Курс небесной механики. Том 2 - Субботин М.Ф.

{006} Часть первая. Основы теории возмущенного движения
{008} § 2. Проблема n тел приводится к интегрированию системы 6n—12 порядка и двум квадратурам
{010} § 3. Уравнения относительного движения
{012} § 4. Вторая форма уравнений относительного движения
{020} Глава II. Уравнения движения в полярных координатах
{024} § 9. Применение уравнений Клэро—Лапласа к изучению движения в сопротивляющейся среде
{028} Глава III. Метод вариации произвольных постоянных
{030} § 11. Дифференциальные уравнения, определяющие оскулирующие элементы
{041} § 14. Другой вывод уравнений Лагранжа
{049} § 16. Долгопериодические возмущения
{062} § 21. Способ Якоби для решения канонических систем
{063} § 22. Применение метода вариации произвольных постоянных к каноническим элементам
{064} § 23. Канонические элементы эллиптического движения
{068} § 24. Применение канонических элементов к выводу уравнений Лагранжа
{070} § 25. Канонические элементы Делоне и Пуанкаре
{072} Глава V. Применение канонических переменных к изучению возмущений
{076} § 28. Выражение прямоугольных координат через канонические элементы
{080} § 29. Выражение пертурбационной функции через канонические переменные
{092} § 33. Возмущения наименьшего класса
{095} § 34. Метод Делоне—Хилла для вычисления долгопериодических возмущений
{098} Глава VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел
{099} § 36. Уравнения, определяющие лагранжевы движения. Случай неколлинеарного движения
{104} § 37. Случай коллинеарного лагранжева движения
{108} Глава VII. Ограниченная проблема трех тел
{109} § 39. Поверхности нулевой скорости
{113} § 40. Особые точки поверхностей нулевой скорости
{120} § 41. Периодические решения ограниченной проблемы трех тел
{122} § 42. Движение вблизи коллинеарных точек либрации
{127} § 43. Движение вблизи треугольных точек либрации
{129} § 44. Применение нормальных координат
{135} Часть вторая. Численное интегрирование дифференциальных уравнений и его применение к изучению движения светил
{136} § 47. Выражение производных через разности
{141} § 48. Интегрирование уравнений первого порядка. Разностные методы
{143} § 49. Метод квадратур для уравнений первого порядка
{145} § 50. Вторая форма метода квадратур для уравнений первого порядка
{149} § 51. Пример интегрирования уравнения первого порядка
{153} § 52. Интегрирование уравнений второго порядка. Вычисление интеграла, заданного двумя значениями
{159} § 53. Другой случай вычисления интеграла уравнения второго порядка, заданного двумя значениями
{162} § 54. Вычисление интеграла, определенного начальной точкой и начальной скоростью
{165} § 55. Пример численного интегрирования уравнения второго порядка
{171} § 57. Обоснование способа последовательных приближений
{172} § 58. Различные приемы для уменьшения числа последовательных приближений
{176} § 59. О формуле квадратур Лапласа и связанных с ней методах численного интегрирования уравнений
{178} § 60. О коэффициентах формул численного интегрирования
{180} Глава IX. Применение численного интегрирования к изучению невозмущенного движения
{180} § 62. Вычисление координат, определяющих положение светила в орбите
{182} § 63. Пример вычисления орбитальных координат при помощи численного интегрирования
{184} § 64. Вычисление эфемериды при помощи численного интегрирования уравнений движения
{186} § 65. Другие способы для вычисления эфемериды при помощи численного интегрирования
{188} Глава X. Вычисление возмущений в элементах
{191} § 67. Вычисление компонентов возмущающего ускорения
{195} § 68. Другие способы вычисления компонентов возмущающего ускорения
{201} § 71. Особые случаи вычисления возмущений элементов малых планет
{203} § 72. Некоторые особенности вычисления возмущений элементов кометных орбит
{206} § 73. Приближенное вычисление возмущений малых планет
{209} Глава XI. Вычисление возмущений в координатах
{211} § 75. Сопоставление формул для применения метода Коуэлла
{219} Часть третья. Аналитические методы изучения возмущенного движения
{226} § 80. Разложение эксцентрической аномалии и ее функций по кратным средней аномалии
{231} § 81. Преобразование ряда, расположенного по кратным эксцентрической аномалии, в ряд, расположенный по кратным средней аномалии
{233} § 82. Разложение некоторых функций координат эллиптического движения
{239} § 84. О сходимости рядов, представляющих координаты эллиптического движения
{243} § 85. Вычисление долготы и широты планеты
{244} Глава XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
{251} § 88. Разложение пертурбационной функции по степеням эксцентриситетов. Метод Ньюкома
{255} § 89. Окончательная форма разложения пертурбационной функции
{258} § 90. Начальные члены разложения пертурбационной функции
{260} § 91. Численные методы разложения пертурбационной функции
{269} § 94. Рекуррентные соотношения между коэффициентами Лапласа
{271} § 95. Выражение коэффициентов Лапласа определенными интегралами
{273} § 96. Вычисление производных коэффициентов Лапласа. Метод Ньюкома
{279} Глава XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
{286} § 100. Переход от возмущений в элементах к возмущениям в координатах. Построение таблиц
{290} § 101. Вычисление вековых возмущений по методу Гаусса
{293} § 102. Дифференциальные уравнения, данные Лагранжем для определения вековых возмущений
{298} § 103. Тригонометрические выражения вековых возмущений
{300} § 104. Вековые возмущения больших планет
{304} § 105. Вековые возмущения малых планет
{306} Глава XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
{310} § 107. Переход к полярным координатам в плоскости оскулирующей орбиты
{311} § 108. Случай невозмущенного движения.
{312} § 109. Метод Лапласа—Ньюкома. Возмущения радиуса-вектора
{316} § 110. Метод Лапласа—Ньюкома. Возмущения долготы. Вычисление гелиоцентрических координат
{317} § 111. Первоначальная форма метода Лапласа
{319} § 112. Вычисление возмущений прямоугольных координат
{327} § 114. Основные идеи метода Ганзена
{332} Часть четвертая. Теория движения Луны
{335} § 117. Краткий исторический обзор развития теории движения Луны
{337} § 118. Дифференциальные уравнения основной проблемы
{343} § 120. Вычисление координат Солнца
{346} § 121. Об интегрирование уравнений возмущенного движения во втором и следующих приближениях
{347} § 122. Уравнения, определяющие наибольшие периодические неравенства
{352} § 124. Зависимость между долготою и временем во втором приближении
{355} § 125. Вековое ускорение среднего движения Луны
{358} § 126. Периодические неравенства долготы
{360} § 127. Выражение радиуса-вектора и широты в функции времени
{361} § 128. Дальнейшее развитие теории Лапласа
{365} Глава XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
{376} § 134. Общие выражения коэффициентов
{379} § 135. Орбиты, бесконечно близкие к вариационной кривой
{385} § 136. Некоторые свойства уравнения Хилла
{388} § 137. Применение способа неопределенных коэффициентов
{394} § 140. Важнейшие неравенства движения Луны
{399} § 141. Неравенства, зависящие от эксцентриситета лунной орбиты
{401} § 142. Неравенства, зависящие от наклонности лунной орбиты
${410} Таблица II. Коэффициенты разложений S _k^n, m по степеням эксцентриситета$
{415} Таблица IV. Различные постоянные величины, употребляемые при вычислении возмущений
Автор: Субботин М.Ф.
Теги: физика астрономия космос космонавтика небесная механика небесные тела
Год: 1937
Похожие
Сборник задач по небесной механике и космодинамике
Введения в теоретическую астрономию
Введение в теоретическую астрономию
Математический анализ. Часть 1
Текст
                    М. Ф. СУББОТИН
КУРС
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
Том 2
С
о
о
to
•
>>
с
о.
и
о
к
а
ю
ев
Я
а>
ОНТИ НКТП . ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ЛЕНИНГРАД • 1937 . МОСКВА

Т-63-5-2
ТКК № 83
Настоящий второй том .Курса небесной механики" является
непосредственным продолжэнием первого тома.
В нем изложена общая теория возмущенного движения, методы
вычисления возмущений планет и комет, основы теории движения Луны.
Книга является учебником для студентов и аспирантов университетов.
Она предназначается также и для научных работников^ так как
представляет достаточно полную монографию* по указанным отделам
Небесной механики.

ПРЕДИСЛОВИЕ.
В то время как первый том этого курса был посвящен
исключительно ' проблеме двух тел и методам определения орбит, во втором
томе я перехожу к Небесной механике в тесном смысле слова, а именно
к теории возмущений.
Моя задача заключалась в том, чтобы дать книгу, которая
позволяла бы вполне ориентироваться в современной Небесной механике,
давала возможность непосредственно перейти к чтению специальных
мемуаров и в то же время служила исчерпывающим практическим
руководством при решении тех проблем, с которыми астроному приходится
встречаться особенно часто.
В основу положены те общие и специальные курсы, которые я читал
в течение последних шести лет в Ленинградском униі ерситете.
Книга делится на четыре части, из которых первая посвящена
изучению общих свойств движения материальных точек, притягивающих дэуг
друга по закону Ньютона, и, в частности, изучению важнейших свойств
возмущенного движения. Эта часть является как бы введением к
следующим, в которых рассматриваются способы фактического определения
возмущенных координат.
Во второй части изучаются способы нахождения возмущенных
координат, основанные на употреблении численного интегрирования
дифференциальных уравнений. Здесь, так же как и в I томе, я стремился
дать исчерпывающе полное практическое руководство к действительному
выполнению всех операций.
В конце I тома, не имея возможности дать подробное изложение
теории численного интегрирования уравнений, я поместил маленькое
добавление, содержащее конспективное изложение этого важного отдела.
Я стремился возможно скорее пополнить этим способом один из наиболее
существенных пробелов нашей литературы.
Развивая во II томе соответствующий отдел до нужной полноты
и давая столь необходимые здесь примеры, я не мог затруднять
читателя непрерывными ссылками на это добавление. Вот почему я
предпочел изложить всю теорию численного интегрирования полностью, хотя
при этом и пришлось воспроизвести несколько страниц. Таким образом
оказалось возможным исключить из подготовленного сейчас нового
издания I тома указанное добавление.
Изложив с должными подробностями методы численного
интегрирования уравнений и научив, при помощи примеров, применять эти методы,
я останавливаюсь еще на приложениях численного интегрирования к
изучению невозмущенного движения.
Только после такой подготовки я перехожу к применению
рассматриваемых методов к вычислению возмущений и на этот раз уже могу
обойтись без пояснительных примеров. Читатель, внимательно изучивший
две предыдущие главы, в таких примерах нуждаться не будет.
1*

4 Предисловие
Третья и четвертая части книги посвящены аналитическим методам
вычисления возмущений. Здесь, в отличие от второй части, я не всегда
стремился дать исчерпывающее изложение рассматриваемых методов,
так как это является делом специальных монографий. Но, не стараясь
заменить эти монографии, я стремился дать полное представление о
сущности каждого из важнейших методов.
Много места уделено теории движения Луны, которая является не
только ОД4ИМ из совершеннейших отделов Небесной механики, но и не
менее актуальна, нежели теория движения планет. В самом деле, не
говоря уже о том, что классическая теория движения Луны
используется в звездной астрономии при изучении движения кратных звезд, не
следует забывать, что работы Хилла явились одним из важнейших
источников прогресса Небесной механики в последние десятилетия.
Таким образом II том посвящен, в основном, изучению- методов.
Небесной механики. Подробное изложение достигнутых результатов,
иначе говоря, сравнение теории с наблюдениями, найдет свое место-
в III томе. Там же будут рассмотрены некоторые более специальные
методы (периодические орбиты, методы Гюльдена, Бренделя), а также
теория вращения светил.
Что касается до характера изложения, то я стремился к возможной
элементарности, к возможно большей пригодности книги для
самостоятельного изучения предмета, и потому избегал пользования сколько-
нибудь сложным математическим аппаратом.
При этом я старался дать книгу, из которой легко было бы вы*
делять как преподавателю, так и читателю курсы разной степени
полноты и подробности.
Принятая мною система обозначений тех величин, для которых не
установлены стандартные обозначения (и едва ли должны быть
установлены в настоящее время), тщательно продумана. Нужно однако заметить»
что введение здесь полного единообразия не только трудно, но и не
всегда целесообразно; так, например, я сознательно пользовался разными
обозначениями в теории движения планет и в теории движения Луны,
так как это не создает никаких неудобств и в то же время облегчает
чтение специальной литературы.
Что касается до литературных указаний, то они отнюдь не
претендуют на полноту и систематичность, так как более подробные
сведения в этом отношении легко могут быть почерпнуты из общеизвестных
библиографических указателей.
В заключение.отмечу, что главы, посвященные определению орбит
из многих наблюдений, которые первоначально предполагалось включить
во II том, вошли в новое издание I тома; это обстоятельство позволило
сделать настоящий том более однородным по своему содержанию.
М. Субботин.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
ГЛАВА I
ПРОБЛЕМА П ТЕЛ.
§ 1. Интегралы проблемы п тел.
Рассмотрим л материальных точек с массами, равными соответственно
т0> mv .. . . , дая-_г- Через Ер \, С. обозначим координаты точки mt
относительно произвольной неподвижной системы осей. Пусть Ду есть
расстояние между точками т. и т.> так что
Aj'-a-y+<к-ф+(с,-у».
Притяжение, испытываемое точкой т. со стороны точки от., будет
равно ^/я^ДТ2, где через к2 обозначен коэффициент притяжения (т. I,
§§ 3 и 16); компоненты этой силы по осям координат будут
U i/ if
Поэтому уравнения движения точки да, напишутся следующим
образом:
причем при суммированиях в правых частях значение j = / должно быть-
пропущено.
Уравнения (1) при /=0, 1, . . .,л—1 образуют систему порядка 6л,,
к интегрированию которой и приводится проблема п тел.
Легко видеть, что уравнения (1) могут быть написаны так:
#5. dU іРуі. dU dK. dU
если, следуя Лагранжу, ввести функцию сил
; / if

6 L Проблема п тел
Так как мы здесь имеем систему, на которую не действуют никакие
внешние силы, то общие теоремы Механики сразу дают нам 6 интегралов
движения центра инерции системы и 3 интеграла площадей. Эти
интегралы очень легко получаются непосредственно из уравнений (1).
Прежде всего, суммируя каждое из уравнений (1) по / от / = 0 до
/ = л — 1, получим
і і і
где дифференцирование по времени обозначено точками.
Отсюда
S т& = av ? m^t = ра, S m?t = rx (4)
i i i
¦ 2m& = ei'+««. Ел»Л=М+Р«» 2i»^=V+T,. (5)
где au pb fi> «2» Рг, Тг — произвольные постоянные.
Равенства (4) и (5) показывают, что центр инерции системы
движется прямолинейно и равномерно. Они носят название интегралов
движения центра инерции.
Для вывода интегралов площадей обращаемся к следующим легко
проверяемым следствиям уравнений (1):
ЕдаДч& —<&) = 0
Ел, (&-&)= О
*
Интегрируя эти равенства и обозначая через Си Q, С3 новые
произвольные постоянные» получим интегралы площадей
і
Е^(М,-^) = С2 (6)
Левые части уравнений (6) представляют собою проекции
момента количества движения системы (который равняется сумме
моментов количеств движения всех точек) на оси координат. Таким
образом, равенства (6) показывают, что момент количества движения системы
остается постоянным как по величине, так и по направлению.
Плоскость, перпендикулярная к моменту количества движения
системы и, следовательно, имеющая уравнение
d^-^ + C^ij—ЧО) + С8(С-«:о).-0, (7)
называется неизменной плоскостью Лапласа.
Каждый член сумм, стоящих в левых частях равенств (6), можно
еще интерпретировать как умноженную на массу проекцию удвоенной
секториальной скорости точки mt на соответствующую координатную
плоскость. Короче говоря, левая часть каждого из этих равенств есть

§ 2. Приведение проблемы п тел 7
сумма взвешенных проекций секториальных скоростей всех точек
системы на координатную плоскость.
Если сумму взвешенных секториальных скоростей спроектировать
на произвольно взятую плоскость, то проекция будет очевидно равна:
Vq+CJ-fq.cosft
где р — угол между нормалью к рассматриваемой плоскости и моментом
количества движения системы. Отсюда ясно, что неизменная плоскость
может быть определена как такая плоскость^ для которой сумма
взвешенных проекций секториальных скоростей всех точек наибольшая.
Перейдем теперь к последнему из общих интегралов, существование
которого обусловлено тем обстоятельством, что функция сил (3) не
содержит явно время.
Умножим уравнения (2) соответственно на іі9 і\іУ і. и сложим их
почленно; это даст:
і
откуда непосредственно вытекает интеграл живых сил
где h — новая постоянная.
Так как величина
і
представляет собою кинетическую энергию системы, а
потенциальная энергия рассматриваемой системы равна очевидно — U, то
полная энергия будет равна
Н=Т— U.
Следовательно, интеграл (8), дающий #==?, выражает для
изучаемой нами замкнутой системы закон сохранения энергии.
Итак, общие теоремы Механики дают для проблемы п тел десять
интегралов. Многочисленные попытки найти дальнейшие интегралы оста-
лись безуспешными. В 1887 г. Брунс доказал, что даже в случае
проблемы трех тел всякий первый интеграл, алгебраический относительно
координат 6р *ір С, и их производных іР -цр ір является следствием
указанных десяти интегралов. В 1889 г. Пуанкаре обнаружил (также для
проблемы трех тел) отсутствие первых интегралов, определенным образом
выражающихся при помощи однозначных аналитических функций.
Эти теоремы, на доказательстве которых мы не будем останавливаться,
показывают, что вопрос о нахождении новых интегралов, сверх десяти
известных, не представляет интереса для Небесной механики, так как
эти интегралы были бы слишком сложны для того, чтобы иметь какое-
либо применение.
§ 2. Проблема п тел приводится к интегрированию системы 6л—12
порядка и двум квадратурам.
Найденные в предыдущем параграфе б интегралов движения центра
инерции, 3 интеграла площадей и интеграл живых сил позволяют
понизить порядок системы (1) на 10 единиц.

8 L Проблема п шел
Воспользовавшись тем, что силы не зависят от времени, мы можем
понизить порядок системы еще на одну единицу: для этого надо
исключить из уравнений dL Когда полученная таким образом система будет
проинтегрирована, время определится при помощи одной квадратуры.
Таким образом, задача будет приведена к решению системы порядка
6л—11 и выполнению квадратуры.
Понижение порядка системы еще на одну единицу основывается на
полном использовании того обстоятельства, что силы зависят
исключительно от взаимных расстояний движущихся точек.
Чтобы удобнее использовать указанное свойство нашей системы,
перейдем к обобщенным координатам, причем одну из координат выберем
следующим образом. Через какую-либо точку системы, например т0,
проведем неподвижную прямую, а через эту прямую — плоскость,
проходящую через какую-нибудь другую точку системы. Азимут этой
плоскости, отсчитываемый от произвольного неподвижного направления,
обозначим через «р и примем за одну из обобщенных координат.
Движение всей системы будет, следовательно, определяться
координатой <р и координатами, фиксирующими положение системы
относительно движущейся плоскости, имеющей азимут <р-
Покажем, что координата <р является циклической, т. е. что
уравнения Лагранжа заключают только производную ср, но не ср.
Неподвижную4 прямую, проведенную нами * через точку т0і примем
за ось z-ов; ось х-ов расположим во вращающейся плоскости. Если
через xkf ук% zk обозначить координаты точки тк в этой вращающейся
системе осей, то компоненты скорости точки тк будут
Следовательно, живая сила системы, определяемая равенством
Т== т2 и*1&- JW)»+Су»+**?)•+«3,
к
будет зависеть только от ср, но не от % точно так же, как и
кинетический потенциал
L = T-\-U.
Поэтому соответствующее ср уравнение Лагранжа
d ( dL\ dL
dt \ ду ) ду
дает
dL
—r-= const,
dtp
Это равенство позволяет исключить <р из остальных уравнений
движения. После того, как полученная таким образом система уравнений
будет проинтегрирована и будет известно движение наших
материальных точек относительно вращающейся плоскости, останется найти угол ср,
дающий положение этой плоскости. Так как последнее равенство дает ф
в функции остальных координат, то угол ср определится при помощи
одной квадратуры.
Рассмотренная нами операция исключения из уравнений движения
азимута ср была названа Якоби — для частного случая задачи трех тел —
исключениемузлов.

§ 3. Уравнения относительного движения
Итак, интегрирование уравнений (1) действительно приводится к
интегрированию системы порядка 6л—12 и двум квадратурам.
Фактическое выполнение указанных приведений мы производить не
будем, так как* оно нисколько не облегчает полное решение задачи.
Ограничимся лишь-имеющим практическое значение понижением порядка
системы на 6 единиц при помощи интегралов (4) и (5). Это приведение
будет выполнено в следующих параграфах.1
§ 3. Уравнения относительного движения.
Вернемся к уравнениям (1), определяющим движение п тел
относительно неподвижной системы осей. Найденные нами интегралы (4) и (5)
позволяют исключить из уравнений (1) три какие-либо координаты,
например So, Чоі Со и их производные.
Положим, с этой целью,
*і = ?о + *і. Ъ = Ъ+УР ^ = С0+^> (/=1,2,. . .,.л — 1)
так что хр у.9 z? являются координатами точки т. относительно осей,
параллельных предыдущим, но имеющим начало в точке /л0.
Из уравнений (1) следует, принимая во внимание, что х0 = yQ =
= г0 = 0:
dt2
/72,
Л»
ч
хі
— *, .
дз 1
и
X. «г-1/ X.— X.
"о/ Ж1^ "tf
d*t0 ^ Е,—5Л х4 ^гл' х,
где через ?' обозначено суммирование по/ с пропуском значений j « / и у = 0.
Поэтому, делая А0/=гу, получим следующие уравнения,
определяющие движение /и. относительно /тг0:
tf2*. X. ЧЛ'
~dP
t f ~~ \ U J f
(PZi Z. w-v
(/=1, 2, . • . , л—1).
X.— *,
7 '
Л*
'J
'Уі-Уі
A*
* 'У
z,-*,
, A?.
xi
J
r*
j
ь
rs
J
z1
1
1 Подробные литературные указания относительно различных способов
действительного выполнения указанных в этом параграфе по. ижений порядка системы
дифференциальных уравнений для случая задачи трех тел можно найти в сіагье: Е. Т. Whittaker,
Prinzipien der Storungstheorie und allgemeine Theorie der Bahnkurven in dynamischen Proble-
men, tnzyklopadie der mathem. Wissenschaften, Bd. VI2, oW—556, а также в известном
учебнике Аналитической динамики того не автора, где этому вопросу посвящена
специальная глава.
Фактическое приведение к системе порядка 6/г—12 для задачи п тел выполнил
Т. L. Bennett (Messenger of Math. (2), 44, 1904).

10 L Проблема п тел
причем
r) = *) + ?) + *)¦
Положим
^^'-;r-?l+f^ <'0,
r?
Это позволит написать уравнения (9) в такой форме:
Фу. yt 6R,
Фг- zt dRi
Предположим, что массы всех тел, за исключением т0 и тр равны
нулю. В таком случае ^=0и уравнения (11) обращаются в известные
уравнения задачи двух тел (т. I, гл. II). Так как в Астрономии издавна
установился обычай называть кеплерово движение, соответствующее
задаче двух тел, невозмущенным движением, а всякое отклонение
от него возмущением, то и функция Rt получила название
пертурбационной функции. Производные этой функции по координатам т.
дают компоненты относительного ускорения, испытываемого телом ті со
стороны всех остальных тел системы, за исключением, конечно,
центрального тела от0.
После того как система (И) порядка 6л—6 разрешена и движение
всех тел относительно m§ известно, легко может быть получено
абсолютное движение всех тел. Действительно, уравнения (5) дают:
/ і
л—1
1
где
л—1
і
откуда найдем $0> tq0, Qj-
Для системы (11) мы имеем четыре интеграла, соответствующие
интегралам (6) и (8) уравнений абсолютного движения.
Первое из равенств (6) дает:
"S1 mt [ft0 + у,) (С0 + ^ - (Со + *,) (і + Л)]"+ «о fo& - СХ) - С,

§ 4. Вторая форма уравнений относительного движения 11
или
Определяя ?0j т)0, С0 из (12) и подставляя сюда, окончательно
получим следующие интегралы уравнений (11):
МЪт% (y?z.—зд) + S m.z. S ті'уі — Е отгз>, 2 от,*? = С^
Л/ Е от. Oyer, — ***,)+ 2 mxt S ot,z( — S ot,z, 2 от,*, = С'2 (13)
где
Выполнив аналогичные преобразования в интеграле живых сил (8),
получим еще один интеграл уравнений относительного движения.
Уравнения (11) широко применяются в Небесной механике, особенно
при изучении движения планет и комет. В этом случае за центральное
тело Ото, к которому относят движение всех остальных, принимают
Солнце. При таком выборе каждый член пертурбационной функции (10)
имеет множителем планетную массу т.\ поэтому правые части
уравнений (11) будут весьма малы и их влияние действительно можно
рассматривать как возмущение.
§ 4. Вторая форма уравнений относительного движения*
Указанная в предыдущем параграфе форма уравнений
относительного движения в некоторых случаях неудобна тем, что содержит особую
для каждого тела пертурбационную функцию Rr Поэтому иногда
пользуются другой формой, основанной на следующем выборе
относительных координат:
1) через первую точку от0 проводим оси координат, параллельные
неподвижным осям, и положение от, определяем в этой системе
координатами хи уи zx\
2) через центр инерции Gi точек от0 и т^ проводим оси,
параллельные предыдущим, и положение т2 определяем относительно этих осей
координатами хь уъ z2;
3) положение тг определяем координатами х3, yZj za относительно
системы осей, параллельных предыдущим и имеющих начало в центре'
инерции G2 точек от0, ти т2; и т. д.
Таким образом, каждая последующая точка от/+1 относится к центру
инерции Gt всех предыдущих точек от0, mv . . . , от?.
Обозначим через Xv Ур Zi координаты точки Gv так что
ад = от0Е0 + от1$1+- . .+отД,
где
Л*, = л»0+ /»,+ . - ¦ +л,-

12 I, Проблема п тел
По определению
откуда
= ^0(1— У + ^(«і~У+- • •+^-1(SJ-^1). (14>
Чтобы выразить старые координаты (?, *), С) через новые (#, j>, г),
заметим прежде всего, что
или
Следовательно
откуда
Складывая почленно эти равенства для последовательных значений
индекса, получим
$і — ?о — -*ь
Перейдем теперь к составлению дифференциальных уравнений
движения в новых координатах.
Дифференцируя дважды равенство (14) и пользуясь уравнениями (2)г>
получим:
&х. _Mt_x dU dU dU dU
С другой стороны, имеем, на основании соотношений (14),
dU dU /п0 dU m0 dU m0 dU
откуда
#о
dU
*L_
dU
*2
dU
Я»-л
Mt_x dU
т. д%
дхх
dU
дхх
¦
т
М, дх2
тх dU-
М, дх2
. dU
дхг
~ м*
Щ
М2
тг
Мг
^,--х
дх3
dU
дхй
dU
**, ' '
dU
дхі+х
Мп_гдхп_х
тх dU
^п-гдхп-і
т2 dU
Мп_2дхп_х
dU
дх»-і
Мг_х dU
Мп_2дхп_х

§ 4. Вторая форма уравнений относительного движения 13
так что окончательно будем иметь следующие дифференциальные
уравнения относительного движения:
і*х. dU d*yt dU d*zt dU
где
^ dP ~~ dxt' ** dp ~ dy.' •*' dP ~ dz.' (17>
f\ =
?w
Mt
Равенства (16) позволяют выразить функцию сил U через новые
координаты.
Уравнения (17) с успехом применяются в теории движения спутников
и при изучении движений в системах кратных звезд.
Например при изучении движения Луны удобно за точку т0
принять Землю, за mx — Луну и за т2 — Солнце. Обозначая через хи уи zx
координаты Луны относительно Земли, через х2у у2, z% — координаты
Солнца относительно центра инерции Земли и Луны, и полагая
14 ~" яіо + даі* ^2 ~~ Щ + Щ + m2
получим такие уравнения движения:
Фхх dU d*x2 dU
н-і-^----тг; н-2
dt* дхху Г? dt* дх
2
Рі"ЙГ~ дУі* Н dt* ~W% {Щ
бР-z, dU d*z2 dU
UP dzxy Г? dP dz
причем
Д!2 А01 A02
Как уже было отмечено (т. I, § 7), движение Солнца относительно
центра инерции системы Земля — Луна мы можем считать эллиптическим,
следовательно нахождение хъу2уг2 сводится к решению задачи двух тел,
чем существенно упрощается решение системы (18).
В заключение покажем, каким образом живая сила системы Т
выражается через новые координаты.
В равенстве (15) заменим %t через х.-\-Х(_г Это даст
Возводя в квадрат как это равенство, так и (15), получим
(м.-м^у x* = m? {х-х:_ху
Щ-м^у Щ-^Хі-м^х^у.
Откуда, исключив произведение XtXt_v найдем:

14 L Проблема п тел
Это равенство просуммируем от і = 1 до / = л—1. Получим:
1 1 *
или, так как М0 = т0у jf0 = E0,
Складывая почленно это равенство с аналогичными, написанными
для других координат, получим:
"f я, (б?+1! + Ч)="f ^ и+>?+4) + ^_х (^2_х + yLx + *і -0 •
Но это соотношение выведено нами из линейных однородных
зависимостей между координатами ?, -ц, С и х, y,z. Поэтому такое же
соотношение будет иметь место и между производными этих координат.
Следовательно
2 Т = "t ь (х> + >•? + *?) + ^ (*Lx + П-г + ^-а).
Пр имеч ан и е. Уравнения (17) имеют ту же форму, что и
уравнения (2). Поэтому для уравнений (17) интегралы площадей и живых сил
могут быть получены из указанных выше интегралов для абсолютного
движения заменой масс т. множителями рг
Для случая проблемы трех тел" наиболее общее линейное
преобразование координат, при котором сохраняется форма интегралов,
площадей и живых сил, нашел Хопфнер.1
§ 5. Формула Якоби.
Для проблемы п тел функция сил U, определяемая формулой (3),
является однородной функцией координат. Пользуясь этим
обстоятельством, можно, как показал Якоби, из интеграла живых сил вывести еще
одну весьма интересную формулу.
Так как U есть однородная функция (— 1)-го порядка от ?., ч[р С,, то
|№^+^)~«
Поэтому, умножая уравнения (2) соответственно на 5Л v\v С, и
складывая, получим:
Сложим это равенство с интегралом живых сил (8), умноженным
на 2. Это даст
1 F, Hopfner, Ober eine Verallgemeinerung der relation kanonischen Koordinaten von
Jacobi, Astr. Nachr., 195, 1913, 257 — 262.

или
. я-1
§ 5, Формула Якоби 15
о
или, наконец,
о
Стоящая здесь сумма
представляет полярный момент инерции нашей системы относительно
начала координат.
Как известно, J можно выразить через величину
где М—сумма всех масс т., а Х> У, Z—координаты центра инерции
системы, и через квадраты взаимных расстояний точек системы.
В самом деле, обратимся к следующему легко проверяемому
тождеству:
і і U і/
в правой части которого каждая комбинация значков / и j должна быть
взята только один раз.
Сложив это тождество с двумя аналогичными для координат т] иС
и учитывая, что
іИУ=2/п,г„ МУ=Ътг-Цр MZ=Y,m^iy (20)
получим
MJ—MJ0 = 1 mimj L]r
и j
Или, пользуясь интегралами (5), определяющими движение центра
инерции системы,
Подставив это выражение для J в равенство (19) и обозначив
через hr новую постоянную, будем иметь:
^ = 2?/+4У, (21)
где
Эта формула носит назвачие формулы Якобы. Частный случай ее,
соответствующий проблеме трех тел, был указан Лагранжем (1772).
В общем виде формула была дана Якоби в 1842 г.
Отметим некоторые интересные следствия соотношения (21),
указанные Якоби, которые можно рассматривать как едва ли не первый пример
применения качественных методов в Небесной механике.

16 /. Проблема п тел
Интегрируя равенство (21) в пределах от 0 до /, получим:
где через R'0 обозначена величина ~~гг при f = 0, а через а —нижняя
граница значений функции ?Л Очевидно можно считать, что а > 0.
Еще одно интегрирование в тех же пределах дает:
#>*о + Я'0'+(а + 2Л')'2.
Это неравенство показывает, что движение может быть
устойчивым лишь при условии ti < 0. Действительно, если Л'2*0, то a-j-2/r' > 0,
и потому правая часть этого неравенства, будет неограниченно
возрастать при f-+oo. Таким образом, хотя бы одно из взаимных
расстояний А., должно стремиться к бесконечности.
Для случая двух тел фчрмула (21) обращается в соотношение
^-«•("i + «0(t—т)' <22>
где г—взаимное расстояние рассматриваемых тел, а — большая полуось
относительной орбиты. Если а < 0, то относительное движение
происходит по гиперболе, так что действительно г^оо, когда /->-оо.
§ 6. Неизменная плоскость Лапласа.
Если п материальных точек движутся исключительно под влиянием
взаимного притяжения, то существует, как мы видейи (§ 1), плоскость,
сохраняющая неизменное направление в пространстве. Эта плоскость
определяется уравнением (7), коэффициенты Сь С2і С3 которого даются
формулами (6).
Для действительного вычисления положения неизменной плоскости,
например в случае нашей солнечной системы, формулы (6) непригодны,
так как они требуют знания абсолютного движения всех точек
системы.
Непригодны для этой цели и интегралы площадей относительного
движения в форме (13), так как эти интегралы содержат
величины аи а2, рь . . . , характеризующие абсолютное движение центра
инерции.
Покажем, что направление неизменной плоскости может быть
найдено при помощи одних только относительных координат и скоростей
точек системы. Объясняется это весьма просто: формулы (6) или (13)
дают Си С2і С3; но для определения положения неизменной плоскости
нет надобности знать Сь С2, С3, достаточно иметь отношения Сі:С2:С3.
Введем новую координатную систему с началом в центре инерции
точек т0, ти . .' . , тп_1 и с осями, сохраняющими постоянное
направление в пространстве. Координаты точки ті в этой системе обозначим
через х,, уіз zn а абсолютные координаты центра инерции попрежнему
через X, Y, Z.
Так как, на основании (5) и (17):
то

§ 6. Неизменная плоскость Лапласа 17
Поэтому, подставляя выражения
*,«*+*, ъ=г+Уі> ^i-z+Zt
старых координат через новые в уравнения (1), получим для определения
движения относительно центра инерции такие уравнения:
',^=**,.]>>, ^рг
»,у,-*«,2*да
ч-
^n z.— z.
Д?.
(23)
Так как эти уравнения имеют тот *ке вид, что и уравнения (1), то
алы можем сразу написать для них интегралы площадей
2^(Уі.2.-2.у.) = С;'
S^,(x,yf-y-i.)==C3'.
Постоянные С[у Сд, С,' фиксируют для каждой точки х°, у0, z°
положение плоскости Лапласа
^•(X-xo)+c;(y-yo)+q(z-zo)=o,
проходящей через эту точку.
Таким образом, для определения положения этой плоскости
достаточно вычислить для какого-либо момента времени координаты хі} yt, z?
и компоненты скоростей хі$уі9 z. всех точек системы относительно центра
инерции.
При изучении движений тел солнечной системы употребление
неизменной плоскости в качестве основной является более естественным,
>чем употребление эклиптики определенной эпохи (1750.0, или 1850.0, или
1900.0), обычно применяемой для этой цели.
Однако употребление плоскости Лапласа в качестве действительно
неизменной координатной плоскости наталкивается на затруднения прежде
всего практического характера. Дело в том, что положение этой
плоскости зависит от планетных масс; поскольку эти последние известны
лишь приближенно, и положение плоскости Лапласа в каждый данный
момент может быть определено только приближенно. Таким образом, при
всяком новом более точном определении планетных масс нам пришлось
бы менять положение основной плоскости, что было бы весьма
неудобно.
Другая причина, уже принципиального характера, отнимающая
у определенной вышеуказанным способом плоскости Лапласа ее
абсолютный характер, заключается в том, что Солнце и планеты не являются
материальными точками. Благодаря этому момент ?Ояй^?тШс,вщжения,
определяемый величинами С^, Ся', CJ, может, изменяться;'йгіркме^ЗЙ^рд-
Куро небесной механики 2 _

18 I Проблема п тел
ствие приливных явлений, за счет моментов количества движения,
присущих отдельным телам системы.
Относительно эклиптики и равноденствия 1850.0 положение
неизменной плоскости определяется элементами
9'= 106° 14', /—Г 35'19".
Как и следовало ожидать, эта плоскость мало отличается от
плоскости орбиты Юпитера и расположена между этой последней
и плоскостью орбиты Сатурна.

ГЛАВА II.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ.
§ 7. Уравнения движения в цилиндрических координатах.
Как известно, для определения положения светил наряду с
прямоугольными координатами применяются различные полярные системы
координат. Выведем соответствующие уравнения движения, причем начнем
с простейшего случая цилиндрической неподвижной системы координат^
Наша задача заключается в изучении движения одной
материальной точки Р, которую мы для удобства будем называть планетой,
относительно другой точки S, которую назовем Солнцем.
Начало координат поместим в точку S, причем плоскость ху в
дальнейшем будем называть эклиптикой. Через г и р обозначим соответственно
радиус-вектор точки/3 и его проекцию на плоскость ху; через v обозначим
долготу Р, считаемую в этой плоскости от оси -*-ов. В таком случае:
х — р cos v, y — p sin vt
r2 = p2-f-22.
Чтобы написать уравнения движения точки Р в цилиндрических
координатах р, v, z, проще всего воспользоваться уравнениями Лагранжа
d / дТ\ дТ
dt\dqj &I,
к'
k
Положим ?і = р, Яг=і>> ^3=^ и заметим, что живая сила точки Р
выражается через эти координаты следующим образом:
где через m обозначена масса Р.
Обозначая через Р, Т и Z компоненты ускорения точки Р по
направлению проекции радиуса-вектора на плоскость ху, по направлению
перпендикуляра к этой проекции в плоскости ху и по направлению
оси z, получим:
Qi=mP, Q2 = m9T, Qz = mZ.
Таким образом уравнения движения будут иметь следующий вид:
&р
~di*"~
±(*%\-?т (1)
dtV dt)
frz
= Z.
dt2
2*

20 //. Уравнения движения в полярных координатах
В том случае, когда. существует функция сил mU, эти уравнения
можно написать так:
(Ро /dv\2 dU
— Р
Л* r\dt dp
Р2
dv\
dt)~-
d*z
dp =
dU
dv
dU
~ dz
(2)
Уравнения (1) употреблялись некоторыми авторами в теории движения
Луны. В'этом случае вместо координаты z обычно вводят величину
Z
~ р
представляющую тангенс широты Луны.
Если рассматривается возмущенное движение Р, то
?/=-?-+*, (3)
где первый член соответствует притяжению Солнца, а второй
представляет пертурбационную функцию. Заметим, что коэффициент ?* должен
быть заменен в этом равенстве через k2(l-\~m), если массой т тела Р
нельзя пренебречь по сравнению с массой Солнца, принятой за единицу.
Подстановка выражения (3) в уравнения (2) дает:
Р2-^ =^7 (4)
dt у dt) dv
к .3
dfl l r dz
Эти уравнения применяются при вычислении возмущений планет
и комет помощью численного интегрирования дифференциальных
уравнений.
§ 8. Уравнения Клэро-Лапласа.
Если пертурбационная функция R> входящая в уравнения (4), равна
нулю, то мы имеем случай невозмущенного движения, совершающегося
в неизменной плоскости, проходящей через S.
Приняв эту плоскость за плоскость ху, будем иметь z = 0, p = r,
так что рассматриваемые уравнения обратятся в такие:

§ 8. Уравнения клэро-Лапласа 21
Общее решение этих уравнений дается (т. I, гл. II) хорошо
известными формулами:
a{l-e")
f і 1 .
1 -\-ecos(v — v0) *
где а, е, v0 и /0 — произвольные постоянные.
Рассматривая эти формулы, мы видим, что выражения г и t в
функции v проще, чем выражения г и v в функции /.
Отсюда ясно, что в уравнениях движения (2) или (4) целесообразно
за независимую переменную принять не время tf а долготу v.
Действительно, возмущенное движение мы предполагаем мало отличающимся от
невозмущенного, поэтому естественно ожидать, что такая замена будет
способствовать большей простоте решения и в случае возмущенного
движения.
С другой стороны, в то время как радиус-вектор, рассматриваемый
как функция v, удовлетворяет довольно сложному уравнению,
получаемому из (4') исключением t, обратная величина
UW~y= g(l-g2) [l+*COS(E — v0)]
удовлетворяет весьма простому уравнению
— 4- == 1
¦ dv* ~T~U а(1—е*) '
Принимая все это во внимание, преобразуем уравнения движения,
данные в предыдущем параграфе, принимая за искомые величины
1 z
z/ = —. s =
р р
и время t, а за независимую переменную — долготу у.
Полагая
откуда
легко заменить производные по / производными по у. Так как
Л* ¦ dt[dt ) dv \ru dv
dv \ dv )
dv2 dv dv *

22
П. Уравнения движения в полярных координатах
то первое из уравнений (1) напишем так:
dv* ~T~U П~ dv U dv
HW
Р.
(4")
Второе из этих уравнений дает:
dv
(5)
— 1
Наконец, полагая в третьем уравнении z = su и замечая, что
dP dv \ dv
rn , , &s &u\ . „dH , / ds
dv*
du\
dv ' S dv j '
получим:
WI^ + .W*S^-«-Ai
dv*
dv dv
причем вторая производная и исключена при помощи равенства (4").
Пользуясь, далее, равенством (5) для исключения производной //,
окончательно будем иметь уравнения движения в следующем виде:
d2u . „_ 2 - 2
dv1 [
d*s
Р-Ги-1^
*+.-/г-.-(_Л-г*+^)
dv
(6)
После того как интегрирование этих уравнений даст и, s и Н
в функции v, нужно еще определить время при помощи равенства:
?-«¦"¦-¦ w
Из полученных уравнений можно легко исключить вспомогательную
величину Я. В самом деле, из (5) следует:
H* = h* + 2fTu~~*dv9
где h — постоянная, введенная интегрированием.
Поэтому уравнения (6) и (7) могут быть заменены такими:
(*- + 2/Л-»Л)(5 + «)-«-(-Я-Г«-*)
(Л*+2/7-«-3^)(^ +
s\=u-4~Ps-Tds
dv
§ = и-*(* + 2іТи-* do)-*.
(8)

§ 9. Применение уравнений Клэро-Лапласа 23
В заключение напишем эти уравнения для того случая, когда
существует функция сил U. В этом случае
"p—^L т=- ^L 7——
dp ' р да ' дг '
а так как из равенства
U (и, v, s) = u(±-, v, ~-\
•следует
dU , dU dU dU dU
dp ои ds oz ds
то окончательно получим:
-a dU J.\/diu , _.\ W ,._2 du dU , .„_х дЦ
ds
.. , _ Г -2dU . \/d*u . \ dU _2 du dU ,
1
rfy \ / до
+ 2/V
= и~2|Л2 + 2 / u~2^-dv
(9)
В таком виде эти уравнения были впервые даны Лапласом, но
основная идея — употребление долготы в качестве независимой переменной
и величины и вместо р— принадлежит Клэро. Клэро вывел уравнения (9)
для случая s = 0 и воспользовался ими для изучения возмущений в
движении Луны, производимых Солнцем, в предположении, что Луна
движется в плоскости эклиптики.
Уравнения (6) были широко использованы Адамсом в его работах
по теории движения Луны.
§ 9. Применение уравнений Клэро-Лапласа к изучению движения
в сопротивляющейся среде.
Предположим, что движущаяся вокруг Солнца планета испытывает
сопротивление, величина которого равна am Vr~~2, где m — масса планеты,
V—ее скорость, г—расстояние от Солнца, а а—весьма малый
постоянный коэффициент. Это сопротивление мы будем предполагать
направленным по касательной в сторону, противоположную движению планеты.
Воспользуемся уравнениями" (6), которые в этом случае могут быть
взяты в форме:
dv2 [ у dv
н™ти->, *н*. <10)
dv dt -
так как за плоскость ху мы можем принять плоскость орбиты, поскольку
изучаемое движение будет, очевидно, плоское. При этом

24 II. Уравнения движения в полярных координатах
Вычислим компоненты ускорения, вызываемого сопротивлением
среды, по направлению радиуса-вектора и по перпендикуляру к нему
в плоскости орбиты. Известно, что косинусы углов, образованных
положительным направлением касательной к орбите с этими направлениями»
равны соответственно
rV-1 и ri)V'\
причем
м / "2 I 2*2
V=\J r -f~r v .
Поэтому искомые компоненты ускорения будут равны:
и
— 2 • г т. 2 ^и
г — -{-аНи
— 1 ¦ Г 7-.3
dv
— аг~ х V = — а Ни*.
Следовательно
/> = — & (і ц_ш) и* + аНи*^
Т= — яНи*.
Подставляя эти значения в уравнения (10), мы прежде всего
получим:
йН
откуда
Я==Л — avt (11)
где h—постоянная интегрирования.
Далее, первое из уравнений (10) дает:
или, ограничиваясь тем случаем, когда коэффициент а настолько мал„
что величины порядка о2 нечувствительны:
d?u
dv*
+ u = &h-< (1+2аЛ~^).
Мы опустили для краткости множитель 1 -\-т, который всегда можно
считать включенным в ?2.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
r/ = *2?-2[l-f 2a?bli> + ecos(y~-o>)], (12)
где в и ш — произвольные постоянные.
Сравним действительную орбиту, представляемую этим уравнением,
с эллиптической орбитой
u = p0~1[l+e%cos(v — ic0)], (13)
которую описывала бы планета при отсутствии сопротивляющейся средЫі
Очевидно мы можем вместо постоянных элементов pQ, e0f к0
подставить в уравнение (13) такие функции и, что это уравнение станет

§ 9. Применение уравнений Клэро-Лаплдса 25
тождественным с уравнением (12). Это можно сделать, например,
следующим образом.
Пусть в момент t = t0 координаты н их производные имеют
значения uQ) vQ, щу і>0. При помощи этих значений мы можем вычислить
элементы эллиптического движения (т. I, гл. IV). Очевидно, это будет то
движение, которое имела бы планета, если бы в момент /0
сопротивляющаяся среда исчезла. Такое движение называется оскулирующим
(т. е. соприкасающимся) по отношению к рассматриваемому движению,
а элементы р0) е0, тг0 соответствующей орбиты (являющиеся функциями /0)
носят название оскулирующих элементов для момента tb.
Найдем выражения оскулирующих элементов как функций у0. Для
этого заметим, что для момента t0 величины
г, 2* du -_і
И=г и и -г- = я v
dv
должны иметь одни и те же значения для действительного и для оскули-
рующего движений. ,
Но для оскулирующего (эллиптического) движения мы имеем, на
основании хорошо известной формулы,
тогда как для движения в сопротивляющейся среде И имеет значение (11).
Поэтому
k2Po = (b — аг><>)2,
откуда, в пределах принятой точности,
А^-2=л-1(1—2aA"V (14)
Приравняем теперь значения и и — , даваемые формулами (12) и (13)
при v = v0. Это даст:
k2h~2 [1 + 2* А"1 У0 + е COS (v0 — ш)] = аГ* [1 +*о COs(tf0 — «о)]
k2 h~ 2 [2aA~1 — е sin (v0 — ш)] = р0~х [— е0 sin (»0 —*о)].|
Отсюда, учитывая равенство (14) ц ограничиваясь первыми
степенями а:
<?о cos (v0 — тг0) = (1 — 2 а А"1 у„) е cos (vo — «О
e0sm(v0 — n0) = (i—2ah-1v0)esin(v0~v>) — 2ah~'1.
Комбинируя обычным способом эти равенства, окончательно будем
иметь:
?0 COS (тг0 — со) = е —-2а А" *е»0 — 2аА~ * sin (v0 — «>)
е? sin (тс0 — ш) = 2аА~1 е cos (vQ— <о).
При а = 0 эти соотношения дают
<?0 = в, 1С0 = СО,
поэтому, в пределах принятой точности, их можно заменить такими:
- е0 = е — 2аА" * [еУ0 + SU1 (»0 — «>)]
^ Жо = ш-f 2оА_1 е COS (v0 — о)).

26 II. Уравнения движения в полярных координатах
Эти формулы показывают, что долгота перигелия щ оскулирующей
орбиты является периодической функцией v0, а следовательно и /0- Что же
касается до е0і то этот элемент будет подвержен не только
периодическим изменениям, ной вековым, вследствие наличия члена,
пропорционального 0О.
При увеличении v0 на 2тг эксцентриситет е0 получает приращение
U = — 4nah~~г 8 = — 4nah~ ге0. (15)
Иначе говоря, при наличии сопротивляющейся среды, действующей
по указанному выше закону, эксцентриситет будет убывать при каждом
обороте планеты на часть своей величины, равную 4лай~~х.
Точно так же из равенства (14), дающего
следует, что при каждом обороте планеты параметр орбиты р0 будет
меняться на
—- 2
Ар *= — 4тга? h.
Так как
А) = Яо(1— 3)> .
то, рассматривая эти приращения как бесконечно малые, имеем
Ар __Ад_ 2<?0Аг
7Г~"^ і—3 '
откуда
Ад 4ка 1 + 3
До - л і _^2 •
В заключение найдем соответствующее изменение среднего
суточного движения, определяемого, как известно, равенством
Получим
Ал _ . "3 Аа _6іга 1+3 ,fi
п0 - 2 -во ~ А 1-3 * ( '
Итак, если планета или комета движется в среде, оказывающей
сопротивление, прямо пропорциональное скорости и обратно
пропорциональное квадрату расстояния от Солнца, то эксцентриситет оскулирующей
орбиты будет уменьшаться, а среднее суточное движение возрастать.
Размеры этих изменений в первом приближении даются формулами (15)
и (16).

ГЛАВА III.
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ,
§ 10. Оскулирующие элементы.
Обозначим через х, у, z гелиоцентрические эклиптические
координаты планеты (или кометы) Р3 имеющей массу т.
Если на эту планету не действуют никакие иные силы, кроме
притяжения Солнца (масса которого принята за единицу), то уравнения
движения напишутся, как известно (§ 3), следующим образом:
х-\~&(1+т)хг-2=0
у + Р(1 + т)уг~* = 0 (1)
В дальнейшем мы будем вместо $2(1-{-т) писать, ради краткости,
просто к2, так как множитель \-\-m, всегда сопровождающий к2, легко
может быть восстановлен в нужный момент.
Если, кроме притяжения Солнца, на планету действует еще
некоторая сила mF, имеющая компоненты mFx, mPyy mFz, то вместо
уравнений (1) мы будем иметь такие уравнения движения:
y + k*yr-z=Fy (2)
Движение, определяемое уравнениями (1), называется н е в о з м у-
щенным или кеплеровым, тогда как движение, соответствующее
уравнениям (2), — возмущенным. Так как в теории возмущений
рассматривается чаще всего движение по орбитам, близким к эллипсу, то
невозмущенное движение иногда называют эллиптическим.
Полное решение уравнений (1) нам известно. Ограничиваясь сначала,
для большей определенности, случаем движения по эллипсу, мы можем
выразить это решение следующими формулами:
M=n(t— to) + MQ (3)
3
(4)
(5)
(6)
(7)

28
III. Метод вариации произвольных постоянных
x = r (cos и cos 2 — sin и sin 2 cos i)
у = г (со s и sin 2 -f- sin и cos 2 cos z)
2 = г sin «sin/,
(8)
которые дают искомые координаты х, у, z в зависимости от времени
и шести постоянных интегрирования а, е, М0) со, 2, /.
Для уравнений возмущенного движения (2) подобное интегрирование
в конечном виде при помощи известных функций не выполнимо, а
потому решать эти уравнения приходится иными методами. Так как в
большинстве встречающихся на практике случаев возмущающее ускорение F
весьма мало по сравнению с ускорением, зависящим от притяжения
Солнца, то возмущенное движение чаще всего изучают при помощи
способа последовательных приближений: за первое приближение принимают
невозмущениое движение, затем придают к нему поправки („возмущения4*
или „неравенства"), все более и более сближающие его с действительным
движением.
Применение этого способа существенно облегчается надлежащим
выбором функций времени, определяющих движение. Очень часто бывает
выгодно принять за искомые функции вместо х, у, z какие-либо другие
величины, могущие определить положение планеты. В частности, для
этой цели могут быть употреблены оскулирующие элементы
орбиты, к рассмотрению которых мы сейчас перейдем.
Только-что указанные формулы (3)—(8), которые дают
*=/і (Л а> е, М0, ш, 2, /)
2=Л (', а, е, М0, со, Q, /), ,
(9)
представляют эллиптическое движение, если под а, е, . . . , і разуметь
постоянные числа. Но эти же самые формулы могут представить какое
угодно движение, в частности изучаемое нами возмущенное
движение, если я, е, . . . , / считать надлежаще выбранными функциями
времени.
Функции a(t\ е(/), . . . , представляющие при помощи уравнений (9)
возмущенное движение, носят название мгновенных элементов.
Совокупность этих элементов определяет мгновенную орбиту
планеты Р. Таким образом, знание мгновенной орбиты дает возможность
вычислять координаты Р для любого момента по формулам
эллиптического движения.
Поскольку мы имеем только три.условия (9) для определения шести
функций а (г), e(t), . . ., мы можем эти функции подчинить еще трем
дополнительным условиям.
Воспользуемся теперь остающимся произволом в выборе мгновенных
элементов и наложим на них следующее условие: потребуем, чтобы не
только координаты х, у, z, но и их производные х, у, z выражались через
мгновенные элементы по формулам эллиптического движения.
Эти формулы, легко выводимые из соотношений (3)—(8), таковы:
v
ke sin v
~7Г.
г*
(10)
(П>

§ 11. Дифф. ур-ния, определяющие оскулирующие элементы 29
л: = г г х -\- иг (— sin и cos 2 — cos и sin 2 cos f)
y — r r~~1y-\-vr (—sin # sin 2 +cos «cos 2 cos z) !• (12)
z = r r~~1z-\-vrcos и sin/,
где
u = v-{-<i>, jo==a (1— e2).
Функции времени a(t)f e(t)9 • . ., однозначно определенные шестью
уравнениями (9) и (12), называются оскулирующими элементами,
а соответствующая им эллиптическая орбита (непрерывно изменяющая
свое положение и свою форму)—оскулирующей орбитой.
Решение уравнений (9) и (12) относительно 'элементов было уже
нами выполнено (т. I, гл. IV), причем мы убедились, что эти уравнения
действительно имеют всегда одно и только одно решение.
Итак, оскулирующие элементы для любого момента / вычисляются
по формулам невозмущенного движения при помощи значений х, у, z,
х, у, z для этого момента. Поэтому оскулирующие элементы можно
определить как элементы того невозмущенного движения, которое имела бы
планета Р, если бы в момент / возмущающее ускорение F исчезло.
В заключение этого параграфа напомним формулы, по которым
производится решение уравнений (9) и (12) относительно элементов
орбиты.
Прежде всего, из уравнений
k yfp sin/sinQ =j>z — zy
k \fp sinrcos2 = jez— zx (13)
k yjp cos ir = xy — yx
находим параметр pf долготу узла 2 и наклонность орбиты /.
Интеграл живых сил
•x*+y2+h*=p(^—±^ (14)
дает большую полуось а, что позволяет найти, при помощи соотношения
р = а(\-е% (15)
эксцентриситет е.
Определив истинную аномалию v из (10), мы можем найти расстояние
перигелия от узла со при помощи равенств
г sin (v -f- ">) = z cosec / . .
r cos (v -f- ">) = x cos 2 -{-y sin 2,
легко выводимых из (8).
Наконец, для определения средней аномалии эпохи М0 надо
воспользоваться соотношениями (7), (5) и (3).
5 11. Дифференциальные уравнения, определяющие оскулирующие
элементы.
В предыдущем параграфе мы видели, что для изучения движения
планеты Р можно вместо координат х, у, z определить шесть оскули-
;рующих элементов я, е, MQt ш, 2, /. Такая замена переменных выгодна
т том отношении, что элементы, остающиеся постоянными в невозмущен-

30
IIL Метод вариации произвольных постоянных
ном движении, в возмущенном движении меняются весьма медленно, по
крайней мере, если возмущающее ускорение невелико по сравнению
с ускорением, производимым Солнцем. Вследствие этого определение
элементов а, с, . . . способом последовательных приближений
выполняется удобнее, чем определение координат ху у, z.
Н^ша ближайшая задача заключается в выводе дифференциальных
уравнений, определяющих а, е, . . . , г.
Чтобы получить нужные нам уравнения, можно в уравнения
возмущенного движения (2), которые мы теперь напишем так:
dx
х,
dy
= У,
dz
dt "' dt "' dt
dx
=z
- Л
dv
dt
— 3
= — &zr~* + Fz,
(17)
подставить выражения (9) и (12), дающие х% у, z, x, yt z в функции новых
неизвестных а, еу MQf о>, Q, /.
Однако прямая подстановка требует слишком сложных вычислений,
поэтому мы изберем обходный путь, значительно легче приводящий
к цели.
Пусть имеем какое-либо соотношение вида
W(a, е, . . . , /, х, у, z, х, у, z, /) = 0,
(18)
являющееся следствием основных уравнений (3)—(8), (10), (11), (12).
Дифференцирование этого соотношения по t дает
dW da dW di dW dx
T~ ' * * I Ar J* 1 Av J+ I "
da dt
di dt ' dx dt
+
. dW dx ,
^ dt
(19)
dx dt
Рассмотрим теперь невозмущенное движение, которое получается,
если в момент / уничтожить возмущающее ускорение F. Соответствующие
координаты и компоненты скорости обозначим через \, -q, С, і, % С.
Дифференциальные уравнения (1), определяющие это движение, можно
написать, аналогично уравнениям (17), так:
dt
di
dt
— «Р
-8 Л).
5 dt
= — k2f\?
— 3
«Р
— 8
где
Для рассматриваемого момента t мы имеем:
* = $, y = ri, z = C,
* = '*, і> = ч. « —С,

§ 11, Дифф. ур-ния, определяющие оскулирующие элементы 31
а потому
— — l!L ^ — ^L dz — ^
dt ~ dt' dt~~~ dt' т~И?'
^.^^1 n dy^_ *n_ip ^__j? I p
dt dt "*" *' dt ~ dt "^ у dt ~ dt ~*~ **
(20)
Вернемся теперь к соотношению (18), которое очевидно имеет место
и для невозмущенного движения. Дифференцируя его в этом
предположении, получим
дх dt ^ * ' • ^ дх dt ^ * ' # ^ d/
Вычитая почленно это равенство из (19) и учитывая соотношения (20),
окончательно будем иметь:
Приходим к следующему, важному для дальнейшего, результату:
Всякое соотношение (18) между элементами^ координатами и
компонентами скорости дает соотношение вида (21) между производными
элементов и компонентами возмущающего ускорения.
Переход от (18) к (21) для краткости будем называть основной
операцией.
Параметр, долгота узла и наклонность.
Применим основную операцию к равенствам (13). Полагая, для
сокращения письма,
\ р = я" _і р =/="' ¦ р =рг
k^P х х' Ф У v' кГр г *'
получим следующие уравнения
1 _і . . . Л dp . . . - dQ . . . . di „, „,
¦ir-p 1smism9^-+ sm i cos 2 -^- + cos / sin 2 — = yFz — zFy
-^p""1 sin *'cos 2-^-— sin/smQ^ + cos'cosQ^ = */7* — zF'x
1 —г .dp . . di „, „,
P cosier — s\n i-zt = xF— yFx.
2 И w dt dt
Откуда, принимая во внимание выражения (8):
-Е- = 2pr \FL (— sin и cos 2 — cos и sin 2 cos /) +
dt
Jrpr (_ sin и sin 2 -+- cos и cos 2 cos 0 + ^ cos u sin 'I
sin /-?- = r sin w [/^sin 2 sin /— /^ cos 2 sin / + Fzcos i]
— =«= r cos к [/^ sin 2 sin / — Fry cos 2 sin i + /^ cos /].

32 III. Метод вариации произвольных постоянных
Чтобы написать эти формулы проще, введем в рассмотрение
компоненты возмущающего ускорения по радиусу-вектору по направлению,
перпендикулярному к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты
и по нормали к плоскости орбиты. Обозначая эти компоненты
соответственно через S, Т, W и полагая, подобно предыдущему,
1 s = s', —^—т = г, —Vw=w,
(22)
k\fp к\/р к\/р
получим:
S' = F^ (cos и cos 2 — sin и sin 2 cos i) -f-
+ ^y(cos и sin 2 -f- sin и cos 2 cos i) -j- Fz sin и sin /
Г' = F'x (— sin и cos 2 — cos и sin 2 cos /) +
-{-Fy(—sin asm 2 -f- cos и cos 2 cos i)~\-F'z cos «sin/
W — Z7; sin Q sin / — F'y cos 2 sin /+F'z cos I
В самом деле, коэффициенты F'x% F'> F'z в выражении 5' равняются
очевидно #r~\ jt"1, *f~\ что же касается до соответственных
коэффициентов в выражении Т', то они получаются из предыдущих заменой и
через z/-f90\
Таким образом окончательно имеем
1=2,7-Г (23)
dQ
sin / -j- = г sin и IT' (24)
dt
di_
dt
4 = rcos«r. (25)
Большая полуось и эксцентриситет.
Применяя основную операцию к интегралу живых сил (14), получим
t*fi-2§ = 2xFx+2};Fy + 2zFz,
откуда, учитывая соотношения (10), (11), (12) и (22):
da 1
^ = 2аЧ sin vS'-\~2a*pr~~1 Г. (26)
Обратимся теперь к равенству (15), которое дает:
0 de ,л o4fifo dp
2аг—= (1 — <?2) —*:
Отсюда, принимая во внимание (6), а также равенство
vr~l=\-]~ecos v, (27)
вытекающее из уравнения орбиты, получим:
^ = р sin і/5' +р (cos v + cos ?) Г. (28)

§ 11. Дифф. ур-ния, определяющие оскулирующие элементы 33
Расстояние першелия от узла.
Возьмем теперь второе из равенств (16). Результат применения
¦к нему основной операции может быть записан так:
— rsmu l — \+— ==(— xsinQ+j/cosQ)-^,
где через (-зг) обозначена производная, соответствующая зависимости и
от времени только через посредство оскулирующих элементов. *
Подставив сюда вместо х и у их выражения (8), будем иметь:
йГш /ТйЛ .dQ
Чтобы найти (зг), обратимся к равенству (10). Для исключения из
этого равенства эксцентриситета, мы напишем его так:
г ctg v = —г= е cos о,
Vp
«ли, пользуясь соотношением (27),
г ctg v
vr
К этому равенству применим основную операцию, учитывая, что г
определяется равенством
rr=xx-\-yy-\-zz.
Получим
откуда, при помощи (23):
*(-зг )—Р cos v S' — (r-{-p) sin v T'.
Следовательно
e-jf= —Р cos у У -}" (г-{-/>) sin вГ — <? cos i-jr-. (29)
Средняя аномалия эпохи.
Применим основную операцию к соотношениям (5) и (6). Это даст:
de ,
dt
(<*)-а-.«»ч(#)-...*
г da D* , . B/dE\
— -тг — а cos ?-7i+ fff sin E{ -г? 1 = 0.
a dt dt x \ dt '
1 Необходимо иметь в виду, что истинная аномалия #, в отличие от
радиуса-вектора г, не может здгсь рассматриваться как .координата". В самом деле, v зависит не
только от х, у, zt но и от х> у, z.
Курс Небесной мехаяніж
3

& ///. Метод вариации произвольных постоянных
Подобно предыдущему, здесь через \-jf\ и |-зг| обозначены произ-
водйые, соответствующие только той части изменения М и Е9 которая
зависит от изменения оскулирующих элементов.
Исключаем (— \ ив полученное равенство
е (dM\ . dt r da
|/Х1Г^2 \dt J ъ dt a2 sin v dt
подставляем уже найденные значения производных эксцентриситета
и большой полуоси. Это дает:
е f^\sfa Cos v — 2*r) S'+-4^-(cos2 y + cos у cos ? — 2) Г.
Упростим коэффициент Т. Для этого воспользуемся формулами:
г sin v = ду'і — *3 sin ?
(30)
г cos v = a (cos Я — г).
Вторая из них дает, при помощи (6),
г cos v cos E=*a cos3 Я— ае cos Е — г—a sin1 ?.
Исключив теперь sin Е при помощи первой из формул (30), будем
иметь:
cos v cos Е = 1 sin2 »¦
р
Пользуясь этим соотношением, окончательно получаем:
7т=і(і^)вС"cos v ~2er)s -(r+")sin °г-
Обратимся теперь к равенству (3). Применение к нему нашей
основной операции дает
dM\_dMb t(t_ndn
1Г)-ЧГ + {* *o)dF> (31>
(
тогда как в результате полного дифференцирования этого равенства
имеем:
dM dM0 ... dn .
поэтому
dM
dt
/dM\
Интегрируя это равенство от t0 до t* получим
t t

§ 12. Сопоставление формул 35
или
где
Ж(/) = Жо(0+ fndi> (32)
'о
/
Л/о(0=^о(/о)+У(^)л. (33)
to
Оскулирующие элементы M0(f) и п(t) /являются функциями времени,
поэтому мы употребили обозначение ЛГ0(Л>), чтобы подчеркнуть, что
имеется в виду величина M0(t), соответствующая эпохе оскуляции /0.
Вычисляя положение планеты для какого-либо момента /, мы можем
соответствующую среднюю аномалию М{і) найти по обычной формуле
эллиптического движения:
M(t) = M0(t) + n(t)(t-t0). (34)
На основании равенства (31) производная оскулирующего элемента
M0(t) дается формулой:
причём, в силу соотношения (4),
<fo__j* *_ da__ ^n_da
dt~ 2 а^у~а^і~ 2 a dt
или
= — Znae sin v Sf— Зларг~~г Т.
dt
Таким образом, производная элемента Мь(і) содержит члены,
пропорциональные времени, и потому этот элемент будет быстро изменяться)
несмотря на малость множителей S' и Т. Это обстоятельство, влекущее
больщие неудобства при вычислении возмущений, заставило отказаться
от употребления формулы (34) для вычисления возмущенной средней
аномалии и заменить ее формулой (32). Стоящая в этой формуле
функция М0 определяется, на основании (33), таким уравнением:
d^ = VJEi.{pCQSV-2er)S'-^=^{r+p)smvr. ¦ (35)
at e &
Так как на практике всегда пользуются формулами (32) jw (35), то
можно, поскольку это не вызывает недоразумений, обозначать М0 просто
через Af0, условившись раз навсегда употреблять для вычисления средней
аномалии формулу (32).
§ 12. Сопоставление формул.
В большинстве 'встречающихся на практике случаев наклонность
орбиты / невелика, а потому некоторые из выведенных в предыдущем
параграфе формул целесообразно заменить другими.

36 III. Метод вариации произвольных постоянных
Вместо расстояния перигелия от узла введем долготу перигелия тс,
определяемую равенством
Формула (29) дает:
е-гт = 2с ?\пг-~— — р cos v S +(г-\-р) sm v Т.
Так как первый член правой части равен, на основании (24):
sin2 —
2r sin и-^Л W == г sin и tg -? ^
sin / & 2
то малые значения / будут только способствовать уменьшению этого
члена, тогда как в формуле (29) соответствующий член будет велик.
Введем, далее, среднюю долготу в орбите:
которую в дальнейшем будем называть просто средней долготой.
. Значение средней долготы, соответствующее начальной эпохе t0t
обозначим через Х0, так что
Х = Х0 + л(* — /0).
Наконец, учитывая формулу (32), положим:
Ыв + /лЛ, (36)
и
где _
, = 1С + Жо(0,
а потому
сГе <йс . і^Л/0
~di~!i ' ~5Г*
Величину е. также называют, поскольку это не может вызвать
недоразумения, средней долготой эпохи.
Сопоставим теперь вместе все дифференциальные уравнения,
определяющие оскулирующие элементы:
~= 2а*с sin v S'-f 2д2 рГхТ
de
-тт = Р sin v Sf -\-p (cos y-f cos E) V
. .dQ . ,„„
sin 1-й- = r sin # Hr
di
di
-^- = r cos # W
at
^~=2tf sin2~^—p cosy S'-f (r+/?) sin у Г
+ (г+*)8іп»Г],
(37)

§ 13. Уравнения Лагранжа 37
где
Ар//? kyp k]/P
причем через S, Т, W обозначены компоненты возмущающего ускорения.
Так как средняя долгота вычисляется по формуле (36), то к этим
уравнениям надо прибавить еще такое:
— = — Ъпае sin и S'— ЗпарГ1 7". (38)
После того как интегрирование этой системы дифференциальных
уравнений даст значение оскулир\ющих элементов для момента /,
положение планеты для этого момента вычисляется по обычным формулам.
Сначала при помощи соотношений (36) и
Е— е sini;==X — тс
г = а (1 — е cos Е)
х у /Т+*. Е
(39)
2
находим г и и, после чего равенства (8) дадут ху у} z.
§ 13. Уравнения Лагранжа.
До сих пор мы не накладывали никаких ограничений на
возмущающее ускорение F, Предположим теперь, что это ускорение вызывается
силой, имеющей потенциал. Иначе гоЬоря, допустим существование такой
функции R, что
F-*X F-*® Я-*?
*~~ дх9 у ду9 * dz'
Примером такого случая могут служить возмущения, испытываемые
каждой планетой со стороны других, так как здесь за такую функцию
можно взять пертурбационную функцию, что видно из уравнений (11)
гл. I.
Преобразуем основные уравнения (37) так, чтобы в них входили,
вместо компонентов возмущающего ускорения S, Т, W, частные
производные функции R по элементам.
Для любого элемента имеет место равенство вида
dR dR дх , dR dy . dR dz
да дх да ' ду да ' dz да
*да^'Уда ^ *да'
причем для выражения Fx> F, Fz через S, Т, W можно воспользоваться
равенствами (22), которые дают
F = S (cos и cos Q — sin и cos Q cos i) -f-
+ T (— sin и cos ? — cos и sin Q cos i) + W sin Q sin i
p = S (cos и sin 2 + s*n u cos 2 cos 0 +
+ T (— sin и sin 2 -f- cos и cos Q cos f) — W cos S sin i
F=S sin и sin /+Tcos и sin /-f- W cos /.

38
III. Метод вариации произвольных постоянных
Что касается до вычисления производных от координат по элемен-
дх ду дх . „
там -г-, -р, • . . ,-г-, . - . , то оно не представляет затруднений:
сначала находятся производные г ц и, а именно
да
дг
де
дг
де
г
= — a cos v ;
ае
йи
= 0
sm»: т- =
да
ди 2 4-<?cosa . я sin я Л . r\
де 1—е2 г \ Р)
ди __ a2 VT-
дг~ Г2
е*
(40)
затем выражения (8) дифференцируются по элементам. При этом надо
иметь в виду, что Q входит в каждую координату как явно, так и через
посредство « = 0-j-ic —Q. Точно так же, при дифференцировании по тс
надо учитывать, кто и зависит от тс явно и через посредством, поскольку
v есть функция
М= j лЛ+е—тс;
4
поэтому
дъ
д_
ди
д^
дг
Окончательно получим:
dR
да
nar\/l—e*Sr
dR = na2 [-pcosvS'4r(r+p)sinvr]
= па2У\—е2 г sin и W
де
dR
дг
dQ
^= лаз (е sin и S'+pr~l Г)
дг
2*ry>sin2-2 Т—паг Vl—е2 sin / г cos и W
dR
dR
Остается значения S', T, W, даваемые этими равенствами,
подставить в уравнения (37). Для этого мы виделим следующие комбинации,
встречающиеся в уравнениях (37):
, 1 dR
r^/l-e* S = - Ш
krV-P г=**+*«
г sin и W
Г COS U W
dR
д% де
1
па2}/\—е2 ді
*
по2 У1—е1 sin /
dR tg 2 fd_R
4Q na*\/T^?\?*
dR
ds

§ 13. Уравнения Лагранжа
39
м, наконец,
р cos v S* -j-(r-j-P) sin
^г-У1-***
/ш2 де
а?е sin у S, + e»pr~1 V = — ~ .
Подставив эти выражения в уравнения (37) и (38), после всех
упрощений получим:
da
dt
de
dt~
di
dt~
dQ
dt
drt
dt~
tfe_
dt~
dn
dt
2dR |
па de
У\—ег dR eVl—e* 1 dR
na2e д-к 1-J-p/l ег na* aa
ig-
— cosecr d^ 2 /d? . d#\
ла2|/і—e2 <*y да2|/і_ ^dit ' de J
cosec i dR
na*]/l—e? Oi
tc1
ь 2 d? ^1—«2 <??
to''
2^ . ь 2 d? г^і—ег 1 d?
ля da na2Kl — e* di l+y'l—е2па2де
3d#
' a2 de *
(41)
(42)
Второе из этих уравнений проще всего получим, комбинируя первое
? уравнением
dt па \дк "+" dt)'
вытекающим из' (23).
Уравнения (41) будем в дальнейшем называть уравнениями
Лагранжа.
Важно отметить, что при вычислении производной -г- , входящей
в предпоследнее из уравнений (41), следует учитывать только явную
зависимость R от а и не считаться с наличием соотношения (4): так
именно были получены формулы (40), лежащие в основе всего вывода.
После того как интегрирование уравнений (41) даст оскулирующие
элементы, положение планеты для любого момента времени t вычисляется
по формулам (36), (39) и (8).
В заключение отметим, что, рассматривая уравнения Лагранжа, легко
заметить следующие свойства этих уравнений:
1. В уравнения Лагранжа время входит только через посредство*
производных пертурбационной функции R.
2. Элементы орбиты разделяются на две группы: в одну входят
й> е, іу в другую Q, тс, е. Дифференциальные уравнения, определяющие

40 ///, Метод вариации произвольных постоянных
элементы 'одной группы, заключают частные производные R только ш>
элементам другой группы.
3. Обозначим через а и р два элемента, принадлежащие различным
- d* dR d$ dR
группам. Если— содержит -^, то ~ содержит -г-, причем коэффици-
dR dR
енты -г- и -г=- равны и противоположны по знаку.
§ 14. Другой вывод уравнений Лагранжа.
Дифференциальные уравнения (41), или несколько более общие
уравнения (37), являются одним из краеугольных камней Небесной механики/
Интересно поэтому всестороннее изучение этих уравнений. Только-чта
указанный вывод уравнений Лагранжа отличается своей элементарностью-
и относительной простотой выкладок.1
Однако Лагранж, которому принадлежит заслуга систематического
развития метода вариации произвольных постоянных, предпочел вывести
уравнения (41) другим способом, интересным своей общностью.
В этом параграфе мы вкратце укажем, в чем заключается вывод
Лагранжа, но не будем проводить полностью все вычисления, так как
конечные уравнения нами уже получены.
Следуя Лагранжу и сохраняя его обозначения, рассмотрим систему
уравнений
dt дх ' dt ' дх '
dt ду' ' dt ] ду ' *
Число этих уравнений, равное числу пар сопряженных переменных
*, *'; У, У; • • • , обозначим через 2/г, Под ?, Xt Xf, У, У\ . „ .
разумеются функции от t, х} х', у, у, . . .
Предположим, что нам удалось проинтегрировать уравнения
dt дх'~ ; dt ~^дх ~°
dt ду' — и' dt ^ду '
получающиеся из (43) путем замены всех дополнительных функций Х>
Х\ У, У у - . . нулями.
Пусть общее решение уравнений (44) дается формулами
х = <pi(f, а, Ь, . . . , g)t x'^^it, a, by. . .-, g) (45)
заключающими 2Л произвольных постоянных а, Ь, . . ., g.
1 Выводы этих уравнений, имеющие геометрический характер, можно найти в статьях:
С. А. Казаков, Способ вариации произвольных постоянных, Ученые записки
Московского университета, Н05; А. Н. Крылов, Sur la variation des elements des orbttes .elliptiques
des planetes, Известия Академии наук, 191 \ (Собрание трудов, т. VI).
В этой последней работе показывается, между прочим, что имеются все основания
думать, что именно таким путем рассматриваемые ураврения были получены еще Ньютоном.
Ньютон опубликовал, однако, лишь несколько теорем, являющихся прямым следствием
уравнений (37).

§ 14. Другой вывод уравнений Лагранжа
41
Очевидно, мы можем выражениями (45) удовлетворить и уравнениям
', если только за а, ^ . . . , g взять надлежаще выбранные функции г.
Найдем дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять
эти функции.
Подставив производные
dx дх і дх da , дх db
~dt~~l)t~^~da It^db It
+ . •
dt~ dt~T~ da dt ^~db ~lt^ '
в уравнения (43) и учтя наличие равенств (44), получим:
. . — *' = 0
дх da ,дх db
'л* ~T~ Ah ~wT "Т*
da dt ' db. dt
^ da л. ^ ^ 4-
~da~di^"db ~dt~* ' ' *
V = 0
^da+d4d4+-- -+X-0
da dt ' db dt
dy' da . dy' db
da dt ' db dt
+ . . . + У-0.
(46)
Таковы искомые дифференциальные уравнения. Раньше чем
разреза db „
шать их относительно производных —, ~=-, . . . , Лагранж заменяет
написанную систему другой, значительно более предстой.
Введем так называемые скобки Лагранжа [а, а], [а, Ь\ . , . ,
определяемые равенствами вида
г ._ дх дх' dx dxf . dy dyr dy dyr ,
la> 6l = wz -Д- —xr-гг + хг^г —ir "ХГ+ • *
Очевидно
Положим, кроме* того:
da
da db db da ' da db db da
[*,*] = [A, *]=• • • =[*, *] = 0
[a, b] + [b, a] = 0.
a да ^ да ^ ' <ta ' da '
(47)
(48)
Легко видеть, что систему (46) можно заменить такой:
['. °~\% + [а, b)d4+ ¦ ¦ ¦ +[а, *]^ + *.-0
dt
da
dt
dt
dA
dt
\b, *]?+[*, b}% + . . . +[*, g}d? + Rb = 0
\g, a]?+\g, 6)^r+ .
dt
dt
dt
dg
dt
• +[*,*]§ + *, = <>.
of/
(49)

42 III, Метод вариации произвольных постоянных
В самом деле, для получения первого из этих уравнений нужно
глс\ дх' дУ \ дх
уравнения (46) умножить по порядку на —-г-, —-г—, . . . , -fr»
-f-r-, • ¦ • и сложить. Остальные уравнения находятся аналогичным
путем.
Уравнения (49) проще, чем (46), уже в силу соотношений (47) и (48).
Но особенно способствует простоте уравнений (49) третье свойство
скобок Лагранжа, заключающееся в том, что в каждой такой скобке, после
подстановки выражений (45), независимое переменное / сокращается,
иначе говоря:
^[а, ft] = 0. (50)
Для доказательства этого соотношения дифференцируем почленно
?а, ft]. Получим:
дАа' *~ dadt db^dadbdt dbdt да dbdadt^ • • ¦ —
~da[dt db dt db) db\dt да dt daj^ ' * *
Или, принимая во внимание равенства (44):
dtla> J — даудх дЬ~т~дхТ db "I" ду db^dy7 db ~*~ '
д /dQ дх dQ дхг dQ ду dQ ду'
dbXdx da*dx' да "¦"ду да~*ду' да
откуда
і_г М — d2Q d2Q — п
dtla> °і—дадь dbda~°*
Равенство (50) показывает, что при вычислении скобок Лагранжа
можно дать / какое-либо частное значение с тем, чтобы по возможности
упростить выкладки.
Отметим, что применение указанного метода особенно просто в том
•случае, когда за постоянные а, Ь, . . . , g приняты начальные значения
*о» Уо* • • •> XQ9 У'о*-• - ¦» соответствующие значению ^независимого
переменного. Действительно, в этом случае скобки Лагранжа находятся
•сразу, если воспользоваться только-что доказанным свойством и
положить / =
дополучим:
\х х']=дл ^_^? ^ »дл дА^дл~дА+ =і
09 oJ дх0 дх0 dx'Q дх0'гдх0 дх^ дх'0 дх^
Точно так же:
[У0> У'о\ = 1> 1>0> *JH>0» *3=- • -=0>

§ 14. Другой вывод уравнений Лагранжа
43
и т. д. Таким образом, уравнения (49) будут иметь следующий вид:
dx
dt
?
dt
?¦-+*,•;
=+*/;
^о
~dt~ ^'o
^—«
dt %>
Однако, этими весьма простыми уравнениями в Небесной механике
не пользуются, так как при указанном выборе постоянных
интегрирования выражения (45) слишком сложны.
Рассмотрим определитель
F =
[a, a], [a, ft], . . . , [в, g]
[ft, а), [ft, ft], ... , [ft, g]
[л в]» b, ft],- • -, [г,«I
и составим дополнительный определитель F*, элементами которого являются
алгебраические дополнения соответствующих элементов F, деленные на F.
Этот определитель напишем так:
/* =
(а, а), (a, ft), ... э (а, #)
(ft, в), (ft, ft),. . .,(*.*)
& в), (ft ft), • • -, (ft ?)
Его элементы носят название скобок Пуассона. Очевидно
При помощи скобок Пуассона мы можем уравнения (49) написать
следующим образом:
da + (*, a)Ra + (a, b)Rb+. . .+(о, g)Rg=0
dt
dt
+ (P, *)*„ + (*, *)#»+¦ • •+(*, *)*. = 0
dg
dt
+(ft a)Ra+(e> *)**+¦'• - + (A*)*f = o.
Применим теперь изложенную общую теорию метода вариации
произвольных постоянных к интересующему нас случаю возмущенного
движения планеты, которое определяется уравнениями (17). Эти уравнении
напишем так:
dx
dt~
dy
dt
dz
Tt ''
= x',
= y',
= *'»
dx'
dt
dy1 _
dt ~
dz'
dt
R r*^dx
* r*^ dy
r3 * dz
(51)

44
///. Метод вариации произвольных постоянных
Сравнивая их с (43), мы видим, что здесь
9 = I(*" + y2+z.2)_!
и следовательно
х=
X'
">
^а —
dR dR dR
dx' dy' dz'
= 0, .. Y"= 0, Z' = 0,
dR дх dR dy dR dz dR
dx da dy da dz da da
(52)
При ?==0 мы получим из (51) систему, соответствующую (44) и
определяющую невозмущенное движение. При решении этой последней
системы за постоянные интегрирования примем обычные эллиптические
элементы а, е, і, Q, о>> М0.
Путем довольно длинного, хотя и не представляющего никаких
' трудностей вычисления получаются соответствующие скобки Лагранжа:
К 2]=о, к q»o, к лад-о
[2, /] ш* — ПФ у 1— г* sin U Р, Щ = 0,
[О, в] =1ла]/1 — е* cos /, [h Щ = 0,
R-a]-0, К в]-jпаi/T=s; [iif0f в]-»лл
— ПаЧ
^^y/TZ/' [с»^ = °. Но. ^3 = 0
[У, <?] = . cos /, Г/, г] = 0.
і/ 1 —^2 L
Вычисление соответствующих скобок Пуассона выполняется в
данном случае очень просто, путем непосредственного решения системы
(49). Принимая во внимание (52), окончательно получим:
da 2 dR
dt па дМ0
de_l—e2 dR Vl—e* dR
dt~
паЧ дМо паЧ
. .dQ 1 dR
dt паг j/ i _ €2 di
doi
cos г
dR
1
dR
. .di
sm / — = — , . . -.---
di
dM%
dt
ctg /
dR , т/Г — e2 d#
/га2 ]/ 1 — ** rf/ ля2е ^
JLzf2 -%— 2 ^
"Tie** <?<? па да '
(53)

§ 15. Возмущения элементов
45
Чтобы получить уравнения Лагранжа в форме (41), достаточно
переменные «> и М0 заменить через тс и в при помощи соотношений:
О)
= тс — Q.
Mr
ТС.
§ 15* Возмущения элементов.
Уравнения Лагранжа, определяющие оскулирующие элементы,
настолько сложны, что решать их можно только способом
последовательных приближений. Нашей ближайшей задачей является пбсмотреть, в
какой форме получится в этом случае решение.
Для сокращения письма предположим, что имеются только две
планеты с массами, равными т и тгі. Элементы .этих планет обозначим
соответственно через а, е, . . . и а\ ef, . . .
На основании результатов предыдущих параграфов мы можем
считать, что движение этих планет относительно Солнца определяется
двенадцатью уравнениями:
da_ 2 dR
dt па ds
dQ cosecz
dt па*л/\ — e*
dR
" di *
(54)
в которых (§ 3):
da''¦ 2 dR
dt~n'a' de'
dQ'
dt
cosec i' .dR'
п'а'г]/Т^7* di'
*-*4-"'+?H-
(540
(55)
(55')
если через xf у, z, г и хг, у\ z' У обозначить координаты и
радиусы-векторы планет, а через А — их взаимное расстояние.
Легко видеть, что R и R' зависят только от взаимного
расположения орбит, но не от их положения относительно эклиптики. В самом
деле, если через Н обозначить угол между радиусами-векторами ги/,
то этим функциям можно придать такую форму:
п , / /1 г cos Н
пг ^ # 1 Г* COS Н
*' = *** [д —
откуда ясно, что они зависят только от г, / и Н, так как
Д2 = Г2 _|_ г' 2 _ 2 г/ COS Н.

46 III. Метод вариации произвольных постоянных
Метод последовательных приближений, основанный на малости масс
т и т', позволяет получить искомые величины в виде рядов
?==<?o + V + V + - • •
(56).
(56')
расположенных по целым положительным степеням т и т\ Здесь через
а0, <г0, . . . , а'0, е'0, . , . обозначены постоянные числа—значения оску-
лирующих элементов для начального момента времени; через 83а,
іге9\ . . —функции времени, имеющие множителем т\ а через 33а',
Ъхе? 9. . . —функции времени, имеющие множителем т; вообще через
8 е. 8«, • • ., & в', . - - обозначены члены л-ой степени относительно
масс т и т\
Выражения Ъпа, іе.ф . . ., 8яа', . . , носят название
возмущений л-го порядка.
Делая в уравнениях (54), (54')
т = 0, т' = 0,
получим
а = а0, e — eQi. . . , a'*=a'QJ. • ,
Эти значения подставляем в правые части уравнений. Так как R
и R' являются очевидно функциями t и а, е, . . . 9 а\ е\ . . . , то
уравнения (54) и (54') примут вид:
da . ,f. , ч
— =mrf(t, а0> eQy . . . ,а0> . . .)
= т/г(Г, a0, eQi . . . , a0> . . • )
dt
Интегрирование этих равенств даст
t
a = aQ-\-m' /f(t9 a0> e0f. . . )* — ee + M> (57)
т. е. позволяет определить возмущения первого порядка.
Для вычисления' возмущений второго порядка только что найденные
значения элементов €о-\~ Ъга, e0 + V, - -> а^ + М',. - . надо
подставить в правые части уравнений (54) и (540. Это даст:
О
откуда после интегрирования получим

§ 15. Возмущения Элементов 47
уже с точностью до вторых порядков масс. Продолжая таким образом
дальше, мы можем получить любое число членов в разложениях
элементов по степеням масс.
Посмотрим теперь, какова будет аналитическая форма разложений
(56), (56'j. Так как координаты каждой планеты являются периодическими
функциями соответствующей средней аномалии М или М', то
пертурбационные функции R и R' являются периодическими функциями М и М'г
а потому могут быть разложены в двойные ряды Фурье вида:
R = %Ncos(jM-\-j'Mf + B)
где у, / — целые числа, принимающие все значения от —оо до -j-00-.
Величины N, N'9 В, Вг являются функциями элементов*
Из формул (55), (550 и из выражений координат в эллиптическом
движении (§§ 77—82) видно, что функции R и R\ а следовательно и
коэффициенты N и N\ могут быть разложены по целым положительным
степеням эксцентриситетов е, tf и взаимной наклонности орбит J (как было
отмечено, R и R' зависят только от взаимной наклонности орбит). Таким:
образом, учитывая еще, что
Л* = л/+е — тг, л/' = л7 + в' — тс',.
окончательно будем иметь каждую из функций R и R' в виде суммы
¦ 2A?m€>*J*cosDf (58)
где
D «/(л/+•) +/ ОЛ + О + С.
Подставляя эти выражения для R и R' в основные уравнения (54),.
(54'), мы получим в правых частях этих уравнений суммы такого же вида-
Равенства (57) показывают, что для вычисления возмущений второго-
порядка надо в правых частях уравнений (54), (54Q заменить все
элементы а, е, . . . их начальными значениями а0, eQ, . « . и выполнить
интегрирование полученных тригонометрических рядов. Таким образом
возмущения первого порядка получатся в виде членов одного из
следующих двух типов, а именно:
А e*e'*'jz sinZ)°
если/л0+./Ч + 0> и
M^'^cosC,
если Jno + f'n'0*=0.
Легко видеть, что, вычисляя указанным выше способом возмущения
второго, третьего, ¦ . . порядков, мы всегда будем получать члены вида
Р>А0 е*0 e'0*Jj cos (yt+Q
(Л*о+Л</ЧЛ*о+ЛЧ)*а- • - r { У
где
Если p = 0, то такой член носит название периодического
возмущения. В случае р^&і мы имеем дековое» возмущение,
если v = 0, и смешанное, если >ф0. Иногда пользуются несколько

48 IIL Метод вариации произвольных постоянных
иной терминологией и говорят о чисто вековых членах (если v = 0)
и смешанных вековых членах (если v 4= 0).
Сумма
а + а' + р -
носит название степени возмущения. Чем выше степень, тем меньше
возмущение данного порядка.
Среди множителей, стоящих в знаменателе выражения (59), особого
внимания заслуживают те, которые очень малы. Благодаря этим
множителям, так называемым малым делителям/величина возмущения
увеличивается. Сумму степеней #х, ^, . . . всехмалых делителей
рассматриваемого члена (59) обозначим через q. Чем больше q, тем больше, при
прочих равных условиях, соответствующее возмущение.
Пуанкаре назвал для возмущения л-го порядка разность п—р ран-
1 1
том, а разность п — -^р— ~^q классом.
Зная порядок, степень, ранг и класс какого-либо возмущения, мы
можем судить об общем характере этого возмущения. Для не очень
больших промежутков ..времени важнейшими являются возмущения наиболее
низких порядков, прежде всего первого порядка. Напротив, для
значительных интервалов времени значение возмущения определяется прежде'
всего его классрм. Наконец, для очень больших интервалов времени
влияние возмущения лучше всего характеризуется его рангом.
§ 16. Долгопериодические возмущения.
Среди периодических возмущений (59) особого рассмотрения
заслуживают те, у которых коэффициент v в аргументе тригонометрической
функции очень мал. Так как период выражения (59) равен , то
периоды таких возмущений будут весьма велики по сравнению с периодами
обращения рассматриваемых планет, почему эти возмущения и
называются долгопериодическими.
Долгопериодические возмущения играют в теории движения планет
большую роль потому, что среди них встречаются возмущения с весьма
значительными амплитудами, даже при сравнительно высокой степени.
В самом деле, рассмотрим возмущения первого порядка. Если член
jno+f П>о
о
дает долгопериодическое возмущение, то величина j лв+/ riQ> стоящая в
знаменателе, мала, поэтому амплитуда будет значительно больше, чем
можно было бы ожидать при данной степени.
Особенно большое влияние долгопериодические возмущения имеют
в средней долготе планеты. Действительно, средняя долгота вычисляется
по формуле (§13)
где
fndt,
dn 3 dR
dt a2 ds

§ 16. Долгопериодтеские возмущения 49
Следовательно, для получения р каждый член правой части
последнего равенства приходится проинтегрировать два раза, а это дает
возмущения вида
A g*'-'j3C03[(^o+/'Q'+C]
Таким образом, в средней долготе долгопериодические неравенства
дают члены первого порядка относительно масс, имеющие малый
делитель в квадрате, иначе говоря члены, класс которых равен нулю.
Подробная теория разложения пертурбационной функции в ряд,
которой мы займемся в одной из дальнейших глав, показывает, что
всегда
a-f-«' + P = |7+7' |-[-четное число.
Таким образом, долгопериодический член только в том случае может
иметь заметную амплитуду, когда j и f— небольшие по абсолютной
величине числа. ¦
Чтобы найти те значения /и/, для которых возмущение становится
долгопериодический, проще всего воспользоваться разложением
отношения ті0/п'0 в непрерывную дробь.
Например для Юпитера и Сатурна мы имеем (принимая за
начальный момент 1.0 января 1900 г.)
п0 = 29Г.1283, л; = 120'\4547.
Следовательно
Ян ]
»=24-
и потому подходящие дроби будут:
2 5 72 '
Г 2' 29 ' " '
Если взять у =1, / = — 2, то
/л0+/я;«58".6736,
что составляет приблизительно -щ п0 или у по- Такой делитель еще
не приходится считать малым.
Напротив, для у = 2, У' = — 5 получим:
Ул0+/*; = -4г'.0169,
т. е. величину порядка =j % или ^ п'0. Соответствующее долгоперио-
дическое неравенство, имеющее период около 900 лет, в долготе Сатурна
имеет амплитуду порядка 50'.
Наконец, если взять следующую подходящую дробь, то будем иметь:
ул0+/л; = 29 л0-72 л; = 1".9823.
Но соответствующее неравенство, степень которого не меньше чем
]29—72| = 43, совершенно нечувствительно.
Курс Нббеоиоі механики 4

50 III. Метод вариации произвольных постоянных
Большое неравенство в движении Юпитера и Сатурна, зависящее
от делителя 2л— 5л', было открыто эмпирически. Эйлер и Лагранж,
после ряда безуспешных попыток объяснить его, стали склоняться к
мнению, что это неравенство указывает на действие какой-то силы,
отличной от притяжения Солнца и известных планет. Истинная причина была
открыта в 1784 г., когда Лаплас предпринял вычисление всех неравенств
первого порядка в движении Юпитера и Сатурна до третьей степени
включительно.
Примечание. При изучении движения двух планет никогда не
приходится на практике принимать во внимание более чем один малый
делитель. Действительно, если разложение отношения средних суточных
движений в непрерывную дробь
по , . -1
а
< а -4- 1
аі Н
«2 + • • •
таково, что первая подходящая дробь, дающая малый делитель, есть
^ , і
то следующее неполное частное ak будет большим числом. Таким
образом, следующая подходящая дробь *
Q*+1 Ол+Ok-i
будет иметь очень большие числитель и знаменатель. Соответствующие
ей (так же, как и всем дальнейшим подходящим дробям) возмущения
будут поэтому нечувствительны.
§ 17. Вековые возмущения.
Как уже было отмечено, .вековые возмущения получаются от тех
членов пертурбационной функции, в которых аргумент
тригонометрической функции не зависит от времени. Совокупность этих членов носит
название вековой части пертурбационной функции.
Так как каждый член пертурбационной функции может зависеть
от е и в' только через посредство средних аномалий М и М', то члены
(58), в которых /"=/== 0, от е и г'зависеть не будут. Поэтому, обозначая
через R0 вековую часть пертурбационной функции, получим:
Обращаясь к первому из уравнений (41), мы видим, что выражение
уг не будет заключать постоянных членов; иначе говоря, а не имеет
вековых возмущений первого порядка.
Последнее из уравнений (41) показывает, что и среднее суточное
движение не имеет вековых возмущений первого порядка.
Полученный результат, без изменения распространяющийся на
взаимные возмущения какого угодно числа планет, дает следующую
фундаментальную теорему:

§ 18. Способ Пуассона 51
Большие полуоси планетных орбит и средние суточные движения не
имеют вековых возмущений первого порядка относительно масс.
Эта теорема была доказана Лапласом (1773) для членов не выше
второй степени относительно эксцентриситетов. Во всей общности ее
доказал Лагранж (1776).
В 1809 г. Пуассон показал, что в возмущениях большой полуоси
и среди членов второго порядка отсутствуют чисто вековые члены,1 но
имеются смешанные члены вида Ш cos (vt-j-C). Наконец, Spiru С. Haretu
обнаружил {1878) наличие чисто вековых членов третьего порядка.
Все остальные элементы е, /, Q, . . . имеют вековые возмущения.
ТаК) например, для Юпитера мы имеем, согласно вычислениям Леверрье,
е = 0.04833508 + 0.000 166 19 Г—0.000000467 Г2 —0.0000000019 Т*
/= 1°18'ЗГЛ1 — 20".506 Г-}-0".014 Г2
д = 99°26'35".59 + 3637".908 7-+ Г.2680 Р — 0"03064 Т*
тг = 12°43'14''.39 +5793''.928 Т+3".5936 Т* — 0"01732 ТК
Через Т обозначено время, считаемое в столетиях (по 36 525 суток)
от среднего парижского полдня 1 января 1900 г,
Вопрос о вековых возмущениях до сравнительно недавнего времени
связывали с вопросом об устойчивости солнечной системы. Нужно,
однако, заметить, что даже в том случае, если бы была доказана
сходимость рядов (56) для любых значений /, присутствие вековых членов
в возмущениях различных порядков было бы недостаточно для того,
чтобы можно было утверждать, что солнечная система неустойчива.
В самом деле, периодическая функция времени может при
разложении по степеням масс дать бесконечное число вековых членов. Возьмем,
например, функцию sin {mat), где m — масса возмущающей планеты, а —
какой-нибудь числовой коэффициент. Разлагая эту функцию в ряд по
степеням т, получим
sin (mat) = mat — -х~ /л3 я3 ts -f~ • - •
Таким образом,,всякий способ интегрирования уравнений (54), (54"),
основанный на разложении решения по степеням возмущающих масс,
может дать вековые члены даже в том случае, когда решение
выражается через периодические функции времени.
§ 18. Способ Пуассона,
В этом случае, когда вековые возмущения угловых элементов S, к
и а, определяющих положение орбиты в пространстве очень велики,
применение способа интегрирования, указаннного в § 15, встречает
затруднения, происходящие от крайне медленной сходимости последователь*
ных приближений.
Такой случай мы встречаем, например, в теории движения Луны, где
вековые возмущения производят изменения долготы перигелия и долготы
узла, указываемые формулами:2
тг = 334°26'16".52 + 14 648 509М8 7—37"Л6 Г2 — (Г.0455 Т*
Q=-259°7'52".79 — 6 962911".94 Г+7".48 72 + 0".0077 Т*
1 Этот результат известен под именем теоремы Пуассона.
2 Числовые значения коэффициентов этих формул заимствованы из таблиц Радо
(см. § 117). Таблицы Ганзена дают:
тг = 334°26'16".75 + 14 648 510\08 Т - 36.244 Т* - 0* 036 600 Г»
Q = 259°7'40".97 — 6 962 923*.21 Т + 8',220 7* + 0».007 159 7*.

52 III. Метод вариации произвольных постоянных
(через Т обозначено время, считаемое в столетиях от 1.0 января 1900 г.
среднего парижского астрономического времени).
Пуассон предложил (1835) особый метод интегрирования уравнений,
позволяющий уже в первом приближении учесть влияние вековых
возмущений угловых элементов на периодические неравенства и тем
значительно повысить точность первого приближения. Обозначая опять
средние долготы светил через
где
/ t
р= fndt, р' = fn'dt,
о о
мы можем уравнения (54) и (54') написать в следующей общей форме:
dQ
dt
dit
It
d&
i
= от'Ф(«4-р, Q, *,
= /7z4F(e-fp, Q, *,.
= /7j' /»(e + p, Q, It,
dt
da
e' + p',9',.
•'4-p'. ^^.
s' + p', 9', .
;«' + ?', Q', .
. •)
• .)
.)
.)
Положим
Q = b -f a m't, « вя «j -}- p rrit, s = ві -|- Т m'*>
где a, p, t — неопределенные коэффициенты, а ?, *ь *ь—новые
неизвестные.
После подстановки этих выражений в предыдущие уравнения,
получим:
= — /n'a-f/^©(еі + Р + тл'Л Ь-{-ат% . . .)
*»в-_л|'р4-ія'Ф(«, + р+Т'Я'Л « + алі% . . .)
(60)
В этих уравнениях мы положим, так же как и в § 15,
иричем значком Ьп обозначены члены степени п относительно масс т,
т\ . . . . Делая подстановку этих выражений в уравнения (60), будем
разлагать функции ?, Ф, . . . в ряды следующим образом:
? = ?(в0 + р + Т/я'*, Qo + tmft, *о + МЧ • ¦ ¦) +
*<*+*+. . .') + ?
+ ^гРі' + ».«+. ¦ -) + 4|-(81» + 82» + - • •)+¦ ¦ -,

§ 18. Способ Пуассона 53
т. е. будем считать за приращения аргументов только периодические
чл&ы §іе, 82?> • * • , М, . . . , а не вековые у/л7, $mft, am't, так что
в первом приближении получим:
-ц = — т'а + от'? (во -f р 4- т m't, S0 + a m7, . . .)
(61)
После интегрирования этих уравнений приравняем нулю вековые
возмущения ?, ки еь что даст три уравнения для определения а, р и?-
Заметим, что интегрирование уравнений (60) выполняется столь же
просто, как и в обычной форме способа последовательных приближений,
вследствие того, что элементы е, Q и ж фигурируют в разложении
пертурбационной функции лишь в аргументах тригонометрических функций.
Действительно, поскольку пертурбационная функция является, очевидно,
периодической функцией не только от АиХ', но и от 2, Q', тс, тс', ее раз-»
ложение имеет вид;
R = Е N cos (A +/J/ + HQ + Л'2' + ** + *v) -
Применяя способ Пуассона, мы уже отступаем от строгого
проведения принципа разложения возмущений по степеням возмущающих
масс, так как в аргументы периодических возмущений, вычисленных по
этому способу, входят члены amft, $m't,. . . , имеющие множителем
массу. Иначе говоря, уже в первом приближении мы учитываем часть
членов второго порядка.

ГЛАВА IV.
КАНОНИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ.
§ 19. Канонические уравнения.
Рассмотрим движение системы п материальных точек, массы которых
мы обозначим через тр а координаты через хр ур zr
Если существует функция сил U, то уравнения движения этой
системы имеют вид:
- dU •¦ dU ' « 6U
*і*і=щ> тіУі=щ> "л-^- W
(/ = 0,1,- . • ,л—1)
Эти Зл уравнений второго порядка можно различными способами-
заменить 6л уравнениями первого порядка. Нижеследующий способ
имеет особо важное значение.
Положим
х = ты* Уі = шіУі> z'i= m*zi
и введем в рассмотрение живую силу системы
1 VI
Легко видеть, что уравнения (1) эквивалентны таким:
dxt дН <&і дН
dt ~~ dxt
dt - дУі
&і дН
dt~ dz'.' dt~ dzt'
тде
H=T— U,
есть не что иное, как полная энергия системы, ибо потенциальная
энергия равна функции сил, взятой с обратным знаком.
dt
dyt
dt'
dz.
1
* дх.'
1
дН-
дН

_ § 19. Канонические уравнения 55
Уравнения, имеющие такой вид, носят название канонических
уравнений, а соответствующая функция Н называется функцией
Гамильтона.
Обратимся теперь к более общему случаю, когда положение точек
системы (на которую могут быть наложены какие угодно голономные
связи) определяется помощью s параметров ди діу . . ., gs. Эти параь
метры называются обобщенными координатами, а число s дает
число степеней свободы рассматриваемой системы.
В этом случае уравнения движения (1) преобразуются, как известно
из Механики, в уравнения Лагранжа:
(/=1,2,. . .,s) (2)
в которых через
?= T+U
обозначен кинетический потенциал системы.
Заметим, что после замены прямоугольных координат их
выражениями через обобщенные координаты (эти выражения могут заключать
время, если связи, наложенные на систему, зависят от времени) живая
сила примет следующий вид:
г-тЗИ^^'+И ****+* (3)
і k h
где A.k% Ah, А являются функциями от ди д2, . . . ,gs и U Суммирование
по всем индексам производится от 1 до 5.
Покажем, что уравнения (2) также могуть быть заменены
уравнениями первого порядка, имеющими каноническую форму. Для этого за
вспомогательные неизвестные примем так называемые обобщенные
импульсы, определяемые равенствами
dL
или, так как U не заключает производных gt>
Уравнения
(2)
Г>і
заменяются
dpi
dt
такими:
dL
+ Ar
dL
¦~dqt
(5)
Чтобы исключить отсюда дп воспользуемся соотношениями (4).
Легко видеть, что эти равенства могут быть разрешены относительно gk ,
так как определитель, составленный из коэффициентов Аш, не может
равняться нулю.
В этом очень легко убедиться, если ограничиться тем, единственно
нам нужным, случаем, когда связи не зависят от времени, а потому
в формуле (3) Лд = 0, А = 0. Действительно, если бы определитель,

56
IV. Канонические элементы
составленный из Alk> был равен нулю, то можно было бы найти такие
неравные нулю значения qk> для которых1
5M.ft?A = 0, ('==1,2, . . . ,s)y
а потому Г=0, что очевидно невозможно.
Введем теперь в рассмотрение величину
H=%Pkqk — L,
являющуюся функцией pk, qk и t, так как> согласно только что
сказанному, <7г. можно считать выраженными через рг
Таким образом, варьируя pk и gk, будем иметь, с одной стороны:
дН ^ , ^лдН
*-Sk^+SS^
с другой стороны:
bH = b^pkqk — bL =
или, учитывая второе из равенств (5),
Сравнение двух полученных для &# выражений дает:
Принимая во внимание первое из равенств (5), окончательно получим
уравнения движения в канонической форме:
^ = ^,'*» = _^. (6)
(* = 1,2, . . .,5)
Если кинетический потенциал L, а следовательно и функция #, не
содержит явно t, то уравнения (6) имеют первый интеграл
Н = const,
являющийся нечем иным, как интегралом живых сил. В самом деле, это
равенство можно написать так:
gh~r —L = const,
s
1 Для упрощения формул можно не обозначать пределы суммирования, если, как это
имеет место здесь, все индексы пробегают одни и те же значенияі 1, 2, . . . t $. Но можно
также опустить указание того индекса, по которому ведется суммирование, если ввести
.правило немых индексов": суммирование всегда выполняется по тому индексу, который
по крайней мере дважды встречается в выражении, стоящем под знаком суммы. Например
** ik kft -ft 1Л i2 2A ' ' is sh *
Такой индекс называется немым, так как он исчезает после суммирования.

§ 19, Канонические уравнения 57
или
2'*S-?~const-
В рассматриваемом случае Т есть однородная функция второго
порядка от qk, поэтому
и, следовательно, принимая во внимание, что L = Т-\- U, мы можем
полученный интеграл написать так:
Т—и = const,
а это есть не что иное, как закон сохранения энергии.
Канонические уравнения обладают многими весьма замечательными
свойствами. Нужные нам наиболее элементарные свойства этих
уравнений легко выводятся из следующей теоремы.
Теорема I. Если общее решение уравнений (6) дается равенствами
где тьТг> • - - Л25.—постоянные интегрирования, то уравнения (б)
эквивалентны таким:
dt Zl Pkd^ d^JJ ръ dt ду.
(/=1,2, . . .,25)
уЛ„1у/1^_М.. (8)
jUPkdr, дъ^ші Pv dt дъ
(Ю)
Покажем сначала, что уравнения (8) являются следствием
уравнений (6). Действительно, очевидное тождество
dt 2u Pkd4t d-h—M p* dt Zj dt d^. Zj dT. dt K ]
дает, при наличии соотношений (6):
d^S^ Ъь_- д_уг\ dc?k v^ *дН dQk -у dHдрш
dt Za Pkd^. d^t2u Pk dt Zudqk d^ Zjdpkd^.
что равносильно уравнениям (8).
Обратно, представив уравнения (8) в форме (10) и пользуясь
тождеством (9), мы можем заменить их такими:
[dt ^dgjdb 2л\ді dpk)db u*
(/=1,2,. . .,2s)
Рассматривая эти равенства как систему 2 s линейных уравнений
с неизвестными
dt ^dqj* \dt дРі
'к'
и замечая, что определитель этой системы не равен нулю (так как
уравнения (7) разрешимы относительно чи • • • > Чгд> убеждаемся в равен-

58
iV. Канонические элементы
стве нулю только что написанных выражений, т. е. в существовании
соотношений (6).
Примечание. Так как канонические уравнения (6) не меняются,
если pk и qk поменять местами, a t заменить через —/, то из каждого
свойства канонических систем указанной заменой может быть получено
другое свойство. Например, делая эту замену в теореме I, мы убеждаемся
в том, что уравнения (б) эквивалентны также и таким уравнениям:
dt Za Q^dti d^t2u Qk dt дч.ш
§ 20. Канонические преобразования.
В канонических уравнениях
dqk дН dPk дИ
(6)
(")
dt dpk dt dqh
заменим переменные gk, ph новыми переменными Qh, Ph, определяемыми
равенствами
р*=*Фм(*>Яі> • • - r9s,Pu • • • >PS)
Нижеследующая теорема дает условие, при выполнении которого
преобразованная система будет также иметь каноническую форму.
Соответствующие преобразования носят название канонических
преобразований.
Теорема II. Если зависимость между новыми переменными и старыми
такова^ что выражение
ZPkdqk-ZPkdQk = dW (12)
есть полный дифференциал некоторой функции W, то после преобразования
уравнения (6J могут быть представлены следующим образом:
dQk дК dpk дК
dt ~~dPk dt dQl
где
(13)
принм, конечно>, предполагается, что Н и W выражены через новые пере-
менные Qk, Ph.
Для доказательства этой теоремы заметим прежде всего, что
соотношения (11) и (7) позволяют выразить Qk> Pk> а следовательно и
функцию W, через t, yi, j2, - • • .Те*-
Так как в равенстве (12) под dW разумеется полный
дифференциал W только по переменным Qh9 /\(если считать, что gh9 pk выражены
через Qk, Р^, хотя W может содержать еще и t, то из этого равенства
следует:
2uPk dt 2j k dt dt dt
dQk V4 6Qk dW
2^Р*дч. 2j
dT *-* kd*it 0y,
(14)

« § 20. Канонические преобразования 59
ибо
dW _ dW ^ /dW dQk dW dPk
~dF~~di r~2j [~Щ~М ^~dP^~df
dW ^idWdQk dW dPk
=y,
Но, если W считать выраженным-через t, -{v • - • . T2,> T0
A(dw\ _ J_ (dW
dt\dz.)~ d\ [ dt
Поэтому, дифференцируя первое из равенств (14) по ур второе — по t
и вычитая их почленно, будем иметь:
WJjPk <fy &jt 2lPk dt d^ \ dt
d -r^, dQb d х-, dQ„
= Vp * VP *
dt -* k dr. dr, —* A
df. drl ^J * dt
Применим теперь в левой части этого равенства теорему I и
заметим, что
~bTi~2u6Qk dy. ^ 2^ dPk Tf~'
dW\ ^ d*W dQk ^ d*W дР,
получим:
dr{ V dt J — dQkdt drt ' >- dPkdt дь '
d уігл dQb д <^ dQ„ дК
Vp ZZL _V
^-J *¦ dt, dr. jU
где
dW
*=#+
d/ "
На основании теоремы I из этих равенств следует
dQk дК_ dP^_ дК_
~W~~ dPk' dt ~~ dQk'
что и требовалось доказать.
Примечание I. Если соотношения между qk, pk и Qh, Pk таковы,
что
ZQkdpk — ZQkdPk=dW,
то после преобразования уравнений (6) получим уравнения
dt ~ dPk' dt dQk'
где
к'-н dW'

60
/V. Канонические элементы
Чтобы убедиться в этом, достаточно использовать подстановку,,
указанную в конце предыдущего параграфа.
Примечание II. Условия теоремы II очень часто выражают
несколько иначе.
Очевидное равенство
¦ZQkdPk+-LPkdQk = Zd(PkQk)
сложим почленно с равенством (12). Это даст
lPkdQk + 'LQkdPk = dS,
где
S=W+^PkQk,
или
Таким образом, взяв любую функцию
$(*> Qx> • • > С р> • • • > р*)>
мы получим, при помощи равенств (*), каноническое преобразование.
В заключение дадим несколько примеров применения теоремы IL
Пример I. Пусть
Ч\ = \/20і cos Рь Рх = \[2Q[ sin Px
Так как
qtdpx = 2Qi cos2 P1dP1 + cos Л sin PxdQu
TO
?i#i — QidPi = Oi cos 2Л^і + i- sin 2iV<2i = d (-^ Qx sin 2рЛ
Таким образом, условия теоремы II здесь выполняются, и
каноническая система, получающаяся в результате замены переменных, может
быть написана сразу.
Пример IL В начале предыдущего параграфа мы видели, что
уравнения движения в прямоугольных координатах (1) могут быть
представлены в канонической форме. Теорема II позволяет легко показать, что
при переходе от прямоугольных к любым криволинейным координатам
каноническая фіЬрма уравнений может быть сохранена. Так как этот
результат уже был нами получен, в предыдущем параграфе другим
методом, то доказательство его с помощью теоремы II предоставляем
провести читателю.
Пример III. В том, часто встречающемся на практике случае, когда Pk
являются линейными функциями pk9 a Qh — линейными функциями q#
условием, достаточным для того, чтобы преобразование было каноническим,
может служить равенство
В самом деле, так как dQk связаны с dqk теми же соотношениями
какие имеют место между Qk и ?ft, то из этого равенства следует

§ 21. Способ Якоби для решения канонических систем 61
§ 21. Способ Якоби для решения канонических систем.
Рассмотрим каноническую систему
dqk дН dpk дН
dt дрь > dt dqt
(15)'
дК
<>V
А-=
*»*
dt
dW 4-H
dt +H-
дК
dQk
Введя новые переменные Qk, Pk1 связанные со старыми такими
соотношениями, что
Xpkdqk-ZPkdQk = dWt (16)
мы получим, на основании теоремы II, для новых переменных
уравнения:
dQu
где
Система (15) будет решена, если нам удастся найти такую функцию W,
для которой К = 0. В самом деле, уравнения (17) дадут
где аА и рл — постоянные интегрирования. С другой стороны, из
условия (16) имеем:
_ dW _ dW_
Pk~ dqk ' ^~ dQk>
причем мы можем считать, что W выражено, при помощи равенств (11),
через qk и Qkt Заменяя в W величины Qk через <*А, мы получим
функцию W (/, qv qv . . - , qsy ¦ . . , alf . . . a^), удовлетворяющую сротно-
шениям
которые дают возможность выразить /?А и ?ft через t и 2s произвольных
постоянных <хд, j3ft, т. е. дают общее решение системы (15).
Так как нам известно выражение функции Н через pk, g$ пусть
Н (Л Яу <?2> - • - > 9S> рі р2> • • '' >0> т0 уравнение /С=0, определяющее
W, мы можем написать следующим образом:
Итак, W, рассматриваемое как функция s~\-\ независимых
переменных t, qv q2, . . . , qs, удовлетворяет дифференциальному уравнению
с частными производными первого порядка. Всякое решение такого
уравнения* заключающее 5 + 1 независимых произвольных постоянных,
называется полным интегралом.
В настоящем случае неизвестная функция W входит в уравнение (19)
только через посредство своих производных, поэтому, если удастся найти
решение этого уравнения, заключающее s произвольных постоянных, из

62
IV. Канонические элементы
которых ни одна не является аддитивной, то полный интеграл
получится'весьма просто прибавлением ($-}-1)-ой аддитивной постоянной и
будет иметь вид:
W(t, g19 qv . - - , qs, av <у . . , aj + а^ . . (20)
Мы приходим, таким образом, к следующему результату,
представляющему знаменитую теорему Якоби:
Теорема III. Для решения канонической системы {15) достаточно найти
какой-нибудь полный интеграл (20) уравнения (79). Общее решение системы (75)
получим, определяя qk% pk из равенств
dW _ dW _
<Ч ~h' *9k~Pk'
где через (3, р.,, . . ., $s обозначены новые произвольные настоянные,
В применении этой теоремы заключается метод Якоби
интегрирования канонических систем. Произвольные постоянные aft, рл, которые
вводятся при интегрировании по этому методу, носят название
канонических постоянных или канонических элементов,
Примечание. В том случае, когда функция И не содержит Л
нахождение полного интеграла уравнения (19) упрощается. В самом деле,
полагая в этом уравнении
W= — at+W, (21)
получим для определения новой неизвестной функции W такое
уравнение:
Если найдено решение этого уравнения (где a — произвольный
параметр), заключающее s— 1 произвольных постоянных av a2, . . , , as_v среди
которых нет аддитивных, то равенство (21) даст решение уравнения{19),
содержащее s постоянных a, av а2, . . . , as_v Поэтому, обозначая через
р, Рх, Р2, * . . , р#-1 новые постоянные, общее решение канонической
системы (15) получим в следующем виде:
dW , . 0. dW ' dWlx "(О0.
(*-1, 2, . . . , 5-1).
Получающееся таким образом упрощение интегрирования
системы (15) является следствием наличия, в рассматриваемом случае,
первого интеграла
Н = const.
§ 22. Применение метода вариации произвольных постоянных к
каноническим элементам.
Пусть каноническая система
dqh дИ dpb дН
di dpk ' dt dqk ^ J
решена по способу Якоби. Это решение
** = <?*('> \> Л2- • • > «,¦ К h •••>?,) т)
^*eW^ *i> а*> ¦ • • > a,> Pv Pr • • •> К)

§ 23, Канонические элементы эллиптического движения 63
получается, как мы только что видели, из равенств (18), т. е.
dW dW
7>t;=p» лг-р* (24>
где W— полный интеграл уравнения
dW , rr/ dW dW\ Л
-аГ+//(^1 •'* Э^Г- ¦ ¦•-^г)-0- (25)
Предположим теперь, что требуется решить новую каноническую
систему
dqk_d{H-R) dpk_ d(H~R)
dt dph ' dt dqk ' <Л>
где R — функция /, qv . . . , qsi pv . . . , pj#
Применяя метод вариации произвольных постоянных, попробуем
удовлетворить этим уравнениям теми же выражениями (23), но
считая ар Р? уже не постоянными, а функциями L Для этого надо
преобразовать уравнения (15), введя в них вместо переменных qk, рк новые
переменные аА, ?Л, определяемые равенствами (23). Так как, на
основании (24):
то по теореме II преобразованные уравнения будут иметь
следующий вид:
da dR d$k dR
(27)
dt d$k y dt dak >
ибо в данном случае, учитывая равенство (25), имеем:
Таким образом, при применении метода вариации произвольных
постоянных к каноническим элементам, дифференциальные уравнения,
определяющие эти элементы, могут быть написаны сразу и притом
в весьма простой форме.
§ 23. Канонические элементы эллиптического движения.
Применим метод Якоби к решению задачи двух тел. Обозначим
через ху у, z координаты планеты в гелиоцентрической системе
координат, через т — ее массу.
Чтобы уравнения движения планеты
-_dU •• _ді^ - _MJ
¦ Х~Ж> У~ ду' г~ дг*

64
IV. Канонические элементы
где
г '
лредставить в канонической форме, достаточно положить
Перейдем к сферическим координатам при помощи формул
х = г cos ср cos б, у = г cos ср sin ?, z = г sin ©
и условимся писать к2 вместо /?2(\-{-т). Функция Гамильтона примет
следующий вид:
Н = у (Г2 + /*?* _|_ Г2 CQS2 ?ё2) _ #/-*.
Переходя к обобщенным импульсам, легко найдем, что уравнение
Гамильтона-Якоби в настоящем случае будет:
dW , 1 (fdWV , _2/<?W\2 , _2.„2.. fdW\2) _^2r-i=0
<>/
+y((^r)+r br)+r 8есс?("ж)1
Это уравнение не содержит явно ни /, ни ?, поэтому мы можем
положить (ср. § 21):
Подстановка этого выражения в предыдущее уравнение дает
дг
+ Г~2 і*1Г)+г~* sec2 ? ¦ < - 2^г_1 +2аг
Для нас достаточно найти какое-нибудь решение этого уравнения,
заключающее одну произвольную постоянную. Поэтому положим
(^)г+фес*? = «1,
вследствие чего предыдущее уравнение обращается в такое:
и переменные г и <р оказываются разделенными. Иначе говоря, мы можем
положить
где W — функция только <р, а W" — функция только г. Эти функции
находятся из только-что написанных уравнений при помощи квадратур.
Окончательно получим: ^
<Р г
W= — *xt + %$+ /VaJ — a2sec2<ptfcp+y v/2a1+2*2r_1— a*r~*dr.
Чтобы не вводить ненужных произвольных постоянных, фиксируем
нижние пределы интегралов: у первого интеграла за нижний предел

§ 23, Канонические элементы эллиптического движения 6$
^ерем <р = 0, у второго —меньший из двух корней подкоренного
выражения.
Согласно теореме III, общее решение уравнений дается
равенствами
dW *>W ^W
~д^~?и -^Г=Р" ~д^=**'
которые в настоящем случае имеют такой вид:
рі = -/+У'(2^ + 2^-1-«;г-а)-ТЛ. (28)
Го і
Р2=6-а2/зес2?(«з-в25ес2?Г^<*Р (29)
h = °sf\*1-*1^<?Г^<1<?-*3/г-і(2а1+2к2Г1 -alr-2)-Tdr. (30)
О г0
Эти соотношения позволяют определить координаты, г, ?, <р
в функции / и шести произвольных постоянных аь а2, а8, рь р2, рь
являющихся каноническими элементами эллиптического
движения.
Посмотрим, каким образом канонические элементы-связаны с
обычными элементами.
. Равенство (28) показывает, что г должно заключаться в
интервале
где через г0 и гг обозначены корни уравнения
2<x1r2+2*V — а* = 0.
Так как в эллиптическом движении пределы радиуса-вектора равны
а(\ — ё) и а(\-\-е), то отсюда следует, что
Я* а?
2а = г0 + гг= - о2(і_г2) = ГоГі= 3
2а/
Поэтому
к2
2а
-, a3=*v/^b=^) = *vfc
С другой стороны, обозначая через Т момент прохождения через
перигелий, из того же равенства (28) получим:
так как в момент прохождения через перигелий r = rQ.
Равенство (29) показывает, что
а$ — *2sec2<p>0,
или
coscps*—7=".
Ьур
Курс Нфбеовой кех&няки 5

66
IV. Канонические элементы
Поэтому, замечая, что наименьшей величины cos? достигает для
?=±/, где і — наклонность орбиты, получим:
ССг = 4 ^0 COS/.
Если <р = 0, то планета находится в одном из узлов своей орбиты.
Следовательно, на основании равенства (29), мы можем считать, что
Обратимся теперь к равенству (30). Введем вместо широты <р
аргумент широты ы. Так как
sin<p==sin/sinw,
то, после подстановки найденных значений а2, «3> будем иметь:
*а / 0х!—a2sec2$) 2 dtf= I (1 — cos2 /sec2 <р) 2 seccpsin/cosz/tftt = x/.
о о
Следовательно:
" — h — «а У '"* (2аі + 2*»/-"1 — а2г~2) 2 dr.
Л)
Для момента прохождения через перигелий ы = о>, г = г0| так что
Итак, мы получили следующую систему канонических элементов:
a2 = k\fp COS z; р2 = й
Условимся среднюю долготу вычислять как для возмущенного, так
н для невозмущенного движения по формуле (§ 12):
I
(31)
Xee-j- /л*,.
Но, с другой стороны, для невозмущенного движения мы имеем
\ = те + П (t— Т) = е -J- nty
поэтому
л
иди
е —тс
С
(32)
В заключение выразим эллиптические элементы через канонические.
Получим:
2а/
*«1 +
2V^
тс == ?2 + Рз
\ ¦
(
(33)
COS*
си
-2
— Р2+Р8+М -(-2«02-

§ 24. Применение канонических элементов 67
§ 24. Применение канонических элементов к выводу уравнений
Лагранжа.
Канонические элементы имеют то преимущество перед
обыкновенными, что уравнения, определяющие изменения этих элементов в
возмущенном движении, имеют очень простой вид (§ 22):
dak dR dp, dR
Но для действительного вычисления положений планеты
употребляются обыкновенные элементы. Поэтому от уравнений (34) целесообразно
перейти к уравнениям, дающим производные эллиптических элементов.
Дифференцируя с этою целью равенства (33) и учитывая (34), получим:
da=4_2a2 dR
dt л № dp
х
de a(l— e*) dR nay/l— е* dR
dt k*e d$x k2e d$z
di cosec/ / . dR dR
— = — ( cos i :
dt k\Ja(\ — e*) \ dp, d%
dQ dR
dt da2
dn dR dR
dt dai da3
de dR dR dR Za , ч dR
* da2 daz dat & v J dfa '
Формулы (31) позволяют выразить производные пертурбационной
функции по каноническим элементам через производные по
эллиптическим элементам. Легко видеть, что
dR dR
= л
dPi dt
dR _dR . dR . dR
d$3 ~ dQ + d* T dt
dR = dR dR
dfa ~ dn "* dt
dR 2a* dR a(l—e*)dR Za ( _ . dR
dax ~ k2 da ~t~ k2e de *2 ^ П) de
dR —cosec/ dR
da2 kyja(\—e*) di
dR = \la{\ — g2) dR . ctg/
daz kae de k\Ja{l—e^) di '
dR

68
IV. Канонические элементы
Таким образом окончательно получим следующие уравнения, уже
найденные нами другими методами в главе III:
da
dt
de
dt
di
dt
dQ_
dn
~df
de
dt
2 dR
na de
у/Г—g2 dR
na2e drc
— cosec / dR
n<& v/1 — e* dQ
cosec / dR
eyJY^
e*~
Г dR
1 + v/i — <?2 пф de
i
tg
dR , dR
na2 \/l — & \ dK
ncfi\]\—e2 di
tg
dR . y/1 — e* dR
паг\/і — e2 di паЧ de
2 dR
+
tg
de
dR .
— т
e\]\— e* 1 dR
(35)
na da па2 /Г— ег di 1 -{- \/l — <?2 лд2 &r " J
Напомним, что в этих формулах ka 2 для краткости обозначено
через п.
Заметим еще, что последнюю из только-что написанных формул
можно понимать двояко. Если, средняя долгота планеты вычисляется по
формуле
Х = е + л(/— 4>)=e-f ka Ч*—(о),
(36)
то R будет зависеть от а и непосредственно и через посредство X,
поэтому
^? — /W\iW&_(dR\ ,dR дп(_.
da \да I ' дк da
da j
de da
где слева стоит производная, соответствующая полному изменению а,
тогда как через (т—I обозначена производная, взятая при неизменном X,
С другой стороны, если среднюю долготу вычислять по формуле
Х = е-{-/л#,
где через п обозначена функция /, определяемая уравнением
dt a? de'
(37)
(38)
то в последней из формул (35) надо вычислять производную R по а при
неизменном X, т. е. вместо гг— взять (-г—К Таким образом в этом случае
мы избегаем появления б правой части последнего из уравнений (35)
члена, растущего пропорционально времени.

§ 25. Канонические элементы Делоне и Пуанкаре 69
§ 25. Канонические элементы Делоне и Пуанкаре.
Канонические элементы, определяемые равенствами (31), имеют один
недостаток, который находится в тесной связи с тем, что мы видели
в конце предыдущего параграфа.
В самом деле, элемент ах входит в пертурбационную функцию R
как через посредство а, так и через посредство и. Поэтому в правой
части уравнения
% = _ *?
dt дах
мы будем иметь член, пропорциональный времени.
Если пытаться устранить этот недостаток так, как мы это сделали
в предыдущем параграфе (т. е. заменой элемента е, определяемого
равенством (36), элементом е, определяемым равенством (37), то будет
потеряна каноническая форма уравнений.
Делоне предложил ввести вместо аь фг новые элементы:
L = *i/a=*2(_2ai) *
3 3
/„„(/_ r)_=fefl~"^+Pi)-*~a(-2a1)^(f+p1).
Так как разность х
Pidati — IdL = — tdat
есть полный дифференциал функции W= — tau то, на основании теоремы
II (§ 20), после преобразования снова получим каноническую систему.
Сделав следующую замену обозначений:
окончательно будем иметь уравнения:
^L — dK dl dRr
dt ~ "dl '
* ~~ <te *
#/ _ <?/?'
dt ~ dhy dt ~~ dH
где
Напомним выражения элементов Делоне через эллиптические:
Z, = *]/a, G = *i/fl(l—«*), Я=**уа(1—*)cos* 1 /40ч
/ = л(Г— Г), ? = * —2, . А =9. J
Таким образом в этой системе за один из элементов взята средняя
аномалия /.
Интересно отметить однородность элементов (40): элементы Z., G
и Я все имеют размерность секториальной скорости, тогда как все
элементы /, g и h являются углами.
dt
dg
dt
dh
dL
dG
dR'
(39)

70
IV. Канонические элементы
Можно указать иные системы канонических элементов, также
обладающие однородностью, но имеющие некоторые преимущества перед
элементами Делоне в других отношениях.
Прежде всего, следуя Пуанкаре, рассмотрим такую систему элементов:
L^k\/a\
р2 = k j/й (1-е2) (1— cos f);
Х==/+іе = л/4-е
(Oj = TZ
ш2 = — Q,
(41)
где через X обозначена средняя долгота.
Эта система имеет то преимущество, что при малых
эксцентриситетах и наклонностях элементы рг и р2 будут малы.
Чтобы убедиться в том, что при переходе к элементам (41)
дифференциальные уравнения (39) сохраняют каноническую форму, рассмотрим
выражение
IdL ~\- gdG -{- hdH — ML — щй$\ — ш2^р2,
которое, очевидно, равно
ldL + gdG + hdH — {l+g+h)dL + (g + h)(dL — dG) + h(dG — dH)^Q,
так что условия теоремы II выполняются.
Наряду с системой (41) Пуанкаре ввел еще следующую:
L=aya; X = /-f іс
Ь = ]/2рі cos cdj ; % = |/2p7 sin Oi, } (42)
?2 = VW2 cos o)2; ^2 = |/2p2 sin ш2,
которая также является канонической на основании сказанного в §* 20
(пример 1).
Элементы 6Ь тц имеют величину порядка эксцентриситета, тогда как
?г» Ъ— того же порядка, что и наклонность орбиты.
Характерной особенностью канонических элементов (40), (41) и (42)
является употребление средней аномалии, или средней "долготы, в
качестве одной из переменных.
Леви-Чивита и Хилл указали такие системы канонических элементов,
в которых одним из элементов*является эксцентрическая или истинная
аномалия. Де Ситтер и Андуайе дали общий прием для получения таких
систем элементов. х
1 Т. Levi-Civita, Nuovo sistema canonico di element! ellitici, Annali di Matematica,
Ser. Ill, 20 (1913), 153.
G. W. Hill, Motion of a system of material points under the action of gravitation, Astron.
Journal, 27 (1913), 171.
W. de Sitter, On canonical elements, Koninklijke Akademie van Wetenschappen te
Amsterdam, 16 (1913), 279.
H. Andover, Sur i'anomalie excentrique et l'anomalie vraie comme elements canooiques
du mouvement efliptique, d'apres M. M. T. Levi-Civita et G.-W. Hill, Bull, astr., 30, 1913.

ГЛАВА V-
ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ К ИЗУЧЕНИЮ
ВОЗМУЩЕНИЙ.
§ 26. Каноническая форма уравнений относительного движения.
В § 19 было показано, каким образом уравнения движения
системы, в случае существования силовой функции, могут быть
приведены к канонической форме. Рассмотрим уравнения относительно
движения в их обычной форме, когда движение точек тх (хъ уи z{)9 . . • ,
тп~і (хп—v У/h-v zn—і) отнесены к точке mQ (0, 0, 0), принятой за начало
координат, т. е. уравнения (§ 3):
(/=1, 2, . . ., п — 1),
(1)
где через R{ обозначена пертурбационная функция, соответствующая
точке т..
Так как в этом случае для каждой точки т. мы имеем свою силовую
функцию
U,=*
Г.
t
то уравнения (1) могут быть приведены только к виду
dx,
dt
dt
dz{
дН,
~*K'
дН{
dt dz
11
dx'.
I
dt
dli
dt
dIi
dt
Щ
dx.
I
Щ
dz:
где
Ht=T-Ult
причем через T обозначена, как всегда, живая сила системы.
Полученные уравнения, не являющиеся каноническими, поскольку
функции Нъ Нъ . . ., Ня_х различны, Пуанкаре предложил назвать
полуканоническими.

72
V. Применение канонических переменных
Для получения.уравнений относительного движения в канонической
форме, что представляет большой интерес с точки зрения изучения
общих свойств движения, необходимо иначе выбрать относительные
координаты- Такой выбор может быть сделан различно, но наиболее
удобными, со многих точек зрения, относительными координатами,
удовлетворяющими поставленному условию, являются координаты, указанные
в § 4.
В этих координатах уравнения движения имеют следующий вид:
где
Ъ =
dlx. dU }
•*' dP дх.
d*y. dU
•*' dP ~ dyt
d*z. dU
^ dp- ~ dz.' J
*
д7ДЯ7о + /лі+ • • • +mi-i)
mur\-mi-\- . . . -\-m.
i j ч
(2)
Так как эти уравнения имеют ту же структуру, что и уравнения:
абсолютного движения системы в случае наличия функции сил, то они:
могут быть приведены к каноническому виду обычным способом (§ 19)..
Полагая
н=т—и
у'і = IV,.
*,=р,*р
zi = bzi>
получим:
dx{ дН
іі^Щ'
dy. дН
dt~dy'.>
dzt дН
dt ~dz't'
dx\
dt
Щ
dt
dz\
dt
дН
dxt
дН
дУг
дН
dzt
(3)
В том случае, когда массы пги т2, . . . , тп_х очень малы по
сравнению с Ото, так что взаимным притяжением этих масс можно
пренебречь, мы можем взять вместо U функцию
п~1
т0т.
где
1 1

§ 26. Каноническая форма уравнений относительного движения 73
вследствие чего уравнения движения распадутся на л—1 отдельных
систем. Например уравнения (2) примут вид:
dt*
Мо + Щ +• - * + Щ-х г?
Таким образом, в первом приближении координаты хр уі9 zt
получаются путем решения задачи двух тел и могут быть выражены через
время и шесть постоянных элементов орбиты.
Вторые канонические элементы Пуанкаре (§ 25), которые мы изберем
для этой цели, обозначим (для точки т?) через
Li> \> Кі> h*> \і> \г*
Но там, где целесообразно избегать употребления двойных индексов,
мы будем полагать
Е = Е Е = Е
Итак, в первом приближении будем иметь:
*,= ?('» А> ¦ ' )
«і=Ф С. ^ )
и аналогичные выражения для xrv у'р z'r
Чтобы получить решение уравнений (3) в общем случае, мы
воспользуемся методом вариации произвольных постоянных, т. е. заменим
переменные хі9 yit z.y x'v yr.y z\ переменными Lp \, %p іу при помощи только-
что указанных выражений.
За пертурбационную функцию примем
R=U—U0,
так как тогда
H=T—Uo—R.
Это дает преобразованные уравнения в следующем виде (§ 22):
dLt_dR^
dt
dRr
где (§ 25)
dt &tif
(/= 1, 2, . . ., л —1;
_5-_
dt
dt
У-1, %
dR'
dR'
(4)
2л —2),
л—1
^-л+2*4л^
Щ + Щ+ • • • +mt Y 1
US'
^o + OTi + • • • +OT*-i.
так как в настоящем случае ?2 для точки mt должно быть заменено через
*2W0
/Wo-}-/Wi^)- » . . -\~ті^х

74 V. Применение канонических переменных
Полезно напомнить, что замена R через Rr связана с употреблением
средней долготы \ в качестве одной из переменных.
В заключение применим уравнения (4) к случаю, когда
рассматривается движение только трех тел т0, ти тг.
В этом случае
к -k^-r mQ ^ ы^ -j- 2(л?0 + ліі)^ \
причем
Формула (16) на стр. 12 дает:
Таким образом, окончательно: ~*
R^PmomJ- _j4-ft3OTlOTa (5)
§ 27. Интегралы площадей.
В §,4 было отмечено, что уравнения (2), имеющие ту же форму,
что и уравнения абсолютного движения в случае проблемы п тел, имеют
интегралы площадей того же вида. Таким образом, для случая трех тел
/=1, 2) уравнения (2) будут иметь следующие интегралы,
соответствующие интегралам (6) в § 1:
Р-1 (Л*і — гіуг) + p., (y2z2 — z2y2) = Сх
Pi (*Л — *1*і) + Н-2 (*2*2 — X2Z2) = С2
Pi (хгуг — угхг) +^2 (х2у2 — у2х2) = С3,
где
гп0 -\- Щ ія0 —J— л?і -f— пг2
Для того^чтобы выразить эти интегралы через канонические
элементы, воспользуемся, в качестве промежуточного звена, эллиптическими
элементами.
В случае невозмущенного движения мы имеем следующие выражения
компонентов|секториальной скорости через элементы
уг — jzy=4-Gsin /sjn q
9 m
zx — xz = — Gsin / cos Q
xy — yx = -\-G cos /,
где

§ 28. Выражение прямоугольных координат 75
Эти соотношения остаются справедливыми и для возмущенного
движения, поскольку мы пользуемся оскулирующими элементами.
Соотношения между эллиптическими и каноническими элементами
(§ 25) дают:
G = L — pj , G cos / = L — рг — р2,
откуда
G sin / = i/2p2(Z. — Pl)~ p|,
и следовательно
Gsin/sin2 = Gsin/j/=--7]2y L—Рі-~р3
Gsin/cosQ==Gsin/^ = + $2y і:—Pl —-ip2.
Таким образом интегралы площадей в канонических переменных
можно написать в следующем виде:
+ toh*y L*— Рі,і- "2 Pi,a+14^2]/^— P2,i~-2P2/2=C2
j*i (Ii — Pi,!— Pi, j) + Pa (^i — P2, i — P2,2) = Сз-
Предположим теперь, что за плоскость ху взята неизменная
плоскость, так что С1 = С2 = 0. В этом случае первые два равенства дают
*1, 2 Ч 2
или (стр, 70)
tgQi = tgQa.
Иначе говоря, линия пересечения двух относительных оскулируюших
орбит параллельна неизменной плоскости.
Это свойство позволяет вместо двух узлов находить только один,
лочему оно и было названо Якоби исключением узлов.
Как было указано в § 2, исключение узлов является частным
случаем более общего свойства динамических систем.
§ 28. Выражение прямоугольных координат через канонические
элементы.
Для того чтобы приступить к интегрированию уравнений (4), нужно
пертурбационную функцию R выразить через канонические элементы.
Так как пертурбационная функция весьма просто выражается через
прямоугольные координаты, то нужно прежде всего прямоугольные
координаты хі9 ур zi каждой точки выразить через элементы Lt, \, . . . этой
точки.
Напомним прежде всего формулы, связывающие канонические
элементы Пуанкаре с эллиптическими элементами (§ 25). Введя угол
эксцентриситета % мы можем написать их следующим образом:

76
V. Применение канонических переменных
Ь = кУМ }/а,
p, = 2?.sin*-|;
Л = **М2/.
\=*тй-\-ъ
Ф1= Л
—8
p2=2Lcos<p sin3-^-;
5t = 2 |/Z~ sin -™ cos и;
$2 = 2lA cos<psin-s-cos 2;
(6)
o)2 — —2
t]i = — 2 j/L sin ~ sin ic
7], = — 2 l/z, cos 9 sin ~2 sin 2.
(6')
С другой стороны, хорошо известные формулы, служащие для
выражения прямоугольных координат через эллиптические элементы, дают:
х = г cos и cos 2 — г sin и sin 2 cos i
_y = rcos и sin 2 + ^ sin и cos 2 cos i
z = r sin и sin z,
где
ы = у-|-тс—2
есть аргумент широты. Эти формулы могут быть представлены в
следующем виде:
^«A'lcos^cosX + sin^cosfX — 22)1 —
— y[cos2~sinX+sin2^sin(X — 22)
у=*Х [cos* ^ sin X — sin2 L sin (X - 22)1 +
+ У cos2^cosX — sin2 -i cos (X— 22)1
z = X sin z sin (X — 2) -\~ Y sin z cos (X — 2),
(7)
если положить
X=rcos (v — M),
Y=r sin (v — M),
где через Ж = Х —тг обозначена средняя аномалия.
Результат, который мы имеем в виду получить, может быть выражен
следующим образом:
Теорема. Каждая из прямоугольных координат х, у, z разлагается
в ряд вида
ЪЩ*і?гі№*о\0& + Н)> (8)
где «ь а2» Рь $2> Л принимают целые положительные или равные нулю значения,
Н—постоянные числа, а коэффициенты А зависят от L.
Покажем, прежде всего, что координаты х, у, z могут быть
разложены в ряды, расположенные по целым положительным степеням іи ^
Ъ> Ъ> причем коэффициенты этих рядов содержат L и являютсй
периодическими функциями X.

§ 28. Выражение прямоугольных координат 77
В самом деле, коэффициенты X и У в равенствах (7) состоят из
произведений sin X и cos А на величины
(9),
cos»-j, sin*-g 5Й 29,
Но, на основании выражений (6'):
s; + 4i = 4Z.sin»-!, Е» + чі
следовательно
. і Ц + Чі
Ц1 2L )
/ 41 — 2(5*4-
«""2 = 4/.і2.
.» * COS г\
sm / SIn a.
; == 4Lcos cp sin2-^-;
Si + ^1
-4/.-2(^ + 7)2)'
(?+ч!) * .
Отсюда ясна разложимость sin2^ и cos2^- в ряды требуемого вида.
Кроме того, имеем:
sin/ zy ц-f-ii, 4A_2($2_|_^
С другой стороны:
поэтому
sin2 = ^^L=-, cosQ = -Ji
1/4 + ^' 1/^4-^1
sin2Q = Z^lb, cos2Q= S| 4«
Сопоставляя эти выражения с только-что указанными, мы видим^
что все пять величин (9) разлагаются в ряды, расположенные по целым
положительным степеням 6Ь 6а> Чь *12-
Рассмотрим теперь -Y и У. Так как
rcosv = a(cosE—е), rsinv = a]/l—е* sin E,
то
\х= — е cos и#4-1+Т//,2]~^ cqs (?-/tf) 4-1~12/g18~g2 g2cos(g4-^)
I У=4-« sin Л/4- 1+l/2~~ Sin {Ё~^ ~ 1 ~^2^~g8 g2Si" (g+^-
Покажем, что каждая из величин
1 4-1/1— г2 1— l/l— г3
2 ' 2е2 '
разлагается в ряд по целым положительным степеням е sin М и г cos Л/.

78 V. Применения канонических переменных
Для двух первых величин, разлагающихся по степеням е2, это
очевидно. С другой стороны, уравнение Кеплера
М — Е — eslnE
дает
E—M—esinM cos(?— М) — <? cos Л/sin (?— М) = 0. (10)
Полагая
w = Е — М, zx = е sin Л/, z2 = г cos М,
это уравнение мы напишем так:
f(w, zh 22) = 0,
где левая часть есть голоморфная функция w, zuz2 в точке w = z^ = z2 = 0.
Согласно известной теореме о неявных функциях, если
/ф0 ДЛЯ W = JPX = Z2 = 0,
то уравнение имеет одно и только одно решение w — y(zu z2),
голоморфное в области точки *і = 0» z2 = 0.
В данном случае указанное условие выполняется, так как очевидно
Поэтому из уравнения (10) мы получим ш = ?-Ж в виде ряда,
расположенного по целым положительным степеням zt и z2. Отсюда
следует, что sin(i: — М) и cos [Е—М) также разложимы в ряды такого
вида.
Наконец, равенства
е* cos (Е + М)=*г2 cos 2 Ж cos (Е — М)~с* sin 2М sin (Е—М)
е* sin (Е-{-М) = б*са$2М sin (?—/W)-f <?2 sin 2/Wcos (? — М)
е2 cos 2 М=(е cos Л/)2 — (е sin Л/)2
е% sin 2 Л/= 2 (^ sin Л/) (г cos Л/)
показывают, что и выражения
с*™{Е+М)
обладают требуемым свойством.
Таким образом нами доказана возможность разложения А' и У по
целым положительным степеням е sin М и ecosM.
Так как Л/=Х— х, то
г sin М «= ? cos tc sin X — г sin it cos X
* cos M = e cos it cos X-j-г sin « sin X
поэтому X я У могут быть разложены по целым положительным
степеням е cos re и е sin те, причем коэффициенты будут периодическими
функциями от X.
Теорема будет доказана целиком, если убедимся в возможности
разложения tfcosir, гэіптг по целым и положительным степеням \х и тц.
Прежде всего, из формул (6') следует:
S + 4j = 4?sin*! = 2Z.(l—cos ?) = 2I(1— j/Tw») •

§ 29. Выражение пертурбационной функции 79
откуда
Следовательно
С другой стороны, те же формулы (6') дают:
е cos іг с sin к г
Поэтому
г cos « = -^[1-^2 + ^
что и требовалось доказать.
Итак, нами доказана возможность представления каждой из
координат Ху yf z рядом вида
где В— функция от L, а 4F(X)— функция X, имеющая период 2 тс и потому
разлагающаяся в ряд
W (Х) = Б(СА cos kl + Dk sin *X).
Так как
sin^X = cosf^X-|-^-),
то отсюда следует справедливость нашей теоремы.
Полученные таким образом ряды (8) сходятся для достаточно малых
значений Ъи S2, Чь "Чг- Более точным определением области сходимости
мы сейчас заниматься не будем.
§ 29. Выражение пертурбационной функции через канонические
переменные.
Пертурбационная функция R> к изучению которой мы теперь
переходим, равна (§ 26) разности U— U0. Следовательно
*-і*22-іг-*2-тг (П)
О 0 1 I
где
А1/=(** - х)2+(У* -у?+ (.**- ZF-
Если ни одна из величин г0 ДА/ никогда не равна нулю для
'6=0, .^ = 0, (/=12,. - .,2л-2),

SO V. Применение канонических переменных
то каждая из них, а следовательно и R, будет голоморфной функцией
I., ty вблизи точки ^. = 0,^ = 0.
Таким образом в области этой точки функция R может быть
разложена в ряд по целым положительным степеням ?. и ч\.9 причем
коэффициенты этого разложения (остающиеся конечными и непрерывными
для всех значений t) будут, периодические функции Л. с периодом 2 я.
Поэтому эти коэффициенты разложатся в кратные ряды Фурье вида:
S {С cos (2 *, X.) + D sin (2 k. Ц},
где суммирование ведется по индексам kt, принимающим все целые (как
положительные, так и отрицательные) значения.
Полученный результат может быть выражен следующим образом.
Теорема I. Если точки-т^ ти . . ., тпЛ_г движутся таким образом,
что ни их взаимные расстояния АЛ/, ни радиусы-векторы г. не обращаются
в нуль, то функция R может быть разложена в ряд
R = SM3tf cos (S^-X.-t-Я), 12)
где Н—постоянные числа, коэффициенты А зависят только от Lp а через Ш
обозначено произведение целых неотрицательных степеней %j, у\,, т. е.
9Jt = ^. . .^tjP». ...
Суммирование ведется по аи а2, . . ., (Зь fJ2> • • и по кп которые
принимают все целые, как положительные, так и отрицательные значения.
Ряд (12) сходится для достаточно малых значений kj9 іу.
Посмотрим теперь, каким образом функция R выражается через
переменные р,. и «,, связанные с tJ9 ^ соотношениями
6У —l/2pJ"cos«,, Vj^V^PJ sin ш.. (13)
Докажем следующую теорему-
Теорема П. При тех же условиях, как и в теореме /, функция R может
быть разложена в ряд
*==E4pfp?.'. .соз(Е*,Х,+ Е*уш, + Л)>. (14)
сходящийся при достаточно малых значениях р..
Каждое из чисел 2q. принимает значения 0, 7, 2, . . ., тогда как
индексы kj и р. пробегают все целые значения от — оо до -f-bo. При этом для
каждого члена выполняются условия:
2q.^\p.\\ 2qj=pj(mou2). (15)
Коэффициенты А зависят от L., тогда как Н — постоянные числа.
Для доказательства этой теоремы будем преобразовывать каждый
член ряда (12), вводя вместо переменных і,т\ новые переменные р, о> при
помощи равенства (13).
Начнем с членов ряда (12), для которых 2R = 1. Эти члены,
остающиеся очевидно без изменения, #меют вид
4со8(2*Д + Я), (16)
а потому удовлетворяют условиям теоремы.
Покажем теперь, что всякое выражение
Ф = Арл#. . . .cos(2*^. + E/0;. % + ?)>

§ 30. Теорема Пуанкаре о ранге 81
где Q и р удовлетворяют условиям теоремы, после умножения на ЕА или
т]д даст сумму членов того же вида. Для этого нам надо рассмотреть
выражения
ф^ = фі/2р^соз шЛ и Ф7|Л = Ф|/2^со5(шЛ-^У
Возьмем сразу более общее выражение
Фі/2^соз(шЛ + В%
которое очевидно равно
-ЩА^?Р ..¦• . V/"pI[cos(S*/X. + S^o>.+ ^ + 5 + fi/) +
+ cos(2ki\+ЪpJ<»/-<s>h + B-B^)}.
Пусть, например, Л = 3, В таком случае 2ди 2ft, 2ft, . . . и
Л» Л» Л» • • • останутся без изменения, а потому будут удовлетворять
условиям (15); показатель 2ft заменяется через 2ft+1, а коэффициент
/?з — через /ft+і и /?3— 1. Но, по условию,
2ft=Л (mod 2), 2 ft > | Л і,
откуда
2л+1=л±1(то<12)
2ft+l^l|/?3 + l|> 2ft+l^|/?3—1|.
Таким образом, начиная с членов вида (16) и переходя
последовательно, путем умножения на 6 и тц, к остальным членам разложения (12),
мы будем получать исключительно члены, удовлетворяющие
условиям (15).
§ 30. Теорема Пуанкаре о ранге,
В предыдущих параграфах мы познакомились 'с формой разложения
пертурбационной функции R. Вернемся теперь к интегрированию
уравнений (4), которые, при сделанных нами переменах в обозначениях,
напишутся так:
dL. dRr dk, dRr
dt d\i ' dt dL.
dlj _ dRr dy\j _ dR'
~dt=d^' 1t~~"Wj
(/=1,2, . . . , я —1; 7=1,22, .... л —2),
причем
где
dt~
• • >
(ma-r
~ дЦ; '
я-1;
#' =
¦даО» ,
dt
7=1
= Ra + R,
(«o + ^l
" */
22,. .
+ m#
(17)
]•
-a R выражается формулой (5) и потому, на основании теоремы I (§. 29),
разлагается в ряд вида
где через 3ft обозначено произведение целых неотрицательных степеней
Куро Е?беон?й механики "

<S2 V. Применение канонических переменных
Напомним, что коэффициенты А могут зависеть только от
элементов L. и имеют множителем одну из масс тп — как это видно из
формулы (11).
Таким образом, в первом приближении, т. е. при т. — 0у получим
(обозначая нуликами постоянные значения):
?,«??, Е-Р, Ч/~Ч/0, Х/В»Д//+Хо, (18)
где
причем
В правых частях уравнений (17) получим после подстановки
значений (18) выражения вида
S5cos(v/+/0i (19)
где
sz г
Поэтому во втором приближении мы будем иметь для элементов;
выражения
> (20)
в которых через 8^, . . . , 81т|/ обозначены суммы вида:
Вековые члены 50 / получаются от интегрирования тех. членов рядов
(19), у которых v = 0.
Легко видеть, что ЬгЬй вековых членов не имеют — результат,
эквивалентный теореме Лапласа-Лагранжа о неизменности больших полуосей
орбит (§ 17).
Подстановка выражений (20) в правые части уравнений (17) даст
возможность получить третье приближение и т. д. Таким образом после
произвольного числа приближений будем иметь:
причем каждая из величин lLi% . . . , Ъг\. будет представлена рядом видаі
2 Аір Ш cos (v* + //'),
где 9ft обозначает произведение целых неотрицательных степеней Е9, т]9..
Коэффициент А зависит только от L\ и имеет множителем mfm™" . . . ^
где т\ т", . . —целые числа, удовлетворяющие условиям
. тг^0, т"^0,. . -, ot, + ot"+. . . >0.
Напомним, что сумма /л' + тл"+. • • называется порядком
соответствующего члена, а выражение /л'-{-/л"+ . - . —р его рангом.

§ 30. Теорема Пуанкаре о ранге 83
Пуанкаре доказал следующую теорему:
Теорема. Если средние движения планет п. таковы, что равенство
г$е %—целые числа, не может иметь места, то:
1) ранг каждою из членов в разложениях ЪЬ., 8Хр 6$., ly. больше или
равен нулю;
2) ранг каждою смешанного члена равен по крайней мере единице;
3) разложение ЬЬ. не содержит членов нулевою ранга.
Мы только-что видели, что эта теорема справедлива для членов
первого порядка: в самом деле, \Lit \\, і^.9 8^ не содержат вовсе
смешанных членов; эти выражения могут содержать вековые члены лишь
вида At, т. е. имеющие ранг^О; наконец, в q±L. вековые члены
отсутствуют.
Предположим, что теорема справедлива для всех членов, порядок
которых -</л, и покажем, что она будет справедлива в этом случае и для
членов (л7-(-1)"го порядка. Доказательство разделим на три части.
Прежде всего дадим формулы для вычисления членов (да+1)-го
порядка. С этою целью выражения (21), в которых под 8L,, . . . ,8ц. будем
разуметь совокупности всех членов, имеющих порядок <от, подставим
в правые части уравнения (17), причем эти уравнения напишем
предварительно так:
dLf
dt
<*J
dt
dR
~ д\ >
dR
-ц>
Aj, dR^
Интегрирование трех уравнений, не содержащих R0, дает
"•-/%*¦ *>-Гч«- *=-№*•
о о о
(22)
Так как R—величина первого порядка относительно масс тит2у . . • ,
то подстановка в правые части этих равенств выражений (21), имеющих
ошибку (от+1)-го порядка, даст правые части с ошибкой (т-\-2)-то
порядка, а следовательно позволяет вычислить в Щ, Щ9 8ц. все члены
(w-f-l)-ro порядка. -
Чтобы найти члены (тн-[-1)-го порядка в средних долготах \.,
рассмотрим разложение ~. Так как
где
г - **°
'» dLULV
б*

84 V. применение канонических переменных
а через Ф обозначена совокупность членов третьего и высших порядков
относительно 8Z,., то
Поэтому, замечая, что
д?Я
fdR
после интегрирования получим
. t
ж-ч Г Г dR /* дФ Г dR
(23)
Нам надо убедиться, что при подстановке выражений (21) в правую
часть этого равенства мы найдем эту правую часть с ошибкой порядка
/77 —f- 2 относительно масс.
В отношении первого и последнего членов это очевидно, поскольку
R есть величина первого порядка. Остается рассмотреть второй член.
дФ
Заметим прежде всего, что производная -гт- есть сумма членов по
меньшей мере второго порядка относительно возмущений bLk> каждое из
которых первого порядка относительно масс.
Предположим теперь, что вместо %Lk подставлены их приближенные
значения h'Lk, имеющие ошибки порядка лі+1. Тождества вида
АВ — К'В = A (B—Br) -f Вг {А—А'),
ABC—А'В'С = АВ(С — С) + 'АС (В—В') + В'С (А—А'),
дФ
показывают, что эта замена даст —^- с ошибкой порядка т-\-2.
Итак, при замене в правых частях равенств (22) и (23) возмущений
их величинами, точными до членов т-ю порядка включительно, мы получим
в левых частях все члены {т -f- l)-to порядка.
Теперь докажем нашу теорему в отношении ЬЬР Щ, Цг С этой
целью заметим, прежде всего, что при перемножении двух членов, ранги
которых положительны, мы получим сумму членов с положительными
рангами. Точно так же, при перемножении членов, имеющих
неотрицательные ранги, получим члены, ранги которых неотрицательны.
Таким образом, подставляя в правые части уравнений (22)
выражения (21), состоящие, согласно сделанному нами предположению, из
членов неотрицательных рангов, мы должны получить под знаком
интеграла суммы членов неотрицательных рангов; более того, поскольку
каждый член R умножается на ти или тъ . . . , ранги всех этих членов
будут >1.
При интегрировании вековых членов ранг понижается, как
показывает формула
j
' A f+1
P + l

§ SO. Теорема Пуанкаре о ранге 85
на единицу. Следовательно, окончательно выражения (22) будут состоять
из членов, ранги которых > О,
Так как указанное понижение ранга происходит только в чисто
вековых членах, то выражения (22) не могут содержать смешанных
членов нулевого ранга.
Остается показать, что выражение
4 J л,
о
не заключает членов нулевого ранга.
Подставляя в производную -гг- выражения (21) и разлагая эту
производную в ряд, получим:
dR_
ді.
2ед (24)
где через D0 обозначены частные производные -гг- по элементам, в
которых эти элементы заменены начальными значениями
через 9? обозначено произведение целых неотрицательных степеней
а,, -'ах, be., щ..
На основании теоремы I (§ 29), каждая частная производная-тг-
окі
разлагается в ряд вида
2 A3» cos (2*,^ + //),
где, очевидно, мы можем считать kt отличным от нуля.
Заменяя элементы их только-что указанными начальными значениями
получим:
0О = 2 А0ЯЙ0 cos (*/+//)>
где
v = 2 kpv
Так как v не может равняться нулю (ибо kt не равно нулю), то D0
будет состоять исключительно из периодических членов. Ранг каждого
из этих членов будете 1, так как # —величина первого порядка
относительно масс.
С другой стороны, рассматривая % легко видеть, что каждый член
нулевого ранга в этом выражении может получиться лишь от перемножения
членов нулевого ранга в 8Iif bk.f SL otj;.. Но, согласно сделанному нами
предположению, эти величины могут иметь лишь вековые члены
нулевого ранга. Поэтому всякий член нулевого ранга в 9? будет обязательно
вековой.
Итак, при перемножении DQ на 5ft мы можем получить лишь члены,
ранг которых^ 1, причем члены первого ранга будут либо
периодические, либо смешанные вековые. И в том и в другом случае
интегрирование не понижает ранг, как это показывает хорошо известная формула
1
Atp cos (yt+H') dt = ^-fsm {yt+H')+p^ f'1 cos (yt-\-If) — .

86 V\ Применение канонических переменных
Теорема, таким образом, полностью доказана для ILU Щ, 8ijy. Остается
рассмотреть разложение выражения Ъ\у даваемого формулой (23). Это
выражение состоит из трех членов, которые мы и рассмотрим
последовательно.
Что касается до последнего из членов выражения (23), то к нему
полностью применимо все, что было только-что сказано относительно
равенств (22). Таким образом, этот член не может дать ни членов
отрицательного ранга, ни смешанных членов нулевого ранга.
Рассмотрим теперь второй член
/
t
дФ
6LdL
дФ • т
Мы уже видели, что ~ху~ состоит из членов по меньшей мере вто-
рой степени относительно ЪЬ. Так как 8Z, равняется сумме членов, ранг
которых, как уже было показано, ^=1, то ранг каждого члена -г^- будет
^2. Интегрирование может уменьшить ранг на единицу, но он все же
будет ^1, что соответствует требованиям теоремы.
Остается рассмотреть первый член
ft О О
На основании предыдущего члены нулевого ранга в -гт— отсутствуют
вовсе; все члены первого ранга будут либо периодические, либо
смешанные. И в том и в другом случае ранг не изменится при двойном
интегрировании. Что же касается до остальных членов, то они после
интегрирования могут дать либо периодические (или смешанные) члены,
имеющие ранг > 2, либо вековые члены с рангом ^=0.
- Итак, среди членов (/гс-[-і)-го порядка в разложении 6Х. мы также
не можем встретить члены отрицательного ранга или смешанные члены
нулевого ранга.
Теорема полностью доказана.
§ 31. Теорема Пуассона.
Доказанная в предыдущем параграфе теорема Пуанкаре является
обобщением знаменитой теоремы Лапласа-Лагранжа об отсутствии
вековых возмущений в больших полуосях орбит. Теорема Пуассона,
упомянутая в § 17, дает обобщение этой теоремы в другом направлении.
Большая полуось орбиты а. связана с элементом L. соотношением
(§ 25)
где М/—множитель, зависящий от масс и мало отличающийся от единицы,
если за единицу принять массу Солнца.
Поэтому, обозначая через Ьтар 6mL. возмущения т-го порядка,
а через a0., L0. — оскулирующие значения для момента t = Q, получим

§ 3L Теорема Пуассона 87
откуда
Так как, согласно предыдущему, \Ь: состоит только из периодиче-.
скйх членов, то вековые члены в \а. могли бы быть только в том
случае, если бы они были в 82Z,.. Поэтому теорему Пуассона можно
формулировать следующим образом:
Теорема Пуассона. Если средние движения планет п. таковы, что
равенство
не может иметь место ни при каких целых значениях ? то среди членов
ZL. второю порядка относительно масс отсутствуют вековые члены.
Для доказательства обратимся к равенствам (22), которые дают
Полагая в правой части
^~Ч+V* ** = V+Ч+8 А> */=ц+\іР Чу=ч5+8Л>
яолучим
ЗЧ*1+2№*+2(^).*+2№*+
и'
Возмущения первого п'орядка 8^, 8^., 8^. равны, на основании (22),
О 0 0
Что же касается до \lk) то разобьем его, учитывая (23), на две
части:
8А = 8А + 8іх»
• где
*.--/(*).* ^--2<ч/*ДЗ).*
О 0 0
Последний член выражения (23) дает возмущения не ниже второго
аорядка, а потому в данном случае может быть оставлен без внимания.
Таким образом:
а»-2{(тЗЦ*+(ЗУ>
1+ (25)
PR
+2 {зк5г»п^
¦*/о

88 V. Применение канонических переменных
Как уже было отмечено в предыдущем параграфе, каждая из
вторых производных, стоящих в этом выражении, разлагается в ряд вида
HAomocos(vt+ff)9
где v = S^^ не может равняться нулю, так как иначе соответствующий
член был бы уничтожен дифференцированием по \.
Вековые члены, в \Lt могут получиться лишь при наличии
постоянных членов в выражении (25).
Легко видеть, что первая из сумм, стоящих в выражении (25), не
может дать постоянного члена. Действительно, каждый член
? = A2ttcos(2*A + //)
ряда (12), в который разлагается R, дает такую часть этой суммы:
dKdL,L I \ dXJ \d\d\J \dLh,0
о о
dA k A 2ft
oLh y
-cos(S*^")]-M*A>^o^^
— sin(S^X0-f//)].
Но это выражение равно сумме периодических членов, ни один из;
которых не равен постоянному числу.
Совершенно так же убеждаемся, что ни один член разложения <R не
может дать постоянного члена во второй сумме выражения (25).
Что касается третьей суммы выражения (25), то она может дать
только периодические и смешанные члены, так как
at —
f*f(
Who J "'J \dKJo
*,*!
0 0
+ v/cos(2*zxo + /y)|
и
cos(E*X-f-//)sin (2*Х + Я) = -^-sin2 (Е^Х + Я)
cos(Z*X4«Д) cos (S*X°+ //> = -!cos(S*X—s*X°) +
+ yC0s(2*A + 2^°) + 2//.
Таким образом, теорема Пуассона полностью доказана; Заметим,
что третья сумма|выражения (25) дает в \L. смешанные члены первого
ранга.

§ 32. Теорема Пуанкаре о классе 89
Пуанкаре обобщил теорему Пуассона, доказав, что bL не может
заключать вековых членов не только нулевого (§ 29), но и первого
ранга. г
§ 32. Теорема Пуанкаре о классе.
В § 30 мы начали изучение выражений возмущений 8?., 8L, 8Е,8ц„
получаемых в результате применения метода последовательных
приближений к уравнениям (17). Каждая из этих величин получается в виде
ряда членов следующей формы:
^^со8(2*Л + ")>
где
\ = Ъ#?і (« = 1, 2, . . . >
множители, введенные интегрированием.
Если коэффициент А0 порядка т относительно возмущающих масс,
то (§ 15)
1 1
называется классом рассматриваемого члена относительно
соответствующего делителя va.
Теорема. Если средние движения п{ таковы, что для любых целых
чисел kt
то класс каждою члена в разложениях ЬЬр Щ, bv\. относительно любого де-
1
лителя не менее —; в разложении о\. класс каждого члена ^0.
Для доказательства этой теоремы заметим, прежде всего, что она
очевидно имеет место для возмущений первого порядка, так как в этом
случае /и—1, р-\-д^1 для разложений \ЬР іг$.9 81ц/, и т = 1, р = 0,.
д'^2 для разложения 8xXf
Допустим поэтому, что теорема справедлива для всех возмущений
до от-го порядка включительно, и покажем, что она будет тогда
справедлива и для возмущений (т-}-])-го порядка.
С этой целью обратимся к формулам (22) и (23), позволяющим найти
возмущения (/я-(-1)-го порядка, если известны возмущения т-го
порядка.
Прежде всего имеем,
«.-/?* *,-/%«¦ ч—/f * (26>
0 0 0 -
Каждую из стоящих здесь производных функции /? мы можем
разложить в ряд вида (24)
1 Н. Роіпсагё, Lemons de Mecanique Celeste, t. I, Paris 1905, 294—310.

so
V. Применение канонических переменных
.где через D0 обозначены вторые, третьи, . . . производные, в которых
элементы заменены своими начальными значениями
L% л/ + Х°> % -П)-
Как уже было отмечено (§ 30), D0 разлагается в ряд, состоящий
исключительно из периодических членов, для которых очевидно т = 1,
,р = 0, ? = 0, так как эти члены получены без интегрирования.
Иначе говоря, класс каждого члена разложения DQ равен единице.
С другой стороны, 3? есть произведение целых положительных
степеней 8?р 8L, 8?, 8^., вычисленных до членов т-го порядка
включительно относительно масс.
Так как произведение двух членов может дать только члены, классы
которых равны сумме классов умножаемых членов, то, в силу
сделанного допущения, разложение каждой из производных
dR dR dR
д\ • &rkj' Л,
может заключать только члены, классы которых^ 1.
При интегрировании степень члена относительно масс не меняется,
но один из показателей р или q может увеличиться на единицу. Таким
образом, класс членов выражений (26) будет 5*-~-, т. е. теорема будет
иметь место и для членов порядка m-4-L
Посмотрим теперь, каков будет класс членов порядка т-\~\ в
разложении
*--*./*/WW'S* (28)
оо о о
В двух первых членах подъинтегральная функция разлагается в ряд
только-что рассмотренного вида. Принимая во внимание, что двойное
интегрирование может увеличить сумму p-\-Q на две единицы,
убеждаемся, что эти два члена могут дать лишь члены, класс которых >0.
Что касается до последнего интеграла в выражении (27), то напом-
дФ
•ним, прежде всего, что -tj- состоит из членов по крайней мере второго
порядка относительно bLv Но произведение двух и более величин 81.
состоит из членов, имеющих класс >1, так как согласно нашему
предположению в ЪЬ.9 вычисленных до членов т-го порядка включительно^
1
•класс каждого члена ^=-~%
Интегрирование может увеличить сумму p-\-q на единицу, но все
же члены разложения последнего интеграла будут иметь класс >-п"-
Теорема доказана. Заметим, что члены наименьшего*класса в Задает
.двукратный интеграл.

§ 33. Возмущения наименьшего класса 91
§ 33. Возмущения наименьшего класса.
Посмотрим теперь, какую форму имеют члены наименьшего класса
относительно некоторого определенного делителя
Покажем, что все члены класса 1/2 в разложениях 8?, 86, Цу так же
как члены нулевого класса в разложении Ы, имеют форму:
Atpcos($v0t+H), (29)
где Р— целое число.
Допустим, что это имеет место для возмущений, вычисленных до
¦членов /л-го порядка включительно, и убедимся, что та же форма
сохранится и для членов наименьшего класса (/и-)-1)-го порядка.
Обратимся сначала к формулам (26) и посмотрим, при каких
обстоятельствах в правых частях могут получиться члены класса 1/2.
Для этого прежде всего необходимо, чтобы рассматриваемый член
A'*pcos(vf+/f)
. dR dR dR
в соответствующей производной -тр —, -р имел класс, равный единице.
Действительно, каждая из производных разлагается в ряд вида (27),
причем множитель D0 состоит, как мы видели, из членов, класс которых
равен единице. Таким образом, класс члена (30) не может быть меньше
единицы.
Далее, необходимо, чтобы интегрирование члена (30) понизило его
класс на у2. Но это может иметь место только в двух случаях: 1) если
v=0, то интегрирование увеличит на единицу показатель р; 2) если
¦v = (3v0, где р—целое число, то после интегрирования показатель q
делителя v0 увеличится на единицу.
Итак, все члены класса */2 в возмущениях Ы., Ь\& Ьц. необходимо
имеют форму (29).
Покажем теперь, что для получения всех членов класса уа в bLh
Щ, 8т]. достаточно в функции R рассматривать лишь члены, аргументы
которых кратны
Для этого обратимся еще раз к разложению (27). Через D9
обозначены частные производные функции R, в которых Lp kp ?,., ^ заменены
начальными значениями L% Ц-\-п^ Р, rfj9 поэтому D0 состоит из членов
вида
50 cos (vf+"<>), (31)
где
где И0—постоянные числа, а В0 зависят от ?J,.S°, ч>-
Такой член получается, путем дифференцирования и указанной
подстановки начальных значений, из члена
Ясо5(Е#Л+Д) * (32>
в разложении функции R.

92 V. Применение канонических переменных
Множитель Уі в разложении (27) представляет собою произведешь
целых неотрицательных степеней bLp S\-, 86, 8і], вычисленных до членов-
/л-го порядка включительно относительно масс. Следовательно, согласно
сделанному допущению, члены % имеющие наименьший класс (нулевой),
будут вида (29), так как они получаются от перемножения членов
наименьшего класса в разложениях bLp 8Xfl ...
Итак, члены наименьшего класса (первого) в производных -гт-,.
і
-=-, ~г- получаются от перемножения выражений (29) и (31), а потому их
j *1/
аргументы имеют вид
(Pv0 =t-v) /4-const.
Но мы уже видели, что для получения, после интегрирования, члена
класса х/г каждый такой аргумент должен иметь форму
Следовательно,
или
где а — целое число.
Таким образом
7vo*+ const.
v=ov03
и потому члены (32) функции R, дающие возмущения наименьшего класса,,
будут иметь аргументы вида
Ы^+Н^аЪ + Н,
т. е. кратные ?, что и требовалось доказать. .
Теперь нам остается рассмотреть структуру членов наименьшего
класса в разложении Sk.t а также простейший' путь для получения этих
членов.
Обратимся к формуле (28). В предыдущем параграфе мы видели,
что члены наименьшего класса (нулевого) в 8Xf может дать только
первый член формулы (28), так что при нахождении этих членов мы можем
взять
о о
или, на основании (26):
Ъ\ = — 2CAjiLkdt. (33)
о
Для производной -гг- мы снова можем взять разложение (27). То же
самое рассуждение, как и выше, показывает, что наименьший возможный
класс членов этой производной равен единице. Поэтому для получения
членов нулевого класса в Ь\. нужно, чтобы двукратное интегрирование
повысило сумму p-\-q на две единицы. Но это возможно* только в том
случае, когда аргумент члена имеет форму pv0/—]—//.
В заключение составим дифференциальные уравнения,
определяющие члены наименьшего класса в Ы, Ы% Ъг\ и 8Х. Начнем с Ък.

§ 33. Возмущения наименьшего класса 93
Для вычисления членов нулевого класса в оХ? обратимся к формуле
<33), из которой следует
^ — ^.сж^-^с^-^,
dt **А
'itr^k
или, замечая, что \-= л/+^ + 8Хі'
dt
Положив (ср. § 30)
A?-"i-2c»c**-4D-
ф.
.-^-2»« v-t- ^4-2 2SC* (L'~L?) <L*-L& (34)
где Со—некоторое постоянное число, будем иметь
А. дФ„
dt dL/
(35)
Это уравнение даст одни только члены нулевого класса, если в
функции Ф0 под разностями L — L° разуметь лишь совокупность членов
класса х/2.
Мы уже видели, что для получения членов класса 112 в 8Z,, 8$, Ц
достаточно в функции /? сохранить лишь члены с аргументами вида о?.
Поэтому, обозначая совокупность указанных членов через W, из
равенств (26) получим для определения членов класса 1/2 такие уравнения:
dLi..
dt
db
dt'
*l,
dt
_ dbLt
dt
_ Ag,
dt
<*ц
dt
dt\.
дУ
~ */
Правые части этих уравнений могут быть еще более упрощены.
В самом деле, для получения членов класса */г нужно, как мы видели
dR
выше, в разложениях (27) производных-гг-, . . . брать в 5Ji-только члены
бКі
нулевого класса. Но члены нулевого класса в ЭТ можно получить, лишь
взяв вместо Ь\. члены нулевого класса и положив
fc, = 0, «,-0, Вт]у=0,
т. е.
Так как в D0 уже сделана такая подстановка, то, обозначая через
- V4o КЛ' К/о
результат этой подстановки соответственно в
dW dW дУ

94 V. Применение канонических переменных
получим
dt д\ ' dt \д^)0'
Замечая, наконец, что
дФ0 n <NFo
dt ~
= 0,
окончательно будем иметь следующую теорему.
Теорема. Для полунения возмущений, имеющих наименьший класс, нужно
проинтегрировать уравнения:
dLt 0(Фо+Ц-0) А, «НФр + Ц'о)
dt ~ д\ ' dt dLi К*У
-Ж-\^и$ dt~ UJ</ , (7)
§ 34. Метод Делоне-Хилла для вычисления долгопериодических
возмущений.
Предположим, что средние движения nt в рассматриваемой системе
материальных точек таковы, что величина
мала. В таком случае возмущения наименьшего класса относительно
делителя v0 будут представлять особый интерес, так как амплитуды этих
возмущений будут сравнительно велики. Теорема предыдущего параграфа
позволяет определить эти возмущения независимо от прочих.
. Положим опять
Так как через W мы обозначили совокупность членов разложения #„
аргументы которых кратны ?, то ЧГ зависит только от ?, L.t %р ту.
Следовательно,
являются функциями только ?. Это обстоятельство позволяет получить
решение системы (36), (37), определяющей члены наименьшего класса
при помощи квадратур.
Первое из уравнений (36) дает
получим
dL.
1
dt ~
льное
dLt
dt
dW0
_. °w
переменное і
dU
"dt
-K
dW0
' db '
dU о

§ 34. Метод Делоне-Хилла 95'
Пусть і/ = 0 для /=0; тогда интегрирование этого равенства,
от /=0 до / = / даст
Lt = ^U+L% (38),
Подставив эти значения L. в формулу (34), получим:
Фъ = С — 2Ви^-А1Р9
где Л, В и С — постоянные коэффициенты.
С другой стороны, уравнения (36) имеют очевидный интеграл
Фо + ^о = const,
дающий зависимость между U и ? в конечной форме. Этот интеграл*
может быть представлен следующим образом:
С + ^0 = 2Я?/+^2.
Откуда, выражая U через ?,
AU+B = yJ B*+AC+AWQ' . (39>
Так как
dt~2j ' dt 2l 4Ll jLidU dLt~ dU '
или
~ = 2B-\-2AU = 2 v/Д^+Ж+ДС",
то получаем следующую зависимость между ? и /:
t = J 2\ftfSu + B* + AC * (4°*
После этого обратимся ко второму из уравнений (36), которое дает
-«|-^S*JCa. (41)
Заменяя здесь U его значением й& основании равенства (39) и
интегрируя, получим \. в виде функции ?.
Точно так же, интегрирование уравнений (37) дает і., f\} в виде
функции ?.
Соотношение (40) позволяет выразить \у ?., г^ через время tf что
и дает полное решение стоявшей перед нами задачи.^
Таким образом, для получения возмущений наименьшего класса
относительно аргумента ?, нужно в пертурбационной функции R отобрать
все члены, аргументы которых кратны ?, и в полученной этим путем
функции ЧГ заменить Lv ?., т);. начальными . значениям» Щ, Щ, rfy, что-
даст функцию W0.
Соотношения (38) и (39) дают возможность выразить L. через
аргумент 6; точно так же интегрирование равенств (41) и (37) дает \, ?у, t\Jt
в функции 6.

t96_ У. Применение канонических переменных
Наконец, соотношение (40) устанавливает зависимость между ? и /.
Делоне первый обратил внимание на возможность последовательного
получения всех периодических возмущений при помощи интегрирования
уравнений движения, в которых вместо пертурбационной функции берутся
«ее отдельные члены. Этот метод был им использован для построения
наиболее полной алгебраической теории движения Луны.1
Тиссеран значительно упростил метод Делоне, связав его с общей
теорией канонических преобразований.2 С другой стороны, Хилл
существенно обобщил этот метод, показав, каким образом могут быть
учитываемы все ^лены пертурбационной функции с аргументами, кратными
некоторого избранного аргумента. * Получившийся таким образом метод
известен под именем метода Делоне-Хилла.
Наконец работы Пуанкаре4 содействовали выяснению математической
сущности этого метода.
1 С. Delaunay, Theorie du mouvetnent de la Lime, Memoires de TAcademie des
Sciences de Paris, 28 (I860), 29 (1867).
2 F. Tisserand, Traite de Mecanique Celeste, 3, Ch. XI, 1894.
3 G. W. Hill, On the Extension of Delaunay's Method in the Lunar Theory to the
•General Problem of Planetary Motion, Transactions of the American Mathem. Soc, 1. 1900,
205 — 242 = The Collected Mathem. Works, 4, 1907.
* H. Poincare, Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 2, Ch. XIX, Paris 1893
H. Poincare, Legons de Mecanique Celeste, 1, Ch. XIII, Paris 1907.

ГЛАВА VI.
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРОБЛЕМЫ ТРЕХ ТЕЛ.
§ 35. Введение.
В 1772 г. Лагранж представил в Парижскую академию на соискание
премии свой знаменитый мемуар Essai sur le probleme des trois corps
(Oeuvres, 6, ?29— 324), заключающий, как говорит в предисловии сам
Лагранж, метод для решения проблемы трех тел, отличный от всех ранее
предложенных. Этот метод состоит в следующем.
Лагранж показывает, что определение относительных координат
трех тел (требующее интегрирования системы 12-го порядка) приводится
к определению сторон треугольника, образованного тремя телами, что
требует интегрирования системы 7-го порядка, состоящей из двух
уравнений 2-го порядка и одного уравнения 3-го порядка. Так как эти
уравнения уже содержат две произвольные постоянные, введенные интегралом
живых сил и интегралом площадей, то, в конечном счете, взаимные
расстояния трех тел зависят от 9 произвольных постоянных. Когда взаимные
расстояния известны, то нахождение относительных координат, вводящее
еще 3 произвольные постоянные, не представляет затруднений.
Исключая из упомянутой системы 7-го порядка время, окончательно
сведем решение задачи к интегрированию системы 6-го порядка. По
существу, приведение, выполненное Лагранжем, тождественно с тем, которое
было указадо в § 2. Но та специальная форма, в которой Лагранж
получил уравнения, позволила ему поставить и решить следующую задачу:
определить все те движения в проблеме трех тел, когда взаимные
расстояния между телами сохраняют постоянные отношения.
Такие движения будем для краткости называть лагранжевыми.
Мы скоро увидим, что лагранжево движение необходимо является
плоским.
Если при изучении лагранжевых движений следовать пути,
указанному самим Лагранжем, то нужно предварительно вывести
дифференциальные уравнения, определяющие взаимные расстояния трех тел. Однако
уже сам Лагранж отметил (іос. cit., стр. 292), что рассматриваемые частные
случаи могут быть получены много проще, если сделать заранее
предположение, что три тела движутся в неподвижной плоскости.
Действительно, ограничив проблему таким дополнительным условием, Лаплас дал
очень простой вывод уравнений, определяющих лагранжевы движения. 1
Лагранж полагал, что решение задачи во всей общности, т. е. без
ограничения ее рассмотрением одних только плоских движений, неиз-
1 Laplace, Mecanique celeste, Seconde partie, Livre X, Ch. VI. (Oeuvres, 4). Метод
Лапласа излагает Charlier, Die Mechanik des Himmels, 2, 89—102, 1907.
Простой геометрический способ получения результатов Лапласа дал С. Д. Черный
в статье Geometrische LGsung zweier spezielter Falle des Problems der drei Kurper, Astr. Nachr.,
171, 1906. 129-136.
Курс Не#еоной механики
7

98 VL Некоторые частные случаи проблемы трех тел
бежно сопряжено с большими трудностями. Что это не так, было показано
Андуайе и Каратеодори,1 давшими простой способ для получения общего*
решения задачи, поставленной Лагранжем. Этот способ, излагаемый нами:
в следующих параграфах, интересен еще и потому, что он без всяких,
затруднений обобщается на случай проблемы л тел.
Этим именно путем легко может быть показано, что' и для п тел
лагранжевы движения могут иметь место только в неподвижной
плоскости, если не считать некоторых почти очевидных случаев, когда
движение происходит по прямым, проходящим через общий центр инерции.
§ 36. Уравнения, определяющие лагранжевы движения. Случай некол-
линеарного движения.
Составим уравнения относительного движения трех тел, исходя на
предположения, что отношения взаимных расстояний этих тел остаются
постоянными.
Обозначим через ти т2, т% массы точек Ри Ръ Рг, а через хр ур zr
координаты точки Р.. Начало координат поместим в центр инерции О
системы, а за плоскость ху примем плоскость треугольника Р\Р2Рг.
Так как расстояния от центра инерции до вершин: Ри Р2, Я3
пропорциональны размерам треугольника, то для случая лагранжева
движения мы можем положить, пользуясь, если нужно, вращающейся системой
координат,
х^а.р, у. = Ь.9> z. = 0 (1)
(і=1, 2, 3),
где р=р(/) — подлежащая определению функция времени, а аі и
bt—постоянные числа.
Обозначим через р, q, r компоненты вращения нашей подвижной
координатной системы соответственно по осям xt у, г.. Компоненты
скорости точки, имеющей координаты х, у, z, как известно, равны _,
x — yr + zq, y — zp + xr, z — xq+yp.
Сообразно с этим, компоненты ускорения могут быть представлены
так:
2гр + хг) + я(г — xg-f yp)
Щ +УР) + г (х—УТ + Щ)
ут -f zq) -f- р (у~ zp + хт).
Подставляя в эти выражения значения координат (1) рассматриваемых
точек и замечая, что компоненты ускорения точки Рі9 вызываемого
притяжением двух других точек, равны
л.Р-2, я.р-2, о,
1 Н. Andoyer. Sur l'equilibre relatif de n corps, Bulletin astr., 23, 50-59, 1906..
С Caratheodory, Ober die strenge L6sungen des Dreikorperproblems, Sitzungs-
berichte der math.-naturwiss. Abteilung der Bayerschen Akademie der Wiss. zu МшісЬев*
1933» 257-267.
-^(x — Уг + zq) — r(y —
-^(y — zp + xr)—p(z —
—:(z — xq + yp)-q(x-

§ 36. Уравнения, определяющие лагранжевы движения 99
где А., В{— некоторые постоянные множители (зависящие от аи а2і - . , ,
h, ти m?t тг и коэффициента притяжения), получим следующие
уравнения движения точки:
Мр-(Ч2 + г2)Рі —M2rp + (*-pq)p] =А.р~2 (2)
а. [2гр + (г + pq)р] - Ь. [ р - (р* + г*) р] = В. Р~2 (3)
- *, [2qp + (q - рг) р] -f *, [2рр + (р + qr) p] - 0. (4)
Случай коллинеарного движения, когда точки Ри Ръ Рг все время
остаются на одной прямой, иначе говоря, когда
?і =^. а*.
мы сейчас исключим из рассмотрения. Поэтому уравнения (2), (3) и (4)
дают возможность написать следующие равенства:
'р-(Я2 + г2) = Л'р-2; 2rp + (r-pq)p = 5>"2 (20
р __ (Р2 + г2) = Л-р-». 2гр + (г + pq) р = ВТ Г2 (30
2qp+(q-pr)p = 0; 2pp + (p+qr)p = 0, (4')
где А\ А", В\ В" — новые постоянные, выражающиеся через Ар Bt и ар Ь^
Почленное вычитание равенств (2') и (3') дает
p*-q» = i4p-*f pq = 5p~3,
откуда
р = ар 2, q = Pp 2, (5)
где а и р — постоянные множители.
Подставив эти выражения в (4'), получим:
рр — 2агр = 0, ар + 2ргр = 0, (6)
откуда
. («і + ^р.о. (7)
Теперь легко доказать, что движение происходит в неподвижной
плоскости. Для этого покажем, что при надлежащем выборе осей Ох
и Оу будем иметь p = q = 0.
Если a2-j-j32 = 0, то а = ? = 0, а потому соотношения (5) дают
P = q = 0,
что и доказывает неподвижность плоскости Рг Р2 Рг-
Посмотрим теперь, может ли сумма a2-f-(32 быть неравной нулю.
Если это имеет место, то из равенства (7) заключаем, что; р = 0, а так
как рфО, то соотношения (6) дают г = 0. С другой стороны, раз р==0
и г = 0, то из равенств (4') следует
р — const, q = const.
Сложим векторы ри q, направленные по осям х и у, и направление
полученного вектора примем за ось х. В таком случае, в новой
координатной системе мы будем иметь q = <\ а потому уравнения (2) дадут
7*

100
VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел
Д. = 0. Иначе говоря, проекции всех сил на ось Ох будут равны нулю,
т. е. силы будут параллельны оси Оу.
Но это невозможно, так как мы условились рассматривать только
тот случай, когда три тела не находятся на одной прямой.
Неподвижную плоскость, в которой, как мы только-что доказали,
происходит движение, примем за координатную плоскость Оху
неподвижной системы координат, а перпендикулярную к ней ось Oz проведем
через центр инерции системы.
Движение точек Р. в рассматриваемом случае состоит из вращения
треугольника Р\Р2Рг как целого вокруг оси Oz с угловою скоростью г
и из движения каждой точки Р. вдоль луча ОРг Поэтому секториальная
скорость точки Р. будет отличаться лишь постоянным множителем от
гр2, так что интеграл площадей для оси Oz дает
откуда
гр2 = const,
2rp-frp = 0.
Таким образом, уравнения (2) и (3) обращаются в
aft — г2р]=Л.р
— 2
b't&-r*?] = Bfi
— 2
что дает
а2
В.
В±
V
(8)
Но эти равенства показывают, что равнодействующая всех сил,
действующих на каждую из точек Рг проходит через центр инерции системы.
Теперь уже нетрудно определить форму
треугольника PXP2PZ (рис. 1).
Обозначая, как и раньше, стороны этого
треугольника череЗ
р2 Яз = А23,
мы получим следующие выражения для тех
ускорений, которые точки Р2 и Р3 сообщают
точке /у.
1\А = &т2Ь1%-%
— 2
РгВ = &тъЬи
Определим угол а, образуемый геометрической, суммой этих
ускорений РіИ с прямой /W Для этого ускорение РгВ разложим по осям Яі$
и /V) на составляющие
ЛАГ = PiB cos ср!, pxL = РгВ sin <рь
где через <?х обозначен угол Р%Р\Р&
Итак
RM PXL
tga =
m&iz 2sin<pi
PxM РгК+РгА OT2A12-2 + ^A13-2cos
Ь

§ 36. Уравнения, определяющие лагранжевы движения 101
С другой стороны, обозначая через Е0, Чо координаты точки О,
центра инерции системы, получим
. _ /п2 А12 -|- /??з Аіз cos уд
т1~\~т2-\-т3
Ъ =
Щ&п sin cpi
Так как прямая Рг# проходит, в силу равенств (8), через точку О
то имеем, очевидно, такое равенство:
Щ діз sin «pi
mz&usinyx
— 2
/п2Діа + /я3 A13 cos<p!
лі2 A3 2 + Щ діз cos cpj
из которого легко получить, принимая во внимание, что л*2ф0, л?8ф0,
sin <р! ф О,
или
А з^д s
дг8 = \з-
Если гпхфО, то таким же образом докажем равенство двух других
сторон треугольника и окончательно будем иметь
Случай, когда две из масс ти
тъ тг бесконечно малы, мы не
рассматриваем как тривиальный.
Остается поэтому рассмотреть
только тот случай, когда одна из
масс, пусть ти бесконечно мала.
В этом случае только-что указанное
рассуждение не может быть
применено к вершинам Р2 и Я3: мы можем
только утверждать, что стороны А]2
и Aj3 будут равны.
Нетрудно, однако, убедиться,
что и в этом случае треугольник
Р\ Рг Рг будет равносторонний.
Итак, пусть /^ = 0. Расположим
оси координат как указано на рис. %'
учитывая, что центр инерции О находится в этом случае на прямой Р2Р%-
Координаты точек Ри Р% и Pz будут соответственно равны
(*іР, *іР), (д2р, 0) и (а3р, 0).
Так как начало- координат находится в центре инерции, то
Рис. 2.
— а
2.
тг
аъ т2
С другой стороны, вследствие равенства расстояний Рг Р2 и Р\Р%9
Поэтому, обозначая через у каждый из углов при основании
треугольника, легко найдем, что
*і = (аі — <*2) tg <р = — а2
2т3
tg?-

102
VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел
Обратимся теперь к равенствам (8), которые между прочим дают
а2 Ьх '
Но в настоящем случае, как легко усмотреть из рис. 2:
4а —+ #/я8Д~\ Вг = — #(тг + ть)&-**тч,
следовательно
— A172coscp=A~2.
Так как
A23 = 2A12cos<p,
то окончательно получим
1
cos3 <? = -g-,
ср = 60°.
Итак, если три материальные точки движутся под влиянием взаимною
притяжения таким образом, что расстояния между ними сохраняют
постоянные отношения^ причем
У
**>*
Г
-*-
-о
т
~*—О-
L, т' L?* х
эти точки не лежат на одной
прямой, то они всегда
образуют равносторонний
треугольник. Плоскость, этою
треугольника сохраняет неизменное
положение в пространстве.
Предположим, что
начальное положение двух
точек, например Рх и Р2,
фиксировано, так же как и плоскость,
в которой должно
происходить движение. В таком
случае для возможности
движения указанного типа третью
материальную точку
необходимо поместить в третью
вершину одного из двух
равносторонних треугольников,
построенных на сторонеЯі Р2, т. е.
в одну из точек Li и Lb (рис. 3; точки Pt и Р2 обозначены через т и /л').
Эти точки назовем треугольными точками либрации.1
В заключение покажем, что в рассматриваемом случае движение
каждой из точек Р. относительно общего центра инерции О происходит
так, как если бы каждая из этих точек притягивалась массой, равной
сумме масс двух других точек, помещенной' в О, иначе говоря, по
обобщенным законам Кеплера.
Обратимся к уравнениям (23), в § 6, определяющим движение
относительно центра инерции. Обозначая через Л общую величину равных в
данном случае расстояний А. и учитывая, что
тххх + т2 хг 4- т3 xz = 0,
Рис. 3.
1 Их называют также эквилатеральными точками либрации. Гюльден называл как эти
точки, так и те» о которых будет речь дальше, центрами либрации.

§ 37. Случай коллинеарного лагранжева движения 103
яолучим такие уравнения движения точки Р,:
*і 4- *2 (юі+™*+щ) *^д~3 = о
Уі + & К + тг + ««) Л-л~ * = °
г. + Р (да, + Л72 + от,) z. Д~3 = О,
тде
«причем cf. — некоторая постоянная величина.
Эти уравнения тождественны по форме с уравнениями движения
в задаче двух тел, откуда и вытекает справедливость нашего утверждения.
§ 37. Случай коллинеарного лагранжева движения.
Рассмотрим теперь случай, когда три тела Ри Р% и Рг остаются все
время на одной прямой. Приняв эту прямую за ось Ох} получим для
координат Р. такие выражения:
*, = *,Р(0. *»0, zt-0.
Так что задача приводится к определению функции р(/) и
постоянных аи а2, az.
Поскольку все силы направлены по оси. Ох, мы можем выбрать
координатную систему, не имеющую вращения вокруг этой оси, т. е.
считать р = 0.
Принимая еще во внимание, что в настоящем случае bt = Q, В{ = 0,
из уравнений (3) и (4) получим:
2гр + іР = 0, 2qP + qp = 0. (9)
Предположим, что q ф 0. Умножая эти равенства на q и г и вычитая
ях почленно одно из другого, найдем:
rq— qr = 0.
Следовательно:
r = Aq,
где А — постоянное число.
Таким образом, приняв' направление геометрической суммы век-
торов г nq за новую-ось Oz, мы будем иметь q==0.
Итак, всегда можно считать, выбирая надлежаще оси Оу и Oz,
что q = 0. Следовательно движение прямой Рх Р2 Р* в пространстве
будет заключаться во вращении этой прямой около оси Oz с угловой
скоростью г.
Интегрирование первого из соотношений (9) дает теорему площадей
rp2 = const. (10)
Обратимся теперь к уравнениям (2), которые в настоящем случае
обращаются в
•р_г»р=4р-2, (іоо
а потому дают

104 VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел
Предполагая для определенности, что
0і < а2 < aty
и делая
а2—аг
отсюда легко получить следующие равенства:
,—2 і - --2 ... /і г _\—2
Щ + тз О + г) __ — **і + ть z
с2
тх(\ -f-z) —тгг
—2
«1
так как
я3
2 \
— 2
Л! = + ^2/я2(с2 — ^і) г + к2тг(аг— аг)
A2=—k2 тх (а2 — ах)~2 -f #2 ^з (<*з — а2)
Az = — ?2 я?і (а3 — ^і)~2 — *2 т2 (^з — д2.)~"
(И)
(12)
Начало координат мы поместили в центр инерции системы, поэтому
тх ах + /л2 #2 + mz az = 0.
Заменяя здесь аи а2, а5 пропорциональными величинами на
основании соотношений (11), получим следующее уравнение для определения zz
(т1 + т2)гь + (Зт1-\-2т2)г* + (дт1+т2)г*-~
— (т2 + 3 т?) z* — (2/77! + 3 т*) г — (™2-\- Щ)
0.
(13)
Это уравнение имеет по крайней мере один положительный корень,
так как левая часть уравнения имеет разные знаки для z = 0 и z = -j~co-
С другой стороны, уравнение (13) не может иметь, по теореме Декарта,
более одного положительного корня, так как коэффициенты дают только
одну перемену знака.
Таким образом, при каких угодно массах мы получаем для z одно
и только одно положительное значение. Равенства (II) дают возможность
определить отношения аг: а2: я3, соответствующие найденному z.
Три различные массы можно расположить на прямой тремя разными
способами, что даст три коллинеарных лагранжевых движения.
рИмея в виду астрономические приложения, обозначим массы трех
тел через ту т', тп, и будем считать массу т очень большой (Солнце),
массу т* — малой (большая планета), массу от" —очень малой (планетоид,,
комета, метеорит и т. д.). \
Делая в уравнении (13) mx = mf m2 = mf и тг = т", получим
уравнение, положительный корень которого весьма мал. Поэтому, сохраняя
в этом уравнении только наиболее значительные члены, будем иметь:
(Зот+яО2»-"0п,+/п,|)=а,
откуда
z —
ігі -\~т
Ът + тг
Таким образом, обозначив через г расстояние планеты от Солнцаг
а через г' — расстояние планетоида от планеты, получим

§ 37, Случай коллинеарного лагранжева движения 105
В том случае, когда тх = т, от2 = лі", тг = т'3 т. е. когда
планетоид находится между Солнцем и планетой, таким же путем найдем:
Наконец, если планета и планетоид находятся по разные стороны
Солнца, так что тг = тг, т2 = т, тг = т!1, то уравнение (13) напишем
следующим образом:
/(*)=0,
где
f(z) = m(z* + 2z* + z*—z2— 2z— l)-f
-j- Ш (z* + Зя* + Зя») 4- т" (3z2 — 3z — 1).
Очевидно, положительный корень этого уравнения мало отличается
от единицы, поэтому за приближенную величину нужного нам корня
можно принять
,^і /(П* Int-wT
/(1) \Ът + ЧЬп/-\-Ът» '
Следовательно
/-=r^i____^.^^_3__j, (іб>
где через г" обозначено расстояние планетоида от Солнца.
Каждое из тех трех положений, которые может занимать третья
масса т" на прямой, соединяющей две массы т и пі, мы будем называть
коллинеарными точками либрации и обозначать через Lu L2
и LZt как это показано на рис. 3.
В том случае, когда размеры масс удовлетворяют указанным выше
условиям, положение коллинеарных точек либрации приближенно
определяется формулами (14), (15) и (16). Если масса да" исчезающе мала но
сравнению с двумя другими, то положение всех пяти точек либрации
может быть в первом приближении определено равенствами:"
для Ьг г" =г — г
пі \з
3/и
тгі
Ь '•-'+'(-3=T7V <17>
у, *-3
г" =г — г
7mf
12от + 26/л'
„ Z,4 и Lb г" = г' = л
Нижеследующая таблица дает положение трех первых либрацион-
ных точек для различных планет солнечной системы. В таблице указана
расстояние г" точки либрации от Солнца, выраженное в частях радиуса-
вектора планеты.
U
Меркурий 0.9^66
Венера 0.9907
Земля 0.9&99
Марс 0.9952
Юпитер . 0.9332
Сатурн • 0.9550
Уран - 0.9758
Нептун 0,5743
ц
1.0034
1.0093 .
1.0101
1.0048
1.0698
1.0464
1.0246
1.0261
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
1-
и
- О.ООО 000 07
-0.000 001 43
-0.000 001 78
- 0.0OJ 000 19
-О.ООО 55Г
- 0.000 167
-0.000 026
- 0.000 030

106 VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел
Можно отметить, что у всех планет спутники находятся
значительно ближе от планеты, чем точки Lx и L2. Например расстояние от
Земли до Луны приблизительно в четыре раза меньше, чем до этих точек.
После того как величина z определена и из равенств (11) найдены
соответствующие ей отношения ах : а2: aZt можно перейти к изучению
движения точек Я., для чего можно воспользоваться уравнениями.(10)
и (10').
Чтобы вполне определить функцию р(г), дадим одной из величин а
произвольное, неравное нулю значение. Например положим ах = 1.
Тогда указанные уравнения дадут
Гр2 = С, р2*р — Г2р3==^1,
где С — произвольная постоянная, а Аг вычислено по формулам (12).
Обозначим через и угол, образуемый прямой РіРгРг с каким-либо
неподвижным направлением в плоскости хОу. Так как г равняется^-* то
уравнения движения напишутся окончательно так:
откуда
Idu г , 2<Яр /АЛ а
d2? пг -з , Л -2
или, после умножения на 2 -? и интегрирования,
(^у-,А-2Л1р-1-Ср-,
где Л—новая постоянная.
Для получения уравнения, определяющего орбиту, исключим dt при
помощи интеграла площадей. Получим:
Р* \4и/ ^С2 \? ^ с;
или
где
С , Лх
Р С
Интегрирование последнего уравнения дает
Р
i-\-ezos(u — ш)'
где
а через-ш обозначена новая произвольная постоянная.
Итак, движение каждой из точек Pt вокруг общего центра инерции
происходит по коническому сечению, причем соблюдается' закон
площадей; иначе говоря, это движение происходит по законам Кеплера.

ГЛАВА VII.
ОГРАНИЧЕННАЯ ПРОБЛЕМА ТРЕХ ТЕЛ.
§ 38. Уравнения движения. Интеграл Якоби.
Среди тех частных случаев проблемы трех тел, которые удалось
'изучить сравнительно глубоко и которые, в то же время, представляют
несомненный интерес для Астрономии, весьма важное место занимает
так называемая ограниченная проблема трех тел,
заключающаяся в следующем:
Требуется найти движение тела Р с бесконечно малой массой,
притягиваемого двумя телами S и J, имеющими конечные массы и описывающими
круговые орбиты вокруг общею центра инерции.
С такого рода проблемой мы встречаемся, например, когда изучаем
движение планетоида или кометы под влиянием притяжения Солнца
и Юпитера, причем орбиту Юпитера считаем, в первом приближении,
круговой.
Точно так же движение Луны можно в первом приближении
рассматривать как частный случай ограниченной проблемы. Но при этом
приходится пренебрегать не только эксцентриситетом земной орбиты и
притяжением всех других планет, но и массой Луны, т. е. тем притяжением,
которое она производит на Землю и Солнце.
Обозначим через т и т! массы тел 5 и J. Не ограничивая общности,
мы можем всегда считать, что т^т\
За начало координат примем общий центр инерции О; плоскость,
в которой происходит движение тел 5 и У, возьмем за плоскость ху\
наконец, прямую SOJ возьмем за ось Ох. Координаты точек 5 и J
в такой системе координат мы можем, очевидно, обозначить через
<— аи О, 0) и (а2, 0, 0), где аи > 0, а2 > 0.
Обозначим, далее, через п постоянную угловую скорость, с которой
прямая SOJ вращается вокруг точки О. По третьему закону Кеплера
Р(т1 + т2) = п*(аг + а2у, (1)
так как ах-\-а2 есть большая полуось орбиты, описываемой одним из
тел S я J относительно другого под влиянием взаимного притяжения.
Положительное направление оси Оу выберем так, чтобы п было
положительным числом.
Пусть х, уу z будут координаты точки Р. Так как координатная
система вращается с угловой скоростью п вокруг оси z, то компоненты
абсолютной скорости этой точки равны
* * »
х — пу, y-f-ллс, z.

108
VII. Ограниченная проблема трех тел
Поэтому, обозначая через mQ массу точки Р, для живой силы этой
точки будем иметь следующее выражение:
_лг0 I (і_л
!У)а+С»+**)2 + *2
Уравнения Лагранжа (§ 19) в применении к этому случаю дают
.. ді)
х — 2пу— п2х =
у-\- 2пх — п2у =
2 =
дх
<Ш
ду
W
где через U обозначена функция сил, действующих на точку Я,
разделенная на то.
В рассматриваемом нами случае, когда точка Р движется под
влиянием притяжения точек 5 и У, имеем:
Поэтому, полагая
2=>(*+я+*(ь+^)
(2)
окончательно уравнения движения в ограниченной проблеме трех тел
напишем следующим образом:
х — 2пу =
у + 2пх =
z =
дх
ду
dQ
~дгш
О)
Умножая эти уравнения на ху у, z, складывая их и интегрируя,
получим соотношение
х* +> + і> = 29 — С, (4)
где С—произвольная постоянная, известное под именем интеграла
Як об и. Постоянную С будем называть посто янной Як о б и.
Интеграл Йкоби позволяет сделать ряд важных заключений
относительно характера движения точки Р, чем мы сейчас и займемся.
§ 39. Поверхности нулевой скорости.
Если через и обозначить скорость точки Р относительно нашей
подвижной координатной системы, то интеграл Якоби (4) можно написать
так:
г>2 = 2 2 — С
Это соотношение дает, следовательно, возможность определить
величину относительной скорости v в каждой точке нашего вращающегося
пространства для всех движений, характеризуемых данной величиной С

§ 39. Поверхности нулевой скорости 109
Обратно, если С и v заданы, то это равенство определяет
геометрическое место тех точек вращающегося пространства, в которых может
находиться тело Р.
Рассмотрим всю совокупность движений тела Я, совместных с
некоторой фиксированной величиной постоянной С. Очевидно эти
движения возможны только в тех местах пространства, в которых 22 — Cs»0,
так как относительная скорость и не может быть мнимой. Поэтому
поверхность
22 —С = 0 > (5)
*
является границей, отделяющей те области пространства, в которых
движения, соответствующие выбранному значению С, возможны, от
областей, где такие движения невозможны.
Эта поверхность получила название поверхности нулевой
скорости, так как во всех ее точках у = 0.
Нашей ближайшей задачей является изучение формы поверхности
нулевой скорости при различных значениях С.
Прежде всего условимся выбрать единицы длины и времени так,
чтобы было
SJ=a1-\-a2 = l, k—l
и следовательно, на основании (1),
п2 = mi -f- Щ-
В таком случае, учитывая выражение (2), мы можем уравнение (5)
написать следующим образом:
^i^ + ^+^ + ^f^ + ^ + ^j^C, (6)
где : .
ri = V/(^4-fli)2 + 3'2 + ^J г2 = уГ(х—а7у + у* + і* '
Поверхность, представляемая уравнением (6), лежит, очевидно,
внутри цилиндра
и приближается к нему асимптотически при. возрастании \z\ до
бесконечности.'
Посмотрим, какой вид имеет кривая, получающаяся при
пересечении поверхности (16) плоскостью хОу, Уравнение этой кривой получим,
делая г = 0в уравнении (6), что дает
{тг + т2) (*» +^2) + , 2Ші + 2Щ = С. (7)
Очевидно эта кривая симметрична относительно оси Ох.
Предположим сначала, что С очень большое число. В таком случае
уравнению (7) удовлетворяют точки трех родов:
1. Точки, для которых х2-{-у2 — большая величина. Для этих точек
второй и третий члены уравнения (7) очень малы, так что это уравнение
имеет вид
*» + Я= С~?° > (8)
где ?0 — малая положительная величина.

по
VII. Ограниченная проблема трех тел
2. Точки, для которых радиус-вектор
очень малая величина. Так как для таких точек первый и третий члены
будут малы по сравнению со вторым, то уравнению (7) можно придать
форму
(х + аіУ*+*={р^У' (9)
*і
где ех — малая положительная величина.
3. Наконец, уравнению (7) будут удовлетворять точки, для которых
расстояние от J, т. е.
г2 = vfc — Д2)2+>2,
достаточно малая величина. Для этих точек уравнение (7) может быть
написано так:
2тл2 ^2
(х-а2у + у^{-
ч
(10)
С
cz
Итак, для очень больших
значений С кривая (7) состоит из трех
отдельных замкнутых частей, каждая
из которых имеет форму, мало
отличающуюся от окружности.
Чем больше масс тх по сравне-
Е нию с т2, тем больше будут
размеры кривой (9) по сравнению с
кривой (10).
По мере убывания С размеры
кривых (9) и (10) будут увеличиваться,
и эти кривые, как нетрудно видеть,
будут все больше и больше
вытягиваться вдоль оси Ох. При
некотором значении С = Q эти кривые
Рис. 4. коснутся, а при еще меньших
значениях С мы будем иметь уже не^
два отдельных овала, а одну кривую, охватывающую точки S я J
(РИС. 4);
С другой стороны, при убывании С размеры кривой (8) будут
уменьшаться и при некоторых значениях С = С2 и С=Сг эта кривая будет
иметь касание с только-что рассмотренными внутренними кривыми,
после чего произойдет слияние и этих кривых.
Область плоскости хОу, в которой движение тела Р невозможно,
при больших значениях С, состоит из точек внешних по отношению
к кривым (9) и (10) и внутренних по отношению к кривой (8). При
небольших значениях С эта область будет состоять лишь из точек, лежащих
внутри кривых С" (рис. 4), которые будут делаться все меньше и меньше
по мере уменьшения С; обратятся при некотором значении С — СА в точки
L± и Ьь\ и, наконец, совсем исчезнут. Таким образом при достаточно
малых С тело Р получает возможность двигаться во всей плоскости хОу.
Рис. 4 дает схематическое изображение этих кривых для
убывающих значений С, а именно С > Q > С3 > С".

§ 39. Поверхности нулевой скорости
111
Совершенно таким же путем можно составить представление о форме
кривой, получаемой при пересечении поверхности (6) плоскостью хОг.
Уравнение этой кривой получим, делая>> = 0 в равенстве (6), что дает:
г1 '2
(11)
где
'і = і/(*+*і)2+22>
/-о = |/(л:— fl2)2-f-22.
Для очень больших значений С этому уравнению можно
удовлетворить тремя различными способами: либо делая х2 очень большим, либо
делая одну из величин гг и г2 очень малой. Сообразно с этим, кривая
(11) будет состоять из трех различных частей, определяемых
соответственно уравнениями:
(ті-\-т2)х2 — С — е
2тг
л =
Н =
С —г'
С— г"'
Такой случай изображает кривая С на рис. 5. При уменьшении С
мы опять будем переходить через критические значения Си Q, Q, ПР-К
Рис. 5,
Рис. 6.
которых происходит касание различных частей кривой (11).' Наконец, при
достаточно малых значениях С=С" постоянной Якоби, кривая (11) уже
не будет пересекать ось Ох.
Пересечение поверхности (6) с плоскостью yOz определяется
уравнением
(т1 + щ)^^ + ^С, (12)

112 VII. Ограниченная проблема трех тел
где
/*i==K^+:V2 + 22 , r2 = V a\ + y* + z* .
Соответствующие кривые изображены для различных значений С
на рисЛ 6. Указанная форма кривых предполагает, что масса /лх
значительно превосходит массу /л2.
Сопоставление сечений поверхности (6), изображенных на рис. 4, 5
и 6, позволяет составить представление о форме этой поверхности при
различных значениях С.
После такого чисто качественного изучения поверхностей (6) мы
перейдем к изучению особых точек этих поверхностей.
§ 40. Особые точки поверхностей нулевой скорости.
Особые точки поверхности
F(x, у, *) = 0
определяются, как известно, уравнениями
^0 ^=0 ^=0
которые должны быть решены совместно с уравнением поверхности.
Для поверхности нулевой скорости, уравнение которых имеет вид:
22 — С = 0, (13)
где
гі ~2
особые точки даются уравнениями
ff=(Wl-+w0x_gL(Jld-3>-w»(Jf7g')-o
dx—Vi ' '"2'~ г» г?
= 0.
(14)
После того как из уравнений (14) будут определены координаты
особых точек, равенство (13) даст возможность вычислить
соответствующие значения С.
Легко видеть, какой механический смысл имеют особые точки
поверхности нулевой скорости. Обращаясь к уравнениям (3) движения тела
Р и сопоставляя их с равенствами (14), мы видим, что в каждой такой
точке не только
x = y = z = 0,
но и
*=)/*=* = 0.

§ 40. Особые точка поверхностей нулевой скорости 113
Поэтому тело Р9 очутившись в особой точке и имея
соответствующее значение постоянной Якоби, будет иметь и скорость и ускорение
равными нулю, а потому навсегда останется в этой точке.
Итак, особые точки поверхности (13) являются положениями
относительного равновесия тела Р: в этих точках тело может
находиться в равновесии относительно нашей вращающейся системы
координат.
При нахождении тела Р в особой точке расстояния между тремя
телами S, J и Р сохраняют, очевидно, постоянные отношения. Поэтому
рассматриваемые особые точки являются не чем иным, как точками
либрации, изученными в предыдущей главе.
Обратимся теперь к определению координат точек либрации и
вычислению соответствующих значений постоянной Якоби.
Последнее из уравнений (14) дает z = 0, откуда следует, что все
точки либрации лежат в плоскости хОуу а потому могут быть найдены
как особые точки кривой (7). Этим обстоятельством мы и воспользуемся
для действительного вычисления координат точек либрации.
Заметим прежде всего, что при z=»0
ибо начало координат взято в центре инерции, и потому
— т\а\ ~\- тгаг — О-
Следовательно уравнение (7) можно написать так:
^1(^+2гГ1) + /"2(і + 2г~і) = С, (15)
где
C' = C + m]X + 'kX = C+ Щт2 , (16)
111122 ' ТПх + /Л2 V '
так как, очевидно,
7П2 Ш\
Шх -\- тп2' ?П\ -j- тп2 *
Написав уравнение кривой (15) в форме
/(*, 30 = 0,
для определения ее особых точек будем иметь уравнения
^ = 0 ^ = 0
дх ' ду
В настоящем случае эти уравнения могут быть представлены так:
дгх дх * дг2 дх
^^і4-~—= 0
дгх ду ' дг2 ду
(17)
Следовательно удовлетворить им можно только двумя способами:
либо делая
дгх дг2
Курс Небесной механики
8

114 VIL Ограниченная проблема трех тел
что очевидно дает
либо делая
/^= I
д(гиг2)_ 1
д(х,у) ггг2
У2
* + вь х — а2
У , У
= 0, (18)
откуда у = 0.
В первом случае получим точки либрации Liy Lb (рис. 3),
образующие с точками S и J равносторонние треугольники. Из предыдущего
ясно, что L4 и Ьъ являются изолированными точками кривой (15), т. е.,
иначе говоря, двойными точками с комплексными касательными.
Соответствующее значение С = СА легко находим из равенств (15) и (16),.
которые дают
С4=3(/Л3+/772) «1^!_. (19)
4 ч ' ' /»1 + /H2 V }
Обратимся теперь к изучению второй возможности получить
двойные точки, характеризуемой - выполнением условия (18). В этом случае
двойные точки лежат на оси Ох, поэтому в зависимости от
расположения двойной точки относительно 5 и J мы должны иметь одно из
равенств:
3) Гі = г2—1.
Рассмотрим последовательно каждый из этих случаев.
Первый случай. Пусть гг-\-г2=19 тогда
Гі = х-\-аи гг = — х + а2>
дх ^х' дх
вследствие чего первое из уравнений (14) даст
*>і гг-ч2 (i-Da-'i)*
или
(^1 + m2)rl^(3m1 + 2m2)rl-\-(3m1 + m2)rl — т?>* + 2т2г2 — т2 = 0. (20')
Если отношение — — малая величина, то нужный нам положитель-
ный корень легко получить в виде ряда. Действительно, разлагая
правую часть уравнения (20) в ряд, найдем:
откуда, извлекая из обеих частей кубический корень и делая для
краткости
(20)
V 3/в,'
получим

§ 40, Особые точки поверхностей нулевой скорости 115
следовательно
/2=V— -V2— gVS_. . . (21)
Обращаясь к уравнению (15), найдем соответствующее значение
постоянной Якоби:
C1=^1(3 + 9v2 + 2v3-|-. . . )
тгт2
Щ -Ь «і (22)
= Wl(3 + 9v2 — v3-f . . .).
Если нужно более точное значение, чем то, которое может дать
ряд (21), то проще всего прибегнуть к численному решению уравнения (20).
Т Второй случай. Пусть гх = 1 + га и, следовательно, гг «= х -f- au
г=х—аъ тогда
dx~lf дх~
Поэтому первое из уравнений (17) дает
Щ г2-г~* (1 —г|)(1+г^
(23)
или
<т1 + от2)^ + (3^1 + 2^^ + (3^1 + ^2)^-^і-2/л2г2-/я2 = 0. (23')
Это уравнение тождественно с уравнением (14) § 37, если в этом
последнем положить тг = 0, а потому, как мы видели, имеет один
и только один положительный корень.
Выведем разложение этого корня в ряд. Уравнение (23) дает, если
правую часть разложить по степеням г2,
v3 = ri(l_r2-f 1г|_. . .),
1
или, после возведения в степень ^,
v = /-2(l— 3r2 + f!+- • •).
откуда
'i='v + jv»-lvs+. . . (24)
Соответствующее значение постоянной Якоби таково:
C2 = /7*,(3 + 9v2-5v3-b . .)_J^-. (25)
Третий случай. Пусть, наконец, гх — г2 — 1, так-что п^—х—Ои
гг = — х-\-а2 и, следовательно,
дгг_ дгг _
дх~~1> дх~ L'
Это дает, как и в предыдущем случае:

или
116 VIL Ограниченная проблема трех тел
Так как очевидно г2> 1, то отсюда следует, что гг < 1. Поэтому
положим
Гі = 1 —а, гг = 2 — а;
тогда для определения а будем иметь такое уравнение:
(2-а)2(За-ЗаЧ-*3)
°V ~ (1 —а)2(7—12а +6а2—аз) '
2_ 12~ 24а4-19^2 — 7а3+а4
3v ""а7 —26а + 37а2 —25аЗ-|-8а* —а5'
откуда
a==rv3(4—3a+ •'•)•*
Решение этого уравнения последовательными приближениями дает
a=r3_Tv6+- • • (27)
Остается вычислить постоянную Якоби:
или (28)
С, = ліа(з + 12v» —^а«+. . .
I
Если сумму масс тх и т2 принять за единицу и положить
то все рассматриваемые величины будут функциями одной переменной ^
которую достаточно изменять от 0 до «-, чтобы охватить все
возможные случаи.1
На рис. 7 изображены кривые, соответствующие критическим
значениям постоянной Якоби, для случая
/Лі = 10, Л7г—1.
Эти критические значения, так же, как биполярные координаты точек
либрации, указаны в следующей табличке:
Li
L+ и Lb
0.7175, г3 = 0.2825, Сг =* 39.273
1.3470, 0.3470, Q = 37.967
0.9469, 1.9469, С3 = 33.996
1.0000, 1.0000, Q = 32.091
1 Координаты точек либрации как функции ц, а также соответствующие значения
Q (н-)і, С2(и-), .... изучаются в статье:
М. Martin, On the libration points of the restricted problem of three bodies, American
Journal of Mathematics, 53, 1931, 167—177.
Поправки и дополнения к этой статье даны А. А. М а р к о в ы м (Успехи астрон.
наук, 3, 19.3, 75—77).
Таблицы абсцисс точек Llt Z,2, Lz даны в статье: J. Rosenthal, Table for the
libration points of the restricted problem of three bodies, Astr. Nachr., 244, 1931, 169.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
116
Строка
16 сверху
Напечатано
ав
Должно быть
V
По чьей вине
автора

§ 41. Периодические решения ограниченной проблемы трех тел 117
Для случая
соответствующие числа таковы:
Lx : rt « 0.5000
L2 : 1.6984
Lz : 0.6984
U и Lb : 1.0000
/Л2=1
ra = 0.5000
0.6984
1.6984
1.0000
8.000
6.912
6.912
5.500
Кривые, получающиеся при этих значениях постоянной Якоби,
показаны на рис. 8.
*-х
Рис. 7.
Рис. 8.
§ 41. Периодические решения ограниченной проблемы трех тел.
Изученные в предыдущей главе лагранжевы движения, при
которых три тела в один и тот же интервал времени описывают
эллиптические орбиты, явились первым примером периодических орбит
в задаче^ трех тел, т. е. таких движений, когда координаты всех тел
выражаются периодическими функциями времени, имеющими одинаковый
период.
Другой пример периодической орбиты, тоже весьма частного
характера, был дан Хиллом . в связи с созданным им методом независимого
определения некоторых неравенств движения Луны, вызываемых
притяжением Солнца (глава XVIII). Вслед за тем Пуанкаре создал методы для
нахождения и изучения обширных классов периодических решений
проблемы трех тел. Периодические решения явились, таким образом,
первой брешью, пробитой в проблеме трех тел, до тех пор недоступной
для аналитического изучения. Опираясь на периодические решения,
оказалось возможным приступить к изучению некоторых других классов
решений, также представляющих значительный интерес, каковы,
например, асимптотические решения.
Изучение периодических решений только еще начинается; даже
в том частном, сравнительно простом случае, который представляет
собой ограниченная проблема, удалось изучить более или менее полно
лишь -весьма немногие группы периодических орбит.
Наиболее изученными являются плоские периодические орбиты,
близкие к точкам либрации Lu . . . , Lb\ орбиты, охватывающие планету

118 VII. Ограниченная проблема трех тел
У, но не заключающие внутри 5; и, наконец, орбиты, охватывающие
Солнце 5 на таком расстоянии, что время обращения по ним находится
в простом отношении (например 1:2, 1:3, 2:3 и т. д.) ко времени
обращения планеты У.
Орбиты первого типа проливают свет на особенности движения
так называемых „троянцев", т. е. малых планет, движущихся
приблизительно по орбите Юпитера.
Элементы орбит известных в настоящее время „троянцев"
приведены в нижеследующей таблице, куда для сравнения включены также
элементы Юпитера. Элементы отнесены к эклиптике и равноденствию
1925.0; средняя долгота эпохи е дана для момента 1925 январь 1.0 Т. U.
Заметим еще, что элементы Юпитера являются средними элементами для
только-что указанного момента, тогда как для малых планет приведены
оскулирующие элементы для различных эпох, группирующихся около
1935 г.
Название
Юпитер
588 Achilles . .
617 Patroclus .
624 Hector . .
659 Nestor . . .
884 Priamus . .
911 Agamemnon
1143 Odysseus .
1172 Aneas . .
1173 Anchises . .
1208 Troilus. . .'
a
5.2026
5.2267
5.1944
5.1473
5.2142
5.2472
5.1328
5.1660
5.2190
5.1037
5.2608
n
299Л28
296.940
299.715
303.839
298.005
295.198
305.123
302.185
297.592
307.733
294.061
<P
2°773
8.544
7,965
1.532
6.270
6.832
3.711
5.302
5.765
7.853
4.061
*
1°307
10.309
22.091
18.261
4.524
8.882
21.939
3.152
16.676
6.971
33.619
Q
99°696
315.778
43.584
341.836
350.188
300.729
336.937
220.344
246.447
283.793
47.455
те
13?123
- 82.790
346.976
161.524
322.382
270.525
55,383
93.999
291.486
313.889
348.228
e
277?142
335.322
221.077
319.207
350.260
211.177
325.226
340.097
208.153
200.177
217.096
Последний столбец этой таблицы показывает, что планеты 588, 624,
659, 911, 1143 находятся вблизи точки либрации і4, тогда как остальные
группируются вблизи Lb.
Теория орбит второго типа, охватывающих на небольшом
расстоянии планету У, тесно связана с теорией спутников.
Наконец орбиты третьего типа важны потому, что они открывают
возможность построения теорий движения малых планет, средние
движения которых соизмеримы со средним движением Юпитера. Такие
периодические орбиты могут быть гораздо более выгодны в качестве первого
приближения, чем кеплеров эллипс, например для планет типа Гекубы,
у которых среднее суточное движение приблизительно равно 600", или
типа Гестии, у которых оно близко к 900'', и т. д.
Периодические орбиты ограниченной проблемы трех тел Пуанкаре
разделил на три сорта. К первому и ко второму он отнес орбиты,
лежащие в плоскости хОу, в которой движутся тела 5 и У, к третьему —
все остальные орбиты. Разница между периодическими орбитами
первого и второго сорта заключается в. следующем: если масса [\тела У
стремится к нулю, то периодические орбиты в пределе обратятся в ке-
плеровы эллипсы; к первому сорту относятся те орбиты, для которых
эксцентриситет такого предельного эллипса равен нулю. Иначе говоря.

§ 42. Движение вблизи коллшеарных точек либрации 119
орбиты первого сорта при малых значениях ^ мало отличаются от
окружностей, тогда как решения второго сорта близки к эллиптическим
орбитам.
Не имея возможности останавливаться здесь на свойствах
периодических орбит, мы ограничимся лишь изучением в следующих параграфах
-бесконечно малых орбит вблизи точек либрации К
Наряду с аналитическими методами, применимость которых все еще
остается очень ограниченной, для отыскания периодических решений
был употреблен, по инициативе Дарвина и Тиле, метод численного
интегрирования дифференциальных уравнений.
Численное интегрирование уравнений движения имеет то
преимущество перед аналитическим, что в каждом конкретном случае очень
просто, при помощи самых элементарных вычислений, дает решение.
Но зато оно годится лишь для того интервала времени, на который было
продолжено вычисление. Этот основной недостаток численного метода
как раз не имеет значения в случае периодического решения,
так как здесь достаточно провести вычисление в течение одного периода,
чтобы иметь полную картину движения, соответствующего взятым
начальным условиям.
В то время как аналитические методы в настоящее время
применимы для изучения периодических орбит лишь в том случае, когда
масса J очень мала по сравнению с массой St численный метод
применяется одинаково легко, каково бы ни было отношение масс.
Дарвин нашел, применяя этот метод, несколько периодических орбит
для случая, когда масса J равна ^ массы S.
Элис Стрёмгрен положил в основу своих вычислений, так же как
и Тиле, случай, когда массы J и S равны. Эти работы, начатые Burrau
еще в 1900 г., с 1913 г. ведутся систематически сотрудником
Копенгагенской обсерватории под общим руководством Элиса Стрёмгрена. Они
дали возможность не только найти большое количество периодических
орбит, но и проследить процесс перехода одних классов этих орбит
в другие, а также процесс исчезновения определенных классов
периодических орбит при изменении начальных условий, чем несомненно
облегчается аналитическая разработка этих вопросов.8
§ 42. Движение вблизи коллинеарных точек либрации.
Возьмем какую-либо точку (а, Ь, с) нашего равномерно вращающегося
пространства Sxyz и посмотрим, могут ли среди движений, определяемых
уравнениями (§ 38):
1 По теории периодических орбит помимо классического сочиненияН. Роіпсагё,
Les methodes nouvelles de la Mecanlque Celeste, t. I, II, III, Paris 1892—1899, укажем еще
F. R. Moult on, Periodic Orbits, Washington, 1920. Подрббные библиографические указания
содержит статья Е. Т. Whittaker, Prinzipien der Storungstheorie und allgemeine Theorie
der Bahnkurven in dynamischert Problemen, Encyklopadie der math. Wissenschaften, Bd. VI, 2,
(1912), 512—556.
2 Результаты Дарвина можно найти в его классическом мемуаре. G. Darwin, Periodic
Orbits, Acta Math., 21, 1897, 99—216. Некоторые дополнения даны в Math. Ann., 51, 1899.
Результаты, полученные на Копенгагенской обсерватории, опубликованы в целом ряде
номеров Publikationer og mindre Meddelelser fra Kobenhavns Observatorium. Подводящая
итоги статья: Elis StrOmgren, Connaissance actuelle des orbites dans leprobleme des trois
corps, помещена в N° 100 (1936) этого издания. Эта статья, заключающая полную
библиографию работ копенгагенской шкоды, напечатана также в Bull. astr.,2-e serie, 9, 1936.

120 VIL Ограниченная проблема трех тел
dQ
z =
dz'
где
Q^(mx + mt){x* + y*) + ^ + ^ (29)
существовать такие, при которых тело Р будет всегда находиться сколь
угодно близко к точке (а, Ь, с).
Оставляя в стороне более трудный случай, когда рассматриваемая
точка (а, Ь9 с) совпадает с одним из тел 5 или J, мы можем считать, что
функция 2 голоморфна в области точки (а, Ь, с). Поэтому, полагая
*»<і + Е, з> = * + ?!, 2 = с + С,
разлагая правые части уравнений движения по степеням малых величин
?, % С и ограничиваясь первыми степенями этих величин, получим:
¦¦ _ - dQ . , d*Q . &Q. . r &Q
да ' да2 1 {дадЬ ' дддс
Г — ^S -It d2Q _L ^S _i_r d2Q
dc ' dadc l kdbdc x dc*'
Так как ?,¦»], С—сколь угодно малы, то интересующие нас движения
могут, очевидно, существовать только в области такой точки,
координаты которой удовлетворяют уравнениям
dQ „j^__^__n
'Иа~ db ~ дс ~ '
>
т. е. в области точек либрации, поскольку эти уравнения тождественны
с уравнениями (14).
В этом параграфе мы рассмотрим случай движений, бесконечно
близких к коллинеарным точкам либрации, и потому положим
a = xk, ? = 0, с = 0,
где через xk обозначена абсцисса точки Lk (* = 1,2,3). Чтобы найти
вторые производные функции Q, входящие в уравнения (30),
дифференцируем выражение (29) и заменяем х, у, z только-что указанными
координатами точки Lk. Таким образом получим:
дФ *\ ^ г» ' дадЬ~"
d*Q ^L__^a. d*Q _п
dp ~ t» ,* ; Wdc *
где

§ 42. Движение вблизи коллшеарных точек либрации 121
Полагая для краткости
д _ ті і т
1 '2
окончательно напишем уравнения (30) так:
С = -Л,С.
(31)
Последнее из этих уравнений, независимое от двух первых,
тотчас же дает:
С = сх s in yj\t -\- с2 cos ^AJ, (32)
где ct и с2 — постоянные интегрирования.
Решение первых двух уравнений ищем в форме
Подстановка этих выражений в уравнения (31) дает следующие
соотношения для определения постоянных G, Н и X:
(33)
[Х2 _ (Л2 + 2Aj)] G — 2 л*Х# = 0
2/72XG + [Х2 — (л2 — 4^)] Н=0.
Корни характеристического уравнения
[W - (л2 + ЗД [Х2—(л» ->д] + 4л<Х* = о
или
Х^ + (4л*-ЛА-2)Х2 + (Л2_,4А)(л2 + 2Д,) = 0 (34)
обозначим через Хь Х2, Х3, Х4, а через ft, ft, ft, Qa обозначим
соответствующие этим корням значения отношения Н: G, определяемые
уравнениями (33).
В таком случае равенства
g == G^v+ Qj*+ G3*v+ G<eKt
i, = GxgxeXit+ G2ft*v+ G8ft^' + 04^M,
(35)
где Gu G2, G3, G* —произвольные постоянные, совместно с (32) дадут
общее решение системы (31).
Характер движения /тела Р с бесконечно малой массой будет
зависеть, очевидно, от характера корней уравнения (34). Легко убедиться,
что для каждой из точек Lu 1*2> ^з это уравнение имеет два
действительных и два мнимых корня.
В самом деле, покажем, что величина
П2-Ак = т1 + те-^—^- (36)
отрицательна для ? = 1,2,3. Отсюда будет вытекать наличие у
уравнения (34),'рассматриваемого как квадратное уравнение относительно Х^
двух вещественных корней, имеющих разные знаки.

122 VIL Ограниченная проблема трех тел
Для точки Lx выражение (36) очевидно отрицательно, так как
в этом случае
П < 1, г2< 1.
Что касается до точек L2 и ?3> то для них равенства (23) и (26)
дают:
т2 гг—п:
2
тх Гг — Ч%'
Поэтому, исключая т2 из (36), найдем:
Так как для точки L2
Гі > 1, Г2< 1,
а для точки Lz
П < 1, Гг > 1,
то ясно, что и для этих точек выражение (36) отрицательно.
Итак, действительно: два корня характеристического уравнения —
чисто мнимые сопряженные числа, два' другие — вещественные числа,
имеющие противоположные знаки. Отсюда прежде всего вытекает, что
точки либрации Lu L2, Lz являются неустойчивыми положениями
относительного равновесия. Иначе говоря, тело Р, смещенное из одной из
этих точек на сколь угодно малую величину и получившее сколь угодно
малую скорость, может, при некоторых начальных условиях, уйти совсем
из области рассматриваемой точки либрации.
Обозначим действительные корни уравнения (34) через Х3 и Х4. Если
начальные условия движения выбрать так, чтобы было Q3 = G4 = 0, то
получим движение, при котором тело Р будет всегда оставаться
в области соответствующей точки либрации, так как координаты ?, г\у С
относительно этой точки будут ограничены для всех значений t.
Наличие орбит, сколь угодно близких к точкам Lu L2y L3, является
необходимым, но, конечно, не достаточным условием для существования
периодических орбит в области этих точек.
Если ограничиться той точностью, какую могут дать приближенные
уравнения движения (31), то легко получить периодические орбиты,
выбирая надлежащим образом начальные координаты ?0, Щ> ?о и начальные
компоненты скорости $0> Чо, ?о тела Р.
Прежде всего дадим С0 и to значения, равные нулю; в формуле (32)
будет с1 = с2 = 0, т. е. движение Р будет плоским. Определим далее
іо и *)о условиями G3 = 0, G4 = 0. Формулы (35) дадут:
так как Xj = p/, Ха = — р/, где р—-действительное число.
Кроме того, на основании (33)
<7і = Яі, Яг = — Qi,
где
?2 + л2 + 2А
<- 2л*7 ¦ ^

§ 42. Движение вблизи коллинеарных точек либрации 123
Поэтому окончательно будем иметь, выразив экспоненциальные
функции через тригонометрические:
? = G'cosp/+G"sinfc гі = G"q co$$t—Grqsin% С = 0,
где
G'-Gi + Oa, G'^/^-Gs).
Определяя из этих равенств cosp/и sin p/, возводя найденные
выражения в квадрат и складывая, получим уравнение траектории:
(С# + G^)2 + (Q"qt — G'-n)2 = я* (G'2 + G//2)2
или
. ^P + 4»=S^(G,»+G^a). (38)
i
Таким образом, движение происходит по эллипсу, оси которого
-совпадают с координатными осями.
Обозначив полуоси, направленные по прямым L? и 1*кщ,
соответственно через а и Ь, будем иметь
Ь
Легко показать, что для всех трех коллинеарных точек либрации
^ > 1, поэтому эксцентриситет полученных эллиптических орбит равен
я
Следовательно, форма этих орбит не зависит от начального
положения (?0, *]о) точки Р, которое влияет только на размеры орбиты.
Значения дне, соответствующие трем значениям отношения масс
S я J, даны в нижеследующей таблице. Первые два значения отношения
масс лежат в основе упомянутых в § 41 работ Стрёмгрена и Дарвина,
третье значение имеет место в системе Земля—Солнце.
.
/7*2 : #*1
1
ОЛ
1:320 000
И-
0.5
0.090 909
0.000 003
и
я
4.387
3.988
3.227
е
0.974
0.968
0.951
L2
Я
2.221
2.659
3.187
с
0.893
0.929
0.951
и
Я
2.221
2.015
2.000
е
0.893
0.869
0.867
Нами получены, таким образом, три семейства бесконечно малых
¦периодических орбит, каждое из которых зависит от двух параметров.
Наличие этих орбит, конечно, еще не - позволяет утверждать, что
вблизи либрационных точек Lit L2, Lz существуют периодические орбиты
конечного размера. Можно показать, что такие периодические орбиты
действительно существуют. х
В заключение упомянем о применении, которое Гюльден и Мультон
сделали из только-что развитой теории для объяснения явления
противосияния. Выдвинутая ими гипотеза заключается в предположении, что
вибрационная точка L2 для Земли служит центром скопления метеоров,
1 F. R. Moulton, Periodic Orbits, глава V. Там же подробно указана литература
этого вопроса.

124
VII. Ограниченная проблема трех тел
заполняющих межпланетное пространство. В самом деле, метеоры, для
которых G3==G4 = 0, навсегда остаются в области этой точки, а те, для
которых G3 и G4 малы, надолго задерживаются вблизи соответствующей
точки либрации. Солнечный свет, отраженный образовавшимся таким
образом скоплением метеоров, мы и наблюдаем в виде противосияния.
Расстояние точки L2 от Земли, выраженное в астрономических
единицах, равно 0.0101 (стр. 105), что составляет около 1 490000 км. Отсюда
легко заключить, что в случае справедливости указанной гипотезы
противосияние должно иметь параллакс порядка 15'. К сожалению,
противосияние представляет слишком расплывчатый объект, чтобы можно было
надежгься обнаружить такой параллакс и тем подтвердить эту гипотезу.
§ 43. Движение вблизи треугольных точек либрации.
Обратимся теперь к изучению движения тела Р вблизи точек
либрации ?4 и /,б.
Положим
л»і = 1— js т2=\*.,
откуда л2 = mt -j- Щ = Ь и будем в дальнейшем считать, что
Координаты тел S н J равны очевидно
_ аг = — р., а2 = 1 — р,
поэтому координаты точки L4 таковы:
Координаты точки L5 получаются из координат ?4 путем изменения
знака \АЗ- Вследствие этого, изучив движение вблизи точки Л4> мы можем
сразу получить соответствующие результаты для точки Lb путем
указанной перемены знака.
Дифференцируя функцию Q и заменяя х, yt z только-что указанными
координатами точки Lly получим уравнения движения (30) в таком виде:
¦^+!i_i^(1_w+», w
с=-с.
Общий интеграл последнего уравнения
С = сг cos / -f- c2 sin t, (40)
где си с2 — произвольные постоянные, показывает, что проекция точки Р
на ось Oz совершает периодические колебания около проекции на ту же
ось точки либрации. Период этого' колебания равен 2тс, т. е. он
совпадает с периодом обращения конечных масс 5 и J вокруг центра инерции.
Не следует только забывать, что этот результат имеет силу лишь для
линейных колебаний около положения относительного равновесия,
т. е. для таких движений, для которых мы действительно можем в урав-

§ 43. Движение вблизи треугольных точек либрации 125
нениях (30) пренебречь членами, заключающими вторые и высшие
степени величин 6, у\, С.
Обратимся теперь к решению двух первых уравнений системы (39),
которые можно написать так:
6 —2ч = *Е + 5ч; *i + 2S = S6+74 (41)
если положить
*-'f 5 = 1^(1-2,), Г-!.
Делая, согласно общему правилу,
для определения постоянных получим уравнения
(Х2 —#) G — (2X-f-S)#=0 I
(2Х — S)G + (*2— Т)Н = 0, )
которые прежде всего дают
(42)
27
W + X* + ^-ji(l—^ = 0. (43)
Обозначив через Хь Х2, Х3, Я< корни этого уравнения, решение
системы (41) получим в такой форме:
\ = GttfXl'+ G/"'+ G3<?v+ G4ev
1, = ///•'+tf2<rv+#3'V+#/'',
(44)
(45)
где Ou Ga, G3, G4 можно принять за произвольные постоянные, а
соответствующие значения Ни Н2у Я3, #4 определяются равенствами (42).
Характер движения, представляемого формулами (44), будет
зависеть в первую очередь от характера корней уравнения (43). Эти корни
даются равенствами
где
М=\— 27р. (1 — у).
При изменении |* от 0 до у величина Л/ сначала положительна,
затем при р- = и-о, где
Но = 0.038520896 . . . #J-,
обращается в нуль, после чего М остается отрицательной величиной
1
ВПЛОТЬ ДО |А=—.
Отсюда следует, что при значениях ^, лежащих в интервале
0 < р < к».

126 VIL Ограниченная проблема трех тел
уравнение (43) имеет различные, чисто мнимые корни. Следовательно
общее решение (44) может быть представлено в форме:
6 = Ccospf + G" sin j3/+ G'" cos yf+ Qn" sin?/
4 = Hr cos p/+ Я" sin pf + tf" cos тг+#"" sin ?/,
где
p=—Ль т= —Лв;
через G', G", G'", G"" обозначены новые произвольные постоянные, а
коэффициенты //', Н",... выражаются через G', G", *.. при помощи тех
соотношений, которые существовали между Gu G2,. . . и Нг, Я2,...
Отсюда прежде всего ясно, что в рассматриваемом случае точки
либрации LA и Lb являются положениями устойчивого
относительного равновесия для тела Р, имеющего бесконечно малую массу. В самом
деле, для того, чтобы -6 .и у\ оставались всегда по абсолютной величине
меньше произвольно малого заданного числа, нужно только, чтобы
начальные значения $, ц, і, *| были достаточно малы.
Каковы бы ни были начальные условия, движение тела Р (в проекции
на плоскость Stj) можно' рассматривать как наложение двух
эллиптических движений, представляемых формулами:
6 — G' cos pf+ G" sin pr, 7i = H cos p/+#" sin pf (46)
и
$ = G'" cos т^+ G"" sin rt -n = Я7'' cos т*+ #"" sin ? f. (47)
Если начальные условия выбрать так, чтобы постоянные ct и с2
в формуле (40) были равны нулю, а с другой стороны, чтобы было либо
G'" = G"" = 0, либо G' = G" = 0, то получим периодические орбиты,
имеющие период 2тс/р в первом случае и 2гс/? — во втором. Каждая из
этих периодических орбит зависит от двух произвольных постоянных.
Мы рассмотрели случай, когда 0 < |х < р0. Если ^ > [jl0, то М < 0,
вследствие чего все корни \и .. : будут комплексные числа с
вещественной частью, не равной нулю, а потому общее решение (44) можно
написать так:
\ = eat (СУ cos р*+ G" sin 00+'* (G'"cos Т*+ G"" sin tf)
^ = eat (Hf cos p*+#" sin p/) + ^ (H"r cos Tf+ #"" sin <tf)f
где о, t, p, ^— вещественные числа, не равные нулю.
Очевидно в этом случае Ь± и Lb являются для тела Р положениями
неустойчивого относительного равновесия.
Что касается до промежуточного случая, когда р- = у<0) то он будет
рассмотрен в следующем параграфе.
§ 44. Применение нормальных координат.
Эллиптические движения (46) и (47), на которые мы разложили
движения бесконечно близкие к либрационным точкам ?4 и Lb> происходят
по орбитам, оси которых наклонены к осям координат. Для того, чтобы
проще изучить форму этих орбит, приведем уравнения движения (41)
к тому виду, который имеют первые два из уравнений (31).
Уравнения (41) можно написать так:
где

§ 44. Применение нормальных координат 12?
Отсюда ясно, что эти уравнения имеют интеграл
Таким образом, кривые нулевой скорости, определяемые
уравнением
*S» + 2№|-|-7V = C, (48)
конические сечения с центром в либрационной точке ?ч.
Чтобы привести уравнение (48) к каноническому виду:
А%\+Ву\\=С,
нужно, как известно, повернуть оси координат на угол ?, определяемый
равенством
tg2e=-^±y=-v/3(i-2p).
Новые координаты выразятся при этом через] старые при помощи
соотношений
?! = I cos ? -{-у\ sin ?, г\1 = — Е sin ?-j-tj cos ?,
а коэффициенты А и В найдутся как корни векового уравнений
R — со 5 .
5 Т — оГ
= 0
или, в развернутом виде,
Ш2_з« + хК1 —10
последовательно
«
Таким образом, после указанного преобразования уравнения (41)
примут вид:
(49)
' Полагая опять
получим
іг^Е?, Чі=ЛГ,
(Х2—Л)Я—2^=0
Отсюда для А найдем прежние значения (45), но соответствующие
отношения F:E будут уже иные.
Для Xj = p/ и Х2 =— р/ соответственно найдем
Р=рЕі и F=—pEi,
где

128 VII. Ограниченная проблема трех тел -
Точно так же для Х3 = у/ и Х4 = — у.;получим соответственно
F=qEi и F = — qEi,
Я~ 2т ~ Т2 + **
Сообразно с этим формулы (46) и (47) заменятся такими:
^fi'cospf+Я" sin ft *h = ?"/7cosft—?>sinpf (50)
^^^'cos^+^^sin^, % = ?""? cos?/—?"Vsin7^. (51)
Первая пара формул представляет движение по эллипсу
для движения, представляемого второй парой формул, уравнение
траектории таково:
^$+4» = ?*(?"'»+?""*).
Отсюда ясно, что отношения полуосей этих эллипсов, равные
соответственно р и q, а следовательно и их эксцентриситеты, не зависят от
постоянных Е', Е"s , . . , т. е. от начальных условий движения.
Прилагаемая табличка заключает величины, характеризующие
движение вблизи точек либрации L4 и L5.
р-
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
0.024
0.028
0.032
0.036
— 9
30°
29
29
29
29
29
29
29
29
29
0' 0»
54 1
47 57
41 49
35 36
29 19
22 57
16 30
9 59
3 22
А
0.0000
0.0090
0.0180
0.0269
0.0359
0.0448
0.0537
0.0635
0.0714
0.0802
В
3.0000
2.9910
2.9820
2.9731
2.9641
2.9552
2.9463
2.9375
2.9286
2.9198
Р
1.000 00
0.98607
0.971 19
0.955 13
0.937 61
0.918 19
0.896 18
0.870 33
0.838 01
0.79088
Т
0.000 00
0.166 30
0.238 31
0.296 18
0.347 69
0.396 14
0.443 70
0.492 47
0.54565
0.611 97
На рис. 9 изображены, в сильно увеличенном виде, эллиптические
орбиты, приблизительно соответствующие случаю р. = 0.01. Как
показывает приведенная таблица, чем меньше р., тем более точно большая ось
рассматриваемых эллипсов совпадает с касательной той орбиты, которую
точка J описывает вокруг 5.
Обратимся теперь к случаю, когда
^=Ро = 0.038 5 . . .
и следовательно
А=Хз==7!' Хг==Х4==~і7і'
? = __ 28o59'10", А = 0.085 786 44, 5 = 2.914 213 56.

§ 45. Критерий Тиссерана
129
В атом случае наряду с движением по эллипсу, представляемым
формулами (50) или (51), которые становятся тождественными, мы будем
еще иметь, как легко проверить, частное решение уравнений (49) вида:
*! = *('-*о) sin ?==?
|/2
4i = iC(/2~l)[(/-ft)
cos
Y*
to , . /— *
"-j-sin
Y2 J'
заключающее произвольные постоянные К и /0-
Отсюда ясно, что уже при *1 = ^0 движение становится
неустойчивым.
§ 45. Критерий Тиссерана,
Заканчивая эту главу,
остановимся еще на одном
применении интеграла Якоби, указанном
Тиссераном.
Известно, что элементы
орбиты кометы, прошедшей вблизи
планеты, могут измениться очень
сильно, вследствие чего
отождествить две кометы только на
основании их элементов часто
бывает весьма затруднительно,
тем более что внешний вид и
даже яркость комет очень
изменчивы. Конечно, вопрос всегда
может быть решен путем
вычисления возмущений одной из
рассматриваемых комет от времени
ее появления до времени
появления другой кометы. Однако такое вычисление требует немало труда,
так что производить его имеет смысл, лишь имея шансы на успешное
отождествление.
Большие изменения элементов, придающие орбите заметно другой
характер, происходят только тогда, когда комета проходит очень близко
от планеты, в особенности от такой планеты, как Юпитер. Вследствие
большой массы • Юпитера и значительного удаления его от -Солнца, для
кометы, расстояние которой от Юпитера меньше чем примерно 0.3,
притяжение Юпитера оказывается более сильным,чем притяжение Солнца (§72).
Именно, за короткое сравнительно время таких близких прохождений
и происходят те большие изменения элементов, по сравнению с которыми*
обычные возмущения, производимые остальными планетами, не имеют
почти никакого значения. Поэтому в первом приближении
рассматриваемый случай можно уподобить ограниченной проблеме, тем более, что
эксцентриситет орбиты Юпитера мал и, кроме того, комета остается
в сфере его влияния лишь короткое время,в течение которого уклонение
движения Юпитера от кругового весьма незначительно. »
Таким образом, сохраняя обозначения, введенные в § 38, мы видим,
что координаты (х, yt z) кометы должны удовлетворять равенству (4), т. е.
Рис. 9ч
хг _|_ уг „|_ із в „2 (*2 _|_ уг) _|_ 2*2
(?+?)
(52)
Курс Небесной механики
9

130 VIL Ограниченная проблема трех тел
Это соотношение дает, очевидно, следующее необходимое условие
тождественности двух комет: две кометы могут оказаться тождествен'
ними только в том случае^ если постоянная Якоби С у них одинакова.
Чтобы применить найденное условие, нужно вычислить для каждой
кометы относительные координаты х, у, z и компоненты относительной
скорости х9 у, z, после чего равенство (52) даст соответствующее этой
комете значение С.
С целью упрощения применения этого критерия перейдем к
неподвижной гелиоцентрической системе координат 5Ъ?, у которой ось 5?
параллельна оси Oz.
Условившись- считать время от того момента, когда оси Sx и 0?
совпадают, будем иметь
x-f-tfi^ + i- cos л/+ч sin nt
у = — % sin nt~\-t\ cos nt
Отсюда следует, что
JC2 _|_д,2 -_ ?2 _J_ ^2 _ 2at (? COS /rf + 7\ SHI Tlf) + 0\
^^уі^^івР + ^а + рЧ-л^Р + ч1) — 2л (6ч' — тіС).
Поэтому уравнение (52) в новой координатной системе примет
такой вид:
р + ^ + р-2В(й,-ЧЁ)-2*.^ + ^)- | (53)
— 2л2дх ($ cos лГ+т] sin nt) -f- л8** — С. )
Эту формулу применяют для вычисления С тогда, когда комета
находится уже далеко от возмущающей планеты и потому ее движение
происходит почти исключительно под влиянием притяжения Солнца.
Пользуясь этим обстоятельством, формулу можно существенно упростить.
Обозначим через а, е, /, ,.. элементы кометы в ее движении вокруг
Солнца. Принимая массу Солнца за единицу, положим #^ = 1. В таком
случае интеграл площадей и интеграл живой силы проблемы двух тед
позволят нам написать следующие равенства:
?yj — <*]!; = ?)/р COS I
где через r = /-j обозначен радиус-вектор кометы.
Следовательно, равенство (53) можно заменить таким:
д"'1 + 2 лЧГ"1 l/p cos * = Св +8,
где среднее суточное движение Юпитера п заменено через.л' для отличия
от элементов кометы и кроме того положено
с0 = сГ2
6==2^2^%i(UosrtY+'nsinfl7) — nr^k"2 a\ — 2m2r2~1-
В тех случаях, с которыми приходится иметь дело на практике»
координаты $ и у\ невелики. Так как ах и тг величины очень малые
(порядка 0.001) и, кроме того,
гі *Г*=* 0.084 3045,
то Ь можно отбросить.

§ 45. Критерий Тиссерана 131
Мы видим, таким образом, что после прохождения кометы через
сферу влияния Юпитера выражение
(Г1 + 2л'*"1 |/в(1—**) cos і = Со (54)
должно сохранить свою величину.
Это равенство и представляет критерий Тис се рана, дающий
необходимое (но, конечно, недостаточное) условие тождественности двух
комет.
Заметим, что соотношение (54) может быть несколько уточнено,
если, с одной стороны, принять во внимание поправочный член 5, а с
другой— среднее суточное движение Юпитера заменить его угловой
гелиоцентрической скоростью
dv' k\/JT
dt~ /2 '
или, пренебрегая квадратом эксцентриситета Юпитера».
dt~ r'*
Таким образом, более точная формула имеет вид:
(Гг + 2 і/?У(Т=ё») г*~* cos i — 3 = Со. (55)
Радиус-вектор Юпитера г' лучше всего взять для момента
предполагаемого приближения кометы к Юпитеру.
В качестве иллюстрации к изложенной теории рассмотрим
приближение кометы Вольфа к Юпитеру в 1922 году, изученное М. Каменским.1
Оскулирующие элементы этой кометы до входа в сферу действия
Юпитера и после выхода из этой сферы таковы:
1922
мс =
ср =
п =
Q =
тг =
а
Vp .-•
cos / ...
Такое большое изменение элементов объясняется тем, что
минимальное расстояние между кометой и Юпитером дошло 27 сентября
1922 г. до А = 0.1247.
Принимая lg а' = 0.71624, lg/ = 0.73604 и пренебрегая в формуле (55)
малой величиной 8, получим для двух указанных моментов такие значения:
G0 = 0.49221 и 0.49193.
Мы видим, таким образом, как мало меняется величина С0 даже
при больших изменениях элементов.
Июль 8.0
191°8' 55".2
34 44 48.9
528".4530
205°38'57".3
18 49 38.8
27 39 9.7
0.55133
0.19037
9.94732
1922 Дек. 15.0
234°44/28/'.7
24 49 59.7
432/1289
205°7' 22".2 }
5 24 9.4 }
29 3 0.0 ]
0.60960
0.26266
9.94161
1925.0
1 Приводимые нами числа заимствованы из работы: JVL Kamienski, Recherches stir
le mouvement de la comete periodique de Wolf, Bulletin de Г Academic Polonaise des Sciences
et des Lettres, Serie A, 1925,
9*

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К ИЗУЧЕНИЮ
ДВИЖЕНИЯ СВЕТИЛ
ГЛАВА VIII.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.
§ 46. Введение.
Все проблемы Небесной механики приводятся в конечном счете
к решению тех или иных дифференциальных уравнений. Поэтому
прогресс "Небесной механики всегда был неразрывно связан с развитием
методов решения дифференциальных уравнений.
Только в самых простых случаях, как например в задаче двух тел,
дифференциальные уравнения могут быть проинтегрированы в конечном
виде. Вообще же решение не может быть выражено при помощи
известных функций, и потому приходится прибегать к другим методам решения
дифференциальных уравнений. Наиболее общими и в то же время
наиболее мощными из таких методов являются два: 1) метод интегрирования
при помощи рядов и 2) метод численного интегрирования.
В этой главе мы изучим со всеми подробностями численное
интегрирование дифференциальных уравнений.
Впервые численные методы были применены, и притом с большим
успехом, Клэро (1713—1765) при вычислении возмущений кометы Галлея.
Употребленный им способ интегрирования был усовершенствован Далам-
бером, Эйлером и особенно Лапласом, но окончательную свою форму он
получил в руках Гаусса * в виде так называемого метода квадратур.
Метод квадратур был создан для решения определенной задачи:
вычисления возмущений комет и малых планет. Этим объясняется, что
до недавнего времени этот метод обычно рассматривался не как общий
способ интегрирования какого угодно уравнения, а как способ
вычисления возмущений, т. е. вычисления небольших поправок к
решению, уже приближенно известному.
В астрономических вопросах такое исходное приближенное решение
дается невозмущенным движением по законам Кеплера.
1 С. F. Gauss, Exposition cTune nouvelle methode de calculer Ies perturbations plane-
taires (Nachlass), Werke, 7, 1906, 439-472.
Формулы Гаусса впервые были опубликованы Энке (J. F. Encke, Jber mechanische
Quadratur, Berliner Astr. Jahrbuch fur 1837, Berlin 1835. Перепечатано в Gesammelte mathe-
matische und astronomische Abhandlungen, Berlin 1888, 21—60).
Употреблявшееся ранее наименование „механические" квадратуры не только утратило
сейчас свой смысл, но и может дать повод к недоразумениям.

§ 47. Выражение производных через разности 133
Поэтому, когда в 1908 г. был открыт восьмой спутник Юпитера,
движение которого весьма мало похоже на движение по законам
Кеплера, и когда, таким образом, пришлось встретиться с динамической
задачей общего характера, Коуэлл не обратился к „механическим
квадратурам", а создал особый метод численного интегрирования уравнений.
Таково происхождение метода Коуэлла, привлекшего к себе внимание
в особенности после блестящего применения к предвычислению
возвращения кометы Галлея в 1910 г. *
Заканчивая работу о движении кометы Галлея, Коуэлл сделал весьма
важный вывод из своего обширного опыта применения численного
интегрирования;2 вывод, которой долго не обращал на себя внимания,3
хотя теоретически он почти очевиден. Этот вывод заключается в том,
что метод Коуэлла может быть существенно улучшен, но после этого
улучшения он становится совершенно идентичен с методом квадратур
в той форме, какую ему придал Гаусс.
За последние десятилетия численное- интегрирование уравнений
стало применяться и за пределами Небесной механики. В связи с этим,
Адамсом, Штёрмером, Рунге и другими было предложено еще несколько
методов. Но все эти методы гораздо менее совершенны, нежели метод
квадратур, и потому в Небесной механике широкого применения найти
не могут. 4
Тем не менее мы не будем ограничиваться в дальнейшем выводом
формул метода квадратур, но рассмотрим и другие методы: это позволит
выяснить преимущества метода квадратур.
§ 47. Выражение производных через разности.
Значения каждой функции мы будем рассматривать для значений
независимого переменного t, образующих арифметическую прогрессию
. . . tQ — 2w, t0 — w, t0f t0-\-w, t0-{~2w, ...
причем значения, например, функции /(/) будем обозначать через
где
Прилагаемая схема (стр. 134) наглядно показывает ту систему
обозначений разностей, которой мы будем пользоваться в дальнейшем.
Таким образом
при любом целом значении к.
1 Р Н С о w е 11 and A. D. С г о m m е 1 і п, The Orbit of Jupiter's Eighth Satellite, Monthly
Notices, 68, 577—581. ' e 9 ( , ^
P. H. С о well and A. D. Crommelin, Essay on the return of Halleys Comet, Pu-
bllkation der Astron. Gesellschaft, 23, 1910.
2 Appendix to the Volume of Greenwich Observations for the 1909, 84. •
3 J. Jackson, Note on the numerical integration of— =/(x, f), Monthly Notices,
84, 1924, 602.
* Относительно этих методов, представляющих большой интерес для техники, см.
А. Н. Крылов, Лекция о приближенных вычислениях, 3-е изд., 1935.

134 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнении
— 2
— 1
0
1
2
• ¦ «
Суммы
2-го порядка
с*
fZl
С
Г
Г2
¦ • «
Суммы
1-го порядка
с;,
Г"1
-V.
с
с
.
Значения
функций
и
и
/о
л
'«
.
Разности
1-го порядка
и
1„
А,
<
Разности
2-го порядка
• . •
Д
А
Л
-а * *
• ¦ •
Разности
3-го порядка
• * ¦
а
3
- • -
,
¦ . *
• • .
* ' •
• » *
• • а
• а *
Одно из значений столбца сумм первого порядка может быть взято
произвольно. Остальные вычисляются по формуле
'*+а=Л-4+л-
а)
Точно так же, взяв произвольно одно из значений вторых сумм.
.— 2
например /о , мы получим все остальные числа этого столбца по формуле:
—2 —2 , —1
э
*+1
(2)
делая ? = 0, 1, 2, ... и ? = —1, —2, —3, ....
Вышеуказанная разностная схема часто пополняется еще
полусуммами двух соседних величин одного и того же столбца* Для этих
полусумм применяются следующие обозначения:
1
і
Л=^(/Ц+/1а),
—2
лй^слЧл+о,
(3)
Обратимся теперь к выражению производных через .разности.
Возьмем сначала интерполяционную формулу Стирлинга
Дифференцируя это равенство по z и делая затем z = 0, получим:

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
134
Строка
6 сверху
Напечатано
3
V.
Должно быть
Ли
По чьей вине
типографии

§ 47, Выражение производных через разности
135
»і?\ =л-іл+^л-тітл+.
га2
dt
dt*
30
140'*
1
)
560 '*
Я +
\**Л 4У*^120У* * '
WSCi «л
и&
W*
(8).
#6
1 7
1
J% ~§Jk~T~ ' ' •
(4)
Совершенно так же формула Бесселя
Z(Z—\)(i
2
*4+
<г + 1)-г(г-1)(г-2)
"і 4! *4-~ '
(г+1) *(*-!)(*
->К)
*+-2
/1а+ • • •
51 -.,
позволяет выразить значения производных /(/) при t~tk через разности
строки « = ?-{--„-. Получим:
-і'^ =/
dtj
-L /2 і _|_ .... /з і 4-— /4 і
1
/і
**! 2'*+-2-^ 12у*+? і 12Ул+у 120у*+2
-(S)."*H
L ft і L ft i -4- — /6 і 4-
27*+1 12/л+у^24У*+2-^ * " '
/lf*--^{+»+*+. • •
*v*
— /5 1
2 7*+?
(5)
2 Л "' 2
В способах численного интегрирования уравнений, предложенных
Адамсом и Штёрмером, находят применение еще следующие формулы,
выражающие рассматриваемые производные через' разности,
расположенные по восходящей диагонали:
го
dt
:/цн-^Л-1ч4'Л4+т/-+Й4+ • • •
dJ\=n і4-і
"(да)4-/г-* + /і4+й^+|.Л-і+ . . •
«*і-.-і ==/._,+У/;_»+ • • •
А—2
(6)

136 VIIL Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Эти соотношения получаются тем же приемом из интерполяционной
формулы Ньютона:
*(* + !) ft a z(z + l)(z+2)
A,t+2,)-/>+,/i_L+^-^/;_, + ^^'^^'^.;-+ • • •
Примечание. Для обозначения разностей, кроме вышеуказанных,
употребляются еще и другие символы. Величину/j, где / — целое число,
а п — половина целого числа (четного или нечетного), обозначают
через /*(л) или/Дл), или через ffo-^nw), или, наконец, через Д?.
§ 48. Интегрирование уравнений первого порядка. Разностные методы.
Пусть дано дифференциальное уравнение
w-FiXtf>- (7>
Требуется вычислить таблицу значений функции x(t)3
удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию
*(4>) = *о,
где /0 и х0— заданные числа.
Полагая, как всегда, х(/0-і-*иО = *А, займемся вычислением хи х2у.
х3> - . . Наша задача будет решена, если мы дадим средство для
вычисления разностей
*ж —** = 4н4' (* = 0» Ь 2, . . .)¦
Так как
/* і ч , w (dx\ . w* I d*x\ .
**н-*(/*+ю)-*»+Тг(-л)Л+2г(ж)4+- • -
ТО
Полагая
wF(x,f)=/(t), wF(xk, Q=/k
и принимая во внимание уравнение (7), получим:
А*-Ч- =/*+ т(-г )й+т 1^)А+24 (лі),+ • • • <*>
Эта формула в сущности решает поставленную задачу. Однако-ее
применение * весьма неудобно, так как требует вычисления производных
df\ idb
#V \&JM
1 Метод интегрирования уравнения (7), основанный на употреблении формулы (8),
носит название метода Эйлера. Этот метод применяется только в том случае,,
когда в формуле (8) можно ограничиться двумя-тремя членами,, т. е. когда интервала
очень мал, или же когда требуется небольшая точность.

§ 48. Интегрирование уравнений первого порядка 137
Выразим поэтому стоящие здесь производные через разности.
Пользуясь соотношениями (6), получим формулу:
* і I*1 і 5 .а 3 .з 251 4 . 95 j>
V}-A+2^4 + l2^ + ^ • - (9>
представляющую метод Адаме а. Соотношения (5) дают формулу
а _/ і * /г ! ? i И /
которую можно написать так:
л _/ I / _і_ П / 191 / ,
*+,-""•/*^-2- 12'*+тп 72(Г*+т 60480 '*+2
2497 s
3628 800 7*+і
, 2497 s
" QAOQ ОПЛ A-L-!- ' * •' \1U/
ибо
Л+і= 2ЧЛ+Л+і) = ^-(Л+Л+Л+і) = /*+ 2"^+1- *
Эта формула дает метод интегрирования, который можно, назвать-
методом. Коуэлла (так как аналогичный метод для уравнений
второго порядка был предложен Коуэллом).
Когда хи х2, . . . , хк уже вычислены, то формула (9) сразу
дает *к+1. Что же касается формулы Коуэлла (10), то она выражает
искомую разность xk,x— xk через такие разности/2,/4,- . ., которые
зависят от Д+1, /А+2, . . . , а следовательно и от xk+x, хк+2, . . . . Эти
разности/fe-fi, /ь+г-, ... в первом приближении находят экстраполиро-
ванием; затем, после того как найдены соответствующие *л+1, xk+2, . .
их вычисляют обычным порядком и, если нужно, повторяют вычисление
хА+1, хк^г, . . . . Благодаря быстроте, с которой убывают коэффициенты
в формуле (10), этот процесс сходится настолько быстро, что второе
приближение оказывается излишним, если только интервал ш взят не
слишком большой.
В тех случаях, которые встречаются в Небесной механике, а именно-
при вычислении возмущений элементов орбиты, правая часть
уравнения (7) изменяется медленно при изменении переменной х, которая в свою,
очередь меняется мало. Благодаря этому применение формулы (10)
особенно упрощается, так как значения функции / и все ее разности могут
быть вычислены наперед для нескольких интервалов при помощи
приближенных значений х.
Формулы (9) и (10) могут быть применены только тогда, когда уже
найдено несколько первых значений хи х2, хъ . * . искомой функции,
необходимых для вычисления разностей Z1, /*, . . . , входящих в эти
формулы.
Значения хи х2, . . . (а также х_г, дг__2, . . . ) обычно вычисляются.
при помощи разложения интеграла в ряд

138 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Коэффициенты этого ряда найдем, продифференцировав несколько
раз уравнение (7) и положив затем /==Л>.
Иногда эти начальные значения xv х_г> х2, х_2, • . . определяют
последовательными приближениями (§ 57). Пример такого приема будет
дан в § 55.
Отметим также возможность нахождения нескольких первых
значений хи х2( x*f * • • методом Эйлера.
ч
§ 49. Метод квадратур для уравнений первого порядка.
Недостатком разностных методов, рассмотренных в предыдущем
параграфе, является накопление ошибок при вычислении хи л*, . . .по
нх разностям А.
Действительно, для определения хп мы имеем равенства
*х — *о=»*!, хг — *і = дЬ • - - , хп~*„-i=A*-i-
Складывая нх почленно, получим:
О 2
Если погрешность каждой из разностей А заключена в пределах
от —е до -f-e, то наибольшая возможная погрешность хп будет ±вл.
Как известно, достижение погрешностью этой предельной величины
чрезвычайно мало вероятно, однако все же при больших значениях п
приходится серьезно считаться с прогрессивным понижением точности.
Чтобы лучше показать, каким образом может быть ослаблено
накопление ошибки, возьмем, например, формулу (10), имеющую вид
Л*+і. =/»+¦!-+Red,
где через Red обозначена поправка, которая должна быть придана
к значению функции / для получения искомой разности А; допустим, для
простоты, что значения функции совершенно точны в пределах
употребляемого числа знаков. В этом случае поправка Red будет все же иметь
некоторую ошибку, зависящую как от округления, так и от отбрасывания
членов в формуле (10).
Итак, накопление ошибки в хп при употреблении формулы (12)
происходит от двух причин: от употребления ограниченного числа знаков
при вычислении функции/и от неизбежной ошибки, которую мы делаем
при нахождении поправки Red благодаря округлению и отбрасыванию
членов.
Суммирование ошибок первого рода является неизбежным, но не
имеет вредных последствий, поскольку точность вычисления/находится
*іод нашим непосредственным контролем. Что же касается до
суммирования ошибок в поправках Red, более вредного, поскольку эти ошибки
труднее контролируемы, то его можно избежать целесообразным
изменением метода.
Подставим с этою целью выражение (10) в равенство (11),
Это даст
п—Л п—1 я—1
Q 0 О

§ 49. Метод квадратур для уравнений первого порядка 139
Из соотношений (1) и (3) получаем:
— і
Но, наг основании (3),
поэтому
Аналогично
2 114 3 а
Пользуясь этими равенствами, легко убедиться, что
я—1 л— 1
о 2 о 2
Следовательно формуле (12) можно придать такой вид:
г — f"1 1 fl I П /» 191 Z5 1
> —7я 12 У" "*" 720/д 60 480/л "+"•'•
Тло -/о "Г 12^о 720у° * 60480 ° ' * '
Так как один член столбца первых сумм может быть выбран
произвольно, то обычно определяют f~l из условия
*о=/Г1 — ~і2^° ^~720^ — • • • (13)
тогда
Вычисление по этой формуле свободно от указанного выше
недостатка накопления ошибок, ибо ошибка xnJ зависящая от округлений
и отбрасывания членов в поправке
Red —^/l+^K
12'" ¦ 72(Г»
* 3
при надлежащем выборе интервала w, не отражается на величине
fn=wF(xny /я), а потому не влияет на последующие значения х.
Метод интегрирования уравнения (7), основанный на употреблении
формулы вида (14), мы назовем методом квадратур, так как в
случае, когда правая часть уравнения (7) не содержит х, такая формула
обращается в формулу квадратур (§ 56).
Разностному методу Адамса, основанному на формуле (9),
соответствует, как легко видеть, метод квадратур, заключающийся в применении
формулы: /

140 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
причем начальное значение столбца сумм определяется равенством
Этот метод можно назвать, в отличие от предыдущего, 'известного
еще Гауссу, методом квадратур Адаме а.
§ 50, Вторая форма метода квадратур для уравнений первого порядка.
Рассмотрим теперь такую проблему: интеграл уравнения
dx
определен заданием величины
Л-рМ
*Ч-у
требуется вычислить таблицу значений этого интеграла для значений
аргумента
где k—любое целое число.
Прежде всего покажем, каким образом может быть вычислена
искомая функция х(і) для значений аргумента вида
'='о + .(* + у)^ = '*+ J*>.
Определим разность
Применяя опять разложение в ряд Тэйлора, найдем:
°*
*('.+ г)-'('.-т)--(-4+я(-Вг). + Т5» W.+ '
Воспользуемся уравнением (7) и применим формулы (4). Это дасг
о = / -U-— f2 ^7 ,4 і 367 б ,-«ч
к 'к-г^к 5760Jk "*"967680Jk * ' * U }
Полученная формула удобнее формулы (10) в том отношении, что
содержит только разности, тогда как формула (10) требует вычисления
полусумм разностей.
Начальные значения определяемой функции, например
х it.
-!-)• *(f°+?-)' *(*+т)"
находят или при помощи разложения x(t) в ряд или способом
последовательных приближений.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
141
Строка
2 снизу
Напечатано
<F2
Должно быть
По чьей вине
автора

§ 50. 2-ая форма метода квадратур для ур-ний 1-го порядка 141
Таким образом, формула (11) дает метод интегрирования,
аналогичный методу Коуэлла. Соответствующий ей вариант метода квадратур
получим, просуммировав равенство (16) от ? = 0 до ? = л—1. Это даст
/ ш\ ,-і . 1 і 17 л
Если /__L определить условием
2
то будем иметь более простую формулу:
' * (', -f) -Сл-+У,-. - -^С і +. .. (і7)
Методы, основанные на употреблении формул (16) или (17), не могут
иметь широкого распространения потому, что эти формулы дают
х(tk± -у-1, в то время как (для вычисления правых частей этих формул
нужно знать x(t^. Таким образом, применяя эти формулы, нужно все
время интерполированием в середину находить x(tk).
Только в тех случаях, когда вторыми разностями x(t^ можно
пренебрегать, применение формул (16) или (17) может быть выгодно.
Для того чтобы устранить указанное неудобство, выведем из (17)
формулу, дающую xn = x(tn). Для этого обратимся к хорошо известной
формуле интегрирования в середину
которая получается из формулы Бесселя (приведенной на стр. 135)
1
приг = -2-.
Полагая в этой формуле
?(xj^//- W
и замечая, что
а потому
= г14.1/-. 17 ./ +
2 —/л-1-/— -17 /-і
?я+і— Jn ~r~~2iJ" "5760"'

142 VIIL Численное интегрирование дифференциальных уравнений
получим
12'" ] 720Ул 60480
.-і 1 л , 11 Л 191 б
Таким образом вычисление хп будет происходить, как и следовало
ожидать, по формуле, тождественной с формулой (14). Но начальный
член столбца сумм будет в рассматриваемом случае определяться
равенством
.-і / v>\ 1 J- 17 ^з 367 в
/-i = *('o-yj^24^ * ' (18>
Примечание L Изложенные способы численного интегрирования
уравнения (7) без изменения распространяются на системы уравнений
вида
% = Р(х, У> г> Ъ § = °(*> * *'"')¦ %="(*> у> *> $
В этом случае интегрирование ведется параллельно на трех
отдельных листах.
Примечание II. При употреблении указанных формул выгодно
пользоваться следующими приближенными равенствами:
11
191
2 497
17
367
720=1
60 480=1
3 628 800 = 1
5 760 = 1
967 680=1
65 — 0.000107
317 + 0.000004
1453 — 0.000000
339 + 0.000001
2 637 + 0.000000.
§ 5!. Пример интегрирования уравнения первого порядка.
Вычисдим таблицу значений интеграла уравнения
dt~ 2 '
определяемого начальными значениями /0 —0, jc0 = 1.
Взяв интервал w = 0,1, получим
/(j) = 0.05*f. (*)
Для определения первых значений интеграла, в этом случае лучше
всего воспользоваться разложением в ряд. Дифференцируя данное
уравнение и полагая /=0, получим:
1 ?
Следовательно,
Этот ряд дает возможность найти пятизначные величины х для
/ = ±0.1, ±0.2.
Дальнейшие вычисления ведем по нижеследующей схеме, в которой
жирным шрифтом отмечены' значения ху полученные при помощи ряда,
а также соответствующие значения /, /*, . . . Полусуммы значений /,
tl> . . . вписываются между соответствующими строками.

§ 51. Пример интегрирования уравнения первого порядка 143
t
— 0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
/-1 I-
1.000417
1.002 923
1.010 479
1.023 196
1.041 259
— 0.010100
— 0.005013
0000000
0.002506
0.005013
0.007556
0.010 100
0.012 717
0.018 063
Таблица А.
f1
4- 508Г7
+ 5013
+ 5013
+ 5013
+ 5050
+ 5087
+ 5161
+ 5346
+ 5 605
f2
'
- 74
0
+ 37
+ 74
+ 111
+ 185
+ 259
f8
+ 74
+ 74
+ 74
+ 74
+ 74
+ 74
+ 74
Red
-417
— 420
— 429
— 444
— 466
X
1.01005
1.00250
1.00000
1.002 50
1.01005
1.022 75
1.040,79
В таблице А вписаны исходные данные и, кроме того, -проведена
первое приближение для получения д:3 = л:(0.3) и х4=х(0А).
Прежде всего, для строки / = 0.0 вычисляем
***—kA+kA
12
65"
(**у
и полученную величину Red = — 417 (выраженную в единицах 6-го знака^
как и все величины /, Д . . .) вписываем в соответствующий столбец.
Затем находим основной член столбца сумм
г— 1
/~х = х0 — Red =1.000 417.
Чтобы найти следующие члены столбца сумм, составляем полусуммы,
в столбце / и пользуемся соотношениями
2 2
После этого переходим к экстраполированию величин, нужных для
вычисления xz и х4.
Исходя из допущения, что четвертая разность равна нулю, получаема
^ = Л3 = /з = /4 = + 74.
Затем последовательным сложением находим
А =+Ш, f\ = + 185
2~ 2
и т. д., пока не получим/"1, /f \
Наконец по формуле (**) вычисляем Red, что дает значения x{t\
указанные в последнем столбце. На этом зака нчнвается первое
приближение.

144 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Для второго приближения вычисляем, по формуле (*), /3 и /4. Затем
с новыми, более точными значениями разностей повторяем вычисление
*г и х^ .
Окончательные результаты показаны для большей ясности отдельно,
в таблице В. На практике первое приближение часто делается
карандашом, а второе чернилами. В таблице В величины, полученные
экстраполированием и еще не исправленные вторым приближением, набраны
курсивом.
Таблица В.
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
/-V
1.000417
1.002 923
1.010479
1.023199
1.041 277
1.064990
1.094707
f
о.оооооо
0.002506
0.005013
0.007556
0.010 100
0.012 720
0.015341
0.018078
0.020 816
0.023773
0.029 717
f1
+ 5013
+ 5050
+ 5164
+ 5358
+ 5635
+ 5998
f
+ 37
+ 114
+ 194
+ 277
+ 363
/Ь
+ 74
+ 77
+ 80
+ 83
+ 86
Г
+ 3
+ 3
+ 3
+ 3
Red
— 417
— 420
— 429
— 445
— 469
— 502
-545
X
1.00000
1.00250
1.01005
1.022 75
7.04081
1.06449
7.09476
После того как получено несколько значений Red, порядок вы*
числения целесообразно несколько изменить. А именно, вместо того
чтобы находить экстраполированием разности, нужные для вычисления
Red, лучше экстраполировать непосредственно эту величину. Такое
экстраполирование показано в таблице С, в которой экстраполированные
значения даны курсивом.
Таблица С.
Red
— 417
— 420
— 429
— 445
— 469
— 502
— 545
д
— 3
— 9
-16*
— 24
— 33
— 43
№
— 6
— 7
— 8
— 9
- 10

§ 51, Пример интегрирования уравнения первого порядка 145
Этим путем в таблице В найдены хь и Jcfi, первое из которых полу-
[илось совершенно точно, а второе ошибочно только на одну единицу.
Jo всяком случае, значения /5 и /8, вычисленные с этими х5 и х6, будут
жончательные и их перевычислять не придется.
В заключение покажем, каким образом та же самая задача решается
іетодом Адамса (разностным).
В этом случае вычисление ведется по формуле (9), которой мы
придадим такой вид:
Red
*+_
2""-f ' 12
8
, 251 * i l/>
*„+і = *л+Лл+і-
Результаты вычисления приведены в таблице D. Жирным шрифтом
спечатаны точные значения, с которых мы начинаем вести численное
снтегрирование. Функция /, ее разности и поправка Red' вычислены
: шестью знаками.
Таблица D.
t
-0.2
— 0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
X
1.01005
1.002 50
1.00000
1.00250
1.01005
1-022 75
1.040 81
1-06449
1.09417
1Л30 32
1Л7351
А
+ 1270
-f 1806
+ 2368
+ 28 68
4-3615
+ 4319
/ L z1
— 0.010 100
— 0.005 013
0.000 000
0.005013
0.010 100
0.015 341
0.020816
0.026 612
0.032 825
0.039 561
+ 5087
+ 5013
+ 5013
+ 5087
+ 5 241
+ 5 475
+ 5 796
+ 6 213
+ 6 736
/2
— 74
0
+ 74
+ 154
+ 234
+ 321
+ 417
+ 523
/3
+ 74
+ 74
+ 80
+ 80
+ 87
+ 96
+ 106
Г
+
+
+
0
6,
0
7
9
+ 10
f
+ 6
— 6
+ 7
4-2
+ 1
¦
Red
+ 2 602
+ 2719
+ 2863
+ 3 069
+ 3 320
+ 3 629
Все вычисленные значения х вполне точны. Только при продол-
кении интегрирования значительно дальше (или при употреблении
Курс Небесной мехакяка
10

146 VIIL Численное интегрирование дифференциальных уравнений
большего интервала w) становится ощутимой разница в точности между
методом Адамса и методом квадратур, особенно если вычислять, как это*
делалось в настоящем примере, функцию / с одним запасным знаком.
§ 52. Интегрирование уравнений второго порядка. Вычисление
интеграла, заданного двумя значениями.
Перейдем теперь к изучению методов численного интегрирования:
уравнений вида
Каждый интеграл x(t) уравнения второго порядка может быть,
задан либо своими значениями в двух точках, например значениями
либо значениями
*о=*('о)> хо^(^\у
которые принимает этот интеграл и его производная в начальное
точке t0.
В этом параграфе мы рассмотрим первый случай: будем считать
Хі и х0 заданными величинами. По этим данным требуется вычислить
остальные значения хи х2> . . . искомой функции.
Наряду с первыми разностями
введем в рассмотрение вторую разность
Разлагая *А+1 == * (Д + "О и xk_1 = x(th — w) по степеням w, получим^
i-i--(S)+i-(*).+---
Положим
тогда
^>+Н%)+ш<%).+ • • •
Подставив сюда выражения производных через разности, даваемые
равенствами (4), получим формулу:
Д2 = / 4- — f2 /¦* _l 3* -6 __ 289 ' , . .
k Jk^r^k 24(К*^ 60480у* ЗбгЗвОО7*"1"' * " к f
представляющую метод Коуэлла.

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
146
Строка
16 снизу
Напечатано
*і
Должно быть
*-1
По чьей вине
автора

§ 52. Интегрирование уравнений второго порядка 147
Применение соотношений (6) дает основную формулу метода
Штёрмера (аналогичного методу Адамса):
1 1 19
Д2 = /4-— f2 4-—/3 з-і —/* 4-
h у*т 12 *~1^ 12 *~т 240 *-2^
і 3 „ , 863 ,й .
Сравнение коэффициентов двух последних формул сразу показывает
преимущество метода Коуэлла: если значения /А вычисляются с ошибкой
rte, то разности 1-го, 2-го, 3-го,. . „порядков имеют ошибки,
заключающиеся в границах ± 2е, ±4е,± 8 е, . . ., поэтому в формуле (20),
в которой все коэффициенты близки к ух, ошибки разностей высших
порядков будут чувствительно искажать значение А*. Формула (19)
бла годаря быстрому убыванию коэффициентов свободна от этого
недостатка.
Вычисление по методу Коуэлла ведется следующим образом.
Зная х_г и xQy мы можем вычислить
д_1 = *о — *-і5
после чего, отбрасывая пока в формуле (19) все неизвестные члены
находим приближенную величину:
Д2о=/о-
Это дает
Ді=д_1 + Ло
2 г
*а = *о + Ді.
Имея теперь /_а, /0,/13 мы можем определить/*, а следовательно
и более точную величину
А2=/ 4-— f2
о •'оТ j2 ¦'о*. ,
с которой повторяем вычисление xv Точно так же находится х_г После
этого мы можем уже найти./* и взять еще более точное значение
о >оп-12уо 240 °
и т. д., пока не получим окончательное значение этой величины, а
следовательно и хг.
Когда таким образом найдено несколько значений хи хъ . . . , то
для вычисления Д| неизвестные разности /|, /*,. . . определяются при
помощи экстраполирования. Если интервал w не чересчур велик, то это
делается настолько хорошо, что почти никогда не приходится
подправлять найденное таким путем Д?.
Вместо того чтобы находить х^г по Д| при помощи двойного
суммирования:
A^-V-4+A*' *jh-i = ** + A*+-|. (21)
10*

148 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
можно вести вычисление по формуле
*** = 2х*-**-і + А2' ' (22)
что несколько проще при употреблении арифмометра.
Но такое избегание выписывания разностей, не давая заметной
экономии, в то же время лишает вычислителя одной из возможностей
контроля.
Двойное суммирование, производимое явно по формулам (21) или
фигурирующее неявно в формуле (22), влечет еще большее накопление
погрешности, чем однократное суммирование при применении метода
Коуэлла к уравнениям первого порядка. Отсюда ясно, что для уравнений
второго порядка еще более важно (в особенности при сколько-нибудь
продолжительном вычислении) заменить метод Коуэлла
соответствующим методом квадратур.
Суммируя равенства (21) от ? = 0 до к = п — 1, получим
VA = A-i+"?lAb ^«o + TAa+A (23)
2 2 о 0 2
Формула (19) дает:
п—1 *—1 1 п—1 1 и—1
0 0 0 0 -
Так как, согласно нашим обозначениям:
> m m—1 пг—1
/о =/Л -/_!
2 а
m m—1 m—1
А =/д -/і
IF 2
m m—1 m—1
то, сложив эти равенства, получим:
л—1 m тгі—Х m—1
2 fk=fn_L-/_}_.
о * ' 2
Принимая все это во внимание, первое из равенств (23) напишем
следующим образом:
Д i^z-'i-ui-/1 і —/
л—г ¦'я I 10 ^ и— — О/іП-'л
12' "—а 240
і4-.
9
f3 _
2 '—±." 12'-f ' 240У-4 " ' *
Произвольный начальный член столбца первых сумм выберем так,
чтобы вторая строка этого равенства была равна нулю, т. е. положим
р—1 а 1 ,*1 - і 1 *8 - 31 ,5
'lW-i-й Лі+^5 /Ц-ёйкг/- і+ ¦ • • W

§ 52. Интегрирование уравнений второго порядна 149
Окончательно будем иметь
Заменим здесь п через *+1 и просуммируем от ? = 0 до к = п — 1.
Тогда второе из равенств (23) можно будет написать следующим ¦
образом:
0 0 0
Но
л—1
следовательно
,—2 , _1_ 1 *% і 31 і
X*—Jn "Т"і2/л 240 я "^60480 л ' * "
і у _/-2 L/ -U —/2 31 /4 4-
^"*о уо 12уо^240Уо 60480Уо ^- * "
Начальный член столбца вторых сумм положим равным
* 'о-==*о— 12^°"^240^о ~ 60 480 А) +• • ¦» (25)
тогда последняя формула напишется так:
x*=f~n +T2^ — 240^0 +60480 fn ""3628800 Jп + " ' ' ^
При употреблении этих формул следует иметь в виду, что
289 1
3628800-Т2557+а000000°-
Формула (26), дополняемая равенствами (24) и (25), и представляет
собою метод квадратур. Вычисление по ней ведется так же, как
и по способу Коуэлла: сначала последовательными приближениями
находят (исходя из заданных д:0 и Д„_1_ = *о — х-і) несколько смежных зна-
2
чений х19 х_2, х2, . . . искомой функции; затем нужные для формулы (26)
разности /*, /*,... определяют экстраполированием и подправляют
если это нужно, вторым приближением.
В то время как в методе Коуэлла вычисление ведется по
формулам (19) и (21), имеющим вид:
2 0
Я—1
*„ = *„+ 2 Д
*+і

150 VIIL Численное интегрирование-дифференциальных уравнений
так что поправка Red подвергается двойному суммированию, в методе
квадратур вычисление ведется по формуле вида
^-/7" +Red,
вследствие чего ошибки, допущенные при вычислении Red,
суммированием не увеличиваются.
Метод квадратур, соответствующий методу Штёрмера, заключается
в употреблении формулы
Для определения начальных членов столбцов сумм полагаем в этой
формуле л = 0 и л = — 1. Получим:
Г-2-х -1/ -V ,-i9 f -
Jo —х° \2J~1 12 --§- 240-2. ' " ¦
-2 1 л 1 J 19 ,2
¦С ~ *_1 12 ^ 12 ^ f 240 "^-8
• • 9
после чего для столбца первых сумм имеем:
Формулу-Штёрмера выгодно применять в следующем виде:
причем табличный интервал w берется настолько малым, чтобы третьими
разностями можно было пренебречь.
Примечание. Все методы численного интегрирования уравнения
d&X
без всяких изменений применяются к системам вида
d2x d%y d2z
-jp- = F(xty,z,f)% -~p=G(x9y,z,f), — = H(x,y,z,t).
Интегрирование уравнений, связанных в систему, производится,
конечно, параллельно.
§ 53. Другой случай вычисления интеграла уравнения второго порядка,
заданного двумя значениями.
Для уравнений второго порядка, так же, как и для уравнений
первого порядка, метод квадратур может быть представлен в двух
формах—смотря по тому, желаем ли мы вычислять значения xn — x(t0-\-mo)
или же значения этой функции для середин интервалов, т. е.

§ 53. Другой случай интегрирования уравнения второго порядка 151
х Со + (я+"9" J w)- Первый случай был рассмотрен в предыдущем
параграфе; выведем теперь необходимые формулы для второго случая.
Положим
Формула Тэйлора дает
8 і = Sfcii — S. .
*2
О
,*-*('*+*Ь2х(4+*)+*М)-
-(^)+И*).+А-(*).+и-(*).+---
Следовательно
ч2
,. , 1 /#\ , 5 ,/*/\ . 1 _/*/\
•«ли, пользуясь (5):
.или, наконец, учитывая формулу
A+f-A + y^+l'
которой мы уже пользовались в § 48,
°*+4- *+Т~~242+4-"^1920 7*+f 193536y*+V ' ' "
Эта формула дает метод интегрирования, аналогичный методу
Коуэлла. Просуммировав ее в пределах от ? = 0 до * = л —1, получим
Ьп-\=С ~2lfl +Т920/1 -• • '
'о +247о 1920 7о +• " •
r-*.+^-w^+---» (27)
Положим
тогда
К=С~к^Л
17 /3
2Г«П 1920у я ' ' *
Заменим в этом равенстве п через к и просуммируем его otJ^ = 0
до 4 = л— 1. Это даст:
.2
~ 2

152 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Полагая
іі=П'о-і)+й'-±-ш>?-±+- • - <28>
получим окончательно
Когда заданы начальные значения х I/0 — у)и ^('о + ^-К
определяющие рассматриваемый интеграл уравнения (18), то формула (29), совместно
с (27) и (28), позволяет последовательно найти значения х (?) для
/ = /„— "2, где п = 2,3,4, . . .
Формулу (28) целесообразно представить в несколько ином виде.
Так как
г\=Цс+С)=С-\г\
1
/ 1 = /0 -q"/ 1 • * - >
2 --
2 ^2
то ее можно заменить такой:
~ 1920" (^ ~~Т/_А_) +
(28bis>
Точно так же мы заменим формулу (27) следующей, более удобной:
'і^о+т'о+т/о-іш'і +• • • <27bis>
2
Так как для вычисления правой части формулы (29) надо иметь-
значения х (tn) то применение этой формулы осложняется
необходимостью нахождения *(?л) при помощи интерполирования в середину.
Чтобы получить формулу, дающую непосредственно *(*„), применим
формулу интерполирования в середину (§ 50) к функции х (tn ^ ],
определяемой формулой (29). Полагая опять
tW «('."*>
получим:
ф , = г"' -/4- —— / —
V-j- « 24ул^ 1920ул ' * *
«2 і =/ — — /24- 17 /4 —
'"+4- " 24у« ^ 1920 ул " " "

§ 54. Вычисление интеграла, о?ред. нач. точной 153
откуда
п Jn ^12 * 240 « ^60480у* • ' *'
причем начальные значения столбцов сумм определяются формулами (27)
и (28) или (27bis) и (28bis).
§ 54. Вычисление интеграла, определенного начальной точкой
и начальной скоростью.
До сих пор мы рассматривали вычисление интеграла уравнения
определенного своими значениями для двух значений независимой
переменной; например, задавали x(t) для t=tQ nt = tq— w или дляГ = /0—я
и ^ = ^о + ~2 ¦
Теперь обратимся к решению другой проблемы, представляющей не
меньший интерес для Небесной механики, а именно к вычислению инте-
грала, определенного заданием х и ~т- в некоторой точке. Тут также
рассмотрим два случая. ^
Первый случай* Пусть искомый интеграл х{і) задан начальными
значениями
dtjt = t9 °'
Посмотрим, каким образом могут быть найдены значения хих2, . . .
При этом, ради краткости, мы ограничимся лишь методом квадратур.
Обратимся к формулам (26), (24) и (25), лежащим в основе метода
квадратур, и посмотрим, нельзя ли распорядиться произвольными
постоянными f~~l1 и /~2 так, чтобы формула (26) давала функцию, удовлетво-
0
ряющую начальным условиям (30).
Ясно прежде всего, что /~2 следует оставить таким, каким его дает
равенство (25)— первое из условий (30) будет удовлетворено. Далее, обо*
значая через А1, Д2, Д8,'. - - последовательные разности функции х, будем
иметь, на основании (4):
w(g)=A1 * д' + ід» * а'+. . .
\& ]п п 6 л J 30 л 140 п '
Формула (26) дает:
. = /* +!2/п"240/л +' *
следовательно
(dx\ ¦•-' ,_! 1.x , 11 ,з 191 л .
W[di)n=fn ~T2fn + 720 ^ ""60480 7» + ' ' '

154 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Замечая, что
и полагая л = 0, окончательно получим:
f-\ ' 1 f . 1 -1 И Л | 191 -5 ,~ ч
2
Таким образом, достаточно вычислить начальные значения столбцов
сумм по формулам (31) и (25) для того, чтобы формула (26) давала
значения интеграла, удовлетворяющего начальным условиям (30).
Второй случай. Рассмотрим теперь случай, когда интеграл задан
начальными условиями
ю\ „ ,/. w
*{<.-$)-*.¦ *[>.-?)-*; (32,
и требуется вычислить xn = x(t0-\-nw).
Начнем с вычисления ¦*('« +"о" г Для решения этой задачи можно
было бы применить только-что употребленный прием к формуле (29).
Ради разнообразия покажем другой путь, столь же быстро ведущий
к цели.
Заменим уравнение (18) системой:
и будем интегрировать первое из этих уравнений при помощи формулы
(17). Так как, в наших теперешних обозначениях,
то получим:
««'('.+і)-/;:і+й/иі-шо-/:н+• • •' (34)
причем первые суммы /~ определяются условием (16):
r~\-wX'-kfi~^^mfb-L-¦ ¦ - (35)
Обратимся теперь ко второму из уравнений (33). Полагая
wx'{t) = h{t\
•яри помощи той же формулы (17) найдем
'('•+f)-**i-+5l*^-5^5*lff+--- <»
Чтобы вычислить стоящее справа выражение, надо анать величины
hп*= Н (Г0 + nW) — WX? (tQ -f ПШ),

§ 54. Вычисление интеграла, опред. нач. тонкой
тогда как формула (34) дает нам значения x\t) для точек /л + ^,
лежащих в серединах наших интервалов. Поэтому обратимся к формуле
интерполирования в середину (стр. 141):
Делая в этой формуле
* w
?(^) = ?« = A('*-f)
.«¦ учитывая, что на основании (34);
»^-yfr.+».+o-f[^M)+"('.+r)]- .
у- ^2Г п 5760у я ^ ' • ¦
и следовательно
m2 — f1 J-—fS ^ /5 4-
?п+|- —Л« і"24/я 5760/«~t~* # *'
окончательно получим:
, / , т\ і 1 і 11 з 191 ,5 _.
л- = ?^.+ 2-)-Л " 12/л+720/п_ 60480 7«+ *" ' ",
Найденное значение Ля подставим в формулу (36). Это даст:
[. . w\ 2 ¦ 1 * , 17 ,2 367 * ,Q74
х^ + У]=/л+і--24/л+і- +Г920/я4-|-~Т9353б"/я ~' * ' (37)
Делая л = —1, получим формулу:
П\-а'о+й/--і--Шо/-4- + ' ' •' (38)
определяющую начальный член столбца вторых сумм.
Совокупность формул (37), (35) и (38) решает подставленную задачу.
Формулу (38) можно заменить другой, дающей f^2, что несколько
удобнее.
Так как
1 ,-і
/іі-уоГ+О-С-і'—•
2 Г*
-/-_ А. ^ >о О" -^ 1 ) • • • з
то равенство (38) может быть представлено следующим образом:
f7% = X* + jfZ\. + ^/o-^/-4-_r920"/o + 3^46"/-f+' ' •

156 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Складывая почленно это равенство с равенством (35), умноженным
1
на у, получим:
или окончательно:
-2 .. .».„.!. 17
С==Л'о+2-^4-24/_1-5760(2С + Л) +
, 367
967 680
(3/^+2/;)-. . . (39)
Теперь нам остается только заменить формулу (37) формулой,
дающей -*(/Л), но это уже было сделано в предыдущем параграфе.
Итак, в обоих случаях вычисление значений интеграла производится
по формуле
-2 , 1_ 1_/2 . 31.
12/л 240 7п "^60480'*
х«==/«і+12/--240/* +"60480^-- ' " <37bis>
но в первом случае начальные члены столбцов сумм находятся по
формулам (31) и (25), а во втором — по формулам (35) и (39).
§ 55. Пример численного интегрирования уравнения второго порядка/
Рассмотрим уравнение
Вычислим таблицу значений интеграла,. определяемого условиями
х (- 0.05) = х (-f 0.05) = 1.000 6252.
Эта задача может быть решена либо при помощи формул, данных
в § 52, либо по формулам § 53. В первом случае получим таблицу для
аргументов / = — 0.05, 0.05, 0.15; ... Во втором случае аргументами
таблицы будут служить значения / = 0.0, 0.1, 0.2, . . .
Изберем второй путь и, сообразно с этим, положим
'o-f 0-05, ?0 + | = + 0.05
• /0 = 0.0, ги==0Л
/=0.005 (i+j Ах.
Вычисление будет выполняться по формулам (см. § 53):
Red = 12 f" ~ 240 7» + Г95Г7» ~ • • •

§ 55. Пример численного интегрирования ур-ния второго порядка 157
Начальные значения х_2, х_х> х0, х19 х2, найдем
последовательными приближениями.
Для первого приближения возьмем
х_х = х0^х1 = 1.00063
и вычислим соответствующие значения/, указанные в таблице А.
Таблица А.
t
— 0.1
' 0.0
0.1
f-2
1.002 09
0.99959
1.00209
/-1
— 0.002 50
+ 0.002 50
/
0.005 03
0.00500
0.00503
fl
-3
-f 3
/2
+ 6
Red
+ 42
+ 42
+ 42
X
1.00251
1.00001
1.00251
Затем по только-что приведенным формулам находим
/71 «= 0.002 50, / ~3 = 0.999 59
и последовательным сложением заполняем столбцы сумм.
Остается вычислить поправку Red, чтобы получить новые, более
точные значения х.
С этими значениями проводим второе приближение, указанное
в таблице В:
Таблица В.
t
— 0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
| 0.4
/"2
1.009 622
1.002 084
0.999584
1.002084
1.009 622
1.022311
1.040344
Г1
— 0.007 538
— 0.002500
+ 0.002 500
+ 0.007 538
+ 0.012690
+ 0,018032
f
0.005 152
0.005 038
. 0.005000
0.005038
0.005152
0.005342
f1
-114
— 38
+ 38
+ 114
+ 190
f
+ 76
+ 76
+-76
+ 76
+ 76
+ 76
Red
+ 427
+ 418
+ 416
+ 418
+ 427
+ 445
+ 468
X
1.01005
1.002 50
1.000 00
1.002 50
1.010 05
1.022 76
1.04081
В этой таблице значения функции х__2, х? и х3 получены при
помощи экстраполированных значений /_2, /2 и /3 (показанных, как и
вообще все экстраполированные величины, курсивом). Наконец х±
вычислено при помощи экстраполированного значения Red (qp. § 51).

158 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Таблица С.
.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/~2
0.999 584
1.002 084
1.009 622
1.022 311
1.040 344
1.063997
1.093633
1.129706
/-1
0.002 500
0.007538
0.012 689
0.018033
0.023 653
0.029636
0.036073
f
0.005000
0.005038
0.005 151
0.005 344
0.005620
0,005983
0.006431
fl
+ 38
+ 113'
+ 193
+ 276
+ 363
+ 454
f
+ 75
+ 80
+ 83
+ 87
+ 91
f
+ 5
+ 3
+ 4
+ 4
Red
+ 416
+ 418
+ 427
+ 455
+ 468
+ 498
+ 536
+ 682
Л
2
9
16
23
30
38
46
Д2
7
7
7
7
8
8
X
1.00000
1.002 50
1.010 05
L022 76
1.04081
1.064 49
1.09417
1.13029
Третье приближение, воспроизведенное в таблице С, показывает, что
все значения х, полученные во втором приближении, являются
окончательными.
В третьем приближении экстраполирование проведено еще на три
интервала вперед; причем значения лг5 и л:6 получились совершенно^
точно, а х7 получилось с ошибкой в две единицы пятого знака.
Если желательно избежать последовательных приближений при
нахождении дальнейших значений хЪу х6> хъ . . . то можно воспользоваться
-формулой Штёрмера
Red=^(c1+C4-+/i-^-2io/:-2+- • ••
(**)
вычисление по которой в том случае, когда третьими разностями можно
пренебречь, почти столь же просто, как и по обычной формуле
Ше=Т2г*-т/2п+- ¦ -
у***\
Если значения хп> получаемые по формуле (**), время от времени
подправлять по более точной формуле (***), то будут соединены
преимущества обоих методов.
В том случае, когда вычисляемый интеграл задан начальным
значением и начальной скоростью, вычисления ведутся совершенно так же.
Отличие заключается лишь в том, что начальные члены столбцов сумм
вычисляются по другим формулам.
Если бы, например, нужно было вычислить таблицу значений
интеграла уравнения (*), определенного условиями
х(— 0.05) =1.000 6252, *'(—0.05)= — 0.0250156

$ bb. Формулы квадратур 159
для /==0.0, 0.1, 0.2, . . . , то начальные члены столбцов сумм нужно было
бы вычислять по формулам (35) и (39), которые можно написать так:
2637 ^ 1 ° ^ • • •
В заключение отметим, что функция
x(t) = e* ,
вычислявшаяся в этом параграфе, тождественна с тою, вычисление
которой было рассмотрено в § 51. Сравнение этих двух примеров
показывает, что численное интегрирование уравнения 2-го порядка, при прочих
равных условиях, нисколько не труднее, если не легче, численного
интегрирования уравнения 1-го порядка.
§ 56. Формулы квадратур.
Применим формулы, выведенные в §§ 49 и 50, к интегрированию
уравнения
§~р(0- " (40)
Решение этого уравнения, определяемое начальными условиями
t=t0, х = 0, выражается интегралом
С другой стороны, частное значение этой функции при t = tn дается
формулой (14). Поэтому
fF(t)dt = f^-±fl+±f\-. . ., (41)
г
12'" ' 720
ГД6 ' f(t) = wF(f),
а первый член столбца сумм определяется равенством
Точно так же, применяя к вычислению интеграла уравнения (40),
определяемого начальными условиями t = tQ — у, х = 0, формулы (17) и
(17bis), получим:
J «')«-Ci+h'+i-vkf.+b+- • • (43)
t --

160 VIIL Численное интегрирование дифференциальных уравнений
*п
J П№-/?-УХя + ?я/1-. ¦ -. ¦ (44)
w
причем в этом случае начальный член столбца сумм равен
Сі = —^Лі + 7Г7Йп'!-2-~- ' • (45)
.. 24'-f ' 5 760'--?-
Еще одну формулу квадратур получим, если в равенствах (43) и (44)
подчиним начальный член столбца сумм условию (42) и, сделав во
втором из этих равенств л = 0, вычтем второе из первого. Это даст
w
'» + т ' ¦
Для получения формул квадратур, дающих двукратный интеграл,
рассмотрим уравнение второго порядка
%-ПО- (47)
Решение этого уравнения, определяемое условиями x(t0) = О,
*'0о) = 0, с одной стороны, выражается формулой
х= I dt I F(t)dt,
to t0
с другой—может быть вычислено по формуле (26). Это дает
'л
причем начальные члены столбцов сумм определяются равенствами:
^—1 1 - | 1 -і 11 3 | 191 j5
-\~ 2Уо~М27о 7207о"^60480 7о * ? '
/-!e_J-/ 4-—/2 —/44-
0 12Уо^240у° 60480 У°^' * "
(48)
(49)
Рассматривая решение уравнения (47), удовлетворяющее условиям
-* И о — 9~)=^ *'(А>— о-)™^, и пользуясь формулами (37) и (37bis),
получим
¦ш
t і w
f
.-» 1 , , 17 **
it] /'Р-^і-й/^+іёо^і- • ¦ (5°
да / —
Г */ ^(О^/Г+^Л-яоЛЧ....
(51)

§ 56. Формулы квадратур 161
причем на этот раз имеем
-±-~ 24/-~і~5760/-4- 967680 -у-"^ * '
/о в24^"" 5760 ^-4^0^ 967680 (3/-і+2^)~ •
(52)
Применив тот же прием, какой мы употребили для получения
формулы (46), из соотношений (50) и (51) получим еще одну формулу:
f 1 />w*-Ci-jk4+wC-;--- ¦ •• <53>
где столбцы сумм определяются условиями (49).
Все полученные нами формулы можно объединить следующим
образом:
*- С f(ftdt=rl 1 fl I ll f* 191 j^-L
и, J 'W уп 12-/"^720у" 60480Уя~г' " *
w
'КО
л 2
А
*т t
If dtjfw^+y^fi+J^^
A A
w
\f dlffm-c^T-y^+
(II)
_ь _J_Z_ /2 _ 367 ^ ,
"^19207«+^ 193536 7«+5-+" ' "'
причем для Л = ?о начальные члены столбцов сумм вычисляются по
формулам (42) или (49), а для A==t0 ^- их надо вычислять по
формулам (45) или (52). Для всякого иного значения А эти начальные ялены,
должны быть определены по общим формулам, указанным в §§ 49,
50 и 51.
Полезно отметить, что равенство (42) эквивалентно первому из
равенств (49).
Примечание. На простых уравнениях (40) и (47) особенно удобно
продемонстрировать следующее явление, с возможностью которого
приходится считаться при всяком применении интерполяционных формул,
в частности при численном интегрировании:
Для всякою интервала w существуют функции F{f)> для которых
формулы (I) или (//) дадут результат, сколь угодно мною отличающийся от
истинною, хотя все члены в правых частях этих формул, влияющие на
результат, будут приняты во внимание.
Курс Небесной: механики И

162 VIIL Численное интегрирование дифференциальных уравнений
В самом деле, возьмем функцию
все значения которой для t=t^-\-nw равны нулю.. Формулы (41) и (42)
дадут для интеграла
I «о*
'«
значение, также равное нулю.
. Между тем этот интеграл очевидно не равен нулю и при
соответствующем выборе А будет равен сколь .угодно большому числу.
Таким образом, интегралы функций F(t) и Z7(/) + ?(/) будут
отличаться сколь угодно много, хотя формулы численного интегрирования
будут для этих интегралов давать одно и то же значение.
Этот пример показывает, что при численном интегрировании (как
и при других интерполяционных процессах) не достаточно иметь таблицу
значений функции, а надо еще знать ее аналитический характер.
§ 57. Обоснование способа последовательных приближений.
Возьмем уравнение первого порядка
и рассмотрим вычисление интеграла, определенного начальными
значениями /<ь Jf0.
Искомый частный интеграл удовлетворяет, очевидно, интегральному
уравнению
t
х = х,+ fF(xyt)dt. . (54)
Обратно: функция, удовлетворяющая уравнению (54), удовлетворяет
как данному дифференциальному уравнению, так и поставленным
начальным условиям.
Таким образом, нахождение нужного нам частного решения
дифференциального уравнения эквивалентно разрешению интегрального
уравнения (54).
Возьмем какую-нибудь функцию $0(0» удовлетворяющую условию
^о(А)) — *с> и вычислим новую функцию %i(t) при помощи формулы
t
Ь(/)=*о+ /рШ,№
Новая функция также будет удовлетворять условию ?і (А)) = *о-
Продолжая этот процесс, получим вереницу функций
М0> Еі(9, 63(0, •
связанных общим соотношением
*п+і(.0 = *0+ /?№)>№¦ (55>

§ 58. Приемы для уменьшения числа последов, приближений 163
Докажем, что
л—>со
Для этого вычтем почленно равенство (55) из (54) и рассмотрим
разность
х-К+і= f{F(*>t)-F$n,t)}dL
to
Теорема о конечном приращении дает
\F{x,tl — FQbi)\<M\x-tn\,
где через М обозначена верхняя граница значений частной производной
F'v(xyt) для рассматриваемой области изменения-х и Л
Следовательно:
l*-WI<ilfl'-/ol'l*-EJ.
Подчиним интервал /—/0 условию
M\t—t0\<q, (56)
где через g обозначена правильная дробь, так что 0 <q < 1; тогда
Применив это неравенство для л = 0, 1, 2, . . . , п—1, п и
перемножив почленно все полученные неравенства, получим:
Отсюда ясно, что при условии (56) функция %n(f) действительно
стремится к искомой функции x(f) при возрастании п до
бесконечности.
Таким образом, взяв произвольную функцию \0{t) и применив
формулу (55) достаточное число раз, получим x(t) с любою точностью.
Нужная точность будет достигнута тем скорее, чем меньше число qy
т. е. чем меньше интервал t — /0э а также чем лучше исходное
приближение Ео (0-
В примере, приведенном в § 51, мы взяли за S0(f) постоянное число х0
и после двух приближений нашли x(t) для значений /, близких к /0.
После того как несколько значений x(t) уже найдено,
нецелесообразно пользоваться прежней функцией $о (*) — лучше при помощи
экстраполирования построить табличку значений некоторой новой, более
близкой к x(t) функции, и к этой функции применить формулу (55), т. е.
поступать так, как мы делали выше, применяя метод квадратур.
Аналогичным образом может быть обосновано применение
последовательных приближений в методе квадратур для уравнений второго
порядка и для систем уравнений.
§ 58. Различные приемы для уменьшения числа последовательных
приближений*
Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений,
рассмотренные в предыдущих параграфах, распадаются на две группы:
к первой можно отнести методы Адамса, Штёрмера и соответствующие
и*

164 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
им квадратурные методы; ко второй отнесем метод Коуэлла и обычный
метод квадратур.
В методах первой группы используются разности, расположенные
по восходящей диагонали, так что каждое значение искомой функции
вычисляется при помощи только предыдущих ее значений. Эти методы
поэтому могли бы быть названы экстраполяционными. Напротив,
в методах второй группы употребляются разности, стоящие на
горизонтальной прямой, вследствие чего при вычислении каждого значения
функции одинаково участвуют как предыдущие значения функции, так
и последующие. Поэтому методы второй группы заслуживают названия
интерполяционных.
Интерполяционные методы дают естественно большую точность, но
зато вычисление по этцм методам приходится вести последовательными
приближениями.
Если число приближений не превышает двух, то это
обстоятельство отнюдь не может рассматриваться как недостаток, поскольку
последовательные приближения существенно способствуют безошибочности
вычислений. Однако вести вычисление с большим числом приближений
невыгодно. Посмотрим, поэтому, каким образом число приближений
может быть уменьшено.
Первый способ. Самый простой и в то же время едва ли не всегда
самый удобный путь для уменьшения числа приближений заключается
в соответствующем-уменьшении интервала w. Этот интервал берут таких
размеров, чтобы экстраполированное значение искомой функции было
достаточно точно для получения окончательного значения функций/.
При этом условии второе приближение будет менять только разности
и суммы первого приближения и будет являться окончательным.
Такой авторитет в астрономических вычислениях, как Комри, в своем
наставлении для применения численного интегрирования к проблемам
Небесной механики 1 указывает только этот способ, причем особенно
предостерегает вычислителя от попыток употребления широкого
интервала интегрирования: „The computer should be warned against attempting
to use too large an interval, the result of which is that checking by differencing,
which is essential in these methods, becomes ineffective. A safe guide is that
the sixth dtfference should not exceed two figures".
Комри предлагает, таким образом, руководствоваться правилом:
интервал должен быть такой, чтобы шестая разность была бы не больше
нем двузначное число.
Второй способ. Если в обычной формуле квадратур
xn = fn +12^^~"240"/л~^ 60480^rt— " * * ^
выразить величины /я, /~, . . . (присутствие которых и делает
необходимыми последовательные приближения) через величины, находящиеся на
восходящей диагонали, то в результате получим квадратурную форму
метода Штёрмера:
xn=fn - + і2'^-і^і2^~4- + '240"^-2^~ " " ' (58)
Формула (58) уже не требует последовательных приближений, но
зато дает несколько меньшую точность (см. § 52), чем формула (57).
1 Planetary Co-ordinates for the years 1800—1940 referred to the Equinox of 1950.0,
London, 1933.

§ 58, Приемы для уменьшения числа последов, приближений 165
Для того, чтобы соединить выгоды, представляемые этими двумя
формулами, остановимся в переходе от (57) к (58) на полдороге. Имеем
2
2
Поэтому, останавливаясь, например, на втором из этих выражений,
получим __
где
хп=П +У2(Л-і+/я_.^+Л-2) — *240"^я+ 60480^_ ' " "
Для хп мы получим сразу окончательное значение, ибо ошибки
экстраполированных значений*/^, /*, . . . вследствие малости
коэффициентов чувствительного влияния на хп не окажут. При последовательных
приближениях будет меняться лишь поправка ая. Но эта поправка мала,
и вычисление ее проводится весьма удобно.
Способ Титьена. Титьен 1 обратил внимание на то, что
необходимость в последовательных приближениях возникает вследствие наличия
в правой части формулы (58) члена тк/„> так ка* остальные члены
находятся и при помощи экстраполирования практически вполне точно.
Поэтому он, учитывая, что
заменил формулу (57) таким равенством:
*.-l&nx*V=S0 (59)
где
*n~Jn 240/л^60480Ул v }
Для Sn сразу получаем окончательное значение, после чего решение
уравнения (59) дает искомое значение хп.
Таким образом, при последовательных приближениях будут
меняться лишь разности /J, /*,..•
Этот способ может иметь практическое значение лишь в том случае,
когда решение уравнения (59) относительно хп достаточно просто.
1 F. Tietjen, Specielle Sturungen in Bezug auf Polarcoordinaten, Bed. Astr. Jahrbucb
fur 1877; M. Ф. Субботин, О численном интегрировании дифференциальных уравнений,
Известия Академии Наук СССР, 1-933,¦№ 7, стр. 895—902.

166 VHL Численное интегрирование дифференциальных уравнении
Способ Нумерова. То же самое, что сделал Титьен для метода
квадратур, Б. В. Нумеров сделал для метода Коуэлла. * .
Обратимся к основной формуле Коуэлла
которая совместно с равенством
позволяет последовательно находить хи х2 . .
Введем новую переменную х? полагая
I ,
так что при / = *А будем иметь
Обозначая через А, А2, . . . разности х, получим, как очевидное следг
ствие (62):
Д2 — Д2 L/2
ak "ft 12 *'
Таким образом, для'новой переменной имеем
*—у* 2407*^ 60 480 у* ' " \
и, как для всякой функции,
Xk+l ~ ^Xk Xk-X "Г ДА*
Эти два равенства очевидно вполне эквивалентны (60).
Для вычисления fk = uf2F(xk) /ft) требуется знать хк. Поэтому от
каждой найденной „специальной координаты" xk надо перейти к
обыкновенной координате хк. Для этого надо решить уравнение (62), которое
мы можем написать так:
///2
** = **- Г2 F(X"' '«> (63)
и которое соответствует уравнению (59) в способе Титьена.
Предположим, что интервал #ч выбран так, что членами
240 7*+ 60480/* + * "¦• 240^^/6^-1-- - - IPV
можно пренебречь. В этом случае для последовательного вычисления
„специальной координаты" х получаем весьма простую формулу
xk+1 = 2xk-'xk_l-{-fi;, . ' (65)
1 Б. Нумеров, Methode nouvelle de la determination des orbites et le calcul des
ephemerides en tenant compte des perturbations, Труды Гл. Российской Астрофиз.
Обсерватории, т. II, 1923.

§ 59. О формуле квадратур Лапласа 167
эквивалентную равенству (60), написанному так:
^п Jп *
В применении этой формулы заключается так называемый способ
Нумеров а, или способ экстраполирования.1
В способе Нумерова разности величин /к не составляются (ибо,
если бы они были составлены, то было бы проще вычислять по
формуле (61), нежели переходить к „специальной координате"), поэтому
работа лишается обычного контроля и необходимая гарантия от ошибок
может быть получена лишь при помощи тех или иных
специально-контрольных вычислений.
Таким образом, рассматриваемая модификация метода Коуэлла
может применяться при соблюдении двух условий: 1) можно заранее
гарантировать нечувствительность членов (64) во время всего процесса
интегрирования (в методе Коуэлла и в методе квадратур по ходу,
разностей всегда видно, какими членами мояіно и какими нельзя
пренебречь); 2) решение уравнения (63) относительно хк выполняется доста*
точно просто. Недостатки метода Коуэлла при этом усугубляются (§ 52).
Если итти дальше по пути уничтожения членов формулы (61) и
взять, наконец,1 за новую переменную
12/^240/ 60480У ^' ' -'
то мы будем иметь совершенно точные равенства:
но в этом случае максимального „усовершенствования" метода Коуэлла
мы получим, как показывает равенство (57),
' z —Г2
т. е., иначе говоря, метод квадратур.
§ 59* О формуле квадратур Лапласа и связанных с нею методах
численного интегрирования уравнений.
Методы численного интегрирования, изученные в предыдущих
параграфах, допускают много разнообразных модификаций.
Обратимся к способам, указанным в § 48 для интегрирования ур^в*-
нения
-§- = F(x,t). ¦ (66)
Эти способы основаны на вычислении разности
1" -і
1 Это последнее название следует признать неудачным, поскольку слово
экстраполирование имеет общепринятое, гораздо более широкое значение.

168 VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
при помощи последовательных разностей функции
f(t)=wF(x,t).
Представим эту разность в следующем виде:
Vi=jf(^>-x(^-";)=a;(^)ft+1-?("S-)A+1+- • •
или, пользуясь опять соотношениями (6):
А _f \_л __L/2 L/3 *9 і
а+і-""7*+і 2 J*+~ 12У* 24УА-» 720 у*"1
3 >5 __ 863 * _
~ 160 7*--~ 604807*"2 * * # <0/'
Эта формула дает метод интегрирования, напоминающий метод
Коуэлла в том отношении, что тут также приходится прибегать к
экстраполированию для получения /А+1, . . .
Суммирование равенства (67) от ? = 0 до к = п — 1 дает:
2 Т 2 2
Применим эту формулу к тому случаю, когда правая часть
уравнения (66) не зависит от х. В этом случае
хп — *о =
J F{t)dt = ^J f{t)dt.
Следовательно
"У'/(/)^-у/0+Л+/2+. . -+/^і+уЛ
W
Полученная формула может иногда представлять то неудобство, что
она выражает интеграл не только через значения функции /0> /ь • • - >
fn—v Л» н0 и через значения /в1, /_2, . . . , аргументы которых лежат вне
пределов интегрирования. Это неудобство может быть избегнуто,, если
воспользоваться такими, легко проверяемыми соотношениями:
/.!=/: -л2+/3-/24+- • •
2 Т Т
/11=Л2-2/^ + 3/*-4/б + - • •
2 V
/1і.=/3 -з/* +6/ - ю4+ • • -
2 г т
fU =Л4~ 4/Бк + 10/3в— 20/' + . . .

§ 60, О коэффициентах формул численного интегрирования 169
Таким образом, окончательно получим следующую формулу
квадратур:
~ уь/«*-у/о+л+.-.+л-.1+ул
-П^<^±-Л)--5Г(^+^)
- 24
19
720 ^л-™ ^ ТбО"^-2"'"-^^"" ' " "'
2
найденную Лапласом. Эта формула широко применялась до 40-х годов.
XIX столетия при вычислении возмущений, но затем была вытеснена
указанными в § 56 формулами Гаусса.
§ 60. О коэффициентах формул численного интегрирования.
В заключение покажем еще один путь для вычисления
коэффициентов в формулах, служащих для численного интегрирования
уравнений. После того как вид такой формулы установлен, ее коэффициенты
могут быть получены путем применения этой формулы к частному
случаю, выбранному надлежащим образом.
Возьмем уравнение
dx t .
и к решению этого уравнения х = е* применим нанример формулу (10).,
Составим разности функций <?—е\ приняв /9 = 0. Получим
<р2А := [ekw — e{k"l) а] (еw — 1) = #-*> w (ew — l)2
k+T
или, полагая
VS W
2 2
u = e —t ,
будем иметь такие выражения:
(*+і)
ф 1 = ? U
'*+-г

170 Villi Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Следовательно, для функции f=we будем иметь
Г t = агс* ch^-,
где
w_ * y ¦ —
Подставляя найденные выражения в формулу (10), окончательно
получим такое тождество:
,w 12 ' 720 60480
wch ¦
Так как
tt- = 21n(la+|/l + -i-^j(
то это тождество можно написать следующим образом:
Итак, для получения коэффициентов формулы (10) достаточно
стоящую слева функцию разложить в степенной ряд.
Аналогичным образом, коэффициенты формул (11), (19) и (29)
найдутся при помощи тождеств
и . . 1 % 17 , . 367 Л
w ^24 5760 ^96?680 * '
#2 1 1 Я1
ш* ^12 240 ^ 60480 ; ' '
д2 і ' , і 17 , 367
ОА l ЮОП ЮОСОС м I • - • у
, *^и> 24 ' 1920 193536
доказательство которых не представляет никакого труда.

ГЛАВА IX.
ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ
НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ.
§ 61* Введение.
В начале предыдущей главы уже было отмечено, что численное
интегрирование дифференциальных уравнений до последнего времени
рассматривалось исключительно как метод вычисления возмущений и
потому совершенно не применялось для вычисления невозмущенных'
координат. Небольшое исключение представляет лишь прием,
предложенный Крюгером для нахождения истинной аномалии (§ 62).
Только после того, как по инициативе Коуэлла численное
интегрирование было применено к вычислению возмущенных координат
(а не возмущений), была более широко использована возможность
определения этим методом и невозмущенных координат.
В этой главе мы рассмотрим вычисление при помощи численного
интегрирования как орбитальных координат г и v (или ? и *п), так и
экваториальных гелиоцентрических координат х,.у, z, служащих для
вычисления эфемериды.
При вычислении более или менее длинной эфемериды излагаемые
в этой главе методы часто заслуживают предпочтения перед
вычислением координат светила по обычным формулам, изученным, в первом
томе.
§62. Вычисление координат, определяющих положение светила в орбите*
Для одновременного вычисления истинной аномалии v и радиуса-
вектора г проще всего воспользоваться формулами
dt ~ г* к }
'"ТХ^—¦ (2)
l-\-e cos v v
Чтобы получить таблицу значений г и v для моментов /0, /ь + и>,
?о + 2и>, . . . достаточно вычислить эти величины по обычным формулам
(том I, глава III) для момента /0- После этого численное интегрирование
уравнения (1), в котором г определяется равенством (2), даст все
остальные значения г и v.
Вместо уравнения (1) иногда может оказаться выгодным
интегрировать уравнение
Фи _ 2k2e sin v
легко выводимое из (1) и (2).

172 IX. Применение численного интегрирования
Крюгер 1 предложил следующий весьма удобный распорядок
вычисления. Прежде всего, по формулам кеплерова движения нужно найти
и и г для трех первых моментов. Затем при помощи экстраполирования
составляется таблица приближенных значения г, что дает возможность
вычислить правую часть уравнения (1) и, после интегрирования, найти г/.
С этими значениями v вычисляем снова г и повторяем интегрирование:
получим более точные значения у, и т. д. (ср. § 57).
Так как радиус-вектор меняется очень плавно и поэтому
экстраполируется с большою точностью, то второе приближение даст всегда
окончательные значения v, если только при экстраполировании не брать
сразу слишком много интервалов.
Если нужно вычислить только один радиус-вектор, то можно
воспользоваться формулой Лагранжа (§ 5)
Л* /1 1 \
После того как интегрирование этого уравнения даст таблицу
значений г, определением из уравнения (1) выполнится при помощи простой
квадратуры. Конечно, зная г, можно найти v и при помощи равенства (2),
однако вычисление истинной аномалии интегрированием уравнения (1)
даст более точный результат и потребует меньше работы, так что этот
путь следует, вообще говоря, предпочесть.
Для того чтобы начать интегрирование уравнения (3), можно вычи-
слить значения г для двух моментов, например h — w и tQf или /0—~
и 'o + -ft-- Но можно ограничиться вычислением г только для одного
момента, но для этого же момента найти производную
dr kcsmu k tg? sin v
Указанный путь для вычисления г и v для ряда равноотстающих
моментов особенно выгоден в тех случаях, когда вычисление этих величин
по обычным формулам сложно, т. е. прежде всего для орбит,
эксцентриситеты которых мало отличаются от единицы.
Для вычисления .прямоугольных орбитальных координат % и г\ можно
воспользоваться дифференциальными уравнениями
Проще, однако, выразить I и у\ через величину а (т. I, § 23),
определяемую уравнением
где ./іч 1 /і
и условием, что о = 0 в момент прохождения через перигелий. Для
вычисления % и 7j служат формулы (іос. cit.)
6 = ^(1—а2), п = 2до^Т^1\/1— еоз .
1 А. К г и е g е г, Die Wiederkehr des Olbers'schen Cometen 1887 . . ., Astr. Nachr., 117,1887.

§ 63, Пример вычисления орбитальных координат
173
В заключение отметим, что численное интегрирование уравнения (1)
или (3) может быть применено для уточнения или проверки уже
найденных значений v или л
Например, взяв за первое приближение значения я, даваемые
таблицей XV (т. I) с точностью до 0°.00005, и интегрируя уравнение (1),
получим v с большим числом десятичных знаков (§ 57).
§ 63. Пример вычисления орбитальных координат при помощи
численного интегрирования.
Пусть кометная орбита определена элементами
^ = 0.967645 67, .lg 9 = 9.765 6500;
требуется вычислить г и v для моментов t0-\-kw, где
*o = 65d.54400, w = 2d,
причем время считается от момента прохождения через перигелий.
Эта задача может быть решена несколькими способами.
Способ Крюгера. Прежде всего вычисляем, по обычным формулам
(т. I, § 23), следующие значения v и г:
t=t0 — w у=1ОО°.00ООО
/о 101.082 51
t0 + w 102,12697
Для уравнения (1) функция
может быть представлена так:
/=2.111 215 г~2= [0.3245324] г~%
так как гауссова постоянная, выраженная в градусах, равна
*° = 0°.985 6075, lg *° = 9.993 7040_10;
кроме того, в настоящем случае w = 2 и
j/p = j/<7(l_f-<0= [0.029 7984].
Вычисление функции/для указанных значений г и для двух экстра-
лолированных (курсив) представлено в следующей таблице.
Таблица А.
г= 1.378 76
1.409 32
1.439 77.
t
t-2
t-t
to
h
h
r
/.34809
1.37876
1.40932
1.439 77
1.47011
Разности
+ 3067
— 11
+ 3056
— 11
+ 3045
—11
+ 3034
г"1
0.741 790
0.725289
0.709562
0.694 555
0.680 221
г"2
0.550252
0.526044
0.503478
i
0.482407
0.462 701
/
1.161 70
1.11059
1.06295
1.018 46
0.97686

174 IX. Применение кисленного интегрирования
Так как интегрирование уравнения (1) мы будем производить по
формуле
v*—f* 12/л + 720/я ' " "'
то в следующую таблицу В вписываем сразу средние арифметические
значений /, полученных в вышеприведенной таблице А,
Таблица В.
•
t
*-Л
'-1
'о
'l
t*
и
/-1
98.85977
99.99591
101.08268
102.12338
103.121 04
104.078 44
/
1.13614
1.08677
1.040 70
0.997 66
0.95740
f1
— 5294
-4937
— 4607
— 4304
— 4026
f
+ 357
+ 330
+ 303
+ 278
/3
-27
— 27
— 27
— 25
Red
+ 441
+ 411
+ 383
+ 358
+ 335
+ 314
V
98.864.18
100.000 02
101.08651
102.126 96
103.12439
104.081 58
Таблица С.
/ ¦
/
'о
h
ч :
h
1 4- e cos v
0.780 281
r
1.409 32
1.439 77
, 1.470 10
1.50030
Разности
— 11
+ 3045
— 12
+ 3033
-13
+ 3020
,
г'1
0.680226
0.666533
о
r "
•
0.462707
0.444266
f
1.01846
0.97687
0.93794
Начальное значение столбца сумм определяется из условия
которое в данном случае дает
Дальнейшие вычисления ведутся параллельно в таблицах В и С еле»
дующим образом.
1. Пользуясь экстраполированным значением Red = -4-335, находим
и3=ЮЗМ24 39.

§ 64. Вычисление эфемериды 175,
2. С этим значением v2 вычисляем г2 по формуле (2); в настоящем
случае /> = 1.147 088,
3. Найденное г2 позволяет найти окончательное значение /2=* 0.976 87,
показывающее, что значение /^ = 0.997 66, принятое при интегрировании,'
можно не менять.
4. Экстраполированием находим гг и вычисляем /3.
5. Вписываем в таблицу В соответствующее значение /в = 0.957 40
и, взяв экстраполированную поправку Red = —}— 314, находим v%.
В заключение заметим, что принятая при вычислении г точность не
вполне обеспечивает пятый десятичный знак в истинной аномалии: для
этого нужно было бы определять г с семью значущими цифрами.
Впрочем такая точность едва ли когда-нибудь является действительно
необходимой.
Второй способ. Интегрируем прежде всего уравнение (5), пользуясь,
например, такими начальными значениями:
*, = 65.544 00, 06=1.2103123.
Так как о меняется очень плавно, то интервал w можно увеличить
и взять w = 4d.
После этого можно либо вычислить к и т|, либо найти г и v по
формулам: .
Можно, наконец, вычислив сначала г по первой из этих формул, найти v
интегрированием уравнения (1), что потребует выполнения квадратуры
(§ 56), так как правая часть этого * уравнения уже будет известна для
всех рассматриваемых моментов времени.
Третий способ. С начальными значениями
/е — ^ = 63.544 00, г = 1.378 762, J = 0:015 305 62
интегрируем уравнение (3), причем берем w = Ad. Истинную аномалию
находим так* же, как и в предыдущем способе.
§ 64. Вычисление эфемериды при помощи численного интегрирования
уравнения движения.
Необходимые для вычисления эфемериды прямоугольные координаты
светила х, у, z могут быть получены при помощи численного
интегрирования уравнений
<Рх &х d*y .#y &z &z ,«
гг+7Г = 0' w*+7l = °> лі+7Гв0- (6>
Чтобы начать интегрирование, надо вычислить либо координаты
(*_!» У-Л> 2-і)> (*0, Л,'Яо)
для моментов t_x=tb — w и tv либо величины
с*0, y0,z0), (x'0, >;, <),

176
IX. Применение численного интегрирования
определяющие положение и скорость светила для момента t0. Для этого
служат обычные формулы кеплерова движения; например, если движение
происходит по эллипсу с умеренным эксцентриситетом, то можно взятъ
такие формулы (т. I):
х = аРх(cos Е- e)-\~bQx sin В
y = aPf(cos Е — ё) -f- bQy sin E
z = aPz(zos E — e)-\-bQzsinE
xr = -Д=(— aPx sin E 4- bQx cos E)
У - j4=(— ^v sin fi -f bQy cos ?) .
z' = ~^=(— */>, sin ?-f- *Qzcos?),
причем эксцентрическая аномалия Е определяется из уравнения
Е—еътЕ = М.
Для контроля могут служить равенства
(7)
(Г)
r=tftf-\-y*-±.2* = a(l—e cos Я),
, Вычисление невозмущенной эфемериды производится обычно на
небольшой промежуток времени, причем начальный момент /0 берут
в середине этого промежутка. При таких условиях метод квадратур не
имеет особых преимуществ перед методом Коуэлла (так как число
проходимых при интегрировании интегралов невелико), и оба эти метода
могут быть одинаково рекомендованы.
Интегрирование уравнений"(6) требует вычисления функций
—з
/= — w*№r'~*x
w*tpr~*y9
— w*#r-%z.
Для этого удобно пользоваться специальной таблицей, дающей
w*k2r~z по аргументу r2=V-f-^2-f-2:2. Такая таблица помещена в томе I.
При пользовании более подробной таблицей Комри (Connie,
Planetary Co-ordinates for the years 1800—1940, London 1933) надо иметь
в виду, что
для w = 2d, 10^** = 11836.49
= 4', = 47 345.95
= 8d, =189 383.81
Пример вычисления гелиоцентрической эфемериды планеты при
помощи этого способа был уже дан в томе I.
В заключение заметим, что на практике предпочитают вычислить
по формулам (7) не одно или два положения планеты, необходимые
и достаточные для определения решения- системы (6), а несколько
положений, так как это не только облегчает начало интегрирования, но
и дает очень хороший контроль.

§ 65. Другие способы для вычисления эфемериды 177
§ 65. Другие способы для вычисления эфемериды при помощи
численного интегрирования.
Предположим, что для момента /0 нам известны координаты светила
-Xq, Уо, Zq и компоненты скорости х0', y'v zr0. В томе I было показано, что
координаты светила ху у, z для любого момента времени выражаются
через указанные величины следующим образом:
z = Fx0 + Gx'Q
z = Fz0 + Q*0,
причем функции F и G разлагаются в ряды:
° = *-\*гС + ^гТг'*-> • ¦¦> С9)
где 6==?(/— /0). а Го и г'0 вычисляются по известным формулам
, Заметим, что штрихами мы обозначаем здесь производные по
$=?(/—/ь), так что
X ~ kdt9 У kdtJ Z ~ kdty Г kdt'
Вычисление гелиоцентрических координат ху у, z> нужных для
получения эфемериды, можно производить по формулам (8). Для нескольких
близких моментов t функции F и G могут быть удобно вычислены при
помощи рядов (9). Для более далеких моментов можно прибегнуть к
численному интегрированию вместо того, чтобы пользоваться конечными
выражениями этих функций, указанными в томе I.
В самом деле, дважды дифференцируя равенства (8) и замечая, что
#2 — *ХГ > at2 у ' л* '
получим
причем
r* = rlF* + rf0*G* + 2ror^FG. (И)
Система уравнений (10), где г определяется равенством (11), легко
интегрируется способами, изученными в предыдущей главе.
Равенства (9) показывают, что
*-і. (?)о = 0, О.-0, (?)о-*;
поэтому здесь особенно удобно определять интегральную кривую
начальной точкой и начальной скоростью.
12
Курс He<«cxot иexпнеже

178 IX. Применение численного интегрирования
Еще один способ вычисления прямоугольных гелиоцентрических
координат мы получим, взяв формулы
х = nlxl -f- л2#2, У = П\Уі + пгУъ> z=^nxzx-\- n2Z2i (12)
выражающие условие нахождения трех положений светила в одной
плоскости, проходящей через центр Солнца, и рассматривая в них (хи уи zx}
(хг, Уг, %і) как заданные координаты светила для моментов tx и t2> а (х, у, z)
как искомые координаты, соответствующие моменту /.
В этом случае пг и п2, рассматриваемые как функции времени,
удовлетворяют, очевидно, уравнениям:г
—J^-^r $ _e_#*2r , (13>
причем
За начальные значения функций щ(і) и л2(/) удобно взять такие:
Лі('і) = 0, л2(/2)=1.
Интегрирование системы (10) или (13) проще, чем непосредственное
интегрирование уравнений движения, рассмотренное в предыдущем
параграфе, поскольку каждая из этих систем заключает два уравнения, а не
три. Однако это упрощение в значительной степени компенсируется
сложностью формул (11) и (14), а также необходимостью обращаться,
в заключение к равенствам (8) или (12) для получения искомых координат.
Моменты tx и t2 целесообразно выбрать недалеко от середины
эфемериды.
1 На существование этих уравнений указал Т. Банахевич (Т. В anachiew icz, Sar
quelques points fondementaux de la theorie des orbites, Acta astronomica, Ser., a, 3r 1933)^

ГЛАВА X.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ.
§ 66. Общие соображения.
Дифференциальные уравнения, определяющие оскулйрующие
элементы в наиболее общем случае какого угодно возмущающего ^ускорения,
были уже даны в § 12. Оставляя пока в стороне орбиты, имеющие
эксцентриситеты, близкие к единице, введем вместо эксцентриситета угол
<р = arc sin е, как это обычно делается в вычислительной практике.
Уравнения (37) и (38) (см. § 12) дадут:
*' лтг )
-Т— ==Г COS U W
at
—7— == г sin и cosec г w
dt
~~z~ = a cos <p sin v Sr -j- a cos <p (cos v -f- cos Ё) V
.JL = _p cosec <p cos vS'~\- cosec <р(г+>о) sin vV -\- tg к-r sin и И/'
sin ф sin vS —==- - T
dt yj » |/y r
de
(0
<ff
= — (2coscpr—/?tg|cos v\s'-\-ig?(r+p)sinuT' +
+ *g-9r sin и Wf.
Эти уравнения представляют систему совокупных уравнений первого
порядка, численное интегрирование которой весьма просто выполняется
любым из способов, изученных в главе VI. В астрономической практике
всегда применяется метод квадратур, подробно рассмотренный в §§ 49—51.
Здесь применение этого метода особенно облегчается тем
обстоятельством, что правые части -уравнений (1), имеющие множителями
возмущающие массы, очень малы, а поэтому могут вычисляться со
всей'нужной точностью при помощи приближенных значений искомых элементов
U ^, <р, к, п, е.
Момент, для которого известны значения оскулирующих элементов
*о> Й<ь <Р<ь ^о, Щ> Ч> ао> иначе говоря, эпоху оскуляции, обозначим через v
Положим
12*

180
X. Вычисление возмущении в элементах
в таком случае Ді, Д2, . „ . будут определяться дифференциальными
уравнениями
= rcos и W
dt
(О
и начальными условиями Д/ = 0, Д2 = 0, . . . для *=т0.
Выберем определенный интервал интегрирования w и, обозначив
эпоху оскуляции х0 через /0 — -к > поставим себе задачей найти Ді, Д2, . . . ,
а следовательно и оскулирующие элементы для моментов
где k — целое число.
Так как,' с одной стороны, при интегрировании уравнений (Г)
приходится вычислять произведения правых частей уравнений (Г) на wt
а с другой стороны — Дг, Д2, Д<р, . . . удобно получить сразу в дуговой
мере, то положим
8/ = г cos и W
82 = г sin и cosec г W
Sep = а cos <р sin v S-\-a cos cp(cos y-f-cos ?) T
8те = — p cosec cp cos v 5+cosec ?(r + p)sin v Г+
+ te"9*rsin uW
ш8л= =r sin cp sin у 5 -=- T
yr yjr
\
(2)
8e = —(2 coscpr—p tg|cosz; ) 5 + ig|(r-i->c7)siny Г+
+ tg^rsinuW,
где, учитывая значения У, Т\ W, указанные в § 11, имеем:
S =
arcl"
S' =
Т =
w
*]/*агсГ
Т, W
*V7arcl"
w
S,
*УрагсГ
W,
(3)
причем через к обозначена гауссова постоянная, выраженная в секундах
дуги.
Обратимся теперь к методу квадратур, подробно изученному в § 50,
и воспользуемся, в частности, формулами (17bis) и (18). Принимая за /
каждую из функций 8/, 82, . . . , мы будем иметь такие рабочие
формулы:
Y _f-i lfi. И -» 191 -5
*п — J - ~" То-' -
12
720 «
60480'п
/"+...
Г\
kl +
17
24у--і- ' 5 760/-4
367 /5 4-
(4)
967 680 ' -

§ 66. Общие соображения J81
где через хп обозначены соответственно значения Д/, Д2, . . . для
момента / — t0-\-nw.
. Так как средняя долгота вычисляется по формуле (§ 12)
Х = е + /я#,
t
/
to
причем ее невозмущенное значение равно е0-|-ло(*—х0), то возмущение
средней долготы можно представить так:
ДА = Х-[е0+Ло('— т0)]**Де + /(л — щ) dt.
Следовательно, вычисление ДХ приводится к нахождению величины
Д'А = /(л — щ)Шш
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению
d*b'k_dn
dp ~di
и начальным условиям:
(5)
ДЛЯ / = Т0.
Для интегрирования уравнения (5), правая часть которого
определяется предпоследним из равенств (1), положим f=won и воспользуемся
формулами (37bis), (36) и (39), выведенными в главе VI. Это даст
следующие рабочие формулы:
*n—Jn 1"і2у« 2407л^~ 60480у« * ' '
f-1 _ * f1 і *7 *з 367 f5 ,
Г -|-~_24/-^"t""5760/-4-~ 9676807-i+ ' ' ' - W
/72= + ^/-i —^76o(2/-1+/o)+g67680(3/~i+2/o)—• • •
где через *я обозначена величина Д'Х для момента ?=f0-f-/7w.
После того как Д'А найдено, вычисление возмущенной средней
долготы X для момента / производится по формуле
Х = е0 + л0(Г — т0)-[-Дг + Д'Х. (7)
Имея возмущенные значения
/=/0-{-Д/, 2 = 20-fA^ . . -
всех элементов для этого момента времени, мы можем вычислить
положение светила по обычным формулам эллиптического движения:
Е—е sin Е—Ь. — 7г
г sin v — a cos <psin?
г cos v = a (cos?— sin <p),
(8>

182 X. Вычисление возмущений в элементах
причем большая полуось а находится при помощи соотношения
(9)
а =
где надо взять
lgr = 3.550 0066,
если п выражено в секундах дуги, и
lg #W9.993 7041,
если п выражено в долях градуса.
Вычисление прямоугольных экваториальных координат (нужных в том
случае, когда возмущенное положение светила сравнивается с
наблюдениями) выполняется по формулам:
х = г sin a sin {A! -J- и)
у = г sin Ь sin (?' -}- v)
z = г sin с sin (С -j-1?),
причем постоянные Гаусса а, д, си
определяются равенствами
sin a sin А = cos 2
sin я cos Л = —. cos i sin 2
sin b sin 5 = sin 2 cos e
sin 6 cos В = cos / cos 2 cos e — sin / sin e
sin с sin С = sin 2 sin e
sin с cos C= cos / cos Q sin e 4~ sin / cos e,
(10)
(П)
в которых через е обозначена наклонность эклиптики к экватору.
Итак, вычисление возмущенных значений элементов приводится, если
не считать весьма просто выполняемого интегрирования, к вычислению
функций (2), зависящих, с одной стороны, от компонентов возмущающего
ускорения S, Т, W, с другой — от координат г и v возмущаемого тела.
Так как вычисление этих последних, выполняемое по формулам (7), (8),
(9), нами рассмотрено, то остается лишь указать наиболее удобные
способы для определения величине, Ти W, зависящих от компонентов
возмущающего ускорения.
§ 67. Вычисление компонентов возмущающего ускорения.
Введем следующую вспомогательную координатную систему:
направим ось $ по радиусу-вектору возмущающего тела в сторону увеличения г,
ось 7j — по перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости орбиты в
сторону возрастания истинной аномалии, наконец ось С—по перпендикуляру
к плоскости орбиты таким образом, чтобы рассматриваемая система
координат была правой.
Через S, Т, W мы обозначим компоненты возмущающего ускорения
по осям &, т|, С. Для вычисления этих величин могут быть употреблены
различные приемы. Наиболее употребительным является следующий.
Обозначим через тх и 6Ь г\Х) Сі массу и координаты одной из
возмущающих планет. Так как координаты возмущаемой планеты равны, оче-

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
182
Строка
10 снизу
Напечатано
Еозмущающего
Должно быть
возмущаемого
По чьей вине
автора

§ 67. Вычисление компонентов возмущающего ускорения 183
видно, г, О, 0, то общее выражение для компонента возмущающего
ускорения по любой оси, а именно (§ 3):
к2Щ
Хл —X
а
Л.
дает в рассматриваемом случае
7, = *»лі,
\ ~ г Еі
А?
Л
где
Wx = #2от,
ді=(^-1^4-4!+с
Г2
1»
а через гх обозначен радиус-вектор возмущающей планеты.
Таким образом, учитывая равенства (3) и полагая
„ wkfrmx
VP
получим
Sl-*l6l
"77
ДГ
і
7\=Кі?, Щ**КіЪі*
(12)
(13)
Если рассматриваются возмущения, производимые другими
планетами с массами т2, . . . и координатами (Е2, ^2, Сг), . . ., то вычисляем'
по формулам, аналогичным (12) и (13),
соответствующие компоненты (52, 72f
W2), ... и полагаем в уравнениях (2):
5 = S\ -j- 5*2 -f- . . •
Т~ТХ + Т2+. . .
V^= u/j-f WVf • • *
Остается показать, каким образом
могут быть найдены координаты (Elf *»ji»
Сі), . . . возмущающих планет.
Астрономические ежегодники дают для
каждой из больших планет эклиптические
гелиоцентрические координаты, а
именно: радиус-вектор гъ долготу 1Х и
широту Ьи Эти же величины даются со
всей нужной в обычно встречающихся случаях точностью таблицами
Комри.
Обозначим через Lx и Вх долготу и широту рассматриваемой
возмущающей планеты относительно плоскости орбиты возмущаемой
планеты, причем долготу Ц будем считать от восходящего узла л этой
орбиты (рис. 10).
В сферическом треугольнике, образованном положением планеты Ри
полюсом эклиптики Е и полюсом орбиты О, углы при вершинах О и ?
равны соответственно 90° — Lx и 90°~|-А — 2-
Рис. 10.

184
X. Вычисление возмущений в элементах
Поэтому для вычисления Lx и В1 могут служить формулы:
cos ?i cos Z,!==cos (/j — 2) cos bx
cos Bv sin Z1 = sin i i\n bx-\-zos / COs bx sin (lx — 2)
sin Bx = cos / sin bx — sin / cos bt sin (lx — 2).
(14)
Обозначим, как и раньше, через и аргумент широты возмущаемой
планеты, тогда Lx — и и Вх будут сферические координаты
рассматриваемой возмущающей планеты, соответствующие координатной системе ?, і\у
С; поэтому
?х =rj cos 5і cos (Li — u) \
7jj = rj cos #! sin (1г — и) \
Ci=r3 sin Sx.
(15)
Формулы (14) и (15) полностью решают вопрос о вычислении ?ь тіь
Сі по данным ги /ь ^
В прежнее время, когда арифмометры были мало распространены,
для вычисления взаимного расстояния планет Aj рекомендовалось
употреблять, вместо формулы
равенства
Ді cos Яі cos 0і» Ei— r
Aj cos <7i sin 0і = *у]і
Ai sin ^i = Ci,
где ^i и 0і — некоторые вспомогательные величины, ненужные для
дальнейшего.
§ 68. Другой способ вычисления компонентов возмущающего
ускорения.
Если вычисляются возмущения для нескольких оборотов светила и
если эти возмущения невелики, то можно вычисление координат
возмущающей планеты (которую для
краткости можно назвать
Юпитером) провести иначе.
Будем считать движение
Юпитера и движение возмущаемого
светила происходящими в
неизменных плоскостях, определяемых
соответственно элементам *і, 2хи/, 2.
Обратимся к сферическому
треугольнику ShSbxN (рис. 11),
образованному восходящими
узлами сГЬ и сП>! рассматриваемых орбит
относительно эклиптики и
восходящим узлом N орбиты Юпитера
относительно орбиты
возмущаемого тела. Для вычисления угла J
между плоскостями орбит и дуг
Рис- 1L SIN, SbtNt которые мы обозначим
через N и Nu могут служить
ледующие формулы, легко получаемые из рассматриваемого
треугольника:

§ 68. Другой способ вычисления компонентов возмущ. ускорения 185
sin у У sin— (#+#і)
sin-J ./cos-g-(#-j-Лі)
2
sin — (Qj
1 / • 1 /л/
cos у У sin -~-(W
cos-у У cos-к (Л'
1 /о
cos -j (Qj
1
Q) sin -? (i, + f)
1
9) sin
//,) = sin у (9X — 9) cos
N{) = cos -^ (2j — 9) cos
2
J_
2
j_
2
(A-0
(': - 0-
(16)
Рассмотрим теперь, наряду с прежней координатной системой Ч *] С,
новую систему ?' ¦»]'?', отличающуюся тем, что ось 5' направлена в точку
орбиты В, отстоящую от узла на угол <ГЪ5 = р, а ось г{ — в точку,
расстояние которой от узла равно p-f-90°.
Координаты Юпитера в новой системе мы можем вычислить по
обычным формулам (формулы (8) в § 10), принимая в них долготу узла
равной
BN=N—$, - \
а аргумент широты равным
NP1^=ll — Nx — Qu
где через Xj обозначена долгота Юпитера в орбите.
Получим
\[ = г, { cos (Xj — Nt — 9,) cos (N— p) — sin (^ — ty — 9t) sin (N— p) cos 7}
^ = n { cos (Xj — iV, — 9j) sin (N—p) — sin (X, — /if, — 9j) cos (N— p) cos 7}
Cj = rj sin (*x — Nx — 9j) sin У.
Следовательно, вводя величины, аналогичные постоянным Гаусса,
при помощи равенств
5 sin 5" = sin (/V— р)
В cos В" е= cos (/У—p)cos У
В' = В" — Ni-Qi
(17)
(18)
Л sin A" = cos(;V— P)
A cos <4" = — sin(/V—р) cos У
A' = A"-NX — Q1
С = sin У, С'= — ЛГ,-
окончательно будем иметь:-
^ = Г1Аят1(А'-\-1^
с; = г, с sin (с н- *і)
Чтобы получить нужные нам координаты S и і], остается сделать
поворот вокруг оси С на угол и—р, что дает:
5, = ^сов(и— p) + <sin(« —р)
rll==-i;sin(U-P)4-\cos(r/-p)
Вычисление по формулам (18) и (19) можно упростить надлежащим
выбором произвольного угла р. Наиболее простые формулы 1 получаются
0$)
1 Эти формулы для случая $ = и даны Мертоном: G. Мег ton, The periodic comet
Grigg (1902 II)=SkjeUerup (19221) (1902 to 1927), Memoirs of the R. Astr. Society; 64, Part III, 1927.
Формулы, соответствующие случаю p = ш, применены в работе Н. И. Идельсона:
La comete d'Encke en 1924—1934, Известия Главной астрономической обсерватории в
Пулкове, т. XV, I, 1935.

186 X. Вычисление возмущений в элементах
в следующих случаях:
2)Р
3) р
Так как во втором случае угол р = и зависит от положения
возмущаемого светила, то и постоянные А, А', . . будут зависеть от
координат возмущаемого светила. Таким образом, формулы, соответствующие
этому случаю, целесообразно применять лишь тогда, когда функции (2),
•подлежащие интегрированию, вычисляются лишь для немногих, всегда
одних и тех же точек орбиты (см. § 69).
Применение формул (18) и (19) только тогда может иметь
преимущество перед обычными формулами (14) и (15), когда элементы і9 2, іи
Qu служащие для вычисления постоянных по формулам (16) и (17), могут
считаться неизменными в течение значительного промежутка времени и,
кроме того, долготы в орбите 1и Х2, . . . возмущающих планет имеются
в готовом виде.
- Влияние небольших изменений di9 dQ, ... на постоянные А, А\ . . .
можно, конечно, учитывать дифференциальна, но на выводе
соответствующих формул мы останавливаться не будем.
§ 69. Табулирование коэффициентов.
¦ Вычисление выражений (2) приводится, с одной стороны, к
вычислению величин 5, Т, W, которое было подробно рассмотрено в двух
предыдущих параграфах, с другой — к вычислению коэффициентов, на
которые умножаются эти величины.
Если выделить множители, зависящие от а, / и о>, вычисление
которых выполняется весьма просто, то нахождение этих коэффициентов
сведется к вычислению величин:
а
C=cos<psinfl;
? = ctgcp cos? cosz>;
G = sin cp sin v
являющихся функциями только cp и Ж.
Таким образом, вычислительная работа может быть существенно
облегчена построением соответствующих таблиц. Чтобы сократить объем
этих таблиц, выгодно преобразовать уравнения (1), введя вместо t
независимую переменную М при помощи равенства
d ' t __L d
В этом случае можно ограничиться вычислением величин (20) для
немногих круглых значений Му так что вместо таблиц с двумя
аргументами 9 и М будем иметь ряд таблиц с одним аргументом ср.
= іУили p = #+90o
— и
В =
а
cosy
D
F
coscp(cosy-|"cos^)
г
coseccp
а
• cos2 9 jsin v
Y Ф
2 — coscp — cos2<p tg -^ cos v
(20)

§ 69. Табулирование коэффициентов 187
Подобные таблицы построены Кроммелином * для значений аргумента
*=sin<p, меняющихся от 0.37 до 0.84 через 0.01, т. е. соответствующих
орбитам короткопериодических комет. Первая таблица дает значения
коэффициентов (несколько отличающихся по форме от указанных выше
А, В, . . - ) для Л/= 0°, 7.5, 15 , 22.5, ... с пятью знаками; вторая
таблица дает логарифмы тех же коэффициентов с четырьмя знаками для
Ж = 0°, 1°, 2°, . . ., 25°, 26°.
Первая таблица предназначается для вычисления возмущений от
Юпитера и Сатурна, вторая—для вычисления возмущений от четырех
внутренних планет, которые производят заметное действие лишь во время
нахождения кометы вблизи перигелия.
В некоторых случаях может быть выгодно принять за независимую
переменную не среднюю аномалию, а эксцентрическую, для чего
уравнения (1) надо преобразовать при помощи соотношения
d r\ja d
JE~~kTdi'
Точки, соответствующие равноотстоящим значениям Е, расположены
по орбите более равномерно, чем точки, соответствующие равноотстоящим
значениям М, что особенно чувствительно при больших значениях
эксцентриситета. Действительно, разложения в ряды, которые мы будем
изучать в главе XII, показывают, что
v = M-\-2eътМ-{- . . .
v = Е-\-е$>тЕ-\- . . .,
если ограничиться первыми степенями эксцентриситета. Таким образом,
равноотстоящие значения Е дают более равноотстоящие, если можно так
выразиться, значения v, чем те, которые получаются при равноотстоящих
значениях М.
Еще более убедительно доказывает этот факт (поскольку только-что
указанные ряды расходятся для е > 0.66 . . -) следующая табличка,
дающая соответствующие значения трех аномалий в случае г = 0.85,
т. е. для круглой величины эксцентриситета кометы Энке:
V = 0° ' 20° 40° 60° 80° 100° 120° 140° 160° 180°
? = 0!0 Ъ°.1 1і!8 18°7 2б!9 Ъ1°.Ъ 52?5 7б!і 11Й5 180!о
Л/ = 0!0 0°.9 1?8 З!і - 4?9 7!9 13?9 28°8 72?9 180!о.
Наиболее равномерное распределение - положений возмущаемого
светила по орбите получим, взяв за независимую переменную, по
которой производится интегрирование, истинную аномалию. Это легко
сделать, воспользовавшись соотношением:
d seccp / г \2 d
dv n \a J dt '
Нужно однако заметить, что употребление эксцентрической или
истинной аномалии в качестве независимой переменной значительно
усложняет вычисление координат возмущающих планет.
1 А. С. D. Crommelln, Tables for facilitating the computation of the perturbations of
periodic comets by the planets, Memoirs of the R. Astr. Society, 64, Part V, 1929.

188
X. Вычисление возмущений в элементах
§ 70. Сопоставление формул.
Как общее правило, возмущения элементов вычисляются с
точностью до 0"0001 для среднего суточного движения и до 0/001 для всех
остальных элементов. Для достижения такой точности в случае малой
планеты берется интервал w = 40* и вычисление ведется с пятью знаками.
В случае кометы величину интервала целесообразно изменять в
зависимости от близости кометы к возмущающей планете и от близости к
перигелию.
Следует позаботиться о том, чтобы элементы возмущаемого светила,.
а следовательно и получаемые по ним координаты, были отнесены
к тому же экватору и равноденствию, как и координаты возмущающих
планет.
Чтобы избежать ненужного интерполирования, следует моменты
h-\-kw выбрать так, чтобы иметь для них координаты возмущающих
планет в готовом виде.
Пусть имеем оскулирующую систему элементов а, еу /, . . . для
эпохи т0. Выбрав интервал w> определяем из равенства
'°~~Т °
начальный момент /0- Затем, для моментов /0 — 2и>, /0 — Щ А>» h-\-w ПРИ
помощи данных (т. е. невозмущенных) элементов вычисляем rt v, и, р
по формулам:
Е—е sin? —/W ,
г sin v — a cos у sin Е (I)
г cost» = a (cos Е — sin ер)
z/ = y-j-u>, р — аcos2 <р.
После этого берем из ежегодника (или таблиц Комри) координаты
(ги /ь *і), (r2, h> b2), . . . возмущающих планет и вычисляем
соответствующие орбитальные координаты, для чего служат формулы;
cos Вх cos Lx = cos (/j — Q) cos bx
cos Bx sin Lx = sin / sin bx + cos / cos bx sin (lx — Q) 1 (II)
sin#i = cos/sinbx— sin/cos Z^ sin^ — 2)
$i = ri cos Вг cos (Lx — u) "I
y\i = rx cos Bx sin (Lx — u) I (III)
^1»=r1sinB1. j
Определив расстояние между возмущаемым телом и рассматриваемой,
планетой:
= /? + /•-2*„
(IV>
переходим к вычислению компонентов возмущающего ускорения:
1 1
5,=*,Еі
-тг, 7\ = АГіЧі, W^Kti
Значения wk"mx могут быть взяты из таблицы IV (стр. 400).
(V)

§ 70. Сопоставление формул
189
Затем суммируем компоненты ускорения, вызываемого действием
различных возмущающих планет:
Т=*ТХ + Т2+. . . (VI)
Переходим к вычислению функций, подлежащих интегрированию,
для чего служат формулы:
8/= г cos и W
82 = г sin и cosec / W
S<pI = e cos <р sin v S \
8<pn = acoscp(cosi; + cos?) T j 9 Ъ-гй*п
brcl =—p cosec <p cos v S
8icn = coseccp(r-(-p)siny T
8*ni = tg ^-rsinz/W
8 ic = otCj—Y~ oiu.. -4— Sic
in
(VII)
8e.
ф
2coscpr—ptgy cost; )S
9
**u = tg j (r+p) sin vT
Ы
wbnv = ¦=- sin <p sin z> S
й bkw р ~
11 s/a *
8e = 8sj -j~ 8e„ -\- 8e
in
. wbn = wbn^ ийЛд
Для a; = 20d, lg3*a/ = 0.013 733.
„ ш « 40d, Ig 3*ш = 0.314 763.
Интегрирование для первых пяти элементов производится по
формулам
2
i'-j
і » і » ,
ЗЗЭ7—г 2637/-:т~]г' ' *
*.=/
— 1
k'-Hk-0-™11 *'¦
V+-. • •
317 «
(VIII)
Для ш8л составляется также столбец вторых сумм, для чего берется
начальный член
и, кроме первого интегрирования, дающего wn, производится по формуле
я
12 '* 240'я * 1951 «
еще второе интегрирование, дающее Д'Х.

190 X. Вычисление возмущений в элементах
При всех этих интегрированиях недостающие разности находятся
экстраполированием.
Закончив интегрирование, получим возмущения элементов А/, Д2(
Д<р, Діг, Де, оЛл, Д'Х для четырех указанных выше моментов; придав их
к исходным оскулирующим элементам, получим возмущенные элементы
для этих моментов. Возмущение большой полуоси можно найти при
помощи дифференциального соотношения
A\ga =— -— Mod
о wn
2 „ . ._ 2
3 -о
4г Mod = 0.289 5297, lg 4 Mod = 9.461 6932.
С возмущенными значениями элементов надо повторить все
указанные вычисления, чтобы получить более точные величины 8/, 82, . . .
и снова выполнить интегрирование. Для этого служат те же самые
формулы, с тем только отличием, что средняя аномалия находится при
помощи равенств
X = е0 + л0 (t— т0) -f Де-}- Д'Х
М = \ — я,
где через е0 и п0 обозначены исходные значения элементов е и п,
соответствующие эпохе iq.
Такое повторное вычисление возмущенных элементов производится
до тех пор, пока процесс не установится. При надлежащем выборе
интервала w уже второе приближение можно считать окончательным и
переходить к вычислению возмущений для следующих моментов* t0-\-2w,
/0 + 3о/, . . . (или t0— За/, U — 4ш, . : . —смотря по тому, в какую
сторону от начальной эпохи надо итти).
Если возмущения велики и окончательные значения разностей
функций о/, . . . чувствительно отличаются от первоначально принятых, то
можно-повторить еще раз вычисление возмущений для моментов /0 — 2а»,
tQ— w, t0} /0 + го-
Продолжение вычисления не представляет никаких трудностей, так
как, вследствие медленности изменения оскулирующих элементов,
экстраполирование дает настолько точные значения возмущений, что повторять
вычисление 8/, 52, . . . никогда не приходится, если интервал w выбран
надлежащим образом.
Вычисление ведется на нескольких отдельных листах. На первом
листе находятся г, v, . . . 8/, . . ., wbn; на втором, вспомогательном по
отношению к первому, вычисляются координаты возмущающих планет 6Х,
т)ь Сь - - ., соответствующие компоненты Su Ти . . ., и, наконец, 5, Ту W.
На этих двух листах вычисления, соответствующие определенному
моменту, располагаются вертикальными столбцами. Наконец, интегрирование
каждой из функций 8/, 82, . . . выполняется на отдельном листе по
схемам, указанным в главе VIII.
§ 71. Особые случаи вычисления возмущений элементов малых планет.
При применении метода, изученного в предыдущих параграфах,
к малым планетам могут встретиться затруднения двух родов.
1. Если наклонность орбиты очень мала, то вычисление величины
82=Г5іпИ W
sin/

§ 7L Особые случаи вычисления возмущении элементов малых планет 191
сопровождается большой потерей точности, что влечет неточность
в определении долготы узла.
2. Если эксцентриситет орбиты мал, то аналогичное затруднение
возникает при нахождении долготы перигелия, требующем вычисления
рсо$
smcp
— 5 + ———^ Т 4- tg -7Г- г sin и W.
іс> since ' & 2
В первом случае проще всего изменить основную плоскость:
элементы і, 2, я, е, отнесенные к плоскости эклиптики, преобразовать в
элементы /', 2', «', е' (вместо двух последних можно взять ш' и Ж0),
отнесенные к плоскости экватора,
В тех случаях, когда имеется в виду лишь приближенное вычисление
возмущений, с точностью до первых степеней масс, вместо / и 2 вводят
вспомогательные переменные р и q, определяемые равенствами
dp = sin со sin * dQ -f- cos со di
dq = cos ш sin / dQ — sin ш di.
Для вычисления возмущений Ajx, Av этих переменных служат
формулы:
op = г cos v W, bq = г sin v W,
легко получаемые из формул (2).
Возмущения / и 2 с точностью до величин 1-го порядка найдем из
соотношений
Дг = cos со • Ар — sin ш • Aq
sin / А2 = sin со • Ар -f- cos со • Aq.
Обратимся теперь к тому случаю, когда эксцентриситет орбиты
близок к нулю.
Введем вместо е и « новые элементы
Так как
A = ^sinrc, /=?COS:r. (21)
dh de . . .di: do . . <fo
_==_sln7C + /_==_coscpsinn+/5?
dl de , dтг do diz
то при помощи формул (2) легко найдем:
8Л=—р cos XS + Cp-f г) sin XT + rhT+ltg^ г sin и W,
& = +psinkSi-(p + r)coslT+rlT—htgjrsiniiW,
где
После того как интегрирование этих равенств даст возмущенные
значения Ли/, соотношения (21) позволят вычислить соответствующие
значения е и те.

192
X, Вычисление возмущений в элементах
§ 72. Некоторые особенности вычисления возмущений элементов
кометных орбит.
Для короткопериодических комет, у которых эксцентриситет не
настолько велик, чтобы нельзя было пользоваться эксцентрической
аномалией, вычисление возмущений в элементах выполняется по формулам,
указанным в § 70.
Для комет, эксцентриситет которых близок к единице или равен
-единице, эти формулы должны быть частично преобразованы таким
образом, чтобы вместо возмущений элементов <р, п и е можно было
находить возмущения элементов е, q и т (время прохождения через
перигелий).
Мы не будем останавливаться на этом преобразовании, так как
в настоящее время, после работы Коуэлла и Кроммелина о комете Галлея,
возмущения для комет этого типа всегда вычисляются не в элементах,
а в прямоугольных координатах способами, которые будут рассмотрены
в следующей главе. /
Комета может подойти настолько близко к одной из больших планет,
что притяжение планеты станет более сильным, чем притяжение Солнца.
В /гаком случае целесообразно, как отметил еще Лаплас (Mecanique
Celeste, t. 4, Livre IX, Chap. И), принять планету за центральное тело,
а Солнце за возмущающее.
Обозначим через х, у, z гелиоцентрические координаты кометы,
через хи уъ zx — гeлиoцeнтpичeqкиe координаты планеты, а через т^ — ее
массу. Напишем дифференциальные уравнения движения кометы под
влиянием притяжения Солнца и планеты:
**+*•*
(22)
и уравнения невозмущенного движения планеты:
dP
d*zt
dt*
+ *20+*i)4- = o.
(23)
Если принять центр планеты за начало координатной системы, оси
которой параллельны осям рассматриваемой гелиоцентрической системы,
и соответствующие координаты кометы обозначить, через 6, iq, С, то
будем иметь соотношения
/
* = *! + $. .У = У1 + Т), Z=Zi+Z.

§, 72. Вычисления возмущений элементов кометных орбит 193
Следовательно, на основании (22) и (23):
IF
Л
X
7*
+*3/и
1 Аі*
Л
?*У
(24)
где
Д2=р-}-Ч2_^(;2.
В том случае, когда за центральное тело принимается Солнце,
через R обозначим ускорение, сообщаемое им комете, а . через F
возмущающее ускорение, обусловленное притяжением планеты. Уравнения(22)
показывают, что
'Хі —X JCtV . 1 2
* = ?' />«#*»! [?
Дз
x-fi+-
¦1
С другой стороны, если, приняв за центральное тело планету, мы
обозначим ускорение, сообщаемое ею комете, через Ru а возмущающее
ускорение, вызываемое Солнцем, через Л, то будем иметь, как
показывают уравнения (24):
Д2
-¦ «-*[(*-?)'+• ¦ Г
Область пространства, в которой выгоднее за центральное тело
принять Солнце, отделена от области, в которой выгоднее считать
планету центральным телом, точками, удовлетворяющими равенству
R *і '
Таким образом поверхность, разграничивающая указанные области,
определяется уравнением
Положим
^ J L7*" "^ ^ I '
хЛ + УіЧ + 'іі _
А/1
cos6,
= «,
тогда
ххх + УУі +zzl = x1 (я,-f-6)+Л (3»і + п) + *і (*і + С) —
= 7-2(l+«COs6)
/* = (хх + 0»-+ {Ух + і)2 + (*і + Q" ="? U + 2и cos ? + в«).
Подставив эти выражения в предыдущее уравнение, получим-
2-ц,а+2*2
/й:
(l+2wcos6 + «2)2 М^ ^ ^ '
2(l + «cos6)(l+2«cos8-|-a2)Tj .
Кур о Небесной квхыикж
13

194 X. Вычисление возмущений в элементах
Правую часть разложим в ряд по степеням малой величины и.
Это даст
, _Г l+6cos26 "I
^_^1/1+3cos2e[^i-2z/cos61-qr3^^e+ ¦ • • •
С достаточной для наших целей точностью мы можем ограничиться
первым членом этого разложения, что дает
а=Гі(кя=^рі)в- <25)
Таково приближенное уравнение рассматриваемой поверхности
э полярной системе координат. Поверхность (25) является, очевидно,
поверхностью вращения вокруг полярной оси, т. е. вокруг
радиуса-вектора планеты. Эта поверхность очень мало отличается от сферы, ибо
отношение наибольшего и наименьшего значений величины Л равно
2Т==1.15.
Сферу, описанную из центра, планеты радиусом, равным
2_
назовем сферой действия этой планеты (sphere d'activite). Радиусы
сфер действия различных планет даны в следующей табличке:
Меркурий 0.001 Юпитер 0.322
Венера 0.004 Сатурн . . . . , 0.363
Земля 0.006 Уран 0.339
Марс 0.004 Нептун ...... 0.576
Вне сферы действия F:R>Ft :JRU внутри этой сферыF: R < Рх ; $и
и потому выгоднее считать планету за центральное тело.
Интересно оценить величину отношения F:R возмущающей силы
к силе притяжения Солнца для точек, расположенных на поверхности
сферы действия. Легко видеть, что для таких точек
_2_
F г2 /і . ЗА* Л . A4 /l + 3cos»0V
4 У
Таким образом для Юпитера это отношение меняется в пределах
от і//й7=:0.25 до у"і6/Яі =0.43.
Особенно часто приходится иметь дело с прохождением комет через
сферу действия Юпитера, что объясняется прежде всего тем, что афелии
большинства 'короткопериодических комет группируются вблизи орбиты
Юпитера. Для того чтобы в этом случае перейти от гелиоцентрического
движения кометы киовицентрическому, в котором за центральное
тело принимается Юпитер, надо для некоторого момента /0> Для которого
расстояние А уменьшилось приблизительно до 0.3, найти иовицентри-
ческие координаты
и их производные
10=х — хи щ-=у—Уи Со = * — *і,

§ 73. Приближенное вычисление возмущений малых планет 195
после чего известные формулы (т. I, глава IV) позволят найти иовицен-
трические элементы кометы. Возмущения этих элементов вычисляются
по обычным формулам, причем почти всегда можно считать Солнце
единственным возмущающим телом. Некоторую особенность представляет
только то обстоятельство, что иовицентрическая орбита кометы является,
как правило, гиперболой с большим эксцентриситетом. Поэтому в
формулах § 70 эксцентрическая аномалия становится мнимой (т. I, § 15),
вследствие чего их следует преобразовать, полагая
Мы не будем, однако, останавливаться на этих несложных
преобразованиях, так как в рассматриваемом случае, когда комета
находится внутри сферы действия планеты (или даже близко от этой сферы),
представляется более удобным заменить вычисление возмущений в
элементах вычислением возмущений в координатах по способу Коуэлла,
который будет рассмотрен в следующей главе. Чтобы перейти на способ
Коуэлла, достаточно при помощи оскулирующих элементов найти для
момента /0 координаты кометы а:0, yQi Ч и их производные х0, Уо> %о
(см. § 74).
Примером ч, вычисления возмущений иовицентрических координат
может служить исследование движения кометы Вольфа при ее
приближении к Юпитеру в 1922 г., выполненное М. Каменским, і В этом случае
эксцентриситет иовицентрической орбиты кометы менялся от е = 6.457
до г = 6.480, а большая полуось от а = — 0.022800 до а == — 0.022912.
В тех случаях, когда комета особенно близко подходит к Юпитеру,
приходится также принимать во внимание возмущения, вызываемые
сжатием Юпитера. Такое приближение имело, например, место в 1886 г. для
кометы Брукса (Brooks, 1889 V), когда наименьшее расстояние между
поверхностью Юпитера и кометой было равно 1.14 радиуса Юпитера,
(около 80000 км). В этом случае интервал wt через который ведется
интегрирование, пришлось уменьшить, около времени прохождения через
перииовий, до 0.25 часа.
Не останавливаясь здесь на методах учета влияния сжатия Юпитера
на движение кометы, ограничимся указанием литературы.2
§ 73. Приближенное вычисление возмущений малых планет.
Точное вычисление возмущенных координат малой планеты методами
численного интегрирования требует значительной работы независимо
от того, в какой форме применяются эти методы: вычисляются ли
возмущения в элементах или же вычисляются непосредственно возмущенные
координаты (§§ 74—75). Поэтому такого рода вычисления производятся
лишь для немногих планет, особо интересных в каком-либо отношении*
Еще меньше число тех малых планет, для которых построены
аналитические теории движения, аналогичные тем, которые Леверрье и Ныаком
построили для больших планет.
С другой стороны, совсем не вычислять возмущения малой планеты
нельзя, так как иначе, по прошествий немногих лет, ее действительное
1 М. Kamienskl, Recherhes sur le mouvement de la comete periodique de Wolf
(IX Partie), Publications of the Astr. Obs. of the Warsaw University, 2, 1926.
a G. Deutschland, Der Einfluss der Abplattung auf die Attraction der Himmelsk6rper
"nach der Theorie der speziellen St6rungen, mit Anwendung auf den Kometen 1889 V (Brook$)
bei seiner Jupiternabe im Jahre 1886 (Diss.) Berlin 1909.
Результаты частично приведены в Astr. Nachr., 181, 1909, 1—8.
13*

196 X. Вычисление возмущений в элементах
движение настолько разойдется с невозмущенным, что ее нельзя будет
найти; планета будет потеряна.
Весьма важно поэтому иметь по возможности простой способ для
вычисления возмущений с такой точностью, которая позволяла бы
уверенно находить и отождествлять малую планету. Среди способов,
предложенных для достижения этой цели, широкое распространение получили
две нижеследующие упрощенные формы точного метода, изложенного
в §§ 66—71, данные Штраке. 1
Прежде всего отметим, что в случае приближенного вычисления
возмущений, имеющего целью лишь обеспечить продолжение наблюдений'
планеты, достаточно принимать во внимание возмущения от одного
Юпитера.
Ограничиваясь точностью до 0°.0001 в возмущениях л и до 0°.0001
в возмущениях всех остальных элементов, мы можем вести все
вычисления с тремя десятичными знаками. Далее, интервал w можно всегда
взять равным 80rf; в тех же случаях, когда планета находится далеко
от Юпитера (например гелиоцентрическое угловое расстояние между
ними не менее 60°), берется интервал и> = 160*. Впрочем выгодно все
постоянные множители брать всегда для интервала 80d и недостающие,
при a> = 160d> числа восполнять интерполированием в середину.
При этих условиях в формулах § 70 можно сделать следующие
упрощения. Вычисление по формулам (I) целесообразно заменить
нахождением г и v по специальным таблицам (т. I, глава III).
В формулах (II) всегда можно положить cos 6х = 1, Если
наклонность і мала (/ < 8 ), то можно положить
cos Bt = 1, sin fii = cos i sin bt — sin / sin (lt — 2), Lt = lt — Q.
В формулах (V) постоянный коэффициент wkffmx надо заменить, через
80 k°mu где ?° — гауссова постоянная, выраженная в градусах. Для Юпитера
lg(80 SX)-: 1.877.
Далее, при вычислении по формулам (VII) мы должны принять
lg(3^) = 1.616
— это даст нам Ьп в единицах, равных 0?0001, тогда как приращения всех
остальных элементов будут выражены в тысячных долях градуса.
При употреблении формул (VIII) и (IX) разностями можно, вообще
говоря, пренебречь, так что интегрирование сводится к простому
суммированию. Заметим, наконец, что возмущенное значение п нам не нужно,
так как средняя долгота вычисляется по формуле
Х = е4-Ло(/—А)) + д%
где через л0 обозначено невозмущенное значение п. Но величина w Дл = 80 Дл
нужна для вычисления возмущения большой полуоси. Для этой цели
может служить формула
д1еа = _і^-80Дл,
л0
где л0 выражено в секундах дуги.
1 G. Stracke, Genaherte StOnmgsrechnung und Bahnverbesserung, Veruff. des Astr.
Recheninstltuts, Nr. 44. 1924. Berlin.
Tafeln zur genaherten speziellen StCrungsrechnung, Verttff. des Astr. Recheninstututs,
Nr. 48, 1930. Berlin.

§ 73. Приближенное вычисление возмущений малых планет 197
В 1930 г. Штраке дал другой вариант этого способа, правда,
требующий вспомогательных таблиц, но зато при наличии таких таблиц
значительно сокращающий работу. * Здесь за независимую переменную
принимается средняя аномалия М. Коэффициенты формул (VII), § 70,
являющиеся функциями ср и М> даются в готовом виде по
аргументу ? для значений Ж = 0°, 12°, 24° . . . , 348°. Кроме того,
вычисление компонентов возмущающего ускорения облегчается особыми
таблицами. На подробностях устройства этих таблиц здесь нет
надобности останавливаться.
В заключение упомянем еще способ приближенного вычисления
возмущений в элементах, предложенный Б- Стрёмгреном.2 Этот способ,
так же как только-что указанный второй способ Штраке, рассчитан
на применение арифмометра. Б. Стрёмгрен преобразует формулы так,
чтобы иметь возможность быстро и удобно находить возмущенные
значения направляющих косинусов Рх, Ру} Pz, Qx, Qyt Qz.
1 Эти таблицы указаны в сноске на предыдущей странице.
8 В. Strflmgren, Formeln zur genahertenSrortmgsrechnung in Bahnelementen, Publlka-
tioner og mindre Meddelelser fra Kobenhavns Observatorium, Nr. 65, 1929.

ГЛАВА XI.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В КООРДИНАТАХ.
§ 74. Прямое вычисление возмущенных координат (метод Коуэлла).
Обозначим через т и х, у, z массу и гелиоцентрические координаты
светила, движение которого изучается. Через ті9 xit у., z. будем
обозначать массы и координаты возмущающих планет.
Уравнения относительно движения, выведенные в § 3, дают
d*x х
dfl
**«_*.(l+ffl)?+/>
Л»
г*
**—*.(!+„,) *+/»я>
dt*
где
PX=V 2 ті
Х{ — X Х%
0)
А*
/«,/'¦
(2)
причем суммирование распространяется на все возмущающие тела,
а г, rv Д, определяются равенствами:
r* = x* + y* + z\ г\ = х\ + у* + г],
В том случае, когда нужны численные значения координат х, у, z
для сравнительно небольшого интервала времени (порядка нескольких
десятков лет), проще всего их получить при помощи численного
интегрирования уравнений (1).
Применение любого из указанных в главе VIII методов численного
интегрирования уравнений дает возможность получить х, у, z с любою
точностью. Вычисления, которые для этого требуются, носят вполне
элементарный характер, что особенно важно при массовой работе, так
как позволяет широко пользоваться помощью вычислителей.
Другим достоинством этого способа получения возмущенных
значений координат является его универсальность. Аналитические методы
определения возмущений применимы лишь в том случае, когда возмущения
малы. Численное вычисление возмущений в элементах, изученное в
предыдущей главе, хотя и применимое при любой величине возмущений,
целесообразно употреблять лишь в тех случаях, когда возмущения
не слишком велики.
Напротив, при численном интегрировании уравнений (1) совершенно
не возникает вопрос о величине возмущений. Поэтому рассматриваемый
метод одинаково удобно применяется как для малых планет, испытываю-

§ 74. Прямое вычисление возмущенных координат 199
щих небольшие возмущения, так и для таких, которые близко подходят
к Юпитеру и возмущения которых особенно велики. Точно так же для
этого метода нет никакой разницы между движением кометы вдали
от планет или прохождением ее через сферу действия планеты.
Наконец, метод численного интегрирования позволяет без малейших
трудностей вычислять положение таких тел, как VIII спутник Юпитера, для
которых-возмущения становятся сравнимыми с действием центральной силы.
Более того, мы видели в § 41, что численное интегрирование
уравнений движения позволяет изучать наиболее сложные случаи движения
и было широко использовано для этой цели Дарвнном, Тиле, Буррау,
Стрёмгреном задолго до того, как оно было применено Коуэллом для
решения чисто астрономических задач.
Но если прямое численное интегрирование уравнений движения
применялось до Коуэлла, если первоначально введенный им способ
интегрирования уступает способу квадратур Гаусса, употреблявшемуся Тиле
и другими только-что указанными авторами, вследствие чего мы снова
вернулись к этому последнему, тем не менее Коуэллу принадлежит
инициатива введения этого метода — прямого численного интегрирования
уравнений (1) — в астрономическую практику, как средства для
сравнительно быстрого и удобного получения возмущенной эфемериды.
Учитывая это обстоятельство, а также ради удобства, целесообразно
метод получения возмущенных координат светила при помощи
численного интегрирования уравнений (1) назвать методом Коуэлла.
Мы уже указал^ достоинства метода Коуэлла, делающие его во
многих случаях наиболее удобным средством для получения эфемериды
светила с учетом возмущений. Можно еще отметить, что в этом методе
совершенно устраняются тригонометрические вычисления, и единственная
вспомогательная таблица, употребляемая при этих вычислениях, это
таблица, дающая /~3 по аргументу тг,
К недостаткам метода Коуэлла надо прежде всего отнести то, что
в этом методе все вычисление должно производиться с тем числом знаков,
какое требуется в окончательном результате (не считая запасных,
гарантирующих от накопления ошибок). Если, например, надо связать два
появления кометы, разделенные большим интервалом времени, то
возмущенные координаты кометы должны быть вычислены для всего этого
интервала, если мы употребляем метод Коуэлла, с семью знаками. Если же
употребляется метод, изученный в предыдущей главе, то достаточно
найти возмущения элементов за рассматриваемый интервал, что требует
вычислений с тремя—пятью знаками.
Если светило близко подходит к Солнцу, как это имеет место для
большинства комет вблизи перигелия, то применять метод Коуэлла
нецелесообразно, так как интервал интегрирования приходится брать очень
малым и вычислительная работа становится более значительной, нежели,
например, в методе Энке (§ 76).
Следует еще отметить, что метод Коуэлла удобно применяется,
по крайней мере при точных вычислениях, только в том случае, если
вычисления ведутся при помощи арифмометра.1
1 Интегрирование уравнений (1) может, конечно, производиться любым методом
численного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, если вместо обычно
применяемого метода квадратур взять меіод Коуэлла (§ 52) в соединении ео способом Нуме-
рова для уменьшения числа последовательных приближений (§ 58), то получим «метод
Нумерова" или „метод экстраполирования". Подробное изложение этого метода и пример
его применения можно найти в Бюллетене Астрономического института № 12, 1926.
Наилучшим методом интегрирования уравнений (1) как с точки зрения точности
результатов, так и с точки зрения простоты вычислений является метод квадратур
{§§ 52-54, 58).

200
XL Вычисление возмущений в координатах
§ 75. Сопоставление формул для применения метода Коуэлла.
Обозначим через w интервал, выбранный для интегрирования
уравнений (1). Как уже было отмечено (§ 58), отнюдь не следует стремиться
брать слишком большие интервалы, так как в этом случае уменьшается
возможность контроля при помощи разностей и, кроме того, вычисление
становится менее удобным.
В особенности ''начинать вычисление следует с малым
значением w. Если обнаружится, что четвертые разности не влияют
на вычисляемые значения координат, то интервал следует удвоить.
Для малых планет обычная величина интервала 20—40—80 дней,
в зависимости от того, какая нужна точность. Для комет вблизи Солнца
приходится брать меньшие интервалы: в 5—10 дней. Если нужно
дальнейшее уменьшение интервала, то целесообразно метод Коуэлла на
некоторое время заменить методом Энке (§ 76).
Пусть для момента tQ нам известны оскулирующие элементы
светила а, е, і; 2, <о, Л/0.
Чтобы найти решение уравнений (1), представляющее движение
этого светила, надо вычислить значение координат xQ, у0у z0 и их
производных х'0, у'0, z'0 для момента t0.
Для этого служат формулы (т. I):
x = aPx(cosE — e)-\-bQxsmE
у = а Py(cosE — е) + bQy sin E
z = aPz (cos Е — е) -\- bQz sin E
k
(1)
х =
У =
z' =
k
= (—аР sin E-\- bQx cos E)
=l (— aPv sin E+bQv cos E)
rya y y
*~( — aP2sinE+bQzcosE)
r\/a
(П)
в которых
b = a cos <p, r = i/x2 -{-y2-\- z* = a (1 — ecosE),
причем E определяется равенством
E — esinE = M.
Для контроля может служить соотношение
ke |/ a sin Е == хх?,-\- у у' -f- я'.
Что же касается до направляющих косинусов осей орбиты, PtX
Qz, то они могут быть вычислены (т. I, § 25) при помощи
формул
• »
Л х === cos 2; А2 = — cos i sin 2
Яі = sin 2 cos е; Вг = cos /cos 2 cos e — sin / sin e
Ct = sin 2 sin e; C2 = cos /cos 2 sin s -f- sin /cos e.
Px = Ax cos со -f- A2 sin со; Qx = A2 cos <o — Ax sin a>
Py = Bt cos со -|- B2 sin и; Qy = B2 cos to — Si sin <*>
Pz = Cx cos со -f- C% sin <o; Oz = C2 cos ш — C\ sin o>,
где через е обозначена наклонность эклиптики к экватору.

§ 75. Сопоставление формул для применения метода Коуэлла 201
Для контроля пользуемся соотношениями
(aPx)* + (aPy)* + (aPzy = a*
{bQxy + (bQyy + (bQx? = P
После того как исходные величины х0, у0, . . . , zr0 вычислены,
переходим к интегрированию уравнений (1). Для этого нужно, прежде
всего, иметь возможность вычислять для каждого из рассматриваемых
моментов ?л = *о4"пш функции:
g = w2
d*y
dt2
d*z
wW — + У
(III)
h = w*-?- = -w4^ + Z
dt*
X
=2
-s
w2kimi
т2кгті
r>
x, — x ;
Д?
Z^^iwWm,
A»
-У
z'
(IV)
где особо выделены величины
х
J
Л* = — о>2#!да ', Yi = — iv*Pm.-4, Z1 = — ю^кгт,~
Г ** /*. /*
3
зависящие исключительно от координат и массы возмущающей планеты.
Незаменимым пособием при этих вычислениях являются уже
неоднократно упоминавшиеся таблицы Комри, Planetary Co-ordinates for the years
1800 —1940, продолжение которых, охватывающее период 1940 — 1960,
должно скоро появиться.
Эти таблицы дают, помимо прямоугольных координат хі$ yt, zt всех
больших планет (кроме Меркурия и Плутона), также соответствующие
величины х\ У\ z\ Тут же находятся различные вспомогательные та-
Q
блицы, среди которых особо можно отметить таблицу, дающую г по
аргументу г2.
При отсутствии таблиц Комри прямоугольные координаты
возмущающих планет могут быть вычислены по их эклиптическим
координатам, даваемым ежегодниками. Для этого служат формулы:
x.^r.cosb.cosli
у{ = г. cos b. (sin /, cos s — tg b{ sin e)J
zt = rt cos b. (sin /, sin e -{- tg bt cos e),
(»)
где через ri$ lp bf обозначены радиус-вектор, долгота и широта планеты.
Постоянные коэффициенты., встречающиеся в /, g и Л, указаны
в таблице IV (стр. 400):

202 XL Вычисление возмущений в координатах
Для интегрирования служит формула
и две аналогичные для значений у и z, соответствующих моменту /0-{- nw.
Начальные члены столбцов сумм определяем по формулам (§ 54):
.—1 г 1 * | 1 Л И /3 і 1 ^5
_L/ + J_/» і_/+_і_/_ (VI)
о ~Ло 12у°^240 о 1951 уо^ 12557 уо • • "
Для того чтобы избежать нескольких последовательных
приближений в самом начале вычислений (ср. § 55), проще всего определить по
формулам (I) значения невозмущенных координат для нескольких
моментов *_,, t_v t19t%> /3, . , . , близких к начальному моменту /0. Тогда
достаточно будет одного приближения для получения окончательных
(возмущенных) значений координат для этих моментов.
Можно также воспользоваться для указанной цели разложениями
в ряд Тэйлора вида
x(t0 + nw) = x0 + xl(tn-iQ)+^f0w^(tn-tof+. . .
После того как несколько начальных значений координат будут
окончательно уточнены и получатся окончательные значения величин (VI),
дальнейшее интегрирование будет выполняться, при помощи формул (V),
крайне просто.
Примечание I. В том случае, когда известны постоянные Гаусса
а, А, Ь, В, . . . , соответствующие исходным оскулирующим элементам,
формулы (I) и (II) целесообразно заменить такими:
х = г sin a sin (A -f- и)
у = г sin * sin (5-j- и) \ (Г)
z = г sin с sin (C-j- и)
xf = г"1 [х/ -f-k Vpsin a cos (A + u)l
У = г"1 [yr' +* \/psin b cos(5-f u)}
zr ss« Гх [zrf -\-kV~P sin c cos (C+u)]y
(II')
где д—acos2<p; величины ry rr и ы вычисляются при помощи соотношений
г = а (1 — <? cos Е)у п> = & \/asm Е,
, v /Г+7 , Е
причем для контроля можно воспользоваться равенством
rrr = xxr -\-yyf -\- #zr'-
Примечание II. Если светило, движение которого изучается,
находится достаточно далеко от Солнца, то возмущения, производимые
в его движении Меркурием, Венерой, . . . , либо совсем нечувствительны,
либо крайне малы. В подобных случаях достаточно учесть лишь веко-

§ 76, Метод Энке
203
вую часть этих возмущений, что может быть сделано весьма просто
путем соответствующего увеличения массы Солнца.
Множитель 1+т, стоящий в уравнениях (1), мы заменили в
формулах (III) единицей, так как массу т малой планеты или кометы всегда
можно считать равной нулю. Если мы будем к массе Солнца, равной
единице, придавать массы возмущающих планет, то формулы (III)
придется заменить такими:
— w%k% МхГ* -f X
— юЧ*МуГ*-\-У
—8
ufip Mzr~* + Z,
(ИГ)
где множитель М имеет одно из следующих значений:
М «ьооо ооо 14
= 1.000 002 60
= 1.000 00564
= 1.00000596
(сумма масс Солнца и Меркурия)
( , „ Солнца, Меркурия и Венеры)
( , Солнца, Меркурия, Венеры и Земли)
( „ » Солнца, Меркурия, Венеры, Земли и Марса).
§ 76. Метод Энке.
Вместо того чтобы находить при помощи интегрирования
уравнений (1) возмущенные координаты светила, можно вычислять разности
между возмущенными координатами (х, у, z) и невозмущенными (*, у, z).
Так как невозмущенные координаты удовлетворяют уравнениям
d*x
dt*
tPy
dp
d*z
dfi
= — /?2(l+m)z7-*,
то, вычитая эти уравнения почленно из уравнений (1), получим:
<//3
^ + **(1 + да) =s-
(*>
Таким образом вычисление разностей Е, % С, представляющих не что
иное, как возмущения прямоугольных координат, приводится к
интегрированию уравнений (4).
Единственная особенность, которую представляет численное
интегрирование уравнений (4), заключается в вычислении вторых членов
в правых частях этих уравнений.
Непосредственное вычисление стоящих в скобках разностей
сопряжено со значительной потерей точности. Чтобы привести эти разности

204
XL Вычисление возмущений в координатах
к более выгодному, с точки зрения вычислительной техники, виду,
напишем их так:
х х х — 5 х 1 Г / 73\ Л
Отсюда ясно, что для всех трех координат задача приводится.
к нахождению разности 1—-у.
Так как _ _ _
г* = (х+WJ- (у + ч)Ч- (г + Q2 ~_
-г» + (2* + Е)6 + (2іу + ч)ч + (2й:+С)С,
то можно положить
?-1 + 2?,
г2
где
¦-М(5+тО«+('+Т,),,+(г+т;)с}
(5>
Поэтому
г3
^-(1+2,Г*-1-ЗН-^-Щ*Ч-
Следуя Энке, положим
/=3(1-1-*+?*
315
24
?8+.
>
(6>
это даст
и потому
г3
Г3
1—-?/.
?-?(#*-9.
Будучи представлены в такой форме, рассматриваемые разности
вычисляются без всякой потери точности.
Итак, нужное для численного интегрирования уравнений (4)
вычисление функций
'-- ?¦ °—-?¦ «—.?
выполняется по формулам:
Г3
Г**
где Л; У, Z определяются формулами (IV) предыдущего параграфа.
(VII)

§ 76. Метод Энке 205
Входящая сюда величина /, определяемая равенством (6), может
быть взята из таблицы III (стр. 399). Значения этой величины с шестью
десятичными знаками имеются в вышеупомянутых таблицах Комри.
Перечислим теперь операции, которые нужно выполнить при
употреблении метода Энке.
1. При псмощи заданных оскулирующих элементов вычисляются по
формулам (I) или (Г) невозмущенные экваториальные координаты Зс, jij
для ряда моментов ^ = /0 + Лш, где Ь = — 2,—1,0,1,2, . . .При этом
выгодно выбрать t0 так, чтобы эпоха оскуляции пришлась на момент
*о — к » что мы и будем предполагать в дальнейшем*
2. Берем из таблиц Комри прямоугольные координаты возмущенных
планет хр уп zt и соответствующие величины Х\ У\ Z* для всех
моментов, для которых предполагается вычислить возмущения.
3. Чтобы начать интегрирование, находим по формулам (IV) и (VII)
F_29 F__13 Fot Fxt F2, причем для первого приближения полагаем
^ = 7j = (; = 0, х==х, у = у, z = z, ?=0.
Определив начальные члены столбцов сумм формулами (см, § 54;
w
в настоящем случае для эпохи оскуляции tQ — у мы имеем ? = tq = С == 0,
(VIII)
вычисляем возмущения по формулам вида
^,-^ + Red, Red^^^-^+W^-- • • (IX)
После этого повторяем вычисление величин F_2, /7_1, FQ, F19 F2, . . .
с полученными значениями ?, tq, С и так продолжаем до тех пор, покуда
эти величины не перестанут изменяться.
4. Когда только что указанные вычисления дадут окончательные
значения величин (VIII), переходим к обычному интегрированию по
формуле (IX), пользуясь экстраполированными значениями разностей или
поправки Red (§ 55).
Полученные таким образом возмущения координат прибавляем
к найденным ранее (п. 1) невозмущенным координатам, что даст искомые
возмущенные координаты
х=х-И, у=у+? z***z+i:.
В заключение заметим, что вычисление по методу Энке только
в том случае выгоднее вычисления по методу Коуэлла, когда
возмущения $, т), С действительно малы. Правда, их можно'всегда сделать
небольшими, если время от времени менять эпоху оскуляции тех элементов, по
которым вычисляются невозмущенные координаты. Но вычисление новых
оскулирующих элементов при помощи полученных возмущенных
координат (т. I, глава IV) представляет дополнительную работу, которая
значительно уменьшает преимущества метода Энке.

206 XI, Вычисление возмущений в координатах
Таким образом к этому методу прибегают только тогда, когда
возмущения малы и их надо вычислить для небольшого промежутка
времени. Но при этих условиях (например для комет, наблюдавшихся только
в одном появлении) метод Энке часто является наилучшим.
Особо следует остановиться на комбинировании методов Энке
и Коуэлла при изучении движения комет. Когда комета находится
далеко от Солнца и испытывает значительные возмущения со стороны
планет, лучше всего применять метод Коуэлла, как наиболее
универсальный и совершенно независящий от величины возмущений. Напротив,
когда комета находится вблизи перигелия, то возмущения, Ъак общее
правило, малы (вследствие быстроты движения и удаленности от планет
,с большими массами), тогда как невозмущенные координаты меняются
очень быстро; поэтому метод Коуэлла становится неудобным (интервала
вследствие быстрого изменения невозмущенных координат приходится
брать очень малым) и его выгодно заменить методом Энке.
Примечание I. При интегрировании уравнений (4) с пользой
может быть применен прием Титьена для уменьшения числа
последовательных приближений (§ 58).
В самом деле, замечая, что, на основании (VII),
где для краткости положено
А = -~г, (7)
П
мы можем формулу (IX), по которой производится вычисление Е ,
написать так:
Ф+ъ^-К+кыК'. (8)
где
12 У " ' 12
(~х J_ у I р-2 __ 1 с2 1 1 рі
12 я1" « 240 » ^ 1951 »
• * •
Точно так же
О)
Благодаря малым коэффициентам щ-, . . . для величин S*, Syn, Szn
мы получим сразу окончательные значения. С другой стороны, для
вычисления q имеем формулу (4)
* l t l 1 г
причем стоящие в скобках у 6Л> -^\, тг Сл можно, не делая
чувствительной ошибки, заменить экстраполированными значениями, так как эти
величины имеют малые множители 6Я| Чя, Ся. Что же касается до ?я,
• • • !

§ 76. Метод Энке 207
стоящих вне скобок, то их заменим значениями, даваемыми формулами (8)
и (9). Это даст:
^-а^+р^+Т^ + ^С^я + ^ + Т^,
где
а =
-гЦ^+У
(10)
Таким образом окончательно для вычисления q мы будем иметь
такую формулу:
i-^v(«b+^+t«j' (11)
Итак, вычислив по формулам (7) и (10) с помощью
экстраполированных значений 6Я, т]я, Сл коэффициенты а, р, -г, находим q из (II), после
чего формулы (8) и (9) дадут новые, более точные значения Ея, ч[пі Ся.
При вычислении <7 по формуле (II) вместо того, чтобы находить
знаменатель при помощи экстраполированных значений Ел, *і„, Ся, обычно
предпочитают экстраполировать знаменатель как одно целое.
Указанное применение способа Титьена к интегрированию
уравнений (4) было сделано Оппольцером и носит название приема
Оппольцера.
Примечание II. При отсутствии таблиц Комри1 прямоугольные
экваториальные координаты возмущающих планет могут быть вычислены
по формулам (3). Однако в этом случае выгоднее вести вычисление
возмущений в эклиптических координатах, которые для возмущающих
планет вычисляются по более простым формулам:
х. = г. cos bt cos I.
Уi = rt cos bi sin lt
z\ ss/^sinftj.
После того как будут определены возмущения %\ rf, С
эклиптических координат, возмущения экваториальных координат получим при
помощи очевидных соотношений:
5 = 6', г\ = у]г cos в — С sin в, С = *ч' sin • + ?' cos в..
1 Укажем еще следующие очень удобные таблицы:
Н. Q. Rasmusen, Hilfstafeln ftir die numerische integration der rechtwinkligen Koordt-
naten eines Himmelskflrpers, Astr. Nachr., 260, 1936, 325—376.
Таблица, облегчающая применение приема Титьена при вычислении координат по
методу Коуэлла, дана в статье:
М. Th. Subbotin, Sur le calcul des- coordonnees heliocentriques des planetes et des
cometes.au moyen des quadratures, Poulkovo Observatory Circular, Ks 9, 1933, 15—25.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ
ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
ГЛАВА XII.
РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ.
§ 77. Введение.
Аналитическое интегрирование уравнений возмущенного движения
возможно, вследствие сложности этих уравнений, лишь в том случае,
когда входящие в них возмущающие ускорения представлены в виде
явных функций независимой переменной.
За независимую переменную в теории возмущенного движения
принимается либо время (или, что то же, средняя аномалия возмущаемого
светила), либо эксцентрическая аномалия возмущаемого светила, либо,
наконец, его истинная аномалия. Истинная аномалия нередко заменяется
истинной долготой.
Так как возмущающие ускорения очень просто выражаются через
пертурбационную функцию, то проблема аналитического интегрирования
уравнений движения приводится к задаче представления
пертурбационной функции в виде явной функции одной из только-что указанных
переменных. В виду сложности пертурбационной функции такое
представление может быть осуществлено лишь в форме бесконечного ряда.
Встающая, таким образом, перед нами проблема разложения
пертурбационной функции в ряд делится на несколько частей. Прежде всего,
необходимо координаты эллиптического движения дать в виде явных
функций времени или, что сводится к тому же, средней аномалии. Этому
вопросу и посвящена настоящая глава.
Координаты эллиптического движения г и v, так же как и любая
функция этих координат F(ry v), являются периодическими функциями f{M)
средней аномалии т с периодом 2тс.
Таким образом каждая такая функция F(r, v)—f(M) может быть
разложена в ряд Фурье
f(M) = — aQ-{-aico$M-{-. . -\-akcos kM~\- . • .
+ ^і sin Ж-Ь . .-f *>ftsin*/W+. . ., (1)
сходящийся для всех значений М, поскольку мы рассматриваем лишь
функции f{M\ непрерывные и имеющие непрерывные производные.
Известно, что в этом случае коэффициенты ak, Ък убывают очень быстро,
так что произведения акк*у bkk* стремятся к нулю при любом
постоянном показателе а.

§ 77. Введение 209
Коэффициенты ряда (1) выражаются формулами:
2ге 2гс
ak = ~ И f(M) cos kMdM> h=~ ff(M) sin kMdM. (2)
о о
Очень часто ряд (1) заменяют соответствующим рядом Лорана.
Пусть
г = гш=ехр Ш,
где ; = }/— 1, тогда
2 cos Ш= ехр іШ+.ехр (—ЙШ)
21 sin JMf = ехр ikM— ехр (— ікМ)
¦и потому
оо _ оо
/(Л/)=I в0 +12 (вА - и,) ехр /Wf+12 (в* + 'Л) ехр (- ікМ).
1 1
Введем коэффициенты ак и bk с отрицательными индексами, полагая
«-.*=«*> *-*= — **;
ряд (1) примет окончательно такой вид:
— оо
где
pk = j(ak — ibk)-
Коэффициенты ряда Лорана (3) даются известной формулой
2*iJ
р _ . / f{M)dz
k 2«/ J z***
с
где интегрирование совершается по контуру С, заключающему на
плоскости комплексного переменного z точку 2 = 0.
Принимая за контур С окружность радиуса, равного единице, с
центром в точке z — 0, получим:
2*
Рл = і- /'f(M)exp(—iW)dM. (4)
о
Эта формула эквивалентна соотношениям (2).
Для тех функций F(r, v)=f(M), которые мы будем рассматривать,
интегралы (2) или (4), как общее правило, не могут быть выражены
через элементарные функции, но зато очень удобно выражаются через
функции Бесселя, Поэтому начнем с изучения нужных нам свойств этих
последних.
Курс Небесной механики *^

210 XIL Разложение координат эллиптического движения в ряды
§ 78. Функции Бесселя.
Рассмотрим выражение
Ф(г) = exp (j*—jzJ * (5>
Так как
со _ . , оо
=2Ш. «»М.--)-2"*-»--
+ Ч-і)р _._,
то, перемножая эти (абсолютно сходящиеся) ряды, получим
оо оо
Расположим этот ряд по степеням z. Пусть
а — р = Л.
Мы получим все члены, и притом только по одному разу, если
будем менять л от. — оо до + оо, а р от 0 (если л^О), или от —л (если
л<0) до -f-°°- Следовательно
Ф(г)=2у«(*)*п' (б)
— оо
где
лм-|іУ^(т)*+" ст)
если л^г=0, и
если л < 0.
Коэффициент Jn (х) разложения (6) называется функцией Бесселя
индекса л. Ряд (7), сходящийся, очевидно, !для всех значений х> может быть
также принят за определение этих функций.
Полагая в последнем равенстве л= —т, где т > 0, получим
соотношение
-/_,, (*) = (-!) •"•/„,(*). (8)
показывающее, что можно ограничиться изучением функций Бесселя
с положительными индексами.
Из формулы (7) непосредственно видно, что
Л(-*) = (-1)"Л(*)- (9)
Другие нужные нам свойства этих функций проще всего получить
при помощи соотношения (6). Дифференцирование этого равенства по z
дает
+ оо
оо

§ 78. Функции Бесселя 211
Заменяя здесь Ф(г) выражением (6) и приравнивая коэффициенты
при z1"1 в обеих частях равенства, получим:
* Jn W = f К-х W + Л+1W1- (Ю)
С другой стороны, дифференцируя равенство (6) по х, будем иметь
-J-co -|-оо
-со —оо
откуда, приравнивая коэффициенты при zn\
^И=у[^М-^№ (ID
Это равенство позволяет представить любую производную функции
Бесселя в виде линейной комбинации э/их функций. Например
или
J"n С*)=у [Jn-, (*) - Ч W+Л+«(*)]- (12)
Покажем теперь, что функция Jn(x) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению второго порядка. В самом деле, равенство (10)
дает:
(л +1) Л+і (*) = у К (*)+Л+з (*)].
откуда, опуская для краткости аргумент х:
МЛ-х+Л+1] - [¦/_ -Л+і1 -у К-2-2Л+Л+2]+2'* Л •
Заменив квадратные скобки выражениями, даваемыми равенствами
(10), (11) и (12), получим:
Л" W + у Л(*) + (і - 5) 7-W = °- (13)
Это дифференциальное уравнение, дающее возможность удобно
изучать функции Jn{x) для всех как действительных, так и комплексных
значений индекса п, кладется обычно в основу общей теории функций
Бесселя.
В формуле (6) положим
я = ехр/<р, (14)
что дает
ехр (іх sin ?) = ^ Jn W ехР ('*?)-
оо
14*

212 XII, Разложение координат эллиптического движения в ряды
Пусть х и <р будут действительные числа. Приравнивая
действительные и мнимые части и учитывая соотношение (8), получим:
cos(x sin<p) = yo(*) + 2V2(x) cos2<p + 2y4(-*) cos4<p+. .
sin(*sin<p) = 2 Jt (x) sin <p + 2JZ (x) sin 3<p -f . . .
Замена <p через ф + у Дает:
cos (x cos cp) = Л (*) — 2У2 W cos 2? + 2Л (*) cos 4cp — . .
sin (x cos cp) =s 2Л (*) cos cp — 2У3 (х) cos 3? -j- • •
(15)
} (16)
В заключение покажем некоторые простейшие выражения функций
Бесселя при помощи определенных интегралов.
Применение формулы (4) к коэффициентам ряда (6) дает, учитывая
равенство (14):
у*<*)==2^ /ф№ ехР ( —/Л(Р) <*Р>
или
2к
J"(*) = 'bz / exP(ixs'm<?~in(?)d<f- (17)
о
Следовательно, приравняв действительные части, будем иметь
2к
J№ " Ъ: f C°S ^ ~Х Sin ?) ^?* (18)
о
Эта формула совершенно непригодна для вычисления Jn{x) при
больших значениях индекса л, так как в этом случае подинтегральная
функция имеет большое число максимумов и минимумов. Кроме того,
формула маскирует тот важный для астрономических приложений факт»
что при малых значениях х функция Jn(x) имеет величину порядка хп.
Напишем формулу (7) таким образом:
, (х) = х^ 0^ 1)"*»"
7"w л^2.4. . . (2р).2.4 . . . (2л + 2Р) ~
е" у 1.3.5 . . . (2л—1).1.3.5 . . . (20— 1) (— 1)Р х2"
1.3.5. . .(2л —1)^J 2-4. . . (2л + 23) (2В)! '
Но, как известно, при любых целых значениях л и 0 имеет место
формула
Т.
/
sin2»9 сое» т dp = 1-3-5- • -g»-0-1.3.5, . .(2р-1)
* ? ? 2.4. .'. (2л-f-2?) . *•
О
Поэтому
ОО _ 1С
^)а1-3-5. . (2л-1)2^У 5шД? (23)! Z*P-

§ 79, Вычисление функций Бесселя 213
или, окончательно,
1С
Jn (х) = — ! 3,5 . .*. (2л — 1) / sin2Л Т cos (х cos ср) rf<p- (19)
О
Эта формула свободна от всех указанных выше недостатков
формулы (18).
§ 79. Вычисление функций Бесселя.
В тех проблемах, с которыми мы встретимся дальше, приходится
для данного значения х вычислять все функции JQ (х), Jt (х), . . . , отличные
от нуля в пределах принятого числа знаков. Укажем простейшие и
удобнейшие способы для решения этой задачи.
Прежде всего заметим, что формула (19) дает
Л(*)
\х \п
<
1.3,5 . . . (2я —1) '
Это неравенство позволяет легка найти наибольшее значение л, при
котором Jn(х) может отличаться от нуля в пределах принятой точности.
Первый способ. Формула (7), будучи написана в разверн^ом виде,
' дает
1 / jc \2 1 / х V 1 / х V
У0(*) = 1— Щі(^2) + (2!)\2~J ~да\т) + * в ' (20)
Если числа х и п невелики, то эти ряды позволяют достаточно
быстро и удобно вычислить нужные функции.
Достаточно вычислить только две функции, например У0 (х) и Jx (х),
так как все остальные могут быть определены при помощи
последовательного применения формулы (10). Например
Мх) = ^4(х)-Мх), Мх)=^Мх)-Мх),. . .
X Л
Нужно однако заметить, что, вследствие наличия множителей
—, —, —, . . . , мы будем иметь прогрессивную потерю точности, тем і
Л X Л
более значительную, чем меньше х.
Второй способ. Введем в рассмотрение отношения pk двух смежных
функций Бесселя, полагая
Мх)*=ргМх), Мх)=РіМх)9. . . , Ja(x) = pnJn^(x).
Опуская для краткости аргумент х, получим:
Ji=JoPx
J2=JQPlP2
(22)

214 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряды
Таким образом, задача приводится, с одной стороны, к вычислению
Л(*)э с другой —к нахождению pv . . , Рп- Что касается до /<>(*), то эту
величину всегда можно вычислить либо при помощи ряда (20), либо —
если х велико — при помощи формулы (19).
Обратимся теперь к вычислению pv р2, . . - , рп. Формула (10) дает
x~ J. f У, '
или
2k
X
+р
Откуда, делая # = л—1, л— 2, ..
1 2п-2
Рп-1
1
Рп-2
X
2я—4
х
А+1-
1,
Рп
Рп-1
(23)
1 2
— = Рг •
Рі х
(24)
Эти соотношения дают возможность удобно и без потери точности
найти pn_v рп_г, . . . , pv как только будет известно рп.
Но из того же равенства (23) имеем:
_ 1___ _ 1
х Рп + Х / х Рп+2
так что рп может быть представлено следующей непрерывной дробью:
1
Рп 2п
х
1
2п+2
х
1
2л
(25)
которая сходится тем быстрее, чем больше п.
Третий способ. Сложим почленно равенства (16); получим:
'ЧчО^Со + Сі cos <р + са cos 2<р-}-с3 cos 3<p-f- . . . ,
где
/*(?) = cos (х cos <р) -{- sin (* cos <р)
Со = У0 (*)> Сі = 2Л (*), с2 = - 2У2 (*), ^з = — 2У3 (*),
^4 = 2Л (х), с5 *= 2У5 (х), се = — 2У6 (х), . . .
Таким образом, вычислив функцию F(y) для ряда равноотстоящих
значений ф и применив обычные формулы гармонического анализа, найдем
Jq (х), Jx (х), . . .

§ 80. Разложение эксцентрической аномалии 215
Предположим, например, что J7(x), J8(x)f . . . можно считать равным
нулю. Введем такие обозначения:
3>о = ^(0°), Л-/^), y2=F(6QQ)t. . ., Л-/4180%
А=у0 + у?, В = Уі+Л, С = у2 + уі9 Z> = 2j>3,
тогда
4с0 — 2с± = 5 + С; 2с2 — 4с6 = ? —С,
откуда получим с, с2, с4 и с6.
Точно так же, делая
получим
3cj + Зс5 = Д' -+- С; 2ег ~\- 2с% -f 2г5 = Л'
3d — Зс5 = і/З" 5'; 6с3 = А! — 2С
откуда найдем си съ и с5.
Для контроля целесообразно использовать какой-либо частный случай
формул (15) и (16); например, одно из равенств
1=іо(*) + 2Л(*) + 2Л(*)+. • .
1=Л(*) —2Л(*) + 2Л(*)—. • •
&nx = 2J1(x)-2Jz(x) + 2Jh(x)- . . .
Десятизначные таблицы функций JQ(x) и Ji(x) даны Бесселем1 для
значений х, изменяющихся через 0.01 от 0.00 до 3.20. Ганзен2 дал
шестизначные таблицы этих функций для значений х, меняющихся от 0.0 до
20.0 через 0.1.
§ 80. Разложение эксцентрической аномалии и ее функций по кратным
средней аномалии.
Уравнение Кеплера
E — esinE^M (26)
показывает, что, при всех значениях эксцентриситета, удовлетворяющих
условию
0<*<1,
эксцентрическая аномалия Е является конечной, непрерывной (также, как
и все ее производные) функцией средней аномалии М. При возрастании
М на 2тг эксцентрическая аномалия увеличивается тоже на 2тг. Вследствие
этого всякая периодическая функция Е, имеющая период 2я, будет также
периодической функцией М с тем же периодом.
Рассмотрим выражение cos/лЯ, где т — целое число. Это
выражение является, очевидно, четной периодической функцией М, и мы можем
положить
cos mE^-^a^-^af cosM+agcos 2М~\- . . . (27)
1 F. W. В е s s е 1, Untersuchung des Tells der planetarischen StOrungen, welcher aus der
Bewegung der Sonne entsteht, Abhandlungen der Berliner Akademie, 1824.
3 P. A. Hansen, Ermittelung der absoluten StSrungen in Ellipsen von beliebiger Exzentri-
zitat und Neigung, Schriften der Sternwarte Seeberg (Gotha), 1843.

2л
276 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряды
где, на основании формул (2),
ка? =, Г cos mB cos k M dM.
о
В частности, для # = 0 получим, исключив М при помощи
равенства (26):
2?
ъа™ «в / cos mE(l— e cos Б) dE
о
2тс 2тс
= / cos mEdE -~e I cos /л/: cos E dE.
о о
Если т > 1, то каждый из этих интегралов равен нулю и потому
я* = 0.
Если /л = 1, то, как нетрудно видеть,
<$=—*.
В случае # > 0 интегрирование по частям дает
2іс
P&inkM dcosmE ...
ка™ = — | —; —— dM
о
k
k dM
-т/"
2гс
tfCOSWZ?
sin *Л/ —-у=— dE =
о
2«
/77 Л .
sm ?Л/sin mE dE.
0
Таким образом, заменив Ж его значением (26), получим:
2*
а» = 2 / sin от^ sin (t?E — ke sin ?) </? =
0
2ir
CT
= у cos [(? — m)E—kesmE] dE —
0
2tc
— fcos [(k-\-m)E—kesinE]dE.
о
^Воспользовавшись формулой (18), окончательно Сбудем иметь для * > 0:
Таким же путем легко показать, что коэффициенты ряда
sinmE=sb* sinM + b* sin2Л/-{- • • • (28)

§ 80. Разложение эксцентрической аномалии
217
даются формулой
*r-7M^.(W-Af.(*)b
Заметим, что коэффициенты рядов (27) и (28) могут быть получены
одновременно, если рассматривать разложение функции ехр (ітЕ).
При тп > 1 ряды (27) и (28) можно представить, как нетрудно
проверить, в следующей форме:
гу ЧЛ / гг. ч COS RM
cos mE = т 2uJk_m (A?) —j-
—оо
Ч"°°
_ хч f /и \ sin *Л/
sin mE^m2jJk-m (*') —г
-оо
(29>
В том случае, когда /72 = 1, ряду (27) может быть придан, при помощи
соотношения (11), такой вид:
1
оо
cos? = — 2" е + 2 У •й'С*') cos ^
Точно так ж.е, воспользовавшись соотношением (10), .получим:
оо
sin Е = — V у У* (**) sin ^. (30>
і
Подставляя только-что указанные разложения в равенство (26)
и в формулу
г = а(1 —е cosE),
найдем
оо _
к
Е = М+ ^ -г Jk (**) sin *м
(31)
г- = 1 + Je2~e 2 J7; (**) cos*//.
1
Выведем еще разложение квадрата радиуса-вектора. Так как
—V = 1+ у *« —2*cos? + у ?2cos2?
(32)
и, кроме того,
оо
' cos 2Е = >>] ± [УА_2 (fcr) - /А+2 (**)] cos *Ж =
-1 тР^л-(«- 2(^+,<*>] «•*"-
8 „
= $[&«¦«>
8
**««
4(&)jcosMf,

218 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряди
оо
то окончательно получим
7)2 = 1 + Т*2~2іу*(^)соз*ж- . (33)
Эту формулу можно найти еще проще, если обратить внимание на
соотношение
—Y = 2е sin E
dM\a
и воспользоваться разложением (30).
Точно так же, замечая, что
d? 1Л _-і а
dM v ' г '
из формулы (31) получим
со
у = 1 +22Л (**) cos *М- (34)
1
Это равенство, в свою очередь, позволяет найти коэффициенты
разложения
(35)
Сложные выражения коэффициентов gu g2, . • . через функции
Бесселя мы приводить не будем, так как для применений достаточно иметь
разложение каждого из этих коэффициентов по степеням е. Такие
разложения будут приведены ниже (§ 82). Сейчас ограничимся лишь
определением g0.
Из^ равенства (35) следует
о
Обратимся к интегралу площадей
r2§=*Vi+™ іАа-^ь
-(f)Vi=*.
который можно представить в таком виде:
dv
№
ибо
M=f?]/l+ma *(t—t0)±M0
Следовательно
2к
(36)
go = (1 — 0)-Т -і- fdv = 2 (1 — *)- і-,
О
и потому
2 so -1- 2 -f 24в -t- . . • -t- 2.4 . . . (2A) ' "Г ' • •

§ 80. Разложение эксцентрической аномалии 219
Вычисляя этот коэффициент при помощи непосредственного
возведения в квадрат равенства (34) и сравнивая результаты, получим:
ее
(1_г«)-Г=1+2 2^(^).
Примечание. В разложениях, выведенных в этом параграфе, так
же как и в большинстве астрономических приложений, функции Бесселя
встречаются чаще всего в двух следующих формах:
2 / ,ЛЛ 1 АЛ*-1 [Л *2*2 , № \
е'ь^"' (^_1)!^2у \ 2.(2*+2) ' 2.4.(2*+ 2) (2*+*)
2у;(&о=
і /*gY~*fi *+2 *2g2 і *+4 ** \
~(*—1)1^2 J \ * 2.(2* + 2) + k 2.4.(2*+2) (2*+ 4) •'¦)
Отметим следующие частные случаи, которые особенно полезно
иметь в готовом виде:
2 . , Л_. і_2 , _?^ * і
г -/iW—і 8 +192 9216+• • •
-Jt{2e)~e[\ —3+24-36О +•
2 / гчл 9е2Л ^ і 81«*
т^^-т^^іб + біо— • •
2,,,> 4г3Л 4g2 і 4е*
TJ*Ve\=ir(1—5+15-¦ •
2 , /е s 625 gy, 25 g2 , 625 g*
7•'к W --384-^l 2Т+Т34Т
2 , ,. Л 81 g5 Л 9ga . 81 е*
7^(6^)=^or^-y- + TT2—•
ZJiW 8+192 9216+' "
2Л(2«)-'(і-т + Т-|+- •
^-?('-^+іі?-•
625^Л_35е2, 375_?*_
2J^be> 384" ^ "24"+ 448
o)'(RA 81<5Л 12е2 -LlZ5ei \

220 XIL Разложение координат эллиптического движения в ряды
§ 81. Преобразование ряда, расположенного по кратным
эксцентрической аномалии, в ряд, расположенный по кратным средней аномалии.
Обозначим через 5 периодическую функцию Е, период которой
равен 2«. Эту функцию мы будем предполагать непрерывной, так же как
и ее производные, а потому разложимой в ряд Фурье
S = Yflo + eiCOs?-f-a2Cos2?+. ? .+ft1sin?+- • • (37)
Как уже было отмечено, величина S будет периодическая функция Му
имеющая тот же период 2* и разложимая в ряд
S=^Ab+AxcosM+A2co$2M-\- . . ._|_?і5іпЖ+. . . (38)
Стоящая перед нами задача заключается в получении разложения (38)
при условии, что коэффициенты разложения (37) известны.
Подставим вместо cos тЕ и sin тЕ их выражения, даваемые
формулами (27) и (28). Это даст:
К = ао + аіа\
или, заменяя а™п Ь™ их значениями, найденными в предыдущем параграфе:
А0 = а0 — ахе
оо
НАи = 2 ""к V>-m (*») - J»m (Ш
оо
w^S"*-^-^-^»^ •
m=l
(39)
Таким образом, преобразование ряда (37) в ряд (38) приводится
к вычислению величин
Л(*), Л 00, ^W» . . .
Л(2*), Л (2е), Л(2*), . . .
что может быть выполнено как алгебраически ,(до определенной
степени е), так и численно по формулам, указанным в §§ 78 и 79.
Другой способ для решения рассматриваемой задачи был предложен
Коши. Он основывается на следующих соображениях.
Положим
у = ехр іЕ, z = ехр іМ
и заменим разложения (37) и (38) соответствующими рядами Лорана:
5 =
S =
-{-оо
S Pkyk
— оо
-{-оо
и
-г-оо
(40)

§ 81. Ряды, расположенные по кратным эксц. аномалии 221
Для вычисления коэффициентов Pk обратимся к формуле (4),
которая дает
2*Pk= J Sx-*dM. (41)
о
Но на основании соотношения (26)
z~k = ехр (— ikM) = ехр (—ikE+ifc sin E) =
(у-у-1)]
dM . е
dE
У ехр[д
Следовательно:
2к
2*Рк= j ^^ехр^^-.Г1)] [l-f (У+У-1)] Д?=
О
2%
= /* Ty-kdE.
о
Последнее равенство является не чем иным, как применением общей
формулы (4) к определению коэффициентов разложения функции
r-5[l-f(y + 0]exp[|-(y-y-1)].
по степеням у. Таким образом, получаем первое правило Коши:
Для полунения коэффициента Pk ряда {40) надо функцию Ту в
которой S заменено рядом (37), разложить по степеням у; коэффициент при у
будет равен Pk.
С другой стороны, так как
dz .
ЛИГ-*'
то равенство (41) дает
о о
о о
Но
й$і_й$_йУ__ - ^S_
~Ш~ dy dE ~iy dyf
поэтому, выражая опять zTk через y~ky получаем:

222 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряды
где
k dy
и=-г — *хр\Т(У — У )J-
Это выражение для Рк доказывает второе правило Коти:
Для получения коэффициента Pk ряда (40) надо разложить функцию U
по степеням у и взять коэффициент при jA"1.
Так как функции, которые приходится разлагать, почти всегда просто
выражаются через у-^-уГ1 и у — у"1, то применение указанных правил
естественно приводит к употреблению чисел Коши: так называются
коэффициенты N и в разложении
-f-co
р = — оо
где У и q — целые, не отрицательные числа.
В настоящее время все обычно встречающиеся в Небесной
механике разложения уже имеются в готовом виде (§ 82). Поэтому мы не
будем останавливаться на свойствах чисел Коши, х
§ 82. Разложение некоторых функций координат эллиптического
движения.
Нами уже найдено разложение радиуса-вектора в ряд (32),
расположенный по кратным средней аномалии. Посмотрим теперь, каким
образом может быть получено такое разложение для истинной аномалии.
Выразим прежде всего истинную аномалию через эксцентрическую,
для чего воспользуемся формулой
*Wi?*f '«)
Полагая
получим
или
Tu = wt YE = ut ^y^-ft
ex p (2 to)— 1 _ exp(2fe)— 1
exp(2to) + l — ^ехр(2ш)+1 "
^ IX— 1
Откуда, полагая p = , ,
exof2to) = 1-^ + (1+^)ехр(2ш) _ 1-рехр(-2/в) (Ш
exp wu>) j + ^ + (1 _ ^ exp.(2to) " 1 _ p exp (2iu) eXp ^Щ
Логарифмирование обеих частей дает
^ = «+^71п(1-рехр(-2ш))-1г1п(1-рехр(2ш)),
1 См. F. Tisserand, Traite de Mecanique Celeste, 1, Paris 1889, 234—237, где
указана дальнейшая литература.

§ 82. Разложение некоторых ф-ий координат элл, движения 223
или
Применение этой формулы к соотношению (42) дает разложение
(43)
у = ?+2
0sin?
yP»sin2?+-g-p»sin3? +
(44)
где
Р =
у— 1 е
н-+1 — і + ^Г-^
Переписав соотношение (42) в форме
. Е 1 . v
и применяя опять формулу (43), получим:
E^v~2 rpsinu — yp2sin2y + -3'P3sin3y —
(45)
Заменив в равенстве (44) Я, sin Я, sin2?, . . . их: выражениями (31)
и (28), получим весьма важное разложение, дающее уравнение центра,
а именно
y_^ = #!sin^+//2sin2^+.
где
* j
(46)
«->.(?)-*(?
з с;
+1
е
1
s , 107
"+" 36
"2~
22 / е V
17
*. = 5Ш -^К" +V о" +.
2
/Л
^4
Я,
//.=
= 26 [е_у _ 43 /
3 \^2
103
6
1097
30
1223
15
2 ^2
902
15
5957
36
3 \2
е
"2"
е
~2
+ •
+
Я7 =
47 273
252
2
в секундах дуги, причем вместо
Приведем еще значения Ни Нг, . .
числовых коэффициентов дадим их логарифмы:
#і = [5.615 455 129] е — [4.712 3651] е* + [4.031 124] * +
+ [3.6803] е> + [3.541] в» + • • •
#2 = [5.411 335 146] е2 — [4.9756066] г*+|[4.261 57] *« + [3.1875]««.+ . . .
Нъ = [5.349 18724]ез_[5.1417136]?5 + [4.58288]г7 — [3.514]*»+. . .
Я4 = [5.344 9911] е* — [5.287 36] *>'+ [4.8682] *> — [4.14] г10 + . . .
Н, = [5.372 3605] в* — [5.425 94] <?7 + [5.120] * — [4.554] г11 + • . .
Яв =[5.41958]в» —[5.5615]в8+[5.348]в"—. . .

224 XII, Разложение координат эллиптического движения в ряды
_ » — ——¦¦¦— ' •
Я7 = [5.480 43] ё' — [5.695 57] *» + [5.56] е" — . . .
//8 =[5.5512]*» —[5.829] е" +[5.76]*»—. • •
//„ =[5.62953]«» —[5.9618]*« +[5-952]*»—. . .
Н10 = [5.7138] еі°— [6.094]««+. . .
Яп = [5.8028] г" — [6.227] в» -j- • • •
^, = [5.896]^—. . . , //„ = [5.9921 в"—. . .
Для удобства дадим в развернутом виде и формулу (22),
представляющую радиус-вектор. Напишем ее так:
оо
~ = 1 +Ye2~ 2 °*cos*^> (47)
1
тогда
^-2т-зтчі(т)'-й(т)+-
„ 16 807
°7-~36СГ
Или, заменяя числовые коэффициенты их логарифмами:
d —* — [9.5740313]*» + [8-4156688]«в—[6.880]*»+. _ _
G2 = [9.698 9700] # — [9.522 8787] е* + [8.795 88] е* — [7.7447] г8 + . . .
G, = [9.574 0313] *8 — [9.546 0025] е5 + [9.044 313]<г7— [8.25] г9 + . . .
G4 = [9.522 8787] е* — [9.602 0600] е» +[9.249 88] е* — [8.627] е™ + . . .
G6 = [9.512 5788] t* — [9.676 436] ^ + [9.435 33] е» — [8.938] е" + . . .
G6 = [9.528 2738] е* — [9.762 357] в» + [9.6094] е10 — [9.211] гі2 + . . .
G7 = [9.561 98] & — [9.856 17] в» + [9.7762] г" + . . .
G8 = [9.6089] «8 — [9.9557] г" + [9.938] г» + . . .
G9 = [9.6659] *» — [10.0595] *« + [10.096] *« — . . .
О10 = [9.731] гі° — [10.167] в»
Оц = [9.8025] в" — [10.277] е"
G12 = [9.879]е» — . . . , G13 = [9.961]е'з—.
Из характеристик всех логарифмов надо вычесть 10.
Полезно отметить, что разложение (46) можно получить еще иначе.
Действительно, подставив ряд (35) в формулу (36) и проинтегрировав,
будем иметь:
со
о — м = s/T^7* V Лsin W- (46'>
г *

§ 82. Разложение некоторых ф-ии координат элл. движения 225
При разложении пертурбационной функции в ряд употребляются
также разложения функций
(т-1)^)"-^-^ (48)
где р, п и т — целые числа, причем р и т принимают только
положительные и равные нулю значения.
Вычисление коэффициентов разложений таких функций до
определенной степени е не представляет никаких трудностей. Имеем,
например:
-? — 1J Г-] sin m(v—M) =
Заменяя здесь — и v — М рядами (47) и (46), получим требуемый ре-
и
зультат.
Коэффициенты разложений функций (48), вычисленные до е1, дает
Леверрье. 1
Кэли 2 дал с той же точностью коэффициенты разложений функций
для р = 0, 1, . , . , 7, /72 = 0, 1, . . ., 7 и функций
sin
Г\п .
д / cos
для п = — 5, —4, • . . , —1, 1, . . . , 4, /я —0, 1, . . . , 5.
Некоторые, наиболее часто встречающиеся разложения приведены
на стр. 391—398 в форме таблиц I и II. Эти таблицы дают коэффициенты
при различных степенях е в С*' т и SJ ж, фигурирующих в разложениях:
(
(
—Y cos mv == С* т + С"'т соі М + (%'т cos 2М-\- . . .
—)" sin ти = 5"' " sin/J/+52"' m sin 2/Jf-f . . .
(49)
(
Так, например, таблица II показывает, что
8 128 ' 5120
1 U. J. J. L е v е г г і е г, Recherches astronomiques, Annales de l'Observatoire de Paris,
1, 1855, 343—355.
* А. С а у 1 e y, Tables of the Developments of Functions in the Theory of Elliptic Motion,
Memoirs of the R. Astron. Society 29, 1859, 191—306.
Курс HeSeoKoi и?хшіпки
IS

226 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряды
В дополнение приведем еще следующее разложение, легко
выводимое из (47):
1»і=те2+теі+ше6+ ¦ • ¦ +
/41 127 \
+(-я*+т*~т«--- -)™™+
. / 899 . \ ам 355081
+ (-9ббГ' • ' •j0056^- 322560"' С05Ш+- • •
Примечание. Коэффициенты ряда (46) или (46') имеют весьма
сложную структуру. Несравненно проще выражаются коэффициенты
разложения уравнения центра по кратным истинной аномалии. Чтобы вывести
такое разложение, обратимся к формулам
М = Е—е sin Е, sin E=JT^e* --_^HiL_
v 1+^cosy
которые дают:
Так как
где
M = E + y/l—lp^ln(l+ecosv).
1 +е cos* = ^-(l -fWO + Pr"1),
* = exp(w), p =
l+v/T-^'
то
ln(l+^cosz;) = In^y+2^cost/ — ^,^cos2i> + l pscos3z,_ ^ # ^
и потому
Ж==^+2^1~Г^(—psiny + p2sin2y —psin3y+ . . . ).
Заменив здесь Е выражением (45), окончательно получим:
yW==" + 22 A ^(1+*v/l" *2)sin*z;. (50)
¦ і
§ 83. Коэффициенты Ганзена.
Вместо того чтобы рассматривать отдельно два разложения (49),
можно изучать один ряд Лорана:
— со

§ 83. Коэффициенты ГЪнзена 227
Коэффициенты Х?'т этого ряда называются иногда
коэффициентами Ганзен#, так как Ганзен первый дал общие выражения этих
величин, представив их в виде рядов, расположенных по степеням р.
Другой, !,более простой вывод формул Ганзена был предложен Тиссе-
раном. х
Проще всего эти коэффициенты могут быть получены при помощи
первого правила Коши.
Выразим прежде всего функцию
через у. Так как
5='t)v
~ = 1 - е cos Е= 1 —J~ (у+у-1),
то, согласно этому правилу, Х%' т будет равняться коэффициенту при у*
в разложении выражения
Легко видеть, что
-?-=(і + Р2Г1(і-РЖі-Р>~1).
где, как и раньше:
¦ в= е ' = і —х/Г11**
1 -{- v/l — ег е
С другой стороны, соотношение
может быть написано следующим образом:
х—1 1 + М —1
х+\ і_?з' + 1>
откуда
Таким образом
Т= (1 + pi)-—V (1 _ р,)-»И (1 _ р,-іуН»И ехр Г^ (j, _ ггЛ ^
Пользуясь формулой бином.а, легко вычислить коэффициенты
разложения:
-J-oo
р=—со
J F. Tiss erand, Traite de Mecanique Celeste, 1, 1889, Ch. XV.
15*

228 XII. Разложение координат эллиптического движения в ряди
и получить их в такой форме:
где через F(a, b, c,x) обозначена гипергеометрическая функция.
Так как
то искомый коэффициент при yk в разложении функции Т равен
Ч-оо
Эта формула позволяет сравнительно очень легко получить
разложения коэффициентов С? m и S? * по степеням эксцентриситета.
§ 84» О сходимости рядов, представляющих координаты эллиптического
движения.
В предыдущих параграфах нами получены разложения различных
функций эксцентрической аномалии Е в ряды Фурье, расположенные по
кратным средней аномалии М. Эти ряды сходятся, на основании теоремы
Дирихле, для всех значений М и е, если только е < 1, ибо при этих
условиях разлагаемые функции непрерывны, так же, как и их производные.
Однако, в виду сложности коэффициентов рассматриваемых рядов,
эти коэффициенты приходится разлагать по степеням е и отбрасывать
члены, начиная с некоторой определенной степени. Таким образом
фактически мы имеем дело со степенными рядами, расположенными по целым
положительным степеням еу причем коэффициенты этих рядов являются
периодическими (с периодом 2іг) функциями М. Радиус сходимости
каждого такого ряда будет некоторой функцией <?(М) средней аномалии.
Наша задача заключается в определении минимального значения этой
функции у{М) при изменении М от 0 до 2*.
Возьмем какую-нибудь функцию F(E) эксцентрической аномалии и
будем рассматривать ее как функцию е и М на основании уравнения
Кеплера
Е—es\nE = M. (51)
Эта функция голоморфна для всех значений е (при данном-Ж), для
которых ее производная
dpiE) =_F'(E) sinE
de ^ '1— ezosE
остается конечной. Поэтому общие особые точки всех функций F(E)
определяются уравнением
і— <?cos? = 0, (52)
которое должно быть решено совместно с (51). Исключение могут
представлять только те функции, для которых произведение Ff(E)sinE либо
обращается в нуль для значений переменных, удовлетворяющих
условию (52), либо обращается в бесконечность. Такие функци имы оставим
в стороне.

§84.0 сходимости рядов, представляющих координаты элл. движения 229
Итак, радиус сходимости у(М) равняется, для всех рассматриваемых
функций, наименьшему из модулей корней е уравнений (51) и (52).
Переходя к изучению функции ср(Ж), заметим, прежде всего, что
ср (тс =t= М) — <р {М).
Действительно, замена ?9 М и е в уравнениях (51) и (52) через
к±Е, гс±Ж и — е не изменяет этих уравнений, а потому при такой замене
каждая особая точка ?0 обращается в особую точку — е0> имеющую
тот же модуль. Таким образом радиус круга сходимости измениться
не может.
Несколько труднее доказать другое свойство функции у{М),
заключающееся в том, что минимальное значение этой функции
равно <Л-^
Следуя Пуанкаре, возьмем функцию
F{E) = ехр (2ітЕ),
где /я — целое число, производная которой удовлетворяет только что
указанным условиям.
Разложение этой функции в степенной ряд легко получить,
пользуясь формулами (29) и (7), которые дают:
" 2т , /ЛіЛ** VI 2т jkVi (—О
Положим, далее,
_„ F А-ШЧ ' -^~Т ** рі(Р + *-2л»)!
/?(?) «= Ф (Л/, <?)
и рассмотрим сумму
W(M, е) = Ф(М, е)-*гФ(к + М, ё). (53)
Очевидно
—СО
так как все члены с нечетными степенями z сокращаются.
Пусть М = Мі — какое-нибудь определенное значение средней
аномалии, не равное -~-. Обозначим через ех действительное число,
удовлетворяющее условию
?(Л*і)<'і<1- (55)
В таком случае ряд Ф(Миех) очевидно расходится. Покажем, что
сумма (53) будет также расходиться для этих значений переменных.
Действительно, особым точкам е0 функции Ф (Ми е) отвечают особые
точки —во функции Ф(«+^ьОі н0 —еъ не может быть особой точкой
для Ф(М{, е)у так как при замене е через —г в уравнениях (51) и (52) М
обращается в зг±Л/. Таким образом, каждая особая точка одного из
слагаемых выражения (53) обязательно является особой точкой суммы,
ибо Мх ф «=*= Ми раз Мі ф -~~.
Итак, ряд ^(Mue^) расходится, если выполнено условие (55).
Сравним члены этого ряда с соответствующими членами ряда

230 XII. Разложение координат.эллиптического движения в ряди
Очевидно, модули сравниваемых членов будут одинаковы, но в то
время как аргументы членов х?(Мие{) могут между собой разниться,
аргументы всех членов ряда х? I—сГ>*еч одинаковы. Действительно,
аргумент каждого члена равен, как это видно из (54):
__?_2Л + *р + у(2Л — 2*1 + 2?) = -/72*.
Таким образом, раз ряд ЧР"(МіУ е^) расходится, то разложение
функции (56) тем более будет расходиться. Отсюда следует, что по
крайней мере для одной из функций ф(±-^-,іеЛ разложение по
степеням эксцентриситета расходится, если оно расходится для Ф(МХ, ех): иначе
говоря,
что и требовалось доказать.
Итак, для нахождения минимального значения функции нужно найтн
корень е0 уравнений
1 —eQcosEQ = 0
E0 — eQ$mE0 = Y>
имеющий наименьший модуль; тогда получим:
min 9 (М) = | е01.
Эти уравнения дают
тс
?о — tg?o = -2
или, полагая Е0 = -s— е=
'e + ctge = 0. (56)
Мы можем ограничиться рассмотрением комплексных корней
уравнения (56), так как действительные корни этого уравнения дают
<?п =
1
COS^o
>1
и потому не представляют для нас интереса.
Каждому комплексному корню е уравнения (56) будет
соответствовать сопряженный корень е', так что это уравнение должно иметь, по
меньшей мере два корня.
Возьмем какие-нибудь два корня е и е' уравнения (56) и составим
следующие вспомогательные функции:
о = COS ей, <р' = COS е'ы.
Эти функции удовлетворяют уравнениям
¦^- + ««9-0, 5-be'V^O,

§84.0 сходимости рядов, представляющих координаты элл. движения 231
следовательно
' йф r du* K ;YY
или
гг^-^-с-ч*-
Это равенство проинтегрируем в пределах от 0 до 1. Так как
при н = 0
а при и = 1
d® . dvf ,
-г1- = — е Sin e = COS з, -—- = COS e ,
Л/ du '
на основании уравнения (56), то получим:
Отсюда следует, что для каждой пары комплексных сопряженных
корней з, е' должно быть
е'2_е* = 0,
ибо в этом случае <р и <р' будут также сопряженные числа и потому
ср<р' = | Ср | 2 > 0.
Но последнее равенство может иметь место только для
-действительных или чисто мнимых значений е и г'.
Итак, уравнение (56) имеет только действительные и чисто мнимые
корни. Так как первые нас не интересуют, то остается найти наименьшие
по модулю чисто мнимые корни.
Полагая в уравнении (56):
получим
откуда
Так как
ch р — р sh р = 0,
р= 1.199678 640257734 . . .
min ср (М) = | е01 =
1
Sin e
1
shp'
то искомый радиус сходимости разложений по степеням
эксцентриситета равен
0.662 743419 349^2 . . .
Таков теоретический предел сходимости полученных рядов. Свою
практическую пригодность они теряют, конечно, гораздо раньше.
Примечание. Нами доказано, что разложения функций координат
эллиптического движения в тригонометрические ряды'по кратным
средней аномалии сходятся для всех значений М и для всех значений г,
удовлетворяющих условию
0*?*<1.

232 XIL Разложение координат эллиптического движения в ряди
С другой стороны, мы только-что видели, что эти разложения,
будучи расположены по степеням е, сходятся лишь в интервале
Q*ge < 0.6627 . . .
Такое изменение области сходимости связано с тем обстоятельством,,
что функции Бесселя, разложенные по степеням эксцентриситета:
•^--ЦтУ!1- 2(2**+2) + * ' •}
представляются своими первыми членами тем менее точно, чем больше
число ?.
Например, отношение второго члена этого разложения к первому^
равное по абсолютной величине
2(2* +2)'
возрастает до бесконечности при возрастании ?.
§ 85. Вычисление долготы и широты планеты.
Обозначим через w долготу планеты в орбите; эта долгота зыра-
жается следующим образом через употреблявшиеся ранее величины:'"
Bf = TC-j-u = Q-|-<n-f-w = Q-j-z/. (57)
Обозначим далее через / = т<2 и b = PQ (рис. 12) гелиоцентрическую
долготу и широту планеты Р.
Прямоугольный сферический треугольник ShPQ дает
tg(/ — Q) = cos/ tg и (58)
sin Ь = sin /sin и. (59)
Чтобы определить / из
уравнения (58), воспользуемся формулой (43)*
Так как в настоящем случае
l—Q=u
1
cos/+1
то эта формула дает
1
2'
arc
iTtg*2sia2* + 2arcr ^2в1п4и
где
Следовательно, учитывая равенство (57), мы можем написать:
R
arc
^tg?isin2« + ^tg<Isin4«
Разность между гелиоцентрической долготой и долготой в орбите,
равная R, называется приведением к эклиптике.
При постоянной наклонности орбиты і эта величина может быть
удобно табулирована по аргументу и.
Точно так же может быть построена таблица, дающая по аргументу и
гелиоцентрическую широту Ь,

ГЛАВА ХШ.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРТУРБАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ В РЯД.
§ 86» Введение. Разложение по степеням взаимной наклонности.
Для того чтобы дифференциальные уравнения, определяющие
возмущения (§ 15), могли быть проинтегрированы в общем виде, а не только1
численно, необходимо иметь аналитические выражения пертурбационных
функций
где
r> __1 xx'+yy'+zz'
V ~~ д /з
„1 ** + УУ' + **' m
через элементы орбит а, е, . . ., а\ е\ . . . В этой главе мы
рассмотрим главнейшие способы для получения таких выражений, имеющих
неизбежно форму бесконечных рядов.
Прежде всего, займемся разложением в ряд величины
•' __ і
д-1 = ^-(-^2 — 2r/ COS//) V (2)
где через И обозначен угол между радиусами-векторами г и /Л
Разложение этой величины, носящей название главной части
пертурбационной функции, представляет наибольшие затруднения, тогда как
разложение вторых частей выражений (1) выполняется сравнительно весьма-
просто.
Выражение радиуса-вектора через время и элементы орбиты было-
изучено в предыдущей главе. Посмотрим теперь, каким образом, можно
найти угол N.
Обратимся к рис. 11. Из треугольника SlSlt N мы можем найти
стороны N, Nx и угол J (сохраняем обозначения § 68) либо при помощи
формул (16) на стр. 185, либо при помощи следующих, являющихся
следствиями основных теорем сферической тригонометрии:
sin J sin N = sin f sin (2' — 2) I
sin J cos N = cos Г sin /— sin f cos i cos (2' — 2) I
cos y=cos f cos /-[-sin f sin /cos (2' — 2) } (3)
sin J sin Nt — sin / sin (2' — 2). |
sin J cos Nt == — cos ir sin / + sin /' cos / cos (2' — 2), J

234 XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
после чего долготы планет Р и Я' в их орбитах, которые мы будем
обозначать через w и и/, можно будет представить так:
полагая
XsssQ + N, xr = Qr + Nx
и обозначая через W и W долготы, считаемые от точки пересечения
орбит. Следовательно, обращаясь к треугольнику NPP\ получим
cos Н = cos U/cos W' + sin W sinW cos J
или
cos #= cos (W -- W) — 2 <з2 sin W sin VI/', (4)
где
. J
o = smx.
Подставим это выражение cos H в равенство (2) и напишем А"1
следующим образом:
_ і
го і -о о / I™ ,глі—г/it AJrr'smWsmW \ *
И + г'2_2г/со8(^-^] 2(l + r2 + y,2_2^cos(^_^ '
Ограничимся тем случаем, когда второй член в фигурных скобках
остается всегда меньше некоторой правильной &роби. Так как этот член
по абсолютной величине меньше, чем
4 о2 гг'
то это условие будет выполняться, как нетрудно проверить, для всех
больших планет солнечной системы. Действительно, наибольшая
величина угла J между плоскостями орбит (имеющая место для Марса и
Меркурия) равна всего 12° 30', что дает а2 = 0.0118. С другой стороны, для
каждой пары больших планет абсолютная величина разности г—г'
остается больше некоторой величины, тем более значительной, чем больше
произведение г/. Случаем, когда указанное условие не выполняется,
мы заниматься не будем. *
Итак, мы можем разложить второй множитель в ряд.
Применяя формулу бинома и полагая
А
Д0= [r2-f г'2 — 2ГГ1 cos (Wr — Щ2,
окончательно получим
"1 А—1 ___/ А-З
Л"" == Д~ — rrf Д~*. 2 о2 sin W sin W +
-fr2/2 A-5.6c4Sm2 U/sin2 W —
— r* /3 A"7. 20 tfi sins W sin3 W -f
(5)
1 Более общий метод разложения пертурбационной функции, одинаково применимый
при любых наклонностях, но зато более сложный, был дан Тиссераном. См.:
F. Tisserand, Traite de Mecanique Celeste, 1, Ch. XXVIII.
H. C. Plummer, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, 1918, Cambridge.
O. Backlund, Zur Entwickeltmg der StGrungsfunctlon,Мемуары Академии наук, Vli-e
serie, t. 32, 1884.
Подробные библиографические указания содержит статья:
Н. v. Z е і р е I, Entwicklung der StGrungsfunktion, Encyklopadie der Mathem. Wissenschaften,

§ 87. Случай круговых орбит 235
(6)
Написанные члены достаточны для всех больших планет.
Обозначим через П и 1Г расстояния перигелиев планет Р и Р от точки N,
в которой пересекаются их орбиты. В таком случае
W = n + y, U7' = IT-f-y',
если через v и v' обозначить истинные аномалии.
Формула (5) дает разложение главной части пертурбационной
функции по степеням взаимной наклонности орбит.
Обратимся теперь к рассмотрению вторых частей функций (1).
Так как
xxf -j- yyx ~\- zz1 = /г' cos #,
то вычисление этих вторых частей приводится к вычислению выражений
п г cos// n, fcosH
Пользуясь равенством (4), получим:
/Rx = р [cos (W— W) - о2 cos (W— W) + a8cos (W+ MX)]
/^1 = ^V[cos(^— MX)-e«cos(W— W0H-6>cos(\^H-W0].
Чтобы от разложений пертурбационной функции, даваемых равен"
ствами (5) и (6), перейти к нужному нам окончательному виду, надо еще
выразить координаты планет г, v я S, vf через элементы орбит. Для
.достижения этой цели рассмотрим сначала тот частный случай, когда
эксцентриситеты орбит равны нулю, т. е. когда движение планет Р и Рг
происходит по круговым орбитам.
§ 87. Случай круговых орбит.
Если эксцентриситеты рассматриваемых планет равны нулюлто
г = a, w = K / = a\ и/ = V,
где через X и X' обозначены средние долготы в орбите.
Полагая
L = l — т, Z/ = X' — т',
вместо (5) будем иметь
Д-1^/ — //Н-///-/У+. . ., (7)
где
/вд-1 = [л* + а'* — 2 ее'cos (Г — L)] а"
//= <ю/ Д~3. 2 as sin Z, sin U
111= а? а'* А"5. 6 о* sin2 L sin* Г <8Х
/У= дз fl's д-7. 20 о« sins ? sin3 Z/
Таким образом проблема дальнейшего разложения приводится к
разложению в тригонометрический ряд выражений вида
л —1 л— 1 , _л
(ся')~Ло~Л=0,-1а 2 (1—2atos5+«2) -,

236 XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
где п = 1, 3, 5,7, . . . и для краткости положено S = U — Z.. Кроме того,
а=7;
причем, условившись выбирать обозначения таким образом, чтобы было
а < а*, в дальнейшем будем всегда считать, что а < 1.
Мы можем положить
(1-2асоз?+а2) 2^_2^cos''5> (9)
оо
так как стоящая слева функция очевидно разлагается в сходящийся ряд
Фурье. Коэффициенты Ь^ носят название коэффициентов Лапласа.
Делая, далее,
л—1
«?-« 2 *?» (Ю)
получим:
{оа')—Ь-п = а>-\^ с« cos /(Z/-Z,). (И,)
— оо
Отметим, что
п п * я . п
При подстановке рядов (11) в формулу (7) нам придется каждый
такой ряд умножать (для л = 3, 5, 7, . . . ) на одно из выражений
2 sin Z sin V = cos (Z/ — Z.) — cos (Z' + Z).
8 sins Z sin2 ?/ = 2 — 2 cos 2 Z. — 2 cos 2 Z/ + cos (2 I/ + 2 Z.) -f-
+ cos (2 Z/ — 2 Z).
32 sin* L sin' Z' = 9 cos (Z' — L) — 9 cos (Z/ -f- Z.) +
+ 3 cos (3Z + Z.') — 3 cos (3Z, — U) -\-
-f 3 cos (3 L' + L) — 3 cos (3 Z/ — Z-) +
-f cos(3Z'— 3Z) — cos(3Z/ + 3Z-).
Иначе говоря, придется находить произведения вида
cos »2 с» cos i(L'-L)=* ^2 с-° cos P(^-^) + v] +
+l2c»)cos^,-?)-vb
Но стоящие справа суммы равны, так как они переходят одна в
другую при замене / через —/. Поэтому
cosv%c®cosi(L'-L) = %c®cos[i(Lf — I) + v].
Пользуясь этим правилом, легко найдем, что
<"/-4ві2 4° «* (/+і) (/.'-^-^2 4° cos [(/+і) ^-(/-і)і],

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ

Страница
237
Строка
14 сверху
Напечатано
+ 2сй
1
Должно быть По чьей вике
1
+ 24°
типографии

§ 87. Случай круговых орбит. 237
или, заменяя в первой сумме /-|-1 через /,
fl'//=i-o^4'~1)cos/(Z.'-i)-ia2 2fcos[(/+l)Z,'-(/-l)?].
Таким же точно способом вычисляем ///, IV, . . . После
подстановки полученных выражений в равенство (7) и приведения подобных
членов будем иметь окончательно:
а' Л"1 = ^2 а'Аі cos (?Г — zX)
+ <И ^ а'В' cos К'+ *) L'~(К— 1) L\
+ a*2fl'C;.cos [(,-+2)V-(/-2)?] (I»
+ ов J] а' Z>. cos f(/ + 3) Z/ - (i - 3) A]
+ a» 2 <*' ^'cos [(/+ 4) Z/ — (i — 4) L]
причем коэффициенты этих рядов имеют следующие выражения:
+ 16.^ + 18^- . . .
^ -1 с» -§ * «Г}+с*»*)-f-Ц °< (сГч 4- з с»+4,+2>) -
35 m
а?г — 128 с9 • • •
Формула (12) дает разложение главной части каждой из
пертурбационных функций (1) в случае круговых орбит. Для фактического
выполнения этого разложения надо только иметь возможность
вычислить для рассматриваемого значения a = а/а' коэффициенты с® или, что
то же, коэффициенты Лапласа. Как производится такое вычисление, будет
показано в одном из следующих параграфов.
Обратимся теперь ко вторым частям Rt и R\ пертурбационных
.функций
R = kW (Д"а — /?!> &= фт' (Л-1 — /?',).
Формулы (6) дают:
о'Ъ = a (1 — о») cos (If — L) + ao2 cos (?' + L)
a'R/ = a"2 (1 — a») cos (I/ — L) -f a-2 c* cos (L
1 1 (13)

238 XHL Разложение пертурбационной функции в ряд
Сопоставляя эти выражения с только-что приведенными выражениями
коэффициентов ряда (12), мы видим, что влияние второго члена для
функции R будет полностью учтено, если в разложении (12) мы заменим.
а'Ах через агАх —ос (1—а2)
JA-! . .в'А^—а(1-а»)
а'В0 „ а'В0 — а.
Точно так же, для получения R1 достаточно в разложении (12)
заменить
агАх через агАг — аГ2 (1 — о2)
агА_, т . а^-а-2(1-а2)
Таким образом, проблема разложения пертурбационной функции для
случая круговых орбит нами полностью разрешена.
Примечание. Важно отметить, что вторая часть
пертурбационной функции состоит, как показывают выражения (13), исключительно
из периодических членов. Таким образом, других вековых членов,
кроме тех, которые даются первой из сумм разложения (12) при / — О,
пертурбационная функция не содержит.
§ 88. Разложение пертурбационной функции по степеням
эксцентриситетов. Метод Ньюкома.
В § 86 мы видели, что пертурбационная функция R является
функцией г, r\ W=*TL-{-v9 W=TL§ + v\ так что можно положить
В предыдущем параграфе мы сделали <? —О, ег = 0, вследствие чего
г, г', W, W обратились соответственно в я, а1 и
/,==П+Ж, Г = П' + Ж',
где М и № — средние аномалии рассматриваемых планет. Для
соответствующей этому случаю функции f(a, a', Z,, V) нами было дано, при
помощи формул (12) и (13), развернутое выражение.
Так как эксцентриситеты еще* мы считаем малыми величинами, то
выражение /(г, /, W, W) целесообразно разложить в ряд по степеням
е и е\
Чтобы облегчить применение формулы Тэйлора, лучше
рассматривать R как функцию не г и г', a lg г и lg/, ибо переход от \ga к lgr
осуществляется путем прибавления некоторого приращения, тогда как
переход от а к г осуществляется при помощи умножения а на некоторый
поправочный множитель.
Итак, положим, с одной стороны:
с другой —
Igr = Iga + P, lgr' = lgfl/-)-p'
где через
f=v — Mt ff = vf — M'
обозначены уравнения центра,для рассматриваемых планет*

§ 88. Разложение пертурб. ф-ии по степеням эксцентриситетов 239
В § 82 было показано, что р и/ разлагаются по степеням е в ряды
следующего вида:
(14)
р = — еы$М+ег(~ — — cos2^rj4-^3(-|-cos^— ^cossVj-f-. .' .
/=^-2sin-Af+tfa-|-sin2ilf+e«/'—i-siiii«f+-j| sin3^+ . . .
Стоящая перед нами задача заключается в разложении выражения
R = FQga + f, lge' + p', L+f, L'+f)
по степеням е и е\ Воспользуемся для этого формулой Тэйлора,
которую, как известно, для функции любого числа независимых переменных
z/, у, • . . можно представить в следующей символической форме:
cp(y + Az/, v + Av, . . .) = expUu — +Дг>~ + . . . J<p(*,0, . . .),
Поэтому, вводя для сокращения письма символы
d(lge)' d(lgaO
будем иметь такое символическое равенство:-
Я = exp (pD + р'Я' +/Z), +/'?>;) FQg a, lg с', Д Z/).
t
Так как exp(pZ)-fp'-D'+/?)1+/'?)i') есть произведение двух
множителей:
exp (?D +/DJ и ехр (/&+f'D[), 0 5)
то рассмотрим символическое умножение функции
F{\go,\ga',L,L') (16)
на каждый из этих множителей отдельно.
Полагая __
Х=ехр(К-1^), y = exp(V-\L'),
мн можем функцию (16), представляемую формулами (12) и (13),
написать так:
S //(s,s')^ .
Общий член этого ряда
умножим символически на первый из множителей (15). Так как
то
exp(pDj+/A)^0=exp(pZ) + 5//-l)^0. (171

240
XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
Обращаясь теперь к равенствам (14), мы видим, что можно
положить
exp(pD+s/K— l) = *o + #i« + #2*2+- . .,
(18)
где h, ki . . . —функции D, s и М.
Положим, далее, _
1» = ехр (V— 1 М)
и напишем формулы (14) так:
/1 1 _Д . ,/1 3 2
8"Р 2 )+• • '
, 1 з/ , —1 і 13 з 13 —з \ .
Подставив эти выражения в равенство (18), получим:
*2 = п^2+^+п12^-2
^=п>"+п;_^-2+- • •+пі„{1-», '
(19)
где через n^=II^(Z), s) обозначен полином л-ой степени относительно
5 к D. Эти символические полиномы мы будем называть операторами.
Отметим, что, как нетрудно усмотреть,
п:(д-5)-п!„(А s).
Итак, член разложения (17), содержащий множитель еп, будет иметь
вид:
т=—л
<=*" 2 o^o^'*vm,
(20)
от=-}-л
где т = л, л — 2, п — 4, . . . , —п, причем для краткости положено
Умножим теперь выражение.(20) на второй из символических
множителей (15). Обозначая соответствующий символический полином через
П0;«', получим член разложения функции (20), имеющий множитель егп >
в таком виде:
mr=—в'
ях=—я
<„=^'л' 2 с' s ^('.•w'vv*-
(21)
тг=п'
«=я

§ 88. Разложение пертурб. ф-ии по степеням эксцентриситетов 241
Результат действия на исходный коэффициент H(s, Sr) сначала
операторов Щі> затем П0'^ , может быть представлен как результат
действия сложных операторов
ПГт' IP, S, Ю = П» (О, S).n°o?(0, SO.
Полагая для краткости
и выделяя в выражении (21) действительную часть, окончательно
получим разложение пертурбационной функции в следующем виде:
* = 2 епг'п' Pnmn^,(s, s') cos (sL + sZ/ + mM+ m!M% (22)
где индексы л, гі меняются от 0 до -j-oo, а индексы s, s', т9 т'—от —оо
до + оо. Коэффициенты Р зависят от больших полуосей ау а' и от
взаимной наклонности орбит J.
Равенства (12) и (13) показывают, что сумма s-j-s' всегда равна
четному числу. Кроме того, учитывая формулы (14), легко видеть, что
каждая из разностей п — |лі|, пг — \т'\ также равна не отрицательному
четному числу.
Итак, разложение пертурбационной функции по степеням
эксцентриситетов приводится, в конечном счете, к вычислению операторов. Для
начальных значений индексов л, т, nf, m; вычисление операторов
выполняется просто, но при возрастании этих индексов сложность выкладок
увеличивается крайне быстро. В этом случае для нахождения операторов
используются многочисленные рекуррентные соотношения, существующие
между ними.г
В случае, когда е = ег — 0, вековые члены в разложении
пертурбационной функции получаются, как мы видели в конце предыдущего
параграфа, исключительно от разложения главной части А""1. Рассматривая
только-что изложенный способ для получения разложения по степеням
эксцентриситетов, не трудно видеть, что применение операторов к
членам (13) может дать только периодические члены. Это позволяет
формулировать следующую теорему:
Теорема. Вековые члены в разложении пертурбационной функции в
тригонометрический ряд получаются лишь при разложении главной части.
В заключение отметим, что выполнение разложения (22) требует
знания не только коэффициентов (10), но и их производных по lga.
Действительно, так как a = a/a', то
д _ д__ да^_ д_ __ д
~ d(lga) да да да — да д (lg a) '
Поэтому мы можем считать D символом дифференцирования по lga
и положить
dk c{?)
1 Методы, предложенные для вычисления операторов, подробно рассмотрены в
монографии: Б. А. Орлов, Разложение пертурбационной функции по методу Ньюкома. Труды
Астрономической обсерватории Ленинградского университета, 6, 1936, 82—125.
Куро Небееной механика
16

242 XIIL Разложение пертурбационной функции в ряд
Примечание! Для всякой однородной функции Ф (а, а'), порядок
которой равен — 1, теорема Эйлера дает
дФ . , дФ Л
а ——\- с' -г-г = — Ф,
да ' да'
или
ОФ-±-0'Ф = — Ф.
Поэтому для таких функций мы имеем символическое равенство
Д-М>' —1,
из которого следует
П^. = П-(-2>-1,У).
Таким образом вычисление всех операторов
К1' (А *. *0 = К (A *) К (-я-1,0
приводится к вычислению простых операторов П«.
§ 89. Окончательная форма разложения пертурбационной функции,
В предыдущих параграфах мы познакомились с методами, дающими
возможность получить любое число членов разложения пертурбационной
функции по степеням эксцентриситетов и взаимной наклонности орбит.
Это разложение, как было показано, имеет следующую форму:
# = 2 КенегН'с2/ cos (sL + s'L' -\-тМ+ тгіМ% (23
где Л, h' и / принимают значения 0, 1, 2, . . , , тогда как индексы s, sr,
' m и ггі принимают значения 0, ± 1, =±=2, . . « , причем сумма s + s' должна
всегда равняться четному числу; наконец, разности Л — |от|, К — |лі'|,
2/—|s-j-s' I могут равняться лишь четным числам 0, 2, 4, . . .
Коэффициенты К, зависящие от индексов Л, Л',/, s, s\ m, irf, являются
функциями больших полуосей орбит а и а'.
Отметим, что степень каждого члена разложения (23), т. е. сумма
fi-\-fi'-\-2f, равна или превосходит на четное число величину
Is+s'1+!m I -Н m' V
Разложение (23), представляющее пертурбационную функцию в виде
тригонометрического ряда с четырьмя аргументами, является
простейшим из возможных представлений этой функции, как явной функции
времени.
Для более удобного интегрирования уравнений Лагранжа,
определяющих оскулирующие элементы (§ 13), разложение (23) целесообразно
написать несколько иначе. А именно, замечая, что
M = L — П^ Af' = L' — Wt
этому разложению можно придать такой вид:
R = 2 Kehehf<?f cos (pL-\~p'U + qu + q'W). (24)
Индексы p} p\ q, qf принимают все целые значения от —оодо -j-°°'
причем разности
/ h~\q\, hf-\q'l 2f-\p + pl-\-q + ?'
суть четные, не отрицательные числа.

§ 89. Окончательная форма разложения пертурб. функции 243
Таким образом, мы можем написать
A + ^ + 2/^|p+^ + 9+/i + |7| + k1.
Откуда следует, что
h+h' + 2fz*\p+p'\,
причем разность между левой и правой частями этого неравенства всегда
равняется, как нетрудно видеть, четному числу.
Итак, степень каждою члена разложения (24) либо равна |р4-р'|, либо
превосходит эту величину на четное число.
Разложения (23) или (24) не могут быть непосредственно
использованы при интегрировании уравнений Лагранжа, так как эти разложения
вместо элементов /, 2, и, /', . . . , фигурирующих в дифференциальных
уравнениях, содержат величины П, П', J, определяющие взаимное
расположение орбит.
Чтобы получить R в виде явной функции элементов орбит, заметим,
что
П = тс — Q — N, W = Kr — Q' — N'
L»n-f- M=nt+ е-2 — N, L' = n't+tr — Q' — N'.
Поэтому аргумент разложения (24) может быть представлен в таком
p(nt + t)+p>(n't+*') + gK + tfJ — (p + q)Q —
виде:
или
S + y^ + *0 + yT(*~AO,
(25)
где
D~p(nt+B)+P'(n't+i')+g*+<r'K,--(p+q)Q—(p'+ <;')&
$ = —p — q—p' — g', То—р —9+jp'4-e'.
Таким образом, при развертывании косинусов аргументов вида (26)
мы получим при выражениях, не зависящих от П, П', J, множители
следующих типов:
2/ sin
1
^?4-Р("+П
3/ sin
1
cos
T(tf-*0.
(26)
1
где о = sin у У. Чтобы эти величины выразить через элементы, обратимся
к формулам (16) на стр. 185, из которых следует, если воспользоваться
формулами Эйлера:
in ±- J • ехр і-(Л^+ЛГ) у/=Т= sin і' cos ~ * exp ~ (Qf - Q)y[-\ —
sin
sin ~ coStt ехртг(2— -2')>/—~і
cosij.exp~(iV— ЛГ)\/— l==cosZ2-cos^exp-^(2/-2)\/=T+
— sin Ts- sin «г • ехр7г(2 — 2/)v/~ * -
(27)
16*

244 XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
После возведения этих равенств в степень ? и обратного перехода
от показательных функций к тригонометрическим, будем иметь
выражения" величин:
^ ct y Р (*+ *')> 0 - °2)^ ™ У Р (*- *'> (28)
через элементы орбит.
С другой стороны, те же самые формулы (16) на стр. 185, после
возведения в квадрат и попарного сложения, дают:
*/ * * */ і
o2=sin2-^-cos2 -s- -f-sin2 -^-cos2-^ —ysin/sin/' cos(Q' —Q)
V i ir i 1
1 — ca =:*cos2 -у cos2 -у -f- sin2 -у sin2 -«¦ + -л- s*n ' sin V cos (fi' — Q).
Возводя эти равенства соответственно в степени/—д-р и —=-?и
перемножая их почленно с выражениями, полученными для величин (28),
будем иметь окончательные выражения для величин (26).
Таким образом, пертурбационная функция R получит следующую
форму:
R = ? Аен •*' /"sin -^Y ^sin ~\ cos Z>0, (29)
где
Do^pint + q+prtyt + ^ + qn + q'vr+ *Q + s'Q'.
Коэффициент Л зависит только от с и а\ Легко видеть, что индексы
р, рг, . . . , s' в аргументе D0 должны всегда удовлетворять
соотношению
;,+/?' + <? + <?' + s + s'-0.
В самом деле, пертурбационная функция R не зависит, очевидно, от
начала счета долгот. Но если начало счета долгот сместить на угол Л,
то аргумент Д> изменится на k{p-\~p'-\q-\-qr-\-ъ-\-ъгХ поскольку R не
зависит от Л, эта величина должна равняться нулю.
Отсюда следует, что тригонометрический ряд (29) расположен не
по шести, а только-по пяти индексам.
Так как фактическое выполнение разложения (29) представляет
большие трудности, то на практике оно никогда не применяется. Созданные
Лаверрье теории движения больших планет, представляющие наиболее
обширное применение способа вариации элементов при аналитическом
определении возмущений, базируются на разложении, занимающем как бы
промежуточное положение между формулами (24) и (29).
Лаверрье вводит, вместо долгот L и Z/, считаемых от точки
пересечения орбит, долготы в орбитах (удерживаем его обозначения):
/ = л*-|-в = /: +?, Г = л//-}-8' = і/ + т'
и полагает
Х^/^г' — *, (30)
что дает
L=:X — т\ 1' =/'--;'. (31)

§ 9L Начальные члени разложения першурб. функции 245
Точно так же, замечая, что долготы перигелиев равны
и полагая
« = * + *' —т = П + т', (32)
получим
П =ш — т', П' == ж' — т'. (33)
Подставляя выражения (31) и (33) в разложение (24), окончательно
будем иметь ¦ следующую форму, являющуюся основой всех работ
Леверрье:
j^ = SNeherh' o2f cos (А +ЛГ -\~k<»+ *V — 2gxf). (34)
Легко видеть, что индексы /,'/, ?, kr> 2g связаны' соотношением
, ' J+f±k + V — 2g = 0,
являющимся следствием независимости R от начала сиета долгот.
Величины X и со, определяемые равенствами (30) и (32), отличаются
от I и тс на весьма малую величину т'— z.
Можно показать (мы не будем на этом останавливаться), что
/ . ?
<g — =
tg-g-tg т sin (Q'- 9)
l + tg-jtg 2"Cos(Q'-Q)
откуда
I(T'-x;^tg|tg^sin(Q'-2)-ltg^tg^sin2(^-2)4-. . . (35)
Для того чтобы пользоваться разложением (34),* Леверрье был
вынужден соответствующим образом преобразовать уравнения Лагранжа
(§ 97).
§ 90. Начальные члены разложения пертурбационной функции.
Фактическое выполнение разложения (24) заключается прежде всего
в выражении коэффициентов К через функции с?> отношения а = а/а\
введенные в § 87, а затем в вычислении этих функций для данного
значения а. Эту последнюю задачу мы рассмотрим в следующей главе,
а сейчас остановимся на получении коэффициентов К в явном виде.
Если ограничиться членами 2-го порядка относительно е, е! и о,
то операции, указанные в предыдущем параграфе, выполняются очень
просто и дают, как не трудно проверить, следующее разложение главной
части пертурбационной функции:
а'Л_1=2 [l^-y^f^ + l-^ + ^C-^ + ^ + ^^cos V+
+^'S(2/+1+D)^C0S(y+yW')+
+1e* 2[4/2 ~~5/+(4/ ~3) D+°2] CiW cos (v+2M) ~*~ (36)

246 XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
-fl^'V(4/2 + 2/ — D — D2) с®cos (V — М + М)-\-
-f- і- ее' V [ — 4/2 — 2/ + (— 4/ — 1) D — D2] с<° cos (V+ М + /If') -f
+тв22с^1)соз(У+2?)+- • ¦
Здесь для краткости положено
V = HL' — L), D
<Xlg«) '
суммирование ведется по значениям / = 0, ±1, =fc2, . . .
Второй член пертурбационной функции можно учесть при помощи
правила, указанного в конце § 87. Впрочем, разложение этого члена
в ряд может быть легко написано сразу, пользуясь формулой (36).
В самом деле, если считать эксцентриситеты е я е' равными нулю,
то вторая чисть пертурбационной функции
D _ rcosH
будет определяться, в силу первой из формул (13), равенством
a'Rx = а (1 — а2) cos {П — L) + ао* cos (Z/ + L).
Сравнивая это выражение с (12), мы видим, что его можно получить
как частный случай выражения (12), если в этом последнем взять
а все остальные величины с® заменить нулями.
Таким образом, применяя к этому частному случаю формулу (36),
найдем, с точностью до членов второй степени относительно е, е', а:
аГ ^'Я, = Л — -і & _ ^_ е'2 _ <Л cos(// _ L) _
— |-<?cos(Z/ — П) + jecos(?' — 2? + П) +
+ 2*' cos (2Z/ - ? — IF) +
+ ^cos(Z/ + Z,-2II) + |-«ecos(Z/ —3? + 2П) +
+ ее' cos (2Z/ - 2Z. — П' -|~ H) — Зег' cos (21' — IF - П) -f
1 97
. + g- e'2 cos (?' -f- ? — 21Г) + j e'* cos (3?' — L — 21Г) -f
+ o*cos(L' + ?)+ ...
Точно так же вторая, из формул (13), дающая
ч
а'#; = a' ILS211L = а ~2 (1 - a») cos (2/ — Z.) -f а~ * о* cos (?/ -f- ?),

§ 91. Численные методы разложения пертурб. функции 247
показывает, что вторая часть пертурбационной функции I? получается
из выражения (12) при
Поэтому, пользуясь опять формулой (24), будем иметь:
+ 2*cos(Z/ —2Z, + H) —
— -|^cos(I-ir)+4^cos(2L'— L~ П') +
1 97
+ ^e^cos(Lf + L — 2U)Jrje^cos(L'-3Lj-2U) +
-f^cos(2?' — 2L — 1Г + П) — 3«r'cos(2L — П' — П) +
+ -g-*'2cos(Z/ + L — 2II') + -|-*'2cos(3L' — L~ 2П') +
-f.c2Cos(7/-f/>)+- . m
Таково разложение пертурбационной функции в том случае, когда
отбрасываются члены 3-й степени относительно эксцентриситетов и
наклонностей, С такою точностью это разложение было получено еще
Лагранжем и Лаплагсом.
Но для того, чтобы получить возмущенные координаты больших
планет с точностью, соответствующей точности современных наблюдений,
надо выполнить разложение пертурбационной функции до членов 7-й
степени включительно. Практическую выполнимость подобного разложения
доказал Буркхард (J. С. Burckhardt). Его вычисления были исправлены
и дополнены Бинэ (J. Binet) и Понтекуланом (G. de Pontecoulant), в
результате чего было получено разложение, охватывающее значительную часть
членов 6-й степени. Полное разложение до 6-й степени включительно
дал впервые Пирс (В. Реігсе) в 1849 г* Наконец, в 1855 г, Леверрье
опубликовал * разложение до 7-й степени включительно. Данные им явные
выражения всех членов до этого предела не потеряли своего значения
и в настоящее время. Бокэ,2 сохраняя метод и обозначения Леверрье,
вычислил все члены 8-й степени.
Для получения разложения пертурбационной функции в форме (23)
наиболее удобным является способ Ньюкома,3 основанный на
употреблении операторов (§ 88),
Примечание. Пользуясь указанными в предыдущей главе
формулами, легко получить разложение второй части пертурбационной функции
в общем виде с коэффициентами, выраженными через бесселевы функции.
§ 91. Численные методы разложения пертурбационной функции.
В предыдущих параграфах нами были изучены методы для
получения пертурбационной функции в виде ряда, каждый член которого есть
явная функция элементов орбит рассматриваемых планет и их средних
аномалий М и М\
1 Annales de 1'Observatoire de Paris, t. 1, 1855.
2 F. Boquet, Developpement de la fonction perturbatrice, Annales de TObservatoire de
Paris, t. 19, 1885.
aS. Newcomb, A Development of the perturbative function etc., Astronomical Papers,
vol. V, 1895.

248 XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд
Такая форма разложения дает, конечно, наиболее полное решение
задачи, так как позволяет представить возмущения в виде явных функций
элементов орбиты. Методы для получения разложений этого вида, в
которых все элементы сохраняют буквенные значения (за исключением
лишь больших полуосей, придание численных значений которым
необходимо для возможности вычисления коэффициентов Лапласа), носят
название аналитических методов разложения
пертурбационной функции.
Так как аналитические методы разложения дают пертурбационную
функцию в виде рядов, расположенных по степеням эксцентриситетов,
то они практически применимы лишь для очень малых значений
эксцентриситетов (не больших, примерно, чем 0.15—0.20). Если же это условие
не соблюдается, то, хотя разложение пертурбационной функции может
сходиться достаточно быстро, его практически невозможно получить прі#
помощи аналитических методов (ср. примечание к § 84). В подобных
случаях приходится прибегать к численным методам
разложения, в которых элементы с самого начала получают численные значения.
Если элементам орбит рассматриваемых планет дать численные
значения, то пертурбационная функция представится рядом:
R = 2 [Au v cos (iM + і'М') + Ви ., sin {іМ + ГМ')\, (37)
расположенным по кратным средних аномалий М и М'.
Постоянные коэффициенты А и В этого ряда выражаются
следующими*, хорошо известными формулами:
2к 2тс
о о
BitV = -^ Г Г 7? sin (Ш -\-ігМ') dM dM\
о о
Чтобы найти эти коэффициенты, пользуются приближенными
формулами, получающимися путем замены каждого интеграла суммой
значений подинтегральной функции для равноотстоящих значений аргумента.
Эти формулы могут быть соединены в одну следующим образом:
т—1 772 '—1
где ^м' есть величина функции R для M = k —, Ж'==?'-4-.
т т
Таким образом, вычисляя функцию R для достаточно большого
числа частных значений средних аномалий, можно найти коэффициенту
разложения (37) с любою точностью.
Конечно, разложение вида (37) с численными коэффициентами не
может служить для нахождения производных пертурбационной функции
по элементам. Поэтому таким разложением нельзя пользоваться для
вычисления возмущений элементов по формулам Лагранжа (§ 15). Но
подобного рода разложения вполне пригодны для непосредственного
вычисления возмущений координат (глава XVI): в этом случае достаточно иметь

§ 92. Метод Ганзена _ 249
разложения Д~ и Д~ , если вычисляются возмущения только первого
порядка; если же ищутся и возмущения высших порядков, то нужно
получить еще и разложения Д~б, Д~7, . . .
Ганзен, который в своей работе о взаимных возмущениях Юпитера
и Сатурна (1831) первый опубликовал применение численного метода
разложения пертурбационной функции, за аргументы принял разность
средних аномалий М—№ и среднюю аномалию Сатурна Л1\ Чтобы
получить коэффициенты разложения по формулам гармонического анализа,
он вычислил А"1, Д~3, . . . для всех комбинаций следующих значений
аргументов:
м—лг=*и°іь'ха, #=о,і,. . .,зі
Ж'= 22°30'X *', #' = 0,1,. . .,15.
Таким образом, ему пришлось найти 32 X 16=512 частных значений
указанных функций.
§ 92. Метод Ганзен».
Указанный в предыдущем параграфе численный метод позволяет
получить разложение пертурбационной функции с какой угодно
точностью при помощи простых, легко механизируемых вычислений,
единственное неудобство которых заключается в их обширности.
Применяя численный метод, мы совершенно не пользуемся
свойствами разлагаемой в ряд функции. Поэтому естественно возникает
вопрос, нельзя ли сократить вычислительную работу путем надлежащего
учета хорошо нам известной аналитической структуры разлагаемой
функции.
Коши первый употребил (1844) для разложения пертурбационной
функции полуаналитический метод; в котором разложение по
одному аргументу выполняется аналитически, а по другому —численно.
Эта идея была со всей подробностью развита Ганзеном (1857),
давшим метод разложения, получивший довольно значительное
распространение. В частности, этот метод был применен Хиллом при построении
теорий движения Юпитера и Сатурна.
Задача 'заключается в разложении в двойные тригонометрические
ряды величин А-"1, Д~3, Д"~Б, . . . , где
Д2 _ Г2 _|_ /2 _ 2rr* cos Я,
СО5Я=СО8(У + П)сО5(^ + П0 + 8іп(У + П)8т(^ + П/)СО5У.
Считая опять а < а' и полагая a = aja\ напишем это равенство так:
С другой стороны, cos Я в развернутом виде равняется
Сі cos v cos vr -f C2 cos v sin vF -f- C3 sin v cos vf -f- C* sin v sin if,
где
Q = cos П cos IF -J- sin П sin IT cos J
C2 = — cos П sin IT -f- sin U. cos IT cos J
Cs = — sin П cos IT + cos П sin П' cos J
C* = sin П sinTI',-f cos П cos IT cos J.

где
250 XIIL Разложение пертурбационной функции в ряд
Вводя вспомогательные величины k, К и ki, Ль при помощи
равенств
k sin (IT — К) = a sin II cos J 1
*cos(II'-/0=-acosn * J ( '
*lSin(n'-/Ci)==asinII 1
kx cos (IT — tfi) = « cos П cos У, J K }
легко найдем, что
acos// = ?cosy • cos(y' + /O + ?isinysin(0'-{~/Ci).
Поэтому, подставляя это выражение в равенство (38) и пользуясь
известными формулами
г = а (1 — е cos Е), f = а* (1 — ё cos ?')>
rcos0 = tf(cos.?—е), F cos vr = af (cos Er — ё%
rsinv = G cos cp sinE, r* sin v' ~ ar cos cp'sin ?',
получим следующее выражение для квадрата взаимного расстояния двух
планет через их эксцентрические аномалии:
¦?Y = *> -/cos (E - F) +1 Та cos 2 Я, (41)
7а = a2 ^ 2
D = D0 + A cos Я'+Лз sin ?' + *'> cos2 ^
/ sin /> = G0 + Oi cos ?' -f- G2 sin ?'
fcosF=H0^rH1cosEr + H2smE/>
причем постоянные коэффициенты имеют следующие значения:
Z)0==l-f «2 + 4-a2f2 — 2^'cos/C,
Z>! = 2(**cosAr—*')
Z>2 = — 2 ek sin AT cos cp'
G0 = — 2^' ki sin /Ci cos <p
G1 = 2#1 sin Accost? (43)
G2 = 2?x cos Ki cos a? cos cp'
Hb = 2(ea* — ekco$K)
H1 = 2/?cosK
#2 = — 2k sin AT cos ?'.
Отметим, что D, / и F известные, легко вычисляемые функции Ег,
а следовательно и Ж'. При возрастании М' на 2тс угол F, как легко
видеть, также увеличивается на 2я. «
Внимательное рассмотрение формул (42) показывает, что при малых
эксцентриситетах е и ег разности F—E', а следовательно и разности
F—М\ остаются в довольно тесных границах при всех изменениях Мг.
Во всех встречающихся на практике случаях последний член
выражения (41) крайне мал по сравнению с суммою двух первых. Это обстоя-
(42)

§ 92. Метод Ганзена 251
тельство позволяет написать, на основании формулы бинома, такое
весьма быстро сходящееся разложение:
Т) = До"П - f Т2 cos 2Е' Л°~Л~2 + • • ' <44>
где
Л0 = [/>— /cos(? — /з)]Т.
Каждая из величин Д~\ А~3, . . . , к разложению которых
приводится стоящая перед нами задача, может быть представлена в виде ряда
Фурье:
V"-er + 2^)cos(^~/=) + 2a»cos2 (/?-/>)+. . . (45)
Коэффициенты этого ряда очень просто выражаются через
коэффициенты Лапласа. В самом деле, полагая
(46)
получим
'V-
Следовательно
\
D = Ш(1 + ?»), /=23Л?,
я п
= 5K~2-[l + 62-28cos(? —/г)]_т==
= і- 2K"2M)cos''(? — /7)-
•іР-уя»""1"^-
(47)
Аргумент ряда (45) заменим разностью
E~F=E — M — {F — M'\
что позволяет трансформировать этот ряд следующим образом:
+' 2 Tf sin (Я - Ж') + 2-rf sin 2 (? — AT) + . . . , (48)
где
a» = aJIwcos/(/7—АО
(49)
Для любого значения М мы можем вычислить, как уже было
отмечено, Д / и F, а следовательно, пользуясь формулами (46), (47) и (49),
и коэффициенты Р и т-
Вычисляя каждый из этих коэффициентов для ряда равноотстоящих
значений № и применяя обычные формулы, гармонического анализа,
мы можем каждый из коэффициентов Рит разложить в ряд вида:
оо оо
\ c0+>V.cos/^ + 25/зіпУуГ\
Подставляя такие ряды вместо каждого коэффициента
разложение (48), внося эти последние в формулу (44) и развертывая получаю-

252 XIII, Разложение пертурбационной функции в ряд
щиеся произведения тригонометрических функций, окончательно получим
ряды вида:
тУ = 2(і* '"' C)"C°S {-Ш~Ш') +S(/' '"' s)«sin(/?-z"^'), (50)
4 I itV i,V
где л = 1, 3, 5, . . . ; что же касается до индексов і, У, то, очевидно,
достаточно давать им значения і = 0, ±1, =t2, . . . *' = 0, 1, 2, . . .
Разложение (50) не может быть непосредственно использовано для
интегрирования уравнений, определяющих возмущения, так как это
разложение заключает две переменные Е и М.
Ганзен выражает М через эксцентрическую аномалию Е, которую
он принимает за независимую переменную.
Так как
M=nt-\-Mw ЛГ = пЧ + М0',
то
где р. = д//л, а С — некоторая постоянная величина.
Поэтому, пользуясь уравнением Кеплера, получим:
Ж' = [а? — {K?sin? + C.
Подстановка этого выражения вместо № в формулу (50) и
развертывание функций
sin {)ье sin Е\ cos {^e sin E)
в тригонометрические ряды при помощи формул (15) § 78 дает
разложение вида
т)П== 2R ;"' cLc°s0'?--<V?)+ 2[/' '"' *Lsi* (''?-'>?)• (51)
Хилл, в уже упоминавшейся теории Юпитера и Сатурна,
преобразует разложения (50) в разложения вида:
(х)"в2{/' '"' '}лсо8(Ш-/'Ж')+2К ?, s}nsm(iM-fAt'), (52)
что легко выполняется при помощи способов, указанных в § 81.
Примечание. Для вычисления ? и Ш при помощи формул (46)
удобно ввести вспомогательный угол ф, определяемый равенством
*іпф = —
и условием 0 < ф < 90°.
Уравнение
20
1 + ?*
имеет два корня:
= sm<b
ві-tgi, e2«ctgi.
Беря первый из них, будем иметь такие равенства:

ГЛАВА XIV.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАПЛАСА,
§ 93. Вычисление коэффициентов Лапласа при помощи рядов.
Чтобы покончить с вопросом о разложении пертурбационной функции
в ряд, нам остается еще рассмотреть способы вычисления величин с(2,
или, что то же самое, в силу равенства (10) § 87, величин Ь%
определяемых соотношением
(1 — 2а cos 5 + а») " Т = i-J] Ъ® cos /5 (1)
—00
и носящих название коэффициентов Лапласа.
Покажем, прежде всего, что коэффициенты Лапласа могут быть
вычислены при помощи бесконечных рядов.
Положим
z = exp(Sv/— 1),
тогда
1— 2<xcosS + а« — 1+** — *(*'+я"1) —(1-«) (1 —az"1)»
следовательно равенство (1) может быть заменено таким:
(1-«*)-Г(1_«-1)-Т=і-2 b'nz- (2)
Так как
(1— or*) 2 = l-f-^az*1-! v^ ' а»**-+ 24.6 ~^~ ' ' ' '
то отсюда легко получить, приравнивая справа и слева коэффициенты
при z, формулу
1 Д0- "(л + 2)... (п + 2і-2) j
2 п 2А ... (2/)
і_і_ п п + 2і „о I
я(я + 2) (в+2р(л + 2»-г2)
"^ 2.4 (2/ + 2) (2/+4)
(3)
Для /=0 имеем: ¦
¦ ^r_;+(»)w(^)W...; (4)

254 XIV. Коэффициенты Лапласа
Эти ряды сходятся, очевидно, для всех положительных значений а,
удовлетворяющих условию
а < 1;
но при сколько-нибудь значительных а сходимость их слишком медленна,
даже для п— 1.
Если воспользоваться обычным, обозначением гипергеометрического
ряда
ПА,в,С;х)=1+^х+щ+*жтхг+.. (6)
и, кроме того, ввести символ
(*, 0 = *(*-И) (* + 2). . .(* + /-!), (*, 0)-1,
то формулу (3) можно написать так:
Гипергеометрическая функция, определяемая рядом (5), может быть
представлена, как известно, в следующем виде:
F(A, ВУ С; х) = (і~хГар(а, С-В, Q^V
Поэтому
2 п ОПТ ( ] \Т'1 2'г+і9Т=&)>
или, в развернутом виде:
2 *« 2.4.6. . .(20 а (1 а) [1+ 2 2/+2Р +
Д(л + 2) (д-2)(л-4) ]
^ 2.4 (2/-1-2) (2/+4)* ^ ' ' ' J ' К '
где
а*
1— а* *
Этот ряд сходится для \р\ < 1, т. е. для значений а, удовлетворяющих
условию
а < -4=г = 0.707 . . .
v/2
Чем больше /, тем более выгодным является применение ряда (7) по
сравнению с (3). В самом деле, отношения соответственных
коэффициентов этих рядов равны
1 п~2 (Д —2) (я —4)
' л + 2/' (л + 2і) (л + 2/ + 2р * ' '
и потому быстро стремятся к нулю при сколько-нибудь значительных и

§ 93. Вычисление коэффициентов Лапласа при помощи рядов 255
Если а > 0.707. . • , то ряд (7) расходится. Однако, и в этом случае
он может применяться для вычисления Ь$, если только і достаточно
велико. Действительно, можно показать, что ряд (7) становится в этом
случае асимптотическим.
При больших значениях / употребление расходящегося ряда (7)
оказывается более удобным, чем применение сходящегося ряда (3).
Ряд (7) может быть заменен более удобным и в то же время
сходящимся рядом при помощи аналитического продолжения. Действительно,
рассматриваемая нами ветвь функции (7) не имеет других особых точек,
кроме а==1 и а = оо. Следовательно, для соответствующей ветви функции
особыми точками будут лишь точки р =— 1 и /? = оо.
Таким образом, применяя к функции F(p) формулу Тэйлора
ПР) - ПРо) + (Р -Ро) F (Ро) + (Р ^°)2 F" »о) + - • .,
где ро — действительное положительное число, получим ряд, имеющий
круг сходимости с радиусом l-J-jt?0.
Приведем численные коэффициенты рядов, служащих для
вычисления **10) и bf1} в случаях, когда Ро — 0, ¦=-» *•
Первый из указанных коэффициентов Лапласа равен
причем для функции ЛоС°) имеем следующие разложения:
+ 1.00000 000
— 0.02272 727/7
+ 0.00213 068/Я
— 0.00034 15р3
+ 0.00007 47/?*
— 0.00002 0 рь
+ 0.00000 6 jp
+ 0.98913Я47
— 0.02082065^
+ 0.00171 01
— 0.0002304
+ 0.00004 1
— 0.00000 9
+ 0.000002
('-
('-
(-
(-
(-
¦т)'
-іУ
¦іУ-
-іУ
-іУ
+ 0.97912 120
-0.01926 520 0 — 1)
— 0.00141 681 {p — lf
— 0.00016 594 [р — \)ъ
— 0.00002 515 0»-1)*
— 0.00000 451 (/? — I)5
— 0.00000 091 (/? —1)е
— 0,00000 020 (/?—I)7
— 0.00000 005 (/? —I)8
— 0.00000 001 (p — lf

256
XIV. Коэффициенты Лапласа
Для *<1Х) формула (7) дает
1 524288 VH iiy h
причем для функции Fn (р) может быть взято одно из разложений:
(8а)
+ 1.00000 000
— 0,02083 333/?
+ 0.00180 288/>8
— 0.00026 83/73
+ 0.00005 48/>4
— 0.00001 4ps
+ 0.00000 1р6
+ 0.99000 356
— 0.01920 796 Л?
+ 0.00146 840 (V
— 0.00018 54 (р
+ 0.00003 11 (р
-0.00000 7 (р
+ 0.00000 2 (р
1
"2"
іу
іу
іУ
1.V
"2
+ 0.98074 527
- 0.01786 420 (р-
+ 0.00123 022 (р -
— 0.00013 597 (р~
+ 0.00001 956 (р -
— 0.00000 335 [р -
+ 0.00000 065 (р -
— 0.00000 014 (/>-
+ 0.00000 003 [р -
— 0.00000 001 (р-
-1)
-I)2
-1)3
-I)4
-I)5
-Ч6
-I)7
-1)8
-I)9
Для того чтобы выбрать наиболее удобный из этих рядов в каждом
¦конкретном случае, может служить следующая табличка:
сс = 0 0.45 0.61 0.66 0.71 0.78 0.82 0.88
/? = 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00 3.00
§94. Рекуррентные соотношения между коэффициентами Лапласа.
Обратимся к равенству *(2), могущему служить для определения
коэффициентов Лапласа, и напишем его так:
.-? 1
(9)
Дифференцирование этого равенства по z дает
і- п а (Г- г-2) [1 +V _ . {г + г-*)Г* -»-1J ibn '"'
что может быть переписано, на основании (9), в двух следующих
формах:
l-m{\- z~2) ^ ЬУ = [1 + а2 - а(z + г-1)] 2 '^V-1 (Ю)

§ 94. Рекуррентные соотношения между коэффициентами Лапласа 257
Приравнивая коэффициенты при zl в обеих частях равенства (10),
получим:
2/—л + 2^ ^ ; * . 2і —л + 2 «
(12)
откуда
Это соотношение позволяет, зная два из коэффициентов Ь{г), на-
(0) (1) Л
¦пример *^ и А^', вычислить все остальные.
Точно так же, приравнивая коэффициенты при г*~~г в равенстве (11),
будем иметь:
С другой стороны, из равенства (9) следует, если заменить п
'через п -{-2:
d+^c—да+да-е (14)
Исключение Ь(^ из уравнений (13) и (14) дает:
Если из тех же уравнений исключить Ь^^, то получим:
п (1 + «*) С - 2 «"С = С - 2/> ^
Заменяя здесь / через і-\-1 и разрешая полученное таким образом
уравнение совместно с предыдущим, найдем:
Таким образом, зная коэффициенты Ь^\ мы можем вычислить все
Ь®, затем все bf, и т. &. Сопоставляя этот результат с тем, что было
только-что сказано относительно формулы (12), мы видим, что
достаточно непосредственно вычислить два коэффициента Лапласа,
например Ь*р и bf\ чтобы затем, при помощи соотношений (12) и (15), найти
все остальные коэффициенты.
Вместо *?0) и Ь^\ к вычислению которых мы вернемся в следующем
параграфе, можно за исходные величины взять коэффициенты й[10) и bf1 ,
удобно находимые по формулам предыдущего параграфа.
Употребление рекуррентного соотношения (12) становится
неудобным для малых значений а, так как сопровождается потерей точности.
То же самое можно сказать про формулы (15) в случае больших
значений а.
Нужно, однако, заметить, что в "настоящее, время с вычислением
коэффициентов Лапласа приходится встречаться редко, так как имеются
таблицы, дающие эти коэффициенты. Лучшими из таблиц этого рода
являются таблицу, опубликованные Брауном и Брувером. *
1 Е. W. Brown and D. Brouwer, Tables for the development of the disturbing function
with schedules for harmonic analysis, Cambridge, 1933.
17
Курс Небс?ной механики *'

258 * XIV. Коэффициенты Лапласа
Положив
со
эти авторы дают lg 0^(для п =1,3,5, с восемью, для л=7 —с семью-
Г
знаками) по аргументу р = а2 :(1 — а2), меняющемуся от 0.00 до 2.50.
При этом /==0,1,2, . . . , 11.
§ 95. Выражение коэффициентов Лапласа определенными интегралами.
Применяя хорошо известные формулы Эйлера для вычисления
коэффициентов ряда Фурье к разложению (1), получим:
п 2 Г - —
?~==— I (1+^2—2acosa) * COS ixdx. (16).
о
Эта формула неудобна для вычисления коэффициентов Лапласа при
сколько-нибудь значительных величинах /, так как cos/л: в этом случае
много раз меняет знак. Кроме того, при малых значениях а
коэффициент Ь® есть малая величина порядка а?, — существенное
обстоятельство, совершенно маскируемое формулой (16). Однако не трудно из
формулы (16) получить Другие, более удобные.
Известная из интегрального исчисления формула
cospxcoszx
(«ft- Р(р-Ъ- • •^-/+1) fees"-'* sin* xdx
1.3 ... (2/— 1) J
0 у
позволяет для всякой функции/(/), разложимой в интервале — 1 s^/^-j-l
в равномерно сходящийся ряд
со
Щ = Е а/,
0
написать
//(cos х) cos іхих = yyg (2і—і) I ^ ^cos ^ sin' хdx*
о 6
Применив эту (указанную Якоби) формулу к интегралу (16),
получим:
bt'-H"tll":.%t-[72)l'' fd+»'-2«cos.rl-sin^^ (17)
Применение обычных формул квадратур (§ 56) к интегралу, стоящему
в равенстве (17), дает едва ли не лучший способ вычисления
коэффициентов Лапласа, особенно в тех случаях, когда требуется большая
точность.
При помощи преобразования Ландена
sinx
t?r®= ,
COS* — 3

§95. Выражение коэффициентов Лапласа определенными интегралами 259
дающего
. sin л: 1 — a cos л:
из формулы (17) легко получить такую:
а№ п (п + 2). > ,(л + 2/—2) 2 f
°я ~ Г"5 /о,'_1\ ^" а •
о
В частности, для п = 1 имеем
1.3. . . (2/—1)
a cos ср -(- l/l — а2 s^n2 ? 1Л_1 s^n2/ ? ^
1 — а2 / ^T^&zWy
(18)
1 * Ji/i-
й<р ?р
а2 sin2 «р
о
или, как легко проверить,
1С
т
1 * J /1— a2 Sin»? " tl9)
о
Таким образом
^Af-^Li/'^l (20)
1 «-•/ l/l—<x2sin2a; TC \ ^/ v '
где через ^(а>тг) обозначен полный эллиптический интеграл первого
рбда.
Для /=1 равенство (19)дает:
**-* г^ла-*,-^})-^
' u J ^1—a2sin2cp
(21)
где
?(а,іг)= / ^1~а2 sin2cp rf?
есть полный эллиптический интеграл второго рода.
Существование подробных таблиц эллиптических интегралов делает
употребление формул (20) и (21) особенно удобным, не говоря уже
о том, что полные эллиптические интегралы вычисляются весьма просто
непосредственно.
Например для вычисления интеграла первого рода может быть
применена формула Гаусса:
'("¦т)-тййуЬгТ' (22)
17*

260 XIV. Коэффициенты Лаиласа ¦•
где через М(а9Ь) обозначена арифметически-геометрическая средняя
между а и *, т. е. число, определяемое следующим предельным
переходом:
<*і = у (*+*); h=V^
M(a,b)= lim ал= Iim *я.
§ 96. Вычисление производных коэффициентов Лапласа.
Метод Ньюкома.
Для разложения пертурбационной функции в ряд нужно знать, как
мы видели в предыдущей главе, не только коэффициенты Лапласа, но
и их производные по а.
Конечно, эти производные могут быть вычислены при помощи
рядов, получающихся путем почленного дифференцирования ряда (3).
Но эти ряды сходятся еще более медленно, чем рад (3), так что этот
способ не имеет практического значения.
Дифференцируя равенство (9) по а, получим:
л 1 х""і db^
ИЛИ
Следовательно
dh®
-JL = — (№-1) -I- Ьінл} - 2ab(i) \
Дифференцируя это соотношение и комбинируя его с
формулами (12) и (15), легко найти ряд рекуррентных формул, позволяющих
последовательно определять производные до любого порядка. Нужно,
однако, заметить, что эти формулы, которыми пользовался в своих
работах Леверрье,1 мало удобны.
С другой стороны, как уже было отмечено (§ 88), в разложение
пертурбационной функции входят собственно не коэффициенты Лапласа,
а величины
^=і ,л (23).
л
п
и их производные по lga, т. е.
dk cW
/)*ф = ,., \. » (24)
п 0* lga)* v
1 Annales de l'Observatoire de Paris, t. 2, 1856.

§ д6- Вычисление производных коэффициентов Лапласа 261
Наилучшим способом вычисления величин (23) и (24) с точки
зрения как удобства, так и точности результатов является метод Ньюкома, 1
представляющий развитие и усовершенствование предложенного ранее
Ганзеном способа для вычисления коэффициентов Лапласа. К изложению
этого метода мы теперь1 и перейдем.
Формула (6) дает
так что
г* ~2~(мГ Р\Т> 2"+/'/+1;а
Ньюком вводит следующую, более общую функцию
с» -* [T'JJlTJ+jr*
(25)
'л — Ln
Заметим теперь, что равенство (5) дает:
dF(A,B,C;x) = ^F(A + l,B + l,C + Ux),
dx
откуда следует:
АВ
АН
DF{AyB, C;a2) = 2a2 ™F(A+ 1,5+1, C+W
Применяя эту формулу, легко представим производную функцию (25)
по lga в таком виде:
Применив к обеим частям последнего равенства операцию D,
получим соотношение '
/)^1€іУ = у(л + 2/+4у-1)/)*сі/ + /)*4Яйв <26>
(л= 1,3,5, . . • , ',/,* — 0,1,2, • . .)
позволяющее найти, зная величины (25), сначала Dc%*, затем D с'п*>
и т. д. Этим самым-станут известны и величины (24).
Рассматриваемая проблема приводится, таким образом, к
вычислению величин (25). Эту задачу мы разобьем на три части и решим,
пользуясь линейными соотношениями, существующими, как известно, между
всякими тремя гипергеометрическими функциями F{A, В, С; лг), параметры
которых отличаются на целые числа.
1S. Newcomb, Development of the Perturbative Function and its Derivatives, in^sines
3slnes of multiples of the eccen
nomical Papers, 3, Washington, 1891.
and cosines of multiples of the eccentric anomalies, and in powers of the eccentricities, Astro-
j, 3, Washi]

262 XIV. Коэффициенты Лапласа
Легко, например, проверить, пользуясь рядом (5), что:
С(С + 1)/7(А»В,С;*)-[С+(в-А+1)*]/7(А,В+1іС+1;х) +
4-(Д + 1)(С — A+l)xF(AtB + 2,C + 2;x) = 0. (27)
Формула (25) дает:
где
-2'+,(Й
а
(1,/+У-1)
Поэтому, делая в равенстве (27)
A = -j+J, S = y+/+y-l, C-i+У. * = *',
получим
(2/+2y^/z-2)c^''-2^^^ (28)
Полагая
^ = 7Йт-' (29)
П
можно это равенство написать так:
Р
м
tf-i-oiV . (30)
?де
1 ы/_(^+2у + Д-2)« ^ _ (2>-л + 2)а
2/(1+а2) + 2/ '• ^л 2/(1+а2) + 2/Ф
Формула (30) позволяет, зная величину (29) для / = ?, найти ее для
/ = & — 1, к — 2, . - . , 2,1. Для вычисления же />*'у можно воспользоваться
следующей непрерывной дробью, непосредственно вытекающей из той
же формулы (30), именно:
D
Рп
1— . . . '
где для краткости положено
1 Qkpk+i (зі)
OP
'k ^n

§ 96. Вычисление производных коэффициентов -Лапласа 263
Вычислив таким образом величины (29) для /=1,2,. - . ? и зная
с®'', при помощи формулы (29) легко найдем cifnj для всех
рассматриваемых значений /.
Займемся теперь вычислением с°,;. Заметим прежде всего', что
величина
с°>° = с{0)=Ь{0)
очень удобно вычисляется при помощи формул (20) и (22). Зная cf'°\
легко найти cf*l\ с^'2\ . . . при помощи рекуррентного соотношения,
которое мы сейчас выведем.
На основании формулы (25) имеем:
где
т^УН-1) і-('»+'У+і>
"-' V2'V (1./+1)
Поэтому, полагая
и замечая, что
CF(A9B9C;x) — CF(A + l9BX;x) + BxF(A+l9B + l9C + l;x)-=Ot
получим:
,или
(^+я)«^-<,ж+^;ж«о, .
С-Ж = ^^і^. ¦ (32)
1—су?
Это и есть искомое соотношение, позволяющее находить q* ,
с°'3, . . . , когда с?'0 и/?*'7 уже вычислены.
Остается рассмЬтреть вычисление <?', с*'7, . . .Для тдго чтобы
выразить эти величины через с°>у, выведем еще одну рекуррентную формулу.
Из формулы (25) имеем: *
%-*(=±2t),^(f+^-».T+^+w+1'-)

264 XIV. Коэффициенты Лапласа
где
*=^(f/)
п
(Л-И7-1)
Z-J\ I
2 / 2
а
(1>У)
Воспользуемся теперь следующим свойством гипергеометрической
функции, которое, как и в предыдущих случаях, легко проверяется при
помощи равенства (5):
C(A~C + l)F(A,B,C;x) — C(A-C-\-l+Bx)F(A+l,B+\,C;x) +
4-(Л+1)(Л — C+l+Bx)F(A + 2,B + l,C-)- 1;я) = 0.
Получим:
откуда
'я+2 л[«+(^ + 2у)«2)-2л(л+у)а^
О» У -0,7
Эта формула полностью решает задачу вычисления св'% с5'у, ... по
уже найденным c°t'J.
Итак, применяя метод Ньюкома, нужно выполнить следующие
операции:
1. При помощи непрерывной дроби (31) вычисляются phnJ для
наибольшего из рассматриваемых значений i = k и для всех нужных
значений ли/.
2. При помощи соотношения (30) находятся p^J для всех остальных
значений /.
3. По формулам (20) и (22) находится с?°=і*0).
4. Соотношение (32) дает все величины с°*Л
5. 'Соотношение (33) дает с%',с°б'*, ...
6. По формуле (29) вычисляются все с^\
7. Наконец, по формуле (26) находятся нужные для разложения»
пертурбационной функции величины
П (dlgaf
Примечание. Непрерывная дробь (30) быстрр сходится лишь прі*
малых значениях а. Поэтому еще Ганзен предложил заменить ее .
следующей:
Pk'j= P
1-я,
1-е,
"1 — *2
1 — а:і

§ 96. Вычисление производных коэффициентов Лапласа 265
где
л + 2і + 2/-2
Р 2(/+у) "
1 (л + 2»(2-я) 1 (2і+2У+Д)(2< + 2-Д)д>.
1_4(/+/)(/+У+1)в' 0,~4 (/+y+l)(*+/ + 2) '
причем ат,1$ ?т+1 получаются из ат, Ьт путем замены / и п через j-\-2
и п — 2.
Эта формула является частным случаем найденного Гауссом
разложения
F(AtB+l,C+l;x) 1
где
Р(А,В,С;х)
А С—В
"1_С С4-1 '
Л+1С+1-
2_С-|-2 С + 3
В
I —а:х
1—а2дс
1—М
1—. . .
В4-1С + 1-Л
Рі С+1 С4-2
В+2С+2-Л
Р2~С+3 С+4

ГЛАВА XV.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
ЭЛЕМЕНТОВ.
§ 97. Преобразование дифференциальных уравнений, определяющих
элементы орбиты.
Пертурбационные функции, соответствующие случаю, когда
рассматривается движение только двух планет, имеющих массы т и т', таковы:
R = №m'R01, /? = #mRt.0,
где R01 я RiQ определяются формулами (1) в § 86 (стр. 233).
Леверрье замечает, что
п*а* = &(\-}-т), гіЧх* = Р (1 + т')
и представляет только-что написанные равенства так:
Как уже было отмечено в § 89, Леверрье пользуется разложением
пертурбационной функции в следующей форме:1
a'RQA = 2 NW oV cos D
a'Rlf 0 = 2 №№ °2/ cos D, (2)
где
. D = До +A' + *» + * V — 2grf.
Так как
X0 = X-f т' — x, © = я + т' —x, (3)
причем разность т' —т зависит, как показывает формула (35) на стр.245,
лишь от /, /' ий' — 2, то
dR = dR ^___^?
1 В этой главе мы будем, по возможности, придерживаться обозначений Леверрье.
Заметим, что величины У, о, X, X' и Х0'он обозначает соответственно через f. % U V и **

Таким образом, уравнения Лагранжа (41), данные в § 13, могут быть
написаны в следующем виде:
da 2m' dR. f
dt I —}-/77 д\0
de 2mf JRQ m' cp dRQ г t i dQ
de m! dR01 m' <p dR0 г
— = — t—— na ctg cp ——± —-— na cos Ф tg -к—r^-
dt \-\-m &T бы 1-}-/л T & 2 A
А /л' dtf01 / #9
— = ——-na sec<p cosec/—r^-
dt \-\~m J oi
di mr Мол rnf . i (dR0tl 'dR
-yr— — =—:— na sec cp cosec i ~~~ — -r-i— na sec ? tg -=r ( ¦¦¦»¦ ~г.—Н
(4)
J
где через <p обозначен, как обычно, угол эксцентриситета.
Так как выражения (2) не содержат непосредственно і и 9, то надо
исключить производные R01 по этим величинам, заменив их
производными по т', т'— х и о.
Учитывая соотношения (3), имеем:
dR^dRdx' /dR dR\d(x'—x) 1 dR J_ д?
ді ~ дх' ді ¦ [дк^дш) ді "^ 2 daCOS 2 Л'
dR_dRdx' (dR dR\d(x' — x) 1 <?/? _У ^/ I (5)
Й"^Й+^Л ' W/ 59 ~*~2 <bC0S2 d9"J
Чтобы найти стоящие здесь производные х\ хг — х, J no in 9,
достаточно применить дифференциальные формулы сферической тригонометрии
к треугольнику SbNSlx (рис. 11), образованному тремя узлами. Это даст
равенства:
dJ= cos(x — Q)di—cos('z, — Qr)di,—smirsm('zr—Q,)d(Ql—Q)
sin Jd(x — 2) = — cos7sin(T — 9) <//-(-sin (т' — Q')di' —sin f cos (x'— Q')d(Q'—Q)
sinJd(x'—Qr) = — sm(x — Q)di+cosJsm(x'—Q')dif — $^^
из которых легко могут быть получены нужные частные производные.
Например
д(т' — х) sin (х—9) . cos J sin (т—9) , J . , пч
di sin J ' sin У to 2
Подставив эти значения производных в выражения (5), а эти
последние в уравнения (4), получим дифференциальные уравнения,
подлежащие интегрированию, в окончательном виде.
Леверрье вводит вспомогательные величины L, Д, Ри . . . , Т% V
при помощи равенств:

268 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
dL
2т'
dt \-\-m
dPx —2 m'
па'
па2
??2Л
dP,.
*"*а*«"
\-\-m
т"
д\,
да
dt
dP<
dt \-\-m
dP3 -m' ¦ dR01
1-f-OT &т дш dt
dT 1 m' na
dt
^0 1
= T-— na cos cp —pi
1 от'
*
2 1-)-/я cos®
2-ц^т5есс?зест-^
na J dR01
cos — ua
2 do
dV стл У (дР0, д$01
да>
(6)
Это позволяет придать окончательным уравнениям, определяющим
элементы, такую форму:
da
dt
fife
dt
de_
dt
¦*L
dt
di
dt
.dQ
dL
dt'
dl*~~dF
dPz 1 <p dL
=nr+eiZY*ml-dt
= -sin(,-Q)^ + cos(x-2)(g:+^
sm^=cos(T-Q)-4sm(t-Q) ? + - .
(7)
Так как наклонности планетных орбит /, і', . . .-малы, Леверрье
вводит, вместо / и 2, элементы:
p = tgis'm Q,
Q = tgi cos 2.
Дифференциальные уравнения, определяющие эти элементы, могут
быть написаны в следующей форме:
.dp
cosz_ =
.dq
cos i~h =
dt
dt
fdT , dV
dt
COST-vr'+sin г(—+ ^r]+/»tg j
/ di
\dt
sra t
dt
. fdT . dV\ , , i
+ C0S\lTt + -dt)+eftsT
dt
i di
dt' J
(8)
'Употребление элементов ряд удобно не только потому, что их
возмущения малы (тогда как возмущения 2, благодаря малому делителю
в последнем, из уравнений (7), могут стать очень большими), но еще
и потому, что через эти величины особенно просто выражаются
возмущения гелиоцентрической широты (§ 100).

§ 98. Возмущения элементов
269
§ 98. Возмущения элементов.
Обозначим,через 8ХХ, ^а, btet . . . возмущения первого порядка
средней долготы К и элементов а> е, . . . Из уравнений (7) получаем, считая
элементы в правых частях постоянными и надлежаще определяя
постоянные интегрирования:
bta = L; Ojp = A
5^==/>3-~tg|.cos ?L > <9>
ebiTz = P2~\-etg -^ sin ibxQ.
Интегрирование уравнений (6) после подстановки вместо R0 г
выражения (2) дает:
Л = 'З/п'а -у I Nen?>h' 02j sin D
где через н* обозначено отношение средних движений п!\п.
Внося эти разложения в формулы (9), получим возмущения первого
порядка элементов в следующем виде:
8^ = 2 AcosD
V=2 EcosZ)
5jX = 2 L sil) D
rtilt==:2 PsinD
)
(10)
где
D =j\ +/')/ + *u> + *V — 2^'.
Собирая в этих рядах члены, для которых j ==/ — 0, получим
вековые возмущения; остальные членьі дадут периодические неравенства.
Обозначая вековую часть какой-либо величины, например 8,в, через
[Swzl, получим:
М = 0, Рір]=0,
[кЦ = Рів] = [Л] + [PJ tg|- + tg ± sin і [8,9],
Пусть вековой член в средней долготе равен
Средняя долгота будет вычисляться, с точностью до первых степеней
масс, по формуле
Х = 7?/-|-ео+х'+ период, члены, (11)

270 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
Таким образом, если среднее движение планеты находить при по-
мощи долгот, полученных из наблюдений в две эпохи, разделенные
значительным промежутком времени, как это делается на практике, то мы
получим не л, а величину
*! = * + *• (12)
Вычислим аі при помощи соотношения
п1а\ = к2(1+т\
аналогичного равенству
которое связывает невозмущенное среднее движение и большую полуось.
Так как
fl3= 1
(Лі-*)2
то, с ошибкой порядка /я'2, которой можно пренебречь, будем иметь
такое равенство:
Итак, определив из наблюдений пи надо найти л и а при помощи
равенств (12) и (13), и именно эти величины должны быть подставлены
в формулы (10), дающие возмущения первого порядка.
Но при вычислении возмущений второго и высших порядков для
средней долготы должна быть взята величина (11), иначе говоря, л должно
быть заменено через п-{-х = п1т Поэтому предпочитают ставить во всех
аргументах D с самаго начала пх вместо л, чем учитывается, уже в
первом приближении, некоторая (и притом довольно существенная) часть
возмущений второго порядка.
При этом надо иметь в виду, что замена л через пг может быть
произведена лишь в аргументах D. Что же касается до коэффициентов
уравнений (4) или (6), то в них всюду а имеет значение (13), а л
представляет лишь сокращенное обозначение величины
kV^\-Tn a^T = n1 — х.
Полезно отметить, что среднее движение планеты, даваемое в
таблицах элементов, есть пи т. е. в него всегда включена постоянная часть
возмущений. Сообразно с этим значение большой полуоси, даваемое
таблицами и равное в наших обозначениях аі9 должно быть заменено, при
вычислении возмущений, через
где
л 2 аг
6 Пі
Так как в пределах принятой точности
lge = lg(ai+Ae1) = lgff1 + >W—, Ж = 0-43429. . .,
то соответствующая поправка lgax равна
о л.

§ 98. Возмущения элементов 27Т
Производя вычисление первых членов формул (10), легко найти, что>
о da о *
я аналогично для другой планеты
blga^^Mrn'^ + Dc?)). (15)
При этом предполагается, конечно, что <х, — аг1а[ меньше единицы.
Для каждой планеты должна быть взята сумма таких поправок,,
соответствующих всем возмущающим планетам.
Чтобы дать представление о величине и характере периодических
возмущений, приведем возмущения (10), производимые Венерой в
движении Земли, согласно вычислениям Леверрье.
I
У
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5
5
6
/
— 1
— 2
-3
— 4
-5
-6
— 7
— 8
— 9
— 1
-2
— 3
— 4
+ 1
0
— 1
— 2
-3
— 4
-5
— 6
— 7
— 8
— 3
-3
— 4
*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
— 1
0
— 1
— 1
*'
0
0
0
0
0
0
"0
0
0
— 1
— і
-1
— 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
— 2
,—1
— 1
-2е
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
• 0
0
0
0
0
А
+ 1Т59
— 0.86
— 0.53
— 0.34
— 0.22
-0.15
— 0.10
— 0.07
— 0.05
— 0.07
+ 0.13
+ 0.04
+ 0.02
__
+ 0.03
+ 0.12
-0.42
— 0.14
— 0.08
— 0.06
— 0.04
— 0.03
-0.02
+ 0.01
— 0.04
+ 0.01
L
-3!49
-2.66
— 1.27
-0.69
-0.41
-^0.25
— 0.16
-0.10
-0.07
+ 0.13
+ 1.02
+ 0.14
+ 0.06
—
+ 0.04
— 0.07
— 3.13
— 0.42
-0.18
— 0.11
— 0.07
— 0.05
-0.03
— 0.07
+ 0.48
+ 0.06
Е
-о!оі
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
+ 1.01
+ 0.91
+ 1.72
-4.17
— 1.02
-0.48
-0.27
— 0J6
— 0.10
— 0.07.
—
— 0.26
+ 0.06
1
Р
- о:о5
+ 0.00
+ 0.01
+ 0.01
+ 0.01
+ о.оі ;
+ 0.01
+ 0.01 ¦
+ 0.01
—
—
—
— ¦¦¦- ]Ц
+ 1.01
+ 0.91
+ L72
— 4.17
— 1.01
— 0.48
-0.27
— 0.16
— 0.10
— 0.07
—-
— 0.26
+ 0.06

272 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
j Г k k' —_2вг
5 —3 —2 0 0
6—4—2 0 0
7 —5—2 0 0
5—3 0 0—2
6—4 0 0 —2
. 8 —5 —2 —2 0
8 —5 —3 0 0
8—5—1 0 —2
13— 8— 2— 30
13 —8 —3 —2 0
13 —8 -4 —1 0
13 —8—5 0 0
13 —8 0 —3 —2
13 —8 —1 —2 —2
13 —8 —2 —1 —2
13—8—3 0—2
13 —8 . 0—1 —4
13 —8 -1 0 -4
А
+ 0*07
—0.02
— 0.01
+ 0.06
— 0.01
—
— о.оі
— 0.01
—
—
—
L
-0'.'77
— 0.09
— О.ОЗ і
— 0.62
— 0.07
+ 0.08
— 0.08
— 0.16
+ 0.14
— 0.46
+ 0.74
— 0.48
+ 0.06
— 0.58
+ 1.97
— 2.24
,+ 0.33
— 1.18
Е
+ 0'.'84
— 0.20
—0.08
—
+ 0.04
— 0.07
— 0.04
+ О'.О!)
— 0.01
+ 0.02
— 0.02
-0.00
+ 0.02
— 0.04
-о.оь
р
+ 0*84
— 0;.20
— 0.08
—
+ 0.01
—
— 0.04
+ 0.00
— О.01
+ 0.02
— 0.02
— 0.00
+ 0.02
-0.04
— 0.01
В этой таблице мы привели лишь те 44 аргумента, для которые
имеется хотя бы один член, превосходящий 0/05. Леверрье вычислил
все члены, достигающие 0/001, вследствие чего его таблица содержит
123 аргумента.1
Заметим, что для случая, когда одна из рассматриваемых планет —
Земля, имеем:
т' — % = 0, Х0 = X, о> = тс,
вследствие чего аргумент D имеет вид:
D = Д +/Х/ -f *7с + «V — 2*т.
§ 99- Возмущения элементов (второй порядок относительно масс).
После того как по формулам (10) найдены возмущения первого
порядка как для планеты Р9 так и для всех других рассматриваемых планет
Р\ Р\ . • . , можно перейти к вычислению возмущений второго порядка.
_ \
1 Коэффициенты, меньшие по абсолютной величие 0/001, заменены черточками.

§ 100. Переход к возмущениям в координатах 273
Для этого в пертурбационной функции (1) надо заменить элементы
а, е, . . . , а', е'у • . . , а"у е", . . . всех планет величинами
а-\-Ъха, е + ^е, . . .
я'+М', еГ+^еГ, . . .
«Ч-М", *"+^", • • •
Таким образом, для вычисления возмущений второго порядка
уравнения (4) дадут уравнения вида
+ ——а2-^81Л+п—лв-^М- (16)
Подставляя сюда выражения (2) и (10) и делая перемножение рядов,
в результате получим в правой части ряд, расположенный по косинусам
или синусам аргументов вида:
Ло+.А'+у"Х" + - . . + *d + *V + . . .
или
(ул+Ул'+/"/*"+ . , .)'+const.
Следовательно, интегрирование уравнений вида (16) введет делители
формы jn~\-jrnr-\-jr'n" -\- . . . Если существуют небольшие по абсолютной
величине целые числа /, /, /', . - . , при которых эта сумма становится
малым числом, то соответствующее возмущение второго порядка делается
особенно значительным. Период такого возмущения, равный 360°: (//? +
+у'л'+_/"/*" + . . .), будет весьма велик.
В результате второго приближения для каждого элемента получится
выражение вида
Д + 47+А"Р + 2 В cos (*' + ?)+ '2 ffC0S (Л7 + (?/)'
Вычисление возмущений второго порядка в элементах очень
неудобно, так как требует вычисления большого количества членов в
уравнениях вида (16). Эти трудности становятся еще более чувствительными
при переходе к возмущениям третьего порядка. В следующей главе мы
увидим, что определение возмущений второго и высших порядков
в координатах выполняется много проще.
При построении теорий движения Меркурия, Венеры, Земли и Марса
Леверрье мог ограничиться вычислением лишь очень немногих
возмущений второго порядка. Для других же планет, в особенности для
Юпитера и Сатурна, приходится принимать во внимание не только большое
число возмущений второго порядка, но и некоторые возмущения третьего
порядка. Работы Леверрье по вычислению этих возмущений для
указанных планет были продолжены Гайо (A. Gaillot).
§ 100. Переход от возмущений в элементах к возмущениям
в координатах. Построение таблиц.
После того как вычислены возмущения \а, . . •, Ь{к элементов
и средней долготы, можно дать общие выражения координат планеты.
Рассмотрим сначала долготу в орбите w.
Курс Небесной механики
18

274 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
В невозмущенном движении она равна
н>=*+Л (17)
где через / обозначено уравнение центра (§ 82).
/=#! smM-\-H2s'm2M-\- . . ¦, (18)
причем
Средняя аномалия равна
Л/ = Х —тс; (19)
поэтому, заменяя в равенстве (17) X, тс и е значениями
Х + §іХ, *4А*, <?+§!<?,
нолученными в первом приближении, и ограничиваясь величинами
первого порядка относительно масс, для возмущения долготы будем иметь
следующее выражение:
«^«SiX+I/ZiCOS^ —«) + 2//2cos2(X —«)+ - • •
\k
— feces (X — tc) + 2#2cos2(X — «)+ . . . J8i* +
¦+{^sin(X-rc) + ^sin2(X-7c)+ . . . }v. (20)
При помощи этой формулы учитываются обычно только коротко-
периодические возмущения X и периодические возмущения тг и е, что^же
касается до остальных возмущений этих: элементов, то их влияние
учитывается иначе, а именно следующим образом.
Формула (18) позволяет вычислить таблицу, дающую при
определенном значении е уравнение центра/по аргументу Ж. Например, для Земли
мы имеем согласно вычислением Ньюкома (для среднего Гриничского
полдня 0 января 1900 г.)
/= 6910".057 sin М-\- 72".338 sin 2M-\-
-f 1".054 sin ЗЖ+0".018 sin іМ~\- . . .
При пользовании этой таблицей, для составления аргумента (19)
берут значение X, уже исправленное за долгопериодические возмущения,
и значение тг, уже заключающее вековую часть возмущений. Таким
образом, на долю поправок Ь{к и Ъхіс, стоящих в формуле (20), остаются лишь
периодические возмущения « и короткопериодические возмущения X.
С другой стороны, влияние вековой части bxe, которую мы можем,
обозначить через [V], выражается формулой
W
\^8шМ+^кп2М'+ . . .}М
и учитывается отдельно при помощи специальной таблицы, дающей эту
величину по аргументу Л/.

§ 100. Переход к возмущениям в координатах 275
Для Земли
? = 0.016751 04 — 0.000 041 807— 0.000 000 126Г2 =
— 3455".150 — 8".621 Т—0".0260Г2,
где Т есть время, считаемое от указанного выше начального момента
и выраженное в юлианских столетиях. Поэтому влияние вековых
возмущений эксцентриситета на уравнение центра таково:
\f] = (—17".240Г—0",052:П) sin Ж—6".3617sin 2М—
— 0".001 Т sin ЪМ.
В таблицах движения Земли, построенных Ньюкомом (Astronomical
Papers, Vol. VI), по аргументу М дается частное от деления этой
величины на Г+0.0030 ТК
Заметим, что члены с Т2 выражают вековые возмущения второго
порядка.
Итак, под V в формуле (20) можно разуметь совокупность одних
только периодических членов.
Вычисление суммы периодических членов, стоящих в формуле (20),
облегчается несколькими специальными таблицами, каждая из которых
дает сумму членов,, зависящих от определенного аргумента /Х+у'^'-
Когда при помощи таких таблиц исчерпаны все наиболее значительные
члены, сумму всех остальных остающихся в выражении (20) членов
можно найти из таблицы с двумя входами, расположенной по
аргументам X и X'.
Обратимся теперь к возмущениям логарифма радиуса-вектора. В
невозмущенном движении он выражается формулой (§ 82)
lgr=\ga-\-A0-\-A1 cosM+A2cos2/tf+,. . ., (21)
где А0, Ах, . . . — функции е.
Следовательно
Sjgrr^lga — j^sin^ — ir)+242sin2(X — те)-|- ¦ - • }ЛХ +
+ {i4,sin(X.— «)+2i42sin2(X — «) + . . . }М +
+(S+S cos^+Scos ш+ ¦ ¦ •} 8> <¦ <22>
Формула (21) позволяет построить таблицу, которая дает, при
определенном значении е, логарифм радиуса-вектора по аргументу
М = \ — те.
Для Земли такая таблица построена Ньюкомом на основании фор^
мулы
lg г == 0 • 000 030 57 — 0.007 27412 cos М
— 0.000091 38 cos 2М
— 0.00000145 cos ЪМ
— 0.00000002 cos 4М,
*•
Условимся включать в М, при пользовании этой таблицей, долго-
периодическую часть 8ХХ (даваемую специальной таблицей) и вековую
часть 8і«.
18*

-276 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
Что касается до вековой части V> то влияние ее на Igr легко
может быть учтено при помощи особой таблицы. Например для Земли
сумма членов формулы (22), соответствующих вековой части 8^, такова:
108. [іх lg Г] = {_ 15 + (1814 + 57) cos Л/+46 cos 2М + cos ЪМ) Т.
Ньюком дает таблицу, позволяющую по аргументу М находить
частное от деления э^ой величины на Т-\- 0.0030 712.
Сумма периодических членов, остающихся в формуле (22) после
всех этих упрощений, частично вычисляется для каждой из
возмущающих планет при помощи таблиц с одним входом, а остаток бере'тся из
таблицы с двумя входами.
Рассмотрим, наконец, определение гелиоцентрической долготы / и
широты ft.
В § 85 мы видели, что
/= w -\- R, sin ft = sin i sin и, (23)
где
есть приведение к эклиптике, а через и обозначен аргумент широты
u = w — Q. (25)
Таким образом, взяв какое-либо определенное значение /; можно
построить две таблицы, дающие по аргументу и соответственно Rub.
Полагая, как и раньше,
/7 = tg/ sin Q, g = tgi cos Qf
будем иметь
sin ft = cos i(q smw — p cos w).
Согласно общепринятому правилу, в аргументе (25) берется
значение w, уже включающее все возмущения. Поэтому, обращаясь к
вычислению Sift, мы можем считать, что в последнем равенстве только /, р,
и q получают приращения.
Следовательно
cos i
8^ = i(sin W * 8^ —cos to *Ьхр) — tgft tgi- Sj/. (26)
Вековые возмущения Q учитывают, включая их в аргумент (25);
влияние вековых возмущений / вычисляется по формуле
[3ift] = -tgfttg/[M,
которая для всех больших планет может быть приведена к виду
[8і ft] = — A sin и • Т
и заменена таблицей с аргументом и.
Таким образом при помощи формулы (26) нужно учесть влияние
только периодических возмущений /, ряд. Это делается так же, как
и в предыдущих случаях.
Влияние векового возмущения і на приведение к эклиптике (24)
учитывается очень просто; периодические возмущения / заметного
изменения R не производят.

§ 10L Вычисление вековых возмущений по методу Гаусса 277
В качестве примера укажем выражения этих величин для Марса:
[Ъ2Ь)= —2"Мб sin и-Т
R = — (53".791 — 0".036 Т) sin 2и - 0".007 sin 4z/,
лежащие в основе соответствующих таблиц Ньюкома.
Примечание. Нами рассмотрено получение формул, дающих члены
первого порядка в возмущениях координат.
Члены второго порядка могут быть найдены совершенно так же, но
это требует весьма громоздких вычислений.
Таблицы Леверрье дают возмущенные координаты г, I и b для
Меркурия, Венеры, Земли и Марса; что же касается остальных планет,
для которых возмущения второго порядка играют существенную роль,
то Леверрье ограничивается тем, что дает таблицы, позволяющие
находить оскулирующие элементы этих планет для любого момента времени.
Координаты, таким образом, приходится вычислять по обычным формулам
эллиптического движения.
§ 101. Вычисление вековых возмущений по методу Гаусса.
В формулах, дающих возмущения элементов какой-либо планеты-
коэффициенты вековых членов должны быть вычислены с большею
точностью, чем коэффициенты всех остальных членов, так как влияние
вековых членов растет пропорционально времени.
Между тем изложенный в предыдущих параграфах метод
вычисления дает коэффициенты всех возмущений с одинаковою точностью; эта
точность определяется той степенью эксцентриситетов и взаимной
наклонности орбит, до которой доведено разложение пертурбационной функции.
Гаусс предложил (1818) особый метод для вычисления вековых
возмущений первого порядка, позволяющий находить их независимо от всех
остальных возмущений. Этот метод не требует разложения
пертурбационной функции в ряд, а потому он одинаково применим при любых
эксцентриситетах и наклонностях орбит.
В § 12 нами были даны формулы (37), выражающие производные
элементов через компоненты возмущающего ускорения. Эти формулы
имеют вид:
de *
ЗТ = P Sin V Sx +jE7 (COS V -f- COS E) Tu
(27)
где
_kVp kVp kvp
причем через S, T, и W обозначены компоненты возмущающего
ускорения.
В том случае, когда возмущающее ускорение вызывается
притяжением одной планеты Я', компоненты S, Т, W будут равны производным
пертурбационной функции по направлению радиуса-вектора и двух
перпендикуляров к нему, одного в плоскости орбиты, другого —
нормального к плоскости орбиты (§ 11).

278 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
Но уже было отмечено (§ 88), что вторая часть пертурбационной
функции вековых возмущений не дает; поэтому здесь мы можем эту
функцию заменить ее главною частью
т'йГг, (28)
где Д есть расстояние между планетами Я и Я', a mf—масса планеты Я\
Пользуясь уже изученным разложением пертурбационной функции
в ряд, каждое из уравнений (27) можно представить в форме
% = Щ+^А>,г^им+]'мг+0), (29)
где через -$г обозначен постоянный член разложения.
й°
Предполагая, как всегда, что средние движения п и пг
несоизмеримы, так что выражение/л+/У равняется нулю только при/=/ = о,
после интегрирования получим:
Таким образом, вычисление вековых возмущений первого порядка
эквивалентно вычислению постоянных членов разложений вида (29).
Из равенства (29)1 следует, что Л
> о о
иначе говоря, искомые постоянные члены получаются путем
осреднения величин (27) по переменным М и Мг.
Так как от Мг в выражениях (27) зависят только Su Ти Wu то,
производя интегрирование сначала по ж, а потом по М и полагая
2я 2тс
s'=if^'=h,jwfSdM'
(30)
о о
и аналогично для Т0 и W0, окончательно получим:
2тс
dt\
dt\
2* J
0
2тс
2rc
2*
= ~ J sin vS0dJU+~ i(co$v+QQsE)T0dM
(31)
Займемся прежде всего вычислением интегралов (30).
На основании того, что было сказано выше относительно замены
пертурбационной функции выражением (28), мы можем рассматривать
интегралы
2тс 2гс 2я
' hfSdM'> ^fTdM'> k^d'M' <ю
0 0 0

§ 10L Вычисление вековых возмущений по методу Гаусса 279
как компоненты притяжения, соответствующего потенциалу
л/ ?dAf
2" J Л *
о
Этот потенциал имеет весьма простую механическую
интерпретацию. В самом деле, представим себе, что масса планеты Рг распределена
вдоль орбиты этой планеты таким образом, что на каждый линейный
элемент орбиты приходится элемент массы dmr, пропорциональный тому
времени^/, в течение которого планета описывает этот линейный элемент,
так что
dmf _ dt
ИГ~ Р"
если через Рг обозначить время обращения планеты /*.
Но
dt _n'dt _dM'
Р' ~ гіР' ~ 2* '
следовательно
2іе
п[_ CdM^_ Cdrri
2*J Д J A'
о
а это выражение есть не что иное, как потенциал эллиптического
кольца, получающегося от распределения массы планеты
F вдоль ее орбиты только что указанным способом.
Итак, задача приводится к вычислению компонентов притяжендя
материального эллиптического кольца, плотность которого определяется
законом Кеплера. Не останавливаясь на выполнении этого вычисления,
отметим только, что искомые интегралы (32) легко находятся при помощи
эллиптических функций.
Посла того, как дано средство для вычисления значений интегралов
(32), а следовательно и величин S0t Т0, W0, в любой точке пространства,
мы можем перейти к вычислению величин (31). Стоящие в формулах (31)
интегралы находятся численно: каждая из подинтегральных функций,
например г cos и W0> вычисляется для равноотстоящих значений М, и затем
берется среднее из этих значений.
Возьмем например разложение
л cos и W0==a0-{~a1 cos M~\-a2 cos 2M-\- . . .
+ bx sin M+b2 sin.2ytf+. . . (33)
и применим обычный метод гармонического анализа.
Обозначим через Ф0, Фх, . . . , Фа_і значения функции (33),
соответствующие значениям
М=0, ^, 2-^,. . .,(*-1)^; (34)
в таком случае
§1==до-~(Фо + Фі+ - . . +Ф*_і)-** —*»-*«-¦ - •
Ряд (33) сходится настолько быстро, что уже при небольших
значениях k вековые возмущения получаются с большой точностью. Можно

280 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
показать, что делаемая ошибка будет относительно эксцентриситетов
и взаимной наклонности орбит порядка k—1 для вековых возмущений г,
Q, е> к и порядка ? для вековых возмущений средней долготы эпохи е!
Нередко в интегралах (31) вместо' переменного М вводится
эксцентрическая аномалия при помощи равенства
<Ш = (1— е cos E)dE,
т. е. осреднение по М заменяется осреднением по В. При значительных
величинах эксцентриситета е, точки, соответствующие равноотстоящим
значениям Е, располагаются по орбите гораздо более равномерно, чем
точки (34), как мы уже отмечали в § 69.
Следует, однако, заметить, что преимущества употребления Е в
качестве независимой переменной не так уже несомненны, ибо, при
равномерном распределении выбираемых точек вдоль чорбиты, части орбиты,
проходимые быстро и проходимые медленно, получают одинаковый вес.
Поэтому нет оснований думать, что замена М переменной Е существенно
уменьшает число к.
Интересное обобщение ограниченной проблемы трех тел
указал Фату:1 он рассматривает движение материальной точки Р с
бесконечно малой массой в поле тяготения центрального тела 5 и
нескольких материальных эллиптических колец с вышеуказанным распределением
плотностей.
§ 102. Дифференциальные уравнения, данные Лагранжем для
определения вековых возмущений.
Если движение планеты изучается в течение небольшого промежутка
времени, порядка нескольких столетий, то можно, вообще говоря,
ограничиться вековыми возмущениями первого порядка. В этом случае их
лучше всего вычислять при помощи метода Гаусса, дающего эти
возмущения без особых затруднений с произвольною точностью относительно
эксцентриситетов и наклонностей.
Если имеются в виду более значительные промежутки времени, то
приходится обратиться к методам, изложенным в §§ 98 и 99, которые
позволяют найти вековые возмущения второго, третьего и т. д.
порядков. Однако количество требующейся при этом работы возрастает очень
быстро при увеличении порядка, так что практически итти дальше
третьего порядка едва ли возможно.
Наконец в тех случаях, когда нужно охарактеризовать движение
планеты в течение очень большого интервала времени, решающее
значение имеют члены нулевого ранга, т. е. члены, имеющие
множителем возмущающие массы и время в одной и той же степени (§ 15).
Метод вычисления вековых возмущений, который был предложен
Лагранжем и к изучению которого мы сейчас переходим, дает, в сущности, как
раз именно все члены нулевого ранга, хотя и с очень небольшой
точностью относительно эксцентриситетов и взаимной наклонности орбит.
Лагранж поставил вопрос об интегрировании уравнений (41) § 13,
определяющих элементы орбиты, при условии, что в пертурбационной
функции, стоящей в правых частях этих уравнений, отброшены все
периодические члены. Конечно, без специального исследования нельзя
утверждать, что интегрирование усеченных таким образом уравнений даст
1 P. F a t о u, Sur Ie mouvement d'un point materiel dans un champ de gravitation fixe,.
Acta astronomica, Ser. a, Vol. 2, 1931, 101—164-

§ 102. Дифференциальные уравнения Лагранжа 281
вполне точные значения всех тех возмущений, которые при
интегрировании полных уравнений способом последовательных приближений
получаются в виде вековых членов. Тем не менее можно думать, что
результат интегрирования усеченных уравнений-достаточно хорошо освещает
характер движения на чрезвычайно большой промежуток времени и
потому является весьма ценным с точки зрения Космогонии.
Заменяя в правых частях уравнений Лагранжа пертурбационную
функцию ее вековыми членами, мы ограничимся в разложении этой функции
членами второй степени относительно эксцентриситетов и наклонностей,
так как только при таком ограничении удалось выполнить точное
интегрирование рассматриваемых уравнений.
Обращаясь к разложению (36) § 90 и замечая, что вторая часть
пертурбационной функции вековых членов дать не может, мы получим, в
пределах указанной точности, вековую часть пертурбационной функции
в следующем виде:
^-¦^{т^-у ^)+1(^+Л(Но2)40,~
— і-«' (D + D2)c{? cos (Ш - П)1
Так как
IT — П=(тс' — Т') — (1С — Т) = 7С' — 1С — (*' — X)
и, как показывает формула (35) § 89, разность т' — % есть малая величина
второго порядка относительно наклонностей, то, в пределах принятой
точности, мы можем заменить cos (Ш — П) через cos (**' — ъ).
С другой стороны, с той же точностью, имеем
2а2 == 2sin2-~- = 1 — cosJ= I — cos /cos f — sin /sin i cos (Qr — ?) =
1 V
= 2 sin2 -^ + 2 sin2y — sin / sin /' cos (Q' — 9) =
= ^tg2/+Itg2r~tg/tgrcos(Q'-Q). -
Поэтому мы можем положить
*о,і = &тГ іМо,г + *од Iе* + е'2 ~ W '—fe* f +
+'2tg/tgf cos'(Q' —Ф] -2P0tleefcos(^—ic)}9 (35)
где через MQV Nov Род обозначены коэффициенты, зависящие только
от а и а'. Можно отметить, что эти коэффициенты являются, как это
следует из формул § 88, симметрическими функциями а и а\
Вместо обычных элементов ё, w и /, Q введем, следуя Лагранжу,
переменные
h = е sin тс, / = е cos -, (36)
/? —tg/sinQ, ? = tg/cosQ, . (37)
что дает возможность переписать выражение (35) следующим образом:
1 _ р>2 _ rf% + 2 (ptf + q<f) ] - 2Я0|1 (hti + //'), (38>
где h', /', р\ q' определяются формулами, аналогичными (36) и (37).

282 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
Обратимся теперь к выводу дифференциальных уравнений,
определяющих новые элементы (36) и (37). Так как
dh de . . dn dl de . d^
то, пользуясь уравнениями (41) § 13 и замечая, что
dR dR . . dR Л
-Г"= XT sin * + "аТ c0s *
dv dh dl '
легко найдем
4u^l—#-pfdR h dR\ , /tg "2 dg
Л у/і—Л* —р/ dR I dR\ g2
J (39)
^
* ла2 \ dh l + v'l — Л2 —/2 <?E/ na2\/l—№ — pdi~
Дифференцирование выражения (38) по Л, /и / даст члены первой
степени относительно малых величин, по которым ведется разложение.
Поэтому, отбрасывая члены третьей степени, получим:,
dh_J_dR dl__ l_dR
dt ~ш* дГ dt~ па* dh ' (40)
В том случае, когда изучаются вековые возмущения, происходящие
от взаимодействия двух планет Р и Р\ надо в уравнениях (40)
заменить R выражением (38). Но мы рассмотрим сразу более общую проблему,
когда имеется произвольное число планет и требуется определить вековые
возмущения их элементов.
Обозначим через т0, ти тъ . . . массы планет Р, Рг, Р", . .
^через а0, аи . . . ; е0, еи . . . обозначим их элементы.
Применяя уравнения (40) к планете Р{^, получим:
*, 1 ^
dt па* ді '
dl
dt
1 dR
1 р-
ла3 dh *
(41)
где на основании (38):
-^^ЛДАД+'Л). (42)
f
причем условимся считать, чтобы не делать исключений при
суммировании, что
М =N =Р =0.
и-» и- ти- р> и-

§ 102. Вековые возмущения
283
Полагая для краткости
2&т
п а
р. р.
м
п а
р
2 IX, v
Ъь *
мы можем результат подстановки выражения (42) в уравнения (41)
написать следующим образом:
dl.
^f+\A-MV-4MR
о,
(43)
где
\,, = (^ 0) + Gs 1) + 0», 2)+ . . , (44)
Так как каждый из коэффициентов N , Р есть симметрическая
функция а и дч, то имеют место соотношения:
mv*A 0>v) в*W? (v> »*)'
(45)
И- V*- И-
Таким образом, определение вековых возмущений
эксцентриситетов е0, еъ е2, . . . и долгот перигелиев тс0, «ь тс2, . . . приводится,
в пределах принятой точности, к интегрированию уравнений (43).
Обращаясь теперь к переменным (37), определяющим положение
орбиты, находим, прежде всего:
^ = tgzcos2 —+ sm2sec2* ^
Л
Л
— = — tg / sm 2 — 4- cos 2 sec2 г —
tf/ & Л l dt
dR . . n<?# ... ndR
-ж = tg i cos 2 -r tg z sm 2 —
<Э2 & dp & <ty .
-rr = sec2 z sm 2 — 4- sec21 cos 2 з- •
Учитывая, далее, уравнения (41) § 13, легко получим:
dp
dt
dg.
dt
sec3/
dR
p sec/sec2-=r
2 /d# , <?#'
ЛА2^!—^ <Э<7 2ла2\/і—*2 \dir de
<7 sec г sec2 •
— sec3 / dR
q sec i sec- -к-
2 /gg i gg\
лв2^/і_^ dp 2na2v/l — г2 \0*"*"<*•/"'
(46)
^
Так как в настоящем случае # выражается формулой (42), то -^- = О,
а — есть величина второго порядка. Поэтому, оторасывая члены тре-
і
тьей степени, будем иметь:.
dt па? dq ' dt пФ dp' K '

284 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
Подстановка выражения (42) в аналогичные уравнения,
определяющие р , q^ даст окончательно такую систему:
(48)
Решением систем (43) и (48) мы займемся в следующем параграфе,
а сейчас ограничимся получением тех замечательных первых интегралов
этих систем, которые были открыты Лапласом.
Умножим уравнения (43) соответственно на ш^ауі^ и т^п^аН^
сложим их и результат просуммируем. Это даст, в силу соотношений (45),
или
2-л<(<+<)-с>
где С — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями
движения.
Принимая во внимание (36), окончательно получим:
Таким же точно образом для уравнений (48) находим первый
интеграл
2*w^4=c'- (50>
В настоящее время эксцентриситеты и наклонности орбит—малые
величины, следовательно и постоянные Си С также малы. Так как все
члены в суммах (49) и (50) положительны, то Лаплас считал возможным
заключить отсюда, что и в будущем все е и / останутся малыми
величинами. Но такое заключение справедливо лишь в отношении тех
планет, масса которых составляет значительную часть суммы всех планетных
масс. Если же масса какой-либо планеты очень мала, то эксцентриситет
и наклонность такой планеты могут, не нарушая равенств (49) и (50),
стать весьма значительными.
Так как
_ _з_
J
то, пренебрегая величинами второго порядка относительно масс,
равенства (49), (50) можно заменить такими:
2 «^ << == const
2^/^te4 = const

§ 103. Тригонометрические выражения вековых возмущений 285
§ 103. Тригонометрические выражения вековых возмущений.
Обратимся теперь к решению уравнений (43). Согласно общей теории
интегрирования систем линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, будем искать частные решения в такой форме:
гізй
SUl(s/+P), /
Ы
a Jm n
cos(s/+p),
(51)
^ р. И-
где s, р и L^—постоянные числа.
Подстановка этих выражений в уравнения (43) дает следующую
систему для определения s и L^\
0
Ат,о1<(0) + Ат>1е>+ . . . +(Amim-s)L™=0,
(52)
причем через т-\-\ обозначено число планет и для краткости положено
Ьч
a Jт п
* * "lis 4 ^Ф*.
в, V от, "-,
(53)
Равенства (45) показывают, что
Л = 4 .
Таким образом, определитель этой системы:
D(s)=
Л),0 5> Л)Д> " ' • ' ^0,
11,0»
Аіг 5, . . . Аи
т
м
Ь,0 Ля,1> • • • j ^лг, m S
(54)
симметричен относительно главной диагонали.
Обозначим через s0, sv . . . , sm корни уравнения
Z>(«) = 0;
(55)
через Lfi — значения коэффициентов, получаемые из уравнений (52)
при 5 = 5Х. Один.из этих коэффициентов остается произвольным,
вследствие чего мы можем положить
где С0, Cv . v. , Ст — произвольные постоянные, а д^ — вполне
определенные числа.
Так как параметр (J в каждом частном решении (51) остается
произвольным, то, обозначая через р0, pt, . . ., f*m еще от-f-l произвольных

286 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
постоянных, мы можем общее решение системы (43) написать следующим
образом:
(56)
где положено
^~ a hnr - (57>
Свойства полученного решения зависят прежде всего от характера
корней уравнения (55), получившего название векового уравнения.
Лагранж ограничился тем, что вычислил корни векового уравнения
для тех значений постоянных, которые имеют место в солнечной системе,
и убедился, что эти корни действительны и неравны между собой.
Лапласу удалось показать, при помоши интеграла (49J, что каковы бы
ни были эти постоянные, уравнение (55) не может иметь комплексных
корней.
Действительно, если бы среди корней уравнения (55) были
комплексные, то соответствующие члены выражений (56) содержали бы
показательные функции и потому сумма fi2-\-l2 возрастала бы, при ^->ztoo,
до бесконечности, что противоречит соотношению (49).
Лаплас пытался доказать таким же способом отсутствие у векового
уравнения равных корней, но при этом впал в ошибку: он считал, что
при наличии равных корней в общем интеграле (56) обязательно должны
появиться в качестве множителей тригонометрических функций
полиномы относительно t, что бьіло бы опять несовместимо с (49). Однако,
как почти одновременно отметили Вейерштрасс (1858) и О. И. Сомов (1859),
в случае равных корней вовсе необязательно, чтобы / фигурировало
в общем интеграле вне знаков тригонометрических функций.
/Когда рассматриваются только две планеты, невозможность равных
корней доказывается очень просто, непосредственной проверкой. Для
случая трех планет эта невозможность была доказана Зеелигером (Н. v.
Seeliger) в 1878 г. - і
Для того чтобы получить предельные значения эксцентриситета е f
возведем выражения (56) в квадрат и сложим. Это даст:
+ 2<)<)cos[(s0-s1)f+P0-Pi]
+ 2^<Jcos[(s0-^/+p0-pj,
+ ' •
откуда ясно, что
^<l^0wH-|<M+ • • ¦ (58>
Заметим, что в случае, когда в формулах (56) один из
коэффициентов (57), например М^\ превосходит по абсолютной - величине сумму
всех остальных коэффициентов, перигелий планеты Р^ будет иметь
поступательное движение, обладающее средней скоростью s

^_ § 104. Вековые возмущения больших планет 287
Действительно, комбинируя равенства (56), будем иметь:
^cos(%-5/-Pp) = ^^ -
По условию
¦ <і>2К
следовательно cos (тс—sp*—р) никогда не может обратиться в нуль>
а потому
.%ss=v+Pp+*-180P+y^
где #—целое число, а последний член всегда удовлетворяет условию
— 90°<8Д/)<+90°.
Таким образом, перигелий рассматриваемой планеты никогда не
отойдет больше чем на 90° от точки, движущейся равномерно со
скоростью s .
Обратимся теперь к уравнениям (48), определяющим/?, <?-. Поскольку
эти уравнения имеют ту же форму, что и уравнения (43), мы можем
сразу написать их общее решение следующим образом:
(59)
Через о0, av . . . , ат обозначены корни векового уравнения]
?>'(о) = 0.. (60>
имеющего ту же структуру, что и уравнение (55), только на этот раз
^ = —^НУЧМ (бі>
V V
ДЛЯ р ф V.
Примечание. Так как все величины Aitti и Аи . входящие в вековые-
уравнения (55) и (60), порядка планетных масс, то и корни этих
уравнений будут, вообще говоря, величинами первого порядка относительно-
этих масс.
Таким образом, разлагая выражения (56) и (59) в ряды по
степеням sxt и oxt, мы получим члены нулевого ранга.
§ 104. Вековые возмущения больших планет.
Численные значения коэффициентов формул (56) и (59) были впервые-
определены самим Лагранжем. Но его результаты представляют лишь
исторический интерес, так как Уран еще не мог фигурировать в этих
вычислениях, не говоря уже о том, что для масс Меркурия, Венеры

288 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
и Марса были взяты гипотетические величины, полученные путем
умножения объема на некоторую предположительную плотность.
В 1839 г. Леверрье повторил эти вычисления с лучшими значениями
постоянных и уже принимая во внимание Уран. Но действие Нептуна,
открытого Леверрье в 1846 г., еще не могло быть учтено. Наиболее
полные результаты в этом отношении получены Стокуэллом,1 который
в основу вычислений положил нижеследующие значения масс, средних
годовых движений и больших полуосей.
Таблица 1
. Планета
1 :т
4 865751
390 000
368689
2680637
1047.879
3 501.6
24905
18780
п
5381 01б''2
2106641.438
1295977.440
689 050.9023
109256.719
43996.127
15424.5094
7873.993
а
0.3870987
0.7233323
1.000 0000
1.5236878
5.202 798
9.538 852
19.183581
30.033 86
Приняв, далее, значения интересующих нас 'элементов для 1.0
января 1850 г., указанные в таблице 2 (в основу положены эклиптика
и равноденствие 1850.0), он нашел те значения параметров,
фигурирующих в формулах (56) и (59), которые приведены в таблице 3 и
таблице 4.
Таблица 2 •
р
0
1
2
3
4
5
6
7
Планета
Меркурий . . .
Венера . .
Земля
Марс. .
Юпитер
Сатурн .
Уран . .
Нептун .
е
0.2056179
0.006 8418
0.0167712
0.093 1324
0.048 2388
0.055 9956
0.0462149
0.0091740
те
75°
129
100
333
И
90
170
50
7' ОТО
28 51.7
21 41.0
17 47.8
54 53.1
6 12.0
34 17.6
16 39.1
/
7° 0'
3 23
0 0
1 51
1 18
2 29
0 46
1 47
8Г2
34.4
0.0
2.3
40.3
22.4
29.9 '
0.9
Q
46°
75
0
48
98
112
73
130
33' 3''2
20 42.9
0 0.0
23 36.8
54 20.5
19 20.6
14 14.4
7 45.3
Полученные Стокуэллом числа позволяют, прежде всего,
фиксировать границы, в которых изменяются средние величины
эксцентриситетов и наклонностей, причем под средними величинами
мы разумеем, как всегда, значения этих элементов, получаемые при
1 J. N. Stock we II, Smithsonian Contributions to Knowledge, Vol. 18, 1870,
Washington 1873.

§ 104. Вековые возмущения больших планет
289
со
cd
¦Sf
X
К
АО
сз
г<-
со
ю
Tf
СО
СЧ
^н
О
{]
*-<
ОО
чу
ОО
о
CD
- •
сч
с*
С4-"
о
СО
со
со
СП
ю
со
с^
сч
г-*
ю
оо
со
со
^-»
СО
*"
о
со
ю
«f
-*
оо
Г";
ft
ч
со
г-
со
*"*
*-*
о
&*
с*-
t**
сч
гГ
оо
тГ
сч
й"
х>
СО
о
со
<г>
§
S?
иО
р
•<
со
=fc
о
"со
ю
f*.
о
СО
^
со
"У
"оо
о
00
сч
^
СО
"со
0
ю
о
^
ю
со
* ^%
чО
«Э
о
СО
ю
ч. ,
"со
СО
^
сО
0
С-
СО
J
S:
^^
СО
•*
•-«
^
о
1С
со
со
^
Си
у—*
V '
о
ю
о
о
сч
Ъц
"оо
со
"о
о
00
00
II
f<
OCL
ю
1>-
ел
о
о
8
о
1
ел
со
en
Tj«
**
сч
о
о
+
ю
оо
со
ю
о
о
о
о
+
0
с-*
(^
о
о
о
о
о*
+
т*«
СО
о>
ю
_-«
с^
о
о
+
со
г—
со
¦^
ч—Ч
о
о
о
+
оо
со
оо
00
со
сч
о
о
+
¦*
СО
о
СО
СО
^
о
+
II
§и
^
ю
с*
1—*
со
о
о
о
о
+
со
ю
о
СО
СО
о
о
+-
^-ч
t-
ю
ю
о
о
о
о
+
|>-
•—«
•—¦
о
о
о
о
*
о
+
с*
ел.
СО
1-^
со
^•4
о
о
1
f—«
г^
»—*
t4
т—(
*-н
о
о
1
ч*
**¦
т*
^^
о
сч
о
о
1
СО
о
ел
іО
оо
8
о
+
и
^
о
00
CO
сч
о
о
о
1
СО
•^
СО
со
let
о
о
+
сч
со
00
ю
о
о
о
о*
+
со
СО
о
о
о
о
о
+
ч*
СО
сч
со
»—«
о
о
+
ю
о
СО
«•*
W*
о
о
+
СЛ
^ч
СО
СО
ю
»—«
о
о
. 1
to
сч
00
¦ЧР
ю
о
о
+
II
S--:
/ ^
СО
о
о
о"
1
•^
ю
ел
С-
оо
о
*
о
+
ю
СО
t^.
с^
о
о
о
*
о
+
ел
1—»
сч
о
о
о
о
о
+
о
ю
со
о
о
с-
о
о
1
о>
v-^
г*.
ю
. сч
сч
о
о
+
»-^
ю
ті*
ю
с*
о
о
о
I
00
t—i
¦^
оо
о
о
о
о
+
II
е^
^
со
оо
со
СО
to
S
о
+
f—Ч
о
со
СО
о
о
+
со
со
"V
ел
^—*
о
о
о
+
со
со
со
о
о
о
о
*
о
+
т«
т-ч
о
о
о
о
о
о
+
»-*
r-t
о
о
о
о
о
о*
1
со
о
•-Н
с
о
о
о
о
+
о
о
о
о
о
о
о
о
1
о
ч* .
ч
со
S
о'
+
г-і
о
1—<
¦^
СО
о
о '
+
TJ1
о
со
с^
^н
о
о
о
+
с^.
•-Ч
t>-
о
о
о
о
о
+
о
1-*
^н
о
о
о
о
о
+
^е*
со
о
о
о
<^
о
о*
¦|
ел
о
т^«
о
о
о
о
еі
+
о
оо
о
о
8
о
1
II
?.,<
^
со
о
со
о
о
о
+
*^«
^ч
со
оо
•^
о
о
1
о
СО
СО
Г--
ел
сч
о
о*
+
оо
г-
ю
ю
—.
о
о
о
+
СО
о
о
о
о
о
о
о
1
¦V
о
о
о
о
о
о
о
+
t^
сч
8
о
о
о
о
1
іО
со
о
о
о
о
о
о"
+
II
?*<
^
СО
¦ о
.о
о
: +
іО
' О
' СЧ
г*«
г*ч
,8
*
о
.+
ю
о
1—«
ел
сч
о
о
о
+
о>
СО
¦8
о
<—•
о
о
+
о
о
о
о
о
о
о
•о*
•1
о
с>
с>
о
о
сэ
.о
о
1
-г
;*-*
о
іЭ
о
¦о
8
о"
1
»-<
о
8
еь
о
о"
+
У
?*-<
^
Куро Небесной механнкя
19

290 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
со
СО
ю
со
°1
ю
CS
CS
»—I
CS
ъ.
СЛ
о
со
о
СО
CS
ю
со
CS
о
о
о
о
сч
СО
ел
CS
о
о
о
*
о
ю
CS
CS
о
о
о
2499
.009
о
3005
900'
о
6928
о
о
6890
,000
о
+
+
о
о
о
о
о
.+
€0
к
ч
03
Н
V
ю
¦*
СО
CS
^4
о
1
CS
оо
о
CD
о
*
CS
1
со
со
со
СО
СО
4
ft.
о
1
ч*
*—•
СЛ
СО
О
^
fc.*
сЪ
Г"*
I
О
о>
со
СО
ел
со
1
1
00
CS
»-н
CS
ел
іО
ft"
СО
1
CS
r~<
f-4
со
CS
1
и
f
00
о
CD
Ю
о
CO
CO
CD
CS
I—•
CO
CM
CO
ft:'
CO
«*
Ю
¦^
о
Ю
CM
CM
fc*
CO
Ю
' СЛ
¦m4
о
CS
CS
00
ft"
r-
ю
•.
о
о
CS
CO
Oft
•^^
5i*
CO
CS
CO
о
CS
II
J—
CO
00
CS
CO
о
о
о
+
CO
f*-
r-
Tf
1-4
о
CJ>
о
+
ю
с*.
г-
со
СО
о
о
4
о
+
о
п«
CS
ю
»-«
о
0.0
+
о
CS
ю
СО
СО
см
о
о
+
о
со
t^
о
CS
о'
+
11
%<
^
* оо
о
оо
о
о
о
+
'СО
СО
ю
со
о
о
о
+
00
f^
см
ч**
CS
CS
о
о
1
СО
оо
г-^
Tt*
00
о
о
о
1
о
оо
со
ОО
h*
о
о
о
1
о
t-
сО
00
о
*
о
+
If
3U
Ъ
оо
CS
162
о
о
о"
+
.-н
СЛ
CS
со
г-4
о
о
о
+
оо
СО
г—
ч**
TJ*
CS
о
*
о
+
со
Tt*
ю
СЛ
со
о
о
о
+
о
•—ч
см
со
СО
о
о
о
1
о
о
to
CD
о
о
¦
о
+
II
*
t-
ю
115
о
о
о
+
СО
со
ю
см
о
о
о
+
»-н
ю
СЛ
ю
г»
СО
о
о
1
CS
I--
CD
СО
о
ю
о
о
+
о
ю
CS
СО
^^
о
о
о
!
о
со
см
*—«
CS
о
о
о
+
II
?~
^
ч*
СЛ
087
о
о
?
о
4-
со
ел
СЛ
*¦"*
о
о
о
+
'г—1
8
о
о
о?
<5
*
о
1
ю
СМ
о
о
о
о
о
*
о
1
ю
СЛ
о
о
о
о
СО
*
о
+
CS
ю
CS
о
о
о
о
о
1
II
^
о
оо
071
о
о
о
+
t^
с—
ю
—*
о
о
о
+
со
о
о
о
8
о
о 1
1
Tj«
CS
о
о
о
о
о
1
^
СО
F-4
о
8
о
о
+
о
см
со
о
8
о
*
о
!
II
?U
s?
CS
f-
СО
CD
»—•
о
о
1
оо
•^
CS
о
о
о
I
о
о
о
о
о
о
о
о
+
CS
о
о
о
0.00
+
о
г—
о
о
о
о
о
о
1
о
ОО
CS
о
§
о
'+
и
S^c
ъ
о
^ч
190
о
о
о
+
см
СО
оо
с-.
*^
о
о
1
8
о
о
о
о
о
о
+
CS
о
О-
о
о
о
о
о"
+
^f
о
о
о
о
о
о
о
1
СО
о
о
о
8
о
+
1
х^
ъ

§ 105. Вековые возмущения малых планет
291
учитывании только вековых, но не периодических возмущений. Границы
эти таковы:
Планета
Меркурий
Венера .
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн .
Уран . .
Нептун .
Эксцентриситет
Міп, Мах.
0.121
0
О
0.018
0.025
0.012
0.012
0.006
0.232
0.071
0.068
0.140
0.061
0.084
0.078
0.015
Наклонность
Міп.
4°44'
0
0
0
0°14'
0 47
0 54
0 34
Мах,
9°11'
3 16
36
5 56
0 29
1 1
1 7
0 47
В этой табличке наклонность орбиты считается относительно
неизменной плоскости, для которой Стокуэлл принимает, на основании
вышеуказанных значений постоянных, следующие элементы:
/ = 1° 35' 19".376, Q = 106° 14' 6".00,
считаемые относительно эклиптики и равноденствия 1850.0.
Так как для всех планет, кроме Венеры и Земли, один из
коэффициентов М*' превосходит по абсолютной величине сумму абсолютных
величин остальных коэффициентов, то перигелии всех этих планет имеют
среднее движение. Любопытно отметить, что средние движения
перигелиев Юпитера • и Урана оказываются одинаковыми, причем средние
долготы этих перигелиев различаются ровно на 180°. Колебания
перигелия Юпитера около среднего положения происходят в пределах ±24°10',
для Урана пределы отклонений =t47°33'. Таким образом, при наибольшем
сближении расстояние между средними перигелиями этих планет
равняется
180° — (24°10' + 47и33') = 108° 17'.
Примечание. Решение вековых уравнений (55) и (60), левая часть
которых выражается определителем вида (54), представляло вначале
значительные затруднения. В связи с этим Леверрье употребил (1839)
специальный метод для решения таких уравнений. Вслед за тем Якоби
предложил (1845) другой способ, также основанный на свойствах
определителей вида (54). Наилучший из методов этого рода, учитывающих
специфические особенности вековых уравнений, предложен академиком
А. Н. Крыловым. *
Мы не будем останавливаться на этих методах, так как обычные
способы развертывания определителей в соединении с методом Лобачев-
ского-Греффе для численного решения уравнений тоже достаточно просто
приводят к цели.
§ 105. Вековые возмущения малых планет.
V
Рассмотрим теперь тот случай, когда планета Р имеет бесконечно
малую массу, так что действием ее на другие планеты Р\ Р", . . . ,Р*т)
можно пренебречь.
1 А. Н. К р ы л о в, О численном решении уравнения, которым в технических
вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем. Известия Академии
наук СССР, 1931.
19*

292 XV. Аналитические методы определения возмущений элементов
В этом случае система уравнений (43) распадается на систему
уравнений (получающихся при ?= 1,2, • . . , т), которые не будут заключать
величин, относящихся к планете Р, и на систему двух уравнений:
dh
\
ff-'2<p.">-2uM4- i
v-
dl
|=-*2(°^)+2м°'^
(62)
дающих вековые возмущения изучаемой малой планеты.
После того как первая система, определяющая взаимные возмущения
больших планет, разрешена, мы можем подставить полученные
выражения (56) в уравнения (61), что даст систему двух неоднородных
уравнений вида:
\ (63)
іі=-h 2(0'rt+SАі sin (v+и
где Лх—постоянные коэффициенты.
Решение этих уравнений дается, как известно, формулами:
*->lfsin(/ll(0,rt + p)+S Д(0^)-д, sin^' + ^
/ = ^cos(/S(0,,) + p)+^ ?(Q^
¦ (64)
COs(sxr+Px),
в которых через Жи р обозначены произвольные постоянные.
Аналогичные результаты получаются для элементов ряд.
Вопрос о том, может ли сумма ?(0, у.) равняться одной из величин sx,
что сделало бы такой прием интегрирования неприменимым, был изучен
Шарлье. і
Постоянные М и р характеризуют движение малой планеты лучше,
нежели переменные элементы е и тс, что дало основание Хирайаме 2
назвать их собственным эксцентриситетом и собственной
долготой перигелия.
Вычислив эти величины для большого числа малых планет, Хирайама
смог выделить несколько семейств малых' планет, относя к одному
семейству планеты, имеющие очень близкие собственные элементы
М, $ и большие полуоси.
1 С. L. Char lie г, Die Mechanik des Himmels,. 1, 424.(
3Kiyotsugu Hirayama, Families of Asteroids/Japanese Journal of Astronomy
and Geophysics, .Vol. I, 1923; Vol. V, 1928.

ГЛАВА XVI.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
КООРДИНАТ.
'§ 106. Уравнения возмущенного движения в ганзеновских координатах.
Возьмем неподвижную гелиоцентрическую систему прямоугольных
координат — например эклиптическую систему какой-либо определенной
эпохи — и обозначим через х, у, z координаты планеты Р, движение
которой мы изучаем, через х\ у', zf — координаты возмущающей планеты Рг.
Пусть, далее, т и тг будут массы этих планет, г и г' —их радиусы-
векторы, а А — расстояние между ними.
Уравнения движения планеты Р напишутся так (§ 3):
z+k4l+m)
-1 = ^?
r*~~ dz '
(1)
где
Я = *»и'|і.
хх" -f- у у' -\- zz1'
— рі -
(2)
— пертурбационная функция.
Введем новую прямоугольную подвижную систему осей при помощи
равенств
X=o.x-\-a.Yy -\-*iZ
г = чх-\-ъу-\-ъг.
(3)
Угловые коэффициенты а, а,, ... , ?» (являющиеся функциями
времени) удовлетворяют соотношениям:
а2_К + а!==1
Р*+р;+К=і
аТ + аіТі + «a Tf 2 = 0
Рт+РіТі+РіЪ-О,
(4)

294 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
из которых следует, что
«2+Р2+т2 = і; «г-ИРі+тгі = о
Равенства (3) в силу этих соотношений дают:
(5)
(б)
На девять угловых коэффициентов, уже связанных шестью
соотношениями (4), наложим еще дополнительные условия:
*Т + 3>Ті "МТз == О, J
(7)
в силу которых производные новых подвижных координат выражаются
такими же формулами:
Z = T* + 7i;V-fT2Z>
(8)
как если бы эта координатная система была неподвижной.
Так как одно из уравнений (7) является, в силу соотношений (6),
следствием двух других, то 9 коэффициентов а, аь . . . оказываются
связанными лишь восемью уравнениями; поэтому существует бесчисленное
множество подвижных систем координат, удовлетворяющих всем
поставленным условиям.
Ганзен предложил назвать прямоугольные координаты {X, Y, 2),
производные которых выражаются формулами (8), идеальными
координатами. Эти-коордицаты, как мы только-что видели, выражаются
через неподвижные формулами (3) при дополнительных условиях (4) и (7).
Остающимся произволом в выборе идеальной системы воспользуемся
для того, чтобы удовлетворить условию
¦рг + Ті^+Таг-^О.
(9)
Это даст идеальную систему, в которой всегда 2f = 0; иначе говоря,
плоскость XY всегда проходит через радиус-вектор'планеты А Такую
систему координат будем называть ганзеновской.
Легко видеть, что ганзеновская система координат вполне
определяется условиями (4), (7) и (9), если не считать двух произвольных
постоянных, вводимых интегрированием уравнений (7).
Наша задача заключается теперь в получении уравнений движения
в ганзеновских координатах. Для этого выведем, прежде всего,
некоторые вспомогательные соотношения.

^__ § 106. Уравнения возмущенного движения 295
Умножим равенства (3) соответственно на а, р, х и сложим. Это даст
Хк + УР = х (аа + № + п) +
Ч-3'(«іа + РіР + ТіТ) +
+ ^ («2* + Р2Р + Т2Т).
или, учитывая соотношения, получающиеся из (5) путем
дифференцирования:
Аі+Ур — ^віл + Р^ + ТТі)-
— «(«йа+РРа + ТТя)-
Выражение, стоящее. справа, равно нулю, как в этом легко
убедиться, если умножить равенства (7) соответственно на а, р, ? и почленно
сложить.
Таким' образом, получаем первое из соотношений:
Ха + Ур =0
ATctj + УРі = О
*«2+ УРа = 0;
(10)
два другие находятся совершенно аналогично.
Поэтому уравнения (6), имеющие для ганзеновских координат вид
x = aX+$Y; y = alX+$1Y; z = a2X+$tYf (11)
после двукратного дифференцирования, дают:
x = aX-\-$Y-{-ak-\-$Y
z^ObX+hY+tkX+foY.
Умножив эти равенства сначала на а9аиа% и сложив, затем — на
&РьРг и опять сложив, наконец, на т» Ть Та и снова сложив, получим:
р?+Рі$ + р2*=*У
Т* + ЪУ + Т2^ = (т« + ТА + Т2аг) * +
+ (тР + ТіРі + Т2Р2)У. 03)
В самом деле, подстановка выражений (11) в первое из равенств (7)
дает:|
(aa + ^i + ^^^+^ + PA^-^) У=0,
откуда, учитывая, что на основании (4)
ШХ + «А + «2*2 = 0, аР + «іРі + «202 + «Р + alPl + а2§2 = 0,
получим
pa + Piai + p2aa = 0f ар + аіРі+а2Рз==0.

296 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
Последние равенства дают
а2
А так как, в силу тех же условий (4),
Т _ Ті = Ъ
Рі«2 — Р2«і fe« —Р«2 Раі — Ріа '
то окончательно получим
а сс1 аз
_____ ^.
Совершенно таким же путем доказываются соотношения
7 Ті Т2*
Принимая все это во внимание, равенство (13) можно заменить
таким:
1 . . . .
7* + W + Т2^ = — («** + ?2 У).
Т2
(14)
Обратимся теперь к уравнениям (1). Умножая их сперва на а, аь а2>
затем на р, рь р2, наконец на у, ть Ъ и каждый раз складывая, получим,,
на основании (12) и (14);
• • ¦ • дР
В самом деле, из равенств (6) следует, что
(15)
(16)
dR . dR
а-^—-fax
дх
dR
дх
dR
ду
dR
dR dR
_ dR__dR
h~dj+?2'W~'dY
dR . dR dR
ил крохіе того,
<?лг ' u &> ' u dz — dz
г3 = х2-fУ* + г2 = Л2 + У2.
Уравнение (16) и последнее из уравнений (10) дают
а.
Тг
dz
Тг dZ
07)

§ 107. Переход к полярным координатам 297
где
Так как
то уравнения (15) и (17) вполне определяют Ху Y, а2, р2» после чего
уравнения (4) дают возможность найти а, (В, аи р1# Таким образом будут
известны все величины, входящие в выражения (11) кЬординат
планеты Р.
§ 107. Переход к полярным координатам в плоскости оскулирующей
орбиты*
Покажем, прежде всего, что координатная плоскость ганзеновской
системы координат является плоскостью оскулирующей орбиты.
Для этого достаточно показать, что производная
равна нулю. Но эту производную можно написать, пользуясь
соотношениями (9) и (11), следующим образом:
і= — *т — лі — 2Т2 =
= — X («т + «іТі + ссзТг) —,
-У(Рт + РіТі + ЙТ2).'
Подстановка выражений (11) в последнее из соотношений (7)
показывает, что эта величина действительно равна нулю.
Введем теперь полярные координаты в плоскости оскулирующей
орбиты, полагая
X=г cos w, Y=r sin w. (19)
Так как
dR dR . . . dR
^--^rsmW+-dYrC0*W
dR , dR . dR .
-W =+l)xcosw +Wmw>
то вместо уравнений (15) будем иметь:
d ( zdw\_ dR
dt\ dt I dm
d*r
/ dw\2 , k2(\+m) _ dR
~\ dtJ r* ~ dr'
(20>
Равенство (18) дает
*«"•-§-, (2D
вследствие чего первое из уравнений (20) может быть заменено таким:
-^- = 4*. (22)
dw

•298 XVL Аналитические методы определения возмущений координат
§ 108. Случай невозмущенного движения.
Если пертурбационная функция R равна нулю, то уравнения (20)
обращаются в хорошо известные уравнения задачи двух тел. Их общее
решение выражается, в этом случае, равенствами:
г sin Е= nQt-\- М0;
}±М*
>,
/* =
(23)
l-j-^oCOSW
содержащими четыре произвольные постоянные aQ, е0, MQ, хо-
Уравнения (17) в этом случае могут быть трактуемы отдельно
от (20) и дают для а2 и р2 постоянные значения.
Остальные нужные нам угловые коэффициенты а, р, аь ^
определяются из уравнений (4) или (5). Очевидно, одна из этих величин
остается произвольной.
Окончательные уравнения:
х — аг cos w-\-$r s'mw
у = c^r cos w -f- [V sin ш
2Г = a2rcos w -f- p2r sin tt>,
(24)
определяющие движение планеты Я, будут содержать, таким образом,
семь произвольных постоянных. Легко, однако, видеть, что две из этих
постоянных (а именно Хо и один из коэффициентов а, р, аь рь оставшийся
произвольным) характеризуют одно
и то же, а именно положение оси X
в плоскости XY. Поэтому одной
из этих величин можно, не
нарушая общности, дать
фиксированное значение.
Вместо постоянных
интегрирования а2, р2, определяющих
положение плоскости орбиты, введем
другие, более удобные, а именно
долготу восходящего узла Q0 и
наклонность і0 (рис. 13).
Положение оси X в плоскости орбиты определим углом а0 между
этой осью и восходящим узлом плоскости XY относительно плоскости ху.
Обозначим, далее, через / и Ъ гелиоцентрические долготу xQ и
широту QP планеты Р. Это даст:
Рис. 13.
jc = rcos6cos/
y = rcos6sin/
2r=rsin?.
(25)
Из треугольника AQP, в виду того, что SIP — XP— XSb = w — a0,
имеем:
cos b cos (/— Q0) — cos (w — ao)
cos b sin (/—20) = sin (ш — c0) cos /0 } (26)
sin b = sin {w — o0) sin /0,

§ 109. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения радиуса-вектора 299
откуда, как легко видеть,
cos b cos / = cos {w — о0) cos 20 — sin (w — o0) sin Q0 cos /0
cos b sin / = cos (w — o0) sin 20 + sin (w — a0) cos 20 cos /0.
Поэтому, сравнивая (24) и (25), получим:
a = cosa0cos20-|-sin aoSin 20cos/0
P = sin o0 cos 20 — cos a0 sin 20 cos /0
ax = cos o0 sin 20 — sin o0 cos 20 cos z0 /0<Л
Pi = sin c0 sin 20 -{- cos o0 cos 20 cos /0
a2 = — sin a0 sin /0
p2 =s cosa0sin/0.
Уравнения (23), (24) и (27) дают полное решение дифференциальных
уравнений (1) для случая, когда У?==0. Это решение заключает семь
произвольных постоянных, но две из них эквивалентны одной
постоянной. В самом деле, равенства (26) показывают, что координаты
х, у, z зависят только от
и> — °о = » + Хо — со.
т. е. только от разности Х0 — о0, представляющей расстояние перигелия
от узла.
Наличие в формулах двух постоянных вместо обычно применяемой
одной используется в методе, данном Ганзеном для вычисления
возмущений.
§ 109. Метод Лапласа-Нькжома. Возмущения радиуса-вектора.
Первый метод для аналитического определения возмущений
больших планет был разработан Лапласом, показавшим, каким образом могут
быть непосредственно найдены возмущения радиуса-вектора г, долготы
в оскулирующей орбите w и синуса широты планеты по отношению
к плоскости невозмущенной орбиты. Лаплас, ограничился нахождением
лишь возмущений первого порядка относительно масс и не выше чем
третьих степеней относительно эксцентриситетов и наклонностей.
Когда Ньюком, в 80-х годах прошлого столетия, предпринял
построение теорий движения всех больших планет, он остановился на
методе Лапласа как на наиболее выгодном с практической точки зрения.
Все таблицы больших планет, вычисленные под руководством Ньюкома
и лежащие сейчас в основе астрономических ежегодников, получены при
помощи вычисления возмущений в координатах. За
исключением Юпитера и Сатурна, для которых возмущения вычислены по
методу Г^нзена, для всех остальных планет был употреблен метод Лапласа.
Таким образом, этот метод не утратил своего значения и до настоящего
времени.
Мы изложим метод Лапласа с теми изменениями, которые были
в него внесены Ньюкомом и которые имеют целью облегчить вычисление
возмущений второго и высших порядков.
Обратимся к уравнениям (20). Полагая
р = 1пг
(28)

300 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
и замечая, что
dR _ dR
г дг ~ dp '
эти уравнения можно написать так:
J/2
r,{dwy #(1+т)
dt
' d2w . ft dr dw
Г*—^г--\-2г
ML
д?
dt*
dt dt
dR_
dw"
(29)
n dp 2 dr dw
Умножим первое из этих равенств на 2-^г=-—-^г, второе на 2—,
сложим и проинтегрируем. Это даст
dr\2 (dw™
w) +*[¦*¦
где для краткости положено
2k2
pi-2 (С + /I/R),
а через С обозначена произвольная постоянная.
Складывая почленно последнее равенство с первым из уравнений (29),
получим:
1 </"(/*) JR Г dR
Обозначим через г0 радиус-вектор невозмущенного движения,
удовлетворяющий уравнению:
2
= 2С.
Л2 г0
Почленное вычитание этого равенства из (30) дает
1 &
2 Л2
<r2-rl)-kU^-r-i)=2 f d'R+™-,
(31)
причем интеграл определяется условием, что правая и левая части равны
нулю, когда ? = 0.
Ньюком считает более выгодным определять возмущения не радиуса-
вектора, а его логарифма. Поэтому, полагая, аналогично (28),
и делая
находим
Ро = In /о
Зр = р — ро,
г* = ехр (2Ро + Щ = /• ехр (2ВР) =

§ 109. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения радиуса-вектора 301
откуда
у(^2-^) = ^р + ^Р2+ • ¦ •
Эти. выражения подставим в уравнение (31), причем с левой
стороны оставим лишь члены первого порядка, а члены второго порядка
(которыми мы ограничимся) перенесем направо; получим следующее
уравнение:
ар— і ~/»-vo"n-2J d'^ i д?
№- + -&' ^
являющееся основным при определении возмущений радиуса-вектора.
Таким образом, задача приводится к интегрированию уравнения
вида
<Pq №
где k\?J* и Q — известные функции и В самом деле, для получения
возмущений первого порядка надо в правой части уравнения (32) отбросить
члены, заключающие 8р2, и вычислить пертурбационную функцию R с
невозмущенными значениями координат планет, что даст для Q вполне
известную функцию времени.
Точно так же при вычислении возмущений второго порядка мы
найдем правую часть уравнения (32) со всею нужною точностью при
помощи уже известных возмущений первого порядка, и т. д.
Остается рассмотреть интегрирование уравнения (33), т. е.
линейного неоднородного уравнения второго порядка.
Вместо того, чтобы применять метод вариации произвольных
постоянных в его классической форме, поступим несколько иначе. ' ¦
Пусть нам известны два линейно независимые решения qx и q2
соответствующего однородного уравнения
flr'+^r^-O, (34)
так что
й+л^тЧ-о, <?,+*;/7Ч«о. ¦ (Зб)
Исключая из этих равенств ^Jrj^, получим:
Я\Яъ — <7г?і = О,
откуда
?
Я^г —ЯъЯ\ = const.
С другой стороны, исключение той же величины из уравнения (33)
при помощи каждого из равенств (35) дает
qiq — qqx = Qqu q2q — qq2 = Qq2,

302 XVL Аналитические методы определения возмущений координат
или, обозначая через Кг и Кг произвольные постоянные,
ЯіЯ — ЯЯх^ Къ + f qiQM
9іЯ — Ш = — Кі+ JЯгО&.
Умножая первое из этих равенств на gZt второе на —ql и
складывая, получим:
Vfato — Wd^Ktfi+Xito + tofviQrt—ViftoQfo (36)
Чтобы получить нужные нам частные решения qx и д2, заметим, что
орбитальные координаты
% = а(со$Е—е), т) = a cos © sin Е
удовлетворяют уравнению (34). Следовательно, можно положить
qt = cos Е—е, q% = sin Еу
или, в виде явных функций времени,
Яі = ^ 2 Сі cos Ш' Яг в Т 2 5'sin Ш' (37>
На основании результатов, полученных в § 80, имеем
*-т«-т>,+в«,+ - • -; *-іт*~ш*+тпв"— ¦ ¦
г _ 1 л 6 ,5 і . .' ,. 125 . 4375 „ ,
80 ' ч 46080 ' *
3 , 27 , , 243 14
S3 = Te2-l28-^+5120е6-- • - **—3*-Т5*+' ¦ '
с _ 125 ^ 3125 . . 27
7 46080 - * •
Для выбранных нами частных решений
dE
ЯіЯг — ЧіЯі — (1 — е cos Е) —— = л,
как это следует из уравнения Кеплера.

§ 110. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения долготы 303
Применим теперь формулу (36) к решению уравнения (32), правую
часть которого обозначим через Q. Получим:
r4?^rT1g2Jg1Qdt—n'1gifq2QdtJ (38>
где qx и Яг определяются равенствами (37).
Постоянные К\ и Кг в этом случае равны нулю, так как правая
часть должна быть того же порядка относительно возмущающих масс,.
как и левая.
Когда разложение пертурбационной функции R по кратным средних
аномалий известно, применение формулы (38) для вычисления как
возмущений первого порядка, так и возмущений второго порядка (в этом
случае в уравнении (32) принимаются во внимание два последние члена)-
не представляет затруднений.
Отметим только, что вековые возмущения радиуса-вектора выгоднее
находить отдельно при помощи вековых возмущений элементов (которые
могут быть вычислены например по методу Гаусса) и включать в г0.
Таким образом, 8р будет состоять только из периодических членов, "что
облегчает вычисление возмущений второго пор'ядка.
§ ПО. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения долготы. Вычисление
гелиоцентрических координат.
Для определения возмущенной долготы воспользуемся, следуя Нью-
кому, вторым из уравнений (20). Имеем:
dw
dt
Положим
'-№*}•
w = w0-\-bw,
где через w0 обозначена долгота, соответствующая эллиптическому
движению. Так как *
-^ = ^<Aicos<p, (39)
и, следовательно,
С = я2л cos 9,
то
d&w
=г-2 fi? dt+о-2 - т2)а%п cos *•
dt J dw
Отсюда, пользуясь разложением
г-2 = г-2(1—2Sp-f 28р2—. . .)
и ограничиваясь членами второго порядка, получим:
г* чг=(1 -22р) ГИ *-2а2п cos ?(8р ~8р2)- (40>
Таким образом, зная возмущения радиуса-вектора, мы найдем
возмущения долготы при помощи квадратуры.

304 XVL Аналитические методы определения возмущений координат
Особого внимания заслуживают долгопериодические члены d'Ry так
как они дадут как в 8р, так и в to члены с коэффициентами,
содержащими, благодаря двукратному интегрированию, квадраты малых дели-
, телей. Лаплас предложил учитывать эти члены, вычисляя эллиптические
значения г0 и w0 при помощи средней аномалии, находимой по
формуле
= I TiQdt-\- е0 — ъ0,
М
где к щ прибавлены долгопериодические члены выражения
1 3
За 2 (1 + т) 2 jd'R.
Мы не будем останавливаться на обосновании этого приема.і
После того как найдены, при помощи уравнений (32) и (40),
возмущения первого порядка радиуса-вектора и долготы, Ньюком определяет
по обычным формулам возмущения элементов ія 2, что позволяет
закончить определение гелиоцентрических координат по способу, изложенному
в § 100.
Имея возмущения первого порядка всех трех координат, мы можем
определить при помощи тех же самых формул возмущения второго
порядка в уравнениях (32) и (40): изменяются только правые части.
§ 111. Первоначальная форма метода Лапласа.
Как уже было отмечено, Ньюком, применяя метод Лапласа при
построении теорий движения больших планет, внес в него довольно
существенные изменения. Однако и первоначальная форма этого метода,
данная Лапласом в первом томе Mecanique celeste, не лишена интереса, так
как в том случае, когда ограничиваются возмущениями первого порядка,
она может иметь преимущества.
Лаплас полагает
что позволяет написать уравнение (30) и первое из уравнений (29)
следующим образом:
*(Ф) , &гйЪг Г dR
^+^f=2J^ + r°^o+G2 (41)
dw0dbu> &г0 ФЬг ЪЯф dR
где через G2 и Нг обозначены члены второго и высших порядков.
k2 т Ьг
Исключая из этих уравнений величину —^—~—, Лаплас для вычисле-
ния возмущений долготы получает, на основании (39), 'такое уравнение:
'~~»?-?(*ъ?+*?)-8/«-**?+*- ю
где /2 обозначает совокупность членов второго и высших порядков.
1 P. S. Laplace, Traite de mecanique celeste, 1, 1799, 292.

§ 11L Первоначальная форма метода Лапласа 305
Уравнение (41), эквивалентное уравнению (32), позволяет найти
возмущения первого порядка радиуса-вектора, после чего возмущения
долготы находятся при помощи уравнения (43).
Уравнение (43) имеет то преимущество по сравнению с уравнением (40),
dR
что оно не содержит -=— и потому не требует вычислений, связанных
с определением этой производной. Но оно становится менее удобным,
когда имеется в виду вычисление возмущений второго порядка, так как
dR
в этом случае все равно приходится вычислять не только-г-, но и
вторые производные R,
Лаплас следующим образом упрощает интегрирование уравнения (41).
Так как (§ 82) '
(^)3=1 + |^ + »^+. - -.+(3« + ?<Ч-- . .)со8Л* +
то это уравнение можно написать так:
-W''){(3' +J^-Ь- .)cos/W+(§'2+ !** + ¦ • .)cos2M + . . .J, (44)
где
*«»г(ч4*+ ?«*+• - •)•
Последнее уравнение очень удобно интегрируется
последовательными приближениями.
Если через
4cos(v/+p) (45)
обозначить один из членов правой части, то соответствующий член
в г0ог будет, как известно,
_ji—lCos(v/+p), (46)
если v ф п, и
^ sin („/ + ?)
в том случае, когда v = n1.
Как уже было отмечено, для того, чтобы избегнуть вековых членов
в 8/*, г0 вычисляют при помощи элементов, к которым уже приданы
вековые возмущения. В этом случае величины A, v и р в членах (45)
становятся переменными, вследствие чего вместо (46) будем иметь в г08г такое
выражение:
А / * , оч ¦ Л 2v d(A sin $) , \
. ( 2v d(Aco$$) , ]
-«n*{fri=^i dt +"-)¦
20
Курс Небеоной механики л

306 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
Точно так же в этом случае при вычислении возмущений долготы
вместо интегралов
A cos(v/ + P)#=~ sin(v/+j3)
I-
sin(v*+p)<#
A .
sin(v/ + p)
будем иметь соответственно
/
i4cos(v/+p)df=-sin(vf+p) +
. . ,( 1 rf(Asinp) 1 <P-(4 cosP) , )
,mv/fl ^(Acosp) 1 rf»(4sin>)
fdt Ca sin (vf 4. p) <# = — ^ sin (v*+p) 4-
, . f 2rf(AsinP) , 3 *(Д cosp) i
+ smv?|- д Ч^—дг- • • •)
2d(Acos$) , 3 d*(Asm p)
4-cosv/ --
Л
~Г u4
A»
+ • ¦ •
§ 112. Вычисление возмущений прямоугольных координат.
Возьмем уравнения возмущенного движения планеты Р, имеющей
массу т, в обычной форме:
d2x_ 2 -з,д/?
**—,?„-¦*
dt
cPz_
dp
= — k\zr
ду
dR
dz'
(47)
где fi* = p(l -^m), а через R обозначена пертурбационная функция
, Г1 хх'-\~уу'-{-ггг
«^^[r
•'3
]'
причем суммирование распространяется на все возмущающие планеты,
Массы возмущающих планет т', тгг, . . . заменим через
п**=*К> ™" = рК>
• 5
где т'0, т'ц> • . . постоянные числа, а р. — переменный параметр,
изменяющийся от 0 до 1.
Если начальные значения координат х, у, z, x'y yr, zf, xrr, . . , для
момента /=/0 взяты в области, в которой правые части уравнений оста-

§ 112. Вычисление возмущений прямоугольных координат 307
ются конечными, то, как известно, существуют такие числа т и ^, что
в области
\t — t0\^x, Osstisspo (48)
будут существовать функции x(t, у), y(t, p.), z (t, ц), удовлетворяющие
уравнениям (47), причем эти функции разлагаются в ряды вида
сходящиеся в области (48). .
Члены Xo(f), Уо{і), . . . дают невозмущенное движение; члены
К* = Р" К 0). \У - Р"ЧЯ (0- &*z - ^л Ся 0
представляют возмущения л-го порядка.
Чтобы получить уравнения, определяющие возмущения первого
порядка, подставим в уравнения (47) выражения
х = хь-\-Ь1х-\гЬ2х-\-. . .
У=Уо+ЬіУ + ЪгУ+ - • -
^ = ^0 + Sl^ + S2^+ • * •
и приравняем члены первой степени относительно р..
Имеем
*оЧ-8і*+» * - _*о | ^х ^оУ
• • W 'о 'о 'О
+ ¦ • •
(/-0 + V +
с другой стороны,
Г= [(*„ + &*+ - . .)24-(У0 + ЗУ+- • .)2 + (^0 + S2 +
. д:0 8!х +JVg8u4~^гЛг .
= r0-f- \- ¦ . . ,
)2]* =
откуда
Поэтому окончательно получим
и аналогично для двух других координат.
Таким же точно путем, приравнивая члены, имеющие множителем у",
получим уравнения:
ФЪпх
п
dP
k2
f 0
,2
Sk2x
-fir- + уз Ку = -if (*o h*+Л ^ + *0 W- v.
Л2 "" /•» " r°
(^o^+J'o8»3'+«oV) + ^
(49)
20*

308 XVI. Аналитические методы определения возмущении координат
для определения возмущений л-го порядка. *Через Хп, УпУ Zn обозначены
выражения, содержащие х0, . . . , Ъгх, . - . , V-r*» *Яв1у, h-iz*
Пользуясь разложением пертурбационной функции в ряд, мы можем
при помощи уравнений (49), последовательно найти возмущения первого!
второго порядка.
Энке улучшил этот метод, предложив параллельно с возмущениями
координат вычислять, при помощи уравнения (41), возмущения радиуса-
вектора. Когда §/ найдено, равенство
где через Rn обозначена совокупность членов не выше {тг—1)-го порядка,,
позволит вычислить первые члены правых частей уравнений (49), после
чего эти уравнения приведутся- к виду (33); интегрирование же уравнений
такого вида выполняется, как мы видели, весьма просто.
Изложенный метод сразу дает координаты х, у, z, нужные для
вычисления эфемериды. Тем не менее он не получил распространения, так
как возмущения в прямоугольных координатах велики и вычислять их
неудобно, не говоря уже о том, что возмущения всех трех координат
здесь одинаково велики, между тем как в других методах, основанных
на употреблении полярных координат, вычисление сравнительно весьма
малых возмущений третьей координаты выполняется очень просто.
§ 113. Метод Хилла.
Мы только-что видели, что вычисление возмущений любого порядка
радиуса-вектора и прямоугольных координат приводится к
интегрированию уравнений:
rf/2
d4x
dfi
d4y
dP
d4z
df*
0
'o
k2
'0
k2
— v
= 0
= Q
= 0 .
(50)
После того, как первое из этих уравнений разрешено, каждое из
трех следующих интегрируется независимо от двух других.
На основании того, что было сказано в § 109 об интегрировании
уравнений такого вида, мы можем написать:
(?і<7*2 — Qtfu robr = q2fqiQrdt—qljq2Qrdt
{Q1Q2 — Qtfi) ^x = q2fq1Qx.dt — qlfq^Qx dt
Чтобы представить эти выражения в более удобном виде, условимся
функции от t, в которых / заменено через т, отмечать черточкой.
Полагая '
N = ~q2q1—q1q2i

§ ИЗ. Метод Хилла
309
получим
r0br=-.jNQrdt,
bx = JNQxdt, .
(51)
— если условиться в том, что после выполнения интегрирования т должно
быть снова заменено через Л
Возьмем опять, как и в § 109:
о Г
Яг = cos ? — е = — cos v
а
Яг = sin Е — — sin V]
в таком случае
N = sin (Е — Е) — е (sin Е — sin Е) =
ЯхЯг — ЯгЯі^п.
гг
a2 cos <?
sin (и — v)
Хилл принимает за независимую переменную истинную аномалию v.
Так как
r\dv
Л^-Г5 >
ачг cos ср
то окончательно формулы (51) получат следующий вид:
бг =
ъх =
Зу
8z =
— г- / Qrrf. sin (v — v)dv
2^COS2<p J r ° V '
- J Qxrlsm$ — v)dv
Q rl$\n(u — v)dv
A
ffia* cos2
л2я4 cos2 cp
/*2fl4COS2ep
Qzr^ sin (?— n)/&.
(52)
После интегрирования я должно быть заменено через у.
Так как система (52) заключает одним уравнением больше, чем это
необходимо для определения возмущений, то Хилл заменяет второе и
третье уравнения одним, что проще всего достигается путем введения
полярных координат. Полагая
x — r cos X cos {*, у— г sin X cos {3, 2 = r sin p,
получим
откуда
dt
1
dy
X* + ^2
*
dx
Hi
С другой стороны, уравнения движения (47) дают:
JC-
dy
dt
У
dx
It
-*+/(
dy
^
*^— *дх)
V.

310 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
причем для определения постоянной Л0 переходим к случаю невозмущен-
ного движения, когда
dy0 dx0 , /—
Ло = ^о-^— Уо-^r^kiVP cos/.
Поэтому, полагая
окончательно получим:
dt
Qx — x
dt
dR dR
ду
У
дх'
(53)
('•2-г2)§==л«+Г°^?-
«l'
Таким образом, делая Х = Х0-}-о/. и замечая, что
Л0 — (г2 — z2)
[<г* -т0)-&-г1)]-
dt
(r-j-Гр) or — (z-\~ zQ) qz
'o ^o
dk,
dt
h,
получим
= ГГ/фл—*ii//>
cos i
• (>" + ro) & — {z-\- z0) lz
'o ^o
dt
r2 — z*
Переходя, наконец, к переменному у, получим следующие уравнения
для определения возмущений координат г, \ и z:
1
ЬГ^Жр I Qrrtsin(v — V)dv
6z =
Го
O^rJ sin (у — v) dv
(54)
Хилл особо подчеркивает, что эти уравнения абсолютно точны
и могут служить для вычисления возмущений какого угодно порядка.
В том случае, когда ищутся возмущения первого порядка,
уравнения (54) могут быть значительно упрощены.
Хилл принимает в этом случае за плоскость ху плоскость
эллиптической орбиты рассматриваемой планеты, что дает с точностью до членов
первого порядка включительно:
Полагая
z = oz = rQS$m
Y-m°»
г2 dR
получим
klpdz*
or— I T sin (v — v) dv

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра-j
ница |
Строка | Напечатано
По чьей вине
310
14 сндізу
Ы =
типографии

§ ИЗ. Метод Хилла
311
8j3 = fz sin (в— v) dv
b\=('\jYdv-2^\dv
Хилл вводит еще вспомогательную величину
г* dR
Х =
к\р дг'
что позволяет придать полученным уравнениям следующую,
окончательную, форму:
or
- Г [*+ 2r'fr-*('-»j?x+ Y)dvUin(v-v)dv
8\ =
Ydv—2— I dv
I
Ц= \ Z sin (v — v) dv .
(55)
Важно отметить, что применение этих формул требует вычисления
лишь трех производных пертурбационной функции, а именно
дг'
дг'
д\'
В самом деле, равенство (53) показывает, что
dR
а =
д\'
Мы ограничимся приведенным выводом уравнений (54) и (55),
являющихся основными для метода Хилла; что же касается до подробностей
применения их к вычислению возмущений, то отошлем читателя к
основному мемуару Хилла, * где все эти вопросы изложены со всею полнотою,
нужною для приложений как в отношении, возмущений первого, так
и второго порядка.
В заключение отметим, что метод Хилла требует разложения
пертурбационной функции в ряд по кратным истинных аномалий v, vf и
последующего выражения vf через v. Первая операция выполняется очень
просто, если коэффициенты разложения находятся численно, что и
создает известные выгоды употреблению v в качестве независимой
переменной. 2 Конечно, полученные таким образом выражения возмущений
через и менее удобны, чем их выражения в виде явных функций времени.
1 G. W*. Hill, A Method of Computing Absolute Perturbations, Astr. Nachr., 83, 1874,
209-224=Works, 1, 151—166.
G. W. Hill, Jupiter-Perturbations of Ceres, of the First Order, and the Derivation of the
Mean Elements, Astr. Journal, 16, 1896, 57—62 = Works, 4, 111—122.
2 В случае аналитического (буквенного) разложения пертурбационной функции
употребление и в качестве независимой переменной приводит к более сложным результатам,
нежели применение методов Леверрье и Ньюкома, изложенных в §§ 86—89. Относительно
разложений по кратным истинной аномалии укажем:
Н. G у I d ё n, Traite analytique des orbites absolues des huit planetes principales, I, Stok-
holm, 1893.
G. W. Hill, Development, in Terms of the True Anomaly of odd Negative Powers of the
Distance between two Planets Moving in the Same Plane, Works, 4, 398—407.

312 XVI. Аналитические методы определения возмущений координат
§ 114. Основные идеи метода Ганзена.
Выбор координат, для которых вычисляются возмущения, имеет
весьма существенное значение. Мы уже видели в предыдущих
параграфах, что возмущения в полярных координатах вычисляются несравненно
удобнее, нежели в прямоугольных. Естественно возникает вопрос, нельзя ли
выбрать еще более выгодную, с точки зрения вычисления возмущений,
систему переменных. Такова проблема, которую поставил себе Ганзен.
Как уже было указано (§ 110), Лаплас предложил включать долго-
периодические возмущения в среднюю аномалию, служащую для
вычисления радиуса-вектора и долготы. Ганзен, развивая дальше эту идею,
предложил принять среднюю аномалию за одну из переменных, для
которых вычисляются возмущения.
Рассмотрим сначала движение в плоскости орбиты, определяемое,
при отсутствии возмущений, формулами (23).
Ганзен предлагает возмущенные значения орбитальных координат w
и г вычислять по аналогичным формулам:
.?—*о sin ?=/?<>?-г ^о>
г=а0 (1 —e^cosB)
¦tg
r=r(l+v)
2 V V I—.'o
•-i/!±?*±*
Po(l + ^o cosy)
ТЧ-1
(56)
в которых через z и v обозначены соответствующие функции /.
Уравнения для определения неизвестных z и v получаются путем
подстановки выражений для w и г, даваемых формулами (56), в
уравнения (20). Мы не будем сейчас останавливаться на выводе этих уравнений.
Так как в невозмущенном движении z=*ty то естественно положить
где Ъг — малая величина порядка возмущающих масс.
Зная bz и v, можно вычислить координаты w и г, определяющие
положение планеты в плоскости XY. Остается показать, каким образом
может быть вычислено положение осей SX и SY для любого момента
времени.
Для возмущенного движения мы должны в формулах (27) заменить
постоянные значения элементов /0) 2<ь °о их оскулирующими значениями
для рассматриваемого момента t. Это даст:
«?=
sin а sin /, §2 = cos ° sin U "(г = cos /.
Поэтому, обращаясь к уравнениям (17) и учитывая равенства (19),
найдем: '
di_
dt
fa
—і
= h V cos (w — s)
tg i -jf = h r sin (w — a)
dt
dZ
dA
dZ- >
(57)

§ 114. Основные идеи метода Ганзена 313
С другой стороны, подставляя в равенство (стр. 295)
найденные в § 106 выражения угловых коэффициентов (27), получим
do =; cos i<dQ, (58)
следовательно
sin / -тт = п г sin (w — а) -т=.
Интегрирование уравнений (57) и (58) дает /, а и 2. Так как у нас
получается одна лишняя постоянная интегрирования, то мы можем,
следуя Ганзену, подчинить начальные значения элементов, соответствующие
моменту / = 0, условию
o0 = Q0.
При этом условии Хо будет не чем иным, как долготой перигелия я0.
Когда интегрирование уравнений, определяющих 82, v, Q, /, а,
выполнено, легко найти гелиоцентрические координаты / и і. Для этого
могут быть употреблены формулы:
cos Ъ sin(/ — Q) = cos/sin(tt> — о) 1
cos Ь cos (/—й) = cos (ю — с) I (59)
sin Ь = sin / sin (w — о), J
аналогичные формулам (26) для невозмущенного движения.
Формулы (59) вполне решают задачу о нахождении возмущенного
положения планеты; но они удобны только в том случае, когда нужно
вычислить лишь несколько отдельных положений планеты. Между тем
определение возмущений аналитическими методами принято заканчивать
построением таблиц движения рассматриваемой планеты, по возможности
облегчающих вычисление ее координат. Так как при этом, естественно,
избегают употребления'таблиц с двумя входами, то Ганзен предложил
заменить формулы (59) другими, более удобными с точки зрения
табулирования.
ГанЗен показывает, что эти формулы могут быть преобразованы
к виду
cos Ъ sin (/ — Q0 — Г) = cos /о sin (w — Q0) — ф 1
cos6cos(/—Q0 —Г)= cos(w — 20) + ф' 1 (60)
sin b = sin /0 sin (w — Q0) + s, j
где первые члены правых частей удобно табулируются по аргументу w— У0,
а малые величины Г, ф, ф7 и s определяются без особых затруднений.
Окончательные формулы, которые мы приводим без вывода, таковы:.
s )
ф = — [sin /0 cos /+ cos /0 sin i cos (a — QQ)]
ф' = — sin i sin (a — QQ)
s = Q sin (w — Q0) — P cos (w — Q0)
x = cos /0 (cos /0 + cos i) — Q sin /,
(61)

314 XVL Аналитические методы определения возмущений координат
причем Г, Р и Q определяются дифференциальными уравнениями:
dV_rs_ dR
dt ~xh dZ
dP fc_! . . , ' .dR
— = h r cos; sm(w —20)ч„
-dt=h 'cos/cos(i*-9e)^-.
Если ограничиться возмущениями первого порядка, то
Г = 0, * = stg/0, f = 0,
так что применение формул (60) потребует в этом случае составления
только одной таблицы с двумя входами, дающей s. Вследствие малости
этой величины составление и употребление такой таблицы не
представляет затруднений.
Полезно отметить, что в дифференциальных уравнениях, которые
приходится разрешать в методе Ганзена, пертурбационная функция
фигурирует только в форме частных производных
dR dR dR
дгу dvJ dZ'
Излагая свой метод в окончательном виде,1 Ганзен теснейшим
образом связывает его с разложением пертурбационной функции (точнее
говоря—только что указанных производных) по кратным эксцентрических
аномалий и с употреблением эксцентрической аномалии возмущаемой
планеты в качестве независимой переменной. Но этот метод не зависит, по
существу, ни от выбора независимой переменной, ни от избранной формы
разложения пертурбационной функции.
Метод Ганзена получил довольно широкое распространение при
вычислении возмущений малых планет, что объясняется, с одной стороны,
практичностью этого метода, действительно сводящего величину
возмущений к минимуму, а с другой стороны — тем, что этот метод был
развит Ганзеном с исключительной подробностью.
¦§ 115. Вычисление производных пертурбационной функции по
координатам.
Вычисление возмущений в координатах требует разложений в ряды
частных производных
^?_Л? A/? dR , '
dm dv ' •¦ dr ' dZ iD)
пертурбационной функции. Покажем, каким образом могут быть найдены
эти разложения..
Так как для каждой из возмущающих планет
1 P. A. Hansen, Auseinandersetzung einer zweckmassigen Methode zur Berechnung der
absoluten Storungen der kleinen Planeten, Abh. I —II —III, Leipzig 1857—1861.

§ 115. Вычисление производных пертурб. ф-ии по координатам 315
причем
да = гг _|_ г/2 _ 2rrr cos И
cos #=cos (у -f П) cos (v' -f И') + sin (у + И) sin (у' -f- IT) cos У,
то
да да \ Д
/о
га
Очевидно
j^_ /гсо$Н\
С другой стороны, тождество
д /г*
дг_ д /г*\
дМ дг I Д )
да д (г*
ШдЪ\~Ь
и хорошо известные формулы
дг ае sin а
дМ cos? '
позволяют написать:
д /г*
= --1 cos©
<Ш
Ч
г
ди\Ь 1~&со*ч дМ\Ь~) р %mv дг\Ь I'
откуда уже нетрудно получить
д /1\ I1
д /г2
dv \Д / a2cos<p <Ш\Д
еьти ГЗ^ г2 1_ г2 (г'2 — г2)
рг [2 Д" ' 2
Дз
]•
(63)
= jn [— sin (у + П) cos (»' + ПО + cos (у + П) sin (? + П') cos J]. (64)
Формулы (63), (64) и (65) дают первую из производных (62).
Перейдем теперь к вычислению производной по радиусу-вектору.
Очевидно:
дг
= k2mr
—г "Ьг'CQS ^ cos"
дз
Г'2
НО
поэтому
dR
дг
= &т'
2rr' cosH = r* + r'* — A2,
г cos Я
' 1 г'* —г*
2А
2 А»
-'2
Что касается до последней из производных (62), то ее можно
рассматривать как компоненту возмущающего ускорения по нормали к
плоскости орбиты. Поэтому, как мы уже видели в § 67:
dz U3 f* Г'
где через С обозначена координата Z возмущающей планеты.

316 XVI, Аналитические методы определения возмущений координат
Очевидно
C' = r'sin(V + II')smy,
следовательно
§=k2mY (і- - A)sin <"'+п')sin v- (67>
Итак, для вычисления производных (62) достаточно разложить Д^1
иГ3в двойные тригонометрические ряды по кратным средних аномалий
Для всех остальных величин, входящих в формулы (64) — (67), нами уже
были даны в § 82 разложения в общем виде.
Ради определенности мы предполагали, что ищется разложение по
кратным средних аномалий. Те же самые формулы годятся и для случая,
когда разложение производится по кратным эксцентрических аномалий,
следует только в равенстве (65) положить:
дМ\Ь )~дМ дЕ\&. )'
Заметим, что выгоднее разлагать в двойной ряд не А"1, а г2Л~\
так как эта последняя величина встречается в полученных формулах
чаще.

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
ГЛАВА XVII.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ. ТЕОРИЯ ЛАПЛАСА.
§ 116. Общий характер движения Луны.
Положение Луны всегда определяется относительно центра Земли,
которая в этом случае принимается за центральное тело. Движение,
которое имела бы Луна при отсутствии других небесных тел, кроме Земли,
принимается за основное, невозмущенное движение, а те изменения,
которые вызываются в нем притяжением Солнца и прочих планет (а также
другими причинами), называются возмущениями или
неравенствами.
Особый интерес представляют возмущения, испытываемые Луной со
стороны Солнца, так как эти возмущения совсем иного характера, чем
те, с которыми приходится иметь дело в теории движения планет.
Возмущения, производимые планетами, всегда очень малы
вследствие крайней малости возмущающих масс, несмотря на то, что эти массы
часто находятся ближе к возмущаемому светилу, чем Солнце. Напротив,
в теории движения Луны Солнце, являющееся возмущающим телом, имеет
массу в 331950 раз большую, нежели* Земля, которая рассматривается
как центральное тело. Только вследствие того, что Солнце находится
на расстоянии почти в 400 раз большем, чем Земля, эту последнюю можно
рассматривать при изучении движения Луны как центральное тело.\
Принимая средние расстояния Луны и Солнца от Земли равными
соответственно 384400 км и 149 450000 км, найдем, что отношение этих
расстояний равно 3/з89- Отсюда следует, что ускорение, сообщаемое Луне
Солнцем,в
331 950 0 0
3892 ~м
раза (в среднем) больше, чем ускорение, вызываемое притяжением Земли.
Но, поскольку мы изучаем движение Луны по отношению к Земле,
нас интересует разность ускорений, вызываемых Солнцем в движении
Луны и Земли. Легко видеть, что получаемое таким образом
возмущающее ускорение в среднем составляет
331 950 _ 1
3893 ~ 177
часть ускорения, производимого Землей. Не трудно найти, приняв во
внимание эксцентриситеты земной и лунной орбит, что это отношение
может иногда доходить до 1/80.
Мы видим, таким образом, что возмущения, вызываемые Солнцем
в движении Луны, по крайней мере в десятки раз больше тех, с
которыми приходится иметь дело в теории планет.

318 XVII. Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Близость Луны к Земле, с одной стороны, упрощает задачу, так как
делает возмущения, производимые всеми остальными планетами, весьма
малыми. Но, с другой' стороны, вследствие этой близости приходится
считаться с влиянием на движение Луны отклонений в структуре Земли
от сферической симметрии.
Принимая все это во- внимание, мы видим, что теорию движения
Луны естественно разделить на следующие части:
1. Изучение движения трех материальных точек Т9 L и 5, одна из
которых, 5, (Солнце), описывает кеплеров эллипс вокруг центра инерции
G двух других точек Т (Земля) и L (Луна). Эта проблема является
основной в теории движения Луны и наиболее характерна для этой
последней.
2. Вычисление возмущений, вызываемых в движении Луны
отклонением Земли и Луны от сферической структуры.
3. Вычисление возмущений, вызываемых прямым притяжением
планет.
4. Определение возмущений, производимых отклонениями в
движении 5 вокруг G от законов Кеплера (т. е. возмущений, зависящих от
косвенного воздействия планет).
5. Вычисление возмущений второго и высших порядков,
происходящих от наложения действий, указанных в пп. 2, 3, 4.
6. Выяснение эффекта всех прочих факторов, могущих влиять на
движение Луны (морские приливы, увеличение масс Земли и Луны
вследствие падения метеоритов и т. п.).
Только первая из этих задач представляет серьезные
принципиальные трудности, а употребляемые в ней методы — общий интерес.
Остальные пять проблем, хотя и требуют иногда очень большого количества
труда, решаются применением способа последовательных приближений
в его обычной форме. Учитывая это обстоятельство, мы ограничимся
в дальнейшем исключительно рассмотрением основной проблемы,
называемой иногда со л нечной теорией лунного движения (theorie
solaire du mouvement de la Lune).
Заметим, что строгое разграничение указанных выше проблеіМ не
всегда целесообразно. Например может оказаться полезным уже при
решении основной проблемы учесть некоторые возмущения движения
Солнца — прежде всего вековое движение перигелия и вековое уменьшение
эксцентриситета земной орбиты.
Чтобы закончить эти вводные замечания, напомним, в чем выражаются
наиболее значительные из возмущений, производимых Солнцем в
движении Луны.
За невозмущенную орбиту Луны можно считать эллипс с
эксцентриситетом, равным 0.05490, лежащий в плоскости, наклоненной к
эклиптике 1850.0 под углом в 5°9'.
Действие Солнца сказывается прежде всего в том, что перигей
лунной орбиты имеет поступательное движение. Полный оборот он
совершает в среднем в 8.8503 года. На равномерное движение перигея
накладываются периодические неравенства, самое большое из которых имеет
амплитуду в 8°41'. Эксцентриситет при этом изменяется немного,
колеблясь около указанного выше среднего значения.
С другой стороны, линия урлов движется попятным движением,
делая полный оборот в среднем *в 18.5995 года. Наиболее
значительное • из периодических неравенств, накладывающихся на это
поступательное движение, имеет амплитуду в 1°26'. Наклонность орбиты имеет
периодические неравенства, вследствие которых она меняется в
пределах от 4°57' до 5°20'.

§ 116. Общий характер движения Луны 319
Перейдем теперь к периодическим неравенствам долготы.
Следующая формула дает представление о наиболее значительных из этих
неравенств:
i» = X + 377/sin^/+13/sin2^-f . . . + 76'sin (2D — М) +
+ 39'sin2D— H'sindf — 2'sinZ>-|-. . .
Через v обозначена истинная долгота Луны, через X — средняя; через
М и Мг обозначены средние аномалии Луны и Солнца, причем М
считается от среднего положения перигея; наконец D есть разность
средних долгот Луны и Солнца.
Члены с аргументами М, 2М, . . .называются эллиптическими
членами. Их сумма дает уравнение центра.
Член с аргументом 2D— М получил название эвекции. Легко
видеть, что период этого возмущения равен 31.8 суток.
Неравенство, производимое членом с аргументом 2Д получило
название вариации. Период вариации равен очевидно половине
синодического месяца, т. е. 14.76 суток. Вариация не меняет положения Луны
в сизигиях и квадратурах; наибольшее смещение Луны она производит
в октантах.
Член с аргументом М дает возмущение, имеющее годовой период и
получившее название годичного неравенства. Это неравенство
вызывается эллиптичностью земной орбиты, производящей изменение
расстояния до Солнца, а следовательно и величины возмущающей силы.
Наконец, члены с аргументами D, 3D, . . . дают параллактическое
неравенство. Амплитуда каждого из этих членов пропорциональна
отношению —г средних расстояний Луны и Солнца. Так как параллакс Луны
легко находится из наблюдений, то сравнение наблюдаемой величины
параллактического неравенства с теоретической дает возможность найти
параллакс Солнца. Этот метод определения солнечного параллакса
является одним из наиболее точных.
В выражениях радиуса-вектора и широты Луны имеются члены
с теми же аргументами, что и в указанном выше разложении долготы.
Разложение в ряд параллакса Луны, легко выводимое из разложения
радиуса-вектора, имеет следующий вид:
р =3424"+187" cos^f+10,,cos2^+- • •
-f 34''cos(2Z>-/tf) + 28''cos2Z)+. . .,
где в первой строке дано среднее значение параллакса и эллиптические
члены, а во второй — важнейшие возмущения.
Указанные выше главные члены лунных неравенств были открыты
эмпирически. Эллиптические ,члены были найдены Гиппархом, давшим
удовлетворительное для того времени средство вычисления этих членов
при помощи эксцентрика. Во времена Гиппарха были известны также
движение перигея и узла.
Эвекция была открыта Птоломеем. Вариация и годичное
неравенство были открыты Тихо Браге (около 1580 г.).
В настоящее время каждым из этих имен обозначают группу членов,
аналогичных указанному выше главному члену: так, эвекцией называют
члены
4607*77 sin(2Z> — Ж) +174*87 sin (2Z)-|-Л/) + . . .;
вариацией — члены с аргументами 2D, 4Dy 6D, . . . , т. е.
2106^25 sin 2D + 8."75 sin 4D -f . . . ;

320 XVII. Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
годичным неравенством — члены, зависящие от средней аномалии Солнца,
а именно: «
-659^23 sin Ж'+152",11 sin (2Z) — М') — 2і!бЗзіп(2/) + Ж/)+. . .;
наконец, параллактическим неравенством — члены
— 127!62sinD4-0"84sin3D+0^lsin5z?+- . .
§ 117. Краткий исторический обзор развития теории движения Луны.
Теория движения Луны, в современном смысле, естественно
начинается со времени открытия закона всемирного тяготения. Ньютон
показал, что вариация, движение перигея, движение узла, наблюдаемые
изменения наклонности и эксцентриситета являются следствиями закона
всемирного тяготения.
Ньютон не стремился к построению полной теории,
воспроизводящей наблюдаемое движение Луны, тем не менее отдельные неравенства
были им определены с большой точностью. Есть основание думать, что
Ньютон получил свои результаты при помощи общего метода, а именно
метода вариации элементов, но опубликовал он их в форме отрывочных
теорем.
Путь для построения теории, охватывающей все особенности
движения Луны, был указан Клеро, который выразил проблему
дифференциальными уравнениями и начал решение этих уравнений способом
последовательных приближений (1747). Клеро принадлежит идея взять в
качестве первого приближения к движению Луны не кеплеров неподвижный
эллипс, а эллипс с равномерно вращающейся линией апсид.
Теорию, аналогичную теории Клеро, но гораздо более систематич-
. ную, развил Даламбер (1754—1756). В то время как Клеро с самого начала
подставляет численные значения параметров, Даламбер дал первый
пример алгебраической теории, в которой параметры сохраняют
произвольные значения.
Характерной особенностью работ Клеро и Даламбера является
употребление истинной долготы Луны в качестве независимой переменной.
Метод, основанный на этой идее, был разработан во всей полноте и
общности Лапласом, который более 30 лет занимался теорией Луны.
Полученные результаты Лаплас собрал в третьем томе Me?anique celeste (1802).
Помимо разработки общего метода, позволяющего планомерно найти все
неравенства, зависящие от притяжения Солнца, Лаплас впервые
определил возмущения, вызываемые фигурой Земли и притяжением планет.
С последней проблемой связано одно из самых замечательных открытий
Лапласа — объяснение векового ускорения среднего движения Луны
(см. § 125). Им былр также найдено, что аналогичные ускорения,
зависящие от той же причины, — векового уменьшения эксцентриситета земной
орбиты, — имеют место в движении перигея и в движении узла.
Лаплас определил лунные неравенства до 2-х, частично—до 3-х
степеней тех параметров, по которым ведется разложение. Дамуазо (М. Da-
moiseau) применил метод Лапласа для получения численных значений
неравенств с гораздо большей точностью (1827). Плана (G. Plana)
проделал ту же самую работу алгебраически (1832), но его результаты
содержат очень много ошибок.
В 1846 г. Понтекулан (G. de Pontecoulant) опубликовал новую теорию
Луны, основанную, как и только-что рассмотренные, на употреблении

§ 117. Обзор развития теории движения Луны 321
полярных координат; но он принимает за независимую переменную время.
Соответствующие дифференциальные уравнения (§ 7) были даны еще
Лапласом. Этот же самый метод одновременно с Понтекуланом развил
Лёббок (J. W. Lubbock), опубликовавший свои результаты в 1834 г., но
он ограничился проведением только второго приближения.
Появившееся в 1753 г. сочинение Эйлера Theoria motus lunae exhibens
omnes ejus inaequalitates является источником новых направлений в
разработке лунной теории. Обширное Additamentum, заканчивающее это
сочинение, содержит по существу метод вариации эллиптических
элементов. Дальнейшим, и притом весьма глубоким, развитием этой идеи
Эйлера можно считать метод интегрирования уравнений возмущенного
движения, предложенный в 1846 г. Делоне (С. Delaunay). Этот метод
позволил Делоне создать наиболее полную буквенную теорию солнечных
неравенств. Ценой двадцатилетней работы он получил общие выражения
для всех неравенств включительно до 7-го порядка относительно
возмущающих сил.
Теория Делоне, усовершенствованная Радо (R. Radau) и Андуайе
(Н. Andoyer), легла в основу весьма совершенных таблиц движения
Луны, созданных Радо.
Поставленная Эйлером задача определения оскулирующих
элементов лунной орбиты была продвинута вперед Пуассоном (1835), Пюизё
(V. Puiseux) (1864) и М. А. Вильевым (1919). Нужно однако заметить,
что для достижения ближайшей цели лунной теории — построения таблиц
движения Луны — определение оскулирующих элементов представляется
мало целесообразным.
Другая весьма важная идея, встречающаяся в указанной работе
Эйлера, была развита им самим в обширном сочинении, напечатанном
в 1772 г. под заглавием Theoria motuum lunae nova methodo pertractata una
cum tabulis astronomicis, unde ad quodvis tempus loca lunae expedite compu-
tari possunt. l Эта идея заключается в разложении искомых координат
Луны в ряды вида
А+евю+^оЧ- . . . + *'Яоі+Л5о2+ • • .+'•*„+ - - ¦ +*С,+
где е и с'—эксцентриситеты лунной и солнечной орбит, і—наклонность
лунной орбиты, а через А9 В10, . . . , С2, . . . обозначены периодические
функции. Эйлер получает системы дифференциальных уравнений для
последозательного определения Л, В10, . . и решает каждую такую
систему методом неопределенных коэффициентов.
Среди многих весьма важных усовершенствований, внесенных
Эйлером в лунную теорию, особо отметим употребление прямоугольных
равномерно вращающихся осей координат. Эта идея, в отличие от других
идей Эйлера, долго не-имела последователей, и только через сто с
лишним лет, в 1877 г., Хилл в своих известных мемуарах, 2 положивших
начало современным методам Небесной механики, показал всю
плодотворность этой идеи в соединении с только-что указанной идеей
последовательного вычисления неравенств различных степеней относительна
эксцентриситетов и наклонности.
1 Имеется русский перевод наиболее важных частей этого сочинения, выполненный
акад.. А. Н. Крыловым и снабженный им интересными примечаниями и добавлениями:
Леонард Эйлер, Новая теория движения Луны, Ленинград 1934.
* G. W. Hill, On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is a Function of
the Mean Motion.of the Sun and Moon, Acta math., 8, 1886, 1—36 (Works, 1, 243-270).
— Researches in the Lunar Theorv, American Journal of Math, 1, 1877 (Works, 1,
284-335).
Курс Небесной меха-к и ея

322 XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Теория движения Луны, развитая Хиллом в этих и нескольких
последующих мемуарах, была затем доведена до исчерпывающей полноты
Брауном. х
Таким образом, эта, лучшая в настоящее время, теория движения
Луны базируется непосредственно на идеях Эйлера.
Следует отметить, что разработку идей Эйлера в указанном
направлении одновременно с Хиллом начал Адаме, много занимавшийся
вопросом независимого вычисления отдельных лунных неравенств.
Несколько в стороне от указанных направлений в развитии теории
движения Луны стоят работы Ганзена, применившего к этой проблеме
свой общий метод изучения возмущенного движения (глава XVI). Эти
работы, обнимающие период 1829—1864 гг., привели к созданию весьма
точных таблиц (опубликованных в 1857 г.), до недавнего времени
остававшихся наилучшими.
В этой главе мы рассмотрим основы теории Лапласа, что позволит
быстро и достаточно полно познакомиться с особенностями движения
Луны, Метод Лапласа представляет, кроме того, и самостоятельный
интерес, так как он может быть с успехом использован (так же, как
метод Понтекулана) и в других проблемах, например при изучении
движений в системах тройных звезд. 2
§ 118. Дифференциальные уравнения основной проблемы.
За начало прямоугольной эклиптической системы координат
принимаем центр Земли. Через v обозначим долготу Луны, через s тангенс ее
широты, а через и величину, обратную проекции радиуса-вектора на
плоскость эклиптики, так что будем иметь:
и потому
¦ cos v
х = ,
и
sin v
У~ и
¦
5
U
Г = ~ ! .
U
Соответствующие уравнения движения мы можем написать в
следующем виде (§ 8):
d*u . и-гди , -.lir-2dU _.-_з ди дО
dv* ди ' ds dv dv
~*/d*u , \ Г -•> dU
1 E. W. Brown, Investigations in the lunar theory, American Journal of Math., 17, 1895*
318-358.
- Theory of the motion of the moon etc., Memoirs of the R. Astr. Society 53, 54, 57, 59,
(1897—1908).
2 Весьма полные литературные указания по теории движения Луны можно найти
в статье: Е. W. Brown, Theorie des Erdmondes, Encyklopiidie der Mathem. Wissenschafteru
Bd. VI, 2, 1915.

§ 118* Дифференциальные уравнения основной проблемы 323
*- = ' * Л * (3)
A»8 v/l + 2Л~2 Гй
а»
где через h обозначена постоянная интегрирования.
Обозначая через Ту L и mr массы Земли, Луны и Солнца, а через
xfyyf>zr>rf— геоцентрические координаты и радиус-вектор Солнца, будем
иметь для функции сил следующее выражение (§ 3):
и-Ш±И + ^-^^ + ^у (4)
где А есть расстояние между Луной и Солнцем.
Обозначим через И угол между радиусами-векторами ги/. В таком
случае
xxf -f- уу' + zzf = rrr cos Я.
Для разложения функции U по степеням отношения rj/
воспользуемся известной формулой
со
T°A, + r-^/cosH=7:§(f)4(c°s*). (5)
в которой через
обозначены полиномы Лежандра.
Подставляя это разложение в равенство (4) и опуская член ?3/и//г/,
как не содержащий координат Луны, а потому не влияющий на нужные
нам частные производные, получим:
л=2 \ /
(6)
Этот ряд сходится весьма быстро, так как отношение г//
порядка V«o-
Для сокращения письма выберем единицу времени и единицу массц
таким образом, чтобы было
*> = !, T+L=*L
Ограничиваясь лишь нужными нам членами, будем иметь
окончательно:
Обозначим теперь через и\ г/9 ^ координаты Солнца в принятой
системе, так что
, cos^ , sin i/ , sr
uf ' и' 3 ur
21*

324 XVII. Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Следовательно, пренебрегая квадратом sr:
\/l +s'2 1
cos//=
гі ~ гі
cos (v — vr)-\~ssr ___ cos (v — o^-^-ss'
Подставим эти выражения в. U. После того как степени cos(и~и')
будут заменены через косинусы кратных дуг, окончательно получим:
^^^J^4-^^[l+3cos2(y-^"252+i25s4os(y-i;0] +
y/l-fs2 4z/2 i •
+ ^-[3(l-4s»)cos(»-i0 + 5cos3(»-^))+- - -(7)
Мы опустили член rrijr', как пропадающий при дифференцировании.
Заметим, что величина $' очень мала/ так как положение земной
орбиты меняется весьма мало и весьма медленно. Поэтому Лаплас
положил $' = 0, считая, что это не вызовет заметного изменения в движении
Луны. Но когда Эри (G. В. Airy) открыл, в 1848 г., в наблюдаемых
широтах Луны небольшое периодическое отклонение от теоретических
значений, Ганзен показал, что это отклонение объясняется именно влиянием
члена cs' в разложении (7). Действительно, этот член вызывает в 5
возмущение, равное
85 = 1*41 cos v — 0?17sin 0.
Так как этим исчерпывается заметное влияние указанного члена, то
в дальнейшем мы будем считать, что sr = 0.
Первая группа членов разложения (7), вызывающих возмущения,
имеет множитель гі*. Обозначив через гі большую полуось земной
орбиты, мы можем считать, поскольку г' пропорционально гі% что
рассматриваемые члены имеют множитель
а>~* *'2
1-1-/я"
где гі— среднее движение Солнца.
Таким образом, эти члены, дающие наибольшие возмущения
движения Луны, вависят в сущности не от гі, а от гі— величины, очень
точно определенной из сопоставления наблюдений Солнца, разделенных
большим промежутком времени.
Напротив, члены следующей группы, имеющие множителем ии,
после разложения по степеням эксцентриситета е', будут умножены на
гі*
{\+т')гі*
Сравнение теоретических значений возмущений, вызываемых этими
членами, с наблюдаемыми значениями дает возможность определить <?,
иначе говоря — параллакс Солнца. Поэтому соответствующие возмущения
получили название параллактических неравенств.
Следующие, не написанные нами члены в разложении (4) имеют
лишь очень небольшое влияние на движение Луны, так как амплитуды
соответствующих им неравенств весьма малы.

§ 119, Первое приближение
325
После этих общих замечаний перейдем к интегрированию урав*
нений (1), (2), (3), в которых U заменено выражением (7), способом
последовательных приближений.
§ 119. Первое приближение.
Если возмущения со стороны Солнца отсутствуют, т. е. если /л' = 0,
то уравнения (1) и (2) обращаются в такие:
fj+—*-(i+*)-4
dv*
+ 5 = 0.
(8)
Второе уравнение дает:
s = т sin (v — в), (9)
где f й в — постоянные интегрирования.
Нетрудно убедиться, что общее решение первого уравнения может
быть написано так:
и
_ y/l-)-S24-gC0S (ц —тс)
~~ *2(1 + Т2)
(10)
где е и я — новые произвольные постоянные.
В рассматриваемом случае мы имеем дело с обычной проблемой
двух тел. Поэтому мы могли бы получить выражения (9) и (10), исходя
из известных формул эллиптического движения.
Обратимся к рис. 14, на котором изображена геоцентрическая
небесная сфера. Пусть xNU будет эклиптика, NL— орбита Луны.
Обозначая через /ив
наклонность и долготу узла лунной орбиты,
из треугольника NLU получим:
или
tgLU = tgLNU sin NU
s = tg/sin(w— ?).
Сравнивая с (9), мы видим, что
Рнс. 14.
а постоянная ?, стоящая в формуле (9), есть не что иное, как
долгота узла.
Чтобы выяснить зависимость, существующую между постоянными
е и * и эллиптическими элементами, напишем равенство (10) следующим
образом:
VT+S2
А'О+Т»)
и
Далее, треугольник NLU дает:
cos (v — ?) cos (к — 6) -f- sin (v — 6) sin (тс—6)'
sin NU cos LU = sin NL cos
cos NU cos LLf = cos NL,

326
XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
поэтому, обозначая через ю долготу'в орбите xN-^-NL, получим:
sin (у — ?) sin(w— ?)
cos (v — ?) .
—р^г-_-т^ = cos (w — ?).
Следовательно
ЛЧ1+Т2)
-f-f cos (и;—
?) cos (тс — 6) +
sin (ш — 6) sin (ic — %)
С другой стороны, мы имеем:
*(!-<©
l-f-?0cos(tt>—*0)'
где через а, е0 и тс0 обозначены большая полуось, эксцентриситет и
долгота перигея.
Сравнение этих выражений дает:
_ 1
г0 sin (іг0 — 6) = е (1 + Т2) 2 sin (« — ?)
е0 cos (тс0 — б) == * cos (тс — ?)
a(l-*5)-#(l+f)
откуда
Л2(1+Т2)
a
1— е
,21 + Т2 cos2 (*
в)"
1+f
Первые два из этих равенств показывают, что е и е0 разнятся лишь
на величину порядка ?2. Последнее равенство дает, отбрасывая величины
4-го порядка:
As=a(l_*2_T«-f# . .). (П)
Полезно заметить, что
20'
Т
_1_
If
Движения перигея и узла лунной орбиты настолько быстры, что
принимать выражения (9) и (10) за первые приближения
нецелесообразно. Приблизительно казкдые четыре с половиной года перигей
и апогей лунной-орбиты меняются местами. Поэтому, если мы хотим
представить движение Луны в течение сколько-нибудь значительного
интервала времени, неподвижный эллипс будет столь же грубым
приближением к действительной орбите, как и окружность.
Исходя из этих соображений, Клэро принял за первое приближение
неизменный эллипс, вращающийся в своей плоскости. Развивая эту идею,
Лаплас берет за первое приближение орбиту, определяемую
равенствами
5 = -у sin (gv — 6) (12)
_ \/l -\- s2 -f- g cos (cv—it)
u- л*(і + т2) ~
где g и с—некоторые постоянные, мало отличающиеся от единицы.
(13)

§ 119. Первое приближение 327
Так как
gv — b = v — [в + (1 — g)v]
си — тс = v — [л -)- (1 — c)v]t
то долготы узла и перигея будут соответственно равны ?-(~(1—g)v
и тс-|"(1—с)°> а потому будут меняться при каждом обороте
соответственно на (1—^)360° и (1-е)360°.
Конечно, выражения (12) и (13) не могут точно удовлетворять
уравнениям (8), если g и сне равны единице. Но, как будет показано ниже,
лри подстановке (12) и (13) в уравнения (8) получаются величины
второго порядка относительно малых величин т, е, 1—g, 1—с.
Принимая выражения (12), (13) за первое приближение, мы
учитываем этим некоторую часть возмущений.
Чтобы установить зависимость между координатами и временем,
соответствующую орбите, определяемой уравнениями (12), (13),
обратимся к уравнению (3), которое при mr = Q дает
Пренебрегая четвертыми степенями малых величин е и ?» напишем
выражение (13) следующим образом:
u = ti~*{\ +f)_1 1 + |-T2 — yT2cos(2^ — 2H) + ecos(cv —*j ¦ -
или
и = 7Г2- 1 — |-тз + *(1 — f)cos(cv — тг)_ i-T»cos(2^ —2B) L (14)
откуда
<*/ = **¦ \Jr~(e^Jrf) — 2e{\— Ta)cos(w — «) +
-j-~*3cos(2co — 2ic) + yT2cos'(24rw — 2?) <fo,
или, после интегрирования,
г 4- const ^ЛЧі+і-^+уТ2)* — (1 — i2)sm(cv — «) +
+ ^ sin (2cv - 2«) + ^J sin (2*» - 2?).
Обозначим через п среднее движение Луны, связанное с большой
полуосью соотношением
Л2Д3=1.
Равенство (11) дает:
л==а^1_^,2_^+- . .), (15)
откуда

328 XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Коэффициент при v в только-что полученном соотношении между
t и v должен быть совершенно точно равен гГ1. Поэтому, учитывая (15)
и опуская члены 3-го порядка, мы можем это соотношение
написать так:
+ е = У— Ц- sm(cv-^ + ^sm(2cv-2^)^^sm(2gv-2b)^ . . .,(16)
nt
где через е обозначена постоянная интегрирования.
Заметим, наконец, что равенству (14) можно придать следующий
вид, если вместо h подставить его значение (15):
и^а~г [l4^2+^72 + (' + *3)cos(o> — Tt)~~ — ^cos(2gD— 26)+. . .
.(17)
§ 120. Вычисление координат Солнца.
Так как за независимую переменную принята долгота Луны vf
то координаты Солнца мы должны также выразить в виде явных
функций v.
Движение Солнца относительно центра инерции системы Земля*—
Луна может считаться эллиптическим, если не принимать во внимание
действия остальных планет, а изучать, как это мы сейчас и делаем,
только солнечные неравенства движения Луны.
Напротив, движение Солнца относительно центра Земли
чувствительно отличается от эллиптического. Но так как соответствующая
поправка очень легко может , быть введена, как это будет показано
в конце параграфа, то мы будем считать, что и относительно Земли
Солнце движется по законам Кеплера. Поэтому для представления
движения Солнца мы воспользуемся формулами предыдущего параграфа.
Так как для Солнца s' = 0, ?' = (), то получим следующие уравнения
движения:
и' = я'"1 [1 + ^ +1 cos (cV _*') + ...] (18)
л'*+•'=»' — 2*'sin(cV — <)-Ь — г7*sin(2cV—2*')+ . . . ]. (19)
Здесь мы сохранили в аргументах коэффициент с*, зависящий от
векового движения перигелия земной орбиты. Этим самым мы
учитываем, без всякого усложнения вычислений, часть планетных
возмущений.
Так как с' очень мало отличается от единицы, то в коэффициентах
мы положили с/ = 1.
Исключение t из (16) и (19) дает:
jf — & sin (с V — «*) 4~|- ^2 sin (2cv — 2*') =
= pv-\-*' — |xs — 2ре sin (си — *)-{- . . .,
где
гі
Так как это отношение — малая величина порядка */іе и так как
б левой части последнего равенства отброшены члены 3-го порядка, то

§ 120. Вычисление координат Солнца 329-
*
и с правой стороны мы отбросили члены, имеющие множители рг2 и р.?8.
По этой же причине рес~ заменено через ре.
Полученное уравнение легко решается относительно if
последовательными приближениями. Условившись писать для краткости y.v вместо
pu-j-e' — jxe, получим:
г 5
v'=v.vJr2e'sin(c'pv — я') — 2\^sin(cv — *)-{- —er*sinty'v-v — 2tc/).+ . . -(20)
Подставив это значение v' в (18), будем иметь, в пределах принятой
точности:
иг = а'-х [l+<?'cos(c>y — 0 + ?'2Cos(2c'f*y — &0+ • • •], (21>
так как
ё cos (cV — it') = ё cos [с'р.» — *' + 2cV sin (cV» — *')! —
= e' cos ((f\tv—*') — 2cV2 sin2 (c>y — */) =
= ё cos (•(*» — if) — г'2 + ^2 cos 2 (c V — w'),
причем cf, переставшее быть множителем неограниченно возрастающей
величины v, мы снова заменяем единицей.
Примечание I. Посмотрим, с какою точностью движение Солнца
относительно центра инерции G системы Земля—Луна может считаться
эллиптическим.
Обозначая через хи уи гх координаты Солнца в системе, оси
которой параллельны предыдущим, а начало помещено в точку G, получим
(ср. § 4):
L , L . L
хі = х т+L Ху Уі^У Т+ГУ> zi — *~ т+L Z'
Поэтому
А,в(*^-Т^*)" + (л--1^,),+(^--7:ТГа!)'
или, обозначая через #і угол между векторами Gm' и GL и полага»
г'2 - ^+2 -ттг ""'cos Яі+(-гтг)2 **
На основании формул (18) в § 4 уравнения движения Солнца
относительно G напишутся так:
dfi ~~^ дхх' dfi р дуі' dt* р dzi
где
T+L+m'
р ~" mf(T+L)
м / 7Z, , 77я' , Lm'\

330 XV 1L Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Отбрасывая здесь первый член, как не влияющий на производные,
и пользуясь разложением (5), получим:
,„ и* T + L + m'X, , TL г* (Ъ aw 1\ . П
W-V \^ (l + Tf+^7f(42-CQs2//l-y>)+- - :J-
Таким образом, даже второй член этого разложения, имеющий
верхний предел порядка
1 1 1
80 4002 12 800 000*
может быть отброшен. Остающийся первый член дает эллиптическое
движение.
Примечание П. Так как для представления движения Солнца
мы пользуемся формулами эллиптического движения, то для того, чтобы
быть вполне последовательными, мы должны для изучения движения
Луны исходить из уравнений движения, данных в § 4. Иначе говоря,
вместо функции сил U, определяемой равенством (4), мы должны
пользоваться только что указанной функцией сил Ux.
я?о-Ь/Лі T-\-L
Учитывая множитель———- =—~гТ—, которым сопровождается
эта функция в уравнениях движения Луны (ср. (18) в § 4), мы видим,
что U надо заменить через
і^ъ-?!^+*±№-%-+*±?-
ш
TL х г 1 " L г' 1 У Т Д '
Разлагая в ряды два последних члена, получим:
T-\-L
оо
TL
где
(22)
Л=2
л-і f —L \п~1
X
л
T+L \T+L
причем член k2m'jru не зависящий от координат Луны, опущен.
Сравним полученное точное выражение функции сил с
употребляемым нами выражением (6), которое не является достаточно точным, если
мы пользуемся формулами эллиптического движения для представления
геоцентрических координат Солнца.
Так как разница между cos N и cos Hx совершенно нечувствительна,
то для перехода от (6) к (22) достаточно члены разложения (6) умножить
на поправочные множители
T* — D> T—L
х-
X,
(T+Lf T+L
(T+L)* ~ (Т+ Lf
мало отличающиеся от единицы.

§ 121. Об интегрировании уравнении возмущенного движения 331
§ 121. Об интегрировании уравнений возмущенного движения во
втором и следующих приближениях.
Найденные в первом приближении значения координат Луны и Солнца,
т. е. выражения (12), (14) и (20),, подставим в дифференциальные
уравнения (1) и (2), в которых U заменено выражением (7). Таким образом,
для определения более точных значений координат и и s получим
уравнения вида
^- + u = A + ^Pcos(pv + K% (23)
где с правой стороны стоит сумма конечного числа членов; черезр
обозначены некоторые постоянные числа, не обязательно целые.
Проинтегрировав уравнение (23) и аналогичное уравнение для $,
получим и и- s во втором приближении. Подстановка этих значений
в уравнения (1) и (2) даст уравнения для нахождения третьего
приближения и т. д. Важно отметить, что в каждом из этих последовательных
приближений мы будем иметь дело исключительно с уравнениями вида (23).
Если ни одно из чисел р не равно единице, то общее решение
уравнения (23) имеет вид
^ р
и = А + Сі cos v + С2 sin v-{-\\ . 2 cos (pv + К), (24)
где Q и С2 — произвольные постоянные.
Если же в правой части уравнения имеется член Pcos(v~\~/()t то
в общем решении ему будет соответствовать член
jPvsin(v + K). (25)
Но наличие такого члена в разложении и и s недопустимо, так как
эти координаты остаются для Луны ограниченными, а выражение (25)
принимает сколь угодно большие значения. Чтобы члены указанного вида
не могли появиться, необходимо в каждом приближении в общем
решении (24) брать постоянные Q и С2 равными нулю.
Формула (24) показывает, что коэффициент Р члена, для которого р
близко к единице, необходимо вычислять с большей точностью, чем
коэффициенты остальных членов, так как благодаря малому делителю
1—р2 в этих членах при интегрировании получается потеря точности.
Особого внимания заслуживают также члены, для которых р близко
к нулю. Эти члены мало изменяются при вычислении и и s, но они
производят потерю точности при вычислении / по формуле (3).
Действительно, член вида Pcos(pv-\~K) в выражении -у- после
интегрирования дает
р
~ sin (pv -f- AT).
Если такой член входит в выражение, стоящее в (3) под знаком
интеграла, то после двух интегрирований мы будем иметь в
разложении t член вида
Р
- cos (^-fTO-.

332 XVП. Основы теории движения Луни. Теория Лапласа
Отсюда ясно, что коэффициенты этих членов также должны быть
вычислены с известным запасом точности, особенно значительным во
втором случае. Такого рода члены назовем критическими.
§ 122. Уравнения, определяющие наибольшие периодические неравенства.
В первую очередь рассмотрим неравенства, вызываемые членами
функции сил (7), имеющими множителем и и~ . С этой целью в
уравнениях (1) и (2) положим
Получим:
|| + ,-А^(1 + 8*Гт+і + іі + Ш (26)
|j + s=I' + U' + HI', (27)
где
l = "^$[1 + 3cos2(y-y/^
2*J и4 du ч '
... Ът' I <Pu , \ Ги'ъ . .. ,..
Ul==J^{-dW + U)J -5г"п2(»-іО*'
l' = -~~s[l+cos2(v-v<)}
„, Ът' a'3 fife . 0. ,.
2Л2 u* du v '
_, Ът' f d*s . \ Си!* . „, ,w
Ш -^Ж{Ж+5)] ^sm2(v~v)dv.
Значения и и s, соответствующие второму приближению, обозначим
через
и = щ + Ьи, s «= 50 + 8s*
где а0> s0— величины, полученные в первом приближении, т. е.
s0 = isin(gv — ?)
йв — в"1 [!+«¦+ j72 + (* + *3)cos(o; —*)~
— j т2cos(2** —26)+. . . ]. (28)
Стоящая здесь величина а была нами определена (§ 119) как большая
полуось эллиптической орбиты, связанная с наблюдаемым средним
движением соотношением
п2а* = 1. (29)

§ 122. Уравнения, определяющие наибольшие периодические неравенства 333
Под влиянием возмущающего действия Солнца постоянная часть и
изменится (ср. § 98) и уже не будет равна тому выражению, которое
стоит в равенстве (28). Условимся, следуя Лапласу, под а разуметь в
дальнейшем такое число, что постоянная часть и в каждом приближении будет
иметь то же выражение ,
а-^і+^ + і-тЧ-. . -j, *
как и в щ.
Измененное таким образом а уже не будет связано с п
соотношением (29), вследствие чего не будет иметь место и равенство (15).
Определим поэтому новую величину ах равенством
тА^.илиА^^т/і — l*2_^T2_e т \
(30)
аналогичным соотношению (15).
Перейдем теперь к вычислению'величин, обозначенных через I, II, . . .
Начнем с вычисления выражения
т! иг* _ тп'а* (а'и'У
Ш и3 — 2А»а'з (аиу"'
Так как
то это выражение равно
n'W (a'uy
2аг(\— е*~--г2 —- - -) И)8 '
Далее
(aV)»=l+|-*'* + 3^cos(cV* — *0 + |-*'2cos2(cV*>--<> + * . -
(ац)-3= і_і-т*_з*(1— ~*2 —f)cos(cy-7c)4-&?2cos2(«>-^c)-j-
+ jfcos2(gv —?)+ . . .
Мы ограничиваемся, вообще говоря, членами второго порядка, но,
на основании сказанного в предыдущем параграфе, сохраняем члены
третьего порядка в коэффициентах критических членов.
Таким образом, полагая
окончательно получим
^в4[1+^+^т,+^,~3'(1+^ев+^сов(с,'7,е)+
+ 3e'(l+^-Hj-r2)C0S(c>y-u')-b. . .1.
С другой стороны, в пределах нужной нам точности,
cos2(v — v') = cos(2v — 2y.v)— 2tiecos(2z/ — 2ju» — cv-f-к)-f- • • .
(31)

334
XVIL Основы теории движения Луны, Теория Лапласа
Поэтому, полагая для краткости
получим
3cos2(u— г/) =
2№ и*
2ах
cos ~kv —
fCOS(Xy — CV-\-n)-\- ш . .
Складывая это выражение^ (31), получим/.
При вычислении // мы можем принять
йи
—і
ее
Это даст
и —а " — = sin (о;—*)
3^
//=-7—e [cos (Xy — cv -f тс) — cos(Xa-{-a>— ^)]+. . •
Здесь достаточно сохранить только первый из двух написанных
членов, так как множитель Цс в аргументе второго косинуса
существенно отличается от единицы.
Остается найти ///. Тут достаточно принять
d4 . 1 / 1
ы-4 = я4 [1 — 4*? cos (сі/ — те)]
sin 2 (у — у') == sin Ху —2ре sin (Ху — а> + я)-
Окончательно получим:
ГГ7 3^ Г cosXy 2 +2а Л , . ,
Что касается до первого члена уравнения (26), то его мы
представим в таком виде:
2
A~'(l+s»)-T=A
[1" Ь
So + 8«)2+ •
¦¦]-
= «і-1 [і+«2 + ^-Т2 + |т2 cos (2*0-20)-
— 3 т sin (?» — в) 8* + . . .
Вычисление выражений /', //', ///', производящееся совершенно
таким же образом, ради краткости приводить не будем. Окончательный,
вид уравнений (26) и (27) после всех подстановок будет такой:
d2u
dvz
+
1+^+jT2
v-l
2eH1 + e,+T^ + |«")+
3tf
%2 2 - f.
+157(2+"2+3?'2) е cos (СУ ~ я) ~ "гіт f=f'cos lv+
(32)

§ 123. Второе приближение 355
3
Т sin (gv — ?) os
+ -|tfTsin(Xw —** + ?). (33V
Чтобы правильно оценить порядок коэффициентов в правых частях,
этих уравнений, надо иметь в виду, что ^ есть величина первого
порядка. В самом деле, для невозмущенного движения
1
поэтому Рі порядка yj •
Таким образом, коэффициенты тригонометрических членов в
уравнениях (32), (33) даны с точностью до членов второго порядка
включительно, за исключением членов с критическими аргументами,
коэффициенты которых найдены с большей точностью. В постоянном члене
уравнения (32) сохранены величины четвертого порядка, которые нам
понадобятся в дальнейшем.
§ 123. Второе приближение.
Интегрирование уравнений, выведенных в предыдущем параграфе,,,
выполним способом неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим сначала уравнение (33). Так как
~ + So = TO-?2)sin(ir»-e),
то, полагая в этом уравнении s — s0-\-$st мы можем взять
os = A sin(Xu — gv -f- ?)>
где А — неопределенный коэффициент.
Делая подстановку и приравнивая коэффициенты при обоих синусах,,
получим два уравнения для определения g к А, из которых следует:
^ = 1 + 1-^(1 + 2^-1?з + -|^)
А = - ^Т
2 1-(2-2(х — gy
В последнем равенстве мы можем взять
поэтому окончательно будем иметь, как результат второго приближения,
8s =-| f*T sin (Ь — gv + b) (34)

386 XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Обратимся теперь к уравнению (32). Подстановка в правую часть
этого уравнения только-что найденного значения Bs дает член третьего
порядка, который мы отбросим, так как коэффициент у у в аргументе
этого члена отличается от единицы на значительную величину.
Так как
-f(<r-^3)(l — C2)cos(o>—тг) — j42(\—Agr)cos(2gv — 2?) + - . . ,
то положим
Ьи = В0 cos У-v -f- Вх cos (Iv — cd -f тс) -f- B2 cos (2gv — 2?).
Таким образом, для определения введенных ранее постоянных а, с
и коэффициентов В0і Ви В2 получим следующие уравнения:
.1{1_(2_2,_с)г]_^5±4,_0
52{1__45-з]+^.(4^-1)-|?- = 0.
Из первого уравнения имеем
откуда ясно, что а отличается от ах на величину второго порядка.
Второе уравнение позволяет найти с. Легко видеть, что
'-і-т'і«20-т"+!-*'*)+- • • (37)
Остальные уравнения дают:
я ^ я 15 ^
• Ді 8 р^і
или, отбрасывая величины третьего и высших порядков:

и = а~г
^ § 124. Зависимость между долготой, и временем 337
Итак, в результате второго приближения мы имеем с точностью
до членов второго порядка следующие уравнения орбиты:
*+** + j42 + ecos(cv — *) — -L Т2 cos (2йЧ, _ 2?) +
15 1
+ ^2 cos Ху + —- рг cos (Ху — cv + it) (38)
3
5 = т sin (^у — ?) + g- р-т sin (kv — gv-\~ ?). (39)
Стоящая здесь величина а выражается через среднее Движение
Луны п при помощи равенств (36) и (30).
Примечание. Ради большей простоты выкладок мы ограничились
при вычислении и лишь членами второго порядка. Однако, сообразно
сказанному в § 121, в дальнейшем нам понадобятся также и некоторые
члены третьего порядка, а именно те, аргументы которых имеют малый
коэффициент при v.
Дополнительное вычисление этих членов не представляет
затруднений, поэтому ограничимся лишь указанием результата:
аи=1+*г+ — у2 -|- <? cos (су — тс) — j-fcos(2gv — 2?) +
15
+>2 cos Xv + •$• ре cos (Ху — cv + к) +
+ jgl**cos(X» —2a> + 2ic)+ jg*iT2cos(Xt> — 2^у + 2?) —
— |^Vcos(cy> — 0+. . . (38bis)
§ 124. Зависимость между долготой и временем во втором
приближении.
. Обратимся теперь к интегрированию уравнения (3), а именно:
1
dt ,_! _2
-г- =h и
аи
Во втором приближении мы должны взять для и выражение (38bis).
Прежде всего находим, учитывая значение Л, даваемое
формулой (30):
/rV~2 = -jL Гі -2*cos(o> —ти)+ J<?2Cos(2o,_2tc) +
v «1L z
1 ~" 15
+ у Т2 cos (2^ — 2?) — 2р.2 cos Ху — -j- ре cos (Ху — су + %) —
-|к2 cos (Ху - 2а> + 2тг) — |- ід-т2 cos (\v — 2gv + 26) +
+ 3p.a*'cos(<:/itf> — «0+ - - •
(40)
Из членов третьего порядка мы сохранили только те, в аргументах
которых коэффициент v — малая величина.
Куре Небесной механики 22

338 XVII. Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
Полезно отметить, что непериодическая часть этого выражения
должна точно равняться ~=, потому что она должна приводиться'
V ах
к Д2 =aj2 в случае невозмущенного движения.
С другой стороны, при выводе уравнения (26) мы уже имели
равенство
и" I ^f *
Следовательно
а
= — ЪтИі-г fl^s\n2(v — v/)dv.
[,+a-^»*]-T-,+^.^^ta!1(.-o*+
так как
Но
?=1+* + ?+л - -
(flV)^=l + -|tf/2 + 3^cos(c>y — т!) +-1^2cos(2cYv — 2*')+ . . .
(да)-4==1+в2—f—4*cos(a>~iz)-\~fcos(2gv—26)-f 5e2cos(2cu—2*)-f . . .
«in 2 (у — о7) = sin Xv — 2pe sin (kv — сг> -[- ir) -j— . . ,
Поэтому, замечая, что ax отличается от а на величину второго
порядка, а рі от |х2 на величину четвертого порядка, и сохраняя среди
членов третьего и четвертого порядка лишь те, которые имеют в
аргументе очень малый коэффициент у у, окончательно получим:
і
Гі -f 2Л"2 Cu'^dul 2 =1- — t*acos>^+ j-\&cospa> — 2с» + 2*)4~
¦+|"H-T2cos(Ay —2^+26)+. . . (40')
- Перемножив этот ряд с указанным выше выражением для-й"1^-2,
окончательно, для определения времени в функции долготы, будем иметь
такое уравнение:
dt _ &
1 ж ^ _ И
з
1 — 2е cos (cv — к) -f- у ^2 cos (2су — 2гс) -f
+ J Т2 cos (2gv — 26) ——[J.2 cos Ь —
15
— p.fcos(X» — cy-f^) + 3^Vcos(cVy — 0 + - • •
<41>
Весьма важно отметить, что непериодическая часть стоящего справа
выражения равняется, если воспользоваться соотношением (36) и
ограничиться членами второй степени относительно у>:
*r.I*(i+f>+!y*+...).

§ 124. Зависимость между долготой и временем 339
Действительно, при умножении членов ряда (40), в аргументы
которых не входит )ч, на члены ряда (4<У) не могут получиться
непериодические выражения, так как аргументы всех членов в (40') содержат Ху
и это Ху не может пропасть при указанном перемножении.
С другой стороны, члены ряда (40), аргументы которых
заключают Хи, имеют множителем j*» тогда как все члены ряда (4(У), за
исключением двух (третьего и четвертого), умножены на р.2.
Поэтому мы можем написать:
dv
•L/ 3 \
а\ * (1 + Р"2 + -д" Р2*'2 + • - ' ] + пеРи°Д* члены.
Рассмотрим прежде всего непериодическую часть этого выражения,
а изучение периодических членов отложим до § 126.
Так как эксцентриситет земной орбиты ef меняется с течением
времени, то, обозначая через e'Q значение ef для какой-либо определенной
эпохи / = 0 и отделяя постоянную часть от переменной, можем написать:,
-e1fA + li.;+|.pi;e?+. . Л+|в1т ^-<?) +период, члены.
,% Интегрируя и замечая, что коэффициент при v мы условились обо-
—і
значать через п , будем иметь:
*
v 3 JL С
t = ho"^2^ / {е'г—^q2) Л* + const-f-пер иод. члены,
где
^¦ = ^(1 + ^+1^^+. . .)¦
Таким образом, ограничиваясь членами второй степени
относительно р:
, t
і;=.л0*+е0 — — р* і (е/2 —^2)л0Л+пеРи°Д' члены. (42)
о
Периодические неравенства ег дадут только периодические члены,
поэтому мы их здесь можем не рассматривать и ограничиться только
вековыми возмущениями. Вследствие вековых возмущений
эксцентриситет е' в настоящее время убывает, причем закон этого убывания хорошо
выражается, в течение ближайших к нам столетий, следующей
формулой (§ 100):
*' = <>— аТ—о!Т\
где
<?; = 0.016751 04, а = 0.00004180, а' = 0.000000126,
а через Т обозначено время, считаемое в юлианских столетиях от
среднего Гриничскрго полдня 0.января 1900 г.
Подставив это значение е' в равенство (42) и пренебрегая членами,
умноженными на а2 и а', окончательно будем иметь такое выражение для
долготы Луны:
v ==л0/+е-}-о72 + период, члены,
22*

340 XVII. Основы теории движения Луни. Теория Лапласа
где
в = -|іОО^<ап0 = -|іОО[і^«л', (43)
если через лил' обозначим годичные средние движения Луны и Солнца.
Так как
п = 17325 594''06085, п' = 1 295 977"41516
а =" = 0.074801 326. . . ,
то - „
а =10.3.
Итак, среднее годичное движение Луны п возрастает каждые сто
лет на 2з^20".
Коэффициент о носит название векового ускорения
среднего движения Луны.
Наиболее точным в настоящее время значением о надо считать
следующее:
а = 6.02=ь0-002,
данное Брауном (§ 117).
Примечание. Развитое нами второе приближение позволяет
установить наличие вековых ускорений в движениях перигея и узла.
Действительно, равенство (38) показывает, что мгновенная долгота
перигея равна
П = У — (CV — 7с)= TC-f-(l — C)V,
где с определяется формулой (37).
Поэтому мгновенная скорость движения перигея такова:
dv 4 ^ \ 2 ^ 2 ° у 8 *^ °)?
Интегрируя, получим долготу перигея для произвольного момента
времени
Таким образом, после выражения долготы через время мы будем
иметь здесь член,*пропорциональный квадрату времени.
Аналогичное рассуждение, примененное к равенствам (39) и (35),
показывает, что долгота узла выражается формулой
По вычислениям Брауна, вековые изменения движения перигея
и узла равны соответственно
— 38?2±0?1 и.+бТ36±0Т02.
§ 125. Вековое ускорение среднего движения Луны.
Остановимся подробнее на вопросе о вековом ускорении среднего
движения Луны, так как эволюция этого ,вопроса является одним из
очень интересных эпизодов в истории Небесной механики.

§ 125. Вековое ускорение среднего движения Луны 341
Вековое ускорение было открыто Галлеем (1693) при попытке
использовать для определения среднего движения Луны, т. е. величины п,
с одной стороны, наблюдения затмений, приведенные в Альмагесте, с
другой— наблюдения затмений, сделанные арабскими астрономами в конце
IX века, и, наконец, современные наблюдения Луны. Зная, таким образом,
долготы Луны vu v2> v3f соответствующие трем эпохам tu іъ tz {tx < /2 < tz),
Галлей мог написать три равенства:
» = л'і + в + Рі> *>2=л/2-]-е + р2, »з=лЫ-б + р8, (44)
где через ри р2> рз обозначены суммы периодических членов. Отсюда
получаются два значения
п — vi~ Vl~ Р2 + Р1 п = "г — V2 — Ря + Рг
t2 — /j /3 —. /2
которые должны были бы быть равны в пределах точности наблюдений.
Галлей однако установил, что второе значение п несомненно больше
первого, иначе говоря, что среднее движение Луны с течением времени
увеличивается.
Заменив равенства (44) такими:
1 '' = л''+е + 0(іш), + |)" ('-*=!, 2,3)
мы получим возможность определить из этих трех уравнений не только
е и л, но и ускорение <*.
Первые надежные числовые определения с были сделаны значительно
позднее, благодаря тем трудностям, которые встречаются при
употреблении древних наблюдений. Dunthome в 1742 г. получил <з = 10". Tobias
Mayer в первом издании своих таблиц движения Луны (1752) принял
а== б'7; во втором издании (1770) он взял о = Э'О. Наконец, Лаланд
дал (1757) а = 9^886.
Точное определение а из наблюдений и в настоящее время
представляет большие трудности. Ганзен, который несколько раз возвращался
к этому вопросу, давал последовательно значения 11-93, 11-47, 12.18
и, наконец, 12?56. Наилучшим можно считать значение а = 8", полученное
Ньюкомом (1909), или значение 10''3, к которому пришел (1915) Фоте-
рингэм (Fotheringham).
Теоретическое объяснение векового ускорения Луны было одной из
самых актуальных проблем 'астрономии XVIII века, так как
космогонические следствия, которые влекло наличие такого ускорения, огромны.
Действительно, при наличии ускорения среднего движения расстояние
между Землей и Луной должно убывать, и, как ни медленно это убывание
(около 3 см в год), все же через определенный интервал времени Луна
должна упасть на Землю.
После ряда безрезультатных попыток найти объяснение векового
ускорения Лагранж стал склоняться к мысли, что оно нереально и
зависит лишь от неточностей тех сведений о древних затмениях, которыми
мы располагаем. С другой стороны, Лаплас безуспешно пытался
объяснить вековое ускорение гипотезой конечной скорости распространения
тяготения.
Верный путь указал в 1783 г. Лагранж, впервые поставивший вопрос
о влиянии вековых неравенств эксцентриситета и наклонности одной
планеты на долготу другой. Однако Лагранж, убедившись в том, что это

342 XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
влияние в случае Юпитера и Сатурна ничтожно, слишком поспешно
заключил, что то же самое будет иметь место и во всех остальных случаях.
Несколько позднее Лаплас, занимаясь теорией спутников Юпитера,
открыл, что вековое изменение эксцентриситета орбиты Юпитера
вызывает ускорение средних движений спутников. Он поспешил перенести
этот результат в теорию движения Луны и таким образом получил,
наконец (1787), разгадку векового ускорения движения Луны. В то же время
он открыл, что вековое изменение эксцентриситета земной орбиты
производит вековые неравенства также в движении перигея и в движении узла.
Таким образом было получено не только новое, блестящее под-
тверждение универсальности закона всемирного тяготения, но и новая
гарантия устойчивости солнечной системы. В самом деле, теория вековых
возмущений показывает, что эксцентриситет земной орбиты меняется
периодически, так что и изменение среднего движения Луны является
также периодическим. В настоящее время эксцентриситет убывает и
потому среднее движение ускоряется. Так будет продолжаться примерно
24000 лет, после чего эксцентриситет начнет возрастать, а среднее
движение Луны замедляться.
В своем знаменитом „Изложении системы мира" Лаплас замечает,
что без всяких вычислений, при помощи элементарных геометрических
соображений, можно видеть, что уменьшение эксцентриситета земной
орбиты должно вызывать ускорение движения Луны, так что надо было бы
только удивляться, что причина этого явления так долго ускользала от
внимания геометров, „если бы не было известно, что самые простые идеи
почти всегда приходят людям в голову последними".
Для вековых изменений движения апогея и узла Лаплас провел
дальнейшие приближения и, учитывая возмущения второго порядка, получил
значения, существенно отличающиеся от найденных в первом
приближении. Что касается до векового ускорения среднего движения, то первое
приближение, выражаемое формулой (43), дало Лапласу а = 10-18 в
достаточно полном согласии с величиной, полученной из наблюдений.
Обманутый этим согласием между теорией и наблюдениями, Лаплас без
всяких дальнейших исследований ограничился утверждением, что здесь
уже первое приближение дает достаточную точность. Однако это не так.
Первая попытка уточнить теоретическое' значение о> найденное
Лапласом, была сделана почти одновременно Плана и Дамуазо, которые дали
соответственно -о = 10"58 и в = 10*72, т. е. подтвердили в сущности
результат Лапласа. Но при этом ими была допущена, как показал
Адаме (1853), принципиальная ошибка: они интегрировали
дифференциальные уравнения при постоянном е' и затем уже подставляли
выражение tf через время; между тем поступать таким образом можно только
в первом приближении.
Адаме показал, что при правильном интегрировании уравнений во
3
втором приближении коэффициент -^ р2 в выражении ускорения
t
о
даваемом формулой (42), должен быть заменен таким:
1 о 3771^ 4 34047 5
2 ^ 64 ^ 64 ** *

§ 126. Периодические неравенства долготы 343
Этот результат был подтвержден Делоне, давшим весьма полное
выражение векового ускорения.* Метод Делоне был существенно упрощен
Ньюкомом и Брауном, давшими значение
'' о = б"02 ±0T02f
которое может, считаться окончательным. Указанные пределы =?0"02
получены путем учета влияния возможных неточностей различных
величин, от которых зависит о.
Итак, в настоящее время между теоретическим значением ускорения
6 Го и значением 8", получаемым из наблюдений, остается необъяснен-
ная разница в 2". Все попытки уничтожить эту разницу путем уточнения
теоретической величины о не дали никаких результатов. Наиболее
распространенным является мнение, что эта разница зависит от замедления
вращения Земли вследствие, приливного трения. Укорочение суток, нужное
для устранения указанной невязки, слишком мало для того, чтобы его
влияние уже в настоящее время сказалось достаточно определенно на
наблюдаемом движении других светил. Во всяком случае теоретический расчет
влияния приливного трения, сделанный Джеффрисом (Н. Jeffreys),
соответствует кажущемуся ускорению среднего движения Луны порядка 2".
§ 126. Периодические неравенства долготы.
Вернемся к интегрированию уравнения (41), причем на этот раз
сосредоточим свое внимание на периодических членах.
Принимая во внимание равенство (42), получим:
3
л0/+ е + °Т2 = v — 2e sin (си — тс) + х *2 sin (2cv — 2-я) +
-j- -j- т2 sin (2gv — 2?) — — p.2 sin lv —
15
—-j V-c sin (Xy — cv -j- те) -f- 3 y>er sin (c'pv — *') 4" • •¦ ,.
Теперь напомним, что мы условились (§ 120) в аргументах вместо
уьу-{-е' — Р*е писать р.0. Поэтому, делая е'— ^s = |3 и выбирая начало счета
времени так, чтобы было s = 0, окончательно будем иметь такое равенство:
3
nt = v — 2е sin (cv — те) -f- j- е2 sin (2cv — 2ъ) -|-
+ 4 ?2 sin (2gv - 2?) — ^ Н-2 sin (kv — 20) —
15
— -j-jjti?sin(Xy — cv — 2Р + те) -}- 3fx^ sin (с'н^ + Р— те0 + • • • »
где
или
л/=я0/ + а7"2»
л = /70-|-10~4о/.
1 Comptes rendus.de l'Academie des Sciences de Paris, 65 (1869), 72 (1871).

344 XVII. Основы теории движения Луны, Теория Лапласа
Решим это уравнение относительно v. Для этого составляем
следующие последовательные приближения:
у = nt
v = nt-\- 2e sin (cnt— тс)
v = nt + 2е sin [cnt—тс -J- 2ec sin (cnt — тс)] —
— -|- *2 sin (2c/z/—2ru) — ™ T2 sin (2*7*— 2?) +
-f jH*sin(kif —2p) + jpesin [(X —с)л/-2р + «] -
— 3(*^ sin (^л/+ ? — «')+- . .
Откуда, принимая во внимание, что \м = п'9 1п = 2п— 2л',
5
z> = /z/+2?sin (ел/—^) + 77^ sin (2сл/—2тс) —
,-^fsm{2gnt-2b) + ^v*s\ri[2(n-n')t-2$\+ (45)
+ j^sin [(2л— 2n'-cri)t — 2(3 + *] — Зр*'sin (cV/+P — «О + • • .
Таково окончательное выражение долготы Луны с точностью до
членов второго порядка включительно. Рассмотрим это выражение
подробнее-
Пусть
М=Ш — тс = nt — П,
і П = іс.+ (1 — c)nt;
М есть средняя аномалия Луны, считаемая от перигея, имеющего
долготу П.
Поэтому ' первые два периодические члена выражения (45) дают
начало разложения в ряд уравнения центра (§ 82), а выражение
с;
a> = fl/-f-2esin М-\-~ г* si.n2yW+ • • .
»
есть не что иное, как долгота в орбите. Эти два члена дают
эллиптические неравенства движения Луны.
Следующий член
- —^ sin (2gnt— 26) = — i-T2 sin 2 (и> — Q),
где
Q = e + (l-*)irf,
дает приведение к эклиптике (§ 85), вычисленное с точностью
до вторых степеней малых величин т и с*
Член
уИ28іп[2(л-д')'-2й,

§ 127, Выражение радиуса-вектора и широты в функции времени 345
. 360°
имеющий период, равный ^ тл> что составляет половину синодиче-
ского месяца (14^.765), дает вариацию.
Член
15
— }хе sin [(2л — 2л' — en) t — 2j3 -f тг]
дает эвекцлю. Период этого неравенства равен
360°
л(2 — 2[х — су
иначе говоря, звездному месяцу (27*. 32166 . . • ), деленному на
2_2Р-с=1-2^+|-^+. . .,
т. е. приблизительно 32*.
. Наконец, последний член выражения (45) дает годичное
неравенство. *
Если бы в § 122, при развертывании уравнения (26), мы удержали
в силовой функции U, определяемой равенством (7), еще член
тгіи^
8и3
- [3 (1 - 4s2) cos (v — и') -f 5 cos 3 (v — vf)],
то это дало бы в долготе еще одно неравенство, главная часть которого
равна (см. стр. 330)
15 а Т— L • 15 о T—L . г/ п# „ .
-^^-rT^zsm(v-v)^--^^1^^sm[(n-^)t^)+, * •
'Это неравенство, носящее название параллактического,
позволяет, как уже было отмечено, определять из наблюдений отношение —>.
§ 127. Выражение радиуса-вектора и широты в функции времени.
Чтобы получить выражение радиуса-вектора в" функции времени»
нужно значение долготы, даваемое формулой (45^, подставить в
равенство (38). Так как
г cos (су — *)==<? cos [cnt—п-\-2сс sin (cnt—я)] =
— ecos(cnt— и) — ег-\-е2 cos(2cnt—2*)+* . .,
то это даст, в преде'лах принятой точности,
аи = 1 + -j f + * cos {cnt— «)+**cos2(cnt—тс)— -
— 1 f* cos 2 (г-л, - ?) + р2 cos [2 (л — л') ?—2fl + (46>
+ ^К cos [(2л — 2л' — cn)t— 2p + *] + . • •
О

346 XVII. Основы теории движения Лупы. Теория Лапласа ^
Точно так же из равенства (39), замечая, что
7 sin (gv — ?) = у sin [gnt—b-\-2ge sin {cnt — ъ)] =
= 7 sin (gnt—b)-\-te sin [(c + g)nt—тг — ?] +
-|lT<?sin[(c — g)nt—ic + 0]+ . . .,
получим: r, , .
$ = T sin (gnt— b)-\--ies\n[(g + c)ent—к — 6] -
— X^sin [(gr — c)/tf-f-rc — Ч- +
4-|"П»8іп[(2л-2л/-*й)/+в-2р]+. . . (47)
Заметим, что при дальнейших приближениях для частей с vl g,
зависящих только от р, получаются следующие значения:1
3 , 225 я 4071 А 265493 . 12 822 631
г-1-т^-1гг-1^^--2б4Г^ 24576"^-- • ••
і i 3 , 9 3 273
В заключение найдем экваториальный горизонтальный параллакс
¦Луны для момента L Обозначая этот параллакс через Р^, а через А —
экваториальный радиус Земли, имеем
sin/V «- = •¦--??--~ = Аи(\ — 1г*+- • •
с г l/l-fs2 ^ 2
•откуда, в пределах принятой нами точности:
/>? = ^ 11 -\-е cos (ел/ — тг)-j-f2 cos (2cnt— 2те) -f-
4-p-2cos [2(л —лО/ —2P1 + ^h*cos[(2/i —2л' —<:л)/—2Р + іс]4- • • ¦ )>
где через
обозначена величина параллакса, соответствующая среднему расстоянию
от Земли до Луны.
§ 128. Дальнейшее развитие теории Лапласа.
В предыдущих параграфах было полностью проделано, следуя
методу Лапласа, вычисление неравенств второго порядка. Лаплас вычислил
таким же путем все неравенства третьего порядка. Наиболее обширное
применение этого метода принадлежит Дамуазо,2 поставившему себе
задачей найти коэффициенты неравенств с точностью до 0.1 способом
неопределенных коэффициентов.
^_ S
1 Наиболее простой путь для вычисления коэффициентов этих рядов дает теория
Хилла. Ср. § 140 и § 142.
3 М. С. Т. Dam о і sea u, Memoire sur ia theorie de la Lime, Memoires pres. par divers
savants, Paris, 3-е sen 1, 1827, 313—598.
— Tables de la Lune, formees par la seule theorie de Tattraction et suivant la division
de la circonference en 360 degres, Paris 1828.

§ 128. Дальнейшее развитие теории Лапласа 347
Дамуазо полагает
u = uQ-\-ou, 5 = 7 sin (gv — ?)+о5
abu = 2 Ае* ^д'тр (—Л' cos &
л/+е = у + ^ Г(*'2 _^2) ^ _|_2О*"'тр(-уУ sin0, (48)
где
& = а (су — те) + о! {сrpv — тс') -f Р (?" — в) + * (у — W),
причем индексы а, а', р, хи v (от которых зависят коэффициенты А, В, С)
принимают целые как положительные, так и отрицательные значения.
Через и0 обозначена величина и, соответствующая эллиптическому
движению, но, в отличие от того, что мы делали в § 123, в выражении и0
берутся все члены до шестого порядка включительно.
Дамуазо считает нужным сохранить в указанных выражениях 85
коэффициентов Л, 37 — В и 85 — С. Выразив координаты Солнца v't ur через
коэффициенты С, он подставляет все эти выражения в
дифференциальные уравнения и, приравняв коэффициенты при тригонометрических
функциях, получает 209 уравнений для определения с, g, А, В и С. Два
уравнения, дающие с и g, решаются отдельно, после чего Дамуазо
решает численно все остальные уравнения, заменив предварительно с} gt ц,
е> е * Ъ 1? их значениями. Это решение, проводимое последовательными
приближениями, не представляет очень больших трудностей, несмотря
на огромное число уравнений. В заключение Дамуазо решает
уравнение (48) относительно v и дает долготу в виде явной функции времени.
Сравнение результатов Дамуазо с теорией Ганзена, развитие
которой потребовало несравненно большего количества работы, может быть
иллюстрировано следующей табличкой, дающей число коэффициентов
в разложении .долготы, разница между значениями которых у Дамуазо
и Ганзена заключена в указанных пределах:
Пределы разности
в величине коэффициента
0".00—0".2О
0.20-0.40
0.40-0.60
0.60—1.00
>1.00
Число
коэффициентов
63
32
9
4
8
Наибольшие разности 3"-33, 3"-15, Г-82, 1"-64, И.25, Г-22, 1".21,
Г'. 20 несомненно зависят прежде всего от употребления различных
постоянных; не исключена возможность и вычислительных ошибок.
Наконец, нужно отметить, что вычисления Ганзена дают некоторые
коэффициенты с ошибками в несколько десятых секунды.
Таким образом, метод Лапласа позволяет сравнительно просто
получить численные величины возмущений движения Луны со значительной
точностью. Однако он обладает и существенными недостатками, которые
практически закрывают возможность построения при помощи этого мет

348 XVIL Основы теории движения Луны. Теория Лапласа
тода полной теории движения Луны, удовлетворяющей современным
требованиям точности. Отметим следующее.
L Для получения долготы с определенной точностью надо
вычислить и со значительно большей точностью. Например, для получения
членов второго порядка в разложении v нам пришлось вычислить
(§ 123) часть членов третьего порядка в разложении и. При переходе
к высшим порядкам это обстоятельство очень сильно увеличивает
работу.
2. Решение системы уравнений, определяющей неизвестные
коэффициенты, быстро усложняется по мере возрастания числа неизвестных.
3. Добавление новых членов весьма затруднительно.
Одновременно с Дамуазо, давшим численное развитие метода
Лапласа, Плана и Карлини (Carlini) дали развитие этого метода в чисто
алгебраической форме (1820), В 1832 г. Плана в трех огромных томах изложил
полученные им результаты. Он дает все коэффициенты в форме рядов,
расположенных по степеням р., е, ё', ?, aja's причем, как правило, доходит
до 5-х степеней, но в некоторых случаях дает члены до 8-й степени
включительно.- Несмотря на это, им не вполне достигнута та точность,
которую получил Дамуазо в своей численной теории с несравненно
меньшей затратой труда, что объясняется медленностью сходимости
рядов, расположенных по степеням ц. Лаплас, заметивший это
обстоятельство с самого начала, предпочел развивать свою теорию в
полуалгебраической, получисленной форме: он сразу подставляет вместо у его
.численную величину, но оставляет параметры еу е\ y> a/a' в
буквенном виде.
В § 119 было отмечено, что Лаплас взял за первое приближение
орбиту, получающуюся из эллиптической заменой v через си в выражении
радиуса-вектора и через gv — в выражении широты. Вместо такой в
достаточной степени произвольной попытки получить промежуточную
орбиту Луны можно, как указал Гюльден (1885), сохранить, уже в
первом приближении, в дифференциальных уравнениях (1), (2) некоторые
члены, дающие возмущения. Таким путем легко получается
промежуточная орбита, более точная, чем взятая Лапласом. Эта идея была
усовершенствована Тиссераном и Андуайе.х
Хилл 2 предложил в пертурбационной функции, дающей возмущения,
производимые Солнцем, выделить член, пропорциональный квадрату
радиуса-вектора, и член, пропорциональный» квадрату расстояния Луны от
плоскости эклиптики, т. е. положить
*
где через I? обозначена остающаяся часть пертурбационной функции.
Первый из выделенных членов дает силу, пропорциональную г, а
потому поворачивающую линию апсид; вто'рой член дает силу,
производящую движение узлов.
Для первого приближения возьмем, отбрасывая R' и выражая
остальные члены через и и s:
U=u(l+s)~I + Lau-2 + j(a+b)s2u-2.
1F. Tisserand, Traite de Mecanique Celeste, 3, 118—140.
3 G. W. Hill, On Intermediary Orbits in the Lunar Theory, Astr. Journal, 18, 1897,81—87
(Works, 4, 1907. 136-149).

§ 128. Дальнейшее развитие теории Лапласа 349
Подставляя это выражение в уравнения (1) н (2), получим:
сРи . , <* 3
_ + w+aZ/-s_T(1+s2)-==o
где
a = ah-2y р= —Ыг~\ т = Л"2.
Первое из этих уравнений, Определяющих искомую промежуточную
орбиту, может быть проинтегрировано в конечном виде при помощи
эллиптических функций, если $ = 0, после чего полное решение системы
легко находится последовательными приближениями, если
воспользоваться малостью s. *
1 По вопросу о применении промежуточных орбит в теории движения Луны можно
еще отметить следующие работы:
А. М. Жданов. Теория промежуточных орбит и приложение ее к исследованию
движения Луны, СПб 1888.
А. В. Краснов, Теория солнечных неравенств в движении Луны, Казань 1894.
A. W. К г а а s п о w. Zur Theorie der intermediaren Batmen des Mondes, Astr. Nachr.,
146, 1898.

ГЛАВА XVIII.
ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ, ОСНОВАННАЯ НА РАБОТАХ ХИЛЛА.
§ 129. Введение.
Хиллом и Адамсом были даны методы, позволяющие сравнительна
просто находить главнейшие неравенства движения Луны с
неограниченной, практически, точностью. Эти весьма эффективные методы,
непосредственно примыкающие, как уже было отмечено в § 117, к идеям
Эйлера, позволили Брауну построить наиболее полную теорию движения
Луны.
Одной из характерных особенностей работ Хилла по теории
движения Луны является употребление прямоугольных координат вместо
полярных. Хилл отмечает, что в случае применения прямоугольных
координат дифференциальные уравнения движения имеют более простую,
чисто алгебраическую форму, тогда как употребление долготы и широты
вводит в уравнения тригонометрические функции. С другой стороны,
в случае невозмущенного эллиптического движения прямоугольные
координаты (§ 85) сравнительно просто могут быть выражены в виде явных
функций времени, тогда как соответствующее выражение истинной
аномалии (§ 82), а следовательно и долготы, несравненно сложнее. Можно
думать, что и для возмущенного движения явные выражения
прямоугольных координат будут иметь более простую структуру, чем
соответствующие выражения полярных координат^
Сравнивая метод интегрирования уравнений движения в
прямоугольных координатах с методом вариации элементов и с методом Делоне,
Хилл и здесь усматривает превосходство первого метода. Действительно,
если мы желаем вычислить возмущения с очень большой точностью, то-
необходимо прибегнуть к способу неопределенных коэффициентов, чтобы
получить закон составления последовательных членов. Но этот способ-
одинаково удобно применяется к дифференциальному уравнению любого
порядка, тогда как увеличение числа неизвестных и числа уравнений
сопровождается значительным увеличением работы.
На основании всех этих соображений Хилл считает целесообразным
выполнить интегрирование уравнений движения Луны в прямоугольных
координатах. Когда прямоугольные координаты найдены, вычисление
соответствующих полярных координат не представляет никаких трудностей.
Уже Эйлер, во втором мемуаре, пользовался эклиптической
прямоугольной координатной системой, вращающейся со скоростью, равной
средней скорости Луны. Хилл пользуется аналогичной системой, но
вращающейся со скоростью, равной средней скорости Солнца.
Адаме и вслед за ним Хилл- систематически проводили идею Эйлера
отдельного определения неравенств различной степени относительно
параметров. Так, например, Хилл вычисляет сначала часть движения пе-

§ ISO. Уравнения движения 351
ригея, не зависящую от эксцентриситета солнечной орбиты; затем ту
часть, ^которая пропорциональна первой степени эксцентриситета, и т. д.
Эту идею Хилл распространяет и на первое приближение: вместо
того, чтобы исходить из эллиптической орбиты, получающейся в
предположении, что масса Солнца тт равна нулю, он полагает в первом
приближении, что параллакс Солнца равен нулю. Это приводит к
рассмотрению своеобразного вырождения проблемы трех тел, когда одно тело
уходит в бесконечность, но продолжает влиять на движение двух других.
Таким образом получается вариационная орбита, заключающая все
неравенства, зависящие от углового расстояния Луны и Солнца и
служащая исходной промежуточной орбитой.
Можно обратить внимание еще на одну особенность работ Хилла.
В. то время как все его предшественники за один из параметров, по
степеням которых разлагаются возмущения, принимали отношение
гі
средних сидерических движений Солнца и Луны, Хилл предпочитает раз-*
лагать возмущения по степеням отношения
л'
тп = —
п — гіу
так как в этом случае ряды сходятся много быстрее.
§ 130. Уравнения движения.
Возьмем прямоугольную геоцентрическую систему координат, у кото--
рой плоскость ху совпадает с плоскостью эклиптики и которая
вращается вокруг оси z с постоянной угловой скоростью, равной л'.
Уравнения движения Луны в этой системе координат напишутся,
очевидно, следующим образом (ср. § 38):
Рх , dy
dP dt
ut^ dt
d*z
dP
6V
дх
dy
dV
~dz>
(I)
где через V обозначена функция сил, равная, на основании § 4, такому
выражению:
Здесь Т, L и пі обозначают, как и раньше, массы Земли, Луны
й Солнца; через гиг' обозначены геоцентрические расстояния Лунь}
и Солнца, а через А — расстояние между ними.
Разложение в ряд двух последних членов дает, как мы уже видели
(§ 120, примечание II):
л=2 V V

352 XVIII. Теория движения Луны, основная на работах Хилла
где через гх обозначено расстояние Солнца от центра инерции Земли
и Луны, а через Нх угол между радиусами-векторами гиг,.
Движение Солнца относительно центра инерции системы Земля —
Луна мы можем считать строго эллиптическим (§ 120, примечание I),
поэтому, обозначая через d большую полуось орбиты Солнца, мы будем иметь
соотношение
(Т-\-Ь-\-тч можно заменить через mF).
Следовательно, учитывая, что х2=1:
*^+-"(Ж«"«-4
+ • - • (2)
Все ненаписанные нами члены имеют множителем
П \гі) гг
и потому обратятся в нуль, если ант' увеличивать до бесконечности,
сохраняя^конечным отношение
Отсюда ясно, что для получения неравенств Луны, независящих от
параллакса Солнца, в уравнениях (1) надо взять вместо V функцию
Уі = *а^і^+-5-л'* (-^Тр^созз^-^]. (3)
Хилл определяет, в первую очередь, нер&венства, которые не зависят
не только от параллакса Солнца, но и от эксцентриситета солнечной
орбиты. Если ее = 0і то Солнце будет двигаться равномерно с угловой
скоростью п\ поэтому мы можем ось х направить так, чтобы она всегда
проходила через Солнце. В таком случае будем иметь
xr = af у' = 0, ^ = 0,
и потому
гх = а1, г cos Нх = ' ¦ ^ ' ¦ = х.
Итак, в этом случае за функцию сил надо взять
V2 = k^—+y»'»(3*-r»).
Введем, наконец, параметр т, определяемый равенством
п%
т = ?,
п — п
где п — среднее сидерическое движение Луны, и напишем функцию У2
в следующей окончательной форме:
V%=#l^A — ^ift{x!* + v*)+ jm*(n-ny(bx* — z*). (4)

§ 131. Преобразование Хилла
353
Положим, далее,
где, как легко видеть,
V^V^ + Q,
Q = 1 тг(p-n'f Гз~ г* cos* //, — Зх2 + Г2 Л_*±
Уравнения (1) для функции сил V = Vt напишутся так:
d2x _ ,dv . ... Г хдг
5)
5~2л'| = (Л-Л')г [-уз + 3т2л +
Л
tf/2
[n-nj^
У1.
Г*
+
ду
]
где
(л — л')2 '
Полагая т = (л— л')/, окончательно получим следующие уравнения
движения:
d2x _ tfy . х*
d*y
dt2
d*z
dv*
to
dx
3/л2* =
+*"?+?
d2
*y
1 r3 ' dz
(6)
соответствующие случаю, когда параллакс Солнца принимается равным
нулю. Если эксцентриситет солнечной орбиты также равен нулю, то 2 = 0.
Так как
л =
27.32166 .
л'==
365.24220 . . .
и время / выражено в сутках, то т можно определить как время,
выраженное в таких единицах, что синодическое обращение Луны становится
равным 2*.
Луна находится в сизигиях для ъ = 0, тг, Зтс, . . . , в квадратурах — для
те 3tr
Т==У> У' ' • *
§ 131. Преобразование Хилла.
Для того чтобы облегчить применение к уравнениям (6) способа
неопределенных коэффициентов, Хилл вводит новые переменные. Положим
и = х-\-уі9 s = х—уі,
тогда первые два из уравнений (6) могут быть заменены такими:
d2u . ft .rftt . ум 3 ,, , ч о02 1
tfx* ' Л J г3 2 v ' J ds
d*s n .ds . x5 3 0/ . x »^2
Л* tfx ' г3 2 v ' ' ди ,
(7)
Курс Небеоной механики
23

354 XVHL Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Введем, далее, новую независимую переменную С при помощи
равенства
С=ехр(т/).
Так как
то, пользуясь оператором
приведем уравнения движения к такому виду:
D*u + 2mDu + ±m*(u + s)~?=-2^s- \
D2S _ 2mDs +!¦«» (* + *)- ув = -2^
Z)2z — m2z — — = — 1 —,
где r2 = us-\-z2.
В дальнейшем нам, кроме этих уравнений, понадобится еще одна
соотношение, аналогичное интегралу живых сил. Для вывода этого соот-
/г\ о<?* л&У c%dz
ношения умножим равенства (6) соответственно на 2^-, 2^-, 2—,
сложим и проинтегрируем полученный результат. Это даст
о
где положено
слева стоит квадрат относительной скорости Луны, которую мы будем
обозначать через V.
Вводя сюда наши новые переменные, получим:
Du-Ds + {Dzf+~+ ^. иі2 (в + s)« —/я»г» + 2 Гd'Q^C.
(9)
О
Если Q = 0, то это соотношение дает первый интеграл, носящий
название интеграла Якоби (ср. § 38).
Уравнения (8) неудобны для применения способа неопределенных
коэффициентов благодаря наличию членов, заключающих г~3. Для
получения более удобных уравнений умножим равенства (8) на s, и, 2z и
сложим. Это даст
5 D'lu -f и D4 + 2z D*z — 2т (и Ds — s Du) -f-

§ 132. Вариационная кривая
355
—і
Исключив отсюда член, заключающий г , при помощи
соотношения (9), получим первое из двух следующих уравнений:
D*(us-\- z2) — Du-Ds — (Dz)2 — 2m (z/Ds — sDu)-f
_|- _?_ m2 (и _j_ S)2 _ 3m2Z2
r
fd'Q — 2(
dQ . dQ , dQ\ . _
ds
du
D (u Ds — s Du) — 2/77 D (us) +1- nfl (Ф — s*) = 5 ? — a dQ
dz/
ds '
^ (10)
Второе уравнение получается, если уравнения (8) умножить
соответственно на — 5, -\-и, 0 и сложить.
Обратимся теперь к тому простейшему случаю, когда движение Луны
предполагается происходящим в плоскости эклиптики и, кроме того,
эксцентриситет солнечной орбиты принимается равным нулю. В этом
случае z = 0, 2 — 0, вследствие чего уравнения (10) и (9) обращаются
в следующие:
D2 (us) — DwDs—2m (uDs — sDu) + ~ т* (ff+ s)8 =¦ С
J
D(uDs — $Du) — 2mD(us) + Ym2(u2~s2)
3 1
Du-Ds + '-r- m* (a-j-s)2-f-2x(us)~=C.
= 0.
(И)
(12)
Необходимо отметить, что уравнения (11) не вполне заменяют
первоначальные уравнения
3 3
D*u-\-2m Du+ ^ т2 (* + $) — *и (us)~T = 0
D*s — 2т Ds + тг /и2 (л + s) — xs (да) "Г = 0,
(13)
получающиеся из уравнений (8) при 2 = 0, 2 = 0; после того как будет
найдено решение уравнений (11), необходимо еще, подставив это решение
в одно из равенств (12) или (13), установить связь между постоянными
х и С.
§ 132. Вариационная кривая.
Общее решение уравнений (11) или эквивалентных им уравнений:
Фх 0 dy . ,s
—2m-f4-y.xr
ex '
А*
d2y
dx*
i о dx I
3/л2л:=:0
= 0,
(14)
получаемых из (6) при z — 0, 2 = 0, содержит четыре произвольные
постоянные.
Попробуем определить эти четыре постоянные так, чтобы
соответствующая траектория была симметрична относительно обеих осей
координат. Для этого прежде всего необходимо, поскольку траектория
предполагается без особых точек, чтобы она пересекала каждую ось под
23*

356 XV1IL Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
(15)
прямым углом. Таким образом, обозначая через А абсциссу точки
пересечения с осью х, мы должны иметь:
dx
х = А, у = 0, ^-=0 для т = р,
где р — произвольная постоянная. Присоединяя сюда равенства
выражающие тот факт, что пересечение с осью у происходит также под
прямым углом (в некоторый момент т, который мы можем исключить из
этих равенств), получим четыре условия, определяющие, вообще говоря,
решение системы (14). Это решение будет зависеть от двух
произвольных постоянных А и (3. Что оно будет симметрично относительно оси х,
видно из того, что уравнения (14) не меняются при замене р + т через
р — х, если одновременно у заменяется через —у, а х остается без
изменения. Так же убедимся в симметрии относительно оси у.
Для сокращения письма положим [3 = 0, что равносильно счету
времени т от момента пересечения с осью х. Момент первого пересечения
те ¦
с осью у примем равным — (чем определяется период рассматриваемого
решения).
Принимая все это во внимание, ,будем искать частное решение вида
х = Ах cost + 43cos Зх^-Дб cos 5т + • • \
j; = 4^sim + А'ь sin Зт 4-^5 sin 5т-f . . .}
или, переходя к переменным и, s и С:
о *•
0 '
Положим
А*+ів а (а2& + a_2k_2), A'2k+1 = a (a2jfe — a„2ft_2),
тогда
— оо — со
и задача приводится к нахождению коэффициентов а09 а2, я_2, а^ a_v . . .
Так как нами выделен общий множитель а, то мы можем считать,
например, ао^і? чем и определяется значение а.
Чтобы облегчить подстановку выражений (16) в уравнения (11),
найдем предварительно входящие в эти уравнения величины. Легко
видеть, что 4
k h
¦=a822]e»e*-a(:"'
где /—#-f~^4"l пробегает все значения от — со до -j~°°*

§ 132. Вариационная кривая
357
а Vй
ТО
Аналогично
г А / ft
Так как
A ft
* fli/-Z>s=a*22(2*-H) (2/-2*-1)вйв«_„С"
Наконец
і ft
Подставляя все эти выражения в уравнения (13) и приравнивая
л г2і
коэффициенты при С , получим следующие соотношения:
ft
2 |^4?+(2*+1)(2*-2і+ l) + 4(2#-i+l)m + i и«] а№ a2A_2f +
+ ^ 2 °2* К-2*-2 + Д-2/-2А-В) = О
4/ 5 (2* — /+1 4-л») e2ft в»_а —
} (17
ft
/Л2
2 *** K-2ft-2 — *-2/_2ft-2) = 0«
Для г = 0 второе из этих уравнений обращается в тождество,
а первое должно быть заменено таким:
2[(2* + l)2 + 4(2*+l)m + |-^]4+|"n2S^«_2ft-2=a-2C. (18)
ft L J - A
В следующем параграфе мы увидим, что коэффициенты a2k,
удовлетворяющие уравнениям (17), не только существуют, hq и могут быть
сравнительно очень просто найдены, по крайней мере для малых
значений параметра т. Так как соответствующие ряды (16) или (15) сходятся,
то тем самым доказывается существование частного решения
уравнений (14) требуемого вида.
Кривая, определяемая уравнениями (15), получила название
вариационной кривой. Покажем, что она действительно имеет связь
с неравенством движения Луны, именуемым вариацией.
Заметим прежде всего, что выражения (15) будут удовлетворять
уравнениям (14) и в том случае, если т мы заменим через т — р, где JJ —
произвольная постоянная.
Обозначим через v истинную долготу Луны в момент /. Средняя
долгота Луны для того же момента может быть представлена в виде
пі-\~г. Рассмотрим выражения
г cos (у—nt—е) и г sin (у — nt—е).

358 XVIII. Теория движения Луни, основанная на работах Хилла
Имеем
y_nf_e = 0 —л'/ — е' — (л — п')і-{-(в.' — г) =
= » —л'Г—в' —(т —р),
где через n't-{-z' обозначена средняя долгота Солнца и положено
Но, поскольку ось х проходит через среднее Солнце,
X = г cos (v — я7—е'), J> = г sin (у — л7 — е');
поэтому
г cos (у — nt — ?) == х cos (т — р) -f- у sin (х — (3)
г sin (у — nt — е) = j> cos (т — Р) — х sin (т -— р).
Таким образом, заменив в выражениях (15) т через т — (3,
окончательно получим:
rcos(ii —/rf—e)-a[l+(a2 + e_Jcos2(t —p) + (e4+Ocos4(T"P)+- • J
rsin^-л/—e) = a[ K —c_2)sin2(T —р) + (д4 —a_J sin4(x—p)+ . . .].
Эти два уравнения определяют движение Луны, соответствующее
рассматриваемому частному решению системы (14). Чтобы найти из них
долготу Луны, можно воспользоваться равенством
v — nt— s = tg(y — nt—е)—o-tg3(y — nt—e)-|- . . .
Мы скоро увидим, что коэффициенты a%k и a_2k суть величины
порядка 2k относительно т; в частности
Поэтому, ограничиваясь членами третьего порядка:
v = nt+*+(~m*+j>rn*-\- . . Лвт2(х —р)+. . .
Сравнивая это разложение с формулой (45) в § 127, мы видим, что,
действительно, сохраненные нами члены в функции сил воспроизводят
вариацию, чем и оправдывается название, данное кривой (15).
§ 133. Вычисление коэффициентов.
Обратимся теперь к решению уравнений (17). Прежде всего заметим,
что их можно' заменить несколько более простыми, если, умножив
соответственно на 2 и на 3, составить сумму и разность этих уравнений.
Получим: ,
k
2[8*2 + 8(2/+l)^-4P + 8/ + 2 + 4(4^ + ' + 2)w + 9^]a2ftaaft_w +
к
+ 9^*2*» **-**-* ==(Х" (19)

§• 133. Вычисление коэффициентов
359
Чтобы получить члены, содержащие я0а2. и aQa _2і, надо в первой
сумме каждого из этих уравнений взять члены, соответствующие
значениям ? = 0 и ? = /. Эти члены таковы:
[20/2 — 16/+2— 4(5/ — 2)да + 9/и»]<ц,а_^+
+ [— 4/2 — 8/+2 — 4(/— 2)т + 9т*]а0а2і;
[-4Р + 8/+2 + 4(і4-2)ія + 9лі*]в0в_и +
+ [20/2 + 16/ + 2 + 4(5/ + 2)/н + 9/л2]а0а2..
Сообразно с этим, умножим первое уравнение на
— 4/2 -f 8/+ 2 + 4 (/ -f 2) т + 9да3,
второе на
— 20/2+16/—2 + 4(5/— 2) от — 9/7Z2
и сложим полученные равенства; таким Образом получим уравнение, не
содержащее уже члена с произведением aQ а_2??- Полагая
Т/ *1 = * 4(/ —1)* + 4і» + 4і —2 —4(* —і + 1)д» + /и» :
1 '*j / 2(4/2-1) — 4/77 + /7Z*
[/}=-
(/) = -
3/7Z2 4/2 — 8/ — 2 — 4 (/+2) ля — 9т*
1 б/2 2 (4/2 — 1) — 4т + /7*2
3/722 20/2 —16/+2 —4(5/ —2)/77 + 9/772
16/2 2 (4/2 — 1) — 4ет + т*
¦окончательно будем иметь:
(20)
2 { 1*'> *1 a2k a2k-2i + И Д2* a2i-2h-2 + (0 ff2ft fl-2/-2A-2 } = 0"
(21)
Нетрудно видеть, что это одно уравнение вполне заменяет собой
систему (17). Действительно, уравнения (17) эквивалентны уравнениям (19),
каждое из которых является следствием другого: например, если в
первом из уравнений (19) заменим к и і через k — i и —і9 то получим второе.
Уравнениям (21) придана форма, наиболее удобная для
определения а2.у так как
[/, 0] = 0, [/, fl = -l,
а величины [/] и (/) — второго порядка относительно параметра т,
который мы продолжаем считать малой величиной.
Допустим, что a2k порядка \2k\ относительно т. В таком случае,
сумма
2 (0 «**_»_»_, (22)
к
при /> 0 будет состоять из членов, имеющих порядок по крайней мере
на 4 единицы больший, чем порядок того члена уравнения (21), .порядок
которого наименьший; Точно таким же свойством будет обладать сумма
. 2 И аы в«нм
(23)
в случае / < 0. Значение / = 0 здесь, так же как и в уравнениях (17).
рассматривать не приходится.

360 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Обратимся теперь к вычислению коэффициентов a2k в первом
приближении. Для этого напишем уравнения (21) для различных значений /,
сохраняя каждый раз лишь члены наименьшего порядка. Учитывая только-
что отмеченные свойства сумм (22) и (23), получим (в этих равенствах
мы сохраняем я0 = 1 для того, чтобы был яснее закон составления
последовательных членов):
в2=[1]*о ао
0_2 = (—1)^0^0
аА = [2] (До *2 + <*2 Оо)+ [2, 1] а2 а_2
а_4 = (—2) (а0 л2 + й% а0) + [— 2, — 1] а2 д_2
ае=[3] (я0*4 + Яа*2 + *4во)+Р> 1] а2а-*+[3,2] а^а-г
о-в = (—3)(вбв* + в*в» + в*во) + [—3, — 1]а-2а44-[—3, — 2]а_4я2
Л8= [4] (flt0 ^6 + ^2 *4 + Я4 <*2 +^б ^о) + [4, 1] <*2 Д-6 +
+ [4, 2]д4а_4+[4,3]^_.>
я _8 == (— 4) (а0 я6 -\- а2а± + а4а2 + <*б а0) + [~ 4, — 1] 0-2 я6 +
[—4, — 2] д_4 а4 + [—4, —3] л_в а2.
Решение этой системы рекуррентных уравнений не представляет
никакого затруднения, причем для агк получается величина порядка і2?|.
Чтобы получить более точные значения, нужно вычисления повторить,
сохранив на этот раз в уравнениях (21) не только члены низшего
порядка, но и следующего. В первом приближении мы получим a2k с
ошибкой порядка |2?|-j-4, во втором — с ошибкой порядка |2#|-|-8 и т. д.
Так что последовательные приближения будут сходиться, при малых
значениях т, весьма быстро.
Чтобы показать, насколько просты вычисления, приведем уравнение,
служащее для вычисления а2 с ошибкой 14-го порядка. Оно таково:
а2 = [1] (1 + 2а_2 а2 + 2а„4 аА) + (1) (а2_2 + 2о_4 + 2а2 с_6) -f-
+ [1,-2]с_4с_в + [1,-1]а_2^4+[1>2]а4^ + [1,3]аеа4.
Что касается до вычисления величин [/, ?], [і] и (/), то формулы (20)
могут быть упрощены.
В самом деле, нетрудно видеть, что
МЖ-'.-*] =
_2*
Z"1" 2(4/2
8*(* — I)
8*(/—*)
1)—.Дот + т*
1+т
2(4/2— 1) — 4т-{~т*.
(24)
Точно так же
3/+14-2W.
И + ( 0 - 2/ 2 (4/а — 1) — 4т + т*
тг
И-(-О
Т1_ 3 16/2 —3/—5-(3/-f П)ст
8/2т 2/* 2(4/2—1) —4^4-от2 т-
(24'
Эти формулы удобнее, чем (20).

§ 134. Общие выражения коэффициентов 361
В том случае, когда вариационная кривая должна быть получена
только для одного определенного значения ту проще всего находить
сразу численные значения коэффициентов. Хилл полагает
л = 17 325 594".06085, гі = 1 295 977'\41516,
что дает
т = —У—у- = 0.08084 89338 08312.
п — п
С этим значением т он заготовляет сначала при помощи только"
что указанных формул все необходимые величины [і, к], [і], (і), после
чего переходит к вычислению av а_2, . . . последовательными
приближениями. Вычисление первых двух коэффициентов имеет такой вид:
1-е прибл., член 2-го пор.+ 0.00151 58491 71593 —0.00869 58084 99634
2-е „ „ 6-го „ - 0.00000 01416 98831 +0.00000 00615 51932
3-е „ „ 10-го „ + 0.00000 00000 06801 — 0.00000 00000 13838
а2 = + 0.00151 57074 79563 а_2= -0.00869 57469 61540
Окончательные результаты Хилл дает в следующей форме:
rcos(v — nt—z) = а [I— 0.00718 00394 81977cos 2(т — р)
+ 0.00000 60424 47064 cos 4(х — р)
+ 0.00000 00324 92024 cos 6(т-р)
+ 0.00000 00001 87552 cos 8(х — р)
+ 0.00000 00000 01171 cos 10 (т — р)
+ 0.00000 00000 00008 cos ^2(т — ВД
rsin(^ — nt— 8) = а[+0.01021 14544 4U02 sin 2(t-p)
+ 0.00000 57148 66093 sin 4(x~p)
+ 0.00000 00275 71239 sin 6(x — p)
+ 0.00000 00001 62985 sin 8(x — p)
+ 0.00000 00000 01042 sinl0(x-^)
+ 0.00000 00000 00007 sinl2(T-(
Приводя этот результат в прибавлении к упомянутому выше
(стр.321) переводу Эйлеровой „Новой теории движения Луны", акад. А. Н.
Крылов замечает, что а-10~14 составляет в расстоянии от центра Земли
до центра Луны величину в 4 микрона. Эта необычайная, хотя
практически и совершенно бесполезная точность свидетельствует о
чрезвычайной мощи метода Хилла, так как метод Хилла позволяет получить
такую точность при помощи сравнительно весьма небольшой
вычислительной работы.
§ 134. Общие выражения коэффициентов.
Уравнения предыдущего параграфа могут быть использованы не
только для определения численных значений коэффициентов а^, но и ліля
получения общих выражений этих коэффициентов в функции т.
Формулы (24) и (24') показывают, что множители [/, ?\, [г], (і)
являются рациональными функциями т со знаменателями
2 (4/2 — Г) — Am + т*. (25)

362 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Отсюда легко заключить, что каждый из искомых коэффициентов
представится, в результате проведения последовательных приближений,
двойным рядом вида
— м і м* і ОЬ. і
^~ ^+6 — 4^ + 1»» "*~ (6 —4/77 + 7Л2)2 "Г" • •
і *і . Я* ¦ (26)
"*" 30 —4/л-)-яг2 "Г(30 —4/л + яг2)2 ^ ' ' •
+ ,
где каждая из величин М0, Мх, . . . , Nu . . . есть двучлен вида
Атн+Втн+1
с рациональными коэффициентами.
Написанный ряд может сходиться лишь для значений т, которые
меньше наименьшего по модулю из корней знаменателей (25), т. е. для
т <і/ б.
Разлагая каждый член ряда (26) по степеням т, Хилл получил
3 , . 1 , . 7 . . 11 , 30749 в
1010521 , 18 445 871 „ 2 114 557 853 „
2".3*.5 2і°.35.52 2'2.35.53
19 , 5 , 43 і 14 , 7381 „ .
3 574 153 . , 55 218 889 . . 13 620 153 029 „ .
2П.35.5 ' 29.36.52 ' 212.37.53
25 . , 803 , . 6109 „ . 897 599 , .
. 237 203 647 ^ 44 461 407 673
^ 015 Qi C5 V /»¦-(-...
1 216.32.5* 2і5.34.55.7
» , 23 . , 299 , . 56 339 „ .
*-*=*+ W"* +-^5TCT6 +"2іЖ5Тш' +
¦ 79 400 351 я . 8 085 846 833 ,
"г" 216.32.5* т ~^ 2Ч34.55.7 т -г- • '
833 . , 27 943 _ , 12 275 527 . .
0б = -2^СТв+ 2П.5.7 СТ7+ 2"»Л>.5>.7» Д +
, 27 409 853 579
+ 212.3*.53.73 m + ¦ • •
й
1 . , 71 ¦ 46 951 „ ,
_а= -^з-^+гТз:^ + 2«.32.52.7 СТ +
14 086 643 9 ,
"• 27.34.53.72 т ' ' * '
„ 3537m8j П1809 667 q .
23 . . 1 576 553 0 ,

§ 134. Общие выражения коэффициентов 363
Весьма трудный вопрос о сходимости полученных степенных рядов
был изучен А. М. Ляпуновым в его замечательной работе „О рядах,
предложенных Хиллом для представления движения Луны", в которой
он доказывает, что рассматриваемые ряды сходятся для т^~. Так как
для Луны т = 0.080 8. . -^То» т0 законность применения метода Хилла
в этом случае, таким образом, может считаться доказанной вполне строго.
Точная граница сходимости рядов Хилла остается неизвестной.
Если ограничиться членами второго порядка относительно т, то
поэтому уравнения (15) дают:
х = а
1 — тът icosT-j-Tc7722cos3t
w, i —-r16
j/ = a
(.1 + Tfi да2) sin-c-l-—OT2sin3x .
Принимая во внимание, что
cos 3 x = 4 cos3 x — 3 cos x = cos т (1 — 4 sin2 x)
sin 3 x = 3 sin x — 4 sin3 x = sin x (— I -|— 4 cos2 i),
уравнения вариационной кривой легко привести, в пределах принятой
точности, к такому виду:
х = a cos
хГ 1 —т*— —7772 sin2 хі
у = a sin х 1 -f- т2 + х т2 cos 2х L
Таким образом вариационная кривая, имеющая при /и = 0 форму
окружности, при возрастании т принимает форму, напоминающую эллипс
с центром в начале координат и с полуосями, отношение которых равно
(1-/722): (1+^2).
Заметим, что из двух последних равенств следует
г = а (1 — /л2 cos 2 х).
Рассмотрим, наконец, вычисление общего множителя а
выражений (16). Для „этого надо взять какое-нибудь из неоднородных
относительно и и s уравнений. Возьмем первое из уравнений (13), которое
можно написать так:
3 \ 3 й
Z)2-f 2/77/) + -^ 7772 Jtf-f-_ |И*$ = X tf («s)~ Т
или
2[(2^-Ь I)2 + 2т(2* + 1) +~m^a2k C2*+1 +

364 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
потому что
Это равенство при С=1 дает
aS[(2*+1+/")2 + 2/7j2]^ = xa"2(S^)_2> О
или, так как
х«#(Г+?) (п — riy2 = &(T+L) (1+/тг)2л-2,
то
Обозначим через с большую полуось, соответствующую среднему
движению п в невозмущенном движении. Третий закон Кеплера дает
nW=k2(T+L).
Сравнивая это равенство с предыдущим и пользуясь указанными
выше значениями коэффициентов a%k, легко найти, что
/і 1 s , 1 ^ , 407 67 . 45293 .
^а{1-^т2+ътг+шітк-ттЬ-жшт"-
8761 4967 441 14 829 273 , \
6912 7 962 624 "^39 813 120 ^ * * ' )'
Таким образом форма вариационной кривой вполне определяется
величиной т, для определения же размеров этой кривой,
характеризуемых величиной а, надо еще знать п.
В дальнейшем нам еще понадобится соотношение (*) между х и а,
которое с точностью до членов порядка тг включительно может быть
написано так:
ха"3 ==1 + 2/71+ |-^2+- . .
§ 135. Орбиты, бесконечно близкие к вариационной кривой.
В предыдущих параграфах мы подробно изучили вариационную
кривую, иначе говоря, частное решение уравнений (14), имеющее
форму (15). В какой мере это решение является частным с точки зрения
приближения к действительному движению Луны, можно судить по тому»
что при /л = 0, когда уравнения (14) обращаются в хорошо известные
уравнения проблемы двух тел и, следовательно, дают эллиптическое
движение, формулы (15) обращаются в
х = a cos т, у = a sin т,
т. е. представляют круговое движение.
Таким образом, при малых значениях т мы можем рассматривать
движение, представляемое вариационной кривой, как движение по
круговой орбите, деформированной притяжением Солнца. Поскольку
действительная орбита Луны гораздо ближе подходит к эллиптической орбите,
чем к круговой, мы не можем ограничиться изучением решения (15)
уравнений (14) и должны рассмотреть более общие решения этих, уравнений.

§ 135. Орбиты, бесконечно близкие к вариационной кривой 365
Назовем вариационной орбитой общее решение
уравнений (14), заключающее четыре произвольные постоянные.
Переходя к сложной задаче определения вариационной орбиты, начнем
с изучения частного случая, а именно с определения орбит, бесконечно
мало отличающихся от вариационной кривой, т. е. таких орбит, которые
соответствуют эллиптическим орбитам задачи двух тел, имеющим столь
малый эксцентриситет, что квадратом этого эксцентриситета можно
пренебречь.
Напишем прежде всего эти уравнения в таком виде:
(Рх
2т
где
dy_dP <Pij-_9mdx_
dx~dx' их* "*" dx
/^xr^ + y/"2*2.
dF
ду'
(27)
Обозначим через х, у координаты произвольной точки Р вариацион- '
ной кривой (15), а через х-^-Ъх, у-\-Ъу координаты соответствующей
точки Ре близкой орбиты, причем под соответствующей точкой
понимается точка, относящаяся к тому же моменту х. Приращения Ъх, by мы
рассматриваем как величины бесконечно малые, квадратами и
произведениями которых можно пренебречь.
Подставляя в уравнения (27) координаты точек Р'иРи вычитая
почленно полученные равенства, будем иметь для определения
приращений Ьх и оу следующие уравнения:
d*
dx*
<Р
tfT2
8* — 2m-rby=,-irbF
Ъу-\-2т
dx
dx
dx
ду
У
(28)
где
._ дР . . дР.
бр=— 8*4- — 8jy.
дх ' ду
Соотношение (9) дает, поскольку
в рассматриваемом случае z = 0 и
2 = 0, интеграл Якоби в таком виде:
V2
(?\'+m--v-c.
\dxj
dx
(29)
Ряс. 15.
Ограничимся рассмотрением лишь таких смежных орбит, для
которых постоянная С имеет то же значение, что и для исходной
вариационной кривой. Поступая с интегралом Якоби так же, как мы только-что
поступили с уравнениями (27), получим:
dx dbx <dy doy
dx dx ' dx dx
ЪР.
(30)
Обозначим через ЬТ и ЪМ тангенциальное и нормальное смещение
точки Рг относительно Р, а через ф — угол, образуемый касательной
к вариационной кривой с осью х (рис. 15). Очевидные равенства
Ъх = ЪТ cos & — oiVsin^ \
8j> = 87*sin<|i + 8iVcosi|> J
(31)

366 XVIIL Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
позволяют из уравнений (28) и (29) получить уравнения, определяющие
IN и ЬТ9 что мы и сделаем.
Займемся сначала преобразованием уравнения (29). Прежде всего-
имеем:
-г- = — sin &— sirnbor-r-+ cosO — cos фоіУ-і
dx ' dx ax ' J dx dx
dby . .dW , ,*-<*!> i • . dST4 . .*.,<*!>
dx
а так как
= + cos> , +cosd-87^+sin «b— sinOBiV^-
1 -1 dx 5 ат ' ax dx
Ho
вследствие чего
A <?т
dP_№dx . dFdy_ dF
dx ~ dx dx ~T~dy dx ~ Try
dV__dF
dx ~dT'
(32)
g=Kcos*, ^=Vsint, % (33)
то уравнение (30) заменится таким:
С другой стороны, из равенств (33) имеем:
* ^dxjdx' dx dx*dx dx* dx'
откуда, на основании (27),
dx { dy dx dx dx
или, снова пользуясь равенствами (32) и замечая, что
- = С08^-8шф^, -^=COS^-f Sin*-, (35)
получим окончательно
у(2+*)-я- (36)
Обратимся еще раз к интегралу Якоби (29), который дает
dV dF
Соотношение (34) напишем в таком виде:
откуда, исключая при помощи (36) и (38)' частные производные функции /v
будем иметь:
dbr dv ьт 0л*і> . \.я ,ад.

§ 135, Ороиты> безконечно близкие к вариационной кривой 367
Покончив с преобразованием интеграла Якоби и выводом
вспомогательных соотношений, обратимся теперь к уравнениям (28). Умножим их
соответственно на — sin ф и -j- cos ф и сложим. Это даст
йЧх . , . d4y ... Шу . . ,Лх ,1
"" Л» sm + + W;C0S* + 2m{lh sm ф+^«8 ф| =
= -5тф —+ cosf—=+_ (4-J)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, при помощи соотноше-.
ний (32) может быть заменено таким:
dby . . . dbx . dbT <йвд,
Л т } dx т tfx dx
Точно так же
<$х . . . doy doN , <*!„_
tfx T ' </г * dx l dx
Дифференцируя это равенство и пользуясь снова равенствами (32),.
получим
Все это позволяет представить уравнение (40) в таком виде: v
[dx* ydxj dx
Преобразуем последний член. Прежде всего имеем
M = *dN=W>m+WdT*T- <42>
Дифференцирование по т равенства
dF ,dF . . дР
дает
d dF 4ф dF . . rf ^ . , d &F
T- ГТ? — —w 3^.+ C0S fr "5 Sin фэ- *з~ =
dx dN dx dT ' Trft dj> T& dx
= -TxFr^v)^l&+W*)™
или, замечая, что на основании (35)
d*F ( d*F , dzF\ . . , , d*F , . . ....
Maz¦¦"(-s?+ 5?)cos *sm + + a^(cos *~sm3^
окончательно получим
rf- -d/»_ <ty dF a.v diT
dx dN~ dx dT^ dNdT*

368 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Этим соотношением воспользуемся для того, чтобы исключить
вторую производную функции F из равенства (42). Таким образом найдем
dbF_d2F bTfddF . dty dF\_
dN~d№' V \dt dN~*~dz dTJ~
~Ш™+ V у dx^dz \d^mp dz дТ
dF
если та. заменить его выражением (36). Наконец, при помощи равенства
(38) будем иметь
Теперь, имея такое окончательное выражение последнего члена
уравнения (41), мы можем это уравнение написать следующим образом:
d* MY о-^Ф ^Н» . оМ , -ЛЛЙ7- ^ЗП^о
'5)'-»-г-^+чй+-
[Л* \Лу A: dTV2J ' \dx l J \dx dx VJ
или, пользуясь соотношением (39),
*^+?8М-=0, • (43)
dv
где
е-»(2 + -)'+--?. <«>
Для вычисления функции ? можно воспользоваться следующими
формулами:
d$__ v-2fdty dx_d?x (fy
dx \dx* dx dx* dx
к которым надо еще присоединить соотношения (33).
После того как Ш найдено из уравнения (43), мы можем найти ЬТ
при помощи уравнения (39).
Такой способ определения бесконечно близких решений применим
ко всем уравнениям вида (27), в которых функция сил F не зависит явно
от времени. Задача приводится, как мы только-что видели, к решению
основного уравнения (43).
В интересующем нас частном случае функция сил имеет вид
где хну выражаются рядами (15).
Так как при замене х через —*с, или через х-\-п, координаты х ну
либо не меняются, либо только меняют знак, то F есть четная
периодическая функния х, имеющая периода. Легко видеть, что такими же свой-
d2F
ствами обладает вторая частная производная -^, так же как и произ-
водная -т1. Отсюда следует, что ? разлагается в ряд вида
(t х
? = <72-}-2<71 cos 2*4-2?2 cos 4х-|- . . .

§ 135. Орбиты, бесконечно близкие к вариационной кривой 369
Соответствующее уравнение (43) называется уравнением Хилла.
Можно показать, что функция ? разлагается в ряд, расположенный
по целым положительным степеням величин от, от2 С2, т2 С"2, откуда
следует, что разложение qk по степеням т начинается с члена порядка 2k,
Мы не будем останавливаться на доказательстве этого свойства
коэффициентов qk. Если произвести вычисления (для чего удобнее от
переменных х к у перейти к и и $), то получим: *
<72 = 1+2/72-~от2 + ^т* + 19^ + уОТб +
. 533 м7 , 11230225 тЯ , 1576037 wQ ,
4
2.32 ' 213.33 ' 27.3*
49359 583 1П . 720 508007 „ .
29,35 т1°+ 2з,3в.5 Ш" +
15 , 57 , 1t . 23 _ 68 803 .
Яі 2 /я 4 /л ii 2<3 29 32
1 792 417 7 7 172 183 _ 596 404 499 .
, ,, .. 777 * _ 772» ¦-.- — , . . . — ...—— /72* ——
210.33 m 27.3«.5 29.35.52
2 641291011773
217.3<*.53
л»іо +
.111 . , 1397 , , 8807 . , 319 003 ,
, 252 382 507 8
+ 2io.38.5» m -Г • • ¦
11 669 . ,
Приведем числовые значения этих коэффициентов для значения
т = 0.08084 89338 08212, взятого Хиллом. Согласно его вычислениям имеем
? = ' 1.158843939596583
— 0.11408 80374 93807 cos 2т
-f-0.00076 64759 95109 cos 4т
— 0.00001 83465 77790 cos 6т
+ 0.00000 01088 95009 cos 8т
— 0.00000 00020 98671 cos Ют
+ 0.00000 00000 12103 cos 12т
— 0.00000 00000 00211 cos 14г.
Численный метод позволяет определить коэффициенты этого ряда
гораздо проще при той же точности, чем алгебраический метод,
основанный на получении только-что указанных разложений по степеням т.
В заключение заметим, что уравнение (39), служащее для,
определения ЬТ, будучи написано с точностью до вторых степеней то, имеет вид:
• ^і+^_Ш28іп2^Г — гЛ+я— -|m2cos.2TW=0. (45)
1 G. W. Н і 11, Literal Expression for the Motion of the Moon's Perigee, Annals of
Mathematics, 9, 1894, 31-41 (Works, IV, 41—50).
Курс Небесной механики
24

370 XVIIL Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
§ 136. Некоторые свойства уравнения Хилла.
' В предыдущем параграфе задача отыскания орбит, близких к
вариационной кривой, была приведена к решению уравнения Хилла
^- + ?* = 0, (46)
в котором коэффициент
8 = <72-f 2<7i cos 2т-|-2<72 cos 4x-j-2?3 cos6x-|- . e m
есть периодическая функция с периодом те.
Рассмотрим прежде всего некоторые свойства этого уравнения,
являющиеся частными случаями свойств, присущих всем линейным
дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами.
Обозначим через /(х) и ер(х) частные решения уравнения (46),
определяемые начальными условиями
Д0)«1, /'(0) = 0; 9(0)-0, ?'(0) = 1.
Так как эти решения образуют фундаментальную систему, то любое
решение F(z) уравнения (46) может быть представлено в форме
F(*) = Af(x) + B<?(x)t
где А и В— постоянные.
Уравнение (46) не меняется при замене х через г -J- *, поэтому
/(Х~Ь^) и Т^-}"15) СУТЬ также решения этого уравнения, и следовательно^
существуют такие постоянные числа а, р, *j> °> чт0
/(* + *) =«/(т) + Р? СО
?(,+-)==т/:(т)+а?(х). j
(47)
Покажем, что уравнение (46) имеет решение, удовлетворяющее
условию
/>(* + *) = v/>(t), (48)
где v—постоянный множитель.
Это условие дает (опуская для краткости аргумент х)
^(а/+Р?) + 5(Т/+8?) = у(4/+Д?)|
откуда следует, поскольку решения / и ср образуют фундаментальную-
систему:
A(a_v)-f ?т = 0, а$ + В(Ъ — у)*=0.
Но Л и В не могут быть одновременно равны нулю, поэтому
= 0,
a — v -у
р а—v
или
v2— (a + S)v + (a3 — pT) = 0. (49>
Каждый из корней этого уравнения дает решение /*(х),
удовлетворяющее соотношению (48). Таким образом, определение множителей v,.
имеющих фундаментальное значение для всего дальнейшего, приводится
к нахождению подстановки (47), которой подвергается фундаментальная,
система /, ср при увеличении аргумента на период «.

§ 136. Некоторые свойства уравнения' Хилла 3/7
Если функции/и ср удовлетворяют указанным выше начальным
условиям, то уравнение (49) может быть упрощено. В самом А^ле, равенства
дают
откуда, интегрируя и пользуясь начальными условиями,
Делая в этом равенстве т = іс и замечая, что при т = 0
соотношения (47) дают
/00 = «, ? («) = Ъ Л*) = Р, ?'(*) e ^
получим
а8 — Рт= 1-
В рассматриваемом случае уравнение (49) имеет, следовательно, вид
V2_(a + S)v+1 = 0,
так что его корни могут быть обозначены через v и—. Поэтому
1 v 1
Равенство (48) при -с = 0 и т = —тг дает
/^) = vF(0), /Ч—*)«1/Ч0),
откуда , "'
, , і _/Ч*)+/Ч-«)
"*" v /*(0)
С другой стороны, легко видеть, что /(-с) есть четная функция t,
тогда как <р(^)— нечетная. Поэтому
/Ч«)-4/(«)+**(*)
/=" (^- 7Г) = Л/(ТГ) — Я<? (Л) .
А так как, кроме того, /?(0) = Л, то окончательно будем иметь
v + l = 2/(*).
і
Эта форма уравнения (49) позволяет показать, что для малых
значений параметра т корни v и v—* суть сопряженные комплексные числа
с модулем, равным единице. Действительно, последнее равенство дает
v-/(«)±}Of(ic)]a —1.
С другой стороны, пользуясь приближенными значениями?2, диЯг* • • ->
указанными в конце предыдущего параграфа, и отбрасывая члены
порядка /л2, получим
^ + (1 + 2/71)^ = 0.

372 XV111. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Отсюда следует, что в первом приближении
/(x) = cos(l+m)x,
и потому [/(тс) 1 < 1-
Итак, если положить
v = exp(/c«),
то с будет действительное число, мало отличающееся от единицы, по
крайней мере для достаточно малых значений т.
Рассмотрим функцию ехр (ісх). Очевидно
ехр [іс (х -|- «)] =e v ехр (/с*),
т. е. эта функция удовлетворяет тому же соотношению (48), как и
функция F[%). Отсюда следует, что отношение
ехр (ісі) х
не меняется при прибавлении те к аргументу.
Учитывая, наконец, что уравнение (46) не меняется при замене х на
— т, мы можем утверждать наличие у уравнения (46) двух решений вида
Ф (х) - ехр (ісъ) и Ф (— х) ехр (— ісх),
где Ф(х)—функция, им еющая период тс. Эти решения образуют,
как нетрудно проверить, фундаментальную систему.
Введем теперь, как и в предыдущих параграфах, независимую
переменную
С = ехр (/с).
Полагая ?о = <72, ^_^ = ^А, мы можем функцию
? = q* + 2^ь cos 2x -f- . . . = 2 Qk cos 2?х
—оо
написать в таком виде:
• ?=2^с* (5°)
-оо
В дальнейшем мы будем предполагать, что коэффициенты qk таковы/
что ряд ЕЮ сходится.
Так как функция Ф(х) имеет тот же период тс, то она разложима
в сходящийся ряд такого же вида. Положим поэтому
-{-00 я
—оо
откуда
я(*) = Ф(<с)ехр(/ст)= 2 *,<?*+'. (51)
—оо
Итак, уравнение Хилла имеет решение вида (51), Если это решение
будет найдено, для чего нужно вычислить с и bkJ то общее решение
этого уравнения можно представить в такой форме:
С1х(х) + С2х(— х),
где Сх и С2 — произвольные постоянные.

§ 137. Применение способа неопределенных коэффициентов 373
§ 137. Применение способа неопределенных коэффициентов.
Чтобы найти с и *Л, подставим выражение (51) в уравнение (46).
Это даст, учитывая равенство (50):
•oo —oo —cc
Приравнивая нулю коэффициент при С + , получим такую систему
уравнений:
[?о-(2*+ «0а1А + 2 **-Лв°- СФ *) (52)
—сс
Несмотря на то, что мы имеем здесь бесконечную систему линейных
уравнений с бесконечным числом неизвестных bk, Хилл применил к этой
системе теоремы, доказанные лишь для конечных систем линейных
уравнений. Полученные им результаты были вполне строго обоснованы
Пуанкаре, который развил с этой целью теорию бесконечных определителей.
Рассмотрим, прежде всего, тот простейший частный случай, когда
9і=42= • • • — °- Так как 00 = Л <7_* = ?а> то уравнения (52) в этом
случае имеют вид
Поэтому, поскольку нас интересуют лишь решения (51), для которых
не все коэффициенты bk равны нулю, будем иметь
с = — 2л =t q, bh = 0 для к Ф Л;
следовательно получим два таких решения:
х=Ьп$, x*=bnZ~«
уравнения (46), которое в этом случае имеет вид
Обратимся теперь к общему случаю, когда ди д2, . • • не равны нулю.
Если эти коэффициенты весьма малы, а такой только случай мы и
рассматриваем, то соответствующие значения с будут не равны величинам
— 2л ф 9, где л — целое число, но будут мало от них отличаться.
Итак, мы можем считать, что ни одно из выражений
не равно нулю, и переписать уравнения (52) так;
или, в развернутом виде:
• * •

374 XVIIL Теория движения Луны, основанная на работах Х?лла
Легко видеть, что определитель этой системы уравнений принадлежит
к числу нормальных бесконечных определителей. Так называются
определители вида
> 1 +«-.!._
I3
-1, О'
-1,1'
а.
'О, -1 »
1+*ао >'
а
о,і >
а
і,-і '
ві,о ' 1+аиі
для которых двойной ряд S I aik | сходится. В самом деле, в рассматри-
ваемом случае
«tf»0,
а потому
2і*«і=22і^і2
it k J k
1
<72-(2fc + 02
причем оба стоящие справа ряда сходятся.
В дальнейшем мы будем иметь в виду лишь ограниченные
системы решений уравнений (53), т. е. такие, которые удовлетворяют
условию
\Ъ*\<А,
где А — некоторое постоянное число.
Как известно, бесконечная система линейных уравнений, у которой
определитель, составленный из коэффициентов, нормальный, обладает
в отношении ограниченных систем решений теми ¦ же свойствами, что
и конечная система.
В частности, можно утверждать, что уравнения (53) только в том
случае имеют решение, в котором не все bk равны нулю, когда
определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю. Обозначим этот
определитель через А (с).
Итак, стоящая перед нами задача нахождения решений (51)
уравнения Хилла распадается на две части: сначала надо найти корни уравнения
А(с) —0; (54)
затем, для полученных значений с9 решить уравнения (53).
Приступая к решению уравнения (54), существование корней
которого вытекает из рассуждений предыдущего параграфа, начнем с изучения
функции А (г) комплексного переменного z.
Под функцией A (z) мы разумеем, следовательно, величину
определителя, ?-ая строка которого
• • • у ak, А-2 » Ckt fc-l » * "f" aKк f
состоит из членов, соответственно равных
Яг
Ях
, 1,
'*,*+!' '
<?і
где к
'Ч2—(2*+*)2> ?2_(2* + г)*' 1'^_(2* + г)»,в *
• ,-2,-1, 0, + 1,+2,. . .
• і
(55)

§ 137. Применения способа неопределенных коэффициентов 375
На основании предыдущего, этот определитель является нормальным
для всех значений z, кроме
z = ±q — 2*. (56)
Поэтому функция A (z) голоморфна во всех точках z, кроме точек (56),
которые, как легко видеть, могут быть для этой функции только
полюсами первого порядка. Действительно, каждая из точек (56) является
полюсом первого порядка для всех членов #-ой строки (за исключением
одного члена, равного единице) и обыкновенной точкой для членов всех
других строк. Но при развертывании нормального определителя получим
сходящийся ряд, каждый член которого будет иметь множителем один
и только один член ?-ой строки. Откуда ясно, что точки (56) могут быть
только полюсами, порядка не выше первого, для функции А (г).
Итак, A(z) есть мероморфная функция. Легко видеть, что это функция
четная, так что
A(Tz)-A(z). (57)
Действительно, при замене z через —z и одновременной замене столбцов
строками определитель A(z) не меняется.
Точно так же
Д(г + 2) = Д(г), (58)
ибо при замене z через z-\-2 каждый столбец и каждая строка занимают
место соответственно следующего столбца и следующей строки. Таким
образом A(z) есть функция периодическая с периодом, равным 2.
Из равенств (54), (57) и (58) вытекает, что все точки z —±с— 2k,
где k—попрежнему произвольное целое число, являются нулями
функции А (г).
Отметим еще одно свойство этой функции. Положим z = x-\-yi
и заставим .у стремиться к =too. В таком случае все члены (55) ?-ой
строки, за исключением лишь члена 1+^ = 1» обратятся в нуль.
Следовательно
lim A (х-\-уі) = !•
у-+±со
Покажем теперь, что доказанные свойства функции А (г) вполне ее
определяют.
Рассмотрим мероморфную функцию
COS tzZ — COS ТСС
COS KZ — COS тс<7 '
имеющую нули первого порядка в точках (59) и полюса первого порядка
в.точках (56). Это функция четная, имеющая период, равный 2. Если
положить z = x-\-yi и заставить у стремиться к ±оо, то эта функция, так
же как и A(z), стремится к единицей
Отсюда следует, что отношение рассматриваемых функций, т. е.
а лл А г„\ C0S nZ — C0S ™?
FUSi = A (z) >
w ' cos kz — cos ice
¦есть целая функция с периодом 2, стремящаяся к единице, когда у
стремится к' ±оо. Но такая/функция необходимо равна постоянному числу,
так как она остается ограниченной на всей плоскости переменного z.
Делая у-*гьсо, получим F(z)=l9 а потому окончательно
. , ч cos rcz — cos ъс
A (z) *= .
v J costcz—cos тс?

376 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
При z = 0 это равенство дает
sin'f=A(0)sin>f
(60)
Итак, решение уравнения (54) приведено нами к вопросу о вычислении
определителя А(0), т. е. к задаче сравнительно весьма простой.
Полагая 2 = тр или z=l, или z = q, получим другие формы
уравнения, определяющего с, однако менее удобные, чем (60).
§ 138. Вычисление определителя А(0).
Полагая для краткости
мы можем определитель А(0) написать так:
. . ., 1
. . ., Мі .
• • • > Pft+1?2>
Р*-1?1»
1
Р*+10г
h-i
Mi
, 1
?2>
J
і
(61)
В конце предыдущего параграфа было отмечено, что ^ есть
величина порядка 2/ относительно т.
9fo обстоятельство позволяет развернуть А(0) в ряд, весьма быстро
сходящийся. Мы выполним это разложение, основываясь на следующем
свойстве определителя (61):
Если Aqaq„ . . qx есть один из членов разложения определителя (61),
то сумма индексов
равна всегда четному числу.
Для доказательства заменим во всех членах выражения (61)
величины qf через q-j и покажем, что полученный таким образом
определитель Д(0, z) есть четная функция z. В самом деле, А(0, —z) получается
из A(0jZ), если сначала переменить знаки у всех столбцов через один,.
затем — у всех строк через одну. Но так как число строк и число
столбцов в каждом из конечных определителей, пределом которых является (61),
одинаково, то при такой перемене знаков определитель не изменится.
Отсюда непосредственно вытекает, что разложение определителя (61)
будет состоять из членов, порядок каждого из которых относительно т
делится на 4.
Таким образом, отбрасывая члены 12-го порядка, мы будем иметь
(сумма индексов может равняться только 0, 2, 4)
a(o)-i+^;+^j+.c^j^+/^j.
Легко видеть, что
0. р*_і?і
*:-2
Мх, О
--«sSft^ft
Bq\
V?
*
0. р*-і?і
Ml 0
0. h-Л
Mi. о
= ?*2 ]? Р*-* Р» Р/-і fc

§ 138. Вычисление определителя А (0)
377
В этом последнем равенстве к не может равняться /, /—1, z—J— 1. Поэтому
В - А* - ? Ptx И - 2 J Р,._, Р», Р,. х"
Коэффициенты А, В, С, D, . . . весьма просто выражаются через д.
Например:
=?16д(д+Щд+'к +|<? - * +1 )~^ 16? (? -1 )(p^>_|^F^l)=
=2
со
А+#2т
4?(1—^и? + * 4?(1-^)U? а А?2-*2
Л
4<z(l-?2) & 2
Хилл вычислил все члены разложения Д(0)/порядок.кот оркх отно-
сительно т мецьше 16. Результат, полученный им, таков:
* ™? Г я\ яі я\ Л
tzQ
rcctg —
ЗДі
S 2 Гтс Ctg тсу 1
— ^2)2 [ ^ -. ^1 ~i~l
Гз +
2(4
=?>1*
3« ctg^?
2
+ 8? (1 — <72)(4 - 92) ^ Qi "^
+
"cl*-2
^2 I 1_92 1 2(4—?2)
к ctg nq 25
9 W
128^(1—<72)3
?« ^ 1 - p ^ (1 — g*? 8 (4 — ?2) ' (4—дгУ 9 — q^ 3?2J
9,9
f J**]
??+
*<7
+
+
3uctg2"- r«dg^ i . 2
32? (!—$*)>
+
4 — g2 ' 3(9—?2)
Я
Я2 +
| ё 2 r«dg«g 12 2
+
+
16*7(1
10
,]«
?2 +
(7-3^)TCctg^
5я ctg^
^2 " 4_^i
<7l ?2 4» +
16(7(1 —<72)(4-?2)(9 —<72)
Z^Ti *I*r

378 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Подставив сюда значения q} qu q2, - . . , соответствующие принятой
величине т (§ 135), Хилл получил
Член нулевого порядка 1 * 00000 00UC0 00000 0
Член 4-го порядка + 0-00180 4611093422 7
Сумма членов 8-го порядка ..... + 0-0000001808631099
Сумма членов 12-го порядка . . . , + 0 - 00000 00000 64478 6
= 1 • 00180 47920 21011 2
Рассмотрение характера убывания членов различных порядков
позволяет думать, что первые 13 десятичных знаков точны.
Обращаясь теперь к уравнению (60), найдем:
гг = 1.07158 32774 160.
Можно отметить, что ошибка в А(0) переходит в с увеличенная
в 2.8 раза.
То обстоятельство, что для с получилось действительное значение,
имеет весьма важное значение, так как позволяет утверждать, что
вариационная кривая является устойчивым решением уравнений (14).
Действительно, обращаясь к §§ 135 и 136, мы видим, что отклонения ШкЪТ
от движения, представляемого вариационной кривой, таковы, что если
начальное отклонение от движения по вариационной кривой не велико,
то оно останется небольшим и при дальнейшем движении, если только с
действительное число.
Если вместо q2, gu . - • подставить их выражения через m (§ 135),
то можно получить как А(0), так и с в виде явных функций т.
В мемуаре, указанном в конце § 135, Хилл способом
последовательных приближений нашел:
it 3 , 201 , 2367 А 111749 к
^= 1 + я»—^-і»2 —32" W W т
4095 991 . 332532 037 7
2і3.3. 2ів.32
15106211789 „ 5975 332 916 861 0 '
218.33 243*
1 547 804 933 375 567
226.35.5
818 293 211836 767 367
228.36.52
гп1* —
да» —
§ 139. Вычисление коэффициентов.
После того как фундаментальная постоянная с найдена, решение
уравнений (52) относительно коэффициентов bk не представляет затруднений.
Для того чтобы получить численные значения коэффициентов, можно
заменить бесконечную систему (52), написанную в форме
Vb^_'ff+gyV-o, (/**) (63)
конечной системой, полученной путем отбрасывания всех исчезающе
малых членов.
Та:с как неизвестные bk мы считаем ограниченными, то величина
каждого члена уравнения будет зависеть от абсолютной величины

§ 140. Важнейшие неравенства движения Луны 379
\q2— (2$-|-с)2| знаменателя и абсолютной величины |*—/| индекса у qk_i
и будет быстро убывать с возрастанием этих величин. Отсюда, между
прочим, следует, что и искомые коэффициенты Ьк будут быстро
стремиться к нулю по мере возрастания |?].
Для получения общих выражений коэффициентов Ьк проще всего
поступить следующим образом.
В определителе А (г), составленном из элементов (55), заменим
нулевую строку
?-2 <7_і Я\ Яг
*¦¦>
'q*—z*> q* — z2' y q* — z2' qt—z*'' ' *
неопределенными величинами *
* * * з ¦* 2' —1» 0* 1» ^%і • • *
Полученный таким образом определитель D(z) будет сходиться,
если выполняется условие \х.\<А, где Л —независящее от і число.
Развертывая D(z) по элементам нулевой строки, найдем:
. D(z)=\ . . +x_1B_1(z)+xQB0(z) + x1B1{z)+. . .,
где Bk {z) суть мероморфные функции z, имеющие те же полюса (56), что
и функция A(z), за исключением точек z=±q.
Легко видеть, что
Действительно, если в определителе D(c) заменить величину х. через
для /ф?, a xk заменить единицей, то получим /)(<;) = 0, так как
определитель будет иметь две одинаковые строки, если ?Ф0; если же 6 = 0,
то при такой замене D {с) обратится в А (с)> следовательно и в этом
случае Ь(с) = 0. Но указанная замена делает D(c) тождественным с левой
частью ?-го из уравнений (63), что и доказывает наше утверждение.
Можно показать, что коэффициент bk имеет множителем і»'2* , но
мы не будем на этом останавливаться.
§ 140. Важнейшие неравенства движения Луны.
! Чтобы лучше уяснить связь между теорией Хилла и теорией
Лапласа, найдем первые члены в разложениях рассматриваемых величин по
степеням т.
Ограничиваясь в уравнениях (52) членами порядка не выше 3-го и
учитывая значения q2, qu q2, - - • , приведенные в § 135, получим
[*-(*+2)»] VHAe°> №-(с-2)2)Ь-і+<!Л+<?іь-2=и
№-{с + т VK*i-0, [q2-(C-4)2] b_%+qxb_x = 0.
Так как
, 225 . 3645 . . 15m2 57ж3 п«^
4*—(с+ 2? = — 8 — 4т + 3/л2 + ¦ . ., q2—(с — 2)2 = 4ст — Зт*— . . .
^2_(с^4)2 = — 24 — 8л*4- . . ., ^2_(с_4)2 = —8 + 8^ — 6^2—. . . ,

380 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
то из этих уравнений легко найти, отбрасывая члены порядка т3:
Соответственно этому формула (51) дает общее решение уравнения,
определяющего W, в следующем виде:
8Лгет _ Ц т* (QCHе + CJT*-*) + (СгСс + «-*) +
где Сх и Сг — произвольные постоянные.
Полагая
Сх -f- С2 = Л cos со, /(Cj — С2) = — A sin ш,
где А и <» — новые произвольные постоянные, получим:
A-lW = — j|/7*2cos[(c + 2)* + u]4-cos(cx-f а>) +
+ ^-д" W + -gg- ОТ2 j COS [(С — 2) X + »].
Чтобы еще более упростить дальнейшие выкладки, отбросим и члены
второго порядка. Тогда уравнение (45) обратится в такое:
а предыдущее выражение для S./V даст
15
о#= A cos (сх + ю) +-?-4лі cos [(г — 2) х -j- о>].
Поэтому
8Г= 2Л sin (сх -f а)) — 1р Am sin [(с — 2) х + со] -f В,
ибо в пределах нужной нам точности с = 1-\-т, с — 2 = —(1—т)\
через В обозначена новая постоянная.
С другой стороны, в § 134 мы видели, что уравнения вариационной
кривой с точностью до членов порядка т2 таковы:
X = aCOSX И— /772_ OT2sin2T } у = а$[пх 1 _j—/и2 —|— —/H2COS2X .
Поэтому соотношения (33), определяющие угол ф, образуемый
касательной к вариационной кривой с осью х, дают, с ошибкой
порядка тг\
Следовательно
г* = — о Г sin т — Stfcosx, S^^STcosx — 8#sinx.

§ 140. Важнейшие неравенства движения Луны
881
Подставив сюда только-что найденные значения 3/V, ЬТ и прибавив
полученные Ъх> Ьу к координатам точек вариационной кривой, получим:
х = a cos х — В sin х — am2 ( 1 -j- -г- sin2 т | cos х —
15
(64)
V ' 4
— A J ^-m cos [(с — 2)х~[-ш] cos х -f- cos (ex -f- to) cos т —
15 ^
—~Tms*n Kc — 2)x-}-a>] sina)-f-2 sin(cT4-to)sinxi
3; == a sin x -}- В cos x -f- <ш2 ( 1 + x cos2 x ) s^n T —
f 15
— Л J -^-/wcos [(c— 2) x-[¦-">] sinx-|-cos(rx-)-a>)sinx-f-
15 )
~\~ — m sin [(c — 2) x -{- a>] cos x — 2 sin (ex -f- w) cos x 1.
Постоянные А и Z? мы должны рассматривать как бесконечно малые
величины первого порядка. Поэтому можно положить
a cos х — В sin х = a cos (х -f- ох0), a sin х -|~ 5 cos т = a sin (х-}- от0),
где через 8х0 обозначена бесконечно малая постоянная, эквивалентная S.
Так как начало счета х произвольно, то мы можем отбросить
8х0 — это вызовет изменение предыдущих выражений для х я у лишь
на величины второго порядка малости относительно А и Вх0.
Рассмотрим сначала предельный случай, когда /л = 0. В этом случае
возмущения со стороны Солнца отсутствуют и дифференциальные
уравнения (14), определяющие вариационную орбиту, обращаются в уравнения
задачи двух тел. Поэтому при тп = 0 равенства (64) должны представлять
эллиптическое движение с точностью до первых степеней
эксцентриситета. Но при /77== 0 эти равенства дают:
3 1
х = a cos х — -<r-i4cosco-{--H-4 cos (2x -f- a>)
3 1 '9
y = a sinx-f--^-i4sma>-}- — A sin (2x-f-to).
Повернем оси координат на угол со. Новые координаты
xr = x cos to —у sin ш, у = х sin со -\-у cos со
будут равны
3 I
У = -уД-[-асоз(х + й)) + уЛсо&2(х + (в),
У = a sin (х -J- «О + -к-A sin 2(x-f- о>).
Сравнивая эти выражения с формулами, дающими орбитальные
координаты в эллиптическом движении (§ 80), а именно
? = a(cos?— е)=*а( — — г-{-cos М-\~ — cos2>Wj,
т] в а \/\ —с2 sin Е — а ( sin Л/-f- -~- sin 2Л/ V

382 XVUL Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
если ограничиться первыми степенями эксцентриситета, получим
а = а, А=ае, т-[~ш = Ж.
Вернемся теперь к рассмотрению движения Луны в общем случае,
когда т ф 0. Обозначая, как и раньше, через г и v радиус-вектор и
долготу Луны, через і/ = я'/+е' долготу Солнца и полагая в формулах (64)
Б = 0, А = ае, получим:
а
cos (v — vf) = cos x — am2 ( 1 + -r* s*n2 T ) cos T
15
— -?- me cos [(e— 2)t-{-©] cosx—?C0s(ex-f-a>) cosx-j-
15
i l
-|—j-flwsin [(e— 2) т + ю] sinx — 2^ sin (ex 4-ш) sin x
— sin (v — vr) = sin x -f- ам2 ( 1 + ~r cos2 T ) s^n T —
15
— -Q-тпе cos [(e— 2) x -j- ш] sin x — с cos (ex -f- to) sin x
15
(65)
— -j~ me sin [(e — 2) x -f- ш] cos т -}- 2* sin (ex -|- ш) cos x.
Возводя эти выражения в квадрат и складывая, будем иметь, после
очевидных упрощений:
г2 = а2
15
1 —2е cos (cx-j-ш) — 2/я2 cos2x — -г-те cos [(e— 2)x-f-a>]
откуда, принимая во внимание (§ 134), что
1
а==я 1_—ш2-|-. . . ,
следует
г
= аі 1 — ~^т2 — ^cos(ex4-o>) — -^-w^ cos [(с — 2)x-f-a>]— от2cos2x1. (66)
Почленное деление каждого из равенств (65) на полученное
значение г дает:
cos(v — vr) = cosx 1 — — /л2sin2x -j-
-f-sinx \ — me sin [(e—2)хф-ш] — 2esin(ex-f-<») \
sin(y —i/) = sinx 1 + xot2cos2x —
— cosxJ—OT^sin [(e — 2)x-f(o] —2e sin(ex-faj) 1,
откуда
11 15
sin(y — vr — <c)= —m2sin2x — — me sin[(e — 2) x-|-«] ^|-2* sin (ex + ф)„

§ 140. Важнейшие неравенства движения Луны . 383
или, все с той же точностью до малых величин второго порядка
относительно т и первого—относительно е:
15 11
и — vr — т = 2г sin(cr-[~a>) — ~те$\п [(с — 2) т + си] + — т2 sin 2т. (67)
Первые периодические члены в разложениях (66) и (67)
представляют, очевидно, эллиптические неравенства движения Луны, а потому
аргумент этих членов есть не что иное, как средняя аномалия Луны..
С другой стороны, удерживая обозначения § 126, средняя аномалия,
равна nt— П; следовательно
сх-\-а> = nt — П.
Дифференцирование этого равенства дает движение перигея:
п — с (п — л) = л ( 1 —
dt v Jy 1-f m
Подставляя сюда найденное в § 138 значение с, получим следующее-
выражение для той части движения перигея, которая не зависит от-
эксцентриситетов Луны и Солнца:
1 т 3. . . 177 ¦, 1659 < . 85205 ч . 3073531 . .
, 258767 293 7 . 12 001004 273 . . 4823 236 506653 ч ,
Н Я*Ж~тЧ "2^3^ т + »ГзГ—"w + " * '
Этот ряд сходится настолько медленно, что для действительного-
определения движения перигея целесообразнее найти с указанным в § 138.
численным методом. Таким именно путем Хилл нашел
1 Ш = 0.00857 25730 04864.
п dt
При сравнении полученных результатов с тем, что дают теории.
Лапласа, Понтекулана и других, надо иметь в виду, что
П — Л 1 — |і Л — Л V ' /
Таким образом, выражая движение перигея через ^, получим:
1 ЛИ 1 3 , , 225 , . 4071 ± , 265493 _ . 12822631 . , •
-_,1-с-т^+-^^ + -у"^ + —gr-^+ уз.З **+' 'v
Коэффициенты этого ряда значительно больше соответственных
коэффициентов ряда, расположенного по степеням /я, вследствие чего
употребление параметра т в теории движения Луны выгоднее, чем
параметра ^. Однако в тех случаях, когда требуется особенно большая
точность, не следует употреблять разложения и по степеням т, проще и
скорее ведут к цели численные методы, как это было уже отмечено-
в § 138.
Вернемся теперь к формулам (66) и (67). Так как средние долготы
Луны и Солнца равны соответственно пі-\-г и л7-}-е', а через -с
обозначено угловое расстояние между средними положениями Луны и
Солнца, то
»' +т = л* + е> х = (л — л')/ — Р,
где р = г' — з.

384 XVIII. Теория движения Луни, основанная на работах Хилла
Положим
і СП .
Ст + а> = rX + (D = СЛ/—те,
' Л— Л '
где
сп$
тг = —, — ш.
л— л
При этих обозначениях равенства (67) и (66) могут быть
представлены так:
v = nt-j-е-\-2с sin (cnt — *)-f—-wasin[2(a—л')* — 2p] _|_
} +Щтеsin К2л — 2 л' — ел) /—2? -f те]
r= J / 1 — ™-i»2 — <rcos (слГ—те) — /л2 cos [2 (л — л') /— 2р] —
15 1
— -?-/л<?соз[(2л — 2л' — ел)/—2р + «] .
Сравнивая эти выражения с тем, что было получено в теории
Лапласа, в частности с формулой (45) в § 127, видим, что теория Хилла
дает, в пределах принятой нами точности, главные члены уравнения
центра, вариации и эвекции. Преимущество этой теории перед теорией
Лапласа заключается прежде всего в том, что теория Хилла позволяет
сравнительно очень просто вычислить эти неравенства, так же, как и
движение перигея, с произвольно большой точностью относительно
параметра т.
§ 141. Неравенства, зависящие от эксцентриситета лунной орбиты.
Мы подробно изучили метод, данный Хиллом для вычисления
неравенств, зависящих от первой степени эксцентриситета лунной орбиты.
Теперь мы перейдем к более сложной задаче определения неравенств,
имеющих множителями высшие степени эксцентриситета. Эта' задача
эквивалентна нахождению общего решения уравнений (14) или (ДЗ).
Рассмотрим сначала решение, бесконечно близкое к вариационной
кривой, найденное в §§ 135—139. Из равенств (31) следует:
Ш= — Зх sin ф + by cos ф = -=- i(bs • *" — Ьи • е"1*)
если опять положить и — х-\-уі, s = x—уи
С другой стороны, равенства (33) дают:
№ = iDu, Ve-* = iDs,
поэтому
Ьи^^{ЬТ— Щ, 85~^?(Й7+8Л0. ," (68)

§ 141. Неравенства, зависящие от эксцентриситета лунной орбиты 385
Общее выражение для 8jV, даваемое формулой (51), мы можем, для
удобства дальнейших выкладок, написать так:
где
Сі = ехр/(т — tj),
причем через х1 обозначена произвольная постоянная.
Уравнение (39), которому можно придать вид:
. d /ЬТ\
*\ V)
или
Й /ЯТ \ / Wit Л2с
+ m\bN,
позволяет легко заключить, что и оГ имеет ту же форму, что 8iV, нужно
только иметь в виду, что V есть четная функция С.
Обращаясь теперь к равенствам (68), мы видим, что 8и и 8s суть
четные функции С, разлагающиеся в ряды
Ьи = С±СС S Ъ^\ Is = Cf CC"1 S b2f~*k
с действительными коэффициентами.
В самом деле, сумма 8tt-f-?>s_2ox д0лЖна иметь действительные
коэффициенты, а разность Ьи — 8$— чисто мнимые.
Таким образом, учитывая равенства (16), мы можем решение
уравнений (13), мало отличающееся от вариационной кривой, представить
рядами:
W = <*S?A2i+/,ct2*Cf, s = e?TlSEA_№.^C1*Cr, (69)
ft P ftp
где к принимает все целые значения от — оо до +°°> ар принимает
только три значения: — 1, 0 и +1. В частности, для р = 0 имеем
^2ft==flE2ft*
Так как общее решение отличается от вариационной кривой на
величины конечные, то мы можем рассматривать только-что указанное
решение как образованное начальными членами некоторых более общих
разложений, представляющих общее решение уравнений (13). Следуя
Брауну, попробуем найти общее решение в виде тех же самых рядов (69),.
но при условии, что р принимает все целые значения от — оэ до +оо*
При этом будем предполагать, что коэффициент A2k^pc есть величина
порядка \р\ относительно некоторого малого параметра е. Небезинте-
ресно заметить, что сам Браун пришел к выражениям (69) для и и s,,
пользуясь теорией Понтекулана.
Первое, что надо сделать для того, чтобы показать наличие решения
вида (69) у системы (13), это убедиться в возможности найти такие
коэффициенты A2k^pc, при которых ряды (69) формально удовлетворяют
уравнениям (13),
Подставим ряды (69) в уравнения (11), являющиеся следствием
уравнений (13). Так как, с одной стороны:
D (С2*+1СП — (2* + 1 + рс) C*+1Cf,
* Курс Небеской механики 25

386 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
а с другой
D (C»*t-h*j = (2*+ 1 + рс) с1*"1*",
то результат подстановки и приравнивания коэффициентов при
одинаковых степенях С не изменится, если в рядах (69) мы положим Сі—С.
Нужно только помнить, что в окончательных результатах с2**2**** должно
быть заменено величиной
ехрі[(2/?+1)х+рс(*-ъ)).
Таким образом, вместо (69) мы можем подставить в уравнения (11)
ряды
w w t 2k4-vc* > . —ЪЬ—г—рс*
k p k p r
He повторяя вычислений, сделанных в § 137, мы можем сразу
написать результат этой подстановки в виде следующих уравнений,
соответствующих уравнениям (21):
SS A2k+pe {[2/+ gc, 2k+рс] A_2i+2k__gc^pe +
+ [Ш+gc] A2i_2k+gc_pc + ф+qc) A_2i_2k_2„qe_pc] = 0. (70)
Решение этих уравнений легко находится способом
последовательных приближений, если исходить из значений с и а.ш найденных выше.
Таким образом получается, между прочим, та часть движения перигея,
которая зависит от эксцентриситета лунной орбиты. Мы не будем
входить в подробности этих вычислений, не представляющих ничего
принципиально нового.
* § 142. Неравенства, зависящие от наклонности лунной орбиты.
До сих пор мы предполагали, что Луна движется в плоскости
эклиптики и потому в уравнениях движения, выведенных в § 130,
полагали z = 0. Посмотрим теперь, как изменится . движение Луны, если
освободиться от этого допущения и учитывать наклонность лунной
орбиты.
Пренебрегая попрежнему эксцентриситетом орбиты Солнца и по-
лагая, следовательно, 2 = 0, из уравнений (8) и (10) получим такие
уравнения движения:
D*(us-\-z*) — Du . D$— (Dz)* — 2m(uDs — sDu) +
+"Xm2(z/ + s)2 — 3/л222 = 0 •
D (и Ds — 5 Du) — 2m D (us) -f ~ ml (a2 — ss) = 0
(71)
ETz — rttz — %zr~* = 0. (72}
Одна из произвольных постоянных, входящих в общее решение
уравнения (72), может быть выбрана так, что при обращении ее в нуль
z также обращается в нуль. Обозначим эту постоянную через ?и будем,
следовательно, считать, что z имеет множителем ?, причем ? — малая
величина порядка наклонности лунной орбиты.

§ 142. Неравенства, зависящие от наклонности лунной орбиты 387
Если пренебречь величинами порядка т2, то уравнения (71)
становятся независимыми от г и дают решение, подробно изученное нами
в предыдущих параграфах. Подставляя найденные таким образом
значения и и 5 в уравнение (72), получим возможность определить z с
ошибкой порядка f2- Это значение zy будучи подставлено в уравнения (71),
даст возможность найти члены порядка -f в разложениях и и s, и т. д.
При помощи такого чередования в употреблении уравнений (71) и (72)
могут быть получены члены любого порядка относительно -[ во всех
трех координатах и, s и z. Очевидно и и s будут заключать только
четные степени f, а z — только нечетные.
Рассмотрим подробнее вычисление членов первого порядка в
координате zy причем эксцентриситет лунной орбиты будем считать
разным нулю. Соответствующее этому случаю решение уравнений (71) есть
вариационная кривая
Подставим эти значения и и 5 в уравнение (72). Так как
2 і —3 2 | /,Й | я2\ 2
ст2 + хг-л=^-Ь x(wz + s)
—і
есть четная функция С, не меняющаяся при замене С на С , то
m1 + ^"e = 2S>»flkt:2*t (73)
где M_k = Mk. Нетрудно, кроме того, убедиться, что Mk ее» величина
порядка m,2ft|. Отсюда следует, что уравнение (72) приводится к виду
D2z — z-2ZM?* = Q (74)
или
^4H-(2yJ/0 + 4^1cos2T + 4^f2cos4-r-f . . . )* = 0,
ex2
т. е. оно - становится тождественным с уравнением Хилла, подробно
изученным в §§ 136—139.
Итак, общее решение уравнения (74) имеет вид:
г = С,С* * S pftC** + Cfs 2 pftr", (75)
где Сі и С2—произвольные постоянные; характеристические показатели
g и — g являются корнями уравнения
Mn^-MPJsin'fJ^., (76)
причем бесконечный определитель Ах (0) получается из Д(0) путем
^замены q2 через 2Л/0, а qk через 2Мк. Наконец, коэффициенты рА
определяются из уравнений
МйН" 2*)2-2 2 Л^р, = 0, (77)
соответствующих (52).
В конце § 134 мы видели, что с точностью до членов порядка m'd
имеют место равенства:
ха-3 = 1+2от + -|/я2 + . . .
г=а(1—т2 cos 2т-}-. - • )•
25*

388 XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла
Следовательно
т2-\-хГ*=*1-{-2т + ~т2-{-Ы2 cos2x+ . • •
Итак, в пределах принятой точности,
2М0 = 1 + 2т + у /л2, 2М1 = 2ЛГ_1 = у /л2,
а все остальные коэффициенты Л/й равны нулю.
Так как коэффициенты р±2, p±s, ... не ниже третьего порядка,
то уравнения (77) дают:
5
3 _„ , 3
(78)
Г 1+2Я1 + У Л!»-** р^уЯ^Р^+уЯ^-0
Гі+ая + |-лі»-(^-2)»1 Р_1+у'«2Ро = 0
Гі+2ОТ + у«2-(^+2)ф1 + |-Л»^() = 0.
Из этих уравнений можно определить, прежде всего, приближенное
значение g. Действительно, первое из уравнений (78) показывает, что
с ошибкой порядка не ниже чем от3 должно иметь место равенство
откуда
3
*Г=1-Н«Н—4"W*+ • • •
Подставив это значение g во второе из уравнений (78), мы видим,
что в коэффициенте р_х может быть найден лишь член первого
порядка
Поэтому и в рі сохранять члены второго порядка не имеет смысла,
так что можно взять Рі=0.
Итак, с ошибкой порядка т2 равенство (75) дает
z = %Uos(g* + 4)-^mcos[(g-2)x + sx]\ (79)
ибо, пользуясь произвольностью р0, мы можем положить
Сі = у ехр (/«О, С2 = у ехр (— щ).
Первый член формулы (79) соответствует, очевидно,
невозмущенному движению. Второй член носит название эвекцин широты.
Обозначим через / наклонность лунной орбиты, через 2 — долготу
восходящего узла. Тогда, как было показано в § 119,.
2 = -frsin(i> — 2),

§ 142. Неравенства, зависящие от наклонности лунной орбиты 389
где i=stgi. Так как
г = а(1— /я2 cos 2т), а = /*/-[-« + -д-/я* sin 2* + . . ,
то, отбрасывая члены порядка т2у получим
р0 = а>ъ g~ + ?і = л/-}-е — s — 90''-
Чтобы выяснить значение множителя g, возьмем производные по t
от обеих частей последнего равенства. Это даст
откуда
g(n — ^) = л~-^.
Л-і.Л *
л Л і+да
Так как в теории Лапласа мы положили
dt
то
л(1—*),
*- *
1+лГ
Уравнение (76) позволяет найти g, а следовательно и g, с любою
точностью. Первые члены разложения g* по степеням т таковы:
і . 3 2 ! 177 . j 1659 , , 85205 ^ , 3073 531 ^ ,
. 258767293 , , 12001004273 Л . 4 823236506653 . .
+ -2IF732— т + — 2^3^ * + 25^3і да + ' " '
Если желательно получить очень большую точность, то лучше не
прибегать к разложениям по степеням т, а находить непосредственно
численные значения g и коэффициентов {Jft. В этом случае лучше и
разложение функции (73) получить при помощи вычисления отдельных
значений г. Пользуясь указанными выше разложениями функций —-cost»
и —sin у, Хилл нашел следующие частные значения функции *г~ :
v = 0° у.г-!,= 1.19699 57017 23421
15е 1.19348 6S05103032
30' 1.18399 66676 7671 б
45" 1.17125 64904 33157
60' 1.15876 77987 29687
75' 1.14978 07679 95764'
90' 1ЛЩ2 34925 50570

390 XVШ. Теория движения Луни, основанная на работах Хилла
Откуда, по обычным формулам гармонического анализа, получается
т2_|_xr-s= 1.17804 45712 77166
+ 0.02523 36924 97860 cos 2т
-j- 0.00025 15533 50012 cos 4т
-і- 0.00000 24118 79799 cos 6т
-j- 0.00000 00226 05851 cos 8т
-j- 0.00000 00002 08750 cos Ют
-1-0.00000 00000 01908 cos 12т
+ 0.00000 00000 00017 cos 14т
Величину g, характеризующую поступательное движение узла
лунной орбиты, этим методом впервые определил Адаме. J
1 .1. С. Adams, On the Motion of the Moon's Node in the case when the Orbits of the
Sun and Moon are supposed to have no Eccentricities, etc. Monthly Notices R. A. S., 38, 1877,
43-49=Coll. Works, 181—188.

Таблицы
391
Таблица I.
я, т.
Коэффициенты разложений Ck' по степеням эксцентриситета.
(Стр. 225).
п
т
*=0
е*
е*
&
*-1
е*
-3
— 2
— 1
+ 1
+ 2
4-3
-2
— 1
О
+ 1
+ 2
-2
— 1
О
4-1
+ 2
О
О
О
о
о
о
2
2
2 "
2
2
4-1
+ 1
4-1
+ 1
4-1
4- 1
О
О
О
о
о
+4
+і
О
+4
н
+ 3
о
ч
4
+4
+4
+?
+1
0
0
о
+4
о
+4
+4
0
о
+S
+?
О
О
о
о
о
+й
+1
о
о
4-3
4-2
4-1
— 1
— 2 -
— 3
— 1
3
2
— 2
5
2
— 3
О
_1_
2
-1
_?
2
— 2
г8
+ 21
^ 8
' 4
+
261
64
+ 6А
^ 96
4-
+4
___9^
8
+4
11
+ ?
+ 25
^12
+ т
4-
1
192
192
96
+
4-
4-
15
64
1
384
103
768
5
192
187
708
_37
384
е5
е*
е°
е*
14309
т
+
4-
+
4-
4-
4
+
г
3072
2675
4608
1
9216
7
9216
1
4608
35
3072
77
11520
31
240
751
11520
29
2880
,11
3840
0
1
8
0
0
1
2
0
1
16
0
0
0
0
5
128
0
0
0
-ы
4-1
4-1
+ 1
+ 1
3
8
9
8
9
8
3
8
+4
+ -*-
М92
5
64
+ ,25
7 192
-4-5-
^192
25
64"
_7_
9216
889
9216
49
9216
7
9216
245
9216

392
Таблицы
(Продолжение
J
п
т
* = 2
*=3
е*
-3
— 1
4-1
+ 2
+ 3
-2
-1
О
4-1
4-2
-2
— 1
О .
4-1
4-2
О
О
О
о
о
о
о
о
о
4-1
+ 1
4-1
4-1
+ 1
4-2
+4
.+ і
+1
О
1!
* 2
О I 4-1
2
2
О
7
2
— 4
2
2
8
+ ;
+4-
1
3
+4-
+і
1
2
, 85
+ 48-
4-^
+ 16
167
+ 48
^ 24
4-іі-
4- Ш
^ 32
4- 21
^ 32
^
1
16
1
48
+ ,зе
319
1440
13
36
503
720
551
720
179
720
О
О
О
О
О
О
4-3
4-
+¦1
4-1
4-
4-
4-
4-
8
іі
4
_9_
8
_3_
8
1
4
1
8
69.
8
131
16
J27
4
іб
19
8
4-
4-
393
128
25
"64"
81
128
45
128
4-
+
4-
24 753
4-
4-
4-
4-
4-
4-
64
45
128
3663
640
8861
1280
2079
320
5751
1280
1053
640
+
5120
393
512
729
5120
567_
5120
81
560
189
1024
3597
"2560
9921
5120
1427
640
8829
5120-
243
512
**
в*
е*
4-
4
3
11
6
4
3
СО] »—
2
3
н
, 9
"^32
+f
+?
3
8
1
45
9
80
2
45
1
180
. 1
+ 15
О
О
О
О
О
4-
+
27
8
17
+4
4-
8
8
405
128
385
128
225
128
іі
128
J75
128
5103
5120
5201
5120
3969
5120
567
' 5120
_ 4іі
1024
4-
4-
4-

Таблицы
393
(Продолжение)
п
т
е*
*«4
*«
* = 5
?*
&
— 2
— 1
+ 2
+ 3
— 1
О
+ 1
+ 2
— 2
О
+ 1
4-2
О
О
О
О
о
о
4-
4-
+
о
о
о
о
о
о
13
2
19
4
13
+ 2
4-1
4-2«
1 3
4-
4
71
24
?
3
і
+ і
4-
+
+
+
2Z.
8
103
24
4
3
J_
3
1
б
8
Б5_
3
121
8
259
24
19
'3"
_5
2"
г
1
+
4-
+
+
+
4-
, і
129
80
129
80
16
15
2
5
2
15
3
10
10 723
720
10 597
720
8401
720
62
9
94
45
О
О
о
о
о
о
295
24
389
48
+ 12
4-
4-
+
4-
4-
4-
+
125
48
^ 24
1773
128
1097
192
625
384
125
384
25
192
15
128
13745
384
20 267
768
3221
192
6625
768
1075
384
4-
4-
4-
4-
4-
4-
і
4987
3072
16 621
4608
15625
9216
4375
9216
625
4608
875
3072
1102 775
32256
626 681
21504
163 363
8064
679375
64 512
29375
10 752
е*
е*
32
387
80
12
5
4-
128
+ 45~
387
160
^ 45
+і
15
+
+
+
+
3125
384
523
128
625
384
125
384
25
128
4-
109 375
9216
70273
9216
30625
9216
4375
9216
6125
9216

394
Таблицы
п
— 1
-+і
+ 2
+ 3
-1
О
+ 1
+ 2
О
+ 1
+ 2
т
О
О
о
о
о
о
*=6
(Продолжение)
* = 7
**
+
+
О
О
о
о
о
о
345
16
209
16
115
16
+
8
+
+
243
20
899
160
iL
40
iL
80
_9_
40
+
4-
4-
4-
3167
160
1223
160
81
40
27
80
9
80
9
80
10 569
160
887
20
2049
80
189
16
261
О
О
о
о
о
80
4-
4-
4-
4-
і
69251
1920
78 077
3840
9893 *
960
16807
3840
2401
1920
^
+
729
35
6617
560
162
35
81
140
27
35
+
+
+
4-
823 543
46 080
355081
46 080
117 649
46 080
16 807
46080
2401
9216
+
432091
4-
4-
+
15360
47 273
4608
117 649
46080
16807
46 080
2401
23040
343
3072
5 394 109
46 080
2 228 929
30 720
889303
23 040
1495823
92160
12005
3072
* = 8
*«
О
О
о г
о
о
42037
1
4-
+
+
4-
720
17 807
576
42037
2880
256
45
64
45
С*
4-
4-
4-
4-
8192
315
47 259
4480
1024
315
128
315
32
105
*=9
О
+
4-
*
4-
4-
4--
О
О
О
О
3306 951
35840
3 313213
71680
367 439
17 920
531 441
71680
59 049
35 840

Таблицы
396
Т а б л и д а II.
Коэффициенты разложений S% m по степеням эксцентриситета.
(Стр. 225).
)
л і
1
-2
— 1
0
+ 1
+ 2
+з
— 2
-1
0
+ 1
— 2
-1
0
+ 1
+ 2
ш
•
3
* з
3
3
3
2
2
2
f
2
2
<?°
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
0
0
• 0
0
к
0
е
— 1
3
2
— 2
5
-3
* =
*а
5
8
7
8
7
8
5
8
_1
8
+4
+;
+ 8
+ 21
+ 8
+ 8
+ 8
*3
+ 1
^24
, 5
т3
^24
+ 23
= 1
е* е6
і
і
11 j 457
192 | 9216
+ ~64
+ 17
^ 192
11
192
25
64
151
192
85
384
329
384
243
128
1213
"384
1637
384
е*
+ 9
^ 128
+ -15
+ 256
5
61
35
256
+ 19
^ 128
199
9216
271
9216
457
9216
613
9216
1387
9216
237
5120
2009
15360
339
5120
143
. 1024
3397
+ 15360
е"1
1321
+ 23040
971
+ 15360
>2880
3941
+ 46U80
371
( 2560
і
е
+ 2
+ |
+ і
Ч
0
1
2
— 2
5
2
— 3
7
2
— 4
*о
+ і
+ і
+ і
+ і
*-
#
5
3
5
3"
7
6
5
12
ч
ч
ч
13
. 33
+ 8
е*
1
2
— 4
—4
7
~ 2
5
2
= 2
і
еь ,
-J
+ ;¦
+-і
7.
24
17
48
103
60
1709
480
Ш
20
821
120
791
120
89
+ 48
, 47
1 '"16
, 163
+-3-
'J
<?7
4
'"45*
13
240
19
360
•
1
45
+ 3
г 80
- + JL
^2440
, 2
'т 15
х 13
^ 15
22
+ "15
37
^ 24
е*
211
2440
29
72
527
720
131
180
73
360

396
Таблицы.
(Продолжение)
п
т
4> = 3
с*
е*
4-4
е*
&
— 2
О
+ 1
+ 2
+ 3
-2
— 1
о ;
+ і
+ 2
-2
+ 1
+ 2
3
3
О
о
о
о
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 3
+1
+ 2
1 О
+ 1
27
+ 8-
+
+
17
8
8
^ 8
О ! -~
О
1
1
3
8
17
2
-9
-9
• 17
"2
15
2
+
+
+
+
+
+
+
459
128
367
"128
207
128
51
128
53
128
81
128
951
64
1143
64
1215
64
1143
64
927
64
И
8
131
16
27
+
8879
+ 1280
. 2061
4 + 320
21 5709
16 *+" 1280
і9 1087
8~ + 640
+
+
4887
5120
5489
5120
3681
5120
'543
512С
253
+ "51"20
1024
1683
5120
38947
5120
11689
1024
71813
5120
72131
5120
56599
5120
О
О
О
о
о
+ 4
+
+•3
+
+ 2
+
+
+
+
11
3
1L
24
А_
3
_1_
3 '
1
_7__
24
- 24
179
8
2
__ 63
4
2
+
+
+
104
15
1129
240
34
15
13
30
29
60
131
240
241
6
2009
48
4
+ -
+
155
4
757
24
65
3
+
+
+¦
+¦
26
9
1177
480
121
90
13
72
107
240
203
576
5309
210
103781
3360
26 843
840
15 387
560
31013
1680
е6
3717
640
213_ ; , 13
160 "t + 2
5037
2560
25923
11520
4353
+
19 ¦;
2560
59
128
. 13
+ 2
+ 1
55
3
121
8
259
24
11
3
2
+
+
+
+
4-
10 787
720
10 613
720
8369-
720
247
36
763
360

Таблицы
397
(Продолжение)
т
*-5
*^6
е*
— 1
V
+.1
+ 2
+ 3
— 2
— 1
О
+ 1
+ 2
~1
О
+ 1
+ 2
2
2
О
О
О
о
о
о
, 85
¦ "*" 8
т.
8
8
37
8
25
8
+
+
295
24
389
48
59
+
12
125
48
24
3125
+
+
384
523
128
625
384
125
384
25
128
95
384
1355
24
2279
48
593
16
635
24
50
+
+
115625
9216
69 023
9216
29 375
9216
4625
9216
5275
9216
4765
"9216
, ^8525
~*~ 1024"
+
+
+
274345
3072
75.643
1024
54 765
1024
98 875
3072"
13745
384
20 267
768
3221
192
6625
768
1075
384
+
+
+
+
276475
8064"
104,551
3584
326 101
16128
338 875
32 256
925
336
О
О
о
о
о
^ 2
+ 17
47
+
^ 8
-Ь
е*
+
+
345
16
209
16
,115
"*" 16
+
+
¦27
8
8
1
1
+
+
+
899
160
243
20
81
40
27
80
9
40
9
40
239
2
2949
32
525
8
677
16 '
189
8
е*
10569
160
887 '
20
2049
80
J89
16 '
261
80
817
70
1215
+
56
2511
560
135
224
387
560
117
224
33951
160
57 213
320
43 041
"3257
56487
640
3807
80
+
+

398
Таблицы
(Продолжение}
п
т
* = 7
е*
*-8
<?7
*«9
4=10
*'
— 2
0
+ 1
+ 2
+ 3
— 2
— 1
О
+ 1
+ 2
— 2
-1
О
+ 1
2
2
О
О
О
О
О
о
17 969
384
12085
384
2567
+
+
+
+ "584
128
4553
384
2401
+
+
+
+
1
69251
1920
78 077
3840
9893
960
16 807
3840
2401
+
+
+
823543
460&0
355081
46 080
117649
46080
36807
46 080
2401
9216
9947
46 080
301 973
1280
32 419
192
35 563
320
84109
1280
127253
3840
+
+
+"
+
4-
о
о
о
о
о
о
2611
30
26371
480
2611
80
8551
480
128
15
-f
+
4-
+
8192
315
47 259
4480
1024
315
128
315
32
105
68
315
39 893
90
1710 983
5760
87 599
480
288 221
2880
416
+
+
о
о
о
о
о
о
790053
5120
471 527
5120
263351
О
О
О
О
О
О
+
532345
2016
604 279
+
+
5120
26 809
1024
59 049
5120
+
+
+
4032
106 469
1344
305 593
8064
1562 5
1О08
е*
е?
1920
5394109
46 080
2228929
30 720
889303
23040
1 495 823
92160
12005
3072
42 037
+ 720
17 807
+ 576
42037
+ 2880
256
+ 45
^ 45
+
+
+
+
+
3 306951
35 840
3313213
71660
367 439
17 920
531 441
71680
59049
35 840

Таблицы 399
Таблица "III.
Функция Эцке / (q) н ее логарифм.
(Стр. 205).
1*1
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
0.017
0.018
0.019
0.020
0.021
0.022
0.023
0.024
0.025
0.026
0.027
0.028
0.029
0.030
/
<7>0
3.0000
2.9925 „,
74
2.9851
74
2.9777
74
2.9703
74
2.9629 _
73
2.9556 „Л
73
2.9483 ^п
72
2-9411 ™
72
2.9339
72
2.9267 ,
71
2.9196
2.9125
2.9054
2.8983
70
2.8913 70
2.8843 69
2.8774 б9
2.8705 м
69
2.8636
69
2.8567 „п
68
2.8499 „Л
68
2.8431 еп
68
2.8363
67
2.8296
67
2.8229 _
67
2.8162 _
67
2.8095 „
66
2.8029
66
2.7963
66
2.7897
<7<0
3.0000
3.0075 „„
76
3.0151 _
76*
3.0227 „„
76
3.0303
76
3.0379 т
77
0.0456 ^0
78
3.0534
3.0611 „
78
3.0689
79
3.0768 „
79
3.0847 „ft
79
3.0926 ^Л
79
3.1005 ОЛ
80
3.1085
81
3.1166
3.1247
3.1328 f1
81
3.1409
82
3.1491
82
3.1573
83
3.1656
83
3.1739 Л
84
3.1823
84
3.1907
84
3.1991
3.2076
85
3.2161
85
3.2246
86
3.2332
87
3.2419
lg/
?>0
0.47712
0.47604 *
109
0.47495 1ПП
108
0.47387 _
107
0.47280
108
0.47172
0.47065 J
0.46958
0.46851
0.46744
106
0.46638 1Л„
106
0.46532 _
106
0.46426 ,Л„
106
0.46320 ,Л„
105
0.46215
106
0.46109
0.46004
0.45900 Л„
105
0.45795 1П,
104
0.45691
105
0.45586
0.45482
0.45379
0.45275 чм
103
0.45172
103
0.45069 ^м
л 103
0.44966 <л
103
0.44863 ,лл
102
0-44761 ,лл
102
0.44659
102
0.44557
с7<0
0.47712
0.47821 "»
0.47930 l 9
109
0.48039 У
0.48148 109
ПО
0.48258
0.48368 И0
0.48478 И0
0.48588 110
111
0.48699
111
0.48810
0.48921 Ш
0.49032 1П
1 "1 О
0.49144 11Z
11 О
0.49256 пл
112
0.49368
0.49480 112
0.49593 П3
113
0.49706 .
0.49819 П3
113
0.49932
114
0.50046
0.50159 П3
0.50274 115
114
0.50388
115
0.50503
0.50618 П5
0.50733 115
0.50848 115
0.50964 П6
116
0.51080
1 <7і
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
0.017
0.018
0.019
0.020
0.021
0.022
0.023
0.024
0.025
0.026
0.027
0.028
0.029
0.030

400
Таблицы
Таблица IV.
Различные постоянные величины, употребляемые при вычислении возмущений.
Число Логарифм
Радиус круга в градусах 57°29577951 1.7581226 324
. . минутах 3437^746771 3.5362738828
, •„ секундах .... 206264*806247 5.3144251332
Гауссова постоянная
*
**
*'
0.017 20209895
3548Д8761
0.000 2959122
8.2355814414-10
3.550 0066
6.4711629—10
Интервал w —
I0rf
20*
40d
80'
Планета
m
Верхняя строка дает lg (w%*rn)
Нижняя строка дает lg (10r иРфт)
Меркурий
Венера
Земля -f- Луна . . .
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун .
Плутон
6000000
408 000
329390
3093500
1047.355
3501.6
22869
19700
350 000 \
7.7719—10
8.6930—10
8.9394-^10
9.8605—10
9.0323—10
9.9534-10
8.0596-10
8.9807—10
1.529913
2.451 069
1.00574
1.92690
0.1908
1.1119
0.2556
1.1767
8.0729-10
9,2951-10
р.2404—10
0,4626
9.3333—10
0.5555
8.3606-10
9.5828—10
1.830 943
3.053129
1.30677
2.52896
0.4918
1.7140
0.5566
1.7788
8.3739—10
9.8972—10
9.5414-10
1.0646
9.6344-10
1.1576
8.6616—10
0.1848
2.131 973
3.655189
1.60780
3.13102
0.7928
2.3160
0.8576
2.3808
\g{w*l?) =
0.0295912
8.471 163-10
0.118365
9.073223-10
0.473 460
9.675283—10
8.6749-10
0.4993
9.8424—10
1.6667
9.9354—10
175963
8.9626-10
0.7869
2.433003
4.257 249
1.90883
3.73308
1.0938
2.9181
1.1586
2.9829
9.909-10
1.733
1.893 838
0.277 343

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие 3
Часть первая.
Основы теории возмущенного движения.
Глава I. Проблема п тел.
§ 1. Интегралы проблемы п тел 5
§ 2. Проблема л тел приводится к интегрированию системы 6л — 12 порядка
и двум квадратурам . 7
§ 3. Уравнения относительного движения 9
§ 4. Вторая форма уравнений относительного движения 11
§ 5. Формула Якоби 14
§ 6. Неизменная плоскость Лапласа 16
Глава II. Уравнения движения в полярных координатах.
§ 7. Уравнения движения в цилиндрических координатах 19
§' 8. Уравнения Клэро-Лапласа 20
§ 9. Применение уравнений Клэро-Лапласа к изучению движения в
сопротивляющейся среде • 23
Глава III. Метод вариации произвольных постоянных.
§ 10. Оскулирующие элементы 27
§ 11. Дифференциальные уравнения, определяющие оскулирующие элементы . 29
§ 12. Сопоставление формул . 35
§ 13. Уравнения Лагранжа 3/
§ 14. Другой вывод уравнений Лагранжа 40
§ 15. Возмущения элементов .45
§ 16. Долгопериодические возмущения 48
§ 17. Вековые возмущения 50
§ 18. Способ Пуассона 51
Глава IV. Канонические элементы.
§ 19. Канонические уравнения 54
§ 20. Канонические преобразования 58
§ 21. Способ Якоби для решения канонических систем . - . . 61
§ 22. Применение метода вариации произвольных постоянных к каноническим
элементам 62
§ 23. Канонические элементы эллиптического движения 63
§ 24. Применение канонических элементов к выводу уравнений Лагранжа . . 67
§ 25. Канонические элементы Делоне и Пуанкаре 69
Глава V. Применение канонических переменных к изучению возмущений.
§ 26. Каноническая форма уравнений относительного движения 71
§ 27. Интегралы площадей . . . 74
§ 28. Выражение прямоугольных координат через канонические элементы ... 75
§ 29. Выражение пертурбационной функции через канонические переменные . 79
§ 30. Теорема Пуанкаре о ранге . . . „ , 81
§ 31. Теорема Пуассона 86
§ 32. Теорема Пуанкаре о классе 89
§ 33. Возмущения наименьшего класса 91
§ 34. Метод Делоне-Хилла для вычисления додгопериодических возмущений . 94
Курс Ыебеоной механики 26

402
Оглавление
Глава VI. Некоторые частные случаи проблемы трех тел.
§ 35. Введение 97
§ 36. Уравнения, определяющие лагранжевы движения. Случай неколлинеарного
движения . 98
§ 37. Случай коллинеарного лагранжева движения ЮЗ
Глава VII. Ограниченная проблема трех тел.
§ 38. Уравнения движения. Интеграл Якоби 107
§ 39. Поверхности нулевой скорости 108
§ 40. Особые точки поверхностей нулевой скорости Ц2
§ 41. Периодические решения ограниченной проблемы трех тел ....... 117
§ 42. Движение вблизи коллинеарных точек либрации П9
§ 43. Движение вблизи треугольных точек либрации 124
§ 44. Применение нормальных координат 126
§ 45. Критерий Тиссерана 129
Часть вторая.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений и его применение
к изучению движения светил.
Глава VIII. Численное интегрирование дифференциальных уравнений.
§ 46. Введение 132
§ 47. Выражение производных через разности 133
§ 48. Интегрирование уравнений первого порядка. Разностные методы .... 136
§ 49. Метод квадратур для уравнений первого порядка - 138
§ 50. Вторая форма метода квадратур для уравнений первого порядка .... 140
§ 51. Пример интегрирования уравнения первого порядка 142
§ 52. Интегрирование уравнений второго порядка. Вычисление интеграла,
заданного двумя значениями . 146
§ 53. Другой случай вычисления интеграла уравнения второго порядка,
заданного двумя значениями ... . . 150
§ 54. Вычисление интеграла, определенного начальной точкой и начальной
скоростью 153
§ 55. Пример численного интегрирования уравнения второго порядка 156
§ 56. Формулы квадратур - 159
§ 57. Обоснование способа последовательных приближений . . . . • 162
§ 58. Различные приемы дня уменьшения числа последовательных приближений. 163
§ 59. О формуле квадратур Лапласа и связанных с ней методах численного
интегрирования уравнений 167
§ 60. О коэффициентах формул численного интегрирования 169
Глава IX. Применение численного интегрирования к изучению невозмущенного
движения.
§ 61. Введение 171
§ 62. Вычисление координат, определяющих положение светила в орбите . . . 171
§ 63. Пример вычисления орбитальных координат при помощи численного
интегрирования * 173
§ 64. Вычисление эфемериды при помощи численного интегрирования
уравнений движения 175
§ 65. Другие способы для вычисления эфемериды при помощи численного
интегрирования 177
Глава X. Вычисление возмущений в элементах.
§ 66. Общие соображения 179
§ 67. Вычисление компонентов возмущающего ускорения 182
§ 68. Другие способы вычисления компонентов возмущающего ускорения* . . 184
§ 69. Табулирование коэффициентов • .... 186
§ 70. Сопоставление формул . . . 188
§ 71. Особые случаи вычисления возмущений элементов малых планет .... 190
§ 72. Некоторые особенности вычисления возмущений элементов кометных
орбит 192
§ 73. Приближенное вычисление возмущений малых планет 195
Глава XI. Вычисление возмущений в координатах.
§ 74. Прямое вычисление возмущенных координат (метод Коуэлла) 198
§ 75. Сопоставление формул для применения метода Коуэлла 200
§ 76. Метод Энке 203

Оглавление
403
Часть третья.
Аналитические методы изучения возмущенного движения.
Глава XII. Разложение координат эллиптического движения в ряды.
§ 77. Введение 208
§ 78. Функции Бесселя 210
§ 79. Вычисление функций Бесселя - , . 213
§ 8U. Разложение эксцентрической аномалии и ее функций по кратным
средней аномалии 215
§ 81. Преобразование ряда, расположенного по кратным эксцентрической
аномалии', в ряд, расположенный по кратным средней аномалии . . , 220
§ 82. Разложение некоторых функций координат эллиптического движения . . 222
§ 83. Коэффициенты Ганзена 226
§ 84. О сходимости рядов, представляющих координаты эллиптического
движения 228
§ 85. Вычисление долготы и широты планеты 232
Глава XIII. Разложение пертурбационной функции в ряд.
§ 86. Введение. Разложение по стеленям взаимной наклонности 233
§ 87. Случай круговых орбит 235
§ 88. Разложение пертурбационной функции по степеням эксцентриситетов.
Метод Ньюкома * . . . . ¦ 238
§ 89. Окончательная форма разложения пертурбационной функции 242
§ 90. Начальные члены разложения пертурбационной функции 245
§ 91. Численные методы разложения пертурбационной функции 247
§ 92. Метод Ганзена ". . . . 249
Глава XIV. Коэффициенты Лапласа.
§ 93. Вычисление коэффициентов Лапласа при помощи рядов 253
§ 94-. Рекуррентные соотношения между коэффициентами Лапласа 256
§ 95. Выражение коэффициентов Лапласа определенными интегралами .... 258
§ 96. Вычисление производных коэффициентов Лапласа. Метод Ньюкома . ¦ 260
Глава XV. Аналитические методы определения возмущений элементов.
§ 97. Преобразование дифференциальных уравнений, определяющих элементы
орбиты 266
§ 98. Возмущения элементов 269
§ 99. Возмущения элементов (второй порядок относительно масс) 272
§ 100. Переход от возмущений в элементах к возмущениям в координатах.
Построение таблиц 273
§ 101. Вычисление вековых возмущений по методу Гаусса 277
§ 102. Дифференциальные уравнения, данные Лагранжем для определения веко-
чвых возмущений 280
§ 103. Тригонометрические выражения вековых возмущений 2*5
§ 104. Вековые возмущения больших планет 287
§ 105. Вековые возмущения малых планет 291
Глава XVI. Аналитические методы определения возмущений координат.
§ 106. Уравнения возмущенного движения в ганзеновских координатах .... 293
§ 107. Переход к полярным координатам в плоскости оскулирующей орбиты . . 297
§ 108. Случай невозмущенного движения 298
§ 109. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения радиуса-вектора 299
§ ПО. Метод Лапласа-Ньюкома. Возмущения долготы. Вычисление
гелиоцентрических коо'рдинат 303
§111. Первоначальная форма метода Лапласа 304
§ 112. Вычисление возмущений прямоугольных координат 306
§ 113. Метод Хилла ..... 308
§ 114. Основные идеи метода Ганзена 312
§ 115. Вычисление производных.пертурбационной функции по координатам. . 314
Часть четвертая.
Теория движения Луны.
Глава XVII. Основы теории движения Луны. Теория Лапласа.
§ 116. Общий характер движения Луны • 317
§ 117. Краткий исторический обзор развития теории движения Луны .... 320
§ 118. Дифференциальные уравнения основной проблемы 322

404
Оглавление
§ 119. Первое приближение 325
§ 120. ^Вычисление координат Солнца * 328
§ 121. Об интегрирование уравнений возмущенного движения во втором и
следующих приближениях 331
§ 122. Уравнения, определяющие наибольшие периодические неравенства . . . 332
§ 123. Второе приближение 335
§ 124. Зависимость между долготою и временем во втором приближении . . „ 337
§ )25. Вековое ускорение среднего движения Луны 340
§ 126. Периодические неравенства долготы 343
§ 127. Выражение радиуса-вектора и широты в функции времени 345
§ Г28. Дальнейшее развитие теории Лапласа 346
Глава XVIII. Теория движения Луны, основанная на работах Хилла.
§ 129. Введение 350
§ 130. Уравнения движения 351
§ 131. Преобразование Хилла ... 353
§ 132. Вариационная кривая • - 355
§ 133. Вычисление коэффициентов 358
§ 134. Общие выражения коэффициентов . • . . . 361
§ 135. Орбиты бесконечно близкие к вариационной кривой . 364
§ 136. Некоторые свойства уравнения Хилла 370
§ 137. Применение способа неопределенных коэффициентов 373
§ 138. Вычисление определителя Д(0) 376
§ 139. Вычисление коэффициентов 378
§ 140. Важнейшие неравенства движения Луны 379
§ 141. Неравенства, зависящие от эксцентриситета лунной орбиты 384
§ 142. Неравенства, зависящие от наклонности лунной орбиты 386
Таблицы.
Таблица I. Коэффициенты разложений С^'т по степеням эксцентриситета . . . 391
Таблица II. Коэффициенты разложений S^m по степеням эксцентриситета . . . 395
Таблица III. Функция Энке / (q) и ее логарифм 399
Таблица IV. Различные постоянные величины, употребляемые при вычислении
возмущений ««. 400
Ответственный редактор И. М. Хентов Технический редактор Р. В. Эмдина
Корректор И. И. Поляков
Сдано в набор 13/Х 1936 г. Подписано к печати 9/Ш 1937 г. Формат бум. 72х105кДв
Бум. листов 251/*. Тип, зн, в 1 бум. л. 62.0OU
Леноблгорлит № 609. Тираж 2.200. Уч.-авт. л. 30,04 Заказ № 6250.