ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК ДЛЯ 7—9 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Утверждено
Государственным комитетом СССР
по народному образованню
3-е издание
1 ' -i *'Г»
\
<.
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1992

ББК 22.151я72
Г36
Авторы:
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина
Издание подготовлено под научным руководством
академика А. Н. Тихонова
Учебник занял первое место на Всесоюзном конкурсе
учебников по математике для средней общеобразовательной школы в 1988 г.
Геометрия: Учеб. для 7—9 кл. сред. шк./Л. С. Атанасян,
Г36 В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.— 3-е изд.— М.: Просве-
Просвещение, 1992.— 335 с: ил.— ISBN 5-09-003876-7.
4306020500—117
103@3)—92
ISBN 5-09-003876-7
инф. письмо — 92, № 76
ББК 22.151я72
Атанасян Л. С. и другие, 1990
Дорогие семиклассники!
Пи начинаете изучать новый предмет — геометрию и будете
••миМпгься ею пять лет. Что это такое — геометрия?
I гомстрия возникла очень давно, это одна из самых древних
и*ук № переводе с греческого слово «геометрия» означает «зем-
'u«Mi|)iic» («гео» — по-гречески земля, а «метрео» — мерить).
1мкис плавание объясняется тем, что зарождение геометрии было
i niiiiiiii) с различными измерительными работами, которые прихо-
ИИЛОС1, наполнять при разметке земельных участков, проведении
(i«»l»tif, строительстве зданий и других сооружений. В результате
• inn дгшолыюсти появились и постепенно накапливались различ-
различные пошила, связанные с геометрическими измерениями и постро-
• нннмн Синим oflpajom, геометрия возникла на основе практиче-
< мни лгпк'п.нопи людей и в начале своего развития служила пре-
им у nit t пинии 11|>111Aич( гкнм целям. R дальнейшем геометрия
i •|м||'мм|"мы'1й11, нин (iiMni юнifjn,и,iii мпука, занимающаяся изу-
'IMIIHM U<i)Mi'||i|i4i't I\HX l|niiy|>.
lid y|iiii\n4 миif-Miiiiikii мы познакомились с некоторыми геомет-
)ii»'iii ними '|iiiiy|)iiMii и представляете себе, что такое точка, пря-
мии, oijifiiiu, луч, угол (рис. 1), как они могут быть расположе-
расположены опкхип-льно друг друга. Вы знакомы с такими фигурами, как
фкугмлышк. прямоугольник, круг и др. (рис. 2); знаете, как изме-
|1ню|сн отрезки с помощью линейки с миллиметровыми деления-
делениями и кик измеряются углы с помощью транспортира. Но все это —
'шим. елмые первые геометрические сведения. Теперь вам пред-
i гонт расширить и углубить ваши знания о геометрических фигу-
рпх. Вы познакомитесь с новыми фигурами и со многими важными
и интересными свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете
Точка
Треугольник Прямоугольник
Луч
Отрезок
Угол
Окружность
Круг
Рис. 1
Рис. 2

Прямоугольный
параллелепипед
Цилиндр
о том, как используются свойства геометрических фигур в прак-
практической деятельности. Во всем этом вам поможет учебник и,
конечно, учитель.
Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стерео-
стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плос-
плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, треугольники,
прямоугольники. В стереометрии изучаются свойства фигур в
пространстве, таких, как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3).
Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.
В процессе изучения геометрии вы будете доказывать теоремы
и решать задачи. Что такое «теорема» и что значит «доказать
теорему» — об этом вы скоро узнаете. Ну, а что такое задача —
вам известно, на уроках математики вы решали разные задачи.
В нашем учебнике геометрии имеется много задач: есть задачи
и практические задания к каждому параграфу, дополнительные
задачи к каждой главе и, наконец, задачи повышенной труд-
трудности. Основными являются задачи к параграфу. Более трудные
задачи отмечены звездочкой. В конце книги к задачам даны отве-
ответы и указания. Всем, кто проявит интерес к геометрии, кому понра-
понравится решать задачи и доказывать теоремы, мы советуем порешать
не только обязательные задачи, но и задачи со звездочкой, допол-
дополнительные задачи и задачи повышенной трудности. Решать такие
задачи непросто, но интересно. Не всегда удается сразу найти
решение. В таком случае не унывайте, а проявите терпение и
настойчивость. Радость от решения трудной задачи будет вам
наградой за упорство. Не бойтесь заглядывать вперед, читать те
параграфы, которые еще не проходили в классе. Задавайте
вопросы учителю, товарищам, родителям.
Доброго вам пути, девочки и мальчики!
4
7 класс
Глава I
НАЧАЛЬНЫЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СВЕДЕНИЯ
§ I. ПРЯМАЯ И ОТРЕЗОК
1. Точки, прямые, отрезки. Вспомним, что нам известно о
точках и прямых. Мы знаем, что для изображения прямых на
чертеже пользуются линейкой (рис. 4), но при этом можно изобра-
изобразить лишь часть прямой, а всю прямую мы представляем себе
простирающейся бесконечно в обе стороны. Обычно прямые
обозначают малыми латинскими буквами, а точки — большими
латинскими буквами. На рисунке 5 изображены прямая а и точки
А, В, С и D. Точки А и В лежат на прямой а, а точки С и D не
лежат на этой прямой. Можно сказать, что прямая а проходит
через точки Л и В, но не проходит через точки С и D. Отметим, что
через точки А и В нельзя провести другую прямую, не совпадаю-
совпадающую с прямой а. Вообще, через любые две точки можно провести
прямую, и притом только одну1К
Рассмотрим теперь две прямые. Если они имеют общую точку,
то говорят, что эти прямые пересекаются. На рисунке 6 прямые
Изображение прямой
на чертеже
Рис. 4
• D
Прямая и точки
Рис. 5
1 Здесь и в дальнейшем, говоря сдве точки», «три точки», «две прямые»
и т. д., будем считать, что эти точки, прямые различны.
5

Рис. 6
Отрезок А В
б)
Рис. 7
а и b пересекаются в точке О, а прямые р и q не пересекаются.
Две прямые не могут иметь двух и более общих точек. В самом
деле, если бы две прямые имели две общие точки, то каждая из
прямых проходила бы через эти точки. Но через две точки прохо-
проходит только одна прямая. Таким образом, можно сделать вывод:
две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют
общих точек.
Прямую, на которой отмечены две точки, например Л и В,
иногда обозначают двумя буквами: АВ или ВА. Для краткости
вместо слов «точка А лежит на прямой а» используют запись
А, а вместо слов «точка В не лежит на прямой а»— запись
На рисунке 7, а выделена часть прямой, ограниченная двумя
точками. Такая часть прямой называется отрезком. Точки, огра-
ограничивающие отрезок, называются его концами. На рисунке
7, б изображен отрезок с концами А и В. Такой отрезок обозна-
обозначается АВ или ВА. Отрезок А В содержит точки Л и В и все точки
прямой АВ, лежащие между А и В.
2. Провешивание прямой на местности. Решим такую зада-
задачу: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный,
чем сама линейка. С этой целью приложим к листу бумаги линей-
линейку, отметим точки Л и Б и какую-нибудь точку С, лежащую
между А и В (рис. 8, а). Затем передвинем линейку вправо так,
АС В
6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
В
I I I I I I I I I Т I I I 1 Г
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Рис. 8
чтобы ее левый конец оказался около
точки С, и отметим точку D около пра-
uoro конца линейки (рис. 8,6). Точ-
Точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
Если мы проведем теперь отрезок А В,
а затем отрезок BD, то получим от
резок AD, более длинный, чем ли-
линейка.
Рис. 9
Аналогичный прием используется для «проведения» длинных
отрезков прямых на местности. Этот прием заключается в сле-
следующем. Сначала отмечают какие-нибудь точки А н В. Для
этой цели используют две вехи — шесты длиной около 2 м, за-
заостренные иа одном конце для того, чтобы их можно было
воткнуть в землю. Третью веху ставят так, чтобы вехи, стоя-
стоящие в точках А и В, закрывали ее от наблюдателя, находящегося
в точке А (точка С на рисунке 9). Следующую веху ставят так,
чтобы ее закрывали вехи, стоящие в точках В и С, и т. д. Ясно,
что таким способом можно построить сколь угодно длинный отре-
отрезок прямой.
Описанный прием называется провешиванием прямой (от слова
«веха»). Он широко используется на практике, например при руб-
рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или
железной дороги, линий высоковольтных передач и т. д.
Практические задания
1. Проведите прямую, обозначьте ее буквой а и отметьте точки
А к В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежащие
на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р, Q, R и
прямой а, используя символы f и ((.
2. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой,
и проведите прямые АВ, ВС и СА.
3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересека-
пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько
получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
4. Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали
на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые
две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
5. Проведите прямую а и отметьте на ней точки А и В. Отметьте:
а) точки М и N, лежащие на отрезке АВ\ б) точки Р и Q, лежа-
лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке А В; в) точки R и S,
не лежащие на прямой а.
7

в
Д 6. Проведите прямую и отметь-
отметьте на ней три точки. Сколь-
Рис 10
ко отрезков получилось на
прямой?
7. На рисунке 10 изображена прямая, на ней отмечены точки А,
В, С и D. Назовите все отрезки: а) на которых лежит точка С;
б) на которых не лежит точка В.
§ 2. ЛУЧ И УГОЛ
3. Луч. Проведем прямую а и отметим на ней точку О
(рис. 11). Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из
которых называется лучом, исходящим из точки О (на рисун-
рисунке 11 один из лучей выделен жирной линией). Точка О называется
началом каждого из лучей. Обычно луч обозначают либо малой
латинской буквой (например, луч h на рисунке 12, а), либо двумя
большими латинскими буквами, первая из которых обозначает
начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче (например,
луч О А на рисунке 12,6).
4. Угол. Напомним, что угол — это геометрическая фигура, ко-
которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — верши-
вершиной угла. На рисунке 13 изображен угол с вершиной О и сторона-
сторонами h и k. На сторонах отмечены точки А и В. Этот угол обозначают
так: /Lhk, или Z.AOB, или /LO.
Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на
одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развернутого
угла является продолжением другой стороны. На рисунке 14
изображен развернутый угол с вершиной С и сторонами р и q.
Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол нераз-
а 0
Точка 0разделяет прямую
Рис. 11 на два луча
Рис. 13
8
О
Угол
0
р
Луч h
а)
А
Луч ОА
5)
с я
Развернутый угол
Рис.
Рис.
12
14
Внешняя ,,.-.-..-.-..-
область /ЩЩж
игла УёМ^г;^
ж.-.«... .и UJIW.IHU. ..-•."¦;
•а
Рис. 15
вернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая —
внешней областью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15, б изоб-
изображен неразвернутый угол. Точки А, В, С лежат внутри этого
угла (т. е. во внутренней области угла), точки D и Е — на сторо-
сторонах угла, а точки Р и Q — вне угла (т. е. во внешней области
угла). Если угол развернутый, то любую из двух частей, на кото-
которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью
угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области,
также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвернутого угла и проходит
внутри угла, то он делит этот угол на два угла. На рисунке 16, а
луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если угол
АОВ развернутый, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами
ОА и ОВ, делит этот угол на два угла: АОС и СОВ (рис. 16, б).
Практические задания и вопросы
8. Проведите прямую, отметьте на ней точки Л и Б и на отрез-
отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей АВ, ВС, СА, АС и
В А найдите пары совпадающих лучей; б) назовите луч, кото-
который является продолжением луча СА.
9. Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так:
/.АОВ, t-hk, /LM.
В
в
6)
Луч ОС делит угол АОВ
на два угла:/.А0Си/.С0В
Рис. 16

Рис. 17
»N
в
Рис. 18
10. Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами.
11. Начертите три луча Л, k и / с общим началом. Назовите все
углы, образованные данными лучами.
12. Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри
этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах
угла.
13. Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, В, М и
N так, чтобы все точки отрезка АВ лежали внутри угла,
а все точки отрезка MN лежали вне угла.
14. Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч
ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который
не делит угол АОС на два угла.
15. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении
двух прямых?
16. Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри
угла hk, а какие — вне этого угла?
17. Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол
АОВ на два угла?
§ 3. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
5. Равенство геометрических фигур. Среди окружающих нас
предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и
одинаковые размеры. Такими предметами являются, например, два
одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых
автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму
и одинаковые размеры, называют равными.
На рисунке 19 изображены фигуры Ф| и Ф2. Чтобы установить,
равны они или нет, поступим так. Скопируем фигуру Ф, на каль-
кальку. Передвигая кальку и накладывая ее на фигуру Ф2 той или
другой стороной, попытаемся совместить копию фигуры Ф, с фигу-
10
о)
Рис. 19
АС<АВ
Рис. 20
рой Ф2. Если они совместятся, то фигура Ф, равна фигуре Ф2.
Мы можем представить себе, что на фигуру Ф2 накладыва-
накладывается ие копия фигуры Ф,, равная этой фигуре, а сама фигура
Ф,. Поэтому в дальнейшем будем говорить о наложении самой
фигуры (а не копии) на другую фигуру. Итак, две геометриче-
геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить
наложением.
6. Сравнение отрезков и углов. На рисунке 20, а изображены
два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим
один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместил-
совместился с концом другого (рис. 20, б). Если при этом два других кон-
конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, зна-
значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то
меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого.
На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэто-
поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС<АВ).
Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных от-
отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 21 точка С —
середина отрезка АВ.
На рисунке 22, а изображены нераз-
неразвернутые углы 1 и 2. Чтобы установить,
равны они или нет, наложим один угол
на другой так, чтобы сторона одного
угла совместилась со стороной другого,
а две другие оказались по одну сторону от
в
АС=СВ
Точка С-середина
отрезка А В
Рис. 21

Рис. 22
А
О
В
Неразвернцтый угол СОВ
составляет часть
развернутого углаАОВ
Рис. 23
совместившихся сторон (рис. 22,6). Если две другие стороны
также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит,
они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим
считается тот угол, который составляет часть другого. На ри-
рисунке 22, б угол 1 составляет часть угла 2, поэтому /L 1 < Z.2.
Неразвернутый угол составляет часть развернутого (рис. 23),
поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые
два развернутых угла, очевидно, равны.
Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два рав-
равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке 24 луч I —
биссектриса угла hk.
Вопросы и задачи
18. На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка
В лежит между точками О и Л, а точка А — между точками
О и С. Сравните отрезки ОВ и ОА, ОС и ОА, ОВ и ОС.
19. Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли сов-
совместить наложением отрезки: а) ОА и ОВ; б) ОА и АВ?
20. На рисунке 25 отрезки А В, ВС, CD и DE равны. Укажите:
а) середины отрезков АС, АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой ко-
Рис. 24
Рис. 25
12
Луч I—биссектриса
угла hk
В С D ?
Рис. 26
торого является точка D; в) отрезки, серединой которых явля-
является точка С.
21. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ
и АОС.
22. Луч / — биссектриса угла hk. Можно ли наложением сов-
совместить углы: a) hi и Ik; б) hi и hk?
23. На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите:
а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ;
б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС.
§ 4. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
7. Длина отрезка. На практике часто приходится измерять
отрезки, т. е. находить их длины. Измерение отрезков основано
на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу
измерения (его называют также масштабным отрезком). Если,
например, за единицу измерения принят сантиметр, то для опреде-
определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке уклады-
укладывается сантиметр. На рисунке 27 в отрезке АВ сантиметр укла-
укладывается ровно два раза1*. Это означает, что длина отрезка АВ
равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и
пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу изме-
измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке —
получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные
части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз
одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 27
в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в остатке ровно 4
раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр),
поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Возможно, однако, что
и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр)
А В
АВ=2сму AC=J,4cm,
р
Рис. 27
1 Этот рисунок выполнен в масштабе 2:К
13

A
0
1
1 2 :
z
.'"
4
llllll
1
1
В
II1111J Г Г
; <
¦ !
AC+CB-AB
Рис. 28
не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый
остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 27, в
котором сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остат-
остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком
случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна
3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную
часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на
10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно
этот процесс можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка
со все большей точностью. На практике, однако, пользуются
приближенными значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать не только сантиметр,
ио и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно
измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым по-
положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица
измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части
укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. рав-
равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше
другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в
этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отре-
отрезок имеет меньшую длину.
На рисунке 28 изображен отрезок А В. Точка С делит его на
два отрезка. АС и СВ. Мы видим, что ЛС = 3 см, СВ = 2,7 см,
АВ = 5,7 см. Таким образом, АС-\-СВ =АВ. Ясно, что и во всех
других случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина
всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Длина отрезка называется также расстоянием между концами
этого отрезка.
8 Единицы измерения. Измерительные инструменты. Для
измерения отрезков и нахождения расстояний на практике исполь-
используют различные единицы измерения. Стандартной международной
единицей измерения отрезков выбран метр — отрезок, приближен-
14
но равный ' части земного меридиана. Эталон метра в
виде специального металлического бруска хранится в Междуна-
Международном бюро мер и весов во Франции. Копии эталона хранятся
в других странах, в том числе и в СССР. Один метр содержит
сто сантиметров. В одном сантиметре десять миллиметров.
При измерении небольших расстояний, например расстояния
между точками, изображенными на листе бумаги, за единицу изме-
измерения принимают сантиметр или миллиметр. Расстояние между
отдельными предметами в комнате измеряют в метрах, расстоя-
расстояние между населенными пунктами — в километрах. Используются
и другие единицы измерения, например, дециметр, морская миля
A миля равна 1,852 км). В астрономии для измерения очень боль-
больших расстояний за единицу измерения принимают световой год,
т. е. путь, который свет проходит в течение одного года.
Мы назвали единицы измерения расстояний, которые использу-
используются на практике в наше время. В старину в разных странах
существовали свои единицы измерения. Так, на Руси использова-
использовались аршин @,7112 м), сажень B,1336 м) и др.
На практике для измерения расстояний пользуются различ-
различными инструментами. Например, в техническом черчении употреб-
употребляется масштабная миллиметровая линейка. Для измерения диа-
диаметра трубки используют штангенциркуль (рис. 29). С его по-
помощью можно измерять расстояния с точностью до 0,1 мм. Для
измерения расстояний на местности пользуются рулеткой, кото-
которая представляет собой ленту с нанесенными на ней делениями
(рис. 30).
Практические задания
24. Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их
в сантиметрах и в миллиметрах.
25. Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите
толщину одного листа.
26. Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 31,
если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
27. Начертите отрезок А В и луч Л. Пользуясь масштабной ли-
линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины
которых равны 2АВ, -^АВ и -^-АВ.
28. Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В. С помощью
15

Рулетка
Рис. 30
I/
Рис. 29 Штангенциркуль
л i \L Рис. 31
масштабной линейки отметьте точки С и D так, чтобы точка
В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрез-
отрезка ВС.
29. Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки от-
отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС—2 см. Сколько
таких точек можно отметить на прямой АВ?
Вопросы и задачи
30. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину
отрезка АС, если АВ = 7У8 см, ВС=25 мм.
31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину
отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС=7,2 см; б) АВ = 4 мм,
АС = 4 см.
32. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ =
= 12 см, ВС—13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
33. Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD =
— 7 см, ЛШ=16 см. Каким может быть расстояние ВМ?
16
34. Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче СА
отмечена точка D так, что CD= 15 см. Найдите длины отрез-
отрезков BD и DA.
35. Расстояние между Москвой и Ленинградом равно 650 км. Го-
Город Калинин находится между Москвой и Ленинградом в
170 км от Москвы. Найдите расстояние между Калинином
и Ленинградом, считая, что все три города расположены на
одной прямой.
36. Лежат ли точки Л, Б и С на одной прямой, если АС = 5 см,
АВ = 3 см, БС = 4 см?
Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой,
то больший из отрезков АВ, ВС к АС равен сумме двух других.
По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) ра-
равен 5 см, а сумма двух других (АВ-{-ВС) равна 7 см. Поэтому
точки А, В и С не лежат на одной прямой.
37. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина
отрезка АС. а) Найдите АС, СВ, АО и ОВ, если АВ — 2 см;
б) найдите АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
38. На прямой отмечены точки Q, А и В так, что ОЛ = 12 см,
ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков
ОА и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке А В; б) не лежит
на отрезке АВ.
39. Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной
точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами
этих отрезков.
40. Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка.
Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см.
Найдите длину среднего отрезка.
§ 5. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
9. Градусная мера угла. Измерение углов аналогично измере-
измерению отрезков — оно основано на сравнении их с углом, принятым
за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов при-
принимают градус — угол, равный — части развернутого угла. Эта
единица измерения углов была введена много веков назад, еще
до нашей эры.
Положительное число, которое показывает, сколько раз гра-
градус и его части укладываются в данном угле, называется гра-
17

1 2 3 ¦ S 6 7 в 9 10 И 12
llUllJU
10 0 10 30 SO 70 90 ТОО
Транспортир
Рис. 32
дусной мерой угла. Для измерения углов используется транс-
транспортир (рис. 32).
На рисунке 33, а изображен угол АОВ, градусная мера кото-
которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен
150°» — и пишут: ААОВ=*150°. На рисунке 33,6 угол Aft равен
40° (ZA?=40°). -j? часть градуса называется минутой, а ~
часть минуты — секундой. Минуты обозначают знаком «'», а се-
кунды —знаком «"». Например, угол в 60 градусов, 32 минуты
и 17 секунд обозначается так: 60°32'17".
Если два угла равны, то градус и его части укладываются в
этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют рае-
ные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем
градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в
другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Так как градус составляет — часть развернутого угла, то
развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°,
так как он меньше развернутого.
На рисунке 34 изображены лучи с началом в точке О. Луч
Прямой угол
Острый угол
б)
Рис. 35
Тупой угол
В)
18
Рис. 34
ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим,
wro /LAOC=40°, /LCOB= 120°, /LAOB=160°. Таким образом,
4LAOC+ Z.COB= Z.AOB. Ясно, что и во всех других случаях,
Шлгда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна
сумме градусных мер этих углов.
.Угол называется прямым, если он равен 90° (рис. 35, а), ост-
острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла (рис. 35, б),
тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого,
ио меньше развернутого угла (рис. 35, в).
Прямые углы мы видим в окружающей нас обстановке: пря-
прямой угол образуют линии пересечения стен и потолка в комнате,
два края стола прямоугольной формы и т. д.
10. Измерение углов на местности. Измерение углов на мест-
местности проводится с помощью специальных приборов. Простей-
Простейшим из них является астролябия (рис. 36). Она состоит из двух
частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг
центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся
два узких окошечка, которые используются для установки ее в
определенном направлении.
Для того чтобы измерить угол АОВ
на местности, треножник с астролябией
ставят так, чтобы отвес, подвешенный к
центру диска, находился точно над точ-
точкой О. Затем устанавливают алидаду
вдоль одной из сторон ОА или ОВ, и от-
отмечают деление, против которого находит-
находится указатель алидады. Далее повора-
поворачивают алидаду, направляя ее вдоль дру-
другой стороны измеряемого угла, и отмеча-
отмечают деление, против которого окажется
указатель алидады. Разность отсчета и Астролябия
дает градусную меру угла АОВ. Рис. 36
19

Измерения углов проводятся в различных исследованиях,
например в астрономии при определении положения небесных тел.
Очень важно с достаточной точностью измерять углы при опре-
определении положения искусственных спутников на орбитах. Для этой
цели конструируют специальные приборы. Данные, полученные с
помощью этих приборов, обрабатываются на электронно-вычи-
электронно-вычислительных машинах (ЭВМ).
Практические задания
41. Начертите три неразвернутых угла и один развернутый угол
и обозначьте их так: АЛОВ, /.CDE, /Lhk и /.MNP. С по-
помощью транспортира измерьте углы и запишите результаты
измерений.
42. Начертите луч ОА и с помощью транспортира отложите от лу-
луча ОА углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы /.АОВ = 23°,
43. Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира про-
проведите его биссектрису.
44. Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите
луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС.
Всегда ли это выполнимо?
Вопросы и задачи
45. Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
46. На рисунке 37 изображены лучи с общим началом О. а) Най-
Найдите градусные меры углов АОХ, BOX, AOBt COB, DOX;
б) назовите углы, равные 20°; в) назовите равные углы;
г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градус-
градусные меры.
Рис. 39
47, Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла.
Найдите /.АОВ, если: a) /.АОЕ =
—44°, /.ЕОВ = 77°; б) /_АОЕ =
-=12°37', Z?O5=108°25'.
41. Луч ОС делит угол АОВ на два угла.
Найдите угол СОВ, если /.АОВ = 78°,
а угол АОС на 18° меньше угла ВОС.
АЯ. Луч ОС делит угол АОВ на два угла.
Найдите угол АОС, если /.АОВ = 155° и угол АОС на 15°
больше угла СОВ.
ДО. Угол АОВ является частью угла АОС. Известно, что /.АОС=
= 108°, /.АОВ = 3 /.ВОС. Найдите угол АОВ.
81. На рисунке 38 угол AOD — прямой, /.АОВ=/.ВОС=
= /. COD. Найдите угол, образованный биссектрисами уг-
углов АОВ и COD.
62. На рисунке 39 луч OV является биссектрисой угла ZOY,
а луч 01) — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ,
если /.UOV= 80°.
53. Луч / является биссектрисой неразвернутого угла hk. Мо-
Может ли угол hi быть прямым или тупым?
§ 6. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
П. Смежные и вертикальные углы. Два угла, у которых
одна сторона общая, а две другие являются продолжениями
одна другой, называются смежными. На рисунке 40 углы АОВ
и ВОС смежные. Так как лучи ОА и ОС образуют развернутый
угол, то /.АОВ-\- /.ВОС— /.АОС— 180°. Таким образом, сумма
смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного
угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке 41
углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 — вертикальные.
Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По
2180° /Ъ+ Z2 180°
свойству смежных углов
у
Z.2=180° и /_Ъ+ Z.2= 180°.
Рис. 37
Рис. 38
Рис- 40
Рис. 41
21
20

Рис. 42
В Отсюда получаем: Z. 1 = 180°— Z.2,
Z. 3=180°— Z.2. Таким образом, градус-
? ?_ ные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда
3 следует, что и сами углы равны. Итак,
вертикальные углы равны.
12. Перпендикулярные прямые. Рас-
Рассмотрим две пересекающиеся прямые
(рис. 42). Они образуют четыре нераз-
неразвернутых угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис. 42),
то остальные углы также прямые (объясните почему). Две пере-
пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаим-
взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.
Перпендикулярность прямых А С и BD обозначается так: ACA.BD
(читается: «Прямая АС перпендикулярна к прямой BD»).
Отметим, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пе-
пересекаются (рис. 43,а). В самом деле, рассмотрим прямые АА\ и
ВВ\, перпендикулярные к прямой PQ (рис. 43,6). Мысленно
перегнем рисунок по прямой PQ так, чтобы верхняя часть ри-
рисунка наложнлась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны,
то луч РА наложится на луч РА\. Аналогично, луч QB наложится
на луч QB\. Поэтому, если предположить, что прямые AAi и ВВ\
пересекаются в точке М, то эта точка наложится на некоторую
точку Ми также лежащую на этих прямых (рис. 43, в), и мы по-
получим, что через точки М и М\ проходят две прямые: АА\ и ВВ\.
Но это невозможно. Следовательно, наше предположение неверно
и, значит, прямые АА\ и ВВ\ не пересекаются.
Для проведения перпендикулярных прямых используют чер-
чертежный угольник и линейку (рис. 44).
\В
а
А
Р
4
1
г
в
а
в,
в,
п)
6)
Рис. 43
Построение перпендикулярных
прямых
Рис. 44
Треножник с экером
Рис. 45
13. Построение прямых углов на местности. Для построения
Прямых углов на местности применяют специальные приборы,
Простейшим h:i которых является экер. Экер представляет собой
два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных
на треножнике (рис. 45). На концах брусков вбиты гвозди так,
что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны.
Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной
ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес нахо-
находился точно над точкой О, а направление одного бруска совпало
с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно
осуществить с помощью вехи, поставленной на луче. Затем про-
провешивают прямую линию по направлению другого бруска (пря-
(прямая ОВ на рисунке 45). Получается прямой угол АОВ.
В геодезии для построения прямых углов используются более
совершенные приборы, например теодолит.
Практические задания
54. Начертите острый угол АОВ и на продолжении луча ОВ от-
отметьте точку D. Сравните углы АОВ и AOD.
55. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого
из них начертите смежный угол.
56. Начертите неразвернутый угол hk. Постройте угол h\k\ так,
чтобы углы hk и h\k\ были вертикальными.
57. Начертите неразвернутый угол M0N и отметьте точку Р
внутри угла, и точку Q — вне его. С помощью чертежного
угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые,
перпендикулярные к прямым ОМ и ON
23
22

Вопросы и задачи
58. Найдите угол, смежный с углом ABC, если: а) ААВС=
= 111°; б) /LABC=90°; в) ЛАВС=15°.
59. Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, ту-
тупым) является другой угол?
60. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они
прямые?
61. Найдите смежные углы hk и kl, если: a) Z-hk меньше /Lkl
на 40°; б) /Lhk больше АЫ на 120°; в) Z.hk больше Z.kl
на 47°18/; г) Ahk = 3 Akl; д) /Lhk: jLkl=b:4.
62. На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD,
если Z. СОВ =148°.
63. Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
64. На рисунке 41 найдите углы: а) 1,3, 4, если Z.2=117°;
б) 1, 2, 4, если Z3=43°27'.
65. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересече-
пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°;
б) сумма трех углов равна 220°.
66. На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) Z.2-f-Z4 =
= 220°; б) 3(Zl-f-Z3)=Z2-f-Z4; в) Z2-Zl=30°.
67. На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в
точке О. Найдите сумму углов: Z 1 + Z 2 + Z 3.
68. На рисунке 48 АЛОВ = 50°, Z FOE = 70°. Найдите углы
АОС, BOD, СОЕ и COD.
69. Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут
ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к пря-
прямой а?
70. Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три
прямые, которые пересекают прямую а. Докажите, что по
крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ I
1. Сколько прямых можно провести через две точки?
2. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
3. Объясните, что такое отрезок.
4. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
6. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вер-
вершина и стороны угла.
в. Какой угол называется развернутым?
7. Какие фигуры называются равными?
8. Объясните, как сравнить два отрезка.
9. Какая точка называется серединой отрезка?
10. Объясните, как сравнить два угла.
11. Какой луч называется биссектрисой угла?
12. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длину
отрезка АВ, если изпестны длины отрезков АС и СВ?
13. Какими инструментами пользуются для измерения расстоя-
расстояний?
14. Что такое градусная мера угла?
15. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную
меру угла АОВ, если известны градусные меры углов АОС
и СОВ?
16. Какой угол называется острым? прямым? тупым?
17. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма
смежных углов?
18. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством
обладают вертикальные углы?
19. Какие прямые называются перпендикулярными?
20. Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей,
не пересекаются.
21. Какие приборы применяют для построения прямых углов
на местности?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
71. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали
на одной прямой. Через каждую пару точек проведите пря-
прямую. Сколько получилось прямых?
72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются.
Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через
25

каждую точку пересечения проходят только две прямые?
73. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех
прямых, проходящих через одну точку?
74. Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками
М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в
два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите
расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками
N и М.
75. Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 cm, LM =
= 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого
из возможных случаев сделайте чертеж.
76. Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрез-
отрезка АР, PQ и QB так, что AP = 2PQ=2QB. Найдите расстоя-
расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) сере-
серединами отрезков АР и QB.
77. Отрезок длины т разделен: а) на три равные части; б) на
пять равных частей. Найдите расстояние между серединами
крайних частей.
78. Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу
части. Расстояние между серединами крайних частей равно
30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
79*. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — се-
середины отрезков АВ и АС. Докажите, что BC=2MN.
80. Известно, что Z.АОВ=35°, /LBOC — 50°. Найдите угол АОС.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с по-
помощью линейки и транспортира.
81. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
82. Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше
другого; б) их разность равна 35°.
83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных
углов.
84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
85*. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпен-
перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
86. Даны две пересекающиеся прямые а и & и точка А, не лежа-
лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые т
и п так, что m_La, л_1_&. Докажите, что прямые т и л не сов-
совпадают.
Глава II
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК
РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
14. Треугольник. Отметим какие-нибудь три точки, не лежа-
лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (рис. 49, а).
Мы получим геометрическую фигуру, которая называется тре-
угольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а от-
отрезки — сторонами треугольника. На рисунке 49, б изображен
треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и СА.
Такой треугольник будем обозначать так: &АВС (читается:
«треугольник ABC*). Этот же треугольник можно обозначить
иначе, записав буквы А, В, С в другом порядке: &ВСА, &СВА
и т. д.
Три угла—Z.BAC, Z.CBA и Z.ACB — называются углами
треугольника ABC. Часто их обозначают одной буквой: Z-Л, Z.B,
jLC. Сумма длин трех сторон треугольника называется его пе-
периметром.
Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника,
называются равными, если их можно совместить наложением.
На рисунке 50 изображены равные треугольники ABC и А\В\С\.
Треугольник
Треугольник с Ъершч-
нами А,В,С и сторонами
АВ,ВСиСА
В)
Рис. 40
Рис. 50
27

Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так,
что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вер-
вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы
этих треугольников. Таким образом, если два треугольника равны,
то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответст-
соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в
равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е.
совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно:
против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так
например, в равных треугольниках ABC и A\B\C\t изображен-
изображенных на рисунке 50, против соответственно равных сторон АВ
и А\В\ лежат равные углы С и С\.
Равенство треугольников ABC и А\В\С\ будем обозначать
так: ДЛБС= ДЛ1В1С1. Ока.зывается, что равенство двух тре-
треугольников можно установить, не накладывая один треугольник
на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Этот
вопрос мы рассмотрим дальше. Такая возможность — установить
равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую,
а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур,
важна для практики, например для сравнения двух земельных
участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.
15. Первый признак равенства треугольников. В математике
каждое утверждение, справедливость которого устанавливается
путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения
называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели
дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о
равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассужде-
рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикаль-
вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом парагра-
параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.
Теорема. Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между
ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и
А\В\С\, у которых АВ—А\Ви АС=А\С\, Z.A — Z.A\ (рис. 51).
Докажем, что ААВС= &А\В\С\.
Так как АА — АА\, то треугольник ABC можно наложить
на треугольник А\В\С\ так, что вершина А совместится с верши-
вершиной А\, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи
28
Рис. 51
А\В\ и AiCi. Поскольку АВ=АуВ\, АС=А\С\, то сторона АВ
совместится со стороной А\В\, а сторона АС — со стороной А\Су\
в частности, совместятся точки В и В\, С и С|. Следовательно,
совместятся стороны ВС и BiCi. Итак, треугольники ABC и А\В\С\
полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.
Доказанная теорема выражает признак (равенство у треуголь-
треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сде-
сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым
признаком равенства треугольников.
Практические задания
87. Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами
М, N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с
помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите
периметр треугольника.
88. Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым.
Назовите: а) стороны, лежащие против углов D, Е, F; б) уг-
углы, лежащие против сторон DE, EF, FD; в) углы, прилежа-
прилежащие к сторонам DE, EF, FD.
89. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите
треугольник ABC, в котором: а) ЛВ = 4,3 см, ЛС=2,3 см,
г1Л = 23°; б) ВС=9 см, ВЛ=6,2 см, ^В = 122°; в) СА =
= 3 см, СВ = 4 см, Z.C = 90°.
Вопросы и задачи
90. Сторона АВ треугольника ABC равна 17 см, сторона АС
вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше
стороны АС. Найдите периметр треугольника ABC.
91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна
18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна
4,6 см.
29

92 «Периметр одного треугольника больше периметра другого. Мо-
Могут ли быть равными эти треугольники?
93. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся
серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники
ABC и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника
ABC, если в треугольнике BDE Z.D = 47°, Z_? = 42°.
94. На рисунке 52 АВ=АС, Z.\==Z.2. а) Докажите, что тре-
треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если
АС=15 см, DC = 5 см.
95. На рисунке 53 BC=AD, /C1 = Z.2. а) Докажите, что тре-
треугольники ABC и CDA равны; б) найдите АВ и ВС, если
AD=\7 cm, DC=* 14 см.
96. На рисунке 54 OA**OD, ОВ = ОС, /11=74°, ZL2 = 36°.
а) Докажите, что треугольники АОВ и DOC равны; б) най-
найдите AACD.
97. Отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения де-
делятся пополам. Докажите, что &АВС= &CDA.
98. В треугольниках ABC и А\В\С\ АВ—А\В\, АС = АХСХ
?А=?А\. На сторонах АВ и А\В\ отмечены точки Р и Р
так, что АР — А\РХ. Докажите, что &ВРС = АВ\Р\С\.
99. На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка
В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причем
AC=AD и АВ=АЕ. Докажите, что /LCBD=/LDEC.
Рис. 52
В.
Рис. 53
Рнс. 54
Н
Отрезок АН-перпендикулпр
к-прямой a
Рис. 55
| I. МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ
ТРЕУГОЛЬНИКА
10. Перпендикуляр к прямой. Рас-
Щотрмм прямую а и точку Л, не лежащую
М н«П (рнс. 55). Соединим точку А от-
рваком с точкой Н прямой а. Отрезок АН
ИМывнется перпендикуляром, проведен-
1щм из точки А к прямой а, если пря-
)ММ АН и а перпендикулярны. Точка И
М*ывается основанием перпендикуляра.
Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно про-
Ы*ги перпендикуляр к пой прямой, и притом только один*
Доказательство. Пусть А — точка, не лежащая на
прямой ВС (рис. 56). Докажем сначала, что из точки А можно
Провести перпендикуляр к прямой ВС.
Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу ABC, как по-
показано на рисунке 56, а. Так как углы ABC и МВС равны, то
первый из них можно наложить на второй так, что стороны ВА
и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго
угла. Наглядно это наложение можно представить себе как пе-
перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А иаложится
на некоторую точку А\ луча ВМ (рис. 56,6). Обозначим буквой
Н точку пересечения прямых АА\ и ВС. Отрезок АН и есть ис-
искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном
наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом
НАи поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно,
Z.\ = /L2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них
прямой. Итак, АН Л. ВС.
Рис. 56
31
30

Рис. 57
В
Рис. 58
Докажем теперь, что из точки А можно провести только один
перпендикуляр к прямой ВС.
Если предположить, что через точку А можно провести еще
один перпендикуляр АН\ к прямой ВС, то получим, что две пря-
прямые АН и АН\, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются
(рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Зна-
Значит, из точки А можно провести только один перпендикуляр к
прямой ВС. Теорема доказана.
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой
используют чертежный угольник (рис. 58).
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой противополож-
противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а).
Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59, б отрез-
отрезки AMi, ВМз, СМз — медианы треугольника ABC.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий верши-
вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется
биссектрисой треугольника (рис. 60, а). Любой треугольник имеет
три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки СС\, DD\ и ЕЕ\ —
биссектрисы треугольника CDE.
м
AM—медиана
треугольника
М
м.
AMf, вм2, см3—медианы
треугольника ABC
Рис. 59
В At I
A At—биссектриса
треугольника ABC
a)
ССи ввь EEt—биссектрисы
треугольника CDE
б)
Рнс. 60
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к пря-
прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой
треугольника (рис. 61). Любой треугольник имеет три высоты.
На рисунках 62, а, б, в отрезки АН\, ВН2, СН3 — высоты тре-
треугольника ABC.
Медианы, биссектрисы и высоты тре-
треугольника обладают замечательными
свойствами: в любом треугольнике ме-
медианы пересекаются в одной точке
(рис. 59, б); биссектрисы пересекаются
в одной точке (рис. 60, б); высоты или
их продолжения также пересекаются в
одной точке (рис. 62, а, б, в). Эти ут-
утверждения мы докажем в VIII классе.
н с
АН—Высота
треугольника ABC
Рис. 61
„ВНг,С&
Высоты треугольника ABC
Рнс. 62
32
2 Заказ 37
33

Ра внобедренный
треугольник
о)
Разносторонний
треугольник
Рис. 63
18. Свойства равнобедренного треугольника. Треугольник на-
называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные
стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона —
основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а). Тре-
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторон-
равносторонним (рис. 63, б).
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треуголь-
треугольника.
Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при осно-
основании равны.
Доказательство. Рассмотрим равнобедренный тре-
треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что /LB=/LC.
Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 64). Треуголь-
Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства тре-
треугольников {АВ — АС по условию, AD — общая сторона, Z.l =
= Z.2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треуголь-
треугольников следует, что Z.B=Z.C. Теорема доказана.
Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, про-
проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство. Обратимся снова к рисунку 64, на
котором ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС,
AD — его биссектриса. Из равенства треугольников ABD и ACD
следует, что BD = DC и Z3=Z.4. Равенство BD = DC означа-
означает, что точка D — середина стороны ВС, и AD — медиана тре-
треугольника ABC. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу,
то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также вы-
высотой треугольника ABC. Теорема доказана.
34
Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равно-
равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают.
Поэтому справедливы также утверждения:
1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к осно-
основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к ос-
основанию, является высотой и биссектрисой.
Практические задания
100. Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по
разные стороны от прямой а. С помощью чертежного уголь-
угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
101. Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки
отметьте середины сторон и проведите медианы треуголь-
треугольника.
102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки
проведите его биссектрисы.
103. Начертите треугольник ABC с тремя острыми углами и тре-
треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чер-
чертежного угольника проведите высоты каждого треуголь-
треугольника.
104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол,
лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым;
в) тупым.
Задачи
105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпен-
Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны, а) Докажите, что
AABD=ACDB; б) найдите ААВС, если /.Л0В = 44°.
106. Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС
на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
а) Докажите, что AABD= &ECD; б) найдите ААСЕ,
если /LACD = 56°, /.ABD = 40°.
107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза мень-
меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите сто-
стороны треугольника.
108. Периметр равнобедренного треугольника ABC с основанием
ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника
BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.
35

в
Рис. 65 Рис. ее
109. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС про-
проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр
треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника
АВМ равен 24 см.
110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его
высотой, то треугольник равнобедренный.
111. На рисунке 65 CD = BD, A. I = Z.2. Докажите, что треуголь-
треугольник ABC равнобедренный.
112. На рисунке 66 АВ = ВС, Z. 1 = 130°. Найдите Z.2.
113. Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой Ь. Перпен-
Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой Ь, равны. Точка
О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что Z.OMP=
= Z.OPM; б) найдите /.NOM, если АМОР=\0Ъ°.
114. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведен-
проведенные к равным сторонам, равны.
115. Медиана AM треугольника ABC равна отрезку ВМ. Дока-
Докажите, что один из углов треугольника ABC равен сумме двух
других углов.
116. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы
равны.
117. На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что А.ВАС =
= Z. CED.
118. На основании ВС равнобедренного треугольника ABC от-
отмечены точки М и N так, что
ВМ = CN. Докажите, что:
В a) ABAM=ACAN; б) тре-
треугольник AMN равнобедрен-
равнобедренный.
119. В равнобедренном треугольни-
треугольнике DEK с основанием DK
отрезок EF — биссектриса,
DK=\6 см, ADEF = 43° Най-
Рис. 67 дите KF, /-DEK, /LEFD
зв
V
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про-
•елсна медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены со-
соответственно точки Е и F так, что AE=CF. Докажите, что:
о) ABDE=&BDF;
б) aADE=ACDF.
§ 3. ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ
РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
19. Второй признак равенства треугольников.
Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла
щфного треугольника соответственно равны стороне и двум при-
ФИвмщим. к ней углам другого треугольника, то такие треуголь-
ки равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и
^i,i, у которых AB=AiB\, Z.A=?.AU Z-B—/LB\ (рис. 68).
Докажем, что А-АВС= Ь.А\В\С\.
Наложим треугольник ABC на треугольник А\В\С\ так, что-
6ы вершина А совместилась с вершиной А\, сторона АВ — с рав-
равной ей стороной Л1В1, а вершины С и С\ оказались по одну сторо-
сторону от прямой А[В\.
Так как L.A= Z.A\ и Z.B=Z.B\, то сторона АС наложится
¦а луч Л|С|, а сторона ВС — на луч BiCi. Поэтому вершина С —
Общая точка сторон АС и ВС — окажется лежащей как на лу-
луне AiCi, так и на луче BiCi и, следовательно, совместится с общей
?очкой этих лучей — вершиной Си Значит, совместятся сторо-
стороны АС и АуСи ВС и BiCi. Итак, треугольники ABC и А\ВХС\
полностью совместятся, следовательно, они равны. Теорема до-
кцзана.
А
37

в
Рис. 69
20. Третий признак равенства треугольников.
Теорема. Если три стороны одного треугольника соответст-
соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие тре-
треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и
BtCu У которых AB=AtBu ВС=ВХСХ, СА = С\А\ (рис. 69).
Докажем, что ААВС= аАхВ\С\.
Приложим треугольник ABC к треугольнику АХВ\С\ так, что-
чтобы вершина А совместилась с вершиной А\, вершина В — с Ви
а вершины С и С\ оказались по разные стороны от прямой А\В\
(рис. 70).
Возможны три случая: луч С\С проходит внутри угла j4|Ci?i
(рис. 70, а); луч С\С совпадает с одной из сторон этого угла
(рис. 70, б); луч С\С проходит вие угла АХС\В\ (рис. 70, в). Рас-
Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоя-
самостоятельно).
Так как по условию теоремы АС=АХС\, BC=BxC\t то тре-
треугольники АХС\С и В\С\С—равнобедренные (см. рис. 70, а).
По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника
Z.1 = Z2, Z3=Z.4, поэтому /-АХСВ\ = /-АХСХВ\. Итак, АС=
Рис. 70
a)
О)
б)
Рис. 71
Рис. 72
ыА\Си BC=BiCi, Z-C=/-Cx. Следовательно, аАВС=
m AAiBiCi по первому признаку равенства треугольников. Тео-
р*ма доказана.
Из третьего признака равенства треугольников следует, что
Треугольник — жесткая фигура. Поясним, что это означает. Пред-
СТввим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем
(рис. 71, а). Такая конструкция не является жесткой: сдвигая
раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол
ними. Теперь возьмем еще одну рейку и скрепим ее концы
fto свободными концами первых двух реек (рис. 71,6). Получен-
«ая конструкция — треугольник — будет уже жесткой. В ней нель-
|я сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя
¦вменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то
1№ получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но
|то невозможно, так как новый треугольник должен быть равен
исходному по третьему признаку равенства треугольников.
Это свойство — жесткость треугольника — широко использу-
используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном
положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же прин-
принцип используется при установке кронштейна (рис. 72,6).
Задачи
121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ,
Z.OAD=/-OBC. а) Докажите, что ACBO=ADAO;
б) найдите ВС и СО, если С?> = 26 см, Л?=15 см.
122. На рисунке 53 (с. 30) Z. 1 = Z.2, Z.3= Z.4. а) Докажите, что
AABC=ACDA; б) найдите АВ и ВС. если Л?=19 см,
CD= 11 см.
39

в
Рис. 73
В Рис. 74
123. На биссектрисе угла А взята точка ?>, а на сторонах этого
угла — точки В и С такие, что Z.ADB= Z.ADC. Докажите,
что BD = CD.
124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР=ОТ, Z.P=Z.T.
125. На рисунке 74 Z.DBC= Z.DAC, ВО = АО. Докажите, что
/.C=Z.D и AC=BD.
126. На рисунке 74 ADAB=Z_CBA, Z.CAB=^DBA, CA =
= 13 см. Найдите DB.
127. В треугольниках ABC и Л,В,С| АВ = АХВХ, BC=B\CU
Z.B= Z.B|. На сторонах АВ и АХВХ отмечены точки D и D\
так, что Z-ACD=Z.AXC\D\. Докажите, что ABCD =
128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, прове-
проведенные к соответственно равным сторонам, равны.
129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АСЪ
/LBCO= Z.DAO. Докажите, что ABOA = ADOC.
130. В треугольниках ABC и A\Bid отрезки СО и СХОХ— ме-
медианы, BC=BtCi, Z.B=Z-Bi и Z.C=Z.C|. Докажите, что:
а) ААСО= AAiCiOu б) АВСО= АВХСХОХ.
В треугольниках DEF и MNP EF=NPt DF=MP и Z.F=
= Z. Р. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О,
а биссектрисы углов М и JV — в точке К- Докажите, что
131.
132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересе-
пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треуголь-
треугольник AMN — равнобедренный.
133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с
его высотой, то треугольник — равнобедренный.
134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если ос-
основание и прилежащий к нему угол одного треугольника со-
соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу
другого треугольника.
40
Рис. 7в
Докажите, что если сторона одного равностороннего тре-
треугольника равна стороне другого равностороннего треуголь-
треугольника, то треугольники равны.
На рисунке 52 АВ=АС, BD = DC и Z.BAC=bQ°. Най-
Найдите Z.CAD.
На рисунке 53 BC=AD, AB = CD. Докажите, что Z.B = Z.D.
ivw. На рисунке 75 AB = CD и BD=AC. Докажите, что:
a) Z.CAD= /-ADB; б) ?BAC=?CDB.
№• На рисунке 76 AB — CD, AD=BC, BE — биссектриса угла
ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:
a) Z-ABE=/LADF; б) аАВЕ= aCDF.
D0. В треугольниках ABC и A\BtCx медианы ВМ и В\М\ равны;
АВ=А\Ви АС—АХС\. Докажите, что аАВС= АА\В\С\.
141. В треугольниках ABC и А\В\С\ отрезки AD и AXD\ —бис-
—биссектрисы, АВ=А\В\, BD = B\D\ и AD=A\DX. Докажите,
что ААВС= ДЛ|В|С|.
142. Равнобедренные треугольники ADC и CBD имеют общее
основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке
О. Докажите, что: a) /LADB—Z.ACB; б) DO = OC.
§ 4. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
21. Окружность. Предложение, в котором разъясняется
смысл того или иного выражения или названия, называется оп-
определением. Мы уже встречались с определениями, например с
определением угла, смежных углов, равнобедренного треуголь-
треугольника и т. д. Дадим определение еще одной геометрической фи-
фигуры — окружности.
Определение. Окружностью называется геометрическая
фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном
расстоянии от данной точки.
41

Окружность радиуса г
с центром О
Рис. 77
ABuEF-хорды
CD-диаметр
Рис. 78
а
Ш и AMB-дуги окружности,
ограниченные точкамиАиВ
Рис. 79
¦ пи MV
Данная точка называется центром окружности, а отрезок,
соединяющий центр с какой-либо точкой окружности,— радиусом
окружности (рис. 77). Из определения окружности следует, что
все радиусы имеют одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее
хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется
диаметром. На рисунке 78 отрезки АВ и EF — хорды окружности,
отрезок CD — диаметр окружности. Очевидно, диаметр окруж-
окружности в два раза больше ее радиуса. Центр окружности явля-
является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая
из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 79
ALB и АМВ — дуги, ограниченные точками А к В.
Для изображения окружности на чертеже пользуются цир-
циркулем (рис. 80). Чтобы провести окружность на местности, можно
Построение окружности
с помощью веревки
Настроена? окружности
с помощью циркуля
Рис. 80
Рис 81
42
Ируг
t
Юльэоиаться веревкой (рис. 81). Часть плоскости, ограни-
|м«я окружностью, называется кругом (рис. 82).
II. Построения циркулем и линейкой. Мы уже имели дело
|Р#омстрическими построениями: проводили прямые, откладывали
|«эки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие
При этом мы пользовались масштабной линейкой, цир-
, транспортиром, чертежным угольником. Оказывается, что
с построения можно выполнить с помощью только циркуля
§ линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии спе-
выделяют те задачи на построение, которые решаются
| помощью только этих двух инструментов. Что можно делать
§ щж помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произволь-
»рямую, а также построить прямую, проходящую через две
(ые точки; с помощью циркуля можно провести окружность
радиуса, а также окружность с центром в данной точке
| радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные
|§ерации, мы сможем решить много интересных задач на по-
фгроение: построить угол, равный данному, через данную точку
Щровести прямую, перпендикулярную к данной прямой, разделить
Данный отрезок пополам и другие задачи. Начнем с простой
|Мачи.
Задача. На данном луче от его начала отложить отрезок,
равный данному.
Решение. Изобразим фигуры, данные в условии задачи:
луч ОС и отрезок АВ (рис. 83, а). Затем циркулем построим ок-
окружность радиуса АВ с центром О (рис. 83,6). Эта окружность
пересечет луч ОС в некоторой точке ?). Отрезок OD — искомый.
23. Примеры задач на построение.
Построение угла, равного данному.
Задача. Отложить от данного луча угол, равный данному.
Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены
на рисунке 84. Требуется построить угол, равный углу А, так,
чтобы одна из сторон совпала с лучом ОМ.
А В
А"
0
м
Рис. 82
Рис. 83
Рис. 84
43

44
Рис 85
Проведем окружность произвольного радиуса с центром в
вершине А данного угла. Эта окружность пересекает стороны
угла в точках В и С (рис. 85, а). Затем проведем окружность
того же радиуса с центром в начале данного луча ОМ. Она пере-
пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После этого построим окруж-
окружность с центром D, радиус которой равен ВС. Окружности с
центрами О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих точек
обозначим буквой Е. Докажем, что угол МОЕ — искомый.
Рассмотрим треугольники ABC и ODE. Отрезки АВ и АС
являются радиусами окружности с центром A, a OD и ОЕ — ра-
радиусами окружности с центром О (см. рис. 85,6). Так как по
построению эти окружности имеют равные радиусы, то AB = OD,
АС—ОЕ. Также по построению BC—DE. Следовательно,
дАВС= AODE по трем сторонам. Поэтому /LDOE—Z.BAC,
т. е. построенный угол МОЕ равен данному углу А.
То же построение можно выполнить и на местности, если
вместо циркуля воспользоваться веревкой.
Построение биссектрисы угла.
Задача. Построить биссектрису данного угла.
' Решение. Проведем окруж-
окружность произвольного радиуса с цент-
центром в вершине А данного угла. Она
пересечет стороны угла в точках В
и С (рис. 86). Затем проведем две
окружности одинакового радиуса
ВС с центрами в точках В и С (на
рисунке изображены лишь части
этих окружностей). Они пересекут-
пересекутся в двух точках. Ту из этих то-
Рис
Рис. 87
[lid. которая лежит внутри угла ВАС,
олшчим буквой Е. Докажем, что луч
является биссектрисой данного угла.
Рассмотрим треугольники АСЕ и ABE.
Они равны по трем сторонам. В самом
|лие, АЕ — общая сторона; АС и АВ
(Мины, как радиусы одной и той же
вк|»ужности; СЕ=ВЕ по построению. Из
равенства треугольников АСЕ и ABE сле-
йуст, что Z-CAE= /_ВАЕ, т. е. луч АЕ —
биссектриса данного угла.
Замечание. Можно ли с помощью циркуля и линейки
разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно,—
для этого нужно провести биссектрису этого угла. Данный угол
можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно
разделить его пополам, а затем каждую половину разделить
•ще раз пополам. А можно ли с помощью циркуля и линейки
рпзделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получив-
получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков
привлекала внимание математиков. Лишь в прошлом веке было
доказано, что для произвольного угла такое построение невоз-
невозможно.
Построение перпендикулярных прямых.
Задача. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую,
проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной
прямой.
Решение. На лучах данной прямой а, исходящих из дан-
данной точки М, отложим равные отрезки МА и MB (рис. 87). Затем
построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они
пересекаются в двух точках: Р и Q. Проведем прямую через
точку М и одну из этих точек, например прямую МР (см. рис. 87),
и докажем, что эта прямая искомая.
В самом деле, так как медиана РМ равнобедренного треуголь-
треугольника РАВ является также высотой, то PMJ-a.
Построение середины отрезка.
Задача. Построить середину данного отрезка.
Решение. Пусть А В — данный отрезок. Построим две ок-
окружности с центрами Аи В радиуса АВ (рис. 88). Они пересекают-
пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую PQ. Точка О пересечения
чтой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ
4*

в
Рис. 89
В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трем сто-
сторонам, поэтому Z.l = zL2 (рис. 89). Следовательно, отрезок
РО — биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит,
и медиана, т. е. точка О — середина отрезка АВ.
Вопросы и задачи
143. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются:
а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) ра-
радиусами окружности?
144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что:
а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны;
в) Z.BAD=/-BCD.
145. Отрезок МК— диаметр окружности с центром О, а МР
и РК — равные хорды этой окружности. Найдите /L РОМ.
146. Отрезки АВ и CD—диаметры окружности с центром О.
Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что
Cfi=I3 см, АВ= 16 см.
147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что
угол АОВ— прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности.
Докажите, что хорды АВ и АС равны.
148. На прямой даны две точки Л и В. На продолжении луча
ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС—2АВ.
149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок
PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ.
Всегда ли задача имеет решение?
150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ.
Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ.
Всегда ли задача имеет решение?
151. Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так,
чтобы /LYXZ=2Z.BAC.
Рис. 91
Дан тупой угол АОВ. Постройте
луч ОХ так чтобы углы ХОА и
ХОВ были равными тупыми уг-
углами.
|||> Даны прямая а и точка М, не
лежащая на ней. Постройте пря-
прямую, проходящую через точку М
и перпендикулярную к прямой а.
Решение. Построим окружность с центром М, пересекаю-
пересекающую прямую а в двух точках, которые обозначим буквами
А и В (рис. 91). Затем построим две окружности с центра-
центрами А и Вг проходящие через точку М. Эти окружности
пересекаются в точке М и еще в одной точке N. Проведем
прямую MN и докажем, что эта прямая искомая. В самом
деле, треугольники AMN и BMN равны по трем сторонам,
поэтому Z.1 = Z.2. Отсюда следует, что отрезок МС (С —
точка пересечения прямых а и MN) является биссектрисой
равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой.
Таким образом, MNJ-AB.
154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису А К;
б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.
155. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:
а) 45е; б) г
4Ь
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ II
1. Объясните, какая фигура называется треугольником. Начер-
Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.
Что такое периметр треугольника?
2. Какие треугольники называются равными?
3. Что такое теорема и доказательство теоремы?
4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый
признак равенства треугольников.
5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, про-
проведенным из данной точки к данной прямой.
6. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, про-
проведенном из данной точки к данной прямой.
7. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько
медиан имеет треугольник?
8. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь-
Сколько биссектрис имеет треугольник?
47

9. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько
высот имеет треугольник?
10. Какой треугольник называется равнобедренным? Как назЫ"
ваются его стороны?
11. Какой треугольник называется равносторонним?
12. Докажите, что углы при основании равнобедренного тре-
треугольника равны.
13. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобед-
равнобедренного треугольника.
14. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй
признак равенства треугольников.
15. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий
признак равенства треугольников.
16. Что такое определение? Дайте определение окружности. Что
такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
17. Объясните, как отложить на данном луче от его начала отре-
отрезок, равный данному.
18. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный дан-
данному.
19. Объясните, как построить биссектрису данного угла.
20. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную
точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную
к этой прямой.
21. Объясните, как построить середину данного отрезка.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
156. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Сторона ВС боль-
больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС
на 1 см. Найдите стороны треугольника.
157. В равнобедренном треугольнике основание больше боковой
стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см.
Найдите стороны треугольника.
158. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Ме-
Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник
на два треугольника так, что периметр одного треугольника
на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сто-
сторону данного треугольника.
1Б9. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если
боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одно-
48
Рис. 92
Рнс. 93
Рис. 94
го треугольника соответственно равны боковой стороне и
углу, противолежащему основанию, другого треугольника.
160. Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпен-
перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка пря-
прямой а равноудалена от точек А и В\ б) каждая точка, рав-
равноудаленная от точек Л и В, лежит на прямой а.
161. В треугольниках ABC и AiBiCi медианы AM и AiMi равны,
BC=BtCi и ?AMB=Z-AiMiBi. Докажите, что &АВС=
162. На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE —
основание. Докажите, что: а) если BD=*CE, то /LCAD =
= ^ВАЕ и АВ=АС\ б) если Z-CAD = Z.BAE, то BD = CE
и ЛВ=ЛС.
163. Докажите, что середины сторон равнобедренного треуголь-
треугольника являются вершинами другого равнобедренного тре-
треугольника.
164. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены
равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93.
Точки D. E, F соединены отрезками. Докажите, что треуголь-
треугольник DEF — равносторонний.
165. Отрезки А В и CD пересекаются в их общей середине О.
На отрезках Л С и BD отмечены точки К и Ki так, что АК =
— BKi. Докажите, что: а) ОК=ОКс, б) точка О лежит на
прямой KKi.
166. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О.
Точки М и N — середины отрезков А С и BD. Докажите,
что точка О — середина отрезка MN.
167. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены.
как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, CE, BF
Докажите, что треугольник DEF — равносторонний
44

Рис. 96
168. В треугольнике ABC Z.A = 38°, zLB= 110°, Z.C=32°. На
стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на
отрезке АЕ, BD = DA, BE = EC. Найдите /.ОДЕ.
169. На рисунке 95 OC = OD. OB = OE. Докажите, что AB = EF.
Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на
рисунке 95), основанный на этой задаче.
170. Докажите, что треугольники ABC и А\В\С\ равны, если
AB=AiBi, Z.A = Z.Ait AD=AiDit где AD и AXDX — бис-
биссектрисы треугольников.
171. В треугольниках ABC и ADC стороны ВС и AD равны
и пересекаются в точке О, Z.OAC= Z.OCA. Докажите, что
треугольники АВО и CDO равны.
172. На рисунке 96 AC=AD, ABA.CD. Докажите, что BC = BD
и Z.ACB=Z.ADB.
173*. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше
каждого из двух других углов треугольника.
174*. Докажите, что ААВС= ДЛ|В|С|, если Z.A= Z.Ait /LB =
= /.Bi, BC=BiC\.
175*. На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так,
что ОА = ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересека-
пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла
XOY. Используя эту задачу, опишите способ построения бис-
биссектрисы угла.
176*. Докажите, что треугольники ABC
и А\В\С\ равны, если AB=AiBu
АС=АхСи АМ=А\Ми где AM и
Л1М1 — медианы треугольников.
177*. Даны два треугольника: ABC и
AiBxCu Известно, что АВ=А{Ви
AC=AtCi, Z-A = Z.AX. На сторонах
Рис. 97 АС и ВС треугольника ABC взяты
60
соответственно точки К и L, а на сторонах AiC\ и BiCi
треугольника А\В\С\ — точки Ki и L\ так, что AK—A\Ki,
LC—L\C\. Докажите, что: a) KL—KiLx\ б) AL = AiL\.
178*. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точ-
точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по край-
крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг
Другу.
179*. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольни-
треугольника ABC отмечены точки Р и Q так, что /,РХВ= Z.QXC, где
X — середина основания ВС. Докажите, что BQ — CP.
180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
данную точку, с центром на данной прямой.
181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
две данные точки.
182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте тре-
треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на прямой а
и AC=PQ.
183. Даны окружность, точки Л, В и отрезок PQ. Постройте тре-
треугольник ABC так, чтобы вершина С лежала на данной
окружности и AC=PQ.
184. На стороне ВС треугольника ABC постройте точку, равно-
равноудаленную от вершин Л и С.
185. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на
четыре равные части.

