УЧЕБНИКИ
? j УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
И. А. КАРАСЕВ
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ,
ИЗУЧАЕМЫЕ
НА ПЕРЕГИБАНИИ
ЛИСТКА БУМАГИ
fe’i ।
TJ
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ 1 и И СТУПЕНИ
р|	Sl3'(077
£	^А. КАРАСЕВ Ц-gW
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
ИЗУЧАЕМЫЕ
НА ПЕРЕГИБАНИИ
ЛИСТКА БУМАГИ
(1—5 тыс.)
Научно-Педагогической Секцией Государствен-
него Ученого Совета допущено как пособие для,
преподавателей

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТЗО
МОСКВА	1923	ПЕТРОГРАД
Гиз № 3989. Главлит. № 8247. Москва. Напеч. 5.000 экз.
„Мосполиграф". 1-я Образцовая типография, Пятницкая, 7].
I.
На вопрос: „Когда следует начинать обучение
геометрии?"—ответ должен быть: „С первых лет
жизни ребенка". Ребенок в первые же годы жизни
в играх усваивает элементы арифметики, геометрии,
физики: он проходит нумерацию в счетных играх,
арифметику целых чисел и дробей — при делении
орехов и яблок, геометрию и физику в городках,
лапте, играх в мяч и т. п. Нередко можно на-
блюдать,- как ребенок долго' j упорно повторяет
одно и то же движение, усваивая опытным путем
то, что мы называем законохм природы. В школь-
ный возраст он прихддит с громадным запасом
впечатлений от внешнего мира, которые и явля-
ются истинным знанием его, и дело школы лишь
научить ребенка систематизировать их и делать
из них выводы, подводя основу закона под много-
образие явлений жизни.
Эта работа не единообразна на всех ступенях
детского возраста, и те требования знания, пони-
мания и усвоения законов природы, какие мы
предъявляем детям, не одинаковы для различного
возраста.
Можно считать, что в возрасте до 5 лет ребенок
практически усваивает закон о прямой линии, кмс
1*
— 4 —
кратчайшем расстоянии между двумя точками,
туго натягивая веревку, прицеливаясь камнем в
цель или стреляя из лука, усваивает форму и
свойства круга, вращая вокруг себя камень на
веревочке или описывая круги на земле остреем
палки. В возрасте 9 — 12 лет он уже в состоянии
охватить связь между геометрическими форма-
ми и в многообразии явлений видеть закон, объ-
единяющий их; он уже может делать обобщения
однородных явлений. Но более далекое отвлече-
ние от реальной жизни ему не свойственно, по-
требности в логическом построении научной си-
стемы у него нет. Значение ее он может оценить
шшь позднее, в юношеском возрасте.
В дошкольном возрасте ребенок свободно об-
ходится без помощи взрослых и без помощи взро-
слых прекрасно учится в своих играх, но позднее
эта помощь становится необходимой. Важно, чтобы
она соответствовала его потребностям и его спо-
собностям; важно не спрашивать с него того, чего
он не может дать и не давать ему того, чего он
не может усвоить.
В частности, по отношению к геометрии уже
определенно установлено, что в детском возрасте,
возрасте учащихся в I ступени строить какую-ли-
бо систему геометрии на аксиоматике или на
постулатах, путем отвлеченно-логических доказа-
тельств — педагогически неправильно.
Всего лучше строить курс так, чтобы закон
вытекал из опыта, и справедливость закона под-
тверждалась возможностью многократного повторе-
ния опыта, дающего одинаковые результаты.
Постановка „опытной“ части в пропедевтиче-
ском курсе геометрии и составляет главное со-
держание его и может быть очень разнообразна.
Обычно — это образование геометрических форм
путем построения их циркулем и линейкой. Не-
редко сюда добавляются угольник и транспортир.
II.
Эта книжка представляет собой попытку ввести
в пропедевтический курс геометрии, в курс гео-
метрии шкот I ступени метод построения геоме-
трических фигур при помощи перегибания листка
бумаги. Автор не задавался здесь целью дать за-
конченный курс геометрии хотя бы только для
начальной школы. Такой курс должен быть по-
строен самим преподавателем из элементов по
возможности разнообразных; строить весь курс
на одном перегибании бумаги будет педагоги-
ческой ошибкой, как, впрочем, и основывать его
исключительно на построении циркулем и линей-
кой. Учитель геометрии в начальной школе должен
использовать по возможности все методы создания
и изучения геометрических форм; и чем разно-
образнее, с одной стороны, будут методы, и чем
практичнее они будут, чем теснее они будут свя-
заны с жизнью — с другой, тем лучше будут ре-
зультаты работы.
Таким образом, метод перегибания бумаги вхо-
дит как часть в общий комплекс геометрической
работы.
— 6 —
Педагогическая ценность его в том, что он
открывает сравнительно простой путь введения
приемов лабораторного метода в геометрию,- кроме
того он выводит ученика при решении практиче-
ских вопросов, где требуется помощь геометрии
из привычного (и кажущегося непереходимым)
круга обычных чертежных приемов, требующих
применения циркуля и линейки.
Этот метод представляет интерес и при инди-
видуальной работе по геометрии — работе с одним
учеником или с небольшой группой учеников:
здесь явится возможность проверять точность и
тщательность построения. Кроме того, условия
индивидуальной работы дадут место более углу-
бленному применению лабораторного метода, ме-
тода исследования, что не всегда возможно в
школьном деле, где учитель тесно связан време-
нем и классными условиями работы.
Метод перегибания сыграет известную роль и
в систематическом курсе, как подготовка к дока-
зательству теорем, давая опыт, который требуется
объяснить, и объяснением которого явится дока-
зательство. При этом учитель будет исходить от
явления (правда подготовленного) к закону, и
ученику дается ценная и плодотворная работа —
подметить главные детали опыта и ив них вывести
закон и, наконец, его точно формулировать. Таким
образом и внимание и любознательность ученика
будут возбуждены и „доказательство" уже не
будет навязанным, а ответит возникшей в уме
его потребности объяснения открытого закона.
III.
фактические причины, вызвавшие появление
этой книжки, заключаются в том, что в русской,
особенно сельской школе испытывается острая
нужда в самых необходимых учебных пособиях,
в частности в циркуле, линейке, транспортире.
А между тем без того, чтобы в руках каждою
ученика были эти предметы, невозможно прово-
дить начального курса геометрии. Таким образом
фактически в наших, особенно сельских школах
I ступени геометрии почти не существует, и со-
мнительно, чтобы ее можно было скоро ввести
из-за невозможности ввести в школу миллионы
циркулей. Автору, работавшему за последние го-
ды на краткосрочных учительских курсах, путем
анкет среди учительства, хорошо известно то
тяжелое положение, в каком находится паша
('особенно сельская) школа, по отношению к школь-
ным пособиям, и одним из стимулов, заставляв-
ших работать его над этой книжкой, было желание
дать начальному учителю в руки метод, заменя-
ющий хотя бы отчасти, хотя бы несовершенно,
построение циркулем и линейкой.
JV.
Метод перегибания листка бумаги с целью
образования геометрических форм не нов. Мы
имеем—и уже переведенными на русский язык—
книгу индуса Роу Сундара „Геометрические упраж-
нения с листком бумаги" и книгу Г. и Д. Юнг
«Первая книжка по геометрии11 и др.
— 8
Отличие предлагаемого метода от метода Роу
Сундара заключается в том, что Р. Сундара пред-
полагает у своих читателей знание начал алгебры
и геометрии, и, таким образом, его книжка может
быть остроумным и свежим дополнением к курсу
математики школы II ступени.
Автор настоящей книжки идею перегибания
листка бумаги кладет в основу элементарного
курса геометрии для школ I ступени, устанавли-
вая, конечно, в соответствии с- этим более элемен-
тарную форму изложения и выбирая простейший
конструктивный материал.
Р. Сундара стесняет себя, сам ставя свое за-
дачу создавать геометрические формы, исходя
из квадратного лрстка бумаги и только сгиианием.
Предварительно, однако, он выясняет, каким обра-
зом этот квадратный листок может быть получен
перегибанием из листка бумаги произвольной фор-
мы. Но можно (и для облегчения приемов работы
следует) игги далее: выяснив, каким образом мож-
но получить сгибанием из квадратного листка
бумаги правильный треугольник, можно его вы-
резать и вывести ряд геометрических свойств
путем перегибания уже треугольника, то же самое
с трапецией, параллелограммом, кругом. Благо-
даря этому, метод, правда, теряет в строгости, но
зато достигается большая легкость образования
геометрических форм и выяснения их свойств.
От метода Юнгов предлагаемый метод отли-
чается, во-1-х, тем, что в нем нет параллельного
изучения планиметрических и стереометрических
форм, во-2 х, с целью возможно легкого осу-
— 9
ществления геометрической формы допускается
сгибание уже вырезанных геометрических фигур;
в 3-х,— с практическими целями — измерение от-
резков и затем углов вводится в начале курса.
V.
Для основной работы следует дать детям бу-
магу, лучше всего глянцевитую, не шероховатую,
из которой они должны перегибанием и разрезы-
ванием наготовить себе прямоугольные листки
одного формата, напр., в восьмушку листа писчей
бумаги. Эти листки, по мере использования их,
должны быть перенумерованы, озаглавлены и в
порядке сложены в папку, изготовленную хотя бы
из обложки старой тетради. Это необходимо для
того, чтобы пользоваться предыдущими прора-
ботанными уже задачами для решения новых.
Руководитель должен достать миллиметровой
бумаги и разрезать ее на сантиметровые линеечки
для измерения отрезков и разметить их на см.
Если этого сделать невозможно, то придется раз-
резать плотную 'бумагу на прямолинейные отрезки
и самому тщательно нанести деления.
Транспортир следует также приготовлять из
более плотной бумаги.
Перегибание следует делать не иначе, как по-
ложив лист на гладкую поверхность стола; сле-
дует остерегаться мять листок. Раньше проведе-
ния прямой линии следует нажимом мякоти
пальца наметить крайние точки, между которыми
должна проходить прямая. Линии перегиба еле-
— 10 —
дует проводить сначала слегка мякотью пальца,
а затем делать их более резкими краем ногтя или
ножом.
Если явится необходимость дать ученикам
задачу с тождественными данными, можно посту-
пить таким образом: взять стопку листков, тща-
тельно их сложить; на верхнем начертить фигуру,
положить стопку на стол, крепко прижимая ее к
сто ту, и, не сдвигая листки, проколоть всю стопку
в вершинах фигуры иголкой перпендикулярно к
поверхности листка. Таким образом получим ряд
листков с равными фигурами. Раздавая листки
ученикам и предлагая им соединить точки прокола
прямыми, учитель может ожидать от учеников
(приблизительно) одинакового числового резуль-
тата, полученного, вообще говоря, различными
способами, и это последнее обстоятельство очень
ценно.
VI.
Автор излагает геометрическое содержание в
обычном порядке, не придерживаясь общеприня-
того в настоящее время в пропедевтических кур-
сах обычая начинать с элементов стереометрии,
по следующим соображениям: перегибаемый ли-
сток бумаги сам уже есть некоторое тело, на ко-
тором путем перегибания мы обраеуем прямые и
комбинации прямых. Таким образом, ученику нет
необходимости абстрагировать начерченную пря-
мую: для него прямая есть результат пересечения
плоскостей, граница плоскости. В то же время сам
листок бумаги, перегнутый пополам, есть тело
11 —
более простое, чем, напр., куб с целым комплексом
ребер, граней, трехгранных, двухгранных и плоских
углов. Воображению ребенка ничего не будет
стоить выделить на этом теле прямую, как ребро
перегиба, угол, как комбинацию двух таких ребер
и т. д. Поэтому особенной необходимости вводить
стереометрию в данный небольшой курс не было.
С другой стороны, и практические соображения
оправдывали этот план: повидимому, большинство
учителей школ I ступени не настолько свободно
распоряжаются геометрическим материалом, чтобы
совсем отрешиться от обычного (Эвклидовского)
плана преподавания геометрии.

Прямая линия.
1.	Возьмем листок бумаги и перегнем его
(рис. 1), плотно приложив одну половину к дру-
гой; линия сгиба даст нам прямую линию; длина
ее зависит только от куска бумаги.
2.	Поставив иа ней точку А, мы разделим ее
на 2 луча, ид}щпе в разные стороны от А.
Рис. 1. Прямая линия. Луч. Отрезок.
— 14 —
3.	Поставив на той же прямой вторую точ-
ку, В. мы разделим прямую на отрезок АВ и
два луча по обе стороны отрезка АВ. Отрезок
имеет 2 конца, луч имеет только начальную
точку, конечная точка его может быть где
угодно.
4.	Измерим отрезок АВ линейкой или полоской
бумаги, разделенной на сантиметры и милли-
метры. Выразим его длину в см. и десятых до-
лях см.
5.	Отложим на прямой отрезки данной длины.
6.	Разделим отрезок АВ пополам, сложив бу-
магу по прямой АВ и перегнув затем ее так, что-
бы точки А и В совпали.
Угол.
7.	Через точку А на краю листа бумаги сде-
лаем два перегиба АВ и АС, получим угол. Угол
образован двумя лучами, выходящими из одной
ТОЧКИ (рис. 2).
Точка А — вершина ума, лучи АС и АВ, вы-
ходящие из нее — стороны угла.
8.	Взяв двойной листок бумаги и образовав
угол, как в п. 7, разнимем листки. Полученные
углы равны, так как они были наложены друг на
друга так, что их вершины и стороны сливались,
совпадали друг с другом. Повторив наложение
еще раз, можно убедиться в их равенстве. Вообще
будем называть равными фигурами такие, кото-
рые можно наложить друг на друга так, что они
совпадут.
— 15 —
Рис 2. Угод
9.	Взяв две узкие полоски, бумаги, сколов
по одному концу их вместе (рис. 3), будем по-
ворачивать одну из них около своего конца.
Тогда угол между полосками будет" увеличи-
ваться. Если 'полоску вращать в обратную сто-
рону, то угол будет уменьшаться. Угол таким
образом определяет наклон одной прямой линии к
другой.
10.	Разрежем листок по сгибам (1) и (2) (рис. 4).
Составим два угла из разрезанных, хотя бы I и
III—вершину с вершиной п одну сторону с одной
стороной так, чтобы углы не покрывали друг
Друга. Тогда 2 угла сольются в один угол. Это
Рис. 3. Раздвижной угол.
'Рис. 4.
сумма их. Если же мы меньший угол наложам
на больший—вершину с вершиной, а одну сторону
с одной стороной так, чтобы одни угол покрывал
другой, то непокрытая часть образует разность
двух углов.
)	11. Складывая *2, з, 4 у гла, равных углу I
Рис. 5. Умножение углов.
12.	Образуем угол А (рпс. 6) и согнем его по-
полам так, чтобы линия сгиба- AD проходи^'-**
через А, а АВ легла бы на АС (сгибать надГи
сторону, противоположную сгабам АВ л -л
Тогда угол А разделится. мюрар. Прямая/
биссектриса угла A RS. Г Тй-^смад. п-Т^ Е Г “
П. А. Карясев. Элементы геометрии . Н w О Л vf^\ '"Jr
Hapi t ,k(ca РСФСР Та.
I БЖ.  1 Try A I
П. Д. Карясев. Элементы геометрии
— 18 —
Рис. 6. Деление угла.
13.	Составим угол из двух полосок АВ и АС,
как в п. 9. Будем поворачивать полоску АС
(рис. 3) по стрелке до такого положения, чтобы
она вытянулась с полоской АВ в одну прямую
линию (рис. 7) Две эти полоски образуют угол
развернутый. При этом два луча, образующие раз-
Рис. 7. Развернутый угол.
— 19 —
вернутый угол, выходят из вершины в проти-
воположные стороны и образуют одну прямую
1ИНИЮ.
Все развернутые углы равны: их можно нало-
жить так, чтобы они совпали.'
14.	Разделив развернутый угол пополам пере-
гибанием, получим (рис. 8) прямой угол. Так как
Рис. 8. Прямой угол.
все развернутые углы равны, то и половинки
их — прямые, углы тоже равны между собой.
Заметим себе способ образования прямого уг-
ла двумя перегибами листка, при чем второй раз
складываем листок так, чтобы одна половина
первого сгиба совпала с другой.
3*
— 20 —
15.	Согнув листик по сгибам (1), (2), (3) (рис. 9),
мьт получаем прямые углы. ^_АВС и ^/АВЕ.
< DBC больше прямого — тупой угол, / DBE мень-
ше прямого — острый гугол. Острые углы могут
быть различны по своей величине, тупые—тоже,
тогда как все прямые углы равны между собой.
Рис. 9. Прямой, тупей и острый углы.
16.	Прямая АВ, образующая с СЕ (рис. 8)
прямые углы (или один прямой угол) называется ’
перпендикуляром к СЕ.
Перпендикулярность прямых АВ и СЕ изобра-
жается так: АВ | СЕ.
Если вторая прямая должна проходить | к
первой через данную точку А, лежащую на первой
— 21 —
прямой, то это задание выражают словами восста-
новить _1_-/?, если же _1_~Р проходит через лежащую
вне первой прямой, то задачу выражают словами:
опустить JL-p“ (рис. 10).
17.	Сложим листок сначала по (1), а потом по
(2) (рис. 11); образовалось 4 угла с одной и той-
Рис. 10. Вэсегввление и опускание L-ra-
же вершиной. (Равны ли углы соседние, наир..
1 и II. II и III, или нет?)
Ухлы 1 и II имеют одщ и ту же вершину О.,
одну и ту же сторону АО, а другие их стороны
OD и ОВ вытянуты в одну прямую линию. Такие
углы называют смежными углами. На рис. 11 це-
лых четыре пары смежных у> юв (найдите их).
Рис. 11. Смежные углы.
Рис. 12. Прямые углы.
— 23 —
18.	Можно сложить бумагу так, чтобы образо-
вались равные смежные углы. Для этого, пере-
гнув листок по сгибу (1), надо вторично сложить
его так, чтобы одна половинка его АО легла на
другую половинку ОВ (рис. 12). Расправив ли-
сток и отметив углы (I, II, III, IV) и снова сло-
Рис. 13. Сумма смежных углов.
жив по сгибам листок, мы ьидим, что все 4 угла
совпали. Мы уже знаем, что такие углы называют
прямыми углами. Когда смежные углы равны меж-
ду собой, то они прямые.
19.	Перегнем листок бумаги по сгибам (1) (2)
(3) (рис. 13). Получим два смежных угла: / ADC
— 24 —
и / CDB. Приложив к углу BI'C угол EDC (часть
угла АВС), получим прямой угол ЕВВ, другая
часть угла ADE тоже прямой угол. Сумма <•:неж-
ны.*' умов равна S <1.
Рис. 14. Углы образованные зршмн, выходящими из
одной точки.
I
20.	Сложив листок несколько раз так, чтобы
сгибы проходили через одну и ту же точку О, мы
получим несколько углов, образованных лучами,
«ы'лодящимг^ из одной точки (рис. 14). Проведя
— 25 —
два _L' ных луча. мы видим, что сумма таких,
углов равна 4 щ,ямым углам.
21.	Рассматривая (рис. 15), мы отметим 22
и ^ZCOD, которые имеют одну и ту же вершину
<», и, продолжив стороны одного из них, мы ПО-
Рис. 15. Вертикальные углы.
лучим стороны другого. Такие углы называют
вертикальными. Складывая листок по сгибу 3,
деля ^/АОС пополам, мы видим, что ^_ДОВ со
впадает с /СОВ. Отсюда следует, что вертикаль-
— 26 —
ные углы равны между собой. (Наложение удается,
если длина сторон одного угла заметно отли-
чается от длины сторон другого угла).
Симметрия.
22.	Сложим листок пополам. Проколем его в
сложенном виде в каком-нибудь месте булавкой.
Расправив его, мы получим линию сгиба и по
обе стороны ее две точки прокола А и В (рис. 16).
Эти две точки расположены симметрично по от-
ношению к прямой CD; CD называют осью сим-
метрии по отношению к точкам А и В.
Рис. 16. Ось симметрии. Симметричные точки.
~ 27 —
Рис. 17. Симметричные отрезки.
Снова складывая листок, обратим внимание на
то, что симметричные точки, при перегибании
листка по оси симметрии, совпадают.
23.	Соединим теперь на предыдущей модели
симметричные точки А и В прямою АВ. Она
пересечет ось симметрии в точке Е. Не трудно
убедиться перегибанием, что:
1. Прямая, соединяющая симметричные точки,
перпендикулярна к оси симметрии.
2. Симметричные точки находятся на одном и
и том же перпендикуляре к оси симметрии на
равном расстоянии от нее.
— 28 -
24.	Сложим листок пополам и проколем его
в двух точках Л и В (рис. 17). Расправив листок и со-
единив точки А и В прямой АВ. точки А,и В, пря-
мой At Bj, мы получим два отрезка АВ и А, В,;
каждый из них представляет собой словно отра-
жение другого в зеркале, помещенном на оси
Рис. 18.
симметрии. Проведя в любой точке <\ оси сим-
метрии 1-р и проколов D п Dj точки пересече-
ний _L-ра о прямыми АВ и А3 Вр мы, складывая
листок по оси симметрии, увидим, что оба про-
кола В п D, совпадут и будут просвечивать.
Значит, любая точка отрезка АВ имеет себе сим-
метричную на отрезке Aj Вг
— 29 —
J (ля тиго чтобы два отрезка были симметричны,
щстаточно, чтобы две каких-нибудь их точки были
симметричны. Перегните листок с симметричными
отрезками ио оси симметрии и посмотрите на свет,
вы увидите, что симметричные отрезки при пере-
гибании совпадают, они равны друг другу.
25.	Начертим отрезок чернилами и, не давая
им высохнуть, перегнем листок по какой-нибудь
прямой. Какой отрезок при этом отпечатается?
Покажите, проводя | из любой точки данного
отрезка на линию перегиба и продолжая его до
пересечения с отпечатком, что перпендикуляр со-
единит симметричные точки.
26.	Перегнув угол так, чтобы стороны его АВ
и ВС совпали, мы получим биссектрису его BL),
которая будет осью сичиетргги дня нашего угла
(рис. 18).
Прямоугольник.
27.	- Проведем прямую 1 (рис. 19.) и вюсгадо-
вим к ней два _[_-ра: 2 и з. Проведем к одному
из них новый _L-p: 4. Тогда эти четыре прямые
образуют прямоугольна!: ABCD. Вырежем этот прямо-
угольник .Все углы его прямые и равны между со-
бой. Перегибанием можно убедиться, что противо-
положные стороны его равны между собой (рис. 20).
Проведем прямую АС, соединяющую вершины
тежащих друг против друга углов. Она называется
диагональю прямоугольника.
Разрезывая прямоугольник по диагонали и
наклашвая /\ АВГ> на Л ВВС, убедимся, что эти
Рис. 19. Образование прямоугольника.
Рис. 20.
— 31
Д- ки равны между собой. Проведя вторую диаго-
наль BD, можно перегибанием убедиться в том, что
диагонали пр-ка делят друг друга пополам,
и что противоположные ДД- ки, получаемые при
этом, равны.
Главный признак прямоугольника: стороны его
перпендикулярны друг к другу.
Рис. 21.
28. Сложим прямоугольник пополам (рис. 21),
накладывая друг на друга противоположные сто-
роны. Тогда вся половина прямоугольника AEFB
ляжет на другую EDCF. Линию перегиба EF, по
которой фигура может быть сложена пополам, на-
зывают осью симметрии. У прямоугольника две
— 32 —
Pnc. TL
оси симметрии, соединяющие середины пршиво-
положных сторон.
Пэ скольким прямым пр-к можно разрезать
пополам- Отв.-по множеству прямых.
29. Перегибая прямоугольный листок бумаги
по ВО так, чтобы ВО совпали с А.В, легко полу-
чить из него квадрат ABCD (рис. 22). Это тот
же прямоугольник, только все четыре стороны его
равны.
— 33 —
Складыванием листка можно убедиться, что
а) все четыре стороны квадрата равны;
б)	диагональ делит квадрат пополам;
в)	диагонали делятся взаимно пополам и друг
к ДРУГУ ±-ны;
г)	диагональ делит угол квадрата пополам;
д)	две диагонали делят квадрат на 4 равных
Л- ка;
е)	квадрат имеет 4 оси симметрии.
п. A- Jfapacor. Элементы геометрии-
3
Круг.
30.	Положим бумажную полоску на бумагу,
один конец ее вместе с бумагой приколем булав-
кой к столу, а с другой стороны в полоске сде-
лаем отверстие, куда вставим конец остро очинен-
ного карандаша. Поворачивая листок бумаги под
полоской и прижимая к нему карандаш, мы уви-
дим, как карандаш будет чертить кривую, это —
окружность. Сделав полный оборот, мы увидим,
как окружность замкнется, ее конец сойдется с
началом. Точка прокола посредине — О — центр-
Соединив любую точку окружности с центром,
получим радиус. Из черчения окружности ясно,
что все радиусы окружности равны.
31.	Перегнем кружок как-нибудь по прямой
(рис. 23), прямая перегиба АВ—хорда J). Хорда,
проходящая через центр ВС—диаметр, он равен
двум радиусам, Перегнув кружок по диаметру,
мы увидим, что обе половинки окружности совпа-
дут: диаметр делит окружность пополам.
32.	Прямая, по которой фигура может быть
сложена пополам, есть ось симметрии этой фи-
гуры. Поэтому диаметр есть ось симметрии круга.
') Хорда делит окружное! ь на две неравные дуги.
— 35
Рис. 23. Диаметр. Хор (а.
ак как круг можно перегнуть пополам по лю-
бому диаметру, то hpyi имеет множество осей сим-
метрии.
33.	Так как каждый диаметр проходит через
центр, то легко найти центр бумажного кружка:
надо перегнуть его сначала по одному диаметру,
питом по другому Точка пересечения диаметров
и есть центр круга. 
34.	Начертим и вырежем круг. Сложим круг
ио диаметру, перегнем его в сложенном виде по
3*
— 36 —
какой-нибудь хорде АВ. Расправив круг (рис. 21),
получим две равные хорды А В и АЪ'. Снова скла-
дываем его по линиям сгиба, обратим внимание
на то, что равные хорды стягивают (точно струна
стягивает лук) равные дуги.
Если взять хорду больше, то она стянет боль-
шую дугу (убедитесь в этом перегибанием).
35.	Сложив круг пополам и еще пополам,
получим четверть круга или квадрант. Пере-
гнем сложенный вчетверо круг по прямой BD I к
РиС- 24. Равный хорды.
37 —
Рис. 25. Равные хорды равно удалены от центра.
радиусу. Расправив круг, получим две равные
хорды АВ и CD (рис. 25.) Снова складывая кру-
жок по сгибам, обратим внимание на то, что
равные хорды находятся на одинаковом расстоянии
от центра.
36.	Если сложенный по диаметру круг пере-
гнуть по сгибам, _1_-ным к диаметру так, чтобы
хорды получились неравные (рис. 26), то, распра-
вив круг, снова складывая его и сравнивая нало-
- зё
жением расстояния АО и ОС, можем заключить,
что (рис. 27) из двух неравных хорд большая бли-
же К ЦРН1ИрЦ.
37.	Складывая модель (рис. 26), мы можем вы-
вести еще некоторые заключения:
1. Хорды ВВ’ и DD' перпендикулярны к диаметру:
при сгибании, половинка хорды АВ совпадает с
АВ3, а дуга КВ с
дугой КВр следова-
тельно, диаметр,пер-
пендикулярный к хор-
де, делит как xopty,
так и стягиваемую
хордой дугу ггопо-
лам.
38. Хорды BBj и
T)D, параллельны,
так как они перпен-
дикулярны к одному
л тому же диаметру.
Дуги BD и BjDj при
перегибании совпа-
дают; поэтому ду-
Рис. 26 Неравные хорды.
ги, заключенные ме-
жду || - ными хордами, равны между собой и сим-
метрично расположены по отношению к диамет-
ру KL.
39. Начертим на листке бумаги окружность.
Передвигая натянутую нитку так, чтобы она пере-
секала окружность, можно заметить, что:
1.	Прямая (она называется секущей пересекает
окружность в двух точках.
— 89 —
Гпс. 27. Большая хорда ближе к центру.
2.	По мере удаления прямой от центра, точки
пересечения сближаются.
3.	Отодвигая нитку все дальше от центра, мы
наконец увидим, что две точки пересечения сли-
лись в одну точку.
Тогда прямая будет касаться окружности и
будет касательной.
40 Вырежем из бумаги кружок (рис. 28) и
перегнем его по нескольким диаметрам, растра
вим его тщательно и сделаем плоским. Образуем
— 40 —
Рис. 28.
на бумаге перегибанием прямую и приложим наш
кружок так, чтобы он касался этой прямой. Про-
колем его в центре булавкой. Вращая кружок
около центра, обратим внимание на то, под каким
углом к касательной подходят радиусы к точке
касания. Пока В и С не подошли к ней, углы эти
острые, когда же В,С и т. д. совпадают с точкой
касания, углы становятся прямыми. Значит, каса
тельная _L- на радиусу, проведенному в точку ка-
сания
— 41 —
Измерение углов.
41. Подобно тому как длина отрезка измеряется
отрезком, время — временем, вес — весом, так и
угол измеряется углом. За единицу меры угла
принимают прямой угол, так как все прямые углы
дипаковы. Но прямой угол слишком крупная
мера, поэтому его делят на девяносто равных
частей, называемых градусами. Это деление легко
осуществить при помощи дуги.
Рис. 29. Равные цнгтрааьные дуги.
— 12 —
4-’. Вырежем из бумаги кружок (рис. 29) и
перегнем его по диаметру, полуокружности при
этом совпадут.
С)гнем полукруг по двум каким-нибудь ра-
диусам АО и ОВ. Расправив круг, обратим вни-
мание на то, что при совпадении центральных
углов АОВ и COD J) совпадают и дуги, на кото-
рые эти углы „опираются" * 2).
Поэтому в данном круге равные центральные
у1лы опираются на равные дут.
43.	Теперь нетрудно понять, что если мы раз-
делим дугу АВ (а/4 окружности), на которую
опирается прямой угол АОВ, на 90 равных частей
(дуговых градусов) и соединим все точки деле-
ния с центром, то н прямой угол разделится на
90 равных частей, на 90 угловых градусов. Деле-
ние надо делать тщательно, пользуясь иголкой,
остро очиненным карандашом и полоской бумаги
В нашей дуге АВ должно содержаться 90 гра-
дусов. Перегнем ее пополам; ^АС—45° й). Отло-
жим от А хорду AD, равную радиусу. Она стяги-
вает дугу AD. Таких дуг, (проверяя полоской
бумаги) на полуокружности, уложится 3; а так
как в полуокружности 180°, то в дуге AD — 60й,
Таким образом дуга BD = 30°. Отложим от А
дугу AE=BD = 30°. Так мы разделили АВ па 3
равные части. Теперь перегибанием разделим
дугу АЕ пополам, получим дугу AF = 15C. Поло-
ской бумаги разделим АВ на части, по 15° ка-
0 Углов с вершиной в ценгре круга.
2) Д] ги, заключенные внутри угла.
*) Вместо слова „градус" употребляют значек: °.
- 48 -
ждая, и разметим ее метками против точки А по-
ставим 0°, затем 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° и
далее до 180°.
Теперь тщательно иголкой наколем точку, кото-
рая отделит V3 дуги AF и проверим это делени
Рис. 30. Приготовление транспортера
полоской бумаги если получится недостача, то
’/8 этой недостачи надо прибавить к AM, если же
получится излишек, то ’/з излишка надо отнять
от AM. По зле этого исправления в пределах
- 14 -
человеческого зрения AM будет равно 5°. Далее,
пользуясь полоской бумаги, наколем иголкой
точки через 5° и пером разметим гашу полу-
окружность на часа и в 5°. Первую дугу О° —5°
разделим иголкой на глазомер на 5 равных ча-
стей. Для этого на-глаз разделим ее пополам, и
еще раз пополам и затем ’/< нашей дуги чуть-
чуть укоротим, так чтобы укороченная часть
уложилась в дуге 9° — 5° пять раз, что можно
проверить полоской бумаги. Получим дуговой
градус. Таких маленьких дуг уложится в дуге
АВ — 90°, в полуокружности 180°, в целой ок-
ружности 360°. Соединив остро очиненным каран-
дашом или прочертив иголкой концы дугового
градуса с центром, получим чуть заметный для
глаза угол—угловой градус или 1°. Такими гра-
дусами и измеряют углы.
