса Fx равна xFl = ~ц-. Найдем абсциссу другого
фокуса /\j эллипса и гиперболы. Сначала выразим а к с через р и у. Проще
всего сделать это, найдя вторую точку пересечения кривой (IV) с осью абсцисс,
полагая в (IV) у = 0. Мы получаем: x=-z——ъ . Следовательно, а ='——
I 	 ?"
, — -ц- Р
....	— 1_?2
: = аг, то с = т
(знак «плюс» для эллипса, а «минус» для гиперболы). Так как
1—Е2"
г) Из формулы A3) легко получить расстояние от фокуса до соответствующей
директрисы/= — , откуда сразу выводится уравнение кривой 2-го порядка
в полярных координатах.


224	И. Н. БРОНШТЕЙН
Очевидно, для эллипса (рис. 15)
а для гиперболы (аналогичный рисунок)
Абсцисса второго фокуса эллипса и гиперболы: xFl = -^-— г). Мы получили
I ~~ ?
координаты обоих фокусов кривой 2-го порядка, заданной уравнением относи-
относительно вершины
A4)
Докажем оптическое свойство кривой 2-го порядка: отрезки, соединяю-
соединяющие любую точку кривой, с обоими фокусами Fx и F2, образуют равные
углы с касательной к кри-
кривой в этой точке (для пара-
параболы один отрезок заменяется
лучом, направленным в «беско-
«бесконечный» второй фокус — парал-
параллельно оси). Оптическая форму-
формулировка: лучи, исходящие из
одного фокуса кривой, отразив-
отразившись от нее по закону «угол
падения равен углу отраже-
отражения», сойдутся в "другом фоку-
се (для эллипса), образуют па-
раллельный пучок (для нара-
1 ис- 1о-	болы) или пучок лучей, расхо-
расходящихся из другого фокуса
(для гиперболы). Отсюда — происхождение термина «фокус».
Для доказательства используем начальные сведения из анализа (геометри-
(геометрический смысл производной). Вычислим тангенсы углов <fi и ср2 (рис. 15) по фор-
=T^——i Здесь K = -fr%-==	^	\ Дифференцируя(IV), no-
лучаем 2yy' = 2p + 2x (e2—1), откуда k1=y'=p'T~X ^ ~ >. После упрощения
(вычисления элементарные, хотя и громоздкие) получаем очень простую формулу *)
tg?i=^-	A5)
Для угла 92 нет необходимости повторять все вычисления. Из A4) видно,
что в этих вычислениях будут только следующие изменения: абсцисса фокуса
Р Р
не |_|_Е ¦ а .	 ¦, а угол <р будет отсчитываться в обратном направлении.
Отсюда tgya = -(PE)^ = -^, т. е. Ч1 = Ъ-
2) При е = 1 (случай параболы) эта формула дала бы xF2—cc.
2) N — проекция точки М на ось абсцисс (на рис. 15 не изображена).
s) Это соотношение (не встречавшееся мне в литературе) может быть
получено значительно проще из полярного уравнения кривой, но требует знания
формулы угла между радиусом-вектором кривой и касательной к ней; последняя
формула обычно не рассматривается во втузе.


ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕМЫ «КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА» ВО ВТУЗЕ
225
В случае параболы это рассуждение, конечно, не строго, но там доказы-
доказываемое свойство имеет особенную простую формулировку и цилучается сразу.
3. Эллипс, парабола и гипербо-
гипербола как конические сечения. Рассмо-
Рассмотрим круглый конус
Рис-
где ср — угол между образующей и
плоскостью хОу (рис. 16). Пересечем
его плоскостью, параллельной оси Ох
иод углом а к оси Оу @ ==5 а sS 90°);
к этому случаю можно привести лю-
любое сечение конуса вращением его
вокруг оси Ог.
Для выявления формы сечения
повернем систему координат вокруг
оси Ох на угол а, чтобы секущая плоскость оказалась параллельной плос-
плоскости XOY. Формулы преобразования будут:
х — Х, _y = Kcosa — Zsina, г = Y sin a -)- Z cos a,
а уравнение конуса
(Г sin a + Z cos aJ = tg2 ср [X2 + (Y cos а — Z sin аJ].
Сечение его плоскостью Z—h дает кривую
(К sin а -|- Л cos af = tg2 ср [X* -f (К cos a — h sin aJ].
Это — кривая 2-го порядка, вид которой зависит от знака 2 = АС. Здесь
А = tg2cp, С = tg2cp COS2a — sill3a, AC = tg2cp COS-a (ig2tp — tg2a).
Знак АС совпадает со знаком скобки tg2cp — tg2a или (так как углы л и ср
острые) со знаком tg ср — tg a.
При а < ср tg ср — tg а > 0, сечение — эллипс, при а = ср — парабола, при
а > ср — гипербола.
Геометрически ясно, что случаи вырождения могут быть только при
h — 0').
') Указанный вывод можно провести на кружке или факультативной лекции,
не дожидаясь изучения аналитической геометрии в пространстве в-полном объеме,
а непосредственно после прохождения темы «кривые 2-го порядка», получив
уравнение поверхности круглого конуса и формулы преобразования координат
специально для рассмотренных простых случаев.
8 Матем. просвещение, вып. 2


ОЦЕНКА ОШИБКИ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО
ПОЛИНОМА
Оценка ошибки, возникающей при замене функции f(x) соот-
соответствующим ей интерполяционным полиномом выражается
обыкновенно с помощью производной высокого порядка от функ-
функции f(x).
Учитывая, что вычисление производной высокого порядка
представляет часто затруднения, целесообразно заменить ее
соответствующей разностью высокого порядка.
Этою можно достигнуть в том случае, когда соответ-
соответствующая производная высокого порядка не меняет своего
знака в промежутке, в котором производится интерполяция.
Пусть jcI. = i0 + iA(A>0, i = 0, /,..., r+1); /(*) —
функция вещественного переменного, дифференцируемая г-\-1 раз
в промежутке [хв, jcr+1j; Р (х) — интерполяционный полином г-го
порядка (г2з /;; Р(Х/)=/(х,.;=/,. (i = 0. 1. ..., г).
Тогда имеет место теорема:
Если (г-\-1)-ая производная функции f(x) не меняет сво-
своего знака е промежутке \хй, хг+1], то для всякого х,
взятого из закрытого промежутка [xlt х2], имеет место
неравенство
\f(v\ П1у\\^(Х — Xi){X — Хг)...(х — Хг) .г+1 ^
Используя эту теорему для интерполяционного полинома
Стирлинга третьего порядка, можно прийти к следующему
результату;
Если через Q(x) обозначим полином второй степени, для
которого Q (л:,) =/,- (t= 1, 2, 3), где f(x) — четырежды (непре-
(непрерывно) дифференцируемая в промежутке [х0, х^\ функция, та-
такая, что /IV (x) не мет ет в этом промежутке своего знака, то
/ \х) ¦	2
где
Q/v\	о /"vl_L /v v \fv	v \ fv	v ). Л3 f fi— / 9)
• l Лу	 V ( лу —у- г , 3 \Л ЛiJ { Л Л2У ( л	ЗУ	/ 2 +/ I 	 ' У"
Непосредственное следствие:
h
h
'4 I >
если /*v (x) сохраняет знак в промежутке [хв, xt].
(По заметке XV. Uhlmann'a «Zur Fehlerabschatzimg bei Interpolations-
polynomen. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech., 1957, Bd. 37, стр. 73—74.)
А.Л.


О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
П. П. Коровкин
(Москва)
В настоящей заметке дается простое доказательство теорем суще-
существования определенного интеграла, не опирающееся на понятие равно-
равномерной непрерывности функции.
1. Нижний и верхний интегралы. Существование первообразной.
Пусть/ (х) —ограниченная на отрезке [а, Ь\ функция, |/ (дг) | «S M f
7 — множество чисел л:0, хх, х2, ... , хп, записываемых всегда в по-
порядке возрастания (xk<Hxk+1), причем всегда хв = а, xn = b.
Число
п—1
где
mk=M/{x),
называется нижней интегральной суммой функции / (л;). Значение этой
суммы зависит от множества Т.
Лемма 1. Если
Г = Т-\-{х'}, xk<x' <xk+i, l(T) = max(xk+1 — xk),
mo
0*=:s(r) — s(T)^2Ml(T).	A)
Доказательство. Имеем:
s(T') — s (T) = m\x' — xk) -\- m"(xk+\ — xk) — mk (xk+1 — xk). B)
Так как
M 52m' = Inf / (x) Ss= Inf f(x)=mk^s— M, M^m"^ mh,
то отсюда и из B) следует соотношение A).
Следствие. Если Г = Т-\-{х\, х'г, х\, ... , лг^_,}, то
m— 1I (Т).	C)


228	п. п. коровкин
Легко проверить ограниченность сверху множества чисел s (T). Дей-
Действительно:
и —1
«(Л<^2 [хк+1 — хк) = М(Ь — а).
k=Q
Верхняя грань этого множества называется нижним интегралом
функции / (х) на отрезке [а, ft]:
т
Теорема 1. Существует предел нижних интегральных сумм
при \ (Т) —> 0; он равен нижнему интегралу
lira s(T) = [(f, a, ft).
МЛ-о
Доказательство. Из определения нижнего интеграла следует,
что существует Т = {х'о, х[, х[,	, х'т) такое, что
з(П>1—%.	D)
Пусть b = jjrr-	тт. Возьмем разбиение Т такое, что \ (Т) <^Ь.
Положим Г = Т-}-{х'1, х\, ... , x'm_x) = T-\-f. В силу последнего
следствия и неравенства D) получаем:
Следовательно,
Из этих неравенств следует теорема.
Отметим теперь некоторые свойства нижнего интеграла.
Лемма 2. Если а<Сс<^Ь, то
1 (/, а, Ь) = / (/, а, с) + / (/, с, Ь).	E)
Доказательство. Будем брать только такие разбиения отрезка
[а, Ь], при которых точка с есть одна из точек деления, т. е.
с = л;0<л;1< ... <хт = с<хт+1< ...<хп = Ь. Имеем
п — 1	т—1	п — 1
2 mk(xk+i—xk)= 2 щ(хк+1— *А)+ 2 mk(xk+i—хь)-
ft=0	*=0	k=m
Переходя к пределу в этом равенстве, получим лемму.
Последней леммой доказано одно из наиболее важных свойств нижнего
интеграла. Для того чтобы соотношение E) имело место при любом
расположении чисел a, b и с, положим по определению
/(/, а, а) = 0, /(/, с, d) = —![/, d, с).


О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	229
Лемма 3. Если т^/(х)^М, то
/я F —а) ==?/(/, a, b)s^M (Ь — а).
Доказательство. Так как т^mk^M, то
п — \	п— 1
т 2 (-Xjfc+i—xk) = m(b — a) «S 2 Щ (* — а)^М(Ь — а);
переходя к пределу при ), (Т) —>- 0, получим лемму.
Замечание. Из доказанной леммы следует, что
F)
Ь — a
Последние соотношения справедливы и при Ь<^а, так как
/(/, а, *) = —i(/, *, a), b — a = — (a — b).
Изучим теперь некоторые свойства функции У (/, а, х), а^
Лемма 4. Функция / (/, а, х) непрерывна на отрезке [а, Ь].
Доказательство. Пусть х и у—любые точки отрезка [а, Ь\.
По лемме 2 и замечанию к ней имеем:
К/, а, у)—К/, a, x) = I_(f, х, у).
Отсюда, из леммы 3 и замечания к ней, получаем:
II (/, а, у) - / (/, а, х)\ = \Д/, х,у)\^М\х—у\, М^\/(х)\.
Отсюда следует непрерывность функции _/ (/, а, х) в любой точке х
отрезка [а, Ь].
Теорема 2. Если функция f (x) непрерывна в точке х интервала
(с, Ь), то в этой точке функция / (/, а, х) дифференцируема и
справедливо равенство
['(/, а, х)=/(х).
Доказательство. В силу непрерывности функции / (х) в точке л:
неравенства
будут верны, если \у — х\<^Ь. Отсюда, из леммы 3 и замечания
к ней получаем:
Так как е > 0 произвольно, то
Г (/, а, х) = Нш К/, *


230	п. п. коровкин
Функция Ф (х), непрерывная на отрезке [а, Ь], дифференцируемая
в каждой внутренней точке отрезка, называется первообразной от функции
/(х), если Ф'(х)=/(х) (а <*<?).
Теорема 3. Если функция /(х) ограничена на отрезке [а, Ь\
U непрерывна внутри него, то существует ее первообразная.
Доказательство. Согласно леммы 4 и теоремы 2, такой функцией
будет / (/, а, х)').
п — 1
Пусть Mk = Sup f (х) и S (Т)= 2 Mh (xk+1 — xk).
Число S (Т) называется верхней интегральной суммой функции / (х).
Поскольку верхняя грань функции / (х) и нижняя грань функции —/ (х)
отличаются только знаком, то
S(f, T) — —s(—f, T).
Из этого равенства следует существование предела верхних интегральных
сумм при X (Г) —> 0 и равенство
Г(/, a, b) = \\mS(T) = — К—-/, а, Ь).
Число / (/, а, Ь) называется верхним интегралом функции / (х) на
отрезке а^х^Ь.
Из равенства 7(/, а, х) = —_/(—/, а, х) и леммы 4 следует
непрерывность функции 7 (/, а, х) на отрезке а ^ х ^ Ь, а из тео-
теоремы 2 следует днфференцируемость ее в каждой внутренней точке
отрезка, в которой функция / (л:) непрерывна, и равенство
T'{f, а, *) = — 7(— /, а, х) = — (—/(х))=/(х).
Разумеется также, что лемма 2 переносится на верхние интегралы.
2. Интегрируемые функции
Пусть f (х) — функция, заданная на отрезке [а, Ь],
Т = {х0, х1г ... , хп) — разбиение отрезка и ck—произвольная точка
отрезка \xk, xk+1\. Положим
п —1
Число а называется интегральной суммой функции f(x).
') В книге Э. Ландау, Введение в дифференциальное и интегральное
исчисление (ИЛ, М., 1948, стр. 306—310) также дано доказательство существо-
существования первообразной от непрерывной функции, не апеллирующее к равно-
равномерной непрерывности. Однако сам Ландау не использует эту идею для по-
построения теории определенного интеграла, и, в частности, доказывает инте-
интегрируемость непрерывной функции, опираясь на понятие равномерной непре-
непрерывности (стр. 346 названной книги).


О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТЕОРАННЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	231
Если существует конечный предел интегральных сумм при ). (Т)—»-0,
то функцию / (х) называют интегрируемой на отрезке [а, Ь], а предел
определенным интегралом этой функции и записывают так:
ь
1= \/(х) dx=\ima.
„J	Х(Г)->0
Теорема 4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, Ь\, то она ограничена на нем.
Доказательство. Если функция не ограничена на отрезке [а, Ь],
то она не ограничена хотя бы на одном из частичных отрезков [xk, xk+1],
k = 0, 1, 2, . . ., п— 1. Пусть это будет отрезок [xit xi+1]. Выберем
числа ck(k=f^i), и положим
А = 'У f(ck) (x,+1~xk) -f- 21 f(ck) (xk+1-xk).
Теперь рыберем на отрезке [л;,-, jci4i] число ct так, чтобы имело
место неравенство
||
Последнее возможно в силу неограниченности функции на этом отрезке.
Теперь имеем
Ясно, что п и а—»-оо, когда 1(Т)—^0, т. е. функция неинтегрируема
на отрезке.
Теорема 5. Для того чтобы функция /(х) была интегри-
интегрируема на отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы она была
ог/ аничена на нем и выполнялось равенство
Т(/, a,b)=l(f, a, b).
Доказательство. Если / = /, то крайние члены неравенств
имеют одинаковые пределы при ), (Г) —>¦ 0, и, следовательно, этот же
предел имеет и средний член, т. е.
ь
Ц/, a, b)= J/(*)</*=/(/, а, Ь).
а
Необходимость первого условия теоремы следует из теоремы 4. Оста-
Остается проверить необходимость второго условия. С этой целью выберем


232	п. п. коровкин
точки ck так, чтобы имели место неравенства
Имеем:
1г=0
Переходя к пределу при \ (Т) —•¦ 0, получим:
т. е.
_/(/, а, *)< Г f(x)dx <_/(/, а, Ь),
J/(*)<** = /(/, а,*)
Точно так же проверяется совпадение интеграла с верхним интегралом,
и, следовательно,
Пользуясь этой теоремой и свойствами верхнего и нижнего инте-
интегралов, легко установить интегрируемость некоторых классов функций.
Теорема 6. Если функция f(x) ограничена на отрезке [а, Ь]
и непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, то она инте-
интегрируема.
Доказательство. Положим
) = /(/. а- *) — /(/• о. *)¦
Функция A) (л:) непрерывна на отрезке [а, Ь] и
ф'(ж) =/(*)—/(*) = 0 (а<х<Ь).
В силу этого, функция ф(л:) постоянна. Но ф(а) = 0, и поэтому <b(b) =
=7 (/, a, fc) — /(/, с, fc) = O, т. е. 1=1, и функция интегрируема.
Заметим, что в этом случае / (/, а, х) — первообразная от функции
/(х) (теорема 3). Если Ф(х) — другая первообразная, то
Полагая здесь х=а, найдем, что Ф(а) = С. Следовательно,
/{х) dx=l (/, а,Ь) = Ф ф) — Ф (а),
т. е. доказана формула Ньютона — Лейбница.
Теорема 7. Функция /(х), ограниченная и имеющая конечное
число точек разрыва на отрезке [а, Ь~\, интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть a = du<ddl<^ . . . <ji3 = b — точки
разрыва функции f(x). Пользуясь свойствами нижнего и верхнего ин-


О ТЕОРЕМАХ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА	233
тегралов (лемма 2), получим:
/(/. а, Ь) —I(/, а, Ь) = {7(/, d0, dj — Hf, d0, dx)} + {J(/, dlf d2) -
-/(/, rft, d,)+ .. . + {/(/, d,..,, da) — f(f, d,_x, ds)\.
Поскольку внутри отрезков \dt, d,-+1] функция /(л:) непрерывна, то по
предыдущей теореме 7(/, dh di+1) = I (/, d,-, d/+1). Следовательно, и
7(/, а, Ь) =[_{/, а, Ь).
Теорема 8. Функция /(х) монотонная на отрезке [а, Ь]. ин-
интегрируема.
Доказательство. Пусть, для определенности, f(x) — неубыва-
неубывающая на отрезке функция. Разобьем отрезок [а, Ь] точками х0, х17 ..., хт
на п равных частей. Так как функция не убывает, то наименьшее зна-
значение на каждом из отрезков она принимает в левой границе отрезка,
а наибольшее — в правой. Имеем
п —1
S{T) — s G) =
Устремляя теперь п к бесконечности [X (Т) —>• 0], получим
7(/, а, Ь) — /(/, а, *) = 0, J=L
Поскольку интеграл (если он существует) совпадает с нижним ин-
интегралом, то доказанные свойства последнего переносятся и на интеграл.
Остались недоказанными, следовательно, только линейные свойства ин-
интеграла.
Заметим еще, что понятие равномерной непрерывности используется
не только при доказательстве теорем существования интеграла, но и
при выводе некоторых прикладных формул. Так, например, при выводе
формулы длины кривой, понятие равномерной непрерывности использу-
используется для того, чтобы установить стремление к нулю величины
при Х(Г)—vO. Но этот факт легко устанавливается и без этого поня-
понятия. В самом деле, имеем
п — 1
В < 2 (Mk — mk) lxk = S ('У, T) — s ('I/, T).
Правая часть стремится к нулю вследствие интегрируемости (непрерыв-
(непрерывности) функции &>'(()¦ Следовательно, к нулю стремится и величина В.


ЗАДАЧИ О ТУПОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ABC.
У КОТОРОГО РАЗНОСТЬ УГЛОВ АИВ РАВНА 90°
1. Задача на построение
Построить треугольник ABC по сторонам СВ=а и СА = Ь.
2. Свойства треугольника ABC,
аналогичные свойствам прямоугольного треугольника
Доказать, что:
а)	— = tgВ; обратно, если — = tgВ, то А±В = 90° (т. е. ли-
либо А-\- В = 90° и, следовательно, треугольник ABC — прямоугольный,
либо А — В = 90°);
б)	если 2R есть диаметр описанной окружности треугольника
ABC, то а?-\-Ь2 = BRJ (аналог теоремы Пифагора); обратно, если
BRJ a2 + b2 и А^В. то А±В — 90°;
в)	если CD=hc есть высота, опущенная на сторону АВ, то
—g = -j + -р; обратно, если —^=^-^-\--j^uA^B, то /± В=90°;
г)	CD2 = AD-BD; обратно, если CD2=zAD-BD и А^В. то
АцВ = 90°;
д)	ид = п?2; обратно, если -~-~ = -^уа А^В. то А±В=90°.
3. Свойства треугольника ABC,
отличные от свойств прямоугольного треугольника
Доказать, что:
a* — b2
а) с—	(в прямоугольном треугольнике с =
_ _	(a? b)ab ,
б)	5аидс= » . з _|_ fca i (в прямоугольном треугольнике
_(а2 + Ь2) аЪ _аЬ
~~ 2(а2-\-Ъ2) ~ 2);
Q	fo 	 с	J2 	 С2
в)	tg -j = г—;— , sin С = -re——г (в прямоугольном треугольнике
*ь О ~4— С	О —\— С
.С Ь + с , . _ Ь2+с2
6 2 Ь-\-с	Ь2-\-с2 '
г)	биссектриса СЕ треугольника равна биссектрисе СЕХ внешнего
угла при вершине С (Е и ?"х — точки пересечения биссектрис со. сто-
ОКОНЧАНИЕ НА СТР^246


IV. НАУЧНАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ХРОНИКА
ПРАЗДНОВАНИЕ 250-ЛЕТИЯ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ЭЙЛЕРА
А. И. Маркушевич
(Москва)
С 15 по 18 апреля 1957 г. в Ленинграде проходила Юбилейная
научная сессия отделений физико-математических и технических наук
Академии наук СССР, посвященная 250-летию со дня рождения Эйлера.
Открытие сессии было точно приурочено к памятной дате (Эйлер
родился в Базеле 15 апреля 1707 г.). В большой конференц-зал здания
Академии на Васильевском острове на чествование великого ученого
собрались свыше четырехсот представителей советской и зарубежной
науки. В президиуме сессии — академики и члены-корреспонденты АН
СССР, члены иностранных делегаций. Здесь находится также один из
потомков Эйлера — Александр Александрович Эйлер — доцент Ленин-
Ленинградского Института железнодорожного транспорта.
Сессию открыл академик-секретарь физико-математического отде-
отделения АН СССР М. А. Лаврентьев. Он коротко охарактеризовал
жизнь и творчество Эйлера и предоставил слово акад. И. М. Виноградову.
И. М. Виноградов, выполняя поручение Лондонского Королев-
Королевского общества, членом которого он является, зачитал русский перевод
приветствия сессии от Королевского общества.
Далее один за другим выступали с приветствиями от своих академий:
чл.-корр. Болгарской академии наук проф. X р и с т о в, венгерский акаде-
академик Р е н ь и, германский академик Шредер, польский академик Сер-
пинский, французский академик Ф р е ш е, член.-корр. Чехословацкой
академии наук проф. Катетов, действ, член Академии строительства и
архитектуры СССР Морозов; ученый секретарь оргкомитета съезда
проф. А. II. Юшкевич зачитал письменное приветствие Австрий-
Австрийской академии. Во всех приветствиях подчеркивались исключительные
научные заслуги Эйлера и выражались пожелания расширять и крепить
международные научные связи.
На эгом первое заседание сессии закрывается. Участники знакомятся
С книжной выставкой изданий произведений Эйлерл и литературы о его
жизни и творчестве, устроенной в том же академическом здании.


236	А. И. МАРКУШЕВИЧ
В 15 часов на набережной лейтенанта Шмидта (угол 10-й линии)
возле здания, построенного еще до революции, на месте, где в XVIII в.
стоял двухэтажный деревянный домик Эйлера, начинается митинг, по-
посвященный открытию мемориальной доски, установленной в честь юбилея
Ленинградским Советом. После краткого вступительного слова предсе-
председателя Василеостровского райисполкома тов. В. Г. Колпакова зву-
звучит гимн Советского Союза, и из-под белого шелкового покрова высво-
высвобождается выточенная из мрамора красивая мемориальная доска. На ней
в медальоне барельеф головы Эйлера работы советского скульптора
Клюгге; оригиналом для этой работы послужил барельеф, выполненный
в последние годы жизни Эйлера скульптором Рашеттом A781). Под
медальоном лавровый венок и надпись:
Здесь жил с 1766 по 1783
Леонард Эйлер
член Петербургской Академии Наук
крупнейший математик, механик и физик
Митинг заканчивается речью акад. В. И. Смирнов а.
На другой день участники сессии заслушали два доклада.
С первым докладом «Заметки о деятельности Эйлера в Берлинской
академии наук» выступил действительный член Германской академии
наук в Берлине проф. К. Шредер. Докладчик характеризует де-
деятельность Эйлера в области механики, гидравлики, теории упругости,
оптики, корабельного дела, артиллерии и астрономии в период пре-
пребывания Эйлера в Берлине. Эйлер выступал здесь не только как ма-
математик, но и как естествоиспытатель и инженер. Докладчик отмечает,
что венценосный покровитель Берлинской академии—Фридрих II—бо-
II—более всего ценил Эйлера не за его теоретические труды, а за советы
в практических делах, таких, как устройство государственной лотереи,
расчет ренты, измерение каналов, оценка различных изобретений и т. п.
Однако Эйлер не обладал изяществом и манерами царедворца. Его
отношения с Фридрихом II были натянутыми. Когда Фридрих II после
смерти первого президента академии Мопертюи предпочел в качестве
его преемника Даламбера, Эйлер стал думать о возвращении в Россию
и осуществил это, несмотря на явное неудовольствие Фридриха II.
Второй доклад-—акад. В. И. Смирнова — посвящен неопублико-
неопубликованным материалам Эйлера, находящимся в архиве АН. СССР.
Докладчик сообщил о вновь обнаруженных, хранившихся в отделе
инкунабул библиотеки АН СССР рукописях Эйлера по математике,
механике, астрономии, содержащих его работы, относящиеся к раз-
различным периодам деятельности Эйлера, начиная с юношеского базель-
ского периода. Среди них — интереснейшие первоначальные варианты,
заметно отличающиеся от его печатных знаменитых курсов дифферен-
дифференциального и интегрального исчислений, рукописи незавершенных учеб-
учебников элементарной геометрии и тригонометрии и т. д. Вся эта находка
имеет исключительное значение для изучения эйлеровского наследства.


ПРАЗДНОВАНИЕ 250-ЛЕТНЯ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ЭЙЛЕРА	237
Во второй части доклада В. И. Смирнов рассказал об архиве эйле-
ровских писем, хранящемся в Академии. Этот архив содержит 1700 пи-
писем к Эйлеру и 500 от Эйлера. Среди последних более половины
посвящены повседневным академическим делам и не имеют науч-
научного значения. Но есть много писем к Эйлеру и от Эйлера, ранее
не публиковавшихся и представляющих серьезный интерес для исто-
истории науки. Характерно одно письмо из Берлина, в котором Эйлер
жалуется, что в Берлинской академии интересы к литературе пре-
преобладают над интересами к математике. Это письмо помогает понять,
почему Эйлер пришелся там «не ко двору». В письме к маркизе
дю Шатле — подруге Вольтера и переводчице ньютоновских начал на
французский язык—Эйлер поддерживает ее в том, что она, оспари-
оспаривая Ньютона, высказалась в пользу гипотез в науке и, в свою
очередь, заявляет, что без гипотез нельзя проложить путь к позна-
познанию истины.
Акад. Смирнов сообщил собравшимся, что важнейшие эйлеровскпе
рукописи и письма готовятся к публикации.
После око!.члнпя докладов участники сессии посетили интересней-
интереснейшую выставку, организованную сотрудниками Мемориального музея
им. М. В. Ломоносова АН СССР. Музей этот помещается в здании
бывшей Кунсткамеры, где в первые годы после основания академии
происходили академические заседания. На выставке представлены мно-
многочисленные рисунки, портреты, документы, рукописи и книги, харак-
характеризующие жизнь и творчество Эйлера и его современников — деяте-
деятелей Петербургской п Берлинской академий. Обращают на себя вни-
внимания подлинные рукописи самого Эйлера, его записная книжка, с ко-
которой молодой Эйлер ехал из родного Базеля в далекий и тогда еще
чужой Петербург, оригиналы его писем, реконструкция внешнего вида
дома Эйлера, сделанная на основе огромного старинного плана Петер-
Петербурга, изображающего весь город и отдельные его здания как бы с
птичьего полета, медали, выбитые в честь Эйлера. Среди них—но-
них—новейшие медали в честь 250-летия: бронзовая медаль АН СССР (рис. 1)
и изготовленная из коричневого мейссенского фарфора медаль Берлин-
Берлинской академии наук (ГДР) (рис. 2).
В третий день работы сессии были заслушаны доклады, относящие-
относящиеся к математическим исследованиям Эйлера.
Чл.-корр. АН СССР А. О. Гельфонд дал широкий обзор трудов
Эйлера в области теории чисел. Он отметил, в частности, что всё
основное содержание теории сравнений было разработано уже Эйлером.
Докладчик рассмотрел в систематическом порядке важнейшие достиже-
достижения Эйлера в связи с решением неопределенных уравнений в целых
и рациональных числах, квадратичными формами, задачами аддитивной
теории чисел. Он особо остановился на введении Эйлером ^-функции
и указал путь, на котором можно было средствами, находившимися в
руках Эйлера, строго обосновать знаменитое функциональное уравнение
^-функции, полученное Эйлером эмпирическим путем.


