от
АЛГЕБРЫ
КЛИФФОРДА
ДО
АТОМА ВОДОРОДА

Gaston Casanova
Agrege, docteur es sciences
Presses Universitaires de France

Г. Казакова
от
АЛГЕБРЫ
КЛИФФОРДА
ДО
АТОМА ВОДОРОДА
Перевод с французского
А.В. Бупинского
ПЛАТОН
1997

Г. Казакова
ОТ
АЛГЕБРЫ
КЛИФФОРДА
ДО
АТОМА ВОДОРОДА
Научное издание
Лицензия ЛР №024851 от 17.07.93 г.
Подписано к печати 08.09.97 г. Формат 60x88/16
Печ.л.7,5 Заказ № 570.
Издательство "ПЛАТОН"
400062, г.Волгоград, ул.Кирова, 71/15
ISBN 5-80100-260-Х
€> Перевод А.В. Булинского
©«ПЛАТОН», 1997

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю книжка Гастона Казанова выпадает
из любого привычного жанра. Это не учебник, систематически
излагающий предмет, не научная монография, но это и не
обычная научно-популярная книжка, которые стараются писать
так» чтобы читатель, не прилагая особого труда, узнал бы
несколько самых интересных или самых новых фактов и тем
самым недорогой ценой расширил свой кругозор. Пожалуй,
скорее всего следовало бы назвать ее книжкой для самообра-'
зования. Ее нужно читать с карандашом в руках, проводя те
несложные алгебраические выкладки, которые в ней
встречаются. Если читатель готов проделать такую работу, то он
получит нб очень систематические, но вполне ясные и
конкретные представления сразу о многих предметах, обычно
лежащих на самой периферии среднего математического
образования» которое получает физик или инженер, — о спинорах,
кватернионах, алгебрах Клиффорда.
Далее этот аппарат применяется к физическим задачам.
Читателю, знакомому с такими фундаментальными главам**
современной физики, как преобразования Лоренца и уравнения
Дирака, будет интересно узнать, насколько просто и
естественно вводятся основные понятия этих теорий с помощью
конструкций векторной алгебры.
В несколько особом положении находятся последние главы
(IX—XI) этой книги. Излагаемое в них уже не есть просто
иллюстрация применений аппарата векторной алгебры. Они
целиком основаны на работах автора и, по существу,
представляют собой попытку предложить собственную картину
некоторых аспектов квантовой теории. Предлагаемая автором
интерпретация уходит своими корнями к тем временам, когда
казалось, что квантовая механика еще не вполне понятна и
отношения между волной и частицей требуют особого
исследования. Во Франции благодаря большому личному влиянию

6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Луи де Бройля эти представления все еще распространены,
хотя огромное большинство физиков во всем мире давно
приняло основные концепции квантовой механики и не видит
в них никаких идейных трудностей.
Здесь не место для критики, укажем лишь, что, по нашему
мнению, все содержание указанных глав сводится к некоторой
переинтерпретации известных фактов и нуждается в тех же
самых исходных гипотезах (в частности, о строении
изотопических и странных мультиплетов), что и общепринятый подход.
Французское издание книги вышло в серии «Que sais-je?»,
имеющей энциклопедический характер и рассчитанной на
достаточно широкий круг читателей. Основная (и, на наш взгляд,
наиболее интересная) се часть действительно не требует еле*
циальных познаний и написана вполне доступно. Этим и
оправдано включение русского издания в популярную серию.
Идеи векторной алгебры находят сейчас прямое приложение
в таких новых областях физики элементарных частиц, как
теория Янга-Миллса и решения нелинейных классических
уравнений, так что мы думаем, что эту книжку (или хотя бы
ее основную часть) будет полезно прочитать всем, кто
интересуется математикой и ее применениями.
Л/. /Г. Поливанов

ВВЕДЕНИЕ
Создание исчисления, позволяющего оперировать
геометрическими величинами по правилам алгебры, издавна было целью
исследований многих математиков. Об этом мечтал еще
Лейбниц, этого пытался добиться Карно. Однако первые
действительно важные систематические построения такого рода были
сделаны ирландцем У. Р. Гамильтоном (1805 — 1865), который
в поисках объектов, обобщающих комплексные числа, открыл-
кватернионы (отказавшись при этом от свойства
коммутативности произведения), и немцем X. Грассманом (1809 —1877),
который около 1844 г. ввел понятия внешнего, а затем и
внутреннего произведения для мультивекторов. В 1878 г.
англичанину У. К. Клиффорду (1845—1879) удалось объединить эти две
разные схемы в рамках единой алгебры, охватывающей и
обычное векторное исчисление в пространстве трех
измерений, разработанное в окончательном виде американцем
Дж. У. Гиббсом (1839-1903). Однако лишь в 1930 г. эга
алгебра — творение, в основном', анзло-саксонское — приобрела
столь важные приложения в физике, что потребовалось ее
математически корректное изложение.
Конструкция такой алгебры предполагает, что заданы
векторное пространство Еп размерности л над полем
действительных чисел и квадратичная форма на £„. Тогда внутреннее
произведение а-о (или Ь-а) двух векторов по определению
есть значение симметричной билинейной формы,
ассоциированной с данной квадратичной формой, а внешнее произведение,
или бивектор» а л Ь можно рассматривать как
геометрический объект: если а и Ь неколлинеарны, то а л Ь представляет
собой ориентированную плоскость, натянутую на векторы а и Ь.
Направление бивектора определяется ориентацией плоскости
векторов а и Ь, а его величина равняется площади
параллелограмма, построенного на а и ft. Этот бивектор а л Ь
антисимметричен, т. е, Ьлл противоположен а л Ьу что записывается
так:
длЬ= — b л а.

8
ВВЕДЕНИЕ
Теперь можно определить клиффордово произведение
векторов а и 6, обозначив его просто ab:
Произведение аЬ в общем случае не коммутативно,
поскольку
Ьа — а-Ь — а л Ь,
но ассоциативно (если перемножается более двух векторов).
Скаляры называются также О-векторамн, и вообще р-векто-
ром называется внешнее произведение р векторов аи а2,... >ар ю
£„; оно обозначается
«i ла2л... ла, (р < я)
и геометрически представляет собой ориентированный объем
параллелепипеда, построенного на векторах аи..., аг Это про*
из ведение вполне антисимметрично, т. е. меняет знак при
перестановке любых двух соседних сомножителей» и имеет С£
компонент, где CJ — число сочетаний из л элементов по р. Кроме
того, вводится внутреннее произведение вектора и р-вектора» что
позволяет определить произведение Клиффорда для
произвольного числа векторов, и такое произведение оказывается
суммой р-векторов cpsO, 1,2,..., л.
Поскольку р-зектор имеет С£ составляющих, он является
элементом векторного пространства размерности С£, а
произведение произвольного набора р-векторов окажется,
следовательно, элементом векторного пространства, являющегося прямой
суммой и + 1 своих подпространств и имеющего размерность
с? + cl + ... 4- с; + ... + с;« г.
Элементы этого пространства, обозначаемого впредь Vnf
называют с-числамн или числами Клиффорда.
Этот беглый обзор формализма векторной алгебры позволяет
читателю понять, о чем пойдет речь; требуемые уточнения
будут приведены в дальнейшем. Значение такой алгебры для
геометрии и физики проявляется в многочисленных
приложениях; в геометрии это описание вращений и инверсии, а в
физике область применений включает электромагнетизм, в
частности уравнения Лоренда для электрона, лоренцевы вращения в
специальной теории относительности и, наконец, уравнение
Дирака, которое мы будем записывать в несколько необычной
форме, подсказывающей изящное изложение теории.-

ВВЕДЕНИЕ
9
Однако векторная алгебра есть нечто большее, нежели
просто новая форма записи известных результатов, ибо даже в
теории Дирака она способствует открытию свойств, которые не
были сформулированы с помощью алгебры матриц. Применяя
векторную алгебру, можно пойти дальше и записать
релятивистское уравнение нуклона, волновая функция которого вследствие
существования пионного поля не может быть выражена
спинором.
Как увидит читатель, для успешного описания волновых
функций элементарных частиц не требуется ни матриц, ни
эрмитовых векторных пространств. Понадобятся только операции с
произведениями векторов в обычном пространстве-времени, и
вместо того, чтобы вводить абстрактное пространство
изотопического спина, можно будет получить этот спин с помощью
обычного спина посредством вращений и гомотетий-вращений
в собственном пространстве частицы. При этом выявляется
связь заряда нуклона с компонентами пионного поля. Эти
результаты, которые можно получить только с помошью
векторной алгебры, представляют собой существенный прогресс
уже в познавательном плане.
Не следует относиться безразлично к выбору того или иного
математического метода, ибо разные методы не вполне
эквивалентны с точки зрения их отношения к реальности.
Французская система образования почти не прививает сейчас вкуса
к слишком конкретным описаниям, считая их
малоадекватными. Происхождение такой ориентации определенно связано
с наводнением современной физики абстрактными
пространствами и с математизацией все9 новых научных дисциплин.
Однако стоит вспомнить одну очень старую картезианскую
традицию: для того чтобы лучше понять явления реального
мира, их. расчленяют на отдельные части и путем подробного
изучения этих частей пытаются найти законы, управляющие
явлением в целом. Это, конечно, идет в ущерб более
синтетическому изучению, так что в некотором смысле эта
маленькая книжка поведет* читателя по новым путям.

Глава I
АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
Мы будем строить алгебру Клиффорда над полем
действительных чисел на основе n-мерного действительного векторного
пространства £„.
Векторы из Ея будем обозначать строчными буквами а, Ь,
с,..., а любые произведения векторов, независимо от числа
сомножителей,— заглавными буквами А-, В, С,....
Предполагается, что
1°. А, В, С,... сами являются элементами действительного
векторного пространства #„, так что
А + В ш В + А,
(А + В) + С - А + (В -f С),
и если 0 — нулевой вектор этого пространства, то
А+0**0 + А**А.
Далее, для действительных чисел X и ц
(Я 4- цМ « Ы 4- цЛ>
Х(А + В) « Ы + АЛ,
X<M)-<fcnM,
и, кроме того, умножение на число i не меняет элементы #„.
Из этих свойств следует, что если ХА « 0, то либо к » О,
либо Л «в 0.
2°. В #я определено ассоциативное умножение, связанное
со сложением условиями дистрибутивности (введена структура
кольца), т. е. произведение АВ также является элементом tfn и
(АВ)С = А (ВС),

АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
II
(Л+£)С = АС + ВС,
С(А + Щ = СА + СВ.
3°. Действительные числа, или скаляры, X являются
элементами 4>п и коммутируют со всеми элементами, т. е.
ХА - АХ.
4°. Для любого а из Еп квадрат а2 — аа является скаляром.
Элементы пространства <$п называют тогда с-числами или
числами Клиффорда.
В случае евклидовых пространств Е„ размерности п < 3,
а также пространства-времени специальной теории
относительности можно определить произведение двух векторов как
произведение двух матриц, сопоставленных векторам; при этом
все предыдущие аксиомы очевидным образом выполняются.
В общем случае произведения векторов, являющиеся
элементами <£т будут определены как функции по отношению к
некоторому базису этого пространства. Тем самым они будут
определены сразу во всех базисах, и необходимости
обращаться к матричному представлению векторов не возникнет.

Глава II
ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
I. ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Пусть на Ен задана квадратичная форма, которая
определяет действительный квадрат а2 каждого вектора а,
необязательно положительный. На основании тождества
(а +1)(а + Ь) « а2 + Ь2 + аЬ + Ьа
выводим для любых векторов а и Ь:
Из теории квадратичных форм известно, что справа в этом
равенстве стоит симметричная билинейная форма,
ассоциированная с квадратичной формой а2. Полагаем
а-Ь«~-(аЬ + Ьа). (1)
Будем называть а-Ь внутренним произведением векторов а и Ь.
Немедленно замечаем, что
а • Ь « Ь • а.
Если квадратичная форма положительно определена, т. е.
а2 — положительное число для каждого ненулевого вектора а,
внутреннее произведение называется скалярным произведением.
Отметим еще, что в этом случае всякий ненулевой вектор а
имеет обратный а~19 определяемый соотношением а"1 *=а/а2.
2. КАНОНИЧЕСКИЙ БАЗИС
Векторы а и Ь называют сопряженными относительно
квадратичной формы, если
т. е. когда ab + Ьа = 0. Про такие векторы а и Ь можно еще
сказать, что они ортогональны, расширяя смысл понятия
ортогональности Согласно обычной теории квадратичных форм,

ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 13
существует по крайней мере один базис, сопряженный
относительно формы, т. е. такой базис, любые два вектора
которого сопряжены относительно этой формы. Кроме того, каждому
вектору а такого базиса можно сопоставить коллинеарный ему
вектор Ка (А, действительное), такой, что к2а2 равняется цо
абсолютной величине 1.
Каноническим базисом для квадратичной формы назовем
такой базис из векторов yh что у? = 1 (или -1) при всех
I- 1, 2,.-., п и у,уу + у/У|«0 при всех (i, j) с t*j.
Можно говорить, что это ортонормированный базис, опять
же сильно расширяя смысл этого термина.
3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Пусть {у|} — канонический базис £„, а х, у,..., w - набор
из к векторов пространства Е„. Построим произведение
А » ху... w = <£*iYi)CE>fYi) -. - (I>iY<),
принимая во внимание предыдущие аксиомы, выражающие
структуру алгебры Клиффорда, и свойства канонического базиса:
yf «■ 1 (или — 1) и у,у; -ь у/у, я» 0. Получим в результате сумму
вида л п
р
где через уР обозначено произведение YiY2 ... ур с 0 < р < fc,
в котором все у, различны. Через {уР} всегда обозначается
просто набор векторов уь Y2,--OV
Множество всевозможных произведений А имеет структуру
векторного пространства #я, которое удобно определенным
образом разложить на векторные подпространства. В
зависимости от четности числа сомножителей А может.иметь
компоненты, принадлежащие следующим подпространствам:
(к четйо) векторное пространство размерности 1; его
элементы, обозначаемые здесь As или A0t — скаляры, или 6-векторы;
(к нечетнд) векторное пространство размерности л,
совпадающее с Еп\ его элементы — вектор л Ау или Ах;
(к четно) векторное пространство бивекторов А2 или Ав »
и
(р и к одинаковой четности и jp < к) пространство р-век-
торов Ар =* J] ^/>Ур-

14
ГЛАВА II
Наконец, выделим одномерное векторное подпространство
псевдоскаляров А?~ XNyN% где yN « yty2 ,.. уп.
Все коэффициенты \Р, \iJy XN действительные. Можно
проверить, что у^ == 1 или — 1. Так как у нас в приложениях
будет встречаться только случай у% ** — 1, мы условимся
обозначать yN »s j\ а обычную мнимую единицу во избежание
путаницы будем обозначать £'.
Далее будет показано, что уР образуют базис 41 щ\ назовем
его базисом* индуцированным каноническим базисом, введенным
в Ен. Отсюда следует, что размерность векторного
подпространства р-векторов равняется Срт и, значит, размерность самого
пространства #я равна
со +CJ + ...+ cj+...+c:-2V
Замечание. Итак, произведение А « ху.,. w оказывается
определенным в некотором базисе #я, и построение этого
базиса и соответствующих компонент А начинается с выбора
канонического базиса в Еп. Следовательно, произведение кор*
ректно определено как элемент пространства <£т его можно
разложить по любому базису сёп и А остается инвариантным
при заменах базиса £„, индуцирующих изменения базиса в
векторном пространстве <£п.
4. ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Поскольку abeV» и а-Ье*вл% то и
аЬ — (а-Ь)=* а л Ье^
Тем самым можно принять такое определение внешнего
произведения двух векторов а и Ь:
ялЬ«-~(аЬ-Ьа). (2)
Свойства антисимметричности (а л Ь = - Ь л а) и
дистрибутивности относительно сложения очевидным образом
вытекают из определения (2).
Если а и Ь коллинеарны, их внешнее произведение а л Ь
равно нулю. Верно и обратное утверждение. Если ab ~ ba, можно
взять а в качестве первого вектора канонического базиса и
разложить по этому базису Ь. Тогда b = Ха «f с, гдо- X — дей-

ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ П. ОИЗВЕДЕЦИЯ
15
ствительное число, а вектор с сопряжен с а. Получим а л Ь «
*алс«0, значит, ас =» са, но, поскольку а и с сопряжены
ас — — са. Следовательно, ас = 0, так что а" 1ас « 0, т. е с = 0
и Ь = \а1К
5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО КЛИФФОРДА
Пусть а ш £a,,Yf - вектор и А « ЬХЬ2 .. - Ьк » £XFY/» - не-
* /»
который элемент пространства #„. Для того чтобы образовать
аА, достаточно построить произведения у{уР(р < к) и
воспользоваться линейностью умножения: яМ « £X,X/>y«Yp'
up
Г. Если я»у,€{у|>}, то ул> является (р - 1)-вектором,
обозначаемым ауР.
2°. Если e«Yi^{Yp}» TO YiY/> является (р + 1)-вектором,
обозначаемым а л уР,
Следовательно, в общем случае для а » ]Г Vft можно напи-
i
сать
аА **аА + а л А. (3)
Сравним теперь аА н Аа~ ^К^-рУрУо Легко видеть, что
*.р
YpYj « (- 1)F~f Y*Y* если y< e {yp}, и
YpYc «(-1/ YiYp» если yt £ {yP}.
Это означает» что произведения можно записать так:
ayF **-jtayF ~(-1УУга],
* а у? ш ~^[ayr + (- 1)'Yp*I
Однако в разложении А по р-векторам могут фигурировать
только те у?, у которых р имеет ту же четность, что и число к9
поэтому в общем случае получаем следующий результат:
а А ш~[аЛ-{*-1ГЛа)9 (4)
i} Это доказательство проходит, если квадратичная форма в Ет
положительно определена, т. е. внутреннее произведение векторов
является скалярным произведением.— Прим. перев.

16
ГЛАВА I!
а также
а л А - -j\аА + (- l)k/ia]. (5)
6. ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ
Пусть Л — произвольный элемент векторного пространства
«V Обозначим через А число Клиффорда, полученное в
результате изменения на противоположное направления каждого
вектора, входящего в произведения, которые задают А. Можно
записать А в виде суммы четного и нечетного!) с-чисел:
Тогда (4) и (5) можно заменить наиболее общими формулами
аА~^{аА-Аа\ (6)
а л А= -j(aA 4- Аа). (7)
Заметим еще, что, основываясь на этой выкладке, можно
записать Аа » А • а -ь А л а. Это в свою очередь приводит к
таким соотношениям для Л, имеющего четность (— Vf:
Aa = (-\Y~la-A и А л а - (-1)ра л А.
Таким образом, для • произвольного А получаются формулы
А-а аа — а-А и Л л а » л л А
Для достижения общности обозначений можно условиться,
что (6) и (7) остаются в силе и для скаляров А «Л5; при
этом полагаем, что Л5 = Л5.
7. РАЗЛОЖЕНИЕ ВНУТРЕНК 1ГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Дистрибутивность внутреннего произведения непосредствен*
но вытекает из формулы (6). Запишем развернутое выражение
внутреннего произведения гзктора а на элемент А « ЬгЬ2 . * - Ь,:
а-М,...*,- £ (~l)*+>A)M2...bk-A*i...V (8)
1) По определению А четно, если Л - Л, и нечетно, если
Д «■ - Д. Если Л * (- !)М, то Л имеет четность (-1)*.- Л-чш. иерее.

ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
17
Для доказательства (8) достаточно написать
—(abxb2 -. - Ър 4- ЬхаЪ2 - -. Ър) = (a-bs)b2 - • - Ьр,
— (М&2 ... Ьр + ЪхЪ2аЬъ ... Ьр) = (а • Ь2) Мз - • - Ьр,
—(&!... ^-1ЛЬР + bib2 - - - М - (*-Ьр)Ма - - - &Р-1-
Умножив первое из этих равенств на ( — I)2, второе на (— I)3,...,
а последнее на (— 1)р*1 и почленно сложив их, получим (8).
8. ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пространство Фя является прямой суммой векторных
подпространств р-векторов (р изменяется от 0 до и).
Составляющая произведения аха2 ...ару принадлежащая подпространству
р-векторов, дает нам внешнее произведение векторов flj(i« 1,
2,..., р). Обозначим его
Ар = ах лч*2 л...лаг
Можно заметить, что формула (5) определяет это внешнее
произведение рекуррентным образом. Действительно,
достаточно положить
Vi^flA/lp = —[aAp + (- ХУАрО].
Дистрибутивность и ассоциативность внешнего произведения
выводятся из свойств умножения в алгебре Клиффорда.
9. АЛЬТЕРНИРОВАННОСТЬ
Внешнее произведение изменяет знак при перестановке двух
сомножителей (свойство альтернированности).
Теорема верна при р = 2. Допустим, что она верна для всех
внешних произведений Ар с р сомножителями. Полагаем Ля+ х »
■* а л Ар. Если переставить два вектора, входящие в Ар, то Ар+ х
меняет знак. Если поменять местами а и аь то легко заметить,
что
а л ах л'.. /л ар »(а л ах) л а2 л .. * л ар =»
« — {ах л а) л о2 л - • - л <*г,

IS
ГЛАВА 1!
т. е. окончательно можно записать
а л а1 а а2 л ... л ар » — ах лала2л,,, л^.
Повторяя это рассуждение, можно переставить а на любое
место.
Следствие
1°. Если р векторов аи а2 ар линейно зависимы, их
внешнее произведение Ар равно нулю.
В самом деле, так как один из векторов является
линейной комбинацией остальных, Ар представляет собой сумму
внешних произведений, каждое из которых содержит два
одинаковых вектора и потому равно нулю.
2°. В частности, Ар » 0, если р > и.
3е. Наоборот, из условия Ар — 0 вытекает, что сомножители
а< линейно зависимы.
Это утверждение верно для р « 2. Предположим, что оно
справедливо для всех внешних произведений Ар~х. Тогда, если
векторы, образующие произведение Ар~ и линейно зависимы, то
линейно зависим и набор векторов, из которого получается
АР**АР-Хлар, и в этом случае доказательство закончено.
Наконец, когдч векторы ah образующие /4Р_Ь линейно
независимы, можно разложить ар по базису, составленному из этих
векторов а, и из базиса дополнительного подпространства S,
состоящего из векторов, сопряженных с ah так что
ар ~ а + Ь>
где а принадлежит подпространству, натянутому на ах с i ■» 1,
2,... , р — 1, и beS.
Поскольку Ар = Ар~ j л ар «* Ар~ t л Ь = 0, то из последнего
условия с учетом соотношений (4) и (5) и того, что Ар~% Ь * О,
выводим равенство Ар- х b = 0, т. е. b - 0, так как сейчас Л,_ j Ф 0.
Следовательно, векторы а<э входящие в Ару линейно зависимы,
что и утверждается0.
4°. В тех случаях, когда Ар ф 0, это произведение по
определению представляет собой объем параллелепипеда,
построенного на векторах аи..., ар, входящих в Аг У этого
объема будет, следовательно, С* компонент. При р = п объем
имеет только одну составляющую, и в приложениях,
рассматриваемых в следующих главах, она будет совпадать с элементом i.
См. примечание на стр. 15.

ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
19
5fv. Для векторов уё канонического базиса равенство
YiYi ■ • • Yf "Ti а та л ... a-#F
вытекает прямо из определений.
10. ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МУЛЬТИВЕКТОРОВ
Для двух мультивекторов Ар — ах л а2 л ... л ар и Вщ «
« Ъх а Ъ2 л ... л Ъч внешнее произведение можно ввести с
помощью рекуррентной процедуры, полагая
Л, л В€ « в! л (а2 а ... ла,л В4).
Возможно также эквивалентное прямое определение Лр л Bf
как составляющей произведения аха2 • •. ^ib2 ... fcr
принадлежащей подпространству (р 4- ^-векторов.
Свойство введенной операции, выражающееся равенством
ЛрлВ«~(-1ГВ,аЛ„ (9)
очевидно. Для проверки достаточно q раз воспользоваться
соотношением
ол^,* (— 1)МР л а,
которое непосредственно вытекает из альтернированное™.
11. БАЗИС
Теперь легко доказать, чгго уР образуют базис векторного
пространства %\. В самом деле, допустим, чгго
где коэффициенты ХР — действительные числа. Умножив это
равенство, например, справа на I — ухуг ...ую придем к
равенству X0i = 0, из которого вытекает, что Х0 -»0. Аналогично
показываем, что и остальные коэффициенты нулевые.
12. ВНУТРЕННИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МУЛЬТИВЕКТОРОВ
1°. Рассмотрим выражение (8) и приравняем друг другу
(р - 1)-векторы, фигурирующие в обеих частях равенства. Мы
немедленно получаем соотношение, показывающее, что (8)

20 ГЛАВА II
справедливо и для мультивекторов:
а • Ар = а • ах л а2 л ... л ар =
(10)
S (~.1)k""1(^-л»)в1 л ... л д*_1 л а4+1 л ... л
*~i
>•
2°. В таком случае внутреннее произведение двух
мультивекторов Ар и Bq можно определить рекуррентной формулой.
Если р < q, полагаем
АрВя = {ах л ... Aap~x).(ap.Bq). (11)
Таким образом, это внутреннее произведение оказывается
(q — р)-вектором, и оно дистрибутивно по отношению ко вторым
сомножителям Bq. Сохраним свойство дистрибутивности и
относительно Ар, полагая по определению
(Ар + А'рУВщ - Ap-Bq + А1рГВг
Наконец, при p>q зададим Ap-Bq формулой
XF-Bf-(-l^^Bf.Xr (12)
Данное определение кажется довольно произвольным, но в его
пользу говорит следующее замечание. При р > q можно
определить АРВЧ посредством рекуррентного соотношения
A^Bi-iA^bxYBi-u
которое выглядит как естественное обобщение (11). Тогда
нетрудно увидеть, что (12) является следствием последней формулы
и свойства: А-а*= -**а*А.
Для того чтобы оправдать данные определения,
необходимо все-таки доказать, что при всех р
АР'ВР=* Вр* Ар.
Это нетрудно сделать, принимая во внимание свойство
дистрибутивности, потому что достаточно проверить равенство
Ур-Уг**Уг*Уг>
Однако Чр-Уг равняется нулю, если у? и у? содержат
неодинаковые yh поэтому остается рассмотреть только случай, когда
ур,я=(— \уур при соответствующем целом г< Но тогда у?-
yr — i—lYyp-yp-yp, и тем самым коммутативность
произведения доказана.

ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 21
13. ДУАЛЬНОСТЬ
Будем называть дуальным числу Клиффорда А
произведение \А. Таким образом, дуальным скаляру будет
псевдоскаляр, дуальным вектору (л — 1)-вектор и дуальным р-вектору
(л — р)-вектор. Можно проверить, что для любых векторов а и b
имеют место два полезных соотношения:
i{a-b) es(ib) л а,
(ib)*a**i(b л а).
14. ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО #„
Это пространство можно разложить в прямую сумму двух
дополнительных друг х другу векторных подпространств
<2f+ и 97, которые определяются как множества чисел
Клиффорда вида
^m^±tL9AfV^. v;={±^L,AeVn}.
Элементами ^„ являются четные числа Клиффорда, и так как
суммы и произведения четных чисел вновь четны, то структура
кольца наследуется, т. е. «J является подалгеброй <£п.
Алгебра Клиффорда #4 называется алгеброй Дирака, если
соответствующая квадратичная форма в £4 является формой
специальной теории относительности. Элементы ЧИХ образуют
алгебру Паули, которая изоморфна алгебре 9V Из элементов
<ёг состоит алгебра кватернионов, имеющая подалгебру,
изоморфную алгебре комплексных чисел, а последняя имеет
подалгебру, изоморфную множеству действительных чисел.

Глава III
АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
В этой главе речь пойдет о трехмерном пространстве
евклидовой геометрии. Рассмотрим матрицы Паули
где Г — обычная мнимая единица. Эти матрицы удовлетворяют
соотношениям
OjOk -f- okOj« 2bJkI2>
где J9 к « t, 2, 3, 5Д « 0 при к Ф) и 8Л = 1, а /2 —
единичная 2 х 2-матрица.
Все эти матрицы принадлежат векторному пространству
tf3 комплексных 2 х 2-матриц, к нетрудно проверить» что базис
этого пространства образуют матрица
h> сгь <*it <згзэ Oi029 <s2Oy, оъаи а1а2аъ.
Обозначим о%о2а3 «i; тогда легко видеть, что i »i72, так
что I2 « — /> В дальнейшем мы будем вместо матрицы a^o^
писать /, а вместо 12 писать 1, не опасаясь спутать в равен*
стве I2 «* — 1 матрицу i с обычной мнимой единицей.
Подчеркнем, что впредь аи а2, а3 будут играть роль векторов
обычного евклидова пространства £3, образующих ортонорми-
рованный базис, и при таком соответствии элемент из #3
х * Х|0! + х2ог + х3а3
можно отождествить с вектором х из £3, имеющим
координаты хи х2% х3 относительно ортонормированного базиса.
Что касается произведений векторов из £3, то все они
принадлежат пространству ^3, каждый элемент которого
представим в виде суммы следующих слагаемых:
1° скаляра Х0 « \01 « As\

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА 23
2° вектора XiOx + Х2а2 + л.3а3 = Av\
3° бивектора X4aia2 -f л,5ог2а3 + X6a3ai » Ав\
4° псевдоскаляра X7ai<T2a3 «■ X,7i = Л/.
Таким образом, если AeV39 то
Рассмотрим теперь три операции над элементами этой
алгебры Клиффорда {ц.ве из них упоминались в гл. II).
1°. Изменение направления всех векторов на
противоположное, в результате чего А преобразуется в
А » А$ — Ау+ Аъ — А$*
Элемент А называется четным, если А « Л, и нечетным, если
Л« -Л.
2*. Обращение порядка сомножителей в каждом
произведении, которое превращает А в элемент А (читается: А с
тильдой):
А «в Л* + Лу— Ля — Л/,
потому что
/ я» 0'1<Т2СГз *» ^3^2^! ** ^1^3*^1 "" "* ^И^2СГэ ш ~~ '•
3\ Умножение на i, которое преобразует А в дуальное
число Клиффорда \А ■* 4i. В нашем случае i коммутирует со
всеми векторами, например
iO\ ж <Jla^ajcyi » a2a3 » at^
Таким образом, дуальной скаляру величиной оказывается
псевдоскаляр и наоборот, в те время как вектор дуален
псевдовектору, а псевдовектор - вектору, поскольку на основании
соотношений
io% » о2а3, гог ~ Cjdi. *<*э e <*i<** (14)
имеем
i(X>1al + Х2а2 + Х3а3) «■ Xia2a3 4- X2o3ot + X.3aiOa.

24
ГЛАВА III
1. ОБЫЧНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Существует простая связь между обычным векторным исчи- •
слением и операциями с векторами, рассматриваемыми как
элементы алгебры #3. В самом деле, образуем произведение
х л у, где
х = хгах + х2о2 + х3<т3,
У « Ух^г + Уг°2 + Уз<*з-
Тогда находим
х л у шт i [(х2у3 - x3y2)cfi + (*зУх - х^з)^ 4- (хху2 - x2yi)a3].
Выражение, стоящее в квадратных скобках,—это обычное
векторное произведение векторов х и у, которое, следовательно,
отличается от бивектора х л у и должно обозначаться по-
другому. Мы будем записывать его х х у и пользоваться
термином cross-произведение (cross product). Соотношения
х л у « i(x х у), *15'
х х у - — i(x л у) (16)
показывают; что х х у — величина, дуальная бивектору,—
изменяет свое направление при обращении базисных векторов, т. е.
при смене ориентации базиса в £3, проявляющейся в
изменении знака и В то же время х л у, будучи тензором, остается
инвариантным при таком преобразовании, поскольку оно не
нарушает справедливости (15) и (16). Этим оправдывается
название аксиальный вектор, которое часто дается
cross-произведению в противоположность обычным или полярным
векторам, не изменяющимся при изменении ориентации базиса.
2. ДВОЙНОЕ CROSS-ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Разлагая х и у по базису аь о2, а3, легко проверить
справедливость следующих формул:
X X у « (у • X = — у X X = — IX • у = — X • /у. (17)

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
25
Отсюда
(хх у) х z = [-i(xxy)].z,
и, объединяя этот результат с формулой (14), получим хорошо
известную формулу
(X X у) X Z = — (X Л у) • Z =
- Z-(x лу) = (Z-X)y - (z-y)x.
3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вычислим х-(у х z), используя формулу (6):
2х(у х z) = x(y х z)-h(y х z)x,
потому что у х z является нечетным элементом #3-
Но» так как i коммутирует со всяким вектором, имеем
2х-(у х z) — - ix(y л z) - i(y л z)x —
— ~ ^(У * г) + (У л z)x] * — 2i(x л у л z)
и в результате находим смешанное произведение векторов х,
у и z:
(х, у, z) ш х(у х z) « - i(x л у л z).
Поскольку для векторов канонического базиса (аь а2, сг3)« 1,
из найденного выражения вновь получаем, что а&а2Оэ в *•
4. ГРАДИЕНТ
Употребляя д в качестве символа операции
дифференцирования, будем всегда полагать дк = 5/дх*. Далее х*
используется для обозначения контравариантных координат вектора х,
т. е. обычных декартовых координат, в отличие от
координат ковариантных, обозначаемых хк, которые для произвольной
системы координат вводятся как скалярные произведения х
на единичные вектора, осей. В случае когда базисные векторы
ортонормированы, как у нас» обе системы координат
совпадают, так что х* = хк дЪя любых к« 1, 2, 3. При этом

26
ГЛАВА HI
градиент вводим как векторный оператор
V * агдг + а2д2 + оъдъ. (18)
Результат его применения к всюду дифференцируемой
вектор-функции координат и — и(х1, х2> х3) = и1аг + и2а2 + и3о3
можно представить в виде
V«» V-M +V л ti.
Скалярная функция Vu называется дивергенцией п. Бивектор
V л и назовем ротором и. Связь его с обычным ротором век-
торного поля и(х19 х29 х3) дается правилами (15) и (16):
Va« = i(Vx«) или V х и « - *(V л и).
Таким образом получается обобщение обычного понятия
ротора, применимое не только в трехмерном пространстве.
5. КВАТЕРНИОНЫ
Будем называть кватернионами те AeV3t для которых
А*= А =* As + AB. В таком случае, обозначая скаляр As « si » *,
можно представить А в виде
А « 5 -ь ша,
где a — вектор, квадрат которого равен 1, а ос —
действительное число.
Мы намереваемся изучить математические структуры,
которые связаны с множеством кватернионов.
Прежде всего отметим, что это множество обладает
структурой четырехмерного действительного векторного
пространства и является подпространством #3- Принадлежащие ему
элементы 1, кть ta2, io3 образуют линейно независимую систему,
по которой разлагается любой кватернион. Действительно,
равенство
si -t- ifat + igo2 + iha3 « О,
с одной стороны, требует, чтобы s « 0, а с другой стороны,
должно быть fot + gu2 + Ла3 — 0, т. е. в результате * » О,
/«0,0*0, А«0.
Это векторное подпространство #э будем обозначать <24-
Пространство кватернионов QA можно нормировать^ полагая, на-

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
27
пример,
норма А = (s2 + <х2)1/2.
Напомним, что введение нормы в векторном пространстве
Е над полем К (в данном случае это будет поле
действительных чисел R) означает задание на Е функции,
сопоставляющей каждому элементу х неотрицательное число ||х||,
таким образом, что
1° ||х|| = 0 равносильно условию х = 0;
2° Вх 4- у|| «S ||х|| + |j»l для всех х, yeE;
3° ||Хх|! в 1Я| Цх|| для всех ХеК и всех хеЕ.
Говорят, что Е9 снабженное нормой, является
нормированным векторным пространством, или, короче, нормированным
пространством; размерность £ может быть при этом конечной
или бесконечной.
Легко проверить, что (^Ч-а2)1'* является нормой AeQ^
но это не единственная норма, возможная в пространстве Q+.
В самом деле, нетрудно убедиться, что можно ввести и другую
норму v(i4) для А, полагая
у(Л)»|5| + |а(;
здесь, как и в других местах книги, |Я| обозначает абсолют*
ную величину действительного числа X. Однако эти две нормы
эквивалентны, иначе говоря, они определяют одну и ту же
топологию в Q4. Уточним оба эти момента.
Две нормы v и v' называются эквивалентными, если
существуют два таких положительных числа а и Ьу что
av(x) < v'(x) < bv(x) для любого хеЕ.
Непосредственно усматривается, что всякая норма эквивалентна
самой себе (а***Ь*>* 1). Если v' эквивалентна v, то и v
эквивалентна v', потому что
-|v4x)<v(x)<i-v'(x).
Кроме того, из эквивалентности норм v и v' и норм v* и
v* вытекает эквивалентность v и v". Действительно, тогда
существуют такие положительные числа с я d> что
cv'(x)«v"<x)**</v'(x),

2S
ГЛАВА III
и, следовательно,
v(x)« — V(x)<-L/(x)f
в то время как
^v*(x)<-iv'(x)<v(x).
Таким образом, это понятие действительно определяет
отношение эквивалентности на множестве норм.
Остается рассмотреть вопрос о топологиях, индуцированных
нормами. Вот точная формулировка важного результата* кото»
рый может быть при этом получен:
Всякая последовательность Коши, которая сходится по
норме v, сходится также и по эквивалентной норме v'.
Принимая во внимание, что пространство действительных
чисел полно, так как в нем сходится всякая последователь»
ность Коши, заключаем, что Q4 также является полным нор»
мированным векторным пространством, т. е. пространством
Банаха.
Одну из эквивалентных норм в пространстве QA можно
связать со скалярным произведением в этом пространстве.
В самом деле, отметим, что
Ml-C^+a*)*-^)1/.,
так как А » $ — iaa и, следовательно, АА в^ + а2,
Определим скалярное произведение (qy q'} двух
кватернионов, обозначаемых теперь буквами q и q'\
Векторное пространство Q4 является евклидовым, поскольку
введенное скалярное произведение обладает всеми свойствами
евклидова скалярного произведения и норма (s2 +xx2),/* евклидова.
Наконец, обсудим еще одно важное обстоятельство:
кватернионы, открытые Гамильтоном, дают нам пример
некоммутативного тела. Для доказательства этого утверждения
необходимо лишь показать, что операция умножения превращает
Q4 в некоммутативную группу, так как структура аддитивной
группы заложена в структуре векторного пространства, а

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
29
свойства дистрибутивности, как уже отмечалось, вытекают из
структуры алгебры Клиффорда, являющейся ассоциативным
кольцом с единицей.
Если q — ненулевой кватернион 5 + мю, то для него
существует обратный элемент
_! s — tea
потому что
«■'t-HP--« -*•
Однако тело Q4 некоммутативно, так как для двух
кватернионов, записанных в виде
q ш s + ia<x> q' « $' + ю'ос', .
где s, a, з\ a' — действительные числа и a, a' — векторы
единичной длины, произведение
де' «(5+ im)^ + fa'a') « ss' -H teas' 4- Wet's - aa'vxx'
в общем случае отличается от q'q% ибо из равенства qq'«
«4'# вытекает условие аа'»д'а, равносильное требованию
алв'вО, т. е. требованию коллинеарности векторов а и а'.
Вскоре мы увидим, что кватернионы очень просто
связаны с вращениями вокруг начала координат в трехмерном
евклидовом пространстве: они явно задают ось вращения и
угол поворота, причем направление оси совпадает с
направлением вектора а. Произведению двух вращений соответствует
кватернион, полученный перемножением двух соответствующих
кватернионов, так что два вращения коммутируют только в
том случ .е, когда коммутируют соответствующие
кватернионы, и, согласно предыдущим рассуждениям, это означает, что
совпадают оси таких вращений. Для того чтобы установить
эти результаты, мы будем действовать с экспонентами вида
ехр(шб), которые можно ввести в виде ряда
ехр(шв)= 1 ч-шв-ув2 + ♦ ...
Отсюда
exp(iaG) «* cos в + uzsinO,

м
ГЛАВА 111
tax что
1ехр(*яв)|| - 1,
и мы будем называть такие экспоненты унитарными
кватернионами. Мы покажем, что между этими унитарными
кватернионами и пространственными вращениями' существует
столь же тесная связь, как между комплексными числами с
модулем 1 и вращениями плоскости.
*• ВРАЩЕНИЯ
Пусть векторы х и х' связаны соотношением
x'-expf- ушв)хехр(-у*ав V
Полагая х « и + v9 разложим х так, ото
мла«0, о»а«0,
и аналогичным образом разложим х\ представив его в виде
х* ш и' + v\ где
и' л а «О, v''a**Q.
Поскольку и коммутирует с а и i, имеем тогда
и' чц »(а'х)а, *
ОМ-ОМ'
Рис. !.
а гак как v ашикоммутирует с д, то
v' » ехр ( - /ав) i\

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА 31
откуда, как в предыдущем разделе, находим
t/ = pcosO — WDsinG « pcosO + (ax v)sinO.
Полученная связь между векторами v и v' выражает тот факт,
что v' получается поворотом v на угол в вокруг вектора а
(рис. 1). Гринимая во внимание, что и «и', этот результат
можно^переписать так;
х*« xcos9 + (1 - cos6)(x-a)a + (а х x)sin6. (19)
Тем самым мы располагаем удобным способом вычисления
компонент вектора х\ полученного из вектора х при вращении
(а, В), и можем выписать также общий вид матрицы вращения.
В самом деле, пусть (X, Yt Z) — это компоненты
вектора х, а {Х\ F, Z*) — компоненты х' относительно орто-
нормированного базиса трехмерного евклидова пространства,
и пусть (а, Р, у) — компоненты единичного вектора, задаю*
щего ось вращения, так что а2 + Р* + у2 « 1.
Равенство (19) позволяет записать уравнения
преобразования:
X* - *4x>s6 + а(1 - cos&)(<xX + рУ+ yZ) + (0Z - уУ)мпв,
Г « ycosG + Р(1 - cosG) (аХ + рУ+ yZ) + (уХ - aZ)sin8,
Z' « Zcos0 + у(1 - cos6)(aX + рУ+ yZ) + (аГ- pjQsine.
Выписать общий вид матрицы вращения теперь не представляет
никакого труда,
7. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВРАЩЕНИЙ
Отыскание произведения двух вращений вокруг
несовпадающих осей сводится к отысканию произведения
соответствующих унитарных кватернионов:
ехр (—ibq> J ехр (-у to9 J.
Сначала производится вращение (о, 0), затем вращение
(Ь, ф), и, как мы видели, эти вращения коммутируют только
» том случае, когда а и Ъ коллинеарны. Для того чтобы
получить ось с {с2 = 1) и угол со результирующего вращения, до-

32
ГЛАВА III
статочно соответствующий кватернион expf —ica>)
кватерниону
приравнять
expf —1Ьф|ехр(«у1о9|.
Таким образом, получаются два уравнения для определения
параметров (с, со):
cos-r-a>« cos-y<pcos-r~8 — (а-Ь) sin—<psm—8,
csm-yO)» fesm—фсов—в + acos-y<psin—8 +
+ (a x 6)sin-y<j>sin-yв.
Из всех математических методов, позволяющих определить
ось и угол для произведения трехмерных вращений, самый
элегантный способ решения задачи дается методом умножения
кватернионов.
8. СИММЕТРИИ
Пусть и — единичный вектор нормали к плоскости Р, которая
проходит через начало координат О. Для точек МнМ' обозначим
ОМ~ОМ
Рис. 2.
жирным шрифтом векторы
ОМ * х, ОМ' - х\
а ОМ и ОМ' будут обозначать длины х и х\

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
33
Предположим теперь, что х и х' связаны условием
х' « - ихи. (20)
Разложив правую часть:
ихи**и(хи) + и(х л и) = н(х-ы) + w(x л и) + и л х л и,
находим, что
х' « — 2и(х-м) + х
или
х — х « — 2u(x*u).
Последнее соотношение показывает, что вектор х* — х
перпендикулярен Р. Докажем, что точка М' симметрична точке А/
относительно плоскости Р; для этого достаточно проверить,
что точка Я — середина отрезка ММ' — принадлежит Р.
Но ведь ОН =» -г-(х 4- д0, поэтому скалярное произведение
и-ОН « и[х - и (хм)] + [х - и(х-и)]и * их + хи - 2(хк),
очевидно, равняется нулю.
Установив это, можно сразу же получить выражение для
произведения двух симметрии. Если v — единичный вектор
нормали ко второй плоскости, проходящей через О, a S- образ
точки АГ при зеркальном отражении относительно этой
плоскости, то, обозначив OS « £, запишем связь между 4 и х:
Пусть угол между векторами и н v равен ос, а п —
единичный вектор, направленный одинаково с и х v. Тогда можно
написать
uv *=* uv + ы л v ** uv + i(u х v)t
т. е.
uv ш cos a + irtsinot.
Это выражение показывает, что uv — унитарный кватернион и
вектор OS получается из ОМ поворотом на угол 2а вокруг a
Этот результат, основанный на том, что произведение двух
унитарных кватернионов является унитарным кватернионом,
подсказывает нам такое замечание о свойствах нормы в Q4\
норма произведении кватерниона* равна произведению их норм.

34
ГЛАВА III
Действительно, рассмотрим кватернионы А » s + iaa и А'
s' + ia'a'. Можно выбрать в, фе[0, 2я) так, чтобы
cos0 =* —-г, sin в «
COS(0~ . Sin(D=
и, следовательно,
Л * \\А || ехр(шЭ), Л' - М'|| схр(ш'ф).
Таким образом,
АА' - М|| М'11ехр(шв)ехр(ш'ф)
и, значит,
МЛ'И - ||Л|| |М1,
поскольку произведение двух экспонент в правой части
является унитарным кватернионом.
9. ИНВЕРСИЯ
Точки Мит связаны преобразованием инверсии, имею*
щей центр О и показатель (или степень) fc, тогда и только
тогда, когда
Хх * *, (21)
где X ~ ОМ, х « От, а к — действительное число. Условие (21)
можно переписать в виде X «* кхх~2> позволяющем заключить,
что векторы От и ОМ коллинеарны, а при положительном к
и одинаково направлены.
Предположим, что х — дифференцируемая вектор-функция
действительной переменной г, так что функция x(t),
описывающая дугу пространственной кривой в окрестности точки гл,
имеет в точке т касательную. Пусть (с) обозначает эту дугу;
применив к каждой ее точке наше преобразование инверсии,
получим дугу (С) кривой, проходящей через точку М.
Продифференцировав (21), приходим к соотношению
X'(t)x{t) + X(t)*(t) = 0,

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
35
которое преде умножения слева на х переписывается в виде
kx'(t)= -x{t)X'(t)x(t).
Рассматривая его вместе с (20), убеждаемся, что касательная
к (С) в точке М и касательная к (с) в точке т симметричны
относительно плоскости, перпендикулярной вектору тМ и
делящей отрезок тМ пополам.
Рис. 3.
Приведем еще одно общее свойство преобразования
инверсии. Пусть р и Р — вторая пара точек, связанных инверсией
(О, к). Полагая Ор » у9 OP « Y% выводим соотношение
(X-Y)2 = к2 (хх"2 - уу'2)2 - к2(ху2 - х2у)2х~Ау-* -
= k2x~2(y-x)2y-2
и в результате приходим к хорошо известной формуле,
связывающей расстояние между точками и расстояние между их
образами при инверсии:
MP «|fc|mp(Om)-l(Op)~l.
Преобразование плоскости при инверсии. Запишем уравнение
плоскости Q, имеющей вектор нормали и и проходящей через
точку то с радиус-вектором Ош0 — х0:
и(х - х0) + (х - х0)и - 0.
Если обозначить
мх0 + х0и « 2р,
то это уравнение будет выглядеть так:
их + хм — 2р =» 0.
При преобразовании инверсии (21) образы точек этой
плоскости удовлетворяют^ уравнению
к(иХ + Хи)-2рХ2 «0.

36
ГЛАВА III
Если р = О, то в результате преобразования получается
та же плоскость Q.
Бели р Ф О, уравнение образа плоскости записывается в
виде
Х2~~-(Хи + иХ)=*0.
Поскольку Хг ** Xf + JT| + AT|t где АГЬ ЛГ2, #з - координа-
ты точки М, для которой ОМ«if, то ясно, что получено
уравнение сферы, проходящей через начало координат О.
Центр этой сферы находится в точке С с радиус-вектором
ки/2р; эта точка получается при преобразовании инверсии из
точки СУ с радиус-вектором 1/«2ры, которая симметрична
точке О относительно плоскости Q.
ОСОО-ОМОт^Л
Рис. 4.
Аналогичным образом мешено рассмотреть и
преобразование сферы при инверсии, а также исследовать свойства
произведения инверсий.
10. ВЕКТОРЫ И КВАТЕРНИОНЫ
Применение обычного векторного исчисления в свое время
вызвало горячую оппозицию со стороны ортодоксальных
«кватернионистов». На самом же деле эти две концепции не
противоположны, а дополняют друг друга, объединяясь в
структуре алгебры Клиффорда. Обычное векторное исчисление очень

АЛГЕБРА ДООСТРАНСГВА
37
полезно в геометрии, механике, гидродинамике и
электродинамике, особенно благодаря широкому использованию векторного
анахшза. В то я» время этот метод не является достаточно
общим* и, в частности, при изучении пространства-времени
специальной теории относительности, а также в теории Дирака
и в теорил частиц не стоит отказываться от кватернионов.

Глава IV
АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Эта действительная алгебра конструируется с помощью
четырехмерного векторного пространства, обладающего
базисом уо, ук (к — 1, 2, 3), в котором временной вектор у0
имеет квадрат, равный 1, а три пространственных вектора ук
имеют квадрат, равный — 1. Векторы эти ортогональны друг
другу, т. е. удовлетворяют условию
ЧиЪ + УуУы = 0 (и, v = 0, 1, 2, 3 и и Ф v).
Прежде всего покажем, что такие четверки векторов
существуют, воспользовавшись для этого реализацией векторного
пространства как пространства матриц. Рассматривая
матричное представление
где / — 12 — единичная 2 х 2-матрица, а сг* — матрицы Паули,
введенные в предыдущей главе, легко проверить, что
упомянутые выше условия для у0, у* выполняются. Произведения
линейных комбинаций таких матриц у обладают всеми
свойствами клиффордовой структуры, перечисленными в первой
главе. Что касается размерности соответствующего векторного
пространства V/4, то можно отметить, что
U> Yo, Уь Y2, Уз» YiYo> УгУо, УзУо, YiY*> Y2Y3» УзУь
Y0Y1Y2, YoY2Ya> YoYaYi, YiY2Y3,
Ys - Y0Y1Y2Y3
образуют базис пространства размерности 16 над полем
действительных чисел R. Поскольку при вычислении всевозможных
произведений з этой алгебре можно систематически пользо-

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
39
ваться соотношениями ортогональности для у, нетрудно
показать, что в разложении нулевого элемента <#4 по выписанной
системе мультивекторов могут встретиться лишь нулевые
коэффициенты. Например, для отыскания коэффициента при /4
достаточно умножить обе части разложения на у5; затем, умножая
на У1 л у2 \ уз, проверим, что коэффициент при у0 тоже равен
нулю, # т. д.
Убедившись, что
У| - (Y0Y1Y2Y3)2 - -1.
мы в дальнейшем заменим у5 на /, а единицу 1А на 1;
такая запись не должна вызвать недоразумений, поскольку #4
является алгеброй над полем действительных чисел, но все-
таки важно отмстить, что, вычисляя у5 с помощью
представления (22), мы не получим в результате i74. Следовательно,
в данном случае замена у5 на i является всего лишь удобным
обозначением.
Итак, элемент А, принадлежащий пространству #4, можно
представить в виде
А « As-+ Av+ Ав ч- Лг+ А*
т. е. А является суммой
скаляра As « X,
вектора Ау=* Хоу0 + Ххуг + Х2Уг + **7э»
бивектора Ав * XioYiYo + ^2oY2Yo + X30Y3Y0 + *i2YiY2 +
+ ^23Y2Y3 + A-siTiYi.
тривектора AT=* X012Y0Y1Y2 + ^4>i3YoYiY3 + ^>23YoY2Y3 +
+ bi23YiY2Y3,
псевдоскаляра Af*= X5y5 « X5i;
здесь все коэффициенты X — действительные числа. Далее
Л€#4 будем называть ^-числом
Следует егде упомянуть квадратичную форму,
ассоциированную с этой алгеброй. Если
х = х°у0 + **Yi + *2Г2 + *ЪЧг = *?Ъ (и = °> U 2, 3),
то (х)2 « (х0)2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2. Положив х° = х0 = cty где
t обозначает время, а с — скорость света, и считая х*
координатами в пространстве, получим квадратичную форму специаль-

40 ГЛАВА IV
ной теории относительности:
сН1 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2.
Теперь введем три важные операции:
1°. Изменение знака, т. е. направления каждого вектора,
преобразующее А в
А 5» А$ — Ау+ А$ — Ат+ Aj.
Если А «■ Л, то Л — четное d-число, а если А « — Л, то
нечетное.
2°. Изменение порядка сомножителей на обратный во
всех произведениях, которое переводит А в
Л да As 4- i4y— Лд — АТ+ Afi
так» например,
Г- MiYiYs • YaYiYiYo « -Y0Y1Y2Y3 - -*.
3°. Умножение слева на I, в результате чего Л
преобразуется в дуальное d-чисяо iA. Вообще говоря, iA Ф Aif так как i
антикоммутирует со всеми векторами. Например,
*Гй - Y0Y1Y2Y3Y0 - - YoYoYiYaYa - - Yo*-
Следовательно, $сли А ** Л, то i коммутирует с Л, но если
Л « —Д, то i антикоммутирует с Л.
Скаляры и псевдоскаляры, векторы и тривекторы дуальны
друг другу, а бивекторы дуальны самим себе.
1. ПРИСОЕДИНЕННАЯ АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА
Каждому временному вектору у0 сопоставим
пространственные векторы ак, полагая ак»уку0; при этом квадраты
<*1 — Y*YoY*Yo =■ 1- По своим алгебраическим свойствам эти ок
аналогичны рассмотренным ранее векторам, порождающим
алгебру пространства <#3> так что элементы #3 можно считать
четными ^-числами из пространственно-временной алгебры.
Будем говорить, что возникающая алгебра пространства
соответствует у0> и назовем элементы такой алгебры р-числами.
Естественно, что ничем, кроме значений квадратов,
пространственные векторы alt a2, а3 не отличаются от пространственных
векторов Ть у». У*'
Пусгь А - произвольный элемент <У4. Его четная часть

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
41
ф? как нетрудно видеть, окажется р-числом. Нечетная же
часть Ф' какова, что четно Ф'у0» и, значит, это произведение
тоже является некоторым р-числом х- Поэтому Ф' ■» XYo» и можно
записать
Л = Ф + XYo»
где Ф и х являются р-числами.
Отметим еще, что
ахог<уг « ViYoYaYoYaYo e Y0Y1Y2Y3 e t.
Без этого наши обозначения в главах III и IV не были бы
согласованы.
Теперь обратимся к одному свойству этой подалгебры,
которое играет важную роль в теории Дирака. Сформулируем
его в виде такой теоремы:
Существует линейная биекция между множеством четных
d-чисел Дирака и мноокеством спиноров Дирака, представленных
в виде комплексных столбцов.
Обозначим через А произвольное четное d-число Дирака,
разложение которого по базису подпространства четных d-чисел
имеет вид
А ш ау + diYiYo + <*2Y2Yo + C1Y3Y0 +
+ «2Y2Y1 + b2Y3Y2 + biYaYi + c2YoYiY2Y3-
Напомним конкретную реализацию у, переписав (22) (Г -
обычная мнимая единица):
0 0 0 -\у
Yo«f 0 1 0 0 \, Yi~f 0 0 -1 О
0 10 0
1 0 0 0J
-1 0^
Y2«/ 0 0 -i' О \, у»-/ 0 0 0 1
0 0
0 0

42
ГЛАВА IV
При таком выборе у вычислим произведения векторов;
образующие базис для четных d-чиеел:
YiYo
УзУо
YaYi
Y2Y0
Y2Y1
YsYi
О О Г 01
о о о г
г о о о
о г о oi
Введем теперь отображение 2Г посредством следующих
операций:
1°. .Сопоставим четному А матрицу М из 4 строк и 4
столбцов, пользуясь матричным представлением (22) векторов у
и вычисленными выше произведениями векторов, образующими
базис подпространства четных дираковых d-чисел.
2°. Полученную матрицу М умножим справа на
фиксированную матрицу и, имеющую один столбец:
(23)
В результате от матрицы А/ останется ее первый столбец
Обозначим
Тогда по определению полагаем

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
43
Матрицу М можно выразить через коэффициент разложения
/1 по базису четных d-чисел. Нам достаточно явно выписать
только первый столбец:
ах -Ь i'a2 ..
Ьг+ГЬ2\.
Mss| c\ + i'c2 ..
dx + i'd2 ..
Согласно данному определению,
(ах -Ы"а2>
rfi + Ma,
Логко видеть, что для любых четных d-чисел Ах и А2 н
произвольных действительных чисел л. и ц
^(Ъ^ + М2) - ЬГИО + ц^"(Л2),
так что отображение ЗГ линейно.
Для обращения *Р в нуль необходимо, чтобы обращались в
нуль действительные числа
ах « а2 = Ьх = Ъ2 » С| яв с2 «* di e d2 ■» 0.
Это означает, что ядро линейного отображения ^", т. е.
множество всех таких А% образами которых является нулевой спинор,
есть нуль, т. е. из равенства нулю ЗГ (А) следует равенство нулю А:
Кег^ - {0}.
Эта запись означает, что нуль — единственное четное d-число,
которое переводится в нулевой спинор при отображении &".
Следовательно, ЗГ инъективно, т. е. различные четные
d-числа Дирака всегда имеют своими образами при
отображении ЗГ несовпадающие спиноры. В. самом деле, если
А Ф А\ то не может оказаться, что
ЗГ(А) = ЗГ{А'\
потому что из такого равенства вытекало бы, что
ЗГ{А -ЛГ)«0.
"О тогда, как было показано, А =* А' в противоречии с нашим
предположением, что А Ф А\

44
ГЛАВА IV
Отображение 2Г также и сюръективно, т. е. является
отображением на все векторное пространство спинорных столбцов Ч*,
ибо заданием коэффициентов д, Ъ, с, d столбца Ч*
определяется четное d-число А "с теми же коэффициентами, для которого
&"(A)=*SV. Значит, линейное отображение ЗГ инъективно и
сюръективно, т. е. биективно, и наша теорема доказана.
Мы увидим, что множество четных d-чисел А имеет структуру
кольца, тогда как множество спиноров Ч? подчиняется
обычным правилам действий с матрицами, определяющим менее
богатую структуру, поскольку не задана операция умножения
столбцов, сопоставляющая двум спинорам снова спинор.
Поэтому замена спиноров Дирака, действующих в эрмитовом
векторном пространстве, четными J-числами, которые являются
суммами и произведениями векторов пространства-времени
специальной теории относительности, не может не повлечь
за собой и физических следствий. Такая замена должна
привести к обогащению теории, и впоследствии мы покажем, что,
перейдя к представлению волновых функций элементарных
частиц не спинорами, а четными ^-числами Дирака, мы
сможем получить некоторую классификацию фундаментальных
частиц.
Нам понадобится еще одно замечание. Пусть А' — нечетное
d-число и, стало быть,
А'« - А\
Введем четное d-число А соотношением
А' « у0А, следовательно, А = у0А\
Таким образом устанавливается биекция между множеством
четных и нечетных d-чисел, а следовательно, и биекция между
множеством d-чисел А' и множеством спиноров Дирака,
представленных столбцами из четырех комплексных чисел.
Обозначим эту последнюю биекцию &'. Из равенств
Аи = Ч" = у0Аи - уоУ
выводим, что Ч?' = 0 только при условии А' = 0, т. е. ядро
линейного отображения 9"' сводится к единственному d-числу.
Это нулевое d-число, одновременно и четное, и нечетное,
является общим элементом двух дополнительных
подпространств, а именно подпространств {А} d-чисел А и {А'} d-чисел
А\ прямая сумма которых образует все пространство d-чисел #4-

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
45
г. градиент
Удобно ввести еще четверку базисных векторов:
Y° - У<ъ У1 - - Уь У2 - - У2> У3 - - Уз
и соответствующие координаты хц, для которых
X© = X , Xj = — X , Х2 = — X, Х3 ~ "— X .
Градиентом назовем оператор
D-тЧ; (24)
индекс суммирования ц принимает значения 0,1,2,3, а операторы
дифференцирования <3М имеют тот же самый смысл, как и
прежде» в гл. III, т. е.
Если векторное поле А является дифференцируемой
вектор-функцией хм» то действие оператора (24) на А представимо
в виде следующего разложения:
Будем называть Q - А дивергенцией, а ОлЛ- ротором А.
Введенный здесь оператор О имеет простую связь как с
обычным пространственным градиентом V, определенным ранее,
так и с оператором Даламбера, или даламбертианом.
Установим эту связь, заметив, что,
V ш у0 л D.
потому что Yo a Q = у0у*3* — <тк5ь где суммирование по к
ведется от 1 до 3. Кроме того, используя ортогональность у0
всем уь можно записать
д0 -Уо-D-
Следовательно, возможно такое разложение:
Уо О - д0 + V. (25)
В заключение вычислим квадрат градиента, т. е. оператор
□2 = <уЧ)2 = (уЧМуЧ).

46
ГЛАВА IV
Принимая во внимание свойства векторов у, получим, что
п* - д20 - д\ - д\ - dl
и, таким образом, О2 — скалярный оператор, называемый
даламбертианом.
3. ВЕКТОРЫ И БИВЕКТОРЫ
Пусть х«**%, где ц, как всегда, есть индекс
суммирования, принимаюихий значения 0, 1, 2, 3. Рассмотрим
произведение
Yo* - *о - *1<*1 — х2о2 — х3а3.
Условимся векторы пространства Паули обозначать жирным
шрифтом:
х « хгОх + х2а2 + х3аа,
для того чтобы отличать их от векторов
пространства-времени, которые всегда обозначаются курсивом. Таким образом,
Yo* ss Хо —" X.
Разложим бивектор Ве#4 по базису подпространства
бивекторов:
В « e^i 4- я2<*2 + «з^з + <UYiY2 + «5Y2Y3 + a#YsYi-
Если для линейных комбинаций векторов ак с этими
действительными коэффициентами ак ввести обозначения
а' « - (а5а! 4- а6а2 + а*а3),
то в силу соотношений
- юх - у2Уз. - toi - YsYi. - tos - Y1Y2
можно всякий бивектор В записывать как сумму
В - а + io\ (26)
где а и а' — векторы пространства.
Теперь докажем такое утверждение:
Произведение АА четного d-числа А на число А с тильдой
представляет собой сумму скаляра и псевдоскаляра.

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
47
В самом деле, поскольку А четно, А = As 4 Ав 4 Л/, так что
АЛ - (Л5 4- Л* + Л/) (Л5 - Ав 4- Л,) - (As + Af)2 - Л2В.
Но ведь и (As + Х^)2, и
А\ - о2 - &2 + /(со1 4- сг'а)
о
являются суммами скаляра и псевдоскаляра; тем самым нужное
свойство АА доказано.
Следовательно, при лЛ Ф 0 это произведение представимо
в виде
А А « а 4- id « pexp(jp),
если ввести действительные параметры р и р соотношениями
pcosp»a, psinpea',
из которых однозначно определяется р > 0, а р находится с
точностью до слагаемого, кратного 2я.
Обозначив jR ** А [pexp(i'P)]~1/2, убеждаемся, что R
удовлетворяет двум условиям:
Я «Я, RR = U (27)
как будет показано далее, эти условия характеризуют лорен-
цевы вращения.
Приведем еще одно следствие (26). Рассмотрим квадрат
бивектора
В2 ш(а + t&f «а2 - а'1 + 2iaa'.
Если <5г-а'«0, то В2 — действительное число, и тогда
бивектор В называют простым. В таком случае
1°. Если о2 > а'2, бивектор В называется временным.
2°. Если а2 » а'2, 5 называется изотропным.
3°. Если а2 < а'2, В называется пространственным.
Если же а - а' ^ 0, то бивектор называется составным.
Справедливо такое утверждение:
Каждый составной бивектор В равен сумме SiBi 4-
+ S2iBx, где Sit S2 — скаляры, один из бивекторов Blt iB,
пространственный, а другой временной.
Положим
Bi =exp(i<p)B,

48
ГЛАВА IV
где ф — действительное число. Тогда
В\ - ехр(21ф)В2 =* ехр(2/ф)(а2 - а'2 + 2 иг-а') »
«(а2 — а'2)сов2ф — 2оа'ип2ф +
+ 2юа'со82ф -f /(а2 - а'2)8т2ф.
Выберем ф таким образом, чтобы В\ оказался скаляром,
т. е. так, чтобы обратилось в нуль выражение
2<х-а'со82ф + (а2 — сг'2)8т2ф.
Такой выбор всегда возможен, так как по предположению
В — составной бивектор. Проделав это, запишем
В « ехр( — i<p)Bx « Вх совф — 1В\ sinq).
Мы получим нужную линейную комбинацию бивекторов,
положив
Si « cos ф, S2 в — sin ф.
4. БИКВАТЕРНИОНЫ
Предыдущие рассуждения показывают, что каждое четное
число Дирака А при ЛА Ф О можно привести к каноническому
виду
Л«[рехр(/р)]'/аЯ, (28)
и в этом выражении R — четное d-чиспо, удовлетворяющее
условиям (27), а именно
R « К, RR ш 1.
Далее мы проверим, что такие числа R являются
экспонентами от бивекторов и представляют вращения в действительном
пространстве-времени теории относительности, подобно тому
как экспоненты от пространственных бивекторов, являющиеся
унитарными кватернионами, представляют пространственные
вращения. Записав теперь волновую функцию в каноническом
виде (28), мы можем в общих чертах объяснить ее физический
смысл и тем самым отчасти оправдать предыдущее построение.
1°. В каждой точке 0(х) пространства-времени
неотрицательная величина р(х) задает плотность вероятности присут-

АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ 49
ствия частицы, и эта вероятность должна быть нормирована
во всем пространстве формулой
Jprft = l
(здесь di — элемент объема трехмерного пространства, а
интеграл берется по всему пространству Q). Эта формула
означает, что присутствие частицы где-либо в пространстве —
достоверное событие.
2°. В каждой точке 0(х\ если известно d-число R(x\ можно с
помощью вращения фиксированной системы отсчета в
пространстве векторов у перейти к новой системе, которая называется
собственной системой отсчета для частицы. Базисные векторы
собственной системы связаны с плотностями характеристик
поля (ток, спин, электромагнитные моменты), и
требуется, чтобы градиенты этих вечичин можно было находить как
функции характеристических параметров частицы (масса, заряд)
и внешнего электромагнитного поля, в которое помещена
частица. М?ы увидим, чго р теории Дирака эти градиенты
позволяют описать эволюцию частицы.
3°. Остается интерпретировать угол р(х) в любой
пространственно-временной точке 0(х). Это довольно тонкая задача,
поскольку значение (3(х) оказывается связанным с различными
состояниями частицы, имеющими отрицательную энергию.
Итак, приведение волновой функции к каноническому виду
(28) играет важнейшую роль. Эта функция составляется из
элементов, которые имеют прямой и точный смысл,
физический или геометрический, поэтому в результате сама волновая
функция утрачивает тот несколько мистический характер,
который она носит при стандартном подходе. Применяемый
математический аппарат оказывается более адекватным реальной
действительности.
Важное значение четных d-чисел до недавнего времени не
было выявлено, вот почему для них не существует
общепринятого специального наименования. Их нельзя назвать
спинорами, потому что они не подходят под определение
спиноров, которое будет приведено в дальнейшем. На самом деле
такое число является суммой положительного и
отрицательного спиноров. Естественно было бы назвать их октанионами,
чтобы напомнить о восьми компонентах, а еще лучше 6и-
кватернионами в соответствии с их структурными свойствами,
детальным анализом которых мы теперь займемся.

50
ГЛАВА IV
Прежде всего отметим, что название «бикватернион»
оправдывается следующим разложением (с учетом (26)):
А-=* а -ь сг 4-16 + кг';
здесь а и b — действительные числа, и тем самым
А « q + iq\
где q и ^' — ДВа кватерниона.
Такое разложение всегда возможно, и оно единственно.
Отсюда немедленно выводим, что
1°. Множество таких А имеет структуру восьмимерного
векторного пространства над полем действительных чисел.
2°. Это множество обладает структурой кольца, так как
произведение двух кватернионов является кватернионом, и,
следовательно, записав
Ах « q\ + iq'u A2 = q2 + iq'2,
можно произведение AtA2 представить в виде
АХА2 ш (q% + iq\)(q2 4- iq2) « (qxq2 - qWi) + i(q\qz + 9i<U).
Тем самым показано, что определена операция внутреннего
умножения элементов.
Перейдем теперь к доказательству того, что бикватернионы
не образуют тело. Для этого проверим, можно ли найти
бикватернион Q н- iQ\ который был бы правым обратным для
бикватерниона A—q + iq'. Значит, нам надо исследовать
равенство
для справедливости которого требуется, в силу единственности
разложения А на два кватерниона, выполнение двух равенств:
qQ-q'Q'-l,
q'Q + qQ'~0.
Но кватернионы образуют тело, поэтому из второго уравнения
выводим в случае ненулевого q> что
с--«-уе.
и, подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем
<« + eW)G-i.

~ь
АЛГЕБРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
51
В таком случае Q также существует, и поэтому существует
единственный правый обратный бикватернион Q + iQ\ Наконец,
если ^ = О, a q' Ф 0, то из условия q'Q = 0 вытекает, что
Q — 0, а условие — q'Q' = 1 при q' Ф 0 определяет Q', и тем
самым определен обратный элемент /(У.
В итоге получаем: если А Ф 0, то правый обратный элемент
существует в том и только том случае, когда выполняется
условие (28').
Таким образом, для описания множества тех
бикватернионов. для которых не существует правых обратных, нам остается
изучить ограничение, налагаемое этим условием (28*).
Введем
x**q-lq';
тогда невыполнение (28*) означает, что х2 = — 1. Но ведь, будучи
кватернионом, х представим в виде х « а — icr, где а и <т2 —
действительные числа. Значит, равенство х2 = — 1 можно
переписать в виде
а2 — а2 — 2шЧт — — 1,
а это равносильно требованию
а = 0 и а2 = 1,
потому что при действительном а альтернатива о « 0
исключается.
Следовательно, х = з~ V в — to и q' » — uja и, стало быть,
общий вид бикватерниона, не имеющего правого обратного,
таков:
q + iq' = q(l+o).
Отметим еще, что Л *=4j(l + а) удовлетворяет условию
АА » 0 и, как будет показано ниже, множество таких би-
кватернионов изоморфно множеству спиноров.
Можно проверить, что у этих бикватернионов не
существует и левых обратных, а значит, множество всех
бикватернионов не образует тела.
Векторное пространство бикватернионов можно нормиро-

52
ГЛАВА IV
вать% вводя для А = g 4- iq' норму || А || либо формулой
либо формулой
\\A\\2=(Ay0Ay0)s,
где S обозначает скалярную часть бикватерниона, заключенного
в скобки. Обе формулы определяют одну и ту же величину
МЕ« потому что
Лу0Ау0 « (? 4- iq') Yo(4 + «50 То « (« + *Y)tf - «У) -
= qq + q'q' + i(q'q-qq')
и, значит, скалярная часть этого произведенья совпадает с
первым выражением для ||Л||2. Отметим еще, что
Таким образом, из ||/1|| =0 вытекает, что ||з|| =0 и Ц^й =0,
следовательно, А » 0, т. е. выполняется первое свойство,
фигурирующее в определении нормы.
Второе и третье характеристические свойства нормы
проверяются без труда. Можно доказать, что действительное
векторное пространство бикватернионов является пространством
Банаха, так как оно нормировано и имеет конечную
размерность (и, стало быть, все нормы эквивалентны), а потому это
пространство окажется и полным.
Поскольку введенная норма евклидова, перам
бикватернионов можно сопоставить скалярное произведение,
удовлетворяющее неравенству Шварца. По определению
1Аи А2> - у (qth + «2<?i + 41% + ЧгШ
иначе говоря,
<Л„ А2У « <qu q2> + Wu &>.
Все свойства скалярного произведения (симметричность,
билинейность, положительная определенность соответствующей
квадратичной формы) легко проверяются.

Глава V
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ФОТОН
1. УРАВНЕНИЯ ЛОРЕНЦА
Пусть в каждой точке пространства-времени заданы бивектор
F, описывающий электромагнитное поле, и вектор плотности
тока J. Мы сейчас покажем, что уравнения Лоренца можно*
записать в простой форме» предложенной М. Риссом:
0^ = ^. (29)
Уравнение (29) распадается на два:
Отметим» что в разложении (26) бивектора F
F ш Е + гН (30)
векторы трехмерного пространства Е и Н описывают
соответственно электрическое и магнитное поле.
Умножим (29) слева на То « введем обозначению
С учетом (25) получим
(d0 + V)(E + iH)**q-l
д0Е + VE + й0Н + /(V-H+VaH)«?-j.
Выделяя в этом уравнении его скалярную, векторную, би-
вехторную и псевдоскалярную части, приходим к четырем
уравнениям:
V-E-f, <ЭоЕ + iV л Н» -j,
(31)
idQH + V л Е«0, i'V-H-0.
Воспользовавшись тем, что для пространственного вектора Е
(или Н) операция #V л Е сводится к взятию ротора VxE,

54
ГЛАВА V
приведем эти уравнения к привычному виду:
a0H + vxE = o, v-н-о.
Как и утверждалось вначале, получены уравнения Лоренца для
движущегося электрона.
2. ПОТЕНЦИАЛЫ
Следствием (29) является закон сохранения электрического
заряда. Согласно. (29),
D2F = DJ*D'HD л J.
Но ведь П2 — скалярный оператор, поэтому должно
выполняться условие D-J** 0Г т. е.
(D J)s - (YoD Jyoh - C(YoD)(JYo)]s - О,
где индекс S, как всегда, означает взятие скалярной части
d-числа.
Последнее равенство переписывается в виде
[(ao + V)(9+j)]s»0,
или
Это уравнение и имеют в виду, говоря о сохранении заряда.
Можно представить F как градиент некоторого векторного
поля А (потенциала):
F = QA=*0>A + D лЛ.
Учитывая, что F — бивектор, имеем
U А «О и F = *D л Л.
Подставив это выражение в (29), получим волновое уравнение
для А:
D2A=J.
Вектор А определен неоднозначно. В самом деле, рассмотрим
л'-л + пх.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ФОТОН 55
выбрав скаляр х так» чтобы D2X *» 0. Тогда
и это называется калибровочной инвариантностью.
В заключение покажем, что Е и Н можно находить как
функции потенциалов. Пусть
Лу0 в >*о 4- А,
F ш (ОУоНУоА) * (до - V)(A0 - А) - Е + «.
Отсюда выводим выражение для полей через потенциалы:
Е=-30А-УЛ0, H*VxA. (32)
3. СИЛА ЛОРЕНЦА
Четырехмерной силой Лоренца называют вектор
Но
J? J~-JF= --~-<JF-FJ).
Поэтому
(F-J)y0 - \(Е + «) JYo - у/М- E + iH).
Однако
JYo * 9 + j и JKy0 » K0 + К.
Следовательно,
Х0 + К - 9Е + E.j + y(Hj - jH),
а это приводит к двум уравнениям:
*о«Е j,
К « qE + iH л j = qE - Н х j » qE + j x H.
В пространственном векторе К мы узнаем обычное
выражение для силы Лоренца.

56
ГЛАВА V
4. ФОТОНЫ
Уравнения Максвелла в пустоте получим, приравняв нулю
вектор тока:
DF-0. (33)
Будем искать его решение в виде плоских волн, положив
F(x)«/expp(k-x)]f
где /— постоянный бивектор, а к » к*у„ - постоянный ведетор.
Так как D ■» У^м» получаем, что
D F - УмЯ,ехр[*(/с.х)] - ГЦк»*хрд(к'Х)1
потому что fcx»fcMxM(y «О, 1, 2, 3 — индекс суммирования).
Отсюда
DF-tt/exp[i(fc-x)].
поскольку скаляры к^ коммутируют со всеми произведениями
векторов. Из (33) вытекает, что kf«О, а следовательно,
YoJ/-"0, т. е.
№о - Ч/- 0. (34)
Умножая обе части этого соотношения слева на к0 + к,
найдем, что
(/с§-к2)/«0, т. е. kg « к2.
Чтобы получить дальнейшее представление об этих
монохроматических решениях, разложим / в сумму е + ib и г од
ставим в (34). Это даст
(fco-k)(e + ib)-a
или
М + tfe0b « ke -f k л е + i(k-b) + J(k л b).
Отделяя скалярную и псевдоскалярную части полученного
равенства, приходим к соотношениям
ке»0, к-Ь-0,
показывающим, что поля е и b перпендикулярны
направлению распространения волны к. Оставшаяся часть равенства
имеет вид
к0е + ik0b « к л е — кхЬ.

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ФОТОН
5/
Отсюда выводим, что
k0t ■» — к х Ь,
к0Ъ = кхе,
так -что е и Ь перпендикулярны друг другу, направление
к перпендикулярно плоскости векторов е и Ь, а е2 = Ь2.
Таким образом, мы получили все известные свойства моно
хроматических электромагнитных волн.

Глава VI
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
1. ВРАЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Пусть х — вектор пространства-времени; сопоставим ему
х' « ЯхЯ, (35)
где Я - такой бикватернион, что
Я - Я, RR ш 1.
Векторы пространства-времени характеризуются двумя
свойствами:
х « — х, х « х.
Но, поскольку
х' » ЯхЯ « - х' и х* ш RxR т х\
х9 тоже является вектором, вычислим
х'2 « ЯхЯ RxR « Лх'Л « х2.
Следовательно, преобразование пространства-времени,
задаваемое формулой (35), изометрично. К тому же любой х'
оказывается образом единственного вектора х, который
определяется соотношением
Ях'Я ш х.
Значит, преобразование (35) биективно. С другой стороны,
оно не изменяет ориентацию базиса, так как
Я/Я - KyoYiYjYaK » /.
Тем самым это преобразование является вращением
пространств;!-бремени, или, иначе говоря, лоренцеиым вращением.

Ш'ШБРАЮОАНШ: ЛОРЕНЦ*
59
°2. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ
Прежде всего докажем такую теорему:
Существует такой бивектор В. что либо R«expB, либо
К — — ехрВ, причем в последнем случае В2 = О.
Поскольку </-число R четно, оно представляет собой сумму
скаляра S, бивектооа W и псевдоскаляра Р:
R = S + W+ Р. (36)
Если W2 9*0, то на основании теоремы из гл. IV существуют
такие скаляры Si и S2, что
W=(S{ + iS2)w
и w2 — действительное число.
Условие RR = 1 поэтому означает, что
(S + 5,w + iS2w + P)(S - S,w - iS2w + P) « 1,
т. e.
(S + P)2-(S, + /S2)2w2« 1.
Вводя p соотношением P * fp, получаем равносильную
систему:
f S2 + P2 + (S\-S2%)w2 = I.
{ Sp - SiS2w2 « 0.
Возьмем w2 « p и S » S^j. Тогда система сведется к
единственному условию
5?S2-p2 + w*(S2-<??)«!,
которое можно переписать в виде
(S? + w2)(S| - и>2)« 1. (37)
Предположим теперь, что р > 0. Это не ограничивает
общности рассмотрения, так как в левой части (37) фигурируют
и р, и - р. Попытаемся удовлетворить (37), выбрав
Sx »acoswb w = tfsmwb a> 0, (38)
где и>! ш Xw, a X - действительное число,
aS2 =*chw2, flweshwj, (39)
где w2 as |дн\ |д — действительное число.

60
ГЛАВА VI
Уравнения
S2a2=(a2~-p)(l+pa2\
Х.|/р = Arcsin-*-^-, ц )/р = Arsh(a\/ii)
определяют величины а, X и \i, a St и S2 находим из
уравнений
Si =acos(X J/p), aS2 -ch(nj/p).
Следовательно,
5t + iw = expOwj), S2 + Wss exp(w2),
и так как wt и w2, будучи коллинеарны w, коммутируют, то
R « SiSa 4- (S| Ч- iS2)w -Ь ip — exp(iwl)exp(w2) « exp(fwt + w2),
т. e.
К « expB, а В = *v2 + nvj =* (ц + &)w,
причем w2 — положительное число.
Значит, возможно представление
B = (6 + i4p)b,
где 0 .и ф — действительные числа, а Ь — бивектор, квадрат
которого равен 1. В результате для R получаем
каноническое разложение
R — (ch G н- Ьsh 9){cos ф + ib sin ф), (40)
и здесь Ь2 — 1.
Остается рассмотреть случай W2 »0. Тогда из условия
(5 4- Р)2 = 1 вытекает, что
S2 - р* = 1 и Sp - 0.
Значит, с необходимостью р = 0, а следовательно, S « ± 1.
Если S — 1, то R = 1 + W= exp И^ поскольку W2 = 0. Тогда
R «ехрВ, где В = Ж
Если же S = — 1, то
R — — 1 + IV— — (1 — IV) — — ехр(- ИО
и Я = - ехр В, а В « - W.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
61
3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА
К ним мы приходим, рассматривая вращения вида
ch-y9 + cr3sh—в;
X'
X
соответствующее преобразование (35) записывается тогда как
с' - (ch-i-e + a3sh~-9 Wch-~9 - c^shyO).
Введем обозначения:
х * y0ct + Y1* + У214 Y3Z ш y0ct -Hy3Z + M,
tf ш y0ct' + yxX' + y2 Г + y3Z' ш y0ct' + y3Z' + if;
смысл символов w и и' очевиден. Поскольку сг3 коммутирует
спи антикоммутирует с y0ct + y3Z, то из выражения для х'
получаем
' ш (ch-ув + a3shyGJ(« + y0ct + y3Z)fchyO - a3shy9j,
х' ш и + (ch в + <х3 she)(y0cr + y3Z) - и' + y0cr' + y3Z'.
Следовательно, ti' = ц, а
у0се' -4- y3Z' « (ch6)y0cr - YoZshG -4- y3cf she --y32ch6.
Такцм образом, мы приходим к формулам
Г- К
Z'«ZchO-ctshe,
rr'»c^chO-ZshG.
Перепишем два последних равенства:
fZ'»ch9(Z-crthe),
{ Г ш ch О (*-(Z/c) thG). (41)
При фиксированном параметре в из формул преобразования
вытекает, что если
Z-crthO, Х=Г=0,
то Z' = Л" = V = О. Это показывает, что преобразование со-

62
I Л АИЛ V!
стоит в равномерном и прямолинейном сдвиге выделенных
в пространстве координатных осей вдоль направления оси Z.
Для такой трансляции приведенная скорость v/c равняется,
следовательно, thO, откуда немедленно вытекает условие v2 < с2.
Кроме того,
ch в « (1 - th2 ОГ''« ~ (1 - v2/c2y \
так что формулами (41) задается хорошо известное специальное
преобразование Лоренца — Эйнштейна. Следовательно,
физическая интерпретация параметра 6 установлена.
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Аналогичным образом можно рассмотреть и
соответствующее преобразование бивектора поля F:
F ш RFR - Е' -I- iH\
или
E' + iH'-/l(E + iH)A.
Вводя компоненты векторов Е, Н, Е', Н' в декартовой
прямоугольной системе координат: £х, £л Ех и т. п., отсюда
получим, что
£;»£,
и, так как iH » Нхо2аг -f Нуагох 4- Нжохо2,
я;-я.
и
Ехах -Ь F/72 + Hxa2os + Нуо3ах «
- (ch9 + a3she)(£xai + £,<j2 + Нха2о* + Hyoyot).
Это приводит к системе обычных формул, описывающих
преобразование электромагнитного поля:
'£;-chef£, + iH,V Е, = сЬв(Еу~~н\
я; - chef я* - ~Е,у я;- с\хв(ну - ~ еЛг

Глава VII
СПИНОРЫ
Алгебра Клиффорда #„, построенная на основе пространства
£я, обладает структурой кольца. Действительно, <£„, будучи,
векторным пространством, является абелевой аддитивной
группой, а закон умножения элементов, вообще говоря,
некоммутативен, но дистрибутивен по отношению к сложению. В таких
кольцах существуют идеалы. Умножая специально выделенный
элемент Vn слева на произвольные элементы кольца, получим
тот идеал, элементы которого называют спинорами. Если во
всех этих произведениях изменить порядок множителей, т. е.
умножать на произвольные элементы справа, то получается
другой идеал Vn. Такой правый идеал называют сопряженным
исходному левому идеалу, а его элементы именуют
сопряженными спинорами.
1. СПИНОРЫ ПАУЛИ
Пусть ЧР — элемент %3, а сг3 — выбранный в этой алгебре
базисный вектор единичной длины. Говорят, что Ч* является
положительным спинором, если Ч'схз = 4*, и отрицательным
спинором, если ЧРаз ■* — *F.
Произвольно заданному р-числу ЧР из %у всегда можно
сопоста'вить левый идеал положительных спиноров, выбрав в
качестве фиксированного элемента, по которому строится
идеал,
Ведь тогда
и равенство сохранится при умножении обеих чао ей с»ева
на любые *¥'€<6у

64
ГЛАВА VI!
Можно также построить левый идеал отрицательных
спиноров, умножая слева элементы <въ на
потому что
У-аэ-у^Ц-а^а,--*-.
Ясно, что ¥ есть сумма положительного и отрицательного
спиноров, так как
¥ - у ¥(1 + а3) + у *(1 - сх3) - 4V + ¥-.
Идеалы положительных и отрицательных спиноров независимы.
Для доказательства достаточно проверить» что из
Х¥+ + ц¥. «О
следует, что X « О и ц « 0. Действительно, умножим
предыдущее равенство справа на аг. Получается соотношение
и простая комбинация двух равенств дает
ХФ+-0, \М~ »0,
т. е. X = 0 и ц = 0, поскольку и Ч?+ Ф 0, и ЧР- # 0.
Определим базисы линейных подпространств спиноров ¥+
и Ф~. Для этого элементы М?е#з разложим следующим
образом:
(индекс суммирования fc пробегает значения 1, 2, 3), где а0
и а* являются суммами скаляров и псевдоскаляров.
Тогда
ЧЧ - у(Д0 + <Wb)0 + сгэ) -
- y(ao + a3)(l + a3) + у(а0 + ш2)'(1 - аэ)сгь
т. е. числа Паули 1 +а3 и (1 - аэ)а! образуют базис для
*Р+. Аналогично получаем, что базис для W- образуют 1 — <т3
и (1 +о3)о{.

СПИНОРЫ
65
2. СПИНОРЫ ДИРАКА
Для d-числа ф положим
Ф+ = у Ф(1 + а3), так что ф+сг3 « Ф+,
и назовем ф+ положительным спинором.
Полагая ф. = уф(1 - сг3), имеем ф-сг3 = - Ф-, где ф- -
отрицательный спинор.
Из тождества
Ф«-уф(1 +а3) + уф(1 -а3) = ф+ + ф-
вытекает, что ф есть сумма положительного и
отрицательного спиноров. Независимость этих двух идеалов проверяется
так же, как прежде. Кроме того, ф+ и<р. можно разложить
на четную и нечетную части, представив ф в виде ф =
= Ф 4- ХУо» где Ф и % — числа Паули.
В таком случае
Ф+ « у ф(1 + ст3) - у Ф(1 + а3) 4- уХУо(1 + а3).
Но Ф » Ф+ f Ф., х — Х+ "+• Х-; поэтому
Ф+ - у(Ф+ + Ф-) + у (Ф+ - Ф-) +
+ уOU 4- Х-)Уо 4- у (- х- + Х+)Уо-
В результате получаем
Ф+ «Ф+ +х-Уо. (42)
Точно так же находим соотношение
Ф- - Ф. + х+Уо>
связывающее спиноры Дирака и спиноры Паули через
посредство временного вектора у0.
Если ф — бикватернион, то он является суммой
положительного и отрицательного спиноров. Но, как мы видели, сущест-
вУет биекция множества бикватернионов на множество дира*

66
ГЛАВА VII
новых спшюрных столбцов. Эта оискция сохраняет структуру
действительного векторного пространства, но не сохраняет
структуру кольца, поскольку .умножение во множестве спиноров-
столбцов не опрсцелено. Это обстоятельство объясняет, почему
бикватернионы, объекты более общей природы, не следует
называть спинорами.
Наконец, отметим, что если ненулевой бикватернион <р
является спинором, то, как всякий спинор, он должен удовлетво-
рять условию фф =* 0, а следовательно, ф нельзя привести с
помощью лорснцева вращения к каноническому виду (28).

Глава VIII
ТЕОРИЯ ДИРАКА
1. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Это уравнение
D ¥ « (тЧуо + еЛЧГ)у2ух. И Ч
Здесь ym — векторы некоторого неподвижного базиса Л, А обо
значает потенциал, являющийся вектором в пространстве
времени, а параметры т \\ е просто выражаются через соб
ственную массу и заряд электрона. Искомая функция биквагер
нион ЧР — волновая функция частицы.
Необходимо показать, что это векторное уравнение
эквивалентно уравнению Дирака в обычной матричной форме
С этой целью сначала заменим векторы ум соответствующими
матрицами, которые были определены в гл. IV
соотношениями (22). Заметим, что если и - столбец, определенный фор
мулой (23) той же главы, то эти матрицы удовлетворяю!
соотношениям
у0и » и, у2уги «* i'u% (44)
где, как всегда, Г - обычная мнимая единица, В подробной
записи эти соотношения выглядят так:
10 0 0
0 10 0
0 0 -1 0
0 0 0-1
г о о
0 -I' 0
0 0 I"
0 0 0
Затем умножим обе части (43) на и и положим
ф « ^ (У) „ 44
Н>

68
ГЛАВА VIII
где У — линейное биективное отображение, определенное в гл
IV,
С учетом соотношений. (44) уравнение- (43) превратится
в уравнение
□ ф - (тФ + еАФ) i\ (46)
Пусть е" — заряд электрона, а то — его собственная масса,
А — постоянная Планка и с — скорость света; положим
• 2я 2тсс ^., я
е = е -г—, m = m0—г—, x = 2it' —.
he h h
Перепишем (46) в виде
□ Ф *= IxmoC + к^— А\Ф.
Наконец, поскольку А = Лмуй = Лйуц (т, е. А0 « Л°, Л* * - А\
исходное уравнение (43) преобразуется к виду
д е~
-АоУо - ( х —Л*у* Н- ykdk) - wn0c Ф — О
(здесь индексы суммирования принимают значения \х ** О,1, 2, 3;
к - 1, 2, 3).
Умножая полученное уравнение слева на у0, приводим его к
обычной форме уравнения Дирака
cdt с
-Ао - [ YoYjA + х ^~->l*YoYJ - хш0суо Ф - 0, (47)
ибо (YoY*)2 * 1 и Yo я 1» так что фигурирующие в (47) матрицы
удовлетворяют условиям Дирака.
Из этого рассмотрения вытекает, что каждому бикватернио-
ну Ч?9 являющемуся решением (43), сопоставляется при
отображении 2Г такой столбец Ф из комплексных чисел, т. е.
такой спинор Дирака, который является решением
матричного уравнения (47); при этом в (43) и (47) используется
одна и та же базисная система 31 у-мвгрип. Таким образом,
каждому «векторному» решению (43) соответствует «матричное»
решение (47).
Теперь для доказательства эквивалентности уравнений (43) й
(47) следует показать, что каждому решению (47) можно
сопоставить решение (43). Пусть Ф — решение (47), записанное
относительно некоторого базиса 38. При отображении Т~х столбцу

ТЕОРИЯ ДИРАКА
69
Ф соответствует бикватернион Ч*. Обозначив векторы 3S
символами {у} так, чтобы
положим
С « п * - (шТуо + еЛ¥)т2у!.
Затем, как уже делалось выше, перейдем к матричному
представлению (22) для векторов {у} и образуем столбец Си.
Обозначая в соответствии с (45) Ф = У (Ч*), получаем
Си - D Ф — ( *Щ)С 4- х Л )ф.
Но в правой части этого равенства сто тт нуль, так как Ф
является решением (47), и, следовательно,
си «а
Однако С — нечетное d-число, поэтому
Си = 0 влечет за собой равенство С = 0.
В результате оказывается, что Ч? = &~~1 (Ф) служит решением
уравнения (43), записанного в том же базисе &9 что и
матричное уравнение (47). Значит, эквивалентность уравнений
установлена, и потому все результаты теории Дирака можно
получить с помощью аппарата векторной алгебры.
• В заключение еще раз подчеркнем, что в дальнейшем i
всюду обозначает единичный псевдоскаляр, т. е. матрицу у5|
так что его не следует путать с обычной мнимой единицей,
обозначаемой Г.
2. ПОЛЕВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Потенциалы электромагнитного поля определены с
точностью до калибровки, поэтому уравнение (43) должно
обладать калибровочной инвариантностью. Подвергая А
калибровочному преобразованию: Л' = А + П X» D2 X - 0, можно
убедиться, что (43) не изменится, если вместо Ч* взять
Ч"-¥ехр(1аэ*х).
В самом деле, тогда
□ ¥'«(□ T)exp(ia3ex) + *(D X^iajexpO'OaexX

70
ГЛАВА VMI
и для проверки утверждения достаточно подставить в (43) А
и Ч/' вместо А и ЧР.
Полевые величины g(d) являются числами Дирака; поэтому
их можно представить в виде
g(cl) = Vd4>
и, предполагая g(d) известными, можно находить d с помощью
этого соотношения. Учитывая, что величины g(d) должны быть
инвариантными при калибровочных преобразованиях, мы
приходим к требованию
TW' = Vcxp(iozex)dcxp(- "Ъ*Х)4*' - Ч№.
Это условие эквивалентно коммутативности d и io^. Кроме
того, Оудучи действительными, полевые величины не должны
отличаться от дуальных им величин. Таким образом, среди
чисел d могут остаться только следующие базисные векторы <6\:
1. Yo. YiY2, Yj> i.
Мы сохранили взаимно дуальные </-числа 1 и i, потому
что физическую интерпретацию получат только скалярные
части соответствующих им g(d).
Указанные d-числа определяют следующие физические
величины 1):
скаляр n-OHOs и скалярМ~(Ч&);\
вектор тока J0 « Ч'уоЧ';
бивектор F « ^У^Ф;
спин J3 ** ЧСуэ4** в $•
Займемся теперь интерпретацией канонической формы (28)
бикватерниона:
Так как R задает лоренцево вращение, то в каждой точке х
пространства-времени с его помощью определяется собственный
базис е„, связанный с базисом уи выбранной вначале
неподвижной системы отсчета преобразованием
*„ = ЯумЯ. (48)
Этот базис и соответствующая ему система отсчета называ-
11 С R. Acad. Sc. Paris, 267 (1968), 1551.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
71
ются собственными из-за того, что в зтой системе равна
нулю трехмерная пространственная скорость частицы. В самом
деле, вектор е0 интерпрегируется как четырехмерная скорость.
Но его квадрат равен 1:
е20 - Ry0RRy0R « yS - 1.
и, следовательно, пространственная составляющая е0 должна
обращаться в нуль.
Что касается величины р, то ею определяется плотность
вероятности присутствия электрона в точке х, в то время
как угловая переменная р оказывается равной углу Такабаяси 1);
смысл 0 будет разъяснен в дальнейшем.
Принимая во внимание (48), можно выражения для полевых
величин записать в виде
Q«pcosp, fi« — psinP, J0 - P*o>
F » pexp(/P)e,*2 « — Л*з*о — *^э*о>
J* - pey (49)
Тем самым мы ввели два трехмерных пространственных
вектора е и h, описывающие плотности электрического и
магнитного моментов, а именно
е » - Cle3e0, h - - Oe3e0.
Плотность спина а является пространственным вектором:
с я se0 — ре3е0.
Нетрудно убедиться в выполнении соотношений Паули —
Кофинка, так что по аналогии с обычной теорией Дирака
можно получить следующую физическую интерпретацию
рассматриваемых полевых величин:
1°. 70 есть вектор потока плотности вероятности; F через
посредство векторов е и h связывается с плотностью
моментов электрического и магнитного поля электрона, причем
последнюю необходимо умножить на магнетон Бора:
В « e~h/4Km0c — ehc/Anm.
После умножения на h/4n s представляет собой плотность
См. работу, указанную в предыдущем примечании.

72
ГЛАВА V!!!
спина, так что в единицах И/2п электрон обладает спином
половина.
2°. Эти плотности должны быть проинтегрированы по
областям пространства для получения средних значений
физических величин. Именно эти средние имеют прямой
физический смысл. Однако не они, а соответствующие плогности
обладают простыми трансформационными свойствами
релятивистских величин. В частности, волновая функция должна
быть нормирована путем интегрирования плотности в
неподвижной системе отсчета. В сочетании с условием Q • J0 в О»
которое далее будет выведено, это гарантирует сохранение
нормировки в процессе эволюции изучаемой физической
системы.
3°. С собственной системой отсчета можно связать четверку
векторов:
но лишь два из них, J0 и J3« определяются независимо
от выбора калибровки. Роторы и дивергенции этих векторов
имеют прямое отношение к задачам теории электрона.
3. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Интересно поручить решения в отсутствие внешнего поля,
когда уравнение имеет вид
ПЧ = тЧ>у0у2ух. (50)
Решения эти записываются в форме
V+-p§/4icxptte,(p.x)]t (51)
где р, и и р не зависят от х, причем и задает вращение
пространства-времени, а постоянный вектор р находится из
соотношения
р « тиу0й « те0 « риу*\ (52)
Для проверки достаточно вычислить
П V+ ш р V3Muexp[ta3(p-*)] - pV«3Mexp[ia3(p.x)];
в последнем равенстве учтено, что и — постоянное J-число.
Однако
ди exp [la, (р • х)] « Зм [cos (р • х) + iaz sin (p • х)],

ТЕОРИЯ ДИРАКА
73
а р • х = рйхм. Отсюда
ам [cos (рмхм) -f ia3 sin (рмхм)] = рй [ - sin (p • х) + ia3 cos (р • х)] »
в Рц/сгз [cos (р - х) -f /сг3 sin (р • х)],
поскольку (ia3)2 = — 1, и в результате
ам exp [iaz (р • х)] « ри1а3 exp [ia3 (p • х)].
Теперь достаточно заметить, что рм (ц « 0, 1, 2, 3)
являются скалярами, коммутирующими с и, так что можно записать
D¥* ■* Р/2УцРйшазexp[ia3(р-х)] « р'/арш'а3exp[fo3(p• х)].
Следовательно, ¥* удовлетворяет (50) тогда и только тогда,
когда
р1гриюг exp [ia3 (р • х)] » mp'/aw exp [ia3 (p - х)] Уо'^з-
Но» учитывая, что у0 коммутирует с кт3, после
умножения последнего равенства справа на ехр[~ ia3(p-x)]
получаем
риюг « пшу0Шг.
Поскольку ий « 1, отсюда вытекает, что
ри « цщу0 и р = тиу0й,
т. е. получено условие (52).
Проверка завершена, однако указанными решениями (51)
не исчерпываются все решения уравнения (50), которые
представляют собой плоские волны. Действуя так же, как выше,
можно убедиться, что функции
¥- - pv4iiexp[- iGblpx)-] (53)
тоже являются решениями (50). Такие плоские#волны
получаются из функций (51) в результате изменения знака
вектора р, следовательно, они являются решениями прежнего вида,
но отвечающими уравнению, в котором отрицателен параметр т
и, стало быть, собственная масса т0. По этой причине говорят,
что решения (53) соответствуют состояниям частицы с
«отрицательной энергией». Вместе с волнами, имеющими положи-

74
ГЛАВА VIII
тельную энергию, они образуют полную систему, т. е.
произвольное решение уравнения. Дирака можно с помощью про*
цедуры разложения представить как суперпозицию плоских
волн с положительными и отрицательными энергиями.
Если теперь сравнить выражения (51) и (53) с канонической
формой (28), то можно заметить, что в (51) Р «О, в то время
как в (53) Р = л. Это наводит на мысль о связи величины {3
со знаком энергии, однако к интерпретации 0 мы еще
вернемся в общем случае, т. е. при наличии внешнего поля.
4. МЕТОД НЕПОДВИЖНОЙ СОБСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
ОТСЧЕТА
Существование собственных систем отсчета позволяет нам
ввести в качестве базиса {ум} неподвижный собственный репер.
Изучение локальных деформаций собственного репера, взятого
в произвольной пространственно-временной точке О,
оказывается полезным при рассмотрении ряда общих проблем теории
электрона. Такой метод можно применять лишь в рамках
векторной интерпретации уравнения Дирака, и поэтому он
специфичен для этого подхода,
С локальными деформациями базиса связан тензор
вращений Q, составляющие которого Ц, задаются выражением
Мы увидим, что эти величины QM полностью
определяются, если известны роторы векторов, образующих собственный
репер, и в качестве следствия сможем определить тензор
Тетроде, который играет важную роль в анализе общих
проблем*
Итак, поместим начало отсчета (х » 0) в некоторую
произвольную точку пространства-времени О, выбранную так, чтобы
гарантировать общность рассмотрения. Взяв в качестве не»
подвижного базиса1> собственный базис {уй} в этой точке О,
запишем уравнение Дирака (43). В „ точках, отличных от О
(для них х Ф 0), векторы ей собственного базиса всегда
определяются согласно (48)/т. е.
" С. R. Acad. Sc. Paris. 280 (1975), ser. A, 299.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
75
Для бфгьшей ясности будем постоянно придерживаться
следующего соглашения: отмечать индексом 0 значения
физических величин в начале системы отсчета О. Таким образом,
ум 2= (еи)0, поскольку {ум} обозначает сейчас собственный базис
в точке О, и поэтому R0 будет лоренцевым вращением,
обеспечивающим переход от собственного базиса {ум} к
собственному базису {ум}о> так что R0 = 1.
Теперь представим R в виде
K«Sexp(Y2Yi<U (54)
где а — скалярная функция, обращающаяся в точке О в нуль
(т._е. аоз0); другие свойства а уточним позже. Из свойства
RR — 1 выводим, что SS=1, и так как S = S, поскольку
R а* К, то, как нам известно, существует такой бивектор В, что
S=* ±expB.
Следовательно, если В2 Ф О, то найдутся бивектор Ь,
имеющий квадрат 1, и такие скаляры 9 и <р, что
S » (ch6 -Ь bshO)(cosq> -f- /Ьвтф).
Из условия R0 в 1 выводим, что
(ch 8 cos ф)0 = 1, (sh 0 sin ф)0 « О,
откуда в0 = 0, а ф0 = 0 с точностью до слагаемого, кратного
2л. Кроме того, 5 является суммой скаляра Sb бивектора
S2 и псевдоскаляра S3.
При этом 5| =ch9cos9 и, значит,
(d^SJo — (Зцв)0 sh 0О cos <p0 - (дйФ)о (ch 0O sin ф0),
так что (d„5i)o = 0 и (D Si)o -* 0.
Точно так же S3 — ishOsincp и
(3pS3)o = i (Зй0)о ch 0O sin ф0 + i (5йФ)о sh 0O cos ф0,
значит, (dMS3)0 = 0 и (П S3)0 - О.
Следовательно,
(DS)a«(DS2)0, (55)
и так как S2 - бивектор, то (Q - S)0 «(D ■ S2)0 - вектор, а
(D л S)© = (П л S2)o — тривектор.
Аналогично, если Ъ2 = 0, то, разлагая экспоненту от В,
получаем S - ± (1 + В) и <П$)о - ± (D В)0 - (□ S2)0.

76
ГЛАВА VII!
Теперь вычислим О Я. Отправляясь от выражения (54),
получаем
□ R = (□ 5)ехр(у2у1п) + y*S{dpa)y2yi expfoy^),
и, так как величины д^а — скаляры, они коммутируют с S.
Таким образом,
П R - (D 5)ехр(у2у1а) + (П a)Sy2yx txp(y2yxa);
поэтому в точке О, где So"!» получается выражение
(Di?)o«(DS)o-b(D«)0y2Yi.
Выберем теперь а так, что
(П я)о - ™Yocos Ро + еА0;
здесь А0 — значение вектор-потенциала в точке О.
Для этого достаточно выбрать в качестве скаляра а
a * (mcospo + eA%)xQ 4- еА^хх и- еА\х2 + *ЛЗхэ-
Условие а0 == 0 тогда тоже выполняется. Напомним, что
/1 * А»Уг
Возьмем волновую функцию ¥ в канонической форме
¥«р,/2ехр
<4»>
и, пользуясь введенными обозначениями, подставим результаты
проделанных выкладок в уравнение Дирака (43) для функции Y.
Тогда
ОЧ - {D [рехрОр)]'''}* + PVaexp^i.ipVaR),
потому что векторный оператор О антикоммутирует с L
Тем самым
□ * - {аГр1лехр^1р)1Ьехр(у2У1а) +
+ р1лехрГ-у1р1(П5)ехр(у2у1а) +
+ р1/з ехр ( - — ip J (□ а) 5у2У1 ехр (y2Yi<i).

ТЕОРИЯ ДИРАКА
77
Обозначив С = (П^)ехр(—у2у,а), видим, что
+ р'/2ехр( - — ipj(mcospo)YoSY2Yi +
'* ехр(--1ф)(
и воспользова]
С - mpVa expf—ipJSy0Y2Yi + еЛр'/аехр(у iPjSy2Yi-
+ р/2 expf -yfpjMo)SY2Yi.
Можно найти С, и воспользовавшись уравнением Дирака:
Таким образом» получаем равенство
D ГPv* exp Cj t£j S1 - mp''' exp Г - -i /p J [ exp (ф) SYo -
- (cosPo)YoS] Y2Y1 + eph(A - X0)expf у ipJSY2Yb (56)
и, значит, в уравнении Дирака явно выделено значение
вектор-потенциала в точке О.
Совершим теперь предельный переход, устремляя аргументы
всех функций в (56) к точке 0, т. е. выпишем локальные
соотношения между величинами. Тогда
|П |pVi exp ij /pj S J j » - тр£ exp Г - у ip0 J (sin p0) Ys- (57)
Разложив левую часть этого равенства в окрестности
точки О, имеем
(D РЬ - Фо (D Р)о + 2 Po (D S)o = - 2 mpo (sin p0) y*. (570
Это уравнение распадается на векторную и тривекторную
части:
(D РЬ + 2 ро (□ - S)0 * - 2 mpo (sin p0) Ys> (58)
-i(DP)o + 2(DAS)o«0. (59)
Полученные уравнения вполне аналогичны уравнениям Лоренца
и в точности совпадают с ними, если Р — 0 (или я) в
некоторой окрестности точки О; в таком случае бивектор
электромагнитного поля равен 52, а вектор тока —^-(DpJoPo1-

78
ГЛАВА VIII
Теперь можно вычислить градиенты векторов собственного
базиса в точке О, т. е. величины (Оем)<ь и в результате
найти градиенты векторов тока (DJM)0.
Действительно, пользуясь соотношением
D е0 - D (RyoR) - D (Sy0S)« <D S) YoS + уи5у0 (дРК
выводим
(D *о)о - (D SfoYo + Ти7о (Зй5)о-
Записав выражение для второго слагаемого в виде
Y^Yo^o - - Yo(D S)o + 2(d0S)0,
получаем
(П *o)o * (D S)oYo - Yo (D S)o + 2 (d0S)Q.
Однако условие SS = 1 требует, чтобы
и, следовательно,
(3MS)o - - (d„S)0.
В результате уравнение для (Qe0)o преобразуется к виду
(D е0)0 - (D S)0Yo + Yo(D S)o - 2(30S)0.
Его можно переписать, с учетом выражения для скалярного
произведения, и так:
(Q е0)0 « 2 Y<r (D S)o - 2 (d0S)0.
Но, поскольку (d0S)Q «(d0S2)o — бивектор, полученное уравнение
можно разложить в систему двух уравнений:
(D-*o)o»2yo-(D-S)o,
(□ а г0)0 - 2у0-(а л S)6 - 2(a0S)0.
Совершенно аналогично проводится вычисление (□ г3)о> так
как
еъ ш Ry^R « SY3S,

ТЕОРИЯ ДИРАКА
79
а Уэ коммутирует с y2Yi- Значит, можно получить
уравнения
(D-e3)o~2Y3-(n-S)o,
(П л е3)0 - 2у3-(П aS)0- 2(33S)0.
Напротив, вычисления (D^i)o и (Qe2)o несколько отличаются
от предыдущих, потому что
*х ■* RfiR e Sexp(2Y2Yi«)YiS.
Следовательно,
(D ег)о ш (П S)0 Yt + 2 (D e)oY*Yi Yi + TTTi @A
т. е., проделывая аналогичные преобразования, получим
уравнение
(D*i)o - 2yi -(DS)o - гса^о - 2(De)oY2,
которое можно разложить на два:
(Q-eOo - 2Yi '(D-5)o - 2(Da)0-Y2 e 2Yi -(D-S)o + 2e^g
и
(D л ex)0 - 2yi .(D л S)0 - 2(0^0 + 2y2 a (Da)0.
Точно так же проводятся вычисления (De2)0; они приводят к
выражению
(De2)0«2Y2-(DS)o-f 2(Qa)0-Yb
или
(О -^)о - 2Y2-(D-5)о - 2е4$,
а также
(П а е2)о - 2y2 -(D a S)0 - 2(a2S)0 - 2yi a (Q «)о-
Все полученные результаты (при j< * О, 1, 2, 3) можно свести в
две общие формулы.
Для дивергенций общее выражение имеет вид
(Q-eM)o - 2y„(D S)0 + 2*i(Y3 a Yo a y„ a A)0,
причем при ц ** 0> 3 последний член, очевидно, равен нулю.
Вычисления показывают, что при ц = 1 он равен 2eAl, а при
ц = 2, как и должно быть, получим — 2еАо.

80
ГЛАВА VIII
Для роторов имеем формулу
(□ л ем)0 = 2yp.(D л S)0 - 2(3MS)0+ 21(у„ а у0 л у3)'л (П«)0>
и, стало быть, при \х = 0, 3 последний член справа равен
нулю. Кроме того,
2/(Yi л у0 л у3) = 2у2,
2i(Y2 а у0 л уз)= -2уь
т. е.» при ц = 1, 2 получаются ранее найденные
выражения для роторов (Q л ец)0-
Из этих формул можно вывести выражения для дивергенций
и роторов векторов тока, потому что
(□ JX « (□ ре0о e (□ P>oYn + Po (□ еи)о,
и отсюда для дивергенций получаем
(D • Л)о - (D р)о • Гц + Po (D • *ц)о-
Первое слагаемое в правой части этого уравнения найдем,
умножив скалярна на ум обе части (58). Тем самым
(D • J Jo «-2m (sin po) уз - (JM)0 -f 2e/[Уз л у0 л (7Й)0 л Л0]. (60)
При ц = 0 получается ^условие сохранения нормировки
волновой функции, так как
(П-/о)о«0,
а при ц ш 3 приходим к формуле Уленбека и Лапорта для
дивергенции вектора спинового тока
(D-^Jo8* 2 mp0 (sin 0О)-
Что касается общей формулы для роторов, то она
переписывается в виде
(D л JM)0 «(□ р)0 л уй + (7И)0 -1 (D Р)0 -
- 2 po (fl^SJo + 2 (D *)о a /[(JJq а уз а у0]. (61)
В частности,
(D a J0)o « (D р)о а у0 + РоУо • i (D Р)о - 2 р0 (d0S)0,
и столь же 'просто получить аналог этого выражения для
(П а У3)о» так как вновь последний член в (61) будет равен
нулю.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
81
Формула (61) содержит величины (dMS)0, но их можно
исключить, умножая (61) на ум и проводя затем суммирование по ц.-
Тем самым в правой части появится градиент (□ S)0, который
можно исключить с помощью уравнения (57'). Преобразуем
слагаемое
YM [(П Р)о л ум]о " YM • [(D р)о а ум]0 + уи л (D р)о а уй.
Последний член здесь равен нулю, так что
Г ■ [(□ р)о а ум]о - С?ц ■ (D Р)о] Ум - 4(D Р)о- (3,р)оТц - 4(П р)0,
т. е. в результате имеем
Ум[(Ор)оАуЛо - -3(ПрУо-
После этого надо вычислить величину
rCPoYM'CDWo];
предварительно можно ее преобразовать, разложив в сумму
Vм • [PoY, -1 (□ Р)оЗ + 7й а [роУи - г (D Р)о].
Здесь первый член равен нулю, а для нахождения второго
сначала выпишем выражение для i(Q Р)0, затем отыщем
скалярные произведения внутри квадратных скобок порознь для \х =
= 0, 1, 2, 3 и просуммируем по ц. Проделав эти
вычисления, получим
Г [PoYm '' (D Э)о] - З/Ро (П Э)о-
Остается только при ц = 1, 2 преобразовать выражение
2 у* {(П а)0 л iCUn)o а Уз а у0]};
находим, что оно равно
2po^oYi - 2р0еА10у2 + 4р0у2 л ух л (Qa)0.
Подставляя в конце концов все эти результаты в
уравнение (61), предварительно умноженное на ум, убедимся, что после
суммирования по ц получится
YM(П л JM)0 =-2(Dp)o + 2ip0(П Р)о +
+ 2 троУз sin ро + 2 p0e/*oYi —
- 2 ер0Л£у2 + 4 р0у2 л уг л (Q а)0. (62)

82
ГЛАВА VIII
Это уравнение естественным образом распадается на свою
векторную и тривекторную части, и, таким образом, в нашем
распоряжении оказываются два уравнения для роторов векторов
тока, полученные с помощью техники векторной алгебры. Эти
новые уравнения дополняют известные peзvльтaты для
дивергенций.
Градиент поля частицы. С точностью до числового
множителя, равного магнетону Бора, бивектор / собственного
поля частицы задается/ как было указано выше, выражением
/«Ч^ъФ-рехрСОДел.
Для отыскания градиента / сначала находим величину
{D[pexp(fp)e1e2]}0;
это делается теми же методами, чтр и раньше, и особых
трудностей не представляет.
Следовательно, можно будет поставить вопрос: при каком
дополнительном условии эти поля $т. е. плотности
собственных моментов, удовлетворяют уравнениям Лоренца? Таким
необходимым и достаточным условием оказывается обращение
в нуль тривекторной части предыдущего выражения. Этот резуль*
тат, в общем случае довольно сложный, значительно
упрощается, когда р «0 (или п) э некоторой окрестности точки О.
Указанное необходимое и достаточное условие тогда имеет
вид
(Q Р)о лу,лу2- РоУг л(Цл ег)0 - PoTi л (D л е2)о - О,
и в таком случае можно найти соответствующий вектор тока.
Тензор вращений. Компоненты этого тензора легко выразить
через вращения собственной системы „отсчета. В самом деле»
(дйК)0 - (аи5)0 + (дйа)0!г2уь
а так как
(ОД) = 2(5^)0,*
то, воспользовавшись (59), получим
(Пй)о - Ум-'ХО Р)о + 2i(Yu а уо л уз) a (Qa)o +
+ 2(3Ma)oY2Yi - (□ a ejo.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
83
В частности, при ц « 0, 3 имеем
(Q0)0 = Yo-i(DP)o +
+ 2(mcospo + eA$)y2yi -(Da e0)0,
(Лз)о - Уъ'ИП Ро) + 2ei4gy1T2 -(Da e2)0.
5. УСКОРЕНИЕ
Метод неподвижного собственного базиса позволяет также
вычислить четырехмернглй вектор ускорения, который имеет вид
(д0е0)о - [Зо(ЯТоЯ)]о - [30(5у05)]о -
«(305)оУ<> + Уо(Зо5)о«
"(doS)oYo-Yo(doS)o,
откуда
@о*оЬ- -2у0-@о5)о-
Для (D а е0)о нам известно такое выражение:
(D а е0)0 - 2Yo.(D a S)0 - 2(30S)0.
Таким образом, получаем, что
(Зо*о)о - Yo ■ (D л г0)0 ~ 2уо • [уо • (D a S)0];
однако последний член равен нулю и, следовательно,
(0o*o)o-Yo-(O Л*о)о-
Далее рассмотрим
Yo(^o)o« Yo-CYo *(ПР)о] - Yo-(D ле0)0;
так как первое слагаемое в правой части равно нулю, то
(Л0)0Уов(Зо*о)о. (63)
Это общее уравнение обнаруживает простую связь между
ускорением и проекцией временидй составляющей тензора вращений
на ось времени.

84
ГЛАВА VII!
6. ТЕНЗОР ТЕТРОДЕ
В формализме векторной алгебры выражение для тензора
Тетроде в точке О записывается в виде1)
T0(Yv) - - УиEYv(ViVY3*o]s - Po*(i>vMo,
где v « 0, 1, 2, 3, (i70)o = 1. (*>i)o e (v2)o *» («>з)о в 0; по ц, как
всегда, проводится суммирование, а индекс S обозначает, что
рассматривается лишь скалярная часть выражения, стоящего
в скобках.
Поэтому, в частности,
То(Уз)--У1Стэ(в11Ч%*1Гэ*о]5;
значит,
Однако
так что в выражении для Г0(уз) внутри квадратных скобок
стоит
fa, Гр''- ехр Г - ~ ф J1} /ро/а exp fу iPoJ + р0Уз (ЗиК)о iy*
Скалярная часть последнего члена равна нулю, поскольку из
проведенных рассуждений вытекает, что (d»R)0 является
бивектором. Останется поэтому лишь
у (3,рЫ + Ро(- ^)(^Р)о^
а так как нужно взять только скалярную часть этой
величины, получается такой результат:
То (тз) - - 4-уро(змР)0 - - 4-мсэ ю*
n R. Boudet, С. Я. Леш/. Sc. *Paris, 278 (1974), sen A, 1063.

ТЕОРИЯ ДИРАКА 85
< 7. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Покажем, что уравнение для собственных значений энергии
имеет вид
PoHOYiYi-CT. (64)
Умножив справа обе части (64) на употреблявшийся ранее
столбец и с элементами 1, 0, 0, 0, получаем, учитывая
соотношения (44), уравнение
(3o¥)YiY2««£¥«.
Пользуясь обозначениями (45), его можк-4 переписать:
- Гд0Ф - £Ф,
т. е. привести к виду уравнения на собственные значения
энергии для волновой функции Ф, являющейся спинором
Дирака.
Рассмотрим уравнение (64) в точке О:
(d0*)oYiY2«£4V
Преобразуем его левую часть, воспользовавшись тем, что
(#оР)о и (ЗоР)о равны нулю, если физическая система находится
в стационарном, иначе говоря, не зависящем от времени,
состоянии. Таким образом, для отыскания уровней энергии имеем
соотношение
2(а0Л)о«2£у2у1»(П0)0.
8. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ Р
Жстественно попытаться вывести на основе уравнения Дирака
такое уравнение, в котором фигурировала бы сила Лоренца,
действующая на электрон во в: ешнем поле потенциала А.
С этой целью возьмем градиеет от обеих частей уравнения (43),
причем вычисления проведем в формализме векторной алгебры,
пользуясь методом неподвижного собственного репера. Провести
подобные вычисления, употребляя матричную технику, было бы
крайне сложно и вряд ли даже удалось бы получить
окончательный результат.
Итак, будем оперировать с уравнением (56), которое перепи-

86
ГЛАВА VIII
шем, умножив справа на ЧхУг. Получим
В - пГр^ехрГу «PjjYiYi *
» тр/л ехр (- у ф J [exp (i p) Sy0 - (cos р0) y0S] +
+ «р1/-И-Хо)«р(уф)&
Обозначим правую часть С + D, полагая
С - mpv'expf - у/pJ[exp(ip)Sy0 - (cosP0)yoS],
D - ер''»(Л - A0)cxpCj$\s.
Возьмем градиенты от обеих частей равенства В *=* С + D и
умножим их на [рехрО'р)]-''1. Далее перейдем к пределу,
устремляя точку, в которой?рассматривак>тся все эти величины,
к О; получим
(nB)0expf^yipoJpo,/a«(DQoexpr^yfp0JpoVt+
+ (D0)oexpf--I ipojpo V.. (65)
При вычислении QB заметим, что вследствие
ассоциативности умножения в алгебре Клиффорда можно записать
DВ - D Гп р'*схр(±1рХ\У1у2 ~ D2[p^Sexpf-iip^ly^a,
где П2 — скалярный оператор. Таким образом,
{aa[pV^«p(4*)]}0 ~ (°2 PVj)oexp^iPo) +

ТЕОРИЯ ДИРАКА 87
и в результате имеем
{ОВ)0 ре'Л«ф(- i-ifc) - (О2 р''»)о Po'''YiYa +
+ y(DaP)oYtYi -^-(DP)SyiYj + (D2S)oYiYa-
Теперь переходим к вычислениям.в правой части равенства:
D С - т|п[р'ЛехрГ- Y«'pJjkexp(fp)SYo - (cosp0)YoS] +
+ тр''.ехр^|эЪаехр(10)]^о +
+ехр(- ip)(DS)> -(cosp0)Y»*Yo(3MS)}.
Взятое в точке О, это выражение упрощается и имеет вид
(D Оо - ттГр'/»ехр( - -1 ф Jj)i(sinp0)Yo +
+ тр£ exp f -j фо J {[D exp (ф)]0 Yo +
+ exp(- фоНО S)oYo - (cospo)YMYo(^S)o}.
Отметим, что в фигурных скобках здесь стоит четное 4-число.
Первое слагаемое в правой части последнего равенства
записывается в виде
улКП о)оРо '^(smPoJYoexpf у ip\>J +
+• -j mp$ V» (□ р)0 (sin Po) Yo exp ij фЛ
так что после умножения его справа на po ,/jexpl — -у'Ро)
получаем
(D QoPo Vjexpf - -J®*) - *2"m(Q P)oPo l*(sinp0)Yo +
+ fn(a P)o(sinP0)Ye +
+ m{[DexpOP)]oYo + «4>(- 'Po)(D S)oYo} -
- ш(со5Ро)у^о(^5)0.

88
ГЛАВА VII!
Заменяя здесь (DS)o с помощью формулы (5Т), придем к
выражению
-у m (D р)оРо !i (sin Ро) Уо + у »»(□ Р)о (sin Ро)Уо -
- mi {О Р)оехр(1р0)уо +
+ mexp(- «Po) - m(sinp0)y3 + -ji(0 P)o -
- -у (□ Р)оРо * Уо - m(cos ро) у"у0 (3„S)0,
которое после упрощений перепишется в виде
- — m(cos Ро) (□ р)оРо" *Уо - -у»»(cos Ро) (D Р)оУо -
- m2exp(- ip0)(sinpo)Y3yo - «(cospo^Yo^Sfo-
Преобразуем последний член:
- т (cos Ро) уйу0 (5И5)0 » т (cos Ро) Уо (D S)0 - 2 т (cos p0) (30S)0 -
- m(cospo)y0 - w(sinPo)y3 + у'(0 Р)о -
- -y(D р)о Ро г - 2m(cosp0)(30S)o«
Следовательно, получаем
(D Qo Ро v* exp f - -1 ip0 J -
- - ym(cospo) Po * [(D р)оУо + Уо (D p)o] -
- -j im(cos po) [(D Р)оУо + Уо (О Р)о] +
+ im2 (sin Po) узУо - 2m(cosp^(d0S)o »
= - m (cos po) Po ' (d0 p)0 - im (cos p0) (a0p)o +
+ im2 (sin po) УзУо -2m (cos p0) (d0S)0.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
89
Нам остается только вычислить
2
QD -4-«P"V,(Dp)M " Л0)ехр(4«'Р )S
(т»>
В точке О последнее выражение сильно упрощается:
(D D)oPo •''expf- i-ipo) - е(П Л)0.
Для вектор-потенциала» как известно,
О-А «О,
следовательно, Q Л — бивектор.
Теперь мы знаем все члены выражения (65), однако
ограничимся рассмотрением «го бивекторной части. Удерживая
только бивекторные составляющие всех членов, получаем
соотношение
<DV'%P* ViYiY* ~~-(DP)SyiY2 +
+ у(Оа P)oYiY2 + [(Q2S)oYiY2]b -
» Unz (sin Po) Y3Y0 -2m (cos p0) {dQS)0 + e (O 4)o; (66)
здесь индекс В обозначает бивекторную часть выражения в
квадратных скобках. Выражение для силы Лоренца в точке О
записывается в соответствии с уравнением (33):
e(D/t)oYo.
Приравняем внутренние произведения обеих частей (66) на
вектор у0; Замечая, что
nrsYo-Yo^YiYiYo^O,
получим (с учетом найденного ранее выражения для ускорения)
[(D2S)oYiY23b-Yo --jY3(a2P)o -
- - m(cosPo)(30e0)o + e(D-4)0-Yo.
Обратим внимание, что в это уравнение в качестве собст-

90
ГЛАВА VI!!
венной массы явно входит не т, а величина mcosp0. В правой
части наряду со слагаемым e(CM)o""YOf дающим выражение
для силы Лоренца, фщ*ур*фует произведение этой собственной
массы mcospo на ускорение. Но ведь основное уравнение ре*
лятивистской динамики' частицы, записанное в собственной
системе отсчета, не отличается от уравнения механики
Ньютона, поскольку в этой системе трехмерная скорость частицы
равна нулю. Следовательно, для электрона с собственной массой
mcos$0, подчиняющегося релятивистской динамике Лоренца,
второй член должен быть нулем, т. е.
е (D Л)0 ■ уо = mcos 0O (3o<?0)o-
Поток собственной массы mpQ (cos 0О) ео должен сохраняться
в соответствии с требованиями релятивистской инвариантности,
так что его дивергенция равна нулю,.а это в силу
соотношения D • J0 = 0 приводит к условию (д0Р)0 » 0. Заменяя правую
часть нашего уравнения нулем, получаем такое условие:
[(П25)0У1У2]в-Уо-4Уз(П2р)о = а
и можно сказать, что эта величина служит «мерой
отклонения» электродинамики Лоренца от квантовой
электродинамики.
Вводя таким образом собственную массу mcosp, можно
дать интерпретацию угла Такабаяси р. Действительно, непотен-
цральная энергия может изменяться в пределах от m (р « 0)
до — т (р = я), и, следовательно, Э служит мерой смешивания
волн, у которых непотенциальная энергия положительна и
отрицательна. Такие волны с отрицательными энергиями связаны
с виртуальными, ненаблюдаемыми, состояниями, однако они
совершенно необходимы с точки зрения теории и позволяют
объяснить прохождение электрона сквозь потенциальный барьер
(туннельный эффект); такоопреодоление барьера в классической
механике невозможно, если непотенциальная энергия
отрицательна (парадокс Клейна). Равным образом интересно
сопоставить этим волнам с отрицательной энергией состояния
античастицы. Из общих соображений инвариантности
относительно обращения времени0 приходится интегрировать такие
волны с отрицательной энергией не только по положительным
и G. Casanova, Renversement du temps, Centro superiore di Logica e
Scienze Comparate, Bologne, Italia, 1972.

ТЕОРИЯ ДИРАКА
91
объемам, как это делалось при изучении двух предыдущих
эффектов, но и по отрицательным объемам. При таком
интегрировании изменятся знаки интегралов по пространству,
в частности знаки заряда и собственной массы, которые будут
обозначены е+ и т и сопоставлены не частице, а античастице.
Так может быть получена интерпретация состояний,
обладающих отрицательной непотенциальной энергией.
Отметим еще, что если Ч?(т) является решением уравнения
(43), то Ч?(— т) удовлетворяет уравнению
П¥(_ т) - [- • т¥(- т)у0 + еАЧ>(- т)] y2Yl
и, следовательно, i4?(—m) также удовлетворяет (43). Таким
образом, каждому решению Ч*(т) уравнения Дирака для
частицы с собственной массой т (реальный, или наблюдаемый,
электрон) сопоставляется решение Р¥ (— т) с собственней массой
— т (электрон виртуальный, или недоступный прямым
наблюдениям). При этом общее решение (43) является смесью волн
с непотенциальной энергией противоположных знаков, если
интегрирование в пространстве проводится по положительным
объемам. При интегрировании по отрицательным объемам
осуществляется переход к позитрону с зарядом —е и массой т,
а уравнение Дирака, таким образом, одинаково пригодно для
частиц с зарядом е и — е, и это обеспечивает инвариантность
уравнения при обращении времени.
9. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
Так как сумма двух бикватернионов Ч?х и Ч?2 является
бикватернионом 1\ то и ¥ = *¥г + Ч?2 можно привести к
каноническому виду
ЧГ-[режр№У'*Я1
пусть при этом
*i - [Pi ехр^Я'ЛКь ¥2 - [р2 схр(фа)]V. R2;
здесь R, Л1э R2 — лоренцевы вращения, р, рь р2 — плотности
вероятности, а Р, рь р2 — соотвегсгвующие углы. Мы
рассмотрим только суперпозиции волн с положительной
непотенциальной энергией, так что можно считать Pi » р2 = 0, и
наложим такое условие р ч> 0 и на результирующую волну. Про-
1) С. R. Acad. Sc. Paris, 268 (1969), ser A, 437.

92
ГЛАВА VIII
изведение RXR2 также определяет лоренцево вращение, поэтому
можно представить его в виде R\Rim exp(— jB) с Вт
»(в «f i<p)b, где виф- действительные числа, а Ь — бивектор,
имеющий квадратом 1.
При наложенных условиях соотношение *F « Ч?х + Ч?2
эквивалентно системе уравнений
Р - р/+ Pi + 2(p!P2),/achecos9,
0 = sh8sin<p. (67)
Вообще говоря, 9 и sin ф не обязаны равняться нулю, и
последнее уравнение не удовлетворяется, так что наложенных
ограничений недостаточно* Потребуем, чтобы волны ¥4 и¥2
имели одинаковые энергии; тогда, выбрав в качестве системы
отсчета собственную систему для Ч^, получаем условие
el ш е0' *о,
где векторы е0 я е'0 суть 4-скорости для частиц Ч^ и Ч?г в
одной и той же пространственно-временной точке. Значит,
Rt и R2 могут отличаться друг от друга только
вращением пространства. Вычисления показывают, что в таком случае
9 = 0 и (67) сводится к единственному условию
Р » Pi + Pi + 2 (pipa)Va COS ф, (68)
а это не что иное, как формула дифракции.
Пусть, например, взяты плоские монохроматические волны:
*Fj - pV2uexp[ia3(p'x)],
¥2«p£nexp[ia3(p-x + <p)3,
где q& обозначает разность фаз. Все наложенные условия
охазываются выполненными, и (68) превращается в формулу,
описывающую дифракцию электронов в релятивистской теории
Дирака.

Глава IX
АТОМ ВОДОРОДА
Будем называть скалярным потенциалом произведение Uy0,
где U — потенциал поля электрического заряда, помещенного
в начале неподвижной системы координат, оси которой
направлены вдоль векторов ум. Решения уравнения (43) для движения
в таком внешнем поле будем искать в виде
Ч? » Lexp (ia3Ex0\
считая L бикватернионом, зависящим только от
пространственных координат. Тогда в соответствии с уравнением (63) Е
оказывается собственным значением энергии в стационарном
состоянии.
Уравнение Дирака (43) записывается в виде
□ ¥«(т¥у0 + */ТоЧО*о3.
Преобразуем его, умножив слева на у0 и справа на
exp(-ia3£x0):
Yo D L= VL« [mYoLYo + {U - £)L] /a3. (69)
Разложив L в сумму кватернионов М и N:
L» M -f iN9
после ряда простых преобразований сведем уравнение (69) к
эквивалентной системе из двух уравнений:
J VM»(m + J5-t/)Na3, (70)
1 VN«(m-JS+l/)Ma3.
1. ПЛОСКИЕ РЕШЕНИЯ
Уровни энергии. Существуют плоские решения (70), т. е.
не зависящие от одной из пространственных координат; их
легко получить как в формализме векторной алгебры1}, так и с
г> С. R. Acad. Sc. Parts, 270 (1970), ser. A, 1202.

94
ГЛАВА IX
помощью алгебры матриц. Отыскивая такие решения, мы вновь
находим известные точные значения уровней энергии.
Достаточно рассмотреть функции М и N вида
М = G(r) f'*f, N = F(r) r^a3uf9
где г является расстоянием от переменной точки, лежащей
в плоскости z = 0, до начала координат, и = ах coscp -f a2 sin cp —
единичный вектор в направлении радиус-вектора точки, /
равняется ехр (iaa/ф)» а у — это так называемое внутреннее
квантовое число, принимающее только полуцелые положительные
значения: 1/2, 3/г» 5А» Оператор градиента запишем в
полярных координатах (г, ф):
V *=ud/dr + (vlr)dldy>
где v — — ог sinф + о2со$ф.
Подставив указанные выражения в (70), легко получить
хорошо известную систему дифференциальных уравнений
Дирака:
dG/dr - (j - -jjG/r + (т + Е - U)F « 0,
dF/dr + Г/ + у W - (£ - I/ - m)G = 0.
(71)
Для отыскания ее решений воспользуемся стандартны^
методом. Так как мы ищем положительные значения £, Которые
меньше, чем т, то окажутся положительными числа
т + £*Л2, т-Е=*В2;
возьмем А > 0, В > 0. Неизвестные функции* F и G представим
в виде
{
F « ехр(- ЛВг)(а0 + axr + ... + a^r"1 + ... + <yp)rY,
G - ехр(- ABr)(b0 + btr + ... + bjT + ... + V")rY- f72^
Подчеркнем, что в этих выражениях у обозначает некоторое
действительное число, а не вектор, индекс т принимает
целочисленные значения от 1 до р и все числа ат и Ът
действительные.
Кроме вытекающего из такого представления условия обра-

ATOM ВОДОРОДА
95
щения М и N в нуль на бесконечности (г = 4- сю), наложим
еще условие обращения' в нуль в начале координат (г = 0).
Далее запишем
U = — Zee~/r =* — Za/r,
где Z — атомный номер, а a — постоянная тонкой структуры,
значение которой близко к Vi37*
Подставив выражения (72) в (71), найдем, что
и, кроме того, получим рекуррентные соотношения,
позволяющие путем итераций определить а и Ь с точностью до
множителя, который будет найден впоследствии из условия
нормировки. Таким образом удается получить выражение для
уровней энергии, учитывающее тонкую структуру подуровней,
отвечающих одному и тому же значению главного квантового числа
Г 1 'Л
Для практических расчетов часто достаточно ограничиться
в этом выражении двумя первыми членами разложения по
степеням малого параметра а. В таком приближении для
основного состояния (neijes 1/2) значение энергии равняется
£(1)~RZ2[1 + a2/4Z2],
где R — постоянная Ридберга для неподвижного ядра. Мы
предполагали, что центральный заряд неподвижен, тогда как на
самом деле неподвижен центр тяжести системы ядро —
отрицательный электрон, т. е. ядро вовлекается в движение; для
учета этого сффекта при приближенных вычислениях надо в
выражении для Е правую часть умножить на 1 -+- Р/1840, где
Р — атомный вес.
Приняв фундаментальную постоянную Ek для атома
водорода равной 13,5378, получаем для Z - 1 раз ионизованных
атоьдов с Z ^ 10 значения уровней энергии, которые хорошо
воспроизводят величины из «Таблицы констант» Бауэра и

96
ГЛАВА !Х
Сюрдена1*, так что абсолютная погрешность не превосходит
0,02 эВ. Однако если взять для Eh величину 13,605 эВ, то при
Z == 10 отклонение составит 6,75 эВ, так что, если считать
формулы теории Дирака точными, приходится сделать вывод: •
либо экспериментальные величины из упомянутой Таблицы не-'
сколько занижены, особенно при больших значениях 2, либо
чересчур велико это второе значение фундаментальной
постоянной для атома водорода.
2. ПОЛЕВЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определим прежде всего собственную вероятность для
плоских решений. Так как
pexp(fp) = 4"F = r(G + iFozu){G - iFo3u) = r(G2~- F2l
то psinP « 0. Предположим сначала, что P « 0; тогда с
необходимостью F2 <G2 и это условие ""выполняется, как легко
видеть, в некоторой окрестности начала координат. Можно
полагать F и G равными соответственно
G«(p/r)V*chyS, ^«(p/rjVashl.e.
Вычисляя четырехмерную скорость е0, получим
*о ж 7о<Ж5 — iryosh8.
Следовательно, приведенная скорость по абсолютной
величине равна |th5|, так что условие нормировки, записанное в
неподвижной системе отсчета, выглядит так же, как в обычном
формализме:
1« lr{G2+F2)dr.
о
т. е. в этой неподвижной системе вероятность присутствия
частицы никогда не может обратиться в нуль. Напротив, для
собственной системы следует рассмотреть и уравнение G2 « F2,
которое могло бы иметь решения только при положительных р,
так как при р = 0 решений не существует, а также следовало
бы рассмотреть случай G2 < F2, когда с необходимостью р » я.
Однако результаты обсуждения этих случаев не могут повлиять
11 Bauer et Surdin, Table des constantes, G. Villars, Paris, 1942.

ATOM ВОДОРОДА 97
на вычисленные значения уровней энергии, ибо они от р не
зависят, так же как не зависит от Р и условие нормировки,
записанное в неподвижной системе отсчета.
3. МОМЕНТЫ ИМПУЛЬСА
То обстоятельство, что рассматриваются плоские решения,
позволяет вычислить для них орбитальные моменты. Проведем
интегрирование плотностей момента в каждой из плоскостей;
по крайней мере это нетрудно сделать в нерелятивистском
приближении, когда мсжно пренебречь F2 по сравнению с G2,
и тогда для величины орбитального момента импульса получим
4rHh
Полный момент импульса найдем, прибавляя к этой величине
или вычитая из нее й/4я в зависимости от направления
спина. Различные возможные расположения плоскостей орбит
в пространстве квантуются: рассматривая направление сг3 как
выделенное направление в пространстве, можно утверждать, что
проекции на сг3 упомянутого полного момента являются
целыми кратными А/2я. Квантование описывается следующей
формулой, в которой а обозначает угол, образованный
плоскостью орбиты с плоскостью z«=0, перпендикулярной аэ:
cosa = m'/(l + -j\i (73)
здесь т' — целое число, | т' | < j и возможны два случая :j « / ± 1/2.
Анализируя эту формулу, можно прийти к правилу Стонера,
а также получить формулу Ланде для сдвига уровней, вызванного
слабым магнитным полем Ч
4. ОСНОВНЫЕ СОСТОЯНИЯ
Используя плоские решения, можно развить метод
приближенных вычислений невозбужденных нижних уровней для атомов
более сложных, чем атом водорода. Сначала рассмотрим
чисто умозрительную орбиту радиуса г для уровня энергии £,
когда заряд ядра равен ZV*", а для энергии взято выражение
Е - - Z,2EJn2 « - Z'2(02/2r,
!> С. R. Acad, Sc. Paris, 111 (1970), ser. A, 817.

98
ГЛАВА IX
в котором Ен — фундаментальная постоянная атома водорода.
Затем, учитывая, что в основном состоянии и равняется
J + 1/i> будем считать, что значения 1, 2, ... квантового числа л
соответствуют стандартным спектроскопическим обозначениям
орбитальных уровней К, L, А так как в квантовой
механике при каждом значении п возможно только 2л
различных положений плоскости орбиты в пространстве, то
предположим, что на одном уровне пребывает и электронов с
плоскими орбитами, и частицы эти могут считаться
независимыми, если принять, что каждая из них находится в
центральном поле приведенного заряда
Z'e+=(Z-fc)e+.
Введенный для учета экранирования ядра член к
соответствует результирующей центральных сил, созданных остальными
электронами в направлении радиус-вектора ОА, проведенного
из центра ядра О в ту точку орбиты А% где расположен
рассматриваемый электрон.
Затем надо минимизировать силы взаимодействия, т. е.
выбрать для попарно взаимодействующих электронов такие
положения на орбитах, когда они максимально удалены друг,
от друга.
Проделать соответствующие вычисления для случая Z — 2
раз ионюованного атома с зарядом ядра Z довольно просто,
потому что при и в 1, j = 1/2 оказывается, что I = 0 или / = 1,
так что углы, которые плоскости двух орбит могут образовывать
с <т3, определяются на основании (73) соответственно из условий
cos а = 1 или cos a = 7з- Коэффициент взаимодействия к.в таком
случае равен ]^о/8, а полная энергия двух электронов
равняется
£ = 2(Z-j/6/8)2£fc. (74)
Прежде чем перейти к обоснованию этой формулы,
отметим, что в случае таких двухэлектронных систем при
корректном решении волнового уравнения Шредингера с помощью
последовательных приближений по методу Хиллерааса
получаются значения энергии, довольно близкие к
экспериментальным данным. Так, для атома гелия, если ограничиться
первым квантовомеханическим приближением, выбирая в качестве
приближенной волновой функции системы частиц произведение
экспонент, которое соответствует минимуму энергии взаимодей-

АТОМ ВОДОРОДА
99
ствия, то расчетное значение энергии 77 эВ, найденное при
Eh = 13,5378, оказывается несколько меньше
экспериментального значения 78,63 эВ.
Применяя формулу (74), получим значение 77,69 эВ, которое
оказывается лучшим приближением. Однако предложенный
нами метод не позволяет улучшать этот результат. Можно,
однако, отметить, что принципиальная схема нашего расчета
энергий основных состояний может быть использована и в
более общих случаях для атомов, ионизованных Z — 3 раз и
даже Z — 10 раз, и при этом получаются хорошие
результаты. Для атомов, ионизованных Z — р раз (р цеьое,
3 < р < 10), совпадение результатов с экспериментальными
значениями в большинстве случаев очень хорошее, но иногда
минимуму энергии могут отвечать несколько различных
конфигураций, т. е. задача вырождена, и тогда
экспериментальные значения чаще всего оказываются близки к расчетным
величинам, усредненным по различным возможным
состояниям 1\
Теперь займемся выводом формулы (74).
Пусть в общем случае электрон А находится в плоскости
z «0 (рис. 5), а электрон В —в плоскости P(cosa) и длины
Рис. 5.
векторов О А « ОВ — г. Сила отталкивания между электронами/
минимальна при z. BOA — к~-ау и в таком случае
/~(e~)V4r2cos2ya.
Ее составляющая /cos -у а вдоль ОВ обусловливает изменение
эффективного заряда, действующего на В, в приближении цент-
п С. К. Acad. Sc. Paris, 275 (1972), ser. В, 53, 121, 267, 399.

100
ГЛАВА IX
рального поля:
Z' - Z - кВА =r Z - 1/4 cos—а.
Предположим еще, что вследствие устойчивости плоскости
орбиты составляющая /, перпендикулярная 0В, уничтожается.
Для атомов, ионизованных Z — 2 раз, cos а « */3 и, следо-
вательно,
Z=Z- J/6/8»
так что полная энергия двух электронов находится по формуле
(74). Если выбрать для фундаментальной постоянной Eh
значение 13,54, то для энергии £ основного состояния двухэлек-
тронной системы в поле ядра получим следующую таблицу,
в которой £' представляет экспериментальное значение энергии
в электронвольтах, заимствованное из Бауэра и Сюрдена:
Z = 2 (He)
Z=3 (Li)
Z = 4 (Be)
Z = 5 (В)
Z = 6 (С)
Z-7 (N)
Z = 8 (O)
£ = 77,69
£= 196,51
£= 369,49
£= 596,62
£= 877,92
£ - 1213,38
£ - 1602,99
£' =
£' -
£' =
£' =
£' =
£' =
£' =
78,63
197,12
369,74
596,56
877,56
1212,81
1602,31
Как только число электронов р превосходит 2, квантовая
механика вынуждена обращаться к приближенным методам
решения задачи 1). Покажем, каким образом рассмотренный выше
метод позволяет очень легко получать приближенные решения.
Для электрона С, принадлежащего оболочке L, п«2 и
j =* /г* так что cos а = 1. Пусть в плоскости z « 0 расположены
электроны А и В. Орбиты электронов /4 и В, принадлежащих
обЬлочке /С, предполагаем удаленными на расстояние г от
начала координат, и пусть радиус орбиты электрона С из
оболочки L равен R. Введем число и соотношением г«иК
и попытаемся его определить, напомнив, что мы считаем
радиусы орбит пропорциональными n2/Z'. Ограничимся случаем
Р-3.
u E. U. Condon, G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra,
Cambridge, 1970.

АТОМ ВОДОРОДА
101
Действие А на С, очевидно, окажется минимальным, когда
А и С диаметрально противоположны (рис. 6), и
коэффициент клс задается формулой
Минимальному воздействию С на Л соответствует значение
коэффициента
, _ г2 и2
сл~ (Я + г)2 ~ (1 -h u)2 '
Не следует, конечно, упускать из виду, что в квантовой
механике рассмотрение орбит — это всегда чистейшая спекуля-
R
н . 1
А 0
Рис. 6.
ция, орбиты не соответствуют истинному движению
электронов и существуют только в качестве наглядных образов, с
помощью которых удобно проводить математические оценки
величины взаимодействия.
Введем теперь из соображений симметрии
ксл = ксв и кАС**кво
так как электроны А и В играют одинаковые роли и тем
самым неразличимы.
Таким образом, для определения и получаем уравнение
Ч*-£-^>
WTW
которое при каждом Z имеет только один положительный
корень, причем его значение не превосходит 0,25. Энергию
да в единиц
выражение . \/Z\
~4V (l+u)2) (1+м)2 d+uf
одного электрона С найдем, вычитая 2( Z —Eg— j из полной
энергии трехэлектронной системы; тогда в единицах Ен
получается выражение , /т.

102
ГЛАВА IX
Результаты вычислений по этой формуле сведены в таблицу,
в которой £' обозначает экспериментальное значение
энергии, взятое у Бауэра и Сюрдена:
Z= 3 (Li)
Z= 4 (Be)
Z= 5 (В)
Z= 6 (С)
Z= 7 (N)
Z= 8 (O)
Z= 9 (F)
Z=ll (Na)
E = 5.04
£ = 17,62
£ = 37,11
£ = 63,41
£ = 96,53
E = 136,46
£ = 183,12
E = 296,84
£' = 5.37
F= 18,13
£' = 37,74
£' = 64,17
£'= 97,40
£' = 137,42
£' = 184,26
£' = 29&.39
Относительная точность приближения тем лучше, чем больше
номер Z.
Применение изложенного метода приводит к хорошим
результатам, особенно для р = 4 и р = 10. При р = 4 нужному
уровню отвечают п = 2, j = 3, так что квантовое число /
принимает значения 1 и 2, а для cos а возможны четыре значения.
Будем говорить, что атом находится в нормальном состоянии,
если при р в 4 два электрона из оболочки L движутся в одной
плоскости. Согласие с опытом получается тогда очень хорошим,
за исключением случая Z «7, соответствующего четырежды
ионизованному ззоту, когда приходится предположить, что
электроны оболочки L движутся в разных плоскостях, т. е.
имеет место вырождение.
5. СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
Волновые функции плоских решений не обладают свойством
однозначности из-за присутствия нецелого множителя J в
показателе экспоненты. Эти волновые функции изменяют знак при
изменение угла <р на 2 я, так что не имеет смысла говорить
о значении этой функции в каждой точке пространства. Уже по
этой причине они не могут рассматриваться как вполне
реальные объекты. Но при такой смене знака не меняются полевые
величины, которые представляют собой квадратичные формы
от волновых функций, и именно эти величины имеют точный
физический смысл. В привычной теории Дирака можно
строить однозначные волновые функции в эрмитовом векторном
пространстве, вводя решения, выражающиеся через сферические
гармоники. Применяя векторную алгебру, следует заменить та-

АТОМ ВОДОРОДА J 03
кие функции волновыми функциями, представляющими собой
бикватерниоцы в пространстве-времени Ч
Два уравнения (65) всегда остаются в силе, и мы будем
искать их решения, полагая
M = G(r)Sa3, N = F(r)P и S = пР.
В задаче, обладающей сферической симметрией, г
обозначает радиус-вектор, а Р является функцией единичного вектора и,
направленного вдоль радиус-вектора. Следовательно, можно
записать
л — cr3 cos 8 -Ь и sin 0,
и это выражение вводит широту 0 наряду с долготой <р,
фигурировавшей в определении и, приведенном в начале этой
главы.
Подставляя эти выражения в (70), получим
дифференциальную систему Дирака (71). Решениями ее окажутся функции
S = (Со$ -f Du) exp (1'а3тф),
где т — целое число, а С и D выражаются с помощью
функций Лежандра:
С - (ОРГ(cos 0), D = P?+l (cos0),
если / — целое положительное число или нуль. Кроме того,
должны выполняться соотношения
\т\ < I и со « / — т
или
о» а — (/ + m + 1).
С точностью до числовых множителей полиномы Лежандра
от действительной переменной х определяются равенством
а функции Лежандра -г равенство* t
Р?{х) - (1 - х2)*2dmP{(x)ldxr.
Эти числовые множители можно определить из
приводившегося ранее условия нормировки, записанного в неподвижной
системе отсчета.
*> R. Boudet, С. R. Acad. $c. Paris, 278 (1974), ser. A, 1064.

104
ГЛАВА IX
Вычисление угла Р показывает, что он имеет величину
порядка приведенной скорости v/c, так что в нерелятивистском
приближении всегда можно полагать массу равной т, а не
mcosp; впрочем, на собственных значениях энергии, не
зависящих от р, это обстоятельство не скажется.
Таким образом, применяя векторную алгебру, можно решать
задачи теории Дирака, и решения имеют ясный физический
смысл.

Глава X
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ НУКЛОНА
1. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НУКЛОНА
Запишем наше уравнение для нуклона в виде
Q В « {тВуо + e(cos0/2)A exp[i(BYiYo#~ *)в/2]В) y2Yi 4- Вр/,
(75)
где бикватернион В обозначает волновую функцию нуклона,
А описывает электромагнитное поле, ар — пионное поле,
которое вводится формулой
Р « рЧх + Р2У2 + P3Y3-
Кроме того, * —заряд протона, /и — масса нейтрона m(iV),
а безразмерная величина в — угловая переменная. Легко видеть,
что уравнение (75) при обращении пионного поля в нуль
переходит в уравнение Дирака для электрона, если т считать
массой электрона и взять 0 = 0.
Уравнение (75) инвариантно относительно произвольного
постоянного лоренцева вращения, которое будет обозначаться
Rx. В самом деле, заменяя в уравнении В на B'Rt и
умножая (75) справа на Ru получим в результате для В' такое
же уравнение (75), в котором векторы ум заменены векторами
Ущ-КхУ^Дхш так как
Компоненты пионного поля при таком преобразовании не
изменяются, и это обстоятельство должно иметь физический
смысл, который проявится в дальнейшем. Отметим еще, что
пионное поле не обладает свойством калибровочной
инвариантности.

106
ГЛАВА X
2. ИЗОВЕКТОРЫ
Решение В(х) рассматриваемого уравнения можно записать
в форме
B«[pexp(ip)]V>& (76)
где Q — вращение Лоренца, ар — собственная плотность
вероятности в точке х. Далее мы увидим, что угол р допускает
ту же интерпретацию, что и Ь теории Дирака. Введем четверку
векторов ip соотношением
Ч = &УЛ~ВчиВ~1
и еще четыре вектора
/и т By?!* « piM.
Затем зададим лоренцево вращение Я, полагая
К-ехр i(ii'o)y <2>
где iti0 = QYiYoG = ВухУоВ"1, и введем векторы
Jv^pe»** рЯуцЯ « exp i(itlo)y МиехР - *(»Vo)y -
Временной вектор J0 интерпретируется как ток плотности
вероятности нуклона, пространственный вектор J2 задает
распределение вероятности спина нуклона. Простые вычисления
показывают, что в каждой точке х пространства-времени J0 » /о
и Ji—Iu однако векторы /я (а » % 3) получаются в
результате вращения векторов Ja вокруг пространственного вектора
Мо & положительном направлении на угол 0; вращения
совершаются в собственном пространстве, взятом в точке х. Все
векторы /й называются изовекторами, а вектор f>$ называется
изоспином в точке х.
Мы хотим теперь обобщить уравнение (75), подставляя туда
йместо i| пространственный вектор }, по определению равный
j ш 5!1| -К д212 4- ->313,
где s1, 52, 53 — действительные числа. Тогда
ji0 = sli%i0 + Л"21о + *3*Уо-

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ НУКЛОНА
!07
Кроме того,
jiQ » Q^iVo + s2i2i0 + s*hio)Q - B(slCi + s2o2 + s^)!!""1.
Уравнение (75), подвергнутое такому преобразованию, будет
именоваться уравнением (75').
Въедем еще величины R' и J^, полагая
/r«exp[i(//0)e/2]e, j; = pkv?\
Подчеркнем, что всегда Jo ~ 'о. поскольку iji0 коммутирует
с уо, и поэтому
Для сохранения вероятности необходимо, чтобы дивергенция
вектора тока J'0 была равна нулю в каждой точке х, и мы
рассмотрим, при каких условиях это свойство может быть
выполнено в нашей теории нуклона. Для этого найдем
дивергенции изовекторов /м, применив метод мгновенной собственной
системы отсчета в произвольной точке О, взятой в качестве
начала координат (х = 0). Выбираем в каждой точке х
собственный базис, определяемый лоренцевым вращением Q; при
этом
Qo - Qo - 1
и, следовательно,
(*и)о ~ Yn» (Мо)о * YiYo * C|f
(/*о)о =* SqOi -Н sj><*2 + So*** ш 0\
а (О'а(0)о **2уо-(Пв0о» так как (^йб)о является бивектором.
Из (76) выводим, что
DB«~-(Dp)p-v'exp(ip/2)6~
- у PV'(D P)exp(ip/2)Q + p''»exp<- Ф/2ЦО Q\
и, рассматривая это соотношение в начале О, получаем
локальное равенство
(D В)0 - у (D р)0 Ро ''■ ехр(ф0/2) -
- у Ро ЧО0£ежр(*|1«/2) + pj/*exp(~~ fPo/2MQ0Q. (7П

108
ГЛАВА X
Подсчитаем теперь (DB)0 с помощью (75'). Получаем
(П£)о « тВоУо + e(cosQo/2)A0t\p(~aQo)Bo Y2Y1 + BoPoi m
- mp0expf yPojYoY2Yi +
+ еро7* cos (0о/2) Л0 ехр (~^&о ) exp ( у р0 J Y2Y1 +
+ p^oexPr~yP0Jf. (78)
Исключив из (77) и (78) (П В)0 и умножив найденное
соотношение справа на ехр(— ф0/2\ получим, заметив, что (О0О —
нечетное i-число, уравнение
(D P)oPo v* ~ ipl1 (□ Р)о + 2 р£ (D 0о -
- 2mp£exp(ip0)YoY2Yi + 2epo4cos90/2M0exp(y cr90jY2Yi +
+ 2p0'ip0exp(~/p0)i (79)
Для нахождения (П-0о отделим в полученном равенстве
векторную часть; приходим к соотношению
(□ p)oPo x + 2(D-0o - -2mY3sinp0 +
+ 2 ро sin Po 4- \2е (cos 60/2) А0 ехр [ -*- сгв0 ) Y2Y1 • (80)
где индекс V означает, что берется только векторная часть
выражения в квадратных скобках.
Эту векторную часть выпишем, предварительно разложив
вектор о. Ясно, что
[2ecos2(60/2)40Y2Yi -e(sin90)AQ(shaxa3 + $e2<** + &)]*"*
■» 2ecos2(90/2)(/t0Y2 - ^oYi) - e(sin90)A0s% - e(&inB0)A04v* +
4- e(sin90)^Yi4 - e(sinQ0)A$s%y3 + e(sin90)^o^dY2'
Так как, кроме того, (Q • /0)о ** Yo • (О р)о + Po (D ■ *о)о ш
*y0*(Dp)o + 2poYo(D-0o, то в результате имеем
(D Р)оРо 1 • Yo + 2 Yo ■ (D ■ 0о « - е (sin90) A%sl « (Q. /0)оРо *«

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ НУКЛОНА
109
Очевидно, что условие So »0 необходимо и достаточно для
того, чтобы дивергенция /0 обращалась в нуль при наличии.
любого электромагнитного поля. Естественно включить это
условие в нашу теорию, положив
а = с?! cos ф + о2 sin cp,
где ф^- некоторый угол. Теперь мы можем разложить
ехр(— /а60/2), а поэтому и В окажется разложенным на три
части, но в таком случае можно рассматривать (75') как
уравнение для триплета барионов 2.
Однако в теории нуклона достаточно выбрать а « аи как
мы уже делали вначале. Вот почему мы вычисляем в
дальнейшем дивергенции векторов /м, заменяя в равенствах (7S) и
(79) а на CTi. Таким образом, вместо (80) получим
(Opfopo1 +2(Q-0$e -2my3sbPo + 2p0sinpo +
+ 2ecos2(e0/2)(Xjy2 - А%уг) + e(sin90)(^oYi - ^оУз).
Из равенства (П • ij0 = 2уй • (Q • 0О сначала выводим, что
(О-'Л ~ V(D р)о + Ро(П ■ h)o « Y„-(D p)o + 2p0yM-(D -fi)o.
а затем, что
(0-/ц)о ■• (/Л" C-2my38inPo + 2p0sinp0 +
+ 2ecos2(60/2)(^Yi ^ Afai) + e(smQ0)(Alyx - ^oYa)]-
B результате получаем
(D"-/i)o m — 2p0poSinpo + 2ep0cos2(9o/2)i4g - epo(sin0oMo»
(D ■ /2)0 - - 2 popl sin Po - 2 ep0 cos2 (90/2) XJ, (81)
(O • *з)о - - 2 poPo sin p0 + 2 mp0 sin p0 + ep0 (sin 90) ^o-
Заметим, что если 9 — 0, p =* 0 и если w равна массе
электрона, то эти уравнения, как *т следует, совпадут с
уравнениями для дивергенций в теории Дирака.
3. КОМПОНЕНТЫ ПИОННОГО ПОЛЯ
Определим локальные компоненты пионного поля, т. е.
компоненты по отношению к базису собственной системы для
нуклона, которая задается условием Q0 = 1. С этой целью за-

по
ГЛАВА X
пишем два уравнения Дирака, для протона и нейтрона
соответственно. Введем обозначение
В - В* + В0,
полагая
В* « cos(9/2)ехр [1(1,10)6/2] В = cos(9/2)[pexp(iP)]V^,
В° = - i(ixi0)sin{Q/2)exp[i{ili0)Q/2']B «
* мп(в/2)[рехр(|Э)31/авхрГ- IdiW-jln,
и будем сопоставлять волновую функцию В* протону, а В0
нейтрону.
Из этих определений вытекает, что для протона и нейтрона
собственная плотность вероятности присутствия в точке х
равняется соответственно cos2 (9/2) и sin2 (9/2). Переход от
собственной системы для протона к собственной системе для нейтрона
осуществляется вращением на угол — я/2 вокруг вектора
Полагая еще, что масса протона т(Р) равна m(N)~ 5m,
запишем уравнения Дирака для протона и нейтрона:
Q В+ - [m(JV) ~ 8m] В+y0Y2Yi + еЛВ+72Уь
DB0 -т(^В°у0у2У1.
Сложив эти два уравнения, видим, что волновая функция
нуклона В удовлетворяет уравнению
□ В - [т(ЛГ)В - (5т)В+]уо72у1 +
+ е {cos(9/2)/1 ехр [i (М0)&/2]} By2Yl.
Но, рассматривая это уравнение в начале координат О, можно
отождествить его с локальным уравнением, выведенным из
(75), если считать, что
р£~0, pS = (6m)cos(90/2)sin(e0/2), pi - (5m)cos2(e0/2). (82)
По существу мы убеждаемся в том, что
-(5m)B£y0Y2Yi « - (6m)cos(9o/2)ext>(ia,e0/2)BoYoY2Yi -
* Во (PoYi + P0Y2 4- РоУзК
откуда и выводятся равенства (82) после упрощения, связанного
с четностью В0.

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ НУКЛОНА \ц
Теперь можно дать интерпретацию углу р. Так же, как и в
теории Дирака, легко йроверить, что iB(-т) удовлетворяет
уравнению (75) в каждой точке пространства-времени, если
решением (75) является B(rh). Мы знаем, что в теории Дирака
собственная масса равна m cos р0; следовательно, это верно и для
теории нуклона, поскольку локальное уравнение для нуклона
получабтея в результате сложения двух локальных уравнений
Дирака, в которых параметр р0 принимает одно и то же
значение.
Тем самым р0 — 0 соответствует состоянию с положительной
энергией В(т> 8т), т. е. отвечает частице, в то время как
Ро = п соответствует состоянию с отрицательной энергией
iB(— m, —5m), т. е. отвечает виртуальной частице, если
интегрирования проводятся по положительным объемам, и
античастице при интегрировании по отрицательным объемам.
Определим заряд нуклона <?, который должен выражаться
через волновую функцию протона В+. Положив е = 1, запишем
q0 «(В+В+)о *» cos2 (90/2) = -у (1 + cos90), а затем,
предположив, что фактически в точке О наблюдается один нуклон,
получим в результате, что р0 «= 1, а р0 «0. Таким образом,*
q0 = 0, если 90 == я (Bg = 1, В© = 0), и q0 * 1, если 80 « 0
(В© ■* О, Во — 1), а появление постоянного слагаемого 1/2 в
выражении для q0 отнесем на счет барионного числа, равного
1 для нуклона,
Наконец, из последнего выражения выводим, что
tg(0o/2)-pg/p2>
а
яо~(рЬ)2/Цр2о)г + (рЬ)гЪ
т. е. заряд можно выразить через компоненты пионного поля.
Прибавим к этому еще важный физический аргумент.
Применение локальных уравнений оправдывается таким
экспериментальным фактом: пионные взаимодействия эффективно
проявляются на расстояниях, меньших радиуса Юкавы, так что
взаимодействующие частицы будут локализованы в течение
очень коротких промежутков времени.

П2
ГЛАВА X
4. ДУБЛЕТ S
Применявшееся выше разложение функции В f мло до
некоторой'степени произвольным, и мы с тем же успехом можем
предположить, что
J5° =cos(6/2)exp[/ (Mo) 9/2] В,
В+ = -f(Mo)sin(9/2)exp[f(Mo)9/2]B.
В таком случае заряд станет принимать значения
4o = ±sin2(90/2).
Полученный таким образом дублет частиц назовем Е-частица-
ми. Если заменить в (75) 9 на 9 4- я, то Е будет
удовлетворять этому уравнению. Назовем Е-часгицу «сопряженной»
нуклону. Если 90 — 0, то получается незаряженный барион Е°,
а если 90 = я, получим заряженный барион Е. Дадим
определение странности S-частицы: это целое число S, равное
удвоенной разности зарядов q'0 и q0t т. е.
S = 2(q'0 - q0) - 2[± sin2(0o/2) - cos2(90/2)].
Очевидно, что подходит только выбор знака минус в этой
формуле, так что S = — 2, и заряженным барионом будет Е~.
Как показывает эксперимент, т{Р) < m(N\ и мы сможем
убедиться, что т(Р) соответствует скалярной части кватерниона
ехр[— /Olio) 9/2], тогда как m{N) соответствует его векторной
части. Если руководствоваться таким правилом, то следует
записать
m(S°)<m(S-),
поскольку т(Е°) соответствует скалярной части, a m(S~) —
векторной. Этот результат согласуется с экспериментом.

Глава XI
СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ
Наша классификация основана на рассмотрении троек целых
чисел, которые сопоставляются частицам. Это их электрический
заряд з, принимающий значения — 1, 0, 1, барионное число N,
равное 0 или 1, и странность S. Для каждой частицы с
параметрами (q9 Л/, S) должна существовать античастица (—q% — N, — S).
Масса и спин частиц в нашей классификации не участвуют,
и этим она отличается от возможных более тонких
классификаций, охватывающих, например, Т)-мезон, который у нас
рассматривается как резонансное состояние.
Предлагаемая теория полностью согласуется с идеей считать
волновые функции не только электрона и нуклона, но и любой
стабильной частицы бикватериионами. Однако такая гипотеза
не выступает явно в процессе дальнейшего изложения, потому
что для построения нашей классификации достаточно принять
два следующих принципа:
a) Для каждого целого к > 1 должны существовать либо к
частиц, либо к античастиц, таких, чтобы нашлась их
суперпозиция Eq(k), которая имеет нулевую странность (S = 0).
Наряду со смесью Eq(k) должна существовать сопряженная
смесь ЕЩ'(к) из к частиц, имеющая заряд q', барионное число
N' и странность S', которые удовлетворяют соотношениям
S' = 2{q' -q)+N-&' и N^ N'..
b) Странность S' должна быть отрицательной для частиц,
которые сопряжены частицам, и положительной для тех
частиц, которые сопряжены античастицам.
Подобные условия легко записать и для античастиц,
которые сопряжены либо частицам, либо античастицам, изменив
знаки у всех целочисленных параметров.

114
ГЛАВА X!
1. ТРИПЛЕТЫ
При фиксированных N н S может существовать не более
чем триплет зарядов; следовательно, число к частиц в смеси
Еч(к) может равняться 1, 2, 3. Покажем, что если триплет
£^(3) предполагается нестранным, то он не может быть
барионным. В самом деле, заряды соответствующих смесей
q и q' принимают свои значения в промежутке [—1, 1] и
являются целыми числами, так что q m q\ поскольку на
основании а) разность q' — q должна быть константой, не
зависящей от смеси зарядов. Из этого следует, что если N
равняется 1, то всегда в силу а) должны выполняться условия
АР -h S' в 1 и АГ * 1, а значит, S* « О. Но это невозможно,
потому что сопряженной смеси полагается быть странной
(S' Ф 0), и, следовательно, необходимо, чтобы N ■» 0. Таким
образом, может существовать только один триплет JEa(3)
нестранных частиц, который к тому же оказывается одновременно и
триплетом античастиц, поскольку N « S «■ 0. Отождествим этот
триплет с триплетом пионов П", П°, П+«
Для доказательства существования такого триплета тем не
менее необходимо проверить, что для него можно найти
сопряженный триплет с ненулевой странностью. Поскольку
q — q\ то, согласно а), параметры сопряженного триплета должны
удовлетворять условию JV' + S' «* О. Единственным набором
целых чисел, удовлетворяющих этому уравнению, будет N' ш 1,
S' — -1. Триплет, для которого N'» 1, $'« -1, отождествляем
с тройкой странных барионов £% £°, X**
г дублеты
Прежде всего надо отметить, что дублет (—1, +1) в
действительности является не зарядовым дублетом, а частью триплета
зарядов, потому что в смеси противоположных зарядов
обязательно присутствует и нулевой заряд,
1°. Существует нестранный дублет зарядов (0, 1).
Сначала докажем, что если такой дублет существует, то он
может состоять только из барионов. Действительно, если
предположить, что для него N = 0, то в таком случае будет
существовать дублет античастиц с зарядами (— 1, 0), которые не
являются барионами и не имеют странности. Такой дублет
античастиц является одновременно дублетом частиц, поскольку

СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ ЧАСТИЦ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 115
N*S»0, так что дублет (0, 1) окажется не чем иным, как
частью триплета, который мы ранее отождествили с триплетом
пионов. Следовательно, условие N = 1 необходимо. Итак, дублет
(О, 1) существует, если существует его сопряженный дублет.
Теперь покажем, что если такой сопряженный дублет
найдется, то он будет состоять из зарядов (—1, 0). В силу а) он
должен иметь N' = 1, так как N — 1. Кроме того, если
предположить, что q' = q% то получилось бы, что S' = 0, но это не
согласуется с тем, что дублет сопряженный и, следовательно,
странный. Остается в качестве решения единственное: q' = — q =
*■ — 1. Отсюда S'— —/.
Значит, нестранный дублет (0,1) существует, и мы
отождествляем его с нуклоном, в то время как сопряженный
дублет отождествляется с Е-частицами.
2°. Не существует нестранного дублета (—1,0).
Рассуждая, как в пункте 1°, мы убедимся, что если 5ы такой
дублет существовал, то он состоял бы из барионов. Покажем,
что в таком случае не может существовать сопряженный
дублет, состоящий из частиц. В самом деле, для него N' было бы
равно 1 в соответствии с а). Так как равенство q — q' неприем*
лемо из-за того, что S" тогда будет равняться нулю, то
пришлось бы потребовать, чтобы q* —' q = 1, а это приводит к тому,
что S'«- 2 в противоречии с Ь). Таким образом, дублет
нестранных частиц (—1,0) не может существовать, раз для него нет
сопряженного дублета.
3°. Следовательно, не существует дублета античастиц (—1,0),
состоящего из нестранных антибарионов. Сопряженный с ним
дублет частиц должен был бы удовлетворять условию
N' 4- У ш — 1, если q « q'. Тогда N' « 0 и соответствующее
значение S*« — 1, равно как и пара чисел N'«1, S' ——2,
не подходят на основании Ъ\ Остается предположить, что
q' — q « 1, следовательно, в силу а) ЛГ' -4- S' ** 1, и тогда
единственно возможный вариант: N'«=0, У «1. «Такой дублет
отождествим с дублетом мезонов, и входящие в него частицы
обозначим К0 и #С+, потому что q' = g+ 1, т. е. это дублет
(0,1).
3. СИНГЛЕТЫ
Будем приписывать значения N и S не только барионам,
но и лептонам и фотону. Однако при этом обобщении N и S

116
ГЛАВА XI
не обязаны иметь прежний физический смысл, и в новых
ситуациях мы будем числа N и S считать просто
математическими параметрами. Пептоном будем называть любой
зарядовый синглет, которому соответствует индекс N « 0.
Предположим, что все нестранные синглеты являются .пептонами.
Заряженная частица не может составлять синглет, потому что,
согласно теории Дирака, каждому заряду можно сопоставить
противоположный заряд, приписываемый античастице. Будем
считать, что слияние таких противоположных зарядов
возможно только при S — 0. Следовательно, триплет зарядов
отождествляется с триплетом электрон, фотон и позитрон. Этот
триплет отличается от триплета пионов, в котором
нейтральная частица в отличие от фотона не получается в результате
слияния заряженных. Заметим, что условие 5 = 0 для слияния
придает некоторый физический смысл странности лептонов.
Таким образом, остается рассмотреть синглет
<?«0, N = 0, S«0,
который назовем нейтрино; он отличается от фотона,
поскольку не получается в результате слияния. Обсудим
возможность существования для него сопряженных синглетов.
1°. q' » 0, следовательно, N' + S' » 0, откуда единственным
решением является N' « 1, S' « —1. Таким образом, получается
единственная частица, барион Л°.
2°. q' « — 1 и, следовательно, N' + S' ** —2. Возможны два
случая. В первом N' « 1, S' = — 3 и получается частица Sl~. Во
втором N' = 0 и S'=s—2 и получается отрицательный мюон
ц~, который является лептоном, так как N' «* 0.
3°. q' =* 1» значит, N' -f S' ** 2 в силу а), но это свойство
для всякой частицы противоречило бы Ь).
Подводя итоги, мы констатируем, что классификация
охватывает все стабильные частицы, но не включает резонансы.
Приведенные результаты подтверждают важность понятия
сопряженной частицы и справедливость высказанных принципов а) и Ь),
которые подтверждаются известными нам экспериментальными
данными.
4. ИЗОСПИН
Вращение (а, 6) задает направление вектора изоспина, но,
вообще говоря, не фиксирует его длину /. Измеряя ее в еди-

СУЩЕСТВОВАНИЕ СТАБИЛЬНЫХ ЧАСТИЦ и ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ 117
ницах h/2n, полагаем по определению
I-q-l-N-^S. (83)
Тем самым в нашей теории гарантируется выполнение формулы
Гелл-Манна и Нишиджимы. Эта формула представляет собой
равенство (83), применяемое к адронам, т. е. к барионам и
мезона^, однако мы намерены распространить ее и на лептоны
и фотон. Для каждого /с-плета {к » 1, 2, 3) частиц числа N
и S известны, так что / можно вычислить.
Отметим, что одинаковый изоспин имеют те и только те
пары мультиплетов, которые сопряжены друг другу согласно а).
Напомним еще раз, что изовекторы были выражены в алгебре
пространства-времени через векторы в собственной системе
частицы.
5* РАЗНОСТИ МАСС ВНУТРИ МУЛЬТИПЛЕТА
Применяя локальное уравнение для нуклона и классификацию
частиц, которая подсказывается этим уравнением, автору
удалось рассчитать разности масс между заряженными и
нейтральными частицами, входящими в один мультиплет; при этом
получалось хорошее согласие с экспериментальными данными1).
Предположив, что радиус пионного взаимодействия г совпадает
с радиусом Юкавы, который берется равным
0,81(й/2я)/фо
(|Хо — масса заряженных пионов), получаем для нуклона
разность масс, равную по абсолютной величине ацо/0,81, где
а — постоянная тонкой структуры, т. е. разность равна 9- 10~3m>-
Для мультиплетов гиперонов Е и Z и для мезонных
мультиплетов (пионы и каоны) поле пионе» заменяется полем
каонов, так что вместо ji0 берется величина 3,5 ц0» масса заря*
женных каонов. В результате для разностей масс получается
значение 3,15i(T>m>.
Необходимо еще определить знаки этих разностей, и для этого
используется приведенная классификация частиц в сочетании с
правилом знаков, утверждающим, что разности масс для
сопряженных дублетов отличаются знаком.
Все эти результаты хорошо согласуются с экспериментом.
" С. Я. Acad. Sc. Paris, ser. A, 282 (1976), 349, 665.

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Введение 7
Глава I. Алгебра Клиффорда . . , . 8
Глава II. Внутренние и внешние произведения 12
Глава III. Алгебра пространства 22
Глава IV. Алгебра пространства-времени ......... 38
Глава V. Электродинамика и фотон . . . * S3
Глава VI. Преобразование Лоренца 58
Глава VII. Спиноры 63
Глава VIII. Теория Дирака . . . , 67
Глава IX. Атом водорода •. 93
Глава X. Релятивистская теория нуклона ........ 105
Глава XI. Существование стабильных частиц и их
классификация 113
Список литературы 118

Список литературы
J. Gibbs, The scientific Papers of J. W. Gibbs, New York, Dover,
1961.
H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre von 1862.
W. K. Clifford, Amer. J. of Math., 1878.
A. Delachet, Le calcul vectorial, Presses Universitaires de France,
«Que sais-je?», n° 418.
M. Rteaz, Clifford Numbers and Spinors, 1958.
F. Gursey, Rev. Fac. Sci. Istanbul, 1956.
D. Hestenes, Space —Time Algebra, New York, Gordon & Breach,
1966.
D. Hestenes, J. of Math. Physics, New York, 1967, vol. 8, ne 4; et
1975, vol. 16, ne 3.
P. QuiHchini, С R. Acad. Sc. Paris, 1971, t. 273, serie B, p. 829.
R Boudet» С R. Acad. Sc. Paris, 1971, t. 272, serie A, p. 767.
G. Casanova, С R. Acad. Sc Paris (см. подстрочные
примечания).
R. Daudel, Les fondements de la chimie theorique, Paris» G. Villars,
1956.
L. de Broglie, Introduction a la nouvelle th&orie des particules, Paris,
G. Villars, 1961.
T. Kahan, Les particules etementaires, Presses Universitaires de France,
«Que sais-je?», n° 1293.
E. U. Condon et G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra,
Cambridge University Press, 1970.

Г. КАЗАНОВА
ОТ
АЛГЕБРЫ
КЛИФФОРДА
ДО
АТОМА ВОДОРОДА
/. Алгебра Клиффорда
II. Внутренние и внешние
произведения
III. Алгебра пространства
IV. Алгебра пространства—времени
V. Электродинамика и фотон
VI. Преобразование Лоренца
VII. Спиноры
VIII. Теория Дирака
IX. Атом водорода
X. Релятивистская теория нуклона
XI. Существование стабильных частиц
и их классификация
«ПЛАТОН»