Глава III
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ
ПРЯМЫЕ
§ 1. ПРИЗНАКИ
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ДВУХ ПРЯМЫХ
24. Определение параллельных прямых. В п. 1 мы отмечали,
что две прямые либо имеют одну общую точку, т. е. пересекаются,
либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не пересекаются.
Определение. Две прямые на плоскости называются
параллельными, если они не пересекаются.
Параллельность прямых а и Ъ обозначают так: а\\Ь.
На рисунке 98 изображены прямые а и Ь, перпендикулярные
к прямой с. В п. 12 мы установили, что такие прямые аи b не пере-
пересекаются, т. е. они параллельны.
Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают па-
параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными,
если они лежат на параллельных прямых. На рисунке 99, а отрез-
отрезки АВ и CD параллельны (AB\\CD), а от-
а резки MN и CD не параллельны. Ана-
логично определяется параллельность от-
отрезка и прямой (рис. 99,6), луча и пря-
, мой, отрезка и луча, двух лучей
(рис. 99, в).
25. Признаки параллельности двух
прямых. Прямая с называется секущей
Рис. 98
в
А В
а
5)
Рис. 99
S)
52
,П
Рис. 100
отношению к прямым а и 6, если она
>секает их в двух точках (рис. 100).
Пересечении прямых а и b секущей с
•эуется восемь углов, которые на ри-
е 100 обозначены цифрами. Некото-
пары этих углов имеют специальные
1вания:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, свя-
нные с этими парами углов.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей
:рест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и 6
жущей АВ накрест лежащие углы равны: Z. 1 = Z.2 (рис. 101, а).
г Докажем, что а\\Ь.
Если углы 1 и 2 прямые (рис. 101, б), то прямые а и Ь перпен-
перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рас-
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О от-
отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой о (рис. 101, в).
На прямой Ь от точки В отложим отрезок ВН\, равный отрезку
ЛЯ, как показано на рисунке 101, в, и проведем отрезок О Hi.
Треугольники ОНА и ОН\В равны по двум сторонам и углу между
ними (АО = ВО, АН — ВНи Z.\ = /L2), поэтому Z.3=Z.4 и
Z.5=Z.6. Из равенства Z.3=Z.4 следует, что точка Н\ лежит
на продолжении луча ОН, т. е. точки Я, О и Н\ лежат на одной
прямой, а из равенства Z.5=Z.6 следует, что угол 6 — прямой
(так как угол 5 — прямой). Значит, прямые а и Ъ перпендику-
перпендикулярны к прямой НН\, поэтому они параллельны. Теорема дока-
доказана.
и ..
7
'в
а)
и
h
е
В
5)
Рис. 101
/е
L
•А
/2 6
Г
ч
у
53

1
ч
Теорема. Если при пересечении
_А двух прямых секущей соответственные
углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при
?, пересечении прямых а и Ь секущей с
I соответственные углы равны, например
Рис. 102 Z. 1 = Z.2 (рис. 102). Так как углы 2 и 3—
вертикальные, то Z.2=Z.3. Из этих двух равенств следует, что
Z. 1 = Z.3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а
и Ь параллельны. Теорема доказана.
Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и Ъ
секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например
Z.l + Z.4=180° (см. рис. 102). Так как углы 3 и 4 — смежные,
то Z.3+Z.4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест
лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и Ъ параллельны.
Теорема доказана.
26. Практические способы построения параллельных прямых.
Признаки параллельности прямых лежат в основе способов пост-
построения параллельных прямых с помощью различных инструмен-
инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ
построения параллельных прямых с помощью чертежного уголь-
угольника и линейки.
Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и парал-
параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к пря-
прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем,
передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ-
/3
Рис 105
I М оказалась на стороне угольника.
m Проведем прямую Ь. Прямые а и Ъ па-
|«ллельны, так как соответственные углы,
Обозначенные на рисунке 103 буквами а
« ?, равны.
На рисунке 104 показан способ по-
вгдоения параллельных прямых при по-
Лолым рейсшины. Этим способом пользу-
пользуются в чертежной практике.
Аналогичный способ применяется при
выполнении столярных работ, где для разметки параллельных
лых используется малка (две деревянные планки, скреплен-
шарниром,рис. 105).
Вопросы и задачи
186. На рисунке 106 прямые а и b пересечены прямой с. Дока-
Докажите, что а\\Ь, если: a) Z.l=37°, Z.7=143°; б) Z.l = ^16;
в) Z. 1 =45°, а угол 7 в три раза больше угла 3. %
187. По данным рисунка 107 докажите, что AB\\DE.
188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине.
Докажите, что прямые АС и BD параллельны.
189. Используя данные рисунка 108, докажите, что BC\\AD.
W0. На рисунке 109 АВ = ВС. AD = DE. ZC = 70°, /.ЕАС=ЪЪ°.
Докажите, что DE\\AC.
а
в\5
Рис. 106
D Рис. 108
Рис. 103
Рис. 104
54
Рис 107
55

191. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точ-
точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М
так, что ВМ=МК. Докажите, что КМ\\АВ.
192. В треугольнике ABC угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный
с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла
ВСЕ параллельна прямой АВ.
193. В треугольнике ABC /LA =40°, /LB—70". Через верши-
вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса
угла ABD. Докажите, что AC\\BD.
194. Начертите треугольник ABD. Через каждую вершину этого
треугольника с помощью чертежного угольника и линейки
проведите прямую, параллельную противоположной стороне.
195. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне
АС. Через точку D с помощью чертежного угольника и линей-
линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам
треугольника.
§ 2. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
27. Об аксиомах геометрии. Изучая свойства геометрических
фигур, мы доказали ряд теорем. При этом мы опирались, как пра-
правило, на доказанные ранее теоремы. А на чем основаны доказа-
доказательства самых первых теорем геометрии? Ответ на этот вопрос
такой: некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур
принимаются в качестве исходных положений, на основе которых
доказываются далее теоремы и, вообще, строится вся геометрия.
Такие исходные положения называются аксиомами.
Некоторые аксиомы были сформулированы еще в первой главе
(хотя они и не назывались там аксиомами). Например, аксиомой
является утверждение о том, что через любые две точки проходит
прямая, и притом только одна. Многие другие аксиомы, хотя и не
были выделены особо, но фактически использовались в наших рас-
рассуждениях. Так, сравнение двух отрезков мы проводили с помощью
наложения одного отрезка на другой. Возможность такого нало-
наложения вытекает из следующей аксиомы: на любом луче от его на-
начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только
один. Сравнение двух углов основано на аналогичной аксиоме:
от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный
данному неразвернутому углу, и притом только один.
Все эти аксиомы являются наглядно очевидными и не вызы-
56
Евклид
(III В. ДО Н. 9.)
сомнений. Само слово «аксиома»
>нсходит от греческого «аксиос»,
означает «ценный, достойный».
1ный список аксиом планиметрии,
Р*пятых в нашем курсе геометрии,
приводим в конце учебника.
Такой подход к построению гео-
грии, когда сначала формулируют-
исходные положения — аксиомы, а
гем на их основе путем логических
(осуждений доказываются другие
фждения, зародился еще в глубо-
глубоки древности и был изложен в знаме-
|гитом сочинении «Начала» древне-
|реческого ученого Евклида (примерно
#65—300 гг. до н. э.). Некоторые из
>ксном Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас
Используются в курсах геометрии, а сама геометрия, изложен-
изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией.
В следующем пункте мы познакомимся с одной из самых
известных аксиом геометрии.
28. Аксиома параллельных прямых. Рассмотрим произвольную
прямую а и точку М, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем,
что через точку М можно провести прямую, параллельную пря-
прямой а. Для этого проведем через точку М две прямые: сначала
прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую Ь пер-
перпендикулярно к прямой с (рис. 110, б). Так как прямые а и Ь пер-
перпендикулярны к прямой с, то они параллельны.
Итак, через точку М проходит прямая 6, параллельная пря-
прямой а. Возникает вопрос: можно ли через точку М провести еще
одну прямую, параллельную прямой а? Нам представляется, что
если прямую Ь «повернуть» даже на очень малый угол вокруг
м
Ь'
Рис. НО
Б7

Н. И. Лобачевский
A792—1856)
точки Л/, то она пересечет прямую а
(прямая Ь' на рисунке 110,6). Ины-
Иными словами, нам кажется, что через
точку М нельзя провести другую пря-
прямую (отличную от 6), параллельную
прямой а. А можно ли это утвержде-
утверждение доказать? Этот вопрос имеет
большую историю. В «Началах» Евк-
Евклида содержится постулат (пятый пос-
постулат Евклида), из которого следует,
что через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести только одн>
прямую, параллельную данной. Многие
математики, начиная с древних вре-
времен, предпринимали попытки доказать
пятый постулат Евклида, т. е. вывести его из других аксиом. Одна-
Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными. И лишь
в прошлом веке было окончательно выяснено, что утверждение
о единственности прямой, проходящей через данную точку па-
параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе
остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огром-
Огромную роль в решении этого вопроса сыграл великий русский ма-
математик Николай Иванович Лобачевский A792—1856).
Итак, в качестве еще одного из исходных положений мы при-
принимаем аксиому параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной.
Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом
или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые след-
следствия из аксиомы параллельных прямых.
1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных пря-
прямых, то она пересекает и другую.
Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны и прямая с
пересекает прямую а в точке М (рис. 111, а). Докажем, что пря-
прямая с пересекает и прямую Ь. Если бы прямая с не пересекала
прямую Ь, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а
и с), параллельные прямой Ь (рис. 111,6). Но это противоречит
аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает
прямую Ь.
а
а) б)
Рис. 112
2°. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
[ параллельны.
Действительно, пусть прямые а и Ь параллельны прямой с
'{рис. 112, а). Докажем, что а\\Ь. Допустим, что прямые а и Ъ
ле параллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке Л!
(рис. 112, б). Тогда через точку М проходят две прямые (прямые
№ и Ь), параллельные прямой с. Но это противоречит аксиоме па-
параллельных прямых. Поэтому наше предположение неверно, а,
«начит, прямые а и Ь параллельны.
29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными
прямыми и секущей. Во всякой теореме различают две части:
условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а
заключение — то, что требуется доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражающую признак парал-
параллельности двух прямых: если при пересечении двух прямых секу-
секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть утверждения:
«при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы
равны» (это дано), а заключением — вторая часть: «прямые па-
параллельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в ко-
которой условием является заключение данной теоремы, а заключе-
заключением — условие данной теоремы. Докажем теоремы, обратные
трем теоремам п. 25.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены се-
секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство. Пусть параллельные прямые а и Ь
пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы,
например 1 и 2, равны (рис. ИЗ). Допустим, что углы 1 и 2 не
равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы
59

a
Рис 113
Г
а
Рис. 114
/LPMN и Z.2 были накрест лежащими углами при пересечении
прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие
углы равны, поэтому МР\\Ь. Мы получили, что через точку М про-
проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой Ь.
Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше
допущение неверно и Z.1 = Z.2. Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве этой теоремы мы исполь-
использовали способ рассуждений, который называется методом дока-
доказательства от противного. Мы предположили, что при пересечении
параллельных прямых а и Ь секущей MN накрест лежащие
углы 1 и 2 не равны, т. е. предположили противоположное тому,
что нужно доказать. Исходя из этого предположения, путем
рассуждений мы пришли к противоречию с аксиомой параллель-
параллельных прямых. Это означает, что наше предположение неверно и,
следовательно, Z. 1 = Z. 2.
Такой способ рассуждений часто используется в математике.
Мы им пользовались и ранее, например в п. 12, при доказатель-
доказательстве того, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пе-
пересекаются. Этим же методом мы пользовались в п. 28 при доказа-
доказательстве следствий 1° и 2° из аксиомы параллельных прямых.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Действительно, пусть а\\Ь и с±.а, т. е. Z.1—90" (рис. 114).
Прямая с пересекает прямую а, поэтому она пересекает также пря-
прямую Ь. При пересечении параллельных прямых а и b секущей с
образуются равные накрест лежащие углы: Z.1 = Z.2. Так как
/_ 1=90°, то и Z.2=90°, т. е. с±Ь, что и требовалось доказать
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены се-
секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство. Пусть параллельные прямые а и b
пересечены секущей с. Докажем, что соотт тстнечные углы
60
например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так как а\\Ь, то накрест
./ежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные.
Из равенств Z. 1 = Z.3 и Z.2= Z.3 следует, что Z. 1 = Z.2. Теоре-
Теорема доказана.
Теорема. Если две параллельные прямые пересечены се-
секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство. Пусть параллельные прямые а и b
пересечены секущей с (см. рис. 102). Докажем, например, что
Z. 1 +Z.4= 180°. Так как а\\Ь, то соответственные углы 1 и 2
равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому zL2+ Z.4= 180°. Из ра-
равенств Z I = Z2 и Z.2+ ?4= 180° следует, что Z. I + Z.4= 180°.
Теорема доказана.
Замечание. Если доказана некоторая теорема, то отсюда
еще не следует справедливость обратного утверждения. Более то-
того, обратное утверждение не всегда верно. Приведем простой
пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Об-
Обратное утверждение: «если углы равны, то они вертикальные»,
конечно же, неверно.
Вопросы и задачи
196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных
стороне АВ, можно провести через вершину С?
19.7. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре
прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р?
Рассмотрите возможные случаи.
198. Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пере-
пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую Ь?
199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC.
Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
200. На рисунке 115 AD\\p и PQ\\BC. Докажите, что прямая р
пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
Л
Рис. 115 б
Рис. lie
61

201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух парал
лельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы
202. На рисунке 116 прямые a, b и с пересечены секущей d,
Zl=42°, ^2=140°, ^3=138°. Какие из прямых a, b и с па
раллельны?
203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух па
раллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов
равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и Ь.
Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пере-
пересекает прямые аи b в точках С и D. Докажите, что CO — OD.
205. По данным рисунка 117 найдите Z.I.
206. Угол ABC равен 70°, а угол BCD равен 110°. Могут ли
прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающи-
пересекающимися?
207. Ответьте на вопросы задачи 206. если Z.ABC — 65°, а
ABCD= 105°.
208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух
параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
209. На рисунке 118 a\\b. c\\d. ^4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.
210. Два тела Р\ и Р> подвешены на концах нити, перекинутой
через блоки А и В (рис. 119). Третье тело Рл подвешено
на той же нити в точке С и уравновешивает тела Р\ и Р>.
(При этом АР\\\ВР2\\СРЯ.) Докажите, что /LACB =
= Z.CAPx-hZ.CBP>.
211. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите,
что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;
б) биссектрисы соответственных углов параллельны; в) бис-
биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
212. Докажите, что если стороны одного угла соответственно па-
параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны,
или в сумме составляют 180°.
Рис. 117
/
I
I
I
/
7—
1 щ
i
Рис. 119
Рис. 120
Рис. 118
Решение. Пусть АОВ и А\ОуВ\—данные углы и
ОА\\О\А\, ОВ\\О\В\. Если угол АОВ развернутый, то и угол
А\О\В\ —развернутый (объясните почему), поэтому эти уг-
углы равны. Пусть АОВ—неразвернутый угол. Возможные
случаи расположения углов АОВ и А\О\В\ изображены
на рисункр 120, а и б. Прямая О\В\ пересекает прямую
О\А\ и, значит, пересекает параллельную ей прямую О А
в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О\В\
пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образо-
образованных при пересечении прямых О\В\ и ОА (угол 1 на рисунке
120, а), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы).
Параллельные прямые ОА и О\А\ пересечены секущей
О\М, поэтому либо Z. I = Z.A\O\B\ (рис. 120, а), либо
^1 + ^Л,О|В| = 180° (рис. 120,6). Из равенства Z1 =
= Z.AOB и последних двух равенств следует, что либо
jLAOB=/LAiOiBi (рис. 120, а), либо Z.AOB-\- Z.AiO\Bi =
= 180° (рис. 120,6), что и требовалось доказать.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ III
1. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка
называются параллельными?
2. Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуют-
образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей.
3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
63

сумма односторонних углов равна 180°, то прямые парал-
параллельны.
6. Расскажите о практических способах проведения параллель-
параллельных прямых.
7. Объясните, какие утверждения называются аксиомами. При-
Приведите примеры аксиом.
8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной.
9. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
10. Какое утверждение называется следствием? Докажите, что
прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых,
пересекает и другую.
П. Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны.
12. Какая теорема называется обратной данной теореме? Приве-
Приведите примеры теорем, обратных данным.
13. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей накрест лежащие углы равны.
14. Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
15. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односто-
односторонних углов равна 180°.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
213. На рисунке 121 CE = ED, BE = EF и KE\\AD. Докажите,
что КЕ\\ВС.
214. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD тре-
треугольника ABC и перпендикулярная к AD, пересекает сторо-
сторону АС в точке М. Докажите, что MD\\AB.
215. По данным рисунка 122 найдите угол 1.
в
X
Рис. 123
216. На рисунке 123 DE — биссектриса
угла ADF. По данным рисунка най-
найдите углы треугольника ADE.
217. Прямые а и Ь параллельны пря-
прямой с. Докажите, что любая пря-
прямая, пересекающая прямую а, пере-
пересекает также и прямую Ъ.
1218. Прямые а и Ь пересекаются. Мож-
Можно ли провести такую прямую, кото-
которая пересекает прямую а и параллельна прямой 6? Ответ
обоснуйте.
219*. Даны две прямые а и Ь. Докажите, что если любая
прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь,
то прямые а и b параллельны.
220. Докажите, что если при пересечении двух прямых а и Ъ
секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b
пересекаются.
221. Даны треугольник ABC и точки М и N такие, что середина
отрезка ВМ совпадает с серединой стороны AC, a середи-
середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что
точки М, N и А лежат на одной прямой.
222. Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью
циркуля и линейки через точку А проведите прямую, парал-
параллельную прямой а.
Рис. 121
Рис. 122
64
3 Заказ 37

Глава IV
СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
§ 1. СУММА УГЛОВ
ТРЕУГОЛЬНИКА
30. Теорема о сумме углов треугольника. Докажем одну из
важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треуголь-
треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треуголь-
треугольник ABC и докажем, что Z.A + Z.B + ZC= 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне
АС (рис. 124). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами
при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ,
а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же
параллельных прямых секущей ВС. Поэтому
Z4=Zl, Z5=Z3. A)
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу
с вершиной В, т. е. ^4+^2+^5=180°. Отсюда, учитывая
равенства A), получаем: Z. I + Z.2+ Z.3= 180°, или /LA +
+ ^B+ZC=180°. Теорема доказана.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с
каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний
угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смеж-
смежных с ним.
Обратимся к рисунку 125, на котором угол 4 — внешний угол,
смежный с углом 3 данного треугольника. Так как Z.4+Z.3=
В а
Рис. 124
66
Остроугольный
треугольник
о)
Тупоугольный
треугольник
6)
Рис. 126
Катет
Прямоугольный
треугольник
В)
В
Рис. 125
= 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (Z.l + Z.2) +
+ Z.3=18O°, то Z.4=Z.1 + Z.2, что и требовалось доказать.
31. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треуголь-
треугольники. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если
в треугольнике один из углов прямой или тупой, то сумма двух
других углов не превосходит 90° и, значит, каждый из них острый.
Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо
два угла острые, а третий тупой или прямой.
Если все три угла треугольника острые, то треугольник назы-
называется остроугольным (рис. 126, а). Если один из углов тре-
треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным
(рис. 126,6). Если один из углов треугольника прямой, то тре-
треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного
треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипо-
гипотенузой, а две другие стороны — катетами. На рисунке 126, в
изображен прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С.
Задачи
223. Найдите угол С треугольника ABC, если: a) Z./4—65°,
ZB = 57°; б) Z-A=24°, ZB=130°; в) Z_A = a, Z.B = 2a;
г) Z.A=60° + a, Zfl = 60°-a.
224. Найдите углы треугольника ABC, если /LA'. Z.B: Z.C=
= 2:3:4.
225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника
равен 60°.
226. Докажите, что углы при основании равнобедренного тре-
треугольника острые.
227. Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол
при основании в два раза больше угла, противолежащего
основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешне-
внешнего угла, смежного с ним.
67

228. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из
его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
229. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС
проведена биссектриса AD. Найдите AADC, если Z.C=50°.
230. Биссектрисы углов А и В треугольника ABC пересекаются
в точке М. Найдите Z.AMB, если АА=Б8°, Z.fi=96°.
231. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны ВС.
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
232. Докажите, что если один из внешних углов треугольника в
два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то
треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверж-
утверждение?
233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника, противолежащей основанию,
параллельна основанию.
234. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен
115°. Найдите углы треугольника.
235. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про-
проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника,
если /LADB—IW.
§ 2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА
32. Теорема о соотношениях между сторонами и углами
треугольника.
Теорема: В треугольнике: 1) против большей стороны
лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит
большая сторона.
Доказательство. I) Пусть в треугольнике ABC сторона
АВ больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что Z.C> Z.B.
Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС
(рис. 127, б). Так как AD<zAB, то точка D лежит между точками
А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит,
Z.C> Z.I. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому
Z.2> Z.B. Углы I и 2 равны, как углы при основании равно-
равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, Z.C>Z.l,
^l = Z.2, Z.2> /LB. Отсюда следует, что АС> Z.B.
2) Пусть в треугольнике ABC Z.C> Z.B. Докажем, что
АВ>АС.
68
Рис. 127
Предположим, что это не так. Тогда либо АВ—АС, либо
АВ<.АС. В первом случае треугольник ABC — равнобедренный
и, значит, Z.C=Z.B. Во втором случае Z-B> Z.C (против
большей стороны лежит больший угол). И то и другое противо-
противоречит условию: /LC> Z.B. Поэтому наше предположение невер-
неверно, и, следовательно, АВ>АС. Теорема доказана.
Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а
катет — против острого. Так как прямой угол больше острого,
то гипотенуза больше катета.
Следствие 2. Если два угла треугольника равны, то тре-
треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треуголь-
треугольника).
Докажем этот признак. Пусть в треугольнике два угла равны.
Тогда равны и стороны, лежащие против этих углов. Действитель-
Действительно, если предположить, что одна из указанных сторон больше
другой, то угол, лежащий против нее, будет больше угла, лежа-
лежащего против другой стороны, а это противоречит условию (тому,
что данные углы равны). Итак, в треугольнике две стороны равны,
т. е. треугольник — равнобедренный.
33. Неравенство треугольника.
Теорема. Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треуголь-
треугольник ABC и докажем, что АВ<АС+ СВ. Отложим на продолжении
стороны АС отрезок CD, равный стороне СВ (рис. 128). В равно-
69

с
Рис. 128
D
бедренном треугольнике BCD Z.I — /L2, а в треугольнике ABD
Z.ABD> Z. 1 и, значит, Z.ABD> Z.2. Так как в треугольнике
против большего угла лежит большая сторона, то AB<AD. Но
AD = AC+CD — AC+CB, поэтому АВ<АС + СВ. Теорема
доказана.
Следствие. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС-\-СВ,
АС<.АВ-\-ВС, ВС<.ВА-\-АС. Каждое из этих неравенств
называется неравенством треугольника.
Вопросы и задачи
236. Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли
быть угол А тупым, если: а) АВ>ВС>АС; б) АВ =
=АС<ВС.
237. Сравните стороны треугольника ABC, если:
a) Z_A> Z.B> ЛС\ б) Z.A> Z.B=/LC.
238. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, сое-
соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с
противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты,
проведенной из той же вершины.
240. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС бис-
биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите,
что треугольник АОС — равнобедренный.
241. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треуголь-
треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках
М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
242. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника
параллельна стороне треугольника, -то треугольник равно-
равнобедренный.
243. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая,
параллельная его биссектрисе АА\ и пересекающая прямую
АВ в точке D. Докажите, что AC—AD.
244. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точ-
70
Рис. 129 В
С Рис. 130
ку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая
сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE —
равнобедренный.
245. Через точку пересечения биссектрис ВВ\ и СС\ треуголь-
треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой ВС и
пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках
Ми IV. Докажите, что MN—BM + CN.
246. На рисунке 129 лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С
треугольника ABC, OE\\AB, OD\\AC. Докажите, что пери-
периметр треугольника EDO равен длине отрезка ВС.
247. На рисунке 130 АВ—АС, AP—AQ. Докажите, что: а) тре-
треугольник ВОС — равнобедренный; б) прямая О А проходит
через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
248. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м;
б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
249. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см,
а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?
250. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две
другие стороны равны: а) 5 см и 3 см; б) 8 см и 2 см;
в) 10 см и 5 см.
251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разнос-
разности двух других сторон.
Решение. Докажем, например, что в треугольнике ABC
АВ>АС—ВС. Так как АВ + ВОАС, то АВ>АС— ВС.
252. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны.
Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна
16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
253. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, раз-
разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних уг-
углов — острый. Найдите стороны треугольника.
71

§ 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
34. Некоторые свойства прямоугольных треугольников. Рас-
Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые уста-
устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.
1°. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника
равна 90°.
В самом деле, сумма углов треугольника равна 180°, а прямой
угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.
2°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против
угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором
Z.A — прямой, Z.fi = 30° и, значит, /LC=60° (рис. 131,а). До-
Докажем, что АС — ^т-ВС.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD
так, как показано на рисунке 131,6. Получим треугольник BCD,
в котором Z.B= ZD = 60°, поэтому DC=BC. Но AC=-^DC.
Следовательно, АС——ВС, что и требовалось доказать.
3°. Если катет прямоугольного треугольника равен половине
гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, ра-
равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого
катет АС равен половине гипотенузы ВС (рис. 132, а). Дока-
Докажем, что Z.ABC = 30°.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник
ABD так, как показано на рисунке 132,6. Получим равносторон-
равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны
Рис. 131
72
друг другу (объясните почему), поэтому каждый из них равен
60°. В частности, ADBC = G0°. Но Z.DBC<=2 AABC. Следова-
Следовательно, ААВС = 30°, что и требовалось доказать.
35. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Так
как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами
прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака
равенства треугольников следует: если катеты одного прямоуголь-
прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие
треугольники равны. Далее, из второго признака равенства тре-
треугольников следует: если катет и прилежащий к нему острый угол
одного прямоугольного треугольника соответственно равны ка-
катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники
равны.
Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных тре-
треугольников.
Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямо-
прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и остро-
острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство. Из свойства 1° п. 34 следует, что в та-
таких треугольниках два других острых угла также равны, поэто-
поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треуголь-
треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней
углам. Теорема доказана.
Теорема. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого,
то такие треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и
АХВ\С\, у которых углы С и С, — прямые, AB=AlBl, BC = BlCi
(рис. 133). Докажем, что ААВС= Д/4,?,С,.
В
в,
Рис. 133
73

Так как АС— /1С,, то треугольник ABC можно наложить
на треугольник Л,Б,С, так, что вершина С совместится с верши-
вершиной С,, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи
С,Л, и С,Б,. Поскольку Cfi = C,B,, то вершина В совместится с
вершиной В\. Но тогда вершины А и А\ также совместятся.
В самом деле, если предположить, что точка А совместится с неко-
некоторой другой точкой Лг луча С\А\, то получим равнобедренный
треугольник /4|вИг, в котором углы яри основании А \Аг не равны
(на рисунке 133 Z.Az — острый, a Z.A\ —тупой, как смежный с
острым углом В\А\С\). Но это невозможно, поэтому вершины
А и А\ совместятся. Следовательно, полностью совместятся тре-
треугольники ABC и А\В\С\ и, значит, они равны. Теорема доказана.
36*. Уголковый отражатель. Мы знаем, что сумма двух
острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это свой-
свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отра-
отражателя. Прежде чем описать его устройство, рассмотрим следую-
следующую задачу.
Задача. Угол между зеркалами ОА и ОВ равен 90°. Луч
света, падающий на зеркало ОА под углом а, отражается от него,
а затем отражается от зеркала ОВ (рис. 134). Доказать, что
падающий и отраженный лучи параллельны.
Решение. По закону отражения света падающий луч SM и
луч MN составляют с прямой ОА равные углы а. Так как треуголь-
треугольник MON прямоугольный, то угол MNO равен 90° —а. Применяя
опять закон отражения света, получаем, что луч MN и отраженный
луч NT составляют с прямой ОВ равные углы. Обращаясь к ри-
рисунку 134, мы видим, что Z.SM/V=180°— 2a, Z.MNT= 180° —
— 2(90° — а) = 2а, поэтому /LSMN+ Z.MNT= 180°. Следова-
Следовательно, падающий луч SM и отраженный луч NT параллельны,
что и требовалось доказать.
Простейший уголковый отражатель представляет собой не-
несколько зеркал, составленных так, что соседние зеркала обра-
образуют угол, равный 90°. На рисунке 135 в виде ломаной линии
схематически изображен такой отражатель. Представим себе, что
на этот отражатель падает пучок параллельных лучей (на ри-
рисунке эти лучи изображены сплошными линиями со стрелками).
Тогда отраженные лучи будут параллельны падающим лучам
(эти лучи изображены штриховыми линиями со стрелками). Таким
* Здесь и в дальнейшем пункты, отмеченные звездочкой, не являются обяза-
обязательными.
74
Рис. 135
образом, уголковый отражатель «возвращает назад» падающий
на него пучок параллельных лучей при любом расположении
отражателя по отношению к падающему пучку лучей.
Это свойство уголкового отражателя используется в техни-
технике. Так, уголковый отражатель устанавливается на заднем
крыле велосипеда для того, чтобы «возвращать назад» свет
автомобильных фар. Это дает возможность водителю автомобиля
видеть ночью идущий впереди велосипед. Отметим, что уголковый
отражатель, используемый в практике, устроен более сложно, чем
описанный простейший, но принцип его действия тот же, что и у
простейшего уголкового отражателя.
Уголковый отражатель был установлен на одной из совет-
советских автоматических станций, запущенных на Луну. С поверхности
Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая
станция с уголковым отражателем, был освещен лучом лазера.
Луч «вернулся» в то же место, где находился лазер. Измерив
точное время от момента включения лазера до момента возвра-
возвращения сигнала, удалось с весьма высокой точностью (до 1 см)
найти расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны.
Задачи
254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треуголь-
треугольника.
75

255.
256.
257.
258.
259.
260.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ прове-
проведена высота CF. Найдите /LECF, если Z.D = 54°.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а
сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.
Найдите гипотенузу треугольника.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С
внешний угол при вершине А равен 120°, АС-\-АВ=18 см.
Найдите АС и А В.
Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника
ABC проведен перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM,
если АВ= 12 см.
Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре-
треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой сто-
стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.
Высота, проведенная к основанию равнобедренного тре-
треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника
равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты,
проведенные из вершин основания, равны.
В треугольниках ABC и А\В\С\ углы А и А\ — прямые,
BD и B\D\—биссектрисы. Докажите, что ААВС=
= ДЛ|?|С,, если ZB=ZBi и BD = B,D|.
Высоты, проведенные к боковым сторонам А В и АС остро-
остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются
в точке М. Найдите углы треугольника, если /LBMC =
= 140°.
Высоты АА\ и ВВ\ треугольника ABC пересекаются в точке
М. Найдите /LAMB, если /LA = 55°, Zfi = 67°.
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про-
проведены биссектрисы AF и высота АН. Найдите углы тре-
треугольника AHF, если Z.B=112°.
На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ.
Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к
сторонам угла и пересекающиеся в точке С Докажите,
что луч ОС — биссектриса угла О.
Докажите, что два остроугольных треугольника равны,
если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны,
одного треугольника соответственно равны стороне и высо-
высотам, проведенным из концов этой стороны, другого тре-
треугольника.
76
268. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоуголь-
прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
269. Докажите, что &АВС= &А\ВХС\, если /LA =/LA\, /LB =
= /LB\ и ВН = В\И], где ВН и В\Н\ — высоты треугольни-
треугольников ABC и Л|В,С|.
270. Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую
через точку А и отсекающую на сторонах угла равные от-
отрезки.
§ 4. ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ТРЕМ ЭЛЕМЕНТАМ
37. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между па-
параллельными прямыми. Расстоянием между двумя точками мы
назвали длину отрезка, соединяющего эти точки. Введем теперь
понятия расстояния отточки до прямой и расстояния между парал-
параллельными прямыми.
Пусть отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки
А к прямой а, М — любая точка прямой а, отличная от Н
(рис. 136). Отрезок AM называется наклонной, проведшщой из
точки А к прямой а. В прямоугольном треугольнике АпМ катет
АН меньше гипотенузы AM. Следовательно, перпендикуляр, про-
проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, прове-
проведенной из той же точки к этой прямой.
Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой,
называется расстоянием от этой точки до прямой.
Отметим, что расстояние от точки до прямой равно наимень-
наименьшему из расстояний от этой точки до точек прямой.
На рисунке 137 расстояние от точки В до прямой р равно 3 см
а расстояние от точки С до этой прямой равно 5 см.
Отрезок АМ-
Рис. 136 наклонная к прямой а

Прежде чем ввести понятие рассто*.
мия между параллельными прямыми
рассмотрим одно из важнейших свойств
параллельных прям-ых.
В
Рис. 138
Теорема. Все точки каждой из
двух параллельных прямых равноудале-
равноудалены от другой прямой.
Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и
Ь. Отметим на прямой а точку А и проведем из этой точки перпен-
перпендикуляр АВ к прямой Ь (рис. 138). Докажем, что расстояние от
любой точки X прямой а до прямой b равно АВ.
Проведем из точки .Y перпендикуляр XY к прямой Ь. Так как
XYA-b, то XY'_1_а. Прямоугольные треугольники ABY и YXA
равны по гипотенузе и острому углу (AY — общая гипотенуза,
Z. 1 = Z.2 как накрест лежащие углы при пересечении параллель-
параллельных прямых а и b секущей AY). Следовательно, XY=AB. Итак,
любая точка X прямой а находится на расстоянии АВ от прямой Ь.
Очевидно, все точки прямой Ъ находятся на таком же расстоянии
от прямой а. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по
одной из параллельных прямых, все время находится на одном
и том же расстоянии от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
прямых до другой прямой называется расстоянием между этими
прямыми.
Отметим, что расстояние между параллельными прямыми
I
равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек
другой прямой.
Замечание. Справедливо утверждение, обратное доказан-
доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторо-
сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой,
параллельной данной (докажите это самостоятельно). На этом
свойстве основано устройство инструмента, называемого рейсму-
рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для
разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллель-
параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска
металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллель-
параллельный краю бруска (рнс. 139,6).
38. Построение треугольника по трем элементам.
Задача 1. Построить треугольник по двум сторонам и углу
между ними.
Решение. Прежде всего уточним, как нужно понимать эту
задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить. Даны отрезки
PiQi. PiQt и угол hk (рис. 140, с). Требуется с помощью цирку-
циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой тре-
треугольник ABC, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны
данным отрезкам PiQi и P2Q2, а угол А между этими сторонами
равен данному углу hk.
Проведем прямую а и на ней с помощью циркуля отложим
отрезок АВ, равный отрезку PiQ\ (рис. 140,6). Затем построим
угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем).
На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P2Q2, и прове-
проведем отрезок ВС. Треугольник ABC— искомый.
В самом деле, по построению АВ = PiQu ЛС=Яг<?2, /LA= Z.hk.
Описанный ход построения показывает, что при любых данных
в
Рис. 139
, Построение треугольника по двум г,
о.) сторонам и углу между ними °)
Рис. 140
78
79

Построение треугольника
no трем сторонам
Рис. 141
S)
отрезках P\Q\, P2Q2 и неразвернутом угле hk искомый треуголь-
треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно
выбрать произвольно, то существует бесконечно много треуголь-
треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники
равны друг другу (по первому признаку равенства треугольни-
треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет един-
единственное решение.
Задача 2. Построить треугольник по стороне и двум при-
прилежащим к ней углам.
Решите эту задачу самостоятельно.
Задача 3. Построить треугольник по трем сторонам.
Решение. Пусть даны отрезки P\Qu P2Q2 и Язфз
(рис. 141, а). Требуется построить треугольник ABC, в котором
AB = PiQl, BC=P2Q2, CA=P3Q3.
Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим от-
отрезок АВ, равный отрезку PiQi (рис. 141,6). Затем построим
две окружности: одну — с центром А и радиусом Язфз, а дру-
другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть С — одна из точек
пересечения этих окружностей. Проведя отрезки А С и ВС, полу-
получим искомый треугольник ABC. В самом деле, по построению
AB = P\Q\, BC = P2Q2, СЛ = Рз<?з, т. е. стороны треугольника
ABC равны данным отрезкам.
Задача 3 не всегда имеет решение. Действительно, во всяком
треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны,
поэтому если какой-нибудь из данных отрезков больше или равен
сумме двух других, то нельзя построить треугольник, стороны ко-
которого равнялись бы данным отрезкам.
Вопросы и задачи
П. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная,
сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна
1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
J72. В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса
AD. Расстояние от точки D до прямой Л С равно 6 см. Найдите
расстояние от вершины А до прямой ВС
^73. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного тре-
треугольника CDE -равна 31 см, а их разность равна 3 см.
Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.
274. Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина ос-
основания равноудалена от боковых сторон.
[275. На основании АВ равнобедренного треугольника ABC взята
точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите,
что СМ — высота треугольника ABC.
276. Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что
концы отрезка равноудалены от этой прямой.
277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно
3 см, а между параллельными прямыми awe равно 5 см.
Найдите расстояние между прямыми бис.
278. Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние
между этими прямыми, если Z.ADC — 30°, AD=b см.
279*. Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну
сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат
на прямой, параллельной данной.
280. Даны неразвернутый угол ABC и отрезок PQ. Что пред-
представляет собой множество всех точек, лежащих внутри дан-
данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние PQ?
281. Что представляет собой множество всех точек плоскости,
равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
282. Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех
отрезков XY, где Х?а, Y?b, лежат на прямой, параллельной
прямым а и b и равноудаленной от этих прямых.
283. Что представляет собой множество всех точек плоскости,
находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Задачи на построение
284. Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, парал-
параллельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми
аир было равно АВ.
81

в
Рис. 142
D
i_
г
С
ь
1 р
а
D
С
D,
Ь
•
Р
а
Р,
Рис. 143
Решение. Отметим на прямой а какую-нибудь точку С и
проведем через точку С прямую Ь, перпендикулярную к
прямой а (рис. 142). Затем на одном из лучей прямой Ь,
исходящих из точки С, отложим отрезок CD, равный отрезку
АВ. Через точку D проведем прямую р, перпендикулярную
к прямой Ь. Прямая р— искомая (объясните почему).
Как видно из построения, для любой данной прямой а
и любого данного отрезка АВ искомую прямую можно постро-
построить, причем задача имеет два решения (прямые р и р\ на ри-
рисунке 143).
285. Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На пря-
прямой а постройте точку, удаленную от прямой b на расстоя-
расстояние PQ.
286. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней
углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины
этого угла.
287. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной
к одной из двух других сторон, и углу между данными сто-
стороной и медианой.
288. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник ABC
так, чтобы: a) AB = PQ, <LABC=Ahk. ABAC=-j-Ahk;
б) AB = PQ, AABC=Ahk, ABAC=-±-Ahk.
289. Даны два угла hk и h\k\ и отрезок PQ. Постройте треуголь-
треугольник ABC так, чтобы AB = PQ, /LA = /Lhk, /LB=±r- /Lh\k\.
290. Постройте прямоугольный-треугольник: а) по двум катетам;
б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
291. Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой сто-
стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основа-
нию и углу при основании, в) по боковой стороне и углу
при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по
основанию и медиане, проведенной к основанию.
>2. Даны отрезки PiQi, P2Q2 и Р3<?з. Постройте треугольник
ABC так, чтобы: a) AB = PiQx, BC = P2Qi, CA = 2PzQ3\
б) AB=2PiQu ВС = Я2(?2. СЛ=-|-/эз<?з. Всегда ли задача
имеет решение?
РЗ. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу
и высоте, проведенной к этой стороне.
Решение. Даны отрезки PiQi и P2Q2 и угол hk (рис.
144, а). Требуется построить треугольник ABC, у которого
одна из сторон, скажем АВ, равна данному отрезку PiQi,
один из прилежащих к ней углов, например угвл Л, равен
данному углу hk, а высота СН, проведенная к стороне АВ,
равна данному отрезку P2Q2.
Построим угол XAY, равный данному углу hk, и отложим
на луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку PiQ\
(рис. 144, б). Для построения вершины С искомоготреуголь-
ника заметим, что расстояние от точки С до прямой АВ
должно равняться P2Q2. Поэтому точка С должна лежать на
прямой р, параллельной прямой АВ и такой, что расстояние
между прямыми р и АВ равно P2Q2. Следовательно, искомая
точка С есть точка пересечения прямой р и луча A'Y.
Построение прямой р описано в решении задачи 284.
Очевидно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям
задачи:
Рис. 144
83

294. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной
из этих сторон.
295. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к одной
из этих сторон.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
1. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треуголь-
треугольника.
2. Какой угол называется внешним углом треугольника? Дока-
Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним.
3. Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые,
либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
4. Какой треугольник называется остроугольным? Какой тре-
треугольник называется тупоугольным?
5. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называ-
называются стороны прямоугольного треугольника?
6. Докажите, что в треугольнике: 1) против большей стороны
лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит
большая сторона.
7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то тре-
треугольник равнобедренный.
9. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?
10. Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.
11. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Сформули-
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
12. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоуголь-
прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
13. Сформулируйте и докажите признак равенства прямоуголь-
прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
14. Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведен-
проведенной из дайной точки к данной прямой.
15. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки к пря-
прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к
этой прямой.
84
16. Что называется расстоянием от точки до прямой?
17. Докажите, что все точки каждой из двух параллельных пря-
прямых равноудалены от другой прямой.
18. Что называется расстоянием между двумя параллельными
прямыми?
19. Объясните, как построить треугольник: а) по двум сторонам
и углу между ними; б) по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
20. Объясните, как построить треугольник по трем сторонам.
Всегда ли эта задача имеет решение?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
296. В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных
углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол
ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.
297. На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так,
что BC=BD. Докажите, что прямая DC параллельна бис-
биссектрисе угла ABC.
298. На рисунке 145 AD\\BE, AC = AD и ВС = ВЕ. Докажите, что
угол DCE — прямой.
299. На рисунке 146 АВ=АС, AP=PQ = QR = RB = BC. Найди-
те угол А.
300. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание вы-
высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на сто-
стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вер-
вершин острых углов,— на продолжениях сторон.
301. Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр ЛЯ и на-
Рис. 145
В Рис. 146
85

клонные АМ\ и AMi- Докажите, что: а) если НМ\ —
= НМ2, то AMi=AA'a; С) если НМ\<НМ2, то АМ\<АМ2.
302. Из точки А к прямом а проведены перпендикуляр АН и
наклонные АМ\ и АМ3. Докажите, что: а) если АМ\=АМ2,
то НМ\=НМ2\ б) если АМХ<АМ2, то #М,<#Л^
303*. Два населенных пункта А и В находятся по одну сторону
от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобус-
автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний АС-\-СВ была
наименьшей?
304*. Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника
ABC, то МВ + МС<АВ + АС.
305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей
внутри треугольника, до его вершин меньше периметра тре-
треугольника.
306. Докажите, что если АВ = АС-\-СВ, то точки А, В и С лежат
на одной прямой.
307. В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины
прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два обра-
образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
308. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС, рав-
равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите
расстояние от вершины С до прямой АВ.
309. В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС прове-
проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол
HAD равен полуразности углов В и С.
310. Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведен-
проведенные к равным сторонам, равны.
311. Что представляет собой множество всех точек плоскости,
равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых?
312. Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей
на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок
меньше большей из двух других сторон.
313*. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, прове-
проведенной к третьей стороне.
314. Постройте прямоугольный треугольник по: а) гипотенузе и
острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипо-
гипотенузе и катету.
315. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:
а) 30°; б) 60е; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°;
з) 75°; и) 105°.
8fi
J16*. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к
i ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.
^317. Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллель-
параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и ? лежали на сторо-
сторонах Ли и ВС и DE=*AD+CE.
1&1Д. Дан равносторонний треугольник ABC и точка fli на сторо-
стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А\ и С\ так,
чтобы треугольник А\В\С\ был равносторонним.
. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе,
проведенным из вершины этого угла.
320*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, прове-
проведенным к этой стороне.
321*. Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне АВ
постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от
прямой ВС.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Задачи к главе I
322. Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при еди-
единице измерения CD, a b — число, выражающее длину отрезка
CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой
числа а и 6?
323. Длина отрезка АВ при единице измерения E\F{ выражается
числом т, а при единице измерения Erfi — числом п. Каким
числом выражается длина отрезка E\FX при единице изме-
измерения ?2^2?
Пусть Ahk — меньший из двух смежных углов hk и hi.
324.
Докажите, что
— Ahk), a /Lhl =
325. Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 147). Найди-
Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.
326. Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что
через точку пересечения любых двух прямых проходит по
крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все
эти прямые проходят через одну точку.
327. Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через
любые две точки, содержит по крайней мере еще одну из
данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной
прямой.
Задачи к главе II
328. Точки Сх и Сг лежат по разные стороны от прямой АВ и
расположены так, что АС^=ВС2 и Z.BACt= /_АВС2. До-
кажите, что прямая С\С2 проходит через середину отрезка
АВ.
329. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сум-
сумма двух других сторон одного треугольника соответственно
равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других
сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
330. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то
стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти тре-
треугольники быть неравными?
331. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то
двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти
треугольники быть неравными?
332. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что
OC = OD, если AC=AO = BO =
Рис. 147
88
Задачи к главам III и IV
333. Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вер-
вершинах В и С треугольника ABC, пересекаются в точке О.
Найдите угол ВОС, если угол А равен а.
334. Через каждую вершину данного треугольника проведена
прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника,
исходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе
со сторонами данного треугольника образуют три треуголь-
треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответст-
соответственно равны.
335. В каждом из следующих случаев определите вид треуголь-
треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый
угол меньше суммы двух других углов.
336. Докажите, что угол треугольника является острым, пря-
прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого
угла, соответственно больше, равна или меньше половины
противоположной стороны.
337. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием
ВС взята точка М такая, что Z.M?C=30°, AMCB =
= 10°. Найдите угол АМС, если Z.BAC = 80°.
338. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах
треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
339. Отрезок ВВ\ — биссектриса треугольника ABC. Дока-
Докажите, что BA>BiA и ВС>В\С.
89

340.
341.
342.
343.
344.
345.
Внутри треугольника ABC взята точка D такая, что AD=
=АВ. Докажите, что АС>АВ.
В треугольнике ABC, в котором сторона АВ больше АС,
проведена биссектриса AD. Докажите, что Z.ADB> A ADC
и BD>CD.
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса являет-
является медианой, то треугольник равнобедренный.
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите,
что медиана, проведенная из их общей вершины, составля-
составляет с меньшей из сторон больший угол.
В треугольнике ABC, где АВфАС, проведен отрезок AM,
соединяющий вершину А с произвольной точкой М стороны
ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны
друг другу.
Через вершину А треугольника ABC проведена прямая,
перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В
проведен перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что
периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника
ABC.
В треугольнике ABC, где АВ<АС, проведены биссектри-
биссектриса AD и высота АН. Докажите, что точка Н лежит на луче
DB.
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основа-
основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями
медианы и высоты, проведенных из этой же вершины.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными
катетами биссектриса прямого угла делит угол между высо-
высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.
Медиана и высота треугольника, проведенные из одной вер-
вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части.
Докажите, что треугольник прямоугольный.
В треугольнике ABC высота АА\ не меньше стороны ВС,
а высота ВВ\ не меньше стороны АС. Докажите, что тре-
треугольник ЛВС — равнобедренный, и прямоугольный.
Задачи на построение
Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на пост-
построение циркулем и линейкой. Она состоит из четырех частей:
1) Отыскание способа решения задачи путем установления
связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть
90
346.
347.
348.
349.
350.
H/V,
в н
а)
Рис. 148
называется анализом задачи. Анализ дает возможность составить
план решения задачи.
2) Выполнение построения по намеченному плану.
3) Доказательство того, что построенная фигура удовлетво-
удовлетворяет условиям задачи.
4) Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при
любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько
решений.
В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные
части, например, анализ или исследование, опускаются. Так мы
поступали при решении простейших задач на построение. Рас-
Рассмотрим теперь более сложные задачи.
351. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей
стороне.
Решение. Даны три отрезка M\N\, M2N2, M3N3 (рис.
148, а). Требуется построить такой треугольник ABC, у кото-
которого две стороны, скажем АВ и АС, равны соответственно
данным отрезкам M\Ni и M2N2, а высота АН равна отрезку
M%N%. Проведем решение задачи по описанной схеме.
Анализ. Допустим, что искомый треугольник ABC постро-
построен {рис. 148,6). Мы видим, что сторона АВ и высота АН
являются гипотенузой и катетом прямоугольного треугольни-
треугольника АВН. Поэтому построение треугольника ABC можно про-
провести по такому плану: сначала построить прямоугольный
треугольник АВН, а затем достроить его до всего треуголь-
треугольника ABC.
Построение. Строим прямоугольный треугольник АВН,
у которого гипотенуза АВ равна данному отрезку M\NU
а катет АН равен данному отрезку M3N3. Как это сделать,
мы знаем {задача 314, в). На рисунке 149, а изображен по-
построенный треугольник АВН. Затем проводим окружность ра-
радиуса M2N2 с центром в точке А. Одну из точек пересечения
91

Рис. 149
этой окружности с прямой ВН обозначим буквой С. Прове-
Проведя отрезки ВС и АС, получим искомый треугольник ABC
(рис. 149,6).
Доказательство. Треугольник ABC действительно
искомый, так как по построению сторона АВ равна MiN\,
сторона АС равна M2N2, а высота АН равна M3N3, т. е.
треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование. Нетрудно сообразить, что задача имеет
решение не при любых данных отрезках M\Ni, M2N2, M3N3.
В самом деле, если хотя бы один из отрезков M\N\ и M2N2
меньше MsN3, то задача не имеет решения, так как наклон-
наклонные АВ и АС не могут быть меньше перпендикуляра АН.
Задача не имеет решения и в том случае, когда M\Ni =
= М2М2 = Л1з#з (объясните почему). В остальных случаях
задача имеет решение. Если M\N\>M3N$, а М2Мг = Л1зУУз,
то задача имеет единственное решение: в этом случае сторо-
сторона А С совпадает с высотой АН и искомый треугольник явля-
является прямоугольным (рис. 149,б). Если M\N\>M3N3, a
M2Ni = M\N\, то задача также имеет единственное решение:
в этом случае треугольник ABC равнобедренный (рис.
149, г). И наконец, если MiNi>M3N3, М2N2>M3N3 и
M\N\ #МгЛ^2, то задача имеет два решения — треугольники
ABC и АВСХ на рисунке 149, д.
352. Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти
точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от
точек А и В. Всегда ли задача имеет решение?
353. Постройте точку, лежащую на данной окружности и равно-
равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений
может иметь задача?
354. Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли
задача имеет решение?
355. Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте
92
точку М прямой а так, чтобы сумма АМ-\-МВ была бы мень-
меньше суммы АХ-\-ХВ, где X — любая точка прямой а, отлич-
отличная от М.
356. Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны ост-
острый угол В и биссектриса BD.
357. На данной окружности постройте точку, равноудаленную от
двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений
может иметь задача?
358. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие
через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих
прямых. Сколько решений имеет задача?
359. Дана окружность с центром О и точка А вне ее. Прове-
Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в
точках В и С таких, что АВ = ВС.
360. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высо-
высоте, проведенной из вершины другого угла.
361. Постройте треугольник по периметру и двум углам.
362. Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой
стороне и сумме двух других сторон.

8 класс
Глава V
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
1. МНОГОУГОЛЬНИКИ
39. Многоугольник. Рассмотрим фигуру, составленную из от-
отрезков АВ, ВС, CD EF, FA так, что смежные отрезки (т. е. АВ и
ВС, ВС и CD,.... FA и АВ) не лежат на одной прямой, а несмежные
отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется много-
многоугольником (рис. 150). Точки А, В, С, ..., Е, F называются верши-
вершинами, а отрезки АВ, ВС, ..., EF, FA — сторонами многоугольника.
Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника.
Многоугольник с п вершинами называется п-угольником; он
имеет п сторон. Примером многоугольника является треуголь-
треугольник. На рисунке 151 изображены четырехугольник A BCD и шести-
шестиугольник А\А2АзАаАьАъ. Фигура, изображенная на рисунке 152,
не является многоугольником, так как несмежные отрезки С1С5 и
С2С3 (а также С3С< и CiCs) имеют общую точку.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне,
называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несосед-
несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, од-
одна из которых называется внутренней, а другая — внешней обла-
областью многоугольника. На рисунке 153 внутренние области много-
многоугольников заштрихованы. Фигуру, состоящую из многоугольни-
многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.
Аз
\ У
F Е
Рис. 150
94
Рис. 153
40. Выпуклый многоугольник. Многоугольник называется вы-
выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, прохо-
проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 154 много-
многоугольник F\ выпуклый, а многоугольник F2 невыпуклый.
Рассмотрим выпуклый л-угольник, изображенный на рисун-
рисунке 155, а. Углы АпАчАь А\А2А3 Л„_,Л„Л, называются углами
этого многоугольника. Найдем их сумму. Для этого соединим диа-
диагоналями вершину Л i с другими вершинами. В результате получим
п — 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме
углов я-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 18в9,
поэтому сумма углов многоугольника AiAs...An равна (я— 2)« 180°.
Итак, сумма углов выпуклого п-угольника равна (п — 2)-180°.
41. Четырехугольник. Каждый четырехугольник имеет четыре
вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмеж-
несмежные стороны четырехугольника называются противоположными.
А3 А2 А3
Рис. 154
А,
О)

Две вершины, не являющиеся соседними, называются также про-
против оположным и.
Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисун-
рисунке 156, а изображен выпуклый четырехугольник, а на рисун-
рисунке 156, б — невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его
на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырех-
четырехугольника также разделяет его на два треугольника (см.
рис. 156,6).
Так как сумма углов выпуклого /г-угольника равна (п — 2)-180°,
то сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Вопросы и задачи
363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каж-
каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все
диагонали. На сколько треугольников разделяют проведен-
проведенные диагонали каждый многоугольник?
364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шес-
шестиугольника; в) десятиугольника.
365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол
которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
366. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен
8 см, а одна сторона больше каждой из других соответст-
соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
367. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен
66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько
же меньше третьей стороны, а четвертая — в три раза больше
второй.
368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны
друг другу.
369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырехугольника
ABCD, если /LA = Z.B=/LC, a ZD=135°.
370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропор-
пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.
§ 2. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ
42. Параллелограмм.
Определение. Параллелограммом называется четырех-
угольник, у которого противоположные стороны попарно парал-
параллельны.
На рисунке 157 изображен параллелограмм ABCD: AB\\CD,
AD\\BC. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником
(см. задачу 378).
Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.
1°. В параллелограмме противоположные стороны равны
и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ
АС разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти тре-
треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС —
общая сторона, Z.\ = Z.2 и Z.3= Z.4 как накрест лежащие углы
при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD
и ВС соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC и /LB= /LD.
Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем
2+^4^С
Л=^1 + ^3=^2+^4
2°. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам.
Пусть О — точка пересечения диагоналей А С и BD параллело-
параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны
по стороне и двум прилежащим углам (AB = CD как противопо-
противоположные стороны параллелограмма, ^L1 = Z.2 и ^13=^14 как
накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых
АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС
и OB = OD, что и требовалось доказать.
Рисунок 160 иллюсгрирусг все рассмо!репные свойства.
в
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
Свойства п араллелограмма
Рис. 160
4 Заказ 37
97

43. Признаки параллелограмма. Рассмотрим три признака па-
параллелограмма.
1°. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллель-
параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Пусть в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD парал-
параллельны и AB = CD (см. рис. 158). Проведем диагональ АС, раз-
разделяющую данный четырехугольник на два треугольника: ABC
и CDA. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между
ними {АС — общая сторона, AB = CD по условию, Z. 1 = Z.2 как
накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ
и CD секущей АС), поэтому Z.3= Z.4. Но углы 3 и 4 накрест ле-
лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, следо-
следовательно, AD\\BC. Таким образом, в четырехугольнике ABCD про-
противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырех-
четырехугольник ABCD — параллелограмм.
2°. Если в четырехугольнике противоположные стороны попар-
попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Проведем диагональ АС данного четырехугольника ABCD,
разделяющую его на треугольники А ВС и CD А (см. рис. 158).
Эти треугольники равны по трем сторонам (АС — общая сторо-
сторона, AB = CD и BC = DA по условию), поэтому Z. 1 = Z-2. Отсюда
следует, что АВ\\CD. Так как AB = CD и AB\\CD, то по признаку
1° четырехугольник ABCD — параллелограмм.
3°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — парал-
параллелограмм.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали
АС и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой
пополам (см. рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по перво-
первому признаку равенства треугольников (АО = ОС, BO = OD по
условию, А.АОВ= /LCOD как вертикальные углы), поэтому АВ =
= CD и Z.1 = Z.2.
Из равенства углов 1 и 2 следует, что АВ\\CD.
Итак, в четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны и па-
параллельны, значит, по признаку 1° четырехугольник ABCD — па-
параллелограмм.
44. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у кото-
которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллель-
параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями,
а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 161).
Основание
Основание
Рис. 161
Равнобедренная Прямоугольная
трапеция трапеция
а) 6)
Рис. 162
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые сторо-
стороны равны (рис. 162, а). Трапеция, один из углов которой пря-
прямой, называется прямоугольной (рис. 162,6).
Задачи
371. Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является
параллелограммом, если: a) /LBAC= /LACD и Z.BCA =
= Z.DAC; б) AB\\CD, АА=АС.
372. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны
параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше
другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сто-
сторон в два раза больше другой.
373. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, Z.C =
= 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см.
Найдите стороны параллелограмма.
374. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает
сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллело-
параллелограмма, если ВК=15 см, КС = 9 см.
375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного
из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки
7 см и 14 см.
376 Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a) Z.y4 =
б) ^Л-^В = 55°; в) ^Л+^С=142°; г) АА 2
д) ACAD= 16°, AACD = 37°.
377. В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к
прямой MQ, причем точка Н лежит на стороне MQ. Найдите
стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН=
= 3 см, HQ = 5 cm, ?MNH = 30°.
378. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырех-
четырехугольником.
99

Решение. Рассмотрим параллелограмм ABCD (см.
рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой
прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возь-
Возьмем, например, прямую АВ. Так как АВ\\ CD, то отрезок CD не
имеет общих точек с прямой АВ. Значит, этот отрезок лежит
по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD
лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом,
параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
379. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВФ
ФВС и /LA острый, проведены перпендикуляры ВК и DM
к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK —
параллелограмм.
380. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD
отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ =
= СР, BN = DQ, BM = DP, NC=QA. Докажите, что ABCD
и MNPQ — параллелограммы.
381. На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепло-
тепловоза. Радиусы О\А и О2В равны. Стержень АВ, длина кото-
которого равна расстоянию О\О2 между центрами колес, пере-
передает движение от одного колеса к другому. Докажите, что
отрезки АВ и О\О2 либо параллельны, либо лежат на одной
прямой.
382. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точ-
точке О. Докажите, что четырехугольник ,4i?iCiDi, вершинами
которого являются середины отрезков О А, О В, ОС и OD,—
параллелограмм.
383. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две
точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырех-
четырехугольник APCQ — параллелограмм.
Рис. 163
Рис. 1G4
100
Ail
Аг/
A3I
A*/
7
\
cj
nj
7
/
\B1
\B2
\b3
\b+
\
Рис. 165
384. Через середину M стороны АВ треугольника ABC проведена
прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересе-
пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN^NC.
Решение. Через точку С проведем прямую, параллель-
параллельную прямой АВ, и обозначим буквой D точку пересечения
этой прямой с прямой MN (рис. 164). Так как AM =MB по ус-
условию, a MB = CD как противоположные стороны параллело-
параллелограмма BCDM, то AM = DC\ Треугольники AMN и CDN
равны по второму признаку равенства треугольников (AM =
= CD, Z. 1 = Z.2 и Z.3= Z.4 как накрест лежащие углы при
пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и
MD), поэтому AN = NC.
385. Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых
отложить последовательно несколько равных отрезков и через
их концы провести параллельные прямые, пересекающие вто-
вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные
между собой отрезки.
Решение. Пусть на прямой Л отложены равные отрез-
отрезки А\А2, А2А3, А3А4, ... и через их концы проведены парал-
параллельные прямые, которые пересекают прямую h в точках В\,
В2, Вз, В4, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки
В\В2, В2Вз, В3В4, ... равны друг другу. Докажем, например,
что BiB2 = B2B3.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые Л и /2 парал-
параллельны (рис. 165, а). Тогда AiA2 = BiB2 и А2А3 = В2Вз как
1 Фалес Милетский — древнегреческий ученый (ок. 625—547 гг. до н. э.).
101

противоположные стороны параллелограммов j4i?i?2^2 и
А2В2В3А3. Так как А\А2=А2Аг, то и В\Во = В2В3.
Если прямые Л и /г не параллельны, то через точку В\
проведем прямую /, параллельную прямой Л (рис. 165,6).
Она пересечет прямые АчВт. и АъВъ в некоторых точках С
и D. Так как А\А2=А2Аз, то по доказанному В\С=
= CD. Отсюда получаем В\В2 = В2Вз (задача 384). Аналогич-
Аналогично можно доказать, что ?2?з = ?з?4 и т. д.
386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сто-
сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
387. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD
и ВС, если ?А = М°, ^С=117°.
388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каж-
каждом основании равны; б) диагонали равны.
389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при
основании равны; б) диагонали трапеции равны.
390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите
остальные углы трапеции.
391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму рав-
равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью по-
покрывающий любую часть плоскости.
392. Основания прямоугольной трапеции равны аи Ь, один из уг-
углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону тра-
трапеции, если а = А см, 6 = 7 см, а = 60°; б) меньшую боковую
сторону трапеции, если а=10 см, Ь=\Ъ см, сс=45°.
Задачи на построение
Рассмотрим схему, по которой обычно решаются задачи на по-
построение циркулем и линейкой. Она состоит из четырех частей.
1) Отыскание способа решения задачи путем установления
связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть
называется анализом задачи. Анализ дает возможность составить
план решения задачи.
2) Выполнение построения по намеченному плану.
3) Доказательство того, что построенная фигура удовлет-
удовлетворяет условиям задачи.
4) Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при
любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько
решений.
в
-ш-
В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные
части, например анализ или исследование, опускаются. Так мы
поступали при решении простейших задач на построение в
VII классе.
393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и
углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между
ними; в) по двум смежным сторонам и одной из диагоналей.
Решение, в) Уточним, как нужно понимать эту задачу.
Даны три отрезка M\N\, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требует-
Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные
стороны, скажем АВ и ВС, равны соответственно отрез-
отрезкам M\N\ и M2N2, а одна из диагоналей, например BD, равна
отрезку МзЛ^з- Проведем решение задачи по описанной схеме.
Анализ. Допустим, что искомый параллелограмм
ABCD построен (рис. 166,6). Мы видим, что стороны тре-
треугольника BAD равны данным отрезкам M\Ni, M2N2 и
MiN$. Это обстоятельство подсказывает следующий путь ре-
решения задачи: сначала нужно построить по трем сторо-
сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллело-
параллелограмма ABCD.
Построение. Строим треугольник ABD так, чтобы
его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрез-
отрезкам М|#ь M4N2 и МзЛ^з (как это сделать, мы знаем из кур-
курса VII класса). Затем построим прямую, проходящую через
точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую
через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также
знаем из курса VII класса). Точку пересечения этих пря-
прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырехугольник
ABCD и есть искомый параллелограмм.
Доказательство. По построению AB^CD и
BC\\AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Также по по-
построению смежные стороны параллелограмма равны отрез-
юз

Ay
в,
Вг
ч
Вз
Аи
У
в*
As
У
в5
Be
У'
X
у
в
Рис |в7
394.
395.
396.
397.
398.
104
кам M\N\ и M2N2, а диагональ BD
равна отрезку Мз#з, т. е. парал-
параллелограмм ABCD — искомый.
Исследование. Ясно, что
если по трем данным отрезкам M\N\,
M2N2 и МзЛ^з можно построить тре-
треугольник ABD, стороны которого рав-
равны этим отрезкам, то можно построить
и параллелограмм ABCD. Но тре-
треугольник ABD можно построить не
всегда. Если какой-то из трех данных
отрезков больше или равен сумме
двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллело-
параллелограмм ABCD построить нельзя.
Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача
имеет решение, то это решение единственное (см. п. 38).
Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой.
Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины сов-
совпали с данными точками. Сколько таких параллелограммов
можно построить?
Даны острый угол hk и два отрезка P\Q\ и P2Q2. Постройте
параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между парал-
параллельными прямыми АВ и DC равнялось P\Qi, /4B = P2Q2
и Z.A = /Lhk.
Разделите данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение. Проведем луч АХ, не лежащий на прямой
АВ, и на нем от точки А отложим последовательно п равных
отрезков АА\, А\А2, .... Ап-\Ап (рис. 167), т. е. столько
равных отрезков, на сколько равных частей нужно разде-
разделить данный отрезок А В (на рисунке 167 л = 7). Проведем
прямую АпВ (точка А„ — конец последнего отрезка) и по-
построим прямые, проходящие через точки А\, А2, —, Ап-\ и па-
параллельные прямой А„В. Эти прямые пересекают отрезок АВ
в точках В\, В2 В„-\, которые по теореме Фалеса (за-
(задача 385) делят отрезок АВ на п равных частей.
Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основа-
основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию
ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям
и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.
§ 3. ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ, КВАДРАТ
Рис. 168
45. Прямоугольник. Прямоугольником Вя
называется параллелограмм, у которого
все углы прямые. Так как прямоугольник
является параллелограммом, то он обла-
обладает всеми свойствами параллелограмма:
в прямоугольнике противоположные сто-
стороны равны, а диагонали точкой пересе-
пересечения делятся пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся к рисунку 168, на котором изобра-
изображен прямоугольник ABCD с диагоналями А С и BD. Прямоуголь-
Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA,
AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих
треугольников равны, т. е. AC = BD, что и требовалось дока-
доказать.
Докажем обратное утверждение (признак прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллело-
параллелограмм — прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали АС и BD равны
(см. рис. 168). Треугольники ABD и DC А равны по трем сторонам
(AB = DC, BD=CA, AD — общая сторона). Отсюда следует, что
Z.A = Z.D. Так как в параллелограмме противоположите углы
равны, то Z.A= Z.C и Z.В» Z.D. Таким образом, Z.A = Z.B =
= Z.C= Z.D. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник,
поэтому Z.A + Z. В + Z. С-\- Z.D = 360°. Следовательно, Z.A =
= Z.B= Z.C=/LD=90°, т. е. параллелограмм ABCD является
прямоугольником.
46. Ромб и квадрат. Ромбом называется параллелограмм, у
которого все стороны равны. Так как ромб является параллело-
параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Рас-
Рассмотрим особое свойство ромба.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его
углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 169). Требуется доказать, что
AC±BD и каждая диагональ делит соответствующие углы
ромба пополам. Докажем, например, что /LBAC= Z-DAC.
По определению ромба AB = AD, поэтому треугольник BAD
105

a) S)
СвоигтпВа квпдрати
Рас 170
равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагона-
диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО —
медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота
и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC.LBD и Z.BAC=
= ^-DAC, что и требовалось доказать.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны
равны. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому
и квадрат является параллелограммом, у которого все стороны
равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает все-
всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные
свойства квадрата.
1. Все углы квадрата прямые (рис. 170, а).
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точ-
точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата попо-
пополам (рис. 170, б).
47. Осевая и центральная симметрии. Две точки А и А\ назы-
называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка АА\ и перпендикулярна к нему
(рис. 171, а). Каждая точка прямой а считается симметричной
/V,
а
А
Рис. 171
106
Фигуры, обладающие осевой симметрией
Рис. 172
самой себе. На рисунке 171» б точки М и Mi, N и ЛЧ симметричны
относительно прямой 6, а точка Р симметрична самой себе отно-
относительно этой прямой.
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относитель-
относительно прямой а также принтЫежит этой фигуре. Прямая а назы-
называется осью симметрии фигцры Гонорят также, что фигура обла-
обладает осевой симметрией. Приведем примеры фигур, обладающих
осевой симметрией (р*с. 172). У неразвернутого угла одна ось
симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла.
Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также
одну ось симметрии, а равносторонний треугольник — три оси сим-
симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют
по две оси симметрии, а квадрат — четыре оси симметрии. У ок-
окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая че-
через ее центр, является осью симметрии. Имеются фигуры, у кото-
которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся
параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний
треугольник.
Две точки А и А\ называются симметричными относительно
точки О, если О — середина отрезка АА\ (рис. 173, а). Точка
107

о
а)
Рис. 173
О считается симметричной самой себе. На рисунке 173,6 точ-
точки М и М\, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки
Р и Q не симметричны относительно этой точки.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно
точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется
центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает
центральной симметрией. Примерами фигур, обладающих цент-
центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм
(рис. 174). Центром симметрии окружности является центр
окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пе-
пересечения его диагоналей. Прямая также обладает централь-
центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллело-
параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка
О на рисунке 174), у прямой их бесконечно много — любая
точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигуры,
не имеющей центра симметрии, является треугольник.
Изображения на плоскости многих предметов окружающего
нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии. Многие
листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно
среднего стебля (рис. 175).
Фигуры, обладающие центральной симметрией
Рис. 174
108
Рис. 175
МИШИН и&л|Ц|й1ЯШ
Рис. 176
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре,
технике, быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой
симметрией (рис. 176). В большинстве случаев симметричны от-
относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных
обоях. Симметричны многие детали механизмов, например зубча-
зубчатые колеса.
Вопросы и задачи
399. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого пря-
прямой, является прямоугольником.
400. Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то
четырехугольник является прямоугольником.
401. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса
угла А делит: а) сторону НС на отрезки 45,6 см и 7,85 см;
б) сторону DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.
402. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О.
Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.
403. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника АОВ, если /LCAD = 30°,
АС=\2 см.
404. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, про-
проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) уг-
углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с
его сторонами.
406. Найдите периметр ромба ABCD, если Z.B = 60°, AC= 10,5 см.
407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сто-
сторонами, если один из углов ромба равен 45°.
109

408. Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его
диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ паралле-
параллелограмма является биссектрисой его угла.
409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является
квадратом.
410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали:
а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпен-
перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно пер-
перпендикулярны и имеют общую середину?
411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса пря-
прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с ги-
гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Дока-
Докажите, что полученный четырехугольник — квадрат.
412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом С, катетом АС= 12 см и квадрат CDEF, та-
такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е —
на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
413. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам;
б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диа-
диагоналями.
414. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и
углу.
415. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
416. Даны две точки А и В, симметричные относительно неко-
некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную
точке М относительно той же прямой.
417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая;
в) луч?
418. Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е,
О, F?
419. Докажите, что прямая, проходящая через середины про-
противоположных сторон прямоугольника, является его осью
симметрии.
420. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобед-
равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, является
осью симметрии треугольника.
421. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке
М относительно середины отрезка АВ.
422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пере-
пересекающихся прямых; г) квадрат?
ПО
423. Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М,
X, К?
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Объясните, какая фигура называется многоугольником. Что
такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоуголь-
многоугольника?
2. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, ка-
какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
3. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого
я-угольника.
4. Начертите четырехугольник и покажите его диагонали, про-
противоположные стороны и противоположные вершины.
5. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
6. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело-
параллелограмм выпуклым четырехугольником?
7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны
равны и противоположные углы равны.
8. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересече-
пересечения делятся пополам.
9. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.
10. Какой четырехугольник называется трапецией? Как называ-
называются стороны трапеции?
11. Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?
12. Какой четырехугольник называется прямоугольником? Дока-
Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
13. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то
параллелограмм является прямоугольником.
14. Какой четырехугольник называется ромбом? Докажите, что
диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы
пополам.
15. Какой четырехугольник называется квадратом? Сформули-
Сформулируйте основные свойства квадрата.
16. Какие две точки называются симметричными относительно
данной прямой?
17. Какая фигура называется симметричной относительно данной
прямой?
18. Какие две точки называются симметричными относительно
данной точки?
и

19. Какая фигура называется симметричной относительно данной
точки?
20. Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметри-
симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной
симметрией.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
424. Докажите, что если не все углы выпуклого четырехугольни-
четырехугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
425. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ=14 см.
Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса уг-
угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом
пересечении.
426. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы
двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противо-
противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
427. Через произвольную точку основания равнобедренного тре-
треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторо-
сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося
четырехугольника равен сумме боковых сторон данного тре-
треугольника.
428. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны,
проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пере-
пересечении образуется прямоугольник.
429. Докажите, что выпуклый четырехугольник является паралле-
параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух
смежных сторон, равна 180°.
430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является паралле-
параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
431. Точка К — середина медианы AM треугольника ABC. Пря-
Прямая В К пересекает сторону А С в точке D. Докажите, что
432. Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллело-
параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят
диагональ BD на три равные части.
433. Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК
и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD
является биссектрисой угла КВМ.
112
434. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равно-
равноудалена от его сторон.
435. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину тре-
треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит
на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
436. Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая,
проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой
АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и
N. Найдите MN.
437. На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что
AM=AB. Через точку М проведена прямая, перпендикуляр-
перпендикулярная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажи-
Докажите, что ВН = НМ = МС.
438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ
АС перпендикулярна к боковой стороне CD, Z.BAC= Z.CAD.
Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см,
a Z.D = 60°.
439*. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, равен их полуразности.
440*. На двух сторонах треугольника вне его построены квад-
квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон
квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два
раза больше медианы треугольника, выходящей из той же
вершины.
441. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, явля-
являются его осями симметрии.
442. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллело-
параллелограмма является его центром симметрии.
443. Сколько центров симметрии имеет пара параллельных пря-
прямых?
444*. Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендику-
перпендикулярные оси симметрии, то точка их пересечения является
центром симметрии фигуры.

Глава VI
ПЛОЩАДЬ
§ 1. ПЛОЩАДЬ
МНОГОУГОЛЬНИКА
48. Понятие площади многоугольника. Понятие площади нам
известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов:
площадь комнаты равна шестнадцати квадратным метрам, пло-
площадь садового участка — восьми соткам и т. д. В этой главе мы
рассмотрим вопрос о площадях многоугольников.
Можно сказать, что площадь многоугольника — это величина
той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение
площадей проводится с помощью выбранной единицы изме-
измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу изме-
измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна еди-
единице измерения отрезков. Так, если за единицу измерения отрез-
отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей при-
принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называется
квадратным сантиметром и обозначается см2. Аналогично опре-
определяется квадратный метр (м2), квадратный миллиметр (мм2)
и т. д.
При выбранной единице измерения площадей площадь каждого
многоугольника выражается положительным числом. Это число
показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладыва-
укладываются в данном многоугольнике. Рассмотрим примеры. На рисунке
177, а изображен прямоугольник, в котором квадратный сантиметр
укладывается ровно 6 раз. Это означает, что площадь прямо-
прямоугольника равна 6 см2. В трапеции ABCD, изображенной на
рисунке 177, б, квадратный сантиметр укладывается два раза
и остается часть трапеции — треугольник CDE, в котором квад-
квадратный сантиметр не укладывается целиком. Для измерения пло-
площади этого треугольника нужно использовать доли квадрат-
квадратного сантиметра, например квадратный миллиметр. Он составляет
0,01 часть квадратного сантиметра. Это показано на рисунке
114
177, в, где квадратный сантиметр разбит на 100 квадратных мил-
миллиметров (этот рисунок, а также рисунок 177, г для большей на-
наглядности даны в увеличенном масштабе). На рисунке 177, г вид-
видно, что квадратный миллиметр укладывается в треугольнике CDE
14 раз и остается часть этого треугольника (она заштрихо-
заштрихована на рисунке), в которой квадратный миллиметр не укладыва-
укладывается целиком. Поэтому можно сказать, что площадь трапеции
ABCD приближенно равна 2,14 см2. Оставшуюся часть треу-
треугольника CDE можно измерить с помощью более мелкой доли
квадратного сантиметра и получить более точное значение пло-
площади трапеции. Описанный процесс измерения можно продол-
продолжить далее, однако на практике он неудобен. Обычно измеряют
лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем
вычисляют площадь по определенным формулам. Вывод этих фор-
формул основан на свойствах площадей, которые мы сейчас рас-
рассмотрим.
7см
В
А
7СМ
1
\
-. D
а)
i
1см
в)
Рис. 177
115

SMNPQ ~
Рис. 178
Прежде всего отметим, что если два многоугольника равны,
то единица измерения площадей и ее части укладываются в таких
многоугольниках одинаковое число раз, т. е. имеет место следу-
следующее свойство:
1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
Далее, пусть многоугольник составлен из нескольких много-
многоугольников (при этом мы предполагаем, что внутренние области
любых двух из этих многоугольников не имеют общих точек, см.
рисунок 178). Очевидно, величина части плоскости, занимае-
занимаемой всем многоугольником, является суммой величин тех частей
плоскости, которые занимают составляющие его многоугольни-
многоугольники. Итак:
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоуголь-
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоуголь-
многоугольников.
Свойства 1° и 2° называют
основными свойствами площадей.
Напомним, что аналогичными
свойствами обладают длины от-
отрезков.
Наряду с этими свойствами
нам понадобится еще одно свой-
свойство площадей.
3°. Площадь квадрата равна
квадрату его стороны.
Краткую формулировку этого
свойства следует понимать так:
если сторона квадрата при вы-
выбранной единице измерения отрез-
to
9
to
_ 1см
' " ¦' ¦'' г
I I I I I I I I
2,1см
Рис. 179
116
ь
а*
«¦4
70"
0/7
б)
Рис. 180
В)
ков выражается числом а, то площадь этого квадрата выражается
числом а2. На рисунке 179 изображен квадрат, сторона которого
равна 2,1 см. Он состоит из четырех квадратных сантиметров и
сорока одного квадратного миллиметра. Таким образом, пло-
площадь этого квадрата равна 4,41 см2, что равно квадрату его сторо-
стороны: 4,41 =B,1J. Доказательство утверждения 3° приведено в сле-
следующем пункте.
40*. Площадь квадрата. Докажем, что площадь S квадрата со
стороной а равна а2.
Начнем с того случая, когда а=—, где п — целое число.
Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на п2 равных квад-
квадратов так, как показано на рисунке 180, а (на этом рисунке л=5).
Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каж-
каждого маленького квадрата равна —. Сторона каждого маленько-
маленького квадрата равна —, т. е. равна а. Итак,
A)
Пусть теперь число а представляет собой конечную десятич-
десятичную дробь, содержащую п знаков после запятой (в частности,
число а может быть целым, и тогда л = 0). Тогда число т = а« 10"
целое. Разобьем данный квадрат со стороной а на /л2 равных квад-
квадратов так, как показано на рисунке 180, б (на этом рисунке m = 7).
При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на /л рав-
117

ных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна
-—=—. ю" ~~Пг • ^° Ф°РмУле О) площадь каждого маленько-
A \2
—п) . Следовательно, площадь S данного
квадрата равна
ion
Наконец, пусть число а представляет собой бесконечную деся-
десятичную дробь. Рассмотрим число а„, получаемое из а отбрасыва-
отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (л+1)-го.
Так как число а отличается от а„ не более чем на ~, то
-\-—п, откуда
B)
Ясно, что площадь S данного квадрата заключена между пло-
площадью квадрата со стороной а„ н площадью квадрата со стороной
-ПР (рис- 180>
" междУ °" и
Будем неограниченно увеличивать число п. Тогда число
C)
j-n
A \2
ап+йу;} сколь
угодно мало отличается от числа а2. Поэтому нз неравенств B)
и C) следует, что число S сколь угодно мало отличается от чис-
числа а2. Следовательно, они равны: S = a~, что и требовалось до-
доказать.
50. Площадь прямоугольника.
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению
его смежных сторон.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторо-
сторонами a, b и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а -\-Ь, как
показано на рисунке 181,6. По свойству 3.° площадь этого квад-
квадрата равна (а-\-ЬJ.
118
С другой стороны, этот квадрат состав-
составлен из данного прямоугольника с пло-
площадью S, равного ему прямоугольника
с площадью S (свойство 1° площадей)
и двух квадратов с площадями а8 и Ь2
(свойство 3° площадей). По свойству 2°
имеем:
или с
Отсюда получаем S — ab. Теорема до-
доказана. Ь
а2
1111111
S
ь2
а
б)
Вопросы и задачи
v Рис. 181
445. Вырежьте из бумаги два равных
прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равно-
равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) паралле-
параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади
полученных фигур.
446. Начертите квадрат и примите его за единицу измерения пло-
площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого вы-
выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадра-
квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник,
площадь которого выражается числом 2.
447. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М,
симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что
448. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник
ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок
ВС в точках М и N, причем точка М — середина отрезка
АЕ. Докажите, что SABCD = SADE.
449. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см;
б) -|- дм; в) Зл/2 м.
450. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2;
б) 2,25 дм2; в) 12 м2.
451. Площадь квадрата равна 24 см2. Выразите площадь этого же
квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных
дециметрах.
452. Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, a S —
его площадь. Вычислите: a) S, если а = 8,5 см, 6 = 3,2 см;
119

6) S, если а=2-\/2 см, 6 = 3 см; в) Ь, если а — 32 см,
S = 684,8 см2; г) а, если 6 = 4,5 см, S= 12,15 см2.
453. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару
противоположных сторон увеличить в два раза; б) каждую
сторону увеличить в два раза; в) одну пару противополож-
противоположных сторон увеличить в два раза, а другую уменьшить в два
раза?
454. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь рав-
равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его
площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.
455. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами
5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной фор-
формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина —
5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия по-
пола?
456. Сколько потребуется кафельных плиток квадрат ной формы со
стороной 15 см, чтобы облицевать ими часть стены, имею-
имеющей форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2.7м?
457. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади
прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м.
458. Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины.
Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами
220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь
какого участка больше и на сколько?
§ 2. ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ТРЕУГОЛЬНИКА
И ТРАПЕЦИИ
51. Площадь параллелограмма. Условимся одну из сторон па-
параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведен-
проведенный из любой точки противоположной стороны к прямой, содер-
содержащей основание,— высотой параллелограмма.
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению
его основания на высоту.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD
с площадью S. Примем сторону AD за основание и проведем
высоты ВН и СК (рис. 182). Требуется доказать, что
S = AD-BH.
И
В
Рис. 183
Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также
равна S. Трапеция ABC К составлена из параллелограмма ABCD
и треугольника DCR. С другой стороны, она составлена из
прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные
треугольники DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу
(их гипотенузы АВ и CD равны как противоположные стороны
параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы
при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей AD), по-
поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллело-
параллелограмма ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е. пло-
площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади
прямоугольника S = BC-BH, а так как BC=AD, то S—AD-BH.
Теорема доказана.
52. Площадь треугольника. Одну из сторон треугольника часто
называют его основанием. Если основание выбрано, то под словом
«высота» подразумевают высоту треугольника, проведенную к ос-
основанию.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произве-
произведения его основания на высоту.
Доказательство. Пусть S — площадь треугольника
ABC (рис. 183). Примем сторону АВ за основание треугольника и
проведем высоту СН. Докажем, что
Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC так,
как показано на рисунке 183. Треугольники ABC и DCB равны по
трем сторонам (ВС — их общая сторона, AB = CD и AC—BD как
противоположные стороны параллелограмма ABDC), поэтому их
площади равны. Следовательно, площадь S треугольника ABC
121

H В, В
6)
Рис. 184
равна половине площади параллелограмма ABDC, т. е. S =
=-т-АВ-СН. Теорема доказана.
Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника рое-
роена половине произведения его катетов.
Следствие 2. Если высоты двух треугольников равны, то
их площади относятся как основания.
Воспользуемся следствием 2 для доказательства теоремы об
отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу.
Теорема. Если угол одного треугольника равен углу друго-
другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как
произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство. Пусть S и Si — площади треугольни-
треугольников ABC и AiB\Ci, у которых /LA—/LA\ (рнс. 184, а).
Докажем, что
S АВ-АС
Наложим треугольник A\B\Ci на треугольник ABC так, чтобы
вершина А\ совместилась с вершиной Л, а стороны AiB\ и Aid
наложились соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184,6). Тре-
Треугольники ABC и АВ\С имеют общую высоту СИ, поэтому —^5—=
АВ
bABiC
= Ав . Треугольники ABiC и ABiC\ также имеют общую высо-
ту — ni//|, поэтому — ==——-. Перемножая полученные ра-
^ABiC\ AL,\
венства, находим:
122
АВ-АС
или -^—=
ABAC
Si AlBi-AlC\
\
Н
D
Рис. 185
Рнс. 186
Теорема доказана.
53. Площадь трапеции. Для вычисления площади произволь-
произвольного многоугольника обычно поступают так: разбивают многоу-
многоугольник на треугольники и находят площадь каждого треуголь-
треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного
многоугольника (рис. 185). Используя этот прием, выведем фор-
формулу для вычисления площади трапеции. Условимся высотой тра-
трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки од-
одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На
рисунке 186 отрезок ВН (а также отрезок DH\) — высота тра-
трапеции ABCD.
Теорема. Площадь трапеции равна произведению полу-
полусуммы ее оснований на высоту.
Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD с осно-
основаниями AD и ВС, высотой ВН и площадьюS fрис. 186). Докажем,
что
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD
и BCD, поэтому S=SABD+SBCD.
Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треуголь-
треугольника ABD, а отрезки ВС и DHt за основание и высоту треуголь-
треугольника BCD. Тогда SABD=^-AD-BH, SBCD=^BC-DHu Так как
DH, = BH, то SBCD=^-BC-BH. Таким образом,
Теорема доказана.
Г23

Задачи
459. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь парал-
параллелограмма. Найдите: a) S, если а=15 см, Л= 12 см; б) а,
если S=34 см2, Л = 8,5 см; в) а, если S=162 см2, Л=^-а;
г) Л, если Л = 3а, S=27.
460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна
к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь
параллелограмма.
461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а
его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограм-
параллелограмма.
462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Най-
Найдите площадь ромба.
463. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, рав-
равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь па-
параллелограмма.
464. Пусть а и 6 — смежные стороны параллелограмма, a hi и
h2 — его высоты. Найдите: а) Л2, если а = 18 см, 6 = 30 см,
Л| = 6 см, hi>hi\ б) А|, если а=10 см, 6 = 15 см, Л2 = 6 см,
h2>hi\ в) Л| и Лг, если S=54 см2, а = 4,5 см, 6 = 6 см.
465. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведен-
проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите
площадь параллелограмма.
466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите пло-
площадь параллелограмма, если большая его сторона равна
15,2 см, а один из его углов равен 45°.
467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинако-
одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.
468. Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь треуголь-
треугольника. Найдите: a) S, если а —7 см, Л=11 см; б) S, если
а —2 V3 см, Л = 5 см; в) Л, если S=37,8 см2, а=14 см; г) а,
если S=12 см2, Л =
см.
469. Стороны АВ и ВС треугольника ABC равны соответст-
соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведенная к стороне АВ,
равна 11 см. Найдите высоту, проведенную к стороне ВС.
470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота,
проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высо-
высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.
124
472.
473.
471. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если кате-
катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Най-
Найдите катеты, если отношение их длин равно —.
Через вершину С треугольника ABC проведена прямая т,
параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники
с вершинами на прямой т и основанием АВ имеют равные
площади.
474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделя-
разделяется данный треугольник его медианой.
475. Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две
прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на
три треугольника, имеющие равные площади.
476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диаго-
диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
477. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза боль-
больше другой, а площадь ромба равна 27 см2.
478. В выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпенди-
перпендикулярны. Докажите, что площадь четырехугольника равна
половине произведения его диагоналей.
479. Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника ABC.
Найдите: a) SADE, если АВ = Б см, ЛС = 6 см, AD=3 см,
Л? = 2 см, SABC=\0 см2; 6)AD, если ЛЯ = 8 см, ЛС=3 см,
Л?=2 см, S/,BC=10 см2, SADI.= 2 см2.
480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD,
если: а) ЛБ = 21 см, CD= 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ZD = 30°, ЛЯ = 2см, CD= 10 см, ОЛ=8см; в) ВС±АВ,
ЛЯ = 5 см, ВС=8 см, CD= 13 см.
481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две
меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота,
проведенная из вершины этого угла, делит большее основа-
основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
§ 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
54. Теорема Пифагора. Пользуясь свойствами площадей мно-
многоугольников, мы установим теперь замечательное соотношение
126

Рис. 187
между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Тео-
Теорема, которую мы докажем, называется теоремой Пифагора и яв-
является важнейшей теоремой геометрии.
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотену-
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треуголь-
треугольник с катетами a, b и гипотенузой с (рис. 187, а). Докажем,
что с2 = а2-\-Ь2.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а-\-Ь так, как
показано на рисунке 187, б. Площадь S этого квадрата равна
(а-\-ЬJ. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех
равных прямоугольных треугольни-
треугольников, площадь каждого из которых
равна —а-Ь, и квадрата со сторо-
стороной с, поэтому
S = 4 • ±-аЬ + с2 = ЧаЪ + с2.
Таким образом,
откуда
Пифагор — древнегреческий уче-
ученый VI в. до н. э.
126
Теорема доказана.
Интересна история теоремы Пи-
Пифагора. Хотя эта теорема и свя-
связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.
В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до
Пифагора. Возможно, что тогда еще не знали ее доказатель-
доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было
установлено опытным путем на основе измерений. Пифагор, по-
видимому, нашел доказательство этого соотношения. Сохранилось
древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес
в жертву богам быка, по другим свидетельствам — даже сто бы-
быков. На протяжении последующих веков были найдены различные
другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их
насчитывается более ста. С одним из них мы уже познакоми-
познакомились, еще с одним познакомимся в следующей главе (зада-
(задача 578). Многие известные мыслители и писатели прошлого
обращались к этой замечательной теореме и посвятили ей свои
строки.
55. Теорема, обратная теореме Пифагора.
Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямо-
прямоугольный.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC
АВ2=АС2-\-ВС2. Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим
прямоугольный треугольник A\B\Ci с прямым углом С\, у ко-
которого А\С\=АС и B\Ci=BC. По теореме Пифагора
Л,Я?=Л,С? + Я,С?, и, .шачит, AiB2=AC2 + BC'2. •
Но АС2 + ВС2=А В' но условию георомы. Следовательно,
Л|Б?=ЛБ2, откуда А\В\=АВ. Треугольники ABC и А\В\С\ рав-
равны по трем сторонам, поэтому Z.C= /LC\, т. е. треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторо-
сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 52 —32+42. Прямо-
Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13;
8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему). Прямоугольные треуголь-
треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами,
называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что
катеты а, Ь и гипотенуза с таких треугольников выражаются
формулами а=2ш'П, b = m2 — n2; с = т2 + п2, где т и п — лю-
любые натуральные числа, такие, что т>п. Треугольник со сто-
сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником,
так как он был известен еще древним египтянам. Для построе-
127

ния прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали
метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали ее концы и
растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со
сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4,
оказывался прямым.
Задачи
483. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным
о
катетам а и 6: а) а = 6, 6=8; б) а = 5, 6 = 6; в) а=-^-,
6 = -i-: г) а = 8, 6 = 8УЗ~.
484. В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, а с —
гипотенуза. Найдите 6, если: а) а= 12, с = 13; б) а = 7, с = 9;
в) а=12, с=26; г) а = 2УЗ, с = 2Ь; д) а = 36, c = 2^f\6.
485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий про-
против угла 60°, если гипотенуза равна с.
486. В прямоугольнике ABCD найдите: a) AD, если АВ = Ъ,
АС= 13; б) ВС, если CD = 1,5, АС = 2,5; .в) CD, если
BD=17, ЯС=15.
487. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см,
а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к
основанию.
488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его
сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего тре-
треугольника, если его высота равна 4 см.
489. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вы-
вычисляется по формуле S=?-?-, где а — сторона треуголь-
треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если
его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2-\/2 дм.
490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре-
треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, про-
проведенная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см,
а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треуголь-
треугольник прямоугольный и высота, проведенная к гипотенузе,
равна 7 см.
491. По данным катетам а и 6 прямоугольного треугольника най-
найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а) а=5, 6 = 12;
б) а=12, 6 = 16.
128
492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см
и 12 см.
493. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны
10 см и 24 см.
494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона
равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.
495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и
CD, если: а) ЛЯ = 10 см, ЯС = ОЛ= 13 см, CD = 20 см;
б) /LC= /LD = 60°, ЛЯ = ЯС=8 см; в) /1C=/1D = 45O,
АВ = 6 см, ВС=9^2 см.
496. Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на сто-
стороне АВ, причем AD = BC. Найдите АС, если ЛВ = 3, а
497. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой.
Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма ра-
равен 50 см, а ра.яюсть смежных сторон раина 1 см.
498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его
стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7;
в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25.
В каждом случае ответ обоснуйте.
499. Найдите меньшую высоту треугольника, если его стороны
равны: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
2. Сформулируйте основные свойства площадей многоуголь-
% НИКОВ.
3. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
прямоугольника.
4. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади па-
параллелограмма.
5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного тре-
треугольника по его катетам?
6. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
двух треугольников, имеющих по равному углу.
7. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
трапеции.
8. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
5 Заказ 37 129

9. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифа-
Пифагора.
10. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите
примеры пифагоровых треугольников.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
500. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете
равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое боль-
больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной
к гипотенузе.
501. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь
этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных
километрах.
5©2. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр ра-
равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.
503. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна
24 см2, а точка пересечения диагоналей удалена от сто-
сторон на 2 см и 3 см.
504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпенди-
Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к боль-
большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33 см и 12 см.
Найдите площадь параллелограмма.
505. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сто-
сторона равна а, а другая — 6, наибольшую площадь имеет тот,
у которого эти стороны перпендикулярны.
506. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы
разделить его на три фигуры, площади которых равны?
507*. Каждая сторона одного треугольника больше любой сто-
стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что пло-
площадь первого треугольника больше площади второго тре-
треугольника?
508*. Докажите, что сумма расстояний от точки на основании
равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит
от положения этой точки.
509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри
равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от
положения этой точки.
510*. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC,
проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и
130
пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках
Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF имеют
равные площади.
611. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диа-
диагонали пересекаются в точке О. а) Сравните площади тре-
треугольников ABD и ACD. б) Сравните площади треуголь-
треугольников АВО и CDO. в) Докажите, что OA>OB=OC-OD.
512*. Основания трапеции равны а и Ь. Отрезок с концами на
боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, раз-
разделяет трапецию на две трапеции, площади которых равны.
Найдите длину этого отрезка.
513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба
и расстояние между параллельными сторонами.
514. Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей
равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диа-
диагоналей до стороны ромба.
Б15. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) бо-
боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°;
б) высота, проведенная к боковой стороне, равна 6 см и об-
образует с основанием угол в 45°.
516. В треугольнике ABC ВС — ЪА см. Перпендикуляр MN, про-
проведенный из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС
на отрезки AN=25 см и NC=lb см. Найдите площадь тре-
треугольника ABC.
517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если АВ = 5 см,
ВС=13 см. CD = 9 см, ?М = 15 см. АС=\2 см.
518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) ее мень-
меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол ра-
равен 45°; б) ее основания равны 16 см и 30 см, а диагонали
взаимно перпендикулярны.
518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высо-
высота равна Л, а диагонали взаимно перпендикулярны-
620. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендику-
перпендикулярны, а сумма ее оснований равна 2а. Найдите площадь
трапеции.
521. Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD
взаимно перпендикулярны, то AD2-\-BC2^AB2-\-CD2.
522. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см,
ВС = Б см и боковой стороной АВ = Ю см через вершину В
проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пере-
131

секающая основание AD в точке М. Найдите площадь тре-
треугольника BDM.
523. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину,
причем сторона одного из них лежит на диагонали другого.
Найдите площадь общей части этих квадратов.
Задачи для решения с помощью
микрокалькулятора
524. Основание параллелограмма равно 11,735 м, а высота меньше
основания на 3,485 м. Найдите площадь параллелограмма с
точностью: а) до 0,001 м2; б) до 0,01 м2; в) до 0,1 м2.
525. В треугольнике ABC AB =6,52 см, АС = 4,47 см, а в тре-
треугольнике А\В\С\ Л|Б|=5,27 см, ЛiCi =2,12 см. Найдите
отношение площади треугольника ABC к площади треуголь-
треугольника А\В\С\ с точностью до 0,01, если Z.A=Z.At.
526. Основания трапеции равны 1,17 дм и 3,58 дм, а высота
трапеции равна 2,33 дм. Найдите площадь трапеции с точ-
точностью до 0,01 дм2.
527. Площадь прямоугольника равна 17,635 см2, а одна из его сто-
сторон равна 5,28 см. Найдите смежную сторону с точностью:
а) до 0,01 см; б) до 0,1 см.
528. Две стороны треугольника равны 5,62 м и 7,19 м, а высота,
проведенная к первой стороне, равна 4,35 м. Найдите высо-
высоту, проведенную ко второй стороне, с точностью до 1 см.
529*. Стороны а и Ь прямоугольника измерены с точностью до
0,1 см. Можно ли, пользуясь этими измерениями, вычис-
вычислить площадь S прямоугольника с точностью до 1 см2, ес-
если в результате измерений получено: а) а =2,5 см,
6= 1,7 см; б) а=3,2 см, 6 = 2,5 см; в) а = 5,6 см, 6 = 7,2 см?
530. Катеты прямоугольного треугольника равны 7,25 см и 3,67 см.
Найдите гипотенузу с точностью до 0,01 см.
531. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 11,2 дм,
а один из катетов в три раза меньше гипотенузы. Найдите
другой катет с точностью: а) до 1 см; б) до 0,1 см.
532*. Катеты а и Ь прямоугольного треугольника измерены с
точностью до 0,1 см, и получены следующие результаты:
а«3,5 см, h «4,8 см. Можно ли, пользуясь этими резуль-
результатами измерений, вычислить гипотенузу с с точностью:
а) до 0,1 см; б) до 0,2 см?
132
Глава VII
ПОДОБНЫЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПОДОБНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
56. Пропорциональные отрезки. Отношением отрезков АВ и CD
АВ
называется отношение их длин, т. е. -р^. Говорят, что отрезки АВ
АВ
и CD пропорциональны отрезкам А\В\ и C\D\, если -j-^-=
AB
CD
CD
Z==-Q~n~- Например, отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см
и 1 см, пропорциональны отрезкам А\В\ и C\Dlf длины которых
равны 3 см и 1,5 см. В самом деле,
АВ
CD
__
3 '
Понятие пропорциональности вводится и для большего числа
отрезков. Так, например, три отрезка АВ, CD и EF пропор-
пропорциональны трем отрезкам А\В\, C\D\ и H\F\, если
CD
EF
АВ
57. Определение подобных треугольников. В повседневной
жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных раз-
размеров, например футбольный и теннисный мячи, круглая тарелка и
большое круглое блюдо. В геометрии фигуры одинаковой формы
принято называть подобными. Так, подобными являются любые
два квадрата, любые два круга. Введем понятие подобных тре-
треугольников.
Пусть у двух треугольников ABC и А\В\С\ углы соответствен-
соответственно равны: /LA—/LAU /LB= /LBU /LC= /LC\. В этом случае
стороны АВ и А\В\, ВС и В\С\, С А и С\А\ называются сходст-
сходственными (рис. 188).
133

ABuAfBf, ВСt/ В, С,, СИ и CjAi — схайстВвннш стороны
Рис. 188
Определение. Два треугольника называются подобными,
если их углы соответственно равны и стороны одного треуголь-
треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Другими словами, два треугольника подобны, если их можно
обозначить буквамя ABC и АХВ\С\ так, что
A)
АВ
ВС
_СА
C\Ai
B)
Число k, равное отношению сходственных сторон треуголь-
треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников ABC и А\В\С\ обозначается так:
дЛВСоо &А\В\С\. На рисунке 188 изображены подобные треу-
треугольники.
Оказывается, что подобие треугольников можно установить,
проверив только некоторые из равенств A) и B). В следующем
параграфе мы рассмотрим три признака подобия треугольников.
58. Отношение площадей подобных треугольников.
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольни-
треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть треугольники ABC и А\В\С\ по-
подобны, причем коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами
S и S\ площади этих треугольников. Так как Z.A — /.А\, то
С AR.AQ
Т"=~7~5—тт~ (по теореме об отношении площадей треугольни-
ков, имеющих по равному углу, п. 52). По формулам B) имеем:
Ав
. АС . S .2 т
=к, —r—=k, поэтому -—=k. Теорема доказана.
Вопросы и задачи
533. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны
соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение,
если длины отрезков выразить в миллиметрах?
634. Пропорциональны ли изображенные на рисунке 189 отрез-
отрезки: а) АС, CD и MtM2, ЛШ,; б) АВ, ВС, CD и ММ2, ЛШ,,
МХМ.; и) АН, !Ю и MMU MiM2?
БЗБ. Докнжигг, что биссектриса треугольника делит противопо-
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Решение. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC.
BD DC
Докажем, что "" =-
(рис. 190).
АВ АС
Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, по-
поэтому
-rrr . С другой стороны, эти же треугольники
но равному углу (Z.1 = Z.2), поэтому
АВ
' АС-AD АС '
Из двух равенств для отношения площадей получаем
BD АВ BD DC
DC
АС
AC
что и требовалось доказать.
536. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC.
а) Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD — 7,5 cm, DC=4,5 см.
б) Найдите DC, если ЛЯ = 30, AD =20, BD= 16 и /LBDC =
= Z.C.
537. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC.
Найдите BD и DC, если ЛВ = 14 см, ВС = 20 см, ЛС = 21 см.
538. Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону ВС на
отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см.
А
I i i i i i i
в с
I I ' I
н н, мг
Н
Рис. 189
В В
Рис. 190
135

Найдите АВ и АС, если периметр треугольника ABC ра-
равен 42 см.
639. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вер-
вершины D, ? и F лежат соответственно на сторонах MN,
NK и МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN = 7 см,
NK=b см, МК = 5 см.
540. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треуголь-
треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат
соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны
CD и DE, если CF=8 cm, ?F=12 см.
541. Подобны ли треугольники ABC и DEF, если <?А = \06°,
Z.B = 34°, Z.?=106°, ^./="=40°, ЛС=4,4 см, АВ=Ъ,2 см,
ВС = 7,6 см, D?=15,6 cm, DF=22,8 cm, ?F = 13,2 см?
542. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны АВ и КМ,
ВС и ЛШ являются сходственными. Найдите стороны тре-
треугольника KMN, если АВ=4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см,
/СМ_д .
~AB~Z'1-
543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных тре-
треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сто-
сторонам.
544. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2.
Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите
сходственную ей сторону первого треугольника.
545. Треугольники ABC и А\В\С\ подобны, и их сходственные сто-
стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника ABC боль-
больше площади треугольника А\В\С\ на 77 см2. Найдите пло-
площади треугольников.
546. План земельного участка имеет форму треугольника. Пло-
Площадь изображенного на плане треугольника равна 87,5 см2.
Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в
масштабе 1:100 000.
547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треу-
треугольников равно коэффициенту подобия.
548. Треугольники ABC и А\В\С\ подобны. Сходственные стороны
ВС и В\С\ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите от-
отношение периметров треугольников ABC и А\В\С\.
549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см.
Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его
периметр равен 26 см.
136
§ 2. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
59. Первый признак подобий треугольников.
Теорема. Если два угла одного треугольника соответствен-
соответственно равны двум, углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть ABC и Л i^iCi — два треуголь-
треугольника, у которых /LA= /LA\, /LB= /LB\ (рис. 191). Докажем,
что ААВСсо аА\В\С\.
По теореме о сумме углов треугольника Z.C= 180°—/LA —
— Z-B, Z.C, = 180°— Z.y4i — /LBU и, значит, ZC=Z.Ci. Таким
образом, углы треугольника ABC соответственно равны углам
треугольника А\В\С\.
Докажем, что сходственные стороны треугольников ABC
и А\В\С\ пропорциональны. Так как Z.A — Z./li и Z.C=Z.C|, то
^ ^^ («-п. 82).
АВ
Из этих равенств следует: -тЦг-=
ВС
Аналогично, используя
ВС С А
равенства АА = /LA\, /LB= /LB\, получаем —^-=—^-—. Итак,
сходственные стороны треугольников ABC и А\В\С\ пропорцио-
пропорциональны. Теорема доказана.
60. Второй признак подобия треугольников.
Теорема. Если две стороны одного треугольника пропор-
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заклю-
заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники
подобны.
Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и
В
137

й А,
АВ _ AC.
А,В, AtC,
a)
В,
Ъ A,
5)
Рис. 192
у которых Xj|j-=-J7r' ?А = ?А\ (рис. 192, а). Дока-
Докажем, что ААВСсо аА\В\С\. Для этого, учитывая первый признак
подобия треугольников, достаточно доказать, что ?В = ?В\.
Рассмотрим треугольник АВС2, у которого ?1 = АА\, /L2 =
= Z.fli (рис. 192,6). Треугольники АВС2 и AiBiC\ подобны по
АВ
первому признаку подобия треугольников, поэтому ~гъ~==
— С другой стороны, по условию Хв~=Хс~'
"=ACi. Треугольники ABC и
Из , этих
AiCi
двух равенств получаем АС=АСл. Треугольники ABC и АВС2 рав-
равны по двум сторонам и углу между ними (АВ — общая сторона,
АС=АСо и Zy4=Z.l, поскольку ?А = ?А, и Z. 1 = Z.A\). От-
Отсюда следует, что АВ— Z.2, а так как Z2= /LB,,ro Z-B= /LB\.
Теорема доказана.
61. Третий признак подобия треугольников.
Теорема. Если три стороны одного треугольника пропор-
пропорциональны трем, сторонам другого, то такие треугольники по-
подобны.
Доказательство. Пусть стороны треугольников ABC и
А\В\С\ пропорциональны:
АВ _ ВС _ СА
И.В.-В.С, С/4,- A)
Докажем, что ААВСсо аА\В\С\. Для этого, учитывая второй
признак подобия треугольников, достаточно доказать, что /LA =
= Z-At. Рассмотрим треугольник АВС2, у которого /Ll = /LAt,
?2= Z_B\ (рис. 192, б). Треугольники АВС2 и А\ВХС\ подобны по
138
1 "/ .' I
ИМ
И» !'««<'ч
шик 1
1|и
20
похому
6
АН
li/»i Ht( I CiA,
\ |>iii»MiMi.i»i ни ptinniciua с равенствами A), получаем: ВС =
— hi „ (М r'^.'i Гроуюлышки ЛВС и ABd равны по трем сто-
|мнм|м ()ц|(»дл 1Пгдуп, 'но . .I". 1, я тлк как А\ш^?А\, то
а А — . 1) IropcMii доки шин.
Вопросы и задачи
Д50. Но дшшым рисунка 193 найдите хну.
S8I. На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е.
Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите:
а) EF и FC, если DE—8 см, ЕС —4 см, ВС = 7 см, Л?= 10 ем;
б) D? и ЕС, если ЛЯ = 8 см, AD=b cm, CF=2 см.
Б52. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и С?> пе-
пересекаются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см,
OD= 10 см, DC = 25 см; б) ^ и ^, если ЛЯ = а, DC = b;
в) ЛО, если ЛВ=9,6 дм, ?>С = 24 см, ЛС=15 см.
553. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют:
а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу;
в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
554. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны,
равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке
М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего
основания.
555. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах
АВ, ВС и СА треугольника ABC, причем MN\\AC, NP\\AB.
Найдите стороны четырехугольника AMNP, если: а) АВ =
= 10 см, АС=\5 см, PN:MN=2:3; б) АМ=АР, АВ=а,
АС=Ь.
1Э9

\
о
в
556. Стороны угла О пересечены па-
параллельными прямыми АВ и CD.
Докажите, что отрезки О А и АС
пропорциональны отрезкам ОВ
и BD (рис. 194).
Решение. Проведем через
точку А прямую АС\, парал-
параллельную прямой BD (Ci —
точка пересечения этой прямой
с прямой CD). Тогда АО А В со ААСС\ по первому признаку
подобия треугольников (АО= Z.CAC\, Z.OAB= /LС), сле-
следовательно. .2d.__2iL Так кгкАС\ =
/\Lt А С i
О А АС
\
"\
Рис. 194
О А
то -7Г5-=
OB
OB BD
(объясните почему),
что и требовалось доказать.
557. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и
DE, причем точки В и D лежат на одной стороне угла,
а С и Е— на другой. Найдите: а) АС, если С?=10 см,
AD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если АВ= 10 см, АС =
= 8 см, ЯС = 4 см, С?=4 см; в) ВС, если Л?:В? = 2:1
и DE=12 см.
ББ8. Прямые аи b пересечены параллельными прямыми AAlt BB\,
СС\, причем точки А, В и С лежат на прямой a, a A\, В\иС\ —
на прямой Ь. Докажите, что ~б^=~5~г ¦
559. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ =
= 5 см и АС= 16 см. На другой стороне этого же угла отло-
отложены отрезки AD = 8 см и AF=\0 см. Подобны ли тре-
треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.
560. Подобны ли треугольники ABC и А\В\С\, если: а) АВ =
= 3 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, A\Bi=4,5 см, В|С| = 7,5 см,
С,у4| = 10,5 см; б) АВ=\,7 см, ВС=3 см, СА=4,2 см,
Л|В| = 34 дм, В|С|=60 дм, СИ|=84 дм?
561. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
562. В треугольнике ABC сторона АВ равна с, а высота СН
равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треуголь-
треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на
стороне АВ, а две другие — соответственно на сторонах
АС и ВС.
140
563. Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC,
и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону
АС в точке К. Найдите отношение -?, если: а) М — сере-
дина отрезка AD; б) ^=-^--
f 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ
И РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
62. Средняя линия треугольника. Средней линией треугольника
называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Дока-
Докажем теорему о средней линии треугольника.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны.
Д о к а з а г с л ь с г о о. 11усть MN — средняя линия треуголь-
треугольника ABC (рис. 1%). Докажем, что MN\\AC и MN = -j-
Треугольники BMN и ВАС подобны по второму признаку подо-
подобия треугольников ( АВ — общий, M=M=_L) > поэтому Z. 1 =
= Z.2 и —=— Из равенства Z.1 = Z.2 следует, что MvV||y4C
(объясните почему), а из второго равенства, что MN=-^-AC. Тео-
Теорема доказана.
Пользуясь этой теоремой, решим следующую задачу:
Задача 1. Доказать, что медианы треугольника пересекают-
пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении
2:1, считая от вершины.
Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА\ и ВВ\ и
проведем среднюю линию AiB{ этого треугольника (рис. 196).
Рис. 195
В
Рис. 196
141

Отрезок Л^ параллелен стороне АВ, поэтому Z.1 = Z.2 и
Z.3 = Z.4. Следовательно, треугольники АОВ и А\ОВ\ подобны по
двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
АО _ ВО _ АВ
AtO ~ В\О ~~ АхВх
Но AB = 2AiBit поэтому АО = 2А\О и ВО = 2В\О. Таким образом,
точка О пересечения медиан А4( и ВВ\ делит каждую из них
в отношении 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ\
и СС\ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вер-
вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три
медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею
в отношении 2:1, считая от вершины.
63. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Задача 2. Доказать, что высота прямоугольного треуголь-
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треуголь-
треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из ко-
которых подобен данному треугольнику.
Решение. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с пря-
прямым углом С, a CD — высота, проведенная из вершины С к г»-
потенузе АВ (рис. 197). Докажем, что
ААВСсо aACD, aABCooaCBD, AACDco aCBD.
Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подо-
подобия треугольников {Z.A— общий, Z.ACB= Z.ADC = 90°). Точно
так же подобны треугольники ABC и CBD (?В—общий и
/LACB=/LBDC = 90°), поэтому /LA = /-BCD. Наконец, тре-
треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку по-
подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и
/LA = /LBCD), что и требовалось доказать.
Отрезок XY называется средним пропорциональным (или сред-
средним геометрическим) между отрезками А В и CD, если
ЛТ=Л/ЛЯ-CD.
На основе задачи 2 докажем сле-
следующие утверждения:
1°. Высота прямоугольного тре-
треугольника, проведенная из верши-
вершины прямого угла, есть среднее про-
пропорциональное между отрезками, на
которые делится гипотенуза этой
Рис. 197 высотой.
142
А
Рис. 198
¦В.
Г\
в
Действительно, AADCco aCBD (cm. рис. 197), поэтому
~Cd~=s~db~* и' слеД°вательн°. CD2=AD-DB, откуда CD =
2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропор-
пропорциональное мгжчЬ/ гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключен-
заключенным межОу катетом и высотой, проведенной из вершины пря-
прямого угла.
В самом деле, aABCqo aACD (см. рис. 197), поэтому
' и' слеД°вательно,
6А. Практические приложения подобия треугольников.
а) Задачи на построение.
При решении многих задач на построение треугольников при-
применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что
сначала на основании некоторых данных строят треугольник, по-
подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят
искомый треугольник.
Рассмотрим пример.
Задача 3. Построить треугольник по двум углам и биссект-
биссектрисе при вершине третьего угла.
Решение. На рисунке 198, а изображены два данных угла и
данный отрезок. Требуется построить треугольник, у которого
два угла соответственно равны двум данным углам, а биссектриса
при вершине третьего угла равна данному отрезку.
Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный иско-
искомому. Для этого начертим произвольный отрезок А\В\ и постро-
построим треугольник А\В\С, у которого углы А\ и В\ соответственно
равны данным углам (рис. 198,6).
Далее построим биссектрису угла С и отложим на ней отре-
НЗ

зок CD, равный данному отрезку. Через точку D проведем прямую,
параллельную А\В\. Она пересекает стороны угла С в некото-
некоторых точках А и В (рис. 198,6). Треугольник ABC искомый.
В самом деле, так как AB\\AiBi, то /LA= Z-A\, /LB= /LBit
и, следовательно, два угла треугольника ABC соответственно
равны данным углам. По построению биссектриса CD треуголь-
треугольника ABC равна данному отрезку. Итак, треугольник ABC удовлет-
удовлетворяет всем условиям задачи.
Очевидно, задача имеет решение, если сумма двух данных уг-
углов меньше 180°. Так как отрезок AiB\ можно выбрать про-
произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлет-
удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу
(объясните почему), поэтому задача имеет единственное решение.
б) Измерительные работы на местности.
Свойства подобных треугольников могут быть использованы
для проведения различных измерительных работ на местности.
Мы рассмотрим две задачи: определение высоты предмета и рас-
расстояния до недоступной точки.
Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно
определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту те-
телеграфного столба А\С\, изображенного на рисунке 199. Для
этого поставим на некотором расстоянии от столба шест А С с
вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А\
столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли
точку В, в которой прямая А\А пересекается с поверхностью
земли. Прямоугольные треугольники А\С\В и АСВ подобны по
первому признаку подобия треугольников (Z.C| = Z.C = 9O°,
Z.B — общий). Из подобия треугольников следует:
Aid
АС
Ш
откуда И,С,=
С А,
Рис. 200
144
Измерив- расстояния ВС\ и ВС и зная длину АС шеста, по
полученной формуле определяем высоту А\С\ телеграфного стол-
столба. Если, например, ?С|=6,3 м, ВС = 2,1 м, АС=\,7 м, то
Определение расстояния до недоступной точки. Предположим,
что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного
пункта В (рис. 200). Для этого на местности выбираем точку С,
провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астро-
астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-ни-
какой-нибудь треугольник А\В\С\, у которого /LA\ = /LA, Z.C| = Z.C,
и измеряем длины сторон А\В\ и А\С\ этого треугольника. Так
как ААВСоо
to -?|-=
АС
откуда АВ~
По известным расстояниям АС, А\С\ и А\В\ находим расстоя-
расстояние АВ.
Для упрощения вычислений удобно построить треугольник
А\В\С\ так, чтобы А [Сг. АС =1:1000. Например, если АС =
= 130 м, то расстояние Л |С| возьмем равным 130 мм. В этом случае
АВ=-д~с— AiBi=\000-AiBi, поэтому, измерив расстояние A[Bi
в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах.
Пример. Пусть ЛС=130 м, АА=73°, ZC=58° (см.
рис. 200). На бумаге строим треугольник А\В\С\ так, чтобы
^.Л| = 73°, ZС\ =58°, А\СХ —130 мм, и измеряем отрезок А\В\. Он
равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.
65. О подобии произвольных фигур. Понятие подобия можно
ввести не только для треугольников, но и для произвольных Аигур.
Фигуры F и F\ называются подобными, если каждой точке фигуры
F можно сопоставить точку фигуры F\ так, что для любых двух
точек М и N фигуры F и сопоставленных им точек М\ и Ni фигу-
фигуры F| выполняется условие ^^-=k, где k — одно и то же по-
положительное число для всех точек. При этом предполагается,
что каждая точка фигуры F\ оказывается сопоставленной какой-
то точке фигуры F. Число k называется коэффициентом подо-
подобия фигур F и F\.
Сопоставление точек подобных фигур хорошо знакомо нам из
повседневного опыта. Так, при проектировании киноленты на экран
каждой точке изображения на кинокадре сопоставляется точка на
145

п
1
а
Ь'
Ь
1°
о,
Ь,
' 567
О;
сое
Рис 201
а) 6)
Рис. 202
экране, причем все расстояния увеличиваются в одинаковое число
раз.
На рисунке 201 представлен способ построения фигуры Ft,
подобной данной фигуре F. Каждой точке М фигуры F сопо-
сопоставляется точка М\ плоскости так, что точки М и Afi лежат на
луче с началом в некоторой фиксированной точке О, причем
ОМ\ =k- ОМ (на рисунке 201 k = 3). В результате такого сопостав-
сопоставления получается фигура F\, подобная фигуре F. В этом случае
фигуры F и F\ называются центрально-подобными.
Можно доказать, что для треугольников общее определение
подобия равносильно определению, данному в п. 57.
Примерами подобных четырехугольников являются любые два
квадрата (рис. 202, а), а также два прямоугольника, у которых
две смежные стороны одного пропорциональны двум смежным сто-
сторонам другого (рис. 202,6). Примерами подобных фигур произ-
произвольной формы являются две географические карты одного и того
же района, выполненные в разных масштабах, а также фотогра-
фотографии одного и того же предмета, сделанные при разных увеличе-
увеличениях.
Вопросы и задачи
564. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см, 7 см.
Найдите периметр треугольника, вершинами которого яв-
являются середины сторон данного треугольника.
565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольни-
прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см.
Найдите меньшую сторону прямоугольника.
506. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника ABC.
569.
570.
571
572.
573.
574.
575.
576.
577.
578.
Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треу-
треугольника APQ равен 21 см.
Докажите, что середины сторон произвольного четырехуголь-
четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Докажите, что четырехугольник есть ромб, если его вер-
вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника;
б) равнобедренной трапеции.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности
оснований.
Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Сере-
Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите
отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.
В треугольнике ABC медианы AAi и ВВ\ пересекаются в
точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь
треугольника АВО равна S.
В условиях задач 572—574 использованы следующие обо-
обозначения для элементов прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, АВ~с, АС=Ь,
CH=h, AH=bc, HB = ac.
Найдите: а) Н, а и Ь, если ЬС—2Ъ, ас=16; б) Л, а и 6, если
6С=36, ас=64;в) а, си ас,если Ь=12, 6С=6; г) Ь, си 6С, если
а —8, ас=4; д) Л, Ь, ас и Ьс, если а=6, с=9.
Выразите ас и Ьс через а, Ь и с.
Докажите, что: а) Л=—; б) —=-?-•
С Ос Ос
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а
гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипо-
гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого
угла.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вер-
вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из ко-
которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если
катеты треугольника относятся как 6:5.
В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см,
проведена высота к большей стороне. Найдите отрезки, на
которые высота делит эту сторону.
Используя утверждение 2°, п. 63, докажите теорему Пифаго-
Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С
147

Зеркало
Рис. 203
Рис. 204
Решение. Пусть CD — высота треугольника ABC (см.
рис. 197). На основе утверждения 2°, п. 63, имеем АС =
=^AD-AB, или AC2=AD-AB. Аналогично BC2 = BD-AB.
Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD +
+ BD=AB, получаем
)
579. Для определения высоты столба А\С\, изображенного на ри-
рисунке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему
равна высота столба, если ?С|=6,3 м, ВС=3,4 м
AC=\J м?
580. Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени челове-
человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту де-
дерева.
581. Для определения высоты дерева можно использовать зеркало
так, как показано на рисунке 203. Луч света FD, отражаясь
от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В).
Определите высоту дерева, если АС=\65 см, ДС=12 см,
AD=12O cm, DE = 4,8 м, Z1 = Z2.
582. Для определения расстояния от точки А до недоступной
точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок
АС и углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге тре-
треугольник AiBiCi, подобный треугольнику ABC. Найдите АВ,
если АС = 42 м, Л,С,=6,3 см, Л,Я, = 7,2 см.
583. На рисунке 204 показано, как можно определить ширину
BBi реки, рассматривая два подобных треугольника ABC
и ABtCi. Определите ВВи если ЛС=100 м, ЛС,=32 м,
ЛЯ, = 34 м.
148
Рис. 20В
А
в
Рис. 206
Задачи на построение
584. Разделите данный отрезок АВ на два отрезка АХ и ХВ,
пропорциональные данным отрезкам PiQi и P2Q2.
Решение. Проведем какой-нибудь луч AM, не лежащий на
прямой АВ, и на этом луче отложим последовательно от-
отрезки АС и CD, равные отрезкам PiQi и P2Q2 (рис. 205).
Затем проведем прямую BD и прямую, проходящую через
точку С параллельно прямой BD. Она пересечет отрезок АВ
в искомой точке X (см. задачу 556).
Б85. Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2:5;
б) 3:7; в) 4:3.
Б8в. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, прове-
проведенной иг» першинм меньшего из данных углов.
587. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной
из вершины третьего угла.
588. Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если
известно, что АВ:АС=2:3.
589. Постройте треугольник ABC по углу А и стороне ВС, если
известно, что АВ:АС=2:1.
890. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и от-
отношению катетов.
§ 4. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного
треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с пря-
прямым углом С (рис. 206). Катет ВС этого треугольника является
149

противолежащим углу А, а катет АС— прилежащим к этому
углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называет-
называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника назы-
называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника назы-
называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Синус, косинус и тангенс угла а обозначаются символами
sin a, cos а и tg а (читается: «синус альфа», «косинус альфа»
и «тангенс альфа»). На рисунке 206
sin A =
Из формул A) и B) полунаем:
с формулой C), находим:
ВС
АВ '
. AC
' АВ '
ВС
AC '
-SO* ВС ЛЯ |С
cos/1 ИВ ЛС ЛС г
0)
B)
C)
sin A
cos/4
D)
т. е. тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треу-
треугольника равен острому углу другого прямоугольного треуголь-
треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и
тангенсы этих углов равны. В самом деле, пусть ABC и А\В\С\ —
два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и С\ и рав-
равными острыми углами А и А\. Треугольники ABC и А\В\С\ лодоб-
АВ
ны по первому признаку подобия треугольников, поэтому -j-s*=
ВС
АС
Из этих равенств
что тгг=
АС
sin^=siny4|. Аналогично -7^=-
т. е.
ВС
, т. е. cos/l = cos/l|, и -т^-
Докажем теперь справедливость равенства
E)
В
С А
Рис. 207
Из формул A) и B) получаем
По теореме Пифагора ВС2+АС2 =
поэтому
Равенство (б) называется основным тригонометрическим тож-
тождеством1.
67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°
н 60°. Найдем сначала значения синуса, косинуса и тангенса для
углов 30° и 60°. Для этого рассмотрим прямоугольный треуголь-
треугольник ABC с прямым углом С, у которого Z.A=30°, Z.fi = 60°
(рис. 207). Так как катет, лежащий против угла 30°, равен поло-
вине гипотенузы, то ^g=~2- Но -^=sin y4 = sin 30°. С другой
стороны, f§=cos B = cos 60°. Итак, sin 30°=-|-, cos C0°=-^-. Из
основного тригонометрического тождества получаем:
cos
=лЛ -sin2 30° =-^1 —l-=
sin 60°=л/1 -cos* 60° =У 1 —J-=^.
По формуле D) находим:
cos
cos 60°
Найдем теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для этого рассмотрим
равйобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым уг-
углом С (рис. 208). В этом треугольнике АС=ВС. ?А = /-В = 45°.
1 Слово «тригоиоиетрия» в переведе с греческого языка означает «измерение
треугольников».
151

По теореме Пифагора АВ2=АС2
АВ
ВС
= ЯС=^?. Следовательно, sin 45° = sin ^4 =——=—--
V2
АВ
откуда
=-L=VI
2 '
Составим таблицу значений sin a, cos а и tga для углов а,
равных 30°, 45°, 60°:
a
sin a
cos a
tga
30°
I
2
2
VI
3
45°
V2
2
л/2
2
1
60°
л/з
2
1
2
л/3
Задачи
591. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника
ЛВС с прямым углом С, если: а) ВС=8. АВ=\7; б) ЯС = 21.
АС=20; в) ВС=1, АС=2; г) ЛС=24, АВ = 2Ъ.
1 3
592. Постройте угол а, если: a) tga=-g-; б) tga=-^-;
2 1
в) cosa=0,2; г) cosa=—; д) sin a=—; e) sina = 0,4.
593. Найдите: а) sin a и tga, если cosa=-|-; б) sin a и tga,
2 л/3
если cosa=—; в) cos a и tga, если sin a=^-; r) cos a
и tg a, если sin a=—.
594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6,
а противолежащий угол равен р. а) Выразите другой катет,
противолежащий ему угол и гипотенузу через 6 и 0. б) Найди-
Найдите их значения, если 6=10 см, {$ = 50°.
595. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6,
а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет,
прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через Ь и а.
б) Найдите их значения, если 6 = 12 см, a=42°.
596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из
152
60м
60
Рис. 209
острых углов равен а. Выра-
Выразите второй острый угол и ка-
катеты через с и а и найдите их
значения, если с=24 см, а
а = 35°. S
597. В прямоугольном треугольни-
треугольнике катеты равны а и 6. Вырази-
Выразите через а и 6 гипотенузу и острые углы треугольника и
найдите их значения при а=12, 6=15.
598. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а
при основании, если: а) боковая сторона равна 6; б) осно-
основание равно а.
599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основани-
основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании ра-
равен а.
690. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м.
Какова ширина насыпи в нижней ее части, если угол наклона
откосов к горизонту равен 60°, а высота насыпи равна 12 м
(рис. 209)?
601. Найдите углы ромба, если его диагонали равны 2л/3 и 2.
602. Стороны прямоугольника равны 3 см и -yJ3 см. Найдите уг-
углы, которые образует диагональ со сторонами прямоуголь-
прямоугольника.
603. В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол
BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если
его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Что называется отношением двух отрезков?
2. В каком случае говорят, что отрезки А В и CD пропорцио-
пропорциональны отрезкам А\В\ и C|D|?
3. Дайте определение подобных треугольников.
4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
подобных треугольников.
5. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треуголь-
треугольников.
6. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треуголь-
треугольников.
153

7. Сформулируйте и докажите третий признак подобия треуголь
ников.
8. Какой отрезок называется средней линией треугольника
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треуголь
иика.
9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одноь
точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:4, счи
тая от вершины.
10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота
прямоугольного треугольника, проведенная из вершины пря-
прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.
11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных
отрезках в прямоугольном треугольнике.
12. Приведите пример решения задачи на построение методом по-
подобия.
13. Расскажите, как определить на местности высоту предмета и
расстояние до недоступной точки.
14. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что та-
такое коэффициент подобия фигур?
15. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника?
16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного тре-
треугольника равен острому углу другого прямоугольного тре-
треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов
равны и тангенсы этих углов равны.
17. Какое равенство называют основным тригонометрическим
тождеством?
18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов
30°, 45°, 60°? Объясните, как найти эти значения.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
604. Треугольники ABC и А\В{С\ подобны, АВ=6 см, ВС —
=9 см, С/4 = 10 см. Наибольшая сторона треугольника
А\В\С\ равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треуголь-
треугольника А\В\С\.
605. Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных
треугольника. Докажите, что АС2=а-Ь, где аи b — ос-
основания трапеции.
НА
606. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются
в точке О. Найдите отношение O'K'ON, если MN = 5 см, NP=
=3 см, МР = 7 см.
607. Основание равнобедренного треугольника относится к боко-
боковой стороне как 4:3, а высота, проведенная к основанию,
равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит
биссектриса угла при основании.
608. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного тре-
треугольника АОВ с основанием АВ взята точка С^так, что
точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает
биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что АМ<сМС.
609. На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что
BD =-^г. Докажите, что AD — биссектриса треугольни-
ка ARC.
610. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, де-
делит сторону АС в отношении 2:7, считая от вершины А.
Найдите стороны отсеченного треугольника, если.Л? = 10 см,
ВС=18 см, СЛ=21,6 см.
611. Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам
любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого
лежат на сторонах АВ и АС.
612. Два шеста АВ и CD разной длины а и Ь установлены вер-
вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как по-
показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены
веревками, которые пересекаются в точке О. По данным ри-
рисунка докажите, что: а) -~=-^- и -j-=-^-; б) ~~+~?~=1-
Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d
между шестами АВ и CD.
613. Докажите, что треугольники ABC и A\B\d подобны, если:
АВ АС ВМ
а)
АС
И,С,
где ВМ
и В\М\ — медианы треугольни-
треугольников;
, где
в
6) ZWA.^-
ВН и В\Н\ — высоты треугольни-
треугольников ABC и A\BiCi.
Рис. 210
155

614. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом
А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а бо-
боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СБ.
615*. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции паралле-
параллелен ее основаниям и проходит через точку пересечения диаго-
диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапе-
трапеции равны а и Ь.
616. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от пря-
прямой, содержащей его среднюю линию.
617. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами
прямоугольника.
618. Точки М и N являются соответственно серединами сторон
CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM
и AN делят диагональ BD на три равные части.
619. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC
пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что Тв=~аг-
620. В треугольнике АВС(АВфАС) через середину стороны ВС
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, ко-
которая пересекает прямые АВ к АС соответственно в точках
D и Е. Докажите, что BD = CE.
621. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма основа-
оснований рагша Ъ, диагональ АС равна а, /-АСВ = а. Найдите
площадь трапеции.
622. Дан треугольник ABC. Постройте треугольник А\В\С\, по-
подобный треугольнику ABC, площадь которого в два раза
больше площади треугольника ABC.
623. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а,
Ь и с. Постройте отрезок, длина которого равна —.
С
624. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
625. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведен-
проведенным к двум другим сторонам.
Задачи для решения с помощью
микрокалькулятора
В условиях задач 626—630 использованы следующие обозна-
обозначения для элементов прямоугольного треугольника ABC с пря-
прямым углом С и высотой СИ: ВС = а, АВ = с, AC=b, CH = h, AH =
626. Найдите h,anbc точностью до 0,01 см, если: а) ас=5,23 см,
Ьс=7,35 см; б) ас=1,19 см, с = 3,52 см; в) Ьс= 17,92 см,
с=25,34 см.
627. Найдите Ъ и с с точностью до 1 см, если.: а) а=3,27 м,
Л = 2,11 м; б> а = 8,74 м, ас=5,42 м; в) Л=1,25 м, ас=
= 2,82 м.
628. Найдите отношение площадей треугольников ABC и АСН с
точностью до 0,01, если а = 21,3 дм, 6 = 37,8 дм.
629*. Известно, что 4-= 2,3 и h =10 см. Найдите а, Ъ и с с точ-
0
ностью до 0,1 см.
630*. Найдите отношения -?- и — с точностью до 0,01, если
О С
-#^=0,85.

Глава VIII
ОКРУЖНОСТЬ
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ
К ОКРУЖНОСТИ
68. Взаимное расположение прямой и окружности. Выясним,
сколько общих точек могут иметь прямая и окружность в зави-
зависимости от их взаимного расположения. Ясно, что если прямая
проходит через центр окружности, то она пересекает окружность
в двух точках — концах диаметра, лежащего на этой прямой.
Пусть прямая р не проходит через центр О окружности ра-
радиуса г. Проведем перпендикуляр ОН к прямой р и обозначим
буквой d длину этого перпендикуляра, т. е. расстояние от центра
данной окружности до прямой (рис. 211). Исследуем взаимное рас-
расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения
между d и г. Возможны три случая.
1) d<Zr. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и
НВ, длины которых равны-^/Р —rf'2 (рис. 211, а). По теореме Пифа-
Пифагора[ОА^/Ш^Ш^/^^^
=^Jd2-\-(r2—d2). Следовательно, точки А а В лежат на окруж-
окружности и, значит, являются общими точками прямой р и данной
окружности.
Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других
Рис. 212
158
общих точек. Предположим, что они име-
имеют еще одну общую точку С. Тогда медиа-
i на OD равнобедренного треугольника
ОАС, проведенная к основанию АС, явля-
является высотой этого треугольника, поэто-
поэтому ODJ-p. Отрезки OD и ОН не совпада-
совпадают, так как середина П отрезка АС не
совпадает с точкой Н — серединой отрез-
отрезка АВ. Мы получили, что из точки О про-
проведены два перпендикуляра: ОН и OD —
к прямой р, что невозможно. Итак, если
расстояние от центра окружности до пря-
прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность
имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секу-
секущей по отношению к окружности.
2) d—r. В этом случае ОН = г, т. е. точка Н лежит на окруж-
окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности
(рис. 211, б). Прямая р и окружность не имеют других общих то-
точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н,
ОМ>ОН—г (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), л, сле-
следовательно, точка М не лежит на окружности. Итак, если рас-
расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окруж-
окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
3) d>r. В этом случае ОН>г, поэтому для любой точки М
прямой р ОМ~^ОН>г (рис. 211, в). Следовательно, точка М не
лежит на окружности. Итак, если расстояние от центра окруж-
окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окруж-
окружность не* имеют общих точек.
69. Касательная к окружности. Мы доказали, что прямая и
окружность могут иметь одну или две общие точки и могут не
иметь ни одной общей точки. Прямая, имеющая с окружностью
только одну общую точку, называется касательной к окружности,
а их общая точка называется точкой касания прямой и окруж-
окружности. На рисунке 212 прямая р — касательная к окружности с
центром О, А — точка касания.
Докажем теорему о свойстве касательной.
Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть р — касательная к окружности
159

Рис. 213
с центром О, Л—точка касания (см. рис. 212). Докажем, что
касательная р перпендикулярна к радиусу ОА.
Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является на-
наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из
точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от цент-
центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно,
прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противо-
противоречит условию: прямая р — касательная. Таким образом, прямая р
перпендикулярна к радиусу О А. Теорема доказана.
Рассмотрим две касательные к окружности с центром О, про-
проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках В и
С (рис. 213). Отрезки АВ и АС назовем отрезками касатель-
касательных, проведенными из точки А. Они обладают следующим свойст-
свойством, вытекающим из доказанной теоремы:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точ-
точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через
эту точку и центр окружности.
Для доказательства этого утверждения обратимся к рисун-
рисунку 213. По теореме о свойстве касательной углы 1 и 2 прямые, по-
поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так
как имеют общую гипотенузу О А и равные катеты О В и ОС. Сле-
Следовательно, АВ = АС и Z.3=Z-4, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему, обратную теореме о свойстве каса-
касательной (признак касательной).
Теорема. Если прямая проходит через конец радиуса, лежа-
лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она
является касательной.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что дан-
данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра
ten
l' окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра ок-
| ружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и
окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает,
• что данная прямая является касательной к окружности. Теорема
I доказана.
На этой теореме основано решение задач на построение каса-
касательной. Решим одну из таких задач.
Задача. Через данную точку А окружности с центром О про-
провести касательную к этой окружности.
Решение. Проведем прямую О А, а затем построим прямую
р, проходящую через точку А перпендикулярно к прямой ОА. По
признаку касательной прямая р является искомой касательной.
Задачи
631. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса г до
прямой р. Какопо п.чаимиое расположение прямой р и ок-
окружности, если: а) г = 16 см, d= 12 см; б) г = 5 см, rf = 4,2 см;
в) г=7,2 дм, d = 3,7 дм; г) г = 8 см, d= 1,2 дм; д) г = 5 см,
d = 50 мм?
632. Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса
окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через
точку А, является секущей по отношению к данной окруж-
окружности.
633. Даны квадрат О ABC, сторона которого равна 6 см, и окруж-
окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых
ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к
этой окружности?
634. Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам.
Докажите, что касательная, проведенная через точку М, па-
параллельна хорде АВ.
635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда,
равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, прове-
проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите
угол АС В.
637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через точ-
точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ
в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедрен-
равнобедренный.
6 Заказ 37 161

638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точ-
точке В. Найдите АВ, если СМ =2 см, а г== 1,5 см.
639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точ-
точке В. Найдите АВ, если ААОВ = 60°, а г=12 см.
640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А,
такая, что ОА=9 см. Через точку А проведены две каса-
касательные к данной окружности. Найдите угол между ними.
641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к
окружности с центром О, проведенными из точки А. Най-
Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окруж-
окружности.
642. Ни рисунке 213 О/? = 3 см, ОА=6 см. Найдите АВ, АС,
Z.3 и Z.4.
643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точ-
точках В к С. Найдите ВС, если /LOAB = 30°, АВ = 5 см.
644. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точ-
точках А и В. Точка С симметрична точке О относитель-
относительно точки В. Докажите, что Z.AMC=3Z.BMC.
645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены пер-
перпендикуляры ЛА[ и ВВ\ к касательной, которая не перпенди-
перпендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания являет-
является серединой отрезка А\В\.
646. I» треугольнике AIsC угол В прямой. Дскажите, что: а) пря-
прямая ВС является касательной к окружности с центром А
радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окруж-
окружности с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является
каезтелыгой к окружности с центром В и радиусами ВА
п ВС.
647. С) грею к ЛИ— перпендикуляр, проведенный из точки А к
прямой, проходящей через центр О окружности радиуса
3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, ес-
если: а) ОА = Ъ см, АН=А см; б) Z#/4O=45°, ОА — А см;
в) /LHАО = 30°, ОА = 6 см?
648. Постройте касательную к окружности: а) параллельную дан-
данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.
§ 2. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЬ!
70. Градусная мера дуги окружности. Отметим на окружности
две точки А и В. Они разделяют окружность на две дуги. Чтобы
Рис. 214
ршшчить эти дуги, на каждой из них
Отмечают промежуточную точку, напри-
Mtp L и М (рис. 214). Обозначают дуги
т»к: ^~>ALB и \jAMB. Иногда использу-
#тся обозначение без промежуточной точ-
точки: ^>АВ (когда ясно, о какой из двух
дуг идет речь).
Дуга называется полуокружностью,
*сли отрезок, соединяющий ее концы, яв-
является диаметром окружности. На ри-
рисунке 215, а изображены две полуокружности, одна из которых
•ыделена жирной линией.
Угол с вершиной в центре окружности называется ее централь-
центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с цент-
.ром О пересекают ее в точках А к В. Центральному углу
АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис. 215). Если
Z.AOB развернутый, то ему соответствуют две полуокружности
(рис. 215, а). Если /.АОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ,
расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. На
рисунке 215, б эта дуга выделена жирной линией. Про другую дугу
с концами А н В говорят, что она больше полуокружности (ду-
(дуга ALB на рисунке 215,6).
Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ ок-
окружности с центром О меньше полуокружности или является по-
полуокружностью, то .ее градусная мера считается равной градус-
градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 215, а, б). Если же дуга
АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается рав-
равной 360°— АЛОВ (см. рис. 215, в).
-ALB ~ 160°
6)
Рис. 215
б)
163

Рис. 216
Рис. 217
Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности
с общими концами равна 360°.
Градусная мера дуги АВ (дуги ALB), как и сама дуга, обоз-
обозначается символом wi4B (yuALB).
На рисунке 216 градусная мера дуги CAB равна 145°. Обычно
говорят кратко: «Дуга CAB равна 145°» — и пишут: ^САВ —
= 145°. На этом же рисунке ^ADB = 360° — 115° = 245°,
wCDB = 360°— 145° = 215°, w?>?=180°.
71. Теорема о вписанном угле. Угол, вершина которого лежит
на окружности, а стороны пересекают окружность, называется
вписанным углом.
На рисунке 217 угол ABC вписанный, дуга АМС расположена
внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол
ABC опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном
угле.
Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на
которую он опирается.
Доказательство. Пусть Z.ABC — вписанный угол
окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218).
164
Докажем, что ААВС=—^АС. Рассмотрим три возможных слу-
случая расположения луча ВО относительно угла ABC.
1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла ABC, например
со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС мень-
меньше полуокружности, поэтому Z-AOC= ^АС. Так как угол АОС —
внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и
2 при основании равнобедренного треугольника равны, то
/LAOC=/L\ + /-2=2/_\. Отсюда следует, что 2/. 1 = ^АС или
2) Луч ВО делит угол ABC на два угла. В этом случае
луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б).
Точка D разделяет дугу АС на две дуги: \->AD и uDC. По до-
доказанному /.ABD=^-^AD и /-DBC=-jr-^>DC. Складывая эти
равенства почленно, получаем:
2 ~'""" i о —•"-'i ИЛИ
3) Луч ВО не делит угол ABC на два угла и не совпа-
совпадает со сторонами этого угла. Для этого случая, пользуясь ри-
рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту
же дугу, равны (рис. 219).
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полу-
полуокружность,— прямой (рис. 220).
Используя следствие 1, докажем теорему о произведении
отрезков пересекающихся хорд.
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
другой хорды.
Рис. 219
Рис. 220
165

Доказательство. Пусть хор-
хорды АВ и CD пересекаются в точке Е
(рис. 221). Докажем, что
AE-BE = CE-DE.
Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ.
В этих треугольниках углы 1 и 2 равны,
так как они вписанные и опираются на
одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны
как вертикальные. По первому признаку
подобия треугольников: AADEco аСВЕ. Отсюда следует, что
-Cfr—-gjr • или AE'BE = CE-DE. Теорема доказана.
Задачи
649. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точ-
точку Л. Постройте хорду АВ так, чтобы: а) ААОВ = 60°;
б) ААОВ = 90°; в) Z. АО В = 120°; г) Z.AOB=180°.
650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду
АВ, если: a) Z.AOB =60°; б) ^ЛОВ=90°;в) /.АОВ= 180°.
651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите,
что две дуги с концами А и В соответственно равны двум
дугам с концами С и D. б) Найдите дуги с концами С и D,
если ААОВ= 112°.
652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что \^>АС=
=37°, w/?D = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружно-
окружности равен 15 см.
653. Найдите вписанный угол ABC, если дуга АС, на которую
он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.
654. По данным рисунка 222 найдите х.
г)
||5. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опи-
опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
Мб. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу
в 43°. Найдите угол ВАС.
6U57. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая
из которых равна 140°, а большая точкой М делится
в отношении 6:5, считая от точки А. Найдите угол
ВАМ.
658. Через точку А к данной окружности проведены касательная
АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через
центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D).
Найдите /-BAD и Z.ADB, если wBD=110°20\
6Б9. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных
между параллельными хордами, равны.
660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секу-
секущие, образующие угол и 32°. Ьольшан дуга окружности, за-
заключенная между сторонами этого угла, равна 100°. Найди-
то меньшую дугу.
661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, прове-
проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги,
заключенные между секущими, равны 140° и 52°.
662. Хорды А В и CD окружности пересекаются в точке Е. Найди-
Найдите угол ВЕС, если w/iD = 54o, wBC.^=70°.
6вЗ. Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — ка-
касательная, угол МАВ острый. Докажите, что /_МАВ =
664. Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой
окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется полови-
половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.
666. Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажи-
Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то /-С> Z.A и
666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED,
если: а) АЕ=Ъ, ВЕ=2, С?=2,5; б) /4?=16, ВЕ=9,
CE=ED; в) АЕ=0,2, ВЕ=0,5, СЕ=0,4.
667. Диаметр AAt окружности перпендикулярен к хорде ВВ\ и
пересекает ее в точке С. Найдите ВВ\, если ЛС=4 см,
СЛ,=8 см.
668. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь
точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональ-
167

Рис. 223
ное между отрезками, на которые основание перпендикуляра
делит диаметр.
669. Пользуясь предыдущей задачей, постройте отрезок, средний
пропорциональный между данными отрезками.
670. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка ка-
касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках
Р и Q. Докажите, что AB2=AP-AQ.
671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка
касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках
С и D. Найдите CD, если: а) АВ=4 см, АС=2 см;
б) АВ=5 см, AD=W см.
672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две
секущие, одна из которых пересекает окружность в точках
В[, С\, а другая — в точках В2, С2. Докажите, что АВ\-АС\ =
673. К данной окружности постройте касательную, проходящую
через данную точку вне окружности.
Решение. Пусть даны окружность с центром О и точка А
вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ —
искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпен-
перпендикулярна к радиусу ОБ, то решение задачи сводится к
построению точки В окружности, для которой Z-ABO прямой.
Эту точку можно построить следующим образом: проводим
отрезок О А и строим его середину О\. Затем проводим
окружность с центром в точке О\ радиуса О\А. Эта окруж-
окружность пересекает данную окружность в двух точках: В и
В\. Прямые АВ и АВ\ — искомые касательные, так как
АВ±ОВ и АВ1±ОВ1. Действительно, углы АВО и АВ{0,
вписанные в окружность с центром О\, опираются на полу-
1СЯ
окружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет
два решения.
§ 3. ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
72. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра
к отрезку. Докажем теорему о биссектрисе угла.
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла
равноудалена от его сторон1. Обратно: каждая точка, лежащая
внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.
Доказательство. 1) Возьмем произвольную точку М
на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры МК и ML к
прямым АВ и АС и докажем, что MK=ML (рис. 224). Рассмот-
Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и AML. Они равны по ги-
гипотенузе и острому углу (AM—общая гипотенуза, Z.1 = Z.2
по условию). Следовательно, MK=ML.
2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена
от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч AM — биссектриса
угла ВАС (рис. 224). Проведем перпендикуляры МК и ML к
прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники АКМ и ALM рав-
равны гипотенузе и катету (AM — общая гипотенуза, MK=ML по
условию). Следовательно, Z. I = Z.2. Но это и означает, что луч
AM — биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.
Следствие. Биссектрисы треугольника пересекаются в од-
одной точке.
В самом деле, обозначим буквой О
точку пересечения биссектрис АА\ и
ВВ\ треугольника ABC и проведем из
этой точки перпендикуляры О/С, OL
и ОМ соответственно к прямым АВ,
ВС и СА (рис. 225). По доказанной
теореме ОК = ОМ и OK=OL. По-
Поэтому OM = OL, т. е. точка О равноуда-
равноудалена от сторон угла АСВ и, значит, ле-
лежит на биссектрисе СС\ этого угла.
Рис. 224
1 То есть равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.
1С9

в1 м
Рис. 225
Следовательно, все три биссектрисы
треугольника ABC пересекаются в
точке О, что и требовалось дока-
доказать.
Серединным перпендикуляром к
отрезку называется прямая, прохо-
проходящая через середину отрезка и пер-
перпендикулярная к нему.
На рисунке 226 прямая а — се-
серединный перпендикуляр к отрез-
отрезку АВ.
Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.
Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая
точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на середин-
серединном перпендикуляре к нему.
Доказательство. Пусть прямая пг — серединный пер-
перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина отрезка
(рис. 227, а).
1) Рассмотрим произвольную точку М прямой пг и докажем,
что АМ = ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это
равенство верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть М
и О — различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и
ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет),
поэтому AM =BM.
2) Рассмотрим произвольную точку N, равноудаленную от
концов отрезка АВ, и докажем, что точка N лежит на прямой
пг. Если N — точка прямой АВ, то она совпадает с середи-
серединой О отрезка А В и потому лежит на прямой пг. Если точка
а
в
Рис. 226
Рис. 227
170
N нс лежит на прямой АВ, то рассмотрим треугольник ANB, ко-
который равнобедренный, так как AN = BN (рис. 227, б). Отре-
Отрезок N0 — медиана этого треугольника, а следовательно, и вы-
высота. Таким образом, NOJ-AB, поэтому прямые ON и пг совпада-
совпадают, и, значит, N — точка прямой пг. Теорема доказана.
Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам тре-
треугольника пересекаются в одной точке.
В самом деле, обозначим буквой О точку пересечения сере-
серединных перпендикуляров пг и п к сторожам АВ и ВС треуголь-
треугольника ABC (рис. 228). По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ =
= ОС Поэтому ОА = ОС, т. е. точка О равноудалена от концов
отрезка АС к, значит, лежит на серединном перпендикуляре
р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпен-
перпендикуляра пг, п и р к сторонам треугольника ABC пересекаются
в точке О.
73. Теорема о пересечении высот треугольника. Мы доказали,
что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и также
серединные перпендикуляры к сторонам треугольника нересе-
каются в одной точке. Ранее было доказано, что медианы треу-
треугольника пересекаются в одной точке (п. 62). Оказывается,
аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.
Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пере-
пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треуголь-
треугольник ABC и докажем, что прямые AAlt BB[ и СС\, содержащие
его высоты, пересекаются в одной точке (рис 229). Проведем через
каждую вершину треугольника ABC прямую, параллельную про-
противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А,
Рис. 228
171

В и С являются серединами сторон этого треугольника. Дей-
Действительно, АВ=А2С и АВ — СВ2 как противоположные стороны
параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Анало-
Аналогично С2А=АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построе-
построения, СС\ Л-А2В2, АА[ А-ВоС2 и ВВ\ -LA2C2. Таким образом, прямые
АА[, ВВ\ и СС\ являются серединными перпендикулярами к сторо-
сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в од-
одной точке. Теорема доказана.
Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка
пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересе-
пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересе-
пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки назы-
называются замечательными точками треугольника.
Задачи
674. Из точки М биссектрисы неразвернутого угла О проведены
перпендикуляры МА и MB к сторонам этого угла. Докажите,
что АВ±ОМ.
675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей,
имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что
центры этих окружностей лежат на прямой ОА.
676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г.
Найдите: а) ОА, если г = 5 см, /-А = &)°; б) г, если ОА =
= 14 дм, АА = 90°.
677. Биссектрисы внешних углов при вершинах В к С треугольни-
треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О яв-
является центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.
678. Биссектрисы АА\ и ВВ\ треугольника ABC пересекаются в
точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) /_АМВ= 136°;
б) /_АМВ = \11°.
679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC
пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD и CD,
если BD = 5 см, ЛС=8,5 см; б) АС, если ?D=11,4 см,
AD = 3,2 см.
680. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треуголь-
треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажи-
Докажите, что: a) D — середина стороны ВС; б) /LA= Z_B-\- АС.
681. Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного
треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите
172
Рис. 230
основание АС треугольника, если пери-
периметр треугольника АЕС равен 27 см,
а АВ=18 см.
682. Равнобедренные треугольники ABC и
ABD имеют общее основание АВ. Дока-
Докажите, что прямая CD проходит через се-
середину отрезка АВ.
683. Докажите, что если в треугольнике ABC
стороны АВ и АС не равны, то медиа-
медиана AM треугольника не является высотой.
684. Биссектрисы углов при основании А В
равнобедренного треугольника ABC пе-
пересекаются в точке М. Докажите, что
прямая СМ перпендикулярна к прямой АВ.
685. Высоты АА\ и ВВ\ равнобедренного треугольника ABC,
проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М.
Докажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к
отрезку АВ.
686. Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок. Построим две
окружности с центрами в точках Аи В радиуса АВ (рис. 230).
Эти окружности пересекаются в двух точках М\ и М2. От-
Отрезки АМ\, АМ2, ВМ\, ВМ2 равны друг другу как радиусы
этих окружностей.
Проведем прямую М\М2. Она является искомым середин-
серединным перпендикуляром к отрезку АВ. В самом деле, точки М\ и
М2 равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому они ле-
лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит,
прямая М\М2 и есть серединный перпендикуляр к отрез-
отрезку АВ.
687. Даны прямая а и две точки А к В, лежащие по одну
сторону от прямой. На прямой а постройте точку М, равно-
равноудаленную от точек А и В.
Ъ. Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри
угла, равноудаленную от его сторон и равноудаленную от
концов данного отрезка.
173

§ 4. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
74. Вписанная окружность. Если все стороны многоугольника
касаются окружности, то окружность называется вписанной в мно-
многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружно-
окружности. На рисунке 231 четырехугольник EFMN описан около окруж-
окружности с центром О, а четырехугольник DKMN не является
описанным около это» окружности, так как сторона DK не
касается окружности. На рисунке 232 треугольник ABC описан
около окружности с центром О.
Докажем теорему об окружности, вписанной в треугольник.
Теорема.В любой треугольник можно вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треуголь-
треугольник ABC и обозначим буквой О точку нересечения его биссектрис.
Проведем из точки О перпендикуляры OK, OL и ОМ соответ-
соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка
О равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL = OM.
Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через
точки К, L и М. Стороны треугольника ABC касаются этой
окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к
радиусам OK, OL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса
ОК является вписанной в треугольник ABC. Теорема доказа-на.
Замечания. I) Отметим, что в треугольникможно вписать
только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треуголь-
треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окруж-
окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает
с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен
расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти
окружности совпадают.
N
174
М
Рис. 231 -
Рис. 232
г С
2) В отличие от треугольника не во всякий четырехуголь-
четырехугольник можно вписать окружность. Рассмотрим, например, прямо-
прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т. е. прямо-
прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямо-
прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его
сторон (рис. 233, а), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы
она касалась всех четырех его сторон, т. е. нельзя вписать
окружность. Если же в четырехугольник можно вписать окруж-
окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свой-
свойством:
В любом описанном четырехугольнике суммы противополож-
противоположных сторон равны.
Это свойство легко установить, используя рисунок 233, б, на
котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки
касательных. В самом деле, AB-\-CD=a-\-b-\-c-\-d, BC + AD =
= а-\-Ь + с+й, поэтому AB + CD = BC+AD.
Оказывается, верно и обратное утверждение: если суммы про-
противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в
него можно вписать окружность (см. задачу 724).
75. Описанная окружность. Если все
вершины многоугольника лежат на окруж-
окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник —
вписанным в эту окружность. На рисун-
рисунке 234 четырехугольник ABCD вписан в ок-
окружность с центром О, а четырехугольник
AECD не является вписанным в эту окруж-
окружность, так как вершина Е не лежит на окруж-
окружности. Треугольник ABC на рисунке 235
вписан в окружность с центром О.
В
Рис. 235
175

Докажем теорему об окружности, описанной около треуголь-
треугольника.
Теорема. Около любого треугольника можно описать
окружность.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треуголь-
треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения серединных
перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС
(рис. 235). Так как точка О равноудалена от вершин треуголь-
треугольника ABC, то ОА = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром
О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,
значит, является описанной около треугольника ABC. Теорема
доказана.
Замечания. 1) Отметим, что около треугольника можно
описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что
около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр
каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает
с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин
треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
2) В отличие от треугольника около четырехугольника не всег-
всегда можно описать окружность. Например, нельзя описать окруж-
окружность около ромба, не являющегося квадратом (объясните поче-
почему) . Если же около четырехугольника можно описать окружность,
то его углы обладают следующим замечательным свойством:
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных
углов равна 180°.
Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку 236
и воспользоваться теоремой о вписанном угле. В самом деле,
=\^BCD, AC=~
поэтому
Рис. 236
=-y-360°=180°.
Оказывается, верно и обратное: если
сумма противоположных углов четырех-
\ц#)льника равна 180°, то около него можно описать окружность
(см. задачу 729).
Задачи
689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а
боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности,
вписанной в этот треугольник.
690. Найдите основание равнобедренного треугольника, если
центр вписанной в него окружности делит высоту, прове-
проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины,
а боковая сторона равна 60 см.
691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, рав-
равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр
треугольника.
692. В треугольник ABC иписана окружность, которая касается
сторон АВ, ВС и АС в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ,
BQ, QC, CR, RA, если АВ=\0 см, ВС=12 см, СА = 5 см.
693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса
г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна
26 см, л=4 см; б) точка касания делит гипотенузу на
отрезки, равные 5 см и 12 см.
694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма
катетов равна т.
695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырех-
четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырех-
четырехугольника.
696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж-
окружность, то этот параллелограмм — ромб.
697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна
половине произведения его периметра на радиус вписанной
окружности.
698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырех-
четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окруж-
окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника.
699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырех-
четырехугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите
радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник.
177

700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный
и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.
702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диа-
диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если:
а) ^ВС=134°;б) ^АС=70°.
703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с
основанием ВС. Найдите углы треугольника, если *^>ВС=
= 102°.
704. Окружность с центром О описана около прямоугольного
треугольника, а) Докажите, что точка О — середина гипо-
гипотенузы, б) Найдите стороны треугольника, если диаметр
окружности равен d, а один из острых углов треугольника
равен а.
705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом
С описана окружность. Найдите радиус этой окружности,
если: а) ЛС=8 см, БС=6 см; б) АС=18 см, /LB = 30°.
706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус
описанной около него окружности равен 10 см.
707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре-
треугольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна
8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого
треугольника.
708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любо-
любого ирямоугольчика; б) около любой равнобедренной тра-
трапеции.
709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать
окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
710. Докажите, чго если около трапеции можно описать окруж-
окружность, то эта трапеция равнобедренная.
711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный
и равносторонний. Для каждого из них постройте описан-
описанную окружность.
1
178
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ VIH
Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в
зависимости от соотношения между радиусом окружности и
расстоянием от ее центра до прямой. Сформулируйте полу-
полученные выводы.
Какая прямая называется секущей по отношению к окруж-
окружности?
Какая прямая называется касательной к окружности? Какая
точка называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведен-
проведенные из. одной точки, равны и составляют равные углы с
( прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
; #i Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о
I еввйстве касательной.
i 7. Объясните, как через данную точку окружности провести
касательную к этой окружности.
1 8. Какой угол называется центральным углом окружности?
9. Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая
дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокруж-
полуокружности.
J0. Как определяется градусная мера дуги? Как она обозна-
\ чается?
11. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажи-
докажите теорему о вписанном угле.
12. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу, равны.
' 13. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокруж-
полуокружность,— прямой.
14. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересе-
пересекающихся хорд.
15. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
16. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в од-
одной точке.
17. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к
отрезку?
18. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпенди-
перпендикуляре к отрезку.
19. Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам тре-
треугольника пересекаются в одной точке.
20. Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот
треугольника.
21. Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным около окружно-
окружности?
179

22. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной
в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный
треугольник?
23. Каким свойством обладают стороны четырехугольника, опи-
описанного около окружности?
24. Какая окружность называется описанной около многоугольни-
многоугольника? Какой многоугольник называется вписанным в окруж-
окружность?
25. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан-
описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать
около данного треугольника?
26. Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписан-
вписанного в окружность?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
712. Докажите, что касательные, проведенные через концы хорды,
не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
713. Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром
О, В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взя-
взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окруж-
окружности, пересекающая отрезки АВ и АС в точках М и N.
Докажите, что периметр треугольника AMN и угол MON не
зависит от иыбора точки X на дуге ВС.
714.* Две окружности имеют общую точку М и общую каса-
касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окруж-
окружности в точке А, а другой — б точке В. Докажите, что точка
М лежит на окружности с диаметром АВ.
715. Диаметр АА\ окружности перпендикулярен к хорде ВВ\.
Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ\, меньших полу-
полуокружности, равны.
716. Точки А, В, С и D лежат на окружно-
окружности. Докажите, что если ^AB=^CD,
то AB = CD.
717. Отрезок АВ является диаметром окруж-
окружности, а хорды ВС и AD параллельны.
Докажите, что хорда CD является
диаметром.
718. По рисунку 237 докажите, что
jL АМВ =~- (w CLD + v^ A KB).
180
Рис. 237
Решение. Проведем хорду ВС. Так как Z.AMB — внеш-
внешний угол треугольника ВМС, то Z.AMB= Z. 1 -\- Z.2. По
теореме о вписанном угле Z.l=—wCLD, Z.2=-^-^>АКВ,
поэтому
AAMB =-i-( w CLD+ ^АКВ).
719. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секу-
секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полу-
полуразностью дуг, заключенных внутри угла.
720. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на
серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ
обоснуйте.
721. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окруж-
окружность, то этот прямоугольник — квадрат.
722. Четырехугольник ABCD описан около окружности радиу-
радиуса г. Известно, что AB:CD = 2:3, AD:BC=2:l. Найдите
стороны четырехугольника, если его площадь равна S.
723. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапе-
трапеции, касаются окружности и точки касания принадлежат
основаниям, то средняя линия трапеции проходит через центр
окружности.
724. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник
можно вписать окружность.
Решение. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD
AB + CD = BC + AD. A)
Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена
от сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окруж-
окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон
(рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также
а)
D
б)
D' В
Рис. 238
181

стороны CD и, значит, является вписанной в четырехуголь
ник A BCD.
Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не
имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай (рис. 238, б). Проведем касатель-
касательную CD', параллельную стороне CD (С и D' — точки пере-
пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как
ABCD' — описанный четырехугольник", то по свойству его
сторон
B)
поэтому из равенства
Но ВС'=ВС — С'С, AD'=AD —
B) получаем:
—AB.
Правая часть этого равенства в силу A) равна CD. Таким
образом, приходим к равенству
C'D' + C'C + D'D = CD,
т. е. в четырехугольнике CCDD' одна сторона равна сумме
трех других сторон. Но этого не может быть, и, значит,
наше предположение неверно. Аналогично можно доказать,
что прямая CD не может быть секущей окружности. Сле-
Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требо-
требовалось доказать.
725. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию с основаниями а и Ь.
726. Центр описанной около треугольника о?сружности лежит на
медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедрен-
равнобедренный, либо прямоугольный.
727. В равнобедренный треугольник вписана окружность с
центром О\ и около него описана окружность с центром О*.
Докажите, что точки О\ и Ог лежат на серединном
перпендикуляре к основанию треугольника.
728. Докажите, что если около ромба можно описать окружность,
то этот ромб — квадрат.
729*. Докажите, что если в четырехугольнике сумма противопо-
противоположных углов равна 180°, то около этого четырехугольника
можно описать окружность.
182
Рис. 239
Решение. Пусть в четырехугольнике ABCD
.C= 180°.
A)
Проведем окружность через три вершины четырехугольника:
А, В и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также
через вершину С, т. е. является описанной около четырех-
четырехугольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда верши-
вершина С лежит либо вне круга, либо внутри него. Рассмотрим
первый случай (рис. 239, б). В этом случае Z.C =
=—(^>DAB—^EF) (задача 719), и, следовательно,
Так
как
то
/-А + Z.C<±-
=±- -360°= 180°. Итак,
мы получили, что /~А-\- /LC< 180°. Но это противоречит
условию A), и, значит, наше предположение неверно. Ана-
Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 718), что вер-
вершина С не может лежать внутри круга. Следовательно, вер-
вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.
730. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные
к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри
угла. Докажите, что около четырехугольника АСВО можно
описать окружность.
731. Докажите, что около выпуклого четырехугольника ABCD,
образованного при пересечении биссектрис углов трапеции,
можно описать окружность.
732. В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны
АС проведен перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите,
что углы МНС и МВС равны.
183

733. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник
окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
734. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж-
окружность и можно описать около него окружность, то этот
параллелограмм — квадрат.
735. В трапецию с основаниями а и Ъ можно вписать окруж-
окружность и около этой трапеции можно описать окружность.
Найдите радиус вписанной окружности.
736. Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и
точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, про-
проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
737. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на
одной из них. Постройте окружность, проходящую через
данную точку и касающуюся данных прямых.
Глава IX
ВЕКТОРЫ
§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА
76. Понятие вектора. Многие физические величины, например
сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуют-
характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в про-
пространстве. Такие физические величины называются векторными
величинами (или коротко векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действует сила в 8Н. На
рисунке силу изображают отрезком со стрелкой (рис. 240). Стрел-
Стрелка указывает направление силы, а длина отрезка соответствует
в выбранном масштабе числовому значению силы. Так, на ри-
рисунке 240 сила в 1Н изображена отрезком длиной 0,4 см, поэтому
сила в 8Н изображена отрезком длиной 3,2 см.
Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных ве-
величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. На нем можно указать два
направления: от одного конца к другому и наоборот (рис. 241).
Чтобы выбрать одно из направлений, один конец отрезка назовем
началом, а другой — концом и будем считать, что отрезок направ-
направлен от начала к концу.
Определение. Отрезок, для которого указано, какой из
Рис. 240
Рис. 241
1S5

Начало вектора
Рис. 242
о v Конец его концов считается началом, а ка-
вектора кой — концом, называется направ-
направленным отрезком или вектором.
На рисунках вектор изобража-
изображается отрезком со стрелкой, показы-
показывающей направление вектора. Век-
Векторы обозначают двумя заглавны-
заглавными латинскими буквами со стрелкой
над ними, например АВ. Первая
буква обозначает начало вектора, вторая — конец (рис. 242).
На рисунке 243, а изображены векторы АВ, CD, EF; точки
А,С,Е — начала данных векторов, а В, D, F — их концы. Векторы
часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой
над ней: а. В, с (рис. 243, б).
Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка
плоскости также является вектором. В этом случае вектор назы-
называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом,
на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, на-
например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой
М, то данный нулевой вектор можно обозначить ММ (рис. 243, а).
Нулевой вектор обозначается также символом 0. На рисунке
243 векторы АВ, CD, EF ненулевые, а вектор ММ нулевой.
Длиной или модулем ненулевого вектора АВ называется дли-
длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так:
|ЛВ|(|я|). Длина нулевого вектора считается равной нулю:
101=0.
Длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б,
A
F
E
c.
в
D
M
I
с
у
186
Рис. 243
Рис. 244
таковы: |ЛВ|=6, |сВ|=5, |??|=2,5, |ЛШ|=0, |a|=Vl3,
\b\=4,5, |c|=3 (каждая клетка на рисунке имеет сторону, рав-
равную единице измерения отрезков).
77. Равенство векторов. Прежде чем дать определение равных
векторов, обратимся к примеру. Рассмотрим движение тела, при
котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в
одном и том же направлении. Скорость каждой точки М тела
является векторной величиной, поэтому ее можно изобразить
направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М
(рис. 244). Так как все точки тела движутся с одной и той же
скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости
этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.
Этот пример подсказывает нам, как определить равенство век-
векторов. Предварительно введем понятие коллинеарных векторов.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;
нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
На рисунке 245 векторы а, Ъ, АВ, CD, MM (вектор ММ
нулевой) коллинеарны, а векторы АВ и EF, а также CD к EF
не коллинеарны.
Если два ненулевых вектора а к b коллинеарны, то они могут
быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом
случае векторы а и b называются сонаправленными, а во втором —
противоположно направленными*. Если векторы а и b сонаправ-
1 Нетрудно дать и точное определение этих понятий. Например, два нену-
ненулевых вектора, лежащие на параллельных прямых, называются сонаправленными
(противоположно направленными), если нх концы лежат по одну сторону (по
разные стороны) от прямой, проходящей через начала. Как сформулировать ана-
аналогичное определение для ненулевых векторов, лежащих на одной прямой?
187

741. Начертите два неколлинеарных вектора а и Ъ. Изобрази-
Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором а;
б) сонаправленных с вектором Ь; в) противоположно на-
направленных вектору Ь; г) противоположно направленных
вектору а.
742. Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и некол-
линеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные;
в) имеющие равные длины и противоположно направлен-
направленные. В каком случае полученные векторы равны?
743. Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости
три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, рав-
равные а.
Вопросы и задачи
744. Какие из следующих величин являются векторными: ско-
скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь,
работа?
745. В прямоугольнике ABCD АВ=3 см, ВС=4 см, М — середи-
середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, DC, MC,
MA, СВ, АС.
746. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым
углом А равно 12 см, АВ = 5 см, /LjD=45 °. Найдите длины
векторов BD, CD и АС.
747. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определя-
определяются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции
ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGH.
Укажите среди них пары сонаправленных и противополож*-
но направленных векторов.
748. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Равны ли векторы: а) АВ и DC\ б) ВС и DA; в) АО и
ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.
749. Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK
равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы:
a) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и КМ;
д) 71 и Й? ^ ^
750. Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины от-
190
резков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение:
если середины отрезков AD и ВС совпадают, то AB = CD.
751. Определите вид четырехугольника ABCD, если: а) АВ =
= DC и \АВ\ = \ВС\; б) AB\\DC, а векторы AD и ВС не
коллинеарны.
752. Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то а\\Ь; б) если а=
=В, то а и Ь коллинеарны; в) если а — b, то а\\Ь; г) если
а\\Ь, то а = Ь; д) если а=6, то af|6?
§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
79. Сумма двух векторов. Рассмотрим пример. Пусть матери-
материальная точка переместилась из точки А в точку В, а затем из
точки В в точку С (рис. 249). В результате этих двух пере-
мещений, которые можно представить векторами АВ и ВС, мате-
материальная точка переместилась из точки А в точку С. Поэтому
результирующее перемещение можно представить вектором АС.
Поскольку перемещение из точки А в точку С складывается из
перемещения из Л в В и перемещения из В в С, то вектор
АС естественно назвать суммой векторов АВ и ВС: АС=АВ-\-ВС.
Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух
векторов. Пустьaub — деавектора. Отметим произвольную точку
А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а (рис. 250). Затем
от точки В отложим есктор ВС, равный Ь. Ветер АС называется
суммой векторов а и Б.
Это правило сложения векторов называется правилом тре-
треугольника. Рисунок 250 поясняет это название.
Рис. 24«
Рис. 250
191

АС=А,С1=а+Ь
Рис. 251
Докажем, что если при сложении век-
векторов а и b точку А, от которой откла-
откладывается вектор АВ = а, заменить дру-
другой точкой А\, то вектор АС заменится
равным ему вектором А\С\. Иными сло-
словами, докажем, что если АВ=А\В\ и
ВС = В,С|, то АС=А\С\ (рис. 251).
Допустим, что точки А, В, А\, точ-
точки В, С, Вi и точки А, С, А\ не лежат на
одной прямой (остальные случаи рассмотрите самостоятель-
самостоятельно). Из равенства АВ=А\В\ следует, что стороны АВ и А\В\
четырехугольника АВВ\А\ равны и параллельны, поэтому этот
четырехугольник—параллелограмм. Следовательно, АА\=ВВ\.
Аналогично из равенства ВС = В\С\ следует, что четырехугольник
ВСС\В\ — параллелограмм. Поэтому ВВ\ = СС\. На основе полу-
полученных равенств заключаем, что AAt = CC\. Поэтому AAtC\C —
параллелограмм, и, значит, АС = А\С\, что и требовалось доказать.
Сумма векторов а и b обозначается так: а-\-Ь.
Складывая по правилу треугольника произвольный вектор а с
нулевым вектором, приходим к выводу, что для любого вектора
а справедливо равенство а-{-0=а.
Правило треугольника можно сформулировать также следую-
следующим образом: если А, В и С — произвольные точки, то АВ-\-ВС=
=АС. Подчеркнем, что это равенство справедливо для произволь-
произвольных точек А, В и С, в частности, в том случае, когда две из них
или даже все три совпадают.
80. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма.
Теорема. Для любых векторов a, b и с справедливы ра-
равенства:
1°. а-\-Ь = В-\-а (переместительный закон).
2°. (a-\-b)-\-c=a-\-(b-\-c) (сочетательный закон).
Доказательство. 1°. Рассмотрим случай, когда векторы а
и b не коллинеарны (случай коллинеарных векторов аиЬ рассмот-
192
а
Рис. 253
рите самостоятельно). От произвольной точки А отложим векторы
АВ = а и AD = b и на этих векторах построим параллелограмм
ABCD, как показано на рисунке 252. По правилу треугольника
ЛС=АВ-\-ВС = а-\-Ь. Аналогично AC = AD + DC = b + a. Отсюда
следует, что a-\-b = b-\-a.
2°. От прои.шолыюй точки А отложим вектор АВ = а, от точ-
точки /J ш-кгор НС - Ь, а от точки С— вектор CD = c (рис. 253).
Применим ирлнило треугольника, получим:
Отсюда следует, что (a-\-b)-\-c = a-\-(b-\-c). Теорема доказана.
При доказательстве свойства 1° мы обосновали так называемое
правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов:
чтобы сложить неколлинеарные векторы а и 6, нужно отложить от
какой-нибудь точки А векторы АВ=а и AD = b и построить
параллелограмм ABCD (см. рис. 252). Тогда вектор АС равен
а-\-Ь. Правило параллелограмма часто используется в физике, на-
например при сложении двух сил.
81. Сумма нескольких векторов. Сложение нескольких векто-
векторов производится следующим образом: первый вектор складыва-
складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим век-
вектором и т. д. Из закона сложения векторов следует, что сумма не-
нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они
складываются. На рисунке 253 показано построение суммы векто-
векторов а, Ь, с: от произвольной точки А отложен вектор АВ=а, затем
от точки В отложен вектор ВС = Ь и, наконец, от точки С отложен
7 Заказ 37 193

A, M
р « о, + а2 + а3+a^+a's+ae
Рис. 254
Рис. 255
вектор CD = c. В результате получается вектор AD=a-\-b-\-c.
Аналогично можно построить сумму четырех, пяти и вообще любо-
любого числа векторов. На рисунке 254 показано построение суммы
шести векторов. Это правило построения суммы нескольких век-
векторов называется правилом многоугольника. Рисунок 254 поясняет
название.
Мрнпило многоугольника можно сформулировать также сле-
следующим обра чом: если Alt A2, ..., Ап — произвольные точки плос-
плоскости, то А\А2-\-А2Аз-\-...-{-Ап-\Ап = А\Ап (на рисунке 255, а
п = 7). Это равенство справедливо для любых точек А\, Лг,.... Лл, в
частности, в том случае, когда некоторые из них совпадают. На-
Например, если начало первого вектора совпадает с концом послед-
пего вектора, то сумма данных векторов равна нулевому вектору
(рис. 255, б).
82. Вычитание векторов. Разностью векторов а и b называ-
называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а.
Разность векторов а и Ъ обозначается так: а — Ь.
Рассмотрим задачу о построении разности двух векторов.
Зала ч а. Даны векторы а и Ь. Построить вектор а — Ь.
Р е in e н и е. Отметим на плоскости произвольную точку О и
отложим от этой точки векторы ОА=а и ОВ = Ь (рис. 256).
По правилу треугольника ОВ-\-ВА=ОА, или Ь-\-ВА=а. Таким
образом, сумма векторов В А и Ъ равна вектору а. По определе-
194
а=АВ
Рис. 256
нию разности векторов это означает, что ВА=а—Ь, т. е. век-
вектор В А искомый.
Задачу о построении разности двух векторов можно решить
и другим способом. Прежде чем указать этот способ, введем поня-
понятие вектора, противоположного данному.
Пусть а — произвольный ненулевой вектор. Вектор а.\ на-
называется противоположным вектору а, если векторы а\ и а имеют
равные длины и противоположно направлены. На рисунке 257 век-
вектор а\=ВА является противоположным вектору а=АВ. Векто-
Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой
вектор.
Вектор, противоположный вектору а, обозначается так: —а.
Очевидно, а-\-(— а)=0.
Докажем теорему о разности векторов.
Теорем а. Для любых векторов aub справедливо равенство
Доказательство. По определению разности векторов
(а — b)-\-b = a. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор
( — Ь)у получим:
или (а—Ь)-\-б=а-\-( — Ь),
откуда а — Ь = а-\-( — Ь). Теорема до-
доказана.
Приведем теперь другое решение
задачи о построении разности векто-
векторов а и Ь. Отметим на плоскости про-
произвольную точку О и отложим от этой
точки вектор ОА=а (рис. 258). Затем
от точки А отложим вектор АВ=—Ь.
а
Рис. 258
тс;

По теореме о разности векторов а — Ь = а-\-(—Ь), поэтому
а — Ь = ОА-\-АВ = ОВ, т. е. вектор ОВ искомый.
Практические задания
753. Турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а по-
потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий мас-
масштаб, начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы
А~В + В~С и А~С?
754. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и построй-
постройте векторы х-\-у, x-\-z, z-\-y.
755. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, Ь, с, d, e и,
пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор
a+6 + c+d + e.
756. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и построй-
постройте векторы х — у, z — у, х — z, —х, —у, —z.
757. Начертите векторы х, у и z так, чтобы xf \y, x\\z. Построй-
Постройте векторы х-\-у, y — z, x-\-z.
758. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так,
чтобы |а|=тМ6|. Постройте векторы: а) а — Ь; б) Ь—а;
в) —а-\-Ь. Выполните сще-раз построение для случая, когда
\а\ = \Ь\.
Вопросы и задачи
759. Дан произвольный четырехугольник MNPQ. Докажите,
что: a) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.
760. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х
и у справедливо неравенство |x+t/| < |х| +|i/|.
761. Докажите, что если А, В, С и D — произвольные точки,
то A~B + B~C + CD+DA = 0.
762. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Най-
Найдите: а) \АВ + ВС\; б) \АВ+АС\; в) \АВ + СВ\;
г) \ВА — ВС\;д) \АВ — АС\.
763. В треугольнике ABC ЛВ = 6, ВС=8, /LB = 90°. Найдите:
а) \ВА\ — \ВС\ и \ВА-ВС\; б) |А6|+|БС| и \АВ + ВС\;
в) \ВА\ + \ВС\ и \ВА + ВС\\ г) \АВ\ — \ВС\и\АВ — ВС\.
196
TW4. Пользуясь правилом многоугольни-
многоугольника, упростите выражения:
а) (А~В+ВС—МС)+{мЪ-кЬ);
б) (сб+ас+бЬ)—(ше+й).
765. Пусть X, Y и Z — произвольные точ-
точки. Докажите, что векторы p = XY-\-
+ ZX + YZ, q=(XY—XZ)+YZ и
r=(ZY-XY)—ZX нулевые.
766. На рисунке 259 изображены векторы а, 6, с, d, XY.
Представьте вектор XY в виде суммы остальных или им про-
противоположных векторов.
767. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы а=АВ и 6 =
=АС следующие нокторы: а) ВА; б) СВ\ в) СВ-\-ВА.
Р е in е и и с. а) Векторы ВА и АВ — противоположные, по-
поэтому ВА = —ЛДили ВА = —а. б) По правилу треугольника
, Но СА= —АС, поэтому СВ=А~В+( — А~С) =
=АВ—АС = а—Ь.
768. Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC.
Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а=АМ
и b = AN.
769. Отрезок ВВ\ —медиана треугольника ABC. Выразите век-
векторы Б|С, ВВХ, ВА, ВС через х=АВ{ и у=АВ.
770. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через век-
векторы а и Ь, если: а) а=АВ, Ь = ВС\ б) а = СВ, b = CD\
в) а=АВ, b = DA.
771. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ-
точке О. Выразите через векторы а=АВ и b = AD следующие
векторы: DC+CB, ВО + ОС, ВО —ОС, BA — DA.
772. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА-\-ХС =
197

= XB-\-XD, где X— произвольная точка плоскости.
773. Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо
неравенство \х—у\ <1 \х\ -f- \у\. В каком случае \х—i/| =
774. Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Поры-
Порывом ветра его начинает относить в сторону со скоростью
3-\/3 м/с. Под каким углом к вертикали спускаете» парашю-
парашютист?
§ 3. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
83. Произведение вектора на число. Произведением ненулево-
ненулевого.вектора а на число k называется такой вектор Ь, длина которого
равна \k\*\a\, причем векторы а и b сонаправлены при k^O
и противоположно направлены при k<.0. Произведением нулево-
нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.
На рисунке 260 изображены вектор а и векторы За, —1,5а, д/2а.
Из определения произведения вектора на число непосредствен-
непосредственно следует, что: 1) произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор; 2) для любого числа k и любого вектора а векторы
а и ka коллинеарны.
Умножение вектора на число обладает следующими основными
свойствами:
Для любых чисел k, I и любых векторов а, Ь справедливы ра-
равенства:
1°. (kf) a = k (la) (сочетательный закон).
Рис. 260
I—»t I »l 1 1—*4
О А В
0В=20А=2(За)
0В=6а = B-3)а.
. Рис. 261
198
2°. (k-\-l)a — ka-\-la^ (первый распределительный закон).
3°. k (a-\-b) — ka-\-kb (второй распределительный закон).
Рисунок 261 иллюстрирует сочетательный закон. На этом ри-
рисунке представлен случай, когда /е=2, /=3.
Рисунок 262 иллюстрирует первый распределительный закон.
На этом рисунке представлен случай, когда /г = 3, 1 = 2.
Рисунок 263 иллюстрирует второй распределительный закон.
На этом рисунке треугольники ОАВ и ОА\В\ подобны с коэффи-
коэффициентом подобия k, поэтому OA=ka, AB — kb, OB = k (a-\-b).
С другой стороны, OB = OA-\-AB — ka-\-kb. Таким образом,
(
Замечание. Рассмотренные нами свойства действий над
векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности
векторов и произведения векторов па числа, выполнять преобра-
преобразования по тем же прапплам, что и в числовых выражениях. На-
Например, выражение р«=2 (а — 6)+(с + а)—3 {Ь — с-\-а) можно пре-
преобразовать так: р = 2а — 2Ь-\-с-\-а — 36+Зс — За= — 56 + 4с.
84. Применение векторов к решению задач. Векторы могут
использоваться для решения геометрических задач и доказатель-
доказательства теорем. Приведем примеры. Рассмотрим сначала вспомога-
вспомогательную задачу.
Задача 1. Точка С — середина отрезка АВ, а О — произ-
произвольная точка плоскости (рис. 264) Доказать, что
6
Решение. По правилу треугольника ОС = ОА-\-АС, ОС =
= ОВ-\-ВС. Складывая эти равенства, получаем: 2ОС = ОА-\-
-\-ОВ-\-(АС-\-ВС). Так как точка С — середина отрезка АВ, то
.в
0 п+Ь
ОВ=к(а+Ь)=кп+кЬ
Рис. 263
Рис. 264

АС + ВС=6. Таким образом, 2ОС=ОА-{-ОВ, или ОС =
Задача 2. Доказать, что прямая, проведенная через сере-
середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения про-
продолжений боковых сторон.
Р е ш е н и е. Пусть ABCD — данная трапеция, М и N — се-
середины оснований ВС и AD, а О — точка пересечения прямых АВ
и CD (рис. 265). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.
Треугольники OAD и ОВС подобны по первому признаку подо-
f i * \ ОА OD ,
бия треугольников (объясните почему), поэтому ——=—— =к.
С/ D С/ С#
Так как ОВ\\ОА и OC\\OD, то
OA=k-OB, OD = k-OC. A)
Точка М— середина отрезка ВС, поэтому ОМ=—(OB-f-
—»- —»-•—»-—>¦
+ ОС). Аналогично ON=—(OA -\-OD). Подставив в это равенство
—*¦ —*~
выражения A) для ОА и OD, получим:
Отсюда следует, что векторы ON и ОМ коллинеарны, и, значит,
точка О лежит на прямой MN.
85. Средняя линия трапеции. Средней линией трапеции назы-
называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. Дока-
Докажем теорему о средней линии трапеции.
Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основа-
основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть MN — средняя линия трапе-
трапеции ABCD (рис. 266). Докажем, что MN\\AD и MN = AD+BC.
D Рис. 265
Рис. 266 А
По правилу многоугольника MN = MB-\-BC-\-CN и MN =
miMA-\-AD-\-DN. Сложив эти равенства, получим:
2MN=(MB + MA)+(ВС+AD)+(CN + DN).
Но М и N — середины сторон АВ и CD, поэтому МВ-\-МА=0
|н CN-\-DN=0. Следовательно, 2MN=AD-\-ВС, откуда MN=
*=—(AD-\-BC). Так как векторы AD и ВС сонаправлены, то век-
векторы MN и AD также сонаправлены, а длина вектора (AD-\-BC)
равна AD + BC. Отсюда следует, что MN\\AD и MN=AD+BC .
Теорема доказана.
Практические задания
775. Начертите два нсколлиислримх вектора р и q, начала которых
не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точ-
точки О осложни* векторы, равные 2р и — q.
776. Начертите два неколлипеарных вектора х и у и постройте век-
векторы: а) х-\-2у; б) \y+h в) Зх+-^-?; г) 1 \х —
— Ъу\ д) 0x+3j/; е) —2jc-{-0i/. Выполните задания а) —е)
для двух коллинеарных ненулевых векторов хну.
777. Начертите два неколлинеарпых вектора /) и q, начала ко-
которых не совпадают. Постройте векторы m=2p—— q.
l=—2p— — q, s = — q — p.
778. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, Ь и с. По-
Постройте векторы: а) 2а-\-2Ь — 4с; б) —а — Ь-\—г-с.
Задачи
779. Дан вектор р = 3а, где афО. Укажите, как направлен каж-
дый из векторов а, —а,—а, —2а, 6а по отношению к векто-
вектору р, и выразите их длины через \р\.
780. Докажите, что для любого вектора а справедливы равен-
равенства: а) 1-а = а; б) (—\)-а=—а.
201

781. Пусть x = m-f-rt, y=tn— п. Выразите через т и п векторы:
а) 2х-2у; б) 2Z+±y; в) -х-±у.
782. В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD,
точка G <*- середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG
через векторы DC=a и СВ = Ь.
783. Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, при-
причем ВМ:МС = 3:1. Выразите векторы AM и MD через векторы
a=AD и ?=Л?.
784. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ-
точке О, а М — точка на стороне AD, такая, что AM=—MD.
Выразите через векторы x=AD и у — АВ следующие векто-
векторы: а) АС, АО, СО, DO, A~D-\-B~C, AD +
+ СО, СО + ОА; б) AM, MC, ВМ, ОМ.
785. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четыреху-
четырехугольника ABCD. Докажите, что MN=—(AD-\-CB).
786. Отрезки АА\, ВВ\ и СС\ — медианы треугольника ABC. Вы-
Выразите векторы АА\, ВВ\, СС\ через векторы а=АС
и Ь = А~В.
787. Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Вы-
Выразите вектор DO через векторы a = ED и b = EF.
Применение векторов к решению задач
788. Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что сущест-
существует треугольник, стороны которого соответственно парал-
параллельны и равны медианам треугольника ABC.
Решение. Пусть АА\, ВВ\, СС\ — медианы треуголь-
треугольника ABC. Тогда ААХ=±-{АВ+АС), BBi=-±-(BC + BA),
СС\=—(СА-\-СВ) (см. задачу 1, п. 84). Сложив эти ра-
равенства, получим
202
|
+(АС + СА)+(СВ + ВС)) = 0.
Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов
АА[, ВВ\, СС\ по правилу многоугольника (п. 81), то по-
получим треугольник, удовлетворяющий условиям задачи (тре-
(треугольник MNP на рисунке 267).
1~ ^ L — _
MN=AAn NP=BBt, PM=CCt
Рис. 267
789. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы
АВВ\А2, ВСС,В2, АСС2А\. Докажите, что существует тре-
треугольник, стороны которого соответстненно параллельны и
раины отрокам A\A-i, li\B2, С[С2-
790. Докажи\\\ что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен ее основаниям и равен полуразности
оснований.
791. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противопо-
противоположных сторон произвольного четырехугольника, точкой пе-
пересечения делятся пополам.
792. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 62).
Средняя линия трапеции
793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр
равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.
794. Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные
части, и через точки деления проведены прямые, параллель-
параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают
на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший
из которых равен 3,4. Найдите два других отрезка.
795. Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от
некоторой касательной на 18 см и 12 см.
796. Из концов диаметра CD данной окружности проведены
перпендикуляры СС\ и DDi к касательной, не перпендику-
перпендикулярной к диаметру CD. Найдите DD\, если СС| = 11 см,
a CD = 27 см.
203

797. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через се-
середины диагоналей.
798. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см,
а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные
11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
799. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, про-
проведенный из вершины В к большему основанию AD, делит
это основание на два отрезка, больший из которых равен
7 см. Найдите среднюю линию трапеции.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ IX
1. Приведите примеры векторных величин, известных вам из
курса физики.
2. Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор назы-
называется нулевым.
3. Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна длина
нулевого вектора?
4. Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на
рисунке сонаправленные векторы а и b и противоположно
направленные векторы cud.
5. Дайте определение равных векторов.
6. Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точки А».
Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, рав-
равный данному, и притом только один.
7. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов.
В чем заключается правило треугольника сложения двух
векторов? '
8. Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство
f
9. Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения
векторов.
10. В чем заключается правило параллелограмма сложения двух
пеколлинеарных векторов?
11. В чем заключается правило многоугольника сложения не-
нескольких векторов?
12. Какой вектор называется разностью двух векторов? Построй-
Постройте разность двух данных векторов.
13. Какой вектор называется противоположным данному? Сфор-
Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.
204
A4, Какой вектор называется произведением данного вектора
на данное число?
15- Чему равно произведение ka, если: а) а = 0; б) /г = 0?
16. Могут ли векторы а и ka быть неколлинеарными?
|7. Сформулируйте основные свойства умножения вектора на
число.
18. Приведите пример применения векторов к решению геометри-
геометрических задач.
19. Какой отрезок называется средней линией трапеции?
80. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапеции.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
800. Докажите, что если векторы тип сонаправлены, то
|m-f-n| = |m| -f- |Я|, а если тип противоположно направ-
направлены, причем |т|^|я|,то \т-\-п\ = \т\ — \п\.
801. Докажите, что для любых векторов хну справедливы
неравенства \х\ — \у\ < |x-f-t/| ^ \x\-\- \у\-
802. На с троне ВС треугольника АВС^отмечена точка N такг
что BN — 2NC. Выразите пектор AN через векторы Ш=ВА
и Ь = ВС.
803. На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответ-
ственно точки X и Y так, что Y7J=~ и TF=~- Выразите
XN
YP
векторы XY и МР через a = NM и b = NP.
804. В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основа-
основания ВС. На стороне AD отмечена точка Л', такая, что-
Л/С=—/4D. Выразите векторы С/С, KD и ВС через векторы
а = ВА и Е=сЪ. _+ _+
805. Три точки Л, В и С расположены так, что ВС=—АВ.
Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
806. Точка С делит отрезок АВ в отношении т:п, считая от
точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо
равенство ОС= п ОА
г т-\-п
т
т + п
ов.
807. Пусть АА\, ВВ{ и CCi — медианы треугольника ABC, a
О — произвольная точка. Докажите, что ОА-\-ОВ + ОС=
2ПГ)

808*. Точки А и С — середины противоположных сторон произ-
произвольного четырехугольника, а точки В и D — середины двух
других его сторон. Докажите, что для любой точки О вы-
выполняется равенство OA-\-OC=OB-\-OD.
809. В прямоугольной трапеции один из углов равен 120°. Най-
Найдите ее среднюю линию, если меньшая диагональ и большая
боковая сторона трапеции равны а.
810. Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами
двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит
на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Задачи к главе V
811. Дан выпуклый шестиугольник АкАгАзА^АьАь, все углы ко-
которого равны. Докажите, что А\Аг — А^Аъ=АъА%—/42Лз =
812. Положительные числа п[, аг, аз, Щ, as и а$ удовлетворяют
условиям а\—а4 = а5 — аг = аз — а%. Докажите, что сущест-
существует выпуклый шестиугольник Л1Л2Л3Л4Л5Л6, все углы кото-
которого равны, причем Л|Лг = а|, Л2Лз = а2. АИ<| = аз, А^Аь =
и*, /Мб — «в, AcAi=a0.
813. Докажите, что и.» одинаковых плиток, имеющих форму про-
ишолыюго выпуклого четырехугольника, можно сделать пар-
паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
814. Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника пере-
пересекаются.
815. Докажите, что в любом четырехугольнике какие-то две про-
ппюиоложньн' нершины лежат по разные стороны от прямой,
проходящей через две другие вершины.
816. R равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС про-
недена биссектриса AD. Прямая, проведенная через точку D
и %рнеидикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е.
Гочкн М и К — основания перпендикуляров, проведенных
и» 1очск йиОк прямой АС. Найдите М/С, если АЕ = а.
817. Док«1жни\ что в треугольнике сумма трех медиан меньше
перпмечра, но больше половины периметра.
818. Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на
четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите,
что этот четырехугольник — ромб.
206
Рис. 268
819. Найдите множество середин всех
отрезков, соединяющих данную
точку со всеми точками данной
прямой, не проходящей через эту
точку.
820. Докажите, что прямая, проходя-
проходящая через середины оснований
равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
821. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника об-
образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырех-
четырехугольник — квадрат.
822. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов
являются вершинами квадрата.
823. На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Бис-
Биссектриса угла ВАМ iirpoccwatT сторону ВС в точке К. Дока-
Докажите, что ЛМ И К-{-DM.
824. На рисунке 2G8 изображены три квадрата. Найдите сумму
/LBAE+/LCAH \ /LDAIL
825. Внутри квадрата ABCD взята точка М, такая, что
^МЛВ = 60°, /LMCD= 15°. Найдите /LMBC.
826. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону по-
построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАИК, а затем паралле-
параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ
прямоугольный и равнобедренный.
827. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диа-
диагоналям.
828. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии,
то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии,
то он равносторонний.
Задачи к главе VI
829. Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD,
проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекаю-
пересекающие стороны А В, ВС, CD и DA соответственно в точках
Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диаго-
диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT
равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ
и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.
207

830. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответст-
соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точ-
точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади
треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно
Si, §2, S3.
831. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М
и /С, а на отрезке М/С — точка Р так, что д1С=тъ=рР"-
Найдите площадь треугольника ABC, если площади тре-
треугольников AMP и ВКР равны Si и S2.
832. Точки Р, Q, R и Т соответственно середины сторон АВ,
ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при
пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется паралле-
параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади
параллелограмма ABCD.
833. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной
из боковых сторон на перпендикуляр, проведенный из сере-
середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую
боковую сторону.
834. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD диагонали пере-
пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD
равны Si и S2. Найдите площадь трапеции.
835. Через концы меньшего основания трапеции проведены две
параллельные прямые, пересекающие большее основание.
Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь
треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь
пятиугольника равна сумме площадей трех треугольников,
прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию
трапеции.
836. Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD
четырехугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точ-
точках М и К- Докажите, что площади треугольников DCM
и A KB равны.
837. Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку
В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D
на отрезок DK. Прямые ED и KB пересекаются в точке О.
Докажите, что площади четырехугольников ABOD и СЕОК
равны.
838. Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух про-
противоположных сторон выпуклого четырехугольника на три
равные части. Докажите, что площадь той части четырех-
208
839.
840.
841.
842.
843.
844.
845.
846
угольника, которая заключена между этими отрезками, в три
раза меньше площади самого четырехугольника.
Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырехуголь-
четырехугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB с вер-
вершинами. Докажите, что площадь четырехугольника, заклю-
заключенного между этими отрезками, равна сумме площадей
двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от
точки А до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние
от точки А до вершины угла.
Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма
ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М.
Найдите площадь этого параллелограмма, если площади
треугольников КВС и CDM равны Si и S2.
Через точку пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точ-
точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведенная через
точку К параллельно АВ, пересекает BD в точке Т, а прямая,
проведенная через точку М параллельно CD, пересекает
АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.
Сторона АВ треугольника ABC продолжена за точку А
на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты
точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК
равны. Найдите угол В КМ, если /LBAC = a.
Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно,
что МВ = а, МС=Ь и MD=c. Найдите МА.
В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА
перпендикулярен к АВ и равен DC, отрезок СМ перпенди-
перпендикулярен к ВС и равен AD. Докажите, что отрезки MB
и KB равны.
Внутри прямоугольного треугольни-
треугольника ABC с прямым углом С взята точ- в с
ка О так, что S0AB=S0AC=S0BC. До-
Докажите, что
Задачи к главе VII
847. На рисунке 269 изображен правиль-
правильный пятиугольник ABCDE, т. е. вы-
выпуклый пятиугольник, у которого все
209

углы равны и все стороны равны. Докажите, что:
a) AAEDooAAFE: 6) ^jr=AF .
848. В треугольнике ABC (АВфАС) через середину М стороны
ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А,
которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точ-
точках D и Е. Докажите, что BD = CE.
849. Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остро-
остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором
эти высоты являются биссектрисами.
850. Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника ABC,
причем так, что точка Е лежит на отрезке AF и AE = BF.
Прямая, проведенная через точку Е параллельно стороне
АС, пересекает прямую, проведенную через точку F па-
параллельно стороне ВС, в точке /С. Докажите, что точка К
лежит на медиане треугольника ABC, проведенной к сто-
стороне АВ.
851. Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной
квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Най-
Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата
до вершины прямого угла треугольника, если сумма кате-
катетов равна а.
852. В треугольнике ABC ЛА=Щ- и
_L=_L_i—L
ВС АС~АВ'
= ^j—. Докажите, что
853. Из точки М внутренней области угла АО В проведены пер-
перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОВ. Из точек
Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно
к О В и О А. Докажите, что RSA.OM.
854. В равнобедренном треугольнике ABC из середины D осно-
основания АС проведен перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть
М— середина отрезка DH. Докажите, что ВМ1.АН.
855. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого
угла С проведен перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точ-
точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам А С и ВС.
Докажите, что: a) CD3=AB-AE-BF; б)
= АВ2; в)
856. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересека-
пересекаются в точке Р. Известно, что Z.ADP=—/LPDC, /LADP =
APAD и AD = BD = CD. а) Найдите все углы четы-
рехугольника. б) Докажите, что AB2 = BP-BD.
210
Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны паралле-
параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р
и Q, расположенные так, что А, В, С и D являются соот-
соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
Докажите, что если противоположные стороны выпуклого
четырехугольника не параллельны, то их полусумма больше
отрезка, соединяющего середины двух других противопо-
противоположных сторон.
Ц0. Докажите, что если сумма расстояний между серединами
противоположных сторон выпуклого четырехугольника рав-
равна половине его периметра, то этот четырехугольник — па-
параллелограмм.
фбО. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон выпуклого четырехугольника, ра-
равен полусумме двух других сторон, то этот четырехуголь-
четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
861. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Тре-
Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, рав-
равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами кото-
которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равно-
равносторонний.
862. Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуля-
перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого тре-
треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК
равен половине периметра треугольника ABC.
863. Отрезки AAi, BBi и CCi соединяют вершины треугольника
ABC с внутренними точками противоположных сторон. До-
Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной
прямой.
864. Середины трех высот треугольника лежат на одной прямой.
Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
865. В треугольнике ABC, сторона АС которого в два раза боль-
больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса
внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ
в точке К. Докажите, что SBCM=-i-S/,CM=-|-S^BC=-i-SCA,^
866. Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам
треугольника ABC. Докажите, что -???=—-.
Sabc 4
867. В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину Л
и делящая медиану ВМ в отношении 1:2, считая от верши-
211

ны, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение
площадей треугольников АВК и ABC.
868. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена пря-
прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно
в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является
средним пропорциональным между MN и МР.
869. Постройте точку, принадлежащую большему основанию рав-
равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой сто-
стороны в л раз дальше, чем от другой (п = 2, 3, 4).
870. Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой АВ,
не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы -^=7^- Всегда ли
задача имеет решение?
Постройте равнобедренный треугольник по углу между боко-
боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведенной
к основанию.
872. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла
между ними.
87.3. Постройте треугольник ABC, если даны /LA, /.Си отрезок,
равный сумме стороны АС и высоты ВН.
874. Постройте треугольник по трем высотам.
875. Постройте трапецию по боковой стороне, большему основа-
основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
870. Погфойгг ромб, площадь которого равна площади данного
квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого
ромба равно отношению данных отрезков.
871
Задачи к главе VIII
877. Дне окружности имеют единственную общую точку М. Через
эту точку прешедсны две секущие, пересекающие одну окруж-
окружность в точках Л и /4|, а другую — в точках В и В\. Докажите,
что AAi\\BBi.
878. Прямая АС — касательная к окружности с центром О\, а пря-
прямая BD — касательная к окружности с центром О2 (рис. 270).
Докажите, что: a) AD\\BC\ б) AB2=AD-BC; в) BD2:AC2 =
=А1):НС.
879. Точки В, и d — середины дугАВ и АС (рис. 271). Докажите,
что AM=AN.
880. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются
в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажи-
212
Bi
Рис. 270
Рис. 271
те, что расстояния от точки пересечения этих прямых до кон-
концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
881. Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величи-
величирасстояние от точки А до касательной
на -дтг, где AD
в точке В, имеет одно и то же значение.
882. Через точку Л пересечения двух окружностей с центрами в
точках Oi и О2 проведена прямая, пересекающая одну окруж-
окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок
ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой
OiO2.
883. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О.
На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О от-
отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до пря-
прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким обра-
образом отрезков.
884. Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята
точка М так, что /LBMC=30°, /LBMA = \7°. Найдите углы
ВАМ и ВСМ.
885. Через каждую вершину треугольника ABC проведена прямая,
перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой
вершине. Проведенные прямые, пересекаясь, образуют новый
треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника
лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника
ABC.
886. Пусть И — точка пересечения прямых, содержащих высоты
треугольника ABC, а А1, В', С — точки, симметричные точ-
точке // относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки
213

А', В', С лежат на окружности, описанной около треуголь-
треугольника ABC.
887. Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите,
что BD2=AB-BC—AD-DC.
888. В треугольнике ABC из вершины В проведены высота ВН и
биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную
около треугольника окружность с центром О. Докажите, что
луч BE является биссектрисой угла ОВН.
889. Произвольная точка X окружности, описанной около равно-
равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вер-
вершинами. Докажите, что один из отрезков AXt BX и СХ равен
сумме двух других отрезков.
890. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника
перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сто-
сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной
окружности.
891. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, бис-
биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей па сто-
стороне CD. Докажите, что CD = BC-\-AD.
892. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной
около окружности, равна произведению ее оснований.
893. Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в ок-
окружность, произведение диагоналей равно сумме произведе-
произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
894. Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной
окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d
между центрами этих окружностей связаны равенством
d2 = R2-2Rr
(формула Эйлера).
895. Для неравностороннего треугольника ABC точка О является
центром описанной окружности, Н — точка пересечения пря-
прямых, содержащих высоты АА\, ВВ\, CCi, топки А2, В2, С2 —
середины отрезков АН, ВН, СН, а точки А3, В3, С3 — середи-
середины сторон треугольника ABC. Докажите, что точки А\, В\,
С\,Ач, В2, С2, Аз, Вз, Сз лежат на одной окружности (окруж-
(окружность Эйлера).
896. Докажите, что основания перпендикуляров, проведенных из
произвольной точки окружности, описанной около треуголь-
треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника,
214
лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
897. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
W8. Даны окружность с центром О, точка М и отрезки PiQi
и P2Q2. Постройте прямую р так, чтобы окружность от-
отсекала на ней хорду, равную P[Qi, и расстояние от точки М
до прямой р равнялось P2Q2.
899. Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходя-
проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из
всех хорд, проходящих через эту точку.
900. Постройте треугольник: а) по стороне, противолежащему
углу и высоте, проведенной к данной стороне; б) по углу,
высоте, проведенной из вершины данного угла, и периметру.
901. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и
на ней точки Н, В .и М, через которые проходят прямые,
содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника,
проведенные нд одной вершины.
902. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте
треугольник, для которого эти точки являются основаниями
высот. Сколько решений имеет задача?
Задачи к главе IX
903. Докажите основные свойства умножения вектора на число
(п. 83).
Решение. 1. Докажем, что для любых чисел к, I и любо-
любого вектора а справедливо равенство (kl) a = k (la). Если а = 0,
то справедливость этого равенства очевидна. Пусть а=?0
Имеем:
\{kl) а\ = |/г/| \a\ = \k\\l\\a\=\k\\la\ = \k (ta)|.
Далее, если /г/>0, то (kl)a\\a и k(la)\\a; если же /г/<0,
то (kl)a\\a и k(la)\\a. И в том, и в другом случае (kl)a\\k(la).
Следовательно, (kl)a = k(la).
2. Докажем, что для любого числа k и любых векторов а
и b справедливо равенство k (a + b) = lm-\-kb. Если k — 0, то
справедливость этого равенства очевидна. Пусть кФО.
215

0
kb
в,
k>0
OB=k(a+b) =ka+kb
В
k<o
Рис. 272
Рассмотрим случай, когда векторы а и Ь не коллинеарны
(случай а\\Ъ рассмотрите самостоятельно). Отложим от
какой-нибудь точки О векторы ОА\=а и ОА= ka, а от
точек Ai и А векторы А[В, = Е и AB = kb (рис. 272, а, б).
Треугольники OAiB, и ОАВ подобны с коэффициентом по-
подобия \k\. Следовательно, OB = kOB\ = k(a-{-b). С другой
стороны, OB = OA-\-AB = ka + kb. Итак, k{a + b) = ka-\-kb.
3. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора
а справедливо равенство {k-\-l)a = ka-\-la. Если & = / = 0,
то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы
одно из чисел k, l отлично от нуля. Для определенности
будем считать, что \k\ ^ |/|, и, следовательно, k=^0 и | -г-1 <J 1.
Рассмотрим вектор а-\——а. Очевидно, (а-\—1—а)\\а.
Далее, | а+-^а| = \а\ +-j \a[ =(l +\) \а\. Следова-
Следовательно, согласно определению произведения вектора на чис-
число, а-\-—а=(\-\--А а. Умножая обе части этого равен-
равенства на k, получим ka-\-la = {k-\-l)a.
904. Даны четырехугольник MNPQ и точка О. Что представляет
216
собой данный четырехугольник, если ON — OM = OP —
R. Даны четырехугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н
симметричны точке О относительно соответственно середин
сторон АВ, ВС, CD и DA. Что представляет собой четы-
четырехугольник EFGH?
АВ
АС
|06. Дан треугольник ABC. Докажите, что вектор -^—\-
\АВ\ \АС\
направлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор —— —
\АВ\ \АС\
вдоль биссектрисы внешнего угла при вершине А.
607. Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С
лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда сущест-
существуют числа k, l и т, одновременно не равные нулю, такие,
что k-\-l-\-m = 0 и для произвольной точки О выполняется
равенство ЮА+ЮИ + тОС — С).
908. Используя иск горы, докажите, что середины диагоналей
четырехугольника и точка пересечения отрезков, соединяю-
соединяющих середины нропшоположных сторон, лежат на одной
прямой.
909. Биссектрисы внешних углов треугольника ABC при верши-
вершинах А, В к С пересекают прямые ВС, С А и АВ соответ-
соответственно в точках А\, В\ и С\. Используя векторы, докажи-
докажите, что Ль В\ и С\ лежат на одной прямой.
910. Пусть // — точка пересечения прямых, содержащих высоты
неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описан-
описанной около этого треугольника окружности. Используя век-
векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треуголь-
треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отно-
отношении 2:1, т. е. ^ =
GO

9 класс
Глава X
МЕТОД
КООРДИНАТ
§ 1. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
86. Разложение вектора по двум неколли неарным векторам.
Докажем сначала лемму' о коллинеарных векторах.
Лемма. Если векторы а и b коллинеарны и афб, то су-
существует такое число k, что b = ka.
Доказательство. Возможны два случая: а\\Е и а||6.
Рассмотрим эти случаи в отдельности.
1) а\\Ь. Возьмем число k =—. Так как /г^О, то векторы
ka и 6 сонаправлены (рис. 273, а). Кроме того, их длины равны:
\ka\-\li\-\u\=—-\a\ = \b\. Поэтому b = ka.
2) af|Z>. Возьмем число k=——. Так как /г<0, то векторы
\а\
ka и b снова сонаправлены (рис. 273, б). Их длины также равны:
—L^ +1—
ка
к =
_\ь\
к=-
а
Рис. 273
1 Леммой называется вспомогательная теорема, с помощью которой дока-
доказывается следующая теорема или несколько теорем.
218
О а А
Рис. 274
\,ka\ — \k\\a\ =— • \а\ = |6|. Поэтому b = ka. Лемма доказана.
Пусть оиЬ — два данных вектора. Если вектор р представлен
в виде p = xa-\-yb, где хну — некоторые числа, то говорят, что
вектор р разложен по аскторам а и Ь. Числа х и у называются
коэффициентами разложения. Докажем теорему о разложении
вектора по двум неколлинеарным векторам.
Теорема. Любой вектор можно разложить по двум дан-
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложе-
разложения определяются единственным образом.
Доказательство. Пусть а и b — данные неколлинеар-
ные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно разло-
разложить по векторам а и Ь. Возможны два случая.
1) Вектор р коллинеарен одному из векторов а и Ь, например
вектору Ь. В этом случае по лемме о коллинеарных векторах век-
вектор р можно представить в виде p=yb, где у — некоторое число,
и, следовательно, p=O-a-J-«/«6, т. е. вектор р разложен по векто-
векторам а и Ь.
2) Вектор р не коллинеареп ни вектору а, ни вектору Ь. Отме-
Отметим какую-нибудь точку О и отложим от нее векторы ОА = а,
ОВ = Ь, ОР=р (рис. 274). Через точку Р проведем прямую,
параллельную прямой О В, и обозначим через А\ точку пересече-
пересечения этой прямой с прямой ОА. По правилу треугольника р =
= ОА\+А\Р. Но векторы ОА\ и А\Р коллинеарны соответствен-
соответственно векторам а и 6, поэтому существуют числа хну, такие, что
219

ОА\=ха, АлР=уЬ. Следовательно, p = xa+yb, т. е. вектор р
разложен по векторам а и Е.
Докажем теперь, что коэффициенты х и у разложения опре-
определяются единственным образом. Допустим, что наряду с разло-
разложением p=xa+yb имеет место другое разложение р=хт+
¦+-у[Ь. Вычитая второе равенство из первого и используя правила
действий над векторами, получаем б—(х—Х\)а-\-(у —у\) Ъ. Это
равенство может выполняться только в том случае, когда коэф-
коэффициенты х — Х{ и у — у\ равны нулю. В самом деле, если пред-
предположить, например, что х—х\Ф0, то из полученного равен-
равенства найдем а=—у~у' Ь, а значит, векторы а и Ъ коллинеарны.
Но эго противоречит условию теоремы. Следовательно, х — Х\ =
= 0 и у — t/i=0, откуда x—xi и у—у\. Это и означает, что ко-
коэффициенты разложения вектора р определяются единственным
образом. Теорема доказана.
87. Координаты вектора. Понятие прямоугольной системы
координат нам известно из курса алгебры. Напомним, что для
задания прямоугольной системы координат нужно провести две
взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать
направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу
измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков
длина каждого отрезка выражается положительным числом. В
дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.
Отложим от начала координат О единичные векторы (т. е.
векторы, длины которых равны единице) Г и / так, чтобы направ-
направление вектора i совпало с направлением оси Ох, а направление
вектора /— с направлением оси Оу (рис. 275). Векторы Г и / назо-
назовем координатными векторами.
Координатные векторы не колли^
неарны, поэтому любой вектор р
можно разложить по координатным
векторам, т. е. представить в виде
p = xi-\-yf, причем коэффициенты
разложения (числа хну) определя-
определяются единственным образом. Коэф-
Коэффициенты разложения вектора р по
координатным векторам называются
координатами вектора р в данной
системе координат. Координаты
вектора будем записывать в фигур-
фигурных скобках после обозначения
220
У
У-
0
L
L
?
\
зГ
ЧГ
ч
А
Ч
с
X
•ектора: р [х; у}. На рисунке 275 ОА {2; 1} и Ъ {3; —2}.
Так как нулевой вектор можно представить в виде б=0-/ +
+ ()•/, то его координаты равны нулю: б{0; 0}. Если векторы а =
= xli-\-ylj и b=X2t-\-y2J равны, то хх =Х2 и у\ =у-г. Таким образом,
координаты равных векторов соответственно равны.
Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов
находить координаты их суммы, разности и произведения вектора
па число.
1 °. Каждая координата суммы двух или более векторов равна
сумме соответствующих координат этих векторов.
Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим
векторы а{х\\ у\) и Ь{х2\ у-^. Так как a = Xii-\-yij, b = X2t-{-y2J, то,
пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора
на число, получим:
a + b = xli+yiJ+x->T+ijiJ=(xi +x2) T+(yi +J/2) /•
Отсюда следует, что координаты вектора а -\-Ь равны
)
Рис. 275
/
Аналогично доказывается следующее утверждение:
2°. Каждая координата разности двух векторов равна раз-
разности соответствующих координат этих векторов.
Иными словами, если а{х\; у\) и Ь{х2,- у-г) — данные векторы,
то вектор а — b имеет координаты [х\—Х2\ У\—у$. Проведите
доказательство самостоятельно.
3°. Каждая координата произведения вектора на число рав-
равна произведению соответствующей координаты вектора на это
число.
В самом деле, пусть вектор а имеет координаты [х; у). Найдем
координаты вектора ka, где k — произвольное число. Так как а =
=xi-[-yj, то ka = kxi-\-kyj. Отсюда следует, что координаты векто-
вектора ka равны [kx; ky).
Рассмотренные правила позволяют определить координаты лю-
любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы
данных векторов с известными координатами. Пусть, например,
требуется найти координаты вектора р = 2а——Ь-{-с, если извест-
известно, что а{1; —2), b {0; 3}, с[— 2; 3).
По правилу 3" векгор 2а имеет координаты {2; —4), а вектор
——Ь — координаты {(); —1}. Так как р = Bа)-М——Ь)-\-с, то
координаты вектора р можно найти по правилу 1°: {2 + 0 — 2; — 4 —
— 1+3}. Итак, вектор р имеет координаты {0; —2}.
221

Задачи
till. Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство
n = km, если известно, что: а) векторы тип противополож-
противоположно направлены и |m1=0,5 см, |Я|=2 см; б) векторы тип
сонаправлены и |/п| = 12 см, |«|=24 дм; в) векторы тип
противоположно направлены и |т|=400 мм, |«|=4 дм;
г) векторы m и «сонаправлены и |т|=д/2 см, \п\ =д/50 см.
912. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке
О, М — середина отрезка АО. Найдите, если это возможно,
такое число k, чтобы выполнялось равенство: a) AC—kAO;
б) /Ю = кВП; в) OC=kCA; г) AB^=kDC; д) BC^kDA;
с) АМшакСЛ; ж) MC=kAM; з) A~C=kCM; и) AB = kBC;
к) AO = kBD.
913. Векторы^ а и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы:
а) а + 36 и а; б) b—2а и а? Ответ обоснуйте.
914. Докажите, что если векторы а и b не коллинеарны, то: а) век^
торы а + 6 и а — b не коллинеарны; б) векторы 2а — b и а + 6
не коллинеарны; в) векторы а-\-Ь и а + 36 не коллинеарны.
915. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD,
причем АМ:МС=4:1. Разложите вектор AM по векторам
а=АВ ub=AD.
916. Векторы а и b не коллинелриы. Найдите числа х и у, удов-
.нешорнюпше равенству: а) За — xb=ya-\-b; б) 4а—ха-\-
-\-5b]-yb'=6; в) ха-\-ЗЬ—уЬ = 0; г) а + Ь — Зуа+хЕ=б.
917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и кобр-
динатные векторы I и /• Постройте ве_кторы с началом
в точке О, заданные координатами а{3; 0}, b [2; — 1}, с {0; —3},
918. 1э«;»ложите векторы а, ?, с, rf, e и f, изображенные на рисунке
276, а, 6, в, по координатным векторам / и / и найдите их коор-
координаты.
919. Выпишите координаты векторов a = 2f+3/", b=—^-Г—2/,
г = 8Г, d=7—J, e=—2], f=—l
020. Зашипите разложение по координатным векторам Ги / векто-
вектора: о) J?{-3; -^-}; б) у {-2; -3}; в) г{-1; 0}; г) «{0; 3};
Д) ?@; Ц. _ -
921. Найдите числа х и t/, удовлетворяющие условию: а) xi-{-yj=
=5/'— 2/; б) —37+yJ=xT-\-7j; в) xi-\-yJ=—4l; г) хГ+
922. Найдите координаты вектора Н + 6, если: а) Я{3; 2), b {2; 5};
222
У,
-г
7
0
>
У
г
X
Т
\
\
У,
N
0
-г
У
Т
-^-
X
/
/
/
/
/
/
У,
/
0'
/
¦f—
-*.
J
I
ч
X
6)
В)
Рис. 276
б) а{3: -41, ?{!; 5); п) Я (-4; -2), Ь {5; 3); г) а {2; 7),
6{-3; -7).
923. Найдите координаты пектора а — Ь, если: а) а {5; 3}, 6 {2; 1};
0) а{3; 2}. А{-3; 2}; в) а{3; 6}, 6D; -3}; г) а{-5; -6},
ЬB; -4).
924. Найдите координаты векторов 2а, За, —а, —За, если а{3; 2}.
925. Даны векторы а {2;' 4}, Ъ {—2; 0}, с {0; 0}, rf { —2; — 3), е {2; —3},
f{0; 5}. Найдите координаты векторов, противоположных
данным.
926. Найдите координаты вектора и, если: а) и=3а — 3b, a [2; —5},
Ь{-5; 2}; б) у = 2о*-3& + 4?, й{4; 1}, 6{1; 2), ?{2; 7};
в) у = ЗЙ-26-^-?, а(-7; - 1), Ь {- 1; 7), с D; -6); г) у =
= Я-6-с, а{7; -2), 6B; 5), с{-3; 3).
927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты
одного вектора пропорциональны координатам другого.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
928. Даны векторы а{3; 7}, b (-2; 1), с F; 14), d{2; -1}, е{2\ 4).
Укажите среди этих векторов пары коллинеарных векторов.
§2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
88. Связь между координатами вектора и координатами его
начала и конца. Рассмотрим прямоугольную систему координат и
какую-нибудь точку М с координатами (л:; у). Напомним, как опре-
определяются числа хну. Проведем через точку М прямые, перпенди-
перпендикулярные к осям координат, и обозначим через Мi и Мо точки пере-
223

M(x;y)
М(х;у)
Рис. 277
сечения этих прямых с осями Ох и Оу (рис. 277). Число х (абсцис-
(абсцисса точки М) определяется так: х=ОМ\, если М\— точка поло-
положительной полуоси (рис. 277, а); х= — ОМи если М\ — точка от-
отрицательной полуоси (рис. 277, б); х = 0, если М\ совпадает с точ-
точкой О.
Аналогично определяется число у (ордината точки М). На
рисунке 278 изображена прямоугольная система координат Оху и
отмечены точки Л C; 2), В ( — 4; 3), С (—2,5; 0).
Вектор ОМ назовем радиус-вектором точки М. Докажем, что
координаты точки М равны соответствующим координатам ее
радиус-вектора. Воспользуемся равенством 0М = 0М\-\-0М2 (см.
рис. 277) и докажем, что OMi=xI и ОМ2=уТ- В самом деле,
если х>0 (как на рисунке_277, а), то х = ОМи а векторы ОМ\ и Г
сонаправлены. Поэтому OM\ = OM\X=xt. Если х<0 (как на ри-
рисунке 277,6), то х=— OMi, а векторы OMi и Г противоположно
направлены. Поэтому ОМ{ = — OMj—xT. Наконец, если х=0, то
ОМ[=0 и равенство 0Mi=xi в этом случае также справедли-
справедливо. Таким образом, в любом случае 0Mi=xi. Аналогично доказы-
доказывается, что OM2=yJ. Следовательно, ОМ — 0M\-\-0M2=xi-\-
-\-yj. Отсюда следует, что координаты радиус-вектора ОМ равны
{х; у}, т. е. равны соответствующим координатам точки М, что и
требовалось доказать.
Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты
вектора АВ через координаты его начала А и конца В. Пусть
точка А имеет координаты (хг, у{), а точка В — координаты (лг2; у*).
Вектор АВ равен разности векторов ОВ и О А (рис. 279), поэтому
его координаты равны разностям соответствующих координат
векторов ОВ и ОА. Но ОВ и ОА — радиус-векторы точек В и Л, и,
значит, ОВ имеет координаты {лг2; f/г}, а ОА имеет коорди-
224
ВЫ; 3)
с(-2,5;0)
Рис. 278
АC;2)
У*
0
ОВ-ОА
Рис. 279
—т~
наты [х\\ у\). Следовательно, вектор АВ имеет координаты
fa — х\\ У2—у\)-
Таким образом, каждая координата вектора равна разности
соответствующих координат его конца и начала.
На рисунке 275 точки В и С имеют координаты A; 4)
и D; 2), поэтому координаты исктора ВС равны {3; —2}.
89. Простейшие задачи в координатах. Введение системы ко-
координат дает тмможпость изучать геометрические фигуры и их
свойства с помощью ураинений и неравенств и, таким образом,
использовать и геометрии методы алгебры. Такой подход к изуче-
изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.
Рассмотрим три вспомогательные задачи.
а) Координаты середины отрезка. Пусть в си-
системе координат Оху точка А имеет координаты (xi; f/i), а точка
В — координаты (х2; ут). Выразим координаты (л:; у) середины С
отрезка АВ через координаты его концов.
Так как точка С—середина отрезка АВ, то
S A)
(Это равенство было доказано в п. 84.)
Координаты векторов ОС, О А и О В равны соответствующим
координатам точек С, А и В: ОС [х; у}, О А {хг, ух), ОВ [х2; у2). Запи-
Записывая равенство A) в координатах, получим:
х
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна
полусумме соответствующих координат его концов.
б) Вычисление длины вектора по его коор-
координатам. Докажем, что длина вектора а [х\ у) вычисляется по
формуле
225

yj
A2
0
OA=~a[v
Рис.
у}
у*
A(x;
At
280
У)
X
В
Рис. 281
Отложим от начала координат вектор ОА = а и проведем через
точку Л перпендикуляры АА\ и AAi к осям Ох и Оу (рис. 280).
Координаты точки А равны координатам вектора ОА, т. е. (х; у).
Поэтому Oi4i=|x|, AAi = OA2= \y\ (мы рассматриваем случай,
когда хФО и уфО; другие случаи рассмотрите самостоятельно).
По теореме Пифагора
О А=^OA'i + АА\ = У*2 + у2.
Но |и| = \ОЛ\ =ОА, поэтому \а\ =~yJx2-{-yz, что и требовалось
доказать.
в) Расстояние между двумя точками. Пусть
точка Mi имеет координаты (хг, у\), а точка М2 — координа-
координаты (хч\ уг). Выразим расстояние d между точками М\ и М^ через их
координаты.
Рассмотрим ииктор М1М2. Его координаты- равны
(fj — jci: у¦• — у\). Следовательно, длина этого вектора может быть
найдена по формуле
\MiM2\ =Y(x2-*i
Но \MiMA-d. Таким образом, расстояние d между точками
М\ (хг, у\) и Мг(х2\ уг) выражается Формулой
Задачи
929. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В —
па положительной полуоси О у. Найдите координаты вершин
треугольника АВО, если: а) ОЛ = 5, ОВ = 3\ б) ОА=а,
В Ь
930. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка
В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вер-
вершин прямоугольника ОАСВ, если: а) ОА = 6,5, ОВ=3\
б) ОА = а, ОВ = Ь.
226
til. Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела ко-
координаты ( — 3; 3), а диагонали квадрата пересекались в
начале координат. Найдите координаты точек М, N и Q.
192. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника
ABC, изображенного на рисунке 281, если АВ=2а, а высо-
высота СО равна h.
033. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD,
если Л@; 0), В E; 0), С A2; -3J.
%94. Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его на-
начала и конца: а) А B; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27);
в) Л(-3; 0), Я@; 4); г) Л @; 3), В (-4; 0).
835. Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и
найдите хну:
А
В
А~В
@:0)
0:1)
(х; -3)
B; -7)
C;
I)
(я;
{с;
Ь)
d)
A;
{0;
2)
0|
936. Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для
вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните
пустые клетки:
A
В
M
B; -3)
(-3; 1)
D:7)
(-3; -2)
@;l)
C; -5)
@:0)
(-3:7)
(c;.d)
(a; b)
C;5)
C:8)
C/ + 5;7)
(^ + 7;-7)
со"
@:0)
937. Даны точки Л @; 1) и В E; —3). Найдите координаты
точек Си/), если известно, что точка В — середина отрезка
Л С, а точка D — середина отрезка ВС.
938. Найдите длины векторов: а) а{Ъ; 9}; б) b{ — 3; 4},
в) с{-10; -10}; г) d {10; 17); д) е{\1; -11); е) f{10; С».
939. Найдите расстояние от точки М C; —2): а) до оси абсцисс;
б) до оси ординат; в) до начала координат.
940. Найдите расстояние между точками А н В, если: а) Л B; 7),
В (-2; 7); б) Л (-5; 1), В (-5; -7); в) Л(-3;0). В @; 4);
г) Л@;3), В (-4-0).
941. Найдите периметр треугольника MNP, если М D; 0),
WC12; -2). Я E; -9).
942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого
имеют координаты: Л @; 1), ВA; —4), С E; 2).
227

943. Точки В и С лежат соответственно на положительных полу-
полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси
Ох, прлчем ОА = а, ОВ = Ь, OC=h. Найдите стороны АС и ВС
треугольника ABC.
944. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной
полуоси Ох, вершина В имеет координаты F; с), а ОА = а.
Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону АС и диаго-
диагональ СО.
945. Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА
с основаниями ОА = а и BC=d, если точка А лежит на по-
положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты
F; f).
946. Найдите х, если: а) расстояние между точками А B; 3)
и В (х; 1) равно 2; б) расстояние между точками Мх (— 1; х)
и М2 Bл:; 3) равно 7.
947. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите
его площадь, если вершины треугольника имеют координаты-
™ЛК; l)t B{u ~4)> СE:2); б) л(~4; !)« в<~2; 4)«
С @; 1).
948. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек*
а) Л(-3; 5) и Я F; 4); б) СD; -3) и D (8; 1).
949. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек-
а) ЛA;2)и В(-3; 4); б) СA; 1) и ?> C; 5).
950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллело-
параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) М A; 1) N F; 1)
Р G; 4), Q B; 4); б) Л* (-5; 1), N (-4; 4), Р (-1; 5), Q (-2; 2)!
951. Докажите, что четырехугольник A BCD является прямоуголь-
прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) А(—3; —1)
$?$ъщ- D(-3; -3): 6) Л<4: "¦ в<* 5>-'
Применение метода координат
к решению задач
Формулы координат середины отрезка и расстояния между дву-
двумя точками можно использовать для решения более сложных
геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоуголь-
прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координа-
координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраи-
алгебраических вычислений.
952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного тре-
треугольника равноудалена от всех его вершин.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом С. Обозначим буквой М середину гипотену-
гипотенузы АВ. Введем прямоугольную систему координат так, как по-
показано па рисунке 282. Если ВС = а, АС=Ь, то вершины
треугольника имеют координаты С@; 0), В (а; 0), А @; Ь).
По формулам координат середины отрезка находим коорди-
228
А(О;Ь)
С@;0)
В(а;0) х
В(Ь;с)
А@;0)
С(а+Ь;с)
D(a;O) x
Рис. 282
Рис. 283
наты точки М: м(-|-; -|-) •
Пользуясь формулой расстояния между двумя точками,
найдем длины отрезков МС и МА:
мл \/(т)"+(т-(>)г=т
Таким образом, МА=МВ = МС, что и требовалось дока-
доказать.
063. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограм-
параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм. Вве-
Введем прямоугольную систему координат так, как показано на
рисунке 283. Если AD = BC=a, а точка В имеет координа-
координаты F; с), то точка D имеет координаты (а; 0), а точка С —
координаты (а+6; с). Используя формулу расстояния между
двумя точками, находим:
Отсюда получаем:
Таким образом, AB2 + BC2+CD2 + DA2=AC2
" что и требовалось доказать.
954. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треу-
треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно
80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
055. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два
отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведен-
проведенную к меньшей из двух других сторон.
229

W96. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то
параллелограмм является прямоугольником.
958. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произволь-
произвольной точки М плоскости справедливо равенство
AM2 + СМ2=ВМ2 + DM2.
§ 3. УРАВНЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ И ПРЯМОЙ
90. Уравнение линии на плоскости. При изучении алгебры мы
строили графики некоторых функций в прямоугольной системе ко-
координат, например график функции у — х. Известно, что графиком
этой функции является прямая, проходящая через точки О @; 0) и
ЛA; 1) (рис. 284). Координаты любой точки М(х; у), лежащей
на прямой ОА, удовлетворяют уравнению у—х (так как ММХ =
= ЛШ2), а координаты любой точки, не лежащей на прямой О А,
этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у=х
является уравнением прямой ОА. Введем теперь понятие уравне-
уравнения произвольной линии.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат
Оху и дана некоторая линия L (рис. 285). Уравнение с двумя пере-
переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравне-
уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии Lune удовлет-
удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
При изучении линий методом координат возникают две зада-
задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти ее урав-
уравнение; 2) обратная задача: но заданному уравнению линии иссле-
исследовать ее геометрические свойства. В следующем пункте мы рас-
рассмотрим первую из этих задач применительно к окружности. Вто-
Вторая задача рассматривалась в курсе алгебры при построений гра-
графиков функций.
91. Уравнение окружности. Выведем уравнение окружности ра-
радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе ко-
координат. Пусть точка С имеет координаты (х0; у0) (рис. 286).
/
о
о
230
Рис. 284
*>ис. 285
V
В(х2;Уг)
Рис. 2S6
Рис. 287
Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляет-
вычисляется по формуле МС=У(*—х0J + (у — у of. Если точка М лежит на
Даккой окружности, то МС=г, или МС2 = г2, т. е. координаты
ТОи*ки М удовлетворяют уравнению
= г2. A)
Если же точка М(х\ у) не лежит на данной окружности,
то МС2Фг2, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют
уравнению A). Следовательно, в прямоугольной системе коорди-
координат уравнение окружности радиуса г с центром в точке С (х0; уо)
имеет вш):
В частности, уравнение окружности радиуса г с центром в
начале координат имеет вид:
Задача. Найти уравнение окружности с центром в точке
( — 3; 4), проходящей через начало координат.
Решение. Центр окружности имеет координаты ( — 3; 4). По-
¦тому уравнение этой окружности можно записать в виде (x-f 3J +
-f-(?/—4J = г2, где г — пока неизвестный радиус окружности. Най-
Найдем его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит
через начало координат, т. е. координаты точки О @; 0) удовлет-
удовлетворяют этому уравнению: @ + 3J+@—4J = г2. Отсюда г2 = 25, и,
мичит, г=5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид
Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то полу-
получится уравнение х2-^-у2-\-6х — &j/=0, котврве также является
уравнением данной окружности.
92. Уравнение прямой. Выведем уравнение данной прямой / в
ладанной прямоугольной системе координат. Отметим, две тюч-
тючки А(х\\ у\) и В(х2; Уч) так, чтобы прямая / была серединным
перпендикуляром к отрезку АВ ^рис. 287). Если точка М (х\ у) ле-
лежит на прямой /, то АМ=ВМ, или АМ2 = ВМ2, т. е. координа-
291

У
/ Уо
О
Рис. 288
И
о(Хо-У„)
М{х;у)
х0 х
ты точки М удовлетворяют уравнению
У2J. B)
Если же точка М (х; у) не лежит на прямой /, то АМ2ФВМ2, и,
значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению B).
Следовательно, уравнение B) является уравнением прямой
/ в заданной системе координат. После возведения выражений
в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение
B) принимает вид
ах + Ьу + с=0, C)
где a=2(xi— х2), Ь = 2{у{—у2), с = х\-\-у\—х\ — у2. Так как
А (Х[\ у\) и В (х2\ у2) — различные точки, то хотя бы одна из раз-
разностей (xi — хг) и (f/i — у2) не равна нулю, т. е. хотя бы один из коэф-
коэффициентов а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение
прямой в прямоугольной системе координат является уравнением
первой степени.
Выиедем уравнение прямой /, проходящей через точку
Мо (х0; уо) и параллельной оси Ох (рис. 288). Ордината любой точ-
точки М (х; у) прямой / равна у0, т. е. координаты любой точки М (х; у)
прямой / удовлетворяют уравнению у = уо. В то же время коорди-
координаты любой точки, не лежащей на прямой /, этому уравнению не
удовлетворяют.
Следовательно, уравнение у = у0 является уравнением прямой /.
Аналогично уравнение прямой, проходящей через точку Мо (хо; г/о)
параллельно оси Оу, имеет вид х=хо.
Ясно, что ось Ох имеет уравнение у=0, а ось Оу — уравнение
х=0.
Задачи
959. Начертите окружность, заданную уравнением: a) х2-\-у2=9\
б) (х-1J + й+2J=4; в) (х+5)Ч(!/-3J = 25;
г) (*-lJ + i?=4; д) *Ч0/+2J=2.
960. ^акие из точек Л C; —4), В A; 0), С @; 5), D @; 0) и Е @; 1)
лежат на окружности, заданной уравнением: а) х +#2=25;
б) (*-lJ+Q/+3J=9; в) (х-±у
232
§01. Окружность задана уравнением (х-\-5J-{-(у—1J=16. Не
пользуясь чертежом, укажите, какие из точек Л ( — 2; 4),
/i( —5; —3), С( —7; —2) и ?>A; 5) лежат: а) внутри
круга, ограниченного данной окружностью; б) на окружнос-
окружности; в) вне круга, ограниченного данной окружностью.
0в2. Даны окружность х2+у2 = 25 и две точки Л C; 4) и
В {А; —3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности.
963. На окружности, заданной уравнением х2-{-у2 = 25, найдите
точки: а) с абсциссой — 4; б) с ординатой 3.
964. На окружности, заданной уравнением (х — 3J + (i/ — 5J =
=25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
965. Напишите уравнения окружностей с центром в начале коор-
координат и радиусами ri =3, Г2=л/2, г3 = —.
966. Напишите уравнение окружности радиуса г с центром А,
если: а) Л @; 5), г=3; б) Л(-1; 2), г = 2; в) Л(-3; -7),
г=-Ь г) Л D; -3), г=10.
967. Напишите уравнение окружности с центром в начале коор-
координат, проходящей чс|нм точку В (— 1; 3).
968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А @; 6),
проходящей через точку В(—3; 2).
969. Напишите урапнепие окружности с диаметром MN, если:
а) М (-3; 5), N G; -3); б) М B; -1). N{4; 3).
970. Напишите уравнение окружности, прохрдящей через точку
ЛA; 3), если известно, что центр окружности лежит на
оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких
окружностей?
971. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
Л( —3; 0) и В @; 9), если известно, что центр окружности
лежит на оси ординат.
972. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные
точки: а) Л A; - 1) и В (-3; 2); б) С B; 5) и D E; 2); в) М @; 1)
и #(-4; -5).
Решение, а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах-\-Ьу-\-
+ с = 0. Так как точки А и В лежат на прямой АВ, то их
координаты удовлетворяют этому уравнению:
а-1+6(-1)+с=0, а-(-3)+*-2+с=0
или а — Ь + с = О, —26
Из этих уравнений выразим коэффициенты аи b через с:
а=3с, Ь = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой,
получим 3cx + 4q/ + c = 0. При любом сфО это уравнение
является уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем ис-
искомое уравнение в виде Зх-\-4у+ 1 =0.
973. Даны координаты вершин треугольника ABC: A D; 6),
В (—4; 0), С(—1; —4). Напишите уравнение прямой, со-
содержащей медиану СМ.
233

974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: Л ( — 2; —2),
В{ — 3; 1), С G; 7) и D C; I). Напишите уравнения
прямых, содержащих: а) диагонали АС и BD; б) среднюю
линию трапеции.
975. Найдите координаты точек пересечения прямой Зх—4у-\-
+ 12 = 0 с осями координат. Начертите эту прямую.
976. Найдите координаты точки пересечения прямых
4х + 3у — 6=0 и 2х+у—4 = 0.
977. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку
М B; 5) и параллельных осям координат.
978. Начертите прямую, заданную уравнением: а) «/ = 3:
б) х=-2; в) у=-4\ г) х = 7.
979. Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если
известно, чго Л ( — 8; —6), В ( — 3; —1) и абсцисса точки М
раина 5.
980. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба,
диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что
его диагонали лежат на осях координат.
Использование уравнений окружности
и прямой при решении задач
981. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек,
для каждой из которых расстояние от точки Л в два раза
больше расстояния от точки В.
Решение. Введем прямоугольную систему координат
1нк, k.ik покш.шо ш\ рисунке 289, а. Тогда точки Аи В имеют
координаты А @; 0), В (а; 0), где а=АВ.
Найдем расстояния от произвольной точки М (х; у) до то-
точек А и В:
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то
AM =>2ВМ или АМ'2 = 4ВМ2. Поэтому ее координаты удовлет-
удовлетворяют ураинсиию
2 2 f 2. D)
А{о;о)
В(а;0) X А@;0)
Рис. 289
234
Если же точка М не принадлежит искомому множеству,
то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению.
Следовательно, уравнение D) и есть уравнение искомого
множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая
скобки и группируя слагаемые соответствующим образом,
уравнение D) приводим к виду (х——а) -\-у2=(-х-а\
Таким образом, искомым множеством точек является ок-
2 / 4 \
ружность радиуса —а с центром в точке С(-уа; 0). Эта
окружность изображена на рисунке 289, б.
Замечание. Аналогично можно доказать, что мно-
множеством всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM
где k — данное положительное число, не равное единице, яв-
ka
ляется окружность радиуса 2 с центром в точке
-i * )'
2
Эти окружности, соответствующие различным значениям
, называют окружностями Аполлония, поскольку они
рассматривались еще древнегреческим математиком Аполло-
Аполлонием и его трактате «О кругах» во. II в. до н. э.
Если /s«"l, то задача сводится к известной нам задаче
о нахождении множества всех точек, равноудаленных от то-
точек А к В. Таким множеством, как мы знаем, является се-
серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
982. Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2.
Найдите множество всех точек М, для каждой из которых,
a) AM2 + BM2 + СМ2 = 50; б) АМ2 + 2ВМ2 + ЗСМ2 = 4.
983. Даны две точки Л и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых AM2 + BM2 = k2, где k — данное
число.
984. Даны две точки Л и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых AM2 — BM2 = k, где k — данное число.
Решение. Введем прямоугольную систему координат
так, чтобы точка Л была началом координат, а точка В
имела координаты (а; 0), где а=АВ.
Найдем расстояния от произвольной точки М {х\ у) до то-
точек Л и В:
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то
AM2 — BM2=k, поэтому координаты точки М удовлетворяют
уравнению х2-\-у2 — {х — а)—y2 = k, или 2ах — а2 — k = 0.
j Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то
ее координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, по-
полученное уравнение является уравнением искомого множест-
множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, парал-
235

лельная оси Оу, если a2-\-k=?0, и сама ось Оу, если
a2-\-k=Q. Таким образом, искомым множеством точек явля-
является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.
985. Даны две точки А к В. Найдите множество всех точек
М, для каждой из которых ВМ2—АМ2 = 2АВ2.
986. Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек
М, для каждой из которых
{AM2 + DM2) - (ВМ2 + СМ2)=2АВ2.
987*. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ъ. Найдите
множество всех точек М, для каждой из которых
AM2 M2=ВМ2 + СМ2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
236
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ X
Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по
двум неколлинеарным векторам.
Объясните, как вводится прямоугольная система координат.
Что такое координатные векторы?
Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произ-
произвольного вектора по координатным векторам.
Что такое координаты вектора? Чему равны координаты коор-
координатных векторов? Как связаны между собой координаты
равных векторов?
Сформулируйте и докажите правила нахождения координат
суммы и ра.шостн векторов, а тикже произведения вектора на
число по ладанным координатам векторов.
Чго такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точ-
точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.
Выведите формулы для вычисления координцт вектора по ко-
координатам его начала и конца.
Выведите формулы для вычисления координат середины отрез-
отрезка по координатам его концов.
Выведите формулу для вычисления длины вектора по его ко-
координатам.
Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя
точками по их координатам.
Приведите пример решения геометрической задачи с приме-
применением метода координат.
Какое уравнение называется уравнением данной линии? При-
Приведите пример.
Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в
данной точке.
Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в
начале координат.
Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе
координат.
19. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную
точку Мо(хо', уо) и параллельных осям координат.
20. Напишите уравнения осей координат.
21. Приведите примеры использования уравнений окружности и
прямой при решении геометрических задач.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Векторы а и Ь не коллинеарны. Найдите такое число х
(если это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеар-
коллинеарны: a) p = 2a — b, q = a-\-xb; б) ?=xa — b, q=a-\-xb;
в) p = a+xb, q = a—2b; г) p = 2a + b. q=xa-\-b.
989. Найдите координаты вектора р и его длину, если:
а) р = 7а-36, а{1; -1}, 6 {5; -2};
б) р = 45-26, а {6; 3}, 6 {5; 4);
в) р = 5а-46, а{-|-; -|-}, 6{6; -1};
г) р=3(-2а-46), а[1\ 5}, 6{-1; -1}.
990. Даны лекторы а[3; 4}, 6{6; — 8}, с[1; 5}и
а) Найдите координаты векторов p=a-{-J), q = b-\-c,
r = 2a — b + c, s=sd — b — c. б) Найдите \а\, \b\, \p\, \q\.
991. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками
Mi (хг, 0) и М2(х2; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле
d=\xi— x2\.
992. Докажите, что треугольник ABC, вершины которого имеют
координаты А D; 8), В A2; 11), С G; 0), является равно-
равнобедренным, но не равносторонним.
993. Докажите, что углы А и С треугольника ABC равны, если
А (-5; 6), В C; -9) и С(- 12; - 17).
994. Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:
a) Z) A; 1), А E; 4), В D; -3), С (-2; 5); б) D A; 0), А G; -8),
В (-5; 8), С (9; 6).
995. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек
Mi (-2; 4) и М2F; 8).
996. Вершины треугольника ABC имеют координаты А(—5; 13),
ВC; 5), С ( — 3; —1). Найдите: а) координаты середин
сторон треугольника; б) медиану, проведенную к стороне
АС; в) средние линии треугольника.
997. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А C; 2), В @; 5), С( — 3; 2), D @; — 1),
является квадратом.
998. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А ( — 2; —3), ВA; 4), С (8; 7), D E; 0),
является ромбом. Найдите его площадь.
999. Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма по
237

:«|длн|1ым координатам трех его вершин: (—4; 4), (— 5; 1)
и ( 1; Г>). Сколько решений имеет задача?
1000. Иыиеинте, какие из данных уравнений являются уравне-
уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус
каждой окружности:
б) +0/ )
в) х2+у2+Ъх—4t/+40=0;
г) j2+22
Д)
1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
Л C; 0) и В (— 1; 2), если центр ее лежит на прямой у=х-\-2.
1002. Н.шинште уравнение окружности, проходящей через три
данные точки: а) И (I; —4), В D; 5). СC; —2); б) А C; —7),
//(8. 2), С (С; 2).
1003. Вершины треугольника ABC имеют координаты А( — 7; 5),
В C; —1), С E; 3). Составьте уравнения: а) серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых
АВ, ВС и С А; в) прямых, на которых лежат средние линии
треугольника.
1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями Зх—l,5«/-f-
\ I 0 и 2х — у — 3 = 0, параллельны.
1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой,
если: а) А (-2; 0), В C; 2-J-) , С F; 4); б) А C; 10), В C; 12),
ГC; -С); в) /1A; 2). Л B; 5), С(—10; -31).
Применение метода координат
к решению задач
1006. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота,
проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медиа-
медианы треугольника.
1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
гранении, ранен полуразности оснований.
1008. Дли параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек
М величина (АМ2-\-СМ2)—(BM2-\-DM2) имеет одно и то же
значение.
1009. Докажите, что медиану А-А\ треугольника ЛВС можно вы-
вычислить по формуле ЛЛ,=-у-yj2AC'2 + 2AB'2 — ВС*. Исполь-
луя >ту формулу, докажите, что если две медианы треуголь-
треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
1010. Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых:
а) 2АМ2-ВМ2 = 2АВ2; б) АМ2+2ВМ2=6АВ2.
Глава XI
СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ
ТРЕУГОЛЬНИКА.
СКАЛЯРНОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ
§ 1. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛА
93. Синус, косинус, тангенс. Введем прямоугольную систему
координат Оху и построим полуокружность радиуса I с центром
в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах
(рис. 290). Назовем ее единичной полуокружностью. Из точки О
ироведем луч h, пересекающий единичную полуокружность в точке
М (х\ у). Обозначим буквой а угол между лучом h и положительной
полуосью абсцисс (если луч h совпадает с положительной полу-
полуосью абсцисс, то будем считать, что <х = 0°).
Если угол а острый, то из прямоугольного треугольника
DOM (см. рис. 290) имеем
sina=
MD
— ,
OD
Но OM~\t MD=yt OD=x, поэтому
sin a.=y, cos cc
A)
Итак, синус острого угла а равен ординате у точки М, а косинус
угла a — абсциссе х точки М. Если угол а прямой, тупой или раз-
развернутый (углы АОСУАОЫ и АОВ на рисунке 290), или а = 0°, то
синус и косинус угла а также определим по формулам A). Таким
д б 0°^^ 180°
у у у
образом, для любого угла а из промежутка
д М
180° синусом
р у р
угла а называется ордината у точки М, а косинусом угла а —
абсцисса х точки М. Так как коорди-
координаты (х; у) точек единичной полуок-
полуокружности заключены в промежутках
ft^^^l» —1^х< 1, то для любого
а из промежутка 0
справедливы неравенства
Найдем значения синуса и коси-
косинуса для углов 0°, 90° и 180°. Для
\
/
В(Ч;0)
>,
\
\
0
i
С@;1)
У
X
>
У
L
<fi(x;y)
\
) АA;0) X
Рис. 290
239

A(x;y)
Рис. 291
лучи ОА, ОС и ОВ,
соответствующие этим углам (см.
рис. 290). Так как точки А, С и
В имеют координаты А A; 0), С @; 1),
В( — 1; 0), то
sin0° = 0, sin 90°= 1,
sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° = 0,
cos 180° = —1. B)
Тангенсом угла а{аф90°) назы-
называется отношение
cos a
т. е.
= Н1« . C)
cos a
При a = 90° tg a не определен, поскольку cos 90° = 0 и в форму-
формуле C) знаменатель обращается в нуль. Используя формулы B),
находим:tgO°=O, tg 180°=0.
94. Основное тригонометрическое тождество. Формулы при-
приведения. На рисунке 290 изображены система координат Оху и
единичная полуокружность А СВ с центром О. Эта полуокружность
является дугой окружности, уравнение которой имеет вид
х2-\-у2=1. Подставив сюда выражения для х и у из формул A),
получим равенство
sin2 a -f- cos2 a = 1, D)
которое выполняется для любого а из промежутка 0°^а^ 180°.
Равенство D) называется основным тригонометрическим тождест-
тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов.
Справедливы также следующие тождества:
sin (90° — a)=cosa, cos (90° — a)=sin a при 0°<a<90°, E)
sinA80° — a) = sin a, cos(I80° —a)= —cos a при 0°<a< 180°. F)
Они называются формулами приведения и доказываются
в курсе алгебры.
95. Формулы для вычисления координат точки. Пусть задана
система координат Оху и дана произвольная точка А (х; у) с не-
неотрицательной ординатой у (рис. 291). Выразим координаты точки
А через длину отрезка ОА и угол а между лучом ОА и положитель-
положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения
луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам A) коорди-
координаты точки М соответственно равны cos a, sin a. Вектор ОМ
имеет те же координаты, что и точка М, т. е. ОМ {cos a; sin a}.
Вектор ОА имеет те же координаты, что и точка А, т. е. ОА [х\ у}.
Но ОА = ОА'ОМ (объясните почему), поэтому
х = ОА cos a, y = OA sin a. G)
240
Задачи
1011. Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единич-
112
ной полуокружности иметь значения 0,3; -^-; —г-; 1 -г-\
—2,8? б) Может ли ордината точки единичной полуокруж-
полуокружности иметь значения 0,6; —; —0,3; 7; 1,002? Ответы
обоснуйте.
1012. Проверьте, что точки Mi @; 1), M2(-~J ^), Мг{^§-\ ^-),
^4(—2 * Т")' ^^' ^' Я(-"« 0) лежат на единичной
полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и
тангенса углов АОМ\, АОМ2, ЛОМз, АОМ*, АОВ.
1013. Найдите sin а, если: a) cosa=4"> б) cosa=—|-;
в) cos a= —1.
1014. Найдите cos a, если: а) sina=:^-; б) sina=—;
в) sin a = 0.
1016. Найдите Ir a, если: а) cosa=l; б) cosa=— -^-;
в) sin a=^ и 0Q<a<90°; г) sin a =4" и 90°<a<180°.
2» о
1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов 120°, 135°,
150°.
1017. Постройте Z.A, если: а) sin>4=—- ; б) cosi4=-r-;
в) cosA=—г-.
1018. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуок-
полуокружность, и положительной полуосью Ох равен а. Найдите
координаты точки А, если: а) ОЛ=3, а=45°; б) ОЛ = 1,5,
а = 90°; в) ОЛ = 5, а = 150°; г) ОЛ = 1, а = 180°;
д) ОЛ = 2, а=30°.
1019. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью
Ох, если точка А имеет координаты: а) B; 2); б) @; 3);
в) (-л/3; 1); г) (-2л/2; 2л/2).
§ 2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
96. Теорема о площади треугольника.
Теорема. Площадь треугольника равна половине произве-
произведения двух его сторон на синус угла между ними.
241

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC BC=a,
СА — Ь и S — площадь этого треугольника. Докажем, что
S=-i-a6sin С.
Введем систему координат с началом в точке С так, чтобы точ-
точка В лежала на положительной полуоси Сх, а точка А имела поло-
положительную ординату (рис. 292). Площадь данного треугольника
можно вычислить по формуле 8=-^-аИ, где h — высота треуголь-
треугольника. Но h равна ординате точки Л, т. е. h = b sin С. Следовательно,
S——ab sin С. Теорема доказана.
97. Теорема синусов.
Теорема. Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC АВ — с,
= а, СА—Ь. Докажем, что
а
sin A
Ь
sin В
с
sin С
I Io теореме о площади треугольника
S=-i-a6sinC, S=-^-bc sin A,
=-^-ca sin В.
Ил мерных двух равенств получаем — ab sin C=-~-bc sin Л,
_?_
с
N111 С
ь
"sin В
2 2
. Точно так же из второго и третьего равенств
. Итак,
sin Л
Ь
sin В'
с
' sin С '
Теорема доказана.
Замечи и не. Можно доказать (см. задачу 1033), что от-
отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла
равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любо-
любого треугольника ABC со сторонами АВ = с, ВС=а и С А = b имеют
242
A(bcosC;bsinC)
C(bcosA;bsinA)
с В(с;0) х
Рнс. 293
равенства
sin A sin В sin С
рде /? — радиус описанной окружности.
$6. Теорема косинусов.
Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квад-
квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сто-
сторон на косинус угла между ними.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC AB = с,
ВС=а, СА=Ь. Докажем, например, что
1- О)
Введем систему координат с началом в точке А так, как пока-
показано на рисунке 293. Тогда точка В имеет координаты (с; 0), а точ-
точка С — координаты F cos A; b sin Л). По формуле расстояния
между двумя точками получаем:
ВС2 — аа — {Ь cos А — сJ + Ь2 sin2 A =
2 A 2 b2f2
С — а {Ь cos А ) +
= fc2 cos2 А + Ь* sin2 А — 2Ьс cos A + c2 = b2-f-c2—ЧЪс cos A.
Теорема доказана.
Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой
Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме коси-
косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом
деле, если в треугольнике ABC угол Л прямой, то cos Л =cos 90° =
=0и по формуле (I) получаем аг = Ь2-\-с2,т. е. квадрат гипотену-
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
99. Решение треугольников. Решением треугольника называет-
называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех
углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим
треугольник. Рассмотрим три задачи на решение треугольника.
При этом будем пользоваться следующими обозначениями для
сторон треугольника ABC: AB~c, BC = a, CA=b.
Задача 1 (решение треугольника по двум сторонам и углу
между ними). Дано: a, b. Z.C. Найти: с. /L.A, Z.B.
Решение. 1. По теореме косинусов находим с:
2 —2abcosC.
'2. Пользуясь теоремой косинусов, получаем:
COSA== 2bc •
Угол Л находим с помощью микрокалькулятора или по таблице'.
3.
1 О том, как пользоваться таблицей, рассказано в приложении 2.
243

Задача 2 (решение треугольника по стороне и прилежащим
к ней углам). Дано: a, /LB, Z.C. Найти: /LA, Ь, с.
Решение. 1. ?.А = 180°— /LB— Z.C.
2. С помощью теоремы синусов вычисляем Ь и с:
Ь=аЩ, с=аЩ.
sin A smA
Задача 3 (решение треугольника по трем сторонам). Дано:
а, Ь и с. Найти: /LA, /LB и Z.C.
Решение. 1. Пользуясь теоремой косинусов, получаем:
Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.
2. Аналогично находим угол В.
3. ZC= I80°- /LА— /.В.
Пример. Футбольный мяч находится в точке А футбольно-
футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В к С стоек ворот
(рис. 294). Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол а
попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
Решение. Рассмотрим треугольник ABC, вершинами ко-
которого являются точка А расположения мяча и точки В и С в осно-
основаниях стоек ворот. По условию задачи с = АВ=23 м, Ь=АС=
= 24 м и а —ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить треугольник
ABC и найти угол а, равный углу А (см. задачу 3). С помощью
теоремы косинусов определяем cos A:
cos А _*>*+с2-а*^_242+23г-7г
Угол а ил ходим
?~|23|
/•
2-24-23
с помощью микрокалькулятора по программе
HHS7HZE№
cos
На индикаторе высвечивается значение угла а в градусах:
16,957426. Если перевести доли градуса в минуты, получим а ж
«16°57'. Этот же результат можно получить по таблице.
A-mowa наблюдений В
Рис. 296
100. Измерительные работы. Тригонометрические формулы
используются при проведении различных измерительных работ на
Местности.
а) Измерение высоты предмета. Предположим,
что требуется определить высоту АН какого-то предмета
(рис. 295). Для этого отметим точку В на определенном расстоя-
расстоянии а от основания И предмета и измерим угол АВН: Z-ABH — a.
По этим данным из прямоугольного треугольника АНВ находим
1исоту предмета: AH = aiga.
Если основание предмета недоступно, то можно поступить так:
на прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим две
точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и изме-
измерим углы АВН и АСВ: /LABH = ocn /LACB = $ (см. рис. 295). Эти
данные позволяют определить все элементы треугольника ABC,
в частности АВ. В самом деле, /LABH — внешний угол треугольни-
треугольника ABC, поэтому Z.i4=a — р. Используя теорему синусов, нахо-
находим АВ:
sin (a — р) '
Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН
предмета: AH—AB-sin а. Итак,
nil =
a-sin a-sin
sin (a — P)
б) Измерение расстояния до недоступной
точки. Предположим, что нам надо найти расстояние d от пунк-
пункта А до недоступного пункта С (рис. 296). Напомним, что эту за-
задачу мы уже решали в VIII классе с помощью признаков подобия
треугольников. Рассмотрим теперь другой способ решения зада-
задачи — с использованием формул тригонометрии.
На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ.
Затем измерим, например с помощью астролябии, углы А и В:
АА=а и Z.B = p. Эти данные, т. е. с, а и р, позволяют решить
треугольник ABC и найти искомое расстояние d=AC.
Сначала находим Z. С и sin С:
Z.C=180° — a — P; sin C = sin A80° — a — p)=sin (а + р).
Затем с помощью теоремы синусов находим d. Так
АС АВ AC=d,
sin В sin С
= p, то a=
находим
с sin
как
sin(a
Задачи
1020. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) АВ = 6^8 см,
ЛС = 4 см, /LA=60°; б) ВС=3 см, i4B = 18V2 cm, /LB =
= 45°; в) ЛС=14 см, СВ = 7 см, /LC = 48°.
1021. Докажите, что площадь параллелограмма равна произве-
произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
1022. Площадь треугольника ABC равна 60 см2. Найдите сто-
сторону АВ, если АС =15 см, Z.А =30°.
245

1023.
1024.
1025.
a)
б)
в)
г)
/IB = 40
с=14;
/1/4=30°,
6 = 4,5;
= 80°,
а=16, 6=10:
1026.
1027.
1028.
1020.
1930.
10.41.
1932.
1033.
если Z..4=45O,
= 4,4 м,
Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого рав-
равна 10 см, а угол между диагоналями 30°.
Найдите площадь треугольника ABC, если: a) /LA = a, а вы-
высоты, проведенные из вершин В и С, соответственно равны
hb и hc\ б) Z. А = a, Z. В = |3, а высота, проведенная из верши-
вершины Б, равна Л.
С помощью теорем синусов и косинусов решите треуголь-
треугольник ABC, если:
д) /!Л=60°, а=10, 6 = 7;
е) а = 6,3, 6 = 6,3, /dC=
= 54°;
ж) 6 = 32, с=45, /LA=%7°;
з) а=14, 6=18, с=20;
9-=45°, Z.C = 70°, и) а = 6, 6 = 7,3, с = 4,8.
«-24.G;
В треугольнике ABC AC =12 см, А А =75°, /iC = 60°.
Найдите ЛВ и SABC.
Найдите стороны треугольника ABC,
Z.C=30°, а высота Л?) равна 3 м.
В параллелограмме ABCD AD = 7— м,
Z.i4 = 22°30/. Найдите Z.BDC и /LDBC.
Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сто-
сторон равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны аир.
Смежные стороны параллелограмма равны а и 6, а один из
его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма
и угол между ними.
Выяснигс, является ли треугольник остроугольным, прямо-
прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
Две равные по величине силы приложены к одной точ-
точке под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих енл,
если величина их равнодействующей равна 120 кг.
Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу
противолежащего угла равно диаметру описанной окруж-
окружности.
Решение. Пусть R — радиус окружности, описанной
ВС
около треугольника ABC. Докажем, что——, = 2R, или
Sill /\
/?C=2/?sin A
Проведем диаметр ВА\ (рис. 297) и рассмотрим треугольник
А\ВС (случай, когда точки А\ и С совпадают, рассмотрите
самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэто-
поэтому ВС^=ВА\ sin i4i. Но sin j4i = si-rii4. Действительно, если
точка А\ лежит на дуге ВАС (рис. 297, а), то AAi= Z.A,
а если на дуге BDC (рис. 297, б), то /LAi=l80°— ZA И
в том. и в другом случае sin/li = sin-A. Следовательно,
sin/4, или BC=2Rs'mA.
Рис. 297
1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боко-
боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при ос-
основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.
J035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся
I в точке ?. Найдите острый угол между этими хордами, если
I АВ— 13 см, С?=9 см. ??) = 4 см и расстояние между точ-
точками В и D равно 4 V3 см.
1036. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высо-
высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он
видит под углом 10° к горизонту, а вершину — под углом
45° к горизонту. Какова высота башни?
1037. Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на
берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измери-
измерили углы CAB и ABC, где С — дерево, стоящее на другом
берегу у кромки воды. Оказалось, что /LCAB= 12°30',
/LABC = 72°42'. Найдите ширину реки.
1038. На горе находится башня, высота которой равна 100 м
(рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наб-
наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к го-
горизонту, а потом с ее основания С под углом 30°. Найдите
высоту Н горы.
Рис. 298
Рис. 299
246
247

О
Рис. 300
Рис. 301
§ 3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
101. Угол между векторами. Пусть aub — два данных вектора.
Отложим от произвольной точки О векторы О А =а и ОВ = Ь. Если
векторы а и Ь не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ об-
образуют угол АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обозначим
а и будем говорить, что угол между векторами aub равен о.
Ясно, что а не зависит от выбора точки О, от которой отклады-
откладываются векторы а и b (пользуясь рисунком 300, докажите это).
Если векторы а и b сонаправлены, в частности один из них или оба
нулевые, то будем считать, что угол между векторами а и b равен
0°. Угол между векторами а и b обозначается так: а Ь.
На рисунке 301 углы между векторами таковы: а 6 = 30°,
ас 120°, b с 1H°, d /=u°, d с =180°.
Два вектора называются перпендикулярными, если угол между
ними равен 90°. На рисунке 301 bJLc, bJLd, b±f.
102. Скалярное произведение векторов. Мы знаем, как выпол-
выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введем
еще одно действие над векторами — скалярное умножение векто-
векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произве-
произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов а и Ъ обозначается так: a*b
или ab. По определению ^
а-Ь=\а)-\Ь\ cos (а Ь). A)
Если векторы а и b перпендикулярны, т. е. а 6=90°, то
cos (а М=0. и поэтому а-Ь = 0. Обратно: если а>Ь=0 и векторы
а и b ненулевые, то из равенства A) получаем cos (а Ь)=0, и, сле-
следовательно, а 6 = 90°, т. е. векторы а и b перпендикулярны.
248
Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпен-
перпендикулярны.
Из формулы A) также следует, что скалярное произведение
ненулевых векторов а и b положительно (отрицательно) тогда и
только тогда, когда а Ь<90° (а Ь>90°).
_ На рисунке 302 а 6 = 35°, а с = 90°, b c= 125°, поэтому
а-6>0, а-с=0, &-с<0.
Если а\\Ь, то по формуле A) получаем a-b = \a\-\b\. В
частности, а-а= \а\2. Скалярное произведение а-а называется
скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Таким обра-
образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Скалярное произведение векторов широко используется в физи-
физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоян-
постоянной силы F при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303)
равна произведению длин векторов силы F и перемещения MN на
косинус угла между ними:
A=\F\> \MN\ «cos ср.
Правая часть этого равенства представляет собой скалярное
произведение векторов F и MN, т. е. работа А силы F равна скаляр-
скалярному произведению векторов силы и перемещения: A=F-MN.
103. Скалярное произведение в координатах. Скалярное про-
произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих
векторов.
Теорема. Скалярное произведение векторов а{х\\ у\) и
Ъ (ж2; jfc] выражается формулой
B)
Доказательство. Если хотя бы один из векторов а и b
нулевой, то справедливость равенства B) очевидна, так как коор-
координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда
а
a-i?>0, li-T=O, l)-c<0
Рис. 302
М
N
Рис. 303
249

О В ^А
C0S«=f,AB2=z @А-0ВJ=
= 0А*+0Вг-20А-0В =
=0A2+0B*-20A-08cosoc
5)
Рис. 304
г А
В О
cosoc=*-1tAB2*( 8)
=0Аг+0Вг+20А-0В=
=0Аг+0Вг- 20A-OBCOSK
В)
векторы а и В ненулевые. Отложим от произвольной точки О векто-
векторы ОА=а и ОВ = Ь. Если векторы а и b не коллинеарны
(рис. 304. а), то по теореме косинусов
АВ2 - О А2 + ОВ2 -2 -ОA- OB- cos а. C)
Это раненство верно и в том случае, когда векторы а и Ь колли-
неармы (см. рис. 304, б, в).
Так как АВ = Ь—а, ОА=а\ ОВ = Ь, то равенство C) можно
записать так: \Ь-а\2 = \а\2 + \Ь\2 — 2аЬ, откуда
D)
Векторы а, Ъ и Ь — а имеют координаты- [х{; ух], [х2; у2) и
{*а—х\\ уг—у\}, поэтому
la|2«=x? + i/?. \Ь\2=х1+уЪ \Ь-В\2=(хг-Х1J+(у2-у.,J.
Иодгтмпии чти 1шрлж«?иия в правую часть равенства D)
после 1н-сл»ж11ых преобразований получим формулу B) Тео-
ргма докл.ииа. yr MW
Следствие 1. Ненулевые векторы а {хм у,} и Ь {х2; у2} пер-
перпендикулярны тогда и только тогда, когда х\х2+У1у2=0.
Следствие 2. Косинус угла а между ненулевыми векто-
векторами a{xi; j/i} и Ь [х2; у2\ выражается формулой
cos а:
E)
В самом деле, так как а«Ь=|а| \b\ cos а, то cosa=-
а-Ь
\a\-\b\
Полета пив сюда выражения для а-Ь. \а\ и \Ь\ через координаты
вектором Л и Ь, получим формулу E).
104. Свойства скалярного произведения векторов. Скалярное
прон.-ш'дгмис векторов обладает следующими свойствами:
Для любых оектороз а, Ь, с и любого числа k справедливы со-
соотношения:
'"• §2^0-„причем а2>0 при афб.
2 . а-Ь = Ь-а (переместительный закон).
250
3°. (а-\-Ь)с=а-с^-\-Ь-с (распределительный закон).
4°. (ka)b = k(a-b) (сочетательный закон).
Свойство 1° непосредственно следует из формулы аа= \а\2,
а свойство 2° — из определения скалярного произведения. Дока-
Докажем свойства 3° и 4°.
Введем прямоугольную систему координат и обозначим коорди-
координаты векторов а, бис так: а[х\\ Ц\)иЬ[х2; у2), с{х3; уг). Исполь-
Используя формулу B), получаем (а + Ь)c=(xi+x2)x3+(yi+y2)уг =
=(х\Хз-\-у1уз)-{-(х2хз-\-у2Уз)=а-с-\-Ь'С. Свойство 3° доказано.
Докажем теперь свойство 4°. Вектор ka имеет координаты
[kx\\ ky\], поэтому (ka) b={kxi) x2-\-(kyt) y2 = k (xlx2+yiy2)=k(ab).
Замечание. Ясно, что распределительный закон имеет
место для любого числа слагаемых. Например,
( + b + )d d + bd + d
1039.
1040.
1041.
1042.
1043.
1044.
1045.
1046.
1047
Задачи
Диагонали квадрата A BCD пересекаются в точке О.
Найдите угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA\
в) O/f и СШ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD;
ж) А~Ь и DB; s) АО и ОС.
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диаго-
диагональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между вектора-
векторами: _а) А~в\и AD;6) А~В_п DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD;
д) АВ и DC; e) АВ и CD.
Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если
|а|=2, |Ь|=3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°;
в) 135°.
В равностороннем треугольнике ABC со стороной а прове-
проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векто-
векторов: а) АВ-АС; б) АС-СВ; в) A~C-BD; r) АС-АС.
К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, дейст-
действующие под углом 120° друг к другу, причем \Р\=8,
|Q| = 15. Найдите величину равнодействующей силы R.
Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если:
а) a[i-; -l}, b {2; 3); б) a{-5; 6). 6{6; 5); в) a {1,5; 2],
b{4; -0,5].
Докажите, что ненулевые векторы a \x; у}и b [—у; х] перпен-
перпендикулярны.
Докажите, что векторы i-\-j и /—/ перпендикулярны, если
Г и / — координатные векторы.
При каком значении х векторы а и b перпендикулярны,
251

если: а) а {4; 5}, Ь{х; -6}; б) а>; -1}, 6{3; 2}; в) Я{0; -3}.
Ь {5; х)?
1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А B; 8),
Д(-1; 5), СC; 1).
1049. Найдите углы треугольника с вершинами А(— 1; -\/3),
вA; -Уз)и с(^-;
1050. Вычислите \а + Ь\ и \а—Ь\, если |а|=5, |6|=8, а 6=60°.
1051. Известно, что а с = Ь с = 60°, |а| = 1, |6| = |с|=2. Вычис-
Вычислите (а-\-Ь)с.
1052. Вычислите скалярное произведение векторов р = а — b — с
и q a — b-\-c, если |а|=5, |6|=2, |с|=4 и а±Ь.
1053. Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если а =
= 3р —2? и b=p-\-4q, где р и ^—единичные взаимно
перпендикулярные векторы.
Применение скалярного произведения
векторов к решению задач
1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то
4АМ'2=АВ2+АС2+ 2АВ-AC-cos А. Пользуясь этой фор-
формулой, докажите, что медианы равнобедренного треуголь-
треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
Решение. Точка М середина отрезка ВС, поэтому
2ЛМ Aft-\-АС. Оююда получаем
=АВ-АВ + 2АВ-АС+АС-АС =
=АВ2+ 2АВ-AC-cos A+АС2,
или 4АМ2=АВ2+АС2 + 2АВ-AC-cos А.
Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.
1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного
треугольника, если медианы, проведенные к боковым сто-
сторонам, взаимно перпендикулярны.
Решение. Пусть ABC — равнобедренный тре-
треугольник с основанием АВ и АА\, ВВ\ —его ме-
медианы, проведенные к боковым сторонам
(рис. 305). Введем обозначения: СА\=а, СВ\=Ь,
= СВ\=а. Тогда AAi — CAi — СА—а — 26,
а
= CB i — L'B = b — 2a, поэтому
A~Ai • BBx =E-26) F - 2a) =
По условию задачи AAiA-BBi, и, следовательно,
AAi-BBi—0. Далее, a-b=a2 cos С, а-а=а2, 6«6 = а2, по-
поэтому равенство A) принимает вид 0 = 5a2cosC—4а2.
Отсюда получаем cos C=-r-, Z.C«36°52'.
1056. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ XI
1. Начертите оси координат и постройте единичную полуокруж-
полуокружность.
2. Объясните, что такое синус и косинус угла а из промежутка
°<<180°
0<а<180.
3. Что называется тангенсом угла а? Для какого значения а тан-
тангенс не определен и почему?
4. Докажите основное тригонометрическое тождество.
5. Напишите формулы приведения.
6. Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неот-
неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между
лучом ОА и положительной полуосью Ох.
7. Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника
(вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу
между ними).
8. Сформулируйте и докажите теорему синусов.
9. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
10. Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте
три основные задачи на решение треугольника и объясните,
как они решаются.
11. Объясните, как определить высоту предмета, основание кото-
которого недоступно.
12. Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки. _
13. Объясните, что означают слова «угол между векторами а и b
равен а». В каком случае угол между векторами считается
равным 0°?
14. Какие два вектора называются перпендикулярными?
15. Что такое скалярное произведение двух векторов?
16. В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов:
а) равно нулю; б) больше нуля; в) меньше нуля?
17. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение
векторов через их координаты.
18. Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых векто-
векторов с координатами {jci; y\] и {jc2; t/г].
19. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненуле-
ненулевыми векторами через их координаты.
20. Сформулируйте и докажите свойства скалярного произведе-
произведения векторов.
21. Приведите пример использования скалярного произведения
векторов при решении геометрических задач.
253

Дополнительные задачи
1057. В равнобедренном треугольнике ABC AB==AC='b, /LA =
= 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки
АЕ, ЕС, ВС.
1058. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ВС=4,125 м,
/LB = M°, /LC=72°;6) ВС=4100м, Z./l=32°, /LC=12O°.
1059. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна
половине произведения его диагоналей на синус угла между
ними.
1060. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC,
если: а) АВ=8 см, Z./1 = 30°, /LB = 4ba; б) АВ=Б см,
Z.B = 45°, /LC = 60°; в) АВ = Ъ см, ВС = 3,3 см, /LA =
=48°30'; г) AC=WA см, ВС=5,2 см, /LB = 62°48'.
1061. Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC,
если:а) ДВ = 5см,ЛС=7,5см, Z.i4 = 356 Л2^
ВС=3 дм,
= 45°; в) АС=0,6 м, ВС=^ дм
1062. В треугольнике D-EF D? = 4,5 дм, Ef = 0,9 дм, DF = 70 см.
Найдите углы треугольника.
1063. Найдите биссектрису AD треугольника ABC, если /LA=a.,
АВ = с, АС = Ь.
1064. Чтобы определить расстояние между точками А и В, ко-
которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из ко-
которой видны точки А и В. Измерив угол АСВ и расстоя-
расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ. Найдите АВ, если
ДС — Ь, СВ = а, ?АСВ = <х.
1665. Докажите, что треугольник с вершинами -А C; О), ВA; 5)
и С B; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
.1066. Найдите длину вектора а=ЗГ—4/, где i и / — координатные
векторы.
1067. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на век-
векторах a = 5p-\-2q и b=p — 3q, если \р\=2-\Д, \q\=3 и
f
1068. При каком значении х векторы р=ха-\- 176 и q=3a — b пер-
перпендикулярны, если \а\=2, |&|=5л а *=120°?
1069. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены
медианы из вершин острых углов. Найдите остры* угол меж-
между этими медианами.
Задачи для решения
с помощью программируемых
микрокалькуляторов МК-54 — МК-57
4070. Составьте программу для решения треугольника по двум
сторонам а и Ь и углу С между ними и выполните вычисле-
264
ния по этой программе при: а) а=2, 6 = 3, Z.C = 70°;
б) а = 5, 6 = 6, ZC=100°.
Решение. Поместим значения a, b, /LC соответственна
в RGa, RGb, RG1. Сторону с вычислим по формуле
c=V—2ab cos C + ci' + b'2
(адреса 00»—15 программы) и результат поместим в RGc
(адрес 16). Угол А вычислим с помощью формулы
2Ьс
(адреса 17—30) и результат поместим в RG2 (адрес 31).
Угол В вычислим по формуле
1Л
(адреса 32—38) и прекратим вычисления (адрес 39).
При вводе программы в микрокалькулятор и вычисле-
вычислениях по ней переключатель Р/ГРД/Г должен находиться
в правом положении (градус). Включим микрокалькулятор,
перейдем в режим «Программирование»: | г| ПРГ|, вве-
введем программу и перейдем в автоматический режим:
JABT . Выполним вычисления при заданных в условиях
задачи значениях.
а) Поместим значения а=2, 6 = 3, ZlC=7GT5 соответ-
соответственно в RGa, RGb, RG1 и пустим программу:
На индикаторе высвечивается значение угла В в граду-
градусах: 70,94091. Округляя до тысячных, получаем /1В«
«70,941°. При этом значения с и ^.А находятся соответ-
соответственно в RGc и RG2:
П-^х ПП 2,9825757; [П->л 2 39,059093, т. е. с «2,98,
/С А х 39,059°.
б) 5
100 [х-*П||Т|["в7о
8,4509697; |П-»л:|[Т[ 35,637825, т. е. А В
>, 44,362°, с «8,45, 21Л « 35,638°.
255

Продолжение
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Клавиши
П-не
П-нс
X
а
b
cos
т
х"
П-*-х
+
b
x2
Код
6L
12
61
1Г
12
02
12
0L
6 —
22
10
6L
22
10
21
4С
22
6L
22
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Клавиши
и
х2
П-нс
| —
П-+х
•
с
COS
-I
IA/I
1
8
Е
[п-
х 1
с/п
Код
10
6 —
22
11
02
13
6L
13
6С
13
j
42
0L
01
08
00
10
61
11
50
Г
ния по
swv7
этой программе при: а) а-
35»к 5
вычисления по этой программе при. а)
б) с= 15,63, Z.A =27,39°.
9 Заказ

Глава XII
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
И ПЛОЩАДЬ КРУГА
§ 1. ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
105. Правильный многоугольник. Правильным многоугольни-
многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы
равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольников являются равносто-
равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 306 изображены
правильные пятиугольник, семиугольник и восьмиугольник.
Выведем формулу для вычисления угла а„ правильного п-уголь-
ника. Сумма всех углов такого n-угольника равна (п — 2)«180°,
причем все его углы равны, поэтому
а„ = —-180°.
п
106. Окружность, описанная около правильного многоуголь-
многоугольника. Напомним, мк) окружность называется описанной около
мпошуюлмшка, осш нее вершины многоугольника лежат на этой
окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около
правильного многоугольника.
Теорема. Около любого правильного многоугольника мож-
можно описать окружность, и притом только одну.
Доказательство. Пусть A tA 2Л3...Л„ — правильный мно-
многоугольник, О—точка пересечения биссектрис углов Л1 и Л2
(рис. 307).
Соединим точку О отрезками с остальными вершинами
многоугольника и докажем, что ОА{ = ОА2 = ... = ОАп. Так как
Z-A\= Z.A2, то Z.1 = Z.3, поэтому треугольник AiA^O равио-
равиоРис. 307
Рис. 308
Рис. 306
тедренный, и, следовательно, ОА\ — ОА2. Треугольники A\AiO и
ДзЛ2О равны по двум сторонам и углу между ними (Л1Л2=ЛзЛ2,
#2О— общая сторона и Z.3=Z.4), следовательно, ОАз = ОА\.
Точно так же можно доказать, что OAt — OA2, OAs—OA3 и т. д.
Итак, OAi = OA2:=... = OAn, т. е. точка О равноудалена от
всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром
О и радиусом ОА\ является описанной около многоугольника.
Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рас-
Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например
Л|, Л2, Лз. Так как через эти точки проходит только одна окруж-
окружность, то около многоугольника Л1Л2...Л„ можно описать только
одну окружность. Теорема доказана.
107. Окружность, вписанная в правильный многоугольник. На-
Напомним, что окружность называется вписанной в многоуголь-
многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный мно-
многоугольник.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно впи-
вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство. Пусть Л 1Л2...Л„ — правильный мно-
многоугольник, О — центр описанной окружности (рис. 308). В хо-
ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что
Д0Л1Л2= Д0Л2Лз = ...= AOAnAi, поэтому высоты этих тре-
треугольников, проведенные из вершины О, также равны: ОН\ =
= О#2 = ... = О//„. Отсюда следует, что окружность с центром О и
радиусом ОН\ проходит через точки Ни //2, .... Нп и касается
сторон многоугольника в этих точках, т. е. эта окружность впи-
вписанная в данный правильный многоугольник.
Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.
Предположим, что наряду с окружностью с центром О и ради-
радиусом ОН\ есть и другая окружность, вписанная в много-
многоугольник А\А2-..А„. Тогда ее центр О\ равноудален от сторон
многоугольника, т. е. точка О\ лежит на каждой из биссектрис
углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О
259
258

,...с. радиус этой окружности равен рас-
i i • »•( it it ti ¦ <>г точки О до сторон многоугольника, т. е. равен
(>//i. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Тео-
Теорема доказана.
Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный мно-
многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
Следствие 2. Центр окружности, описанной около правиль-
правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписан-
вписанной в тот же многоугольник.
Эта точка называется центром правильного многоугольника.
108. Формулы для вычисления площади правильного много-
многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности. Пусть
5 — площадь правильного /i-угольника, ап — его сторона, Р — пе-
периметр, а г и А? — радиусы соответственно вписанной и описан-
описанной окружностей. Докажем сначала, что
S = ±Pr. A)
В самом деле, соединим центр данного многоугольника с
его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьет-
разобьется на п равных треугольников, площадь каждого из которых равна
Следовательно,
~
S = n±-anr=±. (па„) г = ±- Рг.
Ныигдгм далее следующие формулы:
180°
i,, = 2R s\n
r = R cos
180°
B)
C)
Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В пря-
прямоугольном треугольнике AtHiO ^.Ai=~=^^-180° =
? Z.1X
= 90°——. Следовательно, а„ = 2Л,//,=2# cos(90° —LE°1) =
= 27? sin 1521, a r = Otfie*sin(90e-i5°lWcosl5°:.
Полагая в формуле B) л = 3, 4 и б, получим выражения
дли сторон правильного треугольника, квадрата и правильного
шестиугольника:
"-'-""¦ - " - "Я - D)
E)
2 - №>
260
«, = 2# sin ^-=
и, =2/? sinif^ =
sin 60° = 2#.^=
2.
sin 45° = 2#.^=
= 2/? sin^-=2R sin 30° = 2#.-L=
109. Построение правильных многоугольников. Рассмотрим
способы построения некоторых правильных многоугольников с по-
помощью циркуля и линейки. Построения правильного треуголь-
треугольника и правильного четырехугольника, т. е. квадрата, рассматри-
рассматривались ранее. Для построения правильных n-угольников при п>4
обычно используется окружность, описанная около многоуголь-
многоугольника.
Задача 1. Построить правильный шестиугольник, сторона
которого равна данному отрезку.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой
F). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса
PQ и отметим на ней произвольную точку А\ (рис. 309). Затем,
не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки
Лг, Лз, Л4, Лб, Лб так, чтобы выполнялись равенства Л1Л2==Л2Лз =
=ЛзЛ4 = Л4Л5=Л5Лб. Соединяя последовательно построенные
точки отрезками, получим искомый правильный шестиуголь-
шестиугольник ЛИ2Л3Л4Л5Л6.
Для построения правильных многоугольников часто использу-
используется следующая задача:
3 а д а ч а 2. Дан правильный п-угольник. Построить правиль-
правильный 2п-угольник.
Решение. Пусть А\А2...Ап — данный правильный п-уголь-
иик. Опишем около него окружность. Для этого построим
биссектрисы углов А\ н Л2 и обозначим буквой О точку их пе-
пересечения. Затем проведем окружность с центром О радиуса
ОЛ, (см. рис. 307).
Для решения задачи достаточно разделить дуги Л|Л2, ЛгЛз
Л„Л| пополам и каждую из точек деления В\, В2, ..., В„ соеди-
соединить отрезками с концами соответствующей дуги (рис. 310,
на этом рисунке п=6). Для построения точек Bt, B-i, .... Вп мож-
можно воспользоваться серединными перпендикулярами к сторонам
данного п-угольника.
На рисунке 310 таким способом построен правильный двенад-
двенадцатиугольник Л^ИгВг-.ЛбВб.
Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и ли-
Рис. 309
261

нейки построить целый ряд правильных многоугольников, если по
строен один из них. Например, построив правильный четырех-
четырехугольник, т. е. квадрат, и пользуясь задачей 2, можно по-
построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнад-
цатиугольник и вообще правильный 2*-угольник, где k — любое це-
целое число, большее двух.
Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что мно-
многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью
циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правиль-
правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, на-
например, что правильный семиугольник не может быть построен при
помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих
инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.
1078
1079.
1080.
1081.
1082.
1083.
1084.
1085.
1086.
1087.
Вопросы и задачи
Верно ли утверждение: а) любой правильный многоуголь-
многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник
является правильным? Ответ обоснуйте.
Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник
является правильным, если он выпуклый и все его стороны
равны; б) треугольник является правильным, если все его
углы равны; в) любой равносторонний треугольник являет-
является правильным; г) любой четырехугольник с равными сто-
сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.
Докажите, что любой правильный четырехугольник является
квадратом.
Найдите углы правильного n-угольника, если: а) п — Ъ-
б) п = 5; в) п = 6; г) п=10; д) п=18.
Чему равна сумма внешних углов правильного п-угольни-
ка, если при каждой вершине взято по. одному внешнему
углу?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каж-
каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?
Сколько сторон имеет правильный вписанный многоуголь-
многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его
сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум
сторонам правильного многоугольника либо пересекаются,
либо совпадают.
Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых
двух углов правильного многоугольника, либо пересекают-
пересекаются, либо совпадают.
На рисунке 311, а изображен квадрат, вписанный в окруж-
окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и запол-
заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр
квадрата, 5 — его площадь, г — радиус вписанной окруж-
окружности).
262
Рис. 311
N
1
2
3
4
5
R
3
4
г
3
2
щ
6
Р
А
28
16
1088. На рисунке 311, б изображен правильный треугольник, впи-
вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в
тетрадь и заполните пустые клетки (аз — сторона треуголь-
треугольника, Р — периметр треугольника, 5 — его площадь,
г — радиус вписанной окружности).
N
1
2
3
4
5
R
3
г
2
а*
5
Р
6
S
10
1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж-
окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписан-
вписанного в ту же окружность.
1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правиль-
263

mни треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким
должен быть минимальный диаметр круглого железного
стержня, из которого изготовляют вентиль?
1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом
со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого
стержня, который можно выточить из этого бруска.
1092. Около окружности описаны квадрат и правильный шести-
шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шести-
шестиугольника равен 48 см.
1093. Около правильного треугольника описана окружность ра-
радиуса R. Докажите, что R = 2r, где г — радиус окружности,
вписанной в этот треугольник.
1094. Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) п = 4,
Я = 3 у/2 см; б) п = 3, Р=24 см; в) п=6, г = 9 см; г) п = 8,
г = 5-\/3 см.
1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной
головки болта, верхнее основание которого имеет форму
правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите пло-
площадь верхнего основания.
1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правиль-
правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения
площадей этих многоугольников.
1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиуголь-
шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около
нее.
1ОЛН. Выразите сторону, периметр и площадь правильного тре-
треугольники: а) через радиус вписанной окружности; б) через
радиус описанной окружности.
1099. Правильный восьмиугольник А1А2...Ав вписан в окруж-
окружность радиуса R. Докажите, что четырехугольник АзА^А7А6
является прямоугольником, и выразите его площадь через R.
1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность
впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный тре-
треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
§ 2. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА
110. Длина окружности. Чтобы получить наглядное пред-
представление о длине окружности, представим себе, что окружность
сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем
нить в какой-нибудь точке А и распрямим ее, то получим отре-
Озок АА\, длина которого и есть дли-
длина окружности (рис. 312).
Периметр любого правильного
, i вписанного в окружность много-
А Ai угольника является приближенным
Рис. 312 значением длины окружности. Чем
264
Рис. 313
к<4Ьльше число сторон такого многоугольника, тем точнее это
^иближенное значение, так как многоугольник при увеличении
•»сла сторон все ближе и ближе «прилегает» к окружности
.{фис. 313). Точное значение длины окружности — это предел,
% которому стремится периметр правильного вписанного в окруж-
вость многоугольника при неограниченном увеличении числа его
Сторон.
I Выведем формулу, выражающую длину окружности через ее
1«диус. Пусть С и С' — длины окружностей радиусов R и R'.
"шишем в каждую hi них правильный n-угольник и обозначим
ерез Рп и Р'п их периметры, а через а„ и а'п их стороны. Исполь-
¦ерез i п '• • п -¦
|уя формулу B) из § 1, получаем:
180°
Следовательно,
Рп 2R
Р'п 2R1 •
(О
Это равенство справедливо при любом значении п. Будем
теперь неограниченно увеличивать число п. Так как Рп-+С, Р'п-+С
Р С*
при л-»-оо, то предел отношения — равен -^. С другой стороны,
в силу равенства A) этот предел равен -т^,. Таким образом,
С С
С 2/? С С
—=-?,. Из этого равенства следует, что ъъ—775» т- е- отношение
длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех
окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой л
(читается «пи»).
Из равенства -^=п получаем формулу для вычисления длины
окружности радиуса R:
Доказано, что л является бесконечной непериодической деся-
265

тичной дробью, т. е. иррациональным числом. Рациональное число
22
— является приближенным значением числа л с точностью
до 0,002. Это приближенное значение было найдено еще в III в. до
н. э. великим греческим ученым Архимедом. При решении задач
обычно пользуются приближенным значением л с точностью до
0,01: л = 3,14.
Выведем теперь формулу для вычисления длины / дуги окруж-
окружности с градусной мерой ос. Так как длина всей окружности равна
2л/?, то длина дуги в 1° равна -^=Ш:- Поэтому длина / выра-
жается формулой
'-•&¦«¦
111. Площадь круга. Напомним, что кругом называется часть
плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром
О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от
точки О на расстоянии, не большем /?.
Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса /?.
Для этого рассмотрим правильный п-угольник А\А2...Ап, вписан-
вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 314). Очевид-
Очевидно, площадь 5 данного круга больше площади Sn многоуголь-
многоугольника AiA2...An, так как этот многоугольник целиком содержится
в данном круге. С другой стороны, площадь S'n круга, вписанного
и многоугольник, меньше S,,, так как этот круг целиком содержится
н миогоуюльнике. Итак,
Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон много-
| ОАО
угольника. По формуле C) § 1 имеем rn = R cos , где г„ —
радиус вписанной в многоугольник окружности. При п-*-оо
COS > * пло«. " "
руости. При п-*-оо
I, поэтому r,,-*~R. Иными словами, при неограниченном
В
Рис. 314
м
266
Рис. 315
)нчспии числа сторон многоугольника вписанная в него окруж-
«стремится» к описанной окружности, поэтому S'n-i-S при
• со. Отсюда и из неравенств B) следует, что Sn-+S при п-»-оо.
По формуле A) § 1 5„=— Р„гп, где Рп — периметр много-
1ьника А\А2...Ап. Учитывая, что г„->-/?, Pn-*-2nR, Sn->-S при
»оо, получаем 5=—2л/?«/? = л/?2. Итак, для вычисления пло-
№ 5 круга радиуса R мы получили формулу
Замечание. В течение веков усилия многих математиков
ж направлены на решение задачи, получившей название зада-
о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и л иней-
квадрат, площадь которого равна площади данного круга,
яько в конце прошлого века было доказано, что такое построе-
невоз можно.
112. Площадь кругового сектора. Круговым сектором или
)осто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и
>умя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Ду-
которая ограничивает сектор, называется дугой сектора. На
|сунке 315 изображены дна сскгора с дугами ALB и АМВ. Пер-
1Й из этих секторон заштрихован.
Выведем формулу для вычисления площади 5 кругового
гктора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой а. Так
IK площадь всего круга равна nR2, то площадь кругового секто-
)а, ограниченного дугой в 1°, равна -—^г- Поэтому площадь
out)
выражается формулой
л/?2
5 =
3G0
¦а.
Вопросы и задачи
|) 101. Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окруж-
окружности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Вос-
Воспользуйтесь значением л = 3,14.
С
R
4
3
82
18л
0,7
6,28
101,5
2л/2
1102. Как изменится длина окружности, если радиус окружности:
а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) уве-
увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?
2G7

1104.
Рис. 316
1103. Как изменится радиус окружности,
если длину окружности: а) увеличить
в k раз; б) уменьшить в k раз?
Найдите длину окружности, описанной
около: а) правильного треугольника
со стороной а; б) прямоугольного
треугольника с катетами а и Ь; в) рав-
равнобедренного треугольника с основа
нием а и боковой стороной 6; г) пря-
прямоугольника со стороной а и острым
углом а между диагоналями; д) пра-
правильного шестиугольника, площадь
которого равна 24-\/3 см2.
1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со сто-
стороной а; б) в равнобедренный прямоугольный треуголь-
треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник
с гипотенузой с и острым углом а; г) в равнобедренный
треугольник с углом при основании ос и высотой h, проведен-
проведенной к основанию.
1106. Тепловоз прошел 1413 м. Найдите диаметр колеса тепловоза,
если известно, что оно сделало 300 оборотов.
1107. Метр составляет приближенно часть земного эк-
экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что
Земля имеет форму шара.
1108. Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника
Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от Зем-
Земли, и радиус Земли равен 6370 км.
НОУ. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если ее гра-
градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.
1110. Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса,
измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр
колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо?
1111. Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в
защитном кожухе (рис. 316). Диаметр камня равен 58 см,
дуга незащищенной его части равна 117°. Найдите длину
дуги незащищенной части камня.
1112. Найдите длину маятника стенных часов, если угол его ко-
колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает
конец маятника, равна 24 см.
1113. Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен
5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градус-
градусная мера дуги закругления?
1114. Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S
круга радиуса /?, заполните пустые клетки. Восполь-
Воспользуйтесь значением л = 3,14.
268
S
R
2
5
9
2
7
49л
54,3
V3
6,25
|115. Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увели-
увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
1116. Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоуголь-
прямоугольника со сторонами а и Ь\ б) прямоугольного треугольника
с катетом а и противолежащим углом а; в) равнобедрен-
равнобедренного треугольника с основанием а и высотой h, проведенной
к основанию.
1117. Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний
треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треуголь-
треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а;
в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и уг-
углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедрен-
равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.
1118. Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Мос-
Московском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основа-
основания колокола.
1119. Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диа-
диаметр и площадь арены.
1120. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружно-
окружностями с общим центром и радиусами /?i и /?2, /?i</?2-
Вычислите площадь кольца, если #, = 1,5 см, /?2 =
= 2,5 см.
1121. Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволо-
проволоки, имеющей площадь сечения 314 мм , чтобы она проходила
сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
1122. Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проло-
проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы
посыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3
песка?
1123. Из круга радиуса г вырезан квадрат, вписанный в окруж-
окружность, которая ограничивает круг. Найдите площадь остав-
оставшейся части круга.
1124. На мишени имеются четыре окружности с общим центром,
радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наи-
наименьшего круга, а также площадь каждого из трех колец
мишени.
1125. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах
построены три полукруга. Докажите, что площадь полу-
полукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
полукругов, построенных на катетах.
1126. Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой
в 60°. Найдите площадь оставшейся части круга.
269

1127. Площадь сектора с центральным углом
72° равна S. Найдите радиус сектора.
1128. Сторона квадрата на рисунке 317 равна а.
Вычислите площадь заштрихованной фи-
фигуры.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
К ГЛАВЕ XII
1. Какой многоугольник называется правильным? Приведите
примеры правильных многоугольников.
2. Выводите формулу для вычисления угла правильного п-уголь-
ника.
3. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан-
описанной около правильного многоугольника.
4. Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной
в правильный многоугольник.
5. Выведите формулу для вычисления площади правильного мно-
многоугольника через его периметр и радиус вписанной окруж-
окружности.
(>. Выисдите формулы для вычисления стороны правильного
я-угольника и радиуса вписанной в него окружности через ра-
радиус описанной окружности.
7. Как выражаются стороны правильного треугольника, квадра-
квадрата и пранилыюго шестиугольника через радиус описанной
окружности?
8. Вы подите формулу для вычисления длины окружности.
9. Объясните, какое число обозначается буквой л и чему равно
его приближенное значение.
10. Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.
11. Выведите формулу для вычисления площади круга.
12. Выведите формулу для вычисления площади кругового сек-
сектора.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1129. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из
внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?
ИЗО. На стороне правильного треугольника, вписанного в окруж-
окружность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус
окружности, описанной около квадрата.
1131. Найдите периметр правильного шестиугольника Л 1Л2Л3Л4Л5Л6,
если Л|Л4 = 2,24 см.
1132. Найдите отношение периметров правильного треугольника и
квадрата: а) ьписанных в одну и ту же окружность; б) опи-
описанных около одной и той же окружности.
270
Рис. 318
Рис. 319
I33.
1134.
1135.
1136.
1137.
1138.
1139.
1140.
Диагонали А\Аь и Л2Л9 правильного двенадцатиугольника
пересекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) тре-
треугольники А\АоВ и АъАдВ равносторонние; б) А\Ае=2г,
где г — радиус вписанной в двенадцатиугольник окруж-
окружности.
Диагонали AiA* и A-zAi правильного десятиугольника
Л1Л2...Л10, вписанного в окружность радиуса R, пересе-
пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) AoAt = 2R;
б) А\АчВ и ВА*О — подобные равнобедренные треугольни-
треугольники; в) A\Ai — AiAz = R.
В круг, площадь которого равна 36л см2, вписан правиль-
правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиуголь-
шестиугольника и его площадь.
Квадрат Л1Л2Л3Л4 вписан в окружность радиуса R
(рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так,
что A\B\=AiB2=A3Bi = AiBt = A\C\=A2C* = AzCi = AiCt =
= /?. Докажите, что восьмиугольник B1CZB2C1B3C1B4C2 пра-
правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника че-
через радиус R.
За два оборота по круговой орбите вокруг Земли косми-
космический корабль проделал путь в 84 152 км. На какой высоте
над поверхностью Земли находится корабль, если радиус
Земли равен 6370 км?
Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диа-
диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна а
и острый угол равен а.
Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот учас-
участок по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить
на 45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диа-
диаметру. Найдите длину опушки данного участка.
В правильный многоугольник вписана окружность. Докажи-
Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой ок-
окружностью, к площади многоугольника равно отношению
длины окружности к периметру многоугольника.
271

1141*. Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого
равна данному отрезку.
1142*. Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна
сумме площадей данных кругов.
1143. Около данной окружности опишите: а) правильный тре-
треугольник; б) правильный шестиугольник.
1144. Около данной окружности опишите: а) правильный четырех-
четырехугольник; б) правильный восьмиугольник.
Задачи для решения с помощью программи-
программируемых микрокалькуляторов МК-54 — МК-57
1145. Вычислите полупериметр правильного n-угольника, вписан-
вписанного в окружность радиуса 1, для nt равного 3, 4, 6, 10, 20,
30, 40, 60, 80, 120, 180, 240. К какому числу стремится полу-
полупериметр при я-*-оо?
1146. Составьте программу для вычисления периметра правильно-
правильного я-угольника, вписанного в окружность радиуса /?.
1147. Вычислите площадь правильного я-угольника, вписанного в
окружность радиуса 1, для п, равного 3, 4, 6, 10, 24, 45, 90,
180, 360, 500, 700. К какому числу стремится площадь
при п-*~оо?
Глава XIII
ДВИЖЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ
113. Отображение плоскости на себя. Представим себе, что
каждой точке плоскости сопоставляется (ставится в соответствие)
какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости
оказывается сопоставленной некоторой точке. Тогда говорят,
что дано отображение плоскости на себя.
Фактически мы уже встречались с отображениями плоскости
на себя — вспомним осевую симметрию (см. п. 47). Она дает нам
пример такого отображения. В самом деле, путь а — ось сим-
симметрии (рис. 321). Возьмем произвольную точку М, не лежащую
на прямой а, и построим симметричную ей точку Mi относительно
прямой а. Для этого нужно провести перпендикуляр МР к пря-
прямой а и отложить на прямой МР отрезок РМ\, равный
ртрезку МР, так, как показано на рисунке 321. Точка Mi и будет ис-
искомой. Если же точка М лежит на прямой а, то симметричная
ей точка Mi совпадает с точкой М. Мы видим, что с помощью
осевой симметрии каждой точке М плоскости сопоставляется
точка Mi этой же плоскости. При этом любая точка Mi оказы-
оказывается сопоставленной некоторой точке М. Это ясн,о из рисунка
321.
Итак, осевая симметрия представляет собой отображение
плоскости на себя.
Рассмотрим теперь центральную симметрию плоскости (см.
п. 47). Пусть О — центр симметрии. Каждой точке Л^плоскости
сопоставляется точка Ми симметричная точке М относительно
точки О (рис. 322). Попытайтесь самостоятельно убедиться в том,
что центральная симметрия плоско-
плоскости также представляет собой ото-
отображение плоскости на себя.
114. Понятие движения. Осевая
симметрия обладает следующим
важным свойством — это отобра-
отображение плоскости на себя, которое
сохраняет расстояния между точка-
точками. Поясним, что это значит. Пусть
М к N — какие-либо точки, а Мi Рис. 321
10 Заказ ЗТ
Рис. 322
273

N
N,
Рис. 324
hJVi- симметричные им точки относительно прямой а (рис. 323)
Из точек N и Ni проведем перпендикуляры NP и N\P\ к прямой
ЛШ[. Прямоугольные треугольники MNP и MiN\P\ равны но
двум катетам: МР=М\Р\ и NP=N\P\ (объясните, почему эти
катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и M\N\ также равни
Следовательно, расстояние между точками М и N равно расстоя
нию между симметричными им точками Mi и N\. (Другие случаи
расположения точек М, N и М\, N\, представленные \и\ рисуй
ке 324, рассмотрите самостоятельно и убедитесь п том, что и и этих
случаях MN=M\N\.) Таким обра.юм, осепая симметрия являет
ся отображением, которое сохраняет расстояния между точками
Любое отображение, обладающее этим свойством, называется
движением (или перемещением). Итак, движение плоскости —
это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния
Почему отображение, сохраняющее расстояния, называют дви
жением (или перемещением), можно пояснить на примере осевоЛ
Г",
Рис. 325
274
Рис. 326
Рис. 327
|ни. Ее можно представить как поворот плоскости в про-
»е на 180° вокруг оси а. На рисунке 325 показано, каким
происходит такой поворот,
вггим, что центральная симметрия плоскости также являет-
гнием (пользуясь рисунком 326, убедитесь в этом само-
1ЬНО).
следующую теорему:
trp<
Чорема. При движении отрезок отображается на отрезок.
оказательство. Пусть при заданном движении плос-
концы М к N отрезка MN отображаются в точки Mi и
327). Докажем, что весь отрезок MN отображается
)езок Л1 iWi. Пусть Р — произвольная точка отрезка MN,
точка, в которую отображается точка Р. Тогда MP-^-PN=
N. Так как при движении расстояния сохраняются, то
MiNx^MN, М,Р,=МЯ и NtPi=NP. (I)
Ия равенств A) получаем, что MiP\ + P\N\=M\Nu и, следо-
н.но, точка Pi лежит ни отрезке MiNi (если предположить,
»то не тик, то будет выполняться неравенство MiPi-{-
*|Л/|>/И |Л/|) И гик, точки отрезка MN отображаются в точки
чкп M\N\
Нужно еще докипать, что и кяждую точку Р\ отрезка M\N\
?рижнется какая-нибудь точка Р отрезка MN. Докажем это.
гь Р\ — произвольная точка отрезка MtN\ и точка Р при задан-
диижении отображается в точку Pi. Из соотношений A) и ра-
ICTiia MtNi—MiPi-\-PiNi следует, что MP-\-PN=MN, и, зна-
Г, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.
Следствие. При движении треугольник отображается на
id ему треугольник.
В самом деле, в силу доказанной теоремы при движении
сторона треугольника отображается на равный ей отре-
поэтому и треугольник отображается на треугольник с со-
ственно равными сторонами, т. е. на равный треугольник.
Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно убедиться в том, что
движении прямая отображается на прямую, луч — на луч, а
— на равный ему угол.
US'". Наложения и движения. Напомним, что в нашем курсе
<«грии равенство фигур определяется с помощью наложе-
rifeft. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Ф[, если фигуру
*Ш можно совместить наложением с фигурой Ф[. Понятие нало-
Кмя в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии,
ому определение наложения не дается. Под наложением фи-
ftfw Ф на фигуру Ф| мы понимаем некоторое отображение
шгуры Ф на фигуру Ф|. Более того, мы считаем, что при
ftt>M не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости
¦тоСрижается в определенную точку плоскости, т. е. наложе-
HMt — ято отображение плоскости на себя.
275

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы назы-
называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскос-
плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в акси-
аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют
доказать все те свойства наложений, которые мы себе представля-
представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и
решении задач.
Докажем, например, что при наложении различные точки ото-
отображаются в различные точки.
В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при не-
некотором наложении какие-то две точки Л и В отображаются
в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф[, состоящая из
точек Л и В, равна фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. Отсю-
Отсюда следует, что Ф2 = Ф1 (аксиома 12), т. е. при некотором
наложении фигура Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это невоз-
невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом ото-
отображении точке С ставится в соответствие только одна точка
плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что при наложении от-
отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть
при наложении концы Л и В отрезка АВ отображаются в точки
А\ и В\. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А\В\ (акси-
(аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку Л1В1. Так как
равные отрезки имеют равные длины, то наложение является
отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е.
любое наложение является движением плоскости.
Докажем, что ucpuo и обратное утверждение.
Теорема. Любое движение является наложением.
Доказательство. Рассмотрим произвольное движение
(обозначим его буквой g) и докажем, что оно является наложе-
наложением. Возьмем какой-нибудь треугольник ABC. При движении
g он отображается на равный ему
треугольник Л|В|С[. По определе-
определению равных треугольников сущест-
существует наложение /, при котором точ-
е ки Л, В и С отображаются соответ-
1 ственно в точки Аи В\ и С\.
Докажем, что движение g совпа-
совпадает с наложением f. Предположим,
что это не так. Тогда на плоскости
найдется хотя бы одна такая точ-
В ка М, которая при движении g ото-
отображается в точку Mi, а при нало-
наложении f — в другую точку М2. Так
как при отображениях fug сохраня-
сохраняются расстояния, то АМ=А\Ми
328 АМ—А\М2, поэтому
276 •
1 т/\\М2, т. е. точка А\ равноудалена от точек М\ и М2 (рис. 328).
( Аналогично доказывается, что точки В\ и С\ равноудалены от
Точек М\ и Л12. Отсюда следует, что точки А\, Bi и С\ лежат на
Серединном перпендикуляре к отрезку М\Мъ. Но это невозможно,
*tK как вершины треугольника А\В\С\ не лежат на одной прямой.
Таким образом, отображения f и g совпадают, т. е. движение g
йвляется наложением. Теорема доказана.
Следствие. При движении любая фигура отображается на
равную ей фигуру.
Задачи
1148. Докажите, что при осевой симметрии плоскости: а) прямая,
параллельная оси, отображается на прямую, параллельную
оси; б) прямая, перпендикулярная к оси, отображается на
себя.
1149. Докажите, что при центральной симметрии плоскости:
а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отобра-
отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходя-
проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
1150. Докажите, что при движении угол отображается на равный
ему угол.
Решение. Пусть при данном движении угол АОВ ото-
отображается на угол Л|О1В[, причем точки Л, О, В отобра-
отображаются соответственно в точки А\, Oi, B\. Так как при
движении сохраняются расстояния, то OA~OiAu OB —
O|Bi, AB=AxBi.
Если угол АОВ неразвернутый, то треугольники АОВ
и А\О\В\ равны по трем сторонам, и, следовательно,
Z.AOB— Z.A\O\B\. Если угол АОВ развернутый, то и угол
А\О\В\ развернутый (объясните почему), поэтому они
равны.
1151. Докажите, что при движении параллельные прямые отобра-
отображаются на параллельные прямые.
1152. Докажите, что при движении: а) параллелограмм отобража-
отображается на параллелограмм; б) трапеция отображается на тра-
трапецию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник
отображается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
1153. Докажите, что при движении окружность отображается на
окружность того же радиуса.
1154. Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая
точка отображается на себя, является наложением.
1155. Даны произвольные треугольники ABC и A\B\Ci. Докажи-
Докажите, что существует не более одного движения, при котором
точки Л, В и С отображаются в точки А\, Ви С\.
1156. В треугольниках ABC и АХВ{С\ АВ—А\В\> АС—А\С\,
ВС—В\С\. Докажите, что существует движение, при кото-
котором точки А, В к С отображаются в точки А\, В\ и Си притом
только одно.
277

Решение. По условию задачи треугольники А В С и
AiBiCi равны по трем сторонам. Следовательно, сущест-
существует наложение, т. е. движение, при котором точки А, В
и С отображаются соответственно в точки Аи Bi и Си Это
движение является единственным движением, при котором
точки А, В и С отображаются соответственно в точки
Аи Bi и Ci (задача 1155).
1157. Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные
стороны и угол между ними одного параллелограмма со-
соответственно равны смежным сторонам и углу между ними
другого параллелограмма.
1158. Даны две прямые а и Ъ. Постройте прямую, на которую
отображается прямая Ъ при осевой симметрии с осью а.
1159. Даны прямая а и четырехугольник ABCD. Постройте фигу-
фигуру F, на которую отображается данный четырехуголь-
четырехугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет
собой фигура F?
1160. Даны точка О и прямая Ь. Постройте прямую, на кото-
которую отображается прямая Ь при центральной симметрии
с центром О.
1161. Даны точка О и треугольник ABC. Постройте фигуру F,
на которую отображается треугольник ABC при центральной
симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F?
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ
116. Параллельный перенос. Пусть а— данный вектор. Па-
Параллельным переносом на вектор а называется отображение плос-
¦•сти на себя, при котором каждая точка М отображается в та-
такую точку М\, что вектор ММ\ равен вектору а (рис. 329).
Параллельный перенос является движением, т. е. отображени-
отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния. Докажем это.
Пусть при параллельном переносе на вектор а точки М и N
отображаются^ точки Мх и Nx (см. рис. 329). Так как MAf, = a,
NN\ =а, то MMi=NN\. Отсюда следует, что ММ\\\NNi и ММХ =
^ =NNu поэтому четырехугольник
MMiN\N — параллелограмм. Следо-
Следовательно, MN=M\Ni, т. е. расстояние
между точками MuN равно расстоя-
расстоянию между точками М\ и N\ (случай,
когда точки М и N расположены на
прямой, параллельной вектору а, рас-
рассмотрите самостоятельно). Таким об-
образом, параллельный перенос сохра-
сохраняет расстояния между точками и
поэтому представляет собой движе-
м,
иие. Наглядно это движение можно представить^себе как сдвиг
всей плоскости в направлении данного вектора а на его длину.
117* Поворот. Отметим на плоскости точку О (центр по-
ворота) и зададим угол а (угол поворота). Поворотом плос-
кости вокруг точки О на угол а называется отображение плос-
плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в
такую точку Ми что ОМ — ОМ\ и угол МОМ\ равен а (рие. 330).
При этом точка О остается на месте, т. е. отображается сама
в тебя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О
в одном и том же направлении — по часовой стрелке или
против часовой стрелки. На рисунке 330 изображен поворот против
часовой стрелки.
Поворот является движением, т. е. отображением плоскости
на себя, сохраняющим расстояния.
Докажем это. Пусть О — центр поворота, а — угол поворота
против часовой стрелки (случай поворота по часовой стрелке рас-
рассматривается аналогично). Допустим, что при этом повороте точ-
точки М и N отображаются в точки М[ и N[ (рис. 331). Треуголь-
Треугольники OMN и- OM\N\ равны по двум сторонам и углу между ними:
ОМ = ОМи ON=ONt и /-MON=Z.M\ONX (для случая, изобра-
изображенного на рисунке 331, каждый из этих углов равен сумме уг-
угла ос и угла M\ON). Из равенства этих треугольников следует, что
MN=MiNi, т. е. расстояние между точками М и N равно расстоя-
расстоянию между точками М\ и Nx (случай, когда точки О, М и N распо-
расположены на одной прямой, рассмотрите самостоятельно). Итак, по-
поворот сохраняет расстояния между точками и поэтому представля-
представляет собой движение. Это движение можно представить себе как
поворот всей плоскости вокруг данной точки О на данный угол а.
Задачи
1162. Начертите отрезок АВ и вектор ММ и Постройте отрезок
А\В\, который получится из отрезка АВ параллельным пе-
переносом на вектор ММ\.
279

1163. Начертите треугольник ABC, вектор ММ\, который не па-
параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а,
параллельный стороне АС. Постройте треугольник А\В\Си
который получится из треугольника ABC параллельным пе-
переносом: а) на вектор ММ\\ б) на вектор а.
1164. Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием АС
и точка D на прямой АС, такая, что точка С лежит на
отрезке AD. а) Постройте отрезок B\D, который получается
из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD.
б) Докажите, что четырехугольник ABB\D — равнобедрен-
равнобедренная трапеция.
1165. Даны треугольник, трапеция, .окружность и вектор а. По-
Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур парал-
параллельным переносом на вектор а.
1166. Постройте отрезок А\В\, который получается из данного
отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на 120°
по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки;
в) на 180°.
1167. Постройте треугольник, который получается из данного тре-
треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 160°
против часовой стрелки.
1168. Точка D является точкой пересечения биссектрис равно-
равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте
вокруг точки D на угол 120° треугольник ABC отобража-
отображается па себя.
ПСУ. Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пере-
пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается
на себя.
1170. Постройте окружность, которая получается из данной ок-
окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол
60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпа-
совпадают; б) точки О и С совпадают.
1171. Постройте прямую щ, которая получается из данной прямой
а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке,
е,сли прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит
через точку О.
Решение, а) Построим окружность с центром О, ко-
которая касается прямой а (объясните, как это сделать).
Пусть М — точка касания. При повороте вокруг точки О эта
окружность отображается на себя, а касательная а отобра-
отображается на некоторую касательную а\ (объясните почему).
Для построения прямой й\ построим сначала точку М\, в ко-
которую отображается точка М при повороте вокруг точки О
на угол 60° по часовой стрелке, а затем проведем касатель-
касательную а\ к окружности в точке М\.
280
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ XIII
1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.
2. Какое отображение плоскости называется: а) осевой симмет-
симметрией; б) центральной симметрией?
3. Докажите, что осевая симметрия является отображением
плоскости на себя.
4. Что такое движение (или перемещение) плоскости?
5. Докажите, что осевая симметрия является движением.
6. Является ли центральная симметрия движением?
7. Докажите, что при движении отрезок отображается на от-
отрезок.
8. Докажите, что при движении треугольник отображается на
равный ему треугольник.
9. Объясните, что такое наложение.
10. Докажите, что при наложении различные точки отображаются
в различные точки.
11. Докажите, что наложение является движением плоскости.
12. Докажите, что любое движение является наложением.
13. Верно ли утверждение, что при движении любая фигура ото-
отображается на равную ей фигуру?
14. Какое отображение плоскости называется параллельным пе-
переносом на данный вектор?
15. Докажите, что параллельный перенос является движением.
16. Какое отображение плоскости называется поворотом?
17. Докажите, что поворот является движением.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1172. При данном движении каждая из двух точек А и В ото-
отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой
АВ отображается на себя.
1173. При данном движении каждая из вершин треугольника
ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка
плоскости отображается на себя.
1174. Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные
стороны одного прямоугольника соответственно равны
смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного
прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали
другого.
1175. Даны прямая а и точки М и N, лежащие по одну сторо-
сторону от нее. Докажите, что на прямой а существует един-
единственная точка X такая, что сумма расстояний MX-\-XN
имеет наименьшее значение.
1176. Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя
осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие
точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший
периметр.
281

1177. В треугольнике ABC медианы АА\, ВВ\ и СС\ пересека-
пересекаются в точке М. Точки Аг, #2 и Сг являются соот-
соответственно серединами отрезков AM, BM и СМ. Дока-
Докажите, что AAtBiCi = AA2B2C2.
Решение. Так как М — точка пересечения медиан
треугольника АВСУ то АМ = 2МА[. Отсюда, учитывая, что
точка А2 — середина отрезка AM, получаем MAi =МА2, т. е.
точки А[ и Ач симметричны относительно точки М. Ана-
Аналогично точки В\ и Вг, а также точки С\ и Сг симметричны
относительно точки М.
Рассмотрим центральную симметрию относительно точ-
точки М. При этой симметрии точки А{, В\, С\ отображаются
в точки Лг, #2, Сг, поэтому треугольник А\В\С\ отображает-
отображается на треугольник А2В2С2, и, следовательно,
1178. На сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD построены
квадраты так, как показано на рисунке 332. Используя
параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий
центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.
1179*. На стороне АВ прямоугольника ABCD построен тре-
треугольник ABS, Cd±AS, DDi±BS (рис. 333). Исполь-
Используя параллельный перенос, докажите, что прямые SK и АВ
взаимно перпендикулярны.
1180. В окружность с центром О вписаны два равносторонних
треугольника ABC и А\В\С\, причем вершины обозначены
так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к
точке С совпадает с направлением обхода по дуге A\B\Ci
от гочки А\ к точке С\. Используя поворот вокруг точки О,
докажите, что прямые АА\, ВВ\ и СС\ либо проходят через
точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний
треугольник.
1181. Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая
на них. Используя центральную симметрию, постройте пря-
прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой
Рис. 333
Рис 334
Прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О
пополам.
1182. Используя параллельный перенос, постройте трапецию по ее
основаниям и диагоналям.
1183. Даны две параллельные прямые Ь и с и точка А, не лежа-
лежащая на них. Постройте равносторонний треугольник ABC
так, чтобы вершины В к С лежали соответственно на пря-
прямых бис. Сколько решений имеет задача?
Решение. Допустим, что задача решена и искомый
треугольник ABC построен (рис. 334, а). При повороте плос-
плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке верши-
вершина В отображается в вершину С, поэтому прямая Ь отобра-
отображается на прямую Ь\, проходящую через точку С. Прямую Ь\
легко построить, не пользуясь точками В и С (см. зада-
задачу 1171). Построив прямую b\t находим точку С, в которой
прямая Ь\ пересекается с прямой с. Затем, построив окруж-
окружность с центром А радиуса АС, находим точку В. На рисун-
рисунке 334, а выполнено построение.
Задача имеет два решения, одно из которых подучается
лри повороте плоскости вокруг точки А на 60° но часовой
стрелке (аАВС на рисунке 334, а), а другое — при пово-
повороте плоскости на угол 60° против часовой стрелки
(ААВ'С на рисунке 334,6).
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Задачи к главе X
1184. Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты
А (х,; t/i), В (х2; у2), С (х3; уз) и D (х4; У*)- Докажите, что этот
четырехугольник является параллелограммом тогда и толь-
только тогда, когда Х|+х3=х2+х4 я у\-\-уз=У2+у*.
283

1185. Даны две точки А {х\\ yi) и В (х2; у2). Докажите, что коор-
координаты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении К
(т. е. §=
выражаются формулами
1+Л
1186.
1187.
1188.
1189.
1190.
1191.
1192.
1193.
1194.
1195.
1196.
Из физики известно, что центр тяжести однородной тре-
треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан.
Найдите координаты центра тяжести такой пластийки,
если координаты ее вершин:^ (xr, yi), А2(х2; f/г), Аз(хз', Уз).
Вершины треугольника ABC имеют координаты А( — 3; 0),
В @; 4), С C; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону
ВС в точке D. Найдите координаты точки D.
В треугольнике ABC AC=9 см, ВС= 12 см. Медианы
AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
Найдите координаты центра тяжести системы трех масс
mi, m2 и тз, сосредоточенных соответственно в точках
Ai {x\\ yi), А2(х2; У2), А3(х3; уз).
В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите
точку М, для которой сумма ее расстояний от точек А и В
имеет наименьшее значение: а) А B; 3), В D; —5);
б) Л(-2;4), ВC; 1).
Докажите, что: а) уравнение Ах-\-Ву-\-С=0, где А и В
одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение х2 — щ — 2 = 0 не является уравнением окруж-
окружности.
Найдите точки пересечении двух окружностей, заданных
уравнениями (я— 1)*+(у — 2J = 4 и х2+у2=\, и вычислите
длину их общей хорды.
Даны три точки А, В, С и три числа а, р, у. Найдите мно-
множество всех точек М, для каждой из которых сумма
аАМ2-\-&ВМ2-\-уСМ2 имеет постоянное значение, если:
а) а + p + Y^O; б) a + p+Y = 0.
Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для
каждой точки'Mi прямой а на луче АМ\ взята точка М,
такая, что AMi-AM = k, где k—данное положительное
число. Найдите множество всех точек М.
Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой
точки Afi окружности на луче OMi взята точка М, такая,
что OM = k-OMi, где k—данное положительное число.
Найдите множество всех точек М.
Пусть А и В — данные точки, k — данное положительное
число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех то-
точек М, удовлетворяющих условию AM=k-BM, есть ок-
окружность (окружность Аполлония), б) Докажите, что эта
окружность пересекается с любой окружностью, проходя-
проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведенные
в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
284
Задачи к главе XI
1197. На сторонах квадрата MNPQ взяты точ-
точки Л и В так, что NA=±- MN, QB=±-MN
(рис. 335). Докажите, что ?АМВ=4Ь°.
1198. В четырехугольнике ABCD диагонали
АС и BD пересекаются в точке О. Пло-
Площадь треугольника ODC есть среднее про-
пропорциональное между площадями треуголь-
треугольников ОВС и QAD. Докажите, что ABCD — трапеция с осно-
основаниями AD и ВС или параллелограмм.
1199. Докажите, что площадь S произвольного четырехуголь-
четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d (последовательно) удовлет-
удовлетворяет неравенству S<I—(ac + fcd).
1200. Докажите, что в треугольнике ABC биссектриса AAi вычис-
А
ляется по формуле ЛЛ|=——
где
= АС, с — АВ.
— т . „ ^ь
1201. Выразите диагонали вписанного в окружность четырех-
четырехугольника через его стороны.
1202. Докажите, что площадь четырехугольника, вписанного в
окружность, может быть вычислена по формуле
- - - • - ч 1 f\
где р — полупериметр, а a, b, с, d—Стороны четырех-
четырехугольника.
1203. Докажите, что стороны треугольника образуют арифмети-
арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая,
проходящая через центры вписанной и описанной окруж-
окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треуголь-
треугольника.
1204. В прямоугольной трапеции ABCD_ меньшее основание AD
равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная
к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD,
угол СВЕ равен а. Найдите площадь трапеции ABCD.
1205. В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше
стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треуголь-
треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол АВ.С
равен р, а площадь четырехугольника NOMB равна S.
Найдите сторону АС.
1206. В треугольнике ABC проведены высота АН длиной h,
медиана AM длиной /, биссектриса AN. Точка N — середина
отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пе-
пересечения высот треугольника ABC.
285

Задачи к главе XII
1207. На рисунке 336 изображен правильный десятиугольник,
вписанный в окружность радиуса R,AC — биссектриса угла
ОАВ. Докажите, что: а) дЛЯСсодОЛЯ; б) АВ—АС—
1208. Докажите, что отрезок А К. изображенный на рисунке 337,
равен стороне правильного десятиугольника, вписанного
в окружность с центром О.
1209. Около правильного пятиугольника Л1Л2Л3Л4Л5 описана
окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC
являются середины сторон А\А%, АчАъ и А3А4 пятиуголь-
пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр
0| окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны
относительно прямой АС.
. В данную окружность впишите правильный десятиуголь-
десятиугольник.
1210<
1211*. В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
1212. В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
1213. Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правиль-
правильного я-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров,
проведенных из точки М к прямым, содержащим стороны
л-угольника, равна пг, где г — радиус вписанной окруж-
окружности.
1214. Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и осно-
iici кия иысот этого треугольника являются шестью вершина-
вершинами правильного семиугольника.
1215. Пусть ABCD — квадрат, а А\В\С\ — правильный треуголь-
треугольник, вписанные в окружность радиуса /?. Докажите, что сум-
сумма АВ-\-А\В\ равна длине полуокружности с точностью до
0,01/?.
1216. По данным рисунка 338 докажите, что длина отрезка АС
равна длине окружности с центром О радиуса /? с точностью
до 0,001/?.
1217. На рисунке 339 изображены четыре полуокружности: ЛЕВ,
Рис. 336
286
Рис. 337
Рис. 338
АКС, CFD, DLB, причем AC=DB. Докажите, что площадь
заштрихованной фигуры равна площади круга, построенно-
построенного на отрезке EF как на диаметре.
1218. Построить границу круга, площадь которого равна: а) пло-
площади кольца между двумя данными концентрическими ок-
окружностями; б) площади данного полукруга; в) площади
данного кругового сектора, ограниченного дугой в 60°.
Задачи к главе XIII
1219. При данном движении g точка А отображается в точку В,
а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная
симметрия или осевая симметрия.
1220. Даны два равных отрезка АВ и AiBi. Докажите, что су-
существуют два и только два движения, при которых точ-
точки А и В отображаются соответственно в точки Ai
и Ви
1221. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагона-
диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответст-
соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
1222. Докажите, что две трапеции равны, если основания и бо-
боковые стороны одной трапеции соответственно равны осно-
основаниям и боковым сторонам другой.
1223. Докажите, что два треугольника равны, если две неравные
стороны и разность противолежащих им углов одного тре-
треугольника соответственно равны двум сторонам и разности
противолежащих им углов другого.
1224. Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на
сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки
пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
1225. Даны две окружности и прямая. Постройте правильный тре-
треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на
данных окружностях, а высота, проведенная из третьей
вершины, лежала на данной прямой.
287

1226.
1227.
iqqq n » окружностей.
229! no"S!JPeIr0^H»K п° ^ем медианам.
1229.
1230.
1231.
р
™стве„но Равны
Приложение 1
ОБ АКСИОМАХ ПЛАНИМЕТРИИ
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напом-
Напомним, что аксиомами называются те основные положения геомет-
геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так на-
называемыми основными понятиями они образуют фундамент для по-
построения геометрии. Первыми основными понятиями, с которыми
мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения
основных понятий не даются, а их свойства выражаются в ак-
аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем опреде-
определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким
образом изучаем свойства геометрических фигур.
Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения
планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения
изложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и
пользовались. Здесь мы приведем все аксиомы планиметрии.
Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение
точек и прямых.
1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки1.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только
одна.
Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали поня-
понятие «лежать между>, которое относим к основным понятиям гео-
геометрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме:
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
Подчеркнем, что, говоря «точка В лежит между точками
А и С>, мы имеем в виду, что А, В, С — различные точки прямой-
и точка В лежит также между С и Л. Иногда вместо этих слов
мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от
1 Такие понятия, как спринадлежать», «множество», счисло» и т. д., отно-
относятся не только к геометрии, но и к другим разделам математики. Поэтому мы
считаем их известными и не относим к числу основных понятий планиметрии.
289

точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки
А) или точки А и С лежат по разные стороны от точки В.
5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два лу-
луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по
одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей
лежат по разные стороны от точки О.
При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных
лучей.
Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фигу-
фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ,
лежащих между А и В. Коротко можно сказать так: отрезок —
это часть прямой, ограниченная двумя точками. Если отрезок
АВ не имеет общих точек с прямой а, то говорят, что точки А и
В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пере-
пересекается с прямой а (в некоторой точке С, лежащей между А и В),
то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от
прямой а.
6. Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две
полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полу-
полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две
точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от пря-
прямой а.
Прямая а называется границей каждой из указанных полу-
полуплоскостей: ее точки не принадлежат ни одной из этих полупло-
полуплоскостей.
Следующие аксиомы связаны с понятиями наложения и
равенства фигур. Понятие наложения относится в нашем курсе к
основным понятиям геометрии. В главе I мы определили равенство
геометрических фигур, используя понятие наложения. При этом
мы опирались на наглядные представления о наложении фигур и
допускали, что всякая геометрическая фигура может перемещать-
перемещаться как единое целое, наподобие того как перемещаются материаль-
материальные тела. Но геометрические фигуры не материальные тела, а вооб-
воображаемые объекты, поэтому наложение геометрических фигур сле-
следует понимать в особом смысле.
Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении
фигуры Ф на равную ей фигуру Ф|, как мы представляем его
наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую
точку фигуры Ф[. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопо-
сопоставляется некоторой точке фигуры Ф|. Но мы можем сопоставить
каждую точку фигуры Ф некото-
некоторой точке фигуры Ф| и без непосред-
непосредственного наложения Ф на Ф1 (рис.
340). Такое сопоставление называет-
называется отображением фигуры Ф на фигуру
Ф[ (при этом подразумевается, что
каждая точка фигуры Ф1 оказывает-
Рис. 340 ся сопоставленной некоторой точке
290
1гуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф| мы пони-
*ем отображение Ф на Ф|. Более того, мы считаем, что при
ом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости
ображается на определенную точку плоскости, т. е. наложение —
отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем
сложением. Наложения — это такие отображения плоскости на
я, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах
eM. ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы,
рведем понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф| — две фигуры.
Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается
W фигуру Ф|, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить
наложением с фигурой Ф|, или что фигура Ф равна фигуре Ф\.
Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений.
7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков,
то совмещаются и сами отрезки.
8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок,
равный данному, и притом только один.
Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то луч
h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом
только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.
9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить
угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то
неразвернутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей
с границей О А существует, и притом только один, луч ОВ, такой,
что угол CDE равен углу АОВ.
10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным
ему углом h\k\ двумя способами: 1) так, что луч h совместится
с лучом hi, а луч k — с лучом k\; 2) так, что луч h совместится с лу-
лучом k\, а луч k — с лучом h\.
11. Любая фигура равна самой себе.
12. Если фигура Ф равна фигуре Фь то фигура Ф| равна фи-
фигуре Ф.
13. Если фигура Ф| равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре
Фз, то фигура Ф| равна фигуре Фз.
Как видно, все приведенные аксиомы соответствуют нашим на-
наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и
поэтому не вызывают сомнений.
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков.
Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрез-
отрезки. Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица
измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок AA\ — PQ,
на луче А\В — отрезок AiA2=PQ и т. д. до тех пор, пока точка
Ап не совпадет с точкой В либо точка В не окажется
лежащей между Ап и An+i. В первом случае говорят, что длина
отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом п (или
что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ п раз). Во втором слу-
291

чае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения
PQ приближенно выражается числом п. Для более точного изме-
измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных
частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описан-
описанным способом остаток АпВ. Если при этом десятая часть отрезка
PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке,
то ее также делят на 10 равных частей и продолжают процесс
измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить
любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице
измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это ут-
утверждение кратко сформулируем так:
14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого
отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка
данной длины.
15. При выбранной единице измерения отрезков для любого
положительного числа существует отрезок, длина которого вы-
выражается этим числом.
Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллель-
параллельных прямых.
16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной.
Отметим, что для построения геометрии можно использовать
различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы параллель-
параллельных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о
том, что сумма углов треугольника равна 180°. Тогда утверждение
«4cpej точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной> можно доказать как теорему
(попробуйте провести такое доказательство самостоятельно). От
различных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были экви-
эквивалентны, т. е. приводили бы к одним и тем же выводам.
Иногда стремятся к тому, чтобы аксиомы были независимы,
т. е. ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Мы не
ставили перед собой такой цели. Например, утверждение аксио-
аксиомы 5 может быть доказано на основе остальных аксиом, т. е. фак-
фактически это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Одна-
Однако для упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы.
В заключение рассмотрим одну из самых первых теорем нашего
курса — теорему, выражающую первый признак равенства тре-
треугольников (п. 15). Ее доказательство опиралось на наглядные
представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы
тогда еще не было введено. Напомним это доказательство и рас-
рассмотрим его с точки зрения принятых нами аксиом.
Нужно было доказать, что если АВ=А\В\У AC=A\d и Z.A==
= /-Аи то треугольники ABC и AiBiCi равны. С этой целью мы
рассматривали такое наложение, при котором вершина А совме-
совмещается с вершиной Аи а стороны АВ и АС треугольника ABC на-
накладываются соответственно на лучи А\С\ и А\В\. При этом мы
опирались на наглядно очевидный факт, что такое наложение су-
существует, поскольку углы Л и Л, равны. Теперь можно ска-
сказать, что существование такого наложения следует из аксиомы 10.
Далее мы рассуждали так: поскольку AB = A{BU AC—Aid, то
сторона АВ совместится со стороной AiBu а сторона АС — со сто-
стороной Aid, в частности совместятся точки В и Ви С и Си Как обос-
обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто. По аксиоме
8 на луче AiBi от точки /4i можно отложить только один отрезок,
равный отрезку АВ. Но по условию теоремы АВ=А{ВХ поэтому
при нашем наложении точка В совместится с точкой В,. Аналогич-
Аналогично точка С совместится с точкой Си Остается сослаться на ак-
аксиому 7 чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС совместит-
совместится со стороной ВхСи Теперь можно сделать вывод, что треуголь-
треугольники ABC и Л|В,С, полностью совместились и, значит, они
РЗВНЫ
Как видим, само доказательство теоремы о первом признаке
равенства треугольников, по существу, не изменилось, только те-
теперь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на
аксиомы, в которых эти факты выражены.

Приложение 2
ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТАБЛИЦ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
С помощью четырехзначных математических таблиц Брадиса
можно находить приближенные значения sin a, cos а, tga для
углов а в промежутке 0е^а^ 180° с шагам в одну минуту, т. е.
для 0°, 0°Г, О0^ и т. д. Эти таблицы позволяют находить зна-
значения функций с точностью до 10~4 (т. е. найденное по таблице
приближенное значение отличается от истиннбго значения не более
чем на 10~4). Эти же таблицы позволяют по известным значениям
sin a и cos a находить угол a.
Пример 1. Найти sin 6Г30'.
Искомое значение находим по таблице на пересечении строки
с отметкой 61° слева и столбцах отметкой 30' сверху: sin 61°30/=
= 0,8788.
Замечание. Число 0,8788 является приближенным значе-
значением sin61°30\ Несмотря на это, вместо записи sin61°30'«
«0,8788 обычно пишут так: sin 61°30/ = 0,8788.
А
60°
61°
62°
63°
64°
0'
0,8660
8746
8829
8910
6'
8669
8755
8838
8918
8988-В996
W
54'
12'
8678
8763
8846
8926
9003
48'
18'
8686
8771
8854
8934
9011
42'
24'
8695
8780
8862
8942
9018
36'
30'
8704
8788
8870
8949
9026
30'
36'
8712
8796
8878
8957
9033
24'
42'
8721
8805
8886
8965
9041
18'
48'
8729
8813
8894
8973
9048
12'
54'
8738
8821
8902
8980
9056
6'
60'
8746
8829
8910
8988
9063
0'
29°
28°
27°
26°
25°
А
1'
1
1
1
1
1
1'
.2'
3
3
3
3
3
2#
3'
4
4
4
4
4
3'
Пример 2. Найти sin 116°46'.
По формуле приведения sin 116°46/ = sin A80е— 63°14/)=
= sin 63° 14', поэтому задача сводится к нахождению sin 63° 14'.
По таблице находим синус угла, ближайшего к данному:
sin 63° 12'= 0,8926. Затем в столбцах поправок в правой стороне
294
»блицы на той же строке находим поправку на 14'—12'=2'. Она
цвна 0,0003. Учитывая, что sin 63° 12'< sin 63° 14', найденную по-
1авку прибавляем к 0,8926: sin 63° 14'= 0,8926+0,0003 = 0,8929.
Пример 3. Найти cos 152°.
По формуле приведения cos 152° = cos A80е —28°)= —cos 28°,
юэтому задача сводится к нахождению cos 28°. Искомое значе-
1ие находим на пересечении строки с отметкой 28° справа и столб-
с отметкой 0' снизу: cos 28° = 0,8829, cos 152° = —0,8829.
Пример 4. Найти cos 26°35'.
По таблице находим косинус угла, ближайшего к данному:
:os 26°36/ = 0,8942. Затем в таблице поправок в правой стороне на-
содим поправку на 36'—35'= 1'. Она равна 0,0001. Так как
:os 26°35'> cos 26°36', то найденную поправку прибавляем к
1,8942: cos 26°35' = 0,8942 + 0,0001 =0,8943.
При вычислениях на электронно-вычислительных машинах зна-
значения sin a, cos a, tg a не берутся из каких-либо таблиц (эти
таблицы сильно загружали бы память машины), а непосредствен-
непосредственно вычисляются самой машиной для любых а с нужной точностью.
Для этой цели используются так называемые стандартные про-
'граммы вычисления тригонометрических функций. Эти программы
заранее заложены в ЭВМ, и при необходимости вычислить
значение той или иной тригонометрической функции для данного
угла а машина сама обращается к соответствующей стандартной
программе и вычисляет это значение. Такого же типа стандартные
программы заложены в микрокалькуляторы.

Приложение 3
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
О РАЗВИТИИ ГЕОМЕТРИИ
Первое сочинение, содержащее простейшие геометрические
сведения, дошло до нас из Древнего Египта. Оно относится к
XVII в. до н. э. В нем содержатся правила вычисления площадей
и объемов некоторых фигур и тел. Эти правила были получены
практическим путем, без какого-либо логического доказательства
их справедливости.
Становление геометрии как математической науки произошло
позднее и связано с именами греческих ученых Фалеса (ок. 625—
547 гг. до н. э.), Пифагора (ок. 580—500 гг. до н. э.), Демок-
Демокрита (ок. 460—370 гг. до н. э.), Евклида (III в. до н. э.) и др.
В знаменитом сочинении Евклида «Начала» были систематизиро-
систематизированы основные известные в то время геометрические сведения.
Главное же — в «Началах» был развит аксиоматический подход к
построению геометрии, который состоит в том, что сначала форму-
формулируются основные положения (аксиомы), а затем на их основе
посредством рассуждений доказываются другие утверждения (те-
(теоремыI. Полученные результаты используются как на практике,
так и в дальнейших научных исследованиях. Некоторые из ак-
аксиом, предложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах
геометрии. Часть из них в современной формулировке имеется
в нашем курсе. Например: «Через любые две точки проходит
прямая, и притом только одна».
Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопро-
вопросов геометрии внесли Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.), Аполло-
Аполлоний (III в. до н. э.) и другие дневнегреческие ученые.
Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь
много веков спустя — в XVII в. н. э.— и был связан с накоплен-
накопленными к этому времени достижениями алгебры. Выдающийся фран-
французский математик и философ Р. Декарт A596—1650) предложил
новый подход к решению геометрических задач. В своей «Гео-
«Геометрии» A637) он ввел метод координат, связав геометрию и ал-
алгебру, что позволило решать многие геометрические задачи ал-
алгебраическими методами.
1 На возможность такого подхода впервые указал греческий ученый Ари-
Аристотель (ок. 384—322 гг. до н. э.).
296
В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, кото-
я в «Началах» Евклида называлась пятым постулатом. Фор-
лировка пятого постулата у Евклида весьма сложна1. Поэтому
ычно его заменяют эквивалентной ему аксиомой параллельных
ямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
ько одна прямая, параллельная данной.
Много веков усилия большого числа ученых были направлены
а доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что
исло аксиом стремились свести к минимуму. Ученые думали, что
ятый постулат можно доказать как теорему, опираясь на осталь-
ые аксиомы.
В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о
«возможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса
было найдено великим русским математиком Николаем Иванови-
Ивановичем Лобачевским A792—1856).
Вся творческая жизнь нашего выдающегося соотечественника
была связана с Казанским университетом, где он учился, затем
был профессором, а с 1827 г.— ректором университета. Его очень
рано заинтересовала геометрия, и он, как и многие его предшест-
предшественники, пытался доказать пятый постулат Евклида. Лобачевский
предпринял попытку доказать пятый постулат от противного: он
предположил, что через данную точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести несколько прямых, не пересекающих
данную. Исходя из этого, он попытался получить утверждение,
которое противоречило бы аксиомам или полученным из них тео-
теоремам. Если бы такое утверждение удалось получить, то это озна-
означало бы, что предположение неверно, а верно противоположное
утверждение: через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести только одну прямую, не пересекающую данную. Тем са-
самым пятый постулат Евклида был бы доказан.
Но Лобачевский не получил противоречивых утверждений. На
основании этого им был сделан замечательный вывод: можно
построить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида.
Такая геометрия им была построена. Ее называют теперь гео-
геометрией Лобачевского. ^Сообщение об открытии новой геометрии
было сделано Лобачевским в 1826 г.
К аналогичным выводам пришел венгерский математик
Я. Бойяи A802—1860), но он свои результаты опубликовал не-
несколько позже, в 1832 г. В рукописях великого немецкого мате-
математика К. Ф. Гаусса A777—1855) высказывались идеи, близкие
к идеям Лобачевского и Бойяи. Однако он, опасаясь критики,
не решился их обнародовать.
1 Пятый постулат: сИ если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные
эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух
прямых».
297

Открытие нашим великим соотечественником новой геометрии
оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Лоба-
Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо
влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее
ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших пред-
представлений о пространстве: ведь до Лобачевского казалось, что
геометрией окружающего нас пространства может быть только ев-
евклидова геометрия. Но так как возможна другая геометрия,, то
истинность той или иной геометрии может быть проверена лишь
опытным путем. Современной наукой установлено, что евклидова
геометрия лишь приближенно, хотя и с весьма большой точ-
точностью, описывает окружающее нас пространство, а в космических
масштабах она имеет заметное отличие от геометрии реального
пространства.
Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замеча-
замечательных открытий в геометрии. Так, выдающимся немецким ма-
математиком Б. Риманом A826—1866) была создана новая геомет-
геометрия, обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лоба-
Лобачевского.
Читатель вправе спросить: а являются ли геометрия Евклида
и геометрия Лобачевского непротиворечивыми? Не может ли так
случиться, что при дальнейшем развитии как той, так и другой
геометрии получатся противоречивые выводы? Этот вопрос тесно
связан с важными проблемами непротиворечивости, полноты и
независимости систем аксиом, определяющих ту или иную геомет-
геометрию. Перечисленные проблемы относятся к предмету, называемо-
называемому сОснования геометрии». Крупнейший вклад в решение этих
проблем внес великий немецкий математик Д. Гильберт A862—
1943).
Мы затронули очень кратко лишь некоторые моменты из ис-
истории развития геометрии. Более подробно с этими вопросами
можно познакомиться по дополнительной литературе1.
Отметим, что в настоящее время геометрия широко исполь-
используется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике,
химии, биологии и т. д. Неоценимо ее значение в приклад-
прикладных науках: в машиностроении, геодезии, картографии. Методы
геометрии широко применяются практически во всех разделах
науки и техники и, конечно же, в самой математике.
1 См.: Гееметрия//БСЭ.— 3-е изд.— М.: Советская энциклопедия, 197*1.—
Т. &.— С. 307—313.
С т р о й к Д. Я- Краткий очерк истории математики.— М.: Наука, I9B4.
Приложение 4
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ПЛАНИМЕТРИИ
В курсе геометрии были рассмотрены важные и интересные
свойства геометрических фигур на плоскости. Но многие удиви-
удивительные соотношения и изящные геометрические факты не вошли в
основной курс. Некоторые из них включены в задачи повышенной
трудности. Здесь мы рассмотрим еще несколько замечательных
теорем планиметрии.
Теорема Чевы. Мы знаем, что: медианы треугольника пересека-
i ются в одной точке; биссектрисы треугольника пересекаются в од-
i ной точке; высоты треугольника (или их продолжения) пересека-
пересекаются в одной точке.
Поставим теперь более общий вопрос. Рассмотрим треугольник
ABC и отметим на его сторонах ВС, СА и АВ (или их продолже-
продолжениях) точки Аи Bi и С\ (рис. 341). При каком расположении
этих точек прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке?
Ответ на этот вопрос дает теорема Чевы.
Прежде чем сформулировать эту теорему, условимся об одном
обозначении. Пусть АВ и CD — ненулевые коллинеарные векторы.
Обозначим через -=- отношение длин этих векторов, взятое со
LJ
знаком «+>, если векторы сонаправлены, и со знаком с-^», если
А
А
Рис. 341
299

они противоположно направлены. Сформулируем теперь теоре-
Т е о р е м а. Пусть в треугольнике ABC на сторонах ВС, С А
иАВили их продолжениях взяты соответственно точки Л,, Вх и
' м™*"™"*1* с вершинами треугольника. Тогда если пря-
прямые ААЪ ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке или попарно
параллельны, то
В Ах CBt
—^—в* aaaa^na,
i4iC BiA
ACt
C^3
A)
^ выполнено Равенство A), то прямые ААи ВВХ
и CLi либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны.
?иКаооТелЬСТВ0- ¦ • Д0ПУстим сначала, что пря-
прямые ААи BBi и СС\ пересекаются в точке О (рис. 341, а, б).
Для удобства условимся обозначать через SPQJ? площадь тре-
треугольника PQR, взятую со знаком « + », если обход вершин Р О
к R совершается против часовой стрелки, и со знаком « — », если
по часовой стрелке.
Имеем ШЧ
Аналогично ¦^r=—
Следовательно,
SAAlC-SOAlC
Saoc
Saa.c-S
>aa,c-*oa,c AiC SAAlC-SOAiC
итак, -===¦=— . Аналогично
Перемножая эти равенства и замечая, что
Sabo=Sboa, Saoc=Scao и Sbco =
получаем:
$сов
$воа $сов
BAi
AiO
ACt
т. е. справедливо равенство A).
Случай, когда прямые ААи ВВХ и ССХ параллельны, рас-
рассмотрите самостоятельно.
2 . Допустим теперь, что выполнено равенство A). Рассмотрим
300
прямые АА\ и ВВ\ и предположим, что они пересекаются в некото-
некоторой точке О. Проведем прямую СО и обозначим через С2 точку
пересечения этой прямой с прямой АВ. Согласно 1°
ВАХ
АХС BXA C2B
= 1.
Из этого равенства и равенства A) следует, что —-=—-.
С2В CiB
Обозначив эти отношения буквой К, получаем ЛС2 = ХСг5 и
AC\=KCiB. Вычтем одно равенство из другого:
ACi—АСХ=К{С2В — СХВ), или dC2 = X С2С, = —Х(С(С2).
Заметим теперь, что КФ — 1 (иначе получилось бы, что АС\ =
= —С\В, т. е. С\В — С\А, а этого не может быть, так как точ-
точки Л и Б не совпадают). Следовательно, CiC2=0, т. е. точки С\
и Сг совпадают. Но это и означает, что прямые АА\, ВВ\ и СС\
пересекаются в одной точке (точке О).
Аналогично доказывается, что если AAi\\BB\, то и CC\\\BBi.
Теорема доказана.
Используя теорему Чевы, докажите следующие утверждения:
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в
одной точке.
4. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в ко-
которых вписанная окружность касается противоположных сто-
сторон, пересекаются в одной точке.
5. Прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие
его периметр пополам, пересекаются в одной точке.
6. Отрезки, соединяющие противоположные вершины описанного
шестиугольника, пересекаются в одной точке (теорема Бри-
аншона).
Используя теорему Брианшона, докажите утверждение:
7. Диагональ BD описанного около окружности четырехугольника
ABCD проходит через точку пересечения прямых, соединяющих
вершины А и С соответственно с точками касания окружности
со сторонами CD и AD.
Теорема Менелая. Вновь рассмотрим треугольник ABC, на
сторонах ВС, СА и АВ (или их продолжениях) которого взяты
соответственно точки А\, В\ и С\. Мы знаем, при каком условии
прямые ААи ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке либо попарно
параллельны (теорема Чевы). А при каком условии точки А\, Bi
и Су лежат на одной прямой? Ответ на этот вопрос дает теорема
Менелая.
301

Теорема. Пусть в треугольни-
треугольнике ABC на сторонах ВС, СА и АВ
(или их продолжениях) взяты соот-
соответственно точки А\, В\ и С\, не сов-
совпадающие с вершинами треугольни-
треугольника. Тогда если точки A\,BtuC\ лежат
на одной прямой, то
В At
CBt
Жа
ACi
j
Обратно: если выполнено равен-
равенство B), то точки Аи В\ и С\
лежат на одной прямой.
Доказательство. Допустим, что точки Аи В\ и d
лежат на одной прямой (рис. 342). Через какую-нибудь точ-
точку О этой прямой проведем произвольную прямую а, а через
вершины треугольника — прямые, параллельные прямой А\С\
и пересекающие прямую а в точках А2, В2 и Сг. Согласно зада-
задаче 558
или
AtC
ос2
оЩ
СВ7
ОА2 '
ОС~2
ос2 ' Жа оа2
Перемножая эти равенства, получаем:
Ш~1 ~св\ Лс~, __ Шь
АС[ А1б
ов2
A~c~t
OAt
a OA2 .
Же Жа cjb~~ ос* ом оЖ~~
Первая часть теоремы доказана. Вторая часть доказательства
аналогична части 2° доказательства теоремы Чевы. Проведите
соответствующее рассуждение самостоятельно.
Используя теорему Менелая, докажите следующие утверж-
утверждения:
1. Основания перпендикуляров, проведенных к прямым, содер-
содержащим стороны треугольника, из произвольной точки описан-
описанной около него окружности, лежат на одной прямой (прямая
Симпсона).
2. Середина отрезка, соединяющего точки пересечения продолже-
продолжений противоположных сторон четырехугольника, лежит на пря-
прямой, проходящей через середины диагоналей (теорема
Гаусса).
3. Точки Л, В и С на рисунке 343 лежат на одной прямой.
4. Если противоположные стороны вписанного щестиугольника не
параллельны, то точки пересечения продолжений этих сторон
лежат на одной прямой (теорема Паскаля).
Используя теорему Паскаля, докажите следующие утверж-
утверждения:
302
Рис. 343
5. Точки пересечения продолжений сторон треугольника с каса-
касательными к описанной около него окружности в противопо-
противоположных вершинах треугольника лежат на одной прямой.
6. Точка пересечения продолжений сторон АВ и CD вписанного в
окружность четырехугольника ABCD лежит на одной прямой с
точками пересечения прямой ВС с касательной к окружности
в точке D и прямой AD с касательной к окружности в точке С.
7. Точка пересечения касательных к окружности в вершинах В и D
вписанного в эту окружность четырехугольника ABCD лежит
на одной прямой с точками пересечения прямых АВ и CD,
AD и ВС.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
7 класс
Глава I
3. Три точки или одна точка. 4. Четыре прямые. 6. Три отрезка. 15. Че-
Четыре. 17. Ли/. 18. ОВ<ОА; ОООА; ОВ<ОС. 19. а) Да; б) нет-
21. Z.AOC</-AOB. 22. а) Да; б) нет. 29. Две точки. 30. 10,3 см.
31. а) 3,5 см; б) 36 мм. 32. 25,5 см или 1,5 см. 33. 9 см или 23 см. 34. BD=
=47 см, ДД = 17 см. 35. 480 км. 37. а) АС—\ см, СВ = 1 см, АО=0,5 см,
ОВ = 1,5 см; б) АВ=6,4 м, АС=3,2 и, ЛО=1,6 м, ОВ=4,8 м. 38. а) 10,5 см;
б) 1,5 см. 39. -г-. 40. 4 см. 44. Нет. Построение выполнимо, когда угол АО В
острый. 45. Да. 47. а) 121е; б) 121" 2'. 48.48". 49.85". 50.81". 61.60".
52. 160°. 53. Нет. 58. а) 69°; б) 90°; в) 165°. 59. Прямой. 60. Да. 61. а) 70°
и 110°; б) 150° и 30°; в) №°2ff и 66°21'; г) 135" и 45"; д) 100" и 80". 62. 106е.
63. Да. 64. a)Z.l = Z3=63°, Z4=117"; б) Z. 1=43" 27', Z2-Z4=136" 33'.
65. а) 57", 57", 123", 123"; б) 40", 40". 140", 140". 66. a) Z2=Z.4=U0",
Z.l = Z.3=70"; б) Z1 = Z3=45\ Z2—Z4—135"; в) Z1 = Z3=75",
Z2=»Z4=105". 67. 180°. 68. Zv4OC=120", ZfiOD=130", /LCOE= 110",
jLCOD=60°. 69. Нет. 71. Шесть прямых. 72. Шесть точек. 7а Двенадцать
7-5 2
углов. 74. а) 8 см; б) 16 см. 75. 16 см или 4 см. 76. а) — а; б) -=-а. 77. а) -т-т;
о о о
б) -г-т. 78. 12 см. 79. Указание. Рассмотреть два возможных случая:
точки В и С лежат по разные стороны или по одиу сторону от точки А. 80. 85"
или 15". 81. 30" или 90е. 82. а) 67" 30' и 112" 30'; б) 72° 30' и 107" 30'. 83. 90".
85. Указание. Доказать, что угол ABD — развернутый. 86. Указание.
Предположить, что прямые тип совпадают, ы воспользоваться утверждением
п. 12.
Глава II
90. 75 см. 91. 12,7 см и 17,3 см. 92. Нет. 93. б) 42", 47". 94. б) BD=5 см,
ЛВ=15см. 95. б)ЛВ=14см, ВС= 17 см. 96. б) 110". 105.6L6". 106.6)96".
107. 10 см, 20 см и 20 см. 108. АВ=12,5 см и ВС= 15 см. 109.8 см. 112.50°.
113. б) 37° 30'. 115. AA = Z.B+Z.C. 119. KF=8 см, ZD?/C=86", jLEFD =
=90°. 121. б) ВС=15 см, СО=13 см. 122. б) АВ=\\ см, ВС=19 см.
126. 13 см. 136. 25". 142. Указание. Рассмотреть два случая: точка В ле-
лежит: а) иа луче АО; б) на продолжении луча АО. 145.90". 146. 29 см. 149. Нет.
150. Нет. 152. Указание Сначала построить биссектрису угла АОВ. 155. У к а-
з а н и е. Сначала построить прямой угол. 156. АВ=4 см, АС=5 см, ВС=6 см.
304
17. 7 см, 5 см и 5 см. 158. 10 см или 6 см. 160. Указание, б) Пусть М —
)чка, равноудаленная от точек А и В и не лежащая иа прямой АВ. Восполь-
шаться утверждением: медиана равнобедренного треугольника, проведенная
основанию, является высотой. 165. Указание, б) Сначала доказать, что
.АОК=^-ВОКГ 166. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 165. 167. У к а-
1з а н и е. Сначала доказать равенство треугольников DBF, FCE и EAD. 168. 40°.
169. Указание. Доказать, что дАВО= ДFEO. 170. Указание. Сна-
Сначала доказать равенство треугольников ABD и AiBiDt. 171. Указание.
Сначала доказать равенство треугольников ABC и ADC. 172. Указание.
Сначала доказать равенство треугольников ABC и ABD. 173. Указание.
Пусть угол BAD — смежный с углом А треугольника ABC. Для доказательства
неравенства Z.BAD> Z.B отметить середину О стороны АВ и на продолже-
продолжении отрезка СО отложить отрезок ОЕ, равный СО. Затем доказать, что угол
ВАЕ равен углу В треугольника ABC и воспользоваться неравенством
Z-BAD~> Z-BAE. 174. Указание. Наложить треугольник ABC на треугольник
А\В\С\ так, чтобы сторона ВС совместилась со стороной В\С\, а сторона ВА
наложилась на луч ВА\. Для доказательства того, что точка А совместится с
точкой А\, воспользоваться задачей 173. 175. Указание. Сначала дока-
доказать, что AAOD=ABOC, а затем, что AEBD=aEAC. 176. Указание.
Рассмотреть треугольники ABD и AiBiD\, где точки D и D\ такие, что М a Mi —
середины отрезков AD и A\D\. 178. Указание. Пусть точка В лежит на
отрезке АС. Предположить, что j4?)=B?)=C?). Используя свойство углов при
основании равнобедренного треугольника, сначала доказать, что Z.ABD=
= Z.CBD=90". 179. Указание. Сначала доказать, что BP=CQ. 184. Ука-
Указание. Воспользоваться задачей 160.
Глава III
196. Одну прямую. 197. Три или четыре. 198. Да. 201. 105°, 105°. 202. а\\с.
203. б) четыре угла по 55°, четыре других угла по 125°. 205. 92°. 206. а) Да;
б) да. 207. а) Нет; б) да. 208. 115° и 65°. 209. /11 = 135°, /12 = 45°, /13=135°.
210. Указание. Рассмотреть продолжение луча СРз- 215. 59°. Указание.
Сначала доказать, что а\\Ь. 216. 48°, 66°, 66°. 218. Да. 219. Указание. До-
Доказать методом от противного. 220. Указание. Доказать методом от против-
противного. 221. Указание. Сначала доказать, что АМ\\ВС и AN\\BC.
Глава IV
223. а) 58°; б) 26°; в) 180° —За; г) 60°. 224. Z_v4=40°, Z_B=60°, Z_C=80°.
227. a) 36°, 72° и 72°; б) 45°, 45° и 90°. 228. a) 40°, 40° и 100° или 40°, 70° и 70°;
б) 60°, 60° и 60°; в) 100°, 40° и 40°. 229. 105°. 230. 103°. 231. Указание.
Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треугольника.
232. Да. 233. Указание. Учесть, что внешний угол при вершине равнобедрен-
равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, в два раза больше угла при осно-
основании. 234. 57° 30', 57° 30', 65° или 65°, 65°, 50°. 235. 73° 20', 73° 20' и 33° 20'.
248. а) Нет; б) нет. 249. Сторона, равная 10 см. 250. а) 5 см или 3 см; б) 8 см;
в) 10 см. 252.29 см и 29 см. 253.7 см, 7 см и 11 см. 254.45°, 45° и 90°. 255.27°.
256. 17,6 см. 257. АС = 6 см, АВ=\2 см. 25а 9 см. 259. 18 см. 260. 30°, 30° и
1 1 Заказ 37 305

120°. 261. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 35. 262. У к а
з а н и е. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников
263. 70#, 70# и 40е. 264. 122е. 265. 90°, 39° и 51°. 267. Указание. Сначала
доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных треугольников, рав-
равны. 269. Указание. Воспользоваться задачей 268. 270. Указание. Сна-
Сначала провести биссектрису угла и воспользоваться задачей 133. 271. 8 см.
272.12 см. 273.14 см. 275. У к а з а н и е. Сначала доказать, что СМ — медиана
треугольника ABC. 277. 2 см или 8 см. 278. 3 см. 279. Указание. Через одну
из точек, удовлетворяющих условиям задачи, провести прямую d, параллельную
данной, и воспользоваться теоремой п. 37. Затем доказать, что любая точка пло-
плоскости, не лежащая на прямой d, не удовлетворяет условиям задачи. 280. Луч
с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС. Указание. Воспользо-
Воспользоваться задачей 279. 281. Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся
на равных расстояниях от них. 282. У к аз а н и е. Воспользоваться задачей 281.
283. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном рас-
расстоянии по разные стороны от нее. 285. Указание. Воспользоваться зада-
задачей 284. 299. 20°. 300. Указание. Доказательство провести методом от про-
противного. 302. Указание, а) Допустить, что НМ1ФНМ2, и воспользоваться
задачей 301; б) допустить, что НМ\>НМ2 или HMi=HM2, и воспользоваться за-
задачей 301. 303. В точке пересечения дороги с отрезком А\В, где А\ — такая точка,
что дорога проходит через середину отрезка ААХ и перпендикулярна к нему.
304. Указание. Пусть N — точка пересечения прямой ВМ и отрезка АС. При-
Применить теорему о неравенстве треугольника к треугольникам ABN и MNC.
305. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 306. Указание.
Доказать методом от противного. 308. 18,5 см. 311. Две прямые, содержащие
биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых. 312. Ука-
Указание. Пусть в треугольнике ABC AC>AB, a AM — данный отрезок. Учесть,
что в треугольнике ACM Z.C< Z.M. 313. Указание. Пусть &АВС — иско-
искомый, ВМ — его данная медиана. Сначала построить ДВВ1С, в котором точ-
точка М — середина стороны ВВ\. 314. Указание, б) Построить угол, равный
данному, а затем воспользоваться задачей 284. 315. а) Указание. Восполь-
Воспользоваться свойством 3 п. 34 и задачей 314, в. 316. Указание. Воспользоваться
задачей 282. 317. Указание. Воспользоваться задачей 245. 318. Указа-
Указание. На сторонах ВС и АВ построить точки А\ и С\ так, чтобы ВА\=АС\ = СВ\.
319. Указание. Сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна данной биссектрисе, а катет — данной высоте. 320. Указание.
Сначала построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна дан-
данной медиане, а катет — данной высоте. 321. Указание. Сначала построить
биссектрису угла С.
Задачи повышенной трудности
322. аЬ=\.
323. —. 324. Указание. Воспользоваться свойством смежных
т
углов: Z.AA+Z./i/= 180°. 325. 180°. 326. Указание. Пусть три из данных
прямых проходят через точку А. Используя метод от противного, доказать, что
каждая из оставшихся трех прямых проходит через эту точку. 327. Указание.
Пусть три из данных точек лежат иа прямой й. Используя метод от противного,
доказать, что каждая из оставшихся четырех точек лежит на прямой d. 328. У к а-
306
и и е. Сначала доказать, что &AOCi = ДВОС2, где О — середина отрезка АВ.
1Указаиие. Пусть в треугольниках ABC и A\BtC\ Z_j4 = ?-А\, АС—А\С\ и
+ BC=A\Bt-\-ByC\. Продолжить стороны АВ и A\Bt на отрезки BD = BC и
li=B1Ci и рассмотреть треугольники ADC и A\D\C\. 330. Могут. Например,
кдрвнный треугольник ABC с основанием АВ и треугольник ABD, где D —
на стороне ВС такая, что AB=AD. 331. Могут. Рассмотрим, например,
бедренный треугольник ABC с основанием АВ и отметим какую-нибудь точку
продолжении стороны АВ. Тогда треугольники ADC и DBC обладают ука-
1ым свойством, но не являются равными. 332. Указание. Воспользоваться
1чей 174. 333. 90е —^ • 335. а) остроугольный; б) остроугольный. 336. У к а-
и е. Воспользоваться соотношениями между сторонами и углами треуголь-
1 и теоремой о сумме углов треугольника. 337. 70е. Указание. Пусть О —
:а пересечения биссектрисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать равенство
«угольников АОС и МОС. 338. Указание. Соединить один из концов отрезка
вершиной треугольника и воспользоваться задачей 312. 339. Указание,
юльзоваться задачей 173, а также соотношениями между сторонами и угла-
треугольника. 340. Указание. Продолжить отрезок AD до пересечения
С и воспользоваться задачей 312. 341.Указание. Отметить на стороне АВ
С\ такую, что АС\=АС, и рассмотреть треугольник BC\D. 342. Указа-
е. Доказать методом от противного. 343. Указание. Пусть ABC — дан-
1 треугольник, АВ>ВС, ВМ — медиана. Отметить точку Е такую, что М
Кпяется серединой отрезка BE, и рассмотреть треугольник ABE. 344. Указа-
и е. Воспользоваться задачей 173. 345. Указание. Продолжить отрезок
на отрезок AD =АС и, рассмотрев Д DHB, воспользоваться неравенством треу-
_,,1ьника. 346. Указание. Воспользоваться задачами 300 и 341. 347. У к а-
а н и е. Воспользоваться задачами 341 и 346. 349. Указание. Пусть
треугольнике ABC медиана AM и высота АН делят угол А иа три равных
ВАН, НАМ и MAC. Провести перпендикуляр MD к стороне АС и дока-
1ть сначала, что MD=-^ MC. 350. Указание. Учесть, что в прямоугольном
•еугольнике гипотенуза больше катета. 352. Нет. Указание. Воспользовать-
задачей 160. 353. Два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться
задачей 160. 354. Задача имеет одно решение, если данные точки не лежат на
одной прямой, и не имеет решения, если эти точки лежат на одной прямой. Указа-
Указание. Воспользоваться задачей 160. 355. Указание. Сначала построить точку
А\ такую, что прямая а проходит через середину отрезка АА\ перпендикулярно к
нему, а затем провести отрезок А\В. 357. Четыре, три, два, одно или ни одного.
/Указание. Воспользоваться задачей 311. 358. Четыре. Указание. Восполь-
Воспользоваться задачей 311. 359. Указание. Сначала построить треугольник OAD, в
котором AD—R и OD=2R, где R — радиус данной окружности. 360. Указа-
I иие. Пусть даны угол А, высота ВН искомого треугольника ЛВС и отрезок PQ,
) равный его периметру. Построить сначала ААВН, а затем точку D на луче АН та-
такую, что AD-{-AB = PQ. 361. Указание. Построить сначала треугольник, у
которого сторона равна данному периметру, а углы, прилежащие к ней, равны по-
половинам данных углов. 362. Указание. Пусть ВС, AC+AB.Z.B— Z.C —
данные элементы искомого треугольника ABC. На продолжении стороны С А за
точку А отложить отрезок АА\, равный отрезку АВ. Построить сначала &СВА\.
307
[угла
ся

8 класс
Глава V
364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°. 365. а) четыре; б) три; в) шесть; г) пять. 366. 23 мм,
20 мм, 19 мм, 18 мм. 367. 15 см, 7 см, 23 см, 21 см. 368. 90°. 3§9. 75°. 370. 30°, 60°,
120°, 150°. 372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см. 373. 13 см, 12 см,
13 см, 12 см. 374. 78 см. 375. 56 см или 70 см. 376. a) ZB=Z.D=96°, Z.C=
=84°; б) Z_v4 = Z.C=117°30'. Z_B= Z?> = 62°30/; в) Z.A= AC=7l°, /LB=*
= /LD=109°; r) /LA=/LC=12O°, /LB=Z?> = 60°; д) /LA = /LC=53°, ZB =
= /!?>= 127°. 377. MN = PQ = 6 см, NP = QM=8 см, ZM=/lP=60o, /LN=
= /LQ=120°. 379. Указание. Сначала доказать, что BK=DM. 380. Ука-
Указание. Воспользоваться признаком 2°, п. 43. 382. Указание. Воспользо-
Воспользоваться признаком 3°, п. 43. 383. Указание. Воспользоваться признаком 2°,
п. 43. 386. Указание. Через середину боковой стороны провести прямую, па-
параллельную основаниям, и воспользоваться задачей 385. 387. ZB = 144°, Z.D —
=63". 388. Указание, а) Через один из концов меньшего основания провести
прямую, параллельную боковой стороне. 389. Указание, а) Воспользоваться
указанием к задаче 388, а; б) Через один из концов меньшего основания провести
прямую, параллельную диагонали. 390. 68е, 112е, 112°. Указание. Воспользо-
Воспользоваться задачей 388, а. 391. Указание. Приложить плитки друг к другу так,
чтобы боковые стороны совпали, меньшее основание одной плитки лежало на одной
прямой с большим основанием другой плитки. 392. а) 6 см; б) 5 см. 394. Три.
395. Указание. Воспользоваться задачей 284. 401. а) 198,1 см или 122,6 см;
б) 23,4 дм или 19,8 дм. 403. 18 см. 404. Указание. Пусть ВМ — медиана пря-
прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе АС. Рассмотреть четы-
четырехугольник ABCD, где D — точка, симметричная точке В относительно точки М.
405. а) 60° и 120°; б) 30° и 60е. 406. 42 см. 407. 22°30'и 67°30'. 410. а) Нет; б) нет;
в) да. 412. 24 см. 417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая, перпенди-
перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну. 418. А, Е, О. 422. а) Да; б) нет;
в) да; г) да. 423. О и X. 425. Пересекает сторону CD; 9 см и 5 см. 426. 3 см, 4 см,
3 см. 428. Указание. Воспользоваться задачей 400. 430. Указание. Вос-
Воспользоваться теоремой о сумме углов выпуклого четырехугольника и задачей 429.
431. Указание. Через точку М провести прямую, параллельную ВК, и восполь-
воспользоваться задачей 385. 432. Указание. Воспользоваться задачей 385.433. Ука-
Указание. Сначала доказать, что Д BKD — ABMD. 435. Указание. Воспользо-
Воспользоваться задачей 384. 436. 36,8 см. Указание. Использовать диагональ BD.
437. Указание. Сначала доказать, что ААВН= аАМН. 438. 8 см. Ука-
Указание. Воспользоваться задачей 389, а. 439. Указание. Через середину
меньшего основания провести прямые, параллельные боковым сторонам, и вос-
воспользоваться задачей 404. 440. Указание. Пусть EF — отрезок, соединяющий
концы сторон квадратов, выходящих из вершины А треугольника ABC. Рассмотреть
точку D, симметричную точке А относительно середины стороиы ВС, и доказать, что
A.ABD = aEAF. 441. Указание. Воспользоваться задачей 420. 443. Беско-
Бесконечное множество. 444. Указание. Пусть а и b — взаимно перпендикулярные
оси симметрии фигуры и О — точка их пересечения. Сначала доказать, что если точ-
точки М и Mi симметричны относительно прямой a, a Mi и М2 симметричны относи-
относительно прямой Ь, то М и Мг симметричны относительно точки О.
308
Глава VI
447. Указание. Пусть О —точка пересечения отрезков AM и ВС. Сначала
доказать равенство треугольников АВО и МСО. 448. Указание. Провести пер-
перпендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство треугольников АВМ
и EFM, DCN и EFN. 449. а) 1,44 см2; б) т^дм2; в) 18 м2. 450. а) 4 см; б) 1,5 дм;
в) 2V3 м. 451. а) 2400 мм2; б) 0,24 дм2. 452. а) 27,2 см2; б) 6д/2 см2; в) 21,4 см;
г) 2,7 см. 453. а) Увеличится в два раза; б) увеличится в четыре раза; в) не изме-
изменится. 454. а) 25 см и 10 см; б) каждая сторона равна 3 м. 455. 2200. 456. 360.
457. 12 м. 458. Площадь участка квадратной формы больше на 900 м2. 459. а) 180 см2;
б) 4 см; в) 18 см; г) 9. 460. 156 см2. 461. 84 см2. 462. 18 см2. 463. 56,7 см2.
464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см. 465. 12 см2. 466. 115,52 см2. 467. Площадь
квадрата больше. 468. а) 38,5 см2; б) 5V3 см2; в) 5,4 см; г) 4д/2 см. 469. 8 см.
470. 5,625 см. 471. а) 22 см2; б) 1,8 дм2. 472. 14 см и 24 см. 473. У к а з а н и е.
Воспользоваться теоремой п. 37. 474. Площади треугольников равны. 475. Ука-
Указание. Сначала разделить сторону ВС на три равные части. 476. а) 224 см2;
б) 4,6 дм2. Указание. Учесть, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
477. 6 см и 9 см. 479. а) 2 см2; б) 2,4 см. Указание. Воспользоваться второй
теоремой п. 52. 480. а) 133 см2; 6) 24 см2; в) 72 см2. 481. 54 см2. 482. 4,76 см2.
483. а) 10; б) д/бГ: в) у; г) 16. 484. а) 5; б) 4^; в) 4л/3; г) 2; д) 2. 485.
486. а) 12; б) 2; в) 8. 487. 15 см. 488. а)
см; б)
см. 489. а)
см2;
б) 0,36д/3 см2; в) 2д/3 дм2. 490. а) 10 см и 48 см2; б) 6д/3 см и 27д/3 см2; в) 7^ см
о
и 49 см2. 491. а) 4 — ; б) 9,6. 492. 8 см, 9,6 см, 9,6 см. 493. 13 см и 120 см2.
1 О
494. 96 см2 и 16 см. 495. а) 180 см2; б) 4&V3 см2; в) 135 см2. 496. V7"- 497. 5 см.
498. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да. 499. а) 6,72 см; б) 7 уз см.
501. а) 270 000 м2; б) 0,27 км2. 502. 46 -§- см2. 503. 20 см. 504. 900 см2. 505. У к а-
о
з а н и е. Воспользоваться тем, что перпендикуляр меньше наклонной. 506. На сто-
сторонах ВС и DC квадрата ABCD нужно взять точки М и N так, чтобы ВМ =
2 2
=-^-ВС, DN—-X-DC, и провести прямые AM и AN. 507. Нет. Указание.
о о
Сравнить, например, площади треугольников со сторонами 13, 13, 24 и 12, 12, 12.
508. Указание. Соединить точку на основании с вершиной, противолежащей
основанию, и воспользоваться тем, что сумма площадей двух получившихся тре-
треугольников равна площади данного треугольника. 509. Указание. Задача ре-
решается аналогично задаче 508. 510. Указание. Доказать, что площадь каж-
каждого треугольника равна половине площади параллелограмма AEDF. 511. а)
и б) Площади треугольников равны, в) Указание. Воспользоваться задачей
№+ь2
б) и второй теоремой п. 52. 512.
¦. 513. 60 м, 14,4 м. 514. 10 у= см.
309

515. a) 100V3 см2; б) 18 см2. 516. 320 см2. 517. 84 см2. Указание. Сначала до-
доказать, что треугольники ABC и ACD прямоугольные. 518. а) 243 см2; б) 529 см2.
519. Л2. 520. а2. 522. 48 см2. 523. (V2-l)a2. 524. а) 96,814 м2; б) 96,81 м2;
в) 96,8 м2.525. 2,61.526. 5,53 дм2.527. а) 3,34 см; б) 3,3 см. 528. 3,40 м. 529. а) Да,
S=D±l) см2; б) да, S=(8±l) см2; в) нет, так как 39,05 cm2<S<41,61 cm2.
530. 8,13 см. 531. а) 10б?м; б) 105,6 см. 532. а) Нет, так как 5,80 см <с<6,08 см;
б) да, с=E,9±0,2) см.
Глава VII
о о
533. -7-; нет. 534. а) Да; б) да; в) нет. 536. а) 15 см; б) 10-=-. 537. BD=
4 о
=8 см, DC=12 см. 538. АВ = 18 см, АС=6 см. 539. NE=3,5 см, ?/С=2,5 см.
540. CD=14 см, D?=21 см. 541. Да. 542. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см. 544. 4,5 см.
545. 175 см2 и 252 см2. 546. 87,5 км2. 548. 2,5. 549. 6 см, 8 см, 12 см. 550. х=9,
j/=21.551. a) EF=5cm, /^=3,5 см; б) ?>Е=5у см, ?С=2у см. 552. а) 10 см;
см- 55^" а) **е жета; б) да; в) да. 554. 6 см и 6,5 см.
°' OC~OD~T'B}
655. а) 5 см, 5 см, 7,5 см, 7,5 см; б) все четыре стороны равны —т-т . 567. а) 17,5 см;
б) В?>=5 см, D?=6 см; в) 8 см. 558. Указание. Если прямые а и b ие парал-
параллельны, то через точку А провести прямую, параллельную прямой Ь. 559. Да.
560. а) Да; б) да. 562. —— . Указание. Воспользоваться задачей 543.
1 1 a+h
663. a) -pj-; б) —. Указание. Через точку D провести прямую, параллельную
ВК- 564. 10 см. 565. 5 см. 666. 42 см. 567. Указание. Провести диагональ дан-
данного четырехугольника. 568. Указание. Воспользоваться задачей 567.
569. Указание. Сначала доказать, что середина боковой стороны трапеции
лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей. 570. 6 см и 12 см.
571. 3S. 572. а) Л=20, a=4V41, fc=5V4f; б) Л=48, а=80, Ь=60; в) а=12л/3~,
с=24, ас= 18; г) 6=8л/5, с= 16, Ьс= 12; д) h=2^b, Ь =3^/5. ас=А, Ьс=5. 573. ас=
2 L.2
=—, Ьс=—. 574. Указание, а) Воспользоваться формулой для вычисле-
ния площади треугольника, б) Воспользоваться задачей 573. 575. 32 мм, 18 мм.
676. 61 см. 577. 1-Ц см, 11-^ см. 579. 3,15 м. 580. 6,936 м. 581. 6,12 м.
582. 48 м. 583. 72,25 м. 586. Указание. Сначала построить треугольник, по-
подобный искомому. 587. Указание. Си. указание к задаче 586. 688. Указа-
Указание. См. указание к задаче 586. 589. Указание. См. указание к задаче 586.
590. Указание. См. указание к задаче 586. 593. а) \ и -\/3; б) ^-и ^-; в) -^
—; б) «8,39 см, 40°, « 13,05 см.
Р
; б) «11 см, 48°, «16 см. 596. 90°—а, с sin а,
„V3;r)^H^.694. а)^, 90«-Р,
595. а) b-tga, 90° — а, Ь
cos a
310
\ tg a=-|-, tg 6=-^-; «19см. «38°39't
^a;55°, «14см, «20см. 597.
Ц°2\'. 598. а) Ь2 sin a-cos a; б) -r-a2-tg a. 599. 8tg a cm2. 600. «74 м. 601.60°,
°. 60° и 120е. 602. 60° и 30°. 603. «72 см2. 604. i4,Bi=4,5 см, BiCi=6,75 см.
—. 607. 18 см, 12 см. 608. Указание. Воспользоваться задачей 535.
о
7
Указание. Воспользоваться задачей 535. 610. 16,8 см, 14 см, 7— см.
, х=—[-г. 613. Указание. Сначала доказать, что: а) ААВМ со аА&Мг,
а-\-о
2 2
ААВНсо AAtBiHi. 614. DC=2— см, ОВ=2лДЗ~ см, СВ=-р/бГ см. У к а-
»а н и е. Сначала доказать, что aADCoo &BAD. 615. . 619. Указание.
1усть точка В лежит между С и D. К треугольникам ABD и ACD дважды при ме-
мель следствие 2 из первой теоремы п. 52. 620. Указание. Воспользоваться
удачей 535. 621. -д- sin a. 625. Указание. Воспользоваться задачей lf п. 62.
626. а) Л=6,20см, а=8,П см, Ь=9,62 см; б) А=1,67 см, а=2,05 см, Ь = 2,86см;
в) Л= 11,53 см. а= 13,70 см, fc=21,32 см. 627. а) 6=2,76 м. с=4,28 м; б) Ь =
= 11,06 м, с=14,09 м; в) />= 1,37 м, с=3,37 м. 628. 1,32. 629. a=25,l cm, fc =
= 10,9 см, с = 27,3 см. 630. -?- =1.08; —=0,74.
О С
Глава VIII
633. ОА и АС. 635. 30е. 636. 120°. 637. Указание. Сначала доказать, что
/LADC=30°. 638. Щ см. 639. 12д/3 см. 640. 60°. 641. 60°. 642. 3^/3 см, Зл/З см;
30°, 30°. 643. 5 см. 647. а) Да; б) иет; в) да. 648. а) Указание. Сначала по-
построить прямую, проходящую через центр окружности и перпендикулярную к дан-
данной прямой. 650. а) 16; б) 16^/2; в) 32. 651. 112° и 248°. 652. 1&/3 см. 654. а) 64°;
б) 175°; в) 34°; г) 105°. 655.60° и 30° или 140° и 110°. 656. ж 101° или «36°. 657.50*.
668. Ж2(У, 34°50/. 660. 36°. 661. 44°. 662. 62°. 664. Указание. Воспользо-
Воспользоваться задачей 663. 666. а) 4; б) 12; в) 0,25. 667. &\/2 см. 670. Указание. Сна-
Сначала доказать, что дЛВРсо &AQB. 671. а) 6 см; б) 7,5 см. 672. Указание.
Воспользоваться задачей 670. 674. Указание. Сначала доказать, что тре-
треугольник АОВ равнобедренный. 676. а) 10 см; б) 7д/2 дм. 678. а) 46° и 46°; б) 21°
и 21°. 679. а) i4D=3,5cM, CD = 5cm; б) i4C=14,6cM. 681. 9 см. 683. У к а з а н и е.
Воспользоваться методом доказательства от противного. 687. Указание. Вос-
Воспользоваться второй теоремой п. 72. 688. Указание. Учесть, что искомая точ-
точка лежит иа биссектрисе данного угла. 689. 3 -^- см. 690. 50 см. 691.20 см. 692. АР—
= 1,5 см, РВ=8,5 см, BQ=8,5 cm, QC=3,5 см, СД=3,5 см, RA = l,b см.
698. а) 60 см; б) 40 см. 694. т—с. 695. 30 см. 698. 60 см2. 699. 1,2 см. 702. а) /.А =
=67°. zLB=23°. Z.C=90e; б) /1Л=55О, zLB=35°, ziC=90°. 703. Zi4==5lo.
/LB= Z.C=64°30'. 704.6) d, d sin a, d cos a. 705. a) 5 см; б) 18 см. У к а з а н и е.
311

Воспользоваться задачей 704. 706. 1(Ъ/3 см. 707. 16 см. 700. Указание. Вос-
Воспользоваться свойством углов вписанного четырехугольника. 710. Указание.
Воспользоваться задачей 389, а. 712. Указание. Воспользоваться задачей 664.
713. Указание. Учесть, что ВМ=МХ и CN=NX. 714. Указание. Пусть
ТС —точка пересечения общей касательной, проходящей через точку М, и пря-
ОС о ЧО пс
мой АВ. Сначала доказать, что КА = КМ=КВ. 720. Нет. 722. |=, ^-, j^, |^.
ОГ ОГ ОГ ОГ
725. . 726. Указание. Использовать серединный перпендикуляр к той
стороне, к которой проведена медиана. 728. Указание. Воспользоваться свой-
свойством углов вписанного четырехугольника. 730. Указание. Воспользоваться
задачей 729. 731. Указание. Воспользоваться задачей 729. 732. Указание.
Сначала доказать, что около четырехугольника МНВС можно описать окружность.
733. 5 см. 734. Указание. Воспользоваться задачами 709 и 721. 735. -^—-
736. Указание. Использовать серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
737. Указание. Воспользоваться задачей 281.
Глава IX
742. В случае б). 744. Скорость, сила. 745. \АВ\ =3 см, \ВС\ =4 см, |?>С| =3 см,
|MC|=ynr25 см, [ЛМ 1 = 1,5 см, \СВ\=А см, \АС\=5 см. 746. |??>| = 13 см,
|С?>| =&V2cm, \АС\ =л/74см. 748. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 749. а) Нет; б) да;
в) нет; г) нет; д) да. 751. а) Ромб; б) трапеция. 752. а) Да; б) да; в) нет; г) нет;
д) да. 753. Да. 760. Указание. Воспользоваться неравенством треугольника.
762. а) а; б) сф; в) аф; г) а; д) а. 763. а) —2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) —2
и 10. 764. а) АК; б) AM. 766. XY= — а+( — b) + c+d. 767. в) — В. 768. ВМ=
= —d, NC=b, MN=b — a, BN=(b — a)—a. 769. B,C=x,BBl=x—y,BA = —y,
BC=x—y + x. 770. a) AC=a + b; 6) AC= — a — b; в) АС=а—b.
771. DC+CB=a—b, BO + OC=b, BO — OC= —a, BA—DA = —a+b. 773. Ра-
Равенство \x—y\ = \x\-\-\y\ справедливо, если х\\у или хотя бы один из
векторов хну нулевой. 774. 60°. 781. а) 4л; б) -7ггп+-!Гп; в) —^-т—Тп.
782. ЕС=а—^b, AG=a—^-b. 783. AM=~a+b,MD=^-a—b. 784. a) AC=
=x+y, AO=-j(x+y), СО=-~(Я+д), DO=-i(?-x), A~D+BC^=2x, A~D +
= -x-y; 6) AM=^i, MC=^
—J/.
=~x~y. 786. AA^-jfi+b)
3 - 1
787. —т-аЧ—;-fc. 790. Указание. Воспользоваться задачей 785. 793. 10 см.
4 4
794. 6,8 см и 10,2 см. 795. 30 см. 796. 16 см. 798. 60°, 60°, 120°, 120°. 799. 7 см.
312
801. Указание. Если векторы х и у не коллинеарны, то воспользоваться пра-
правилом треугольника сложения векторов, и если они коллинеарны — задачей 800.
802. -a+4-b. 8©3. XY=—|-а+^-6, МР а+Ь. 804. СК=а, KD = b-
О DO
- ""*" 1 "* 1 - 3
— а, ВС=-~-Ь——а. 809. -га. 810. Указание. Воспользоваться первой тео-
теоремой п. 72.
Задачи повышенной трудности
811. Указание. Продолжив через одну сторону данного шестиугольника, по-
получить равносторонний треугольник. 812. Указание. Сначала доказать» что
ai-\-ci2-{-a3=a3-\-ai-{-a5=a5-\-a6-{-ai. Затем построить равносторонний треуголь-
треугольник, сторона которого равна ai + аг+аз, и воспользоваться задачей 811. 814. Ука-
Указание. Пусть A BCD — выпуклый четырехугольник. Учесть, что вершина С ле-
лежит внутри угла BAD, поэтому луч АС проходит внутри этого угла, и, следова-
следовательно, пересекает отрезок BD. Аналогично рассмотреть луч BD и угол ABC.
815. Указание. Если данный четырехугольник ABCD выпуклый, то воспользо-
воспользоваться задачей 814. Если ABCD — невыпуклый четырехугольник и, например, пря-
прямая АВ пересекает сторону CD в точке М, то рассмотреть два случая: А — точка
отрезка MB и В — точка отрезка AM. 816. — . Указание. Пусть Р — точка
пересечения прямых DE и АВ, DO\\AC и О^АВ. Сначала доказать, что АРЕ, AOD
и POD — равнобедренные треугольники. 817. У к а з а н и е. Сначала доказать
b+c b+c—a
неравенства то<—?— и та> ^ , где а, о, с — стороны треугольника, та —
медиана, проведенная к стороне а. 818. Указание. Сначала доказать, что диа-
диагонали данного четырехугольника точкой пересечения делятся пополам. 819. Пря-
Прямая, параллельная данной прямой. 820. Указание. Воспользоваться задача-
задачами 388,а и 389,а. 821. Указание. Воспользоваться задачей 428. 822. Указа-
Указание. Пусть О\, Оч, Оз, О4 — точки пересечения диагоналей квадратов, построен-
построенных на сторонах АВ, ВС, CD и DA данного параллелограмма ABCD. Сначала до-
доказать равенство треугольников AO\Ot, BOtO2, СО2О3, ?ЮзО4. 823. Указание.
На луче АВ отложить отрезок AN, равный отрезку AM, провести отрезок MN и про-
провести высоту NS треугольника AMN. Затем доказать, что &ANS= &MAD
и &АКВ= aNMS. 824.90°. Указание. Пусть Di — точка, симметричная
точке D относительно точки Е. Сначала доказать, что AACDi — равнобедренный
прямоугольный треугольник. 825. 30°. Указание. На луче AM отложить от-
отрезок АК=АВ и, рассмотрев АВКС, доказать, что точка К совпадает с точкой М.
826. Указание. Сначала доказать, что Д ВКР= &АВС= aCQT. 827. Ука-
Указание. Сначала построить равнобедренный треугольник, основание которого
равно сумме оснований трапеций, а боковая сторона равна диагонали трапеции.
828. а) Указание. Сначала доказать, что ось симметрии пересекает одну из
сторон треугольника. 829. Указание. Воспользоваться равенством треугольни-
треугольников ABC и ADC, АРМ и ATM, MQC и MRC. Для доказательства обратного утверж-
утверждения предположить, что точка М не лежит на А С, и доказать, что тогда площади
параллелограммов не равны. 830. ' V ЛТ о аТ ¦ Указание. Вос-
О2(О2 Ol-Оз)
313

пользоваться следствием 2, п. 52.831.
Указание. Воспользовать-
ВоспользоватьV) ие. Воспользовать-
Воспользоваться второй теоремой п. 52. 832. -=-. 833. Указание. Пусть АВ — боковая сто-
рона, а М — середина другой боковой стороны трапеции ABCD. Сначала дока-
доказать, что SABM=-^-SABC[>. 834. (VSi +~\/StJ. Указание Сначала доказать,
что SAOB=SCOD=-y/Si'S2. 835. Указание. Сначала доказать, что ллоЩадь
параллелограмма, стороной которого является меньшее основание трапеции, равна
сумме площадей двух треугольников, прилежащих к этому основанию и к боковым
сторонам трапеции. 836. У к а з а и и е. Сначала доказать, что SAKM=SCMf(
hSbkm—Sdmk- 837* Указание. Сначала доказать, что SABD=SEDC и SBDK =
=SCDK. 838. Указание. В каждом из трех получившихся четырехугольни-
четырехугольников провести диагонали так, чтобы никакие две диагонали не имели общего конца,
и доказать, что площадь каждого из двух средних треугольников равна полусумме
площадей соответствующих крайних треугольников. 839. Указание. Сначала
доказать, что SAMB=SADK+SKCB. 840. 2~\J ° -^ . Указание. Пусть.
АВ и AD — перпендикуляры, проведенные к прямым, содержащим стороны дан-
данного угла О, а С — точка пересечения прямых АВ и OD. Рассмотреть прямоуголь-
прямоугольные треугольники A DC н ОВС. 841. 2tJSiSs. Указание. Учесть, что треуголь-
треугольники ВКС и MCD имеют по равному углу, и воспользоваться второй теоремой п. 52.
842. Указание. Сначала доказать, что площади треугольников ВТС и ETC
равны. 843. —. Указание. Сначала доказать, что площади треугольников
DC К и DCM равны, а затем доказать, что KM\\DC. 844. -^a*+c*—b2. Указа-
Указание. Через точку М провести прямые, параллельные сторонам прямоугольника,
и рассмотреть образовавшиеся прямоугольные треугольники. 845. Указание.
Пусть АВ — с, BC==a, BD=h. Используя теорему Пифагора, доказать, что ЬЛВ-=
=Vo2+cz—Лги KB=^ai+c2—h2.846. Указание. Провести перпендикуляры
ОМ и ON к сторонам АС и СВ и доказать, что OAi=— CB, ON=-^-AC. Далее
воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников АОМ, BON и СОМ.
847. б) Указание. Сначала доказать, что DF=DE и AF=FE. Затем восполь-
воспользоваться подобием треугольников AED и AFE. 848. Указание. Пусть АК —
биссектриса треугольника ABC и, например, АС~>АВ. Пользуясь задачей 535,
сначала доказать, что точка М лежит между точками К и С. Затем воспользоваться
задачей 556. 849. Указание Воспользоваться утверждением: отрезок, со-
соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него
треугольник, подобный этому треугольнику. 850. Указание. Сначала доказать,
что АМВСсо дМ/ТС и АМАСсо аМЕК. где М — точка пересечения прямых
СК и АВ. 851. —щ. Указание. Пусть ABC — данный треугольник, a D — точ-
точка пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе ВС. На продол-
продолжении луча СА отметить точку Е так, чтобы Z.CD?= Z-ADB. Сначала доказать,
что дЛЯСсод?С?). 852. Указание. Пусть BD и СЕ — биссектрисы тре-
треугольника ABC. Сначала доказать, что Z.C=2Z.B, Z.B=2/-A, а затем доказать,
314
что ДЛВС со &BDC и дЛВСсо дАСЕ. 853. Указание. Пусть ? и F — точки
пересечения МР и MQ с ОВ и ОД. Воспользоваться подобием треугольников OPR
и OFQ, OQS и О?Р для доказательства того, что треугольники OEF и ORS подобны.
854. Указание. Воспользоваться тем, что АН — медиана треугольника, подоб-
подобного треугольнику BDH. 855. Указание, а) Рассматривая подобные треуголь-
треугольники, сначала доказать, что AD2=AC-AE, DB2=BC-BF и CD2=AD-DB. б) При-
Применить теорему Пифагора к треугольникам AED и DFB. в) Воспользоваться по-
подобием треугольников AED и АСВ. 856. a) АА=75°, Z_B=135e, Z_C=^60°,
Z.D=90°. б) Указание. Учесть, что треугольники АВР и DAB подобны.
857. Указание. Воспользоваться задачей 567.858. Указание. Пусть MN—
отрезок, соединяющий середины сторон AD и ВС данного четырехугольника ABCD.
Отметить точку D\, симметричную точке D относительно точки N, и рассмотреть
AABDi. 859. Указание. Воспользоваться задачей 858. 860. Указание.
Воспользоваться задачей 858. 861. Указание. Воспользоваться теоремой
о средней линии треугольника и задачами 404 и 820. 862. Указание. Продол-
Продолжить перпендикуляры AM и АК до пересечения с прямой ВС в точках D и ? и сна-
сначала доказать, что МК — средняя линия треугольника DAE. 863. Указание
Воспользоваться задачей 435. 864. Указание. Воспользоваться задачей 863.
885. Указание. Пусть точка N — середина АС. Доказать сначала, что тре-
треугольники МВС и MNC равны и BN — средняя линия треугольника АКС. Далее
воспользоваться следствием 2, п. 52. 866. Указание. Через концы одной из
медиан треугольника ABC провести прямые, параллельные двум другим медианам,
и воспользоваться тем, что образовавшийся при этом треугольник равен треугольни-
треугольнику EFG. 867. -р-. 868. Указание. Воспользоваться подобием треугольников
MND и МАВ, MAD и МРВ. 869. Указание. Пусть ABCD — равнобедренная
трапеция, X — искомая точка большего основания AD, а АВ — данная боковая
АХ
сторона. Сначала доказать, что -ггтг= п, и воспользоваться задачей 584. 870. Р е-
ш е н и е. На произвольном луче с началом в точке А откладываем отрезок АС\,
равный отрезку АС, и на луче С\А от точки С\ — отрезок С\В\, равный отрезку
СВ (сделайте рисунок). Убедитесь в том, что прямая, проходящая через точку С\
и параллельная прямой ВВ\, пересекает прямую АВ в искомой точке D. Задача
не имеет решения, если С — середина отрезка АВ. 871. Указание. Сначала
построить какой-нибудь равнобедренный треугольник по данному углу. 872. Ука-
Указание. Пусть ABC — искомый треугольник, у которого даны стороны АВ, АС
и биссектриса AD. На прямой AD отметить точку Е так, чтобы ВЕ\\АС. Воспользо-
Воспользовавшись подобием треугольников ADC и EDB и задачей 535, построить сначала
отрезок DE, а затем треугольник ABE по трем сторонам. 873. Указание. Сна-
Сначала построить какой-нибудь треугольник, подобный искомому треугольнику ABC.
874. Указание. Пусть А„, Л» и hc — данные высоты. Воспользоваться тем, что
стороны a, b и с искомого треугольника пропорциональны отрезкам Л», ha,
и ь. 875. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция, у которой из-
вестны /-А, боковая сторона АВ и большее основание AD. Сначала построить
Д ABD, а затем д BCD по углу В, стороне BD и отношению двух других сторон.
876. Указание. Сначала выразить диагонали искомого ромба через сторону
данного квадрата и данные отрезки.
iii-v t 315

877. Указание. Использовать общую касательную к данным окружностям.
878. Указание. Сначала доказать, что &АВСоо &BAD. 879. Указание.
Воспользоваться задачей 718. 880. Указание. Рассмотреть два случая: точка
пересечения прямых лежит внутри круга и вне круга. В первом случае вос-
воспользоваться теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд. 881. Ука-
Указание. Доказать, что эта величина равна диаметру данной окружности.
882. Указание. Из точек О\ и О2 провести перпендикуляры О\Н\ и О2Н2 к пря-
прямой ВС и сравнить расстояние между параллельными прямыми О\Н\ и О2Н2 с дли-
длиной отрезка OiOz. 883. Пусть CD является диаметром, перпендикулярным к
диаметру АВ данной окружности. Искомое множество точек состоит иэ двух
окружностей, построенных на отрезках ОС и OD как на диаметрах. 884. 146°
и 107°. Указание. Сначала доказать, что точка М лежит на окружности с
центром А радиуса АВ. 885. Указание. Сначала доказать, что проведенные
прямые, которые образуют новый треугольник, являются биссектрисами внешних
углов треугольника, и воспользоваться теоремой о биссектрисе угла (п. 72).
886. Указание. Для того чтобы доказать, что А' лежит на описанной окруж-
окружности, сначала надо установить равенство Z-A'CB = ABA A'. 887. Указание.
Пусть Е— точка пересечения луча BD с окружностью, описанной около треуголь-
треугольника ABC. Воспользоваться подобием треугольников ABE и BCD. 888. Указа-
Указание. Сначала доказать, что ОЕ — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
889. Указание. Пусть ХСЖА и ХСЖВ. Отложить на отрезке ХС отрезок
XD, равный отрезку ХА, учесть, что Z.AXC=60°, и доказать равенство треуголь-
треугольников АХВ и ADC. 890. Указание. Пусть ABCD — данный четырехугольник.
Провести диаметр ВВ\ и сначала доказать, что AB\ = CD. 891. У к а з а н и е. Че-
Через точку пересечения указанных биссектрис провести прямую, параллельную АВ,
до пересечения с прямыми AD и ВС в точках Е и F и доказать, что EF=DC.
892. Указание. Пусть ABCD — данная трапеция, описанная около окружности
радиуса г, a AD=a, BC=b — ее основания. Сначала доказать, что г= ¦ .
893. Указание. В четырехугольнике ABCD на диагонали АС взять точку К,
такую, что Z.ABK= /LCBD, и далее использовать подобие треугольников АВК
и DBC, ВСК и ABD. 894. Указание. Через центр М вписанной окружности
провести диаметр PQ описанной окружности и сначала доказать, что РМХ
XMQ=2Rr. 895. Указание. Доказать, что точки А\, Ви d, А2, В2, С2, Аз,
Вз, С3 лежат на окружности с центром в середине отрезка ОН радиуса -у, где R —
радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 896. Указание. Пусть
ABC — данный треугольник, а Н, К и М — основания перпендикуляров, прове-
проведенных из точки D описанной окружности к прямым А В, АС и ВС. Допустим,
что луч DK лежит внутри угла HDM. Сначала доказать, что Z.AKH= AADH=
= Z.MDC= Z.MKC. 897. Указание. Пусть О\ и О2 — центры данных окруж-
окружностей, а Г\ и Гг—их радиусы, причем Г\~> г2. Построить две окружности с
центрами О\ и О2 радиусов соответственно Г\ — г2, г\-\-г2 и воспользоваться реше-
решением задачи 673. 898. Указание. Сначала построить две окружности радиуса
P2Q2 с центром М и радиуса ОА с цеятром О, где А — середина какой-нибудь
хорды данной окружности, равной отрезку AQi- Затем воспользоваться задачей
897. 899. Указание. Сначала доказать, что наименьшей будет хорда,
перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку. 900. а) Указа-
316
н и е. Сначала построить какой-нибудь треугольник по данной стороне и противо-
противолежащему углу, затем описать около него окружность и воспользоваться следстви-
следствием 1, п. 71. б) Указание. Пусть ABC — искомый треугольник, Z.B—
данный угол. На продолжение луяа АС отложим отрезок АА\—АВ, а на продол-
продолжении луча СА — отрезок CBt = BC. Пользуясь задачей 900, а, сначала построить
^AiBBi. 901. Указание. Пусть PQR — искомый треугольник, Р — вершина,
из которой проведены высота, биссектриса и медиана треугольника, а О — центр
описанной около треугольника окружности. Учесть, что BOJLQR. 902. Четыре ре-
решения. Указание. Воспользоваться задачей 885. 904. Параллелограмм.
905. Параллелограмм. Указание. Воспользоваться задачей 1, п. 84. 906. Ука-
Указание. Учесть, что длины векторов —=г- и —=г- равны. 907. Указание.
\АВ\ \АС\
Пусть точки А, В и С лежат на одной прямой. Сначала доказать, что в этом
случае АВ=пАС, где п — некоторое число. В качестве ft, I, m можно взять, на-
например, числа Л=п—1, /*1, т=—п. При доказательстве обратного утвержде-
утверждения взять точку О совпадающую с точкой А. 908. Указание. Пусть в четырех-
четырехугольнике ABCD точки Е и F — середины диагоналей А С и BD, a G — точка пере-
пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон. Используя
задачу 791, для произвольной точки О выразить векторы ОЕ, OF и OG через ОА,
ОВ, ОС, OD и воспользоваться задачей 907. 909. Указание. Воспользоваться
задачами 619 и 907. 910. Указание. Пусть Аи В\ и С\ — середины сторон
ВС, СА и АВ треугольника ABC. Пользуясь тем, что GA=— 2GAU GB=—2GBi
и GC=— 2GCi, доказать, что GH=—2GO.
9 класс
Глава X
911. а) -4; б) 20; в) -1;г) 5. 912. а) 2; б) у! в) —J • г) 1' Д) ~1' е> ~\ •
4
ж) 3; з) —5" ¦ и) ¦ к) число k не существует. 913. а) Да; б) да. 914. Указание. До-
О
казательство провести методом от противного и воспользоваться леммой о коллине-
""*" 4 - 4 -
арных векторах. 915. АМ=-=-а+— Ь. 916. а) х= — 1, у—Ъ; б) х=А, у= — 5;
&1 Ь
в) х=0, у=3; г) х= -\,у=—. 918. а) а {2; 3}; б) Ь {-2; 3}, с {2; 0}; в) й {-3; -4},
еB; -2}. f{-4; -5}. 919. а) а{2; 3). b{-^; -2^ , с {8; 0}, d{l; -I}, e [0; -2},
/{-1; 0}. 920. a) i=-3T+l-J; б) y=-2i-2,J; в) z=-i, г) Я=3/; д) ?=/.
921. а) *=5, у=— 2; б) х=—3,у=7; в) х= — 4, у=0; г) х=0, у=0. 922. а) {5;
7}; б) {4; 1}; в) |1; 1}; г) {-1; 0}. 923. а) {3; 2}; б) {6; 0}; в) {-1; 9}; г) {-7; -2}.
924. 2а {6; 4), За {9; 6}, -Я{-3; -2}, -35{-9; -6}. 925. {-2; -4}, {2; 0}, @; 0},
{2; 3}, {-2; 3}, {0; -5}. 926. а) {21; -21}; б) {13; 24}; в) {-21; -14}; г) {8; -10}.
927. Указание. Воспользоваться леммой о коллинеарных векторах. 928. а
и с, Ь и d. 929. а) А E; 0), В@; 3), О@; 0); б) А (а; 0). В @; Ь), О@; 0).
930. а) О@; 0). А F.5; 0). С F.5; 3). В@; 3); б) О@; 0), А (а; 0), С (а; Ь), В@; Ь).
931. AfC; —3), N{3; 3), Q(—3; —3) или МC; —3), N{— 3; —3). QC; 3).
317

932. A (-a; 0). B(a; 0), C@; A). 933. G; -3). 934. a) {-4;.0j; 6) {0; 26); в) {3; 4};
г) {-4; -3). 935. 1) АВ A; 1); 2) x= -3, y= -4; 3) A F; 1,5); 4) B{a+c; b+d);
5) В A; 2). 936.1) м( ~; - \\; 2) A (-10; -11); 3) В F; -11); 4) M{-1,5; 3,5);
5) BBa-c; 2fr-d); 6) MC; 6,5); 7) Л1 Bf+6; 0); 8) B(-l; -3). 937. CAO; -7),
D G,5; -5). 938. а) лДОб; б) 5; в) 10 л/2; г) л/389; Д) И"^; е) 10. 939. а) 2; б) 3;
в) УГЗ. 940. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5. 941. -^2+2 УГ7+7л/2~. 942. лДЗ. 943. ЛС=
;4. а) С(а+Ь;с);б) АС=
:
946. AC=^(b+d-af + cit ОС=^J(b+d)'-{-с2.946. а) 2; б) 3 или -2,6.947. а) 13;
б) 6.948. а) @; -9); б) @; 5). 949. а) (-2,5; 0); б) (8; 0). 9Я0. а) МР=3 л/5, NQ=5;
б) МР=А V2, NQ=2 л/2. 951. Указание Доказать, что отрезки АС и BD рав-
равны и их середины совпадают, а) 8; б) 17.954.100 см, 100 см. У к а з а н и е. Систему
координат выбрать так, как показано на рисунке 281. 955. 13 см. Указание.
Систему координат выбрать так, чтобы основание треугольника лежало на оси Ох, а
высота — на оси Оу. 956. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы
одно из основании трапеции лежало иа оси Ох, а его концы были симметричны
относительно начала координат. 957. Указание. Систему координат выбрать
так, как показано на рисунке 283, и доказать, что 6=0. 966. Указание. Систе-
Систему координат выбрать так, чтобы лучи АВ и AD были положительными полуося-
полуосями. 960. а) Л и С; б) В; в) В и D. 961. а) С; б) В; в) А и D. 968. а) (—4; —3),
(-4; 3); б) D; 3), (-4; 3). 964. а) C; 0), C; 10); б) (-2; 5), (8; 5). 965. 1) х*+у»=9;
2) х2+у2 = 2; 3) *2+у»«^. 966. a) x'+(y-Sf=9; б) (x+lf+(y-2f=i;
в) (j4-3J+G/+7J=J-; г) (jc-4J+0/+3J = 1OO. 967. х*+у* = 10. 968. х* +
+(у_6J=25. 969. а) (ж-2J+0/-1J-41; б) (х-ЭO+(у- 1J=5. 970. (*-5J+
+у2=25, (х+3O+у2=25; две окружности. 971. ха+0/-4J=25. 972. б) х+у-
— 7=0; в) Зх—2у+2=0. 973. 7х—у+3=0. 974. а) х— у=0. у—1=0; б) Зх—
—5у+5=0. 975. (—4; 0) и @; 3). 976. C; —2). 977. х=2 и'{/=5. 979. 7. 980. 5*+
+ 2у—10=0, 5*—2у—10=0, 5х+2у+10=0, 5*—2у+10=0 или 2х+5у—
—10=0, 2х— Ъу—10=0, 2х+5у+10=0. 2х—5у+ 10=0. 982. а) Окружность ра-
радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса -5- с центром D, лежащим на
1 6
отрезке ВС, причем BD =—. 983. Окружность с центром в точке О радиуса
fe2-2a2
2
АВ
. если *2>2а2, и точка О, если А2=2а2, где О — середина отрезка АВ
и а=-^^. Если fe2<2a2, то точек, удовлетворяющих условию задачи, не сущест-
существует. 985. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки,
симметричные относительно точки А. 986. Прямая ВС. Указание. Выбрать пря-
прямоугольную систему координат так, чтобы точки А и D лежали на оси Ох и были сим-
симметричны относительно оси Оу. 987. Прямая, проходящая через точку пересече-
пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба. 988. а) х= —— ; б) не
существует; в) х= — 2; г) х=2. 989. а) {-8; —1), д^5; б) {14; 4), 2д/53;
в) {-21; 5). V466; г) {6; -18). бд/Ш. 990. а) {9; -4), G; -3}, {1; 21). {-4; 7); б) 5, 10.
. т/58- 991. Указание. Ввести вектор М \Mt [хг,—хх; 0}, отложить от начала
координат вектор ОА, равный МхМя, и воспользоваться тем, что абсцисса точки
А равна хг—ху. 993. Указание. Сначала доказать, что АВ=*ВС. 995. E; 9).
996. а) (-1; 9). @; 2). (-4; 6); б) 5л/2; в) 3л/2, 4 л/2, 5 л/2- 998. 40. 999. @; 8), или
(—2; 2), или (—8; 0); три решения. 1000. Окружности: а), б), г), д). 1001. {х—3J+
+(у-5J=25. 1002. а) (х+-1-J+(у—1J~; б) (x-3f+(y+2f=2b.
1003. а) 5jc— Зу+16=0, х+2у—6=0. 6*-у+10=0; б) Зх+5у — 4=0, 2х—у—
—7=0, ж+6у—23=0; в) Зх+5у—17=0, 2х—у+6=0, х+Ъу—10=0.
1006. 19,5 см, л/2бТ см, ~2-=—см или 12,5 см, д/709 см, 2—=—см. 1008. Указание.
Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 283. 1009. Указание.
На продолжении отрезка АА\ отложить отрезок AiА2, равный АА\. Далее восполь-
воспользоваться задачей 953. 1010. а) Окружность радиуса 2АВ с центром в точке В',
4
симметричной точке В относительно точки А; б) окружность радиуса -%-АВ с цент-
2 3
ром в точке С, лежащей на отрезке АВ, причем АС=-^-АВ.
Глава XI
1013. а) 3|; б) ^; в) 0. 1014. а) ±-j; б) ±^-; в) ±1. 1015. а) 0; б) —^;
., 1; г) _f 10,6. |, -± -л/3; f. -f. -i; 4-. -* • -f • Ю18.
а) *=у=Ь^; 6) jc=O, у= 1,5; в) х= -^, i/=2,5; г) х= -1, у*0; д) х=^3,
у= 1.1019. а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 135°. 1020. а) 12 л/б см2; б) 27 см2; в) даЗб см2.
1022. 16 см. 1023. 25 см2. 1024. а) *ь'Нс ; б) о ¦ Н '5Ш/Р ¦ а,- 1025. а) ^С=
' 2 sin a 2sina-sm(a+B)
=80°, a«12.3, &да9,1; 6) Z.B=75°, сда4,5, a»2,3; в) А В да 37,989° да 37°59',
ZLC«62°01', еда 14; г) ^.4=65°, 6«19,2, сда25,5; д) /-Вда37.317°да37° 19',
11; е) с«5,7, jLA = /.B=63°; ж) ада53.84, Z.B»36.296°«
?82°41/, с».., w, ,., _..
«36°18', ^.Сда56°42'; з) 2.Лда42.833°«42°50', 2.В«60,941°«60°57'.
«76°13'; и) /.А да 54.883° да 54°52', Z. В да 84,270° да 84° 16', 2.Сда40°52'.
1026./4Вда15см,5лвсда87см2.1027./4С=6м,ЛВдаЗм,ВСда4м. 1028. /LBDC&
да 39,628° да 39°30', ZDBC« 117°52'. 1029. a-sina __.a-sin В
a-sin a-sin В
sin (а+В)-cosy
где у=-
если
, и Y=
¦ если
1030.
cosa- coS^=
*-4dW cos" a*
где Y — Угол между диагоналями параллелограмма. 1031. а) Остроугольный;
б) прямоугольный; в) тупоугольный. 1032. да74,2 кг. 1034. да28 см. 1035. 60* или
да47,112°да47°07'. 1036. да59 м. 1037. да 14,5 м. 1038. 50 м. 1039. а) 45°; б) 90°;
в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°. 1040. а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°;
319

д) 0°; е) 180°. 1041. а) Зл/2; б)'зУЗ; в) 0°; г) -ЗУ2. 1042. a) i-a2; б) -jo2;
в) 0; г) а2. 1043. 13. 1044. а) -2,5; б) 0; в) 5. 1047. а) ж=7,5; б) х=-|-; в) *=0.
1048. cos Л =-|-, cos В=0, cos С=-1- №49. АА=60°, ?В«2Г47', Z.C«98°13'.
° о .
1050. УТ29и 7. 1051. 3. 1052. 13. 1053. -5. 1057. BE=-j, AD=-j д/2+Уз, АЕ=
=~л!3, ЕС=-^- B-УЗ), ВС=ЬУ2-УЗ. 1058. а) «6,254 м2; б) «6449 073 м2.
1060. а) ZC=105°, ЛС«6 см, ВС«4 см; б) /-А=75°, ВС«6 см, ЛС«4 см;
в) Z.C«42°55', /iB«88°35', ЛС«4 см; г) Z./4«26°22', /iC«90°50jr, ЛВ«
11,7 см. 1061. а) ВС«12 см, Z.C«17°45', Z.B«27°15'; б) ЛС=У5 дм
¦ <71°34', ^С«63°26'; в) ЛВ«6,4 дм, ^Л«2°, ^В«28°. 1062.
'117°10', ^?«38°59',
1'. 1063.
2Ьс cos —
Ь+с
.Указание. Восполь-
зоваться формулой площади треугольника (п. 96). 1064. -yja2+Ь'г—2аЬ cos a.
с /о л
•065. ^—. 1066. 5. 1067. 15 и «10,6. 1068. х=40. 1069. 36°51'.
Глава XII
1078. а) Да; б) нет. 1079. б}, в). 1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°
1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12. 1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.
1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой
стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности.
1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правиль-
правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности. 1087. 1) R—3^2,
r=3, P = 24, S=36; 2) R = 2-fi, a4=4, Р=16, S=16; 3) г = 2^2, а4=4-уД,
P=16V2, S=32; 4) #=3,5л/2, r=3,5, a4=7, S=49; 5) R=2-fi, л = 2, a4=4,
P=16. 1088. 1) л=1,5, a3 =
; 2) Я=-|
О
; 3) J?-4, a3 =
; 5) #=^
S=,2V3; 4) R= ^ ^ f
=2, S=V3. 1089. 2 д/6 см. 1090. 2-^ см. 1091.6 см. 1092. 32 V3 см. 1094. а) 36 см2;
б) 16л/3 см2; в) 162УЗ" см2; г) «248,52 см2. 1095. ^Ф см2. 1096. SS:S<:S6
=УЗ:4:бУЗ. 1097. 3:4. 1098. а) 2УЗ г, бУз г, Зл/З г2; б) УЗЯ, Зд/ЗЯ, ^-R2.
1099. У2Я2. 1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 109.
1101. 1) 25,12; 2) 18,84; 3) 13,06; 4) 9; 5) 4,40; 6) 1; 7) 637,42; 8) 14,65; 9) 0,45.
1102. а) Увеличится в три раза; б) уменьшится в два раза; в) увеличится в
k раз; г) уменьшится в k раз. ПОЗ. а) Увеличится в k раз; б) уменьшится в k раз.
2лЬ2 . па
1104. а)
; г)
sin
a
¦; д) 8л. 1105. а) ла;
320
б) nc(-yj2— 1); в) nc(sina+cosa—1); г)
-. 110в. 1,5 м. 1107. ж 12 739 км.
1108. «42 013 км. 1109. а) л см; б) ул см; в) 2я см; г) Зл см. 1110. 30.
1111. «59,2 см. 1112. «36,2 см. 1113. «4°35'. 1114. 1) 12,56; 2) 78,5; 3) 1,69;
4) 0,26; 5) 7; 6) 9258,26; 7) 9,42; 8) 1,41. 1115. а) Увеличится в k2 раз; б) умень-
,, ...л ч Л(о2+Ь2) жч па2 я (а -\-4fi2J ,,,_ . ла
шится в к раз. 1116. а) ——j -; б) . g—; в) ^тз • '. а) -pj-;
.2
64А2
б)
яа2 sin2 a
f; в)
яа2 sin2 a
г; г)
яа'
а
-^. 1118.
34,2 м2.
1119. D « 13,06 м, S« 133,84 м2.1120.4л см2. 1121.0,75 мм. 1122.5,6л дм3« 17,6 дм3.
1123. г2 (л—21.1124. Площадь наименьшего круга равна я, а площади колец равны
— .1128. ^-т-а2. 1129. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6.
я 4
ИЗО. ^г^дм. 1131. 6,72 см. 1132. а) ^^; б) ^р3-. 1135. 6 см; 54 Уз см2.
2 о 4
1137. 330 км. 1138. а) «15,1 см; б) ла sin a. 1139. «4,4 км. 1141. Указание.
Пусть ABCDEFGH — искомый восьмиугольник, а О — центр описанной окруж-
окружности. Сначала построить равнобедренный треугольник АВО. 1142. Указание.
Использовать теорему Пифагора. 1143. Указание. Сначала вписать в окруж-
окружность правильные треугольник и шестиугольник.
Глава XIII
1151. Указание. Доказать методом от противного. 1154. Указание. Вос-
Воспользоваться теоремой п. 115. 1155. Указание. Доказательство провести ме-
методом от противного (см. доказательство теоремы п. 115). 1157. Указание.
Воспользоваться задачами 1156 и 1051. 1158. Указание. Сначала построить
образы каких-нибудь двух точек прямой Ь. 1159. F — четырехугольник. 1160. У к а-
з а н и е. Задача решается аналогично задаче 1158. 1161. F — треугольник.
1172. У к а з а н и е. Пусть М — произвольная точка прямой АВ, а М' — ее образ.
Используя равенства АМ=АМГ, ВМ = ВМ', доказать, что точки М и М' совпада-
совпадают. 1173. Указание. Воспользоваться задачей 1155. 1174. а) Указание.
Воспользоваться задачей 1157. 1175. Указание. Использовать симметрию от-
относительно прямой а. 1176. Указание. Использовать точки D\ и D2, симметрич-
симметричные точке D относительно прямых АВ и ВС. 1178. Указание. Использовать
параллельный перенос на вектор AD. 1179. Указание. Учесть, что высоты
треугольника, иа который отображается треугольник ABS при параллельном пе-
переносе на вектор ВС, пересекаются в одной точке. 1180. Указание. Исполь-
Использовать поворот вокруг точки О на угол в 120°. 1181. Указание. Снача-
Сначала построить прямую, симметричную одной из данных прямых относительно точ-
точки О. 1182. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция с основаниями AD
и ВС. Сначала построить треугольник ACD\, где D\ —точка, в которую отобра-
отображается точка D при параллельном переносе на вектор ВС.
321

что если
Задачн повышенной трудности
1184. Указание. Использовать координаты середин диагоналей АС и BD.
1186. У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что отношение соответствующих коорди-
координат векторов АС н СВ равно К. 1180. (*¦+**+*'. 0i+ft+№ \ у к а 3 а-
н и е. Воспользоваться задачей 1186. 1187. ?>(-гу;у^}.Указание. Восполь-
Воспользоваться задачами 535 и 1185. 1188. 3 ^Jb см. У к а з а н и е. Принять за оси коорди-
координат прямые AM и BN, 1189. ( *¦"«»+*2m2+*3m3 j/,m,+j/2m2+j/3m3 \
\ mi + m2+m3 mi + m2 + m3 /
1190. а) М ( 2—; 0J ; б) Л* B; 0) Указание. Воспользоваться тем,
две точки лежат по разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка является
точкой пересечения отрезка с концами в этих точках и оси абсцисс. 1191. Ука-
Указание, а) Пусть L — линия, заданная данным уравнением, а Мо (*0; уо) — неко-
некоторая ее точка. Написать уравнение серединного перпендикуляра к отрезку М|М2,
где М\ (хо—А; уо—В), М2(хо+А; уо+В), и убедиться в том, что оно совпадает с
данным уравнением, б) Учесть, что уравнение любой окружности не содержит
членов вида kxy, где k — число, A=?fcO. 1192. A; 0), (—0,6; 0,8), —?-. Ц93. а) Окруж-
и
ность, точка или пустое множество, б) Прямая, вся плоскость или пустое множест-
множество. Указание. Вывести уравнение искомого множества точек. 1194. Окруж-
Окружность без одной точки. Указание. Вывести уравнение искомого множества
точек, задав систему координат так, чтобы прямая а совпала с одной из осей коор-
координат, а точка А лежала на другой оси. 1196. Окружность радиуса kR, где R — ра-
радиус данной окружности. Указание. Ввести систему координат с началом в
точке О и вывести уравнение искомого множества. 1198. б) Указание. Восполь-
Воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. 1197. Указание. По-
Положив MN — a, сначала найти площадь треугольника АМВ и стороны AM и ВМ.
1198. Указание. Доказать, что в любом выпуклом четырехугольнике ABCD
имеет место равенство SOdc^oab=^obc^oad (О — точка пересечения диа-
диагоналей). 1199. Указание. Доказать утверждение сначала для выпуклого че-
четырехугольника. Для этого провести диагональ, соединяющую общий конец сто-
сторон а и d с общим концом сторон бис, и найти площади получившихся треуголь-
треугольников. 1200. Указание. Воспользоваться тем, что SABC=SAAlB+SAA c.
1201
¦V*
ч
clab+d2ab+aidc+b2dc
где а, Ь, с, d —
ad+bc ' V ab+dc
стороны вписанного четырехугольника. 1202. Указание. Пользуясь теоремой
косинусов, доказать, что синус угла, заключенного между сторонами а и Ь, равен
2^{p-a)(p-b)(jj-c){p-d) 1Я „
ab,cd ~» где р — полупериметр. 1203. Указание Дока-
Доказать сначала, что прямая, проходящая через центры вписанной и описанной
Окружностей, перпендикулярна одной из биссектрис тогда и только тогда, когда
вписанная окружность касается одной из сторон треугольника в точке, равноуда-
равноудаленной от середины этой стороны и основания высоты, проведенной к этой стороне.
1204. 72 sin a cos3 а. 1205. 2
1207. Указание. Сначала
__]йти и сравнить углы ВАС и АОВ. 1208. Указание. Воспользоваться зада-
lefi 1207. 1209. Указание. Пусть М — середина отрезка А\Ак. Доказать, что
-ольник АСМ равнобедренный, и, пользуясь этим, установить, что центр опи-
шной около пятиугольника окружности совпадает с центром окружности, впи-
.анной в треугольник А СМ. 1210. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1208.
,211. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1210. 1212. Указание. Восполь-
>ваться задачей 1211. 1213. Указание. Соединить точку М отрезками с вер-
вершами многоугольника и представить площадь многоугольника в виде суммы пло-
1Дей полученных треугольников. 1214. Указание. Воспользоваться задачей
„. 1219. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 1156. 1220. Указание. По-
•роить равные равнобедренные треугольники ABC и А\В\С\ с прямыми углами А
Ах и воспользоваться задачей 1156. 1222. Указание. Пусть ABCD и
\B\C\D\ — данные трапеции с большими основаниями АВ и А\В\. На лучах АВ
. АхВх отложить отрезки АЕ=0С и AlEl=DiC, и к треугольникам ВСЕ и B,C,?i
[рименить утверждение задачи 1156. 1223. Указание. Пусть ABC и А\ВуСх —
шные треугольники, АВ=АхВх, AC=AlCl, Z.B-?C= ZLB.-Z1C,. Рассмот-
:ь две осевые симметрии относительно прямых, содержащих высоты АН и А\Н\
!ных треугольников. 1224. Указание. Использовать центральную симметрию
„..юсительно точки пересечения диагоналей одного из параллелограммов.
1226. Указание. Использовать осевую симметрию относительно данной пря-
прямой. 1226. Указание. Если точка М лежит на стороне ОВ, то сначала по-
построить прямую, симметричную прямой АО относительно точки М. 122а Указа-
Указание. Пусть О — точка пересечения медиан искомого треугольника ABC, a d —
точка, симметричная точке О относительно середины стороны АС. Сначала по-
построить aAOOi. 1229. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция с основа-
основаниями АВ и CD. Использовать параллельный перенос на вектор АВ. 1230. Указа-
Указание. Использовать параллельный перенос на вектор АВ. 1231. Указание. Ис-
Использовать поворот вокруг точки А на угол 90°.
322

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса точки 224
Аксиома 56
— параллельных прямых 58
Аксиомы планиметрии 94
Астролябия 19
Биссектриса треугольника 32
— угла 12
Боковая сторона равнобедренного треу-
треугольника 34
трапеции 98
Вектор 185
— нулевой 186
— , противоположный данному 195
Векторы коллинеарные 187
— противоположно направленные 187
— равные 188
— сонаправленные 187
Вершина угла 8
Вершины многоугольника 94
— треугольника 27
— четырехугольника 95
— четырехугольника, противополож-
противоположные 96
Взаимное расположение прямой и
окружности 158
Внешний угол треугольника 66
Внешняя (внутренняя) область много-
многоугольника 94
угла 9
Вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же дугу 165
— полуокружность 165
Вписанный треугольник 175
— угол 164
Выпуклый многоугольник 95
324
— четырехугольник 96
Высота параллелограмма 120
— трапеции 123
— треугольника 33
Вычитание векторов 194
Гипотенуза прямоугольного треуголь-
треугольника 67
Градус 17
Градусная мера дуги окружности 162
угла 18
Движение 274
Деление отрезка в данном отноше-
отношении 149
Дециметр 15
Диагональ многоугольника 94
Диаметр окружности 42
Длина (модель) вектора 186
— дуги окружности 266
— окружности 264
— отрезка 13
Доказательство теоремы 28
— методом от противного 60
Дуга, большая полуокружности 163
—, меньшая полуокружности 163
— окружности 42
Евклидова геометрия 57
Единица измерения отрезков 13
площадей 114
Задача о квадратуре круга 267
Задачи на построение 43
Законы сложения векторов 192
— умножения вектора на число 198
Замечательные точки треугольника 169
Измерение высоты предмета 144
— отрезков 13
— расстояния до недоступной точки 145
— углов 17
Измерительные работы на местности 144
Касательная к окружности 159
Катет прямоугольного треугольника 67
Квадрат 106
Километр 15
Концы отрезка 6
Координатные векторы 220
Координаты вектора 220
— середины отрезка 225
— точки 223
Косинус угла 239
Коэффициент подобия треугольников 134
Круг 43
Круговой сектор 267
Лемма 218
— о коллинеарных векторах 218
Луч 8
— делит угол на два угла 9
Малка 55
Медиана треугольника 32
Метод координат 218
— подобия при решении задач на
построение 143
Метр 14
Миллиметр 13
Минута 18
Многоугольник 94
— , вписанный в окружность 175
— выпуклый 95
— , описанный около окружности 174
— правильный 258
Наклонная 77
Накрест лежащие углы 53
Наложение 275
Начало вектора 185
— луча 8
Неравенство треугольника 69
Обратная теорема 59
Односторонние углы 53
Окружность 41
— Аполлония 235
— , вписанная в многоугольник 174
— , описанная около многоугольни-
многоугольника 175
Описанный треугольник 174
Определение 41
Ордината точки 224
Осевая симметрия 107, 273
Основание параллелограмма 120
— перпендикуляра 31
— равнобедренного треугольника 34
Основания' трапеции 98
Основное тригонометрическое тождест-
тождество 151, 240
Ось симметрии фигуры 107
Откладывание вектора от данной точ-
точки 188
Отношение отрезков 133
Отображение плоскости на себя 273
Отрезки параллельные 52
Отрезок 6
— , отложенный на луче от его на-
начала 56
Параллелограмм 96
Параллельный перенос 278
Периметр многоугольника 94
— треугольника 27
Перпендикуляр, проведенный из точки
к прямой 31
Перпендикулярные прямые 22
Площадь квадрата 117
— круга 266
—- кругового сектора 267
— многоугольника 114
, основные свойства 116
— параллелограмма 120
— прямоугольника 118
— прямоугольного треугольника 122
— трапеции 123
— треугольника 121
Поворот 279
Подобие произвольных фигур 145
Подобные треугольники 133
Полуокружность 163
— единичная 239
Построение биссектрисы угла 44
325

— касательной к окружности 161, 168
— отрезка, равного данному 43
— параллельных прямых 54
— перпендикулярных прямых 45
— правильного многоугольника 261
— прямой, перпендикулярной к дан-
данной 45
— прямых углов на местности 23
— разности векторов 194
— середины отрезка 45
— точек, делящих отрезок в дан-
данном отношении 149
— точек, делящих отрезок на п рав-
равных частей 104
— треугольника по двум сторонам и
углу между ними 79
стороне и прилежащим к
ней углам 80
трем сторонам 80
— угла, равного данному 43
Построения циркулем и линейкой 43
Правило многоугольника сложения век-
векторов 194
— параллелограмма сложения не-
коллннеарных векторов 193
— треугольника сложения векто-
векторов 191
Практические приложения подобия
треугольников 143
— способы построения отрезков па-
параллельных прямых 54
Признак касательной 160
Признаки параллелограмма 98
— параллельности двух прямых 52
— подобия треугольников 137
— прямоугольника 195
— равенства треугольников 28, 37
прямоугольных треугольни-
треугольников 73
Применение векторов к решению за-
задач 199
Применение метода координат к реше-
решению задач 228
Провешивание прямой на местности 7
Произведение вектора на число 198
Пропорциональные отрезки 133
в прямоугольном треугольни-
треугольнике 142
326
Прямая 5
Прямоугольная система координат 220
Прямоугольник 105
Прямые не пересекаются 6
— параллельные 52
— пересекаются 6
Равнобедренная трапеция 99
Равные векторы 188
— отрезки 11
— углы 12
— фигуры 11
Радиус-вектор точки 224
Радиус окружности 42
Разложение вектора по двум некол-
линеарным векторам 2№
Разность векторов 194
Расстояние между двумя точками 226
параллельными прямыми 78
— от точки до прямой 77
Рейсмус 79
Рейсшина 55
Решение треугольников 243
Ромб 105
Рулетка 15
Сантиметр 15
Свойства квадрата 106
— параллелограмма 97
— параллельных прямых 59, 60, 61
— прямоугольника 105
— прямоугольных треугольников 72
— ромба 105
Свойство описанного четырехугольни-
четырехугольника 175
— отрезков касательных, проведен-
проведенных из одной точки 160
— углов вписанного четырехуголь-
четырехугольника 176
— углов равнобедренного треуголь-
треугольника 34
Секунда 18
Середина отрезка 11
Серединный перпендикуляр к отрез-
отрезку 170
Симметричные точки 106, 107
— фигуры 106, 107
Симметрия фигур 106, 107
iyc угла 239
[едствие 58
Соотношения между сторонами и угла-
прямоугольного треугольника 149
— — треугольника 68
Сравнение отрезков 11
— углов 12
[Средняя линия трапеции 200
треугольника 141
Стороны многоугольника 94
— треугольника 27
— угла 8
— четырехугольника 95
, противоположные 95
Сумма двух векторов 191
— нескольких векторов 193
— углов выпуклого многоугольни-
многоугольника 95
треугольника 66
Тангенс угла 240
Теодолит 23
Теорема 28
— косинусов 243
— об отношении площадей подобных
треугольников 134
треугольников, имеющих по
равному углу 122
— — окружности, вписанной в тре-
треугольник 174
— , описанной около треуголь-
треугольника 176
углах равнобедренного тре-
треугольника 34
— о биссектрисе равнобедренного
треугольника 34
угла 34
вписанном угле 164
пересечении высот треуголь-
треугольника 171
перпендикуляре к прямой 31
произведении отрезков пересе-
пересекающихся хорд 165
расстоянии между параллель-
параллельными прямыми 78
свойстве касательной 159
серединном перпендикуляре к
отрезку 170
соотношениях между сторона-
сторонами и углами треугольника 68
средней линии трапеции 200
треугольника 141
— — сумме углов треугольника 66
— , обратная теореме о свойстве ка-
касательной 160
— Пифагора 125
— , обратная теореме Пифагора 127
— синусов 242
— Фалеса 101
Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей 59
Точка 5
— касания 159
— пересечения биссектрис треуголь-
треугольника 169
медиан треугольника 141
— — серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника 171
Транспортир 18
Трапеция 98
— прямоугольная 99
Треугольник 27
— египетский 127
— остроугольный 67
— прямоугольный 67
— равнобедренный 34
— равносторонний 34
— тупоугольный 67
Треугольники пифагоровы 127
Углы вертикальные 21
— накрест лежащие 53
— односторонние 53
— смежные 21
— соответственные 53
— треугольника 27
Угол выпуклого многоугольника 95
— между векторами 248
— неразвернутый и развернутый 8
— острый 19
— прямой 19
— тупой 19
— центральный 163
Уголковый отражатель 74
Умножение вектора на число 198
Уравнение линии на плоскости 230
327

— окружности 230
— прямой 231
Фигуры равные 11
Формула для вычисления угла правиль-
правильного п-угольника 258
Формулы для вычисления координат
точки 240
стороны правильного мно-
многоугольника и радиуса впи-
вписанной окружности 260
Хорда окружности 42
Центр окружности 42
— правильного многоугольника 260
— симметрии фигуры 108
Центральная симметрия 108
Центрально-подобные фигуры 146
Центральный угол 163
Четыре замечательные точки треуголь-
треугольника 169
Четырехугольник 95
Штангенциркуль 15
Экер 23
Элементы треугольника 28
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
7 класс
Глава I. Начальные геометрические сведения
§ 1. Прямая и отрезок
1. Точки, прямые, отрезки
2. Провешивание прямой на местности
Практические задания
§ 2. Луч и угол
3. Луч
4. Угол
Практические задания и вопросы
§ 3. Сравнение отрезков и углов
5. Равенство геометрических фигур
6. Сравнение отрезков и углов
Вопросы и задачи
§ 4. Измерение отрезков
7. Длина отрезка
8. Единицы измерения. Измерительные инструменты 14
Практические задания
Вопросы и задачи
§ 5. Измерение углов
9. Градусная мера угла —
10. Измерение углов на местности 19
Практические задания
Вопросы и задачи >
§ 6. Перпендикулярные прямые
11. Смежные и вертикальные углы
12. Перпендикулярные прямые 22
13. Построение прямых углов на местности
Практические задания
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе I
ДополнителБные задачи ....'....*
6
7
8
9
10
11
12
13
15
16
17
20
21
23
24
25
329

Глава II. Треугольники
$ 1. Первый признак равенства треугольников 27
14. Треугольник —
15. Первый признак равенства треугольников 28
Практические задания . 29
Вопросы и задачи —
$ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 31
16. Перпендикуляр к прямой —
17. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 32
18. Свойства равнобедренного треугольника 34
Практические задания 35
Задачи —
$ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников 37
19. Второй признак равенства треугольников —
20. Третий признак равенства треугольников 38
Задачи 39
$ 4. Задачи на построение 41
21. Окружность —
22. Построения циркулем и линейкой 43
23. Примеры задач на построение —
Вопросы н задачи 46
Вопросы для повторения к главе II 47
Дополнительные задачи 48
Глава III. Параллельные прямые
§ 1. Признаки параллельности двух прямых 52
24. Определение параллельности прямых —
25. Признаки параллельности двух прямых —
26. Практические способы построения параллельных прямых ... 54
Вопросы и задачи 55
$ 2. Аксиома параллельных прямых 56
27. Об аксиомах геометрии 57
28. Аксиома параллельных прямых —
29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и
секущей . 59
Вопросы и задачи 61
Вопросы для повторения к главе III 63
Дополнительные задачи 64
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника
§ 1. Сумма углов треугольника 66
30. Теорема о сумме углов треугольника. « —
31. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. . . 67
Задачи —
$ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 68
32: Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. . —
33. Неравенство треугольника 69
Вопросы и задачи 70
330
$ 3. Прямоугольные треугольники .
34. Некоторые свойства прямоугольных треугольников
35. Признаки равенства прямоугольных треугольников
36* Уголковый отражатель
Задачи
§ 4. Построение треугольника по трем элементам
37. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными
прямыми
38. Построение треугольника потрем элементам
Вопросы и задачи
Задачи на построение
Вопросы для повторения к главе IV
Дополнительные задачи
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе I
Задачи к главе II
Задачи к главам 111 и IV
Задачи на построение
8 класс
Глава V. Четырехугольники
§ 1. Многоугольники
39. Многоугольник
40. Выпуклый многоугольник. .
41. Четырехугольник
Вопросы и задачи
$ 2. Параллелограмм и трапеция .
42. Параллелограмм
43. Признаки параллелограмма.
44. Трапеция
Задачи
Задачи на построение
§ 3. Прямоугольник, ромб, квадрат
45. Прямоугольник
46. Ромб и квадрат
47. Осевая и центральная симметрии.
Вопросы и задачи
Вопросы для повторения к главе V .
Дополнительные задачи
Глава VI. Площадь
§ 1. Площадь многоугольника
48. Понятие площади многоугольника
49*. Площадь квадрата
50. Площадь прямоугольника
Вопросы и задачи
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
72
73
74
75
77
79
81
84
85
88
89
90
94
95
96
98
99
102
105
106
109
111
112
114
117
118
119
120
331

51. Площадь параллелограмма 120
52. Площадь треугольника. . 121
53. Площадь трапеции 123
Задачи 124
§ 3. Теорема Пифагора 125
54. Теорема Пифагора —
55. Теорема, обратная теореме Пифагора 127
Задачи 128
Вопросы для повторения к главе VI 129
Дополнительные задачи 130
Задачи для решения с помощью микрокалькулятора 132
Глава VII. Подобные треугольники
§ 1. Определение подобных треугольников 133
56. Пропорциональные отрезки —
57. Определение подобных треугольников —
58. Отношение площадей подобных треугольников 134
Вопросы и задачи 135
§ 2. Признаки подобия треугольников 137
59. Первый признак подобия треугольников —
60. Второй признак подобия треугольников —
61. Третий признак подобия треугольников 138
Вопросы и задачи 139
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач ... 141
62. Средняя линия треугольника —
63. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. . . . 142
64. Практические приложения подобия треугольников 143
65. О подобии произвольных фигур 145
Вопросы и задачи 146
Задачи на построение 149
§ 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника —
66. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. —
67. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45е и 60°. . . 151
Задачи 152
Вопросы для повторения к главе VII 153
Дополнительные задачи 154
Задачи для решения с помощью микрокалькулятора 156
Глава VIII. Окружность
§ 1. Касательная к окружности 158
68. Взаимное расположение прямой и окружности —
69. Касательная к окружности 159
Задачи 161
§ 2. Центральные и вписанные углы 162
70. Градусная мера дуги окружности —
71. Теорема о вписанном угле 164
Задачи 166
332
§ 3. Четыре замечательные точки треугольника 169
72. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку. —
73. Теорема о пересечении высот треугольника 171
Задачи 172
§ 4. Вписанная и описанная окружности 174
74. Вписанная окружность —
75. Описанная окружность 175
Задачи 177
Вопросы для повторения к главе VIII 178
Дополнительные задачи 180
Глава IX. Векторы
§ 1. Понятие вектора 185
76. Понятие вектора —
77. Равенство векторов 187
78. Откладывание вектора от данной точки 188
Практические задания 189
Вопросы и задачи 190
§ 2. Сложение и вычитание векторов 191
79. Сумма двух векторов —
80. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма 192
81. Сумма нескольких векторов 193
82. Вычитание векторов 194
Практические задания 196
Вопросы и задачи —
§ 3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. 198
83. Произведение вектора на число —
84. Применение векторов к решению задач 199
85. Средняя линия трапеции 200
Практические задания 201
Задачи —
Вопросы для повторения к главе IX 204
Дополнительные задачи 205
Задачи повышенной трудности 206
Задачи к главе V —
Задачи к главе VI 207
Задачи к главе VII 209
Задачи к главе VIII 212
Задачи к главе IX 215
9 класс
Глава X. Метод координат
§ 1. Координаты вектора
86. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. .
87. Координаты вектора
Задачи

§ 2. Простейшие задачи в координатах 223
88. Связь между координатами вектора и координатами его начала и
конца —
89. Простейшие задачи в координатах 225
Задачи 226
§ 3. Уравнения окружности и прямой 230
90. Уравнение линии на плоскости -—
91. Уравнение окружности —
92. Уравнение прямой 231
Задачи 232
Вопросы для повторения к главе X 236
Дополнительные задачи 237
Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов
$ 1. Синус, косинус, тангенс угла 239
93. Синус, косинус, тангенс —
94. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. . 240
95. Формулы для вычисления координат точки. . . —
Задачи 241
$ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника —
96. Теорема о площади треугольника —
97. Теорема синусов 242
98. Теорема косинусов 243
99. Решение треугольников —
100. Измерительные работы 245
Задачи —
$ 3. Скалярное произведение векторов 248
101. Угол между векторами —
102. Скалярное произведение векторов —
103. Скалярное произведение в координатах 249
104. Свойства скалярного произведения векторов 250
Задачи 251
Вопросы для повторения к главе XI 253
Дополнительные задачи 254
Задачи для решения с помощью программируемых микрокалькуляторов
МК-54 — МК-57 —
Глава XII. Длина окружности и площадь круга
) 1. Правильные многоугольники 258
105. Правильный многоугольник —
106. Окружность, описанная около правильного многоугольника. . . —
107. Окружность, вписанная в правильный многоугольник 259
108. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника,
его стороны и радиуса вписанной окружности 260
109. Построение правильных многоугольников 261
Вопросы и задачи 262
$ 2. Длина окружности и площадь круга 264
ЗЭ4
110. Длина окружности
111. Площадь круга 266
112. Площадь кругового сектора 267
Вопросы и задачи —
Вопросы для повторения к главе XII 270
Дополнительные задачи —
Задачи для решения с помощью программируемых микрокалькуляторов
МК-54 —МК-57 272
Глава XIII. Движения
§ 1. Понятие движения
113. Отображения плоскости на себя
114. Понятие движения
115*. Наложения и движения
Задачи
§ 2. Параллельный перенос и поворот
116. Параллельный перенос
117. Поворот
Задачи
Вопросы для повторения к главе ХШ
Дополнительные задачи
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе X
Задачи к главе XI
Задачи к главе XII
Задачи к главе XIII
Приложение 1. Об аксиомах планиметрии
Приложение 2. Примеры использования таблиц тригонометрических
функций
Приложение 3. Некоторые сведения о развитии геометрии .
Приложение 4. Некоторые замечательные теоремы планиметрии .
Ответы и указания
Предметный указатель
273
275
277
278
279
281
283
285
286
287
289
294
296
299
304
324

Учебное издание
Атанасян Левой Сергеевич
Бутузов Валентин Федорович
Кадомцев Сергей Борисович
Позняк Эдуард Генрихович
Юдина Ирина Игоревна
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 7—9 классов средней школы
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Туркестанская
Младший редактор Е. А. Буюклян
Художники Б. С. Вехтер, Е. П. Титков
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор С. С. Якушкина
Корректор И. В. Белоусова
ИБ № 13908
Подписано к печати с диапозитивов 05.03.91. Формат 60X90'/i6- Бум. тип. № 1.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 21,0 + 0,25 форз. Усл.
кр.-отт. 22,19. Уч.-изд. л. 18,57 + 0,42 форз. Тираж 1935 000 экз. Заказ 37.
Цена 2 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерст-
Министерства печати и массовой информации РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Министерства печати и массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Чер-
Чернышевского, 59.