ТЕОРИЯ
ELEMENTS OF
ADVANCED QUANTUM
THEORY
by
J. M. ZIMAN, F. R. S.
Professor
of Theoretical Physics
in the University
of Bristol
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1868
Дж. Займан
СОВРЕМЕННАЯ
НВАНТОВАЯ
ТЕОРИЯ
Перевод с английского
И. П. ЗВЯГИНА и А. Г. МИРОНОВА
Под редакцией
В. Л. БОНЧ-БРУЕВИЧА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА
1971
УДК 530.145
Книга известного английского физика-теоретика Дж. М. Зай-
мана содержит изложение важнейших новых методов квантовой
механики. Особое внимание уделяется методам решения квантово-
механических задач многих тел (аппарат функций Грина), а также
теории симметрии [группа 51/(3)].
Книга отличается ясностью изложения и может быть рекомен-
дована физикам всех рангов, теоретикам и экспериментаторам.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Только предварительный заказ на книги в магазинах, торгующих
научно-технической литературой, обеспечит своевременное получение
интересующих Вас книг.
Редакция литературы по физике
Инд. 2-3-7
61-71
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Разделение физики на экспериментальную и теоретическую
сложилось скорее исторически. К сожалению, терпеть последствия
этого исторически сложившегося факта приходится нам. Беда
усугубляется еще и темпом развития современной науки. Именно
по этой причине едва ли не каждый год приходится менять про-
граммы университетских спецкурсов — но что же делать людям,
которые университет уже окончили?! Положение, в котором они
оказываются, живо обрисовано в предисловии автора к англий-
скому изданию этой книги. Результат известен, достаточно вспо-
мнить полу (?) шутливую фразу из статьи двух весьма уважаемых
авторов в юбилейном номере журнала, посвященном Н. Ф. Мотту:
«Мы хотели бы выразить благодарность профессору сэру Невилю
Мотту... который защищает нас от избытка функций Грина» [1].
По-видимому, известен и выход из положения: кто-то из «этих
надменных экспертов-теоретиков» [2] должен спуститься с небес
на землю и написать книгу, которую мог бы понять любой куль-
турный человек с физическим образованием. Отнюдь не согла-
шаясь отнести к автору книги всю красочную характеристику, со-
держащуюся в цитированной выше его фразе, редактор перевода
хотел бы особенно подчеркнуть в ней одно слово — эксперт. Речь
идет не только и даже не столько о хорошо известных важных
оригинальных исследованиях автора, сколько о его книгах. Две
из них [3, 4] хорошо известны советскому читателю. Хотелось бы
надеяться, что не меньшим успехом будет пользоваться и эта,
третья, —она того заслуживает.
Разумеется, как и всегда в подобных случаях, автора можно
было бы обвинить в том, что он чего-то не рассказал, а про что-то
рассказал не так, как бы хотелось переводчикам, рецензенту, дан-
ному конкретному читателю или редактору. Так, автору этого пре-
дисловия было бы приятнее, если бы вопрос о граничных усло-
виях, накладываемых на функции Грина, и соответственно об ана-
литических свойствах последних в плоскости комплексной энергии
был бы изложен более полно, чем это сделано в гл. 4. Нельзя не
заметить, однако, что написать по этому поводу несколько под-
строчных примечаний (что редактор и сделал) проще, нежели со-'
чинить всю книгу.
6
От редактора перевода
Будучи написана как учебник, призванный служить введением
в аппарат современной квантовой механики, книга практически
не содержит библиографических ссылок. Авторам соответствую-
щих работ вряд ли следует на это обижаться, скорее можно ра-
доваться: их работы стали столь известными, что даже потеряли
имена авторов. По этой причине никаких библиографических ссы-
лок не добавлял и редактор.
Книгу можно рекомендовать студентам-физикам старших кур-
сов, а также преподавателям университетов и научным работни-
кам всех рангов — как теоретикам, желающим посмотреть, сколь
просто можно говорить об их премудрости, так особенно и экспе-
риментаторам.
В. Л. Бонч-Бруевич
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Kastner М., Fritzshe Н., Mat. Res. Bull., 5, 631 (1970).
2.	3 а й и а и Дж., Современная квантовая механика, стр. 7, изд-во «Мир»
1971.
3.	3 а й м а н Дж., Электроны и фононы, ИЛ, 1962.
4.	Займан Дж., Принципы теории твердого тела, нзд-во «Мир», 1966.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сэр, я нашел для Вас довод, но
я не обязан добиваться, чтобы Вы
поняли его
Са июэл Джонсон
Вероятно, не было еще эпохи, когда бы физики с особым ма-
тематическим складом мышления не мистифицировали современ-
ников своим абстрактным языком. Однако за последние полвека
квантовая механика воспарила к таким заоблачным высотам, что
большинство исследователей уже не в состоянии разобраться в
теоретических работах по своей собственной специальности. По-
истине нельзя считать нормальным такое положение, когда наблю-
дать и измерять должны одни — «экспериментаторы», а вся задача
осмысливания результатов составляет удел других —этих надмен-
ных экспертов-«теоретиков».
Задача создания современных руководств как для студентов,
так и для зрелых научных работников является общей для всех
областей науки. Однако квантовая теория вследствие ее иерар-
хической структуры представляет в этом отношении особые труд-
ности. Более абстрактные разделы теории и методы расчета вы-
глядят совершенно бессмысленными до тех пор, пока не освоены
предыдущие стадии. Новые общие положения практически не
заменяют прежних эмпирических закономерностей и приближе-
ний. Не существует прямого пути сразу к верхним ступеням
пирамиды.
Даже этот наглядный образ может ввести в заблуждение, если
он вызывает в воображении плавный постепенный подъем, кото-
рый можно преодолеть, усердно перебирая руками и ногами. По
моему убеждению, квантовая теория гораздо более напоминает
зиккурат—ступенчатую пирамиду со внезапными и высокими
крутыми уступами, которые нужно преодолеть, чтобы получить
возможность свободно продвигаться по следующему плато аб-
стракции. Умственный скачок вверх у каждого из этих барьеров
требует таких же усилий, как, скажем, овладение дифференциаль-
ным исчислением или эвклидовым методом в геометрии.
Первый значительный шаг на пути от классической к кванто-
вой механике состоит в принятии вытекающих из опыта доказа-
тельств волновой природы вещества и вероятностного характера
микроскопических явлений. Поднявшись на этот уровень, изучаю-
щий уже может, пользуясь уравнением Шредингера, объяснить
эффекты, связанные с атомными и ядерными энергетическими уров-
нями, дифракцию электронов и нейтронов, туннелирование и т. д.
8
Предисловие
Второй этап состоит в изучении языка гильбертова простран-
ства— состояний и операторов, наблюдаемых, матричных элемен-
тов, теории возмущений; в переводе на этот язык может быть
описана обширная область физических явлений, касающихся эле-
ментарных частиц, ядер, атомов и молекул. Этот язык так хорошо
обоснован в принципиальном отношении и так богат приложе-
ниями, что большая часть физиков заканчивает свое формальное
образование на этих полого поднимающихся полях, где столь мно-
гое можно понять ценой столь незначительных добавочных усилий.
Однако, когда студент, закончив обучение, приступает к актив-
ной исследовательской работе, он зачастую сталкивается в теоре-
тической литературе с еще одним барьером таинственных симво-
лов и понятий — операторами поля, диаграммами, пропагаторами,
функциями Грина, спинорами, S-матрицей, неприводимыми пред-
ставлениями, непрерывными группами и т. д. Хотя облаченные
в эту терминологию идеи не всегда тесно связаны между собой
математически, одновременное использование их во многих раз-
личных областях физики приводит к тому, что эта следующая сту-
пень кажется даже более высокой и крутой, чем уже преодолен-
ные. Не удивительно поэтому, что физики, не являющиеся специа-
листами в математической теории, отказываются от нового
восхождения, несмотря на очевидную ценность того, что они мо-
гут мельком увидеть в облаках, плывущих над их головами.
Предлагаемая книга представляет собой попытку объяснить
как можно проще внутреннюю сущность этих различных понятий
и методов. Прочитав ее, студент, сталкивающийся в литературе,
скажем, с формулой Кубо, или со ссылкой на уравнение Бете —
Солпитера, или с таблицей характеров, должен быть способен
сказать себе: «Мне понятно, чего он хочет», — и иметь достаточно
уверенности в себе для того, чтобы и далее следить за рассуж-
дениями. Это не парадный трап, но я надеюсь, что книга послу-
жит лесенкой на пути к интеллектуальным высотам.
Исходный уровень подготовки, предполагаемый мною, — обыч-
ный уровень хорошего выпускника физического факультета анг-
лийского университета, год или два ведущего исследования и все
еще не утратившего некоторой жажды знаний. Читатель должен
быть лишь немного знаком с функциональным анализом и аб-
страктной алгеброй, а также с основными физическими принци-
пами электромагнетизма, статистической механики и специальной
теорией относительности; однако необходимо совершенно свободно
обращаться с аппаратом квантовой механики в формализме Ди-
рака— фон Неймана, т. е. с матричными представлениями, орто-
гональными функциями, операторами, собственными значениями
и т. д. Естественно, предполагается также, что читатель знаком
с основными фактами, относящимися к элементарным частицам,
ядрам, атомам и кристаллическим твердым телам, на уровне, до-
П редисловие
9
стираемом после прослушивания нескольких дюжин лекций по
каждому из указанных предметов.
Главные вопросы, которые здесь будут рассматриваться, ко-
нечно, подробно освещены во многих других книгах. Однако в каж-
дом конкретном случае наилучшее изложение часто можно найти
только в том труде, в котором дается приложение нового метода
к той или иной конкретной области физики. Отнюдь не просто из-
влечь ключевые принципиальные положения из массы мелких под-
робностей, да в таких работах, как правило, и неуместно подчерки-
вать широкую область их применимости. Например, диаграммный
метод Фейнмана обычно излагается либо в весьма специализирован-
ном контексте проблемы многих тел в физике твердого тела, либо же
совместно со всеми добавочными усложнениями, связанными с реля-
тивистской инвариантностью, которые возникают в теории элементар-
ных частиц. Важнейшая идея здесь состоит, несомненно, в том, что
диаграмма точно представляет определенный тип членов в ряде тео-
рии возмущений и что с помощью топологических соображений
можно просуммировать целые классы таких членов. Все остальное —
не более чем детали, которые нетрудно восполнить при переходе
к рассмотрению каждой конкретной задачи.
С другой стороны, чрезмерная математическая абстрактность
свела бы на нет мои намерения. Нет ничего более отталкиваю-
щего для нормального человека, чем клиническая последователь-
ность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами лис-
тах математиков. Логическая строгость, достигаемая подобными
исследованиями, чрезвычайно ценна, но она едва ли может по-
явиться прежде, чем мы ухватили саму идею. Геометрия суще-
ствовала до Эвклида, анализ — до Коши, а смысл неприводимых
представлений группы можно понять и без доказательства леммы
Шура в самой общей ее формулировке. Я попытался дать связный
математический вывод важных результатов, избегая делать утвер-
ждения, которые могли бы оказаться неверными. Однако в том,
что касается сопутствующих вопросов строгости, существования
и исключений, я рекомендую читателю обратиться к оригиналь-
ным трудам. Если вы не понимаете или не верите тому, что я
пишу по тому или иному вопросу, не принимайте всю вину на
себя, а попытайтесь отыскать истину где-либо в другом месте.
Оставаясь в рамках этих физических и математических огра-
ничений, едва ли можно привести доступные для самостоятельной
проработки «упражнения», помогающие читателю в закреплении
освоенного материала, — в каждой новой задаче пришлось бы
больше объяснять, чем оставлять для самостоятельного решения.
Однако данную книгу следует использовать вместе с другими, бо-
лее специализированными работами, основные соображения и на-
боры отдельных «примеров» в которых должны оказаться по си-
лам наиболее серьезному студенту.
10
Предисловие
Я решил также не пытаться составить библиографию относя-
щихся к делу работ. Простой каталог всех книг и обзорных ста-
тей по всем аспектам квантовой механики был бы не слишком
полезен. Мой собственный опыт ограничивается теми работами,
которые оказались у меня под рукой, и я не считаю себя компе-
тентным справедливо судить о достоинствах этих и других, менее
известных работ.
По правде говоря, следует признаться, что я не являюсь спе-
циалистом по большинству вопросов, рассматриваемых в настоя-
щей книге. В течение почти двадцати лет я ухитрялся создавать
видимость работы по теории твердого тела, обладая лишь не-
много более серьезным аналитическим оснащением, чем то, кото-
рое можно приобрести с помощью 3-го издания «Квантовой меха-
ники» Дирака. Но этот обман не мог продолжаться до бесконеч-
ности. Перейдя на работу в Бристоль в 1964 г., я предложил про-
читать курс лекций по теоретико-полевым методам в физике твер-
дого тела как для собственной пользы, так и для того, чтобы
ознакомить с этими методами наших студентов, экспериментато-
ров и теоретиков. Когда пришло время повторить эти лекции
в следующем году, я решился записать их более аккуратно, воз-
можно, с целью опубликования. Первые три главы помогли мне
уяснить многое из того, что я ранее понимал лишь наполовину;
это побудило меня расширить поставленные прежде рамки и вы-
учиться многим другим вещам, относительно которых я не знал по
существу ничего. Этому приятному делу самообразования были по-
священы мои занятия в течение зимних месяцев последних двух лет,
когда я писал остальные главы и на этой основе читал лекции. Даже
труд по перенесению математических формул в машинописные ко-
пии был не слишком утомительным — многие из усыпляющих по-
слеполуденных часов сидения в академических комитетах станови-
лись сносными благодаря этой непритязательной деятельности.
В оправдание своей дерзости — выпуска в продажу работы
столь неквалифицированного автора — позвольте мне сказать, что
именно потому, что я должен был сам справляться с последова-
тельно возникавшими при написании каждой главы затруднени-
ями, я в большей степени отдаю себе в них отчет, чем если бы
я имел большой опыт в обращении с этими методами. Огляды-
ваясь назад, я могу понять теперь, сколь тривиальными в дей-
ствительности были некоторые из этих камней преткновения, но
я надеюсь, что мне удалось воспроизвести в тексте книги те сооб-
ражения, которые помогали мне подняться на каждую из ступе-
ней. На этой стадии путешествия доброжелательное руководство
может послужить лучшей поддержкой, нежели сухая ученая стро-
гость путеводителя.
Бристоль,
апрель 1968 г.	Цж. М. Займан
ГЛАВА 1
БОЗОНЫ
Чем нас больше соберется, тем
нам будет веселей.
§ 1. Простой гармонический осциллятор
Математический аппарат современной квантовой теории бази-
руется в основном на том, что часто называют представлением чи-
сел заполнения. Состояние квантовой системы характеризуется на-
бором целых чисел, показывающих, сколько частиц (или, может
быть, «квазичастиц», или «возбуждений») находится в каждом из
состояний, принадлежащих данному выбранному базису. В осно-
ве этого аппарата лежит одна из самых простых и известных за-
дач физики — задача о простом гармоническом осцилляторе.
Пусть частица массы tn движется в одном измерении (напри-
мер, вдоль оси х) под действием силы, равной —gx; тогда клас-
сическое уравнение движения имеет вид
mx= — gx.	(1.1)
Это уравнение имеет решение
X =
где со — частота, равная
(1.2)
(1.3)
Уравнение (1.1) можно получить с помощью классической функ-
ции Гамильтона
^ = i?2 + ^2.	(1-4)
содержащей импульс р = mi.
В квантовой теории энергия осциллятора квантована; энерге-
тические уровни даются выражением
= (п + i) йи,	(1.5)
где п — целое число. Как получается этот результат? Обычный
метод состоит в том, чтобы представить импульс в виде диффе-
ренциального оператора и искать решение уравнения Шредингера
обычными аналитическими методами. Однако существует п более
изящная процедура, основанная на соотношениях коммутации для
сопряженных операторов х и р:
[х, р] s хр — рх = ih.	(1.6)
12
Глава 1
Фактически мы просто пытаемся представить сумму квадратов,
фигурирующую в выражении (1.4), в виде произведения двух спе-
циальных операторов а и а*, определяемых формулами
й=ж ~1 ^х)’
•	1	/ р д.-,/-	(1<7)
Коэффициенты здесь выбраны так, чтобы эти операторы удовле-
творяли следующему соотношению коммутации, получающемуся
непосредственно из формул (1.7) с учетом равенств (1.6) и (1.3) :•
[fl’ + *1}=
= --±2Z[x, р]=1.	(1.8)
Это — едва ли не самое простое соотношение между некомму-
тирующими операторами из всех, какие можно себе представить:
потому оно так и важно.
Выразим гамильтониан (1.4) через новые операторы. Для этого
можно разрешить систему (1.7) относительно р и х; можно и про-
сто догадаться. Находим
Ж — fico (аа + а*а).	(1.9)
Отсюда явствует, что попытка представить гамильтониан в виде
произведения операторов а а а* потерпела неудачу: дело в том,
что операторы х и р не коммутируют.
Следующий шаг состоит в отыскании матричного представле-
ния операторов а и а*, которое удовлетворяет соотношениям ком-
мутации (1.8) и в котором гамильтониан Ж диагоналей. Вывод
этого представления из «первых принципов» довольно утомителен,
однако результат написать легко. Определим набор базисных
функций, или векторов состояний1), следующими соотношениями:
а\п) ~ п'/г\п — 1),
a*|n) = (n+1)'/2| n+1).	0-Ю)
Каждая функция характеризуется целым числом п- Оператор а
преобразует функцию с индексом п в функцию с индексом п—1;
наоборот, оператор а* увеличивает индекс на единицу.
Легко проверить, что это определение не противоречит соотно-
шению коммутации (1.8). Например, подействуем коммутатором
’) В оригинале используется дираковский термин «кет-вектор». — Прим,
персе.
Бозоны
13
операторов а и а* на одну из базисных функций:
[д, д,]|п)^«а’1«>-а‘Ф>==
— а(п + 1)'/2|«+ 1) — а*п'1г\п — 1) =
= (п + 1)'/г а\п + 1) — п'1га*\п — 1) =
= (п + 1 )'/а (п + 1 )’/г | п) — п',гп,1г1 п) =
— (н+l)|n) —п|п)= |п).	(1-И)
Другими словами, коммутатор преобразует каждую базисную
функцию в саму себя; если базисные функции образуют полную
систему, то оператор [а, а*] в точности эквивалентен единичному,
что и требуется в силу соотношения коммутации.
Возвращаясь снова к гамильтониану (1.9), легко находим, что
каждая функция |и) есть собственная функция оператора Ж Ма-
тематическое доказательство этого проводится точно так же, как
в случае (1.11), изменяется лишь знак у вторых членов. Таким
образом,
^|п)=4л<й(2п + 1)|«> = #„|п>.	(1.12)
Функция |л) есть собственная функция гамильтониана, принад-
лежащая энергетическому уровню ffn', выражение для последнего
дается обычной формулой (1.5). Этим завершается процедура
«квантования» энергии простого гармонического осциллятора.
§ 2. Операторы уничтожения и рождения
Операторы, определяемые формулами (1.7), обладают рядом
интересных свойств и находят разнообразные применения. По-
скольку оператор а уменьшает число квантов в системе на еди-
ницу, он называется оператором уничтожения-, а* есть оператор
рождения кванта энергии возбуждения. Произведение а*а пред-
ставляет собой оператор, дающий числа заполнения данного со-
стояния системы, а его собственными функциями являются введен-
ные выше функции |п).
Цель развиваемого подхода состоит в том, чтобы сформулиро-
вать всю квантовую механику, сохраняя в максимальной степени
простоту свойств векторов состояний. Нам не нужно ничего знать
о них как о «волновых функциях», т. е. как о явных аналитиче-
ских функциях переменной х. В дополнение к (1.10) нужно отме-
тить лишь следующее свойство векторов состояний. Поскольку они
представляют собой собственные функции гамильтониана Ж, их
можно считать ортонормированными, т. е.
<n|n') = 6„R'.	(1.13)
14
Глава 1
Далее, согласно правилам (1.10), можно получить все состояния,
многократно действуя оператором а* на основное, или вакуумное,
состояние |0):
|п) = (и!)~,'1(а*)"| 0).	(1.14)
С другой стороны, при действии оператора уничтожения на основ-
ное состояние получается нуль; в самом деле, согласно формуле
(1.10), имеем
а|0) = 0.	(1.15)
Эю означает, что число заполнения не может быть отрицатель-
ным; в рассматриваемой ситуации этот вывод представляется без-
условно разумным.
Установленные выше правила можно использовать при расчете
любых квантовомеханических свойств системы. Пусть, например,
требуется найти среднее значение величины х4 в основном состоя-
нии осциллятора. Чтобы выразить оператор х через а и а*, вос-
пользуемся определениями (1.7):
x = i|/^ (п-а’)-	(1-16)
Тогда
<0|х4|0> = (-g-)2 <0|(а - «У |0) =
=	— <°]а3а*|°> — <°|а2п*а|0) ... + <0|(а*)410>}.	(1.17)
Для вычисления матричных элементов полезно использовать
несколько простых правил. Так, все члены, в которых число опе-
раторов уничтожения не равно числу операторов рождения, авто-
матически обращаются в нуль. Действительно, действуя на стоя-
щее справа состояние |0), мы получаем состояние с п #=0, которое
ортогонально состоянию (0| в силу свойства (1.13).
Далее, мы должны исключить все члены, в которых оператор
уничтожения стоит непосредственно перед вектором |0), и все
члены, в которых за (0| сразу же следует оператор а*. Первое
утверждение тривиально, оно есю прямое следствие равенства
(1.15). Однако последнее равенство можно записать и в виде
<0|а’ = 0.	(1.18)
Действительно, из определений (1.7) видно, что оператор а* эрми-
тово сопряжен с а. Таким образом, соотношение (1.18) можно по-
лучить из формулы (1.15) путем эрмитова сопряжения. Равенства
(1.15) и (1.18) имеют простой смысл: согласно им, не существует
состояния, действуя на которое оператором рождения можно было
бы получить вакуум. Важно помнить, что сами по себе операторы
а и а* — не эрмитовы и что оператор а* не есть просто выражение,
Бозоны
15
комплексно сопряженное сап обычном алгебраическом смысле.
Действительно, оператор импульса р и сам по себе «мнимый».
В дальнейшем мы будем повсюду использовать «звездочку» имен-
но для обозначения операции эрмитова сопряжения.
Итак, в выражении (1.17) остаются только два члена. Их
можно преобразовать, используя правила (1.10). Однако интерес-
нее использовать соотношение коммутации (1.8). Тогда член аа*аа*
можно записать в виде
(аа)(аа*) = (а а + 1) (а*а + 1) = (н + I)2,	(1.19)
поскольку оператор числа заполнения а*а диагоналей в этом пред-
ставлении. Аналогично
аааа = а (а а 4- 1) а* = аааа + аа = (n + I)2 + (п + 1). (1.20)
В основном состоянии средние значения этих операторов дают в
сумме 3, так что
4 mg
(1.21)
Разумеется, мы могли бы получить этот результат и с помощью
аналитического выражения для волновой функции основного со-
стояния
где
10) = а1/гл_1/* ехр ( — 7 а2*2),
(1.22)
(1.23)
а йг
Наш операторный метод эквивалентен вычислению среднего зна-
чения х4 с помощью интегрирования по частям, исходя из выра-
жения
(0|х‘,|0) = ал~'/‘ J xie~a‘‘x2dx.	(1.24)
Аналогично равенство (1.14), служащее для построения системы
базисных функций, представляет собой не что иное, как рекур-
рентную формулу стандартной теории, с помощью которой поли-
номы Эрмита можно получить путем многократного дифференци-
рования волновой функции основного состояния (1.22).
§ 3. Линейная цепочка связанных осцилляторов
Предположим теперь, что мы имеем дело не с одним простым
гармоническим осциллятором, а с набором колеблющихся частиц,
взаимодействующих друг с другом. Как известно из классической
механики, смещения малой амплитуды можно представить в виде
разложений по нормальным колебаниям. Можно ожидать, что
энергия каждого нз этих колебаний будет квантована, причем
16
Глава 1
величина кванта будет определяться соответствующей нормальной
частотой.
Легко получить и формальное доказательство этого утвержде-
ния. Известно, что в «представлении нормальных колебаний» га-
мильтониан представляет собой сумму квадратов. Тогда система
ведет себя как совокупность независимых осцилляторов, гамиль-
тониан каждого из которых имеет вид (1.4). В этом случае вве-
дение соответствующих операторов рождения и уничтожения для
каждой степени свободы [по аналогии с формулой (1.9)] не состав-
ляет труда.
В основе очень многих моделей лежит один простой частный
случай рассмотренной системы. Речь идет о совокупности боль-
шого числа частиц одинаковой массы, регулярно расположенных
и взаимодействующих друг с другом посредством короткодей-
ствующих сил. В частности, этот пример отвечает динамике кри-
сталлической решетки; однако значение его более широко.
Для простоты предположим, что конфигурация частиц линейна
(цепочка «атомов», находящихся на расстоянии а друг от друга) и
что силовая постоянная «пружинки», связывающей ближайших
соседей, есть g- Тогда гамильтониан можно записать в виде
= ~2т	+	Ul+af‘	( * '25)
i	i
В этой формуле щ есть смещение, a pi — импульс частицы, распо-
ложенной в точке I цепочки. Для того, чтобы исключить краевые
эффекты, мы предполагаем, что цепочка циклически замкнута.
Решение соответствующей классической задачи хорошо извест-
но. Рассмотрим ее теперь с помощью операторной техники. Для
этого будем исходить из соотношений коммутации
[и.,	=	(1.26)
Последние имеют несколько более общий вид, чем соотношение
(1.6): удобно явно выразить тот факт, что оператор смещения /-Й
частицы не действует на импульс другой, Z'-й частицы, так что эти
операторы коммутируют. Для того, чтобы диагонализовать гамиль-
тониан, перейдем с помощью преобразования Фурье к новым опе-
раторам:
L’« -yr - е'ии>’	(1.27)
Появление волнового числа k математически связано с трансля-
ционной инвариантностью решетки (гл. 7, § 7). Если в цепочке
N звеньев, т. е. если длина ее равна L — Na, то величина k дол-
Бозоны
17
н<на принимать одно из множества «разрешенных значений»
где п — целое число. Число N практически считается столь боль-
шим, что это множество непрерывно. Обычным путем можно обра-
тить ряды Фурье (1.27) и написать
k	k
Здесь суммирование проводится по всем существенно различным
числам k из множества разрешенных их значений. Так, можно брать
сумму по всем целочисленным значениям величины п, входящей
в формулу (1.28), лежащим в интервале от —N/2 до N/2\ при этом
условимся, что если число п — четное, то одна из крайних точек
исключается.
Существенно, что определения (1.27) не изменяют соотношений
коммутации (1.26). Это легко показать, используя элементарные
свойства рядов Фурье:
I,	Г	I. I'
=	=	(1.зо)
i
Таким образом, вновь введенные «смещения» и «импульсы» кано-
нически сопряжены и не коммутируют друг с другом, если они
отвечают одинаковым волновым числам; в противном случае эти
операторы динамически независимы.
Подставим теперь выражения (1.29) в гамильтониан. При этом
возникает трудность, которая иногда служит источником недора-
зумений,— новые операторы Uk и Рь— неэрмитовы. Они удовле-
творяют более сложным условиям сопряжения
- 7Т 2 •"" TF S eK~k' (1-31>
Этой трудности можно было бы избежать, специально определив
эти операторы симметричным образом. Проще, однако, исходить
из гамильтониана, в котором каждое из произведений записано
в явно эрмитовом виде, например,
pj=P;Pz....	(1.32)
18
Глава 1
Тогда легко прийти к следующему результату:
98-?5{1рЛ + сИ';'Л(.	<1.зз)
к
где
G (k) = 2g (1 — cos ka).	(1.34)
Итак, гамильтониан представлен в виде суммы квадратов импуль-
сов и смещений, соответствующих нормальным координатам. При
этом выражение для частоты нормального колебания с волновым
числом k имеет вид
°* = ]/	= 2 "/l sin41 ka I- (1 -35)
Как и раньше, условимся считать все частоты положительными,
так что величины «-ь и совпадают.
Наконец, введем операторы уничтожения и рождения по ана-
логии с равенствами (1.7). В данном случае формулы несколько
усложняются из-за требования эрмитовой сопряженности; мы
имеем
= (2Иакту'1г (Pk - imakU'k\
(1.36)
= (2fiafcm) 2 (Pft + im^kUk).
Легко проверить, что эти операторы удовлетворяют соотношениям
коммутации
[afe’ ak'] ~ ^kk'>	(1-37)
аналогичным соотношению (1.8). Используя равенства (1.31),
можно также показать, что все другие коммутаторы обращаются
в нуль:
ak']= 0» [ak’ йй'] = 0*	(1.38)
С помощью правил сопряжения (1.31) соотношения (1.36)
можно разрешить относительно операторов Ph и т. д.; например,
Pft = (2/ioftm),/24(a’fc + fi_fc).	(1.39)
Полученные выражения можно подставить в гамильтониан (1.33);
в результате находим
= i S bak(akak + akak + a_ka_k + a_ka'_k) =
k
=4 S ^k(.akak+aka'k) (1 -4°)
k
(поскольку сумма по «разрешенным значениям —k» просто по-
вторяет сумму по k).
Бозоны
19
Последующие рассуждения проводятся, как и в § 1 и 2. Опе-
раторы ак и a"k уничтожают или рождают кванты в состоянии
с волновым числом k. Используя (1.27) и (1.36), мы можем опи-
сывать любые динамические свойства решетки с помощью этих
операторов. Можно, например, показать, что возбуждения соответ-
ствуют волнам, распространяющимся вправо или влево вдоль
кольца из атомов, причем частота этих воли есть он, а волновое
число равно k. Закон дисперсии (1.35) определяет фазовую ско-
рость этих волн и т. д. В физике твердого тела подобные возбуж-
дения представляют собой, конечно, не что иное, как фононы. Соб-
ственные состояния гамильтониана Ж записываются в виде
|«1, .....«ь •••>•
Это означает, что в состоянии, отвечающем &-му нормальному ко-
лебанию, имеется пк квантов.
§ 4. Трехмерные решетки и векторные поля
Хотя линейная цепочка и отражает многие важные принципы
квантовой теории поля, модель эта очень искусственна даже в при-
менении к физике твердого тела. К счастью, обобщение на случай
двух или трех измерений проводится очень просто. Нужно лишь
характеризовать положение узла решетки не координатой I, а век-
тором 1 и ввести волновые векторы к вместо волновых чисел k.
Общие теоремы из теории рядов Фурье, использованные в преды-
дущем параграфе, сохраняют силу и здесь; нужно лишь заменить
произведение kl скалярным произведением k-Z.
Единственное усложнение связано с определением области
«разрешенных значений» вектора к. Ее легко найти, если трехмер-
ная решетка — простая кубическая. В этом случае каждая компо-
нента вектора к должна удовлетворять условию типа (1.28), на-
пример
, 2лпх	2лпх	,, ...
=	<к41)
Здесь пх— целое число, лежащее в интервале от —ЧгМх до l/zNx,
причем Nx есть число постоянных решетки, укладывающихся на
Длине Lx. Последняя представляет собой ребро куба периодич-
ности. Различные разрешенные значения вектора к лежат в зоне
Бриллюэна, соответствующей данной решетке (в данном случае —
в кубе в к-пространстве).
В рассмотренном примере выбран довольно специальный тип
решетки; в реальных кристаллах атомы могут располагаться бо-
лее сложным образом, образуя объемноцентрированную, гране-
центрированную, гексагональную и т. д. структуры. Геометриче-
ские свойства различных структур, разумеется, чрезвычайно
20
Глава 1
важны для теории реальных твердых тел. Однако для простоты мы
не будем здесь учитывать указанные различия. Во всех случаях,
когда в расчете учитывается наличие решетки, мы будем считать^
что решетка — простая кубическая и что ее зона Бриллюэна опре-
деляется соотношением типа (1.41). Это предположение не так
уж произвольно, как могло бы показаться. Действительно, легко
доказать, что плотность разрешенных значений волнового вектора
в k-пространстве не зависит от структуры кристалла, а равна про-
сто К/8л3, где V—полный объем кристалла. Кроме того, в общем
случае справедливо утверждение о том, что полное число различ-
ных волновых векторов в зоне Бриллюэна как раз равно N. С по-
мощью этих правил можно написать соотношения типа
I” eik'(J-,')d3k = ?V6M'	(1.42)
к	По зоне
Бриллюэна
(считая, что число N столь велико, что сумма переходит в инте-
грал). При этом не возникает необходимости рассматривать де-
тальное распределение разрешенных значений вектора к и форму
области интегрирования. Во избежание лишних символов мы бу-
дем обычно в дальнейшем полагать V = 1.
Более серьезное усложнение при переходе к трем измерениям
связано с тем, что здесь мы уже не можем считать «смещение»
или «импульс» одной из частиц скалярными переменными щ
или pi. Для того, чтобы динамическая модель решетки выглядела
реалистичной, смещение частицы из узла I надо считать по край-
ней мере вектором ир а сопряженный ему импульс — вектором рг
Соответственно надо обобщить и соотношения коммутации между
такими операторами, полагая
[ир рг] = Ш6,г.	(1.43)
Здесь I — единичный тензор (в декартовых координатах). Нали-
чие его отражает тот факт, что компоненты векторов и, ирр отно-
сящиеся к различным координатным осям, коммутируют друг с
другом.
Получающийся гамильтониан имеет теперь более сложный вид.
Если учитывать взаимодействие не только между ближайшими
соседями, то
ж i S ₽; • р<+4 S	<• '44>
I	IV
Тензор Gllf играет роль «силовой константы» и характеризует
силу, действующую на атом в узле Г при смещении атома, нахо-
дящегося в узле Z; мы используем всюду эрмитовы произведения
типа (1.32).
Бозоны
21
На первых этапах процедура приведения гамильтониана к фо-
нонному представлению такая же, как и в § 3. Именно, введем,
подобно (1.27), новые (векторные) операторы
и*-)7Г?	р«-ут2е-‘1‘''Рг	<'•«>
При этом получается гамильтониан
^ЧЖр;-Рк+и;-С(к)-ик}’	(1-46)
к
где
G (к) = 2 Ghe'k-h	(1.47)
h
есть обобщение выражения (1.34). На первый взгляд кажется, что
гамильтониан (1.46) полностью аналогичен гамильтониану (1.33).
К сожалению, однако, здесь нельзя непосредственно перейти к опе-
раторам уничтожения и рождения. Сложность состоит в том, что
величина G(k) есть тензор, причем не обязательно диагональный.
В динамике решетки именно здесь и начинается настоящая работа:
перед тем, как идти дальше, нужно диагонализовать тензор G(k).
Тем не менее для любого заданного значения к задача пол-
ностью поставлена и в сущности элементарна. Не углубляясь
в дебри новых символов, мы просто приведем качественное описа-
ние результатов. Сначала найдем главные оси тензора G(k) и бу-
дем рассматривать векторы Ur и Pk в системе координат, связан-
ной с этими осями. Тогда по аналогии с формулой (1.35) диаго-
нальные элементы рассматриваемого тензора можно записать
в виде яг т(оф2))2, га (со®)2. Далее, для каждой из главных
осей поочередно введем операторы уничтожения и рождения, сле-
дуя правилам (1.36). Например, для компонент вдоль первой
оси
а<’> = (2йЮ>уV2 (/f -	(1.48)
и т. д. В конце концов мы придем к более общей, чем (1.40), фор-
ме гамильтониана:
Ж = | (аЮ'аЮ + а™а^).	(1.49)
k, Р
Соотношения коммутации при этом имеют вид
Нр)> «r*]=6kvV	(L50)
Индекс (р), принимающий значения 1, 2, 3, разумеется, относится
к поляризации колебания; он указывает направление смещений,
связанных с колебанием данного типа.
22
Глава 1
Следует особо подчеркнуть, что это фононное представление,
введенное нами для описания динамики решетки, является совер-
шенно строгим и полным. Как и для линейной цепочки или для
простого гармонического осциллятора, любое состояние системы
можно построить из фононных состояний, т. е. из собственных со-
стояний операторов чисел заполнения
„(₽) = й(р)«й(р).	(1.51)
Любой матричный элемент произвольной динамической перемен-
ной можно вычислить в этом представлении, выполняя ряд преоб-
разований, подобных (1.45) и (1.48). Изложенный метод и мате-
матический аппарат оказываются чрезвычайно мощными, настоль-
ко, что многие забывают, что иногда в расчете целесообразнее
исходить из первоначального вида гамильтониана, записанного
через операторы локальных смещений.
Изложенный метод никоим образом не ограничивается случаем
простых решеток с одним атомом в элементарной ячейке — в прин-
ципе нетрудно обобщить его и на случай кристалла, в каждой эле-
ментарной ячейке которого расположена колеблющаяся молекула
или несколько различных атомов. Такой же формализм можно
развить и в том случае, когда локальные операторы (наши uz
и pz) представляют собой не операторы смещения и импульса»
а операторы компонент момента количества движения некоторого
объекта (обычно иона переходного металла), расположенного в
Км узле. В случае когда взаимодействие этих спннов друг с дру-
гом носит обменный характер, мы получаем «спиновые волны»,
распространяющиеся в кристалле. Подобные возбуждения можно
приближенно описать гамильтонианом стандартного вида (1.49),
где соответствующие операторы описывают уничтожение и рожде-
ние магнонов. Читателя, интересующегося деталями этого расчета,
мы отсылаем к руководствам по физике твердого тела.
§ 5. Континуальный предел
До сих пор мы имели дело с точно определенными системами
и все преобразования были точными. Но для многих целей ми-
кроскопическая структура решетки малоинтересна — мы рассмат-
риваем решетку просто как среду, в которой распространяются
волны.
Соответственно часто бывает удобным «размазать» решетку
и рассматривать твердое тело как континуум. При этом вектор I,
принимающий дискретные значения, заменяется непрерывно изме-
няющимся радиусом-вектором г, суммы по всем значениям I пере-
ходят в интегралы по г и т. д. Далее, можно ввести функцию
и (г) — вектор смещения решетки в точке г — и соответствующую
Бозоны
23
«плотность импульса»
p(r) = PoV(r),
(1.52)
где ро есть средняя плотность, a v(r) —локальная скорость среды,
отвечающая какому-либо типу колебаний.
В этом случае гамильтониан можно записать в виде, подоб-
ном (1.44):
1
2ро
dL
I р‘ (г) • р (г) d3r + 4 J J и’ (г) • G (г - И • и (г)' d3r • d3r'.
(1.53)
Здесь тензор G(r — г') описывает взаимодействие между смеще-
ниями единичных объемов, расположенных соответственно вблизи
точек г и г', а интегрирование проводится по всему объему твер-
дого тела V
Выполним теперь интегральное преобразование Фурье, соот-
ветствующее преобразованию (1.45):
Uk = -p=r J eik’ru (r)d3r, Pk =—Ur J е~ 1Ь гр (г) d ‘r.	(1.54)
Волновой вектор к, входящий в эти формулы, определяется ра-
венствами типа (1.41) на множестве разрешенных точек в обрат-
ном пространстве. Но поскольку само конфигурационное простран-
ство теперь не разделяется на дискретные узлы решетки, разре-
шенные значения вектора к не ограничены конечной зоной
Бриллюэна. Постоянная решетки а стала бесконечно малой, aNx—
число узлов решетки, лежащих на грани куба длиной Lx, — беско-
нечно большим. Это означает, что в формуле (1.41) величина пх
изменяется в бесконечных пределах, принимая, однако, по-преж-
нему целочисленные значения, если требовать выполнения обыч-
ных граничных условий для смещений и (г).
С помощью теоремы Фурье можно обратить соотношения
(1.54). Поскольку
у / ei(k~k') rd3r = dkk',	(1.55)
мы получаем
u(r) = -7U2<?-^Uk.	(1.56)
к
Последнее выражение можно подставить в гамильтониан (1.53);
результат, очевидно, будет полностью аналогичен формуле (1.46):
*-45{-^Р;Р,.+ и;С(к)1!1};	(1.57)
к
выражение (1.47), однако, несколько видоизменяется:
G(k) = J G(R)e-WR.	(1.58)
24
Глава 1
Воспользуемся теперь приемами, указанными в предыдущем па-
раграфе,— проведем диагонализацию тензора G(k), введем опе-
раторы уничтожения и рождения и т. д. Для этого нужно, чтобы
величины Рь и Uk в выражении (1.57) представляли собой опе-
раторы с нужными динамическими свойствами, т. е. операторы,
для которых справедливы соотношения коммутации типа (1.30):
[^k> Pk'] = Z^kk"	(1.59)
Это накладывает следующее условие на величины и (г), р (г):
[и (г), р (г')] = ifil у	e£k-<r-r') = /Мб (г — г').	(1.60)
к
При этом мы вынуждены ввести дельта-функцию Дирака вме-
сто дельта-символа Кронекера, стоящего в формуле (1.43). Беско-
нечность при г = г' не приводит к трудностям при условии, что мы
последовательно рассматриваем дельта-функцию как предел бес-
конечного ряда, даваемого суммой по «всем значениям векто-
ра к».
В сущности мы утверждаем, что операторы поля и (г), р(г) не
коммутируют друг с другом, только если они относятся «точно
к одной и той же точке пространства». Поскольку соответствую-
щая область имеет бесконечно малые размеры, коммутатор дол-
жен быть бесконечно велик. Иначе говоря, поскольку р(г) есть
плотность импульса, для того, чтобы найти импульс, нужно про-
интегрировать по какому-нибудь малому объему. Тогда соотноше-
ние (1.60) сведется к утверждению, что этот импульс не коммути-
рует с любым оператором смещения, измеряемого внутри этого
объема.
Мы имеем теперь квантованное поле. Любое состояние системы
можно построить, действуя оператором рождения на «вакуумное»
состояние 10), а энергию можно выразить через числа заполнения
различных состояний. Локальное смещение в любом таком состоя-
нии можно вычислить с помощью преобразований (1.56) и т. д.
и т. п. Результаты при этом полностью согласуются с обычной
классической теорией волн в упругой сплошной среде, за исклю-
чением, пожалуй, того обстоятельства, что деформацию среды
проще описывать вектором смещения u(r), нежели тензором де-
формации.
Мы, однако, сделали одно необоснованное предположение.
Именно, мы считали, что действительно можно переходить к пре-
делу непрерывного поля. Для кристаллической решетки такое
предположение выполняется лишь приближенно; мы знаем, что
фактически решетка дискретна. В крайнем случае можно прове-
рить расчеты, выполненные в рамках континуального приближе-
ния, с помощью строгой теории § 4.
Бозоны
25
Основное предположение теории квантованных полей состоит
как раз в постулате о возможности континуального подхода при
рассмотрении элементарных частиц. Допускается, что их можно
описать с помощью операторов локального поля, удовлетворяю-
щих соотношениям коммутации типа (1.60) с дельта-функциями
в правой части. Интересно отметить, что такой оператор — аналог
нашего «вектора смещения» и (г) — очень напоминает волновую
функцию частицы, им порождаемой. К рассмотрению этой изящной
и тонкой теории мы сейчас и переходим.
§ 6. Классическая теория поля
Нам нужна подходящая математическая схема для введения
операторов поля, которые порождали бы частицы (или, точнее,
«одночастичные состояния»), обладающие заданными свойствами.
Свойства фононов определяются динамикой решетки или упругого
континуума, свойства магнонов — квантовыми уравнениями, опи-
сывающими систему спинов. Но элементарные частицы (по край-
ней мере в настоящее время) существуют, так сказать, сами по
себе; мы не можем вывести описывающие их уравнения из более
глубоких принципов, а должны развить внутренне непротиворечи-
вый формализм, описывающий наблюдаемые явления.
Как и в других разделах квантовой механики, исходным пунк-
том большинства подобных схем служит классическая (гамильто-
нова) динамика. Подобно канонической теории материальной точ-
ки. основанной на уравнениях Лагранжа, существует и канониче-
ская теория классического поля. Пример последнего дает нам
рассмотренное выше векторное поле упругих смещений и (г).
Для общности амплитуду поля в точке г мы будем обозначать
символом <р(г) (это не обязательно скалярная величина). Поле
имеет бесконечно много степеней свободы. Для задания поля нуж-
но знать его значение в каждой из всего множества точек гь
г2, г3 ... в рассматриваемой области. Величины ф(Г1), ф(г2),
ф(г3) ... можно считать обобщенными координатами системы
(подобно компонентам радиуса-вектора частицы в элементарной
динамике), однако число обобщенных координат бесконечно ве-
лико.
Отсюда следует, что, как и в § 5, мы должны заменить символ
«сумма по координатам всех частиц» символом «интеграл по всей
области». Коль скоро это понято, становится понятным и весь
аппарат классической теории поля.
Так, например, для того, чтобы определить полный лагранжиан
системы L, мы должны ввести плотность лагранжиана S, опреде-
ляемую соотношением
£= J ^(r)d3r.
(1-61)
26
Глава 1
Плотность лагранжиана ^(г), очевидно, должна зависеть от ам-
плитуды поля в точке г или вблизи нее. Она может быть, напри-
мер, функцией самой обобщенной координаты ф(г). Величина S’
должна содержать также производную от функции <р по времени
подобно тому, как лагранжиан частицы содержит кинетическую
энергию, зависящую от скорости. Чтобы развиваемая теория была
осмысленной, величина S должна зависеть и от пространственных
производных функции ф(г); в противном случае амплитуды поля
в соседних точках пространства не были бы связаны друг с дру-
гом. При переходе к континуальному пределу разности типа
(щ — Ui+a) в формуле (1.25) превращаются в производные по ко-
ординатам.
Итак, в общем случае имеем
*£-).	(1.62)
Последнее выражение можно записать в виде
S=- S(q>, <р,/),	(1.63)
где использовано следующее обозначение для производной по ка-
кой-либо пространственной координате или по времени:
1 dXi \<?х’ ду ' дг ’ dt Г
Разумеется, само поле может быть более сложным, и символ гр
может обозначать вектор или тензор (как, например, в теории
упругих воли). Выражение для плотности лагранжиана S(r) мо-
жет при этом выглядеть очень сложным, включая множество раз-
ных производных от различных компонент. Сама величина S,
однако, должна быть скалярной, и это накладывает существенное
ограничение на форму поля, которое можно получить таким путем.
Для вывода уравнения движения воспользуемся принципом Га-
мильтона:
t,
6 J £d/ = 0.	(1.65)
to
Согласно этому принципу, интеграл действия, взятый между двумя
фиксированными моментами времени, принимает экстремальное
значение для истинной траектории. В нашем случае это означает,
что
6 J J S (ф, ф, г) d3r dt = О,
т. е.
6 J Step, ф>£)й4Х = 0;	(1.66)
Бозоны
27
интегрирование проводится здесь по четырехмерному простран-
ственно-временному континууму.
Точный смысл выражений типа (1.66) детально объясняется
в учебниках по вариационному исчислению. Интересующий нас
результат можно получить, просто рассматривая результат дей-
ствия оператора 6 как своего рода «дифференциал» и соответ-
ствующим образом преобразуя интеграл:
д£ д , V л
-г---бф + 7 . -5----бф, ;
<Э<р	J <Э<р, i ‘

V д (	'
dXi \ <?qp, i.
i = l

бф dAX + «Поверхностный» член.
(1.67)
Первый шаг здесь состоит в обычном дифференцировании функ-
ции нескольких переменных, второй представляет собой обобщен-
ное интегрирование по частям, или применение теоремы Грина для
четырехмерного случая. Тем самым мы выразили подынтеграль-
ное выражение через вариацию функции ф, исключив частные
производные ф,г- и введя «поверхностный» член, который также
должен обратиться в нуль. Главное, однако, состоит в том, что, по-
скольку равенство (1.66) должно выполняться для произвольных
вариаций функции ф, выражение, стоящее перед бф под знаком
интеграла, должно обращаться в нуль повсюду. Таким образом,
мы приходим к уравнению Эйлера
д£ _ у д (	\ = „
д<р	<ЭЛ\- \<?<pr i )
(1.68)
Это уравнение, представляющее собой необходимое условие эк-
стремальности интеграла действия, и есть уравнение движения
поля.
Мы воспроизвели здесь эту выкладку для того, чтобы пока-
зать, как можно связать уравнение поля с локальной энергетиче-
ской функцией типа плотности лагранжиана. Обычные уравнения
динамики частицы получаются из уравнений (1.68) как частный
случай. Пусть функция 3? не содержит пространственных произ-
водных от ф. Тогда мы сразу же получаем уравнение Лагранжа
Для системы с одной степенью свободы, которой отвечает обоб-
щенная координата ф:
9S? д (д&\ п	.. „о.
^Ьф)=0-	<*-69)
Рассмотрим простой пример, когда плотность лагранжиана
равна

28
Глава 1
Можно считать, например, что величина ср характеризует «смеще-
ние» упругой среды. При этом первый член, содержащий плот-
ность ро и «скорость» dq/dt, есть плотность кинетической энергии
а второй член, квадратичный по производным от смещения, равен
(с обратным знаком) потенциальной энергии упругой деформации.
Смысл уравнений (1.68) здесь легко понять. Поскольку сама
величина ср не входит в выражение (1.70), д.27д<р = О. Для других
производных имеем, например,
д (d<f/dx) ~ G Ux) И Т’ Д’	’71)
Таким образом, уравнение движения имеет вид
Это есть не что иное, как обычное уравнение распространения
волн, скорость которых равна p^G/po-
В качестве следующего шага определим поле «импульсов», со-
пряженное полю ср. По аналогии с динамикой частицы можем
сразу написать
Далее можно ввести плотность гамильтониана
Ж (г) = л (г) ср (г) — S’ (г).	(1-74)
Тогда полный гамильтониан рассматриваемой системы будет
равен
tf=J^(r)d3r.	(1.75)
Разумеется, функцию ср (г) надо исключить из выражения для
Ж (г) с помощью определения (1.73): плотность гамильтониана
должна зависеть только от величин ср (г) и л (г) (в данном слу-
чае — функций пространственных координат). Проследим за тем,
как это фактически производится, на простом примере «скаляр-
ной модели упругого поля» (1-70). Из выражения (1.73) получим
л (г) = р0ф (г),	(1.76)
а из формулы (1.74)
(г) = л2 (г) +1 G (V«p)2.	(1.77)
zPo
Мы могли бы и сразу написать это выражение для полной энер-
гии поля', однако при этом у нас не было бы правила для опреде-
ления сопряженных переменных1).
’) Интересно сравнить выражения (1.77), (1.44) и (1.53). При переходе от
решетки к континууму естественно было сохранить нелокальное взаимодействие,
Бозоны
29
§ 7.	Вторичное квантование
В динамике частиц переход от классической механики к кван-
овой производится путем замены сопряженных переменных опе-
раторами со стандартными соотношениями коммутации типа (1.6).
Аналогично выполняется и соответствующий переход в теории
поля__мЫ считаем теперь величины tp(r) и л (г) операторами со
следующими соотношениями коммутации:
[<р(г), л (г')] = гй б (г — г').	(1-78)
Необходимость соотношения коммутации такого вида и его смысл
мы уже обсуждали в частном случае (1.59), соответствующем мо-
дели кристаллической решетки.
Функция (1.75), называемая в классической теории функцией
Гамильтона, сама теперь становится оператором. Согласно изве-
стным правилам квантовой теории, «состояние» системы должно
определяться некоторым вектором состояния |>, удовлетворяю-
щим уравнению движения
Н\ ) = «4l >•	d-79)
Предполагается, что соотношения (1.78) и (1.79) определяют все
физические свойства системы.
В предыдущих параграфах мы научились преобразовывать та-
кие уравнения, переходя к k-пространству и вводя операторы уни-
чтожения и рождения. Довольно легко показать, например, что
простая модель скалярного упругого поля, отвечающая плотности
лагранжиана (1.70), имеет решения, соответствующие заполнению
фононных состояний с энергиями
+	(1-80)
где
которое могло бы описываться функцией G(r —г'). Однако при использовании
потенциальной энергии такого вида в модельном лагранжиане (1.70) уравне-
ние движения оказалось бы гораздо более сложным, чем волновое уравнение
(1.72). В теории поля гораздо проще оперировать строго локальными функция-
ми. Читатель может развлечься, самостоятельно показав, что уравнения стан-
дартной теории упругости получаются путем замены функции G(r— г') в вы-
ражении (1.53) на дифференциальный оператор вида
Сб(г-г')^--^-
'	' dr dr
(с соответствующими тензорными индексами). Наш простой гамильтониан
(1-77) приводит, таким образом, к «скалярному» и «локальному» варианту ди-
намической теории решетки.
30
Глава 1
Эти состояния, разумеется, эквивалентны решениям классиче-
ского волнового уравнения (1.72); функция
<p(r, t) == qpoexp [Z(k-г —Шь/)]	(1.82)
удовлетворяет этому уравнению. Переход от классической пере-
менной поля к оператору приводит по существу лишь к «кванто-
ванию» энергии в единицах йц>ь, т. е. к заданию множества воз-
можных значений амплитуды <р0. В этом случае физическая интер-
претация величины ф как смещения точек материальной среды
придает смысл соотношениям коммутации (1.78); в результате по-
лучается как раз то, чего и следовало ожидать в предельном слу-
чае решетки с бесконечно малой постоянной.
Предположим, однако, что мы ничего не знаем о существова-
нии такой решетки, а функции ср (г, t) с самого начала придадим
смысл «волновой функции» какой-либо частицы или возбуждения.
Если бы она удовлетворяла какому-нибудь уравнению в частных
производных, записанному в каноническом виде (1.68), то мы
могли бы попытаться сохранить всю схему квантования: назвать
<р(г) оператором, определить вектор состояния, удовлетворяющий
уравнению (1.79), и т. д.
Рассмотрим, например, уравнение Шредингера (со временем)
для электрона:
+	=	(1.83)
Это — уравнение второго порядка в частных производных относи-
тельно переменной поля ф. Легко показать, что оно представляет
собой уравнение Эйлера для плотности лагранжиана, равной
2’ = ^(ф’ф-ф*ф)-^(фф‘.\ф)-У(г)ф*ф.	(1.84)
Отсюда с помощью стандартных алгебраических преобразований
можно получить плотность гамильтониана, канонические опера-
торы и т. д. Мы можем, так сказать, «проквантовагь» систему на
более высоком уровне — волновая функция, введенная вначале
в качестве объекта, на который действовали операторы наблю-
даемых величин в динамике частиц, становится в свою очередь
оператором, действующим на более общий вектор состояния.
Фактически вторичное квантование уравнения Шредингера
проводится не буквально с помощью соотношения (1.78). Дейст-
вительно, электроны подчиняются статистике Ферми, а у нас
всегда получалось, что в любом состоянии может оказаться любое
число возбуждений, т. е. рассматривались в сущности бозоны. На
этой трудности мы остановимся в следующей главе.
Уже видно, однако, что метод вторичного квантования приго-
ден для изучения систем многих частиц. Это один из способов об-
Бозоны
31
бщпть \равнение для волновой функции отдельного возбуждения
° случай, когда в области существования поля одновременно
присутствует несколько таких возбуждений. В обычной квантовой
еханике такое обобщение затруднено, поскольку при введении
каждой новой частицы надо расширять абстрактное простран-
ство в котором определена волновая функция, добавляя три но-
вы 'измерения. Гораздо легче ввести абстрактный оператор поля
>(Г) физический смысл которого не так прост, как смысл наблю-
даемых координат п импульсов в динамике частицы, но который
можно рассматривать как меру вероятности найти частицу или
частицы в точке г.
Последнее утверждение можно доказать, установив, что век-
торы состояния, удовлетворяющие уравнению (1.79), представ-
ляют собой симметризованные комбинации одночастичных функ-
ций, как и должно быть для системы невзаимодействующих бозо-
нов.' Общий ход доказательства можно проследить с помощью
рассуждений, излагаемых в следующей главе, посвященной фер-
мионам.
С физической же точки зрения следует, скорее, придавать пер-
вичное значение именно соотношениям (1.78) и (1.79), лежащим
в основе вторичного квантования. Их надо рассматривать как ак-
сиоматические соотношения (или гипотезы) теории квантованного
поля. Как и прежде, нетрудно вывести уравнения для отдельного
возбуждения такого поля и показать, что это возбуждение описы-
вается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению типа
(1.68). Преимущество такого подхода состоит в том, что он позво-
ляет квантовать и другие поля, например электромагнитное и гра-
витационное, одночастичные состояния которых не столь на-
глядны. Он также позволяет естественным образом ввести взаи-
модействие между различными частицами одного и того же поля
или между различными полями.
§ 8.	Уравнение Клейна — Гордона
«Скалярное упругое» поле, характеризуемое плотностью лаг-
ранжиана (1.70), представляет собой очень полезную простую мо-
дель системы бозонов. Возбуждения в такой системе можно рас-
сматривать как «фононы» или даже «фотоны», лишенные пышного
обрамления из векторов поляризации, тензорных индексов, кали-
бровочных преобразований и т. д.
Однако «частицы» этого поля обладают равной нулю массой
покоя; вся их энергия — динамического происхождения. По этой
причине полезно рассмотреть и другую модель, в которой уравне-
ние поля отличается от (1.72) лишь наличием дополнительного
члена, пропорционального самому полю. Именно, предположим,
32
Глава 1
что функция q> удовлетворяет уравнению Клейна — Гордона
=	(1.85)
Здесь величина т имеет размерность массы (в системе единиц
в которой й = с=1).
Легко построить волновые решения этого уравнения. Для час-
тоты волны находим
ык = (/г2 + т2)'/2.	(1.86)
Следовательно, энергия одного кванта поля равна
Вшк= ± тс2(1	(1.87)
В последнем выражении мы явно выписали й и с, чтобы показать,
что энергия (1.87) есть не что иное, как релятивистская энергия
частицы с массой покоя т, движущейся со скоростью fife/m. Пока
что мы полностью исключаем из рассмотрения решения с отрица-
тельной энергией; последние обсуждаются в гл. 6, § 4.
Уравнение (1.85) отвечает плотности лагранжиана (1.70) с до-
полнительным слагаемым —Уг^ср2- Соответствующая плотность
гамильтониана имеет вид
= 4 <л2 + (V<P)2 +	(1.88)
Мы можем проквантовать эту систему, считая, что <р(г) и л (г)
суть сопряженные операторы поля, удовлетворяющие соотноше-
нию (1.78). Используя соотношения типа (1.45), легко выполнить
фурье-преобразование этих операторов, а затем ввести операторы
уничтожения и рождения, ак и а*, с помощью определений типа
(1.48). В этом случае собственные состояния гамильтониана при-
надлежат системе |«к>, где пк —число возбуждений, энергия
каждого из которых йо>к дается выражением (1.87), а волновой
вектор равен к.
Итак, уравнение Клейна — Гордона описывает поле свободных
частиц, масса покоя каждой из которых равна т. Волновое урав-
нение (1.85) релятивистски инвариантно, и, следовательно, энер-
гия должным образом преобразуется при преобразовании Ло-
ренца (гл. 6, § 4). Частицы этого поля суть бозоны, поскольку нет
никаких ограничений на их число в заданном одночастичном со-
стоянии. Они не могут быть электронами или нуклонами, которые
представляют собой фермионы. Волновая функция ср вещественна
и скалярна; это означает, что частицы не имеют ни заряда, ни
спина (гл. 1, § 12). Это могут быть нейтральные мезоны со спи-
ном нуль.
Бозоны
33
Наша цель здесь, однако, состоит не в том, чтобы идентиЛипн
ровать клеин-гордоновские частицы с какими-либо
мыми физическими объектами, а в том, чтобы построить
модель для поля частиц конечной массы Уоавн^гиА R Р“ У'Ю
Гордона могло бы встретиться и в другом контексте
в задачах о возбуждениях в плазме вышкой плопХн’и™
ревых нитях в жидком гелии.	ОСТН или 0 вих'
§ 9.	Источники поля. Взаимодействия между полями
Недостаточно только описать свойства системы свободных,
невзаимодействующих частиц; нужно еще знать, как с ними обра-
щаться. Самое простое, что можно сделать с каким-нибудь объек-
том,—это создать его или уничтожить. Соответственно прежде
всего мы должны поставить вопрос о том, каким образом возни-
кают рассматриваемые частицы.
Фононное поле создать довольно легко —нужно лишь «взять-
ся» за тот или иной атом и «покачать» его. Практически это осу-
ществляется с помощью электромагнитного поля или при сопри-
косновении с другим твердым телом. Таким образом, нам нужны
какие-либо другие поля или объекты, связанные с полем фононов.
Математически это означает, что в гамильтониан надо добавить
член следующего типичного вида:
= J X (г) <р (г) d3r.
(1.89)
Если функция ср(г) характеризует «смещение», то Х(г) имеет
смысл «силы», приложенной к среде в точке г.
В последовательной теории величину Х(г) саму нужно рас-
сматривать как оператор, действующий на свое собственное поле.
Однако пока что мы будем считать внешнюю силу классической
и посмотрим, как она влияет на квантованное поле q>. Очевидно,
член взаимодействия можно представить в виде суммы опера-
торов уничтожения и рождения фононов. По аналогии с выраже-
нием (1.54) пишем
<p(r)=7vSe-/k’r°k, л<г) = т^5е1к‘гПк	О-90)
к	' к
и, далее,
/, X	<L91>
nk = (j fiPo®k) (°-к + °к)-
2 За К. 899
34
Глава 1
При этом гамильтониан (1.77) приводится к стандартному ВПдх,
(1.40). Подставляя (1.90) в выражение (1.89), получаем
^--;2(2гк-)'‘Х'к)и-“-0.	(1.92)
к ' ок/
где
Х(к)= J X(r)e~zkrd3r.	(1.93)
Если рассматривать Hi как возмущение, действующее на ва-
куумное состояние поля, то легко видеть, что оно рождает воз-
буждения. Скорость генерации частиц в состоянии с волновым век-
тором к зависит от величины Х(к), т. е. от соответствующей фурье-
компоненты силового поля. Фактически эта скорость будет опре-
деляться величиной |Х(к)|2, характеризующей спектр мощности
на данной длине волны.
Внешнее поле может также забирать энергию у квантованного
поля (при наличии в нем частиц) с помощью операторов уничто-
жения в выражении (1.92). Таким образом, этот член взаимодей-
ствия действительно описывает процессы, при которых энергия
передается фононному (или фотонному) полю или забирается у
него отдельными квантами.
Аналогичное рассуждение применимо и к общему случаю поля
частиц, описываемых уравнением Клейна—Гордона; член типа
(1.89) будет тогда описывать изменение числа «мезонов» в раз
личных состояниях. Поскольку процессы, при которых элементар-
ные частицы возникают и уничтожаются, действительно наблю-
даются, разумно постулировать наличие таких членов в полном
гамильтониане поля.
Что же будет тогда представлять собой «сила» Х(г)? Если
мезон возник в результате прямого распада какой-либо другой
частицы, то сила Х(г) может быть пропорциональна волновой
функции соответствующего другого поля:
^7 = £ф(г)<р(г).	(1.94)
Здесь g есть константа связи между, так сказать, «псионами» и
«фионами». Очевидно, такое взаимодействие будет вполне хорошо
описывать уничтожение возбуждения ф-поля и одновременное
рождение частицы ф-поля. Легко показать также, что в каждом
таком акте импульс к сохраняется.
Разумеется, подобные прямые превращения почти всегда за-
прещены законом сохранения энергии. В реальных процессах уча-
ствуют три или более частиц. Однако приведенное выше рассуж-
дение легко обобщить. Так, плотность гамильтониана взаимодей-
ствия
= g {Ф (г)}₽ {<₽ (г)Г
(1.95)
Бозоны
35
описывает процессы с участием р частиц ф-поля и q частиц ф-поля,
если учитывать все частицы, входящие в обе части уравнения,
описывающего превращение. Легко показать также, что суммар-
ный вектор к двух полей сохраняется при таких превращениях;
в выражении (1.92) фигурирует оператор рождения частицы в со-
стоянии с волновым вектором к, а оператор уничтожения отвечает
вектору — к. Взаимодействия между полями релятивистских час-
тиц рассматриваются в гл. 6, § 9.
В теории твердого тела также можно найти примеры членов
взаимодействия указанного типа. Так, член, кубичный по смеще-
ниям решетки — ангармонический член, — приводит к взаимодей-
ствию между фононами, при котором обычно из двух фононов
возникает третий. Далее, член типа фф*<р описывает электрон-фо-
нонное взаимодействие, при котором электрон ф-поля (которое,
конечно, должно быть полем заряженных фермионов) рассеи-
вается с испусканием фонона. Основная особенность рассматри-
ваемых процессов в твердых телах состоит в том, что вектор к
уже не сохраняется абсолютно, а может изменяться на вектор об-
ратной решетки.
§ 10.	Пример: рэлеевское рассеяние фононов
Чтобы показать, как пользуются развитой схемой, рассмотрим
следующий простой пример. Пусть точечная масса ДЛ1 помещена
в непрерывную, среду плотности ро. Каково будет ее воздействие
на поле фононов?
Будем считать для простоты, что эта масса расположена в точ-
ке г = 0. Тогда плотность системы изменяется на величину
Др = ДЛ1д(г).	(1.96)
При этом в плотности гамильтониана появляется дополнительный
член
(1.97)
\ dt ]
Подставляя сюда выражения (1.90) и (1.91), получаем
Н' ~ 77 • 2 G йРо®к)'/! (G-k + flk) 2 (I ЛРо“к')'/2 (°~к' + °г) =
0 к	к'
АТИЙ	\l/a г	z ♦	• \ .	«	* т
=wm [°а+(а-А'+°к«-к')+«-k^-^l- О-98)
кк'
Пусть в начальный момент времени в состоянии к есть один фо-
нон, а состояние к' не заполнено; в конечный момент пусть фонон
находится уже в состоянии к', а не в состоянии к. Таким образом,.
2*
36
Глава 1
мы рассматриваем переходы с матричным элементом
М-	(1.99)
Очевидно, члены с двумя операторами уничтожения или с двумя
операторами рождения не дают вклада в (1.99). Вклад от других
членов, однако, отличен от нуля, и мы имеем
Тк = 2pjz	(°k> k' | ak'ak + akak' | k> °k') =	(mk®k') 2'
(1.100)
Важно заметить, что надо учитывать оба слагаемых в прямых
скобках в (1.98), поскольку величины к и к' принимают все поло-
жительные и отрицательные значения.
Для вычисления эффективного сечения рассеяния нужно воз-
вести матричный элемент (1.100) в квадрат и умножить результат
на плотность состояний при энергии, равной энергии передачи.
Легко показать, что названная плотность состояний пропорциональ-
на ш2К Таким образом, мы получаем для вероятности перехода в
единицу времени известную формулу рэлеевского рассеяния
Рк'~	(1.101)
Этот вывод тривиален. Однако он позволяет заметить важное
следствие того факта, что мы имеем дело с бозонами. Проделаем
тот же расчет вероятности перехода в более общем случае, когда
состояния с к и к' первоначально содержат пип' частиц соответ-
ственно. Теперь вместо (1.99) надо вычислить матричный элемент
(п-1, n' + l\Hl\n, n') = (n' + l)1/jn1/2Tk'.	(1.Ю2)
Используя правила (1.10), получаем для вероятности перехода
Qk =(1+«,)пРк-	(1.ЮЗ)
Появление дополнительного множителя п легко понять: интен-
сивность рассеяния из состояния к должна быть безусловно про-
порциональна числу возбуждений, уже имеющихся в данном со-
стоянии. Однако множитель (1 + п') показывает, что вероятность
перехода зависит и от заполнения состояния к', в которое перехо-
дит фонон. Это есть не что иное, как явление индуцированного ис-
пускания, которое, как известно, типично для частиц, подчиняю-
щихся статистике Бозе — Эйнштейна. Это рассуждение, основанное
на теории поля (см. гл. 2, § 4), оправдывает известный вывод Эйн-
штейна, первоначально полученный в связи со спонтанным испуска-
нием света.
Бозоны
37
§ 11.	Пример: потенциал Юкавы
Пусть имеется несколько простых точечных источников бозе-ча-
1Ц Как изменится при этом энергия поля? Например, рассмо-
иМ ряд тяжелых «псионов» (т. е. нуклонов), которые могут по-
рождать легкие «фионы» (т. е. мезоны) благодаря взаимодействию
вида
^/ = ^ф(г)ф*(г)<р(г).	(1.104)
При таком взаимодействии «псионы» лишь рассеиваются, число их
не меняется; представляется разумным пренебречь эффектом отда-
чи и рассматривать оператор ф(г) как статическую волновую функ-
цию. Тогда величина фф* будет характеризовать локальную плот-
ность тяжелых частиц, которая представляется суммой дельта-
функций, локализованных в точках расположения частиц R,. Таким
образом,
^/ = ^2й(г-И;)<р(г).	(1.105)
Используя соотношения (1.90) и (1.91), мы можем записать это
выражение в представлении чисел заполнения для фионного поля.
Полагая р0 = й = 1, получаем
Н, = - ig S (2V©k)"'/s 2 (ake~ik'*j - аке‘кг>/). (1.106)
k	7
Легко вычислить результат действия такого оператора, рассматри-
вая его как возмущение. Сразу видно, что среднее значение опера-
тора Н г в любом состоянии свободного поля равно нулю. Но, оче-
видно, члены второго порядка отличны от нуля, поскольку оператор
Н/ может вначале создать возбуждение в каком-либо состоянии к,
а затем, при повторном применении, уничтожить его.
Большинство интересных результатов получается уже при рас-
смотрении двух источников, расположенных в точках Ri и R2 и дей-
ствующих на вакуум бозонного поля. В этом случае изменение
энергии равно
.у у I<01^/1-к)!2	107,
(0) — <§Г (к) 	(1.107)
к
Используя выражение (1.106), получаем
= S	2	2 = - SL 2 -L {1 + COS к - (R, - R2)}.
к ““к 2Г°к у	к “к
(1.108)
Первый член в этой сумме не зависит от положения источников;
при IV источниках он будет входить 7V раз. Очевидно, он характери-
зует собственную энергию каждого источника, связанную с испу-
38
Глава 1
сканием и последующим поглощением виртуальных бозонов Попы,
таемся его оценить. Согласно правилу (142), получаем
km
\se	В2 / V \ Г Ink2 л.
Л®собств	"у* 8л3 у J ш2 ***•	(1-109)
Отрадно заметить, что это выражение не зависит от объема систе-
мы. К сожалению, оно бесконечно. Для величины <в£ мы можем
использовать формулу (1.86) независимо от того, обладают ли бо-
зоны отличной от нуля массой покоя или нет. Тогда
т
Л^собств = --7^2-J k2 + т2 dk= — (km — т arctg j.	(1.110)
о
Последняя величина, очевидно, стремится к бесконечности при не-
ограниченном возрастании km независимо от величины т. Разу-
меется, этой расходимости можно избежать, обрезая интервал раз-
решенных значений величины k, однако в случае релятивистских
систем это трудно сделать последовательным образом. Здесь мы
встречаемся с типичным случаем расходимостей, возникающих в
теории поля; их удается устранять лишь с помощью весьма сильно-
действующих средств (гл. 3, § 9).
Обратимся теперь к той части выражения (1.108), которая за-
висит от относительных координат источников, R = R( — R2. С по-
мощью обычного преобразования Фурье получаем
Л^взаимод	7^;? <Fk = - ^- exp (- mR). (1.111)
Таким образом, энергия двух источников зависит от расстояния
между ними; дело обстоит так, как если бы между ними действо-
вала сила, отвечающая потенциальной энергии (1.111). Это есть
известный потенциал Юкавы. На малых расстояниях он имеет
кулоновский вид, а затем экспоненциально убывает с расстоянием
(с характерной длиной порядка Ь/тс). Хорошо известно, что ра-
диус действия ядерных сил равен примерно 10-13сл/. Эту величину
можно получить, взяв значение т, примерно в 200 раз превышаю-
щее массу электрона, что соответствует массе одного из «мезонов*».
Заметим также, что при т, равном нулю, получается чисто ку-
лоновское взаимодействие между источниками. В сущности это и
объясняет происхождение обычных электростатических сил, кото-
рые можно описать как обмен виртуальными фотонами между за-
ряженными частицами (очевидно, роль параметра g при этом
играет заряд е). Однако полная теория электромагнетизма (гл. 6,
§ 3) значительно сложнее, ибо поле фотонов — векторное и его
нельзя описать простой скалярной функцией <р. Аналогично об-
Бозоны
39
пело и в случае обмена фононами между электронами в ме-
ст011* Д обмена, приводящего к сверхпроводимости. Однако при
Та м как показано в гл. 3, § 5 и гл. 5, § 13, эффект отдачи для
’пактоонов играет очень важную роль.
Э' Из расчетов подобного типа следует, что любое взаимодействие
у частицами можно связать с дугим полем частиц, перенося-
взаимодействие между исходными. Могло бы даже показаться,
“ таКИм путем в любой общей теории поля возникает «иерар-
хия» подобных полей и частиц. Но, разумеется, чем короче радиус
ействия сил, т. е. чем точнее постулированный нами контактный
вид взаимодействия (1.104), тем большей должна быть масса
частиц, переносящих взаимодействие, и тем меньшей будет вероят-
ность их фактического возбуждения. Общая теория, в основе кото-
вой лежат эти замечания, есть теория аналитической S-матрицы,
которая будет рассмотрена в гл. 6, § 11.
§ 12.	Заряженные бозоны
В обычной квантовой механике волновая функция электрона
комплексна. Что произойдет, если мы попытаемся построить ком-
плексное поле бозонов? Положим
<Р =	<Ф' + «Рг).	(1.112)
где по предположению qpi и ф2— два независимых вещественных
поля.
Обычные математические соображения показывают, что должно
существовать и поле ф*, в некотором смысле комплексно-сопряжен-
ное с <р. Определим связь между <р и ф*следующим образом: если
поле ф подвергнуть калибровочному преобразованию1), ф-+фег“,
то при этом поле ф* автоматически подвергнется комплексно-сопря-
женному преобразованию, ф*—»ф*е_’“. Мы можем тогда без труда
выразить физические величины через произведения ф и ф*, инва-
риантные относительно этого преобразования. Смысл самого кали-
бровочного преобразования будет выяснен в гл. 6, § 3 при рас-
смотрении релятивистской электродинамики.
Очевидное обобщение теории вещественного скалярного поля
§ 8 получается, если плотность лагранжиана записать в следующем
виде:
S’= — у^Ф  ?ф* — ФФ* + т2ФФ*).	(1.113)
Поскольку ф и ф* по существу независимы (или по крайней мере
зависят от двух независимых функций ф1 и ф2), их можно варьиро-
вать по отдельности, так что каждая из них удовлетворяет своему
') В советской литературе употребляется также термин «градиентное преоб-
разование (соответственно «градиентная инвариантность»), — Прим. ред.
40
Глава 1
уравнению Клейна — Гордона
(□—т2)<р = 0,	(□ -ш2)ф’ = 0.	(1.1ц
Однако, переходя к определению «импульсов поля», мы получаем
Л = -^- = <Р и л =<р,	(1.115)
и, следовательно,
Зв = ял* + V<p  V<p* + m2<p<p*.	(1.116)
Условие вещественности }т. е. калибровочной инвариантности плот-
ности гамильтониана (1.116)] приводит к динамической связи
между полями.
Проквантуем теперь эти поля, вводя операторы уничтожения и
рождения для <pi и <р2. Пусть по аналогии с выражениями (1.90)
и (1.91)
Ф, (г) - - iV~'lt S (»['>• - а'Д) е“'.	(1.117)
(г) - - iv-i- 3(2«к)-'‘ «>• - оеу
Эти поля независимы, поэтому обращаются в нуль все коммутато-
ры, кроме обычных
[Ф	[Ф »₽•]=««.••	(1-118)
Согласно (1.П2) и (1.117), функция <р(г) получается в виде
линейной комбинации операторов всех четырех типов. Удобно
сгруппировать их следующим образом:
ъ -yr W’ - “?)	- уг (Ф + 1ф).
«;=(Ф+"Ф). ч -	- m
(1.119)
Эти соотношения определяют каноническое унитарное преобразова-
ние в гильбертовом пространстве операторов. Опять-таки обра-
щаются в нуль все коммутаторы, кроме тех, которые содержат
пары эрмитово сопряженных операторов, [ак, а*] и [Ьк, &к].
Подставляя теперь выражения (1.119) в формулы (1.112) и
(1.117), мы получаем
Ф (г) = - iV~'h 2 (2®к)-,/’ (а; - b_k) eik‘T. (1.120)
Пока что все изложенное есть не более чем догадка. Но если на-
писать
л(г) = К ,/2S(4®k),/!(ak+6’_k)e ,к\
к
то мы получим каноническое соотношение коммутации
[ф(г), л (г')] = Н> (г - г')
(1.121)
(1.122)
Бозоны
41
ответствии с общим принципом вторичного квантования, изло-
в с § 7
Же Применим теперь к каждому из равенств (1.120) и (1.121)
„ацию, обозначаемую звездочкой. Правило применения ее со-
°Поит в следующем: нужно приписать звездочку каждому из опера-
СТ„0в ранее ее не имевших, убрать ее у каждого из операторов со
ездочкой (т. е. заменить каждый из операторов на эрмитово со-
3 яженный) и заменить все комплексные числа на комплексно со-
пряженные. В результате находим
ф- (г) - IV-'1- S(2»1,)-'‘(ol - Щ)
„• (Г)	(«;+».,)е“'.
(1.123)
Эти выражения согласуются с соотношением коммутации
[<р* (г), л* (г')] = *6 (г — г').	(1.124)
[На первый взгляд последнее соотношение не совпадает с тем, что
получается из (1.22) с помощью операции «звездочка». Вспомним,
однако, что при эрмитовом сопряжении произведения операторов
меняется их порядок: (АВ)* = В*А*.]
Важно заметить, что описанная схема квантования является
более общей, чем в случае вещественного поля [последнее описыва-
лось бы, например, любой из функций (1.117)]. Если бы наше поле
было самосопряженным (эрмитов эквивалент вещественности), то
для того, чтобы выполнялось равенство (р = <р*, операторы ак и Ьч
должны были бы быть одинаковыми. Итак, в комплексном поле
есть место для двух различных типов «частиц», или «возбуждений»,
описываемых операторами уничтожения и рождения типов а и Ь.
Это можно пояснить, представляя гамильтониан в виде
Н = 2 ®к « ак + bk bk + 1) = 2 а>к (п+ + п~ + 1).	(1.125)
к	к
Здесь каждое состояние с волновым вектором к может быть занято
частицами двух разных типов. Более того, в рассматриваемом
представлении указанные возбуждения независимы.
Какой смысл имеют эти возбуждения? Вспомним хорошо изве-
стное из. теории электронов выражение для плотности тока
j = — ie (<pV<p* — <p*V<p).	(1.126)
Очевидно, это еще одна калибровочно инвариантная величина.
Далее, рассмотрим величину
р = — ie (rap — л‘<р‘).	(1.127'
42
Глава 1
Опа удовлетворяет следующему уравнению, которое можно noflv
чить из уравнений движения (1.114) и (1.115):
V-j-p = O.	(1Л28)
Естественно рассматривать (1.128) как уравнение непрерывности
ар — как плотность заряда.
Проквантовав эти уравнения поля, мы можем найти полный
заряд в представлении чисел заполнения:
Q= J pd3r = eV«ak-6,;bk) = e^(«+-«-).	(1.129)
k	k
Другими словами, оператор ak рождает частицы с зарядом е, а опе-
ратор Ь*к — частицы с зарядом —е. Два типа частиц отличаются
только электрическим зарядом; мы будем считать их частицами и
античастицами, хотя понятие «античастицы» имеет и более глубо-
кое содержание, к которому мы обратимся в свое время.
Отметим, что наш оператор поля не относится ни к одному, ни
к другому типу частиц в отдельности. Согласно равенству (1.120),
действие этого оператора сводится или к увеличению числа частиц
с зарядом +е, или к уменьшению числа частиц с зарядом —е. Если
нас интересуют только электромагнитные взаимодействия бозонов,
то можно считать, что оба названных процесса по существу оди-
наковы.
Подчеркнем, однако, что описанная выше процедура не есть
совершенно общий метод введения электрического заряда в кван-
товую теорию. Существуют и более тонкие подходы, применимые,
например, к нуклонам и к другим барионам. Они рассматриваются
в гл. 7, § 12.
ГЛАВА 2
ФЕРМИОНЫ
Надобно подчеркивать положи-
тельное и исключать отрицательное...
§ 1. Представление чисел заполнения
Теория, развитая в предыдущей главе, совершенно непригодна
дчя описания ансамбля частиц, подчиняющихся статистике Фер-
и___Дирака, например, электронов или нуклонов. Для последней
цели нужна схема, учитывающая, что в одном состоянии не может
находиться более одного возбуждения. Речь идет здесь не только об
ограничении числа собственных состояний оператора числа частиц:
указанное ограничение приводит и к более глубоким последствиям.
Основу принципа Паули составляет правило, согласно которому
волновая функция системы неразличимых фермионов должна быть
антисимметричной относительно перестановки любой пары частиц *):
^(Гь ^2> •••> Гц, •••> 1"т, Fjy) =
= -V(rl, r2, ..., rm, ..., r„, .... rN). (2.1)
Соответствующее правило для бозонов требует, чтобы волновая
функция была симметричной относительно таких перестановок; это
накладывает, однако, значительно меньше ограничений.
Принцип Паули можно вывести из соотношения (2.1), рассмат-
ривая волновую функцию системы независимых фермионов. Пусть
фь фг, ..., фд’ — одночастичные функции, каждая из которых есть
решение соответствующего одночастичного уравнения Шредингера.
Произведение таких функций
Ф1(П) -ф2(г2) • • • Фл^(^)
не удовлетворяет принципу антисимметрии. Однако из таких про-
изведений легко построить полностью антисимметричную функцию
с помощью оператора перестановки Р, который меняет местами
пары частиц. Таким путем можно получить выражение
^ = (УУ!)-,^(-1)₽ф1(Рг1)ф2(Рг2)... ф„(Рг„).	(2.2)
р
Суммирование проводится здесь по всем N\ перестановкам коорди-
нат, а знак плюс или минус определяется четностью перестановки.
’) Здесь для простоты рассматриваются бесспиновые частицы. Фактически
фермионы непременно обладают полуцелым спином; при этом величины п, ...
нужно рассматривать как совокупности пространственных и спиновой коорди-
нат. — Прим. ред.
44
Глава 2
Хорошо известно, что выражение (2.2) представляет собой н ]
что иное, как детерминантную функцию — определитель, в которой
элемент, стоящий в /-строке и /-м столбце, есть ф;(п). Легко д0 ‘
казать, что условие (2.1) удовлетворяется, а также что волновая
функция тождественно обращается в нуль, если любые две функ-
ции ф,- оказываются одинаковыми. Это есть известная интерпрета-
ция принципа Паули: две частицы не могут находиться в одном и
том же состоянии. Можно также показать, что функция (2.2) пор.
мирована, если исходные функции ф; нормированы и ортогональны
Разумеется, нам надо построить и многочастичные волновые
функции, более сложные, чем простой определитель. Это можно
сделать, беря линейные комбинации определителей, — результат
при этом автоматически будет антисимметричным. Пусть теперь
наши функции фьф2, •  •, фл’ входят в бесконечную полную орто-
нормированную последовательность функций. Выбирая различные
функции из этой последовательности, мы можем построить беско-
нечное множество детерминантных функций. Поскольку функции
фг(г) определены в пространстве одной переменной г, то (при же-
лании это можно доказать) указанные детерминантные функции
образуют базис для построения любой антисимметричной функции N
переменных rt.....гл-.
Полезно ввести компактное обозначение для таких функций.
Очевидно, удобно характеризовать каждый определитель, задавая
входящие в него функции ф, и т. д. или, как говорят, указывая «за-
нятые» в нем одночастичные состояния. Соответственно мы будем
обозначать детерминантную функцию с П\ частицами в состоянии
фь «2 частицами в состояний ф2 и т. д. символом |«1,п2,...).
Это очень напоминает соответствующее обозначение для бозон-
ных состояний в гл. 1, § 3, однако здесь число П\ может принимать
лишь два значения, 0 и 1. Следует подчеркнуть, что в используемых
нами символах нет ничего таинственного — это просто сокращен-
ные обозначения для функций типа (2.2). Так,
111, 02, 03, ...>^ф,(г1),	(2.3)
|1Ь 12, 03, .. .)^2-,/2{ф|(Г|)ф2(г2)-ф1(г2)ф2(г1)} и т. д. (2.4)
Мы используем такие функции для построения любой более обшей
антисимметричной волновой функции W. Конечно, эти функции за-
висят от переменных гь г2, ... и т.д., однако названная зависимость
исчезает при интегрировании по всем переменным, когда мы вы-
числяем средние значения и матричные элементы. В окончательных
физических результатах частицы должны быть неразличимы.
§ 2.	Операторы уничтожения и рождения. Антикоммутация
Все, что было сказано относительно фермионных состояний,
могло бы в равной мере относиться и к бозонным — с той лишь раз-
Фермионы
45
. что тогда надо было бы строить только симметричные функ-
H,,UeB теории бозонов мы определили операторы а* и а, обладаю-
Ц11П свойством изменять числа заполнения различных состояний,
^поделаем то же самое для фермионных состояний. Определим
оператор bl, рождающий частицу в k-м состоянии, равенством
«2,	«к. •••> = |«р «2. •••. «к+1. •••>•	(2-5)
Аналогично определим сопряженный оператор, уничтожающий воз-
буждение:
\|«Р «2, •••• «к- •••) = |«р «2.«к-1-	•••>•	(2-6)
На реально существующие фермионные состояния, т. е. на состоя-
ния, в которых п равно 0 или 1, эти операторы действуют так же,
как и соответствующие бозонные операторы. Но нужно ввести еще
некоторые дополнительные формальные правила, дабы не выйти
за пределы дозволенных чисел заполнения. Эти правила очевидны:
для любого состояния, на которое могут действовать рассматривае-
мые операторы, мы должны иметь
(^ = 0 и (\)2 = <>-	(2.7)
В теории бозонов все состояния можно было получить из вакуум-
ного путем последовательного применения операторов рождения.
Это свойство желательно сохранить и в теории фермионов. Соот-
ветственно положим
(2.8)
затем
ВД1°> = | lk’ Ik')’2"'4 {%(ri)Mr2) - %(гг)Мг1)} и т- (2-9)
Следует, однако, проявлять осторожность. Пусть, например, мы
построили тот же вектор состояния (частицы с волновыми векто-
рами кик'), действуя операторами 6к и Ьк’ в обратном порядке.
Тогда для того, чтобы выражение (2.9) было алгебраически непро-
тиворечивым, мы должны иметь право поменять в нем местами
(произвольные) индексы к и к'. При этом получается
Мк'1 0> = 2~'/г{фк'(Г1)фк(г2)-фк'(г2)фк(Г|)}= - &к'6к|0>. (2.10)
1 аким образом, порядок следования операторов чрезвычайно ва-
жен. Наш результат эквивалентен равенству
(W + W)l°> = °-	(2.11)
В более общем случае при действии на любой вектор состояния мы
приходим к такой же зависимости знака от порядка следования
операторов. Более того, в силу равенства (2.7) выражение (2.11)
46
Глава 2
включает и тот случай, когда векторы кик' совпадают. Таким об
разом, в общем случае
ВД' + ВД = °-	(2.12)
О таких операторах говорят, что они антикоммутируют. По анало-
гии с обозначением соотношения коммутации (1.38) можно на-
писать
{6к’М = 0-	(2.13)
Несомненно, это правило представляется загадочным. Каким
образом два совершенно независимых состояния фк и фк, могут
влиять друг на друга? Загадочность, однако, проистекает из самого
принципа антисимметрии, который мы должны принять к.ак объек-
тивный факт. Соотношение (2.10) есть по существу частный случай
правила (2.1). Недостаток приведенного доказательства состоит
в том, что переменные гьГ2,..., — казалось бы, входящие явно —
относятся к неразличимым частицам. Дело, однако, просто в том,
что нужно как-то перенумеровать переменные, условившись, что
первый оператор, действующий на состояние |0), относится к пер-
вой из них и т. д. Это есть не более чем соглашение. Знак детер-
минантной функции (2.2) также произволен, до тех пор пока мы
не задали канонический порядок переменных, соответствующий
тождественной перестановке.
Очевидно, все операторы уничтожения также должны антиком-
мутировать:
{&к, М = 0.	(2.14)
Если рассмотреть случай, когда векторы к и к' не равны, то из
принятых условий вытекает, что
(6к, б;,} = 0, если к =/= к'.	(2.15)
Остается рассмотреть лишь случай операторов bk и Ъ к. Их анти-
коммутатор легко найти непосредственно. Действительно, рассмо-
трим следующие равенства, вытекающие из определений операто-
ров Ъ и из принципа Паули:
цщоо-о. адл)-!0..).
(2.16)
Умножив эти равенства на произвольные коэффициенты а и f и
сложив их, получим
(6^к + (а | 0к> + ₽ | 1к» = а | 0к> + ₽ 11к>.	(2.17)
Таким образом, в применении к любому вектору состояния указан-
ного вида мы имеем
(2.18)
^к + Мк=1-
Фермионы
47
Тот же результат справедлив и в применении к произвольно'му
тору состояния. Поэтому мы можем обобщить соотношение
«75).a«E	(V0M=\k..	(2.19)
Пз равенств (2.16) видно, что оператор
nk = ^\	(2-20)
ет роль оператора числа заполнения k-го состояния. Соотноше-
ния (2.5) и (2.6) можно также написать в виде
(2.21)
откуда ясно, что последовательность чисел заполнения автомати-
чески обрывается для значений, больших единицы и меньших нуля.
Красота соотношений антикоммутации (2.13), (2.14) и (2.19)
заключается в том, что они в точности совпадают с соответствую-
щими соотношениями коммутации (1.32) и (1.38) для бозонных
операторов. Это не случайно. Теорию бозонов можно построить
точно так же, как и теорию фермионов, причем «симметрия» за-
менит «антисимметрию». Единственное существенное отличие в вы-
кладках будет состоять в том, что множитель (—1) в форму-
ле (2.2), учитывающий изменение знака при каждой перестановке
переменных, перейдет в ( + 1); соответственно вместо антикоммута-
торов появятся коммутаторы. Изменение знака находит свое от-
ражение в матричнйх элементах операторов Ьк и Ьк, определяе-
мых с помощью правил (2.21), в остальном же эти правила анало-
гичны (1.10).
Мы предпочли построить теорию бозонов иначе, выразив опера-
торы уничтожения и рождения через простые операторы координа-
ты и импульса одной частицы. К сожалению, столь простого пред-
ставления для фермионных операторов уничтожения и рождения не
существует, и мы вынуждены были ввести их с помощью более
абстрактной процедуры, в связи с чем и свойства фермионных
операторов выглядят несколько менее привычными.
§ 3.	Вторичное квантование
Теория фермионных состояний была построена нами с помощью
представления, базисом которого служила определенная система
функций фк. Довольно часто эти функции представляют собой про-
сто плоские волны, характеризуемые волновым вектором к. В слу-
чае электронов в идеальном кристалле в качестве базисных можно
использовать функции Блоха. Однако общий ход рассуждений не
48
Глава 2
зависит от того, используем ли мы импульсное представление Ил
нет; он остается тем же для любой полной системы функций, на
пример для одночастичнь!х состояний электрона в поле сложной
органической молекулы.
Чтобы не быть связанным с каким-либо специальным представ-
лением, полезно построить теорию фермиевского поля общего
вида с помощью операторов вторичного квантования. Это легко
сделать, используя соотношения типа (1.90) и (1.19) в обратном
порядке. Введем операторы
Ф (0 = 2 Фк (г) Ьк, ф’ (г) = 2 Фк (г) Ь*.	(2.22)
к	к
Основываясь на правиле (2.19) и на свойстве ортогональности
базисных функций, нетрудно получить соотношения антикоммута-
ции для этих операторов:
{ф (г), ф (г')} = 0,	{ф’(г), ф’(г')} = 0,	(2.23)
но
{ф(г), ф’ (г')} = 6 (г - г').	(2.24)
Эти соотношения, очевидно, аналогичны соотношениям коммута-
ции для бозонов (1.78). Теперь, однако, нет необходимости вво-
дить особое поле л, канонически сопряженное Исходному полю;
вместо этого можно использовать оператор, эрмитово сопряжен-
ный ф. В этом состоит специфическое свойство системы фермионов,
связанное с равноправием способов описания ее на языке «частиц»
и «дырок» (§ 8).
Нужно еще получить какие-то уравнения движения. Это можно
сделать, используя уравнение Шредингера со временем,
Н| ) = ih~\ ),	(2.25)
если известен вид гамильтониана. В теории бозонов было показано,
что канонический оператор Гамильтона квантованного поля совпа-
дает с функцией Гамильтона соответствующего классического поля.
Там же выяснилось, что в некоторых частных случаях одночастич-
ные состояния квантованного поля удовлетворяли уравнениям типа
волнового (1.72) или типа уравнения Клейна — Гордона (1.85). Та-
ким образом, последние уравнения можно было бы интерпретиро-
вать как уравнения движения для одночастичных состояний. Их
можно было бы получить с помощью обычной процедуры «первич-
ного квантования», заменив в одночастичной функции Гамильтона
импульс частицы на оператор
p = 4v.	(2.26)
Фермионы
49
Итак пусть мы нашли уравнения движения для фермионных
волновых функций фк(г,/), и пусть они имеют вид
Жк(г. /) = /й4%(г> 0,	(2.27)
_______обычный одночастичный оператор. Тогда можно* показать,
что как раз из оператора Ж и получается плотность гамильтониана,
из которой можно построить общий полевой гамильтониан Н, вхо-
дящий в уравнение (2.25).
Все это выглядит довольно абстрактно, поэтому приведем кон-
кретный пример. Рассмотрим обычное уравнение Шредингера
(1 83). Входящий в него гамильтониан есть
^(г)=--^-Ф2 + Г(г).	(2.28)
Тогда в теории поля гамильтониан системы фермионов, испытываю-
щих действие сил с потенциалом Т’(г), имеет вид
Н = —	[ ф* (г) ?2ф (г) d3r + f ф* (г) F (г) ф (г) d3r. (2.29)
Здесь мы считаем фиф* операторами поля, подчиняющимися соот-
ношениям (2.23) и (2.24). Другими словами, среднее значение га-
мильтониана одной частицы с волновой функцией ф(г) снова «кван-
туется» и должно рассматриваться уже как оператор. Теперь,
однако, это уже многочастичный оператор, действующий на произ-
вольный вектор состояния системы в абстрактном пространстве
Фока.
Чтобы показать это, подставим выражение (2.22) в гамильто-
ниан (2.29). Если принять, что каждая из функций фк(г) удовле-
творяет уравнению Шредингера и принадлежит энергии (к), то
мы получим
И-S [/<(r){-^-V + r(r)}^(r)d3r]6^l-
к. к'
= 2 # (к) / ф;, (г) Фк (г) d3r£’,6k =	8 (к) bkbk. (2.30)
к, к'	к
Согласно (2.20), это означает, что векторы состояний |пк> (в
представлении чисел заполнения) суть собственные векторы га-
мильтониана Н, принадлежащие собственным значениям энергии
8 = 2 ^(к)пк.	(2.31)
к
Таким образом, наш выбор выражения (2.29) для гамильтониана
поля согласуется с утверждением, что это поле описывает систему
независимых фермионов, находящихся в своих одночастичных
50
Глава 2
состояниях; каждое из последних описывается уравнением Шрепи
гера с одночастичным гамильтонианом (2.28).	1
Подчеркнем еще раз, что схема рассуждений, использования
в настоящей главе, применима и к бозонам. Мы могли бы no*
строить вторично квантованное поле и его гамильтониан, исходя
из представления чисел заполнения, а не непосредственно из плот
ности лагранжиана и т. д. Обратно, теорию фермионов можно бы-
ло бы построить, постулировав, что некоторую каноническую функ-
цию Гамильтона можно проквантовать, заменяя все «волновые
функции» антикоммутирующими операторами поля. Оба указан-
ных подхода эквивалентны, оба их следует иметь в виду при рас-
смотрении различных физических явлений, а также аксиом и по-
стулатов, лежащих в основе их объяснения.
§ 4.	Рассеяние. Связь со статистической механикой
В физике частиц возбуждения обычно считаются свободными,
если только явно не оговорен характер связи между ними. Соот-
ветственно типичный гамильтониан имеет вид оператора кинетиче-
ской энергии свободного поля:
^о = Ф*(г)(--£^)ф(г).
(2.32)
В физике твердого тела также существуют приемы, позволяющие
приближенно привести гамильтониан электронов к подобному ви-
ду; при этом вместо массы свободного электрона может появиться
некоторая «эффективная масса» tn*. Систему базисных функций
гамильтониана образуют плоские волны.
К основному члену (2.32) можно добавлять различные типы
взаимодействия. Рассуждения при этом весьма сходны с проведен-
ными в гл. 1, § 9. Так, член, линейный по ф *, создает новые воз-
буждения фермионного поля, а член, линейный по ф, уничтожает
уже существующие возбуждения; член, содержащий ф*(г) ф(г),
описывает рассеяние фермионов из одного состояния в другое без
изменения их числа и т. д.
Рассмотрим, например, влияние добавочной потенциальной
энергии Соответствующий гамильтониан взаимодействия
И, = [ ф’ (г) Г (г) ф (г) d^	(2.33)
с помощью соотношений (2.22) можно записать в представлении
плоских волн:
Н, =	[ в"1' <к'“к>гГ (г) d3rb;bk = V у (k _ к')	(2.34)
к, к'	к. к'
Фермионы
51
— есть фурье-образ функции F(r). Очевидно, этот
ЗДеСатор взаимодействия уничтожает частицу в состоянии к, а за-
°ПеРсоздает частицу в состоянии к', иначе говоря, происходит рас-
теМ ие частицы из одного состояния в другое. Матричный элемент
СеЯого процесса есть, очевидно, F(k — к'). В пренебрежении мно-
ТаКпатным рассеянием мы можем подставить квадрат модуля это-
Г° матричного элемента в обычную формулу для вероятности пе-
Г°хода‘ при этом получается приближение Борна.
ре Вычисляя результат действия одного из членов, входящих в
Н на произвольный вектор состояния системы фермионов, мы
пришли бы к матричным элементам типа
..... к„ «к> = (1 - (к - к').	(2.35)
(tik, + 1, nk 11 Hj | n.
Составляя квадрат модуля этого выражения, видим, что скорость
переходов (число переходов в единицу времени) пропорциональна
величине
(2.36)
-ик,)|Г(к-к')12.
Таким образом, вероятность перехода пропорциональна числу за-
полнения начального состояния и в соответствии с принципом
Паули числу «незаполнения» конечного состояния.
Это напоминает результат (1.103). Различие между бозонами
и фермионами сводится лишь к замене знака. Вместо «индуциро-
ванного» излучения с усиливающим множителем (1+Hv) в случае
фермионов мы имеем «подавленное» излучение, что отражается в
наличии ослабляющего множителя (1 —Пк).
Рассмотренные формулы можно использовать, чтобы простым
путем вывести распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дира-
ка. Пусть поле частиц (бозонов или фермионов) находится в рав-
новесии с классическим резервуаром энергии. Рассмотрим два со-
стояния, кик', в которых находится в среднем п и п' возбуждений
(последнее означает, что числа п и п' не обязательно целые).
Пусть энергии этих состояний отличаются на величину
^-^' = А.	(2.37)
Можно говорить о скорости переходов между этими двумя со-
стояниями, при которых энергия А отбирается у резервуара или
передается ему. В общем случае числа переходов в единицу вре-
мени должны иметь вид
Q(k->k') = »(l ± n')fxPw,
Q(k'7>k) = n'(l ±n)f2P^.	(2’38)
Здесь верхний знак относится к бозонам, а нижний — к фермио-
нам, величина ft есть вероятность того, что резервуар находится в
основном состоянии (и может получить от поля энергию А), а через
/2 обозначена вероятность пребывания резервуара в возбужденном
52
Глава 2
состоянии (когда он может вернуть полю полученную им энергию! •
Как известно, отношение указанных вероятностей дается боль
мановским множителем	Ц1
А А
7Г = ехр17'	(2.39)
Далее в силу принципа микроскопической обратимости вероят-
ности T’kk- и Pk'k, соответствующие просто процессам рассеяния, без
статистических множителей, содержащих числа заполнения на-
чальных и конечных состояний, равны между собой. Согласно
принципу детального равновесия, числа (2.38) прямых и обратных
переходов в единицу времени должны быть одинаковы. Отсюда
следует, что
п'(Г±п) =ехР\~Тт)-	М)
Наконец, предположим, что число заполнения данного состоя-
ния поля зависит только от его энергии. Тогда легко показать, что
функциональное уравнение (2.40) [с учетом закона сохранения
энергии (2.37)] удовлетворяется выражением
п (#) =---, -	(2.41)
' ' exp (&lkT) + 1	v '
Мы получили не что иное, как функции распределения Бозе — Эйн-
штейна и Ферми — Дирака.
§ 5. Сохранение импульса при взаимодействии между частицами
Случай, когда частицы поля взаимодействуют друг с другом,
весьма важен (особенно для газа электронов или нуклонов). Если
число частиц сохраняется, то гамильтониан взаимодействия можно
записать в виде
77/ = у | J" ф* (г') ф* (г) Т (г' — г) ф (г) ф (г7) d3r • dV. (2.42)
Уже сейчас должно быть ясно, что такой гамильтониан описывает
процессы, при которых два фермиона «чувствуют» друг друга че-
рез, потенциал Г (г7— г) и рассеиваются друг на друге.
Чтобы явно показать это, воспользуемся представлением плос-
ких волн (2.22) и перепишем гамильтониан в виде
Я, = | Jg Г (к" - к7) b^.b^b^b (к + к7 - к77 - к777). (2.43)
Отдельный член этой суммы переводит частицы из состояний к и
к7 в состояния к" и к777. Матричный элемент перехода предста-
вляет собой просто фурье-образ потенциала взаимодействия У (г),
в аргументе которого стоит изменение импульса второй частицы
Фермионы
53
/z <,/. при этом импульс первой частицы изменяется на ту же
к huhhv но с обратным знаком, от к до к"'.
Ве Математически сохранение импульса связано с появлением ин-
теграла вида
ei (k+v-k"-k'")-r d3r = & (к + к' - к" - к"').
(2.44)
, _ичие его обеспечивает сохранение полного волнового вектора
” стин после каждого акта рассеяния. В теории поля условия по-
ЧЗбного рода обычно именно так и возникают; они представляют
Добой условия интерференции волн, отвечающих различным со-
СТОЯниям частиц. Подобные соотношения основаны по существу
на том, что энергия взаимодействия F(r' —г) зависит только от
относительного расположения частиц в пространстве, так что га-
мильтониан Hi инвариантен относительно пространственных транс-
ляций.
Интересно отметить, что для электронов в кристаллической
решетке указанное условие выглядело бы несколько иначе. Дей-
ствительно, в этом случае, представляя операторы поля в форме
(2.22), мы должны были бы взять в качестве базисных функции
Блоха. Последние, вообще говоря, отнюдь не являются плоскими
волнами, но удовлетворяют условию
%(г+ /) = е/к/фк(г),	(2.45)
где I — произвольный вектор трансляции в решетке. Аналог выра-
жения (2.43) оказывается несколько более сложным, а вместо
интеграла (2.44) появляется сумма
^-^ei<k+k'-k"-k'").z>	(2.4б)
Она отлична от нуля, когда вектор (к + к' — к".— к'") равен лю-
бому вектору обратной решетки кристалла. Таким образом, вместо
строгого закона сохранения импульса получается более слабое тре-
бование: в процессе взаимодействия квазиимпульс сохраняется
только с точностью до произвольного вектора обратной решетки.
Другими словами, следует всегда иметь в виду возможность про-
цессов переброса.
В формуле (2.42) важен порядок следования операторов. Если
бы не все операторы уничтожения стояли справа, то оператор Ht
имел бы отличное от нуля среднее значение в любом состоянии
системы, поскольку в получающемся выражении типа (2.43) члены
с одинаковыми векторами к, к', к" и к"' давали бы ненулевой вклад,
•это соответствовало бы собственной энергии «голых» частиц, кото-
рую мы обычно полагаем равной нулю. Более сложные послед-
ствия взаимодействий такого рода будут рассмотрены в гл. 5.
54
Глава 2
Заметим, что наше основное предположение о наличии взацц
действия между фермионами, F(r — г'), не исключает возм0^
пости того, что силы взаимодействия переносятся каким-либо др/
гим полем. Как было показано в гл. 1, § 11, обмен, скажем, мезо
нами между нуклонами может привести к вкладу в энергию'
который выглядит очень похоже на потенциальную энергию’
отвечающую дальнодействующим силам. Надо лишь следить, чтобы’
энергия возбуждения частиц основного поля (в нашем примере —
нуклонов) не оказалась слишком большой — достаточной для гене-
рации реального возбуждения поля взаимодействия.
§ 6. Взаимодействие фермионов с бозонами
Многие характерные явления физики твердого тела и физики
элементарных частиц обусловлены связью бозонного и фермион-
ного полей, описываемой гамильтонианом взаимодействия вида
(2-Я
В представлении чисел заполнения это взаимодействие должно со-
ответствовать процессам, при которых фермион (скажем, электрон
или нуклон) «выбивается» из состояния к в состояние к + q с испу-
сканием или поглощением бозона (фотона, фонона или мезона).
Вид формфактора F (q) зависит от природы физической си-
стемы. В случае точечного взаимодействия, подобного рассмотрен-
ному в гл. 1, § 11, плотность гамильтониана, из которой получается
выражение (2.47), должна иметь вид
^/ = &Ф’(г)ф(г)ф(г).	(2.48)
Здесь ф — оператор бозонного поля, ф— оператор фермионного по-
ля, a g— константа связи. При этом [ср. с формулой (1.106)]
F(q)	(2.49)
]/2coq
т. е. функция F(q) зависит от формы бозонного спектра. К такому
типу принадлежат и взаимодействия между нуклонами и мезона-
ми, хотя фактически возникают и дополнительные усложнения, свя-
занные с тем, что поля могут иметь несколько компонент, и с тем,
что вид энергии взаимодействия подчиняется некоторым принци-
пам симметрии. Более того, частицы с подобной энергией нужно
описывать в рамках релятивистской теории, излагаемой в гл. 6.
Типичным для физики твердого тела является электрон-фонон-
ное взаимодействие в полупроводниках. Представляется правдопо-
добным, что энергия электрона в зоне проводимости зависит от
локального состояния деформации кристалла. Если относительное
увеличение объема в окрестности точки г составляет Д(г), то мож-
55
Фермионы
жидать что энергия изменится на СД(г), где величина С на-
Н° °ется константой потенциала деформации. Гамильтониан элек-
тронного поля должен содержать дополнительный член
Н, = j4’(r)CA(r)4(r)d3r.	(2.50)
.. но однако, считать, что расширение Д связано с упругой вол-
- в решетке, характеризуемой, как и в гл. 1, § 5, векторным
почем смещений и (г). Тогда, выражая и (г) через фононные опе-
оаторы. мы получаем для продольных акустических колебаний (в
континуальном пределе)
А (г) = V • и (г) = 2 (4 Ро“ч)
ч
В этом случае
Cq
(2.51)
,q-r(aq-a’_q).
(2.52)
(. АРоЧр I /2PoS)
где р0 — плотность среды, a s — скорость звука. Взаимодействие
электронов с фононами в металлах описывается в общем аналогич-
ным выражением, с тем лишь отличием, что там величина С ока-
зывается медленно меняющейся функцией q.
В случае взаимодействия электронов с фотонами (в свободном
пространстве) зависимость формфактора от q оказывается такой
же, как и в формуле (2.52). Для полного вывода соответствую-
щего выражения нужны все хитрости теории квантованного элек-
тромагнитного поля. Это откладывается до гл. 6; пока просто пред-
положим, что аналогом поля локальных «смещений» и (г) служит
векторный потенциал А (г) и что взаимодействие поля с электриче-
ским током электронов j(r) описывается обычным классическим
выражением (ср. с гл. 6, § 9)
Яв, — j А = — ei (ip'ViJi — ф?ф‘) • А.
(2.53)
В представлении вторичного квантования поле А (г) выражается
через операторы уничтожения и рождения точно так же, как и поле
М(г) в гл. 1, § 5; отсутствует лишь множитель р0 («плотность»),
1ы приходим к выражению типа (2.47), в котором

(2.54)
где с скорость света. Легко видеть, что константой связи здесь
служит просто квадратный корень из постоянной тонкой структу-
ры, е /лс, которая, как хорошо известно, приближенно равна 1/137.
днако все эти рассуждения носят нерелятивистский характер и не
трагивают серьезного вопроса об исключении вклада электроста
тического потенциала.
56
Глава 2
Еще один тип формфактора характеризует взаимодействие эле
тронов с оптическими фононами в ионном кристалле. Поле э'ЛеК'
трической поляризации Р(г) пропорционально локальному «СМК'
щению» u(r), которое можно проквантовать обычным образом. Н
электростатическая энергия электрона равна е<р(г), причем
4яР (г) = V<p(r).	(2.55)
При фурье-преобразовании этого равенства для каждой фурье-ком-
поненты потенциала с волновым вектором q возникает множитель
\./q. Но частота оптических колебаний а»( почти не зависит от о
поэтому
(2.56)
Поучительно оценить константу пропорциональности F, вычис-
лив по схеме гл. 1, § 11 эффективную силу, действующую между
двумя заданными электронами благодаря обмену оптическими фо-
нонами. При этом должен получиться кулоновский потенциал
e^/eR с эффективной диэлектрической проницаемостью
2 ла.
е =	-д,
(2.57)
которую можно определить из опыта.
Рассмотрим теперь некоторые явления, обусловленные таким
взаимодействием. Вычислим, например, плотность бозонного обла-
ка, сопровождающего фермион. Пусть начальное состояние есть
| k, 0q), т. е. в вакууме бозонного поля имеется один фермион с
импульсом к. Рассматривая Hj как постоянное возмущение, на-
ходим, что это состояние переходит в следующее:
|k>'-|k, ОЛ + Vlk-q,
' ' I ’ Ч/ I	ч/ <r0 (k) - (k - q) - a
q
= I k, 0) - V * нА	—V-------1 k - q, 1 ). (2.58)
I ’ q/ #0(k)-<r0(k-q)-a I	q/ v
ч
Действительно, возмущение может «примешивать» к исходному
состоянию другие, содержащие по одному фонону с произвольным
импульсом q.
Среднее число бозонов в <?-м состоянии равно квадрату модуля
соответствующего коэффициента, характеризующего амплитуду
«примешанных» состояний. Суммируя по всем состояниям бозон-
ного поля, находим
/М\— т*2 f IС (?) I2 d3Q	/? чо)
VV'~ вл’ J р/2 (2k • q — q2) — m*aqjz ’
Фермионы
57
Мы предположили здесь, что в невозмущенном состоя,,™
массойш* ФеРМИ0НЫ представляют собой свободные частоте
Интеграл в формуле (2.59) можно вычислит! ЧЯПЯЯо
личными видами функций F(q) и и9, в соответствии	рЭЗ'
физическими ситуациями. Во всех до сих поп пя^Л Различными
случаях в окрестности точки q = 0 Ие возвикя ™ ссматРивавшихся
стей. Обратимся, однако, к взаимодействию эпакт, никаки* тРУДно-
с формфактором (2.52). ПредроложрмХХТ^"™ ‘‘
трона мала, так что в знаменателе можно поенёбпХ, . ₽	.
Тогда выражение (2.59) принимает вид ₽ °Р епом kq.
/А/\_ 1	т'2с2 4гг f 4qq2 dq
8л3 >/2poS J (q2 + 2m*qs)2
4т*2 С2 Р q dq 4 т'2 С2 qn
. . —  —  I 	—	z^z —---- - — — - | ГЛ -
n2p0s J (q + 2m*s)2 n2 pos 2m*s
о
(2.60)
Это выражение конечно, ибо наличие дебаевского волнового
числа qD автоматически обеспечивает обрезание интеграла на
соответствующем верхнем пределе. Пусть, однако, аналогичный
расчет проводится для электромагнитного взаимодействия (2.54).
Интеграл при этом будет точно таким же, но, поскольку частота
фотона не имеет естественной верхней границы, выражение (2.60)
будет логарифмически расходиться при больших q. Мы встречаем-
ся здесь с одной из стандартных расходимостей квантовой электро-
динамики.
Рассмотрим теперь, что происходит при достаточно большой
величине вектора к, когда при некоторых значениях q знаменатель
в выражении (2.59) может обращаться в нуль. Условие обращения
знаменателя в нуль удобнее всего получить из формулы (2.58).
Подынтегральное выражение будет сингулярным, если
^o(k) — ^о(к — q)>oq,	(2.61)
т. е. (при малых q), если
д&0 (к)	/л лл\
q----— > qs.	(2.62)
Это означает, что групповая скорость фермиона в состоянии к дол-
жна превышать скорость бозона s.
Что же происходит в этом случае? Интеграл (2.59) может все
же сходиться в смысле главного значения, однако в самой особой
точке возникает возможность реальных процессов рассеяния, так
что состояние (2.58) не будет стационарным. В случае электронов
в полупроводнике эти реальные процессы приводят к рассеянию
осителей заряда и к возникновению электрического сопротивле-
ия. В случае электромагнитного поля подобное явление возможно,
58
Глава 2
лишь когда фермионы распространяются со скоростью, больше"
скорости света, для чего необходимо, чтобы показатель прелом 1е
ния среды превышал единицу. Разумеется, это есть не что иное
как условие черепковского излучения.
Другой величиной, которую можно рассчитать, является соб
ственная энергия фермиона в бозонном поле. Беря возмущенный
вектор состояния в виде (2.58), находим
^(k) = ^0(k) +
У I <k-q> 'q \Н! Ik> 0q> I2
X4 ^0(k)-#0(k-q)-<oq
|f ('Z)I2 d3q
8л3 j —’/2 (2k • q — q2) + m*coq
(2.63)
Для системы нуклонов и мезонов этот расчет очень похож на
то, что было сделано в гл. 1, § 11. Там было показано, что поправ-
ка, связанная с собственной энергией, бесконечна. Интеграл (2.63)
расходится не столь сильно, как интеграл (1.110). Фактически,
однако, это не существенно, поскольку нерелятивистскую теорию
нельзя использовать для описания процессов, которые могут про-
исходить при очень высоких энергиях пионов.
Для электрон-фотонного взаимодействия (2.54) собственная
энергия также бесконечна, а для электрон фононной системы она
существенно зависит от величины qD, как и выражение (2.60).
Предположим, однако, что мы подставили в выражение (2.63)
функцию (2.56), характеризующую взаимодействие электронов с
оптическими колебаниями ионного кристалла (последним отвечает
постоянная частота и;). Тогда интеграл с бесконечным верхним
пределом будет сходиться. Непосредственное разложение в ряд по
степеням k дает
ЗТ	со
%(k)-#0(k) = -[sinеde f 2 -о.	—
v '	’	2л2 J	J q2 — 2kq cos 0 4- 2mco
о	0	4
^-ah + ~iir^+•••)• (2-64)
Параметр связи а можно выразить через эффективную диэлектри-
ческую проницаемость, определяемую выражением (2.57):
а = ~ К? •	(2-65)
Поправка к энергии основного состояния покоящегося электро-
на здесь конечна — она определяется выигрышем энергии за счет
поляризации решетки в окрестности частицы. Имеется также по-
правка к соотношению между энергией и импульсом электрона.
Можно сказать, что частица ведет себя так, как если бы ее масса
Фермионы
59
была равна
(2.66)
. т
т ~ 1 - ’/6а 
Тот Факт’ чт0 электР0Н как бы становится тяжелее, физически
вполне понятен: при движении в кристалле он должен переносить
с собой оптические колебания.
Заметим, однако, что теория полярона перестает быть справед-
ливой, если значение параметра а (безразмерного в соответствую-
щей системе единиц) превышает 6. Изложенная теория правдопо-
добна лишь в пределе слабой связи; в других случаях потребова-
лись бы совершенно иные методы расчета ').
Из рассмотрения, проведенного в настоящем параграфе, сле-
дует, что, хотя и можно выписать простые выражения теории воз-
мущений для взаимодействующих полей, при этом часто получают-
ся бесконечные величины, не поддающиеся интерпретации. По этой
причине оказывается необходимым прибегать к более тонким спо-
собам решения уравнений для взаимодействующих полей; некото-
рые из них рассматриваются в последующих главах.
§ 7.	Дырки и античастицы
Во многих физических системах плотность фермионов (напри-
мер, электронов в металле или нуклонов в ядре) велика. Если
взаимодействие частиц не слишком сильное, то определяющую роль
играет принцип Паули. В этом случае основное состояние системы
можно рассматривать как вырожденный ферми-газ. Это означает,
что волновые векторы всех занятых состояний |к) лежат внутри
некоторой области k-пространства, ограниченной поверхностью, от-
вечающей энергии <%г- Для N свободных частиц, каждая из кото-
рых может находиться в двух спиновых состояниях, поверхность
Ферми представляет собой сферу радиуса
,	13n2N \'/з
kF =	у-) .	(2.67)
где V — объем системы. Хорошо известно, что для электронов в
металле форма поверхности Ферми может быть весьма сложной.
1ем не менее электронные состояния и в этом случае можно раз-
бить на состояния, лежащие «над» и «под» поверхностью Ферми,
^зависимости от того, превышает ли энергия <S(к) величину 8?
же!^(ЦНЫ^ энеРгетнческий спектр такой системы чрезвычайно сло-
___2~ 4асто’ однако, интересны лишь низкоэнергетические уровни,
4Исслед^₽ва^Т°ВК^ слУчая сильной связи можно найти в книге С. И. Пекара
1952 _Пп *ИЯ ЭЛектР0НН°й теории ионных кристаллов», Гостехиздат, М.,
60
Глава 2
лежащие вблизи основного состояния. Тогда удобно исклиэч)
большую постоянную энергию основного состояния и рассматпиЬ
вать вырожденный ферми-газ как «вакуум», а состояния, отвечаю
щие низкоэнергетическим уровням, как возбуждения. Хотя чист
фермионов может быть очень большим, большинство их не может
изменить свою энергию из-за принципа Паули (мы, разумеется
предполагаем, что при всех рассматриваемых взаимодействияхчис'
ло частиц сохраняется). Оказывается, что значительно проще опи-
сывать возбужденные состояния как разреженный газ квазичастиц
хотя, как будет видно из дальнейшего, число последних обычно уже'
не сохраняется.
Пусть система независимых электронов характеризуется гамиль-
тонианом
/Д = S^(k) &*&.
к
(2.68)
и пусть все взаимодействия сохраняют число частиц
2 1.
к	k < fee
(2.69)
В основном состоянии заполнены все уровни с энергиями вплоть до
ё (к) = ёр. В к-пространстве эти уровни отвечают некоторому
объему, ограниченному поверхностью Ферми, что мы символически
изобразим неравенством k < kF. Допустим далее, что все наше опи-
сание инвариантно относительно замены вектора к на —к, т. е.
#(-к) = #(к).
Определим новый гамильтониан, среднее значение которого
в основном состоянии равно нулю. Используя выражение (2.69),
можно написать
= Н0-^ё (к) = 2 [ё (к) - ёр\ ЬкЬк - *2,	(к) - ёр]. (2.70)
Для всех допустимых состояний рассматриваемой системы этот
гамильтониан эквивалентен Но.
Введем теперь новые операторы уничтожения и рождения, по
лагая
для
(2.71)
Другими словами, для состояний внутри поверхности Ферми опе-
раторы уничтожения и рождения меняются ролями, а волновой
вектор к изменяет знак. Поскольку мы рассматриваем фермиев-
ские операторы, подчиняющиеся соотношениям антикоммутации,
для новых операторов, как и для исходных, справедливо соотно-
Фермионы
61
шение	{бк> ^}=бкк,.	(2.72)
Подставляя теперь определения (2.71) в выражение (2.70), мы по-
йТу	-»•-,.«->.)+ 2 р<ю-у,т-
k<kF	к> kF
-2^(к)-хг]-2$(к)Ц1>,
£(к)-И(к)-#г I,	(2.74)
А> (2.73)
независимо от того, лежит ли вектор к внутри или вне поверхности
Фе'новый гамильтониан, очевидно, описывает систему, «вакуум» ко-
опой I б), есть основное состояние гамильтониана Но- Система,
описываемая гамильтонианом (2.73), представляет собой газ фер-
мионов с положительной энергией; состояния последних получают-
ся из вакуумного состояния в результате действия операторов ?>к.
Существенно, однако, что вблизи основного состояния этот газ
квазичастиц разрежен и столкновения между ними случаются очень
редко—в резком отличии от того, что происходит в исходной си-
стеме высокой плотности.
Заметим, однако, что теперь мы должны отказаться от усло-
вия сохранения числа частиц (2.69). Действительно, последнее
означает лишь, что должна обращаться в нуль разность
^-2&^к=Л(- 2 (1-Гкб_к)- 2 % =
k *	k<kF	’ k>kF
- 2, - h 2 % - < .F - й, > v (2.75)
k < kp	R> Rp	1
Таким образом, можно сказать лишь, что числа квазичастиц вне
и внутри поверхности Ферми должны быть одинаковы.
Фактически мы утверждаем, что для энергий ниже уровня Фер-
ми оператор 5к уничтожает электрон в состоянии —к, или, иначе
говоря, рождает дырку в этом состоянии. Для такого процесса
нужна энергия —[<?Г(к) — &F] (последняя величина положительна).
Ьолее того, уничтожение реальной частицы с импульсом —к уве-
личивает импульс системы на —(- к). Таким образом, не приходя
х противоречию, мы можем приписать импульс к квазичастиие
«типа дырки», порождаемой этим оператором.
Гамильтонианы взаимодействия (2.34) и (2.43) описывают те-
перь несколько более сложные процессы. Так, например, оператор,
огорыи мы ранее интерпретировали бы просто как оператор, вы-
дающий рассеяние реальной частицы из одного состояния в
62
Глава 2
другое, распадается на четыре члена:
н, = 2 у (к - к') ь\ьк, = 2 у (к' - к) бкб’, +
к, к'	. fe, k' < kp
+ 2 г(к-к')б*бк,+ 2 У{к + к')ь*кь:,+
k.k'>kF	k'<kF<k	к
Первые два слагаемых здесь отвечают процессам, при которых
квазичастица рассеивается, оставаясь квазичастицей того же типа-
третье слагаемое описывает процесс создания электронно дырочнод
пары из вакуума и, наконец, последнее отражает возможность ан,
нигиляции двух частиц разного типа.
Процессы, обусловленные взаимодействием между частицами
[типа (2.43)], намного сложнее. Их можно характеризовать рядоц
диаграмм, на которых стрелками указываются входящие и выходя,
щие квазичастицы (т. е. квазичастицы, уничтожаемые или рождае-
мые в данном процессе). Тогда процесс с участием «истинных ча
стиц» (фиг. 1,о) Ттри переходе к квазичастицам может быть раз
ложен на процессы, изображенные на фиг. 1,6 — д.
Например, на фиг. 1,г представлен процесс рассеяния электро-
на, сопровождающийся возбуждением электронно-дырочной пары
из вакуума. Разумеется, для того, чтобы такой процесс реально
имел место, энергия электрона должна быть достаточно большой.
Для возбуждений, близких к поверхности Ферми, энергию ква-
зичастицы (2.74) можно представить в виде
# (к) = ( % (к) - SF | « | (к - kF) •	1 - | k - kF | vF. (2.77)
В этой области энергий скорость квазичастицы—«электрона» прН'
мерно равна фермиевской скорости. Можно также показать (хотя
это и требует известной внимательности), что скорость дырки с
импульсом к, порождаемой оператором Ъу, дается выражением
=	(2.78)
к дк 	4
Фермионы
63
Т^.ЧЬНОИ.
0 с тем, что названный оператор уничтожает истинную
4то сВЯ3^ СОСТоянии —к. Не лишне заметить, что принятое нами
частику дЫрок отличается от используемого при описании
определ состояний в валентной зоне полупроводника. В послед-
дырочн •	волнового вектора оставляют неизменным, зато
нем слу ф нкцИИ &(к) вблизи потолка зоны оказывается отрица-
ГРаД1ым В результате скорость дырки все же получается положи-
тельнь  обоих случаях, однако, квазичастицы «типа дырки»
Те1Ьь1ваются заряженными положительно, если с электронными
^стояниями связывается отрицательный электрический заряд.
с° Вряд ли надо особо отмечать, что изложенные выше рассужде-
даЮт нам модель теории, в которой каждой частице соответ-
НУ т античастица, обладающая теми же динамическими свойства-
ми но противоположным зарядом. Прототипом таких теорий была
позитронная гипотеза Дирака. Действительно, релятивистское вол-
новое уравнение Дирака для электрона (гл. 6, § 6) сопоставляет
кан\дому вектору к два значения энергии, ±^(к). Если принять,
что все состояния с отрицательной энергией заполнены, и рассма-
тривать это как вакуум |0), то можно построить теорию, в кото-
рой все наблюдаемые возбуждения оказываются квазичастицами с
положительной энергией. Последние ведут себя как вполне «поря-
дочные» динамические объекты. «Поверхность Ферми» при этом,
разумеется, сжимается в точку к — 0, т. е. граница между состоя-
ниями, занятыми и свободными в вакууме, определяется только
знаком энергии; в остальном же применимы изложенные выше со-
ображения. Так, например, любое взаимодействие, вызывающее
рассеяние реальных электронов друг на друге (фиг. 1,6), должно
приводить и к образованию электронно-дырочных пар из вакуума
(фиг. 1,г). С помощью математических приемов, кратко описан-
ных в гл. 3, § 7, а также в гл. 6, § 8 и 10, можно показать, что всем
этим различным процессам можно сопоставить лишь одну диаграм-
му типа изображенной на фиг. 1,а. Надо лишь принять, что элек-
тронная стрелка, направленная «обратно во времени», соответ-
ствует «дырке», движущейся обычным причинным образом.
итметим, наконец, что теория заряженных фермионов и соот-
етствующих античастиц оказывается не вполне аналогичной тео-
Р 1И заряженных бозонов, излагавшейся в гл. 1, § 12,
ГЛАВА 3
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Была темная штормовая цоч
дождь лил как из ведра. Kai™ »
сказал: «Расскажи-ка что-ниб^ 11
и рассказ начинался так: «Былат '
ная штормовая ночь, и дождь ***’
§ 1.	Ряд Бриллюэна—Вигнера
При решении задач прикладной математики очень трудно из-
бежать разложений в ряды; методы теории возмущений повсе-
местно используются и в квантовой механике. Хорошо известен
элементарный способ вычисления нескольких первых членов раз.
ложения как в стационарной, так и в нестационарной теории воз-
мущений. В этой главе дается более систематическое изложение
математического аппарата, позволяющего рассчитывать изменение
свойств системы с гамильтонианом Но под действием малого до-
полнительного потенциала или, в более общем случае, малой до-
бавки к гамильтониану, Н'.
Прежде чем переходить к изложению общей теории, стоит вы-
вести простую полезную формулу, которая не пользуется широкой
известностью. Пусть для простоты невозмущенный гамильтониан
Но представляет собой обычный одноэлектронный оператор, соб-
ственная функция | Чго) которого определяется уравнением
Ho|Wo) = <ro|Wo)	(3.1)
и нормирована на единицу. При наличии возмущения надо найти
решение уравнения
(^ —//0) | Ч*-> =/7'| V).	(3.2)
Если не накладывать на новую собственную функцию jW) усло-
вия нормировки, то ее всегда можно представить в виде суммы
двух членов
I = | Wo> +1 ф>,	(3.3)
при этом «добавка, обусловленная возмущением», должна быть
ортогональна к невозмущенной функции, т. е.
<Чго|ф) = О.	(3.4)
Условие (3.4) можно записать в изящном виде, формально
вводя проекционные операторы. Рассмотрим символ
М = |Т0)<%|.	(3.5)
Поставим его перед каким-либо вектором состояния, скажем |0)-
Получим, по определению,
М10> = | Ч'о) (%| 0) = «Ч'о1 0» | %).	(3.6)
Теория возмущений
65
обстоит так, как если бы имелся оператор М, действие ко-
^eJ1f'ro сводилось бы к умножению вектора |Wo) на скалярное про-
ведение векторов |W0) и |0). Если рассматривать |W) как еди-
113Бный вектор в гильбертовом пространстве, то выражение (3.6)
б'дет не чем иным, как «проекцией» вектора |0) на направление
единичного вектора.
Проекционные операторы отличаются от операторов наблю-
емых величин; введение их представляет собой просто удобный
вспомогательный математический прием. Их легко опознать бла-
годаря одному характерному свойству. Именно,
Л12| 0> = l ^о><%1 Ч'оНЧ'о! ©> = 1 Ч'оХЧ'о!©) = М| 0).	(3.7)
Равенство (3.7) справедливо для любого вектора 10); следова-
тельно, оператор Л4 — идемпотентный, т. е.
М2 = М.	(3.8)
Рассмотрим теперь «дополнительную часть» вектора 10), т. е. ту
его часть, которая остается после вычитания составляющей, на-
правленной вдоль |Ч^о>- Очевидно, здесь возникает представление
о дополнительном проекционном операторе
Р = 1 - М.	(3.9)
Легко доказать, что Он также обладает свойством (3.8) и что он
проектирует любой вектор на множество векторов гильбертова
пространства, ортогональное к вектору ]Wo).
Возвращаясь к исходной задаче теории возмущений, видим,
что из соотношений (3.3) и (3.4) вытекает равенство
P|W) = |(D>.	(3.10)
Действуя невозмущенным гамильтонианом на эту функцию, полу-
чаем
РНо1 Ф) = Но I Ф) -1 Wo) (Wo I До I Ф) ~ Яо I Ф> -1 *Г0) ОХ I Ф) =
= Яо1Ф) = Я0Р|Ф) ит. д. (3.11)
Отсюда следует, что оператор Р коммутирует с гамильтониа-
ном Но.
Перепишем теперь уравнение (3.2) в виде
(&-Н0)\Ф) = Н'\ W)-(^-^o)l %).	(3.12)
Действуя на обе части (3.12) проекционным оператором Р и ио
пользуя свойство (3.11), находим
(#-tf0)|®> = Ptf'|W).	(3.13)
С
лучаем°^ стороны> Действуя на уравнение (3.2) оператором Л1, по-
# = #0 + (W|f/'|W).
(3.14)
3 Зак. 899
66
Глава 3
Уравнения (3.13) и (3.14) —точные, но решить их можно Ли.
приближенно. Запишем уравнение (3.13) в следующем виде:	1
1^) = |^0) + (^-//0)-,рл//|^).	(315)
При этом предполагается, что существует оператор (8 — Н0)~\0^
ратный оператору (& — Н0)- Точный смысл этого символа следую",
щий. Пусть все интересующие нас векторы состояний разложены
по собственным векторам оператора Но, т. е.
|6>=Sa„|V„>.	(з.16)
Составив теперь выражение
- н0)~11 V чд>, (з.17)
видим, что оно автоматически удовлетворяет тождеству, опреде-
ляющему обратный оператор:
- Но)(8 - н0)-' I е> = £ ап - я0)1 W„> =
п
(з.18)
п
Определение (3.17) однозначно при условии, что величина 8 не
совпадает ни с одним из собственных значений 8п гамильтониа-
на Но.
Будем теперь решать уравнение (3.15) итерациями:
I ,р> -1 ч'»)+Нв; ™' О	чт) »
-1 Ч’.> + Т±1Г. РН' ।	PH' РИТ Ч-о) + ... . (3.19)
Выражение в правой части (3.19) называют рядом теории возму-
щений в форме Бриллюэна — Вигнера.
Для того чтобы выяснить значение полученной формулы, под-
ставим ряд (3.19) в выражение для энергии (3.14) и выберем в
качестве базиса представления систему собственных функций опе-
ратора Но [как и в случае (3.17)]. В результате получим
^ = ^o + (WQ|H,|^o>+	... .	(3.20)
п У= С	"
Проекционный оператор автоматически исключает некоторые ма-
тричные элементы из каждого члена суммы.
Формула (3.20) очень напоминает ряд Рэлея — Шредингера в
обычной теории возмущений. Отличие состоит лишь в том, что
Теория возмущений
67
енатели вместо невозмущенной энергии &0 входит возму-
в знамсэнерГИЯ S. Таким образом, равенство (3.20) представляет
Щ^Д^раВНение относительно ё, что затрудняет его использо-
БаН(Зтнако это равенство обладает и своими достоинствами. Так,
ютрим очень простой случай, когда возмущение Н' связывает
^состояния с почти одинаковыми энергиями. Если среднее зна-
ДБа1е оператора Н' в каждом из этих состояний обращается в
нуль, то мы получаем уравнение
। 1Я°'1
|2
(3.21)
которое имеет два корня. Они как раз совпадают с решениями
секулярного уравнения для вырожденных или почти вырожден-
ных состояний в теории возмущений Рэлея — Шредингера:

ё~ёх
= о.
(3.22)
Отсюда еще не следует, что в подобных случаях всегда можно
полагаться на метод Бриллюэна — Вигнера. Видно, однако, что
добавочные корни иногда могут иметь физический смысл. Это
есть, так сказать, прототип самосогласованного решения (ср. с
гл. 3, § 9), видимо, более точный, чем член того же порядка в ряде
Рэлея — Шредингера. Предварительный расчет с помощью форму-
лы (3.20) часто служит для ориентировки при рассмотрении более
сложных задач. Приведенный же выше вывод ее позволяет также
познакомиться с простейшими применениями проекционных и об-
ратных операторов.
§ 2. Представление Гейзенберга
Для рассмотрения нестационарных задач нам потребуется бо-
лее сложный аппарат. В обычных задачах квантовой механики
время входит следующим образом. Каждой динамической пере-
менной соответствует оператор, не зависящий от времени. С дру-
юй стороны, вектор состояния |ф(/)), удовлетворяющий завися-
щему от времени уравнению Шредингера
Я|ф(0) = ^4^>’	(3-23>
изменяется во времени. Это означает, что изменяться во времени
^УДут и наблюдаемые свойства системы, поскольку величина |ф(/)')
„°^Ит во все формулы для средних значений. Это есть известное
Р с ставление Illредингера.
68
Глава S
Проделаем соответствующие выкладки для какой-либо динам
ческой переменной, изображаемой оператором А. Среднее знач
ние названного оператора в момент времени t равно
^(0 = <ф(0М1ф(0).	(3.24)
Производную по времени от этого выражения можно найти с по-
мощью уравнения движения (3.23). Вспоминая правила эрмитова
сопряжения в обозначениях Дирака, получаем
ih = {ih to (01} А | ф (0> + to (О I Aih ± I ц, (/)> =
=to (01 - на to (0) + to (0 \ ah (/)>=to (0 i и, н] । (o>. (3.25)
Таким образом, скорость изменения среднего значения оператора
равна среднему значению его коммутатора с гамильтонианом.
Все это очень мило. Отсюда, в частности, следует, что если
какой-либо оператор коммутирует с гамильтонианом, то соответ-
ствующая ему величина есть «интеграл движения». Значение этого
принципа мы еще будем обсуждать в гл. 7, § 8. Далее возникает
мысль, что, может быть, удастся ввести зависящий от времени опе-
ратор, удовлетворяющий уравнению
ih^-=[A(t), Н],	(3.26)
причем это определение не будет зависеть от того, какой из векто-
ров состояния используется для вычисления средних значений.
Чтобы ввести такой оператор, поступим следующим образом
Пусть изменение во времени шредингеровского вектора состояния
tos(0) можно описать непрерывным действием некоторого опе-
ратора:
tos(0) = ^(0to(0)).	(3.27)
Здесь to(0)) есть фиксированный вектор состояния, отвечающий
начальному моменту времени. Оператор U должен удовлетворять
условиям двух типов.
Во-первых, для того, чтобы с течением времени не нарушалась
нормировка вектора состояния, он должен быть унитарным. Дей-
ствительно, пусть справедливо равенство
1 = tos (0 I Фл (0> = to (0) I Д’ (0 и (0 to (0)>.	(3.28)
Тогда
U*(t)U(t)=U(t) LT(t)=l
или
=	(3-29)
Заметим, что U(t) представляет собой оператор особого типа, от-
личный от эрмитовых операторов, отвечающих динамическим пере-
менным. Именно, это есть оператор преобразования: он совершает
Теория возмущений
69
псей в гильбертовом пространстве, так что все физические
поворот сох яют свой смысл.
величин оператор временной эволюции, U(t), должен быть
КИМ чтобы удовлетворялось уравнение движения (3.23),
Я(7(0|ф(О)> = й-^-[7(0|ф(О)>.
Отсюда вытекает уравнение движения для (7(0:
ifi = HU (0,
и сопряженное ему уравнение
- th —д-^- = L (t)H.
(3.30)
(3.31)
(3.32)
Эти уравнения легко решаются. Элементарным путем находим
£/(0 = е~(»7Л)Ш	(3.33)
Здесь принято во внимание условие (7(0) = 1. Тот факт, что вели-
чина И есть оператор, не вызывает затруднений — под экспонентой
в правой части равенства (3.33) следует понимать просто ее раз-
ложение в ряд.
Итак, мы нашли формальное решение уравнения Шредингера
(3.23) в виде (3.27), (3.33). В этой главе мы будем широко поль-
зоваться подобными соотношениями. Сейчас, однако, обратимся
к несколько иному вопросу. Сопоставим «шредингеровскому» опе-
ратору произвольной динамической переменной, /ls, новый, завися-
щий от времени оператор
ЛЯ(0 = (7’(0Л5£7(0.	(3.34)
Среднее значение этого оператора в состоянии |ф(0)') совпадает
со средним значением оператора Ав в состоянии |фв(()'):
(0) I Ан (0 | ф (0)> = (ф (0) | (7* (0 ASU (01 ф (0)> = <ф5 (0 |	1 ф5 (0>.
(3.35)
Сравнение движения для оператора Ли(7), отвечающего перемен-
ной А в представлении Гейзенберга, можно получить с помощью
(3-31) и (3.32):
.. dU* (t)	dU(t)
* ~~дГ~ = —дг1 ASU (0 + t/* (0 Asih =
= - (7* (0 H ASU (0 + U* (t) ASHU (0 =
= - HU* (0 Asu (0 + (7* (0 Asu (0 Я = [Aff (0, /7]	(3.36)
(3-33) операторы U(i) и H коммутируют]. Тем самым мы
“Учили постулированное нами ранее уравнение (3.26). Оператор
70
Глава 3
Лл(/) есть зависящий от времени оператор, среднее значение J
торого в состоянии |ф(0)) определяет результат измерения фиК°*'
ческой величины А в момент времени t.	15 ’
Всю квантовую механику можно перестроить таким образп
чтобы векторы «состояния» системы не изменялись, образуя лип*
бессловесный фон, на котором разыгрываются динамические пппЬ
цессы. Последние описываются зависимостью от времени сами
операторов. Это — так называемое представление Гейзенберга
Преимущество его состоит в том, что вся физика заключена в one
раторах, уравнения движения для которых, (3.36), весьма сходны
с обычными классическими уравнениями динамики Гамильтона
Рассмотрим, например, одночастичный оператор импульса
h д
Р—1^	(3.37,
в представлении Шредингера. В представлении Гейзенберга этот
оператор удовлетворяет уравнению движения
<3.38>
которое совпадает с одним из канонических уравнений Гамиль-
тона. Отмеченное обстоятельство может послужить исходным пунк
том для исследования принципа соответствия и других общих со-
отношений, связывающих классическую механику с квантовой.
Чтобы проследить, как фактически возникает зависимость one
ратора от времени, рассмотрим случай простого гармонического
осциллятора с гамильтонианом
Н = у Лю (а*а + аа').	(3.39)
Оператор уничтожения в представлении Гейзенберга должен удов-
летворять уравнению
tfi = [а (/), И] = Люц (/),	(3.40)
которое легко получить с помощью правил коммутации для опера-
торов а и о*. Отсюда следует
а (0 = e~iata (0)	(3.41)
и аналогично
а* (/) = eiata' (0).
Таким образом, в выражение для оператора уничтожения входит
множитель с отрицательной частотой; это находится в соответ-
ствии с тем, что при действии этого оператора энергия умень-
шается на один квант, йю. Не лишне отметить, что при преобразо-
вании (2.71), описывающем переход к состояниям «дырок», ил
«античастиц», bk~+b-kt знак «частоты» изменяется, равно как 11
Теория возмущений
71
вектора. Это согласуется с переобозначением энер-
зНак волново позитрона эквивалентен соответствующему опе-
гпй ОпсР^яГОРлектрона, «движущегося назад во времени». Этот
ратор}	немаловажную роль в общей теории (гл. 3, § 7
11 ГЛ' b’ S ДНО преимущество представления Гейзенберга состоит
ЕШе то оно позволяет выделить наиболее интересную часть за-
в том’ ставляя в стороне любые эффекты, не зависящие от вре-
да411, о ь наПрИмер, к гамильтониану Н добавлено какое-либо
МеНтоянное слагаемое Ео. (Это можно сделать, например, поместив
п0СТ в обЛасть с высоким электростатическим потенциалом.)
°ТЛМ з представлении Шредингера все векторы состояния изме-
мы должны будем написать
|ф' (0)==е~(//А>£°<|'Ф$(0) и т. д.	(3.42)
С другой стороны, в представлении Гейзенберга это никак не
проявится. Действительно,
А'„ (<) =	<*»+*»>' = Ан (О,	(3.43)
атом в
Тогда в
нятся;
поскольку число ехр(г£о^/й) коммутирует с операторами и потому
выпадает. Уравнения Гейзенберга инвариантны относительно та-
кого произвольного изменения фазы всех векторов состояния. Это
рассуждение может помочь всем, кто проявляет беспокойство по
поводу частотного множителя, появляющегося в волновых функ-
циях в представлении Шредингера. Этот множитель имеет смысл,
лишь когда частота в нем отсчитывается от частоты некоторого
другого вектора состояния в том же представлении.
Хорошо известно, что гейзенберговская формулировка кванто-
вой механики была открыта почти одновременно со шредингеров-
ской. к сожалению, несмотря на все формальное изящество метода
Гейзенберга, решать задачи с его помощью чрезвычайно трудно.
Например, в случае атома водорода гораздо проще воспользо-
ваться известной теорией дифференциальных уравнений в частных
производных, чем пытаться диагонализовать соответствующую
очень сложную гамильтонову матрицу.
§ 3. Представление взаимодействия
Тем не менее в задачах теории возмущений удобно ввести
редставление, отражающее некоторые черты представления Гей-
вектеР1а В стандартной нестационарной теории возмущений все
торн°РЬ1 СОСТояиия системы выражаются через собственные век-
врем "евозмУЩенного гамильтониана с учетом соответствующих
снных множителей. Так, можно написать
|ф5(Ф = 2оп(0е-(,/й)^|л>,
п
(3.44)
72
Глава 3
где |п)— решение уравнения Шредингера, не зависящего от 1
мени,	ВР{
Н0\п} = 8п\п}.
Суть задачи сводится к нахождению временной зависимости КоэЖ
фициентов an(t), характеризующих вероятности переходов меж
уровнями и т. д.
Более изящно аналогичные результаты можно получить, ес
исключить временные множители из базисных векторов и ввест11
их в определение оператора. Для перехода к новому представле*
нию воспользуемся невозмущенным гамильтонианом, полагая д1я
каждого из векторов состояния
|Ф/(0) = е(‘7й)^1Ы0).	(3.46)
При этом оператор возмущения принимает вид
Д/ (О = е(,7й)™H's e~Wk>	(з.47)
В представлении взаимодействия от времени могут зависеть
как векторы состояний, так и операторы. Однако изменение пер
вых во времени имеет реальный физический смысл. Используя
соотношения (3.46) и (3.44), мы получаем
|ф/(0> = 2ап(01«>-	(3.48)
п
Видно, что последнее выражение зависит от коэффициентов сме-
шивания ап(1) и от матричных элементов перехода между состоя-
ниями свободных полей; вместе с тем собственная временная за-
висимость каждого из векторов состояния отсюда выпадает.
С другой стороны, гамильтониан возмущения, который в пред-
ставлении Шредингера оставался постоянным, теперь изменяется
во времени. Из формул (3.45) и (3.47) получаем
<л|H'i (0|m) = e(I ft) (?«-^)* (n\Hs\m).	(3.49)
Таким образом, tnn-й матричный элемент осциллирует с частотой,
равной разности собственных частот состояний свободного поля,
которые он связывает. Свойства операторов содержатся в урав-
нении движения; для любого оператора, по аналогии с (3.36),
легко получить уравнение
ih^r-= И/(О, Но].	(3.50)
Итак, любой оператор в представлении взаимодействия ведет себя
так же, как и в представлении Гейзенберга в отсутствие взаимо-
действия.
Все физические результаты содержатся в уравнении движения
д;(01ф7(0) = «-й^Д,	<3-51)
Теория возмущений
73
—-i*——
второе легко получить из уравнения (3.23), пользуясь выраже-
ниями (3.46) и (3.47). Таким ооразом, в представлении взаимо-
действия изменение вектора состояния во времени описывается
.уравнением Шредингера», в которое входит только гамильтониан
возмущения. Выбор рассматриваемого представления в качестве
исходного весьма удобен для дальнейших расчетов.
Интересно отметить, что мы неявно пользуемся представлением
взаимодействия во всех обычных задачах квантовой механики
Действительно, мы пренебрегаем всем «остальным миром» с его
гамильтонианом и выделяем, скажем, один электрон, движу-
щийся в поле точечно!о заряда. Этот прием автоматически исклю-
чает временные множители, содержащие громадную но постоян
ную энергию, которую мы вообще не рассматриваем.
§ 4. Ряды, содержащие интегралы по времени
В представлении взаимодействия, которым мы будем в даль-
нейшем пользоваться, специально этого не оговаривая, решается
уравнение движения (3.51). Как и в уравнении (3.30), представим
решение с помощью унитарного оператора. Вектор состояния
в какой-либо произвольный момент времени t получается из век-
тора состояния в заданный момент времени Л следующим об-
разом:
|^ (/)> = [/(/, Л)|фО-	(3.52)
Оператор эволюции должен удовлетворять уравнению типа
(3-31) *)
=	/,).	(3.53)
Если бы оператор Н' не зависел от времени, то это уравнение
имело бы решение вида (3.33)
U(t, /|) = е-< «-О п'.	(3.54)
С другой стороны, если бы возмущение И' было «с-числом» (т. е.
не оператором, а обычной скалярной функцией), то стандартное
решение дифференциального уравнения (3.53) имело бы вид
(/, /]) = ехр
t
-i J
б
(3.55)
h = 1 Начиная с этого места, мы будем опускать постоянную Планка, положив
сохрани Задачах такого типа не всегда легко решить, до какого момента стоит
Размепнь - СИМв0ЛЬ1.’ помогающие придавать всем математическим выражениям
объем^ 1Н смь,сл- Так, в формулах преобразования Фурье удобно сохранять
чножитетТеХ П°Р’ пока читатель не научится самостоятельно расставлять такие
J11 ПРИ переходе к развернутой форме записи.
74
Глава 3
К сожалению, мы не можем воспользоваться этим выражени
для этого нужно было бы условиться, какой смысл следует при^'
вать, скажем, произведениям вида Н'(/)-И'(/'), где t и J
ные моменты времени. Указанные операторы не обязательно ком!
мутируют друг с другом, соответственно и равенство (3.55) отиют"
не обязано выполняться.	дь
Нетрудно, однако, формально представить решение уравнена
(3.53) в виде ряда. Прежде всего проинтегрируем само уравнение
принимая в качестве естественного начального условия равенство
U(ti, ii) = 1. В результате получим
^2
и (t2,	= 1 - j j H' (0 и (t, Л) dt.	(3.56)
tl
Подставим теперь правую часть (3.56) под знак интеграла вместо
U(t, fi). Последовательные итерации дают
6	t2	t
U(t2,	J H'(t)dt + (-iY J H'(t)dt J H'(t')dt' +
ti	Л	ti
t2 t	/(«—2)
+ ...+(—i)"J dt $ dt' ... J dt^~nli'(/)• H'(t')... H'...
t, t,	t,
(3.57)
Этот ряд — точный, и в нем явно определен порядок следования
операторов. Очевидно, что n-й член ряда — n-го порядка по степе-
ням энергии возмущения. Основная задача теории возмущений
состоит в том, чтобы вычислить последующие члены и, если воз-
можно, аналитически просуммировать весь ряд.
Чтобы проследить Связь с обычным рядом Рэлея — Шредингера,
предположим, что гамильтониан возмущения простой одноэлек-
тронной системы сводится к малому добавочному потенциалу /’(г).
При работе с этим потенциалом потребуется прибегнуть к неболь-
шой хитрости. Дело в том, что если названный потенциал дей-
ствует всегда, в любой момент времени, то система не «эволюцио-
нирует» — она остается в состоянии, представляющем собой соб-
ственное состояние полного гамильтониана Но + 7°.
Таким образом, надо притвориться, что в начальный момент
времени возмущение отсутствовало, а затем оно было медленно
включено. Соответственно запишем оператор энергии возмущения
в представлении Шредингера в виде
//'(/) = еа/Г,	(3.58)
где а — малая положительная постоянная. Это означает, что в
момент времени и = —оо система находилась в одном из собствен-
ных состояний невозмущенного гамильтониана, а к моменту вре-
Теория возмущений
75
I о она перешла в собственное состояние полного гамиль-
ме"'ана Но + Таким образом, оператор L'(0, — оо), будучи при-
Т₽нен к вектору состояния |п), должен дать соответствующий век-
П D состояния возмущенной системы.
Т° Вычислим теперь поправку первого порядка в выражении
(3 57) Вспоминая формулу перехода к представлению взаимодей-
ствия (3.47), получаем	о
7/(0, - оо) = 1 - i j el^t eai dt.
(3.59)
Это операторное выражение кажется довольно абстрактным
Однако подействуем им на вектор состояния |л) Выполняя
матричные умножения и ряд других операций, получаем
о
7/(0, -оо)|/г) ъ \n}-i f dteiffoteair,e~i^tln)=ll
о
= |л)-7 / dteat е~1^ е1Н^Тпт\т}~
оо	т
0
_«>	т	т
X dt Тпт | т) = |п> - 2	.|щ), (3.60)
tn
Для простоты мы предположили здесь, что ТПп = 0, так что син-
гулярные члены отсутствуют. Теперь можно опустить малую ве-
личину а, главная роль которой состояла в обеспечении сходимо-
сти интеграла. В результате мы приходим к знакомому ряду ста-
ционарной теории возмущений.
Практически даже для очень сложных задач прием (3.58) ока-
зывается весьма полезным, хотя его математическое обоснование
встречается с некоторыми трудностями. Очевидно, мы имеем здесь
Дело с предельным случаем адиабатического включения взаимо-
действия.
§ 5. S-матрица
В ряде задач мы имеем дело с процессами рассеяния, деталь-
ный ход которых проследить невозможно. В таких случаях можно
задавать лишь начальные условия, относящиеся к какому-либо
Давно прошедшему моменту времени 71, когда частицы еще не
^видели» друг друга, и конечные условия в момент (j спустя боль-
шой интервал времени после взаимодействия, когда частицы вновь
76
Глава 3
разошлись достаточно далеко. Соответственно определим маТп
цу рассеяния
S = [7 (оо, —оо),	(361)
для которой начальный и конечный моменты времени отодвинут
на бесконечность, так что они уже не входят явно ни в одно выпа
жение, получающееся из формулы (3.57). Указанный предельны”
переход, однако, требует известного искусства, ибо надо обеспе I
чить сходимость интегралов.
S-матрица унитарна, но часто она содержит, так сказать, мНо.
го состояний, фактически не отвечающих рассеянию. Матрица пе-
рехода,
^=1-5,	(3.62)
составляет ту часть S-матрицы, которая отлична от единичной
Элементы (/"-матрицы представляют собой амплитуды вероятно-
стей переходов из начальных в конечные состояния системы. Так,
для вероятности перехода между двумя состояниями |а) и |6) с
энергиями ёа и ёъ символически можно написать
Р«>ь= \(а\^\Ь}\Ч(ёа-ёь).	(3.63)
Соотношения (3.62) и (3.63) связывают теорию S-матрицы с бо-
лее знакомыми теориями рассеяния. Например, в борцовском при-
ближении потенциал вызывает переходы, для которых
{а\0~\Ь)~(а\У\Ь}.	(3.64)
Эти соотношения будут рассмотрены далее в гл. 4, § 14.
Хотя наш подход к теории S-матрицы был основан на исполь-
зовании представления взаимодействия, сама идея S-матрицы
имеет более общую значимость. Например, в § 1 мы могли бы ска-
зать, что возмущенный вектор состояния связан с невозму-
щенным, | Ч;о), унитарным преобразованием
|W> = S|^0>.	(3.65)
Тогда метод Бриллюэна — Вигнера, резюмируемый уравнением
(3.15), становится эквивалентным решению интегрального урав-
нения
S = 1 + PH'S.	(3.66)
К стационарной теории возмущений можно подойти и несколь-
ко иным путем. Именно, можно рассматривать S как матрицу ка-
нонического преобразования, диагонализующую гамильтониан-
Так, согласно формулам (3.2) и (3.65), величина (То) есть соб-
ственный вектор преобразованного гамильтониана,
Я = 5-1(ЯО + ЯЭ5.	(З.67)
Теория возмущений
77
Таким образом, оператор П должен быть пИЯГП1,о
ленпн, базис которого образуют собствен^/ ' в "РеДстав-
мильтониана Но.	векторы |1РЯ) га-
Запишем унитарную матрицу S в виде
Х = ег«;',
(3.68)
где U7 — оператор, подлежащий определению. Экспонента в этом
выражении, как обычно, определяется соответствующим рядом,
который, будучи подставлен в формулу (3.67), дает
fj = Ha + H' + i[HOt W} + i[H', W} + ±?[[H0, W], Г]+.... (3.69)
Выберем теперь оператор W так, чтобы выполнялось равен-
ство
Н' + i[H0, Г] = 0.	(3.70)
Это условие приводит к исключению из гамильтониана П всех
членов, линейных по энергии возмущения. Тогда с точностью до
членов, квадратичных по Н', мы получаем
Н ~ H0 + ~i[H', W],	(3.71)
Эта формула дает полезное приближенное выражение для иско-
мого диагонального оператора.
В простых случаях указанное приближение возвращает нас
к обычному ряду Рэлея — Шредингера. При нашем выборе базиса
равенство (3.70) принимает вид
IН'I Tm) + i <Т„I How - WH0 |Wm) = 0.	(3.72)
Это уравнение имеет простое решение
iW W |Wm> =	>	<3-73>
определяющее элементы матрицы преобразования W [и, следова-
тельно, в силу соотношения (3.68) элементы матрицы S], Под-
становка найденных матричных элементов в выражение (3.71) по-
казывает, что диагональные элементы оператора /7 совпадают
с обычными выражениями для энергии, полученными во втором
порядке теории возмущений.
Эта техника обладает некоторыми преимуществами, когда мы
хотим диагонализовать только часть гамильтониана. Рассмотрим,
например, систему взаимодействующих фермионов и бозонов. Ин-
тересуясь свойствами фермионного поля, естественно исключить
ту часть гамильтониана взаимодействия, (2.47), которая описы-
вает процессы рождения и уничтожения отдельных бозонов.
Прием, применяемый для этой цели, состоит в том, что среднее
значение П вычисляется только для бозонного вакуума; при этом
н>жно рассматривать только однобозонные переходы из вакуум-
78
Глава 3
и
ного состояния и обратно. Такие возбуждения, конечно, сопрово i
даются соответствующими переходами между фермионными Д
стояниями, однако вместо того, чтобы все это явно выписыват°"
мы просто сохраним соответствующие операторы уничтоженЬ’
и рождения фермионов,-Другими словами, оператор W рассматг)ИЯ
вается как оператор, действующий на фермионные состояния^1
как матрица, связывающая различные бозонные состояния. По
аналогии с формулой (3.73) находим
441	1 ' м & (к) — & (к — q) — (oq
к
i< О |U7 | lq> = У- F^} b±'+^	.
\ I >ч/	ft 4- (Oq __ % (|/ + q).
(3.74)
к'
Подставляя эти выражения в (3.71), мы получаем с— •
добавку к эффективному (невозмущенному) гамильтониану:
(3.75)
следующую
= 4i2{<0|^|lq>(lq|^|0>-<0|U7|lq)<lq|	=
q
= \F (q)\2 bv+qbw bk-qbk X
kk'q
X { (k) — (k — q) — <0q ~ ^(и + ^-гг^ + ч))'	<3’76)
Разделяя суммы по ди по — q (с учетом соотношения
(oq = w_q) и переобозначая векторы к и к', мы в конце концов при-
ходим к оператору
НЭЛ' 9Л = k ?q H(k)-^(k(-q)]2-< 6к'+Ч Ьк' Ьк~Ч Ьк' (377)
Таким образом, с точки зрения фермионов возмущение действует
так, как если бы между фермионами было прямое взаимодействие,
связанное с обменом бозонами. Это взаимодействие будет притя-
гивающим или отталкивающим в зависимости от того, какие обла-
сти пространства импульсов играют наиболее существенную роль.
Именно такое эффективное взаимодействие между электронами,
связанное с обменом виртуальными фононами, приводит к сверх-
проводимости. Таким путем можно рассчитать и потенциал Юка-
вы, описывающий взаимодействие между нуклонами посредством
обмена л-мезонами. Вывод, приведенный в гл. 1, § 11, проще в том
отношении, что там мы пренебрегали в энергетических знамена-
телях изменением энергии мезонного поля (т. е. эффектом отдачи).
Теория возмущений
79
. тсстся, такое сведение фермион-бозонного взаимодействия
активному взаимодействию между фермионами носит лишь
к эФФеКеннЫй характер; в преобразованном гамильтониане Й бу-
прцблия е члены, соответствующие остаточному рассеянию
ДУТ ио„ов на бозонах, и т. п. Иногда эти члены удается исклю-
ферм1 ще однИМ каноническим преобразованием и т. д. Этот метод
ЧИТЬ ляется общим и систематическим, однако его часто исполь-
Ие "дня исключения «неудобных» членов из гамильтониана, не
3)1°АРгая например, к трудоемкой процедуре расчета с помощью
разложения S-матрицы (3.57).
§ 6. Разложение S-матрицы: алгебраическая теория
Рассмотрим член /г-го порядка по оператору возмущения Н',
фигурирующий в явном разложении S-матрицы в представлении
взаимодействия. Согласно соотношениям (3.57) и (3.61), он имеет
вид
03	<1	*П-1
Sn = (-i)n \ dtx jdt2... / dtn{ti'н'(t2)	(3.78)
Это выражение весьма громоздко; каждое подынтегральное выра-
жение зависит от верхнего предела предыдущего интеграла, так
что все интегралы связаны между собой и «распутывание» их
можно производить лишь в установленном порядке.
Соответствующий член разложения «неоператорной» экспоненты
типа (3.55) можно записать в виде

со
— оо
со	оо	оо
==(^/)П7! \dt' \dt* J dtn{H'(tx)H'(t2) ... H'(t„)}.	(3.79)
— оо —оо	— оо
Различие между выражениями (3.78) и (3.79) состоит в том, что
в первом случае область интегрирования в n-мерном пространстве
«координат» ti, t2, .tn ограничена многогранником, в котором
— ОО < tn < /„_] < Z„_2 ... < t2 < tx < оо.	(3.80)
Однако мы получили бы тот же самый результат, (3.8), если бы
переставили индексы этих переменных любым из п! способов, т. е.
если бы мы брали интеграл от соответствующего произведения по
бъему любого из п\ получающихся одинаковых многогранников,
ва которые мож'но разбить все рассматриваемое «пространство»,
вкладывая все эти выражения для Sn и деля результат на п!, мы
80
Глава 3
получаем ответ, очень похожий на выражение (3.79):
оо	оо	оо
= (-if Jdt, \dt2 ... J dtn P{H'(t,)H'(t2)... H'(tn}}.
(3.81)
Каждый интеграл берется теперь по всем значениям каждой
координат ti, ..., tn, но произведение, стоящее под интегралами
должно быть теперь «упорядочено по времени», на что указывает
символ Р. Этот символ означает, например, что в области
00 <tk<C.ti-‘C.... <tm<Z ... < t п t <2 оо (3.82)
подынтегральное выражение следует брать в виде
Н' (Q Н' (tn) ...Н' (tm) ... Н' (t,) Н' (tk).	(3.83)
Разумеется, такое упорядочение существенно, лишь если опера-
торы H'(t,) и H'(t2) не коммутируют друг с другом; в противном
случае выражения (3.81) и (3.79) совпадают.
К вычислению интеграла в члене S2. представленном а —в виде (3.78); б —
в виде (3.81).
Выражение (3.81) можно несколько обобщить, вспоминая, что
каждый оператор H'(t) дается интегралом от плотности гамиль-
тониана по обычному пространству координат г. Будем исполь-
зовать символ Xt для обозначения трех пространственных коор-
динат г, и времени ti, отвечающих некоторой точке в «простран-
ственно-временном» континууме. Тогда получается следующая
общая форма выражения (3.81):
Sn = -Цу-/ • • • J d*xi d4x2 • •  d4xn X
ХР{Ж(х,)Ж(х2) ... Ж(х„». (3.84)
Четырехмерные обозначения использованы здесь лишь для крат-
кости; мы не предполагаем, что полученные выражения реляти-
вистски инвариантны или что пространственные и временная коор-
динаты могут преобразовываться друг в друга (к этому вопросу
мы еще вернемся в гл. 6, § 4).
Теория возмущений
81
Задача состоит теперь в вычислении различных матричных
цементов оператора S (или различных членов его разложения
в ряд) Так, расчет вероятности процесса, переводящего систему
„з начального состояния |Ч\) в конечное состояние | приво-
дит к вычислению матричных элементов типа
<4',|S|4',>-2<4',|S,|4'1>.	(3.85)
рассматриваемые состояния зачастую весьма просты. Например,
начальное состояние может отвечать наличию всего одной или
двух реальных частиц. Последние могут лишь провзаимодейство-
вать друг с другом и вновь разойтись, перейдя в другие хорошо
определенные состояния. Это означает, что нужно рассматривать
лишь те промежуточные состояния, которые связаны с начальным
п конечным; при этом играют роль не все сомножители в произве-
дении гамильтонианов взаимодействия.
Рассмотрим, например, член второго порядка по энергии взаи-
модействия фермионов с бозонами, рассмотренной в гл. 2, § 7
В этот член дадут вклад следующие произведения операторов
{ J" J (ki-q-M-r, gt fks-q'-1«)тг	J J
q'
поля:
S2 ~ [ Лм [ (Рх2Р {ф* (Xj) ф (Xj) ф (Xj) ф* (х2) ф (х2) ф (х2)) ~
к;, к?, кз, к«, Q,
х е{ ± w h Р [&; (oq - a*_q) b2b3 (oq, - a*_q,) &4] dq dt2(3.86)
et	± «-&) t, x
Мы перешли здесь к представлению свободных полей; оператор
b\ отвечает рождению электрона с импульсом к| и с энергией
в точке rt в момент времени ti и т. д.
Пусть матрица (3.86) действует на вектор состояния, содер-
жащего только один электрон. Для некоторых комбинаций вре-
менных переменных, а именно при t2 < Л, порядок операторов
в Л-произведении совпадает с написанным. Соответственно опера-
тор b/i может уничтожить имеющийся электрон, а оператор Ьз—
породить другой электрон, который может быть уничтожен лишь
оператором Ь2. В результате операторы Ьз и Ь2 оказываются
взаимосвязанными: они должны отвечать электрону с одним и тем
же импульсом, k2 = к3.
Однако в этом случае антикоммутатор операторов Ьз и Ь2 от-
личен от нуля. Другими словами, к указанному условию можно
прийти, меняя порядок названных операторов и используя соот-
ношение (2.19):
(a4 - <q) b2b*3 (aq, - a*_q/) Ь„ = - b; (oq - a_q) b3b2 (aq, - a*_q,) b, +
+ b\(«, - a’_q) (flq/ “ <q<) bfi (k2 ~ k3> <3-87)
82
Глава 3
Первый член в правой части при действии на начальный вект
состояния, содержащего только один электрон, дает нуль. Так
образом, вклад «разрешенного промежуточного состояния» ачгИД
раически связан с неисчезающим антикоммутатором во втоп °'
слагаемом.
Однако даже и это слагаемое дает вклад лишь при соответ
ствующей связи между фононными операторами. Например, а '
нон, порождаемый оператором должен уничтожаться' оде
ратором aq. Это связано с соотношениями коммутации для уКа
занных операторов. Далее, при Л < t2 нужно изменить порядок
следования операторов, относящихся к точкам xt и х2. При этом
изменятся и типы промежуточных состояний, подлежащие иссле-
дованию,— существенную роль будет играть антикоммутатор опе-
раторов bi и Ь\.
Итак, задача состоит в том, чтобы явно выписать все возмож
ные пары операторов с отличными от нуля коммутаторами и ан-
тикоммутаторами. По сути дела нам нужно привести произведе-
ние к нормальному виду, когда все операторы рождения стоят
слева, а все операторы уничтожения — справа. Как видно из вы-
ражения (3.87), средние значения таких произведений в вакуум-
ном состоянии и во многих простых возбужденных состояниях
равны нулю, так что нужно рассматривать лишь остающиеся час-
ти, связанные с неисчезающими коммутаторами или антикоммута
торами.
С этой целью определим следующую операцию:
N(ABC ... XYZ) = (- V)PLMN ... QRS. (3.88)
Здесь операторы АВС ... XYZ представлены в таком порядке,
LMN ... QRS, что все операторы рождения стоят слева от всех
операторов уничтожения, а знак определяется числом перестано-
вок фермионных операторов при указанном упорядочении. На-
пример,
N {Ф* W Ф (-И) = Ф‘ (х) Ф (х'),
но
N {ф (х) ф* (х')} = -ф‘ (х') ф (х).
(3.89)
Для бозонов каждый из операторов поля, ф и л (гл. 1, § 9)’
содержит как операторы уничтожения, так и операторы рождения,
так что каждый из них надо разделить на две части:
Ф(х) = 2(2®ч) '/2(aq-a-q)etq г = ф+(х)-ф (х) и т. д. (3.90)
ч
Теория возмущений
83
Нормальное произведение теперь принимает вид
= W<₽+ {Х'}~
-ф+(х/)ф_(х)-ф+(х)ф-(х')-1'ф (х)ф (х'), (3.91)
не так просто представить через операторы ф и л.
И еГН° мальное произведение строится так, как если бы все бозон-
Н°Рёпаторы всегда коммутировали, а все фермионные опера-
НЫе всегда антикоммутировали. Разумеется, фактически соответ-
Т°РЫ )Щпе коММутаторы и антикоммутаторы не всегда обращаются
в™) ль Так, в представлении Шредингера мы имеем
ф (г) Ф* (Н = — Ф* (г') Ф (г) -Г б (г — г'),	(3.92)
в представлении взаимодействия, учитывая все множители, со-
аерЖащие энергию и время для всех полевых переменных [ср., на-
пример, с (3.41)], получаем
ф (х) ф’ (х') = Л’ {ф (х) Ф* (х')} + б (г - г') el W-W. (3.93)
К сожалению, мы еще не можем представить члены S-матрицы
в виде нормальных произведений из-за операции упорядочения
по времени В выражении (3.81) это обстоятельство отражается
наличием символа Р, означающего, что операторы располагаются
в порядке, отвечающем возрастанию времени справа налево. За-
меним теперь этот символ другим, хронологическим Т-оператором
Вика, под действием которого происходит то же упорядочение опе-
раторов, но при каждой перестановке двух ферми-операторов в
процессе упорядочения добавляется еще множитель (—1). Прак-
тически это не приводит к каким-либо отличиям, поскольку фер-
ми-операторы всегда входят в гамильтониан взаимодействия па-
рами. Для полной ясности запишем, однако, выражение (3.84)
в виде
Sn = (-г’)П7Д J J •  • f Л2 • • • d*xnT X
X {Ж (Xj) Ж (х2) ... Ж (х„)}, (3.94)
где
Т{А' (х,) Л2 (х2) ... Ап (х„)}	(- 1)р Д, (ху) Ak (xfc) ... Am (xm), (3.95)
причем	< tj, a P есть число перестановок ферми-опе-
раторов, необходимых для того, чтобы получить это хронологи-
скп упорядоченное произведение. Таким образом, рассматривае-
ая . пР°Цедура аналогична операции (3.88), поскольку здесь
мути6 КаК пРеДполагается, что все бозонные операторы ком-
Жи РУЮТ’ а все фермионные операторы антикоммутируют. Мно-
Щемели ( введены здесь просто для того, чтобы на следую-
опеь.,37306 можно было рассматривать бозонные и фермионные
£ торы с единой точки зрения.
84
Глава 3
Теперь мы подходим к узловому пункту рассуждения с
нее значение нормального произведения любого набора one
ров в вакуумном состоянии равно нулю. Определим свертку
хронологическое спаривание, двух операторов следующим обр’а3оЛ|
Л1 (%!) А2 (х2) — Т {Aj (х,) А-2 (х2)} — N{А, (х,) А2 (х2)}.	(3
Тогда среднее значение Т-произведения в вакуумном состояв
будет как раз равно этой величине:	' 1
Al (х,) А2(х2) = (0 | Т {A] (xt) А2 (х2)}| 0).	(З.97)
По существу эта функция как раз и отбирает неисчезающие ком
мутаторы или антикоммутаторы операторов, входящих в произве
депие. Она представляет собой с-число, т. е. не зависит от состоя-
ний, на которые она действует; соответственно ее можно найти не
посредственно из соотношения (3.97).
Рассмотрим, например, свертку операторов фермионного поля-
ф’ (х) ф (х') = <0 | Т {ф* (х) ф (х')} | 0).	(3.98)
Тогда 1) если t > t', то хронологическое произведение совпадает
с обычным, и соответствующая свертка обращается в нуль:
ф* (х) ф (х') = 0;	(3.99)
2) если же t < t', то можно использовать соотношение коммута-
ции; с помощью формулы (3.93) находим
ф’ (х) ф (х') = <0 | - ф (х') ф‘ (х) 10) =
=<0 | ф’ (х) ф (х') - б (г - г') е1 W-W | 0) = - б (г - г') е1	(3.100)
Этот результат несколько неточен, поскольку временные множи-
тели для каждого из операторов поля были взяты в упрощенном
виде. В свое время мы приведем и правильную формулу. Сейчас
же главное — заметить, что свертка представляет собой «причин-
ную функцию распространения»: она не обращается в нуль, только
если возбуждение поля, уничтожаемое в момент t', к тому времени
уже существовало, будучи создано в более ранний момент време-
ни, t. Именно в этом состоит характерное отличие между сверткой
и обычным дельтаобразным коммутатором или антикоммутатором.
Нам осталось лишь установить общую процедуру сведения лю-
бого более сложного Т-произведения к Af-произведениям и сверт-
кам. Эта процедура составляет содержание теоремы Вика, утверж-
дающей, что любое хронологическое произведение равно сумме
всевозможных нормальных произведений со всеми возможным1
свертками. Смысл сказанного можно понять на нескольких про-
Теория возмущений
85
„„ Так согласно определению (3.96), мы получаем
стых npiiMePax- ’	_	_
т [ЛВ] = N [ЛВ] + АВ = N [ 4В] Ч- N [ЛВ].	(3.101)
Далее’ 7’[Двq = ^[ЛBC] + ^[ЛBC]^-^[ЛBC] + ^[ЛBC] (3.102)
"t[ABCD]^N[ABCD] + N[ABCD] +
+ # [ЛВС£>] + W [ ABCD] + N [ЛВСВ] -Ь W [ ABCD] +
+ ЛЧЛВСВ] + ЛЧЛВСВ] + W [.4BCD] + N [ABCD] (3.103)
и т д. Мы использовали здесь обозначение
N[ABCD] = r\CDN[AB],	(3.104)
где знаковый множитель т] определяется числом перестановок фер-
мионных операторов при переходе от ABCD к CDAB.
Доказательство этой теоремы приведено во всех стандартных
учебниках. Обычно оно проводится методом индукции на основе
следующего рассуждения. Чтобы получить TV-произведение из
Т’-произведения, нужно изменить порядок следования некоторых
операторов рождения и уничтожения. При каждой перестановке
операторов в правой части появляется член с соответствующей
сверткой. Таким образом возникают свертки тех операторов, ко-
торые в /'-произведении расположены не в нормальном порядке.
Но величина свертки любых двух операторов, которые в Т-произ-
ведении уже нормально упорядочены, равна нулю [это может отно-
ситься, например, к произведению ф* (х)ф*(х')]. Поэтому, не изме-
няя результата, мы можем формально включить и все такие сверт-
ки. Итак, можно рассматривать все возможные свертки всех опе-
раторов, фигурирующих в данном произведении.
Таким образом, мы имеем теперь последовательную математи-
ческою процедуру для вычисления членов S-матрицы. Применяя
теорему Вика к выражению (3.94), мы получим ряд различных
членов, соответствующих различным возможным сверткам. Каж-
дый из членов будет представлять собой кратный интеграл по
пространственным и временным координатам, но подынтегральное
выражение будет содержать только сомножители двух типов:
) свертки операторов поля, которые, очевидно, представляют со-
веи явно известные с-числа типа (3.100), и 2) нормальные произ-
и д 1)Ня операторов поля, средние значения которых, равно как
ТопрУгие матричные элементы между начальным и конечным век-
тождМН состояния системы, можно написать сразу; часто они
сственно обращаются в нуль. Будучи сформулирован
86
Глава 3
несколько абстрактно, этот рецепт приведения в сущности естк
более чем формализация процедуры, уже использованной *‘е
ранее при рассмотрении простого примера (3.86).
§ 7. Диаграммное представление
Изложенная алгебраическая схема, будучи вполне строгой
вместе с тем довольно трудоемка. К счастью, операторы, котопц’
действительно могут входить в какой-либо член разложени
S-матрицы, обладают некоторыми свойствами, допускающими
весьма изящное топологическое представление результата.
Прежде всего представим результат применения теоремы Вика
к какому-нибудь произвольному произведению операторов
ДЛВСПД] в виде серии диаграмм, на которых каждый оператор
представляется точкой, а каждая свертка — линией. При этом
нужно рассмотреть много различных частных случаев. Например,
есть следующие возможности:
А В	АВ
• с	•—•
• • •	• • •
СОЕ	С О Е
MABCDE] W[ABCDE]
СОЕ
N[ABCDE]
в—• а
С D Е
N[ABCI)E\
А В
СОЕ
N[ABCDE}
А В
А В
в—•
Однако фактически не все эти диаграммы существенны, ибо во
многих случаях они содержат пары операторов с обращающимися
в нуль свертками. Каковы правила, позволяющие исключить та-
кие случаи?
а) Каждый оператор характеризуется индексом пространствен-
но-временной точки, например х{, причем число таких индексов
в члене п-го порядка, Sn, равно п. Диаграммы, содержащие сверт-
ки операторов с одним и тем же индексом, не учитываются, по-
скольку они в конце концов соответствуют вычислению коммута-
тора или антикоммутатора какого-либо оператора с самим собой.
Таким образом, различные точки диаграммы можно разбить на
п групп и рассматривать только свертки, связывающие операторы
различных групп. Это заметно уменьшает число рассматриваемых
членов.
Теория возмущений
87
т рассматривать только свертки операторов одного
б) Следу^^__бозонных с бозонными, фермионных с фермион-
п того »е соответственно каждая точка диаграммы должна
ными и т„ аться символом, указывающим тип оператора поля,
характери можно такЖе характеризовать типом линии, попадаю-
Послсдн ТОЧКу; например фермионные свертки можно изо-
ше" ять сплошными линиями, а бозонные—пунктирными.
бРаЯ< Далее, свертка, например, двух фермионных операторов
В ния равна нулю1)- Поэтому существенны только линии,
бывающие точки, отвечающие операторам ф*(х») и ф(х,). Что-
отразить это обстоятельство на диаграммах, будем указы-
6Ы стрелкой направление линий, считая, что линия выходит из
точки отвечающей оператору ф*(хг), и входит в точку, отвечаю-
щую оператору ф(^). Для бозонных сверток нет нужды вводить
такие стрелки, поскольку оператор бозонного поля ф содержит
как операторы уничтожения, так и операторы рождения [ср. (3.90)];
соответственно точки ф(хД и ф(х>) можно соединять всегда.
/ №,)	' ф(х,) У(х,) \
\	\	| /
-—*	Г"
ум	ум
г) Каждый оператор должен либо войти в свертку с другим
оператором, либо действовать на начальный или на конечный
вектор состояния. Таким образом, все точки диаграммы должны
быть связаны либо с другими точками, либо с «внешними» точ-
ками, соответствующими названным состояниям. Например, если
и в начальном и в конечном состояниях содержится по одному
электрону и нет фононов, то имеются одна входящая и одна вы-
ходящая электронные линии (их следует соединить с точками ф
] \ ,~л
р11И ' 10 Утверждение, очевидное в рассматриваемой здесь элементарной Тёс-
H. ц Дет оказаться неверным для систем, вырожденных по Боголюбову (см.
принт fluai0/?®08. Квазисредние в задачах статистической механики, Рота-
Рии и», ' 1 Д-781, Дубна, 1961; С. В. Тя б ликов, Методы квантовой тео-
!етизма, § 11, изд-во «Наука», М_, 1965). —Прим. ред.
88
Глава 3
и ф*); все фононные операторы, однако, должны быть свя
друг с другом внутренними линиями:	Заны
вЬ&МОЖНО
д) Член и-го порядка в разложении S-матрицы содержит
Р-произведение п идентичных гамильтонианов взаимодействия
каждый из них берется в одной из п различных пространственно-
временных точек. Но каждый гамильтониан содержит одно и то
же произведение операторов поля; например, в гамильтониан
(2.47) входит произведение ф*(х)ф(х)ф(л:). Таким образом, всех!
группам точек диаграммы отвечают входящие и выходящие линии
одного и того же типа. Следовательно, все операторы данной груп-
пы можно объединить в вершину — отдельную точку, соединяемую
с остальной частью диаграммы с помощью соответствующей ком-
бинации сплошных линий со стрелками и пунктирных линий:
Операторы, отвечающие каждой вершине, говорят сами за себя, и
нет необходимости выписывать характерные индексы.
е) Поскольку каждая вершина отвечает пространственно-вре-
менной точке, мы можем характеризовать ее положение, приписы-
вая ей определенные координаты в плоскости чертежа. Так, вер-
тикальное направление на чертеже можно рассматривать как ось
времени, а точкам горизонтальной оси поставить в соответствие
совокупности всех трех пространственных координат, г. При этом
оказывается возможной очень ясная физическая интерпретация
диаграммы: можно считать, что она описывает испускание фонона
электроном в точке «у в момент tr и последующее перемещение
электрона в точку г2, где в момент времени /2 испущенный фонон
поглощается вновь. Разумеется, линии этой диаграммы отнюдь
не представляют собой действительные траектории движения
Теория возмущений
89
реальных частиц в пространстве и во времени (например, мы на-
меренно искривляем их, дабы нарисовать их отдельно и указать
связность диаграммы), однако для многих целей такая интерпре-
тация вполне допустима. Строго говоря, диаграмма Фейнмана есть
не более чем топологическое представление алгебраического выра-
жения, но достоинство ее состоит в ее наглядности.
В качестве примера рассмотрим диаграммы второго порядка,
которые можно построить в задаче о системе фермионов и бозо-
нов при энергии взаимодействия стандартного вида (2.47). Каж-
дая вершина здесь должна соединять входящую и выходящую
фермионные линии и одну бозонную линию. Тогда можно по-
строить следующие диаграммы.
Комптоновское рассеяние. Электрон поглощает фотон в точке 1
и вновь испускает его в другом направлении в точке *
2.
На этой диаграмме мы должны были поставить стрелки на
внешних фотонных линиях: в начальном состоянии уже имеется
фотон, который затем поглощается, и в конечном состоянии дол-
жен быть фотон. В действительности вклад в эффект Комптона
дает и другая, похожая, но топологически отличная от данной диа-
грамма, отвечающая испусканию конечного фотона до поглоще-

I
90
Глава 3
ния исходного. Вклады в матричный элемент от этих двух Чп J
нужно вычислять по отдельности.	' eiiG«
Эффект Черенкова. Диаграмма, отвечающая этому эфл
очень похожа на	------- ---- * Ч
tty
в Том,
две предыдущие; отличие состоит лишь
что испускаются оба фотона. Как видно из выражения (2 61»
такие процессы часто запрещены условием сохранения полной
энергии и полного импульса; для электронов и фононов они
однако, должны фигурировать в точной теории, скажем, электро-
сопротивления или подвижности полярона (гл. 2, § 7). Заметим
что промежуточное состояние здесь может быть виртуальным; со-
ответственно это не то же самое, что два последовательных реаль-
ных процесса, при которых испускаются фотоны.
Собственная энергия фермиона. Пусть теперь испущенный бо-
сываемого формулой (2.63). Соответствующая диаграмма харак-
теризует влияние испускания и поглощения виртуальных фононов
на энергию свободного электрона. Это приводит, например, к поля-
ронным поправкам к эффективной массе.
Взаимодействие фермионов путем обмена бозонами. Процессы
такого рода мы уже рассматривали в гл. 1, § 11 и гл. 3, § 5. Отме-
тим, что здесь нет необходимости ставить стрелку на бозонной
линии. Если вершина 1 предшествует вершине 2, то бозон распро-
страняется от точки 1 к точке 2; в противном случае бозон распро-
Теория возмущений
91
обратном направлении. Но это автоматически учиты-
сТраняется в сверТке; в зависимости от того, что больше, Л
вается в нтегральное выражение подставляется тот или иной
или в п д
член. яких процессах предполагается, что фермион уже суще-
ПрН Предположим, однако, что при составлении диаграмм мы
ств^ет. 11р рШИНУ) подобную изображенной на рисунке. Все фор-
льные требования диаграммной техники при этом выполнены —
мы имеем входящую и выходящую фермионные линии, но каков
физический смысл такой диаграммы? Очевидно, электрон в состоя-
нии / доходит лишь до вершины (ибо мы рассматриваем верти-
кальную ось как ось вермени) и уничтожается в ней. Это может
произойти, только если «дырка» также попадает в эту вершину,
так как при этом произойдет аннигиляция пары. Следовательно,
подобная линия, отвечающая фермиону, движущемуся попятно во
времени, должна соответствовать обычному распространению дыр-
ки вперед — из состояния 2 в вершину.
Важное достоинство диаграммной техники в том и состоит, что
эта интерпретация, навязываемая простыми физическими сообра-
жениями, действительно оказывается верной. В гл. 2, § 3 мы уже
отмечали, что переход от фермионов к антифермионам гл. 2, § 8
сводится формально к изменению направления времени. Можно
проверить все наше рассуждение и показать, что вклад в S-матри-
цу от процессов с участием дырок дается диаграммами со сверт-
ками такого типа и не требуется специально менять правила пе-
рехода от диаграмм к алгебраическим выражениям. Следует,
однако, помнить, что иногда дырочные состояния системы факти-
чески не являются разрешенными. Так, например, обстоит дело в
поляронной задаче, где число имеющихся электронов строго со-
храняется, и энергия, необходимая для создания «античастицы»,
намного превосходит характерные для данной задачи значения.
ассмотрим еще несколько процессов второго порядка.
зона °°ственная энергия бозона. Это есть поправка к энергии бо-
ж ’ связанная с возбуждением виртуальных фермионно-анти-
микеИ°ННЫХ Пар’ В квантовой электродина-
РасппТакие пР°Цессы оказывают влияние на
эта дРаНение света; в физике твердого тела	___
скопостатГРаММа опись,вает «перенормировку .г у*"
Нов с ап звУка» из-за взаимодействия фоно-
В С электронами металла,
92
Глава 3
Поляризация вакуума. Даже в вакууме может происх
возбуждение виртуальных бозонов и фермионных пар и анни°
пня последних. Формально эти процессы весьма важны
ил;
НС
кажется, что
они дают бесконечный вклад в энергию
0(
новного состояния даже пустого пространства, однако, как бт
показано в гл. 3, § 9, их можно исключить.	>дет
Взаимодействие частиц с античастицами. Соответствующая ди
грамма (а), разумеется, очень похожа на диаграмму, описываю
а
щую взаимодействие между фермионами путем обмена бозоном
Заметим, однако, что можно нарисовать другую диаграмму (б) с
теми же частицами в конечном состоянии: в ней исходные электрон
л
и дырка аннигилируют, создавая виртуальный фотон, который в бо
лее поздний момент времени вновь рождает пару. Эти две диа-
граммы не эквивалентны, и для вычисления полного матричного
элемента такого процесса соответствующие им выражения нужно
сложить.
Из всего сказанного могло бы создаться впечатление, что мы
можем нарисовать диаграмму Фейнмана для любого физического
процесса — например, для реакции между элементарными части-
цами, — просто перерисовав фотографии этих процессов в камере
Вильсона или в пузырьковой камере. Однако это даст нам только
внешние, реальные линии. Можно получить еще бесконечно много
диаграмм, соответствующих бесконечному числу членов разложе-
ния S-матрицы, вставляя «виртуальные», внутренние линии и вер-
шины между наблюдаемыми начальным и конечным состояниями.
Теория возмущений
93
! возмущений в том и состоит, чтобы нарисовать все
;зДача те°Раммы и вычислить их вклады в полную вероятность
так"е пя^ли в энергию.
перехода w напрнмер, поправки к энергии отдельного фер-
РаССМ0^Р вЫ’чисЛим его «эффективную массу» [см. (2.63)]. Сле-
«нона, т- „ рЯда будет S4: ему отвечают диаграммы а —г:
^ЮШИМ ЧЛ
Дают ли вклад еще какие-нибудь диаграммы? Можно, например,
рассмотреть процесс типа д, в котором, по видимости, участвует
дырка. Но топологически диаграммы д и б одинаковы. Тот факт,
что вершина 3 теперь сдвинута вниз, т. е. что она отвечает более
раннему моменту времени, чем вершина 2, никак нс отражается
на вычислениях: он автоматически учитывается в определении
сверток, входящих в интеграл. На этом примере мы видим эффек-
тивность метода Фейнмана, согласно которому упорядочению вер-
шин во времени можно в случае необходимости сопоставить со-
глашение о введении антпчастичных состояний ’).
§ 8. Импульсное представление
Построив все диаграммы данного порядка, мы должны теперь
сформулировать правила, позволяющие записать соответствующие
им матричные элементы. Последние даются кратными интеграла-
и по пространственным и временным переменным от произведе-
нии «сверток» или от матричных элементов нормальных произве-
дении. Займемся теперь более детальным исследованием этих
Функций.
как^ЭК МЫ видели' свертка соответствует линии на диаграмме,
гой ?ЛИ бы частиЦа распространялась от одной вершины к дру-
mv л,00твегственно определим фермионный пропагатор (фермион-
нНо Функцию распространения)
_______	Go (х — х') = гф* (х) ф (х')	(3.105)
вРемени, ^е?'“тавлеН|1е о позитроне как об электроне, движущемся обратно во
Прим. ред ло впервые предложено Г. А. Зисманом [ЖЭТФ (1940)]. —
94
Глава S
и бозонный пропагатор
(бозонную функцию распространения)
t-------1
£)0 (х — х') = ф (х) ф (х').

Диаграмме, описывающей, например, вклад второго порядка
ляризацию вакуума (стр. 92), соответствует восьмикратный
гр ал
в По.
инц
S2 = -j- J J О0(х- х') Go (х' - х) Do (х - х') d4x (fix'. (зЛ07)
Более сложным диаграммам — типа, например,
соответствуют значительно более сложные интегралы, в которьв
различные переменные интегрирования связаны пропагаторами
весьма неприятным образом. В задачах о взаимодействии межд-
свободными полями эти интегралы можно несколько упростить,
если перейти к импульсному представлению. Это связано с тем об-
стоятельством, что для невозмущенного гамильтониана, отвечаю-
щего возбуждениям любого типа, импульс есть хорошее квантовое
число. Соответственно в представлении взаимодействия [ср. (2.22)
и (3.41)] мы имеем
ф(х) = ^е1^е-^<к> (Ьк и т. д.	(3.108)
к
Заметим, что в случае системы, обладающей вращательной симмет-
рией (например, при рассмотрении электронных состояний в ато-
ме), это представление оказалось бы совершенно не подходящим,
хотя излагавшаяся до сих пор общая теория S-матрицы примени-
ма и здесь.
Как уже было показано [см. (3.99)], фермионный пропагатор
обращается в нуль, если момент уничтожения предшествует момен
ту рождения:
Go(x-x') = O, если t>f.	(3.109)
В противоположном случае формула (3.105) в представлении
(3.108) принимает вид
О0 (х _ х'} = _ i /1 2 e~l el * <k)	(к'> ‘Kbv |) =
' | к, к'	I '
=	еслн t<f. (З.П°)
к
[Здесь использованы соотношения коммутации (2.19).]
Теория возмущений
9S
цнп с0
, м надо найти аналитическое выражение для функ-
свойствами:
[ —для Т > О,
О для Т <0.
(3.111)
G(^) =
Выразим эту
ражение
функцию через контурный интеграл. Рассмотрим вы-
00 ~
С^ = ~2п / Q.-8 + ib dQ’	112)
— ОО
ттеграл берется вдоль вещественной оси в плоскости ком-
ГДе ого переменного Q, а б — бесконечно малое положительное
Иршественное число. При Т > 0 мы можем замкнуть контур в ниж-
ней полуплоскости, так чтобы он охватывал полюс в точке <§— id.
Вычет в этом полюсе дается формулой (3.111). С другой стороны,
при 7 < 0 контур следует замкнуть в верхней полуплоскости, где
мнимая часть й отрицательна и интеграл обращается в нуль. Та-
/q'i образом, мы доказали эквивалентность выражений (3.111) и
Щ112).
Подставив выражение (3.112) в формулы (3.109) и (3.110), мы
Р ходим к следующей формуле для фермионного пропагатора:
р-1 (к.г-Ш)р1 (к.г'-Ш')
— d‘k	(3.113)
12 — е (к) + io	'	'
бь^ЛфепВеЛ11'1ИНа Здесь обеспечивает сходимость интегралов; если
оост0Х,ИОННая линия отвечала «дырочному» или античастичному
Женид нЮ’- Т° Для сохранения справедливости написанных выра-
УЖно было бы изменить знак 6.
Go(x~x')
96
Глава 3
Выражение (3.113) надо подставить в интеграл типа щ |
вместо каждого фермионного пропагатора, отвечающего фе
ной линии соответствующей диаграммы. В результате таки>МИо’1*
становок мы приходим к подынтегральному выражению, пос 1'Сд’
ному в соответствии со следующими правилами. ’
1)	Каждой фермионной линии приписываются «импульс» г
«энергия» £2.
2)	Вершине, расположенной в точке (г,/), отвечают множит □
exp[i(k-г — Ш)] по одному на каждую фермионную линию с Л
пульсом» к и «энергией» й, входящую в вершину, и множит*1 J
ехр[—i(k'-r —£27)] по одному на каждую линию с импульсом^
и энергией £2', выходящую из вершины.
3)	Фермионной линии отвечает четырехкратный интеграл
«импульсу» и по «энергии»:
-Ли
с «Иц.
1 г г d3krfQ
(2л)4 J .1 £2 - <8 (к) + '
(3.114)
Бозонный пропагатор, (3.106), вычисляется сходным, хотя и не-
сколько более сложным путем. Расчет основывается на соотношу
ниях (3.41) и (3.90). Фактически указанный пропагатор предста
вляет собой сумму двух различных пропагаторов, соответствующих
тому или иному направлению линии, соединяющей вершины, в со
ответствии с характером упорядочения их во времени. Бозонная
линия характеризуется импульсом q (во избежание неоднознач-
ности на диаграмме указывается его направление); в результат-
приходится вычислять интеграл по всем q и о от следующего вы-
ражения:
— (------’----------------~2~.	(3- Н5)
2coq у и — toq + /6 to + toq — id J to — wq + id
Множитель l/2ioq возникает из-за наличия коэффициента (2<oq)
в выражении (3.90), а два различных энергетических знаменателя
связаны с двумя альтернативными процессами — испусканием и
поглощением бозона, т. е. увеличением или уменьшением энергии
вдоль направления вектора q. Как будет показано в гл. 6, § 4, по-
лученная формула допускает простое обобщение на релятивистский
случай.
Разумеется, в подынтегральное выражение могут входить,и ДРУ
гие сомножители, связанные с гамильтонианом взаимодействия.
Так, в случае взаимодействия фермионов с бозонами, (2.47), к
ждой вершине сопоставляется формфактор F(q). Его легко уче
при написании интегралов, вводя дополнительный множите-
И(ч) I2 в бозонный пропагатор (3.115).
Теория возмущений.
Итак в каждой вершине остается лишь произведение про
„„одических функций координат и времени, отвечающих ч;
взаимодействующим в данной вершине. Теперь нам уже
ца ’не мешает спокойно проинтегрировать по пространственно
ценным коодинатам каждой вершины. В результате получаем
f J et (к-к'+ч)тд-г <я-Е'+“) ‘ d3r dt = d (k - k' + q) 6 (Q - Q' + «). (3
Другими словами, в каждой вершине имеет место сохранены
пульса и «энергии».
Соответственно вычисление вклада от какой-либо диагр<
производится следующим образом.
1)	Каждой внутренней фермионной или бозонной линии щ
сываются импульс к и «энергия» Q или импульс q и «энерги
2)	Названные переменные вводятся так, чтобы в каждой
шине полные импульс и «энергия» сохранялись. Это сводиг
уменьшению числа независимых переменных данного типа д<
ннмума, совместимого с заданными параметрами внешних п
3)	Каждой линии сопоставляется соответствующий пропа
[см. (3 114), (3.115) и т. д.], произведение интегрируется по все
зависимым импульсам и «энергиям».
Рассмотрим, например, диаграмму, описывающую попра
собственной энергии электрона
счет испускания и поглог
за
fr-q.
q,o)
R,<5(R)
фонона. Пусть в начальном состоянии импульс и энергия элск
были равны к и ё(к). Импульс фонона q и его «энергия» со
быть произвольными, но они предопределяют значения со
ствующих электронных переменных в промежуточном сост<
Матричный элемент должен содержать интеграл
/ = f f 1F (q)|2___________d3qrfC0______.
J J <о2-<о2-Н’б #(к)-со-#(к-ч) + 'б ’
Интересно сравнить это выражение с формулой (2.63). Ecj
интегрировать по со, то из-за полюсов фононного пропагатс
тором энергетическом знаменателе появится либо со = coq
" <oq. Первый случай как раз отвечает члену второго пс
4 Зак. 899
98
Глава 3
теории возмущений в формуле (2.63). А второй? Очевидно 1
го = —соч связан с фононом, распространяющимся в обпятй П°л*'
1 1К°м н/
правлении, как на диаграмме
Соответствующий
проце, (
можно описать как рождение электронно-«дырочной» пары с пос »
дующей аннигиляцией начального электрона. Возможность тако?
процесса не учитывалась в физических соображениях, приведши I
к формуле (2.63); практически он не играет роли из-за большой
энергии, необходимой для создания дырки (в полупроводнике, на
пример, это есть ширина запрещенной зоны). Тем не менее если
должным образом определить величину ё (к — q) для такого состоя-
ния, то окажется, что этот процесс включен в выражение (3.117) и
правильно им описывается.
В настоящей главе функции (3.114) и (3.115) появились просто
в результате некоторых математических преобразований. Как будет
показано в гл. 4, § 6, пропагатор имеет и более глубокий смысл,
это есть функция Грина соответствующего поля. В современном
аппарате теории эти функции принимают на себя большинство обя-
занностей, ранее — в элементарной теории — исполнявшихся волно-
выми функциями.
Разумеется, для окончательного расчета нужно еще установить
дополнительные правила, которые сопоставляли бы определенные
множители внешним линиям диаграммы. Как мы видели, послед-
ние отвечают тем членам разложения по теореме Вика, которые
содержат отличные от нуля матричные элементы нормальных про-
изведений операторов поля. В любом конкретном случае нетрудно
выделить эти матричные элементы и включить их в выражение для
соответствующего члена S-матрицы. Например, с бозонной линиеи,
входящей в вершину, отвечающую фермион-бозонному взаимодей-
ствию, связывается множитель F (q) (2(оч)~/г и т. д. Мы не буде"
здесь детально обсуждать эти вопросы, отсылая читателя к coot
ветствующим книгам.
Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство: мн0‘
житель 1/и!, например, в выражении (3.84) можно опустить. ДеЛ I
в том, что, переходя к импульсному представлению, мы молчалив
предположили, что пространственно-временные индексы (Х|,Х2>
... ,хп) определенным образом приписываются и вершинам Но эт^
лишь одно из и! эквивалентных выражений, соответствующих |
способам обозначения п вершин. Таким образом, интеграл в Ф г
муле (3.84) нужно вычислять по всем диаграммам, которые то |
Теория возмущений
99
эквивалентны и отличаются лишь индексами вершин.
1Сгическ» *аждОй нз ЭТих диаграмм одинаковы, так что в окон-
Вмады от ме м110ЖИтель 1/п! в точности сократится.
чательнои предыдущим изложением можно было бы заметить,
В СВЯЗа мы чертим диаграммы, для которых может нарушаться
чТо ,|И0ГДр[ауЛи. Трудно понять, почему бы это могло произойти.
принцИ ьн0> мы обеспечили должную антисимметрию всех фер-
Денств постояний, используя антикоммутирующие операторы
м ИОННЫХ
,♦ и т д. Тем не менее, что же нам делать с процессами типа а,
^’которых’имеет место обмен двумя бозонами в частном случае,

когда импульсы обоих бозонов одинаковы? При этом фермионное
состояние с импульсом к — q оказалось бы занятым двумя части-
цами одновременно. Ответ состоит в том, что в разложении S-мат-
рицы содержится и другой член (диаграмма б), в точности компен-
сирующий вклад указанной диаграммы. Из-за способа, которым мы
разлагали Г-произведение на нормальные произведения и'свертки,
компенсирующая диаграмма может быть топологически совсем
иной.
При обсуждении диаграмм мы уделяли основное внимание при-
мерам, связанным с влиянием взаимодействия фермионов с бозо-
нами. Нетрудно построить аналогичные диаграммы и для дру-
гих типов взаимодействия. Например, «парное взаимодействие»
типа (2.42) или (2.43) приводит к диаграммам, в которых фер-
соотНЫе линии соединяются, например, волнистыми линиями,
фурьеет7ВуЮЩИМИ потенциалу взаимодействия F’(rz —г) или его
топоп'обРазУ (к" — к"'). Топология таких диаграмм аналогична
стоит ГПИ ФеРмион бозонных диаграмм; различие между ними со-
лишь в том, что не существует внешних волнистых
100
Глава 3
линий и, кроме того, могут присутствовать члены с «петлей
тип
> в случае взаимодействия фермионов 1
с б0.
зонами последние дают нулевой вклад. Фермионный пропагат
таких диаграммах дает вклад типа (3.114); нужно лишь припи°Р 8
волнистой линии импульс передачи q и ввести в матричный элем3 ГЬ
множитель F(q).	cli
Весьма существенно, что диаграммную технику можно исполь
зовать в любой задаче в качестве систематической процедуры вы'
числения последовательных членов ряда теории возмущение
Структура диаграмм, типы содержащихся в них линий, правила
соединения линий в вершины, правила знаков и т. п. зависят от осо-
бенностей каждой конкретной системы и (или) от выбора предста-
вления. Тем не менее некоторые общие черты имеют место во всех
случаях. Так, всегда предполагается, что в каждой вершине сохра-
няется импульс и что имеет место определенное правило сложения
энергий. Эти правила отражают наиболее изящную черту теории —
исключение всех пространственных и временных координат, относя-
щихся к актам взаимодействия.
Следует, однако, подчеркнуть, что диаграмма Фейнмана пред-
ставляет только последовательность виртуальных процессов. Рас-
сматривая переменные Q или ы в фермионном или бозонном пропа-
гаторах, мы называли их «энергиями», поскольку они имеют долж-
ную размерность. Но пропагаторы (3.114) или (3.115) содержат
разности между этой переменной и истинными, физически наблю-
даемыми энергиями, <F(k) или <оч, отвечающими свободным части-
цам с данными импульсами. Эта истинная энергия не сохраняется
в каждой вершине, но она, разумеется, должна сохраняться при
рассмотрении диаграммы в целом, от входящих до выходяшю
внешних линий. Разумеется, мы вновь встречаем здесь типичный
энергетический знаменатель обычной теории возмущений, содер-
жащий разность, скажем, между энергиями начального и проме-
жуточного состояний; предполагается, что последнее существует в
течение небольшого отрезка времени перед тем, как система пере
ходит в конечное состояние.
§ 9. Физический вакуум
Диаграммная техника представляет собой аппарат для система
тического вычисления всех членов данного порядка в ряде теори
возмущений. Однако такой почленный подход не всегда оказывав
ся полезным, даже если бы мы нашли в себе достаточно сил и У
Теория возмущений
101
нарисовать, скажем, все диаграммы 16-го порядка и вы-
Н11Я. чтобь Р яемые ими интегралы.
числить опн кОнечнОе число конечных слагаемых не описывает
Во-пер - ’ювых физических явлений. Если все слагаемые не-
сушестве несИНГулярны, то и сумма их не будет иметь особенно-
прерывнь могли gh[ соответствовать, например, фазовому пере-
стеи, h0 ^еме многих тел или образованию связанного состояния.
-ДУ Боугой стороны, если какой-либо из первых членов ряда рас-
с я__а это, как мы видели в гл. 1, § 11 и гл. 2, § 7, может
'°етьСместо даже в очень простых задачах теории поля,— то ника-
,,м.. способ исключения или компенсации этого члена не может
Г°1ТЬ использован, пока не показано, что тот же прием устраняет
расходимости и во всех членах высших порядков.
Р Особое и совершенно удивительное достоинство диаграммного
представления ряда теории возмущений состоит в том, что оно по-
зволяет свернуть и частично просуммировать бесконечные ряды с
помощью простых топологических рассуждений, не прибегая к
«арифметике». В дальнейшем (например, в гл. 5, § 5 и 9) мы убе-
димся, что эта возможность представляет гораздо большую цен-
ность, нежели просто вывод алгоритма для написания формул, со-
ответствующих тем или иным отдельным членам.
Пусть, например, надо оценить вклад сложной диаграммы типа
изображенной на фиг. 2, а; пусть, далее, некоторым линиям припи-
саны импульсные и «энергетические» параметры, как показано на
а
ли б^ Тогда, прежде чем возиться с другими факторами, мы мог-
нии а 5РоинтегРиРовать по параметрам внутренней бозонной ли-
вечаю dTa опеРация> однако, затрагивает только пропагаторы, от-
слУчае'ЦНА Диаграмме фиг. 2, б, и выполняется так же, как и в
G'ck	1' ^). Получающаяся в результате функция, скажем,
Дящегл "Удет зависеть от выбранных импульса и «энергии» вхо-
и выходящего электронов.
102
Г лава 3
Это означает, что вклад исходной сложной диаграммы
найти, заменив ее диаграммой фиг. 2, в. Вместо субдиагп O>Kl10
фиг. 2, б там нарисована зигзагообразная линия. Все, что ,МЬ|
буется,—это связать с ней не обычный пропагатор свободны
стиц, а модифицированный пропагатор, G'(k, <F).	!,i
Существует, конечно, и ряд других возможных субдиагпаМ11
которые могут заменять обычные пропагаторы. Например, мы <3
жем иметь один из случаев, изображенных на фиг. 3. Каждому"0"
Ф и г. 3.
них отвечает модифицированный пропагатор, который следует вста-
влять в соответствующие места более сложных диаграмм.
Теперь представим себе сумму всех таких субдиаграмм с двумя
внешними фермионными линиями. Разумеется, это — бесконечная
сумма; предположим, однако, что мы смогли вычислить сумму со-
ответствующих модифицированных пропагаторов, т. е. функцию
G"(k, #) =	2	G'(k, #).	(3.118)
По всем собственно-
энергетическим диаграммам
Что если в качестве пропагатора, отвечающего зигзагообразной
линии на фиг. 2, в, мы используем функцию G"(k, ЙГ)? Это будет
эквивалентно вычислению суммы всех диаграмм, которые можно
построить, заменяя указанную линию любой из субдиаграмм на
фиг. 3, отвечающих возможной предыстории свободного фермиона
в вакууме. Сопоставим функции G"(k, <F) линию особого типа
. Тогда картинка
уже не будет просто диа
граммой типа рассмотренных в предыдущем параграфе; это есть
сумма бесконечного числа таких диаграмм.
Однако пропагатор (3.118) имеет и непосредственный физиче-
ский смысл. Он отражает все возможные процессы, которые могу
происходить со свободной частицей (все виртуальные возбужден11
Теория возмущений
ЮЗ
а она движется в пустом пространстве. Таким образом,
и т. Д-)> кО, гатОр описывает все влияние таких возбуждений на
эТот пР°ферМИОна, почему и называется собственно-энергетической
частью.
Очевидно, для бозона также можно проделать нечто подобное
и ввести новую линию = = = = =, с крторой связан пропагатор D".
Последний отвечает сумме всех диаграмм, начинающихся и окан-
чивающихся одной бозонной линией; им можно заменить свобод-
ный бозонный пропагатор Do. Далее можно рассмотреть все диа-
граммы, эквивалентные отдельной вершине, и ввести специальное
графическое обозначение, указывающее на то, что вместо обычной
отдельной вершины подставляется вся сумма указанных диаграмм:
(3.119)
Легко проверить, что в такой модифицированной вершине по-
прежнему имеет место сохранение импульса и энергии, но под ин-
тегралом появляется особый множитель, вершинная часть, F"(k, q),
аналогичная формфактору в формуле (2.47).
Наконец, есть еще вакуумная часть, определяемая как сумма
всех замкнутых диаграмм, не имеющих входящих и выходящих
линий. Это даст нам 5вакуум> т. е- S-матрицу, описывающую все
эффекты флуктуаций поляризации, возбуждения виртуальных пар
и т. д. в пустом пространстве.
Топологические свойства, однако, обусловливают наличие опре-
деленной связи между суммами различных типов. Рассмотрим, на-
пример, всю совокупность собственно-энергетических диаграмм.
В нее войдут, в частности, члены типа	и т- А-» описываю-
щие вакуумные флуктуации, происходящие независимо от распро-
странения нашего фермиона. Если две части диаграммы не связаны
Друг с другом никакими линиями, то переменные интегрирования
оказываются совершенно независимыми, и вклад от них в матрич-
Ыи элемент S-матрицы факторизуется. Так, если (ЛВ) предста-
104
Г лава Я
вляет собой диаграмму, полученною просто помещением
двух диаграмм А и В, не соединенных линиями, то	РяДон
S(AB) - SASB.	(3
Рассмотрим теперь сумму всех связных собственно-энергет
ских диаграмм. Любую из них можно объединить с любой вак\ИЧе
ной диаграммой; при этом получается полный набор собствен *
энергетических членов. Таким образом, функция G"(k, <^), (Зцо?*
содержит все возможные произведения пропагаторов, отвечают '
связным диаграммам, на S-матрицу, описывающую перехол*
«вакуум — вакуум». Другими словами, если ввести -*- ДЫ
пропагатор другого типа,
G (к, &) =	2 G' (к, 8),
По всем связным собственио-
энергетическнм диаграммам
фермионный
(3.121)
то получится простое алгебраическое соотношение
6 = GSBaKyyM.	(3.122)
Точно так же можно определить и новые бозонные пропагаторы D
и вершинные части F, отвечающие суммированию только по связ-
ным диаграммам и удовлетворяющие аналогичным уравнениям
D" = DS
вакуум
и F" = FS
п 1	1 ° вакуум*
(3.123)
Общее соотношение для S-матрицы имеет вид
<?	— ‘s	. С
'“’все диаграммы ° только связные диаграммы ° вакуум
(3.124)
Вернемся теперь к исходному определению S-матрицы (3.61):
I ^коиечн} S | ^иачальн^ ^связч (SBaKyyM
начали,) ) SCBil3l] I )•
(3.125)
Какой смысл имеет функция нового типа, определяемая соотно-
шением
I Ч") = SMKyyM | т>?
(3.126)
Это есть не что иное, как вектор состояния, описывающий реально
наблюдаемые характеристики системы. Он учитывает не только
реально существующие частицы, но и все флуктуации, виртуаль-
ные пары и т. д., возникающие в вакууме из-за наличия взаимо-
действия. Это и есть истинный физический вакуум системы. С дрУ‘
гой стороны, гипотетическое состояние, описываемое вектором
| Чг), в котором все такие флуктуации и возбуждения отсутствуют,
представляет собой не более чем математическую конструкцию, а
не наблюдаемое состояние поля. Поэтому реальные процессы, пр°
исходящие в «реальном» пустом пространстве, должны описывать-
ся с помощью вектора состояния pF'). Это легко: согласно соот-
ношению (3.125), при вычислении матричных элементов, пропага
Теория возмущений
105
ы должны принимать во внимание только связные
тОров И т д-
диагро-ипь1' однакО; Что эта «поправка» часто оказывается бес-
Замети • казалрСЬ gbIi отвечает бесконечному изменению энер-
конечнои, состояния системы. Фактически, однако, эта расхо-
гии оС,!0означает лишь, что гипотетическое состояние (Д') не только
дпмость имо фНЗИЧески, но и не может быть описано математи-
недостиж^	векТоров состояний |4f/). Поскольку величина
ЧеСКП одинакова для всех состояний, это обстоятельство не при-
Йдит”к реальным трудностям.
§ 10. Уравнение Дайсона и перенормировка
Из рассуждений предыдущего параграфа ясно, что процессы с
участием реальных «физических» частиц следует описывать только
С помощью пропагаторов типа G и D, соответствующих суммам
бесконечного числа связных диаграмм. Так, например, трактовка
эффекта Комптона должна была бы основываться на рассмотрении
диаграммы типа а, где все фермионные линии, бозонные линии и
вершины нарисованы с учетом всех собственно-энергетических по-
правок и т. п. (но, разумеется, без учета всех вакуумных частей).
1акая диаграмма, конечно, представляет собой сумму бесконечного
числа простых диаграмм, но в нее не обязательно входят все про-
стые диаграммы, дающие вклад в исследуемое явление. Так, на-
пР«1мер, в нее не войдет диаграмма б. Последняя в свою очередь
<5
106
Глава 3
Теория возмущений
107
должна была бы послужить исходным пунктом для состав
еще одного бесконечного ряда простых диаграмм с помощью ЛеНИя
фицированных пропагаторов и вершинных частей.	Одн-
Тем не менее, зная модифицированные пропагаторы, мы
тельно приблизилось бы к решению задачи. Существует неск*134*1'
приемов, основанных на топологии диаграмм, которые пом°ЛЬКс
в достижении этой цели.	0Га1°т
Можно, например, использовать различие между приводима
и неприводимыми собственно-энергетическими частями. Прив l"U
мой называется диаграмма, которую можно разделить на °nU
части, разорвав только одну линию (пример — диаграмма в) н
пишем сумму всех различных неприводимых диаграмм, входящих
в фермионную собственно-энергетическую часть G:
2 = 2!+ 22+....	(3.127)
Тогда имеет место следующее алгебраическое соотношение:
G = G0+G02G.	(3.128)
Доказать его очень просто. Рассмотрим диаграмму
дающую вклад в G. В тривиальном случае это просто линия Go.
В противном случае это есть цепочка неприводимых субдиаграмм,
2, и 2j и т. д., связанных пропагаторами свободных частиц Go- 0т"
делим первую из этих субдиаграмм, 2,-. Тогда останется диаграмм3'
начинающаяся и кончающаяся пропагатором Go, т. е. просто ДРУР3
диаграмма, входящая в собственно-энергетическую часть G. 1 о,
этому любую диаграмму из G можно построить, связывая любу
неприводимую диаграмму из 2 с любой диаграммой из G. д
сумму всех диаграмм, входящих в G, можно найти,
.значает, что су х диаграмм, входящих в 2, на сумму всех диа-
°множая сумму, и приводит к уравнению Дайсона (3.128).
гр.|ММ и3 0 эТО______не просто символическое соотношение ме-
Заметим, наборами диаграмм. Символы G, Go и 2 отве-
жДУ РззЛ“ч" иМПульсно-«энергетических» параметров частицы,
 ают Ф>нкд их есть обычное алгебраическое умножение указан-
u умножен	этом последние берутся в том самом виде, в ка-
НЫХ ФУнК  входить в подынтегральные выражения в формулах
ком они мшу	ы Таким образоМ) уравнение (3.128) можно
в“ «уяьт.те получается
G = (Go-’-2) .	(3.129)
Принимая во внимание формулу (3.114), можем переписать выра-
жение (3.129) в виде
G(k, = g- _ (k) - s (к, ё) -/6 ’
Этот результат чрезвычайно изящен, ибо он показывает, что
пропагатор «физического» фермиона математически очень похож
на пропагатор абстрактного «свободного» фермиона и отличается
от последнего лишь энергией. Именно, фермион ведет себя так, как
если бы его энергия была равна
(3.130)
Г(к) = ^(к) + 2(к, #).	(3.131)
Иначе говоря, выражение для пропагатора можно записать в виде ’)
<3|32>
Это есть формально обычный пропагатор свободной частицы Go,
в который, однако, входит «наблюдаемая» энергия ^'(к).
В релятивистских расчетах функция & (к) характеризует массу
частицы в состоянии к. Соответственно мы можем выполнить пре-
образование, эквивалентное преобразованию (3.131),
m' = m + dm,	(3.133)
и рассматривать величину пг' как физическую массу частицы. Эту
операцию называют перенормировкой массы. Аналогичную про-
цедУРУ можно выполнить и для других параметров системы, таких,
как заряд.
Здесь снова возникает трудность, заключающаяся в том, что
мы'ИЧИНЬ1 “ (к’ *^) или dm могут оказаться бесконечными. При этом
Опять не имеем математического описания свойств «голой» ча-
_^иы, несмотря на то что перенормированную энергию или массу
См. примечание на стр. 126. — Прим. ред.
108
Глава 3
можно использовать для описания реально наблюдаемого ф I
ского объекта.	13,!че
Задача состоит здесь в том, чтобы сделать такой подход
ностью самосогласованным. Именно, надо выделить величП°Л'
которые можно было бы рассматривать, например НЫ’
перенормированные массу и заряд во всех членах S-матрицы КЗК
всех порядках теории возмущений. Исследование соответствуют60
возможностей — выделение расходящихся членов и системати Х
ское их исключение — выходит за рамки этой книги1). Оказ^
вается, что некоторые системы, в частности рассматриваемые
квантовой электродинамике, можно перенормировать, другие же
нет. По-видимому, примеры полей и их взаимодействий, приведен
ные в гл. 2, § 7, могут помочь нам понять причины.таких различий
в конечном счете расходимости возникают при вычислении интег-
ралов по всему пространству импульсов. Соответственно их появле-
ние зависит от вида формфакторов и от других фундаментальных
свойств взаимодействующих полей.
Разумеется, даже устранив бесконечности, мы должны еще ос-
новательно потрудиться, чтобы фактически вычислить члены, опи-
сывающие различные физические процессы, например лэмбовский
сдвиг. Они могут соответствовать диаграммам весьма высокого по-
рядка; перечисление их и вычисление соответствующих вкладов
представляет собой отнюдь не тривиальную задачу.
В качестве последнего примера эффективности топологического
подхода выведем еще одно уравнение Дайсона. Лучше всего пред-
ставить его графически:
Таким образом, истинному фермионному пропагатору отвечает на-
бор собственно-энергетических диаграмм. Их получают, перемно-
жая истинный фермионный и истинный бозонный пропагаторы,
сходящиеся в истинной вершине. Вывод уравнения (3.134) тополо-
гически связан с рассуждениями, приведшими нас к уравне-
нию (3.128).
Уравнение (3.134) можно аналитически записать в виде
G(k)=G0(k)+G(k)J F(k, q) G (k - q) D (q) d4qG0(k) (3-135)
(здесь мы для простоты рассматриваем «энергию» как четвертую
компоненту импульса). Это есть интегральное уравнение, из кото-
*) См., например, книги Н. Н. Боголюбов и Д. В. Ширков, Введение в
рию квантованных полей, М., 1957, и А. И. Ахизер и В. Б. Берестецкий, кв
товая электродинамика, изд. 3, изд-во «Наука», М., 1969. —Прим. ред.
Теория возмущений
109
о было бы вычислить функцию G(k), если бы мы знали
рого ‘'|0^'хозонный пропагатор D(q) и истинную вершинную часть
нстпнн1’1 фактически для функции D(q) существует аналогичное
f(k. Ч)- ое уравнение, соответствующее аналогичному топологи-
интеграЛЬ” н^шениЮ длЯ диаграмм, дающих собственную энергию
ческому с, сожалению, не удается построить необходимое третье
бозона. которое связывало бы вершинную часть с пропагато-
урэвнен!г’м^жно уКазать лишь последовательность все более и более
РаМП’ ых диаграмм. Однако уравнение (3.135) может быть поло-
сложн осноВу приближенного метода расчета, в котором вместо F
Же"тавляются определенные вершинные диаграммы, а затем ре-
шаются интегральные уравнения для функций G(k) и £>(q). Такая
ооцедура может оказаться более эффективной, чем, например, вы-
числение последовательности неприводимых диаграмм в сумме
(3.127).
Интересно отметить внешнее сходство между различными урав-
нениями Дайсона и разложением Бриллюэна — Вигнера (3.20).
Так в уравнении (3.135) неизвестная энергия, от которой должен
зависеть пропагатор в левой части, входит также и в знаменатель
подынтегрального выражения в правой части. Это сходство не сле-
дует понимать слишком буквально; однако оно наводит на мысль,
что ряд Бриллюэна — Вигнера отвечает частичному суммированию
членов обычного ряда теории возмущений Рэлея — Шредингера.
Соответственно можно думать, что ряд результатов диаграммного
метода можно получить и путем прямого самосогласованного под-
хода.
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ ГРИНА
У нас развелись философы
рые все сверхъестественное й
дочное объявляют простым **
денным.	J н
В. Шекспир. «Конец —дед,,
вец^Л
к 'Гп.
За
ot j
§ 1. Матрица плотности
Квантовая система никогда не бывает полностью изолировя
от остальной части Вселенной, т. е. никогда нельзя полностью пп?
небречь ее взаимодействием с другими объектами. С другой стогю
ны, указанное взаимодействие никогда нельзя задать точно, щу
для этого мы должны были бы совместно решить уравнения движе
ния всех частиц во Вселенной. Иначе говоря, начальные и гранич-
ные условия к уравнениям, описывающим нашу систему, могут
быть известны не точно, а лишь в статистическом смысле. Теория
которая всегда предполагает наличие полной информации о волно-
вых функциях, оказывается слишком точной. Как, например, рас-
сматривать систему, энергия которой постоянна лишь приближен
но в силу того, что она находится в тесном контакте с «термоста-
том» или с другой флуктуирующей системой? Мы приходим
к необходимости ввести нечто вроде усреднения по ансамблю,
известного в классической статистической механике.
Рассмотрим систему, состояния которой определяются с по-
мощью каких-либо абстрактных динамических переменных х. Пусть
Д(х) есть квантовомеханический оператор, соответствующий неко
торой наблюдаемой физической величине. Тогда среднее значение
последней в состоянии ф(х) равно
(Д)= [ ф*(х) Д(х)ф(х)с/х.	(4-1)
Но мы можем оказаться не в состоянии приписать системе вол-
новую функцию ф(х). Например, наблюдаемая величина может от-
носиться к малой области, расположенной внутри большого объема
газа. Молекулы постоянно влетают в эту область, вылетают из нее
сталкиваются там друг с другом и т. д. Для того чтобы описать эту
систему в рамках обычной квантовой механики, надо было он
включить ее в гораздо большую систему, рассматривая, например^
весь объем газа. Такую систему уже можно было бы считать замк
нутой и, следовательно, характеризовать ее волновой функдие •
Пусть для описания такой большой системы нужен дополнительн
набор динамических переменных, q. Тогда можно думать, что су
ствует полная волновая функция xV(q,x), удовлетворяющая хор°
определенному уравнению движения, точным граничным услов» <
Функции Грина
111
(4.2)
(4.3)
Ч^)по ансамблю
вычисления среднего значения наблюдаемой А(х) те-
И г- я \ЖНО интегрировать как по х, так и по q:
пРОЬ У*е HJ '
<Л)по ансамблю = J /	А «	*) dx dq.
1 лучае мы будем называть такое среднее средним по ан-
ft сбшем СУ этом считается, что рассматриваемый большой
сО*стоит из множества «копий» исходной системы, как это
|НСаМ и предполагается в статистической механике.
обычно ь теперЬ мы имеем дело с несколькими квантовомеханиче-
»^наблюдаемыми, которые, как и оператор Л(х), действуют
СКИ' о на переменные выбранной малой системы. При этом для вы-
ипс^ения средних типа (4.2) всегда нужно интегрировать одну и ту
же величину по переменным внешней системы q. Назовем результат
такого интегрирования матрицей плотности системы:
р(х, х')^ J 4f’ (<7, х'):^^, x)dq.
(Следует обратить внимание на измененный порядок следования
переменных в левой части (4.3). Это сделано, дабы придать даль-
нейшим выражениям стандартный алгебраический смысл.] Прини-
мая во внимание определение (4.3), мы должны переписать фор-
мулу (4.2) в виде
= J А (х) р (х, х) dx.	(4.4)
Это выражение имеет ясный смысл, если А(х) есть обычная функ-
ция, но когда А — оператор, эта форма записи нуждается в разъяс-
нении. Вообще говоря, элементы А (х', х) образуют матричное пред-
ставление наблюдаемой А при данном выборе динамических пере-
менных; в качестве таковых можно взять импульс, момент количе-
ства движения или даже обычные пространственные координаты.
Соответственно можем написать
(4)по ансамблю = J J J Ч7* (q, х') А (х', х) V (q, х) dxdx' dq =
= J / АР *') dx dx' = J [Лр]Л,dx' = Sp [Лр]. (4.5)
D_
введен^ НСП°ЛЬЗОВаНЫ станДаРтные правила умножения матриц и
тональных^ произведения матриц, равный сумме его диа-
ШествуеСТа Ф°РМУЛЫ (4-5) состоит в инвариантности ее вида. Су-
Матриць^ теоРема матричной алгебры, утверждающая, что след
ИзМенноцепТЬ УнитаРный инвариант, т. е. величина, остающаяся не-
СТавлению унИтаРном преобразовании к любому другому пред-
ЭлеМенты „\юбое такое преобразование просто меняет матричные
ператоров Лир так, что соотношение (4.5) сохраняет
112
Глава 4
силу. Матрицу плотности при этом можно рассматривать к
метрический объект» в гильбертовом пространстве перем/** <Ге°
конкретные значения «компонент» которого зависят от *,Ь11!
представления; последний же определяется только соображе^0^
удобства.	Ии«Мц
Из сказанного немедленно вытекают некоторые очевидные
ства оператора р. Например, матрица р(х, х') эрмитова, и с,рВ°Я
равен единице:	' Сд е'
Sp[p]= J Р(х, x)dx = J J x)xV(q, x)dqdx=\.
В обычном координатном представлении, когда переменные
гут отвечать координатам отдельной частицы, мы имеем
р(х, х)= J 1^(9, x)|2cfy.
(4.6,
х Mo-
(4.7)
Последняя величина, очевидно, есть не что иное, как вероятност
обнаружить частицу в точке х после усреднения по всем «другим
переменным большой системы; другими словами, р есть обычна
плотность вероятности для числа частиц в борновской интерпрета-
ции квантовой механики. Заметим, однако, что этой величины ещ.
не достаточно для вычисления средних значений таких наблюдае-
мых, как, например, оператор импульса, недиагональных в коорди-
натном представлении. Существенно знать, какова роль корреля-
ционных и флуктуационных эффектов, связанных с существование:'
недиагональных элементов матрицы р(х, х'). С другой стороны, дл-i
отдельного члена ансамбля нельзя получить больше информации,
чем содержится в матрице плотности р. Это — все, что мы знаем,
все, что нам нужно знать о «состоянии» системы.
В обозначениях Дирака матрица плотности есть оператор, да-
ваемый соотношением
Р = 51 tn) pmn {п |.	0.8)
Выберем в качестве базисных векторов |т) собственные вектор
этого (эрмитова) оператора. Тогда
Р = 21 т) рт (т |.
т
(4.9)
Отсюда видно, что р есть обобщенный проекционный оператор (СР'
С ГЛ. 3, § 1).
В указанном представлении среднее по ансамблю значение
бой наблюдаемой дается выражением
(^)по ансамблю = 2 Pm (tn | А | СП).	(
т
Функции Грина
113
.. формуле величину рт можно было бы рассматривать
g послеДне1 Пребывания системы в том или ином состоянии
как верС,ЯТ“0М наблюдаемая Д как бы принимает свое среднее зна-
, ,.1\t в kotoi^to нет необходимости учитывать корреляционные эф-
чение, так нЫе с фазоБыми соотношениями между различными
фектЫ, с0*3 таким образом, в этом специальном случае набор
эстояния 'значений матрицы плотности соответствует классиче-
СОпйТЛункЦИИ распределения.
скоифУ* величины рт имеют смысл вероятностей, все они
ПОСК быть положительными. В силу свойства (4.6) мы получаем
полезное общее соотношение
2j
тп
(4.11)
Фактически в левой части неравенства (4.11) стоит как раз сумма
„агональных элементов оператора р2, т. е. унитарно инвариантная
величина. Поэтому в любом представлении справедливо неравен-
ство	_
2pL = Sp[p2]< 1,	(4.12)
тп
накладывающее определенные ограничения на матрицу плотности.
Из самого определения матрицы плотности следует, что она
должна принимать некоторый специальный вид в случае, когда
система обладает определенной волновой функцией. Так, например,
обстоит дело, если систему можно разделить на отдельные части,
так что полная волновая функция факторизуется:
V (q, х) = Ф (у) ф (х).	(4.13)
Выберем такое представление матрицы р, в котором одним из ба-
зисных векторов, 10), служит функция ф(х). Тогда путем элемен-
тарных рассуждений, основанных на определении (4.3), можно по-
казать, что р становится просто проекционным оператором вида
Р = Ю><0|.	(4.14)
Соответствующая матрица диагональна, причем одно ее собствен-
ное значение р0 = 1, а все остальные равны нулю. Отличительные
черты этого специального случая состоят в следующем: а) левая
Сть неравенства (4.12) достигает своего верхнего предела; б) опе-
ратор р оказывается идемпотентным:
Sp[p2]=l, Р2 = Р-	(4.15)
рятК°ГДа матРица плотности удовлетворяет этим условиям, гово-
ЧИн’Что система находится в чистом состоянии. Такая система под-
ла рТСЯ °^Ь1ЧНЫМ законам квантовой механики, причем предпо-
Услови™’ ЧТ° ИМеется полная информация относительно начальных
1 И т. д. В таких случаях использование формализма матрицы
114
Г лава 4
плотности несколько упрощает вычисление средних значений
хотя по существу результаты не отличаются от вытекающих н ’•
следственно из уравнения Шредингера. Дело в том, что форМул1
со шпуром (4.5) содержит максимальную информацию о любой
физической наблюдаемой и, следовательно, помогает избежать
ошибок, которые могли бы возникнуть вследствие задания иена-
блюдаемых величин типа, например, абсолютной фазы волновой
функции.
§ 2. Уравнение движения для матрицы плотности
Рассмотрим общий случай матрицы плотности, определимой по
отношению к какому-либо произвольному набору базисных векто
ров, как в формуле (4.8). Пусть теперь эти состояния изменяются
во времени по закону, задаваемому оператором временной эволю-
ции [см. (3.27)]
|m, f} = U(t} \т, 0).	(4.16)
Тогда сама матрица плотности в представлении Шредингера ста-
новится функцией времени:
р(0 = Si т, 0 Ртп (п, И = 5 и (0 I т, 0) рт„ (и, 0 | Д’ (0 =
тп	тп
= Д (/) р (0) Д’(7). (4.17)
В известной мере сходным образом изменяется и динамическая
переменная в представлении Гейзенберга [см. (3.34)]:
Дя(0 = Д*(0Дн(0)Д(П.	(4.18)
Для изолированной системы, состояния которой определяются
уравнением Шредингера с гамильтонианом И, равенство (4.18)
эквивалентно уравнению движения (3.36):
»ЙТ^ = [ЛЯ(П. Я].	(4.19)
Проводя те же самые рассуждения и замечая, что порядок следо-
вания операторов эволюции в формуле (4.17) изменен на обратный,
легко приходим к уравнению
£-д-М- = [Я, р(0].	(4.20)
Это есть уравнение движения для матрицы плотности. Разли-
чие между уравнениями (4.19) и (4.20), заключающееся в изменен-
ном порядке следования операторов в коммутаторе, имеет ясный
физический смысл. Оно означает, что матрица плотности р есть н
динамическая переменная, а обобщенная функция состояния и что,
следовательно, она изменяется во времени в представлении ШРе
Функции Грина
115
I ——
нигера- Разумеется, в представлении Гейзенберга матрица плот-
сти будет оставаться постоянной во времени.
И Полученным уравнением можно без опасения пользоваться для
б цьшинства систем, к которым применима общая теория ансамб-
лей статистической механики. Тем не менее следует признать, что
ь-чное его обоснование на основе, например, определения (4 3) не
так у ж просто. Дело в том, что указанное уравнение позволяет
нам рассматривать лишь изменение волновой функции всего ан
самбля; при этом, вообще говоря, нельзя выделить гамильтониан
каждой отдельной системы, и требуется тщательное обсуждение
гипотез о случайности фаз, об усреднении по ансамблю и т д
Уравнение (4.20) фактически представляет собой аналог уравне’
ння Лиувилля для классической плотности вероятности в фазовом
пространстве;	*
<?Р	г tn
а/	1Р> "Ь	(4.21)
где { } —скобки Пуассона.
§ 3. Термодинамически равновесные ансамбли
Для того чтобы связать квантовую теорию со статистической
механикой и термодинамикой, введем каноническую матрицу плот-
ности, соответствующую каноническому распределению в классиче-
ской теории. Для этой цели найдем условия, при которых система
будет «оставаться в равновесии», т. е. не будет изменяться, будучи
изолированной от термостата и предоставленной самой себе. Для
этого, очевидно, нужно, чтобы матрица плотности не зависела от
времени; согласно уравнению (4.20), при этом коммутатор [Д, р]
должен обращаться в нуль,
[Н, р] = 0.	(4.22)
Другими словами, матрица плотности должна быть функцией га-
мильтониана системы. Явный вид этой функции устанавливается
в общем так же, как и в классической теории. Например, можно
рассуждать так: две независимые подсистемы имеют одну и туже
температуру, если они находятся в равновесии с данным термо-
статом; их можно рассматривать как составную систему, гамиль-
тониан которой есть сумма гамильтонианов отдельных подсистем.
ДР^ГОИ стороны, матрица плотности составной системы равна
матп31,еДеНИЮ (СТРОГО говоря, «внешнему произведению») двух
ная с Ц плотности подсистем. Отсюда вытекает, что функциональ-
вязь между операторами р и И должна иметь вид
р = ае-₽н,	(4.23)
Некотопг)НОРМНРОВОЧНая постоянная, а величина р характеризует
Р свойство, общее для системы и для термостата, т. е.
116
Глава 4
(4.26)
р есть функция температуры Т. В более общем случае, ког
ла частиц или других элементов системы пг могут менятьс^ ЧИс*
ню ввести матрицу плотности для большого канонического ой М(Ик’
ля. Она имеет вид	С0А|б.
р = ехр(-+	,	(42
где величина q зависит от способа нормировки, a р; есть
ческий потенциал частиц i-ro сорта.	,п
Для того чтобы установить соответствие между этим подхо
и классической теорией, выберем в качестве базиса представлен°М
собственные векторы гамильтониана:	! 15
7f|rn) = #m|rn>.	(4 эд
Тогда матрица плотности также будет диагональна, и ее можно
записать в виде
р = а 2 | tri) e~^m {m |.
m
Дело обстоит так, как если бы вероятность найти систему в со-
стоянии с энергией ёт была пропорциональна известному больц-
мановскому множителю
pm = ае^"‘ = Z~'e~'*™lkr.	(4.27)
Сравнивая это выражение с термодинамическим определением
температуры, мы можем немедленно отождествить р с i/kT, a a—
с -Z1, где Z— статистическая сумма. Некоторые определения тер-
модинамических величин можно переформулировать на квантовом
языке. Например, энтропия классической системы, распределен-
ной по отдельным состояниям с вероятностями рп, дается общей
формулой
S=-k 2 p„lnp„=-fe 2 p„lnp„= - ^Sptplnpj-
n	n
По классическим	По собственным
состояниям	состояниям
оператора р
(4.28)
Последний член в (4.28) не зависит от выбора представления
для матрицы плотности р. Таким образом, энтропия оказывается
унитарным инвариантом квантовой системы — в точном математи-
ческом смысле слова. Следует, однако, отметить, что этими аб-
страктными определениями можно пользоваться, лишь если УД°Б'
летворяется ряд условий и теорем: наличие теплового равновесия,
эквивалентность усреднения по времени и по ансамблю, случаи
ность фаз волновых функций и т. д.
При фактическом вычислении термодинамических средних ча
сто используется аналогия между формулой (4.23) и выражение
Функции Грина
117
U	оператора временной эволюции:
, .'!) д	у
(4.29)
Так, полагая
(4.30)
о___££
рассматривать обратную температуру как мнимую вре-
мы може V менНуЮ и использовать весь аппарат, кратко изло-
менную nep^ д^-ряды теории возмущений, диаграммы и т. д.
женныи з лежит в основе метода, известного под названием
Этт ^температурных функций Грина (гл. 4, § 7), который ока-
метод очень эффективным в проблеме многих тел. Возможность
33пИспользования связана с тем, что многие из выражений, со-
еГ°жащих пропагаторы и т. п„ можно без труда аналитически
пподолжить на мнимую ось. Следует, однако, признать, что этим
етодам еще не было дано «физической» интерпретации, которую
•дано было бы воспринять интуитивно; они лежат на более вы-
соком уровне математической сложности, нежели тот, который мо-
жет быть достигнут в этой книге.
§ 4. Формула Кубо
Общая матрица плотности «больцмановского вида», (4.23)
или (4.24), соответствует системе в состоянии термодинамического
равновесия. Ею удобно пользоваться для вычисления таких вели-
чин, как средняя энергия, магнитный момент или квадрат флук-
туации поля в такой системе. Однако нас интересует также и воз-
действие «внешних» сил на систему, приводящее либо к появле-
нию потоков частиц, тепла или электрического заряда, либо к
какому-то другому отклику. Вопрос о формулировке теории явлений
переноса на строгом квантовомеханическом языке связан с очень
большими трудностями и требует довольно тонких рассуждений.
Тем не менее при соответствующих условиях оказывается воз-
можным непосредственно связать его с теорией необратимых про-
цессов, развитой Онсагером. Согласно последней, отклик системы
В обобщенную термодинамическую «силу» состоит в возникнове-
ии термодинамического «потока», пропорционального этой силе.
приПРНМеР’ пеРеменное электрическое поле Е частоты ю должно
ЕггГДИТЬ к появлению электрического тока j, декартовы компо-
1 КОторого даются выражением
/и = S («) Ev.	(4.31)
V
°Этс,И2к e^Tt> (комплексный) тензор электропроводности си-
о о „л закона Ома не всегда справедливо, но для
внешних полей оно должно выполняться.
Здесь <
1ат°чно слабых
118
Глава 4
Чтобы доказать это, рассмотрим систему, и начальны!'
находящуюся в равновесии; пусть ее гамильтониан есть Н Wo''’u»r
p0 = Z ехр{-₽(/70-p7V)}.	’•
т,	(4.3
Наложим теперь возмущение, обусловленное электрическим
Д'(/) = е^Е-Х.	П°‘1-4
Xi	<4-аЗ|
Здесь X=2j6X; обозначает полный дипольный момент
I	'-истеки^
которая может представлять собой, например, газ заряжен
частиц с координатами х,.	111
Матрица плотности должна меняться со временем в соотв
ствии с уравнением движения (4.20) (в котором мы для просто!*
полагаем fi = 1):	1
ip(t) = [H0 + H'(t), р(/)].	(4 34i
Эта задача по существу не отличается от задачи о вычислении
временной зависимости гейзенберговского оператора в представ
лении взаимодействия (гл. 3, § 3). Интересуясь только членам.;
линейными по возмущению мы можем написать
Р (0 = Ро + Др (0>
(4.3С
отбрасывая всё слагаемые типа	Др]. С точностью до вели
чин первого порядка малости (мы рассматриваем приложенное
поле как величину первого порядка) уравнение движения (4.34,
принимает вид
I Др ~[Я0, Др (t)] + [H' (/), Pol.	(4.36)
Второе слагаемое в правой части (4.36) представляет собой неод-
нородную часть простого уравнения для Др (t). Элементарный рас-
чет дает теперь
Др (t) = - i J d-tn \Hr (f) Po] eiH° dt'. (4.37)
Дабы обеспечить правильное поведение Др(/) при t ->—°° 11 га‘
рантировать сходимость интеграла в (4.37), следует придать ча-
стоте со малую мнимую часть [как и в случае (3.58)]. Задача со-
стоит в вычислении среднего значения оператора компоненты
плотности тока /ц, в момент времени t. Используя соотношение
(4.5), мы получаем
(/ц(0> = Sp [(Ро + Др) /J = Sp [Др (/) /J.	(4-38)
Здесь принято во внимание, что по предположению в условия-
равновесия среднее значение плотности тока равно
Для оператора плотности тока удобно ввести
взаимодействия по отношению к невозмущенному
нулю.
представление
гамильтониа-
функции Грина
119
</F(0>e
(4.39)
оспользуемся матричным равенством 5р(Л£) = Sp(ZM) и
j злее, в отсчета времени. В результате получим
сдвинем Hd
t
- i Sp /	''-'° [Е • X, Ро] «-Пе*г dt' =
— сю
t
= -zSp J [X, р0]/ц (t-f) eiat'dt' E. (4.40)
Таким образом, комплексный тензор проводимости в оавенетвр
(4.31) должен иметь вид	равенстве
оо
<тцг(со) = с5р f [Xv, ^j^t'je-^dt'.	(4.41)
Это —явная формула. Ее, однако, можно преобразовать к более
изящной и ясной форме с помощью аналитического приема, иллю-
стрирующего интерпретацию обратной температуры как «мнимого
времени» [см. (4.30)]. Прямым дифференцированием по вспомога-
тельной переменной X можно проверить следующее тождество,
справедливое для любого оператора Л:
{екн‘ [Л, е~хн»]} = Ноехя°Ле-ХЯо — еХЯоЛе“ХЯо/7о =
= [Но, А (- lA)] = - i А (- /Л). (4.42)
Здесь символ А (г) обозначает в соответствии с определениями
(3-36) и (4.39) скорость изменения оператора А в представлении
взаимодействия, взятую в комплексный момент времени z. Проин-
ТдГР"РУем теперь по 2, от нуля до р и используем выражение
1\'чи ДЛЯ Равновесн°й матрицы плотности ро; в результате по-
₽
[Л, pj = - fPo J Л (- /Л) dK	(4.43)
о
ляе’т'с'1,'6’„опеРатоР Xv, входящий в выражение (4.41), представ-
изводн° >0Н Не Что ИНОе как компоненту дипольного момента, про-
Плотности°Т КОТОРОВ по времени дает соответствующую компоненту
Xv = 2exyv = /V.	(4.44)
/
120
Глава 4
Таким образом, коммутатор в выражении (4.41) можно
интегралом от этой компоненты тока:	заМенит1
оо	р
cr^ (со) = S р [ dt'e-lat' I p0/v (- сл) /и (/') dz.	,.
о	о
Поскольку в правой части (4.45) стоит шпур, мы можем
нуть начало отсчета времени и затем проинтегрировать СДВн
Предполагая, что входящие сюда функции комплексного пепе°
ного t = t' + iZ удовлетворяют соответствующим условиям
литичности, мы получаем	‘ dHa'
ОО р
ouv(co) = Sp j dt' J dZp(J/v(f+ a)/lx(0)e-,'“(r+we-“A' =
o d
co+iA	p
= 4SP J Po/v<O/u(O)e_,“'d/j e~fiAdZ =
— oo+iA	0
oo
= ('7Ю ^ J </v (0 /н (0)> dt. (4.46
— oo
Произведение операторов тока усредняется здесь по равновесном,
ансамблю ро-
Приведенный выше вывод типичной формулы Кубо иллюстри-
рует аналитическую мощь метода матрицы плотности, когда речь
идет о получении абстрактных формул и о доказательстве общих
теорем. Видим, таким образом, что проводимость выражается че-
рез квантовомеханические характеристики невозмущенной систе-
мы; приложение слабого электрического поля просто выявляет
временные корреляции флуктуаций плотности тока в состоянии
равновесия. Обращение времени (вместе с изменением знака всех
магнитных полей) позволяет поменять местами тензорные индек-
сы— таким путем мы получаем соотношения Онсагера, известные
из термодинамики необратимых процессов. Формулы Кубо был»
выведены для ряда величин, описывающих линейный отклик си-
стемы, — кинетических коэффициентов, обобщенных восприимчиво-
стей и т. д.	.	,
Следует, однако, отметить, что формула такого типа может
оказаться отнюдь не лучшей исходной точкой для практического
вычисления того или иного кинетического коэффициента. Когда,
например, рассеяние электронов в металле можно описать с по
мощью изотропного времени релаксации, выражение (4.46) пере
ходит в обычную квазиклассическую формулу Чэмберса, вытекаю
щую из кинетического уравнения. Однако в случае более сложньь
механизмов рассеяния нужно основательно потрудиться, что
Функции Грина
121
их влияние, раскрывая смысл невинного симво-
чВцо вь,деЛ ором они спрятаны. По прежнему существенно найти
ja ро. в коТ * в котором компоненты тока были бы почти диаго-
гпеДСтавЛеД дц'инялись бы достаточно простым уравнениям движе-
дальиы и п ^во метода матрицы плотности состоит не в простоте
-.1Я. Д°ст0.. п и решении конкретных задач, а в инвариантности
В^т’ветствующих символических формул.
§ 5.	Одночастичная функция Грина
Фактически матрица плотности представляет собой оператор
ольно общего типа в гильбертовом пространстве — например,
Л°Втучае системы N частиц нам потребовалось бы 6/У-мерное про-
панство Практически мы можем оперировать только с функ-
циями нескольких пространственных переменных — типа, напри-
мер, координат отдельной частицы. Пусть, однако, мы составили
такую функцию — одночастичную матрицу плотности
р(г, г')= [ ... V*(r, г,, г2, .. .)Ч'(г', гь г2, .. Jd^d3^ .... (4.47)
относящуюся к одной частице в большой системе. Казалось бы,
введенная величина относится к частице, отличимой от других,
тогда как на самом деле мы интересуемся средними свойствами,
связанными с любой из большого числа тождественных частиц.
Так, при измерении плотности газа мы не следим за движением
отдельной молекулы, а интересуемся лишь вероятностью того, что
любая молекула окажется в окрестности данной точки.
Вместо того чтобы вводить полностью симметризованные или
антисимметризованные волновые функции, а затем вычислять
шпур, суммируя по всем координатам частиц, мы воспользуемся
языком вторичного квантования Как уже было показано (гл. I,
s Н и гл. 2, § 3), произведение ф*(г)ф(г), рассматриваемое как
оператор поля, характеризует плотность числа частиц ф-поля
точке г в произвольном состоянии системы | ):
<|ф’(г)ф(г)1) = р(г).	(4.48)
Эт
сразу наводит на мысль о более общем выражении
р(г, г') = ф* (/) ф (г),	(4.49)
на МОЖно назвать общей матрицей плотности, действующей
ооответстЧаСТИЧНУЮ ВОЛПОВУЮ Функцию, и из которого получается
Для ВуЮ1цая одночастичная матрица плотности, вычисляемая
какого-либо состояния | ):
р(г, г') = <|ф*(г')ф(г)|).
(4.50)
122
Глава 4
Легко показать, что соотношение (4.50) действительно J
ляет функцию, которую можно использовать в стандартной^1
муле (4.5) для вычисления среднего по ансамблю от любоеИ
частичного оператора. Последний означает оператор, действ •
каждый раз только на координаты г одной частицы, безоар1011111'*
какой именно, из большого числа частиц системы.
В принципе безразлично, вычисляем ли мы выражение (д J
для чистого состояния очень большой системы или же npenrt '
гаем, что имеется ансамбль меньших систем, каждая из кото° J
содержит много частиц и описывается статистически — как сист Я
в смешанном состоянии. Последнее описание более удобно 6Ми
исследования термодинамически равновесных систем при коне₽
ной температуре. По аналогии с канонической матрицей плот*
ности (4.23) можем написать	1
р (г, г') ~ S р {е~₽«ф* (г') ф (г)},
(4.51)
где шпур следует брать по всем состояниям системы с гамильто-
нианом Н. В дальнейшем, однако, мы будем в основном иметь
дело с выражениями типа (4.50). Иначе говоря, мы либо будем
интересоваться свойствами системы только в основном состоя-
нии— при температуре, равной нулю, —либо будем предполагать,
что существует какой-то способ сопоставить состоянию системы
при конечной температуре одно из чистых возбужденных со-
стояний.
Однако, как мы видели в гл. 3, математически бывает выгодно
не ограничиваться шредингеровскими операторами поля, не зави-
сящими от времени. При вычислении одночастичной матрицы
плотности (4.50) мы могли бы работать в представлении Гейзен
берга или в представлении взаимодействия, как в гл. 3, § 2 и 3;
при этом каждый из операторов ф(г), ф*(г') изменялся бы во вре-
мени. По причинам, которые вскоре станут ясными, лучше всего
рассматривать эти операторы, относящиеся к различным простран-
ственным точкам г и г', в разные моменты времени t и t'. Соот-
ветственно мы можем рассматривать свойства функции
р (г, t- г', /) = < | ф’ (г', 0 ф (г, /) |).	(4-52)
Разумеется, отсюда можно получить и величину р(г, г') в нек°т0^
рый момент времени t — для этого надо лишь устремить i к
в конце расчета.	1
Теперь это уже выглядит как нечто очень знакомое. Вспомн1
определение пропагатора свободных частиц, введенное
рассмотрении диаграммного разложения S-матрицы (гл. 3, S
Go (х — х') s гф* (х) ф (х') = i <0 | Т {ф* (х) ф (х')} I 0)'	(4-53)
Функции Грина
123
ажении величина х обозначает все четыре простран-
в эТом вь1р ]Ные координаты, г, t, а |0) есть волновая функция
твенно-вРс1' ,гоя1]ИЯ системы невзаимодействующих частиц. Сим-
<новного с 01 представляет собой хронологический оператор
воЛ Г’пс>5)-
(	,	( ф’(г, ОФ (Л П при t>t',
Т {ф’ (г, О Ф (r'>	" t (“ 1 )Р Ф (г', И Ф* (г, 0 при t < f, (4,54)
р сть число перестановок фермионных операторов, необходи-
ГД для того чтобы расположить все операторы в причинном
п°Рвдя®’ чт0 физически пропагатор описывает уничтожение части-
в точке г' в момент времени Г и последующее рождение дру-
ЦЬ'1 частицы в точке г в более поздний момент времени t. Он мо-
™ет отвечать также рождению частицы, т. е. «уничтожению
-ырки», в точке г, если t есть более ранний момент времени, и по-
следующему уничтожению частицы—«созданию новой дырки» —
в точке г' в момент Г. Таким образом, пропагатор отвечает пере-
носу возбуждения того или иного типа вперед во времени и в
какую-либо другую точку пространства. Знаковый множитель
просто учитывает тот факт, что фермионные операторы поля всегда
подчиняются соотношениям антикоммутации и, следовательно, все-
гда приводят к изменению знака при перестановке их местами.
Обобщим теперь выражение (4.53), рассматривая среднее зна-
чение аналогичной комбинации операторов в каком-либо произ-
вольном состоянии системы, не обязательно в основном. Опреде-
лим одночастичную функцию Грина равенством1)
G (г, /; г', /') = - i (| Т {ф (г, t) ф* (г', /')} I >	(4.55)
В оставшейся части настоящей главы мы будем иметь дело именно
•' этим математическим выражением.
Для газа независимых свободных фермионов в основном со-
стоянии функция Грина совпадает с пропагатором (4.53), т. е.
G (г, t; г', Г) Go (х' - х);	(4.56)
аметим, однако, что в определении функции Грина операторы
°ля входят в обратном порядке.
егко связать введенную только что функцию Грина с матри-
цы щ1ее^Н°СТИ Согласно выражению (4.50), в момент времени t
р (г- и=< I ф*« /) ф (г, о I) = - (IТ {ф (Г, 0 ф* (/, м | > =
I____	= - IG (г, t- г', t+). (4.57)
'Ратуре3^^1,130 (4.55) определяет причинную функцию Грина В советской ли-
часто пишется с другим знаком в правой части. — Прим, ред.
124
Глава 4
Здесь t+ = t + есть момент времени, на бесконечно ма
личину более поздний, чем момент t. Таким образом, зна^10 Е’*'
частичную функцию Грина, мы получаем всю возможнуюЯ °Дн'
мацию об одночастичной матрице плотности и, следоватН<^°₽
о средних по ансамблю значениях всех одночастичных наб е1ЬИ|
мых величин.
Могло бы показаться, что для вычисления указанных св
(т. е. функции G) надо подробно исследовать вектор состс>АНИ
|) (это может быть, например, сильно возбужденное состо^*1"
газа взаимодействующих электронов). Однако, как мы уВиНИе
в дальнейшем, диаграммное разложение S-матрицы преподцЯ"*1
нам на блюдечке прямо саму функцию Грина (хотя и в виде
конечного ряда теории возмущений1) Тем самым при рассмотг,'
нии термодинамических свойств системы оказывается возможным
избежать многих неинтересных алгебраических операций. Имени
по этой причине метод функций Грина столь важен в теории мно
гих тел и в других статистических задачах квантовой механики
§ 6. Импульсно-энергетическое представление
Функция Грина, зависящая от двух пространственно-времен-
ных точек, очевидно, представляет собой довольно сложный мате-
матический объект. Практически важно ее упростить, используя
свойства симметрии физической системы. Обычно мы имеем дело
с системами, однородными в пространстве и во времени, т е.
с системами, свойства которых предполагаются одинаковыми во
всех точках пространства и во все моменты времени. Такая инва-
риантность относительно трансляций в пространстве и во времени
означает, что функция Грина зависит лишь от относительных ко-
ординат и ее можно переопределить следующим образом:
G (г',	г", t") = G (г7 - г", t' -1"-, 0, 0) = G (г' - г", f -t"). (4.58)
Фурье-образ этого выражения по пространственным и временной
координатам имеет вид
G (к, <о) = J j G (г, t) е~‘к ге^ d3r dt.	(4-59)
Вспомним теперь, что мы уже выполняли это преобразование ДДЯ
пропагатора свободных частиц, определяемого через среднее по
вакууму свободных частиц, 10). Действительно, в силу выражения
(3.113) мы имеем
Go (х - х) = j j fi_ff0(k)-H6 d3k dQ‘
Здесь 6 есть малая положительная величина, коль скоро речь идет
о фермионном состоянии с положительной энергией ^о(к)> отс
Функции Грина
125
„ поверхности Ферми. Таким образом, импульсно-энер-
тЫваем Представление функции Грина для независимых сво-
1еТ,,ЧихКчастпц имеет вид
6оДнЬ1Х	q \ =____________1_____	(4 61)
? о результат весьма характерен; функция Грина, рассматри-
Этот '/функция энергетической переменной оз, имеет полюс
ваемая как чо
в точке
(о = ^о (k)- it).	(4.62)
’меется, в данном случае известно, что это есть не что иное,
Ра3^энергия реального возбужденного состояния системы с импуль-
КЭК к По аналогии предположим, что истинная функция Грина
белее сложной системы сильно взаимодействующих частиц в им-
пульсно-энергетическом представлении имеет вид
G (к, со) = ш_е(к) + й •
(4.63)
Отсюда следует, что система выглядит как газ «квазичастиц»,
энергия которых связана с импульсом соотношением
#(k) = e(k).	(4.64)
Таким образом, приведение функции Грина к виду (4.63) с яв-
ным выражением для е(к) означало бы уже существенный шаг
вперед в исследовании свойств системы.
Коль скоро величина б достаточно мала [что, конечно, предпо-
лагается в выражении (4.61)], формулу (4.63) можно переписать
в виде
G (к, со) = Ф | ю _ 'е (к) | - шб {со — е (к)}.	(4.65)
Смысл этой формулы становится ясным, если вспомнить, что
в приложениях функция Грина всегда входит под знаком интегра-
•?а В бесконе"нь1х пределах, будучи умножена там на некоторую
Функцию f(a). При этом получается обычный интеграл в смысле
’лавного значения, взятый вдоль вещественной оси (что обозна-
чается символом ^), а также вклад от мнимой части. Последний
пРелеле ПРИ оказывается равным величине in, умноженной
значение функции f(co) в полюсе. Следовательно, мнимая часть
в виКЦИИ ГРина эквивалентна дельта-функции; это можно записать
Im G(k, со) = — лЛ (к, со).	(4.66)
сом	есть «плотность состояний с энергией оз и импуль-
Из спект актически эта формула носит общий характер, вытекая
’’сходны Рального представления Лемана. Она служит удобным
пунктом для некоторых формальных теорий, но требует
126
Глава 4
более подробного рассмотрения в случае возбуждений «тип
ки». Так, например, обстоит дело в теории вырожденного 1 ДЫР
газа. В сущности, здесь нет ничего особенно таинственного!!^11’
есть просто фурье-образ корреляционной функции, получаюГ"»1
из соотношений (4.57) и (4.58):	^й.п
p(r, (; 0, 0) = - t'G(r, t).	(4^
Когда величины г и t стремятся к нулю, левая часть (4.67)
ходит в среднюю плотность частиц (4.7).	еРе'
Что означает случай, когда мнимая часть знаменателя в
женин (4.63) не есть бесконечно малая величина? Пусть наг/а ’
мер, расчет приводит к формуле	’	Р11'
G = со-е(к/+гТ (к) ’
(4.68)
где Г (к) есть хорошо определенная положительная физическая
величина размерности энергии (т. е. обратного времени) ‘). Тогда
импульсно-временное представление функции Грина дается обрат
ным преобразованием Фурье:
оо
G <k’i J G <k’ °) e~lat i J <i> — e (k) + ;T (k) e~la< dw- (4-69)
— co
При t < 0 вычислить этот интеграл можно, замыкая контур
в верхней полуплоскости. Поскольку при этом внутри контура не
оказывается полюсов, интеграл обращается в нуль. Это есть про-
сто отражение того, что мы имеем дело с «причинной», или «за-
паздывающей» функцией Грина2) (гл. 4, § 10). С другой стороны,
при t > 0 контур нужно замкнуть в нижней полуплоскости, и вы-
чет в полюсе дает вклад
G(k, 0 = М(к)е-ге<к)'е-г(к>'.	(4.70)
Таким образом, конечность величины Г в выражении (4.68) со-
ответствует конечности времени жизни возбуждения, затухающего
со скоростью Г (к). Как хорошо известно, это приводит также к ко
нечности «энергетической ширины» данного состояния: в силу
(4.70) при любом переходе уже не будет строгих правил отбора
для энергии. Можно сказать, что рассматриваемому состоянию от
вечает «комплексная энергия» е(к)—(Г(к). Разумеется, в случае
когда мнимая часть слишком велика, интерпретация спектра воз-
бужденных состояний с помощью квазичастиц встречается с из-
вестными трудностями: попытка построить отдельные волновые
’) Как можно доказать, функция Г(к) непременно должна зависеть и от ы.
в случае причинной функции Грина для системы ферми-частиц величия
Г (к, со) меняет знак при о = 0. Автор рассматривает здесь в сущности зап® I
дывающую функцию Грина, совпадающую с причинной (при нулевой темпер
туре) лишь при ш > 0. — Прим. ред.
2) См. предыдущее примечание. — Прим. ред.
Функции Грина
127
быстро затухающих компонент типа (4.70) может ока-
па*етЫ "до плодотворной.
зться м аиаЛитических свойств функции Грина хорошо разра-
Теория сана в0 МНогих работах. Например, из условия при-
стана и вЬ1текают дисперсионные соотношения, связывающие
ч«ин°с^нн ю и Мнимую части функций Грина. Выше мы ограни-
вешест ля пр0СТ0ТЫ только фермионными состояниями с положи-
'П1Л1,сь»ДэнерГИей; совершенно аналогично, однако, строится и со-
те 1ЬНств\ющая теория для «дырок». Подобным же образом легко
ответ и теорию функций Грина для бозонов. Неприятность,
ра3д'ко состоит в том, что отдельные мелкие детали терминоло-
°дВ н определений этих функций (например, положение полюсов
лля положительных и отрицательных энергий) не вполне стандар-
тизованы, и соответственно надо следить за точным видом опре-
делений, принимаемых каждым из авторов.
* Хотя' использование импульсного представления полностью
оправдано только для однородных систем, таких, как газ или жид-
кость, аналогичные теоремы можно установить и для других слу-
чаев; надо лишь должным образом выбрать систему базисных
функций для представления функции Грина G Так, в идеальной
кристаллической решетке естественно обратиться к функциям
Блоха или к функциям Ваннье, а в атоме или ядре — к сфериче-
ским гармоникам. В каждом из этих случаев сохраняется интер-
претация энергетических знаменателей в выражениях типа (4.68)—
эти знаменатели свидетельствуют о наличии квазистационарных
состояний.
§ 7.	Вычисление функций Грина
Особое достоинство функций Грина состоит в том, что их легко
получить с помощью ряда теории возмущений для S-матрицы.
Пусть, например, система находится в «возмущенном» состоянии
|ЧГ>, для которого мы хотим вычислить одночастичную матрицу
плотности. Пусть, далее, это состояние получено из невозмущен-
н го основного состояния | То) с помощью S-матрицы, как в гл. 3,
|T) = S|T0).	(4.71)
Пользуясь определением функции Грина (4.55), унитарностью
трицы и некоторыми особыми свойствами основного состоя-
ния, мы получаем
G<r> t-, г',	=
= - i (То I S*T {ф (x) ф* (V)} S I To) =
= - I	| S’ | To> <T0 | T {ф (x) ф* (x')} S | To) =
= __ ; WW) Ф’ (x'HSIVo)	(Л 79У
(T0|S|T0)	‘	k ’
12^
Глава 4
Однако, как показано в гл. 3, § 9, мы можем привести S-
цу, исключая все несвязные диаграммы и определяя вект^'3^11’
стояния «физического вакуума» равенством (3.126), °Р с°-
I ^начальн^ = ^вакуум I До).	-
В результате для функции Грина получается
G (Г,	Г , t ) = I (Дначальн I Т {ф (%) ф (х^)} S | До), 0
причем здесь следует учитывать только связные диаграммы
Комбинация операторов поля Г{ф(*)Ф*(*')), конечно, эквив I
лентна пропагатору свободных частиц Go. Действие ^-матрицы
сводится к введению в эту линию всевозможных связных частей
6= —+	' <4J5)
Но это есть в точности то же разложение по связным диаграммам
с приводимыми и неприводимыми собственно-энергетическими
частями и т. д., которое было использовано в гл. 3, § 10 при до-
казательстве теоремы Дайсона [см. (3.128)]. Таким образом, в
силу (3.128) мы имеем
G=G0+G0SG.	(4.76)
Другими словами, наша одночастичная функция Грина оказы-
вается в точности совпадающей с модифицированным пропагато-
ром (3.130) в импульсно-энергетическом представлении1):
G(к, <о) = ——„ ... * —тг•	(4.77)
' ’ ' со —	(к) — 2 (к, со) + Z6	'	'
Мы уже интерпретировали этот результат, рассматривая сла-
гаемое 2 (к, со) как поправку к энергии частицы. Формула (4.70)
показывает, как надо интерпретировать мнимую часть величи-
ны 2,— это есть обратное время жизни или энергетическая ширина
данного состояния. Разумеется, то, что мы получили, есть не более
чем формальное выражение; чтобы фактически вычислить вели-
чину 2, надо явно просуммировать вклады от всех неприводимых
диаграмм.
Тем не менее результат (4.77) служит ключом к повсеместному
использованию формализма функций Грина в теории систем мно-
гих частиц. Модифицированный пропагатор, который в диаграмм-
ном методе, казалось, выступал как вспомогательная функция,
оказывается связанным с одночастичной матрицей плотности и,
следовательно, содержит всю возможную информацию об одно'
частичных свойствах системы. В отыскании его и должна заклю-
чаться цель расчета независимо от того, используем ли мы при
этом ряд теории возмущений или нет.
) См. примечание на стр. 126. — Прим. ред.
Функции Грина
12Э
Все предыдущее относилось к системе, пребывающей в основ-
. состоянии; различие между функциями G и Go было связано
ТР1ЬКО со взаимодействиями при нулевой температуре. Однако
как уже отмечалось, в состоянии термодинамического равновесия
при температуре, отличной от нуля, Т =#= о, матрицу плотности
можно получить с помощью оператора временной эволюции (4 29)
, мнимой временной переменной, /=/т; ПрН этом последняя изме-
няется в пределах от 0 до i/kT. Это соответствовало бы введению
в теорию температурной функции Грина типа
G(r, т; г',	т)ф*(г', т)}|>,
(4.78)
ГДе
(г, Т) = е(н-ц.¥)г1|,(г)е-(н-нмт	(4 79)
( т д 1) Вспоминая рассуждения § 3 и 4, читатель может, пожа-
лей согласиться, что это составляет формальную основу для по-
строения теории, позволяющей найти каноническую матрицу плот-
ности (4.24).
Главное здесь состоит в том, что этот несколько формальный
рецепт позволяет ввести в действие весь аппарат диаграммной
техники почти точно так же, как и в случае Т = 0. Так же, как
в гл. 3, § 7—10, можно записать температурную функцию Грина
в виде ряда, члены которого соответствуют топологически различ-
ным диаграммам. Различие состоит в том, что соответствующие
"пропагаторы» теперь уже нельзя представить в столь простом
аналитическом виде, и расчеты намного усложняются. При этом
вновь разнообразие определений, используемых различными авто-
рами, составляет главную причину путаницы, от которой страдают
начинающие.
§ 8. Двухчастичные функции Грина
Мы пришли к функциям Грина, изучая ыатРг‘цУ .ПЛОГ'10СГ“j
зумеется, одночастичная матрица плотности (4^ ) ®
лишь на простейшие вопросы относительно квантово	ют
наблюдаемых, усредненных по ансамблю. Пусть на P У
свойства, связанные одновременно с двумя частицами, таки®’
пример, как средняя энергия их взаимодействия. огда i _
вычислять уже двухчастичную матрицу плотности
р(г» г2; г;, Г0= J ... J v*(rP г2, г3,..., г„) х
х 'г (Г;, г', г3.....  • d3*> (4-80)
*) Функции Грина при конечной температуре можно ввести и без использо-
ния мнимой временной переменной: —Прим. ред.
5 Зак. 899
130
Глава 4
Это есть выражение типа (4.3) — с той лишь разницей чт 1
страктная координата х теперь представляет собой совокуТ° аб
шести компонент векторов г, и г2, отвечающих координатал0'Ть
различных частиц.	'	'11 Дв}<
В случае неразличимых частиц естественно воспользов 1
языком вторичного квантования. Соответственно можем п<.„атьсч
[ср. (4.50)]	Написан
Р(гр г2; г(, г') = (|ф*(г[)ф*(г')ф(г2)ф(г,)|).	(481)
Далее, по аналогии с выражением (4.52) можно ввести времени *
координаты и определить двухчастичную функцию Грина:	'Ые
Д (1234) s ( | Г {ф (гь Л)ф(г2,	*з)Ф*(г4, /4)}1). (4.82)
Здесь произведение операторов нужно упорядочить во времени
Это — естественное обобщение выражения (4.55). Заметим, цго
двухчастичная функция Грина содержит четыре набора индексов
соответствующих распространению каждой частицы между двумя
различными пространственно-временными точками; разумеется
в однородной среде существенными оказываются в конечном счете
только относительные координаты.
В некоторых частных случаях выражение (4.82) допускает
очень простую интерпретацию. Пусть, например, г3 = rt и г4 = г,,
а все моменты времени очень близки друг к другу (и должным
образом упорядочены). Тогда
К(1212)->р(гь г2; гь г2) =
= J • • • J I (Гь Г2, Гз, ..., rn) |2 d3r3 ... d-Ч = р (Гь Г2). (4.83)
Это есть не что иное, как вероятность найти две частицы в точках
г4 и г2 при любых положениях остальных частиц. В классической
статистической физике жидкостей и газов величину такого типа
называют статической радиальной функцией распределения.
Для однородной системы можно положить г = Г1 — г2 и сохра-
нить лишь относительную временную координату. Тогда корреля-
ционная функция
5(г, 0 = К(г, Г, 0, 0; 0, 6; г, /4-6)	(4-84)
дает вероятность того, что в момент времени t частица находится
в точке г, если в начальный момент времени она находилась в на-
чале координат. Это важнейшая наблюдаемая характеристика си-
стемы, ибо она описывает рассеяние нейтронов и рентгеновских
лучей газами, жидкостями и твердыми телами. Фурье-образ ее
можно записать в виде
S(q, 0 = <|p_q(0Pq(0)|>,	<4'85)
Функции Грина
131
___ фурЬе-образ плотности числа частиц, отвечающий волно-
rie ору Ч- Таким образом, двухчастичная функция Грина
Риму веЕТп^Ную информацию об изменении во времени флуктуа-
дает наг^,ности и об их корреляции. Перейдем теперь к энергети-
ций пл ДС1авленИ10. Тогда, как и в случае одночастичной
ЧССК°пии Грина, можно убедиться, что полюсы функции S(q, и)
HRетствукгг энергиям возбужденных состояний системы. В дан-
Ct°TB тучае речь идет о возбуждениях типа незатухающих флук-
ЦОМ случае р  	„„ । ттгуи моп izaiz ппоомоыпыо iznnofr^uucT
ПОМ CJlV4de речи	j	j	j
ацнй плотности, таких, например, как плазменные колебания
(гл. 5, § 8).	„
' Чтобы перевести представление о двухчастичной функции
Гпина на язык диаграмм и пропагаторов, рассмотрим сначала
случай невзаимодействующих частиц в основном состоянии. Слег-
ка преобразовав выражение (4.82) (с учетом правил отбора и
упорядочения во времени), можем привести его к сумме произве-
дений одночастичных пропагаторов:
Ко (1234) = <0 IТ {ф (%,) ф* (х3)} 10> <0 | Г {ф (х2) ф‘ (х4)} 10) +
+ <0 i Т {ф (х,) ф* (х4)} 10) <0 | Т {ф (х2) ф’ (х3)} 10) =
= Go (13) Go (24) - Go (14) G(J (23). (4.86)
Здесь мы использовали очевидные сокращенные обозначения.
Правая часть (4.86) представляет собой не что иное, как пер-
вые два члена диаграммного ряда, который мы получили бы, пы-
таясь вычислить функцию (4.82) по рецепту типа (4.74). Так, мы
имеем
«(/234) =
(4.87)
Другими словами, двухчастичная функция Грина содержит все
виды взаимодействия между парами частиц. Символически ее
можно изобразить в виде обобщенной вершины
к (№34)=
(4.88)
кв-1?МЯ вх°™мв и двумя выходящими перенормированными
проц частиадми- Сказанная вершина включает все промежуточные
ссы> описываемые связными диаграммами.
5*
132
Глава 4
Ориентируясь на выражение (4.86), можно думать, что
пульсном представлении двухчастичная функция Грина j
иметь вид	УДет
К (1234) = G (13) G (24)- G(14) G(23) +
+ G (1) G (2) G (3) G (4) Г (1234) б (k, + k2 - k3 - k4) 6 (w, + <o2 -	„ x
(4.89)
где, конечно, нужно использовать модифицированные пропагятпп
[см. (4.77)]:	Оры
G(13)= G(k] — k3, (Oj -<о3).	(4 90j
Функция Г(1234) при этом играет роль эффективного потенцияпа
рассеяния с переходами между квазичастичными состояниями-
в сущности это есть перенормированный вариант выражения
(2.43). Сингулярности Г проявляются как сингулярности функ-
ции К и, следовательно, отвечают энергиям возбужденных состоя-
ний системы. Соответствующие возбуждения появляются в допол-
нение к возбужденным состояниям, связанным с полюсами функ-
ции G. К числу их относятся, например, «экситоны», или
«связанные пары электрон — дырка», а также коллективные коле-
бания, определяемые полюсами корреляционной функции.
В общем случае фактически вычисление таких членов взаимо-
действия весьма затруднительно. Однако, как и в гл. 3, § 10, ана-
лог уравнения Дайсона можно получить с помощью топологиче-
ских рассуждений. Пусть функция 7(1234) отвечает сумме всех
неприводимых диаграмм взаимодействия, входящих в Д(1234).
Тогда ряд (4.87) можно перегруппировать, заменив все слагаемые,
Кроме первых двух, выражением, содержащим саму функцию К:
(4.91)
Функции Г puna
133
9то соответствует интегральному уравнению вида
/((1234)= G (13) G (24)— G (14) G (23) + | 2 G(l) G (2) /(1256) К (5634)
(4.92)
(множитель */г возникает из-за эквивалентности двух внутренних
Тинни, соединяющих блоки Ли/).
Это весьма изящное соотношение называется уравнением
Бете — Солпитера. Оно дает некоторую информацию об эффектив-
ной функции взаимодейс1вия Г, выражая ее через неприводимые
вершинные диаграммы. К сожалению, это уравнение, рассматри-
ваемое как исходный пункт для приближенных вычислений, не
обладает простотой уравнения Дайсона. Соответственно общая
математическая теория двухчастичной функции Грина гораздо
сложнее, чем теория одночастичного пропагатора.
§ 9.	Цепочка функций Грина
Рассмотрим систему взаимодействующих частиц, гамильтониан
которой может, например, иметь вид (2.42), т. е.
Д = Дневз+/J ф*(гШг')Гвз(г,	• dV. (4.93)
Здесь Дновэ — гамильтониан невзаимодействующих частиц, вклю-
чающий, возможно, и потенциальную энергию их в произвольных
внешних полях. Тогда в представлении Гейзенберга оператор поля
Ф(г, О удовлетворяет уравнению движения, аналогичному уравне-
нию Шредингера со временем:
77т(г> z) + ^HeB3(r> 0Ф(г, 0 =
= -J ^вз(г, г")ф*(г", Оф (Г", 0<13г"Ф(г> о. (4.94)
Вычислим теперь производную от одночастичной функции Грина
по времени, учитывая наличие разрыва, связанного с необходи-
мостью упорядочения во времени. Пользуясь определением (4.55),
получаем
6 до ,
I "дГ(г> о г', /') =
Ч~ 6Г(- 0{ф(г, /)ф’(г', Ие(/-г)-ф*(г', Иф(г, /)е(Г-oil).
з	,	(О5)
п^сь	Z0 — ступенчатая функция, производная от которой
Равна дельта-функции:
-А е (/_/') = б (/-f).	(4.96)
134
Глава 4
Выполняя дифференцирование в формуле (4.95), получим
производных от самих операторов поля по времени, добавок-
член	’ ' ‘ ЧНь,й
— Й{ф(г, Оф*(г',	— f) + ф*(г', Нф(г. — /)} =
= -йб(г-г')6((-/'). (4.97)
Наличие этой сингулярности, возникающей из-за «неантикоммут
гивности» операторов поля в одной и той же пространственно-вп
меннбй точке (г, t), есть характерная и очень важная черта функ-
ций Грина.
Производные от операторов ф(г,/) и т. д. по времени, возни-
кающие при дифференцировании функции Грина, можно вычислить
с помощью уравнения (4.94).В результате получаем
{т4 + ^невз(г, о}с(г, г', n=	+
+ i J Гвз(г, г") К (г", t; г, t- г", /; г', f)dV'. (4.98)
В члене взаимодействия здесь фигурирует двухчастичная функция
Грина (4.82).
Можно без труда показать, что те же рассуждения в приме-
нении к двухчастичной функции Грина приводят к интегро-диффе-
ренциальному уравнению, содержащему трехчастичную функцию
Грина, и т. д. Таким образом, функции Грина различных поряд-
ков оказываются связанными цепочкой уравнений того же типа,
что и цепочка уравнений, связывающих функции распределения
различных порядков в статистической теории жидкостей и газов.
Эти уравнения можно использовать для приближенного вычисле-
ния функций Грина, если сделать какие-то предположения о свой-
ствах функций высшего порядка. Так, функцию К в уравнении
(4.98) можно заменить каким-либо приближенным выражением,
полученным из формулы (4.89), и таким образом получить более
точное выражение для функции G. Преимущество таких методов
состоит в том, что, подобно ряду Бриллюэна — Вигнера, они носят
«самосогласованный» характер. Соответственно получающиеся вы-
ражения могут в компактной аналитической форме содержать
результаты, которые при ином подходе потребовали бы суммиро-
вания целых классов диаграмм ряда теории возмущении.
§ 10. Функции Грина, не зависящие от времени
Понятие функций Грина столь широко используется в матемэ
тической физике, что нелегко было решить, с чего начать их рас
смотрение. Мы начали изложение с утонченного случая двухвре-
ценных функций Грина. Это могло бы показаться неестественным,
Функции Грина
135
ведь и гораздо более простые задачи. Например, можно
ибо есть явно построить диаграммное разложение S-матрицы, не
было бь статисТической интерпретации пропагатора. Мы, одна-
до*ида ПОдЧеркнуть, что использование функций Грина мате:
ь°> Т^и существенно именно в задачах статистического харак-
”‘|ТИЧ(напрпмер, в теории многих тел). По мнению автора книги,
геРа с матрицей плотности представляет собой самое глубокое
СВЙажное для приложений свойство функций Грина.
Г ВТе'м не менее сама идея пропагатора возникает уже в гораздо
пес простом случае при рассмотрении одночастичного уравне-
ия Шредингера. Рассмотрим задачу о свободной частице в пустом
пространстве. Тогда обычная волновая функция удовлетворяет
стандартному уравнению Шредингера со временем:
уравнению Шредингера со временем:
{44+яо(г)}^(г’ /)=0-	<4-">
есть, например, оператор кинетической энергии,
Здесь Яо(г)
(—fi2/2m)V2.
Функция Грина для этой системы есть не что иное, как пропа-
гатор свободной частицы типа (4.53). Поскольку взаимодействия
отсутствуют, уравнение движения (4.98) упрощается:
{44 + Д0(г)}^(г, г'> О=-^(Г“И6(^-П. (4.100)
Пусть теперь частица испытывает действие какого-либо дополни-
тельного поля с потенциалом Т(т, t). Это может быть, например,
силовое поле рассеивающего центра. Тогда уравнение Шредингера
примет вид
{44+^(г)}ф(г, 0=-^(П Ш О- (4.Ю1)
Будем рассматривать уравнение (4.101) как неоднородное. Тогда
непосредственной подстановкой [с помощью уравнений (4.99) и
(4.100)] легко проверить, что формальное решение (4.101) имеет
вид
’ЛП 0 = ф0(г, t) + ~ Jj С°(г, /; г', t')T(r',	t')d3r' df.
(4.102)
Другими словами, дифференциальное уравнение Шредингера пре-
Фу₽нк'уеГСр В интегральное уравнение, ядром которого является
ные^10^Ь1 конкРетазировать это уравнение, надо наложить гранич-
ванияСЛ°ВИЯ’ частности, хорошо было бы избежать интегриро-
ложеи П° «БУДУЩИМ» моментам времени. Действительно, предпо-
оказыв'6 ° Т°М’ что значения функции ф(г', /') при /' > t могут
Ть влияние на ее значение «сейчас», в момент времени t,
136
Глава 4
вряд ли имеет физический смысл. Другими словами, мы
чаем «опережающие» волны, выбирая в качестве решения ,ИСк'11°-
ния (4.100) причинную функцию Грина, для которой i) уРавне-
и 1Г, I Г , I I = О.	ц
7	(4.103)
Этому условию легко удовлетворить с помощью приема, цсп
зованного в гл. 3, § 8. Именно, перейдем к энергетическому ппЛь'
ставдению, выполняя преобразование Фурье	,ед'
G+(r, t- г', /') = / G+(r, г';	(4Л04)
—оо
При t <t' контур интегрирования можно замкнуть в верхней по-
луплоскости; если функция G4 (г, г'; с?) не имеет полюсов на ве-
щественной оси переменной <S (или над ней), то нет и вычетов и
условие (4.103) удовлетворяется. Фактически нас интересуют толь-
ко полюсы, отвечающие собственным значениям уравнения Шре-
дингера без времени, они всегда лежат на вещественной оси. Вы-
читая из каждого из них малую величину [как и в случае (4.62)],
можно добиться того, чтобы всегда получалось «запаздывающее»
решение уравнения (4.100). Разумеется, мы здесь намеренно из-
бегаем усложнений, связанных с «дырочными» состояниями.
Подставим выражение (4.104) в уравнение движения (4.100);
последнее удовлетворяется для всех I и Г, если
(Яо -&)G+ (г, г'; #) = - б (г - г').	(4.105)
Поскольку Но есть дифференциальный оператор в обычном про-
странстве, равенство (4.105) представляет собой неоднородное
дифференциальное уравнение в частных производных с сингуляр-
ным источником в точке г'. Здесь мы подходим к первоначальной
идее Грина. Рассмотрим, например, уравнение Пуассона для элек-
тростатического потенциала Ф(г) в некоторой области, плотность
заряда в которой равна р(г):
?2Ф(г) = 4лр(г).	(4.Ю6)
Хорошо известно, что решение этого уравнения имеет вид
Ф(г)= / |rLy p(r')d3r'.	(4.107)
Другими словами, функция
G(r, г,) = ^—г-Цл-,	(4-108)
4 ’	' 4л | г — г | ’
*) В советской литературе функция Грина, удовлетворяющая граничному
условию (4.103), называется запаздывающей (см. примечание на стр. 14о;.
Прим. ред.
Функции Грина
137
отворяющая дифференциальному уравнению
V2G(r, г') = 6 (r-r'),	(4.Ю9)
чяет собой ядро, с помощью которого дифференциальное
представ- jpg) преобразуется в интегральное. Этот метод си-
•РаВатически использовался Грином при решении различных за-
пяТкории потенциала.
Да В классической теории волнового уравнения приходится вво-
Ь несколько более сложные функции Грина. Так, для вычисле-
нияЬполя при заданной частоте v требуется функция, удовлетво-
ряющая уравнению
г) G+(r, г'; ю) = 6 (г — г');
(4.110)
при этом полюсы в плоскости располагаются так, что остаются
тсиько «запаздывающие» волны. Фактически это то же уравнение,
что и для свободного электрона, (4.105). Последнее обычно запи-
сывают в виде
(--^-V2-gjG+(r, г'; #)=-6(г-г').	(4.111)
Важно заметить, что этот простой пропагатор отвечает определен-
ной энергии. Действительно, уравнение, аналогичное (4.102), имеет
вид
ф (г) = Фо (г) + J G+ (г, г'; 8) Т (г') ф (г') d3r'.	(4.112)
Оно удовлетворяется лишь решением уравнения Шредингера без
времени
(До + 7°-Д)ф = 0,	(4.113)
отвечающим данному собственному значению энергии <S.
§ 11. Матричное представление функции Грина
Обращаясь к общему случаю, рассмотрим оператор До, кото-
рый не обязательно совпадает с гамильтонианом свободной ча-
СТдЦЫ в пУст°м пространстве. Его собственные значения и соб-
енные функции определяются уравнением
Яофт(г) = ^тфт(г).	(4.114)
Эти Функции в качестве базисных, можем представить
чункцию Грина в виде
Go(r, г'; «) = 26Л(г)ф;(И.	(4.П5)
т, ч
138
Глава 4
Подставляя выражение (4.115) в уравнение (4.105), noqy4 Я
G„(r, г';	(4“^
p ____ ^rnn
mn s _
Решение последнего уравнения легко найти:
(4.117)
Таким образом, па языке проекционных операторов
г. /	<е\ V 4>m (О 4>*п (г') V, \	1	, ,
G0(r, г,#)	ZjI	I- (4.118)
m	m
(4.119)
(4.120)
Это — основное соотношение, из которого можно вывести по-
чти все свойства функции Грина. Во-первых, из него видно что
матрица Go(<^’) диагональна в том представлении, в котором диа-
гоналей гамильтониан, и собственные значения ее равны просто
обратным собственным значениям оператора <$— Но. Таким обра-
зом, вполне допустимо записать уравнение (4.105) в виде
(&-Н0) G0(#)=l.
Решение его имеет вид
С^) = 1гЬд-
В этом смысле функция Грина представляет собой оператор в
гильбертовом пространстве собственных функций гамильтониана.
Заметим также, что величина Go(^’), рассматриваемая как
функция переменной S, имеет полюсы при энергиях, равных энер-
гиям связанных состояний системы с гамильтонианом так же,
как и в случае более общих пропагаторов, рассматривавшихся
в гл. 4, § 6. Для того чтобы получить соответствующее решение
уравнения Шредингера со временем [или, что то же самое, до-
определить значения величин, не определенных полностью в силу
бесконечного промежутка интегрирования по времени в формуле
(4.104)], надо вычесть из каждой величины Sm малое мнимое чис-
ло. При этом получается операторная причинная функция Грина )
G.t (tf) =---!___ (4.121)
Пусть в самом общем случае мы ищем собственные значения
произвольной матрицы или оператора Н. Это приводит к решению
уравнения
(Я-г)|> = 0.	(4.122)
’) См. примечание на стр. 126. — Прим. ред.
Функции Грина
139
пчопя надо найти корни секулярного уравнения
11начеГ° ь ’
||(Я —z)|| = 0,
(4.123)
елитель рассматривается как функция переменной z. Но
где °Ппитель обратной матрицы равен обратной величине опре-
' ПреДе'пя исходной матрицы. Следовательно, задача сводится к
’нысканию особенностей определителя матрицы
(4.124)
Таким образом, собственные значения оператора Н можно найти,
определив полюсы резольвенты (4.124), рассматриваемой как
функция комплексной переменной г. Поскольку резольвента есть
тишь другое название для функции Грина, этот метод по существу
не отличается от рассмотренных выше. Изложенные соображения
не зависят от того, является ли исходный гамильтониан диффе-
ренциальным оператором в обычном непрерывном пространстве
или нет. Символ Н в уравнении (4.122) может обозначать любой
эрмитов оператор, конечно- или бесконечномерный. Возвратимся,
например, к классической задаче о нормальных колебаниях кри-
сталлической решетки (гл. 1, § 4). Для того чтобы найти смещение
щ в l-м узле при наличии межатомных сил, характеризуемых ко-
эффициентами F//'! надо решить уравнения движения
Alzii/= - SF/r-ur,	(4.125)
V
или, для колебания с заданной частотой v,
2 {F„' -	• Ur = 0.	(4.126)
V
Этой системе алгебраических уравнений соответствует резоль-
вента
R (v2) = [Fzr - МЛ'Г1.	(4.127)
Распределение полюсов ее определяет частотный спектр. Для
идеальной решетки естественно перейти к обратному пространству
с помощью преобразования Фурье, но наши рассуждения не огра-
^чены только такими случаями. Изучение резольвенты /?(v2) ле-
лебз-В Основе метода функций Грина в применении к расчету но-
вых ^льнь,х свойств неидеальных, примесных или разупорядочен-
связь ристаллов- Развлечения ради читатель может установить
контимЫеЖДУ выражениями (4.127) и (4.110) в длинноволновом
уальном пределе (см. гл. 1, § 5).
140
Г шва 4
§ 12. Координатное представление функции Грина
не зависящей от времени
В качестве примера применения фундаментального соотн
ния (4.118) вычислим функцию Грина для свободной част?Ше
При этом собственные значения энергии суть ё (к) = (в с 1'Ь1-
ветствующих единицах), а соответствующие им собственные фу°Т'
ции имеют вид	VJhk-
|к, г) = е‘к,г.	(4.128)
На языке проекционных операторов можем написать
G+(r, г'; ^) = £|к, г) Д)+7б (к, г'| =
к
= вМ е'“’Гe”ik r'd3k. (4.129)
где v? = ё.
Очевидно, рассматриваемая система однородна, так что функ-
ция Грина зависит только от разности координат R = r — г'. Про-
изводя различные интегрирования и замену переменных и вводя
новую бесконечно малую величину д' = д/2и, определяющую поло-
жение полюсов, мы получаем
2 л	Я	оо	.,	„
,	1 г г	г	cos 6
° (R; «•) = J J Sin е м J ** dk	=
0	0	о
_ 1 Г° 1	е^-е-1^ , 2 ,, _
4л2 J ikR n2-k2 + it> k dk~
о
-ни И (т-ц1 ли- + t+(Л w) 1«. (4.130)
— оо
При замыкании контура решающую роль играет знак величины
б'. Поскольку величина R — положительно определенная, мы замы-
каем контур полуокружностью, лежащей в верхней полуплоскости,
где располагается только первый полюс. В результате получаем
G+(R;#) = --±-^-.	(4.13D
Как и можно было ожидать, это соответствует расходящейся сфе-
рической волне. Очевидно, что, если бы величина д' была отрица-
тельной, мы получили бы «опережающий» пропагатор
G~(R;	(4-132)
Функции Грина
141
ющий сферической волне, «сходящейся» к точке R = 0.
соответ т ^торОНЫ1 есЛИ полюс поместить точно на вещественную
С ДРмь1°получнли бы решение, отвечающее «стоячей волне»:
G"(R;^) = -MG+(R;mG-(R;	(4.133)
Э ог пример очень ясно иллюстрирует аналитическую связь ме-
 правилом временного упорядочения операторов, входящих в
‘ цию Грина, и положением полюсов в плоскости комплексной
^Vnriin Поучительно также убедиться в том, что выражение (4.129),
приводящее к формулам (4.131), (4.132) и (4.133), действительно
тает решение неоднородного волнового уравнения (4.110) Разу-
меется, к последнему сводится и уравнение Шредингера для сво-
бодной частицы, если положить в нем х = v/c.
и не обяза-
(4.134)
§ 13. Борновский ряд
Стандартная задача квантовой механики одной частицы состоит
в вычислении влияния локального потенциала Т(г) на поведение
свободной частицы. Известно, как решать эту задачу с помощью
уравнения Шредингера с различными граничными условиями. Ме-
тод функций Грина дает альтернативную процедуру, которая зача-
стую может оказаться более эффективной, хотя она и не обяза-
тельно имеет более глубокий физический смысл.
Например, резольвента рассматриваемой системы,
падает с функцией Грина:
G (^) ~	~ —77—W •
Если потенциал Т в некотором смысле «мал», то последнее выра-
жение можно представить в виде бесконечного ряда:
G (<^) =-!___ ।	।	1
где Go-- соответствующий пропагатор свободной частицы. Тогда
Кловие сингулярности записанной здесь функции энергии <£ ока-
пается не чем иным, как рядом теории возмущений в форме
^риллюэпа — Вигнера (3.20). Последний, как мы знаем, опредс-
Н ^РГИЮ стайионаРного состояния системы с гамильтонианом
ча°ел" ’Д,алее’ тождественно переписав предыдущий ряд, мы полу-
(4.124), сов-
= Go+GorGo+ .... (4.135)
G==G0+G0FG.	(4.136)
Это
Иипе°кТЬ В СУЩ1?ОС™ интегральное уравнение, из которого в прин-
Уравне10ЖН°пНВВТИ ФУНКЦИЮ Грина G. Фактически это есть просто
НИе Дайсона для рассматриваемой сейчас очень простой
142
Глава 4
системы. Например, графическое представление ряда теории
мущений (4.135) будет иметь вид
вс-).
Штриховая линия здесь соответствует потенциалу возмущения л
Поскольку У есть «внешний» потенциал, модификация котопо
явно не рассматривается, эта линия не входит в другую верщп °
и потому не соединяет различные части диаграммы. Следоватезь^
но, все члены ряда (4 137) приводимы, так что роль функции £ 1П
уравнения (3.127) играет сам потенциал У.
Обычно мы имеем дело с задачами рассеяния, в которых потен-
циал Т (г) локализован. При этом важно построить функции Гри-
на, отвечающие естественным условиям причинности, когда, напри-
мер, функция (Ч*4) на больших расстояниях от рассеивателя вы-
глядит просто как расходящаяся волна в свободном пространстве
|Ф), и не содержит «сходящихся» компонент типа (4.132). Такие
функции удовлетворяют интегральному уравнению
|^+, г) = |Ф, r)+ J Go+(r, г'; ^)Г(г')|^+, r')dV. (4.138)
Это есть не что иное, как уравнение Липпмана — Швингера
1^+>-|Ф>+ g_z)o + z6 Г\^+),	(4.139)
переписанное в обычном координатном представлении.
Сходство уравнений (4.136) и (4.139) очевидно,' его можно уста-
новить и формально. Выражение такого же типа, (3.15), появля-
лось и ранее — при выводе ряда Бриллюэна — Вигнера.
Этот язык, конечно, очень абстрактен. Каждое произведение
операторов или «матриц» в уравнении (4.139) фактически может
включать в себя интегрирование по всему пространству, как в фор-
муле (4.138). Тем не менее для формальных преобразований этот
язык очень удобен. Например, можно построить итерационное ре-
шение уравнения Липпмана — Швингера, аналогичное ряду (4.135):
^+)=1 ф>+ ~ * .л у । ф>+ пт г -н-пк-г । ф>+• • •в
= (1 + GO+F+GO+FG^F + ...}|Ф). (4-140)
В задачах теории рассеяния этот ряд называется борновским. Член
/г-го порядка по возмущению У соответствует п последовательным
виртуальным актам рассеяния, а весь процесс рассеяния можно за-
Функции Грина
143
1а из форм представления ряда (4.137), в которой мы по-
'т^апись подчеркнуть, что все акты рассеяния происходят в од-
пЫ.т и ,rO1-j же области координатного пространства, но упустили из
H0"v что при каждом виртуальном процессе может иметь место
любая передача импульса.
Дабы спуститься с небес на землю, вычислим первый член ряда.
Для плоской волны.с импульсом к, падающей на локализованный
рассеивающий центр, уравнение (4.138) принимает вид
Г(г')ф+(г')<13г'.	(4.142)
. + / \ „«кт '
Ф (г) = е
Здесь использовано явное координатное представление для пропа-
гатора (4.131), причем положено с? — №.
Решение этого уравнения итерациями (если итерационный ряд
сходится) приводит к необходимости последовательного вычисления
интегралов по всему пространству и потому довольно трудоемко.
Однако легко найти первое, борновское приближение, когда в ин-
теграл вместо истинной рассеянной волны подставляется невозму-
щенная плоская волна. В задачах рассеяния нас интересует только
расходящаяся волна на большом расстоянии г от любой точки об-
ласти, в которой рассеивающий потенциал не слишком мал. По-
этому можно использовать формулу
«|г-г'| ikr
--->1—е-ИВДг-г' для r^r'.	(4.143)
В результате имеем
Ф+ (г) «	- -L f	(/)	„ eik-r _
4л J [г — г |	7 .kr
J F(r')e/Kr'dV, (4.144)
где К - k— k'; вектор k' направлен вдоль г, а величина его равна
еличине волнового вектора падающей волны к. Другими словами,
амплитуда расходящейся волны, рассеянной в заданном направле-
ни, оказывается такой же, как и в обычной нестационарной тео-
Р и возмущений, если бы мы вычисляли матричный элемент пере-
да «под действием» потенциала У между состояниями свободных
бопиНЦ’ Т’..е’ межДУ плоскими волнами, |Фк) и |Фк/). Разумеется
ckJ °Вский Ряд (4-140) можно формально просуммировать, по-
КУ это есть просто геометрическая прогрессия. Действительно,
144
Глава 4
если пренебречь тем обстоятельством, что уравнение (4 1391
торное, то его решение можно записать, казалось бы, в замк°ПеРа'
виде:	’ иУтоц
1^ ) = |ф)4- #_Яо_г + /6 1ф).	(4-145)
Сразу видно, однако, что второе слагаемое в правой части (4 ij I
содержит не что иное, как функцию Грина G(^“) возмущенной "
стемы, определяемую равенством (4.134), так что фактически
не намного продвинулись вперед.
си-
мы
§ 14. 7-матрица
Если борцовский ряд сходится не очень быстро, то расчет ве
роятностей переходов путем последовательного вычисления его чле-
нов становится весьма малоэффективным. Более того, в ряде задач
вообще нельзя гарантировать сходимость ряда. Почти единствен-
ный способ, применимый в таких случаях — да и то лишь для сфе-
рически симметричных потенциалов, — состоит в разделении пере-
менных в уравнении Шредингера в сферических координатах с
последующим интегрированием радиального уравнения Тогда мо-
жно вычислить сдвиг фаз тр(«?) для парциальных волн с момен-
тами количества движения I и энергией <8. Читатель может быть
знаком с формулой Факсена — Хольцмарка, приводимой в боль-
шинстве книг по квантовой механике. Согласно этой формуле, точ-
ное решение уравнения (4.142) на больших расстояниях имеет вид
I кг
^+(r) = e-^ + ^_ f(6),	(4.146)
где 6 — угол между волновыми векторами падающей и расходя-
щейся волн, к и к', а комплексная величина
со
f (6)=4k S(2Z+- о p‘ <cos e)	{4J47)
/=0
есть амплитуда рассеяния.
Сравнение с выражением (4.144) показывает, что первый член
борцовского разложения получается, если сделать следующее при-
ближение:
4nf (G) ~ — <Фк'| F j Фк>.	(4.148)
Обратим теперь это соотношение, поставив следующий вопрос: ма-
тричные элементы какого оператора £Г, связывающие состояния
|Фь) и | Фь/) свободных частиц, дают точную амплитуду рассея-
ния? Это приводит нас к изучению свойств матрицы перехода, или
7-матрицы, матричные элементы которой опредетяются равенством
<фк'|^1фк>=-4л/(6).	(4.149)
Функции Грина
145
вами, для того чтобы формула первого борновского при-
•днЫ'П’ сЛ°яавала правильную вероятность перехода, нужно заме-
^’^потенпиал Т оператором Г.
1,1(ТЬ ии* „ формулировке понятие /-матрицы, очевидно, дает не
Б Т2чсм МОЖНО было бы получить, просто суммируя борцовский
к0 р-матрица удовлетворяет некоторым алгебраическим
п>.т. ид”нИЯМ1 которые позволяют установить весьма ценную фор-
еоотнош между обычной формулировкой теории рассеяния
М‘1ЛЬ оде парциальных волн, теорией функций Грина и общей тео-
в ме^-матрицы. Эти соотношения можно записать многими эквива-
Р'^'ными способами; мы приведем лишь некоторые из них.
Г'Чтобы придать конкретное содержание определению (4.149),
L ем исходить из решения уравнения Липпмана — Швингера в
, Ткнутой» форме (4.145). Пусть |Фк) есть волновая функция
свободной частицы, переходящая в функцию |'Гк), которая содер-
жит расходящуюся рассеянную волну. Поставим вопрос: жакова
вероятность того, что при наличии потенциала V рассеянная волна
Я9 очень больших расстояниях от рассеивающего центра будет
подобна другой волновой функции свободной частицы, | Фи)? Эту
вероятность нельзя вычислить, просто составляя скалярное произ-
ведение (Фи |	). поскольку в окрестности рассеивающего
центра указанные функции не удовлетворяют одному и тому же
сравнению Шредингера. Мы можем, однако, рассматривать функ-
цию |Фм) как главную часть функции IW), представляющей со-
бой точную собственную функцию возмущенной системы. Послед-
няя также дает решение задачи о рассеянии, но только со сходя-
щимися сферическими волнами. Иначе говоря, |г1ги) есть решение
уравнения Липпмана — Швингера, содержащего | Фи), но с вели-
чиной —id в энергетическом знаменателе. Это есть «опережающее»
решение, соответствующее обращению времени в наших обычных,
причинных решениях [см. (4.132)]. Указанный выбор обеспечивает
чикроскопическую обратимость самого процесса рассеяния — мы
получаем тот же матричный элемент, переходя как от состояния
|Фк) к состоянию |Фи), так и в обратном направлении.
Вероятность перехода должна быть пропорциональной квадрату
калярного произведения двух этих векторов состояния. Путем не-
исп°РЬ1Х Ловольно хитроумных математических преобразований с
ользованием уравнения (4.139) и правил эрмитова сопряжения
0 но получить следующий результат:
<Vf1 Ч> - <Ф1. |Ф1>+<Ф,. I г | ЧТ > =
= бки - 2л/б (8 - (Фи | Г | Ч'ь+>.	(4.150)
Фувкин1Ы Воспользовались аналитическим представлением дельта-
и в соответствии с формулой (4.65),
146
Глава 4
Полученное выражение показывает, что вероятность
обращается в нуль, если энергия не сохраняется (точнее Перех°Да
сохраняется с точностью до неопределенности 6, где 1/fi естЭНерги”
за которое происходит переход). Первое борновское прибЛцВРеК1я>
мы получим, заменяя функцию на | Фк) в правой част
ким образом, точный матричный элемент в выражении U u
эквивалентен элементу Т-матрицы, определяемой соотнт»'
(4.149):	Шен’
ием
<Фк'1^|Фк) = <Фк'|Г|^к+)
^|Фк) = Г|Ч<к+>.
или
(4.1511
Подставим теперь эти равенства в уравнение Липпмана — ЩВИ[|
гера (4.139). В результате придем к уравнению
У|Ф,) = {г + Гд._^ + аУ}|Ф,>.	(4.IS2)
которое, по-видимому, должно быть справедливо для любого со-
стояния |Фк)- Таким образом, можем написать различные опера-
торные уравнения, аналогичные борновскому ряду (4.140):
T = У + УОо&~ = У + УС$У + У0$У0£У + .... (4.153)
В замкнутой форме по аналогии с соотношением (4.145) и уравне-
нием Дайсона имеем
$~ = У + УС+У,	(4.154)
где G+ есть причинная функция Грина для возмущенной системы ’)•
Эти формулы кажутся очень мощными и абстрактными; иногда
их используют в качестве основных определений, из которых по
лучается Т-матрица системы. Следует, однако, отметить, что по-
следний шаг вывода — отбрасывание вектора состояния Фк) в
уравнении (4.151) —по существу не обоснован. Все наши рассуж
дения в этом параграфе справедливы, лишь если энергия ё— одна
и та же для всех рассматриваемых состояний. В противном случае
[когда ё (к)=/=ё (к')] соотношение (4.150) в применении к (4.1491
не имеет физического значения. Можно сказать, что Г-матршы
определена только на изоэнергетической поверхности. Или, иначе,
можно ввести новый символ, полагая, например,
<Фк' IТ | Фк> = 2пгб (ё - ё') (Ф,/ | У | Тк+>;	(4-155!
при этом все произвольные матричные элементы объявляются рав_
ными нулю. К сожалению, здесь еще нет установившихся обозна-
чений.
’) См. примечание на стр. 126. — Прим. ред.
Функции Грина
147
л0 этой причине фактическое аналитическое представление
г иатрпны п координатном или импульсном пространстве обычно
' - представляет ос°б°го интереса. В случае потенциального рас-
ання сферически симметричным полем, однако, особенно удобно
„оедставление момента количества движения, ибо в нем Т-матрипа
Хгональна. Другими словами, формулы (4.146) и (4 148) для
5ольши\ г п г' эквивалентны следующей записи:
FJ Т (г, г'; ^) = 2 (иг) il (ИГ') Ylo (г) Yh (г').	(4. j 56)
3 ись ji„ — функция Бесселя, (г) — сферическая гармоника для
^данного направления вектора г. В этом представлении диагональ
кые матричные элементы оператора Т даются формулой
-М-	(4.157)
т =____!_
1 ‘	21и
Поскольку сдвиги фаз щ(<^) всегда вещественны (при ^>0),
собственные значения Т-матрицы комплексны, т. е. Т-матрица не-
•рмитова. Тот же результат можно получить и совершенно иным
путем. На языке гл. 3, § 5 возмущение, переводящее состояние
|Ф в состояние |ЧТ+'), эквивалентно действию S-матрицы:
| ¥+) = S |Ф>.	(4.158)
Определение Т-матрицы с помощью соотношения (3.62) фактиче-
ски эквивалентно определению (4.155). С помощью уравнения
Лпппмана—Швингера (4.150) можно выразить S-матрицу в виде
S = 1 - 2шб (8 - Но) Т.	(4.159)
В силу унитарности S-матрицы мы имеем
1 = S*S = {1 + 2лг Г б (^ - Но)} {1 - 2л1б (& - Но) Т}. (4.160)
Следовательно,
Т’-Т = 2шГб(^-Яо)Т^=О,	(4.161)
°тЧда и следует, что Т-матрица неэрмитова Возможно, эту связь
vaTp^PH^ei* и надо считать основным, определяющим свойством
зыв^аН0ГДа ^до^но ввести другую величину аналогичного типа, на-
товя еп^10 ^-матрицей или матрицей реакции; эта матрица эрми-
• Перепишем соотношение (4.159) в виде
у=4 = лгб(#-Я0)К.
това° ^Оказать> что введенная таким образом матрица (К) эрми-
 следовательно, собственные значения ее вещественны.
(4.162)
148
Глава 4
В представлении момента количества движения они
равенством [ср. (4.157)]	' "
х	(4.16.j
Смысл /(-матрицы определяется тем, что она удовлетвоо
тегральному уравнению (4.153), в котором вместо G+ ctoi ТИ,,‘
причинная функция Грина» (4.133). Это уравнение можно
в виде	писац
/( = Г + Г^7Г/(,
& — П Q
(4.164)
где любой интеграл по <£ следует понимать в смысле главного зн
чения. Уравнение (4.164), очевидно, эквивалентно уравнению (3 ijjfl
использованному при выводе разложения Бриллюэна — Вигнеой
Физически /(-матрица полностью описывает влияние рассей
вающего центра, помещенного в центр системы со стоячими вол-
нами, описываемыми пропагатором (4.133) (т. е. как со сходящц.
мися, так и с расходящимися сферическими волнами). Не удиви-
тельно поэтому, что /(-матрица может иметь особенность, когд
один из сдвигов фаз, щ(с?), проходит через л/2. Действительно, при
этом сферическая стоячая волна, сшитая с точным решением в об
ласти действия потенциала F(r), особенно быстро затухает вне
сферы рассеяния. В этом случае мы получаем квазистационарное.
или резонансное, состояние системы.
Наша трактовка Т-матрицы и ее собратьев была несколько
абстрактна; главное состоит в том, что рассмотренные операторы
даюг нам корректный инвариантный способ описания задач рассея-
ния. Это относится даже к тем сложным случаям, когда имеет
место одновременное упругое и неупругое рассеяние (например,
нуклонов ядрами) и когда может возникать много альтернативных
и конкурирующих конечных продуктов реакций, происходящих
вблизи мишени. Когда уравнения не удается точно решить и, бо-
лее того, когда фактически рассеяние вообще нельзя описать в тер-
минах «потенциала», очень полезно иметь параметры типа эле
ментов названных матриц — параметры, аналитические свойства
которых довольно легко угадать (гл. 5, § 6).
§ 15. Пример:, примесные состояния в металле
Следующий модельный расчет, выполненный Клогстоном’), Д°;
вольно удачно иллюстрирует ряд свойств элементарных функции
Грина, не зависящих от времени. Рассмотрим однородную систему,
например металлический кристалл, волновые функции электронов
в которой (функции Блоха) можно приближенно считать плоским
волнами. Каждая из последних характеризуется волновым векто
') А. М. С 1 о g s t о п, Phys. Rev., 125, 439 (1962).
Функции Грина
149
энергией Й’(к). Предположим, однако, что разрешенные
pi'i * 11 энерГии образуют зону, так что плотность состояний
~на1Т обращается в нуль вне интервала 8т<8 <&м. Что про-
.f (е J если в какую-либо точку металла г0 поместить очень силь-
"^^алнзованный потенциал (практически это—поле примесного
' мТ) который мы идеализированно представляем в виде дельта-
4>нкЦИН’	Г(г) = Гоб(г-го)	(4.165)
с коэффициентом Fo?
Воспользуемся наиболее абстрактным из наших формальных
\равнений, а именно «уравнением Дайсона» (4.136). Согласно это-
jравнению в координатном представлении функция Грина воз-
мущенной системы получается из соответствующей функции Грина
Go невозмущенной системы с помощью интегрального уравнения
G (г, г') = Gu (г, г') + J Go (г, г77) Т (г") G (г77, г') d3r" =
= Go (г, г') + Go (г, r0) r0G (г0> г').	(4.166)
Здесь использован локализованный характер потенциала (4.165).
В этом случае оператор (1 — G0T)~l, определяющий формальное
решение уравнения (4.136), фактически оказывается диагональным
в координатном представлении. Поэтому в уравнении (4.166) мож-
но положить г = г0; в результате найдем
G (г0, г7) = Go (г0, г') + Go (г0, г0) F0G (г0, г') =
= “1 - Go (г0, г0) Го G° <Г°’ Г^-	<4'167)
Вновь подставляя это выражение в уравнение (4.166), получаем
полное решение задачи:
G (г, г7) = Go (г, г7) + Go (г, г0) Г~Со(^г;) Го- G°И- (4-168)
Чтобы использовать это решение, надо знать явное выражение
Для функции Грина невозмущенной системы. На основании уже
®естнь1х нам сведений [в частности, с помощью спектрального
Р Дставления (4.118)] можем записать Go в виде
Go (г, г ; £) = J} + •	(4.169)
к
в ^Р11 г=£г7 фигурирующую здесь сумму можно преобразовать
вычистГ₽аЛ’ содеРжаЩнй плотность состояний Л’(Й’); последний
к выРаХНСиЮТ?и1ше(4К13К1)И В ГЛ‘ 4’ § 12‘ В ре3уЛЬТате МЫ ПрВДеМ
Go (R; %) = - atf (&)	.	(4.170)
Rt\
150
Глава 4
Здесь k— волновое число, при котором <§?(к) = <£. с др „
ны, при г = г' = г0 пространственная волновая функция н" СТоРг-
чивает сходимости интеграла, и нужно воспользоваться6 °6ес11
ствующим представлением дельта-функции [например, 4 651?°TBei
мощью которого получаем	’ с по-
О«(г«, г,)- OJ(0; 8-)= J	1
где I (<?) — главное значение интеграла.
Подставим теперь формулы (4.170) и (4.171) R ВЫра 1
(4.168). Функция Грина возмущенной системы оказывается^
сколько более сложной, нежели (4.170), поскольку в ней явно Не
делена точка расположения «примеси» г0. Заметим, однако чиТс
всегда содержит член, в который входит множитель	°
_______1______=____________1__________
1 - Go+ (0; &) Го [I-I (&) rQ] + йЛ* (&) То '	(4-172)
При определенных обстоятельствах этот член может обратиться
в бесконечность. Согласно теории резольвенты (4.124) дискретпш
уровни энергии данной системы можно найти, определив положе
ние сингулярностей функции Грина б, рассматриваемой как функ
ция энергии ё. Как видно из выражения (4.172), эти сингулярности
имеют место, если одновременно удовлетворяются равенства
1-7(#)Го = О,	(4.173)
JT(^) = O.	(4.174)
Последние, таким образом, представляют собой условия того, что
потенциал «примеси» имеет связанное состояние с энергией ё.
Первому из этих условий всегда можно удовлетворить, подбирая
соответствующим образом величину возмущения То', с другой сто-
роны, условие (4.174) требует, однако, чтобы энергетический уро-
вень лежал вне зоны, т. е., чтобы выполнялось одно из неравенств:
ё < ёт или ём < ё. Допустим, однако, что мы забыли бы о необ-
ходимости пользоваться причинной функцией Грина при определе-
нии резольвенты и взяли бы вместо нее пропагатор типа (4.133),
Go, отвечающий «стоячей волне». Тогда мы потеряли бы мнимую
часть выражения (4.172) и не получили бы условия (4.174). Спра-
шивается: какой смысл можно придать состоянию, энергия кото-
рого удовлетворяет условию (4.173) и лежит внутри зоны «блохов-
ских» состояний?
Посмотрим, как влияет потенциал Т(г) на волновые функции-
Сферическая симметрия системы относительно точки г0 наводит н
мысль о том, что следует использовать представление момента ко
личества движения, а локализованный характер возмущения npi
водит к тому, что возмущение испытывает только s-волна. След
Функции Грина
151
.□тельно, в качестве «свободного» вектора состояние
Чиппмана — Швингера мы можем взять функцию В Уравнении
I ф\ = г~ г0 I
klr~rol •	(4.175)
Решение уравнения (4.145) для «пассеяиыпш „
выражений (4.167), (4.170) И (4.172)	Ы вытекает
’ *Г+ (г)) = IФ (г)) + J 6 (г, г") F (Г") | ф (г")) d3r// =
|	=|Ф(г)> + 6(г, г0)Г0|ф(г0)) =
=	r~r01________
* I г ~ ro I 1 - G+ (0; <Г) го	=
= e‘'v «о Л1п^|п-г0| + n (ff)\
о	к	*lr-r„l •	(4.176)
Зяесь сдвиг фазы дается формулой
„ z sp\ , f пЛ (S') y»2 I
Д (e) = arete { --* ' ° I
l !(&)r0~i J-	(4.177)
Пусть теперь для заданной величины Г о знаменатель выраже-
ния (4.177) обращается в нуль прис? = <fr- Тогда в окрестности
этой точки мы будем иметь формулу типа
tgn(^) = ^7-	<4-178)
Это есть известное выражение для сдвига фазы в окрестности ре-
зонанса, или виртуального состояния с энергией <Sr- ^uPjlt^ Р®"
зонанса 1Г, очевидно, пропорциональна плотности состоянии Jv(gt)-
Если бы величина возмущения У о была такой, что уровень вг по-
пал бы глубоко внутрь зоны, то резонанс был бы широким. При
приближении уровня к краю зоны величина &4/°(ё=)уменьшается
и резонанс становится более резким; при выходе за пределы зоны
плотность состояний J^(&T) обращается в нуль, а величина &т ста-
новится энергией истинного связанного состояния (локального
уровня), определяемого условиями (4.173) и (4.174).
Вопрос о том, в какой мере обоснована рассмотренная модель
примесных состояний в металле, равно как и то, в какой мере она
отражает реальные физические явления, нас здесь не интересует.
1лавная цель наша состояла в том, чтобы показать, что метод
Функций Грина иногда может выявлять очень общие свойства
систем. Заметим, что в окончательный ответ входит только плот-
°сть состояний [через функцию (4.177) и интеграл (4.171), кото-
но'е В пРОтивн°м случае могли бы показаться связанными с даш
мет конкРетн°й моделью]. В расчетном отношении рассмотренный
°Д отнюдь не обязательно является самым простым. Иногда
152
Гмва 4
он позволяет решить задачу только с помощью довольно ’
аппроксимаций. Однако благодаря формальным связям <<Лих,1х»
описанным в настоящей главе, этот метод дает возможность^31*"
нуть на формализм большинства задач квантовой механики сЗГ'1Я'
ной точки зрения и объединить многие вопросы, казавшиеся n^1'
разрозненными,— теорию рассеяния, усреднение по ансамблю
дачу о связанных состояниях, спектры возбуждений и т. д. pj0 ’За,
причине описанная выше техника и пользуется такой благоск^011
ностыо многих физиков-теоретиков, имеющих вкус к математич*1
ской строгости, общности и изяществу. Однако за это приходит6'
платить. Пропагатор, будучи по существу функцией двух вектоп1
ных переменных, в математическом отношении неизбежно более
сложен, чем одночастичная волновая функция, которую подобно
оптическому или звуковому полю можно наглядно представить в
координатном пространстве. За исключением диаграммной тех-
ники, использование функций Грина во всех кваитовомеханиче
ских расчетах приводит к потере прямой «физической» интерпре-
тации. Не соблюдая должной осторожности, мы можем оказаться
здесь в положении человека, слепо блуждающего в дебрях меха-
нически выполняемых алгебраических преобразований, тогда как
геометрические соображения сразу же привели бы к ответу.
ГЛАВА 5
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРОБЛЕМЫ МНОГИХ ТЕЛ
«Many mickles make a muckle»1).
§ 1 Квантовые свойства макроскопических систем
Большинство «законов» квантовой механики было установлено
исследовании поведения отдельных частиц в таких процессах,
'як рассеяние, оптические переходы, движение в электрическом
и магнитном полях и т. д. Тем не менее мы должны научиться
применять эти законы и при расчете свойств макроскопических си-
стем. Выяснение общих математических черт, характерных для
задач такого типа в обстоятельствах, когда существенны кванто-
вые эффекты, составляет одно из главных достижений теоретиче-
ской физики за последнее десятилетие.
Конечно, все макроскопические объекты представляют собой
квантовые системы многих тел. Однако часто оказывается воз-
можным использовать ряд упрощающих предположений типа од-
ночастичного и квазиклассического приближений; тем самым ос-
новные трудности, связанные с постановкой задачи, просто обхо-
дятся. Так, мы привыкли рассматривать каждый электрон в атоме
как почти не зависящий от остальных, а каждый атом — как взаи-
модействующий обычным путем только с несколькими соседями.
По-настоящему тонкие задачи связаны с «квантовыми жидкостя-
ми»— системами тождественных частиц, не локализованных четко
в пространстве и сильно взаимодействующих друг с другом. В та-
ких системах, как электроны в металлах, атомах и молекулах,
нуклоны в ядерной материи или атомы в жидком гелии, вряд ли
можно отделить частицы, создающие силовое поле, от тех, кото-
рые испытывают его действие.
Физические явления, которые наблюдаются в таких системах
и подлежат интерпретации -(сверхпроводимость, коллективные
возбуждения, сверхтекучесть и т. д.), представляют исключитель-
ный интерес сами по себе, но попытка рассмотреть их здесь увела
ы нас слишком далеко в сторону. В соответствии с общим пла-
ом настоящей книги мы будем считать, что читатель способен
амостоятельно разобраться в описательной литературе по дан-
«У вопРОсУ> и сконцентрируем внимание на основных матема-
___вских методах, используемых для обоснования принятой ныне
дУЮщем^еПе1лВ0ДНМая шотландская пословица, смысл которой сводится к сле-
У: «Из многих отдельных групп создается огромная толпа».'—Прим, ред,
154
Г лава 5
картины и для придания ей количественного характера т
методы, как вторичное квантование, диаграммы Фейнмана ь К"
ции Грина, первоначально создавались в связи с заИ '^Н1!
квантовой теории поля. Недавний быстрый прогресс в исспелДаЧаМк
систем многих тел обусловлен главным образом соответствс- аН11'г
модификацией и применением этих методов. Следует, однак
мнить, что проблема многих тел представляет собой вполне '•"°
стоятельную область, со своими специфическими методами цЭМ°
зультатами. Поэтому цель настоящей главы состоит в освещс Ре
некоторых аспектов теории многих тел самой по себе, а не про ИИ
в иллюстрации методов, изложенных в предыдущих главах Тя
мы начнем с элементарных и полуинтуитивных методов Томаса-’
Ферми и Хартри; их легче понять как «физические приближения?
чем как формальные следствия из общей теории возмущений.
§ 2. Статистические методы. Приближение Томаса—Ферми
Задача многих тел по необходимости имеет статистический ха-
рактер, поскольку она относится к системе огромного числа ча-
стиц, индивидуальные координаты которых не могут быть заданы
Из результатов гл. 4, § 1 ясно, что наиболее простым возможным
параметром здесь является диагональный элемент одночастичной
матрицы плотности в координатном представлении — локальная
плотность частиц п(г).
Первая задача классической статистической механики состоит
в выводе уравнения состояния или некоторого эквивалентного со-
отношения, например формулы для равновесного значения хими-
ческого потенциала как функции локальной температуры и плот-
ности. Для фермиевских систем характерно то, что интересные
квантовые явления в них имеют место при очень низких темпера-
турах, когда энергия теплового движения мала по сравнению
с большой (из-за принципа Паули) нулевой энергией системы.
Поэтому макроскопические характеристики системы, такие, как
концентрация частиц в пространстве, почти не зависят от факти-
ческой температуры; последнюю можно считать практически рав-
ной нулю всюду в газе или жидкости.
Однако кинетическая энергия по-прежнему может давать глав-
ный вклад в свободную энергию. Хорошо известно, например, что
энергия ферми-газа невзаимодействующих электронов, однородно
распределенных в пространстве с концентрацией п частиц на
единицу объема (ср. гл. 2, § 7), составляет (в атомных единицах)
£> = |(3л2)’/,п'’.	(5Л)
Это есть по существу химический потенциал электронов, отсчитан-
ный от наименьшей энергии частицы в предположении, что элек-
трический потенциал равен нулю.
Некоторые аспекты проблемы многих тел
155
приведет включение взаимодействий между фермио-
на чему онОВСКИХ сил между электронами или «ядерных сил»
f (МИ—'^попами? Сможем ли мы тогда написать более общие
уеЛ<Д) IIJ ' длЯ энергии, свободной энергии или других эквива-
Г|Ь1раже т модинамНческих переменных как функций концентра-
|ентных gT0H главной цели теории многих тел пока не удалось
пни час п0‘лн0СТЬЮ> ХОТя для предельных случаев нам известны
ПСТИорые результаты и, по-видимому, достигнуто понимание важ-
1 еК°пих принципиальных моментов (см., например, § 11).
 Нетрудно, однако, исключить большую часть дальнодействую-
го кулоновского взаимодействия между электронами. Допустим,
“то система электронов не однородна, т. е. их концентрация п(г)
Зависит от координат. Это приводит к возникновению поля про-
странственного заряда, действие которого на электроны можно
описать потенциальной энергией Ф(г), удовлетворяющей уравне-
нию Пуассона
У2Ф(г) = 4лп(г)	(5.2)
для простоты мы положили здесь |е| = 1).
При вычислении химического потенциала р этот электростати-
ческий потенциал надо прибавить к энергии Ферми (5.1). Поскольку
значение ц должно быть везде одинаковым, мы получаем
условие
Н = | (Зл2)% [п (г)]+ Ф (г).
(5.3)
Комбинируя (5.3) и (5.2), приходим к самосогласованному диф-
ференциальному уравнению, впервые выведенному Томасом и
Ферми:
v2a,(r) = ^£L^_o(r)]’\	(5.4)
Уравнение (5.4) нелинейно, но в простых случаях его можно
численно проинтегрировать, используя подходящие граничные
условия. Например, в сферически симметричной модели атома
1 зарядом ядра Z естественно искать решения, удовлетворяющие
Условиям
Z
г
О
при
при
Г—>0,
Г оо.
(5.5)
Ф (г) —>
1з всего сказанного ясно, что метод Томаса — Ферми особенно
ния°Ш ПРИ РассмОтРении отклонений от однородного распределе-
Ден плотности заряда; с другой стороны, он совершенно неприго-
Э1екДля ВЫчисления полной энергии системы взаимодействующих
иен в^°Н0В' ^ем не менее общая картина распределения электро-
оказь атомах’ молекулах и твердых телах, к которой он приводит,
эется отнюдь не абсурдной; ситуация в таких системах не
156
Глава 5
может без веских причин слишком сильно отклони
определяемой уравнением Томаса — Ферми. Однако уТЬся 1
приближение несостоятельно в двух случаях: а) гипотезу^3311*1^'
ной» плотности и однородности невозможно обосновать ее °Ка‘’1ь'
очень быстро изменяются в пространстве; б) в тех областях' П0Г;'
торых плотность электронов фактически должна быть очень’ В КР
следует учитывать дискретность электрического заряда Поэ'аЛа'
решение уравнения (5.4) при условиях (5.5) оказывается оченТ°М'
точным вблизи атомного ядра и на большом расстоянии от пос Не
ней заполненной оболочки.	' ед'
Были предприняты попытки улучшить этот метод посредство
учета более тонких эффектов, свойственных электронному газу
Так, кроме чисто кулоновской энергии, можно было бы включить
и «обменную энергию», выразив ее в виде
^обм=-апЧ	(5б)
где а — постоянная. Добавляя слагаемое (5.6) к химическому по-
тенциалу (5.3), мы приходим к несколько более сложному диф-
ференциальному уравнению для функций л (г) и Ф(г). Это так
называемый метод Томаса — Ферми — Дирака, но он оказался не-
намного лучше прежнего. Вообще говоря, для вычисления хими-
ческого потенциала, а следовательно, и для вывода самосогласо-
ванного дифференциального или интегрального уравнения для п(г)
можно использовать любое функциональное соотношение, позво-
ляющее выразить энергию электронного газа через его плотность.
Это относится и к обобщенным нелокальным соотношениям связи
типа интегральной формы уравнения (5.2):

(5.7)
Однако все такие методы страдают тем же недостатком, что и
простое приближение Томаса — Ферми: в них не принимаются во
внимание фазовые соотношения между волновыми функциями
отдельных электронов, которые обусловливают появление корре-
ляционных и обменных эффектов в суммарном распределении за-
ряда.
§ 3.	Самосогласованное поле Хартри
Следующий шаг был сделан Хартри. Он трактовал среднее
поле Ф(г), создаваемое всеми электронами, как частыютенииаль-
ной энергии в уравнении Шредингера для каждого отдельного
электрона. Волновая функция, скажем, i-ro электрона, 'фг(г)’ доЛ
жна удовлетворять уравнению
“ W + ^«мосогл (Г) ф,- (Г) = && (г).	<5'8)
Некоторые аспекты проблемы многих тел
157
ла конмтраш’” электронов „
n(r) = Sl’I'iWP.
(5.9)
очередь приводит к появлению электростатического
Она в сво* который должен подчиняться уравнению Пуас-
"отенш’а‘ след’овательно, полное самосогласованное поле, дей-
°НЭ р₽ на электрон, должно описываться потенциалом
’	ГСВМОсогл(г) = Пнешн(г) + Ф(г),	(5.10)
у, ешп(г)_потенциал всех «сторонних» зарядов (атомных
^Точь^коро электронам сопоставляются различные собственные
AvHKUim уравнения (5.8), рассматриваемая система уравнений
бычно имеет единственное решение и его можно получить с по-
мощью итераций. Взяв для начала некоторый произвольно вы-
бранный приближенный потенциал, подставим его в уравнение
(58) и найдем волновые функции и концентрацию электронов
(5^9); затем из уравнения (5.2) получим потенциал Ф(г) и под-
ставим его в (5 10). Новое приближенное выражение для самосо-
гласованного потенциала снова подставляется в (5.8), и проце-
дура повторяется.
Наилучшие результаты метод Хартри дает для атомов. Глав-
ную роль там играет центральное поле ядра, а каждый электрон
можно отнести к атомной оболочке, поле которой экранирует от
ядра электроны, находящиеся во внешних оболочках. На примере
этой хорошо известной системы легко понять, однако, что наши
рассуждения требуют известного уточнения. Именно, вычисляя
концентрацию п(г) и потенциал Ф(г), мы должны исключить вклад
от состояния, рассматриваемого в данном уравнении Шредингера.
Действительно, электрон сам на себя не действует. Другими сло-
вами, уравнения, которые требуется решить, должны иметь вид
й2
- 2Д- Wi (г) + [^внешн (г) + ф(,) (г)] ф,- (г) = &,ф; (г),
vw (Г)=4л Si ф7 (г) |2.	(5Л1)
Каждый электрон здесь подвергается действию своего среднего
частиц0ТЛНЧН0Г0, В0°бЩе говоря, от полей, действующих на другие
ри^еТ°Д Хартри, очевидно, является весьма общим. Любую тео-
тРона»°Г°Рая Дает выРажеН11е Для «энергии одиночного элек-
электп КЭК ФУНКЧИЮ или функционал от полной концентрации
соглас°В’ можно использовать как основу для определения само-
ванного поля. Например, при расчете атомных волновых
158
Глава 5
функций обменные эффекты часто учитываются с помои
ближения обменной дырки Слэтера: предполагается — п ° Пр*
так же, как и в случае (5.6), — что каждый электрон of)HM PF,,)
локальной потенциальной энергией, пропорциональной {п(г)У^Да('т
следняя включается в уравнение Шредингера (5.8) или (5 jn’ Пс
Применительно к задачам с неоднородным распредел
заряда, как в атомах или в молекулах, метод самосогласов; еН11?‘4
поля часто оказывается очень удачным: он достаточно точепНН°ГГ’
рошо приспособлен для численных расчетов. Однако при ис?' Х°
зовании его в стандартной задаче об однородном газе ферм™0""
результат оказывается плачевным — метод часто приводит к°б°В
смыслице. Поскольку хорошая теория однородного газа или жЯ
кости интересна как сама по себе, так и в связи с последующ^
трактовкой неоднородных систем, мы должны глубже вникну/
в существо дела.
К сожалению, изложенные выше рассуждения носят интуитив-
ный характер и не проливают никакого света на природу дог?
щепных нами математических ошибок. Перейдем поэтому к боле<
формальному выводу системы уравнений самосогласованного поля
типа Хартри, из которых равенства (5.11) получаются как пр
стое приближение.
§ 4.	Метод Хартри — Фока
Рассмотрим совокупность фермионов, взаимодействующих дру
с другом через потенциал о (г —г') (это может быть, например,
электростатический потенциал); пусть они, кроме того, находятся
еще во внешнем поле с потенциалом ^виешн(г) • В отсутствие взаи-
модействия одночастичный гамильтониан системы имел бы вид
^o(r)=~£v2 + r_(r).	(5.12)
С помощью его собственных функций можно было бы составлять
различные многочастичные детерминантные волновые функции
всей системы, как в (2.2).
Обозначим через |V) точную волновую функцию основного со-
стояния системы со взаимодействием. Энергия основного состояни!
должна быть равна среднему значению полного гамильтониана
в этом состоянии; используя равенства (4.5) и (4.81), выразим 
в виде
<I I *0 = S р {Р [^0 + v (г - г')]} =
= J ЖиР (г, г) d3r + 4 [ J Р(2) (г, г'; г, /) v (г - г') d3rd3r'.	(5-13)
Чтобы фактически вычислить двухчастичную матрицу плотное
ти р(2) в состоянии IV), надо решить задачу многих тел. Вспомн< I
однако, формулу (4.86) для двухчастичной функции Грина певза
Некоторые аспекты проблемы многих тел
159
.йгтвующих частиц:
ie Ко(12 3 4)= G0(13)G0(2 4)-G0(14)G0(2 3).	(5.14)
ом простом случае двухчастичная матрица плотности так-
В ЭТжна аналогичным путем сводиться к комбинации одноча-
.♦.е Д°Л- матриц плотности. Допустим, что такое сведение прибли-
' ^"^справедливо и для нашей более сложной системы с взаимо-
К^пем, т. е. положим
р'2) (г, г'; г, г') ~ р (г, г) р (г', г') - р (г, г') р (г, г').
(5.15)
частичная матрица плотности р(г, г') здесь не обязательно
^рт тот же вид, что и для независимых частиц, но подлежит
'^педелению из условия минимальности нашего приближенного
выражения для энергии основного состояния
J ^о(г)Р (г> r)d3r +
4-1 j J [р (г, r) Р (Л И - Р (г. И Р (г. И] Ц (г - И d3rd3r'. (5.16)
Выразим теперь эту «эффективную одночастичную матрицу
плотности» с помощью ограниченного набора волновых функций,
отвечающих «заполненным одноэлектронным состояниям» (эти
функции сами еще должны быть определены). Именно напишем
N
Р (г, г') = 2 «* (г') и (г),	(5.17)
/=1
так, как если бы N электронов (или других фермионов) заполня-
ли N орбиталей Uj(r), трактуемых как независимые. Подставляя
это выражение в (5.16), получаем
<^> - 2 J (Г) [Ж, (г) + 4 Фн (г)] и, (г) d3r +
/
f I ы/фобм <г> и11 i (И d3rd3r'.	(5.18)
Выражение	1
ФИ (г) = J v (г - г') р (г', г') d3/	(5.19)
в случае кулоновского взаимодействия описывало бы в точности
потенциал самосогласованного поля Хартри, определенный со-
гласно (5.7) и (5.9). С другой стороны,. обменный потенциал опре-
делен с помощью нелокального оператора
Ф»бм (г, И = - v (г, г') р (г, г').	(5.20)
Интегралы, входящие в (5.18), можно рассматривать как функ-
ционалы от функций tij(r), варьируя которые, можно минимизиро-
вать энергию. При этой операции важно помнить, что потенциалы
а и Фобм сами представляют собой функционалы от Ц;(г) и так-
е подлежат варьированию. Вводя лагранжевы вариационные
160
Глава 5
параметры е3- для сохранения нормировки орбиталей и (
получим систему интегро-дифференциальных уравнений х *" ’ 14-
Фока:	ЛаРтрц
[ “ V2 + Гвнешн (г>+ Ф"<г)] Ч1 + J Ф«б« <г’ И 1Ч (И d3r' = е J
Видно, что эти уравнения очень похожи на уравнения X " '
(5.11). Каждое из них представляет собой уравнение типа
дингера для собственной функции и;(г). Последняя описьщ
частицу, находящуюся в поле внешнего потенциала ГВ11
среднего хартриевского потенциала Фн(г) и нелокального'обме 1
ного потенциала ФОбм. Однако фактически уравнения (5.21) Ке1Н’
нейны ввиду (5.17), (5.19) и (5.20), и решить их можно только
самосогласованным итерационным путем.
Уравнения Хартри — Фока легко вывести и несколько боле»
элементарным путем. Именно, допустим, что мпогочастичную вот
новую функцию можно записать в виде одного детерминанта, со-
ставленного из ограниченного набора неизвестных функций
Щ (Г|) «х (г2)	«.(>>)
«2(П) «2(г2) ••• «2(Гм)
Kv(n) «дг(г2) uN(rN)
Тогда легко получится выражение (5.18) для среднего значения
энергии. Вывод, основанный на использовании матрицы плотности,
однако, более компактен и в силу (5.15) ясно иллюстрирует сущ
ность принятого приближения.
Каков смысл обменного члена? По этому поводу написан,
много. Формально он возникает вследствие антикоммутативности
операторов фермионного поля, выражаемой правилами упорядоче-
ния во времени. Это — другой способ сказать, что функции, описы-
вающие состояния многофермионной системы, полностью антисим-
метричны по отношению к перестановке частиц. Использование
детерминантной волновой функции типа (5.22) накладывает опре-
деленные соотношения на фазы волновых функций. Эти соотно-
шения проявляются в недиагональных элементах матрицы плот-
ности и, в частности, обеспечивают невозможность пребывания
двух частиц в одном и том же орбитальном состоянии. Отметим,
например, что двухчастичная матрица плотности (5.15) обра-
щается в нуль при г = г'; это означает, что никакие две частицы
не могут находиться в одной и той же точке пространства; каж-
дый электрон окружен «обменной дыркой», в которой не могут на
ходиться другие электроны. Однако это рассуждение применим
только к электронам с одинаковым спином и не воспрещает дву
электронам с противоположными спинами—по существу, разли
мым фермионам — приближаться друг к другу.
Некоторые аспекты проблемы многих тел
161
' р чет обменного поля часто очень труден, и обычно делается
"аС ибудь приближение типа замены нелокального оператора
h3h°e едпим значением для свободного электронного газа с соот-
еГ° дующим образом подобранной локальной концентрацией ча-
ветСТкак мы уже отмечали, при этом получаются модифициро-
ст11Ц’е сравнения типа Хартри. Стоит отметить, однако, что вкла-
ва11111’ ;.jj орбитали в хартриевское (5.19) и обменное (5.20) поля
1Ь’ взаимно уничтожаются в уравнении Шредингера (5.21) для
Т° и именно функции. Вычисляя концентрацию частиц и матрицу
\отности, с помощью которых определяются указанные поля, мы
П10ми бы исключить этот член из суммы по заполненным состоя-
ниям (5.17) Таким образом, уравнения Хартри (5.11), по пред-
положению исключающие воздействие поля данного электрона
на него самого, фактически в какой-то мере учитывают обменные
эффекты.
Важно помнить, что полную энергию системы нельзя вычис-
лять, просто складывая «собственные значения энергии» е,- для
отдельных электронов. Указанные величины представляют собой
не более чем вариационные параметры для нелинейного функцио-
нала (5.18), они отражают эффект варьирования Uj в поле всех
других электронов. Складывая все ед мы дважды учли бы среднюю
энергию взаимодействия, скажем, между /-м и k-м электронами.
Правильная полная энергия получается, если найти среднее зна-
чение хартриевского и обменного потенциалов в выражении
(5.18); ее можно записать в виде
Е = <<Ж> =	е,- - | <ФН + Фобм).
(5.23)
§ 5. Интерпретация теории Хартри — Фока с помощью диаграмм
Мы не можем здесь рассматривать все многочисленные прило-
жения метода Хартри — Фока к атомам, молекулам и твердым
телам. Вообще говоря, можно сказать, что он представляет собой
усовершенствование более интуитивного метода Хартри за счет
включения некоторых обменных эффектов, и по этой причине ме-
ТОД Картри — Фока учитывает такие эффекты, как, например, ка-
жущееся обменное взаимодействие между двумя фермионами, за-
висящее от относительной ориентации их спинов.
но ° качсстве подхода к фундаментальной задаче об энергии основ-
Hoi° СОСтояния однородного газа фермионов этот метод в извест-
Ч;1 меРе учитывает корреляционные эффекты, благодаря которым
стпГ1иЫ’ ИСПЬ!ТЬ1вающие отталкивание на малых расстояниях,
Не* МЯтся расположиться таким образом, чтобы фактически никогда
обесгСТРеЧатьСЯ’ ^ак мы видели, обменная дырка автоматически
не „ ечиваст это для двух фермионов с одинаковыми спинами, но
‘ я двУх фермионов с противоположными спинами, последние
6 Зак. egg
162
Глава 5
тем не менее могут испытывать ту же антипатию друг к
Нетрудно вычислить величину (5.23), но истинная энергия оснГу'
кого состояния однородного газа фермионов должна быть °В
сколько меньше ее. Соответствующую разность окрестили корпе^'
ционной энергией. Для электронов с их дальнодействующим Kv Я
невским взаимодействием последняя довольно хорошо нзучена°'
связи с вычислением энергии связи металла, и корреляционн В
эффекты здесь можно учесть с помощью простых физических сооб
ражений. Однако в случае ядерной материи, когда имеется сильное
отталкивание между нуклонами на малых расстояниях, необходи-
мое уточнение столь серьезно, что приближение Хартри — Фока
для энергии связи оказывается совершенно неверным.
Даже в случае электронного газа попытки рассчитать спектр
возбуждений, рассматривая влияние остаточного взаимодействия
между частицами как возмущение, также приводят к бессмыслице.
Хорошо известно, например, что в этом приближении «обменная
поправка» к плотности состояний на уровне Ферми оказывается
расходящейся.
Чтобы понять суть методов, развитых с целью избежать этих
ошибок, полезно интерпретировать теорию Хартри — Фока на
языке диаграмм. При этом удается получить известное представ-
ление о том, что именно было упущено.
Язык диаграмм имеет множество «диалектов». Интересуясь
главным образом основным состоянием и спектром возбуждений
статической системы с фиксированными силами взаимодействия,
мы могли бы следовать некоторым из важных оригинальных ста-
тей и ввести не зависящую от времени графическую технику, ос-
нованную на разложении в ряд резольвенты (4.124), С другой
стороны, как указывалось в гл. 3, § 8, те же результаты дает и
известная нестационарная теория возмущений с фейнмановскими
диаграммами, порождаемыми адиабатически включаемым взаимо-
действием о (г — г'). Мы изображаем взаимодействие между фер-
мионами «горизонтальной» линией (мгновенное взаимодействие),
снабжаемой индексом К, который обозначает не что иное, как
импульс передачи. Соответственно он и является аргументом функ-
ции v(К), сопоставляемой каждой такой линии на диаграмме типа
или
Следует отметить, что эти диаграммы топологически эквива-
лентны диаграммам, описывающим обмен виртуальными бозонами
Некоторые аспекты проблемы многих тел
163
фермионами, хотя в последнем случае вклад данной диа-
ме лается выражением, содержащим несколько более слож-
грамм оПагатор типа (3.117). Согласно (3.77), такой обмен бозо-
11Ь,Н приводит к появлению силы взаимодействия между фермио-
на фактически именно таково физическое происхождение
^еогии взаимодействия а (г — г'). При малых энергиях, недоста-
ЭНчных для порождения реальных бозонов, нет необходимости раз-
Т°1чать эти два случая (см. гл. 6, § 11). Например, в металлах при
Л|зких температурах электроны взаимодействую обоими спосо-
КмН —как путем прямого мгновенного кулоновского отталкива-
ния так и посредством сил более тонкого происхождения
1см ' (3-77)], обусловленных электрон-фононным взаимодействием.
Используя диаграммы Фсйнмаиа, можно доказать, что при опи-
сании истинных физических свойств системы нужно рассматривать
только связные диаграммы. При этом используются в сущности те
же топологические соображения, что и в гл. 3, § 9, при определе-
нии «физического вакуума» в теории частиц. Применительно к диа-
граммному разложению резольвенты это утверждение называют
теоремой о связных диаграммах; доказывать его здесь нет необхо-
димости.
Энергия основного состояния системы дается суммой всех соб-
ственно-энергетических диаграмм, т. е. всех связных диаграмм без
«внешних линий». Главные из них имеют вид
Сумма вкладов этих диаграмм записывается как
Go( 1 1) v (1 2) Go(2 2) - Go (1 2) v (1 2) Go (1 2) - v (1 2) Ko (1 2 1 2). (5.24)
Здесь подразумевается, что по переменным с повторяющимися
индексами проводится суммирование (интегрирование). Видно, что,
коль скоро двухчастичная матрица плотности (или функция Гри-
на) такая же, как для свободных независимых частиц [см. (4.86)
и (5.14)], выражение (5.24) есть просто среднее значение потен-
циала взаимодействия.
Теория Хартри — Фока, однако, дает лучшее приближение. Со-
гласно (5.16), мы должны вычислить величину
<Ф„ + фобм) = G (1 1) v (1 2) G (2 2) - G (1 2) v (1 2) G (2 1), (5.25)
где G есть модифицированный пропагатор, самосогласованно учи-
тывающий поправку (5.25) к энергии каждого состояния, т. е.
G = ^^МФ// + Фобм> *	(5’26)
6»
164
Глава 5
Из соотношений (5.25) и (5.26) как раз и вытекают интегра пЬ
уравнения (5.17) — (5.21), которые затем варьируются и решаю^'6
самосогласованным образом.	‘ ся
Выражение (5.26) для G по существу представляет собой сум
следующего ряда Дайсона:
Левая часть этого символического уравнения для G означает, что
хартриевское и обменное поля играют роль внешнего поля. Диа-
граммы, стоящие в правой части, получаются при подстановке
в пропагатор свободного электрона Go всевозможных субдиаграмм,
соответствующих независимым виртуальным возбуждениям вакуу-
ма, прямым или обменным. Они получаются из диаграмм, просум-
мированных в выражении (5.24), если в каждой из последних
разорвать по одной фермионной линии. Другими словами, переходя
от (5.24) к (5.25), мы берем вместо бесконечного набора собствен-
но-энергетических диаграмм типа, например,
две простые диаграммы «первого порядка»,
. Действительно, полную энергию в приближении
Хартри — Фока дают именно эти две диаграммы, с добавлением
вклада от диаграммы
соответствующей члену — ’/г(Фя+
+ Фобм) в (5.23).
Некоторые аспекты проблемы многих тел
165
§ 6.	Метод Бракнера
К к мы у»е видели, в методе Хартри — Фока не удается после-
телыю учесть корреляцию между частицами. Действительно,
Д°Ва\чае однородного газа волновые функции, входящие в детср-
Б ант (5.52), могут быть только плоскими волнами, поскольку
Кпульс является хорошим квантовым числом. Поэтому модифи-
И пованный пропагатор О отличается от Go только сдвигом начала
счета энергии. Таким образом, двухчастичная функция Грина
Д'(1234) совпадает с функцией Ао( 1234) [см. (5.14)] для свободных
частиц; корреляция учитывается только наличием «обменной дыр-
ки» для частиц с одинаковым спином.
Фактически точную двухчастичную функцию Грина (4.89)
нельзя представить в виде разности произведений одночастичных
пропагаторов, как это было принято в (5.15); она содержит еще
вершинную часть Г (1234). Последнюю величину можно найти,
только просуммировав все диаграммы, отвечающие взаимодей-
ствию между двумя фермионами, а не только те, которые вошли
в ряд вида (5.27).
Например, по самому способу построения хартри-фоковского
пропагатора невозможно появление диаграмм, в которых две фер-
мионные линии соединяются более чем одной линией взаимодей-
ствия. Здесь исключаются лестничные диаграммы, отвечающие
и тл.д.
повторным актам взаимодействия между одними и теми же части-
цами до их окончательного удаления друг от друга. Такие диа-
граммы могут появиться в качестве субдиаграмм в собственно-энер-
гетических диаграммах довольно низкого порядка, и потому,во-
обще говоря, пренебречь ими нет оснований. Более того, подобные
Диаграммы часто могут оказаться важными. Действительно, в слу-
чае рассеяния двух частиц они соответствуют членам высшего по-
рядка в обычном разложении матричного элемента по степеням
отенциала взаимодействия и (г — г'). При таком разложении по-
лучается, конечно, борновский ряд (4.140), который при малых
нергиях сходится только для довольно слабого потенциала. По-
тому не удивительно, что попытка улучшить теорию Хартри —
п ка путем последовательного почленного вычисления этих «по-
депо°К>> пРИВОДИт к противоречиям и расходимостям. Так обстоит
Мол ”В СЛучае дальнодействующих электростатических сил взаи-
<?иствия между электронами в металле и в случае короткодей-
166
Глава 5
сгвующих сил отталкивания типа «твердой сердцевины» в ялеп
материи.	^Ной
Однако, как известно, задачу о потенциальном рассеянии
бодных частиц можно решить непосредственно, не обращаВ°"
к борцовскому ряду. Нетрудно, например, вычислить сдвиги <hCb
и по ним построить Т-матрицу (4.157) для «абсолютно нейрон
цаемой» сердцевины. С другой стороны, рассматривая такой По"
тенциал как «возмущение», мы пришли бы к чрезвычайно сингч"
лярным выражениям. Сущность метода Браннера состоит в заме
не суммы всех лестничных субдиаграмм соответствующим реше-
нием задачи о рассеянии двух частиц, полученным каким-нибудь
другим способом с лучшей сходимостью.
Фактически этот метод приводит к довольно громоздким вы-
кладкам. Нельзя, например, просто заменить потенциал взаимодей-
ствия v соответствующим элементом Г-матрицы. Действительно
последняя не эрмитова и потому, в частности, не давала бы ве-
щественного результата для средней «хартри-фоковской» энергии
(5.25). По этой причине удобнее могла бы оказаться мат-
рица реакции, или «Л-матрица» [см. (4.162)], которая уже эрми-
това.
Главное затруднение состоит в том, что «лестницы», входящие
в качестве субдиаграмм в более сложные замкнутые петли
могут соответствовать процессу «рассеяния» более общего ти-
па, нежели действительное столкновение между реальными фер-
мионами.
Если процесс является, так сказать, «виртуальным», то он мо-
жет окончиться или начаться в каком-либо «промежуточном» со-
стоянии, встретившемся в некотором члене ряда теории возмуще-
ний. Поскольку это лишь часть всей диаграммы, энергия в ней не
обязана сохраняться. Но ни Т-матрица, ни /(-матрица формально
не определены «вне энергетической поверхности». Поэтому, чтобы
получить выражение, заменяющее и в этом общем случае, прихо-
дится производить некоторое произвольное аналитическое продол-
жение. При этом, в частности, можно исходить из интегрального
уравнения (4.164).
Тем не менее метод Бракнера оказался довольно успешным
в задаче о вычислении энергии связи фермионных систем высокой
плотности с сильным взаимодействием.
Некоторые аспекты проблемы многих тел
10
§ 7.	Диэлектрическая проницаемость
Возможна и другая точка зрения на метод Хартри — Фока,
нно его можно рассматривать как способ определения экра-
^'сования. Вводя ранее определение (5.10), мы отметили, что са-
Еогласованное поле, которое «чувствует» электрон, отнюдь не
^падает с «внешним» полем. Частицы перераспределяются таким
вбоазом, что возникают новые силы, действующие на каждую из
° 1х Другими словами, действие внешнего поля систематически
видоизменяется как по величине, так и по характеру распределе-
ния в пространстве, благодаря самосогласованной реакции самой
системы многих тел. Мы знаем, например, что статический поло-
жительный заряд, внесенный в электронный газ, скажем, атом
цинка в металлической меди, притягивает к себе электронный за-
ряд как раз такой величины, чтобы уже на малых расстояниях
система оказалась почти нейтральной.
Точное решение уравнений Хартри даже в такой простой ситуа-
ции можно получить только с помощью трудоемких численных
расчетов. Более того, эти уравнения нелинейны, т. е. самосогласо-
ванное поле, отвечающее двум внешним потенциалам, присутствую-
щим одновременно, не определяется простым сложением полей, ко-
торые отвечали бы каждому из потенциалов в отдельности. Таким
образом, теория Хартри — Фока представляет собой нелинейное
приближение.
Ограничимся, однако, случаем очень слабых внешних полей.
Попытаемся построить точную теорию, описывающую линейный
член в соотношении между потенциалом ^внешн(г. t), создаваемым
«внешними» источниками, и «полным» потенциалом 7*Полн(г, t),
«ощущаемым» пробной частицей, внесенной в систему многих тел.
Тем самым мы выдвигаем гипотезу о существовании в общем слу-
чае такой функции отклика R(r, t-, г', Г), что
(г, 0 = j j R (г, R г', Г) Пнешн (Г', f) dV dt'. (5.28)
Задача состоит в исследовании аналитических свойств этой функ-
ции.
Пусть система однородна. Выполнив в (5.28) преобразование
Урье как по пространственным координатам, так и по времени,
ы м°жем переписать это соотношение в виде
^полн(Ч, ®) = е ^внешв (ч- ®)«
о
в есь по аналогии с элементарной электростатикой (являющейся
обобЩН°СТИ частным случаем рассматриваемой ситуации) введена
ной	диэлектрическая проницаемость e(q, со) вместо обрат-
ен величины R. Аналогично введем обобщенную поляризуе-
У
" поли
(5.29)
168
Г лава 5
мость a(q, ш) системы многих тел, согласно формуле
в (q, со) = 1 + a (q, со).	(5 Зо
Выражения (5.29) и (5.30) означают, что поле, вызванное
ризацией среды, обычно противодействует полному полю, действ ЛЯ
щему на частицы, т. е.
^инд (Ч> ®) ^°полн (Ч> ®) ^°внешн(Ч> ®) а(Ч> ®) ^полн (q> <о). (5 31)
Вообще говоря, e(q, со) есть комплексная функция частоты
В силу принципа причинности она должна удовлетворять диспео
сионным соотношениям вида	Р'
оо
Ref——•—7-1=1 + —	f -г-~ - Im | - -1 -1 do7. (5 32\
I e (q, co) J л	J co — co2 [ e (q, co) J	v
Мнимая часть e(q, co) характеризует процессы рассеяния энергии
в системе, поэтому она должна быть связана с теорией необрати-
мых процессов Кубо, рассматривавшейся в гл. 4, § 4. Однако важ-
но отметить различие между поперечной и продольной диэлектри-
ческими проницаемостями. Электропроводность, вычисленная, ска
жем, по формуле (4.46), пригодной, в частности, и при исследо-
вании поглощения света, характеризует отклик системы на попе-
речно поляризованное электромагнитное поле. Мы же исследуем
сейчас влияние продольной, «электростатической» компоненты
поля; при этом физические эффекты и соответственно формулы
оказываются совершенно иными.
Помимо известной роли диэлектрической проницаемости в трак-
товке ряда эффектов она оказывается еще важной в общей теории
систем многих тел. Почему? Дело в том, что функция 1/е (q, со) тес-
но связана с точной двухчастичной функцией Грина и обладает
сингулярностями в точности при энергиях возбужденных состоя-
ний. Более того, используем простой эвристический прием, рас-
сматривая межчастичное взаимодействие как «экранированное».
Это сводится к замене y(q) модифицированным потенциалом взаи-
модействия
V (q>w)==_^.	(5.33)
Уже этот прием дает мощное средство учета многих корреляцион-
ных эффектов в газе фермионов; он эквивалентен суммированию
бесконечно многих диаграмм в ряде теории возмущений.
§ 8.	Спектральное представление диэлектрической
проницаемости
Чтобы продемонстрировать некоторые из этих фундаменталь-
ных свойств диэлектрической проницаемости, вычислим, к каки .
последствиям приводит наличие зависящего от времени гамильто
Некоторые аспекты проблемы многих тел
169
циана
N
Жиеиш = S ^внешн (ч, ®) £ ехр {/ (q • Гу - tot)}, (5.34)
q, и	/-1
г ву1Ощего на все частицы фермионного газа. Поскольку ве-
де11СНа е(Ч- ®) определена как характеристика линейного отклика,
Я11Ч11мОжем' исследовать влияние каждой фурье-компоненгы в от-
МЬтьности. Желая учесть адиабатическое включение поля в отда-
Дрнном прошлом, будем считать, что <в содержит малую мнимую
л <6. В рамках линейной теории можно также считать опера-
4 Жвнешн бесконечно малым, так что при расчете по теории воз-
мущений не нужно будет идти дальше членов первого порядка.
' Для простоты рассмотрим только тот случай, когда первона-
чально весь газ взаимодействующих фермионов находился в невоз-
мущенном основном состоянии, описываемом зависящим от вре-
мени вектором состояния [То) (в представлении Шредингера).
Пусть энергия точного собственного состояния невозмущенной си-
стемы |Жп), отсчитанная от энергии основного состояния, равна
Е„. Возмущение примешивает к рВо) возбужденные состояния
|ЧГ„) с коэффициентами a„(t). Согласно элементарной нестацио-
нарной теории возмущений, имеем
ап (t) = Гвнешн (q, со)	^1("‘
Здесь, как и в (4.85), введен оператор плотности частиц с фурье-
ком полентам и
(5.35)
P4S S exp(tq • Гу).
В результате этого примешивания концентрация частиц изме-
няется; ее среднее значение теперь зависит от времени, а q-компо-
нента равна
п	m
= ГВнешн (Ч- <") 1
п
(5.36)
1_____I____!——
to — 16 ‘ Еп + <о + /б _
+ о(П.ешн)> <5-37)
При выводе этого выражения мы использовали свойство трансля-
ционной инвариантности электронного газа, означающее, что каж-
дое возбужденное состояние |ФП) характеризуется однозначно оп-
ределенным волновым вектором. Поскольку в сумму дают вклад
т°лько те состояния, для которых величина C^o|Pq| п) ие °
Ращается в нуль, все матричные элементы вида | Pq/|
170
Глава 5
выпадают, за исключением тех, для которых вектор q' точно п
исходному волновому вектору q. Для лиц, интересующихся РЗВен
лями расчета, отметим, что, собирая в единую формулу эрми^13'
и комплексно сопряженные выражения, мы проделали нескоч°В°
хитрых преобразований с положительными и отрицательными \Ьк°
чениями со.	H,t'
Это изменение концентрации частиц в свою очередь вызыва
появление поля, ибо потенциал о (г— г') действует не только Л
частицы газа, но и на пробную частицу. Фурье-компоненты инду-
цированного потенциала будут равны
^инД(Я> ®) = <Pq(®)>t>(q).	(5.38)
Но, согласно определениям (5.29) и (5.31),
^ннд(<1, ®) = | е (q	| ^внешн (q, ®)-	(5.39)
Поэтому из (5.37) — (5.39) получается следующая весьма общая
формула:
- 1 + v (q) V I <V, | Р„ I	f	. (5.40)
п
Эта формула непосредственно связывает диэлектрическую про-
ницаемость с точными собственными функциями системы взаимо-
действующих фермионов. Отсюда ясна важная роль этого понятия
в теории многих тел. Способ вывода, который мы здесь кратко об-
рисовали, очень прост и вовсе не апеллирует к соображениям «са-
мосогласованности». Возмущением служит истинный «внешний»
потенциал ^внешн, а не результирующий «полный» потенциал
^полн, как могло бы показаться. В определении каждого возбуж-
денного состояния |ХГ„) автоматически учитываются любые эф-
фекты, обусловленные собственным полем поляризации.
Отметим, например, что функция l/e(q, <а) имеет полюсы при
всех значениях <о, совпадающих с энергиями возбужденных со-
стояний системы с волновым вектором q. Исследование сингуляр-
ностей обратной диэлектрической проницаемости может дать весь
спектр элементарных возбуждений системы, включая как одиноч-
ные «квазичастичные» возбуждения, так и коллективные возбужде-
ния типа плазменных колебаний.
Мы видим, далее, что значение вычета в каждом таком полюсе
прямо связано с двухчастичной функцией Грина рассматриваемой
системы. Мнимую часть выражения (5.40) в пределе бесконечно
малых 6 можно записать в виде
1 m {7йЬ)} ’ (я) SIЛI р J Ч'о) 1! 1«. (£. + “) -6 (£» - ®)1  (М”
п
Некоторые аспекты проблемы многих тел
171
мним теперь, что выражение (4.85) через оператор плотности
определяет корреляционную функцию Ван-Хова. Переходя
Р- [пульсно-энергетическому представлению, получаем для этой
функции в основном состоянии системы
5 (q, ®) = J (^01 p_q (/) Pq (0) | Wo)	dt.
(5.42)
Правую
(5.41). Д
ратор 2j
часть (5.42) легко представить в виде ряда членов типа
ля этой цепи надо лишь вставить в (5.42) единичный опе-
| ЧД) I и использовать затем явный вид временной
зависимости входящих сюда (шредингеровских) векторов состоя-
ния. Получим
Im { е~(£Ъ) } = nv	(q> ~ “) “ S (q>	<5-43)
Нетрудно понять физический смысл этой формулы. Эффектив-
ное взаимодействие нашей пробной частицы с фермионами харак-
теризуется экранированным потенциалом o(q)/e(q, ©). Мнимая
часть этого потенциала отвечала бы необратимым процессам по-
глощения энергии, скорость протекания которых пропорциональна
величине
1т{ттг^}= Ma2(q)HS(q. -<D)-S(q,co)].	(5.44)
Это есть энергия, теряемая при столкновениях с частицами газа.
Она определяется произведением квадрата матричного элемента
гамильтониана взаимодействия с каждой частицей на соответ-
ствующую фурье-компоненгу функции распределения частиц. Тео-
рия такого типа могла бы, например, описывать дифракцию нейт-
ронов в жидкости или газе или возбуждение плазменных колебаний
при прохождении быстрых электронов через тонкую металлическую
пленку.
Рассмотрим теперь другой результат, часто получаемый как
следствие формулы (5.43). Именно, интегрируя (5.43) по ю, мы
получим фурье компоненту от статической бинарной корреляцион-
ной функции
оо
$(q)~4- S	=------тЦ-77 [ 1ml	- 1. (5.45)
А 4	7 ли (q) N J { e(q, <о) J	7
i ¥=j	о
Рассмотрим теперь среднюю «потенциальную энергию» взаимодей-
ствующих частиц
<Г> =	£ о(г(- Гу)) = 4 N v (q) S (q) =
* 1	q
оо
= Im{	N S °(q)- <5-46)
q 0	q
172
Глава 5
Сходство этих выражений само по себе еще не позволяет п
лить полную энергию системы, поскольку остаются неизвест/4'10
поправки к «кинетической энергии» частиц при учете взаимо^й1
ствия. Однако имеется общая теорема (по-видимому, впервые^”
пользованная Паули), которая гласит следующее. Рассмотрим **С
бую систему, потенциал взаимодействия между частицами котов*0-'
есть Xv, где X— параметр, изменяющийся от нуля до единицы
Пусть волновая функция основного состояния этой системы есть
IWopi)). Тогда энергия основного состояния системы со взаимодей
ствием, соответствующей значению Х = 1, определяется формулой
I
£ = Е0+J^-(^0(Z)|zr|V0(Z)).
о
(5.47)
Здесь Ео— энергия системы без взаимодействия, равная, например
a/5NS’p для фермионного газа. Эту теорему легко доказать, дцф’
ференцируя среднее значение гамильтониана.
Определим теперь функцию eA(q, со) как диэлектрическую про-
ницаемость в системе, энергия взаимодействия в которой есть Xv.
Согласно (5.46) и (5.47), для энергии основного состояния мы по-
лучим
£ = £о
1 Г оо
У Г —
q 0 L2Я О *	<q’ И)
Д-'?.п (q) . (5.48)
Конечно, выразить через диэлектрическую проницаемость различ-
ные измеряемые физические характеристики системы, такие,
как полная энергия и бинарная функция распределения частиц,—
это еще не значит решить проблему многих тел. Можно надеяться,
однако, что использование разумного приближения для функции
e' (q, о;) в (5.48), существенно учитывающего корреляционные эф-
фекты, позволит получить лучшие результаты, нежели в теории
Хартри — Фока, пренебрегающей указанными эффектами
Сравнительно несложно обобщить формулу (5.40) на случай си-
стемы при конечной температуре. Величины представляют
собой векторы состояния всей системы, поэтому каждая из них
встречается в ансамбле с вероятностью, определяемой больцманов-
ским фактором (4.27). Вычислив результат действия возмущения
на это распределение, получим
_ь_=,
mn	(5.49)
Здесь Enm = Еп — Em есть изменение энергии при переходе из на
чального состояния |4fm) в виртуальное возбужденное состоя
ние |ТП).
Некоторые аспекты проблемы многих тел
173
г к и раньше, правую часть (5.49) можно представить в ином
Ка'введя бинарную корреляционную функцию. Учтем еще, что
Б'1ДСШан перестановка индексов tn и п в (5.49) эквивалентна из-
вза11нПю знака со и умножению на ехр(рсо). Замечая, что в силу
мен пиантности по отношению к обращению времени можно заме-
нить— q на Ч’ мы ПОЛУЧИМ
S (q, ы) =	(q, — а).
(5.50)
Отсюда на основании (5.43) имеем
Im{ e(q, Д)~} = “ nV (q)[1 -e-₽“lS<4> “)-
(5.51)
Фактически мы пришли к флуктуационно-диссипационной теореме
и тем самым установили связь с формализмом Кубо (гл. 4, § 4) в
теории необратимых процессов. Действительно, сравнивая (5.51) с
(4.46), мы видим, что в обоих случаях коэффициент, характеризую-
щий диссипативный процесс, выражен через фурье-компоненту
двухчастичной временной корреляционной функции, описывающей
флуктуации физических величии.
§ 9.	Диаграммная интерпретация диэлектрической
проницаемости
Диэлектрическая проницаемость представляет собой точную ма-
тематическую характеристику однородной системы взаимодей-
ствующих частиц, но вычислить ее можно только приближенно.
Что означает такой расчет на языке диаграмм Фейнмана?
Пусть в гейзенберговском представлении или в представлении
взаимодействия слабый внешний потенциал типа (5.34) задается
оператором общего вида ^Внешнф*,ф. Будем изображать его особой
(например, зигзагообразной) горизонтальной линией
идущей от изолированной «внешней» точки к фермионной вершине,
оскольку потенциал ^ВНСпш считается бесконечно малым, при вы-
числении влияния возмущения на энергию или на другие свойства
за фермионов надо отбросить все диаграммы, содержащие более
вух таких внешних линий.
1апРимер, вычисляя возмущенную энергию основного состояния
темь>, мы должны были бы просуммировать все диаграммы,
174
Глава 5
которые в отсутствие этих линии взаимодействия были бы эа
ты. Это диаграммы типа приведенных на фиг. 4. В отсутствие л "К11У'
стачного взаимодействия, подобного рассмотренному в гл 5 >&Ча'
потребовалась бы только диаграмма фиг. 4, о1), соответствую
обычной теории возмущений Рэлея — Шредингера относится Я
^впешн- Предположение состоит в том, что, поделив
на e(q, со), мы учтем и все другие диаграммы исходного ряда О’Г]
сывающие всевозможные виртуальные процессы, связанные с Ллу
туациями концентрации частиц и т. д. в среде.
Теперь, так же как в гл. 3, § 10, гл. 4, § 8, гл. 5, § 5 и т. д., рас-
смотрим топологическую структуру диаграмм фиг. 4. В данном слу-
чае нас интересуют части типа «петель», т. е. субдиаграммы, кото-
рые были бы замкнутыми, если отбросить зигзагообразные линии
у начальной и конечной вершин. В свою очередь петли можно раз-
делить на приводимые и неприводимые соответственно тому, можно
ли разорвать их, перерезав только одну внутреннюю линию взаимо-
действия, или нет. При этом мы будем изображать неприводимую
поляризационную часть2) заштрихованной петлей, представляющей
сумму ряда, приведенного на фиг. 5. Формально это означает, что
всякий раз, когда в диаграмму вводится заштрихованная петля,
) Вклад от «собственно-энергетической» диаграммы
учи-
тывается путем подходящего выбора начала отсчета энергии, как и в методе
Хартри — Фока.
2) Называемую также поляризационным оператором. — Прим, персе.
Некоторые аспекты проблемы многих тел
175
тствующий элемент S-матрицы умножается на величину
С°°ТБ\ Последняя есть функция только энергии и импульса, пере-
Ух системе в начальной вершине и возвращенных ею в конце.
ДаИп каждой из диаграмм фиг. 4 две линии внешнего потенциала
соединяться либо неприводимой петлей (фиг. 4, а и в) —
М 'а их следует включить в набор диаграмм фиг. 6, а, — либо
Ф и г. 6.
промежуточными диаграммами, которые можно представить в виде
цепочки неприводимых петель (фиг. 4,6). Для суммы всех таких
цепочек мы введем новый символ — линию эффективного взаимодей-
ствия. Она определяется как сумма следующего ряда диаграмм:
(5.52)
Эта линия учитывает всевозможные способы связи двух фермион-
ных вершин посредством внутренних линий; соответствующая ей
величина в разложении для S-матрицы ведет себя как модифици-
рованный потенциал взаимодействия, фурье-компонента которого
равна a'(q). Символически вставив жирную линию между двумя
заштрихованными петлями, как на фиг. 6, б, мы исчерпаем весь ряд
Диаграмм для энергии основного состояния, изображенный на
фиг. 4.
Однако ряд (5.52) имеет структуру обычной геометрической про-
грессии и порождается следующим уравнением:
(5.53)
176
Глава 5
В импульсно-энергетическом представлении это соответс
простому алгебраическому соотношению	в^ет
v' (k) = v (к) + v' (к) л (к, со) v (к),	(с.
связывающему модифицированный потенциал взаимодействия с
приводимой поляризационной частью. Аналогичным образом
могли бы определить и модифицированный внешний потецциаЬ1
^полн(к, ы). который содержит вклады от всевозможных промежх^
точных петлевых диаграмм	J
(5.55)
Суммирование этого ряда приводит к алгебраическому уравнению,
аналогичному (5.54):
полн(к, со) — Ifвнешн(к, со)-)- 7р1[0П1(к, со) л (к, со) V (к).	(5.56)
Сравним эти формулы с соотношением (5.29); элементарное
преобразование дает
^°полн(к, со) = 1 _ v я (к, внешн (к, со).	(5.57)
Отсюда имеем
е (к, со) = 1 — v (к) л (к, со).	(5.58)
Иными словами, сумма всех неприводимых поляризационных ча-
стей дает поляризуемость среды [см. (5.30)]i
а (к, со) = — v (к) л (к, со).	(5.59)
Смысл соотношения (5.54) ясен: модифицированный потенциал
взаимодействия между частицами, учитывающий поляризацию сре-
ды и другие эффекты межчастичной корреляции, как раз и есть то,
что следует называть экранированным потенциалом:
v' (к) = -^г о (к).	(5.60)
В случае электростатических сил этот простой и наглядный эври-
стический подход устраняет, например, все трудности и расходи-
мости, связанные с дальнодействующим характером кулоновского
взаимодействия между электронами в металле. Видим, что факти-
Некоторые аспекты проблемы многих тел
177
моЖно обосновать как результат частичного суммирова-
ло11 еГа теории возмущений.
цИ« Р рОесно отметить, что при выводе соотношений (5.54) или
Щ мог бы возникнуть соблазн остановиться на втором члене
(5 52), т. е. положить
(5.61)
формально это записывается как
v' (k) ~ v (к) + v (к) л (к, <о) v (к),
(5.63)
(5.62)
Что эквивалентно использованию вместо (5.58) следующего при-
ближенного выражения:
в (к, <в) ~ । + v (|0 я
В случае слабых взаимодействий различие между двумя форму-
лами могло бы оказаться несущественным, однако при вычислении
спектра возбуждений среды через полюсы функции 1/е(к, со) [см.
(5.40)] выражение (5.63) [вместо (5.58)] привело бы, очевидно, к
абсолютно неверным результатам. Здесь мы имеем типичный при-
мер проявления общего правила: аналитические свойства функции,
определенной как сумма бесконечного ряда, невозможно устано-
вить, исследуя только отдельные его члены.
Данная выше диаграммная интерпретация диэлектрической про-
ницаемости системы многих тел еще не позволяет нам выписать
точную формулу для е(к, со). Суммирование по всем неприводимым
петлям фиг. 5, необходимое для вычисления л (к, со), есть процедура
неограниченно возрастающей сложности Ясно, однако, как можно
было бы улучшить самый первый член и систематически провести
дальнейшие частичные суммирования бесконечных классов диа-
грамм. Например, мы могли бы воспользоваться методом Хартри —
Фока [как в случае (5.26)] и модифицировать каждый фермионный
пропагатор в этой простой петле. При этом, как показано в (5.27),
б>Д5т учтены все неприводимые петли, описывающие независимые
виртуальные возбуждения вакуума (см. фиг. 5, в). Далее, можно
ыло бы попробовать заменить потенциал взаимодействия о (к) со-
путствующим элементом /(-матрицы, как в методе Бракнера (§ 6),
тем самым были бы учтены вклады от процессов многократного
фИрСед11ия я более сложных петлях типа изображенных на
§ 10.	Приближение случайных фаз
BHewaC.CM°TPHM тепеРь Другой подход к проблеме в целом, который
станп 6 сов?РШенно не похож на предыдущий. Гамильтониан нашей
артной системы со взаимодействием можно записать, используя
179
178
Глава 5
Некоторые аспекты проблемы многих тел
обычное представление вторичного квантования с помо!
раторов фермионного поля.	ЩЬ1° оц,
"-Si'A + lS’WA-A').
к
P	к	(5-64)
Здесь намеренно выделены операторы, отвечающие флуктча!
концентрации с различными длинами волн. Именно, оператоп ЦИЯ'
деленный как [ср. эквивалентное определение (5.36)]	’ °пре*
р* = S
rk 77 к + V к ’
к
и т. д.
p+q^p+k p + q-k1
(5.66)
члены
(5.65)
порождает комбинацию возбуждений типа «электронно-дырочны.
пар», обладающую суммарным импульсом к.
Оставляя в стороне вопрос о влиянии внешних полей, выведем
уравнение движения для типичного оператора возбуждения пары
фигурирующего в сумме (5.65), например для произведения опе-
раторов
С этой целью вычислим коммутатор рассматриваемого оператора
с гамильтонианом (5.64), исключив возможно большее число чле-
нов с помощью соотношений антикоммутации операторов b'k
Результат имеет вид
I". »;+д1={ад+я) - (р>)	-
Очевидно, что полное уравнение движения, содержащее
такого типа, решить не удастся. Поведение нашего возбуждения,
отвечающего одиночной паре, зависит от произведений четырех по-
левых операторов, т. е. от возбуждений «двойных пар», и т. д. Как и
в гл. 4, § 9, мы имеем здесь первое из цепочки уравнений. Помимо
этого рассматриваемое возбуждение с волновым вектором q зависит
от поведения флуктуаций со всеми прочими волновыми числами,
так что уравнения для разных возбуждений невозможно разделить.
Оба эти затруднения можно обойти с помощью приближения
случайных фаз (ПСФ). Пусть нас интересуют свойства системы
некотором стационарном состоянии с вектором состояния | ) илИ
смешанном состоянии, заданном канонической матрицей плотное
при температуре Т. Заменим тогда все разнообразные произведе
операторов, на которые умножается справа р£, средними их зн
ниями или средними по ансамблю. Это приводит к эффектив
исчезновению очень большого числа членов, которые соответ
зали бы недиагональным элементам со случайными разно
Б результате получается
Vp+A+k'&p+4'k&₽'
P + q /Zp)6q. к-
(5.67)
есть среднее число заполнения р го одночастичного со-
₽з рассматриваемом исходном состоянии, по которому ве-
। усреднение. Согласно	..— , _
5 ппявую часть (5.66). Тогда получим
-;„м ~ {ад+ч> - ««W)	Д - »(ч) • (я,
p+q^q+k ^p+q-k^P
Здесь л(
стояния в
дется ycpf
давить в правую
[Н. t;
В этом
возбуждения q
яое в силу ту
ТОМ}, ЧТО
---
Согласно методу ПСФ, этот результат надо под-
ЛУ»\ гр -ж	VTT ГТГТТЛТ
п+ -Пп)р’ (5.68)
„	P + q	P/'q '	’
приближении отбрасываются все процессы, в которых
пульс передачи не равен волновому вектору рассматриваемого
» J ------ q Выделение одного члена с k = q в (5.67), возмож-
у трансляционной инвариантности системы, приводит к
.то возбуждения с разными длинами волн становятся неза-
висимыми друг от друга. В результате вытекающие из форму-
1Ы (5.68) уравнения движения решаются уже сравнительно просто.
Мы пренебрегли также флуктуациями чисел заполнения частиц
относительно их средних значений пр. В этих условиях второй член
в (5.68) можно интерпретировать как средний потенциал o(q)p*,
^издаваемый всеми частицами системы и действующий на рассма-
триваемую пару. Очевидно, метод ПСФ представляет собой обоб-
щение метода самосогласованного поля. К нему можно прийти, вво-
дя временную зависимость в уравнения Хартри (5.8) — (5.10). При
этом мы учтем не только влияние среднего статического поля на
ьаждое одночастичное состояние, но и среднее осциллирующее
поле, которое может возникнуть благодаря небольшой корреляции
между движениями различных частиц.
Уравнения движения системы в рассматриваемом приближении
решаются следующим образом. Рассмотрим оператор, отвечающий
некоторому возбуждению общего вида (с волновым вектором q), со-
----------------------------------- ттитшгяу,-
(5.69)
стоящему из всевозможных пар «частица дырка
Гч= S Л(Р, Ч. ®q)6’p+q&p-
Неизвестную функцию 71(p,q, соч) следует выбрать1	° Р пр0.
чтобы оператор^ (5.69) удовлетворял уравнению Движе Д.
етого гармонического осциллятора с частотой ыч,  
{«.«-<>£• (5-70)
Подставив (5.68) и (5.69) в (5.70), получим
?Л(Р- Ч, %) [% - ^0(р + q) +	=
= S д(р, %)Ич-%+ч}°^рч- (5-71)
р
? Л(Р- Ч> <%)[<
180
Глава 5
Левая часть этого уравнения оказывается пропорционач
ратору р* если положить	' bHofl опе
(р’ Ч’ q) wq-^o(P + 4) + ^o(P) ’	(5.72)
Уравнения (5.71) и (5.72) согласуются друг с другом лип,,,
условии	Щь пРи
1 _ v («) V_______ п
W «<. - {^о (Р + Ч) - «о (Р)} ~ U-	(5.73)
Последнее, таким образом, представляет собой самосогласованн
дисперсионное уравнение для частоты wq квазинезависимого во°е
бужденного состояния системы с импульсом q.
Этот результат элементарно следует из теории диэлектриче
ской проницаемости. Действительно, вычислим поляризационный
оператор n(q, w), т. е. сумму неприводимых петель, определенных
в § 9. В простейшем приближении берется просто одиночная петля
(см. фиг. 5,0). Правила вычисления вкладов от фейнмановских
диаграмм, сформулированные в гл. 3, § 8, следует обобщить на слу-
чай Т =А0. При этом добавляются множители типа (2.36), учиты-
вающие относительные средние числа заполнения одночастичных
состояний р и р + q (в одно из них добавляется электрон, а в дру-
гое— дырка или наоборот). В итоге имеем
/	\ _. \? ”р 0 ~ ”p+q) ~ Гср+ч О ~ ”р) _ V____nv ~ "р+д_____
ЛЩ,	ш_{^0(р + ч)-й’0(р)}	<0-{<МР + Ч)-^0(Р)} ’
р	р
(5-74)
Согласно формуле (5.58), мы получаем, следовательно, следующее
приближенное выражение для диэлектрической проницаемости:
е (q, <о) = 1 - v (q) У-	.	(5.75)
ш-{^0(р + ч)_^о(р)}
q
Видим, что дисперсионное уравнение (5.73), полученное по ме-
тоду ПСФ, эквивалентно условию, определяющему в том же при-
ближении (5.75) полюс обратной диэлектрической проницаемости.
Этот результат согласуется с общей теоремой (5.40) о связи полю-
сов функции 1/е со спектром элементарных возбуждений системы.
Здесь полезно обратить внимание на то, к чему привела бы по-
пытка использовать выражение (5.49) для расчета диэлектрической
проницаемости, если вместо истинного спектра возбуждений
всей взаимодействующей системы подставить туда, например, одно
частичные энергии ё’о (р) газа невзаимодействующих частиц. В ре,
зультате мы получили бы как раз формулу (5.63), найденну
«в первом порядке теории возмущений», в которой величина л(Ч> '
дается выражением (5.74). По этой формуле, конечно, у фУнкЦ
Некоторые аспекты проблемы многих тел
181
бы никаких иных полюсов, кроме тех, которые мы вве-
! не (’ь,л °е с самого начала. Соответственно из такой формулы
лп 61,1 в 0 было бы получить сведения о ряде коллективных воз-
*е®°^°ий системы, хотя при некоторых обстоятельствах она могла
бУжде11затЬСя не слишком плохим приближением для самой ди-
йы °Кнческой проницаемости. Возможно, наиболее запутанный
электр теОрии функций линейного отклика состоит в том, что
СПе*жение типа (5.75) представляет собой наилучшую приближен-
ВЬ'ра(Ьоомулу для диэлектрической проницаемости, тогда как выра-
Н‘енпя (5 40) и (5.44) дают точные формулы для величины, ей
обратной.
Мы показали, что метод ПСФ эквивалентен использованию са-
ого простого приближения для поляризационной части в диэлек-
трической проницаемости. Теперь надо было бы перейти к различ-
ным приложениям полученных формул. Практически это свелось
бы к решению задач теории электронного газа в металле; потен-
циал взаимодействия в этом случае дается выражением
(5-76)
На этом пути нетрудно развить элементарную теорию диэлектри-
ческого экранирования, а также можно продемонстрировать суще-
ствование плазменных колебаний, или плазмонов, и даже довольно
точно вычислить энергию основного состояния системы, подставив
функцию (5.75) в формулу (5.48). Но это увело бы нас в сторону
от тернистых путей математических принципов на восхитительные
равнины реальной физики.
§ 11.	Теория ферми-жидкостей Ландау
При расчете диэлектрической проницаемости (5.75) по методу
ПСФ окончательный результат зависит от средних чисел заполне-
ния различных состояний свободных частиц. Следующий шаг мог
оы состоять в простой перенормировке одночастичного пропагатора
в соответствующих линиях петли. При этом частица с невозмущен-
поиэнергией <¥o(k) = k2!2m превратилась бы в квазичастицу с энер-
гией е (к), определяемой, скажем, суммой ряда Дайсона (3.131).
 строго говоря, эта энергия сама должна зависеть от состояния
ей системы, например, через числа заполнения всех других со-
Янни частиЧ- Отличие теории многих тел от квантовой теории
спав СОСтОит в том> что в первом случае мы часто имеем дело со
одпо' UTejIbH0 ВЬ1сок°возбужденными состояниями системы, когда
Жем ременно присутствует много квазичастиц. При описании, ска-
тсМп’с'паСПределс,П1я электронов в обычном металле при комнатной
в Рт >11ТУре не УДается воспользоваться приемом, заключающимся
мотрении заполненных состояний ниже уровня Ферми как
182
Глава 5
пассивного «дираковского вакуума», из которого можно
небольшое число «дырок» (см. гл. 2, § 7).	В03®Удпт|,
В качестве эвристической основы для систематической
ки подобных систем Ландау предложил модель, основанР^КТ°В'
«включении» взаимодействия между частицами в' простом''к*0 На
газе. Эта теория оказалась чрезвычайно ценной при рассм ^еРМи‘
коллективных возбуждений и многих других наблюдаемых (ЬРеНИИ
ских свойств многофермионных систем. Она была обоснова ИЧе
первых принципов с помощью аппарата теории возмущений и (Г И3
ций Грина. Внешне эта теория выглядит очень просто благадНК
кажущемуся обходу всех математических осложнений современцР”
квантовой механики. Однако за этим скрывается много топкост “
и ловушек, опасных при легкомысленном отношении. В нижеслрИ
дующем изложении продемонстрируется лишь общий ход paccv-
ждений, и не следует слишком сильно на него полагаться.
Пусть мы имеем совокупность независимых фермионов в состоя-
ниях, которые характеризуются импульсами к (и, конечно, спино-
выми индексами, которыми мы для простоты пренебрегаем). В ос-
новном состоянии частицы заполняли бы сферу Ферми радиу-
сом kF. Каждому одночастичному уровню мы могли бы сопоставить
энергию, отсчитанную от энергии Ферми; при малых значениях
разности (k— kF) это выражение имеет вид

(5.77)
Здесь vF—постоянный параметр с размерностью скорости. Заме-
тим, что величина £(к) отрицательна при k < kF\ в теории Ландау
лучше не пользоваться условным формализмом «античастиц», вве-
денным в гл. 2, § 7.
Пусть теперь небольшое число этих независимых квазичастиц
возбуждено, так что число заполнения k-го уровня изменилось на
величину 6л (к). В силу сохранения числа фермионов мы имеем
2б/г(к) = О.	(5-78)
к
Энергия всей системы при этом изменяется на величину
Д«2бл(к)|(к).	<5-79)
к
Таким образом, спектр возбуждений системы как целого можно
выразить в виде функционала от чисел заполнения 6п(к).
Основная гипотеза Ландау состоит в том, что в такой фоРл
можно представить спектр любой однородной совокупности ФР
мионов — ее можно назвать ферми-жидкостью, если межчастич
взаимодействие в системе очень сильно. Однако выражение (о. )
может оказаться лишь первым членом разложения энергии в р „
Тэйлора по степеням tin. Для рассмотрения более сложных явл
Некоторые аспекты проблемы многих тел
183
' 0 учесть член следующего порядка, написав
£ = £	(к) £ (к) + | 2 I (к, к') 6п (к) д/г (к').	(5.80)
к	к. V
ина f(k, к') здесь выглядит как энергия добавочного взаимо-
^еЛИЧия между первоначально независимыми квазичастицами. Мы
дС”СТверждаем, что f(k, к') есть фактическая энергия взаимодей-
не между исходными фермионами (например, энергия кулонов-
<гв' взаимодействия между электронами в металле). Это просто
коэффициент в Разложении энергетического спектра жидкости в
пяд вида (5.80).
е ТеорИя Ландау с самого начала основывается на справедли-
вости выражения (5.80). Хотя выражение такого вида интуитивно
представляется очевидным, необходим очень тщательный диаграмм-
ный анализ с использованием температурных функций Грина и т.п.,
дабы показать, что оно и на самом деле является самосогласован-
ным. При этом функция /(к, к') оказывается связанной с вершин-
ной функцией Г (1234), входящей в уравнение Бете — Солпитера
(см. гл. 4, § 8). Она. следовательно, правильно описывает остаточ-
ное взаимодействие между квазичастицами после того, как все
эффекты усреднения, корреляции и экранирования уже приняты во
внимание. Отметим, однако, что равенство (5.77) справедливо толь-
ко для «нормальной» ферми-жидкости; оно было бы неверным, на-
пример, в применении к сверхпроводящему состоянию, когда в
спектре возбуждений близ поверхности Ферми появляется энерге-
тическая щель.
Ценность этой теории главным образом состоит в том, что она
дает простое описание коллективных свойств системы. Отметим, на-
пример, что энергия, необходимая для возбуждения одной добавоч-
ной частицы на уровень к, не просто равна величине (5.77): она
Должна определяться выражением вида
# (к) = £ (к) + р (к, к') д/г (к') d3k'.	(5.81)
Иными словами, эффективная энергия каждого одночастичного воз-
буждения явно зависит от чисел заполнения всех других состояний.
Зависимость такого типа естественно получалась в методе Хар-
три Фока; здесь она линеаризуется и возводится в ранг прин-
ч а Метод Ландау позволяет описывать различные коллективные
Движения жидкости — «первый звук», «нулевой звук», плазмоны,
спиновые волны и т. д.; при этом зависимость их характеристик от
пературы и от других макроскопических параметров входит
фЛЬК0 чеРез фермиевскую скорость vF из формулы (5.77) и через
Дов КЦИЮ взаим°Действия квазичастиц f(k, к'). Метод Ландау, сле-
т ВТельно> Дает очень простую схему трактовки различных резуль-
теорип многих тел, позволяя тем самым сравнить и связать
184
Глава 5
друг с другом детальные, конкретные формулы для различи
фектов.	‘ Ых эф-
В задачи настоящей книги не входит рассмотрение этих п
образных физических явлений и формул, которыми они onnci?a3li0'
ся. Но для того чтобы продемонстрировать силу теории ЛацБа'0Т
равно и свойственные ей ограничения, мы выведем сейчас ЭпЯау’а
тарным способом почти парадоксальную формулу для плот|7'еН'
тока в ферми-жидкости.	Сти
Чтобы придать рассмотрению большую конкретность бу?
СЧИТаТЬ П'ГЛ TZoMZnoa ио/'.„•нт, о WII ттт/гтг'тт: r.tin'jrrwr _ .. -	•'
СОЙ
ему
как
что каждая частица жидкости обладает некоторой ма
т, и мы измеряем поток частиц, наблюдая соответствующий
поток массы. Иначе говоря, мы определяем оператор потока
полный импульс, поделенный на т:
i
(5.82)
Тот же подход применим, разумеется, и к электрическим токам за
ряженных частиц и т. д.
Выражение для среднего значения J в произвольном стационар
ном состоянии системы можно вывести совершенно общим образом,
используя принцип трансляционной инвариантности гамильтониа-
на. Этот принцип справедлив, в частности, когда энергии всех взаи-
модействий между частицами жидкости зависят только от их отно-
сительных координат. Представим себе наблюдателя, движущегося
с малой (нерелятивистской) скоростью fi6q//n относительно системы.
Ему будет казаться, что система обладает энергией E(6q), зави-
сящей от 6q. Совершим преобразование гамильтониана к движу-
щейся системе отсчета; при этом в операторе кинетической энергии
каждой частицы появится слагаемое dq-pjm. В результате полу-
чим следующее общее соотношение:
<|J|)=- ^-£4,	(5.83)
''	' nd (6q) ’
где подразумевается предельный переход dq —>0.
Воспользуемся теперь этим соотношением применительно к со-
стоянию системы, в котором имеется квазичастица в k-м состоянии,
и вычислим вклад в ток от этого возбуждения. Он должен иметь
вид
. = _ д& (k; 6g)	(5.84)
fid(6q) ’
где <?(k;6q)— энергия, которую приписал бы рассматриваемой
квазичастице воображаемый движущийся наблюдатель.
Хотя формула (5.81) верна в произвольной системе координат,
сами степени заполнения возбужденных состояний с импульсами
по виду могут меняться от системы к системе. Действительно, вве-
Некоторые аспекты проблемы многих тел
185
(5.87)
отличной от нуля скорости в пространстве координат экви-
Дение н0 сдвигу начала отсчета в k-пространстве на величину —6q.
валеНзведя такой сдвиг в каждом члене выражения (5.81), мы по-
ПРоИ ^Ba вклада в ток. Первый, согласно (5.77), соответствует
Очному выражению для групповой скорости, отвечающей к-му
возбужденному состоянию:
=	= V	(5.85)
(6q) йк к	'
Чтобы вычислить второй член, проще всего представить себе сдвиг
начала отсчета в к-пространстве как появление у поверхности Фер-
ми тонкого слоя, в котором изменились числа заполнения. В случае
«резкого» фермиевского распределения (при Т = 0) это изменение
б» (k) = dq • vk б (#(к) - &F};	(5.86)
здесь мы вновь использовали формулы (5.77) и (5.85). Подставляя
(5.85) и (5.86) в (5.81) и (5.84), приходим к следующему соотно-
шению:
jk = vk + р (к, к') ок,б (W) - tfF] dV.
Иными словами, ток, отвечающий квазичастичному возбуждению,
не просто равен производной по импульсу от его энергии, взятой в
первом порядке по потенциалу взаимодействия, как это было в эле-
ментарной теории групповой скорости.
Фактически это означает, что квазичастица квантовой жидкости
представляет собой нечто более сложное, чем отдельная реальная
частица, описываемая волновой функцией типа плоской волны. Не-
возможно, например, построить локализованный волновой пакет
для отдельной квазичастицы — силы взаимодействия «увлекают» за
ней другие частицы, в результате чего возникает картина сложного
течения. Поскольку объем жидкости считается бесконечным, это
течение не подчинено никаким граничным условиям и может внести
конечный вклад в суммарный поток частиц.
Мы могли бы, с другой стороны, попытаться построить состоя-
ние, описывающее отдельную квазичастицу, движущуюся сквозь
систему с постоянной скоростью vfc без дополнительного суммарного
потока частиц через границы. Это можно осуществить, создав в
окружающей жидкости компенсирующий «обратный поток» vr — jk.
азличие между двумя рассмотренными ситуациями является до-
вольно тонким, и нужно очень тщательно проверять рассуждения,
чтобы не допустить грубых ошибок.
о этой связи интересно отметить, что формула (5.87) на пер-
'и взгляд противоречит одной общей теореме, вытекающей из со-
Н0Шения (5.83). Согласно последней, среднее значение потока в
котором стационарном состоянии системы равно производной от
186
Глава 5
собственного значения энергии по импульсу. Это точный
Суть дела, однако, заключается в том, что энергия квазичастЛЬТа1'
является точным собственным значением гамильтониана гП1ЦЬ1не
многих тел: соответствующее состояние всегда имеет конечно^41,1
мя жизни, связанное с мнимой частью пропагатора (см. гл
Теория Ландау, равно как и все другие теории, используемые в
даче многих тел, на некотором этапе прибегает к ПСФ с це За'
свести уравнения к виду, поддающемуся решению. Так, в уравЬ1°
нии (5.81), в котором не учтены недиагональные элементы матрицы
плотности, оказываются смазанными тонкие фазовые соотношени '
с учетом которых упомянутая выше строгая теорема удовлетвори’
лась бы точно. Истинные стационарные состояния жидкости, конеч-
но, должны характеризоваться вполне определенными к-векторами
С другой стороны, волновые функции, будучи выражены в обычном
импульсном представлении, имели бы невообразимо сложный вид
и потому были бы совершенно бесполезны для конкретных расче-
тов. Представление квазичастичных возбуждений правильно описы-
вает спектр, но требует осторожности при вычислении других вели-
чин, таких, как поток и т. п.
§ 12. Разреженный бозе-газ
Газы и жидкости, состоящие из фермионов, хорошо известны в
физике; системы же из большого числа взаимодействующих и со-
храняющихся бозонов встречаются редко. Однако свойства жидко-
го 4Не представляют такой интерес, что на развитие теории этого
уникального вещества было затрачено много усилий. К сожалению,
теории жидкого гелия, помимо ее собственных чисто квантовых
аспектов, свойственны и все осложнения, характерные для класси-
ческой теории плотной жидкости. Поэтому объяснение явлений
сверхтекучести и фазовых переходов было дано только для значи-
тельно упрощенных и идеализированных модельных систем или же
на основе по существу эвристических соображений. Проблемы, воз-
никающие в этой области, не сводятся к задачам чисто математи-
ческой техники.
Тем не менее представляет интерес метод Боголюбова, с по-
мощью которого можно найти спектр возбуждений разреженного
газа слабо взаимодействующих бозонов. Рассмотрим для простоты
систему N бозонов, описываемую гамильтонианом
= i ~2m akav 2 "S ак,„ак„ак,ак.	(5.88)
к	к+к'-=к"+к"'
Операторы уничтожения и рождения удовлетворяют соотношениям
коммутации типа (1.50). Предполагается, что энергия взаимодей-
ствия между частицами, характеризуемая параметром X, не зависит
от относительных импульсов взаимодействующих частиц, как если
Некоторые аспекты проблемы многих тел
187
I* было существенно только рассеяние в s-состоянии (ср. гл. 1,
§ очень низкой температуре в системе будет происходить
1 эйнштейновская конденсация частиц на уровень к = 0. Иначе
б°зе можно считать, что число заполнения этого состояния No
ð°и так же велико, как и N. Будем интересоваться областью
п°ч гетического спектра вблизи основного состояния; тогда можно
ЭНешять, что число «возбужденных» частиц N— No значительно
^ньше'л^о; допустимо также пренебречь эффектами взаимодей-
Ывця между возбужденными частицами и сосредоточить внимание
их взаимодействии с частицами, сконденсировавшимися на ну-
левом уровне. В основе этого подхода лежит, конечно, предположе-
ние о том, что система с взаимодействием в данном отношении ана-
логична газу независимых бозонов. Это допущение должно быть
обосновано на конечном этапе, когда мы выясним, к каким по-
стедствиям оно приводит.
Формально это соответствует замене второго слагаемого в
(5.88) следующим приближенным выражением:
^взаим ~ 2 [fl0G0a0C0 + {^akaoak00 + 2a-kG0G-ka0 +
L	k #=0
+ aka-kaoao + aoaoaka-k} •	<5-89)
Выделение всех произведений, содержащих операторы а* и а0,
облегчает переход к еще одной аппроксимации. Она состоит в том,
что каждый из операторов с к = 0 рассматривается как с-число,
равное Vn0. Это означает просто, что, поскольку число No чрез-
вычайно велико, коммутатор двух рассматриваемых операторов
(т. е. единица) приводит лишь к бесконечно малым эффектам, так
что можно воспользоваться принципом соответствия. Таким обра-
зом, вместо (5.89) можем написать
взаим
|zp2 + 2No (а^ак + a_ka_J + No (a’k<k
+ aka-k.
k¥=0
k #= 0
(5-90)
Ча этом этапе мы фактически не знаем еще, какова величина No;
возможно, что даже для основного состояния рассматриваемого
газа взаимодействующих частиц неудачным окажется и само пред-
положение о том, что все бозоны занимают один нулевой уровень.
° мы имеем дело с газом реальных частиц, для которого полное
число частиц сохраняется [ср. (1.19)],
N — No + 2 (akak + a-kc-k)’
k о
(5.91)
188
Глава 5
Исключив с помощью этого равенства величину No из выв
(5.90) и опустив ряд членов более высокого порядка, мы пг>ЖеН,1я
следующий приближенный гамильтониан, описывающий счаб1УЧИм
бужденные состояния системы:	0 в°3-
Н ~ KN2 + у У}	(аА + а-ка-к) +
к^> о
+4 S KN (aka-k + aka_k). (5.92)
k #= 0	'
Члены в первой строке этого выражения уже диагональны
представлении чисел заполнения исходных состояний. Однако во
второй строке стоят члены того же порядка по А, и пренебречь ими
нельзя. Очевидно, однако, что теперь взаимодействуют друг с дпу.
гом только пары частиц, находящихся в состояниях к и —к. Это
позволяет провести каноническое преобразование к новым опера-
торам ак, а*, для которых недиагональные члены будут уже от-
сутствовать. Именно положим
йк = 1/гЧг (ак+ Вк<к). < = л/гЦу « + Вк«-к)- (5.93)
к 1 - #к	V 1 ~ Вк
При этом независимо от выбора неизвестной функции Вк сохра-
няются обычные соотношения коммутации [ak, ak/] = бкк/. Подста-
вив выражения (5.93) в (5.92), получим следующую длинную фор-
мулу:
н=1г.иг+ У—Ц-17— + мЛ/я +xjvsJ+
к о 1 вк 1А'	j
+т 2 t^[(£’+an)2s‘+“(1 +Ba]№-i.+•¥-*)• <5-94’
Можно, однако, выбрать Вк так, чтобы выполнялось условие
[^- + АМ)2Вк + ХМ(1 +В2) = °,	(5.95)
В результате мы избавляемся от неприятных выражений в послед-
ней строке (5.94), и гамильтониан принимает вид суммы членов,
соответствующих обычным гармоническим осцилляторам.
Определив Вк из уравнения (5.95), получим окончательно
я =	2 [(^ + wpj(^L + w)2-(w},/2]+
к 0
+1S	(5,96)
к =Л 0
Некоторые аспекты проблемы многих тел
189
вое слагаемое в выражении (5.96) представляет собой
^^ие энергии взаимодействия между бозонами в условиях,
знаЧеНвсе они находятся точно на нулевом уровне. Однако оспов-
к°гда стояние рассматриваемой системы со взаимодействием ока-
н°е С<тся более сложным. Так, например, средние числа заполне-
,1JBaeDyrnx однобозонных состояний не равны нулю, хотя они
н,|Я „а малы по сравнению с No. Второе слагаемое в (5.96) описы-
всег уменьшение энергии основного состояния вследствие флуктуа-
ВаеТ плотности и корреляции между частицами. Проигрыш из-за
111111 кцнетической энергии с избытком возмещается за счет умень-
Р°ения потенциальной энергии межбозонного взаимодействия.
Энергетический спектр слабо возбужденных состояний опре-
тепяется третьим членом в (5.96), который соответствует незави-
симым возбуждениям типа Бозе, обладающим энергиями
(к) = {(-£- + Wv)2 - W j-'7*.	(5.97)
При больших k эти возбуждения по существу не отличаются от
состояний отдельных бозонов в системе без взаимодействия, с
энергией k2/2m. Однако при малых k мы имеем
Й’(к)->Л|/'-^ •	(5.98)
Это — закон дисперсии для обычных длинноволновых акустических
колебаний газа. Фактически величину можно даже отожде-
ствить со сжимаемостью рассматриваемой системы взаимодей-
ствующих бозонов, так что скорость этих волн дается обычной фор-
мулой макроскопической теорий.
Рассмотренная выше теория элегантно описывает механизм
превращения длинноволновых фононов в обычные одночастичные
возбуждения при возрастании величины импульса. Таким образом,
она дает нам модель возникновения фонон-ротонного спектра жид-
кого гелия 4Не. Но, как уже отмечалось, настоящая теория сверх-
текучих жидкостей должна быть гораздо сложнее.
В действительности прием, состоящий в упрощении гамильто-
ниана путем сведения его к выражению типа (5.92) с последующим
использованием преобразования (5.93), применялся и раньше. Он
использовался, например, для определения спектра спиновых волн
в антиферромагнетике, когда нулевые колебания в основном со-
стоянии также играют важную роль.
§ 13. Сверхпроводящее состояние
Наиболее тонкие черты поведения системы многих тел прояв-
ился при переходе в сверхпроводящее состояние. Как известно
Дому школьнику, при низких температурах многие металлы
190
Глава 5
становятся сверхпроводниками и обнаруживают такие своеоб
ные свойства, как эффект Мейсснера, квантование магнитног Ра
тока, эффект Джозефсона и т. д. Обстоятельное рассмотрение0 П&
явлений и их теоретической интерпретации само по себе потп*лН'
вало бы отдельного труда, в котором можно было бы прпвес°’
много отличных примеров применения различных усовершенст
ванных методов современной квантовой теории. По существу одВо’
из целей настоящей книги и состоит в изложении таких метод
с тем чтобы читателю-неспециалисту было легче разобраться в/’
добных приложениях рассматриваемых методов.
Пусть, однако, читатель не предвкушает наслаждений, которые
обещает пребывание в этих интеллектуальных сферах; мы должны
удовольствоваться здесь изложением общих принципов теории
Именно, мы покажем, как это впервые сделали Бардин, Купер и
Шриффер (БКШ)1), что основное состояние системы взаимно при-
тягивающихся фермионов отделено энергетической щелью от нан-
низших возбужденных уровней энергетического спектра. Этот факт
не только объясняет многие физические явления, связанные со
сверхпроводимостью, но и служит, вероятно, наиболее важным
примером справедливости общего утверждения, сделанного в гл. 5,
§ 9 и 10. Как было там указано, система многих тел может обла-
дать состояниями, которые невозможно получить с помощью ко-
нечного числа членов ряда теории возмущений. Сверхпроводящее
состояние в теории БКШ представляет собой квантовое состояние
радикально нового типа; оно требует особого аналитического рас-
смотрения.
Полное обсуждение сверхпроводимости следовало бы начать
с описания природы механизма, ответственного за возникновение
силы притяжения между электронами. Ведь как бы сильно ни было
экранировано прямое кулоновское взаимодействие, оно всегда дает
отталкивание. Однако заряженные ионы служат источником при-
тяжения для электронов, и они могут выступить в роли переносчи-
ка взаимодействия. Действительно, в гл. 3, § 7, было показано, что
обмен фононами может вызвать появление эффективного взаимо-
действия между электронами. Это взаимодействие имеет довольно
сложный вид; существенно, однако, что в условиях, когда разность
энергий двух электронных состояний достаточно мала, оно дает
отрицательный вклад в энергию, т. е. отвечает притяжению. Для
простоты обычно постулируют, что энергия этого взаимодействия
o(q) равна малой отрицательной константе, скажем F, для всех
процессов передачи импульса между электронами, энергии которых
отличаются не более чем на малую величину w; во всех остальных
случаях эта энергия взаимодействия равна нулю. Поскольку мы
’) Независимо аналогичный расчет был выполнен Н. Н. Боголюбовым.
Прим. ред.
Некоторые аспекты проблемы многих тел
191
о с вырожденным ферми-газом в состоянии, близком к
„мееМ Д ‘ гамильтониан можно записать в виде
ровному,
Н = 2 I (k) b'kbk + 2 V (q) b' b' bk,bk.
к	к, к', q
(5.99)
состояний
связанное
когерент-
как и в (5.77), энергия невзаимодействующих электронов
Зачитывается от уровня Ферми; простоты ради спиновые индексы
пГпоежнему отбрасываются.
11а следующем этапе надо показать, что расчет влияния взаи-
отействия по теории возмущений приводит к расходимостям для
Мюбой пары фермионов с точно противоположными импульсами
и ___к эта расходимость свидетельствует о том, что в такой си-
стеме возможно образование связанного состояния, так называемой
крперовской пары, сколь бы слаб ни был фактический потенциал
притяжения X Обращаясь к языку диаграмм, мы обнаруживаем,
что вершинная часть двухчастичной функции Грина (4.89) имеет
полюс при таком импульсе передачи. Этот результат можно полу-
чить довольно хитрым образом с помощью уравнения Бете — Сол-
питера (4.92), используя определенные упрощающие предположе-
ния при нахождении соответствующего ядра. По существу же
полюс обусловлен поведением энергетических знаменателей в инте-
гралах, отвечающих наиболее простым диаграммам для этой вер-
шины. Для пары электронов с противоположными импульсами,
очень близкими к фермиевскому, число промежуточных
рассеяния столь возрастает, что должно образоваться
состояние системы. (Состояния электронов оказываются
ними.)
Феноменом Купера, т. е. образованием куперовской
нако, не исчерпывается вся суть перехода в сверхпроводящее со-
стояние— это есть просто указание на то, что нормальное состоя-
ние многоэлектронной системы оказывается неустойчивым по от-
ношению к указанному эффекту. Вместо него должно возникнуть
другое состояние, описываемое более сложным образом. Нижесле-
дующее рассуждение, предложенное Боголюбовым и в принципе
аналогичное методу, изложенному в гл. 5, § 12, дает один из не-
скольких эквивалентных математических способов нахождения
этого нового, более устойчивого основного состояния.
Первое обстоятельство, которое следует отметить, состоит в
том, что член взаимодействия в (5.99) является безобидным, если
Две взаимодействующие частицы не могут образовать куперовскую
аРУ, т. е. если не выполнено условие к'=—к. Вблизи основного
остояния системы все остальные члены суммы, кроме удовлетво-
9 Щих указанному условию, входят по существу со случайными
Ф зами, и ими можно пренебречь. Конечно, это только приближе-
’ КОторое впоследствии нужно (и можно) оправдать.
пары, од-
192
Глава 5
Таким образом, наш гамильтониан приближенно им
имеет Вцд
" “ ? W+ й “ (Ч>	А-	(5.100)
Воспользуемся опытом, приобретенным в теории бозе-газа ппи
гонализации гамильтониана (5.92). Именно, выполним канон*"3
ское преобразование типа (5.93), но теперь постараемся сохла"46
свойства антикоммутации фермионных операторов. Положим НИТЬ
A + к’ А АА + ^кР-к’
Щ-АЩ-ЗД-	(510|>
Новые операторы рк и т. д. будут обладать должными свойствами
только если функции /1к и Вк удовлетворяют условию
Лк + Вк = 1-	(5.102)
Стоит отметить, что преобразование (5.101) эквивалентно по-
вороту на вещественный угол
0к = arccos Лк
(5.103)
в подпространстве, натянутом на операторы с индексами к и - к.
Соответствующее бозонное преобразование (5.93) представляет со-
бой поворот на мнимый угол i0k, определенный равенством
ch6k = (l(5.104)
Этим устанавливается связь с алгеброй спиновых операторов
(см. ниже гл. 6, § 5), используемых иногда в связи с рассматри-
ваемыми преобразованиями.
Подставив (5.101) в (5.100), мы получим множество членов.
Приведем их к нормальному виду, переставив с помощью соотно-
шений антикоммутации все операторы уничтожения вправо. Ре-
зультат имеет вид
» - 2 2 I (к) В[ + 2 v (q) ЛкВкА^В^ +
+ 2{s(k)Ml -ВЭ-2ЛВ, 2
+ 2 {25 (к) -v,+(4 - вр 2»<q)	+№->)+
+ О(Щ/_к_,Д.Д).	(5.105)
Очевидно, эта формула аналогична (5.94). Первые две строк»
ее определяют спектр независимых фермиевских возбуждении,
порождаемых операторами ₽к- Все остальные операторы в (5.105),
действуя на основное состояние рассматриваемой системы, Да10Т
Некоторые аспекты проблемы многих тел
193
за исключением произведения двух операторов рождения
нуль’ й строке. Как и в случае (5.95), выберем функцию Ак та-
в ТР образом, чтобы коэффициент при этом члене обратился в нуль,
*"е положим
26 (к) АА + (4 - 4) 2 v (ч) 4+А+ч = °-	(5.106)
ставив решения уравнений (5.106) и (5.102) в формулу (5.105),
0Д0Предслим гамильтониан системы вблизи сверхпроводящего
основного состояния.
Чтобы лучше представить себе его вид, используем в (5.106)
помянутую выше упрощенную форму взаимодействия с обреза-
нием. Тогда можно поступать следующим образом. Положим
W
A0=-r2 4+5k+q.
—ш
(5.107)
Это дает
4 = 1[14
2
НЮ
+ £2 (Ю
5к= —[1 —
2
ню
/д*+ё2(ю
(5.108)
при условии, что величина До удовлетворяет уравнению
W
l = _|rV^2 + ^(k)p.	(5.109)
— ПУ
Теперь оказывается, что первая строка в (5.105) дает небольшую
поправку к энергии основного состояния всей нашей системы. Вто-
рая же строка, как и в (5.94), определяет фермиевские возбужде-
ния с энергией
g(к) - Е (к) (Л1 - Bl) - 2АкВ, 2 «(ч) А, Л« - де + Г (к)]'4-
(5.110)
Это наиболее важное следствие расчета. Данный результат по-
казывает, что спектр системы вблизи основного состояния можно
интерпретировать с помощью квазичастиц фермиевского типа,
энергия которых стремится к конечной величине при приближении
к поверхности Ферми (где 6(к) =0). Иными словами, До есть ши-
ина энергетической щели-, в отличие от бозонной системы у сверх-
проводника нет возбуждений исчезающе малой энергии, подобных
Длинноволновым акустическим колебаниям (5.98) ').
Физическую природу этих возбуждений можно уяснить себе,
переходя обратно от формул (5.108) к определениям (5.101). Для
мпульсов к, близких к поверхности Ферми, каждая квазичастица
^Р^Дставляет собой электронно-дырочную пару в состояниях к и
) Речь идет здесь только о возбуждениях фермиевского типа. — Прим. ред.
7 Зак. 899
194
Г лава 5
-к соответственно. При удалении к от поверхности Ферми эне
гия ^(к), согласно (5.110), стремится к Ё,(к) и квазичастица п
существу становится обычным электроном или дыркой — как °
простом газе без взаимодействия. Близость к поверхности Ферми
усиливает роль запрета переходов с нарушением принципа Паули
Это способствует тому, что притяжение приводит к установлению
определенной фазовой корреляции между электронными волнами
распространяющимися в точно противоположных направлениях'
что и дает эффект частичной «конденсации» в узкой полосе
энергий.
При дальнейшем развитии теории мы могли бы перейти к ре-
шению уравнения (5.109) для энергетической щели До. Нетрудно
показать, что этому уравнению обычно можно удовлетворить при
отрицательных F, и в результате получается известная экспонен-
циальная формула, в которую входит плотность состояний. Затем
следовало бы рассмотреть члены, отброшенные в выражении
(5.105) и соответствующие, как говорят, взаимодействию между
квазичастицами. Эти члены лучше всего рассматривать самосо-
гласованным образом, в духе методов Хартри — Фока и I СФ.
В результате получается довольно простое интегральное уравне-
ние для До как функции температуры Т. Оно показывает, что сверх-
проводящее состояние неустойчиво выше некоторой определенной
температуры. Однако мы не можем слишком вдаваться в теорию
фазового перехода и всех прочих поразительных свойств этих
странных систем.
ГЛАВА в
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ
Герцог ие целовал Джульетту —
она сама его поцеловала.
§ 1. Лоренц-инвариантность
Специальную теорию относительности можно логически обос-
новать множеством способов, удовлетворяющих почти всем вкусам
н мировоззрениям. Для наших целей проще всего принять как по-
стулат, не стремясь к излишней логической строгости, что физи-
ческие законы должны выглядеть одинаково во всех системах от-
счета, движущихся друг относительно друга с постоянной ско-
ростью. В сущности это сводится к математическому условию
лоренцевской инвариантности (или ковариантности) всех соотно-
шений, выражающих названные законы.
Основное достоинство трехмерного векторного анализа состоит
в том, что он позволяет нам облечь соотношения между физиче-
скими величинами в форму, инвариантную относительно вращений.
Используя символ Е для обозначения электрического поля, мы
однозначно задаем определенную физическую силу независимо от
того, направили ли мы оси х и у на восток и на север или на се-
веро-восток и северо-запад. Компоненты вектора могут изменяться
при переходе от одной системы отсчета к другой, но вектор сам по
себе остается неизменным.
Самый простой вектор, конечно, представляет собой вектор
сдвига в пространстве (трансляции). В очевидных обозначениях
его можно записать в форме
6R = (6/?X, bRy, 6/?г).	(6.1)
При любом повороте координатных осей, не сопровождающемся
растяжением и деформацией самого пространства, скалярное про-
изведение любых двух таких трансляций 6R и 6S остается постоян-
ным. Именно, справедливо равенство
*4 6S + 67? 6S + 6S = 6R 6S = 67?' 6S; + б/?' 6S' + 67?' 6S',
(6.2)
При этом новые компоненты 67?*... могут быть совершенно от-
личны от старых. Поскольку все истинные трехмерные векторы
реобразуются таким же образом, как и пространственные транс-
НЫхИИ’ ЭТ°Т ПР11НЦИП инвариантности справедлив для всех скаляр-
ироизведений, в том числе и для квадрата абсолютной
7‘
193
Глава б
величины произвольного вектора:
|6RI2 = (6/?j2 + (6/?I/)2+(6/?z)2.
Принцип лоренц-инвариантности есть не более чем обобще
этого условия. Интересующие нас «события», под которыми по'1Ие
маются все вообще явления природы, происходят в определенн"И'
точках пространства и в течение определенных интервалов врем *
ни. Их можно измерять и сравнивать между собой с помощью ц
ших инструментов. Один наблюдатель может обнаружить, что дв"
таких события разделены пространственным вектором 6R h интеп
валом времени St, другой — что они разделены вектором 6R' Ри
интервалом t>t'. Наблюдения считаются не противоречивыми, если
для обоих наборов компонент оказывается одной и той же вели-
чина
-(6s)2=(6/?JC)2+(6/?g)2+(67?z)2-
С2 (6/)2 = (6^)2 + (bR'rf + (б/?')2 _ С2 (6/,)2
(6.4)
Постоянная с в выражении (6.4) представляет собой, разу-
меется, скорость света. В том частном случае, когда два «события»
состоят в испускании и приеме светового сигнала в каких-либо
двух точках (отвечающих, например, зеркалам на противополож-
ных плечах интерферометра Майкельсона), интервал 6s равен
нулю. Для времени-подобных интервалов (например, между двумя
точками на траектории движущейся частицы) величина (6s)2 по-
ложительна. В любом элементарном учебнике по специальной тео-
рии относительности можно найти подробный вывод преобразова-
ний Лоренца — явных формул преобразования пространственных
и временных координат, удовлетворяющих соотношению (6.4),
но эти формулы вряд ли потребуются нам в дальнейшем.
Сравнение выражений (6.3) и (6.4) наводит на мысль о том,
что символическую инвариантность трехмерной векторной алгеб-
ры можно обобщить, включив в нее временную координату, рас-
сматриваемую как четвертое «измерение». Будем характеризовать
события в пространстве-времени 4-векторами с компонентами
х2, х3, х4) = (х, у, z, ct).	(6.5)
Условие лоренц-инвариантности (6.4) запишется тогда в виде
(6s)2 = - guv6x^6xv.	(6 6)
Здесь использована форма записи Эйнштейна — по повторяю-
щимся индексам ц= 1,	4, v = I, ..., 4 подразумевается сум-
мирование. Единственное добавочное усложнение состоит в том,
что матрица метрического тензора ‘) gWv уже не просто единичная,
’) Часто используется также метрический тензор с компонентами goo =
gn = g22 = gse = —1, причем х° = ct.
Релятивистские теории
197
в трехмерном случае, а лишь диагональная; отличные от нуля
опементы ее суть gu = g22 = ёзз = 1 и gu = — 1.
Э‘ релятивистская физика сводится в результате к конструирова-
0 4-векторов, которые изменяются при преобразованиях Лорен-
подобно координатам и характеризуют истинные физические
войства. Наиболее важное правило теории представляет собой
аналог соотношения (6.2): любое выражение, имеющее форму
«скалярного произведения» 4-векторов, т. е.
(6.7)
есть число, инвариантное относительно преобразований Лоренца.
Соответственно только такие выражения и могут фигурировать в
любом уравнении для физических величин.
Исходным положением релятивистской кинематики и дина-
мики служит определение 4-вектора энергии-импульса. Компонен-
ты последнего имеют вид
Р"-s (рл, Ру, Pz, •	(6-8)
Иными словами, энергия частицы добавляется как времениподоб-
ная компонента к обычному трехмерному импульсу. Законы сохра-
нения массы и энергии сливаются тогда в следующий единый прин-
цип: изолированной, ни с чем не взаимодействующей частице
можно приписать массу покоя, т0, такую, что
Ptl = moc'iZT-	(6-9)
Это соотношение дает нам пример ковариантной формулы: 4-век-
тор энергии-импульса приравнивается (с точностью до постоян-
ного коэффициента) скорости Минковского — скорости изменения
координат частицы при изменении интервала вдоль ее траектории
в пространстве-времени. При преобразовании Лоренца компоненты
обоих этих 4-векторов будут претерпевать изменения, но они по-
прежнему останутся равными друг другу отдельно для каждой
оси.
Многие известные результаты релятивистской физики для со-
вершенно свободной частицы (т. е. в отсутствие каких бы то ни
было сил) можно вывести, просто считая вектор постоянным.
6-юда относятся соотношение между массой и энергией, сокраще-
ние времени и т. д. Однако в полной динамической теории надо
ввести еще силы и ускорения и законы Ньютона переписать, на-
пРимер, в внде
с
dp*1 _ сЧ
~dT~r'
(6.10)
198
Глава 6
соотнощению
3 предельном
Это уравнение сводится к обычному классическому
между силой и временной производной от импульса
случае малых скоростей, когда
ds ~ с dt.
§ 2. Релятивистская теория электромагнетизма
Чтобы продвинуться дальше, нам нужна общая теория «сил»
взаимодействия между «частицами». Ее неизбежно приходится фор-
мулировать на языке теории непрерывных полей и в рамках форма-
лизма последней. Стержнем этого формализма в элементарной
классической теории поля является символ V—оператор вектор-
ной производной. Он дает градиенты скалярных величин, а при
вращении осей декартовой системы координат преобразуется как
вектор.
Соответствующий оператор в пространстве-времени, очевидно,
имеет в качестве своей четвертой компоненты производную
(l/c)d/dt. Возникает, однако, небольшое затруднение со знаками,
поскольку метрический тензор в формуле (6.6) не является поло-
жительно определенным. Число различных способов записи, кото-
рые можно ввести на данной стадии, определяется комбинаторикой;
для ^-вектора оператора градиента мы будем писать
^”(4’ 4’ 4- ~т4)-	<6Л2>
Это обеспечивает лоренц-инвариантносгь формул при подстановке
4-градиента вместо обычного 4-вектора в произвольное выраже-
ние типа (6.7). Нетрудно (хотя алгебраически и несколько гро-
моздко) доказать, что величины W в самом деле правильно пре-
образуются при преобразовании Лоренца. При этом главное то,
что пространственная производная д/дх*\ будучи величиной, об-
ратной малому смещению дх&, при переходе к штрихованной си-
стеме координат умножается на обратную матрицу преобразова-
ния. На языке общего тензорного исчисления <ЭлД есть контрава-
риантный вектор. Желая получить величину, ведущую себя как
ковариантный вектор, его надо умножить на метрический тен-
зор Мы пользуемся именно ковариантными векторами, что и
объясняет отрицательный знак времениподобной компоненты в вы-
ражении (6.12). Той же цели можно было бы достичь и другим
путем, вводя в качестве четвертой компоненты мнимое время.
Этот способ записи, однако, не удается удовлетворительно увязать
с обозначениями, принятыми в общей теории относительности. По-
сему пусть будет так!
Самая знакомая нам теория поля — это классическая теория
электричества и магнетизма, основанная на уравнениях Максвел-
Релятивистские теории
199
ла для вакуума:
a) VxE= —
1 <ЗН .
с dt ’
б) VXH
г) V-H=0.
(6.13)
в) V • Е = 0;
Мы привыкли думать о компонентах электрического и магнит-
1 го полей Е и Н как о компонентах независимых векторов, одна-
г это верно только в фиксированной системе отсчета. Суть теории
Лоренца состоит в том, что эти поля представляют собой различ-
ные аспекты одного реального физического объекта — электромаг-
нитного поля.
Чтобы придать уравнениям Максвелла релятивистскую форму,
достаточно вспомнить, что оба поля можно выразить через потен-
циалы
Е=--y-^--V<p; H=VXA.	(6.14)
То обстоятельство, что для нахождения электрического поля тре-
буется знать как векторный потенциал А, так и скалярный потен-
циал <р, наводит на мысль, что последние представляют собой про-
сто различные компоненты более общего 4-потенциала
АЦ = (АХ, Ау, Аг, <р).	(6.15)
Скалярный потенциал есть не что иное, как времениподобная его
компонента.
Возвращаясь к соотношениям (6.14) и пользуясь определением
4-градиента (6.12), мы видим, что все 6 компонент напряженностей
электрического и магнитного полей встречаются среди набора ве-
личин
=	(6,16)
Так, например,
Fi2 = ±k_±k = //	(6.17)
дх ду	'
<6Л8>
Иначе говоря, напряженности электрического и магнитного полей
предстаются теперь в качестве элементов следующей матрицы:
(0	-Hz	ну	Ех\
Нг	0	Н х	Еу I
-Ну	Нх	0	Ez
- Ех	- Еу	- Ez	0 /
(6.19)
Математический объект такого типа, преобразующийся подобно
Нещнему произведению двух 4-векторов, есть ковариантный
200
Глава 6
тензор. Тензор электромагнитного поля, очевидно ант
метричен. Новые компоненты, например напряженности элеу^1'
ческого поля E'z, получаемые в результате преобразования'1 □
ренца, будут, очевидно, линейными комбинациями компонент
электрического, так и магнитного полей в исходной системе '
счета.	т'
До сих пор мы оставляли без доказательства лоренц-инва
риантность самих уравнений Максвелла. Попытаемся теперь пепе"
писать их в инвариантном виде. Уравнения (6.13а) и (6.13г) пред-
ставляют собой, конечно, тождества, вытекающие из самого факта
существования потенциалов (6.14). Два других уравнения содер-
жатся в равенстве
(6.20)
Уравнению (6.136) (в компонентах) отвечают в (6.20) значения
индекса 6 = 1, 2, 3, а уравнению (6.13в)—значение 6 = 4. По-
скольку соотношение (6.20) по форме явно ковариантно, оно спра-
ведливо и в произвольной системе координат. Если напряженности
электрического и магнитного полей определены в соответствии
с предписаниями (6.15) — (6.19), то они автоматически удовлетво-
ряют уравнениям Максвелла в произвольно выбранной системе
отсчета — физические законы электромагнетизма будут одинако-
выми для любого наблюдателя.
В дальнейшем нас будут интересовать в основном потенциалы,
а не напряженности электрического и магнитного полей сами по
себе. Тем не менее следует отметить, что классическая электроди-
намика— теория движения частиц в электромагнитных полях —
охватывается уравнением, вид которого нетрудно угадать, руко-
водствуясь уравнением (6.10) и требованием ковариантности:
с
dpV __
ds ~
, в
UX ynU/V
(6.21)
Здесь е есть заряд, переносимый частицей. В обычной трехмерной
записи это равенство эквивалентно известной формуле для силы
Лоренца
F=«(e + |vXH)	(6.22)
совместно с выражением для скорости изменения энергии.
Для полноты теории надо показать, как само поле порождается
зарядами. Для этой цели заметим, что 4-вектор тока
/и^(Д> jy, h, Р)	(6-23)
можно составить, добавляя к компонентам обычной плотности
тока j плотность заряда р. Обобщение уравнений Максвелла (6.20)
на случай наличия токов и зарядов в четырехмерной форме имеет
Релятивистские теории
201
ВИД
(6.24)

Доказательство
этого предоставляем читателю
§ 3. Волновое уравнение и градиентная инвариантность
Уравнения Максвелла накладывают на 4-потенциал следующее
УСЛ0ВИе‘	= - Д	(6.25)
непосредственно вытекающее при подстановке выражения (6.16)
в уравнение (6.24). Это довольно сложное дифференциальное урав-
нение второго порядка в частных производных, которое, однако,
можно сильно упростить с помощью градиентного преобразова-
ния.
Из определения (6.16) ясно, что физически наблюдаемые вели-
ч11Ны — напряженности полей Ей Н — не изменятся, если к компо-
нентам потенциала добавить четырехмерный градиент произволь-
ной скалярной функции, т. е. выполнить преобразование
/Г + V^.	(6.26)
Очевидно, функцию % можно выбрать так, чтобы новый потенциал
удовлетворял условию Лоренца
=	(6.27)
Тогда обобщенное уравнение Максвелла (6.25) принимает простой
вид
g|lvVV/=-/‘.	(6.28)
В обычной векторной форме записи это сводится к хорошо зна-
комым уравнениям
г-, »	V72*	1
□ A —VA	С2 dt2 ],
□	= -р.
(6.29)
Другими словами, каждая компонента 4-потенциала удовлетворяет
волновому уравнению с компонентами 4-тока в качестве источни-
ков. Волновое уравнение удобно записать с помощью оператора
° Аламбера □; этот символ ясно показывает, что названный опера-
Тор представляет собой релятивистское обобщение лапласиана V2
') См. примечание на стр. 39. — Прим. ред.
202
Глава 6
и что он сам инвариантен относительно преобразования Лопе
Рассмотрим теперь случай поля в пустоте. Как и в нереляп*1113’
стекой теории поля, естественно провести преобразование фгп И
Введем частоту как времениподобную компоненту' обобщенно
волнового вектора
(6.30)
По аналогии с выражением (1.90) будем искать решение уравне-
ния (6.28) в виде
Дс(х)= Аб(/г)ехр(— ig^x^,	(б.3п
т. е.
А (г, 0 = А (к, со) ехр {— Z (к • г — ®Z)}’.	(6.32)
В отсутствие тока /® это дает обычный закон дисперсии
gnv^v = 0, т. е. fe2--^- = 0.	(6.33)
Общее решение уравнения (6.28) для пустоты представляет собой
суперпозицию плоских волн, распространяющихся со скоростью
света.
Однако, согласно условию Лоренца (6.27), компоненты вектор-
ного потенциала должны удовлетворять равенству
§^^ = 0.	(6.34)
Обычно полагают, что в пустоте, вдали от каких-либо электриче-
ских зарядов, электростатический потенциал равен нулю, т. е.
<р (г, t) = А4 (х) = 0.	(6.35)
В таком случае из условия (6.34) вытекает, что векторный потен-
циал распространяется как поперечно поляризованное возбужде-
ние:
k-A(k, со) = 0.	(6.36)
К сожалению, выбор калибровки потенциалов (6.35), хотя и
всегда осуществим с помощью градиентного преобразования, сам
по себе не является лоренц-инвариантным. Действительно, из усло-
вия (6.35) отнюдь не следует, что в некоторой иной системе коор-
динат времениподобная компонента А'4 4-потенциала будет обя-
зательно обращаться в нуль. Таким образом, другие наблюдатели
могут не согласиться с тем, что световые волны чисто поперечные,
и приписать им конечную продольную компоненту.
В классической теории эту трудность можно обойти, связывая
с каждым преобразованием Лоренца соответствующее изменение
калибровки, которое сохраняет в силе условие (6.35). Легко пока-
зать, что этого всегда можно добиться, специальным образом вы-
Релятивистские теории
203
f пая функцию % в (6.26) и притом так, что условие Лоренца (6.27)
тается в силе. (Приводить здесь это простое доказательство нет
°еобходимости.) Иными словами, всегда можно считать, что элек-
НпнЧеское и магнитное поля световой волны определяются одними
олько поперечно поляризованными потенциалами, хотя сами эти
потенциалы, возможно, должны быть по-разному определены для
различных наблюдателей. Это обстоятельство существенно, по-
скольку оно говорит нам о наличии только двух степеней свободы
ппн каждом значении волнового вектора, соответствующих двум
ортогональным направлениям поперечной поляризации.
При наличии электрических зарядов теория несколько услож-
няется. Действительно, в соответствии с элементарной теорией есте-
ственно сохранить отличный от нуля электростатический потенциал,
источником которого служат имеющиеся заряды. При этом удобно
заменить условие Лоренца другим, уже не релятивистски инва-
риантным соотношением, а именно условием кулоновской кали-
бровки:
V • А = 0.	(6.37)
Скалярный потенциал ср будет удовлетворять тогда обычному урав-
нению для электростатического потенциала, ответственного за ку-
лоновское взаимодействие между зарядами и т. д. В специальной
литературе доказывается физическая эквивалентность обоих под-
ходов. Именно, сохраняя условие Лоренца и учитывая как продоль-
ные компоненты А (к, со), так и скалярные волны, связанные с ком-
понентой ср, мы получим те же результаты, что и при условии (6.37).
Затруднения с выбором калибровки проявляются в еще боль-
шей степени, когда мы приступаем к квантованию электромагнит-
ного поля. Так, условие типа (6.27) надо накладывать теперь на
сумму квантовомеханических операторов, причем смысл этому усло-
вию можно придать, только рассматривая действие данного опера-
торного выражения на вектор состояния. Существует весьма тон-
кое рассмотрение этой задачи (формализм Гупты — Блейлера).
В результате оказывается, что можно действовать так, как если бы
квантованию подвергались только поперечные волны. Этот вопрос,
однако, представляет в основном формальный интерес.
§ 4. Квантование релятивистских полей
Волновое уравнение (6.28) для электромагнитного поля в пусто-
те представляет собой частный случай уравнения Клейна — Гор-
дона (1.85). Релятивистская инвариантность последнего очевидна
при записи его в виде
(□ — /и2) <р (х) = 0.	(6.38)
Скалярная функция ф(х) описывает поле бозонов с массой по-
коя т, т. е. релятивистское выражение для энергии частиц этого
204
Глава 6
поля имеет вид
®k=±(m2 + k2)'/s.	(6 39)
Фотоны электромагнитного поля представляют собой более слоя
ные объекты, чем эти бозоны, поскольку они описываются поперед'
ным векторным полем с двумя типами поляризации. Однако мно"
гие свойства фотонов определяются просто тем, что их масса покоя
равна нулю: для них m = 0 в законе дисперсии (6.39).
Для простоты положим fi = с = 1 и введем более компактную
релятивистскую систему записи, в которой !)
^х = -	= - k • г + cot	(6.40)
Решения уравнения (6.38) аналогичны (6.31) и представляют со-
бой простые волны вида
<р(х) = Фке'Ч	(6.41)
При этом компоненты 4-импульса в (6.34) даются формулой (6.31),
т. е.
k* = сок.	(6.42)
Чтобы проквантовать это поле, вернемся к гл. 1, в которой мы
научились преобразовывать переменную классического поля в ло-
кальный оператор шредингеровского типа. Так, подобно выраже-
ниям (1.90), (1.91) и (1.117) мы могли бы написать
<Р (г) = 2 (2<okI/)_,/2 (ake~tkr + akefkr).	(6.43)
Здесь операторы уничтожения и рождения и а* подчиняются
каноническим соотношениям коммутации
[°к> ак'] = \к'’	[°к> ак'] = [ак’ °к'] = ®-	(6.44)
Намереваясь построить релятивистскую теорию, мы, очевидно,
должны включить и временную координату в определение поле-
вого оператора. Как это сделать — ясно из определения (6.4) и
условия (6.42):
ср (х) = 2 (2Vfe4)~,/2 (akelkx + а'ке~'к1е) б (/г4 - cok).	(6.45)
Согласно определению, данному в гл. 3, § 6, где мы провели раз-
ложение S-матрицы по теории возмущений, выражение (6.45) есть
не что иное, как гейзенберговское представление, или представле-
') Из-за наличия знака минус в этом выражении величины типа k2 будут
положительно определенными для частиц, распространяющихся с досветовыми
скоростями v с. Это обеспечивает переход к обычному выражению для ки-
нетической энергии в случае нерелятивистских скоростей. Аналогично (6s) —
= 6х 6х есть положительная величина для времениподобных интервалов.
Релятивистские теории
205
взаимодействия для оператора (6.43). Релятивистское обобще-
ННр всей теории фейнмановских диаграмм выполняется непосред-
н*енво: входившие ранее независимо «импульс» и «энергия» объ-
ясняются теперь в один лоренц-ковариантный 4-импульс. При
м все топологические теоремы остаются без изменения; основная
адача состоит в том, чтобы убедиться в должных трансформаци-
онных свойствах всех пропагаторов и вершинных множителей, фи-
гурирующих в математическом выражении для данной диаграммы
Гем, например, (3.117)], при переходе к другой системе отсчета.
1 Наличие указанных свойств можно проверить, явно вычислив
бозонный пропагатор вида (3.106). Пусть в некоторой специальной
системе отсчета хронологическое произведение полевых операто-
ров определено как в (3.95),
т, т \ f qp(x)<p(x'),	t'<t,
Т {ср (х) <р (х )} = <	.
’ v{ <р(х )ср(х), t<t .
Пропагатор представляет собой просто среднее значение указан-
ного оператора в состоянии вакуума. Согласно определению (6.45),
при вычислении среднего от произведения отличный от нуля ре-
зультат дадут только члены, содержащие выражения aka*k. Введя
ступенчатую функцию {как в случае (4.95)], чтобы учесть упорядо-
чение во времени, и множитель —/, как в случае (4.55), мы по-
строим функцию Грина для свободных бозонов:
Дл (х, х7) = - i <01 Т {ср (х) ср (х')}| 0) =
= - i / -(§3- -2^ [0 (t - П ?ik+ 6 (Г - о е-^ (—')]. (6.46)
Рассматривая ее, однако, просто как функцию переменной
(t — t'), мы можем добиться того, чтобы она обладала всеми необ-
ходимыми свойствами, вводя в качестве дополнительной перемен-
ной интегрирования аргумент А4. При этом, желая удовлетворить
условию (6.42), введем соответствующие полюсы на вещественной
оси. Ход рассуждений в точности таков же, как и при выводе выра-
жений (3.112) и (4.130). Полезно самостоятельно проверить, что
выражение (6.46) тождественно следующему:
М*. V)- /	+ M 	(6.47)
Здесь 6 — бесконечно малая положительная величина и интеграл
берется вдоль всей вещественной оси.
С точки зрения разложений по диаграммам мы имеем здесь
просто частный случай общего бозонного пропагатора (3.115) с
конкретным выражением (6.39) для oq. Иначе говоря, если взаимо-
действие связано с обменом виртуальными мезонами, подчиняющи-
мися уравнению Клейна — Гордона, то каждой мезонной линии
206
Глава б
на диаграмме в импульсно-энергетическом представлении сопост
ляется множитель	ав'
= /г2 - т2 + /б ‘	(6.48)
Видно далее, что функция (6.47) лоренц-инвариантна; ее зна
чение зависит только от относительного расположения двух точек
х и х' в пространстве-времени, но не от координатной системы, ис-
пользуемой для определения этих точек. Поэтому выражение (6*46)'
которое мы записали для заданной системы отсчета, оказывается
тем же самым и в произвольной системе. Интересно, что полюсы
функции (6.48) соответствуют обоим корням (6.39), т. е. как поло-
жительной, так и отрицательной энергии; это существенно для со-
хранения полной релятивистской инвариантности теории. С другой
стороны, мы все еще обязаны произвольно исключить все состоя-
ния с отрицательной энергией для свободных частиц Клейна — Гор-
дона. В противном случае рассматриваемая физическая система
оказалась бы динамически неустойчивой.
Хотя импульсное представление пропагатора (6.48) содержит
почти всю информацию, существенную с физической точки зре-
ния, интересно несколько более обстоятельно исследовать свойства
инвариантных пропагаторов. Очевидно, например, что функция
(6.47) есть четырехмерный аналог функции Грина [см. (4.105)] для
обычного трехмерного уравнения Шредингера, отвечающей опре-
деленной энергии. Следовательно, она должна удовлетворять не-
однородному уравнению Клейна — Гордона
[□х — zn2]AF(x — х')= — 64(х — х'),	(6.49)
где в правой части стоит четырехмерная дельта-функция.
Другая функция, которую можно построить с помощью весьма
сходных соображений, есть коммутатор полевых операторов вида
(6.45), взятых в двух различных точках пространства-времени. Эта
величина должна быть скалярной по самому своему определению.
Поступая, как и при выводе выражения (6.46), мы получаем
Д (х - х') £= - i [q> (х), ср (х')] = J “ sin [k (х - х')]. (6.50)
Выберем в пространстве-времени такие точки, которые для данного
наблюдателя отвечают одному и тому же моменту времени. Тогда
интеграл в (6.50) автоматически обращается в нуль, поскольку
подынтегральное выражение sin(k-r)/wk представляет собой нечет-
ную функцию обычного волнового вектора к. Таким образом, на-
блюдения, проведенные одновременно в различных точках про-
странства, не интерферируют друг с другом. Но поскольку функция
Д(х— х') есть скаляр, указанное свойство должно относиться ко
всем парам точек в пространстве-времени, которые могут быть
Релятивистские теории
207
„паны «одновременными» посредством подходящего преобразо-
С^ния Лоренца. Иными словами, коммутатор исчезает для всех пар
точек, расположенных вне светового конуса:
Л (х — х') — 0 для всех
(6.51)
r этом свойстве мы с удовлетворением узнаем обобщение принци-
па причинности; теория автоматически допускает динамические
взаимодействия только между событиями, которые могут быть свя-
заны световым сигналом. Формальное математическое доказатель-
ство этого свойства инвариантной дельта-функции (6.50) можно
дать, используя явное представление для нее в виде четырехмер-
ного интеграла. Оно весьма похоже на представление (6.47) для
функции Ар(х,х'), с которой функция А(х— х') тесно связана.
В координатном представлении выражения для этих функций
для времени-подобных интервалов содержат функции Бесселя и
не представляют особого интереса. Отрадно, однако, что в предель-
ном случае т —«-О, т. е. при переходе к фотонам, мы получаем
вполне разумный результат:
— £)(х —х') = lim Д(х —х') = -[6 (г -/) - 6 (г + 0]. (6.52)
Здесь г и t представляют собой обычные расстояния и разность
моментов времени между событиями, происходящими в точках х
и х'. Два члена в этом выражении соответствуют, разумеется, двум
альтернативным возможностям — световым волнам, которые долж-
ны дойти от точки х к х' или обратно, для того чтобы два измере-
ния могли интерферировать. Подчеркнем, однако, что в общей
квантовой электродинамике основные черты процесса распростра-
нения фотонов отражаются уже импульсным представлением для
пропагатора. Последний аналогичен (6.48), т. е.
= (6‘53)
Вещественное скалярное поле <р, описываемое уравнением Клей-
на— Гордона, соответствует нейтральным бозонам. Как показано
в гл. 1, § 12, теорию заряженных бозонов можно построить, исполь-
зуя комплексное поле, обе компоненты которого удовлетворяют
Уравнению Клейна — Гордона. Релятивистское квантование этого
поля проводится, как и в случае нейтральных бозонов, и не встре-
чает никаких новых математических затруднений. Подобным же
образом можно построить и свободное поле векторных бозонов,
Для которого каждая полевая переменная или полевой оператор
имеют три компоненты, причем каждой из них сопоставляется про-
пагатор типа (6.48). Физические свойства этих разнообразных по-
Дей определяются формами взаимодействий между ними, которые
олее полно обсуждаются в § 9.
208
Глава 6
§ 5. Спиноры
Уравнение Клейна — Гордона, как оказалось, не дает удовл
творительной основы для релятивистской теории электронов и н6
клонов; такая основа была создана Дираком, причем почти по^
ностью умозрительным путем. Появившись на свет ранее, напримеп
диаграммного анализа рядов теории возмущений, теория Дирак ’
часто излагается в сравнительно элементарных учебниках по кван-
товой теории. По этой причине нет нужды повторять здесь ни наи-
более убедительные доводы в ее пользу, ни различные ее предска-
зания.
К предельно компактной, замкнутой математической теории та-
кого типа всегда можно подойти разными логическими путями
Общепринятый подход связан с факторизацией уравнения Клей-
на— Гордона путем довольно произвольного введения матриц Ди-
рака. Но этот путь не выявляет релятивистской инвариантности
теории, равно как и не устанавливает совершенно непосредственной
связи ее с теоретико-групповым анализом. Вместе с тем, послед-
него почти достаточно, чтобы убедиться в логической необходи-
мости такой теории из первых принципов.
Мы начнем поэтому с рассмотрения свойств спиновых опера-
торов Паули, столь хорошо известных из элементарной теории. Там
доказывается, что волновая функция электрона ф должна иметь
две компоненты (каждая из которых, конечно, комплексна). Они
отвечают в некоторой системе отсчета направлениям спина «вверх»
и «вниз» по отношению к некоторой выбранной оси. Чтобы мани-
пулировать с этой волновой функцией, мы вводим (2 X 2)-матрич-
ный оператор о в соответствующем ему гильбертовом пространстве.
Мы полагаем, сверх того, что оператор о обладает свойствами век-
тора в обычном трехмерном пространстве и, следовательно, его
можно представить в виде линейной комбинации трех векторов, на-
правленных вдоль соответствующих координатных осей. Иными
словами, можно написать
R • о = Хох + YOy + Zaz	(6.54)
для случая, когда «спин направлен вдоль единичного вектора
R = (X, Y,Z)».
Здесь введены операторы компонент спина ох, uv, az вдоль де-
картовых осей; в гильбертовом пространстве волновых функций ф
их, конечно, можно представить с помощью спиновых матриц Паули
'0 П
1 0/’ °у =
'0 -Л
о г
/1	0\
°‘=0 -1Г
(6.55)
Таким образом, оператор полного спина сам задается матрицей
(6.56)
( z
R ’-U+zr
X - IY'
-Z ,
<4 =
i
Релятивистские теории
209
Произведем теперь поворот системы отсчета Естественно от-
еСТи вектор (X, Y,Z) к новым осям. Пусть, например, в результате
поворота на угол 0 вокруг оси х компоненты этого вектора будут
равны
Х' = Х, У' = У cos 0 + Zsin0, Z' = — Esin0 + Zcos0. (6.57)
Выразив отсюда X, У, Z через штрихованные компоненты и подста-
вив результат в матрицу (6.56), мы найдем, что величина R-o
как функция новых компонент X', У', Z' более не имеет вида (6.54)
с матрицами (6.55).
Как сохранить ясность и простоту постулата (6.54), не вводя
при этом какой-то выделенной системы отсчета? Вспомним, чтс
сама волновая функция никогда не наблюдается: все физические
величины выражаются лишь через матричные элементы вида
(<p|f(a) |ф), в которых какая-нибудь функция спиновых операторов
стоит между обкладками из двухкомпонентных функций ф и <р
Любое преобразование, оставляющее этот матричный элемент не
изменным, физически никак не проявляется. Например, допустимо
любое преобразование типа
(I) ф' = Оф, (II) =	(6.58
где Q есть унитарная матрица.
Рассмотрим несколько более подробно, как именно преобра
зуется матрица (6.56) при повороте (6.57). Путем простого пере
множения матриц легко проверить, что преобразование (6.57)
можно записать в виде
/ Z' X' - iY'\
U' + lY' -z' ) =
(е . . е \	/ о . . е х
COS у I Sin у \ / z	iY\ I COS у — I sin 2~ \
. . 0	6 )\Х + /У — Z Д . . 0	0 I (6.59
l Sin —	COS-=-/'A+t/	I Sin-5- cos J
Z	L '	'	Z	Z *
Но точно так же должно записываться и преобразование (6.58), (II)
Другими словами, можно принять теперь, что волновая функци!
сама преобразуется при данном конкретном повороте осей соглас
но правилу
. . 0 ,
's,n 2 '
0
cos 2 
AM
VW
(6.60
= ФехФ-
В результате мы сохраним неизменной алгебраическую форму все:
Уравнений, определяющих спиновые эффекты, независимо от выбо
Ра осей в плоскости yz.
210
Глава 6
Унитарную матрицу, соответствующую этому вращению, мож
выразить через матрицы Паули:	’ Но
Qex cos g • 1 + * sin g • ox,	(6.61)
так что подобные формулы должны быть справедливыми и
поворотов вокруг других декартовых осей. Не составляет трудя”
следовательно, построить в явном виде унитарную матрицу, кото’
рая будет должным образом преобразовывать компоненты волно-
вой функции при переходе к любой новой системе координат. Тем
самым мы получим правило, определяющее поведение спинора л
аналогичное известным правилам преобразования компонент век-
торов, тензоров и т. д. Любое уравнение или выражение, содержа-
щее парные произведения спиноров типа ф*ф2, будет, таким обра-
зом, инвариантно относительно произвольных поворотов осей.
Релятивистское обобщение этого принципа оказывается очень
простым. Добавим к компонентам вектора о, определенного соот-
ношением (6.54), «временную компоненту» с базисной матрицей,
равной 1 — единичной 2 X 2-матрицей. В результате получим
4-мерный матричный оператор
=	с у, cz, 1).	(6.62)
При этом оказывается, что любое унитарное преобразование Q
типа (6.58) в спиновом пространстве сохраняет норму произведения
этого вектора на произвольный 4-вектор (X, Y,Z, Т).
В справедливости сказанного можно убедиться с помощью эле-
ментарного алгебраического
матрицы Ro:
det || Ro ||= det
тождества. Составим определитель
T-Z
X - iY
X + iY
T + Z
— T2 — X2— Y2 ~ Z2.
(6.63)
При произвольном унитарном преобразовании Q типа (6.58) вели-
чины X, У, Z, Т перемешиваются, и из них образуются новые ком-
поненты X', Y', Z', Т'. Но поскольку определитель матрицы инва-
риантен относительно унитарного преобразования, правая часть
равенства (6.63) остается без изменения. Преобразование Q в спи-
новом пространстве порождает линейное преобразование L в про-
странстве-времени, сохраняющее норму 4-вектора (X, У, Z, Т). Но
это и есть определение преобразования Лоренца согласно § 1 Дан"
ной главы.
Теперь надо бы найти унитарный оператор, действующий на
спинор ф при произвольном преобразовании Лоренца L. Для ча-
стного случая пространственного поворота решение этой задачи
дается выражением (6.61). Нетрудно получить и соответствующее
Релятивистские теории
211
бщение. И тут мы сразу обнаруживаем наиболее интересную
°^°бенность рассматриваемой связи между преобразованиями: за-
днему преобразованию L отвечают две различные матрицы Q.
ДаНЭта двузначность ясно видна уже из формулы (6.61). Можно
„тать, что пространственный поворот производится на положи-
С льный угол 9' < 2л, но можно и думать, что совершается поворот
на больший угол 0 = 6' + 2л. Поскольку результирующая матрица
ависит от 0/2, мы получаем в качестве допустимых решений как
п / так и —Qe'. Этот вывод является совершенно общим — оба пре-
образования спинорных компонент, как Q, так и — Q, сопрово-
ждаются одним и тем же преобразованием Лоренца L. К счастью,
эта неоднозначность не вызывает затруднений, коль скоро мы при-
мем некоторое условное соглашение относительно знака и будем
последовательно его придерживаться.
Формальное определение спинора остается, однако, двузначным
еще в одном отношении. В наших рассуждениях мы молчаливо
ограничивались случаем собственных преобразований Лоренца, при
которых, например, система пространственных осей не превращает-
ся в левостороннюю из правосторонней; невозможно также и изме-
нение знака времени-подобных смещений, приводящее, так сказать,
к путешествиям в прошлое. Разумеется, такие преобразования за-
прещены по физическим соображениям, поскольку их невозможно
осуществить при движении систем отсчета с какой-либо досветовой
относительной скоростью. Однако многие уравнения динамики ин-
вариантны относительно такого переобозначения координат. По-
этому важно решить, какое условное соглашение следует принять
относительно поведения спиноров при указанном преобразовании.
Пусть величина 1 обозначает инверсию; тогда /2 будет отвечать
тождественному преобразованию и собственное значение / может
быть только одним из квадратных корней из единицы. Иначе го-
воря, мы может принять одно из двух условий:
/ф = ф или /%= —X-	(6.64)
Первое из них определяет истинный спинор ф, тогда как функцию %
чадо назвать псевдоспинором по аналогии с различием между
истинными (полярными) векторами и псевдовекторами.
§ 6. Уравнение Дирака
Исследовав вопрос о лоренц-инвариантности спиноров, мы мо-
жем теперь сформулировать уравнения движения для спинорных
полей. Наша цель, естественно, состоит в том, чтобы написать реля-
тивистское обобщение уравнения Шредингера со временем для
фермиона, который предположительно описывается двухкомпонент-
и волновой функцией ф. Если искомое уравнение должно быть
инеино по оператору id/dt, то оно должно быть линейным и по
212
Глава 6
от-
оператору импульса р = —tV. Можно было бы, например
бовать соотношение	СпР°-
t_ =/п4 + <т.рч1, (бб5)
Если ф есть спинор, то уравнение (6.65) наверное инвариантно
носительно обычных поворотов осей типа (6.58).
К сожалению, однако, это уравнение невозможно сделать л
ренц-инвариантным. Более того, оно не инвариантно относительн"
пространственной инверсии, поскольку оператор о, будучи в суш
ности моментом количества движения, представляет собой псевдо-
вектор. Чтобы достичь достаточной гибкости относительно всех этих
преобразований, надо ввести в рассмотрение еще псевдоспинорное
поле х, связанное со спинорным полем <р, с помощью пары урав-
нений
i = ту + (о  р)х,
7T = mX-(o- р)ф-
(6.66)
Они по существу представляют собой уравнения Дирака для фер-
мионного поля полуцелого спина. Обоснование их, конечно, состоит
не в том, что они являются в некотором смысле простейшими воз-
можными уравнениями, обладающими необходимыми свойствами
инвариантности. Существенно, что они приводят к результатам, со-
гласующимся с физическими наблюдениями.
Исключая какое-нибудь из полей, легко проверить, например,
что все компоненты полей <р
уравнению Клейна — Гордона
(6.66), используя простейшие
получаем
и % по отдельности удовлетворяют
(6.38). Так, из системы
свойства матриц Паули
уравнений
(6.55), мы
I. д ,	\(. д
V dt т) V dt
Следовательно, решение уравнений (6.66) в пустоте должно пред-
ставляться совокупностью взаимосвязанных плоских волн типа
( Ф
I X
tnj <р = (о • р)2 ср = — V2<p.
(6.67)
Фк
pi (к-г—tot)
(6.68)
Входящая сюда частота должна быть положительным или отрица-
тельным значением стандартного выражения (6.39) для энергии
релятивистской частицы с массой покоя т:
<о = ± 18 (k) | = ± ]/(т2 + |к|2).	(6-69)
То обстоятельство, что уравнение Дирака представляет собой
результат факторизации уравнения Клейна — Гордона, наклады-
вает дальнейшие ограничения на компоненты полей и х- Взяв
по отдельности два разных значения корня, видим, что должна
Релятивистские теории
213
реал
нзоваться одна из двух
4+) = | й? (к) | + т чрк+)
возможностей
или ф(к-) = —
(6.70)
и ’ К	р__-j
|<Г (к) 1 + /71 Хк •
При малых к (т. е. при скоростях, значительно меньших ско-
сти света) решению с положительной энергией отвечает компо-
нента ф[+). гораздо большая, чем хк+); иными словами, электрон
1алой энергии почти точно описывается спинорным полем <р, стоя-
щим в верхней строке в (6.68). С другой стороны, «решение с отри-
цательной энергией» при малых значениях импульса представляет-
ся главным образом псевдоспинорным полем х^Ч В этой картине
мы узнаем знакомые нам электронные и позитронные состояния,
причем последние, разумеется, интерпретируются как дырки, т. е.
недостающие состояния в совокупности решений с отрицательной
энергией (см. гл. 2, § 7). Однако, когда кинетическая энергия ча-
стицы сравнима с ее массой покоя, мы не можем пренебрегать пе-
ремешиванием полей qp и х, описываемым формулами (6.70).
Приведенное выше рассуждение напоминает элементарное дока-
зательство того, что каждая компонента электрического и магнит-
ного полей подчиняется волновому уравнению. Последний факт
также устанавливался прямым исключением величин Е или Н из
уравнений Максвелла (6.13), аналогичных в этом смысле системе
линейных дифференциальных уравнений (6.66). Конечно, опери-
руя с потенциалами, мы автоматически удовлетворяем некото-
рым из условий взаимности, накладываемым впоследствии на век-
торы напряженностей электромагнитного поля, хотя этого и недо-
статочно, чтобы полностью избежать всех осложнений, связанных
с градиентными преобразованиями.
В случае таких фермионов, как электрон или нуклон, для опи-
сания релятивистских эффектов необходимо использовать полное
четырехкомпонентное поле (ср, х) • Однако в частном случае tn = 0
оба поля <р и х удовлетворяют абсолютно одинаковым уравнениям
движения. Это обстоятельство не вызывает никаких особых матема-
тических затруднений, но здесь выгоднее исследовать более простое
Уравнение Вейля

(6.71)
оно определяет поведение обычного двухкомпонентного спинорного
поля чр. Хотя это уравнение лоренц-инвариантно, оно было перво-
начально отвергнуто ввиду его неинвариантности относительно не-
обственного преобразования Лоренца — пространственной инвер-
С11и- Открытие несохранения четности в слабых взаимодействиях
открыло путь для восстановления в правах этого уравнения в ка-
естве уравнения движения нейтринного поля. Отыскивая решение
Уравнения (6.71) в виде плоских волн, получим две компоненты,
214
Глава 6
отвечающие двум состояниям частицы с нулевой массой
полуцелый спин частицы может быть направлен либо параллел^”’
либо антипараллельно направлению ее движения.	Ьн°>
§ 7. Матрицы Дирака
Свободные фермионы легко описать с помощью системы упа 1
нений поля (6.66). Однако, переходя к исследованию взаимодей'
ствий, скажем, между электронами и фотонами, мы должны цреп"
ставить теорию в явно ковариантной форме. Производная п
времени должна, разумеется, входить просто как компонента четы°
рехмерного оператора градиента (6.12), пространственные компо-
ненты которого, естественно, пропорциональны оператору импуль-
са р. Но в каждом из уравнений (6.66) производные по времени и
по пространственным координатам берутся не от одного и того же
спинорного поля. Соответственно приходится скомбинировать оба
поля в единый столбец с четырьмя компонентами — спинор Ди-
рака, или биспинор
Заметим, однако, что число компонент этого поля никак не связано
с размерностью пространства-времени; трансформационные свой-
ства биспиноров под действием преобразования Лоренца опреде-
ляются законами преобразования спиноров (6.58), (6.60), (6.64)
и т. д. и вовсе не совпадают со свойствами преобразований обыч-
ных 4-векторов.
Рассматривая теперь уравнения (6.66), видим, что инвариант-
ный член тф правильно дает множители при каждой компоненте в
каждом из уравнений. Производные по времени от компонент %,
т. е. от фз и фд, входят в систему (6.66) с обратным знаком. Фор-
мально этого можно добиться, умножив производную
(6.73)
на диагональную 4 X 4-матрицу
действующую в «пространстве» компонент биспинора ф.
Релятивистские теории
215
Пространственные компоненты 4-вектора —появляются в
(бинации со спиновыми матрицами Паули. В пространстве би-
к°*нОров последние надо представить посредством 4 X 4-матриц,
CpTOpbie также заменяют друг на друга поля ср и х с одновремен-
К ям изменением знака. Действуя по образцу (6.55), введем матри-
цы* служащие «пространственными компонентами» по отношению
к «временной» у4:
ах, у. г
у*’2-3 =
, так что Y1
и т. д. (6.75)
ОХ. у. Z
Легко проверить теперь, что производные, входящие в систему
уравнений Дирака (6.66), представляют собой различные компо-
ненты следующего дифференциального и матричного оператора,
действующего на поле ф:
i (y'V1 + YV + Y'V - yV) bb ig^v = - ZYV.	(6.76)
В обозначениях (6.40) уравнение Дирака записывается теперь в
явно ковариантной форме
(ZyV + /m)4 = 0.	(6.77)
Это уравнение описывает фермионы и представляет собой аналог
уравнения Клейна — Гордона (6.38), справедливого для скалярных
бозонов. Как хорошо известно, Дирак первоначально получил свое
уравнение путем непосредственной факторизации уравнений Клей-
на— Гордона (6.67). При этом он ввел четырехкомпонентную функ-
цию поля, умножаемую на матрицы типа yfl. Вывод уравнения Ди-
рака, приведенный выше, преследует цель обосновать и объяснить
эту формальную теорию посредством более явного учета требова-
ний релятивистской инвариантности.
Матрицы Дирака уц играют чрезвычайно важную роль в совре-
менной квантовой теории. Ряд их свойств уже более или менее оче-
виден. Так, например, при преобразовании Лоренца мы можем
рассматривать их как компоненты 4-вектора, и в новой координат-
ной системе мы получим новый набор матриц у'к в то время как
поле ф останется без изменения. С другой стороны, следуя ходу
Рассуждений § 5 данной главы, мы можем считать, что при этом
преобразовании матрицы уи остаются неизменными, но зато ком-
поненты биспинора ф подвергаются унитарному преобразованию
типа (6.60). Физические результаты, выражаемые значениями кван-
товомеханических наблюдаемых, будут одинаковыми в обоих слу-
чаях; поэтому удобно принять, что уц суть инвариантные матрицы,
всегда имеющие явный вид (6.74) и (6.75).
216
Глава 6
Фактически даже и эти формулы не являются необходим^
Напомним, что спиновые матрицы Паули можно получить из у'Ми’
вия, что они удовлетворяют тем же соотношениям коммутации <Л0
и компоненты момента количества движения	’ 1То
и т. д.	(g 7g)
Соответствующие соотношения антикоммутации можно вывести
помощью довольно утомительных преобразований и для матпиС
Дирака. Результат выражается единой формулой	'11
YV + W= - 2^1,	(б79)
где 1 в правой части обозначает единичную 4 X 4-матрицу. В том
виде, как оно написано, это уравнение не лоренц-ковариантно, од-
нако его легко привести к должной форме, подставляя величи-
ны g^ вместо g^v (они равны друг другу). Одних этих соотноше-
ний антикоммутации достаточно для того, чтобы выявить все суще-
ственные физические свойства матриц Дирака (понимаемых как
генераторы группы Лоренца, согласно определению, данному в
гл. 7, § 8). Явное обращение к их конкретному представлению типа
(6.74) и (6.75) при этом оказывается ненужным.
Поскольку матрицы Дирака представляют собой корни четвер-
той степени из единичной матрицы, они появляются в чистой мате-
матике как генераторы алгебры гиперкомплексных чисел. С точки
зрения физики интересно отождествить с наблюдаемыми различные
независимые математические выражения, которые можно по-
строить, комбинируя произведения этих матриц, и выяснить, како-
вы трансформационные свойства этих комбинаций. Все физические
наблюдаемые появляются в конечном счете в виде «матричных эле-
ментов», содержащих произведения векторов состояния и их ком-
плексно сопряженных («бра»- и «кет»-векторов). Очевидно, биспи-
норное поле ф должно обладать эрмитово сопряженным ф. Послед-
нее удовлетворяет уравнению, сопряженному с (6.77), т. е. (под-
разумевая, что оператор V действует здесь влево)
ф (—+ т) = 0.	(6.80)
Согласно правилам умножения матриц, поле ф должно представ-
лять собой «матрицу-строку» в пространстве спиноров, так что
комбинация полей
4
Фф = 5 Ф/Фг	(6.81)
г=1
представляет собой скаляр. Инвариантность этой величины отно-
сительно преобразований Лоренца, которая доказывается с исполь-
зованием унитарности матриц преобразования в (6.58) и т. Д., по-
зволяет ей выступать в роли плотности вероятности в теории Ди"
рака.
Релятивистские теории
217
Комбинация
Vй = -фу^-ф	(6.82)
на преобразовываться подобно обычному 4-вектору, в то вре-
Гкак величина
МЯ	rv = |^(vV-YVh	(6.83)
лжна быть антисимметричным тензором типа (6.19). Наиболее
интересная комбинация строится с помощью матрицы у5, опреде-
ляемой равенством
. . 1
. 1
1 . .
у5 = у1угуЗу4 = i
(6.84)
Величина
Р = 'фу5'ф
(6.85)
есть сумма произведений спинорных компонент на псевдоспинорные
и, следовательно, согласно формулам (6.64), изменяет знак при
пространственной инверсии; тем самым мы построили псевдоска-
ляр.
§ 8. Квантование поля Дирака
Дираковская волновая функция ф характеризует по предполо-
жению поведение отдельного электрона или нуклона. По этой при-
чине естественно искать решения уравнения Дирака в пустоте,
отвечающие заданному 4-вектору энергии-импульса р. Подставим
в (6.77) выражение
ф = п(р)ег'рх.	(6.86)
Величина и(р) здесь должна быть спинором Дирака, удовлетво-
ряющим условию
(ур - т) и (р) = 0.	(6.87)
Поскольку у есть матрица Дирака, это условие фактически пред-
ставляет собой систему четырех линейных уравнений относительно
компонент и(р). Условие совместности этих уравнений, т. е. усло-
вие обращения в нуль соответствующего детерминанта, сводится
к тому, чТ0 каждая компонента ф должна удовлетворять уравне-
НИю Клейна — Гордона (6.67). Таким образом, решения уравне-
НИя Дирака, имеющие вид (6.86), существуют лишь при условии
(р)]2 = (р4)2 == Щ2 +1 Р I2-	(6.88)
Будем считать & (р) по определению положительной величиной.
Для каждого корня написанного уравнения +<^(р) и —#(р)
можно найти отношения различных компонент и (р). Действительно,
218
Глава б
рассмотрим частный случай состояния с определенным
пульсом в пустоте. С помощью унитарного преобразования РеИм'
ния, данные формулами (6.70), можно перевести в представле^
Фолди — Войтхузена, в котором и(р) имеет только две верх^
или две нижние спинорные компоненты. Фермион оказывается тИе
сказать, «чисто электроном» или «чисто позитроном». Более ТОгК
для каждого знака энергии существуют точно два независимы3’
решения, соответствующих двум различным спиновым состояниям
частицы. Иначе говоря, для любой заданной величины обычного
импульса р мы в состоянии определить четыре решения вида
(6.86): «Ф, и® и «<», о®, из которых первые два отвечают поло-
жительной, а последние два — отрицательной энергии.
На этом этапе нет смысла останавливаться на обсуждении фи-
зических свойств частиц в указанных состояниях; последние вве-
дены просто в качестве базиса для представления операторов вто-
рично-квантованного поля. В представлении Шредингера оператор
дираковского поля должен записываться аналогично (2.22), т. е.
______ 2
Ф (Г) = 2 У e'p’r S [й+ (Р)(Р) + b- (Р)и- (Р)]- (6-89)
р	П=1
Множитель Ут/У&(р) здесь представляет собой нормировочный
коэффициент, аналогичный множителю 1/У<ок в соответствующей
формуле для бозонов (6.43). Операторный характер выражения
(6.89) определяется операторами уничтожения Ь(+ (р) и т. д., из-
меняющими числа заполнения соответствующих состояний
(р) е*р’г и т. д.
Нам предстоит разрешить затруднение, связанное с уровнями
отрицательной энергии. Его можно избежать только с помощью
гипотезы Дирака о том, что в основном вакуумном состоянии си-
стемы заполнены все эти уровни. Чтобы воспользоваться этим до-
пущением, используем формальный прием (2.71): каждый опера-
тор уничтожения &("’(р) будем считать «оператором рождения
дырки» Б*<п>(—р) в состоянии с противоположным значением им-
пульса. Иными словами, положим
_______ 2
ф (г)=U у S Р+ (р) «+ <р) е'р,г+б‘(п) (р)й(п} <р) е-£р‘г1-
(6.90)
Здесь величина й(п) (р) = н("> (—р) служит новым обозначением
для спинора, отвечающего отрицательной энергии и импульсу Р-
П“1
Р
Релятивистские теории
219
Пон действии на вектор состояния, принятого в качестве «ва-
1 Р первый член выражения (6.90) «уничтожает электроны»,
ь^'Р'0пой «создает позитроны». При переходе от представления
п1Врпингера к представлению Гейзенберга эти члены должны
Еобрести временные множители, отвечающие соответственно по-
нР'кчтельной или отрицательной энергии. Но это требование авто-
этически учитывается благодаря изменению знака р, т. е. мы мо-
М'еМ написать оператор дираковского поля в представлении Гей-
зенберга (или в представлении взаимодействия) в виде
_____2
(р) и(п) (р) е~1рх + Г(п) (р) й(п) (р) е‘рх]-
ф(х)=	24
р
р<~ 1 % (р) I
(6.91)
Электроны, порождаемые операторами b *, и позитроны, порождае-
мые операторами Ъ *, входят теперь на равных правах, и все энер-
гии положительны. Сходство с уравнением (6.45) для бозонов оче-
видно.
Перед нами теперь открыт путь к великому множеству спосо-
бов формального развития теории. Мы считаем, естественно, что
операторы уничтожения и рождения удовлетворяют соотношениям
антикоммутации (2.13) и (2.19): все они антиком мутируют друг с
другом, за исключением пары операторов уничтожения и рожде-
ния, относящихся к одному и тому же состоянию. В соответствии
с уравнением (6.80) надо ввести эрмитово сопряженное оператор-
ное поле ф, которое можно получить из выражения (6.91) следую-
щим образом: а) заменить операторы «со звездочкой» на опера-
торы «без звездочки» и обратно; б) заменить i на —i; в) заме-
нить все спиноры на эрмитово сопряжение. Далее, при обсужде-
нии соотношений антикоммутации этих двух полей, мы можем
действовать по образцу § 4. Основное различие между фермио-
нами и бозонами кроется в математических свойствах спиноров,
фигурирующих в выражении (6.91). Они приводят к несколько бо-
лее сложным инвариантным дельта-функциям по сравнению с вы-
ражениями (6.47) и (6.50).
Для большинства практических целей, однако, достаточно знать
только импульсно-энергетическое представление пропагаторов, со-
поставляемых линиям на диаграммах. Мы могли бы взять за
исходное хронологическое произведение (4.55) и следовать ходу
Рассуждений, использованных при выводе выражения (6.47). Од-
ако эту процедуру можно сократить до предела благодаря ис-
пользованию фундаментального принципа, установленного в гл. 4,
s 10. Согласно этому принципу, функция Грина есть решение ос-
и°вн°го Уравнения движения для волновой функции с 6-образным
очником в правой части. Как видно из формулы (6.48)
220
Глава 6
и уравнения (6.49), пропагатор скалярных бозонов удовлетвоп
неоднородному уравнению Клейна — Гордона	РЯет
(□ х - m2)	(х, х') = - б4 (х - х').	(6 92
Решение этого уравнения в импульсно-энергетическом представл
нии можно найти с помощью четырехмерного преобразовани'
Фурье. С учетом условия причинности оно имеет вид	я
= k2 - т2 + i6 •	(6.93)
Сопоставляя уравнения (6.38) и (6.77), видим, что соответствую-
щее неоднородное уравнение Дирака должно иметь вид
(iyV + т) GF(x, х') = - б4 (х - х').	(6.94)
Здесь считается, что функция Gp и правая часть обладают спинор-
ными свойствами. Выполняя преобразование Фурье, получаем от-
сюда
(ур-т) GF(p)= 1.	(6.95)
Этим и определяется фермионный пропагатор как функция им-
пульса и энергии.
Чтобы решить последнее уравнение, надо построить величину,
обратную спинору. Заметим, что, умножив все уравнение на сопря-
женный оператор ур + т, мы получим скалярную величину типа
знаменателя в правой части формулы (6.93). Таким образом,
фейнмановский пропагатор для фермиона можно записать в виде
GF (Р) = т -л =	'	•	(6.96)
p — m + i6	p2 — m2 — i6
Мы ввели в (6.96) общепринятый символ
р = ур = - grgvYnpvj	(6.97)
выражающий характерные черты, присущие рассматриваемой ве-
личине,— ее спинорную природу и лоренц-инвариантность. При
трактовке явлений в области релятивистских энергий именно это
выражение должно фигурировать вместо Go в формулах типа
(3.114), (3.128), (4.61) и т. п. Следует подчеркнуть, однако, что
хотя в процессе развития формализма мы без особого труда прео-
долели много ступеней на пути построения все более и более аб-
страктной теории, тем не менее выражения типа (6.96) в действи-
тельности довольно сложны. Фактическое вычисление вкладов от
диаграмм, матричных элементов и тому подобных выражений, со-
держащих спиноры, оказывается связанным с рядом алгебраиче-
ских тонкостей.
Релятивистские теории
221
§ 9.	Взаимодействия между релятивистскими полями
Как кролик из шляпы фокусника, уравнение Дирака появилось
нас без всякого обсуждения его динамических аспектов. Кано-
У чесКая процедура вывода классических уравнений поля была
Сложена в гл. 1, § 6. Основываясь на принципе Гамильтона, мы
’’„рьируем взятый по пространству-времени интеграл от плотности
лагранжиана. Получающиеся при этом уравнения Эйлера мы ис-
пользуем в свою очередь для построения гамильтониана поля.
Последний служит затем основой для формулировки различных
представлений операторов квантованного поля (см., например,
гл 3, § 2 и 3). Теперь нам нужен аналогичный формализм для
различных релятивистских полей.
В гл. 1, § 8, были определены плотности лагранжиана и гамиль-
тониана для скалярного бозонного поля, тогда как в гл. 1, § 12,
была кратко обрисована соответствующая теория для заряженных
бозонов. Поскольку и те и другие описываются уравнением Клей-
на-Гордона, легко убедиться, что указанные теории лоренц-ин-
вариантны.
Рассмотрим далее поле фотонов. В стандартных учебниках
классической теории электромагнетизма показывается, что урав-
нения Максвелла для пустоты (6.13) можно вывести канониче-
ским путем, варьируя компоненты потенциала в лагранжиане.
В обозначениях § 2 данной главы плотность лагранжиана имеет
вид
^эл. м = - 4	(6.98)
Это выражение явно релятивистски инвариантно; фактически оно
оказывается менее громоздким, чем могло бы показаться.
Наконец, для свободных фермионов должно быть выведено
уравнение Дирака (6.77). Оно имеет столь простой вид, что воз-
можные формы плотности лагранжиана легко исследовать; пра-
вильное выражение можно записать в компактных обозначениях
§ 7 как
^ферм = (фу (Уф) - (Уф) уф) - тфф.	(6.99)
последнее выражение по ф и по ф, мы получаем соот-
уравнение (6.77) и сопряженное уравнение (6.80).
этого утверждения с использованием уравнения (1.68)
может послужить хорошим упражнением в обращении со спино-
Теперь надо ввести динамическое взаимодействие между по-
лями. Как показано в гл. 1, § 1, такие эффекты описываются до-
СтВЛением к гамильтонианам свободных полей членов взаимодей-
вия, представляющих собой функции операторов различных
Варьируя
ветствепно
Проверка
222
Глава 6
полей. Коль скоро эти члены известны, мы можем воспользова
методами, развитыми в гл. 3, для расчета множества эффекТЬСя
физически обусловленных указанным взаимодействием. Едцн В’
венное, что нам осталось сделать в этой главе, — это показа^
что существует лишь небольшое число простых членов взаимодей’
ствия, согласующихся с требованиями релятивистской инвариант"
ности и т. д.
К решению этой задачи лучше всего приступить в рамках ка
ионической процедуры, исходя из лагранжиана или плотности ла-
гранжиана. Рассмотрим, например, известное электродинамиче-
ское взаимодействие между заряженной частицей и полем фотона
Для классической точечной частицы эта задача была решена дав-
ным-давно. Рассматриваемая система описывается полным ла-
гранжианом
частиц
"Ь ^взанм*
(6.100)
L м
Мы добавили здесь к отдельным лагранжианам частиц и электро-
магнитного поля член взаимодействия, плотность которого есть
^взаим=	(6.101)
Взаимодействие этого типа мы уже использовали, не мудрствуя
лукаво, в гл. 2, § 7.
Проварьировав выражение (6.100) по компонентам потенциала
мы получим уравнения Максвелла с токовыми членами (6.28).
С другой стороны, если для классической частицы, обладающей
зарядом е, написать
Р = е----
‘ ds
(6.102)
и выполнить варьирование по координатам частицы, то мы полу-
чим выражение для силы Лоренца, действующей на классическую
частицу в электромагнитном поле. Продолжая действовать по пра-
вилам канонической процедуры, мы придем к хорошо известному
результату: влияние электромагнитного поля на частицу учиты-
вается полностью, если в качестве ее гамильтониана взять выра-
жение [в обозначениях (6.40)]
Д = -^(р-еД)2.	(6.ЮЗ)
Здесь фигурирует канонический импульс частицы р.
Мы имеем теперь ключ к построению соответствующих формул
для частиц, описываемых квантованными полями. Напомним, что
квантовым аналогом импульса служит пространственный градиент,
на релятивистском языке
p=-iV.	(6-Ю^
Релятивистские теории
223
ь гамильтониана в форме (6.103) означает, что всякий раз,
ЗаП’ встречается этот оператор р, из него должна вычитаться ве-
К°ина Иначе говоря, взаимодействие частиц, имеющих заряд
ЛНЧ электромагнитным полем отражается путем замены оператора
на V*1____щЛв 6 выражении для плотности лагранжиана сво-
бодных частиц.
Применим теперь этот принцип к случаю фермионного поля,
плотность лагранжиана которого дается формулой (6.99). Видим,
что взаимодействие с электромагнитным полем учитывается путем
введения в лагранжиан дополнительного слагаемого:
^вэаим ~ вфуДф.
(6.105)
Полный лагранжиан теперь представляет собой сумму выражений
(6.98), (6.99) и (6.105). Исходя из этого, нетрудно написать урав-
нение Дирака для фермиона в электромагнитном поле, а также по
аналогии с формулой (6.101) найти подходящие выражения для
оператора плотности тока в представлении Шредингера.
Однако, освоив язык и технические приемы вторичного кванто-
вания, естественно сразу перейти к определению соответствующей
плотности гамильтониана взаимодействия. Для этой цели мы вос-
пользуемся канонической теорией, изложенной в гл. 1, § 6. По-
скольку выражение (6.105) не содержит производных ни от фер-
мионного, ни от фотонного полей, оно переносится в искомый ре-
зультат без изменения. В обозначениях (6.97) это дает
З^ЭЛ. м.-ферм = ефДф.	(6.106)
Исходя из этого выражения и используя представление взаимо-
действия, мы можем построить всю квантовую электродинамику.
Видно, например, что в каждой вершине фейнмановской диаграм-
мы должны встречаться одна входящая и одна выходящая фер-
мионные линии, а также одна фотонная линия, как и предполага-
лось в гл. 3, § 6. Вместе с общими выражениями (6.53) и (6.96)
Для бозонного и фермионного пропагаторов мы имеем теперь все
необходимые элементы теории возмущений, и в конечном счете
это приведет нас к перенормировке массы и заряда и т. п.
Описанная процедура содержит одну методическую ловушку,
хотя и второстепенной важности; примером тому служит следую-
щая ситуация. Попытаемся воспользоваться элементарной форму-
л°и (1.126) для отыскания плотности тока поля заряженных бо-
зонов, используя классический лагранжиан взаимодействия (6.101).
езультат оказывается отличным от того, который мы получили
ы с помощью более фундаментального правила, предписываю-
щего заменить V на V — ieA в выражении для плотности лагран-
Иана свободных частиц (1.113). Мы найдем фактически, что в
Ке — величине, которая всегда сохраняется по свойствам самих
224
Глава 6
уравнений поля, — появляется лишний член — 2еЛф*ф. Этот
зультат известен уже из элементарной теории движения элект^
нов в магнитном поле, где гамильтониан (6.103) дает в урав^0'
нии Шредингера дополнительный член е2Л2ф. Избежав указанн^'
опасности, мы можем без труда построить теорию электромагни
ного взаимодействия заряженных бозонов, например л-мезонов"
Но мы должны также принять во внимание и взаимодействия
между полями других типов. На опыте установлен факт сильного
взаимодействия между нуклонами — фермионами спина 1/2 — u
л-мезонами. Относительно последних можно предположить, на-
пример, что они представляют собой бозоны и описываются псев-
доскалярным полем ф. Тогда по аналогии с выражением (6.106)
подходящим членом взаимодействия в лагранжиане или гамиль-
тониане могло бы быть выражение
Усилья = - gWW	(6.107)
С учетом свойств величины (6.85) это выражение инвариантно от-
носительно собственных и несобственных преобразований Лорен-
ца; оно описывает элементарные процессы, в которых нуклон ис-
пускает или поглощает л-мезон. Ряд следствий этого выбора взаи-
модействия обсуждался в гл. 1, § 11. К сожалению, однако, в случае
рассматриваемого сильного взаимодействия значение констан-
ты связи g оказывается гораздо больше (в безразмерных едини-
цах, т. е. в отношении к he), чем величина заряда е, равная при-
мерно 1/У137. Как хорошо известно, попытка построить перенор-
мированную теорию со взаимодействием такого типа не привела
к успеху, и даже члены низшего порядка в разложении теории
возмущений не внушают доверия!
С другой стороны, в описании характерного явления бета-рас-
пада всегда должны участвовать четыре полевых оператора. В ти-
пичной ситуации нейтрон (•$„) распадается на протон (фР) с испу-
сканием электрона (фе) и нейтрино (ф\). Поэтому возможной
формой слабого взаимодействия могла бы быть такая:
^слаб = - G	(ф¥О2фе).	(6.108)
Здесь G — константа, а О] и О2 представляют собой операторы
подходящего вида, составленные из различных комбинаций мат-
риц ун из (6.81) — (6.85). Поскольку значение G очень невелико,
теория возмущений дает хорошие результаты в наинизшем поряд-
ке. Основная физическая задача здесь состоит в том, чтобы ото-
ждествить типы симметрии различных полей и путем анализа
экспериментальных данных выяснить, какая комбинация констант,
тензоров различной симметрии и полевых операторов приводит к
наилучшим результатам. В ситуации такого рода особенно полез-
ной оказывается теория, излагаемая ниже, в гл. 7.
Релятивистские теории
225
§ 10.	Релятивистская кинематика
Почти все наблюдения над элементарными частицами произно-
ся в экспериментах по рассеянию. В типичной постановке опы-
две частицы с большой кинетической энергией относительного
Движения приводятся в столкновение и продукты реакции реги-
стрируются на достаточном расстоянии как отдельные независимые
объекты. Как отмечалось в гл. 3, § 5, и гл. 4, § 14, характери-
стики любого события такого рода описываются S-матрицей.
В вычислении последней как суммы ряда теории возмущений и
состоит цель всего метода диаграмм, описанного в общих чертах
в гл. 3.
К сожалению, в случае сильных взаимодействий, как, напри-
мер, между л-мезонами и нуклонами, ряд такого типа не сходит-
ся. Однако сама S-матрица определенно существует, и ее можно
исследовать как функцию параметров, описывающих разнообраз-
ные процессы столкновений между исходными частицами. Эта
функция не вполне произвольна; соответственно немало усилий
было затрачено на установление математических условий, накла-
дываемых на нее в силу общих физических принципов.
В области релятивистских скоростей кинематические ограниче-
ния типа сохранения энергии и импульса оказываются отнюдь не
тривиальными. Хорошо известно, например, что при взаимодей-
ствии электронов с фотонами (6.106) свободный электрон в пусто-
те не способен испустить или поглотить свободный фотон; разре-
шенным процессом наинизшего порядка оказывается комптонов-
ское рассеяние (см. гл. 3, § 7). С другой стороны, в металле непо-
средственное испускание фононов оказывается возможным (см.
гл. 2, § 6), поскольку скорость электрона намного превосходит
скорость звука.
Поэтому систематический анализ кинематических ограниче-
ний, свойственных взаимодействиям частиц конечной массы в ре-
лятивистском случае, имеет большое значение, и не просто в ка-
честве руководства к постановке эксперимента, а как способ оты-
скания канонических переменных, от которых должна в конечном
счете зависеть S-матрица. Чтобы проиллюстрировать сказанное,
рассмотрим гипотетический процесс, в котором четыре частицы с
массами покоя m\, т2, ш3, т4 сходятся в одну точку и взаимно
аннигилируют в ней, не оставляя следа. Пусть 4-векторы энергии-
импульса этих частиц суть соответственно Р\, р2, Рз, Ра- Соотноше-
ния между энергией и массой каждой частицы имеют вид (6.39);
в обозначениях (6.40) они записываются как
р2 = т2 (1=1, 2, 3,4).
(6.109)
8 Зак. 699
226
Глава 6
Сохранение каждой компоненты полного вектора энергии
пульса выражается равенством	Пм-
Pi + Р2 + Рз + Pi - 0.	(6.110)
Если удовлетворить всем указанным условиям и учесть про
вольность выбора системы отсчета, то в результате останут3'
только три скалярных инварианта:
s = (Pl + Pif = (Р2 + Рз)2.
t = (Р2 + Р/ = (Р1 + Рз)2,
« = (Рз + Р4)2 = (Pi + Рг)2-
(6.1Ц)
При этом указанные инварианты не независимы, а связаны ли
нейным соотношением
s + t + u = m\ + т* + №* + т*.	(6.112)
Другими словами, рассматриваемый процесс столкновения можно
охарактеризовать, задав значения только двух из этих парамет-
ров. Каждый из них равен квадрату полной энергии некоторой
пары частиц в той системе координат, в которой их центр инерции
покоится.
Конечно, невозможно заставить четыре настоящие частицы сой-
тись в одну точку и аннигилировать там. Однако те же формаль-
ные соотношения будут справедливы и для другого случая. Имен-
но, воспользуемся постулатом Фёйнмана, утверждающим, что ча-
стица эквивалентна своей античастице, движущейся обратно во
времени. Пусть, например, векторы энергии-импульса Pi, _Р2, Рь
Pi сопоставлены четырем различным частицам: л-, р, Ко и Л соот-
ветственно. Тогда рассмотренное выше столкновение четырех ча-
стиц описывает возможный физический процесс
л“ + р->Ло + Л.	(6.113)
Все, что нужно сделать, это приписать возникающим на выход6
частицам Ко и Л взятые с обратным знаком пространственные
части векторов р3 и р4.
Релятивистские теории
227
j~j0 если этот процесс реально имеет место, то полная энергия
«падающих» частиц должна по меньшей мере превосходить
сумму их масс покоя; согласно формулам (6.111), мы должны иметь
u>(m„ + mp)2.	(6.114
Подобные соображения, довольно сложные в общем случае, огра-
ничивают области допустимых значений переменных s и t. На-
пример, если все четыре массы одинаковы, то каждая из этих
Ф и г. 7.
переменных равна квадрату импульса передачи, взятому с обрат-
ным знаком, и потому обязательно отрицательна.
Характер этих ограничений легче всего представить с помощью
Рисунка, считая параметры s, t, и однородными координатами
°^ки на плоскости1). Указанные координаты представляют co-
on расстояния от сторон равностороннего треугольника, причем
асштаб выбирается так, чтобы соотношение (6.112) выполнялось
') Так называемой плоскости Мапдедьстама. — Прим, перев.
8*
228
Глава 6
автоматически. Тогда процесс (6.113) может протекать, тол
если изображающая точка лежит внутри строго определенной bf°
ласти на плоскости; например, в случае одинаковых масс —вн'
ри клина, заштрихованного на фиг. 7.
Очевидно, однако, что между переменными s, t и и существую
определенные соотношения симметрии. Так, мы могли бы выбрат
Ф и г. 8.
в качестве «падающих» частиц те, которые характеризуются
4-векторами pi и р^. Тогда соответствующая им переменная s —
энергия в системе центра масс — должна быть положительной и
т. п. Другими словами, существуют и другие «физические» области
на плоскости переменных s, /, и, в которых можно удовлетворить
требованиям, накладываемым кинематическими ограничениями.
По-прежнему очертания этих областей нетрудно установить в про-
стом случае одинаковых масс покоя (фиг. 8). Но эти различные
физические области отвечают совершенно разным процессам рас-
сеяния (если только обсуждаемые частицы не все тождественны)^
Так, в рассматриваемых условиях область, в которой s > 4m,
относилась бы к реакции
+	(6.П5)
Релятивистские теории
229
тогда как
отвечала
аналогичная область, соответствующая
бы реакции
р + Л л+ + Ко-
параметру t,
(6.116)
Ввиду фактического различия масс разных частиц в таких реак-
,ях физические области не будут столь простыми и симметрич-
ными, как они изображены в рассмотренном выше элементарном
примере. Однако общие принципы остаются справедливыми — на
ф и г. 9.
диаграмме Мандельстама существуют строго определенные об-
ласти, соответствующие различным каналам протекания разных
Реакций. На фиг. 9, например, изображена диаграмма, в которой
Центральная физическая область отвечает распаду одной из ча-
стиц на три других.
Это геометрическое построение весьма настоятельно побуждает
Нас сделать чрезвычайно сильное предположение: все такие реак-
ции, например (6.113), (6.115) и (6.116), описываются одной и
тон же S-матрицей, которая по существу зависит только от капо-
ических переменных s, t, и [или от любых двух из них ввиду
соотношения (6.112)]. Любое правило, которое можно использо-
ать для установления связи между значениями этой функции в
Р зличных физических областях, будет тогда определять соотно-
230
Глава 6
общих
ампли-
шения кросс-симметрии. Последние дают связь между наблю
мыми поперечными сечениями двух внешне различных физиче^6'
процессов.
§ 11.	Аналитическая S-матрица
Свойства S-матрицы должны согласовываться с рядом
физических принципов, таких, как правило суперпозиции
туд вероятности, локальность сил взаимодействия и закон
нения полной вероятности. Отсюда следуют определенные матема-
тические ограничения на вид S-матрицы. Например, сохранение
вероятности приводит к требованию унитарности [как в формуле
(3.29)], которое в свою очередь ведет к математическим соотно-
шениям типа (4.161) для Г-матрицы или для амплитуды рассея-
ния рассматриваемого процесса.
Наиболее тонкий физический принцип, которому должна под-
чиняться S-матрица, есть принцип причинности-, мы должны быть
уверены в том, что уравнения движения, отвечающие принятому
описанию процесса столкновения, не допускают возможности пе-
редачи информации о «будущих» состояниях назад, в «прошлое».
Мы уже использовали этот принцип в ряде задач (см. гл. 3, § 6
и 8; гл. 4, § 10; гл. 6, § 4). Было показано, что вытекающим из
него требованиям можно удовлетворить с помощью так называе-
мого «-Н’е-правила», которое состоит в следующем. Каждый при-
чинный пропагатор, который в импульсном представлении являет-
ся аналитической функцией комплексной энергетической перемен-
ной, следует определять, вычисляя предельное значение этой
функции при стремлении к нулю мнимой части комплексной
энергии со стороны положительных значений, т. е. при стремлении
к вещественной оси из верхней полуплоскости. Соображения ана-
логии, предыдущая практика, а также прямые доказательства в
специальных условиях наводят на мысль о том, что амплитуды
переходов должны обладать такими же математическими свой-
ствами, как в квантовой теории; принимается как аксиома, что
S-матрица аналитична. Как мы видели, условия релятивистской
инвариантности требуют, чтобы S матрица зависела только от ин-
вариантных энергетических параметров типа переменных s, t, и
в (6.111). Таким образом, условие причинности считается практи-
чески выполненным, если все эти параметры рассматриваются как
комплексные переменные, а затем удается показать, что ампли-
туда перехода для данного процесса представляет собой значение
аналитической функции этих переменных, взятое вблизи их истин-
ных вещественных значений.
Математические следствия этого условия даже для функции
одной переменной невозможно выразить одной фразой. Примени-
тельно к случаю функций двух или большего числа переменных
рни оказываются в высшей степени хитроумными и сложными.
Релятивистские теории
231
н0 однако, эти математические следствия побуждают нас
лишаться к построению дисперсионных соотношений. Послед-
обР‘представляют собой по существу обобщение известных в эле-
ние.тарной макроскопической физике соотношений Крамерса—
"коонига [см., например, (5.32)].
^Математическим прототипом всех подобных соотношений слу-
известное в анализе преобразование Гильберта, элементарно
втекающее из теоремы Коши. Пусть мы имеем функцию f(w)
•омплексной переменной w — и + iv, заданную вблизи веществен-
ной оси о = 0 и на самой этой оси, при и>а, где а — некоторая
точка. Пусть, кроме того, f(w) -»0 при стремлении w к бесконеч-
ности вдоль любого направления и, далее, все особенности функ-
ции f(w) сконцентрированы в той полосе вдоль вещественной оси,
в которой функция считается известной. Тогда для любой точки
г, находящейся внутри контура С, изображенного на фиг. 10, мы
имеем по теореме Коши
/(г)= ' f = -=Ц7	(6J17)
2ra J w — z 2ш J	и — z	4
C	0
В частном случае, когда функция f(u) вещественна при и^,а,
ТсюДа следует преобразование Гильберта
232
Глава 6
Значение этой теоремы очевидно. Рассмотрим, к примеру
цесс (6.113), который может иметь место, согласно неравен^0'
(6.114), если величина энергетического инварианта и превью
некоторое пороговое значение. Будем считать, что функция
в формуле (6.117) есть аналитическое продолжение амплитуд
рассеяния рассматриваемого процесса в плоскость «комплексна
энергий» w = и + iv. Поведение f(w) вдоль вещественной 0СиЫх
области за порогом физически наблюдаемо. Если бы совершен^
определенно выполнялись другие математические условия теоп °
мы (тут-то и загвоздка!), мы могли бы найти f(w) в любой точк
комплексной плоскости, и главное на отрицательной веществен
ной полуоси и <0. Но, как видно из фиг. 9, при этом мы попадаем
в ту область диаграммы Мандельстама, в которой переменная
и связана с импульсом передачи в процессах типа (6.115) и
(6.116), совершенно отличных от исходного. Поэтому можно было
бы ожидать, что дисперсионное соотношение рассматриваемого
вида породит соотношения кросс-симметрии, связывающие ампли-
туды рассеяния, относящиеся к различным каналам, описываемым
одной общей S матрицей.
К сожалению, намеченный здесь путь от общих принципов к
практике пролегает через весьма пересеченную математическую
территорию. Прежде всего надо принять во внимание различные
правила отбора и явно учесть матричные элементы, характери-
зующие спин, четность, странность, изотопический спин и другие
свойства симметрии реальных частиц. Истинная S-матрица для
фермионов должна, например, содержать спиноры, как в формуле
(6.107), и не может быть простой скалярной функцией, каковые
обычно рассматриваются в теории аналитических функций. По-
мимо того, любое выражение для амплитуды рассеяния реляти-
вистского процесса должно содержать другой энергетический па-
раметр, s или I, от которого должно зависеть подынтегральное
выражение, равно как и его особенности в дисперсионном соотно-
шении по переменной и. Весьма вероятно, что эта зависимость бу-
дет математически очень сложной, поскольку в результате
должна воспроизводиться сложная геометрическая структура фи-
зических областей на диаграмме Мандельстама типа фиг. 9. Все
это приводит нас к задаче исследования функций двух или боль-
шего числа комплексных переменных с двойными дисперсионны-
ми соотношениями, вытекающими как следствия аналитичности.
Наконец, надо иметь явную информацию относительно приро-
ды и расположения всех особенностей амплитуды рассеяния Д
ствительно, из анализа известно, что этих сведений достаточно,
чтобы полностью определить искомые функции и тем самым Ре"
шить задачу. Как же возникают такие особенности?
В качестве простого примера рассмотрим нуклон-нуклонн
рассеяние, обусловленное обменом мезонами, т. е. фактически с
Релятивистские теории
233
Юкавы, рассмотренными в гл. 1, § 11. Выражение для S-мат-
ДаМИ в первом порядке теории возмущений дается следующей
Драимой Фейнмана:
Пренебрежем вершинными множителями типа g2. Вследствие за-
кона сохранения энергии-импульса в каждой вершине состояние
промежуточного бозона фиксируется заданием начальных импуль-
сов взаимодействующих нуклонов. В аналитической теории S-мат-
рицы множитель 6(pi + р2 + Рз + Pi), учитывающий сохранение
суммарных величин, выпадает из выражения для S-матрицы [ср.
с формулой (4.155)]. Поэтому, согласно правилам гл. 3, § 8, оста-
ется просто пропагатор бозона, участвующего в обмене. В реля-
тивистских условиях выражение для этого пропагатора дается
формулой (6.48), т. е. в обозначениях (6.111)
Т (12 -> 34) ~	---2—^- = ----U--тг .	(6.119)
'	' (pi+p3y — m2 + iC> t — mt + io	'
Этот результат есть не что иное, как релятивистский аналог
формулы (1.111), будучи просто борцовским приближением для
рассеяния потенциалом Юкавы. Теперь, однако, ясен более глубо-
кий его смысл: амплитуда рассеяния как функция переменной t
имеет полюс при значении t = tn2, т. е. когда энергия двух сталки-
вающихся нуклонов в системе их центра масс равна массе покоя
мезона. Точка, в которой «виртуальный» бозон становится «ре-
альным», оказывается самой существенной и определяет форму
амплитуды рассеяния в случае простого процесса обмена.
Но мы рассмотрели только первый член бесконечного ряда
теории возмущений. Истинная амплитуда рассеяния, безусловно,
Должна содержать вклад и от квадратной диаграммы, показанной
на фиг. 11, д и отвечающей процессу с обменом двумя мезонами.
Ири наличии достаточной энергии обе внутренние бозонные линии
могут превратиться в линии «реальных» мезонов, так что от дан-
Диаграммы следует ожидать появления особенности при t =
~~ 4щ2 Оказывается, что здесь возникает уже не простой полюс,
а точка ветвления, но исследование сингулярностей Ландау, по-
рождаемых диаграммами все более высокого порядка при все
234
Глава б
иллюстрирует также другую хапя
1-матрицы. Перерисуем ее в B„ К'
Пусть мезонные линии qt и q2 От?е’
больших и больших энергиях на вещественной оси, — это \>ж
мо по себе искусство.	е Са-
Рассмотренная диаграмма
терную особенность теории .
представленном на фиг. 11, б.
чают теперь реальному распространению мезонов, так что соб^'
тие, происходящее в точке В, может наблюдаться как, скажЛ'
рассеяние л-мезона на нуклоне. Действительно, процессы в точ’
ках А и С, в которых л-мезон создается и впоследствии погло"
щается, могли бы происходить в другой части Вселенной. S-мат-
рица, описывающая событие в точке В, будет зависеть только от
Фиг. 11.
параметров энергии-импульса (qi, р2, q2,— Pt) независимо от их
происхождения. Другими словами, связность таких диаграмм опре-
деляет возможность разделения полной S-матрицы на отдельные
члены, представляющие собой произведения более простых функ-
ций, чьи сингулярности можно идентифицировать. Возможность
указанного разбиения есть математическое следствие того физи-
ческого принципа, что сильные взаимодействия характеризуются
малым радиусом действия.
В настоящем кратком обзоре невозможно воздать должное
ни тому математическому искусству, которое было проявлено при
исследовании аналитических свойств S-матрицы, ни полезным
физическим результатам, полученным в рамках описанного под-
хода. К сожалению, конечная цель этого направления — построе-
ние самосогласованной теории сильных взаимодействий без ис-
пользования разложений теории возмущений — кажется непре-
станно ускользающей. Соотношения типа (6.119), устанавливаю-
щие связь между «силами» и «частицами», весьма поучительны,
по не известно еще, выходят ли они на самом деле за рамки
основного принципа, на котором базируется знаменитая гипотеза
Релятивистские теории
235
иЭкавы. Попытка построить всю S-матрицу, исходя только из усло-
й релятивистской инвариантности, унитарности, причинности
в1‘т п > без привлечения динамических принципов, требует, по-ви-
"„мому, введения некоторых дальнейших математических допу-
щений или аксиом, физический смысл которых не очевиден.
Типичным примером таких допущений является представление
Мандельстама. С помощью тщательного анализа квадратной диа-
граммы (фиг. П, о) можно вывести следующее двойное диспер-
сионное соотношение для амплитуды рассеяния как функции ин-
вариантных энергетических параметров s, t, и:
оо	оо
F (s>	= 77 / / (s'-sHr-z) ds' dt' + W f / (t'-t)(u'-u) dt'du'+
4m2	4ш2
+A- f f I f31 У/ du' ds'. (6.120)
л2 J J («' — u) (s' — s)	v '
4m2
Здесь интегрирование в каждом случае проводится только по «фи-
зическим» областям переменных s', t', и', отвечающих диаграмме,
изображенной на фиг. 9. Относительно распределения сингуляр-
ностей полной S-матрицы предполагается, что они ограничены
аналогичной областью. Указанное предположение было фактиче-
ски обосновано во всех порядках теории возмущений, но в общем
виде доказать его не удалось. При использовании подобных фор-
мул неявно делается одно из допущений, необходимых по усло-
виям вывода элементарного преобразования Гильберта (6.118).
Именно предполагается, что функция f(w) стремится к нулю при
w—юо. Не имея сведений относительно асимптотического пове-
дения амплитуд рассеяния при бесконечно больших (комплексных)
энергиях, мы вынуждены в большей или меньшей мере возвра-
щаться к результатам для квадратной диаграммы.
ГЛАВА 7
АЛГЕБРА СИММЕТРИИ
Томас Нани, Портной по Штанам
Кавендиш Сквер, Вигмор Стги ’
№ 29, изобрел Систему, оснований
на математическом Принципе „
средством которой устраняются За
труднения и исправляются Ошибки
Полезность ее для Легкости и Точ
ности в примерке несравненна, цОна
представляет собой единственное со
вершенное Правило для этой Рабо-
ты, когда-либо открытое. Несколько
сот человек (Аристократов, Джентль-
менов и Прочих), получивших Дока-
зательство ее Полезности, признают
что она превосходит все когда-либо
испробованное ими.
(Объявление, 1815 г.)
§ 1. Операции симметрии
В поисках реальных систем, поддающихся математическому
анализу, физик-теоретик уделяет особое внимание тем, которые
по своей природе или по способу изготовления обладают свой-
ствами симметрии. Так, он исследует изолированные «элементар-
ные» частицы, сферические ядра и атомы, двухатомные молекулы,
бензольное кольцо, идеальные кристаллы и тому подобные объ-
екты, естественная симметрия которых позволяет чрезвычайно
сильно упростить их математическую трактовку.
Вполне понятно поэтому, что фундаментальная математиче-
ская теория симметрии — теория групп — должна играть значи-
тельную роль в современной квантовой теории. Иногда говорят
даже, что этот аппарат поистине фундаментален, описывая глубо-
кую первичную связь между такими универсальными принципами,
как изотропия пустого пространства и квантование наблюдаемых
значений параметров элементарных частиц. Теория групп пред-
ставляет собой не просто вычислительный инструмент, помо-
гающий во всей полноте использовать конечное множество свойств
симметрии такой системы, как молекула или кристалл; как мы
видели при рассмотрении условий релятивистской инвариантности,
условия симметрии относительно непрерывной группы преобразо-
ваний, т. е. совокупности бесконечно большого числа элементов,
могут почти полностью задать динамику системы.
Возможно, нам не удастся в настоящей главе воздать должное
чистой теории групп, которая представляет собой самостоятель-
ную область математики, равно как и разнообразным приложе-
ниям этой теории почти во всех разделах теоретической физики.
Алгебра симметрии
237
Однако в духе предыдущего изложения мы попытаемся рассмот-
ри, некоторые ключевые принципы и методы, здесь применяе-
мые Наша цель — показать, какого типа результаты можно по-
лучить в самых простых условиях, так что вдумчивый студент
сможет составить себе известное представление о том, чего сле-
дует ожидать, приступая к чтению какого-нибудь из имеющихся
в литературе многочисленных и превосходных учебников на эту
тему.
В интересующих нас квантовомехапических приложениях мы
обычно имеем дело с гамильтонианом физической системы Ж. Он
представляет собой, разумеется, функцию координат и импульсов
различных частиц — электронов, нуклонов и т. п. Обозначим эти
переменные абстрактным символом х. Когда мы говорим, что си-
стема обладает определенной симметрией, мы понимаем под этим,
что гамильтониан 5^ инвариантен относительно соответствующего
преобразования координат. Выражаясь формально, мы утверж-
даем, что существует такой оператор, скажем, S, что
^(Sx)s^(x).
(7.1)
Мы могли бы, например, исследовать энергетические уровни
двухатомной молекулы; в этом случае символ х представлял бы
собой совокупность координат гь г2, гЛ. различных электронов,
движущихся в поле двух атомных ядер. Налицо очевидная сим-
метрия относительно вращения вокруг оси, соединяющей центры
атомов, так что оператор S мог бы отвечать повороту частиц
(с соответствующим преобразованием их координат) на произ-
вольный угол 0 вокруг указанной оси; очевидно, эта операция
есть элемент непрерывной группы. Если атомы тождественны, то
имеется еще операция простого отражения в плоскости, проходя-
щей через середину отрезка, соединяющего атомы, нормально к
нему. При таком преобразовании совокупность координат 5х отли-
чалась бы от х изменением знаков, например, г-компонент всех
векторов Г|, г2, .... rN. Далее, в силу тождественности электронов
гамильтониан должен быть инвариантен относительно перестанов-
ки различных индексов 1 ... N, приписываемых координатам этих
электронов. Эти перестановки представляют собой элементы ко-
нечного множества преобразований, и число их равно NI.
В каком-либо конкретном случае такие операции могут быть
Довольно сложными геометрически и алгебраически. Полное их
описание со всеми индексами и т. д. может занять несколько стра-
Нип текста, включая и таблицы, и пояснительные рисунки. Интуи-
тивно ясно, однако, что если символы S, Т и т. д., которыми мы
обозначаем различные операции, должны входить в математические
выражения, то они обязаны удовлетворять и некоторым правилам
самосогласования. Например, «произведение» ST обозначает
238
Глава 7
результат последовательного применения сначала операции Г и
тем S, но оно и само отвечает некоторой другой операции, ска»33'
R, из данного множества. Кроме того, для полноты надо сщМ
тать, что набор операций содержит в качестве своего элемент
тождественное преобразование Е, оставляющее все координать
неизменными. Наконец, всегда можно «нейтрализовать» действие
любого преобразования S с помощью другого преобразования
скажем, Q, принадлежащего тому же множеству; это последнее
преобразование S-1 можно назвать обратным первому и напи-
сать
SQ = SS-‘ = E.	(7.2)
Эти правила вместе с ассоциативным законом для произведений
операций составляют совокупность аксиом чистой алгебраической
теории; символы S и т. д. в ней называются элементами абстракт-
ной группы 'З.
Читатель без труда может убедиться, что эти правила согла-
суются с нашими интуитивными физическими представлениями и
аналитическими формулами для гамильтониана, например, упо-
минавшейся выше двухатомной молекулы. Заметьте, что мы
ничего не сказали относительно коммутативности произведений эле-
ментов группы; в общем случае ST =# TS. Это также можно про-
верить, сравнив, например, результаты последовательных поворо-
тов вокруг двух различных осей или двух последовательных пере-
становок индексов, произведенных в том или ином порядке. Трудно
представить себе более примитивные аксиомы, на основе ко-
торых будет строиться математически строгая физическая теория;
поразительно, какой объем разумной информации можно полу-
чить с помощью простого алгебраического исследования операций
симметрии системы.
§ 2. Представления
Желая избежать явных расчетов, мы практически вынуждены
ввести матричное представление нашего гамильтониана Ж натя-
гивая рассматриваемое гильбертово пространство функций пере-
менных х на некоторую бесконечную ортонормированную систему
<рг(х). Иными словами, строим матрицу Жъ такую, что
^(х)<р,(х) = 2^1/Ф/(х).	(7-3)
Матричные элементы Жц можно вычислить обычным способом.
Рассмотрим теперь, как действует какая-либо операция S на
это представление. Изменение переменных при переходе к Sx пре-
образует каждую функцию базисного набора (х) в другую функ-
цию (pj(Sx); но последнюю можно вновь разложить по набору
Алгебра симметрии
239
исходных функций, т. е.
<р,- (Sx) = S Slk4>k (х),	(7.4)
k
е коэффициенты Sih опять легко найти в каждом конкретном
сЛучае. Например, операцию S можно задать так: к переменной
х прибавить л/2. Тогда, если (pi(x) = sinx и q>2(x) = cosx (и т. д.),
то будем иметь
<Pi (Sx) = sin (х + yj = cos x = <p2 (x).
Таким образом, элемент Si2 этой матрицы есть 1. В общем случае
для нахождения коэффициентов используется свойство ортогональ-
ности базисных функций.
Нетрудно формально установить [ср. с (3.29)], что действие рас-
сматриваемого преобразования на сам гамильтониан можно пред-
ставить как преобразование соответствующей ему матрицы, т. е.
(Sx) <pf (х) = 3	Ф/ (х).	(7.5)
fkl
Здесь предполагается, что каждой матрице Sih можно сопоставить
обратную. Пусть теперь гамильтониан инвариантен относительно
этого преобразования, как в (7.1). Тогда
a^ll = Su'a^ikSk/.	(7-6)
ki
Иными словами, матрица гамильтониана коммутирует с матрицами
каждого из элементов соответствующей ему группы симметрии-, в
более абстрактной символической форме записи для каждого S,
принадлежащего %, мы имеем
S^-^S = 0.	(7.7)
Каждому элементу группы S соответствует матрица S4a, опреде-
ленная согласно (7.4). Легко доказать, что матрица, отвечающая
произведению двух элементов, есть просто произведение соответ-
ствующих матриц, а единичному элементу Е отвечает единичная
матрица. Таким образом, всем абстрактным операциям группы
однозначно сопоставляются соответствующие математические вы-
ражения, содержащие указанные матрицы. Этим путем осущест-
вляется по определению представление группы.
Ясно, однако, что такое представление не единственно, посколь-
ку базисный набор функций Ф,- был выбран произвольно. Возьмем
в качестве исходного иной базис, связанный с первоначальным по-
средством унитарного преобразования L/,j. Как известно из теории
гильбертовых пространств, операция симметрии S будет теперь
240
Глава 7
представляться новой матрицей
Szy = 2 UikSkiUij.	7 R.
Однако, последовательно применяя рассматриваемое преобразовя
ние к каждому элементу группы, мы не нарушим соотношений типа
R = ST‘	(7.9)
Действительно, если соотношение (7.9) верно для входящих в него
операций симметрии, то оно будет верным и применительно к лю-
бому матричному представлению указанных элементов, безотноси-
тельно к выбору базиса представления. Абстрактная группа опре-
деляется ее таблицей умножения. С этой точки зрения матричные
представления, связанные друг с другом равенствами типа (7.8),
полностью эквивалентны. При последующем изложении мы будем
считать чаще всего, что коль скоро установлена эквивалентность
двух представлений в указанном формальном смысле, их можно и
вообще рассматривать как тождественные друг другу. Действи-
тельно, всегда можно найти, как нам известно, такое унитарное
преобразование (7.8), которое превращает одно множество матриц
в другое без каких-либо физических последствий.
Пусть, например, мы диагонализовали гамильтониан Ж. В этом
случае функции <рДх) представляют собой собственные функции
ф; уравнения
^(х)фДх) = ^(х).	(7.10)
Применим теперь ко всему этому уравнению рассматриваемую аб-
страктную операцию симметрии. Простым переобозначением пере-
менных (или изменением системы координат соответственно опера-
ции S) мы получим
^(Sx)^(Sx) = ^(Sx).	(7.11)
Отсюда, согласно (7.1), имеем
^(х)фД5х) = ^(5х).	(7.12)
Таким образом, функция ф,(5х) также есть собственная функция
того же гамильтониана, отвечающая тому же собственному значе-
нию <Si.
Отсюда проистекают весьма важные следствия для матричного
представления элемента S в рассматриваемом специальном базисе.
Пусть энергетический уровень & а n-кратно вырожден, т. е. ему
отвечает п независимых собственных функций (г = 1,. • • >п)-
Тогда на основании (7.12) мы имеем
Р-|3)
Алгебра симметрии
241
е S$ есть п X «'матрица. Это значит, что «новая» собственная
дикция, порождаемая по предположению при действии операции
тмметрии, не может быть ничем иным, кроме как линейной комби-
СаЦией «старых» функций, принадлежащих тому же уровню.
Н Сравнивая равенства (7.13) и (7.4), видим, что матричное пред-
ставление S в рассматриваемом базисе оказывается в известном
смысле строго ограниченным: оно содержит только функции, при-
надлежащие «-мерному многообразию, натянутому на функции ф*а),
не примешивая к ним никаких других. Следовательно, в данном
представлении матрица S имеет вид
(5(,))..............................................
. (S(2>).............................................
о (а)	о (а)	о (а)
ОН	012	...	О1п
С«Х)	с'а)	СГа)
021	022	•	•	•	О2п
Q(a)	На)	о (а)
&п2 • • • &пп
(7.14)
Все элементы ее равны нулю, за исключением входящих в квадрат-
ные матрицы-блоки S*1), £<2) и т. д„ расположенные вдоль диаго-
нали. При этом порядок каждой из матриц-блоков равен кратности
вырождения соответствующего собственного значения. Эти блоки
эффективно разделяются — не существует компонент, связываю-
щих, например, строки матрицы 5(4 со столбцами, проходящими че-
рез St2).
Мы установили этот результат для произвольной операции S
группы относительно которой гамильтониан инвариантен. Ана-
логичным образом оказываются приводимыми к указанной общей
форме и матрицы, представляющие все элементы группы. Разумеет-
ся, с помощью унитарного преобразования собственные функции ф.
Можно связать с произвольной системой базисных функций <р,. По-
этому исходное матричное представление группы должно быть
эквивалентно приведенной форме (7.14). При использовании по-
следней чрезвычайно упрощается таблица умножения матриц. Дей-
ствительно, надо лишь перемножить матрицы, находящиеся на ана-
логичных местах на главной диагонали: согласно (7.9), для каждого
отдельного собственного значения ё>а получается
(7.15)
Г
242
Глава 7
(7.17)
Фактически можно ввести правило «сложения», согласно котопо
матрица (7.14) записывается в виде	р У
s=s(1)©s(2)© ... ©s(a)® ....	(716
Отсюда следует, что каждая субматрица действует в своем подпРо
странстве. Далее, согласно (7.15), произведение двух таких матриц'
ных сумм представляет собой обычное внутреннее произведение
компонент-субматриц, т. е.
ST =	s(a)r(a).
a
Эта связь между кратностью вырождения собственных значе-
ний и размерностью субматриц приведенного матричного предста-
вления операторов симметрии лежит в основе типичных приложе-
ний теории групп в квантовой механике. Ход рассуждений при
этом таков. Пусть мы каким-то способом нашли неприводимые
представления группы, т. е. матрицы типа S(a) минимального поряд-
ка па. Согласно (7.7), матрицы, задающие полное представление
каждого элемента группы, коммутируют с матрицами любых на-
блюдаемых, например гамильтониана, инвариантных относительно
операций симметрии группы. По фундаментальной математической
теореме (лемме Шура) собственные значения наблюдаемых распа-
даются на совокупность величин, кратности вырождения которых
суть па.
Следует отметить одну характерную для рассматриваемого ме-
тода черту — указанным способом невозможно вычислить собствен-
ные значения фактически. Симметрия системы обусловливает на-
личие определенных соотношений между различными измеряемыми
величинами. Однако она не дает всей информации, необходимой
для полного решения динамических уравнений, из которых искомые
величины фактически определяются. С другой стороны, неприводи-
мые представления строятся непосредственно по основным опреде-
лениям операций группы, без решения каких-либо динамических
уравнений. Таким образом, можно узнать о системе довольно мно-
гое за сравнительно умеренную цену.
§ 3. Регулярные представления конечных групп
Строя матричное представление группы, не обязательно проде-
лывать большую работу, связанную с рассмотрением соответствую-
щих преобразований в гильбертовом пространстве. Для конечной
группы можно построить регулярное представление, исходя непо-
средственно из основных интуитивных определений элементов групп
и вовсе не прибегая к средствам анализа. Проиллюстрируем идею
этого подхода на следующем стандартном примере Пусть^ равно-
сторонний треугольник преобразуется сам в себя под действием
Алгебра симметрии
243
„едующих операций: а) Р, Q и R — отражения соответственно от-
носительно линий OP, OQ и OR-, б) С3 —вращения вокруг центра
на угол 2л/3 по часовой стрелке; в) — аналогичные вращения
против часовой стрелки. Прямым подбором или с помощью гео-
метрической интуиции можно получить приведенную ниже таблицу
умножения элементов указанной группы, которая называется груп-
пой D$.
Таблица 1
	Е	р	Q	R	б’з	^3
F-' — Е	Е	р	Q	R	^3	б’з
Р~1 =Р	Р	Е	б’з	сз	Q	R
О' II 7 О	Q	сз	Е	б'з	R	Р
=/?	R	сз	С3	Е	Р	Q
С3-‘ = с3	б’э	Q	R	Р	Е	б’з
с--1 = с 3	3	^з	R	P	Q	сз	Е
Эта таблица абстрактно отражает структуру всей группы. Имея
ее, мы уже не обязаны помнить о геометрическом смысле рассма-
триваемых символов. Действительно, эти символы могли бы отно-
ситься к совершенно иным объектам, совсем из другой области
Например, мы могли бы придать операциям Р, Q и R смысл попар-
ных перестановок, а операции С3 и понимать как циклические
перестановки. В таком случае мы имели бы таблицу умножения
Для группы перестановок некоторых трех объектов. Именно такого
типа соотношения возникают как при антисимметризации волновых
Функций атома лития, так и при рассмотрении механических коле-
баний треугольной пластинки. Отметим, что здесь не все операции
коммутируют. В строке Р и столбце Q таблицы стоит элемент С3,
244
Глава 7
что соответствует соотношению PQ = С3; взяв произведение эт
же сомножителей в обратном порядке, мы получим QP = С-. ИХ
Построим теперь матрицу Гд(Р), представляющую элемент Р
поставив просто 1 в каждом месте, где встречается этот элемент
в таблице умножения, и положив остальные компоненты матрицы
равными нулю:
. 1 . . . .
. 1
1 .
ГЛ(Р) =
(7.18)
Поскольку каждому элементу группы однозначно соответствует
обратный, каждый символ может лишь один раз встретиться в лю-
бой строке или в любом столбце таблицы умножения. Поэтому
каждая из матриц Гд(Р), Гд(О) и т. д. есть матрица перестановки,
в каждой строке и в каждом столбце которой отличен от нуля лишь
один элемент, равный единице. По способу построения таблицы
умножения тождественная операция в ней находится на диагонали;
соответственно она представляется единичной матрицей Гд(£).
Легко показать, что рассматриваемые матрицы действительно
дают представление группы, т. е. удовлетворяют условию
VR(PQ) = rR(P)VM-	(7-19)
Для доказательства надо лишь заметить, что при умножении пер-
вой строки таблицы, напр’имер, на элемент Р порядок символов
изменяется, и получается P-я строка. Но точно такую же пере-
стройку дает и матрица Гд(Р). Таким образом, умножение таб-
лицы на последовательные элементы группы приводит к такой же
перестройке ее, что и в результате умножения на соответствующие
матрицы перестановок.
Очевидно, все матрицы Гд унитарны. В этом нет по существу
никакого ограничения общности, поскольку с помощью подходящей
перенормировки указанное свойство без труда получается для лю-
бого матричного представления. Однако в отличие от бесконечных
матриц S{j, рассмотренных в предыдущем параграфе, у каждой из
матриц Гд(5) ровно столько строк и столбцов, сколько элементов
содержит группа. Этого вполне хватает для воспроизведения та-
блицы умножения. Более того, регулярное представление обладает
довольно полезным свойством однозначности-, все g абстрактных
операций группы представляются различными матрицами.
Это не означает тем не менее, что представление Гд неприводи-
мо, т. е. что порядок каждой субматрицы в(7.14) равен g. Наиболее
Алгебра симметрии
245
„удный пункт теории состоит в доказательстве следующего утвер-
ждения: существует унитарное преобразование, приводящее матри-
цы представления каждого из элементов <$ данной группы к форме
типа (7.14) с блоками вдоль диагонали, т. е. к виду
Гд(«)->	Г(1> (S)			•
	•	Г(2>	-	•
		•	Г<з) (S)	•
	•	•	•	И т. Д'
(7.20)
При перемножении таких матриц по образцу (7.19) комбини-
руются друг с другом только соответствующие субматрицы. Соглас-
но (7.15), для каждого значения а мы имеем
Г(а) (ST) = Г(а) (<8’)Г(а) (Т).	(7.21)
Таким образом, рассматриваемые матрицы также описываются
таблицей умножения группы. Если дальнейшее приведение их ока-
зывается невозможным, то говорят, что есть неприводимое
представление группы ‘S.
Рассмотрим теперь следующую, на первый взгляд тривиальную
ситуацию. Пусть каждый элемент группы представляется одной и
той же одномерной матрицей — просто числом 1. Легко видеть, что
это не противоречит таблице умножения — соотношение, напри-
мер, С3 = PQ правильно представляется арифметическим равен-
ством 1 = 1 • 1. И действительно, для любой мыслимой абстрактной
группы это представление, сколь бы тривиальным оно ни казалось,
формально допустимо. Тождественное представление определенно
служит решением задачи о неприводимых представлениях группы,
и оно обязательно должно включаться в полный набор таких пред-
ставлений. В связи с этим важно усвоить, что однозначность не есть
свойство первостепенного значения. Нередко встречаются предста-
вления, в которых одно и то же число или одна и та же матрица
сопоставляется нескольким различным элементам группы.
Порядок регулярного представления равен g, и оно содержит,
как можно показать, все неприводимые представления группы. По-
этому порядок любого неприводимого представления не превосхо-
дит g. Может оказаться, сверх того, что некоторые из субматриц-
блоков в приведенной форме (7.20) можно сделать идентичными
ДРуг другу с помощью подходящего унитарного преобразования.
Иными словами, некоторые из представлений Па) оказываются
эквивалентными [в смысле (7.8)] и потому могут считаться идентич-
ными. В таком случае воспользуемся правилом сложения (7.16) и
Напишем
Гл = PXW е р2Г<2) е ... @	(7.22)
246
Глава 7
Теперь каждое неприводимое представление Па) встречается зд
Ра Раз- Таким образом, число п различных неприводимых предсч Ь
влений, равно как и порядок па каждого из них, конечны и опш?'
ленно меньше g.	Ае"
В математике доказывается, что группа не может иметь других
неэквивалентных неприводимых представлений, кроме тех, которые
содержатся в регулярном представлении. Вернемся к случаю (7 14)
где мы имели пример приведения бесконечного матричного пред-
ставления к блочно-диагональному виду путем преобразования
собственных функций гамильтониана. Можно утверждать, что ка-
ждая из этих субматриц-блоков Sff эквивалентна тому или иному
из неприводимых представлений П“>(5) соответствующих элемен-
тов группы. Таким образом, задача о классификации собственных
значений гамильтониана сводится к отысканию сравнительно не-
большого числа неприводимых представлений группы симметрии
системы.
§ 4. Теорема об ортогональности
Фактическое построение различных неприводимых представле-
ний группы сильно облегчается, если использовать несколько ос-
новных утверждений. Так, очень мощный математический инстру-
мент дают нам теоремы об ортогональности. Сформулируем здесь
наиболее общую из них.
Пусть Г(гр(5)есть ip-й элемент матрицы унитарного неприводи-
мого представления элемента S данной группы. Тогда
£г$($)	(7.23)
s	и
Иными словами, выберем определенную «ячейку» в матрице, отве-
чающей элементу данной группы в некотором неприводимом пред-
ставлении. Сделаем то же самое для обратного элемента группы,
но, вообще говоря, взяв другую ячейку и другое неприводимое
представление. Каждой такой ячейке сопоставлено число — матрич-
ный элемент. Перемножим эти числа для двух выбранных ячеек и
просуммируем полученные произведения по всем элементам груп-
пы. Если два представления неэквивалентны, то указанная сумма
обратится в нуль. Даже если они эквивалентны, сумма также будет
равна нулю для различных ячеек. Если же ячейки совпадают, то
мы просто умножаем каждый матричный элемент на соответствую-
щий элемент обратной матрицы. При этом сумма оказывается
равной порядку группы, деленному на порядок рассматриваемого
неприводимого представления.
Эта теорема накладывает столь жесткие ограничения на различ-
ные матричные элементы, что иногда удается почти угадать вид не-
приводимых представлений. Обсудим простой пример. Рассмотрим
Алгебра симметрии
247
nvnny с представленной выше таблицей умножения (см. табл. 1).
Ды имеем уже тождественное представление, каждый элемент ко-
торого есть просто 1; очевидно, оно неприводимо. Существуют ли
какие-нибудь другие неприводимые представления порядка еди-
ницы? Поскольку они должны быть унитарными, каждый элемент
группы может представляться только корнем квадратным из едини-
цы, т. е. числами +1 или —1. Нас интересует представление, не-
эквивалентное тождественному, поэтому, согласно теореме об орто-
гональности, сумма произведений каждого из этих чисел на еди-
ницу должна обращаться в нуль. Следовательно, должно иметься
одинаковое число «положительных» (представляемых единицей) и
«отрицательных» (представляемых минус единицей) элементов
группы. Очевидно, тождественной операции Е сопоставляется +1.
С другой стороны, из общего числа шести элементов операции Р,
Q и R подобны друг Другу (как мы увидим, они принадлежат одно-
му классу), и им следует приписать одинаковые знаки. Следова-
тельно, последние элементы должны представляться числом —1,
тогда как элементы С3 и С3 подобно Е будут представлены чис-
лом + 1.
Полное доказательство теоремы (7.23) довольно сложно, однако
общий ход рассуждений поучителен. Выражение в левой части
(7.23) имеет математическую структуру внешнего, или прямого,
произведения элементов группы. Как мы увидим в § 6, символом
R&S обозначается абстрактная операция, применение которой в
одних отношениях эквивалентно умножению на S, а в других —
умножению на R. Вспомним, как мы строили компоненты декарто-
вых тензоров, составляя диады из векторов. Аналогичным образом,
используя произвольное матричное представление элементов груп-
пы, можно построить и набор величин
=	(7-24)
Рассмотрим теперь следующую комбинацию:
A = 2S®S-1.	(7.25)
s
Она коммутирует с каждым элементом группы. Действительно, для
любого заданного элемента R мы имеем
ЯА = Д5 ® S"1 = 2 (Я$) ® S"'(д“‘д) =
S	S
= 2 (/?$) ® (RS)~'R = АД, (7.26)
(SS)
поскольку при суммировании по элементам (RS) все элементы
гРуппы просто перебираются в другом порядке.
В качестве конкретного представления элементов группы, вхо-
дящих в сумму (7.25), мы могли бы использовать прямую сумму
248
Глава 7
неприводимых представлений Г<“> и Г(Р>, подобную (7.16). При это
левая часть равенства (7.23), выражающего теорему об ортогона
пости, оказалась бы одной из компонент величины А. Но, как яв
ствует из (7.26), мы построили такую матрицу А (не обязательно
квадратную), что для каждого элемента R группы справедливо
равенство
АГ(О)(7?) = ГФ,(/?)А	(7-27)
Сравнив это с (7.8), видим, что оба представления эквивалентны
Согласно лемме Шура, если и Г<₽> неэквивалентны, то все ком-
поненты А обращаются в нуль; если же, напротив, рассматривае-
мые представления эквивалентны, то матрица унитарного непри-
водимого представления А должна быть кратна единичной. Таковы
математические следствия теоремы (7.23).
Упоминание о «тензорах» и «диадах» при интерпретации равен-
ства (7.24) наводит на мысль об ином подходе к теореме (7.23).
Можно представить себе, что группа порождает пространство раз-
мерности g, «оси координат» которого нумеруются элементами R,
S, Т и т. д. Числа, стоящие в определенных ячейках матриц непри-
водимого представления, можно считать компонентами вектора
в указанном пространстве. Так, например, число Г(“р (S) есть «ком-
понента вектора Г1/'* вдоль оси S». Теорема тогда сводится просто
к формулировке условия ортогональности таких векторов. Иначе
говоря, компоненты матриц, реализующих неприводимые пред-
ставления группы, составляют новый базисный набор ортогональ-
ных осей в рассматриваемом абстрактном пространстве.
Из сказанного непосредственно вытекает еще одно важное по-
ложение. Каждое неприводимое представление Г<а) порядка па со-
держит точно компонент. Однако число ортогональных векторов,
на которые натянуто пространство, не может превосходить размер-
ности последнего, равной порядку группы g. Поэтому, учитывая
лишь неэквивалентные представления, мы должны иметь
(7-28)
а
В действительности оказывается, согласно другой теореме, что в
этом соотношении всегда имеет место знак равенства.
Условие (7.28) накладывает чрезвычайно сильное ограничение
на возможные неприводимые представления группы. Например, в
рассмотренном выше случае группы перестановок порядка 6 мы
нашли уже два неэквивалентных неприводимых представления. По-
скольку каждое из них порядка единицы, помимо них может иметь-
ся только еще одно неприводимое представление порядка 2, что
дает для (7.28) равенство
12+ 12 + 22 = 6.
(7.29)
Алгебра симметрии
249
§ 5. Характер и класс
Мощные теоремы предыдущего параграфа сильно облегчают
явное построение неприводимых представлений конечной группы
путем прямой алгебраической трактовки, например, регулярного
представления. И все же эта задача остается слишком трудоемкой.
Практически приходится иметь дело с физическими задачами, кото-
рые сводятся, например, к решению уравнения Шредингера. При
этом матричные представления автоматически возникают в процес-
се расчета, например, при различных преобразованиях, выполняе-
мых над волновыми функциями, как в (7.4). Большую часть задачи
удается решить путем разумного выбора таких функций, конечно,
если у нас есть какой-нибудь арифметический способ проверки того
или иного фактически реализуемого представления на его приводи-
мость или неприводимость. Разумеется, такую проверку можно осу-
ществить с помощью теоремы об ортогональности, но чтобы вос-
пользоваться ею, мы должны заранее знать матричные элементы
различных неприводимых представлений группы!
Заметим, однако, что два внешне различных набора матриц мо-
гут давать эквивалентные представления. Это означает, что вид
матричных элементов сам по себе относительно произволен. Про-
верка свойства приводимости может затрагивать лишь некоторые
величины, инвариантные относительно унитарных преобразований
типа (7.8). Простейший инвариант матрицы-представителя есть ее
след. В теории представлений групп след матрицы, представляю-
щей данный элемент группы, называют характером % этого эле-
мента в рассматриваемом представлении; в обозначениях (7.4)
имеем
x(S)sSp(S//)sS5„.	(7.39)
i
Как известно, след матрицы инвариантен относительно унитар-
ного преобразования. Если два представления группы эквивалент-
ны, то характеры какого-либо элемента группы в них одинаковы.
Справедлива и обратная теорема, которую мы приведем без дока-
зательства: если характеры элементов группы в некоторых двух
представлениях совпадают, то эти представления обязательно экви-
валентны друг другу. Отсюда вытекает способ непосредственного
математического сравнения некоторого произвольного представле-
ния группы с известным неприводимым представлением. На самом
деле не обязательно знать полностью матрицы неприводимого пред-
ставления, достаточно найти лишь характеры различных элементов
группы в рассматриваемом представлении.
Понятно, что характер элемента S в данном представлении за-
висит от выбора последнего. Предположим, однако, что предста-
вление приводимо подобно (7.16):
S = S‘©S2© ...©Sr@ ....	(7.31)
250
Глава 7
След прямой суммы матриц равен, очевидно, сумме следов ее сл
гаемых. Поэтому имеем	а'
X(S) = %1(S) + X2(S)+ ... +xr(S)+ ... .	(7.32)
Характер элемента в данном приводимом представлении дается
просто арифметической суммой его характеров в представлениях
на которые можно разложить исходное представление. Напримеп’
в случае регулярного представления из формулы (7.22) следует
что
Хя(5) = PiX(1)(S) + p2%(2,(S)+ -	+p„X(n)(S).	(7.33)
Здесь x(a)(S) есть след матрицы, представляющей элемент S в не-
приводимом представлении Г<“>, ра раз встречающемся в предста-
влении Гд.
Это тесное соответствие между арифметикой характеров и аб-
страктной алгеброй представлений дает нам ключ к установлению
эффективной связи между физическими свойствами системы и ма-
тематическими свойствами конечных групп. Нетрудно вычислить
характер каждого элемента в некотором представлении Г, которое
строится аналитически при решении динамических уравнений. Зная
характеры всех элементов во всех неприводимых представлениях
группы, мы должны лишь решить систему уравнений типа (7.32)
или (7.33), чтобы определить, сколько раз каждое неприводимое
представление входит в Г. Таким образом, мы можем исследовать
поведение различных функций, используемых при построении Г, с
помощью различных неприводимых представлений группы. Можно,
например, делать утверждения типа: «Данный набор собственных
функций не содержит случайного вырождения и при повороте осей
преобразуется по представлению Г(3)».
На первый взгляд, однако, равенство (7.33) дает слишком уж
много уравнений. Группа содержит g элементов, которых по (7.28)
обычно гораздо больше, чем п различных неприводимых предста-
влений. Но, к счастью, многие из этих уравнений излишни.
Как уже отмечалось, интуитивно ясно, что многие операции
группы подобны друг другу, например отражения Р, Q и R относи-
тельно биссектрис треугольника в простом примере § 3. По опре-
делению два элемента группы, S и /, принадлежат одному и тому
же классу, если существует другой такой элемент X, что
S = X~'TX.	(7.34)
Это определение согласуется с нашими интуитивными представле-
ниями, ибо его смысл состоит в том, что операция Т превратилась
бы в S, если бы мы последовательно переобозначили все операции
симметрии после выполнения преобразования, определяемого эле-
ментом X. В пашем примере имеем
P = C^QC3,	(7-35)
Алгебра симметрии
251
е если сдвинуть все обозначения на треугольнике на угол 2п/3,
то прежнее отражение относительно OQ станет отражением отно-
сительно ОР.
Согласно элементарному правилу матричной алгебры, две ма-
трицы S и Т, связанные преобразованием подобия (7.34), обладают
одинаковым следом. Следовательно, в произвольном представлении
труппы все элементы, принадлежащие одному классу, имеют совпа-
дающие характеры-.
Х(«) = Х(П	(7.36)
Приступив к решению уравнений (7.32) и (7.33), мы получим от
элемента Т точно такое же уравнение, как и от S. Число независи-
мых уравнений рассматриваемого типа не больше числа классов,
на которые можно разбить элементы группы.
Теперь, вероятно, уже не вызовет удивления теорема, согласно
которой число классов в группе точно равно числу ее неприводимых
представлений. Таким образом, система уравнений типа (7.33)
всегда имеет единственное решение для величин ра.
Фактически это решение можно явно найти с помощью теоремы
об ортогональности (7.23). Возьмем два неприводимых представле-
ния Г^(5) и Г^(5-‘), положим i = р и j = q; просуммировав по
указанным индексам, получим характеры. Поскольку рассматри-
ваются унитарные представления, характер элемента S-1 должен
быть комплексно сопряженным характеру элемента <$. Далее, сум-
му по всем элементам группы можно свести к сумме по классам.
Учитывая должным образом число членов в каждой такой сумме,
находим
(7.37)
к
Здесь — число элементов k-vo класса, — характер элемента
этого класса в неприводимом представлении Г(а). Иными словами,
совокупность чисел х^а) образует ортогональную1) систему векто-
ров размерности п.
Рассмотрим представление Г, в котором элементы, относящиеся
к k-му классу имеют характер хл- Воспользуемся равенствами
(7.32) и (7.37). Тогда простыми средствами матричной алгебры
можно показать, что в разложении Г на прямую сумму
Г = й,Г(1)фбг2Г(2)@ ... фспГ(П)	(7.38)
кратность аа неприводимого представления Г,а' дается формулой
<7-39)
k
Строго говоря, с весом. — Прим, перев.
252
Глава 7
Вся существенная информация относительно общей струКТУГ)
группы содержится в таблице ее характеров — квадратной матри
чисел %ka); строки этой матрицы нумеруются индексами неприводи6
мых представлений Г<а>, а столбцы соответствуют классам элемен
ТОВ ГРУППЫ 'g’ft.
Из формулы (7.39) вытекает еще одно полезное утверждение-
неприводимое представление Па) содержится в регулярном пред-
ставлении па раз, где число па есть порядок матриц Г<“). Это сле-
дует из определения регулярного представления (7.18). За исклю-
чением тождественной операции, каждый элемент группы предста-
влен в Гн некоторой матрицей, вдоль главной диагонали которой
стоят нули. Следовательно, характеры всех элементов, за исключе-
нием Е, равны нулю. Однако, согласно (7.34), операция Е сама по
себе составляет класс, содержащий лишь один элемент. Поэтому
в формуле (7.39) правая часть сводится просто к характеру элемен-
та £ в представлении Г<а>, равному, разумеется, как раз числу па.
Отсюда в свою очередь следует, что в соотношении (7.28) должен
стоять знак равенства.
Проиллюстрируем выводы теории характеров на примере рас-
смотренной выше группы £>з. Как уже было показано, она содер-
жит три класса и имеет три неприводимых представления. Харак-
теры одномерных представлений П1’ и П2> сразу же получаются
из условий ортогональности, рассмотренных в § 4. Кроме того, ха-
рактер элемента Е в двумерном представлении равен двум. Остает-
ся лишь определить х*3) и %^3). На основании условий ортогональ-
ности (7.37) без труда находим для них соответственно значения
—1 и 0. Таким образом, почти без всяких усилий мы получили
следующую таблицу характеров:
Таблица 2
Класс . . .	*1	2^2	З^з
Элементы . . .	Е	С3, С3	р, Q, R
р(0	1	1	1
р(2)	1	1	-1
р(3)	2	-1	0
Покажем, как можно использовать ее при решении физической
задачи. Пусть изолированный атом помещен в поле, обладающее
симметрией Ds относительно оси z. Как повлияет это поле на одно-
электронные энергетические уровни?
Алгебра симметрии
253
Не вдаваясь в излишние тонкости, будем интересоваться только
s. р. и d-состояниями. Волновые функции последних имеют вид
= 4Ps (й.
фр = Хфр(г), y<Pp(r), zq>p(r),
ф^ = хдо</(г), yzq>d(r), zxq>d(r),
(x2-z2)(pd(r), (у2-z2)qd(r).
Здесь x и у — координаты в плоскости треугольника, причем ось у
направлена вдоль ОР (см. фиг. на стр. 243).
Поскольку функция фв (<) зависит только от расстояния от на-
чала координат, она инвариантна относительно всех элементов груп-
пы и, следовательно, реализует тождественное представление Й1).
По этой же причине можно не интересоваться и множителями
(г), фгг(/*) в других функциях, рассматривая только множите-
ли х, у, ху и т. д.
Нетрудно вычислить, как действуют различные элементы груп-
пы на волновые функции p-состояний х, у и z. Так, операция С3 от-
вечает просто повороту в пространстве, и в применении к х и у она
дает соответственно
САх=-^х+Ц-у,	(7.41)
С3у=-^-х-^у.	(7.42)
Пользуясь теперь соотношением типа (7.13), сможем построить
следующую двумерную матрицу представления:
1	/3
2	2
Таким образом, характер класса #2 в этом представлении ра-
вен —1. Подобным же образом найдем, что характер элемента
группы Р (который заменяет х на —х, оставляя неизменным у)
Должен быть равен нулю, так что %з = 0. Очевидно, две рассмотрен-
ные выше функции образуют базис представления, обладающего
теми же характерами, что и неприводимое представление П3).
Вспомним, что эти функции отвечали вырожденным энергетическим
Уровням свободного атома. Поле с симметрией типа D3 не может
снять указанное вырождение. С другой стороны, третья р-функ-
ния фр(г) должна принадлежать одномерному неприводимому
представлению. Возмущение может отщепить отвечающий ей энер-
гетический уровень от уровня двух других. Заметим, однако, что
Эт<э рассуждение не дает никаких указаний относительно величины
254
Глава 7
расщепления. Последняя зависит от интенсивности возмуще11и
явного вида атомных функций и т. п.	я’
Аналогичным образом рассматриваются и d-состояния. Наппи
мер, состояния ху и уг преобразуются так же, как х и у, и потому
принадлежат представлению П3). Однако при исследовании трех
других функций ху, x2 — z2, у2 —г2 возникает несколько более
сложная ситуация. На основании (7.41) и (7.42) мы получаем дЛя
класса 'ё’г
СЛху} = \--2х + — У)\------2~Х~~2У) =
= т U2 - Z2) - 4 {у2 - г2) - у ху. (7.44)
Это показывает, что размерность представления равна трем. Вы-
полнив ту же операцию с функциями х2 — г2 и у2 — z2, построим
матрицу, след которой будет равен нулю. С другой стороны, три-
виальный расчет действия элемента Р на рассматриваемые функции
показывает, что %з = 1. Итак, мы имеем представление с характе-
рами (3, 0, 1); оно должно быть приводимым. С помощью формулы
(7.39) или же просто по таблице характеров находим, что оно пред-
ставляет собой прямую сумму Г*1* ®П3). Иначе говоря, существует
преобразование, посредством которого из рассматриваемых трех
d-функций можно скомбинировать одну функцию, остающуюся не-
изменной под действием операций симметрии группы, а также две
другие функции, которые ведут себя при этом как х \\ у Подводя
итог, мы можем сказать, что возмущающее поле может только рас-
щепить пятикратно вырожденный d-уровень свободного атома на
один невырожденный уровень и два отдельных двукратно выро-
жденных.
Для любых дальнейших расчетов, связанных с рассматриваемой
задачей, надо знать в явном виде функции, порождающие различ-
ные неприводимые представления. Нетрудно установить, например,
что пара функций ху и х2— у2 преобразуется по представлению Г<3),
тогда как третья функция х2 + у2 — 2г2 инвариантна относительно
операций группы. Систематический метод построения подобных
функций состоит в использовании проекционного оператора О. По-
следний каждому элементу группы сопоставляет одну из матриц,
задающих неприводимое ее представление. С помощью этого опе-
ратора по формуле
(х) = -^2 Г<°> (S’*) ф (Зх)	(7-45)
для произвольной функции ф(х) находится «вклад в нее» от р-й по
счету из совокупности па функций, преобразующихся по предста-
влению Г(а). Чтобы результат такого проектирования был отличен
от нуля, функция ф(х), как мы знаем, должна принадлежать мно-
Алгебра симметрии
255
н<еству функций, порождающих данное представление. Доказатель-
ство этих результатов читатель может получить самостоятельно
или же найти в любом учебнике.
§ 6.	Произведения групп и представлений
Вся мощь теории групп ярко проявляется при переходе от изу-
чения простых систем, например отдельного электрона в задан-
ном электростатическом поле, к исследованию систем составных.
Пусть для начала мы имеем две различимые частицы, описы-
ваемые независимыми гамильтонианами Ж и с различными
свойствами симметрии. Для описания состояний системы будем ис-
пользовать набор мультипликативных волновых функций типа
Фг >г = фО)(х)<$)(х').	(7.46)
Здесь функция (pj1* (х) принадлежит системе ортогональных функ-
ций, зависящих от координат первой частицы х, а (р® (х') — вто-
рой. Поступая, как при выводе равенства (7.4), посмотрим, как
ведет себя рассматриваемая мультипликативная волновая функция
под действием операции R из группы 3 и операции S' из группы 3'.
Получим
{/? ® $'} фг. г = <₽?> (Ях) «$> (S'X') =
- 2 л,л" (х) s;	(«о - 2 ад,.®,. ... (т.47>
fe, k	k, k
Под величиной, обозначенной здесь символом R®S', следует пони-
мать элемент группы, представляемый матрицей с компонентами
RtkSi'k'. Мы использовали уже в формулах (7.24) — (7.26) подоб-
ное прямое произведение элементов группы.
Так же как при записи условия (7.13), возьмем в качестве ба-
зисных функций собственные функции гамильтонианов каждой из
частиц. Если операторы и Ж инвариантны относительно преоб-
разований групп $ и соответственно, то представление любой
операции каждой из этих групп можно привести к виду прямой
суммы неприводимых представлений, как в (7.14) и (7.16).
Взяв прямое произведение двух указанных прямых сумм, по-
лучим
R ® S' = 5 ® RW ® S'{a'\	(7.48)
а, а'
Как видно, таким способом мы привели представление произведе-
ния групп 3®3' к виду прямой суммы прямых произведений раз-
личных неприводимых представлений, отвечающих группам 3 и 3'.
В общем случае дальнейшее приведение подобного предста-
вления невозможно. Действительно, классифицируя собственные
256
Глава 7
значения полного гамильтониана, мы выбираем уровень (или выро
жденный набор уровней) первой частицы, затем некоторый ур0^
вень второй частицы и складываем их энергии; продвинуться даль-
ше, вообще говоря, нельзя. Неприводимые представления произве-
дения групп возникают как прямые произведения различных не-
приводимых представлений обеих групп-сомножителей:
(Г ® Г'}(“' ₽> = Г(а) ® ГЛ	(7.49j
Поскольку арифметика характеров воспроизводит «прямую ал-
гебру» представлений групп, видим, что характеры группы-произве-
дения представляют собой просто произведения соответствующих
характеров в представлениях Г и Г'. Согласно определениям (7.24)
и (7.30), для произвольных представлений перемножаемых групп
мы имеем
Х(Я® 5,) = х(/?)-х'(5')-	(7.50)
Нетрудно, следовательно, построить полную таблицу характеров
группы-произведения.
Очевидно, этот метод построения более сложных групп путем
составления прямых произведений представляет ценность в тех
случаях, когда симметрия системы повышается вследствие введе-
ния новых элементов симметрии. Например, рассматривавшуюся
нами тригональную группу D3 можно расширить добавлением опе-
рации отражения, преобразующей z в —г. Эта операция совместно
с тождественной операцией образует группу, состоящую всего из
двух элементов. Однако произведение этой группы с группой Ds
обладает уже двенадцатью элементами и (6X6) -таблицей харак-
теров, которые нетрудно вычислить по формуле (7.50). Отсюда
вытекает метод построения таблиц характеров и неприводимых
представлений. Применяя его шаг за шагом, мы приходим в конце
концов к таким сложным группам, которые возникают при описа-
нии симметрии кубических кристаллов или при классификации
многочастичных волновых функций. Фактически одно из важных
общих свойств подобных групп есть возможность факторизации их
на произведение подгрупп, причем несколькими различными спосо-
бами. Последнее обстоятельство также накладывает полезные ма-
тематические ограничения на таблицы характеров и представления.
Система из двух независимых частиц с различными свойствами
симметрии, с анализа которой мы начали данный параграф, сама
по себе не очень интересна. Но что произойдет, когда оба гамильто-
ниана инвариантны относительно преобразований одной и той же
группы, как это имеет место для двух электронов в молекуле водо-
рода или в атоме гелия? Из общего числа g2 элементов группы-
произведения	g элементов, стоящих «вдоль диагонали»!
можно использовать для представления самой группы *3. Действи-
тельно, нетрудно проверить, что если Г(/?) и Г'(/?) суть два произ-
Алгебра симметрии
257
вольных представления одного и того же элемента R, то
Г(/?5)® Г'(/?$) = {Г(Я)® Г'(/?)}{Г(£) ®Г'(5)}.	(7.51)
Это показывает, что матрица Г(/?)0Г'(/?) ведет себя во всех таких
произведениях подобно элементу группы R. Таким образом, из лю-
бых двух представлений Г и Г' можно построить новое представле-
ние группы
Г" = Г®Г.
(7.52)
Как и при выводе формулы (7.49), рассмотрим теперь произве-
дение двух неприводимых представлений Г<а) и Г<₽> группы Раз-
мерность представления прямого произведения есть пап$, что часто
превышает максимальный порядок неприводимых представлений
группы 8. В таких условиях рассматриваемое произведение пред-
ставлений должно быть приводимо, т. е. можно найти такие два или
больше целых числа	что
V"^®r^ = q^}®q^® ... ®qnT(n). (7.53)
Этот результат представляет собой один из наиболее глубоких
и ценных выводов всей теории групп. Заметим, что он не противо-
речит равенству (7.49), согласно которому прямые произведения
неприводимых представлений двух групп дают неприводимые пред-
ставления прямого произведения рассматриваемых групп. Действи-
тельно, матрицы, входящие в соотношения (7 51) и (7.52), пред-
ставляют лишь некоторые из g2 элементов полной группы-произве-
дения. Совокупность элементов, представляемых матрицами
Г(а,(/?)®Г<₽)(5) при R=^S, не обязательно должна быть приво-
дима по образцу (7.53).
Поскольку правило составления характеров (7.50) остается в
силе, можно написать
(754)
и с помощью формулы (7.39) явно вычислить коэффициенты q\,...,
входящие в разложение (7.53). В результате получим
gy = g-l^Nk^^f.	(7.55)
Формула (7.55) оказывается особенно полезной во всех приложе-
ниях теории представлений групп.
В качестве простого примера применения описанного метода
рассмотрим вновь группу Дз, таблица характеров которой приведе-
на на стр. 252. Согласно формуле (7.54), прямое представление
произведений Г<3)®Г<3) дает для трех классов группы характе-
ры 4, 1,0. Очевидное разложение имеет вид
Г(3) ® Г® = Г(|) © Г® е Г®;	(7.56)
8 Зак. 896
258
Г лава 7
при желании мы могли бы построить его с помощью формулы (7 551
Как уже отмечалось, пара функций х, у преобразуется по предста
влению П3>. Для конкретности будем считать, что рассматриваются"
два электрона в p-состояниях, принадлежащие атому, помещенному
в поле с тригональной симметрией. В этом случае четыре функции
ху', ух', у у', умноженные, разумеется, на <рР(/')фР(г/). образуют
базис представления прямого произведения. Из этих функций мо-
жно составить линейные ------------"--------- ---------------
хх' + уу'
комбинации, реализующие разложение
преобразуется по
ху' — ух'	преобразуется по Г(2),	(7.57)
хх' — yif, Xtf + ух' преобразуются по Г'<3).
Конечно, в каждом случае должно быть учтено условие полной
антисимметрии волновых функций фермионов, что достигается
умножением на спиновые функции соответствующей симметрии.
Фактически здесь происходит следующее. Мы снимаем всякие
требования симметрии, относившиеся к волновым функциям отдель-
ных электронов, и учитываем лишь условия, налагаемые симме-
трией полного гамильтониана. При этом появляется возможность
расщепления четырех исходных вырожденных уровней на дублет
и два синглета. Подобное расщепление одночастичных собственных
состояний в сложных системах представляет собой типичное след-
ствие неразличимости частиц, не обязанных именно поэтому под-
чиняться индивидуальным правилам симметрии. Использование
представлений прямых произведений позволяет нам немедленно
классифицировать получающиеся многочастичные состояния.
Рассматриваемая теорема чрезвычайно полезна также при вы-
числении матричных элементов гамильтониана возмущения
произвольного вида по собственным функциям гамильтониана <№.
На основании формулы (7.13) нетрудно установить, что две соб-
ственные функции ]фг) и не принадлежащие одному и тому
же неприводимому представлению группы симметрии гамильтониа-
на Ж должны быть ортогональны друг другу, ибо они могут быть
вырожденными лишь случайно. Следовательно, в общем случае
мы имеем
(Фг1ф/) = О, если Г(о =Н= Г(/).	(7.58)
Применяя оператор %>' к функции получаем выражение, ко-
торое можно разложить по собственным функциям оператора Ж
Ж|ф/)=3<ф6|Ж|ф/)|ф6).	(7-59)
k
Однако саму функцию Ж|ф>) можно использовать в качестве ба-
зисной функции представления Г группы симметрии Ж Неприводн-
Алгебра симметрии
259
мое представление может войти в Г лишь тогда, когда коэффи-
циент	отличен от нуля.
Далее, гамильтониан Ж>' содержит координаты данной системы,
й его можно использовать как базис другого представления Г' тон
же самой группы. Например, в рассматриваемой нами модели ато-
ма, помещенного в кристаллическое поле с тригональной симмет-
рией, можно ввести электрическое дипольное возмущение, вызы-
вающее оптические переходы. Пусть оно поляризовано по оси х, т. е.
Ж = ех.	(7.60)
Эта форма Ж порождает (неприводимое) представление Г(3>
группы D3. С другой стороны, исходная собственная функция |фД
дает неприводимое представление Г°>. Таким образом, левая часть
равенства (7.59), рассматриваемая просто как произведение базис-
ных функций, порождает представление Г'®ГО>. Приведем полу-
ченное представление к виду
г' ® гу)=г.г1’ е г2г<2) е ... е rfer(*’@ .... р.ео
Коэффициенты'rft здесь находятся, например, по формуле (7.55).
Представление (7.61), однако, должно быть эквивалентно пред-
ставлению Г, порождаемому суммой, входящей в равенство (7.59).
Следовательно, если коэффициент rh в (7.61) равен нулю, то ма-
тричный элемент	обязательно должен обращаться в
нуль. Иными словами, оператор возмущения, преобразующийся по
представлению Г', может вызвать переходы между состояниями,
принадлежащими представлениям Hfe> и ГО9, только если прямое
произведение представлений Г'®Г(Л содержит Г<4 Эта теорема
представляет собой формальную основу большинства правил от-
бора, вытекающих из свойств симметрии волновых функций и воз-
мущений. Следует подчеркнуть, что данная теорема не утверждает,
что разрешенные переходы обязательно будут происходить.
Для иллюстрации приложений применим оператор возмущения
(7.60) к волновой функции рассматриваемой тригональной системы,
преобразующейся по представлению Г(3). Как видно из формулы
(7.56), при этом возникает представление, содержащее все три не-
приводимых представления группы; следовательно, возмущение
может привести к переходам из рассматриваемого состояния в лю-
бое другое состояние системы.
Напротив, применив то же возмущение к состоянию типа
х2 + //2 — 2г2, волновая функция которого преобразуется по тожде-
ственному представлению П’>, мы, как можно показать с помощью
(7.54), просто воспроизведем представление Г(3>:
Г,3) ®Г(|’ = Г(3).
(7-62)
9*
260
Глава 7
Поэтому возмущение не может вызвать переходов ни в одно из со-
стояний, принадлежащих представлениям Г<’> или Г<2>. Разумеется
в справедливости этих конкретных утверждений легко убедиться'
просто рассматривая, как меняются знаки функций, входящих в
подынтегральное выражение для матричного элемента. Однако из-
ложенный метод позволяет непосредственно и систематически ис-
следовать гораздо более сложные случаи.
§ 7. Группы трансляций
В физике твердого тела преимущественно исследуются системы,
обладающие симметрией трансляций решетки. Это означает нали-
чие особенно простой конечной группы, которая, однако, допускает
очевидное обобщение, позволяющее ввести понятие бесконечной,
или непрерывной, группы.
Простоты ради рассмотрим лишь одномерный случай, например
линейную цепочку, описанную в гл. 1, § 3. Гамильтониан (1.25) ин-
вариантен относительно операции Тт, заданной следующим обра-
зом: «К аргументу каждой переменной добавить т раз постоянную
решетки». Тривиально устанавливается, что указанные операции
образуют группу с простым законом умножения:
ТтТп=Тт+п.	(7.63)
Желая получить точную симметрию относительно данной группы,
будем считать, что рассматриваемая цепочка замкнута в петлю,
периметр которой содержит N постоянных решетки. Группа транс-
ляций такой решетки имеет Af элементов. Любой элемент с индек-
сом, превышающим N [он мог бы появиться при применении прави-
ла (7.63)], автоматически отождествляется с'уже имеющимся эле-
ментом:
TN+i^Tt.	(7.64)
Из определения (7.64) вытекает, что любой элемент в степени N
дает просто единичный элемент:
{Tt}N = E.	(7.65)
Действительно, рассматриваемая группа имеет очевидное и три-
виальное представление, в котором элементы Тт представляются
целыми числами т, и умножению элементов группы отвечает сло-
жение по модулю N. Поскольку указанное сложение коммутатив-
но, сама группа должна быть абелевой, т. е. все эти элементы ком-
мутируют друг с другом.
Попробуем построить матричные представления этой группы
стандартным образом, используя таблицу характеров и т. п. Оты-
скивая элементы, которые могли бы образовать класс, согласно
Алгебра симметрии
261
определению (7.34), находим, что
Т1 = Х~АТ1Х.	(7.66)
Действительно, Tt коммутирует с любым элементом X группы. Та-
ким образом, имеется W классов, каждый из которых содержит
только одну операцию группы. Как мы знаем, число неприводимых
представлений равно числу классов. Согласно неравенству (7.28),
это возможно лишь в том случае, когда каждое представление
одномерно. Следовательно, для абелевой группы представителем
любого элемента в неприводимом представлении служит просто его
характер в этом представлении.
Здесь можно воспользоваться формулой (7.65). Характер то-
ждественного элемента должен быть равен единице. Задача оказы-
вается решенной полностью, если каждому элементу сопоставить
подходящую степень одного из корней N-ii степени из единицы.
Иначе говоря, таблица характеров рассматриваемой группы имеет
N строк и N столбцов, в которых стоят числа
x(n) = ^nin/Njl = e2ninl/N.	(7.67)
число х/п) есть представитель элемента Tt в неприводимом пред-
ставлении Г(п).
Это—теоретике групповой вывод теоремы Блоха. В обычной
записи (1.28) [для упрощения мы полагаем здесь постоянную ре-
шетки а = 1] вводится волновое число
k =	(7.68)
оно нумерует собственные функции фк(х), преобразующиеся по не-
приводимому представлению Г<">. Учитывая равенство (7.67), имеем
(х + /) = T$k (х) = eik%k (х).	(7.69)
Как и в гл. 1, § 4, обобщение на трехмерный случай тривиально.
Поскольку трансляции вдоль различных направлений в решетке
коммутируют друг с другом, группа всех таких преобразований по-
прежнему будет абелевой. Поэтому на основании равенства (7.66)
и последующего рассуждения все неприводимые представления
одномерны. Следовательно, в общем случае собственные функции
гамильтониана, обладающего трансляционной симметрией решет-
ки, образуют базис представления, которое всегда можно привести
к виду простой диагональной матрицы. Иными словами, совокуп-
ность собственных функций можно преобразовать таким образом,
что в полученном наборе каждому состоянию фь(г) отвечает волно-
вой вектор к. Последний обладает тем свойством, что для любой
трансляции I решетки справедливо равенство
Фк(г+ /) = ег11'фк(г).	(7.70)
262
Глава 7
Рассматривая приложения теории групп в физике твердого теча
с этой точки зрения, мы должны были бы перейти к вопросам, свя-
занным с зонами Бриллюэна и со структурой электронных зон. Это
дальнейшее развитие теории, чрезвычайно важное, несомненно, для
конкретных расчетов, зависит от того, как именно сочетаются
трансляционная симметрия решетки и симметрия точечной группы
наиболее простых кристаллов, приводя в результате к образованию
пространственной группы. Однако, хотя подобные приложения тре-
буют довольно сложных выкладок, общие принципы остаются по
существу теми же, что были изложены и проиллюстрированы
выше.
§ 8. Непрерывные группы
Будем теперь поступать, как в гл. 1, § 5, устремляя к нулю меж-
атомное расстояние в нашей линейной цепочке. При этом операция
Ti конечной группы трансляций превратится в трансляцию Т{х) на
расстояние х, причем последнее представляет собой теперь непре-
рывную переменную. Подобные операции по-прежнему будут удо-
влетворять групповым аксиомам. Например, вместо (7.63) мы бу-
дем иметь следующее правило составления произведения:
Т (х) • Т (х') = Т (х + х').	(7.71)
Подобная непрерывная группа содержит, очевидно, несчетное
множество элементов; тем не менее большинство результатов, по-
лученных в теории представлений, остается в силе. Например, для
абелевых групп все неприводимые представления одномерны. От-
сюда по аналогии с формулой (7.67) элементу Т(х) в неприводимом
представлении, которое мы можем обозначить через Г<й>, сопоста-
вляется характер
%<fe>(x) = eiftjr.	(7.72)
Этот характер, конечно, служит также представителем элемента
Т'(х) в представлении Г(Л)— операция трансляции на расстояние х
приводит просто к умножению базисной функции рассматриваемого
представления на одномерную матрицу, т. е. на указанный фазовый
множитель.
В общем случае величина k может быть произвольным веще-
ственным числом. Однако, чтобы избежать затруднений с интегри-
рованием по бесконечной области, сохранив при этом трансляцион-
ную симметрию всего кристалла с учетом и граничных точек,
обычно накладывают циклические граничные условия (как и для
рассмотренной ранее линейной цепочки). Пусть L есть периметр
петли — длина интервала, в котором изменяется переменная х; то-
гда равенство (7.64) приобретает вид
T(L + x)^T(x).	(7.73)
Алгебра симметрии
263
Последнее условие с учетом формулы (7.72) ограничивает набор
«разрешенных значений» волнового числа /г:
k = ~ ’
(7.74)
где п — целое число. Это также хорошо известный результат, полу-
чающийся в континуальном предельном случае теории поля, рас-
смотренном в гл. 1, § 5. Заметим, что указанный выбор разрешен-
ных значений ограничивает совокупность неприводимых предста-
влений группы бесконечным счетным множеством.
Свойство ортогональности характеров для рассматриваемой
группы по-прежнему имеет место. Это можно доказать, заменив
суммирование по элементам группы в формуле (7.37) интегрирова-
нием по непрерывной переменной х. Вместо числа элементов
g группы войдет длина области интегрирования L, т. е.
L
/ Х<»(х)Хда*(х)г/х = £б^.	(7.75)
о
Это утверждение очевидно для характеров, определенных по фор-
муле (7.72) с учетом (7.74). В данном конкретном случае это есть
не более чем следствие теоремы Фурье.
На первый взгляд могло бы показаться, что число всех мысли-
мых непрерывных групп, как и непрерывных функций, будет чрез-
вычайно велико, и свойства их будут столь разнообразны, что
общих свойств окажется очень мало, при этом каждый частный слу-
чай требовал бы весьма подробной конкретизации. Однако непре-
рывность сама по себе есть важное топологическое свойство, кото-
рое накладывает довольно существенные ограничения на поведение
элементов любой такой группы. Поскольку параметр типа перемен-
ной х в формуле (7.71) непрерывен, для любой заданной операции
группы найдутся другие операции, «сколь угодно близкие» к пер-
вой. Иначе говоря, должен иметь место предельный переход, за-
писываемый на «в-языке» как
Т (х + е) -> Т (х) при е —> 0.	(7.76)
Рассмотрим для общности абстрактную группу операций
R(ai, а2, .... ап), зависящих от п непрерывных параметров оц, ...
•.., а„. Последние нетрудно выбрать таким образом, чтобы тожде-
ственная операция отвечала нулевым значениям параметров:
E = R(0, 0, ..., 0).	(7.77)
Исследуем теперь операции, близкие к тождественной. Придадим,
например, параметру он малое приращение Еь Исходя из непрерыв-
ности группы, можно написать, как и в (7.76),
R (е„ 0....0)	= R (0, 0, ..., 0) + i^Ix (0, 0.0),	(7.78)
264
Глава 7
определив «сложение» по образцу обычного сложения матриц
Иными словами, результат действия рассматриваемого элемента
группы сводится к малому изменению, пропорциональному беско-
нечно малой величине ei, а в остальных отношениях характеризуе-
мому оператором Л, не зависящим от точного значения параметра
Продолжая в этом духе, определим инфинитезимальные генера-
торы группы:
/г=Ит-^-{Я(0,0, .... ег....0)-Я(0,0,	0)}. (7.79)
вг->0 1ег	'
Число вводимых таким образом операций равно числу параметров,
определяющих группу. Каждая из них «постоянна» в том смысле'
что она задается лишь для одного значения параметров в точке
(7.77). Поэтому описать эти операции или построить их представле-
ния сравнительно легко. Исследуя соответствующие генераторы,
можно выяснить почти все свойства группы Ли — непрерывной
группы, подчиняющейся некоторым аналитическим условиям, ука-
зывать которые нам нет необходимости.
Подействуем, например, оператором трансляции Г(а) на произ-
вольную функцию, зависящую от одной независимой переменной —
координаты х. По определению получим
T(a)f(x) = f(x + a).	(7.80)
Отсюда, согласно (7.79), найдем
If (х) = lim [± (Т (е) - Т (0)} f (х)] =
«lim * {f(x + e)-f(x)}=-i-g-. (7.81)
Генератор группы трансляций в рассматриваемом представлении
есть не что иное, как оператор импульса р, т. е. (с точностью до
множителя —г) производная по пространственной координате
(7.82)
Зная генераторы группы Ли, можно найти все элементы, после-
довательно применяя правило произведений. Пусть, например,
надо получить элемент Л (а) однопараметрической группы. Возь-
мем достаточно большое число N и зададим бесконечно малую ве-
личину е = a/N. Применяя N раз операцию
(a) ~ Е + ze/,	(7.83)
находим
/?(а)«р + /-^/}Л'.
(7.84)
Алгебра симметрии
265
Переходя к пределу при стремлении N к бесконечности, получаем
отсюда точный результат
R (а) = ехр(ш/}.	(7.85)-
Фигурирующая здесь экспоненциальная функция от оператора есть,
разумеется, лишь краткая запись обычного разложения в ряд по
степеням оператора, как в формуле (3.33). Выражение (7.85) без
труда обобщается на случай «-параметрической группы; используя
определение (7.79), получаем
{П	1
i У «гЛ ( •	(7.86)
г=> 1	J
Этот результат может показаться удивительным. Каким обра-
зом произвольный элемент группы /?(аь аг,..., ап), «зависящий»
от указанных параметров, может определяться при всех их значе-
ниях только через «частные производные первого порядка», взятые
в точке (0,0, ...,0)? Ответ кроется в основном свойстве самой
группы: произведение двух операций группы само обязано быть
операцией группы [ср. с (7.71)]. Этот групповой постулат наклады-
вает далеко идущие ограничения на вид рассматриваемой «функ-
ции» во всей области ее определения.
Полученная абстрактная формула верна, конечно, в произволь-
ном представлении группы. Таким образом, задав представление
операций /ь/г>  • •, Лг, мы порождаем представление каждого эле-
мента группы. Исследование «физических» следствий некоторой
конкретной симметрии сводится в итоге к анализу алгебраических
свойств введенных здесь генераторов.
Рассмотрим элементарный частный случай выражения (7.85)
для однопараметрической группы, полагая генератор / равным не-
которой постоянной k. При этом сразу же получается уже извест-
ное нам [ср. с (7.72)] одномерное неприводимое представление
группы трансляций
Т (а) = etka.	(7.87)
С другой стороны, иное представление операции I для рассма-
триваемой группы вытекает из формулы (7.82). Оно удобно в при-
менении к произвольным функциям переменной х. Согласно (7.85),
мы имеем
Т (“) f (х) = [ехр | la ( -1	} ] f (х) = [exp j а ~ j ] f (х) = f (х + а).
(7.88)
Последнее равенство получается путем разложения экспоненты,
что дает обычный ряд Тэйлора для функции f(x + а). Мы пришли
к определению (7.80) операции Т(а).
266
Глава 7
Выясним, наконец, физический смысл всех этих упражнений
в алгебре. С этой целью представим себе систему, гамильтониан
которой Ж коммутирует с эрмитовым оператором /, отвечающим
некоторой наблюдаемой. Согласно уравнению (3.36), последний
оператор в представлении Гейзенберга не изменяется со временем
так что среднее его значение есть интеграл движения. По формуле
(7.85) мы можем построить с помощью I непрерывную группу, эле-
менты которой /?(а) будут унитарными операторами. Гамильто-
ниан <9$, поскольку он коммутирует с I, коммутирует и с каждым
элементом этой группы. Отсюда в силу (7.7) этот гамильтониан
инвариантен относительно всех преобразований, вызываемых эле-
ментами группы. Можно доказать и обратное утверждение — если
гамильтониан <9$ инвариантен относительно некоторой непрерывной
группы операций R(a), то рассматриваемая группа имеет генера-
тор, представляющий собой интеграл движения.
Таким образом, устанавливается очень глубокая связь между
свойствами инвариантности гамильтониана и законами сохранения
физических величин. Простым примером этого служит полученное
выше соответствие между инвариантностью относительно простран-
ственных трансляций, определенных как операции группы вида
(7.80), и законом сохранения импульса, заданного с помощью со-
ответствующего генератора (7.82). Можно также показать, что
градиентное преобразование (см. гл. 1, § 12) порождается генера-
тором— оператором полного заряда (1.129), который поэтому дол-
жен сохраняться.
Важнейшая задача теории элементарных частиц состоит в мак-
симальном использовании всех таких естественных свойств симмет-
рии и инвариантности. При этом теория групп позволяет следить
за строгостью и полнотой рассуждений на всех их этапах.
§ 9. Группа вращений
Закон сохранения момента количества движения столь же важен
в классической механике, как и закон сохранения импульса.
В квантовой механике мы выяснили, что эти два закона связаны с
«галилеевой» инвариантностью гамильтониана относительно пово-
ротов и трансляций системы координат. Еще не переходя к более
общим законам релятивистской инвариантности, мы установили,
что в свободном пространстве отсутствуют выделенные положения
или направления.
Поворот вокруг фиксированной точки представляет собой фи-
зическую операцию, несомненно обладающую всеми свойствами
элемента непрерывной группы. Математическая теория группы вра-
щений имеет фундаментальное значение во всей квантовой физике.
Исследуем прежде всего двумерные повороты, образующие про-
стую подгруппу полной группы трехмерных вращений. Очевидно,
Алгебра симметрии
267
операция поворота системы вокруг фиксированной оси на угол <р
принадлежит абелевой группе; последняя в сущности изоморфна
группе трансляций «линейной цепочки» [см. (7.71) ] Переменная х
заменяется теперь углом <р с областью изменения L = 2 л. Все не-
приводимые представления одномерны; согласно (7.72) и (7.74),
представления нумеруются целочисленным индексом т:
R,m> (ср) = einvt.	(7.89)
Построим другое представление, применив операцию /? (ср) для
поворота осей х и у в их плоскости. Действуя оператором /?(ср) на
некоторую функцию f(x,y), можем написать подобно формуле
(7.80)
R f (х, у) = f (х', у'),	(7.90)
где
(х'\ /cos ср — sincp\/xA
, = .	.	(7.91)
у ) \sin <р	cos <р / \у /
Инфинитезимальный генератор (7.79) в рассматриваемом предста-
влении определяется следующим образом:
IJ (х, у) •= lim ~ [f (х', у') - f (х, у)] =
4>->о
= 4- Г-4- f (х cos <р — у sin <р, х sin qp + у cos qp)l	=
1 L «<р .	Jq>=0
= i{y - x	f (x, y} = £zf (x, y). (7.92)
Таким образом, описываемая группа порождается известным опе-
ратором компоненты момента количества движения (в единицах fi),
нормальной к плоскости х, у.
Еще одно представление реализуется матрицей преобразова-
ния, входящей в формулу (7.91):
Ж<р)
(cosqp
sin <р
— sin ср'
cos<p
(7.93)
Дифференцируя по ср, как и в случае (7.92), получаем инфинитези-
мальный генератор в иной форме:
(7.94)
Мы узнаем в этом одну из спиновых матриц Паули (6.55). Обратим
внимание на то, что представление (7.93) элементов группы снова
порождается в результате применения фундаментальной формулы
(7.85) к данному частному случаю.
268
Глава 7
Полученные только что результаты позволяют установить ряд
характерных особенностей группы вращений в трехмерном про-
странстве. Например, из формулы (7.92) следует, что эта группа
имеет три инфинитезимальных генератора, которыми служат три
компоненты момента количества движения обычной квантовой ме-
ханики. Согласно формуле (7.86), произвольный элемент группы
имеет вид
Я (аЛ, а.у, аг) = exp {Z (axLx + ayLy + a2LJ).	(7.95)
Вошедшие сюда операторы Lx и Ly получаются из Lz циклической
перестановкой переменных. Они преобразуются подобно компонен-
там обычного вектора; поэтому набор параметров ах, ау, az должен
определять вектор1), направление и величина которого задают ось
и угол вращения вокруг нее.
Конечно, выражение (7.95) практически невозможно непосред-
ственно использовать для вычислений, поскольку различные опера-
торы Lx, Ly и Lz не коммутируют друг с другом. Как известно из
обычной квантовой механики, они удовлетворяют соотношениям
l^x>	Lz] ~ iLx, [Lz, Lx\ — iLy. (7.96)
Эти соотношения коммутации должны выполняться и при интегри-
ровании, посредством которого совершается переход от различных
инфинитезимальных генераторов группы (7.78) к общей экспонен-
циальной формуле (7.86). Без названных условий совместности мы
не можем быть уверены в том, что получим один и тот же элемент
группы, когда параметры ах, ау и az в различном порядке возра-
стают от нуля до заданных конечных величин.
Действительно, основной принцип теории групп Ли состоит в
том, что коммутатор любой пары инфинитезимальных генераторов
можно представить в виде линейной комбинации генераторов с по-
стоянными коэффициентами
п
[/₽,/„] = 2 CrpqIr.	(7.97)
Г-1
Коэффициенты Crpq называются структурными постоянными груп-
пы, они не зависят от выбора представления. Справедливо и обрат-
ное утверждение: структура самой группы задается указанными
постоянными, с помощью которых можно построить алгебру Ли для
генераторов. Приведенные соотношения в случае непрерывных групп
служат аналогом таблицы умножения (см. § 3) конечных групп.
Они справедливы в общем случае для произвольного представле-
ния различных абстрактных элементов. Таким образом, мы дали
общее обоснование сделанного в гл. 6, § 7, утверждения о том, что
соотношения коммутации (6.79) определяют физические свойства
') Речь идет о преобразованиях прн вращениях. При отражениях компо-
ненты момента количества движения ведут себя как псевдовектор. — Прим. ред.
Алгебра симметрии
269
матриц Дирака, реализующих представление генераторов группы
Лоренца.
Более привычное представление группы вращений получается,
если воспользоваться известными углами Эйлера ф, 0, <р. Преобра-
зование вектора с компонентами х, у, z осуществляется при этом
умножением последних на матрицу вида
7?(-ф, °- Ф) =
 cos ф cos q> cos 0 — sin ф sin ф	— cos ф sin ф cos 0 — sin ф cos ф cos ф sin G -
= sin ф cos ф cos G + cos ф sin ф	— sin ф sin ф cos G + cos ф cos ф sin ф sin G
— cos ф sin 0	sin ф sin 6	cos 0
(7.98)
Конечно, это довольно громоздкое выражение есть не более чем
обобщение формулы (7.93). Дифференцируя, чтобы найти инфи-
нитезимальные генераторы, получаем
L
(7.99)
Каждая из приведенных матриц получается из (7.94) просто до-
бавлением строки и столбца с нулевыми элементами, соответствую-
щих той оси системы координат, относительно которой совершается
поворот в каждом отдельном случае. Таким образом, матрица /е
дает представление оператора Lv и порождает поворот Ду(0) на
угол 0 вокруг оси у, тогда как матрицы и порождают пово-
роты /?2(ф) и /?2(<р) относительно оси г. Отметим, что представле-
ние (7.98) можно построить, не пользуясь всеми тремя генератора-
ми Lx, Lv и Lz. С другой стороны, это представление невозможно
непосредственно привести к виду, соответствующему выражению
(7.86). Действительно, по определению эйлеровых углов матрица
(7.98) получается, если производить повороты в следующем опре-
деленном порядке: Д2(ф), Ду(0) и Д2(ср). Здесь мы имеем пример,
в котором соотношения коммутации играют важную роль как усло-
вия совместности результатов последовательных операций, выпол-
няемых в различном порядке.
§ 10. Неприводимые представления группы вращений
Появление операторов момента количества движения в форму-
лах (7.92) и (7.95) сразу же заставляет нас вспомнить о существо-
вании сферических гармоник У™ (0, qp). Последние представляют
собой собственные функции оператора полного момента количества
движения /, определенного равенством
J2 = L2X + L2y+ L2,	(7.100)
270
Глава 7
вместе с тем они же являются и собственными функциями опера-
тора компоненты момента количества движения вдоль полярной
оси данной сферической системы координат. Пусть задано положи-
тельное целое число /. Тогда по определению величина полного мо-
мента количества движения есть /й; его г компонента принимает
(2/ + 1) дискретных значений, соответствующих целочисленным
значениям т, изменяющимся в пределах от / до —/.
Следовательно, функции У/1 образуют базис с размерностью
2/ + 1, в котором оператору Lz отвечает диагональная матрица
L.Yf^mYT.	(7.101)
Используя соотношения коммутации, можно показать, что под дей-
ствием операторов
L± = Lx±iLy	(7.102)
функция Y™ преобразуется в одну из функций У/п±1; при этом,
однако, не появляется никаких гармоник с иными значениями /.
Следовательно, другие компоненты момента количества движения
Lx и Lv можно представить в данном базисе матрицами порядка
2/ + 1. Отсюда с помощью формального выражения (7.95) строит-
ся представление с размерностью 2/ + 1 для каждого из пово-
ротов— элементов данной группы.
Убедимся, что указанное представление неприводимо. Для этой
цели составим таблицу характеров. Как было сказано при обсужде-
нии формулы (7.66), в случае двумерных поворотов каждый эле-
мент принадлежит отдельному классу. Это, конечно, вытекает из
наличия одномерного представления (7.89), откуда
у(т) (ф) _	(7.103)
На основании этого результата или непосредственно из формул
(7.95) и (7.101) мы заключаем, что элемент /?Д(р) представляется
в DW матрицей, вдоль диагонали которой стоят указанные числа.
Следовательно,
X»’ W = £		(7.104)
m=-j
Но, с другой стороны, любой трехмерный поворот R(a) можно
геометрически рассматривать как поворот на некоторый угол, ска-
жем <р, относительно определенной оси. Направление последней
можно совместить с направлением оси z при помощи другой опера-
ции группы /?(Р). Математически это выражается равенством
/?(а) = Д-‘(₽)/?г((р)/?(Р).	(7.105)
Это просто условие (7.34),согласно которому элемент /?(а) должен
принадлежать тому же классу, что и /?г(<р), а потому и обладать
Алгебра симметрии
271
тем же характером (7.104). Характер элемента зависит лишь от
абсолютной величины вектора (ах, ау, а2) [в обозначениях формулы
(7.95)], но не от его направления.
Подобно формуле (7.75) без труда доказывается ортогональ-
ность рассматриваемых характеров на интервале 0 < ср < 2л; столь
же триумфально оканчиваются и все прочие проверки неприводи-
мости представления. Практическая ценность формулы (7.104),
однако, состоит в том, что с ее помощью можно выполнять разло-
жения прямых произведений любых представлений группы вращений.
Следуя общему выражению (7.53), попытаемся найти разложе-
ние вида
0w®D(n=2®^D(n.	(7.106)
7"	'
Из формулы (7.104) вытекает следующее элементарное математи
ческое тождество:
/ г
Х(Д (<р) %(/э (<р) = 2	2	f =
m~—j
j+Г ( Г	)	/+/'
-	2	2 e£ni'"p =	£ ^(«P). (7.Ю7)
/"=17-74 (m"=-j"	)
Сравнивая его с формулой (7.54), получаем следующую фундамен-
тальную теорему о сложении моментов количества движения: про-
изведение двух неприводимых представлений группы вращений
можно привести, получив при этом сумму таких представлений
вида
£)(Г1 = О(/+пф£>"+''_1)ф ... ФО(1Н,|).	(7.108)
Физически это означает, что из двух объектов, обладающих момен-
тами количества движения /й и ;'й, можно образовать составную
систему с полным моментом количества движения, равным j"h; при
этом величина его может меняться в пределах от суммы до (мо-
дуля) разности составляющих моментов.
Математически данная теорема утверждает следующее. Выра-
зив произведение двух сферических гармоник в виде их линейной
комбинации, мы получим сумму конечного числа членов. Это выте-
кает из определения прямого произведения представлений! соглас-
но формулам (7.46) и (7.52). Базисные функции для Об)®Об')
должны быть различными произведениями базисных функций, от-
вечающих представлениям Об) и Об') соответственно. Но любая но-
вая базисная функция должна сама разлагаться на сумму функ-
ций, каждая из которых преобразуется по одному из неприводимых
представлений, входящих в правую часть равенства (7.108). Таким
образом, можно написать
7+Г ( 7"	)
Y? (6, ср) Yp’ (6, ср) =	2	2 С/"Г/"'(0, ср) . (7.109)
/"—I/-Г I I п"=-/"	J
272
Глава 7
Числа C/’/Jf' .называемые либо коэффициентами Вигнера, либо
коэффициентами Клебила — Г ордана — соответственно точному
определению базисных функций и т. и., — табулированы для многих
различных значений индексов. Их важная роль в теории атомных
и ядерных спектров должна быть известна большинству читателей
настоящей книги.
В рассматривавшейся ранее задаче о кристаллическом поле
[см. дискуссию после формул (7.40) и (7.57)] мы выразили волно-
вые функции свободного атома s-,p- и d-типа через базисные функ-
ции, преобразующиеся по неприводимым представлениям триго-
нальной группы £)3. Равным образом мы могли бы представить
кристаллическое поле или энергию возмущения (7.60) в виде сум-
мы сферических гармоник и затем найти расщепление уровней, пра-
вила отбора и т. п. в базисе неприводимых представлений группы
вращений. В таких задачах чрезвычайно полезным оказывается си-
стематическое использование представлений группы вращений,
имеющих вид векторных и тензорных функций последовательно
возрастающего порядка. В этом состоит суть теоремы Вигнера —
Эккарта, позволяющей вычислять отношения матричных элементов
различных переходов без явного расчета соответствующих опреде-
ленных интегралов. Ход рассуждений при этом основывается на
теории правил отбора [см. (7.61)], на возможности разложения кри-
сталлического поля по представлениям группы вращений и на су-
ществовании полных таблиц коэффициентов, входящих в формулу
(7.109).
Следует отметить также, что типичный матричный элемент, по-
являющийся в задаче о возмущении атомных или ядерных уровней
[вида, например, (7.59)], содержит интеграл от функции типа
фь<9$?'ф/. Пусть обе волновые функции суть собственные функции
момента количества движения. Гамильтониан возмущения <№ так-
же разложим по функциям, преобразующимся соответственно
различным представлениям £)<Д Тогда рассматриваемое типичное
подынтегральное выражение будет иметь вид произведения трех
сферических гармоник. Повторно применяя формулу (7.109)^ мы
можем выразить его в виде суммы сферических гармоник различ-
ного порядка с различными коэффициентами, подобными стоящим
в формуле (7.109). С физической точки зрения эти новые коэффи-
циенты, называемые коэффициентами Рока,определяют правила, по
которым из трех векторов момента количества движения состав-
ляется четвертый. Формально их можно построить (таким путем и
были составлены соответствующие таблицы) посредством система-
тического применения теории представлений, используя проекцион-
ные операторы [как в формуле (7.45)], условия ортогональности
типа (7.37) и т. д.
Алгебра симметрии
273
§ 11. Спинорные представления
В гл. 6, § 5, рассматривались свойства спиноров — двухкомпо-
нентных величин, характер преобразования которых связан с пре-
образованием Лоренца в обычном пространстве. Мы выяснили, на-
пример, что простому повороту на угол 6 относительно оси х мо-
жно сопоставить преобразование (6.60), заданное матрицей
/ е . . е х
/ COS-g I sin у \
Qx(6)= е е 	(7.110)
У I sin у cos у /
Поскольку подобные матрицы существуют для произвольных про-
странственных поворотов, указанная матрица должна быть элемен-
том представления группы вращений в «спинорном пространстве».
Явный вид такого представления легко найтиг построив инфини-
тезимальные генераторы группы. Согласно (7.79), имеем
Как видно, получилась просто спиновая матрица Паули ох (с ко-
эффициентом '/г), определенная формулой (6.55). Без особых ухищ-
рений, пользуясь только коммутационными соотношениями (7.96),
не зависящими от выбора представления, можно найти и другие
генераторы Они представляются остальными (2 X 2)-матрицами
Паули:
^ = 7^, L2 = |o2.	(7.112)
Следовательно, произвольное вращение в пространстве можно, со-
гласно формуле (7.95), в символической форме записать как
R (а) = ехр(-1- /а • а) .	(7.113)
Обобщая это рассуждение на случай представлений группы Ло-
ренца, содержащей времени-подобные компоненты, естественно ис-
ходить из выражения (6.62).
Как было показано в § 10, группа вращений имеет неприводи-
мые представления £><3') размерности 2/ + 1, где / — положительное
целое число. Представление (7.113) фактически также неприводи-
мо, но оно всего лишь двумерно. Разумно предположить, что оно
обладает всеми свойствами £)б>, но теперь уже с полуцелым значе-
нием квантового числа / = ’/г. Это предположение в самом деле
оправдывается.
Более того, неприводимые представления группы вращений
связаны с собственными функциями оператора момента количества
движения. Функциям, преобразующимся по £)<’/»>, должен отвечать
274
Глава 7
момент ’/гй. Это теоретико-групповая формулировка физического
утверждения: электрон или нуклон имеет спин ’/г.
Базисом представления для целых значений j служили
2/4-1 сферические гармоники К”. Оператору вращения (7.110)
сопоставлена по определению матрица преобразования спинорных
компонент ф^ и ф*, «угловые части» которых можно по аналогии
с (7.101) обозначить через Y'!'2 и Yy,1. Эти величины невозможно
явно выразить как функции полярных углов 0 и <р, но в других от-
ношениях они должны обладать свойствами, вытекающими из по-
следующих формул § 10. Так, разложение прямого произведения
представлений группы вращений типа (7.108) подчиняется одним
и тем же правилам независимо от того, целыми или полуцелыми
оказываются квантовые числа / и /'. Во всех таких случаях можно
определить коэффициенты Вигнера и Рака в точной аналогии
с формулой (7.109).
Важно отметить, однако, следующее обстоятельство. В полном
списке неприводимых представлений группы вращений спинорное
представление, отвечающее значению j = ’/о, может появиться в
двух различных формах. Это соответствует возможности произволь
но выбрать угловой аргумент в матрице (7.110)—мы можем взять
как 0, так и 0 4- 2л. Представление оказывается двузначным. Этот
вопрос обсуждался в гл. 6, § 5. Никаких особых затруднений в
связи с этим не возникает, однако все же должно быть принято
определенное условное соглашение, и при формальных теОретико-
групповых преобразованиях следует соблюдать осторожность.
§ 12. Группа SU (2)
Спинорные двухкомпонентные волновые функции были введены
в физику, дабы формально отразить наличие свободного электрона
в одном из двух состояний, различающихся моментами количества
движения. Затем было установлено, что спин как физическая вели-
чина связан со свойством релятивистской инвариантности относи-
тельно преобразований группы Лоренца (см. гл. 6, § 5). Хорошо
известно, однако, что элементарные частицы, почти идентичные в
остальных отношениях, могут существовать в различных зарядовых
состояниях. Например, нейтрон и протон отличаются лишь по
своим электромагнитным свойствам; помимо этого существует не-
мало семейств мезонов и гиперонов, отдельные представители
которых обладают положительным, нулевым или отрицательным
зарядом. Довольно естественно считать их различными собствен-
ными состояниями некоего единого поля, для которого заряд пред-
ставляет собой квантовое число или собственное значение вполне
определенного оператора.
В гл. 1, § 12, был развит простой формализм, пригодный для
описания как положительно, так и отрицательно заряженных бо-
Алгебра сим четрии
275
зонов. Вводилось комплексное скалярное поле <р с соответствующей
плотностью лагранжиана. Фактически это соответствует наличию
двух полевых операторов — вещественной и мнимой частей поля <р.
В результате допускается существование возбуждений двух типов.
Однако указанные две части комплексного поля не независимы,
поскольку весь формализм инвариантен относительно преобразо-
ваний вида
<р—>eincp,	<р* —> е~‘н(р*.	(7.114)
Нетрудно показать, что такого рода преобразования волновых
функций вызываются произвольным изменением калибровки потен
циалов электромагнитного поля, рассматривавшимся в гл. 6, § 3.
При этом по существу никак не затрагиваются физические харак-
теристики электромагнитных взаимодействий между частицами.
С формальной теоретико-групповой точки зрения мы могли бы
рассуждать следующим образом. Сохраняющейся величиной дол-
жен быть полный заряд; соответствующий оператор определен фор-
мулой (1.129). Как показано в § 8, этот оператор служит генера-
тором непрерывной группы, произвольный элемент которой имеет
вид (7.85), т. е.
U (а) = exp {zaQ}.	(7.115)
В представлении чисел заполнения оператор Q диагоналей, поэтому
действие рассматриваемого преобразования на волновую функцию
одиночного бозона описывается просто формулами (7.114). Можно
сказать, что градиентное преобразование изоморфно группе П(1),
т. е. группе операций, состоящих в умножении на комплексные чис-
ла единичного модуля. Это есть одномерная группа унитарных пре-
образований. Данная группа, разумеется, представляет собой не
что иное, как группу поворотов относительно заданной оси [см. фор-
мулу (7.93)].
Этот формализм ограничен несколько больше, чем бы нам хо-
телось. Аналогия со свойствами спина указывает на более гибкие
возможности. Рассмотрим систему из протона и нейтрона. Пусть
они представляют собой два состояния единого «нуклонного поля»,
отвечающие по определению собственным функциям оператора
изотопического спина /3. Условимся считать, что чистое «протонное»
состояние задается равенством
/з1р>= + т1р).	(7.116)
В чистом «нейтронном» состоянии указанный оператор имеет соб-
ственное значение — ’А; в обоих случаях электрический заряд
Дается величиной (1 + /з).
Можно считать, что на состояния |р) и |п) натянуто двумерное
гильбертово пространство, в котором оператор /з представляется
таким же образом, как и спиновый оператор Паули 'Ащ, заданный
по формуле (6.55). Введем теперь следующую гипотезу: рассмо-
276
Глава 7
тренный оператор есть лишь одна из компонент оператора полного
изотопического спина I. Величина последнего определяется выра-
жением
/2 = /? + /! + /з,	(7.117)
и физически наблюдаемые состояния- системы должны одновремен-
но отвечать собственным функциям как I, так и /3. Аналогия со
спином состоит в допущении о существовании генераторов Т{=2/,-,
удовлетворяющих точно тем же соотношениям коммутации, что и
матрицы щ (7.111) и (7.112).
На первый взгляд это выглядит крайне странно. Что общего
между зарядом частицы и моментом количества движения? Факти-
чески здесь имеет место лишь чисто формальная аналогия, осно-
ванная на совпадении математических свойств.
Рассмотрим произвольный элемент группы преобразований, по-
рождаемых компонентами изотопического спина /,. По образцу
(7.113) ему можно сопоставить в представлении (7.116) унитарную
(2 X 2)-матрицу:
U (а) = ехр (га  I).	(7.118)
Здесь а — произвольный вектор с тремя компонентами аь аг, аз-
Можно представить это преобразование и иным образом — по
образцу (7.98) и (7.110), рассматривая поворот общего вида, за-
данный тремя эйлеровыми углами ф, 0, <р. В любом варианте соот-
ветствующая матрица будет зависеть от трех и только от трех не-
зависимых вещественных переменных.
Легко проверить, что самая общая унитарная матрица ранга 2
характеризуется лищь тремя независимыми вещественными пара-
метрами. Следовательно, с другой точки зрения преобразование
(7.118) можно рассматривать как элемент группы 5(7(2) —унитар-
ной собственной группы, поскольку берутся лишь такие (2х2)-мат-
рицы, детерминант которых равен +1.
По случайному совпадению данная группа, сама по себе достой-
ная изучения, формально эквивалентна трехмерной группе враще-
ний. Генераторы обладают точно теми же алгебраическими свой-
ствами (7.96), что и операторы компонент момента количества
движения Lx, Ly, Lz; на этом соответствие между зарядом и про-
странственными поворотами исчерпывается. Оператор изотопиче-
ского спина определяет свойства внутренней симметрии частиц, не
имеющие ничего общего с обычной кинематикой.
Тем не менее надо радоваться, что уже развит алгебраический
аппарат теории спина и т. п.: он позволяет легко исследовать, к
чему приводит переход от группы симметрии (7(1), заданной равен-
ством (7.115), к группе 5(7(2), определенной согласно (7.118). Рас-
смотрим, например, задачу о классификации состояний системы
двух нуклонов. Волновая функция отдельного нуклона преобразует-
Алгебра симметрии
277
ся по неприводимому представлению в обозначениях § 11.
Следовательно, произведение двух таких функций будет преобразо-
вываться по прямому произведению представлений. Последнее мо-
жно привести по формуле (7.108):
Dw ® Dw = Dw ® D(o).	(7.119)
Отсюда ясно, что два нуклона с различными зарядами ведут
себя не независимо друг от друга, как это имело бы место в случае
полностью различимых частиц. Разложение (7.119) означает, что
существуют состояния двоякого рода, аналогичные «синглетным»
и «триплетным» спиновым состояниям пары электронов. Таким
образом, можно утверждать, что антисимметричная комбинация
волновых функций протона и нейтрона отвечает нулевому значению
полного изотопического спина и ее динамические свойства отличны
от свойств симметричной комбинации, соответствующей значению
7=1. Последнее состояние (оно отвечает значению /з = 0) принад-
лежит триплету. Поэтому (если не учитывать электромагнитных
взаимодействий) оно обладает теми же свойствами, что и пара про-
тонов (/з = +1) или пара нейтронов (73 = —1). Гипотеза о заря-
довой независимости сильных взаимодействий равносильна пред-
положению о том, что точное выражение, аналогичное (6.107),
будет содержать только две константы связи, отвечающие соответ-
ственно процессам рассеяния в синглетном и триплетном изотопи-
ческих состояниях. При этом безразлично, взаимодействие какой из
возможных пар частиц рассматривается, рр, пп или рп.
Однако мы несколько ограничим наши возможности, основывая
алгебраическую теорию группы 5(7(2) только на ее изоморфизме с
группой вращения. Исследуем свойства интересующей нас группы
SL/(2) независимо и с несколько иной точки зрения. Базисный эле-
мент этой группы есть просто унитарная матрица
( а Ь\
«‘Г	(7Л20)
Здесь а и b — произвольные комплексные числа, удовлетворяющие
условию
aa* + bb* = \.	(7.121)
Можно считать, что матрица (7.120) действует в пространстве век-
торов иа с двумя компонентами щ и и2, записанными в виде ма-
триц с одним столбцом (векторов-столбцов). Очевидно, иа преоб-
разуется по двумерному неприводимому представлению 2 рассма-
триваемой группы. Действительно, в силу только что сказанного
«a->t7apw₽;	(7.122)
здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам.
Известно, однако, что существуют и векторы, которые в тех же
условиях преобразуются контра вариантно. Будем обозначать их
278
Глава 7
символами типа t»v с верхним индексом. Тогда с учетом унитарности
матрицы (7.120) имеем
ov->[f/~']Y6t>e=	(7.123)
Можно было бы сказать, что вектор vv преобразуется по сопряжен-
ному представлению 2*. Однако в случае группы SU(2) последнее
эквивалентно представлению 2, в чем нетрудно убедиться, явно
указав матрицы, преобразующие U в Uaf, перестановкой строк
и тому подобными операциями.
Далее, естественно рассмотреть трансформационные свойства
тензоров, преобразующихся как произведения векторов. Так, на
основании формул (7.122) и (7.123) мы могли бы написать
Туа = uavy ->	= | Uapt/ycj Тр.	(7.124)
Таким образом, совокупность величин	образовывала бы
(4 X 4)-матрицу, служащую элементом прямого произведения
представлений 2®2* рассматриваемой группы.
Вспомним, однако, об унитарности матрицы (7.120). Это свой-
ство позволяет строить различные инварианты из компонент тен-
зора Та- Мы знаем, например, что преобразование указанной
матрицы не изменяет ее следа, который поэтому можно считать
принадлежащим тождественному представлению 1 рассматривае-
мой группы. Другим таким инвариантом будет антисимметричная
комбинация недиагональных элементов, которую удобно записать
в виде
Т^-Т^ЕауТ^.	(7.125)
Здесь введен совершенно антисимметричный тензор с компонентами
е11=е22 = 0>	е12= — £>1 = 1.	(7.126)
Инвариантность выражения (7.125) относительно преобразования
(7.124) доказывается непосредственно — надо лишь явно выписать
соответствующие члены. При этом оказывается, что все они обра-
щаются в нуль, за исключением тех, которые воспроизводят исход-
ную комбинацию компонент, умноженную на величину, равную еди-
нице в силу (7.121).
Разложим теперь множество четырех чисел Та на симметрич-
ную и антисимметричную комбинации:
7’2 = И^+7’?} + И^-7’?}.	(7-127)
Числа, стоящие в первых скобках в правой части (7.127), образуют
симметричную матрицу; она имеет только три независимые компо-
ненты. Числа во вторых скобках составляют антисимметричную
матрицу с единственным независимым параметром '^ауТу. Как
Алгебра симметрии
279
мы видели, последняя величина преобразуется по неприводимому
представлению 1. Поэтому компоненты симметричной части долж-
ны преобразовываться по представлению, размерность которого
равна только трем; обозначим его символом 3. Легко видеть, что
оно неприводимо; в сущности мы здесь вывели иным способом фор-
мулу (7.119), которую теперь можно переписать в виде
2®2 = 3®1.	(7.128)
Намеченный здесь метод носит совершенно общий характер.
Тензор Губ”', обладающий р верхними и q нижними индексами,
порождает представление группы, размерность которого равна
2p+q. Это представление можно привести с помощью операции анти-
симметризации по любой паре индексов. Иначе говоря, тензор
71:::=еау7^:::	(7.129)
порождает представление с размерностью 2р+«-2, содержащееся в
исходном представлении. Сказанное применимо не только к комби-
нации верхнего индекса с нижним. Поскольку сопряженные пред-
ставления группы S17(2) не являются независимыми, всегда можно
переместить индекс сверху вниз с помощью простого преобразова-
ния. Таким образом, представление, порождаемое данным тензо-
ром, неприводимо лишь в том случае, когда тензор симметричен по
всем парам индексов. Последнее условие кардинально уменьшает
число независимых компонент тензора. Действительно, вполне сим-
метричный набор величин (принимающих по два значения каждая),
характеризуемый р + q индексами, может иметь лишь р + q + 1
независимых компонент; соответственно он порождает неприводи-
мое представление (р + q + 1).
Это рассуждение, разумеется, только воспроизводит результаты,
уже полученные для данной группы на основании ее изоморфности
группе вращений. Так, общее разложение прямого произведения не-
приводимых представлений, определенное равенством (7.108), запи-
сывается теперь в виде
(2j + 1) ® (2j' + 1) = (2j + 2j' + 1) ф
e(2j + 2j'-l)e ... ®(2|j-j'H-l). (7.130)
Чтобы доказать эту формулу, надо, используя формальные приемы
(7.127) и (7.129), выразить произведение двух полностью симме-
тричных тензоров через сумму совершенно симметричных выраже-
ний и рассмотреть различные возникающие при этом члены. Факти-
чески, если бы мы нашли в явном виде представления элементов
группы в настоящей формулировке, мы могли бы дать новый вывод
коэффициентов Вигнера, определенных равенством (7.109). Здесь
мы имеем еще один пример, в котором существенную роль играет
теорема Вигнера — Эккарта.
280
Глава 7
§ 13. Группа SU (3)
Классификация состояний, преобразующихся по различным
представлениям группы 5(7(2), проводится по известному образцу
атомных и ядерных состояний с заданными значениями спина и мо-
мента количества движения. Получаемая таким образом картина,
однако, не соответствует экспериментальным фактам для элемен-
тарных частиц. В добавление к простым законам сохранения изо-
топического спина (т. е. заряда) попытаемся найти более сложные
правила отбора, относящиеся к группам частиц, массы которых
лишь приблизительно одинаковы. Мы увидим тогда, что можно вве-
сти новые квантовые числа — барионное число, странность, гипер-
заряд и т. д., которые, однако, не вполне независимы. Для объяс-
нения этой ситуации естественно предположить, что физическая
симметрия, лежащая в основе всей картины, относится к типу SU(3).
По определению это есть группа всех преобразований, задан-
ных унитарными матрицами третьего ранга с положительным де-
терминантом. Данную выше трактовку неприводимых представле-
ний группы 5(7(2) нетрудно обобщить на более сложный случай.
Мы должны начать с векторов-столбцов с тремя компонентами.
Преобразования их задаются унитарными (3 X 3)-матрицами, ана-
логичными (7.120). Вектор иа, преобразующийся по формуле
(7.122), служит базисом для основного неприводимого представле-
ния 3, тогда как «контравариантный» вектор uY преобразуется со-
гласно (7.123), порождая неприводимое представление 3*. Основное
различие между группами SU(2) и SU(3) состоит в том, что пред-
ставления 3 и 3* не эквивалентны. Не существует преобразования
эквивалентности, с помощью которого можно было бы превратить
унитарную матрицу U в комплексно сопряженную ей матрицу U*.
По этой причине следует сохранить различие между верхними
и нижними индексами тензоров типа Однако, как и прежде,
число индексов можно уменьшить; применяя операциютипа (7.129),
мы каждый раз сворачиваем пару индексов:
^67.,=eaBy^₽v.-.	(7.131)
Здесь еару—совершенно антисимметричный псевдотензор третьего
ранга, аналогичный (7.126): 6123=6231 = 6312=—6213 и т.д. Равенство
(7.131) инвариантно относительно преобразований рассматривае-
мой группы; это обусловлено тем, что компоненты eapY сами пре-
образуются как компоненты тензора третьего ранга, оставаясь при
этом неизменными.
Указанная операция позволяет заменить любую пару верхних
индексов одним нижним, и обратно. Другой способ уменьшить чис-
ло индексов состоит в том, чтобы вычислить след, т. е. свернуть
верхний индекс с нижним, просуммировав по ним:
(7.132)
Алгебра симметрии
281
Это равенство инвариантно относительно преобразований группы.
Мы пришли к следующему выводу: любой тензор с р верхними
индексами и q нижними может служить базисом представления
группы; однако это представление будет приводимым, если хотя бы
одна из сверток типа (7.131) и (7.132) отлична от нуля. Предста-
вление неприводимо, если тензор по отдельности симметричен по
всем своим верхним индексам и по всем нижним, т. е.
т$,::: =	::: = ::: и т. «.,	(7.133)
и если все следы типа (7.132) равны нулю.
Неприводимые представления группы SU(3) можно было бы
нумеровать парой индексов (р, q). Можно подсчитать, однако, что
число независимых компонент тензора равно
р=4(р+ !)(<?+ 1) (р + <? + 2).	(7.134)
Именно эту размерность представления принято использовать для
его обозначения, так же как и в случае SU(2). Так, базисом пред-
ставления (1, 1) служит тензор третьего ранга Та с равным нулю
следом и восемью независимыми компонентами; поэтому предста-
вление обозначается символом 8. Аналогично случай р = 0, q = 2
соответствует симметричному тензору вида 7ар, принадлежащему,
очевидно, представлению 6. Заметим, что последнее не эквивалент-
но представлению с р = 2, q = 0, которое будет сопряженным
представлением 6* с базисом 7’а₽.
Теперь мы могли бы выписать разложения прямых произведе-
ний различных представлений. Так, справедливы равенства
3®3 = 6ф3*	(7.135)
и
3®3* = 8ф1.	(7.136)
Эти соотношения важны для ряда приложений. Пусть, например,
мы пришли к выводу, что все сильно взаимодействующие частицы
составлены из кварков — неких еще более простых объектов, преоб-
разующихся по представлению 3 группы 567(3). Соединяя три
кварка, мы получим волновые функции, преобразующиеся по пред-
ставлению
3®3®3 = Ю ф8ф8ф1.	(7.137)
Последнее равенство получено с помощью правил разложения типа
(7.135) и (7.136). Отсюда вытекает, что можно надеяться обнару-
жить две группы из восьми одинаковых частиц и одну из десяти
частиц. Это могут быть, например, восемь барионов с половинным
спином: п, р, S~, 2°, Е+, Е_, 3°, Л°. Открытие П~-частицы заполни-
ло вакансию в декуплете 1 0, отвечающую бариону со спином 3/2.
Это, несомненно, триумф схемы, основанной на группе 567(3).
В рамках симметрии 567(3) все частицы, преобразующиеся по
определенному неприводимому представлению, по существу идеи-
282
Глава У
тичны в том отношении, что они отвечают состояниям, вырожден-
ным по сильным взаимодействиям. Фактически, однако, рассматри-
ваемые состояния будут различаться по другим свойствам, например
по электрическому заряду. Мы встречались с этим в случае 5(7(2)
при рассмотрении протонных и нейтронных состояний, принадлежа-
щих представлению 2. Они, однако, отвечают различным значениям
компоненты /3 изотопического спина и потому по-разному ведут
себя под влиянием электромагнитного поля. Можно сказать, что
это добавочное взаимодействие нарушает симметрию 5(7(2). Мы
могли бы рассматривать /3 как возмущение, порождающее абелеву
группу (7(1) (здесь уместно вспомнить о свойствах величины Lz~
выделенной компоненты момента количества движения относитель-
но группы поворотов вокруг оси z [ср. с (7.89)]). По отношению
к группе 67(2) любое представление группы 5(7(2), разумеется,
приводимо: оно распадается на сумму одномерных представлений
типа (7.115).
В случае группы 5(7(3) аналогичные соображения оказываются
несколько более сложными. Унитарная (3 X 3)-матрица зависит от
восьми независимых переменных, следовательно рецепт (7.79) дает
для данной группы восемь генераторов. Последние подчиняются
различным коммутационным соотношениям типа (7.97) и могут
быть представлены набором простых (3 X 3)-матриц, аналогичных
спиновым матрицам Паули. Так,
Матрицы Zi, Аг, fa, Z5, и Z? недиагональны. Они получаются до-
бавлением новых строк или столбцов, состоящих из одних нулей, к
матрицам ох и av. Однако обе матрицы Z3 и Ze диагональны и по-
тому коммутируют Друг с другом. Следовательно, можно найти
векторы состояния, общие для них обеих. Собственные значения
этих матриц можно использовать в качестве квантовых чисел для
классификации состояний, принадлежащих неприводимому пред-
ставлению группы 5(7(3). Факт существования и свойства таких
операторов можно установить с помощью алгебры Ли. Эти опера-
торы лежат в основе знаменитой схемы, в которой восемь частиц
расположены шестиугольником — восьмеричный способ.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабатическое включение взаимодей-
ствия 75, 162, 169
Ангармонический член 35
Античастицы 42, 59, 92, 182, 226
Барионы 42, 280, 281
Бета-распад 224
Бете — Солпитера уравнение 133, 183,
191
Биспинор 214
БКШ-теория 190
Блоха теорема 261
— функции 53, 127, 148, 150
Боголюбова метод 186, 191
Бозе-газ 186, 192
Бозе — Эйнштейна конденсация 187
------ статистика 36, 51
Бозоны векторные 207
— заряженные 39, 207, 221
—	квантование поля 29, 45
—	нейтральные 207
—	операторы рождения и уничтожения
13, 18, 46
—	псевдоскалярное поле 224
—	рассеяние 35
—	релятивистские поля 203
— статистика 36, 51
Больцмана распределение 52, 116, 117
Борна приближение 51, 76, 142, 146,
233
— ряд 141, 143, 165
Бракнера метод 165, 177
Бриллюэна — Вигнера ряд 64 76, 109,
134, 148
Бриллюэна зона 19, 23, 262
Вакуума поляризация 92, 94, 177
Ваннье функции 127
Вейля уравнение 213
Вигнера коэффициенты 272, 274, 280
Вигнера — Эккарта теорема 272, 280
Вика теорема 84, 98
Виртуальное состояние 78, 90, 100,
166
Внутреннее произведение 242
Волновое число 18
Волновой пакет 185
Восьмеричный способ 282
Вырождение в теории групп 240, 254,
272
— ферми-газа 59, 154, 182
Гамильтона принцип 26, 221
— уравнения 70
Гармонический осциллятор 11, 70
Гейзенберга представление 67, 69, 122,
219
Генераторы инфинитезимальные 264, 268
Гильберта преобразование 231
Гиперон 274, 275
Грина теорема 27
— функция 110
---- двухвременная 134
— — двухчастичная 129, 158, 168
---- для волнового уравнения 137
-------уравнения Пуассона 136
----------Шредингера 135, 137, 206,
219
— — запаздывающая 126
----причинная 126, 136
---- температурная 129
----теория рассеяния 130, 148
---- трехчастичная 134
Группа абелева 260, 267, 282
— абстрактная 238, 263
— вращений 266
— Ли 264, 282
— непрерывная 236, 237, 262
— неприводимые представления 242
—	пространственная 262
—	регулярные представления 242
—	таблица умножения 240, 243
—	точечная 262
— тригональная 256
— Оз 243, 247, 252
— 50(2) 276, 280, 282
— 50(3) 280, 281
Гупты — Блейлера формализм 203
Дайсона уравнение 106, 109, 128, 164
Д’Аламбера оператор 201
Дебая волновое число 57
Дельта-функция 25, 125, 150
----инвариантная 207, 219
Детального равновесия принцип 52
Джозефсона эффект 190
Диаграммы, алгебраическая интерпре-
тация 86
— в теории многих тел 162, 172
— для температурной функции Грина
117, 129
—	импульсное представление 93
—	квадратные 233
284
Предметный указате
Диаграммы лестничные 165
— неприводимая часть 106, 174
— «петли» 174, 180
— приводимая часть 142, 174
—	принцип Паули 99
—	релятивистское обобщение 204
— связность 234
— физическая интерпретация 92
Дирака матрицы 208, 215, 216
— спинор 208, 217
— теория 63, 208
— уравнение 211, 217
Дисперсионные соотношения 127, 168,
231
Дифракция 171
Диэлектрическая проницаемость 56, 58,
167
Заряд бозона 39, 221
— дырки 63
— перенормировка 223
— сохранение 42, 266, 275
Идемпотентный оператор 65, 113
Изотопический спин 275, 282
Инвариантность галилеева 266
— калибровочная 41, 201, 266
— относительно вращений 195, 209,212
— — обращения времени 173, 211
--- пространственной инверсии 213
---пространственных трансляций 16,
53, 169, 266
— релятивистская 32, 80, 195, 266
Импульса оператор 11, 16, 21, 48
—	плотность 23
—	представление 93
—	сохранение 52
Интеграл движения 68, 266
Каналы реакции 229, 232
Канонический ансамбль 115, 178
Квазичастицы 11, 59, 125, 193, 270
Кварки 281
Класс 251, 270
Классическая статистика 51, 113, 115
Клебша — Гордана коэффициенты 272
Клейна — Гордона уравнение 32, 203,
217
Комптона эффект 89, 105, 225
Константа связи 54, 58, 225, 277
Континуальный предел 22
Контравариантность 198, 278
Корреляционная функция 130
Крамерса — Кронига соотношения 231
Кристаллическая решетка 19, 127, 260
Кросс-симметрия 230, 232
Кубо формула 117, 120, 168, 173
Кулоновская калибровка 203
Кулоновское взаимодействие в класси-
ческой электродинамике 203
-------теории многих тел 155, 158
162, 176
----обмен бозонами 38, 56
—	— при сверхпроводимости 190
— — экранированное 176, 181
Куперовские пары 191
Лагранжа уравнение 27
Лагранжиана плотность 25, 39, 221,275
'Лагранжиан классического поля 25, 223
— поля заряженных бозонов 39
— уравнения Дирака 221
----Клейна — Гордона 32
----Шредингера 30
Ландау сингулярность 233
Лапласиан 201
Лемана спектральное представление 125
Ли алгебра 268, 283
— группы 264
Лэмба сдвиг 108
Магнон 22
Майкельсона интерферометр 196
Максвелла уравнения 198, 213
Мандельстама диаграмма 229, 232
— представление 235
К-матрица 147, 166, 177
S-матрица 39, 75, 225, 232
Т-матрица 76, 144, 166
Матрица плотности 110
----двухчастичная 130, 158
— — каноническая 115, 178
----одночастичная 121, 178, 186
----приближение Томаса — Ферми
154
Мезоны 32, 37, 54, 232
Мейсснера эффект 190
Минковского скорость 197
Многих тел проблема 153
Момент количества движения полный
269
-------сложение 271
-------соотношения коммутации 216
Нейтрино 224
Нуклона взаимодействия 52, 224
—	заряд 275
—	рассеяние ядрами 148
—	спин 273
— теория Дипака 208
Нулевой звук 183
Ньютона законы 197
Предметный указатель
285
Обменное взаимодействие 39, 55
Ома закон 117
Онсагера теория 117, 120
Операторы рождения и уничтожения
бозонов 13, 18, 46
---------- в представлении Гейзен-
берга 70
----------дырок 218
-------— фермионов 45
Опережающие волны 136, 140
Ортогональности теорема 246, 272
Паули принцип 43, 46, 59, 154, 194
— спиновые матрицы 208, 212, 215, 267
— теорема 172
Первый звук 183
Перенормировка 91, 105, 181
Плазмоны 181
Плотность'состояний 125, 149
Подгруппа 256
Позитрон 63, 71, 213
Поле бозонов 25, 33, 40, 216
— векторное 204, 207
— гравитационное 31
— источники 33
— квантованное 25, 29, 47
— классическое 25, 198
— нейтринное 213
— оператор 24, 29, 47, 275
— фермионов 49, 212
— электромагнитное 31, 195, 199
Полярон 59, 90
Потенциал деформации 55
Приближение случайных фаз 177
Принцип соответствия 70
к-пространство 19, 59, 185
Проточ 274
Процесс переброса 53
Прямая сумма 250
Прямое произведение 247, 255
Пуассона скобки 115
— уравнение 136, 157
Радиальная функция распределения
130, 172
Рака коэффициенты 272, 274
Резольвента 139
Резонанс 151
Ротоны 189
Рэлея — Шредингера ряд 66, 74, 77, 109
Свертка 84, 85, 281
Сверхпроводимость 39, 78, 153, 189
Связанные состояния 101, 132, 138
Сила Лоренца 201, 222
— релятивистская 198
Сильное взаимодействие 224, 234, 277
Симметрия аксиальная 270, 282
—	вращательная 94, 237
—	классы 250
—	нарушение 282
— трансляционная 260
— тригональная 258
Слабое взаимодействие 224
След 111, 113, 118, 249
Слэтера приближение 158
Совместности условия 268
Соотношения коммутации в теории воз-
мущений 77, 84
----генераторы группы 269, 282
----законы сохранения 69, 266
----матрицы Дирака 216, 269
— — момент количества движения 216,
268
------- операторы бозонного поля 29,41,
47
--------квазичастиц 61, 192
--------рождения и уничтожения 13,
18, 46, 188, 204
--------фермионного поля 49, 82, 123,
192, 219
----элементы группы 238, 244, 260
Спаривание хронологическое 84
Спинор 208, 220, 273
Странность 232, 280
Структурные постоянные 268
Сферические гармоники 127, 145, 269
Тензор антисимметричный 200
—	в декартовых координатах 20
—	ковариантный 199
—	метрический 196
—	электромагнитного поля 200
— электропроводности 117
Ток квазичастпц 184
— релятивистский 4-вектор 200, 201,
221
— термодинамический 117
Томаса — Ферми — Дирака метод 156
Уравнение непрерывности 42
Факсена — Хольцмарка формула 144
Фермп-газ 60, 126, 158, 167, 181
— поверхность 60, 185, 191
— скорость 62, 182
— энергия 59, 154, 182
Ферми — Дирака статистика 43, 51
Фермионы, взаимодействие с бозонами
35 37 222
--------фермионами 52, 62, 90, 99, 162,
190
— волновые функции 43, 121, 157
— газ 59, 126, 158, 168, 191
— квазичастицы 60, 125, 170
286
Предметный указатель
Фермионы, квантованные поля 45,218
— операторы рождения и уничтожения
45
— пропагатор 93, 102, 128
— собственная энергия 58, 90, 102
— статистика 43, 51
Физическая область 229
Флуктуационно-диссипационная теоре-
ма 173
Фока пространство 49
Фолди — Войтхузена представление
218
Фононы 19, 22, 31, 33, 91
Формфактор 54, 55, 57, 96
Фотон 31, 38, 204
Функция отклика 167 -
Фурье преобразование 16, 19, 23
— теорема 23
Характер 249
— арифметика 250, 262, 271
— класс 251, 270
— непрерывные группы 262
— ортогональность 246
— таблица 252, 261, 272
Хартри — Фока метод 158, 172, 177, 194
Химический потенциал 116, 154
Черенкова эффект 58, 90
Четность 213, 232
Чисел заполнения представление И, 43
с-число 73, 84
Чэмберса формула 120
Шура лемма 242, 248
Эйлера углы 269, 276
— уравнение 27, 30, 221
Экситон 132
Электромагнитного поля градиентное
(калибровочное) преобразование 39
201, 266, 275
---квантование 32, 55, 203
— лагранжиан 221
— — релятивистская инвариантность
198, 221
Электрон, атомные состояния 94, 153
161, 252
—	взаимодействие с позитроном 92
-------фононом 35, 54, 225
— в металле 59, 120, 153
—	рассеяние 50
—	спин 274
—	теория Дирака 208
— эффективная масса 50
Электронно-дырочная пара 61, 98, 132,
193
Электронных зон структура 262
Электропроводность 117, 119, 167
Элемент группы 238, 250, 257
Энергетическая щель 193
Энергия в системе центра масс 228
— комплексная 126, 141, 230
—	корреляционная 162
—	обменная 156
— отрицательная 32, 63, 206, 212
—	релятивистская 32, 203
—	свободная 155
—	сохранение 90, 97, 146
Энтропия 116
Эффект отдачи 78
Юкавы потенциал 37, 78, 233
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ................................................. 5
Предисловие ........................... ...	..................7
Г лава 1. Бозоиы .	. . .	......	.............11
§ 1.	Простой гармонический осциллятор.........................  11
§ 2.	Операторы уничтожения и рождения.........................  13
§ 3.	Линейная цепочка связанных осцилляторов	.........15
§ 4.	Трехмерные решетки и векторные поля	.............19
§ 5.	Континуальный предел............... ... 22
§ 6.	Классическая теория поля	.....	. .	25
§ 7.	Вторичное квантование ....	. .	. .	. . 29
§ 8.	Уравнение Клейна — Гордона	.	. .	. . 31
§ 9.	Источники поля. Взаимодействия между полями .	. . 33
§ 10.	Пример: рэлеевское рассеяние фононов	... 35
§ 11.	Пример: потенциал Юкавы............................... ...	37
§ 12.	Заряженные бозоны....................... .	.........39
Г лава 2. Фермионы ....	............. .	.........43
§ 1.	Представление чисел заполнения..............................43
§ 2.	Операторы уничтожения и	рождения. Антикоммутация	...	44
§ 3.	Вторичное квантование................................ . .	47
§ 4.	Рассеяние. Связь со статистической механикой................50
§ 5.	Сохранение импульса при взаимодействии	между частицами .	52
§ О.	Взаимодействие фермионов	с бозонами	....	.	...	54
§ 7.	Дырки и античастицы ....	................. .59
Глава 3. Теория возмущений . .	...	.	.	.	. ... 64
§	1.	Ряд Бриллюэна — Вигнера ................................64
§	2.	Представление Гейзенберга.............................  67
§	3.	Представление взаимодействия	...	 71
§	4.	Ряды, содержащие интегралы	по	времени ..................73
§ 5.	5-матрица ................................... - .	.75
§ 6.	Разложение S-матрицы: алгебраическая теория.................79
§ 7.	Диаграммное представление .	  .86
§ 8.	Импульсное представление ..................................93
§ 9.	Физический вакуум ...	 100
§ 10.	Уравнение Дайсона и перенормировка........................105
Глава 4. Функции Грина...............................................  ПО
§ 1.	Матрица плотности..........................................ПО
§ 2.	Уравнение движения для матрицы плотности..................114
§ 3.	Термодинамически равновесные ансамбли......................115
§ 4.	Формула Кубо...............................................П7
§ 5.	Одночастичная функция Грина...............................121
§ 6.	Импульсно-энергетическое представление....................124
§ 7.	Вычисление функций Грина................................. 127
§ 8.	Двухчастичные функции Грина . .	 129
§ 9.	Цепочка функций Грина.....................................133
§ 10	Функции Грина, не зависящие от времени....................134
§ 11.	Матричное представление функции Грина ....................137
§ 12.	Координатное представление функции Грина, не зависящей от
времени .....................................................  .	14с
§ 13.	Борновскпй ряд .	..................................141
§ 14.	Т-матрица ................................................144
§ 15.	Пример: примесные состояния в металле.....................143
288
Оглавление
Г лава 5. Некоторые аспекты проблемы многих тел .....................153
§ I.	Квантовые свойства макроскопических систем...............153
§ 2.	Статистические методы. Приближение Томаса —Ферми . . .154
§ 3.	Самосогласованное поле Хартри............................156
§ 4.	Метод Хартри — Фока......................................158
§ 5.	Интерпретация теории Хартри — Фока с помощью диаграмм 161
§ 6.	Метод Бракнера...........................................165
§ 7.	Диэлектрическая проницаемость........................... 167
§ 8.	Спектральное представление диэлектрической проницаемости . 168
§ 9.	Диаграммная интерпретация диэлектрической проницаемости 173
§ 10.	Приближение случайных фаз................................177
§ 11.	Теория ферми-жидкостей Ландау........................... 181
§ 12.	Разреженный бозе-газ.....................................186
§ 13.	Сверхпроводящее состояние ....	.	..........189
Глава 6. Релятивистские теории............................. .	. .
§ 1.	Лоренц-инвариантность ........................ . . .
§ 2.	Релятивистская теория электромагнетизма .	. . .
§ 3.	Волновое уравнение и градиентная инвариантность .	. .
§ 4.	Квантование релятивистских полей.........................
§ 5.	Спиноры ...................................... ....	. .
§ 6.	Уравнение Дирака ...................................... .
§ 7.	Матрицы Дирака..................... . .
§ 8.	Квантование поля Дирака....................... .	. .
§ 9.	Взаимодействие между релятивистскими полями . . .	.
§ 10.	Релятивистская кинематика............................ .	.
§ 11.	Аналитическая S-матрица ...................... .	. .
195
195
1981
2011
203
208
211
214
217
221
225
230
Г лава 7. Алгебра симметрии.......................................    236
§ 1.	Операции симметрии ............................ . . 236
§ 2.	Представления..........................................  238
§ 3.	Регулярные представления конечных групп ....	. , 242
§ 4-	Теорема об ортогональности................. . .	. 246
§ 5.	Характер и класс................................ , 249
§ 6.	Произведения групп и представлений .	. . 255
§ 7.	Группы трансляций....................... ...	. 260
§ 8.	Непрерывные группы ....................... .	...	. 262
§ 9.	Группа вращений ..................................... .	. 266
§ 10.	Неприводимые представления группы вращений ...... 269
§ 11.	Спинорные представления ...	............... .	. . 973
§ 12.	Группа SC/(2)  ..........................................274
§ 13.	Группа 57/(3).............................................280
Предметный указатель............................................283
Дж. М. Займан
СОВРЕМЕННАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Редактор В. САМСОНОВА	Художник Г. Мануйлов
Художественный редактор П. Некундэ	Технический редактор И. Церва
Сдано в набор 18/ХП 1970 г. Подписано к печати 23/IV 1971 г. Бумага кн.-журн. 60Х90>/,.
9 бум. л., 18 печ. л., 17,44 уч.-изд. л. Изд. К» 2/5568. Цена 1 р. 40 к. Зак. 899
ИЗДАТЕЛЬСТВО <МИР> Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Главполиграфпроыа Комитета по печати при Совете Министров СССР
Измайловский проспект, 29