44.	Чтобы измерить данный угол, надо сде-
лать его центральным и сосчитать, сколько дуго-
вых градусов содержится в дуге, вмещаемой уг-
лом. Для этого пригодится кружок, изготовлен-
ный нами в пред. §-е. Разрежем его по диаметру,
размерим так, как было указано выше с деления
ми в 5°, 10°, 15°, 20° и т. д. до 18о°. Промежу-
точные величины углов оцениваются на-глаз.
Этот полукруг накладывают на измеряемый угол
так, чтобы центр полукруга попал в вершину
угла и чтобы метка 0° лежала бы на его стороне;
тогда число градусов дуги внутри угла даст нам
число градусов в данном угле.
Этот подвижной полукруг называют транспор-
тиром (рис. 30).
— 45 —
Треугольник.
45.	Проведем три прямые линии. Чаще всего они
пересекутся в трех точках. При этом образуется
фигура-треугольник—Л АВС (рис. 31).
Рис. 31. Образование треугольника.
46.	Треугольник имеет три вершины, три сто-
роны и три угла.
Смотря по тему, каковы углы у Д- ка, треу-
гольники бывают косоугольные (Д АВС, рис. 32),
прямоугольные (Д BCD) и тупоугольные Д ЕВС.
47.	Смотря по тому, каковы будут стороны,
Д- ки могут быть разносторонним (рис. 31), равно-
Рис. 32. ДД-кп прямоугольны*, косоугольный п тупоугольный.
Рис. 33. Равнобедренный д.-к.
— 47 —
Ссоренным (если две его стороны равны) и правиль-
ным (если все три его стороны равны).
Перегнем листок (рис. 33) по (1), затем по пря-
мой (2), J_- н°й к (1), и. наконец, в сложенном виде
по (3), тогда, развернув листок, получим равно-
бедренный к; стороны его АВ и ВС равны, т. к.
при сложенном листке ог и совпадали. Равные
Рис. 34. Высота, биссектриса и медиана.
стороны АВ и ВС — это боковые стороны р-б.
Д-ка, третья — АС — основание его, углы А и С—
углы при основании р- б. Д-ка, ДВ— это угол при
вершине ею. Снова складываем Д-к по линиям
перегиба; легко заметить, что углы при основании
р-б. Д-ка А и С совпадают и потому равны,
— 48 —
48.	Так как равнобедренный Л АВС биссектри-
сой угла при вершине делится пополам, и одна
половина его при перегибании совпадает с дру-
гой половиной, то значит ета биссектриса угла
при вершине есть ось симметрии равнобедрен-
ного Д-ка.
Р-б. Д- к имеет одну ось симметрии.
49,	Образуем перегибанием Д АВС (рис. 34) с
неравными сторонами. Опустим из его вершины
Д-р на сторону А© (см. § 9) BD — это высота
Д-ка.
Разделим угол В пополам (§ 9 б) прямой BE—
это биссект} иса угла Д- ка.
Перегнем листок так, чтобы разделить отрезок
АС пополам (§ 6) в точке F; отрезок BF, сое-
диняющий вершину Д-ка с срединой противо-
положной стороны — это медиана /\-ка (средняя
линия). Мы видим, что в нашем случае все три
отрезка: биссектриса, высота и медиана, занимают
отдельное положение.
Возьмем теперь снова листок с равнобедрен-
ным Д-ком (рис. 21) и сложим его. Из самого
образования Д-ка следует, что ДАВИ равен уг-
лу DBC, т. к. они совпадали, поэтому BD есть
биссектриса угла В. Так как смежные углы ADB
и BDC раньше совпадали и поэтому равны, то
они прямые, и поэтому BD есть высота Д -ка, а,
кроме того, отрезки AD и DC совпадали, поэтому
D — средина, АС и BD — медиана. Таким образом
мы узнали важное свойство равнобедренного Д-ка:
биссектриса его угла при вершине есть вместе с
тем его высота и медиана.
— 49 —
Рис. 35.
50.	Перегибая листок по (1), (2) (рис. 35) и за-
тем в сложенном виде по (3), (4), (5) и т. под
какими угодно углами it АВ, мы получили мно-
жество равнобедренных Д- ков, повторяющих свой-
ства, указанные в пред. §-е.
51.	Сложив листок по (1) (рис. 36), развернув
его и перегнув АВ так, чтобы В попала на JL-p CD
(например, в точку С) и проведя затем линии пе-
региба чрез А и С, В и С, получим равносторон-
ний или прави пыый £\- к (рис. 36), так как АС =
ВС=АВ.
П. А. Карасев. Элементы геометртш.
4
— ЕО —
Правильный треугольник обладает свойствами
равнобедренного: поэтому ДА =/_&=/_С, т.-е.
у правильною /\-ка все углы равны между собой.
52.	Образуем перегибанием и затем вырежем
правильный Д-к (рис. 37). Так как его можно
считать равнобедренным, беря попарно стороны:
Рис. 36. Правильный Д-к.
— 51 —
АВ и ВС, ВС и СА, СА и АВ, то оп будет иметь
три оси симметрии— биссектриса каждого угла
будет такою осью. На самим деле, перегибанием
легко убедиться, что наш правильный Д-к можно
сложить пополам по трем осям: BD, CF и АЕ.
Рис. 37. Оси симметрии прав. Д-ка.
Убедитесь перегибанием, что ось симметрии
правильного Д-ка есть вмеше с тем его высота,
медиана и биссектриса. Нельзя ли догадаться об
этом из свойств равнобедренного Д-ка?
53.	Образовав перегибанием Д (рис. 38), про-
ведем высоты из всех трех вершин его. При тща-
4*
Рис. 38. Высоты Д-ка.
Рис. 39. Биссектрисы Д-ка.
— эЗ —
тельном перегибании мы добьемся того, что все
три высоты ^-ка пересекутся в одной точке.
54.	Образовав перегибанием (1) (2) Д АВС
(рис. 39), разделим ДВ пополам, накладывая ВС
па АВ, / С — накладывая ВС на АС и угод
Рис. 40. Медианы Д-ка.
А— тоже пополам, накладывая АВ на АС. Три
биссектрисы треугольника пересекутся в одной
точке.
Построив перегибанием (1), (2), (3) Д АВС
(рис. 40), проведем медианы его (§ 22). Все три
медианы его пересекутся в одной точке.
— 54 —
Равенство Л Л-в.
55.	Возьмем 2 листка (рис. 41), сложим их
вместе и перегнем по трем направлениям так,
чтобы линии перегиба образовали треуголвник.
Разняв листки,- мы получим 2 равных треуголь-
ника, так как при своем образовании они совпа-
дали. Очевидно, у равных фигур совпадают, слива-
ются вместе соответственные стороны и углы. Так
у наших треугольников совпадут стороны АВ и
А1В1, которые при образовании ДД-в сливались
по прямой (1), таким же образом ВС=В1С1 АС =
А, С, ZA = AT ZB^B/E, ZC-ZCv
56.	Вопрос о равенстве фигур можно решить
наложением: если при наложении фигуры совме-
щаются, значит они равны. Но не всегда это мож-
но сделать; напр., два треугольника, нарисованные
на доске, невозможно оторвать от доски и нало-
жить один на другой. Поэтому интересно (и важно!)
найти признаки, по которым можно определить,
не делая самого наложения, равны ли данные
ДД-ки или нет, т.-е. при (воображаемом) нало-
жении должны совпасть. Возьмем наши Д-ки из
предыдущего § (рис. 41) и допустим что мы знаем
про чих следующее:
AB = Aj В]
АС = А1С1
и ZA=ZA!
Об остальных же элементах (частях) Д-ка мы
ничего не знаем. Посмотрим, можно ли при таких
Рпс. 41. Равные ДЛ.-ки.
— 56 —
условиях наложить Л Д-ки друг на друга гак,
чтобы они совпали?
Пусть мы наложили Л АВС на Л А, В/Д так,
чтобы сторона АС совпала со стороной Aj Сг Это
возможно, так как стороны равны. Тогда угол А
совпадет с углом А3, так как эти углы тоже равны,
и тогда сторона АВ пойдет по стороне А! Вр Эти
стороны равны, и поэтому конечные точки их
В и Bj—совпадут. А тогда стороны ВС и В] Д, у
которых совпали оба конца, должны тоже со-
впасть, потому что, очевидно, чре? две точки
можно провести только одну прямую линию.
Таким образом у наших ДД-в совпадают все
три вершины и все три стороны, а поэтому и
сами Д Д-ки должны совпасть. Итак, если две
стороны и угол между ними в одном Д - ке равны
соответственным элементам другою ка, то
такие £р-ки равны.
57.	Выясните при помощи такого же вообра-
жаемого, постепенного наложения, будут ли равны
такие Д Д- ки, у которых сторона и два нргглегаю-
щих к ней угла в одно и Д- не равны соответствен-
ным элементам другою
С чего удобнее начать наложение?
58.	Посмотрим теперь, будут ли равны два
Д- ка, у которых три стороны одною равны трем
сторонам другого. Образуем перегибанием двойного
листка два таких Д- ка и допустим, что мы знаем
только, что три стороны одного соответственно
равны трем сторонам другого (рис. 42 а, Ь).
Вырежем ДД-ки и отметим равные сто-
роны.
Рис. 42.
— 58 —
Посмотрим, нельзя ли на основании этих при-
знаков убедиться в том, что наши треугольники
можно так наложить, чтобы они совпали.
Возьмем еще листок и перегнем его по (1);
приложим к линии перегиба с одной стороны
Л АВС, здесь он будет называться GHK, а с
другой DEF (на новом месте GHL; приложим их
так, чтобы совпали их основания АС и DF, сливаясь
на новом месте в один отрезок GK. Так как сто-
роны GH и GL равны, то можно перегнуть бумагу
так, чтобы GL пошла по GH и точка L совпала с
Н; вследствие равенства сторон LK и НК, можно
перегнуть бумагу так, чтобы LK ношпа по КН. и
тогда L должна совпасть с Н. Но есть очевидно
только один способ перегибания бумаги так, что-
бы L совпала с Н, и это способ такой, при кото-
ром LH разделится пополам, и линия сгиба GK,
как биссектриса развернутого угла, должна быть
перпендикулярна к LH. Но тогда эта линия сгиба
должна служить общею высотою равнобедренных
Д Д-в LGH и KGH, их общею медианою и общею
биссектрисою их углов при вершинах: А и К.
Повернув Л LGK около GK, мы можем утверждать,
что он совпадет с Д GHK. Иначе говоря, ДД-ки
АВС и DEF, имеющие по три равных стороны,
могут быть совмещены друг с другом. (Юнг).
59.	Перегнув бумагу по прямым (1), (2), (3)
(рис. 43), получим Д- к, в котором / DBC прилегает
к Д-ку, являясь смежным с внутренним углом
его — В, так же, как и ДЕВА. Таких внешних
углов в Д- не шесть, попарно равных Д FAB = GAC
и т. д. Вырезав внутренние углы А и С и уложив
— 50 —
Рис. 43. Внешний угол Д-ка.
их в угле DBC, мы можем отметить, что оба эти
угла как раз заполняют ^/ВВС. откуда заключаем,
что внешний угол £\-ка равен сумме внутренних
углов Д- ка, с ним не смежных, и, конечно, больше
каждого из них. Сделайте это с разными Д Д- ками,
и вы убедитесь, что это не случайно; это—закон.
60.	На листке бумаги (рис. 44) проведем пере-
гибанием зри прямые; они, пересекаясь, дадут
Д* к. Вырежем его. Проведем высоту BD. Перегнем
Д-к так, чтобы вершины его — А,В и С совпали
с точкой D (рис. 45). Тогда все три угла сойдутся
вершинами в точку Бив сумме своей образуют
развернутый угол, который, как мы знаем, равен
2 d. Мы сложили таким образом углы нашего Д- ка,
— 60 —
Рис. 44. Сумма углов Д-ка—
и в сумме получили 2d. Повторим это упражне-
ние несколько раз над разными треугольниками,
тогда мы заметим, что
свойство это принадле-
жит каждому Д-ку.
Отсюда заключаем, что:
1)	В треугольнике
может быть только
один прямой или тупой
угол.
2)	Сумма острых
углов прямоугольного
Рис. 45 —равна 2 d. Д-ка равна d.
- 61
3)	Угол правильногоД- ка равен 2/3 d.
4)	Ухлол равнобедренного прямоугольного Д- ка
равен 7г
Параллельные прямые.
61.	Перегнем листок по АВ (рис. 46) и восста-
вим в точках С и I) перпендикуляры СЕ и DF.
Кек бы ни был велик листок бумаги, они не
могут встретиться и не могут образовать Д-ка,
потому что в таком Д-ке сумма углов была бы
больше 2d.
Такие прямые, которые, находясь в одной пло-
скости, не могут пересечься, сколько бы мы их
ни продолжали, мы называем параллельными прк
мыми, что значит «прямыми, идущими одна вдоль
другой».
62.	Перегните листок по какой-нибудь прямой
АВ. Возьмите вче ее точку С. Как провести чрез
заранее взятую точку С прямую параллельно АВ?
Такую прямую чрез С можно провести только
одну.
63.	Перегибая листок по CD, ME и NF, обра-
зуем две параллельные прямые (рис. 47). Пересе-
чем их наискось четвертою прямою АВ. Она обра-
зует с двумя параллельными восемь углов: Za>
Zb, Дс, Zd> Ze> Zf> Zg’Z11- Такие углы
носят определенные названия. Углы с, d, е, и f,
лежащие внутри параллельных, называются вну-
тренними углами, углы a, b, g. и h внешними, углы
а, с, е, g, лежащие по одну сторону секущей, одно-
- 62 —
Рис. 46. Параллельные прямые.
сторонними, по разные стороны—накрест-лежа,
щими. Таким образом, взятые попарно углы по-
лучают 2 названия: /_ /_ <1 и f — внутренние одно-
сторонние, /' ZЪ и g — внешние накрест-лежащие
и т. д. Углы b и f, у которых положение одного
— 63 —
соответствует положению другого, называются
соот& тственные.
64.	Построим две параллельные АВ и CD (рис.
181 и пересечем их секущей EF. Вырежем /Ь и
наложим его на соответственный ему угол f. Углы
наши совпадут; повторяя это на разных моделях с
Рис. 47. УгльГпри параллельных прямых.
разным наклоном секущей, мы заключаем, что
равенстго это не случайно, а что соответственные
углы у паралле иьных прямых равны между собой.
А так как ^С = углу как вертикальные, то
= т.-е. внутренние накрест-лежащие
углы равны между собой.

,1
Рис 48
Рис. 49
— 6Ь —
Упр. Объясните таким же спссобом, что 1) внеш-
ние накрест-лежащие углы в параллельных линиях
равны между собой, 2) внутренние или внешние
односторонние у гл Я равны в сумме двум прямым.
65.	Проведя || -ные (1) и (2) (рис. 49) и проведя
в любых точках к ним | - ры, можем убедиться на-
ложением, что АВ — CD = EF, т.-е. что параллель-
ные прямые находятся на одинаковом расстоянии
друг от друга.
Параллелограмм.
66.	Образуем (способом §31) две параллельные
(2) и (3) (рис. 49) и пересечем их двумя другими
параллельными (5) и (6).
Рис. 50. Образование трапеции.
D. А. Карасев. Эгементы геометрии.
5
— R6 —
Четыреугольник ABCD, образованный таким
образом, называется параллелограммом Противо-
положные стороны егс параллельны. Если перегнем
пар - м по прямой ВВ, то получим диагональ пар-ма,
что значит ^прямая, идущая сквозь» параллело-
грамм. Параллелограмм имеет 2 диагонали: АС и
BD. Вырежем параллелограмм и разрежем его по
диагонали BD. Получим два треугольника. При
наложении их можно совместить. Значит, диагональ
делит параллелограмм на два равных Д- ка. Всма-
триваясь в то, какие стороны прежнего пар-ма
совпадают, можно заключить, что
противоположные стороны пар-ма равны
»	углы » равны.
Трапеция.
67,	Проведя две параллельных (2) и (з) (рис. 50)
и пересекши их двумя непарал тельными прямыми
(4) и (5), мы получим четыреугольник, называе-
мый трапецией (что значит „обеденный стол“).
АВ и ВС—основания трапеции. Вырежем [трапе-
Рис. 51. Средняя линия трапеции —
— 67 —
Е
Рис. 52.— равна полусумме оснований.
цию ABCD и перегнем ее так, чтобы линия
сгиба проходила через средины АВ и CD (рис.
51); такая прямая, которая соединяет средины
непараллельных сторон трапеции, называется ее
средней линией. Перегнув трапецию но средней ли-
нии, мы заметим, что основание Ви ляжет на осно-
вание AD; отсюда можно заключить, что средняя
линия трапеции параллельна основаниям трапецЛ.
Разрежем трапецию по средней линии и повер-
нем половину —EBCF на угол = 2 d около точки
F так, чтобы CF совпала с. FD; тогда верхняя
Рис. 53. Срешяя линия трапеции.
5*
— 68 —
Рис. 54. Образование ромба.
зуется параллелограмм, в котором противополож-
ные стороны равны.
АВ = ЕЕ.
Но AB = AD-{-CB, сумма двух оснований, ЕЕ
есть средняя двойная линия, иначе: AD-{-BC=
— 69 —
2EF; и поэтому EF=4 (AD BQ; т.-с. средняя ли-
ния трапеции —полусумме оснований.
68. Образуйте такую трапецию, которая имела
'ы ось симметрии.
Как эта ось должна проходить?
, 69. Перегнем трапецию ABCD (рис. 54) по сред-
ней линии, тогда ВС совпадет с AD. Перегнем Л
AEF' по EF', а Л FED по FH. Тогда образуется
прямоугольник F^EFn, в котором верхнее основание
есть средняя линия, а нижнее — полусумма верх-
него и нижнего оснований трапеции. К верхнему
основанию прибавим последовательно: AF, HD.
Так как противоположные стороны прямоуголь-
ника равны, то EF = i(AD-f-BC)
Ромб.
70. Перзгнем листок бумаги (рис. 54) по пря-
мым, взаимно перпендикулярным, и, сложив лист
вчетверо, перегнем его по прямой, пересекающей
Рис. 55. Сумпа углов ромба, прилегающих к одной стороне его —
— 70 —
первые две. Развернув листок, получил фигуру,
называемую „ромб" (по гречески „веретено"). Вто-
рично складывая листок по сгибам, убеждаемся
в том, что в ромбе:
а)	все четыре стороны равны (складывая вче-
тверо).
б)	Противоположные углы ромба равны (скла-
дывая вдвое).
в)	Диагональ делит ромб на 2 равных равно-
бедренных треугольника (вдвое).
г)	Диагонали ромба взаимно делятся пополам
(вдвое).
д)	Они взаимно перпендикулярны (вчетверо).
Рис. 56. — равна 2d.
е)	Они делят углы римба пополам (тоже).
ж)	Они делят ромб на 4 равных Д-ка (тоже).
з)	Ромб симметричен относительно каждой из
своих диагоналей; он имеет, таким образом, две
оси симметрии (тоже).	‘ .
71.	Вырежем ромб (рис. 55) Разделив AD и
ВС пополам, перегнем ромб по прямой, проходящей
чрез точки деления Е и F; отогнем Д AEG по EG
так, чтобы AG совпала с GB; Д FHC отогнем в
обратную сторону[так, чтобы НС совпала с DH.
Тогда / АЦ- Д D — 2d иД С-|- /В = 2d. (рис. 56).
• Площади фигур.
72.	Построив перегибанием два квадрата, при
тем стороны одного не равны сторонам другого;
наложением можем убедиться, что площадь ква-
драта с меньшей стороной покрывает лишь часть
площади квадрата с большей стороной. Значит,
квадрат с большей стороной имеет и большую
площадь.
Убедитесь наложением, что квадраты с рав-
ными сторонами занимают одинаковое место—
имеют одинаковую площадь.
73.	Построим квадрат со стороною в один
,юйм, назовем его квадратным дюймом.
Построим квадрат со стороною в два дюйма.
Перегибая его пи двум прямым, проходящим
чрез средины его сторон, разобьем его па 4 ква-
драта, каждый равный 1 кв. дюйму.
Подобным же образом найдем, что площадь
квадрата со стороною в 3 дюйма содержит 9 кв.
дюймов и т. д. Отсюда легко узнать, сколько
квадратных дюймов (или сантиметров, или деци-
метров) содержит*площадь какого-нибудь квадра-
та. Для этого надо число дюймов, содержащихся
в его стороне, умножить на себя (возвести в ква-
драт). Это выражают словами:
— 72 —
Площадь квадрата измеряется квадратом его
стороны.
74.	При вычислении площади квадрата следует
принимать во внимание увеличение ошибки, по-
лучаемой от несовершенного измерения, избег-
нуть которой, благодаря несовершенству наших
глаз и приборов,— нельзя. Пусть, например, мы
измерили сторону квадрата в мм., и доли мили-
метра отбросили — получили 73 мм. или 7,3 см;
ошибка меньше 1 мм. Площадь квадрата = 7,3* кв.
см. Но, возведя это число в квадрат, мн ошибку
увеличиваем в 7,3. 2 = 14,6 раз, поэтому для
площади она будет равна приблизительно 15 кв.
мм. или приблизительно 0,1 кв. см. Поэтому
правильнее было бы площадь квадрата считать
не 53,29, а 53,3 кв. см. А если принять во вни-
мание, что при перегибании точность в 1 мм.
трудно достижима, то будет вернее, если мы бу-
дем считать неточными и десятые доли кв. см. и
отбрасывая их, получим более верный ответ:
53 кв. см.
75.	Вообще же при действиях с неточными
числами, например, числами, полученными от изме-
рения, следует помнить, что
а)	Сложение и вычитание их не изменяет степе-
ни точности результата.
б)	При умножении вероятная ишибка увеличи-
вается во столько раз, чему равна сумма целых
единиц сомножителей.
в)	При возведении в квадрат (куб) ошибка
умножается на удвоенное (утроенное) число целых
единиц основания.
— 78 —
Рис. 67. Деление площади квадрата пополам.
г)	При делении на отвлеченное число и ошибка
делится на делителя.
76.	Образуем перегибанием квадрат и две его
диагонали (рис. 57). Точки их пересечения есть
центр симметрии квадрате Проведя чрез нее в
любом направлении MN, легко убедиться перегиба-
нием, что отрезок ее внутри квадрата всегда де-
лится пополам, а разрезывая квадрат по прямой
MN. мы делим его на две равные, совмещающиеся
при наложении трапеции ABNM и CDMN. Как
— 74 -
бы мы ни поворачивали секущую около центра
О, всегда она будет делить квадрат пополам. В
двух положениях отрезок MN совпадает с диагона-
лями, и тогда квадрат вместо трапеции разобьется
на 2 равных прямоугольных Д- ка, а в двух других
положениях MN совпадет с осями симметрии и то-
гда квадрат разобьется на 2 равных прямоугольника.
77.	Перегнув квадрат по прямым (1) (2) (3) (4),
проходящим чрез средины сторон квадрата, полу-
чим 4 Д-ка (рис. 58). Сведя их вершины вместе
в центр симметрии, мы заметим (нетрудно и объяс-
Рнс. 58. Квадрат с вд ое меньшей площадью, чей данный.
— 75 —
Рис. 59. Площадь равнобедренного прямоуг. Д-ка.
нить это), что 4 Д-ка совершенно закрыли собой вну-
тренний квадрат, образуя, таким образом, двойной
листок, двойную площадь. Значит, площадь вну-
треннего квадрата вдвое меньше площади большего.
78.	У каких известных нам фигур: Д-ков разных
видов, параллелограмма, трапеции, круга, есть
центр симметрии, у каких нет? Всегда ли прямая,
проходящая чрез центр симметрии, разделит пло-
щадь фигуры пополам? Попытайтесь объяснить
это основываясь на равенстве треугольников.
— 76 —
79.	Построим квадрат (рис. 59). Вырежем и
перегнем его по диагонали. Квадратный листок
стожится ровно вдвое. Получим равнобедренный
прямоугольный Д-к; площадь его равна половине
площади квадрата. Поэтому площадь равнобедрен-
ного прямоугольного Д- ка измеряется половит й
квадрата его катета, иначе
г, а2
Разделите перегибанием пополам площадь ква-
драта на четыре равные части и т. д.
СО. Построим'перегибанием прямоугольник (рис.
60) qo сторонами: 3 и 4 дюйма. Разделим стороны
его на дюймы; через точки деления перегнем его
Рис. 60. Площадь прямоугольника.
— г —
по прямым параллельным сторонам. Прямоуголь-
ник разобьется нз 12(3X4) квадратных дюйма. Объ-
ясните, не перегибая прямоугольника, что площадь
прямоугольника со сторонами 5 и 6 дюймов равна
30 кв. дюймов. Восбще, площадь всякого нрямоуголь
ника ргвна произведению его основания на высоту
(выраженных в числах). Иначе
_ ___ , b—(basis) основание
h (haut) высота.
При вычислении площади примите во внимание
замечание § 44. Каким образом можно разделить
прямоугольник пополам? Есть ли у него центр сим-
метрии? На какие части разделит его площадь
прямая, проходящая чрез центр симметрии? как
разделить его на три, четыре и т. д. частей (в де-
лении могут получиться равные прямоугольники,
треугольники, трапеции различных форм и видов).
81.	Перегнем листок (рис. 6.’) по АС, АВ _[ к
АС и ВС, пересекающей АВ и АС, получим прямо-
угольный Л АВС. Перегнув листок по BD J_ АВ.
и DO ]_ АС, получим прямоугольник 1BDC. Так
как диагональ делит прямоугольник на 2 равных
Д-ка, то площ. Л АВС=1/1 площ. ABDC=|/2
АС. АВ Но АВ и АС—катеты прямоугольного Д- ка
Поэт ому площадь прямоугольного Д-ка содержит
столько квадратных едини ц сколько единиц содер-
жится в половине произведения чисел, выражающих
длину катетов (линейные меры и квадратные одного
найме лова шя), иначе: площадь правильного Д- ка
измеряется половиной произведения его катетов.
S = -^-ab
— 78 —
Рис. 61. Площадь прямоут. Д-ка
82.	Перегнув листок по трем пересекающимся
прямым АВ, ВС и АС (рис. 62), получим Д АВС.
Проведем в нем высоту BD. Чрез вершину В про-
ведем прямую FC || AC (J_BD). Из вершин А и С
восставим перпендикуляры к АС. Образуем прямо-
— 79 —
угольники AFBL) и DBEC, площади которых будут
равны двойным площадям ДД-в ABD и BDC.
А поэтому вся птощадь прям >угольника AIEC
равна двойной площади Л АВС. Площадь пр-ка
AFEC равна AC.BD, а так как основание и высота
пр-ка и Д-ка одни и те же, то площадь всякого
Д- ка измеряется половиной произведения его осно-
вания на высоту, иначе выражая:
SA=’A AC. BD.
Таким образом для измерения площади тре-
угольника следует измерить его сторону, измерить
высоту, спущенную на нее, перемножить эти числа,
Рис. 62. Площадь Д-ка.
— 80 —
и произведение разделить пополам. Тогда полу-
чим площадь Д- ка в квадратных единицах того же
наименования, как и линейные меры, какими из-
мерялась его высота и сторона.
Не мешает заметить, что площадь правильного
Д-ка равна 0,433 а2 (прибл.) Здесь достаточно из-
мерить лишь одну его сторону о. Как разделить
площадь треугольника на 2, з, 4, 8 равных частей?
83.	Площадь ромба равна (см. § 70) двум пло-
щадям равнобедренного Д-ка АВС, высотою кото-
Рис. 63. Площадь ромба. Е и F средины сторон ромба. Л AED
отгибается по EG, Л FKC по FK. Ромб превращается в двой-
ное прямоугольник.
риго служит половина диагонали BD, а основа
нием— диагональ АВ Поэтому площадь ромба
8 = 2 пл. Д АВС = 2.’/2 АС. ОВ=АС. ОВ, т.-е.
площадь ромба измеряется полов шой произведения
сю диаюналей.
84.	Иной способ. Вырезав ромб и отрезав ниж-
ние два Д - ка AOD и DOC ип ередвинув, не пе-
ревертывая их, так, чтобы AD совпала с ВС,
a DC с АВ, получим прямоугольник у которого
— 81 —
основание — ХС, а высота ВО (т.-е. ’/2 BD), по-
этому площадь ромба, равная площади прямоуголь-
ника, будет измеряться произведением М3. ВО,
т.-е. S.=’/2 AC. BD.
85.	Площадь трапеции. Перегнем листок по двум
параллельным и пересечем их двумя непараллель-
Рис. 64. Площадь трапеции.
ными прямыми. Образуем зрапецию ABCD (рис. 64).
Разделив пополам АВ и СВ, перегнем трапецию по
средней линии EF. Проведем через Е и F прямые
GH и HL, перпендикулярные к AD и ВС, — полу-
чим прямоугольник GHKL, равновеликий трапеции
A BCD, так как
A АЕИ_==Д ЕВН и A FDL = A CKF
П. А. Карасев. Элементы геоиетрид.	6
— 82 —
Основанием пр iaioj гольннка служит GL, равная
ЕЕ—средней линии трапеции, а высоты обе« х
фигур равны.
Площадь GHKTi = GL.IIG
А поэтому пл. ДВОЕ) = пл. GHKL — EE.HG,
Рис 65. Плои адь многоугольника.
т.-е. площадь трапе иии измеряется и[оивведением
средней линии ее на въиоту.
86.	Илощаиъ многспримника. Образуем после-
довательным перегибанием по прямым ЛВ, ВО,
CI), DE, Е.\ многоугольник*. \В< DE (рис. С5).
— ь.з —
Для измерения его площади через какую-нибудь
его вершину проводим ось FK и опускаем на нее
из всех вершин мн-ка _1_-ры: IF, BG, CH, DK-
Тогда площадь многоугольника ABCDE будет
равна разности площади шестиугольника FABCDK
и площадей двух /_-ков F\E и EDK. Мн-к &е
FABCDK состоит из 3-х прямоугольных трапеций;
FABG, GBCH и HCDK, т.-е. пл. АВСГ»Е=(пЛ-
FABG Ь-’йл. GBCD-f-пл. 1ICDK) — (пл. А FAE-J-пЛ-
A EDK). Измеряем отрезки \F, BG, ГН, DK и
отрезки оси FG, GH, НК, KE, EF.
Тшда получим:
двойная площа ць трапеции F \BG — (\ F -|- BG) FG
„	..	„	GBCH —(BG-j-CH)GH
я	„	.,	HCDK (НС + JDK) ПК
двойная сумма площадей = М (вычисляем)
двойная площадь	AFE = AF. ЕЕ
„______„ ____Д EDK=EK. DK
двойная сумма АЛ'К0В— N
Отсюда площадь многоугольника *ECDE=’ (М —К)
87.	Теорема Пифагора. Взяв двойной листок
бумаги, образуем перегибанием 2 равных квадра"
та (рис. 66). Сторону обоих квадратов разделяем
на части а и Ъ, одинаковые, но различно расП°‘
ложенные в обоих квадратах. Чертеж уьа?кет
расположение частей а и Ь:
1.‘ квадрат пачйнаем с А—al>, Га, Гр, ab,
П. „ г .. аЬ, ай, ab, ah.
6
— 85 —
Соединяя точки дел ш ля, найдем, чго I квадрат
разделился на 4 рев тых прямоугольных Д-ка и
на два квадрата, сторонами которых являются ка-
теты любого из Д-ков. II квадрат разбился тоже
на 4 прямоугольных Д-ка и один квадрат, пс-
строенный на гипотенузе любого из равных
треугольников. Треугольники I квадрата равны
Д-кам второго, так как катеты каждого Д-ка
равны соответстьенно а и Ь. Отнимая от равных
площадей целых квадратов поровну, по 4 прямо-
угольных Д-ка, получим равные площади: след.,
площадь квадрата, построенного на гипотенузе
прямоугольного Д- ка, равна сумме площадей ква-
дратов, построенных на катетах егк
Если измерить сторону прямоугольного трс-.
угольника и выразить их числом, гипотенуза — с,
катеты а и Ь, то площадь квадратов, построенных
на них, будут выражены числами с2, а2, Ь2; тогда
зависимость между площадями может быть выра-
жена так: с2 —а2-[-Ь2.
Углы в круге.
Л8, Проведем окружность, радиусом прибли-
зительно в 5 —10 см. (рис. 67). Возьмем какую-
нибудь дугу АВ и вне ее по окружности ряд
точек С, D, Е, I, и т. д. Соединим эти точки с
концами дуги АВ. Углы АСВ, ADB, ЛЕВ, AFB
со сторонами, ооразовапными хордами, и с Вер-
тинами, лежащими на окружности, называются
Рис. 67. Вписанные углы.
— 87 —
Рис. 68. Угол, образованный двумя пересекающимися хсрдаии
с вершиною внутри круга-.
вписанными углами, опирающимися на дугу ЛВ.
Соединяя А и В е центром О, получим централи
ный угол, опирающийся на ту же дугу АВ. Вы-
режем его п согнем пополам. Накладывая поло
вину центрального угла на вписанные углы, при-
ходим к заключению, что:
1)	вписанный угол равен половине центрально-
го угга, опирающегося на in у м-е дугу, -
2)	вписанные углы, опирающиеся на о<^ну «ту
мге дугу, равны между собою-,
— 88 —
3)	вписанный угол измеряется половиной дуги,
на поторгую он опирается-,
4)	вписанный угол, опирающийся на диаметр—
прямой угол (проверьте наложением прямого угла).
89.	Вырежем из бумаги кружок (рис. 68). Пе-
регнем его по двум пересекаюшимся хордам ВС
и AD. Отметим один из углов, образуемых этими
хордами / ЛЕВ. Проведя EF || АС, заметим что
Z:AEB = ZAEF + 2fEB» но /AEF=M/A, а
2/FEB = i/C, и поэтому / AEB = ^/C-j~zlА
Так как углы С и А вписанные, то каждый из
них измеряется половиной дуги, на которую опи-
рается, поэтому / АЕВ измеряется полусуммой дуг
АВ и CD заключенных между его сторонами и
продолжением их.
90.	Начертим на листке окружность и перегнем
листок так, чтобы образовать 2 секущие AD и АЕ
с точкой пересечения А вне окружности (рис. б&).
Проведем прямую DC, и из точки С опустим на
AD перпендикуляр CF. Проведем GC | CF, тогда
GC || АВ.
2^0СЕ = 21а> как соответственные, a ,,/DCG=
—^/BDC, как внутренние накрест-лежащие. След.,
Z А = / GCE = Z DCE-Z DCG = / DCE—/ BDP.
Но углы DCE и BDC, как вписанные, измеряют, я
Половиной дуг, на которые они опираются, поэтому
/ А измеряется полуразностью дуг, содержащихся
между его сторонами.
91.	Начертим на листке бумаги окружность
(рис. 70). Перегнем листок по диаметру, и в его
конце сд(лаем перпендикулярный сгиб СП. Это
касательная к окружности. Через точку касания
Рис. 69. Угол, образованный 2 секущими с вершиной вне Kpyia.
— 90 —
В и через другую какую-нибудь точку [.окружно-
сти Е перегнем листск, образуя хорду BE.
Сравним ^/EBD, образованный хордой и каса-
тельной с центральным углом ВОЕ, опирающимся
Риг. 70. Угол между касательной и хордой.
на дугу BE. заключенную внутри / EBD. Для
этого вырежем /^EBD, а центральный угол ВОЕ,
перегнув так, чтобы ОЕ совпали с ВО, разделим
пополам. Наложив ^/ЕВВ на половину централь-
Рис. 71. Описанный угол.
— 92 —
ного ^ВОЕ, найдем, что эти углы совпадут ’).
Таким образом угол, образованный касательной и
хордой, измеряется половиной дуги, заключенной
между его сторонами.
92.	Начертим на листке бумаги окружность,
перегнем листок так, чтобы линии перегиба про-
ходили через центр (рис. 71). В точках А и В пе-
ресечения их с окружностью, образуем перпендику-
лярные к ним сгибы АС и ВС, которые своим пере-
сечением дадут описанный угол ^/АСВ. Отложим
дугу I N1 на дуге ВКА от точки В; v ВК= BNA.
Тогда AZK = 2)'-' АКВ— ANB. Вырежем цен-
тральный угол АОК и перегнем его пополам. Его
половина измеряется половиной v АК, т.-е. полу-
разностью дуг АКВ и ANB. Накладывая v его в
сложенном виде на /Т, легко заметить, что по-
ловина его совмещается с /С. Значит:
Угол, образованный двумя касательными (опи-
санный), измеряется полуразностъю дуг, заключен-
ных между точками касания.
*) Совпадение углов EBD и ВОЕ нетрудно объяснить тем,
что это углы с взвимноперпенликулярнь ки сторонами, так
как OF -биссектриса равнобедр. Д- ка.
Сектор AOKZ на черт. 71 в сложенном пополам виде
помещен тнутри ]гла С.
Правильные многоугольники.
93.	Образовав перегибанием и вырезав квадрат,
мы легко убедимся, перегибая его по диагоналям
и осям симметрии, что все стороны, а также и
все углы его, равны между собой.
Образовав и вырэзав равносторонний треуголь-
ник, мы, перегибая его по биссектрисам, убедимся
в том же самом. Осе эти фигуры являются при-
мером правильных многоугольников; все стороны
правильного многоугольника равны друг другу,
и все углы его равны между собой.
Если мы имеем уже готовый круг, то правиль-
ные многоугольники легко образовать перегиба-
нием круга; углы таких многоугольников все бу-
дут вписанные, и сами многоугольники будут впи-
санными.
94-	. Сложим бумажный кружок по диаметру АВ
(рис, 72), полукруг сложим вдвое по АВ. образуя
квадрант, и квадрант по хорде ВС. Расправив круг,
получим вписанный в него квадрат.
Стороны его равны, как хорды, стягивающие’/4
окружности.
Углы его прямые, так как это вписанные углы,
опирающиеся на диаметр.
Площадь' ero = 2rs.
— 91
Ри>’. 72 Вписанный гвадрат.
95.	Перегибаем кружок по диаметру АВ (рис. 73).
Складывая полукруг пополам, образуем «ква-
дрант». Деля прямой угол квадранта ,/АОС по-
полам, делим квадрант на октанты».
Перегибая октант по дуге \Т) (можно сгибание
для чистоты работы сделать в развернутом круге),
получим правильный enucai; ы i восьмиугольник.
На самом деле стороны его XD, DC и т. д.
— 95 —
равны, как хорды., стягивающие ’/в часть окруж-
ности; углы его ADC, DCE и т. д. равны, как
вписанные, опирающиеся на ъ/в частей окруж-
ности.
Угол правильного восьмиугольника всегда один
и тот же и как вписанный, содержит (36(Г. |): 2
135°.
Площадь правильного восьмиугольника=8 пло-
щадям Д AOD. Для измерения площади A AOD
Рис. 7?» Правильные вписанный восьыиугольниг ,
— 96
опустим___из центра на сторону в ^сьмиугольника
называемый его апофемой—ОМ. Тогда
пл. Д AOD = } AD. ОМ
пл. 8-ка —8Д А-D. ОМ = 4 AD. ОМ, т.-е.
полупериметру 8-ка, умноженному на апофему.
Упр. Измерив в см. и мм. сторону восьмиуголь-
ника и его апофему, вьчислите площадь (прини-
мая во внимание указания § 95).
Упр. Найдите все оси симметрии правильного
восьмиугольника.
Одни ли диагонали его будут осями сим-
метрии?
96.	If нон спо об. Перегнем квадрат по прямым,
соединяющим середины его сторон (рис. 74). Обра-
зуется также квадрат ABCD. Делим углы между
сторонами обоих квадратов и т. д. пополам. Бис-
сектрисы АЕ, BE, BF, FC, и т. д. своим взаимным
пересечением образуют правильный восьмиуголь-
ник AEKFLGMH. В самом деле. ДД-ки AEB, BFC,
CGD и т. д. имеют AE=EB = BF и т. д. Кроме
того, они равнобедренные, т. к. углы их при рав-
ных основаниях все равны между собой. Поэтому
Д АЕВ = Д BFC = ...
/ АЕН = \НЕ Д KEF =Z KFE = 45° : 2 = 221°
Из равенства их следует, что стороны 1Е = ЕВ =
BF=FC и т. д
углы
Z Е=180°— (22'°. 2)^=« 135°=/F = ^G = ДН
Z A = 9O° + (22J°. 2'1—135° = Z Р = ZC=ZD
— 97 —
Рис. 74. Правильный восьмиугольник, образованный из
квадрата (способ Роу Сундара).
Если бы мы захотели сделать этот восьмиугольник
вписанным, то центр круга был бы на пересече-
нии диагоналей АС и BD, а радиус = 1/2 АС.
97.	Отложим на бумажном кружке хорду АВ,
равную радиусу (рис. 75). Соединим точки А и В с
центром О. Получим равносторонний Д-к. Углы
его А, В и О равны каждый бо°. Поэтому дуга АВ,
соответствующая центральному углу 60°, есть
1/ часть окружности, и поэтому такие хорды мож-
но отложить последовательно по окружности 6 раз.
П. Л. К*ра«в. Элемевты геомотржж.	7
— 98 —
Способ отложения такой. Перегибаем окруж-
ность по диаметру AD. Откладываем бумажной
полоскотг хорду АВ, равную радиусу. Дугу BD
делим перегибанием пополам в точке С. Таким
образом полуокружность разделилась на 3 равные
части. Перегнув ее по диаметру, разделим и другую
половину на з равные, части. Сделав сгиб через
последовательные точки А и В, В и С и т. д., мы
получим шестиугольник, вписанный вкруг; он —
Рис. 75. Правильный вписанный шестиуюльник.
— 99 -
Рис. 76. Образование, правильного шестиугольника подги-
банием квадрата (С. Роу).
правильный, так как стороны его — хорды, стяги-
вающие У6 часть окружности, а каждый из
углов (вписанный) А, В, С, и т. д. опирается на
уе окружности, и поэтому содержит 120°. Сторо-
на правильного вписанного шестиугольника, как
мы уже видели раньше, равна радиусу, что вы-
ражается так: а6 —R.
7*
— юб —
Для измерения площади 6-угольника, находим
его апофему, т.-е. I OG из центра О на сторону АВ.
Площадь Л АОВ = | AB-OG — R/2.OG
Площадь шестиугольника — 6 площадям Д
АОВ = 3R • 0G, т.-е. измеряется произведением его
полупериметра на апофему.
Упр. Построив способом, подобным предыдуще-
му, правильный шестиугольник, измерить его пло-
щадь.
Сколько осей симметрии имеет правильный
шестиугольник?
Рис. 77. Правильный Д-к перегибанием —
101 —
Рис. 77а. — превращается в правильный шестиугольник.
Перегните по ним вашу фигуру.
98.	Сложим квадрат вчетверо по его осям сим
метрии ЕН и FG (рис. 76). На стороне полученного
квадрата OF построим правильный треугольник и
через вершину К проведем KL | ОЕ. Расправив
сложенный вчетверо листик, получим правиль-
ный шестиугольник, т. к. стороны его равны сто-
ронам правильного Д-ка FKO, а каждый из углов
F, К, М, G и т. д. равен двойному Д FKO, (и
поэтому содержит 120°).
99.	Построив правильный Д- к (рис. 77), най-
дем точку пересечения его биссектрис — О. Пере-
гнем теперь наш Д- к так, чтоб все вершины его
А, В и С сошлись в одной точке О. Фигура
DEFGHK есть правильный шестиугольник. Сторона
его = ’/3 стороны правильного Д- ка, а площадь—
2/3 площади его (Роу) (рис. 77а).	. .
П. А. Карасев. Элементы геометрии.	I**
— 102 —
100.	Разделив окружность бумажного кружка
способом, подобным предыдущему, на 6 равных
частей (рис. 78j, перегнем кружок по хордам
через одну точку деления: А, С, Е; получим пра-
вильный вписанный Д- к (объяснение подобно
предыдущему). Перегибая шестиугольник ABCDEF
по диагоналям AC, ЕС, EF, найдем, тто вершины
В, D, F совпадут с центром (объяснение путем
равенства ДД АВС и АОС и т. д.); поэтому
площадь правильного вписанного Д вдвое мень-
Рис. 78. Правильные вписанные 6-к и Д-к.
103 —
ше площади правильного вписанного шестиуголь-
ника.
Способ образования правильного Д-ка из ка-
кого угодно куска бумаги см § 21.
Круг.
101.	Длина окружности.
Начертим на кусочке картона круг, тщательно
вырежем его. Обведем его, словно ободочком, бу-
мажной лентой, следя за тем, чтоб лента плотно
прилегала к окружности. В- том месте, где концы
ленты будут налегать друг на друга, проколем
булавкой оба конца ленты. Измерив расстояние
между проколами, найдем длину окружности.
Определим теперь, во сколько раз длина окруж-
ности больше ее диаметра. Измерив диаметр, раз-
делим полученные числа с точностью до 0,01.
Получим число, близкое к 3,14. Чем лучше сделана
окружность, чем тщательнее было измерение, тем
ближе к 3,14 будет результат. 3,14—не точно
показывает отношение длины окружности к диа-
метру; в этом отношении есть и тысячные и мень-
шие доли ’), н0 Для наших целей достаточно огра-
ничиться сотыми долями, поэтому более мелкие
доли мы отбрасываем.
Если мы будем измерять окружности круглых
предметов: ведер, стаканов, монет, кадок, то вез, ie
получим, что окружность будет приблизительно
в 3,14 раза больше' диаметра.
Более точно: к =3,141692.
— 104 —
Вместо измерения лентой можно поступить
иначе: вырезав кружок, можно провести радиус,
установить его на достаточно длинвий прямой
так, чтобы конец радиуса совпадал с намечен-
ной точкой А на прямой. Затем прокатим (без
скольжения) кружок по прямой, пока радиус
не обернется несколько раз вокруг центра и
Рис. 79. Площадь круга —
снова не коснется своей крайней точкой на-
шей прямой. Назовем точку прямой, в кото-
рую упрется радиус, обернувшись (предполо-
жим) 6 раз, В. Тогца АВ будет в 6 раз больше
АВ „
окружности, и окружность = — _ При этом спосо-
бе измерения важно, чтобы кружок катился без
скольжения.
— 10&
Число (приблизительно) 3,14, определяющее, j
во сколько раз окружность больше своего диа-^
метра, принято назчва гь греческой буквой п (пи).
Поэтому окружность = диаметру у 3,14 или
С—2г. и или
С=2пг
’ ч
Так как 8,14 есть число приблизительное, равное п
лишь до сотых долей, то при умножении 2г на
него следует принимать во внимание указания § 37.
Рис. 80.—превращается в площадь прямоугольника с осиова-
нием=полуокружности, с высотою=фадиусу.
1G2. Вырежем из бумаги кружок, радиусом около
10 см. Перегнем его по диаметру, полукруг разде-
лим перегибаньем на 3 равные части—„секстанты",
секстанты — перегибанием на двенадцатые части,
эти в свою очередь на двадцать четвертые части,
Тщательно разрежем в согнутом виде круг по сги-
бам на 24 доли (сектора), а одну из 24-х разре-
жем еще пополам и затем эти секторы располо-
жим согласно рис. 79. Пилучается (рис. 80)
фигура, близкая к прямоугольнику. Чем мельче
будут части, тем более близкой к прямоуголь-
— 106 —
нику получается фигура и при множестве сек-
торов превращается совсем в прямоугольник,
основанием которого будет полуокружность, а
высотою радиус. Поэтому площадь прямоуголь-
ника выразится произведением полуокружности
на радиус, а так как площадь прямоугольника
получилась из площади круга, то и площадь
круга So равна полуокружности, умноженной на
радиус:
s. = -°r,
а так как С = 2 п г, то
Иначе говоря — площадь круга равна квадрапу ра-
диуса умноженному на п.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Прямая линия .	.	.............. 13
Угол.......... ....	. .	14
Симметрия. ...	.	... 26
Прямоугольник ...	.	.....		.29
Круг..................... •	.	....	. . 34
Измерение углов. ...	.	...	... 41
Треугольник......... 	- 	•	.45
Равенство ДД-в....................... • •	. . 54
Параллельные прямые.	.	....	......... 61
Параллелограмм . • . . .	.	...	.........65
Трапеция.......................................  66
Ромб .................................. ........	69
Площади фигур............................ . . 71
Углы в круге .................................   86
Правильные многоугольники....................... 93
Круг............................................    ЮЗ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО.
МОСКВА — ПЕТРОГРАД
ГЛАВНОЕ yiJPflBiEH.lE Москва, Сфйиаг уг. Рождественки, д. 4/8.
Гнльом, Ш. Введение в механику.
Стр. 1С7. Ц I р.
Гсрхер. Б. Учеб и и .с элементарной гео-
не грид. Bun. 1. Планиметрия. Стр - 89.
Ц. 35 к.
Его же. То же. Вып. II. Тополинтрль-
, ные статьи ио планиметрии и сте-
реометрии. Стр. 70. Ц. 3' к.
• Глазе на п, С. Тригонометрия. Ч. I. Ре-
шение прямолинейных треугольни-
ков. Стр. 130. Ц. 50 к-
Его же. То ate. Ч. II. Гониометрия.
С гр. 134. Ц. 50 к.
Его же. Ч. 1И. Решения сферических
треугольников. Стр. 07. II. 50 к.
Его же. Народный задачник. Ч. I.
Стп. 126. Ц. 45 к.
Его же. То же. Ч. II. Стр. 126 Ц. 25 к.
Д Шилов, А- Начальная алгебра.
( тр. 5U4. Ц. 1 р. 60 к.
Его же. Элементарная геометрия,
С гр. 38*. Ц. ’ р. 50 к.
Егор в, В. В., Жуков . Н.И., Кара-
сев,П А., Фро овскмй, А. А. Сбор-
ник арифметических задач.
С гр. 227. Ц 55 к.
Зенченко, С. В., Эитиэв. В.
Жизнь п ина ня л числах Сне г-
матмческ й сборник задач. Вып. I.
Стр. 91. Ц 30 к.
Нч же. То же. Bit. II. Стр 5' - Ц 1* к-
И.х же. То я;*'. Выл. III. Сгр. 57. Ц. 3'hc.
Зверев, Н. К. Элемгптар щи i еом»жт-
' гни. Ч. I. Планиметрия. Стр. 154.
Ц. <5 г.
Его же. Т» же, Ч. II. Стереометрия.
Cip. 94. Ц. 50 к.
Звягин пев, Е. Б?рнашевсхий, А.
Живой счет в городской школе.
Вып. I. Cip. 72. Ц 30 к.
Их Ж 3. То же. Вып. 11. Стр. 110.
JJ- W к.
ИхЧк . То же. Вия. III. Стр. П>5.
Ц. 4п к.
Иовлев. М. Н. П иитическая геомет-
рия. Сто 116. Ц. 60.
Карасев. П. Г*«метрля на подвижных
М >ДРЛ;1Х. Стр КМ, Ц 60 К.
Клазен и Бах. Сборник геометрнче"
ских задач. Вып. 1. Плаамметрия-
Стр. 40. Ц. 25 к.
Крогиус, В. А. Прямолинейна» триго-
нометрия. Стр. 110. Ц. 40 к.
Киселев, А Элементарная алгебра. Стр.
3*3. ц. I 20 к., в пап. 1 р. 35 р.
Лебединцев, К. Ф. Руководство
ал!ч*лри. Стр. 312. И- 1 р. 40 коп.
Мартэль, Ф. Быстрый счет. Правила
я упражнения. С гр- 85. Ц. 40 к
Михайлов, А. Таблицы л о; ирифмов с
4-мя десятичными знаками. Стр.87.
П. 40 к.
Никитин, А. И. Первая ступень пз
I геометрии. Сгр. 80. Ц. 20 к.
Его же. Вторая ступень из геометрии.
Стр. 143. Ц. 40 к.
Нзррис, Э., Смит, К- Практическая
ар.1фмегпкI. С примерами дли фи-
зики и мехаппки. Ст/. 231. Ц. 93 к.
Норрис. Э., Крэго, Р 0/нови алгеЗ-
I ры, геометрии и тригонометрии. Ч. I.
Сгр. 224. Ц. 85 к
Перельман, Я.И. Новые и старые меры.
Сгр. 31. Ц 15 к-
Е."О Ж±. Новый ан дачник к краткому
ку >су геометрии. Стр, 132. Ц. 55 к.
Рыбкин, Н. Сборник геометрических
задач на вычисление. Ч. I. Плани-
метрия. Стр. 128. Ц. 50 к.
Его же То же. Ч. II. Сгереометрпя-
Стр. 100. Ц. 50 к
Его же. Учебник прямолинейной три-
гонометрии и собрание вадлч.
Сгр. 170. Ц. 90 к.
Его же. Собрание стереометрических
задач, требуют х применения три-
гонометрии. Стр. 80. Ц. 35 к.
Шапошников, Н А. 1й рс прямолиней-
ной тригонометрии и собрание три-
ггноэгетрячгзадач. Стр. 139. Ц.75к.
Шапошников. Н- А.. Вальцев. Н. К.
С-блрнпк апгебраическ. вадач. Ч. П.
Стр. 191. R. 65 к.
Шохо2-Троокий, С. И , Учебник на-
чальной арифмеглкм.Стр. 1С7.Ц 50 к.
ТОРГОВЫЙ СЕКТОР ГОСУДАРСТВЕННОГО ИЗДАТЕЛЬСТВА:
МЭСКЧА. Ильинка, Биржевая,плошать, Богоявленский пер., 4.
ПЕТРОГРАД, Проспект 25-го октября (Невский), 28.
МАГАЗИНЫ в МОСКВЕ-
1) Согетс ая плошать (пол гост. .Дргз-iru-i; 2 Меховая, 17 (по* гост. „Нацпо-
:* Б Нн*нтс :ся 13 cuani г ко< сервагопш1>; ) Никольская ул, 3:
Серпухов.кгя площекь. 1 43: е) Кузнецкий Мост, 12.
. „	МАГАЗИНЫ в ПЕТРОГРАДЕ:
1. Проспект 2> очтябзя (Невский', 28: 21 Проспект Во -ояарского (Лнтей-
кып). 21; л Просаект 25 го октября, 13; 4) Проспект 25-го октября, 68.