238
А. И. МАРКУШЕВИЧ
В докладе автора настоящей заметки было прослежено развитие
понятия функции в работах Эйлера. Докладчик указал, что Эйлер уже
в начале сороковых годов XVIИ в. владел весьма общим понятием функ-
функции, включающим в себя, как частные случаи и функцию точки и
Рис. 1.
I
т\
\
\
\
Рис. 2.
функцию линии — функционал. В дальнейшем Эйлер дал классифика-
классификацию функций, разделив их на непрерывные, соответствующие анали-
аналитическим функциям, смешанные (кусочно аналитические) и разрыв-
разрывные или произвольные, вообще говоря, нигде не являющиеся анали-
аналитическими. Общее определение понятия функции, данное Эйлером в
«Дифференциальном исчислении» A755 г.), гласит:
«Когда некоторые количества зависят от других таким образом,
что при изменении последних и сами они подвергаются изменению,
то первые называются функциями вторых».


ПРАЗДНОВАНИЕ 250-ЛЕТИЯ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ ЭЙЛЕРА	239
К этому Эйлер добавляет:
«Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер; оно
охватывает все способы, какими одно количество определяется с
помощью других».
И с этим нельзя не согласиться. Позднейшие определения понятия
функции — Лакруа A797), Лобачевского A834), Дирихле A837) —дают
дальнейшее развитие и уточнение эйлеровского определения, не меняя
его по существу.
Работы Эйлера в области геометрии были рассмотрены в докладе
чл.-корр. АН СССР Б. Н. Делоне. Докладчик отметил, что среди
напечатанных работ Эйлера около 75 относятся к геометрии. Вторая
часть эйлеровского «Введения в анализ» является, по сути дела, пер-
первым систематическим курсом основ аналитической геометрии (включая
геометрию в пространстве и начала алгебраической геометрии). Для
дифференциальной геометрии исключительно важное значение имеют
исследования Эйлера по кривизне поверхностей, ортогональным траек-
траекториям, поверхностям, развертывающимся на плоскость, и картогра-
картографическим проекциям. Эти исследования составили фундамент поздней-
позднейшей внутренней геометрии поверхностей. Наконец, доказанная Эйлером
теорема о многогранниках представляет первый научный результат в
области комбинаторной топологии.
Во второй половине дня участники сессии посетили некрополь
в Александро-Невской лавре и возложили венки на могилу Эйлера.
Последний день сессии был посвящен заслушанню докладов о ра-
работах Эйлера в области теоретической механики и астрономии.
Чл.-корр. АН СССР Л. Н. Сретенский подробно рассмотрел
цикл работ Эйлера по механике твердого тела, помещенных в Мемуа-
Мемуарах Берлинской академии с 1749 по 1760 г. Отметив, что здесь впер-
впервые в истории науки были систематически разработаны вопросы кине-
кинематики и динамики твердого тела, доведенные до вывода общих
уравнений вращения твердого тела Еокруг неподвижной точки, которые
интегрируются Эйлером до конца в важном частном случае (случай
Эйлера), докладчик подчеркнул, что в этих исследованиях Эйлер ис-
использовал подвижной триедр, сыгравший впоследствии столь важную
роль в развитии механики и дифференциальной геометрии. Л. Н. Сретен-
Сретенский указал, что так называемые «формулы Пуассона» в теории движения
твердых тел и теорема Штейнера о моментах инерции принадлежат
Зйлеру, так как они выведены в этих работах. Применяя развитую
им теорию к движению Земли, Эйлер установил, что широта каждого
места на Земле должна изменяться с периодом в 305 дней (поздней-
(позднейшие исследования привели к большей величине в 428 дней). Наконец,
Эйлер высказал гипотезу, что твердое тело, продолжительно вращаю-
вращающееся вокруг неподвижной точки, в конце концов должно начать
вращаться вокруг одной из своих главных осей инерции. Эта гипотеза
впоследствии была подтверждена Н. Е. Жуковским.


240	А. И. МАРКУШЕВИЧ
Чл.-корр. АН СССР М. Ф. Субботин показал, что историки
астрономии дают обычно недостаточную и несправедливую оценку до-
достижений Эйлера в астрономии. Фактически эти достижения были
очень значительны и часто опережали свое время на столетие и больше.
Можно видеть, как многие позднейшие успехи астрономии в действи-
действительности означают реализацию идей Эйлера.
Наиболее значительной заслугой Эйлера в астрономии является
разработка теории движения Луны, которой он занимался в течение
нескольких десятилетий, завершив ее так называемой «второй лунной
теорией». В течение долгого времени эта замечательная теория оста-
оставалась недостаточно оцененной, пока исследования движения лунного
перигея, выполненные Джоном Хиллом в 70-х годах прошлого века, не
оживили ее идей. Однако лишь в брауновских таблицах движения
Луны, завершенных к 1919 г., было дано окончательное и полное
чисто гравитационное решение проблемы движения Луны на пути,
проложенном впервые Эйлером.
В мемуаре о задаче трех тел Эйлер развил методы численного
интегрирования, выполняя все вычисления в системе декартовых коор-
координат. По существу к этому же методу пришел вновь уже в 1908 г.
американский ученый Коуэлл. Эйлер подчеркивал преимущество чис-
численных методов перед аналитическими в труднейшей задаче орбиты
Сатурна. Эта идея, без ссылки на Эйлера, была с успехом осущест-
осуществлена лишь в 1951 г. М. Ф. Субботин отмечает, что к идее Эйлера
использовать его вторую лунную теорию для изучения движения пла-
планет астрономы вернулись лишь в последние годы, снова не вспомнив
об Эйлере.
В заключительном слове академик М. А. Лаврентьев поблаго-
поблагодарил Ленсовет от имени всех участников сессии и Президиума АН
СССР за большое и постоянное содействие сложному делу организа-
организации и проведения эйлеровской юбилейной сессии. На этом работа
сессии была закончена.
Труды сессии предположено издать в виде отдельного сборника
статей. Одновременно будет готовиться к печати на немецком языке
и сборник докладов, сделанных на эйлеровской юбилейной сессии, про-
проводившейся Берлинской академией наук.
В 1945 г. С. И. Вавилоз в следующих выражениях охарактери-
охарактеризовал роль Л. Эйлера в развитии Петербургской академии наук:
«Вместе с Петром I и Ломоносовым Эйлер стал добрым гением
нашей Академии, определившим ее славу, ее крепость, ее про-
продуктивность».
На юбилейной сессии 15—18 апреля 1957 г. Академия наук СССР
достойно отметила память своего великого сочлена, обогатившего бес-
бессмертными трудами физико-математические и технические науки.


В ШКОЛЬНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ ПРИ МГУ
Б. И. Арнольд
(Москва)
Школьный математический круяок при Московском государственном
университете им. Ломоносова существует с 1935 года. Организатора-
Организаторами кружка были: ныне покойный чл.-корр. Академии наук СССР
Л. Г. Шиирельман, профессор (ныне чл.-корр. АН СССР)
Л. А. Л ю с т е р н и к и доцент (ныне чл.-корр. АН СССР) И. М. Г е л ь-
фа н д.
Работа кружка проходит по двум направлениям: два раза в месяц
(по воскресеньям) профессорами и преподавателями МГУ н других
институтов читаются лекции по математике (отдельно для школьни-
школьников 7 — 8 и для школьников 9 — 10 классов) и еженедельно собира-
югся секции кружка, руководимые студентами и (реже) аспирантами
университета *). В определенном смысле заключительным этапом деятель-
деятельности кружка является ежегодная математическая олимпиада, в про-
проведении которой большое участие традиционно принимают руководите-
руководители школьного кружка.
Общие сведения о работе кружка в 1955/56 учебном году
приведены в предыдущем выпуске «Математического просвещения»;
там же имеется перечень лекций, прочитанных в этом году2). Пред-
Представление о характере этих лекций может дать издаваемая Гостехиз-
датом серчя «Популярные лекции по математике» 3); основная часть
входящих в эту серию книжек московских авторов представляет собой
изложение лекций, прочитанных в школьном кружке при МГУ. Здесь
мы хотим осветить деятельность секций кружка (ранний этап этой
деятельности нашел значительное отражение в серии книг «Библиотека
математического кружка», также издаваемых Гостехиздатом).
') Лишь в самом начале деятельности кружка в работе секций принимали
участие также и профессора МГУ; так, в 1936/37 учебном году секцию круж-
кружка, посвященную теории чисел, вел Л. Г. Шнирельман.
2) Е. Б. Д ы н к и н и И. В. Г и р с а н о в, XIX школьная математическая
олимпиада в Москве, Математическое просвещение, вып. 1, М., 1957, стр. 187.
s) См. статью Н. М. Б е с к и н а на стр. 275 — 290 наст, выпуска. (Прим. ред.)


242
В. И. АРНОЛЬД
Занятия секции происходят в форме беседы — руководитель кружка
вводит участников в тему занятия и предлагает задачи; на каждую
задачу дается 5 — 10 минут; затем объясняется решение, и руководи-
руководитель продолжает рассказ на тему занятия. Каждая задача в отдельно-
отдельности не трудна (большинство участников за 5 —10 минут с ней справ-
справляется). В конце заняпш даются (обычно более трудные, а иногда и
очень трудные) задачи на дом, а в начале занятия разбираются ре-
решенные дома задачи.
Ниже приводится конспективное изложение двух занятий кружка
(секция для 10-классников) на темы «Вариация кривой» и «Гармонические
функции . Занятия проводил автор настоящей заметки.
Вариация кривой
Пусть на плоскости дан отрезок АВ длины 1. Если этот отрезок
освещать параллельными лучами, то длина тени, отбрасываемой на
,	различные прямые, будет колебаться от 0 до 1.
Точнее, длина проекции отрезка на прямые,
лежащие в той же плоскости, будет для разных
прямых разная, Однако во всех случаях она за-
заключена между 0 и 1. Длина проекции АВ на
прямую / называется вариацией отрезка АВ в
-' направлении I (рис. 1); мы будем ее обозна-
обозначать V[ (АВ) или просто Vt, если ясно, от ка-
какого отрезка берется вариация.
Интуитивно ясно, что существует среднее значение «тени»
по всем направлениям и что оно больше 0 и меньше 1. Точно это
означает, что если разделить угол в 360° на п равных частей и взять
среднее арифметическое
У/ + vi + ¦¦¦ +Vi	\	'/ '-- Я
Рис. 1.
вариаций отрезка АВ в направлениях
/j, /2, ..., /„ (рис. 2), то суще-
существует предел
lim Vn = К,
причем К заключено между 0 и 1.
Это число К называется средней
вариацией или просто вариацией
единичного отрезка АВ.
Найгн предел /Г не очень трудно1);
он равен - ч= 0,637. Мы, однако, сейчас не будем его находить, а вычн-
Рис. 2.
J) См., например, в книге А. М. Я г л о м а и И. М. Я г л о м а «Элементар-
«Элементарные задачи в неэлементарном изложении», М., Гостехиздат, 1954, задачу 1476.


В ШКОЛЬНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ ПРИ МГУ	243
слим К позже — косвенным путем (задача 7); однако фактом сущест-
существования предела мы будем пользоваться с самого начала.
Задача 1. Чему равна вариация отрезка длины а?
Решение. Так как, очевидно, по любому направлению такой отре-
отрезок имеет вариацию в а раз большую, чем параллельный ему отрезок еди-
единичной длины, то и среднее арифметическое вариаций по и направлениям
здесь будет в а раз больше, чем для единичного отрезка, а предел этой
величины,, т. е. средняя вариация отрезка длины а, равен Ка.
Вариация ломаной по какому-нибудь направлению определяется
как сумма длин проекций ее звеньев на это направление (рис. 3).
Задача 2. Определить вариации квадра-
квадрата со стороной 1 в направлениях его сторон
и диагоналей.
Решение. Очевидно, вариация квадрата
в направлении каждой стороны равна 2, а в
направлении каждой диагонали равна 2 УТГ.
Средняя вариация ломаной по всем направ-
лениям или просто вариация ломаной по всем
направлениям определяется, как и выше, с по-	' Рис. 3.
мощью предельного перехода: V= lim Vn,
где Vn—среднее арифметическое вариаций ломаной'по п направлениям
сторон правильного л-угольника.
Задача 3. Определить вариацию ломаной длины а.
Решение. Очевидно, вариация ломаной по каждому направлению
есть сумма вариаций ее звеньев по этим же направлениям. А так как сред-
среднее значение суммы равно сумме средних значений '), то вариация ломаной
есть сумма вариаций ее звеньев. Так как, в силу задачи 1, вариация каж-
каждого звена равна произведению длины этого звена на К, то вариация лома-
ломаной есть Ка.
Перенесение определения вариации на кривые требует уточнения
понятия кривой. В общем случае это сделать трудно. Но пусть кривая
выпуклая или состоит из нескольких выпуклых кусков. Тогда при
проектировании кривой на любое, но определенное, направление можно
разбить ее на конечное число кусков, каждый из которых пересекается
только один раз2) любой проектирующей прямой. Тогда вариацией
кривой по выбранному направлению назовем сумму длин проекций ее
кусков на это направление (рис. 4). Можно показать, что существует
среднее значение этой величины по всем направлениям. Его мы и
назовем средней вариацией или просто вариацией кривой линии.
*) Точный смысл этой фразы такой: среднее арифметическое вариаций ло-
ломаной по п направлениям равно сумме средних арифметических вариаций ее
звеньев по этим же направлениям. Поэтому и предел при и-»оо средних арифме-
арифметических вариаций ломаной по разным направлениям равен сумме пределов сред-
средних арифметических вариаций отдельных звеньев.
*) Здесь не исключаются случаи, когда подобный кусок представляет собой
прямолинейный отрезок и, следовательно, при проектировании в одним из uj-
правлений полностью попадает на проектирующую прямую.


244	в. и. арнольд
Очевидно, если кривая — ломаная, то мы приходим к прежнему
определению.
Задача 4. Найти вариацию окружности диаметра D.
Решение. Сначала выберем какое-нибудь направление. Диаметр это-
этого направления делит окружность на два куска — на две дуги, каждая из
которых пересекается с любой перпендикулярной к выбранному направлению
прямой не более, чем в одной точке. Отсюда выге-
кает,что вариация окружности относительно выбран-
выбранного направления равна 2D. Очевидно, что такова
же и вариация и по любому другому направлению, а
значит, и средняя вариация окружности равна ID.
>
Выберем теперь на кри-
*__	вой несколько точек и соеди-
соединим их последовательно, но
подряд (рис. 5). Получим ло-
^	'	маную. Можно показать, что
р	р -	для достаточно хороших (на-
(например, для всех выпуклых)
кривых существует предел длин этих ломаных, при условии, что при из-
изменении ломаной длина ее наибольшего звена стремится к нулю. Этот
предел называется длиной кривой.
Можно показать также, что для кривых, которые могут быгь раз-
разбиты на конечное число выпуклых кусков, существует предел вариа-
вариаций этих ломаных, когда длина наибольшего звена стремится к 0.
Задача 5. Найти предел, к которому стремится вариация ломаной,
вписашшой в «достаточно хорошую» кривую длины а, когда*ломаная изме-
изменяется так, что длина наибольшего ее звена стремится к нулю.
Р е ш е и и е. Так как для каждой ломаной длины ап вариация равна
Кат а для «достаточно хороших» кривых ап —у а> то предел вариаций лома-
ломаных равен Ка.
3 а д а ч а 6. Докажите, что вариация («достаточно хорошей») кривой
длины а равна Ка-
Р е ш е н и е. Достаточно заметить, что в такую кривую можно впи-
вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, вариация которой по
каждому из п данных направлений совпадает с вариацией кривой. Поэтому,
раз существует предел, отыскиваемый в задаче 5, то он равен вариации
кривой.
Задача 7. Найдите численное значение К> т. е. вариацию отрезка
длины 1.
Решение. Так как, с одной стороны, окружность диаметра D имеет
длину r.D и, значит, вариацию KnD (задачи 5 и 6), а с другой стороны (за-
2
дача 4), вариация этой окружности равна 2D, то К =—.
Шириной кривой по данному направлению называется наименьшее
расстояние между двумя прямыми этого направления, между которыми
лежит кривая.


В ШКОЛЬНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ ПРИ МГУ	245
Кривая имеет постоянную ширину, если ее ширина по всем на-
направлениям одинакова. Примером кривой постоянной ширины может
служить окружность или так называемый тре-
треугольник Релло, составленный из трех равных
дуг окружностей (рис. 6) *). С помощью вариаций
получается весьма изящное доказательство сле-
следующей теоремы Барбье:
Задача 8. Докажите, что все кривые по-
постоянной ширины h имеют одну и ту же дли-
длину Tt/Z.
Р е ш е и и е. Это следует из того, что вариа-
вариация каждой такой кривой по любому направле-	р g
нню равна 2/z, из результатов задач 6 и 7.	' '
Вот еще одна задача, которая на первый взгляд представляется
довольно сложной:
Задача 9. В круге С радиуса 1 заключена какая-то кривая L длины
22. Докажите, что найдется прямая, пересекающая L не менее чем в 8
точках.
2
Решение. Вариация L равна - -22 > 14 (задачи 6 и 7); с другой сто-
стороны, длина проекции L на любое направление не превосходит 2 (L заклю-
заключена внутри С!). Отсюда вытекает, что для некоторых направлений опреде-
определенные участки проекции L будут покрываться проекциями отдельных
дуг L более чем 7-крагно (т. е. не менее чем 8-кратио), что и доказывает
наше утверждение.
Переходим к изложению занятия, посвященного теме «Гармониче-
«Гармонические функции».
*) Много сведений о кривых постоянной ширины можно найти в книге:
И. М. Я г л о м и В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры, М., Гостехиз-
дат, 1951.
Окончание в следующем выпуске.


ОКОНЧАНИЕ ТЕКСТА СТР. 234
роной АВ): Г/Г= <"?/?,=	(в прямоугольном треугольнике
a-\-b	l a — b
д)	центр О описанной окружности S треугольника ABC лежит
на прямой СО \\АВ: высота CD касается S в точке С;
е)	ортоцентр (точка пересечения высот) Н треугольника сим-
симметричен вершине С относительно стороны АВ;
ж)	центр О9 окружности девяти точек S9 треугольника ABC
(окружность, проходящая через середины сторон треугольника, осно-
основания высот и точки, делящие пополам отрезки высот от ортоцен-
ортоцентра до вершины) лежит на стороне АВ; высота CD касается S, в
точке D.
4. Частные случаи
Доказать, что:
а) в треугольнике с углами А= 120°, В=30°, С= 30° высота
ЛГ3
CD= R, 0H=2R (О и R — центр и радиус описанной окружно-
окружности S, Н — ортоцентр);
б) в треугольнике с углами А= 112,5°, В = 22?°, С =45° биссек-
биссектриса CE=R, высота CD = Y-^-R, OH=VTR;
в) в треугольнике с углами А= 105°, В—15°, С =50° биссек-
биссектриса СЕ = —-=— =	R, высота CD = ~^-R, ON =V 2 R; основа-
основание E биссектрисы совпадает с центром О9 окружности девяти то-
точек: точки О и И симметричны относительно биссектрисы СЕ
(и точка пересечения ОН и СЕ совпадает с E=;OS).
5. Треугольники с целочисленными сторонами
{аналог пифагоровых треугольников)
»
" Доказать, что если стороны а,Ъ и с треугольника ABC (напомним,
что А — В=90°) выражаются целыми числами, то эти числа можно
представить & виде
а = 2txy, b — tfx* — yV, с = t Bxy + х3 — у2) Bху — хг+ у2) A)
или
a = t(xi— у1), b = 2(ху. c = t(x3 — f + 2ху) (х2 — у2 — 2ху), B)
где х, у и t — положительные целые числа [х и у — взаимно про-
простые: в формулах A) х>уУ>(Y2 — 1) х, в формулах B)
(Y 2— 1) х > у]. Обратно, если стороны треугольника выражаются
формулами A) или B), то А — В =90°.
С. И. Зетель (Москва)


НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФРАНЦУЗСКОЙ ШКОЛЕ
И О ПРЕПОДАВАНИИ В НЕЙ МАТЕМАТИКИ
А. И. Маркушевич
(Москва)
1. Помещенные в первых двух выпусках «Математического просве-
просвещения» материалы (рекомендация о преподавании математики, принятая
XIX конференцией по народному образованию, доклад проф. В. Сервэ
«Преподавание математики в средних школах», сделанный на этой
конференции ')), и приводимые ниже извлечения из анкеты французского
журнала «Cahiers pedagogiques» требуют от читателя некоторых
сведений о зарубежной школе, в особенности о школе французской.
Цель настоящей заметки — сообщить в самой краткой форме такие
сведения2).
Еще законом от 15 сентября 1733 г. были установлены три сту-
ступени образования во Франции: начальное (или первой ступени), среднее
(или второй ступени) и высшее.
В настоящее время образование первой ступени осуществляется в
общественных и частных школах. Сюда входят: материнские школы
(детские сады) для детей от 2 до 6 лет, начальные элементарные школы,
предназначенные для детей от 6 до 14 лет, дополнительные курсы для
детей от 11 до 15 —16 лет, школы или классы на открытом воздухе
(для детей со слабым здоровьем), классы или школы усовершенствова-
усовершенствования (для отсталых или ненормальных детей), послешкольные курсы. Обу-
Обучение является обязательным только до 14-летнего возраста (начальные
элементарные школы).
J) См. первый выпуск «Математического просвещения», стр. 15—31.
2) Приводимые ниже сведения заимствованы из следующих источников:
a) L'organisation de l'enseignement en France. Centre national de documentation
peJagogique. Musee Pedagogique, Paris, 1952; b) L'enseignement des mathemati-
ques dans des ecoles secondaires. Etude comparee. UNESCO — BIE, Paris — Ge-
Geneve, Publication № 171, 1956; c) XIX conference internationale de l'instruction
publique. 1956. UNESCO —BIE, Publication № 175, 1956; d) L. G. Woodly, Ma-
Mathematics in French secondary schools, The mathematics Teacher, March 1957,
стр. 204 — 208.


248	А. И. МАРКУШЕВНЧ
Начальная школа делится следующим образом: подготовительное
отделение—от 6 до 7 лет, элементарный /суре—от 7 до 9 лет,
средний курс — от 9 до 11 лет, высший курс—от 11 до 12 лет,
выпускное отделение (буквально: section de fin d'etudes, т. е. отде-
отделение конца учебных занятий)—от 12 до 14 лет.
Школьные программы содержат: нравственное и гражданское воспи-
воспитание, чтение, письмо, изучение французского языка, арифметику (бук-
(буквально: calcul—счет, вычисление), историю и географию Франции и
Французского союза, географию великих держав, уроки о вещах, при-
прикладные сведения, рисование, пение, физическое воспитание и напра-
направленную деятельность.
Для продолжения образования в средней школе или на дополнитель-
дополнительном курсе необходимо держать соответствующий вступительный экзамен
в возрасте от 11 до 12 лет (с оставлением начальной школы в случае
благоприятного результата). Дети, окончившие начальную школу пол-
полностью и выдержавшие установленные испытания (в возрасте 14 лет),
получают удостоверение (сертификат) о начальном обучении.
Среди средних школ различают средние школы в собственном смы-
смысле слова, куда относятся лицеи и классические коллежи, дающие
традиционное среднее образование, и также современные коллежи, пре-
преобразованные из высше-начальных школ (начиная с 1941 г.). В 1952 г.
во всех этих средних школах обучалось лишь 14% детей соответствую-
соответствующего возраста (от 11 до 18 лет); 4% обучалось на дополнительных
курсах, 5%—в профессиональных школах, а большинство — 77% —
после окончания начальной школы в 14-летнем возрасте шли работать
в порядке ученичества на поля, в мастерские, в конторы и мага-
магазины.
В широком смысле слова к средним школам относятся также упоми-
упоминавшиеся выше дополнительные курсы, продолжающие начальное обра-
образование, но не дающие полного среднего образования, нормальные
школы, готовящие учителей начальных школ, и профессиональные
школы и техникумы.
Между лицеями и коллежами имеются некоторые организационные
(но не педагогические) различия, выражающиеся прежде всего в том,
что лицеи являются государственными учреждениями, тогда как коллежи
основываются и содержатся органами местного самоуправления (комму-
(коммунами)- Различие между классическими и современными коллежами про-
проявляется в том, что классические коллежи являются полными средними
школами, содержащими все классы для обучения от 11 до 18 лет
(а иногда также и высшие классы, для молодежи старше 18 лет), тогда
как часть современных коллежей имеет только первые 4 класса сред-
средней школы и дает так называемое сокращенное образование.
По проекту школьных реформ предполагается отказаться от допол-
дополнительных курсов, заменив их для детей от 11 до 13 лет «средними
школами», дающими «ориентацию», а в Еозрасте от 13 до 16 лет —
«коллежами сокращенного образования», которые должны давать одним


НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФРАНЦУЗСКОЙ ШКОЛЕ	249
общее образование, другим—профессиональное, готовящее средние
кадры ремесленников, рабочих промышленности и сельского хозяйства.
Полная средняя школа содержит 7 классов: шестой (самый низший),
пятый, четвертый, третий, второй, первый и заключительный (буквально:
terminale — конечный). Первые 4 класса образуют первый цикл (с 6-го
г.о 3-й), последние 3 класса—второй цикл. Первый цикл является
циклом общего образования и ориентации. Здесь не существует ино:о
разделения учащихся, кроме разделения на латинистов и нелатиннсюв,
того или иного Еыбора современных языков и еозможности изучать гре-
греческий язык или не изучать его. Второй цикл является циклом опре-
определенности, где воспитанники приобретают специализацию либо научную
(подразумеваются точные и естественные науки), либо литературную *).
Заключительный класс первоначально являлся единым философским
классом. Потом он был разбит на два и, начиная с 1941 г., на три от-
отделения: философское в собственном смысле слова или фнлософско-
литературное, экспериментальных наук (философско-научное) и ма-
математическое. Для всех этих отделений общим является то значение,
которое придается философской подготовке, рассматриваемой как под-
подведение итогов и синтез ранее изученных знаний и рассмотрение свой-
свойственных им методов.
Первые шесть классов школы подготавливают к первой части эк-
экзамена на степень баккалавра, заключительный класс — ко второй час-
части этого экзамена2). Выдержавший последний экзамен получает сте-
степень баккалавра наук — первую университетскую степень3) (она рас-
рассматривается как младшая ученая степень). Обладание этой степенью —
необходимое условие для того, чтобы быть допущенным к экзаушпам
в большинство высших учебных заведений.
Однако для фактической подготовки к весьма трудным конкурс-
конкурсным экзаменам в наиболее знаменитые и привилегированные высшие
учебные заведения в некоторых крупнейших лицеях существуют еще
двухгодичные или одногодичные подготовительные классы: высший ли-
литературный (первый год) и первый высший (второй год), готовящие к
экзаменам на факультет литературы высших нормальных школ4), выс-
высший математический (первый год) и специальный математический (второй
год), готовящий к экзаменам на факультет наук высших нормальных
1)	Соответственно этому каждый французский университет имеет факуль-
факультет наук и факультет литературы. Кроме того, существуют еще (не во
всех университетах) факультеты, права, медицины, фармакологии и теологии.
2)	Эти две части ныне предположено объединить в один экзамен.
8) Следующие за баккалавром ученые степени: лиценциат и доктор
(высшая ученая степень, примерно равносильная нашей докторской степени).
4) Помимо знаменитой Высшей нормальной школы, основанной Конвен-
Конвентом в 1794 г. и объединенной в 1903 г. с Парижским университетом, в котором
она образует Педагогический институт, существует еще Высшая нормальная
школа для молодых девушек, Высшие нормальные школы в Сен-Клу (для юно-
юношей) и Фоитенэ-о-Роз (для девушек). Все они готовят педагогов для средних
школ.


25J	А. II. МАРКУШЕВИЧ
школ и в Политехническую школу, а также классы, готовящие к экзаме-
экзаменам в Центральную школу искусств н промышленности, Морскую шко-
школу и т. д.
Преподавание в подготовительных классах ведется на уровне выс-
высшей школы (речь идет о так называемых пропедевтических годах обу-
обучения на соответствующих факультетах).
2. Остановимся еще на некоторых сведениях, относящихся к
преподаванию математики в средней школе.
Вот число недельных часов на математику в течение первого
цикла обучения F — 3 классы):
классы:	6	5	4	3
часы:	2 1% 21/, 21/,
Во в т о р о м цикле сказывается специализация. Так, на современном
отделении во втором н первом классах на математику отводится по
4 часа в неделю, тогда как на классическом—от 11/2 часов до 4 ча-
часов. А именно, для изучающих латинский вместе с двумя современ-
современными языками (классическое — В)—также I1/;, часа и, кроме того,
I1/,, часа факультативных занятий для воспитанников классического С
(сюда входят, например, научающие латинский, греческий и точные
науки или латинский и естественные науки)—4 часа.
Наконец, в выпускном философском классе — llj2 часа, в классе
экспериментальных наук — 4 часа и в математическом — 9 часов в
неделю (сюда, помимо арифметики, основ анализа, геометрии и триго-
тригонометрии, входят еще: кинематика и статика, начертательная геометрия
и космография).
Укажем распределение программного материала по классам.
VI класс—первый год обучения в средней школе. Упражне-
Упражнения в арифметике, относящиеся к отысканию длин, площадей, объемов
и емкостей, весов, углов н т. д.; равномерное движение, проценты.
V класс (второй год). Арифметика: действия над целыми чис-
числами и десятичными дробями. Употребление букв. Решение уравнений.
Геометрия: прямые, плоские фигуры, углы, случаи равенства треуголь-
треугольников, геометрические построения.
IV класс (третий год). Арифметика: упражнения с дробями,
разложение целого числа на простые множители, отыскание наибольшего
общего делителя и наименьшего общего кратного. Алгебра: элементы
алгебраических вычислений, уравнения первой степени с одним не-
неизвестным. Геометрия: треугольники, параллельные линии, свойства
многоугольников, окружность, дуги, хорды, касательные и т. д.
III класс (четвертый год). Арифметика: отношения, пропорции,
квадратный корень: использоранне таблиц и правило (без доказатель-
доказательства). Алгебра: многочлены с одним переменным, уравнения и неравенства
первой степени с одним неизвестным. Геометрия: геометрические
места, подобные многоугольники, правильные многоугольники, тршоно-


НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФРАНЦУЗСКОЙ ШКОЛЕ	251
метрические соотношения для случая острого угла, площади много-
многоугольников.
. II класс (пятый год). Алгебра: функции одного переменного, при-
приращения, уравнения первой степени с двумя неизвестными и второй
степени с одним неизвестным и числовыми коэффициентами. Корни:
существование, знаки, сумма и произведение. Векторы. Геометрия:
отношение двух отрезков, подобные треугольники, элементы тригоно-
тригонометрии, синус, косинус и тангенс тупого угла, симметрия, гармоническое
деление, раднанная мера угла.
Кроме того, в отделениях классическом С и современном: по
алгебре —исследование уравнения и неравенства первой степени с
одним неизвестным и системы двух уравнений с двумя неизвестными и
по геометрии — геометрические места, окружность, отношения, степень
точки относительно окружности, длина окружности.
I класс (шестой год). Алгебра: общее уравнение второй степени
с одним неизвестным, изменение трехчлена второй степени с числовы-
числовыми коэффициентами. Геометрия: плоскость и прямые линии, ортогональ-
ортогональные проекции на плоскость, формулы для объема призмы, пирамиды, ко-
конуса, цилиндра н их боковых поверхностей, поверхность и объем сферы.
Далее в отделениях классическом С и современном: определение
и геометрический смысл производной для данного значения переменного,
обратные тригонометрические функции и тригонометрические уравнения,
использование проекций с числовыми отметками для определения и
представления пространственных фигур.
Для характеристики задач, предлагавшихся на экзаменах в 1955 г.,
приведу примеры, заимствованные из статьи в Mathein. Teacher (см.
сноску на стр. 247):
I. После четвертого класса (первый цикл второй ступени):
1) Разложить полностью на множители
A2а;2 — 3) (х + 3) + (а;2 — 9) B* — 1).
п\ v	A2х2 — 3)(х4-3) + (*2 — 9)Bх— 1)
2)	Упростить 	 4x3 — х	 	 " показать, что для
всех значений х, за исключением особых, которые надо указать, выра-
выражение приводится к виду у = _ ~Г -т.
3)	а) определить х так, чтобы у имело значение -~ ;
б) определить лт так, чтобы у имело значение 7"Т" V 3 и найти
ближайшее к х число с сотыми долями.
4)	Для каких значений лт и числитель и знаменатель алгебраической
дроби у положительны?
II. После второго класса:
Построить равнобедренный треугольник по данному углу А при
вершине и по сумме высоты и основания АИ-\-ВС.


252	А. И. МАРКУШЕВПЧ
III.	На экзамене при поступлении в Инженерную школу в Марселе:
Построить в одной и той же прямоугольной системе координат
кривые, представляющие следующие функции: y^=tgx-^-cigx,
у = sin х -J- cos х, и показать, что уравнение tg лг —J— ctg х = sin x -J- cos x
не имеет решений.
IV.	Из первой части экзамена на степень баккалавра (экзамен после
первого класса):
1)	Начертить кривую С, представляющую функцию у=—V-f-
-j- Зл; — 6. Найти ось симметрии D. Найти пересечение С с D и с
осями координат;
2)	Построить на том же чертеже кривую С, представляющую
х2
функцию У==~л	х • Определить координаты точек А и В, в кото-
которых С и С пересекаются. Пользуясь чертежом, решить неравенство:
х2	хг
	д--\-Зх — 6^>-j — х . Проверить результаты вычислением.
3)	Точка М с ординатой т находится на оси Оу. Выразить
сумму МА*-\-МВ2 как функцию т. Определить т так, чтобы
MA2 -J- MB2 = 50. Исследовать, в зависимости от значения пара-
параметра k, число точек М таких, что MA2-^-MB2 = k.
Для заключительного класса ограничимся здесь только программой
философского (философско-лнтературного) класса, где она мини-
минимальная. Сюда входят сведения из тригонометрии и алгебры (анализа),
необходимые для прохождения курса физики, в частности использова-
использование первообразных функций (неопределенного интеграла), а также кос-
космография (небо и созвездия, Земля, Солнце, солнечная система, пла-
планеты, Луна и звезды).
Некоторые вопросы истории математики и современных математи-
математических идей затрагиваются в программе логики и философии наук в
заключительном классе.
При чтении анкеты журнала «Cahiers pedagogiques» «Современная
математика и ее преподавание» необходимо нмегь в виду, конечно, что
основы дифференциального и интегрального исчислений полностью от-
ногятся к классической математике; под современной математикой там
подразумеваются главным образом идеи, связанные с развитием теории
множеств и современной алгебры: понятия группы, кольца, поля, ре-
решетки и т. д.


АНКЕТА ЖУРНАЛА «CAHIERS PEDAGOGIQUES» НА ТЕМУ
«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ»')
(ОТВЕТЫ ФРАНЦУЗСКИХ МАТЕМАТИКОВ)
Вопрос А. Надо ли противопоставлять «классическую» мате-
математику «современной»? Отличается ли современная математика
от классической образом мышления? или способом выражения?
Может ли изложение современной математики носить творческий,
характер?
Ф а в а р . Нельзя противопоставлять классическую математику и
современную. Есть просто эволюция математической мысли, за которой
надо следовать. Что же касается образа мышления, то он неизменен.
Его основы, представляющиеся сейчас более абстрактными, обусловли-
обусловливают определенный способ выражения, вот и всё.
Противопоставление классической и современной математики пред-
представляется мне весьма опасным и не соответствующим действительности.
Опасность этой идеи заключается в том, чтсгона создает представление
о «современной математике» как об особой дисциплине, отличающейся
от «классической математики». Тогда у некоторых естественно возни-
возникает вопрос — не использовать ли свои силы для углубления рва,
который, как кажется, существует между этими двумя видами матема-
математики. Если бы эта идея восторжествовала, представители обоих
направлений могли бы бездействовать н пребывать в состоянии некоей бла-
благодати, погрузившись в созерцание самих себя. Упадок, хотя и весьма при-
приятный, был бы участью и тех и других, и каждый говорил бы про другого:
«Прости ему, господи, ибо он не ведает, что творит!».
Практически противопоставления не существует, потому что совре-
современные математики, если они действительно таковы, какими, как мне
кажется, их следует себе представить, могут существовать только,
утверждая классическую математику, обогащенную новыми способами
решения некоторых проблем или, по крайней мере, иной их постановкой.
Впрочем, развитие современной математики определяется развитием
естественных наук. В самом деле, под страхом упадка нельзя устра-
устраняться от разрешения вопросов, возникающих в связи с новыми естест-
*) Cahiers pedagogiques pour l'enseignement du second degre, 1955, № 3,
стр. 149—164 (перевод дается с сокращениями). (Прим. ред.)


254	анкета журнала «Cahiers pedagogiques»
веннонаучными сведениями, ибо мельница, где создаются теоремы,
мелет только при ветре.
Адамар. Я не уверен, что новые идеи, вдохновляющие исследо-
исследования большинства молодых математиков, представляют глубокие
изменения в самой природе математической науки. Еще менее я уверен,
что такое изменение необходимо.
Ф р е ш е. Математика находится в состоянии постоянного развития.
Великие математики —это те, кто внезапно делают очевидными изме-
изменения, которые произошли в науке до них или происходят вокруг них.
Аксиоматика приняла свою окончательную форму у Гильберта, но она
существовала уже у Евклида и в более или менее чистом виде
постоянно применялась после него.
А. Картан1). Не существует «современной» и «классической»
математики. Есть просто математика, которая с течением времени изме-
изменяется. В этой эволюции легко убедиться, сравнивая, например,
принципы, которыми руководствовались, составляя программы высших
школ в начале XIX в., с принципами, господствовавшими в научном
преподавании в XV в. За это время существенно изменился и способ
выражения и методы изложения. Сейчас никому не придет в голову
пользоваться методами изложения Паскаля или Декарта на занятиях
в специальном математическом классе (clasr.e des mathematiques specia-
les). Методика изложения сама в себе не несет творческого начала.
Она лишь соответствует определенной потребности, потому что новые
идеи требуют для своего выражения нового языка, который и создает-
создается для этой цели.
Б у л и г а н . На некоторых этапах развития математическая мысль
внезапно совершает скачок. Это происходит под влиянием идей, которые,
ставши сначала актуальными в отдельных областях, затем распространяют
свое влияние всё шире и шире. В этом случае можно сослаться на
пример дифференциального исчисления, которое вызвало переворот
в науке XVII в. Таким же неожиданным взрывом оказалось изучение
общих операций, которое привело к современной алгебре и к теории
обобщенных пространств. Несмотря на это, существует непрерывность
в эволюции математической мысли. Чтобы преподавание было продук-
продуктивным, нужно постепенно знакомить учеников именно с этой стороной
развития математики; в противном случае преподавание на 90°/0 но-
носило бы чисто дедуктивный характер. Кроме того, нельзя забывать,
что математическая наука — это творение человека; ее историческое
развитие, вначале связанное со случайными поводами, потом всё более
и более определенное, на какой-то ступени стало настолько законо-
закономерным, что весь пройденный путь предстал как гармоническое целое.
Этот результат, несмотря на существенную разницу в условиях, напо-
напоминает, пожалуй, выравнивание частот выпадения герба и надписи при
') Анри Картан — известный современный математик, сын недавно скончав-
скончавшегося крупнейшего математика Эли Картана. (Прим. ред.)


«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА II ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ»	255
многократном бросании монеты. Говорить о классической и современной
математике — это значит вернуться к уже отжившим проблемам о
двух (или большем числе) положениях центра тяжести: центра тяжести
для Евклида, затем для Декарта, для Лейбница, для Лагранжа, для
Коши. Все это было бы достаточно спорно.
Вопрос Б. Очевидно, что при всех условиях знакомство учащихся
средней школы с математикой должно сохранять элементарный ха-
характер. Следует ли при этом ограничиваться классической мате-
математикой или нужно дать представление также о современной
математике? Должно ли преподавание в целом придерживаться
исторической последовательности и нужно ли отвести определенное
число часов для ознакомления с классической математикой? Должны
ли наши учащиеся иметь представление о том, что математиче-
математическая наука еще не закончена и несовершенна, но что она продолжает
развиваться в определенных направлениях?
Фреше. Я Ъс считаю необходимым придерживаться исторической
последовательности. Зачем раньше объяснять, как решали уравнения
второй степени первые алгебрнсты, а потом знакомить с принятым
теперь способом? Если что-нибудь действительно необходимо, так
это—уничтожение догматического метода: не давать никаких опреде-
определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они
применяются.
С другой стороны, действительно очень важно не дать учащимся
повода думать, что развитие математики закончено. В каждую эпоху
математика, считавшаяся в это время «совершенной», влияла на пре-
преподавание в средней школе. Во время Паскаля изучали Евклидову
геометрию, т. е. почти ту же, что п сейчас; однако тогда учащиеся
не получали ни малейшего представления об общем понятии функции
и о ее графическом изображении.
Аксиоматический метод великолепен для профессиональных матема-
математиков. Но с педагогической точки зрения он никуда не годится. Что-
Чтобы иметь возможность его употреблять, надо всё время пот.черки-
вать индуктивную эволюцию, которая дала ему жизнь, и комкретную
интерпретацию употребляемых терминов, позволяющих прилагать этот
метод к реальной действительности.
Реформа должна состоять в том, чтобы настаивать на незавершен-
незавершенности аксиоматического метода и повторять вместе с Эйнштейном:
«В той части, в которой математические теоремы относятся к действи-
действительности, о:ш не достоверны, а в той мере, в которой достоверны,
они не относятся к действительности»1). Признаем, однако, что благо-
благодаря удачному индуктивному синтезу математики в значительной степени
приблизились к действительности, что может быть доказано эксперимен-
экспериментальным путем.
') Эйнштейн, Геометрия и опыт, Второе русское издание, Петроград,
Научное книгоиздательство, 1923, стр. 6. {Прим. ред.)


256	анкета журнала «Cahiers pedagogiques»
Ф а в а р. Цель преподавания заключается в том, чтобы дать
возможность учащимся пройти за несколько лет те этапы, на прохож-
прохождение которых человечество потратило несколько тысяч лет. Отмечать
в этих условиях все ступени невозможно. Важно, чтобы учащиеся
отдавали себе отчет в том, что их знакомят только с элементами
некоторых разделов математики.
Математика знает два вида декаданса. Один проистекает из лег-
легкости, наблюдаемой, например, еог уже 20 лет в развитии алгебраи-
алгебраических теорий, большая часть которых, к счастью, имеет только
грамматический интерес и выходит из употребления или поглощается
теориями с менее богатым запасом терминов, ко более приспособленным
к потребностям «классической математики». Другой вид декаданса
проистекает из трудности, наблюдаемой уже долгое время в развитии
элементарной геометрии. Я вспоминаю об одной задаче, где речь шла
о большом числе сфер, относительно которых требовалось доказать,
что они касаются друг друга или некоторых плоскостей. С теми
знаниями, которыми я обладаю, я был бы неспособен сделать это,
даже если бы мне дали три недели ка размышление; однако специалисты
в этой области столь учены, что знают множестЕО свойств, позволяю-
позволяющих дать доказательство менее чем на одной страничке. Разумеется,
если физическая теория требует столь же сложных исследований,
то их следует провести; но без надобности не представляется жела-
желательным впадать в подобную схоластику. Трудгость преподавания
заключается, очевидно, в следующем: наряду с начатками алгебры и
анализа (трехчлен второй степени дорого обходится Франции) здесь
учащимся преподают науки, уже давно достигшие зрелости, а именно —
элементарную геометрию. При этом нозннкает сильное искушение
упражнять учащихся в свойствах, заслоненных множеством более или
менее естественных построений, остэеляя их в неизвестности, часто
навсегда, относительно того, что сегодня представляет собой элемен-
элементарная геометрия и каковы здесь основные проблемы. В одной из
своих книг Лебег сказал, что теория конических сечений в элементар-
элементарной математике бесцельна — сказал неплохо.
Во всяком случае для культурного человека, прошедшего соответст-
соответствующую математическую подготовку в средней школе, геометрия оста-
остается искусством доказывать какое-нибудь свойство, рассматривая
коварно выбранный круг и удачно соединяя старательно разобщенные
точки.
Но тогда следует ли вводить в преподавание некоторые новые
идеи, дать проникнуть в него подслащенной, но, пожалуй, столь же
зловредной, как вакцина полимиэлита, дозе современной математики,
чтобы решиться сказать после уже 60-летнего развития «новейших»
геометрических идей, что элементарная геометрия является учением о
группах движения и подобия?
Для меня ответ не вызывает сомнения: «Да, следует». А если
считать, что не следует, то будем продолжать, продолжать учить


«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ»'	257
по-старому, и я буду по-прежнему принимать в Политехническую
школу юношей, которые не знают, что такое евклидова плоскость
(чтобы сосчитать тех из поступающих, которые, быть может, это знают,
хватает пальцев на одной руке), —юношей, которых я должен знакомить,
прежде чем приступить к теории аналитических функций, с начатками
сферической геометрии и неевклидовой геометрии Лобачевского в интер-
интерпретации Пуанкаре, тогда как весь этот материал был бы гораздо более
уместен в курсе элементарной математики...
А. К а рта н. Знакомство учащихся средней школы с матема-
математикой должно по необходимости сохранять весьма элементарный харак-
характер. В основном можно придерживаться исторического порядка, но
только в основном. Посвящать целые часы в первом классе *) изложе-
изложению точек зрения, занимавших греков (и с полным основанием)
в ту эпоху развития науки, когда они жили,— это бессмыслица, тогда
как было бы логичнее и не сложнее изложить взгляды, которыми они
руководствовались при решении занимавших их в то время задач,
например вычисления объемов, или же просто не говорить ничего и
подождать, пока ум учащихся созреет.
Нужно ли говорить о том, что уроки математики предназначены
для ознакомления учащихся с математикой; не существует математики
классической и некласснческой, или, если это больше нравится, всякая
математика есть математика классическая. Задача заключается лишь в
правильной дозировке материала и в приспособлении его к психологин
ребенка или юноши. Я считаю, что эта задача может быть правильно
решена только теми учителями, которые хоть немного знают, в чем
она состоит, иначе говоря, людьми, которые не находятся в неведении
относительно исследований, ставших классическими вот уже сто лет.
Б у л и г а н. Было бы утопией знакомить всю молодежь с понятием
эквивалентности или с какой-нибудь другой всеобъемлющей концепцией
до того, как они узнают более простые представления и научатся
сближать между собой хотя бы некоторые из них. По этому поводу
напомним, что простые примеры остаются в некоторых случаях драго-
драгоценной опорой. Было бы уместно заметить, что для того, чтобы вос-
воспользоваться дедуктивным методом, математик оценивает реальную
действительность, выбирая то, что ему кажется наиболее существен-
существенным. Чтобы научить своему искусству, он должен раскрыть последова-
последовательные этапы этой работы. С этой целью на помощь можно призвать
физику, но только как вспомогательное средство.
На всех стадиях преподавания математики главная забота—эта
забота о постнгаемости; для этого юные умы нужно приводить в со-
состояние самоконтроля. Коль скоро точные представления восприняты на
данном уровне обучения, приступают к чисто дедуктивным упражне-
упражнениям, делая их всё более и более методическими, вплоть до аксиома-
*) Шестой год обучения в школе второй ступени (см. в этом выпуске заметку
А. И. Маркушевича «Некоторые сведения о французской школе»). (Прим. ред.)
9 Матем. просвещение, вып. 2


25$	• анкета журнала «Carriers pedagoglques»
тнческой стадии. Что важно — это чтобы, не убыстряя, не усложняя
чрезмерно языка, всё же пытаться приблизиться к новым течениям.
Тогда в курсе не будет ни классической, ни современной математики,
а будет только отбор простых и типичных примеров, отправляясь
от которых будет осуществляться стремление к синтезу, стремле-
стремление и ничего более—результат интересный, но всегда требующий
улучшения. Не пренебрегать историей, но и не злоупотреблять ею!
А д а м а р. Я уже говорил, что не совсем уверен в том, что новые
идеи, вдохновляющие исследования большинства молодых математиков,
вносят существенные изменения в самую природу математической
науки. Я также не уверен в том, что такое изменение вообще нужно.
Но даже если это и так, должно ли это изменение затрагивать самую
основу обучения в средней школе? Нет, тысяча раз нет! Каждый
знает, как трудно сначала привить математический метод мышления
даже хорошим ученикам, иные из которых, если бы им удалось пре-
преодолеть первые трудности, в дальнейшем могли бы заниматься весьма
успешно. Если бы основы школьной математики приняли современную,
до некоторой степени предназначенную только для посвященных, фор-
форму, то подавляющее большинство школьников, если не все, проник-
прониклись бы отвращением к этой науке и сохранили бы его до конца
обучения.
Вопрос В. Если признать, что преподавание в средней школе
не может игнорировать существование современной математики,
следует ли заботиться главным образом:
1)	о развитии наиболее одаренных учащихся,
будущих математиков, которым важно с юных лет быть в кон-
контакте с современной математической мыслью или
2)	об обучении всех учеников, не забывая при этом тех; ко-
которые не будут заниматься математикой после окончания средней
школы,— т. е. просто стремиться сообщить учащимся некоторые
основные знания, которыми владеет культурное человечество?
Ф р е ш е. Преподаватель математики не должен забывать, что
некоторые из его учеников, которых он считает посредственными, могут
обладать великолепными способностями к литературе, искусству или
технике. Задачи, требующие особых математических способностей, не
должны быть обязательными. Всем учащимся в целом, поскольку мно-
многие из них могут обладать большими способностями в других областях,
можно предлагать в качестве обязательных лишь те упражнения, кото-
которые имеют прямое отношение к данному курсу.
Ф а в а р. Мне кажется чудовищным производить отбор среди детей
с тем, чтобы кого-то из них с раннего возраста приобщить к совре-
современной математике. Достаточно того, что надо выбирать среди ряда
отделений, чтобы сдать экзамен на степень баккалавра. По моему, не
стоит лишать администрацию ее заслуг (а также и доходов, если та-
таковые имеются) и вносить беспорядок.


«СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА II ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ»	259
Главная задача обучения в средней школе должна состоять в том,
чтобы воспитывать порядочных людей, и математик должен прежде
всего быть порядочным человеком. Поэтому необходимо принимать в
расчет и тех, которые не будут после окончания средней школы заниматься
математикой. В противном случае, что останется у них в памяти ог
обучения? Это должно быть воспоминание об умственных усилиях,
направленных на упорядочение ощущений, а также о попытках науч-
научного прогноза в области естественных наук. Все, конечно, об этом
знают, но большинство скорее просто поддакивает, чем осознает.
А. Картан. Проблемы знакомства тех или иных учащихся
каким-то особым способом с математикой не существует. Преподава-
Преподавание должно быть настолько элементарным, насколько это возможно;
в особенности следует заботиться о том, чтобы в умах молодежи
не возникали ложные представления. Эти соображения не мешают счи-
считать желательным тот способ подготовки к счету и решению задач, ко-
который существует уже 30 или 40 лет в первом или во втором классе С *).
Что же касается того, чтобы с юных лет привести умы учащихся
«в контакт с современной математической мыслью», то это чересчур
честолюбивая программа. Научить правильно рассуждать о самых про-
простых вопросах, научить считать и в редких случаях, когда речь идет об
особенно выдающихся учениках,— размышлять — вот, мне кажется,
разумная цель, относительно которой ни у кого не должно было бы
возникать никаких сомнений.
Булиган. Класс — это единое целое, н очень важно не расчле-
расчленять его. Хорошие ученики могут так или иначе объединяться в про-
процессе обучения. Дело преподавателя — тактично воспользоваться этим
обстоятельством. В случае необходимости он может, проявляя необхо-
необходимую гибкость, стимулировать их работу с помощью домашнего чте-
чтения и дополнительных заданий.
Вопрос Г. Если необходимо ввести какие-либо новшества в
преподавание в средней школе, то как сделать, чтобы это оказа-
оказалось доступным для наших преподавателей? Молодые и высококвали-
высококвалифицированные учителя, конечно, справились бы с этой задачей, но
как же быть с другими, без которых мы все-таки не можем
обойтись?
Ф а в а р. Будучи связан с преподавателями средней школы, я должен
прежде всего констатировать, что на их долю выпадает самая ответ-
ответственная и самая тяжелая работа. Ведь это они должны завершить
воспитание порядочного человека или, по крайней мере, подготовить
доброкачественный материал, обработку которого закончат другие. Эти
заботы отнимают всё время до последней секунды.
') Классы с уклоном в сторону точных наук. (См. заметку А. И. Маркуше-
вича «Некоторые сведения о французской школе».) (Прим. ред.)
9*


260	анкета журнала «Cahiers pedagogiques»
Говоря это, я не хочу дать повод считать, что, по моему мнению,
с них снимается ответственность за современный кризис преподавания.
Я мог бы многог добавить к тому, что я сказал по поводу элементар-
элементарной геометрии. В особенности я хочу привлечь внимание к тому, что
некоторые вопросы этой анкеты (я имею в виду вопросы В и Г) вну-
внушают мне беспокойство. Эти вопросы показывают, как мне кажется,
что некоторые преподаватели готовы отказаться от собственного мнения,
успокоить свою совесть любым компромиссом. Выше я ответил на во-
вопрос В.
Вопрос Г затрагивает проблему подготовки учителей к новым . мето-
методам преподавания. Если все согласны с тем, что это необходимо, то
тут не возникает никаких трудностей. Но обидно, что, по мнению
некоторых, это должно касаться только молодых и высококвалифициро-
высококвалифицированных преподавателей. Все это совсем не так трудно, черт возьми!
Каждый учитель может это постигнуть, если только захочет...
Вопрос Д. Число учащихся средней школы всё время возраста-
возрастает. Возможно ли проведение предлагаемой реформы при этих
обстоятельствах ?
Фа вар. Да.
Анри Картан. Существует только проблема—увеличение числа
учителей и повышение их квалификации. Рост числа учащихся делает
ее, конечно, еще серьезней.
Вопрос Е. Изучение классической математики способствует
развитию строгости и ясности мышления. Способствует ли этому
же самому дух современной математики?
Ф а в ар. Безусловно.
Булиган. Строгость и ясность — это конечная цель. Она может
быть достигнута только с помощью подготовительных упражнений,
которыми нужно разумно пользоваться, так, чтобы они не приводили
к истощению сил.
Картан. Я считаю, что изучение математики всегда способствует
развитию строгости и ясности мышления. Это отнюдь не является приви-
привилегией математики той или иной эпохи, и я не вижу, в чем здесь состоит
различие, которое нам предлагают сделать между «классической мате-
математикой» и «современной математикой». Пусть каждый будет уверен
в том, что любая математика — и та, с которой он знаком, и та, с
которой он, быть может, еще не знаком,—в одинаковой мере способ-
способствует развитию строгости и ясности мышления.
Перевод с французского Ю. С. Родман
под ред. А. И. Маркушевича.


НОВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ1)
1. Дж. Нэш, Н. Кёйпер. Изгибание гладких поверхностей и
построение поверхностей с заданной метрикой.
Изогнуть поверхность — значит деформировать ее, сохранив длины
всех начерченных на ней кривых. Задача об изгибании требует уточ-
уточнения. Хотим ли мы изгибать малый кусок поверхности или полную
поверхность? Какие свойства поверхности мы хотим сохранить (скажем,
регулярность, т. е. возможность задать поверхность функциями, име-
имеющими много производных, или выпуклость и т. п.)? Желаем ли мы
иметь непрерывную деформацию, всё время сохраняющую длины, или
получить те же длины лишь в конце деформации? Вопросы изгибания
в их различной постановке всегда привлекали и привлекают внимание
геометров. Известно, например, что сферу нельзя изогнуть с сохране-
сохранением выпуклости. Отказавшись от выпуклости, можно изгибать сферу,
продавливая небольшой ее участок внутрь. Но при этом может появиться
острое ребро' вдоль которого нарушается гладкость поверхности. Можно
ли изогнуть сферу в невыпуклую, но гладкую поверхность, т. е. поверх-
поверхность, имеющую во всех точках касательную плоскость, которая не-
непрерывно меняется от точки к точке? На последний вопрос наше вооб-
воображение вряд ли подскажет нам верный ответ.
Изогнуть поверхность -— значит построить новую поверхность с той
же самой метрикой, т. е. с тем же самым законом измерения рассто-
расстояний на поверхности. С этой точки зрения к задаче об изгибании при-
примыкает более отвлеченная задача о реализации данной метрики.
т. е. о построении поверхности с каким-либо заранее заданным законом
измерения расстояний.
Недавно американский математик Нэш (доказательство которого было
усовершенствовано голландцем Кёйпером) получил следующий довольно
неожиданный и общий результат: было доказано, что можно построить
гладкую (т. е. однократно непрерывно дифференцируемую) поверхность с
наперед заданной метрикой, причем так, что она будет по положению
в пространстве весьма мало отличаться от почти произвольно выбираемой
поверхности того же топологического строения.
Полученный результат означает, в частности, что сферу можно
изгибать с сохранением гладкости весьма произвольным образом; напри-
*) См. также п. 6 статьи А. О. Гельфонда, помещенной в настоящем вы-
выпуске «Математического просвещения».


262	НОВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ
мер, можно сжать ее, как тряпочку, в маленький комочек или придать
ей форму покрытой мелкими складками продолговатой сигары. Таким
образом, в известном результате Герглотца, доказавшего неизгибае-
неизгибаемость сферы в классе дважды непрерывно дифференцируемых по-
поверхностей, требование существования вторых частных производных
у задающих поверхность функций оказалось существенно необходи-
необходимым и не связанным лишь со слабостью аппарата, как предполагали
раньше.
Другой пример. Вырежем из бумаги обычный квадрат. Согнем его
и склеим две противоположные стороны. Оставшиеся свободными сто-
стороны опять склеим между собой. Получится поверхность типа тора.
Ей можно, согласно теореме Нэша и Кёйпера, придать вид гладкой
поверхности, не имеющей переломов. Таким образом, мы придем к
гладкой «торообразной» поверхности евклидова пространства, внутрен-
внутренняя метрика которой евклидова (близкой в этом смысле к известной
поверхности Клиффорда эллиптического пространства).
Наконец, в трехмерном евклидовом пространстве можно поместить
поверхность, внутренняя геометрия которой будет совпадать с гео-
геометрией плоскости Лобачевского. Казалось бы, последнее утверждение
противоречит известной теореме Гильберта о невозможности подобного
вложения. Но здесь следует иметь в виду, что Гильберт также рас-
рассматривал лишь но меньшей мере дважды непрерывно дифференцируемые
поверхности, в то время как поверхности, получаемые по методу Нэша —
Кёйпера могут даже вовсе не иметь вторых производных.
Идея доказательства теоремы Нэша — Кёйпера следующая. Берется
произвольная поверхность Fo того же топологического строения, что и
подлежащая построению поверхность F. Предполагается, что Fo суще-
существует. Подобно преобразуя FB, можно добиться, чтобы расстояния,
измеренные на FB, были не больше соответствующих расстояний, изме-
измеренных на F. Затем поверхность Fo в разных местах по-разному дефор-
деформируют. Получается новая поверхность Flt по положению в пространстве
близкая к FQ, но отличающаяся от последней наличием большого числа мел-
мелких волнистых складок, которые накладываются друг на друга и придают
всей поверхности бугорчатое строение. Расстояния на F1 будут, вообще
говоря, больше, чем на FB. Подбором деформаций удается добиться,
чтобы все расстояния увеличились примерно наполовину разности между
расстояниями на F и FD. После этого вполне аналогично строится поверх-
поверхность F2, только на этот раз исходной служит поверхность Т7,. Затем
по Fg строится поверхность FR и т. д. Метрики получаемых поверхно-
поверхностей всё меньше и меньше отличаются от метрики на F. Поверхность,
предельная для построенной последовательности, и будет интересующей
нас поверхностью F. Так как Fo, Fx,... произвольно мало отклоня-
отклонялись в пространстве друг от друга, то построение можно вести так,
чтобы и предельная поверхность F по положению в пространстве мало
отличалась от Fo. Вся разница в метрике будет достигнута за счет
мелких складок. В то же время поверхность F будет гладкой.


НОВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ	263
Основную трудность в описанном построении составляет подбор
деформаций при переходе от Fn к Fn+1. Необходимая деформация стро-
строится, исходя из разложения разности первых квадратичных форм поверх-
поверхностей F и Fn но некоторым стандартным квадратичным формам.
Литература
1.	J. Nash, CMsometric imbeddings, Ann. Math., 1954, 60, № 3, стр. 384 —
396 (русский перевод в сборнике переводов «Математика» №2, М., ИЛ, 1957).
2.	N. К п i р е г, CMsometric imbeddings, Proc. Konikl. uedel. akad. wetensch.,
1955, № 4, стр. 545 — 556; № 5, стр. 683 — 689 (русский перевод в том же
сборнике).
3.	Н. В. Е ф и м о в, Качественные вопросы теории деформаций поверхностей,
Успехи матем. наук, т. III, вып. 2, М., 1948, стр. 47—158.
4.	Д. Гильберт, Основания геометрии, М.—Л., 1948, добавление V.
Ю. Е. Боровский
2. Г. Хадвигер. Ж.-П. Зидлер, П. Глюр. Новые работы о равно-
равносоставленности многоугольников и многогранников.
Разрезание и складывание фигур мы встречаем и в повседневной
жизни, н в занимательной математике, и в серьезной науке. Играя,
ребенок складывает разные фигуры с помощью набора мозаики, со-
состоящего из треугольников и ромбов, составляет различные тела из
кубиков. Широко известна головоломка «стомахион», пришедшая к нам
из глубины веков: квадрат разрезается определенным образом прове-
проведенными линиями на 10 частей, перекладывая которые нужно составить
ряд заданных своими очертаниями фигур (см. [1], стр. 94—102). Много
задач на разрезание и складывание фигур приведено в книгах [2, 3].
В геометрии «разрезание и складывание» широко применяются при
вычислении площадей и объемов. Два многоугольника называются рав-
носоставленными, если один из них можно разрезать на такие части,
перекладывая которые удается составить второй многоугольник. Оче-
Очевидно, что два равносоставленных многоугольника равновелики, т. е.
имеют одинаковую площадь. Такой метод вычисления площадей (назы-
(называемый методом разбиения) применяется в школьном курсе при нахо-
нахождении площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и
складыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник—к параллелограмму,
трапецию -*-к треугольнику. Широко применяется также и метод допол-
дополнения: для того чтобы убедиться в равновелнкостн двух многоугольни-
многоугольников, достаточно установить, что эти два многоугольника одними н теми
же фигурами могут быть дополнены до равных фигур.
Еще в середине прошлого столетия было доказано, что метод раз-
разбиения применим к вычислению площади любого многоугольника: если
два многоугольника имеют одинаковую площадь, то они равносо-
ставлены (теорема Больаи — Гервина, см., например, [3, 4, 5]).
В пространстве метод разбиения (или дополнения) также находит
свое применение; например, вопрос о вычислении обьема наклонной


264	НОВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ
призмы решается этими методами. Можно ли вычислить объем любого
многогранника, пользуясь одним только методом разбиения? Этот во-
вопрос был поставлен крупнейшим современным математиком Д. Гильбертом
в числе многих других важных математических проблем (подавляющее
большинство которых в настоящее время решено). Легко доказывается,
что любые две призмы (прямые пли наклонные) одинакового объема
равносоставлены. В конце XIX столетня Хнллом были даны примеры
треугольных пирамид, равносоставленных с кубом. Однако доказатель-
доказательство равносоставленности любых двух многогранников одинакового
объема получить не удавалось.
Ответ на указанную проблему Гильберта был дан (в следующем
же году, 1903) Деном, который нашел некоторое условие, необходи-
необходимое для равносоставленности двух многогранников. Из условия Дена
вытекает, в частности, что никакой правильный тетраэдр не равносо-
ставлен с кубом. (Деновское доказательство было впоследствии значи-
значительно упрощено В. Ф. Каганом [4].) Таким образом, одного только
метода разбиения недостаточно для нахождения объемов любых
многогранников. Именно поэтому наряду с методом разбиения (или до-
дополнения) применяется также (при вычислении объема пирамиды)
метод пределов, который не является элементарно геометрическим
методом, а представляет собой в завуалированной форме интегриро-
интегрирование.
Эти классические работы были продолжены в последние годы швей-
швейцарскими математиками: Хадвпгером, Зпдлером, Глюром. Отметим
прежде всего интересный результат Хадвигера и Глюра, относящийся к
равносоставленности плоских многоугольников. Когда мы говорим о
равносоставленных многоугольниках (например, в теореме Больан -—Гер-
вина), то допускаем любые «перекладывания» (т. е. движения) частей
одного многоугольника для составления другого многоугольника. Хад-
внгер и Глюр ограничивают число допустимых «перекладываний»: они
допускают только такие «перекладывания», при которых части одного
многоугольника либо перемещаются с помощью параллельных перено-
переносов, либо подвергаются центральным симметриям. Оказывается [6], что
и при таком сильном ограничении возможных «перекладываний» остается
в силе теорема, аналогичная теореме Больаи—Гервина: если на плос-
плоскости заданы два равновеликих многоугольника, то можно один из
них разбить на такие части, из которых, применяя только парал-
параллельные переносы и центральные симметрии, можно составить
второй многоугольник').
Мы выше упоминали два элементарных метода вычисления площа-
площадей и объемов: метод разбиения и метод дополнения. Оказывается
г) Заметим, что эта теорема уже не допускает усиления: если О—такая
группа движений, что равносоставленность любых двух равновеликих много-
многоугольников может быть установлена такими «перекладываниями», которые имеют-
имеются в G, то группа G обязательно содержит все параллельные переносы и все
центральные симметрии. (Эта теорема доказана рецензентом в [5].)


НОВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ	265
(это было установлено Зидлером), что метод дополнения в точности
эквивалентен методу разбиения.
Далее, Хадвигер придал условию Дена чрезвычайно элегантную
математическую формулировку, дав новое, более простое доказатель-
доказательство. Вот основная нить его рассуждений. Пусть Ak — произвольный
А-мерный многогранник, Ак~г—его (k — 2)-мерная грань и ос (Ак~*)—
соответствующий двугранный угол. Пусть, далее, /—произвольная
(разрывная) функция, определенная для всех действительных значений
аргумента и удовлетворяющая условиям /(ос-|-Р)=:/(а)-|-/(Р) и
/(тт)=О. Положим
ФИ*) =
(суммирование по всем (k — 2)-мерным граням многогранника Ak, где
|ЛЯ~2|—объем грани Ак~*). Число ф (Ак) определено для любого fe-мер-
ного многогранника Ак и для двух равносоставленных многогранников Л4
и В* эти числа совпадают: ф(Л*) = ф(ВА). Если а—число, несоизмеримое
с тс, то можно построить (однако неэлементарными методами, с помо-
помощью так называемой трансфинитной индукции) такую функцию /, удов-
удовлетворяющую указанным выше условиям, что/(а)^0. Из этого выте-
вытекает, что при k ^ 3 многогранник Ак только тогда может быть равно-
составлен с кубом, когда все его двугранные углы а {Ак~") соизмеримы
с тс (это—теорема Дена). В частности, правильный симплекс (т. е.
при k = 3 правильный тетраэдр) при k ^ 3 не равносоставлен с кубом.
Ряд интересных работ Хадвигера связан с понятием G-равносостав-
ленности, где G—некоторая группа движений (о понятии группы см.,
например, [5, 7]): два многогранника называются G-равносоставлен-
ными, если один из них можно разбить на такие части, из которых,
применяя движения из G, можно составить второй многогранник. Не
имея возможности подробнее рассказать об относящихся сюда резуль-
результатах, мы отсылаем читателя к оригинальной работе Хадвпгера [8], в
которой дан обзор теории равносоставленности и имеются дальнейшие
литературные ссылки.
Литература
1.	Я. И. Перельман, Фокусы и развлечения, М., 1935.
2.	Н. В. Р у с а л е в и Б. А. К о р д е м с к и й, Удивительный квадрат, М.—Л.,
1950.
3.	Д. О. Ш к л я р с к и й, Н. Н. Ч е н ц о в, И. М. Я г л о м, Избранные за-
задачи и теоремы элементарной математики, ч. HI, M., 1954.
4.	В. Ф. Каган, О преобразовании многогранников, М.—Л., 1933.
5.	В. Г. Болтянский, Равновеликие и равносоставленные фигуры,
М.—Л., 1956.
6.	Н. Hadwiger, P. G1 u r, Zerlegungsgleichheit ebener Polygone, Ele-
mente der Mathematik 2, 1949—1950, стр. 441—444.
7.	П. С. Александров, Введение в теорию групп, Учпедгиз, 1953.
8.	Н. Hadwiger, Zerlegungstheorie euklidischer Polyeder., Ann. Math,
pura e appel. 36, 1954, стр. 315—334.
В. Г. Болтянский


КАК ИНОГДА ОБУЧАЮТ ЗАОЧНИКОВ
На обложке брошюры объемом в 72 стр. напечатано: Министер-
Министерство высшего образования СССР, Всесоюзный заочный, энергетический
институт: Б. Д. Никитин, С. В. Родионов, Векторный анализ,
Учебное пособие для студентов III к\'рса. Москва, 1957 (тираж —
3000 экз.).
На стр. 45 авторы напоминают общеизвестные выражения для
grad 9, div A. rot А в декартовых прямоугольных координатах х, у, z
(при базисных векторах I. j, k) и продолжают:
«Известным математиком Гамильтоном было замечено,
что все эти (и многие другие) операции можно записать кратко
при помощи следующего символического вектора Т (читается
«наблаъ):
дх ' ду ' дг
Сам ecu тор V не имеет реального смысла, но результат при-
применения его как оператора к скалярным или векторным функ-
функциям дает вполне реальную величину.
*) Этот символический вектор V часто называют диффе-
дифференциальным оператором Гамильтона».
Приведя далее (стр. 45, 46) обычные записи
Гер = grad ср, КА = div A, [XA] = rot ~A,
авторы продолжают (жирный шрифт всюду наш. — Ред.):
«При помощи символического вектора V легко получить
значении и других векторных образований:
1) div rot A — div [VA] = V [ГД|.
Вектор [ГЛ] перпендикулярен вектору V, поэтому ска-
скалярное произведение V на вектор, перпендикулярный к V, равно
нулю:
2) rot grad cp = rot (Xy) = [V • V9] = 0
(так как векторы V и V'f параллельны)...».
Авторы, очевидно, полагают, что достаточно присоединить к
термину «вектор» эпитет «символический», чтобы можно было го-
говорить о взаимной перпендикулярности (параллельности) обыкновен-
обыкновенного вектора (каким является rot А или grad cpj и дифференциаль-
дифференциального оператора V, «не имеющего реального смысла». С этой оке
степенью беззаботности можно утверждать, что [VА], т. е. гсЛА
перпендикулярен к А, а это уже просто неверно (вообще говоря).
Положение читателя-заочника, желающего понять «пособие»,
но у себя на месте часто лишенного помощи, оказывается трагиче-
трагическим.


V. ЗАДАЧИ
Под редакцией И. М. Яглома
1. Задачи по элементарной математике
А. Задачи средней трудности
111). Какие правильные многоугольники можно начертить на бумаге
в клетку так, чтобы все вершины многоугольника лежали в узлах
сети квадратов?
12.	При каких рациональных х выражение Зл;2—5.V-J-9 будет
представлять собой квадрат рационального числа?
13.	Существует ли на прямой такое множество 9.U точек, что на
каждом фиксированном расстоянии а от каждой точки А множества
лежит в точности одна точка Ш
14.	Пусть f(x) — некоторая функция, непрерывная и монотонная
в определенном интервале (пли на всей прямой); ^(лг)—функция, об-
обратная f(x) (так что f(g{x)) = g(f(x)) = x); G(x) —функция, обратная
функции F {x) = mf(kx-\-b)-{-a. Выразите G{x) через g{x).
И. Я. Таиатпр (Москва)
15.	Вычеркнуть 100 цифр из числа 12345678910111213 ... 979899100
так, чтобы полученное после этого число было возможно большим.
16.	По кругу выписаны р крестиков и q нуликов; число пар стоя-
стоящих рядом крестиков обозначим через а, а число пар стоящих рядом
нуликов—через Ь. Доказать, что а—b=p — q.
17.	Какое наибольшее и наименьшее значения может иметь модуль
|.г| комплексного числа z, если
18.	Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит ромб ABCD
со стороной а и углом ^/ BAD = 60°; боковое ребро SA пирамиды
также равно а. Доказать, что существует прямоугольный треугольник,
стороны которого равны SB, SC и SD.
3. А. Скопец (Ярославль)
1) Нумерация задач по каждой рубрике — сп.илшыя по всем выпускам
«Математического просвещения».


268
ЗАДАЧИ
19. Пусть Z—прямой круговой цилиндр, О—точка вне него,
А — точка цилиндра, А'—вторая точка, в которой пересекает поверх-
Рис. 1.
ность цилиндра прямая О А. Доказать, что если точка А описывает пло-
плоское сечение цилиндра, то и точка А' описывает плоское сечение
цилиндра (рис. 1).
Б. Задачи повышенной трудности
9.	Правильным /z-угольннком (на плоскости или в пространстве) на-
называется замкнутая ломаная, состоящая из п равных звеньев и такая,
что углы между соседними звеньями все равны между собой. Известно,
что на плоскости правильные л-угольники существуют при любом п.
При каких п существуют неплоские правильные многоугольники?
В. И. Арнольд (Москва)
10.	На кафтане площади 1 помещается 5 заплат, площадь каждой
из которых не меньше 1/2. Доказать, что найдутся две заплаты, пло-
площадь общей части которых превосходит 1/б.
Е. Б. Дынкйн (Москва)
треугольник и в него
четырехугольник (квад-
(квад11. В окружности So вписан правильный
окружность Sjj затем в St вписан правильный
рат) и в него окружность 52; в ?2 вписан правильный пятиугольник
и т. д. Доказать, что существуют окруж-
во всех полученных таким образом окруж-
. Укажите, как вычислить радиус самой боль-
и в него окружность Sa,
ностн s, содержащиеся
ностях S,
o,
52, S3
шой из таких окружностей.
Б. Г. Лордшпанидзе (Львов)
12. Из города А в город В ведут две дороги, каждая из которых
не имеет самопересечений. Докажите, что если две машины М1 и Л42


ЗАДАЧИ
269
могут выехать одновременно из А по этим дорогам и проехать в В
так, что расстояние между машинами ни в какой момент пути не бу-
будет превосходить 20 м (рис. 2, слева), то две круглые платформы и
Рис. 2.
диаметром в 11 i не смогут выехать одновременно из А в *В и
из В в А и проехать по этим дорогам не столкнувшись (рис. 2, справа).
Н. Н. Константинов (Москва)
13.	Если многочлены Р(х) и Q (х) (с вещественными коэффициен-
коэффициентами) принимают целые значения в одних и тех же точках, то либо
сумма P(x)~]-Q (х), либо разность P(x) — Q(x) постоянна.
14.	Построить треугольник по высоте ha, разности b—с боковых
сторон и радиусу г вписанной окружности.
В. Проблемы
3.	Рассмотрим схему типа изображенной на рис. 3, состоящую из
произвольного числа k строк, содержащих, соответственно, }ш1, >.г	>.^
клеток; 1± 5з= Л2 5з . . - 5з lk (на рис. 3 k = 6
и /1 = 7, *2 = Х3 = 5, Х4=Х.=4, Ав=2). Обо-
значим общее число клеток схемы (равное
Aj -J- \ -J- ... -j- \k) через N и зададимся за-
задачей расставить в этих N клетках числа от 1
до N так, чтобы в каждой строке схемы числа
возрастали слева направо и в каждом столбце—
сверху вниз. Спрашивается, сколькими спосо-
способами это можно сделать.
Используя косвенные соображения, связанные
с теорией представлений групп, автор нашел, что ответ в этой задаче
равен
ММ ыП.(Л—(/). гДе '| = ^| + «+1; /,/=1,2,...,*;
было бы интересно подтвердить этот результат прямым подсчетом.
Ф. А. Березин (Москва)
4.	Плоская фигура называется выпуклой, если ей принадлежит
каждый отрезок, соединяющий две ее точки. Известная теорема
X е л л и утверждает, что если каждые три из п выпуклых фигур «пе-
«пересекаются», т. е. имеют хотя бы одну общую точку, то все фигуры
/
3
8
Ю
14
го
2
5
9
13
IS
?4
4
Б
12
19
is
7
16
17
гз
27
1!
22
26
,5\г,\
Рис. 3.


270	ЗАДАЧИ
имеют общую точку *); более наглядно скажем, что все я фигур «можно
проткнуть одной-единственной иглой».
Если фигуры пересекаются попарно, то последнее обстоятельство,
вообще говоря, уже не будет иметь места. Однако при этом фигуры
все же должны будут располагаться довольно «кучно». Венгерский ма-
математик Т. Галл аи высказал предположение, что любая система по-
попарно пересекающихся кругов обладает тем свойством, что все
круги можно проткнуть небольшим (и не зависящим от числа п и
конкретной системы) числом k игл; другими словами, что для каждой
подобной системы можно указать k точек так, что каждый круг систе-
системы содержит хоть одну из этих точек. Т. Галлап высказал предполо-
предположение, что k = 5; сравнительно нетрудно показать, что можно принять
k = 7 (впервые это было доказано, по-видимому, венгерскими математи-
математиками П. Ун га ром и Г. Секересом).
Аналогичную задачу можно поставить и не для кругов, а для иных
выпуклых фигур; при этом представляло бы интерес уже само доказа-
доказательство существования такого числа k (более сложная задача—по-
задача—получить определенную оценку для числа k). Для начала можно было
бы решить задачу в предположении, что все фигуры системы равны
между собой; в общем случае, возможно, придется рассматривать не
произвольные выпуклые фигуры, а лишь удовлетворяющие определен-
определенным условиям (такие условия могут даваться неравенствами, ограничи-
ограничивающими возможность изменения диаметра и ширины фигур).
Содержание проблемы заимствовано у Л. Фейша Тота (Венгрия).
2. Задачи по высшей математике
А. Задачи средней трудности
со
11.	Доказать, что \ " dx =. In -щ-, где под знаком интеграла
тт (х)—известная теоретико-числовая функция: число простых чисел,
не превосходящих а:; тт в правой части равенства — отношение длины
окружности к диаметру.
впн Вэн (Голландия) [заимств.]
12.	Доказать, что при любых натуральных п и k
J »„-! J Х„_а	J X, J
M. Б. Балк (Смоленск)
') См.. например, И. М. Я г л о м и В. Г. Болтянский, Выпуклые фи-
фигуры, М. — Л., Гостехиздат, 1951.


ЗАДАЧИ
271
13. Пусть 0<^Xj <Сх±<Схз<С • • • <^.xk<C- • •—положительные
корни уравнения tgx = A\ Найти A1 = \im-jf Найти несколько пер-
вых членов асимптотического разложения
(т.е. пределы Av = \\m (xk—At)k, ^_l = lim(.vft
14. Чему равна кривизна пло-
плоской кривой j x~^	(/ — па-
параметр) в точке / = 0? А кривиз-
кривизна и кручение пространственной
¦AJt — A0) k и т. д.).
кривой ' y =
\
в точке / = 0?
О. П. Шингуров (Орехово-Зуево)
15. На сторонах произволь-
произвольного треугольника А1А2Аа построе-
построены подобные между собой равно-
равнобедренные треугольники АгА2Ва,	Рис. 4.
А2А3В,, А^В, (А1В3 = А2В3 и
т. д.; все треугольники строятся либо вне АгА^А3, либо все они располо-
расположены с той же стороны от А^г, АгА3 и А3АХ, что и сам треуголь-
треугольник; на рис. 4 изображен первый случай). Доказать, что прямые
АлВг, A.Ji% и А3В3 пересекаются в одной
точке /. Какое геометрическое место опи-
описывает /, когда В3 описывает прямую,
перпендикулярную к отрезку АХА2 и прохо-
проходящую через его середину?
16.	Доказать, что если парабола касает-
касается четырех сторон четырехугольника, то
ее ось параллельна прямой, соединяющей
середины диагоналей четырехугольника.
3. А. Скопец (Ярославль)
17.	К окружности 2 из внешней точ-
точки Р проведены касательные РТХ и PTt
(Г, и Г8 — точки касания) и внутри ?
построена дуга ТгТ2 окружности с центром
Р (рис. 5). Произвольная точка 5 этой дуги
соединена с точками Т1 и Г2. Доказать,
что точки /?, и /?2, в которых прямые ST1 и ST2 пересекают второй
раз окружность 2,—диаметрально противоположные. Истолковать полу-


172	ЗАДАЧИ
ченный результат, принимая внутренность окружности 2 за модель
Клейна плоскости Лобачевского.
Я- С. Дубнов (Москва)
Б. Задачи повышенной трудности
9.	Пусть Pi, Р2,. . . , Рп —какие угодно п точек сферы з, S —об-
—область сферы, площадь которой меньше — всей поверхности а.
Доказать, что если область 5 покрывает одну или несколько из
заданных точек, то вращением сферы можно добиться того, чтобы
она уже не покрывала ни одной точки.
И. И. Пятецкии-Шапиро (Калуга)
10.	Доказать, что если f(x) есть любая л-кратно дифференцируе-
дифференцируемая функция и а, р, у и ? — какие угодно четыре числа такие, что
„ i = 1, то
Л. Я- Виленкин (Москва)
11. Чему равен л-кратный интеграл
1	1 + х,	1 + Х-,	1 + Х„_1
$ dx1 ^ dx2 ^ dx3... jj dxn7
0	0	0	0
Э. Э. Балаш (Москва)
12.	Для каких р^>0, <?>0 и действительных X сходится интеграл
1
f xxe~xP Isin пх 1 ч dx?
о
В. И. Левин (Москва)
13.	Умножение переменной точки z плоскости комплексного пере-
переменного на фиксированное комплексное число i представляет собой
определенное преобразование плоскости, а именно преобразование подо-
подобия, сводящееся к гомотетии с центром в начале координат О и коэф-
коэффициентом | X | и повороту вокруг О на угол arg X; произвольная фигу-
фигура Ф переходит при этом в новую фигуру, которую мы будем обо-
обозначать через ХФ. Требуется определить область чисел X, для которых
существует треугольник Т, такой, что \Т не выходит за пределы Г.
Н. А. Дмитриев и Е. Б. Дынкин (Москва)


ЗАДАЧИ
273
м
Рис. 6.
14. Одно обобщение свойства касательной эллипса. Известное
построение эллипса, базирующееся на его фокальном свойстве, может
быть описано следующим образом: веревочное кольцо постоянной длины
/ набрасывается на отрезок а (удобно заменить отрезок двумя иголка-
иголками, установленными в его концах F[ и F2) и затем веревка натягивается
с помощью карандаша; если при движении карандаша веревка всё
время остается натянутой, то его конец М опи-
описывает эллипс о,. Известное свойство касательной
к эллипсу утверждает, что при этом отрезки
MFX и MF2 всё время будут образовывать равные
углы с касательной к а{.
Заменим теперь отрезок а произвольной глад-
гладкой или кусочно-гладкой выпуклой кривой Q1)
длины \; в таком случае наше построение при-
приведет к новой кривой Qt —геометрическому
месту таких точек ЛТ, что выпуклая кривая Qm,
ограниченная опорными прямыми2) Мрх и /И/>2
кривой Q, и дугой ргСрг этой кривой, имеет по-
постоянную длину / (рис. 6). [Если Q есть много-
многоугольник, то Qt, как легко видеть, будет состо-
состоять из дуг эллипсов; если Q есть эллипс.то Q,—
эллипс с теми же фокусами.] Доказать, что при
всяком 1^>\ кривая Qt является гладкой выпук-
выпуклой кривой и что касательная к Qt в любой ее точке М образует
равные углы с опорными прямыми Мрх
и Мр2 кривой Q.
Б. А. Наймарк (Москва)
В. Проблемы
3. Рассмотрим круглое замкнутое
зеркало 5 и внутри него луч света,
выходящий из какой-либо точки Ах
зеркала по направлению АгА2 (рис. 7).
Очевидно, что (конечная или бесконеч-
бесконечная в зависимости от того, соизмери-
соизмерима или несоизмерима дуга АгА2 со
всей окружностью) ломаная, изобра-
изображающая ход луча, не заполнит всю
внутренность окружности — всегда найдется некоторый кружок о внутри S,
который эта ломаная не пересечет (если А^Аг не проходит через центр О
окружности S, то за о можно принять кружок-с центром О, не пере-
х) То есть кривой, ограничивающей выпуклую фигуру (см. проблему 4 по эле-
элементарной математике).
2) Так называются прямые, которые имеют общие точки с Q и от которых Q
лежит по одну сторону.
Рйс. 7.


274	злдлчн
секающнй АгА2; если АгА2 проходит через О, то ог з надо лишь
потребовать, чтобы он не пересекал А±А2). Спрашивается, будет ли
это обстоятельство иметь место также п для эллиптического зеркала и
вообще для зеркала в форме любой гладкой выпуклой кривой? [Ход
луча во всех случаях определяется тем, что падающий и отраженный
лучи образуют в точке падения равные углы с касательной к зеркалу.]
4. Обозначим через 5 (со, х) сеченпе произвольного тела Г плоско-
плоскостью, перпендикулярной к оси со и удаленной на расстояние х от опреде-
определенного начала отсчета (от начала системы координат). Площадь сечения
5 (со, х) имеет размерность [длина2]; для того чтобы получить из нее
величину размерности объема, можно образовать определенный интеграл
V (ю) = \ 5 (м, л:) их. Хорошо известно, что этот интеграл не зависит
— QO
от выбора оси м и совпадает с объемом Т.
Производная —^ от величины 5 (со, х) будет уже иметь размерность
длин ы; поэтому для того, чтобы получить нз нее величину размерности
+ О0
объема, надо образовать интеграл V7(co)= ^ [S' (со, x)J dx. Однако
— оо
этот интеграл, вообще говоря, уже не будет определяться объемом Т,
гак как он зависит от выбора оси и. Чтобы получить величину, не зави-
зависящую от выбора со, надо осреднить "/'(со) по всем возможным направ-

лениям оси м, т. е. образовать величину W='	, где dm—эле-
dm—элемент площади сферы а, описываемой единичным вектором оси со,
о = 4тг — полная площадь о; эта величина W будет уже представ-
представлять собой некоторую геометрическую характеристику тела Т, имею-
имеющую размерность объема. Спрашивается, каков геометрический смысл
величины W7
Интересно обобщить задачу, рассматривая произвольные измеримые
множества Т трехмерного пространства. Можно ли в этом случае утвер-
утверждать, что величина S(co, x) будет для почти всех со дифференцируема
для почти всех значений л; (в смысле теории функций действительного
переменного), так что величина W будет и здесь иметь определенное
значение?	,. _„ _ , . ,.. ,
И. М. Гельфанд (Москва)
К задачам 1-го выпуска «Математического просвещения»
На стр. 224 1-го выпуска в задаче 2, б) неясно напечатан числитель дроби,
стоящей в показателе степени. Он должен быть такой: х" — 4х-(-1.
На этой же странице в задаче 3 на строке 7 снизу напечатано: b j-\-n — bj.
Должно быть: bj+n = by.


VI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»
И. М. Бескин
(Москва)
Популярная литература по математике играет исключительно важную
роль в математическом образовании. Зта литература прививает школь-
школьникам интерес и вкус к математике. Для многих ученых первым толчком,
приведшим к решению посвятить себя математике, явилась популярная
книжка, прочитанная в юном возрасте. Популярная литература расши-
расширяет математический горизонт школьников, знакомя их с проблемами,
лежащими за пределами школьных учебников. Она учит молодежь само-
самостоятельно мыслить, а не только повторять заученные рассуждения.
Попытка создать серию популярных книжек по математике очень
полезна. Книжки серии могут быть весьма разнообразны в зависимости
от индивидуального стиля авторов, но у них должно быть нечто общее.
Читатель, берущий в руки новую книжку из знакомой серии, должен
приблизительно предвидеть, какого рода чтение его ожидает.
Серия «Популярные лекции по математике», издаваемая Гостехиздатом,
начала выходить в 1950 г. К настоящему времени вышли 22 книжки1):
1950	г. Вып. 1. А. И. М а р к у ш е в и ч. Возвратные последовательности.
47 стр.
» 2. И. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум и мини-
минимум. 31 стр.
» 3. И. С. С о м и и с к и й. Метод математической индукции. 55 стр.
1951	г. » 4. А. И. Маркушев и ч. Замечательные кривые. 31 стр.
» 5. П. П. К о р о в к и и. Неравенства. 56 стр.
» 6. Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи. 47 стр.
» 7. А. Г. К у р о ш. Алгебраические уравнения произвольных сте-
степеней. 31 стр.
1952	г. » 8. А. О. Г е л ь ф о и д. Решение уравнений в целых числах.
63 стр.
» 9. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы. 51 стр.
1953	г. » 10. А. С. Смогорж ев ский. Метод координат. 39 стр.
» 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах.
68 стр.
» 12. И. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых величин.
53 стр.
1954	г. » 13. А. И. Маркушевич. Комплексные числа и конформные
отображения. 52 стр.
1) Указываем год первого издания каждой книжки. Некоторые книжки
переиздавались.


276	Н. М. БЕСКНН
1954г. Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательстве в геометрии. 58 стр.
» 15. И. Р. Ш а ф а ревич. О решении уравнений высших степе-
степеней (метод Штурма). 24 стр.
» 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции. 55 стр.
1955	г. » 17. В. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование? 63 стр.
» 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр. 39 стр.
» 19. Л. А. Л ю стер ник. Кратчайшие линии. 103 стр.
1956	г. » 20. А. М. Лопшии. Вычисление площадей ориентированных
фигур. 59 стр.
» 21. Л. И. Головина и И. М. Яг л ом. Индукция в геометрии.
99 стр.
» 22. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносоставленные
фигуры. 63 стр.
Разбирая серию, мы, разумеется, не будем фиксировать внимание
на мелочах и подробностях, как это делается при разборе отдельных
книг. Кроме того, отметим сразу, что научный уровень серии высокий.
Поэтому наша критика будет касаться главным образом содержания
и изложения.
Мы не знаем программы, которую намечали редакторы серии, и не
знаем даже, была ли такая программа. Заранее определить характер
книжной серии можно лишь в самых общих чертах, но когда серия уже
насчитывает более двадцати выпусков, то ее характер выясняется из
этих выпусков. Они оказывают влияние на каждого следующего автора:
когда он будет писать для этой серии, он будет стараться приспосо-
приспособиться к ее общему характеру. Поэтому желательно выдержать этот
общий характер, избегая неудачных отклонений, которые не должны
служить предметом для подражания.
Попытаемся сформулировать общие принципы, которые нам кажутся
руководящими для серии «Популярные лекции».
Первый принцип. Серия «Популярные лекции» имеет целью
возбуждать интерес к математике и учить математически мыслить. По-
Поэтому в книжках серии ясно выражены элементы, характерные для науч-
научного исследования в области математики: четкая постановка вопроса,
точные определения, по возможности полное исследование задачи, при-
примеры и контр-примеры.
Из этого принципа вытекает, что следует избегать материала, носящего
реферативный характер. Сообщения, что такой-то математик получил
такой-то результат, который в данной книжке нельзя изложить с до-
доказательством, допустимы изредка, в меру, в случаях крайней необ-
необходимости. Серия не ставит целью дать читателю систематические, без
пропусков, познания в какой-либо области. Читая книжки серии, читатель
должен мыслить—это главное.
Книжка «Возвратные последовательности» А. И. Маркушевича
(вып. 1 серии) вполне соответствует этой установке. В предисловии
автор говорит:
«Тема „Возвратные последовательности" близка к школьному курсу
(арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадра-
квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного много-


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ 110 MATEMAT1IKF»	277
членов, расположенных по возрастающим степеням и т. п.). Вместе с тем
это — настоящая маленькая математическая теория *), законченная, про-
простая, ясная, как и всё то, что вышло из рук крупнейших мастеров мате-
математического анализа, создавших эту теорию».
*) Для искушенного в математическом анализе читателя мы укажем,
что это точный аналог теории линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Возвратной последовательностью называется последовательность
ях, ы2, . . ., нп, . . ., каждый элемент которой есть линейная комбина-
комбинация k предшествующих элементов
«n+ft = cA1+*-i + GA1+ft-2+ • • • +akan
(числа k и а1г с2, . . ., ак для данной последовательности фиксиро-
фиксированы, т. е. не зависят от п). Прогрессии представляют частный слу-
случай возвратных последовательностей (fe=l). В книжке содержится
много интересных результатов с доказательствами.
Мы еще вернемся к книжке А. И. Маркушевича в связи с третьим
принципом.
Книжка «Решение уравнений в целых числах» А. О. Гельфонда
(вып. 8) не соответствует первому принципу. В ней слишком много
реферативного материала. В § 6 сообщается о результатах А. Туэ,
относящихся к решению в целых числах уравнений с двумя неизвестными
степени выше второй. Приводится результат Б. Н. Делоне: уравнение
ял:3 -j-_y3 = I (a — целое) не может иметь более одного решения в целых
числах (кроме тривиального д: = 0, _у=1) Далее:
«.Особым и весьма сложным методом К. Зигель доказал, что уравнение
Р (*,>>) = О,
где Р(х, у)— неприводимый многочлен выше чем второй степени относи-
относительно хну (другими словами, если в него входит член вида Aks xk у*, где
k-\- s > 2) может иметь бесконечное множество решений в целых х и у
только тогда, когда существуют числа ап, ап_г, . .., а0, a_v. . .,а__п и
1>п, Ъ„_1У . . . , Ьй, Ъ_1, . . ., Ъ_п такие, что при подстановке вместо х и у в
наше уравнение
мы получим тождество P(x,)i)sO относительно t. Здесь п — некоторое
целое число».
Весь этот материал приводится не только без доказательства, но
даже не разъясняется, почему условие Знгеля выполняется не для вся-
всякого уравнения.
Второй принцип. Интерес читателя должен относиться непо-
непосредственно к развитию математических теорий, рассуждений, доказа-
доказательств, задач и т. д. Не следует для возбуждения интереса пользо-


278	Н. М. БЕСКНН
ваться посторонними средствами вроде забавных или курьезных положений,
биографических моментов и т. п. Разумеется, забавные вопросы не
запрещаются, но они должны занимать подчиненное положение. Этим
принципом серия "«Популярные лекции по математике» резко отграни-
отграничивается от «занимательных книжек» типа сочинений Я. И. Перельмана.
«Занимательные книжки» рассчитаны на меньший возраст и на менее
зрелый вкус. Цель «занимательных книжек»—показать приложимость
математики к повседневно возникающим в обыденной жизни вопросам,
возбудить интерес необычными и забавными, но поучительными вопро-
вопросами. В «занимательных книжках» нет длинных рассуждений и единства
темы. Каждый вопрос может рассматриваться самостоятельно.
Для «Популярных лекций» характерно, что каждая книжка содер-
содержит развитие определенной темы. Чтение требует некоторой степени усид-
усидчивости. Интерес читателя возбуждается самой темой, а не забавным»
и неожиданными приложениями.
Иначе говоря, изложение должно представлять естественное развитие
избранной темы и не должно уходить далеко в закоулки в поисках
забавных приложений.
Рассмотрим с этой точки зрения книжки А. И. Маркушевнча
«Замечательные кривые» (вып. 4) и А. С. Смогоржевского
«Метод координат» (вып. 10).
Книжка А. И. Маркушевнча в значительной част» (8/4 объема) по-
посвящена коническим сечениям; это вполне естественно. Затем рассма-
рассматриваются лемнискаты, в том числе — лемнискаты со многими фокусами,
т. е. линии, для которых МРг-МРг.. .MFn=p. Сообщается, что
такие лемнискаты могут иметь самые причудливые формы. На рисунке
показаны лемнискаты в виде очертаний человеческой головы и птицы.
В заключение рассматривается циклоида, но в очень описательной
форме, без доказательств.
При столь небольшом списке рассмотренных кривых лемниската
попала туда незаслуженно: есть кривые более важные. Человеческая
голова и птица выглядят очень забавно, но для математического раз-
развития они бесполезны. Не объяснено, кйк подбираются фокусы лем-
лемнискат и не выяснено, почему лемнискаты являются столь гибкими.
По этому поводу говорится:
«Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии и
богатстве форм лемнискат со многими фокусами, доказывается совершенно
строго, но очень сложно, при помощи высшей математики».
Было бы гораздо полезнее, если бы вместо лемнискаты со многими
фокусами автор привел бы, например, логарифмическую спираль, вместо
человеческой головы и птицы рассказал бы о равноуголыюсти логариф-
логарифмической спирали и об ее поразительном свойстве не изменяться (пере-
(переходить в конгруэнтную спираль) при подобном преобразовании и вместо
ссылки на высшую математику дал бы подробное доказательство этих
свойств (которое вполне элементарно). Математический кругозор чита-
читателя от этого расширился бы. Разумеется, мы не навязываем автору


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	279
логарифмическую спираль, а приводим ее лишь для примера. Можно
привести сколько угодно аналогичных примеров. Свойства лемнискат
были бы вполне уместны в большой монографии о замечательных кривых,
но в маленькой брошюре они приобретают незаслуженное значение.
Книжка А. С. Смогоржевского начинается с очень элементарных
вещей. В §§ 1 и 2 автор вводит декартовы координаты. Его изложение
рассчитано на читателя, впервые знакомящегося с декартовыми коорди-
координатами. В § 3 решаются задачи о расстоянии между двумя точками и
о площади треугольника. Заметим, что эти задачи решаются плохо:
решение основано на частном чертеже, после чего утверждается без
доказательства, что полученная формула справедлива при любом распо-
расположении точек. Для данной серии такое изложение нежелательно: фор-
формула d = Y(x2—х^)г-\-(у2—уг)г не является самоцелью; гораздо важ-
важнее математическое развитие читателя. В настоящее время даже в
учебниках тригонометрии, рассчитанных на всех школьников, даются
еыводы, обеспечивающие общность результата. Тем более в серии,
рассчитанной на читателя, интересующегося математикой, нельзя прене-
пренебрегать этой стороной дела. Общность формул это — не техническая
деталь, а важнейшая особенность аналитической геометрии.
Далее автор придерживается обычной тематики небольших курсов
аналитической геометрии: уравнения прямой, параболы, полярные коор-
координаты. Заключительный параграф «Примеры определения фигур урав-
уравнениями» посвящен углублению метода координат. Метод координат
можно углублять во многих весьма важных направлениях. Например,
можно изучать координатную сетку в произвольной системе координат.
Можно обобщить понятие координат, рассматривая их как параметры,
определяющие элемент в произвольном непрерьшном множестве. Все эти
и многие другие вопросы расширяют математический горизонт чи-
читателя. Автор же избрал вопрос весьма забавный, производящий впе-
впечатление фокуса, но мало идейный. Он рассмотрел множество при-
примеров, показывающих, как, используя символы \х\ и Е(х) *), можно
получать уравнения разных удивительных фигур. Например, уравнение
\ x~E\x+-2)) + \У — Е[У+^)( —16 изображается бесконеч-
бесконечным множеством окружностей (рис. 1), а уравнение Е (х) = Е {у) изо-
изображается так, как на рис. 2.
Неужели для читателя, только что познакомившегося с методом
координат, эти вопросы являются первоочередными? Автор сходит с
прямой дороги развития идеи координат и уводит читателя в закоулок.
Третий принцип касается вопроса: на какого читателя рассчитаны
книжки серии? Этот вопрос очень важен, потому что расчет на опре-
определенного читателя это — единственное, что объединяет любую серию.
От серии нельзя требовать полного единообразия. Индивидуальность
*) Е(х) — целое число, удовлетворяющее неравенству х—1


280
Н. М. БЕСКИН
автора и особенности темы создают различия между книжками. Однако
надо договориться о некотором типичном читателе, для которого изда-
издается серия. Изображение этого читателя должно стоять на письменном
столе каждого автора, и каждый автор своими особыми средствами и
О
е-
о
о о
¦е-е*
о о
Рис. 1.
Рис. 2.
со своих личных точек зрения должен исходить из того, как постули-
постулированы свойства этого читателя.
Серия «Популярные лекции по математике» рассчитана на школьника
старших классов (главным образом, 9-го и 10-го, в меньшей степени —
8-го), обладающего живым умом и потенциальным интересом к матема-
математике, охотно разбирающегося в абстрактных рассуждениях, но не обла-
обладающего никакими познаниями в математике, кроме школьного курса, да
и то не в полном объеме (поскольку он еще не окончил среднюю школу).
Из этого принципа вытекает, что книжки серии не должны содер-
содержать математических ссылок, выходящих за рамки школьного курса.
Нежелательны также взаимные ссылки. Каждая книжка может читаться
самостоятельно.
Из этого принципа вытекают некоторые соображения о выборе темы.
Тема должна быть интересная и по возможности законченная, т. е. в
ней должны быть постановка некоторого вопроса, его решение и по
возможности исследование. Весьма полезны темы, непосредственно при-
примыкающие к темам школьного курса — углубление знакомых тем всегда
воспринимается с особым интересом. Нежелательны темы, которые пред-
представляют просто забегание вперед, т. е. изложение вопросов, входящих
в обычный курс математики—элементарной или высшей. Большинство
читателей данной серии будет изучать высшую математику. Если же
кто-нибудь захочет, не дожидаясь, научиться дифференцировать или
постичь классификацию кривых второго порядка, то для этого ему
лучше всего обратиться к подходящему учебнику. Книжки «Популяр-
«Популярной серии» издаются не для того. Они содержат материал, который
не найти в обычных учебниках.


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	281
Книжка В. Г. Шерватова «Гиперболические функции» (вып. 16)
не дублирует втузовского учебника анализа. Гиперболические функ-
функции рассмотрены в ней иначе. Автор рассказывает о гиперболиче-
гиперболическом повороте. Это позволяет обнаружить аналогию между свойствами
равносторонней гиперболы и свойствами окружности. Гиперболические
функции определены аналогично тому, как в школе определяются три-
тригонометрические функции. Это углубляет представление читателя о три-
тригонометрических функциях. Формулы сложения и другие свойства ги-
гиперболических функций доказываются геометрически с использова-
использованием свойств гиперболического поворота (и гиперболического угла) и
сопряженных диаметров гиперболы. Текст разделен на два столбца:
в левом проводятся рассуждения, относящиеся к тригонометрическим
функциям, а в правом — аналогичные рассуждения о гиперболических
функциях.
Эта тематика вполне соответствует задачам серии. Изложение —
четкое и тщательное.
К сожалению, последняя глава книжки «Связь с логарифмами» носит
иной характер. Нельзя стараться уложить в одну книжку необъятный
материал. Это приводит к тому, что автор мимоходом, в нескольких
словах вводит важные и трудные понятия, которые заслуживают само-
самостоятельной разработки. На небольшом числе страниц веодятся геоме-
геометрическая теория логарифмов, число е, аналитические выражения для
гиперболических функций, очень сложные приемы для разложения пока-
показательной п тригонометрических функций в степенные ряды, формулы
Эйлера. Изложение беглое, краткое и вряд ли доступное. В предисло-
предисловии говорится:
«Мелким шрифтом в главе III напечатан более трудный материал, не
рассчитанный на школьника».
Главу III лучше удалить.
Книжка В. Г. Болтянского «Что такое дифференцирование?»
(вып. 17) кажется нам не подходящей по тематике. Она посвящена
вопросу, входящему в курс высшей математики. В ней вводится поня-
понятие производной и рассматриваются обычные приложения.
Кроме темы, отметим еще один недостаток изложения. В книжке
нет никаких элементов техники дифференцирования. В ней нет ни одной
формулы, ставящей в соответствие какой-нибудь функции ее производ-
производную. Во всех примерах, рассмотренных в книжке, производная нахо-
находится непосредственным переходом к пределу. Математические понятия
имеют ценность лишь при условии, что существуют эффективные при-
приемы обращения с ними. Понятие производной было бы мало полезным
и чисто умозрительным, если бы не существовало простых способов
находить производные. Поэтому книжка о дифференцировании, имею-
имеющая объем свыше трех листов и совершенно не касающаяся техники
дифференцирования, может создать у читателя превратное представле-
представление о предмете.


282	и. м. бескин
Книжка А. И. Маркушевича «Площади и логарифмы» (вып. 9)
вполне соответствует задачам серии. Тема ее примыкает к школь-
школьному курсу, но она дает иную точку зрения на логарифмы, чем школь-
школьная. Автор вводит интеграл, определяемый как площадь криволинейной
ь	ь
п	п (IX,
трапеции, и вычисляет \xkdx. Логарифм определяется как V— .
Доказываются свойства логарифмов. Много внимания уделяется вычис-
вычислительной стороне.
Достоинством изложения является подробная проработка деталей.
Все утверждения доказываются. Мы уже отмечали, как это важно для
данной серии. Однако в самом конце книжки автор включил результат
Чебышева, относящийся к распределению простых чисел. Здесь автор
перешел на чисто описательное изложение без доказательств. Этот
результат в данной книжке является инородным телом.
Рассмотрим теперь остальные выпуски серии с изложенных выше
позиций.
Книжка А. И. Маркушевича «Возвратные последовательности»
(вып. 1), о которой мы уже упоминали, содержит места, вряд ли рас-
рассчитанные на школьника. Например, на стр. 17 говорится о связи
между неоднородной и соответствующей ей однородной системой линей-
линейных уравнений. В сноске даже используется теория определителей,
правда «для читателя, знакомого с этой теорией». В другой сноске1)
упоминаются линейные дифференциальные уравнения. Вообще книжка
излишне сложна. Сомнительно, стоило ли вовлекать такой специальный
вопрос, как закон составления коэффициентов многочлена, получающе-
получающегося при делении одного многочлена на другой.
Книжка И. П. Натансона «Простейшие задачи на максимум и ми-
минимум» (вып. 2) решает задачи на extrema (в большинстве геометрические),
применяя теорему: квадратный трехчлен ах2 -j- Ьх -J- с принимает экс-
экстремальное значение при х= — — ; эго—максимум при а<^0 и мини-
минимум при а ~^> 0.
Тема очень полезна. Квадратный трехчлен—один из важных объ-
объектов школьного курса математики, но он изучается недостаточно.
Часто дело ограничивается решением квадратных уравнений по фор-
формуле. Поэтому применение квадратного трехчлена к исследованию но-
нового понятия (экстремум) повысит интерес к школьному курсу, углубит
представления о квадратном трехчлене и познакомит с новой интерес-
интересной тематикой.
Вторая часть книжки ведет читателя на следующую ступень. В
ней подобраны задачи, решаемые на основании неравенств
.Хп
Jj Цитированной выше (стр. 277j.


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	283
Для последнего неравенства приведено поучительное доказательство,
связанное с индукцией от п = 2т к 2т + 1.
Книжка написана очень доступно.
Книжка И. С. Со минского «Метод математической индукции»
(вып. 3) очень хороша. Важность темы не нуждается в мотивировке.
Ясное доступное изложение и большое количество F0) интересных
примеров.
Книжка П. П. К о р о в к и н а «Неравенства» (вып. 5) слишком труд-
трудна, причем трудность вызывается не темой, а характером изложения.
Книжка написана непедагогично. В ней мало разъяснений. Особенно
неприятен следующий недостаток, присущий еще некоторым книжкам
серии: важнейшие понятия математики вводятся мимоходом, в не-
нескольких словах и притом так, как будто они играют чисто вспо-
вспомогательную роль. В книжке П. П. Коровкина на стр. 41 уделено
полторы строки понятию сходящегося ряда. Эти полторы строки не
сопровождаются никакими разъяснениями. Понятие сходимости заслужи-
заслуживает самостоятельного и достаточно подробного рассмотрения. Несколь-
Несколькими строками ниже читателю предлагается доказать, что гармонический
ряд расходится, хотя термин «расходимость» не был введен.
В книжке П. П. Коровкина не затронут вопрос о неравенствах,
содержащих неизвестные (решение неравенств), н не рассматривается
геометрический смысл неравенств.
Книжка Н. Н. Воробьева «Числа Фибоначчи» (вып. 6) в пер-
первой части (§ 1) представляет элементарную монографию о числах
Фибоначчи, вполне доступную ученику 8-го класса. Далее автор для
того, чтобы доказать, что lim Jfu±i=!±_L5 (важность этого ре-
п-»со ип	*
зультата совершенно не выяснена), вводит теорию непрерывных дробей.
Нельзя такую важную и большую идею, как непрерывные дроби,
вводить мимоходом. Здесь дело не только в краткости изложения, а
в том, что подобная конструкция книги создает у читателя совершен-
совершенно превратные представления о предмете, а именно:
—	Для чего нужны непрерывные дроби?
—	Для того, чтобы доказать, что для чисел Фибоначчи
«	2
— А -это последнее свойство чем важно?
На этот вопрос нет никакого ответа.
Математические теории должны излагаться в связи с важнейшими
проблемами, с которыми они связаны, например, непрерывные дроби —
в связи с диофантовыми приближениями.
Теория непрерывных дробей в книжке Н. Н. Воробьева изложена
в значительно большем объеме, чём в книжке А. О. Гельфонда (вып. 8).
Неприятное впечатление производит несогласованность термнноло-


284	н. м." bf.ckiiii
гии (у А. О. Гельфонда—цепные дроби, а у Н. Н. Воробьева—непре-
Воробьева—непрерывные).
Книжка А. Г. Куроша «Алгебраические уравнения произволь-
произвольных степеней» (вып. 7) посвящена вопросу, который всегда занимает
школьников, так как речь идет о непосредственном продолжении школь-
школьного курса алгебры. Однако отбор материала не соответствует задачам
серии: книжка в большей части носит реферативный характер. Сам
автор говорит в предисловии:
«В кей, рассчитывая на уровень знаний ученика девятого класса сред-
средней школы, мы даем обзор результатов и методов общей теории алгебраи-
алгебраических уравнений. Доказательства при этом не приводятся, так как иначе
пришлось бы переписывать почти половину университетского учебника выс-
высшей алгебры».
т
В книжке есть некоторый материал, который читатель может про-
проработать с карандашом в руках, но многое (алгебраические и транс-
трансцендентные числа, разрешимость в радикалах, Золотарев, Вороной,
Чеботарев, Абель, Галуа, группы, поля, кольца, теория матриц, ' не-
некоммутативные операции и т. д.) это—только слова. Они не содейст-
содействуют математическому росту читателя. В то же время в книжке нет
наиболее простых вопросов, вроде формул Внета, границ корней, нахо-
нахождения рациональных корней подбором и т. д.
О книжке А. О. Гельфонда (вып. 8) мы уже упоминали. До-
бавпм, что в ней также мимоходом вводятся цепные дроби (внутри па-
параграфа, посвященного уравнениям первой степени с двумя неизвестными).
Кроме того, книжка А. О. Гельфонда содержит нереальные лите-
литературные ссылки. Очень важно в серии для школьников ссылаться
только на такие источники, которые школьники (хотя бы самые луч-
лучшие) смогут использовать. С этой точки зрения ссылка (на стр. 38)
на книгу А. Я. Хннчнна «Цепные дроби» вызывает возражения. Эта
книга вряд ли доступна школьникам. У А. Я. Хннчнна есть значитель-
значительно более легко написанная работа на ту же тему (главы III—V статьи
«Элементы теории чисел» в первом томе «Энциклопедии элементарной
математики», М.—Л., 1951). Если это наше замечание кому-нибудь
покажется спорным, то следующие примеры будут бесспорными.
А. О. Гельфонд отсылает читателя к своим статьям «Приближения
алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцен-
трансцендентных чисел» («Успехи матсм. наук», 1949, вып. 4) и «Теория чисел»
(в сборнике «Математика в СССР за тридцать лет»). Мы считаем, что
в «Популярных лекциях» лучше ссылаться на учебники А. П. Киселева.
В области же теории чисел потолок читателя определяется книгой
Г. Н. Бермана «Число и паука о нем».
Очень интересна книжка Я. С. Дубнова «Ошибки в геометри-
геометрических доказательствах» (выи. 11). Софизмы, рассмотренные в книж-
книжке, в большинстве случаев не новы, но они снабжены убедительными
разборами. При объяснении так называемого аристотелева колеса автор
рассматривает два концентрических (правильных) «-угольника. Внеш-


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	285
нпй из них «перекладывается» по прямой с одной своей стороны на
соседнюю. Легко вычертить последовательные положения этих двух
многоугольников при таком дискретном «перекладывании» и элементар-
элементарными средствами исследовать линию, по которой движется каждая
вершина (эта линия составлена из дуг окружностей). Предельным
переходом при п—* оо можно перейти к аристотелеву колесу и со-
соответствующим циклоидам. Это объяснение выясняет все вопросы, до-
доводя их до числа. В книжке разобран цилиндр Шварца.
Книжка И. П. Натансона «Суммирование бесконечно малых
величин» (вып. 12) — одна из лучших книжек серии. Она посвящена
важнейшей теме и совсем не дублирует курса высшей математики.
В школьных курсах математики и физики есть множество вопросов,
где следует пользоваться интегрированием без интегралов, т. е, не-
непосредственным вычислением предела интегральной суммы. Было бы
очень полезно ввести этот метод в повседневное употребление в школе.
Для изложения характерно единообразие метода. Автор очень вни-
внимателен к читателю (даже посвящает две рубрики свойствам символа 2).
Рассмотрено большое число интересных примеров (площади, объемы,
давление, работа, средние значения). Читатель, проработавший эту книж-
книжку, полностью овладеет методом — и идейной стороной и выкладками.
Мы вынуждены сделать упрек издательству: чертежи круглых тел в
этой книжке никуда не годятся. Например, чертежи 10 п 22 ошибочны.
Книжка А. И. Марку ш ев и ча «Комплексные числа и конформные
отображения» (вып. 13) очень насыщена материалом. Сначала изу-
изучаются комплексные числа. Затем автор рассматривает преобразования
z' = z-\-a и z' = cz, выясняет их конформность (что тривиально). После
этого стиль изложения резко меняется. Автор скороговоркой сообщает
множество фактов без обоснования. Он приводит формулу, преобразую-
преобразующую стереографическую проекцию в меркаторскую:
к которой дается разъяснение, что е — «так называемое неперово
число», равное 2,71828. . . Больше о нем ничего не сказано. (Что
значит «неперово»? От какого существительного, иэрлцательного или
собственного происходит это название?) Далее рассказывается о крае-
краевых задачах, решаемых при помощи конформных отображений, в част-
частности, о задаче об обтекании данного профиля. Приводится портрет
Н. Е. Жуковского.
Это неудачно. Зачем говорить о теме, которую не удается раскрыть?
Теперь автор возвращается к математике с доказательствами и рас-
.. , г — а , , , If . 1 \ ..
сматривает отображения z = 	. , z =z и z =21 z\	)• Изложе
ние очень громоздкое, потому что автор ограничен элементарными
средствами. Читатель незнаком с производной и с топологией плоско-
плоскости комплексного переменного. Без доказательства сообщается


286	Н. М. БЕСКИН
(стр. 23 — 24), что преобразования, осуществляемые рациональными
функциями комплексного переменного, конформны, но в отдельных точ-
точках конформность может нарушаться.
Попытку изложить элементарными средствами какой-нибудь «высокий»
вопрос следует приветствовать, но в данном случае она оказалась не-
неудачной. Автору не удалось изложить вопрос о конформных отображе-
отображениях так, чтобы всё было доказано и чтобы читатель усвоил технику
вычислений, которую он мог бы сам применять в аналогичных случаях.
Весьма возможно, что этого нельзя сделать элементарными средствами.
Книжка А. И. Фетисова «О доказательстве в геометрии» (вып.
14) — единственная книжка серии, имеющая главным образом методо-
методологический характер. Автор ставит вопрос, зачем нужны доказательства
в геометрии, говорит о структуре теорем, о связи между прямой и
обратной теоремами. Изложение иллюстрируется многими поучитель-
поучительными примерами ошибок. Даются советы общего характера, как оты-
отыскать правильные доказательства.
Изложение вполне доступно ученику 6-го класса, за исключением
иллюстративных примеров, относящихся к курсу старших классов.
Последний параграф посвящен аксиоматике. Он значительно труд-
труднее предыдущего материала. Автор пытается на немногих страницах
изложить вопрос о непротиворечивости и независимости системы аксиом,
не вводя понятия об интерпретации.
В книжке есть небрежности. Например, на стр. 25 автор критикует
ошибку, встречающуюся в учебниках А. П. Киселева н Н. А. Глаго-
Глаголева при рассмотрении вопроса о боковой поверхности призмы. Автор
видит ошибку в том, что не всякую призму можно пересечь плоскостью,
перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей все эти ребра.
В действительности в упомянутых учебниких ошибки нет. Для приво-
приводимых там доказательств совершенно безразлично, пересекает плоскость
ребра или нет. Неверно формулируется закон достаточного основания
(автор так именует требование, чтобы всякое утверждение было обосно-
обосновано; законом достаточного основания в логике принято называть нечто
совсем другое).
Книжка И. Р. Шафаревича «О решении уравнений высших
степеней (метод Штурма)» (вып. 15) посвящена важной теме, но она
непорчена небрежностью изложения. Во-первых, в ней есть явно не-
необдуманные утверждения вроде:
«Не меньшую роль, чем квадратные уравнения, играют в математике
и ее приложениях уравнения третьей и более высоких степеней».
Во-вторых, автор часто не думает о том, как поймет его читатель.
В книге есть много мест, которые могут быть правильно истолкованы
только читателем, хорошо знающим предмет. Вот примеры:
«Дело в том, что для большинства уравнений высших степеней не су-
существует такой [разрядка наша.—Н. Б.] формулы, как для уравнений
второй степени. В тех же случаях, когда такая [разрядка наша.— Н. Б.]
формула есть, она настолько сложна . . . ».


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	287
Как должен понять школьник, чтб значит такая формула?
Приводя уравнение ах3-\-b.x?-\-ex-\-d = О к виду х3-\-рх*-\-дх-{-
-j-r^O, автор не объясняет, почему принято делить на а. Можно ли
условиться всегда делить на d и приводить уравнение третьей степени
к виду
+ = 0 ?
В книге, предназначенной для школьника, а не для специалиста-
математика, такой вопрос должен быть предусмотрен. В этом и заклю-
заключается педагогичность изложения.
Далее:
«Основным алгебраическим приемом, которым мы будем дальше поль-
пользоваться, является деление многочлена на многочлен с остатком».
Автор не объясняет, что значит «деление с остатком». Неужели
можно рассчитывать, что школьникам хорошо известна формулировка
этой задачи?
Таких примеров можно привести очень много, они характерны для
всей книжки. Автор пишет как рассеянный человек, который высказы-
высказывает часть своих мыслей, а часть забывает высказать:
«Пусть даны два многочлена, причем нам важен и порядок, в котором
они заданы. Первый многочлен обозначим через /,, а второй — через /а.
Мы будем предполагать, что /, и /2 не имеют общих корней, так как об"-
щне их корни мы можем найти по способу предыдущего параграфа».
Последняя фраза нуждается в дополнениях (найдя общие корни,
мы устраним их; задача, которая будет рассматриваться для данной
пары многочленов и которая пока еще не сформулирована, сводится
к задаче для другой пары многочленов). Сама по себе она не более
истинна, чем такая: можно предполагать, что квадратное уравнение
не имеет корней, потому что его корни мы умеем найти.
Книжка Г. М. Ми ракьяна «Прямой круговой цилиндр» (вып. 18)
имеет особое строение: в ней рассматриваются разные задачи
геометрии и физики, связанные тем, что все они имеют отношение к
прямому круговому цилиндру. Среди этих задач: винтовая линия, про-
проекция винтовой линии на плоскость, параллельную оси, винтовая линия
как геодезическая, плоские сечения цилиндра, объем цилиндрического
копыта, кинетическая энергия вращающегося цилиндра. Заканчивается
книжка рассмотрением цилиндра Шварца.
Создается впечатление, что в книжке нет единства темы. Отдель-
Отдельные вопросы соединены в одной книжке под некоторым искусственным
предлогом. Это нарушает стиль серии.
Особенно неестественно рассмотрение цилиндра Шварца под пред-
предлогом изучения свойств прямого кругового цилиндра. Работа Шварца
посвящена анализу самого понятия площади кривой поверхности. Хотя
вопрос рассмотрен на примере прямого кругового цилиндра, но подво-
подводить этот вопрос под рубрику свойств цилиндра совершенно непра-
неправильно.


28S	н. м. бескнн
Изложение вполне доступное, даже в конце. Все вопросы разобраны
с доказательствами.
Книжка Л. А. Люстерника «Кратчайшие линии» (вып. 19)
очень характерна для «Популярных лекций». Именно таков должен
быть характер этой серии.
Эта книжка чрезвычайно насыщена по содержанию. В ней громад-
громадный фактический материал из дифференциальной геометрии и вариа-
вариационного исчисления (с приложениями к физике). Весь этот материал
изложен доказательно. Ни в одном месте нет ссылок на результаты,
которые доказываются недоступными читателю методами. Доказатель-
Доказательства элементарны, они' имеют наглядный ннфинитезимальный характер.
Вводится понятие о соприкасающейся плоскости и, следовательно, о
всех элементах сопровождающего трехгранника пространственной кри-
кривой. Сначала рассматриваются кратчайшие линии на призме, пирамиде,
цилиндре, конусе, сфере. Затем автор вводит понятие о геодезических
на произвольной поверхности и выясняет их связь с задачей о кратчай-
кратчайшем расстоянии. Вводится понятие о геодезической кривизне и рассма-
рассматривается изопериметрнческая задача.
Ради экономии места мы не будем перечислять всех вопросов,
которые рассмотрены в книжке Л. А. Люстерника. Отметим еще, что
доступность изложения усиливается следующей особенностью: все общие
теоремы доводятся до весьма конкретных частных случаев.
Достоинством книжки Л. А. Люстерника является ясно выраженное
постепенное нарастание трудности. Первая глава совсем легкая, дальше
трудность усиливается. Самый конец книги, по-видимому, уже не реали-
реалистичен. Достаточно сказать, что на двух страницах изложена модель
Пуанкаре геометрии Лобачевского (в связи с оптикой), хотя нет
оснований предполагать у читателя знакомство с геометрией Лоба-
Лобачевского.
Заметим, что книжка Л. А. Люстерннка (как и книжка Л. И. Го-
Головиной и И. М. Яглома, вып. 21) вдвое превышает размеры
остальных книжек. Таким образом, эти две книжки нарушают едино-
единообразие книжек серии го объему. Возникает вопрос: узаконить ли это
положение (т. е. вы^ускмть книжки одинарные и двойные)? Мы
рекомендуем издательству не делать этого. Книжки серии не ставят
целью систематическое изложение предмета. Они должны в яркой фор-
форме изложить основные идеи темы и заинтересовать читателя. Для того
чтобы цель была достигнута, надо, чтобы читатель прочитал всю книгу.
А по каким причинам читатель часто не дочитывает математических
книг до конца? Кроме трудности предмета и трудности изложения,
большой объем—это фактор, сильно затрудняющий прочтение книги.
При прочих равных обстоятельствах для прочтения толстой книги надо
ке только затратить больше времени, но и проявить больше усидчи-
усидчивости и уменья систематически изучать длинную тему. Поэтому выпуск
двойных книжек значительно сужает круг читателей. Не только двойные,
но и большего объема книги могут печататься отдельно, но в данной


О СЕРИИ «ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ»	2S9
серии лучше ограничиться маленькими книжками. Кстати, название се-
серии говорит, что книга — это лекция.
Книжка А. М. Лопшица «Вычисление площадей ориентирован-
ориентированных фигур» (вып. 20) изучает свойства площадей (снабженных зна-
знаком) ориентированных треугольников и многоугольников. Полезность
этого понятия понятна. Автор рассматривает многоугольники с самопе-
самопересечениями и доказывает так называемую теорему сложения. Рассмо-
Рассмотрим выражение
s=(ол^,) + (Оли,) + ... -^(ол^^ЖОАЛ).
где скобки обозначают площади ориентированных треугольников, О —
произвольная точка в плоскости многоугольника. Это выражение не за-
зависит от положения точки О. Оно принимается за площадь ориентиро-
ориентированного многоугольника.
Далее в книжке излагаются теория планиметра и ряд задач, связан-
связанных с понятием вектора и ориентированного угла.
Книжка элементарна и доступна восьмикласснику.
Книжка Л. И. Головиной и И. М. Я г лома «Индукция в
геометрии» (вып. 21) построена по тому же принципу, что и книги И. М.
Яглома (пли с его участием) в «Библиотеке математического кружка»:
основу книги составляют отдельные примеры, расположенные в некоторой
системе и снабженные вводными пояснениями. В данной книжке читатель
найдет доказательства по индукции, построения по индукции, опреде-
определения по индукции, индукцию по числу измерений. Все примеры очень
интересны сами по себе. Они, как мы уже отметили, не являются ил-
иллюстрациями к тексту, а наоборот — текст играет подчиненную роль.
Рассмотрен ряд топологических задач (теорема Эйлера о многогранни-
многогранниках, задача о раскраске карт и др.). Есть задачи весьма трудные, но
это — хорошая, полезная трудность. Эта книга будет развивать школь-
школьника, имеющего вкус к трудным задачам. Богатство материала в ней
очень велико. О размере ее мы уже говорили выше.
Книжка В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставленные
фигуры» (вып. 22) имеет следующую особенность: автор обновил старую
тему. Популярная литература на эгу тему велика, и в ней выработались
некоторые штампы. Всегда рассказывается о теоремах Больаи—Гервнна и
Дена. В. Г. Болтянский включил совсем новые результаты швейцарских
математиков Хадвигера, Глюра и Зпдлера. Понятно, что расширение
темы следует приветствовать, но, к сожалению, эти результаты не под-
подверглись коренной переработке, после которой можно было бы при-
признать, что они методически освоены.
Книжка В. Г. Болтянского очень трудна. Мы не можем себе пред-
представить, чтобы школьники (кроме единиц) могли осилить такую книгу.
При этом ее трудность не окупается важностью полученных результа-
результатов, потому что теорема Хадвигера — Глюра носит узко специальный
характер. Зачем школьник, для которого есть еще столько незнакомых
больших и важных математических идей, должен тратить громадные
10 Матем. просвещение, вып. 2


290	н. м. бескнн
усилия на постижение следующей теоремы: два многоугольника, име-
имеющих равные площади, S-равносоставленых). Доказательство этой
теоремы вытекает из 14 (четырнадцати!) лемм.
В книге мимоходом вводится много важных понятий, как, например:
группа преобразований, инвариант. Аксиомы группы занимают 11/2
страницы.
Книжка В. Г. Болтянского кажется нам неудачной. Традиционный
материал (приблизительно в объеме книжки В. Ф. Кагана «Преобра-
«Преобразование многогранников») изложен в ней хорошо, а новые результаты
не освоены, да и вряд ли подходят для «Популярных лекций».
В «Добавлении» реферативно излагаются результаты вроде следу-
следующего:
«Теорема. Для равносоставленности многогранников А и В необхо-
необходимо и достаточно, чтобы их объемы были одинаковы и, кроме того, чтобы
для любого линейного аддитивного инварианта 2) х было выполнено равен-
равенство х(Л) = х(Д).
Иначе говоря, если равновеликие многогранники А и В не равносостав-
лены, то существует такой линейный аддитивный инвариант у, для кото-
которого х И) Ф (Я)
Мы рассмотрели все книжки серии «Популярные лекции по мате-
математике», причем по дурной рецензентской привычке останавливались на
недостатках значительно больше, чем на достоинствах. Особенно часто
отмечались введение в конце книги материала, по трудности дисгармони-
дисгармонирующего с предыдущим, и введение важных понятий мимоходом.
Наиболее элементарны и доступны выпуски 2, 3, 4, 11, 14 и 20.
Самый трудный—выпуск 22.
Теперь оценим серию в целом.
Серия «Популярные лекции но математике» — крупное культурное
достижение. Она дает доброкачественный научный материал, пользуясь
которым лучшие учителя смогут поднять математическую культуру
школы. Мы убеждены, что многие школьники вовлекутся в научную
работу по математике благодаря этой серии.
Характер серии, несмотря на отдельные отклонения, наметился
правильно. Главное пожелание на будущее: меньше реферативности.
Надо учить читателя самостоятельно доказывать, рассуждать, вычис-
вычислять. Будущего плотника надо учить владеть рубанком и делать своими
руками хотя бы простые вещи. Созерцание же уникальных произведений
выдающихся плотников не приведет к нужному результату.
г) Два многоугольника S-равносоставлены, если они могут быть соответ-
соответственно разложены на конечное число частей Mv /И2,..., М„ и М\, М'^ ...,М'п,
таких, что M'j получается из /И,- либо параллельным переносом, либо централь-
центральной симметрией.
*; Это понятие введено несколькими строками выше.


ДРУГАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ
(ПО ПОВОДУ ПРЕДЫДУЩЕЙ РЕЦЕНЗИИ)
И. М. Яглом
(Москва)
Н. М. Бескнн в своей оценке серии «Популярные лекции по ма-
математике» исходит из нескольких четко сформулированных общих
принципов, один из которых — третий — кажется мне ошибочным.
Н. М. Бескин утверждает, что «расчет на определенного читателя —
это единственное, что объединяет любую серию» и что «изображение
этого читателя должно стоять на письменном столе каждого автора».
В противоположность этому я считаю," что полного совпадения множеств
читателей всех книг определенной серии как раз не следует добиваться.
Мне кажется, что множестЕО предполагаемых читателей какой-либо
серии книг (в противоположность многотомным сочинениям, принадле-
принадлежащим одному автору или определенному авторскому коллективу) долж-
должно определяться не «условиями типа равенства», а «условиями типа
неравенства», т. е. круг читателей обязательно должен определяться
Еыраженнямн «от ... до . . .». Здесь можно сослаться на существую-
существующие традиции — ни одна из известных мне мало-мальски обширных се-
серий научных или учебных (или научно-учебных, или учебно-научных)
книг у нас или за рубежом не рассчитана вся целиком на одних и тех
же читателей. Указанные традиции вполне оправдываются тем, что
попытки выделить читателей Есех книг какой-либо серии «условиями
типа равенства» привели бы к необходимости иметь слишком много
различных серий; поэтому ни для какой серии не должен существовать
«портрет читателя этой серии, который автор мог бы иметь на своем
письменном столе».
Основные читатели книг серии «Популярные лекции по математике»—
это, по-моему, школьники старших G—8—9—10) классов средней школы
и студенты младших A—2) курсов вузов (и, естественно, люди, свя-
связанные с обучением этих основных категорий читателей); при этом
отдельные книжки рассчитаны на разные группы этих читателей (школь-
(школьники 7—8 классов, школьники 9—10 классов, студенты). Некоторые
книжки серии даже сами распадаются на части, адресованные разным
10*


292	и. м. яглом
категориям читателей; так, в предисловии к книжкам И. С. Сомннского
«Метод математической индукции» и Я. С. Дубнова «Ошибки в геомет-
геометрических доказательствах» (по моему мнению—принадлежащих к числу
лучших во всей серии) прямо сказано, что первая половина книжки
вполне доступна школьникам 7—8 классов, а вторая рассчитана на
несколько большие знания по математике; в предисловиях к книжкам
В. Г. Шерватова «Гиперболические функции» и В. Г. Болтянского
«Равновеликие и равносоставленные фигуры» указано, что начало их
рассчитано на школьников старших классов, а заключительные части —
уже разве что на студентов. Н. М. Бескнн в своей рецензии приво-
приводит соответствующую цитату из предисловия к книжке В. Г. Шер-
Шерватова и выводит из нее, что последнюю главу эгой книжки надо
было бы исключить — заключение, с которым я не могу согласиться.
По существу с точки зрения этого принципа, Н. М. Бескин кри-
критикует, по-моему, удачную книжку А. И. Маркушевича «Замечатель-
«Замечательные кривые». В предисловии к ней сказано, что она рассчитана в первую
очередь на школьников 7—8 классов; это полностью оправдывает
автора, который предпочел птицу и человеческую голову логарифми-
логарифмической спирали, хотя последняя и не изменяется ни по форме, ни по
размерам при преобразовании подобия (семиклассники не знают ни
логарифмов, ни подобия). И уже прямо ссылаясь на этот принцип,
И. М. Бескнн признает неудачным» книги А. И. Маркушевнча «Воз-
врагные последовательности», А. О. Гельфонда «Решение уравнений
в целых числах» и В. Г. Болтянского «Равновеликие и равносоставлен-
равносоставленные фигуры». Все эти три книжки кажутся мне весьма полезными (хотя со-
содержательная и хорошо построенная книжка А. О. Гельфонда и не от-
отредактирована достаточно тщательно). Особенно удачна книжка
В. Г. Болтянского, который с подъемом рассказал об интересных и принци-
принципиальных работах швейцарской школы геометров; книжка содержит
также интересные результаты самого автора. В предисловии к книжке
В. Г. Болтянского отчетливо указано, на какого читателя рассчитаны
отдельные главы книжки. Следует пожалеть о том, чго в предисловиях
к книжкам А. И. Маркушевича и А. О. Гельфонда круг возможных
читателей не очерчен с такой же определенностью.
Хочется пожелать, чтобы в дальнейшем серия книг «Популярные
лекции по математике» продолжалась с не меньшим успехом, чем до
сих пор; издательству же следует требовать от авторов, чтобы в
предисловиях к книжкам серии были сделаны указания относительно
тех читателей, для которых книжка предназначена.


УЧЕБНАЯ КНИГА НОВОГО ТИПА
В. А. Солодков
(Москва)
М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математи-
математике, М., Ш57 г., 783 стр.
Свой авторский замысел М. Я. Выгодский формулирует в преди-
предисловии к справочнику:
«Книга имеет двоякое назначение.
Во-первых, она дает фактическую справку: что такое векторное произ-
произведение, как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию
в тригонометрический ряд и т. п.
Во-вторых, книга предназначена для систематического чтения. Она не
претендует на роль учебника, и потому доказательства проводятся здесь
полностью лишь в исключительных случаях. Однако она может служить
пособием для первого ознакомления с предметом. С этой целью здесь
подробно разъясняются основные понятия... С этой же целью все правила
иллюстрируются большим числом примеров, которые составляют в этой
книге органическую ее часть ...
Благодаря большому числу примеров и практических применений книга
могла бы служить пособием для упражнений по курсу высшей мате-
математики.»
Такой «круг назначений» выходит далеко за рамки наших обыч-
обычных представлений о справочнике по математике.
Свою «чисто справочную» функцию книга М. Я. Выгодского вы-
выполняет совершенно безукоризненно. Это достигается двумя простыми
средствами—весьма детальной рубрикацией текста и очень подробным
алфавитным указателем *). Например, на стр. 293 — 294 автор помещает
три небольших параграфа (§§ 236—238): 1) Функция от функции (сложная
функция); 2) Дифференциал сложной функции; 3) Производная сложной
функции. В учебнике по анализу их можно было бы объединить в один
параграф под названием «Сложная функция и ее дифференцирование».
Но в справочнике надо было сделать именно так, как это сделано у
М. Я. Выгодского, потому что это облегчает получение нужной справки.
х) Алфавитный указатель справочника содержит 15 страниц (в 2 столбца),
или более 1200 терминов и имен.


294	в. а. солодков
Сочетание детальной рубрикации текста и подробного алфавитного
указателя дает большой практический эффект. Это особенно видно
при сравнении книги с неоднократно издававшимися у нас в тридца-
тридцатых годах математическими справочниками Дуббеля и Дэлла, в кото-
которых современный читатель, избалованный «удобствами» рецензируемой
книги, с трудом ориентируется 5).
Детальная рубрикация текста нужна М. Я. Выгодскому также и
для того, чтобы шире использовать систему перекрестных ссылок на
другие параграфы.
Опыт показывает, что при пользовании всяким справочником отве-
ответы на вопросы читателя доходят до него лишь в том случае, когда
справочник содержит не только одни определения, теоремы и форму-
формулы, но также известный минимум относящихся к ним пояснений и
примеров, которые конкретизируют смысл данных определений, теорем
и формул, указывают границы их применимости и т. д.
В справочнике М. Я. Выгодского удельный вес и значение поясни-
пояснительного материала и особенно роль примеров необычайно велики.
Чтобы оценить в полной мере эту особенность справочника, рассмо-
рассмотрим подробнее его содержание.
Основной материал справочника (кроме таблиц, занимающих послед-
последние 18 страниц) можно разделить условно на две части: аналитиче-
аналитическую геометрию и математический анализ.
Первая часть распадается на два раздела: 1) аналитическая
геометрия на плоскости (99 стр.), 2) аналитическая геометрия в прост-
пространстве A27 стр.).
Вторая часть состоит из семи разделов: 1) основные понятия мате-
математического анализа C6 стр.), 2) дифференциальное исчисление
A16 стр.), 3) интегральное исчисление A03 стр.), 4) основные све-
сведения о плоских и пространственных кривых C4 стр.), 5) ряды
(90 стр.), 6) дифференцирование и интегрирование функций не-
нескольких аргументов G7 стр.) и 7) дифференциальные уравнения
E0 стр.).
Весь основной текст справочника разбит на 515 небольших пара-
параграфов, из которых на первую часть падает 194, а на вторую — 321.
В среднем на один параграф приходится по 1,4 страницы, но наряду
с параграфами в 5 — 6 строк (§§ 11а, 80, 206 н др.) имеются па-
параграфы в 7 — 8 страниц (§§ 272 или 307). На аналитическую гео-
геометрию в справочнике приходится 30% текста (около 12 авт. листов),
а на математический анализ — 70% (около 28 листов). Аналитической
геометрии М. Я. Выгодский уделил несколько больше места и
внимания, чем это предусматривается в программах и учебных пла-
планах по курсу высшей математики во втузах и реализуется в учеб-
учебной литературе. Так, например, в «Курсе высшей математики»
*) Такой же заботой о читателе отличается и «Справочник по элементарной
математике» М. Я. Выгодского.


УЧЕБНАЯ КНИГА НОВОГО ТИПА	295
А. К. Власова раздел аналитической геометрии занимает всего лишь
8 — 9 авт. листов. При изложении аналитической геометрии М. Я. Вы-
Выгодский шире, чем в существующих у нас учебниках, использует
аппарат векторной алгебры.
У читателя может возникнуть естественный вопрос: насколько пра-
правомерны сравнения справочника с учебниками и ссылки на программы
и учебные планы. Но в данном случае они правомерны и уместны,
если учитывать указанные выше установки автора и соответствующую
этим установкам структуру справочника.
Прежде всего в отличие от упомянутых ранее справочников
Дуббеля и Дэлла, предназначенных главным образом для инженеров
и техников (в широком смысле этого слова), и в гораздо большей
степени, чем известный справочник И. Н. Бронштейна и К. А. Семен-
дяева, рассматриваемая книга М. Я. Выгодского адресована студен-
студентам втузов.
В своем предисловии к справочнику автор указывает, что
«эта книга... включает в себя весь материал, входящий в курс мате-
математики высших технических учебных заведений (механико-машиностроитель-
(механико-машиностроительных, строительных, авиационных, транспортных, электротехнических, энер-
энергетических и горно-металлургических)».
Если же учесть тот «круг назначений» справочника, о котором
шла речь выше, то станет ясно, что М. Я. Выгодский стремился
создать своеобразное учебное пособие — «.вспомогательный учебник-»
для студентов высших технических учебных заведений, в котором
справочной и учебно-методической сторонам уделяется одинаково
б._>льшое внимание.
Справочник М. Я. Выгодского не является учебником в обычном
смысле слова, ибо полные доказательства даются в нем «лишь в
исключительных случаях». Но разве наличие всех доказательств имеет
решающее значение для того, чтобы книгу можно было использовать
как учебник? Разве нельзя привести примеров, когда, несмотря на
наличие в книге доказательств всех теорем (а быть может, именно
из-за этого!), ее нельзя считать учебной? Разве преподавателям ма-
математики не приходится на каждом шагу сталкиваться со студентам»,
которые знают на экзаменах доказательства всех теорем и выводы
всех формул, но не понимают смысла этих теорем и не представляют,
как использовать формулы.
Учебная книга прежде всего должна научить студентов понимать
смысл всех определений, теорем и формул и уметь пользоваться
ими для решения конкретных задач, а для этого она должна давать
ясные ответы на вопросы двух типов: «что это такое?» и «как это
сделать?» (Математика более, чем какая-либо другая наука, требует
«умения» от того, кто хочет ее «понять».)
Несомненно, что именно эти соображения в первую очередь имел
в виду М. Я. Выгодский, приступая к созданию своего оригинального
«Справочника». Этим прежде всего объясняется постоянная забота


296	В. А. СОЛОДКОВ
автора о всестороннем выяснении смысла основных понятий, которой
проникнуто всё содержание книги. Читатель часто находит в справоч-
справочнике такие пояснения и аспекты, которыми иногда незаслуженно пре-
пренебрегают авторы учебников, ссылаясь на «недостаток места и времени»
(см., например, мелкий шрифт на стр. 145, разъяснение механиче-
механического смысла теоремы Коши на стр. 336, вторую сноску на стр. 660,
замечание в конце § 483 и др.). Очень многие параграфы, кроме
обычного пояснительного текста, содержат особые «Замечания» (обоб-
(обобщения, частные случаи или особенности данного определения, теоремы
или формулы) и «Пояснения», указывающие основную идею доказа-
доказательства. В мелком шрифте и в сносках автор часто дает читателю
краткие исторические справки или методические указания — иногда
весьма тонкого характера (см., например, замечание на стр. 98, при-
пример 5 на стр. 371, замечание к определению длины плоской дуги
на стр. 493, объяснение нераздельности символов ^- и т- на стр. 634).
Одной из основных особенностей справочника является необычай-
необычайно большое количество рассмотренных в нем примеров. Каждый пара-
параграф— исключения очень редки!—содержит хотя бы один, а в боль-
большинстве случаев несколько конкретных числовых примеров.
Примеры в книге М. Я. Выгодского (как справедливо подчеркива-
подчеркивает и сам автор) «составляют органическую ее часть». Удалив при-
примеры или даже только значительно сократив их число, мы получим
по существу совсем другую книгу.
Большое количество примеров в справочнике объясняется прежде
всего тем, что книга рассчитана не только на читателя, занимающе-
занимающегося под наблюдением опытных преподавателей, но и на студентов
заочных и вечерних вузов, на лиц, занимающихся самообразованием,
проживающих вдали от крупных культурных центров. Перед читате-
читателями этой (весьма значительной в наше время!) категории могут
возникать такие трудности, о которых студент, избалованный возмож-
возможностью повседневных консультаций, не имеет никакого предста-
представления. Весьма простые вещи, которые опытный преподаватель разъ-
разъясняет на занятиях мимоходом, в двух словах, могут вызвать массу
мучительных недоумений у студента-заочника. Учитывая это обстоя-
обстоятельство, автор рецензируемого справочника как бы не делает раз-
различия между крупным и мелким, между сложным и простым, между
важным и второстепенным. В действительности же он стремтся
к тому, чтобы мелкие, простые и второстепенные детали не пре-
преграждали учащимся дорогу к крупному, сложному и главному, и по-
поэтому разъясняет на примерах как простые, так и сложные вопросы.
Все примеры построены так, чтобы суть дела не заслонялась дополни-
дополнительными трудностями технического порядка. Это — примеры не для
упражнения и тренировки, а исключительно для понимания того, «что
это такое» и «как это сделать». (В этом отношении весьма характерны
примеры 2 и 3 в § 325.)


УЧЕБНАЯ КНИГА НОВОГО ТИПА	297
Несомненно, читатели будут благодарны автору особенно за тот
материал, который, «не помещаясь» в учебниках, относится обычно
для рассмотрения на упражнениях или в методических указаниях, но
по недостатку времени и другим причинам часто не рассматривается
и там. Не следует упрекать М. Я. Выгодского в чрезмерном увлечении
тривиальными примерами, зная, что примеры не «являются» тривиаль-
тривиальными, а лишь «становятся» таковыми в процессе обучения: простым
является только то, что хорошо понято.
В заключение, говоря о примерах, нельзя не вспомнить глубокого
замечания Ньютона о том, что «при изучении наук примеры не ме-
менее поучительны, нежели правила». Эти слова вполне можно было
бы поставить в качестве эпиграфа к справочнику М. Я. Выгодского.
В книге имеется лишь небольшое число примеров и иллюстраций
из области физики, механики и техники (см. пример 2 на стр. 274,
замечание на стр. 495 и т. п.), причем все эти примеры не отра-
отражают особенностей нового этапа в развитии науки и техники. Послед-
Последнее обстоятельство частично объясняется тем, что математический ап-
аппарат новых областей современной техники выходит далеко за пределы
элементарного курса высшей математики, но главная причина здесь
состоит в том, что целевая установка справочника лежит в плоскости
совсем иных интересов.
Отметим некоторые методические особенности изложения в справоч-
справочнике. Начнем с первой части — с аналитической геометрии.
В § 28 автор приводит более прямой и наглядный вывод формулы,
определяющей расстояние от точки до прямой, не требующий предвари-
предварительного вывода нормального уравнения прямой (которое, в сущности,
и не имеет более никаких применений!). Этот естественный вывод до
сих пор не нашел себе места в учебниках по аналитической геометрии.
Для упрощения уравнений и классификации кривых вто рого поряд-
порядка в справочнике приводится наряду с обычным способом (использую-
(использующим инварианты) более прямой путь, несколько более громоздкий, но
зато не требующий никаких вспомогательных теорем. Он, несомненно,
заслуживает внимания при сокращенном курсе аналитической геометрии.
В § 92 автор (следуя Н. И. Мусхелншвнлн1)) проводит различие
между геометрической и алгебраической проекциями век-
вектора а. Первая представляет собой вектор и обозначается символом
Пр а, вторая (обозначаемая символом пр а) представляет собой число.
В наиболее распространенных во втузе учебниках по аналитической
геометрии (И. И. Привалова и Н. В. Ефимова) такого различения не
делается: проекция вектора трактуется исключительно как число. Но
такая терминология непоследовательна: проекция точки есть точка,
проекция отрезка есть отрезок, а проекция вектора (т. е. направлен-
направленного отрезка!) есть . . . число.
*) См. Н. И. Мусхелишвили, Курс аналитической геометрии, издание
третье, ГТТИ, 1947.


298	в. а. солодков
Надо, наконец, отметить как положительный момент то обстоятель-
обстоятельство, что в §§ 186—190 исследование и решение систем линейных
уравнений с помощью определителей проводятся в тесной связи с изу-
изученным ранее материалом по геометрии прямых и плоскостей.
Заканчивая рассмотрение первой части справочника, сделаю не-
несколько частных замечаний.
1) Уравнение B) в примере 1 § 65 может быть решено проще,
чем это сделано в справочнике. Переписав это уравнение в виде
2(х—уJ -j- 8(л:—у) — 17 = 0, решаем его как квадратное относитель-
относительно разности х — у, откуда
у = х + 2±-±.
Впрочем, этот прием применим во всех случаях, где линия распа-
распадается на пару параллельных прямых: в этом случае уравнение данной
линии можно записать в виде	•
или
{ax+by+cj
(ах -f- byf -f- {cx + c2)(ax + by) -f- ехсш = 0
и решить как квадратное относительно двучлена ах -j- by.
2)	Понятие об определителе третьего порядка впервые дается на
стр. 151, тогда как читателю приходится иметь дело с определителями
третьего порядка уже на стр. 92. Было бы гораздо удобнее поместить
текст параграфа 118 между § 62 и § 63, введя § 62а. (Именно так
и поступил автор с определителями второго порядка, упомянув о них
уже в § 12 на стр. 25.) Правда, благодаря наличию ссылок читатель
нигде не попадает в безвыходное положение, поэтому речь идет лишь
о некотором композиционном просчете автора. (Конечно, автор имел
право сосредоточить все сведения об определителях в § 182, но этого
не сделано.)
3)	На стр. 217—218 дается перечень поверхностей 2-го поряд-
порядка, причем уравнения поверхностей относятся к определенной си-
системе координат, а изображения поверхностей показаны без коорди-
координатных осей. Ценность таблицы увеличится, если поверхности будут
показаны вместе с той системой координат, к которой отнесены урав-
уравнения.
Переходим ко второй части книги—математическому анализу.
Педагогических «находок» в ней очень много, и я на каждой из них
останавливаться не буду. Несмотря на сжатость, иногда даже лако-
лаконичность языка, автору удается найти столь отчетливые формулировки,
что вместе с необходимыми пояснениями, примерами и контр-примерами
изложение даже наиболее трудных вопросов очень ясное.
Остановимся на частных недостатках второй части.


УЧЕБНАЯ КНИГА НОВОГО ТИПА	299
1)	Теория пределов начинается в справочнике с определения пре-
предела последовательности (§ 203) и предела функции (§§ 204 и 205).
Таким образом, студент, изучавший теорию пределов «по Лузину»
(а таких—сотни тысяч!), не найдет в справочнике предеаа «независимой»
переменной. Автор справочника не счел нужным в данном случае как-
нибудь мотивировать свою методику1). А между тем из-за отсутствия
мотивировки многие читатели будут расценивать как досадный пробел
отсутствие в справочнике определения предела переменной ве-
величины, тем более, что предел постоянной величины оп-
определяется в отдельном параграфе (§ 206). Мне кажется, что сообра-
соображения формально математического «удобства» в данном случае одер-
одержали у автора верх над интересами чисто педагогического характера.
2)	В § 228 определение дифференциала начинается так:
«Пусть приращение функции у=/(х) разбито па сумму двух членов
A)
где А не зависит от Дх (т. е. постоянно при данном значении аргу-
аргумента х) и а имеет высший порядок относительно Дх (при Дх ->¦ 0). Тогда
первый («главный») член, пропорциональный Дх, называется дифференциалом
функции /(х) . . .».
Внешний вид формулы A) прост, но требования, накладываемые
на величины Л и а, в совокупности так сложны, что у читателя мо-
может возникнуть вопрос: «А всегда ли приращение функции y=f(x)
может быть разбито на сумму таких двух членов?» Этого недоуме-
недоумения не могло бы возникнуть, если бы вместо слова «пусть» в опре-
определении стояло слово «если».
3)	Определение производной, данное в § 224, имеет небольшой
редакционный дефект: «производной функцией называется предел, к
которому стремится отношение бесконечно малого приращения функции
к соответствующему бесконечно малому приращению аргумента». В пре-
пределах этой формулировки неясно, что в первом и во втором случае
речь идет о разных функциях.
4)	В § 231 («Дифференцируемые функции») недостаточно отчетливо
выясняется связь дифференцируемое™ с непрерывностью. Параграф
начинается словами «непрерывная функция, имеющая (в данной точке)
дифференциал, называется ёифф&решщруемойъ. Это безусловно так,
поскольку всякая дифференцируемая функция непрерывна, но полезнее
было бы указать, что непрерывность является следствием дифферен-
цнруемости, нежели, определяя дифференцируемую функцию, сразу
предполагать ее непрерывной. Правда, в следующем абзаце автор ука-
указывает, что «разрывная функция не может иметь в точке разрыва ни
производной, ни дифференциала»; однако можно быть уверенным,
что лишь немногие студенты из совокупности этих двух предложений
1) В других—и притом не менее трудных — случаях автор не боится
давать такую мотивировку (см., например, замечание в конце § 200).


300	В. А. СОЛОДКОВ
сумеют сделать заключение о том, что непрерывность является след-
следствием дифференцируемое™.
Несомненным достоинством справочника является то большое вни-
внимание, которое в нем уделяется (особенно во второй части) вопросам
численного решения конкретных задач и, в частности, вопросам при-
приближенных вычислений. Автор использует каждую возможность для
того, чтобы выработать у своих читателей—будущих инженеров —
умение и вкус к чисто вычислительной стороне математического ана-
анализа, которая в данном случае имеет, пожалуй, не меньшее значение,
чем его идейное богатство. Не имея возможности входить в более по-
подробное рассмотрение указанной стороны справочника, я отмечу здесь
лишь наиболее характерные в этом смысле параграфы: §§ 248, 249,
258, 265, 272, 288—290, 329—332, 402, 490—491 1).
Яркой особенностью рецензируемого справочника является наличие
в нем большого количества исторнко-математическнх сведений, сооб-
сообщаемых как во вводных параграфах (см., например, §§ 1, 191, 222,
292, 366, 412), так и попутно с изложением фактического мате-
материала — в замечаниях, в сносках и даже в специальных параграфах
(см. § 270).
Целесообразность помещения таких сведений в математическом
справочнике не подлежит никакому сомнению, ибо—как справедливо
замечает автор — «сознательное усвоение математических идей чрезвы-
чрезвычайно облегчается при ознакомлении с обстоятельствами их зарождения
и развития». Кроме того, студенты втузов не изучают истории мате-
математики; поэтому попытку восполнить хотя бы в небольшой мере этот
пробел следует приветствовать. Все, кому довелось преподавать мате-
математику во втузе, могут" подтвердить, с каким живым интересом сту-
студенты относятся к тем — по необходимости кратким — нсторико-мате-
матическнм справкам, которые можно сообщить на занятиях, не выходя,
так сказать, за пределы дозволенного. Поэтому нельзя сомневаться
в том, что основные читатели справочника — студенты — в своем пода-
подавляющем большинстве горячо Одобрят историко-математический аппарат
рецензируемого справочника. Наконец, нельзя не указать на огромную
роль историко-математического элемента в повышении общей культуры
наших инженеров. Наиболее ярким подтверждением этого обстоятель-
обстоятельства может служить научная и инженерная деятельность академика
А. Н. Крылова. А. Н. Крылов очень часто обращался к истории науки,
и нередко эти исторические экскурсы служили ему отправными пунк-
пунктами для разработки новых математических методов в инженерной
практике.
Во второй части справочника надо отметить весьма обстоятельное
изложение раздела дифференциальной геометрии, носящего название
*) Чтобы придать этой стороне справочника большую законченность, было
бы полезно в следующих изданиях посвятить 2—3 параграфа графическому
интегрированию и описанию полярного планиметра.


УЧЕБНАЯ КНИГА НОВОГО ТИПА	SO 1
«Основные сведения о плоских и пространственных линиях» (стр. 498—
531). Начиная с § 351, в этом разделе систематически применяется
аппарат векторной алгебры, дополненный такими основными понятиями
векторного анализа, как производная и дифференциал вектор-функции
скалярного аргумента.
Здесь нельзя не пожалеть о том, что автор не счел возможным
поместить в справочнике небольшой раздел, посвященный векторному
анализу (теории поля), ибо в большинстве втузов студенты изучают
его—даже в рамках основного курса—в гораздо большем объеме,
чем дифференциальную геометрию. Приходится с сожалением конста-
констатировать, что в разделе интегрального исчисления справочника совсем
не рассматриваются интегралы по поверхности и нет теорем Остроград-
Остроградского и Стокса даже в их скалярной формулировке. Этот пробел надо
ликвидировать в ближайших изданиях.
Из других более частных пробелов справочника следует отметить
отсутствие в нем параграфа (§ 308а?), посвященного интегрированию
рациональных дробей по способу Остроградского. Общий способ, из-
изложенный в § 307, оказывается практически непригодным для интегри-
интегрирования алгебраических дробей вида j^-~ в том случае, когда знамена-
тель Q(x) имеет кратные комплексные корни. Именно поэтому способ
Остроградского излагается во многих втузах.
В разделе «Дифференциальные уравнения» необходимо добавить
параграф об ортогональных траекториях.
В справочнике имеется 478 чертежей, хорошо помогающих пони-
пониманию текста. Среди чертежей есть очень удачные, например чертеж
433, иллюстрирующий геометрический смысл частных производных. Чер-
Чертежи 401 и 422 вызывают досаду тем, что, будучи весьма простыми,
они занимают очень много места. Напротив, чертежи 405, 456, 442 можно
было бы сделать немного крупнее.
Досадным недостатком первого издания является большое количе-
количество опечаток и притом иногда очень чувствительных. Так, например,
формула для дифференцирования функции у от х, заданной парамет-
параметрическими уравнениями
*=/(<), -V = <?('),
имеет в первом издании справочника следующий вид:
dx
Таким образом, допущенная здесь ошибка «закрепляется» в соз-
сознании читателя с помощью повторения! Не менее грубые ошибки
имеются и в других местах. Из-за неряшливости издательства сотни
тысяч (тираж первого издания—150 000) неопытных читателей по-
потратят много сил и времени на разгадку ошибок, а некоторые из них,
может быть, эти ошибки «выучат наизусть».


S02	в. а. солодков
В предисловии к «Справочнику по высшей математике» М. Я. Вы-
Выгодский указывает, что «эта книга составляет продолжение „Спра-
„Справочника по элементарной математике" того же автора». Единство
стиля и композиции, общность целей, своеобразие и последователь-
последовательность методических установок автора дают все основания рассматривать
«Справочник по элементарной математике» и «Справочник по высшей
математике» как два этапа в реализации единого творческого замысла.
И если ранее отмечалось, чго первая книга «по своей композиции ...
приближается к типу инженерно-технических справочников энциклопе-
энциклопедического характера»1), то теперь с еще большим правом можно ска-
сказать, что вторая книга представляет собой карманную энциклопедию
по элементарному курсу высшей математики. Полнота содержания,
легкость получения нужной справки, обстоятельность в выяснении
содержания основных понятий и теорем, краткость изложения при
сохранении ясности и точности выражений и формулировок, большое
количество примеров и иллюстраций, позволяющих быстро понять не
только идейную, но и оперативную сторону дела, наконец, наличие
минимальных историко-математнческих сведений — все эти характер-
характерные черты краткой математической энциклопедии нашли в справочнике
М. Я. Выгодского свое удачное воплощение!
С опубликованием рецензируемого справочника советская учебная
математическая литература обогатилась оригинальной учебной книгой
нового типа п притом именно такого типа, в котором сейчас испыты-
испытывают потребность многие сотни тысяч студентов и многие тысячи
преподавателей высшей математики.
От редакции. В редакцию «Математического просвещения» поступила
еще одна рецензия на «Справочник по высшей математике» М. Я. Выгодского,
написанная В. А. Чуриковым. Общая оценка книги в этой рецензии не отли-
отличается от оценки В. А. Солодкова. В. А. Чуриков приводит большой перечень
опечаток в рецензируемой книге и высказывает пожелание, чтобы справоч-
справочник был пополнен некоторыми формулами и примерами на применение высшей
математики к механике и физике. Он указывает также на целесообразность
включения в справочник таблиц, имеющихся в «Справочнике по элементарной
математике» М. Я. Выгодского.
') См. журнал «Математика в школе», № 5 за 1953 г., стр. 76.


КАК ДЕЛАЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ
Ф. В. Широков
(Москва)
G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, vol.
1, II, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1954.
Прошло уже около пятидесяти лет со времени выхода книги
Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрэння высшей» '). Пос-
После выхода этой и других книг Клейна появление книг Д. Полна2)
является первым столь же крупным событием в области преподавания мате-
математики. «Задачи и теоремы из анализа» Полна и Сеге давно уже стали
настольной книгой каждого математика-аналитика. Недавно вышло вто-
второе русское издание этой книги. Вслед за «Задачами и теоремами»
появились элементарная книжка Полна «Как это решить?» 3) и превос-
превосходная книга «Математика и правдоподобные рассуждения», которая и
рассматривается в настоящей рецензии.
Один из крупнейших современных аналитиков Д. Полна является
также и искуснейшим педагогом.
По мнению Полна, высшая цель преподавания состоит в том, чтобы
систематически побуждать учащегося делать самостоятельные открытия.
Этой цели подчинена внутренняя организация книг Полна. Та или иная
математическая задача выступает в этих книгах не изолированно, а все-
всегда в окружении родственных ей задач. Задачи, зацепленные одна за
другую, постепенно ведут читателя вглубь математического исследования.
Это — стиль автора.
Однако «Математика и правдоподобные рассуждения» не является
просто еще одной иллюстрацией этого высшего педагогического стиля.
Основное назначение этой книги — выяснить роль правдоподобного рас-
рассуждения в математическом творчестве.
1)	Русский перевод первого тома был выпущен в 1912 г. издательством
Mathesis; перевод всей книги был издан в 1933—1934 гг. ГТТИ.
2)	Имя и фамилия известного американского математика G. Polya про-
произносится как Дьердь Пбйа. В русской литературе установилась транскрип-
транскрипция Полиа. (Прим. ред.)
8) См. рецензию в 1-м выпуске «Математического просвещения», стр. 255.


304	ф. в. Широков
«Строго говоря, всё наше знание вне математики и доказательной ло-
логики (которая фактически является ветвью математики) состоит из пред-
предположений. . . Мы обеспечиваем наше математическое знание доказа-
доказательным рассуждением, а наши предположения мы подкрепляем рассу-
рассуждением правдоподобным ...
Разница между этими двумя видами рассуждений велика и многообразна.
Доказательное рассуждение надежно, гарантировано от противоречий и
окончательно. Правдоподобное рассуждение — опасно, противоречиво и но-
носит временный характер. Доказательное рассужтение проникает в науки в
той степени, в какой проникает математика, но само по себе оно (как и
математика сама по себе) не способно дать существенно новое знание об
окружающем нас мире. Всё новое, что мы узнаем о мире, связано с прав-
правдоподобным рассуждением.. . »1).
«Математика рассматривается как доказательная наука, но это только
один из ее аспектов. Завершенная математика, излагаемая в отделанной
форме, представляется чисто доказательной, состоящей только из доказа-
доказательств. Однако, в процессе создания, математика напоминает любую дру-
другую область человеческого знания. Прежде, чем доказать математическую
теорему, вы должны угадать ее, а также — угадать идею доказательства
прежде, чем проводить его детали. Вы должны сопоставлять наблюдения
и следовать аналогиям, вы должны снова и снова пробовать. Результатом
творческой работы математика является доказательное рассуждение, дока-
доказательство, — но доказательство открывается путем правдоподобного рас-
рассуждения, путем угадывания»').
Давайте научимся угадывать, —говорит автор, и с большим
мастерством он учит читателя этому трудному практическому навыку.
Книга Полна выпущена в двух томах: том I — Индукция и ана-
аналогия в математике, том II — Схемы правдоподобного вывода. Это —
естественное разделение; однако автор отмечает, что он всегда рас-
рассматривал эту работу как единое целое.
В первом томе автор учит читателя пользоваться в математике ин-
индукцией в естественнонаучном смысле слова. Он делает это с помощью
большого числа примеров, заимствованных из работ великих математи-
математиков (в первую очередь — нз'работ Эйлера) или специально подобран-
подобранных им самим. Так, рассказывая во второй главе о формуле Эйлера
для многогранников2), автор начинает с того, что выписывает таблицу
чисел вершин, ребер и сторон для девяти частных случаев. Подмечая
с помощью этой таблицы общую связь F-\- V = E-{^2, где F, V, Е —
соответственно число граней (face), вершин (vertex) и ребер (edge), он
подвергает эту формулу всё более и более суровым проверкам и по
сути дела доказывает ее для «выпуклых» многогранников. Однако это
доказательство обрывается на предпоследнем шаге. Подъем от частного
к общему в этом доказательстве дает богатую пищу для размышления,
и мысль читателя приобретает такой разгон, что уже не может остано-
остановиться. ..
Этот же прием автор повторяет и в других местах.
Во втором томе автор строит логические схемы правдоподобных рас-
рассуждений.
') Из предисловия автора, т. I, стр. V и VI.
*) См. стр. 17 настоящего выпуска.


КАК ДЕЛАЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ	305
Каждая глава книги (всего в книге шестнадцать глав с единой ну-
нумерацией) состоит из двух частей: собственно текста и задач и ком-
комментариев. Задачи подобраны по методу «зацепления».
В конце каждого тома приведены решения задач.
Примерами в книге охвачены все классические разделы математики,
и, несмотря на это, изложение остается элементарным даже в самых,
казалось бы, трудных местах.
В книге очень много ценных, чисто методических разработок. При-
Приведем в качестве примера одну из них (том II, стр. 5 — 6).
«Предположим, что вы преподаете в классе стереометрию и что
вам нужно вывести формулу для площади боковой поперхности усечен-
усеченного конуса. Конус, разумеется, правильный круговой, и вам даны
радиус основания R, радиус верхнего сечения г и высота h. Проделывая обыч-
обычный вывод, вы приходите к результату.
А. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна
Для дальнейших ссылок назовем это теоремой А.
Далее начинается обсуждение теоремы А. Вы спрашиваете у класса:
Можно ли проверить результат? Если ответа нет, то вы делаете более
ясные намеки: Можно ли проверить результат, применяя его? Можно ли
проверить результат, применяя его к некоторым уже известным частным
случаям?').
В конце концов с большей или меньшей поддержкой части вашего
класса вы приходите к различным известным случаям. При/?;=г вы полу-
получаете первый замечательный частный случай:
В.. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2 nr/z.
Конечно, h — это высота цилиндра, ал — радиус его основания. Для
дальнейших ссылок это следствие теоремы А мы будем называть теоремой
В,. Следствие В1 уже рассматривалось в вашем классе, и таким образом оно
служит подтверждением А.
Другой частный случай вы получаете, полагая л = 0, что дает:
82.	Площадь боковой поверхности конуса равна
¦к RV~Rl + ПК
Здесь h означает высоту конуса, a R — радиус его основания. Так-
Также и это следствие В3 теоремы А было известно раньше, и оно служит
дальнейшим подтверждением А.
Имеется и менее очевидный, но интересный частный случай, соответ-
соответствующий h = 0:
83.	Площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентри-
концентрическими окружностями радиусов R и г, равна nR2 — w2.
Это следствие В, теоремы А известно из геометрии на плоскости, и
оно также дает дальнейшее подтверждение А.
Три предшествующих частных случая, известные из предыдущих за-
занятий, подкрепляют А стрех разных сторон; три фигуры (цилиндр, конус
и кольцо, соответствующие r = R, л = О и Л = С) выглядят совершенно раз-
различными. Вы можете упомянуть также весьма частный случай r — h — Q.
84.	Площадь круга радиуса R равна kR2.
1) Те случаи, которые автор ниже рассматривает как частные, на самом
деле являются не частными, а предельными. Конечно, и последние могут слу-
служить подтверждением правдоподобия формул. (Прим. ред.)


306	ф. в. Широков
Я иногда наблюдал, как мальчик, который, как казалось, крепко спал
в последнем ряду, к концу моего подробного разбора открывал глаза и
проявлял некоторый интерес к процессу обсуждения. Вывод формулы, не-
несомненно, легкий и простой, казался ему трудным и непонятным. Он не
был убежден выводом. Его больше убеждает обсуждение: у формулы, ко-
которая проверяется в столь многочисленных и столь различных случаях, есть
хорошие шансы быть правильной...
К сожалению, размеры рецензии не позволяют нам увеличить чис-
число конкретных выдержек из книги Полна. Отметим в заключение, что
большая часть этой книги доступна развитому школьнику старших клас-
классов.
Книга вся целиком доступна преподавателям средней школы и
студентам младших курсов университетов и пединститутов1). По мнению
рецензента, эту книгу стоит иметь каждому педагогу.
') Как нам сообщили, книга Полна в текущем году выйдет (к сожалению,
небольшим тиражом) в Издательстве иностранной литературы под названием:
Д. П о й а, Математика и правдоподобные рассуждения. (Прим. ред.)


АВСТРИЙСКИЙ УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ
ЕСТЕСТВЕННИКОВ И ХИМИКОВ
Ю. М. Гайдук
(Харьков)
Dr. Hugo Sirk, Mathematik fur Naturwissenschafter
undChemiker. Verlag Th. Steinkopff, Dresden u. Leipzig, 1956.
Рецензируемое учебное руководство профессора Венского универси-
университета, Еышедшее сейчас уже седьмым изданием (первое появилось в
1940 г.), представляет для нас интерес с точки зрения ознакомления с со-
современным состоянием преподавания математики на химических и биоло-
биологических факультетах австрийских и германских университетов.
Книга имеет подзаголовок «Введение в приложения высшей матема-
математики»; автор стремится изложить предмет так, чтобы изучающий его
одновременно с усвоением математического аппарата понимал, как этот
аппарат применяется к решению вопросов из области естественных наук.
По своему назначению книга ближе всего подходит к тем нашим
кратким курсам высшей математики, которые рассчитаны на прохожде-
прохождение предмета в течение одного или двух семестров. Известно, что по-
постановка такого рода сокращенных курсов связана со специфическими
трудностями, и всякий серьезный опыт их осуществления заслуживает
внимания.
Познакомимся прежде всего с внешней структурой книги. Она содержит
около 316 страниц. Основное содержание ее состоит из трех частей —
I. Функции одной переменной; II. Функции нескольких переменных;
III. Дифференциальные уравнения — и обширного «Приложения», со-
содержащего справочный или повторительный материал по элементарной
математике, а также некоторые дополнения к вопросам, рассмотренным
в трех частях книги. Книгу заключает подробный именной и предмет-
предметный указатель. В начале ее помещены предисловия к ее первому и
последнему изданиям; в этих предисловиях уточнены те методические
принципы, которых старался придерживаться автор.
Охарактеризуем ближе эти принципы. Само ЕЕвдение («выработку»)
основных математических понятий курса автор считает нужным осно-
основывать на соответствующих примерах из области естественных наук.
Эти примеры должны, таким образом, выступать в качестве прото-


308	ю. м. гайдук
типов основных математических понятий, а не их апостериорных иллю-
иллюстраций. X. Знрк настаивает, далее, на усиленном упражнении учащихся
в решении задач с естественнонаучным содержанием, причем подчерки-
подчеркивает, что учащихся нужно знакомить со всеми возможными матема-
математическими подходами к решению одной и той же задачи.
Что касается математического стиля курса (в частности, термино-
терминологии, строгости изложения и пр.), то здесь автор выступает за проч-
прочную связь между языком математика и математической речью физика.
Насыщение курса прикладным материалом требует, чтобы теоретические во-
вопросы были изложены возможно более сжато, но разгружены от деталей;
при этом не следует допускать идейного опустошения курса или его наро-
нарочитой архаизации (в частности, нельзя «жертвовать» концепцией пре-
предела!) *). Учащимся, желающим получить более глубокое освещение то-
того или другого вопроса, следует давать систематические указания на
соответствующую литературу.
Разделяя эти основные методические установки австрийского автора,
рассмотрим подробнее содержание книги и выясним, в какой мере ему уда-
удалось реализовать эти установки. Первая часть книги A70 страниц) состо-
состоит из следующих глав: «Дифференциальное исчисление» (84 страницы),
«Интегральное исчисление» F5 стр.), «Некоторые сведения о рядах»
A2 стр.), «Условия дифференцируемое™ функции» (9 стр.).
Изложение в этой части начинается с обстоятельного разъяснения
понятия функции (подготовленного несложными примерами из химии и
физики) и функциональной символики. Кроме терминов возрастающая
и убывающая функции, здесь вводятся «часто применяемые в естест-
естественнонаучных работах, но игнорируемые в математических учебниках»
выражения сильная и слабая функции {у есть сильная функция от х,
если «малым изменениям х соответствуют большие изменения у»; у —
слабая функция от х, «если большим изменениям х соответствуют ма-
малые изменения у-»), которые иллюстрируются ярким физическим приме-
примером температуры кипения и температуры замерзания как функций дав-
давления. Затем следует подробное рассмотрение, аналитическое н графи-
графическое, линейной функции, завершающееся установлением «наиболее
важного в естественнонаучных приложениях» свойства постоянства отно-
отношения приращения этой функции к приращению ее аргумента.
Для перехода к изучению более сложных функциональных зависи-
зависимостей и для подготовки понятий предела и производной (как предела
отношения приращений) служит детально разбираемая задача определения
скорости свободно падающего тела. Формулируется понятие предела
функции и сейчас же отыскивается lim 	. Однако каких-либо элемен-
х->0 х
тов теорий пределов (хотя бы простейших теорем о пределе суммы,
') Противоположную позицию в этом вопросе занимают некоторые авторы
«практических руководств» по высшей математике для немецких втузов, в част-
частности Г. Иоос и Т. Калуза. (G. Joos und Th. Kaluza, Hohere Mathematik fur
den Praktiker, 8. Aufl., 1956.)


АВСТРИЙСКИЙ УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ	309
произведения, частного и др.) мы ни здесь, ни в дальнейших частях
книги не находим. Наконец вводится понятие производной и выясняет-
выясняется его геометрическое и механическое значение.
Эта цепь рассмотрений дополняется замечанием «о понятии бесконеч-
бесконечно-малой», где говорится, что это понятие вводится вследствие того,
что «постоянные упоминания о предельных переходах слишком осложни-
осложнили бы обыденную речь естественника».
Следующие страницы посвящены выводу правил дифференцирования
и производных от элементарных функций (причем в этих выводах автор
избегает пользоваться знаком предела — это находится в очевидной свя-
связи с тем, что аппарат теории пределов в книге не получил достаточного
развития), а также признакам возрастания и убывания функции и необ-
необходимому условию экстремума; при этом рассмотрен ряд интересных
химических и физических экстремальных задач.
При выводе производной от logAx появляется lim (\ _L-!V> который
принимается существующим и не зависящим от способа стремления //
к бесконечности (за более глубокими сведениями об этом пределе чита-
читатель отсылается к курсу Роте) *).
Методически любопытна приводимая здесь автором приближенная
проверка формулы р == —	—2) по логарифмическим таблнцам-
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в рассматрива-
рассматриваемых в этом месте примерах с физическим содержанием автор не избе-
избегает и задач, относящихся в сущности к компетенции интегрального
исчисления; такова, например, задача на стр. 55—57 о работе при
изотермическом сжатии газа: это делается как с целью «пропедевтики»
понятия неопределенного интеграла, так и потому, что такое «молчали-
«молчаливое интегрирование» представляет собой прием, часто применяемый в
естественнонаучных выкладках.
Что касается вывода производных от гониометрических функций, то
„ ,. sin х
здесь наряду с ооычным выводом, использующим предел lim	,да-
ется также «графический» вывод производных от sin х и cos х. Этот вы-
вывод основан на отождествлении бесконечно малой дуги окружности с ее
хордой и при всей своей нестрогости является эвристически убедитель-
убедительным 3).
г) R. Rot he, Hohere Mathematik, тома I — III, Teubner.
2)	Здесь lg — десятичный логарифм.
3)	Этот вывод можно было бы сделать строгим, использовав уже установлен-
установленную в книге эквивалентность бесконечно малой дуги окружности и ее хорды, но
этого уточнения Зирк не делает. Более, пожалуй, достойно сожаления, что в кни-
книге не показана двусторонняя связь между первым замечательным пределом
и производной от sin х, т. е. того, что из (sin x)' = cos x сейчас же следует»
что lim 	= 1.


310	Ю. М. ГАЙДУК
Отдельный раздел посвящен дифференциалам; автор заботливо рас-
раскрывает различие в понимании термина дифференциал математиками и
физиками и уделяет много внимания роли дифференциалов в естествен-
естественнонаучных вычислениях.
В предпоследнем разделе рассматриваемой главы речь идет о про-
производных высших порядков (без введения понятия дифференциалов
высших порядков) и о геометрическом значении второй производной.
Главу заключает обычный вывод производных от обратных гониоме-
гониометрических функций («круговые» по терминологии автора; понятие об-
обратной функции в общем виде рассмотрено лишь в приложении к
книге).
Обратимся к главе, посвященной интегральному исчислению.
Изложение начинается с понятия неопределенного интеграла. При
этом то обстоятельство, что из f'(x)=^0 следует /(х)=С, принимается
без какого-лнбэ специального обоснования. Получаются таблица основных
интегралов и основные правила интегрирования.
Здесь же на материале задач из области кинетики химических реак-
реакций дается пример дифференциального уравнения и в связи с его ре-
решением показывается способ подстановки для вычисления неопределен-
неопределенных интегралов. Тут же читатель получает первое понятие о графиче-
графическом интегрировании дифференциального уравнения.
Далее изложен способ интегрирования по частям и рассмотрено
интегрирование рациональных дробей для простых случаев, с которыми
часто приходится иметь дело в задачах по химической кинетике. В
связи с последним затронут и вопрос о «раскрытии неопределенностей»
О оо	.	п	,	о (а) о' (а)
(вида -г,, —, оо—ее): выведено правило Лоппталя в форме fj~\==frr)
(символ предела не применяется и здесь).
Далее следует переход к понятию определенного интеграла как пре-
предела интегральной суммы.
В основу этого перехода положена задача: Даны значение F(xn) n
соотношение F (х)=/{х); найти значение F (х) при х = хп. Автор анали-
аналитически показывает, что (h = х"~х°, xk = x0-\-hk):
F(xn)-F(x0) =
где pfc —> 0 при п —>- оо .
Затем делается попытка доказать, что вторая сумма имеет своим
пределом (при п —> оо) нуль. Эта попытка в действительности неудач-
неудачная, так как ничего не было сказано о существенном здесь свойстве
равномерной непрерывности функции f(x)—это свойство вообще нигде
не упоминается в книге. К сожалению, здесь автор не последовал сво-
своей обычной установке — отсылать читателя за более строгим рассмот-
рассмотрением вопроса к другим руководствам.


АВСТРИЙСКИЙ УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ	311
После установления таким способом формулы Ньютона — Лейбница
дается изображение определенного интеграла площадью (с применения-
применениями такого рода представления к ряду физических величин). Из геоме-
геометрического же изображения — а не из формулы Ньютона — Лейбница —
выводится вслед затем производная от определенного интеграла по его
верхнему (нижнему) пределу.
В связи с задачей определения средней силы электрического тока
вводятся понятия среднего и среднего квадратического значений функ-
функции. Здесь же подробно разбирается задача о вычислении среднего
значения электрического момента диполей (в качестве «примера прило-
приложения статистического метода в естествознании»).
Далее следует параграф, посвященный приближенному интегриро-
интегрированию— формула трапеций, ее приложение к выводу приближенной фор-
формулы Стпрлинга для ЛЛ, формула Симпсона с примером ее применения
в химической кинетике.
В конце рассматриваемой главы дается беглое понятие о двойном
интеграле на примере вычисления силы притяжения между двумя стержнями
и о его применении к вычислению интеграла Лапласа из теории ве-
вероятностей. Демонстрируется также применение интеграла Лапласа в
молекулярной физике (закон Максвелла для распределения скоростей),
рассмотрен пример вычисления момента инерции шара.
Глава о рядах очень скромна по объему. По замыслу автора, ос-
основное назначение этой главы — «обратить внимание читателя на
существование признаков сходимости». Из достаточных признаков схо-
сходимости рассмотрен, впрочем, только признак Даламбера (если не
считать несколько странного «необходимого и достаточного условия
сходимости ряда» в форме litn о„ = 0, где о„—остаток ряда).
п-»оо
Задача об уточнении формулы, выражающей зависимость длины
металлического стержня от температуры, подводит читателя к пробле-
проблеме разложения функции в степенной ряд. Следует формальный вывод
ряда Маклорена и его приложения к функции ех, функции Ланжевена
/exie-x 1\	.
I х _—=-*	1, sin л;, cos л; (с попутным установлением формулы
Эйлера е'х = cosx-f-Zsinx). Затем делается переход к ряду Тейлора,
последний применяется к выводу ряда для lg (N -|- ?) и биномиального
ряда.
В конце главы затронут вопрос об интегрировании при помощи
рядов (с выводом разложений atdgx и интеграла Лапласа).
В последней главе первой части «Условия дифференцируемое™
функции» автор указывает на те подводные камни математического
анализа, мимо которых читатель проходил до сих пор с завязанными
глазами.
Здесь разъяснено понятие непрерывности функции и рассмотрены
различные типы точек разрыва, затронуто- понятие несобственного ин-


312	Ю. М. ГАЙДУК
теграла, указаны примеры точек разрыва непрерывности производной,
проиллюстрирована возможность экстремума функции в таких точках,
выяснено отношение между непрерывностью и дифференцнруемостью
функции. Интересны приведенные автором примеры особенностей функ-
функций, взятые из области физики или химии, в частности — пример изо-
изолированной точки разрыва у функции, выражающей конечную1)
кинетическую энергию тела, движущегося прямолинейно под действием
притяжения двух масс, в зависимости от его начального положения.
Вторая часть книги B8 страниц) состоит из глав: Функции двух
переменных B1 стр.); Функции трех переменных C стр.); Функции и
переменных D стр.).
Изложение в этой части начинается с понятий частных производных,
частных и полного дифференциалов функции двух переменных. Полный
дифференциал определяется как сумма частных дифференциалов, а его
роль в приложениях мотивируется ссылкой на принцип суперпозиции
малых действий (точная связь между приращением функции от двух
переменных и ее полным дифференциалом не формулируется). Здесь
же рассмотрено дифференцирование неявно заданных функций, рассмо-
рассмотрен вопрос об интегрировании точных дифференциалов, дано понятие
о криволинейном интеграле и пр. Весь этот комплекс вопросов тракту-
трактуется в связи с его многочисленными важными применениями в термо-
термодинамике.
В небольшой главе, посвященной функции трех переменных, дает-
дается понятие о частных, производных и полных дифференциалах от этих
функций. Формулируются условия, при которых выражение Pdx-\-
-\-Qdy-\-Rdz будет точным дифференциалом (за доказательством
достаточности этих условий читатель отсылается к курсу Роте). При-
Примеры в этом разделе взяты из области учения об электричестве.
Последняя глава второй части содержит беглое обобщение вопро-
вопросов, рассмотренных в первых двух главах, на случай п переменных.
В качестве приложений кратко рассмотрен метод наименьших квадратов
и — значительно подробнее — вопрос о парциальных молярных свой-
свойствах растворов.
Третья часть книги B2 страницы) содержит комплекс сведений о
дифференциальных уравнениях; она начинается с классификации урав-
уравнений. Далее идет глава, посвященная обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям первого порядка, где рассмотрены уравнения с разделяю-
разделяющимися переменными, уравнения в точных дифференциалах, линейные
уравнения (последние решаются методом интегрирующего множителя).
В качестве характерного и важного для химика примера применения
дифференциального уравнения первого порядка приведен вывод закона
движения жидкости в капилляре (закон Пуазейля).
В следующей главе говорится о линейном дифференциальном урав-
уравнении второго порядка с постоянными коэффициентами (без правой
л)То есть относящуюся к конечному положению движущегося тела.


АВСТРИЙСКИЙ УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИКЕ	313
части). Содержание этой главы очень неполно освещает ее тему:
теория уравнения фактически отсутствует, рассмотрены лишь два (из
трех) случая корней характеристического уравнения; приводимые при-
примеры из области механики и учения об электричестве — траднцнонны.
Следует, впрочем, отметить, что при разборе задачи колебания мате-
математического маятника автор книги рекомендует читателю обратиться
к курсу Роте по вопросу о том, действительно ли будет решение
приближенного дифференциального уравнения приближенным решением
точного уравнения.
На легком примере из кинематики дается далее понятие о системе
обыкновенных дифференциальных уравнений; за соответствующими при-
примерами из области химической кинетики автор отсылает к оригинальным
работам.
Последняя глава третьей части содержит некоторые сведения о
дифференциальных уравнениях в частных производных — главным обра-
образом об уравнении колеблющейся струны; при этом объяснено значение
этого уравнения для электродинамики (связь с уравнениями Максвелла)
и показан переход от него к волновому уравнению Шредингера. Боль-
Большая часть содержания этой главы изложена чисто описательно, но
с указанием литературы, где соответствующие вопросы получили точное
освещение.
Раскроем, наконец, содержание «Приложения», занимающего
70 страниц. Оно состоит из двух частей — алгебраической и геометри-
геометрической. Первая часть содержит, прежде всего, тщательный конспект
элементарной алгебры, включающий решение кубических уравнений
(которые находят частое применение в задачах химической кинетики).
Затем дается сжатый очерк элементов теории вероятностей и матема-
математической статистики. Следующие несколько страниц посвящены прибли-
приближенным формулам и выводу интерполяционной формулы Ньютона.
Кроме того, рассматриваемая часть приложения содержит элементы
исчисления размерностей и начальные сведения о рядах Фурье.
Во второй части приложения дана сводка формул планиметрии,
стереометрии и гониометрии (обращает на себя внимание отсутствие
формул решения треугольников). Здесь же мы находим сводку опреде-
определений гиперболических функций. В заключение приведены некоторые
элементарные сведения по аналитической геометрии (прямоугольная систе-
система координат на плоскости и в пространстве, канонические уравнения
параболы, эллипса и гиперболы, преобразования координат на плоскости,
полярные координаты).
Заканчивая обзор книги, нужно добавить, что страницы, посвящен-
посвященные в нем примерам с естественнонаучным (химическим, физическим
и др.) содержанием, составляют около половины (точнее, до 2/6) общего
объема книги.
Сделаем выводы. Семь изданий, которые книга выдержала за по-
последние десять-пятнадцать лет, свидетельствуют о том, что она поль-
пользуется успехом у студентов австрийских н германских университетов.


314	Ю. М. ГАЙДУК
Этим успехом книга обязана, видимо, прежде всего, тому что в ее
содержании ведущая роль принадлежит прикладным мотивам, выбран-
выбранным и разработанным с учетом их значения для специальных интере-
интересов читателей книги. К математической чести автора, он, как мы ви-
видели, стремился сочетать прикладную тенденцию своего руководства с
уважением идейных ценностей современной математики. Правда, на наш
взгляд, математический костяк содержания руководства представляется
слишком хрупким для такой большой «прикладной» нагрузки, какую
ему приходится нести. Здесь нужно, однако, иметь в виду, что сту-
студенты тех факультетов, которым адресована эта книга, приходят в
университет, как правило, уже с некоторыми знаниями по высшей ма-
математике (элементы последней преподаются в двух старших классах, т. е.
на одиннадцатом и двенадцатом годах обучения — естественно-матема-
естественно-математической ветви немецкой «обершуле»), так что математический мате-
материал учебника служит скорее для повторения предмета перед специаль-
специальным изучением его применений в естественных науках. Степень стро-
строгости изложения, как это ясно из уже отмеченных нами выше несколь-
нескольких моментов, несомненно, уступает той, к которой привыкли советские
преподаватели, и нужно признать, что соответствующие улучшения ма-
математического стиля руководства были бы полезны и возможны без
нарушения его основного характера.
Помимо отмеченного выше удачного подбора естественнонаучного
материала, учебник X. Знрка привлекает наши симпатии свежим изло-
изложением (в частности, наличием ряда нестандартных доказательств),
обильными ссылками на оригинальные работы и более строгие руко-
руководства, удачно составленным приложением. Автор, излагая материал
интересно и доходчиво, не порывает с вопросами школьной математики
и стимулирует научную активность читателя.
Нам представляется, что положительные стороны рассматриваемого
руководства заслуживают внимания наших авторов учебников матема-
математического анализа для втузов.


КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ И ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
В. БЛЯШКЕ
И. М. Яглом
(Москва)
W. Blaschke, Analytische Geometrie, Basel, 1954, 190 стр.
VV. Blaschke, Projective Geometrie, Basel, 1954, 170 стр.
В учебной и монографической литературе по математике доеольно
легко отметить две противоположные по установкам линии, наиболее
яркими представителями которых являлись известные немецкие матема-
математики и педагоги Эдмунд Ландау и Феликс Клейн. Традиции Ландау
требуют логически безупречного, непрерывно развивающегося изложе-
изложения, в котором каждый новый пункт в известной мере уже предопре-
предопределен предыдущими; большую роль здесь играет тщательно продуман-
продуманный общий план книги, который читателю должен представляться не
только естественным, но чуть ли неизбежным. Логическое завершение
эти общие принципы находят в замечательном «Введении в дифферен-
дифференциальное и интегральное исчисление» Э. Ландау'), состоящем иа
480 теорем, 101 определения и сравнительно небольшого числа не
перенумерованных примеров, без каких бы то ни было разговоров и
пояснений; однако, эти принципы не противоречат и наличию до-
достаточно широких обсуждений смысла вводимых понятий — такие об-
обсуждения имеются в других книгах Ландау и авторов, придерживающих-
придерживающихся этого же стиля.
Полную противоположность книгам Ландау составляют многочислен-
многочисленные книги (и литографированные курсы лекций) Ф. Клейна. Написанные
в «свободной» манере, они могут произвести на читателя впечатление
составленных вообще без всякого плана. Доказательства теорем в них
то и дело прерываются отступлениями, посвященными прошлому из-
излагаемых теорий, или, наоборот, возможной будущности рассматрива-
рассматриваемых идей и методов; эти яркие исторические вставки и постановка
*) Русский перевод, М., ИЛ, 1948.


316	II. М. ЯГЛОМ
нерешенных задач весьма украшают книги Клейна. Сами доказатель-
доказательства теорем проведены с разной степенью полноты; автор часто огра-
ограничивается наводящими соображениями или указанием на метод; иногда —
лишь ярким чертежом [ср., например, «доказательство» основной тео-
теоремы алгебры в первом томе «Элементарной математики с точки зрения
высшей» Ф. Клейна *)]. На самом же деле каждая книга Клейна имеет
определенный план, которого автор строго придерживается, однако
сам он нигде не навязывает именно этот план своему читателю, а
напротив того, стремясь в первую очередь стимулировать самосто-
самостоятельную работу читателя всюду, где можно, указывает на возможность
и иных построений теории.
Вряд ли стоит спорить о том, какая из двух указанных выше
педагогических традиций является более ценной. Очевидно, что каж-
каждая из них имеет свои достоинства и недостатки. Поэтому очень же-
желательно было бы иметь книги н того и другого плана и можно лишь
пожалеть, что в отечественной математической литературе, имеющей
превосходные образцы сочинений «типа Ландау» (достаточно упомянуть
о «Непрерывных группах» Л. С. Понтрягина), традиции Клейна совсем
не находят последователей.
Что же касается зарубежной математической литературы, то тут
можно указать авторов, примыкающих к каждому из названных выше
двух больших направлений. И, пожалуй, самым ярким из привержен-
приверженцев клейновских традиций является видный немецкий геометр В. Бляш-
Бляшке. Данная выше общая характеристика книг Клейна может быть от-
отнесена к обширной литературной продукции Бляшке; об этом можно
судить и по переведенным на русский язык его сочинениям: Диффе-
Дифференциальная геометрия, т. I 2); Интегральная геометрия, ч. 13); Гре-
Греческая и наглядная геометрия4); Введение в дефференцнальную гео-
геометрию 5>. И тот же клейновский стиль изложения характеризует его
книги по аналитической и проективной геометрии, вышедшие последним
изданием 6) в Базеле (Швейцария) в качестве 16-го и 17-го выпусков
математического раздела обширной серии «Lehrbiicher und Monogra-
phien aus dem Gebiete der exacten Wissenschaften».
Обе книги рассматриваются автором как введение в алгоритмиче-
алгоритмические методы геометрии, рассчитанное на студентов, начинающих изучать
математику, физику или технику; мы специально приводим в рецензии
это указание из предисловия автора, так как склонны согласиться с
ним в том, что так можно начинать обучение геометрии будущих ма-
математиков (но всё же не физиков и тем более не техников). При этом
') Русский перевод, М. — Л., ОНТИ, 1935, стр. 178—181.
2) М.—Л., ОНТИ, 1935.
8) Успехи математических наук, вып. 5, 1938.
4)	Печатается в настоящем исследующем выпусках «Математического про-
¦свешения».
5)	Готовится к печати в Гостехиздате.
') «Аналитическая геометрия» вторым изданием, а «Проективная» — третьим.


КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ II ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ В. БЛЯШКЕ	317
слова «алгоритмические методы геометрии» (дословно rechnerische Be-
handlung der Geometrie) автор понимает весьма широко. Наряду с
координатами он с самого начала свободно пользуется векторами, а
немного позже и матрицами; далее в книге появляются кватернионы,
комплексные и дуальные числа и т. д. Ссылаясь на традиции, ведущие
от «Эфодика» Архимеда к «Барицентрическому исчислению» Мёбиуса,
Бляшке много и охотно говорит также о механике, используя сообра-
соображения кинематики и статики для вывода геометрических теорем. При
этом он свободно переходит от планиметрических к стереометрическим
рассмотрениям и обратно, от аналитических доказательств (каких в его
книгах большинство)—к чисто геометрическим.
Для того чтобы дать представление о содержании книг, мы подроб-
подробнее остановимся на оглавлении «Аналитической геометрии». Первая
глава этой книги называется «Основные понятия, векторы, матрицы».
Она содержит основные правила действий над векторами, матрицами
и кватернионами; при этом векторы используются, например, для вы-
вывода некоторых элементарно-геометрических теорем, а кватернио-
кватернионы— для доказательства изящной кинематической теоремы, принадле-
принадлежащей (ново)греческому математику Стефаносу. Вторая глава
«Шары» посвящена элементам теории окружностей и сфер, включая
сюда понятие об инверсии и о преобразованиях Лагерра. Трактовка
этого последнего вопроса очень красива и дает хорошее представле-
представление о геометрическом стиле Бляшке; поэтому мы позволим себе оста-
остановиться на ней подробнее.
Каждой направленной прямой х cos <p -J- у sin -о = h (О sg у <^ 2тт,
—со <^ h <^ -j- со) плоскости тт автор сопоставляет точку трехмерного ев-
евклидова пространства с координатами (cos 'f, sin tp, h); все эти точки
лежат, очевидно, на цилиндре Z радиуса 1 (см. рисунок 1 на стр. 268
настоящего выпуска). При этом точкам цилиндра, принадлежащим пло-
плоскости z — их—vy^a, отвечают прямые плоскости тт, удаленные от
точки (и, v) на постоянное (положительное пли неположительное) рас-
расстояние а; таким образом, плоскостям пространства (не параллельным
оси z) отвечают направленные окружности плоскости; в частности, пло-
плоскостям, проходящим через начало координат, отвечают точки. Выберем
теперь в пространстве произвольную точку М, не принадлежащую Z;
очевидно, что каждая прямая, проходящая через М, пересекает Z в
двух точках А и А'. Нетрудно показать, что преобразование А—*-А'
точек цилиндра переводит его плоские сечения снова в плоские сече-
сечения х); таким образом, преобразованию А—>-А' отвечает преобразование
в множестве направленных прямых плоскости, переводящее окружности
в окружности,—•преобразование Лагерра.
Следующие две главы книги — третья и четвертая — назы-
называются «Скользящие векторы» (по-немецки — «Stabe» — «Стержни»,
жаль, что в русском языке нет такого же выразительного термина!)
См. задачу 19 на стр. 268.


818	и. м. яглом
и «Моменты инерции». Обе эти главы содержат много интересного
геометрического и механического материала, почти не освещенного в
нашей литературе.
Лишь после этого идут две главы — пятая и шестая, — посвя-
посвященные кривым и поверхностям второго порядка (в первую очередь — по-
поверхностям). При этом после небольшой главы, содержащей класси-
классификацию этих новых геометрических образов, следует глава «Конфокаль-
«Конфокальные квадрики», весьма свежая по содержанию.
Последняя, седьмая, глава книги, самая большая по своему
объему, называется «Собрание формул». За этим скромным названием
также скрывается богатое содержание, часто совсем не освещенное в
остальной части книги (упомянем здесь, например, о применении
дуальных чисел к геометрии Лагерра или об элементах геометрии
комплексной плоскости).
Мы не будем столь же подробно рассматривать оглавление второй
книги Бляшке, содержащей еще больше нового и интересного. Укажем
лишь, что книга открывается обширным историческим вступлением,
занимающим около десятка страниц (причем исторический элемент в
книге отнюдь не исчерпывается только этим вступлением), а завер-
завершается двумя главами, посвященными соответственно парам тетраэд-
тетраэдров Мёбиуса (тетраэдры, каждый из которых одновременно вписан во
второй и описан около него) и связи «теории сот» (или «тканей»); эта
теория представляет собой новый большой раздел геометрии, проме-
промежуточный между дифференциальной геометрией и топологией, созданный
Бляшке и его школой) с теорией групп и проективной геометрией.
Относительная бедность отечественной литературы по проективной
геометрии побудила наши издательства обратиться к иностранным кни-
книгам. Совсем недавно в Издательстве иностранной литературы вышла в
свет содержательная книга Г. Буземана и П. Келли «Проектив-
«Проективная геометрия и проективные метрики»; совсем скоро Гостехнздат вы-
выпускает превосходную книгу Г. С. Кок се те ра «Вещественная про-
проективная геометрия на плоскости». В заключение настоящей рецензии
мне хочется пожелать, чтобы к этим книгам, примыкающим к первой
из отмеченных в начале рецензии педагогических тенденций, присоеди-
присоединился перевод ярких книг В. Бляшке, лишь в очень незначительной
степени пересекающихся с ними по содержанию.
Исправления в 1-м выпуске «Математического
просвещения»:
Страница	Строка	Напечатано Должно быть
106	17 снизу	систему	группу
182	7 снизу	линии	прямые


СОДЕРЖАНИЕ')
I. ОБЗОРЫ, СТАТЬИ, ПЕРЕВОДЫ
В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович. Очерк основных идей то-
топологии 	 3
А. О. Г е л ь ф о н д. О проблеме приближения алгебраических чисел
рациональными 	 35
А. М. Л о п ш и ц. К вопросу о преподавании теории определителей . . 51
A.	А. Ляпунов и Г. А. Ш е с т о п а л. Об алгоритмическом описа-
описании процессов управления 	 81
Дж. Т о д д (J. Todd, США). Мотивы для работы в области численного ана-
анализа. {Перевод с английского Г. А. Шестопал под ред. К. А. Се-
мендлева. Окончание.)	 97
B.	Бляшке (W. Blaschke, ФРГ). Греческая и наглядная геометрия.
(Перевод с немецкого Г. И. Клейнермана под ред. И. М. Яглома) 111
Введение действительных чисел в средней и высшей школе
От редакции	 131
Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц. Иррациональные числа в средней школе ... 133
к. к. Ляпунов. Действительные числа. (Преподавание в высшей
технической школе с большой программой математики)	 149
А. Я. Дубовицкий. Аксиоматическое построение действительных
чисел. (Преподавание в педагогическом институте)	 157
A.	Н. Колмогоров. К обоснованию теории вещественных чисел . . 169
П. НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
Э. Э. Б а л а ш. Апроксимирующие последовательности гармонических по-
последовательностей 	 173
B.	А. 3 а л г а л л е р. О подстановке корня одного ряда в другой ... 181
Г. П. К р е й ц е р и Г. И. Тюрин. Сферы Эйлера ортоцентрического
симплекса	 187
В. И. Л е в и н. Обобщение арифметико-геометрического среднего ... 195
3. А. Скопец. Некоторые замечания к теореме Помпею	 205
III. НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ СООБЩЕНИЯ
(Опыт преподавания и педагогический эксперимент)
И. Н. Бронштейн. Преподавание темы «Кривые 2-го порядка» во
втузе	 211
П. П. К о р о в к и н. О теоремах существования определенного интеграла 227
" ') Материалы, помещенные на стр. 96, 172 и 180, 186, 226, 234, 246, 266,
в содержание не включены.


820	СОДЕРЖАНИЕ
IV. НАУЧНАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ХРОНИКА
A.	И. Маркушевич. Празднование 250-летия со дня рождения Эй-.
лера 	 235
B.	И. Арнольд. В школьном математическом кружке при МГУ . . 241
A.	И. Маркушевич. Некоторые сведения о французской школе и о
преподавании в ней математики	 247
Анкета журнала «Cahiers pedagogiques» на тему «Современная
математика и ее преподавание» (Перевод с французского Ю. С. Род-
ман под ред. А. И. Маркушевича)	 253
Новости математической науки:
1)	Дж. Н э ш, Н. К ё й п е р. Изгибание гладких поверхностей и
построение поверхностей с заданной метрикой (Ю. Е. Боров-
Боровский) 	 261
2)	Г. X а д в и г е р, Ж.-П. 3 и д л е р, П. Г л ю р. Новые работы о
равносоставленности многоугольников и многогранников
(В. Г. Болтянский)	 263
V. ЗАДАЧИ
Под ред. И. М. Яглома
1.	Задачи по элементарной математике	 267
2.	Задачи по высшей математике	 270
VI. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
Н. М. Б е с к и н. О серии «Популярные лекции по математике» . . . 275
И. М. Я г л о м. Другая точка зрения. (По поводу предыдущей рецензии) 291
B.	А. С о л о д к о в. Учебная книга нового типа. (Справочник по высшей
математике М. Я. Выгодского)		293
Ф В. Широков. Как делаются математические открытия. (О новой
книге Д. Пойа)		303
Ю. М. Гайдук. Австрийский учебник по математике для естественни-
естественников и химиков		307
И. М. Яг лом. Курс аналитической и проективной геометрии В. Бляшке	315


В СЛЕДУЮЩЕМ (ТРЕТЬЕМ) ВЫПУСКЕ
«МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ»
БУДЕТ НАПЕЧАТАНО:
ОБЗОРЫ, СТАТЬИ, ПЕРЕВОДЫ:
В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович. Очерк основь«
идей топологии. (Продолжение.)
В. И. Арнольд. О представлении функции нескольких перемен-
переменных в виде суперпозиций функций меньшего числа переменных.
Л. А. Люстерник. О вычислении значений функций одного
переменного.
В. И. Левин. О подготовке учитеiefl математики в педагогиче-
педагогических институтах.
Э. Б о р е л ь (Франция). Как согласовать преподавание в средней
школе с прогрессом науки.
В. Бляшке (ФРГ). Греческая и элементарная геометрия. (Окон-
(Окончание.)
НАУЧНЫЕ И НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ СООБЩЕНИЯ.
НАУЧНАЯ И ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ХРОНИКА:
Международный коллоквиум по теории функций комплексного
переменного (в г. Хельсинки).— О преподавании элементов высшей
математики в средних школах ГДР и Франции.— XX школьная
математическая олимпиада в Москве.— Математические олимпиады
на Украине.— В школьном математическом кружке при МГУ.
(Окончание.)—Студенческий математический кружок в Орехово-
Зуевском педагогическом институте.— Новости математической науки.
ЗАДАЧИ.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА:
К проблеме создания новых учебников по математике — Ре-
Рецензии на советские и зарубежные книги по математике.— Перевод-
Переводные книги по математике, выходящие в 1958 г.—
И ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ.