/
Текст
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Спектральный анализ — это один из методов обработки сигна-
сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав из-
измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математи-
математической основой, которая связывает временной или пространст-
пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его
представлением в частотной области. Методы статистики игра-
играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы,
как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если
бы основные статистические характеристики сигнала были изве-
известны точно или же их можно было бы без ошибки определить
на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ
представл-ял бы собой отрасль точной науки. Однако в дейст-
действительности по одному-единственному отрезку сигнала можно
получить только некоторую оценку его спектра. Поэтому прак-
практика спектрального анализа после 1880-х гг. постепенно стала
превращаться в некое ремесло достаточно субъективного харак-
характера, которое наряду с использованием научного подхода тре-
требовало также определенного уровня эмпирического искусства.
Трудность задачи спектрального оценивания иллюстрирует-
иллюстрируется рис. 1.1, на котором показаны две типичные спектральные
оценки, полученные в результате обработки одной и той же ко-
конечной выборочной последовательности с помощью двух раз-
различных методов спектрального оценивания. Оба графика на
этом рисунке характеризуют распределение интенсивности сиг-
сигнала по частоте. Точное значение термина «интенсивность» сиг-
сигнала, выраженное в единицах энергии или в единицах энергии
на единицу времени (мощности), будет дано в гл. 2 и 4. Еди-
Единицы измерения частоты, принятые в данной книге, — это гер-
герцы для временных сигналов и циклы на метр (волновое число)
для пространственных сигналов. Интенсивность сигнала Р{!)
на частоте / обычно выражается в децибелах относительно мак-
максимальной спектральной интенсивности Р„аКс для всех частот и
вычисляется в соответствии с выражением 10Ig[P(f)/PMaKc].
Следовательно, максимальной интенсивности соответствует уро-
о о о
?-30
5-40
S
? -50
s fifl
_
-J
/ ^
i
!
2
I ^
1 1 1
4
Частота,
1
6
ru
Введ
1 1 ~
ение
Ш °
?-30
5-50
s
6 10 0
7
I
j
4a
I
\ ДА
V/
6
J
I (
\
8 10
Рис. 1.1. Две различные спектральные оценки, полученные пощной и той же
совокупности измеренных данных.
вень 0 дБ, Значительное различие между двумя пектральны-
ми оценками, приведенными на рис. 1.1, можн> объяснить
различием допущений, принятых относительно дашых, а также
способом усреднения, использованного для учета сатистическо-
го влияния шума, присутствующего в анализируеилх данных.
В ситуации, когда априори характеристики сигнао не извест-
известны, трудно сказать, какая из двух приведении: спектраль-
спектральных характеристик с большей достоверностью иэбражает ис-
истинный спектр анализируемого сигнала. На певый взгляд
оценка на рис. 1.1,6 имеет более высокое разрешеше, чем оцен-
оценка на рис. 1.1, а, однако это может быть обусловлено каким-то
ухищрением при обработке, использованным дл получения
оценки, представленной на рис. 1.1,6, а не дейстнтельным на-
наличием тонких деталей, которые существуют в itom спектре.
Такого рода неопределенности, очень часто вояикающие на
практике, иллюстрируют субъективный характер спектрально-
спектрального анализа.
Классические методы спектрального оценивния обстоя-
обстоятельно изложены в различных учебных руководсзах, к числу
наилучших из которых следует, по всей видимости отнести кни-
книги Блэкмана и Тьюки [6] и Дженкинса и Ватта [14]. После
публикации этих и близких по тематике книг ста расти инте-
интерес к альтернативным методам спектрального оюнивания, об-
обладающим лучшими характеристиками при ^пользовании
последовательностей данных ограниченной длиш, с которыми
очень часто приходится иметь дело на практике В частности,
стали появляться новые методы спектрального о!енивания, ко-
которые имеют очевидное преимущество по частотюму разреше-
разрешению по сравнению с классическим спектральным оцениванием.
14 Глава 1
Например, для изучения характеристик внутриимпульсной мо-
модуляции в радиолокаторах в пределах длительности очень ко-
короткого радиолокационного импульса можно осуществить лишь
несколько временных отсчетов. В случае гидролокатора можно
сделать большее число подобных отсчетов, но движение цели
заставляет ограничиваться короткими интервалами наблюде-
наблюдения, с тем чтобы гарантировать неизменность статистик цели
иа интервале анализа. В данной книге основное внимание уде-
уделено новым, или «современным», методам спектрального оце-
оценивания, которые были разработаны в течение примерно
15 последних лет. В этом смысле книга как бы дополняет ма-
материал по классическим методам спектрального оценивания,
содержащийся в ранее вышедших книгах. Все описанные в ней
методы предполагают использование выборочных цифровых дан-
данных, что отличает ее от некоторых ранее опубликованных учеб-
учебников, в которых рассматриваются только непрерывные дан-
данные.
Цель каждой главы этой книги — обеспечить читателю по-
понимание тех-допущений, которые положены в основу того или
иного метода или методов. В начале каждой главы дается крат-
краткое описание метода (или методов), которому посвящена эта
глава, что позволяет читателю быстро реализовать соответст-
соответствующую спектральную оценку, не обращаясь к более тонким
теоретическим вопросам, излагаемым в данной главе. Приво-
Приводится также ряд полезных рекомендаций практического харак-
характера, но никаких попыток сравнительной классификации опи-
описываемых методов спектрального оценивания в книге не дела-
делается. В книге помещен целый ряд машинных программ спект-
спектрального оценивания; пользователю следовало бы, вероятно,
опробовать некоторые из них на своих экспериментальных дан-
данных, что позволило бы составить более глубокое представление
об измеряемом процессе по каким-либо конкретным особеннос-
особенностям, общим для всех выбранных оценок. Для обеспечения общ-
общности изложение материала ведется применительно к комп-
лекснозначным сигналам, поскольку использование таких сиг-
сигналов становится общепринятой практикой в системах цифро-
цифровой обработки сигналов. В приложении 2.Б описаны два типич-
типичных источника комплекснозначных сигналов.
Высветить перспективу развития спектрального анализа
можно, обратившись к его историческим корням. Дальнейшее
представление о путях его становления можно получить, рас-
рассматривая некоторые конкретные вопросы спектрального оце-
оценивания. Обеим этим темам посвящены остальные разделы
этой главы. Завершает главу краткий подраздел, где даны ре-
рекомендации относительно пользования материалом данной
книги.
Введение Ь
1.1. Историческая перспектива
С древнейших времен у людей возникло представление щик
лических, или повторяющихся, процессах, т. е. иными слому
сформировались те фундаментальные понятия, которые эжа1
в основе современных методов спектрального оценивани Бе
выполнения точного математического анализа древние шил!*
зации не смогли бы составлять календари и измерять врая m
результатам своих наблюдений периодичностей в длителгост[
суток и года, сезонных изменений, фаз Луны и движени дру-
других небесных тел, таких как планеты. В VI веке до наци эр1
Пифагор установил соотношение между периодичностьюшст>
синусоидальных колебаний, соответствующих музыкальнь зву-
звукам, порождаемым струной постоянного натяжения, и ч:ло\
характеризующим длину этой струны. Пифагор счита. чв
сущность гармонии выражается в числах. Он расиросанщ
это эмпирическое соотношение на описание гармониюкоз
движения небесных тел, описав его как «музыку сфер».
Математические основы современных методов спектраьноо
оценивания берут свое начало в XVII веке в работах Ьаан
Ньютона, который в результате наблюдений установи. чт>
солнечный свет, прошедший через стеклянную призму, азл-
гается на многоцветную полосу, что каждому цвету согаетс-
вует своя длина волны и что белый солнечный свет со.ржп4
все длины волн. Именно Ньютон был первым, кто пришил в
1671 г. слово spectrum («спектр») [21] в качестве hmhod
термина, для описания полосы цветов солнечного свег. Эо
слово является вариантом латинского слова specter, озачар-
щего «образ» или «признак». Прилагательное от spectru им;-
ет форму spectral («спектральный»). Следовательно, п]дпа-
тительнее употреблять термин spectral estimation («спе:рал-
ное оценивание)», а не термин spectrum estimation («oihhbi-
ние спектра»). В своих «Принципах» [22J Ньютон дал грвуо
математическую трактовку периодичности волнового двкени,
которое экспериментально наблюдал Пифагор.
Решение волнового уравнения для колеблющейся музг-
кальной струны было получено в 1738 г. Даниилом Биул.и
[5], который исследовал общее решение для смещения (х, )
струны в точке х в момент времени t (концевым точка стгг-
ны соответствуют х = 0 и х = п). Это общее решение имт вд
и(х, 0= 2 sinkx{Akcoskct + Bksinkct),
(И)
где с — физическая количественная характеристика мариао
струны, определяющая скорость бегущих по струне вол.
В 1755 г. Леонард Эйлер [10] показал, что коэффициенты At
и Bh ряда, определяемого выражением A.1) и впоследствии
названного рядом Фурье, являются решениями следующих
уравнений:
Ак — —\"и(х, 0)sinkxdx,
В„ = -| \* и (х, 0) cos kx dx.
A.2)
В 1822 г. французский инженер Жан Батист Жозеф Фурье в
своей диссертации «Аналитическая теория тепла» [11] обоб-
обобщил результаты, полученные для волнового уравнения, пока-
показав, что любую произвольную функцию и(х), даже обладающую
конечным числом разрывов, можно представить в виде беско-
бесконечной суммы синусных и косинусных членов
и(х)= 2 (Аьcoskax + Вksinkax).
A.3)
Раздел математики, устанавливающий соотношение между
функцией и(х) (или ее отсчетами) и коэффициентами Ак и Вц,
стали называть гармоническим анализом вследствие связи
функции с синусными и косинусными членами этой суммы.
Начиная с середины XIX века на основе гармонического
анализа были разработаны практические методы изучения та-
таких феноменологических данных, как звук, погода, активность
солнечных пятен, девиация магнитного компаса, течения рек и
изменения высоты ириливов. Во многих из этих явлений основ-
основной период был либо замаскирован шумом из-за погрешностей
измерений, либо был необнаружим визуально. Кроме того, не-
нередко присутствовали вторичные периодические компоненты,
гармонически не связанные с основной периодической компо-
компонентой. Все это несколько затрудняло получение оценок раз-
различных периодичностей. Ручное вычисление коэффициентов ря-
ряда Фурье с помощью прямых расчетов или графических мето-
методов оказалось исключительно трудоемким делом и, как прави-
правило, ограничивалось применением к очень небольшим совокуп-
совокупностям данных. Для облегчения анализа были разработаны
механические гармонические анализаторы. В основу этих счет-
счетных машин были положены механические интеграторы, или
планиметры, поскольку они позволяют определять площадь об-
области под кривыми вида u{x)sinkx и u(x)coskx на интервале
О^х^-п, тем самым обеспечивая расчет коэффициентов ряда
Фурье. Английский физик Уильям Томсон (он же лорд Кель-
Кельвин, именем которого названа абсолютная температурная шка-
шкала) создал первый механический гармонический анализатор,
Введение
17
снованный на изобретнном его братом Джеймсом ТомсЪном
ланиметре, обрабатыввшем произведения двух ф'ункций, т.е.
ычислявшем величию интеграла /м(8H@)й6, который
юсле некоторых изменяий был приспособлен для вычисления
юсинусных и синусныхфункций. На рис. 1.2, а и 1.2,3 показа-
ы различные варианть практической реализации этого прибо-
р. Отслеживающий шифт вручную перемещается вдоль гра-
«ического изображения анализируемой кривой, а значения ко-
ффициентов считываюгя с интегрирующих цилиндров. Один
штегрирующий цилинд] позволяет рассчитывать коэффпциен-
ы только до третьей гэмоники. Этот анализатор использовал-
использовался Британским метеорпогическим ведомством для анализа
оафических записей суочных изменений температуры и ат-
юсферного давления. 1з-за своих размеров и веса этот при-
<ор, по свидетельству яевидцев тех лет, практически не вы-
юсился из помещения, в котором он был первоначально уста-
ювлен. Последующие совершенствования гармонических ана-
лзаторов были осушствлены О. Хенрики [13] (см. рис.
12,C), А. Шарпом [36J Дж. Ю. Юлом [47] и американскими
(изиками Албертом А. Дайкельсоном (имя которого стало ши-
рко известным в связи с проведенным им измерением скоро-
<ги света) и У. Стрэттяом [20]. Отличительная особенность
врмонического анализггора Майкельсона — Стрэттона, в ко-
т>ром применялись спи альные пружины, состояла в том, что
и мог не только одновременно обрабатывать 80 гармоник, но
i выполнять роль синтеатора (вычислять обратное преобразо-
вние Фурье), посколы? позволял суммировать составляющие
]яда Фурье. Майкельсн использовал эту счетную машину в
еоих оптических исслерваниях, за которые вспоследствии был
удостоен Нобелевской ]ремии. В качестве синтезатора эта ма-
гана позволяла суммирвать интерференционные полосы, соот-
ктствующие простым гармоническим кривым, а в качестве
нализатора — разлагат, кривую видности на гармонические
оставляющие, характерзуя тем самым распределение интен-
ивности света в наблюдаемом источнике.
Результаты гармони еского анализа, получаемые в то вре-
ш, иногда использовалсь для синтеза периодического колеба-
мя по гармоническим оставляющим для целей предсказания
т. е. представления поледовательности данных моделью в ви-
^ ряда Фурье). Одно в самых первых подобных применений
еязано с прогнозировашем высоты приливов. Используя пря-
]ые ручные вычислени), Уильям Томсон выполнил гармониче-
кий анализ записей мреографа в портах Великобритании,
гачиная с записей 1866г.; к 1872 г. он разработал машину для
1рогноза высоты прилиов, в которой использовались значения
коэффициентов, определяемых с помощью его метода гармони-
2-1366
гж
Введение 19
ческого анализа. Более поздние модификации этой машины (см.
рис. 1.2, г) могли объединять до 10 гармонических составляю-
составляющих приливной волны, которые с помощью рычажно-шкивного
механизма вводились как функции порта, для которого осуще-
осуществлялся прогноз. Устройство Томсона для прогноза высоты
приливов представляло собой достаточно большую машину с
размерами основания 3 на 6 футов (около 0,9 на 1,8 м). При-
Примерно за четыре часа работы она вычерчивала кривые высоты
приливов на год вперед для одной морской гавани. Устройство
для прогноза высоты приливов, построенное в 1882 г. Уилья-
Уильямом Феррелом и находящееся сейчас в экспозиции Смитсо-
новского музея в Вашингтоне, фед. окр. Колумбия (США), ис-
использовалось береговой и геодезической службой США для со-
составления таблиц высоты приливов в период с 1883 по 1910 г.
И хотя механические гармонические анализаторы и оказа-
оказались полезными для оценивания свойств временных рядов с
очевидными периодичностями (плавно изменяющихся времен-
временных последовательностей при наличии слабого шума или при
его полном отсутствии), численные методы гармонического ана-
анализа (подгонка рядов Фурье) все еще требовались для оцени-
оценивания скрытых периодичностей в сильно зашумленных данных
(описываемых в литературе тех лет как данные с «нерегуляр-
«нерегулярными флюктуациями») или для оценивания характеристик сиг-
сигналов с негармоническим соотношением периодов. Из большо-
большого числа ученых, которые в своей работе использовали гармо-
гармонический анализ, наиболее глубокое влияние на формирование
того, что теперь считается классическими методами спектраль-
спектрального оценивания, оказал А. Шустер [30—32, 34, 35]. Он, в ча-
частности, предложил, чтобы график для квадрата огибающей
Sji = A2h-\-B2h коэффициентов преобразования Фурье (величина,
впервые введенная Стоксом [38])
A.4)
' и (t) sin ktdt
Рис. 1.2. Механические гармонические анализаторы и синтезаторы XIX века,
позволявшие вычислять прямое и обратное преобразования Фурье: а — первый
гармонический анализатор Кельвина A876 г.); б — гармонический анализатор
и синтезатор Майкельсона —Стрэттона A898 г.); в — гармонический анализа-
анализатор Хенрики — Коради A894 г.); г — гармонический анализатор Кельвина для
прогнозирования высоты приливов (около 1890 г); д — первая действующая
модель 7-дискового гармонического анализатора Кельвина, вычислявшая сред-
среднее значение и 6 гармоник A878 г.). (Фотографии любезно предоставлены
Музеем науки, Лондон, Великобритания.)
20 Глава 1
вычислялся на отрезке из я целых периодов Го, где следует
положить к — 2п1Тц. (Здесь использованы обозначения Шусте-
Шустера.) Шустер назвал свой метод — методом периодограмм [31J.
Периодограмма могла бы в принципе вычисляться и на неко-
некотором континууме периодов (обратных частот), и в своей статье
Шустер указал многочисленные трудности, связанные с вычис-
вычислением периодограммы, и характерные ее особенности. Изме-
Изменяя начало отсчета времени т, Шустер получал образцы перио-
периодограммы с различными нерегулярными изменениями, причем
эти периодограммы иногда содержали ложные пики (Шустер
называл их «случайными периодичностями») там, где в дейст-
действительности никакой периодичности не существовало. Шустер
из своего опыта гармонического анализа оптических спектров
[29, 33] знал, что усреднение значений S&, полученных для раз-
различных отрезков последовательности данных (при фиксирован-
фиксированном периоде Го) необходимо для сглаживания периодограммы
(получения «средней периодограммы» в его терминологии)
и устранения ложных пиков. И хотя Шустер установил необ-
необходимость усреднения, практическая его реализация требовала
вычислительных средств, далеко выходящих за рамки имею-
имеющихся в те годы технических возможностей. Процитируем од-
одну из статей Шустера того времени (см. [31J, с. 25):
«Периодограмма в том виде, как она определена уравне-
уравнениями -[1.4J, обнаруживает нерегулярное поведение, а ее
форма зависит также от т. При оптическом анализе света
нам мог бы помочь тот факт, что глаз человека восприни-
воспринимает результат усреднения на некотором большом числе со-
соседних периодов, а также результат усреднения (относитель-
(относительно времени) интенсивности излучения на любом отдельном
периоде. ...Если бы мы придерживались этой оптической
аналогии, то нам следовало бы изменять время т. ...непре-
...непрерывно и брать среднее значение величины г = ]/Л2+В2, по-
получаемой таким путем для каждого значения k..., но это
потребовало бы почти неприемлемых затрат труда».
Глубокий теоретический анализ статистических основ усредне-
усреднения был выполнен лишь спустя тридцать лет в работе Н. Вине-
Винера, и примерно пятьдесят лет отделяло эти слова Шустера от
практической реализации методов статистического усреднения,
основанных на алгоритмах быстрого преобразования Фурье,
и появления цифровых вычислительных машин, значительно
облегчивших бремя «неприемлемо» больших вычислительных
затрат.
Шустер понимал также, что боковые лепестки (которые он
называл «ложными периодичностями») вокруг главных лепест-
лепестков в периодограмме являются неотъемлемой особенностью
Введение 21
любого метода анализа Фурье записей данных конечной длины.
Понимание Шустером причин появления боковых лепестков
объяснялось тем, что он мог увидеть здесь аналогию с появле-
появлением дифракционных полос в оптическом спектроскопе из-за
ограниченной пространственной апертуры («ограниченной раз-
разрешающей силы») этого прибора. Шустер отмечал, что многие
исследователи его времени ошибочно утверждали, что все
максимумы в периодограмме обусловлены скрытыми периодич-
периодичностями, тогда как на самом деле это были просто боковые ле-
лепестки, а вовсе не истинные периодичности. Помимо причин по-
появления ложных периодичностей Шустер понимал также и
причины периодограммных оценок в тех случаях, когда интер-
интервал измерений не был точно целочисленным кратным анализи-
анализируемого периода. Многие ученые во времена Шустера полагали,
что спектр белого света можно рассматривать как некоторую
совокупность из очень близких монохроматических спектраль-
спектральных линий (аналогично спектру белого шума, который тогда
рассматривался как совокупность гармонических частотных со-
составляющих), но Шустер смог экспериментально показать, что
белому свету соответствует континуум частот. Впоследствии
Винер смог обобщить эту аналогию с белым светом на стоха-
стохастические процессы типа белого шума.
Шустер применил периодограмму для отыскания скрытых
периодичностей в записях метеорологических наблюдений, за-
записях магнитного склонения и рядах чисел солнечных пятен.
Анализ периодограммы ряда чисел солнечных пятен [35] пред-
представляет для нас определенный практический интерес, по-
поскольку эти числа будут использоваться в данной книге в каче-
качестве некоторого «пробного камня» для описываемых методов
спектрального оценивания; (см. следующий подраздел, где да-
дана более подробная информация относительно наблюдения и
регистрации солнечных пятен). Шустер выполнил предвари-
предварительную обработку среднемесячных значений числа солнечных
пятен за период с 1749 по 1894 г. Периодограммный анализ
позволил дать оценку цикла солнечных пятен, равную
11,125 года. Это число легло в основу того 11-летнего цик-
цикла солнечных пятен, которое упоминается в литературе по аст-
астрономическим вопросам.
Вообще говоря, периодограмма временного ряда, состояще-
состоящего из синусоиды с частотой fo герц и «наложенных на нее не-
нерегулярных флюктуации» (аддитивного шума), должна иметь
пик в точке, соответствующей периоду Го = 1До. Однако многие
исследователи начала нашего столетия считали, что периодо-
периодограммы, вычисленные по зашумленным данным, будут иметь
значительные погрешности и вообще не будут содержать ка-
каких-либо доминирующих пиков, которые могли бы свидетельст-
Phi 1.3. Периодограммы белого гаусова шум при различной длине исполь-
зуаой записи данных: (a) ЛГ-8; (S;JV=32; Ц) JV=128; (г) JV = 512. Нетруд-
Нетрудно шдеть, что с ростом длины запиа данныхпериодограмма не уплощается,
а нчинает все сильнее и сильнее флжтуировгь. (СПМ — спектральная плот-
плотность ощности
воать о наличии периодичнатей в анализируемых данных.
Прчем это считалось справаливымдаже тогда, когда длина
заиси данных существенно возраспла. Примеры таких пе-
ри>дограмм показаны на рис. 1.3, из которого видно, что с ис-
по[ьзованием все большего ибольшео числа отсчетов данных
пе'иодограмма начинает все :ильнее и сильнее флюктуиро-
ваь. Все это привело к тому,1то на есколько десятилетий ин-
теес к периодограммам знач1тельно ослабел, и это, к сожа-
лешю, в основном можно объяснить лишь тем, что большин-
сто исследователей пренебрегло уреднением, использовать
коорое предлагал Шустер. Суцкий [37] и несколько позднее
Дяьелл [9] независимо устаговили, что флюктуации перио-
дораммы белого шума имею ту жевеличину, что и среднее
знчение самой этой периодопаммы.Эти флуктуации оказыва-
лиь в основном некоррелиргаанныю для соседних частот
(ci. приложение 4.А, где дананализэтого независимо от дли-
нь отрезка временного ряда, доступюго для анализа). Слуц-
ки! и Даньелл высказали прдположние, что флюктуации пе-
рюдограммы можно уменышгь посредством ее усреднения по
Введение
23
соседним частотам. Эта идея лежит в основе одного и мето-
методов сглаживания периодограммы, который описан в гл. I
Спад интереса к периодограммам привел к появлеию су-
существенно отличного метода анализа, который в 1927г. был
предложен английским статистиком Дж. Юлом. Для отюкания
одной-двух периодичностей в исследуемых данных Юлприбег
к моделированию временного ряда, основанному на лшейном
регрессионном анализе [48J. Юла интересовала главны! обра-
образом более высокая точпость определения основной перидпчно-
сти в ряде чисел солнечных пятен и отыскание в нем дшолни-
тельных периодичностей. Интуитивно Юл понимал, чт> гипо-
гипотеза о «суперпозиции нерегулярных флюктуации» (аддггивном
шуме) для периодограммы Шустера в случае солнечны пятен
могла оказаться неверной. Юл считал, что описывать числа
солнечных пятен эффективнее другой моделью временюго ря-
ряда для этого физического явления, а именно рекурсивнш гар-
гармоническим процессом, порождаемым некоторым цгмовым
процессом, или «возмущениями», как Юл называл от.ельные
отсчеты шума. Используя простое тригонометрическо тож-
тождество
sin (kx) = 2 cos (х) sin ([ft — 1] x) — sin {[k — 2] x)
с подстановкой x — 2nfT, можно записать следующее однфодное
уравнение в конечных разностях, определяющее измениие от-
отдельной гармоники в дискретном времени:
и(Щ — au(k— \) + u(k — 2) = 0.
Здесь u(k) = smBnfkT)—гармоническая составляющя, Г —
интервал отсчетов, f — частота гармоники, a a = 2cos(:nfT) —
коэффициент, характеризующий гармонику. Юл предпложил,
что если числа солнечных пятен содержат только одн^ перио-
периодическую составляющую, то последовательность чисел солнеч-
солнечных пятен могла бы порождаться процессом вида
u(k) = au(k— I) — u(k — 2) + e(k), A.5)
где e(fe)—некоторое малое случайное импульсное «взмуще-
ние», соответствующее каждому значению временног( индек-
индекса k. Уравнение A.5) Юл назвал «уравнением гармомческой
кривой». Таким образом, Юл заложил основу именно т>го, что
впоследствии стало называться параметрическим пододом к
спектральному анализу: иными словами, подходом, npi кото-
котором данные измерений рассматриваются как выход неоторой
модели временного ряда. С помощью метода наименьших
квадратов Юл определил значение параметра а, проаншизиро-
вав для этой цели среднегодовые значения чисел солнечых пя-
пятен при удаленном выборочном среднем значении за гериод с
1749 по 1824 г. По его оценке, этотпараметр имел значение
а =1,62374, откуда для Т=\ год он юлучил оценку периода
цикличности солнечных пятен, равнсо 1// = 10,08 лет. Тем не
менее, не удовлетворившись этим результатом, Юл далее под-
подверг числа солнечных пятен фильтрщии, используя для этой
цели скользящее среднее на интервал 3 года; повторная оцен-
оценка по методу наименьших квадратов на основе этой фильтро-
фильтрованной последовательности дала перюд, равный 1//= 11,43 го-
года. Затем Юл попытался обнаружиь в последовательности
чисел солнечных пятен наличие двух ериодичностей, аппрокси-
аппроксимируя по методу наименьших квадра-ов исходные данные с
помощью симметричного разностногоуравнения пятого поряд-
порядка. Он получил периоды 11,95 и 1,42года на цикл, однако от-
отказался от двухпериодной модели, та] как квадратичная ошиб-
ошибка для этой модели не уменьшилась, авозросла.
Не удовлетворенный полученными результатами, Юл внима-
внимательно проанализировал структуру свего «уравнения гармони-
гармонической кривой» и решил обобщить по.ход на основе разностно-
разностного уравнения и"применить регрессивный анализ по методу
наименьших квадратов к модели вида
где b A) и b B) принимают произваьные значения. Строго
говоря, уравнение A.6) представляе собой уравнение авто-
авторегрессии (т. е. регрессии самого насебя), и это был первый
случай, когда авторегрессия по методу наименьших квадратов
применялась для целей спектральногоанализа. Решением урав-
уравнения регрессии A.6) по методу нашеньших квадратов явля-
является затухающая синусоида. Испольуя уравнение A.6), Юл
нашел, что период затухающей синуоиды, составляет 10,60 лет
для нефильтрованной последовательнсти чисел солнечных пя-
пятен и 11,164 лет для фильтрованной. И хотя Юл не смог при-
придать затуханию какого-либо физическто смысла (если таковой
и был), он чувствовал, что эти оцени периода были все же
вполне приемлемыми. Уолкер [43] пкже использовал метод
Юла для исследования затухающих снусоидальных временных
рядов. Нормальное уравнение, возникющее при анализе по ме-
методу наименьших квадратов, в честь этих пионеров регресси-
регрессионного моделирования было названо равнением Юла — Уолке-
ра. Интересно заметить, что Уолкер, атакже Олтер [1] предви-
предвидели возможность эмпирических мепдов спектрального оце-
оценивания, позднее предложенного 'ьюки. В своей статье,
опубликованной в 1931 г., Уолкер писл ([43], с. 524):
«Некоторый свет проливается этид (регрессионным) анали-
анализом на использование некоторого яда сериальных коэффи-
коэффиВведение
25
циентов корреляции", т. е. «периодограммы корреляции»,
в качестве замены обычной периодограммы Фурье — Шусте-
ра в тех случаях, когда не возникает вопроса о затухаю-
затухающих колебаниях».
Методы, использованные Юлом, напоминают еще одну гораз-
гораздо более старую процедуру подгонки данных, применявшуюся
в конце XVIII века бароном де Прони [24]. Прони исследовал
метод аппроксимации с помощью экспоненциальной модели не-
некоторой совокупности данных, характеризующих соотношение
между давлением и объемом газов, причем в его процедуре ис-
использовалась точная регрессионная подгонка данных, лучшая
чем в методе наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии
использовались в качестве коэффициентов некоторого полино-
полинома, корни которого являлись модельными экспонентами. Ам-
Амплитуда каждой экспоненциальной компоненты отыскивалась в
результате повторого прохода по данным.
1930 год явился поворотным для спектрального анализа:
в этом году Н. Винер опубликовал свою классическую статью
«Обобщенный гармонический анализ» [44], в которой спект-
спектральный анализ трактовался на основе теории случайных про-
процессов и был заложен твердый статистический фундамент.
В этой статье изложен ряд важных результатов, к которым от-
относятся точные статистические определения автокорреляции и
спектральной плотности мощности (СПМ) для стационарных
случайных процессов. Показано, что эти две функции, харак-
характеризующие случайный процесс, связаны непрерывным преобра-
преобразованием Фурье; это соотношение базируется на широко
известной сейчас теореме Винера — Хинчина, названной так в
честь Н. Винера и А. Я. Хинчина, советского математи-
математика, независимо получившего этот результат [17]. Исполь-
Использование преобразования Фурье, а не ряда Фурье, применяемого
в традиционном гармоническом анализе, позволило Винеру оп-
определить спектры в виде некоторого континуума частот, а не в
виде набора частот дискретных гармоник. Белый шум, как было
показано Винером, имеет равномерную спектральную плот-
плотность, т. е. содержит равновеликие компоненты на всех часто-
частотах. К этому результату он пришел на основе исследования
броуновского движения и шустеровскнх оптических аналогов.
К другим ранним статистическим подходам к спектральному
анализу относятся работы Бартлетта [2—4] и Кендалла [16].
Уравнение регрессии Юла можно рассматривать как урав-
уравнение предсказания сигнала по некоторой линейной комбина-
комбинации предшествующих отсчетов смеси этого сигнала с аддитив-
1} Автокорреляцию иногда называют сериальной корреляцией, (см., например,
[22]). — Прим. ред.
26 Глава 1
ным шумом, тем самым переходя к так называемой задаче ли-
линейного предсказания. В рамках вероятностного подхода, раз-
разработанного Хинчиным и Слуцким, шведский математик.
X. Вольд [45] предложил унифицированную модель на основе
стохастического линейного разностного уравнения для дискрет-
дискретно-временных рядов. Вольд ввел в употребление термины
«скользящее среднее» для моделей временного ряда, перво-
первоначально описанных Слуцким (который использовал термин
«скользящее суммирование»), и «линейная авторегрессия» для
моделей временного ряда, первоначально описанных Юлом.
Он также первым назвал соотношение между авторегрессион-
авторегрессионными параметрами и автокорреляционной последовательностью
«уравнением Юла — Уолкера». В своей монографии, вышедшей
в 1938 г., Вольд приводит также очень важную теорему разло-
разложения (теорема 7) для стационарного временного ряда, со-
согласно которой любой стационарный случайный процесс можно
записать в виде суммы детерминированной компоненты и одно-
одностороннего процесса скользящего среднего, порождаемого белым
шумом. Эта теорема позволила советскому математику
А. Н. Колмогорову [18] сформулировать и решить задачу ли-
нейпого предсказания. Вычислять спектр по коэффициентам
авторегрессии было в 1948 г. предложено Бартлеттом ([3],
с. 686), который использовал спектральную плотность мощ-
мощности автор'егрессии второго порядка. Уравнения, возникающие
в задаче линейного предсказания, и уравнения Юла — Уолке-
Уолкера имеют специальную структуру, которую первым изучал не-
немецкий математик О. Теплиц [41]. Эта структура исследова-
исследовалась Н. Левинсоном, коллегой Н. Винера, который разработал
весьма эффективную вычислительную процедуру решения урав-
уравнения Юла — Уолкера [19]. Развитие концепции линейного
предсказания применительно к цифровым сейсмическим дан-
данным было предложено группой геофизического анализа (GAG)
Массачусетского технологического института (MIT) в 1950-х гг.
Эта работа и в особенности то, что было сделано Эндерсом Ро-
Робинсоном [26], оказали глубокое воздействие на развитие со-
современных цифровых методов спектрального анализа и обра-
обработки сигналов.
Если, скажем, Норберта Винера можно считать пионером
современного теоретического спектрального анализа, то Джона
Тьюки следовало бы назвать пионером современного экспери-
экспериментального спектрального анализа. В статье, написанной
в 1949 г. в Вудс-Холе, шт. Массачусетс, Тьюки использовал
оценки корреляции, получаемые по конечным временным после-
последовательностям, заложив тем самым экспериментальные основы
спектрального анализа. Его процедура включает также соответ-
соответствующее планирование эксперимента по сбору данных и ис-
Введение 27
пользование пр]ближенного статистического распределения для
спектральной о.енки. Ставшее уже классическим подробное
описание этой роцедуры было им опубликовано совместно с
Блэкманом в 168 г. [6J. Многие из терминов современного
спектрального яализа, такие как aliasing («наложение»), win-
windowing («обрабтка с помощью окна, или взвешивание»), prew-
hitening («предарительное отбеливание»), tapering («обработ-
(«обработка с помощью падающего к краям окна»), smoothing («сгла-
(«сглаживание»), deimation («децимация, или прореживание»)
и т. п., можно сязать с именем Дж. Тьюки.
Последующи существенный вклад в развитие цифровых
методов спектрльного анализа представлял собой весьма эф-
эффективные алгоитмы, предназначенные для вычисления дис-
дискретного преобтазования Фурье, являющегося версией преобра-
преобразования Фурье,применимого при цифровой обработке данных.
И хотя разработку алгоритмов быстрого преобразования Фурье
(БПФ) можно :вязать с именами многих исследователей (см.
исторический оаор Хайдемана и др. [12]), главное внимание
всех работаюцщ в области цифровой обработки было привле-
привлечено к краткойстатье Джима Кули и Джона Тьюки [8J, по-
посвященной праитике эффективного вычисления преобразования
Фурье. Возможю, именно БПФ более чем какие-либо другие
методы сущестенно расширило область применения методов
спектрального яализа как средства обработки сигналов.
Главную пр;чину сегодняшнего интереса к методам спект-
спектрального оцени:ання, обеспечивающим высокое разрешение при
использовании ]ременных или пространственных последователь-
последовательностей ограничаной длины, можно, по всей видимости, связать
с работой Джои Берга [7]. Полученная им спектральная оцен-
оценка высокого рарешения, описанная в контексте формального
математической аппарата метода максимальной энтропии, ста-
стали тем инструмнтом, который был положен в основу разра-
разработки параметрических, или модельных, подходов к спектраль-
спектральному оценивание с высоким разрешением. Метод максимальной
энтропии тесносвязан с авторегрессионным спектральным ана-
анализом. Испольэвать авторегрессионные методы спектрального
оценивания незивисимо предлагали еще Бартлетт [3] и Пар-
зен [23], но лииь после публикации работы Берга был прояв-
проявлен заметный нтерес к этому методу спектрального оценива-
оценивания.
Примерно тж же, как появление БПФ резко повысило эф-
эффективность клссических методов спектрального оценивания,
так и разработка быстрых вычислительных алгоритмов про-
продолжает оказыить подобное же влияние на более новые мето-
методы спектральное оценивания. Быстрые алгоритмы сделали воз-
возможным практическое осуществление многих методов спект-
28
Глава 1
рального оценивания в реальном времени. Примерно в течение
последнего десятилетия одну из важных тем исследований со-
составлял поиск быстрых алгоритмов для подгонки линейных па-
параметрических моделей по методу наименьших квадратов к от-
отсчетам данных. К числу первых значительных вкладов в эту
область следует отнести работу сотрудников Станфордского
университета Морфа и Кайлата.
Дополнительный материал относительно истории развития
методов спектрального оценивания можно найти в обзорной
статье Робинсона [27].
1.2. Солнечные пятна
Последовательность чисел солнечных пятен вследствие инте-
интереса к ним с точки зрения истории развития методов спектраль-
спектрального оценивания будет неоднократно использоваться в данной
книге в качестве некоего «пробного камня» для описываемых в
ней методов спектрального оценивания. В связи с этим уместно
кратко упомянуть об источниках сведений о них. Солнечные пят-
пятна наблюдаются невооруженным глазом начиная примерно с
300 г. нашей эры, о чем могут свидетельствовать упоминания о
них в старых китайских летописях той эпохи. Наблюдения
солнечных пятен с помощью оптических телескопов ведутся в
Европе начиная с 1610 г. нашей эры. Систематические наблю-
наблюдения солнечных пятен в том виде, как они ведутся сегодня,
начались в 1835 г. В 1843 г. Гофрат Генрих Швабе обнаружил
циклическую закономерность смены минимумов и "максимумов
числа пятен на поверхности Солнца.
Для количественной оценки результатов наблюдений Ру-
Рудольф Вольф ввел в 1848 г. относительное число пятен R в ка-
качестве меры активности солнечных пятен, с помощью которого
он хотел учесть тот факт, что солнечные пятна имеют тенден-
тенденцию появляться группами. Определение числа R производится
по результатам ежесуточных наблюдений, полученных ручным
способом. По сути дела, для этой цели используются два раз-
различных измерения. В первом из них подсчитывается общее чис-
число s отдельных солнечных пятен независимо от их размера, во
втором подсчитывается число групп солнечных пятен g. Перво-
Первоначально в качестве относительного числа солнечных пятен
Вольф просто использовал взвешенную сумму ft = 10g-f-s> про-
произвольно выбранные веса слагаемых которой отражали отно-
относительную важность нового пятна. Повышение активности сол-
солнечных пятен наблюдалось в тех случаях, когда новое пятно
появлялось в области, где раньше не было солнечных пятен
(таким образом формировалась группа), а не в области, где до
этого уже существовала группа пятен. Заметим, что размер
Введение 29
площади отдельных пятен не определялся, а это могло бы, по
всей видимости, дать более чувствительную меру, но это объ-
объяснялось ограниченными измерительными возможностями во
времена Вольфа. Впоследствии анализ показал, что среднего-
среднегодовые значения числа R почти линейно связаны со среднегодо-
среднегодовыми значениями площадей солнечных пятен.
Так как для получения одного среднесуточного значения от-
относительного числа солнечных пятен обычно используется от 10
до 50 наблюдателей, должна вводиться поправка на тин при-
применяемых наблюдательных приборов (например, на степень
увеличения), их географическое расположение, местные усло-
условия (например, на типичные атмосферные и погодные условия)
и на самих наблюдателей (т. е. на применяемые ими методы
подсчета и их индивидуальные особенности). Таким образом,
получаемое каждым наблюдателем значение числа R опреде-
определяется в соответствии с выражением R = k(lOg+s), где k —
масштабирующий коэффициент, учитывающий особенности рас-
расположения данного наблюдателя и используемых им приборов.
Для наблюдательных приборов Вольфа и их расположения
k = \. Нетрудно видеть, что относительные числа солнечных пя-
пятен носят несколько субъективный характер, поскольку коэф-
коэффициент к представляет собой переменную величину, значение
которой должно эмпирически определяться для каждого наблю-
наблюдателя. К тому же среднесуточное значение числа R является
некоторой функцией числа действительно используемых наблю-
наблюдателей. Кроме того, погодные условия и дни, «забракован-
«забракованные» наблюдателями, также могут привести к флюктуация»
среднесуточных значений числа солнечных пятен.
К своим наблюдениям Вольф приступил в 1848 г., но снача-
сначала он проанализировал архивные записи, с тем чтобы получить
оценки относительного числа солнечных пятен на период време-
времени до 1848 г. [46J. В настоящее время мы располагаем ежесу-
ежесуточными записями числа солнечных пятен начиная с 1818 г.,
оценками среднемесячных и среднегодовых значений относи-
относительного числа солнечных пятен, вычисленными соответственно
начиная с 1749 по 1700 г., и записями (эпохами) максимумов и
минимумов активности солнечных пятен, которые отмечаются
в наблюдениях начиная с 1610 г. Заметим, что при анализе
архивных записей Вольф руководствовался допущением о
11,1-летнем цикле активности солнечных пятен. Современные
исследования позволяют дать оценку среднегодовых значений-
числа солнечных пятен до 1500 г. нашей эры и основаны на
анализе корреляции активности солнечных пятен с земными ме-
метеорологическими данными, климатическими изменениями, дан-
данными радиоуглеродной'хронологии и дендрохронологии (изуче-
(изучением годовых колец деревьев),-а также с результатами палео-
Рис. 1.4. График, характеризующий изменение среднегаовых значений относи-
относительного числа солнечных пятен начинаяс 1700 г.
магнитных исследований [28]. Обнаружено,например, что ва-
вариации среднегодовых температур и среднеодовых магнитных
склонений имеют примерно 19- и 22-летние шклы, т. е. пример-
примерно вдвое превышают основной цикл активнсти селнечных пя-
пятен.
В приложении I помещенном в конце книги, приведены
среднемесячные и среднегодовые значения числа Вольфа R с
1700 по 1984 г. Эти данные графически предсавлены на рис. 1.4.
В наши дни непрерывную регистрацию чиел Вольфа ведет
Швейцарская федеральная обсерватория в 1юрихе, и ее запи-
записи служат международным источником инф(рмации об относи-
относительном числе солнечных пятен R.
Ключ к получению приемлемых и значшых оценок числа
солнечных пятен — усреднение. Для получен я среднесуточного
Рис. 1.5. График, характеризующий изменение среднесточных значений отно-
относительного числа солнечных пятен для января 1982 . (Ненрерывная линия
соответствует данным Швейцарской федеральной обсеватории, штриховая —
данным Американской ассоциации наблюдателей переюнных звезд (AAVSO).
значения этого числа используется большоеколичество наблю-
наблюдателей, расположенных в различных геогрфических районах.
Однако, как следует из рис. 1.5, одного тчь суточного усред-
усреднения недостаточно. Для сравнения на этоь рисунке показаны
две кривые, характеризующие изменение зняения среднесуточ-
среднесуточного числа Вольфа для одного из типичные месяцев; одна из
этих кривых построена по данным Швейцэской федеральной
обсерватории в Цюрихе и соответствует вменению так назы-
называемого международного относительного чела солнечных пя-
пятен R,, вторая кривая построена по данны» Американской ас-
ассоциации наблюдателей переменных звезд (AAVSO) и соот-
соответствует числу Ra- Нетрудно видеть, что акивность солнечных
пятен может очень сильно меняться на однмесячном интерва-
интервале. И хотя обе кривые, представленные на том рисунке, в це-
целом достаточно хорошо совпадают, между ними все же есть
незначительные различия, что отчасти связаго с периодом вра-
вращения Солнца, которое не имеет, как извесно, единого посто-
постоянного периода вращения. Так, на экватореоно вращается бы-
быстрее, чем в высокоширотных (т. е. припо.ярных) областях.
Средний период вращения Солнца на экват<ре изменяется при-
примерно от 25 до 27 суток, а на широте 60° эн равен примерно
31 суткам. К тому же сами солнечные пяти меняются на ин-
интервалах от нескольких часов до нескольки) месяцев. Различия
между аналогичными кривыми для среднексячных значений
числа Вольфа иллюстрирует рис. 1.6. Месчный интервал —
это, по-видимому, тот минимальный интерва усреднения, при
Глава 1 -
Год
Рис. 1.6. График, характеризующий изменение среднемесячных значений отно-
относительного числа солнечных пятен для 1961—1983 гг. (Непрерывная линия со-
соответствует данным Швейцарской федеральной обсерватории, штриховая —
данным Американской ассоциации наблюдателей переменных звезд (AAVSO).
котором начинают получаться устойчивые оценки числа сол-
солнечных пятен. Получение наиболее устойчивых оценок обеспе-
обеспечивает усреднение на годовом интервале.
1.3. Контрольный случай
Хотя данные о числе солнечных пятен и представляют собой
пример классического временного ряда, способа для определе-
определения истинного спектра по такой сравнительно короткой после-
последовательности данных, к сожалению, не существует. Поэтому,
для того чтобы охарактеризовать поведение каждой спектраль-
'Ной оценки при использовании короткой последовательности
данных, было предложено использовать искусственно синтези-
синтезированную последовательность данных с заранее известными
.свойствами. Эта тест-последовательность данных содержит
-64 отсчета некоторого комплекснозначного процесса, состояще-
состоящего из четырех комплексных синусоид и комплексного адди-
аддитивного окрашенного шума. Вещественная и мнимая составля-
составляющие этого процесса показаны на рис. 1.7 с той лишь целью,
чтобы подчеркнуть дискретный характер этих данных. В при-
.ложении II, помещенном в конце книги, представлена распе-
распечатка значений отсчетов. Эта тест-последовательность исполь-
используется также для того, чтобы дать читателю средство для бы-
быстрой проверки правильности реализации процедур всех спект-
спектральных оценок, для которых в книге приведены машинные
.программы. Для всех подобных программ приводятся также
33
24 32 40 48
Число отсчетов
16 24 32 40
Число отсчетов
6
Рис. 1.7. Тест-последовательность комплексных данных: а — действительная
часть; б — мнимая часть.
распечатки соответствующих выходных параметров для случая,
когда на вход этих программ подается тест-последовательность
данных. Читатели могут сравнить свои графики спектральных
оценок с соответствующими графиками, которые приводятся в
начальных разделах каждой главы.
Истинный спектр тест-последовательности, вычисленный с
помощью аналитических средств, показан на рис. 1.8. На этом
рисунке по оси абсцисс отложены доли частоты отсчетов, т. е.
истинная частота / в герцах нормирована посредством деления
на частоту отсчетов /s=l/7\ где Т — интервал отсчетов данных.
Согласно теореме отсчетов для сигналов (см. гл. 2), относи-
относительные частоты должны лежать в интервале от —0,5 до 0,5.
Частоты двух синусоид в этом спектре выбраны очень близки-
близкими друг к другу (на рис. 1.8 им соответствуют относительные
частоты 0,2 и 0,21), с тем чтобы проверить разрешающую спо-
способность той или иной спектральной оценки. Мощность двух
более слабых синусоидальных сигналов с относительными час-
частотами 0,1 и —0,15 на 20 дБ меньше мощности двух более силь-
сильных синусоидальных сигналов. Эти слабые синусоидальные сиг-
сигналы используются для испытания способности спектральных
оценок обеспечивать обнаружение слабых компонент сигнала
на фоне сильных сигналов. Окрашенный шумовой процесс был
сформирован посредством пропускания двух независимо гене-
генерируемых процессов типа белого шума с нулевыми средними
значениями через идентичные фильтры скользящего среднего
(см. гл. 6 и 10) для раздельного получения вещественной и
мнимой составляющих шумового процесса, использованного для
получения тест-данных. Оба фильтра имели одинаковые частот-
частотные характеристики типа приподнятой косинусоиды; они пока-
показаны на рис. 1.8 между относительными частотами 0,2 и 0,5
3—1366
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 ,4 1,5
Рис. 1.8. Истинный спектр процесса, соответствующего тест-послдовяельно-
сти данных.
(центральная частота 0,35) и —0,2 н —0,5 (централыая [асто-
та —0,35). Хотя.форма спектра окрашенного шумовсо пюцес-
са одинакова на положительных и отрицательных чатотах
истинного спектра тест-последовательности, показяноо на
рис. 1.8, эта симметрия не будет видна в спектралыых оцен-
оценках, приводимых в последующих главах книги, так к.к вщест-
венная и мнимая составляющие этого окрашенного шуювого
процесса генерировались независимо, т. е. являются екорели-
рованными. Высота линий, характеризующих синуоидаьные
составляющие спектра, выбрана так, чтобы отображать мощ-
мощность каждой синусоиды относительно полной мощистиокра-
мощистиокрашенного шумового процесса. Следовательно, мощнооъ иждой
из сильных синусоид превышает мощность шума, а мощность
каждой из двух слабых синусоид меньше мощности шую.
1.4. Проблемы в области спектрального оценивания
Интерее к альтернативным методам спектральной аализа
поддерживается тем улучшением характеристик, кторе они
обещают, а именно более высоким частотным разресеним. по-
повышенной способностью к обнаружению слабых синал»в или
же сохранением «достоверности» формы спектра npi мньшем
числе используемых параметров. Аналитически опиать <арак-
теристики большинства методов в случае ограниченюгозреме-
нп анализа (т. е. в случае короткой записи данных) веема за-
затруднительно; именно поэтому в литературе можно вйт] лишь
очень малое количество эмпирических результатов 3d обу-
обусловило появление ряда проблем в области современюгоспект-
рального оценивания, некоторые из них кратко осведеш ниже.
Введение
35
1.4.1, Разрешение
Спектральное разрешение относится к числу главных проблем
современного спектрального оценивания, в особенности приме-
применительно к анализу коротких последовательностей данных. При
этом, то что понимается под термином «разрешение» носит весь-
весьма субъективный характер. Одно из ранних определений при-
принадлежит Рэлею [25J, которое исходит из следующего рабоче-
рабочего определения для разрешения оптических телескопов с огра-
ограниченной пространственной апертурой:
«Подобно тому как оптическая сила телескопа измеряется
близостью двойных звезд, которые он может разрешить,
так и оптическую силу спектроскопа следует измерять бли-
близостью самых близких двойных линий в спектре, которые он
может разрешить».
Аналогичные определения можно сформулировать и для разре-
разрешения сигналов с ограниченной временной апертурой (т. е. дли-
длительностью); формальные определения разрешающей способ-
способности даны ниже в гл. 2 и 5. В литературе принято характери-
характеризовать относительные величины разрешающей способности двух
спектральных оценок на основе визуальных впечатлений. Рас-
Рассмотрим две спектральные опенки, показанные на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Визуально-воспринимаемое усиление спектрального разрешения: а —
исходный спектр; б—«обостренный* спектр, полученный за счет отображения
исходного спектра с помощью 1/A— х).
Спектральная оценка на рис. 1.9, а имеет единичный норми-
нормированный максимум с двумя слабо различимыми пиками, что
должно указывать на присутствие двух спектральных состав-
составляющих. Если теперь сформировать новую спектральную
функцию
0,0 ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
,оли частсы отсчетов Доли частоты отсчетов
а б
Рис. 1.!0. i—Несглженная периодограмма, позволяющая обнаружить сину-
соидальнук составляющую; б — сглаженная периодограмма, в которой невоа-
можно>бнаружить синусоидальную составляющую,
которая юказан на рис. 1.9,6, то она будет выглядеть как
спектр скболее (ысоким» разрешением. На самом же деле оба
приведеных спктра несут в себе одну и ту же информацию,
а это озгачает, то одного лишь визуального сравнения спект-
ральныхоценок.конечно же, недостаточно для суждения о ха-
рактерисиках рзрешения [15J.
1.4,2. Обаружиюсть сигналов
Использеание центрального оценивания для обнаружения
присутстшя сипалов приводит к возникновению другой пробле-
проблемы. Расмотримпериодограммы, показанные на рис. 1.10. Обе
они соответствует одной и той же 1024-точечной реализации не-
некоторого процеса, состоящего из аддитивной смеси одной си-
нусоидыи белоо шума при отношении сигнал/шум, равном
—17 дБ.Периодограмма на рис. 1.10, а получена непосредст-
непосредственно пс всем 1Й4 отсчетам, и в ней над уровнем шума отчет-
отчетливо обиружен синусоида с относительной частотой 0,2. На
рис. 1.1С6 предтавлена сглаженная периодограмма, получен-
полученная в реультат; разбиения исходной последовательности на
32 сегме(та по 3 отсчета в каждом и последующего усреднения
периодорамм эих сегментов. На этой оценке более очевидна
уплощеная спетральная характеристика белого шума, но отк-
отклик, обу-ловленый присутствием синусоиды, здесь не обнару-
обнаружим. Мокно паазать, что обнаружимость сигнала по несгла-
женной териодсрамме превышает обнаружимость этого сигна-
сигнала по спаження периодограмме в число раз, равное примерно
корню надратншу из числа сегментов, или на 101gV32~7,5 дБ
в рассм1триваеюм случае. С точки зрения отображения пол-
Введение
37
ногоспеп-ра лучше сглаженная спектральная опека, показан-
показанная а рс. 1.10,6, но с точки зрения обнаружимоси сигнала —
лучне неглаженная оценка. Таким образом, аргуинты в поль-
пользу Bi6opi той или иной спектральной оценки буду зависеть от
того.интресует ли нас гладкая оценка в пределахвсего диапа-
зонаанашзируемых частот или же нам важна бяее высокая
степнь бнаружимости сигнала на некоторых кокретных его
учасках Поэтому алгоритмы спектрального оценвания вовсе
не оязаельно являются также и хорошими алгортмами обна-
руж«ия
1.4.3 О гэрепутывании оценивания параметров
со сгектрльным оцениванием
Задгча яектрального оценивания подразумевает оценивание
нексора функции, частоты. О характеристиках пектральной
оцени едят по тому, насколько хорошо она соглсуется с из-
вестьш спектром тест-сигнала в некоторой непреывной обла-
области [аетт. Имеются приложения, где основной нтерес пред-
ставшетлишь локальное поведение спектральнойэценки в не-
котоыхзаданных диапазонах частот. Примерок такого при-
меняия может служить оценивание частоты синуоиды в белом
шум;, реультаты которого представлены на рис. .10. Нетруд-
Нетрудно идет», что в качестве спектральной оценки л'чше исполь-
зоваъ сценку на рис. 1.10,6, так как она ближе к плоскому
спекру )елого шума. В качестве же оценки частой синусоиды
луше ипользовать оценку на рис. 1.10, а, так к,к она позво-
позволяет боле точно определить частоту этой синусощы. К сожа-
ленио, з*и оценки нередко путают в литература поскольку
мноие адачи оценивания параметров излагаюта в контексте
спекраьного оценивания, даже если функция шектральной
оцеки }не является искомой количественной вел чиной.
йдая оценивания параметров и задача спект]ального оце-
нивяиятребуют различного статистического под»да, хотя обе
OHHiacD перекрываются в некоторых частных ел чаях. Поэто-
Поэтому i хаактеристиках спектральной оценки нельз полностью
судггь гэ ее характеристикам как оценки парамеъов. Так, на-
при;ер, :равнение оценок, представленных на рк. 1.10, пока-
зывет, [то сглаженная периодограмма являеея хорошей
спекраьной оценкой, но плохой оценкой парамера, которым
в дано! случае является частота синусоиды.
1.4.^ О/ной оценки недостаточно
Спетраьная оценка, получаемая по конечной зашей данных,
хар,кте]изует некоторое предположение относитльно той ис-
тинюй пектральной функции, которая была бы шлучена, если
38
Глава 1
быв нашемраспоряжении имелась запись данных бесконечной
длны. Имеио поэтому поведение и характеристики спектраль-
ны. оценок цолжны описываться с помощью статистических
терминов. Общепринятыми статистическими критериями каче-
качеств оценкиявляются ее смещение и дисперсия. Аналитическое
ощеделениеэтих величин обычно наталкивается на определен-
определенны матемаические трудности, поэтому на практике просто
соыещают рафики нескольких реализаций спектральной оцен-
кии визуално определяют смещение и дисперсию как функции
ча<готы. Теэбласти совмещенных графиков спектральных оце-
но, где экспериментально определенное значение дисперсии
велко, буду свидетельствовать о том, что спектральные осо-
бещости, вщимые в спектре отдельной реализации, не могут
счгтаться сатистически значимыми. С другой стороны, осо-
бе:ности сомещенных спектров в тех областях, где эта дис-
пе]сия малг с большой достоверностью могут быть соотнесены
с ,ействите.ьными частотными составляющими анализируемо-
анализируемого :игнала. )днако в случае коротких записей данных часто не
удется полчить несколько спектральных оценок, да и сам ста-
титический анализ отдельных спектральных оценок, получен-
ньк по коротким записям данных, в общем случае представля-
ет:обой веьма трудную проблему. По этой причине читатель
до жен очеъ тщательно делать свои выводы относительно
срвнения р'зличных спектральных оценок, получаемых при
исользованш тест-последовательности данных, описанной в
рад. 1.3.
1.45. Общаякартина
Игформалыого определения спектра, которое дано в гл. 4, еле-
дут, что епктр является некоторой функцией одних лишь ста-
титик втор го порядка, относительно которых в свою очередь
прдполагаеся, что они остаются неизменными, или стацио-
стационарными, всвремени. Следовательно, такой спектр не передает
паноп стаистической информации об анализируемом случай-
hoi процесс, а значит, дополнительная информация может со-
соде жаться i статистиках третьего и более высокого порядков.
Крме того,многие обычные сигналы, которые приходится ана-
лиировать ia практике, не являются стационарными, поэтому
меоды, опианные в этой книге, могут оказаться неприменимы-
Mi- к полно записи данных. Однако короткие сегменты дан-
ньс, получа:мые на практике из более длинной записи данных,
мскно считть локально стационарными, а это позволяет ис-
поъзовать писанные в книге методы спектрального оценива-
ни. Аналиаруя изменения спектральных оценок от одного та-
; др чу,
..ЦИХС,] jJ Bf>
39
ь п' :тавление
[гна., -,. т. е. не-
1.5. Как пользоваться этой книгой
Материал этой книги организован таким образом, чтобы чита-
читатель мог без труда реализовать многие из описанных в ней
спектральных оценок. Каждая глава начинается небольшим
вводным разделом, где указываются алгоритмы конкретных
оценок, рассматриваемых в данной главе, включая краткую
запись этапов реализации этих алгоритмов. В приложениях к
главам помещены написанные на Фортране подпрограммы ма-
машинной реализации этих алгоритмов. Читатель может остано-
остановиться после вводного раздела, для того чтобы сначала «набить
руку» при работе с тем или иным алгоритмом, описанным в
каждой главе, а уже затем перейти к более глубокому изуче-
изучению дальнейшего материала для усвоения более тонких теоре-
теоретических и математических деталей. В распечатках подпрограмм
указаны номера уравнений, приведенных в тексте глав, для то-
того чтобы облегчить понимание логики построения соответству-
соответствующих машинных программ. Все подпрограммы предназначены
для обработки комплекснозначных данных, а в описании, кото-
которым сопровождается каждая из них, указываются средства,
позволяющие преобразовать ее для обработки действительно-
действительнозначных данных.
Для тех читателей, которые желали бы получить помощь
при выборе метода спектрального оценивания, полезной ока-
окажется сводная таблица, приведенная в гл. 14. В этой таблице
перечислены все основные алгоритмы спектрального оценива-
оценивания, а также указаны разделы книги, где они описаны.
По своей тематике главы книги образуют четыре основные
группы; это главы, в которых изложен вводный вспомогатель-
вспомогательный материал, главы, в которых кратко описаны одномерные
одноканальные спектральные оценки; и главы, в которых опи-
описаны спектральные оценки для многоканальных и для двумер-
двумерных последовательностей данных. Вводный материал (гл. 2—4)
содержит математические основы, необходимые для изложения
последующего материала; здесь же дано определение спект-
спектральной плотности мощности (СПМ). Спектральные оценки
сгруппированы в соответствии с тремя классами: классические
спектральные оценки (гл. 5), параметрические спектральные
зценки (гл. 6—11) и непараметрические спектральные оценки
(гл. 12 и 13). Многоканальные и двумерные спектральные сцен-
сценки описаны соответственно в гл. 15 и 16. Многоканальным на-
называется спектральный анализ векторных данных (например,
42 Глава 1
of the Product of Two Functions. Proc. R.Soc. London, vol. 24, pp. 266—
[40] Thomson W (Lord Kelvin). Harmonic Aalyser. Proc. R. Soc. London,
vol 27, pp. 371—373, 1878.
[41] Toeolitz O. Zur der Quadratischen und Bihearen Formen. von. Unendhch-
vielen Veranderlichen. Math. Ann., vol. 70, p. 351—376, 1911.
1421 Tukey ]. W. The Sampling Theory of Pwer Spectrum Estimates. Pro-
Proceedings Symposium on Applied Autocorreltion Analysis of Physical Prob-
Problems US Office of Naval Research (NAV:XOS-P-725), pp. 47-67, 1949;
перепечатано в J. Cycle Res., vol. 6, pp. 31-52, 1957.
[43] Walker О On Periodicity in Series of Relatd Terms. Proc. R. Soc. London,
ser A, vol. 131, pp. 518—532, 1931.
[44] Wiener N. Generalized Harmonic Analysis Acta Math., vol. 55, pp. 117—
258, 1930.
[45] Wold H О A A Study in the Analysis of Itationary Time Series, disserta-
dissertation, Uppsala University, 1938; опубликовно изд-вом Almqvist & Wiksell
Forlag, Stockholm, 1954.
[46- Wolf R Tafei der Relativzahlen. Astron. Mteil. Eidgen. Sternwarte, Zurich,
no 24 vol 111, 1868.
[471 Yule О U On a Simple Form of HarmonicAnalyses. Phylos. Mag., vol. 39,
pp 367—374, 1895.
[48] Yule О У On a Method of Investigation >eriodicities in Disturbed Series,
with Spesial Reference to Wolfer's SunspotNumbers. Phylos. Trans. R. Soc.
London ser A, vol. 226, pp. 267—298, 1927
Глава 2
ОБЗОР ТЕОРИИ ЛИНЕЙН1Х СИСТЕМ
И ТЕОРИИ ПРЕОБРАЗ»ВАНИЙ
2.1. Введение
Поскольку эта глава носит обзорный .арактер, то предполага-
предполагается, что читатель уже знаком с линейыми системами и теори-
теорией преобразования Фурье в объеме каого-либо вводного курса
по системам с непрерывным и дискреиым временем." За бо-
более подробной информацией относително материала, изложен-
изложенного в этой главе, можно обратиться к работам, указанным в
списке литературы, приведенном в каце главы. В этой главе
будут также введены многие из условии обозначений, которые
используются в данной книге.
Основные понятия теории линейны, систем представлены
здесь раздельно для сигналов с непрерывным (разд. 2.3) и дис-
дискретным (разд. 2.4) временем. Раздел 1.5 посвящен теории пре-
преобразования Фурье для сигналов с 1епрерывным временем.
Хотя теория преобразования Фурье дл[ сигналов с дискретным
временем часто излагается в литерату>е независимо от теории
этого преобразования для сигналов с непрерывным временем,
в разд. 2.6 и 2.7 показано, что преобраэвание с дискретным вре-
временем может рассматриваться как чатный случай преобразо-
преобразования с непрерывным временем. Это газволяетустановить связь
между преобразованием Фурье с непрерывным временем
(НВПФ) и рядом Фурье с дискретнь» временем (ДВРФ) для
конечной последовательности отсчетов сигнала с непрерывным
временем. Это вполне согласуется с тел, что большинство осу-
осуществляемых на практике процедур гведставляет собой обра-
обработку последовательностей отсчетов, плучаемых в результате
равномерной дискретизации сигнала, «прерывно изменяюще-
изменяющегося во времени или в пространстве. Ьпользуеыое в книге оп-
определение преобразования Фурье с декретным временем не-
несколько отличается от принятого в литратуре определения дис-
дискретного преобразования Фурье (ДПФ. Это различие обуслов-
обусловлено включением в определение ДВПо интервала дискретиза-
дискретизации (т. е. интервала отсчетов) в качесве масштабного множи-
множителя, что позволит нам в дальнейшей получать спектральные
оценки в соответствующих единицах измерения мощности. Всем
этим вопросам посвящены разд. 2.8 и 29, В разд. 2.10 суммиро-
11 См. например, [12», 13*]. — Прим. ред.
ваны результаты 1ля быстрого преобразования Фурье — весьма
эффективного алоритма, предназначенного для вычисления
ДПФ. Наконец, Еразд. 2.11 обсуждается важное понятие про-
произведения времен на ширину полосы (частот), которое лежит
в основе меры раэешающеи способности.
При изложена материала в данной главе полагается, что
сигнал является ^терминированной функцией. Дополнительный
математический апарат, требуемый для описания случайных
сигналов, приводкея в г.ч. 4.
2.2. Обозначения, гспользуемые при описании сигнала
Непрерывный сиаал— это любое действительное или комп-
комплексное колебание во времени f (t), определяемое как некоторая
функция непрерыной действительной временной переменной I;
или же любое дествительное или комплексное пространствен-
пространственное колебание g(), определяемое как некоторая функция дей-
действительной проеранственной переменной s. Непрерывные сиг-
сигналы часто назынют аналоговыми сигналами, если они могут
принимать контиь/ум значений при любом значении перемен-
переменных / и s. Если к будет оговорено особо, то все рассматривае-
рассматриваемые в книге еигилы будут предполагаться комплексными ве-
величинами. Это о^словлено тем, что комплексные данные на-
начинают все шире [спользоваться в практике цифровой обработ-
обработки сигналов. Так например, комплексные данные представля-
представляют собой естестветый выход комплексного процесса демодуля-
демодуляции (см. приложвие 2.А). Некоторые сигналы, например те,
которые применяется в радиолокации и связи, имеют синфаз-
синфазную и квадратурою составляющие, что также вполне естест-
естественно приводит к ix комплексному представлению.
Дискретный сенал — это произвольная функция f[ft], пред-
представляющая собо. некоторую последовательность действитель-
действительных или комплеюных чисел, определенную при всех целочис-
целочисленных значениях я. Непрерывная функция времени f(t), дис-
кретизуемая с рашомерным интервалом Т секунд, или не-
непрерывная прострнственная функция g(s), дискретизуемая с
равномерным инт<рвалом S метров (или каких-либо других под-
подходящих прострактвенных единиц измерения), будут соответ-
соответственно порождат, дискретные последовательности f[n\=f(nT)
и g[fi]—g(nS). Зшетим, что для различения обозначений не-
непрерывных и дисюетных функций используются соответственно
круглые () и ква.ратные [] скобки. Круглые скобки — это от-
отрезки гладкой не]рерывной линии, тогда как каждая квадрат-
квадратная скобка образвана из трех отдельных — дискретных — от-
отрезков прямой лиии. Использование этих символов позволяет
устранить неопре,еленность между непрерывными и дискрет-
Обзор теории линейных систм 45
ными функциями, обозначаемыми одитковыми буквенными
символами.
Непрерывный или дискретный сигна,, величина которого
при любом значении времени t или проотанственной перемен-
переменной s может принимать не континуум, г только некоторое ко-
конечное число значений, называют цифровом сигналом. На прак-
практике дискретные сигналы — это, как праило, и цифровые сиг-
сигналы. Для формирования цифровых отсчетов сигналов (кванто-
(квантования) применяются аналого-цифровыепробразователи (АЦП),
а для хранения значений данных в цифрвых вычислительных
машинах используются регистры с конечой длиной слова.
2.3. Непрерывные линейные системы
Линейная система — непрерывная или дикретная — это просто
система, к которой применим принцип суперпозиции (т. е. на-
наложения) реакций (или откликов). Следавательно, отклик не-
некоторой линейной системы на сумму дух входных сигналов
будет просто суммой откликов этой систеш на каждый отдель-
отдельный входной сигнал. Линейная система &дет инвариантной во
времени, если вход x(t) порождает выхо. y(t), а вход x(t—i0)
порождает выход y(t—10) при любом вре:еннбм (или простран-
пространственном) сдвиге t0.
Специальным входным сигналом яшяется единичная им-
импульсная функция 6(<). которую называв также непрерывной
дельта-функцией.1'1 Единичная импульсна функция может рас-
рассматриваться как некоторый входной сигал нулевой ширины и
бесконечной высоты
ЛМ~{о"
при t=l;
при^/^О
но конечной площади
B.1)
B.2)
Импульсная функция обладает селектиртощим свойством
S!.№N<'-T)dT = S--W—"WO^WW B-3)
в том смысле, что она может локализовть, или воспроизво-
воспроизводить, какое-либо конкретное значение 4Ункчии /С) ПРИ усло-
условии, что эта функция непрерывна по /. Заметим, что импулъс-
'' Название «непрерывная дельта-функция», испстьзованное автором, нес-
несколько неточно определяет эту сингулярную фунцию, предназначенную для
обозначения точечной локализаций (см., например, 13*1, т. 2, гл. 11).—Прим.
пая функция l(t) имеет строгий математический смысл только
в том случае, когда она используется под знаком интеграла.
Например, пршзведение непрерывной и импульсной функций
f(t)b(t) можн! интерпретировать как произведение f@N(r) по
той причине, чо
$!„?('—*) [М s(*)] fa = \Z. Ы(t — т) / М] 6 М Л = g@/@).
B.4)
Таким образох, произведение функции f(t) с импульсной функ-
функцией дает значние («отсчет») этой функции в момент времени
(=0.
Выходной сгклик g(t) линейной инвариантной во времени
(ЛИВ) систем! на произвольный входной сигнал /(г) опреде-
определяется нспрерьзным интегралом свертки
где h(t) —непрерывная импульсная характеристика этой систе-
системы, т. е. иным! словами, ее отклик в том случае, когда в каче-
качестве входного игнала используется импульсная функция:
А@ = .^Г»А(тN(/ —т)йт. B.6)
Используя для краткой записи операции свертки символ «*»,
выражение B-9 можно записать в следующем виде:
g{t) = h(t)*S(t). B.7)
Если входне воздействие непрерывной ЛИВ-системы с им-
импульсной характеристикой h(t) имеет форму комплексной экс-
экспоненты, т. е. ft)=exp(st), где s — произвольная комплексная
величина, то вмод g(t) будет иметь форму
g@ = $!„ Л W exp (s [t — t]) dj = H (s) exp(sO, B.8)
где
H(s)— 5Г. А(т)ехр(— sx)dx. B.9)
Функция И(s) ;азывается непрерывной системной функцией;
ее можно такж( рассматривать как преобразование Лапласа
от импульсной арактеристики. Член exp(s^) называют собст-
собственной функцие линейной системы, поскольку и вход, и выход
пропорциональш этому члену. Тогда функция H(s) является
собственным зниением этой системы, так как она играет роль
комплексного мсштабного множителя при собственной функ-
гии.
Обзор теории линейных систем
47
2.4. Дискреиые линейные системы
Вывод соотетствующих соотношений для дискретных линейных
систем можю провести аналогично их выводу для непрерывных
линейных астем. Специальным входным сигналом для дис-
дискретных синем является единичная импульсная функция й[л],
называемая также дискретной дельта-последовательностью.'^
Она просто определяется как
, 1 при « = 0
' 0 при пфО.
В отличие (г случая с непрерывным временем при определении
6[п] отсутсвуют какие-либо аналитические трудности. Любую
произвольна последовательность /[я] можно записать в виде
взвешеннойсуммы дискретных импульсных функций
L '
к '
И= 2 /Иа[*-*]= 2 f[n-k]S[k].
k= — аз k= — оо
B.11)
Пусть h[nJ — дискретная импульсная характеристика дискрет-
дискретной линейна системы, возбуждаемой единичной импульсной
функцией, 'огда выходной отклик g[n] на произвольную вход-
входную последвательность /[я] будет определяться следующей
дискретной:вертко1й:
ff[n] = 42eA[n-ft]/M = A[n]*/[n]- B.12)
Заметим, чо в зависимости от того, круглые или квадратные
скобки испогьзованы при записи функций, объединяемых опера-
оператором «*», будет соответственно подразумеваться операция
дискретной или непрерывной свертки.2' Каузальной дискретной
системой яшяется система, выход которой в момент времени п
зависит толко от входа /[&], где k^n, а это означает ft[?J =
= 0 при кО.
Если вх1дом дискретной линейной системы с импульсной
характернсикой h[n] является экспоненциальная последова-
последовательность fnj=z™, где z — произвольная комплексная величи-
величина, то выханой отклик этой системы будет определяться выра-
выражением
?[л] = Я(г)г», B.13)
где
)= 2
B.14)
1> Эту функцго также называют функцией единичного отсчета (см., напри-
например, [13*], т. : гл. 9).— Прим. ред.
2» Более точн: свертка соответственно в дискретном или непрерывном вре-
времени (см., напимер, [13*], т. 1, гл. 9 и 10). — Прим. ред.
48
Глава 2
Следоват.льно, г — это собственная функция дискретной ли-
линейной сстемы, i Н(г) —дискретная системная функция, кото-
которая опре.елена ля тех значений г, при которых сумма в B.14)
сходится.Функцю Я (г) можно рассматривать как двусторон-
двустороннее z-пребразов'ние последовательности h[n]. Для обозначе-
обозначения опердии 2-реобразования далее будет использоваться
символ S. Замеим, что Я(г)—это некоторая непрерывная
функция :. дажегсли она и была определена по дискретной по-
следоватяьности Функция Я (г) имеет вид полинома, в кото-
котором степей г~' оответствуют последовательным значениям ин-
индекса врмени (апример, h[n\ связано с членом г~"). В этом
смысле zl можю рассматривать как оператор задержки на
один отсчт.
Таблица 2.1 Свойств
CBdCTBo
Определени
Линейность
Сдвиг
Масштабирвание
Сопряжение
Обращение .ремени'
Свертка
z-преобразования
Функция дискретного
времени
/["]. g[n]
af[n]+bg[n]
f [n—m]
a-"f[n\
f*[n]
f[-n]
f [—n]
f["]*g[n]
г-поеобразование
/(г). О(г)
aF(z)+bG(z)
z—F{z)
F{az), a>0
F-(z')
f(l/z)
F-(llz-)
F{z)G{z)
Ряд взкных сюйств ^-преобразования перечислен в табл. 2.1.
Заметим, по укаанные в этой таблице свойства справедливы
только дд обще! области сходимости функций F(z) и G(z).
Доказате-ьства эих свойств даны в книгах Оппенгейма и Ша-
Шафера [П]и Оппегенма и Уиллоки [12J.
Один вжный сласс дискретных системных функций образу-
образуют функци с раиональными ^-преобразованиями, т. е. с пре-
преобразованиями, кторые представляют собой отношения поли-
полиномов от '. Пуст! некоторая каузальная дискретная линейная
система оисываеся следующим линейным разностным уравне-
уравнением с по1гоянныш коэффициентами
B.15)
которое свзывае- входную и выходную последовательности
х[п] и у[], где ,Э=0. Последовательности а[0], ..., а[Р] и
Обзор теории линейных систем 49
fr[0], ..., b[Q] полностью характеризуют эту с стемг.1} Без поте-
потери общности можно положить а[0] = 1. Если адаы некоторое
множество начальных условий для входной ивыхщной после-
последовательностей при п<0 и входная последватеьность х[п\
при п^О, то нетрудно вычислить выходную пследгаательность
у[п] при «5=0. При нулевых начальных услоиях :-преобразо-
вание, соответствующее уравнению B.15), бувт и>еть следую-
следующий вид:
Y{z)
B.16)
где было использовано свойство свертки, указнноев табл. 2.1.
Следовательно, системная функция Я (г), свяывамцая вход и
выход, будет определяться выражением
Y(z)
B.17)
которое является рациональной функцией от г1. О;на из экви-
эквивалентных факторизованных форм функции Л(г) шеет вид
Н(г) = -
Q
к- 1
B.18)
так что Ь[0] можно рассматривать как коэфшцинт, масшта-
масштабирующий усиление. Корни Zi, .. ., zQ полинога в?ислителе и
корни р,, .. ., рР знаменателя называюшя сооветсвенно нуля-
нулями и полюсами функции Я (г). Можно показ1ть [2], что для
устойчивой системы все полюсы должны удилетюрять усло-
условию |/?&|<;1. Минимально-фазовой линейной истеши называ-
называется каузальная система, у которой все полюо! и гули систем-
системной функции Я(г) лежат внутри единичной окужности в
г-плоскости, т. е., иными словами, |г*|<1 и|р*|С1.
Системную функцию B.17) можно также аписть в форме
разложения на элементарные дроби. Если пол'жит; что QP
'» В разностных уравнениях с постоянными коэффнциегами оследние раз-
различают по их индексам, т. е. пишут at или bi, а не с помсцью оозначений a[i]
или b[i], принятых автором, что может создать ошибочое прдставление об
их зависимости от времени (см. [13*], т. 1, гл. 7). — Прил ред.
4—1366
.а кратные полюсы отсутствуют, то
B.19)
Вычеты r[ftj, k=l, ..., P можно вычислить, используя теорему
о вычетах
, [Н(г)(г-рк)\
B.20)
Наличие кратных полюсов требует несколько более сложного
подхода. Используя обратное z-преобразование, соответствую-
соответствующее функции B.19), можно показать [11], что импульсная ха-
характеристика дискретной системы при нулевых начальных усло-
условиях представляет собой сумму дискретных экспонент:
'*, п > 0;
B.21)
2.5. Преобразование Фурье с непрерывным временем
Хотя преобразование Лапласа H(s) позволяет выполнить общий
анализ поведения непрерывной линейной системы при произ-
произвольном экспоненциальном входном воздействии, часто наиболь-
наибольший интерес представляет оценка ее поведения относительно
оси мнимой переменной, т. е. при s=j2nf. В этом случае преоб-
преобразование Лапласа сводится к некоторой функции от f, опреде-
определяемой выражением
Н (/) = \ "a, h (t) exp (— /2я
B.22)
В этой форме функция H(f) называется преобразованием Фурье
с непрерывным временем (или непрерывно-временным преобра-
преобразованием Фурье, НВПФ). Для обозначения операции НВПФ
мы будем далее использовать символ У. Переменная f в комп-
комплексной синусоиде ехр(—/2л/) соответствует частоте, измеряе-
измеряемой в герцах, если переменная t измеряется в единицах време-
времени (в секундах). При обработке пространственных сигналов
вместо временной переменной t используется пространственная
переменная х, а вместо частоты /—волновое число k, измеряе-
измеряемое в циклах на пространственную единицу. По сути дела,
НВПФ идентифицирует частоты и амплитуды тех комплексных
синусоид, на которые разлагается некоторое произвольное коле-
Обзор теории линейных систем 51'
бание. Обратное преобразование Фурье определяется выраже-
выражением
A@ = S!.tf(.f)exp(/2n/0d/ = r-4tf(/)}. B.23)
Для обозначения операции обратного преобразования Фурье с
непрерывным временем далее будет использоваться символ @~~1.
Выражения B.22) и B.23) образуют пару преобразований
Фурье с непрерывным временем (пару НВПФ).
Существование прямого и обратного преобразований Фурье
с непрерывным временем для данной функции определяется
целым рядом условий. Одно из достаточных условий состоит в
том, что сигнал h(t) должен быть абсолютно интегрируемым в
смысле
\Zjh(t)\dt<<x>. B.24)
Одно менее ограничительное достаточное условие существова-
существования НВПФ состоит в том, что сигнал должен иметь конечную
энергию, т. е.
Другие достаточные условия существования НВПФ применимы
к сигналам, которые могут быть представлены в форме h(t) =
=о@ sinBnfr+6). Функция а@ должна быть затухающей,
т. е. a(t-\-k)<a(t) при k>0, a h(t) должна удовлетворять
условию
dt < сю.
B.25)
Если допускается применение теории распределений (тема,
выходящая за рамки математических вопросов, затрагиваемых
в данной книге), то может быть определено НВПФ даже ц для
незатухающих периодических сигналов.
Ряд ключевых (основных) свойств и функций, реализуемых
непрерывным преобразованием Фурье, которые будут часто ис-
использоваться в книге, приведен в табл. 2.2. Вывод соотношений,
помещенных в этой таблице, в частности тех из них, в которых
использованы импульсные функции, можно найти в стандарт-
стандартных учебных пособиях; см., например, Бригхэм [4], Рабинер и
Голд [16J, Оппенгейм и Шафер [11J, Брейсуэлл [3]. Заметим,
что прямоугольное окно определяется выражением
1/2, |*|=1;
о, И>1,
B.26)
2 Глава 2
'аблица 2.2. Основные свойства НВПФ и функции
Свойство, фушиня
1инейность
двиг по времени
|двиг по частоте (мо-
(модуляция)
Аасштабирование
'еорема свертки во
временной области
'еорема свертки в ча-
частотной области
«ункцня окна
«ункция sine
1мпульсная функция
•ункция отсчетов
Функция
ag(t)+bh(t)
hit—h)
/i(/)eip(/2nfo()
A/|а|)Л((/а)
g{t)*h{t)
g(i)-h(t)
Aw{t/Ta)
2/lf0sincBf0()
/16@
Шг@
Преобразование
uG(f)+bH(f)
Ш1-Ы)
"(of)
G(f)-H(t)
O(!)*H[f)
2ATasimBT0f)
Aw(f/F0)
A
FUlF(f),F=l/T
функции sine — выражением
sine (л:)
sin (nx)
—*-
B.27)
) разд. 2.6 нас, в частности, будет интересовать функция от-
отчетов (или дйскретизирующая), определяемая выражением
Ulw(x)= S Цх-nW),
B.28)
:реобразование которой также является функцией отсчетов.
1о причинам, которые будут объяснены в следующем разделе,
.ту функцию иногда также называют функцией, осуществляю-
цей периодическое продолжение.
Другое важное свойство устанавливается теоремой Парсе-
аля для двух функций g(t) и h(t):
:сли положить g(t)=h(t), то теорема Парсеваля сводится к
¦гореме для энергии
юскольку в левой части в B.30) стоит полная энергия Е сигна-
.а h(t). Выражение B.30)—это, по сути дела, просто форму-
.ировка закона сохранения энергии в двух областях (времен-
!бй и частотной). Таким образом, функция
B.31)
Обзор теории линейных систем
описывает распределение энергии по частоте для детермини-
детерминированного сигнала h(t) и поэтому называется спектральной
плотностью энергии (СПЭ) детерминированного сигнала h(t).
Применительно к детерминированным сигналам в литерату-
литературе по линейным системам помимо S(f) используются еще два
других определения спектральной плотности. Если h(t)—им-
h(t)—импульсная характеристика некоторого фильтра, то ее НВПФ
Я (/) = $!„ ft @ ехр (- j2nft)dt B.32)
называется частотной характеристикой этого фильтра. В об-
общем случае функция H(f) представляет собой комплексную
функцию, поэтому в полярных координатах ее можно записать
B.33)
где действительные функции \H(f)\ и 6(/) определяются выра-
выражениями
Функция \Н{{)\ называется амплитудным спектром импульс-
импульсной характеристики h(t), а функция в(/) — ее фазовым спект-
спектром."
2.6. Операции дискретизации и взвешивания
В разд. 2.7 дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ) введен
как частный случай непрерывно-временного преобразования
Фурье (НВПФ), при этом были использованы две базовые опе-
операции обработки сигналов —взятие отсчетов (дискретизация)
и взвешивание с помощью окна. В этом разделе рассматрива-
рассматривается влияние этих операций на сигнал и его преобразование,
что упростит изложение материала в разд. 2.7. Основной ре-
результат, который представлен в данном разделе,— это теорема
отсчетов, определяющая условия, при которых непрерывный
сигнал, дискретизованный по временной или пространственной
переменной, может быть восстановлен по своим отсчетам без
потери какой-либо информации о нем. В последующем изложе-
изложении полагается, что сигналы являются функциями времени, хо-
хотя выводы соответствующих соотношений можно аналогичным
образом провести и для сигналов, которые являются функциями
пространственной переменной (см. приложение 2.Б).
" Применительно к фильтрам (а не сигналам) \H(f) | — называется ампли-
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и в (/) — фазочастотной характери-
характеристикой (ФЧХ) (см., например, [12*], с. 152, [13*], т. 2, гл. Щ. — Прим. ред.
54 Глава 2
Таблица 2.3. Взвешивание и днскретизирующие функции
Операци
Взвешивание во
ной области
окна NT с)
Взвешивание в
ной области
окна \{Т Гц)
Отсчеты по
(с интервалом
Отсчеты но
(с интервалом
времен-
(ширина
частот-
(ширнна
времени
Т с)
частоте
1/NT Гц)
Ф„„„е™
T\V=ioBW7'-l)
1
Т
TS = TUl7(t)
sr~1{FS}-m.,T(o
Преобразование
T{TW}-NTB\nc(\Tf)x
Xexp(-JTiNTf)
i~\\'=wBTi)
^"{TS} =Ш] -zff)
FS= —:Ш„„(!)
XT
В табл. 2.3 перечислены функции, с помощью которых осу-
осуществляются взвешивание и отсчеты и которые будут использо-
использоваться ниже. При равномерных отсчетах с интервалом Т секунд
частота отсчетов (или скорость отсчетов) F равна 1/7" герц.
Заметим, что взвешивающая функция и функция отсчетов во
временной области обозначаются соответственно буквами TW
(time windowing) и TS (time sampling), а в частотной области
для этой цели используются соо1ветственно обозначения FW
(frequency windowing) и FS (frequency sampling).
Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действи-
действительнозначного сигнала x(t) с ограниченным спектром, верхняя
частота которого равна Fo герп, так что НВПФ сигнала x(t)
равно нулю при \f\>Fa. НВПФ действительного сигнала
x(t)—это всегда симметричная функция с полной шириной
спектра, равной 2f0, Гц; см. рис. 2.1, а. Отсчеты сигнала x(t)
могут быть получены посредством умножения этого сигнала на
функцию отсчетов:
= T 2
B.34)
Напомним читателю, что приведенное в B.34) произведение
x(t) с последовательностью импульсных функций должно рас-
рассматриваться подобно выражению B.4). В соответствии с теоре-
теоремой свертки в частотной области, НВПФ сигнала x(t)—это-
просто свертка спектра сигнала x(t) и преобразования Фурье
функции отсчетов по времени (TS):
Xs(f) = X(i) *?{!$}¦= Л X(f-kF).
B.35)
Свертка X(f) с преобразованием Фурье функции отсчетов
Обзор теории линейных систем
y-{TS)
f г [
-3F -2F -f 0 F 2F 3F
,[,|.TSl «У 4FW)
Рис. 2.1 Иллюстрация теоремы отсчетов во временной области для действи-
действительное сигнала а ограниченным спектром: а — исходная функция времени с
ограничаным спектром и ее преобразование Фурье; б— функция отсчетов по вре-
времени и е преобразование Фурье; е — временные отсчеты исходной функции и ее
преибраование Фурье; в —временные отсчеты исходной функции и ее перио-
дическо! продолженное преобразование Фурье для случая /¦"<)> 1/271; г —
времение отсчеты исходной функции и ее периодически продолженное преобра-
зованиеФурье для случая F0<\/2T; д — частотное окно {идеальный фильтр
нижних частот) и его преобразование Фурье (функция sine); e — исходная
функцш времени, восстановленная посредством операции свертки с функци-
функцией sine.
{} = IUi/r(/) просто периодически продолжает X(f) с час-
частотны! интервалом 1/7 Гц, соответствующим частотному ин-
интервал между импульсными функциями. Поэтому Xs{f) пред-
ставлйт собой иериодически продолженный спектр X(f). Имен-
Именно по этой причине функцию UI(f) часто называют функцией
периоогческого продолжения. В общем случае отсчеты в одной
обласи (например, временной) приводят к периодическому
продо.жению в области преобразования (например, частот-
56
Глава 2
ной). Если частота отсчетов выбрана достаточно низкой, так
что F<c2Fo, то периодически продолженные спектры будут пе-
перекрываться с соседними, как показано на рис. 2.1, в. Это пе-
перекрытие— одна из форм искажения и носит название эффекта
наложения в частотной области. Если частота отсчетов повы-
повышается так, что F^2Fa, то перекрытие спектров будет отсут-
отсутствовать, что показано на рис. 2.1, г. Частота отсчетов FX = 2FO
получила название частоты отсчетов Найквиста, или частоты
сворачивания.
Для того чтобы восстановить исходный временной сигнал
по его отсчетам, т. е. осуществить интерполяцию некоторого
континуума значений между этими отсчетами, можно пропус-
пропустить дискретизованные данные через идеальный фильтр нижних
частот (ФНЧ), обладающий прямоугольной частотной характе-
характеристикой, показанной на рис. 2.1, 6\ В результате (см. рис. 2.1, е)
*(/) = Xs(/)'FW = [X(/)*,F{TS}].FW B.36)
восстанавливается исходное НВПФ. Используя теоремы о сверт-
свертке во временной и частотной областях, получаем
x(t) = x,{t) * Г {FW} = [x@-TS] * Г {FW} =
x[nT)smo.([t — nT
B.37)
Выражение B.37) представляет собой математическую запись
теоремы отсчетов во временной области'^, которая утверждает,
что с помощью интерполяционной формулы B.37) действитель-
действительный сигнал с ограниченным спектром может быть точно вос-
восстановлен по бесконечному числу известных временных отсче-
отсчетов, взятых с частотой F^.2F0. Аналогичный подход может
быть использован и в случае комплексных сигналов с ограни-
ограниченным спектром с шириной спектра, равной 2Fq герц.
Дуальной к теореме B.37) является теорема отсчетов я
частотной области. Теперь вместо сигнала с ограниченным
спектром рассмотрим действительный сигнал с ограниченной
длительностью, т. е. некоторый сигнал x(t), который равен ну-
нулю при |*|>7"о. Если будем выполнять дискретизацию не во
зременной, а в частотной области с частотными интервалами
Р^1/27"о (в противном случае будет возникать наложение во
зремени), то получим периодическое продолжение неперекры-
неперекрывающихся сигналов с ограниченной длительностью. Применение
1деального прямоугольного временного окна будет восстанав-
1 Теорема отсчетов в ряде случаев называется теоремой Уиттекера, Котель-
[икова и Шенвона (УКШ) — в честь ученых, ее сформулировавших и доказав-
шх (см., например, [14*]). — Прим. ред.
Обзор теории линейных систем 5'
ливать ограниченный по длительности исходныйсинал; в час-
частотной области это будет соответствовать нековрс! операции
фильтрации, используеиой для восстановления 1схдного пре-
преобразования. Операции во временной области, характеризую-
щие теорему отсчетов в частотной области, опиаваотся выра-
выражением
x@ = [*(/)*^-4FS)]-TW, B.38)
а операции получения соответствующих преобрзовний — вы-
выражением
X(/) = [X(/)-FS]*<F{TW} =
= 2 X
= 2 X(nF)smc([f-nF]/F),
B.39)
описывающим процедуру интерполяции ОД-сигнла при кото-
которой f=l/27V Таким образом, НВПФ X(f) некоорго сигнала
с ограниченной длительностью может быть однонано восста-
восстановлено по равномерньм (эквидистантным) отнетш спектра
такого сигнала, если выбранный интервал отсчеовпо частоте
удовлетворяет условию Fs^U2To герц.
2.7. Соотношение между непрерывными
и дискретными преобразованиями
Для того чтобы по отсчетам данных получить епктральные
оценки в соответствующих единицах измерения энргии или
мощности, необходимо «пользовать несколько этлчающиеся
определения и терминологию по сравнению с обынши опреде-
определениями для дискретного преобразования Фурье, пр[водимыми
в большинстве учебных пособий по цифровой обабтке сигна-
сигналов. Пара преобразований для обычного олре,еляия ДПФ
^-точечной временной тоследовательности х[п] j соответству-
соответствующей ей iV-точечной последовательности преобраовяия Фурье
X[k] дается выражениями
X[k]= 2 *[я]ехр(—j2nkn/N),
B.40)
х [л] = -
X [k] exp (j2nkn/N).
B.41)
58 Глава 2
В данной книге используется пара дискретно-временных рядов
Фурье (ДВРФ)
X [Щ = Т 2 х [л] ехр (— j2nkn/N),
определенных для О^А^Л'—1 и О^я^ЛГ—1, поскольку в них
в явном виде введена зависимость от интервала отсчетов Т.
В этом разделе будут обоснованы выбранные наименование
и определение ДВРФ, а также и других форм преобразования
Фурье. Операции взвешивания и взятия отсчетов, введенные в
разд. 2,6, будут указывать на прямую связь НВПФ с ДВРФ и
другими преобразованиями Фурье. Более подробную информа-
информацию о выводе некоторых соотношений, принятых в этом разде-
разделе и не являющихся широко используемыми, можно найти в
книгах Бригхэма [4], Блумфилда [2], Папулиса [15],Жекинии
Явуза [8] и Оппенгейма и Уиллски [12J.
ДВРФ можно рассматривать как некоторую аппроксимацию
НВПФ, основанную на использовании конечного числа отсчетов
данных. Для того чтобы показать точный характер этого соот-
соотношения, нам потребуется последовательность из четырех ли-
линейных операций. К ним относятся взвешивание во временной
и в частотной областях и взятие отсчетов как во временной, так
и в частотной областях. Как уже было показано в разд. 2.6, ес-
если операция взвешивания выполняется в одной из этих облас-
областей, то, согласно теореме свертки, ей будет соответствовать вы-
выполнение операции фильтрации (свертки) в другой области с
функцией sine. Точно также, если дискретизация выполняется в
одной области, то в другой выполняется операция периодиче-
периодического продолжения. Так как взвешивание и взятие отсчетов яв-
являются линейными и коммутативными операциями, то возмож-
возможно много способов их упорядочения, т. е. последовательности
выполнения, все из которых дают одинаковый конечный резуль-
результат, хотя промежуточные результаты будут при этом различны.
На рис. 2.2 показаны две возможные последовательности вы-
выполнения этих четырех операций. Рассмотрим сначала после-
последовательность, обозначенную цифрами 1, 2, 4, 6 и 8. Исходная
функция непрерывного времени x(t) и ее преобразование X(f)
не ограничены и могут быть в общем случае непериодически-
непериодическими, не ограниченными по спектру и по длительности. Если поло-
положить, что N отсчетов x(t) во времени взяты с равномерными
интервалами Г секунд, то первая операция FW ограничивает
ширину спектра этого сигнала частотами ± 1/27" герц (взвеши-
Обзортеории линейны
Рис. 2.2. Две возможные пеледовательности из двух операций взвешивания
и .-Esyx операций взятия отсетов, связывающие НВПФ и ДВРФ: FW — при-
приме;, ние окна в частотной обасти; TW — применение окна во временной обла-
области; FS—взятие отсчетов втастотной области; TS — взятие отсчетов во вре-
временной области; / — преобраованне Фурье с непрерывным временем (НВПФ),
уравнение B.22); обратное НВПФ, уравнение B.23); 4 — преобразование
Фурье с дискретным времени (ДВПФ), уравнение B.49); обратное ДВПФ,
уравнение B.50); 5 — ряд Фрье с непрерывным временем (НВРФ), уравнение
B.46); обратный НВРФ, урзнение B.47); 8 — ряд Фурье с дискретным вре-
временем (ДВРФ), уравнене B.53); обратный ДВРФ, уравнение B.54).
вает в частотной обласи). Вторая операция TS означает взя-
взятие временных отсчето с интервалами Т (секунд) полученно-
полученного в результате первойоперации ОС-сигнала. Третья операция
TW ограничивает длитиьность сигнала, полученного в резуль-
результате второй операции, / отсчетами. Четвертая операция FS
означает взятие отсчете по частоте с интервалами 1/NT герц,
что приводит к периоднескому продолжению исходных N вре-
временных отсчетов. Испоьзуя приведенные в табл. 2.3 определе-
определения функций, описывакцих эти операции, получаем последова-
последовательность операций во (ременной и частотной областях, кото-
которые даются следующим! выражениями:
fl S)-TW).§--1{FS}, B.42)
*дврф = («X (/) -=W) * ? {TS}) * ? {TW}) ¦ FS. B.43)
Операции взятия отсчетв между узлами 2—4 и 6—8 обратимы
при применении соответственно теоремы отсчетов во временной
и частотной областях; соответствующие операции обозначе-
обозначены буквами FW и TW, соторые поставлены на обратных стрел-
стрелках между узлами 4—2и 8—6. Другой возможный путь, пока-
показанный на рис. 2.2, испльзует последовательность узлов 1, 3,
5, 7 и 8; в этом случае iapa операций взвешивания во времен-
временной области и взятияатсчетов в частотной области заменена
60 Глава 2
парой операций взвешивания в частотной и взятия отс^ювво
временной областях,
В результате выполнения операций взвешивания и взятия
отсчетов в узлах 1, 4, 5 и 8 будут иметь место четыре различных
типа соотношений Фурье, а именно, непрерывно-временное пре-
преобразование Фурье (НВПФ), дискретно-временное преобразо-
преобразование Фурье (ДВПФ), непрерывно-временной ряд Фурье
(НВРФ) и дискретно-временной ряд Фурье (ДВРФ). Между
преобразованием Фурье и рядом Фурье имеют место качествен-
качественные отличия: узлы, в которых функция в частотной области не-
непрерывна, относятся к преобразованиям Фурье; узлы, в которых
функция в частотной области дискретна, относятся к рядам
Фурье. Заметим, что исторически сложившаяся терминология
дискретного преобразования Фурье, базирующегося на выраже-
выражениях B.40) и B.41), не соответствует используемой нами.
Операции ограничения спектра и длительности, требуемые
для обеспечения связи между ДВРФ и НВПФ, показывают,что
ДВРФ представляет собой измененный вариант исходного не-
непрерывно-временного сигнала x{t) и преобразования X(f).
Ограничение спектра (bandlimiting, BL) создает в узле 2
фильтрованную функцию времени вида
xBL.(t) = x{t)*f{FW}, B.44)
а ограничение Длительности (time limiting, TL) создает в уз-
узле 3 фильтрованную функцию преобразования (фильтрованный
спектр) вида
*rt(/) = *(/)*^{TW}. B.45)
Отсчеты этих функций обозначаются как Хвь[п] — хВ1(пТ) a
XTi.[k\=XTL(klNT).
Анализ последовательностей выполнения операций взвеши-
взвешивания и взятия отсчетов, указанных на рис. 2.2, позволяет отме-
отметить еще два интересных факта. В узле 5 операции взвешива-
взвешивания во временной и отсчетов в частотной областях порождают
непрерывно-временной ряд Фурье (НВРФ). Соотношения Фурье
связывают в этом узле непрерывно-временную функцию с пе-
периодом NT секунд с линейчатым спектром. Используя указан-
указанные в табл. 2.2 свойства и приведенные в табл. 2.3 определе-
определения функций, можно получить следующую пару преобразований
Фурье для этого случая:
*н.М = Jo x(t)exp{-j2nkt/NT)dt, k = Q, ±1, ±2 ± оо;
B.46)
x{t) =
NT Z-
k= -i
XTL [k] exp {J2nkt/NT),
B.47)
Обзор теории линейных систем
Заметим, что выражение B.47) определяет некотоую периоди-
периодическую функцию, которая совпадает с заданной в 'зле 1 исход-
исходной временной функцией только на интервале фемени дли-
длительностью от 0 до NT. Выражение B.47) предсталяет собой
традиционную запись ряда Фурье некоторого приодическото
сигнала. В самых первых работах выражение B47) рассмат-
рассматривалось как основа гармонического анализа. Терема о энер-
энергии для НВРФ имеет следующий простой вид:
t-J- V
l~NT 2-
\xTL[k\\\
B.48)
Это выражение характеризует энергию сигнала н периоде NT
секунд.
В узле 4 взвешивание в частотной и взятие отяетов во вре-
временной областях порождают дискретно-временноепреобразова-
ние Фурье (ДВПФ), которое характеризуется Ериодической
функцией спектра в частотной области с периоюм 1/7" герц.
Для дискретно-временной последовательности .[п] и непре-
непрерывного периодического по частоте спектра X(f) можно запи-
записать следующую пару преобразований Фурье:
xBL[n]exp(-l2nfnT), -
я = 0, ±1, ±2
1/2Т, B.49>
± оо.
B.50>
Заметим, что выражение B.49) определяет некотфую периоди-
периодическую функцию, совпадающую с заданной в уз.е 1 исходной
преобразованной функцией только на интервалеот —1/2Г до-
1/2Г герц. Теорема о энергии для этого ДВПФ икет вид
B.51)
и характеризует энергию на периоде частоты 1/Г крц. Выраже»
ние B.49) связано с г-преобразованием некоторо дискретной,
последовательности соотношением
Л (/) = /Л(г) |г = ехр(/2л/Г)) (Z.OZ),
где Х(г)—г-преобразование последовательности cBL[n]. Пред-
Предполагается, что область сходимости этого 2-п]еобразования;
включает единичную окружность. Таким образом,ДВПФ — это-,
просто г-преобразование, вычисленное на единичой окружно-
окружности в г-плоскости и помноженное на Т. Дискрено-временнбв;
прео!разование Фурье будет очень часто использоваъся в этой
книп
Независимо от того, какая из двух последователностей че-
четыре, операций выбрана, окончательный результат вузле 8 бу-
будет сшим и тем же. В этом узле порождается диаретно-вре-
меннй ряд Фурье (ДВРФ), которому соответствует иедующая
парапреобразований:
XTLb]='TfixBL[n]exp(-i2nkn/N), * = --?-• ••.4~1'
. 1
п = ш ? XTL [k] exp {J2nkn/N), л =
*=-Л72
B.53)
ЛГ-1. B.54)
которые получаются в результате использования свйств, ука-
указанна в табл. 2.3. Теорема о энергии для этого ДВ1Ф просто
имеетвид
B.55)
k=~Nj2
и харктеризует энергию последовательности из Л отсчетов
данные.
Об последовательности xBL[n] и ХТь[А] перио.ичны по
моду.'о Л', поэтому при —N/2^ks^.l справедливо )авенство
Хть[-к\ =XTL[N—k\. Выражение B.54) можно дале< записать
в экввалентной форме
xbl [л] =
XIL [k] exp (J2nkn/N),
B.56)
где Oc.n^.N—1. Выражения B.53) и B.54) обра.уют пару
дискртно-временных рядов Фурье, относящихся к исхщной па-
.ре: нярерывно-временной функции x(t) и непрерыво-частот-
ной функции X(f). Существенное различие между вьражения-
ми дл ДВРФ и обычными выражениями для ДПФ вща B.40)
и B.4) заключается в наличии величины Т, характеизующей
интерил отсчетов по времени (в секундах). Множитль 1/ЛТ,
харакеризует интервал отсчетов по частоте (в гершх). Ука-
Указанны множители необходимы для того, чтобы вфажения
B.53) и B.54) являлись в действительности аппрокимациеп
«штегрла преобразования в области интегрировани:
N-i
i2nnfT)Tas ["T x{t)exp(-j2nft)it. B.57)
Обзор теории линейных сктем 631
Здесь Т и 1/ЛТ являются масштабным множителями ДВРФ
относительно частоты отсчетов, что обспечивает корректность-
масштабов при вычислении энергии и мщности.
Исходя из рис. 2.2, можно установись требуемое точное со-
соотношение ДВРФ временной последовтельности или ДВРФ
последовательности преобразований и оответственно исходной
непрерывно-временной функции или ис одной функции непре-
непрерывного преобразования. Если ширина спектра x(t) ограниче-
ограничена частотой 1/7" герц, то ДВРФ временой последовательности
будет сохранять исходные значения xt) в отсчетных точках,
однако ДВРФ последовательности преобразований будет со-
состоять из отсчетов некоторого «размыт<го» варианта исходного*
преобразования X(f); см. выражение A44). С другой стороны,
если длительность x(t) фактически огршичена интервалом NT
секунд, то ДВРФ последовательности греобразований сохраня-
сохраняет исходные значения X(f) в отсчетных точках, однако ДВРФ
временной последовательности будет сстоять из отсчетов не-
некоторого «размытого» варианта исходнео сигнала x(t); см. вы-
выражение B.43). Эффекты размытия мокно ослабить за счет
уменьшения Г (так что 1/Г будет соответствовать более широкой
полосе) или увеличения N (так что ЛГ будет соответствовать
большей длительности), в результате что ДВРФ будет точнее
аппроксимировать НВПФ. Заметим, чт> ДВРФ будет идентич-
идентичным НВПФ только в случае периодичеких сигналов, которые
можно представить в виде суммы из кмплексных синусоид с
частотами k/NT герц, где А = 0 N—1
2.8. Масштабирование для определения ющности
По аналогии с определением B.31)для спектральной плот-
плотности энергии непрерывно-временного 1реобразования Фурье
можно, используя теорему о энергии 2.51), записать следую-
следующее выражение для спектральной плоности энергии дискрет-
дискретно-временного преобразования Фурье (ДВПФ):
5двпф(/) = |Х(/)|!= Т 2 *BiHexp(—/2я/яГ) , B.58)
определенное при —1/2Г</<1/2Г. Испльзуя теорему о энергии
B.48), можно получить следующее выажение для спектраль-
спектральной плотности энергии непрерывно-врменного ряда Фурье
(НВРФ):
po [к] = | XTL Щ \'- = \
42nkt/NT)dt |\ B.59>
определенное при —оо<?<оо. Исползуя теорему о энергии
B.55), можно также получить следующе выражение для спект-
(альной плотности энергии дискретно-временного ряда Фурье
ДВРФ):
T 2 xBL [я] ехр (— j2nkn/N)
«=о
, B.60)
сределенное при Os^k^N—1.
И НВРФ, и ДВРФ определяют периодические функции вре-
Аени с периодом NT секунд. Мощность равна энергии, отнесен-
юй к единице времени. Поэтому, поделив спектральные плот-
юсти энергии (СПЭ), определяемые выражениями B.59) и
(!.6О), на NT, получим следующие выражения для детермини-
рванной спектральной плотности мощности (СПМ):
г.е —оо<?<оо, и
1 с
И = f
= ^fSHBP9[k], B.61)
, B.62)
г.е O^A^ryV—1. Обе эти плотности выражаются в единицах
мвдности на 1 Гц. Далее можно получить выражения для пол-
»й мощности Р, выделяемой за один период, путем определе-
определена площади под кривой СПМ
Г? F=1/NT — интервал дискретных отсчетов по частоте в гер-
цх. В некоторых учебниках «спектр» ДВРФ определяется как
F-Pn
»[*] =
ехР (— / 2nkn/N)
B.63)
пскольку эта величина не зависит от интервала отсчетов Т. Ве-
лгаина, определяемая выражением B.63) при каждом значении
ииекса k, будет точно равна мощности синусоиды с частотой
kfiT герц (см. ниже разд. «Задачи»). Однако в отличие от вы-
рзкения B.62) выражение B.63) не представляет собой кор-
рктно промасштабированную функцию СПМ.
Обзор теории линейных систем 65
2.9. Дополнение нулями
С помощью процесса, называемого дополнением нулями, "дщ>
кретно-временной ряд Фурье может быть измнен для интерпо-
интерполяции между N значениями исходного преобразования. Пусть
имеющиеся отсчеты данных дг[О],..., x[N—1]дополнены нуле-
нулевыми значениями x[N],..., x\2N—1]. ДВРФ этой дополненной
нулями г/У-точечной последовательности даных будет опреде-
определяться выражением
2ЛГ— 1 N~\
X[k] = T 2 * И ехр (—i2xnk/2N) = Т У, х [п ехр (— j2nnk/2N),
п=0 п=0
B.64)
где верхний предел суммы в правой части из:енен таким обра-
образом, чтобы учесть наличие введенных нулевые отсчетов. Пусть
k = 2l, так что
X [/] = Т 2 х [п] ехр (— 12яп1/1),
/1=0
B.65)
где 1=0, I,..., N—1, определяет четные значния X[k]. Следо-
Следовательно, при четных значениях индекса k 2Л^гочечный дискрет-
дискретно-временной ряд Фурье сводится к Л'-точечнму дискретно-вре-
дискретно-временному ряду. Нечетные значения индекса k соответствуют ин-
интерполированным значениям ДВРФ, расположенным между зна-
значениями исходного JV-точечного ДВРФ.
По мере того как все большее число нулейдобавляется в ис-
исходную Л^-точечную последовательность, мояяо получить еще
большее число интерполированных значений Влияние допол-
дополнительных нулей на интерполирование иллютрирует рис. 2.3.
В предельном случае бесконечного числа ввщимых нулей дис-
дискретно-временной ряд Фурье может рассматаваться как дис-
дискретно-временное преобразование Фурье Л'-то'ечной взвешенной
последовательности данных:
x[n]exp{—j2Kfnl).
0
B.66)
Преобразование, определяемое выражением (.66), соответству-
соответствует узлу 6 на рис. 2.2. Заметим, что бытует неравильноемнение
о том, что дополнение нулями улучшает разршение, поскольку
оно увеличивает длину последовательности даных. Однако, как
следует из рис. 2.3, дополнение нулями не улншает разрешаю-
разрешающую способность этого преобразования, полненного по задан-
заданной конечной последовательности данных. Дполнение нулями
просто позволяет получить интерполирование преобразование
более сглаженной формы. Кроме того, оно усраняет неопреде-
5-1366
1,0
|0,8
| 0,6
|0,4
|„,2
0,0
1111
-
„ 1
0,1 0,2 0,3
Доли частоты
Ш 0,8
3
Б 0,6
i
i
т * '
I.J
1,0
i 0,6
S 3
0,0
I I
-
:
ili.r
T.Tff
1
:
-
0,1 0,2
Доли часто
0,1 0,2 0,3
Доли частоты отсч
¦ис. 2.3. Интерполяция за счет дополнения нулями: а—модуль ДВПФ 16-то-
ечной записи данных, содержащих три синусоиды; б — модуль ДВРФ той же
оследовательности данных без дополнения нулями (неопределенности не раз-
ешены); в — модуль ДВРФ той же последовательности после двукратного
величения ее отсчетов за счет дополнения нулями (неопределенности разре-
1ены, так как различимы все три синусоиды); г — модуль ДВРФ той же по-
ледовательности данных после восьмикратного увеличения числа ее отсчетов
за счет дополнения нулями.
:енности, с которыми приходится иногда сталкиваться на прак-
ике, имея дело с дискретно-временными рядами Фурье, обу-
яовленными наличием узкополосных компонент сигнала с дент-
дентальными частотами. Эти частоты лежат между N точками, со-
о-ветствующими оцениваемым частотам исходного (т. е. не до-
юлненного нулями) дискретно-временного ряда Фурье, что ил-
.юстрирует рис. 2.3. При дополнении нулями повышается также
; точность оценивания частоты спектральных пиков.
.10. Быстрое преобразование Фурье
•ыстрое преобразование Фурье (БПФ) — это не еще одна раз-
ювидность преобразования Фурье, а название целого ряда эф-
•ективных алгоритмов, предназначенных для быстрого вычис-
Обзор теории линейных систем 6i
ления дискретно-временного ряда Фурье. Принцип! построена
этих алгоритмов обсуждаются в многочисленных ]аботах; см.
например, Отнес и Эхонсон [13], Бригхэм [4], Райнер и Гол;
[16], Макклеллан и Рэйдер [10], Эллиот и Рао [], Берглащ
[1], Кокран и др. [5]. Поэтому в данном разделе mi лишь крат
ко остановимся на принципах достижения той выислительно!
экономии, которую обеспечивают алгоритмы БПФ. БПФ — эте
первый из нескольких быстрых вычислительных алоритмов, ко
торые будут рассмотрены в данной книге примениельно к ме
тодам спектрального оценивания.
Основная идея БПФ — деление Л^-точечного ДВ'Ф на два i
более меньших ДВРФ, каждый из которых можю вычислит!
отдельно, а затем линейно просуммировать с осталными, с Teiv
чтобы получить ДВРФ исходной ^-точечной последяательности
Эти ДВРФ меньшего размера можно в свою очердь поделит!
на еще меньшие ДВРФ соответственно меньших пеледователь
ностей. В общем случае вычисление Л1 точечного Д1РФ требуе-
выполнения logzN шагов с операциями сложения [ Л'/2 опера
циями умножения на каждом шаге. Таким образои Л'-точечно!
БПФ требует выполнения примерно AMog2^V ложений i
Nlog2(^V/2) умножений комплексных чисел, что значительш
меньше тех Л*2 операций, которые необходимы дляраздельноп
вычисления N значений преобразования по Л^-точечтй последо
вательности данных. Если используется дополнени нулями, т<
за счет исключения, или удаления, вычислительных путей, со
держащих одни лишь нулевые значения, можно достичь ещ<
большего уменьшения объема вычислений; более юдробно см
об этом в статьях Маркела [9] и Сриниваса и Рао 17].
В приложении 2.В приведена программа на Сэртране длз
алгоритма БПФ с децимацией (прореживанием) лечастоте. Бо
лее сложные программы БПФ приводятся в гл. 1 сборник!
«Программы для цифровой обработки сигналов» [6], опубли
кованного издательством IEEE Press в 1979 г., i в учебник!
Макклеллана и Рэйдера [10].
2.11. Разрешение и произведение длительности
на ширину полосы
Общепринятое эмпирическое правило, часто используемое npi
спектральном анализе, гласит, что спектральное рзрешение i
герцах приближенно равно величине, обратной инервалу вре
мени наблюдения сигнала в секундах. Поскольку расстоян»
между спектральными линиями ДВРФ равно 1/NT 'ц, где NT —
полный интервал времени наблюдения, каждая «ячйка» разре
шения ДВРФ по частоте будет, согласно этому шавилу, при
мерно соответствовать предельной величине спектрльного раз
5«
68
Глава 2
решетя. В этом разделе анализируются обоснованность ука-
занноо эмпирического правила и возможность его использова-
использования в качестве некоторой меры разрешения. Результаты этого
разде[а применимы к случаю детерминированных сигналов ко-
конечна энергии. К обсуждению произведения длительности на
шири у полосы (частот) мы еще вернемся в гл. 5, где будет
показ1но, что для анализа случайных сигналов конечной мощно-
мощности иобходима модификация с использованием произведения
трех еличин — статистической устойчивости оценки, длительно-
длительности ипирины полосы.
Сгнал х[п] не может одновременно быть ограниченным по
длите!ьности и по ширине полосы спектра. И хотя любая функ-
функция н может быть строго ограниченной по длительности или по
полос, ее все же можно охарактеризовать некоторым интерва-
интервалом 7, секунд, в котором сосредоточена большая часть ее энер-
энергии пи представлении во временной области, и некоторым ин-
терваюм Ве герц, в котором сосредоточена большая часть ее
энерг.и при представлении в частотной области. Для количест-
количественное описания временной концентрации энергии дискретно-
времаной последовательности отсчетов сигнала и соответствую-
соответствующей чстотной концентрации ее преобразования предложено не-
скольо различных мер. Две из них рассмотрены ниже.
Экивалентная длительность Те дискретно-временного сигна-
сигнала х[.] определяется как
71
1 е — '
~тщ
B.67)
т. е. ными словами, как «площадь» этого дискретного сигнала,
поделнная на его центральное значение. Эквивалентная дли-
тельнсть сигнала равна длительности сигнала с прямоугольной
огибазщей, высота которого равна значению х\п] в начале ко-
ординт, т. е. х\0], а площадь равна площади исходного сигна-
сигнала; с\ рис. 2.4, а и 2.4, б. Заметим, что в общем случае Те не бу-
будет цсточисленно кратным интервалу отсчетов Т. Эквивалентная
шири® полосы Ве дискретно-временного преобразования Фурье
X(f) игнала х[п] определяется аналогично как
B-68)
тщ
см. рс. 2.4, в и 2.4, г. Эти две меры временной и частотной кон-
концентр ций применимы лишь к действительнозначным симмет-
симметричны! сигналам с максимальным значением в начале коорди-
координат, итеграл от которых имеет конечное ненулевое значение.
Эти уловия точно выполняются для весовых функций (окон),
Обзор теории линейных систем
iillL
-Т./2 О т=/2
Xe(f)
Рис. 2.4. а — последовательность отсчетов исходного сигнала; б — эквивалент-
эквивалентная длительность сигнала с прямоугольной огибающей, имеющего равную с
исходным сигналом площадь и высоту, равную высоте исходного сигнала; в —
преобразование Фурье исходного сигнала; г — эквивалентная ширина полосы
преобразования Фурье прямоугольной формы, имеющего площадь, равную пло-
площади преобразования Фурье исходного сигнала и равную с ним высоту.
которые рассматриваются в гл. 5 в связи с обсуждением клас-
классических спектральных оценок.
Из соотношений B.49) и B.50) с очевидностью следует, что
B.69)
откуда получаем, что произведение длительности и ширины по-
полосы равно
2 *[п)
S-?r*W"
40]
X@)
B.70)
а это означает, что эквивалентная длительность сигнала и эк-
эквивалентная ширина его преобразования являются взаимно об-
обратными величинами. Именно это равное единице произведение,
в котором Те полагается равным интервалу наблюдения, и поло-
70
Глаог2
жено в основу эмпирического прашла, упомянутого в начале
данного раздела.
Возможно другое определение троизведения длительности и
ширины полосы, основанное на юнятии среднеквадратичной
длительности (ширины). Среднеквдратичная ширина является
мерой дисперсии (среднеквадратиного отклонения) некоторой
функции от ее среднего значения Для того чтобы получить
возможность оперировать с более широким классом функций,
чем это возможно при использовании эквивалентных длительно-
длительности B.67) и ширины полосы B.61), можно использовать опре-
определения среднеквадратичной шфины для функций вида
\х[п] |2 и |X(f)|2. Такой подход озволяет получать значимые
среднеквадратичные величины шишны для комплексных функ-
функций, осциллирующих функций и фикций, которые имеют нуле-
нулевую интегральную площадь. Среаеквадратичная длительность
Те дискретно-временного сигнала с [л] определяется как
Т V |х[я]|"
B.71)
а среднеквадратичная ширина полсы Ве дискретно-временного
преобразования Фурье X(f) сигнша х[п] определяется анало-
аналогично как
фу .IZ
B.72)
В приведенных определениях предолагается, что средние значе-
значения х\п] и X(f) соответствуют отчетам *[0] и Х@), хотя эти
определения можно изменить тамм образом, чтобы средние
значения не соответствовали начау координат.
Поскольку, согласно выражешю B.51), энергия сигнала
х[п] и преобразования X(f) опредляется как
п= ее
то произведение среднеквадратичых величин длительности и
ширины полосы (ТеJ(БеI будет рвно
г 2
. B.73)
Обзор теории линейных систем 71
Используя одну из разновидностей неравенства Шварт, а так-
также полагая, что сигнал имеет конечную энергию Е и урвлетво-
ряет условию
limJnT)\x[n]\* = O,
можно показать [3, 14], что (feJ(BeJ5sl/16jt2. Поэтму про-
произведение среднеквадратичных значений длительности ьширины
полосы сигнала удовлетворяет условию
feBej,_L. B.74)
Если положить, что Те примерно равно Те, то условк B.74)
устанавливает несколько меньшую ширину полосы ксщентра-
ции энергии, чем условие B.70).
Ширина полосы Ви на уровне половинной C-дБ) ющности
часто используется на практике в качестве некоторой ашрокси-
мации величины Ёе, поскольку ее легко измерить. Это —ширина
полосы, в которой квадрат величины данного преобразовния ра-
равен половине квадрата его значения в начале коордивт, т. е.
там, где \Х(±Вн/2) |2= \Х@) \'/2.
Выражения B.70) и B.74) устанавливают связь меаду вре-
временной концентрацией одиночного сигнала и спектралной кон-
концентрацией его преобразования. Величина ТВ количественно не
определяет способности разрешать спектральные отклки, обу-
обусловленные двумя или более сигналами. Поэтому в лиературе
появилось множество определений разрешения, большшство из
которых касается способности разрешать спектральныеотклики
двух синусоид, близких по частоте и амплитуде. Эти аределе-
ния основаны на некоторой мере того, насколько (лизкими
должны быть эти две синусоиды, чтобы их спектральнь; откли-
отклики стали неразрешимыми. Общим во всех этих опре,елениях
является допущение о том, что разнесение синусоид пс частоте
не может быть меньше эквивалентной ширины полосы кна, че-
через которое наблюдаются сегменты (отрезки) этих дву] синусо-
синусоид. Поскольку большинство критериев разрешения касатся сиг-
сигналов, наблюдаемых на некотором временном интервал' (окне),
то для определения эквивалентной ширины полосы, а следова-
следовательно, разрешения, чаще всего используется произведниедли-
произведниедлительности И Ширины ПОЛОСЫ ТеВе. Поэтому ГОВО]ЯТ, ЧТО
разрешение в герцах приближенно равно величине обрат-
обратной времени наблюдения. Некоторые из описанных в эюй кни-
книге методов спектрального оценивания обеспечивают азреше-
ние, превосходящее эту величину. Именно поэтому след;ет очень
осторожно интерпретировать произведение ТВ, если онсисполь-
72 Глава2
зуется для вывода заключения о Еличине разрешения. М<год1
высокого разрешения эффективноэкстраполируют измеряны
сигнал за пределы интервала найюдения, поэтому эффетив
ный интервал наблюдения характризуется большим врелене:
концентрации энергии, чем исхо.ный интервал наблюдаш!
А это означает, что эффективная еличина Те становится юль
ше, поэтому величина Ве будет мньше, а следовательно, раз
решение — соответственно выше.
Литература
[I] Bergland G. D. A Guided Tour of the :ast Fourier Transform. IEEESpec
rum, vol. 6, pp. 41—62, July 1969.
[2] Bloomjield P Fourier Analysis of Tim< Series: An Introduction JohrWile"
& Sons, Inc., New York, 1976.
[3] Bracewell R. The Fourier Transform and Its Applications. McGrsv-Hi!
Book Company, New York, 1978.
[4] Brigham E. О The Fast Fourier Traniorra. Prentice-Hall, Inc., Engjwod
Cliffs, N. J., 1974.
[5] Cochran №. T. et at. What Is the Fat Fourier Transform?. IEEE Iran
Audio Electroacoust., vol. AU-15, pp. 41—55, June 1967.
[6] Digital Signal Processing Committee, :d.. Fast Fourier Transform Sibroi
tines. Chapter 1 in Programs for Distal Signal Processing. IEEEPres,
New York, 1979.
[7] Elliott D. F., Rao K. R. Fast Algo.thms — Applications, Analysi, an
Application. Academic Press, Inc., NewVork, 1983.
[8] Geckinli N. C, Yavuz D. Discrete Fouier Transformation and Its АрНсг
tions to Power Spectra Estimation. Ehvier Scientific Publishing Coipan1,
Amsterdam, 1983.
[9] Market J. D. FFT Pruning. IEEE Tras. Audio Electroacoust., vol. iU-H
pp. 305—311, December 1971.
[10] Number Theory in Digital Signal Procesing, J. H. McClellan and C. 1. Я;
der, eds., Prentice-Hall, Inc., Englewoo Cliffs, N. J., 1979.
[II] Oppenheim A. V'., Schafer R. W. Digial Signal Processing. Prentic-Hal
Inc., Englewoods Cliffs, N. J., 1975. [Имеется русский перевод: 'nne*
гейм А В., Шафер Р. В. Цифровая обработка сигналов. — М ¦ "вяз|
1979.]
[12] Oppenheim А. V., Wiltsky A. S. Signls and Systems Prentice-Hal lnc
Englewoods Cliffs, N. J., 1983.
[13] Otnes R. K., Enochson L. Digital TimeSeries Analysis. John Wiley «Son
Inc., New York, 1972.
[14] Papoulis A. The Fourier Integral audits Application. McGraw-Hil Boo
Company, New York, 1962.
[15] Papoutis A. Signal Analysis. McGraw-till Book Company, New York 197'
[16] Rabiner L. R.. Gold B. Theory and App cation on Digital Signal Procssinf
Prentice-Hall, Inc., Englewoods Cliffs.N. J., 1975. [Имеется русски! пере
вод: Рабинер Л., Голд Б. Теория и пименение цифровой обработи сш
налов. — М.: Мир, 1978.]
[17] Sreeninas Т. V.. Rao Р. V. S. FFT Ajorithm for Both Input and lutpi
Pruning. IEEE Trans. Acoust. Speec Signal Process., vol. ASP-2;
pp. 291—292, June 1979.
»бзор ¦
ории линейных систем
73
Задачи
1. „оказать, что б(а/=б(О/1а1» т. е. что
=-г4т Г б (')*(</«) л.
2. Доказать, что в сучае комплексного выхода устройства омплексной де-
одуляции действтельного сигнала частота отсчетов дожна равняться
дшь половине часоты отсчетов исходного действительног сигнала.
3. 1редположим, чтонеобходимы только первые N/2 из N ыходных значе-
ий преобразовани Фурье, получаемых с помощью подрограммы FFT
1-м. ниже приложние 2.В). Показать, каким образом м>жно сократить
бъем вычисленнй.для того чтобы уменьшить вычислителную сложность
гой программы? Ькова величина этой экономии?
4. 1оказать, что
f(n%N(x-nx).
5. адача на факторзацию: задана функция g(t), преобрзование Фурье
второй G(f) являтся неотрицательной функцией; найи каузальную
сункцню, такую чт> g(t)=f(t) f*(t); это означает, что Gi) = \F{f)\2.
6. ^дача на вычислние произведения ТВ: задана односторнняя экспонен-
иальная функция
хп] --
Аехр(-апТ),
0, п<0,
не Т — интервал сгсчетов, а а—положительная констант. Найти Т,, Вл
%, Ёе и соответстРющие величины произведений длительности на ширину
плосы для этой >ункции. Какое нз этих произведений будет меньше?
Гочему?
7. 1айти эквивалентню длительность и эквивалентную шириу полосы окон,
аределенных в тай, 5.1.
8. Здана функция
x(t) =
p(— 0,50,
0, в остальных случаях.
кпользуя выражеие B.30), вычислить энергию Е НВГКэтой функции.
Ьли отчеты x(t) ыполняются с интервалом Т секунд, начная с момента
N0, то какое значние Т необходимо выбрать для того, чтбы выражение
(.51) для энерги!-ДВПФ аппроксимировало энергию Н1ПФ с погреш-
нстью не более 1°/? Не более 0,01 %?
9. Густь x[n]=Aexpt-j2nnk/N). Показать, что выражение (.63) позволяет
аределять мощнось комплексной синусоиды х[п].
10. Сказать теорему ¦ энергии B.54) для дискретно-временнсо ряда Фурье.
1риложение 2.А
кточнмк комплексных сигналов
[отя большинство сигналов с дискретным временем — это дей-
твительные отсчеты сигналов с непрерывным временем, в сов-
еменных системах обработки сигналов эти действительные от-
отчеты при некоторой последовательности операций обработки
|чень часто преобразуются в комплексные отсчеты, поскольку
.ействительные отсчеты умножаются на комплексную синусоиду
хр (jat). Например, одним из системных требований часто яв-
[яется обработка в частотной области. Это означает, что при
|бработке должен использоваться комплексный ДВРФ
х [k] = Т 2 х [л] ехр (— j2nkn/N),
i который входят произведения с комплексными синусоидами.
Еще одной распространенной причиной появления комплекс-
комплексных данных является комплексная демодуляция действитель-
!ых полосовых сигналов, в результате которой получаются
:омплексные информационные (т. е. модулирующие) сигналы.
'ассмотрим показанный на рис. 2.5, а симметричный спектр дей-
твительного полосового сигнала и спектр требуемого комплекс -
[ого модулирующего сигнала, центрированного относительно
.астоты 0 Гц. Этот сигнал имеет ширину полосы В герц и полу-
ается в результате формирования произведения х[я]ехр(/Х
<2п(апТ), где /о — центральная частота полосового сигнала,
последующей фильтрации результирующего сигнала с по-
ющью фильтра нижних частот (ФНЧ) с действительными ко-
ффициентами и граничными частотами ±6/2 герц, как показа-
[О на рис. 2.5,6. Поскольку
ехр {j2nfa пТ) = cos Bя/„ пТ) + j sin Bп/0 пТ),
о процесс комплексной демодуляции можно, например, реали-
овать на практике с помощью схемы, показанной на рис. 2.5, s.
1риложение 2.Б
>бработка в области волновых чисел с помощью
мнейных пространственных решеток
комплексная синусоида как функция дискретного времени име-
т форму экспоненциальной функции вида ехр(/2я|яГ), 1^яг^
ZZN, которая получается в результате взятия равномерных от-
отчетов с интервалом Т секунд на временной апертуре NT ce-
;унд. Спектральный анализ используется для определения час-
оты синусоиды f по N отсчетам. С аналогичной пространствен-
;ой задачей приходится сталкиваться при обработке сигналов,
-1/2 Т
M^x.
-В/2 О В/2
«P(l2»fonT>
"си'г'н.'л™
>s BirfonTI
П Bl7fonT|
ного процесса демодуляции.
Ф] «] х[з] х[4] х[5] x[N]
шов), располо-
76
Глава 2
получаешх с помощью решетки равномерно разнесенных в
пространтве приемных элементов (датчиков), :кажем такой,
как покзана на рис. 2.6. Монохроматическая гаоская волна с
частотой', падающая на эту решетку под угломб, после равно-
равномерной .искретизации с интервалом D на прстранственной
апертуререшетки длиной ND будет иметь фор:у экспоненци-
экспоненциальной (функции вида exp (j2nknD), l^/z^Af. Пр'Странственный
спектралный анализ используется для определния волнового
числа k о отсчетам сигналов N датчиков. Воловое число к
и угол пдения плоской волны 0 связаны следукцим соотноше-
соотношением:
где с — ссорость распространения плоской волн!, а Я, — ее дли-
длина волнь Таким образом, пространственный спектральный ана-
анализ можю использовать для непосредственного [ахождения со-
отношенм, связывающего угол падения плоскойволны 8 с оце-
оцениваемы! значением волнового числа ft.1)
Приложаие 2.В
Программа быстрого преобразования Фурье [БПо|
Имеется [елый ряд машинных программ БПФ, кодящих как в
коммерчекие пакеты программ, так и описанньс в литературе
[6, 10]. )днако ради полноты изложения матерала в данную
книгу быш включена простая программа БПФ о основанию 2
с децимггией в частотной области, которая исгользуется в не-
сколькихпрограммах, помещенных в других главх данной кни-
книги. Поскшьку работа этих программ была уже гаоверена с при-
менениеь приведенной здесь подпрограммы FF', читатели мо-
могут (прижелании) испробовать их, заменив в мх эту подпро-
подпрограмму аоими собственными алгоритмами БПФ.
Для ычисления БПФ используются две подрограммы на
Фортране Подпрограмма PREFFT вызывается Д1Я составления
таблицы юмплексных экспонент. Параметр МОЕЕ устанавлива-
устанавливается либ(В 0, либо в 1 в зависимости от того, прмой или обрат-
обратный ДВ1Ф рассматривается. Подпрограмма PffiFFT предназ-
значена акже для проверки, является ли введиное число от-
отсчетов селенью числа 2. Если N не является стпенью числа 2,
то кодомошибки программа возвращается в начло. После вы-
вызова PR!FFT может повторно вызываться подрограмма FFT
столько ]аз, сколько необходимо для обработкитребуемого ко-
личестваЛ'-точечных наборов данных. Подпрогрмма FFT пред-
2л
'> Обычно . качестве волнового числа k принимается —- . - Прим. ред.
Обзор теории линейных ситем
77
ставляет собой алгоритм БПФ по основ!нию 2 с децмацией в
частотной области и постепенной замевй массивов исходный
массив входных данных заменяется выхдаыми значемями пре-
преобразования по мере их вычисления). Пи установке враметра
MODE в 0 будет вычисляться ДВРФ
W-1
X М = Т 2 х [п] exp (— j>.nkn/N), B.B.1)
при установке этого параметра в 1 буде: вычислятьсяэбратный
ДВРФ
B.В.2)
Здесь 0^?, n^.N—1. Значения данны> и преобразоания ин-
индексируются числами от 1 до /V, а не отО до N—1, :ак было
определено выше. Для использования эт'й подпрограммы с дей-
действительными данными необходимо перд ее вызови просто
положить мнимую часть равной нулю.
Если 64-точечная тест-последовательюсть данных, 1риведен-
ная в приложении II, помещенном в коде книги, испльзуется
с параметрами N = 64, MODE = 0 и Т=Ю, то будут ычислены
значения, указанные в следующей частиной раопечатсе выход-
выходных данных:
ХA) = (—1,62146; 1,5532);
ХB) = (—1,82918; 1,6953);
ХC) = (—2,06704; 1,7619);
ХF2) = (—1,21244; 1,3462);
ХF3) = (—1,31569; 1,40.36);
ХF4) = (—1,45793; 1,4831).
Эти две подпрограммы составляют таблицу :омплексных эксонент (под-
(подпрограмма PREFFT) и вычисляют дискретш-временной рд Фурье по
массиву отсчетов комплексных данпых с пмощью алгорита быстрого
преобразования Фурье с децимацией в частсной области (пцпрограмма
FFT).
Подпрограмма PREFFT (N, MODE, NEX1, W)
Входные параметры:
N —число отсчетов данных, подле>ащее обработке (целое чис-
число, которое должно быть степеью числа 2).
MODE —устанавливается в 0 для вычеления ДВРФ (выражение
B.В.1)) или в 1 для вычислеия обратного Д.РФ (выра-
(выражение B.В.2)).
78
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
10
15
Глава 2
Выходные параметры:
NEXP —указывает степень числа 2, такую, что N=*22»»NEXP. bra-
навливается в —1, для того чтобы указать ошибочное рло-
вие, если N не является степенью числа 2 (это целое чело
используется подпрограммой FFT).
W — массив комплексных экспонент.
Примечание:
Размеры. GE. N внешнего массива W должны указываться вызыаю-
щей программой.
COMPLEX W(l), Cl, C2
NEXP=1
NT-2»«NEXP
IF (NT .GE, N) GO TO 10
NEXP=NEXP+1
GO TO 5
IF (NT .EQ.-N) GO TO 15
NEXP= —I ! Ошибка: N не есть степень числа 2
RETURN
S = 8-ATANA.)/FLOAT(NT)
CI = CMPLX(COS(S), — SIN(S))
IF(MODE .NE. 0) C1=CONJG(C1)
C2-(l.,0.)
DO 20 R-l, NT
W(K)=C2
C2=C2-C1
RETURN
END
Подпрограмма FFT (N, MODE, T, NEXP, W, X)
Входные параметры:
N, MODE, NEXP, W — см. список параметров для подпрогрммы
PREFFT.
Т — интервал отсчетов в секундах.
X — массив из N отсчетов комплексных даннк от
X(l) aoX(N).
Выходные параметры:
X — N комплексных значений преобразования замещают исходны от-
отсчеты данных с индексами от к=1 до k=N, представляюшми
частоты (к—1)/NT герц.
Примечание:
Размеры .GE. N внешнего массива X должны указываться вызыаю-
щей программой.
Обзор теории линейных систем
COMPLEX X(l), W(l), Cl, C2
М1= 1
LL.N
D( 70 K=l, NEXP
NN-LL/2
IJ-MM+1
DO 40 1-1, N, LL
KKI
+
C1-X(I)+X(KK)
X(KK)=X(I)-X(KK)
40 X(I)-C1
IF(NN .EQ. 1) GO TO 70
DO 60 J = 2, NN
C2-W(JJ)
DO 50 I=J, N, LL
KK=I+NN
C1-X(I)+X(KK)
X(KK) = (XA)-X(KK))-C2
50 X(I)-C1
60 JJ-JJ+MM
LL=NN
MM=MM»2
70 CONTINUE
№2 = N/2
Nil = N-l
J=l
D(90 1=1, NM1
IF (I .GE. J) GO TO 80
C1=X(J)
X(J)X(I)
()C1
80 K=NV2
85 IF (K .GE. J) GO TO 90
J=J-K
K-K/2
GO TO 85
90 J-J+K
IF(MODE .EQ. 0) S-T
IF(MODE .NE. 0) S=1./(T.FLOAT(N))
DC100I-I.N
100 X(I)=X(I)«S
RITURN
ЕЮ
Глава 3
ОБЗОР МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
3.1. Введеме
Необходима средства для описания математических соотноше-
соотношений, с котоыми приходится иметь дело при рассмотрении мно-
многих метода спектрального оценивания, обеспечивает линейная
алгебра и i особенности матричные операции. Матрицы пред-
представляют сбой удобный и емкий метод систематизации подроб-
подробных алгебраических и численных соотношений, которые часто
встречаютс при спектральном анализе. Особенно полезным для
многих обеждаемых в книге методов спектрального оценива-
оценивания являетя материал раздела, посвященного тёплицевым мат-
матрицам. В днноп главе вводятся основные матричные обозначе-
обозначения и оперщпн матричной алгебры, которые будут часто ис-
пользоватья в последующих главах книги. Предполагается, что
часть читаелей знакома с линейной алгеброй, поэтому боль-
большинство рзу'льтатов приводится без доказательств. Доказа-
Доказательства и фугую информацию читатель может получить в дру-
других работа., список которых приведен в конце главы, в частно-
частности в книгеНоубла и Даньела [19]').
3.2. Основыматричной алгебры
Матрицей азывается некоторая совокупность действительных
или комплксных чисел, записанных в виде прямоугольной таб-
таблицы
(а[\, 1] а[1, 2] ... а{\, п\
а[2, 1] а [2, 2] ... а [2, п]
А={а[<\ /]) =
а[пг, 1] a [in, 2]
а[пг, л],
C.1)
состоящей C m строк и п столбцов. Величины, составляющие
матрицу, ипример a[i,j], называются элементами матрицы.
>> Читателю южно рекомендовать прекрасные отечественные монографии и
руководства D теории матриц, например, [3"—8*1 — Прим. ред.
Обзор матричной алгебры
Если матрица состоит из тпп элементов, то говорят, что размер
ность, или размер, матрицы равен тХп. Здесь a[i,/] обозначает
элемент матрицы, стоящий на пересечении ('-й строки и /-гс
столбца, где 1^1<.т и liij<n. Матрицы в данной книге буду1
обозначаться полужирными прописными буквами.
Блочной (клеточной) матрицей называется матрица, элемен
ты которой сами являются матрицами:
= {А[<\
l, q]
C.2
уА[р, 1] ... А [/>, q])
Каждый матричный элемент A[i, /] имеет одну и ту же размер
ность тХп. Говорят, что блочная размерность матрицы А рав
на pXq. Тогда скалярная размерность матрицы А равна pmXqn
Блочные матрицы будут обозначаться подчеркнутыми снизу по
лужирными прописными буквами. Определение блочной матри
цы понадобится нам впоследствии при описании методов много
канального и двумерного спектрального оценивания.
Вектор-строка — это A Хп)-матрица вида
Ь = (Ь [1] Ь [2] ... Ъ [л]),
обозначаемая полужирной строчной буквой. Вектор-столбец —
это (тХ1)-матрица вида
Ю [1])
также обозначаемая полужирной строчной буквой. Блочньи
вектор-столбец — это просто блочная матрица блочной размер
ности pXl (и скалярной размерности ртХп) вида
'С[Ц
C.3
обозначаемая подчеркнутой снизу полужирной строчной буквой
Говорят, что матрицы А и В равны друг другу, если они име
ют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и есл&
°[". i]=b[i, /] для всех i и /. Сумма или разность двух (тХп)
6—1366
матрц А и В образует новук матрицу С
С = А±В,
C.4)
котоая получается посредсвом суммирования или вычитания
-соотвтствующих элементов:
Ф. /] = Ф'. i]±b\i, /],
где l^i^m, l:g:/:g:n. Замени, что матричное сложение обла-
обладает свойствами ассоциативюсти и коммутативности. Умноже-
Умножение штрицы А на скаляр аопределяется выражением
oA={aa[i, /]}. C.5)
Две [атрицы А и В можно ушожить друг на друга, с тем чтобы
их призведение АВ давало !екоторую результирующую матри-
матрицу С тогда и только тогда,когда число столбцов матрицы А
равн! числу строк матрицы 1 Элемент (i, k) произведения мат-
матриц »В получается посредстюм умножения элементов 1-й стро-
строки м.трицы А на элементы k-o столбца матрицы В. Иными сло-
словами если A = {a[i,/]} — мтрица размером тхп, а В =
= {b[,k]}— матрица размерм пХр, то матрица С = АВ будет
матрцей размером тХр с э?ментами
>
C.6)
Замеим, что умножение матиц ассоциативно, но в общем слу-
случае ie коммутативно (AB^JA). Заметим также, что АВ = 0,
где (— нулевая матрица (т е. матрица, состоящая из одних
лишь нулевых элементов), и обязательно означает, что либо
А = 0,либо В = 0. Соотношене АВ = АС также не обязательно
означет, что В = С.
Трнспозицией (тХл)-марицы А называется (лХт)-мат-
рица V (транспонированная) получаемая в результате замены
строкстолбцами матрицы А:
а[1, 1] а2, 1] ... а[т, 1]
1, 2] а2, 2] ... а[т, 2]
о[1, п] а2, л]
а[т, п]
C.7)
так чо (i, /)-элемент матриш Аг — это просто (/, 1)-элемент
матрцы А. Для обозначенияоперации транспонирования мат-
матрицы будет использоваться тдстрочный верхний индекс «Г».
Можн) показать, что резул.татом транспонирования суммы
Обзор матричной алгебры
двух матриц яв[яется сумма транспонированных матриц:
(А + В)Г = А7'+В7', C.8)
а результатом т>анспонирования произведения двух матриц яв-
является произведние транспонированных матриц:
(\В)Т = ВТАТ. C.9)
Использоване надстрочного символа «*» для обозначения
комплексной опряженности матрицы А* означает, что ее
(i,/)-элемент яияется комплексно-сопряженным по отношению
к ((",/)-элемент}матрицы А. Тогда эрмитово транспонированной
(или эрмитово опряженной) матрицей, соответствующей комп-
комплексной (тхя)матрице А, называется (лхт)-матрица А", по-
получаемая в резуштате комплексного сопряжения всех элементов
матрицы А и пследующей их транспозиции Гт. е. А"=(АГ)* =
= (А*)Ч:
а*[1, 1] о*[2, 1] ... а'[т, 1]'
о*[1, 2] а*[2, 2] ... а'[т, 2]
а'[1, п.] а'[2, п] ... а'[т, п]
C.10)
Для обозначенж операции эрмитова сопряжения будет исполь-
использоваться надстрчный индекс «Я». Аналогично транспонирован-
транспонированным матрицам южно показать, что
(З.П)
C.12)
(АВ)" = В»А".
Блочной эрштово транспонированной (или эрмитово сопря-
сопряженной) матрщей, соответствующей комплексной блочной
(рХ<?)-матрицеА, называется блочная (^Хр)-матрица А", по-
получаемая в ре:ультате эрмитова сопряжения всех элементов
матрицы А:
... А"[р, 1]
C.13)
'[!,?] •¦• А" [р, а].
Так как исгользование полужирных строчных букв для обо-
обозначения векто-столбцов и вектор-строк может привести к не-
некоторой путанще, полужирные строчные буквы будут использо-
использоваться только .етя обозначения вектор-столбцов. Следовательно,
говоря «вектор», мы будем всегда подразумевать под этим век-
вектор-столбец, исключая, конечно, те случаи, где ясно говорится
о вектор-строке. Заметим, что вектор-строку всегда можно полу-
получить посредством простой транспозиции вектор-столбца:
c' = (c[l]...c[m]). C.14)
Весьма часто нам придется иметь дело с величиной, опреде-
определяемой внутренним произведением двух (лХ I) -векторов,
которая определяется как скаляр (скалярное произведение)
, v>= 2 а>' Ш°
C.15)
Заметим, что это произведение можно определить с помощью
обычного правила умножения матриц как
<w, v> = w"v. C.16)
Аналогичным образом можно определить внешнее произведение
¦wv" двух (их 1)-векторов w и v в форме квадратной (mXm)-
матрицы1)
[!]«• [1] w[l]V[2] ... w[\] V[
[w[m]v*[l] w[m]v'[2] ... w[ni\tf[m]
. C.17)
Смысл термина «длина» вектора можно выразить с помощью
любой из следующих векторных норм:
=<v,
C.18)
C.19)
каждая из которых является неотрицательной скалярной вели-
величиной.
'> Внешнее произведение векторов w и v в математической литературе обоз-
обозначают wy\v (см., например, [7*], § 25, с. 260). — Прим. ред.
Обзор матричнй алгебры
85
3.3. Специальные векторные и маричные структуры
Б этом разделе описаны различше специальные в&кторы и мат-
матрицы, с которыми приходится чсто иметь дело при спектраль-
спектральном оценивании. Читателю был бы полезно познакомиться с
приведенными здесь обозначеними, поскольку они широко ис-
используются в последующих главк книги.
Нулевой (тХ1)-вектор, состящий из m нулевых элементов,
обозначается как
01
О = .
C.20)
Последовательность exp(j2nfmT) представляет собой комплекс-
комплексную синусоиду с частотой f, дикретизованную с интервалом Т
секунд. Комплексный синусоида,ьный вектор em(f) с частотой/
определяется как (т+ 1)-вектор-толбец вида
( 1 ¦>
ех|(/2л/7-)
C.21)
где т — наибольший временной индекс. Дискретно-временное
(ДВ) преобразование Фурье (ДЗПФ) для .V отсчетов данных
можно, например, записать как масштабированное внутреннее
скалярное произведение векторо!
ХШ = 7^,(/)х, C.22)
где вектор данных х определяете выражением
Матрица, у которой число стэок (п) равно числу столбцов,
называется квадратной матри^й размером пХп. Элементы
fl[t, t], i=I,..., n, лежат на осювной, или главной, диагонали
задратной матрицы А, а элементы a[i, я+1—i] —на ее кросс-
Симметричной матрицей S называется такая квадратная мат-
ша, для которой
Sr = S, C.23)
это означает, что элементы s[i, j] =s[j, i] симметричны относи-
*льно главной диагонали. Примером может служить следую-
,ая симметричная DХ4)-матрица:
/s[l, I] s[l, 2] s[l, 3] s[l, 4]\
/s[l, 2] s[2, 2] s[2, 3] s[2, 4]
\s[l, 3] s[2, 3] s[3, 3] s[3, 4]
\s[l, 4] s[2, 4] s[3, 4] s[4, 4]/
C.24)
рмитовой матрицей называется квадратная комплексная
iXn)-матрица G, обладающая свойством комплексно-сопря-
енной симметрии
G" = G. C.25)
Диагональной матрицей D называется квадратная матрица,
е элементы которой равны нулю, за исключением элементов,
^положенных на главной диагонали (некоторые из которых
кже могут быть равны нулю):
D =
[d[\] О ... О
О d[2] ... О
d[ri\\
C.26)
ля более компактной записи диагональной матрицы будет ис-
шьзоваться сокращенное обозначение diag(d[l],..., d[n]).
'Удобнее записывать a [i, п—(('—1)]. Смысл этой
оируется на матрице
записи наглядно нллю-
/ а [1, 1] а [1, 2] о[1, 3]\
а [2, 1] а [2, 2] о [2, 3]
\ о[3, 1] а [3, 2J а [3,3]/
П-*-о[1,3]; i=2->a[2,2]; 1==3->а[3,1]; указанные элементы располагаются
t диагонали, которая в ряде руководств называется второй диагональю
(|., например, [6*], с. 122). — Прим. ред.
)бзор матричной алгебры
87
Единичной ма-рцей I называется диагональная матрица,
у которой все дигаальные элементы равны единице:
A 0 ... 0)
|о 1 ... о|
I
(о о
C.27)
Если в каком-лгао матричном уравнении необходимо указать
размер единично матрицы, то для этой цели можно будет ис-
использовать подстюный индекс. Таким образом, \т будет обо-
обозначать единичную [тХт)-матрицу. Для любой (тХл)-матри-
цы А справедлив! рвенство
Если подстрочны! идекс у матрицы I опущен, то из контекста
будет ясно, кака рзмерность этой матрицы требуется.
С единичной мтрицей близко связана матрица отраже-
отражения J1' (иногда мзшаемая матрицей замещения, или обменной
матрицей)
(О ... 0 1)
|0 ... 1
J =
C.28)
A ... 0 0}
единичные элемент в которой расположены на кроссдиагонали.
Матрица J обрапае, или изменяет на обратный, порядок строк
или столбцов марты или вектора. Умножение слева (пгХп)-
матрицы А на ма-рцу im, где подстрочный индекс m обознача-
обозначает размер матриц отражения, приводит к обращению порядка
следования стро! (угражение относительно центральной гори-
горизонтальной оси):
а[т, 2] ... а[т, п]|
i[2, 1] а[2, 2] ... а[2, л]
{,[1, 1] а[\, 2] ... а[1, я])
C.29)
!) Такая матрица иог.а называется матрицей перестановок (см., [6*],
с 122). — Прим. ред.
а умножение этой матрицы справа на матрицу Jn приводит к об-
обращению порядка следования столбцов (отражение относитель-
относительно центральной вертикальной оси):
а[1, л] ... а[1, 2] а[1, 1]
о[2, л] ... а [2, 2] а[2, 1]
АЛ„
а[т, п]
C.30)
а [яг, 2] а [яг, 1]
Как и в случае единичной матрицы, подстрочный индекс, ука-
указывающий размер матрицы J, часто будет опускаться в тех слу-
случаях, когда он ясен из контекста того или иного матричного
уравнения. Аналогично действию на матрицы, произведение Jc
будет обращать порядок следования элементов вектор-столб-
вектор-столбца с, а произведение crj — порядок следования элементов век-
вектор-строки сг. Нетрудно показать, что Jr = J и J2 = JJ = I.
Персимметричной матрицей Р1) называется квадратная
(лхя)-матрица, симметричная относительно своей кроссдиаго-
нали, что можно проиллюстрировать с помощью следующей
Dх4)-матрицы:
Ml, Ц р[1, 2] р[1, 3] р[1, 4]\
р[2, 1] р[2. 2] р[2, 3] р[\, 3]\
U[3, 1] Р[3, 2] р[2, 2] р[\, 2] •
\р[4, 1] р[3, 1] р[2, 1] р[\, 1]/
Таким образом, p[i,j]=p[n—/+1, я—?+1]. Нетрудно показать,
что Pr = JPJ и P = JPrJ.
Центросимметричной матрицей R называется квадратная
(лXл)-матрица, такая, что r[i,j]=r*[n—?+1, л—/+1]. Спе-
Специальный класс центросимметричных матриц образуют дважды
симметричные матрицы, т. е. матрицы, эрмитовы относительно
главной диагонали и персимметричные относительно кроссдиа-
гонали, что можно проиллюстрировать с помощью следующей
комплексной DX4)-матрицы:
г-[2, 1] г'[3, 1]
г [2, 2]
г [3, 21
г[3, 1]
г*[3, 2]
г [2, 2]
' [2, 1]
C.32)
В этом частном случае r[i,j]=r*[j,i]=r[n—/+1, n—?
') См., например, [6*1 с. 122. — Прим. ред.
Обзор матричной алгебры
= л*[л—i+ , п—/+1]. Нетрудно показать, что R = JRJ, если
R — вещестенная матрица, и R=JR*J, если R — комплексная
матрица. К>гда размер центросимметричной матрицы является
величиной етной (п = 2г), ее можно представить в форме
JBM JAM
где А и В- (лХ г)-матрицы общего вида неспециальной струк-
структуры. Анал1гичным образом, когда размер центросимметричной
матрицы яляется величиной нечетной (тг = 2г+1), ее можно
представит в форме
А х В \
х» a x»J , C.34)
VIBM Jx JAM/
где А и В—(лХг)-матрицы общего вида, J—(лХг)-матрица
отражения,х — вектор-столбец размерности л, а а — веществен-
вещественный скаляр
Приментельно к спектральному оцениванию очень важной
является тплицева матрица Т (названная в честь немецкого
математик; О. Теплица). Эта матрица обладает тем свойством,
что все ее лементы, расположенные на любой диагонали, иден-
идентичны, т. et[i, /]=<[?—/]• Тёплицева матрица не обязательно
квадратна! матрица. Примером тёплицевой Eх4)-матрицы
может слугить следующая матрица:
t[l] t[0]
t[2] t[l]
/[3] t[2]
t[3]
t{-2] t[-3\)
t[-l] t[-2\
t[0] t[-\]
t[l] t[0]
t[2] t[\]
C.35)
Заметим, ч"О квадратная тёплицева матрица является частным
случаем пвсимметричной матрицы,
T = JTrJ. C.36)
Если квадртная тёплицева матрица является также и эрмито-
эрмитовой матри1ЭЙ, т. е. если ^*[?]=f[—k], то T = JT*J. Следователь-
Следовательно, эрмито;а тёплицева матрица является центросимметричной
матрицей.
С тёплщевой матрицей близко связана ганкелева матри-
матрица Н, котоая обладает тем свойством, что все элементы, распо-
расположенные на любой ее кроссдиагонали, идентичны, т. е.
ft[i,/]=A[?t-;—л—1]. Ганкелева матрица — необязательно квад-
90 Глава 3
ратная матрица. Примером ганке левой Dx5)-матрицы может
служить следующая матрица:
А[_4] А[_3] h [-2] А[-1] А[0]\
,_(А[-3] А[-2] А[- ] А[0] Л[1]
'-U[-2] A[-l] ] А[1] А[2]
\А[-1] А[0] А[1] А [2] А [31/
C.37)
Заметим, что квадратная ганкелева (яХя)-матрица является
частным случаем эрмитовой матрицы, т. е. Н"=Н. Ганкелевы
матрицы могут быть связаны с тёплицевыми матрицами (см.
раздел «Задачи»).
Циркулянтной (или циклической) матрицей С называется
комплексная (га X я)-матрица, элементы которой могут прини-
принимать только я различных значений. Если элементы этой матри-
матрицы удовлетворяют условию:
где 1^1,/^я, то такая матрица называется правоциркулянтной
матрицей Сд; примером такой матрицы может служить право-
циркулянтная Dх4)-матрица
. /cR[0] cR[l] cR{2] cR[S\\
cR[3] cR[0] cR{\] cR[2]\
C« = U[2] cR[3] cR[0] cR[\] h
\cR[l] cR[2] cR[S\ cR{0}/
Заметим, что каждая строка этой матрицы образована из со-
соседней верхней строки посредством сдвига вправо на один эле-
элемент и перенесения крайнего правого элемента на место левого
крайнего элемента. Аналогичным образом можно определить
левоциркулянтную матрицу CL, элементы которой удовлетворя-
удовлетворяют условию
J cL[n+l—i — i], /+1<я+1;
C.39)
г г
1
C.40)
Примером левоциркулянтной Dх4)-матрицы может служить
матрица
/сЛЩ с,.[2] cjl] c,M\
cL[2] cL[\] c,M cJ3]\
Ct==Ui[l] «JO] cJ3] c,[2] • C-41>
VjO] C,[3] cLp\ cL[l]J
Заметим, что каждая строка этой левоциркулянтной матрицы
Обзор матричной алгебры
получается из соседней верхней строки посредством ее сдвига
влево на один элемент и перенесения крайнего левого элемента
на место крайнего правого элемента этой строки. Правоцирку-
лянтная и левоциркулянтная матрицы являются частными слу-
случаями соответственно тёплицевой матрицы и ганкелевой матри-
матрицы. Еще один интересный способ определения циркулянтной
матрицы основан на использовании квадратной (лХл)-матрицы
сдвига
р __
0 0 0
U о о
C.42)
элементы которой удовлетворяют условию p[i,i+l] = l при
l^i^n—1, р[п, I] = 1 и равны нулю в остальных случаях. Тогда
правоциркулянгная матрица будет определяться следующим
выражением:
Ся = Дс»МР'". C-43)
где Рт — означает возведение матрицы в степень пг, т. е. умно-
умножение матрицы Р саму на себя m раз. Заметим, что Р° = 1. Для
левоциркулянтной матрицы будем иметь следующее представ-
представление:
C.44)
Еще одной матричной формой, применяемой при спектраль-
спектральном оценивании, является (тХя)-матрица Вандермонда V, эле-
элементы которой определяются выражением
v [»,/]= х1-,1, |<1<л, 1<)Чл. C.45)
т. е. являются степенями параметров х\,..., хп- Следовательно,
(тХя)-матрица Вандермонда будет иметь следующий вид:
П 1 ... 1
хг ... х„
X2
C.46)
92 Глава 3
Верхней треугольной (или верхнетреугольной) матрицей U
называется квадратная (яХл)-матрица, элементы которой, рас-
расположенные под главной диагональю, равны нулю, т. е.
u[i, j] =0 при /<«. Примером (ЗХЗ)-матрицы этого типа явля-
является матрица.
C.47)
Нижней треугольной (или нижнетреугольной) матрицей L на-
называется квадратная (яХя)-матрица, элементы которой, рас-
расположенные над главной диагональю, равны нулю, т. е.
^[1»/]=0 ПРИ /^*!- Примером (ЗХЗ)-матрицы этого типа может
служить матрица
0
0
1]
«[1,
я [2,
0
2]
2]
«[1,
"[2,
«[3,
3]
3]
3]
/7[1, 1] 0 0
L = ( /[2, 1] /[2, 2] 0
- W[3, 1] /[3, 2] /[3, 3]
C.48)
3.4. Обращение матриц
Квадратная (лХл)-матрица А-1, такая что А-1А = АА-' = 1, если
она существует, называется матрицей, обратной квадратной мат-
матрице А, — обратной матрицей. Квадратная матрица, обладаю-
обладающая обратной матрицей, называется невырожденной (или не-
несингулярной). Если же она не обладает обратной матрицей, то
называется вырожденной (или сингулярной). Если А, В и про-
произведение АВ — невырожденные матрицы, то справедливо тож-
тождество
(АВ)-1 = ВА-1, C.49)
которое часто будет использоваться в дальнейшем.
Набор (лХ1)-векторов Vi vn называют линейно зависи-
зависимыми, если существуют числа аь---, а», не все равные нулю,
такие что
o^Vj + аг\г + ... + а„у„ = 0; C.50)
в противном случае эти векторы называются линейно независи-
независимыми. Если столбцы прямоугольной (тХл)-матрицы А рас-
рассматриваются как отдельные (mxl)-векторы, то ранг по столб-
столбцам матрицы А равен числу линейно независимых вектор-столб-
вектор-столбцов. Аналогично если строки матрицы рассматривать как от-
отдельные AX л)-векторы, то ранг по строкам матрицы будет
равен числу ее линейно независимых вектор-строк. Можно по-
показать (см. Ноубл и Даньел [19]), что для любой матрицы ранг
Обзор матричной алгебры 9$
по строкам равен ее рангу по столбцам, поэтому для вкдой
матрицы вполне достаточно указать одно из этих рангоы. чи-
чисел. Квадратная (тХт)-матрица А будет невырожденн? тог-
тогда и только тогда, когда ее ранг равен m (т. е. когда эта л;три-
ца обратима). Матрицу единичного ранга можно запиа-ь в
форме внешнего произведения векторов vw", поскольку ниый
столбец умножается на вектор v, а каждая строка умнокется
на вектор v?H.
Еще одним признаком вырожденности квадратной пКп)-
матрицы А может служить скалярное число, называемо' >пре-
делителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое et А.
Он определяется выражением
2 (—1I+'а[1, /]j,-, 3.51)
где a[\,j]—элемент из верхней строки матрицы А, а 1,,—
определитель (л—1)Х(л—1)-матрицы, образованной в вуль-
тате отбрасывания первой строки и /-го столбца (лХл)«1три-
цы А. Определение C.51) является рекурсивным определием,
при записи которого был учтен тот факт, что (IX 1)-мт)Ица,
т. е. одиночный элемент, имеет определитель, равный этоп эле-
элементу. Более подробные сведения о вычислении определелей
приводятся в стандартных учебниках по линейной aflreui на-
например в разд. 6.5 книги Ноубла и Даньела [19].
Квадратная (яХл)-матрица А будет вырожденной тща и
только тогда, когда detA = O. Таким образом, если det АД то
матрица А обратима. Можно также показать, что опредятель
произведения двух квадратных (лХл)-матриц А и В раввпро-
изведению определителей этих матриц, т. е.
det AB = det A det В. 3.52)
Кроме того, если А — эрмитова матрица (А" = А), то опе;ели-
тель det А является действительным числом.
В исследованиях по спектральному анализу часто исаьзу-
ются две леммы об обращении матриц. Если А — невыр^ден-
ная (пхл)-матрица, С — невырожденная (тХлг)-матрига В —
(лХлг)-матрица и Ь(тХл)-матрица, то расширенная (ш по-
пополненная) матрица A+BCD будет иметь обратную шрицу
вида
(A + BCD)~1 = A~1 — AB(DAB + C)DA 3.53)
если существует матрица, обратная матрице DA-'B + C1. Это
соотношение известно под названием леммы об обращен* рас-
расширенной матрицы. Представляет интерес одна частнаяфрма
этой леммы. Если С — единичный скаляр, т. е.
В— (пXl)-вектор-столбец v, a D — сопряженная (IXл)-вектор-
строка vtH, то
представляет собой матрицу, обратную матрице, образованной
за счет расширения матрицы А матрицей единичного ранга
vw*.
Пусть (яХл)-матрица Y разбита на подматрицы А, В, С, D
следующим образом:
()
VCB/'
C.55)
где А — это (тХт)-матрица, В—(га—т) X (га—т)-матрица,
С — это (га—т)Хт-матрица и D — тХ(п—т)-матрица. Тогда
матрица, обратная матрице Y, будет определяться выражением
,-!_(- A + A-1DA-1C,
~V — Д-'СА-1
C.56)
i-i B-
в котором по выбору полагается, что либо существуют матрицы,
обратные матрицам А и Д = В—CA-'D, либо существуют матри-
матрицы, обратные матрицам В и Л = А—DB-'C. Матрицы Д и Л на-
называются дополнениями Шура матрицы А. Соотношение C.56)
известно под названием леммы об обращении блочной матрицы.
В частном случае, когда Y—(яХя)-матрица, А—(я—1) X
X (я—1)-матрица, D = v—(га—1)-вектор-столбец, C = w" —
(я—1)-вектор-строка, а В = а— A х1)-матрица, т. е. скаляр, то
/A-' +
Л —
¦v^A —BA
C.57)
где скаляр р=(а—w^A^v). Таким образом, несложно вычис-
вычислить обращение матрицы, формируемой добавлением к исходной
матрице дополнительных краевых строки и столбца (или вычер-
вычеркиванием строки и столбца). Матрицы, полученные таким обра-
образом, называются окаймленными матрицами.
В табл. 3.1 перечислены формы обратных матриц для ряда
матриц специального вида, описанных в разд. 3.3. Доказатель-
Доказательство многих из них не вызывает затруднений. Так, например, для
доказательства того, что обращение персимметричной матри-
ды Р также является персимметричной матрицей, сначала для
записи соотношения РР~' = PJJP-' = I используем тот факт, что
Эбэор матричной алгебры
Таблица 3.1.Структура |братных матриц
Тип матрищ
Эрмитова (амметрична)
Персимметрнная
Центроснммгричная
Тёплицева
Ганкелева
Правоциркулнтная
Левоциркулнтная
Треугольная
Тигобратной матрицы
Эрмитова (имметричная)
Персимметрчная
Центросиммтричная
Персимметрчная
Симметрична
Правоциркуянтная
Левоциркулнтная
Треугольна»
JJ = I, а з.тем с поющью операции умножения слева и справа
на матриц» J получи
j;pjjp-i)j=Pr(jp-iJ) = i.
что дает
C.58)
Было испшьзованосвойство (Рг)-1= (Р
3.5. Нормльные уршнения метода наимеьших квадратов
Матрична алгебраобеспечивает возможнсти представления в
сжатой ферме систыы линейных уравненй, получаемых при
анализе п методу [аименьших квадратов.Рассмотрим аппрок-
аппроксимацию [я] комп.ексной последовательшети у[п] с помощью
линейной уммы изт комплексных послаовательностей Х\[п],
А-а[я], ... xm[ri]:
у [л] = л [я] +1А W + ¦ ¦ • +«„%„ [я], C.59)
где 1<я<Л^. Предюлагается, что N>m поэтому уравнение
C.59) сооветствуе- переопределенной сисеме уравнений. Один
из возможых мето.ов однозначного нахощения значений неиз-
неизвестных праметрокгь ..., ат основан на шнимизации действи-
действительной еммы ква^атичных ошибок
? = n2|eM|», C.60)
где е[я] =»/[я]—y[i\ есть комплексная ошйка между истинным
значением отсчета у [га] и его линейной яшроксимацией (/[я].
Уравнния для / ошибок можно записать в виде
у—Ха = е, C.61>
матрица данных X, (тХ 1)-вектор-столбец а и
столбцы у и е определяются следующим образом:
/У[Ц
"Л
Вводя NX (т + 1)-матрицу Z=[yX], вектор ошибки е можно за-
записать в следующем виде:
(у Х)( M = z( [) = e. C.62)
Квадратичную ошибку Е можно далее записать как
Е = е"е = у"у—у"Ха — а"Х"у + а"ХяХа,
где внутреннее произведение векторов уну дает скаляр, произве-
произведение матрицы и вектора Х"у дает (тХ 1)-вектор-столбец, а про-
произведение матриц ХНХ дает квадратную (тХт)-матрицу.
Прежде чем приступать к минимизации ошибки Е, заметим
сначала, что уравнепие C.63) можно переписать в виде .
Е = у"у — уяХ (Х"Х)-1Х"у+
+ (Х"у—Х"Ха)" (Х"Х)~1(Х"у—Х"Ха),
C.63)
C.64)
т. е. дополнив его до «полного квадрата». В уравнении C.64)
только последний член в правой части зависит от вектора неиз-
неизвестных параметров а. Вследствие эрмитовой симметрии этого
члена он всегда будет действительным и положительным. Для
минимизации квадратичной ошибки Е этот член должен быть
обращен в нуль. Для этого вектор а необходимо выбрать так,
чтобы выполнялось равенство
Х«у —Х"Ха = 0,„,
где 0т — вектор из т нулевых элементов. Следовательно, век-
вектор а, минимизирующий квадратичную ошибку, ищется посред-
посредством решения следующей системы т уравнений:
Х"Ха = Х"у. C.65)
Обзор матричной алгебры 97
Подставляя C.65) в C.63), получаем выражение >ля минималь-
минимальной квадратичной ошибки
Етш = УЯУ — УяХа. C.66)
Уравнения C.65) и C.66) можно объединить в оУну общую си-
систему т+\ уравнений, которая имеет следующийвид:
(хн ГД)( ') = (У Х)"(У Х)( ') =
У , 1N ,7\ C-67)
Уравнение C.67) имеет форму нормальных уранений метода
наименьших квадратов. Заметим, кстати, что проведение ZHZ
образует эрмитову матрицу.
Выражение C.63) для квадратичной ошибки представляет
собой частный случай матричного квадратного уравнения в
общей форме
Е = л —r"a—a"r + a"Ra, C.68)
где г — известный положительный скаляр, ' — известный
(тХ1)-вектор-столбец, a R — известная эрмитовг (тхт)-мат-
рица. Нормальные уравнения, решением котоых является
(mxl)-вектор а, минимизирующий положительну» действитель-
действительную скалярную величину Е, имеют вид
1\
C.69)
н непосредственно следуют из C.67) после подстановки г вме-
вместо уяу; Г вместо Хяу и R вместо ХЯХ.
3.6. Решение линейных уравнений
Многие методы спектрального оценивания требую- решения си-
системы линейных уравнений, которую можно запкать в форме
следующего матричного уравнения:
Ах = Ь, C.70)
где А — некоторая произвольная квадратная (/Xп)-матрица,
b — произвольный (пХ 1)-вектор-столбец, а х—(пх 1)-вектор
неизвестных величин, значения которых необходию определить.
Один из очевидных методов решения уравнения [3.70) относи-
относительно вектора х состоит в умножении обеих часей уравнения
слева на обратную матрицу А (в предположенн, что она су-
существует), что дает
х = А~]Ь. C.71)
7—1366
Однако такой подход, как правило, не приелле1 на праггике
либо из-за своей очень низкой вычислителыой крфективгасти,
либо из-за недостаточной устойчивости болшинтва численых
методов решения линейных уравнений. Еслр обртная матшца
не существует, то ранг k матрицы А будет мньш, чем п. }уль-
пространством матрицы А является линейгое годпрострактво
ненулевых векторов х, удовлетворяющих урашеию Ах = 0. Раз-
Размерность нуль-пространства равна п—kl).
Если (гсХл)-матрица А — треугольная и евырожданая
(т. е. ее диагональные элементы отличны ог нул), то система
линейных уравнений, содержащая матрицу \, южет быт ре-
решена с помощью метода обратной подстаноки2' с испольова-
нием вычислительных операций, количество отоых пропорио-
нально я2. Рассмотрим случай верхнетреуголно! (ЗХЗ)-м,три-
цы; уравнение будет иметь вид
/а[\, 1] а[\, 2] а[1. 3]\ /х[Ц\ /,[1]\
0 а [2, 2] a [2, 3] х[2] = ,[2] . 6.72)
0 ¦ 0 а[3, 3]Д*[3]/ Ч'И/
Рассматривая нижнюю строку, видим, чтс а[,, 3]д;[3] ='[3].
Решая это уравнение получим х[3] =Ь[3]/а[1, 3] Если полчен-
ное *[3] подставить обратно в матричное урвняие, то вовто-
рой строке будет содержаться только одж неввестное [2],
которое можно найти, решая уравнние а[2,2]х2] +
+ а[2,3]х[3] =Ь[2]. Продолжая обратную годсановку, ты в
конце концов определим все неизвестные «жоненты вкто-
ра х.
В случае невырожденной (лХ«)-матрищ обцего видадля
решения уравнения Ах —b можно применить меъд исключния
Гаусса, представляющий собой трехэтапнукнршгдуру. Снаала
матрица А единственным образом представл!етс в виде поиз-
ведения верхнетреугольной матрицы L и нижетругольноймат-
рицы U (с единичными элементами на диагоили
A = LU. 6.73)
После разложения на множители (фактори31Ции выполняотся
два этапа «обратной» подстановки, включаяоешние уравкния
') Если матрица А осуществляет линейное преобразвани некоторор"!сово-
некоторор"!совокупности векторов L, то ядром линейного преобрзоваия А назыается
совокупность всех векторов L, переводящихся преобрзоваием А в нIевой
вектор 0. Размерность ядра обозначается d и называтся ефектом лиейно-
го преобразования (матрицы A), d=n—k, где k - ран матрицы / (см.
[8*], с. 129). — Прим, ред.
2> Относительно метода обратной подстановки (см., впрмер, [6*], с. 182).
Следует отметить (см. там же), что случаю нижнтреуольной марицы
соответствует метод прямой подстановки. — Прим. рее
Обзор матричной алгебры
с матрицей L относительно вектора у:
Ly = b,
C.74)
и затем последующее решение уравнения с матрицей U относи-
относительно вектора х:
Ux = y.
C.75)
Количество вычислений, требуемое этим методом, пропорцио-
пропорционально я3, а объем памяти — я2.
Если матрица А — квадратная и эрмитова, то тогда приме-
применяется специальная форма факторизации с треугольными мат-
матрицами
A = RR", C.76)
где R — нижнетреугольная матрица с ненулевыми действитель-
действительными элементами на главной диагонали. Этот метод факториза-
факторизации матрицы называется разложением Холецкого^. Благодаря
эрмитовой симметрии матрицы А число вычислений, требуемое
для решения системы эрмитовых уравнений методом Холецкого,
составляет примерно половину оРъема вычислений, требуемых
методом исключения Гаусса, поскольку рассчитывать необходи-
необходимо не две матрицы L и U, а только одну матрицу R. В приложе-
приложении З.А приведена написанная на Фортране программа
CHOLESKY, предназначенная для решения методом Холецкого
системы линейных уравнений, содержащих комплексные вели-
величины. Заметим, что, хотя этот алгоритм, как правило, имеется во
многих библиотеках стандартных машинных программ, очень
редко можно отыскать его версию, написанную для работы с
комплексными величинами.
Решение системы линейных уравнений в случае циркулянт-
ной матрицы рассмотрено в следующем разделе. Требуемое им
число операций пропорционально величине nlog2it. Количество
вычислительных операций, требуемое для решения системы ли-
линейных уравнений в случае тёплицевой и ганкелевой матриц
пропорционально п2. Раздел 3.8 посвящен подробному обсужде-
обсуждению тёплицева случая.
3.7. Характеристические свойства матриц и разложение
по сингулярным числам
3.7.1. Предварительные сведения
В разд. 2.3 было показано, что экспонента ехр(/2лр) является
собственной функцией линейной системы. Линейная система,
оставляющая неизменной на выходе форму экспоненциального
'> Этот метод иногда называется методом квадратного корня (см., например,
[6*], с. 176). — Прим ред.
7'
100
Глав,
сигнала, поданного на ее вход, изменяет лишь величину его
комплексной амплитуды. Аналогично, если ненулевой вектор q
в результате линейного преобразования, описываемого квадрат-
квадратной (лXл)-матрицей А, остается неизменным и лишь изменяет
свой масштаб в X раз, т. е.
Aq = ?.q, C.77)
то говорят, что он является собственным вектором матрицы А.
Скаляр X, соответствующий этому собственному вектору, назы-
называется собственным значением. Полином f(X) =det(\—XI) по-
порядка п называется характеристическим полиномом (многочле-
(многочленом) матрицы А; п корней уравнения f(X)=O порождают
л собственных значений л,,:
/W = n(l,-4=S# = 0. C.78)
Собственные значения и соответствующие собственные векторы
вместе образуют собственную систему матрицы А. Множество
собственных значений в математике принято называть спектром
матрицы А, который, однако, не следует путать с определения-
определениями спектра, данными в гл. 2 и 4. Всегда существуют по крайней
мере один собственный вектор, соответствующий каждому от-
отдельному собственному значению, и собственные векторы, соот-
соответствующие различным собственным значениям, линейно неза-
независимые друг от друга. Коэффициент ч» наивысшего порядка
в C.78) равен (—1)", и можно показать, что коэффициент наи-
наинизшего порядка ^ удовлетворяет условию
Yo = detA = ]]A-- C.79)
Определяя след матрицы как сумму элементов главной диаго-
диагонали
trA= So[(, f],
можно также показать, что
C.80)
2\, = trA C.81)
i = 1
Ч„^ = (-\у-Чг\. C.82)
Главными собственными векторами называются собственные
векторы, соответствующие наибольшему по величине собствен-
собственному значению матрицы А. Матрица kA, где k — скаляр, имеет
Обзор матричной алгебры 101
собственные значения kXi. Матрица А", где р — шюжительное
целое число, имеет собственные значения Xf. Еси матрица А
невырожденна, то обратная ей матрица А-' имее- собственные
значения 1Д<. Матрица A+&I имеет собственные начения Xi+
+k. Матрица Р размером лХл, такая что Р"Р=Р)Н, называет-
называется ортогональной матрицей. Кроме того, если Р >бладает тем
свойством, что Р"Р = РР"=1, то она называется ->ртонормаль-
ной, или унитарной, матрицей. Так как Р-1Р = 1, то Р~' = РН.
Если Р — унитарная матрица, то [detP| = l, и ве модули ее
собственных значений равны \1\
Предположим, что (л X л) -матрица Q составлен из п столб-
столбцов собственных векторов с qi по <\п квадратной лХл)-матри-
цы А, а диагональная (лХл)-матрица A = diag(A,..., Хп) со-
составлена из л различных собственных значений матрицы А.
В этом случае матрица А будет иметь набор лине но независи-
независимых собственных векторов тогда и только тогда, кеда ее можно
записать в следующем виде:
A = QAQ-i, A = Q-1AQ, C.83)
где Q и А — невырожденные матрицы.
Если невырожденная матрица А обладает так>е эрмитовой
симметрией, то она будет иметь единственное разл>жение
A = QAQ-1 = A" = (Q-1)"A"Q'', C.84)
где полагается, что Q-' = Q" и А=Л". Это означав- что эрмито-
эрмитова матрица имеет действительные собственные знчения и что
если все собственные значения различны, то собственные век-
векторы будут образовывать ортонормальный бази, поскольку
QQ" = 2q,qt"=I, т. е. Q — унитарная матрица. Седовательно,
эрмитовы матрицы можно диагоналигшровать с гамощью уни-
унитарного преобразования
А = QAQ"
C.85)
Другое представление для эрмитовой матрицы А, базирующееся
на уравнении C.85), ооновано на записи матрицы i в виде раз-
разложения внешнего произведения по ее собственном векторам
и собственным значениям
A=2M/q(fl. . C.86)
( = 0
Выражение C.86) в математике называется спектрльным пред-
представлением (или спектральным разложением) иатрицы А,
'> В случае комплексной унитарной матрицы модуль ее опрцелителя равен
единице (см., например, [8*], с. 49). —Прим. ред.
102
Глава 3
и его не следует путать:о спектральным оцениванием. Исполь-
Используя соотношение
получаем
i-i = V J-q,.qf, C.88)
i=i '
где предполагается, чтс все собственные значения отличны от
нуля.
Квадратичная форме, соответствующая эрмитовой матри-
матрице А, является действиельной скалярной величиной <х, Ах> =
= х"Ах = 2,2,а,-,х,*л:,-. Квдратичная форма называется положи-
положительно определенной, есш <х, Ах>>0 для всех ненулевых век-
векторов х, и положительнс полуопределенной, если <х, Ах>^0 для
всех х1'. Говорят, что матрица А является положительно опреде-
определенной или полуопреде.енной, если соответствующая ей квад-
квадратичная форма являета положительно определенной или полу-
полуопределенной. Эрмитоваматрица тогда и только тогда является
положительно определеыой, когда все ее собственные значения
положительны; если жевсе ее собственные значения неотрица-
неотрицательны, то эрмитова м.трица называется положительно полу-
полуопределенной.
Отношение Рэлея Rn) эрмитовой матрицы А — это скаляр,
который определяется вфажением
C.89)
Обозначая минимальное и максимальное собственные значения
матрицы А через Хшш иХтах, а связанные с ними ортонормаль-
ные собственные вектор1 через xm]n и хтЯх, можно показать (см.
книгу Ноубла и Даньелл [19]), что
/о от
Некоторые из методсв, обсуждаемых далее в книге, требуют
вычисления минимальнсо или максимального собственных зна-
значений эрмитовой матри.ы А. Одним из методов, используемых
для отыскания этпх со(ственных значений, является степенной
" В отечественных математиеских руководствах такая квадратичная форма
и соответствующая ей матрца называются неотрицательно определенными
(см., например, f6*], с. 84). —Прим. ред.
Обзор матричной алгебры
103
метод.1' Например, задав некоторый начальный вектор Х( по-
последовательности итераций на основе линейного уравнения
y*+i = Axt A.91)
и нормируя на каждом шаге
хй+1 = ^, at+1 = yf+1y,+1, (,.92)
обеспечим сходимость к х*. Число ог, получаемое после послед-
последнего шага, и будет максимальным собственным значенем,
а xt — соответствующим ему собственным вектором. Сходиюсть
процесса решения обеспечивается в том случае, когда хо н( ор-
ортогонален собственному вектору, соответствующему максимль-
ному собственному значению. Для того чтобы получить мгни-
мальное собственное значение и соответствующий ему собевен-
ный вектор, в линейном уравнении используется обратная мат-
матрица А:
у»+1 = А-1х„ (.93)
которое удобнее решать относительно у», записав в виде
Ays+1 = xt. (.94)
Для устранения собственных значений по мере их вычиелния
можно использовать процесс понижения порядка, что возмокно
благодаря соотношению C.86),
и повторять этот процесс для отыскания других собственых
значений.
3.7.2. Разложение по сингулярным числам (РСЧ)
В предыдущем разделе было показано, что эрмитова (л;я)-
матрица может быть представлена с помощью унитаиой
(яхл)-матрицы, составленной из собственных векторов, и двго-
нальной (лхя)-матрицы, содержащей собственные значния.
Этот результат можно обобщить на произвольную комплекяую
(тХл)-матрицу А ранга k. Теорема разложения по сингу1яр-
ным (или особым) числам [10, 13, 15] утверждает, что супест-
вуют положительные действительные числа 01^02^ ... ^а>0
(так называемые сингулярные числа матрицы А), унит,аная
(тхт)-матрица U=[ub..., um] и унитарная (лХл)-матица
'* Степенной метод относится к итерационным методам решения про&емы
собственных значений (см., например, [П*], с. 493). — Прим. ред.
a D
что
104 Глава 3
V=[vi,..., у„], такие что матрица А может быть представлена
в следующем виде:
A^UHV^Sff/U/V?, C.96)
1=1
где (тХп)-матрица 2 имеет следующую структуру
Чо I). <397'
= diag(oi,..., о*)—диагональная (ft X ft)-матрица. Заметим,
если A« = V2"U", U"U = I, VV=I, то
A"A = VB)V, AA"=U(Z2")U" C.98)
и
A"Av; = a?v;, AA"u, = ofu,-, C.99)
где I^/^Cft. Произведения матриц 2Я2 и SSH являются диаго-
диагональными матрицами размером соответственно пХп и mXtn
с диагональными элементами аЛ Произведения матриц АНА и
АА" — эрмитовы матрицы размером соответственно пХп и
тХт. Поэтому столбцы матрицы U являются ортонормальными
собственными векторами матрицы АА", а столбцы V — ортонор-
ортонормальными собственными векторами матрицы А"А. Кроме того,
обе матрицы U и V имеют одинаковые собственные значения
<jj2, l^C/^Cft. Следовательно, сингулярные числа — это просто по-
положительные значения квадратных корней из ненулевых собст-
собственных значений матриц АЯА и АА".
Используя свойства унитарности матриц U и V, из C.69)
можно получить следующие соотношения:
SVW C.100)
C.101)
Av,- = <т,и,-, A"u,- = 0,v,-,
где l^i:s;A. Уравнения C.101) определяют пару соотношений
между собственными векторами и, и v,-, которые имеют одно
общее сингулярное число а,-. Собственные векторы, которые со-
соответствуют нулевым сингулярным числам, т.е. U/, A + l<i<?m,
и V,-, k+l^.i^.n, соотношениями вида C.100) и C.101) не
связаны.
Псевдообратная матрица Мура — Пенроуза А*, соответст-
соответствующая (тХп)-матрице А ранга k, однозначно определяется
Обзор матричной алгебры 105
через юмпоненты разложения по сингулярным числам как мат-
матрица в(да
U"=
C.102)
Г о")
{Г о) Р)
Псевдобратная матрица А* позволяет получить решение по
методу наименьших квадратов х = А*Ь с минимальной нормой
для за,ачи отыскания (яХ 1)-вектора х, который одновременно
минимвирует ошибку, определяемую квадратным уравнением
IIАх—Ь|2 для некоторого заданного (тХ 1)-вектора Ь, и длину
искомоо вектора ЦхНг. Ограничение минимальной длины необ-
ходимсдля того, чтобы гарантировать единственность решения
в тех аучаях, когда более одного вектора х будут минимизиро-
минимизировать ||/х—Ь||2. Если пг = п и ранг матрицы А равен п (т. е. она
невырокденна), то псевдообратная матрица превращается а
обычнуо квадратную матрицу, обратную А, т. е. А =А~'. Если
т>я ] rankА = л, то Ав= (А"А)-'А" и х= (A"A)-'AHb. Это —
обычно решение системы переопределенных уравнений по мето-
методу наи:еныпих квадратов (см. разд. 3.5), Если п^>гп и rankA —
— tn, т( AS^AH(AAW)^' и х=АН(ААЯ)^'Ь. Это решение часто
называет решением с минимальной нормой для системы недо-
опреде.енных уравнений, поскольку решение с псевдообратной
матриай будет давать вектор х минимальной длины.
Вычсление псевдообратной матрицы А»* непосредственно по
^СЧ-кашонентам [уравнение C.98)] обладает двумя преиму-
ществаш перед прямым вычислением матрицы \# в форме либо
4;/А)~Ан в случае гп^>п, либо АЯ(ААЯ)~' в случае п^>пг.
¦io-пермх, РСЧ помогает определить ранг матрицы А по коли-
Mvmy начимых сингулярных чисел. Во-вторых, точность, предъ-
пзляемя к вычислению матрицы А# при использовании РСЧ,
иоимерю вдвое ниже точности, требуемой при расчете этой мат-
матрицы спомощью соотношений (А"А)-' или (АА")^1. В прило-
приложении фиведена написанная на Фортране nporpjuua CSVD,
П()еднаначенная для расчета РСЧ комплексной прямоугольной
матриш.
3.7.3. А|ализ характеристических свойств
некоторых специальных матриц .
Нетрудго показать, что треугольная матрица А имеет определи-
определитель ви[а
det А = Ца[(, <].
C.104)
106 Глава 3
Сравнивая это выражение с выражением C.9), можно видеть,
что произведение собственных значений треуольной матрицы —
это просто произведение ее диагональных элеяентов.
Собственные векторы и собственные значяия циркулянтной
матрицы связаны с ДВ-рядом Фурье (ДВР1); см. [5, 18]. На-
Напомним (см. разд. 2.7), что ДВРФ Х[0],...,Х[л—1] для я-то-
чечной последовательности х[0],..., х[п—1 для Г—1 опреде-
определяется выражением
Х\к\= 2 х[»]ехр(—/2яй/я,
k = 0, я — 1,
C.105)
KOTop.f можно записать в матричной форме:
/ Х[0] ч / *[0] ч
'¦ ) = Одврф( ; )¦ C-106)
где элементами матрицы Одврф являются значения экспоненты
?дврф[«\ Ч = еХр1-;йЧ*/п), 0<<, <л-1. C.107)
Правоциркулянтную матрицу С„ можно фкторизовать путем
разложения на собственные множители
Ся = {—= Qдврф)ЛДВ
C.10S'
где диагональная матрица Л дврф собственна значений даете
выражением
{ К)
C.109)
с.-,}
Таким образом, собственные значения произольиои циркулянт-
циркулянтной матрицы представляют собой ДВРФ с шркулянтными эле-
элементами с0,..., с-,- Столбцы матрицы Одвв>формируют собст-
собственные векторы. Нормированные собственые векторы qs со-
Обзор матричной алгебры 107
ставлеяы из последовательных степеней л корней из единицы
C.110)
Если использовать не прямой, а обратный ДВРФ, то аналогич-
аналогичные соотношения можно записать и для левоциркулянтной мат-
матрицы Ci. Заметим, что разложение C.108) для матрицы CR
обеспечивает эффективное решение линейных уравнений вида
Csx = y с помощью алгоритмов БПФ.
Собственные векторы центросимметричной матрицы С обла-
обладают свойством либо сопряженной, либо антисопряженной сим-
симметрии [3]. Вектор v обладает свойством сопряженной симмет-
симметрии, если Jv —v*, где J — матрица отражения. Вектор v анти-
сопряженно симметричен, если Jv — —v*. Отсюда получаем, что
центральный элемент вектора нечетной размерности должен
быть действительным, если этот вектор сопряженно симметри-
симметричен, или же быть равным нулю, если этот вектор антисопряжен-
но симметричен. В случае однозначно определенных собствен-
собственных значений квадратная центросимметричная матрица четной
размерности я будет иметь я/2 сопряженно симметричных орто-
нормальных собственных векторов v,-, t=l,..., л/2, с соответст-
соответствующими собственными значениями а,, вида
v'=w(jy>)' C-Ч1)
где у, — ортонормальные собственные векторы матрицы A-f
-*-JB, т. е.
(A + JB)y,. = a,.y,, C.112)
где матрицы А и В определены в C.33). Она будет также иметь
я/2 антисопряженно симметричных ортонормальных собствен-
собственных векторов wi, 1 = 1,..., я/2, с соответствующими собственны-
собственными значениями Х< вида
wi = -7=( j'z.\ C.113)
где Z/ — ортонормальные собственные векторы матрицы А—JB,
т. е.
(A —JB)z,=X,.z,-. C.114)
Если квадратная центросимметричная матрица имеет нечетную
размерность л и структуру, определяемую выражением C.34),
то она будет иметь (л+1)/2 тряженно симметричных орто-
нормальных собственных векттв v,-, t=l,..., (л+1)/2,ссоот-
ветствующими собственными зшениями о,-
У/
C.115)
где вектор у, и действительный [аляр E,- являются ортонормаль-
ными собственными векторами рширенной матрицы
C.116)
и («—1)/2 антисопряженно симгтричных ортонормальных соб-
собственных векторов w,, i=l,...,[n—1)/2, с соответствующими
собственными значениями а, вил
г,
w,- = -L- О
C.117)
где z, — ортонормальные со1твенные векторы матрицы
A—JB, т. е.
(A—JB> = Ji,z,-. C.118)
Доказательство приведенных вше соотношений основано на
использовании того факта, что гнтросимметричная матрица R
ортогонально подобна матрица[А—JB и A + JB, т. е. если Rn
имеет четную размерность, то стогонально подобная матрица
(!
QQr
преобразует центросимметричну]матрицу к виду
C.120)
а если Rn имеет нечетную размеюсть, то ортогонально симмет-
симметричная матрица
1 Г ° ~Л
0=-^ 0К2, О] C.121)
преобразует ее к виду
/A —JBO 0 \
'=[ 0 а К2х" ). C.122)
V 0 х A + JB/
Обзор матричной алгебры 109
3.8. Тёплицева матрица
При рассмотрении различных методов спектрального оценива-
оценивания нам часто придется иметь дело с тёплицевыми матрицами.
Вследствие важности матриц этого типа данный раздел пол-
полностью посвящен подробному обсуждению вопросов, в основном
касающихся вычисления обратной тёплицевой матрицы, решения
тёплицевых линейных уравнений и анализу характеристических
свойств тёплицевой матрицы. Особая структура тёплицевой мат-
матрицы приводит к весьма эффективным («быстрым») вычисли-
вычислительным алгоритмам для всех этих упомянутых случаев.
3.8.1. Обратная тёплицева матрица
Обращение квадратной неэрмитовой тёплицевой матрицы впер-
впервые рассматривалось в работе [22, 24]. В данной книге через Тм
мы будем обозначать квадратную тёплицеву (U+ 1) X (М+ 1)-
матрицу, старший элемент которой равен t\M]:
/^[0] t[-\]
тн'[:] ¦":•
\t[M]
[
t[0]
Заметим, что в общем случае 1\к\фг[—k], k = l,.
Vm — матрица, обратная матрице Тм:
«[О, 0]
и[М, 0]
и[0, М]
и [М, М]
C.123)
М. Пусть
C.124)
Поскольку тёплицева матрица персимметрична, ее обратная
матрица также должна быть персимметричной. Однако обрат-
обратная матрица не является тёплицевой, хотя, как будет показано
ниже, и образована из сумм произведений треугольных тёплице-
тёплицевых матриц.
Для того чтобы получить полную обратную матрицу Vm, не-
необходимо лишь решить уравнение
f/fo] а-i
^1] ¦•¦
'[-Л']] «р. о]
I t M ... ' ф'] /[0] J -и\-м' °]
C.125)
ельно первого стабца этой обратной матрицы и урав-
I ПО] t[-\]
[t[M]
,[-1]
Ф]
u[0, M]
u[M — \, М]
0
C.126)
относительно последнего е столбца. Ниже будет показано, что
остальные элсмсшы матрщы U:: можно определить, используя
:войство персиммегрии.
Для уравнений C.125' и C.126) можно получить другие
представления, если поде.ить векторы с обеих сторон от знака
равенства в C.125) на и[,0] (которое полагается отличным от
нуля), использовать постановку ам[к] =u[k, 0]/и[0,0], k =
, М, и положить рм = 1 /и [0, 0], что дает
| t[0] /[—1] .. t[—.'
'[1]
[t[M]
'. t[-\]
t \] 1 [0]
1
,.[1]
C.127)
а также поделить вектор! с обеих сторон от знака равенства
в C.126) на и\М, М] (ксорое полагается отличным от нуля),
лспользовать подстанов!у Ьм\к]=и\М—k,M]/u[M,M], ? =
= 1 М, и положить рм= l/u[M, M], что дает
ft[O] t[-l
¦ tl-Щ 1ъК\щ >ъ
[t[M]
b,r, [1]
1
о
\Рьм)
C.128)
Поскольку матрица UM .ерсимметрична, то и[0,0] =и\М, М],
л поэтому комплексные скаляры рам = р"м — рм- Уравнения
C.127) и C.128) оказывайся полезными при использовании их
совместно с нормальнымиуравнениями авторегрессионного про-
процесса; см. гл. 6 и 7.
Решить приведенные шше уравнения относительно ам[й] и
Ьи\к] можно с помощью гекоторой рекурсивной1' алгоритмиче-
:кой процедуры, которая юследовательно определяет значения
» Рекурсией называется спосо задания функциональной зависимости, при
котором значения определяемойзависимости выражаются известным образом
1ерез значения той же функцинальной зависимости для меньших значений
аргументов или индексов (см., [апример, [10*], с. 61). — Прим. ред.
Обзор матричной алгебры 111
этих коэффициентов при каждом значении ш, начиная с т=\ и
рекурсивно продолжая до т = М. Первый такой рекурсивный
алгоритм был разработан Левинсоном [16] применительно к
решению нормальных уравнений линейного предсказания ста-
стационарного процесса с дискретным временем. Затем он был пе-
переоткрыт Дербином [8] применительно к задаче построения ав-
авторегрессионной модели для заданной корреляционной последо-
последовательности. Основными компонентами, используемыми в этой
рекурсии, являются следующие разбиения (блочное представле-
представление) матрицы, которые зависят от весьма специфической струк-
структуры тёплицевой матрицы:
Т / т — 1 ^^т \ / L J \ /о 1 ОО\
t»=Uj тгкг. T.J- (ЗЛ29)
где (т—1)Х 1-мерные вектор-столбцы гт и sm определяются
выражениями
C.130)
t[m]\
a J—(т—1)Х(т—1)-Maipinui отражения. Согласно принципу
индукции, предположим, что вектор, образованный из коэффи-
коэффициентов am[k], может быть получен как линейная комбинация
векторов, образованных из коэффициентов am_i[?] и 6m-i[&]:
(
I I 1
a»-i[l]
КМ ) У
0
ч-Ц
0 1
I
C.131)
1
где векторы в правой части этого равенства дополнены нулями,
а а — скаляр, подлежащий определению. Заметим, что ат[т] =
= а. Из уравнения C.131) следует, что первый столбец обрат-
обратной матрицы порядка т является линейной комбинацией пер-
первого и последнего столбцов обратной матрицы порядка т—1.
Определяя вектор-столбцы
'а.. И,
C.132)
IA.MJ
112
можно представить уравнение C.131) в более сжатой форме
/ 1 \ / 0 \
(„ )= а„., + <*,„["'] Jb,,., . C.133)
Для того чтобы определить скаляр ат\т], необходимо обе ча-
части уравнения C.133) умножить слева на матрицу Тт и под-
подставить соответствующие блочные представления матрицы Тт
из C.129), что дает
/\
/Т . Js,,
\
//[0]
Отсюда, используя C.127) и C.128), получаем
О
ioj i
+ а»М
о
C.134)
C.135)
(L
yl
C.136)
C.137)
Заметим, что Дт и vm требуют значения коэффициентов только
до порядка т—1. Для того чтобы обеспечить в C.135) выполне-
выполнение равенства, нижний элемент в правой части этого уравнения
должен быть равен нулю:
А„ + а„[т]р„., = 0, C.138)
откуда
а,Дт] = — Л„/р„-1- C.139)
Верхний элемент в обеих частях уравнения C.135) будет вэтом
случае равен
р,„ = р„-1 + а„ [т] V» = Р„-1 —Л^/р,,-!. C.140
По аналогии с выводом уравнения C.133) можно также, ис-
Обзор матричной алгебры
113
пользуя принцип индукции, получить следующее уравнение для
вектора Ът:
C.141)
После умножения обеих частей этого уравнения слева на матри-
матрицу Т„ получим
о | | о
1 о J { v J
C.142)
где Дт и vm определены выше выражениями C.136) и C.137).
И снова для выполнения равенства в уравнении C.142) необхо-
необходимо иметь
6„М = —V»/P»-,. C.143)
Определяя отсюда vm и подставляя его в уравнение C.140),
получаем
Р« = Р»-» + а» И (— P«-i6» М) = Р„-1 A — а„ [т] 6т [т]). C.144)
Заметим, что из C.127) следует <[0]=р0 при т = 0. Это значе-
значение используется для инициализации рекурсии. Комплексный
скаляр рп связан с определителем тёплицевой матрицы выраже-
выражением
П.Р*=Р?+1йA-аЛЩЬк[11])'"^-*. C.145)
Для того чтобы показать это, используем выражения C.52) и
C.144) и заметим, что следующее произведение матриц произ-
произвольного вида
т
T-
/Т , Js
j
имеет определитель det Tm = pm det Tm_i, поскольку detAB =
= det A det В (см. C.52)). Применительно к элементам, опреде-
определяемым выражениями C.133) и C.141), имеем следующие ре-
рекуррентные соотношения:
ат И = а.„_, [к] + а,п [т] 6„_, [m-k], C.147)
Ь. И = »„-. W + *„ М в„., [m-ft] C.148)
8—136»
14
;ля k=\,..., m—1. Таким образом, шесть уравнений C.136),
C.137), C.139), C.140), C.143) и C.148) образуют замкнутую
:истему рекурсивных уравнений (т = 0,...,М), необходимых
1ля определения векторов ат и bm. По сути дела, это обеспечи-
)ает лишь получение первого и последнего столбцов матрицы,
>братной тёплицевой. Заметим, что, для того чтобы эта рекурсия
>аботала, подматрицы То, Ti Тм должны быть обратимыми
(detTn = p,,=?5=0). Количество вычислительных операций, требуе-
требуемых для расчета обновлений векторов в соответствии с C.133)
i C.141), а также внутренних (скалярных) произведений век-
¦оров C.136) и C.137) на каждом шаге вычислений пропорцио-
1ально М, а полное количество вычислительных операций, тре-
Зуемое этим алгоритмом, пропорционально М2.
Для того чтобы вычислить остальные элементы обратной мат -
>ицы, заметим сначала, что матрица, обратная тёплицевой, мо-
кет быть записана в виде следующего разбиения (т. е. в блоч-
юй форме):
ил, = —С ' Ь™ ЬД C.149)
(Относительно доказательства см. разд. «Задачи» в конце гла-
главы.) Так как обратная матрица персимметрична, т. е.
JUJ,J = U«, C.150)
:о уравнение C.149) можно также записать в следующей форме:
1 /p^jUu_i+ Jb^a^J Jb^N
"""рдГч aJ,J 1 )'
C.151)
Лз C.149) и C.151) можно определить следующие соотношения
1ля элементов ««[/, к]- матрицы порядка М, обратной тепли-
1евой:
д.[, ] и[, ] р„
и„ [0, к] = и„ [M-k, М] = Ъя И/р.„
««[/. 0] = и,„[УИ, М-/| = аи[/]/р.„,
< k < М,
— 1,
Эбъединяя последние два из этих выражений, можно исключить
глемент иК-\ [/,*]; в результате получаем выражение
—Ч),4 C-152)
Обзр матричной алгебры
115
которое справедливо пи 0^;/, к^М—1. Рекурсивное уравне-
уравнение C.152) позволяет вычислить все элементы обратной мат-
матрицы по известным лиль векторам ам и Ъм. С помощью этого
уравнения можно такж: получить следующее выражение:
[1 0 ... 0) ( 1 Ьм[\] ...
о
о
1 j ( 0 ... 0 1
| 0 0
(П
I МП •• ьк[щ о|
0 ам[М] ... а„[1]
о ¦¦. ¦• :•
... 0 0 )
C.153)
А это означает, что, хоя матрица, обратная тёплицевой матри-
матрице общего вида, н не является тёплицевой, ее все же можно
разбить на сумму проиведений верхней и нижней треугольных
тёплицевых матриц.
Особый интерес приставляет матрица, обратная эрмитовой
тёплицевой матрице Нд которая в случае комплексных данных
имеет следующий вид:
(<М <*[!] • ¦ ¦ ПМ] Л
t[\] t[0] . . ¦ f[M — \}\
н,„= ¦ ; ; . C.154)
[t [M] t[M —
t[0] I
Заметим, что Нн= Н. Вданном случае векторы
sM = rl,, C.155)
входящие в уравнение C.129), связаны свойством комплексной
симметрии, поэтому за счет упрощения рекурсий уменьшается
количество вычислений необходимых для определения обратной
матрицы. В частности, штрудно показать, что векторы
Ьл, = ад, C.156)
и скаляры
Vm = Aa, C.157)
связаны комплексно-софяженными соотношениями. Скалярный
116 Глава 3
чла рд), который теперь удовлетворяет уравнению
рл = рД1_1A —\ам [М] |а), C.158)
явлгется действительным и положительным. Это означает, что
detHM = pD ПA-КМ12)>0. C.159)
k= 1
За чет использования соотношений C.156) — C.158) количество
вычслений, требуемых для определения вектора ам, в «эрми-
«эрмитовом» случае, уменьшается примерно вдвое по сравнению с
«нермитовым» случаем. В приложении 3.8 приведена написан-
написанная на Фортране программа LEVINSON, предназначенная для
вычсленпя коэффициентов им и скаляра рм в случае эрмитовой
тёпицевой матрицы.
аналогично выражению C.153) для обращения тёплицевой
матшцы в общем случае можно записать следующее выражение
дляобращения эрмитовой тёплицевой матрицы:
| 1 0 ..
ал.[1] '•. '-.
(ам[Щ ... а„[
О О
а"м[М] "¦.
о
[1] ... а'м[М]
: \ а'м[1)
. О 1
0) fO aM[M] ... а„[Ц |
0
а'м[Ц
а'м[М] 0J
о о
C.160)
3.8... Разложение на тёплицевы треугольные матрицы
Алпритм Левинсона позволяет также определять элементы, не-
обхдимые для эффективного разложения матрицы, обратной
эрмттовой тёплицевой матрице, на треугольные матрицы по ме-
метод Холецкого [1, 21]. Поскольку процедура вычисления всех
век'оров решений низкого порядка ai,..., им является состав-
составной частью этого алгоритма, можно определить произведение
матиц
T,,A,,, = Q,,;, C.161)
гдеТм — эрмитова тёплицева матрица, а А,и — ни>. 1реуголь-
Обзор матричной алгебры
ная матрица, составленная из векторов ат, т = 0
| 1 0 ... 0
[1] 1 ... 0
ал. [2] fl«-i[l] ••• 0
, М:
°)
0
0
ам[М-\]
[а„[М]
. C.162)
".[1]
Используя уравнение C.127), можно показать, что матрица QM
в правой части уравнения C.161) представляет собой треуголь-
треугольную матрицу следующего вида:
(РЛ1
0
Р.М-1
0
х)
Pi X
0 р,
C.163)
где х обозначает ненулевые недиагональные элементы, конкрет-
конкретные значения которых нас сейчас не интересуют. Если обе части
уравнения C.161) умножить слева на матрицу, эрмитово сопря-
сопряженную матрице Ам, то получим
Айтл.Ал1 = АЙОл1 = Рл1, C.164)
где Рм — диагональная матрица следующего вида:
[ Рд. 0 ... 0 0 )
Рл.=
Рм-i
о о
Pi 0
0 Ро
C.165)
которая получается в результате перемножения двух верхнетре-
верхнетреугольных матриц. Альтернативным разложению C.161) являет-
является факторизация обратной эрмитовой тёплицевой матрицы по-
посредством треугольных матриц следующего вида:
Тм' = АЛ1Р,п1АЙ. C.166)
3.8.3. Вшение тёплицевых линейных уравнений
Алгорггм Левинсона лежит также в основе алгоритмов, предна-
значешых для решения систем линейных уравнений, содержа-
содержащих талицеву и эрмитову тёплицеву матрицы. Рассмотрим об-
общие тплицевы линейные уравнения следующего вида:
Тд,х.„ = 2л„ C.167)
где гЛ1-известный (М~ 1)-вектор-столбец
I'M I
г[М\]
и хм—неизвестный (М + 1) -мерный вектор-столбец
C.168)
C.169)
которы необходимо определить. Решение для хм может быть
осуществлено на .основе рекурсивного алгоритма Левинсона,
если з метить, что вектор решения Хм порядка т для линейных
уравнешй
TA-zffl, C.170)
где тСМ, и гт— (т+ 1)-мерный вектор, образованный из пер-
первых ту 1 элементов вектора zm, можно рекурсивно вычислить
по векору решений x,fi_i порядка т—-1 с помощью следующего
уравнегия:
Хп1 = (Хт~Л-{- ат( , V C.171)
где а — некоторый скаляр, который необходимо определить,
а Ьт—вектор, определенный в C.132). Для того чтобы показать
справе;ливость C.171), просто умножим обе его стороны слева
на марицу Тт и используем разбиение C.129), что дает
0)
р.
C.172)
1атричной алгебры
PM = rrjxffl_,= 2 x[k]t[m-k].
k= 0
Указанное равенство выполняется при
«,» = (гМ-Р„)/Р.-
Таким образом, начиная с нулевого порядка
C.73)
C.74)
f[O]*[O] = z[0], C.75)
вектор решения модифицируется в соответтвии с уравненем
C.171) на каждом шаге алгоритма Левинона для l<miAl.
В случае эрмитовой матрицы используется подстановка а,* =
= bm. В приложении З.Г приведена написнная на Фортрне
программа TOEPLITZ, предназначенная д.я решения систмы
линейных уравнений для случая комплексна тёплицевой мари-
цы общего вида. Этот алгоритм требует ЗЛ2 операций умноке-
ния и сложения и памяти объемом 6М (ил ЪМ, если вектоом
решения является вектор в правой части равнения). В прло-
жении З.Д приведена написанная на Фртране прогршма
HERMTOEP, предназначенная для решени[ системы линейых
уравнений для случая эрмитовой тёплицевй матрицы. В э]ми-
товом случае количество вычислительных аераций уменьшет-
ся до 2М2, а объем памяти — до 4М (или Д1 ZM, если исползу-
ются операции замещения). Цибенко [6] становил, что airo-
ритмы на основе алгоритма Левинсона бладают сравнмой
численной устойчивостью с менее вычислигельно-эффектившм
способом решения системы линейных уравнний на основе юто-
да факторизации Холецкого. Ряд других вспросов, касающхся
практической реализации численных мето.ов решения ситем
линейных уравнений, обсуждается в раб>тах [4, 9, 20, 13,
25, 26J.
Хотя рекурсивный алгоритм Левинсона вполне относитя к
числу наиболее широко известных алгоритмш для быстрогошс-
ленного решения тёплицевых линейных урзнений на ЭВМили
микропроцессорах, это ни в коем случае неозначает, что оъяв-
оъявляется единственным быстрым алгоритмом С помощью сврх-
больших интегральных схем (СБИС) был >еализован алгортм
[14], основанный на алгоритме Шура", коорый позволяет ис-
использовать преимущества систем обработк с параллельно ра-
работающими процессорами. Операции вычсления скалярюго
произведения в алгоритме Левинсона уравнения (З.В6),
11 Шуром доказана теорема, что для любой матриц] существует ортономи-
рованный базис, в общем случае комплексный, припереходе к котоому
матрица будет верхнетреугояьной (см., например, [*], с. 63). — Прим.ред.
C.137) и C.171)] будут требовать log2Af последоательных
применений М параллельных процессоров, поскольку 'олько по-
половина операций сложения может быть выполнена и каждом
шаге, что дает общую пропускную способность тако системы,
равную M\og2M рабочих циклов. Общее количество вычисли-
вычислительных операций, требуемых алгоритмом Шура, 1ропорцио-
нально М2, однако его структура проще алгоритма Тевинсона
и позволяет устранить операции вычисления скалярной произве-
произведения и, следовательно, при использовании М пар!ллельных
процессоров требуется М рабочих циклов.
3.8.4. Характеристические свойства тёплицевых матрии
Несмотря на то что тёплицева матрица имеет весьма аецифиче-
скую структуру, изучено не так уж много свойств соственных
значений и собственных векторов конечномерных тплицевых
матриц [7, 17]. Пусть
м
Л (г)- 2 v[k]z~k C.176)
— характеристический полином, формируемый из элементов
v[k] собственногр вектора тёплицевой (М-\-1) X (Af-tl)-матри-
(Af-tl)-матрицы 1м- Если 1м — эрмитова матрица, то она являете частным
случаем центросимметричной матрицы. Ее собственны! векторы
Зудут либо сопряженно симметричными, либо антиспряженно
:имметричными (см. подразд. 3.7.3), а это означает, что поли-
политом Л (г) будет также либо сопряженно симметричым, либо
антисопряженно симметричным. Применительно к этону полино-
полиному можно показать, что такой симметрией обладают :орни, яв-
являющиеся взаимообратными парами [17]. Таким обрлом, если
г, — один из корней, то корнем будет также и 1/г,-. Есл г: лежит
знутри единичной окружности, то 1/г, будет расположи вне ее.
Если z,- лежит на единичной окружности, то 1/г, = г,*будет его
«шплексно-сопряженным корнем (и также будет лжать на
единичной окружности). Если коэффициенты полинша A(z)
1ействительны, то комплексные нули являются комгаексно-со-
фяженными парами.
Если максимальное собственное значение матриц! Тм зна-
штельно отличается от других ее собственных значени, то мож-
ю показать (см. разд. «Задачи»), что корни полином:, образо-
образованного из собственного вектора, соответствующего М|ксималь-
юму собственному значению, лежат на единичной оюужности.
Го же справедливо и для собственного вектора, соотвествующе-
•о минимальному собственному значению, если оно акже су-
цественно отличается от других собственных значенй. Корни
121
полинома, образованного из оста.п.ных собственных векторов,
могут лежать, а могут и не лежать на единичной окружности;
го же справедливо, если максимальное или минимальное соб-
собственные значения не единственны.
Из выражений C.79) и C.145) получаем, что собственные
значения тёплицевой матрицы 1к и элементы р„ связаны соотно-
соотношением
* = II V
C-177)
След тёплицевой (М+ 1) X (М+1)-матрицы Тд, просто равен
(M+l)t[O]. Используя далее C.81), получаем
?/*- <ЗЛ78>
C.179)
Как будет показано в гл. 6, элемент /[0] соответствует члену ав-
автокорреляционной последовательности некоторого случайного
процесса с нулевым временным сдвигом, т. е. полной мощности
этого процесса. Таким образом, среднее собственных значений
характеризует полную мощность процесса.
Можно определить асимптотическое поведение собственных
значений тёплицевых матриц, связав их с собственными
значениями некоторой циркулянтной матрицы, для которой
известна аналитическая структура собственных значений. На-
Например, трехдиагональную тёплицеву Dх4)-матрицу
/*[0] *[—1] 0 0 \
t[\] t[0] t[-l) 0 \
1,0 t[i] t[0]. t[-l]
\ 0 0 t[\] t[0] I
можно аппроксимировать циркулянтной матрицей
/ t[0] t[-l] 0 t[\]\
( ^o1] ![i] 'm]t[~\]} (ЗЛ80)
\t[— 1] 0 ^[1] t[0] I
просто добавляя соответствующие элементы в противоположных
углах. Поскольку размер Dх4)-матрицы можно увеличить до
(иХя), то две матрицы становятся ближе друг к другу в том
смысле, что у них совпадает п2 элементов во всех позициях, кро-
кроме двух угловых. При я->-оо матрицы становятся асимптотиче-
асимптотически эквивалентными. Более подробные сведения об асимптоти-
асимптотическом поведении собственных значений тёплицевых матриц со
структурой такого вида можно найти в работах [11, 12].
22
В последукщих главах книги опкано несколько методов
шектральногооценивания, которые трбуют вычисления мини-
минимального или максимального собствешых значений тёплицевой
матрицы и свяанных с ними собственых векторов. Для опре-
1еления этих собственных значений мскно применить классиче-
:кий метод стленей, при этом за сч<г использования свойств
гёплицевой марицы удается нескольксснизить вычислительные
!атраты. Собсвенный вектор, связаншй с минимальным собст-
!енным значенем, является приближяием некоторой последо-
последовательности вкторов v(&), которые ищутся как решения урав-
тения
), k=0, I, ...,
C.181)
начиная с некторого начального приближенного значения, вы-
выданного в кавстве v@). Уравнение в.181) можно переписать
s виде
7v(k+l) = v(k, C.182)
в которого пшучают систему линейшх уравнений для неиз-
гестного BeKTOia v(k+l). Для решени уравнения C.182) мож-
10 использоваь программу, помещеную в приложении З.В
'в случае эрми-овой тёплицевой матршы) или в приложении 3.Г
в случае неэмитовой тёплицевой м.трицы). Эти программы
тписаны на фртране, и требуемое им количество вычислений
ia одну итераыю пропорционально М2 После каждой итерации
равнения C.112) вектор решения у(?)нормируется относитель-
ю корня квадатного из его величинь vH{k)w{k), с тем чтобы
юлучить векто единичной длины. Обмно достаточно всего не-
:кольких итердий, для того чтобы это' вектор сошелся к собст-
генному векто у, соответствующему мнимальному собственно-
собственному значению, :оторое определяется отношением Рэлея:
C183)
^ХОДИМОСТЬ М)Жет ОКазаТЬСЯ НеВЫСКОЙ, еСЛИ AmoxA.miii>l.
3 приложенииЗ.Е приведена написания на Фортране програм-
программа MINEIGVA-, предназначенная дл5 определения минималь-
юго собственюго значения эрмитовой тёплицевой матрицы с
^пользование; этого подхода.
Аналогичные образом можно найт! максимальное собствен-
собственное значение, 1терируя матричное урвнение
Tv(k) = v(k+) C.184)
ю тех пор, noia не будет достигнута содимость. Все, что здесь
-ребуется, — ээ простое умножение ма-рицы на вектор, поэтому
шчислительньз затраты будут пропоциональны /И2.
Обзор мтричной алгебры
Литератур
[1] Burg J.P. A New Analysis Technique for Time feries Anal'Sis. NATO
Advancd Study Institute on signal Processing with mphasis on Underwa-
Underwater Acastics, Enschede, Thi Netherlands, August 968. См. также сб.:
MdSt li DG Child d IEEE ' N Yk 1978
[3]
[4]
]5]
er atics, Enschede, T , g
ModernSpectrum Analisis, DG. Childers, ed., IEEE 'ress, New York, 1978,
P. 48.
Businge P A Golub G H Singular Value Decomosition of a Complex
Matrix.:ommu'n. ACM, vol. I, pp. 564—565, 1969.
CantoniA., Butler P. Eigenvlues and Elgenvectorsof Symmetric Centro-
symmetic Matrices. Linear ^gebra and Its Applicabns, vol. 13, pp. 275—
288, Mach 1976.
Camyanis 0., Kalouptsidis i., Manolakis D. 0. Fas Recursive Algorithms
for a Cass of Linear Equatins. IEEE Trans. Acout. Speech Signal Pro-
Process., vc. ASSP-30, pp. 227—39, April 1982.
CornynJ. J., ]r Direct Metbds for Solving System of Linear Equations
Ili Tli Hk Mti Nl Reh Lbt (NRL)
CornynJ. J., ]r Direct Metbds for Sovig y q
Involvig Toeplitz or Hanke Matrices. Naval Reseach Laboratory (NRL)
Memoradura Report 2920, (ctober 1974 (availible rom NTIS, AD/A-002
931).
[6] Cybena G. G. The Numerica Stability of the Levinon—Durbin Algorithm
for Toelitz Systems of Euations. S1AM J. Sci. 5tat. Comput., vol. 1,
pp. 303-319, September 1980
[7] Datta Д Morgera S. D. Comients and Corrections «)n the Eigenvectors of
Symme'ic Toeplitz Matrices: IEEE Trans. Acoust. $>eech Signal Process.,
vol ASP-32, pp 440—441ДргП 1984; reply by fakhoul, vol. ASSP-33,
pp. 737-738, June 1985.
[8] Durbin'. The Fitting of Tim Series Models. Rev. 1st. Int. Stat., vol. 28,
pp. 233-244, 1960.
[9] FardenD. С Solution of a 'oeplitz Set of Linear E[uations. IEEE Trans.
Antenns Propag., vol. AP-24 pp. 906—907, Novembf 1976.
[10] Forsyth О E, Malcolm M. I., Moler С. В. Computr Methods for Mathe-
Mathematical Computations. Prenfce-Hall, Inc., Englewod Cliffs, N. J., 1977.
[11] Gray R M. On the Asymptcic Eigenvalue Distribu.on of ToepHtz Matri-
Matrices. IElE Trans. Inf. Theor, vol. IT-18, pp. 725—30, November 1972.
[12] Grenaner O., Szego G. Toelitz Forms and Their Aplications. University
of Caliirnia Press, Berkeley Calif., 1958. [Имеется русский перевод: Гре-
нандерУ., Сегё Г. Тёплицеш формы и их приложния. — М.: ИЛ, 1961.]
[13] Klema 7. С., Laub A. J. The Singular Value Decomosition: Its Computa-
Computation arl Some Applications IEEE Trans. Autom.Control, vol. AC-25,
pp. 164-176, April 1980.
[14] Kung Sin-Yuan, Yu Hen HuK Highly Concurrent Agorithm and Pipelined
Architeture for Solving Teplitz Systems. IEEE 'rans. Acoust. Speech
Signal'rocess., vol. ASSP-3, pp. 66—75, February «83.
[15] LawsorC L., Hanson R. J. olving Least Squares foblems. Prentice-Hal!,
Inc.. Eglewood Cliffs, N. J., 974.
[16] Levinsa N. The Wiener RM! (Root Mean Square) Ьтог Criterion in Filter
Designand Prediction. J. Mth. Phys., vol. 25, pp. 31—278. January 1947.
[17] Makhot J. On the Eigenvctors of Symmetric Teplitz Matrices. IEEE
Trans Lcoust Speech Signa Process, vol. ASSP-2? pp. 868—872, August
1981.
[18] McClehn J. H.. Parks T. ^Eigenvalue and Eigemictor Decomposition of
the Dicrete Fourier Tranform. IEEE Trans. Audio Electroacoust.,
vol Al-20, pp. 66—74, Mach 1972, See also corments in vol. AU-21,
p 65, bbruary 1973
[19] Noble ... Danielt J. W. Appbd Linear Algebra, 2nded. Prentice-Hall, Inc.,
Englewod Cliffs, N. J., 1977
[20] Roebuc P. A., Barnelt S. ASurvey of Toeplitz anc Related Matrices. Int.
J. SystScie., vol. 9, pp. 921-934. 1978.
[21 Therrien С. W. On the Relation betweenTrianguIar Matrix Decomposition
and Linear Prediction. Proc. IEEE, vo 71, pp. 1459—1460, December
1983.
[22 Trench W. F. An Algorithm for the Invenon of Finite Toepliiz Matrices. J,
Soc. Ind. Appl. Math., vol. 12, pp. 515—52, September 1964.
[23 Yarlagadda R., Suresh Babu B. N, A Nte on the Application of FFT to
the Solution of a System of Toeplitz Nonal Equations. IEEE Trans. Cir-
Circuits Syst., vol. CAS-27, pp. 151—154, Fehiary 1980.
[24 Zohar Sh. Toeplitz Matrix Inversion: Th Algorithm of W. F. Trench. J.
Assoc. Comput, Mach., vol. 16, pp. 592—60, October 1969.
[25 Zohar Sh. The Solution of a Toeplitz St of Linear Equations. J. Assoc.
Comput. Mach., vol. 21, pp. 272—276, April974.
[26 Zohar Sh. FORTRAN Subroutines for the olution of Toeplitz Sets of Linear
Equations. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-27,
pp. 656—658, December 1979. See also corections in: vol. ASSP-28, p 601,
October 1980; vol. ASSP-29, p. 1212, Deceiber 1981.
Задачи
1. Доказать, что матрица, обладающая своствами симметрии и персиммет-
эии, обладает также и свойством центраьной симметрии и что обратное
утверждение неверно. Построить такую мтрицу. Доказать также, что мат-
матрица, обладающая любыми двумя из сэйств симметрии, персимметрии
i центральной симметрии, обладает и третий из этих саойств.
2. Доказать, что (АВ)"=В"А«.
3. Записать выражение для внутреннего произведения блочных векторов.
4. Токазать, что если Н — матрица Ганкел; то JH и HJ — тёплицевы мат-
жцы.
5Доказать, что если А, В и АВ — невырожденные матрицы, то (АВ)~'="
6. Доказать, что матрица, обратная диагона^ной матрице, также диагональ-
ia и имеет элементы вида l/d[i].
7. Токазать, что если А — квадратная (яХЛ-матрица, а х—(лХ 1)-вектор-
толбец, то х"Ах — неотрицательный скаля.
8. Доказать, что (А*)-1-(А-1)».
9. Доказать, что если А — симметричная мтрица, то А —симметричная
1атрица (если она, конечно, существует).Доказать, что если А — персим-
1етричная матрица, то и А — персиммеричная матрица. Доказать, что
ели А —тёплицева матрица, то А~1 — прсимметричная матрица. Дока-
ать, что если А— матрица Ганкеля, то А1—симметричная матрица. До-
азать, что если А — центросимметрична матрица, то и А — центро-
имметричная матрица.
10. Токазать, что верхнетреугольная матрица\ с ненулевыми диагональными
лементами имеет линейно-независимые вктор-столбцы, а следовательно,
вляется невырожденной матрицей.
11. Токазать, что если ранг матрицы А раве п, то ранг матрицы Ан также
авен п.
12. Токазать, что определитель квадратной марицы Вандермонда
' \ ... 1 ¦
Обзор матричной алгебры
опредляется выражением
det V = Д (*/—*.-)•
¦I
13. Пуст симметричная трехдиагональнэя тёплицева (лхл)-матрица имеет
вид
(Ь а " ... 0)
а Ь а
0 а . ¦ 0
а
V0 ... 0 а Ь
Покгать, что она имеет собственные значения X? = a-\-2b cos(?ji/n-f-I),
= 1, „ п, и соответствующие им собственные векторы вида
S\n(knln-Ir 1)
14. Покеать, как с помощью трех операций БПФ можно получить вектор ре-
шени х линейного уравнения Сх=Ь, где С — циркулянтная матрица. Как
осущетвить переход к левоциркулянтной или правоциркудянтнон матри-
матрицам рп использовании прямого или обратного БПФ?
15. Покаать, что если С — центросимметричная матрица, то JC=CJ.
16. Докгать справедливость соотношения C.149). [Подсказка: использовать
разбения (блочные представления)]
T-.-1J Jh «Ч
м м \? е ;•
а за-ем воспользоваться леммой об обращении матрицы, см. выражение
C.50, Заметим, что h = u[0, 0] = 1/р«.
17. Исслдовать свойства корней полинома для случая эрмитовой тёплицевой
матрцЫ. Показать, например, что характеристический полином обладает
свойевом комплексно-сопряженной симметрии и что его корни имеют еди-
ничне модули.
18. Модфицировать подпрограммы TOEPLITZ и HERMTOEP таким образом,
чтоб* запись решения производилась в массив Z, т. е. чтобы решение
возврщалось в массив Z, исключая тем самым необходимость обращения
к мае иву X.
19. Было показано, что алгоритм Левинсона позволяет ршнть уравнения
вида
(}ъЛ_(ол\
Используя выражение C.129), показать справедливость следующих соот-
соотношений:
t [0] + sJ,aM = t [0] + гмЬд = р„,
г« + Тд-.а,, = J s,,, + TM_,J Ъм = 0Л.
20. Задача повышенной трудности: показать, как можно потроить алгоритм
обращения для треугольных тёплицевых матриц, треующий порядка
O(rclogfi) вычислительных операций. Показать сначала что умножение
нижнетреугольной (или верхнетреугольной) тёплицевой мтрицы на вектор
эквивалентно вычислению свертки (или корреляции) поседовательпостей.
образованных из первых столбцов (или строк) этой марицы и вектора,
и что оно может б»пь выполнено с помощью БПФ.
Приложение З.А.
Программа решения эрмитовых линейных уравненй
методом Холецкого
Метод Холецкого, предназначенный для решешя эрмитовой
системы линейных уравнений, был кратко описа в разд. 3.6.
Число требуемых им вычисли 1е.чьвых операций попорциональ-
но М3, где М — размерность матрицы. С помощю процедуры,
описанной в приложении IV, помещенном в концекниги, приве-
приведенная ниже программа может быть преобразовна для обра-
обработки действительнозначных данных. В программ использует-
используется процедура замены для записи вычисляемых знчений в мас-
массив В, в результате чего исходная запись входых данных в
этом массиве стирается. Для работы программг необходимо
хранить только половину элементов матрицы А, элменты другой
ее половины определяются по свойству эрмитова симметрии
Следующий контрольный пример, в котором ,ля комплекс-
комплексной величины x+jy использовано обозначение (х; /):
B,0; 0,0) @,5; —0,5) (—0,2; 0,1)
@,5; 0,5) A,0; 0,0) @,3; —0,2)
_ (—0,2; —0,1) @,3; 0,2) @,5; 0,0)
A,0; 3,0) -|
B,0; —1,0) I
@,5; 0,8) J
42] =
Обзор матричнй алгебры
будет даваъ решение
@,9595; 5»566)
D,4189; -7,0405)
(—5,1351;6,3514) _
записываеюе в массив В. Пара1етр EPS был устаношен ра
иым Ю-15.
Подрограмма CHOLESKY (M.EPS, А, В, ISTAT)
Эта прграмма предназначена дл: решения систем комплексных линей-
линейных урвнений с симметричной эмитовой матрицей методо; разложе-
разложения Хаецкого. Значения вычислимого решения постепенно замещают
исходне содержимое массива В. Содержимое массива А стирется после
вызоваэтой программы.
АХ=В
Входны параметры:
М —порядок матрицы (чипа линейных уравнений).
EPS —«эпсилон» (величина ля проверки потери значиюсти; зави-
зависит от точности испоьзуемой ЭВМ; рекомендуеся исполь-
использовать значение 1.Е—5).
А — массив комплексных элементов матрицы, заисываемый
в виде столбцов (т.;. АA, 1) записывается в амять как
АA), АA,2) — как А2), А{2, 2) —как АC) и тд. Хранит-
Хранится только верхнетреуольная часть матрицы А, поскольку
другая часть определется по свойству эрмитовй симмет-
симметрии).
В —массив комплексны? элементов вектора в првой части
уравнения.
Выходые параметры:
В —комплексный векторрешения X, записываемы в память
вместо вектора В.
IST.T — цифровой индикатор состояния в момент выхо,а из про-
программы:
0 для нормального выода,
— 1, если матрица выржденна,
+К, если утеряна чиаенная значимость или еслюбн ару же-
жена неположительно оределенная матрица на шаг К.
Примечние:
Раз еры .GE. М(М+1)/2 внешего массива А и размеры .IE. M мас-
сивгВ должны устанавливатьс в вызывающей программе.
COMPLEX A(l), B(l), SUM
Разложние на треугольную и диагнальную форму ! C.76)
isrr=o
KPIf=O
DO100 К=1.М
]PIV=KPIV+K
NDKPIV
30
40
80
100
С
С
с
с
210
200
С
С
С
С
310
300
LEND=K-1
TINY-A.S(EPS.REAL(A(KPIV)))
DO 100 I=K, M
SUM=@,0.)
IF (LND .EQ. 0) GO TO 40
LP№KPIV »,
DO 3(L=1,LEND - «
LPV=LPIV+L-K-1
SLH=SUM+REAL(A(LPIV))-A(IND-,).
C(NJG(A(KPIV-L))
SUM=A(IND)-SUM
IF (I JE. K) GO TO 80
Проверка на отжцательный центральный элемент и потерю значимости
IF(RRL(SUM) GT. TINY) GO TO 90
IF(RRL(SUM) GT. 0.) GO TO 70
ISTA1= -1
RETON
IF (IS'AT .GT. 0) GO TO 90
ISTA1=K
AfKPiO -CMPLX (REAL (SUM) ,0.)
DPIV=1./REAL(SUM)
GO TU00
A(INE|-SUM.DPIV
IND=ND+I
Обратный расчг с использованием вектор-столбца ромежуточного ре-
шения I C.74)
KPIV-Г
DO 200 К=:М
KPIV-K'IV+K
SUM = В К)
DO 210 J= 1,K— 1
SUM=SUM-B(K-J)-CONJG(A(KPIV-J)
В (К) = SIM
Обратный расче с ислользованием вектор-столбца сюнчательного реше-
решения I C.75)
KPIV=(M«W+l))/2
В (М) =В (M/REAL(A(KPIV))
DO 300 К-1,2, -1
KPIV=K'IV~K
IND = KPV
SUM=BK-1)/REAL(A(KPIV))
DO 310 J-K.M
IND=ND+(J-1)
SUM=SUM-B(J)»A(IND)
B(K-1)-SUM
RETURN
END
Обзор матриной алгебры
129
Приложение З.Б.
Программа для определения рзложения
по комплексным сингулярным челам
Подпрограмма CSVD преднаначена для определения разло-
разложения по сингулярным числамкомплексной матрицы А, состоя-
состоящей из М строк и N столбцов,-де M^sN. Максимально возмож-
возможная размерность матрицы А устанавливается параметрами
ММАХ и NMAX. N действитешных сингулярных чисел (ai^
S?02^ ¦ ¦ ¦ S^0jv) записываютсяв память в порядке уменьшения
их значений в виде вектора S Подпрограмма позволяет также
определять первые NV столбов комплексной унитарной (Л'Х
ХЛГ)-матрицы V и первые Л^С/столбцов комплексной унитарной
(Л1хМ)-матрицы U, такой чте НА—U2VH||2 пренебрежимо мало
по сравнению с ||А|[2, где 2=diag(ai, ..., ojv)—диагональная
матрица из сингулярных чисе[. Единственные допустимые зна-
значения для NU — это 0, ,V и ^Единственные допустимые значе-
значения для NU — это 0 и N. Пр желании к IP векторам в столб-
столбцах массива А с (N+l)-ro ni (N+IP)-h может быть примене-
применено преобразование U" (предплагается, что IP отлично от ну-
нуля). Эта процедура может б1ть использована для отыскания
решения по методу наименыих квадратов с минимальным
евклидовым расстоянием (пседообратного решения) для пере-
переопределенной системы АХ»=В Псевдообратное решение будет
определяться при вызове подпрограммы CSVD с NV — N и с
IP столбцами матрицы В, заисанными в столбцах массива А
с номерами с N+l no N + IP Эффективный ранг г матрицы
А может быть оценен по сингугярным числам в векторе S. Пре-
Пренебрежимо малые сингулярны числа с номерами с г+ 1 по Лг
обнуляются, и решение будет иметь форму X = VS*UHB, где
2*—diag(ci~', О2~] о/, 0, .., 0), a UHB ставится подпрограм-
подпрограммой CSVD на место каждогостолбца матрицы В, записанного
в столбцах массива Л с номерми с Л'+l по N + IP.
Константы ЕТА и TOL, [спользуемые этой программой,
зависят от применяемой ЭВМ ЕТА — относительная машинная
точность, a TOL — наименьше нормированное положительное
число, делящееся на ЕТА. Зннения этих констант в программе
выбраны применительно к ЭгМ типа VAX. Размеры внешних
массивов В, С и Т выбираютя в предположении, что ^VIOO
Для контрольной матрицы
B,8; —0,) A,6; 0,0)
А= C,6; —1,:) B,4; —1,8)
B,0; 0,4) B,8; —4,4)
где для комплексной величинь x+jy использовано обозначение
(х; у), при NU = 3, NV=2 и /'=0 получаем следующие значе-
9—I3S6
130
Глава 3
ния, которые будут записаы в масс
7,5171
2,9687
иах S.UhV:
Г @,61000; 0,0) @,7920; 0,0) 1
V= I @,65719; 0,4271) (-0,5592; -0,34081) J '
U =
@,36710; 0,06177) @,4744; —0,2906) @,02914; 0,74220)
@,60797;—0,11340) @,3437;—0,289G) (—0,18073; —0,61813) *
"@,66622;—0,18731) (—0,4845; 0,5357) @,02582; 0,18132)
Подпрограмма CSVD (i, MMAX, ШАХ, M, N, IP, NU, NV, S, U, V)
Разложение по сингулярны числам комлексной (MXN)-матрицы А, где
M .GT. N. Сингулярные чгла записывайся в виде вектора S. Вычисля-
Вычисляются также первые NU стлбцов унитарой (МХМ)-матрицы U и первые
NV столбцов унитарной (ГХ^-матрищ V, которые минимизируют опре-
определитель det(A—USV*); м. статью Бсингера и Голуба «Разложение
комплексных матриц по сигулярным чилам» [2].
Помещенный ниже алгоркм печатается разрешения Американской ас-
ассоциации по вычислительнй технике (AIM); © ACM, 1969.
COMPLEX A(MMAXJMAX), U(iWAX,MMAX), V(NMAX,NMAX),
Q,8
REAL S(NMAX), BA0),CA00),TA0)
DATA ETA, TOL/1.2E-7, 2.4E-32/
NP-N+IP
N1=N+1
С Редукция (понижение пордка) Хаусходера
СA)=0.
К=1
ю ki=k+i
С Исключение элементов А|,К), 1 = К+1,.., М
Z=0.
DO 20 I-K..M
20 Z-Z+REAL(A(I,b).»2+AIMAi(A(I,K))
В(К)=0.
IF (Z .LE. TOL) GO V 70
Z-SQRT(Z)
B(K)=Z
W=CABS(A(K,K))
IF (W'.NE 0.) Q=A(C,K)/W
A(K,K)-QMZ+W)
IF (K .EQ. NP) GO T) 70
DO 50 J-K1.NP
Q-@,0.)
DO 30 I=K,M
30 Q = Q+CONJGA(I,K))«A(I,)
Q-Q/(Z.(Z+W):
DO 40 I = K,M
Обзор матричной алгебры
40 A(U)=A(U)-Q.A(I,K)
50 CONTINUE
С Преобразование фазы
Q=-CONJG(A(K,K))/CABS(A(K,K))
DO 60 J=K1,NP
60 A(K,J)=Q»A(K,J)
С Исключение элементов A(K,J), J=K+2, ..., N
70 IF(K .EQ. N) GO TO 140
Z-0.
DO 80 J-K1.N
80 Z = Z+REAL(A(K,J))»»2+AIMAG(A(K,J)) ¦
C(Kl)=0.
IF (Z ,LE. TOL) GO TO 130
Z=SQRT(Z)
C(K1)-Z
W-CABS(A(K,KI))
Q=(l.,0.)
IF (W ,NE. 0.) Q=A(K, Kl)/W
A(K,K1)-Q«(Z+W)
DO 110 I-K1.M
Q=@.,0.)
DO 90 J = K1,N
90 Q = Q+CONJG(A(K,J))»A(I,J)
Q = Q/(Z.(Z+W))
DO 100 J-K1.N
100 A(I,J)=A(I,J)-Q.A(K,J)
110 CONTINUE
С Преобразование фазы
Q__CONJG(A(K,K1))/CABS(A(K,K1))
DO 120 I = K1,M
120 A(I,K1)=A(I,K1)»Q
130 K=K1
GO TO 10
С Допуск для пренебрежимо малых элементов
140 EPS = 0.
DO 150 K=1,N
S(K)=B(K)
T(K)=C(K)
150 EPS-AMAX1(EPS,S(K)+T(K))
EPS-EPS «ETA
С Инициализация вычислений U и V
IF (NU .EQ 0) GO TO 180
DO 170 J=1,NU
DO 160 I-I.M
160 U(I,J) = @,0.)
170 U(J,J) = A.,O.)
180 IF (NV EQ. 0) GO TO 210
DO 200 J-l.NV
DO 190 1=1 N
190 V(U)-@ 0)
200 V(J,J)=A.,O.)
С QR-диагоналнзацня
210 DO380KK=l,N
K=N1-KK
С Проверка на расщепление
220 DO 230 LL=1,K
L = K+1-LL
• о- Глава 3
IF(ABS(T(L)) .LE. EPS) GO TO 290'
IF(ABS(S(L-1)) .LE EPS) GO TO 240
230 CONTINUE
С Скращение B(L)
240 CS-O.
SN=1.
L1=L-1
DO 280 I = L,K
F-SN«T(I)
T(I)=CS.T(I)
IF(ABS(F) LE EPS) GO TO 290
H-S(I)
W = SQRT(F«F+H-H)
S(I)=W
CS-H/W
SN=-F/W
IF (NU .EQ. 0) GO TO 260
DO 250 J=1,N
X = REAL(U(J,L1))
Y=-REAL(U(J,I))
U(J,L1)=CMPLX(X-CS+Y«SN,O.)
250 U(J,I)=CMPLX(Y.CS-X-SN,O.)
260 IF(NP .EQ. N) GO TO 280
DO 270 J=NI,NP
Q=A(L1,J)
R=A(I,J)
A(L1,J)=Q-CS+R.SN
270 A(I,J)=R-CS-Q.SN
280 CONTINUE "
С Ьоверка сходимости
290 W=S(K)
IF(L .EQ. K) GO TO 360
С (двиг начала координат
X-S(L)
Y=S(K-1)
G-T(K-l)
H-T(K)
F- ((Y-W) • (Y+W) + (G-H) • (G+H) )/B. »H .Y)
G=SQRT(F»F+1.)
IF (F XT 0.) G=-G
F- ((X-W) • (X+W) + (Y/(F+G) -H) -H)/X
С (R-шаг
CS-1.
SN=1.
LI=L+1
DO 350 I-L1.K
G-T(I)
Y-S(I)
H=SN.G
G-CS.G
W=SQRT(H»H+F«F)
T(I-1)-W
CS-F/W
SN=H/W
F=X.CS+G-SN
Обзор матричной алгебры
G = G-CS-X-SN
H = Y.SN
Y-Y.CS
IF (NV .EQ. 0) GO TO 310
DO 300 J = 1,N
X-REAL(V(J,I-1))
W=REAL(V(J,I))
V(J, I-1)=CMPLX(X-CS+W»SN,O.)
300 V(J,I)-CMPLX(W.CS-X.SN,0.)
310 W=SQRT(H»H+F»F)
S(I-1)=W
CS=F/W
SN = H/W
F-CS.G+SN.Y
X-CS.Y-SN.G
IF (NU .EQ. 0) GO TO 330
DO 320 J-l.N ,'
Y=REAL(U(J,I-1»
W=REAL(U(J,I))
U(J,I-l)=CMPLX(Y«CS+W«SN,0.)
320 U(J,I)=CMPLX(W«CS-Y»SN,0.)
330 IF (N .EQ NP) GO TO 350
DO 340 J=N1,NP
Q-A(I-1,J)
R-A(I.J)
A(I-1,J)=Q»CS+R«SN
340 A(I,J)-R»CS-Q»SN
350 CONTINUE
Tl)=0.
TK)=F
SK)-X
Gl TO 220
С Сходимоть
360 II(W.GE. 0) GOTO 380
S^)-^W
IF.NV .EQ. 0) GO TO 380
D( 370 J=1,N
370 V(J,K)--V(J,K)
380 CONTINUE
С Упорядоение сингулярных чисел
DO 40 K=I,N
G=-I
J-K
Dl 390 I = K,N
IF (S(I) .LE. G) GO TO 390
?s(I)
?i
390 CONTINUE
IF(J. EQ. K) GO TO 450
S()-S(K)
S(C)=G
IF(NV EQ. 0) GO TO 410
Dl 400 I=1.N
Q-V(I.J)
V(I,J)=V(I,K)
«0 V(I,K)-Q
410 IF(NU EQ. 0) GO TO 430
133
Глава 3
DO420 I = I,N
)=U(I,J)
j(IJ)U(
(,)(
J(I,K)=Q
IF N .EQ. NP) GO TO 450
DO440 I-N1.NP
134
420
430
440 UK,I)=Q
450 COJTINUE
С Обратноепреобразование
IF (N1 EQ 0) GO TO 510
DO 50 KK=1, N
K=N1-KK
IFB(K) .EQ. 0.) GO TO 500
Q=-A(K,K)/CABS(A(K,K))
DC460 J-l.NU
460 J(K,J)=Q»U(K,J)
DC490 J=1,NU
3=@.,0.)
30 470 I-K.M
470 Q-Q+CONJG(A(I,K))»UI.J)
3=Q/(CABS(A(K,K))»B(K)
30 480 I = K,M
480 U(U)-U(I,J)-Q'A(I,K)
490 CONTINUE
500 COITINUE
510 IF (W .EQ. 0) GO TO 570
IF (NUT. 2) GO TO 570
DO 50 KK-2.N
K=N1-KK
IFCIKU EQ 0) GO TO 560
Q -CONJG(A(K,K1))/CABS(.(K,K1))
D( 520 J=1,NV
520 V(K1,J)=Q«V(K1,J)
DE50 J=1,NV
Q=@.,0.)
DO 530 I-K1.N
540
550
560
570
Q = Q+A(K,I)«V(I,J)
Q-Q/(CABS(A(K,K1))-C(K))
DO 540 I-K1.N
V(I,J)-V(I,J)-Q«CONJ<(A(K,I))
CONTINUE
CINTINUE
RETIRN
END
ПриложенИ! З.В.
Программаапгоритма Левинсона
Алгоритм JeBHHCOHa предназначен для решения уравнения
в случае, кгда Тм — эрмитова тешицева матрица, как описано
Обзор матрнной алгебры 135
в подразд. 3.8.1. Количество ычислительных операций при ре-
решении этого уравнения мето/ш исключения Гаусса пропор-
пропорционально М3, где М — размешость матрицы, а объем требуе-
требуемой при этом памяти пропор.ионален М2. При использовании
алгоритма Левинсона требуетя только М2+М операций сложе-
сложения, М2+2М операций умножния и М операций деления, а
хранить необходимо массив -олько из 2М элементов. С помо-
помощью процедуры, описанной в приложении IV, помещенном в
конце книги, программа мож<г быть преобразована для обра-
обработки действительнозначных днных. В контрольном примере с
входными параметрами M = S 7TJ = 3,0, ГA) = (—2,0; 0,5) и
7B)= @,7; —1,0), где для котлексной величины x + jy исполь-
использовано обозначение (х; у), прграмма LEVINSON будет давать
выходные значения Р=1,321, А A ) = @,86316; 0,03158) и
А B) = @,34737; 0,21053).
Подпрограмма LEVINSON A, ТО, Т, Р, A, ISTAT)
Предназначена для решения сктемы комплексных линейных уравнений
•R-P
с помощью алгоритма Левинсаа. Здесь Т — эрмитова тёплицева (М+
+ 1)Х(М+1)-матрица, А — веор-столбец с элементами 1, аA), .... а(М),
а Р — вектор-столбец, верхний элемент которого равен р, а остальные
элементы равны нулю.
Входные параметры:
М
— число компонентоЕ неизвестного вектора А; размерность А
равна М (это — поядок авторегрессионной модели; см. ни-
ниже гл. 7); целочислнный параметр.
ТО —действительный снляр, соответствующий элементу матри-
матрицы t@); благодая свойству эрмитовой симметрии этот
элемент всегда дейтвителен.
Т —массив из М компексных элементов t(l), ..., t(M) левого
столбца тёплицево матрицы (это — значения автокорреля-
автокорреляционной последоваельности авторегрессионной модели; см.
ниже гл. 7),
Выходные параметры:
Р — действительный скляр, представляющий собой верхний эле-
элемент вектора в павой части уравнения (это — дисперсия
шума, возбуждаю!его авторегрессионную модель; см. ниже
гл. 7).
А — массив из М компексных элементов вектора решения (это
коэффициенты автоегрессионной модели; см. ниже гл. 7).
ISTAT — цифровой индикатр состояния в момент выхода из про-
программы:
О для нормальноговыхода,
1, если Р=0 (выросденная матрица)
Примечание:
Размеры .GE. М внешних мссивов А и Т должны устанавливаться
вызывающей программой.
136
10
20
Глава 3
COMPLEX 1A), A(l), TEMP, SAVE
REAL TO, P
P-TO
ISTAT=0
Рассматривать M=0 как частный случай
IF (M .EQ. 0) RETURN
Основная рекурсия Левинсона
К-0
К-К+1
SAVE = T(K)
IF (К .EQ. 1) GO TO 20
DO 10 J=1,K—1
SAVE-SAVE+A(J)«T(K-1) I (L136)
TEMP=-SAVE/P
P-P.A.-REAL(TEMP)«2-AIMAG(TEMP)«2) I C 158)
IF (P .GT. 0.) GO TO 30
ISTAT= 1
RETURN
30 A(K)=TEMP ! (Л39)
IF(K.EQ. 1) GO TO 50
KHALF=K/2
DO 40 J=1,KHALF
KJ-K-J
SAVE-A(J)
A(J)=SAVE+TEMP»CONJG(A(KJ)) ! (;147), C156)
IF (J .EQ. KJ) GO TO 40
A(KJ)^=A(KJ)+TEMP.CONJG(SAVE) ! ( 147), C 156)
40 CONTINUE
50 IF (K .LT. M) GO TO 100
RETURN
END
Приложение З.Г.
Программа для решения теплицевых линейных урвнении
в общем случае
Эта подпрограмма предназначена для решения астемы линей-
линейных уравнений C.167) с тёплицевой матрицей збщего вида,
описанного в подразд. 3.8.3. Количество вычислтельных опе-
операций при решении этих уравнений методом исклочения Гаусса
пропорционально М3, где М — размерность матрщы, а объем
требуемой при этом памяти пропорционален М2 Данная про-
программа требует только ЗМ2+М операций сложеия, E/2)М2+
+ E/2)Л1 операций умножения и ЗМ операцн деления, а
хранить необходимо массив из ЬМ элементов. С помощью про-
процедуры, описанной в приложении IV, помещенно: в конце кни-
книги, программа может быть преобразована для обаботки дейст-
действительнозначных данных. В соответствии с прингтыми в книге
обозначениями, порядок матрицы М, задаваемы в качестве
входного параметра программы, приводит к полуению вектора
Обзор матричной алгебры
137
решения размерности М-\-1. Для входных параметров М — 2,
Г0=C,0; 0,0), ГСA) = (—2,0; 0,5), ГСB) = @,7; —1,0), TR(l) =
= (—0,2; —0,4), 77?B) = @,3; —0,6), 2A) = A,0; 3,0), ZB) =
= B,0; —1,0) и ZC) = @,5; 0,8), где для комплексной величины
x-*-jy использовано обозначение (х\у), подпрограмма TOEPLITZ
будет давать выходные значения XA) ¦= @,23519; 1,2437),
X B)= A,0303; 0,53575) и X C) = @,47335; 0,24032).
Подпрограмма TOEPLITZ (М, ТО, ТС, TR, Z, X, ISTAT)
Предназначена для решения системы комплексных линейных уравнений
с помощью одного из вариантов алгоритма Левинсона. Здесь Т — комп-
комплексная несимметричная тёплицева (М+1) X (М+1)-матрица, Z — изве-
известный комплексный вектор-столбец из М+1 элементов, а X — вектор ре-
решения из М+1 комплексных элементов.
Входные параметры:
М
ТО
ТС
TR
Z
с
с
с
с
с
с
с
с
С Выходные параметры:
С
С
с
с
с
—порядок матрицы Т (целое число).
—скаляр, соответствующий комплексному элементу матрицы
t@).
—массив из М комплексных элементов t(l), ..., t(M) левого
столбца тёплицевой матрицы.
— массив из М комплексных элементов t(—I) t( — M) верх-
верхней строки тёплицевой матрицы.
— массив из М+1 комплексных элементов вектора, стоящего
в правой части уравнения. Элементу Z(k+1) в программе
соответствует в подразд. 3.8.3 элемент z(k), k=0, .... М.
X —массив из М-f-l комплексных элементов вектора решения.
Элементу Х(к+1) в программе соответствует в подразд. 3.8.3
элемент х(к), к=0 М.
ISTAT — цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
программы:
0 для нормального выхода;
1, если Р = 0 (вырожденная матрица).
Примечание:
Размеры .GE. М внешних массивов TR, ТС и размеры .GE. М+1 мас-
массивов X, Z должны указываться в вызывающей программе. Для зада-
задания размеров внутренних массивов А и В должно использоваться
.GE. M.
COMPLEX ТСA), TRA), X(l), Z(l), А(ЮО), В(ЮО)
COMPLEX TEMPI, TEMP2, SAVE1, SAVE2 ALPHA, BETA
COMPLEX P, TO
P = T0
ISTAT=1
IF (P .EQ. @.0.)) RETURN
Рассматривать М=0 как частный случай
X(l)-Z(l)/T0 I C.175)
138
Обзор матричной алгебры
IF (M .LE. 0) RETURN
С
С Основная рекурсия
К=0
100 К=К+1
SAVE1=TC(K)
SAVE2-TR(K)
ВЕТА=ХA).ТС(К)
IF (К .EQ. 1) GO TO 20
DO 10 J=»1,K-1
KJ = K-J
SAVE1=SAVE1+A(J).TC(KJ) 1 C.136)
SAVE2=SAVE2+B(J)"TR(KJ) ! C.137)
10 BETA=BETA+X(J+1)»TC(KJ) ! C.173)
20 TEMPI = -SAVEl/P
TEMP2=-SAVE2/P
р„р.A O)-TEMP1"TEMP2) 1 C.140)
IF (P .EQ. @,0.)) RETURN
30 A(K)=TEMP1 1 C.139)
BK)=TEMP2 1 C.143)
ALPHA=(Z(K+1)-BETA)/P I C.174)
IF (K EQ. 1) GO TO 50
DO 40 J-l.K-1
KJ=K-J
SAVE1=A(J)
A(J)=SAVE1+TEMP1.B(KJ) I C.147)
B(KJ-)=B(KJ)+TEMP2-SAVE1 I C.148)
40 CONTINUE
50 X(K+1)=ALPHA
DO 60 J=1,K
60 X(J)-X(J)+ALPHA»B(K-J+1) I C.171)
IF (K XT. M) GO TO 100
ISTAT-0
RETURN
END
Приложение З.Д.
Программа для решения
эрмитовых тёплицевых линейных уравнений
Эта подпрограмма предназначена для решения системы линей-
линейных уравнений C.167) с эрмитовой тёплицевой матрицей,
описанного в подразд. 3.8.3. Данный алгоритм требует 2№+
+ 2М операций сложения, 2М2 + ЗМ операций умножения,
2М операций деления и объема памяти для хранения массива
из 4М элементов. Все эти величины меньше аналогичных вели-
величин для подпрограммы TOEPLITZ вследствие уменьшения
объема вычислений, обусловленного свойством эрмитовой
симметрии. С помощью процедуры, описанной в приложении IV,
помещенном в конце книги, программа может быть преобразо-
преобразована для обработки действительнозначных данных. В соответ-
соответствии с принятыми в книге обозначениями порядок матрицы М,
задаваемый в качестве входного параметра программы, приво-
приводит к получению вектора решения размерности М-т\. Для
входных параметров Л1 = 2, 70= C,0; 0,0), 7A) = (—2 0; 0,5),
ГB) = @,7; —1,0), 2A) = A,0; 3,0), 2B) = B,0; —1,0) и 2C) =
= @,5; 0,8), где для комплексной величины x + jy принято обозна-
обозначение (х; у), подпрограмма HERMTOEP будет давать выходные
значения Х{1) = B,2970; 1,6990), XB) = C,3185; 1,2970) и
1C) = A,4928; 0,94745).
Подпрограмма HERMTOEP (М, ТО, Т, Z, X, ISTAT)
Предназначена для решения системы комплексных линейных уравнений
с помощью одного из вариантов алгоритма Левинсона. Здесь Т — комп-
комплексная эрмитова тёплицева (М+1) X (М+1)-матрица, Z — известный
комплексный вектор-столбец из М+1 элементов, а X — вектор решения
из М+1 комплексных элементов.
Входные параметры:
М —порядок матрицы Т (целое число).
ТО — скаляр, соответствующий действительному элементу матри-
матрицы t@) (согласно свойству эрмитовой симметрии, этот член
должен быть всегда действительным).
Т —массив из М комплексных элементов t(l) t(M) левого
столбца тёплицевой матрицы
Z —массив из М+1 комплексных элементов вектора, стоящего
в правой части уравнения. Элементу Z(k+1) в программе
соответствует в подразд. 3.8.3 элемент z(k), k=0, ..., М.
Выходные параметры:
X —массив из М+1 комплексных элементов вектора решения.
Элементу Х(к+1) в программе соответствует в подразд. 3.8.3
элемент х(к), к=0 М.
1STAT —цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
программы:
0 для нормального выхода,
1, если Р = 0 (вырожденная матрица).
Примечание:
Размеры .GE. М внешнего массива Т и размеры .GE. М+1 массивов X,
2 должны указываться в вызывающей программе. Для задания раз-
размеров внутреннего массива А должно использоваться .GE. M .
COMPLEX T(l), X(l), Z(l), А(ЮО)
COMPLEX TEMP, SAVE, ALPHA, BETA
REAL P, TO
Р-Т0
1STAT=1
IF (P .EQ. 0.) RETURN
Рассматривать М=0 как частный случай
X(l)-Z(l)/T0 ! C 175)
IF (M .LE. 0) RETURN '
Основная рекурсия
K=0
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
140
Глава 3
100 K-K+l
SAVE-T(K)
ВЕТА=ХA)«Т(К)
IF (К .EQ. 1) 00 ТО 20
DO 10 J=1,K—1
SAVE=SAVE+A(J)-T(K-J) 1 C.136)
10 BETA-BETA+X(J+1).T(K-J) ! C.173)
20 TEMP=-SAVE/P ,„,..,
P-P.A.-REAL(TEMP)«2-AIMAG(TEMP)) I C.158)
IF (P .LE. 0.) RETURN
30 A(K)-TEMP ! C.139)
ALPHA=(Z(K+1)-BETA)/P I C.174)
IF (K.EQ. 1) 00 TO 50
KHALF=K/2
DO 40 J-l.KHALF
KJ=K-J
A(J)=SAVE+TEMP.CONJG(A(KJ)) ! C.147), C.157)
IF (J EO KJ) GO TO 40
A(KJ)-A(KJ)+TEMP.CONJG(SAVE) ! C.147), C.157)
40 CONTINUE
50 X(K+1)-ALPHA
DO 60 J=1,K
60 X(J)-X(J)+ALPHA.CONJG(A(K-J+I)) ! C.171)
IF (K XT. M) GO TO 100
ISTAT-0
RETURN
END
Приложение З.Е.
Программа для определения
минимального собственного значения
и соответствующего ему собственного вектора
эрмитовой тёплицевой матрицы
Эта подпрограмма предназначена для определения минималь-
минимального собственного значения и соответствующего ему собствен-
собственного вектора матрицы, имеющей эрмитову тёплицеву структуру.
В ее основу положен степенной метод, описанный в под-
разд. 3.8.4. С помощью процедуры, описанной в приложении IV,
помещенном в конце книги, программа может быть преобразова-
преобразована для обработки действительнозначных данных. В соответст-
соответствии с принятыми в книге обозначениями, выбор в качестве
входного параметра значения порядка матрицы, равного М,
означает, что в действительности размер этой матрицы равен
(М+1) X (М+1). Для входных параметров М=2, TOL = \X
Х10-10, Г0 = 3,0, T(l) = (—2,0; 0,5) и 71B) = @,7; —1,0), где для
комплексной величины x+jy использовано обозначение (х; у),
подпрограмма MINEIGVAL будет давать выходные значения
Я1М/. = 0,48869, EVEC(l) = @,13791; —0,01741), EVECI2) =
= @,21272; 0,0) и EVECC) = @,13791; 0,01741).
Обзор матричной алгебры
Подпрограмма MINEIGVAL (M, TO, TOL, EVAL, EVEC, ISTAT)
141
С Предназначена для отыскания минимального собственного значения и со-
С ответствующего ему собственного вектора эрмитовой тёплицевой матрицы.
С Для этой цели используется классический степенной метод и подпрограм-
G ма быстрого решения тёплицевых уравнений. Собственный вектор норми-
С руется к единичной длине.
С
С Входные параметры:
СМ — порядок матрицы Т (целое число).
С ТО — скаляр, соответствующий действительному элементу мат-
С рицы t@).
С Т —массив из М комплексных элементов t(l), ..., t(M) левого
С столбца тёплицевой матрицы.
С TOL — действительный скалярный допуск; вывод нз подпрограммы
С осуществляется тогда, когда [EVAL (к) — EVAL (к— 1)] /
С EVAL(k— 1)<TOL, где индекс к означает номер итерации.
С
С Выходные параметры:
С
С EVAL — действительный скаляр, обозначающий минимальное собст-
С венное значение матрицы.
С EVEC — массив из М комплексных элементов собственного вектора,
С соответствующего минимальному собственному значению.
С Заметим, что EVEC(l) нормирован к 1.
С ISTAT —цифровой индикатор состояния в момент выхода из про-
С граммы:
С 0 для нормального выхода,
С 1, если обнаружена вырожденная матрица.
С Примечание:
С Размеры .GE. М внешнего массива Т и размеры .GE. М+1 массива EVEC
С должны указываться в вызывающей программе. Для задания размеров
С внутреннего массива Е должно использоваться .GE. М+1. Требуется под-
С программа HERMTOEP (см. выше приложение З.Г).
С
COMPLEX T(l), EVEC(l), Е(ЮО), SAVE
М Ml = М+1
EVAL =10. ! Инициализация собственного значения
DO 10 К=1,М1
10 EVEC(K) = (l.,0.) I Инициализация собственного вектооа
20 EVALOLD-EVAL
CALL HERMTOEP (M, TO, T, EVEC, E, ISTAT) ! C.182)
SUM = 0
SAVE=@.,0)
DO 30 K=1,M1
SUM = SUM+REAL<E(K))*«2+AIMAG(E(K))**2
30 SAVE = SAVE+E(K)»CONJG(EVEC(K)) ! C.183)
SUM= l./SUM
EVAL-REAL(SAVE) «SUM
DO 40 K=1,MI
40 EVEC(K) = SUM*E(K)
IF (ABS(EVAL-EVALOLD) .GE, TOL*EVALOLD) GO TO 20
END
Глава 4
ОБЗОР ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
4.1. Введение
Данная глава носит обзорный характер, поэтому в ней предпо-
предполагается, что читатель уже знаком с теорией вероятностей и
теорией случайных процессов. Основная ее цель — формальное
введение понятия спектральной плотности мощности (СПМ),
которая, как будет показано, является статистическим расшире-
расширением понятия спектральной плотности энергии, о которой гово-
говорилось в гл. 2. Кроме того, будет рассмотрено свойство эргодич-
эргодичности, которое позволяет заменять усреднение по ансамблю
статистически эквивалентным ему усреднением по времени.
Обсуждаются также основы классических методов оценивания
спектральной плотности мощности, которые описаны в гл. 5.
Для более глубокого знакомства с материалами, изложенными
в этой главе, настоятельно рекомендуются книги Папулиса
[6, 7] и Гарднера [2], а также статья Бриллинджера [1].
4.2. Вероятность и случайные величины
Рассмотрим дискретное событие Е, которое принадлежит к ко-
конечному множеству возможных исходов некоторого случайного
эксперимента. Вероятность этого события, обозначаемая Р{Е),
может интуитивно рассматриваться как предел отношения чис-
числа произошедших событий Е к числу выполненных экспери-
экспериментов. Следовательно, величина этой вероятности ограничена
значениями, лежащими между 0 и 1. Случайной величиной х
называется некоторая величина, которая случайным образом
принимает значения из некоторого континуума возможных зна-
значений. Способ задания вероятности, с которой эта величина
принимает различные случайные значения, количественно
описывается функцией распределения вероятностей F(x)*=
= P(x<ix), т. е. вероятностью того, что случайная величина х
принимает значение, меньшее или равное х. Функция плотности
вероятности (или просто плотность вероятности) р(х) равна
производной от F(x) и определяется выражением р(х) =
=dF(x)!dx.
Обзор теории елданных процессов
Математическое ожидание случайной величины х, обози-
чаемое <${х}1\ определяется вьражением
= Г" хр (х) dx ~ х.
D1)
Его называют также средним значением случайной величин
х, или первым моментом х. Мтематическое ожидание хараке-
ризует значение, к которому сремится в вероятностном смысле
среднее по числу наблюдений значение случайной величинь х
в том случае, когда число эти наблюдений возрастает. Мае-
матическое ожидание некоторй функции случайной величиы,
скажем функции g(x), можнс вычислить, используя плотноть
вероятности р(х)
S [g(x)}=y^g{x) p(x)dx. D2)
Математическое ожидание квафата модуля х
называется средним квадратов или вторым моментом, случй-
ной величины х. Дисперсией р случайной величины х называеся
средний квадрат отклонения этой величины от ее среднго
значения
{х} =
' = р. (-.4)
Заметим, что средний квадра- и дисперсия совпадают толко
для случайной величины с нуевым средним значением. XaptK-
теристикой взаимосвязи двух случайных величин служит каа~
риация, которая определяете: следующим выражением:
(.5)
где р(х, у)—совместная п.отность вероятности случайых
величин х и у, а <§Г{ху} обозачает смешанный второй момнт
этих величин. Заметим, что дня упрощения данного обзора мы
не будем дальше использоваъ различные обозначения х х
соответственна для самой елчайной величины и ее значеия.
При обсуждении оценок рзличных параметров в последю-
щих главах будет использоваъея ряд величин, которые харк-
теризуют поведение этих оценж. Их определения даются в эой
главе. Смещением В (а) оцени а параметра а называется рз-
!) В отечественной литературе магматическое ожидание вбычно обознча-
ется М(х) или Е{х). — Прим. ред.
ность между истинным значением этого параметра и математи-
математическим ожиданием этой оценки:
В (а) = <*-#{?}. D.6)
Несмещенной оценкой называется такая, для которой В(а)=0.
Средний квадрат ошибки оценки а определяется выражением
«?{|a-a|2} = var{a} + |B(a)|». D.7)
Говорят, что оценка состоятельна, если с увеличением числа
наблюдений смещение и дисперсия стремятся к нулю. Оценкой
максимального правдоподобия называется оценка, характери-
характеризующая значение оцениваемого параметра, вероятность появ-
появления (или наблюдения) которого максимальна. Для определе-
определения нижней границы дисперсии несмещенной оценки скалярно-
скалярного параметра часто используется неравенство Крамера — Рао
(КР)- Если для оценивания параметра а используется случай-
случайный вектор х, то неравенство КР дается следующим выраже-
выражением
{«}>«?{(¦
д In р (X | а) '
да
D.8)
характеризующим дисперсию оценки истинного значения пара-
параметра а с помощью условной плотности вероятности р(х|а).
Оценка, значение которой достигает границы КР, называется
эффективной оценкой.
В книге будут использоваться две важные плотности вероят-
вероятности — равномерная и гауссовская. Равномерное распределе-
распределение действительной случайной величины х описывается равно-
равномерной (постоянной) плотностью вероятности
?(x) = bU D'9>
на конечном действительном интервале a^six^b. Гауссовское
(нормальное) распределение действительной случайной величи-
величины х, имеющей среднее значение х и дисперсию р, описывается
плотностью вероятности
для —°о<л:<оо. Многомерная гауссовская плотность вероятно-
вероятности для некоторого вектора из К. случайных величин х—[хи
*2, .... *к]т определяется выражением
-x)], D.11)
Обзор теории случайных процессов
145
где /(-элементный вектор среднего значения х дается выраже-
выражением
х = «?{х}, D.12)
а ковариационная {КХК)-матрица С имеет следующий вид:
eov {*,*,,}
varfjc^}
cov{xlxlc\\
cov {-к»-*";
(.cov {
D.13)
cov[xKx2} ... var{*A}
Можно также определить гауссовскую плотность вероятно-
вероятности для комплексных случайных величин; см. приложение Е
в книге Монзиго и Миллера [5]. Пусть z = xr+jxi — комплекс-
комплексная случайная величина, действительная (хг) и мнимая [х{]
части которой являются действительными случайными величи-
величинами со средними значениями, равными соответственно хт и хи
и одинаковой дисперсией рг/2. Случайные величины хт и Xi
предполагаются независимыми, т. е. cov {*,*>} =0'>. Гауссовская
плотность вероятности комплексной случайной величины может
быть записана как частный случай двумерной гауссовской плот-
плотности вероятности для двух действительных случайных перемен-
переменных, для которых
fpJ2 0
Подставляя эти значения в выражение D.11), после некоторых
упрощений получаем (для случая /(=2)
где z=S{z)=xr+jxl, a var{z} =var{xr} + var{;tj} =pz. Многомер-
Многомерную гауссовскую плотность вероятности для вектора z, состоя-
состоящего из К комплексных случайных величин, можно записать в
виде гауссовской плотности вероятности для 2К действительных
случайных величин в следующей форме:
¦'ехр[— (г—~~z)HC?(z — z)], D.16)
11 Из некоррелированности случайных величин cov {.Кг*,} = 0 независимость-
следует только в случае гауссовского распределения, в случае же
других видов распределений выполнение этого условия не означает
независимости.—Прим. ред.
10—1366
где комплексное среднее значение г и эрмитова ковариационная
матрица Ск определяются выражениями
г = ё\г[, __ _ D.17)
Ък = ?{(г—г)(г—г)"\. D.18)
При выводе соотношения D.16) предполагалось, что действи-
действительные и мнимые компоненты всех комплексных случайных
величин zh в комплексном случайном векторе г независимы
и имеют одинаковые дисперсии, т. е. полагалось, что ковариацня
cov{Re[zj]Im[Z(]} равна нулю при k = l и отлична от нуля при
4.3. Случайные процессы
Дискретный случайный процесс можно рассматривать как неко-
некоторую совокупность, или ансамбль, действительных или комп-
комплексных дискретных временных (или пространственных) после-
последовательностей, каждую из которых можно было бы наблюдать
лак результат проведения некоторого эксперимента. Такой ан-
ансамбль последовательностей будет обозначаться х[п; <], где
i — i-я последовательность из этого ансамбля, а я — индекс
¦времени. При заданном значении i, указывающем номер наблю-
наблюдаемой последовательности ансамбля, будет использоваться
сокращенное обозначение х[п]. При фиксированном индексе
времени я значение наблюдаемого элемента по всем последова-
последовательностям ансамбля будет представлять собой некоторую
случайную величину. В общем случае эти значения образуют
некоторый континуум, тогда как х[п; i] дискретно и по я, и
по I. Вероятность того, что значения х[п] будут лежать в неко-
некотором заданном интервале а, количественно описывается функ-
функцией распределения F(а; п) — Р(х[п] ^а), в обозначении кото-
которой явно отражена зависимость от времени наблюдения.
Соответствующая плотность вероятности имеет вид р (а; п) ~
= dF{a;n)/da.
Среднее, или ожидаемое, значение случайного процесса
х[п] в момент времени я определяется выражением
x[n] = g{x[n]}. D.19)
Автокорреляция случайного процесса в два различных момента
времени п, и я2 определяется выражением
Гхх[, п2] = ? {х[щ]х'[пг]}. D.20)
Это — так называемое «инженерное» определение автокоррсля-
¦дии, впервые предложенное Винером. В статистике термин
«автокорреляция» используется для обозначения связанных
Обзор теории случайных процесов
14
величин, которые нормируются, с тем чтбы их значения ле-
лежали в интервале между 0 и 1. Автокоррляция центрирован-
центрированного случайного процесса х[п], т. е. с даленным средним
значением, называется автоковариацией и определяется выра-
выражением
о„ [п„ я,] = S [(х [щ]-х[щ]) (х' [я] -*¦ [я,])}. D.21)
Можно показать, что она удовлетворяет сосгношению
«„К, пг] = гх,[пи nj—*[njx«[nj. D.22).
Если среднее значение случайного процеса равно нулю при
всех я, то автокорреляция и автоковариаия такого процесса
совпадают, т. е.
В литературе термины «автокорреляция» и «автоковариация»
часто используются как синонимы, но стого идентичны ени
только для процессов с нулевым средним 31ачением.
При рассмотрении двух различных аучайных процессов
х[п] и у[п] используются понятия взаимпй корреляции, кото-
которая определяется выражением
r,y[ih, п2] = ?{х[п1}у[г.]}, D.23)
и взаимной ковариации, которая опредляется выражением
сху[пи л2] = <?{(*[л,]-*[л,]',
= Гху[Пг, П2]~Х[П:
{г- [л] - у К])} =
D.24)
Говорят, что два случайных процесса не коррелированы, если
Сху[п\, Я2]=О при всех значениях «i и п2.
Во чсех определениях, которые были дны до сих пор, отра-
отражена явная зависимость от индекса вреюни. Случайный про-
процесс называется стационарным в широко* смысле, если его
среднее значение постоянно при всех значниях индекса време-
времени (иными словами, не зависит от времем), а автокорреляция
зависит только от разности индексов времени пг — п^—П\. Два
случайных процесса называются совместо стационарными в
широком смысле процессами, если их ваимная корреляция
зависит только от разности временных индексов. Совместно
стационарные процессы должны быть и тационарными по от-
отдельности. Заметим, что стационарность в широком смысле
определяется только в терминах первогс и второго моментов
случайных процессов, моменты более вьгоких порядков не рас-
рассматриваются. В частности, стационарньй в широком смысле
дискретный случайный процесс х[п] стаистически характери-
148
зуется постоянным средним значением
х[п]=х, D.25)
автокорреляционной последовательностью (АКП)
rxx[m]=S[x[n + m]x-[n]}, D.26)
которая представляет собой некоторую функцию разности вре-
временных индексов пг, и автоковариационной последовательностью
схх [пг] = g {(х[п + пг]-х) (х* [п] -х')} = гхх [от] -| ~х\\ D.27)
Взаимно стационарные в широком смысле дискретные случай-
яые процессы х[п] и у[п] статистически характеризуются вза-
взаимной корреляционной последовательностью (ВКП)
rxl[m] = S{x[n + ni]y[n]}, D.28)
которая представляет собой некоторую функцию разности вре-
временных индексов т, и взаимной ковариационной последова-
последовательностью
сху [т]*=?{(х[п + т]-х)(у [л]-?)} = г,„ [т]-*?\ D.29)
Отметим следующие полезные свойства АКП и ВКП:
D.30)
которые справедливы при всех целых т. Используя эти свой-
свойства, нетрудно показать, что АКП стационарного в широком
смысле случайного процесса должна иметь максимум в начале
координат (т. е при т = 0). Если эрмитова тёплицева автокор-
автокорреляционная матрица
г.Л-4 ¦¦¦ гхх[~М]
гхх [0] ... гхх [— М + ]
D.31)
I
гхх[М-1]
образована из Af+1 АКП-компонент, то квадратичная форма
м м
i»Rma =2 2 а [от] а* [я] тхх [ш—п]^0 D.32)
должна быть положительно-полуопределенной для любого про-
произвольного (МхЛ)-вектора а, если rxx[m] — автокорреляцион-
Обзор теории случайных процессов
149
ня последовательность со всеми присущими ей свойствами.
В этом случае говорят, что АКП обладает свойством положи-
тяьной полуопределенности.
Спектральная плотность мощности (СПМ) определяется как
декретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) автокор-
рстяционной последовательности
= Т 2
D.33)
СТМ, ширина полосы которой полагается ограниченной значе-
ними ±1/2Г герц, является периодической функцией частоты
с периодом 1/Г герц. Функция СПМ описывает, как мощность
сучайного процесса распределена по частоте. Для подтверж-
дния избранного для нее названия рассмотрим обратное
ДЗПФ
Гхх М = J ЧТ Рхх (/) exP(j2nfmT) df, D.34)
вгчисляемое при т=0
rXx[0] = \'lZTPxx(f)df. D.35)
Вразд. 4.4 показано, что автокорреляция при нулевом времен-
нсм сдвиге (т = 0) характеризует среднюю мощность случайно-
гс процесса. Согласно выражению D.35), площадь под кривой
фикции Pxx(f) также характеризует среднюю мощность. По-
Поэтому PXx(f) представляет собой функцию плотности (мощность
н; единицу измерения частоты), которая характеризует распре-
дление мощности по частоте. Пару преобразований Фурье
('.33) и D.34) часто называют теоремой Винера — Хинчина
д,я случая дискретного времени. Поскольку гхх[—т] =
=г*л*[т], то СПМ должна быть строго действительной поло-
жггельной функцией. Если АКП — строго действительная
фикция, то тхх[—ni]=rxx[m] и СПМ можно записать в форме
ксинус-преобразования Фурье
Pxx(f) = 2T 2 rxx[m] cosBnfmT),
D.36)
а>то означает также, что РХх(!)—Рхх(—I), т. е. СПМ — симмет-
рзчная функция.
Взаимная спектральная плотность мощности (ВСПМ) двух
саместно стационарных процессов х[п] и у[п] определяется
кк ДВПФ взаимной корреляционной последовательности
= Г 2 rxu[ni]exp(-l2nfmT).
D.37)
Поскольку rxy[—m]=?r*xv[m], то ВСПМ будет в общем случае
комплексной функцией. Однако свойство Pxv(f)=P*yx{t) при
этом сохраняется.
Особый интерес представляет случайный процесс с нулевым
средним значением w[n], поскольку это — дискретно-времен-
дискретно-временной белый шум. Процесс, являющийся белым шумом, не корре-
коррелирован сам с собой при любых временных сдвигах, за исклю-
исключением т = 0, при котором его дисперсия равна pw. АКП для
белого шума имеет вид
f«,M = P^M. D-38>
где 6[т]—дискретная дельта-последовательность. Поэтому
СПМ АКП белого шума удовлетворяет условию
K«(f)-=TPw, D.39)
т. е. постоянна на всех частотах, тем самым подтверждая наз-
название «белый шум».
Пусть у[п\—выход дискретной линейной инвариантной во
времени (ЛИВ) системы
у[п] = х[п]*Н[п], D.40)
где h [n] — фиксированная последовательность, соответствующая
импульсной характеристике, а вход х[п] —стационарный в ши-
широком смысле дискретный случайный процесс с нулевым сред-
средним значением. Выход у[п] этой системы также будет процес-
процессом, стационарным в широком смысле, которому, как нетрудно
показать (см. разд. «Задачи»), присущи следующие соотноше-
соотношения между автокорреляциями и взаимными корреляциями вход-
входного и выходного процессов:
ryx[m\ = rxx[m]*h[m\ = 2 rxx[k—m]ti[k],
rx>[m]=*rxx[m]*h'[—m],
г„ М = гхд М * А И = гхх [т] * (А* [-т] *h[m])= (iA!)
Обозначая z-преобразования различных корреляционных функ-
функций как Р«(г) =?{/•„[">]}, Рху(г)=Х{г„[т]} и Р„(г) =
=•?{/¦„»['"]} и системной функции как H(z)=^{A[m]} и при-
применяя далее к соотношениям D.41) теорему свертки, получаем
D.42)
Обзор теории случайных процессов '51
где было использовано свойство %{h*[—т]} = Н* A/z*). Если
h[m]—действительно, то H*(l/z") =H(l/z). Используя соот-
соотношение B.52), определение D.33) и выражения D.42), получа-
получаем, что спектральная плотность мощности Pvy(f) выходного
процесса связана со спектральной плотностью мощности
Рхх(!) входного процесса следующим соотношением:
D.43)
где область определения времени — дискретна, а область опре-
определения частоты — непрерывна.
Один частный случай положен в основу методов
спектрального оценивания, изла!аемых в гл. 6—10. Если вход-
входным процессом является белый шум, так что P«(z) =
= s:{pw6'[m]}=pll,, и выбрана рациональная системная функция
вида B.17), так что коэффициент усиления равен единице
(й[0] = 1), то связь между входом и выходом будет иметь сле-
следующий вид: -J—«^
) = Р„Н(г)Н«A/г*),
D.44)
Н(г) = -
1 + 2 я[*]г"
D.45;
К двум важным типам случайных процессов, которые исполь
зуются в данной книге, относятся гауссовский случайный про
цесс и синусоидальный случайный процесс. Если случайны»
процесс является стационарным гауссовским процессом, то от
при любом индексе времени п будет характеризоваться гауссов
ской плотностью вероятности вида D.10) или D.15) в зависи
мости от того, является ли он соответственно действительны!,
или комплексным процессом. Последовательные отсчеты х[п]
х[п+\], ..., х\п + М] будут характеризоваться совместной плот
ностью вероятности вида D.11) или D.16) в зависимости о'
того, действительными или комплексными являются эти отсче
ты. В случае, например, комплексного процесса с нулевым сред
ним значением вектор отсчетов х=(х[п]х[п+1] ...х[п+М])'1
взятых в последовательные моменты времени, будет характери
аоваться совместной плотностью вероятности вида
р(к) = [я* + » det ЗД->ехр [- х"ВДх], D.46
152
Глава 4
где ковариационная матрица
[]
Г1ЛМ-Ц
D.47)
_Л«] гхх[М-\] ... г„[0] )
является эрмитовой тёплицевой автокорреляционной матрицей
порядка М и, следовательно, имеет размер (М + I) X (MX 1).
С этой матрицей мы часто будем иметь дело в последующих
главах.
Рассмотрим детерминированный действительный синусо-
синусоидальный процесс
x[n] — AsinBnfnr + e),
где Т—интервал отсчетов, а амплитуда А, частота f и фаза в
имеют фиксированные значения. Среднее значение и автокор-
автокорреляционная последовательность будут в этом случае описы-
описываться выражениями
г„х [п + т, я] = A sin Bл [л + т] Г + 9) A sin Bл/яГ + 9) =
= -11 [cos{2ji/m7) — cos Bя/ [2n + m] T+ 29)].
D.48)
Среднее значение не постоянно, а автокорреляционная после-
последовательность не является функцией одной лишь разности
временных индексов т. Следовательно, полностью детерминиро-
детерминированную синусоиду нельзя моделировать как стационарный в ши-
широком смысле случайный процесс11. Если же положить тенерь,
что фаза является случайной величиной, равномерно распреде-
распределенной на интервале от 0 до 2л, то синусоидальный процесс
будет стационарным, поскольку среднее значение
-rf9 = 0
D.49)
и автокорреляционная последовательность
гхх [яг] = j2" A sin Bя/ [я + т] Т + 6) A sin Bл/тГ + 9) ^
=
'В- — Прим.
Обзор теории случайных процессов 153
не будут зависеть от индекса времени я. Если имеется L дей-
действительных синусоид
х[п]=
каждая из которых имеет фазу, равномерно распределенную
на интервале от 0 до 2л и не зависящую от фаз других синусо-
синусоид, то среднее значение этих L синусоид будет равно нулю, а
автокорреляционная последовательность будет описываться
выражением
'**М = ?,4^05Bл/,тГ). D.50)
Если процесс состоит из L комплексных синусоид
то его автокорреляционная последовательность будет иметь
форму
= 2 A',exp(j2nflmT).
D.51)
Если к независимому белому шумовому процессу as [я], имею-
имеющему дисперсию р„-, добавляются комплексные синусоиды,
имеющие случайные фазы, то суммарный процесс !/[я]=д:[я] +
+ о|[я] будет иметь автокорреляционную последовательность
следующего вида:
„ И = ',, М + rww [m] =
L
= BЛ|ехр(/2л/,тГ)+!
D.52)
Автокорреляционную матрицу D.47) для случайного процесса,
состоящего из комплексных синусоид и аддитивного белого шу-
шума, можно с помощью выражения D.52) записать в следующей
сжатой форме:
D.53)
154 г/,=.о 1
где I —единичная (М+ 1)х (М+ 1)-матрица и
— вектор комплексных синусоид с частотой fi.
4.4. Эргодичность:
от средних по ансамблю к средним по времени
До сих пор мы в данной главе при определении таких характе-
характеристик случайных процессов, как среднее значение, корреляция,
ковариация и спектральная плотность мощности, пользовались
только статистическим усреднением по ансамблю. Однако на
практике обычно не удается получить ансамбль реализаций
требуемого процесса, по которому можно было бы вычислить
эти статистические характеристики. Желательно оценивать все
эти статистические свойства по одной выборочной реализации
x(t), заменяя усреднение по ансамблю усреднением по времени.
Свойство, требуемое для выполнения такой замены, назы-
называется эргодичностью1^. Говорят, что случайный процесс эрго-
дичен, если с вероятностью, равной единице, все его статисти-
статистические характеристики можно предсказать по одной реализа-
реализации из ансамбля процесса с помощью усреднения по времени;
иными словами, средние значения по времени почти всех воз-
возможных реализаций процесса с вероятностью единица сходятся
к одной и той же постоянной величине (среднему значению по
ансамблю). Заметим, что благодаря свойству эргодичности
значительно упрощается математический анализ случайных
процессов.
Концепция эргодичности требует принятия допущения о том,
что данные стационарны вплоть до момента четвертого поряд-
порядка. Для того чтобы процесс был стационарным, его статистиче-
статистические характеристики не должны зависеть от выбранной началь-
начальной точки отсчета времени. Интуитивно это вполне понятно и
приемлемо, поскольку усредненная по времени величина не
зависит от времени, а поэтому не пригодна для аппроксимации
какого-либо статистически нестационарного параметра, значе-
значение которого зависит от времени. Следовательно, если наблю-
наблюдать отдельную реализацию процесса х[п] в моменты времени
'> Относительно эргодичности (см., например, [15*], § 17). — Прим. ргдг
Эбэор теории случайных процессов 155
П\, П2 и т. д., ю в среднем его наблюдаемое значение должно
быть равным х. В предельном случае наблюдения во все момен-
моменты времени можно ожидать, что среднее значение будет равно
D.54)
Можно показать, что этот предел, если он существует, сходится
к истинному среднему значению тогда и только тогда, когда
дисперсия среднего по времени значения D.54), описываемая
выражением
Iт| •
2М+1
D.55)
стремится к нулю; здесь c^[m]—истинное значение ковариа-
ции по ансамблю случайного процесса *[я]. В этом случае
говорят, что процесс х[п] эргодичен в среднем. Аналогичным
образом можно показать, что, наблюдая значение произведения
отсчетов процесса х[п] в два момента времени, разделенные
временным сдвигом т, скажем х[п, + т]х[п,], x\n^+m]x[nt]
и т. д., можно ожидать, что среднее значение будет равно
lim
1
2Л1 + 1
]=? {x[n + m]x'[ti])-rxx [m].
D.56)
Можно показать, что этот предел действительно сходится к
истинному среднему значению тогда и только тогда, когда
дисперсия этого среднего по времени значения стремится к ну-
нулю, т. е. когда
lim
1
2М+1
D.57)
где с„[т] — истинное значение ковариации по ансамблю авто-
автокорреляционного случайного процесса zm[n] =x[n+m]x* [я],
т. е. автокорреляционного произведения процесса х[п].Заметим,
что с„[т] включает в себя статистические моменты четвер-
четвертого порядка нроцесса х[я]. Если указанное условие выполня-
выполняется, то говорят, что процесс х[п] —автокорреляционно эргоди-
эргодичен. Если стационарный процесс х[п] является гауссовским про-
Глава 4
i lu.u с нулевым средним значением, то нетрудно показать,
1 i х[п] обладает свойствами эргодичности в среднем и авто-
автокорреляционной эргодичности (см. Папулис [6]). Несколько
труднее вывести условие эргодичности для негауссовских про-
процессов, поэтому ограничимся здесь лишь замечанием о том,
что почти все наблюдаемые на практике стационарные процес-
процессы являются также и эргодическими процессами. В связи с
этим мы будем далее полагать, что если измеряемый процесс
стационарен, то усреднение по ансамблю при определении его
среднего значения и автокорреляции можно заменить усредне-
усреднением по времени.
Допущение об эргодичности позволяет не только ввести
через усреднение по времени определения для среднего значе-
значения и автокорреляции, но позволяет также дать подобное опре-
определение и для спектральной плотности мощности (СПМ):
/>„(/) = lim «?¦
B1Л.+ ЦТ
Т X, x[n]exp(-j2nfnT)\ \. D.58)
I )
Эта эквивалентная форма СПМ получается посредством стати-
статистического усреднения модуля ДВПФ взвешенной совокупности
данных, поделенного на длину записи данных, для случая, когда
число отсчетов данных увеличивается до бесконечности. Ста-
Статистическое усреднение необходимо здесь потому, что ДВПФ
само является случайной величиной, изменяющейся для каждой
используемой реализации х[п]. Для того чтобы показать, что
соотношение D.58) эквивалентно теореме Винера — Хинчина,
представим квадрат модуля ДВПФ в виде произведения двух
рядов и изменим порядок операций суммирования и определе-
определения математического ожидания, что дает
т= — М п— — М
х[т]х'[п]х
Xехр (
м м
— /2л/ [т — п]Т)\ =
•п=-М п=- М
** tm~"] ехР <~~ i2nf [m —
D.59)
Используя известное выражение
ММ 2М
2 2 rxx[m — n] = 2 BМ+1— \m\)rxx[m], D.60)
Обзор теории случайных процессов
157
соотношение D.59) можно свести к следующему:
M ^Р (- /2я/тГ) =
р (-/2я/тГ).
D.61)
Заметим, что на последнем этапе вывода выражения D.61)
использовалось допущение о том, что автокорреляционная пос-
последовательность «затухает», так что
2 |m|r«[m]<oo, D.62)
поскольку в противном случае ДВПФ автокорреляционной по-
последовательности не будет с ростом длины записи данных.
стремиться к истинной СПМ, т. е. усредненной по ансамблю,
даже несмотря на эргодичность самой автокорреляционной по-
последовательности. Так, например, это условие нарушается для1
случайных процессов с ненулевым средним значением и для про-
процессов с синусоидальными компонентами, хотя использование
импульсных функций позволяет исправить положение и в этих
случаях. Таким образом, при выполнении условия D.62) два
выражения D.33) и D.58) для СПМ будут эквивалентными.
Взаимосвязь этих двух определений СПМ наглядно показа-
показана рис. 4.1 с помощью треугольной диаграммы. Метод опре-
определения СПМ на основе автокорреляционного подхода называ-
называется косвенным, так как случайный процесс х[п\ непосредст-
непосредственно не используется для оценивания СПМ. Метод опреде-
определения СПМ по формуле D.58) называется прямым, так как
процесс х[п] непосредственно используется для расчета СПМ.
Если в выражении D.58) не учитывать операцию математи-
математического ожидания, то получим оценку СПМ
*[л]ехр(—;2я/пГ)
, D.63)
которая называется выборочным спектром. Это — та же перво-
первоначальная периодограмма Шустера, которая была описана в
гл. 1. В приложении 4.А показано, что выборочный спектр не
является состоятельной оценкой истинной СПМ. И хотя среднее
значение выборочного спектра в пределе стремится к истинной
СПМ, дисперсия при этом не стремится к нулю и по своей вели-
Автокорреляция, гкя[т]
m]exp(-]2irfmT)
Спектральная лло™
мощности^ (f)
Рис, 4.1. Эквивалентные определения спектральной плотности мощности при
использовании допущения об эргодичности.
чине будет фактически сравнима со средним значением выбо-
выборочного спектра. Первые пользователи периодограммы пренеб-
пренебрегали операцией вычисления математического ожидания и в
результате получали нереальные спектральные оценки, а ведь
еще сам Шустер (см. гл. 1) предупреждал о необходимости
выполнения некоторого рода усреднения, или сглаживания,
при пользовании периодограммой. Именно по этой причине пе-
риодограммный метод постепенно вышел из употребления и
вновь стал применяться на практике только где-то в начале
1950-х гг., когда появились достаточно хорошо статистически
-обоснованные методы сглаживания.
4.5. Понятие энтропии
Понятие меры информации было введено в статистику Клодом
Шенноном. Так, например, некоторое событие, которое имеет М
возможных исходов Xi с вероятностью р[х{], характеризующей
вероятность появления г'-го исхода, содержит в себе информа-
информацию, величина которой определяется выражением
/[*,-]== In A//э [*,•]) = -In р[*,]. D.64
•Ожидаемое, или среднее, значение этой информации равно эн-
энтропии, которая определяется следующим выражением:
я М=B р Ы
log
D.65
Энтропия представляет собой некоторую меру «неопределенно-
«неопределенности», связанную с появлением некоторого события. Чем выше
энтропия, тем больше неопределенность появления данного со-
Обзор теории лучайных процессов iov
бытия. Энтропия дискретное события будет максимальна в
случае равномерного распределения, т. е. в том случае, когда
все исходы равновероятны.
Аналогично получаем, чъ непрерывная случайная величина
с непрерывной функцией плтности вероятности р(х) будет
иметь энтропию
Н(х) = — Zw
D.66)
Б дискретном случае энтроия Я[х]—строго неотрицательная
функция, однако в непрерыном случае она может принимать и
отрицательные значения. Поставляя в D.66) гауссовскую
плотность вероятности D.46, получаем энтропию для гауссов-
ского процесса с нулевым оедним (см. Смайл и др. [8])
tf =Tln[det Rxx]. D.67)
величина которой может расходиться с ростом размерности М
матрицы Кхх. В этом случе можно использовать уде льну ю-
энтропию
*и™ D'68)
Можно показать (Смайл и др. [8]), что удельная энтропия
гауссовского процесса с ну.евым средним и шириной полосы
частот B=\j2T определяете;выражением
^ D.69)
Этот результат будет исползоваться нами в гл. 7 при обсуж-
обсуждении метода максимальноиэнтропии.
Литература
[I] Brillinger D R Fourier Analysi of Stationary Processes. Proc. IEEE, vol. 62,
pp. 1628—1643, December 194. [Имеется русский перевод: БриллиШ-
жер Д. Р. Фурье-анализ стаионарных процессов. ТИИЭР, 1974, т. 62,
№ 12, с. 15—33.1
[2] Gardner №. A. Introduction t Random Processes. Macmillan Publishing
Company, 1985.
[3} Jenkins 0. M., Watts D. 0. Spctral Analysis and Its Applications. Holden-
Day, Inc., San Francisco, 196. [Имеется русский перевод: Дженкияс Г
Ватте Д. Спектральный анали и его приложения. — М.: Мир, 1971, вып 1;
1972 вып 21
Г41 KayS. M. Modern Spectral Estaation Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs,
N. J., 1987.
[5] Monzingo R. A., Miller T. №. Introduction to Adaptive Arrays. John Wiley
and Sons, Inc., New York, 198C
160
Глава 4
¦[6] Papoulis A. Signal Analysis. McGraw-Hill Book Company, New York,
1977.
[7] Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd
ed. McGraw-Hill Book Company, New York, 1984.
[8] Smylie D. E,, Clarke G. К. С Ulrych T. I. Analysis of Irregularities in the
Earth's Rotation, in Methods in Computational Physics, R. Alder et al., eds.,
vol. 13, pp. 391—430, Academic Press, Inc., New York, 1973.
Задачи
1. Пусть x[n]=A sinBnfnT-\-Q)—синусоидальный процесс. Используя выра-
выражение D.56), определить временную автокорреляцию в предельном случае
Л1-»-оо Является ли эта синс
(), рдеь временную автокорреляцию в предельном случае
Л1-»-оо. Является ли эта синусоида эргодическим процессом, т. е. будет ли
эта автокорреляция равна величине, определяемой выражением D.49)?
2- Показать, что стационарный в широком смысле процесс имеет комплексно-
сопряженную четную автокорреляцию, т. е. гХх(т)=гхх*(—т).
3. Пусть x(t) и у(t) —действительные процессы. Доказать,
= Pxx(\/z),Pxy(z)=Pyx*(\/z-).
Для детерминро
Pxx{z)
xx(/),Pxy(z)Pyx(\/z).
4. Для детерминированных сигналов, описанных в гл. 2, показать, что спект-
спектральные плотности-энергии входа и выхода линейного фильтра связаны со-
соотношением
Используя этот результат и прямое определение спектральной плотности
мощности, показать, что спектральные плотности мощности входа и выхода
этого фильтра связаны соотношением
р
этого фильтра связаны соотношением
Этот результат является другим вариантом доказательства соотноше-
соотношения D.43).
5. Доказать, что если г[т] —действительная последовательность, то спект-
спектральная плотность мощности Pxx(f) представляет собой действительную
четную положительную функцию.
6. Доказать соотношения, определяемые выражениями D.41).
7. Пусть
[п]= 2
¦S. Показать, что для проце
цесса, описанного в предыдущей задаче, автокорре-
автокорреляционную матрицу можно записать в виде
е» (М + е« (h) еЪ (f,)] + р„
Обзор теории случайных процессов 16!
Пртскение 4.А.
См'Щ:ние и дисперсия выборочного спектра
Ста-итический анализ периодограммы в общем случае оказы-
ваеся достаточно сложным, поэтому ниже будет рассмотрен
спеишьный случай белого гауссовского процесса с нулевым
сре.нви значением. Тем не менее полученные для него резуль-
результат югут оказаться полезными при определении поведения
спеггрльных оценок на основе периодограмм и в более общих
слуак; см. [3].
(Ыюрочный спектр последовательности конечной длины
х[п, 1=0 N—1, описывается выражением
PAf)
—дискретно-временное преобразование Фурье, опреде-
ляею< выражением
X (/) = Т Д х [п] ехр (- j2n[nT).
Этопробразование идентично (см. задачу 1 в гл. 5) дискретно-
BpeiewoMy преобразованию Фурье от оценки автокорреляцион-
автокорреляционной последовательности
где :мщенная автокорреляционная оценка
N-m- 1
г ж* М = w S x t"+mJx* W
п— 0
исп'лвуется при максимальном числе корреляционных сдвигов
[m = 0,..., N—1].
(рш,нее значение выборочного спектра будет иметь вид
*[Р,ЛП) = т 2* ?{г„
Л!=-(«-1>
где Wf)—ДВПФ окна Бартлетта, которое определяется выра-
жене!
11—361
0, |m|>iV —1.
162
Обзор теории случайных процессов
163
Таким образом, среднее значение выборочного спектра пред-
представляет собой свертку истинной СПМ с преобразованием
Фурье окна Бартлетта. Поэтому выборочный спектр оказывается
смещенным при конечных значениях N, но несмещенным, когда
Л'-»-оо, поскольку
lira
что дает истинный спектр.
Автокорреляция периодограммы определяется выражением
wv ' k=0 1=0 m = Q n=0
Xexp {j2nT [f, (ft-/) + /2 (tn-n)]}.
Дисперсия выборочного спектра включает в себя моменты чет-
четвертого порядка,- значения которых трудно вычислить в общем
случае. Однако поскольку x[k] —белый гауссовский процесс, то
статистические моменты четвертого порядка представили в ви-
виде суммы моментов второго порядка:
!р%, k = l и т — п или k = m и 1 = п,
или ft = n и 1 = т;
О в остальных случаях,
где р — дисперсия гауссовского процесса. Это означает, что
?{Pxx(h)PxAh)} =
Отсюда следует, что
cov {Pxx (h) Pxx (/,)} =
Поскольку для белого
— Тр,,., то
xx (/i) Р„ («) - ? {P,, (/.)! ?
гауссовского процесса S{
, (/.)}•
Дисперсия на частоте f будет определяться выражением
var {Рхх (/)) = cov {Pxx (f) Рхх (!)} =
-(То fill f^2"/™ VI-
y видно, что ее значение не стремится к нулю ни при
каксм большом значении N. Следовательно, выборочный спектр
не вляется состоятельной оценкой СПМ, так как его дисперсия
имея1 величину порядка P2*x(f) при любом значении N, а это
ознаает, что его стандартное отклонение (т. е. среднеквадра-
тичия ошибка) сравнимо по величине со средним значением,
котфое должно быть оценено.
1ыбор гармонических (т. е. целочисленно кратных величине
1/.V) частот f\ = mlNT и f2 = n/,\'T, таких что тфп, приводит
к ну!евой ковариации
я 3TJ означает, что значения периодограммы, разделенные по
часоте интервалами, целочисленно кратными величине 1/Л'Г
герц будут некоррелированными. С ростом числа отсчетов
дашых N частотный интервал между такими некоррелирован-
некоррелированный значениями периодограммы постепенно уменьшается. Это
обсиятельство, а также то, что значение дисперсии не уменьша-
уменьшается с увеличением Л', приводят к тому, что значения периодо-
rpaiMbi начинают все быстрее и быстрее флюктуировать (см.,
напимер, рис. 1.3).
I общем случае любой небелый процесс х[п] можно полу-
получит! пропуская белый шум с дисперсией р„ через линейный
фил.тр с АЧХ вида |Я(/)|2. Поскольку истинное значение
СПД PXx(f) и эта АЧХ связаны соотношением
то южно показать, что в данном случае будет справедливо
сле^ющее приближенное равенство:
уаг{Р„(/)}«|Щ/)|'рф+(81п2лЛ
Такш образом, с ростом N дисперсия выборочного спектра
стрмится не к нулю, а к некоторой величине, пропорциональ-
пропорциональной математическому ожиданию квадрата СПМ (т. е. квадрата
ист,нной СПМ), а это делает такую немодифицированную пе-
рио.ограмму несостоятельной оценкой СПМ. Иными словами,
при любом значении частоты { оценка Pxx(f) не сходится в
сренем к Pxx(f), где f '"'
Глава 5
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ
5.1. Введение
В гл. 4 были введены два формальных, но эквивалентных мето-
метода определения спектральной плотности мощности (СПМ).
Косвенный метод основан на использовании бесконечной после-
последовательности значений данных для расчета автокорреляцион-
автокорреляционной последовательности, преобразование Фурье которой дает
искомую СПМ. Прямой метод определения СПМ основан на
вычислении квадрата модуля преобразования Фурье для бес-
бесконечной последовательности данных с использованием соответ-
соответствующего статистического усреднения. Показано, что результи-
результирующая функция, получаемая без использования такого
усреднения и называемая выборочным спектром, оказывается
неудовлетворительной из-за статистической несостоятельности
получаемых с ее помощью оценок, поскольку среднеквадратич-
среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним
значением оценки. В этой главе будут кратко рассмотрены
методы усреднения, которые обеспечивают получение гладких
и статистически устойчивых спектральных оценок по конечному
числу отсчетов данных. Оценки СПМ, основанные на прямом
преобразовании данных и последующем усреднении, получили
название периодограмм. Оценки СПМ, для получения которых
по исходным данным сначала формируются корреляционные
оценки, получили название коррелограммных методов спект-
спектрального оценивания. Исторические корни происхождения обоих
этих названий были затронуты в гл. 1.
В отличие от непрерывно-временного представления методов
спектрального оценивания, типичного для других учебных по-
пособий, все классические методы, описанные в данной главе,
излагаются применительно к дискретно-временным последова-
последовательностям отсчетов данных. При использовании любого метода
оценивания СПМ пользователю приходится принимать мно-
множество компромиссных решений, с тем чтобы по конечному
количеству отсчетов данных получать статистически устойчивые
спектральные оценки с максимально возможным разрешением.
К этим компромиссным решениям относятся, в частности, вы-
выбор таких функций окна для взвешивания данных и корреля-
корреляционных функций и таких параметров усреднения во временной
Классические методы спектрального оценивания
165
и в частотной областях, которые позволяют сбалансировать
требования к снижению уровня боковых лепестков, выполнению
эффективного усреднения по ансамблю и к обеспечению прием-
приемлемого спектрального разрешения. Устойчивые результаты (ма-
(малые спектральные флюктуации) и хорошая точность (малое
смещение относительно истинных спектральных значений на
всех частотах) достижимы только тогда, когда произведение ТеВР,
где Те — полный интервал записи данных, а Ве — эффективное
разрешение по частоте, значительно превышает единицу. Все
эти компромиссы можно количественно охарактеризовать в
случае гауссовских процессов, для которых подробно теорети-
теоретически изучены статистические характеристики классических
спектральных оценок. Однако выбор конкретного метода спект-
спектрального оценивания в случае негауссовских процессов зача-
зачастую обосновывается только экспериментальными данными. Да
и выбор функции окна очень часто основывается на данных
экспериментальных, а не теоретических исследований.
Для адекватного описания статистических характерис-
характеристик каждого из рассмотренных в этой главе методов, потребова-
потребовалось бы несколько таких глав. Поэтому в ней затронуты только
основные моменты, касающиеся этих методов. Более подроб-
подробную информацию по классическим методам спектрального оце-
оценивания можно получить в других книгах, включая книги
Дженкинса и Ваттса [8], Блэкмана и Тьюки [2], Купманса
[10], Юэня и Фрейзера [22] и Гарднера [5]. После краткой
сводки основных результатов, данной в разд. 5.2, в трех после-
последующих разделах затрагивается ряд важных вопросов, необ-
необходимых для серьезного обсуждения классических спектральных
оценок. В разд. 5.3 обсуждается взвешивание — важная компо-
компонента всех классических спектральных оценок. В разд. 5.4
показано, что, для того чтобы количественно охарактеризовать
статистическую устойчивость этих оценок, произведение дли-
длительности на ширину полосы должно быть дополнено третьим
членом. Вопросы, касающиеся этого тройного произведения
«устойчивость-длительность-ширина полосы», обсуждаются в
разд. 5.4. Оценивание корреляционной функции, требуемое для
коррелограммного метода спектрального оценивания, описано
в разд. 5.5. После этого предварительного материала в разд.
5.6—5.8 соответственно описаны коррелограммный, периодо-
граммный и комбинированный периодограммно-коррелограм-
мный методы оценивания СПМ. Главу завершает разд. 5.9, в
котором описано применение этих классических методов для
оценивания числа солнечных пятен.
Все описанные в этой главе методы дают оценки, которые
обладают аналогичными статистическими характеристиками и
в целом выглядят примерно одинаково, если не считать неболь-
ших визуальных различий в тонких деталях формы спектров.
Поэтому на практике предпочтение чаще всего отдается тому
методу, который оказывается наиболее эффективным в вычисли-
вычислительном отношении. До широкого распространения электронных
вычислительных машин в основном применялся коррелограмм-
ный метод, о чем кратко упоминается в книге Блэкмана и Тью-
ки [2]. С появлением алгоритма БПФ и специализированных
интегральных схем для обработки сигналов предпочтение стало
отдаваться методам, основанным на использовании периодо-
периодограммы; см. статью Джонса [9].
5.2. Краткая сводка результатов
В соответствии с двумя эквивалентными определениями СПМ,
представленными в гл. 4, существуют два основных классиче-
классических подхода к оцениванию СПМ. Прямой, или периодограмм-
ный, метод позволяет получать оценку СПМ непосредственно по
исходному набору данных. При использовании же косвенного
метода сначала должна вычисляться оценка корреляционной
последовательности, или коррелограмма, преобразование Фурье
которой и дает искомую оценку СПМ.
На рис. 5.1 приведена диаграмма, отображающая основные
этапы периодограммного метода, подробно описанного в под-
разд. 5.7.3. Она предназначена для тех читателей, которые
хотели бы сразу приступить к реализации этого метода, особен-
особенно глубоко не вдаваясь в содержание данной главы. Машинная
программа реализации этого периодограммного метода приведе-
приведена в приложении 5.В. Применение метода начинается с этапа
сбора .V отсчетов данных, которые берутся с периодом Г секунд
на отсчет, с последующим (по желанию) этапом устранения
тренда1). Если не устранять большие значения отсчетов и
другие тренды в данных, то это может привести к получению
искаженных или смещенных спектральных оценок. Методы уст-
устранения тренда обсуждаются в гл. 14. Для того чтобы получить
статистически устойчивую спектральную оценку, имеющиеся
данные необходимо разбить на перекрывающиеся (по возмож-
возможности) сегменты и в последующем усреднить выборочные спект-
спектры, полученные по каждому такому сегменту. Параметры этого
усреднения изменяются посредством соответствующего выбора
значений тех параметров, которые устанавливают число отсче-
отсчетов на сегмент (NSAMP) и число отсчетов, на которое необхо-
'> Если анализируется процесс X(t) = т(г)+гс(/), где n{t)—стационарный
случайный процесс со спектром, ширина которого значительно превышает
ширину спектра детерминированной функции rn{t), то функция m{t) характе-
характеризует отклонение процесса X{t) от стационарности и называется трендом
(см., например, [16*], с. 52). — Прим. ред.
СБОР ДАННЫХ
N отсчетов
7", с/отсчет
УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбру)
См. гл. 14
• ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ СЕГМЕН"ЭВ
МБАМРотсчетов/сегмент
NSHIFT отсчетов, соответстующих
» ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАШЫ
Подпрограмма PERIODOCFAM,
Приложение Б.В
> ЗАКРЫТИЕ ОКНА
Изменение параметров сегкнтов
для достижения требуемогс<омпро1
между дисперсией и разрешнием
Рис. 5.1. Основные этапы оценивания СПМ с помщью периодограммного ме-
метода Уэлча.
димо сдвинуть начало следующего сегмита (NSHIFT). Коли-
Количество сегментов выбирается в зависмости от требуемой
степени гладкости спектральной оценки итребуемого спектраль-
спектрального разрешения. При малом значена параметра NSAMP
получается больше сегментов, по которьи будет производиться
усреднение, а следовательно, будут полуаться оценки с мень-
меньшей дисперсией, но также и с меньшим >азрешением. Увеличе-
Увеличение параметра NSAMP повышает спектрльное разрешение, но,
естественно, за счет увеличения дисперси. из-за меньшего числа
усредняемых сегментов. При получении гериодограммы, приве-
приведенной в приложении 5.В, было испольовано окно Хэмминга,
с тем чтобы уменьшить боковые лепестк спектральной оценки.
Снижать уровень боковых лепестков нейходимо для того, что-
чтобы можно было обнаружить слабые комгоненты сигнала, кото-
которые могут присутствовать в спектре. Дугие функции окна,
которые могут использоваться для это цели, обсуждаются
в разд. 5.3.
Стрелка возврата, показанная на рис 5.1, указывает на не-
необходимость нескольких повторных праодов по данным при
различных длинах и числах сегментов днных. Это необходимо
для исследования данных при различим параметрах частот-
частотного разрешения и устойчивости оценки,что позволит получить
больше полезной информации об изучаемом неизвестном про
цессе. Если полученный спектр содержит много мелких деталей,
то, возможно, стоит несколько уменьшить число усредняемых
сегментов с целью улучшения разрешения (более длинные
сегменты). Все подобные манипуляции могут помочь определить
наилучшее соотношение между рабочими параметрами. Про-
Процедура, которая начинается с использования низкого разреше-
разрешения и высокой устойчивости, с последующим переходом к перио-
дограммным оценкам с большим разрешением и более низкой
устойчивостью называется закрытием (т. е. уменьшением раз-
размера) окна. Это название относится к ширине окна, которая
устанавливается посредством выбора параметра NSAMP. За-
Закрытие окна достигается за счет уменьшения числа сегментов
при одновременном увеличении их длины.
Для иллюстрации поведения периодограммы в случае корот-
короткой записи данных рассмотрим тест-носледователышсть из 64
комплексных отсчетов, о которой говорилось в гл. 1 (разд. 1.3)
и распечатка значений которой приведена в конце книги в при-
приложении П. Периодограмма этой последовательности, соответ-
соответствующая максимальному разрешению и минимальной устой-
устойчивости, показана на рис. 5.2, а. Она получена для случая толь-
только одного сегмента (полной записи данных) без применения
окна (т. е. по сути дела, с использованием прямоугольного ок-
окна). Заметим,'что близкие синусоидальные компоненты (см.
рис. 1.8) на ней не разрешены, что, однако, и не удивительно.
Величина произведения длительности на ширину полосы, о ко-
которой говорилось в гл. 2, указывает на то, что максимально
достижимое разрешение составляет в данном случае величину
порядка 1/647" герц [Т — интервал (период) отсчетов] или
A/647")/A/7") —0,0156, если выразить его в относительных до-
долях частоты отсчетов. Две «накрытые» (неразрешенные) сину-
синусоиды, соответствующие спектру на рис. 1.8, разнесены по
частоте на 0,01, кроме того, слабая синусоида на частоте 0,1
почти затерялась в боковых лепестках спектра сильных синусо-
синусоид. На рис. 5.2, б показана гладкая усреденная периодограмма
с низким разрешением, которая была получена посредством
разбиения записи данных на три сегмента по 32 отсчета в каж-
каждом, взвешенных окном Хэмминга, с перекрытием сегментов,
равным 16 отсчетам. На этой периодограмме отчетливо видна
слабая синусоида.
На рис. 5.3 приведена диаграмма, отображающая основные
этапы коррелограммного метода оценивания СПМ; программа
его реализации помещена в приложении 5.Б. Он основан на
методе, предложенном Блэкманом и Тьюки [21 и подробно
описанном в разд. 5.6. Подобно диаграмме на рис. 5.1, эта диа-
диаграмма также предназначена для тех читателей, которые хотели
Классические методы спектрального оценивания
0
ч -10
5 -so
j-40
- /"Л
z/
-
i
—\ 1 1 1 \ \ i i
-0,5 -0,4 -0,3 -0.2 -0,1
Доли част.
Рис. 5.2. Периодограммные оценки СПМ для 64-точечной тест-последователь-
тест-последовательности: а — один сегмент, окно не применялось; б — три сегмента, окно Хэм-
Хэмминга.
бы сразу приступить к реализации этого метода, особенно
глубоко не вдаваясь в содержание последующего материала
данной главы. Этап устранения тренда предназначен для тех же
целей, что и в случае периодограммы. Единственный регулируе-
регулируемый параметр — это длина автокорреляционной последователь-
последовательности, задаваемая значением параметра LAG, который соответ-
соответствует наибольшему временному сдвигу. Этот параметр служит
тем же целям, что и параметр NSAMP в периодограммном
методе; его значение определяет степень гладкости и степень
разрешения спектральной оценки. Для взаимосвязанного изме-
изменения устойчивости и разрешения оценки может быть использо-
использована процедура закрытия окна, аналогичная той процедуре,
которая была использована в периодограммном методе. Разли-
Различие здесь лишь в том, что окно теперь применяется к автокорре-
автокорреляционной последовательности, а не к последовательности
сегментов данных. С увеличением числа оценок значений авто-
автокорреляционной функции растет разрешение и уменьшается
устойчивость.
170
СБОР ДАННЫХ
ЛУ отсчетов
Г, с/отсчет
УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См.гл. 14
ВЫБОР МАКСИМАЛЬНОГО
ВРЕМЕННОГО СДВИГА
• ВЫЧИСЛЕНИЕ СПМ ПО КОРРЕЛОГРАММЕ
Подпрограмма CORRELOGRAMPSD,
приложение 5.Б
ЗАКРЫТИЕ ОКНА
е параметра LAG
сперсиеи и разреше
Рис. 5.3. Основные этапы оценивания СПМ с помощью коррелограммного ме-
метода Бартлетта.
Примеры оценок СПМ, полученные с помощью этого корре-
коррелограммного метода, показаны на рис. 5.4, Снова использова-
использовалась та же 64-точечная последовательность комплексных дан-
данных. 16 и 32 значения несмещенной автокорреляционной функ-
функции были оценены при сдвигах от 0 до 157" секунд и до 31Г
секунд. Окно Хэмминга использовалось для взвешивания авто-
автокорреляционных оценок. На графиках, представленных на рис.
5.4 в логарифмическом масштабе, отрицательные боковые
лепестки заштрихованы. Этот рисунок аналогичен, но не иден-
идентичен периодограммнои оценке, показанной на рис. 5.2, б. Два
графика на рис. 5.4 дают полное представление о взаимосвязи
между разрешением и гладкостью оценки.
Напомним еще раз, что если не известно, как выбирать
компромиссное решение относительно устойчивости и разреше-
разрешения оценок, то рекомендуется начать с выбора максимальной
устойчивости (наиболее гладкой оценки), а это значит — с ми-
минимального разрешения, а затем постепенно увеличивать длину
сегментов (в случае периодограммы) или число корреляцион-
корреляционных членов (в случае коррелограммы). Эта процедура будет
увеличивать дисперсию оценки и уменьшать ширину спектраль-
спектральных пиков (повышать разрешение). Никаких строгих правил,
устанавливающих момент, когда нужно остановиться, конечно.
Классические методы спектрального оценивания
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 5.4. Коррелограммный метод оценки СПМ для 64-точечной тест-последо-
тест-последовательности: а—16 значений автокорреляции, окно Хэмминга; б — 32 значе-
значения автокорреляции, окно Хэмминга. Нанесены только абсолютные значения
СПМ, отрицательным значениям СПМ соответствуют заштрихованные области.
не существует, поэтому следует продолжать указанную проце-
процедуру до тех пор, пока достигнутое разрешение не позволит пере-
передать наиболее тонкие и важные детали спектра. В ряде случаев
может потребоваться некоторая предварительная информация о
сигналах, которые могут присутствовать в спектре, для того
чтобы определить, какие детали спектра важны, а какие — нет.
Если такая информация отсутствует, то следует остановиться
тогда, когда дальнейшее увеличение длины сегментов данных
или величины временных сдвигов к существенным изменениям в
спектральных оценках уже не приводит.
5.3. Окна
Один из важных вопросов, который является общим для всех
классических методов спектрального оценивания, связан с при-
применением функции окна. Обработка с помощью окна (windo-
172
Глава 5
wing) используется для управления эффектами, обуслоленнь
ми наличием боковых лепестков в спектральных оценкх. Эи
эффекты обсуждаются в данном разделе. Заметим, чтов эта
книге термин «взвешивание» (weighting) нспользуетя кас
синоним термина «обработка с помощью окна». Это кон-раст!-
рует с практикой тех специалистов, которые употребляютгерми
«окно» (window) только применительно к преобразоания;,
связанным с применением весовой функции во временна об.Тс
сти. Функция W(f) является частотным окном в том :луча',
когда она получена в результате дискретно-временного п»еобр<-
зования Фурье (ДВПФ) окна данных ш[п]. Окна даных н>
зываются также обуживающими функциями (taperingfuntions,
т. е. плавно спадающими к краям. Функция Q(f) обоначае
спектральное окно в том случае, когда она является ДВП"
корреляционного окна ы[т], применяемого к дискретно-ремеь
нбй автокорреляционной последовательности. Основное нзначе
ние окна данных — уменьшить величину смещения в приодс-
граммных спектральных оценках. Основное назначение корре-
корреляционного окна — уменьшить дисперсию коррелогрммна
оценки СПМ.
Заметим, что имеющуюся конечную запись данньк ил
имеющуюся конечную корреляционную последовате[ьносъ
удобно рассматривать как некоторую часть соответстующе!
бесконечной последовательности, видимую через примняемс
окно. Например, последовательность наблюдаемых данньхл:о[п
из N отсчетов математически можно записать как произеденк
прямоугольной функции единичной амплитуды
.г , II, 0<я<ЛГ—1;
L J I 0 в остальных случаях,
и бесконечной последовательности х[п]
х0 [я] = х[п]¦rect[я].
E.1
E.!)
При этом принимается очевидное допущение о том, чо вс
ненаблюдаемые отсчеты равны нулю независимо от тсо, та
ли это на самом деле или нет. Дискретно-временное пр&бразс-
вание Фурье взвешенной окном последовательности, вюажеь
ное через преобразования последовательности х[п] и прямо-
прямоугольного окна rect[n], равно свертке этих преобразовали
х0 (/) = *(/)* я* (/), E.;}
DN (f) = Т ехР (- ]2nfT[N~ 1])
Классические методы спектрального оценивания
173
ii
K,(flr
Рис. 5.5. Иллюстрация смещения дискретно-временного преобразования Фурье
(ДВПФ) вследствие просачивания из-за взвешивания данных: а — исходная
дискретно-временная синусоидальная последовательность; б — модуль перио-
периодического ДВПФ синусоидальной последовательности; в — взвешенная сину-
синусоидальная последовательность; г — модуль ДВПФ взвешенной последователь-
последовательности.
Функция Dx (f), называемая дискретной функцией sine, или
ядром Дирихле, представляет собой ДВПФ прямоугольной
функции. Преобразование наблюдаемой конечной последова-
последовательности является искаженной версией преобразования беско-
бесконечной последовательности. Влияние прямоугольного окна на
дискретно-временную синусоиду с частотой f0 иллюстрирует
рис. 5.5, из которого видно, что острые спектральные пики
ДВПФ бесконечной синусоидальной последовательности расши-
расширились за счет воздействия копий преобразования окна. Таким
образом, минимальная ширина спектральных пиков взвешенной
окном последовательности ограничена шириной, определяемой
главным лепестком преобразования этого окна, и не зависит от
исходных данных. Боковые лепестки преобразования окна, иног-
иногда называемые просачиванием, будут изменять амплитуды
соседних спектральных пиков. Поскольку ДВПФ — периодиче-
периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних
спектральных периодов может привести к дополнительному
смещению. Увеличение частоты отсчетов позволяет ослабить эф-
эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения
будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.
Просачивание нриводит не только к появлению амплитуд-
амплитудных ошибок в спектрах дискретных сигналов, но может также
174
0
-10
-20
-30 -
-40 -
-ЧП -
1 1 1 1 1 1 1 1 1
/ \
1 1
А =
у\Алл
I I У 1
11 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 "
-« 6-40
0,0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 5.6. Иллюстрация эффекта взвешивания, маскирующего слабый сигнал
близким сильным сигналом: а — логарифм модуля ДВПФ сильного сину-
синусоидального сигнала A6 отсчетов, амплитуда 1,0, относительная частота (в до-
долях частоты отсчетов) 0,15, начальная фаза 45°); б — логарифм модуля ДВПФ
слабого синусоидального сигнала A6 отсчетов, амплитуда 0,19, относительная
частота 0,24, начальная фаза 162'); в — логарифм модуля ДВПФ объединен-
объединенного сигнала — отклик на слабый сигнал практически подавлен.
маскировать присутствие слабых сигналов и, следовательно,
препятствовать их обнаружению. Рассмотрим дискретно-времен-
дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) 16 отсчетов сигнала, состо-
состоящего из двух синусоид, которое показано на рис. 5.6. Мощ-
Мощность более слабой синусоиды в этом сигнале примерно на
17 дБ меньше мощности более сильной синусоиды. В этом
экстремальном случае боковые лепестки более сильной синусои-
синусоиды почти полностью подавляют главный лепесток более слабой
синусоиды.
Можно предложить ряд других функций окна, применение
которых позволяет снизить уровень боковых лепестков по срав-
сравнению с тем их уровнем, который они имеют в случае прямо-
прямоугольного окна. Снижение уровня боковых лепестков будет
уменьшать смещение. Однако это дается ценой расширения
Классическ,
методы спектрального оценивания
главного лепестка спектра окна, что, естественно, приводит к
ухудшению разрешения. Следовательно, должен выбираться
какой-то компромисс между шириной главного лепестка и уров-
уровнем подавления боковых лепестков. Для классификации функ-
функций окна используется несколько показателей для оценки их
качества. Ширина полосы частот главного лепестка позволяет
судить о частотном разрешении. Для количественной оценки
ширины полосы главного лепестка используются два показате-
показателя. Традиционным показателем является ширина полосы на
уровне половинной мощности, т. е. на уровне, который на 3 дБ
ниже максимума главного лепестка. В качестве второго показа-
показателя используется эквивалентная ширина полосы, определение
которой было дано в гл. 2. Два показателя используются и для
оценки характеристик боковых лепестков. Один из них — это
пиковый (или максимальный) уровень боковых лепестков, кото-
который позволяет судить о том, насколько хорошо окно подавляет
просачивание. Второй — это скорость спадания уровня боковых
лепестков, который характеризует скорость, с которой снижает-
снижается уровень боковых лепестков, ближайших к главному лепестку.
По сути дела, скорость спадания уровня боковых лепестков
зависит от числа используемых отсчетов N и с увеличением
Л^ стремится к некоторой асимптотической величине, которую
принято выражать в децибелах на октаву изменения ширины
полосы частот.
В табл. 5.1 даны определения некоторых употребительных
дискретно-временных функций окна из числа предложенных в
разное время для использования при спектральном оценивании;
см., например, работы [6, 7, 12]. На рис. 5.7 показаны типич-
типичные 51-точечные окна и их частотные характеристики, получен-
полученные посредством вычисления модуля ДВПФ каждого окна.
В табл. 5.1 определены iV-точечные симметричные окна с двумя
различными начальными точками отсчета. Для окон данных
начальной точкой отсчета является л = 0. Для корреляционных
окон этой точкой является значение —(Ы—1)/2. В качестве
корреляционных окон используются только окна нечетной дли-
длины, поскольку точка симметрии таких окон приходится на сред-
средний элемент окна. В случае корреляционного окна значение это-
этого среднего (или центрального) элемента всегда равно единице.
У окон четной длины точка симметрии находится в центре окна
точно посередине между двумя элементами. В литературе часто
используются п несколько отличные определения функций окна.
Например, некоторые авторы предпочитают опускать концевые
точки окна с нулевыми значениями. Для операций с дискретно-
временными рядами Фурье, не требующих дополнения нулевы-
нулевыми отсчетами (нулями), точка, соответствующая наибольшему
временному индексу, обычно опускается, с тем чтобы обеспечить
К ОКОН
1
6
1аолица 5.1. Определения типичных JV-t
\
jl
а
1
+ Т:
~ S S3 ^
SJ_ о" о" ;
:ь + + Q
Q ^ ^ ^
^ P Q Q u"
^T* ^ О -ф с
Q - О" О* q;^
-
1
-
" ±= 1 - ^
-ill 1 =
^- -g ^ о о
- i 8+ S «H°
Прямоугольное (равномерное)
Треугольное (окно Бартлетта)
Косинус-квадрат (окно Ханна)
Приподнятый косинус (окно Хэммиига)
Взвешенные косинусы (окно Наттолла,
Q
о-
\
а.
С
1
>
с
а
га °
'—¦ Т *°
1| 1
'tT | lh a .
i§!
II
СО.
" а
- з
о
о
ш 11
Классические методы спектрального оценивания
Таблица 5.2. Характеристики окон, приведенных в табл. 5-1
si
10
Й1 ^Y л
Окно
Прямоугольное
Треугольное
Окно Ханна
Окно Хемминга
Окно Наттолла (г=3)
"ауссовское
Завноволновое
Максималь-
Максимальный уровень
боковых ле-
лепестков, дБ
— 13,3
—26,5
—31,5
—43
—98
—42
— 50
Асимптоти-
Асимптотическая ско-
скорость спа-
спадания боко-
боковых лепест-
лепестков, дБ/ок-
—6
— 12
— 18
—6
—6
—6
0
ная ширина
по""ь">
,00
,33
,50
,36
,80
,39
,39
Ширина по-
уро°внюПпо-
ЛОВИНЕГОЙ
0,89
1,28
1,44
1.30
1,70
1,33
1,33
Ф>рье |ДВРФ).
корректность периодического продолжения окна [7]. Характе-
Характеристики окон, описапных в табл. 5.1, приведены в табл. 5.2.
Величины, помещенные в этой таблице в колонке «Эквивалент-
«Эквивалентная ширина полосы», нормированы относительно частотного
разрешения ДВРФ, равного 1/ЛТ герц.
Из всех приведенных в табл. 5.2 окон самый узкий главный
лепесток имеет частотная характеристика прямоугольного окна,
но зато у него и самый высокий уровень боковых лепестков.
Треугольное окно впервые было описано Бартлеттом в связи с
проводимым им анализом периодограммных спектральных оце-
оценок, и поэтому часто называется его именем. Автокорреляцион-
Автокорреляционной функцией прямоугольного окна является треугольное окно,
ширина которого равна удвоенной ширине прямоугольного окна.
Окно типа «косинус квадрат»'1 названо в честь австрийского
метеоролога Юлиуса фон Ханна. Это окно часто ошибочпо на-
называют окном Хэннинга. Оно примечательно тем, что его легко
реализовать в частотной области всего лишь с помощью трех
операций сложения и двух операций сдвига, что, по сути дела,
сводится к умножению на коэффициенты 1/2 и 1/4 на каждой
частоте. Окно типа приподнятой косинусоиды было введено
Р. У. Хэммингом и поэтому часто называется его именем. Мно-
Множители 0.54 и 0,46 были выбраны для того, чтобы практически
полностью устранить максимальный боковой лепесток функции
Dtf(f). Этот подход можно обобщить на все семейство взвешива-
!) Окно типа «косинус квадрат» в литературе также называется «приподня-
«приподнятым косинусом», (см., например, [13*], т. 2, с. 209, [17*], с. 98), тогда как
автор использует «приподнятый косинус» как синоним окна Хэмминга, что
свидетельствует о неустоявшейся терминологии в этой области. — Прим. ред.
12—1366
10 20 30 40 50
Число отсчетов
Доли частоты отсчетов
6
т 1—
Число отсчетов
0,2
0,0
1
\А...
, ...kj
ш
IX,
<
0
-10
-20
-30
-40
-50
.fin
1 1
Z
:
-
I
" 1
Г_1 j ! ! j__^ j—
(
J
J
, ill
:
I =
I :
1
, Ilk iii-
10 20 30 «0
Число отсчетов
"-0,5 0,0
Доли частоты отсчетов
1,0
0,8
0.6
0,4
0,2
A0
- 1 1
1
-
ill
1
ll
|
1
1
Inn
10 20 30 40 50 -0,5 0,0 0,5
Число отсчетов доли частоты отсчетов
. Типичные дискретно-временные функции окна (слева) и логарифм мо-
моДВПФ (справа): а—6 — прямоугольное окно; в—г — треугольное ок-
окно; д—е — окно Ханна; ж—з — окно Хэмминга;
Классические методы спектрального оценивания
179-
1 1—
-
-
1
ill =
Ilk...-
10 20 30 40
Число отсчетов
1,0
§ o,e
?0,6
I 0,4
ТО
1 '
- I
: ,
1 :
-
llh ^
IllM
) 20 30
Число отсчетов
Доли частоты отсчетов
0,4
0,2
0,0
\ 1
1
шШ|
1 11
i
! i
1
ii -
IlllliT
0 20 30
Число отсчетов
0
10
20
30
50
Ё' ' ' А '
¦¦мим
Hi
¦I
;
I
;
И
-0,5 0,0 0,5
Доли частоты отсчетов
Рис. 5.7. Продолжение, и—к — окно Наттолла; л—м — гауссовское окно;.
н—о — окно Чебышёва.
ющих косинусных окон; см. Наттолл [12], Хэррис [7]иБлэкмак
и Тьюки [2]. Веса косинусов могут быть оптимизированы отно-
относительно ряда условий, включая требование 1чишшального
уровня боковых лепестков, максимальной скорости их спадания
и максимальной гладкости (наибольшее число производных без
нарушения непрерывности). Например, окно, показанное на
рис. 5.7, и, является четырехчленным косинусным окном, которое
при ао = О,3635819, а, = 0,4891775, а2 = 0,1365995 и а3 = 0,0106411
имеет минимальный уровень боковых лепестков, равный —98дБ'
[12]. Гауссовское окно, которое упоминалось в гл. 2 в разд.
«Задачи», имеет наименьшую величину произведения длительно-
Глава 5
Помеха большой
мощности
1 Помехи средней
YVVV
Рис. 5.8. Стратегия выОор<* окна: а — окно со слабо изменяющимся уровнем
боковых лепестков при наличии близкой и удаленной помех сравнимого уров-
уровня; б — окно с быстро спадающим уровнем боковых лепестков при наличии
сильной удаленной помехи; в — нетрадиционное окно специальной формы с
малыми ближними и возрастающими дальними боковыми лепестками при на-
наличии очень близкой помехи.
сти на ширину полосы из всех приведенных функций окна, хотя
это не справедливо в случае усеченного гауссовского окна, т. е.
когда оно имеет конечную ширину. В гауссовском окне, пока-
показанном на рис. 5.7, л, использован параметр а = 2,5. У чебы-
шёвского (или равноволнового) окна все боковые лепестки име-
имеют одинаковый уровень. Это окно впервые было использовано в
теории антенных решеток и обладает тем свойством, что из всех
Л'-точечных дискретных окон с уровнем боковых лепестков,
равным или не превосходящим некоторый заданный уровень,
имеет самый узкий главный лепесток. Для окна Чебышёва,
показанного на рис. 5.7, к, был выбран параметр р=50 дБ.
Стратегия выбора окна диктуется компромиссом между сме-
смещением из-за помех в области близких боковых лепестков и
смещением из-за помех в области дальних боковых лепестков.
Например, если достаточно сильные компоненты сигнала рас-
расположены вблизи и на отдалении от слабой компоненты сигна-
сигнала, то следует выбирать окно с одинаковым уровнем боковых
лепестков около главного лепестка, с тем чтобы обеспечить
малое смещение; см. рис. 5.8, а. Если же имеется одна сильная
компонента, удаленная от слабой компоненты сигнала, как
показано на рис. 5.8, б, то следует выбирать окно с быстро
спадающим уровнем боковых лепестков, причем их уровень в
непосредственной близости к главному лепестку в данном
случае не имеет большого значения. В том случае, когда необхо-
необходимо обеспечить высокое разрешение между очень близкими
компонентами сигнала и удаленные компоненты отсутствуют,
вполне приемлемым может оказаться окно даже с увеличиваю-
увеличивающимся уровнем боковых лепестков, но зато с очень узким глав-
главным лепестком, что иллюстрирует рис. 5.8, в. Если динамический
Классические методы спектрального оценивания 181
диапазон сигнала ограничен, то характеристики боковых лепест-
лепестков не имеют особого значения, и поэтому можно выбрать окно,
которое проще для численной реализации. Если спектр сигнала
относительно гладок, то можно вообще не применять окна.
Окна, которые могут сами в некотором смысле регулироваться,
или «адаптироваться», к параметрам данных, например такое,
как показано на рис. 5.8, в, будут использованы в гл. 13 при
обсуждении метода спектрального оценивания с минимальной
дисперсией.
5.4. Разрешение и произведение
«устойчивостьХдлительностьХширина полосы»
В подразд. 2.11 было введено выражение для произведения
длительности на ширину полосы для случая детерминирован-
детерминированного сигнала. Было показано, что для временного (простран-
(пространственного) сигнала с длительностью (с апертурой) Te — NT
секунд (метров) произведение длительности на ширину полосы
удовлетворяет условию
где В,— эквивалентная ширина полосы в герцах. Поэтому при-
принято говорить, что разрешение спектральной плотности энер-
энергии, полученной по конечной последовательности отсчетов де-
детерминированного сигнала, равно Ве герц, т. е. приблизительно
равно величине, обратной интервалу записи данных. Для того
чтобы определить разрешение спектральной плотности мощно-
мощности, получаемой по конечной последовательности отсчетов слу-
случайного сигнала, произведение длительности на ширину полосы
необходимо несколько видоизменить, с тем чтобы учесть случай-
случайный характер сигнала, влияющий на статическое «качество»
спектральной оценки.
Одной из подходящих модификаций этого произведения
является произведение густойчивостьхдлительностьхширина
полосы» QTrBe, где Q — статистический показатель качества
оценки, определяемый как отношение дисперсии оценки СПМ
к квадрату математического ожидания этой оценки
Q =
\?{Р (/)}]*'
E.5)
Показатель качества Q —это, по сути дела, инвертированное
отношение сигнал/шум (SNR), которое непосредственно связано
со статистической устойчивостью спектральной оценки. Значе-
Значения Q, много меньшие единицы, соответствуют гладким спект-
спектральным оценкам с малыми флюктуациями (малой дисперсией).
182 Глава 5
Значения Q, много большие единицы, соответствуют весьма за-
шумленным спектральным оценкам с большими флюктуациями
{с большой дисперсией). Эквивалентная ширина полосы Ве,
входящая в произведение длительности на ширину полосы,
заменяется теперь величиной Вч—-эффективной статистической
шириной полосы (Блэкман и Тьюки [2]), которая в случае
спектрального окна Q(f) определяется выражением
/с fi
Величина Bs характеризует ширину полосы эквивалентного
прямоугольного окна с тем же значением отношения дисперсии
к квадрату среднего значения на его выходе, как и у окна
Q(f) в том случае, когда на вход подан белый шумовой процесс
(обсуждение этого вопроса см. в разд. В.8 книги Блэкмана и
Тьюки [2J). Следовательно, для случайных сигналов вместо
эквивалентной детерминированной ширины полосы Ве необхо-
необходимо использовать эффективную статистическую ширину поло-
полосы Bs. Однако обе эти величины можно связать соотношением
Bs = aBei где коэффициент а равен примерно 0,8 для прямо-
прямоугольного окна, 1,3 для окна Ханна и 1,4 для окна Хэмминга
(см. ниже разд. «Задачи»), Ширина полосы Bs позволяет грубо
судить о разрешении спектральной оценки, хотя ширина полосы
Ве ближе к величине действительного разрешения (в герцах).
В разд. 5.8 показано, что для гауссовского шумового про-
процесса условие
QTeBs
E.7)
применимо ко всем классическим процедурам спектрального
оценивания, описанным в этой главе. Если TeBs^l, то, как
правило, Q7*,,BS>1. С другой стороны, если значение произведе-
произведения TeBs выбрано значительно большим единицы, то для всех
классических спектральных оценок будет выполняться прибли-
приближенное равенство
QTeBs&l. E.8)
Даже если все классические процедуры спектрального оценива-
оценивания имеют одинаковую статистическую устойчивость (малые
флюктуации), каждая оценка будет обладать некоторыми не-
незначительными отличиями от других оценок, получаемых по
одной и той же заданной записи данных.
Произведение «устойчивостьХдлительностьХширина поло-
полосы» устанавливает взаимосвязь между тремя фундаментальны-
фундаментальными параметрами, от которых зависят характеристики спект-
Классические методы спектрального оценивания 183
ральных оценок. Для заданной записи данных продолжитель-
продолжительностью Те невозможно получить оценки, которые одновременно
обладают высоким разрешением (малыми значениями В,) и
высокой устойчивостью (малыми значениями Q). Например,
если необходимо, чтобы дисперсия спектральной оценки состав-
составляла десятую часть от ее среднего значения, то Q = 0,1 и дости-
достижимое разрешение будет равно B3^l0jTg герц. Это значение
в 10 раз больше эмпирического значения 1/Ге для разрешения
детерминированного сигнала, о котором говорилось в гл. 2. При
этом значении Q лишь изменения оценки СПМ, в VQ раз боль-
большие ее среднего значения, могут с уверенностью рассматривать-
рассматриваться как спектральные особенности этой оценки, а не изменения,
обусловленные шумом. Этот пример подчеркивает важность
принятия такого компромиссного решения, которое не нару-
нарушало бы баланс между статистической устойчивостью и разре-
разрешением, которые требуются от всех методов спектрального оце-
оценивания. Заметим, что увеличение числа отсчетов за счет уве-
увеличения частоты дискретизации при неизменном интервале Те
не будет влиять на максимально достижимое разрешение, так
как на него влияет только длина записи данных, но не число
отсчетов. Значительная часть литературы по классическим ме-
методам спектрального оценивания посвящена процедурам, кото-
которые позволяют по заданному интервалу записи данных достичь
предельной устойчивости (наименьшего значения Q) и задан-
заданной величины разрешения; см., например, Дженкинс и Ватте
[8] и Наттолл [13].
Аналитическое определение показателя качества Q для
произвольного метода оценивания СПМ применительно к про-
произвольному случайному процессу в общем случае является за-
задачей, не поддающейся строгому математическому решению.
Именно поэтому аналитические выкладки, подобные, скажем,
тем, что привели нас к неравенству E.7), как правило, ограни-
ограничиваются рассмотрением стационарных гауссовских процессов
в предположении больших значений произведения TeBs и по-
постоянства уровня СПМ в пределах интервала (ячейки) разре-
разрешения. Поскольку для гауссовских процессов статистические
моменты четвертого порядка можно записать в виде сумм про-
произведений моментов второго порядка (т. е. дисперсий), то ана-
анализ дисперсии оценок СПМ значительно упрощается, как пока-
показано в приложении 4.А. Несмотря на то что вывод неравенства
E.7) основан на допущении о гауссовости наблюдаемого про-
процесса, оно может на практике служить вполне приемлемой ап-
аппроксимацией и для негауссовских процессов. Поэтому его
можно использовать в качестве средства выявления процедур
спектрального оценивания, которые нозволяют получать оценки
с хорошей статистической устойчивостью. Разумеется, при этом
184 Глава 5
могут потребоваться предварительные испытания подобной
процедуры, с тем чтобы ее можно было «настроить» на наи-
наилучшие характеристики оценок, получаемых по конкретным за-
заданным данным. Как отмечали Блэкман и Тьюки ([2], с. 21),
«...Мы в основном должны полагаться на наблюдаемые от ис-
испытания к испытанию изменения как на надежный критерий
потери устойчивости наших спектральных оценок».
5.5. Оценивание автокорреляции и взаимной корреляции
Автокорреляционная последовательность гхх[т] эргодического
процесса была определена выражением D.56) как предел сред-
среднего по времени. На практике эта последовательность, как
правило, не известна и поэтому должна оцениваться по имею-
имеющейся конечной записи данных. Если имеется N отсчетов дан-
данных х\п], п = 0, ..., N—1, то получаем следующее очевидное вы-
выражение для дискретно-временной оценки автокорреляции:
N-m-l
X х[п + т]х*[п]Т =
-^ ? х[п + т]х'[п].
E.9)
Эта оценка следует из выражения D.56) после замены BМ+1)
на (N—т) и изменения пределов суммирования в соответствии
с имеющимися данными. Выражение E.9) применимо только
при положительных значениях индекса временного сдвига
0<т<Л'—1 (эти сдвиги равны тТ секундам). Автокорреляци-
Автокорреляционные оценки при временных сдвигах, больших (N—1O", невоз-
невозможны из-за конечности записи имеющихся данных. При отри-
отрицательных значениях индекса корреляционного сдвига —(N—
— ])<:m<0 выражение для этой оценки должно быть модифи-
модифицировано следующим образом:
Л'- 1
х[п + т]х*[п] =
N-lml-l
¦дг^у^ L х'[п + \т\]х[п]. E.10)
1
Нетрудно показать, что оценка автокорреляции E.10) является
опряженно-симметричной, поскольку удовлетворяет условию
rxx[m\=r*xx[—т], т. е. обладает тем же свойством, которое
присуще и известной автокорреляционной последовательности.
При вычислении оценки гхх[т] следует использовать только
Нассические методы спектрльного оцнивания
185
положительые индексы, посколы? требуеые значения при от-
отрицательны индексах получаюта по своству сопряженной
симметрии. Гаким образом, 2<V—1 автокоррляционных сдвигов
могут быть >ценены по N отсчетакдапных.
Дискретмя последовательносъ гхх\т] формирует несме-
несмещенные оцаки истинной автокоррляции
N-m-l
h ? rxx[m]. E.11)
Как показан Дженкинс и Ватт' [8], заисимость дисперсии
этой оценки автокорреляции от чкла отсчеов данных в случае
гауссовских процессов дается елдующим приближенным вы-
выражением:
var {?„>]}« д^, it(rxx[k]-rxx[k + r]rxx[k-m]) E.12)
Здесь нолаается, что Л'>т, т. . индекс временного сдвига
много меные числа отсчетов даных. Отм-тим, что с увеличе-
увеличением индека временного сдвига шачениеэтой дисперсии воз-
возрастает. Пакольку при больших ременны сдвигах усреднение
возможно лшь по небольшому челу отсчетов данных, то с
увеличение; значения индекса врменнбго сдвига т статисти-
статистическая неопределенность оценки автокоррляции возрастает.
При увеличнии N значение диспрсии стемится к нулю, так
что ?хх\т\ является статистичесга состоятльной оценкой дис-
кретно-врекнной автокорреляцианой последовательности.
Альтернтивная оценка авток'рреляцщ имеет следующий
вид:
-L- ? х[п + т]х*[п], С
N-\ir-l
-1 I x*[n + \m\]x[nl -{N-1
E.13)
Эта оценкаотличается от оценкиг[т] тслько нормирующим
множителе], т. е.
г.Лт\= :—-rvv\m. E.14)
ХХ LА Л хХL * \ I
При конечюм N оценка E.13) яишется аещенной, поскольку
ЧЬ»М} = A
1"MV
E.15)
IK
ntj i. .
нием:
1симптотически несмещенной оцен-
г треугольное окно относительно
¦ ляции при нулевом сдвиге. Дис-
-j.,^....^ .t....v,. ^..едующим приближенным выраже-
\гхх [т]}
,х [m]};
m]rxx[k~m]). E.16)
При фиксированном значении временного сдвига значение этой
дисперсии стремится к нулю, когда число отсчетов возрастает.
Для типичных приложений средний квадрат ошибки (сумма
дисперсии и квадрата смещения) будет, как правило, больше
для оценки r«[mL чем для оценки fxx[m], особенно в тех слу-
случаях, когда максимальное значение временного индекса будет
приближаться к числу отсчетов данных. Несмещенные оценки
автокорреляции могут также давать оценки автокорреляции,
которые не являются в действительности автокорреляционными
последовательностями. Рассмотрим, например, последователь-
последовательность данных r[l] = l, х[2] = 1,1 и ж[3] = 1. Для трех значений
сдвига получаем следующие значения оценки автокорреляции:
r«[0] = l,07; ?«[1J = 1,1 и Р„[2\ = 1. Заметим, что ?„[0]<
<гхх[\], что противоречит первому из свойств в D.30). Следо-
Следовательно, несмещенные оценки автокорреляции могут приво-
приводить к автокорреляционным матрицам (которые будут рас-
рассматриваться в гл. 6), не являющимся положительно-полуоп-
положительно-полуопределенными, а это означает, что соответствующее матричное
уравнение не имеет решения. В то же время автокорреляцион-
автокорреляционные матрицы, сформированные из смещенных оценок автокор-
автокорреляции, всегда будут положительно-полуопределенными мат-
матрицами. Именно по этой причине предпочтение часто отдается
смещенной оценке автокорреляции.
При нулевом временном сдвиге обе оценки автокорреляции
имеют одинаковые значения:
E.17)
Эта величина характеризует полную мощность измеряемого
сигнала. Следовательно, обе эти оценки сохраняют мощность
измеряемого сигнала.
Классические методы спектрального оценивания 187
Суммирование, предусматриваемое в выражениях E.9) и
5.13), можно записать как линейную свертку
[п] = х[л] *х*[—п]. E.18)
Следовательно, для вычисления оценок дискретной автокорре-
.яции можно применить эффективные в вычислительном отно-
цении процедуры, в которых операции свертки выполняются
i помощью алгоритмов БПФ; более подробную информацию об
том см. в книгах Отнеса и Энохсона [16], Рэйдера [18], Ра-
шнера и Голда [17] (гл. 6) и Оппенгейма и Шафера [15].
Аналогичным образом можно определить оценку взаимной
¦орреляции. Предположим, например, что имеются две после-
.овательности измеренных данных х[п] и у[п], где временной
:ндекс изменяется от л = 0 до n = N—1. Тогда смещенная оцен-
а взаимной корреляции будет определяться следующим выра-
(ениеы:
г .„['"] =
,V-[m|-l
^ х[п] у* [п + \т{
E.19)
S выражении для несмещенной оценки взаимной корреляции
место 1/JV будет стоять 1/(N—\т\). В отличие от оценки ав-
окорреляции значения оценки взаимной корреляции должны
еперь вычисляться и при отрицательных значениях временного
[ндекса т, поскольку Гху[]фгХц*1—">]¦ Можно также пока-
ать, что смещение и дисперсия смещенных оценок взаимной
юрреляции ведут себя идентично смещению и дисперсии сме-
смененных оценок автокорреляции.
В приложении 5.А приведена написанная на Фортране под-
[рограмма CORRELATION, предназначенная для вычисления
>ценок автокорреляции и взаимной корреляции. Эта машинная
фограмма позволяет вычислять как несмещенные, так и сме-
ценные оценки.
.6. Коррелограммный метод оценки СПМ
5 гл. 4 было показано, что спектральная плотность мощности
СПМ) представляет собой дискретно-временное преобразова-
ше Фурье автокорреляционной последовательности
= Т 2
x[m]exp{-12nfmT).
E.20)
Коррелогратмный метод оценивания СПМ — это просто подста-
подстановка в выражение E.20) конечной последовательности значе-
значений оценки автокорреляции (коррелограммы) вместо бесконеч-
бесконечной последовательности неизвестных истинных значений авто-
автокорреляции. Например, подстановка значений несмещенной
оценки автокорреляции rxx[m\, которые вычислялись при ин-
индексах временного сдвига с максимальными значениями ±L,
дает одну из возможных оценок СПМ
(- i2tfmT),
E.21)
определенную для —1/27"</<< 1/27". Максимальный индекс вре-
временного сдвига L, как правило, много меньше числа отсчетов
данных N. Использовать максимальное значение LcaN/10 было
предложено Блэкманом и Тьюки [2J, которые первыми интен-
интенсивно исследовали и популяризировали дискретно-временной
коррелограммный метод оценивания СПМ. Причина выбора та-
такого максимального значения — стремление устранить большие
значения дисперсии, связанные с оценками автокорреляции при
больших временных сдвигах, поскольку эти значения дисперсии
давали менее устойчивую оценку СПМ.
Среднее значение оценки Pxx{f) определяется выражением
(/)} =
l S {rxx [т]} ехр (- /2я/тТ) =
E.22)
где DL(f) — ядро Дирихле. И хотя эта оценка СПМ вычисля-
вычисляется с использованием несмещенных оценок автокорреляции,
она будет смещенной, или «смазанной», оценкой истинной
СПМ. Эффект окна при конечной автокорреляционной последо-
последовательности приводит к оценке, которая, по сути дела, является
сверткой истинной СПМ с преобразованием Фурье дискретно-
временного прямоугольного окна.
С помощью смещенной оценки автокорреляции r»*[m] мож-
можно сформировать еще одну оценку СПМ
x[m]exp(-j2nfmT),
E.23)
которая определена при —l/2T<.f<l/2T. Матричная запись
этой оценки СПМ имеет следующий вид:
.(/), E.24)
Классические методы спектрального оцеивани
ехр (;2л/Г)
(exp(/2n/LT)j
- вектор комплексных сизусоид, а
(г,АО] г',[Ц
1ЛЛЧ
189
E.25)
— эрмитова тёплицева м.трица оценки авткоррляции. Сред-
Среднее значение оценки СПМопределяется вырженкм
? [Рхх (/)) =
« N ехр - \ЩтТ) =
E.26)
Оценка СПМ будет в этся случае иметь смщен.е, что обус-
обусловлено сверткой истинно СПМ с преобразеаним дискретно-
временного треугольного <кна. В частном слчае .=jV—1, т. е.
когда максимальное значаие индекса временогосдвнга равно
уменьшенному на единиц; числу имеющихс! отсетов данных,
оценка Pxx(i) будет иденична выборочномуспекру, вычисля-
вычисляемому по N отсчетам даных (см. разд. «Задчи». Как извест-
известно, выборочный спектр hi является статист чеси устойчивым
(см. приложение 4.А), потому данный фак мокет служить
еще одним свидетельство: в пользу выбор; L^N, при кото-
котором получается статистичеки надежная оцека.
Для уменьшения эффкта просачивания из-за неявно при-
присутствующего прямоуголыого или треуголывго сена, а следо-
следовательно, и для уменьшеня смещения оцени елдует исполь-
использовать BL + 1)-точечное юрреляционное okd e>[n] нечетной
длины на интервале —L<ms(L, симметриоое относительно
начальной точки отсчета, таиболее общая фрмакоррелограм-
«О Глава 5
«ного метода оценивания СПМ принимает в этом случае сле-
следующий вид:
m=-L
E.27)
где должна использоваться несмещенная оценка автокорреля-
автокорреляции. Подстрочный индекс ВТ означает, что эта форма оценки
СПМ была предложена Блэкманом и Тьюки. Окно здесь нор-
нормируется так, чтобы o>[0J = l, поэтому оценка гхх[0] будет не-
несмещенной, мощность отсчетов сохраняется, а следовательно,
оценка pBi(f) будет правильно промасштабирована как оценка
СПМ. Если необходимо, чтобы не площадь под кривой ВТ-
оценки СПМ была пропорциональна мощности истинной СПМ,
а пики этой оценки были пропорциональны мощности импуль-
импульсов в спектре, то выражение E.27) следует промасштабировать
величиной F=l/NT. Среднее значение спектральной ВГ-оценки
определяется выражением
¦?{Рвт(П} = Т^_^> [т] г„ [т] ехр (- j2afmT) = Рхх (f) * Q (/),
E.28)
где Q{f)—дискретно-временное преобразование Фурье корре-
корреляционного окна. Не следует применять корреляционные окна
с областями, где Q(f)<0, поскольку это приводит к получению
отрицательных значений оценок СПМ, что противоречит физи-
физической сути СПМ, которая всегда должна быть положитель-
положительной. В связи с этим, например, не следует применять прямо-
прямоугольное окно, так как оно порождает отрицательные значения
СПМ. С увеличением числа значений оценки автокорреляции
коррелограммный метод дает асимптотически несмещенные
оценки СПМ. Блэкман и Тьюки рекомендовали использовать
такое число значений оценки автокорреляций, чтобы стандарт-
стандартное отклонение оценки СПМ не превышало одной трети ее
среднего значения, т. е. чтобы Q= A/3J. Тогда в соответствии
с условием E.8) получаем \IBs^TeQ = Te/9. Полагая, что пол-
полный корреляционный сдвиг TL=BL+\)T примерно равен ве-
величине, обратной ширине полосы Bs, получаем TL^Tel9, т. е.
число оцениваемых значений автокорреляционной последова-
последовательности должно быть равно примерно 10% числа имеющихся
отсчетов данных.
Для вычисления оценки СПМ, определяемой выражением
E.27), на сетке из /<+1 частот f, = i[KT, где 0<i<K, можно
использовать алгоритм БПФ. Значение К здесь произвольно,
:ю обычно /<>L, а это означает, что в оценке СПМ сохранят-
Классические методы спектрального оценивания 19Ji
а тонкие детали спектра. При использовании значений ин~
.икса временного сдвига от L-f-1 до К отсчеты данных необхо-
лмо дополнить нулями. В приложении 5.Б приведена програм-
Fa CORRELOCRAMPSD, предназначенная для вычисления1
«ценки СПМ по формуле E.27). Более сложной машинной
1рограммой реализации коррелограммного метода оценивания
(ПМ является программа 2.2, помещенная в книге «Програм-
>ы для цифровой обработки сигналов» [4J, выпущенной изда-
•гльством IEEE Press в 1979 г.
Коррелограммный метод оценивания взаимной спектральной
шотности мощности имеет форму
Р~,у (f) = Tjl_L м М '*» М ехР (- №fmT). E.29>
!та оценка СПМ может иметь большое смещение, если взаим-
ю корреляционная последовательность не имеет максимума »
очке нулевого временного сдвига (или вблизи нее), относи-
¦ельно которой обычно центрируется корреляционное окно. Это
мещение можно минимизировать, совмещая две дискретно-вре-
:енные последовательности таким образом, чтобы пики взаим-
юй корреляции соответствовали точке нулевого временного
твига. В этом случае статистические характеристики оценки
ваимной СПМ E.29) будут аналогичны статистическим харак-
¦еристикам автоспектральной оценки E.27). Приведенная в
риложении 5.Б программа CORRELOGRAMPSD предназначе-
ia для вычисления взаимной СПМ с помощью коррелограм-
:ного метода.
.7. Периодограммные оценки СПМ
гругим формальным определением СПМ, основанным на до-
ущении об эргодичности, является следующая дискретно-вре-
;енная форма:
I
\{2N+\)T
?, х[я]ехр(— j2nfnT) '}. E.30)
= - N J
1ренебрегая операцией вычисления математического ожидания
] полагая, что конечное множество данных х[0],. ..,x[N—1]
одержит /V отсчетов, получаем выборочный спектр
P,Af)=-jjY- T)?x[n]exp(-j2nfnT) 2 =
х И ехР (— i2nfnT) I
(Ъ.Щ
192 Глава 5
который может быть вычислен по конечной последовательности
данных. Это — исходная немодифицпрованная форма периодо-
граммной оценки СПМ. В гл. 4 было показано, что выборочный
спектр будет давать статистически несостоятельные (т. е. неус-
неустойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция
вычисления математического ожидания, предусматриваемая
выражением E.30). Поэтому для сглаживания периодограм-
мной оценки необходимо применять что-то вроде псевдоусред-
псевдоусреднения по ансамблю. Предложены три основных типа методов
сглаживания. В методе Даньелла [3] периодограмма сглажива-
сглаживается путем усреднения по соседним ячейкам частотного разре-
разрешения. В методе Бартлетта [1] производится усреднение по
множеству периодограмм, получаемых по сегментам исходно?
последовательности данных. В методе Уэлча [21] подход Барт-
Бартлетта применяется к перекрывающимся сегментам и вводится
окно данных для уменьшения смещения оценок из-за эффекта
просачивания. В литературе описано также много других опти-
оптимальных методов сглаживания периодограмм, однако все онь
оптимальны только применительно к некоторым ограниченным
классам сигналов. Три метода, которые описаны в этом разде-
разделе, возможно, не всегда оптимальны, но практика доказала их
статистическую устойчивость (робастность) для многих классов
сигналов.
5.7.1. Периодограмма Даньелла
Даньелл предположил, что для сглаживания быстрых флюкту-
флюктуации выборочного спектра можно использовать усреднение пс
соседним спектральным частотам. Если для вычисления выбо-
выборочного спектра Pjcxtf) на сетке частот ft = klKT, 0«&<ft—1
используется алгоритм БПФ, то модифицированная оценка пе-
периодограммы на частоте fi может быть получена пocpeдcтвo^¦
усреднения в Р точках (значений) с каждой стороны от этой
частоты:
Классические метды спектрального оценивания
193
1
= 2P+1
E.32)
Обобщением этого подхода является обработка выборочного
спектра с помощью фильтра нижних частот с частотной харак-
характеристикой Н({). Периодограмму Даньелла можно в этом слу-
случае записать в виде свертки выборочного спектра и частотной
характеристики фильтра нижних частот
E.33)
Подстрочный индекс D в этих выражениях использован для
¦joi", чтобы отличать пеиодограммную оценку Даньелла от
др\гих оценок СПМ.
5.7.2. Периодограмма Барлетта
Сглаживание выборочноп спектра по методу Бартлетта осно-
основано на создании псевдонсамбля периодограмм за счет деле-
деления последовательности в Л' отсчетов данных на Р неперекры-
неперекрывающихся сегментов по / отсчетов в каждом, так что DP^N.
Тогда р-й сегмент будет остоять из отсчетов
x*-f[n\ = x\pD + n\, E.34)
где 0«n<.D—1, а надстрчный индекс (р) обозначает номер
сегмента. По каждому сементу 0<р<Р—1 независимо вычис-
вычисляется выборочный спеки в диапазоне —1/2Г</<1/2Г
>-1
" N ехР (-
E.35)
для чего может быть испльзован алгоритм БПФ на некоторой
сетке частот. Затем на кждой частоте, представляющей инте-
интерес, Р отдельных немодфицированных периодограмм усред-
усредняются, с тем чтобы паучить усредненную периодограмму
Бартлетта Pa(f)
р~ 1
PsUh-r'LP'fiU)- E.36)
р = 0
Смещение среднего значиия этой периодограммы определяет-
определяется выражением
?{PB(f)} = -^
E.37)
Таким образом, смещени оценки PB{f) обусловлено воздейст-
воздействием окна, которое смещгт и выборочный спектр периодограм-
периодограммы каждого отдельного егмента. Если периодограммы Р сег-
сегментов статистически неэвнеимы (что приближенно выполня-
выполняется в том случае, когда начения автокорреляции rxx[m] малы
при m>D), то РвЦ) мо-шо рассматривать как выборочное
среднее значение некоторш совокупности из Р независимых
наблюдений выборочного:пектра Pxx(f). Используя выражение
для обобщенной дисперсн, введенное в разд. 5.8, можно пока-
показать, что величина диаерсии усредненной периодограммы
13—1366
194 Глава 5
Бартлетта обратно пропорциональна числу используемых сег-
сегментов, т. е.
van {?>„(/)} ее-
E.38)
Следовательно, приближенно можно считать, что устойчивость
этой спектральной оценки улучшается как величина, обратная
числу сегментов Р. Уменьшение дисперсии с увеличением Р бу-
будет меньше в том случае, когда периодограммы сегментов ока-
оказываются статистически зависимыми. Что же касается разре-
разрешения, то оно в результате разбиения последовательности дан-
данных на сегменты по D отсчетов в каждом, где О<ДГ, будет, ес-
естественно, уменьшаться, поскольку результирующее эффектив-
эффективное спектральное окно в этом случае имеет более широкий
главный лепесток. При фиксированном значении N = PD со-
соблюдается обычное компромиссное соотношение между высо-
высоким спектральным разрешением (при максимально возможном,
значении D) и минимальной дисперсией оценки (при макси-
максимально возможном значении Р).
5.7.3. Периодограмма Уэлча
Уэлч модифицировал основную схему метода сегментирования
и усреднения Бартлетта за счет применения окна данных S; ис-
использования перекрывающихся сегментов. Перед вычислением
периодограммы каждого сегмента этот сегмент обрабатывается
с помощью окна данных. Цель применения окна — за счет
незначительного ухудшения разрешения ослабить эффекты
из-за боковых лепестков и уменьшить смещение оценок. Цель
перекрытия сегментов — увеличить число усредняемых сегмен-
сегментов при заданной длине записи данных и тем самым уменьшить
дисперсию оценки СПМ. На основе БПФ Уэлч разработал
также эффективную вычислительную процедуру для реализа-
реализации своего метода усреднения периодограмм взвешенных и пе-
перекрывающихся сегментов данных, и именно это сделало ме-
метод Уэлча самым популярным периодограммным методом
спектрального оценивания в наши дни.
Если запись комплексных данных из л:[0],..., х[К—1] отсче-
отсчетов разбита на Р сегментов по D отсчетов в каждом со сдвигом S
отсчетов между соседними сегментами (S<D), то максималь-
максимальное число сегментов Р будет определяться целой частью числа
(N—D)/S+\. Взвешенный р-й сегмент будет состоять из
х1^ [п] = w [п] х [п + pS\ E.39)
отсчетов, 0<rt<D—1, а номер сегмента р лежит в интервале
0Р—1. Выборочный спектр взвешенного р-го сегмента в-
Кассические методы спектрального оценивания 195
диапазоне чстот —1/2Г</<1/2Г определяется выражением
где
Х<?> (/) = Г 2 *(р> [n] exp (—l2nfnT)
E.41)
—дискретневременнбе преобразование р-го сегмента, а
D- 1
U = T 2 ai'M E-42)
— энергия декретно-временного окна. Среднее значение перио-
периодограмм вЗЕшенных сегментов дает оценку периодограммы
Уэлча Pw(f)
Множитиь U в E.40) устраняет эффект влияния энергии
окна на смецение в оценке СПМ Pw(f)- Можно показать (см.
ниже разд. Задачи»), что среднее значение периодограммы
Уэ.1 ;а можн( записать в следующем виде:
Р-!
' 0) =4- S
(/)} =Р„ [f)*\W (/) \'/U, E.44)
) [п] exp (— j2nfnT)
E.45)
— дискретновременное преобразование Фурье окна данных,
a P\x(f)—итинная СПМ. Обратное дискретно-временное пре-
обрлзованнеФурье величины E.44) дает ожидаемое значение
эффективной автокорреляционной последовательности периодо-
rpii \1мы Уэл(а
Ф[Щ=м[т]ю,'[—т] = Т 2 w[n + m]w[n] E.47)
п — О
— автокоррешционная последовательность окна данных. Заме-
Заметим, что U=^[0], поэтому 0[пг]/р[О] —это, по сути дела, кор-
J3*
196 Глава 5
реляционное окно с единичным значением нри нулевом времн-
нбм сдвиге. Полная мощность в исходной последовательности
отсчетов данных определяется членом автокорреляционной ю-
следовательности, соответствующим нулевому временному
сдвигу; поскольку
? № [0]} = гхх [0] ф [0]/{/
х [0],
E,8)
это означает, что r«IIt'[OJ — несмещенная оценка мощности.
Уэлч, в частности, предложил использовать окно Ханна и
50%-ное перекрытие сегментов, которое обеспечивало очнь
эффективные реализации его метода на основе алгоритма Б1Ф
при вычислении оценки E.43) на некоторой сетке частот. Кю-
ме того, при 50%-ном перекрытии сегментов все данные испаь-
зуются дважды, за исключением В/2 отсчетов на каждом коце
исходной Л'-точечной последовательности данных, а это вырв-
нивает обработку большинства отсчетов данных, поскольку те
отсчеты, которые имели малые веса на одном сегменте, пау-
чают большие веса на следующем сегменте. Анализ поведеия
дисперсии периодограммы Уэлча для гауссовских процессе,
проведенный с помощью выражений, которые приводятся в ае-
дующем разделе, показал, что минимальная дисперсия для ж-
на Ханна достигается при 65%-ном перекрытии, при этом зе-
личина дисперсии увеличивается приблизительно на 8% ри
использовании 50%-ного перекрытия сегментов. Так же ка и
дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодофм-
мы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегменэв,
т. е.
var{fV(/)}oQ%2-\ <519)
в предположении независимости сегментов (хотя перекрьгие
сегментов приводит, конечно, к некоторой их взаимозависиюс-
ти). Благодаря перекрытию по заданной записи данных moiho
сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартгт-
та, а это уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэ1ча
по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.
В отличие от корреляционного окна, используемого в вр-
релограммном методе, достоинства окон данных, используени
при спектральном оценивании, эпизодически становились прд-
метом оживленных дискуссий в литературе. Было показио,
что главная цель применения окон данных — уменьшение эф-
эффектов смещения из-за боковых лепестков в спектрах с бшь-
шим динамическим диапазоном амплитуд сигналов. Примры
таких спектров, которые послужили весомым аргументоь в
пользу обработки данных окном, приводятся в работах Тот-
Классические методы спектрального оценивания
197
сона [19] и Ван Схоневелда и Фрейлинга [20]. Значние обра-
обработки данных окном с целью управления уровнем бковых ле-
лепестков уменьшается в случае уплощения формы спеп-ра (т. е.
при уменьшении диапазона амплитуд составляющих :игналов).
В ряде опубликованных исследований утверждается что при-
применение окон данных лишь придает одним отсчета! большую
значимость перед другими отсчетами, а также ухудшет разре-
разрешение (уширяет главный лепесток частотного окна) без како-
какого-либо компенсирующего уменьшения дисперсии. Эй утверж-
утверждения, несомненно, верны в отношении выборочной спектра,
получаемого сразу по всей последовательности отсчтов сигна-
сигнала с относительно плоской спектральной характерисикой. Од-
Однако по отношению к периодограмме Уэлча они не аерны, по-
поскольку перекрытие сегментов как раз и использется для
выравнивания обработки (т. е. выравнивания знач мости от-
отсчетов) данных, а увеличение числа сегментов — дл> уменьше-
уменьшения дисперсии оценки СПМ. Не верны они и в >тношении
спектров сигналов с большим различием амплитуд оставляю-
оставляющих.
В случае комплексных данных метод периодограшы Уэлча
можно реализовать с помощью программы PERICDOGRAM,
приведенной в приложении 5.В. Программа для дейсвительных
данных имеется лишь в упоминавшейся выше книге ^Програм-
^Программы для цифровой обработки сигналов» [4] (програша 2.1).
Процедура Уэлча для оценивания взаимной спктральной
плотности во многом аналогична процедуре оценки автоспект-
автоспектральной плотности. В этом случае JV-точечные посвдователь-
ности х[п] и у[п] сначала сегментируются и взвшиваются,
в результате чего получаются последовательности
x^[n]=w[n]x[n + pS], E50)
где 0<л<В—1, 0<p*iP—I, по которым затем В1числяется
выборочный взаимный спектр
1 v,.w«r,,,,,(/)ri Ei51)
где
D- 1
) = т 2;
[п] ехр (— j2nfnT),
D1
!">"(/) = Г 2 </""["] ехр (— ;2п/пГ)
E.52)
дискретно-временные преобразования Фурье, а 6 аналогич-
аналогично величине, определенной в E.42). Усреднение пс периодо-
граммам всех сегментов дает окончательна оценку периодо-
периодограммы
?«„(/)=4-S,1/5m E.53)
р = 0
В случае гауссовских процессов характеритики среднего зна-
значения и дисперсии этой взаимной спектраьной оценки во мно-
многом сходны с характеристиками аналогичны величин для авто-
автоспектральной оценки. Программа PERIOIOCRAM, приведен-
приведенная в приложении 5.В, позволяет вычисляъ оценки взаимной
спектральной плотности в случае комплексных данных.
5.8. Комбинированные
периодограммно-коррелограммные оценки
Схемы, объединяющие особенности периодграммного и корре-
лограммного методов оценивания СПМ, чато предлагаются в
литературе с целью унифицировать класснеские методы оце-
оценивания СПМ; (см., например, работы [16.20]). Одно из наи-
наиболее проработанных таких обобщений бы.о предложено Нат-
толлом и Картером [14] и включает как 'астные случаи все
методы, которые были описаны выше в р;зд. 5.6 и 5.7. Их
обобщение привело к созданию метода, гсособного заменить
популярный периодограммный метод Уэлч, т. к. он обладает
сравнимыми статистическими характерист1ками, а требует
вдвое меньших вычислительных затрат.
Комбинированный периодограммно-коррлограммный метод
состоит из четырех этапов. На первом с юмощью уравнений
E.39), E.40) и E.43) вычисляется обычая периодограмма
Уэлча Pw(f), при этом допускается произвльный выбор вели-
величины перекрытия 5 сегментов и окна даннгх а>[я]. На втором
этапе вычисляется обратное ДВПФ для P«(f) с целью получе-
получения симметричной оценки автокорреляцииrxxv[m] для 2D+1
временных сдвигов. Автокорреляционная оенка rXxw[m] охва-
охватывает значения |m]<Z) вследствие воздествия автокорреля-
автокорреляционной функции окна Ф [т] = w[n] *w[n] что проиллюстри-
проиллюстрировано рис. 5.9, а и 5.9, б для случая прямоугольного окна. На
третьем этапе эта оценка обрабатывается помощью действи-
действительного симметричного корреляционного «на а[т] нечетной
длины 2L + 1 и получается взвешенная автокорреляционная
оценка гххс[т\ = со[т]rxxw[m]. Ширина этго корреляционного
окна выбирается меньше ширины автокоррляционной функции
ф[т\ окна данных (L<D). На четвертом этапе вычисляется
ДВПФ для гххс[т\, что и дает искомую о(енку СПМ. Таким
Классические меоды спектрального оценивания
.„trill
>.["¦]
..Ill
Рис. 5.9. Изменение формы юрреляционного окна: а — исходное дискретно-
зременнбе окно данных длинй D (от 0 до D-1); 6 — автокорреляционная
юследовательность этого окнадлиной 2D+1; в — требуемая форма эффектив-
эффективного корреляционного окна длной 2L+1, L<D; г — фактическая форма кор-
корреляционного окна, применяемо для компенсации эффектов взвешивания ок-
окном 0[т].
образом, окончательная оценка СПМ, получаемая комбиниро-
комбинированным методом, описывется выражением
Pc(l = Pw(f)*Q(f), E.54)
где Q(f)—преобразоваие Фурье корреляционного окна а>[т].
Комбинированное временное и корреляционное взвешивание
позволяют управлять ур)внем боковых лепестков (т. е. подав-
подавлять просачивание). Усэйчивость оценки обеспечивается за
счет применения усреднния по сегментам и частотного сгла-
сглаживания (корреляционнго взвешивания). Ограничивая либо
выбор окон, либо степеь перекрытия сегментов данных, соот-
соответственно получаем в ючестве частных случаев периодограм-
мную оценку СПМ Уэлч! и оценку СПМ Блэкмана — Тьюки.
Нетрудно показать, чо средние значения оценок СПМ и ав-
автокорреляции, получаема с помощью комбинированного мето-
метода, удовлетворяют соотюшениям
&{PAf)} = Pxx(f)*QAf), E-55)
где эффективное коррелционное окно ае[пг] и его преобразо-
преобразование Фурье Q,(!) определяются выражениями
E.57)
E.58)
(/Ы(/)|,
««[т] = ш [т> [туи = о [т] ф [т]/ф [0].
Единственное допущение, которое необходимо принять нри
выводе этих соотношений, — это ^допущение о стационарнос-
стационарности х[п\. Для того чтобы оценка ?«с[0] была несмещенной
оценкой полной мощности, необходимо, чтобы ю<.[0] = 1. Выбор
корреляционного окна со[яг], такого что со[0] = 1, удовлетворя-
удовлетворяет этому требованию. Здесь интересно отметить следующее.
Пусть требуемое эффективное корреляционное окно выбрано
заранее и имеет вид, показанный на рис. 5.9, в. Если D>L, то
выбор окна данных w[n] носит произвольный характер, по-
поскольку его влияние может быть скомпенсировано выбором
корреляционного окна со [яг] следующего вида:
г -, (йе \т\
E.59)
где |яг|<?. Эффект такого изменения формы корреляционного
окна проиллюстрирован на рис. 5.9, г для случая прямоуголь-
прямоугольного окна данных.. Можно, разумеется, использовать и другие
окна данных.
Показано (см. Наттолл [11, 13]), что дисперсия оценки
СПМ, получаемой с помощью комбинированного метода, опре-
определяется следующим приближенным выражением:
уаг{Яс(/)}даРЧ/)-
.-?iO-5yMi|>K/>S],E.60)
где корреляционная последовательность третьего порядка
if[m, n] окна данных определяется выражением
*|: [т, п\ =
E.61)
Заметим, что эта корреляционная последовательность симмет-
симметрична, т. е. i])[m, я] =if[—яг,—п\. При выводе этих соотноше-
соотношений были использованы допущения о том, что х[п] является
комплексным гауссовским процессом, а истинная СПМ Pxx(f)
относительно постоянна в пределах полосы частот f±Bs/2, ха-
характеризующей ширину полосы эффективного корреляционного
окна. Это последнее допущение позволяет также использовать
для среднего значения оценки следующее приближенное выра-
выражение:
${РС(П}*Р„ (Л$-1«га«(/)^ = -Р«(О^[О] = 'Р«(П- E-62)
Эквивалентную статистическую ширину полосы частот Bs мож-
Классические методы спектрального оценивания Э
но записать в виде явной функции окна данных и коррелят-
онного окна
¦ ¦ E.в;
J Т 2s ю?1т1 т 2 * [т]ш-[т]
Используя дисперсию E.60), квадрат среднего значенм
оценки E.62) и статистическую ширину полосы E.63), получ-
ем следующее выражение для произведения «устойчивось
оценкиXдлительностьXширина полосы»:
QTeBa
-. E.6'
Это тройное произведешь является функцией длины имеюще-
ся записи данных Те, числа сегментов Р, степени их перекрыта
5, окна данных w[n] и корреляционного окна со [яг].
Для получения оценки СПМ Блэкмана — Тьюки используы
один сегмент (Р = 1), корреляционное окно, ширина которое
много меньше числа отсчетов данных (L<^D=N), и прям>-
угольное окно данных (ш[п\ = \, я = 0,..., N—1). Наттолл пок-
зал [13], что в этом случае QTeBs"l. Для получения период-
граммы Уэлча используем P = 2N/D—1 сегментов, 62%-ное п-
рекрытие E = 0,38 D), окно Ханна для взвешивания данных i
не применяем корреляционного взвешивания (со[яг] = 1, rg
\m\^cL=D). В этом случае можно аналогичным образом ш-
казать, что QTcBs^l. Если используется 50%-ное перекрыти1,
то QTeBs*i 1,08. Один из интересных комбинированных подхн
дов основан на использовании прямоугольного окна данньс
(к>[я.] = 1) без перекрытия (S=D), числа сегментов, вдве
меньшего, чем для периодограммы Уэлча, и корреляционной
окна, форма которого изменяется для получения эффективноп
корреляционного окна сое[т], которое является окном Хана
(см. рис. 5.9). Краткая запись четырех этапов комбинироваь
ного метода Наттолла — Картера для оценивания СПМ приве-
приведена на рис. 5.10. Наттолл и Картер, используя соотношени
E.64), показали [14], что для указанных на этом рисунке yi-
ловий QTeBs^l. Этот частный случай комбинированного по;-
хода будет иметь те же статистические характеристики при зг-
данном значении произведения длительности на ширину пол(-
сы ТеВ,, что и популярный периодограммный метод Уэлча. Од
нако вычислительные затраты для него вдвое ниже, чем дл
метода Уэлча, так как БПФ в нем вычисляется для вдвое мем
t ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДОГРАММЫ БАРТЛЕТТА (подразд. 5.7 2)
Прямоугольное окно «энных
• ОБРАТНОЕ БПФ ПЕРИОДОГРАММЫ
• ВЗВЕШИВАНИЕ ОЦЕНКИ КОРРЕЛЯЦИИ
Используется процедура изменения формы
корреляционного окна, уравнение E 59)
« БПФ ВЗВЕШЕННОЙ ОЦЕНКИ КОРРЕЛЯЦИИ
Окончание оценки СПМ
Рис. 5.10. Основные этапы комбинированного метода Наттолла—Картера.
шего числа сегментов, чем в методе Уэлча, к тому же в нем
отсутствуют операции умножения, связанные с обработкой сег-
сегментов с помощью окна данных.
5.9. Приложение к оцениванию числа солнечных пятен
Одно из интересных применений классических методов спект-
спектрального оценивания, имеющее длинную историю, связано с
поиском перподичностей числа солнечных пятен. Краткая ввод-
вводная информация по данному вопросу была изложена нами в
разд. 1.2, а результаты предварительного периодограммного
анализа приведены на рис. 5.11. Для этой цели 1728 среднеме-
среднемесячных значений числа солнечных пятен с 1841 по 1984 г. {см.
приложение I, помещенное в конце книги) были разбиты на
24-летние сегменты B88 отсчетов на сегмент) с 12-летннм пе-
перекрытием A44 отсчета), которые затем были обработаны с
помощью окна данных Хэмминга. Из рис. 5.11 видно, что пе-
периодограмма не содержит каких-либо значимых особенностей
на частотах выше 1 цикла солнечных пятен на год. Этот факт
подтверждается также спектральной оценкой Блэкмаиа —
Тьюки и авторегрессионной спектральной оценкой (см. ниже
гл. 7 и 8), которые здесь не показаны. Периодограмма на
рис. 5.11 имеет значительную постоянную составляющую (час-
(частота 0 Гц), что обусловлено положительностью чисел солнеч-
солнечных пятен, ясно виден также классический 11-летний период
активности солнечных пятен (частота, которой соответствует
примерно 0,09 цикла на год).
Классические методы спектрального оценивания
5.11. а — периодограмма среднемесячных значений числа солнечных пятен для
интервала времени с 1841 по 1984 г,; б — учзсток этой периодограммы на ин-
интервале частот от 0 до 1 цикла на год.
Для более подробного исследования спектра в интервале
частот от 0 до 1 цикла на год среднемесячные значения числа
солнечных пятен обрабатывались фильтром нижних частот
(ФНЧ), затем прореживались с коэффициентом 6 для сниже-
снижения частоты отсчетов до двух отсчетов в год, после чего обра-
обрабатывались фильтром верхних частот (ФВЧ). В качестве ФНЧ
и ФВЧ применялись линейно-фазовые фильтры, реализованные
с помощью программы Паркса — Маклеллана (программа 5.1
в сборнике «Программы для цифровой обработки сигналов»
[4]). ФНЧ имел 49 коэффициентов и переходную зону шири-
шириной от 0,5 до 1,0 цикла на год (см. рис. 5.12, а). Этот фильтр
устранял высокочастотный шум в среднемесячных числах сол-
солнечных пятен. Выход ФНЧ прореживался с коэффициентом 6,
0
-10
Ш -20
? -30
-40
-50
-60
: \ :
-
:
-
z
МЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛЛШ
TiiyuVVVUVvVuVVVVvVVV
0
-10
ш-20
х -зо
<
-40
-50
-60
1,0 2,0 3,0 4,0
ФНЧ5;'^оЛ°Г!Р*фМ МОДУЛЯ частотной характеристики: а — линейно-фазовый
ФНЧ с 49 коэффициентами; в-линейно-фазовый ФВЧ с 51 коэффициентом.
0 0 0 2 0 4 0.6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Рис. 5.13. Спектральные оценки фильтрованных чиселсолнечных пятен: а —
периодограмма; б — коррелограммная оценка, отрицатльные значения СПМ
заштрихованы; в — набор односегментных пеиодограмм,
что снижало частоту отсчетов до двух отсчеов в год. Затем
оставшиеся отсчеты обрабатывались с помщью ФВЧ, с тем
чтобы устранить эффект смещения, обуслоленный наличием
большой постоянной составляющей. ФВЧ имл 51 коэффициент
и переходную зону шириной от 0,0 до 0,0455 циклов на год (см.
рис. 5.12,6). Такая ширина переходной зоныФВЧ была выбра-
выбрана с целью обнаружить возможный 22-летнш период изменения
активности солнечных пятен из-за перемены их магнитной по-
полярности, которая, как известно, происходите интервалом при-
примерно 22 года. Результирующая фильтровашая запись содер-
содержала около 230 отсчетов (по 2 отсчета в гщ), охватывающих
период времени с июля 1855 г. по январь 170 г. (оставшиеся
после прореживания отсчеты попадали на январь и июль в
каждом году).
Спектральные оценки, полученные по фльтрованным дан-
данным с помощью классических методов, покзаны на рис. 5.13.
В периодограммном методе использовались четыре 46-летних
Классические методы спектрального оценивания
205
сегмента (92 отсчета на сегмент) с 23-летним перекрытием
D6 отсчетов) этих сегментов. Каждый такой сегмент обраба-
обрабатывался окном Хэмминга. В коррелограммном методе оценка
СПМ определялась по последовательности несмещенных авто-
автокорреляционных оценок, соответствующих временным сдвигам
от 0 до 45 лет, которые также обрабатывались окном Хэммин-
Хэмминга. Периодограмма имеет два сильных пика на частотах
0,095 цикла на год A0,5-летний цикл) и 0,194 цикла на год
E,16-летний цикл). В коррелограммной оценке этим иикам со-
соответствуют частоты 0,095 цикла на год (тот же 10,5-летний
цикл) и 0,188 цикла на год E,32-летний цикл). Таким образом,
первый пик, по всей видимости, соответствует гармонике с
10,5-летним основным периодом изменения активности солнеч-
солнечных пятен. Сходные пики у этих спектров наблюдаются также
на частотах, равных примерно 0,25 и 0,45 цикла на год.
Нестационарность характеристик чисел солнечных пятен по-
показана на рис. 5.13,s, на котором одна над другой последова-
последовательно помещены периодограммы 23-летних сегментов, каждая
из которых изображена в 50-дБ диапазоне. Слева около каж-
каждой периодограммы указан начальный год каждого сегмента.
Отметим также, что использовалось 11,5-летнее перекрытие сег-
сегментов. Нетрудно видеть, что два выраженных пика на этих пе-
периодограммах не остаются неподвижными на некоторой фикси-
фиксированной частоте, а перемещаются относительно средних поло-
положений этих пиков, показанных на рис. 5.13, а и 5.13,6. Таким
образом, применительно к числам солнечных пятен следует
очень осторожно применять методы спектрального оценивания,
основанные на допущении о стационарности анализируемого
процесса.
5.10. Заключение
Классические методы спектрального оценивания, кратко опи-
описанные в этой главе, относятся к числу наиболее устойчивых
(робастных) методов спектрального оценивания, описанных в
данной книге. Они применимы почти ко всем классам сигналов
и шумов, обладающих стационарными свойствами, тогда как
альтернативные им методы высокого разрешения, такие как
описанные в гл. 6—14, оказываются робастными только в слу-
случае ограниченного класса стационарных сигналов. В классичес-
классических методах, как правило, используется алгоритм БПФ, в связи
с чем они оказываются наиболее вычислительно эффективными
методами из числа имеющихся методов спектрального оценива-
оценивания. Отметим также, что получаемые с их помощью оценки
СПМ линейно зависят от мощности синусоид, присутствующих
в данных, тогда как методы, описанные в гл. 6—14, часто не
06
Глава 5
обеспечивают линейной связи между высотой спектральных пи-
пиков и мощностью этих синусоид.
Основной недостаток классических методов спектрального
оценивания обусловлен искажающим воздействием просачива-
просачивания по боковым лепесткам из-за неизбежного взвешивания
в них конечных последовательностей данных. Было показано,
что обработка с помощью окна позволяет ослабить влияние
боковых лепестков, но лишь за счет ухудшения спектрального
разрешения. Разрешение, обеспечиваемое классическими мето-
методами, не может превосходить величины, обратной длине записи
данных, и не зависит от характеристик анализируемых данных.
Для улучшения статистической устойчивости спектральных
оценок может быть использовано псевдоусреднение по ансамб-
ансамблю за счет сегментации данных, но это также ухудшает спект-
спектральное разрешение. Обработка конечных записей данных тре-
требует, конечно, принятия определенных компромиссов относи-
относительно разрешения, устойчивости (минимизации дисперсии
оценки) и подавления просачивания. Часто при наличии очень
коротких записей данных нам необходимо получить гораздо
большее разрешение, чем может обеспечить полная запись дан-
данных при односегментном анализе. Добиться этого можно за
счет ухудшения статистической устойчивости оценок. Методы,
которые позволяют улучшать или сохранять высокое разреше-
разрешение без значительного ухудшения устойчивости спектральных
оценок, обсуждаются в следующей главе.
Литература
[1] Bartlett M. S. Smoothing Periodograms from Time Series with Continuous
Spectra. Nature, London, vol. 161, pp. 686—687, 1948.
[2] Btackman R. В., Tukey J. W. The Measurement of Power Spectra from the
Point of View of Communication Engineering. Dover Publications, Inc.,
New York, 1958; опубликовано также в январском и мартовском выпусках
Bell Syst. Tech. J. за 1958 г.
{3] Daniell P. J. Discussion of «On the Theoretical Specification and Sampling
Properties of Autocorrelated Time-Series», J. R. Stat. Soc, ser. B, vol. 8,
pp. 88—90, 1946.
[4] Digital Signal Processing Committee, ed., Programs for Digital Signal
Processing. IEEE Press, New York, 1979.
[5] Gardner W. A. Statistical Spectral Analysis: A Non-Probabilistic Theory
Prentice-Hall, Inc., Engiewood Cliffs, N. J., 1987.
[6] Geckinli N. C, Yavuz D. Discrete Fourier Transfomation and Its Applica-
Applications to Power Spectra Estimation. Elsevier Scientific Publishing Company,
Amsterdam, 1983.
[7] Harris F. J. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Dis-
Discrete Fourier Transform. Proc. IEEE, vol. 66, pp. 51—83, January 1978.
[Имеется русский перевод: Хэррис Ф. Дж. Использование окон при гар-
гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье ТИИЭР,
1978, т. 66, № 1, с. 60—96.]
ф] Jenkins G. M., Watts D. G. Spectral Analysis and Its Applications. Holden-
Классические методы спектральное овнивания
207
Day, Inc., San Francisco, 1965. [Имеется рускшперевод: Дженкинс Дж.,
Ватте Г. Спектральный анализ и его прилосени. М.: Мир, 1971, вып. 1;
1972, вып. 2.]
[9] Jones R. И. A Reappraisal of the Periodograr inipectral Analysis. Techno-
metrics, vol. 7, pp. 531—542, November 1965.
[10] Koopmans L, H. The Spectral Analysis of Tire Sries. Academic Press, Inc.,
New York, 1974.
[11] Nuttall A. H. Spectral Estimation by Mean ol Overlapped Fast Fourier
Transform Processing of Windowed Data Naal Inderwater Systems Center
Technical Report 4169, New London, Conn., Ctobr 1971.
[12] Nuttall A. H. Some Windows with Very (bodSidelobe Behavior. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. lSS^-29, pp. 84—91, February
1981.
[13] Nuttall A. H. Spectral Analysis via Quacatic Frequency-Smoothing of
Fourier-Transformed, Overlapped, Weighted Dat. Segments. Naval Under-
Underwater Systems Center Technical Report 649, lew London, Conn., June
1981.
[14] Nuttall A. H., Carter G. C. Spectral Estimafon Ising Combined Time and
Lag Weighting. Proc. IEEE, vol. 70, pp. IIБ—1125, September 1982.
[Имеется русский перевод: Иаттолл А. Х.,Карер Дж. К- Спектральное
оценивание с использованием комбинировнноэ временного и корреля-
корреляционного взвешивания. ТИИЭР, 1982, т. 70, ft 9c. 243—255.]
[15] Oppenheim А. V., Schafer R. W. Digital SirialProcessing. Prentice-Hall,
Inc, Engiewood Cliffs, N. J., 1975. [Имегся русский перевод: Оппен-
гейм А. В., Шафер Р. В. Цифровая обрабоча игналов. М.: Связь, 1979.]
[16] Otnes R. К., Enochson L. Applied Time Serie Aialysis. John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1978.
[17] Rabiner L. R., Cold B. Theory and Applicatia ofDigital Signal Processing.
Prentice-Hall, engiewood Cliffs, N. J., 197. [1меется русский перевод:
Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение шфовой обработки сигналов.
М.: Мир, 1978.]
[18] Rader С. М. An Improved Algorithm for Hgh >peed Autocorrelation with
Application to Spectral Estimation. IEEE Trns. Audio Electroacoust.,
vol. AU-18, pp. 439—442, December 1970.
[19] Thompson D. J. Spectrum Estimation TechiqUG for Characterization and
Development of WT4 Waveguide-II. Bell S>t. ch. J., vol. 56, pp. 1983—
2005, December 1977; Part I, vol. 50, pp. 169-1815, November 1977.
Задачи
1. Показать, что периодограммную оценку Бариети [уравнение E.36}] мож-
можно записать в следующей матричной форме
где е(/) — вектор комплексных синусоид [о ооеделение C.21)], а х@' =
= (x[pD], x[pD-\-l], ..., x[pD+D— 1])г — веторотсчетов данных для р-го
сегмента.
2. Доказать смещенный результат, соответствющй приведенному в тексте
уравнению E.44).
3. Показать, что матрицу E.25) смещенной цени автокорреляции можно
также записать в виде
N-1
п 1 V* -. гtn . Vt-H
Классические методы спектрального оценивания
209
где xL[k] = (x[k],x[k—1],...,x[k—L])T— вектор данных. Положить х[п]^=0
при л<0 и при n>N~l.
4. Разработать более эффективную в вычислительном отношении подпрограм-
подпрограмму CORRELATION, в которой для вычисления корреляционных оценок ис-
используется БПФ.
5. Показать, что для действительных гхж[т]
РвАП = Т'гкх [0] + 2Г j? ~rxx [m] cos BnfmT).
6. Вывести выражения для величин Bs и Ве для окон, приведенных в табл. 5.1,
и пронормировать их относительно ячейки разрешения БПФ, равной 1/NT
герц. Чему равно отношение а=В3/Ве для каждого окна?
7. Какова величина качества оценки Q для выборочного спектра, полученного
в приложении 4.А? Чему равно произведение QTgBs для спектра?
8. Спектральная оценка на основе коррелограммного метода, показанная на
рис. 5.4, имеет отрицательные лепестки СПМ. Выбрать или построить окно,
которое для тест-последовательности данных будет давать только положи-
положительные значения СПМ на всех частотах. Ввести это окно в программу
CORRELOGRAMPSD. Нарисовать график результирующей спектральной
оценки. Как сравнить эту оценку с оценкой на рис. 5.4?
9. Пусть задано Л' отсчетов данных х[0] x[N— I]. Показать, что коррело-
СПМ
у д
граммная оценка СПМ
S г
m = -(.V-D
Мехр(—/2л/тГ),
в которой используется смещенная автокорреляционная оценка при макси-
максимальном числе возможных временных сдвигов, и выборочный спектр
Лт—1
]Г х [п] exp (—J2nfnT)
я = 0
идентичны.
Приложение 5.А,
Программа для вычисления оценок корреляции
Подпрограмма CORRELATION предназначена для вычисления
несмещенных и смещенных оценок автокорреляции и взаимной
корреляции для комплексных данных (см. разд. 5.5). Выбор
типа оценки — смещенная или несмещенная — зависит от вы-
выбора значения параметра MODE. Если массив X считывается
при установке X = Y, как в CALL CORRELATION (N, LAG,
MODE, X, X, R), то вычисляется автокорреляция; в противном
случае вычисляется взаимная корреляция. Оценки корреляции
вычисляются только при положительных значениях временного
сдвига. Для получения оценок автокорреляции при отрицатель-
отрицательных значениях временного сдвига необходимо просто вернуться
в начало подпрограммы и вычислить сопряженные оценки ав-
автокорреляции. В случае взаимной корреляции для этой цели
1ужно просто реверсировать векторы X и Y, снова вызватыод-
лрограмму и затем вычислить сопряженные значения. Возюж-
пость этих процедур является следствием свойства гхй[—»] =
= гух*[т\. С помощью процедуры, приведенной в приложнии
IV, помещенном в конце книги, программу можно преобрзо-
вать для обработки действительнозначных данных.
Если jV = 64, LAG = \b и А1СШ? = 0, то для 64-точечной ест-
последовательности данных, приведенной в приложении II по-
получим следующую 16-точечную автокорреляционную лоследва-
тельность:
R[ 0)-( 1,780459; 0,000000);
R[ 1) = ( 0,325858; 1,529764);
R 2] = (—1,341396; 0,772292);
3] = (—1,012166; —0,989743);
4) = ( 0,534418; —1,295556);
= ( 1,444954; 0,189344);
= ( 0,226535; 1,458697);
8] = (—0,908952; —1,137790);
= ( 0,769808; —1,127676);
= ( 1,298158; 0,388247);
= (—0,029651; 1,296811),
= (—1,235431; 0,412799);
13] = (— 0,629708; —1,094549);
14]-( 0,824489; —0,898308);
RI 7] =(—1,327125; 0,588727); К 15J = ( 1,021054; 0,549560)
Подпрограмма CORRELATION (N, LAG, MODE, X, Y, R0, R)
Предназначена для вычисления смещенной или несмещенной оценки омп-
лексной корреляции между массивами отсчетов комплексных данн1Х X
и Y. Если X=Y, то вычисляется оценка автокорреляции.
Входные параметры:
N —число отсчетов данных в Массивах X и Y (целое число).
LAG —число вычисляемых значений корреляции [значения прр-вре-
менных сдвигах от 0 до LAG вычисляются и хранятся s R0
и в R(l) no R(LAG)] (целое число).
MODE — устанавливается в 0 для вычисления несмещенных оенок
корреляции; в противном случае вычисляются смещаные
оценки корреляции (целое число).
X —массив отсчетов комплексных данных с ХA) по X(N).
Y —массив отсчетов комплексных данных с Y(l) no Y(N),
Выходные параметры:
R0 —оценка комплексной корреляции при временном сдвиге.рав-
ном 0
R —массив оценок комплексной корреляции при временных дви-
гах от 1 до LAG
Примечание:
Размеры .GE. N внешних массивов X, Y п размеры .GE. LAG массва R
должны -указываться в вызывающей программе.
COMPLEX X(l), Y(l), R(l), R0, SUM
DO 30 K = 0 LAG
NK=N-K
SUM=@.,0.)
DO 10 J =1, NK
Глава 5
Классические методы спектрального оцениваия
211
SUA=SUM+X(J+K)»CONJG(Y(J))
IF (К .IE. 0) GO TO 20
RO-SbVFLOAT(N)
GO TOiO
IF (МОЕ .EQ. 0) R(K)=SUM/FLOAT(N-K) ! E.9)
IF (МОЕ NE 0) R(K)=SUM/FLOAT(N) ! E.13), E 19)
CONTIIUE
RETURN
END
Приложение 5Б.
Программа дп вычисления оценки СПМ
с помощью ко релограммного метода
Подпрограмм? CORRELOGRAMPSD предназначена для вы-
вычисления автопектральных и взаимно спектральных оценок с
помощью кор]елограммного метода оценивания СПМ Блэкма-
на — Тьюки, i основу которого положено уравнение E.27).
Для повышеня эффективности вычисления преобразования
Фурье от СПЛ используется БПФ. Если массив X считывается
при установкеХ=У, как в CALL CORRELOGRAMPSD (N,
LAG, T, X, X.PSD), то вычисляется автоспектральная оценка;
¦в противном сучае вычисляется оценка взаимного спектра. Для
обработки деютвительных данных необходимо положить мни-
мнимую составлямц-ую отсчетов данных равной нулю.
Если iV = 6, LAG —15 и 7"= 1,0, то для 64-точечной тест-по-
следовательнсти, приведенной в приложении II, помещенном в
конце книги, юлучим последовательность значений СПМ, выбо-
выборочные шестьиз которых приведены ниже:
PSD( )= 0.131417E+00
PSD A00)- 0.795428Е+01
PSDB00) = 0,106389Е+00
PSDC000)= 0.219200E+00
PSD D000)=— 0.344072E— 01
PSDD096)= 0Д32312Е+0О
Подпрогрмма CORRELOGRAMPSD (N, LAG, T, X, Y, PSD)
Заметим, 4icRxy[—k] вычисляется как комплексно-сопряженное величи-
величине (Ryx[k]).
Входные парметры:
N — чело отсчетов данных.
LAG — мкеимальное значение индекса временнбго сдвига.
Т — итервал отсчетов в секундах.
X — месив отсчетов комплексных данных с ХA) по X(N).
Y —месив отсчетов комплексных данных с Y(l) no Y(N).
Выходные пэаметры:
PSD — месив значений оценок действительной спектральной плотности
мщности (СПМ).
Примечание:
Размеры .GE. N внешних массивов X и Y и размер GE. NPSD должны
указываться в вызывающей программе. Размеры внутреннего масси-
массива W должны указываться в .GE. NPSD, а массивв R и WINDOW —
в .GE. LAG. Используются внешние подпрограмм: CORRELATION
(см. приложение 5.А), PREFFT и FFT (см. приложеие 2.В).
PARAMETER (NPSD = 4096, PI = 3,141592654)
COMPLEX X(l), Y(l), PSD(l), W(NPSD), RF4), Ю
REAL WINDOWF4)
Здесь можно использовать окно
DO 10 K=1,LAG
WINDOW(K)=0.538+0.462-COS(PI.FLOAT(KyFLOAT(LAG))
CALL CORRELATION (N, LAG, 0, X, Y, R0, R)
PSD(l)=R0
DO 20 K=l, LAG
PSD(K+1)=R(K)-WINDOW(K)
CALL CORRELATION (N, LAG, 0 Y X R0 R)
DO 30 K=1,LAG
PSD (NPSD+1-K)=CONJG(R(K)) «WINDOW (;)
DO 40 K-LAG+2, NPSD-LAG
PSD(K) = @. ,0.)
CALL PREFFT (NPSD, 0, NEXP, W)
CALL FFT (NPSD, 0, T, NEXP W PSD)
RETURN
END
Приложение 5.В.
Программа для вычисления оценки СПМ с помоиью
периодограммного метода
Подпрограмма PERIODOGRAM предназначена цля вычисления
автоспектральных и взаимно спектральных оциок с помощью
периодограммного метода Уэлча, в основу котфого положено
уравнение E.43). Для повышения эффективно™ вычисления
преобразования Фурье от СПМ используется ]ПФ. Если мас-
массив X считывается при установке Х=У, как в CALL
PERIODOGRAM (N, NSHIFT, NSAMP, T, X, \ NSEG, PSD),
то вычисляется автоспектральная оценка; в пртивном случае
вычисляется оценка взаимного спектра. Для обработки дейст-
действительных данных необходимо положить мншую составляю-
составляющую отсчетов данных равной нулю.
Если jV = 64, NSHIFT =16, NSAMP = 32 и Т= 1,0, то для 64-
точечной тест-последовательности, приведенной в приложении
II, помещенном в конце книги, получим последовательность
значений СПМ, выборочные шесть из которых гоиведены ниже:
PSD(l)=0,341366E—03
PSD A000) = 0.989954Е+00
PSDB000) =0,81241 IE—02
PSDC000)=0,50513E— 01
PSD D000) =0,37835E—03
PSD D096) =0,33607E—03.
212
Подпрограма (N, NSHIFT, NSAMP, T, X, Y, NSEG, PSD)
Предназначенадля вычисления усредненной периодограммы, определяемой
выражением (?43). Подпрограмма вычисляет количество сегментов NSEG,
равное ближашему целому числу. Используется окно Хэмминга, хотя
можно применть и другие окна, приведенные в табл. 5.1. Выходом про-
программы являюся значения оценок спектральной плотности мощности PSD
в диапазоне чгтот от — 1/2Т до 1/2Т, где Т —интервал отсчетов в секун-
секундах. При вычрлении автоспектральных оценок несколько снизить вычис-
вычислительные затрты можно, устранив строки программы, касающиеся век-
вектора Y. В обшм случае значения оценок взаимной СПМ являются комп-
комплексными, автспектральные оценки имеют действительные значения.
Выходные парметры:
N — исло отсчетов данных
NSHIFT — исло отсчетов, соответствующее сдвигу между сегментами
NSAMP —исло отсчетов на сегмент (должно быть четным)
Т — нтервал отсчетов в секундах
X — ассив комплексных отсчетов с ХA) по X(N)
Y — асснв комплексных отсчетов с Y(l) no Y(N)
Выходные парметры:
NSEG —исло усредняемых сегментов
PSD — ассив из действительных значений NPSD спектральной
лотности мощности
Примечание:
Размеры .СЕ. N внешних массивов X, Y и размер ,GE. NPSD массива
PSD должш указываться в вызывающей программе, размеры внутрен-
внутренних массивв W, XSEG, YSEG должны указываться в .GE. NPSD,
размер масйва WINDOW должен указываться в .GE. NSAMP. Исполь-
Используются внешне подпрограммы: PREFFT и FFT (см. приложение 2.В)
PARAMETR NPSD = 4096 ! Должно быть степенью числа 2
COMPLEX С A),YA),PSDA),W(NPSD),XSEG(NPSD),YSED (NPSD),
TEMP
REAL WIN>OWA27)
PI2 8 A'4NA)
CALL PREFT (NPSD,O,NEXP,W)
С Используется кно Хэмм-инга. Следующие две строки можно заменить лю-
С бой другой фукцией окна.
DO 10 К- NSAMP
10 WINDOZ(K) = 0.538+0.462-COS (PI2. (- 5+
FLOAT(K-1)/FLOAT(NSAMP-I)))
С Вычислить чнсо целых сегментов NSEG, таких что NSEG LE N
NSEG=(N-NSAMP)/NSHIFT+1
DO 50 К= NSEG
DO 20 J-l.NSAMP
INDK=J+(K-1)*NSHIFT
XSE((J) =X(INDEX) .WINDOW(J)
20 YSE((J)=Y(INDEX).WINDOW(J)
DO 30 J=NSAMP+1,NPSD
XSEC(J)-@.,0.)
30 YSEC(J) = (O.,O.)
Классические мето
. спектрального оценивания
CALL FFT (NPSD,O,T,NEXP,\V,XSEG)
CALL FFT (NPSD,O,T,NEXP,W,YSEG)
DO 40 J=1,NPSD
IF (K.EQ. I) PSD(J)=XSEG(J).CONJG(YSEG(J))
40 IF (K.NE. 1) PSD(J)=PSD(J)-bXSEG(J)*CONJG(YSEG(J))
50 CONTINUE
С Необходимо ввести коэффициент коррекции энергии окна
DO 60 K=l NPSD
60 PSD(K)=PSD(K)/FLOAT(NSEG*NSAMP)
RETURN
END
Глава 6
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
6.1. Введение
В гл. 4 спектральная плотность мощности (СПМ) была опре-
определена как дискретно-временное преобразование Фурье
(ДВПФ) бесконечной автокорреляционной последовательности
(АКП). Это соотношение между СПМ и АКП можно рассмат-
рассматривать как непараметрическое описание статистик второго по-
порядка случайного процесса. Ряд других непараметрических
спектральных оценок, которые являются строгими функциями
АКП, рассматривается в гл. 12 и 13. К параметрическому опи-
описанию статистик второго порядка можно прийти, рассматривая
модель временного ряда, соответствующего анализируемому
случайному процессу. В этом случае СПМ модели временного
ряда будет прежде всего некоторой функцией параметров этой
модели, а не АКП. В данной главе описан один частный класс
моделей, возбуждаемых белым шумовым процессом и обладаю-
обладающих рациональными системными функциями. Этот класс вклю-
включает модель авторегрессионного (АР) процесса, модель процес-
процесса скользящего среднего (СС) и модель процесса авторегрес-
авторегрессии—скользящего среднего (АРСС). Выходные процессы мо-
моделей этого класса имеют спектральные плотности мощности,
которые полностью описываются с помощью параметров моде-
модели и дисперсии белого шумового процесса. Значения этих па-
параметров и дисперсии белого шума определяются по автокор-
автокорреляционной последовательности с помощью соотношений, опи-
описанных ниже в этой главе. Методы оценивания параметров мо-
мотелей и дисперсии белого шума по конечной записи данных
рассматриваются в гл. 8—10.
Одна из причин применения параметрических моделей слу-
случайных процессов обусловлена возможностью получения на ос-
основе этих моделей более точных оценок СПМ, чем это возмож-
возможно с помощью классических методов спектрального оценивания.
Еще одна важная причина — более высокое спектральное раз-
разрешение. И периодограммный, и коррелограммный методы,
описанные в гл. 5, дают оценки СПМ по взвешенной последова-
последовательности данных или оценок АКП. Отсутствующие данные или
неоцененные значения АКП за пределами применяемого окна
Параметрические модели случайных процессов
215
неявно полагаются равными нулю, что, естественно, является
нереалистическим допущением и приводит к искажениям спект-
спектральных оценок. На практике часто имеется некоторая инфор-
информация относительно процесса, из которого берутся отсчеты
данных. Эту информацию можно использовать для построения
модели, аппроксимирующей процесс, который породил наблю-
наблюдаемую временную последовательность. Такие модели позволя-
позволяют принимать более реалистические допущения о данных вне
окна, чем допущение об их равенстве нулю. В результате отпа-
отпадает необходимость в функциях окна, а следовательно, устра-
устраняются и связанные с ними искажения. Степень улучшения
разрешения и повышения достоверности спектральных оценок
(если они имеются) определяется соответствием выбранной мо-
модели анализируемому процессу и возможностью аппроксимации
измеренных данных или АКП (известной или оцененной по
этим данным) с помощью нескольких параметров модели.
Задание СПМ или АКП требует обеспечения устойчивости и
(или) каузальности применяемого фильтра, с тем чтобы полу-
получить однозначно определенную модель; этому вопросу посвя-
посвящен разд. 6.6.
6.2. Краткая сводка результатов
Параметрический метод спектрального оценивания состоит из
трех этапов. На первом из них производится выбор параметри-
параметрической модели временного ряда, соответствующий имеющейся
записи измеренных данных. В этой главе будут рассмотрены
три типа параметрических моделей временных рядов: авторег-
авторегрессионная (АР) модель, модель скользящего среднего (СС) и
комбинированная модель авторегрессии — скользящего среднего
(АРСС). На втором этапе вычисляются оценки параметров мо-
модели. На третьем этапе оцененные значения параметров вво-
вводятся в теоретическое выражение для спектральной плотности
мощности, соответствующее избранной модели.
В табл. 6.1 указаны номера уравнений для АР-, СС- и
АРСС-моделей, которые приводятся в данной главе. В прило-
приложении 6.А помещена машинная программа ARMAPSD, пред-
предназначенная для вычисления значений СПМ по заданным зна-
значениям параметров соответствующей модели. Выбор одной из
трех моделей, приведенных в табл. 6.1, требует некоторых пред-
предварительных сведений о возможной форме спектральной оцен-
оценки. Если необходимы спектры с острыми пиками, но без глу-
глубоких впадин (нулей), то наиболее подходящей является АР-
модель. Если, наоборот, необходимы спектры с глубокими ну-
нулями, но без острых пиков, то подойдет СС-модель. Что же
касается АРСС-модели, то она может, вообще говоря, приме-
216 Глава 6
Таблица 6.1. Сводка основных соотношений для параметрических модегй
Основные соотношения
Определение временного ряда
Автокорреляционная последова-
последовательность
СПМ (на основе параметров)*»
СПМ (на основе АКП)
Эквивалентность АР(оо)-модели
Эквивалентность СС(°о)-модели
АРСС
F.1)
F.29)
F.8)
F.17)
F.24)
АР
F.13)
F.31)
F.14)
F.33)
F.24)
СС
F.11)
F.35)
F.12)
F.36)
F.17)
му ARMAPSD. noi
няться в обоих этих предельных случаях. В тех случаях, кода
одинаково пригодна любая из трех моделей, следует, по вей
вероятности, использовать ту из них, которая имеет наименьше
число параметров. Этот принцип экономии был предложен Бк-
сом и Дженкинсом [1] и основан на том факте, что получиъ
оценки с хорошими статистическими свойствами можно, ик
правило, тогда, когда число оцениваемых параметров мин-
мально. Заметим, однако, что вычислительные затраты д[я
оценивания параметров АР-модели часто значительно меные
вычислительных затрат, требуемых для оценивания параметра
СС- и АРСС-моделей, поэтому АР-модель временного ря.а
иногда выгодно применять даже тогда, когда она не являетя
моделью с наименьшим числом параметров. Вопросы, касаз-
щиеся числа параметров для уже выбранной модели будут рг-
смотрены в гл. 8 и 10.
6.3. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов
Модель временного ряда, которая пригодна для аппроксимаци
многих встречающихся на практике детерминированных и ctj-
хастических процессов с дискретным временем, описываетя
выходом фильтра, выражаемым следующим линейным разнос-
разносным уравнением с комплексными коэффициентами:
х[п] = - Ya[k]x[n-k\
-k] = F.)
F.!)
Здесь х[п\ —последовательность на выходе каузального фил>-
тра (h[k]=0 при k<0), который формирует наблюдаемые да[-
Пврамтринеские модели случайных процессов
217
ные, а и[п] — водная возбуждающая последовательность. Без
потери общност можно положить 6[0] = 1, так как вход и[п]
всегда можно сответствующим образом промасштабировать,
с тем чтобы учеть любой коэффициент усиления фильтра.
Выше в гл. 2 бьло показано, что системная функция Н(г), свя-
связывающая вход! выход этого фильтра [см. выражение B.17)],
имеет рационалную форму
В (г)
Н(г) =
AW1
F.3)
в которой полиомы определяются следующими выражениями:
А(г) = 1+ГаИг-*, F.4)
B(z) = l+'Zb[k]z-\ F.5)
Н(г) =
F.6)
При этом предгвлагается, что нули полиномов А(г) и В (г)
расположены вн'три единичной окружности в z-плоскости, с тем
чтобы гарантиреать принадлежность фупкции Н(г) устойчи-
устойчивому минималью-фазовому каузальному фильтру.
Согласно вьпажениям D.42), г-преобразование автокорре-
автокорреляции выходнойпоследовательиости х[п] и г-преобразование
автокорреляции входного случайного процесса и[п] связаны
соотношением
' F.7)
Вхо,
наб."
:пек
возбуж.ающий процесс и[п] обычно не доступен для
ч"ч г 44Tnvv "г -"¦¦¦-•от быть использован для целей
него можно принять
¦"—нть, что это единич-
t сть или белый
ем и диснерией pw, так что Р„и(г)=р». Тогда модель ав-
, агрессии — сюльзящего среднего (АРСС) для временного
>яда х[п] буде- определяться выражением F.1), где и [л] —
юследовательноть, соответствующая белому шуму. Функцио-
Функциональная схема лРСС-модели показана на рис. 6.1, а; здесь па-
оаметры a[k] хэактеризуют авторегресснонную часть этой мо-
Наблюдаемая
АРСС-последователь
[п] Шум набль
Рис. 6.1. Модели феменнбго ряда, которые имеют рациональные системны!
функции: о — филтр авторегрессии — скользящего среднего (АРСС) поряд.
ка (Р. 1); 6 — АЕС-процесс с шумом наблюдения; а —фильтр скользящее
среднего (СС) прядка q; г — авторегрессионный (АР) фильтр порядка р
Параметрические модели случайных провесов
219
дели, а параметры b[k\—ее часть, соответствующую скользя-
скользящему среднему. Спектральную плотность моиности для АРСС-
модели получаем, подставляя в F.7) z = exp;/2jtfT) и масшта-
масштабируя интервалом отсчетов Т [см. выражени D.43)], что дает
\A(f)
= 7-p..,-%i
F.8)
F.9)
а векторы комплексных синусоид е, (/) и ep(f и векторы пара-
ыеров а и b имеют следующий вид:
где полиномы A(f) и B(f) определяются вьоажениями
А (/) = 1 + 2 а Щ ехр (— /2лfk~),
f I
¦ехр(/2я/Г)
1ехр(/2я/рГ)
U[/]J
I 1 )
F.10)
, Ь =
texp (j2nfqT))
U [J
Спектральная плотность мощности АРСС-прцесса вычисляется
в диапазоне частот —l/27"<:f«:l/2T.
В литературе часто используется обозначние АРСС (р, д),
что удобно для краткого обозначения АРССлодели с парамет-
параметрами авторегрессии порядка р и параметрами скользящего
среднего порядка q. Заметим, что задание А^-параметров, СС-
параметров и дисперсии белого шума рш полостью характери-
характеризуют спектральную плотность мощности АРХ-процесса х[п\.
Любой аддитивный шум наблюдения, присуттвующий в после-
последовательности измеряемых данных, должен юделироваться как
шум источника, отличного от источника возй/ждающего шума,
являющегося составной частью АРСС-модел (см. рис. 6.1,6).
Эффекты, обусловленные шумом наблюдение обсуждаются в
гл. 8.
0,0 0,1 0,2 0,3 0A 0,5
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,Ь
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
Рис. 6.2. Типичные параметрические модели спектра: а — АР D)-спектр; б—
СС D) -спектр; в — АРСС D,4) -спектр.
Если все АР-параметры положить, за исключением а[0] = 1,
равными нулю, то тогда
с М = 2 Ь [k] и [л — k] + и [п]
F.11)
будет строго СС-процессом порядка q, или просто CC(q)-про-
CC(q)-процессом. Полагая в уравнении F.8) р = 0, получаем спектраль-
спектральную плотность мощности СС-процесса
Функциональная схема СС-модели показана на рис. 6.1, 8.
Если все СС-параметры положить, за исключением Ь[0] = 1,
равными нулю, то
¦ р
к = 1
будет строго АР-процессом порядка р, или просто АР (р)-про-
(р)-процессом. Полагая в уравнении F.8) <7 = 0, получаем спектраль-
спектральную плотность мощности АР-процесса:
Функциональная схема АР-модели показана на рис. 6.1, г. При
заданных значениях параметров и дисперсии белого шума р„,
спектральные плотности мощности АРСС-, СС-, и АР-процессов
можно вычислить с помощью подпрограммы ARMAPSD, приве-
приведенной в приложении 6.А.
На рис. 6.2 показаны спектры типичных АРСС-, СС- и АР-
процессов. Отметим острые пики, характерные для АР-спект-
Параметрические модели случйных процессов 22
ров, н глубоке провалы, характерна для СС-спектров. АРСС
спектр, показ нный на рис. 6.2, в, п>едставляет собой резуль
тат объединения АР- и СС-спектров показанных на рис. 6.2,:
и 6.2, б. АРС(-спектр пригоден для юделирования как остры;
пиков, так и лубоких провалов. С ксколько иной трактовко'
спектральных характеристик этих 1араметрических моде лег
можно познаюмиться в статье Гутоски и др. [2] и книге Kef
[3].
6.4. Соотношеия между параметрам»
АР-, СС- и АР(С-моделей
Если задана IP-, СС- и АРСС-модел. с конечным числом пара-
параметров, то ее ложно выразить через 1ве другие модели. АРСС
и СС-процесс1 можно записать с погощью одной АР-модели i
общем случае бесконечного порядка Этот факт очень важе>,
так как позвошет выбирать любую 13 трех моделей и все ж
получать приилемую аппроксимации при достаточно большо!
порядке этой модели. Возможны оп]еделенные алгоритмичес
кие выгоды, ели по имеющимся даным сначала оценить па
раметры кака-либо одной модели, затем по ним вычислит,
значения параметров какой-либо дртой модели. Много эффек
тивных алгорггмов оценивания пара!етров разработано, в ча
стности, для iP-модели. Как будет оказано в гл. 10, оценива
ние параметре АР-модели большой порядка часто использу
ется в качеств первого этапа алгор[тма оценивания парамет
ров СС- и АРХ-моделей.
Пусть
С(г) = 1 4 S с[Пг-* F.15
(¦=1
— полином ааменателя АР(сс)-мдели. Параметры c[k
АР(оо)-модел, которая эквивалента АРСС (р, д)-модели, пс
лучаются из оотношения
или формировнием обратного г-преоразования от C(z)B(z) =
= А(г). Отсюд получаем
с[п]-
— 2 b[k]c[n—k].
п> р
с начальными условияш с[—1]=...=е[—д] =0. И наоборот,
¦если заданы параметр1 АР (оо)-модели, которая, как известно,
эквивалентна АРСС(р,?)-модели, то значения СС-параметров
можно восстановить, ршая уравнение
( c[p] c[,-l
c[p + q—l
о\р-ч+Щ (Ь[Ц)
ф-д+2] й[2]
С[Р+Ц)
c[p + 2]
с[р]
b[q]i
F.18)
¦относительно параметра b\k] и используя при этом соотноше-
соотношение F.17) при р+1 <></> + <?. Матрица параметров с\п] в
уравнении F.18) являйся тёплицевой, поэтому для его реше-
.ния можно использоваь подпрограмму TOEPLITZ, помещен-
помещенную в приложении З.Г.После определения СС-параметров зна-
значения АР-параметров .РСС-модели можно восстановить с по-
помощью свертки
a[n]=c[/i]+~? b[k]c[n-k],
F.19)
где 1<:ж/?. Алгоритм1 быстрой свертки основаны на исполь-
использовании БПФ. Отмет!» также, что уравнение F.19) выводится
из уравнения F.17).
Заметим, что в уравнениях F.18) и F.19) используются
только авторегрессионые параметры с\\\ с[р + <7] АР(оо)-
модели. Если параметр c[k] при k>p + q полагаются равны-
равными нулю, то результи|уюш,ая усеченная АР (p + q) -модель мо-
может аппроксимироватыолько ту АРСС (р, q) -модель, из кото-
которой она получена. Онааппроксимирует эту АРСС-модель в том
смысле, что полином, братный полиному АРСС-модели,
F.20)
я полином усеченной А3-модели
Сг)=1 + 2 c[k]z-"
p+ q
F.21)
Параметрические модели случайных процессов
Рис. 6.3. Конечные АР-аппроксимацип для АРСС-модели: а — АРССD,4)-
спектр; б—спектр АРB5)-аппроксима1'И1<- в — спектр АР(F0)-аппроксимации.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
Рис, 6.4. Конечные СС-аппроксимацни для АРСС-модели: а—АРССD, 4)-
спектр; б—спектр ССB5)-аппроксимации; в — спектр ССE0)-аппрокснмации.
согласованны, т. е. g[k] =c[?], только для l<k<p + q. Эта ап-
аппроксимация рациональной функции полиномов конечного по-
порядка полиномом более высокого порядка представляет собой
известную задачу аппроксимации Паде [4, 5]". Эта процедура
будет использована в гл. 10 для вывода аппроксимаций АРСС-
моделей на основе АР-моделей высокого порядка. Типичные
АР-аппроксимации высокого порядка для АРСС-моделп низко-
низкого порядка показаны на рис. 6.3.
Аналогичным образом пусть теперь
D(z)
F.22)
11 По аппроксимации Паде читателю можно рекомендовать книгу [18].—
Прим. ред.
224
Глава 6
— полином числителя СС(°°) -модели. Параметры b[k] этой
модели, которая эквивалентна АРСС (р, q) -модели, можно оп-
определить, записывая уравнение
А (г)
F.23)
или формированием обратного z-преобразования ot5(z)A(z) =
= В(г). Отсюда получаем
d[n] =
F.24)
— 2 a[k\d[n—li].
n>q.
Здесь также можно записать уравнения, аналогичше уравне-
уравнениям F.18) и F.19); см. разд. «Задачи». ТипичныеСС-аппрок-
снмации для АРСС-модели показаны на рис. 6.4.
6.5. Соотношение АР-, СС- и АРСС-лараметров
с автокорреляционной последовательностью
Этот раздел посвящен определению параметров мотели в том
случае, когда известна автокорреляционная последоательность.
Если обе части уравнения F.1) помножить над:* [п~т\ и опре-
определить математическое ожидание, то получим
${х[п}х'\п-т\) =
= — 2 а И & {xVn — k]x*[n—яг]}-}- 2 b[k\$ [и \п—:] X* [п
или
V У
F.25)
F.26)
Взаимную корреляцию г„.,[<] между входом и выхдом можно
записать через параметры h[k], входящие в вырахение F.6),
используя для этой цели уравнение F.2), что дает
= <? | и [я +(]!«• [л] + 2 ft* М
=г„,М+2 А*И/¦„[' + *]•
«* О—*] =
F.27)
Параметрические модели случайных процессов
Поскольку полагается, что u[k] —белый шум, то
(О, !>0;
F.28)
Отсюда получаем окончательное выражение, связывающее па-
параметры АРСС-модели и автокорреляционную последователь-
последовательность процесса *[?]:
т<0;
— 2 а 14 г„ [т-Щ + р„ 2 6 И A* [ft-m],
р
— 2 о И г„ [m—ft]. m> q,
F.29)
где напомним читателю, что Л[0] = 1 по определению Гсм. урав-
уравнение F.2)].
Авторегрессионные параметры АРСС-модели и автокорреля-
автокорреляционная последовательность связаны системой линейных урав-
уравнений. Выражение F.29) можно, например, записать для р
значений индекса временного сдвига q+l*cm<q + p и затем
представить в матричной форме
2] a [2]
F.30)
Таким образом, если задана автокорреляционная последова-
последовательность для q—p+l<m<fl + P. то АР-параметры можно най-
найти отдельно от СС-параметров как решение системы линейных
уравнений F.30). Уравления F.30) называются нормальными
уравнениями Юла — Уолкера для АРСС-процесса; иногда их
также называют модифицированными уравнениями Юла —
Уолкера. Автокорреляционная матрица в системе F.30) явля-
является тёплицевой, поэтому для решения этой системы можно
! 5—1 Зоб
применить подпрограмму TOEPLITZ, помещенную в приложе-
приложении З.Г. Количество требуемых для решения вычислительных
операций пропорционально величине р2. Следует заметить, что
значения СС-параметров ЛРСС-модели не являются, к сожа-
сожалению, решением системы линейных уравнений. СС-параметры
входят в выражение F.29) в виде сверток с коэффициентами
импульсной характеристики ft [/г], а это приводит к нелинейной
связи с автокорреляционной последовательностью.
Полагая в F.29) <? = 0, получаем уравнение, связывающее
автокорреляционную последовательность с параметрами авто-
авторегрессионной модели:
y,a[k]rxx[m — k], m>0;
4=1
- 2 а И г*Л— Щ + Р». т = 0'
*"' г'хх[—т], т<0.
F.3
Это выражение можно записать для р-t-l значений индекс-
временного сдвига 0<т<р и затем представить в матрично)"
ф
форме
('„[О] гх,[~Ц
¦*Л-р]
I 1
а[\]
F.32)
rxx[p-\] ...
Таким образом, если задана автокорреляциопная последова-
последовательность для 0<яг<р, то АР-параметры можно найти в ре-
результате решения уравнений F.32), которые называются нор-
нормальными уравнениями Юла — Уолкера для АР-процесса. Ав-
Автокорреляционная матрица в F.32) является и тёплицевон, и
эрмитовой, поскольку r<x[—k]=rxx*[k]. Поэтому для получения
решения р», а[1],..., а[р] при заданнойАКПс0<т<р можно
использовать подпрограмму LEVINSON, помещенную в прило-
приложении З.В. Количество требуемых для этого вычислительных
операций пропорционально величине р2.
Используя автокорреляционную последовательность, соот-
соответствующую уравнениям F.31), получаем следующее выраже-
выражение для СПМ авторегрессионного процесса:
Рар(/) = -
гхх Щ ехр (— i2nfkT). F.33)
Параметрические модели случайных процессов
227
Заметим, что значения автокорреляции, соответствующие зна-
значениям индекса временного сдвига от 0 до р, однозначно описы-
описывают авторегрессионный процесс порядка р, поскольку значе-
значения автокорреляции при |?]>р получаются рекурсивно
= — 2 a[k] rxx \in-k],
F.34)
что следует из выражения F.29) при q = 0. Полагая в
F.29) р = 0 и замечая, что ft[A]=bfft] при 1<&<<7, получаем
выражение, связывающее автокорреляционную последователь-
последовательность с параметрами модели скользящего среднего
Г 0, т > q;
I q
Г«*М = <Р„ 2 b[k]b'[k-m], 0<m<?; F.35)
[ rxx[— m], m<0.
Отсюда следует, что АКП и СС-параметры связаны нелиней-
нелинейным соотношением типа свертки. Используя далее автокорреля-
автокорреляционную последовательность, соответствующую уравнениям
F.35), получаем выражение для СПМ процесса скользящего
среднего
4=-»
). F.36)
Заметим, что суммирование в F.36) осуществляется в конеч-
конечных пределах, что просто отражает тот факт, что процесс
скользящего среднего порядка q некоррелирован при времен-
временных сдвигах \k\ >q. Выражение F.36) идентично по форме
выражению для оценки СПМ, получаемой с помощью класси-
классического коррелограммного метода:
= Т 2 г,х
k=-q
F.37)
если используются автокорреляционные оценки rxx[k], для ко-
которых максимальное значение k равно <?. Различие между эти-
этими двумя методами спектрального оценивания обусловлено тем,
как в них используются имеющиеся данные. В коррелограмм-
ном методе данные используются непосредственно для получе-
получения оценки автокорреляционной последовательности. В методе
скользящего среднего данные используются для получения оце-
оценок СС-параметров (см. гл. 10, где описана процедура СС-оце-
?-ггмНИт 2 затем с помощью выражения F.12) вычисляется
СПМ. Гем не менее оба метода дают спектры с одинаковыми
свойствами.
6.6. Спектральная факторизация
Рассмотрим z-прсобразование ЛР(р)-процесса, которое, соглас-
согласно F.7), определяется выражением
Pap(z) = -
¦щщшТ- F-38)
где A(z)A*(l/z*) —полином по z порядка 2р. Полюсы в F.38)
будут комплексно-сопряженными взаимно обратными парами.
Например, если zk— корень полинома A(z), то (l/zs)* =
= 1/Zfc* будет корнем полинома Л*A/г*); см. разд. «Задачи».
Если г*; лежит внутри единичной окружности, то l/zft* будет
расположен вне ее. Если zk лежит на единичной окружности,
то и 1/zt* лежит также на единичной окружности. Кроме того,
корни полинома A(z) также будут комплексно-сопряженными
парами, если все коэффициенты этого полинома действительны.
Рассмотрим знаменатель в F.38)—функцию A(z)A*(l/z*).
Типичная диаграмма расположения полюсов произведения по-
полиномов A(z)A*(i/z*) показана на рис. 6.5, а. Существует 2"
возможных комбинаций в случае р полюсов для полинома
A(z), которые будут давать идентичный полипом A(z)A*(l/z*).
На рис. 6.5, б и 6.5, в показаны две возможные спектральные
факторизации полюсов полинома A(z)A*(l/z*), представлен-
представленных на рис. 6.5, а. Однозначная факторизация требует, чтобы
модель временного ряда была и устойчивой, и каузальной, что
предполагалось при записи уравнения F.1). Согласно теории
линейных систем (см. гл. 2), полином A(z) должен быть в этом
случае минимально-фазовым, т. с. все его корни должны быть
расположены внутри единичной окружности в z-плоскости, как
показано на рис. 6.5, в. Поэтому все корни полинома A*(l/z*)
будут расположены вне ее. Полином A*(l/z*) ассоциируется с
устойчивым антикаузальным авторегрессионным процессом
р
a=i
определенным при я<0, а не с каузальным АР-лроцессом, оп-
определенным при я>0.
Заметим, что не следует путать устойчивость фильтра, свя-
связанную со спектральной факторизацией, и статистическую ус-
устойчивость. Устойчивость фильтра касается выбора АР- или
СС-параметров, которые формируют автокорреляционные ре-
рекурсивные выражения, такие как F.29) и F.31). Статистичес-
Статистическая устойчивость касается методов, которые позволяют умень-
уменьшить дисперсию спектральных оценок, получаемых по задан-
заданным конечным записям данных. В гл. 8 будут описаны методы
оценивания на основе линейного предсказания, которые облада-
обладают хорошей статистической устойчивостью, но необязательно
Параметрические модели случайых процессе
229
Рис. 6.5. Иллюстрация вопросов спектральнойфакторизацпи и устойчивости.
¦ арантируют получение минимально-фзовых оценок полинома
A(z). С точки зрения оценки СПМ весе не обязательно, что-
чтобы полином А (г) являлся минимално-фазовым полиномом,
поскольку оценка СПМ может быть галучена по любому поли-
полиному A(z) с произвольным расположением корней, как пока-
показано на рис. 6.5. Вопрос устойчивости возникает в том случае,
когда для реализации фильтра требуется оценки коэффициен-
коэффициентов полинома A(z). В этом случае миимально-фазовый фильтр
может быть создан посредством инвесного переноса всех по-
полюсов полинома A(z), расположенныхвне единичной окружнос-
окружности, внутрь ее. Иными словами, нужнопросто сформировать по-
полином A(z)A*(l/z») и выполнить мшимально-фазовую факто-
факторизацию.
Литература
[1] Box: О. Е. P., Jenkins G. M. Time Series Anlysis, Forecasting and Control
Holden-Day Inc., San Francisco, 1970. [Имееся русский перевод: Бокс Дж.',
дженкинс /Анализ временных рядов: Пргноз и управление. — М.: Мир,
[2] GutowskiP". E., Robinson E. A., Treitel S. Sectral Estimation: Fact or F
ra i t u JT Geosci., Electron., vol. CE-16, pp. 80-84, April 1978
N J 1987 Spectral Analysis. Prentie-Hall, Inc., Englewood Cli
Fic-
1978.
Cliffs,
[4] Райе HE. Sur la representation approachee 1'une function par des fractions
(suppTj%2 EC' NOrm' SUP' (Pris)' "a 3' v°'- 9' №' '-98
[5] Weiss L, McDonough R N. Prony's Method.t-Transforms, and Pade Appro-
Approximation. S1AM Rev., vol. 5, pp. 145—149, Apil 1963.
Задачи
1. Получить для АРСС A,1)-модели явное выражение для гхх[т], записанное
через а[1] и Ь[1].
2. Используя обратное z-лреобразование F.7), доказать справедливость соот-
соотношения F.29).
3. Используя соотношение F 24), записать матричные выражения, подобные
выражениям F.18) и F.19) и связывающие параметры (Х(оо)-модели с па-
параметрами АРСС(р, <?)-модели.
4. Пусть A{z) = lJr0,7z-lJr0,2z-2 есть z-преобразование АР B)-процесса. За-
Записать для этой модели ССB)-, ССD)- и СС( 10)-аппроксимации. Вычертить
графики полученных результатов. Насколько точна СС-аппроксимацпя?
5. Доказать, что автокорреляционная матрица уравнении Юла — Уолкера
F.32) для АР-процесса является положительно-полуопределенной матри-
матрицей.
6. Предположим, что устойчивый АРСС{p,q) -фильтр аппроксимируется
АР (р+?) -фильтром с помощью метода аппроксимации Паде. Показать, что
эта АР-аппроксимация не обязательно будет устойчивой.
7. Показать, что если zi — корень полинома A(z), определенного выражением
F.4), то (I/Zf)* — корень полинома A'{l/z*).
Приложение 6.А.
Программа для вычисления спектральной плотности
мощности АРСС-, АР- и СС-процессов
Подпрограмма APMAPSD предназначена для вычисления па-
бора значений' спектральной плотности мощности АРСС-, АР-
или СС-процесса по заданному массиву значений параметров
(массиву А, массиву В или по обоим этим массивам одновре-
одновременно) и дисперсии белого шума (RHO). Для повышения эф-
эффективности вычислений полиномов A(f) и B{f) в требуемом
диапазоне частот используется БПФ. Для обработки действи-
действительных данных необходимо просто положить мнимую часть
массивов А и В равной нулю.
При ЛA) = @,8; 0,9), ВA) = @,1; —0,3), IP=l, /Q=l,
RHO = 2,0 и 7 = 1,0 с помощью этой программы получаются
значения СПМ, частичная распечатка которых приведена ниже:
PSD ( 1) = 0,211765Е + 01
PSD A000) - 0.573554Е + 01
PSD B000) = 0.687682Е + 00
PSD C000) = 0.238198Е + 00
PSD D000) - 0.143373Е + 01
PSD D096) = 0.210874Е + 01
Подпрограмма ARMAPSD(IP,IQ,RHO,T,A,B,PSD ISTAT)
С
С Предназначена для вычисления набора NPSD значений спектральной
С плотности мощности в диапазоне частот от — 1/2Т до I/2T, где Т —пн-
С терзал отсчетов в секундах, по комплексным значениям АРСС-парамет-
С ров АРСС-модели. Для повышения эффективности вычислений числителя
Параметрические модели случайных процессов
231
л зламенателя, определяющих спектральную плотность мощп^п: АРСС-
процесса, используется БПФ. В случае действительных значений
АРСС-параметров значения спектральной плотности мощности будут сим-
симметричны относительно значения с индексом NPSD/2+1.
СПМ для АР-модели можно получить как частный случай данной под-
подпрограммы, для чего следует положить параметр IQ равным нулю. Анало-
Аналогичным образом СПМ для СС-модели можно получить как частный слу-
случай данной подпрограммы, для чего следует положить параметр IP рав-
равным нулю.
Входные параметры:
IP —порядок АР-модели (целое число).
IQ —порядок СС-модели (целое число).
RHO —дисперсия белого шума, используемого в качестве входного
воздействия модели (действительная величина).
Т —интервал отсчетов в секундах (действительная величина).
А - массив комплексных значений авторегрессионных парамет-
параметров от АA) до АAР).
В массив комплексных значений параметров скользящего сред-
среднего от ВA) до B(IQ).
Выходные параметры:
PSD —массив действительных значений спектральной плотности
мощности.
ISTAT — целочисленный указатель состояния в чочент выхода иэ
программы:
0 для нормального выхода;
1, если 1Р<0 или IQ<0.
Примечание:
Размеры .GE. IP внешнего массива А, размеры .GE. IQ внешнего
массива В и размеры .GE. NPSD массива PSD должны указываться
в вызывающей программе. Необходимы подпрограммы PREFFT
и FFT (см, приложение 2.А).
PARAMETER NPSD = 4096 ! Должно быть степенью числа 2
COMPLEX A(l),В A),W(NPSD),DEN(NPSD),NUM(NPSD)
REAL PSDA),RHO,T
ISTAT=0
Определить, если существуют, ошибки при задании значений порядка
моделей
IF (IP .GE. 0 AND IQ GE 0) GO TO 5
ISTAT=1
RETURN
Составить таблицу экспонент для БПФ (без дополнения нулями)
CALL PREFFT (NPSD,0,NEXP,W)
IF (IP .EQ. 0) GO TO 30
DEN (l) = (i.,o.)
DO 10 K-l.IP
DEN(K+1)=A(K)
DO 20 K-IP+2.NPSD
DEN(K) = @.,0)
CALL FFT (NPSD.0,1., NEXPWDen)
IF (IQ .EQ. 0) GO TO 60
NUM A) = (I ,0)
Глава 6
DO 40 K=1,IQ
NUM (K+1)=B(K)
DO 50 K=IQ+2,NPSD
CALlVfT (NPSD.6, I., NEXP.W.NUM)
IF (IP .EQ. 0) GO TO 80
IF (IQ .EQ. 0) GO TO 100
Уравнение F.8)
с
80
90
С
100
по
ч _. _ _ *2)
RETURN
Уравнение F.12)
D°PSmK) =ТнО.Т. (REAL (NUM (K)) • -2
+AIMAG(NUM(K))
RETURN
Уравнение F.14)
DOpSD(Kr=RHO?T/(REAL(DEN(K))+AIMAG(DEN(K)) ¦
RETURN
END
Глаа 7
АВТОРЕГРЕССИОННЫЙ ПРО1ЕСС И СВОЙСТВА СПЕКТРА
7.1. Введение
Из всех моделей временных ря.ов, описашых в гл. 6, наи-
наибольшее внимание в технически литератре уделяется авто-
авторегрессионным (АР) спектралыым оценк.м. Объясняется это
двумя причинами. Во-первых, тем, что авторегрессионные
спектры имеют, как правило, осрые пики, i это часто связыва-
ск'я с высоким спектральным ]азрешение[. Во-вторых, тем,.
¦" оценки АР-параметров можо получитькак решения линей-
ypai^'cnuii. Так, например выраженю F.32) может слу-
цией того, чтп -параметр и автокорреляци-
лтелыюсть (A i связаны системой линейных
емя оцс СС- и АКС-параметров тре-
ных уравешш, танх, например, как
35).
.iu,, ы,. . материала, гэсвященноп авторегрессионно-
ральном\ анализу, заствил разбиъ изложение АР-ме-
три главы. Свойства и ообенности АР-процесса и АР-
обсуждаЮ1Ся в данной лаве в прешоложении извест-
¦ П, что, как правило, в типично для практики. Эти
порождают другие назнния АР екктрального анали-
а,-ие как метод максимальной энтроши (ММЭ) и метод
иного предсказания (ЛП). 1екоторые гз этих свойств ис-
¦ уются при разработке алгоитмов оцеивания параметров
¦ егрессионных процессов по здним лиш. отсчетам данных;
лгоритмы описаны в двух седующих иавах. В гл. 8 опи-
алгоритмы оценивания АРпараметро! и машинные про-
1 пванные на блочной обработке данных, а в гл. 9
отся алгоритмы, осеванные н последовательной
¦ч |бработке отсчетов днных.
кроткая сводка результатов
.а состоит из двух осноных раздеюв, посвященных
i авторегрессионных прцессов и войствам авторе-
||ых спектров, которые ресматривавтея в предположе-
автокорреляционная пеледователность (АКП) из-
'сновные свойства АР-прцесса укзаны в табл. 7.1,
234 Глава 7
Таблица 7.1. Свойства АР-процесса
Предмет рассмотрения
Фильтр линейного предска-
предсказания
Алгоритм Левинсона
Коэффициенты отражения
Свойство
Отбеленный АР-процесс
Быстрый вычислительный
алгоритм
АР-процесс как решетча-
решетчатый фильтр
Подраздел
7.3 1
7.3.2
7.3 3
там же указаны подразделы, где обсуждается каждое назван-
Ние свойство. Главный результат, касающийся возможности
представления АР-процесса в виде одной из трех однозначно
определяемых последовательностей, изложен в подразд. 7.3.4.
В табл. 7.2 приведены основные свойства АР-спектра и
указаны подразделы, в которых они обсуждаются. Отметим,
Таблица 7.2. Свойство АР СПМ
Свойство
Интерпретация к;, осно-
основе максимальной энт-
энтропии
Основа для высокого
разрешения
Оценивание мощности
синусоидальных ком-
компонент
Подраздел
7.4.1
742
7.4.3
что метод максимальной энтропии целесообразно использовать
в том случае, когда исследуемый процесс является гауссовс-
ким. Случаи когда анализируемый процесс состоит из синусоид
и аддитивного шума, рассматривается в подразд. 7.4.3.
7.3. Свойства авторегрессионного процесса
7.3.1. Связь с анализом, основанным
на линейно/у предсказании
И этом подразделе будет показано, что уравнения, соответству-
соответствующие линейному предсказанию, по своей структуре идентичны
уравнениям Юла — Уолкера для авторегрессионного процесса,
а потому существует тесная связь между фильтром линейного
предсказания и АР-процессом. Эта взаимосвязь использована
е нескольких алгоритмах, представленных в гл. 8 и 9.
онный процесс и свойства спегрэ
Рассмотрим оценку линейного предсказаниязперед
*'[п] = — 2 a'[k]x[n—k]
G.1)
отсчета лг[гс_|, где ct^[k] —коэффициент линейное предсказания
вперед, соответствующий временному индексу I Здесь крышка
«"-» обозначает оценку, а надстрочный индекс : (от forward —
иперед) используется для обозначения оценки, зс\ществляемой
вперед. Предсказание вперед понимается здес в том смысле,,
что оценка, соответствующая временному индеку п, вычисляет-
вычисляется по т предыдущим временным отсчетам. Комплексная ошиб-
ошибка линейного предсказания вперед
ef\n\~x[n\—xf\n\
G.2)
имеет действительную дисперсию
Р/ = ?1\е'\п]\>}. G.3)
Подставляя G.1) и G.2) в G.3), получаем следующее выраже-
выражение для дисперсии:
Р' = гхх [0] + J, а' [к] гхх [-Щ-. 2 (а' [/])* rxx Mb
аУ= • . г,„ =
2,2/
I гхх[0] ... г-„[т-
G.1)
\а'\т\\
ДО]
При записи этих выражений использовалось даущение о том,
что х[п\ — процесс, стационарный в широком мысле, поэтому
fxx[—k]=fxx*[k]. Выражение G.4) по своей ф)рме идентично
квадратному матричному уравнению C.68). 1оэтому вектор
коэффициентов линейного предсказания вперед i', который ми-
нимизирует дисперсию pf, находится как решеье нормальных
уравнений
wHoJ G-5)
которые следуют непосредственно из C.69). Структура нор-
Рис. 7.1. Трансверсальная реализация фильтра линейного предсказания ошиб-
ошибки: если х[п] является АР (т)-процессом, то е'[л] и еь[п] —процессы типа
белого шума. Здесь г~' означает задержку на один отсчет.
мальных уравнений становится более понятной после их записи
е развернутом виде
....- - ,, \ /ра
... г;,[т-1]\[ а'[Ц
Это матричное уравнение по своей структуре идентично урав-
уравнениям Юла — Уолкера F.32) для авторегрессионного процес-
процесса. Если выражение G.2) переписать в виде
x[n}=*-%a'[k]x[n-k] + ef[n], G.7)
то нетрудно видегь его подобие уравнению F.13) для авторе-
авторегрессионного процесса. Следует, однако, отметить два различия
между процессом линейного предсказания вперед и АР-процес-
сом. Последовательность и[п] в уравнении F.13) соответствует
белому шумовому процессу, который используется в качестве
входного воздействия для авторегрессионного фильтра. После-
Последовательность х\п] представляет собой выход авторегрессион-
авторегрессионного филыра. Последовательность значений ошибки ef[n] в
уравнении G.7) представляет собой выход фильтра линейного
предсказания ошибки вперед, структурная схема которого по-
показана на рис 7.1. Последовательность х[п] —это входное
воздействие для фильтра предсказания ошибки. Последователь-
ПоследовательАвторегрессиониый процесс и:войстза спектра
237
ность значений ошибки линейного редсказания не буде кор-
релирована с оценкой линейного госдеказания х?[д], щнако
она, вообще говоря, не будет предсавлять собой белый думо-
вой процесс до тех пор, пока последовательность х\п] нсгене-
оируется как некоторый АР (р)-процсс с tn — p. В отмечнном
же случае последовательность значний ошибки будет >елым
шумовым процессом, коэффициент! линейного предекзания
вперед будут идентичны АР-парамерам (a'[k] = а [А]), а фшьтр
предсказания ошибки можно будет рассматривать как отбели-
отбеливающий фильтр; см. Папулис [18].
Можно записать выражение дле оценки ошибки лин иного
предсказания назад
xb[n] = ~^ab[kx[n + k], G.8)
к- 1
где ab\k] —коэффициент линейногс предсказания назад соот-
соответствующий индексу времени k. ГЬдстрочный индекс Ь (от
backward — назад) используется дл обозначения элементов,
связанных с оценкой линейного прдсказания назад. Прдска-
зание назад понимается здесь в то: смысле, что оценка соот-
соответствующая индексу времени п, вычисляется по m поседую-
щим временным отсчетам. Ошибка шнейного предсказаия на-
назад определяется выражением
ъ [л] =х[п — т]— * [п — т],
G.9)
где для удобства намеренно примеен индекс п, а не п—т,
с тем чтобы величины es[n] и еь[п были функциями одого и
того же множества отсчетов дапны; (а именно х[п],х[п-1],...
...,[п—т]), которые использованы* фильтре линейного пред-
предсказания, структурная схема которто показана на pi:. 7.1.
Комплексное значение ошибки ликйного предсказания назад
имеет действительную дисперсию
). G.10)
Подставляя G.8) и G.9) в G.10), получаем следующеевыра-
жение для дисперсии:
Р" = '„ [0]
г,хЩ _ Д (а" П)« г„ [- /] f-
" + (а1')»с + (a')» R;'ia
и Rm-i были определены выше, а
В соответствии с уравнением C.69), вектор коэффициентов
линейного предсказания назад аь, который минимизирует дис-
дисперсию рь, находится как решение нормальных уравнений, оп-
определяемых выражением
Хп-г
voj-
G.12)
Записывая уравнение G.12) в развернутом виде, получаем
уравнение
гхХ[Ц гхх[0] ... гхх[т-1]\ а>[1] \ / О
г'хх[т—1]
\а"[т]
которое после перестановки членов принимает следующий вид:
г'„\т\ ) (а"[т]\ (О1)
... гхх[т-1]
G.13)
О
i'i И
Теперь нетрудно видеть, что уравнения G.6) и G.13) содержат
идентичные эрмитовы тёплицевы автокорреляционные матрицы.
Выше в подразд. 3.8.1 [см., в частности, уравнение C.156)]
было показано, что решения уравнений G.6) и G.13) должны
обладать свойствами
РЬ = РЛ G.14)
G.15)
где 1<&<т. Отсюда следует, что дисперсия линейного предска-
предсказания вперед и назад идентичны. Коэффициенты линейного
предсказания назад будут просто комплексно-сопряженными
величинами коэффициентам линейного предсказания вперед,
когда оба фильтра предсказания имеют одну и ту же длину
Авторегрессионный процесс и свойства :пектра 239
т. Если фильтр линейного предсказания шибки вперед явля-
является отбеливающим фильтром АР-процесса,то фильтр линейно-
линейного предсказания ошибки назад будет отбеливающим фильтром
для антикаузальной реализации АР-процесс.
7.3.2. Алгоритм Левинсона
Решение эрмитовых тёплицевых уравнений G.6) и G.13) мож-
можно получить с помощью алгоритма Левинона, описанного в
подразд. 3.8.1. Если в соответствии с параметрами, приведен-
приведенными е подразд. 3.8.1, положить t[k] — r*K[)], am[?] =a?m[A] и
pm = pfw-., то решение для фильтра линейной предсказания с М
коэффициентами будет описываться следуицим рекурсивным
соотношением:
т=1;
2 оА_! [к] гхх [т — к
G.16)
] =-' a,L, [fc] hai,[m]
I
k=n;
m)l,
, G.17)
G.18)
где l<m<Af. Единственное требуемое приэтом начальное ус-
условие имеет вид
р'и = г„[О]. G.19)
Значения коэффициентов линейного предснзания назад полу-
получаются из значений коэффициентов линеиого предсказания
вперед посредством простой операции комплексного сопряже-
сопряжения. Б приведенных выражениях для элемнтов были добавле-
добавлены подстрочные индексы т или т—1, с та чтобы указать по-
порядок фильтра линейного предсказания. Зшетим, с помощью
алгоритма Левинсона автоматически получются все коэффи-
коэффициенты линейного предсказания с минималной дисперсией по-
порядка от 1 до М. Следовательно, возможю без добавочных
вычислительных затрат получать все АР-мдели более низкого
порядка.
Г.сли эрмитова тёплицева матрица в урвнении G.6) явля-
являете* положительно определенной матрицей то полином
1+2 аЦ
G.20)
в котором в качестве коэффициентов испльзуются коэффи-
коэффициенты линейного предсказания, получаемге с помощью алго-
r она, будет иметь корни, расположенные внутри
,'уга; см. Маркел и Грей [14J. Следовательно, это
. давать минимально-фазовый фильтр линейного предска-
Lii ошибки. Доказательство этого свойства приводится в це-
целом ряде работ; см., например, Кей [8J, Пакула и Кей [17],
Лэнг и Макклеллан [10], Берг [2]. Типичная схема доказатель-
доказательства строится на использовании того факта, что величину дис-
дисперсии рь можно уменьшить посредством зеркального переноса
корней, лежащих вне единичного круга, внутрь этого круга.
Минимально-фазовое свойство гарантирует, что решение урав-
уравнений Юла — Уолкера будет давать устойчивый авторегресси-
авторегрессионный фильтр \IA(z), а это означает, что рекурсивное уравне-
уравнение F.31) для АКП будет давать конечные значения автокор-
автокорреляции, не превосходящие по своей величине значения г«[0],
как того требует допущение о стационарности процесса.
Если процесс х\п\ действительно является АР (р) -процессом,
то решение на основе линейного предсказания порядка т = р с
помощью алгоритма-Левинсона дает
ар [к] = 4, 1 < k < р,
РР = Р':,
G.21)
где ap[k] — АР-параметры, а рр — дисперсия возбуждающего
белого шума. Величина этой дисперсии будет постоянна, если
порядок линейного предсказания равен или превышает пра-
правильный порядок, поэтому а^т[т] —0 при т>р. Таким образом,
алгоритм Левннсона можно использовать для генерации фильт-
фильтров линейного предсказания ошибки последовательно возраста-
возрастающего порядка до тех пор, пока дисперсия не достигнет некото-
некоторой постоянной величины, т. е. перестанет изменяться. Этот
факт может быть использован как своего рода индикатор пра-
правильного, или наиболее правдоподобного, порядка используе-
используемой авторегрессионной модели.
В следующем подразделе будет показано, что |am[m]|<sl.
А это означает, что дисперсия ошибки предсказания р'т, опре-
определяемая уравнением G.18), должна быть монотонно убываю-
убывающей функцией, достигающей минимума при т = р, если исследу-
исследуемый процесс является АР (р) -процессом. Это — еще одно по-
полезное свойство, которое также может быть использовано для
выбора порядка модели; этот вопрос обсуждается в гл. 8.
7.3.3. Коэффициенты отражения
Коэффициенты линейного предсказания ai<[1],..., ар'[р] часто
называют коэффициентами отражения, что обусловлено их ин-
интерпретацией как физических параметров акустической трубы,
используемой в модели речи [11, 13], или слоистых моделей
Авторегрессионный процесс и свойства спектра 24В
Земли, используемых при обработке сейсмических данных
[19]. Для того чтобы отличать именно эти коэффициенты ли-
линейного предсказания от остальных коэффициентов, для их обо-
обозначения используется специальный символ kn = alm[m], 1<
<т*ср. В статистической литературе отрицательный коэффици-
коэффициент отражения — кш называется частным коэффициентом кор-
корреляции [1], поскольку он характеризует нормированное значе-
значение корреляции между х[п] и х[п—пг] за вычетом той доли.
корреляции, которая вызвана влиянием х[п—1] х[п—m+l].
Коэффициенты отражения можно также рассматривать как
взятый со знаком минус нормированный коэффициент корреля-
корреляции между ошибками линейного предсказания вперед и назад
с единичным временным сдвигом:
у
G.22}
Это выражение можно получить, используя определения G 2)
G.4) и G.9), что дает
If
?{<&-! [п] #-, [«-!]} =
2 а'т-г[Щх[п-к] ){х*[п-т]+
+ 2i<-i[k]x'[n — т + Н\ )> = гхх[т]+ 2 а'т^Щ гхх[т — ?] = Д„.
G.23)
а также учитывая, что на основании свойства стационарности
и эрмитова тёплицева свойства автокорреляционной матрицы
[« — 1]I21- G.24)
Подставляя G.23) и G.24) в выражение, определяющее коэф-
коэффициент отражения, получаем
к„ = а,„[т\ = ==_ = "» ^=^| G,25)
Р"'-1 yPi-i-j/pm-i
откуда приходим к выражению G.22). Используя G 22) не-
нетрудно также показать, что |к„|<1 для 1<т<р (см разд
«Задачи»). Ограничение модуля кт единицеГяв^яется необхо-
необходимым и достаточным условием того, чтобы автокорреляционная
матрица была положительно-полуопределенной. ляционная
16-1366
Тис. 7.2. Решетчатая реализация фиьтра линейного предсказанш либки:
г-1 означает задежку на один отсчет.
Если в определении G.2) i G.9) для прямой и обратной
ошибок линейного предсказаия ввести ат>[к] (или a,n"[k] =
= а„1"[к]), задаваемое рекурсвным уравнением G.17), то не-
нетрудно показать (см. разд. «Зщачи»), что
еЦя] = <>?,_, [п-[ к,А-№— 1]. <7-26)
d [я] = d-, [л- 1] + k;.e,U [re] G.27)
-с начальными условиями xfz] = eof \n\ — е^ь [п\. Соотношения
G.26) и G.27) дают еще ану возможную интерпретацию
-фильтра линейного предсказаия ошибки как решетчатой струк-
структуры, изображенной на рис. 72. Параметрами на каждой сту-
<пени этого решетчатого фильта являются коэффициенты отра-
отражения. Заметим, что в структ^е решетчатого фильтра одновре-
одновременно распространяются ошиби линейного предсказания вперед
и назад. К преимуществам ршетчатого фильтра перед транс-
¦версальными фильтрами (т. е фильтрами, реализуемыми на
линиях задержки с отводами),например таким, как показан на
рис. 7.1, следует отнести их мньшую чувствительность к шуму
¦округления и к флюктуациям (случайным возмущениям) зна-
значений коэффициентов [4]. Ре1.етчатый фильтр является также
•ортогонализирующим фильтрси, поскольку ошибки предсказа-
предсказания назад на выходе каждой ео ступени взаимно ортогональны
J12] (см. разд. «Задачи»).
7.3.4. Об эквивалентных предсивлениях
.авторегрессионных процессов
АР (р)-процесс имеет три эквиалентных представления: в виде
•бесконечно протяженной автоорреляцнонной последовательно-
последовательности, в виде конечной последовательности авторегрессионных
(параметров и в виде конечнойпоследовательности коэффициен-
Авторегрессионный процесс и свойства спектра
Пред
ионная
г|Р1
„14,-.".И
У*
посп
¦111,
див
V
\
пьность
rlol.k, kp
представление
Рис. 7.3Трн эквивалентных представления авторегрессионного процесса.
тов отракения; см. диаграмму на рис. 7.3. Хотя АКП для
АР(р)-прцесса бесконечна, полная АКП однозначно определя-
определяется юнечной автокорреляционной последовательностью.
г**[0], . . , /v*[p]. Остальную часть АКП можно получить с по-
помощью ркурсивного соотношения F.34). Алгоритм Левинсона,
описаннш в подразд. 7.3.2, позволяет определить и АР-пара-
метры, и коэффициенты отражения по заданной АКП, соответст-
соответствующей ременным сдвигам от 0 до р. Используя только урав-
уравнение G17) с начальным условием Oi[l] = ki, можно получить.
простое ]екурсивное соотношение, которое будет давать АР-па-
раметрытля всех порядков от т=\ до т — р всего лишь на ос-
основе заднной последовательности коэффициентов отражения,
от ki до р, и в результате позволяет сформировать однозначное
соответсъие между коэффициентами отражения и авторегрес-
сионным] параметрами. Можно также обратить направление-
рекурсийалгоритма Левинсона и получить рекурсии убывающе-
убывающего поряда от т к т—1, что позволит вычислять автокорреля-
ционнуюпоследовательность при временных сдвигах от р до О,,
использу либо набор АР-параметров {р„, ор[1], . .., ар[р]}, ли-
либо набор коэффициентов отражения {r«[0], ki, ..., kp} (см.
разд. «Здачи»). Возможно также однозначное представление
коэффицвнтов отражения через АР-параметры.
Для иго чтобы отображения, указанные на рис. 7.3, был»
возможнши, необходимо, чтобы выполнялись следующие три
эквивалетных условия:
* гхх0] гхх[р] является положительно-определенной
последов тельностью;
• A(;) = l+2J>s=lOp[/;]z-s являетс
полинома;
• рт>0 и |km|<l при 1
16'
минимально-фазовым
7.4. Свойства спектральной плотности мощности
.авторегрессионного процесса
7.4.1. Интерпретация метода максимальной энтропии
В литературе оценку спектральной плотности мощности авто-
авторегрессионного процесса часто называют спектральным анали-
анализом на основе метода максимальной энтропии (ММЭ). Этот
подход был введен Бергом [2]. Если конечная автокорреляцион^
•ная последовательность гхх[0],..., гхх[р] полагается известной,1
то может быть поставлен вопрос о том, как следует определять
оставшиеся неизвестные члены этой последовательности
гхх[р+1], гхх[р + 2], .... для того чтобы полная автокорреляци-
автокорреляционная последовательность обязательно была бы положительно-
'Полуопределенной. Существует бесконечное число возможных
экстраполяции, которые будут давать автокорреляционную по-
последовательность, отвечающую этому требованию. Бер; показал,
что эту экстраполяцию следует выполнять таким образом, чтобы
"максимизировать энтропию временного ряда, характеризуемого
этой экстраполированной АКП. Получаемый при этом времен-
<ной ряд будет наиболее случайным (в энтропийном смысле) из
¦всех рядов, которым соответствует заданная АКП с временными
сдвигами от 0 до р. Спектральная оценка, получаемая по этой
экстраполированной АКП, будет в этом случае оценкой для
¦процесса с максимальной энтропией1'.
В разд. 4.5 было, в частности, показано, что для гауссовско-
го случайного процесса удельная энтропия пропорциональна
величине
G.28)
тце Рммэ (/)—СПМ этого процесса. Значение Рммэ(/) опреде-
определяется посредством максимизации величины G.28) при нало-
наложенных ограничениях, что она удовлетворяет соотношению Ви-
.нера — Хинчина для р+\ известных значений автокорреляции:
S 4"J,т ртэ (!) exp (j2nfnT) df = г„ [п], G.29)
•где О^я^/7. Это решение, которое находится с помощью ме-
') Читателю, интересующемуся обоснованием метода МЭ, можно рекомекдо-
¦вать [6], [19\ 20*]. В [6] ММЭ сформулирован в наиболее краткой форме:
«Если мы делаем еыводы на основе неполной информации, то должны опи-
опираться на такое распределение вероятности, которое имеет максимальную
энтропию, допускаемую нашей априорной информацией». — Прим. ред.
Авторегрессионный прцесс и свойства спектра
тода множителей Лагранжа (м., например, [5]), имеет гид
245
[Ч exp (— ;
G.30)
где pv, ap[l], ..., а„[р] опредляются из решения уравнений
Юла — Уолкера. Таким обраом, авторегрессионная СПМ и
СПМ, получаемая методом максимальной энтропии, идентичны
в случае гауссовского случайгого процесса и известной авто-
автокорреляционной последователности с равноотстоящими значе-
значениями. Однако неправильно говорить, что уравнение G.30)
является основой спектральноо анализа по методу максималь-
максимальной энтропии в тех случаях, огда исследуемый процесс не
является гауссовским или копа значения параметров оценива-
оцениваются не по известной АКП, а ю отсчетам данных. Метод макси-
максимальной энтропии применим [ в случае неэквидистантной ав-
автокорреляционной последоватльности. Однако авторегрессион-
авторегрессионная СПМ и СПМ, получаемаяметодом максимальной энтропии,
не будут идентичны. Другие мтерпретаиии метода максималь-
максимальной энтропии можно найти в р[ботах [6, 16, 21].
7.4.2. Основа для высокого раэешения
В гл. 6 было показано [выра<ения F.14) и F.33)], что авто-
авторегрессионная СПМ имеет эвивалентные представления (см.
также [3])
G.31)
1+2 <
Jk]exp(-i2nfkT).
G.32)
Если задана автокорреляцион ая последовательность для вре
менных сдвигов от 0 до р, тс из уравнений Юла — Уолкера
можно определить дисперсиюбелого шума рт и авторегресси-
авторегрессионные параметры а[1], . . . , ар], а затем использовать уравне-
уравнение G.31) для вычисления AI СПМ. Можно также применить
экстраполяцию
rxx[n]=—Za[k]rxx[n — k] G.33)
к I
при п>р, которая следует из равнения F.34), для расширения
автокорреляционной последов тельности, что позволит далее
экстраполяция
\;,Л liA
ТТтт
Т?
Коррелограг*
спм
Рис. 7.4. Экстраполяция автокрреляционной последовательности (АКП): а —
исходная бесконечн'ая АКП и стинный спектр процесса, состоящего из одной
действительной синусоиды в елом шуме; б —нулевая экстраполяция АКП,
подразумеваемая при испольэвании коррелограммного метода оценивания
СПМ, и соответствующая спектральная оценка; в — экстраполяция при исполь-
использовании авторегрессионного летода оценивания СПМ и соответствующая
спктральная оценка.
использовать уравнение 7.32) для вычисления АР СПМ (хотя
это не всегда эффектив» на практике). В противоположность
этому рассмотрим корре.ограммный метод оценивания спект-
спектральной плотности мощюсти, описанный в гл. 5. Этот метод
позволяет по р + \ значешям автокорреляции получать оценку
= 7 2 rxx[k]ex?(-j2n[kT).
G.34)
Сравнивая выражения (.32) и G.34), можно видеть, что
АР-оценка СПМ согласуйся с автокорреляционной последова-
последовательностью на интервалесуммирования для коррелограммного
метода оценивания СПМшлоть до значения, соответствующего
индексу временного сдвив, равному р, но затем в ней для по-
получения отсутствующих аачений автокорреляции вместо нуле-
нулевого продолжения, предпшагаемого коррелограммным методом,
используется ненулевая зстраполяция АКП, определяемая вы-
Авторегрессионный процесс и свойства спектра
n 1,0
| 0,8
1 0,4
I 0,2
n n
-
1
\
-
-
1 1
!D 1-0
4
| 0,8
j
с 0,6
1 0,4
s
i 0,2
О
0.0
1 '
_
_
-
-
\
1
-
-
_
-
-
.1 1
0,0 0,1 0 2 0,3 0,4 0,5
л
1
!
D
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2-
0,0
:
:
: N
1 ' -
-
-
-
" l/ ill
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
Рис, 7.5 Авторегрессионные оценки СПМ по 9 значениям АКП для трех сину-
синусоид равной мощности и аддитивного белого шума при отношении сигнал/шум,
равном 30 дБ (а), 20 дБ (б) и 10 дБ (в). Частоты синусоид, выраженные
в долях частоты отсчетов, равны 0,15, 0,19 и 0,23.
ражением G.33). Этот факт отражен на рис. 7.4. Именно при-
применением этой ненулевой экстраполяции автокорреляционной
последовательности при вычислении АР СПМ с помощью вы-
выражения G.31) и объясняется то высокое разрешение, которое
характерно для оценок АР СПМ. Здесь отсутствует обработка
автокорреляционной последовательности с помощью окна, кото-
которая присуща всем классическим спектральным оценкам. Поэто-
Поэтому оценкам АР СПМ не свойственны все те эффекты, которые
обусловлены наличием боковых лепестков — неизбежным атри-
атрибутом всех классических спектральных оценок.
Следует, однако, заметить, что степень улучшения разреше-
разрешения оценки АР СПМ в случае процессов, состоящих из смеси
синусоид и белого шума, зависит от величины отношения сиг-
сигнал/шум. Рассмотрим, например, оценки АР (8) СПМ для трех
синусоид равной мощности в белом шуме, показанные на
рис. 7.5. Эти оценки были получены по точным значениям авто-
автокорреляции этих синусоид в шуме, соответствующим индексам
временного сдвига от 0 до 8 [выражение D.25)]. Когда отноше-
отношение сигнал/шум понизилось с 30 до 10 дБ, число разрешаемых
синусоид уменьшилось с трех до двух, при этом оценки частот,
определяемые расположением пиков, оказались смещенными.
Степень разрешения синусоид равной мощности в случае из-
известной автокорреляционной последовательности можно опре-
определить с помощью приближенной формулы Марпла [15]
1.03
7>[SNR(p+l
G.35)
где F — разрешение в герцах, Т — интервал отсчетов в секун-
243
Глава 7
дах, р — максимальное значение индекса временного сдвига для
автокорреляционной последовательности, a SNR — отношение
сигнал/шум для отдельной синусоиды, выраженное не в деци-
децибелах, а в линейных единицах.
7.4.3. Оценивание мощности синусоидальных компонент
Авторегрессионный метод оценивания СПМ часто используется
для того, чтобы выявить в данных наличие синусоидальных ком-
компонент. Мощность, соответствующую компонентам в АР оценке
СПМ, можно точно вычислить, интегрируя площадь под кривой
этой оценки. Однако это связано с большими вычислительными
затратами, поэтому весьма заманчивой оказалась идея исполь-
использования в качестве показателя мощности синусоидальных ком-
компонент высоты соответствующих им спектральных ликов. Для-
классических спектральных оценок высота спектральных пиков,
служит надежным показателем относительной мощности, по-
поскольку в том случае, когда анализируемый процесс состоит из
аддитивной смеси синусоид и белого шума, высота спектраль-
спектральных пиков прямо пропорциональна мощности этих синусоид.
Но для АР-оценок СПМ такой подход не применим. Рассмот-
Рассмотрим, например, автокорреляционную последовательность для
одной комплексной синусоиды в белом шуме, которая, согласно
соотношению D.52), будет определяться выражением
rxx [k] = Р ехр {j2nf0kT) -(- pw б [k]. G.36)
Используя это выражение, Лакосс [9] показал, что авторегрес-
авторегрессионная m-го порядка СПМ для процесса, состоящего из одной
синусоиды и белого шума, может быть представлена в следую-
следующем виде (см. разд. «Задачи»):
G.37)
Функция Рдр(/) достигает своего максимума при / = /0:
Рлр (/«) =¦ 9„Т [1 -г mSNR] [1 + (m + 1) SNR] « Т (mSNRJ, G.38)
где SNR = P/pm и полагается mSNR>l (т. е. что отношение сиг-
сигнал/шум велико). (Таким образом, высота пика оказывается
пропорциональной квадрату мощности, а, следовательно, пло-
^щадь под пиком прямо пропорциональна этой мощности..^
Метод оценки мощности нескольких действительных'' сину-
синусоид по пикам в АР-спектре был предложен Джонсоном и Ан-
Андерсеном [7]. Однако он дает хорошие результаты только в
случае достаточно далеко разнесенных спектральных пиков
процесс и свойства спектра
19
синусоид с высоким отношением сигнал/шум. Если ЛР СПМ
записать в виде г-преобразования
Рдр(г)=А(г)дР/г>), G-39)
то мощность пика, наблюдаемого в АР-спектре на частоте f/>,
будет оцениваться следующей величиной:
Мощность (/ft) = 2Re{ вычет-^—, вычисленный при гА=ехр(/2л/ЛГ) J-
G.40)
Вычет здесь определяется выражением B.20). Заметим, что при
использовании этого метода могут получаться отрицательные
значения мощности в тех случаях, когда спектральные пики
расположены очень близко друг к другу. Если заранее известно,
что данные состоят только их синусоид и шума, то более на-
надежную оценку мощности дает, по всей видимости, метод Про-
ни (гл. 11).
Литература
[I] Box G. E. P., Jenkins G. M. Time Series Analysis Forecasting and Control.
Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970. [Имеется русский перевод:
Бокс Док., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и управле-
управление. — М.: Мир, 1974, вып. I, 2.]
[2] Burg J. P. Maximum Entropy Spectral Analysis, Ph D. dissertation.
Department of Geophysics, Stanford University, Stanford, Calif., 1975.
[3] DuBroff R. E. The Effective Autocorrelation Function of Maximum Entropy
Spectra. Proc. IEEE, vol. 63, pp. 1622—1623, November 1975. [Имеется
русский перевод: Дуброфф Р. Е. Эффективная автокорреляционная функ-
функция спектров максимальной энтропии. ТИИЭР, 1975, т. 63, № 11. с 96—97]
[4] Friedlander В. Lattice Filters for Adaptive Processing. Proc. IEEE, vol. 70,
pp. 829—867, August 1982 [Имеется русский перевод: Фрид.шндер Б.
Решетчатые фильтры для адаптивной обработки данных. ТИИЭР, 1982,
т. 70, № 8, с. 54—97.]
[5] Haykin S. S., Kesler S. Prediction-Error Filtrring and Maximum-Entropy
Spectral Estimation, Chapter 2 in Nonlinear Methods of Spectral Analysis,
2nd ed., S. Haykin, ed , Springer-Ferlag, New York, 1983
[6] Jaynes E. T. On the Rationale of .Maximum-Entropy Methods Proc. IEEE,
vol. 70, pp. 939—952, September 1982. [Имеется русский перевод:
Джейнс Э. Т. О логическом обосновании методов максимальной энтропии.
ТИИЭР, 1982, т. 70, № 9, с. 33—51 1
Johnson S. J., Anderson N. On Power Estimation in Maximum Entropy
Spectral Analysis. Geophysics, vol. 43, pp 681—690, June 1987.
K S M Mod Stl Etiti PtiHll Fl
p yss. Geophy, vo. 43, pp 681690, June 1987.
Kay S. M. Modern Spectral Estimation Prentice-Hall, Fnfflewood Cliffs,
N.'J., 1987.
[9] Lacoss R. T. Data Adaptive Spectral Analysis Methods. Geophysics, vol 36,
pp. 661—675, August 1971
[10] Lang 5. W., McCtellan J. H. A Simple Proof of Stability for All-Pole
Linear Prediction Models Proc TEEE, vol. 67. pp 860—861, May 1979.
[Имеется русским перевод: Лзнг С. У., Макклеллан Дж. X. Простое дока-
доказательство устойчивости моделей линейного прогнозирования, содержа-
содержащих только полюсы: Обзор. ТИИЭР, 1979, т. 67, № 5, с. 185—186."]
250 Глава 7
[11] Makhoul J. Linear Prediction: A Tutorial J^view. Proc IEEE, vol. 63,
pp. 561—580, April 1975; исправление см.: vol. 64, p. 285, February 1976.
[Имеется русский перевод: Макхол Дж. Линейное предсказание: Обзор.
ТИИЭР, 1975, т. 63, № 4, с. 20—44; исправление к этой статье см.: ТИИЭР,
1976, т. 64, № 2, с. 109.1
[12] Makhoul J. A Class of All-Zero Lattice Digitaj Filters: Properties and
Applications. IEEE Trans. Acoust Speech Signal Process, vol ASSP-26,
pp. 304—314, August 1978.
[13] Makhoul J. Lattice Methods in Spectral Estimation, in Applied Time Series
Analysis II, D. F. Findley, ed., Academic Press, Inc., New York, 1981,
pp. 301—324.
[14] Markel J. D., Gray А, И. Linear Prediction of Apeech. Springer-Ferlag, New
York, 1982.
[15] Marple S. L, Jr. Frequency Resolution of Fourier and Maximum Entropy
Spectral Estimates. Geophysics, vol. 47, pp. 1303—1307, September 1982.
[16] Nikias C. L., Raghuveer M. Discussion on Higher Order Autospectra by
MEM. Geophysics, vol. 50, pp. 165—166, January 1985.
[17] Pakula L., Kay S. M. Simole Proofs of Minimum Phase Property of the
Prediction Error Filter. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process,
vol. ASSP-31, p. 501, April 1983.
[18] Papoutis A. Maximum Entropy and Spectral Estimation: A Review. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 1176—1186,
December 1981.
[19] Robinson E. A., Treitel S. Geophysical Signal Analysis Prentice-Hall Inc
Englewood Cliffs, N. J., 1980.
[20] Satorius E. H., Zeidler J. Maximum Entropy Spectral Analysis of Multiple
Sinusoids in Noise. Geophysics, vol. 43, pp. 1111—1118, October 1978.
[21] Van Den Bos A. Alternative Interpretation of Maximum Entropy Spectral
Analysis. IEEE.Trans. Inf. Theory, vol. IT-17, pp. 493—494, July 1971.
Задачи
1. Показать, что любой набор чисел {рр, kj, ..., kp}, такой, что рр>0 и к(<1
будет однозначно определять корректно обусловленную автокорреляцион-
автокорреляционную последовательность.
2. Пусть {г**[0], ..., гхх[т]} — корректно обусловленная автокорреляционная
последовательность. Показать, что тёплицевы автокорреляционные матрицы
связаны соотношением
det
OT + 1 = — (det Rm_.,) r2 [m + 1] + $rxx [m + I] + a,
где р и а —функции от det Rm_! и 2am[i]r**[m+l — i]. Показать, что
detR,n+l как функция от г[т+\] при заданных гхх[0], ..., гхх[т] имеет
только один максимум, поэтому диапазон допустимых значений автокорре-
автокорреляции гхх[т-\-1], которая является невозрастающей функцией т, равен
2pmf. Показать, что выбор гхх[т-\-Ц как средней точки этого допустимого
диапазона
'•«['»+!] = - .2 ат И гхх [т + I -,]
дает km+i = 0 и pfm+i = Pfm. Показать, что это максимизирует R,n+t.
3. Используя G.22), доказать, что |km|<I.
4. Доказать рекурсивное относительно порядка соотношение между линейны-
линейными предсказаниями ошибок вперед и назад, определяемыми соответственно
выражениями G.26) и G.27).
5. Используя G.36), доказав соотношение G.37)
Автрегрессионный поцесс и свойства спектра *D1
6. Найти предсталенне автокорреяционной последовательности через после-
последовательность авторегрессионны параметров, указанное на рис. 7.3.
7. Рекурсию Левнсона G.17) мо*ю рассматривать как отображение множе-
множества, состоящей из р коэффициетов отражения кг на множество из р коэф-
коэффициентов линйного предсказаня a[i].
а) Доказать, "о такое отображяие взаимно однозначно.
б) Вывести В1ражение для реурсии Левинсона убывающего порядка,
которая отбражает множесто коэффициентов фильтра линейного пред-
предсказания нгмножество коэффциентов отражения.
в) На основе критерия устойчиости для коэффициентов линейного пред-
предсказания зписать критерий устойчивости для фильтров, обладающих
только пол)сами, сформулирванный относительно коэффициентов отра-
отражения.
г) Устойчив Л1 фильтр с системвй функцией
и 1
h Уг>~ \-2г-^-6z-2-\-г-s-2г-i'
Ь. Показать, чтоешетчатый филы) является ортогонализирующим фильтром,
для чего докаать, что ошибки лнейного предсказания вперед и назад орто-
ортогональны другдругу на этой рештке, т. е. что
Подсказка: исользуйте соотношние C.164).
9. Анализ АР(р)спектра процесса состоящего из М комплексных синусоид
и аддитивногс белою шума, в лучае р>М можно упростить, переходя к
системе уравнний более низкго порядка (Саториус и Зайдлер [20],
Кен [8]). Испльзуя выражениеD.52) для автокорреляционной функции М
комплексных инусоид в аддитином белом шуме, показать, что авторегрес-
авторегрессионные парамтры удовлетворяв соотношению
и)>М, где
м
С V ==
inn in i
I—ехр(/2л[/„ —f
т + Р.
1—ехр (/2л [/„ — /„] Г
Показать так>е, что
(Подсказка: пдставить в уравнния Юла — Уолкера векторную форму этой
автокорреляцонной последовахльности.) Заметим, что данная процедура
позволяет закнить р уравиеии Юла — Уолкера меньшей системой из М
уравнений отвсительно ко^ффииентов "(,.
Глава 8
АВТОРЕГРЕССИОНЮЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ:
АЛГОРИТМЫ БЮЧНОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ
8.1. Введение
Выше в гл. 6 и 7 были эассмотрены основные свойства и соот-
соотношения авторегрессиоиой (АР) модели и связанной с ней
функцией СПМ, причем изложение материала в этих главах
велось в предположенш, что автокорреляционная функция ис-
исследуемого случайного процесса точно известна. Однако на
практике эта функция оычно не известна, поэтому авторегрес-
авторегрессионная спектральная окнка основывается на имеющихся дан-
данных. В этой и следующе, главах описываются алгоритмические
методы получения авторгрессионных спектральных оценок по
отсчетам данных. Следу<г, однако, заметить, что в действитель-
действительности эти методы дают ценки параметров АР-модели, а уже по
ним может быть вычислеш АР СПМ.
Все эти методы можн> разбить на две категории: алгоритмы
для обработки блоков днных и алгоритмы для обработки
последовательных даннк. В этой главе описаны методы обра-
обработки, относящиеся к блкам данных, т. е. алгоритмы, предна-
предназначенные для обработм целых блоков накопленных отсчетов
данных некоторого фикарованного объема. В гл. 9 будут опи-
описаны методы обработки последовательных данных, т. е. алго-
алгоритмы, предназначенныедля последовательной обработки от-
отсчетов данных по мере ix поступления. Блочные методы, рас-
рассматриваемые в этой главе, можно кратко описать как
алгоритмы с фиксировании временем, рекурсивные относитель-
относительно порядка в том смысл, что они применяются к фиксирован-
фиксированным блокам временных отчетов данных и позволяют рекурсив-
рекурсивным образом получать ценки параметров АР-модели более
высокого порядка по оцекам параметров АР-модели более низ-
низкого порядка. Такие алпритмы целесообразно применять в тех
случаях, когда порядок ребуемой АР-модели не известен, по-
поэтому для выбора АР-мо.ели надлежащего порядка необходимо
испытывать много таких моделей различных порядков и срав-
сравнивать получаемые резултаты. С другой стороны, последова-
последовательные методы, описывамые в гл. 9, можно рассматривать как
алгоритмы с фиксированым порядком, рекурсивные относи-
относительно времени в том сшсле, что они применяются для после-
последовательной обработки .энных с целью обновления оценок
параметров АР-модели ф[ксированного порядка. Такие алгорит-
Алгоритмы блочной обработки данных
253
мы целесообразно применять в тех случаях, когда необходимо,
осуществлять слежение за спектром, медленно изменяющимся-
во времени, т. е. адаптироваться к нему.
В принципе простейшей процедурой для получения авторег-
авторегрессионной спектральной оценки по отсчетам данных могла бы.
быть процедура получения по этим данным оценок автокорре-
автокорреляционной последовательности с помощью программы
CORRELATION, приведенной в гл. 5. Эти автокорреляционные
оценки использовались бы затем вместо отсутствующей точной,
автокорреляционной последовательности в уравнениях Юла —
Уолкера, приведенных в гл. 6, для получения оценок АР-пара-
метров, по которым далее вычислялась бы функция СПМ. Од-
Однако более качественные результаты (особенно в случае корот-
коротких последовательностей данных) получаются с помощью
алгоритмов, которые позволяют определять оценки АР-парамет-
ров непосредственно по самим данным без использования авто-
автокорреляционных оценок, что проиллюстрировано ниже конкрет-
конкретными примерами.
Представленные в этой главе методы блочной обработки
данных делятся на три категории, каждой из которых посвящен
отдельный раздел. Выше в гл. 7 было показано, что АР-пара-
метры можно получать с помощью эквивалентных представле-
представлений, основанных на использовании либо автокорреляционной-
последовательности, либо последовательности коэффициентов
отражения. Так называемый метод Юла — Уолкера оценивания
АР-параметров по последовательности оценок автокорреляцион-
автокорреляционной функции изложен в разд. 8.3. Два метода оценивания АР-
параметров по последовательности оценок коэффициентов отра-
отражения, включая популярный алгоритм Берга, описаны в разд. 8.4.
Одну из важных категорий методов оценивания АР-параметров
составляют методы, основанные на линейном предсказании по
критерию наименьших квадратов. Методы этой категории, ко-
которые обсуждаются в разд. 8.5, в дальнейшем различаются ПО'
типу используемой оценки линейного предсказания. К одному
классу этих методов относятся те из них, в которых производит-
производится раздельная минимизация квадратичных ошибок линейного*
предсказания вперед и назад (или прямого и обратного пред-
предсказания). К этому классу относятся автокорреляционный и ко-
ковариационный методы. Второй класс составляют методы, в ко-
которых осуществляется совместная минимизация квадратичных
ошибок прямого и обратного линейного предсказания. К этому
классу относится модифицированный ковариационный метод.
В остальных разделах данной главы рассмотрены методы, ис-
используемые для выбора порядка АР-модели, и некоторые моди-
модификации, необходимые для управления шумом наблюдения при:
измерении данных.
иитмы блочной обрботки данных
25S
СБОР ДАННЫХ
N отсчетов,
• УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См. гл. 14
-¦ ВЫБОР ПОРЯДКА АР-МОДЕЛИ
Параметр |Р
* ОЦЕНИВАНИЕ АР-ПАРАМЕТРОВ
Выбрать один из спедующих методов;
- метод Юла-Уопкера
(подпрограмма YULEWALKER , приложение S.A)
(подпрограмма BURG . приложение 8.Б)
зариащ
этод
(подпрограмма COVAR , приложение 8.В)
— модифицированным ковариационный метод
- (подпрограмма MODCOVAR , приложение 8.Г)
i ВЫЧИСЛЕНИЕ АР-ОЦЕНКИ СПМ
Подпрограмма ABMAPSD, приложение 6 А
1_# ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯДКА
Рис. 8.1. Краткая запись четырех блочных алгоритмов АР-оценивания СПМ,
описанных в гл. 8.
3.2. Краткая сводка результатов
Для того чтобы получать авторегрессионные оценки СПМ непо-
непосредственно по некоторому блоку отсчетов данных, в эту главу
включены машинные программы, которые позволяют читателю
работать с одним из четырех возможных алгоритмов. На рис. 8.1
приведена краткая запись этапов, необходимых для авторегрес-
авторегрессионного оценивания СПМ, в соответствии с которой можно вы-
¦брать одну из четырех подпрограмм оценивания АР-параметров.
Метод Юла — Уолкера (разд. 8.3) в случае коротких записей
данных дает АР-спектры с наихудшим разрешением по сравне-
сравнению с тремя остальными методами. Метод Берга (подразд. 8.4.2)
и ковариационный метод (подразд. 8.5.1) дают спектральные
¦оценки со сравнимыми характеристиками. Модифицированный
ковариационный метод (подразд. 8.5.2) обеспечивает наилучшие
.результаты при наличии в данных синусоидальных компонент.
,тра
)в Юла — Уолкра и Берга непосредственна
[ АР-параметрова[л]. Ковариационный и мо-
и ковариационный методы фактически дают
аиентов линейного редсказания, которые затем
: качестве оценок jP-параметров, для чего эти
приравниваются ли(о к коэффициентам лннейно-
я. вперед: а[л] = а^[г], либо к величинам, комп-
л/^снным коэффициент м линейного предсказания-
;=(ай[/г])*. После стремления (тем или иным мето-
iK АР-параметров вычеляется авторегрессионная
[Я оценка, которая нахцится с помощью выражения
PapU) =
я[л]хр(—;'2я/лГ)
(8.1).
, -I---, ¦ 1!орсии возбуждающего шума, которую так-
|дним из чеырех методов, указанных на
; нке указаныназвания подпрограмм и но-
огорых приве;ены их распечатки. Заметим,
^ данных, в качетве входного параметра дол-
. .я порядок АР-юдели. От выбора порядка
висит компромисс южду разрешением и днепер-
)й спектральной оцики, и обусловленный им
1чен эффекту при именении окна в классических
оценках. Для определения наиболее подходящего
дели приходится исштывать много моделей раз-
.. ^ .iw>,.,ikOB, и эта процедур; сходна с процедурой закры-
!1Я окна, применяемой в класаческих методах спектрально-
оценивания. Именно поэтому о а будет также называться
енением, или «закрытием», п&ядка модели. В разд. 8.7
лшеаны методы автоматического ыбора порядка, которые мож-
можно ввести в машинную программулюбого из представленных в
этой главе алгоритмов и тем саым устранить необходимость,
ввода параметра, характеризующее порядок АР-модели.
Примеры четырех авторегресшнных оценок СПМ для слу-
случая 64-точечной тест-последовател>ности, приведенной в прило-
приложении II, помещенном в конце кнги, показаны на рис. 8.2. Для
всех методов использовался АР-поцесс 15-го порядка. Для.
иллюстрации компромисса между .азрешением и степенью глад-
гладкости оценки, который обеспечиват выбор порядка модели, на
врезке рисунка, соответствующег ковариационному методу,
показана спектральная оценка, поученная с помощью АР-про-
цесса 8-го порядка. Истинный епктр, соответствующий этим,
спектральным оценкам, показан и рис. 1.8. В приложениях к
L. °
3 -20
1 зо
= -50
о -60
; 1 1
i
[ 1 1 1
1
Л Л~~-^
II!)
1 1 1
r\ ;
-
-
i i -
in °
СПМ,
5 -40
| 50
1 1 1 1
„ v i
F ^~f^ ¦
1 1 1
1
I :
jl
t
\\J \J
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
n 0
J -10
J -20
: -30
- -40
1 -60
S 60
I I I I 1
т 1 1 ;
: 1 3
: :
: Я :
/"V Л
E А^Ч
1 1
л :
/Л/, i\-
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 8.2, Четыре спектральные АРA5)-оценки, полученные по 64-точечной тес-
последовательности данных: а — метод Юла — Уолкера; б — метод Берга; в-
ковариационный метод; г — модифицированный ковариационный метод.
Алгоритмы блочной обработки данных я>1
этой главе приведены распечатки значений АР-коэффициентов
для каждого метода, которые читатель может использовать для
проверки правильности реализации машинных программ на сво-
своей ЭВМ. Отметим, что оценки на рис. 8.2 обладают острыми
спектральными линиями. Для того чтобы убедиться в правиль-
правильности отсчетов функции СПМ при использовании подпрограммы
ARMAPSD, т. е. в том, что не пропущено ни одного острого пи-
пика достаточно просуммировать значения СПМ по всем часто-
частотам. Эта сумма должна быть равной полной мощности анали-
анализируемого процесса, а следовательно, должна быть близкой к
ветчине автокорреляционного члена с нулевым корреляцион-
корреляционным сдвигом, который также характеризует мощность этого
процесса. Если эти значения заметно различаются, то для отыс-
отыскания одного или нескольких пропущенных пиков необходимо
повысить частоту отсчетов, т. е. иными словами, увеличить зна-
значение входного параметра jV в подпрограмме ARMAPSD.
8.3. Метод оценивания корреляционной функции
Наиболее очевидный подход к АР-оцениваиию СПМ состоит в
решении уравнений Юла — Уолкера, в которые вместо значении
неизвестной автокорреляционной функции подставляются их
оценки. Такая процедура оценивания СПМ будет называться
алгоритмом Юла — Уолкера. Следует заметить, что при исполь-
использовании несмещенных автокорреляционных оценок автокорреля-
автокорреляционная матрица может оказаться неположительно-определен-
неположительно-определенной, а это означает, что АР-фильтр будет неустойчивым. При
использовании смещенных автокорреляционных оценок эта мат-
матрица всегда будет положительно-полуопределенной, что гаран-
гарантирует устойчивость АР-фильтра. В случае длинных записей
данных "метод Юла — Уолкера может давать вполне приемлемые
спектральные оценки, однако в случае коротких записей данных
получаемые с его помощью спектральные оценки имеют более
низкое разрешение по сравнению с оценками, получаемыми дру-
другими авторегрессионными методами, о чем свидетельствует
рис. 8.2. В приложении 8.А приведена программа YULEWALKER,
предназначенная для машинной реализации метода Юла — Уол-
Уолкера.
8.4. Методы оценивания коэффициентов отражения
Рекурсивное решение уравнений Юла — Уолкера методом Ле-
винсона связывает АР-параметры порядка р с параметрами по-
порядка р—1 выражением
ар \п-\ = ар^ [п] + k^-i [>-«]. <8'2)
258
где я И31еняется от 1до р—1, а коэффициент отражемя к„ оп-
ределяетя по известим значениям ..етокорреляционюй функ-
функции, сооъетствующ!^ корреляционным сдвигам от 0 р р—1:
(8.3)
Рекурсиное уравнен» для дисперсии возбуждающее белого
шума датся выраженем
P, = P,-i(l-|k,l!). (8.4)
где ро = /;х[О]. Из все величин, которые присутствую в выра-
выражениях 8.2) — (8.4), олько коэффициент отражения 1епосред-
ственно ависит от акокорреляционной функции. Л 3D означа-
означает, что о.на из проце.ур получения АР-оценки СПМ етом слу-
случае, когд имеется неюторый блок отсчетов данных, мжет быть
основана на оцени-ваии коэффициента отражения поэтим от-
отсчетам Hi каждом шае рекурсии Левинсона. Эта идеяреализо-
вана в Tiex методах.В одной из них используется ге1Метриче-
ское сре,нее квадрат чных ошибок линейного предсказания
вперед иназад, во впром — их арифметическое средне, а тре-
третий оспаан на приближении методом максимального правдо-
правдоподобия.
8.4.1. Геометрический }лгоритм
Ошибки тинейного прдсказания вперед и назад опрегеляются
cooTBcicBCHHO следунщими выражениями:
4 [я] = х [л] + Д 4 М * [л-
М=*['—/>] + 2 °-';[т\х[п +
—р].
(8-5)
(8.6)
Подстав.яя в (8.5) и (8.6) значение ар[п], определяеюе выра-
выражением 8.2). получам рекурсивные соотношения
4 [я = 4- И -t-k/S-. [л-1].
8.7)
которые :вязывают оиибки предсказания порядка р < ошибка-
ошибками пред'казания пордка р—1. В гл. 7 было показан), что ко-
коэффициент отражени; кР можно рассматривать как .юэффицц-
ент часпой копреляши между ошибками линейного предска-
Алгоритмы блочной обработки данных
239
вперед и назад и что он обладает следующим свойством:
к = c?{fp-i["kp-i["—Ч) ijgi
Это выражение определяет «геометрическое» среднее"
менаду частной корреляцией ошибки предсказания вперед
?{е'р-\ [я] е»*р_1 [«— l]}/^!Ie'p_i [п] |2} и частной корреляцией
ошибки предсказания назад &{е[р-1[п]еь*р-\[п—l]}/^5{fe&p—1["—
—1]|2}. Подставляя в (8.8) оценки взаимной корреляции и ав-
автокорреляции ошибок предсказания вперед и назад
(8.9)
получаем следующее приближенное выражение для коэффици-
коэффициента отражения:
- 2
к„=-
(8.10)
Заметим, что в данном случае не имеет значения, какие оценки
корреляции — смещенные или несмещенные — были использо-
использованы, так как масштабирующий множитель сократился. При
выводе выражения (8.10) предполагалось, что имеется N отсче-
отсчетов х[\], ... , x[N] и ошибки предсказания ер1[п] и ерь[п] форми-
формируются только в диапазоне индексов от л —р + 1 до п — М, по-
поскольку используются только имеющиеся отсчеты данных. Не-
Нетрудно показать, что модуль оценки коэффициента отражения к„
не превышает единицы, а это гарантирует получение устойчивого
АР-фильтра (т. е. фильтра, полюсы которого лежат внутри еди-
единичной окружности в 2-плоскости).
Геометрический алгоритм, таким образом, использует алго-
алгоритм Левинсона, в котором вместо обычного коэффициента от-
отражения, вычисляемого по известной автокорреляционной функ-
функции, используется его оценка кр. Базовый алгоритм Левинсона
Г) Геометрическое, арифметическое и гармоническое средние значения ju\\
чисел а и * равны соответственно iab, (а + ЬI2 и 2аЬ/(а+Ь).
дополняется при этом )екурсивными уравнениями (8.7), опре-
определяющими ошибки прдсказания, вычисления по которым на-
начинаются с рекурсии нуевого порядка
е[п] = 4[п] = х[п], (8.11)
где \^Zn^.N. В качестю начального значения дисперсии ошиб-
ошибки линейного предсказамя используется оценка
'• = жЕ|*И1а. (8-12)
которая характеризует мощность, содержащуюся в N отсчетах
данных. В гл. 15 привсдится многоканальная версия геометри-
геометрического алгоритма, а сответствующая ей машинная программа
помещена в приложени! 15.А. Для случая одного канала (пара-
(параметр NUMCHS—1) эт; программа будет давать решения, иден-
идентичные получаемым с омощью описанного здесь геометриче-
геометрического алгоритма.
3.4.2. Гармонический алоритм (Берга)
Один из самых первыхи наиболее известных алгоритмов авто-
авторегрессионного спектрагьного оценивания был предложен Бер-
Бергом [9] и впоследствииподробно исследовался Андерсеном [3],
Датта [13], Хайкином Кеслером [15] и Ульрихом и др. [53].
Этот алгоритм получи./ название алгоритма максимальной эн-
энтропии, однако его слдовало бы рассматривать как одно из
независимых и самостательных направлений, обусловленных
принципом максимальней энтропии Берга [10].
Алгоритм Берга идатичен геометрическому алгоритму и от-
отличается от него лишьтем, что з нем используется другой тип
оценки коэффициента <гражения, а именно оценка, определяе-
определяемая по методу наименших квадратов. При каждом значении
порядка р в нем минимизируется арифметическое среднее мощ-
мощности ошибок линейноо предсказания вперед и назад (выбо-
(выборочная дисперсия ошиб.и предсказания)
/ n
" Ы ГлЦг-L.-!- V |»»Гп
где полагается, что ошбки предсказания определяются рекур-
рекурсивными выражениями (8.7). Заметим, что и здесь суммирова-
суммирование ведется только по имеющимся данным. Из (8.13) следует,
что величина р^ь являтся функцией только одного параметра,
а именно комплексного коэффициента отражения кр, поскольку
ошибки предсказания, [ачиная с порядка р—1, известны. При-
Алгоритмы блочной обработки данных 261
равнивая комплексную производную от р0" нулю
дР'' и j , др'1 ,- = 0
c*Re{kp} dim {kp}
и решая полученное уравнение относительно кр, получаем сле-
следующее выражение для оценки по методу наименьших квадра-
квадратов:
- 2
(8.14)
Эга оценка коэффициента отражения представляет собой гар-
гармоническое среднее коэффициентов частной корреляции ошибок
предсказания вперед и назад. Нетрудно показать, что ее модуль
не превышает единицы, а это гарантирует получение устойчиво-
устойчивого фильтра, имеющего только полюсы. Еще одно рекурсивное
уравнение, которое упрощает вычисление знаменателя в выра-
выражении для оценки (8.14), было проанализировано Андерсеном
[4]. Записывая знаменатель (denominator, DEN) оценки (8.14)
в виде
DENp = 2
(8.15)
получаем далее
p |,f-|4-1W|2-B-.['V]|!- (8-16)
Доказательство этого соотношения предлагается читателю в
качестве самостоятельного упражнения (см. разд. «Задачи»).
В приложении 8.Б приведена написанная на Фортране машин-
машинная программа алгоритма Берга, в которой в методических
целях указаны номера используемых уравнений. Анализ вычис-
вычислительной сложности этого алгоритма (с учетом только членов
второго порядка) показывает, что его реализация требует вы-
выполнения 3Np—р2 комплексных сложений и умножений, а так-
также р действительных делений. Кроме того, он требует памяти
для хранения 3.? + р комплексных чисел.
Гармонический метод дает несколько смещенные оценки час-
частоты синусоид, что будет проиллюстрировано в разд. 8.6. Для
уменьшения этого смещения было предложено несколько моди-
модификаций этого метода. Их основное отличие от исходного алго-
алгоритма— взвешивание среднего квадрата ошибки предсказания
=Цтг Е
J
262
Глава 8
что приводт к следующей оценке коэффициента отражения:
к,.
-2 2
П — Р+ 1
n]e'-i[n]4-i["—I]
-14-i[«-иI2)
8.17)
где wp.-\\n определяет весовую функцию. Нетрудно видеть, что
пока w[n]s=0, модуль оценки |kp|s?:l. В алгоритме Берга ис-
пользуетсяравномерная весовая функция шр-х[п] = 1/N. Резуль-
Результаты моделрования, выполненного Суиглером [46, 47], показа-
показали, что чатотное смещение уменьшается при использовании
окна Хэммшга — спадающей к краям весовой функции. Кавех
и Липперт[24] показали, что с помощью специального квадра-
квадратичного ока также можно уменьшить смещение оценки частоты
синусоиды в пределах большей части частотного диапазона.
Хелме и Нкиас [16] предложили адаптивную к данным весовую
функцию вща
a>,-i["] = 2 I*MIS Для Р>2.
к=п-р+1
которая ха>актеризует общую энергию данных в ошибках ли-
линейного прдсказания вперед и назад е'„_,[л] и е"р^[п—1], со-
соответствующих временному индексу п.
8.4.3. Рекуривное оценивание
по методу максимального правдоподобия
Этот алгортм разработан Кеем [27] и берет свое название от
принципа схенивания по методу максимального правдоподобия
(МП), котоый используется в нем для получения оценки коэф-
коэффициентов 'тражения и обновления порядка авторегрессионных
коэффициентов, получаемых с помощью рекурсивного алгорит-
алгоритма Левинсаа. Вывод этого алгоритма требует достаточно много
места и вриени, поэтому здесь дается лишь его краткое описа-
описание. С подрбностями его вывода для случая действительных
данных чиптель может ознакомиться в упомянутой выше рабо-
работе Кея [27],обобщение же на случай комплексных данных пока
еще не полнено.
Если пЛ'Тность вероятности гауссовского авторегрессионно-
авторегрессионного процесса порядка р с нулевым средним значением максими-
максимизируется отосительно коэффициента отражения кр и дисперсии
возбуждающего шума р„ в предположении, что авторегрессион-
авторегрессионные коэффциенты порядка р—1 уже вычислены, то оценки к„
и Ор, которш максимизируют эту плотность вероятности для
Алгоритмы блочной оЬаботки данных
заданной последовательности днных х[0], х[\], . .
получаются как решения кубичесюго уравнения
для которого определяется его дествительный корень на интер-
интервале [—1, 1], максимизирующий плотность вероятности, и ли-
линейных уравнений
Действительные коэффициенты а^и EР определяются с помощью
следующих квадратичных форм:
-, 0):
где а= A op-i[l] . . . 0,,-iTp—1])г-вектор авторегрессионных ко-
коэффициентов, J—(рХр)-матрица тражения, Sc—(р+1)Х(р+1)-
матрица с элементами
Л' - I >-
[i,i]= 2
определенными при O^i, j^P- 1осле вычисления оценки к„ с
помощью рекурсии Левинсона (>.2) определяются авторегрес-
авторегрессионные коэффициенты порядка /по значениям этих коэффици-
коэффициентов порядка р—1. Для инициалвации рекурсивного алгоритма
МП-оценивания используется начальное условие
Машинная программа реализаци этого алгоритма приводится
в книге Кея [28].
8.5. Оценивание линейного предсизания
по методу наименьших квадратов
Налагая на АР-коэффициенты ораничение, с тем чтобы они
удовлетворяли рекурсивному сотношению Левинсона (8.2),
Бергу удалось осуществить оптишзацию по методу наименьших
квгдратов единственного параметр — коэффициента отражения.
Другой подход состоит в мннимзации в методе наименьших.
квадратов одновременно по всем коэффициентам лнейного
предсказания, что позволяет полностью устранить огрничение,
налагаемое рекурсией Левинсона. Такой подход будет несколь-
несколько улучшать характеристики спектральной оценки, что юказано
ниже в разд. 8.6. Будут рассмотрены два типа алгорит»в спект-
спектрального оценивания по методу наименьших квадратов (МНК).
К первому относятся алгоритмы, в которых используьтся раз-
раздельные оценки коэффициентов линейного предсказанн вперед
и назад, ко второму — алгоритмы, в которых использется не-
некоторая их комбинация.
8-5.1. Алгоритмы с раздельным линейным предсказанием
вперед и назад
Предположим, что для оценивания АР-параметров шрядка р
используется .^-точечная последовательность данных *[1],...
..., .v[jV]. Оценка линейного предсказания вперед х[п для от-
отсчета х[п] будет иметь обычную форму
р
где apf[k] — коэффициенты линейного предсказания вгеред по-
порядка р. Предсказание «вперед» понимается здесь в толсмысле,
что результат предсказания для текущего отсчета даншх пред-
представляет собой взвешенную сумму из р предшествующи отсче-
отсчетов. Ошибка линейного предсказания вперед определятся вы-
выражением
4M=*M—*'М=*М + 2 4щХ[п—и\. (8.19)
По своей форме это выражение идентично рекурсии, которая
описывает авторегрессионный процесс р-го порядка, ю с тем
лишь отличием, что е^р[п] не является теперь возбуждающим
белым шумовым процессом, так как в случае конечно! после-
последовательности данных ошибка линейного предсказанияне обя-
обязательно будет белым шумом. Поэтому, для того чтоб! можно
было воспользоваться авторегрессионной моделью, ш будем
полагать, что ошибка предсказания является отбеленшм про-
процессом, что позволит приравнять авторегрессионные паометры
и коэффициенты линейного предсказания.
Ошибку линейного предсказания вперед можно опрделить
л диапазоне временных индексов от л=1 до я=А'+р, еаи пред-
Алгоритмы блочной обработки данных
265
положить, что данные до первого и после последнего отсчетов
равны нулю (т. е. х[я] = 0 при л<1 и n>N). N+p членов ошиб-
ошибки линейного предсказания вперед, определяемых выражением
(8.19), можно записать, используя матрично-векторное обозна-
обозначение, в следующем виде:
е'ЛР+Ч
е'ЛЩ
x[N-p]
x[N]
О
x[N] )
I 1
, (8.20)
где Xp — прямоугольная тёплицева (N + p) X (p+ 1)-матрица
данных. В верхнем правом и нижнем левом углах этой матрицы
стоят нули, что с очевидностью говорит о неявно подразумевае-
подразумеваемой обработке последовательности данных с помощью окна.
Матрицу данных можно разбить на три компоненты
(8.21)
где нижняя треугольная рХ (Р+ 1)-матрица Lo, прямоугольная
(N—р)Х (р+1 (-матрица Т„ и верхняя треугольная рХ(р + 1)-
матрица ир определяются выражениями
м[П ... О 0\
т„=-
х[\]
x[N-p]
V х[Щ
О х [Щ
.0 0
(8.22)
x[N-p]j
x[N-p+\]
x\N]
Модуль среднего квадрата ошибки линейного предсказания
вперед, который необходимо минимизировать, — это просто
Pl = Sl4MI2- (8-23)
Поделив ppf на N, получим выборочную дисперсию. Диапазон
суммирования для ppf в (8.23) намеренно не определен, посколь-
поскольку его выбор зависит от конкретного применения. Мы рассмот-
рассмотрим три случая спектрального оценивания. Выбирая полный
диапазон суммирования от ер<[\] до epf[N + p], получаем так на-
называемый взвешенный случай, поскольку он включает пред- и
постобработку данных с номощью окна (т. е. приравнивания
отсутствующих значений данных к нулю). Выбирая диапазон
суммирования от ePf[\] до epf[N\, получаем пред взвешенный слу-
случай, поскольку при этом полагается, что значения данных, пред-
предшествующие отсчету х[\], равны нулю. Диапазон суммирования
от б/Др-М] до epf[N] соответствует невзвешенному случаю, по-
поскольку используются только имеющиеся отсчеты данных. Взве-
Взвешенный случай получил название автокорреляционного метода
линейного предсказания. Случай отсутствия взвешивания назы-
называется ковариационным методом линейного предсказания. Оба
этих названия впервые начали употребляться в работах по об-
обработке речевых сигналов (см. Макхол [34]) и не удовлетворяют
стандартным статистическим определениям этих терминов (ко-
вариация — это корреляция с устраненным средним значением).
Рассмотрим сначала оценку линейного предсказания по ме-
методу наименьших квадратов, основанную на минимизации р/ с
помощью автокорреляционного (взвешенного) метода. Соотно-
Соотношение между ошибками линейного предсказания вперед и ко-
коэффициентами линейного предсказания можно в краткой форме
Алгоритмы блочной обработки данных
записать в следующем виде:
267
8.24)
где (А7-]-/?)-элементный вектор ошибки epf и /з-элементный
вектор коэффициентов линейного предсказания а,/ определяют-
определяются выражениями
(8.25)
а Х„ — (ЛГ + р) X (/э+1)-матрица данных, определенная в (8.20).
Уравнение (8.24) имеет ту же форму, что и уравнение C.62),
поэтому нормальные уравнения, минимизирующие средний квад-
квадрат ошибки
2
(8.26)
порядка р, будут в соответствии с C.67) иметь следующий вид:
8.27)
эрмитову
(8.28)
Произведение Х/'Х„ формирует квадратную
(Р + 1)Х (Р+ 1)-матрицу Rp, имеющую форму
/Гр[0, 0] ...
V>, 0] ... rr{p,p\l
где rD[i, /] = /¦„*[/, []. Элементы матрицы Rp имеют форму корре-
корреляционных произведений
]= 2 x.'\n — i]x[n — i\ =
(8.29)
где O^i—/^р. Поскольку rp[i, /] зависит только от разности
('—/)> произведение XpHXp дает тёплицеву матрицу [см. урав-
уравнение C.35)]. Если г„[(,/'] поделить на N, то эти члены будут
идентичны смещенной оценке автокорреляционной последова-
268 Глава 8
тсльности /\-v[f—j] =rp[i,j]IN; в этом случае нормальныеуравнс-
ния (8.27) будут идентичны уравнениям Юла — Уолкера F.32).
Следовательно, автокорреляционный метод линейного предска-
предсказания на основе наименьших квадратов эквивалентен методу
Юла — Уолкера для оценивания авторегрессионных параметров,
в котором используются смещенные автокорреляционные оцен-
оценки. Применяемая в автокорреляционном методе обработка дан-
данных с помощью окна ухудшает разрешение по сравнению с дру-
другими рассматриваемыми здесь методами спектрального оцени-
оценивания на основе линейного предсказания (см., например, рис.
8.2). Поэтому автокорреляционный метод редко применяется на
практике в случае коротких записей данных, так как другие
методы наименьших квадратов дают более качественные ре-
результаты.
Соотношение между ошибками линейного предсказания впе-
вперед и коэффициентами линейного предсказания для ковариаци-
ковариационного (т. е. без взвешивания) метода можно в краткой форме
записать в следующем виде:
е'=Т,
(8.30)
где тёплицева Nx (р + 1)-матрица данных Т„ определена в
(8.22), р-элемен?ный вектор коэффициентов линейного предска-
предсказания а,/ определен в (8.25), a (N—/?)-элементный вектор оши-
ошибок ej имеет теперь следующую структуру:
(8.31)
И здесь в соответствии с C.67) нормальные уравнения, миними-
минимизирующие средний квадрат ошибки
порядка р, имеют следующий вид:
(8.32)
(8'33>
Элементы эрмитовой (р + 1) X (р+1)-матрицы RP = TP"TP имеют
вид корреляционных форм
Л'. Л= 2 f\n — i]x[n — /],
(8.34)
Алгоритмы блочной обработки данны
2С9
где 0<i, /</>. Элементы матрицы Rp в ковариационном методе
не могут быть записаны как функции разности (i—/), а это
означает, что произведение Тр"Тр не является тёплицевой мат-
матрицей. Однако тот факт, что матрица Rp является произведени-
произведением тёплицевых матриц, все же обеспечивает возможность по-
построения быстрого алгоритма, аналогичного алгоритму Левин-
соиа. Следовательно, решение нормальных уравнений (8.33)
в случае ковариационного метода может быть получено с по-
помощью некоторого алгоритма, вычислительная сложность кото-
которого пропорциональна р2 операциям, а не р3 операциям, которые
потребовались бы при использовании алгоритма Холецкого. Со-
Соответствующий быстрый алгоритм и программа его машинной
реализации COVAR приведены в приложении 8.В. Заметим так-
также, что необходимым, но недостаточным условием того, чтобы
матрица Rp была невырожденной, является условие jV—р^р
или p^CjV/2. Отсюда следует, что выбранный порядок модели
не должен превышать половины длины записи данных. К кова-
ковариационному методу мы еще вернемся в гл. 11 как к составной
части метода Прони. Можно показать (см. Кей [28]), что в слу-
случае гауссовских процессов ковариационный метод дает для АР-
лараметров оценку, приближающуюся к оценке максимального
правдоподобия.
Используя тот же подход, который был использован нами
для взвешенного и невзвешенного случаев, нетрудно показать,
что в предвзвешенном случае матрицу нормальных уравнений R?
можно записать в виде следующего матричного произведения:
\" /
ь<4 = 1. ^т«Т =\»Х —1|Я|| (8.35)
?Ц+т?т? = 3
элементы которого имеют форму
л*
'р ['". Л = 2 X' [П " i] X [п — j],
(8.36)
где 0<i, /<p. Метод предвзвешивания целесообразно использо-
использовать в процедурах линейного предсказания по методу наимень-
наименьших квадратов, основанных на последовательной обработке дан-
данных. Поэтому более подробно он будет рассмотрен в гл. 9.
Случаи взвешивания (автокорреляционный метод), отсутст-
вия взвешивания (ковариационный метод) и предвзвешивания
могут быть также рассмотрены и применительно к оценке ли-
линейного предсказания назад
>[*] = -.? о? И *[* + />]. (8-37)
где apb[k] — коэффициенты линейного предсказания назад по-
270 Глава 8
рядка р. Предсказание «назад» понимается здесь в том смысле,
что результат предсказания для текущего отсчета данных явля-
является взвешенной суммой р последующих отсчетов. Для конеч-
конечного набора отсчетов данных параметры линейного предсказа-
предсказания назад, определяемые по методу наименьших квадратов, в
общем случае не идентичны параметрам линейного предсказа-
предсказания вперед. Ошибка линейного предсказания назад определяет-
определяется выражением
\ [л] = х [п — р\ — хь [л — р] =
(8.38)
Если предположить, что х[я] = 0 при л<0 и n>N, то составляю-
составляющие ошибки линейного предсказания назад можно в краткой
форме записать в виде следующего матрично-векторного произ-
произведения
ь v
о — Л г;
р I
(8.39)
где вектор ошибки линейного предсказания назад е/' и вектор
коэффициентов линейного предсказания назад а/ определяются
выражениями
¦ , (8.40)
а Хр — это, по-прежнему, тёплицева матрица данных, которая
была определена выше выражением (8.21).
Средний квадрат ошибки линейного предсказания назад оп-
определяется выражением
(>J = 2l4WI2- (8.41),
Суммирование здесь выполняется в диапазоне от 1 до Л' + р в»
взвешенном случае (автокорреляционный метод), от р+1 до .V
в невзвешенном случае (ковариационный метод) и от 1 до -V в
случае предвзвешивания. С помощью того же подхода, который
был использован нами для линейного предсказания вперед,
можно показать, что во всех этих случаях нормальные уравне-
уравнения для линейного предсказания назад будут иметь форму
Алгоритмы блочной обработки данных
271
где матрица Rp равна ХРЯХР для взвешенного случая, ТРЯТР для
невзвешенного случая и определяется выражением (8.35) в слу-
случае предвзвешивания. Решения «прямых» и «обратных» нор-
нормальных уравнений взаимосвязаны, так как в обоих случаях эти
уравнения содержат одну и ту же матрицу Rp. Поэтому быстрые
алгоритмы для ковариационного и предвзвешенного методов
будут одновременно решать нормальные уравнения относитель-
относительно коэффициентов линейного предсказания вперед и назад при
всех промежуточных значениях порядка модели, а, следователь-
следовательно, оба набора коэффициентов получаются здесь без дополни-
дополнительных вычислительных затрат.
Следует заметить, что коэффициенты линейного предсказа-
предсказания вперед и назад, определяемые с помощью ковариационного
метода, не гарантируют получение устойчивого фильтра. Однако
это, вообще говоря, не приводит к каким-либо затруднениям,
если их значения используются только для целей спектрального
оценивания. В действительности спектральные оценки, получае-
получаемые по оценкам авторегрессионных коэффициентов, определяе-
определяемых с помощью ковариационного метода, обычно имеют меньшие
искажения [33. 40], чем спектральные оценки, получаемые с по-
помощью методов, гарантирующих устойчивость фильтра линей-
линейного предсказания, например с помощью автокорреляционного
метода. Однако если такой фильтр синтезируется для каких-ли-
каких-либо других целей, то вопрос об его устойчивости приобретает,
естественно, важное значение.
Один из вариантов ковариационного метода был предложен
Никиасом и Скоттом [39]. В их методе коэффициенты линейного
предсказания вперед н назад выбираются на основе взвешенных
квадратов ошибок
pj= 2
I2, р?= 2 ->WI<"*["]!
(8.43)
где веса характеризуют энергию отсчетов данных, используемых
для формирования ошибок предсказания в пределах окна
wp[n]= S \x[k]\'.
Быстрые алгоритмы для ковариационного метода с весами об-
общего вида пока не получены, поэтому должны использоваться
обычные программы решения матричных уравнений, а это озна-
означает, что вычислительные затраты, необходимые для решения
соответствующих нормальных уравнений, будут в данном случае
пропорциональны величине р3.
8.5.2. Комбинированные алгоритмы линейного предсказания
вперед и назад
В гл. 7 было показано, что для стационарного случайного процес-
процесса авторегрессионные коэффициенты линейного предсказания
вперед и назад представляют собой комплексно-сопряженные ве-
величины, поэтому ошибку линейного предсказания назад можно
записать в следующем виде:
U4)
Поскольку оба направления предсказания обеспечивают получе-
получение одинаковой статистической информации, представляется це-
целесообразным объединить статистики ошибок линейного пред-
предсказания вперед и назад, с тем чтобы получить большее число
точек, в которых определяются ошибки. Суммарный результат
такой процедуры должен улучшать оценку авторегрессионных
параметров. В невзвешенном случае {Лг—р) ошибок линейного
предсказания вперед и {Л'—р) ошибок линейного предсказания
назад можно в краткой форме записать в виде следующего мат-
рично-векторного произведения:
'V
(8.45)
Вектор ошибки ер имеет 2 (/V—р) элементов и образован из
(Л^—р)-элементного вектора ошибки линейного предсказания
ер' и (Л^—р)-элементного вектора ошибки линейного предска-
предсказания назад е/, которые определяются следующими выраже-
выражениями:
(8.45)
Вектор коэффициентов линейного предсказания
определяется выражением
a (N—р) X (р+1)-матрица данных Т„ — выражением (8.22).
Алгоритмы блочной обработки данных 273
Так как J — это (р +1) X (р + 1)- матрица отражения, то про-
произведение
**[/>+!] ... x*[N-p]
[x*[N-p]
x*[N]
представляет собой ганкелеву матрицу с элементами, комплекс-
комплексно-сопряженными отсчетам данных. Отметим, что верхний ин-
индекс / у коэффициентов линейного предсказания ap[k] опущен,
поскольку они теперь соответствуют как ошибкам предсказания
вперед, так и ошибкам предсказания назад.
Минимизируя среднее значение квадратов ошибок предска-
предсказания вперед и назад
nio ¦__
Vp o-
8.46)
по имеющимся данным, получаем систему нормальных уравне-
уравнений
в которых
_
_ТНТ , 1ТГТ1
(8.47)
(8.48)
и Op — /^-элементный нуль-вектор. Уравнение (8.47) следует
непосредственно из уравнения C.67), поскольку уравнение
ошибки (8.45) имеет ту же форму, что и уравнение C.62). Эле-
Элементы матрицы Rp имеют форму
(8.49)
где 0^/, k^p. Так как диапазон суммирования квадратов
ошибок в (8.46) идентичен диапазону суммирования в ковариа-
18—1306
Глана 8
Алгоритмы блочной обработки данных
275
ционном методе, ш процедура, основанная на совместном ис-
использовании ошибок линейного предсказания вперед и назад по
методу наименьших квадратов, получила название модифициро-
модифицированного ковариационного метода. Этот метод был независимо
разработан Бергом [9], Ульрихом и Клейтоном [51] и Наттол-
лом [40]. Ульрих и Клейтон назвали его методом наименьших
квадратов, аотя это и не единственный метод наименьших квад-
квадратов, используемый для линейного предсказания при спект-
спектральном оценивании. Отметим, что в выражении (8.46) могут
использоваться и другие пределы суммирования, однако мы не
будем рассматривать подобные случаи, поскольку характерис-
характеристики получаемых в них оценок, как правило, не превосходят
характеристик оценок, получаемых с помощью модифицирован-
модифицированного ковариационного метода.
Модифицированный ковариационный метод и гармонический
метод Берга основаны на минимизации средних квадратов оши-
ошибок линейного предсказания вперед и назад. В первом из них
минимизация выполняется по всем коэффициентам предсказа-
предсказания, во втором же выполняется условная (т. е. с наложенным
ограничением) минимизация только по одному коэффициенту
предсказания ар[р] (т. е. по коэффициенту отражения кр). При
использовании метода Берга возникает ряд проблем, включая
расщепление спектральных линий и смещение частотных оце-
оценок, которые устраняются при использовании модифицирован-
модифицированного ковариационного метода. А это означает, что причина их
появления, по-видимому, связана с ограничением, которое в
методе Берга используется при минимизации.
Количество вычислительных операций, требуемое для пря-
прямого решения уравнения (8.47) с помощью алгоритма Холецко-
го, пропорционально величине р3, а объем необходимой при
этом памяти пропорционален величине /Я. Однако матрица Rp
в уравнении (8.48) обладает столь хорошей структурой, вклю-
включая центральную симметрию, что можно попытаться использо-
использовать ее для построения быстрого алгоритма решения уравнения
(8.47). Подробный вывод такого быстрого алгоритма и машин-
машинная программа его реализации MODCOVAR приведены в при-
приложении 8.Г. Для модели р-го порядка и Л' отсчетов данных
этот алгоритм требует Л'р + 6р2 вычислительных операций (сло-
(сложений и умножений) и памяти объемом Л'+4р, что сравнимо
с вычислительной сложностью алгоритма Берга. Однако вычис-
вычислительная эффективность модифицированного ковариационного
алгоритма будет выше, чем у алгоритма Берга, в том случае,
когда p<iN и в обоих алгоритмах используется один и тот же
порядок модели. Отметим также, что необходимым, но недоста-
недостаточным условием невырожденности м < щы Rp является ус-
условие 2(Л'—р)^р или р^2Л'/3. Отсю следует, что значение
выбранного порядка модели не должно превышать двух третей
длины записи данных.
В отличие от метода Берга, модифицированный ковариаци-
оьный метод не гарантирует получение устойчивого фильтра
линейного предсказания (т. е. фильтра, полюсы которого рас-
расположены внутри единичной окружности в z-плоскостн), хотя
чаше всего он будет давать именно устойчивые полюсы. В слу-
случае спектрального оценивания это не приводит к каким-либо
затруднениям, но обязательно должно учитываться в том слу-
случае, когда вычисляемые коэффициенты действительно использу-
используются для синтеза фильтра. В приложении 8.Г показано, что
модифицированный ковариационный метод всегда дает коэффи-
коэффициенты отражения, модуль которых не превосходит единицы.
Следовательно, при использовании значений коэффициентов
отражения, вычисляемых с помощью модифицированного кова-
ковариационного метода, мы всегда будем получать устойчивые ре-
решетчатые фильтры.
8.6. Характеристики оценок
Свойства спектров, получаемых по оценкам авторегрессионных
параметров, рассмотренным в этой главе, подробно исследова-
исследованы в многочисленных опубликованных работах. Так как метод
Берга является одним из первых и наиболее широко используе-
используемых алгоритмов, то проверке и сравнению чаще всего подверга-
подвергались результаты, получаемые именно с его помощью. Появление
каждой новой процедуры спектрального оценивания было, как
правило, вызвано необходимостью устранить те или иные ано-
аномалии в спектральных оценках, получаемых с помощью гармо-
гармонического алгоритма Берга. К такого рода аномалиям, которые
будут рассмотрены ниже, относятся ложные спектральные пики,
смещения частотных оценок и расщепление спектральных
линий.
Если выбран большой порядок АР-модели относительно име-
имеющегося числа отсчетов данных, то в авторегрессионных спект-
спектральных оценках могут появляться ложные пики. Из-за ошибок
оценивания матрица нормальных уравнений для большинства
АР-методов будет иметь полный ранг, равный большим значе-
значениям порядка моделей, так что решения для АР-параметров
получаются даже тогда, когда истинная модель имеет значи-
значительно меньший порядок. Дополнительные полюсы, порождае-
порождаемые лишними АР-параметрами, приводят к появлению ложных
спектральных пиков. Для уменьшения числа ложных пиков сле-
следует использовать методы определения порядка модели; не-
несколько критериев выбора порядка модели обсуждается в.
разд. 8.7. Следует заметить, что уменьшение порядка модели с
-
1
:
Рис. 8.3. Две спектральные АР-оценкн, полученные по 101 отсчету процесса,
состоящего из синусоиды с частотой 7,25 Гц и аддитивного белого шума (от-
(отношение сигнал/шум = 50, частота дискретизации — 100 Гц, начальная фаза
равна 45°): о—оценка методом Берга с расщепленной спектральной линией;
¦б — оценка модифицированным ковариационным методом, расщепление спект-
спектральной линии отсутствует.
целью борьбы с ложными пиками снижает также и разрешение
спектральной оценки. Из описанных в данной главе АР-методов
спектрального оценивания более высокое разрешение при за-
заданном порядке модели обеспечивают метод Берга, ковариаци-
ковариационный метод и модифицированный ковариационный метод, о чем
свидетельствует рис. 8.2. Обусловлено это главным образом
отсутствием в них эффектов, связанных с применением окна.
Именно по этой причине наихудшее разрешение из всех описан-
описанных здесь методов имеет автокорреляционный метод.
При использовании метода геометрического среднего, мето-
метода гармонического среднего (метода Берга) и автокорреляци-
автокорреляционного метода было замечено, что при некоторых условиях в
спектральной оценке могут появляться два близко расположен-
расположенных спектральных пика там, где должен присутствовать только
один спектральный пик. Это явление, названное расщеплением
спектральной линии, иллюстрирует рис. 8.3, на котором пока-
показаны спектральные оценки, полученные с помощью метода Бер-
Берга и модифицированного ковариационного метода. Оба спектра
на этом рисунке построены по 25 значениям оценок, получен-
полученным по 101 отсчету процесса, состоящего из синусоиды единич-
единичной амплитуды с начальной фазой 45° и частотой 7,25 Гц и ад-
аддитивного шума с дисперсией 0,01 (отношение сигнал/шум j
равно 50). Частота отсчетов равна 100 Гц. Спектральная '
оценка по методу Берга, показанная на рис. 8.3,а, имеет рас- ]
щепленный пик на частоте примерно 7,25 Гц, что создает лож-
ложное представление о наличии частот двух синусоид. Спектр,
полученный по тем же данным с помощью модифицированного
Алгоритмы блочной обработки данных 277
[риационного метода, имеет только один пик на правильной
оте. Расщепление спектральных линий было впервые опи-
) в статье Фужера и др. [14], где отмечается, что при ис-
.пзовании метода Берга расщепление спектральных линий
наиболее вероятно в тех случаях, когда 1) велико отношение
:нгнал/шум, 2) начальные фазы синусоидальных компонент
чечетно кратны углу 45°, 3) протяженность последовательности
данных во времени такова, что синусоидальные компоненты
имеют нечетное число четвертей периодов, и 4) процентное со-
соотношение между числом оцениваемых АР-параметров и числом
используемых для этой цели отсчетов данных относительно
велико. Расщепление спектральных линий отмечалось при ис-
использовании как действительных, так и комплексных данных,
причем спектры, характеризуемые расщеплением линий, как пра-
правило, содержат много ложных спектральных пиков. С увеличе-
увеличением длины записи данных вероятность расщепления спектраль-
спектральных линий быстро уменьшается. Теоретический анализ причин
расщепления спектральных линий в случае автокорреляционно-
автокорреляционного метода Юла — Уолкера выполнен в работе Кея и Марпла
]29], где показано, что используя несмещенную оценку автокор-
автокорреляции, можно ослабить или даже полностью устранить рас-
расщепление спектральных линий, свойственное этому методу.
Аналогичный анализ для метода Берга выполнен Херрингом
[17], который приходит к выводу, что использование в данном
случае взвешенных квадратов ошибок [уравнение (8.43)] по-
позволяет, по-видимому, снизить вероятность расщепления спект-
спектральных линий, появление которого, по всей видимости, обус-
обусловлено смещением между положительными и отрицательными
спектральными компонентами действительных синусоид. Одна-
Однако наилучшее средство от этого — модифицированный ковариа-
ковариационный метод, при использовании которого еще ни разу не
отмечалось расщепления спектральных линий, особенно в тех
случаях, когда применение метода Берга дает оценки с расщеп-
расщепленными спектральными линиями.
В работах Чженя и Стиджена [11], Ульриха и Клейтона
[51] и Торвалдсена [48] отмечается, что в случае процесса, со-
состоящего из смеси одной или двух синусоид и аддитивного
белого шума, спектральные пики авторегрессионной спектраль-
спектральной оценки по методу Берга оказываются сдвинутыми, причем
величина их сдвига зависит от начальной фазы этих синусоид.
В одном из экспериментов Ульриха и Клейтона с помощью ме-
метода Берга и модифицированного ковариационного метода оп-
определялись спектральные оценки по ансамблям из 15 отсчетов
процесса, состоящего из действительной синусоиды единичной
амплитуды с частотой 1 Гц и аддитивного белого шума при
отношении сигн?л/шум, равном 10 (интервал отсчетов был ра-
278
Алгоритмы блочной обработки данных
279
,'.'. Модифицированный,,'.,,
'¦ ковариационный /
| ,' '. метод -^ /
L....-..- .:, -...г;.. «*......
Метод Берга -"
Начальная фаза, град
Рис. 8.4. Частотное смещение в случае двух АР-методов спектрального оцени-
оценивания. На графике представлены кривые зависимости среднего по ансамблю
положения спектральных пиков от начальной фазы косинусоидального сигна-
сигнала в белом шуме для оценок методом Берга и модифицированным ковариаци-
'онным методом; отношение сигнал/шуч= 10, порядок модели — 9.
вен 0,05 с). На рис. 8.4 показан график зависимости среднего
положения пика этих снектральных оденок от начальной фазы
синусоиды. Каждая точка на этом графике характеризует сред-
среднюю частоту спектрального пика, вычисленную по ансамблю из
50 независимых .реализаций данных. Из приведенного рисунка
с очевидностью следует, что в случае модифицированного кова-
ковариационного метода эта средняя частота очень слабо зависит
от начальной фазы синусоиды и является точной оценкой ее
частоты. В то же время метод Берга характеризуется достаточ-
достаточно сильным смещением частотной оценки, величина которого с
изменением начальной фазы меняется примерно по синусои-
синусоидальному закону. Теоретическое обоснование такого характера
изменения частотного смещения дано в работах Суинглера [45,
47], где, в частности, показано, что это смещение может дости-
достигать 16% величины элемента (или ячейки) разрешения; напом-
напомним, что элемент разрешения равен 1/АТ Герц. Он же показал
[46], что использование взвешенных квадратов ошибок [таких,,
например, как в (8.17)] ослабляет фазовую зависимость частот-
частотных оценок по методу Берга. Эффекты, связанные с этим сме-
смещением, уменьшаются также и при использовании аналитиче-
аналитического (т. е. комплексного) сигнала [18].
Наттолл [40], используя усреднение по ансамблю из боль-
большого числа наборов данных, тщательно проанализировал дис-
дисперсию оценок СПМ, получаемых с помощью различных АР-ме-
годов, в том числе методов, описанных в этой главе. Получен-
Полученные им результаты показывают, что в случае несинусоидальных
процессов из всех этих методов лишь метод Берга и модифици-
модифицированный ковариационный метод дают, как правило, оценки
СПМ и частоты с минимальной дисперсией. Этот вывод под-
подтверждается также и работой [44]. Для иллюстрации сказанно-
сказанного на рис. 8.5 показаны наложенные друг на друга спектральные
оценки, полученные по 50 последовательностям, каждая из кото-
которых содержит 40 отсчетов следующего АР D)-процесса:
л- [А] = 2,7607* [k— 1] — 3,8106* [ft — 2] -f 2,6535* [k — 3] —
где w[k] — белый гауссовский шумовой процесс. Порядок мо-
модели для каждой оценки СПМ был заранее выбран равным че-
четырем. Из рис. 8.5 можно видеть, что спектральные оценки,
получаемые с помощью методов, основанных на линейном пред-
предсказании, в целом характеризуются меньшей вариабельностью
склонов, но большей амплитудой выбросов вблизи частот, со-
соответствующих истинным пикам спектра. А это означает, что
методы на основе линейного предсказания дают авторегресси-
авторегрессионные спектральные оценки с несколько меньшей дисперсией
частоты, но с большей дисперсией СПМ, чем методы, основан-
основанные на оценивании коэффициента отражения. Большую диспер-
дисперсию СПМ можно объяснить тем фактом, что в случае методов
линейного предсказания положение полюсов фильтра не огра-
ограничивается областью единичного круга, тогда как в случае
методов, основанных на оценивании коэффициента отражения,
этот фильтр должен быть устойчивым, т. е. его полюсы должны
обязательно располагаться внутри единичной окружности. Из
рис. 8.5 также следует, что наихудшую оценку спектра АР D)-
процесса дает метод Юла — Уолкера.
Если сигналы имеют большие уровни постоянных составляю-
составляющих или же, характеризуются заметным линейным трендом, то
их авторегрессионные спектральные оценки будут искажены
[20], в особенности в низкочастотной части спектра. Поэтому
такие составляющие должны оцениваться и удаляться до вы-
выполнения процедуры авторегрессионного спектрального оцени-
оценивания.
Хотя в этой главе основное внимание было уделено харак-
характеристикам авторегрессионных спектральных оценок для ко-
коротких последовательностей отсчетов данных, следует также
кратко упомянуть и об их асимптотических статистических
свойствах. Так, Сака и [43] экспериментально показал, что в
случае процесса, состоящего из синусоид и аддитивного шума,
дисперсия частоты авторегрессионной спектральной оценки
оказывается обратно пропорциональпой длине записи данных
и квадрату отношения сигнал/шум. Килер [30] представил экс-
экспериментальное доказательство того, что в случае несинусои-
несинусоидальных процессов дисперсия обратно пропорциональна длине
записи данных и отношению сигнал/шум (а не квадрату этого
280
Рис. 8.5. Сравнение АР-оценок пяти типов для АР-процссса четвертого поряд-
порядка. Для всех методов представлены наложенные друг на друга оценки для
50 реализаций этого процесса, содержащих 40 отсчетов каждая- а —истин-
—истинный спектр АР D)-процесса; б— несмещенные автокорреляционные оценка
Юла— Уолкера; в — смещенные автокорреляционные оценки Юла —Уолкера;
г —- геометрический метод; д — метод Берга; е—метод Кея; ж—ковариацион-
ж—ковариационный метод, коэффициенты предсказания внеред; з — ковариационный ме-
метод, коэффициенты предсказания назад; // — модифицированный ковариацион-
ковариационный метод.
отношения, как в случае синусоидальных процессов). Акаике [1],
Кроумер [31] и Берк [7] показали, что с ростом числа отсчетов
данных асимптотические характеристики АР-оценки СПМ, ос-
посаннтй на автокорреляционном методе, асимптотически при-
приближаются к характеристикам гауссовского распределения ве-
вероятностен; иными словами, среднее значение АР-оценки СПМ
Алгоритмыблочной обработки данных
281
оказывается в предел* равным истинному среднему значе-
значению этой оценки, а е дисперсия стремится к значению,
пропорциональному величине Dр/Лг) Р2АР (f), Доверитель-
Доверительные границы для АР-аектров были определены Баггероером
[5], а дополнительные введения, касающиеся сравнения харак-
характеристик различных оцнок, можно найти в статье Кавеха и
Купера [23].
8.7. Выбор порядка мод пи
Поскольку наилучшее начение порядка фильтра заранее, как
правило, не известно, и практике обычно приходится испыты-
испытывать несколько порядюв модели. Базируясь на этом, вводят
тот или иной критерий шибки, по которому затем определяется
требуемый порядок модели. Если порядок модели выбран слиш-
слишком малым, получаюгя сильно сглаженные спектральные
оценки, если излишне большим — увеличивается разрешение,
но в оценке появляютс ложные спектральные пики. Таким об-
образом, применительно к авторегрессионному спектральному
оцениванию выбор пордка модели эквивалентен компромиссу
между разрешением и величиной дисперсии для классических
методов спектральногооценивания. Интуитивно ясно, что сле-
следует увеличивать поря,ок АР-модели до тех пор, пока вычис-
вычисляемая ошибка предекзания не достигнет минимума. Однако
во всех обсуждаемых з данной главе процедурах оценивания
дисперсия ошибки прдсказания (или — в статистике — оста-
остаточная дисперсия) моютонно уменьшается с увеличением по-
порядка модели р. Так, шпример, в методе Берга, модифициро-
модифицированном ковариационно! методе и автокорреляционном методе
Юла — Уолкера для ычисления ошибки по методу средних
•или наименьших квадртов используется выражение
Р;=Р,-1A-|^М|!). (8.50)
До тех пор, пока велчина |оР[р]|2 отлична от нуля (она не
должна превосходить единицы), дисперсия ошибки предсказа-
предсказания уменьшается. Слеювательно, одной дисперсии обычно не-
недостаточно для того, ч'обы определить момент окончания про-
процедуры изменения порщка модели, пока не известно некоторое
значение этого поряди, при дальнейшем изменении которого
•скорость изменения дсперсии ошибки резко снижается. Еще
¦одна простая провери правильности выбора порядка модели
основана на периодп-раммном анализе последовательности
«шибок предсказания,или отклонений от авторегрессии, — так
¦называемых остатков.По своим статистическим свойствам эти
остатки близки к белсму шуму, поэтому при таком анализе
получается достаточне«плоская» оценка периодограммы.
282 Глава 8
Для выбора порядка АР-модели предложено много различ-
различных критериев — своего рода целевых функций. Два подобных
критерия были предложены Акаике [1]. Первый из них — это
окончательная ошибка предсказания (ООП). Согласно этому
критерию, выбор порядка АР-процесса осуществляется таким
образом, чтобы минимизировать среднюю дисперсию ошибки на
каждом шаге предсказания. Акаике рассматривает ошибку
предсказания как сумму мощностей в непредсказуемой части
анализируемого процесса и как некоторую величину, характе-
характеризующую неточность оценивания АР-параметров. ООП для
АР-процесса определяется выражением
ОППИ = Р,(?±{?Ц). (8.51)
где N — число отсчетов данных, р — порядок АР-процесса и
р» — оценочное значение дисперсии белого шума (которая будет
использоваться в качестве ошибки линейного предсказа-
предсказания). Заметим, что в (8.51) предполагается, что из данных
вычтено выборочное среднее значение. Член в круглых скобках
растет с увеличением порядка, характеризуя тем самым увели-
увеличение неопределенности оценки рр для дисперсии ошибки пред-
предсказания. Выбирается такое значение порядка, при котором
величина ООП -минимальна. Критерий на основе ООП исследо-
исследовался в различных приложениях Ландерсом и Лакоссом [32],
Ульрихом и Бишопом [50] и Наттоллом [40]. Для идеальных.
АР-процессов он обеспечивает отличные результаты, однако
применительно к реальным сигналам этот критерий, как пока-
показали Джонс [19] и Берриман [8], оказывается излишне консер-
консервативным и приводит к выбору заниженного значения порядка
модели.
Второй критерий Акаике основан на методике максималь-
максимального правдоподобия и получил название информационного кри-
критерия Акаике (ИКА). Согласно этому критерию, порядок моде-
модели определяется посредством минимизации некоторой теорети-
теоретико-информационной функции. Если предположить, что
исследуемый АР-процесс имеет гауссовы статистики, то ИКА
будет определяться следующим выражением:
ИКА [р] = N ]п(р
(8.52)
(Вывод этого выражения дан в книге Кея [28].) Член 2р в.
(8.52) характеризует плату за использование дополнительных
АР-коэффициентов, но это не приводит к значительному умень-
уменьшению дисперсии ошибки предсказания. И здесь выбирается
порядок модели, который минимизирует значение ИКА. При
Х-+оо первый и второй критерии Акаике асимптотически экви-
ных 283
процессам критерий
¦ццоне [22]. Как и в
следователи отмечают, что по-
гатветствии с критерием ИКА,
не соответе11;\ ющих авторегрессионным про-
,о оказывается заниженным. Кавех и Бруццо-
еще один вариант ИКА, который учитывает
овия при формулировке оценки максимального
для АР-параметров. Отметим, что Кашьяп [21]
•татистически несостоятельным критерием в том
¦чтность ошибки при выборе правильного по-
,*i 'I стремится к нулю при N-*aa, а это приводит
неш 1 чеиия порядка модели в том случае, когда
запи1И данных возрастает. Для устранения этого недо-
недока Риссанен [42] разработал другой вариант ИКА, который
ет следующую форму:
ДЛЮ [р] = N In (р,) + р In (Л'), (8.53)
где ДМО — длина минимального описания, о которой можно
сказать, что она статистически состоятельна, поскольку величи-
величина pin (Л") растет с увеличением N быстрее, чем в случае с р.
Третий метод выбора критерия предложен Парзеном [41] и
получил название авторегрессионной передаточной функции
критерия (АПФК). Порядок модели р выбирается в этом случае
равным порядку, при котором оценка разности среднего квад-
квадрата ошибок между истинным фильтром предсказания ошибки
(его длина может быть бесконечной) и оцениваемым фильтром
минимальна. Парзен показал, что эту разность можно вычис-
вычислить, даже если истинный фильтр предсказания ошибки точно
не известен:
(р \
-h-i-P? )-гг' (8.М)
/=1 /
где р, = [Л'/(Л'—;)]р,-. И здесь значение р выбирается так, что-
чтобы минимизировать АПФК[р].
Результаты оценивания спектра при использовании критери-
критериев ООП, ИКА и ЛПФК мало отличаются друг от друга, особен-
особенно в случае реальных данных, а не моделируемых АР-процессов.
Ульрих и Клейтон [51] показали, что в случае коротких записей
данных ни один из этих критериев не обеспечивает удовлетво-
удовлетворительных результатов. Для гармонических процессов в присут-
присутствии шума использование ООП и ИКА приводит к заниженной
оценке порядка модели, особенно в тех случаях, когда отноше-
отношение сигнал/шум велико. Ульрих и Уи [52] экспериментально
установили, что если при анализе коротких отрезков гармониче-
284
ских процессов с помощью ковариационного и модифицирован-
модифицированного ковариационного методов порядок модели выбирать на
интервале значений от N/3 до N/2, то во многих случаях будут
получаться удовлетворительные результаты. Эти эксперимен-
экспериментальные данные были подтверждены Лангом и Макклелланом
[33], которые аналитическими средствами показали, что при ис-
использовании модифицированного ковариационного метода дис-
дисперсия положений спектральных пиков для случаев одной сину-
синусоиды или нескольких синусоид с хорошо различающимися час-
частотами приближается к нижней границе Крамера — Рао, если
порядок модели составляет примерно Уз длины записи данных.
Тем не менее окончательный выбор порядка модели для данных,
получаемых из реальных записей неизвестных процессов, пока
еще носит субъективный, а не точный научный характер. По-
Поэтому критерии, описанные в этом разделе, целесообразно ис-
использовать лишь для выбора начального значения порядка
модели, поскольку они обеспечивают хорошие результаты в слу-
случае искусственных" АР-сигналов, синтезированных с помощью-
ЭВМ, а в случае действительных данных результаты их приме-
применения зависят от того, насколько точно эти данные могут моде-
моделироваться с помощью того или иного АР-процесса.
8.8. Авторегрессионные процессы с шумом наблюдения
На практике отсчеты данных очень часто искажены шумом на-
наблюдения, что приводит к ухудшению характеристик и разреше-
разрешения авторегрессионных спектральных оценок [25]. Это ухудше-
ухудшение обусловлено тем, что используемая при спектральном ана-
анализе модель только с одними полюсами (так называемая чисто-
полюсная модель) при наличии шума наблюдения оказывается
уже непригодной. Пусть
— искаженный шумом АР-процесс, где x[k] — АР (р) -процесс,
а п[к] — шум наблюдения. Если n[k] — белый шум с дисперсией
рл и если он не коррелирован с x[k], то
[рш + р„А (г) А* A/г')] _ р [В (г) В' A/z*))
А (г) А* A/2*) А(г)А*A/г>) '
Отсюда следует, что z-преобразование автокорреляционной
функции выходного процесса характеризуется как полюсами,
так и нулями, а это означает, что y[k] является АРСС (р, р)-про-
цессом. Поэтому процессы этого типа следует анализировать с
помощью методов на основе моделей авторегрессии — скользя-
скользящего среднего, которые описаны ниже в гл. 10.
Алгори
блочной обработки данных
Рис. 8.6. Функция ИКА[р1 фильтрованных чисел солнечных пятен, нормиро-
нормированная относительно значения HKAfO]: а — ковариационный метод; б—метод
Берга.
Применительно к случаю, когда шум наблюдения является-
белым шумом, предложен ряд схем компенсации мощности это-
этого шума, которые позволяют уменьшить связанное с ним сме-
смещение спектральных оценок; (см., например, работы Марпла
[36] и Кея [26]). Поскольку мощность шума паблюдения влияет
только на член автокорреляционной последовательности, соот-
соответствующий нулевому временному сдвигу,
уЛ 1~\ гххЩ, k^O,
то, удаляя из оценки автокорреляционного члена Л/у[0] оценку
дисперсии рп, можно устранить эффекты, обусловленные шумом
наблюдения. Ниже в гл. 13 описан метод гармонического раз-
разложения Писаренко, в котором одна из подобных схем исполь-
используется для оценивания дисперсии р„ применительно к процессу,
состоящему из смеси синусоид и белого шума. Аналогичные
схемы компенсации можно разработать и для коэффициентов
отражения. Следует, однако, заметить, что схемы компенсации
шума, уменьшая смещение спектральных оценок, одновременно'
увеличивают дисперсию этих оценок. Основной их недостаток
состоит в том, что заранее не известно, какую долю мощности
шума следует удалить; если оценка р„ слишком велика, то оце-
оцененный АР-спектр будет иметь более острые спектральные пики,
"ем истинный спектр.
8.9. Применение к числам солнечных пятен
Для получения авторегрессионных оценок СПМ использовалась
та же фильтрованная последовательность из 230 отсчетов чисел
солнечных пятен, что и в разд. 5.9. Оценка порядка применяе-
применяемой АР-модели производилась с помощью ИКА, определяемого
выражением (8.52); кривые зависимости ИКА от порядка моде-
286
Рис. 8.7. Спектральные АР-оценки фильтрованных чисел солнечных пятен: а —
ковариационный метод, коэффициенты предсказания вперед, p=I2; б-—метод
Берга, р= 12; в — набор из спектральных АР A8)-оценок, полученных с по-
помощью ковариационного метода по сегментам записи числа солнечных пятен,
содержащим по 46 отсчетов каждыи.
ли, изменяющегося в интервале значений от 0 до 32, представ-
представлены на рис. 8.6, из которого видно, что эти кривые не имеют
выраженных минимумов. Для метода Берга значение ИКА
практически остается неизменным, начиная со значения порядка
модели, равного примерно 12. На рис. 8.7 показаны авторегрес-
авторегрессионные оценки СПМ, полученные с помощью ковариационного
метода и метода Берга на основе АР-модели, порядок которой
¦был равен 12. Оба спектра, по сути дела, идентичны, но степень
их детальности несколько разочаровывает, что лишний раз под-
подтверждает консервативный характер правил выбора порядка
модели, подобных ИКА. На рис. 8.7, в показаны авторегресси-
авторегрессионные спектральные оценки, полученные с помощью ковариаци-
ковариационного метода на основе модели, порядок которой был равен 18.
Эти оценки вычислялись по отрезкам из 46 отсчетов фильтро-
фильтрованных чисел солнечных пятен, начинающихся с года, указан-
його по оси ординат, и позволяют судить о поведении этих
Алгоритмы блочной обработки данны
Рис. 8.8. Спектральные АР-оценки фильтрованных чисел солнечных пятен,
P~3Q: а—ковариационный метод, коэффициенты предсказания вперед; б —
метод Берга; в — ковариационный метод, коэффициенты предсказания назад;
г — модифицированный ковариационный метод.
оценок на коротких интервалах времени. Каждой оценке на этом
рисунке соответствует 50-дБ диапазон амплитуд. Вполне очевид-
очевидно, что нестационарность характеристик, отмеченная для спект-
спектральных оценок, показанных на рис. 5.12, присуща также и
авторегрессионным спектральным оценкам.
Если порядок модели увеличить до 36, то у авторегрессион-
авторегрессионных спектральных оценок начинают появляться более мелкие-
детали. На рис. 8.8 показаны четыре спектральные оценки, по-
полученные с помощью трех методов спектрального оценивания,
в том числе две оценки для ковариационного метода линейного
предсказания соответственно вперед и назад. Все четыре спект-
спектральные оценки очень сходны между собой. На каждом спектре
присутствует пик, соответствующий примерно 22 годам на цикл.
Положения первых трех пиков, выраженные в единицах перио-
периодов, на рис. 8.8, а соответствуют значениям 20,90, 10,72 и 5,20
лет на цикл, на рис. 8.8, б—'значениям 19,88, 10,67 и 5,21 лег
290
Глава 8
гепсе on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Tulsa, Okla., pp. 345—
348, April 1978.
[37] Marple S. L., Jr. Efficient Least Squares FIR System Identification. IEEE
Trans Acoust Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 62—73, February
1981,
[38] Morf M, Dickinson В., Kailath Т., Viera A. Efficient Solution of Covariance
Equations for Linear Prediction IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Pro-
Process., vol. ASSP-25, pp. 429—433, October 1977.
[39] Nikias C. L., Scott P. D. The Covariance Least-Squares Algorithm for Spect-
Spectral Estimation of Processes of Short Data Length. IEEE Trans. Geosci.
Remote Sensing, vol. GE-21, pp. 180—190, April 1983.
[40] Nuttall A. H. Spectral Analysis of a Univariate Process with Bad Data
Points, via Maximum Entropy and Linear Predictive Techniques. Naval
Underwater Systems Center Technical Report TR-5303, New London, Conn.,
March 1976.
[41] Parzen E. Some Recent Advances in Time Series Modeling. IEEE Trans.
Autom. Control, vol. AC-19, pp. 723—730, December 1974.
[42] Rissanen J. A Universal Prior for the Integers and Estimation by Minimum
Description Length. Ann. Stat., vol. 11, pp. 417—431, 1983.
[43] Sakai H. Statistical Properties of AR Spectral Analysis. IEEE Trans.
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-27, pp. 402—409, August 1979.
[44] Shon S., Mehrorta K. Performance Comparison of Autoregressive Estima-
Estimation Methods. Proceedings of the 1984 IEEE International Conference on
Acoustics, Speech, and Signal Processing, pp. 14.3.1—14.3.4, 1984.
[45] Swingler D. N. A Comparison between Burg's Maximum Entropy Method
and a Nonrecursive Technique for the Spectra! Analysis of Deterministic
Signals. J. Geophys. Res., vol. 84, pp. 679—685, September 1979.
[46] Swingler D N A Modified Burg Algorithm for Maximum Entropy Spectral
Analysis. Proc- IEEE, vol. 67, pp. 1368—1369, September 1979. [Имеется
русский перевод: Суинглер Д. Н. Модифицированный алгоритм Берга для
спектрального анализа максимальной энтропии. ТИИЭР, 1979, т. 67, Хэ9,
с. 223—225.]
[47] Swingler D N. Frequency Errors in MEM Processing. IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-28, pp. 257—259, April 1980.
[48] Thorvaldsen T. A Comparison of the Least Squares Method and the Burg
Method for Autoregressive Spectral Analysis. IEEE Trans. Antennas Pro-
pag., vol. AP-29, pp. 675—679, July 1981.
[49] Tong H. Autoregressive Model Fitting with Noisy Data by Akaike's Infor-
Information Criterion. IEEE Trans. Inf. Theory, vol.'IT-21, pp. 476—480, July
1975; продолжение см. также: IEEE Trans. Inf. Theory, vol. IT-23,
109—410, May 1977.
[50] Ulrych T. J., Bishop T. N. Maximum Entropy Spectral Analysis and Auto-
Autoregressive Decomposition. Rev. Geophys. Space Phys., vol. 13, pp. 183—
200, February 1975.
[51] Ulrych T J, Clayton R. W. Time Series Modeling and Maximum Entropy.
Phys. Earth Planet Inter., vol. 12, pp. 188—200, August 1976.
[52] Utrich T. J., Ooe M. Autoregressive and Mixed ARMA Models and Spectra,
Chapter 3 in Nonlinear Methods of Spectral Analysis, 2nd ed., S. Haykin,
ed., Springer-Verlag, New York, 1983.
[53] Ulrich T. J., Smylie D, ?., Jensen O. G., Clarke G. К.. С Predictive Filtering
and Smoothing of Short Records by Using Maximum Entropy. J. Geophys.
Res , vol. 78, pp. 4959—4964, August 1973.
Задачи
]. Ввести критерий выбора порядка на основе оконечной ошибки линейного
предсказания вперед в подпрограммы, указанные на рис. 8.1, прогнать
в каждой из них 64-точечную тест-последовательность и отметить поря-
Алгоритмы блочной обработки данных
291
док, выбранный каждой из них. Как можно сравнить полученные результа-
результаты? Почему они различаются? Ввести далее критерий выбора порядка мо-
модели на основе АПФК. Какие значения порядка выбраны в этом случае?
2. Написать программу, реализующую алгоритм оценивания АР-параметров
на основе геометрического среднего. В качестве модели структуры этой
программы использовать подпрограмму BURG.
3 Вывести рекурсию убывающего порядка для алгоритма Берга; иными сло-
словами, по заданным АР-коэффициентам р-ro порядка записать выражение
для АР-коэффициентов (р—1)-го порядка.
4. Показать, каким образом в алгоритм Берга можно ввести автокорреля-
автокорреляционную оценку. Подсказка: использовать выражение (8.3).
5. Переписать алгоритм Берга, сохранив лишь коэффициенты отражения;
АР-коэффициенты не вычислять. Используя критерий ООП, определить
наилучшее значение порядка, а затем с помощью рекурсии Левинсона най-
найти АР-коэффициенты, соответствующие этому значению порядка. Показать,
что эта процедура может быть выполнена в два этапа без дополнительных
вычислительных затрат.
6. Доказать соотношение (8.3).
7. По заданной последовательности коэффициентов отражения отыскать ре-
рекурсию, которая дает автокорреляционную последовательность.
8. Объяснить, почему в программе реализации алгоритма Берга используется
оперртор DEN = P*2, а не DEN = P?
9. Доказать для ковариационного алгоритма следующие соотношения:
p'=aJfRpap = pf'_1(l-aPMb/,W),
р* = Ъ»ЯрЪр = р'1, (\-Ь[р]ар М),
[4 (р -V 1 )]* = -гХ-. +*•(/>+ 1),
\4 ^
10. Доказать, что в ковариационном алгоритме ~Vp~^p*,
11. Показать, что в ковариационном алгоритме б„, fo-»-0 с увеличением поряд-
порядка р.
12. И в алгоритме Берга, и в модифицированных ковариационных методах
используется сумма квадратов ошибок линейного предсказания вперед
и назад. В каком смысле алгоритм Берга является задачей наименьших
квадратов с ограничением, а модифицированный ковариационный метод —
задачей наименьших квадратов без ограничений?
13. Модифицировать подпрограмму COVAR таким образом, чтобы в случае
обнаружения при ее исполнении ошибочного условия коэффициенты векто-
векторов а и Ь, которые соответствуют предшествующим значениям порядка
к полагаются правильными, подавались на устройство вывода
14. Используя выражения (8.В.6) и (8.Г.6), доказать, что матрицы RD в кова-
ковариационном и модифицированном ковариационном методах положительно
п°луопределенны.
15. Доказать рекурсивное соотношение (8.16).
id. .Записать матрицу Ro в выражении (8.28) через матрицы ТР, Lp и Un
1/- Доказать, что матрица Rp в выражении (8.28) для автокорреляционного
метода положительно полуопределенна.
Приложение 8.А.
Программа алгоритма Юла — Уолкера
подпрограмма предназначена для вычисления оценок авто-
авторегрессионных параметров и дисперсии белого шума с помощью
метода Юла — Уолкера, описанного в разд. 8.3. С помощью
19*
процедуры, приведенной в приложении IV, помещенном в конце
книги, ее можно преобразовать для обработки действительных
данных. При обработке с помощью этой подпрограммы 64-то-
64-точечной тест-последовательности, приведенной в приложении II,
в случае, когда N = 64, IP = 15 и L=l, получаются следующие
значения АР-коэффициентов:
АA) = ( 0,277473;
АB) = ( 0,336654;
АC) = (— 0,201972;
АD)-( 0,182192;
АE) = (—0,146188;
АF) = ( 0,002554;
АG) = (—0,216875;
А(8)-(— 0,000398;
Р=0,22833
-0,707342); А(9) =
-0,536765); АA0).
-0,310083); А(П) =
-0,011275); АA2).
-0,147403); АA3) =
-0,170146); АA4) =
-0,044782); АA5) =
0,196649);
( 0,051247; 0,158093);
( 0,157524; 0,075804);
( 0,136989; —0,015143);
(—0,007077; —0,230838);
(—0,233656; —0,046570);
(—0,151503; 0,034726);
( 0,018774; 0,093879).
Подпрограмма YULEWALKER (N, IP, L, X, Р, A, ISTAT)
Предназначена для определения авторегресоионных коэффициентов с по-
помощью алгоритма Юла — Уолкера.
Входные параметры:
N — число отсчетов данных (целое число).
IP — порядок используемого авторегрессионного процесса (целое
число).
L — параметр, значение которого устанавливается равным 0 для
несмещенных автокорреляционных оценок и равным 1 для
смещенных.
X —массив значений комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
Р
А
ISTAT
Примечание:
— дисперсия возбуждающего шума (действительная вели-
величина).
— массив комплексных авторегрессионных коэффициентов от
АA)доАAР).
— Указатель состояния. Устанавливается в 0 при нормальном
выходе из программы или в 1, если алгоритм LEVINSON
оказывается численно плохо обусловленным.
Размеры GE. N внешнего массива X и размеры .GE. IP массива А указы-
указываются в вызывающей программе. Размеры внутреннего массива R указы-
указываются в .GE. IP Используются внешние подпрограммы CORRELATION
(приложение 5.А) и LEVINSON (приложение З.В).
COMPLEX X(l),A(l),R0,RA00)
CALL CORRELATION (N,IP,L,X,X,RO,R)
RZERO-REAL(RO)
CALL LEVINSON (IP,RZERO,R,P AISTAT)
RETURN
END
Алгоритмы блочной обработки данных 293
Приложение 8.Б.
Программа реализации алгоритма Берга (гармонического)
Алгоритм Берга описан в подразд. 8.4.2 и предназначен для вы-
вычисления оценок АР-параметров и дисперсии белого шума. Про-
Программа этого алгоритма, написанная на Фортране, аннотируется
ссылками на номера формул в тексте данной главы, с тем чтобы
читатель мог следить за логикой построения программы. При
обработке с помощью этой программы 64-точечной тест-после-
тест-последовательности, приведенной в приложении II, при N = 64 и 1Р =
= 15 получаем следующие значения АР-параметров:
АA)-( 2,711213;
АB) = ( 5,179286;
АC)-( 7,041883;
АD) = ( 7,899391;
АE)-( 6,848681;
АF) = ( 4,561341;
АG)'-( 1,310846;
А(8) = (—1,901579;
Р=0,00542;
-0,776930); А(9) =
-2,737600); АA0) =
-6,163119); АA1) =
-10,228625); АA2) =
-14,106740); АA3) =
-16,882746
-18,172159
-17,536158
(—4 678243; —15,089474);
:(—6,255747; —11,272636);
: (—6,311070; —6,947133);
:(—4,916976; —3,253044);
:(—3,009425; —0,872889);
.(—1,326651; 0,046931);
(—0,356762; 0,148375).
Подпрограмма BURG (N,IP,X,P,A,ISTAT)
Предназначена для оценки комплексных авторегрессионных параметров
с помощью алгоритма Берга.
Входные параметры:
N —число отсчетов данных (целое число).
IP —порядок авторегрессионного процесса (целое число).
X —массив значений комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
Р — действительная переменная, представляющая дисперсию воз-
возбуждающего шума.
А — массив комплексных авторегрессионных коэффициентов от
АA) до АAР).
ISTAT — целочисленный указатель состояния в момент выхода из
программы:
0 при нормальном выходе,
1 при плохой численной обусловленности (Р<0).
Примечание:
Размеры .GE. N внешнего массива X и размеры .GE. IP массива А
должны указываться в вызывающей программе. Размеры внутренних
массивов EF и ЕВ должны указываться в .GE. N.
COMPLEX X A) ,А A) ,EF C00) ,ЕВ C00) ,NUM,SAVE1 ,SAVE2
REAL P, DEN.TEMP
Инициализация
2+AIMAG(X(J)).-2 I (8.12)
(8.11)
ISTAT-0
P-0.
DO 10 J=1,N
P=P+REAL(X(J)).<
DEN-P.2.
P = P/N
IF (IP .EQ. 0) RETURN
DO 20 J=1,N
EF(J)-X(J)
EB(J)-X(J)
TEMP=1.
K-0
Главная рекурсия
K=K+1
NUM=@.,0.)
DO 30 J=K+1,N
NUM=NUM+EF(J).CONJQ(EB(J-1))
DEN=TEMP»DEN-REAL(EF(K))..2-AIMAG(EF(K))
• -REAL(EB(N)).»2-AIMAQ(EB(N))»«2! (816)
SAVE1--2.»NUM/DEN ! (814)
TEMP=1.-REAL(SAVE]).«2-AIMAG(SAVE1)«2
P-P.TEMP ! (8 4)
IF (TEMP .GT. 0.) GO TO 40
ISTAT- 1
RETURN
A(K)=SAVEI
IF (K .EQ". 1) GO TO 60
KHALF-K/2
DO 50 J=1,KHALF
KJ=K-J
SAVE2=A(J)
A(J) = SAVE2+SAVE1.CONJG(A(KJ)) ! (8 2)
IF (J .EQ. KJ) GO TO 50
A(KJ)=A(KJ)+SAVE1.CONJG(SAVE2) ! (8 2)
CONTINUE
IF (K .EQ. IP) RETURN
DO 70 J = N,K+1,-1
SAVE2=EF(J)
EF(J)=SAVE2+SAVE1«EB(J-1) ! (8 7)
EB(J)=EB(J-1)+CONJG(SAVE1).SAVE2 '
GO TO 100
END
Приложение 8.В.
Быстрый алгоритм и программа решения
ковариационных уравнений линейного предсказания
8.В.1. Введение
Первый быстрый алгоритм для решения ковариационных нор-
нормальных уравнений был разработан в 1977 г. Морфом и др. [38]
и впоследствии упрощен в вычислительном отношении Марплом
Алгоритмы блочной обработки данных
295
[37]. В варианте, который описан ниже, учтены также и даль-
дальнейшие совершенствования этого алгоритма. Так как алгоритм
имеет рекурсивную структуру, он вычисляет решения наимень-
наименьших квадратов для ковариационных нормальных уравнений всех
более низких порядков, однако приведенная здесь программа не
сохраняет эти промежуточные решения, хотя, конечно, ее не-
нетрудно для этой цели модифицировать.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад р-то поряд-
порядка можно представить в форме внутреннего (или скалярного)
произведения векторов
M J[]f
[n] = xj[n]a»,
8.B.2)
где вектор данных хр[п], вектор коэффициентов линейного пред-
предсказания вперед а„' и вектор коэффициентов линейного пред-
предсказания назад а/ определяются следующими выражениями:
\х[п-р]
, 4 =
4
[1]
И
8.В.З)
1 i
Заметим, что векторы ар> и а/ содержат теперь элемент, рав-
равный единице, что отличает их от векторов, определенных выра-
выражениями (8.25) и (8.40). На основе отсчетов измеренных комп-
комплексных данных х[1], ..., х[Щ ковариационный метод линейного
предсказания позволяет раздельно минимизировать суммы квад-
квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад:
&= 2 К Ml1.
1= 2
п-р+1
что приводит к следующим нормальным уравнениям:
8.В.4)
*A = {pVy <8-в-5)
где О, — (pxl)-нуль-вектор. В отличие от алгоритма Левинсо-
на, теперь в общем случае aPf=^=ap'*. Внешнее произведение век-
вектора, определяющее матрицу Rp эквивалентно выражению (8.33)
и имеет вид
P= 2 x;[n]xj[n].
п = р+ 1
(8.В.6)
Если член е[1] ошибки не используется, нормальные уравне-
уравнения, которые получаются при рассмотрении последовательности
данных х[2],..., x[N], будут иметь форму
где штрих означает, что эти уравнения соответствуют случаю
«укороченной» последовательности данных. В этом случае
п = р+г
Аналогичным образом, если исключается член е[Щ ошибки,
нормальные уравнения, получаемые по последовательности дан-
данных х[\],..., x[N—1], будут иметь форму
RX"
(8.В.9)
где двойной штрих означает, что решения этих уравнений соот-
соответствуют другому случаю укороченной последовательное!и
данных; для него
R;= 2 x;[n]xj[n]. (8.B.10)
8.В.2. Специальные разложение и вспомогательные параметры
Для разработки быстрого алгоритма важными являются следу-
следующие разложения <р+1)Х (р + 1)-матрицы по индексу по-
порядка р:
/ г„ и, и Sn \ / к„_1 г„
(8.В.12)
где р-вектор-столбцы i> и sp даются выражениями
[р-\,р]/
Разложения (8.В.11) весьма сходны с разложениями C.124)
тёплицевой матрицы, которые были даны в гл. 3.
Важными также являются следующие разложения матрицы
Rp по временному индексу:
Rp=Rp—x*[p+l]xT[p+l], (8.B.13)
Алгоритмы блочной обработки данных
297
киторые можно рассматривать как корректировки, необход мые
для учета весьма близкой к тёплицевой структуры матрищ Rp.
Для разработки быстрого алгоритма потребуется такж! па-
пара (р+1)-вектор-столбцов ср и dp. Они определяются из рав-
равнений
Rpcp*=x;[N], (8.1.15)
Rp6p = xl[p+\] (8.J.16)
и имеют следующий вид:
\J>V
(8.1.17)
Аналогичные векторы с/ и dp', а также с/' и dp" можно шре-
делить соответственно для матриц Rp и Rp".
8.В.З. Рекурсии обновления порядка
Процедура, используемая для обновления порядка вектор, ли-
линейного предсказания вперед, по своей структуре весьма сх>дна
с рекурсией Левиисона. С учетом этого факта она будет осу-
осуществляться в соответствии с выражением
Л
(8.1.18)
(8.1.19)
з котором
Для проверки правильности (8.В.18) умножим обе части того
равенства слева на матрицу Rp и подставим разложение оот-
ветствующего порядка из (8.В.11). В результате получимсле-
дующее рекурсивное соотношение для квадрата ошибки л.ней-
ного предсказания вперед:
Pt = pf-! - &„\, /р»:, = рр-_, -1 Лр |VpJ"-i. (83-20)
Можно показ
ать (см. выше задачу 11), что УР = ДР*, а эт> га-
рантирует, что величина, определяемая выражением (8.В.20),
является действительнозначной. Процедура обновления порядка
для вектора линейного предсказания назад выполняется в со-
соответствии с выражением
О
Щг
i.B.21)
где
4lP] = — Vpili = — Д>?->- (8 .В .22)
Правильность уравнения (8.В.21) можно проверить, умножая
слева обе его стороны на Rp и подставляя далее разложения
соответствующего порядка из (8.В.11). В результате получим
следующее соотношение для квадрата ошибки линейного пред-
предсказания назад:
р",=рГ-.- I Ля 1'/р?-.=Рр-1 A - 4 М 4 [/>])•
8.В.23)
Векторы ср и д„ должны удовлетворять следующим рекурси-
рекурсиям обновления порядка:
(8.В.24)
(8.В.25)
правильность которых также можно проверить, умножая слепа
обе стороны этих равенств на Rp и используя далее соответст-
соответствующие разложения из (8.В.11) и выражения из (8.В.5). Ска-
Скалярные множители ср[р] и dp[0] можно определить из следующих
скалярных тождеств (в которых используется тот факт, что R?
является эрмитовой матрицей):
d?R,aJ = (а|/%<У* => dp [0] = (е'р [р + 1])*/РР, (8.В.26)
Ср%аР = (a'p"R,c,)« => ср [р] = (e*[JV])*/p*. (8.B.27)
Введем скалярные множители бр и *fp, определяемые выраже-
н ями
(8.B.28)
(8.B.29)
p
Y, = 1 -xj [,V] c,= 1 -xj [JV]
которые, согласно этим определениям, являются действительно-
действительнозначными величинами. Умножим слева обе стороны равенства
(8.В.24) на xpT[W] и обе стороны равенства (8.В.25) на x/[p+lj,
Алгоритмы блочной обработки данных
299
с тем чтобы получить выражения для обновления порядка ска-
скалярных множителей 6„ и fp:
1'/р'„, (8.В.30)
T^Vi-.-^fp^'OT-vi-i-I^WIVpJ. (8.B.31)
Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима
для вектора р,:
г ( Гр[°'Р] ~\
следует воспользоваться определением для
в векторе коэффициентов ли-
уществляется в соответствии с
d. ]. (8.B.33)
>жно проверить, умножая слева обе
гавляя далее соответствующие разло-
lewcy (8.В.13) и индексу порядка
л>ктом» этой проверки является вы-
ременного индекса у квадрата ошибки
перед:
(8.В.34)
Аналогичным образом обновление временного индекса в векто-
векторе коэффициентов линейного предсказания назад ведется в со-
соответствии с выражением
о
8.В.35)
обе
правильность которого можно проверить, умножая слева обе
его стороны на Rp" и подставляя далее соответствующие разло-
разложения по временному индексу (8.В.14) и индексу порядка
(8.В.11). Побочным продуктом этой проверки является выраже-
выражение для обновления временного индекса у квадрата ошибки ли-
300
Глава 8
нейного предсказания назад:
еЬ г дм
РГ = pS + -^" {г^.,-** [М-р]}
РьР-\ 4 [A/] IV
(8.B.36)
Вспомогательные векторы ср и dp удовлетворяют следующим
рекурсиям обновления временного индекса:
Ч = ',+(%)*>• <8-в-37>
d; = d, + (J)cp, (8.B.38
где комплексный скаляр 6Р определяется выражением
e, = xnp+i]cp = xj[p+i]Rp1x;[A'] = d?x;[Af]. (8.в.зэ)
Правильность выражения (8.В.37) для вектора ср можно про-
проверить, умножая слева обе его части на R/ и подставляя далее
разложение (8.В.-13); аналогичная проверка для вектора dp про-
проводится посредством умножения слева обеих сторон равенства
(8.В.38) на R/ с последующей подстановкой разложения
(8.В. 14). Соответствующие рекурсии по временному индексу для
действительных скаляров 6Р и -[„ можно получить, просто фор-
формируя произведение величин xpT[N]cp' из (8.В.37) и Xpfp + ljd,,"
из (8.В.38), что дает
6; = 6,-|e,|Vv,; (8.B.40)
Ъ = ур-\%\*/Ьр. (8.В.41)
8.В.5. Начальные условия
Начальные условия необходимы для того, чтобы начать рекур-
рекурсивное решение с порядка, равного нулю:
Алгоритмы блочной обработки данных 301
8.В.6. Простые проверки на плохую численную обусловленность
6 описываемый алгоритм введено несколько простых процедур
для проверки нормальных уравнений на плохую численную
обусловленность и сингулярность. Согласно определению, квад-
квадраты ошибок предсказания р^, рь, р?' и рь" — положительные
скалярные величины. Если в какой-то момент времени их зна-
значения становятся отрицательными, то это вызвано плохой чис-
численной обусловленностью. Если их значения оказываются рав-
равными нулю, то это говорит о сингулярности матрицы нормаль-
нормальных уравнений. Значения скалярных величин 6, f, 6" и ¦у'
должны лежать, как показано ниже, в интервале от нуля до
единицы. Если значение любого из этих скаляров выходит из
этого интервала, то это свидетельствует о плохой численной
обусловленности.
Для определения границ интервала изменения скалярных
величин в и ¦[ применим лемму об обращении матрицы C.53)
к разложению матрицы R/ по временному индексу (8.В.13).
Имеем
= r-i_(i _xj
или
x; [p+1])-1 (R.-'x; [p+1]) (х?[р+1] я,
Запишем следующую квадратичную форму:
Если R/ — обратимая положительно определенная матрица, то
эта квадратичная форма должна быть положительной, т. е. бу-
будем иметь
p'x; [p-f 1] —x
(8-в-42)
, 0],
0],
с„[О] = х'[Щ/го[О, 0],
d0[0] = *«[l]/ro[0, 0].
Все эти выражения непосредственно следуют из соотношений,
приведенных в двух предшествующих подразделах.
Отсюда следует, что скалярная величина 6Р должна удовлетво-
удовлетворять условию 0<6р<1.
8.В.7. Вычислительные затраты и требуемый объем памяти
В основном цикле выполняется iV+12m вычислительных опера-
операций (сложений и умножений) за проход, а, следовательно, об-
общее число требуемых вычислительных операций зависит от зна-
значений #_и т. При изменении т от 1 до М получаем NM + &M-
операций (с учетом только квадратичных членов). Анализ раз-
размерностей векторов в программе показывает, что для хранения
312
Глава 8
содержимого этих векторов необходима память объемом N + 5M.
Заметим, что эта величина является линейной функцией поряд-
порядка модели, а не квадратичной, как это было в случае хранения
полной матрицы Rp. В процессе выполнения алгоритма автома-
автоматически получаются все решения более низких порядков.
При обработке с помощью этого алгоритма 64-точечной тест-
последовательности, приведенной в приложении II, при N = 64
и IP = 15 получаем следующие значения коэффициентов линей-
линейного предсказания вперед:
()
AFB)
AFC)
AFD)
AFE)
AFF)
AFG)
AF(8)
-B,789415;
= E,510542;
= (8,034858;
= A0,026126
= A0,567300
= (9,954793;
= (8,265129;
= F,184772;
PF=
—0,438349);
— 1,506919);
—3,420010);
—5,750709);
; —8,080594);
—9,989690);
— 11,310373);
— 11,547959);
0,00469;
AF(9) =
AFA0)
AF(ll)
AFA2)
AFA3)
AF(H)
AF(I5)
C,988581; —10,472203);
= B,054187; —8,156341);
= @,804809; —5,221524);
= @,295171; —2,585814);
= @,199536; —0,804796);
= @,146386; —0,034894);
= @,078573; 0,090202).
Алгоритмы блочной эбработки данных
303
Подпрограмма COVAR (N,IP,X,PF,AF,PB,AB,ISTAT)
Быстрый алгоритм, предназначенный для решения ковариационных нор-
нормальных уравнений по методу наименьших квадратов.
Входные пара'метры:
N —число отсчетов данных (целое число).
IP —порядок модели линейного предсказания (целое число).
X —массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
PF
AF
РВ
АВ
ISTAT
—действительная дисперсия линейного предсказания впе-
вперед, соответствующая порядку IP.
— массив комплексных коэффициентов линейного предска-
предсказания вперед.
— действительная дисперсия линейного предсказания назад,
соответствующая порядку IP.
— массив комплексных коэффициентов линейного предска-
предсказания назад.
— целочисленный указатель состояния в момент выхода из
программы:
0 при нормальном выходе, если не обнаружено плохой
численной обусловленности,
1, если параметры PF и РВ имеют неположительные зна-
значения,
2, если значения параметров DELTA" и GAMMA' не ле-
лежат в интервале от 0 до 1,
3, если параметры PF' и РВ" имеют неположительные
значения,
4, если значения параметров DELTA и GAMMA не лежат
в интервале от 0 до 1.
С
С
G
С
С
с
с
с
с
с
с
с
1000
Примечание:
Размеры .GE. IP внешних мссивов AF, АВ и рнер .GE. N масси-
массива X должны указываться ввызывающей прогаше. Размер внут-
внутреннего массива R должен уазываться в .GE. P а размеры масси-
массивов С н D — в .GE. IP+1. Эгменты С(к+1) и><+1) в программе
соответствуют в тексте элекнтам с(к) и d(Ь,где к изменяется
от 0 до IP.
COMPLEX XA),AFA),ABA)
COMPLEX CA01),DA01),lA00),EF,EB,THETVEMP,SAVE,Cl,C2,
C3.C4
Инициализация
Rl=0.
DO 10 K=2,N-1
R1-R1+REAL(X(K))»«H-AIMAG(X(K))«2
R2=REAL(X(l))-,2+AIMAi(X(I)) .-2
R3=REAL(X(N))..2+AIMG(X(N)) ..2
PF=R1+R3
PB = R1+R2
R4-R1 + K2+R3
R5=l./R4
DELTA=1.-R2»R5
GAMMA=1.-R3-R5 1
CA)=CONJG(X(N)).R5
DA)=CONJG(XA))-R5
ISTAT=0
M-0
IF (IP NE 0) GO TO 1000
PF=R4/FLOAT(N)
PB = PF
RETURN
Основной цикл
M=M+1
Rl-l./PF
R2-1/PB
R3-1./DELTA
R4=l./GAMMA
Обновление порядка: векторы ^F и АВ; обновленево времен!!: векто-
векторы С и D
ТЕМР=@.,0.)
DO 20 К-М+1 N
TEMP=TEMP+X(K)«C(NJG(X(K-M))
R(M)=CONJG(TEMP)
ТНЕТА=ХA).С(М)
IF(M.EQ. 1) GOTO40
DO 30 K-l.M-1
THETA=THETA+X(M+-K)..C(K) ! (8 В 39)
R(K)-R(K)-X(N+1-1\).CONJG(X(N+1-H-K))! (SB 32)
Глава 8
= TEMP+CONJG(R(K))"AF(M-K)
C1 = -TEMP.R2
C2=-CONJQ(TEMP).R1
C3 = THETA»R3
C4=C0NJG (THETA) »R4
AF(M)=C1 ! (8.B.19)
AB(M)=C2 ! (8.B.22)
SAVE-C(M)
C(M)_SAVE+C3.D(M)
D(M)=D(M)+C4»SAVE
IF (M EQ. 1) GO TO 60
DO 50 K-l.M-1
SAVE-AF(K)
AF(K)-SAVE+C1»AB(M-K) ! (8.B.18)
AB(M-K)=AB(M-K)+C2.SAVE ! (8.B.21)
SAVE=C(K)
C(K) = SAVE+C3»D(K) ! (8.B.37)
D(K)-D(K)+C4«SAVE I (8.B.38)
R5 = REAL(TEMP)-.2+AIMAG(TEMP) .»2
PF=PF-R5»R2 ! (8B20)
PB = PB-R5«R1 ! (8.B.23)
R5= REAL(THETA). .2+AIMAG(THETA) • »2
DELTA-DELTA-R5.R4 ! (8B.39)
GAMMA=GAMMA-R5»R3 ! (8.B 40)
IF (M NE. IP) GO TO 65
PF=PF/FLOAT(N-M)
PB = PB/FLOAT(N-M)
RETURN
IF (PF G"T 0 .AND PB GT 0) GO TO 70
ISTAT=1
RETURN
IF (DELTA .GT 0. .AND DELTA LE 1. .AND. GAMMA
• .GT. 0. AND. GAMMA .LE. 1) GO TO 80
ISTAT=2
RETURN
Обновление во времени: векторы AF и АВ; обновление поряди
ры С и D
R1 = 1./PF
R2=1./PB
R3=I./DELTA
R4=l./GAMMA
EF=X(M+I)
EB-X(N-M)
DO 90 K-I.M
EF-EF+AF(K)«X(M+1-K) ! (8.B.1)
EB = EB+AB(K).X(N-M+K) .' (8.B.2
C1 = EF.R3
C2-EB»R4
C3=CONJG(EB)«R2
C4=CONJG(EF)»R1
DO 100 K-M,l,-1 .
SAVE-AF(K)
AF(K)=SAVE+C1»D(K)
D(K+1)=D(K)+C4«SAVH
! (8B33)
! (8 В 25)
Алгоритмы блочной )бработки данных
SAVE=AB(K)
AB(K)=SAVE+C2«C(MH1-K) ! (8.В.35)
100 C(M+1-K)=C(M+1-K;t-C3«SAVE ! (8.B.24)
C(M+1)=C3
D(l)-C4
R5 = REAL(EF).»2+AIMAGtF)«»2
PF=PF-R5»R3 I (8.B.34)
DELTA=DELTA-R5»R1 ! (8.B.30)
R5=REAL(EB)«»2+AIMAGEB) «.2
PB = PB-R5»R4 ! (8.B.36)
GAMMA = GAMMA-R5«R2 1 (8.B.31)
IF (PF GT 0 AND PB .GT.0.) GO TO 110
ISTAT=3
RETURN
110 IF (DELTA GT. 0 .AND. DETA .LE. 1. .AND. GAMMA
.GT. 0. .AND. GAMMA .Ц. 1.) GO TO 1000
ISTAT=4
RETURN
END
Приожение 8.Г.
Бысрый алгоритм и программ» решения модифицированных
ковриационных уравнений линмного предсказания
8.Г.. Введение
Перый быстрый алгоритм длярешения модифицированных ко-
вагдационных нормальных уразнений был разработан и опуб-
лиюван в 1980 г. Марплом [S]. В варианте, который описан
ни>е, учтены также последукцие вычислительные упрощения
исядного алгоритма. В случа( модифицированного ковариаци-
онвго метода спектрального зценивания ошибки линейного
прасказания вперед и назад »-го порядка можно представить
в фрме внутреннего (или скалрного) произведения векторов
4W='prWa?; (s.r.i)
4[n]=*Tp[n]J4b: (8.Г.2)
где вектор данных хр[/г] и ветор коэффициентов линейного
пр<цсказания а?ь определяются выражениями
х[п—1
(8.Г.З)
. I
20-1366
306 Глава 8
a J — (р+1) X (jD + 1)-матрица отражения. На основе отсчетов
измеренных комплексных данных х[\], ..., х[Л'] модифициро-
модифицированный ковариационный метод позволяет минимизировать сред-
среднее значение сумм квадратов ошибок линейного предсказания
вперед и назад
Z
что приводит к следующим нормальным уравнениям:
(8.Г.4)
8.Г.5)
где 0р—(pxl)-нуль-вектор. Эквивалентное диадическое вектор-
векторное представление матрицы Rp'>, которое соответствует матрице
в уравнениях (8.47), имеет вид
*,= 2 [x;[n]xj[n]+Jx,[n]x?[n]j].
8.Г.6)
Заметим, что матрица Rp персимметрична, поскольку JRp*J = Rc,
а также эрмитова, поскольку Rp"=Rp. Эти свойства являются
следствием допущения о том, что ар — это вектор линейного
предсказания вперед, а комплексно-сопряженный инвертирован-
инвертированный вектор Jap* — это вектор коэффициентов линейного пред-
предсказания назад (в этом состоят отличия от ковариационного
метода).
Если член е„'[р+1] ошибки линейного предсказания вперед
и член ерь[Щ ошибки линейного предсказания назад не исполь-
используются, то минимизироваться должна следующая средняя сум-
сумма квадратов ошибок:
) ¦
J
(8.Г.7)
В этом случае коэффициенты линейного предсказания удовле-
удовлетворяют нормальным уравнениям
K4"' = BPJ"), (8.Г.8)
где штрих означает, что эти уравнения соответствуют решению
для случая опушенных членов ошибки. Матрица R/ в данном
11 Диадическое представление линейных операторов (см.,
[2\']).—Прим. ред.
например, в
Алгоритмы блочной обработки данных 307
аучае определяется выражением
л/
К= 2 {х*р[п]хТ[п] + Лхр[п-\]х»[п-1]3). (8.Г.9)
8Г.2. Специальные разложения и вспомогательные параметры
Доя разработки быстрого алгоритма важными являются сле-
„тющие разложения (р+ 1) X (р + 1) -матрицы Rp по индексу
грядка р:
Н"-\г? гр[р, ,
це р-вектор-столбец гр определяется выражением
С г„[0, р]
(й°'0];^)- (в-г..о)
(8.Г.П)
Р-1, Р\)
aJ — (рхр)-матрица отражения. Заметим также, что
гр[0, 0] = г;[р, р]= 2 (\х[п]\* + \х[п-р]\г).
П-р f 1
Сто выражение весьма сходно с разложением C.124) тёплице-
эй матрицы, которое было дано в гл. 3. Важными также явля-
кгся следующее разложение матрицы Rp:
4p = 4p + x;[p+l]xT[p+l] + Jxp[N]x»[N]J (8.Г.12)
i его центросимметричный вариант
RP = JR;j +Jxf[p+l]xpH[p+l]J +x'p[N]xTp[N]. (8.Г.13)
Для разработки быстрого алгоритма потребуется также пара
0+ 1)-вектор-столбцов ср и dp. Они определяются из уравнений
R,c, = Jx,[JV], (8.Г.14)
R,dp = x;[P+l]. (8.Г.15)
/СЛ°]\
\[pV
dp[0]s
(8.Г.16)
Поскольку Rp — эрмитова персимметричная матрица, то нетруд-
нетрудно показать, что
JR;a?-=RpJap*- = (^), (8.Г.17)
4plc'p = x'p[N], " (8.Г.18)
R,Jd; = Jx,|>+l]. (8.Г.19)
Аналогичным образом определяются и векторы Ср' и d/ для
матрицы Rp':
(JRpM)Cp = Jxp[iV]; (8.Г.20)
(JRp-J)dp = x;[p + l], (8.Г.21)
где просто используются инвертированный вектор Jxp и комп-
комплексно-сопряженный вектор Хр*.
8.Г.З. Рекурсии обновления порядка
Процедура, используемая для обновления порядка вектора ко-
коэффициентов линейного предсказания, по своей структуре весь-
весьма сходна с рекурсией Левинсона и выполняется в соответствии
с выражением
О
где
(8.Г.22)
(8-Г-23>
Ap = r?4'_V (8.Г.24)
Для проверки правильности рекурсии (8.Г.22) умножим обе час-
части этого равенства слева на матрицу Rp, подставим разложение
соответствующего порядка, определенное в (8.Г.10), и восполь-
воспользуемся также свойством (8.Г.17). В результате получим следую-
следующее рекурсивное соотношение для квадрата ошибки линейного
предсказания:
P? = P?^4^!/P?-i = P?-'i<lHaPMP)- (8.Г.25)
Заметим, что для того, чтобы величина рр" была положительной
и действительной (как по сути и должно быть, поскольку это —
квадрат ошибки), необходимо, чтобы |ор[р]|2<1. А это означа-
означает, что коэффициент отражения, используемый в модифициро-
модифицированном ковариационном методе, по своему модулю не превос-
превосходит единицы.
Алгоритмы блочной обработки данных
309
Векторы с, и dp должны удовлетворять следующим рекурси-
рекурсиям обновления порядка:
+ с„[01ао, (8.Г.26)
<*> = {
d. = (
8.Г.27)
правильность которых также можно проверить, умножая слева
обе стороны этих равенств на Rp и подставляя далее разложе-
разложения соответствующих порядков из (8.Г.10). Скалярные множи-
множители с„[0\ и dp[0] можно определить из следующих скалярных
тождеств (в которых используется эрмитово свойство RP"=RP):
Ср%а« = Dm R,c,)' => с„ [0] = е% [ЛГ]/р{,', (8.Г.28)
dp%aj» = (afR,d,,)« => dp [0] = ej,* [p + l]/p{'. (8.Г.29)
Введем скалярные множители 6Р и tp, определяемые выраже-
выражениями
xp[JV], (8.Г.30)
6flxJ[p+]pJ[p]Rp-lx;[P+4- (8-Г-31)
которые, согласно этим определениям как квадратичным фор-
формам, являются действительнозначными величинами. Умножим
слева обе стороны равенства (8.Г.26) на Хр^ЩЗ и обе стороны
равенства (8.Г.27) на х/[р + 1], в результате чего получаем
выражения для обновления порядка скалярных множителей
«„ и tP:
Т, = т;.-^[О]е^[ЛГ] = у;-.-|<ОТ|а/Р?, (8.Г.32)
Для быстрого алгоритма потребуется еще один скалярный па-
параметр, определяемый следующим выражением:
^ (8.Г.34)
Умножим слева обе стороны равенства (8.Г.27) на xpH[iV]J,CTeM
чтобы получить выражение для обновления порядка этого па-
параметра:
[ЛТ/Р?- (8.Г.35)
Заметим, что \р — комплекснозначный параметр. Рассматривая
тождество dp"RpCp= (CpHRpdp)*, приходим к выводу, что
b; = xj[p+l]c,. (8.Г.36)
Наконец, еще одна рекурсия обновления порядка необходима
310
для вектора тр
ГЛ". Д \ Г8Г37>
Для ее вывода следует воспользоваться определением для
ph.il
8.Г.4. Рекурсии обновления во времени
Обновление временного индекса в векторе коэффициентов ли-
линейного предсказания ведется в соответствии с выражением
=1 = D* [Щ %-г + 4 [Р- '] ^-J/DEN^., (8.Г.39)
Pi = D[P+4?l,-i + 4'WK-i)lDEN'p-l, (8.Г.40)
DEN,.! = vi-A-i -1 K-i I3- (8.Г.41)
Правильность рекурсии (8.Г.38) можно проверить, умножая сле-
слева обе стороны этого равенства на Rp' и подставляя далее со-
соответствующие разложения по временному индексу (8.Г.12) и
индексу порядка-(8.Г.10). Побочным продуктом этой проверки
является выражение для обновления квадрата ошибки линейно-
линейного предсказания:
(8.Г.42)
Дополнительные векторы Ср и dp удовлетворяют следующим ре-
рекурсиям по временному индексу:
(8.Г.4.3)
(8.Г.44)
8.Г.45)
p = x?[p+l]Jd,.
Алгоритмы б,чной обработки данных
Правильность рекурсий .Г.43) и (8.Г.44) можно проверить,
умножая слева обе CTopot этих равенств на JRP''J, подставляя
разложение по временно! индексу (8.Г.13) и используя далее
тождество 8p = Xp"[p+l]Jc которое является следствием свой-
свойства Cp"JRpdp*= (d/RpJCp*.
Рекурсии по временнсу индексу для действительных ска-
скалярных величин fp и 6р ьжно получить, формируя с помощью
(8.Г.43) произведение xp"/]JCp' и с помощью (8.Г.42) произве-
депие Хрг[р +l]dp', что дае
^ 7р = Ур-(|Ф?Р«,+Эр12Т, + 2«е[ФЛед/°Е1>У; (8-Г.46)
--«и&аьу =6,-(|8,|«6,-T3,h>,-t-2Re[9,J,,Bp])/DEN,. (8.Г.47)
Рекурсию по временномулндексу для скалярной величины },,
получаем, формируя с поицью (8.Г.44) произведение Xp*[Af]Jd/,
что дает
8.Г.5. Начальные условия
Начальные условия необлимы для того, чтобы начать рекур-
рекурсивный алгоритм с поряд!, равного нулю:
/•„[О, 0] = 2l\x[n]\',
|
0],
, 0],
, 0],
0],
0].
(8.Г.49)
8.Г.6. Простые проверки а плохую численную обусловленность
Как и в случае коваршионного алгоритма, можно показать,
что 0<DEN^l и 0<DE's?l. Кроме того, с помощью подхода,
использованного в подрд. 8.В.6, можно показать, что 0<
<f,6<l. Эти проверки, также проверка на положительность
членов квадрата ошибк! выполняются на каждом шаге алго-
алгоритма. Отметим, что неггорые улучшения базового алгоритма
как при больших отношшях сигнал/шум, так и при больших
значениях порядка модш были предложены в работе [35].
8.Г.7. Вычислительные затраты и требуемый объем памяти
В основном цикле выполняется N+\2p вычислительных опера-
операций (сложений и умножений) за проход, а, следовательно, об-
общее число требуемых вычислительных операций зависит от
значений N и р. При изменении р от 1 до М получаем ХМ + 6М2
операций (с учетом только квадратичных членов). Анализ раз-
размерностей векторов в программе показывает, что необходима
память объемом N + 4M.
При обработке с помощью этого алгоритма 64-точечной тест-
последовательности, приведенной в приложении II, при N = 64
и 1Р = 15 получаем следующие значения коэффициентов линей-
линейного предсказания:
АA) = B,878987; -
АB) = E,847520; ¦
АC) = (8,693661; -
АD) = A0,966792;
АE) = (П,597926;
АF)-A0,831415;
АG) = (8,699289; -
А (8) = F,027758; -
-0,474820);
-1,795236);
-4,219615)-
—7,316369);
— 10,521787)-
—13,236135);
-15,097140)-
-15,518534);
Р=0,00395;
A(9).
()
АA3)
АA4)
АA5)
( 3.204673; — 14,283307)-
( 0,854681; — П,484167):
(-0,582791; —7,833453)-'
(—0,968658; —4,332430)-'
(—0,732152; —1,757008)-
(—0,341911; —0,416644)-'
(—0,084096; —0,002586)'
С
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Подпрограмма MODCOVAR (N,1P,X,P,A,ISTAT)
Быстрый алгоритм, предназначенный для решения модифицированных
ковариационных уравнений по методу наименьших квадратов.
Бы
Входные параметры;
N —число отсчетов данных (целое число).
IP —порядок модели линейного предсказания (целое число).
X — массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Вы
Р
А
ISTAT
ходные параметры:
Р —действительная дисперсия линейного предсказания, соот-
соответствующая порядку IP.
— массив комплексных коэффициентов линейного предска-
предсказания
— целочисленный указатель состояния в момент выхода из
программы;
0 при нормальном выходе, если не обнаружено плохой
численной обусловленности,
1, если параметр Р имеет отрицательное значение,
2, если значения параметров DELTA' и GAMMA' не ле-
лежат в интервале от 0 до 1,
3, если значение параметра Р' имеет отрицательное зна-
значение,
4, если значения параметров DELTA и GAMMA не лежат
в интервале от 0 до 1.
Алгоритмы блочной обработки данных
313
С
с
с
1000
30
с
с
с
40
Примечание:
Размер .GE. N внешнего массива X и размер .GE. IP массива А
должны указываться в вызывающей программе. Размер внутреннего
массива R должен указываться в .GE. IP, а размеры массивов С
;i D должны указываться в .GE. IP+1.
COMPLEX X(l),A(l),CA01),DA01),RA00),LAMBDA.THETA,PSI,XI
COMPLEX EF,EB,C1,C2,C3,C4,SAVE1,SAVE2,SAVE3,SAVE4
Инициализация
Rl=0.
DO 10 K-2.N-1
Rl=Rl-r-2.»(REAL(X(K))»«2-r-AIMAG(X(K)))
R2=REAL(XA))..2+AIMAG(XA)) ««2
R3-REAL(X(N))..2+AIMAG(X(N)) .«2
R4-l./(Rl+2..(R2-r-R3))
P-R1 + R2 + R3
DELTA=1.-R2»R4
GAMMA=1.-R3»R4
LAMBDA=CONJG(XA)»X(N))»R4
CA)-X(N)-R4
D(I)=CONJG(XA))«R4 ¦ P-
ISTAT=0
M=0
IF (IP .NE. 0) GO TO 1000
P=(.5-.Rl+R2-r-R3)/FLOAT(N)
RETURN-
ОСНОВНОЙ цикл
M=M+1
SAVE1 - @.,0.)
DO 20 K=M+1,N
SAVE1~SAVE1+X(K)»CONJG(X(K-M))
SAVE1=2»SAVE1
R(M) = CONJG(SAVE1)
THETA-X(N).DA)
PSI=X(N).CA)
X1-CONJG(XA))»DA)
IF (M .EQ. 1) GOTO 40
DO 30 K-l.M-1
THETA=THETA+X(N-K)«D(K+I) I (8.Г.45)
PSI-PSI+X(N-K)*C(K+I) ! (8.Г.45)
XI-XI+CONJG(X(K+1))«D(K+1) ! (8.Г.45)
R(K)-R(K)-X(N+1-M).CONJG(X(N+1-M+K))
-CONJG(X(M)).X(M-K) I (8.Г.37)
SAVE1 = SAVE1+CONJG(R(K))'A(M-K) I (8.Г.24)
Обновление порядка вектора А
C1 = -SAVE1/P
A(M)-C1 ! (8.Г.23)
P = P«A.-REAL(C1)..2-AIMAG(C1) «2) I (8.Г.25)
IF (M .EQ. 1) GO TO 60
DO 50 K-l.M/2
Глава S
МК-М-К
SAVE1=A(])
A(K)-SAV11+C1»CONJG(A(MK)) I (8.Г.22)
IF (K .EQ. JK) GO TO 50
A(MK)=AAK)+C1»CONJG(SAVE1) I (8.Г.22)
CONTINUE
IF (M .NE. IP) 30 TO 65
P=.5«P/FLOAT(N-M)
RETURN
Обновление во врмени векторов С, D и скаляров GAMMA, DELTA,.
LAMBDA
RI = 1./(DELTAGAMAIA-REAL(LAMBDA)
-AIMAG(LAMBDA).-2)
Cl = (THETA.ONJG(LAMBDA)+PSI»DELTA)cRl
C2=(PSI.LAMiDA+THETA-GAMMA).Rl
C3=(XI.CONJ<(LAMBDA)+THETA.DELTA)-R1
C4-(THETA»L,MBDA+XI.GAMMA)«Rl , r_
DO 70K=l,(M-l)/2+l<f--— |P,'/w S-Q{ '¦''-'
mk=m+i-;
save1=coug(c(k))
save2=go1jg(d(k))
s ave3 = c01jg (с (мк))
save4=coug(d(mk))
c(k)-c(k)-cnsave3+c2-save4 ! (8.г.43)
d(k)-d(k)-c3.save3+c4.save4 ! (8.г.44)
if (k .eq. mc) go to 70
c(mk)=c(jk)+ci»save1+c2»save2 ! (8.г.43)
d(mk)--d(jk;)+c3-save1+c4-save2 i (8.г 44)
continue
r2=real(psi)«2+aimag(psi) «2
r3-real(thea)..2+aimag(theta) ..2
r4-real(xi).2+aimag(xi) .»2
r5-gamma-(;2«delta+r3«gamma+
2.-rrl (psi«lambda-conjg(theta))).r1
r2=delta- (r»delta+r4»gamma+
2.»rial (theta*lambda«conjg(xi))) «rl
GAMMA=R5 ! (8.Г.46)
DELTA=R2 I (8.Г.47)
LAMBDA=LAM,DA+C3-CONJG(PSI)+C4»CONJGI (8.Г.48)
(THETA)
IF (P GT. 0.) G( TO 80
ISTAT=1
RETURN
IF (DELTA .QT.l. .AND. DELTA .LE. 1. .AND. GAMMA
• .GT. 0. .AND GAMMA .LE. 1.) GO TO 90
ISTAT-2
RETURN
Обновление во вречни вектора А; обновление порядка векторов С, D
и скаляров GAMMADELTA, LAMBDA
¦ I./P
l/(DELTA»iAMMA-REAL(LAMBDA)««2 1 (8.Г.41)
-AlMAG(LAMBDA).-2)
EF-X(M+1)
Алгоритмы блочной обработки данных
EB = X(N-M)
DO 100 К=1,М
EF=EF+A(K)-X(M+1-K) 1 (8.Г.1)
100 EB = EB+CONJG(A(K))«X(N-M+K) I (8.Г.2)
C1-EB.R1 I (8Г.28)
C2=CONJG(EF)»R1 1 (З.Г.29)
C3=(CONJG(EB).DELTA+EF.LAMBDA)»R2
C4=(EF»GAMMA+CON'JG(EB»LAMBDA))«R2
DO 110 K-M.1,-1
SAVE1=A(K)
A(K)=SAVE1+C3.C(K)+C4«D(K) I (8.Г.38)
C(K+1)=C(K)+C1«SAVE1 ! (8.Г.26)
110 D(K+1)=D(K)+C2.SAVE! ! (8.Г.27)
CA)-C1
D(l)-C2
R3-REAL(EB)»»2+AIMAG(EB)««2
R4 = REAL(EF)»»2+AIMAG(Er) »«2
P-P-(R3«DELTA+R4'GAMMA 1 (8.Г.42)
+2 .REAL (EF»EB.LAM3DA))R2
DELTA-DELTA-R4-R1 ! (8.Г.32)
GAMMA=GAMMA-R3«R1 1 (8.Г.ЗЗ)
LAMBDA=LAMBDA+CONJG(EF»EB)»RI ! (8.Г.35)
IF (P .GT. 0.) GO TO 120
1STAT=3
RETURN
120 IF (DELTA .GT. 0. .AND. DELTA .LE. 1 .AND. GAMMA
.GT. 0. .AND. GAMMA .LE. 1.) GO TO 1000
ISTAT-4
RETURN
END
Глава 9
АВТОРЕГРЕССИОННОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ:
АЛГОРИТМЫ ОБРАБОТКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ДАННЫХ
9.1. Введение
Блочные методы оценивания целесообразно применять в тех
случаях, когда объем имеющихся данных сильно ограничен, но
желательно получить оценки с наилучшими возможными харак-
характеристиками. При наличии более длинных записей данных мож-
можно применить целый ряд методов последовательного оценивания
для обновления оценок авторегрессионных параметров по мере
поступления каждого нового отсчета от системы сбора данных
в реальном времени. Затем по этим обновленным параметрам
можно по мере необходимости строить новый график спектраль-
спектральной оценки. Подобные методы особенно полезны для слежения
за сигналами с медленно изменяющимися во времени парамет-
параметрами. Примером может служить слежение за доплеровской час-
частотой гидролокационного сигнала, принимаемого от движущейся
цели. Методы последовательного во времени оценивания иногда
называют адаптивными алгоритмами, поскольку они постоянно
адаптируются к характеристикам сигнала, даже когда он изме-
изменяется. Термин «адаптивный» не следует путать с термином
«адаптивный к данным», который весьма часто употребляется
в литературе по спектральному оцениванию и используется для
того, чтобы отличать параметрические методы спектрального
оценивания от непараметрических. Говорят, что параметриче-
параметрические методы «адаптируют» свои параметры к характеру данных;
в непараметрических методах такой подстройки параметров не
производится.
Последовательные алгоритмы, используемые для оценивания
АР-параметров, делятся на две категории. К первой относятся
простейшие алгоритмы на основе градиентной аппроксимации,
к числу которых принадлежит хорошо известный метод наимень-
наименьших средних квадратов (НСК). Ко второй категории относятся
рекурсивные алгоритмы наименьших квадратов (РНК); эти ал-
алгоритмы обеспечивают более высокие характеристики, чем алго-
алгоритмы НСК, но за счет дополнительных вычислительных затрат.
Ниже в главе описаны оба типа алгоритмов.
В литературе описаны также алгоритмы для последователь-
последовательного обновления параметров решетчатых фильтров. Поскольку
параметры решетчатых фильтров представляют собой коэффи-
алгоритмы обработки последовательных данных 317
iti отржения некоторого АР-процесса, то для преобразо-
1япослдовательности коэффициентов отражения в последо-
чност авторегрессионных параметров, которые будут да-
шольоваться в формуле для вычисления АР СПМ,
МДИМ1 каждый раз применять алгоритм Левинсона. После-
тльнье алгоритмы, описанные в этой главе, позволяют
уобналять АР-параметры, а не коэффициенты отражения,
иключет необходимость применения алгоритма Левинсона,
цова1ельно, уменьшает вычислительные затраты. Тех чи-
тй, ксгорых интересуют последовательные алгоритмы об-
обегая ираметров решетчатых фильтров, мы отсылаем к
ро-меодическим статьям Фридландера [6, 7].
<1атка сводка результатов
шожаиях к этой главе помещены три машинные програм-
1реднзначенные для вычисления двух последовательно-
шныхоценок (градиентной и по методу РНК) АР-парамет-
оторю затем могут быть использованы после любой опе-
юбноления во времени для вычисления авторегрессионной
ни СГЧ, определяемой формулой
(9.1)
2 [я] ехр (- pnfnT)
р:с. 91 приведена краткая запись этапов, требуемых для
:лени! АР СПМ с помощью двух последовательных алго-
'п, даш названия подпрограмм, используемых для этой
. .„nj какдом этапе, и указаны номера приложений, в которых
юме!еныраспечатки этих подпрограмм. Заметим, что порядок
моде и исюльзуется теперь как один из входных параметров.
В слчае лгоритма НСК необходимо также задать значение
постянно времени адаптации (х, а при использовании алгорит-
алгоритма PiK-значение постоянной затухания (о. После выбора по-
рядк модли его значение больше не меняется.
Н рис 9.2 приведены две спектральные оценки, полученные
с поющы алгоритмов НСК и РНК для 64-точечной тест-после-
доваельасти данных, приведенной в приложении II, которые
псзв'ляют судить о характеристиках этих алгоритмов. Для вы-
числния щенок использовалась АР-модель 15-го порядка. Из
рисука в:дно, что быстрый РНК-алгоритм обеспечил получение
приешемй спектральной оценки, показанной на рис. 9.2,6, уже
поел 64 ¦бновлений во времени при ш = 1, чего и следовало
ожи^ть, юскольку это быстро сходящийся точный метод наи-
менышх вадратов. Его обсуждению посвящены разд. 9.4 и 9.5.
318
• ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ
IP —порядок модели;
U - постоянная впемеядаптации
(только для подпрогрэш LMS);
OMEGA - коэффициеватухания
(только для про г рэ мм с AS I п LS )
• ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ СДВИПОГО
РЕГИСТРА ДАННЫХ
подпрограмму SHIFT бщей сумме IP раз
'• ПОЛУЧЕНИЕ СЛЕДУЮЩЕЙ
ОТСЧЕТА ДАННЫХ
• ОБНОВЛЕНИЕ СОДЕРЖИМО СДВИГОВОГО
РЕГИСТРА ДАННЫХ
• ОБНОВЛЕНИЕ ОЦЕНКИ AFAPAMETPOB
Выбрать один из следуьих методов:
- градиентный адаптивй метод
(подпрограмма LMS , сложение 9.Б);
— рекурсивный эдалтивй метод
наименьших квадрат<поднро грамма
FASTRLS, приложений)
• ВЫЧИСЛЕНИЕ АР ОЦЕНКИ М (го выбору)
Подпрограмма ARMAPS, приложение 6.Б
Рис. 9.1.
Краткая запись двух алгоритмов пословательного во времени аа-
торегрессионного оценивай! СПМ.
Градиентный НСК-алгоритм работает :же, но этого и следо-
следовало ожидать, так как это медленно схшщийся последователь-
последовательный алгоритм, и длины 64-точечной поадовательности данных,
т. е. 64 обновлений во времени, оказалоснедостаточно для того,
чтобы обеспечить его сходимость. Постгнная времени адапта-
адаптации (i = 0,02 была выбрана для НСК-ал]ритма, базирующегося
на процедуре, описанной в разд. 9.3.
9.3. Градиентные адаптивные авторегресюнные методы
Градиентная адаптивная процедура накорейшего спуска по-
позволяет рекурсивно оценивать р-компонегный вектор АР-пара-
метров арт= (аР[\],..., ар[р]) в моменвремени, соответствую-
ший индексу jV+1, по предыдущей его О'нке, соответствующей
Алгоритмы обработки последо
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Рис. 9.2. Примеры последовательных во времени спектральных АР-оценок, по-
полученных по 64-точечной тест-последовательности данных: а — метод наимень-
наименьших средних квадратов (МНСК); б — быстрый рекурсивный метод наимень-
наименьших квадратов (РМНК).
временному индексу N:
а?,л+1 = а„л— W?{\e[,.N[N + im, (9.2)
где ц — положительная скалярная величина шага адаптации
(от нее зависят постоянная времени адаптации и другие свойст-
свойства алгоритма), V — градиент, a efP:n[N+\] — остаточная ошиб-
ошибка фильтра линейного предсказания вперед, которая определя-
определяется выражением
(9.3)
где JCp_i [#] = (*[#],..., x[N~p+l])T — вектор данных. Заме-
Заметим, что остаточную ошибку фильтра (9.3) не следует путать с
ошибкой предсказания, поскольку она определена с использова-
320 Глав. 9
нием вектора а„,», а не вектора ap,w+i. Среднее значение квадра-
квадрата модуля этой ошибки определяется выражением
<8 {14. n [N + 1] |а} = г [0] + S? A.RP-,ap, Л. + 2Re (а? д,г„), (9.4)
где коэффициент, вектор и матрица автокорреляции определя-
определяются соответственно выражениями
Алгоритмы обработки последовательных данных
У отсчетам данных согласно выражению
321
Отсюда получаем следующее выражение для градиента:
Когда градиентная адаптивная процедура сходится, получаем
V<?{|e',,,/t>[A'+l]|2}=0, поэтому аР-д1 = аЛ,, а следовательно,
R,_,a,, = — r,, (9 6i
что идентично уравнению Юла — Уолкера F.32).
Так как на практике автокорреляционная последовательность
обычно не известна, используются мгновенные оценки
подставляя которые в (9.6), получаем
Выражения (9.3) и (9.8) вместе образуют классический адап-
адаптивный алгоритм наименьших средних квадратов (НСК) [17],
в котором каждое обновление во времени требует выполнения
примерно 2р операций сложения и умножения.
Заметим, что выбор наиболее подходящих значений и. сопря-
сопряжен в нем со значительными трудностями. Если положить, что
входной процесс является гауссовским процессом с нулевым
средним значением, то сходимость среднего значения вектора ар
к вектору а„ будет гарантироваться до тех пор, пока ц, будет
иметь положительное значение, лежащее в интервале от 0 до
Xfkmat, где Хтах — максимальное собственное значение матрицы
Rp-i. В гл. 3 было показано [см. выражение C.81)], что след мат-
матрицы равен сумме собственных значений этой матрицы. Поэтому
/¦max^tr Rp-i, и, следовательно, более точная граница для по-
постоянной времени адаптации определяется условием 0<ц<
<l/trRp_i. Эту границу определить легче, поскольку R5_i —
тёплицева матрица, и поэтому tr RP-i=pr[0]. Оценку г[0], харак-
характеризующую мощность отсчетов сигнала, получаем непосредст-
¦теднем, или постоянная времени
%к по ?-му собственному вектору
. следующим приближенным выра-
T*~4jk' (9'9)
из которого видно, что скорость сходимости зависит как от посто-
постоянной адаптации ц, так и от величины области существования
гвенных значений автокорреляционной матрицы. Таким об-
м, сходимость зависит от совместного влияния всех собст-
Rp, а, следовательно, время сходимо-
деляться наименьшим из собственных
1ри большом относительном размахе
. ..начснпи kmax/lmin>l, что характерно, например,
осных шумовых процессов, время сходимости может
равнительно большим.
используется градиентная оценка, то это приводит
о в адаптивном процессе собственного шума, кото-
яется как некоторое установившееся значение дис-
•¦¦ичной ошибки ;тора параметров а„
-начений при ; пжении сходимости.
ой дисперсии
сожл юттню.
iiicnuv ьлодною сигнала,
;ленно по сравнению со
-1.01. ^ти этою алгоритма. Усреднение по времени
[осл i ошибок, порождаемой НСК-алгоритмом,
i6ecnc4i ] 1,о.учение оценки дисперсии белого шума, необ-
одимой я вычисления АР СПМ. Одним из первых, кто пред-
южил использовать этот метод авторегрессионного спектраль-
.ого оценивания, был Гриффите [8].
Как уже отмечалось выше в разд. 9.2 при рассмотрении ил-
иллюстративного примера, в случае относительно коротких запи-
записей данных градиентный адаптивный НСК-алгоритм по своим
характеристикам и скорости сходимости уступает РНК-алгорит-
21—1366
мам. Однако он более функционально-усойчив (робастен) и
менее чувствителен, чем РНК-алгоритмы, к плохой численной
обусловленности и эффектам, возникающш из-за конечной дли-
длины машинного слова. Поэтому в тех прилжениях, где данных
достаточно и допустима более медленная сходимость, НСК-ме-
тод может оказаться вполне приемлемым алгоритмом последо-
последовательного спектрального оценивания.
9.4. Рекурсивные авторегрессионные методы
наименьших квадратов
Для оценивания параметров АР-модели ;-го порядка по jV-to-
чечной последовательности данных д;[1], .., х[Щ необходимо
записать уравнение для ошибки линейногс предсказания вперед
е'Р.м[п] = х[л] + 2 ар, N[k]л[л-А],
k- I
(9.10)
и решить его относительно набора парамтров ap,N[k], которые
минимизируют сумму экспоненциально взешенных квадратов
ошибок по всем имеющимся измеренным данным вплоть до вре-
временного индекса N:
(9.11)
Алгоритмы обработки последовательных данных
где (р +1) X (р+ 1)-матрица RPiJv определяется выражением
9.13)
х[п]
1Ф-Р] J
и Op — pxl-нуль-вектор. Решая уравнение (9.12), получаем
вектор линейного предсказания ар,« и минимальную сумму квад-
квадратов ошибок pfP,N- Заметим, что матрица RPijv и вектор пара-
параметров ap,jv снабжены подстрочным индексом N, с тем чтобы
указать, что они определяются по всем отсчетам данных вплоть
до временного индекса N. Можно показать (см. разд. «Зада-
«Задачи»), что компоненты вектора ар>ы соответствуют устойчивому
фильтру предсказания.
Если получен новый отсчет данных x[N + \], то аппроксима-
аппроксимацию по методу наименьших квадратов для всего набора из N + 1
отсчетов данных можно записать в виде следующих матричных
нормальных уравнений:
R ....я .... = ( Р'-1+А /а\л\
где ш — положительная действительная жалярная величина,
удовлетворяющая условию 0<ш^1. Это кспоненциальное окно
движется вдоль записи данных, создавая кпгееныдие изменения
значений текущих ошибок и очень силыо уменьшая значения
более старых ошибок, что позволяет отсаживать медленно из-
изменяющиеся параметры сигналов (нестаионарных процессов).
Диапазон сумммирования в (9.11) при ш = 1 (см. гл. 8разд.8.5)
соответствует случаю предвзвешивания, шскольку при этом ис-
использовалось допущение о том, что х[л]-0 при л^О. Следуя
той же процедуре минимизации, использ'ванной в разд. 8.5 и
приложении 8.С, можно показать, что коффициенты линейного
предсказания/авторегрессии, которые миимизируют величину
о,,', удовлетворяют следующему матричногу нормальному урав-
уравнению:
R
р,.Члр.
(9.12)
«¦р. д+1 = »л«-"х; [я] xj [n]. (9.15)
Алгоритм, который при получении нового отсчета данных д(Л? + 1]
позволяет переходить от вектора ар,н к ap,w+i, не прибегая к яв-
явному решению уравнения (9.14), называется рекурсивным алго-
алгоритмом наименьших квадратов (РНК). Ниже будут рассмотре-
рассмотрены два РНК-алгоритма. Количество вычислительных операций,
требуемое традиционным РНК-алгоритмом на одно обновление
во времени, пропорционально величине р2. В новом быстром
РНК-алгоритме используются особенности структуры нормаль-
нормальных уравнений, что позволяет получить аналогичное решение с
помощью значительно более экономной в вычислительном отно-
отношении процедуры, поскольку требуемое в этом случае количест-
количество вычислительных операций пропорционально величине р. Этот
оыстрыи РНК-алгоритм является последовательным аналогом
оыстрых алгоритмов блочной обработки, описанных в гл. 8.
Алгоритмы обработки последовательных данны
325
324 Глом 9
9.4.1. Классический рекурсивный алгоритм наименьших
квадратов
Традиционный РНК-алгоритм [14] позволяет по мере поступле-
поступления каждого нового отсчета данных получать точное рекурсив-
рекурсивное решение наименьших квадратов для коэффициентов линей-
линейного предсказания. Заметим, что матрицу RP]W можно записать
в виде следующего разложения:
- _(г„Л*.О] <
'•"), (9.16)
где
"- Ч"'- ["~1]=
(9.17)
„л'= 2 »"-"х;-. [n-n*W.
Это позволяет записать раздельные уравнения для pfP|Jv и Яр.н'
Kp-i,N-iap,!, = — Tp,!i, (9.18)
Pt.« = r,.jv[O, O^i^a,,,,. (9.19)
Используя определение
Pjv-1-RA.tf-i. (9-20)
получаем следующее решение для вектора ар,»+ь соответствую-
соответствующего временному индексу iV+ 1:
ар.Л-+1 = -РЛ-гр,Л.+1. (9.21)
Используя тождество
rr, N+i = urp, .v + x;_,[N]x[N + \], (9.22)
справедливость которого можно показать, анализируя определе-
определение (9.17), получаем
хр_, [JV] х [Л/ + 1 ]) =
Используя далее тождество
справедливость которого нетрудно показать, ангшзируя опре-
определение матрицы Ro-i,*-i в (9.17) и выполняя в оответствии с
ним подстановку в уравнение (9.23), получаем
a,, jv-m = а,. аг-Рл-х,-, [Л'1 (хрг_, [ATJ ар,„+х V + I)) =
= а„ д.-4. л/ [Л?+ 1] Рлх;., [Л']= (9.25)
= а,, .V —4. -v [л' + 4'f-i, ,v , (9.26)
где вектор Ср-i..v определяется выражением
c,-1,JV = P,vx;-i['VJ. (9.27)
Скалярная величина е'р,Л[Л'+ 1] — это остаточная)шибка фильт-
фильтра, а не ошибка предсказания, так как используатя вектор па-
параметров ар,«, а не вектор параметров ap,w+i.
Различие между адаптивными РНК- и НСК-а.горитмами не-
нетрудно видеть, сравнивая уравнения обновлена параметров
(9.8) и (9.25). Эти уравнения идентичны и разлчаются лишь
множителями, соответствующими адаптивным юэффициентач
усиления. В НСК-алгоритме этот коэффициент ]авен 2ц и яв-
является постоянной скалярной величиной. В РНК-а1горитме адап-
адаптивный коэффициент P.v представляет собой изгоняющуюся во
времени матрицу. Выражение, необходимое дл обновления
матрицы Р// во времени, можно получить, примешя к выраже-
выражению (9.24) лемму об обращении матрицы [см. rj 3, выражение
C.53)], что дает
(9.28)
P.v = («Рлг1-! + х;_, [Л'] xj.! [Л']) =
Используя (9.28), нетрудно показать, что
cp-i, .v = P,v-iXP-i [JVJ/(o> + xj.t [Af] Рд.-.х;, [N]), (9.29)
поэтому уравнение (9.28) можно записать в слдующем упро-
упрощенном виде:
Завершает этот РНК-алгоритм обновление р'„,/н, выражение
для которого получается из выражений (9.19) и 9.22).
Уравнения (9.26), (9.29) и (9.30) составляютоснову базово-
базового РНК-алгоритма. Их структура аналогична ст]укгуре уравне-
уравнений для фильтра Калмана, используемых в стох!стической тео-
теории управления. Вектор xp-i[A/] и матрица Рдч которые со-
составлены из отсчетов данных, аналогичны коррелционному век-
вектору н корреляционной матрице в задаче калмаговской фильт-
фильтрации, а вектор Ср-ц, является аналогом векторакоэффициентов
усиления фильтра Калмана. Заметим также, что 13-за необходи-
326 Глава 9
мости обновления матриц в соответствии с выражениями (9.29)
и (9.30) количество вычислительных операций, требуемых этим
РНК-алгоритмом на одно обновление во времени, пропорцио-
пропорционально величине р2, что резко контрастирует с НСК-алгоритмом,
вычислительные затраты которого пропорциональны величине р.
Для того чтобы начать рекурсию, необходимо задать началь-
начальные значения вектора АР-параметров ао и матрицы коэффици-
коэффициентов усиления Ро- К выбору ао следует oiноситься весьма тща-
тщательно, с тем чтобы устранить смещение в оценке вектора АР-
параметров ал,, которая будет получена после обработки X
отсчетов данных. Приравнивая матрицу RP]0 некоторой диаго-
диагональной матрице el, где е — небольшая положительная кон-
константа, мы гарантируем, что она будет обратима, так что Ро =
= 1/е1. Влияние е с ростом Лг постепенно ослабевает. РНК-ал-
РНК-алгоритм чувствителен к ухудшению численной обусловленности,
вызванному шумом округления, который накапливается в про-
процессе рекурсивных вычислений. Для частичного возмещения
связанной с этим- численной неустойчивости были предложены
алгоритмы факторизации методом квадратного корня, основан-
основанные на треугольном разложении симметричной матрицы P;V [1].
9.4.2. Быстрый рекурсивный алгоритм наименьших квадратов
Классический РНК-алгоритм предназначен для решения обыч-
обычных линейных задач минимизации по методу наименьших квад-
квадратов. Однако структура уравнения (9.16) обладает дополни-
дополнительными свойствами, которые можно использовать для пост-
построения более эффективного алгоритма, все еще позволяющего
получать точное решение по методу наименьших квадратов. Эти
свойства аналогичны использованным в гл. 8 при выводе быст-
быстрого блочного алгоритма. Быстрые блочные алгоритмы были
рекурсивными по порядку, но фиксированными по времени (по-
(поскольку использовался блок данных из N отсчетов). Применяя
аналогичный подход, можно создать быстрый РНК-алгоритм,
но в отличие от быстрых блочных алгоритмов он будет рекур-
рекурсивным по времени и фиксированным по порядку. Подробности
вывода быстрого РНК-алгоритма и машинная программа его
реализации приведены в приложении 9.В. Ключевой в быстром
алгоритме является процедура обновления для вектора коэффи-
коэффициентов усиления с„_1]Дг в уравнении (9.26), в которой использу-
используются только операции над векторами, а не над матрицами, как,
например, в уравнениях (9.29) и (9.30). Вычислительные затра-
затраты, требуемые полным РНК-алгоритмом, уменьшаются с р2 до
точно 5р операций (умножений/сложений), что в 2,5 раза боль-
больше вычислительных затрат для НСК-алгоритма, который тре-
требует 2р операций. В вычислительном отношении это делает дан-
i обработки последовательных данных
327
ный быстрый РНК-алгоритм сравнимым с НСК-алгоритмом.
Заметим также, что бытует тенденция называть быстрый РНК-
алгоритм «быстрым алгоритмом Калмана», но это не совсем
правильно из-за неслучайного характера детерминированного
решения по методу наименьших квадратов.
Быстрый РНК-алгоритм обладает двумя дополнительными
достоинствами, которые отсутствуют у классического РНК-ал-
РНК-алгоритма. При выполнении быстрого РНК-алгоритма вычисляют-
вычисляются и обновляются также и коэффициенты линейного предсказа-
предсказания назад abp,N\k\, которые минимизируют сумму квадратов
ошибок линейного предсказания назад
Р?. л, = 2 а""" 14. "Ml2.
/1= 1
4. -v М = х [п—р] + 2 "р. л> га х [л—/>+*]
вычисляется и сама сумма рьр,п- Это может оказаться полезным
для методов определения экспоненциальных сигналов, таких,
например, которые описаны в разд. 11.9.
Для того чтобы матрица RP.N стала несингулярной, требуется
как минимум р + 1 отсчетов данных (ранг этой матрицы равен
р+1). В классическом РНК-алгоритме эта трудность инициали-
инициализации устраняется посредством выбора произвольных начальных
значений Ро и ар,о, что приводит к некоторому смещению полу-
получаемых оценок. Быстрый РНК-алгоритм, описанный в приложе-
приложении 9.В, снабжен программой одновременного обновления по
порядку и во времени, которая предназначена для инициализа-
инициализации этого алгоритма. Данная программа обрабатывает первые
р+1 отсчетов таким образом, что в момент времени обновления
W = p+1 всем параметрам устанавливаются их точные значения,
вычисленные по методу наименьших квадратов по этим первым
р+1 отсчетам данных. В результате смещение, обусловленное
инициализацией в классическом РНК-алгоритме, в быстром
РНК-алгоритме устраняется.
Быстрый РНК-алгоритм обладает, по всей видимости, плохой
долговременной численной устойчивостью, но он все же доста-
достаточно точен при использовании записей данных короткой и сред-
средней длины. Отмечалось [3], что при продолжительной работе
РНК-алгоритма в адаптивном режиме его характеристики рас-
расходятся. Это обусловлено накоплением ошибок при вычислениях
с конечной точностью, особенно в том случае, когда матрица
Ко,л> почти сингулярна, что может иметь место при анализе уз-
узкополосных сигналов. Для устранения сингулярности этой мат-
328
Глава 9
рицы к входному сигналу можно, например, добавить слабый
;елый у"/м. Линь [11] прибег к «спасительному» решению, ос-
. тарному на повторной инициализации вектора коэффициентов
усиления. Для увеличения динамического диапазона вычисли-
вычислительных машин с ограниченной точностью и улучшения харак-
характеристик можно использовать быстрый РНК-алгоритм нормиро-
нормированного корня квадратного [4]. Однако эти нормированные ал-
алгоритмы по существу удваивают вычислительную сложность,
поскольку уменьшение вдвое требуемой точности оборачивается
необходимостью хранения и вычисления параметров этих алго-
алгоритмов. Использование со<?1 приводит, по-видимому, к появле-
появлению в алгоритме значительного собственного шума [13]. РНК-
алгоритм сходится экспоненциально и равномерно независимо
от разброса собственных значений автокорреляционной матрицы
сигнала; его сходимость зависит лишь от весового множителя а
после изменений на входе (начальная сходимость от со не за-
зависит).
9.4.3. Сравнение характеристик РНК- и НСК-алгоритмов
График, характеризующий типичные характеристики сходимости
РНК- и НСК-алгоритмов, представлен на рис. 9.3. К установив-
установившемуся (стационарному) состоянию РНК-алгоритм обычно схо-
сходится быстрее, но никогда не медленнее, чем НСК-алгоритм
При наличии сильного шума, т. е. в том случае, когда разброс
собственных значений автокорреляционной матрицы невелик
РНК- и НСК-алгоритмы имеют сравнимые скорости сходимости
Собственный шум, генерируемый при градиентной оценке мето-
методом НСК-алгорптма, проявляется в виде некоторого смещения
Д1-сперсии выхода фильтра и некоторой расстройки параметров
фильтра предсказания. Уровень смещения и расстройку можно
снизить, уменьшая значение постоянной времени адаптации и
однако это приводит к увеличению времени сходимости НСК-
алгоритма, о чем свидетельствует рис. 9.3. В случае НСК-алго
ритма скорость сходимости и шум из-за расстройки параметров
фильтра предсказания взаимосвязаны, поэтому ни одну из этих
характеристик нельзя улучшить, не оказав ухудшающего воз-
воздействия на другую.
Если НСК- и РНК-алгоритмы реализуются аппаратными
средствами для выполнения спектрального оценивания в реаль-
реальном времени, то на характеристики этих двух адаптивных алго-
алгоритмов будут влиять ошибки квантования и ошибки округления
из-за малой длины машинного слова и использования арифме-
арифметических операций с фиксированной запятой [10]. Ошибки округ-
округления могут накапливаться и расти с течением времени до тех
пор, пока не будет нарушена нормальная работа алгоритма.
Алгоритмы обработки последовательных данных
Рис. 9.3. Типичные характеристики сходимости градиентного алгоритма МНСК
и точного алгоритма РМНК. (СКО —среднеквадратичная ошибка.)
В случае РНК-алгоритма можно, выбирая ш<1, ограничить
величину накопленной ошибки округления и сохранить устойчи-
устойчивость фильтра, хотя это и приведет к ухудшению точности вы-
вычисляемых значений параметров предсказания. В одном из экс-
экспериментов было показано [13], что для нормальной работы
РНК-алгоритма для представления чисел необходимо использо-
использовать не менее 10 двоичных разрядов, тогда как для нормальной
работы НСК-алгоритма достаточно 7 двоичных разрядов. Оба
алгоритма имеют сравнимые характеристики, если для этой
цели используется не менее 12 двоичных разрядов.
9.5. Быстрые авторегрессионные методы
на основе решетчатых фильтров
В гл. 7 было показано, что любой АР (р)-процесс допускает
эквивалентное представление либо с помощью параметров пред-
предсказания, либо с помощью коэффициентов отражения. Если ис-
используются параметры предсказания, то этот авторегрессионный
процесс можно сформировать, пропуская белый шум через
трансверсальный (т. е. реализованный на линии задержки с от-
отводами) фильтр; параметрами предсказания в этом случае яв-
являются весовые коэффициенты этого фильтра. Если же исполь-
используются коэффициенты отражения, то эквивалентный авторегрес-
авторегрессионный процесс можно сформировать, пропуская белый шум
через решетчатый фильтр; коэффициентами отражения в этом
случае будут весовые коэффициенты этого решетчатого фильтра.
Ьыстрый РНК-алгоритм может быть переформирован в мате-
математически эквивалентный быстрый решетчатый алгоритм. Такой
алгоритм также дает точное решение по методу наименьших
квадратов, как и трансверсальный фильтр, но выраженное, ес-
естественно, через коэффициенты отражения, а не через (АР)
параметры линейного предсказания. Быстрый решетчатый алго-
алгоритм требует выполнения вдвое большего количества вычисли-
вычислительных операций, чем быстрый РНК-алгоритм. Те читатели,
которые хотели бы подробнее ознакомиться с быстрыми решет-
решетчатыми алгоритмами, основанными на методе наименьших квад-
квадратов, могут обратиться к статьям [6, 7, 16] или к книге [9].
Параметры предсказания, определяемые с помощью быстро-
быстрого РНК-алгоритма, после любого шага обновления во времени
можно непосредственно {сразу же) использовать для вычисле-
вычисления АР-оценки СПМ. Что же касается коэффициентов отраже-
отражения, определяемых с помощью быстрого решетчатого алгоритма
по методу наименьших квадратов, то их, используя какую-либо
рекурсию типа рекурсии Левинсона, необходимо для этой цели
сначала преобразовать к эквивалентным параметрам предска-
предсказания. Это потребует примерно р2 вычислительных операций
на любом шаге обновления во времени, для которого необходи-
необходимо вычислить спе'ктральную функцию. Эта двухэтапная проце-
процедура и большие дополнительные вычислительные затраты явля-
являются одним из недостатков применения решетчатого алгоритма
для авторегрессионного спектрального оценивания, особенно при
необходимости частых обновлений получаемых спектральных
оценок. Однако- быстрые решетчатые алгоритмы обладают более
высокой численной устойчивостью, что может оказаться полез-
полезным при их аппаратной реализации. Характеристики решетча-
решетчатых алгоритмов менее чувствительны к шуму округления и
ошибкам квантования коэффициентов, чем быстрый РНК-алго-
РНК-алгоритм. Быстрые решетчатые алгоритмы также дают решения наи-
наименьших квадратов всех более низких порядков, поэтому поря-
порядок фильтра может быть изменен на любом шаге обновления
во времени.
9.6. Приложение к числам солнечных пятен
Заметим сразу, что 230 отсчетов фильтрованной последователь-
последовательности чисел солнечных пятен — это слишком мало для дости-
достижения сходимости при использовании адаптивного НС К-а л го-
ритма. Поэтому был испытан один лишь РНК-алгорнт.м. Воз-
Возможности слежения быстрого РНК-алгоритма при различных
значениях экспоненциального весового коэффициента « иллю-
иллюстрирует рис. 9.4. На рис. 9.4,а понизил типичная спектральная
оценка, полученная с помощью АР-мо :ели 15-го порядка. Этот
спектр получен в результате последовгчельной обработки 115от-
115отсчетов за период времени с 1885,5 по 1913,Ог.с« = О,98. Кривые,
показанные на рис. 9.4,6, отображают последовательное поло-
положение доминирующего пика в этом спектре, которое в получае-
получаемой авторегрессионной оценке определялось после каждого
обработки последовательных данны
Рис. 9.4. Иллюсоаия способности быстрого алгоритма РМНК отслеживать
основной цикл имаения числа солнечных пятен: а — типичная спектральная
АРA5)-оценка пел 115 отсчетов с <о=0,98; б —положение наибольшего пи-
пика в спектре ка* фикция года для четырех значений весового коэффициента
(каждое дележ по вертикальной оси соответствует 0,02 цикла на год).
обновления о'ечта данных. Эти кривые соответствуют четырем
значениям со ч юзволяют судить о характеристиках слежения
использованная алгоритма. Длина эффективного экспоненци-
экспоненциального окна выражаемая в отсчетах данных, приближенно
определяласьП( формуле 1/A—со}; следовательно, четырем
значениям со,уизанным на рис. 9.4,6, соответствует эффектив-
эффективное окно д.июй 20, 50, 100 и оо отсчетов. Нестационарность
доминирующеодикла солнечных пятен, обнаруженная ранее на
графике из рсюложенных друг над другом периодограмм,
с очевидности) юдтверждается и вариациями кривых, показан-
показанных на рис. 91,'.
Литература
[1] Bier man G.J. Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation.
Academic Pess Inc., New York, 1977.
[2] Carayannis l.,Manolakis D. G., Kalouptsidis N. A Fast Sequential Algo-
Algorithm for bas Squares Filtering and Prediction. IEEE Acoust. Speech
Signal Procss.vol. ASSP-31, pp. 1394—1402, December 1983.
L3] Ciojfij. M.,Kaath T. Fast, Recursive-Least-Squares, Transversal Filters for
Adaptive Fte ng IEEE Trans Acoust Speech Signal Process, vol
ASSP-32, pi 34—337, April 1984.
1.4] Fabre P., tiegien C. Improvement of the Fast Recursive Least-Squares
Algorithms ^Normalization: A Comparative Study. IEEE Trans. Acoust.
Speech Signl rocess., vol. ASSP-34, pp. 296—308, April 1986.
\P\ Falconer D.~).,ljung L. Application oF Fast-Kalman Estimation to Adaptive
bqualizatior, EEE Trans Commun, vol COM-26, pp. 1439—1446, Octo-
October 1978. -..
[6] FriedtanderS. .attice Filters for Adaptive Processing. Proc. IEEE, vol. 70,
pp. 829—8f, lugust 1982. [Имеется русский перевод: Фридландер Б,
332
Решетчатые (' чльтры для адаптивном обработки данных. ТИИЭР, 1982,
i 70, Ке&, с 51 -9l.)
[7] Friedlander В. Recursive Lattice Forms for Spectral Estimation. IEEE Trans.
Acoust Speech Signal Process vol. ASSP-30, pp 920—930, December
1982.
[8) Griffiths L. 1. Rapid Measurements of Digital Instantaneous Frequency.
IEEE Trans. Speech Signal Process, vol. ASSP-23, pp. 207—222, April
1975.
[9} Nonig M., Messerschmitl D. Adaptive Filters: Structures, Algorithms, and
Applications. Kluwer Academic Publishers, Hingham, Mass., 1984.
[10] Lawrence V. В., Tewksbury S. K. Microprocessor Implementation of Adap-
Adaptive Digital Filters. IEEE Trans Commiin., vol. COM-31, pp. 826—835,
June 1983
[11] Lin D. W. On Digital Implementation of the Fast Kalman Algorithm. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-32, pp. 998—1006, Octo-
October 1983.
[12] Ling F., Proakis J. G. Nonstationary Learning Characteristics of Least
Squares Adaptive Estimation Algorithms. Proceedings 1984 International
Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, paper 3.7, 1984.
[13] Ling F., Proakis J. G. Numerical Accuracy and Stability: Two Problems of
Adaptive Estimation Algorithms Caused by Round-off Error. Proceedings
1984 International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing,
paper 30.3, 1984.
[14] Ljung L., Soderstrom T. Theory and Practice of Recursive Identification.
The MIT Press, Cambridge, Mass., 1983.
[15] Ljung L., Morf Л1, Falconer D. Fast Calculation of Gain Matrices for
Recursive Estimation Schemes. Int. J. Control, vol. 27, pp. 1—19, January
1978.
[16] Satarius E. H., Pack I. D. Application of Least Squares Lattice Algorithms
to Adaptive Equalization IEEE Trans. Commun., vol. COM-29, pp. 136—
142, February 1981.
[17] Widrou) В., Stearns S. D. Adaptive Signal Processing Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliffs, N. J., 1985.
Задачи
1. Доказать соотношение (9.29).
2. Доказать, что метод предвзвешивания дает устойчивый
фильтр до тех пор, пока матрица Rp,» обратима.
3. Доказать, что 0^7p,,vs^l в быстром РНК-алгоритме и что
Ч»,»— действительная величина. Показать также, что анало-
аналогичные результаты справедливы для -[сдч и ip-i,n+i-
4. Доказать, что
detR,,,jv.i f _detRp,,.V-1 ь det Rp + I, ,v+i
УР, .v+i—~Jet ttp,f/ ' A"'Л'+1 detR,,,jv ' '>p"v+1^ det Rp w+1 '
Это означает, что условие v, pf, p'>0 гарантирует обрати-
обратимость матрицы Rp,».
5. Ввести в подпрограмму FASTRLS сравнимые с подпрограм-
подпрограммой COVAR проверки плохой численной обусловленности,
основанные на проверке переменных f и проверке положи-
положительности квадратичной ошибки предсказания.
Алгор^мы обработки последовательных данных
333
6. Пусть i))p«/=xV'»- Тогда показать, что альтернаивные об-
обновления дл уравнений (9.В.28) и (9.В.30) бу.ут иметь
форму
Показать, ка.им образом следует изменить реалиацию под-
подпрограммы RSTRLS, с тем чтобы вместо параметр GAMMA
использоватьв ней параметр PSI.
Приложение 9.,.
Программа сдвгового регистра
Подпрогракпа SHIFT (X.IP.SAMPLE)
С
С Предназначенадля обновления данных в сдвиговом регистре
С Параметры:
С X —массив отсчетов комплексных данных от '.{\) [текущий
С отсчет] до ХAР) [самый старый отсчет].
С IP — целочисленная скалярная величина, хаактеризующая
С длину вектора данных.
С SAMPLE — комплексная скалярная величина, соотве"твующая по-
С следнему по времени отсчету данных.
С
С Размер .GE. P-J-1 внешнего массива X должен указыватья в вызываю-
С щей программ.
С
COMPLEX Ц1),SAMPLE
DO 10K=-P+l,2, -1
10 X(K)-XK-l)
XA)=SAM>LE
RETURN
END
Приложение 9S.
Программа адлтивного НСК-алгоритма
Эта подпрограша предназначена для реализации 1даптивного
НСК-алгоритм1, описанного в разд. 9.3. Она вызьпается после
каждого вызов подпрограммы SHIFT, которая ояовляет со-
содержимое сдвгового регистра данных.
Подпрогра:ма LMS (IP,U,X,A)
С Предназначен для реализации последовательного адаптвного НСК-ал-
С горитма.
334
10
20
Входные параметры:
IP — целочисленная скалярная величина, характеризующая длину
фильтра.
U —действительная скалярная величина, характеризующая размер ша-
шага адаптации.
X —массив отсчетов комплексных данных, внесенных во входной сдви-
сдвиговый регистр.
Выходные параметры:
А —массив комплексных АР-параметров (адаптивных весов).
Примечание:
Размер .GE. IP-j-1 внешнего массива X и размер .GE. IP массива А
должны указываться в вызывающей программе.
COMPLEX XA),AA),EF
EF=XA)
DO 10 K=1,IP
EF=EF+A(K)-X(K+1) ! (9.3)
DO 20 K=l IP
A(K)-A(K)-2.»U»EF«X(K+1) 1 (9.8)
RETURN
END
Приложение 9.В.
Быстрый РНК-алгоритм и программа
для решения экспоненциально взвешенных уравнений
линейного предсказания
9.В.1. Введение
Этот алгоритм основан на быстрой рекурсивной процедуре
адаптивной фильтрации по методу наименьших квадратов, ко-
которая была предложена и исследована в работах [15, 5, 2, 3J.
Ошибки линейного предсказания вперед и назад р-то поряд-
порядка, определяемые по всем имеющимся отсчетам данных вплоть
до временного индекса N, можно записать в виде следующих
внутренних (или скалярных) произведений векторов:
е'р. n [л] = < И
(9.В.1)
(9.В.2)
где вектор данных хр[п], векторы коэффициентов линейного
предсказания вперед а'„« и коэффициентов линейного предска-
Алгоритмы обработки последовательна данных
зания назад а'Р,« определяются следующий выражениями:
( х[п] } ( 1 ¦> (аЧ „ГвТ
*р М =
¦ х[п — р]
4.к[
1
. (9.В.З)
Используя отсчеты комплексных данных*[1.|, ..., x[N], с по-
помощью метода предвзвешивания можно рздельно минимизиро-
минимизировать суммы экспоненциально-взвешенных ;вадратов ошибок ли-
линейного предсказания вперед и назад
Ри=2>"-"|еи[л]|', Р$,«=2/-"К«М1а. (9-В.4)
в результате чего приходим к следующий нормальным уравне-
уравнениям:
(9-B-5)
где О—(pXl)-нуль-вектор. Эффективнаядлина окна в данном
случае равна приблизительно 1/A—со). Эквивалентное диади-
ческое векторное представление матриць Rp,w имеет вид
а ее элементы определяются выражением
Л'
г,,, .v [/. *] = n2 o>N-"x[n-kx'[n-j],
где Osg/, k^p.
9.В.2. Специальные разложения и вспомсательные параметры
Важным для построения быстрого PHI-алгоритма является
следующее разложение (р+1) X (р+1-матрицы Rp,x по ин-
индексу порядка:
R».w =
\p,
), (9.В.7)
336
Глава 9
где (pXl)-вектор-столбцы rPtN и sPlN определяются выраже-
выражениями
Гр.ЛО, Р\
9.В.8
Важным также является следующее разложение этой матрицы
по временному индексу:
ЯР. n = <»R,. Л--1 + К [Л'] А [Щ, (9-В.9)
которое получается непосредственно из выражения (9.В.6).
Применяя к обоим разложениям в (9.В.7) лемму об обраще-
обращении матрицы, после достаточно длинных матричных преобразо-
преобразований получаем
R?.V'=(R%y °o) + ai;,A,aJ,lV»/pJ Л, (9.В.10)
(9.В.П)
Для вывода алгоритма нам также потребуется (/?+1) X 1-век-
тор-столбец коэффициентов усиления cp,n, определяемый из
уравнения
R^.v-iC^a—o)-^^], (9.B.12)
Заметим, что этот вектор определяется несколько иначе, чем
дополнительный вектор, требуемый при выводе быстрых блоч-
блочных алгоритмов в гл. 8, поскольку теперь используется матри-
матрица Rp,jv-i, а пе матрица R^,jv- Вектор-столбец ср>?? имеет сле-
следующий вид:
9.В.З. Рекурсии обновления во времени
Обновление вектора коэффициентов линейного предсказания
вперед по временному индексу производится в соответствии с
выражением
( ° \ (9.B.13)
p-I, NJ
Алгоритмы обработки оследовательных нных
337
правильность которого можш проверить, уюжа* слева обе"
части этого равенства на матрцу Rpjv+i и пегтавля далее со-
соответствующее разложение либо по вркннму индексу
(9.В.9), либо по индексу пордка (9.В.7). ГБочнш результа-
результатом этой проверки является ыражение для шовлипя во вре-
времени действительнозначного вадрата ошибь линйного пред-
предсказания вперед:
= «>P'p.N + e'p,K+1[Nhl]el;,N[N+l] (9.B.14)
Умножая слева обе части уранения (9.В.13) а велгор xpT[iV-T-
+ 1J. получаем
(9.В.15)
или в более краткой форме связывающей сгатоную ошибку
фильтра с ошибкой предсказашя)
4.A4i[Af+l]=4,A/[Af+l]/Y,-jv. (9.B.16)
где по определению ^р-^-действительнг поюжительная
скалярная величина, вычислимая в соответви? с выраже-
выражением
(9.В.17)
Подставляя (9.В.16) в (9.В.14, получаем
м. (9.В.18)
что подтверждает действительность и положгельюсть квадра-
квадрата ошибки.
Обновление вектора коэфеициентов линеюго редсказания
назад по временному индекс производится в сответствии с
выражением
(^p'N+1) (9.B.19)
правильность которого можн: проверить, уюжа! слева обе
части этого равенства на марицу RP,K+, и одсталяя далее
соответствующее разложение либо по вр(еннау индексу
(9.В.9), либо по индексу порщка (9.В.7). Гбочшм результа'-
том этой проверки является ыражение для шов?ния во вре-
времени действительнозначного :вадрата ошиб! линйного пред-
предсказания назад
(9.B.20)
22—1366
338 Глава 9
Умножая слева обе части уравнения (9.В.19) на вектор xp\N-\~
+ 1J, получаем
*i.N+i[N + 1] = 4.n[N + \]-e'>l,,x+1[N + \](xTp^[N + \]cp_1N+1)
(9B.21)
или в более краткой форме
4. ЛЧ1 [«+!] = 4. .v W + l]/T,-i, iv+i, №-22)
где по определению "(p-i,n+i — действительная положите ьная
скалярная величина, вычисляемая в соответствии с вы]аже-
нием
. (9B.23)
(9В.24)
Алгоритмы обработки последовательных данных
339
Подставляя (9.В.22) в (9.В.20), получаем
PS. л>1 = pj. * +1 < « [ЛГ + 1] I2/
что подтверждает действительность и положительность кадра-
та ошибки.
Полезное скалярное соотношение можно получить из следу-
следующей квадратичной формы:
СИ р „& /„Ь Яр г \*
*~р. N+i*^p, N лр. N — \лр. Л* *V, N^p, Л'+l/ ¦
Это выражение можно записать в виде
(9B.25)
которое в свою очередь сводится к выражению
^.В.4. Рекурсии обновления по порядку
Подставляя матрицу R~'p,n, определяемую выражнием
(9.В.11), в уравнение
Cp.w+^m-'Rp.Vx^W+l] (9B.26)
получаем
л- (9В.27)
Выражение (9.В.27) определяет восходящую рекурсию для
вектора cPi^+i, поскольку это рекурсия от порядка р—1 к по-
порядку р. Умножая слева обе части выражения (9.В.27) на век-
вектор хрт[Л?+1] и прибавляя к обеим частям единицу, получаем
следующее выражение для обновления скалярной величины по
порядку:
УР, х+1 = У
?, л,). (9.В.28)
Подставляя матрицу R~Vn, определяемую
(9.В.10), в уравнение (9.В.26), получаем
выражением
0Л
_ 1 х! Г
9.B.29)
Выражение (9.В.29) определяет нисходящую рекурсию для
вектора cp-i,w+i, поскольку это рекурсия от порядка р к поряд-
порядку р—1. Умножая слева обе части уравнения (9.В.29) на вектор
xpT[iV+l] и прибавляя к обеим частям единицу, получаем сле-
следующее выражение для обновления скалярной величины по по-
порядку:
= У,
,. л-« [р] 4. n[N+1]- (9.В.30)
9.B.5. Инициализация
Установившийся (или стационарный) быстрый РНК-алгоритм
для фильтра фиксированного порядка р применяется только в
том случае, когда N>p; в противном случае нормальные урав-
уравнения наименьших квадратов окажутся недоопределенными.
Для интервала l^TiV^lp можно получить выражения для од-
одновременного обновления по порядку и во времени, которые бу-
будут давать точное решение наименьших квадратов (X—1)-го
порядка по имеющимся N отсчетам данных. С приходом оче-
очередного отсчета х[р + 1] производится переключение от про-
процедуры инициализации обновления по порядку и во времени к
установившемуся РНК-алгоритму фиксированного порядка и
обновления во времени, с тем чтобы продолжить получение
точного РНК-решения при JV>p.
22*
340
Глава 9
Алгоритмы обработки последовательных данных
341
При получении первого временного отсчета данных лс[ 1J
осуществляется инициализация следующих параметров:
7-1,1=1,
9.В.31)
Для отсчетов данных с временным индексом, лежащим в ин-
интервале 2^N^.p-\-l, будут справедливы следующие рекурсии
по порядку и во времени:
(9.В.32)
Следующие значения abjv-i,w и pbjv-i,iv необходимы для ини-
инициализации только в момент времени N = p-{-\:
(9.В.ЗЗ)
¦9.В.6. Проверки на плохую численную обусловленность
Обратимость матриц RP,N и Rp,jv+i гарантируется до тех пор,
пока скалярные величины 1p,n и "(p,n+i положительны и лежат
в интервале от 0 до 1, а также пока квадраты ошибок p'pjv и
рьр,я положительны. Нарушение этих условий при использова-
использовании подпрограммы FASTRLS может быть связано с ухудшени-
ухудшением характеристик алгоритма из-за влияния эффектов округле-
округления и конечной точности. Матрица Rp,w, как нетрудно пока-
показать, является положительно определенной матрицей.
При обработке с помощью этого алгоритма 64-точечной тест-
последовательности данных, приведенной в приложении II, ко-
которое помещено в конце книги, в случае OMEGA=1,0 и IP = 15
получаются следующие значения параметров:
AF( 1) = ( 0,367824;
AF( 2) = ( 0,369765;
AF( 3) = (—0,245683;
AF( 4) = ( 0,075830;
AF( 5) =(—0,228449;
AF( 6) =(—0,056229;
AF( 7) = (-0,263949;
AF( 8) = (—0,033696;
PF= 12,47651;
—0,741921); AF( 9)-
—0 660722); AF(I0) =
-0,445400); AFA1) =
—0 056228); AFA2)-
—0,135792); AFA3) =
—0,146420); AFA4) =
—0,024513); AFA5)-
0,260718);
( 0 105724; 0,253750);
( 0 257914; 0,106587);
:( 0,246466; —0,067043);
:( 0,004733; —0,322168);
:(— 0,283299; —0,098737);
.(—0 212917; 0,020704);
= ( 0 015728; 0,124406).
Заметим, что параметр PF можно использовать в качестве
ч асрсии ошибки, если поделить его на число обрабатываемых
л счетов данных.
Подпрограмма FASTRLS (INIT,OMEGA,IP,X,PF,AF,PB,AB,GAMMA1C)
Предназначена для реализации быстрого последовательного адаптивного
РНК-алгоритма.
Входные параметры:
I\IT —целочисленная величина, устанавливаемая в 0 при ка к-
дой повторной инициализации алгоритма; после первого
прогона программа устанавливает его в значение, боль-
большее 0.
OMEGA — действительный экспоненциальный весовой множитель
@<OMEGA<1).
IP — целочисленная скалярная величина, характеризующая
длину фильтра.
X — комплексный массив, соответствующий содержимому
С
С
С
С
С
С
(,
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
сдвигового регистра входных данных.
Выходные параметры;
PF — действительная скалярная величина, характеризующая
квадрат ошибки линейного предсказания вперед.
AF — массив комплексных параметров линейного предсказания
вперед.
РВ — действительная скалярная величина, характеризующая
квадрат ошибки линейного предсказания назад.
АВ —массив комплексных параметров линейного предсказания
назад.
GAMMA —действительный скалярный коэффициент усиления.
С —массив комплексных параметров усиления.
Примечание:
Размеры .GE. IP-j-1 внешних массивов X, С и размеры .GE. IP масси-
массивов AF, АВ должны указываться в вызывающей программе. Элементу
С (к+1) в программе соответствует элемент с (к) в тексте; здесь
COMPLEX SAMPLE, X(!),AFA),ABA),CA),EF,EPF,EB,EPB,TEMP,
REAL PF,PB,GAMMA,OMEGA,SAVE
342
20
30
40
50
55
60
70
С
С -
с
с
с
100
INTEGER IP,IMT,K,MK
Сегмент инициализации 1 (9.В.31), (9.В.32), (93.33)
IF (INIT .GT. IP) GO TO 100
IF (INIT .NE. 0) GO TO 20
GAMMA=1.
PF=REAL(XA)).»2+AIMAG(XA)) «2
GO TO 70
EF=XA)
IF (INIT .EQ. 1) GO TO 40
DO 30 K=1,INIT-1
EF- EF+AF(K) «X (K+1)
EPF-EF/GAMMA
PF-OMEGA.PF
HOLD-CONJG(EF)/PF
GAMMA=GAMMA+REAL(EF)»REAL(HO.D)-AIMAG(EF)»
AIMAG(HOLD)
TEMP=X(INIT+1)
AF(INIT) = -EF/TEMP
IF (INIT .EQ. 1) GO TO 55
DO 50K=INIT—1, 1,-1
C(K+1)=C(K)+HOLD»AF(K)
CA)-HOLD
IF (INIT .LT. IP) GO TO 70
HOLD--TEMP/GAMMA
PB=(REAL(TEMP)..2+AIMAG(TEMP)«2)/GAMMA ! (9.B.3I)
DO 60K-1, INIT
AB (K) =HOLD.C (INIT+1 -K)
INIT=INIT+1
RETURN
I (9 B.I)
! (9.B.16)
(егмент обновления предсказания вперед
SAVE-OMEGA.PF
EF-X(l)
DO 110 K=1,IP
110 EF-EF+AK(K)«X(K+1)
EPF=EF/GAMMA
HOLD = CONJG (EF) /SAVE
PF=SAVE+REAL(EPF).REAL(EF)+AIMiG(EPF). ! (9.B.14)
AIMAG(EF)
С Здесь может быть выполнена прверка условия PF>0
GAMMA=GAMMA+REAL(EF)«REAL(HOD) ' ! (9.В.28)
-AIMAG(EF).AIMAG(HOD)
С Здесь может быть выполнена проверк условия 0<GAMMA<l
DO 120 K=IP,1,-1
ТЕМР=С(К)
C(K+1)=TEMP+HOLD.AF(K) ! (9 В.27)
120 AF(K)=AF(K)-EPF»TEMP ! (9.B 13)
C(I)=HOLD
Огмент обновления предсказания назад
Алгоритмы обработки последовательных данных
343
I (9.B.25)
! (9.В.30)
SA'E = OMEGA«PB
EB=SAVE»CONJG(C(IP+1))
HCD-C(IP+1)
GMMA-GAMMA-REAL(EB).REAL(HOLD)
+AIMAG (ЕВ) «AIMAG(HOLD)
Здесь может быть выполнена проверка условия 0<GAMMA<l
ЕВ = ЕВ/GAMMA I (9.B.22)
P^SAVE+REAL(EPB)«REAL(EB)+AIMAG(EPB)« I (9.B.20)
AIIAG(EB)
Здесь может быть выполнена проверка условия РВ>0
DC 130 К=1,1Р
МК=1Р+1-К
temp = c(k)-hold«ab(mk) i (9.b.29)
:(К)=темр
ав(мк)=ав(мк)-ерв«темр 1 (9.в.19)
RHURN
ЕЮ
Глава 10
СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ
— СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО
10.1. Введение
Модель авторегрессии — скользящего среднего (АРСС) имеет
больше степеней свободы, чем авторегрессионная (АР) мо-
модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью
оценки СПМ будут обладать большими возможностями для пе-
передачи формы различных спектров. Однако в отличие от имею-
имеющегося обширного репертуара линейных алгоритмов, предна-
предназначенных для вычисления АР-оценок СПМ, разработано всего
лишь несколько алгоритмов для получения АРСС-оценок СПМ,
что объясняется главным образом нелинейным характером та-
таких алгоритмов, которые должны одновременно оценивать СС- п
АР-параметры АРСС-модели. О трудности оценивания АРСС-
параметров даже в том случае, когда точно известна автокорре-
автокорреляционная последовательность, говорит вид нелинейного урав-
уравнения F.29). Для решения подобных нелинейных уравнений
часто используются итеративные методы оптимизации, основан-
основанные на использовании оценок максимального правдоподобия,
и близкие к ним методы [15J. Но эти методы требуют больших
вычислительных затрат, к тому же они не гарантируют сходи-
сходимости или даже могут сходиться к неверным решениям, поэто-
поэтому их, в отличие от авторегрессионных методов, нецелесообраз-
нецелесообразно применять для обработки сигналов в реальном времени. Для
существенного снижения вычислительных затрат разработаны
субоптимальные методы, которые, как правило, основываются
на критерии наименьших квадратов и требуют решения линей-
линейных уравнений. В этих методах АР- и СС-параметры обычно
оцениваются раздельно, а не совместно, как того требует опти-
оптимальное оценивание параметров. Сначала, как правило, оцени-
оцениваются АР-параметры; их оценки вычисляются независимо or
СС-параметров и для этой цели используется один из вари-
вариантов модифицированного уравнения Юла — Уолкера F.30).
Затем оцениваются СС-параметры, при этом полагается, что
АР-параметры известны или же заранее оценены.
Следует заметить, что статистические характеристики спект-
спектральных АРСС-оценок почти не исследованы, а большая часть
имеющихся сведений об их свойствах основана на результатах
немногочисленных экспериментов по моделированию. Получен
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
345
СБОР ДАННЫХ
N отсчетов
Г с/отсчет
УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
Си.гл.14
- • ВЫБОР ПОРЯДКА СС-МОДЕЛИ
Параметр IQ
ОЦЕНИВАНИЕ СС-ПАРАМЕТРОВ
Подпрограмма МА, приложение 10.А
ВЫЧИСЛЕНИЕ СС-ОЦЕНКИ СПМ
Подпрог рамма ARMAPSO , прило)
ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯДКА
Изменить порядок м
Рис. 10.!. Краткая запись алгоритма СС-оценивания СПМ.
гакже ряд асимптотических оценок характеристик АРСС-пара-
метров по методу максимального правдонодобия, но они не поз-
позволяют судить о свойствах АРСС-оценок в случае конечных
записей данных.
Раздел 10.3 этой главы посвящен оцениванию параметров
модели скользящего среднего. Описанные в нем методы могут
быть далее использованы для получения СС-оценок СПМ по
имеющимся данным или для оценивания СС-параметров
АРСС-модели, оцениванию параметров которой посвящен разд.
10.4. Субоптимальпый метод раздельного оценивания АР- и
СС-параметров описан в разд. 10.5, а в разд. 10.6 дан обзор
методов последовательного оценивания. В разд. 10.7 описана
одна из частных разновидностей АРСС-модели, предназначен-
предназначенная для аппроксимации процесса, состоящего из аддитивной
смеси синусоид и белого шума.
10.2. Краткая сводка результатов
На рис. 10.1 представлена краткая запись алгоритма, предна-
предназначенного для оценивания СС-параметров по последователь-
последовательности отсчетов данных, а основная машинная программа, на-
названная МА, помещена в приложении 10.А. Массив В значе-
значений СС-параметров и оценка RHO дисперсии белого шума, оп-
Рис. 10.2. Спектральная ССA5)-оценка 64-точечной тест-последовательности,
полученная при использовании «длинной» АР C0)-модели.
ределяемые с помощью этой программы, используются затем
в вызываемой подпрограмме ARMAPSD для определения
СС-оценки СПМ, которая вычисляется по формуле
A0.1)
I
На рис. 10.2 показана типичная спектральная СС( 15)-оценка,
полученная по 64-точечной тест-последовательности, приведен-
приведенной в приложении II, помещенном в конце книги. Как и в слу-
случае АР-методов, выбор порядка модели должен удовлетворять
приемлемому компромиссу между разрешением и дисперсией
получаемой оценки СПМ. Отметим также, что спектральная
оценка, приведенная на рис. 10.2, аналогична коррелограммной
спектральной оценке СПМ, приведенной на рис. 5.4.
На рис. 10.3 приведена краткая запись алгоритма, предна-
предназначенного для оценивания АРСС-параметров по последова-
последовательности отсчетов данных, который основан на методе раз-
раздельного оценивания АР- и СС-параметров. Основная машин-
машинная программа реализации этого алгоритма, названная ARMA,
помещена в приложении 10.Б. Массив А значений АР-парамет-
ров, массив В значений СС-параметров и оценка RHO диспер-
дисперсии белого шума, определяемые с помощью этой программы,
используются затем в вызываемой подпрограмме ARMAPSD
для определения АРСС-оценки СПМ, которая вычисляется по
формуле
"дрсс U) = '
1+2
1+2 «[Пехр(-/2л//Г)
A0.2)
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
СБОР ДАННЫХ
Л/ отсчетов;
Г с/отсчет
УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См. гл. 14
ВЫБОР ПОРЯДКА АР-И СС-МОДЕЛЕЙ
Параметры IP и IQ
1 ОЦЕНИВАНИЕ АРСС-ПАРАМЕТРОВ
Подпрограмма ARMA , приложение 10.Б
i ВЫЧИСЛЕНИЕ АРСС-ОЦЕНКИ СПМ
Подпрограмма ARMAPSD , приложение 6.А
t ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯДКА
Изменить порядок АР- и СС- моделей для
достижения требуемого компромисса
между величинами дисперсии, разрешения
и смещения
Рис. 10.3. Краткая запись алгоритма АРСС-оценивания СПМ.
На рис. 10.4 показана типичная АРССA5, 15)-оценка, получен-
полученная по 64-точечной тест-последовательности, приведенной в
приложении II, помещенном в конце книги. От выбора порядка
модели зависит приемлемый компромисс между разрешением и
дисперсией получаемой оценки СПМ.
Несколько слов следует сказать о выборе значений порядка
р и q АРСС-модели или порядка q СС-модели. Чаще всего по-
полагается, что p~q, хотя какие-либо веские причины, обосновы-
обосновывающие такое допущение, отсутствуют. Часто для АР-процессов
применяется информационный критерий Акаике (ИКА). Для оп-
определения порядка АР-модели р можно также использовать про-
проверку ранга матрицы модифицированного уравнения Юла —
Уолкера F.30).
10.3. Оценивание параметров модели скользящего среднего
Результаты, изложенные в этом разделе, в общем случае при-
применимы ко всем последовательностям данных, для которых не-
необходимо получить оценки СС-параметров, будь то исходная
последовательность измеренных данных или последовательность
остаточных ошибок фильтра, полученная при использовании
АРСС-метода, описанного в разд. 10.4. Напомним, что СС-мо-
0
| -10
с -20
| '30
О О
_ ' ' '
- Д 1
II 1
1
J, , VU, \/ , , -
-0.2 -0.1
Дол|
Рис. 10.4. Спектральная АРССA5, 15)-оценка б-точеной тест-последователь-
тест-последовательности, полученная при использовании 30 оценк знчений автокорреляции
(Л1=30).
дели целесообразно использовать дляспекрального оценива-
оценивания процессов, спе.ктры которых имею* шиюкие пики или ост-
острые минимумы (нули). СС-оценка СП1 нетригодна для моде-
моделирования узкополосных спектров ипоэтму не относится к
числу спектральных оценок так назывемоо «высокого разре-
разрешения», что привело к ограничению иследваний средств оце-
оценивания СС-параметров, используемыхдля 1ычислеиия СС-оце-
нок СПМ.
Наиболее очевидный подход к оцешванпо СС-параметров
основан на решении нелинейного урав!ени* F.35), в котором
используются автоьорреляционныс оцйки, олучаемые по име-
имеющимся данным. Однако методы реиени? уравнения F.35)
часто сопряжены с использованием слскньи методов спектраль-
спектральной факторизации [1J. Возможен аль-ерна-ивный подход, ос-
основанный на аппроксимации СС-процеса ^Р-моделью высоко-
высокого порядка, в котором используются ильк линейные опера-
операции. Поскольку такой линейный подха мжет давать вполне
удовлетворительные снектральные ССоцени, основное внима-
внимание при изложении вопросов оцениваня С-параметров будет
ниже уделено именно этому алгоритму.
Пусть
вй = 1 + 2»В"' (ю.з)
— системная функция CC(q)-процесса и путь 1/А„(г), где
A.(z) = l+ 2 а [*>-*, A0.4)
— системная функция АР^-процесса, экввалентного этому
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
СС(<?) -процессу, т. е., иными словами,
349*
или
щ
ли В(г)Ада(г) = 1. Обратное z-преобразование, соответствую-
соответствуюее произведению ВB)Аоо(г), является сверткой СС-парамет-
СС-параметров с АР-параметрами, что можно показать, используя соотно-
соотношения, приведенные в табл, 2.1. Обратное z-преобразование от
единицы — это просто выборочная функция Ь[т\. Иными сло-
словами,
i {J ^" "^ (Ю.6>
где, по определению, a[OJ = l и a[/eJ=O при /е<0. Таким обра-
образом, СС-параметры можно определить по параметрам некото-
некоторой эквивалентной АР-модели бесконечного порядка посредст-
посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений, полу-
полученных из A0.6). Иными словами, на практике можно вычис-
вычислить АР{М)-оценку высокого порядка, такую, что M^>q. Ис-
Используя АР-оценки высокого порядка 1, aM[U йм[Л1],
можно записать следующую систему уравнений:
q
есс [т] = ак [т] + 2 Ь [п] ам [т — п]. A0. 7>
71=1
В идеальном случае ошибка есс[т\ должна быть равна нулю
при всех значениях т, за исключением т = 0, что следует из-
уравнения A0.6). Однако на практике при использовании ко-
конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэто-
поэтому оценки СС-параметров должны определяться посредством
минимизации дисперсии квадратов ошибки
Р, = 2|есс[т]|7М, (Ю.8>
',-".1я оудет определен несколько позже.
•' ч.-с является гауссовским, то можно
¦/ра будет давать оценку, близ-
!вдоподобия. Уравнение A0.7)
чю для ошибки линей-
11Ю ^'бeдитьcя, заменив
счетами данных.
нтервала сумми-
(тветствует авто-
пя, и ингспвал
350
Главе 10
помощью быстрых вычислительных алгоритмов, описнных в
гл. 8. Решить нормальные уравнения в случае автокоррляцион-
ного метода можно с помощью подпрограммы YULEMLKER,
в случае ковариационного метода для этой цели можнс исполь-
использовать подпрограмму COVAR. В приложении 10.А пиведена
распечатка подпрограммы МА, предназначенной для щенива-
ния СС-параметров на основе оценки АР-параметров ысокого
порядка и полученной посредством линейного предскаания по
методу наименьших квадратов. Для подпрограммы ЛА был
выбран автокорреляционный метод, для того чтобы га'антиро-
вать получение минимально-фазовой оценки СС-пар|Метров;
иными словами, для того чтобы нули функции В (г) шли рас-
расположены внутри единичной окружности. Заменив подрограм-
му YULEWALKER подпрограммой COVAR, получим ешение,
соответствующее ковариационному методу. Заметим, ч-о оцен-
оценка дисперсии возбуждающего шума СС-процесса — эт просто
АР (М) -оценка дисперсии по методу наименьших квадртов.
Для определения порядка q СС-модели можно вопользо-
ваться несколькими методами. Информационный 1ритерий
Акаике (ИКА) имеет в данном случае ту же форму,что и в
случае АР-модели:
где рд — оценка дисперсии белого шума (для этого цлесооб-
разно использовать дисперсию ошибки наименьших ква;ратов).
Можно также подвергать исходные данные фильтращи с по-
помощью обратного СС-фильтра и проверить последоватяьность
остаточных ошибок на близость к белому шуму [5J. Поледова-
тельность остаточных ошибок будет белым шумом, еслюценки
значений автокорреляционной последовательности дл этих
ошибок будут приближенно равными нулю при всех юрреля-
цнонных сдвигах, за исключением корреляционного сдвига,
равного нулю.
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
351
ивания СС-параметров. В этом разделе описан один из таких
РСС-алгоритмов, состоящий из трех основных этапов.
В гл. 6 было показано [см. выражение F.29)], что автокор-
еляционная последовательность для АРСС(р, д)-модели удов-
,1етворяет соотношению
Н-2Л
A0.9)
где «:>#. Если автокорреляционная последовательность извест-
известна точно, то р соотношений, соответствующих A0.9), при q-\-
Jr\^n^qJrP образуют систему уравнений, решая которую,
можно определить АР-параметры. Эти уравнения, в соответст-
соответствии с их формулировкой F.30), были названы модифицирован-
модифицированными уравнениями Юла — Уолкера. Однако на практике обыч-
обычно имеются лишь отсчеты данных, поэтому вместо неизвестной
автокорреляционной последовательности приходится использо-
использовать ее оценки. Оценки АР-параметров, получаемые с помощью
модифицированных уравнений Юла — Уолкера, обычно имеют
плохое качество (большую дисперсию) там, где значения
АРСС-оценки СПМ малы [19J, что обусловлено либо неточ-
неточностью автокорреляционных оценок, либо неправильным выбо-
выбором порядка модели, либо обоими этими факторами одновре-
одновременно [15].
Еще один подход, исследованный в работах Мехры [17jr
Кэдзоу [4, 5J, Пората и Фридландера [18J, основан на исполь-
использовании большего, чем р, числа уравнений для корреляцион-
корреляционных сдвигов, больших q, и минимизации суммы квадратов оши-
ошибок для аппроксимации р АР-параметров. Такая процедура
приводит к модифицированному методу наименьших квадратов
Юла — Уолкера, Если предположить, что оценку автокорреля-
автокорреляции гхх[п] с корреляционными сдвигами от 0 до М уже вычис-
вычислены (здесь М — наибольший индекс корреляционного сдвига,
при котором возможна точная оценка автокорреляции), то мож-
можно записать М—q уравнений (таких, что М—Q~>p)
10.4. Раздельное оценивание АР- и СС-параметров
Для получения оценок АРСС-параметров и оценок СШ чаще
всего применяются субоптимальные процедуры, в болыинстве
из которых оценки АР- и СС-параметров получаются рздель-
но. Сначала, как правило, оцениваются АР-параметры, i затем
их оценки используются для построения некоторого обатного
фильтра, который будет применен к исходным данным.После-
данным.Последовательность остаточных ошибок на выходе этого шльтра
должна характеризовать некоторый процесс скользящеэ сред-
среднего, к которому затем может быть применена процедуа оце-
где q-\-\^n^M, а г[п]—ошибка оценивания. Необходимо ис-
использовать несмещенные автокорреляционные оценки, с тем
чтобы гарантировать, что смещение ошибки е[я] будет равно
нулю. Затем сумма квадратов ошибок
Р= 2 |е[«]1" (Ю-П)
минимизируется относительно р авторегрессионных парамет-
Глава 10
^-. . | .j. Получаемые в результате нормальные равнения ока-
оказываются идентичными уравнениям, которые голучаются при
использовании ковариационного метода линейвго предсказа-
предсказания, описанного в подраз. 8.5.1, т. е. они имеют аедующий вид:
S
Т =
а[\]
а[р\) Ы
•¦¦ ГХАЧ~Р+Ц\
A0.12)
A0.13)
РХХ[М] ... ~гхх[М-р]
— прямоугольная тёплицева матрица, состоящаяиз автокорре-
автокорреляционных оценок, а не из отсчетов данных, как i гл. 8. Для ре-
решения уравнения A0.12) можно применить подпрограмму
COVAR, которая представляет собой машиннуэ реализацию
одного из быстрых алгоритмов. При этом вместо юследователь-
пости данных х\1],..., x\N], которая использоалась в кова-
ковариационном методе линейного предсказания, ошпанном в гл.8,
!снерь в качестве входной последовательности истользуется по-
последовательность оценок автокорреляции rx[q—р+1],...
...,гхх[М].
Для уменьшения влияния возрастающей диперсии оцени-
оценивания, связанного с тем, что для вычисления чюнов последо-
последовательности ошибок с увеличивающимся индексе^ используют-
используются автокорреляционные оценки с увеличивающмея индексом
корреляционного сдвига, в работе [10] было педложено ис-
использовать взвешенную сумму квадратов ошибок
м
р = 2 <т [«] I e [п] \\ A0.14)
n-q+ 1
где значения весов последовательности w[n] у>ывают с рос-
ростом п. С увеличением индекса корреляционного цвига автокор-
автокорреляционной оценки в ней используется все меныее и меньшее
е оценивание на основе моделей АРСС
353
!т к росту дисперсии полу-
был предложен в работе
пибки усредняются в неко-
А(г) =
23-13
где u[k\—оценки АР-параметров, определенные с помощью
модифицированного метода наименьших квадратов Юла —
Уолкера. Системная функция АРСС-процесса равна В (г)/А (г),
поэтому
^Щ-А(г)«В(г). A0.16)
Таким образом, пропуская запись измеренных данных через
фильтр с системной функцией А(г), получаем на его выходе ап-
аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Затем для оце-
оценивания СС-параметров может быть применена процедура,
описанная в разд. 10.3. Фильтрованная последовательность
длиной N—p будет определяться следующим уравнением
свертки:
z [п] = д: [л] + 2 а[/п]д;[п—/л],
A0.17)
где p+l^n^iV. В приложении 10.Б приведена программа
ARMA, предназначенная для оценивания АРСС-параметров.
В ее основе лежит процедура, состоящая из трех следующих
этапов: A) оценивание АР-параметров с помощью модифици-
модифицированного метода наименьших квадратов Юла — Уолкера;
B) фильтрация исходной последовательности отсчетов данных;
C) оценивание СС-параметров по полученной последовательно-
последовательности остаточных ошибок фильтрации.
Хотя СС-параметры и необходимы для оценивания парамет-
параметров АРСС-модели временного ряда, для получения АРСС-оцен-
ки СПМ нужна лишь оценка величины Tpw\B(f) |2, т. е. необхо-
необходимости в явном оценивании СС-параметров в этом случае нет
[13J. Для непосредственного оценивания числителя в выраже-
выражении для АРСС-оценки СПМ может быть также применена кор-
релограммная оценка СПМ, а именно оценка вида
?„ М ехр (-/2я/тГ),
где rzz[mj—оценка автокорреляции, полученная по фильтро-
фильтрованной последовательности г[п]. При необходимости может
быть использована спектральная факторизация, для того что-
чтобы гарантировать получение минимально-фазового СС-процесса.
Процедура выбора значений порядка АР- и СС-составляю-
щих АРСС-модели временного ряда достаточно сложна, и в ли-
литературе этому вопросу уделено очень мало внимания, за ис-
исключением простых случаев. Чаще всего для этой цели исполь-
используется информационный критерий Акаике (ИКА), который в
Спектраьное оценивание на основе моделей АРСС 355
данном случае шеет форму
1КА[р, q] = N\n(~Ppil) + 2(p + q),
где рРЗ — оценк дисперсии белого шума на входе принятой
АРСС(р, ?)-модли. В качестве этой оценки обычно использует-
используется дисперсия ;вадрата ошибки, определяемая с помощью
методов, описан[ых в этом и последующем разделах. Минимум
ИКА(р, q) по вем значениям р и q характеризует те их значе-
значения, которые ниболее целесообразно использовать. Можно
также проверит на близость белому шуму последовательность
остаточных ошиок на выходе обратного фильтра с системной
функцией В (г) Д (г), в которой используются оценки АР- и
СС-параметров.Оценки автокорреляции для последовательно-
последовательности этих остатоных ошибок должны быть близки к нулю, за
исключением оцшки, соответствующей нулевому корреляцион-
корреляционному сдвигу [7J
10.5. Одновременное оценивание АР- и СС-параметров
Один из субоптшальных методов, который позволяет одновре-
одновременно оцениват, параметры авторегрессии и скользящего сред-
среднего, основан и некоторой разновидности принципа итератив-
итеративной предваритеьной фильтрации Стиглица и Макбрайда [20J
и принадлежит < классу методов, с помощью которых решение
линейной задач сводится к оцениванию неизвестных значений
белого шума навходе АРСС-фильтра. Ряд других методов это-
этого же класса оисан в книге Кея [15J. Метод, который будет
описан ниже, оаован на улучшении (т. е. уточнении) линейной
задачи за счет оссмотрения некоторой последовательности та-
таких линейных здач, что позволяет итеративно уточнять оценки
АР- и СС-паратйтров.
Временно прдположим, что воздействие на входе АРСС-
фпльтра было (ценено как последовательность и[п]; тогда для
некоторого АРСС (р, q) -процесса можно записать следующие
уравнения для шибки аппроксимации:
«М = д[п]+ 2 i[k]x[n—k]+ 2 S[k]u[n—k], A0.19J
где вместо поседовательности неизвестных значений возбуж-
возбуждающего шума [[л] используется последовательность их оценок
«[я]. Таким об>азом, ошибка стала линейной функцией неиз-
неизвестных парамеров a[k] и b[k]. Будем полагать, что известны
все отсчеты даиых от х[Ц до x[N\, а следовательно, времен-
временной индекс иаеняется в диапазоне l<a<n<(,<N. Фактиче-
23'
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
ские значения, используемые для аир, будут зависеть от кон-
конкретного алгоритма, применяемого для оценивания и[п\, кото-
который будет обсуждаться несколько позже. Систему из р—а+1
уравнений ошибки A0.19) можно записать в следующей мат-
матричной форме:
e = Xa+Ub,
A0.20)
[х[а]
[а — р]
еЩ)
-«[а—1] ... й [а — q]
6 =
Используя описанное в разд. 3.5 решение по методу наимень-
наименьших квадратов, которое минимизирует величину
В
Рарсс= 2 \е[п]\\
систему линейных уравнений, которую необходимо решить для
определения вектора оценок АР-параметров а и вектора оце-
оценок СС-параметров Ь, можно далее, как нетрудно показать,
записать в виде
Гх«х х"СПт Грдрсс!
10-х O»oJ[bJ-LJ- A0-21>
Решив уравнение A0.21), новые оценки а и Ь можно затем ис-
использовать для фильтрации исходного временного ряда х[п] с
помощью обратного АРСС-фильтра с системной функцией
A(z)/B(z), с тем чтобы получить обновленную оценку и[п\
входной последовательности. Нормальные уравнения A0.21)
решаются итеративным способом до тех пор, пока не будет до-
достигнута сходимость. Импульсная характеристика фильтра
1/В(г) будет в общем случае иметь бесконечную протяженность
и должна быть усечена до конечного интервала, что позволит
оперировать с конечной последовательностью данных х[п].
Однако это приводит к появлению ошибки в рассматриваемой
процедуре оценивания. От величины выбранного интервала усе-
усечения и от концевых эффектов фильтра будут зависеть значе-
значения индексов аир, которые можно будет использовать. Пол-
Полный итеративный процесс начинается с определения оценки для
и[п\, основанной на использовании АР-аппроксимации высоко-
высокого порядка; для этой цели можно применить любой АР-алго-
ритм, описанный в гл. 8.
Рассмотренная итеративная процедура не гарантирует схо-
сходимости, а иногда она может расходиться. Условия, обеспечива-
обеспечивающие сходимость, в общем случае не известны. Обратный
фильтр А (г) /В (г), сформированный по оценкам АР- и СС-па-
СС-параметров, не обязательно будет минимально-фазовым фильт-
фильтром, а, следовательно, может оказаться неустойчивым. Обычно
это требует некоторой модификации исходного итеративного
алгоритма, для того чтобы получить минимально-фазовый об-
рэтный фильтр, например «зеркального» переноса полюсов и
нулей, расположенных вне единичной окружности в z-плоскос-
ти, внутрь этой окружности. Одна из модифицированных вер-
версий данного алгоритма, в которой используется одна пятишаго-
вая итерация, была реализована с помощью машинной про-
программы MAYNE, приведенной в книге Кея [15J.
10.6. Последовательный подход к оцениванию АРСС-лараметров
Выше в гл. 9 были описаны алгоритмы последовательного во
времени оценивания АР-параметров. АРСС-процесс можно
представить в форме, которая позволяет строить аналогичные
последовательно-временные алгоритмы, предназначенные для
одновременного оценивания АР- и СС-параметров. Так, напри-
например, АРСС-процесс можно рассматривать как процесс, вложен-
вложенный в некоторый двухканальный авторегрессионный процесс
A0.22)
где Двухкомпонентные векторы е[«] и у[п] и BХ2)-матрица
параметров А[А] определяются следующими выражениями:
Матрица параметров А[й] наполовину состоит из нулей, что
отражает допущение о близости статистик входной последова-
последовательности и[п] к статистикам белого шума. Методы многока-
358
Глава 10
нального авторегрессионного анализа рассматриваются ниже в
гл. 15, многоканальный вариант одноканального быстрого
РНК-алгоритма описан в работе [8]. При записи уравнения
A0.22) было использовано допущение о том, что последователь-
последовательность отсчетов входного возбуждающего шума известна (а это
не соответствует действительности) и что порядок СС-состав-
ляющей рассматриваемого процесса идентичен порядку его
АР-составляющей (т. е. p = q). Методы вложения можно моди-
модифицировать, с тем чтобы учесть неравенство порядков АР- и
СС-составляющих АРСС-процесса [16, 9]. На практике неизве-
неизвестный процесс и [я] заменяется оценкой
й[п] = ех[п] A0.24)
после каждого обновления во времени, выполняемого с прихо-
приходом нового отсчета данных, а затем эта оценка и[п] использу-
используется в качестве «известных» данных на следующем шаге обнов-
обновления, что позволяет этому последовательному алгоритму рабо-
работать, «самозагружая» себя своей собственной последователь-
последовательностью ошибок двухканального предсказания. Некоторые сооб-
соображения, касающиеся условий сходимости этого двухэтапного
метода [уравнения A0.22) и A0.24)], были высказаны Фрид-
ландером [9], однако эти вопросы все еще ждут своего деталь-
детального анализа.
10.7. Специальный АРСС-процесс
для моделирования синусоид в белом шуме
Процесс, состоящий из аддитивной смеси синусоид и белого
шума, можно смоделировать как некоторую частную разновид-
разновидность АРСС-процесса. Ниже в гл. 11, посвященной методу Про-
ни, показано, что выборочную последовательность, соответству-
соответствующую смеси из М действительных синусоид с произвольными
частотами, значения которых лежат в интервале 0^^1/2Г
(где Г —интервал отсчетов), можно сформировать с помощью
следующего симметричного линейного разностного уравнения
порядка 2М:
A0.25)
fe=O '
такого что a[0J=a[2M] = l и a[2M-k]=a[k], где ^~^...
Начальные условия jc[1J, ..., х[2М] определяют амплитуды и
начальные фазы этих М синусоид. Добавляя аддитивный белый
шум, получаем процесс вида
y[n] = x[n] + w[n]. A0.26)
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС
1
ж
Т
1 I
f. U
-СПМ шум
Рис. 10.5. Спектр специального АРСС-процесса для синусоид в белом шуме.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
5-10
5Г20
5-30
1-40
-50
1
-
1
1
1
1 1
-
\л "
1 1 \
0.0 0.2 0.4 0,6 0,8 1,0
Циклов на год
Рис. 10.6. Спектральные оценки СПМ фильтрованных чисел солнечных пятен:
а — ССC2)-оценка; б — АРССB5, 25)-оценка.
Подставляя x[n—k]=y[n—k]—w[n—k] в уравнение A0.25),
получаем
2/М=
a[k]w[n~k]. A0.27)
Это уравнение соответствует APCCBAf, 2Af)-процессу, АР- и
СС-параметры которого идентичны и имеют полюсы и нули,
расположенные на единичной окружности [21]. Такое распо-
расположение полюсов и нулей соответствует всепропускающему
(т. е. фазовому) фильтру, системная функция которого, вычис-
вычисляемая на частотах синусоид, оказывается неопределенной, по-
поскольку на этих частотах BB)/A(z) =0/0. Следовательно, в
точках uiM, соответствующих частотам этих синусоид, могут
оыть введены импульсы (дискретные спектральные линии), в ре-
результате чего получаем спектр, вид которого показан на рис.
10.5. Уравнение A0.27) будет использоваться в гл. 13 при об-
обсуждении метода гармонического разложения Писаренко.
360 Глава 10
10.8. Приложение к числам солнечных пятен
На рис. 10.6 показаны СС- и АРСС-оценки СПМ, полученные
по фильтрованной последовательности чисел солнечных пятен с
помощью машинных программ, помещенных в приложениях
10.А и 10.Б. Для получения АРСС B5, 25)-оценки использова-
использовалась «длинная» АР-модель 50-го порядка. Первым двум пикам
в этом АРСС-спектре соответствуют частоты 0,0938 и 0,2012
цикла на год (соответственно 10,67 и 4,97 года на цикл). Для
получения ССC2)-оценки использовалась «длинная» АР-мо-
АР-модель 64-го порядка. Первым двум пикам в этом спектре соот-
соответствуют частоты 0,0923 и 0,181 цикла'на год A0,84 и 5,52 го-
года на цикл).
Литература
[I] Box G. E. P., Jenkins G. M. Time Series Analysis, Forecasting and Control.
Holden-Day, Inc., San Francisco, 1970. [Имеется русский перевод:
Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и управле-
управление.—М: Мир, 1974, вып. 1, 2.]
[2] Bruzzone S. P., Kaveh M. On Some Suboptimum ARMA Spectral Estimators.
IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-28, pp 753—755,
December 1980.
[3] Bruzzone S. P., Kaveh M. Information Tradeoffs in Using the Sample Auto-
Autocorrelation Function in ARMA Parametr Estimation. IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-32, pp. 701—715, August 1984.
[4] Cadzow J. A. Autoregressive Moving Average Spectral Estimation: A Model
Equation Error Procedure. IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, vol. GE-19,
pp. 24—28, January 1981.
[5] Cadzow J. A. Spectral Estimation: An Overdetermined Rational Model
Equation Approach. Proc. IEEE, vol. 70, pp. 907—938, September 1982.
[Имеется русский перевод: Кэдзоу Дж. А. Спектральное оценивание: Ме-
Метод переопределенной системы уравнений рациональной модели. ТИИЭР,
1982, т. 70, № 9. с. 256—293.]
[6] Chow I. С. On the Estimation of the Order of a Moving Average Process.
IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-17, pp. 386—387, June 1972.
[7J Chow J. С On Estimating the Orders of an Autoregressive—Moving Average
Process with Uncertain Observations. IEEE Trans. Autom Control,
vol. AC-17, pp. 707—709, October 1972.
[8] Ciofji J. M., Kailath T. Fast, Recursive-Least-Squares Transversal Filters
for Adaptive Filtering IEEE Trans. Acoust Speech Signal Process,
vol. ASSP-32, pp. 304—337, April 1984.
[9] Friedlander B. Recursive Lattice Forms for Spectral Estimation. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol ASSP-30, pp 920—930, Decem-
December 1982.
[10] Friedlander В., Sharman К. С Performance Evaluation of the Modified
Yule —Walker Estimator. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process.,
vol. ASSP-33, pp. 719—725, June 1985.
[II] Graupe D., Krause D. J., Moore J. B. Identification of Autoregressive Mo-
Moving Average Parameters of Time Series. IEEE Trans Autom Control,
vol. AC-20, pp. 104—107, February 1975.
[12] Izraelemtz D., Lim J. S. Properties of the Overdetermined Normal Equation
Method for Spectral Estimation When Applied to Sinusoids in Noise. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-33, pp. 406—412, April
Спектра.
,елей АРСС
361
[131 Kaveh M. High Resolution Spectral Estimation for Noisy Signals. IEEE
Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-27, pp. 286—287, June 1979.
[14] Kaveh M., Bruzzone S. P. Statistical Efficiency of Correlation-Based Methods
for ARMA Spectral Estimation. IEEE Proc, Part F, vol. 130, pp. 211—217,
April 1983.
[15] Kay S M Modern Spectral Estimation. Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N. J., 1987.
[16] Lee D T. L, Friedlander В.. Morf M. Recursive Ladder Algorithm for
ARMA Modeling. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-27, pp. 753—764,
August 1982.
[17] Mehra R. K. On-Line Identification of Linear Dynamic Systems with Appli-
Application to Kalman Filtering. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-16, pp. 12—
22, February 1971.
[18] Porat В., Friedlander B. Asymptotic Analysis of the Bias of the ModifiM
Yule —Walker Estimator. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-3U,
pp. 765—767, August 1985.
[19] Sakai H., Tokumaru H. Statistical Analysis of a Spectral Estimator for
ARMA Processes. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-25, pp. 122—124,
February 1980.
[20] Steiglitz К-, McBride L. E. A Technique for the Identification of Linear
Systems. IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-10, pp. 461—464, October
1965.
V>\] Ulrych T I Clayton R W. Time Series Modeling and Maximum Entropy.
Phys. Earth Planet. Inter., vol. 12, pp. 188—200, August 1976.
Задачи
1. Доказать соотношение A0.6).
2. В чем сходство СС-оценки СПМ и оценки СПМ, получаемой с помощью
коррелограммного метода (гл. 5)?
3. Показать на контрпримере, что модифицированные уравнения Юла — Уол-
кера в общем случае не гарантируют получение последовательности мини-
минимально-фазовых АР-параметров даже в том случае, когда автокорреля-
автокорреляционная последовательность точно известна.
4. Вычислить значение ИКА [р, q] при 0<р, </<20, используя для этой цели
подпрограмму ARMA и тест-последовательность данных, приведенную в при-
приложении II, помещенном в конце книги. Когда значение ИКА минимально?
Вычертить АРСС-спектр для значений порядков р и q, соответствующих
этому минимуму.
5. Заменить в программе МА подпрограмму YULEWALKER подпрограммой
COVAR. Вычислить и вычертить СС( 15)-оценку для тест-последовательно-
тест-последовательности, приведенной в приложении II, помещенном в конце книги. Чем отли-
отличается спектральная оценка, приведенная на рис. 10.2, от графика оценки,
полученной при использовании в программе МА подпрограммы COVAR?
Почему появились эти различия?
Приложение 10.А.
Программа для оценивания параметров СС-модели
Эта подпрограмма предназначена для вычисления оценок пара-
параметров скользящего среднего (массив В) и дисперсии белого
шума (RHO) произвольного СС-процесса с помощью алгорит-
алгоритма, описанного в разд. 10.3. С помощью процедуры, приведен-
приведенной в приложении IV, помещенном в конце книги, эта програм-
программа может быть преобразована для обработки действительно-
действительнозначных данных. При обработке 64-точечной тест-последова-
362
тельности, приведенной в приложении II, помещенном в конце
книги, в случае N = 64, IQ=15 и М=30 получаются следующие
значения параметров:
RHO=0,21432;
В( 1) = (—0,251507; 0,672468); В(9) = ( 0,260140; —0,161014);
В( 2) = (—0,686121; 0,145718); ВA0)-( 0,251199; 0,167119);
В( 3) = ( 0,020615; —0,522469); В(П)=-(—0,134490; 0,212024);
В( 4)-( 0,114441; —0,191581); ВA2) = (—0,161253; 0,108043);
В( 5) = ( 0,365925; 0,098857); ВA3) = (—0,034023; —0,180158);
В( 6)-( 0,005570; 0,433081); ВA4) = ( 0,087808; —0,114639);
В( 7) = (—0,406348; 0,048549); ВA5) = ( 0,022949; 0,084114).
В( 8) = (—0,100927; —0,428140);
Подпрограмма MA (N,1Q,M,X,RHO,B,ISTAT)
С
С Предназначена для получения оценок параметров скользящего среднего
С и дисперсии возбуждающего шума для последовательности отсчетов ком-
С плексных данных с помощью «длинной> АР-модели и аппроксимации по
С методу наименьших квадратов.
С
С Входные параметры;
С
С N — число отсчетов комплексных данных.
С IQ — порядок используемой СС-модели.
СМ — порядок «длинной» АР-модели (рекомендуется использовать
С значение, равное как минимум 2»IQ).
С X —массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
С
С Выходные параметры;
С
С RHO —действительная скалярная величина, характеризующая оцен-
С ку дисперсии белого шума.
С В —массив оценок комплексных СС-параметров от ВA) до
С BAQ).
С ISTAT —целочисленный индикатор ошибки:
С 0 — при нормальном выходе из программы (ошибки отсут-
С ствуют);
С 1,если обнаружена ошибка в подпрограмме YULEWALKER;
С 2, если значение IQ вышло из допустимых пределов (оно
С должно быть больше нуля и меньше М).
С
С Примечание:
С Размеры внешних массивов должны указываться в вызывающей про-
С грамме следующим образом: X .GE. N, В ,GE IQ. Размер внутреннего
С массива указывается следующим образом: A .GE. M+1. Используемые
С внешние подпрограммы: YULEWALKER (см. приложение 8.А).
С
COMPLEX ХA),ВA),АA00)
IF (IQ .QT. 0 AND. IQ XT. M) GO TO 10
ISTAT=2
RETURN
С Аппроксимация данных АР-моделыо высокого порядка.
10 CALL YULEWALKER (N.M,1,X,RHO,A,ISTAT) 1A0.5)
IF (ISTAT .NE. 0) RETURN
DO 20 K-M,l,-1
20 A(K+I)-A(K)
Спектральное оценивание на основе моделей АРСС 363
АA)» A.,0.)
С Определение СС-параметров по оценкам автокорреляции методом Юла —
С Уолкера.
CALL YULEWALKER (M+1,IQ,1,A,P,B,ISTAT) I A0.7)
END
Приложение 10.Б.
Программа для оценивания параметров АРСС-модели
Эта подпрограмма предназначена для вычисления оценок пара-
параметров авторегрессии и скользящего среднего (соответственно
массивы А и В) и дисперсии белого шума (RHO) произвольно-
произвольного АРСС-процесса с помощью трехэтапного алгоритма, описан-
описанного в разд. 10.4. С помощью процедуры, приведенной в прило-
приложении IV, помещенном в конце книги, эта программа может
быть преобразована для обработки действительнозначных дан-
данных. При обработке 64-точечной тест-последовательности, при-
приведенной в приложении II, помещенном в конце книги, в слу-
случае N = 64, IP = IQ = 15 и М=30 получаются следующие значе-
значения параметров;
А( 1) = (
А( 2) = (
А( 3) = (
А( 4) = (
А( 5) = (
А( 6) = (
А( 7)-(
А( 8) = (
RHO=0,18861;
1,878354; —1,612764); А(9) = (
2336005 1779042) АA0) (
3,159017;
2,585279;
1,235883-
1,411187-
0,103888-
0581
() (,
АA4)-(—0,581367;
АA5) = (—1,053285;
2,336005; —1,779042); АA0) =
1,746248; —0,553477); АA1) = (
3,711644; 0,331686); АA2) = (
3,825539; 0,710195); АA3) = (
2,638773; 0,365052);
2,368238; 2,086531);
2,144489; 1,935402);
В( 1) = (—0,916489; —0,005500);
В( 2) = (—0,143437; —0,245983 ;
В( 3) = ( 0,689553; 0,668978);
В( 4) = (—0,478825; —0,385360);
В( 5)-( 0,265910;—0,418730);
В( 6)= (—0,396341; 0,562510);
В( 7) = ( 0,140056; -0,119093);
В( 8)-( 0,452928; —0,159134);
Подпрограмма ARMA (N,IP,IQ,M,X,RHO,A,B,ISTAT)
1,981841);
2,064622);
3,146405);
2,564941);
2,140406);
1,333906);
1,504694);
В( 9
ВA0
-(—0,461919; 0,010084);
= ( 0,094423; —0,021009);
( 0,131542; 0,280898);
ВA2)-(—0,052980; —0,183776);
В A3) = (—0,009754; -0,058460);
ВA4) = (—0,121936; 0,132263);
ВA5) = ( 0,103597; -0,061122).
С Предназначена для получения оценок авторегрессионных параметров, па-
г s^r?0B ск°льзящего среднего и дисперсии возбуждающего белого шума
Р Аг^СAР,1О.)-ч0дели для последовательности отсчетов комплексных дан-
с ных. Параметры оцениваются в три этапа: сначала по исходным данным
^ с помощью модифицированного метода наименьших квадратов Юла —
^ »олкера оцениваются АР-параметры, затем посредством фильтрации ис-
С
с
с
с
ходных данных с помощью фильтра, сформированного на' основе оценок
«•"¦параметров, получается временной ряд, соответствующий последова-
последовательности остаточных ошибок этого фильтра, и далее по этой последова-
последовательности оцениваются СС-параметры.
С Входные параметры:
— число отсчетов комплексных данных.
364
Глава 10
IP —требуемое число АР-параметров.
IQ —требуемое число СС-параметров.
М -—максимальный корреляционный сдвиг, используемый для ;
токорреляционных оценок.
X -—массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
RHO
А
—действительная скалярная величина, характеризующая оцен-
оценку дисперсии белого шума.
— массив оценок комплексных АР-параметров от АA) до
АAР)
()
— массив оценок комплексных СС-параметров от В( 1) до
B(IQ)
В
(Q)
ISTAT — целочисленный указатель состояния:
0 — при нормальном выходе из программы (ошибки отсут-
отсутствуют) ;
1—4, если обнаружена ошибка в подпрограмме COVAR;
5, если обнаружена ошибка в подпрограмме МА;
6, если 1Р<1.
Примечание:
Размеры внешних массивов должны указываться в вызывающей про-
программе следующим образом: X .GE. N,A .GE. IP,В .GE. IQ. Размеры
внутренних массивов должны указываться следующим образом:
R .GE. M,Y .GE. макс, из N-IP.M+IP-IQ. Используемые внешние под-
подпрограммы: CORRELATION (см. приложение 5.Б), COVAR (см. при-
приложение 8.В), МА (см. приложение Ю.Б).
COMPLEX X A) ,А A) ,В A) ,R0,R A00) ,Y C00) .SUM
IF (IP .GT. 0) GO TO 5
ISTAT=6
RETURN
CALL CORRELATION (N,M,0,X,X,R0,R)
Оценивание АР-параметров (без взвешивания ошибок).
Число ошибок в уравнении равно М —IQ
MPQ = M-IQ+IP
DO 10 K=1,MPQ
KPQ-K+IQ-IP
IF (KPQ .LT. 0) Y(K)=CONJG(R(-KPQ))
IF (KPQ .EQ. 0) Y<K)=R0
IF (KPQ .GT. 0) Y(K)-R(KPQ)
CALL COVAR (MPQ,IP,Y,PF,A,PB,R,ISTAT) ! A0 12)
IF (ISTAT .NE. 0) RETURN
Фильтрация исходного временного ряда
DO 30 K=IP+1,N
SUM=X(K)
DO 20 J-l.IP
SUM=SUM+A(J).X(K-J) 1 A0.17)
Y(K-1P)=SUM
Оценивание СС-параметров (рекомендуется использовать «длинную»
АР-модель. порядок которой равен как минимум 2*10)
CALL MA (N-IP,IQ,2»IQ,Y,RHO,B,ISTAT) ! разд 103
IF (ISTAT .NE 0) ISTAT=5
RETURN
END
Глава 11
МЕТОД ПРОНИ
11.1. Введение
Метод Прони — это метод моделирования выборочных данных
в виде линейной комбинации экспоненциальных функций (экс-
(экспонент). И хотя метод Прони не относится к числу методов
спектрального оценивания, он, тем не менее, тесно связан с ал-
алгоритмами линейного предсказания по методу наименьших
квадратов, используемыми для оценивания АР- и АРСС-пара-
метров, что позволяет углубить понимание методов спектраль-
спектрального оценивания, основанных на применении АР- и АРСС-мо-
делей. С помощью метода Прони осуществляется аппроксима-
аппроксимация данных с использованием некоторой детерминированной
экспоненциальной модели, в противоположность АР- и АРСС-
методам, с помощью которых стремятся приспособить вероят-
вероятностные модели для представления статистик второго порядка
для имеющихся данных. Спектральную интерпретацию метода
Прони можно получить, вычисляя спектральную плотность
энергии (СПЭ) в случае детерминированной экспоненциальной
модели.
В 1795 г. Гаспар Рише (барон де Прони) [19] пришел к
выводу, что законы, определяющие расширение различных га-
газов, могут быть представлены с помощью сумм затухающих
экспонент. Для интерполяции данных проводимых им измере-
измерений Прони предложил метод, основанный на подгонке экспо-
экспоненциальной модели к измеренным эквидистантным значениям
и последующем вычислении дополнительных значений посредст-
посредством оценивания параметров этой экспоненциальной модели в
промежуточных точках. Современная версия экспоненциально-
экспоненциального моделирования по методу наименьших квадратов во многом
базируется на исходной процедуре Прони. В оригинальной
статье Прони описан метод точной подгонки, основанный на ис-
использовании такого большого числа полностью затухающих экс-
экспонент, сколько их необходимо для аппроксимации N имеющих-
имеющихся точек данных. Современный вариант метода Прони обобщен
и на модели, состоящие из затухающих синусоид. В нем также
используется анализ по методу наименьших квадратов для
приближенной подгонки экспоненциальной модели в тех случа-
случаях, когда число точек данных превышает их число, необходи-
Глава 11
н с помощью предполагаемого числа экспонен-
.. . о. Одна из модификаций современного метода
зволяет использовать чисто синусоидальную модель с
. . ...ощими компонентами. В данной главе представлены
нгинальный и модифицированный методы наименьших квад-
, jtob Прони.
Здесь приведены три основных этапа метода Прони. На пер-
первом этапе определяются параметры линейного предсказания,
с помощью которых осуществляется подгонка имеющихся дан-
данных. На втором этапе из коэффициентов линейного предсказа-
предсказания формируется полином и определяются его корни, которые
будут давать оценки коэффициентов затухания и частот сину-
синусоид для каждого экспоненциального члена. На третьем этапе
ищется решение второй системы линейных уравнений, которое
дает оценки амплитуд экспонент и начальных фаз синусоид.
Соотношение между параметрами линейного предсказания и
авторегрессии, исследованное в гл. 7, позволяет интерпретиро-
интерпретировать первый и второй этапы как процедуру отыскания полюсов
некоторого АР-процесса. Таким образом, любой метод спект-
спектрального анализа с использованием АР- или АРСС-модели, ко-
который предусматривает определение положений полюсов, мож-
можно в некотором широком смысле рассматривать как процедуру
Прони.
11.2. Краткая сводка результатов
Предположим, что имеется N комплексных отсчетов данных
х[\ ],..., x\N]. Тогда метод Прони позволяет оценить х[п] с
помощью некоторой р-членной модели комплексных экспонент:
*М= 21 Лехр [(<«» +/2я/*) (л—
A1.1)
где l^n^iV, T — интервал отсчетов в секундах, Ак и си— ам-
амплитуда и коэффициент затухания (в с) &-й комплексной экс-
экспоненты, /j, и 9t — частота (в Гц) и начальная фаза (в рад)
?-й синусоиды. Значения всех этих параметров полностью про-
произвольны. В случае отсчетов действительных данных комплекс-
комплексные экспоненты должны появляться комплексно-сопряженными
парами равной амплитуды, что сводит экспоненциальное пред-
представление к
Д
], A1.2)
где 1<п<№. Если число р комплексных экспонент четно, то
*Летод Прони
367
| СОР ДАННЫХ
N отсчетов
Т с/отсчет
• В1БОР ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Выбрать METHOD= 1 для затухающих экспонент;
Выбрать МЕТНОР = 2длн незатухающих экспонен
[Примечание. Значение IP должно быть четным,
если выбран METHOD = 2)
• О.ЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОМПЛЕКСНЫХ
ЗСПОНЕНТ
Подпрограмма PRONY , приложение 11.В
• В1ЧИСЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЗСПОНЕНТ
(Амплитуда, фаза, коэффициент затухания, часто!
Подпрограмма EXPARAMS , приложение 11.Г
• Е1ЧИСЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
СНЕРГИИ ПРОНИ [по выбору)
Подпрограмма ESD , приложение 11.Д
Рис. 11.1. Краткая запсь метода экспоненциального оценивания Прони и вы-
вычисления СПЭ по методу Прони,
будем иметь р/2 атухающих косинусоид. Если р нечетно, то
будем иметь (р—1/2 затухающих косинусоид и одну полностью
затухающую экспяенту. Периодограмму следует интерпрети-
интерпретировать (см, разд «Задачи») как представление временного
ряда с помощью прмонической синусоидальной модели. Разли-
Различие между периорграммной моделью и подходом Прони со-
состоит в способе, i помощью которого выбираются частоты.
В случае периодораммы заранее выбирается гармоническая
последовательносъ частот. В методе Прони частоты оценива-
оцениваются на основе имеющихся данных.
На рис. 11.1 гаиведена краткая запись этапов программы,
предназначенной ,ля получения оценок по методу Прони ам-
амплитуды, коэффицента затухания, частоты и начальной фазы.
Возможны два ваианта этой программы. Если требуется мо-
модель общего вида состоящая из затухающих синусоид, то пара-
параметр METHOD утанавливается в значение 1. Если необходи-
необходимо использовать юдель из незатухающих синусоид, то значе-
значение этого парамера устанавливается равным 2. Выход про-
Рис. 11.2. Примеры двух спектральных оценок Прони, полученных по 64-точеч-
64-точечной тест-последовательности данных: а — обобщенный метод Прони, р=15;
б—модифицированный метод Прони, р=16.
граммы PRONY содержит оценки значений двух массивов
комплексных экспоненциальных параметров, соответствующихр
комплексным экспонентам (см. разд. 11.3). При необходимости
эти параметры можно затем использовать в качестве входных
параметров для подпрограммы EXPARAMS, с помощью кото-
которой определяются значения четырех экспоненциальных пара-
параметров, или для подпрограммы ESD, которая дает «спектраль-
«спектральную» оценку Прони.
На рис. 11.2 показаны оценки по методу Прони спектраль-
спектральной плотности энергии (СПЭ), полученные для 64-точечной
тест-последовательности данных с помощью двух методов,
представленных на рис. 11.1. Значения оценок экспоненциаль-
экспоненциальных параметров приведены в приложении 11.Г. Модифициро-
Модифицированный метод Прони дает линейчатый спектр, поскольку в нем
используется допущение о синусоидальной модели. Это приво-
приводит к получению очень точных оценок четырех действительных
синусоид анализируемого процесса, но к неточному представ-
представлению окрашенного шума, присутствующего в этом процессе.
Метод Прони 369
11.3. Одновременное оценивание
экспоненциальных параметров
Функцию дискретного времени A1.1), состоящую из р экспо-
экспонент, можно сжато представить в форме
х[л] = 2 Mr1, (Ч-З)
где комплексные койстанты hk и Zk определяются выражениями
Л* = Л„ехр(/е„), A1.4)
zt = exp[K + ;2n/ft)T]. A1.5)
Заметим, что hi,— это комплексная амплитуда, представляю-
представляющая собой независящий от времени параметр, а г4 — это комп-
комплексная экспонента, которая описывает параметр, зависящий
от времени. В идеальном случае при наличии N отсчетов дан-
данных сумму квадратов ошибок
N
р=2
A1.6)
е М=х ["]—* W=х М — 2
A1.7)
необходимо одновременно минимизировать по параметрам hu,
параметрам zs и числу экспонент р. К сожалению, это оказы-
оказывается трудной нелинейной задачей даже в том случае, когда
значение р известно. Трудность подобной задачи можно про-
продемонстрировать на примере модели, содержащей только одну
экспоненту. Для минимизации квадрата ошибки р при исполь-
использовании модели с затухающей экспонентой
х[п]=А txp (а[п—1]Т)
необходимо приравнять нулю производные от р по А и а:
g-~c.-c.A-0.
A1.8)
24—1366
-370
где
c,= 2 x[n]txp{a[n— 1
сг = 2ехрBа[п-1]Г),
A1.9)
Л
c, = 2 (л —l)expBa[n —1]7").
Для простоты положим, что х[п], Ana имеют действительные
значения. Из первого уравнения в A1.8) получаем A = cjc2;
подставляя это значение во второе уравнение в A1.8), полу-
получаем
сЛ = сЛ. A1.10)
Зто в высшей степени нелинейное уравнение относительно вхо-
входящих в него сумм, содержащих множительехр(сс[гс—1J71),не-
множительехр(сс[гс—1J71),необходимо решить относительно а. Аналитические методы реше-
решения этого уравнения отсутствуют.
Для одновременной минимизации величины A1.6) по всем
экспоненциальным параметрам можно использовать итератив-
итеративные алгоритмы, такие как процедуры градиентного спуска и
метод Ньютона [3, 16, 17J. Эти алгоритмы требуют очень боль-
больших вычислительных затрат и к тому же на каждом шаге тре-
требуют обращения матриц, размерность которых может быть рав-
равной числу имеющихся отсчетов данных. Алгоритмы градиентно-
градиентного спуска для мультимодальных уравнений могут к тому же не
сходиться к глобальному минимуму. Отмеченные вычислитель-
вычислительные трудности привели к разработке субоптимальных процедур
минимизации р, получивших название метода наименьших
квадратов Прони, в котором используются решения линейных
уравнений. Метод Прони сводит нелинейные аспекты экспонен-
экспоненциальной модели к процедуре факторизации полиномов, для
которой разработаны быстрые вычислительные алгоритмы.
11.4. Исходный подход Прони
Если число используемых отсчетов данных равно числу экспо-
экспоненциальных параметров, то возможна точная подгонка экспо-
экспонент под имеющиеся данные. Рассмотрим функцию дискретно-
дискретного времени, представляющую собой сумму р экспонент:
х[л]= 2
A1.11)
Метод Прони
Заметим, что в этом выражении используется х[п], а не х[п\,
поскольку точно 2р комплексных отсчетов *[1J, ..., х[2р] ис-
используется для точной подгонки к экспоненциальной модели с
2р комплексными параметрами Л], ..., hp, zi, ..., zp. Входя-
Входящие в A1.11) р уравнений, где 1<п<р, можно записать в
матрично"й форме:
(г?
[]
х[2]
UMJ
Матрица с временными индексами элементов z имеет структу-
структуру матрицы Вандермонда. Если может быть найден метод для
раздельного определения элементов z, то уравнение A1.12)
можно рассматривать как систему уравнений, решив которую,
определяют неизвестный вектор комплексных амплитуд. Вклад
самого Прони как раз и состоял в отыскании такого метода.
Ключ к разделению основан на том факте, что уравнение
A1.12) является решением некоторого однородного линейного
разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Для
того чтобы определить вид этого разностного уравнения, опре-
определим сначала полином 0(г), корнями которого являются экс-
экспоненты Zft'.
Ф(г) = П(г—гк). A1.13)
Если произведения в A1.13) выразить в виде степенной после-
последовательности, то полином можно представить в следующем
виде:
) = 2 а[т]г'-т
A1.14)
с комплексными коэффициентами й[т[, для которых a[OJ = l.
Осуществляя в уравнении A1.11) сдвиг индекса от и к п—т и
умножая обе его части на параметр a[mj, получаем
а[т]х[п — т]=а[т] 2
A1.15)
Записывая аналогичные произведения а[0];с[я], ..., а[т—1]Х
Хх[п—m+lj и осуществляя суммирование, получаем
2 а[т]'х[п—т]= У,h, 2 a[mlzf-
A1.16)
-372 Глава 11
которое справедливо при р-\-\^п^.2р. Осуществляя подстанов-
подстановку z,"-m-1 = zi"-PZiP-m-1, получаем
2 а[т]х[п — т] = 2 А/2?-" 2 а[т]г?-»-1 = 0. A1.17)
т=0 ( = 0 т=0
Сумму в правой части A1.17) можно рассматривать как поли-
полином, определяемый уравнением A1.14), который записан через
свои корни, что и обеспечивает в A1.17) равенство нулю.
Уравнение A1.17)—это линейное разностное уравнение, одно-
однородное решение которого выражается формулой A1.11). Поли-
Полином A1.14), ассоциированный с этим линейным разностным
уравнением, называется характеристическим.
р уравнений, представляющих истинные .значения коэффи-
коэффициентов а[п], удовлетворяющих A1.17), можно записать в ви-
виде следующего рХр матричного уравнения:
х[р] х[р — \
Метод Прони
373
х[р+\] х[р]-
U[2p—I] х[2р —2]
х[2]
42]
х[р+\}]
х[р + 2]
A1.18)
к\р\) [a[p]j I x[2p] )
Из уравнения A1.18) следует, что, имея 2р отсчетов комплекс-
комплексных данных, возможно разделение множеств параметров hh и
zi,. Комплексные полиномиальные коэффициенты а[1], ..., а[р],
которые являются функциями только зависящих от времени
компонентов zf, экспоненциальной модели, позволяют по вре-
временным отсчетам сформировать соотношения для линейного
предсказания. Матрица в уравнении A1.18) имеет тёплицеву
структуру, поэтому решение может быть получено с помощью
подпрограммы TOEPLITZ, приведенной в гл. 3.
Процедуру Прони для подгонки р экспонент к 2р отсчетам
данных можно теперь представить в виде следующих трех эта-
этапов. На первом этапе получается решение уравнения A1.18)
для коэффициентов полинома. На втором этапе вычисляются
корни полинома, определяемого уравнением A1.14). Для этой
цели используется программа факторизации полинома CPOLY,
приведенная в приложении 11.Б. Используя корень г,-, можно
определить коэффициент затухания ai и частоту синусоиды ft с
помощью соотношений
а.; = In | г,-|/ Т с, A1.19)
/,. = arctg [Im {z,-}/Re {г,}]/2лГ Гц. A1.20)
Для завершения процедуры Прони корни полинома, вычислен-
вычисленные на втором этапе, используются далее для формирования
элемента матрицы уравнения A1.12), которое затем решается
относитльно р комплексных параметров А[1], •. •, А[р]. Каж-
Каждый пааметр hi используется далее для определения амплиту-
амплитуды Ai ] начальной фазы в,, которые вычисляются с помощью
выражаий
А, = \Ь,\, A1-21)
A1.22)
В,- = arc tg [Im {A,)/Re {А,-}] рад.
Вычислния, требуемые выражениями A1.19) — A1.22), выпол-
выполняются с помощью подпрограммы EXPARAMS, приведенной
ниже втриложенни 11.Г.
11.5. Млод наименьших квадратов Прони
На пра;тике число отсчетов данных N, как правило, превыша-
превышает то мшимальное их количество, которое необходимо для под-
подгонки юдели из р экспонент, т. е. N>2p. В этом переопределен-
переопределенном елчае последовательность отсчетов данных может быть
аппрокимирована лишь как экспоненциальная последователь-
последовательность
*M=2 А^Г1, D.23)
где lssnsgyV. Заметим, что ошибка аппроксимации в данном
случаешределяется выражением e[n]=x[n]—х[п]. В разд. 11.3
было гаказано, что одновременное нахождение порядка р и па-
раметр'В {Aft, zh}, где l^ftsgp, которые минимизируют сумму
квадраов ошибки
N
P=2l»[«]la A1.24)
предствляет собой трудную нелинейную задачу. Используя ва-
вариант штода Прони, описанный в разд. 11.4, можно определить
субоптмальное решение, которое обеспечивает удовлетвори-
удовлетворительны результаты. Используя на первом и втором этапе трех-
этапноо метода Прони соответствующие линейные процедуры
наимеьших квадратов, получим процедуру экспоненциального
моделиования, которую иногда называют обобщенным мето-
методом Прни [6, 16]. При таком субоптимальном подходе задача
нелинейной экспоненциальной подгонки сводится по сути дела
к задае полиномиальной факторизации.
374 Глава II
В переопределенном случае (т. е. при наличии избыточных
данных) линейное разностное уравнение A1.17) может быть
модифицирование к виду
2 о[ш]х[л—т]
A1.25)
где р+кк*. Член е[п\ характеризует ошибку аппрокси-
аппроксимации на основе линейного предсказания в отличие от ошибки
е[л], которая характеризует ошибку экспоненциальной аппрок-
аппроксимации. Уравнение A1.25) идентично уравнению для ошибки
линейного предсказания вперед, если каждый член а[т] рас-
рассматривать как параметр линейного предсказания. Вместо
уравнения A1.17) параметры а[т] можно теперь выбирать как
параметры, которые минимизируют сумму квадратов ошибок
линейного предсказания 2wn_P+i|e[i] |2, а не сумму квадратов
ошибок экспоненциальной аппроксимации р, определяемую вы-
выражением A1.24). Иными словами, это просто ковариационный
метод линейного предсказания. Для решения ковариационных
нормальных уравнений линейного предсказания можно вос-
воспользоваться программой COVAR, приведенной в приложении
8.В. Число экспонент р (называемое также числом полюсов
применительно к АР-методам) можно оценить, используя те же
правила выбора порядка, которые были описаны в гл. 8. Мож-
Можно также воспользоваться и анализом на основе разложения
по сингулярным числам (РСЧ), описанным ниже в разд. 11.9.
В любом случае максимальное значение порядка ограничено
величиной ps^.N/2. Корни полинома, сформированного из коэф-
коэффициентов линейного предсказания, будут давать при исполь-
использовании уравнений A1.19) и A1.20) оценки коэффициентов за-
затухания и частоты каждой экспоненты.
Если значения параметров zh ..., zp были определены с по-
помощью линейного предсказания по методу наименьших квад-
квадратов и факторизацией полинома, то экспоненциальная аппрок-
аппроксимация х[я], описываемая уравнением A1.23), становится ли-
линейной относительно оставшихся неизвестных параметров
Ль ..., лр. Минимизируя сумму квадратов ошибок по каждому
параметру hh, получаем следующее комплексное нормальное
уравнение с матрицей размером рХр (подробности его вывода
см. в разд. 3.4):
(Z"Z)h
A1.26)
где (Nxp)-матрица Z, (рх1)-вектор h и (A'Xl)-BeKTop отсче-
Метод Прони
тов данных х определяются выражениями
... г. h
Эрмитова (рХр)-матрица ZHZ имеет форму
Уп ... Т.,]
ZHZ= .'
УPi ¦¦¦ УРР)
w-i
]
х[2]
375
A1.27)
A1.28)
A1.29)
Приведем также одно полезное соотношение, которое позволя-
позволяет устранить суммирование в выражении A1.29); оно имеет сле-
следующий вид:
(г/г»)—1
A1.30)
Для решения уравнения A1.26) относительно неизвестных па-
параметров h\k\ можно далее использовать подпрограмму
CHOLESKY, приведенную в гл. 3.
Метод Прони будет также подгонять экспоненты к любому
аддитивному шуму, присутствующему в данных, поскольку экс-
экспоненциальная модель не позволяет получать раздельную оцен-
оценку этого шумового процесса. Экспоненциальная модель, учиты-
учитывающая присутствие аддитивного шума, будет иметь форму
4»]=2Vr4e[4 A1 -31
Функция e [л] использовалась также для представления ошиб-
ошибки аппроксимации этой экспоненциальной модели. Если в ана
лизе, выполненном в разд. 11.4, вместо х[п] использовать
х[п]—е[л], то линейное разностное уравнение, которое описы
376
Глава 11
вает процесс, состоящий из суммы экспонент и аддитивного бе-
белого шума, будет иметь вид
р р
] = — 2 а[т]х[п—т]+ 2 а[т]е[п —
k1 кй
A1.32)
Это — АРСС(р.р)-модель с одинаковыми АР- и СС-коэффици-
ентами и возбуждающим шумовым процессом е[я]. На первом
этане метода Прони используются уравнение линейного предска-
предсказания
х[п] = — 2 а[
е[л]
A1.33)
и попытка «отбеливания» е[п]. Сравнивая уравнение A1.33)
с уравнением A1.32), видим, что отбеленный процесс е[п] со-
совершенно не соответствует небелому СС-процессу, представляе-
представляемому выражением ?i>ft=oa[mje[n—т]. Именно по этой причине
метод Прони часто не обеспечивает удовлетворительных ре-
результатов при значительном уровне аддитивного шума, по-
поскольку не позволяет учесть наличие небелого шума в анали-
анализируемом процессе. Когда метод Прони используется при нали-
наличии сильного аддитивного шума, получаются очень неточные
оценки коэффициентов затухания, значения которых часто на-
намного превышают их истинные значения [16, 23, 24, 18J. Ис-
Использование значений р, превышающих число действительно
имеющихся полюсов, упрощает моделирование и позволяет
учесть наличие шума; см. разд. 11.9.
11,6. Модифицированный метод
наименьших квадратов Прони
Обычный метод наименьших квадратов Прони может быть мо-
модифицирован для аппроксимации последовательности комп-
комплексных данных с помощью модели, состоящей из незатухаю-
незатухающих (а = 0) комплексных синусоид [8, 12J. Ниже мы рассмот-
рассмотрим лишь случай четного числа комплексных экспонент. Мо-
Модель, содержащая 1р компонент и аналогичная уравнению
A1.1), будет иметь форму
*М
Ъ
t exp (J2nfk [n-1] Т + 1в„) = ^ КгГ\ A1.34)
где l<rc</V, /is = ,4t exp(/9*) и zk = exp(j2nfkT). Заметим, что
zk имеют единичный модуль, т. е. \zk\ = 1. Если ftj и гЛ появля-
появляются комплексно-сопряженными парами и /Л=^0 или {кф\12Т,
то последовательность из отсчетов действительных данных мо-
Метод Прони
377
жет быть аппроксимирована с помощью модели, состоящей из
четного или нечетного числа р действительных незатухающих
синусоид:
iM=.2;2AtcosBii/jn-i]г+ее)=,2 Ф^+ник)-1),
A1.35)
где l^«s^/V. Полином, сформированный с помощью корней
либо уравнения A1.34), либо уравнения A1.35), равных zh,
имеет форму
2р 1р
где а[0] = 1 (по определению), а остальные параметры а[к]
будут в общем случае комплексными, за исключением рассмот-
рассмотренного выше случая действительных синусоид, которому соот-
соответствует рассмотренное выше уравнение A1.35). В этом част-
частном случае все параметры a[k] будут действительными. Не-
Нетрудно показать, что коэффициент а[2р] определяется выра-
выражением
а[2р] = Пг4, A1.37)
которое следует из определения Ф(г). Благодаря единичному
модулю имеем zk~l = zu:, поэтому нетрудно показать, что
|о[2р]| = 1 и что полином
а[2р]г!?Ф*(г) A1.38)
имеет те же корни, что и полином 0{z). Поскольку полином
)=2«[2рК[2р-*
ft=0
A1.39)
должен иметь такие же корни, приходим к выводу, что эти ко-
коэффициенты также должны обладать свойством комплексной
сопряженности, т. е. a[k\ =a[2pja*[2p—k], где 0s?ft^2p. Та-
Таким образом, однородное линейное разностное уравнение, для
которого A1.35) рассматривается в качестве его решения, име-
имеет вид
A1.40)
для 2p + Kn=?.V. Более удобную форму уравнения A1.40)
можно получить, поделив его члены на значение центрального
элемента а[р\, в результате чего получаем сопряженно симмет-
378
ричное разностное уравнение
g'p[k]x[n — p — k]) = O, A1.41)
где gp[k\=a[p—k\/a[p]. Сопряженная симметрия обусловлена
свойством а[р\ =а[2р]а*[р]. Аналогичное симметричное раз-
разностное уравнение для случая действительных синусоид было
получено Хильдебрандом [4].
В модифицированном методе Прони на первом этапе ошиб-
ошибка линейного предсказания, определяемая уравнением A1.33),
заменяется сопряженно симметричной ошибкой линейного сгла-
сглаживания, использующей как предшествующие, так и последу-
последующие значения отсчетов данных:
р
epM = *M + 2 (8P[k]x[n + k] + g'p[k]x[n — k]), A1.42)
определенной на-интервале p+lsgrasgJV—p (используются
только имеющиеся данные), и минимизируется сумма квадра-
квадратов ошибок сглаживания
Рр= 2" К Ml2,
лр+1
A1.43)
а не сумма квадратов ошибок линейного предсказания, опре-
определяемая выражением A1.24). Приравнивая нулю комплекс-
комплексные производные от р*р по gv[\] gp\p], получаем нор-
нормальные уравнения, которые можно кратко записать в виде
матричных соотношений:
A1-44)
где центросимметричная матрица R2p и сопряженно симмет-
симметричный вектор-столбец g2p определяются выражениями
SP[P]
г2р[О,2р] ]
[r!p[2P,0] ... r!p[2P,2p]f
g'Ap]
. A1.45)
Метод Прони
Элементы матрицы R2p определяются выражением
A1.46)
Внимательный читатель, конечно, заметит, что матрица R2p в
A1.45) идентична матрице в приведенном в гл. 8 выражении
(8.48), соответствующем модифицированному ковариационно-
ковариационному методу. Там же в гл. 8 был описан быстрый алго-
алгоритм для решения модифицированных ковариационных
нормальных уравнений. Можно разработать быстрый ал-
алгоритм и для решения нормальных уравнений A1.44), для
чего можно воспользоваться простым обобщением моди-
модифицированного ковариационного алгоритма (см. приложение
11.А). Результирующий быстрый алгоритм требует для
решения этого уравнения Ыр-\-\Ър2 вычислений. Кроме того,
при этом получаются решения наименьших квадратов для всех
меньших порядков этого уравнения без каких-либо дополни-
дополнительных вычислительных затрат. В том случае, когда число си-
синусоид не известно, это свойство алгоритма обеспечивает сред-
средство для проверки всех моделей, содержащих от одной до р си-
синусоид. В приложении 11.А приведена машинная программа
>YMCOVAR для решения уравнения A1.44), в которой исполь-
использован этот быстрый алгоритм.
Хотя комплексные корни с модулем, равным единице, обес-
обеспечивают получение полинома с сопряженно симметричными
хоэффициектами, обратное утверждение не всегда справедливо.
Сопряженно симметричный полином лишь гарантирует, что ес-
если г, — один из корней, то обратная ему величина zrx также
будет корнем. Этот корень не обязательно имеет единичный мо-
модуль, поскольку это требование необходимо лишь тогда, когда
должна генерироваться незатухающая синусоида. На практике
полином порядка 2р, сформированный из вектора g2p парамет-
параметров линейного сглаживания
O, [A1.47)
редко обладает обратными корнями с модулем, отличным от
единицы. Когда такие корни встречаются, то они часто соот-
соответствуют частотам 0 и 1/27" герц. Модифицированный метод
Прони завершается тем же самым способом, который использу-
используется в немодифицированном методе Прони для определения ам-
амплитуд и начальных фаз синусоид.
380 Глава 11
11.7. Спектр Прони
Процедура Прони обычно завершается вычислением оценок па-
параметров, определяющих амплитуду, коэффициент затухания,
частоту и фазу. Однако обработку можно продолжить еще на
один этап и вычислить «спектр» Прони [13]. Множество воз-
возможных спектров может быть определено в зависимости от
принятых допущений относительно вида колебаний вне интер-
интервала наблюдения. Спектр Прони определяется в терминах экс-
экспоненциальной аппроксимации х[п\, а пе в терминах исходной
временной последовательности х[п].
Одно из допущений состоит в том, что сумма экспонент дис-
дискретного времени в уравнении A1.3) определяется на интер-
интервале —оо<л<оо как односторонняя функция следующего
вида:
0,
п<0,
A1.48)
см. рис. 11,3, а. Если сигнал х[п] действителен, то экспонен-
экспоненты будут появляться комплексно-сопряженными парами
ехр(±/[2л/?/,-|-вк])> что обеспечит формирование одного косину-
соидального члена cosBn/ft-|-9u) z-преобразования от A1.48)
A1.49)
которое сходится при |2j,|<|z|. Здесь также полагается, что
|z»|<l, т. е., иными словами, — все параметры затухания от-
отрицательны, что дает затухающие экспоненты. Если это так, то
подстановка вида 2 = ехр(/2л/7) в выражение A1.49) будет
давать дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ)
детерминированной последовательности Х\ [п] с конечной энер-
энергией. Поэтому спектральная плотность энергии (СПЭ) Прони
для рассматриваемой односторонней экспоненциальной модели
будет определяться выражением
которое определено на интервале частот —l/2T^.f^;l/2T. Этот
спектр удобен для описания кратковременных сигналов. Типич-
Типичная форма этого спектра показана на рис. 11.3, б.
1,2
1.0 -
0,8
1 0,6
г о,4
S 0,2
3 0,0
^-0,2
g -0,4 -
5 -0,6 -
* -0,8 -
-10-
-1.2L
-20 -16 -12 -8 -
1 1 1 1
-
11111
Ml
1111'
1 1 1
:
11,
li
Метод Прони
381
0
-10
-20
-30
-ДО
-50
-60
—1—1—1—1~
Д
-
i i i i
п—1—1—1—I—
1
-
-
II
_1@-0,8-0,6-0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-
1.2
1,0
0,8
: 0,6
Е 0,4
о 0,2
§ 0,0
t-0,2
1-0,4
1-0,6
<-0,8
-1,0
1 1 1 1
,1
, I 1
111! 1 III
м
1
-
" 1 1 1 1
. 1 1 1
-
1 -
1
1 1 1
-
,V,vT
:
i i i i
-20 -I6 -I2 -8 -:
Чиспо отсче-
4 8 12 16 20
-1,0-0,8-0,6 0,4-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0'
Доли частоты отсчетов
Рис. 11.3. Экспоненциальные модели и связанные с ними спектральные плотно-
плотности энергии (СПЭ): а — односторонняя модель; 6 — СПЭ односторонней мо-
модели; в — двусторонняя модель; г — СПЭ двусторонней модели.
Альтернативной интерпретацией экспоненциальной модели
является двусторонняя функция вида
[2***2. ">°;
?,[п]=Г-1 A151>
2м*г)-". «<°.
где гй = ехр(а»Г+/2л/(,Г) и (гц*)-' = ехр(—ai,T-\-j2afi,T). Это
определение обеспечивает симметрию затухающей части экспо-
экспоненты относительно начала координат, как показано на рис.
11.3,8. Функция A1.51) имеет следующее г-преобразование:
A1.52)
-J82
Глава 11
и сходятся для |Z4|< |z|< |г»-'|. Если акже полагается, что
|z*|<l, а для выражения A1.52) испо.ьзуется подстановка
вида z = exp(/2jifr), то ДВПФ этой двустоюнней функции будет
иметь вид
Г (ехр [а>Г|-ехр [- акТ]) ер (/2л Ua-П П
ехр(/ч [/»-/] Г)
A1.53)
а результирующая СПЭ Прони — вид
S2 (/) = !*,(/) I*. A1.54)
В общем случае спектр S2{f) имеет боле острые пики, чем
•спектр Si (ft; см. рис. 11.3, г. Автор отдае'предпочтение именно
этому второму определению, поскольку неатухающая синусои-
синусоида (а —0) определяется в нем на бесконяном временном ин-
интервале. СПЭ Прони S2(ft имеет в это» случае бесконечное
значение на частоте синусоиды и ведет сей подобно дискретной
импульсной функции.
Любое из двух приведенных определеий спектра Прони
пригодно для отображения спектров какузкополосных, так и
широкополосных сигналов. Ширина пико? спектра зависит от
величины коэффициента затухания, что иллюстрирует рис. 11.3.
Колоколообразные отклики имеют пиковге значения СПЭ ве-
величиной BАк/аиJ и полосы (по уровню 5 дБ) величиной а/я
герц, поэтому разрешение меняется как функция затухания.
Когда а велико, получается спектр с ширжими пиками, когда
же мало, получаются спектры с узкими пиими.
Еще один возможный спектр Прони учтывает всю инфор-
информацию, содержащуюся в полной последовтельности отсчетов
данных. Если вычисляются остаточные опибки экспоненциаль-
экспоненциальной аппроксимации
е [л] = х [п] — 2 V* A1.55)
то к ним применим стандартный периаограммный анализ,
и спектр получаемой при этом периодограшы может комбини-
комбинироваться с любым из двух рассмотренныхспектров Прони.
11.8. Учет известных экспоненциальных комюнент
Имеются приложения, в которых некотоые экспоненциаль-
экспоненциальные моды (либо полюсы, либо затухани и частоты компо-
компонент) могут быть известны заранее в резугьтате предваритель-
Метод Прони
38S
но проведенных измерений или же потому, что известны физи-
физические или электрические свойства источника, генерирующего
анализируемый сигнал. Однако соответствующие амплитудные
и фазовые компоненты этих экспоненциальных мод могут быть
не известны. В этом случае первый этап метода Прони можно
модифицировать, с тем чтобы учесть эти известные полюсы
[21]. Пусть, например, q экспоненциальных компонент Z],...,Zq
известны. Характеристический полином, связанный с этими q
известными компонентами, имеет вид
ч
В
.(*-**) = 2с М*
1 4=0
A1.56)
где c[q\ = 1. Тогда характеристический полином для всех
р компонент, определяемый выражением A1.14), можно разло-
разложить на множители и записать в следующем виде:
2 а [т] г" = ( 2 с [k] z») (if « И А A1 -57)
m = 0 \ft=0 / \i=0 J
где а[р—q] = l. Приравнивая члены с одинаковыми степенями
компонент г, получаем
о[л]= 2 c[k]a[m — /г], A1.58)
где а[7]=0 для 1>р—<7 + 1 и i<0. Подставляя выражение
A1.58) для а[т] в выражение A1.16), получаем
2 а[п]х[п — т]= 2 ( 2 c[k]a[m— k])x[n — m]=0, A1.59)
Уравнение A1.59) можно преобразовать к
где
виду
где ^^
ся выражением
2* а N У [п—т] = 0, A1.60)
а новая последовательность у[п] определяет-
</Гя1= ~Ec\k]x\n-k]. A1.61)
Выражение A1.61) определяет операцию свертки, посредством
которой осуществляется фильтрация исходной временной после-
последовательности х[п] с целью получения новой последовательно-
последовательности у[п].
Метод Прони при наличии нескольких известных компонент
продолжается следующим образом. Во-первых, исходная после-
384
Глава It
довательность отсчетов данных фильтруется [уравнение
A1.61)] с помощью фильтра с коэффициентами, определяемы-
определяемыми этими известными полюсами [уравнение A1.58)J. Затем
фильтрованные отсчеты данных обрабатываются как обычно с
помощью ковариационного алгоритма линейного предсказания
на основе наименьших квадратов, с тем чтобы получить оценки
параметров а[т]. Корни полинома пониженного порядка
дают оценки неизвестных полюсов. Эти р—q иолюсов и ц изве-
известных полюсов далее объединяются для выполнения операции
минимизации по методу наименьших квадратов, в результате
которой будут определены амплитуды и фазы всех р компо-
компонент.
11.9. Идентификация экспонент в шуме
Выше было показано, что метод наименьших квадратов Прони
требует решения ковариационных нормальных уравнений линей-
линейного предсказания, идентичных уравнениям, с которыми мы по-
познакомились в- гл. 8 при описании АР-методов спектрального
анализа. Эта общность с названными методами позволила ис-
использовать критерии выбора порядка АР-модели, обсуждав-
обсуждавшиеся в разд. 8.10, для определения числа экспонент, требуе-
требуемых для аппроксимации анализируемых данных. В тех случа-
случаях, когда уровень шума низок, эти критерии нередко обеспечи-
обеспечивают получение удовлетворительных результатов. Однако при
высоких уровнях шума оценки частоты и затухания компонен-
компоненты обычно оказываются неточными и смещенными из-за воз-
воздействия шума. Разделить корни характеристического полино-
полинома Прони на корни, соответствующие слабым экспонентам,
и корни, соответствующие шуму, часто весьма затруднительно.
Для упрощения идентификации экспоненциальных сигналов,
действительно присутствующих в данных, и улучшения точности
оценок затухания и частоты можно применить три метода. Эти
методы включают использование нулей полинома линейного
предсказания вперед и назад, больших порядков предсказания
и разложения по сингулярным числам (РСЧ).
В разд. 11.4 было показано, что при отсутствии аддитивного
шума р экспонент определяются посредством решения уравне-
уравнения линейного предсказания вперед
2 а[т]х[п — ш] = 0,
A1.63)
Метод Прони
где а[0] = 1, а характеристический полином
А B)= jja[m]zr-'"
A1.64)
имеет корни в zk = exp(sh), где l^ftsgp, a sh= (ak+j2nfk)T ха-
характеризует коэффициент затухания и частоту k-!i экспоненты.
Те же р экспонент можно получить в обращенном времени, ре-
решая уравнения линейного предсказания назад:
2 Ь[т]х[п — р + т] =
где Ь[0] = 1. Характеристический полином
В(г) = 2
т-Ч
A1.65)
A1.66)
сформированный из комплексно-сопряженных коэффициентов
линейного предсказания назад, имеет корни в zft = exp(—sh*) =
= ехр([—ah-\-j2itfh\T), где 1^/г^р. (Доказательство этого
свойства в качестве самостоятельного задания вынесено в
разд. «Задачи».) Для затухающей экспоненты (коэффициент
затухания а;,<0) эти корни характеристического полинома ли-
линейного предсказания вперед А (г) попадают внутрь единичной
окружности г-плоскости, тогда как корни характеристического
полинома В (г) линейного предсказания назад будут находить-
находиться снаружи этой единичной окружности из-за наличия коэффи-
коэффициента затухания ехр(—акТ), что соответствует возрастающей
экспоненте. Эти свойства расположения корней полиномов А(г)
и В (г) обусловлены свойствами детерминированных экспонен-
экспоненциальных функций.
Рассмотрим процесс, состоящий из двух комплексных экс-
экспонент и комплексного аддитивного белого гауссовского шума
х[л] = А1 exp (s,n) + A,,exp (s2n) + w[n], A1.67)
где 5, = 0,1+/2л.0,52, s2 = —0,2+/2.т0,42, Л,=Л2 = 1, а диспер-
дисперсия шума равна р. При отсутствии шума характеристические
полиномы второго порядка А (г) и В (г) для этих двух экспо-
экспонент будут иметь корни, расположенные в точках, показанных
на рис. 11.4,0 и 11.4,6. В соответствии с уравнением A1.67)
были сгенерированы 50 записей данных по 25 отсчетов в каж-
дои с индексами от_л = 0 ДО л = 24 с использованием различных
ui<i'ne/wB?I!гопНОсТеЙ w[ni ПРИ отношении сигнал/шум, равном
iuig(i/p)-20 дБ. Каждая запись была обработана с помощью
ковариационного алгоритма линейного предсказания по методу
25—1366
.. cyTCTByei, \n
ikvm; g Л(г), p=8, присутствует шум; е
"'a{) 8 зложение по сингулярн
j,vm, и — п^,, ,,-v, -r—i ,— —j ¦ B(z), P=8, присутствует шум;
w" ',4(z), p=8, разложение по сингулярным числам (РСЧ) с двумя глав-
главными собственными векторами; з — В(г), р=8, РСЧ с двумя главными собст-
венными векторами.
Метод Проии
387
наименьших квадратов (подпрограмма COVAR) при значении
порядка р = 2, и корни (нули) полиномов Л (г) и В (г) были на-
нанесены на график. Коэффициенты линейного предсказания на-
назад получались одновременно с коэффициентами линейного
предсказания вперед с помощью быстрого алгоритма, приведен-
приведенного в приложении 8.В. Иными словами, для определения ко-
коэффициентов линейного предсказания назад никаких дополни-
дополнительных вычислений не требуется. На рис. 11.4, в и 11.4, г пока-
показаны соответственно положения нулей характеристических по-
полиномов линейного предсказания вперед и назад для всех
50 записей. Для сравнения показаны также истинные положе-
положения нулей для двух экспонент. Аддитивный шум приводит к
смещению оценок нулей, а это означает смещение оценок чле-
членов, характеризующих затухание и частоты. Смещение оказыва-
оказывается более сильным для экспоненты с большим коэффициентом
затухания.
Смещение оценок можно существенно уменьшить, выбирая
порядок фильтра линейного предсказания намного больше чис-
числа экспонент, действительно присутствующих в анализируемом
сигнале: это одно из эмпирических наблюдений, часто упоми-
упоминаемое в литературе (см., например, работы [11, 23J). Рисунки
11.4,5 и 11.4, е иллюстрируют расположение нулей в том слу-
случае, когда применялся ковариационный алгоритм порядка р = 8.
Нули, связанные с истинными экспонентами, присутствующими
в сигнале, теперь группируются ближе к правильным положе-
положениям, но дополнительные нули, обусловленные наличием шума,
разбросаны очень широко. Однако выбор фильтра линейного
предсказания более высокого порядка приводит к появлению
дополнительных нулей, затрудняя тем самым отделение нулей,
соответствующих действительно имеющимся экспоненциальным
сигналам, от нулей, обусловленных наличием шума, по крайней
мере в том случае, когда анализируются только корни полино-
полинома А(г). Это разделение очевидно в случае расположения нулей
полинома В (г) на рис. 11.4, е только благодаря эффекту группи-
группирования результатов для 50 независимых наборов данных. Раз-
Разделение нулей для одного полинома не столь уж очевидно.
Анализ нулей сразу обоих полиномов, А(г) и В(г), дает нам
средство для различения истинных нулей сигнала и нулей шу-
шума. Статистики стационарного случайного процесса не изменя-
изменяются при обращении этого процесса во времени. Следователь-
Следовательно, и нули полинома А(г), и нули полинома В (г), соответству-
соответствующие шуму, будут преимущественно оставаться внутри еди-
единичной окружности, о чем" свидетельствует совокупность тесто-
тестовых результатов, приведенных на рис. 11.4,6 и 11.4, с Таким
образом, при анализе расположения нулей полиномов А(г) и
В(г) истинные нули экспоненциальных сигналоз будут появ-
25"
388
Глава 11
ляться во взаимно обратных точках, расположенных вдоль не-
некоторого общего радиуса [10J.
Дальнейшему улучшению результатов может способствовать
применение метода разложения по сингулярным числам (РСЧ).
Ошибки линейного предсказания вперед и назад, введенные в
иодразд, 8.5.1, можно записать в следующей краткой форме:
Хра' = -х, + ер, ХХ = -хР + еР, С1-68)
где тёплицевы матрицы данных Х?р, Хьр и векторы данных xfp,
х% определяются выражениями
( *М ¦¦¦ *[i] ' "
Х' =
x[N-p]\
х[2]
х[Щ
[x[N]
{x[N-p]l
A1.69)
а вектор коэффициентов линейного предсказания вперед а'р,
вектор ошибок линейного предсказания вперед е'р, вектор коэф-
коэффициентов линейного предсказания назад аьР и вектор ошибок
линейного предсказания назад еьр — выражениями
\а'[р])
[ef[N]
A1.70)
е'[ЛГ)
Используя соотношение C.96), матрицы данных можно пред-
представить в виде следующих разложений по сингулярным числам:
Ч =
)н, х» = S,°Х
A1.71)
где о'п — положительные сингулярные числа матрицы Х'р,
аьп — положительные сингулярные числа матрицы Х'р, a un и
vn — собственные векторы соответствующих матриц данных.
Аетод Про
389
Если сигнал состоит из сиси m экспонент и аддитивного шума,
тогда т собственных векторов, ассоциированных с т наиболь-
наибольшими сингулярными числ.ми, будут главным образом охваты-
охватывать эти экспоненциальна компоненты. Остальные р—т соб-
собственных векторов, ассоцмрованных с оставшимися меньшими
сингулярными числами, б дут охватывать шумовые компонен-
компоненты. Более подробно эта прцедура описана в гл. 13. Если пред-
предположить, что сингулярше числа упорядочены по убыванию
величины, т. е. o'i>af2>...>o'p, тогда можно получить по-
пониженный ранг аппрокешации для каждой матрицы данных
посредством усечения сосгношений для РСЧ в A1.71) до т
главных сингулярных чиса:
Х{,
)", X»= 2 aju'(vj)".
A1.72)
Эта нроцедура будет умеьшать вклад шума в матрицу данных,
эффективно увеличивая тм самым отношение сигнал/шум [5,
11, 22J. Минимизируя норды ]|а'р||2 и |аьрЦ2 относительно мат-
матриц данных пониженного )анга, получаем следующие решения:
ар = -(Х^*4. aJ = -(X*)#*», (H.73)
в которых псевдообратны: матрицы данных определяются вы-
выражениями
(Хр)*= 2 Kr'vj»", (XJ)*= 2 (o-'r'v'K)". A1.74)
Значение порядка р должно лежать в интервале пг^р^М—т
для того, чтобы ранг матиц Х'р и Хьр был больше или равен
tn, г .е. более предполагамого числа экспонент. Если число
экспонент не известно, то :го можно оценить, сравнивая относи-
относительные величины сингул.рных чисел. Сингулярные числа, свя-
связанные с сигналом, как гоавило, должны быть больше сингу-
сингулярных чисел, связанных: шумом. После вычисления коэффи-
коэффициентов линейного предсизания вперед и назад, определяемых
выражениями A1.73), с пмощью выражений A1.64) и A1.G6)
вычисляются корни хараггеристических полиномов, которые и
дают оценки экспонент. Вкторы данных х'р и х% при анализе
эффектов, обусловленных шумом, не рассматриваются, даже
если они и зашумлены. Дя ослабления влияния шума как на
матрицы, так и на вектор данных можно применить полный
метод наименьших квадр.тов, что позволяет получить несколь-
несколько лучшие результаты, че: описанные выше [20].
На рис. 11.4, ж и 11.4э приведены результаты, полученные
по тем же 50 реализация! данных при использовании подхода
на основе РСЧ с аппроксмацией пониженного порядка. В обо-
390
-
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Рис. 11.5. Оценки 1ПЭ Прони для фильтрованных чисел солнечных пятен: а —
обобщенный мето; Прони; 6 — модифицированный метод Прони (незатухаю-
(незатухающие синусоиды).
их случаях ипользовались значения р = 8 и т = 2. Дополни-
Дополнительные нули еперь имеют значительно меньший разброс и
образуют регудрно расположенные группы внутри единичной
окружности, чт) характерно для аппроксимации белого шума с
помощью экспменциальной модели. В то же время нули, соот-
соответствующие гире действительно присутствующих затухающих
экспонент, расоложены на этих рисунках по-разному. Отно-
Относительно скрошее результаты применения РСЧ пониженного
ранга в случаебыстро затухающих экспонент и в случае малых
отношений сипал/шум. В обоих этих случаях сингулярные чис-
числа сигнала срвнимы по величине с сингулярными числами
шума, что зат[удняет их строгое разделение по относительным
величинам.
11.10. Приложеке к числам солнечных пятен
На рис. 11.5 пказаны оценки СПЭ фильтрованной последова-
последовательности чиса солнечных пятен, полученные с помощью ме-
метода Прони. Ипользовалась модель, содержащая 36 комплекс-
комплексных экспонент (р = 36), что соответствует 18 действительным
синусоидам в лучае модифицированного метода Прони. При
использовании обычного алгоритма наименьших квадратов
Прони для пиюв, соответствующих четырем наинизшим часто-
частотам, были поучены периоды, равные 22,71, 10,78, 7,92 и
5,19 лет на цил, причем для компоненты с периодом 10,78 лет
на цикл отноительная амплитуда и коэффициент затухания
оценивались вличинами, равными соответственно 58,78 и
—0,0057. В слчае модифицированного алгоритма Прони этим
компонентам соответствовали периоды 24,84, 10,96, 8,60 и
5,96 лет на цкл, а относительная амплитуда второй из них
которая была шнболее сильной) оценивалась величиной, рав-
равной 37,69.
Метод Прони
391
Другие приложения метода Прони, которые могут пред-
представлять интерес для читателя, включают оценивание направ-
направления прихода (пеленга) сигнала [1] и определение резонанс-
резонансных пиков в диаграммах эффективной площади рассеяния
(ЭПР) радиолокационных целей [2J.
Литература
[I] Sucker H. P. Comparison of FFT and Prony Algorithms for Bearing Estima-
Estimation of Narrow-Band Signals in Realistic Ocean Environment. J. Acoust.
Soc. Am., vol. 61, pp. 756—762, March 1977.
[2] Chuang C. W., Moffatt D. L. Natural Resonances of Radar Targets via
Prony's Method and Target Discrimination. IEEE Trans. Aerosp. Electron.
Syst., vol. AES-12, pp. 583—589, September 1976.
[3] Evans A. G., Fischl R. Optimal Least-Squares Time-Domain Synthesis of
Recursive Digital Filters. IEEE Trans. Audio. Electroacoust., vol. AU-21,
pp. 61—65, February 1973.
[4] Hi'debrand F. B. Introduction to Numerical Analysis. McGraw-Hill Book
Company, New York, 1956, ch. 9.
[5] Holt J. N.. Antill R. J. Determining the Number of Terms in Prony Algo-
Algorithm Exponential Fit. Math. Biosci., vol. 36, pp. 319—332, 1977.
[6] Householder A. S. On Prony's Method of Fitting Exponential Decay Curves
and Multiple-Hit Survival Curves Oak Ridge National Laboratory Reporl
ORNL-455, Oak Ridge, Tenn, February 1950.
[7] Jenkins M. A., Traub J. F. Algorithm 419: Zeros of a Complex Polinomial.
Commun. ACM, vol. 15, pp. 97—99, February 1972.
[8] Korn 0. A., Korn Т. М. Mathematical Handbook for Scientists and Engi-
Engineers. McGraw-Hill Book Company, New York, 1961, p. 660. [Имеется рус-
русский перевод: Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. — 4-е изд. — М.: Наука, 1977.]
[9] Kulp R. W. An Optimum Sampling Procedure for Use with Prony Method.
IEEE Trans. Electromagn. Compat., vol. EMC-23, pp. 67—71, May 1981.
[10] Kumaresan R. On the Zeros of the Linear Prediction-Error Filter for Deter-
Deterministic Signals IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-31,
pp. 217—220, February 1983.
[II] Kumaresan R., Tufts D. W. Estimating the Parametrs of Exponentially
Damped Sinusoids and Pole-Zero Modeling in Noise. IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-30, pp. 833—840, December 1982.
[12] Marple S. L., Jr. Spectral Line Analisys by Pisarenko and Prony Methods.
Proceedings of the 1979 IEEE International Conference on Acoustics,
Speech, and Signal Processing. Washington, D. C, pp. 159—161.
[13] Marple S. L.. Jr. Exponential Energy Spectral Density Estimation Pro-
Proceedings of the 1980 IEEE International Conference on Acoustics, Speech,
and Signal Processing. Denver, Colo, pp. 588—591.
[14] Marple S. L., Jr. Spectral Line Analysis via a Fast Prony Algorithm. Pro-
Proceedings of the 1982 IEEE International Conference on Acoustics, Speech,
and Signal Processing. Paris, France, pp. 1375—1378.
115] Marple S. L., Jr. Fast Algorithms for Linear Prediction and System Identi-
Identification Filters with Linear Phase IEEE Trans. Acoust Speech. Signal
Process., vol. ASSP-30, pp. 942—953, December 1982.
[16] McDonough R. N. Representations and Analysis of Signals. Part XV. Mat-
Matched Exponents for the Representation of Signals. Ph. D. dissertation.
Department of Electrical Engineering, John Hopkins University, Baltimore,
Md , April 1963.
[17] McDonough R. N.. Higgins W. H. Best Least-Squares Representation of
Signals by Exponentials. IEEE Trans Autom. Control, vol. AC-13, pp. 408—
412, August 1968.
[18] Poggio A. J., Van Blaricum M. L., Miller E. K., Mittra R. Evaluation for
a Processing Technique for Transient Data. IEEE Trans. Antennas Propag,
vol. AP-26, pp. 165—173, January 1978.
[19] de Prony, Baron (Gaspard Riche). Essai experimental et analytique: sur les
lois de la dilatabilite de fluides elastiques et sur celles de la force expansive
de la vapeur de 1'eau et de la vapeur de l'alkool, a differentes temperatu-
temperatures. J. E. Polytech., vol. 1, no. 2, pp. 24—76, 1795.
[20] Rahman M. A., Kai-Bor Yu. Improved Frequency Estimation Using Total
Least Squares Approach. Proceedings of the 1986 IEEE International Con-
Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Tokyo, Japan,
pp. 1397—1400, April 1986.
[21] Trivett D. H., Robinson A. Z. Modified Prony Method Approach to Echo-
Reduction Measurements. J. Acoust. Soc. Am., vol. 70, pp. 1166—П75,
October 1981.
[22] Tufts D, W., Kumaresan R. Estimation of Frequencies of Multiple Sinusoids:
Making Linear Prediction Perform Like Maximum Likelihood Proc. IEEE,
vol. 70, pp. 975—989, September 1982. [Имеется русский перевод:
Тафте Д. У., Кумаресан Р. Оценивание частот суммы нескольких сину-
синусоид: Модификация метода линейного предсказания, сравнимая по эффек-
эффективности с методом максимального правдоподобия. ТИИЭР, 1982, т. 70,
№ 9, с. 77—94.]
[23] Van Blaricum M. L., Mittra R. A Technique for Extracting the Poles and
Residues of a System Directly from Its Transient Response. IEEE Trans.
Antennas Propag., vol. AP-23, pp. 777—781, November 1975.
[24] Van Blaricum M. L., Mittra R. Problems and Solutions Associated with
Prony's Method for Processing Transient Response. IEEE Trans. Antennas
Propag., vol.' AP-26, pp. 174—182, January 1978; исправление см.:
vol. AP-28, pp. 949, November 1980.
Задачи
1. Доказать, что матрица ZHZ в уравнении A1.26) является положительно
полуопределенной матрицей.
2. Если при факторизации полинома встречается кратный нуль, то это при-
приводит к появлению в разложении произведения некоторого полинома с экс-
понентой. Как следует изменить метод Прони, для того чтобы учесть этот
случай?
3. Показать, что АР- и АРСС-процессы имеют автокорреляционные последо-
последовательности, представимые в виде сумм затухающих экспонент. Показать,
как применить метод Прони к такой автокорреляционной последователь-
последовательности (а не к последовательности отсчетов данных), для того чтобы полу-
получить коэффициенты АР- и СС-моделей?
4. Доказать, что сумма из р экспонент может быть также получена и с по-
помощью метода линейного предсказания назад, если обратить направление
времени. Как связать корни характеристического полинома с показателями
степеней этих р экспонент?
5- Пусть задан экспоненциальный сигнал *[л]=ехр( — 0,2nT)smBn0,05nT).
Пусть 7=1,0, и выберем 20 отсчетов этого сигнала для 0<п<19. Вычис-
Вычислить оценку наименьших квадратов Прони для коэффициента затухания.
Пусть теперь 7=0,5, и выберем 40 отсчетов для 0<п<39. Снова вычислить
ту же оценку Прони. Чем различаются эти оценки? Почему? (См. [9]
относительно тонких деталей влияния частоты отсчетов на точность оценок,
получаемых с помощью метода Прони.)
6. Используя выражение A1.49), показать, что обратное преобразование от
Х\(г) представляет собой АРСС(р, ?)-модель, у которой р = а.
Метод Прони
393
7. Доказать, справедливость матричного уравнения A1.44).
8. Пусть 'х[п]=аехр[$п]—аппроксимация одной экспонентой снекоторым
действительным а и некоторым действительным 5=ссГ,так1№ что а<0,
определенная в диапазоне значений индекса от 0 до N—1. Петь е[п] =
=х[п]—х[п]. Минимизировать величину
JV- 1
2/'И,
приравняв ее производные по а и s нулю. Найти аналитическе решение
для а и s. (Этот пример еще раз подтверждает нелинейность I трудность
задачи минимизации общего вида даже в случае действительны данных.)
9. Показать, что в случае действительных данных уравнение A1А.17) сво-
сводится к двум линейным уравнениям относительно двух дейевительных
неизвестных величин а.2 и «з- Найти решения для аг и аз в яном виде.
Ю- В этой задаче периодограммный метод спектрального оценивния будет
рассматриваться как частный случай метода Прони, в котором ля аппрок-
аппроксимации данных используется гармоническая модель с заранеевыбранны-
ми частотами. Пусть модель временного ряда описывается иражениеч
где п—0, .... vV— 1, причем M<N. Используя заранее выбранные-армониче-
ские частоты fm = m/NT для 0<т<М—1 и уравнение A1.26) показать,
что решение по методу наименьших квадратов для амплитуд кмплексных
синусоид ат будет определяться выражением
»= "лг 5-л"
где т=0, ..., М—\. При M=N и 7=1 это выражение будет очевидно,
соответствовать дискретно-временному ряду Фурье (ДВРФ).
Приложение 11.А.
Быстрый алгоритм и программа для решения
симметричных ковариационных нормальных уравнений
11.А.1. Введение
Быстрый алгоритм для решения симметричных ковариционных
нормальных уравнений [см. A1.44)] был разработан Дарплом
[14, 15]. Комплексная ошибка линейного сглаживанияпорядка
2р может быть записана в виде
^M-xkM P]U2P, A1.A.I)
где вектор данных х2р[п-\-р] и симметричный вектор лнейного
394 Глава 11
сглаживания g2p определяются выражениям
х[п+Ц
х\п]
p\j>]
A1.А.2)
{glp[p]i
Заметим, что g2p = Jg*2p, где J представлет собой Bр+1)х
X Bр+1)-матрицу отражения. На основе измеренных отсчетов
комплексных данных х[\] x[N] симгетричный ковариаци-
ковариационный метод позволяет минимизировать умму квадратов оши-
ошибок линейного сглаживания.
Plp= i" К Ml1, (I1.A.3)
П = р+ 1
в результате чего получается следующее ормальное уравнение:
где 0р—(рХ1)-нуль-вектор. Центросиммтричная матрица R2p
может быть записана в виде
N
Rv = 2 [»'№[n]xl,[n] + }xlp\i\xS,[n]l]. A1. А. 5)
л=2р+ I
Если члены сглаженной ошибки es2p[N—»] и ?s2p[p+l] не ис-
используются и результирующий квадрат ошбки
N-p-l
Р2р= 2 l«Sp[n]|" A1.A.6)
п-р-2
минимизируется, то получаем следующее юрмальное уравнение:
A1.А.7)
где двойным штрихом отмечено решение ,ля случая опущенных
Метод Прони
членов ошибки. Матрица Ч"гр определяется уравнением
395
Разработанный быстрый алгоритм вводит в модифицированный
ковариационный алгоритм, описанный в приложении 8.Г, допол-
дополнительные рекурсивные соотношения. Оба алгоритма выполня-
выполняются одновременно.
11.А.2. Специальные разложения и дополнительные параметры
Для разработки быстрого алгоритма важным является следую-
следующее разложение B/9+1) X Bр+1)-матрицы R2p no индексу по-
порядка:
A ггр[0,2р]
A1.A.9)
A1.А.10)
г2р[0,0] ггу
г* R"
rv[2p, 0] rg r2p[2p, 2p\j
где Bр—1) X 1-вектор-столбец ?2р дается выражением
' rlf[\,2p]
г2,,[2р-\,2р\\
a J—Bр—1)ХBр—1)-матрица отражения. Элементы r2p[i, j]
определяются выражением (8.49). Заметим также, чтог2р[0,0] =
~'ip\2p, 2р] и г2р[0, 2р]=г*[2р, 0]. Важным также является
следующее разложение матрицы R2p по временному индексу:
R2p=R-w~-xlp[2p^ l]x?,[2p+ l]+Jx.,[2p-rl]xg[2p+l] J-
+ х* [Щ "Гр [Щ Н J Х-р [Щ xg [Л'] J . A1 .А. 11)
11.А.З. Рекурсии обновления порядка
Обновление порядка для вектора коэффициентов линейного сгла-
сглаживания g2p описывается выражением
S2P-. .'"I" Я^!,, — KtJ
в котором комплексный скаляр а, и действительный скаляр Pl
396 Глава 11
определяются выражениями
A1.А.13)
Вектор а2р получается с помощью модифицированного ковариа-
ковариационного быстрого алгоритма. Для проверки правильности вы-
выражения A1.А.12) умножим слева обе его стороны на Игр и под-
подставим далее соответствующее разложение по индексу порядка
A1.А.9) или (8.Г.10). При этом получается также выражение
для обновления квадрата ошибки линейного сглаживания по
индексу порядка
Pb, = P>K-a. A1. А. 15)
Заметим, что выражение для обновления порядка вектора g2p
совпадает с выражением для обновления вектора коэффициен-
коэффициентов линейного предсказания а2р только при четных значениях
порядка, т. е., иными словами, только на каждом втором шаге
обновления порядка вектора а2Р. Заметим также, что необходимо
иметь fii>0, для того чтобы гарантировать положительность
ps2p, как это и должно быть, поскольку это сумма квадратов
ошибок.
11.А.4. Рекурсии обновления во времени
Обновление временного индекса в векторе коэффициентов ли-
линейного сглаживания осуществляется в соответствии с выраже-
выражением
й2р = ?Л^Р + аЛР + а'г1с№ + аАр + а'^К1 (П.А.16)
где комплексные скаляры а? и аз находятся как решения сле-
следующего уравнения с комплексной Dx4)-матрицей:
. A1.А.17)
Эта матрица является эрмитовой, поэтому для решения данного
уравнения можно применить подпрограмму CHOLESKY. Дей-
Действительный скаляр р2 определяется выражением:
p2 = [l + 2Re {а.2сгр [р]} + 2 Re {a3d2p [Р]}]~К A1.А. 18)
Комплексные векторы с2р, d2p, действительные скаляры 62Р, ум
и комплексные скаляры Х2р, 02р, ^2Р, 02р определяются с помощью
модифицированного ковариационного алгоритма, приведенного
Метод Прони
397
в приложении 8.7. Для проверки выражения (П.А.16) следует
умножить слева обе его стороны на Rp и подставить соответ-
соответствующее разложение по временному индексу A1.А.11). При
этом получается также выражение для обновления временного
индекса у квадрата ошибки линейного сглаживания
11.А.5. Начальные условия
Требуется только одно начальное условие, а именно квадрат сум-
суммы ошибок регулируемого сглаживания
ЛГ-1
Р2"= 2 U'WP- A1.A.20)
11.А.6. Вычислительные затраты
Симметричный ковариационный алгоритм требует ЗЛгр-}-40р2
операций умножения, \2р операций деления действительных чи-
чисел и объем памяти для хранения JV+10p+12 элементов. Пере-
Переход от порядка 2р4~1 к порядку 2р+3 требует вычислений, ко-
количество которых пропорционально величине 2ЛЦ-36р на каж-
каждой итерации. При обработке с помощью этого алгоритма 64-то-
64-точечной тест-последовательности, приведенной в приложении II,
при iV = 64 и /Р= 16 получаются следующие значения коэффици-
коэффициентов линейного сглаживания:
G[l
G2
G[3
G[4
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
с
с
с
с
-0,954512; 0,151396)
= @,823844; 0,266706)
= @,632592; 0,317878)
= @,418971; 0,298189)
PS = 0,000397
G[5]= @,229737; 0,223792)
G[6]- @,097085; 0,132041)
G[7]= @,027857; 0,055635)
G[8]= @,003689; 0,013973).
Подпрограмма SUBROUTINE SYMCOVAR (N,IP,X,PS,G,ISTAT)
Этот быстрый алгоритм предназначен для решения симметричных ко-
ковариационных нормальных уравнений метода наименьших квадратов
с эрмитовой матрицей
Входные параметры:
N — число отсчетов данных (целое число)
IP — порядок модели линейного предсказания (должен быть чет-
четным целым числом)
X — массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
PS действительный квадрат ошибки линейного сглаживания по-
Глава 11
рядка IP; заметим, что значение PS должно быть промас-
штабировано величиной 1/(N —IP), с тем чтобы получить
дисперсию оценки
G —массив из IP/2 комплексных коэффициентов линейного сгла-
сглаживания
ISTAT — целочисленный указатель состояния в момент выхода нэ
программы:
О при нормальном выходе, если не обнаружено плохой
численной обусловленности
1, если параметр Р имеет неположительное значение
2, если значения параметров DELTA' и GAMMA' не лежат
в интервале от 0 до 1
3, если параметр Р' имеет неположительное значение
4, если значения параметров DELTA и GAMMA не лежат
в интервале от 0 до 1
5, если параметр IP не является четным целым чис 'им
6, если параметр PS имеет неположительное значение
7, если параметр PS" имеет неположительное значение
8, если обнаружена ошибка в подпрограмме CHOLESKY
Примечание:
Размер внешнего массива G должен указываться в .GE. IP/2. Размер
GE. N внешнего массива X и размер .GE. IP массива А должны ука-
¦ываться в вызывающей программе. Внутренний массив R указывается
з .GE. IP, размеры массивов С и D должны указываться в .GE. IP-fl.
Внутренние массивы АА и ВВ фиксируются на указанных размерах.
COMPLEX X(l),AFA00),CA01),DA01),RA00),LAMBDA,THETA,
PSI.XI
COMPLEX EF,EB,C1,C2,C3,C4,SAVEI,SAVE2,SAVE3,SAVE4
COMPLEX G(l),AAA0),BBD),ESP,ESN
REAL PS,DELTA,GAMMA,P,R1,R2,R3,R4,R5,EPS
Инициализация
EPS=1 E-15
IF (MOD(IP,2) .EQ. 0) GO TO 5
ISTAT-5
RETURN
Rl-0
DO 10 K = 2,N-1
R1=R1+REAL(X(K))..2+AIMAG(X(K))
R2-REAL(X(l))-»2+AIMAG(X(l)) .«2
R3=REAL(X(N)L.2+AIMAG(X(N))
R4=1,'B..(R1+R2+R3))
P=2.«R1+R2+R3
PS-R1 ! (UA20)
DELTA=1.-R2«R4 l '
GAMMA=1.-R3-R4
LAMBDA-CONJG(XA).X(N))»R4
CA)=X(N).R4
DA)=CONJG(XA))*R4
ISTAT=0
M=0
IF (IP .EQ. 0) RETURN
Метод Прони
399
С
С
1000
Основной цикл
30
С
С
С
40
42
М=М+1
SAVE=@.,0.)
DO 20 K-M+I.N
SAVE1-SAVE1+X(K)-CONJG(X(K-M))
SAVE1-2.-SAVE1
R(M)-CONJG(SAVE1)
THETA-X(N).DA)
PSI=X(N).CA)
XI-CONJG(XA))»DA)
IF (M .EQ. 1) GO TO 40
THETA=THETA+X(N-K)-D(K+1) 1 (8.Г.45)
PSI-PSI+X(N-K).C(K+1) ! (8.Г.45)
XI=XI+CONJG(X(K+I))-D(K+1) I (8.Г.45)
R(K)-R(K)-X(N+1-M)«CONJG(X(N+1-M+K))
-CONJG(X(M))-X(M-K) I (8.Г.37)
SAVE1 = SAVE1+CONJG(R(K))»AF(M-K) I (8.Г.24)
Обновление вектора AF по индексу порядка
/
AF(M)-C1
P-P.A-REAL(C1)..2-AIMAG(C1) ••
IF (M .EQ. 1) GO TO 60
IF (MOD(M,2) .EQ. 0) GO TO 46
MH-(M-l)/2
MHI-MH+1
BB(I)=ESP
BBB)-CONJG(ESP)
BBC)=CONJG(ESN)
BBD)-ESN
AA( 1) = CMPLX (DELTA.0.)
AAB)--CONJG(XI)
AAC) -CMPLX(DELTA,0.)
AAD)--CONJG(LAMBDA)
AAE) = -THETA
AAF)=CMPLX(GAMMA,0.)
AAG)--CON'JG(THETA)
AA(8) = -LAMBDA
AA(9) = -CONJG(PSI)
AAA0)=CMPLX(GAMMA,0.)
CALL CHOLESKY D,ESP,AA,BB,JSTAT)
IF (JSTAT .EQ. 0) GO TO 42
ISTAT=8
RETURN
R5=1./A.+2..REAL(BBC)»C(MH1))
+2..REAL(BBA)»D(MH1)))
DO 44K=1,MH
(8.Г.23)
(8.Г.25)
A1.A.17)
П1.А.18)
G(K)=R5»(G(K)+BBD)»CONJG(C(MH1+K))I A1.A.16)
+BBC).C(MH1-K)+BBB).CONJG(D(MH1+K))
+BBA).D(MH1-K)) A1.A19)
IF (PS .GT. 0) GO TO 46
с
46
С
60
с
с
с
65
1STAT=7
RETURN
DO 50 K-l.M/2
MK=M-K
SAVE1=AF(K)
AF(K)-SAVE1+C1.CONJG(AF(MK))
IF (K .EQ. MK) GO TO 50
AF(MK)=AF(MK)+C1»CONJG(SAVE1)
CONTINUE
I (8.Г.22)
I (8.Г.22)
IF (MOD(M,2) .NE. 0) GO TO 60
MH = M/2
MH1=MH+1
SAVE1=R(MH)
DO 54 K=1,MH-1
SAVEl = SAVEl+CONJG(G(K))«R(MH+K)+G(K)»k(MH-K)
C1 = -SAVE1/P 1 AI.A.13)
R5=l./A+2.»REAL(C1-AF(MH))) I A1.A.14)
G(MH) = R5»(C1+CONJG(C1«AF(M)))
ESP = X(MH1)+G(MH)»X(M+1)+CONJG(G(MH)).XA)
ESN = X(N-MH)+G(MH)»X(N)+CONJG(G(MH))»X(.\—Mi
DO 56 K=1,MH-1
G(K)=R5-(G(K)+C1»AF(MH-K)+CONJG
(C1.AF(MH+K)))I (H.A.12)
ESP-ESP+G(K)»X(MH1+K) + CONJG
(G(K))-X(MH1-K) I A I.A.I)
ESN~ESN+G(K)»X(N-MH+K)+CONJG
(G(K))»X(N-MH-K) I (ll.A.!!
PS-R5-PS I (I1.A.15)
IF (PS GT. 0) GO TO 60
ISTAT-6
RETURN
IF (M .EQ. IP) RETURN
Обновление во времени векторов С, D
LAMBDA
скаляров GAMMA, DELTA,
R1 = ]./(DELTA»GAMMA-REAL(LAMBDA)..2
- AIMAG (LAMBDA) • .2)
C1 = (THETA«CONJG (LAMBDA)+PSI.DELTA).RI
C2=(PSI.LAMBDA+THETA»GAMMA)-R1
C3=(XI«CONJG (LAMBDA)+THETA«DELTA)«R1
C4=(THETA»LAMBDA+XI.GAMMA) »R1
DO 70 K=l,(M-I)/2+I
MK = M+1-K
SAVE1-CONJG(C(K))
SAVE2=CONJG(D(K))
SAVE3 = CONJG (C (MK))
SAVE4=CONJG (D (MK))
C(K)-C(K)+C1.SAVE3+C2.SAVE4 ! (8Г43)
D(K)=D(K)+C3.SAVE3+C4»SAVE4 ! (8Г44)
IF (K .EQ. MK) GO TO 70
C(MK)-C(MK)+C1.SAVE1+C2»SAVE2 ! (8Г43)
D(MK)=D(MK)+C3.SAVE1+C4»SAVE2 I (8Г44)
Метод Прони
401
e
с
с
90
(8.Г.41)
CONTINUE
R2=REAL(PSI)..2+AIMAG(PSI)
R3 = REAL (THETA). .2+AIMAG (THETA) . .2
R4-REAL(XI)..2+A1MAG(XI)
R5 = GAMMA- (R2.DELTA+R3.GAMMA
+2..REAL(PSI»LAMBDA.CONJG(THETA))).R1
R2 = DELT.\-(R3»DELTA+R4. GAMMA
+2 «REAL (THETA«LAMBDA.CONJG(XI))).R1
GAMMA=R5 I (8.Г.46)
DELTA=R2 ' (8.Г.47)
LAMBDA-LAMBDA+C3»CONJG(PSI)+C4«CONJG I (8.Г.48)
(THETA)
IF (P .GT. 0.) GO TO 80
ISTAT-1
RETURN
IF (DELTA .GT. 0 .AND. DELTA XT. 1 .AND. GAMMA .GT. 0.
.AND. GAMMA .LT. 1.) GO TO 90
ISTAT=2
RETURN
Обновление во времени вектора AF; обновление порядка векторов С, D
и скаляров GAMMA, DELTA, LAMBDA
RI = I./P
R2-1/(DELTA»GAMMA-REAL(LAMBDA)».2
-AIMAG(LAMBDA)..2)
EF=X(M+1)
EB-X(N-M)
DO 100 K=1,M
EF-EF+AF(K)-X(M+1-K) I (8.Г.1)
100 EB = EB+CONJG(AF(K))-X(N-M+K) I (8.Г.2)
C1 = EB.R1 ! (8.Г.28)
C2 = CONJG(EF).R1 I (8.Г.29)
C3= (CONJG (EB) »DELTA+EF«LAMBDA) .R2
C4=(EF»GAMMA+CONJG(EB»LAMBDA)).R2
DO 110 K=M,1,-1
SAVE1=AF(K)
AF(K)=SAVE1+C3>C(K)+C4.D(K) ! (8.Г.38)
C(K+I)=C(K)+C1»SAVE1 ! (8.Г.26)
110 D(K+1) = D(K)+C2»SAVE1 1 (8.Г.27)
CA)=C1
DA)=C2
R3 = REAL(EB).»2+AIMAG(EB) »»2
R4=REAL(EF)».2+AIMAG(EF) ..2
P = P- (R3»DELTA+R4»GAMMA
4-2.«REAL(EF.EB«LAMBDA)).R2 1 (8.Г.42)
DELTA = DELTA-R4.R1 ! (8.Г.32)
GAMMA=GAMMA-R3»R1 ! (8.Г.ЗЗ)
LAMBDA_LAMBDA+CONJG(EF.EB).R1 I (8.Г.35)
IF (P .GT. 0.) GO TO 120
RETURN
120 IF (DELTA .GT. 0 .AND DELTA LT 1 AND GAMMA GT 0.
• .AND. GAMMA LT. 1 ) GO TO 1000
ISTAT=4
RETURN
END
402 Глава tt i
Приложение 11.Б.
Программа для факторизации комплексного полинома
Описанный ниже алгоритм факторизации полинома заимствован
из программы Дженкинса и Трауба [7]. Для этой цели исполь-
используется трехэтапный алгоритм. Программа отыскивает нули (по
одному за раз), грубо говоря, в порядке повышения модуля и
приводя исходный полином к некоторому полиному меньшей
степени. Максимальная степень полинома устанавливается извне
и равна 99.
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Подпрограмма CPOLY (OPR,OPI,DEQREE,ZEROR,ZEROI,FAIL)
Copyright I972, Association [or Computing Machinery. Перепечатывается
с разрешения.
Это — разработанная М. А. Дженкинсом и Дж. Ф. Траубом программа
«Нули комплексного полинома»; (см.: Communication of the ACM, vol. 15,
pp."97—99, Feb. 1972).
Заметим, что в подпрограмме MCON используется четыре переменных
величины, точность и диапазон представления которых в формате с пла-
плавающей запятой соответствуют ЭВМ типа VAX II/780.
Подпрограмма предназначена для отыскания нулей комплексного поли-
полинома.
OPR, OPI — векторы удвоенной точности из действительных
и мнимых частей коэффициентов в порядке убы-
убывания показателя степени
DEGREE — целочисленная степень полинома
2EROR, ZEROI —выходные векторы удвоенной точности из дейст-
действительных и мнимых частей нулей
FAIL —выходной логический параметр; .TRUE., только
если старший коэффициент равен нулю или если
подпрограмма CPOLY обнаружила нуль для по-
полинома, степень которого меньше значения
DEGREE
Данная программа была написана с учетом уменьшения возможности
переполнения. Если переполнение все же будет иметь местэ, то возмож-
возможность работы указателя нулей сохраняется, если величина, обусловившая
переполнение, будет заменена большим числом.
COMMON/GLOBAL/PR,PI,HR,HI,QPR,QPI,QHR,QHI,SHR,SHI,SR,SI,
. TR,TI,PVR,PV1,ARE,MRE,ETA,INFIN NN
REAL.8SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN
REAL.8PRA00),PIA00),HRA00),HIA00),QPRA00),QPIA00)
REAL.8 QHRA00),QHl(I00),SHR(I00),SHiri00)
Изменить размер полинома, который может быть факторизован, заменить
размерность массива в области памяти COMMON
REAL.8XX,YY,COSR,SINR,SMALNO,BASE,XXX,ZR,ZI,BND
REAL«8 OPRA),OPI(I),ZERORA),ZEROIU),CMOD,SCALE,CAUCHY.
DSQRT
С
20
35
С
40
26*
Метод Прони
LOGICAL.4 FAIL.CONV
INTEGER.4 DEQREE.CNTI.CNT2
Инициализация констант
CALL MCON(ETA,1NFIN,SMALNO,BASE)
ARE=ETA
MRE=2.DO«DSQR1 ^ DO) «ETA
XX = .70710678D0
COSR--.069756474D0
SINR = .99756405D0
FAIL= FALSE.
NN-DEGREE+1
Алгоритм не работает, если старший коэффициент равен нулю
IF (OPR(l) .NE. 0.D0 .OR OPI(l). NE 0 DO) GO TO io
FAIL-.TRUE
RETURN
Устранить нули из начала координат, если таковые имеются
IF (OPR(NN) .NE. 0.D0 .OR. OPI(NN) .NE 0 DO) GO TO 20
IDNN2-DEGREE-NN+2
ZEROR(IDNN2)-0D0
ZEROI(IDNN2) -0D0
NN=NN-1
GO TO 10
Вывести значения коэффициентов на печать
DO 30 I=1,NN
PR(I)=OPR(I)
()()
SHR(I)-CMOD(PR(I),PI(I))
CONTINUE
Промасштабировать полином
BND = SCALE (NN,SHR,ETA,INFIN,SMALNO BASE)
IF (BND .EQ. 1.D0) GO TO 40
DO 35 I = 1,NN
PR(I)-BND»PR(I)
PI(I)-BND.PI(I)
CONTINUE
Начать алгоритм с одного нуля
IF (NN ,QT 2) GO TO 50
IF (NN .EQ. 1) RETURN
Вычислить последний нуль и осуществить возврат
CALLCDIVID(-PRB),-PIB),PRA),PIA),ZEROR(DEGREE)
ZEROI (DEGREE))
RETURN "
ВыД^ЛЛе BND — нижней границы модуля нулей
DU SO 1= 1 NN
ШТ^ЪЕ
D-CAUCHY(NN SHR SHI)
404
Глава 11
XXX-COSR.XX-SINR.YY
YY=SINR.XX+COSR.YY
XX=XXX
SR=BND»XX
SI = BND«YY
С Второй этап вычислений, фиксированный сдвиг
CALL FXSHFTA0-C\T2,ZR,ZI,CONV)
IF (.NOT. CONV) GO TO 80
С Второй этап начинается непосредственно с итерации на третьем шаге;
С если она успешна, то в память записываются значения нулей и пони-
С жается степень анализируемого полинома
IDNN2-DEGREE-NN+2
ZEROR(IDNN2)=ZR
ZEROI(IDNN2)=ZI
NN-NN-1
DO 70 I-I.NN
PR(I)=QPR(I)
()Q(
70 CONTINUE
GO TO 40
80 CONTINUE
С Если результат- итерации не успешен, выбирать другое значение сдвига
90 CONTINUE
С Если девять сдвигов не дали требуемого результата, то повторить внеш-
С ний цикл с другой последовательностью сдвигов
100 CONTINUE
С Указатель нуля не сработал на двух главных проходах; вернуться в на-
С чало программы и очистить память
FAIL=TRUE.
RETURN
END
SUBROUTINE NOSHFT (LI)
С Вычисляет производный полином в качестве начального полинома Н и вы-
С числяет полиномы Н без сдвига L1
С
COMMON (GLOBAL) PR,PI,HR,HI,QPR,QPI,QHR,QHI SHR.SHI,
SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN,NN
REAL.8 SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN
REAL.8 PR(IOO),PIA00),HRA00),HIA00),QPR(IOO),QPIA00)
REAL.8 QHRA0O),QHIA00),SHRA00),SHIA00)
REAL.8 XNI,T1,T2,CMOD
N=NN-1
NM1=N-1
DO 10 I = 1,N
XNI = NN-I
HR(I)=XNI»PR(I)/FLOAT(N)
HI(I)=XNI-PI(I)/FLOAT(N)
10 CONTINUE
DO 50 JJ=1,L1
IF (CMOD(HR(N).HI(N) .LE. ETA«I0.D0»CMOD(PR(N),PI(N)))
CALL CDIVID(-PR(NN),-PI(NN),HR(N),HI(N),TR,TI)
DO 20I=I,NMl
J-NN-I
Tl-HR(J-l)
T2=HI(J-1)
Метод Прони 405
HR(J)-TR.T1-TI«T2+PR(J)
HI(J)-TR.T2+TI«T1+PI(J)
20 CONTINUE
HRA)-PRA)
HIA)=PIA)
GO TO 50
С Если член, соответствующий константе, существенно близок к нулю, осу-
С ществить сдвиг коэффициентов полинома Н
30 DO40I=l,NMl
J-NN-I
HR(J)=HR(J-1)
HI(J)-HI(J-1)
4" \TINUE
-0.D0
= 0.D0
4UE
ма FXSHFT (L2,ZR,ZI,CONV)
. l,i для вычисления сдвинутых на L2 полиномов Н и проверки
[ocib. Инициирует итерацию сдвига переменной и осуществляет
приближенный нуль при успешном выполнении.
— предельное значение шагов фиксированного сдвига
— приближенный нуль, если CONV является .TRUE
— логическая переменная, указывающая сходимость итерации
на третьем шаге
ON/GLOBAL/PR,PI,HR,HI,QPR,QPI,QHR,QHI,SHR,SHI,SR,SI,
TRTI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN,NN
8 SR,SI,TR,TI PVR,PVI,ARE,MRE ETA.INFIN
.. '8 PRA0O),PIA0O),HRA0O),HI(IO0),QPR(lO0),QPIA00)
i-\L«8 QHRA00),QHIA00),SHRA00),SHIA00)
.-AL»8ZR,ZI,OTR,OTI,SVSR,SVSI,CMOD
LOGICAL.4 CONV,TEST,PASD,BOOL
N=NN-1
С Вычисление Р в S
CALL POLYEV (NN,SR,SI,PR,PI,QPR,QPI,PVR,PVI)
TEST= .TRUE.
PASD= .FALSE.
С Вычисление первого T=-P(S)/H(S)
CALL CALCT(BOOL)
С Основной цикл для одного второго шага
DO 50 J-1L2
OTR-TR
OTI=TI
С Вычисление следующего полинома Н и нового Т
CALL NEXTH (BOOL)
CALL CALCT (BOOL)
ZR=SR+TR
ZI = SI+TI
С Проверка на сходимость, если только шаг три был неуспешным или отказ
С был при вычислении последнего полинома Н
ic (??.%V0R N0T- TEST 0R J -EQ- L2> G0 T0 50
IF (CMOD(TR^OTR.TI-OTI) GE 5DO«CMOD(ZR,ZI) GO TO 40
IF ( .NOT. PASD) QO TO 30
406 Глава 11
С Проверка на слабую сходимость проводилась дважды; начать с третьей
С итерации после записи текущего полинома Н и сдвига
DO 10 I-1.N
SHR(I)=HR(I)
SHI(I)=HIA)
10 CONTINUE
SVSR = SR
SVSI = S1
CALL VRSHFT A0,ZR,ZI,CONV)
IF (CONV) RETURN
С Итерация не сходится. Прекратить проверку и восстановить Н, S, PV и Т
TEST- .FALSE.
DO 20 I=1,N
HR(I)=SHR(I)
HI(I)-SH1(
20 CONTINUE
SR=SVSR
SI-SVSI
CALL POLYEV (NN,SR,SI,PR,PI,QPR,QPI,PVR,PVI)
CALL CALCT (BOOL)
GO TO 50
30 PASD- .TRUE
GO TO 50
40 PAST- .FALSE.
50 CONTINUE
С Попытка выполнить итерацию с последним полиномом Н из второго этапа
CALL VRSHFT A0,ZR,ZI,CONV)
RETURN
END
Подпрограмма VRSHFT (L3,ZR,ZI,CONV)
С
С Предназначена для выполнения итерации на третьем этапе
С L3 — предельное значение шага на третьем этапе
С ZR.ZI —относительно входа содержит начальную итерацию; если эта
итерация сходится, то содержит последнюю итерацию относи-
относительно выхода
С CONV — .TRUE , если итерация сходится
С
COMMON/GLOBAL/PR,PI,HR.HI,QPR,QPI,QHR,QHI,SHR,SHI,SRSI
TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN,NN
REAL.8 SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN
REAL.8 PRA00)PIA00)HRA00)HIA00)QPRA00)
REAL8 SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETA,INFIN
REAL.8 PRA00),PIA00),HRA00),HIA00),QPRA00),QPI(IOO)
QHR(I00),QHIA00),SHRA00),SHIA00)
ZRZIMPMSOMPRELSTPR1R2CMODDSQRTERR
REAL8
REAL.8 QHR(I00),QHIA00),SHRA00),SHIA00)
REAL.8 ZR,ZI,MP,MS,OMP,RELSTP,R1,R2,CMOD,DSQRT,ERREV,TP
LOGICAL.4 CONV.B.BOOL
CONV- .FALSE.
B= .FALSE.
R
SI = ZI
С Основной цикл для третьего этапа
DO 60 1 = 1X3
С Вычисление Р в S и проверка сходимости
CALL POLYEV (NN,SR,SI,PR,PI,QPR,QPI,PVR PVI)
MP=>CMOD(PVR,PVI)
MS=CMOD(SR,SI)
IF (MP .GT. 2O.DO»E
)
O»ERREV(NN,QPR,QPI,MS,MP,ARE,MRE))
GO
TO 10
Метод Прони
ЮТ
С Значение полинома меньше значения, заданного для ошибки вычисле-
С имя Р; завершить итерацию
CONV- .TRUE.
ZR = SR
ZI-SI
RETURN
10 IF (I .EQ. 1) GO TO 40
IF (B .OR. MP XT. OMP .OR. RELSTP .GE. 05D0) GO TO 30
С Итерация остановлена. Возможно, получена группа нулей. Выполнить
С яять шагов фиксированного сдвига на этой группе, с тем, чтобы сделать
С один нуль доминирующим
¦ TP=RELSTP
В- .TRUE.
IF (RELSTP XT. ETA) TP=ETA
RI=DSQRT(TP)
R2=SR-(l.D0+RI)-SI»RI
SI-SR.R1+SI.A.DO+RI)
SR=R2
CALL POLYEV (NN,SR,SI,PR,PI,QPR,QPI,PVR,PVI)
DO 20 J-l, 5
CALL CALCT (BOOL)
CALL NEXTH (BOOL)
20 CONTINUE
OMP = INFIN
GO TO 50
С Вывод, если значеине полинома значительно возросло
30 IF (MP. .1D0 .GT. OMP) RETURN
40 OMP = MP
С Вычисление следующей итерации
60 CALL CALCT (BOOL)
CALL NEXTH (BOOL)
CALL CALCT (BOOL)
IF (BOOL) GO TO 60
RELSTP=CMOD (TR.TI) /CMOD (SR.SI)
SR = SR+TR
Sl-SI+TI
60 CONTINUE
RETURN
END
Подпрограмма CALCT(BOOL)
С Предназначена для вычисления Т=—P(S)/H(S)
С BOOL — логическая переменная; установить в .TRUE., если H(S) сушест-
common"/globax/p^pi,hr,hi,qpr,qpi,qhr,qhi,shr,shi,sr,si,
tr ti pvr pvi.are mre,eta,infin,nn
real.8 sr.sijr.ti pvr,pvi,are,mre,eta,infin
real.8prA0o),piA00),hrA00),hiA00),qprA00),qpiA00)
real.8 qhrA00),qhiA00),shrA00),shiA00)
real.8 hvr.hvi cmod
logical.4 bool
N = NN-1
С Вычисление H(S)
CALL POLYEV (N,SR,SI,HR,HI.QHR,QHI,HVR,HVI)
BOOL=CMOD(HVR,HVI) LE ARE»10D0.CMOD(HR(N),HI(N))
IF (BOOL) GO TO 10
tua Глава 11
CALL CDIVID(-PVR,-PVI,HVR,HVI,TR,TI
RETURN
10 TR=0.D0
TI = 0.D0
RETURN
END
Подпрограмма NEXT (BOOL)
С Предназначена для вычисления следующего сдвнутого полинома Н
С
С BOOL — логическая переменная; если .TRUE., 4 (S) существенно близок
к нулю
COMMON/GLOBAL/PR,PI,HR,HI,QPR,QP№R,QHI,SHR,SHI,SR,SI,
TR,TI,PVR,PVI,ARE,MR ,ETA,INFIN,NN
REAL.8SR,SI,TR,TI,PVR,PVI,ARE,MRE,ETAINFIN
REAL.8 PRA00),PIA00),HRA00),HIA00),<?RA00),QPIA00)
REAL.8 GHRA00),QHI(I00),SHRA00),SHI@0),Tl,T2
LOGICAL.4 BOOL
N = NN-1
IF (BOOL) GO TO 20
DO 10J=2,N.
T1 = QHR(J-I)
T2=QHI(J-1)
HR(J)-TR-T1-TI.T2+QPR(J)
HI(J)=-TR»T2+TNT1+QPI(J)
10 CONTINUE
HRA)=QPRA)
HIA)QPIA)
Метод Прони
409
return'
С Если H(S) равен нулю, заменить Н на QH
20 DO 30 J = 2,N
HR(J)=QHR(J-1)
HI(J)=QHI(J-1)
30 CONTINUE
HR(l)=0D0
HI(I)-0D0
RETURN
END
Подпрограмма POLYEV (NN,SR,SI,PR,P1,QR,H,PVR,PVI)
С Предназначена для вычисления полинома Р npwS с помощью рекуррент-
С ной схемы Горнера
REAL.8PR(NN),PI(NN),QR(NN),QI(NN),SR3I,PVR,PVI,T
QRA)-PR(I)
R=QRA)
PVI-QI(l)
DO 10 I-2.NN
T-PVR.SR-F
QR(I)=PVR
QI(I)=PVI
10 CONTINUE
RETURN
END
REAL.8 FUNCTION ERREV(NN,QR,QI,MS,MP,ARE,MRE)
С Границы ошибки при вычислении полинома с помощью рекуррентной схе-
С мы Горнера
С QR.QI — частичные суммы
С MS — модуль в точке
С МР — модуль значения полинома
С ARE,MRE — границы ошибки для комплексных операций сложения
С и умножения
REAL.8QR(NN),QI(NN),MS,MP,ARE,MRE,E,CMOD
E=CMOD(QRA),QIA)).MRE/(ARE+MRE)
DO 10 I = 1,NN
E = E.MS+CMOD(QR(I),QI(I))
10 CONTINUE
ERREV = E.(ARE+MRE)-MP-MRE
RETURN
END
REAL.8 FUNCTION CAUCHY (NN.PT.Q)
С Предназначена для вычисления нижней границы ошибки для модуля ну-
С лей полинома; РТ—модуль коэффициентов
REAL«8 Q(NN),PT(NN),X,XM,F,DX,DF,DABS,DEXP,DLOG
PT(NN) = -PT(NN)
С Вычисление верхней оценки границы
N=NN-1
X-DEXP(DLOG(-PT(NN))-DLOQ(PTA)))/FLOAT(N))
IF (PT(N) .EQ. 0 DO) GO TO 20
С Если значение для итерации Ньютона в начале координат лучше, нсполь-
С зовать это значение
XM=-PT(NN)/PT(N)
IF (ХМ .LT. X) Х = ХМ
С Изменять интервал 0,Х, пока не будет достигнуто F<0
20 ХМ-Х. 1D0
F = PTA)
DO 30 I = 2NN
F-F-XM+PT(I)
30 CONTINUE
IF (F .LE 0D0) GO TO 40
X=XM
GO TO 20 .
40 DX = X
С Выполнять итерацию Ньютона, пока не сойдется к двум десятичным раз-
С рядам
50 IF (DABS(DX/X) .LE. .005DO) GO TO 70
QA)=PTA)
DO 60 I—2.NN
Q(I)-Q(I-
60 CONTINUE
F=Q(NN)
DF-Q(i)
DO 65 I = 2,N
DF=DF.X+Q(I)
65 CONTINUE
DX-F/DF
X=X-DX
GO TO 50
70 CAUCHY-X
410
Глава '
RETURN
END
REAL.8 FUNCTION SCALE(NN,PT,ETA,INFINSMALNO,BASE)
С Возвращает масштабирующий множитель для умюжения коэффииедтов
С полинома. Масштабирование осуществляется для того, чтобы усраннть
С переполнение и устранить необнаруженное недопереполнение, встуающме
С в противоречие с критерием сходимости. Этот множитель являетя сте-
С пенью основания
С
С РТ — модуль коэффициентов полинома Р
С ETA,INFIN,SMALNO,BASE— константы, описывающие величины, зада-
задаваемые в формате с плавающей запяой
REAL.8PT(NN),ETA,INFIN,SMALNO,BASE,HILO,MAX,MIN,X.C
REAL.8 DSQRT.DLOG
С Определение наибольшего и наименьшего модулей коэффициентов
HI-DSQRT (INFIN)
LO-SMALNO/ETA
MAX=0.D0
MIN = INFIN
DO 10 I-l.NN
X=PT(I) .
IF (X .QT. MAX) MAX=X
IF (X .NE. 0.D0 .AND. X XT. MIN) MIN=X
10 CONTINUE
С Масштабирование в случае очень большой и очень ыалой компонент
SCALE» I. DO
IF (MIN .GE. LO .AND MAX .LE. HI) RETURN
X-LO/MIN.
IF (X .GT. 1.D0) GO TO 20
SC=1.DO/(DSQRT(MAX)»DSQRT(MIN))
GO TO 30
20 SC-X
IF (INFIN/SC GT. MAX) SC-1 DO
30 L=DLOG(SC)/DLOG(BASE)+5D0
SCALE=BASE»»L
RETURN
END
Подпрограмма CDIVID (AR,AI,BR,BI,CR,CI)
С Комплексное деление С = А/В, устраняющее переполнение
REAL-8 AR,AI,BR,BI,CR,CI,R,D,T,INFIN,DABS
IF (BR .NE. 0.D0 .OR. BI .NE. 0.D0) GO TO 10
С Деление на нуль, С равно бесконечности
CALL MCON (T,INFIN,T,T)
CR = INFIN
CI-INFIN
RETURN
10 IF (DABS(BR) .GE. DABS(BI)) GO TO 20
R-BR/BI
D-BI+R.BR
CR=(AR.R+AI)/D
C1=(AI-R-AR)/D
RETURN
20 R = BI/BR
D = BR+R.BI
CR=(AR+AI»R)/D
CI=(AI-AR«R)/D
Метод Прони 411
RETURN
END
REAL.8 FUNCTION CMOD(R.I)
С Модуль некоторого комплексного числа, устраняющий переполнение
REAL»8 R,1,AR,AI,DABS,DSQRT
AR-DABS(R)
AI = DABS(I)
IF (AR .GE. AI) GO TO 10
CMOD=AI.DSQRT(l.D0+(AR/AI).«2)
RETURN
10 IF (AR .LE. AI) GO TO 20
CMOD-AR.DSQRT(l.D0+(AI/AR)»»2)
RETURN
20 CMOD=AR.DSQRTB.D0)
RETURN
END
Подпрограмма MCON (ETA,INFINY,SMALNO,BASE)
С MCON обеспечивает вычисление машинных констант, используемых в раз-
С личных частях данной программы. Пользователь может либо самостоятель-
С но задать их, либо вычислить их с помощью операторов, приведенных ни-
С же. Четыре константы имеют следующее значение:
G ЕТА — максимальная относительная ошибка представления, кото-
G рую можно записать как наименьшее положительное число
с плавающей запятой, такое что 1.D0+ETA больше, чем 1.D0
С
С INFINY —наибольшее число с плавающей запятой
С SMALNO — наименьшее положительное число с плавающей запятой
С BASE — основание используемой системы представления чисел в фор-
С мате с плавающей запятой
С
С Пусть Т—число цифр в каждом числе с плавающей запятой (удвоенная
С точность). Тогда ЕТА —это либо 5«В».A-Т), либо В»>A-Т) в завяси-
С мости от того, используется ли округление или усечение.
С Пусть М—наибольший, а N — наименьший показатель степени экспоненты
С в принятой системе счисления. Тогда INFINY — это A—BASE»»(—T))»
С BASE..M, a SMALNO —это BASE..N.
G Значения для BASE, Т, М и N соответствуют формату представления, при-
С пятому в ЭВМ типа VAX 11/780
REAL.8 ETA,INFINY,SMALNO,BASE
INTEGER.4 M,N,T
BASE=2.D0
T-56
M-127
N--127
ETA-BASE..A-T)
INFINY=BASE»A.DO-BASE«.(-T))-BASE..(M-1)
RETURN " (BASE"(N+3>>/BASE *
END
Приложение 11. в.
Программа для метода Прони
Эта подпрограмма предназначена для вычисления оценок ком-
комплексных экспоненциальных параметров hk и гк в уравнении
A1.3). Может быть выбран либо обычный метод наименьших
квадратов Прони (METHOD = 1), описанный в разд. 11.5, либо
модифицированный метод наименьших квадратов Прони
(METHOD = 2), описанный в разд. 11.6. Для работы с действи-
действительными данными необходимо просто положить мнимые компо-
компоненты каждого элемента входного массива равными нулю.
Программа PRONY (METHOD,N,IP,X,H,Z,ISTAT)
С
Предназначена для определения параметров экспоненциальной модели
с помощью метода Прони.
Входные параметры:
METHOD —указывает требуемый метод: 1—для обычного метода
Прони, 2 — для модифицированного метода Прони (це-
(целое число)
N —число отсчетов данных (целое число).
IP —порядок экспоненциальной модели (целое число); должен
быть четным, если METHOD=2.
X —массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные параметры:
Н — массив комплексных амплитуд экспоненциальной модели.
Z — массив комплексных экспонент экспоненциальной модели.
ISTAT — целочисленный указатель состояния в момент выхода из
программы:
0 — нормальный выход при отсутствии ошибок:
1 —при наличии ошибки в программе COVAR;
2 — при наличии ошибки в программе SYMCOVAR;
3—при наличии ошибки в программе CPOLY;
4— при наличии ошибки в программе CHOLESKY;
Примечание:
Размер .GE, IP внешних массивов Н, Z и размер .GE. N массива X
должны указываться в вызывающей программе. Размер внутреннего
массива В должен указываться в .GE. 1РAР+1)/2; размеры масси-
массивов A, ROOTR, ROOTI должны указываться в .GE. IP; размеры мас-
массивов PR, PI должны указываться в GE. IP+1. Размер массива С
указывается в .GE. IP/2.
Используются подпрограммы COVAR (приложение 8.Б). SYMCOVAR
(приложение I4.A), CPOLY (приложение 14.Б) и CHOLESKY (приложе-
(приложение З.А).
COMPLEX X(l).H(l),Z(!),AA00),BE050),GA00)
REAL.4 PF.PB.PS.EPS
REAL.8 PRA01),PIA0I),ROOTR(I00),ROOTIA00)
REAL.8 CI.C2,C3,C4,C5,C6,SUMR SUMI SUM
LOGICAL.4 FAIL
ISTAT=0
EPS-l.E-15
* ПЕРВЫЙ ЭТАП: Применение ковариационного или симметрич- •
• ного ковариационного метода #
10
С
20
С
С
с
с
50
Метод Прони
IF (METHOD .EQ. 2) GO TO 20
CALL COVAR (N IP,X,PF,A,PB,B,JSTAT)
IF (JSTAT .EQ. 0) GO TO 5
ISTAT-1
RETURN
PR(I) = 1 DO
PI(l)-=0.D0
DO 10K=l,IP
PR(K+1)-REAL(A(K))
PI(K+1)=AIMAG(A(K))
GO TO 50
CALL SYMCOVAR (N,IP,X,PS,G,JSTAT)
IF (JSTAT .EQ. 0) GO TO 30
ISTAT-2
RETURN
MHALF=IP/2
Ml-MHALF+1
PR(M1) = I.DO
Pl(Ml)=0DO
DO 40 K=1,MHALF
PR(M1+K)=-REAL(G(K))
PI(M1+K) = -AIMAG(G(K))
PR(M1-K)=REAL(G(K))
P1(M1-K)=AIMAG(G(K))
. ВТОРОЙ ЭТАП: вычисление корней полинома для определеия
» комплексных экспоненциальных параметро
CALL CPOLY (PR,PI,IP,ROOTR,ROOTI,FAIL)
IF (FAIL ,NE. .TRUE.) GO TO 55
ISTAT=3
RETURN
413
55 DO0*K=1,IP
60 Z (K) -CMPLX(SNGL(ROOTR(K)),SNGL(ROOTI (K)))
С * ТРЕТИЙ ЭТАП: оценки параметров комплексных амш
1-0
DO 100 К=1,1Р
С1- ROOTR (К)
C2-ROOTI(K)
SLIMR='ci .ROOTR (J) +C2« ROOTI (J)
SUMI=S2.ROOTR(J)-C1-ROOTI(J)
1 = 1+1
C3-SUMR.SUMR+SUMI.SUMI
SUM-C3-2D0.SUMR+1.D0
IF (SUM .EQ. 0D0) GO TO 70
C3-C3..N
C3=DSQRT(C3)
C4=DATAN2(SUMI,SUMR)«N
C5=C3.DCOS(C4)-1 DO
C6=C3«DSIN(C4)
SUMR=SUMR-1 DO
SUMI=-SUMI
C3= (SUMR.C5-SUMI.C6)/SUM
Глава II
C4=(SUMR-C6+SUMI»C5)/SUM
B(I)=CMPLX(SNGL(C3),SNGL(C4))
GO TO 80
B(I)=CMPLX(FLOAT(N),0.)
CONTINUE
SUMR = REAL(XA))
SUMI=.AIMAG(XA))
C2=--C2
C3=!.D0
C4=0.D0
DO 90 J-2.N
SUM-C3
C3-SUM»C1-C4«C2
C4-SUM-C2+C4-C1
SUMR = SUMR+C3.REAL(X(J))-C4-AIMAG(X(J))
SUMI-SUMI+C4.REAL(X(J))+C3-AIMAG(X(J))
H(K)=CMPLX(SNGL(SUMR),SNGL(SUMI))
CALL CHOLESKY (IP,EPS,B,H,JSTAT)
IF (JSTAT.NE. 0) ISTAT=4
Здесь мои>ет быть произведено вычисление остатков
RETURN
END
Метод Прони
Приложение 11.Г.
Программа вычисления экспоненциальных параметров
Оценки амплитуд, коэффициентов затухания, частот и фаз, гк
лученные для 64-точечной тест-последовательности данных с ni
мощью подпрограмм PRONY и EXPARAMS при использован?
обычного метода наименьших квадратов Прони (METHOD=1,
в случае IP = 15 и Т=1.0 с, имеют следующие значения:
Частота Затухание
—0,1737!
—0,10256
—0,05828
—0,03573
—0,11726
—0,00972
—0,00008
—1,34236
—0,00009
—0,00024
0,00592
—0.03858
—0,06556
—0,06997
—0,11518
—0,49163
—0,41007
—0,38589
—0,31345
—0,27254
—0,23315
—0,15001
—0,06426
0,10001
0,20100
0,20914
0,30043
0,33765
0,38231
0,42640
Амплитуд;
0,13521
0,59115
0,51430
0,23348
0,26078
0,02494
0,09466
1,00616
0,10869
1,21926
0,91410
0,38163
0,50696
0,20830
0,20499
1 Фаза, рад
1,30373
0,79553
3,11306
0,62037
—2,61130
0,27368
—0,98327
—1,33355
0,61524
1,03794
1,64492
0,19629
1,65248
—1,50325
0,95396
При использовании модифицированного метода наименьших
квадратов Прони (METHOD = 2) вслучае 1Р = 16 и Т= 1,0 с эти
параметры имеют следующие значения:
Частота
—0,42996
—0,39495
—0,35502
—0,31035
—0,26485
—0,22608
—0,15003
0,10002
0,20021
0,21014
0,24917
0,30629
0,34351
0,38368
0,43086
0,48952
Затухание
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
Амплитуда
0,04092
0,12822
0,02274
0,12497
0,05410
0,03279
0,10509
0,10017
0,98100
0,98191
0,03746
0,15687
0,19537
0,09891
0,04702
0,02784
Фаза, рад
0,30816
—1,81738
—0,10270
—0,11989
—0,93568
—1,13157
—0,91128
0,59811
1,23697
1,30105
—0,29225
—0,44691
0,73366
0,00492
1,38147
1,76092
Ниже приведена распечатка подпрограмм
ы EXPARAMS.
с
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
Подпрограмма EXPARAMS (IP,T,H,Z,AMP,DAMP,FREQ,PHASE)
Предназначена для вычисления действительной амплитуды, коэффициента
затухания, частоты и фазы по массивам комплексных амплитуд и экспо-
экспоненциальных параметров.
Входные параметры:
IP — порядок экспоненциальной модели (целое число)
Т — действительная переменная, представляющая интервал от-
отсчетов в секундах
Н — массив параметров комплексных амплитуд от НA) до НAР)
Z —массив комплексных экспоненциальных параметров от Z(l)
ДО Z(IP)
Выходные параметры:
AMP —массив действующих амплитуд (в произвольных единицах)
DAMP — массив действительных коэффициентов затухания (в с-1).
FREQ — массив действительных частот (в герцах)
PHASE —массив действительных фаз (в радианах)
Примечание:
Размеры .GE. IP внешних массивов H,Z,AMP,DAMP,PHASE должны
указываться в вызывающей программе. Если исходные данные имеют
действительные значения, фаза вычисляется для косинусоидального
колебания.
COMPLEX Hfl),Zfi)
REAL AMP{1),DAMPA),FREQA),PHASEA)
416
()
DO 10 K-l.IF
I-REQ(K) = ATAN2(AIMAG(Z(K)),REAL(Z(K)))/(TWOPI«T)
DA.MP(K) = LOG(CABS(Z(K)))/T
AMP(K)=CABS(H(K))
PHASE(K)=ATAN2(AIMAG(H(K)),REAL(H(K)))
RETURN
END
Приложение 11.Д.
Программа для вычисления
спектральной плотности энергии (СПЭ) Прони
Эта подпрограмма предназначена для вычисления односторон-
односторонней (установить METHOD=1) и двусторонней (установить
METHOD —2) спектральной плотности энергии (СПЭ) Прони с
помощью уравнений A1.50) и A1.54). Программа выдает зна-
значение СПЭ для каждой относительной частоты F, введенной в
подпрограмму. Заметим, что F должно лежать в интервале от
—0,5<F<0,5.
Метод Прони
ZI-CEXP(CMPLX@.,-TWOPI.F))
?FU(METHOD-EQ.2)GOTO20
D°su°MKisuM+H(K)/(i.-z(K).zi)
GO TO 40
DO 30 K-l.IP
zk=z--
417
SD = T*(REAL(SUM)
RETURN
END
2+AIMAG(SUM) **2)
Подпрограмма ESD (METHOD,IP,T,r,H,Z,SD)
Предназначена для вычисления односторонней или двусторонней спект-
спектральной плотности энергии для экспоненциалыю\\ модели на заданной
частоте F.
Входные параметры:
METHOD
IP
Т
—указывает требуемый вид СПЭ: 1 — односторонняя, 2 —
двусторонняя (целое число)
—порядок экспоненциальной модели (целое число)
— действительная переменная, представляющая интервал
отсчетов в секундах
—действительная переменная, представляющая доли от ча-
частоты отсчетов (изменяется от —0,5 до 0,5)
—массив параметров комплексных амплитуд от НA) до
НAР)
—массив комплексных экспоненциальных параметров от
Z(l) aoZ(IP)
Выходные параметры:
SD — действительная спектральная плотность энергии на часто-
частоте F.
Примечание:
Размер .GE. IP внешних массивов Н и Z должен указываться в вызы-
вызывающей программе.
COMPLEX HA),ZA),ZK,ZKC,ZI,SUM
TWOPI = 8.*ATAN(L)
27—1366
Глава 12
СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ПО МЕТОДУ МИНИМУМА ДИСПЕРСИИ
12.1. Введение
Спектральная оценка минимальной дисперсии (МД) была впер-
впервые введена Ксйпоном [3, 4] при пространственно-временном
анализе многомерных сигналов решеток сейсмических датчиков.
Метод получения такой оценки характеризовался Кейпоном как
метод спектрального анализа высокого разрешения, хотя в дей-
действительности его разрешение лежит между разрешением авто-
авторегрессивной спектральной оценки и разрешением классических
спектральных оценок. Лакосс [7] переформулировал метод про-
пространственно-временного анализа Кейпоиа применительно к за-
задачам спектрального анализа одномерных временных рядов и
назвал его методом (спектрального оценивания) максимально-
максимального правдоподобия (ММП), поскольку в статье Кейпона [3],опуб-
[3],опубликованной в ,1969 г., использовалась функция максимального
правдоподобия и гауссовский процесс. Однако название ММП
не совсем точно, так как данный метод не дает оценки макси-
максимального правдоподобия для функции спектральной плотности
мощности (СПМ). На самом деле МД-оценка не является истин-
истинной функцией СПМ, поскольку в отличие от истинной СПМ пло-
площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощ-
мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье,
соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорре-
автокорреляционной последовательностью, которая используется для по-
получения этой оценки, чем она отличается от АР-оценок, которые
этим свойством обладают. Таким образом, МД-оценку можно
считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает
относительные интенсивности компонент частотного спектра, но
не является оценкой истинной СПМ. И все же к достоинст-
достоинствам МД-оценки следует отнести тот факт, что она дает спектр,
высоты пиков в котором линейно пропорциональны мощности
синусоид, присутствующих в анализируемом процессе. Мини-
Минимальная дисперсия — это характеристика, которая более инфор-
информативна вблизи начала координат оценки. Она получается по-
посредством минимизации диснерсии процесса на выходе узкопо-
узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптиру-
адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой
представляющей интерес частоте.
Cnei-рзльное оценивание по методу МД
12.2. Краткая свода результатов
Спектральная MJ-оценка определяется выражением
Т
A2.1)
где Rp ' — матри,а, обратная известной или оцененной втокор-
реляционной матрце размером (р+1)Х(р+1),
( >
"ехр(;2л/7")
(ехр(/2л/>Г))
A2.2)
— вектор комплексных синусоид, а Т — интервал отсч^ов. На
рис. 12.1 приведаа краткая запись этапов программы.предна-
значенной для вгчисления МД-оценки. Главной являеея про-
программа MINVAR приведенная в приложении 12.А. В е> основу
положен быстры! вычислительный алгоритм, предложенный Му-
зикусом [13], в втором используется автокорреляционня оцен-
оценка, получаемая спомощью алгоритма Берга. На рис. Н2 пока-
показана спектральня оценка 64-точечной тест-последоватшьности
данных для случя р=15. Нетрудно видеть, что кажущеся раз-
разрешение этой оцаки хуже разрешения авторегрессионнй спект-
спектральной оценки, [риведенной в гл. 8, но лучше разрешния, ко-
которое обеспечиват классический коррелограммный мевд, опи-
описанный в гл. 5. I в данном случае для достижения трбуемого
компромисса меэду дисперсией и разрешением оценм также
можно применит процедуру изменения порядка (см. эап «За-
«Закрытие порядка» на рис. 12.1). Количественный аналв разре-
разрешающей способнсти метода минимума дисперсии был ашолнен
Коксом [6].
12.3. Вывод выражения для спектральной оценки
минимальной дилерски
Рассмотрим тракверсальный фильтр с р+1 коэффишентами
в[0], а[1], ..., <(р]. Выход у[п] этого фильтра, соотвтетвую-
щий входу х[п], шределяется сверткой
.</«!= 2 a\k]x\n — /г! = хг[я]а, A2.3)
27*
• БОР ДАННЫХ
Л/ отсчегов;
Т с/отсчет
• СТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по еь
См. гл. 14
¦>*¦• ЫБОР ПОРЯДКА IP
размером ( |р + \\ х ( IP
• )ЦЕНИВАНИЕ МДСПМ
. Подпрограмма MINVAR ,
• 13МЕНЕНИЕ ПОРЯДКА
дисперсии и разрешения
бору)
ица
1)
риложение 12.А
,длп достижении
Рис. 12.1. Краткаяиагшсь алгоритма спектрального МД-оценивания.
где (р+1)-векторых[л] и а определяются выражениями
х[п =
]
х[п-\]
а[Ц
A2.4)
[к\п-р\] [а[р]\
Дисперсия на выхае рассматриваемого фильтра определяется
простым выражении:
Р = ? {! У [п] П = «? а"х« [л] хг [и] а) = а"<? {х* [л] хг [«]) а = a"Rfa,
A2.5)
"¦„[0] ... л;,
A2.6)
— тёплицева автокореляционная (р+1) Х(р+1) -матрица. Дис-
Дисперсия на выходе фльтра A2.5) аналогична дисперсии фильтра
линейного предсказния ошибки G.4), но с тем лишь различием,
Спектральное оценивание по методу МД
Рис. 12.2. Спектральная МД-оценка, полученн2я для 64-точечной тест-посл(
довательности данных прн р=15.
что теперь значение коэффициента а[0] произвольно, а не orpa
ничено единицей. Коэффициенты фильтра необходимо выбираъ
таким образом, чтобы на частоте /о частотная характеристик!
этого фильтра имела единичный коэффициент усиления. Эи
ограничение можно записать следующим образом:
± а И ехр (- j2nfakT) = е» (/„) а = 1,
A2.)
где е(/0) —это (р+1)-вектор, определенный выражением A2.2.
Отсюда следует, что синусоида с частотой fo, поданная на вхо;
такого фильтра, пройдет на его выход без искажений. Для ре
жекции компонент спектра, удаленных от частоты fo, необходим)
просто минимизировать дисперсию A2.5) при ограничении A2.7,
налагаемом на частотную характеристику фильтра. Можно ш-
казать [12], что при таком ограничении решение по минимум?
дисперсии для коэффициентов фильтра будет удовлетворяъ
уравнению
Rp'etf»)
A2.5
Подставляя A2.8) в A2.5), получаем далее следующее выраже-
выражение для минимальной дисперсии:
Дисперсия выхода фильтра служит хорошим индикатором мои-
ности входного спектра в окрестности частоты fo. Для каждй:
выбранной частоты /о получается отличное от других частот о,-
тимальное значение дисперсии. В требуемом частотном диапаз"-
422
Глава 12
не фильтр адаптирует форму своей характерна ики к автокорре-
автокорреляционной функции анализируемого процесса.
Одно из приемлемых выражений для спектральной оценки
минимальной дисперсии (МД), которое можно получить из
A2.9), имеет вид
p"*M=T'«z = 7*whbfi' A2Л0)
где —l/2T^.fе; 1/2Г. Наличие в A2.10) интервала отсчетов Т
обеспечивает получение этой величины в единицах мощности на
герц, что соответствует спектральной плотности мощности. Од-
Однако спектральная МД-оценка не является истинной СПМ. Рас-
Рассмотрим белый шум с дисперсией р„. Можно показать (см. разд.
«Задачи»), что спектральная МД-оценка белого шума имеет вид
Рмр.(!) = -~р{. A2-И)
где р+1 — размер.автокорреляционной матрицы A2.6). Истин-
Истинная СПМ равна, конечно, Тр&. Ряд других интерпретаций и мо-
модификаций спектральных МД-оценок дан в работах [1, 8—10].
Так. например, в работе [10] показано, что МД-оценку A2.10)
можно интерпретировать как верхнюю границу для взвешенной
спектральной плотности мощности неизвестного случайного про-
процесса, некоторые значения корреляционной функции которого
были измерены.
Можно показать (см. разд. «Задачи» и работу [7]), что ком-
комплексная синусоида в белом шуме с автокорреляцией
гхх М = Р ехР (/2я/„АГ) + риб [It] A2.12)
имеет на частоте f=fo следующую спектральную МД-оценку:
Ркр.(!а) = —-Q+pP/Pw)- A2.13)
Если отношение сигнал/шум Р/рш^>1, то
кЯ7\ A2.14)
т. е. равно мощности синусоиды, помноженной на масштабирую-
масштабирующий множитель Т. Следовательно, при большом отношении сиг-
сигнал/шум высоты пиков в спектральной МД-оценке будут прибли-
приближенно линейно пропорциональны мощности синусоид, а спект-
спектральные линии достаточно разнесены. Высоты же пиков в АР-
оценке СПМ пропорциональны квадрату мощности. Однако пло-
площадь под графиком МД-оценки СПМ пропорциональна корню
квадратному из мощности синусоиды, что служит индикатором
того, что эта оценка не является истинной СПМ. Кейпон и Гуд-
ман [5] показали, что среднее значение и дисперсия МД-оценки
Спектральное оценивание по методу МД 423
СПМ ведут себя подобно усредненной периодограмме (т. е. дис-
дисперсия линейно уменьшается по мере увеличения числа усред-
усредняемых сегментов данных).
На практике, когда имеются только одни отсчеты данных, не-
необходимо использовать оценку автокорреляционной матрицы.
В следующем разделе обсуждается несколько более удобный
подход, в котором вместо оценки автокорреляционной матрицы
используется алгоритм Берга.
12.4. Связь между спектральными МД- и АР-оценками
В том случае, когда автокорреляционная последовательность из-
известна, спектральные МД и АР-оценки связаны явным соотно-
соотношением. В гл. 3 было показано (см. выражение C.166)), что
матрица, обратная тёплицевой автокорреляционной матрице,
представима в виде
R,-' = AJyA?, A2.15)
1
а [1]
"Л 2]
0
1
... О)
... 0
... 0
A2.16)
— (р+1) X (р+1)-матрица АР-параметров со значениями поряд-
порядка ит 0 до р, а
A/Р, 0 ° 1
0 1/рр_х 0
A2.17)
0
о
1/Ро
— диагональная (р + 1) X (р+1)-матрица, составленная из вели-
величин, обратных дисперсиям белого шума соответствующих поряд-
порядков. Подставляя A2.15) в формулу A2.1) для спектральной
МД-оценки и записывая обратную ей величину, получаем
^^ - 4 е" (f) R* (f) = 4" «=" (fl АЛ" А?е № =
= —У -
X. ak [m] exp (— j2nfmT)
-, A2.18)
424 Глава 12
где P(k, {) использовано для обозначения СПМ порядка k на ча-
частоте / [2]. Использовано также допущение а[0] = 1 для всех
значений порядка Os^&sglp. Таким образом, величина, обратная
спектральной МД-оценке, равна среднему значению по всем ве-
величинам, обратным авторегрессионным спектральным оценкам
со значениями порядка от 0 до р. Поэтому наблюдаемое на прак-
практике более низкое по сравнению с АР-оценкой разрешение спект-
спектральной МД-оценки обусловлено эффектом совместного усред-
усреднения АР-спектров низких порядков, обладающих наименьшим
разрешением, и АР-спектров высоких порядков, обладающих
наибольшим разрешением. Тем не менее МД-оценки при доста-
достаточно больших отношениях сигнал/шум обеспечивают более вы-
высокое разрешение, чем классические оценки СПМ. В эксперимен-
экспериментах с записями данных большой длительности дисперсия спект-
спектральной МД-оценки оказалась меньше дисперсии спектральной
АР-оценки СПМ идентичного порядка р [7]. Это уменьшение дис-
дисперсии также можно связать с эффектом усреднения, присут-
присутствующим в выражении A2.18).
Соотношение A2.18) характеризует связь между спектраль-
спектральными МД- и АР-оценками в частотной области. Аналогичное со-
соотношение можно получить и для временной области [13]. Раз-
Разложив знаменатель АР-оценки СПМ р-ro порядка на множители.
ее можно записать в следующем виде:
1+ У aplk]exp(-j2nfkT)
k=l k=-p
A2.19)
Коэффициенты i|)ap[&] вычисляются по корреляционным коэф-
коэффициентам АР-параметров
A2.20)
VapI-Щ,
—1
— р,
где, по определению, полагается ар[0] = 1.
Аналогичным образом можно записать и спектральную МД-
оценку. Для этого сначала напомним вид матрицы, обратной эр-
эрмитовой тёплицевой матрице RD [см. выражение C.160)], а
именно
Rp' = — Т,Т? — -SpS^, A2.21)
где треугольные тёплицевы матрицы Тр и Sp определяются вы-
Спектральное оценивание по методу М/3
425
ражениями
I 0
S,,=
а'р\2] а-р[3]
а'р\\] а;[2}
О 0)
0 0
1 0
A2.22)
A2.23)
Подставляя представление A2.21) для обратнй матрицы RP '
в выражение A2.10) для МД-оцепки, после нео)ходимд>1х алгеб-
алгебраических преобразований получаем
Лад(/)=— • A2-24)
2 i-n \Щ ехр (- 12фТ
k=-p
Коэффициенты 1|змд[А] вычисляются как линёно взвешенные
(обработанные окном) корреляционные коэффициенты АР-пара-
мстров:
р-к
Х,(Р+ \-k-2i) ap[k + i]a; М
*д[Ч
A2.25)
Количество вычислительных операций, требуемх для расчета
необходимого набора коэффициентов if> д[й], [ропорционально
величине р2. Для расчета альтернативного предсавления A2.25)
спектральной МД-оценки в требуемом диапазае частот можно
далее применить какой-либо быстрый алгорит» преобразования
Фурье, например БПФ, приведенный в прилоении 2.А. В вы-
вычислительном отношении такой подход эффектвнее прямого вы-
вычисления спектральной МД-оценки по исходнойформуле A2.10),
которое требует р3 операций для обращения ттрицы R» и р2
операций для расчета значения этой оценки накаждой частоте.
12.5. Реализация метода спектральной оценки
по минимуму дисперсии
Наиболее эффективная реализация метода сектральной МД-
оцеики состоит из следующих этапов:
* вычислить н основе дан-
данных последовательность
оценок автоюрреляции;
* решить уравения Юла—
Уолкера дляАР-парамет-
ров с поморю алгорит-
алгоритма Левинсои;
* определить корреляцию
АР-параметрв для по-
получения коффициентов
¦фмд[^]; испшьзовать вы
ражение A225);
* вычислить пектральную
МД-оценку г требуемом
частотном диапазоне,
используя выражение
A2.24) и алгоритм БПФ. На практике неско.ько лучше в
в вычислительном отношении результаты мо>ио получить,
заменяя первые два этапа любой из процед;р определе-
определения АР-параметров, описанных в гл. 8. Так, ]апример, их
можно заменить следующим этапом:
• вычислить АР-коэффициенты с помощью алгоитма Берга.
Использование алгоритма Берга неявно подразумеает, что ав-
автокорреляционные функции получают из тёплицев<й матрицы.
В приложении 12.А приведена подпрограмма MINWR, предна-
предназначенная для вычисления спектральной МД-оценн по набору
отсчетов комплексных данных. В этой подпрограммевместо двух
приведенных выше этапов используется алгоритм Бога-
Рис. 12.3. Спектральная МД-оценка
фильтрованных чисел солнечных пя-
пятен при р=32.
12.6. Приложение к числам солнечных пятен
На рис. 12.3 показана спектральная оценка, вычисления по зна-
значениям СПМ, которые были получены по последвательности
фильтрованных солнечных пятен с помощью подпрограммы
MINVAR. Использовалось значение порядка р = 32, равнения со
значениями порядка авторегрессионных спектралыых оценок,
приведенных в гл. 8. Двум наибольшим пикам соответствуют зна-
значения 0,0938 цикла на год A0,67 года на цикл) и 1,1870 цикла
на год E,35 года на цикл).
Литература
[]] Barnard Т. Е. Analytical Studies of Techniques for the imputation of
High-Resolution Wavenumber Spectra. Special Report No. 9 prepared by
Texas Instruments, Inc. for the Advanced Research Project Agency under
contract F33657-68-C-0867, May 1969.
Спектральное оценивание по методу МД
427
[2]
[3]
Burg J. P. The Relationship between Maximum Entropy and Maximum Like-
Likelihood Spectra. Geophysics, vol. 37, pp. 375—376, April 1972.
Capon J. High-Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis Proc
IEEE, vol. 57, pp. 1408—1418, August 1969. [Имеется русский перевод:
Кейпон Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким
разрешением. ТИИЭР, 1969, т. 57, Л° 8, с. 69—79.]
[4] Capon J. Maximum-Likelihood Spectral Estimation. Chapter 5 in Nonlinear
Methods of Spectral Analysis, 2nd ed., S. Haykin, ed., Springer-Verlag, New
York, 1983.
[5] Capon J., Goodman N. R. Probability Distribution for Estimators of the
Frequency-Wavenumber Spectrum. Proc. IEEE, vol. 58, pp. 1785—1786,
October 1970; исправления см.: vol. 59, p. 112, January 1971. [Имеется рус-
русский перевод: Кейпон Дж., Гудмен И. Распределение вероятности оценок
пространственно-временного спектра. ТИИЭР, 1970, т. 58, № 11, с. 82—
84; исправления см.: ТИИЭР, 1971, т. 59, № 1, с. 119.]
[6] Сох Н. Resolving Power and Sensitivity to Mismatch of Optimum (Line)
Array Processors. J. Acoust. Soc. Am., vol. 54, pp. 771—785, 1973.
[7] Lacoss R. T. Data Adaptive Spectral Analysis Methods. Geophysics,
vol. 36, pp. 661—675, August 1971.
[8] Lagunas M. A., Gasull A. Measuring True Spectral Density from ML Filters.
Proceedings of the 1984 IEEE International Conference on Acoustics, Speech,
and Signal Processing, San Diego, Calif., pp. 14.10.1—14.10.4, March 1984.
[9] Marzetta T. L. A New Interpretation for Capon's Maximum Likelihood
Method of Frequency-Wavenumber Spectral Estimation. IEEE Trans. Acoust.
Speech Signal Process., vol. ASSP-31, pp. 445—449, April 1983.
[10] Marzetta T. L, Lang S. W. New Interpretation for the MLM and DASE
Spectral Estimators. Proceedings of the 1983 IEEE International Confe-
Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Boston, Mass., pp. 844—
846, April 1983.
[11] Marzetta 7. L., Lang S. W. Power Spectral Density Bounds. IEEE Trans.
Inform. Theory, vol. IT-30, pp. 117—122, January 1984.
[12] McDonough R. N. Application of the Maximum-Likelihood Method and
the Maximum-Entropy Method to Array Processing. Chapter 6 in Nonlinear
Methods of Spectral Analysis, 2nd ed., S. Haykin, ed., Springer-Verlag,
New York, 1983.
[131 Musicus B. Fast MLM Power Spectrum Estimation from Uniformly Spaced
Correlations. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-33,
pp. 1333—1335, October 1985.
Задачи
1. Доказать соотношения A2.20) и A2.25).
2. Доказать, что
428
Глава 12
фильтра минмальной дисперсии. Вычертить частотную характеристику это-
этого фильтра ля случая р~\Ь. Обратить внимание на боковые лепестки. Ка-
Какую весовукобработку следует применить автокорреляционной последова-
последовательности дл подавления боковых лепестков?
Приложение 12.А.
Программа pi я вычисления спектральной оценки
минимально дисперсии
Эта подпрогамма реализует алгоритм вычисления спектральной
оценки минимальной дисперсии, описанный в разд. 12.5. Пр!
обработке тст-последовательности данных, приведенной в при
ложении II, помощью подпрограммы MINVAR в случае N = 64
IP = 15 и Т = 1,0 с получаются следующие значения спектраль-
спектральной плотноси мощности:
PSD() =0.170584E— 06;
PSD@00)=0.101236E—01;
PSD @00) =0 139269Е—02;
PSD C000)-0.418217Е—02;
PSDD000)=0.128422E—06;
PSD D096) = 0.169758E—06.
Подпрогамма MINVAR (N,IP,T,X,PSD,ISTAT)
Предназначив для вычисления спектральной оценки минимальной диспер-
дисперсии с помодью процедуры Музикуса. Для оценивания авторегрессионных
параметроЕиспользуется алгоритм Берга.
Входные пэаметры:
N —число отсчетов данных
IP —размер корреляционной матрицы (порядок АР-модели на
единицу меньше)
Т — интервал отсчетов
X —массив отсчетов комплексных данных от ХA) до X(N).
Выходные араметры:
PSD — массив действительных значений
мощности
ISTAT —указатель состояния
Примечаие:
Размер jE. N внешнего массива X и размер .GE. NPSD массива PSD
должны указываться в вызывающей программе. Размер внутреннего
массива К должен указываться в .GE. IP—1, размеры массивов PSI
и \Удол>ны указываться в .GE NPSD- Используемые внешние подпро-
rpaMMbi:BURG (см. приложение 8.Б), PREFFT и FFT (см. приложе-
приложение 2.В)
PARAMTER NPSD-4096 ! Число значений PSD (должно быть сте-
степенью числа 2)
COMPL X XA) ,АE0),PSI(NPSD),W(NPSD),SUM
REAL PDA)
M-IP-
спектральной плотности
Спектральное оценивание по /етоду МД
429
CALL BURG (N,M,X,P,A,ISTAT) ! Выисление АР-коэффициентов
IF (ISTAT .NE. 0) KblURN
DO 10 K-M,l,-1
19 A(K+1)=A(K)
A(l)=(i.,0.)
DO 30 K=0,M 1 Вычкление коэффициентов «пси»
SUM= @,0.)
MK-M+l-K
С Вычисление корреляции авторегрессионных 1араметров
DO 20 1=0,М-К
20 SUM=SUM+FLOAT(MK-2-l)«(ONJG(A(l+l)) »A(I+1+K)
I A2.25)
SUM-SUM/P
IF (К NE. 0) PSI(NPSD+1-K)=C(NJG(SUM)
30 PS1(K+1)-SUM
С Дополнение нулевыми отсчетами (нулями)остальных членов коэффициен-
С тов «пси»
DO 40 K-M+2.NPSD-M
40 PSI (К) = @,0.)
CALL PREFFT (NPSD,0NEXP,W)
CALL FFT (NPSD,0,l.,NEXP,W,PSl) [Вычисление БПФ знаменателя
С В этом месте производится обращение члнов коэффициентов «пси» для
С получения значений PSD
DO 50K-1.NPSD
50 PSD(K)-T/REAL(PSI(K)) I A2 24)
RETURN
END
Глава 13
МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ ЧАСТОТЫ,
ОСНОВ/ННЫЕ НА АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
13.1. Еведене
Один из класов спектральных методов, основанный на анализе
собственных значений автокорреляционной матрицы или одной
из матриц днных, упомянутых в гл. 8, описывается в научной
литературе нк класс методов, обеспечивающих лучшие харак-
характеристики рзрешения и оценивания частоты, чем авторегрес-
авторегрессионный метщ и метод Пропи, особенно при низких отношениях
сигнал/шум, согда эти методы не в состоянии разрешить близ-
близкие по частот синусоиды или другие узкополосные спектральные
компоненты. Выше, в разд. 11.9, уже приводился ряд аргумен-
аргументов, подтверхдающих подобное мнение: в этом разделе описы-
описывалось исползован'ие метода разложения по сингулярным чис-
числам (РСЧ), то позволяло получать более точные оценки часто-
частоты и коэффииента затухания для процесса, состоящего из смеси
двух затуханцих экспонент и аддитивного шума. Причины
улучшения храктеристик методов, основанных на анализе соб-
собственных знаений, рассмотрены в данной главе. Ключевой опе-
операцией в эти методах является разделение информации, содер-
содержащейся в зтокорреляционной матрице или матрице данных,
на два векто ных подпространства — подпространство сигнала и
подпростран<гво шума.
В указаных подпространствах можно определять различные
функции от Екторов сигнала и шума для получения оценок час-
частоты, графичское представление которых имеет острые пики на
частотах син;соид или других узкополосных спектральных ком-
компонент. Одна о эти оценки не являются оценками истинной СПМ,
поскольку он не сохраняют мощность анализируемого процесса,'
а их обратно преобразование Фурье не позволяет восстановить
исходную авокорреляционную последовательность. К классу
методов оценвания частоты, основанных на анализе собствен-
собственных значен» соответствующих матриц, принадлежат алгоритмы
гармоническсо разложения Писаренко (ГРП) и классифика-
классификации множестенных сигналов (MUSIC — multiple signal classi-
classification) .
13.2. Краткая водка результатов
На рис. 13.1 перечислены этапы обработки сигнала, требуемые
для вычисленя частотных оценок двух типов, получаемых с по-
помощью алгортма MUSIC и алгоритма EV, машинная програм-
Методы оценивания частоты
431
СБОР ДАННЫХ
Г с/отсчет
УСТРАНЕНИЕ ТРЕНДА (по выбору)
См.гл. 14
ВЫБОР ВХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ
IP — размер матрицы
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНКИ ЧАСТОТЫ
Подпрограмма EIGENFREQ, . приложение 13.А;
Выбрать один из следующих алгоритмов
-алгоритм MUSIC (METHOD = 01;
-алгоритм ev (METHOD = 1)
Рис. 13.1. Краткая запись процедуры получения двух спектральных аенок,
основанных на методе анализа собственных значений. (EV — eigenvecor.)
ма реализации которых приведена в приложении 13.А. Грфики
этих оценок для 64-точечной тест-последовательности дяных
приведены соответственно на рис. 13.2 и 13.3. В качестве йод-
йодных данных в обоих алгоритмах используются автокорреляцион-
автокорреляционная матрица размера IP и оценка числа компонент сигнала ISIG.
Заметим, что N'SIG<IP. Оценки, приведенные на этих рисушах,
иллюстрируют предельные возможности названных метода, ко-
которые предназначены для получения спектральных оцени про-
процессов, состоящих из смеси узкополосных сигналов и аддитив-
аддитивного шума. Заметим также, что окрашенный шум, содержщий-
ся в тест-последовательности, ухудшает характеристики оюнок,
получаемых с помощью этих методов, поскольку они не прдна-
зиачены для работы в подобных случаях. Метод гармониеско-
го разложения Писаренко кратко описан в разд. 13.6.
13.3. Анализ собственных значений
автокорреляционной матрицы для случая синусоид
в белом шуме
В гл. 4 было показано, что автокорреляционная последовтель-
ность (АКП) для стационарного в широком смысле прщесса,
состоящего нз М комплексных синусоид со случайными ((азами
и аддитивного комплексного белого шума, описывается ка;
W = 2 Л- «Р U2nf,kT) + pj [ft],
A3.1)
Рис, 13.2. Оценка частоты для 64-точечной тест-послцовательности, получен-
полученная методом анализа собственных векторов (СВ) е случае, когда матрица
данных имеет порядок IP = 15 и параметр NSIG=11D собственных вектора
подпространства шума).
0
J-10
1-20
5-30
5
S-40
о
КГ)
-
-
I
-
-
_
-0,5
1
1
Л
\
/i
-0,4
1 1—
•1
1 1
\ А
JW
-0,3 -0,2
i
|
1
Л i
-0,1
Долич
Г"
0
стоть
1
1
л /
II /
0,1 0
отсчетов
1 1 1
|
:
У 1 -
\ V/\ к -
\ \J\ ~
\ /| VI
: 0.3 0,4 0,5
Рис. 13.3. Оценка частоты для 64-точечной тест-послаовательности, получен-
полученная методом классификации множественных сигналов(Ми51С) в случае, ког-
когда матрица данных имеет порядок 1Р=15 и парамет| NSIG=11 D собствен-
собственных вектора подпространства шуга).
где Pi — мощность 1-й синусоиды, a pw — дисерсия белого шума.
Если процесс состоит из М действительных инусоид и аддитив-
аддитивного действительного белого шума, то АКП описывается выра-
выражением
** Щ
2 Р/ cos Bя
.2 4
A3.2)
i2nfikT) + ехР (- i2nfikT\ -г р«6 М-
Методы оценивания частоты
433
Тёплицева автокорреляционная (р+ 1) X (р+ 1 -матрица
/'„[0] ¦¦¦ г-„\р]\
A3.3)
в случае комплексных синусоид в белом шуме шеет следующую
структуру:
R, = 2i^AS?+PeI, A3.4)
где I — единичная (р+1) X (р+1) -матрица, а
1 )
ехр (/2л/,Т)
s, =
ехр (]2nf,pT)
— вектор сигнала размерности р+1, несущий информацию о час-
частоте 1-й синусоиды. Матрицу Rp можно предствить как сумму
автокорреляционной матрицы сигнала S, и автжорреляционной
матрицы шума Wp:
R, = S, + W,, A3.6)
A3.7)
W, = p»I A3.8)
— (р+1) X (р+1)-матрицы. Если порядок автжорреляционной
матрицы RB больше числа комплексных синусад (т. е. р>М),
то матрица сигнала Sp будет иметь ранг М гак как каждое
внешнее произведение векторов s,s," — это марица ранга 1).
Матрица шума будет иметь полный ранг р+1.
Аналогичным образом можно показать, что5 случае М дей-
действительных синусоид в белом шуме автокоррелционная матри-
матрица р-го порядка имеет следующую структуру: .
28—1366
434
Глава 13
Методы овнивания частоты
435
Матрицасигнала Sp в этом случае будет иметь ранг 2Л1 Заме-
Заметим, что, 1ачиная с этого момента, основное внимание будет уде-
уделено комплексному случаю; действительный случай получается
из комплксного простым изменением ранга матрицы сигнала от
значениям к значению 2М.
Матрща сигнала будет иметь следующее разложение по соб-
ственнымзначениям:
s,= 2iV/vi", A3.Ю)
где собсиенные значения упорядочены по степени их убывания,
т. е. Я.1^2> .. .Ap+i, а собственные векторы ортонормальны
(v,wv/ = 0 если 1ф1, и 1, если i = /). Можно показать [10], что
матрица >азмерности р+1, обладающая рангом ЛК/э+1, будет
иметь р—М+1 нулевых собственных значений. Тогда разложение
A3.10) М1ЖНО записать в следующем виде:
с __ 'V ) v vH МЧ 1П
ьр— Z^ A,-v,-v, . (id.H)
На собстенные векторы vb ..., vM, называемые главными соб-
собственным векторами, натянута та же область подпространства
сигнала, по и на векторы сигнала S] sM. Это означает, что
любой гдвный- собственный вектор должен быть представим в
виде некоторой линейной комбинации векторов сигнала
м
v,.= pA, A3.12)
1<?<Л1. Для того чтобы этот вектор был собственным век-
вектором марицы Sp, должно выполняться условие
S?v,. = i,v,, A3.13)
Подставля A3.7) в A3.13), получаем
2 fjSts"v, = A,V,-
V ( Рк r"v
2j I "T~stv
A3.14)
A3.15)
, а это означает, что
A3.16)
Заметим.что в случае М=\ будем иметь Х\=рР и v, = Si/}7>.
Одно из представлений миничной матрицы, записанное че-
через ортонормальные собственые векторы, имеет вид
I=2'v,Af. A3.17)
1 = 1
Г' ¦ 11) и A3.П в A3.6), получаем разложение ав-
1Й матрицы ю собственным значениям:
A3.18)
-, 1 ri-Чг-- п~.- .-¦• v ¦ . , Vp+i натянуто
гветствует одно
бственные век-
. ,ла матрицы RP
венные значения Xi +
гвенные значения глав-
остан.>ены как из мощности сигнала,
этому белый шум будет обязательно
ше собственными значениями собст-
1вгющих свободному от шума подпро-
ia.
. . ,.,u^^i... A3.18) авт(корреляционной матрицы на собст-
энные значения можно двмя способами использовать для по-
получения спектральных оцеюк или, точнее говоря, улучшенных
процедур оценок частоты. Охранение одной лишь информации,
соответствующей собственном векторам подпространства сигна-
сигнала, т. е., иными словами, формирование для матриц КР аппрок-
аппроксимации пониженного ранги эффективно способствует увелияе-
ию отношения сигнал/шум поскольку устраняет вклад мощно-
ти компонент подпростряства шума. Этот факт лежит в
снове процедур оценок чатоты главных компонент (подпрост-
анства сигнала), обсуждамых в разд. 13.5. Заметим, что соб-
1 венные векторы ортогона[ьны и что на главные собственные
векторы натянуто то же подпространство, что и на векторы сиг-
сигнала, а, следовательно, векъры сигнала ортогональны всем век-
векторам в подпространстве иума, включая любую их линейную
комбинацию, т. е.
c
A3.19)
(или 2М
<< (ли 2М в случе М действительных синусоид). Это
свойство положено в ochobj процедур оценок частоты в подпро-
подпространстве шума, которые обуждаются в разд. 13.6.
Методы оценивания частоты
В частном случае р = М (или р = 2М в случае М действитель-
ых синусоид) подпространство шума будет иметь только один
¦обственный вектор Vp+i с собственным значением рда. Этому соб-
собственному вектору будут ортогональны М векторов сигнала
s,"v,+, = J} "P+i И ехр (- j2nftkT) = 0,
M. Следовательно, корни полинома
A3.20)
A3.21)
>удут лежать на единичной окружно'сти в точках, которым со-
соответствуют центральные углы 2sifiT, где l^i^Af. Эта концеп-
.ия лежит в основе метода гармонического разложения Писа-
енко (ГРП), обсуждаемого в разд. 13.6.
3.4. Анализ собственных значений матрицы
(энных для случая экспонент в шуме
Автокорреляционная последовательность, как правило, не из-
естна, поэтому свойства автокорреляционных матриц, описан-
.ые в разд. 13.3, представляют скорее теоретический, чем прак-
ический интерес. Однако идеи, изложенные в этом разделе,
южно обобщить на ковариационные и модифицированные кова-
'Иационные матрицы данных, которые используются в экспонен-
;иальных методах оценивания, основанных на методе Прони
см. гл. И). В этом разделе будет показано, что свойства разло-
кения матриц данных на собственные значения аналогичны свой-
твам подобного разложения для автокорреляционной матрицы.
\а главные собственные векторы матрицы данных в основном
[атянуто подпространство сигнала, а сингулярные числа, соот-
етствующие этим главным собственным векторам, чаще всею
:меют значения, превосходящие значения сингулярных чисел,
оответствующих подпространству шума. Следовательно, сингу-
[ярные числа, определяемые в результате применения к матрице
,анных процедуры РСЧ, будут составлять основу, необходимую
,ля разделения собственных векторов на векторы, наиболее ве-
юятно принадлежащие подпространству сигнала и подпростран-
тву шума.
Метод Прони был введен в гл. 11 как метод, предназначен-
[ый для оценивания параметров некоторой затухающей экспо-
экспоненциальной модели, используемой для аппроксимации заданной
юследовательности отсчетов данных. Центральным моментом
[ля этого метода является решение некоторой системы линейных
¦равнений, содержащей подобное автокорреляционной матрице
фоизведение ТрнТр, где
Т„ =
A3.22)
x\N-p}/
— матрица данных порядка р, используемая в ковариационном
методе линейного предсказания. В модифицированном методе
Прони, который представляет собой один из вариантов метода
Прони для случая незатухающей синусоидальной модели, ис-
используется модифицированная ковариационная матрица данных
вида
A3.23)
Последующее обсуждение будет в основном касаться матрицы
Т„. однако выводы будут также справедливы и для модифици-
модифицированной ковариационной матрицы данных.
Рассмотрим свободную от шума последовательность комп-
комплексных экспоненциальных сигналов
м
'W=SVi. A3.24)
где Zt = exp([ak-{-j2n{k]T), a ht=Atexp(/q>t). Заметим, что в ка-
качестве приемлемых сигналов в данном случае допустимы и за-
затухающие экспоненты. Сформированная из этой последователь-
последовательности х[п] матрица Тр вида A3.22) будет иметь ранг Л) до тех
пор, пока выбранное значение порядка р будет лежать в интер-
интервале M^p^N—М (для модифицированной ковариационной
матрицы — в интервале Afs^p^[Af—М]/2). Матрицу данных То
можно записать в виде следующего разложения на множите-
ли [7]:
Тр = ВС, A3.25)
где (iV—p) xAf-матрица В и (Мхр)-матрица С определяются
выражениями
В =
1 z-J
A3.26)
Глава 13
Используя разложение A3.25), получаем далее
Тр% = СВ"ВС. A3.27)
Соответствующая матрица ВЯВССЯ размера МхМ является по-
положительно определенной, поскольку матрицы В и С обе имеют
полный ранг М. Если %¦, lsgisSjAf,— собственные значения, a w,,
l^i^Af,— собственные векторы, то
(B"BCC")w, = >.,w;, A3.28)
где l^Ct^iM. Умножая слева обе стороны выражения A3.28) на
матрицу С, получаем
C"B"BCC"w, = k,Cw,. A3.29)
Вводя обозначение
v,=C%( A3.30)
и подставляя A3.30) в A3.29), окончательно получаем
T^v^X.-v,, A3.31)
где l^i'^Af. Таким образом, М ненулевых собственных значений
матрицы ТУ'Тр размером рХр идентичны собственным значени-
значениям матрицы ВЯВСС. Остальные р—М собственных значений
матрицы ТряТл равны нулю, поскольку эта матрица имеет ранг М.
Собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным
значениям, определяются выражением A3.30). Следовательно,
любой главный собственный вектор матрицы ТрнТр будет пред-
представлять собой некоторую линейную комбинацию из столбцов
матрицы С, которая составлена из векторов сигнала, о чем сви-
свидетельствует выражение A3.26). Можно также показать, что
любой главный собственный вектор матрицы ТряТл представляет
собой некоторую линейную комбинацию из столбцов матрицы В,
которая также составлена из векторов сигнала. Матрица Т„ бу-
будет иметь М ненулевых сингулярных чисел, которые просто рав-
равны корням квадратным из собственных значений. Собственные
векторы, соответствующие нулевым собственным значениям мат-
матрицы ТРЯТР или ТРТРЯ ортогональны М собственным (или глав-
главным) векторам подпространства сигнала, связанным с ненуле-
ненулевыми собсвспными значениями в пространстве сигнала.
Если данные содержат шум, описанные свойства будут спра-
справедливы не точно, а приближенно. Следовательно, М главных
сингулярных чисел матрицы Тр, составленной из зашумленных
отсчетов, чаще всего будут иметь значения, превосходящие'зна-
чения р—М наименьших сингулярных чисел (которые точно рав-
равны нулю в случае отсутствия шума). Поэтому М собственных
векторов, соответствующих М главным собственным значениям
либо матрицы ТЯТР, либо матрицы TPTPW, будут содержать мень-
меньшие вклады шума, чем собственные векторы подпространства
Методы оценивания частоты 4С.У
шума, соответствующие р—М наименьшим сингулярным числам.
Эти выводы отчасти подтверждаются и результатами анализа,
выполненного в разд. 13.3.
13.5. Процедуры оценки частоты
в подпространстве сигнала
Выше было показано, что сохранение собственных (или глав-
главных) векторов подпространства сигнала эффективно увеличива-
увеличивает отношение сигнал/шум для процессов, состоящих из смеси
экспонент и аддитивного белого шума, за счет устранения основ-
основной доли вклада шума в автокорреляционную матрицу или мат-
матрицу данных. Используя любую из оценок СПМ, описанных в
гл. 5—12, можно построить один из классов процедур оценки
частоты в подпространстве сигнала, просто заменяя автокорре-
автокорреляционную матрицу или матрицу данных их аппроксимациями
пониженного ранга, записываемыми через главные собственные
векторы.
Рассмотрим коррелограммную оценку СПМ, оценку СПМ ми-
минимальной дисперсии (МД) и авторегрессионную (АР) оценку
СПМ Юла —Уолкера. В коррелограммном методе и МД-методе
известная или оцененная автокорреляционная матрица Rp ис-
используется для определения спектральных оценок вида
Ладрр№ = Ген(/Ж;,е(/I A3.32)
/>мдт = Г[е"@Яр1е(/)]-1, A3.33)
тогда как в АР-методе автокорреляционная матрица использует-
используется для получения АР-параметров
где векторы и матрицы определяются следующими выражениями:
/•„га ••• <¦;*[
Если
i 1
exp (j2nfT)
ехр (;2л//>Г)
A3.35)
а[2]
а\р] I
A3.36)
440
Глава 13
— ортонормальное разложение матрицы Rp по собственным зна-
значениям, величины которых упорядочены по степени их убыва-
пия, т. е. Х]^Я2^.. ->ХР, и должны оцениваться М главных ком-
компонент (M^Zp), то аппроксимации пониженного порядка для
матриц Rr, и Rp-', записанные через главные собственные век-
векторы, будут иметь следующий вид:
Л! Л!
Rf=Xvrf. R;'=Irv*v"' A3.37)
k - 1 к - 1 к
и могут использоваться вместо матриц Rp и Rj)^1 в выражениях
A3.32) — A3.34) для вычисления спектральных оценок с пони-
пониженным содержанием шума благодаря устранению собственных
векторов подпространства шума. Впервые подход на основе под-
подпространства сигнала, или главных компонент, был применен
Оусли [11, 12] при получении классических коррелограммных
оценок для устройства формирования луча линейной антенной
решетки — эквивалента пространственно-временных оценок.
Джонсон [4], а затем Оусли [13] предложили использовать этот
подход и для улучшения характеристик МД-метода.
Алгоритмы линейного предсказания,' рассмотренные в гл. 8
и 11, основаны на использовании подобных автокорреляционным
матрицам произведений вида Тр"Тр, где матрица Тр описывается,
например, выражением A3.22). Собственные векторы и собст-
собственные значения матрицы Тр"Тр определяются посредством при-
применения процедуры РСЧ к прямоугольной тёплицевой матрице
данных Тр, описываемой выражением C.96). Сингулярные чис-
числа будут равны положительным значениям квадратных корней
из собственных значений матрицы ТР"ТР. Одна из аппроксима-
аппроксимаций пониженного ранга для матрицы Тр может быть получена
посредством устранения собственных векторов, соответствующих
малым сингулярным числам, и сохранения одних лишь главных
собственных векторов и связанных с ними сингулярных чисел.
Одно из применений этого подхода было показано для метода
Прони (см. разд. 11.9), а Тафте и Кумаресан [20] предложили
использовать его для оценивания частоты. В проведенных экспе-
экспериментах они обнаружили, что ковариационная матрица данных
Тр лучше всего подходит для получения оценок в случае зату-
затухающих экспонент в шуме, а модифицированная ковариационная
матрица данных, описываемая выражением A3.23), лучше всего
подходит для получения оценок в случае незатухающих синусоид
в шуме [6]. Однако ничего удивительного в этом нет, поскольку
использование модифицированной ковариационной матрицы
данных составляет также одну из главных особенностей модифи-
модифицированного метода Прони, применяемого для оценивания си-
синусоид. Рисунок 13.4 иллюстрирует улучшение эффективного
Методы оценивания частоты
е нулей при использовании модифицрованного кова-
случае 50 независимых наборов даных, содержащих
.-.и. Комплексные синусоиды имели отностельные частоты
иались на фоне белого шума при отношнии сигнал/шум,
матрица данных, имеющая порядок р=15 б — разложение
|:нгулярным числам (РСЧ) с использованем двух главных
собственных векторов,
[ал/шум при использовании модгрицированной
i матрицы данных пониженного трядка приме-
11L. отсчетам двухкомпонентного комшексного сину-
оидального жесса:
х [п] = ехр (/2л [0,32] п + я/4) + ехр (/2я [0,3] /) + ш [я]
A3.38)
<24, характеризуемого отношением сипш/шум, равным
"афте и Кумаресан показали, что этот по.ход обеспечн-
итктеристики, близкие к характеристикам метода макси-
-пдобия, и позволяет разрещатьпары близких
¦ д при малых отношениях сигал/шум, когда
предсказания не в состоянии тано разрешить
это
1НЬН
,1Х,
-ТВС
IX G-
атрнцы
v ковар , .,
,ше обсуждались в
странстве шума
\ использовани того факта,
-i'-'питтой марицы
нствушума
гг'п"т т '71""
гл. 8.
или мат-
, ортого-
;,П", т-П---
13.6.1. Метод гармонического разложения Писареко
Метод гармонического разложения Писаренко (РП) относится
к числу самых первых процедур спектрального сценивания, ос-
основанных на анализе собственных значений [14].В этом методе
Методы оценивания частоты
443
предполагается, что гнализируемый процесс состой* из смеси М
комплексных синусои. и аддитивного комплексногоЗелого шума,
а для оценки частот синусоид, их мощности и диперсии бело-
белого шума используете? известная автокорреляционня последова-
последовательность от г„[0] Д| гхх\М]. Если анализируемы} процесс со-
состоит из смеси М деютвительных синусоид и аддтивного дей-
действительного белого пума, то АКП должна быть звестна для
корреляционных сдвиов от 0 до 2М. В разд. 13.3 бшо показано,
что в комплексном сучае автокорреляционная мтрпца RM+i,
сформированная из ЛШ, будет иметь в подпрост-анстве шума
только одни собственый вектор Vm+i и одно свяанное с ним
собственное значение рш, соответствующее диспосип белого
шума. Это собственне значение является также :инимальным
собственным значении матрицы Rm+i, что может Ьиь записано
в следующем виде:
R« + 1vM+1 = ps,vM+1. A3.39)
Если матрица Rm-h зщана, то с помощью подпрогр.л; - MINEI-
GVAL, приведенной вгл. 3, можно определить это минимальное
собственное значение (дисперсию шума) и соответсвующий ему
собственный вектор. Алгоритм, реализуемый даннорподпрограм-
мой, учитывает комшексно-сопряженную симметрио собствен-
собственного вектора.'После определения этого вектора чатоты синусо-
синусоид находятся посредтвом факторизации нолин'ма фильтра
A3.21), соответствукцего полученному собственнму вектору.
При этом гарантируе-ся, что корни указанного полнома будут
лежать на единичной 'Кружности.
После выполнени: процедуры факторизации полинома и
определения частот снусоид можно далее, исполвуя автокор-
автокорреляционную последовательность ГиН], ¦¦•, г„[А] и выраже-
выражение A3.1), определит мощности этих синусоид [9. Процедура
вычислений основана на использовании матричноо уравнения
exp
exi(j2nfeT)
exp (j2KfmT)
exp (/2n/,,27-) \p.
(ехр(/2п/1МГ) ex^j2nfMT) ... exp (/2я IT)
„ [2]
A3.40)
второе можно решить относительно вектора неизвестгчх мош-
)стей синусоид Ри ..., Рщ с помощью любой стандартной про-
)аммы, предназначенной для решения комплексных линейных
)авнений. На практике значения АКП должны оцениваться по
.счетам данных. К числу трудных относится и задача опреде-
:ния значения порядка (т. е. числа синусоид) М, которое долж-
1 использоваться в методе ГРП. В тех случаях, когда значение
)рядка превышает число синусоид, собственные значения, со-
гветствующие дисперсии шума, должны, как это следует из тео-
|и, повторяться [см. выражение A3.18)], поэтому проверка
чличия повторяющихся собственных значений у автокорреля-
онных матриц очень больших порядков могла бы, по-видимо-
стать одним из методов выбора порядка. Однако использо-
е на практике оцененных автокорреляционных последова-
юстей обычно не приводит к появлению повторяющихся соб-
«¦!' чтений. Следовательно, характеристики оценок, по-
_ а'ощью метода ГРП, в случае коротких последо-
¦'¦-/V будут, как правило, ухудшаться. Ряд ста-
;их оценок описан в работе [25].
- ,,,.-,-,а Писаренко для слежения за уз-
окополосном шуме был предложен
тики этого метода были тщатель-
3]. В его основе лежит последова-
м реализации метода ГРП, который,
.ыше алгоритма блочной реализации
г обновление оценки собственного век-
п^мальным собственным значением) по
>едного отсчета данных. Этот алгоритм
ju.j.1 один из вариантов алгоритма наименьших
тов, реализуемого с помощью процедуры услов-
паложенными ограничениями) градиентного поиска,
hi гл. 9:
¦ ¦ri, 1 м
A3.41)
v[n]x[k+l-n].
1
i c.\ 1ТСЯ, вектор v оказывается вектором еди-
в пс юстранстве порядка р = 2М, связанным с
•обственным значением. Опыт работы с этим ре-
зремени алгоритмом показал, что его сходимость
. немонотонной и что для выделения спектральных
юдимо применять длинные окна данных.
Методы оценивания частсы
13.6.2. Функции оцеюк частоты
Ряд функций оцено частоты, полученных в гюдпространстве
шума, позволяет по.учать спектроподобные графики с острыми
пиками. Согласно тории, р—М собственных векторов подпро-
подпространства шума Vm+ . -., vp автокорреляционной матрицы, кова-
ковариационной матриць данных или модифицированной ковариаци-
ковариационной матрицы даных из р полных собственных векторов и М
главных собственны векторов будут ортогональны векторам си-
синусоидальных сигнаов, поэтому линейная комбинация с произ-
произвольными весовыми коэффициентами а*, такая, что
A3.42)
A3.43)
1
ехр (/2л/Т)
{ехр(/2л/МГ)
— вектор комплексных синусоид, будет равна нулю, если е(Д) =
= Si, т. е. является аним из векторов синусоидальных сигналов.
Это означает, что теретически функция оценки частоты вида
A3.44)
будет иметь бесконеное значение на частоте /=/», т. е. на часто-
частоте одного из синусощальных сигналов. На практике из-за оши-
ошибок оценивания фунция A3.44) будет иметь конечные значения,
но очень острые пии на частотах синусоид у нее сохранятся.
Оценки частоты вид. A3.44) —это, конечно, не оценки истинной
СПМ, а всего лишьспектральные псевдооценки, полезные при
оценивании частот анусоидальных или узкополосных спектраль-
спектральных компонент, котоые обладают разрешением, несколько пре-
превосходящим разреишие авторегрессионных методов спектраль-
спектрального оценивания.
В литературе приложено еще два частных вида частотных
оценок. Полагая aj=l при всех к, приходим к оценке частоты,
получаемой с помошю алгоритма «классификации множествен-
множественпых игналов» (multiple signal classifiction, MUSIC) [16, 17],
Лто5.с(/) = т J г . A3.45)
\fe= M + 1 /'
¦сноанной на строгом использовании со)Ственных векторов под-
росранства шума с равномерной весовй обработкой. Полагая
ще]ь а4=1/Я,4, приходим к оценке ча<готы, получаемой с по-
)щю алгоритма «собственный вектор, (eigenvector, EV) [3],
—, A3.46)
ксорой вес каждого собственного вктора подпространства
ум берется равным величине, обратюй собственному значе-
[Ю.соответствующему этому вектору.
Е работе [4] отмечалось, что при заднном значении порядка
ме'од EV порождает меньше, чем (етод MUSIC, ложных
юкральных пиков благодаря использеванию в нем весов, рав-
ыхэбратным величинам собственных начений. В этой работе
утвеждается также, что метод EV, как [равило, лучше передает
фор:у спектра шума, чем метод MUSE. Предельные характе-
рисики любой оценки частоты будут, юнечно, зависеть от того,
насюлько хорошо осуществлено разбимие на подпространства
сигала и шума. Основное средство дляфинятия решения о том,
каюазбить собственные векторы на да подпространства,— это
аналз относительных величин собствешых значений (сингуляр-
ныхчисел) разложения автокорреляцинной матрицы (матрицы
даных) по сингулярным значениям (ислам). Анализ зависи-
мосп асимптотических характеристик сценок частоты, получае-
получаемых с помощью этих алгоритмов, от еличины отношения сиг-
налдгум, значения порядка и частотноо разрешения выполнен
в роотах [5, 21, 18]. Чувствительность этих методов к окрашен-
окрашенном1 (т. е. небелому) шуму пока еще количественно не оценена.
Темне менее можно указать важную (ля практики фундален-
талную проблему: насколько хорошо можно разделить собст-
веные значения, соответствующие сипалу и шуму, используя
дляэтой цели только одни собственные значения, соответствую-
ШИешуму?
j приложении 13.А помещена подрограмма EIGENFREQ,
пре.назначенная для вычисления оценк частоты по модифици-
ровнной ковариационной матрице даных с помощью методов
MUSIC и EV (по выбору). Интересны приложения этих мето-
довдля пространственной обработки агналов описаны в рабо-
тах[1, 2].
13.7. Выбор порядка
Простая идея разделения собственныхвекторов на подпростран-
подпространства сигнала и шума, основанная на нализе либо собственных
значений автокорреляционной матрищ, либо сингулярных чисел
матрицы данных, не дает хороших резльтатов на практике, осо-
особенно в случае коротких записей даных. В работе [22] инфор-
информационный критерий Акаике (ИКА),описанный выше в гл. 8,
был обобщен применительно к задасе разделения подпрост-
подпространств. Пусть %\>%2~> ¦¦ ¦ >'кР — собсъенные значения выбороч-
выборочной автокорреляционной матрицы Rp и пусть т<р, где т —
число синусоидальных сигналов, и Л/—число отсчетов данных.
'Тогда
ИКА[т] = (р — т)\п
П
l
тBр — т). A3.47)
Число синусоид в подпространстве сгнала зависит от мини-
минимального значения ИКА[т]. В работ [22] сообщаются также
некоторые предварительные результату полученные при исполь-
использовании критерия вида A3.47).
Литература
fl] Evans J. Е, Johnson J. R., Sun D.*F. Aplications of Advanced Signal
Processing Techniques to Estimation Angl of Arrival of АТС Navigation
and Surveillance Systems. Ml Г Lincoln Lboratory Technical Re-port 582,
June 1982.
[2] Gabriel W. F. Using Spectral Estimation Tehniques in Adaptive Processing
Antenna Systems. IEEE Trans. AntennasPropag., vol. AP-34, pp. 291 —
300, March" 1986.
[3] Johnson D. И. The Application of SpectralEstimation Methods in Bearing
Estimation Problems. Proc. IEEE, vol. 70, 'p. 1018—1028, September 1982.
[Имеется русский перевод: Джонсон Д. ХТрименение методов спектраль-
спектрального оценивания к задачам определения угловых координат источников
излучения. ТИИЭР, 1982, т. 70, № 9, с. 12€—139]
[4] Johnson D. Н„ DeGraaf S. R. Improving lesolution of Bearing in Passive
Sonar Arrays by Eigenvalue Analysis. IEE Trans. Acoust. Speech Signal
Process., vol. ASSP-30, pp. 638—647, Augiu 1982.
.[5] Kaveh M., Barabell A. J. The Statistical erformance of the MUSIC and
the Minimum-Norm Algorithms for Resolvig Plane Waves in Noise. IEEE
Trans Acoust Speech Signal Process., vc. ASSP-34, pp 331—341, April
1986.
f6] Kumaresan R. Estimating the Parameter; of Exponentially Damped or
Undamped Sinusoidal Signal in Noise. Ph D. dissertation, Department of
Electrical Engineering, University of Rhoe Island, Kingston, R. 1., 1982.
f7] Kumaresan R. On the Zeros of the Linear Irediction Error Filter for Deter-
Задачи
r
jnal Process., vol. ASSP-31,
^l-.lc ui ipuctral Estimation Based on
,E Trans. Acoust. Speech Signal Process.,
. >t 1983.
1 Fourier, Autoregressive, and Special ARMA
is. Engineer's dissertation, Department of
tanford University, Stanford, Calif., December
L j. \\ . Vpplied Linear Algebra. — 2nd ed., Prentice-Hall,
I Cliffs, NJ., 1977.
\ Recent Trend in Adaptive Signal Processing for Sensor
ned Adaration. See in: Signal Processing, J. \V. R. Griffits
demic Pres, Inc., New York, 1978.
- таг Агга Processing. Chapter 3 in Array Signal Processing.
Prentice-Iall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1985.
¦igh-Resoltion Spectrum Analysis by Dominant-Mode Enhan-
r 4 in V,SI and Modern Signal Processing. S. Y. Kung,
o, and TKailath, eds., Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs,
rieval of Harmonic from a Covariance Function.
.- „,' т - , V7—366, 1973.
- Method for Sinusoidal Frequen-
i S'^nH Process, vol. AS^P-32,
.ltipb 'i
parti 1
.. N
1 Par
—28'
\na' :
i' чт0 в слУчае ^ не содержащих шума комплексных синусоид
х\-п1 =A&i=yMs'mB3ifinT) i порядка р=М нули полинома, сформированного
из коэффициентов фильта предсказания ошибки модифицированной нова-
448
Глава 13
рнацнонной матрицы данных A3.23), будут лежать на единичной окружно-
окружности в точках, соответствующих частотам этих синусоид.
2. Показать, что для АР-параметров в уравнении A3.34) подпространство сиг-
сигнала может иметь вид
р = — X
где ak=Vk"Tp — скалярное произведение собственных векторов \-, и гс =
= [rIX[l]...rx*[P]Y-
3. Доказать, что рш = г[О]—SPj. Этот результат можно использовать для чис
ленной проверки на собственные значения, применяемой в подпрограмм*
MINEIGVAL.
4 Показать, каким образом оценку частоты, получаемую с помощью метод;
MUSIC, можно записать не через собственные векторы подпространств;
шума, а через собственные векторы подпространства сигнала. Для доказа
тельства использовать выражение A3.17).
Приложение 13.А,
Программа для вычисления оценок частоты
с помощью методов MUSIC и EV
Эта подпрограмма предназначена для вычисления оценок часто
ты в подпространстве шума либо с помощью метода MUSIC
(METHOD = Q), либо с помощью метода EV (METHOD = 1), опи
санных в подразд. 13.6.2. Оба этих метода основаны на исполь
зовании РСЧ модифицированной ковариационной матрицы дан
¦ных [см. выражение A3.23)]:
х[р] ... х[1]
x[N-l] ... x[N-p]
х'[2] ... х-[р]
[N-p+l] ... x'[N]
Для 64-точечной тест-последовательности данных, приведений]
в приложении II, в случае выбора параметра METHOD = 1 и N^
= 64t IP = 15t NSIG-=11 получаются следующие значения спект
ральной плотности мощности:
PSD(l) =0,П0867Е—02; PSD
PSDA000)=0,351216E+01; PSD
PSDB000)=0,124425E+00; PSD
'3000)-0,821904E+01;
'4000)=0,966779E—03;
:4096)=0,110536E—02.
ГАТ
J,N,IP,NSIQ,X,PSD,ISTAT)
.- .зается в Сдля метода MUSIC и в 1 для мето-
метода ЕV (целое число
1сло отсчетов даншх
— размерность матриц; данных (целое число)
— предполагаемое чисо векторов пространства «сигнала»
(целое число)
— массив отсчетов комлексных данных
, аметры;
— массив действителымх значений оценок частот
— указатель состояния(целое число):
0—при нормальномвыходе из программы,
1 — если NSIOIP-1 или NSIQ<0
Примечание:
Размер .GE. N внешнего массива [ и размер .GE. NPSD массива PSD
должны указываться в вызывающи программе. Размер внутреннего
массива FB должен указываться i .GE. 2»(N — IP)XIP, размер масси-
массива U должен указываться в .GE. &(N — IP) X2»(N — IP), размер масси-
массива V должен указываться в .GE. PxIP, размер массива S должен ука-
указываться в .GE. IP или 2»(N~IP в зависимости от того, что больше.
PARAMETR NPSD = 4096 1 ДоЛ1но быть степенью числа 2 (размер-
ностшатриц. W и Z)
PARAMETR MAXU=100 ! Макимальная размерность матрицы U
PARAMETR MAXV=50 ! Макимальная размерность матриц V и S
COMPLEX X A) ,РВ (MAXU,MAX\) ,U (MAXU.MAXU) ,V (MAXV.MAXV)
COMPLEX W(NPSD),Z(NPSD)
REAL PSDA),S(MAXV)
PI2-8.«ATANA.)
ISTAT=0
IF (NSIG LT IP AND NSIG .QEO) GO TO 5
ISTAT=1
RETURN
NP-N-IP
DO 20 1-l.NP
DO 10 K=1,IP
FBA,K)=X(I-K+IP)
FB(I+NP,K)=CONJG(X(I-K))
CONTINUE
NP2-2«NP
CALL CSVD (FB,MAXU,MAXV,NI2,IP,0,IP,IP,S,U,V)
В этой точке для выбора сингулярны чисел «сигнала» или значения вход-
входного параметра NSIG используется IKA или экспертная опенка
CALL PREFFT (NPSD,0,NEXP,W
DO 30 K-l.NPSD
PSD(K)=0.
DO 70 I=NSIQ+1 IP
DO 40 K=l IP
Z(K)=V(K,I)
DO 50 K-IP+l.NPSD
29—1366
H50 Глава 13
50 Z(K)-@.,0.)
CALL FFT (NPSD,O,1.,NEXP,W,Z)
DO 60 K=1,NPSD
TEMP-REAL(Z(K))«-2+AIMAQ(Z(K))
IF (METHOD .EQ. 0) PSD(K) =PSD(K)+TEMP
60 IF (METHOD .NE. 0) PSD(K)«PSD(K)+TEMP/SA)
70 CONTINUE
DO 80K-1.NPSD
80 PSD(K) = 1./PSD(K),
RETURN
END
Глава 14
КРАТКАЯ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ОЦЕНКАМ
Унифицированный подход, использованный в гл. 5—13, позволил
рассмотреть все методы спектрального оценивания как методы
аппроксимации данных с помощью той или иной принятой моде-
модели. Главная причина появления многих альтернативных методов
спектрального оценивания — неудовлетворительные характери-
характеристики классических методов спектрального оценивания, особен-
особенно в тех случаях, когда величина, обратная длине последователь-
последовательности данных, имеет тот же порядок, что и требуемое разреше-
разрешение. И все же следует заметить, что в тех случаях, когда объем
данных достаточно велик, классические спектральные оценки,
которые обсуждались в гл. 5, будут наиболее структурно устой-
устойчивыми, или, как сейчас принято говорить, наиболее робастными
спектральными оценками. Классические методы дают наиболее
точно характеризуемые оценки из всех методов спектрального
оценивания, рассмотренных в данной книге; единственное допу-
допущение, которое для них требуется,— это допущение о том, что
анализируемые данные стационарны в широком смысле. Неклас-
Неклассические методы требуют принятия дополнительных допущений.
Вариации характеристик различных методов спектрального оце-
оценивания нередко можно объяснить тем, насколько хорошо ис-
используемая модель согласуется с анализируемым процессом.
Когда модель хорошо согласуется с данными, могут быть полу-
получены спектральные оценки, характеристики которых превосхо-
превосходят характеристики классических спектральных оценок (напри-
(например, периодограммы). Когда модель выбрана правильно, но ис-
используются плохие оценки спектральных параметров, получают-
получаются неэффективные (т. е. с большой дисперсией) спектральные
оценки. К сожалению, в случае конечных записей данных тща-
тщательно проанализированы статистические характеристики всего
лишь нескольких алгоритмов. Гораздо больше результатов по-
получено при сравнении конкурирующих алгоритмов посредством
машинного моделирования на ограниченном материале. Различ-
Различные модели могут давать сравнимые результаты, но одна модель
может требовать меньше модельных параметров, а следователь-
следовательно, будет эффективней других моделей, используемых для пред-
представления анализируемого процесса. Различие характеристик
452 Глава 14
наблюдается также и среди алгоритмов, предназначенных для
оценки параметров некоторой общей модели, что было проил-
проиллюстрировано на примере АР-оценок СПМ, описанных в гл. 8.
Общая задача спектрального оценивания — это задача оцени-
оценивания спектральной плотности мощности, или, что эквивалентно,
автокорреляционной функции некоторого случайного процесса.
Поскольку СПМ формально определяется бесконечным числом
значений автокорреляционной функции, задача оценивания СПМ
по конечному множеству данных по своей природе принадлежит
к числу плохо обусловленных, или некорректных, задач. Самое
большее, на что здесь можно рассчитывать,— это попытаться
оценить значения автокорреляционной функции при некотором
конечном числе корреляционных сдвигов. В классических спект-
спектральных оценках, описанных в гл. 5, мы пытаемся оценить наи-
наиболее существенные значения этой функции при корреляционных
сдвигах, изменяющихся от 0 до некоторого максимального зна-
значения М. Попытки свести эту задачу к более легкой и практи-
практически решаемой задаче привели к использованию различных мо-
моделей СПМ, которые были рассмотрены в гл. 6—13. Типичным
является класс моделей временных рядов, которые дают рацио-
рациональные функции СПМ (АР-, СС- и ЛРСС-модели). Эти модели
параметризуются некоторым конечным и, к счастью, небольшим
набором коэффициентов. В результате получаются менее сме-
смещенные спектральные оценки с более высоким разрешением,
если, конечно, используемая модель точно описывает анализи-
анализируемые данные.
В табл. 14.1 кратко представлены все основные методы спек-
спектрального оценивания, которые были рассмотрены в гл. 5—13.
Для реализации некоторых методов оценивания СПМ использу-
используется несколько алгоритмов оценивания параметров. Заметим,
что для компактной записи структурной формы функции СПМ
в книге используются квадратичные матричные формы. Для по-
получения решения относительно параметров модели многие из
описанных методов включают задачу минимизации на некото-
некоторой матрице данных; эта матрица данных указана в таблице.
Некоторые постоянные Масштабирующие множители в таблице
опущены, для того чтобы отчетливее подчеркнуть сходства и
различия перечисленных в ней методов. Указаны номера разде-
разделов книги, в которых даны точные выражения для оценок СПМ
и нормальные уравнения для параметров. Для каждого метода
дана приближенная оценка вычислительной сложности, в кото-
которой учтены лишь затраты на вычисление членов высоких поряд-
порядков полиномиального представления. Заметим, что эти оценки
получены в предположении, что для соответствующих вычисле-
вычислений используются машинные программы, перечисленные в дан-
данной таблице.
Краткая сводка результатов по спектральным оценкам 453
Указанные в табл. 14.1 ((р+1) XI)-вектор данных х,
((р+ 1)Х1)-вектор параметров а, (р+1)Х1))-вектор параметров
Ь и (рХ1)-вектор комплексных синусоид e(f) определяются сле-
следующими выражениями:
х[п] 1 1
х[п-1]
{п—р\
ь =
°р\р]
I 1
ехр(/2п/Т)
A4.1)
\bp\p\j 1ехр(/2я[р-1]/ТI
Тёплицева автокорреляционная матрица данных X,, тёплицева
ковариационная матрица данных Хг, модифицированная кова-
ковариационная матрица данных Хз и матрица предвзвешенных дан-
данных^ Х4 были определены в гл. 8 и имеют следующий вид:
U х[\\ ... О ^
х,=
х[р+\] ... х[1]
x[N] ... x[N-p\
О
x[N]
••-&)• ••¦
'*[/>+1] ... х[1]
x[N-p] x[p+\]
x[N] ... x[N~p]j
... о A4'2)
х\р+1]
x[N] ... x[N-p],
и. Таблица 14.1. Краткая сводка результатов по методам спектрального оценивания
Класс
оцецок
Кл.юсччс-
ские
Парамет-
Параметрические
Не исполь^у-
етсяЬ)
Не использу-
используется
Авторегресси-
Авторегрессионная (АР)
Скользящего
среднего (СС)
Авторегрес-
Авторегрессии — сколь-
скользящего сред-
среднего (АРСС)
синусоиды
Незатухаю-
Незатухающие синусои-
синусоиды
Синусоиды-f-
+шум
Пернодограммиый
Коррелограммный
Юла— Уолкера
Берга
Ковариационный
Модифицирован-
Модифицированный ковариаци-
ковариационный
Адаптивный НСК
Адаптивный РНК
АР высокого
порядка
Модифицирован-
Модифицированный Юла —Уол-
—Уолкера
„г
Модифицирован-
Модифицированный Прони
Писаренко
s Р
о g
5.7
56
8 3
842
8 5.1
S52
9 3
942
103
104
11 к
11 6
1361
п„„„»е;;,,?
мой1)
—/5.В
—/5.Б
8 А/6 А
8 Б/6 А
8.В/6А
8 Г/6.А
9.Б/6А
9В/6.А
10 А/6.А
10Б/6.А
11 В/11.Д
11В/ —
З.Е/-
Квадратнчмая форма
чк'ыр.)-)
e?(f)x|>
e"(f)a
ея (f)b|2
|ен(/)Ь|2
е (j)a.
ШВПФ CZhbz'1)]2
Линейчатый спектр
Линейчатый спектр
..-
Il
_
X,
X,
—
X,
Хз
х4
X,
X,
X,
Хз
X,
Относи-
ность4
N log2 N
N Iog2 A'
.V!
N2
S2
N2
,V7>
N2
N2
N2
N'
Управление со-
между разре-
разрешением и дис-
иерсиейЧ
Окно
Окно
Порядок
АР-модели
Порядок
СС-модели
Порядок АР-
н СС-компо-
нент АРСС-
модели
синусоид
Число
синусоид
Число
синусоид
Непарамет-
зическне
Не использу-
используется
Не использу-
используется
Не использу-
используется
Минимума дис-
дисперсии
MUSIC
EV
124
13 6 ?
13.6 2
—/12.А
— /13 А
—/13.А
[e»<(/)R,-'e(f)|->
[e»(f)R«e(f)l-'
[«"(fiRrttf)]-1
X,
Xj
X,
w2
Л"
N'
Размерность
матрицы R/i
Сингулярные
числа
Сингулярные
числа
') Программа оценивания параметров/программа оценивания спектра.
') Определения вектора и матрицы см. в тексте книги.
') Определения матрицы данных см. в тексте книги.
в
п
р'
ч
ериодог)
азд. «За
исло вы
толбце указа
оамма не рас
числительцыл
:сматривае
: операций
[Ые пара
тся как
на одно
метры, от
обновлен!
которых зави!
синусоидальн;
ie во времени.
1Я
соотвош
модель с
ение
зар
Кратк,
Тёплицева атокорреляционная (р+1) X (р+1)-матрица R оп-
определяется выражением
г-хх[р]\
14.3)
Матрицы R,v и Re — это аппроксимации пониженного порядка
для MaTpnubR4, используемые соответственно в методах MISIC
и EV (их тмные определения см. в гл. 13). Для определния
параметров модели во многих .из перечисленных в табл. 14.1
методах исп<льзуется либо условная (т. е. с наложенными тра-
ничениями) ,либо безусловная минимизация некоторой квдра-
тичной форы, включающей в себя какую-либо из матриц дашых
X,, i = l, ...,i, или автокорреляционную матрицу Ял Спекталь-
ные оценки, .полученные с помощью перечисленных в табл.14.1
методов для 64-точечной тест-последовательности, помещеной
в приложени П, приведены в разд. «Краткая сводка резуьта-
тов», содержщемся в каждой из гл. 5—13.
В научно литературе нередко пытаются делить приведаные
в табл. 14.1 методы на методы «адаптивные» и «неадаптииые»
к данным. Эй термины использовались для различения кл1сси-
ческих метода спектрального оценивания от таких более ввых
методов, как например, авторегрессионный метод спектралного
анализа. Одако было показано, что все методы спектралного
оценивания ак или иначе подгоняют, или «адаптируют», ]ара-
метры модел к имеющимся данным. В методе Прони, напршер,
такая подгока (аппроксимация) выполняется относительнсоце-
нок амплитуды, фазы, коэффициента затухания и частоты для
некоторой экспоненциальной модели. В пернодограммном [ето-
де с помощю ДВРФ оцениваются только амплитуды и (азы,
поскольку чстоты синусоидальной модели" заранее выбра ы с
гармоническ ми интервалами. Единственно уместно испаьзо-
вать термин«адаптпвный» применительно к алгоритмам гасле-
довательноп обновления во времени, которые отслеживаю из-
изменения парметров модели во времени; к их числу отноятся
методы, опианНые в гл. 9.
В некото ых случаях исходные данные должны перед вшол-
нением спекюального оценивания подвергаться предварите.ъной
обработке, тем чтобы устранить значительные композиты
си1нала, котфые в противном случае могут неблагоприятн! по-
повлиять на ка1ество спектральной оценки. Целесообразно удпять
такие комнаенты сигнала, как большое среднее значение (по-
(постоянную сставляющую), тренды — линейный и полином аль-
ные высоки> порядков, сильные тоны (синусоидальные сгна-
лы). Доминрующие тоны или большая постоянная составяю-
сводка результатов по спектральным оценка*
щая приводят к появлению значительных боковых лепестков у
оценок СПМ, получаемых с помощью периодограммного и кор-
)елограммного методов, что может маскировать присутствие
лабых компонент сигнала, близких по частоте к его сильный
¦ л'понентам. Полиномиальные тренды имеют нестационарный
jKTep и, как было показано [2], приводят к значительным
*ктам смещения на низкочастотном конце авторегрессион-
спектральных оценок. Устранение сильных компонент сиг-
н трендов способствует уменьшению динамического диапа-
спектральных значений и поэтому может рассматриваться
:рубое предварительное отбеливание спектра. В случае по-
овательностей данных с пропущенными или плохими отсче-
перед выполнением спектрального оценивания могут быть
шнены методы линейного предсказания (см. гл. 8), с по-
ью которых эти отсчеты будут восстановлены или заменены
С ie надежными [3, 1].
Полиномиальные тренды вплоть до М-го порядка могут быть
устранены с помощью режекторного КИХ-фильтра длиной Af-f-1:
Обозначим такой тренд как
A4.4)
A4.5)
'" — интервал отсчетов. Тогда, для того чтобы иметь
y\n\=Y b[i\ S h[k](nT-kTY = 0, A4.6)
f-0 й^О ,
выполняться следующие ус .п
0,
A4.7)
ем /И+1 уравнений относительно
|.. .снтов фильтра. Сильные тоны mo-
помощью симметричного КИХ-фильт-
актеристикой.
i трендов и тонов должны применять-
uii.A.,!!^!! С1си^1;ью предосторожности, поскольку при
~УТ удаляться не только тренды и тоны, но и компоненты
il^i.j.., близкие к полосам задерживания частотной характери-
тики этих фильтров [которая является преобразованием Фурье
от ^функции A4.4)]. Чаще всего это проявляется в низкочастот-
низкочастотной ооласти спектра. Удаление выборочного среднего значения
458
Краткая сводка результатов по спектральным оценкам
459
1.2
О.В
» со
i -0,8
-1,2
|
1
lllll- :
II
III!,,;
I 1
Рис. 141. Эффект, обусловленный некорректно удалнием среднего значения:
а —отсеты, соответствующие части периоде синусоды; б — АР-оценка для
этих отчетов, полученная с помощью модфицировнного ковариационного
метода с удаленным выборочным средним начение!; в — та же оценка, но
без удаленного выборочного оеднего начения.
также должно выполняться со всей гщателностью. Поскольку
при сатистическом выводе многих спектрльных оценок ис-
используется допущение о нулевом сре.нем значении, представля-
представляется аманчивым всегда устранять и данн1Х выборочное сред-
среднее знчение
Л'
*=4гХ*И- A4.8)
i опыт говорит, что выборочное среднее значение и тренды
>'ет удалять лишь в тех случаях, когда физический характер
изируемого процесса говорит о возможности их наличия или
„ .,,] они с очевидностью доминируют в исследуемых данных.
Литература
[1] Bowling S. В., Lai S. The Use of Linear Prediction for the Interpolation ai.J
Extrapolation of Missing Data Prior to Spectral Analysis. Proceedings oi
the Rome Air Development Center Workshop on Spectrum Estimation, pp. 39—
50, October 1979.
[2] Kane R. P., Triaedi N. B. Effects of Linear Trend and Mean Value on Maxi.
mum Entropy Spectral Analysis Institute de Pesquisas Espaciais, Report
INPE-1568-RPE/069, Sao Jose dos Compos, Brasil, 1979 (available as NTIS
N79-33949).
[3] Nuttall A. H. Spectral Analysis of a Univariate with Bad Data Points. vi?
Maximum Entropy and Linear Predictive Techniques. Naval Underwatei
Systems Center Technical Report TR-5303, New London, Conn March 1976
Для Tiro чтобы показать, к чему это .южет фивести, обратимся
к пршеру, приведенному на рис. 14.. Корсгкой последователь-
ностиотсчетов некоторой части перища сигусоиды, показанной
на ри. 14.1 (а), соответствует остры пик [модифицированной
ковар ационной авторегрессионной пектрашной оценке, пока-
занно на рис. 14.1(s). Эта же оцени после устранения из дан-
данных ыборочного среднего значения показ на на рис. 14.1F),
и ее нд ошибочно говорит о наличиипостояной составляющей.
Приведенный пример иллюстрируетименн тот случай, когда
удале;ие выборочного среднего зна^ния в улучшает спектр,
а пр1водит к появлению в нем лиших деалей (артефактов).
Полнстью удалять выборочное средее зняение нежелательно
также в тех случаях, когда спектр мжет одержать компонен-
компоненту, прдставляющую собой некоторы случйный процесс с ко-
конечно спектральной плотностью мощостипа нулевой частоте
(напр[мер, белый шум), тогда как нкакойконечной мощности
на ну.евой частоте нет (нулевое средгее знление). Выборочное
средне значение не следует также далят. из данных, содер-
жащи; переходные {или неустановишиеся)сигналы. Практиче-
Глава 15
МНОГОКАНАЛЬНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
15.1. Введение
До сих пор обсуждение в книге бы о связано со спектральым
оцениванием единственной стациаарной выборочной послдо-
вательности. В двух следующих лавах одномерные, с едшст-
венной переменной спектральные ]роцедуры оценки будут обоб-
обобщены на многоканальный случай (векторные функции ска.яр-
ной переменной) и на двумерны? случай (скалярные фунщии
векторной переменной). В данно?главе понятия, введенны в
тексте ранее, обобщаются на одновременную обработку отче-
отчетов данных из нескольких каналов. Такие массивы сигнлов
типичны для радио- и гидролоиционных фазированных ан-
антенных решеток, а также для сйсмических измерений, гаед-
ставляющих собой лишь часть ввможных приложений. Ргак,
изложение в каждом разделе на<гоящей главы ведется паал-
лельно изложению материалов, федставленных в гл. 5-13.
Сюда включены теории многоканльных линейных систем, тео-
теория многоканальных случайных [роцессов, многоканальны па-
параметрические модели, многоюнальная авторегрессионая
СПМ, многоканальное линейное лредсказание и многоканль-
ное спектральное оценивание на >снове метода минимума щс-
персии. В связи с интересом к спктральному оцениванию «вы-
«высоким разрешением для коротки: последовательностей даных
значительная часть данной главь посвящена многоканальюму
оцениванию авторегрессионной СПМ. Дополнительный торе-
тический материал по многоканльному анализу времеиых
рядов содержится в работе [18].
15.2. Краткая сводка результатов
Задачей многоканального спектраьного анализа данных в п ка-
каналах является оценивание эрмиовой матрицы спектрал.ной
плотности мощности (СПМ)
Многоканальное спектральное оценивание
461
и (/)
р(/Н
• с ых
jro-
,:' ПАРАМЕТРОВ
дпрограмма МСАВ ,
р j ц At приложение1Б Б)
• ВЫЧИСЛЕНИЕ
МНОГОКАНАЛЬНОЙ
АР СПМ
J
(подпрограмма MCARPSD,
приложение 15.П
Многоканальная СПМ с мини-
минимальной диверсией
• ВЫБОР ПОРЯДКА
• ВЫЧИСЛЕНИЕ МНОГО-
МНОГОКАНАЛЬНОЙ СПМ С
МИНИМАЛЬНОЙ
ДИСПЕРСИЕЙ
подпрограмма MCMINVAR,
подразд 15.13)
-• Р.Л1У
45 I Краткая запись трех подходов к многоканальному оцениванию
СПМ.
v'.яемой формулой A5.19). Матрица СПМ состоит из эле-
¦013, соответствующих автоспектрам, Ра, 1 = 1, . ¦ ¦, т, и эле-
iob, соответствующих взаимным спектрам, Рц, 1Ф}, для всех
чных пар каналов. На рис. 15.1 дана краткая запись трех
,ных подходов к многоканальному оцениванию, для ко-
! данной главе приводятся программы вычислений. Мно-
|ьный анализ СПМ с использованием классического пе-
¦ чода представлен в разд. 15.5. Программа
ении 15.А — это реализация одной из клас-
иых процедур оценки СПМ. Многоканаль-
сгрессионпой (АР) СПМ широко обсужда-
' Два АР-алгорнтма Внеры —Морфа и
местпо реализованы в единой машин-
енки матриц авторегресси-
¦ помощью подпрограммы
i\ ARPSD, Многоканальный
в разд. 15.13, где представ-
пзации. Члены, соответству-
!личных процедурах оценки
терминах функции коге-
462 Глава 15
15.3. Тео1ия многоканальых линейных систем
Пусть х[г] обозначает вктор отсчетов из m-канального про-
процесса с юеменнь'ш индеком п:
A5.1)
Если х\г] представляет т-канальный mXl-вектор входа, а
у[п] — n-канальный т>4-вектор выхода, то операция свертки,
реализуемая линейной сктемой, инвариантной к сдвигу1', уста-
устанавливая' соотношение 1ежду х[я] и у[я] и записывается в
виде
y[n]=tf_H[n-ftlx[fe] = HW.x[n], A5.2)
где ту,г-матрица многаанальной импульсной характеристики
имеет вю,
fW ¦¦• К.ЛЩ )
K..W ¦¦¦ К,п
Следоваельно, отдельн(му выходному каналу {/,-[«] соответ-
соответствует фикция свертки
</,[«]= С 2 ft,7 ["-*]*/М-
F 1 k- -co
Матрща многоканалного z-преобразования матричной ш>-
следоваильности H[k] щределяется следующим выражением:
где г—омплексный скляр. В этом случае Н (г)—многока-
(г)—многоканальная системная фунция. Вектор сигнала x[k] имеет сле-
следующее -преобразование
Х(.)=
k
A5.4)
^ Такие сстемы часто назывются линейными инвариантными во временя
или ЛИВ-истемами (см., напрмер, [13*]).— Ярый*, ред.
Многоканальное спектральное оценивание
463
Матрица H(f) многоканального дискретного времени преобразо-
преобразования Фурье (ДВПФ) определяется выражением
Н № = ГН (г) |„„р иш1Т) = Т J^ Н И ехр (- ]2nfkT), A5.5)
«вектор X(f) многоканального ДВПФ — выражением
X (/) = Г J^ х [fe] exp (- j2nfkT). A5.6)
Теорема о многоканальной свертке, связывающая z-преобразо-
вание матрицы и векторов в уравнении A5.2), записывается
в форме
У(г) = Н(г)Х(г). A5.7)
Каузальная m-канальна-я линейная система описывается матрич-
матричным разностным уравнением с постоянными коэффициентами
n-k], A5.8)
в котором А[4] и C[k]—mXm-матричные коэффициенты.
В ¦предположении нулевых начальных условий г-преобразова-
ние! имеет вид
4
А(г)У(г)=С(г)Х(г)
A5.9)
15.4. Теория многоканальных случайных процессов
Основные положения теории двухканальных случайных процес-
процессов для процессов, стационарных в широком смысле, были раз-
развиты в гл. 3. Взаимная корреляция между одноканальиыми про-
процессами х[п] и у[п] определялась там как
]} A5.10)
¦со свойством rx,\k]=r'lx[—k]. Было показано, что двухканаль-
«ая взаимная спектральная плотность мощности представляет
собой просто дискретно-временное преобразование Фурье
(ДВПФ) взаимной корреляционной функции
P,y(f) = T 2 г,аИехр(-/2я//гТ). A5.11)
В общем случае эта функция является комплексной и обладает
комплексно-сопряженной симметрией
464
Глава 15
Можно непосредственно показать (см. Задачи), что значения
взаимного спектра на каждой частоте не превышают среднего
геометрического значения спектров процессов х и у на этой час-
частоте, т. е.
\Р хиA)\" < Р хЛ1) Р УЛ1)- A5.13)
Эрмитова матрица
Pn(i)J
A5.14)
называется матрицей когерентности. Согласно свойству A5.13),
эта 2х2-матрица должна иметь неотрицательный детерминант
для всех частот. Комплексное безразмерное выражение
ФхЛ1) = -7-- P"il) = A5.15)
" У РххФ К/>,,„(/)
получило название функции когерентности. С этой функцией свя-
связаны квадрат модуля когерентности (КМК)
К.МК(/J^^l^i/it/J1^2~п—,'г. D— f A5.16)
и фазовый спектр когерентности (или просто «фазовый» спектр)
9 (/) = arctg| Im {Ф*у(/)}/Ке {Фх), (/)}]¦ A5.17)
Заметим, что величина КМК должна быть заключена между О
(для частот, на которых отсутствует когерентность между ка-
каналами) и 1 (для частот, на которых каналы полностью коге-
когерентны в границах некоторых фиксированных фазовых соотно-
соотношений). Таким образом, КМК можно использовать для изме-
измерения сходства (как функции частоты) двух сигналов. Важней-
Важнейшее его применение — обнаружение общего сигнала в двух
различных каналах. Фаза когерентности характеризует отста-
отставание или опережение по фазе в канале х по отношению к ка-
каналу у как функцию частоты.
Чтобы обобщить скалярные функции авто/взаимную корре-
корреляцию и авто/взаимную спектральную плотность мощности на
многоканальный случай, определим многоканальную корреляци-
корреляционную последовательность (МКП) стационарного вектора т-ка-
нальных данных х[л] для корреляционного сдвига k как мат-
матрицу
/"и И г1г[Щ ... rlm[k]
,( 15.18)
Представляющую ПО форме корреляционную Матрицу, диагональ-
Многоканальное спектральное оценивание
461
ные элементы которой являются коэффициентами автокореля
ции для отдельных каналов, а все остальные элементы—это ко
эффициенты взаимной корреляции между всеми парами кана
лов. Хотя Гу[&]=/=/¦,,*[ft], свойство r,t\k\ ™г,,*[—k] далжн»
иметь место для 1Ф\. Следовательно, R«[ft] не будет обтадат]
свойством эрмитовой симметрии, т. е. Rxx [k]?=R™[&], ю вме
сто него будем иметь R,, \k\ = Rxx[—k]. Аналогичное опеделе
ние можно ввести для многоканальной ковариационной функ
ции, если использовать вектор средних по каналам. Есга мно
гоканальный процесс х[п] имеет во всех каналах нулево сред
нее, то многоканальная ковариационная матрица равт мно
гоканальной корреляционной матрице, Матрица ДВПФразме
ром (тХт) многоканальной корреляционной матрицы
Р„„ (I) = T J^ R» М «Ф (- \2фТ) =
п (ft
P*(f)
г (/)
A5.1&
по определению является матрицей многоканальной спе.траль
ной плотности мощности (СПМ) многоканального слуайног*
процесса. Диагональными элементами ее являются авпепект
ральпые плотности отдельных каналов, а недиагональыми —
взаимные спектральные плотности пар каналов. Заметш, чт-
матрица Р„(/) эрмитова, т. е. Р»(/) = Р"хх @, и являете! поле
жительно полуопределенной. Это означает, что матрица ;аждг
го главного минора PXx(ft имеет неотрицательный детершна!
и, следовательно, значения когерентности для всех пар Kai
лов заключены между 0 и 1. Так, для двухканальной М!трш
СПМ
det
U(fl
I />2. (/) I2
^ РпфРкФ
Подобные утверждения могут быть сделаны в отношеник-детег-
минантов более высокого порядка, в предположении суцество
вания множественных функций когерентности, таких, какЬ,/^(/).
со свойством
30—1366
Из многоканальных случайных процессов с нулевым :редним
¦особый интерес представляет многоканальный белый цгм w[n],
многоканальная МКП которого имеет вид
' к 0' A5.20)
в остальных случаях,
где Рш—mxm-эрмитова матрица. Белый шум в каждо) канале
коррелирован с самим собой и с белым шумом другихканалов
только при сдвиге k=0. Следовательно, многоканальня СПМ
многоканального процесса типа белого шума подчиняе-ся соот-
• ношению
Р».(Л = ГР.. A5.21)
¦Используя аргументы, аналогичные приведенным в разд4.3, лег-
легко показать (см. Задачи), что соотношение между коррляцион-
¦ной матрицей Ryy[m], выходной корреляционной матрией мно-
многоканального фильтра с последовательностью матричой им-
импульсной характеристики Н[т], и R«[m], корреляцией ой мат-
матрицей многоканального входного процесса, записываете в виде
Rnr[m] = H[m]*R10t[m]*HH[— m\. A5.22)
Тогда многоканальное ^-преобразование выражения A5.22)
•будет
- Рг/(г) = Н(г)Р„(г)Н"(\/г*). A5.23)
На основе определений A5.5) и A5.19) и связи между годным
и выходным процессами многоканального линейного фильтра
получаем mXm-матрицу СПМ
РУУ(/) = Н(/)РХХ(/)Н»(/), A5.24)
'Где
Н (П = J__ Н И ехр (- j2nfkT).
Заметим, что формально H(f) не является многокаильным
ДВПФ, поскольку здесь опущен масштабный множите* Т.
15.5. Многоканальные классические процедуры спектра ьной
оценки
В гл. 5 были обсуждены классические методы автоспект ального
¦и взаимноспектрального оценивания для двух методов щенива-
¦ния СПМ — периодограммного и коррелограммного. В той гла-
главе читатель найдет алгоритмы для вычисления автосгектраль-
ных оценок отдельных каналов и взаимных спектральых оце-
лок пар каналов, которые затем используются для заюлнения
Многоканальное спектральное оценивание
4Г
клеток матрицы СПМ A5.19). Программа MCPERIOD в прил<-
жении 15.А позволяет вычислять матрицу СПМ с помощью пе-
периодограммного метода.
Многоканальные периодограммные и коррелограммные мет(-
ды для оценивания СПМ можно представить более наглядно J.
многоканальной матричной записи. Многоканальная усредненна-
периодограмма, основанная на усреднении по К сегментам, имь
ет вид
где
--Т 2 xt[п]ехр(— j2nfnT)
— mxl-вектор ДВПФ, построенный по N отсчетам т-канальн'-
го выборочного вектора Хй[и], взятого из ?-го сегмента. Усре,-
нение важно не только для целей статистического сглаживанию
периодограммы, оно также имеет большое значение для миш-
мизации смещения в оценке когерентности. Рассмотрим предел-
ную ситуацию в двухканальном случае без усреднения по се-
ментам (имеется единственный сегмент). Тогда авто- и взаиг-
ные периодограммные оценки, полученные по N отсчетам из к^
налов Х\ и Х2, имеют вид
Pi!)XU)x:(f)
При этом оценка квадрата модуля когерентности будет рав]Э
единице, так как
КИК (Л- ^^'^(f) ^[Xi (»*;(»] Г*? (/)*-(»] _! A52V.
для всех f независимо от значений данных. Этот случай иллюс-
рирует предельную ситуацию в отношении эффекта смещение
30-
который всегда присутствует в оценках ксерентности, получен-
полученных из спектральных периодограммных оцнок.
Смещенную оценку многоканальной нереляционной матри-
матрицы при сдвиге k можно записать для случа fe>0 в виде
N-k-l
RxxW = ^r
-— У
A5.27)
где многоканальный вектор данных х[п]определен формулой
A5.1). Полагая, что оценки проведены дл сдвигов от 0 до ±р,
с помощью многоканального коррелограмшого метода получим
оценку СПМ
РК0рр(/) = Г 2 Я„[А]ехр(-;2л/*Г). A5.28)
А--Р
Выражение A5.28) можно кратко записатьв виде
PKOPP(/) = 7>f@V?0. A5.29)
где блочно-тёплицева корреляционная маъица блочной размер-
размерности (р+1) Х(р+1) определена выражемем
(Rxx[0] R»[l]
Rxx [-1] Rxx [0]
¦¦ RxxW ]
A5.30)
x[-p] R»[-p+l] •¦ Rxx[0J
& блочный вектор-стрсжа комплексных сшусоид е_„@ из (р+1)
«блочных элементов определяется как
е,(П = [1„ехр(/2л/7'I„ ... ехрBл//)ГI„]. A5.31)
Заметим, что каждый элемент блочного вектора ер(/)—это
единичная mXf-матрица \т, умноженна: на соответствующее
значение комплексной синусоиды.
Ведется разработка схем применения лассических алгорит-
алгоритмов автоспектрального оценивания взаимшх спектральных плот-
плотностей. В случае успеха это сняло бы необходимость развивать
взаимные спектральные оценки и полные шогоканальные алго-
алгоритмы. Например, формируя новые комиексные данные про-
процессов
из исходных процессов х[п] и у[п] и ычисляя автоспектры
Pxx(f), Pyyif), Paw(f), Pzz(t), легко можо показать, что дейст-
^ногоканалное спектральное щенивание
469
вительная и лнимая чети взаимной "псктральной плотности
между канал ми хну аисываются выражениями
1е [Р,„ (П)'т [Р« (/) —Р, U)-Puu (/)],
A5 32)
При испольэшании меода взаимногс спектрального оценива-
оценивания знамени; квадрат; модуля когернтности, вычисленные по
1\ц, которая получаетя из выраженй A5.32), могут превы-
превышать 1. Очеидно, что это неприемлем) с точки зрения обнару-
обнаружения когернтных кмпонент межд каналами, и, следова-
следовательно, рассютренныйподход не приоден для использования.
15.6. Многокнальные УРСС-, АР- и СС-1роцессы
По аналоги! с опредееннем для однканального случая ш-ка-
нальный АРХ-процес определяется ик векторная рекурсия
хМ=—
к
л —fc]4- ? C[k\u[n — k
A5.33)
где VV[/е] - тхт-марицы автореоессионных параметров,
C[k]—тх^-матрицы [араметров скользящего среднего и u[k] —
т XI -вектор представляющий входно! возбуждающий шумовой
процесс, в редположнии, что это гационарный в широком
смысле мнооканальнй процесс. Z-пеобразование, устанавли-
устанавливающее свяь между кодом и выходи, как следует из A5.19),
имеет вид
Xz) = A-1{z)C(zJJ{z), A5.34)
причем
S A[tz-*,
C[kz~K
1
A5.35)
Следователно, матри'ная передаточня функция от входа к вы-
выходу равна
Я (г) = Л (г) ОД. (>5-36)
ПодставляяA5.36) в 15.23), получав! z-преобразование выход-
выходной коррелщионной пследовательности
Л(г) = Л-'»С(г)РииB)СA/г*)Л-"A/г«), A5.37)
470
haaa 15
где ~" означает эрмитову траспозицию обратной матрицы ".
Если сделано предположение, ito многоканальный входной про-
процесс является белым шумом с постоянной ковариационной мат*
рицей Р„, то выходной процес имеет многоканальную АРСС
СПМ-функцию, получаемую и: A5.37):
(ПА-"(/) A5.38)
и определенную для |/|^1/2Т.где
А (/) = Л (ехр [/2я/Т]) =1 + S А [к] ехр (- j2nfkT)
С (!) = С (ехр [/2п/Г]) = 1+ Д С [к] ехр (- j2nfkT).
Многоканальную АРСС СПМ-«ункцию можно записать иначе
Рарсс(/) = Г[аре? (ft] [с,е?П] Я„[е, (ft с?] [е„ (/) а»]. A5.39)
Здесь блочные вектор-строки р с р-j-l блочными элементами и
Од с <7+1 блочными элементащ определяются выражениями
с, = (I с м ... с г?]). ( '
a ep(f) и е^(/) —блочные вект)р-строки комплексных синусоид»
определяемые формулой A5.3).
Многоканальный АР(р)-приесс
имеет г-преобразование-
A5.41)
A5.42)
и, следовательно, многоканальую функцию СПМ
Рар @ = Г [а,е? f)] /»„ [ер (/)<]-. A5.43)
Многоканальный СС(<;)-прцесс
s[n]=Ec[l[i[n-fi] + u[n] A5.44)
A/г*) A5.45)
имеет z-преобразование
(
и, следовательно, ыногоканальую функцию СПМ
Рсс (/) - Т [cqt, (!)] Р, [е, (/)<]. A5.46)
•> В разд. 3.2 определена эрмитова транспозиция матрицы А: А"=(АТ)* =
= (А*)т. — Прим. ред.
Многоканальное спектральное оценивание
471
Хотя многоканальный процесс может быть векторной авто-
авторегрессией, отсюда вовсе не следует, что каждый канал отдель-
отдельно представляет авторегрессионный процесс [14, 15]. Рассмот-
Рассмотрим двухканальную векторную авторегрессию первого порядка
x[n] = —A[l]x[n —l] + u[n], A5.47)
де во входном процессе отсутствует корреляция между канала-
каналами и дисперсия для каждого канала равна единице (Рш = 1),
где a, b, end — комплексные элементы.
В случае двухканального АР-процесса его г-преобразование
будет иметь вид
о.„ы = А-Чг)А-яП/г*), A5.48)
— г-'-а —г
!ляя это выражение для А (г) в A5.42), получаем
г> V—(
Ц |а|
A5.49
A5.50
(г) показывает, что каждый эле
"Т -'гтырс полюса и три нуля в ограни
¦¦. спектр в каждом ка
КЗ) -процессом, даже не
,ача является векторно,
ами, каждый из которы
ж. Вообще, т-канальна
1ем каждого из канало
пектры и взаимные спект
ной zплос
оказывает,
имеет больше степеней свободы, чем авт
авторегрессии.
гоканальные уравнения Юла — Уолкера
/лояении следующих пяти разделов основное внимание бу-
уде.ено многоканальной авторегрессионной спектральной
оценке. Лногоканальным спектральным АРСС- и СС-оценкам в
литератре уделено ограниченное внимание. Однако в связи с
интерессм к ним здесь выводятся в качестве упражнения урав-
уравнения Ола — Уолкера для многоканальной АРСС-оценки.
К числуработ последних лет по многоканальной АРСС-оценке
можно снести работу Ли и др. [10], Фридлендера [5], Фрид-
лендера* Пората [7].
Стацонарный m-канальный авторегрессионный процесс мож-
можно предтавить в виде скалярного произведения блочных век-
векторов
е'[п] = а„х,[л], A5.51)
для котоого блочный вектор-строка многоканальной матрицы
АР-коэф)Ициентов был определен в A5.40) как
- а„ = A АД1] ... А, [/>]), A5-52)
где 1 — циничная матрица размером тХ>п, а блочный вектор-
столбец шогоканальных векторов данных имеет вид
/ х[л] х
.[«] =
A5.53)
\х[п-р]/
Верхний шдекс «/» использован в формуле A5.51), чтобы под-
подчеркнуть что ер^[/г] не только авторегрессионная возбуждающая
последов тельность (в прежней записи и [п]), но также и ошибка
линейног предсказания вперед. Чтобы установить соотношение
между м.тричными элементами АР-коэффициентов и матричной
корреляшонной последовательностью для сдвигов от 0 до р, ум-
умножим о(е части A5.51) на хр"[п] и вычислим математическое
S V[« *? И1 =«? {apxp [я] х» \п}} = а,,«? (х„ [л] х» [л]}. A5.54)
Определи блочную матрицу Rp, состоящую нз (р+П X (/> + 1)-
блочных лементов Rxx [k] (размер каждого яз них равен tnXtn):
«{х[л]х"[л]}
?{х[п\хн[п-р])
[х[п-р]х"[п-г]}
A5.55
Rxx [0]
R.J1]
:Л~Р] Rxx[-P+1] ¦¦- Rx,[0]
ииа RP имеет и эрмитову, и лочно-тёплицеву структуру.
1ьные элементы матрицы Rp, ообще говоря, не эрмитовы
?]=/=R"xx[&]), хотя R,,[-Hfe]=RxxU]. Можно упростить
) XI-блочный вектор .
(Р'„
0
„ I), A5.56)
Xm-матрицы i Рр'=й"{е'[я]е'"[п]}=Р„—
трица возбуждющего АР-шума. Последнее
ни A5.56) слезет из того, что возбуждаю-
сс не коррелираан с предшествующими зна-
:а, g{el[n]x"[n-k]}=0 для k<n. С учетом
авнение A5.54) можно переписать в виде
С ... 0).
A5.57)
оканальная версия норма.ьных уравнений Юла — Уол-
. для многоканального АРр)-процесса, так и для мно-
ного фильтра линейного педсказания вперед поряд-
^к^нальный авторегрессионый процесс, представляю-
|роцесс, образованный i помощью фильтра предска-
¦ 'я ч-\ снного нпдска п—1 имеет вид
1 ¦ ^ ВМ\п —/>—1+Ч = Ь,,х,[л —1].
A5.58)
мжанальных матричных АР-
. дравен
...5Д1] I). A5.59)
¦)Ные уравнения Юла — Уолкера
s прсдс чния яазад стационарного много-
', и ,,Lcca наход 1ся изследующих соотношений:
S{4\ -l]x» [n-l]} = ?{lxp[n~l]x?[п-Ц],
откуда
bpRp = @ ...О Р»),
A5.60)
474
Глава 15
где Рр" = й'{е'>[п—l]eSH[/i-l]}—ковариация возбуждающего
шумового процесса для AFnpouecca предсказания назад. В об-
общем случае для многоканаьных процессов Ррь будет отличаться
от Рр^, тогда как в однокавльном случае они равны. В однока-
нальном случае было достточно эрмитово-теплицевой структу-
структуры корреляционной матриш, чтобы гарантировать соотношение
сопряженности ap[k] = bp*[:] между АР-параметрами предска-
предсказания вперед и назад, что 1ыло показано в разд. 3.8.1. В много-
многоканальном случае, однако.элементы блочной корреляционной
матрицы Rp утрачивают св'йство эрмитовости, необходимое для
достижения простейшего еотношения между ар и Ьр. 2-преоб-
разование спектральной пжгности многоканального АР(р)-про-
АР(р)-процесса может быть выраже» через коэффициенты фильтра пред-
предсказания назад:
Рдр(г) = !-1(г)Рр-В-"A/г*), A5.61)
где В (г) — матричный полном вида
B(z) = z-Pl+ ? В[/гг-Р + * = г-» (l+ ? B[ft]z»\ A5.62)
*=1 V 4=1 I
Для стационарного многоинального процесса преобразования
Pap(z), описываемые соотгошениями A5.42) и A5.61), должны
быть эквивалентными, и, с.едовательно, любое из этих выраже-
выражений можно использовать .ля получения многоканальной АР-
оценки СПМ.
15.8. Многоканальный алгоритм Левинсона
Вероятно, впервые быстры алгоритм для совместного решения
уравнений Юла — Уолкера A5.57) и A5.60) был разработан в
работе [22]. В нем принят -от же подход, что и в одноканальном
алгоритме Левинсона, предтавленном в разд. 3.8.1. Блочно-теп-
лицеиу многоканальную кфреляционную матрицу Rp+i можно
представить двумя способа:и:
-^ ), A5.63)
для которых блочные векто-crpoxu г>м и s0+l определяются так:
A5.64)
Эти представления можно затем использовать для построения
следующих соотношений:
(a, 0)Rp + 1=(Pp 0 ... 0 Др + 1), A5.65)
(Ь b,)R,+1=(V,+1 0... 0 Я»),
A5.66)
Многоканальное спектральное оценивание
¦75
для которых mxm-матрицы Ap+i и Vp+1 определены в нде
\+1 = Rx, [р+ 1] + J: \p[k] Rxx [/>+ l-fe] = a,s?+1, A5.67)
V = Rxx \~p-1] + ? В,[fe] Rxx [k-p-l] = bpr?+1. A5.68)
Pc сия обновления порядка для матриц авторегрссион-
шентов предсказания «вперед» и «назад» прнимает
bp),
0).
A5.69)
A5.70)
¦. необходимые для определения маричных
¦ а линейного предсказания, подч!няются
-' 1-
1 1
- Н
A5.71)
A5.72)
;>ае име-
A5.73)
A5.74)
ночается отличие от одноканального случая,для ко-
, чествовал единственный коэффициент отражемя, обус-
ый свойством Ьр[р] =ар*[р] (разд. 3.8.1). Сп аведли-
отношений A5.69) и A5.70) можно проверить шноже-
ждой части этих соотношений справа на КРч и ис-
пием формул A5.65), A5.66), A5.73) и A574) В про-
роверки получаем рекурсии обновления порядка для
ционных матриц ошибок предсказания
уя матричное тождество
¦ но вывести следующую лемму:
V7 ДН
A5.75)
A5°76)
A5.77)
A5.78)
4л, I лава 15
Матрица AD+1 размером mXtn является просто матрицей
взаимной корреляции остатков линейного предсказания вперед
и назад при единичном корреляционном сдвиге:
4,A^Й[л]е'»[^1]1 = е A5.79)
Доказательство этого соотношения оставлено до разд. «Задачи».
Определим нормированную взаимную корреляцию, или нор-
нормированную частную корреляцию, которую можно сопоставить с
одноканальным коэффициентом отражения, определяемым фор-
формулой G.22):
лР+, = (^г/!)-1(/)?)(Р?'а)"" =
= (S {4 [п] 4" МI") У? {4 И 4" [л- 1]})х
g №\" н
В многоканальном случае матрица коэффициентов частной кор-
корреляции и матрицы коэффициентов отражения не тождественны:
в этом — отличие от одноканального случая, для которого они
совпадают. Верхний индекс (—Н) означает сопряженную транс-
транспозицию обратной матрицы, т. е. по порядку выполнения сна-
сначала осуществляется обращение матрицы, а затем производит-
производится сопряженная транспозиция1'. Верхний индекс 1/2 означает
нижнюю треугольную матрицу, полученную разложением по ме-
методу Холецкого2' исходной эрмитовой матрицы. Следовательно,
если М — эрмитова матрица, то
М = (РЛЧ'-) (М'/«)". A5.81)
Коэффициенты отражения в формулах A5.73) и A5.74), со-
соответствующие предсказанию вперед и назад, можно выразить
через Лр+ь
Ар + 1[р+1] = -(П)Л^1(/)?12)-1, A5-82)
Bptl[p+\] = ~(Pt'*)A^l(PlPrT1- A5.83)
Многоканальная нормированная корреляция Лр позволяет полу-
получить единственную параметрическую последовательность для
многоканального алгоритма, так же как коэффициент отражения
ор[р] обеспечивает единственную параметризацию в случае од-
одноканального АР-процесса. Основываясь на неотрицательной
определенности корреляции Rp, Морф и др. показали [13],что
сингулярные числа Лр+1Ляр+1 находятся внутри единичного кру-
круга. Это представляет многоканальное обобщение требования к
однокаиальным коэффициентам .отражения, которые должны
быть меньше единицы.
J> См. замечание к формуле A5.37). — Прим. ред.
2> Метод Холецкого (метод корня квадратного) см. [6*], с. 176 —Прим. ред.
Многоканальное спектральное оценивание 4/У
Форчуы A5.67), A5.69), A5.70), A5.73—15.76) составляют
многоканлыюе обобщение алгоритма Левинсона. Выражения*
A5.80) и;15.83) можно использовать вместо выражений A5.73)
и A5.74) Структура алгоритма для рекурсии обновления по-
порядка трбует, чтобы Rg были строго положительно определен-
определенными и всингулярными для любого порядка от 17=1 до q = p.
Это услеше выполняется до тех пор, пока det|P,'|>0 и.
det | Р«* | ; 0 для каждого значения порядка. Начальные усло-
условия Pof ~ 'ob = RxxfO], необходимые для начала рекурсии Левин-
Левинсона, полчены анализом формул A5.65) и A5.66).
Умнолая обе части уравнений A5.69) и A5.70) на_Хр-н[я],
можно шлучить полезные соотношения между многоканальны-
многоканальными ошибвми линейного предсказания порядка р и ошибками
линейноп предсказания порядка р+1:
ef+iW = eJ[n] + A,+ 1[p+l]eJ[n-l], A5.84).
[n]. A5 85).
15.9. Мнооканальное обращение блочно-тёплицевой матрицы
Мпогокавльный алгоритм Левинсона служит основой для мето-
методов, [опиошающих полное обращение эрмитовой блочно-тепли-
цевок ко реляционной матрицы уравнения A5.55). Акаике [1];
и Уотсон[20] в числе первых опубликовали алгоритмы для та-
такого блочюго обращения, форма эрмитовой блочно-тёплицевой
обратнойматрицы, которая будет особенно полезна в настоящей
главе, имет следующий вид:
R^ = A?PJA,-B«P{B,, A5.86).
А =
В„ =
I 4Д1] ... Ар[Р}) {(Р'РГ
0 ¦¦ '¦¦ '¦ р,_ °
: •-. ¦. а,[1] ' Рр' :
U ... О I I I О
(овРм ... вр[1]) {(Plr
0 ¦•• '¦ : р»_ °
: ¦¦. ¦-. в,м • -•- . :
1о ... о о | I о
0 1
о
Этот резльтат можно вывести, используя подход разд. 3.8.1 (см..
также [6).
15.10. Многокаильное автореоессионкое
¦спектральное цвкивание
Алгоритмы, неюсредственно о данным оценивающие парамет-
параметры многоканалного АР-процсса, построены подобно алгорит-
алгоритмам, описанньи для однока!ального АР-процесса в гл. 8.
В этом раздел обсуждаются алгоритмы, основанные на оце-
оценивании корреляционной фунции, на оценивании частной кор-
корреляции и на лшейном предсизанин на основе метода наимень-
еших квадратов.
15.10.1. Метод щенивания кореляционнои функции
Наиболее очевдный подход ; АР-оцениванию СПМ поданным
r-канальной вюоркп—-это в;есто неизвестной корреляционной
'функции исполвовать ее оцен:и. Смещенная оценка, основанная
-на Лг векторны отсчетах от xl] до x[Af], имеет следующий вид:
R» [ 1 = -L ^х[п + т\х"[п], A5.87)
тде Rxx[w] оп|еделена для (<Z.tn^N—1. Автокорреляционные
¦члены для^ орицательных сдвигов получают из свойства
¦Rxx[—т] = Ц.яъ\т]. Для вьшсления отдельных автокорреляци-
¦онных и взаимюкорреляционых элементов матрицы Rxx[m]
можно испольэвать подпрогамму CORRELATION. Использо-
Использование смещеншх корреляцнсшых оценок гарантирует положи-
положительную полуаределенность Rp. Комбинируя корреляционные
-оценки с мнооканальным лгоритмом Левинсона, получают
оценки матриц^Р-коэффициетов, которые затем можно исполь-
использовать в формле A5.43) дл получения АР-оценки СПМ. Бу-
Будем называть эту процедур многоканальным алгоритмом
— Уолкер;.
15.10.2. Оценившие частной к<рреляции:
j/Летод Виеры — Морфа
Только остаточ ая взаимная юрреляцня \р, или, что эквивалент-
.но, частная кореляция Ар, ззисит от корреляционной функции
R-x*[w]- Замеи их оценками основанными на доступных дан-
данных, позволилэбы в алгорит; оценивания АР-параметра вклю-
включить остальнук часть рекурси Левинсона. Были развиты алго-
алгоритмы, параллельные геометр[ческим и гармоническим алгорит-
алгоритмам гл. 8 для еденивания коэ(]фициентов отражения.
Многокенльное спектрльное оценивание **'»"
Мнсоканальную >азновиднось геометрического алгоритма
гоедлошли Виера ) Морф [12. Они предложили оценивать
чстну* корреляциюю формуле
К+ = СР111гГР1ь)(РТУ", A5.88),
снованой на оценюх матриц ататочной дисперси! Рр', Рр" и
ювариционной матрцы Рр'ь:
Н-ж X, iW4H[n]i
A5.89)-
Гаметы, что множиель 1/JV npi вычислении Ар+\ сокращается.
Очитки epf[/i] и ь&[гс] для p~\^.n^.N при кажрм порядке-
бношнются с использованием ркурсий в соответс-вии с урав-
енияи A5.84) и E.85). При mix модификацияхдля оцени-
вния \.Р+1 многокаальный алгритм Левинсона мжет разви-
атьсядальше, как i случае извстной корреляции. !то включа-
т обнуление поряда по форм'лам A5.75) и A5/6) для Ppf
Рль;эценки Рр' иРрь испольэгются только для эценивания-
В гометрически?алгоритм Eiepu — Морфа начазьные усло-
ия ввдят, полагая
f> = pb. = ^rl х[п]х"[л] A5.90)-
e([n] = eS[i] = x[nJ, A5.91).
(ля lCnsgJV. Этотаногоканалный алгоритм сводтся к алго-
>итму геометрическго среднегс в случае одного канала, по-
колы? в этом случе Рр' = Р/ = р. В приложении 5.Б имеется,
фогр&ша MCAR, рализующаяалгоритм Виеры — Дорфа. Про-
рамм MCARPSD (ля вычислния результирующй многока-
|альнй авторегресионной спеп-ральной плотност! мощностш
:одер).ится в прилюении 15.В.
15.10.3. Оценивание частной корреляции:
метод Нттолла — Странда
Многокезальная версия алгоритма гармонического среднего была
гпредложна независимо Наттоллом [14, 15] и Страндом [19].
Они избали путь непосредственного оценивания коэффициента
.взаимна корреляции Ар на основе данных вместо оценивания
нормироанной частной корреляции Др. Оценка, которая полу-
получается спомощью матрицы Ар, минимизирующей след взвешен-
взвешенного среднего (арифметического среднего) оцененных ковариа-
ционны> матриц остатков ковариации линейного предсказания
вперед \ назад
triV^ + W^PSl, A5.92)
налагае три условия:
ePLn] = ep_1[n]-A;,(O-1eP-i[n-l], A5.93)
eJW-e'tn-lJ-AJ'tPy-'e^H, A5.94)
Ар[р}Р1 = (В„[р}Р1Г- A5.95)
Оценки iy и Рр' были определены выше соотношениями A5.89).
В качесве матриц Vp и Wp выбираются произвольные положи-
положительно пределенные матрицы. Условия A5.93) и A5.94) следу-
следуют непоредственно из формул A5.69), A5.70), A5.73) и A5.74).
Линейн-е матричное условие A5.95) следует непосредственно из
формулA5.73), A5.74) и A5.78) и показывает, что матрицы ко-
эффицинтов отражения не могут быть определены независимо.
Зти огрничения совместно вынуждают решение для Ар в воз-
возможно юлыпей мере подчиняться свойствам многоканального
-алгоритм Левинсона. Весовые матрицы должны быть тщатель-
тщательно подобраны так, чтобы результирующее решение для Ар при-
приводило к устойчивой корреляционной последовательности (это
гарантгаовано, если ЛР имеет сингулярные числа, меньшие или
.равные ;динице) и положительно определенной многоканальной
•спектрашной оценке.
Натолл [16] подробно исследовал весовые матрицы и уста-
установил, то к желаемому свойству устойчивости приведут обрат-
обратные маиицы
Vp = (Pl)-\ A5.96)
W, = (P»)-. A5.97)
ОценкиАР-параметра устойчивы, если все нули det[Ap(z)] и
•det[z~"lo(l/z)i находятся внутри единичного круга на z-плоско-
¦сти. Усвйчивость гарантирует, что корреляционные экстраполя-
щии впеед и назад являются затухающими продолжениями [16].
^Желатетьно не иметь каналов с большими ошибками, которые
.создаю- большие выбросы. Представляется разумным, чтобы
Многоканально! спентрльное оценивание 481
веса в формулах A5.96) i A5O) взвешивали каждый канал
пропорционально обратно! велиине его квадрата ошибки. Если
ныбраны именно такие веа, тоиинимизация величины A5.92)
дает матричное выражени(
P'APl)-%+iYh+№r*H = -2Plb, A5.98)
которое содержит смесь юварищионных матриц ошибок PJ и
Ррь из рекурсии Левинсои и щенок ковариационных матриц
ошибок Рр', Рр' и Рр". В о.нокаильном случае каждый элемент
уравнения A5.98) преврашетсяв скаляр и ковариации ошибок
равны, т. е. Рр' = Рр*. Замаая, чо Ap+i[p-f l]=4p+,Pp', получа-
получаем решение для &P+i[p-{-l]B однжанальном случае, которое пе-
переходит в соотношение длягармошческого среднего:
A5.99)
Таким образом, в одноканльно» случае многоканальный алго-
алгоритм Наттолла — Странда щенти ен алгоритму Берга (разд. 8.4).
Уравнение A5.98)—эт часный случай билинейного мат-
матричного уравнения
АЬ + Х! = С, A5.100)
в котором А, В, С и X — ях^я-аатрицы. Решения, приводящие
к единственной матрице Х,были юлучены несколькими автора-
авторами. Наттолл [15] выбрал-
= 2
A5.101)
в котором Яо=1 и Ао = 1. В .вухкаальном случае [17] матрицы
Р и Q можно упростить
Р = СВ —(А—:г(АIС, A5.102)
Q = (trA + trl)B + detA-detB)l. A5.103)
Начальные условия в алпритм Наттолла — Странда вводят-
вводятся заданием в качестве Ро'.Ро6, е'[л] и eo*[n] значений, полу-
получаемых с помощью формул 15.90) и A5.91). В приложении 15.Б
приводится программа МСЛ? дляреализации этого алгоритма,
31—1366
Если параметры в этой программе соответствуют METH0D = 2
и NUMCHS = 1, то она даст решение, идентичное тому, которое
дает программа BURG в приложении 8.Б.
15.10.4. Ковариационный метод линейного предсказания
Алгоритмы, построенные на многоканальных обобщениях одно-
канальных алгоритмов линейного предсказания на основе мето-
метода наименьших квадратов разд. 8.5, являются их непосредствен-
непосредственным развитием. Многоканальные ошибки линейного предсказа-
предсказания вперед
[п—k]=.apxp[n] A5.104)
и линейного предсказания назад
4М = х [п—/>] +
, [к] х [п-р + к] = Ь,х,[л] A5.105)
могут быть определены для временных индексов от п=\ до п =
= iV4-p, если сделано допущение о том, что х[гс] = 0 вне доступ-
доступного диапазона наблюдений (принимается равным от л=1 до
n=N). Эрмитовы, неотрицательно определенные матрицы квад-
квадратов ошибок линейного предсказания вперед и назад
= 2
+1
я])"= 2 аЛМ»?Иа» = а,К/, A5.106)
И = р+1 ~
2
-Р+ 1
и (Р+1) X (р+1) -эрмитова блочная матрица данных
R,= 2 x>KlM
— 1 —
A5.107)
A5.108)
формируются, однако, суммированием только в пределах от я =
= р+1 до л=М Таким образом, используются лишь имеющиеся
данные, что соответствует «ковариационному» случаю линейного
предсказания. При этом берутся только реальные ошибки невзве-
шенных многоканальных данных. «Автокорреляционный» и пред-
взвешенный случаи линейного предсказания с интервалами ин-
индексов соответственно \<(tKN + p и l<n<iV также могут при-
применяться, но ковариационный случай дает лучшие результаты
для коротких последовательностей данных.
Применение аппарата теории многоканальных матриц для
раздельной минимизации скаляров tr Р„'=2(е,')"е,,' и trP^^
Многоканальное спектральное оценивание
483
-2(е/)не,,'' приводит к следующей паре нормальных уравнений
многоканального линейного предсказания:
a,RP = (Pf 0 ... 0), A5.109)
p = @ ... 0Р*).
A5.110)
.аметим, что для получения peuieHim_Rp должна быть положи-
сльно определенной (и несингулярной). Матрицу _Rp можно
.анисать в следующем виде:
RXI [0, 0] ... RXx[°. ,
A5.111)
элементами
Хотя
К«[р, 0] ... К„[р, P\)
/]=- -/]¦ A5.112)
>лоч [Стрый алгоритм, ре-
решаю 5.10!' был сконструирован ав-
iopo iL\ же основных iiuiip.us.iL'iiMix, что и одноканальный
!'дионный алгоритм в гл. 8. Как л в одноканальном слу-
|гоканальная СПМ, полученная из матриц коэффициен-
ейного предсказания вперед, даст оценку СПМ, отлич-
полученной из матриц коэффициентов предсказания на-
-вязи с безусловной раздельной минимизацией следов
квадратов ошибок предсказаний вперед и назад, что при-
Rp, не имеющей блочно-теилицевой структуры. Это не
тся с допущением о стационарности используемой моде-
ако эти спектральные оценки все же будут весьма близ-
и в одноканальном случае, устойчивость многоканаль-
\ i ^.льтров о^инейного предсказания не гарантирована, т. е. не
арантирована устойчивость корреляционной функции.
5.10.5. Многоканальная спектральная АР-оценка СПМ
АР-оценка СПМ завершается вычислением многоканальной
СПМ. Спектральная плотность в случае авторегрессионных ко-
коэффициентов предсказания вперед A5.43) и спектральная
плотность в случае авторегрессионных коэффициентов предска-
предсказания назад A5.61), как функции частоты имеют вид
, A5.113)
, A5.114)
Гла! 15
А (/) = I
) = ехр(-у2я/Л Н2
L ti
A5.115)
. A5.116)
Программа MCARPSD пвволяе вычислить кждое из выра-
выражений A5.113) и A5.114) .ля заднной частоты.
15.11. Выбор порядка авторгресаи
Определение порядка мноокана.ьной АР-моде,и производится
с помощью многоканально вереи AIC-критери: Акаике [8, 15],
имеющей вид
ИКА[р] = N In (det Р')\- 2т'р= М In (det /*) - 2т'р. A5.117)
Искомый порядок — тот, ри коором величин ИКА[р] имеет
минимум. Предлагаемая [15] ве;хняя границадля порядка —
это Зул7т, где т — числе каналга, а N— числ отсчетов дан-
данных, приходящихся на кмал. Бобще, процедра выбора по-
порядка в многоканальном \Р-аняизе еще недстаточно иссле-
исследована, поэтому значение ИКАр] указывает, порядок лишь
ориентировочно.
15.12. Экспериментальное равнене
многоканальных авторегресионшх процедур ценнвання СПМ
Аналитическое описание рализаии различных многоканальных
АР-оценок СПМ наталкиается на значительые математиче-
математические трудности, поэтому риход)тся прибегнут, к эксперимен-
экспериментальным подходам для шлучени: эмпирически: характеристик.
Здесь для характеризаци возюжностей исользоваиы два
типа двухканальных набо>ов датых. Один — ктинная двухка-
нальная авторегрессия петого юрядка. Вторй — двухканаль-
ный процесс с тонами, перужемыми в окраиенный шумовой
процесс, подобный тест-прцессу приложении I.
В первом испытании д[я геноации наборовданных исполь-
использовали двухканальный анорегресионный про.есс первого по-
порядка (р = 1). Данные полчали огласно рекурни
x[n] = — \[l]x-i— l] + w[n], A5.118)
где матрица авторегрессинных оэффициентовимеет вид
/—0,6 +0,75\ ... ..„.
-0,6 —о|55> A5.119)
a w[rt] —двухканальный елый 1ум, в которомотсутствует кор-
4
Многоканальное спектральное оценивание
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 ^ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов о Доли частоты отсчетов'
б
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
Рис. 15.2. Истинные спектры АРA)-тест-процесса: а — автоспектр для кана-
канала 1; б — автоспектр для канала 2; в — квадрат модуля когерентности (КМК);
г — фаза когерентности (ФК).
реляция между каналами и дисперсия в каждом канале равна
единице. Даже несмотря на то, что это авторегрессионный про-
процесс первого порядка, автоспектры каждого канала будут иметь
четыре полюса и три нуля. На рис. 15.2 изображены истинные
автоспектры и когерентность для рассматриваемого процесса.
Автоспектры для каждого из двух каналов и КМК имеют пики
на частоте, равной 0,12295 частоты отсчетов. Фаза комплексной
когерентности (взаимного спектра) на частоте, соответствующей
пику, равна 90 и 0° на частотах 0 и 0,5 частоты отсчетов. Пико-
Пиковая величина квадрата модуля когерентности на частоте пика
равна 0,999013. Были обработаны 20 последовательностей, каж-
каждая из 100 отсчетных точек, с помощью каждого из трех АР-ал-
горитмов с порядком р, ограниченным единицей. 20 спектраль-
спектральных оценок перекрылись, как показано на рис. 15.3—15.6. Все
автоспектры построены для 1500 значений. Из четырех наборов
кривых алгоритмы Наттолла — Странда и линейного предсказа-
предсказания назад имели наименьшую дисперсию амплитуды СПМ, тог-
тогда как алгоритмы Виеры — Морфа и линейного предсказания
вперед имели наименьшую дисперсию положения спектрального
пика на оси частот (дисперсия по частоте). В остальном все че-
четыре метода дали очень близкие спектральные оценки.
В следующем испытании использовались последовательности
данных с тремя синусоидами в окрашенном шумовом процессе.
32—1366
¦ 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
° Доли частоты отсчетов
0,1 0,2 0,3 0,4 0,S
Доли частоты отсчетов
Доли
частоть
б
i
отсчетов
Э 0,1 0,2 0,3 0,4 0,S
Доли частоты отсчетов
Рис. 15.3. АРA)-оценка, полученная с помощью алгоритма Наттолла — Стран-
да: а — автоспектр для канала 1; б—автоспектр для канала 2; в —квадрат
модуля когерентности (КМК); г — фаза когерентности (ФК).
I-U
О
0 0,1 0,2 0,1 0,4 0,5 о °-0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,
Доли частоты отсчетов Доли частоты отсчетов
а б
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 ,
Доли частоты отсчетов
Рис. 1Б.4, АРA)-оценка, полученная с помощью алгоритма Виеры — Морфа:
а — автоспектр для канала 1; б—автоспектр для канала 2; в—квадрат мо-
модуля когерентности (КМК); г —фаза когерентности (ФК).
Доли частоты отсчетов
Доли частоты отсчетов
Рис. !5.5. АРA)-оценка (коэффициенты предсказания вперед), полученная с
помощью ковариационного алгоритма: а — автоспектр для канала 1; б — ав-
автоспектр для канала 2; в ~ квадрат модуля когерентности (КМК); г —фаза
Л когерентности (ФК).
Доли частоты отсчетов
0,0 0,1 0,1 0,1 0,4 0,5
Доли частоты отсчетов
Ри;. 15.6. АРA)-оценка (коэффициенты предсказания назад), полученная с по-
помощью ковариационного алгоритма: а—автоспектр для канала 1; б — авто-
автоспектр для канала 2; в — квадрат модуля когерентности (КМК); г — фаза
когерентности (ФК).
32"
0,5°
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
Доли частоты отсчетов
б
1440
1080
720
я 360
о. 0
".-360
? -720
-1080
-1440
1 1 ! 1
- -
- V.
- ¦—
- 1 1 1 1 .-
0,0
0,1 0,2 0,3 0,4
Доли частоты отсчетов
0,5
Рис. 15.7. АРA2)-оценка для 64 отсчетов тест-последовательности, полученная
с помощью алгоритма Наттолла — Странда: а — автоспектр для канала I; б —
автоспектр для канала 2; в — квадрат модуля когерентности (КМК); г — фаза
когерентности (ФК).
Рис. 15.8. АРA2)-оценка для 64 отсчетов испытательной последовательности,
полученная с помощью алгоритма Виеры —Морфа: а — автоспектр для кана-
канала 1; б—автоспектр для канала 2; в — квадрат модуля когерентности (КМК);
г — фаза когерентности (ФК).
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 E
Доли частоты отсчетов
б
В канале 1 были использованысинусоиды с частотами (в долх
частоты отсчетов) 0,1, 0,2 и 0,!4 с соответствующими амплиу-
дами 0,1, 1,0 и 1,0 и начальным фазами 0, 90 и 235°. Окраиш-
11 ын шумовой процесс с больней частью энергии на частот х,
:<ышающих частоты этих сиусоид, генерировался путем ио-
¦ п'я fipinm ш\'мя с диспс!СИ№ 0,05 через цифровой филггр
[ого косинуса мек-
эквивалентно пю-
1 .юдовательности в
вались синусоиды с часо-
\ 1,0 и начальными фаз&ш
1 ^соидам добаляли окрашенный шумовой пю-
юцессу в кан;ле 1, но получаемый независшо.
\соидальные омпоненты на частотах ОД и),2
для обоих кшалов. Последовательность дн-
енерировалгь для каждого канала. На pic.
ны оценки 1втоспектров, квадрата мод ля
и Ч3 мости для р=12, полученные тремя авторг-
Pect' )дами. Заметм, что на всех графиках энерия,
491
4 0
?-10
3-20
?-30
J-40
5-50
s-60
8-70
5-80
: i i—
: I !
: i
: I
: №
: 1 /
: l\y
: /
i 1 -
-
-
-
\ -
-
1 1
0-
0,1 0,2 0,3 0,4
Доли частоты отсчетов
Ё-20
u-30
S-40
g-50
г-во
g-70
i-80
6 С
0,1 0,2 0,3 0,4
Доли частоты отсчетоь
15'10' °Дноканаль"ая АРA2)-оценка для 64 отсчетов тест-последователь!
, полученная с помощью алгоритма Берга: а-автоспектр для канала ll
о — автоспектр для канала 2.
:четов испытательной последовательности
|спектр для I
ерентностн [
Рис. 15.11. АРA2)-оценка для 500 отс
полученная с помощью алгоритма На™™ -"йр^да-" Г-Твтос
канала 1; б - автоспектр для канала 2; ._ квадрат модуля коп
(ЛМК,); г —фаза когерентности (ФК).
соответствующая синусоиде с частотой 0,24, имеющейся только I
ла 2 иЛ^пйпКЛЮЧаЛаСЬ " автоспектРальную оценку для кана- I
ла 2, и, наоборот, энергия синусоиды с частотой 0,4, которая име-
имеется только в канале 2, включена в автоспектральную оценку !
для канала 1. Кривые КМК содержат пики на частотах 0 24 и
0,4, где в идеале югерентность должна быть нулевой. Это про-
проявление «перекрестюго возбуждения» — нежелательное явление;
однако оно присущ всем методам, представленным в этой главе,
и, по-видимому, неустранимо при обработке коротких последо-
последовательностей даншх с помощью многоканальных АР-алгорит-
мов (см. также [4). Если последовательности данных от каж-
каждого канала обраб1тываются отдельно с помощью одноканаль-
иых АР-методов, kik, например, алгоритм Берга, то автоспектры
не содержат ложн1х частотных составляющих, как показано на
рис. 15.10. Удлиняв последовательность данных до 500 точек от-
отсчета, получаем ос.абление эффекта перекрестного возбуждения
(рис. 15.11), хотя йлизи единицы еще наблюдаются острые пики.
Таким образом, паожс, что возможности высокого разрешения
одноканального анлиза спектров и а основе линейного предска-
предсказания для обработки коротких записей данных не переносятся
автоматически на «ногоканальный случай. Еще ярче выражен
этот эффект взаимсвязи, если число каналов больше двух. Хотя
элементы взаимно] спектральной СПМ записываются для двух
каналов, данные о1 всех каналов дают свой вклад в отдельные
двухканальные взимные спектральные оценки. Эффект пере-
перекрестного возбуждения приводит к появлению ложных узкопо-
юсных компонент,особенно при обработке коротких последова-
последовательностей данны> Детальный анализ [11] причины эффекта
^перекрестного воз'уждения показал, что он происходит вслед-
вследствие неполной ко:пенсации полюсов — нулей в многоканальной
оценке СПМ. Этотпример подчеркивает необходимость подтвер-
подтверждать независимьии одноканальными автоспектральными оцен-
оценками детали, выявленные в автоспектрах, порожденных много-
многоканальным алгорпмом.
Явление расще:ления спектральных линий, наблюдавшееся в
одноканальном епктральном анализе на основе линейного пред-
предсказания, наблюдлось также при аналогичных условиях в не-
некоторых многокагольных алгоритмах, в частности в алгоритмах
Наттолла — Страна и Виеры — Морфа. Однако это не наблю-
наблюдалось в многокаильном ковариационном алгоритме.
15.13, Многоканапное спектральное оценивание
на основе метода минимума дисперсии
Здесь можно был< бы привести доводы, аналогичные используе-
используемым в гл. 12, чтоЬ1 построить процедуру многоканальной спект-
спектральной оценки н основе метода минимума дисперсии (МД),
в которой алгоритм формирует дисперсию на выходе /гс-каналь-
ного фильтра с юнечной импульсной характеристикой (КИХ-
фильтра) с коэффщиентами, обеспечивающими пропускание си-
синусоиды на задавши частоте без искажений и ослабления всех
492 Глава 15
других спектральных компонент. Получающийся в результате
многоканальный алгоритм МД-оценки СПМ имеет вид
Рмд (/) = Г [е„ (/) IVe? (/)]-', A5.120)
где блочный вектор комплексных синусоид ?p(f) определен в
A5.31) и _Rp~'— обратная блочно-тёплицевой матрице, опреде-
определенной в A5.55).
Можно было бы использовать оценку Rp блочной корреляци-
корреляционной матрицы, например оценку в A5.87), и затем вычис-
вычислить оценку A5.120) в некотором интервале частот, что даст
МД-оценку СПМ. Однако альтернативный подход, основанный
на связи обращения корреляционной матрицы с многоканальны-
многоканальными авторегрессионными параметрами, может дать значительный
выигрыш в объеме вычислений, необходимых для нахождения
многоканальной МД СПМ функции A5.120). Можно показать
(см. Задачи), что эквивалентное представление многоканальной
МД СПМ имеет вид
Рмд(/) =
V[k]exp(—j2afkT)
p
\ ,
J
A5.121)
где совокупность рХр-матриц Ч/*[?] вычисляют как корреляцию
многоканальных матричных АР-параметров:
[ S*{(/>+ 1-fc-i) A? [k+i] (Pf)-A,H-
A5.122)
Можно использовать программу под названием MCMINVAR для
вычисления многоканальной спектральной оценки по методу ми-
минимума дисперсии в три стадии: 1) вычислить многоканальные
матричные АР-параметры A[k] и B[k], используя подпрограмму
MCAR; 2) прокоррелировать матричные АР-параметры (форму-
(формула A5.122)), чтобы получить матричную последовательность
V[k]; 3) произвести МД-оценку СПМ, используя программу
БПФ для вычисления A5.121).
15.14. Двухканальный спектральный анализ
числа солнечных пятен и температуры воздуха
С помощью двухканального спектрального анализа было пока-
показано, что существуют эффекты корреляции между числом сол-
солнечных пятен и такими глобальными явлениями, как, например,
уровень моря (приливы и отливы), температура нижних слоев
Многоканальное спектральное оценивание
493
атмосферы, период вращения Земли, атмосферное давление, маг-
магнитное склонение и чередование засух и наводнений [2, 3]. Здесь
будет исследовано возможное соотношение между числом сол-
солнечных пятен и температурой нижних слоев атмосферы на одном
участке земной поверхности. В приложении III даны средне-
среднемесячные температуры в "С в американском городе Сент-Луис
1845 1978 годы Эти данные были любезно предо-
предобольша
составляющая с одногодичным циклом, связанная с сезонным
колебанием температуры. Также различима слабая сезонная
гармоника с двухгодичным циклом. Эти доминантные компонен-
компоненты должны быть исключены до начала двухканального анализа
отфильтрованных чисел солнечных пятен. Фильтрация нижних
й (внием) частоты отсчетов с ко-
кованных чисел со
децимацией (прореживанием) частоты отсчетов с ко-
ко6 фрция верхних частот дают фильтрован-
фильтрованатеристики линейно-фазовых фильтров по р
Q6a фильтра выполнены на основе метода Парке — Макклелла-
на. Фильтр нижних частот — по 25 отсчетам. Он отфильтровыва-
отфильтровываиные циклы Фильтр верхних частот — по 37
227 фильтроа р
постью 2 отсчета в год сформировано с июля
1968 года.
Результат двухканального периодограммного анализа 227 от-
отсчетов фильтрованных температурных данных и числа солнеч-
солнечных пятен показан на рис. 15.14. Автоспектры представляют со-
собой обычные одноканальные периодограммы. Было использова-
использовано пять взвешенных по Хэммингу сегментов из 75 отсчетов каж-
каждый с перекрывающимися 38 отсчетами. Были вычислены квад-
квадрат модуля когерентности и фаза когерентности, определенные
соотношениями A5.9) и A5.10), на основе взаимной спектраль-
спектральной периодограммы тех же пяти сегментов. В температурном
спектре на рис. 15.14, б не обнаруживается никаких существен-
существенных особенностей.- На рис. 15.14, в ближе к низкочастотному
1) Для использования 1600 отсчетов с указанным перекрытием на половину
"егмента требуется 7 сегментов, при 6 сегментах используется 1400 отсче-
отсчетов, так как сдвиги на полный сегмент обеспечивают 3-, 5- и 7-й сегменты,—
Прим. ред.
2,0 3,0
Циклов на
4,0 5,0 6,0
'1356 1872 ISaS 190* 1920 1936 1Э52 19S8
Год
б
Рис. 15.12. Периодограмма нефильтрованных среднемесячных температур для
г. Сент-Луис (а) и кривая изменения температуры после фильтрации и деци-
децимации с коэффициентом б (б).
с
-10
-20
-30
-40
-50
-60
I i г~.—1 1
-
I
- 1ллллллллллл/
- nn\l\l\l\IM\!M\l-
2,0 3,0 4,0
Циклов на год
0,2 0,4 0,6 0,8
Циклов на год
б
Рис. 15.13. Частотные характеристики фильтров, использованных для фильтра-
фильтрации температурных данных: а — ФНЧ с линейной фазовой характеристикой,
содержащий 25 коэффициентов; б—ФВЧ с линейной фазовой характеристи-
характеристикой, содержащий 37 коэффициентов.
краю имеются два пика при 0,077 и 0,253 циклах в год A2,96 и
3,95 лет на цикл) с когерентностями 0,73 и 0,83. Таким образом,
кажется, что периодограммный анализ не выявляет сильной
корреляции между данными о солнечных пятнах и температуре.
Результат двухканального авторегрессионного анализа по ал-
алгоритму Наттолла — Странда показан на рис. 15.15. Был выбран
порядок 25. Подобные же результаты были получены по алгорит-
алгоритмам Виеры—Морфа и ковариационному. Оба автоспектра имеют
пики на одинаковой частоте 0,0942 цикла в год A0,61 лет на
цикл). У КМК обнаруживаются пики при 0,0938 и 0,2471 циклах
в год A0,67 и 4,05 лет на цикл) с когерентностями 0,70 и 0,64
Рис. 5.14. Двухканальный периодограммный анализ данных о числе солнеч-
солнечных штен и температуре: а — автоспектр фильтрованных данных о числе сол-
нечнк пятен; б—автоспектр фильтрованных данных о температуре; в — квад-
квадрат юдуля когерентности (КМК); г — фаза когерентности (ФК) (неприве-
денная).
1,
i °-
§ °
-
s 0
01
I
~~и\
Ш \J
j 'v, v
i i
А ~
\п \iJ\l\ ,-, -
-1080
1,0 0,0
Многоканальное спектральное оценивание
497
[8]
Jones R. H. Identification and Autoregressive Spectrum Estimation, IEEE
Рис. 15.16. Реультаты одноканального АРB5)-аналнза с помощью алгорит-
алгоритма Берга: а-автоспектр фильтрованных данных о числе солнечных пятен;
б-автоспектр фильтрованных данных о температуре.
соответствено. Следовательно, представляется возможным на-
наличие коррекции между доминантным циклом солнечных пятен
и компонений в температурных данных. Фаза когерентности при
0,0938 циклх в год равна —186,5°, что означает, что модулиро-
модулированная комонента в температурных данных отстает от цикла
солнечных итен на 5,52 года. Проверкой для двухканального
АР-анализа:лужит одноканальный АРB5)-анализ по алгоритму
Берга, пока.анный на рис. 15.16. Острый пик, который виден на
рис. 15.15, б не появляется в одноканальном спектре рис. 15.16,6.
Это наводит на мысль, что коррелятивные пики при 0,0938 цик-
циклов в год м>гут быть порождены двухканальным АР-анализом.
Литература
[1] Akaike tf.Block Toeplitz-Matrix Inversion, SIAM J. Appl. Math., vol. 24,
pp. 334—31, March 1973.
[2] Currie R. 0. Solar Cycle Signal in Air Temperature in North America:
Amplitude Gradient, Phase, and Distribution, J Atmos Sci, vol 38
pp. 808—88, April 1981.
[3] Carrie R. ?. Periodic A8.6-Years) and Cyclic A1-Year) Induced Drought
and Floodin Western North America, J. Geophys. Res., vol. 89, pp 7215—
7230, AugBt 1984.
[4] Fougere F F. Spontaneous Line Splitting in Multichannel Maximum
Entropy Pwer Spectra, Proceedings of First ASSP Workshop on Spectral
Estimation McMastcr University, Hamilton, Ontario, Canada, pp 1 6 1 —
1.6.3, Augst 1981.
[5] Friedlande B. Lattice Methods for Spectral Estimation, Proc. IEEE, vol. 70,
pp. 990—117, September 1982. [Имеется русский перевод: Фридландер Б.
Методы сектрального оценивания на основе решетчатой структуры
ТИИЭР, 182, т. 70, № 9, с 95—125].
[б] Friedlande.B, Morf M., Kailath Т., Ljung L, New Inversion Formulas for
Matrices Classified in Terms of Their Distance from Toeplitz Matrices,
Linear Algbra and Its Applications, vol. 27, pp. 31—60, 1979.
[7] Friedlande, В., Porat B. Multichannel ARMA Spectral Estimation by the
Modified lile—Walker Method, Signal Process, vol. 10, pp. 49—59, 1986.
Trans. Autom. Control, vol. AC-I9, pp. 894—897, December 1974.
|9] Lacoss R. T. Autoregressive and Maximum Likelihood Spectral Analysis
Techniques, in Aspects of Signal Processing, part 2, G. Tucconi, ed., pp. 591—
615, Reidel, Boston, Mass., 1977.
[10] Lee D., Friedtander В., Morf M. Recursive Ladder Forms for ARMA Mode-
Modeling, IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-27, pp. 753—764, August 1982.
[11] Marple S. L., Jr., Nuttall А. И. Experimental Comparison of Three Multi-
Multichannel Linear Prediction Spectral Estimators, IEEE Proc, vol. 130, Part F,
pp. 218—229, April 1983.
[12] Morf M., Vieira A., Lee D. Т., Kailath T. Recursive Multichannel Maximum
Entropy Spectral Estimation, IEEE Trans. Geosci. Electron., vol. GE-16,
pp. 85—94, April 1978a.
[Ml Morf M., Vieira A., Lee D. Т., Kailath T. Covariance Characterization by
Partial Autocorrelation Matrices, Ann. Stat., vol. 6, pp. 643—648, May
1978b.
[141 Nuttall A. H. FORTRAN Program for Multivatiate Linear Predictive Spect-
Spectral Analysis, Employing Forward and Backward Averaging, Naval Under-
Underwater Systems Center Technical Report 5419, New London, Conn., May
1976a.
[15] Nuttall A. H. Multivatiate Linear Predictive Spectral Analysis Employing
Weighted Forward and Backward Averaging: A Generalization of Burg's
Algorithm, Naval Underwater Systems Center Technical Report 5501, New
London, Conn., October 1976b.
[16] Nuttall A. H. Positive Definite Spectral Estimate and Stable Correlation
Recursion for Multivariate Linear Predictive Spectral Analysis, Naval Under-
Underwater Systems Center Technical Report 5729, New London, Conn., November
1977.
[17] Nuttall A. H. Two-Channel Linear-Predictive Spectral Analysis: Program
\ for the HP 9845 Desk Calculator, Naval Underwater Systems Center Tech-
Vnical Report 6533, New London, Conn., October 1981.
\\%\Robinson E. A. Multichannel Time Series Analysis with Digital Computer
Programs, 2nd ed., Goose Pond Press, Houston, Tex., 1983.
[19] Strand O. N. Multichannel Complex Maximum Entropy (Autoregressive)
Spectral Analysis, IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-22, pp. 634—640,
August 1977.
[20] Watson G. A. An Algorithm for the Inversion of Block Matrices of ToepHtz
Form, J. Assoc. Comput. Mach., vol. 20, pp. 409—415, July 1973.
[21] Whittle P. On the Fitting of Multivariate Autoregressions, and the Approxi-
Approximate Canonical Factorization of a Spectral Density Matrix, Biometrika,
vol. 50, pp. 129—134, 1963.
[22] Wiggins R. A., Robinson E. A, Recursive Solution to the Multichannel
Filtering Problem, J. Geophys. Res., vol. 70, pp. 1885—1891, April 1965
Задачи
I. Доказать справедливость соотношения A5.79), т. е. показать, что
2. Показать, что ковариационные матрицы Ppf и Рр6 удовлетворяют следую-
следующим рекурсивным соотношениям по обновлению порядка:
1'2 А,]»,
'КГ-
3. Показать для многоканального случая, что существует однозначное соот-
ветствие между {Rxx [0], Rxx [1], „., R^IpJ} и последовательностью
{Ru[0], Ль ..., ЛР}. Любая из этих последовательностей определяет парз-
метризацию авторегрессионной последовательности {РР!, Ар[1], ...,А?[р]}.
4. Определить нормированные остатки
I
М = (Н-г"Г14 И = ё'.,-
И = (
М=ii-
которые используют ковариацию предыдущей ошибки как нормирующие
веса. Показать, что минимизация арифметического среднего взвешенных
остатков
tr
2 .
n=p+l
относительно Ap+i дает нормированную частную корреляцию из уравне-
уравнения A5.88).
5. Доказать, что соотношения A5.121) и A5.122) формируют эффективное
альтернативное выражение для многоканальной спектральной оценки на
основе метода минимума дисперсии. Примечание: использовать соображе-
соображения, представленные в разд. 12.4, и соотношение A5.86) для обращения
бл оч но-тёп лицевой матрицы.
6. В многоканальном алгоритме Левннсона Вр [р] ФАР" [р].
Показать, что, несмотря на это, выполняется равенство
Показать также, что
det Rp = П det P'n = П det Рь„.
П=1 П= 1
7. Построить быстрый алгоритм для решения многоканальных ковариацион-
ковариационных нормальных уравнений линейного предсказания. Применить те же
идеи, которые использовались для одноканального ковариационного алго-
алгоритма в приложении 8.Б.
8. Показать, что выбор VP=WP=I в алгоритме Наттолла—Странда не га-
гарантирует устойчивой корреляционной последовательности или положи-
положительно определенной спектральной оценки.
9. Разработать двухканальный вариант подпрограммы MCARPSD приложе-
приложения 15.В, который использует БПФ для получения более высокой эффек-
эффективности в вычислении полиномов А(/) и B(f),
10. Аналитически определить расположение полюсов и нулей в двухканальном
примере уравнения A5.118). Найти аналитическое выражение для КМК.
Показать, что оно имеет четыре полюса и четыре нуля в конечной области
2-плоскости. Каково его максимальное значение?
11 Доказать, что фильтрация каналов X и Y одним и тем же фильтром дает
одинаковое КМК для входа и выхода.
12. Определить количество вычислительных операций для двух алгоритмов
в программе MCAJR как функцию числа каналов, числа отсчетов и порядка.
Сравнить объем вычислений для алгоритма Наттолла —Странда и необ-
необходимый для подпрограммы BURG в гл. 8.
13. Доказать соотношение A5.13).
Многоканальное спектральное оценивание
499
14. Почему матрица уравнения A5.111) не эрмитова, за исключением слу-
случая Rxx [0]?
16. Доказать соотношения A5.22) и A5.23).
16. Опираясь на основные понятия из гл. 6, показать, что многоканальные
уравнения Юла—Уолкера для многоканального АРСС(р, ^-процесса име-
имеют вид
Xj=1A[]R»,[m —*J, m>q.
:кова блочно-матричная структура модифицированных уравнений Юла —
j-ткера в многоканальном случае АРСС?
i остроить вычислительную программу MCMINVAR согласно намеченному
1ану в разд. 15.13.
Приложение 15.А.
Программа для многоканальной периодограммы
Многоканальный периодограммный алгоритм спектральной оцен-
оценки обсуждается в разд. 15.5.
SUBROUTINE MCPERIOD (N,NSHIFT,NSAMP,T,PSD)
С
С Эта программа вычисляет многоканальную периодограммную СПМ-мат-
С рицу
Z -Входные параметры:
С \ N — число точек отсчета на канал (целое)
С VNSHIFT —число точек в сдвиге между сегментами
С KSAMP —число точек на сегмент (должно быть четным)
С Т — выборочный интервал в секундах
С X —комплексный массив отсчетов данных в канале
С
С Выходные параметры:
С PSO —массив комплексных NPSD-матриц спектральной плотности
С мощности размера NUMCHSXNUMCHS, перекрывающих
С диапазон частот m/(NPSD*T) для m от m= —NPSD/2 до
С NPSD/2—1. Заметим, что NPSD должна быть степенью 2.
С Примечание:
С Размеры массива управляются с помощью PARAMETER, данных ниже.
С Используемые внешние подпрограммы: PERIODOGRAM, PREFFT,
С FFT.
PARAMETER NUMCHS = 2
PARAMETER NPSD = 4096
PARAMETER MAXPTS = 500
1 Число каналов
I Число частот для вычисления PSD
! Максимальное число точек, данных на
COMPLEX X(NUMCHS,MAXPTS),PSD(NUMCHS,NUMCHS,NPSD^d
DO 30 K=1,NUMCHS
CALL PERIOnOGRAM (N,NSHIFT,NSAMP,T,X(K,l),X(Jjl^EQp
DO 10 I-l.NPSD
Многоканальное спектральное оценивание
PSD(J,K,I)=P(I)
10 PSD(K,J,I)=CONJG(P(I))
20 CONTINUE
30 CONTINUE
RETURN
END
Приложение 15.5
Пропамма для многоканального авторегрессионного
оценвания по алгоритмам Наттолла — Странда
или Еиеры — Морфа
В рад. 15.10 описаны две процедуры многоканального авторег-|
рессюнного спектрального оценивания. Для случая простого
тестаследует выбрать NUMCHS-1 и METHOD = 2 и использо-1
вать 54-точечную тест-последовательность приложения II. Ре-|
зуль-нты в массиве А должны совпасть с результатами в масси-|
ве Л одпрограммы BURG.
SUBROUTINE MCAR (METHOD(N,IP,X,PF,A,PB,B,ISTAT)
С
С
С
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с.
с
с
В1числяются коэффициенты многоканальной авторегрессионной матрицы!
сприменением либо алгоритма Виеры —Морфа (обобщение одноканаль-1
нго геометрического метода), либо алгоритма Наттолла — Странда|
(бобщение одноканального гармонического метода).
Водные параметры:
METHOD —целое число; если I, то выбирается алгоритм Виеры — I
Морфа; если 2, то используется алгоритм Наттолла — |
Странда
N — число точек отсчета на канал (целое)
IP —порядок авторегрессионной модели (целый)
X —комплексный массив NUMCHS-отсчетов данных в ка-1
нале
Вводные параметры:
PF —комплексная размера NUMCHSxNUMCHS ковариация |
ошибки линейного предсказания вперед
\ —массив комплексных матричных коэффициентов линейно-
линейного предсказания вперед
РВ —комплексная ковариационная матрица ошибки линейного
предсказания назад
3 — массив комплексных матричных коэффициентов линейно-
линейного предсказания назад
[STAT — целочисленный индикатор состояния в момент вывода
подпрограммы
0 — нормальный вывод без обнаруженных ошибок
1 — обработка более чем двух каналов была запрошена
из подпрограмм BILINEAR, INVERT, SQROOT
2 — сингулярная матрица выявлена подпрограммой
SQROOT
! — IP превышает максимальный разрешенный порядшк;
изменение размеров массивов с помощью подпро-
подпрограммы
С Примечание:
С Размеры массива задаются операторами PARAMETER, данными ни-
С же. Вспомогательные подпрограммы представлены в приложении.
I5.C
С
С
С
с
100
с
с
с
PARAMETER NUMCHS = 2 ! Число каналов
PARAMETER MAXORDER-32 I Максимальный разрешенный поря-
порядок модели
PARAMETER MAXPTS = 500 I Максимальное число точек данных
COMPLEX X(NUMCHS.MAXPTS), PF (NUMCHS.NUMCHS),
РВ (NUMCHS.NUMCHS)'
COMPLEX A(NUMCHS,NUMCHS,MAXORDER),
В (NUMCHS.NUMCHS.MAXORDER)
COMPLEX PFHAT(NUMCHS.NUMCHS),
PBHAT(NUMCHS.NUMCHS), S
COMPLEX PFBHAT(NUMCHS,NUMCHS), RHO(NUMCHS.NUMCHS),
COLl(NUMCHS)
COMPLEX EF(NUMCHS.MAXPTS), EB(NUMCHS.MAXPTS),
TEMPI (NUMCHS.NUMCHS)
COMPLEX TEMP2(NUMCHS,NUMCHS),
TEMP3 (NUMCHS.NUMCHS), COL2 (NUMCHS)
COMPLEX TEMP4(NUMCHS,NUMCHS),
TEMP5(NUMCHS,NUMCHS),COL3(NUMCHS\
• Инициализация ••
ISTAT-0
IF (IP XE. MAXORDER) GO TO 5
ISTAT=3
RETURN
CALL ZERO (NUMCHS.NUMCHS.PF)
DO 10K=l,N
CALL ASSIGN (NUMCHS,1,XA,K),EFA,K))
CALL ASSIGN (NUMCHS,1,XA,K),EBA,K))
CALL OUTPROD (NUMCHS,XA,K),XA,K),TEMP1)
CALL ADD (NUMCHS,NUMCHS,PF,TEMPI,PF)
S = CMPLX A ./FLOAT(N) ,0.)
CALL SCALE (NUMCHS,NUMCHS,S,PF,PF)
CALL ASSIGN (NUMCHS,NUMCHS,PF,PB)
M=0
«"Основной цикл •*
CONTINUE
Обновите оцененные ковариации ошибок ! A5.89)
CALL ZERO (NUMCHS.NUMCHS.PFHAT)
CALL ZERO (NUMCHS.NUMCHS.PBHAT)
CALL ZERO (NUMCHS NUMCHS.PFBHAT)
DO 20 K-M+2.N
CALL ASSIGN <NUMCHS,1,EFA,K),COL1)
CALL ASSIGN (NUMCHS,1,EBA,K-1),COL2)
CALL OUTPROD (NUMCHS,COLI,COL1,TEMPI)
! A5.91)
! A5.91)
A5.90)
A5.90)
33—1366
Глава 15
CAL] ADD (NUMCHS, NUMCHS,PFHAT,TEMP1,PFHAT)
CAL1 OUTPROD (NUMCHS,COL2,COL2,TEMP1)
CAL] ADD (NUMCHS,NUMCHS,PBHAT,TEMP1,PBHAT)
CAL1 OUTPROD (NUMCHS,COLI,COL2,TEMP1)
CAL] ADD (NUMCHS,NUMCHS,PFBHAT,TEMP1,PFBHAT)
M-M+
IF (MEHOD .EQ. 2) GO TO 30
Вычислите матрицу оцененной нормированной частной корреляции
A5.88) (тоько алгоритм Виеры — Морфа)
CALL SIROOT (NUMCHS,PFHAT,TEMP1,ISTAT)
IF (IST.T .NE. 0) RETURN
CALL IIVERT (NUMCHS,TEMP1,TEMP3,ISTAT)
IF (IST/T .NE. 0) RETURN
CALL SIROOT (NUMCHS,PBHAT,TEMP1,ISTAT)
CALL It'VERT (NUMCHS,TEMP1,TEMP2,ISTAT)
IF (ISTiT .NE. 0) RETURN
CALL X'OSE (NUMCHS,TEMP2,TEMP4)
CALL MJLT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP3,PFBHAT,TEMP1)
CALL MJLT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP1,TEMP4,RHO)
Обновите пямые и обратные коэффициенты отражения A5.82), A5.83)
(только алоритм Виеры — Морфа)
CALL SIROOT (NUMCHS,PF,TEMP3,ISTAT)
CALL S'ROOT (NUMCHS,PB,TEMP4,ISTAT)
CALL MJLT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP3,RHO,TEMP1)
CALL X1OSE (NUMCHS.RHO.TEMPS)
CALL MJLT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP4,TEMP5,TEMP2)
CALL «VERT (NUMCHS,TEMP4,TEMP5 ISTAT)
IF (ISTJ .NE. 0) RETURN
CALL MJLT (NUMCHS.NUMCHS.TEMPl TEMP5 A(l,l M))
CALL IIVERT (NUMCHS,TEMP3,TEMP5,ISTAT)
IF (ISM .NE. 0) RETURN
CALL MILT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP2,TEMP5 BA,1,M))
GOTO3
Вычислите штрицу оцененной частной корреляции A5.98) (только алго-
алгоритм Наттала — Странда)
CALL INERT (NUMCHS.PF.TEMPl.ISTAT)
IF (ISTTT .NE. 0) RETURN
CALL MJLT (NUMCHS,NUMCHS,PFHAT,TEMP1,TEMP2)
CALL IIVERT (NUMCHS,PB,TEMP3,ISTAT)
IF (ISTJT NE 0) RETURN
CALL MILT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP3PBHATTEMP4)
S=B.,0/
CALL SftLE (NUMCHS,NUMCHS,S.PFBHATTEMP5)
CALL BLINEAR (NUMCHS,TEMP2,TEMP4,TEMP5,RHO,ISTAT)
IF (IST/Г .NE. 0) RETURN
Обновите пямые и обратные коэффициенты отражения A5.73), A5.74),
A5.78) (то.ько алгоритм Наттолла — Странда)
CALL MILT (NUMCHS,NUMCHS,RHO,TEMP3,AA,1,M))
Многоканальное спектральное оценивание ^и-
CALL XPOSE (NUMCHS.RHO.TEMP2)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP2,TEMP1,BA,1,M))
" CALL SCALE (NUMCHS,NUMCHS,S,AA,1,M),AA,1,M))
CALL SCALE (NUMCHS,NUMCHS,S,BA,1,M),BA,1,M))
^ Обновите ковариации прямых и обратных ошибок A5.75), A5.76)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,AA,1,M),BA,1,M),TEMP1)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,TEMP1,PF,TEMP2)
CALL SUB (NUMCHS,NUMCHS,PF,TEMP2,PF)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,BA,1,M),AA,1,M),TEMP1)
CALL MULT (NUMCHS NUMCHS,TEMP1,PB.TEMP2)
CALL SUB (NUMCHS,NUMCHS,PB,TEMP2,PB)
С Обновите коэффициенты предсказания вперед и назад A5.84), A5.85)
IF (M .EQ. I) GO ТО 50
DO 40K=l,M-l
МК=М-К
CALL ASSIGN (NUMCHS,NUMCHS,AA,1,K),TEMP1)
CALL ASSIGN (NUMCHS,NUMCHS,BA,1,MK),TEMP2)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,AA,1,M),TEMP2,TEMP3)
CALL ADD (NUMCHS,NUMCHS,TEMP1,TEMP3,AA,1,K))
CALL MULT (NUMCHS, NUMCHS,BA,1,M),TEMP1,TEMP3)
¦-0 CALL ADD (NUMCHS,NUMCH5,TEMP2,TEMP3,BA,1,MK))
С
Проследите за правильным порядком
50Д IF (M .EQ. IP) RETURN
С \
С чЭбновите остатки
С
DO 60 K=N,M+1,-1
CALL ASSIGN (NUMCHS,1,EFA,K),COL1)
CALL ASSIGN (NUMCHS,1,EBA,K-1),COL2)
CALL MULT (NUMCHS,1,AA,1,M),COL2,COL3)
CALL ADD (NUMCHS,1,COL1,COL3,EFA,K))
CALL MULT (NUMCHS, 1,BA,1,M),COL1,COL3)
60 CALL ADD (NUMCHS,1,COL2,COL3,EBA,K))
GO TO 100
END
Приложение IS.В.
Программа вычисления многоканальной авторегрессионной
оценки СПМ
Если используются авторегрессионные коэффициенты предска-
предсказания вперед из MCAR, вызов этой подпрограммы принимает
вид
CALLMCARPSD (IP, F, PF, A, PSD, ISTAT).
Если используются авторегрессионные коэффициенты предскп
зания назад из MCAR, вызов этой подпрограммы принимает
вид
CALLMCARPSD (IP, —F, РВ, В, PSD, ISTAT).
33*
Знак «минус» перед F нужен для того, чтобы получить резуль-
результаты для СПМ такие же, как в случае с коэффициентами пред-
сказапия вперед. Сопряженность входов массива В эквивалент-
эквивалентна вводу отрицательной частоты в подпрограмму.
SUBROUTINE MCARPSD (IP,F,P,A,PSD,ISTAT)
С Эта подпрограмма вычисляет многоканальную матрицу спектральной плот-
Г ности мощности на данной частоте F.
С
( Входные параметры:
IP — порядок авторегрессионной модели (целый)
F —доли частоты отсчетов (интервал от —0,5 до 0,5)
Р — комплексный массив ковариации возбуждающего шума
А — комплексные массивы матричных коэффициентов авто-
авторегрессии
Выходные параметры:
PSD —комплексные массивы значений спектральной плотности
мощности
ISTAT — целый индикатор состояния во время промежуточного вы-
вывода" подпрограммы
0 — для нормального вывода
1 — если несингулярность матрицы устанавливается посред-
посредством INVERT
Примечание:
Размеры массива устанавливаются операторами PARAMETER, приво-
приводимыми ниже. Вспомогательные программы представлены в приложе-
приложении 15.Г.
PARAMETER NUMCHS = 2 ! Число каналов
PARAMETER MAXORDER = 32 ! Максимальный разрешенный порядок
модели
PARAMETER TWOPI = 6.283185
COMPLEX P(NUMCHS.NUMCHS),
A(NUMCHS,NUMCHS,MAXORDER)
COMPLEX PSD(NUMCHS.NUMCHS), R(NUMCHS.NUMCHS),
S(NUMCHS.NUMCHS)
COMPLEX T(NUMCHS,NUMCHS).TEMP
ISTAT=0
ARQ=-TWOPI»F
CALL IDENT (NUMCHS.T)
DO 10 K=1,IP
TEMP=CEXP(CMPLX@.,ARQ.FLOAT(K)))
CALL SCALE (NUMCHS,NUMCHS,TEMP,AA,1,K),R)
CALL ADD (NUMCHS.NUMCHS.T.R.T)
CALL INVERT (NUMCHS,T,R,ISTAT)
IF fISTAT NE. 0) RETURN
CALL XPOSE (NUMCHS.R.S)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,R,P,T)
CALL MULT (NUMCHS,NUMCHS,T,S,PSD)
RETURN
END
Многоканальное слктральное оценивание JUo
Лриложние 15.Г.
Бспомоптельные подпрограммы для подпрограмм
MCAR>MCARPSD
Следуюцие подпрограммы—,-тилиты, дополняющие подпро-
подпрограмму V1CAR оценивания Аэ-параметра и многоканальную
подпрогамму MCARPSD поучения ARPSD. Все программы
применыы для любого чиса каналов, кроме подпрограмм
BILINElR, INVERT и SQRCJT. Последние три подпрограммы
работаю только для случае! одного или двух каналов. Если
затребоино больше двух мналов, срабатывает индикация
ошибки.Чтобы иметь дело блее чем с двумя каналами, чита-
читатель мокет использовать слскные модификации подпрограмм
BILINElR, INVERT и SQRO0T.
SBROUTINE ADD (M,N,A,1,C)
С Матрца С является результата сложения MXN-матриц А и В
CCMPLEX A(M,N), B(M,N),:(M,N)
DC 10 J=1,N
DC 10 I-1.M
10 C(I,J)-A(I,J)+B(I,J)
RFTURN
ЕЮ
SBROUTINE ASSIGN (M,t,A,B)
С Перепит содержимое MXN-мтрицы А в матрицу В
CCMPLEX A(M,N), В (M,N)
Д D( 10 J=1,N
\ D( 10 I=1,M
10 ч B(I,J)=A(I,J)
RETURN
ЕЮ
SIBROUTINE BILINEAR (/,A,B,C,X,ISTAT)
С Решгт билинейное уравнение Ж+ХВ = С только для случаев М=1, 2
CIMPLEX А(М,М), В(М,М)С(М,М), Х(М,М), ТЕМРB,2)
RIAL Cl, C2
IF(M .EQ. 1) GO TO 10
1Г(М .EQ. 2) GO TO 20
1=ТАТ=1
R1TURN
0
)
R TURN
C-REAL(AA,1)+AB,2)+>A.1)+BB,2))
C-REAL(A(I,1)»AB,2)-A1.2)*AB,1)-BA,1)«BB,2) +
+B(
C.LL MULT (M,M,C,B,TEM')
X1,1)=AB,2)
Xl,2)--A(l2
X2,l) = -
X22)A
X2,2)-A(l,l)
CLL MULT (M,M,X,C A)
QLL ADD (M,M,TEMP.ATMP)
B11)=C1.BA1)+O2
1,1)C1BA,1)+O2
B2.2)=C1.BB,2 +C2
B1,2)=CLBA,2)
506
Глав! 15
Многоканальное спектральное оценивание
507
ВB,1)-С1»ВB,1)
CALL INVERT (M,B,A,ISTAT)
IF (ISTAT .NE 0) RETURN
CALL MULT (M,M,TEMP,A,X)
RETURN
END
SUBROUTINE IDENT (M,A)
С Возвращает идентифицированную матрицу в А
COMPLEX A(M,M)
DO 10 J-1.M
DO 10 I-l.M
A(I,J) = @.,0.)
IF (I.EQ.J) A(U)-(l.,0.)
10 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE INVERT (MAB.ISTAT)
С Матрица В является результатом обращения матрицы А только для слу-
С чаев М-1,2
COMPLEX А(М,М), В(М,М), DET, Т
IF (M .EQ. 1) ОО ТО 10
IF (M .EQ. 2) 00 ТО 20
ISTAT-1
RETURN
10 ВA,1) = 1./АA,1)
RETURN
20 DET=AA,1).AB,2)-AA,2)»AB,1)
IF (CABS (DET) .NE 0.) GO TO 30
ISTAT=2
RETURN
30 T=1./DET
B()A
BB,1) AB,1)»T
BB,2)=AA,1)»T
RETURN
END
SUBROUTINE MULT (M.NAB.C)
С MxN-матрица С является результатом перемножения МхМ-матрицы А
С с MXN-матрицей В
COMPLEX A(M,M) B(M,N), C(M,N), S
DO 1OJ=1,N
DO 10I = l,M
S=@.,0.)
DO 20 K-1.M
20 S=S+A(I,K).B(K,J)
10 C(I,J)-S
RETURN
END
SUBROUTINE OUTPROD (M,X,Y,A)
С Матрица А является результатом векторного произведения векторов X и Y
COMPLEX X(M), Y(M), A(M,M)
DO 10 J=1,M
DO 10 I=1,M
10 A(I,J) = X(I)»CONJG(Y(J))
RETURN
END
SUBROUTINE SCALE (M,N,S,A,B)
С Матрица В является результатом масштабирования MxN-матрицы А ска-
С ляром S
COMPLEX S.A(M.N), B(M.N)
DO 10 J=1,N
DO 10 I=1,M
BIJ)SA
(,)
RETURN
END
SUBROUTINE SQROOT (MAB.ISTAT)
Натряца В является резулыатом вычисления нижней треугольной матрн-
э! «корня квадратного» эрмитовой матрицы А только для случаев М=
-1, 2
COMPLEX А(М,М), В(М,М)
REAL С
IF (М ХЕ. 2) ОО ТО 10
ISTAT-1
RETURN
SQRT(REAL(A(I.l)))
B(I,1)=CMPLX(C,O.)
IF (M .EQ. 1.) RETURN
(,)(
BA.2)=0.
C=REAL(AB,2)-A(I,2)«AB,1)/AA,1))
BB,2)=CMPLX(SQRT(C),0.)
\ RETURN
\ END
SUBROUTINE SUB (M,NA,B,C)
Z Матрица С является результатом вычитания MxN-мзтрнцы В из матри-
""cOMPLEX A(M,N), B(M,N), C(M.N)
DO 10 J-l.N
DO 10 I=1,M
10 C(I,J)=A(I,J)-B(I,J)
RETURN
END
SUBROUTINE XPOSE (M.A.B)
С Матрица В является комплексно-сопряженной транспозицией матрицы А
COMPLEX А(М,М),В(М,М)
DO 10 J-1.M
DO 10 I=1,M
Ю B(I,J)_CONJG(A(J,I))
RETURN
END
SUBROUTINE ZERO (M.N.A)
С Размещает нули в MxN-матрице А
COMPLEX A(MN)
DO 10 J=1,N '
DO 10 1=1,M
10 A(I,J)_@ 0)
RETURN
END
Глава 16
ДВУМЕРНОЕ СПЕКТРАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
16.1. Введение
В связи с появлением процедур одномерного спектрального оце-
оценивания с высоким разрешением (гл. 5—13) многие исследо-
исследователи ожидали их обобщения как на двумерный, так н на слу-
случай более высокой размерности (там, где эти обобщения воз-
возможны). Двумерный спектральный анализ может быть
использован для пространственно-пространственных массивов
данных (например, обработка изображений), пространственно-
временных массивов данных (например, обработка сигналов
гидролокационных, сейсмических и радиолокационных в случае
синтезируемой апертуры) или даже временно-временных
массивов данных (например, анализ интервала повторения ра-
радиолокационных импульсов в зависимости от момента их при-
прихода). При обобщении одномерных методов на двумерные часто
возникают трудности из-за различий в теории одномерных и
двумерных линейных систем, особенно это относится к невоз-
невозможности разложить двумерный полином по полиномам более
низкой размерности1'. Таким образом, одномерную концепцию
изолированных полюсов, нулей и корней в общем случае нельзя
обобщить на двумерный случай. У двумерных систем намного
больше степеней свободы, чем у одномерных. Вычислительные
трудности в использовании некоторых перспективных двумер-
двумерных методов спектрального оценивания ограничили их испыта-
испытания и применения малыми двумерными наборами данных
для простых сигнальных ситуаций, как, например, нескольких
синусоид в пространственном белом шуме. Эти две причины
объясняют, почему двумерное спектральное оценивание продол-
продолжает оставаться областью активного поиска. Только двумерная
периодограмма, двумерные гибридные методы и двумерный
метод на основе минимума дисперсии применяются практически
при анализе расширенных двумерных наборов данных, в основ-
основном благодаря тому, что эти методы не связаны с факторизаци-
факторизацией двумерных полиномов.
'> Полезные сведения о разложении многочленов от двух и трех переменных,
а также по интерполированию функций многих переменных читатель можег
найти, например, в [23*] и [9*, 6, гл. 2, § Щ.~Прим. ред.
Двумерное спектральное оценивание аи;*
Одна глава позволяет лишь кратко осветить методы двумер-
двумерного спектрального оценивания. Хотя математический аппарат,
приведенный в данной главе, может быть применен для много-
1ерного спектрального анализа, в настоящее время наи-
>льший интерес представляет двумерный случай. Именно
>этому содержание главы фокусируется только на двумерном
учае. Проблемы и математические тонкости, обусловленные
.ачительными теоретическими различиями между одно- и дву-
грными спектральными методами, могли бы стать предметом
самостоятельной книги. Предлагаем читателю за дополнитель-
дополнительными деталями и ссылками по вопросам многомерной обработ-
обработки цифровых сигналов и спектральному оцениванию обращаться
к первоисточникам, как, например, книге Д. Даджиона, Р. Мер-
серо [5] или статье Дж. X. Макклеллана [21]. Изложение
материала в этой главе будет строго придерживаться темати-
тематической последовательности материала, принятой по одномерным
методам в гл. 2—13.
16.2. Краткая сводка результатов
0ш удобства математических выкладок и упрощения их пред-
гавления принято, что двумерные сигналы получены с помощью
тснетов в узлах прямоугольной сетки. Именно этот путь обыч-
о «пользуется на практике для получения двумерных дискрет-
ы\ V'n-i тов Ограниченность объема книги позволяет вклю-
у только две программы двумерного спектраль-
то )f nueivpaM двумерного классического перио-
о оценивания и двумерного авторег-
О1тоттт-.^[]|]я в пределах очного квал-
;работки мс
ного оцени!
)тным БПФ
<>й оценки с
510
Двумерное спектральное оценивание
Дв
мерная периодограмма
• ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУМЕРНОЙ
ПЕРИОДОГРАММЫ
(Подпрограмма TDPER1OD,
пожение 16.А)
• СБОР ДАННЫХ
/VI хЛ/2 отсчетов:
Т 1 х Г 2 отсчетов/с
Двумерная
• ВЫБОР ПОРЯДКОВ
IP1, IP2
• ОЦЕНИВАНИЕ ДВУМЕР-
ДВУМЕРНЫХ АР-ПАРАМЕТРОВ
(Подпрограмм.! TDAR
приложение 16 В)
• ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВУМЕР-
ДВУМЕРНОЙ АР СПМ
(Подпрограмма TDARPSD,
приложение 16 Г)
Д
•
•
вумернап СПГ'
ВЫБОР П
IP1,
ВЫЧИСЛЕ
НОЙ СПМ
МАЛЬНСН
СИЕ
ГфОГрРМГ, .
-,ини-
;ов
ДВУМЕР-
л н и -
1ЕР-
¦3 9)
Рйс. 16.1. Краткая запись трех подходов к двумерому спект пому оце-
оцениванию. Примечание. Т\у.Т2 отсчетов/с следует [итать Пх. Уогсчет.
:0,с;
Рис. 16.2. Три двумерные спектральные оценки, полуенные по известной дву-
двумерной автокорреляционной последовательности дл трех комплексных дву-
двумерных синусоид в белом шуме: а — двумерный корелограммный метод; б —
двумерный метод минимальной дисперсии; в — двумрный авторегрессионный
метод.
шением. Это позволяет все ранее разраб|танные одномерные
методы использовать в гибридном двуменом спектральном
методе. Такой подход особенно плодотвоен при пространст-
пространственно-временных данных, где часто имеетя избыток времен-
временных данных и нехватка пространственных.Разд. 16.7 посвящен
обстоятельному рассмотрению двумерного автоегрессионного
спектрального оценивания. В разд. 16.8 коротко рассказано о
двумерной процедуре оценки СПМ по методу масимума энтро-
энтропии, которую нельзя считать идентичной процедре двумерной
спектральной АР-оценки. Наконец, разд. 16.9 освсцает процеду-
процедуру двумерной спектральной оценки по методу шнимума дис-
дисперсии.
Ввиду крайней ограниченности эксперименташных резуль-
атов, представленных в литературе по процедура двумерного
пектрального оценивания, весьма трудно проволть сравнение
х характеристик. Высокая сложность вычисленй (даже при
^пользовании быстрых алгоритмов) ограничивает применение
вумерных процедур оценивания СПМ случаем 1алых наборов
и только несколькими двумерными пара.етрами.
- 1 двумерных линейных систем
азования
'. двумерный сигнал — это любая фукция х[ш, л],
^ твумерной последовательностью, та множеством
или комплексных чисел, определяных для упо-
¦¦о •¦ ¦ v: ' ¦¦ ' п при —оо<т, |<со. Дискрет-
редставлять собй отсчеты не-
¦ надлежат
13ЛИЧНЫХ
нвной
, пря-
A6.1)
ак Т]
ранственных
я которого
\'ля, ы^ывают опор-
ается что типичная
льную ошрную область,
это — на'более распро-
jHeHj ситуация на ирам
.З.ву.1 1ая единичная umi^. осная (или отсченая) функция
¦дел -я следующим образом:
6\т «1 = 6ГтТ бГлТ = ¦! .' ~П~ ' A6.2)
L ' J L J L J \ 0 в остальных с.учаях.
Цвумерная дискретная свертка для двумерной ивариантнои к
сдвигу системы имеет вид
¦/[яг,
h\m — i,n — /]
] = ft[m, n]. x[m,n] A6.3)
512
Двумерное спектральное оценивание
51*
для входа x[i, j] и выхода у[т, л]. Двумерная последователь-
последовательность h[m, n], определенная на интервалах бесконечной протя-
протяженности вдоль каждой из осей, является последовательностью
значений двумерной импульсной характеристики системы, кото-
которая представляет собой выходную последовательность, когда на
вход подается функция x[i, /]=6[(, /']. Как и в одномерном
случае, говорят, что двумерная линейная система, инвариант-
инвариантная к сдвигу, устойчива, если ее выходная последовательность
остается ограниченной для всех ограниченных последователь-
последовательностей на входе '>. Двумерные системы значительно сложнее
исследовать на устойчивость, чем одномерные.
Одномерная линейная система характеризовалась как кау-
каузальная, если ее выход у[п] определялся на основе свертки,
включавшей только текущие и прошлые входы x[k] системы:
у[п]= 2 h[n — k]x[k] A6.4)
для п, п+1, я + 2 и т. д. В этом случае последовательность зна-
значений одномерной дискретной импульсной характеристики явля-
является ненулевой только для я[0], я[1] ft[°o]. Это имело
физический смысл, когда сигналы являлись функциями време-
времени. Однако каузальность несвойственна двумерным сигналам,
для которых одно или оба измерения являются скорее функция-
функциями пространства, чем времени. Одна опорная область для
последовательностей значений двумерной дискретной импульс-
импульсной характеристики, которую условились считать опорной
областью для «каузальной» двумерной системы, является не-
несимметричной полуплоскостью (НСПП), показанной на рис.
16.3, а. Это определение двумерной каузальности предполагает,
что выходная последовательность у[т, л] вычисляется по мето-
методу, аналогичному телевизионному растру: сканирование по стро-
строкам сверху вниз при движении слева направо на каждой строке.
Если представить выход у[т, п] как позицию п на строке т,
то выходной процесс формируют рекурсивно, сначала вычисляя
значения от у[т, —оо] до у[т, со], затем увеличивая индекс
строки т. Заметим, что обе последовательности, входная и вы-
выходная, в качестве опорной области могут иметь неограниченную
полную плоскость (ПП), даже несмотря на то, что импульсная
характеристика имеет область НСПП.
В частном случае опорная область для каузальных двумер-
двумерных систем ограничивает двумерную импульсную характеристи-
характеристику квадрантом плоскости (КП), как показано на рис. 16.3, б.
'> Такой вид устойчивости иногда называется ОВОВ-устойчивостью (ограни-
(ограниченный вход — ограниченный выход) (см., например, [13*], т. 1, с. 187).—
Прим. ред.
¦.¦:;.••:••¦¦:¦•. ¦ • • •
Г-' ¦»¦.'¦•¦¦-;•: • • •
tb.'oly.y/'
¦'/¦*/¦ у ¦:¦*¦'¦¦
:»'-V>:.'.¦•;.•;.'
• • •
• • •
\
.¦¦•'¦>¦.•>¦
:::«.-.-.v;.;i!.;
¦N. о);^у:>:_
зальная (полная плоскость).
С точки зрения двумерного спектрального анализа случаи
опорной плоскости в виде КП представляет наибольший инте-
интерес На рис 16 3 в и г показаны еще две опорные области для
двумерной дискретной импульсной характеристики. Полукау-
Полукаузальная опорная область покрывает симметричную полуплос-
полуплоскость (СПП) Она каузальна в одном измерении и некаузальна
в другом. Некаузальная опорная область —это просто вся
полная плоскость (ПП), которой соответствует уравнение (lb.d).
Двумерное рекурсивное разностное уравнение, связывающее
выход двумерной системы со входом, имеет вид
Т " ( /
Без потери общности можно положить а [0, 0] = 1, так что»
Глава 16
Двумерное спектральное оценивание
515
уравнение A6.5) можно записать иначе:
х[т, л] = —
[i, f]x[m—l, л—/]
i
)9b@, 0)
i, i]u[m — t, n—/].
A6.6)
Пределы суммирования определяют порядок двумерного раз-
разностного уравнения. Например, порядок массива а[(, /] должен
быть равен PiXp2, если его опорная область — прямоугольник
в КП, ограниченный 0г?лг?р, и Osg/sgpj. Можно показать
[5], что выбор опорной НСПП-области для обоих массивов.
а-Л. /] и Ь\1, /], и соответствующих начальных условий для
x[i, I] дает каузальную двумерную выходную последователь-
последовательность, т. е. дискретная импульсная характеристика, описываемая
уравнением A6.3), также имеет опорную НСПП-область (см.
Задачи), и, следовательно, оно может быть решено рекурсивно
по описанной выше растровой схеме.
Функции вида х[т, n]=zimz2n являются собственными
функциями двумерных линейных инвариантных к сдвигу систем.
потому что реакция на выходе у[т, п] на zimzin как входное
воздействие в свертке A6.3) дает
у[т, n] = H(z,,
A6.7)
Н (г„ г2) = (
h [«, /] zr'z,-' = 2 {h [<, /]} A6.8)
— дискретная двумерная системная функция, или дискретная
двумерная передаточная функция для последовательности зна-
значений двумерной дискретной импульсной характеристики, опре-
определенная в области Zi и 22, в которой сходится выражение
A6.8). Формула A6.8) является также общим определением
двумерного г-преобразования для любой двумерной последова-
последовательности h[i, j]. Двумерная системная функция, соответствую-
соответствующая рекурсивному разностному уравнению A6.5), как легко
показать, равна отношению двумерных полиномов
H(Zi, z=) = a((zi' 7l С6-9'
где A(zi, z2) и B(zi, z2) — z-преобразования массивов a[l, i]
и b[i, j]:
А(г„ z2) =
В (г,, z,) =
A6.10)
A6.11)
причем пределы суммирования определяются соответствующими
опорными областями. Каузальная одномерная рациональная
системная функция включает в интервал суммирования только
положительные значения индексов. Двумерная системная функ-
функция A6.9) для «каузальной» НСПП содержит одну сумму толь-
только с положительными значениями индексов в обеих формулах
A6.10) и A6.11) и вторую сумму как с положительными, так и
с отрицательными индексами. Говорят, что Н(гь г2) имеет
двумерный «нуль» (гь г2), если B(zt, z2)=0 и A(z\, г2)=?^0 и
двумерный «полюс» (z,, z2), если A(zi, z2)=0 и В(гь г^фО.
Полюсы и нули двумерных рациональных системных функций
в основе своей отличаются от соответствующих одномерных
аналогов. Корни одномерных полиномов представляют собой
изолированные точки в z-плоскости, тогда как корни двумер-
двумерных полиномов в общем случае чаще представляют собой не-
непрерывные кривые, а не изолированные точки. Рассмотрим про-
простой двумерный полином
A(zf, г!) = 1—azr'z,-1. (I6-12
который обращается в нуль везде, где Ziz2=a. Это непрерывнзг
поверхность в двумерном комплексном z-пространстве. Невоз
можность разложить двумерные полиномы на множители с изо
лированными нулями и полюсами (т. е. свести к одномерньп
полкномам) очень затрудняет исследование устойчивости i
двумерном случае.
Для непрерывного двумерного сигнала x(tu h) существуем
непрерывного времени преобразование Фурье (двумерно!
НВПФ):
] ] , A6.13
при условиях, аналогичных приведенным в гл. 2 для одномерно
го НВПФ. Если отсчеты непрерывного сигнала берутся чере
интервалы 7"i по переменной t\ и через интервалы 7 по пере
менной U, образуя последовательность отсчетов х[т, п] =
= х[тТ\, лГ2], то соответствующее ей дискретного времен,
двумерное преобразование Фурье (двумерное ДВПФ) имее
вид
V п I \ т т Y (у \ I _, A614
2 x[m, л]ехр(—/
A6.15
Если непрерывный двумерный сигнал во времени или в прост
ранстве является сигналом с ограниченным спектром, так чп
516
Глава 16
вне прямоугольной области lfil^rl/27"! и ]f2
Хнвпо(Л, « = 0, A6.16)
то
ХдвпфЛ, Л,) = Хнвпф(/„ h) A6.17)
только в опорной области 1/11*1/27"! и |/2|<1/2Г2. ДВПФ
является периодическим, Хдвпф(/1 + а/2Гь /г + Р/27) =
= ^двпф(?11 fa) для любых целых а и р. В этом случае исходный
непрерывный двумерный сигнал может быть восстановлен по
двумерной последовательности отсчетов с помощью двумерной
интерполяционной функции
*('i. У = т=211л2^[т, л] sine [(*, —тГО/Л] sine [(^—пГ2)/Г2],
A6.18)
являющейся следствием двумерной теоремы отсчетов.
Квадрат модуля двумерного ДВПФ можно интерпретировать
как двумерную спектральную плотность энергии
S(h, «НХдвпфЛ, Ы|а, A6.19)
исходя из соотношений для двумерной энергетической теоре-
мы1):
Энергия = Г,Г2 2 2 \х[ш, п]\г =
= S-?тч S-да, I ХДвпф (Л. « I
A6.20)
Нижний индекс ДВПФ в последующих ссылках на это преоб-
преобразование в данной главе для удобства будет опущен.
Полагаем, что дискретная двумерная последовательность —
периодическая с периодом М в одном измерении и с периодом
N — в другом, т. е.
х[т + аМ, п~Щ = х[т, п] A6.21)
для всех целых а и [S, так что последовательность полностью
определена значениями MN в КП-опорной плоскости области
O^m^rAf—1 и O^n^iV—1. Для этой периодической последо-
последовательности можно записать двумерный дискретный во времени
ряд Фурье (ДВРФ):
м -1 лт -1
Хдврф \k, [] = Т1Т, 2 S х[пг, п]ехр(— /2л [mk/M + nl/N]),
m=Q n=0
A6.22)
11 Это соотношение является следствием двумерной формулы Парсеваля
[24*, гл. 3, с. 100] и ее дискретного аналога. — Прим. ред.
Двумерное спектральное оценивание Ы1
который представляет периодическую функцию с периодами М
и Л' в соответствующих измерениях. Для вычисления всех MN
значений, получаемых в результате преобразования с помощью
ДВРФ. потребовалось бы М2Л2 комплексных операции (умно-
(умножений и сложений). Можно применить одномерное БПФ из
приложения 2.В, чтобы уменьшить объем вычислении приблизи-
приблизительно до (MN Iog2 MN)B комплексных операций. При этом
используется возможность разделения аргумента экспоненты в
выражении A6.22) для первоначального вычисления промежу-
промежуточного массива, который соответствует преобразованию в од-
одточного
ном измерении:
= г» 2 х[ш, п]ехр(—/2л«//Л0. A6.23)
0
Затем вычисляется ДВРФ промежуточного массива, что соот-
соответствует преобразованию в другом измерении:
A6.24)
ляется N одномерных БПФ по столбцам массива исходных
данных, а затем М БПФ по строкам промежуточного массива.
16.4. Теория двумерных случайных процессов
Понятие двумерной спектральной плотности мощности (СПМ)
требует, как и в одномерном случае, чтобы двумерный массив
х[пг, п] отсчетов из двумерного случайного процесса был ста-
стационарным в широком смысле. Говорят, что такие двумерные
случайные процессы образуют однородные последовательности,
поскольку двумерное среднее процесса не зависит от располо-
расположения на двумерной плоскости и двумерная автокорреляцион-
автокорреляционная последовательность (АКТ!) является функцией расстояния
между двумя точками на двумерной плоскости ''. Дискретное
двумерное среднее, автокорреляционная последовательность,
автоковариационная последовательность и взаимно-корреляци-
'» Однородными обычно называют временные процессы с указанными свой-
свойствами, тогда как пространственные при таких же свойствах называют
изотропными. Для тех и других в двумерном случае корреляционная функция
зависит только от евклидова расстояния между точками плоскости {см.,
например, [25*1 гл. 2, $ 10, с, 110-114).-Яра* ред.
A6.25)
518
онная последовательность для однородных случайных процессов,
соответственно, имеют вид
x = <g{x[m, я]) = const,
rxAk< 1\ = &{х\т-\-к, п + 1]х*[т, л]},
схх\1г< [] = <S {(х [т + ft, п +1]—х) (х' [т, п] —х
= г„[к,1]-\х\',
гя«[*> '] = f> {У[т + 'е> п-\-1]х*[т, п]}.
Как правило, считают, что среднее равно нулю, так что двумер-
двумерные автокорреляционная и автоковариационная последователь-
последовательности совпадают. Значение автокорреляции Гт.х[0, 0] действи-
действительно и положительно (см. Задачи). Можно показать [5], что
двумерная ЛКП образует положительно полуопределенную пос-
последовательность, т. е.
2222"р, /К[ft, i\r,Ai-K i-n>o
i i k - I
для всех последовательностей a[i, /]. Свойство положительной
определенности гарантирует, что двумерное ДВПФ двумерной
АКП будет неотрицательным и что корреляционные матрицы,
образованные из двумерной АКП, имеют обратные матрицы.
Двумерная - спектральная плотность мощности (СПМ)
Px*(fi, fi) определяется аналогично одномерной СПМ как дву-
двумерное ДВПФ двумерной автокорреляционной последователь-
последовательности
PxAfu fi) = TlT, 2 2 rxAm< "]exp(—j2n[f1mT1 + f,nT:1])
A6.26)
на интервале |/, |sgl/2r, н \f2\^l/2T2. Выражение A6.26) —
это двумерная версия теоремы Винера — Хинчина. Можно пока-
показать (см. Задачи), что двумерная СПМ действительна и поло-
положительна.
Предположение об эргодичности двумерной автокорреляци-
автокорреляционной последовательности обосновывает применение среднего по
времени
I
1
',Am, "]= 'im 2A1+12.V+1 ? ?*[« + /*, j + n]x[i,j]
A6.27)
одиночной реализации двумерного случайного процесса для по-
получения двумерной АКП. Используя подход, подобный приме-
Двумерное спектральное оценивание
519
ценному в гл. 4, можно показать, что эквивалентным представ-
представлением двумерной функции СПМ является
P,Afu h)
X
J2A1+1 S
2Л/+1
x[m,
m=-Mn=-N
A6.28)
Важной разновидностью двумерного случайного процесса
является двумерная последовательность белого шума w[m, n\,
которая по определению имеет двумерную АКП вида
rww[k, q = р„,6[fe, /], A6.29)
т. е. это процесс, характеризующийся отсутствием корреляции
при всех сдвигах, кроме точки с нулевым сдвигом [0, 0]. СПМ
для двумерного белого шума просто равна Pm(/i, f2) = Г1Г2р,„.
Если у[т, п] —двумерный случайный процесс, представляю-
представляющий собой результат прохождения стационарного двумерного
случайного процесса х[т, п] через линейную систему вида
A6.3), то выходная АКП ryv[k, I] и входная АКП rxx[k, I]
связанны соотношением
V г„„ [ft, /]=ft [ft, /]> h- [- ft, - /] * /¦„ [ft, i]. A6.30)
Если двумерное z-преобразование двумерной АКП rxx\k, I]
равно
и если PSBB|, z2)—аналогичное г-преобразованне для ryy[k,l],
то z-преобразопание выражения A6.30) свяжет P*jc(zi, г2) и
Pj/a(zb z2) следующим образом:
Pn(zu z,) = H(«i, z,)H'(l/z;, I/z;)P«(Zi, z2), A6.31)
где H(zi, z2)—z-преобразование A6.8), являющееся системной
функцией. Следовательно, соотношение между двумерными
спектральными плотностями мощности входного и выходного
процессов записывается в виде
к=ехр(/8Я/,Г,>
A6.32)
Если входной процесс—белый шум с АКП, описываемой выра-
выражением A6.29), и фильтр имеет двумерную передаточную функ-
функцию, выражаемую рациональной функцией A6.9), содержащей
Двумерное спектральное оценивание
521
двумерные полиномы, то выходной процесс представляет собой
двумерный процесс авторегрессии и скользящего среднего (дву-
(двумерный АРСС) с СПМ вида
^арсс Uи h) = 7\Пр« Щг~К) I'• A6-33>
в которой
А (/,, /2) = 2 2 а [т, л] ехр (- /2л [^тГ, + /,яГ J).
В (/„ /*) = 2 2 Ь К л] ехр (- /2п [ДтГ, + /,лГJ)
определены в некоторой произвольной опорной области. Если
^(/ь Ь) = 1> т0 СПМ соответствует двумерному авторегрессион-
авторегрессионному процессу (двумерному АР). Если A(f\, /г) = 1, то СПМ
соответствует двумерному процессу скользящего среднего (дву-
(двумерному СС). Двумерные процессы допускают также различные
представления процесса в каждом измерении. Если, например,
числитель является функцией только от {\, т. е. B(fi, f2) =
= B(/i), то двумерный процесс — это процесс АРСС в измере-
измерении, соответствующем fi, и АР в измерении, соответствую-
соответствующем f2.
46.5. Классическое двумерное спектральное оценивание
Двумерные версии процедур классического спектрального оце-
оценивания непосредственно вытекают из одномерных представ-
представлений периодограммного и коррелограммного методов. Для
удобства будем считать, что данные имеют опорную область
типа квадранта плоскости, а именно MN отсчетов данных
х[т, п] доступны в прямоугольной области O^im^M—1 и
0=g:n^jV—1. Возможны другие, непрямоугольные опорные об-
области, однако они здесь не рассматриваются, так как редко
встречаются на практике.
Несмещенная оценка двумерной автокорреляционпой функ-
функции при сдвиге [ft, (] имеет следующий вид:
'"„[*. ']=¦
1 v V
A~\-k N~\
m=0 n=-l
ft>0,
, n],
'«[-ft. -П.
* < 0, для всех
в диапазоне сдвигов l&lsgpi и |;|^р2- Максимальные значения
сдвига ограничены соотношениями pi^M—1 и P2^N—1. Сме-
Смещенную оценку двумерной АКП ~rxx[k, l] можно вычислить,
просто заменив делитель (М—k) (N—I) в формуле A6.34)
на MN.
Процедура оценки СПМ на основе коррелограммного метода
для двумерных отсчетов данных имеет вид
^Корр (/ь f,) = Т{Гг ^ 2 ( 2 w[k,l]'r [ft, /] ехр (- /2л X
хиЦтЛ'иП]), A6.35)
где ш [k, I] — корреляционная взвешивающая последователь-
последовательность1' (последовательность корреляционного окна), используе-
используемая, как и в одномерном случае, для достижения разумного
компромисса между разрешением, уровнем боковых лепестков
и дисперсией оценки. В литературе имеется не много сведений
о двумерных функциях окна для спектрального оценивания.
Двумерные окна часто стремятся сформировать в виде произ-
произведения одномерных окон. Так, например, построено двумерное
окно Хэмминга
w [ft, I] = [0,54 + 0,46 cos (nfc//?,)] [0,54 + 0,46 cos [nl/p,)\,
для |V|.^pi и |/|^рг. Хуанг [8] уделил большее внимание
исследованию двумерных окон с круговой симметрией, чем пря-
прямоугольным окнам. Если использовать смещенную оценку АКП
г**[&. '] (т' е. w[k, l] записывают для треугольного окна), тогда
альтернативное выражение матрично-векторного произведения
для СПМ, вычисляемой на основе коррелограммного метода,
имеет вид
PkowUi, M = 7V7>h(/i, h)ke(fu f2), A6.36)
где блочно-тёплицева автокорреляционная матрица блочной
размерности (pi + 1) X (pi + 1)
R[0]
R[0]
RW
R[0]
A6.37)
l> Термин характеризует взвешивание корреляционных функций в области
сдвигов подобно временному взвешиванию временных функций. — Прим. ред.
34—1366
522 Глава 16
имеет тёплицевы матричные элементы размера (рг+1)Х (pz+1):
/ '»[*, 0] гхх[К 1] ... rJ[k,-Pl] \
V«[*. -Pj '"„(*. -л.,+ 1] ... г„[*. 0] /
A6.38)
Двумерный блочный вектор e(fb f2) комплексных синусоид оп-
определяется следующим образом:
"о (/„ h)
<¦ 1
ехр (/2л/2Г
ехр(;2л/2/J7\,)
A6.39)
Заметим, что каждый из векторов th(fu fz) имеет (Pi+\) эле-
элементов.
Выражение двумерной периодограммы повторяет по форме
одномерную периодограмму:
Л 1
X ю К л] * [т, п] ехр (— /2л [/.т^+^л
A6.40)
где ш[т, п]—соответствующее окно наблюдаемых данных.
Можно уменьшить дисперсию двумерной периодограммной про-
процедуры оценки, если разбить данные на меньшие двумерные
массивы, которые могут перекрываться, записать двумерную
периодограмму для каждого подмассива и усреднить периодо-
периодограммы подмассивов. Последовательности значений данных из
пространственно-временных массивов часто так ограничены а
пространственной области, что усреднение по подмассивам мож-
можно осуществить только во временном измерении, так как обычно
нельзя допускать потери в спектральном разрешении из-за ус-
усреднения по подмассивам в пространственном измерении. Если
отдельные подмассивы статистически независимы, то дисперсия
уменьшится в число раз, соответствующее числу усредняемых
подмассивов. Если они не являются независимыми, то умень-
уменьшение дисперсии будет меньше. В приложении 16.А содержится
подпрограмма TDPERIOD, по которой вычисляется двумерная
периодограмма, использующая алгоритм одномерного БПФ.
Двумерное спектральное оценивание
523
Складывается впечатление, что статистические характеристи-
характеристики двумерных классических процедур оценки весьма схожи с
характеристиками одномерных классических спектральных
процедур оценки, несмотря на то, что аналитические результа-
результаты получить затруднительно. Разрешение в каждом измерении
зависит от протяженности интервала данных в каждом измере-
измерении и в общем случае будет различным, если MT^NT2. Одно-
Одномерное разрешение, проанализированное в гл. 5, в основном
сохраняется в двумерном случае для спектральных компонент,
соответствующих одному из двух частотных измерений.
16.6. Модифицированные процедуры
классического двумерного спектрального оценивания
В разд. 16.3 было показано, что двумерное дискретно-времен-
дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ), используемое для вычис-
вычисления периодограммы, может быть вычислено сначала как пос-
последовательность одномерных ДВПФ столбцов, а затем как
последовательность одномерных ДВПФ строк. Можно постро-
построить процедуру гибридного двумерного спектрального оценива-
оценивания, применяя к ДВПФ строк любой из методов одномерного
спектрального оценивания с высоким разрешением, представ-
представленных в гл. 6—13 (рис. 16.4). Промежуточный массив, образо-
образованный ДВПФ столбцов, состоит из величин, полученных
в результате комплекснозначного преобразования, поэтому сле-
следует использовать комплексную форму процедуры высокого
разрешения. Гибридная схема предназначена для улучшения
разрешения в том измерении, где протяженность записи данных
может быть ограничена. Это часто происходит с пространствен-
пространственно-временными массивами данных, где пространственное разре-
разрешение может быть недостаточным вследствие малого числа
пространственных датчиков при относительно большем числе
временных отсчетов, получаемых от каждого датчика. Запишем
математически две стадии гибридного подхода к двумерному
спектральному оцениванию:
2 х[ш, п]ехр(—/2я/
A6.41)
PpRftdt, /г) = одномерная СПМ высокого разрешения для
Х„р„«е„„К hi A6.42)
вычисляемой на каждой частоте f2 с помощью уравнения A6.41).
Джойс [12] описывает одну такую процедуру гибридного дву-
двумерного спектрального оценивания, основанную на одномерном
БПФ и одномерном комплексном алгоритме Берга. Гибридные
Преобразование
рок 1ДВПФ)
П ро межуточное
преобразование
гибридная СПМ
Рис. 16.4. Гибридный метод двумерного спектрального оценивания.
схемы имеют тенденцию, как правило, давать лучшие резуль-
результаты, когда в измерении с ограниченной протяженностью записи
отношение сигнал/шум достаточно высоко.
Другой подход, с помощью которого стремятся улучшить
разрешение, достижимое на основе процедур классического
двумерного спектрального оценивания, — это использование
методов линейного предсказания для того, чтобы экстраполи-
экстраполировать исходный двумерный массив данных расширенным мас-
массивом. Затем расширенный массив данных обрабатывают обыч-
обычным образом, с -помощью какой-либо из двух процедур класси-
классического спектрального оценивания. Фрост [7], Фрей [6],Пенд-
рел [25] и Ульрих и Уолкер [28] исследовали процедуры дву-
двумерного линейного предсказания в случае квадранта плоскости
(КП) для одновременного расширения массива данных по обоим
измерениям. По-видимому, процедура экстраполяции данных
обеспечивает ограниченное улучшение разрешения, возможно,
до двух раз при высоком отношении сигнал/шум.
16.7. Двумерное авторегрессионное спектральное оценивание
Параметрические модели двумерных случайных процессов, как
и в одномерном случае, применяют в надежде улучшить харак-
характеристики спектрального оценивания по сравнению с достижи-
достижимыми при классических двумерных периодограммном и корре-
лограммном методах. Наибольшее внимание в литературе уделе-
уделено двумерной авторегрессионной (АР) модели, и это будет
единственная параметрическая двумерная модель, рассматри-
рассматриваемая в данной главе. Двумерное спектральное оценивание на
основе скользящего среднего, насколько известно автору, не
описано в литературе. Метод двумерного спектрального оце-
оценивания на основе авторегрессии — скользящего среднего был
предложен Кадзоу и Огино'[1].
Двумерное спектральное оценивание 525
16.7.1. Двумерный авторегрессионный процесс
Двумерная авторегрессионная последовательность х[т,п] ге-
генерируется двумерным линейным инвариантным к сдвигу фильт-
фильтром, возбуждаемым двумерной последовательностью белого
шума w[tn, n]:
К n]x[i—m, i—n]
A6.43)
где интервалы изменения индексов тип зависят от опорной
области, принятой для массива АР-параметров. Соответствую-
Соответствующая двумерная АР-спектральная плотность мощности, как по-
показано в разд. 16.4, имеет вид
If f l=
A6.44)
где ри; — дисперсия двумерного белого шума.
При двумерном АР-моделировании вопрос первостепенного
значения — выбор опорной области [20]. Здесь будут исследо-
исследоваться только каузальные двумерные АР-процессы, хотя требо-
требование устойчивости п каузальности авторегрессионного процесса
не обязательно обеспечивает лучшую двумерную спектральную
оценку, чем та, которая могла бы быть получена при полука-
полукаузальных1' или некаузальных авторегрессионных процессах.
Даже при допущении каузальности двумерный АР-процесс оп-
определяется неоднозначно, так как возможны две опорные обла-
области: НСПП и КП. Массив авторегрессионных параметров
av[m, n] НСПП-области, соответствующих верхней полуплоско-
полуплоскости, и массив авторегрессионных параметров aL[m, n]
НСПП-области, соответствующих нижней полуплоскости, можно
определить следующим образом:
аи\т, п\ —p1^im^.p1, если l]^*rt^p2 или
1 < т',^ plt если п = 0;
(
J
J
а[т, п] = \ а/[ш „^ — р1'<т<р1, если— Pa<;« — 1 или
! < т <: — 1, если п — 0,
A6.45)
для положительных целых чисел р\ и р2. Полное число АР-
параметров в случае НСПП, следовательно, равно 2p,p2 + Pi + P2-
На рис. 16.5 показана опорная область для этих двух авторег-
авторегрессионных НСПП-массивов. Массивы авторегрессионных пара-
параметров первого, второго, третьего и четвертого квадрантов в
1 Определение полукаузальности см. в разд. 16.3.—Прим, ред.
@,0)
¦.•:¦*.¦:•?.¦¦•*' •
•¦¦¦¦¦¦•,:;:-.:-.vv.V
. l'-v'ii;-i':;-'.--^-;
?¦¦¦¦¦*;¦¦¦
@ 0)
Рис, 16.5. Типичные опорные НСПП-области для двумерных массивов АР-па-
раметров в случае Pi=3 и рг=2: а — НСПП-область в верхней полуплоскости;
б— НСПП-область в нижней полуплоскости.
случае КП ai[m, я], а2[т, л], а3[т, я] и a,i[m, п] можно опре-
определить следующим образом:
а [т, п] =
(ai[m, л], . 0<т<р1т если 1<п</>2 или
l^mSjpi, если л = 0;
а2[т, л], —/JiSjmsgO, если l^n^.pa или
— ft^msj—1, если л = 0;
а3[ш,п], —р1^т^0,если —p2^nss;—1 или
— Л^т^С—1, если я = 0;
д4[т, л], 0^т.^р1(если — р.2^п^—^1 или
l^m^Cpn если л = 0.
A6.46)
Полное число АР-параметров в случае КП для любого из четы-
четырех квадрантов равно Р\Р2+Р\+Р2- На рис. 16.6 показаны
опорные области авторегрессионных массивов для этих четырех
КП.
16.7.2. Двумерное линейное предсказание
Оценка на основе двумерного линейного предсказания по мас-
массиву отсчетов данных х[т, п] принимает следующий вид:
х[т, л] = -
*—I, л—/],
A6.47)
где a[i, j]—двумерный коэффициент линейного предсказания.
Двумерное спектральное оценивание
п
*
527
F?
• • • • V
@, 0)
¦ ¦;*•¦¦¦>¦.¦:*¦
I • . •
¦ • ГУ7?77»1
@, 01
•j • • • •
@,0)
J*-::'-:-*-.l
mm'
i,¦,¦«¦.¦¦>•¦:*: •
Рис. 16.6. Типичные опорные КП-области носителя для двумерных массивов
АР-параметров в случае Pi=P2~3, расположенные в первом (а), втором {б},
третьем (а) и четвертом (г) квадрантах.
Если выбрана каузальная опорная область для массива коэф-
коэффициентов линейного предсказания, то коэффициенты двумер-
двумерного линейного предсказания, которые минимизируют диспер-
дисперсию ошибки х[т, п] —х[т, л],
Ро. = *{|*К п]-х[т, л]]2},
превращают ошибку линейного предсказания в двумерный бе
лый шум. Это аналогично интерпретации одномерного фильтра
ошибки линейного предсказания как отбеливающего шум (см.
гл. 7). Нормальные уравнения, из которых определяются дву-
528
Глава 16
мерные коэффициенты линейного предсказания по известным
двумерным АКП, идентичны двумерным уравнениям Юла —
Уолкера для каузального двумерного АР-процесса, описывае-
описываемым в разд. 16.7.3. Коэффициенты отражения 1в случае двух
измерений здесь не рассматриваются, они обсуждаются в работе
[20].
Использование двумерных фильтров линейного предсказания
с полукаузальными и некаузальными опорными областями изу-
изучалось в работах [10, 11, 23, 25] с целью применения в двумер-
двумерном спектральном оценивании. По-видимому, полукаузальные
процедуры двумерного спектрального оценивания на основе
линейного предсказания несколько более точны в определении
расположения пиков, чем каузальные процедуры в случае КП
или НСПП. [10]. Можно показать [10], что дисперсия ошибки
в случае полукаузального линейного предсказания соответст-
соответствует спектральной плотности белого шума в каузальном измере-
измерении и процесса скользящего среднего в некаузальном измере-
измерении, имеющего «спектральную плотность» Psclp, выражаемую
в виде z-преобразования:
Psclp^l г2)= ' ^ . . —J-, A6.48)
где А(гь г2) -определяется как A(zi, z2)
Это больше не двумерный АР-, а двумерный АРСС-процесс.
Подобно этому можно показать, что дисперсия ошибки линей-
линейного предсказания в некаузальном случае соответствует спект-
спектральной плотности процесса скользящего среднего в обоих из-
измерениях. Эта «спектральная плотность», Р^сър выраженная
через z-преобразование, имеет вид
A6.49)
r"af1'" '" A(zb г,)'
В A6.49) выполнено сокращение на член A*(l/zi*, l/z2*), со-
содержащийся в числителе и знаменателе. Процедуры полукау-
полукаузального и некаузального спектрального оценивания на основе
линейного предсказания не гарантируют неотрицательной СПМ,
когда параметры модели оцениваются по записи данных конеч-
конечной протяженности, тогда как процедуры каузального спектраль-
спектрального оценивания на основе линейного предсказания всегда
гарантируют неотрицательность СПМ.
16.7.3. Двумерные уравнения Юла — Уолкера
Умножая обе части уравнения A6.43) на х*[т—k, п—/] и беря
математическое ожидание, получим двумерные уравнения
Двумерное спектральное оценивание 529
Юла — Уолкера1) для каузального двумерного АР-прщесса:
„ [*, I] = [0,0];
в остальных случаях.
Пределы суммирования можно выбрать в соответствги с любой
из шести опорных областей в A6.45) или A6.46). Тжим обра-
образом, соотношение между двумерными АР-параметрсми и дву-
двумерной АКП устанавливается системой линейных урвнений.
Наибольшее внимание в литературе уделено .вумерному
АР-процессу с опорной областью в КП, что в основнм обуслов-
обусловлено тесной связью между двумерным АР-процессет и много-
многоканальным АР-процессом, описанным в гл. 15. Это соответствие
позволяет искать способы разработки двумерного алгоритма
левннсоновского типа, основанного на многоканальна алгорит-
алгоритме Левинсона, для решения двумерных уравнений Бла — Уол-
Уолкера относительно массива двумерных АР-параметов.
Двумерные уравнения Юла — Уолкера для опорых обла-
областей в КП можно привести к двум удобным блочноматричным
формам, упорядочивающим двумерные АР-парамет[ы либо по
строкам, либо по столбцам. В краткой записи упо>ядоченные
по строкам двумерные АР-уравнения Юла — Уолкер, для опор-
опорной области в первом квадранте можно выразить 'ледующим
образом:
I, A6.50)
{
где блочная матрица
[]
R'[0]
A6.51)
определяется матричными элементами
Rr[0]
.. >•„['. P.' \
.. rxx[i,Pi-i]
.'. rxx[i, о I
A6.52)
!> Для получения указанных уравнений Юла—Уолкера надо зписать урав-
уравнение A6.43) в виде х\т, п]=—22o[i, j]x[m—i, п—i]+w[i, /], i затем его
умножить на x*[m^-k, п—/] и усреднить по п г п. — Прим. рё.
530
а блочные векторы
0
¦ Pi =
определяются через вектор-элементы
A6.53'
V 0;
Каждый элемент, обозначенный жирным 0, — это вектор-столбе]:
из рг+1 нулей и, по определению, ai [0,0] = 1. Блочная тёплице-
ва матрица Rr составлена из (pi + 1) X (pi + 1) автокорреляцион-
автокорреляционных матриц Rr[i], которые сами являются тёплицевыми. Поэто-
Поэтому говорят, что матрица Rr дважды тёплицева или блочно-
тёплицева-тёплицева. Верхний индекс г указывает читателю, что
используется упорядочение по строкам. Каждая матрица Rr[i]
имеет размер (р2+1) X (рг+1). Блочный вектору/ изр2+1ав-
торегрессионных параметров, имеющий нижний индекс 1 для
обозначения принадлежности к множеству АР-параметров из
первого квадранта, составлен из pi + 1 векторов air[j], каждый
размера р2+1- У блочного вектора pir все компоненты нулевые.
за исключением верхней — дисперсии шума р,,..
Упорядоченные по столбцам двумерные АР-уравнения
Юла — Уолкера для опорной области в первом квадранте име-
имеют вид
R'a; = p;, A6.54)
где блочная матрица
/ R'[0]
R'[l]
R'[0]
A6.55)
R;[0]
Двумерное спектральное с
определена матричными элементами
'«[0. Л г„[1, Л
',х[Ри1\
A6.56)
а блочные векторы
fa; [0] ¦)
af[l]
\0)
определены через вектор-элементы
i [о, л
l[l. Л
о
A6.57)
В этом случае размер блочной матрицы R" равен
Х(р2+1), размер обоих блочных векторов _aic и р^ равен
(P2+l)i размер матрицы Rc[/] — (pi+l)X (pi + 1); размер обоих
векторов ai'[/] и pi0—(Pi+1); 0 — вектор-столбец из pi+1
нулей.
Двумерные уравнения Юла — Уолкера для опорных областей
во втором, третьем и четвертом квадрантах также можно вы-
выразить в форме либо упорядоченной по строкам блочной мат-
матрицы Rr, либо упорядоченной по столбцам блочной матрицы
К0. Например, строчно-упорядоченные формы имеют вид
R'aj = pj, A6.58)
R'a; = pj, A6.59)
R'aS = pI, A6.60)
I
а; [0]
(а, [(, р,]
a,[i, 1]
\aS, 0]; 0
о •»
из =
s3 [(,
a,[i, 1]
№ [t, 0] ;
ГОЛ
CO ^
0
VP»J
Автокорреляционные матрицы R'[j не эрмитовы, но удовлет-
удовлетворяют соотношению Я'[~ i] = (R'[i] «. Этого, однако, доста-
достаточно, чтобы сделать блочную матрш/ Rr эрмитовой, для кото-
которой Rr=(Rr)«. Матрица Rr также облдаёт свойством
JRM=(R')* A6.61)
где J —(pi + l)(p2+l)X (р, + 1)(р2+1)—матрица отражения.
Это свойство следует из эрмитова и -ёплицева свойств R'. По-
Поскольку JJ#_I, где ]_— единичная мтрица, можем записать
уравнения A6.59) и A6.60) в следукцем виде:
J(RTJJaS = JbS, A6.62)
J(RO*JiaI = JbI. A6.63)
Учитывая, что Jp3r = pir и Jp/ = p_2r, а акже используя свойство
A6.61), для уравнений A6.62) и A6.6) получаем
R(J;) (pJ)'=p;, A6.64)
(f>Q'=_p2. A6.65)
Двумерное спектральное оценивание
Здесь использован тот факт, что рю=рв*,
pw — величина действительная. Сравнивая р
с A6.58) и A6.65) с A6.59), можно сделать вывод, что
так как дисперсия
выражения A6.64)
(Jal)\
A6.66)
A6.67)
Следовательно, АР-параметры третьего квадранта являются
комплексно-сопряженными с АР-параметрами первого квад-
квадранта:
as [m, n] = a[ [m, л],
A6.68)
а АР-параметры четвертого квадранта комплексно сопряжены с
АР-параметрами второго квадранта:
ai[m, ri\ — al [in, л].
A6.69)
Равенства A6.68) и A6.69) аналогичны соотношению комплек-
комплексной сопряженности коэффициентов линейного предсказания
вперед и назад, полученному при одномерном АР-анализе.
В гл. 7 было показано, что существует однозначное соответ-
соответствие между последовательностью из р+1 значений АКП и по-
последовательностью из р одномерных авторегрессионных пара-
параметров и дисперсией шума pw. Если задана одна последова-
последовательность, то другую последовательность можно определить од-
однозначно. Это свойство взаимно однозначного соответствия в
литературе часто называют свойством автокорреляционного со-
согласования в одномерном авторегрессионном анализе. У дву-
двумерного АР-лроцесса этого свойства автокорреляционного со-
согласования не существует. Исследование нормальных уравне-
уравнений A6.54) и A6.58) —A6.60) выявляет, что требуется 2pip2—
—Рх—р% значений двумерной АКП для однозначного определения
Р1Р2 + Р1 + Р2 двумерных АР-параметров и дисперсии рщ4 Сле-
Следовательно, для однозначного определения значений АКП од-
одних лишь АР-параметров недостаточно, т. е. не может сущест-
существовать взаимно однозначного соответствия между этими двумя
альтернативными представлениями двумерного АР-процесса.
Обратное преобразование функции двумерной спектральной
плотности мощности [формула A6.44)] порождает двумерную
автокорреляционную последовательность, которая в общем слу-
11 Для сравнения числа значений АКП и числа значений АР-параметров и
дисперсии их удобно представить в следующей форме: 2р,р2—р\—Р2—
=Pi(P2—П +Рг(Р1—1) и p\P2+P\+Pi~P\(Pi+\)+Pi- из которой ясно видно
соотношение этих количеств. — Прим. ред.
чае не согласуется со значениями АКП, используемыми для'
вычисления двумерных АР-параметров из двумерных уравне-
уравнений Юла — Уолкера. Однако полученная таким образом АКП
будет иметь тенденцию аппроксимировать исходные знамени
АКП. Следует также подчеркнуть, что положительная опреде-
определенность матрицы R' гарантирует однозначность решения дву
мерных уравнений Юла — Уолкера, но не обязательно буде
гарантировать устойчивость АР-модели. Вопрос об автокоррс
ляционном согласовании будет центральным при обсуждени
метода двумерной максимальной энтропии в разд. 16.8.
16.7.4. Решение двумерных уравнений Юла — Уолкера
для квадранта плоскости (КГ Т)
Быстрый алгоритм для решения двумерных КП-уравнен!:
Юла — Уолкера можно получить, используя связь с многока
нальными уравнениями Юла — Уолкера (гл. 15), для решена
которых имеется многоканальный алгоритм Левинсона [27]
Эта процедура позволяет вычислять АР-параметры одновремеп
но для всех четырех квадрантов плоскости. Представлении
здесь алгоритм-—это упорядоченный по строкам двумерный
алгоритм Левинсона, в котором порядок по столбцам р2 фикси-
фиксирован, а решение для порядка по строкам р, получают рекур-
рекурсивно, начиная с порядка 1. Сопутствующий ему двумерный
алгоритм Левинсона, упорядоченный по столбцам, можно полу-
получить, просто меняя ролями р\ и рч. При pi>/?2 или pi>p\ выбор
упорядочения с наименьшим /?,-, i=l,2, по столбцам может
обеспечить вычислительные преимущества, даже если эти упо-
упорядочения приводят к одинаковым решениям. Возможны также
другие двумерные алгоритмы Левинсона [13], как, например,
алгоритм, который работает рекурсивно одновременно по обоим
измерениям, или тот, который работает по каждому измерению
попеременно.
Было показано [уравнение A5.57)], что многоканальные
уравнения Юла — Уолкера для (р2+ 1)-канального АР-процесса
порядка pi, содержащего каналы от 0 до рч, имеют вид
[-1]
]
Rx» [0]
t-Pi] R™[—Pi-
Двумерное спектральное оценивание
для многоканальных АР-параметров вперед и
Rxx[0] ... R,x[/H-1] Rxx Ы
535
Rxx [0] Rxx [1]
... Rxxt-1] Rxx [О];1
для многоканальных АР-параметров назад, где
' rm[Щ ... л„р,[/
R..M4 ¦
0
{Pi,.
A6.71)
A6.72)
— многоканальная корреляционная матрица для сдвига k. Кор-
Корреляционная матрица, фигурирующая в уравнениях A6.70) и
A6.71), эрмитова и имеет блочио-тёплицеву структуру. Эти
свойства были также характерной особенностью двумерных
КП-уравнений Юла — Уолкера. Эта особенность предполагает,
что решения двумерных уравнений Юла — Уолкера и многока-
многоканальных уравнений Юла — Уолкера связаны между собой. Срав-
Сравнивая уравнения A6.54) и A6.70), видим, что можно установить
взаимно однозначное соответствие между RPl и Rr, если мно-
многоканальную взаимную корреляцию гц[к] и двумерную авто-
чорреля^ию rXx[k, l] связать следующим образом:
{
г,уИ = '„[*. ''-Я,
для 0^1, /г?рг. Если теперь сравнить уравнения
A6.70), то становится ясно, что если
то отсюда следует, что
A6.73)
A6.54) и
A6.74)
A6.75)
для l<fe<pi. Итак, многоканальный алгоритм Левинсона мож-
можно использовать для получения решения двумерных уравнений
Юла—Уолкера. С этой целью сначала находят решения для
¦ атриц Р'Г1 и А?1 [k] для k=\ рь а затем используют урав-
536
Глава 16
нения A6.74) и A6.75) для получения двумерных авторегрес-
авторегрессионных параметров и дисперсии.
Аналогично можно вычислить двумерные АР-параметры для
второго квадранта опорной области из многоканального реше-
решения, используя
рС = Р/а'2[0] A6.76)
A6.77)
Тёплицеву структуру двумерных автокорреляционных мат-
матриц Яхх[к\ можно использовать для дальнейшего уменьшения
вычислительной сложности многоканального алгоритма Левин-
сона. Можно показать (см. Задачи), что дважды тёплицева
структура приводит к соотношению
A6.78)
а соотношение
р^ = Рр, A6.79)
становится истинным, что, однако, в общем многоканальном
случае не выполняется. Эти соотношения упрощают многока-
многоканальный алгоритм Левинсона в применении к двумерному
случаю:
+ 1] = -
Rx* [1]
(PJ, )~\
A6.80)
A6.81)
, A6.82)
A6.83)
с начальным условием Po'=R«[0]. Это уменьшает объем вы-
вычислений общего многоканального алгоритма Левинсона почти
вдвое [14, 29]. В приложении 16.Б содержится подпрограмма
TDAR, предназначенная для вычисления двумерных АР-пара-
метров в первом и втором квадрантах, при заданных значениях
двумерной АКП.
Двумерное спектральное оценивание 37
16.7.5. Модифицированная процедура АР-спектральной оцеки
для квадранта плоскости
Запишем процедуру двумерной авторегрессионной спектра,ь-
ной оценки в первом квадранте
A6.4)
2 2°
m = 0 rc-0
m' "lexP<— Pnl
e (/„ h) "
где е([ь f2) —двумерный блочный вектор комплексных синусид
из соотношений A6.39) и ау — оценка вектора A6.53) авторг-
рессионных параметров в первом квадранте (заметим, то
а, [0, 0] = 1 по определению). Процедура двумерной спектра.ь-
ной оценки во втором квадранте имеет вид
Рар2 (h, h) =
2 2 °2Im'
;, A6.5)
где U2[0, 0]=l. В случае одной синусоиды в белом шуме с з-
вестной АКП эти процедуры дадут асимметрично смешенше
спектральные оценки, как показано на рис. 16.7, а и б, из коо-
рых видно, что спектральные характеристики представляют о-
бой эллипсы, углы наклона которых имеют противоположное
знаки. Джексон и Чен [9] предложили комбинированную JP-
процедуЪу оценки в КП РАрк(Л, fa) в виде
\ 1. 1 1
= ] A6 .6)
Рарк(/ь /а) ЯАР1(/ь /а) РдРа (/ь ft)
Комбинированная КП-процедура оценки дает спектральше
характеристики с круговой симметрией, показанные на р с.
16.7, в. Джексон и Чен также установили на практике, ч"о
применение комбинированной процедуры оценки снижает вер-
ятность появления ложных пиков при спектральном оценив-
нии. Это связано с тем, что выражения для оценки в первое и
втором квадрантах не могут обратиться в нуль в одном и пм
же месте двумерной частотной плоскости, если в этом ме<ге
действительно отсутствует компонента сигнала. Заметки,
что быстрый алгоритм в приложении 16.Б позволяет однов]е-
менно получить решение для векторов АР-параметров в дюс
квадрантах, необходимое для вычисления соотношения A6.81).
35—1366
538
Глава 16
0,5
/l
A)/
W
к
Щ
Рис, 16.7. Иллюстрация смещения спектральной КП—АР-оценки для случая
одной синусоиды в белом шуме: а — двумерная АР-оценка СПМ в первом
квадранте; б — двумерная АР-оценка СПМ во втором квадранте; в — комби-
комбинированная двумерная АР-оценка СПМ.
16.7.6. Оценивание двумерных авторегрессионных параметров
на основе данных
Алгоритмический аппарат, примененный в гл. 8 для одномерно-
одномерного оценивания АР-параметров, можно обобщить и на двумер-
двумерный случай. Можно использовать данные для оценивания зна-
значений двумерных АКП в конечной опорной области и затем
решать двумерные уравнения Юла — Уолкера относительно
массива авторегрессионных параметров в желаемой области,
КП или НСПП. Можно также применить двумерные алгоритмы
линейного предсказания с использованием метода наименьших
квадратов, основанные на ковариационном и модифицирован-
модифицированном ковариационном аппарате гл. 8 [22, 23, 28]. Полагая, что
отсчетам данных х[т, п] соответствует прямоугольная опорная
область \^.т^.М и l^n^.N, получаем, что полная квадратич-
квадратичная ошибка Et в случае линейного предиктора в первом квад-
квадранте имеет вид
-i, n-i] ,A6.87)
где полагаем a\ [0, 0] = l. Это выражение можно минимизиро-
минимизировать, чтобы получить систему двумерных ковариационных урав-
уравнений линейного предсказания с коэффициентами, выражен-
выраженными через параметры линейного предсказания ai[i, /]. Моди-
Модифицированную систему ковариационных нормальных уравнений
линейного предсказания можно также получить (см. Задачи),
минимизируя сумму квадратичных ошибок Ei-j-Ез в первом и
третьем квадрантах, с учетом соотношения комплексного сопря-
сопряжения A6.68), связывающего двумерные АР-параметры в
первом и третьем квадрантах.
Двумерное спектральное оценивание 539
16.8. Двумерное спектральное оценивание
на основе метода максимальной энтропии
Процедура двумерной оценки СПМ на основе метода макси-
максимальной энтропии РммэС/ь Ы максимизирует двумерную удель-
удельную энтропию
h = ^TS-V2T,lnP^s(h. h)dhdf,. A6.88)
При этом наложено условие согласования ее с известными
значениями двумерной АКП:
г*, [*¦ '] = \-^V, S-i/'V, рммэ (к, h) ехр (;2п \JJiT, + fJT2})df, df,.
A6.89)
В отличие от параметрических процедур двумерной спектраль-
спектральной оценки, например, АР-процедуры оценки в КП, дляММЭ-
оценки СПМ не требуется, чтобы известные значения двумерной
АКП имели равномерную опорную сетку; допускается исполь-
использовать произвольные сдвиги. В гл. 7 было показано, что одно-
одномерный оптимальный спектр, полученный методом максималь-
максимальной энтропии, является обратным положительному полиному,
который может быть факторизован как квадрат модуля полино-
полинома конечного порядка. Для двумерных полиномов теорема фак-
факторизации отсутствует, так как полином, обратный двумерной
СПМ, вычисляемой по максимальной энтропии, нельзя разло-
разложить на множители. Поэтому приходится привлекать нелиней-
нелинейные методы решения для нахождения по методу максимальной
энтропии СПМ, которые не всегда гарантируют ее существова-
существование при произвольно заданном множестве значений двумерной
АКП. В разд. 16.7.3 было показано, что двумерный АР-процесс
не обладает свойством АКП-согласования, которое имеет место
для одномерных АР-процессов. Таким образом, процедуры
ММЭ и АР в двумерном случае не дают тождественных спект-
спектральных овднок, в отличие от одномерного случая, где они
были идентичны.
Если сдвиги известной АКП соответствуют равномерной
сетке опорного квадранта плоскости, то можно показать [11],
что ММЭ-оценка СПМ имеет вид
1 A6.90)
2 2 <*[*,;1е*р(-;2я[М
*=-pi'=-p,
во всей области существования. Это выражение совпадает с
выражением для процедуры некаузальной двумерной спектраль-
спектральной оценки на основе линейного предсказания. В общем случае
35-
Двумерное спектральное оценивание
541
невозможно разложить знаменатель на два сопряженных поли-
полинома подобно выражению A6.48). Дляа[А,/]небыло найдено ре-
решения в конечном виде, но были разработаны методы, позволяю-
позволяющие вычислять Рмиэ (/i, /2) непосредственно по известным
значениям двумерной АКП, без необходимости находить реше-
решения для параметров а[к, I]. Для этих методов требуются либо
итерационные алгоритмы, которые имеют слабую сходимость,
либо нелинейные оптимизации, гарантирующие сходимость, но
вычислительно неэффективные [15, 16, 18, 19, 26, 30].
Выражение A6.90) подразумевает обобщение двумерной
АКП. АР-параметры в одномерном случае обычно используют
для экстраполяции одномерной АКП, пока сохраняется свойст-
свойство положительной определенности продолженной автокорреля-
автокорреляционной последовательности. Задав конечную положительно
определенную одномерную АКП, ее всегда можно проэкстрапо-
лировать в корректно определенную одномерную АКП. Однако
в двумерном случае конечная двумерная положительно опреде-
определенная АКП не может быть всегда проэкстраполирована в кор-
корректно определенную двумерную АКП (т. е. она не может быть
продолжаемой) [3]. Хотя заметим, что пока Рмыэ (fi, Ь)>0
для всех /, и h, обратное ДВПФ выражения A6.90) всегда
генерирует корректную положительно определенную двумерную
АКП [17, 24]. Можно ли получить процедуру, лучшую двумер-
двумерной спектральной АР-оценки, при ограничениях, налагаемых на
нее требованием АКП-согласования? Ограниченное число экспе-
экспериментов, проведенных до настоящего времени, еще не дало
утвердительного ответа, особенно когда используются оценен-
оцененные значения АКП. а не точно известные.
16.9. Двумерное спектральное оценивание
по методу минимума дисперсии
Процедура двумерной спектральной оценки по методу миниму-
минимума дисперсии (МД) первоначально была развита Кейпоном [2]
как процедура пространственно-временного спектрального оце-
оценивания. Обобщение процедуры одномерной спектральной оцен-
оценки по методу минимума дисперсии на двумерную требует
математических выкладок, которые очень близки выкладкам гл.
12 и разд. 15.13, и базируется на идее использования двумерно-
двумерного фильтра с конечной импульсной характеристикой, пропускаю-
пропускающего двумерную комплексную синусоиду определенной частоты
при одновременной минимизации выходной мощности. В отли-
отличие от параметрических методов двумерного СПМ-анализа
двумерный метод МД СПМ не ограничен использованием зна-
значений АКП с равномерной сеткой. Если, однако, известна
сетка сдвигов АКП в первом квадранте, то двумерная процедура
спектрального оценивания на основе метода минимума дисиер-
сии имеет вид
Рид, (h, h) = — . A6.91)
где_е(/ь /2) — блочный вектор комплексных синусоид из форму-
формулы A6.39) и (Rr)~'— матрица, обратная дважды тёплицевон
блочной автокорреляционной матрице A6.51). Другие вариан-
варианты выражения A6.91) зависят от выбора опорной области. Доул
и Лим [4] показали, что двумерная МД-оценка СПМ в 1-м квад-
квадранте и двумерная АР-оценка СПМ в 1-м квадранте связаны
соотношением, сравнимым с соотношением уравнения A2.18).
Это означает, что минимальной дисперсии СПМ в первом квад-
квадранте свойственно такое же смещение, как двумерной АР СПМ
в первом квадранте. Применение комбинированной МД СПМ
Рмдк, использующей процедуры оценок МД СПМ в первом и
втором квадрантах,
-—! =-—! ь-—1- , A6.92)
уменьшает это смещение.
Обращение матрицы Rr просто получить, применяя формулу
обращения A5.86) с дальнейшим сокращением вычислений,
что возможно при использовании свойств A6.78) и A6.79) и
того факта, что автокорреляционная матрица R1" дважды тёпли-
цева. Сравнимые выражения, соответствующие формулам
A2.24) и A2.25), тогда могут быть развиты для двумерной
МД СПМ (см. Задачи).
О некоторых проблемах, возникающих при процедурах дву-
двумерного спектрального оценивания по методу минимума диспер-
дисперсии в условиях недостаточности данных для получения хороших
автокорреляционных оценок, которые используются при обра-
обращении матрицы Rr, рассказано в работе [5]. Сообщается [23]
что при обработке данных ЭКГ от медицинских датчиков были
получены лучшие результаты при использовании двумерной
МД, чем при двумерной периодограмме или двумерной АР.
Литература
[1]
[2]
[3]
Gadzow 1. A., Ogino К. Two-Dimensional Spectral Estimation, IEEE Trans
Acoust. Speech Signal Process., vol. ASSP-29, pp. 396—401, June 1981.
Capon 1. High Resolution Frequency-Wavenumber Spectrum Analysis, Proc
IEEE, vol. 57, pp. 1408—1418, August 1969. [Имеется русский перевод:
Кейпон Дж. Пространственно-временной спектральный анализ с высоким
разрешением, ТИИЭР, 1969, т. 57, № 8, с. 69—79.]
Dickinson В. W, Two-Dimensional Markov Spectrum Estimates Need Not
Exist, IEEE Trails. Inf. Theory, vol. IT-26, pp. 120—121, January 1980.
544
Двумерное спектральное оценивание
545
б. Пусть известны следующие отсчеты из двумерной АКП:
/¦„[О, 0] = 1,
г,AU 0] = ^Л-1, 0]=а,
г,Л0, !] = »¦„ [О, -1] = Р,
где а и р — действительные параметры. Вычислить и изобразить графиче-
графически оценку двумерной СПМ по коррелограммному методу.
7. Используя значения двумерной АКП из задачи 6, по формуле {16.51)
построить автокорреляционную 4х4-матрицу и аналитически определить
обратную ей. Записать процедуру спектральной оценки по методу миниму-
минимума дисперсии [формула A6.91)] и построить СПМ.
8. Используя значения двумерной АКП из задачи 6 и автокорреляционную
матрицу из задачи 7, аналитически определить КП-авторегрессионные па-
параметры для опорной области в 1-ом и 2-ом квадрантах. Вычислить
и графически построить АР-оценки СПМ в первом и втором квадрантах
и в комбинированном случае [формулы A6.84) — A6.86)].
9. Объяснить, почему в двумерном случае требуется больше отсчетов АКП,
чем неизвестных АР-параметров, в отличие от одномерного случая, где
число отсчетов АКП на один больше, чем число АР-параметров.
10- Написать матричное выражение для уравнений Юла — Уолкера в каузаль-
каузальной опорной НСПП-области [11].
11. Написать нормальные уравнения для двумерного модифицированного ко-
ковариационного метода двумерного линейного предсказания для опорной
области линейного предсказания в первом квадранте.
12. Показать, что процедуру двумерной спектральной оценки по методу мини-
минимума диспераги можно выразить в виде
Какое соотношение связывает коэффициенты a[k, l] с элементами обратной
автокорреляционной матрицы?
13. Записать двумерную версию формулы D.53) для двумерной блочной авто-
автокорреляционной матрицы в случае М двумерных комплексных синусоид в дву-
двумерном белом шуме. Как выглядела бы процедура двумерной частотной
оценки MUSIC из гл. 13, заданная этой блочной автокорреляционной мат-
матрицей?
14. Доказать соотношения A6.78) и A6.79).
15. Закончить программу TDAR приложения 16.Б в двух областях, указанных
в листинге.
Приложение 16.А.
Программа вычисления двумерной периодограммы
SUBROUTINE TDPERIOD (Nl,N2,TI,Т2 X PSD)
С
С Эта подпрограмма предназначена для вычис.тния двумерной периодо-
С граммы
С
С Входные параметры:
V! — число отсчетов в столбце
О N2 — число отчетов в строке
С Т1 —интерва.отсчетов в направлении столбцов
С Т2 —HHTepBaj отсчетов в направлении строк
С X — комплекный двумерный массив размера N1XN2 отсчетов дан-
С ных
С
С Выходные парамеиы:
С
С PSD — действиыьный двумерный массив размером NPSD1XNPSD2
С значеншспектральной плотности мощности
PARAMETER N=501 = 512 I Число значений PSD в столбцевом на-
направлении
PARAMETER 19SD2-512 I Число значений PSD в строчном на-
направлении
PARAMETER KMAX=16 1 Максимально ожидаемый размер для N2
COMPLEX X(N,N2),Z1(NPSD1),Z2(NPSD2), TEMP (NPSD1.N2MAX)
COMPLEX Wl NPSD1), W2(NPSD2)
REAL PSD (NBD1,NPSD2)
С
SCALE-T1»T2FLOAT(N1»N2)
CALL PREFFT'NPSDl.O.NEXPl.WI)
CALL PREFFT;NPSD2,O,NEXP2,W2)
С Вычислить преобрзования столбцов
DO 100 K-l.N
DO 110 J-1N1
110 Zl(J)-XJ.K)
DO 120 J = I1 + 1,NPSD1
120 Z1(J) = ((,O.)
CALL FFT (JPSD1,O,1,NEXP1,W1,Z1)
DO 130 J-1NPSD1
130 TEMP(J,;)-Z1(J)
100 CONTINE
С Вычислить преобрзования строк и квадрат модуля для получения PSD
DO 2OOK=1,N'SD1
DO 210 J-1N2
210 Z2(J)=-EMP(K,J)
DO 220 J=12+1,NPSD2
220 Z2(J)-(.,0.)
CALL FFT (NBD2,0,l.,NEXP2,W2,Z2)
DO 230 J=iNPSD2
230 PSD(K,J=(REAL(Z2(J))»»2+A1MAG(Z2(J)) ••2)»SCALE
200 CONTINUE
RETURN
END
Приложение 16.Б.
Программа для выисления двумерных авторегрессионных
параметров в первм и втором квадрантах
SUBROUTINEfDAR (IP1, IP2, R, RHO, Al, A2, ISTAT)
С
С Предназначена дл вычисления двумерных массивов авторегрессионных
С параметров в КГ Задан двумерный автокорреляционный массив. Ис-
С пользуется модифцированный многоканальный алгоритм Левинсона.
С АР-массивы предсмотрены только в первом и втором квадрантах, так
С как АР-массивы з третьем и четвертом квадрантах можно получить
546
С
С
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
100
10
с
комплексным сопряжением массивов в первом и втором квадрантах со-
ответственно.
Входные параметры:
IP1 —число строк в АР-массиве
IP2 —число столбцов в АР-массиве
R —комплексный трехмерный массив блочных автокорреляцион-
автокорреляционных матриц
Выходные параметры:
RHO — дисперсия белого шума, возбуждающего двумерный АР-про-
цесс
А1 — комплексный двумерный массив АР-параметров в первом
квадранте
А2 — комплексный двумерный массив АР-параметров во втором
квадранте
ISTAT — целочисленный индикатор положения
Примечание:
В этой подпрограмме используется пакет подпрограмм из приложе-
приложения 15.Г. Элементы массивов А1 и А2 с индексами от [0,01 Д° [IPU
IP2] в тексте заменяются элементами с индексами от [1,1] до
[IP1 + 1, IP2+11 в этой подпрограмме. Массивы A, PF, DELTA,
TEMPI и ТЕМР2 должны иметь память, размещенную в COMMON.
COMPLEX R(IP2+1, IP2+1.IP1 + 1), Al (IP1 + 1, IP2+1), A2(IP1 + I,
IP2+1)
COMPLEX A(IP2+1, IP2+1, IP1), PF(IP2+1, IP2+1), DELTA(IP2+1,
IP2+1)
COMPLEX TEMPI (IP2+l,IP2-f-l),TEMP2(IP2+I,IP2+l),S
Инициализация
ISTAT=0
J-IP2+1
CALL ASSIGN (J,J,RA,1,1),PF)
M-0
Основной цикл
CONTINUE
M-M+l
Вычислить частную корреляционную матрицу A6 80)
CALL ASSIGN (J,J,R(!,1,M+1),DELTA)
DO 10 K-l.M
CALL MULT (J,J,AA,1 K).RA 1 M-K) TEMPI)
CALL ADD (J,J,TEMP1,DELTA,DELTA)
Вычислить многоканальную матрицу отражения A6 81)
CALL INVERT (J.PF.TEMP1.ISTAT)
CALL MULT (J,J,DELTA,TEMP1 TEMP2)
S=f—1..0)
CALL SCALE (J,J,S,TEMP2,AA,1,M)
Обновить многоканальную ковариационную матрицу ошибок, A6.83)
CALL XPOSE (J,A(l,l,M),TEMPl)
Двумерное спектральное оценивание 547
CALL MULT (J,J,AA,1,M),TEMP1,TEMP2)
CALL IDENT (J.TEMP1)
CALL SUB (J,J,TEMP1,TEMP2,TEMP1)
CALL MULT (J,J,TEMP1,PF,TEMP2)
CALL ASSIGN (J,J,TEMP2,PF)
С Обновить многоканальные матрицы коэффициентов предсказания, A6.82)
IF (M .EQ. 1) GO TO 40
DO 30 К=1,(М-1)/2
МК-М-К
CALL ASSIGN (J,J,AA,1,K),TEMP1)
CALL ASSIGN (J,J,AA,1,MK),TEMP2)
CALL XPOSE (J.TEMP2JEMP3)
CALL MULT (J,J,AA,1,M),TEMP3,TEMP4)
CALL ADD (J,J,TEMP1,TEMP4,AA,1,K))
IF (K .EQ. MK) GO TO 30
CALL XPOSE (J,TEMP1,TEMP3)
CALL MULT (J,J,AA,1,M),TEMP3,TEMP4)
CALL ADD (J,J,TEMP2,TEMP4,A(I,1,MK))
30 CONTINUE
С
С Контроль порядка
С
40 IF (M.LT. IP1) GOTO 100
С
С Вычислить двумерный массив АР-параметров в первом квадранте
С... ...••••••••••*
С Установить подпрограмму, которая вызывает CHOLESKY, чтобы решить
С для RHO и для А1 от А1[1, 2] до А1[1, IPl+Ц. Элемент А1[1, 1] = 1
С по определению. Это уравнение A6.74).
С. ..«•••
DO 50 K-1.IP1
CALL XPOSE (J,J,AA,1,K),TEMP1)
50 CALL MULT (J,1,TEMP1,A1A,1),A1 (K+U)) 1A6.75)
С
С Вычислить двумерный массив АР-параметров во втором квадранте
С Установить подпрограмму, которая вызывает CHOLESKY, чтобы решить
С для RHO (должны быть одинаковыми с RHO, вычисленными для перво-
С го квадранта) и для А[1,2] до A2[l, IPI + 1]. Элемент А2[1, 1] = 1 по
С определению. Это уравнение A6.76).
С. ••••••••••
DO 60 K-1.IP1
CALL XPOSE (J,J,AA,1,K),TEMP1)
60 CALL MULT (J,1,TEMP1,A2A,1),A2(K+1,I)) 1A6.77)
RETURN
END
Приложение 16.В.
Программа для вычисления двумерного авторегрессионного
спектра в первом квадранте
SUBROUTINE TDARPSD (IP1,IP2,RHO,T1,T2,A1,PSD)
С
С Эта подпрограмма для вычисления анторегрессионной PSD первого квад-
С ранта при заданных АР-параметрах в первом квадранте.
С Входные параметры: