Курс теоретической физики. Том 1. Элементарные законы - Компанеец А.С.

Автор: Компанеец А.С.

Теги: физика

Год: 1972

Похожие

Курс теоретической механики для физиков

Методика решения задач по теоретической механике

Теоретическая механика

Основы механики сплошных сред. Том 1

Текст

А. С. НОМПАНЕЕЦ
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Том I
Элементарные законы
Допущено Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических факультетов
педагогических институтов
Москва „ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1972

530.1
К 63
Компанеец А. С,
К 63 Курс теоретической физики, т. I. Элементарные
законы. Учеб. пособие для студентов физ.-мат.
фак-тов пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1972.
512 с.
В книге изложены три раздела теоретической физики: «Механика»,
«Электродинамика» и «Квантовая механика». В каждом из этих разде-
разделов автор формулирует наиболее общие принципы и законы, из кото-
которых как следствия получаются частные законы и уравнения.
2-3-2
30-72 530.1

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретическая физика очень тесно связана с физикой экспериментальной,
но весьма отличается от нее как по методу, так и по характеру результатов.
Эксперимент устанавливает только отдельные факты, в решающих случаях-^
факты первостепенного значения. Теория не просто объясняет их, а форму-
формулирует общие принципы. Если бы задача теоретической физики состояла
только в обработке результатов опыта, она была бы всего лишь вспомога-
вспомогательным средством экспериментатора.
На самом деле такие достижения теории, как создание механики, элек-
электродинамики, статистической и квантовой механики, отнюдь не сводятся
к истолкованию некоторых отдельных опытов. Теоретическая физика во мно-
многом создала научное мировоззрение человечества в целом и повлияла на
образ мышления людей, даже далеких от естественных наук.
Чтобы овладеть теоретической физикой, весьма важно знать физику
экспериментальную, видеть взаимосвязь между отдельными физическими явле-
явлениями и общими законами, словом, существенно и полезно все то, что назы-
называется знанием физики вообще.
Но не менее важно владеть основным инструментом теоретической физи-
физики — математикой: полностью освоить в каждой математической дисциплине,
к которой приходится обращаться, ее основную идею и общий метод. В не-
несколько парадоксальной форме Л. Д. Ландау даже говорил, что можно стать
физиком-теоретиком, не зная как следует физики, но нельзя им стать, не зная
математики.
Большой объем необходимых математических знаний составляет основное
препятствие при изучении теоретической физики. При этом надо иметь в виду,
что в специальных учебниках математики материал изложен так, как это
представляется правильным самим математикам, а не так, как это нужнее
всего для физиков-теоретиков.
В этой книге сделана попытка так изложить теоретическую физику,
чтобы предварительные математические знания учащегося сводились к мини-
минимуму. Сюда входят только элементы анализа бесконечно малых, начатки ана-
аналитической геометрии и векторная алгебра. По ходу изложения сообщаются
основные сведения из векторного анализа, алгебры матриц, тензоров и спи-
спиноров и немного — о шаровых функциях. Эти математические положения
содержатся частично в основном тексте, частично в упражнениях, где соот-
соответствующие задачи снабжены решениями, отличающимися от учебного текста
большей сжатостью изложения. Такими решениями сопровождаются и многие
физические задачи. Всегда спорен вопрос о выборе убедительнейшего способа
изложения. Если пытаться обойти сложные и тонкие вопросы или переупро-
переупростить аргументацию, надеясь на то, что неискушенный читатель не заметит
некоторой «подтасовки», то в лучшем случае можно добиться лишь иллюзии
понимания, уместной только при чтении популярных книг.
1* 3

Но и текст, переобремененный уточнениями и оговорками, содержащий
длинные рассуждения по любому поводу и то, что в математике называется
«эпсилонтикой», способен сбить учащегося с толку, заслонить важное второ-
второстепенным.
Искусство теоретика как педагога в основном состоит в умении выбрать
оптимальное изложение, ориентируясь на определенную аудиторию или пред-
предполагаемый круг читателей.
Чтобы по-настоящему понимать теоретическую физику, надо все время
иметь перед умственным взором основные идеи предмета, цель данного кон-
конкретного рассуждения или вычисления и связь всех деталей между собой
и с общими физическими принципами. Кроме того, в теоретической физике
знание не существует без умения: только тот понимает предмет, кто в долж-
должной мере владеет его методами. Пассивное усвоение здесь невозможно, простое
запоминание бесполезно.
Настоящий курс состоит из двух томов. Первый том содержит элемен-
элементарные законы физики, второй — законы статистические, относящиеся
к большим коллективам частиц — газам, жидкостям, твердым телам. Возникаю-
Возникающие в таких совокупностях частиц закономерности основаны на законах эле-
элементарных взаимодействий и свойствах больших чисел.
Принятое расположение материала представляется в настоящее время
наиболее целесообразным.
Сведения чисто обзорного характера, содержащие только сводки резуль-
результатов или упоминания новейших идей без надлежащего их развития, из
книги почти полностью исключены. То, что утверждается, выводится из общих
законов. В каждой главе эти законы предшествуют остальному. Нецелесооб-
Нецелесообразно излагать основные принципы тогда, когда все конкретное уже известно.
Я старался по возможности излагать материал по-своему. Тем не менее
очень многое в переработанном виде взято из многотомного энциклопедического
курса теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, а также из
«Основ квантовой механики» П. Дирака.

ЧАСТЬ I
МЕХАНИКА
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЙ
Механика лежит в основе всей теоретической физики. Начав
с некоторых вводных положений, мы приведем уравнения меха-
ники к такой форме, в которой они наиболее удобны для решения
конкретных задач динамики и допускают обобщения на другие
области физической теории.
Система отсчета. Для того чтобы описать движение механи-
механической системы, надо задать ее положение в пространстве в зави-
зависимости от времени. Имеет смысл говорить только об относитель-
относительном положении любого тела. Например, положение корабля в
океане задается его долготой и широтой по отношению к опреде-
определенным точкам и линиям на земном шаре. Положение космиче-
космического тела может быть измерено относительно Солнца или центра
Галактики и т. п.
Кроме указания координат системы тел относительно выбран-
выбранной системы отсчета, необходимо определение момента времени,
когда координаты принимают данные значения. Иначе говоря,
необходимы часы. Обычно в качестве часов используется какой-
либо равномерный периодический процесс, искусственно создан-
созданный в механизме или существующий в природе, как, например,
вращение Земли вокруг оси.
Привычное нам в повседневной жизни интуитивное понятие
единого универсального времени справедливо только тогда, когда
относительные скорости всех тел малы по сравнению со скоростью
света. В рамках этого приближения справедлива механика Нью-
Ньютона. В более общем случае необходимо указывать, с какой системой
тел связаны часы, по которым измеряется время. Если с этой же
системой скреплены координаты, задающие положения движущихся
точек, то принято говорить, что задана определенная система
отсчета. (Так, местонахождение судна в определенный момент вре-
времени выверяется по часам, помещенным где-либо на берегу.)
В механике Ньютона принимается, что показания часов совпадают
во всех системах отсчета, но следует помнить, что это не свой-
свойство времени вообще, а лишь свойство медленно движущихся друг
относительно друга систем отсчета. Здесь мы примем это прибли-
приближение, обобщения будут сделаны в ч. II.

Второй закон Ньютона. Движение в механике состоит
в изменении взаимного пространственного расположения тел во
времени по отношению к некоторой выбранной системе отсчета.
Для формулировки законов движения весьма удобно понятие
материальной точки, т. е. такого тела, положение которого
в пространстве вполне определяется тремя декартовыми координа-
координатами. Эта идеализация, строго говоря, неприменима ни к одному
реальному телу. Тем не менее она вполне разумна, когда движе-
движение тела достаточно хорошо определяется перемещением любой
из его точек и не зависит от вращений и деформаций тела.
Движение Земли вокруг Солнца происходит независимо от ее
вращения вокруг своей оси, а полет пули сильно зависит от ее
вращательного движения. В этом смысле Земля ближе к понятию
материальной точки, чем пуля. Абсолютный размер тел не имеет
при этом значения.
Если исходить из понятия материальной точки как первич-
первичного объекта механики, то закон движения (второй закон Нью-
Ньютона) формулируется так:
m^ = F. A.1)
Здесь F— равнодействующая всех сил, приложенных к данной
точке (векторная сумма сил), -^ — вектор ускорения, декартовы
составляющие которого суть
d4 d2y d?z
dt2 ' dt2 ' dt2 *
Величина т, входящая в уравнение, характеризует материальную
точку и называется ее массой.
Сила и масса. Равенство A.1) является физическим опре-
определением силы. Но его не следует рассматривать как простое
тождество или обозначение, так как за ним кроется ряд допуще-
допущений о законах движения. Эти допущения подтверждаются всей
совокупностью опытных данных о механическом движении. Напри-
Например, то обстоятельство, что в уравнение A.1) входит вторая произ-
производная по времени, означает, что для его решения необходимо
задать начальные значения координат и скоростей, т. е. первых
производных, и этого достаточно для определения координат во
все последующие моменты времени. Ясно, что такой факт может
следовать только из опытных данных.
Равенство A.1) по существу определяет способ взаимодействия
между телами, указывая, что оно осуществляется в виде сил,
сообщающих ускорения. Разумеется, и это утверждение вытекает
из обобщения опытных данных.
В механике Ньютона делается ограничительное предположение
относительно силы. Принимается, что она зависит только от вза-
взаимного расположения тел в тот момент времени, к которому отно-

сится равенство, и не зависит в явном виде от их расположения
в предыдущие моменты. Это предположение, как мы увидим дальше
в ч. II, справедливо только тогда, когда скорости тел малы
по сравнению со скоростью света. При больших скоростях само
определение взаимодействия существенно изменяется и не может
быть выражено в форме A.1).
В равенство A.1) входит величина т, характеризующая тело,—
его масса. Массы различных тел можно сравнивать по тем ускоре-
ускорениям, которые этим телам сообщает одна и та же сила. Чем больше
ускорение тела, тем меньше его масса. Масса какого-либо тела
может быть выбрана в качестве эталона, причем этот выбор
никак не зависит от эталонов длины и времени. Размерность, или
единица измерения массы, особая, не связанная с единицами
длины и времени.
Свойства массы устанавливаются опытным путем. Прежде всего,
при соединении двух тождественных тел в одно целое получается
тело двойной массы по сравнению с массой каждого из них.
Определенным образом растянутая пружина сообщает такому со-
составному телу ускорение вдвое меньшее, чем каждому из состав-
составляющих тел. Иначе говоря, масса есть величина аддитивная — так
говорят в тех случаях, когда некоторая величина для тела в целом
равна сумме этих величин для всех его частей в отдельности.
Опыт показывает, что закон аддитивности массы применим и к
телам, состоящим из разных веществ.
Отметим, что распространенное определение массы как коли-
количества вещества лишено смысла, так как не указывает, каким
способом это количество измеряется. Наоборот, определение массы
из равенства A.1) такое указание содержит.
В механике Ньютона масса тела есть величина постоянная,
не изменяющаяся при движении тела. Но аддитивность и постоян-
постоянство массы вытекают только из опытных фактов и заранее не оче-
очевидны. Эти факты ограничены определенным кругом явлений,
а именно таким, когда силы взаимодействия не сообщают телам
ускорений, при которых происходит разгон до скоростей, сравни-
сравнимых со скоростью света. Иначе говоря, взаимодействия должны
быть в известном смысле не слишком сильными. В атомных ядрах,
где взаимодействия велики, закон аддитивности массы выпол-
выполняется с точностью только до доли процента.
Заметим, что если бы вместо силы растянутой пружины под-
подвергли тела действию тяжести, то ускорение тела двойной массы
равнялось бы ускорению каждой массы в отдельности. Отсюда
надо заключить, что сила тяжести сама по каким-то причинам
пропорциональна массе тела. Это исключительное свойство силы
тяжести лежит в основе эйнштейновской теории тяготения.
Инерциальные системы отсчета. В уравнение A.1)
входит ускорение точки. Не имеет смысла говорить об ускорении,
не условливаясь, относительно какой системы отсчета оно изме-
измеряется. Поэтому в каждом конкретном случае необходимо разо-

браться в причине ускорения. Иначе говоря, надо выяснить, обя-
обязано ли данное ускорение взаимодействию между телами или
движению самой системы отсчета. Например, толчок, который
испытывает пассажир при внезапной остановке поезда, свидетель-
свидетельствует о неравномерности движения поезда относительно Земли.
На перроне в этот момент никто толчка не испытывает, так что
нельзя приписать ускорение пассажира проявлению каких-либо
сил взаимодействия. Следовательно, система отсчета, связанная
с Землей, а не с поездом, отличается тем свойством, что в ней
ускорения тел обязаны только их взаимодействиям, например дей-
действию силы тяжести. О тонких эффектах, связанных с вращением
Земли, будет сказано в своем месте.
Можно предположить, что существует такая идеальная система
отсчета, в которой все ускорения тел обусловлены исключительно
силами взаимодействия. Ясно, что система, связанная с Землей,
ближе к такой идеальной системе, чем скрепленная с поездом.
Определить, обязана ли данная сила своим существованием
взаимодействию тел, можно с помощью третьего закона Ньютона:
такие силы равны по величине и противоположны по направлению
для любой пары взаимодействующих точек. Сказанное справедливо
только в том случае, когда силы передаются мгновенно, но в меха-
механике Ньютона именно это и допускается.
Если оказывается, что ускорения тел в данной системе отсчета
обусловлены только их взаимодействием, то такая система назы-
называется инерциальной. Свободная материальная точка, не подвер-
подверженная действию каких-либо других тел, движется относительно
инерциальной системы прямолинейно и равномерно, или, как
говорят, по инерции.
Направление силы тяжести на поверхности Земли узнается
с помощью отвеса. Если уронить камень с высокой башни, он
полетит не строго по направлению отвеса, а немного отклонится
к востоку. Эта составляющая ускорения не вызвана, следовательно,
притяжением к Земле, что доказывает неинерциальность связан-
связанной с ней системы отсчета.
Идеальные жесткие связи. При соприкосновении тел
возникают силы взаимодействия, которые можно описать, поль-
пользуясь кинематическим понятием абсолютно жестких идеальных
связей. Такие связи вынуждают точки механической системы дви-
двигаться по определенным поверхностям. Если, например, две мате-
материальные точки скреплены жесткой нерастяжимой связью, вынуж-
вынуждающей их находиться на неизменном взаимном расстоянии, то
любая из них движется по сфере, в центре которой находится
другая точка.
Ограничения, налагаемые связями, в общем случае вынуж-
вынуждают тела двигаться криволинейно. Такое движение всегда уско-
ускоренное. Ускорение можно формально приписать силам, которые
называются реакциями жестких связей. Эти силы заранее не
заданы как функции положения точек. Интегрируя уравнения

типа A.1) при дополнительных ограничениях, налагаемых свя-
связями, определяют силы реакции. В следующем параграфе будет
рассмотрен способ, позволяющий обойтись вообще без определения
сил реакций при решении уравнений движения.
Движение по твердой поверхности приводит не только к воз-
возникновению сил реакции, но и сил трения. Их значение в при-
прикладной механике исключительно велико. Но при трении движение
сообщается не только самохму телу как целому, а и составляю-
составляющим его молекулам. Взаимодействие между трущимися поверхно-
поверхностями очень сложное и только в результате усреднения по отдель-
отдельным молекулам получает вид некоторой силы взаимодействия.
В этом разделе книги мы будем рассматривать элементарные
законы, относящиеся к отдельным материальным точкам (части-
(частицам), а не к большим совокупностям молекул. Поэтому силы тре-
трения будут вообще оставлены в стороне. Они изучаются подробно
в курсах технической механики.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
Уравнение A.1) было записано в декартовой системе коорди-
координат. Но любая система координат есть результат свободного вы-
выбора. Описывая в ней некоторый закон природы, мы тем самым
вносим в наше описание определенный элемент произвола. Кроме
выбора координатной системы, имеется еще свобода в отношении
системы отсчета. Скорости материальных частиц относительно раз-
разных систем отсчета различны. Между тем желательно так форму-
формулировать законы природы, чтобы в них по возможности не вхо-
входили величины, по определению относящиеся к наблюдателю
(например, координаты), иначе говоря, исключить элемент произ-
произвола в описании.
Для этого надо перейти от дифференциального закона A.1)
к интегральному. Значение интеграла не зависит от переменных,
в которых он вычислен (например, площадь некоторой фигуры
одна и та же при вычислении в любых координатах: прямоуголь-
прямоугольных, полярных и т. п.). Поэтому можно надеяться так сформули-
сформулировать законы механического движения, чтобы они сводились
к высказываниям об интегральных выражениях, описывающих
некоторый конечный участок движения.
Это оказывается осуществимым при следующих условиях:
1. Связи идеально жесткие, т. е. сил трения нет.
2. Силы взаимодействия между материальными точками могут
быть представлены в виде
где индекс / относится к частице, а производная по векторной
величине г% сама представляет собой вектор с составляющими

-л-1 ~jr~t з—• Величина U одна и та же для всей механической
dxi* dytf dzi M
системы. О ее значении будет сказано ниже.
Принцип Гамильтона. Условие B.1) не столь ограни-
ограничительно, как может показаться. Под него подпадают силы тяже-
тяжести, электростатические силы, упругие силы, т. е. как раз такие,
к которым применяется механика Ньютона. В дальнейшем будем
выражать силы в форме B.1). Для простоты последующих формул
будем считать, что имеется только одна жесткая связь. Это огра-
ограничение не имеет существенного значения, так как переход к слу-
случаю нескольких связей производится непосредственно. Запишем
условие связи в виде уравнения:
F(rlf...9rit...) = 0. B.2)
Рассмотрим теперь некоторое изменение координат материаль-
материальных точек системы бг,-, которое будем считать бесконечно малым.
Это изменение обязано не движению точек, а может рассматри-
рассматриваться как чисто умозрительная операция. Оно, однако, не должно
нарушать условия B.2), т. е. мыслится совместимым с наложен-
наложенной на систему связью. Например, если точки вынуждены дви-
двигаться по поверхности, то изменения бг,- берутся вдоль поверх-
поверхности, а в остальном совершенно произвольны. Но если точки
в результате смещений остались на поверхности, определяемой
уравнением B.2), то смещения удовлетворяют очевидному условию:
-M = 0. B.3)
Здесь было использовано то обстоятельство, что величины бгг
бесконечно малые, так что функция F разлагалась в ряд Тейлора
до первых производных включительно.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений A.1) при
дополнительном условии B.2). Это условие означает, что не все
переменные г, независимы. Чтобы сделать число независимых
переменных системы равным числу уравнений, умножим каж-
каждое уравнение на соответствующую величину бг,- и сложим их.
Силу Ft разобьем на два слагаемых: Ft = — -g-. + Fl* Первое сла-
слагаемое обусловлено взаимодействием между материальными точ-
точками, второе описывает силы, возникающие вследствие действия
связей.
Теперь надо воспользоваться тем условием, что связи идеаль-
идеальные. Начнем с простейшего случая гладкой неизменяемой поверх-
поверхности, по которой движется материальная точка. Тогда сила реак-
реакции должна быть перпендикулярна поверхности, т. е. скалярное
произведение векторов F[ и бл- равно нулю. Ведь это произведе-
произведение означает не что иное, как работу перемещения точки по поверх-
* Подробнее о дифференцировании по векторам см. во вступлении к ч. II.
10

ности, т. е. работу сил трения, которые мы заранее исключили,
считая связь идеальной.
В случае двух или вообще нескольких точек каждое слагае-
слагаемое FlSti в отдельности может и не обращаться в нуль, потому
что точки могут совершать работу друг над другом. Например,
если две точки скреплены жесткой нерастяжимой связью и одна
из них как-либо ускорена, она потянет за собой другую, т. е.
совершит над ней работу. Следовательно, в системе из нескольких
материальных точек, скрепленных жесткими связями, на силы
реакции связей накладывается условие:
S^/e/^O, B.4)
причем перемещения подчинены равенству B.3).
Но тогда из уравнений A.1) и B.4) следует, что должно выпол-
выполняться такое равенство:
для всех перемещений точек, совместимых со связями, т. е. удов-
удовлетворяющих равенству B.3). Из этого уравнения можно исклю-
исключить какое-либо из перемещений 6г( и подставить его в B.5),
после чего все остальные перемещения, очевидно, становятся неза-
независимыми.
Более удобно использовать метод неопределенных множителей,
так как он позволяет сохранить симметрию формул относительно
всех 5г;. Умножим равенство B.3) на некоторый множитель он
и прибавим его к B.5):
Поскольку а произвольно, мы ввели в уравнение лишний пара-
параметр и благодаря этому можем считать все перемещения совер-
совершенно не зависящими одно от другого. Следовательно, возможно
положить равными нулю все 8rk (k Ф /), кроме одного 8rt-. Тогда
остается
Вектор 8Г( теперь считается совершенно произвольным, благо-
благодаря параметру ос на бг,- больше не накладывается никаких свя-
связующих условий. Но тогда возможно положить равными нулю
«любые две составляющие вектора ги например yt и zu а не рав-
равную нулю составляющую bx-t сократить. Для этой составляющей
получим:
d4-t , dU . dF A /o -
а

Тем же способом получим аналогичное уравнение для любой
составляющей. В векторной форме уравнение выглядит так:
причем значок i нумерует все материальные точки механической
системы. Вместе с уравнением B.2) уравнения B.8) позволяют
определить все г* (как функции времени) и параметр а. Заметим,
6F
что произведения —а-^— суть не что иное, как силы реакции
связей, согласно B.3).
Перейдем теперь к формулировке интегрального принципа.
С этой целью преобразуем по частям первое слагаемое равенства
B.5):
d2fi с d I dvi с \ drt d ?
(ограничимся пока одним членом). Заметим, что 8rt означает раз-
разность двух радиус-векторов, взятых в один и тот же момент вре-
времени. Производная от разности равна разности производных,
так что
Пользуясь тем, что знак б относится к бесконечно малой раз-
разности, перепишем получившееся равенство так:
Будем суммировать получившееся выражение по материаль-
материальным точкам, т. е. по /. Сумма
2
благодаря малости 8riy которая здесь может рассматриваться как
дифференциал координаты.
Собирая отдельные члены равенства B.5), преобразованные
описанным способом, и вынося символ б за знак суммы, получим:
[2 ^
% <*j - 6 [2 ^(fI -«/]-0. B.9,
Допустим теперь, что система перемещается, следуя законам
механики, из некоторого заданного начального положения, кото-
которое она занимала в момент времени t = tOi в другое, тоже задан-
заданное положение в момент tx. Для этих положений, так как они
заданы, надо положить все Ьг{ равными нулю:
-О. B.10)
12

Проинтегрируем выражение, стоящее в левой части B.9), от
момента /0 до момента /1в Полная производная по времени све-
сведется при этом к разности значений дифференцируемой величины
на пределах:
t
J
B.11)
Но на пределах 6rf, как было указано, обращаются в нуль.
Кроме того, символ б, означающий разность значений функции
для одного и того же момента времени, может быть переставлен
с интегралом по времени по той же причине, по которой б пере-
переставляется с производной по времени. Обозначая теперь сам
интеграл буквой 5, приходим к следующему равенству:
eS = efry5($?-.?/>«=0. B.12)
Интеграл в выражении для S берется вдоль истинной траек-
траектории движения, так как при выводе равенства B.12) были исполь-
использованы уравнения A.1). Символ б впереди интеграла означает,
что наряду с этим интегралом рассматривался другой, взятый по
бесконечно близкой траектории, отстоящей от истинной на бг/
для /-той частицы. Такая близкая траектория называется варьи-
варьированной, а символ б — вариацией данной величины.
Вариация имеет совсем иной смысл, чем дифференциал. Послед-
Последний относится к изменению величины вдоль траектории движе-
движения системы, тогда как вариация отвечает переходу с траекто-
траектории на другую, близкую к ней и допустимую наложенными на
систему условиями связи. Дифференциал определяется из урав-
уравнений движения, а вариация подчинена только связям и в осталь-
остальном произвольна.
Равенство B.12) показывает, что интеграл 5, взятый вдоль
истинной траектории системы, имеет экстремум, так как он не
изменяется при переходе к любой близкой траектории. Подобно
этому, функция вблизи экстремума не меняет значения при изме-
изменении аргумента.
Вместо уравнения A.1) можно исходить из равенства B.12)
как основного положения механики. Такой подход может пока-
показаться искусственным. На самом деле, как мы вскоре увидим,
в этом лежит путь к очень широким обобщениям. Кроме того,
Уравнения движения, которые выводятся из условия B.12) как
исходного принципа механики, могут оказаться гораздо удобнее
в приложениях, чем исходная система уравнений A.1). Вели-
Величина S называется действием механической системы, а утвержде-
утверждение об экстремальности S вдоль истинной траектории — принци-
Гамильтона. В некоторых случаях этот принцип допускает
13

более простую формулировку и тогда называется принципом наи-
наименьшего действия (стр. 252).
Степени свободы механической системы. Чтобы
осуществить желаемый переход от прямоугольных координат
к другим, более удобным для решения некоторых механических
задач, сформулируем сначала необходимые общие определения.
Степенью свободы механической системы называется всякий
независимый параметр из числа тех, которые задают положение
системы в пространстве. Число таких независимых параметров
называется числом степеней свободы системы.
Положение одной материальной точки в пространстве задается
с помощью трех независимых параметров (ее координат), изме-
измеренных относительно некоторой системы отсчета. Положение N
материальных точек, не скрепленных жесткими связями, опре-
определяется 3iV независимыми параметрами.
Но если расположение точек как-либо фиксировано, то число
степеней свободы может быть и меньшим, чем ЗЛЛ Например,
если две точки соединены жесткой неизменяемой связью, то на
шесть декартовых координат этих точек (xv уъ гъ л;2, у%, z2)
наложено условие:
- 1ЛJ + (*i - z2J = RU,
где #i2 — заданное расстояние между точками. Следовательно, все
декартовы координаты уже не являются независимыми парамет-
параметрами; независимы только пять из этих шести величин. Иначе
говоря, система из двух материальных точек, находящихся на
неизменном расстоянии друг от друга, имеет пять степеней свободы.
Если рассмотреть три материальные точки, жестко скреплен-
скрепленные треугольником, то координаты третьей точки должны удов-
удовлетворять двум равенствам, аналогичным только что приведен-
приведенному, где в правых частях стоят R2n и R2n. Таким образом, девять
координат вершин жесткого треугольника подчинены трем равен-
равенствам, и только шесть параметров оказываются независимыми.
Треугольник имеет шесть степеней свободы.
Положение твердого тела в пространстве полностью опреде-
определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Такие
три точки, как только что было показано, задаются шестью пара-
параметрами. Следовательно, произвольное твердое тело имеет шесть
степеней свободы. При этом рассматриваются только такие дви-
движения твердого тела, при которых оно не деформируется, напри-
например вращение волчка.
Обобщенные координаты. Как было видно из при-
примера точек, скрепленных связями, не всегда удобно задавать
положение системы в декартовых координатах. При этом тре-
требуется выписывать дополнительные условия, обусловленные свя-
связями. Выбор параметров, необходимых для фиксирования поло-
положения всех точек механической системы, должен определяться
прежде всего целесообразностью. Так, если силы зависят только
14

от расстояния между частицами, то разумно ввести эти расстоя-
расстояния в уравнения динамики в явном виде, а не через посредство
декартовых координат.
Механическую систему можно описать с помощью таких пара-
параметров, число которых равно числу степеней свободы. Эти пара-
параметры могут иногда совпадать с декартовыми координатами тех
или иных точек. Например, в системе из двух точек, скреплен-
скрепленных жесткой связью, параметры можно выбрать так: задать
положение одной из точек в декартовых координатах, после чего
другая точка непременно будет находиться на шаре, имеющем
центром первую точку. Положение второй точки на шаре будет
известно, если дана ее долгота и широта. Вместе с тремя декар-
декартовыми координатами первой точки долгота и широта второй
точки полностью определяют положение данной системы в про-
пространстве.
Для трех жестко скрепленных точек надо задать только что
описанным способом положение одной стороны треугольника
и угол поворота третьей вершины вокруг этой стороны.
Независимые параметры, определяющие положение механиче-
механической системы в пространстве, называются ее обобщенными коор-
координатами. Мы будем обозначать их символами qa, где нижний
индекс а принимает столько значений, сколько степеней свободы
у данной системы.
Уравнения Лагранжа. Так как обобщенные коорди-
координаты независимы, на них не приходится накладывать условий
связи. Это одно из их преимуществ перед декартовыми при реше-
решении задач динамики. Другое преимущество проявляется тогда,
когда обобщенные координаты соответствуют свойствам симметрии
рассматриваемой системы. Таковы сферические координаты при
движении точки в поле центральных сил. Покажем теперь, как
написать уравнения движения в обобщенных координатах.
Можно было бы прямо перейти к ним в уравнении A.1), но
это громоздкая и мало наглядная процедура. Гораздо удобнее
исходить из принципа Гамильтона B.12). Так как обобщенные
координаты системы полностью задают ее положение в простран-
пространстве, через них можно выразить и декартовы координаты ее точек.
Пусть переход от декартовых координат к обобщенным происхо-
происходит по формулам:
Xi = Xi(...qa...). B.13)
Дифференцируя эти формулы, получим выражение декартовых
составляющих скорости через производные -—-, которые назы-
называются обобщенными скоростями. Вместо -^ короче пишут qa.
Тогда получается:
15

Суммирование происходит по всем значениям а, т. е. по всем
степеням свободы системы.
Легко заметить, что значок, по которому произведено сумми-
суммирование, входит в правую часть равенства B.14) дважды: при
частной производной и при обобщенной скорости, причем обе эти
величины перемножены. В таких случаях мы в дальнейшем не
будем писать знак суммы, подразумевая, что суммирование произ-
произведено, если значок вошел в произведение два раза. Такая запись
не только экономна, но при известном навыке и более наглядна,
потому что формулы не загромождаются символом ?• Значок,
по которому произведено суммирование, называется немым. Его
можно переобозначить в одной стороне равенства, не трогая дру-
другой стороны, например:
dxt _dxt . dxt . (9 u,v
'Ш-дТаЧа = Щ('*' ( }
Дело в том, что и а, и Р принимают один и тот же ряд зна-
значений, поэтому безразлично, какую букву поставить.
Выразим теперь xi и -—, входящие в подынтегральное выра-
выражение S, через обобщенные координаты и обобщенные скорости
по формулам B.13) и B.14'). Это выражение (в любых коор-
координатах) называется функцией Лагранжа механической системы
и обозначается буквой L. Итак, пусть дано действие системы S,
причем L = L(...<7a...#a...):
S=jL(?a, Qa) dL B.15)
U
Для истинной траектории системы оно имеет экстремум; это
свойство не может зависеть от выбора координат, так как выра-
выражает известный физический закон. Будем теперь варьировать S,
но не по декартовым координатам, а по обобщенным. Так как
последние независимы, то такое же свойство имеют и их вариа-
вариации. Имеем:
= 6 [ Ldt= [ 8Ldt= [ (^8qa + ~8qa)dt = 0. B.16)
J J J \dq dQ /
Пользуясь тем, что знаки варьирования и дифференцирова-
дифференцирования переставляются, запишем:
dL с . _ dL Rdqa dL d я d [ dL k \ d I dL\ R /o , _4
dqa dqa dt dqadt dt\dqa ) dt\dqaj
Проинтегрируем полную производную по времени и подставим
пределы. Но на пределах вариации координат, как и раньше,
обращаются в нуль, так что останется следующее равенство:
Эк±(Щ B.18)
a dt \dqj
16

Вариации взаимно независимы и произвольны. Положим сна-
сначала все 8qa, кроме 8qly равными нулю. Тогда в равенстве B.18)
останется только первое слагаемое в сумме по а:
qidt = O. B.19)
Воспользуемся теперь произвольностью вариации 8q±. Пред-
Предположим, что величина в скобках, на которую множится 6qu
изменяет некоторым образом знак и абсолютное значение, но не
равна нулю на интервале интегрирования. Выберем теперь 6^x
так, чтобы оно везде было того же знака, что и выражение
в квадратных скобках. Тогда подынтегральная величина окажется
положительной, так что 8S не может быть равно нулю. Следова-
Следовательно, чтобы принцип Гамильтона выполнялся, с необходимостью
должно обращаться в нуль выражение, которое умножается на
6<7i. Повторяя то же рассуждение для произвольного 6qay находим:
d dL dL —О /9 9m
at oqa oqa ч '
Это и есть уравнения движения, написанные для обобщенных
координат. Система уравнений B.20) называется уравнениями
Лагранжа,
Если число степеней свободы системы п, то для интегрирова-
интегрирования уравнений Лагранжа, имеющих второй порядок по времени,
требуется задать 2/г начальных условий: п обобщенных координат
и столько же обобщенных скоростей в момент времени t0. Тогда
каждая обобщенная координата выразится как функция времени,
начальных скоростей и начальных координат:
//» » * * \ /О 01 \
Дифференцируя эти равенства по времени, получаем и обобщен-
обобщенные скорости в их зависимости от тех же величин:
• • /у * А п \ {О ОО\
nOL ~— тСС \м t'oI» • • • » Qoni тО1> ' * • > Чоп)* \?,?с.}
Исключая отсюда все начальные значения координат и скоро-
скоростей, т. е. решая уравнения B.21) и B.22) относительно начальных
координат и скоростей, получим 2п уравнений вида
qoa(t\ fli, ..-, qn\ Qu •••» Qn) ^^oa^const. B.23)
Такие функции координат и скоростей системы, которые во
время движения остаются постоянными, называются интегралами
движения. В правой части они могут иметь любые постоянные,
не обязательно начальные координаты и скорости. Отыскание интег-
интегралов движения и составляет задачу механики.
Определенность функции Лагранжа. Как
видно из определения функции Лагранжа, она состоит из двух
слагаемых:
U. B.24)
17

Первое, зависящее квадратично от скоростей, называется кине-
кинетической энергией системы, второе, описывающее взаимодействие
между частицами, называется потенциальной энергией. Смысл
этих названий станет яснее из § 4.
В уравнения Лагранжа B.20) входит не сама функция L, а ее
производные. В связи с этим возникает вопрос об определенности L,
т. е. о возможных добавочных членах к ней, не изменяющих уравне-
уравнений движения. Например, ясно, что постоянный добавочный член
во всяком случае не отражается на уравнениях движения, но к функ-
функции Лагранжа можно прибавить и полную производную по вре-
времени от любой функции всех qa и t без какого-либо изменения
системы уравнений B.20).
Это легко проверить как непосредственной подстановкой, так
и следующим простым способом. Слагаемое ' ™* ', имеющее вид
полной производной, можно проинтегрировать, и тогда оно приба-
прибавится к действию в виде разности значений функции на пределах:
B.25)
и t0
Но при варьировании qa эти значения остаются неизменными
потому что на пределах обращаются в нуль вариации координат.
Следовательно, производная функции координат и времени не
входит в вариацию действия и не сказывается на уравнениях дви-
движения. Этим свойством можно воспользоваться для определения
вида L, если не задавать его заранее как B.24), а исходить из прин-
принципа Гамильтона и некоторых других общих положений механики.
Принцип относительности. Выше было сформу-
сформулировано понятие инерциальной системы отсчета как такой системы,
в которой все ускорения частиц обязаны только взаимодействию
между ними. Допустим, что такая система найдена. Тогда все
другие инерциальные системы отсчета движутся относительно нее
прямолинейно и равномерно. В противном случае тела, движу-
движущиеся с постоянной по величине и направлению скоростью относи-
относительно исходной инерциальной системы отсчета, будут двигаться
ускоренно относительно другой системы. Но тогда последняя не
будет по определению инерциальной.
Итак, все инерциальные системы движутся прямолинейно и
равномерно друг относительно друга. Любую из них с одинаковым
правом можно считать покоящейся, а все остальные — движу-
движущимися. Уравнения движения механической системы в любой из
инерциальных систем отсчета имеют одинаковый вид. В каче-
качестве примера приводят обычно пассажира в поезде, идущем равно-
равномерно: все физические явления внутри вагона он видит такими же,
как если бы поезд стоял. Лучше сказать, что это не пример, показы-
показывающий равноценность двух инерциальных систем отсчета, а опыт-
опытное доказательство важнейшего механического принципа, именуе-
18

мого принципом относительности. В применении к механике Нью-
Ньютона этот принцип, отражающий известные нам из повседневной
жизни простые факты, кажется в силу привычки самоочевидным.
Но, примененный к учению об электромагнетизме, он привел к ко-
коренной перестройке физических понятий (см. ч. II).
Симметрия законов движения. Способность
равенства, выражающего известное физическое соотношение, со-
сохранять свою форму при некотором преобразовании называется
симметрией относительно этого преобразования. Принцип относи-
относительности утверждает, что уравнения движения симметричны отно-
относительно замены одной инерциальной системы отсчета на другую.
Опыт показывает, что законы механики обладают и другими видами
симметрии.
В механической системе, достаточно удаленной от всех других
тел, движение происходит совершенно одинаково, куда бы ее ни
поместили. Это означает следующее. Пусть имеются две одинако-
одинаковые механические системы с одинаковыми начальными условиями
движения. Обе они весьма удалены от всех остальных тел, могущих
действовать на них. Тогда, если рассматривать их в одной и той же
системе отсчета, движение в них будет происходить строго одина-
одинаковым образом. Иными словами, движение не изменяется при пере-
переносе всех движущихся тел на одно и то же расстояние по взаимно
параллельным отрезкам в один и тот же момент времени. Это утвер-
утверждение основано, разумеется, на очень большом опытном мате-
материале, накопленном механикой за всю историю ее развития. В более
краткой форме его принято называть свойством однородности про-
странства.
Две равноценные механические системы, подобные описанным
здесь, можно выбрать не только смещенными, но и повернутыми
друг относительно друга на любой угол. Опять-таки, если данные
две системы достаточно удалены от всех тел, могущих действовать
на них, движение в этих системах происходит одинаковым обра-
образом. Иначе говоря, все направления в пространстве равноценны.
Это свойство пространства называется его изотропией. Изотропия
пространства так же является обобщением опыта, как и его одно-
однородность. Они выражают определенные свойства законов движе-
движения — их симметрию по отношению к переносам и поворотам.
Математически переносы и повороты в пространстве изображаются
соответствующими преобразованиями системы координат.
Есть еще один вид симметрии законов движения — их одно-
однородность по отношению к переносам во времени: законы движения
не меняются со временем. Никакую машину нельзя было бы спро-
спроектировать, если бы не выполнялось это свойство законов движения
механических систем.
Определение вида функции Л а г р а н ж а.
Исходя из перечисленных выше законов симметрии движения,
т- е. однородности пространства и времени, изотропии простран-
пространства, принципа относительности и принципа Гамильтона, можно
19

определить вид функции Лагранжа, не пользуясь предварительно
уравнениями A.1).
Начнем со свободной частицы, достаточно удаленной от всех
остальных тел (это есть определение свободной частицы). В силу
однородности пространства ее функция Лагранжа не может явно
зависеть от координат. Иначе в разных точках пространства ча-
частица двигалась бы по различным законам. По аналогичной причине
в функцию Лагранжа не входит явно время, причем это относится
не только к отдельной свободной частице, но и к любой совокуп-
совокупности частиц, не подверженной внешним воздействиям. Таким
образом, функция Лагранжа свободной частицы может зависеть
только от ее скорости. Но L — скалярная величина. Получить из
вектора скаляр можно двумя способами: взять абсолютное значение
вектора или умножить его скалярно на некоторый другой вектор.
Но такого выделенного вектора в изотропном пространстве не су-
существует: все направления в нем равноценны. Таким образом, един-
единственно возможный вид функции Лагранжа свободной частицы
есть L = L (|г|).
Остается определить, какая это функция. Согласно принципу
относительности характер движения не должен изменяться при
переходе к другой инерциальной системе отсчета. Как было ука-
указано, эта система должна двигаться прямолинейно и равномерно
относительно исходной. Если ее скорость движения равна V, то
рассматриваемая точка движется относительно нее со скоростью
г + V. Мы воспользовались простым законом сложения скоростей,
который, как будет показано в ч. II, справедлив только тогда, когда
и |г|, и |V| гораздо меньше скорости света. В новой инерциальной
системе отсчета функция Лагранжа есть, таким образом, L =
= L (\r + V|). Чтобы закон движения не изменился, разность обоих
выражений должна быть равна полной производной от некоторой
функции координат и времени. Сразу видно, что это оставляет
только одну возможность:
L = ~|r|2 B.26)
для свободной частицы. Здесь т — постоянная величина,
Действительно, тогда получаем:
Каков знак т? Определим его. Предварительно надо несколь-
несколько уточнить принцип Гамильтона: потребовать, чтобы на малых
отрезках пути действие было не просто экстремальным, а наи-
наименьшим. Тогда знак т будет положительным. При отрицатель-
отрицательном т действие могло бы уменьшаться без предела с увеличением
\г\. Тем самым окончательно определено первое слагаемое функции
Лагранжа для свободной частицы.
20

Если теперь взять систему взаимодействующих частиц, то для
описания их взаимодействия надо ввести в функцию Лагранжа
дополнительное слагаемое.
Мы сделали предположение, что действие частиц друг на друга
зависит только от их положения в данный момент времени. Суще-
Существенно, однако, что оно определяется только их относительным
положением, т. е. зависит лишь от разности векторов rt — rk,
а не от каждого из них в отдельности. Только разности векторов
остаются неизменными при переносах координатной системы.
Кроме того, только разности г* — rk удовлетворяют принципу
относительности: в них сокращаются произведения W, прибавляю-
прибавляющиеся к каждому радиус-вектору г„ rk при переходе к другой инер-
циальной системе отсчета.
Так как функция Лагранжа — скалярная величина, она может
зависеть либо от абсолютных величин разностей |r,- — rk\y либо от
скалярных произведений вида (г* — rk) (rt — rm). Но последний
случай не встречается на практике и не будет рассматриваться.
Следовательно, функция Лагранжа системы материальных точек,
не взаимодействующих с другими телами, выглядит таким образом:
L==2? (nY-U(...\n-rk\...). B.24')
Мы не ограничились выводом уравнений Лагранжа из уравне-
уравнений A.1), а проделали все сложные рассуждения, необходимые
для вывода формулы B.24'), потому, что на этом пути легче всего
прийти к тем необходимым обобщениям, которых требуют эйнш-
эйнштейновский принцип относительности и теория электромагнитного
поля.
Особое значение принципа Гамильтона в механике состоит в том,
что он позволяет в наиболее сжатой и ясной форме выразить все
свойства симметрии механической системы. Хотя они могут быть
получены и из дифференциальных уравнений движения, интеграль-
интегральный принцип выражает их с большей наглядностью. Так как сим-
симметрия условий движения всегда обобщает некоторые закономер-
закономерности, найденные на опыте, принцип Гамильтона дает тем самым
удобнейший способ формулировки всех общих законов механики.
Следует, конечно, иметь в виду, что эта формулировка отражает
тенденцию к возможно более краткой и удобной записи, а никак не
«стремление» природы к минимальности действия.
Свойства симметрии очень существенно ограничивают возмож-
возможное поведение механической системы. С различными видами сим-
симметрии, как будет показано ниже (§ 4), связаны некоторые вели-
величины (зависящие от динамических переменных), сохраняющие
при движении постоянное значение, приданное им в начальный
момент времени. Тем самым существенно ограничивается область
изменения переменных в рассматриваемых задачах. Эти величины
в ряде важнейших случаев легче всего находятся с помощью
21

вариационного принципа по заключенным в нем свойствам сим-
симметрии.
Принцип Гамильтона с учетом требований симметрии позво-
позволяет определить вид варьируемой функции Лагранжа и тем самым
вид уравнений движения. В этом смысле он обладает большой
эвристической силой, т. е. позволяет находить еще неизвестное,
руководствуясь общими положениями.
Наконец, вариационный принцип весьма удобен для решения
конкретных задач механики с помощью получаемых путем варьи-
варьирования уравнений Лагранжа.
§ 3. Примеры на составление уравнений Лагранжа
Правила составления уравнений Лагранжа.
Сведем теперь воедино последовательность операций, приводящих
для данной конкретной механической системы к уравнениям Лаг-
Лагранжа:
1) Выражают декартовы координаты через обобщенные коор«
динаты:
Xi = Xi(qu ..., qa, ..., qn).
2) Путем дифференцирования этих равенств получают декар-
декартовы составляющие скоростей, выраженные через обобщенные
координаты и обобщенные скорости (напоминаем правило сумми-
суммирования для значка а):
d
3) Декартовы координаты, входящие в формулу потенциаль-
потенциальной энергии, заменяют на обобщенные:
U(...\Xi — xk\...) = U(ql9 ..., qa, ..., qn).
4) Скорости, входящие в формулу кинетической энергии, заме-
заменяют на обобщенные скорости, так что кинетическая энергия
в общем случае начинает зависеть не только от обобщенных ско-
скоростей, но и от обобщенных координат:
Так как декартовы составляющие скоростей — однородные
линейные функции обобщенных скоростей q^ кинетическая энер-
энергия—квадратичная однородная функция qaq$.
5) Вычисляют частные производные ^— и ч—, считая qa и cj$
независимыми величинами.
6) Полученные производные для всех степеней свободы под-
подставляют в уравнения B.20).
22

Рассмотрим теперь несколько примеров составления уравне-
уравнений Лагранжа.
Центральные силы. Центральными называются силы,
направленные по линиям, соединяющим материальные точки, и
зависящие только от расстояний между этими точками. Факти-
Фактически мы уже перешли к силам такого рода, допустив, что потен-
потенциальная энергия зависит только от расстояний между точками.
Тогда сила, действующая на i-тую точку со стороны &-той, равна:
г? д Til *- v \ \ д/7 д 1 rik [ /о i\
rik= — x?-U(...n-rk\...) = — тр— -s——. F Л)
Производная скалярной величины | г, — rk \ = |r^ | по вектору
означает вектор с составляющими:
д \rik I д\ rik | д | rik |
dxik ' dyik ' dzik
Вычислим для примера составляющую по оси х\
^^ + zh^-^j. C.2)
Но отношение -,Xtk есть составляющая по оси х единичного
вектора, направленного от i-той частицы к &-той, т. е. сила,
представленная выражением C.1), центральная.
Если одно из тел рассматриваемой системы намного массив-
массивнее всех остальных (как Солнце в планетной системе), его с извест-
известным приближением можно считать покоящимся, т. е. пренебречь
обратным действием на него остальных тел. В этом случае гово-
говорят, что такое тело создает поле, в котором движутся материаль-
материальные частицы.
Допустим, что речь идет о поле тяготения, так что централь-
центральное тело притягивает остальные тела с силой, обратно пропор-
пропорциональной квадрату расстояния до него. Действием тел друг
на друга пренебрежем. Тогда нетрудно найти выражение потен-
потенциальной энергии некоторой точки в поле центрального тела.
Сила, действующая на точку с его стороны, равна:
где а — коэффициент пропорциональности.
Сравнивая C.3) с формулами C.1) и C.2), заключаем, что
производная потенциальной энергии по расстоянию равна:
Интегрируя это равенство, находим:
f/ = const-y. C.5)
Постоянная есть не что иное, как значение потенциальной
энергии на бесконечно большом расстоянии от притягивающего
23

тела. В случае сил, убывающих с рас-
расстоянием, эту постоянную обычно выби-
выбирают равной нулю, но это чистая услов-
условность, так как при расчете силы путем
дифференцирования потенциальной энер-
энергии постоянная все равно выпадает.
Соглашение о выборе постоянной
в выражении потенциальной энергии
называется ее калибровкой. В данном
случае U калибруется на нуль при
бесконечном расстоянии от притягиваю-
притягивающего тела:
?/ = -4- C-6)
Рис. 1
Выражение, аналогичное C.5), полу-
получается и для двух точек, несущих
электрический заряд, так как закон Кулона по форме выглядит
как ньютоновский закон притяжения, но, отвечая двум знакам
заряда, может означать как притяжение, так и отталкивание.
Соответственно и потенциальная энергия кулоновских сил имеет
оба знака: положительный для одноименных зарядов и отрица-
отрицательный для разноименных.
Сферические координаты. Формула C.6) подсказывает,
что в случае центральных сил целесообразно выбрать г в каче-
качестве обобщенной координаты. Иначе говоря, надо перейти от
прямоугольных координат к сферическим. Соотношение между
декартовыми и сферическими координатами показано на рисунке 1.
Ось г называется полярной осью сферической координатной системы.
Угол Ф между радиус-вектором и полярной осью называется
полярным углом. Он является дополнением до 90° к «широте».
Наконец, угол ф аналогичен «долготе» и называется азимутом.
Он измеряет двугранный угол между плоскостью zOx и пло-
плоскостью, проведенной через полярную ось и данную точку М.
Найдем формулы перехода от декартовых координат к сфери-
сферическим. Из рисунка 1 ясно, что
z = r cos*. C.7)
Проекция р радиус-вектора на плоскость хОу равна:
p = rsinO.
Таким образом,
i #
х = р cos ф = г sin # cos ф,
у = р sin ф = г sin О sin <p.
C.8)
C.8')
C.8")
Теперь найдем выражение кинетической энергии в полярных
координатах. Это можно сделать как путем прямого вычисления
по способу, указанному в начале этого параграфа, так и геомет-
геометрическим построением. Хотя построение проще, изберем сначала
24

вычислительный путь, чтобы иллю-
иллюстрировать общий метод. Имеем
г = г cos О — г sin ФФ,
x = r sin dcos ф-f-
+ т cos § cos ф Ь — г sin Ф sin фф,
у = ?sin§ sin(p +
-f- г cos О sin ф§ + г sin Ф cos фф.
Возводя эти равенства в квадрат
и складывая, получим после очень
несложных преобразований:
T (
C.9)
Рис. 2
То же самое видно из построе-
построения, представленного на рисунке 2. Произвольное перемещение
точки можно разложить на три взаимно перпендикулярных пере-
перемещения: dr, гс?Ф и рЛр = г sin ФЛр. Отсюда
dl2 == dr2 + r2d§2 + г2 sin2 Ф Лр2. C.10)
Так как квадрат скорости v2 = l-^\ , то C.9) получается из
C.10) просто делением на (dtJ и умножением на ~. Следовательно,
функция Лагранжа в сферических координатах выражается так:
L = ~(f*-\- гФ + г2 sin2 Фф2) — U (г). C.11)
Чтобы теперь написать уравнения Лагранжа, достаточно вычис-
вычислить частные производные:
-— = mr sm21
! + тгЬ2 — -л-, тс = mr2 sin Ф cos Фф2,
Эти производные надо подставить в B.20), чего, однако, мы
пока делать не будем, так как рассматриваемое движение факти-
фактически сводится к плоскому (см. начало § 5).
Система из двух частиц. До сих пор мы считали при-
притягивающий центр неподвижным, что отвечало предположению
о его бесконечно большой массе. Но бывает и так, что оба тела
системы имеют близкие или равные массы (двойная звезда,
система протон — нейтрон и т. п.). Мы покажем, что задачу о дви-
25

жении двух тел, взаимодействующих только друг с другом,
всегда легко свести к задаче о движении одного тела.
Пусть масса первой материальной точки тъ второй — т2;
радиус-векторы этих точек, проведенные из произвольного начала
координат, соответственно обозначим гх и г2. Составляющие /\
суть хъ уъ гъ составляющие г2 суть х2, у2, г2. Определим теперь
радиус-вектор центра инерции этих точек R следующей формулой:
О__ mlrl + m2r2 /g J2\
т1-\-т2 v • /
Иногда вместо центра инерции применяется термин «центр
тяжести». Но центр тяжести можно определить только в однород-
однородном поле сил тяжести.
Введем, кроме того, радиус-вектор относительного положения
точек:
r = rx-r2. C.13)
Выразим их кинетическую энергию через R и г. Исключая из
C.12) и C.13) /*i и г2 и дифференцируя их по времени, находим:
Кинетическая энергия равна:
Т = ^Л+2|Л. (ЗЛ5)
Подставляя в нее выражения C.14), получим после простого
сокращения:
Щьь Ш*. (зле)
Перекрестный член, содержащий /?г, выпал, что и составляет
смысл сделанного преобразования.
Так как на точки по условию не действуют никакие внешние
силы, потенциальная энергия может зависеть только от их взаим-
взаимного расстояния г: U—U(r). Таким образом, функция Лагранжа
равна:
2+^^^^ C.17)
Напишем теперь уравнения Лагранжа для координат центра
инерции. Дифференцируя равенство C.17), получим:
Следовательно, согласно B.20) имеем: /? = 0, или в декарто-
декартовых координатах:
26

Эти уравнения легко интегрируются*
где индекс 0 соответствует значениям величин в начальный момент
времени. Объединяя уравнения для декартовых координат в одно
векторное, получим:
C.18)
Таким образом, центр инерции движется прямолинейно и
равномерно относительно исходной системы отсчета. Но эту
систему мы считали инерциальной, потому что в ней силы обя-
обязаны только взаимодействию между частицами (соответствующая
потенциальная энергия есть U (г)). Следовательно, система отсчета,
скрепленная с центром инерции двух точек, тоже инерциальна.
Если перейти к ней, останется относительное движение обеих
точек, которое описывается радиус-вектором г. В системе центра
инерции функция Лагранжа имеет вид:
Здесь, очевидно, г2 = х2-\-у2-\-г2. В эту функцию Лагранжа
входят только три координаты, а не шесть, как в L C.17). Сле-
Следовательно, задача о движении двух тел с массами тх и га2 све-
свелась к задаче о движении одного тела с массой ш, равной:
m= T2 . C.20)
Эта величина называется приведенной массой.
Так как система отсчета, связанная с центром инерции, инер-
инерциальна, движение центра инерции не сказывается на относи-
относительном движении материальных' точек. В следующем параграфе
будет показано, что это утверждение справедливо для любого
числа точек, не подверженных действию внешних сил. Можно
просто считать, что центр инерции покоится в начале координат
Я = 0.
Если описывать относительное движение двух точек в сфериче-
сферических координатах, уравнения движения будут иметь такой же
вид, как для одной точки, движущейся относительно неподвиж-
неподвижного притягивающего центра.
Считая центр инерции двух точек неподвижным и покоящимся
в начале координат, находим расстояния обеих материальных
точек от начала:
1 m-\-m9 2
mi-\-m29 2 m1Jrm2 '
Таким образом, если одна из масс гораздо меньше другой
(т2<^), то Г1<>2, т. е. центр инерции двух тел весьма бли-
близок к телу большей массы. Это имеет место для системы Земля —
27

спутник (искусственный) и с меньшим прибли-
приближением для системы Земля — Луна.
Приведенную массу можно записать и так!
т =•
C.21)
т1
—I
Рис. 3
Отсюда видно, что она близка к меньшей массе.
Вот почему движение спутника можно прибли-
приближенно описывать так, как если бы Земля была
неподвижна, а спутник обращался вокруг нее
со своим значением массы, независимым от
массы Земли.
Простой и двойной маятник. В за-
заключение этого параграфа построим функции
Лагранжа для простого и двойного маятников. Дальше мы вос-
воспользуемся ими.
Простой плоский маятник представляет собой материальную
точку массой т, подвешенную на плоском шарнире к некоторой
точке невесомым стержнем длиной /. Шарнир ограничивает пло-
плоскость качания маятника (рис. 3). Ясно, что такой маятник имеет
одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты при-
примем угол отклонения маятника от вертикального положения ф.
Очевидно, что скорость материальной точки равна /ф, так что
кинетическая энергия есть
Г/2ф2
На маятник действует сила тяжести — mg. Здесь g — ускоре-
ускорение свободного падения, знак «минус» учитывает, что сила направ-
направлена вниз. Следовательно, потенциальная энергия U = mgz, a
F — — 7Р ' г выРажается через угол следующим образом: ? ==
=/A—созф). Итак, функция Лагранжа маятника
= ^ /2ф2 —
— cos
C.22)
Заметим, что в выражение C.22) масса т
входит как общий множитель в оба слагаемых.
Поэтому она сократится в уравнениях движения.
Таким образом, закон качания маятника не зави-
зависит от его массы. Разумеется, это справедливо,
если можно пренебречь всеми видами трения.
Двойной маятник представим себе следующим
образом. В точке т имеется еще одно шарнирное со-
единение, к которому подвешен другой маятник,
вынужденный качаться в той же плоскости (рис. 4).
Рис. 4
28

Масса и длина подвеса второго маятника соответственно пусть
будут Шх и /ь а угол его отклонения от вертикали я|). Тогда ко-
координаты второй точки равны:
хг = 1 sincp-f/x sini|),
zx == I A — cos ф) ~f- /x A — cos if).
Отсюда получаем составляющие ее скорости:
Хг = / COS фф -f /х COS i|nf>,
z± = / sin фф + /i sin г|уф.
Возводя их в квадрат и складывая, выражаем кинетическую
энергию второй точки через обобщенные координаты ф, г|з и
обобщенные скорости ф, ijr.
Гх = ^ [/2ф2 + /^2 + 2//х cos (Ф - ф
Потенциальная энергия второй точки определяется через zx.
Окончательно функцию Лагранжа двойного маятника получаем
в таком виде:
L = ^±^1 /2^2 + ^ /^2 + miik cos (ф _ ^) фф -
— (m + nixjgl A — со8ф) —niiglx (I — cos\|>). C.23)
Пользуясь обобщенными координатами, мы полностью обошли
вопрос о реакциях, которые возникают в шарнирных соединениях.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Написать уравнение Лагранжа, если функция Лагранжа имеет вид:
Функция Лагранжа сходного типа встретится нам в ч. II.
2) Точка движется по заданной кривой в вертикальной плоскости в поле
тяжести. Уравнение кривой в параметрической форме x = x(s), z=^z(s).
Написать уравнения Лагранжа.
Решение. Скорости равны:
x=~s~xf$, z = z's.
ds
Функция Лагранжа имеет вид:
L=!(*'2 + z'2)s2
Уравнение Лагранжа:
^ т[(х'2 + г'2) &]-тй* (х''х' + z"z')+mgz' = 0.
3) Написать уравнения Лагранжа для маятника с упругим подвесом. Для
такого маятника потенциальную энергию упругой силы вычисляют по формуле
29

k
U = - (/ — /оJ, где /0 —равновесная длина нерастянутого стержня, &-—постоян-
&-—постоянная, характеризующая его упругость. В качестве обобщенных координат
выбрать / и ф.
4) Написать кинетическую энергию системы из трех материальных точек
с массами т1у т2 и т3 в виде кинетической энергии движения всех трех
точек, движущихся вместе с центром инерции, и кинетической энергии отно-
относительного движения.
Ответ.
MR* , т2(т1 + т3) * т3AЩ+т2) > m2m3p2p3
'-—"i- 2М р2^ 2М 9з М *
где
м
§ 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИИ
В § 2 было дано общее определение интегралов движения.
Разыскание всех интегралов движения для произвольной меха-
механической системы весьма сложно и в аналитическом виде удается
в немногих случаях. Но существуют некоторые важные интегралы
движения, которые можно составить непосредственно по виду
функции Лагранжа. Эти интегралы будут рассмотрены в настоя-
настоящем параграфе..
Энергия. Определим с помощью функции Лагранжа такую
величину: л г
? = 4a|ra-L D-1)
(по а суммирование от 1 до п). Величина Е называется полной
энергией системы. Вычислим ее полную производную по времени:
dE .. dL , . d dL . dL .. dL dL
Последние три члена справа являются производной от функ-
функции Лагранжа (-зг>, которая зависит от qa, qa и в некоторых
случаях от времени. Величина ^^~ по уравнениям Лагранжа
может быть выражена как ^—. Таким образом,
Следовательно, если функция Лагранжа не зависит от времени
явно, то энергия Е является интегралом движения, т. е. сохра-
сохраняется.
Рассмотрим теперь, в каких случаях L не зависит от t. В § 2
было указано, что если данная механическая система достаточно
удалена от всех иных тел, или, как говорят, замкнута, то время
не входит в функцию Лагранжа. Это выражает однородность
30

времени. Значит, в замкнутой системе энергия сохраняется, или,
как мы условились говорить, является интегралом движения. Если
есть две невзаимодействующие замкнутые системы, то для них
функция Лагранжа состоит из суммы функций Лагранжа каждой
из систем в отдельности. Соответственно и полная энергия со-
согласно ее определению D.1) тоже выражается как сумма энергий
обеих систем. Энергия таких систем — аддитивный интеграл дви-
движения.
Энергия сохраняется не только в изолированной, замкнутой
системе. Если на некоторую систему действует постоянное внешнее
силовое поле, то функция Лагранжа такой системы не содержит
явно время, так что энергия согласно D.2) тоже интеграл дви-
движения. Когда на систему наложены связи, ее координаты в
декартовой системе выражаются через обобщенные координаты
по формулам, не содержащим явно времени. Этот случай рас-
рассматривался в § 2. При этом энергия системы также сохраняется.
Жесткие связи можно рассматривать как частный случай
силового поля, так что действие связей, не содержащих времени,
аналогично постоянному полю. Поэтому энергия в этом случае
сохраняется.
Наоборот, в переменном внешнем поле или при связях, явно
содержащих время, энергия системы не сохраняется: либо совер-
совершается работа над системой, либо сама система производит работу
над каким-нибудь внешним объектом.
Когда внутри замкнутой системы действуют силы трения,
энергия макроскопического движения переходит в энергию моле-
молекулярного микроскопического движения. Вместе с этой внутренней
энергией энергия замкнутой системы, конечно, сохраняется, но
функция Лагранжа, в которую входят только обобщенные коор-
координаты движения системы как целого, уже не дает полного
описания движения этой системы. Определенная с помощью
такой функции Лагранжа механическая энергия одного только
макроскопического движения уже не сохраняется. Переход меха-
механической энергии в энергию внутреннего, микроскопического
молекулярного движения происходит при трении и ударе.
Покажем теперь, к какому виду приводится полная энергия,
когда функция Лагранжа может быть представлена в виде L==
= 7" •— ?/, где кинетическая энергия Т есть однородная квадра-
квадратичная функция обобщенных скоростей (Т==~ Ta$cja.q$)- Поскольку
Mbi приняли, что потенциальная энергия зависит только от коор-
координат, имеем для производных по обобщенным скоростям:
dL _дТ
так что полная энергия равна:
E = q^-L. D.3)
31

Но по теореме Эйлера об однородных функциях сумма част-
частных производных, умноженных на соответствующие переменные,
равна самой функции, умноженной на показатель однородности
(это легко проверить по функции двух переменных ах2 + 2Ьху +
+ су2). Следовательно,
, D.4)
т. е. полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической
энергий в согласии с обычным определением. Это объясняет
названия, данные функциям Т и U.
Заметим, что определение энергии D.1) является более общим,
пригодным и в том случае, когда функцию Лагранжа нельзя
представить как разность L = T — U (см. ч. II).
Применение интеграла энергии к системам
с одной степенью свободы. Интеграл энергии позволяет
сразу сводить к квадратурам задачи о движении систем с одной
степенью свободы. Так, в рассмотренной в предыдущем параграфе
задаче о маятнике мы можем с помощью D.4) непосредственно
записать интеграл энергии:
Е = | /V + mg/ (I - cos Ф). D.5)
Значение Е определим из начальных условий. Пусть, например,
маятник был сначала отклонен на угол ср0 и отпущен без начальной
скорости, так что фо = О. Отсюда
E = mgl A — соэфо).
Подставляя это в D.5), получим:
mgl (cos ф — cos ф0) = ~ /2ф2- D.6)
Отсюда зависимость угла от времени определится с помощью
квадратуры:
*= - l/l f dq> D 7)
У 2g J У СОЗф —СО8ф0*
Фо
Знак «минус» перед корнем выбран потому, что в начале движения
угол ф уменьшается. Интеграл, входящий в D.7), неэлементарный.
Существенно, что закон качания маятника зависит только от
отношения l/g. Масса, как указывалось в предыдущем параграфе,
исключается. Таким образом, с помощью маятника может быть
очень точно измерено ускорение тел при свободном падении g.
Система, в которой сохраняется механическая энергия, иногда
называется консервативной. Таким образОхМ, интеграл энергии
позволяет свести к квадратурам задачу о движении консервативной
системы с одной степенью свободы. То обстоятельство, что ква-
квадратура может при этом не выражаться через элементарные функ-
функции, подобно D.7), здесь не имеет значения.
32

У консервативных систем с несколькими степенями свободы
интеграл энергии позволяет понизить на единицу порядок системы
дифференциальных уравнений и тем упростить интегрирование.
Обобщенный импульс. Рассмотрим теперь другие инте-
интегралы движения, которые можно непосредственно найти с помощью
функции Лагранжа. Для этого воспользуемся следующим очевидным
следствием из уравнений- Лагранжа. Если какая-нибудь коорди-
коордиL
ната не входит в функцию явно L— = 0], то согласно уравне-
уравнениям Лагранжа
Но тогда величина рау определяемая как
= — D 9)
постоянна, т. е. является интегралом движения. ра называется
обобщенным импульсом, отвечающим координате с номером а.
Под это определение подходит импульс и в декартовых коорди-
координатах:
Px=mux = — = ?h-. D.10)
dvx дх ' '
Итак, если некоторая обобщенная координата не входит явно
в функцию Лагранжа, отвечающий ей обобщенный импульс есть
интеграл движения, т. е. остается при движении постоянным.
Сама координата при этом называется циклической.
В предыдущем параграфе было показано, что координаты X,
У, Z центра инерции системы из двух материальных точек, не
подверженных действию внешних сил, не входят в функцию Лаг-
Лагранжа. Отсюда видно, что
{щ + Шъ) X = PXt (nii-\-m2)Y — Py, {mx-\~tn^)Z — Pz D.11)
суть интегралы движения.
Импульс системы точек. То же самое легко пока-
показать и для системы из N точек. В самом деле, для N точек можно
ввести понятие центра инерции по формуле
2m*
i
и скорости центра инерции как
2 Компанеец А. С, 33

Скорость f-той точки относительно центра инерции есть
n^ri-R- D.14)
(по теореме сложения скоростей). Кинетическая энергия системы
точек равна:
N N
1 = 1 i = \
N N N
=т 2 т'Ь''+А 2 m^+T 2 m^2- DЛ5)
/ == 1 / = 1 i = 1
yv
Но из D.13) и D.14) сразу видно, что 2 тЛ = 0, по определению
ri и /?. Поэтому кинетическая энергия системы точек распадается
на сумму двух членов: кинетической энергии движения суммарной
массы со скоростью центра инерции относительно выбранной си-
системы отсчета и кинетической энергии движения масс относительно
центра инерции:
, N v N
v = 1 У
Векторы Г/ не независимы: они, как указывалось, подчинены
одному векторному уравнению ^ mtr'i== 0- Следовательно, их
можно выразить через JV — 1 независимых величин, определяя от-
относительные положения /-той и какой-нибудь фиксированной точки,
например первой. Кинетическая энергия относительного движе-
движения выражается через относительные скорости частиц (см. упр. 4
к § 3). В замкнутой системе по ее основному свойству на точки не
действуют никакие внешние силы, а силы взаимодействия внутри
системы зависят только от относительного расположения частиц,
т. е. от rt — rk.
Итак, в функцию Лагранжа входит только /?, a R не входит.
Его составляющие суть циклические координаты. Поэтому общий
импульс сохраняется:
Равенство D.17) показывает, что общий импульс системы мате-
материальных точек, не подверженной действию внешних сил, есть
интеграл движения. Существенно, что это аддитивный интеграл
движения, складывающийся из импульсов отдельных частиц.
Заметим, что интеграл импульса существует для любой системы,
в которой действуют только внутренние силы, в том числе и силы
трения, вызывающие переход механической энергии в энергию
34

внутреннего молекулярного движения. На сохранении импульса
это не сказывается.
Если проинтегрировать D.17) по времени еще раз, то получится
интеграл центра инерции, аналогичный C.18). Это будет так назы-
называемый второй интеграл (так как в него входят две постоянные).
Он содержит только текущие координаты, но не скорости. D.7)
тоже второй интеграл.
Свойства векторного произведения. Даль-
Дальше мы будем изучать момент импульса материальной точки и систе-
системы материальных точек, короче его называют просто момент. Для
отдельной точки он определяется так:
М = [гр]. D.18)
Здесь квадратная скобка означает символ векторного умножения.
Как известно, D.18) заменяет следующие три равенства, запи-
записанные для составляющих:
Мх = ург-гру, My = zpx-xp2t Мг = хру-урх. D.19)
Напомним геометрическое определение векторного произведе-
произведения. На векторах г и р строится параллелограмм. Тогда [гр] озна-
означает вектор, численно равный площади параллелограмма и пер-
перпендикулярный его плоскости. Для того чтобы задать направле-
направление М однозначно, надо условиться о способе обхода контура парал-
параллелограмма. Будем всегда обходить контур начиная с первого
векторного сомножителя, в данном случае начиная с г. Тогда по-
положительной считается та сторона плоскости параллелограмма,
в которой обход производится против часовой стрелки. Вектор М
направлен по нормали к положительной стороне плоскости. Иначе
говорят еще, что если вращать рукоятку штопора от г к р, то сам
штопор будет перемещаться по направлению М. Направление об-
обхода изменится, если переставить местами г и р в произведении.
Поэтому знак векторного произведения меняется от перемены мест
сомножителей в отличие от обычного произведения. Это видно и из
определения декартовых составляющих момента.
Чтобы лучше понять, почему векторное произведение опреде-
определяет именно векторную величину, надо уточнить, что такое вектор
вообще. Вектором называется совокупность трех величин, кото-
которые при поворотах системы координат преобразуются как состав-
составляющие радиус-вектора. Например, скорость есть вектор, потому
что она по определению есть -,-, а дифференциалы координат пре-
преобразуются, как сами координаты. Следовательно, импульс р
тоже вектор.
Если подвергнуть преобразованию составляющие радиус-век-
радиус-вектора (т. е. х, у и г) и рХУ ру и pz по формулам аналитической геомет-
геометрии и подставить преобразованные величины в D.19), то окажется,
что составляющие Мх, Му и Мг сами преобразовались по тем же
формулам, как х} у и г. Для этого надо воспользоваться известными
2* 35

соотношениями для косинусов углов между старыми и новыми ося-
осями координат. Но если некоторые три равенства, в данном случае
D.19), сохраняют форму при поворотах координатной системы, то их
можно объединить в одном векторном уравнении D.18) (упр. 3).
Площадь параллелограмма равна rpsin а, где а — угол между
г и р. Произведение rsina есть длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на касательную к траектории, направление
которой совпадает с р. Эта длина называется иногда «плечом» мо-
момента.
Векторное произведение обладает распределительным свойством,
т. е.
[a,
Следовательно, произведение векторных двучленов вычисля-
вычисляется по обычной формуле, но с учетом порядка сомножителей:
[a + b, + d] [] + lb] + [d] + \bd]
Момент системы материальных точек. Мо-
Момент системы материальных точек определяется как сумма момен-
моментов всех отдельно взятых точек. При этом надо, конечно, брать ра-
радиус-векторы относительно общего для всех точек начала коорди-
координат:
D.20)
Покажем, что момент системы можно разложить на момент от-
относительного движения точек и момент системы как целого, подобно
тому как это было сделано для кинетической энергии. Для этого
надо представить радиус-вектор каждой точки как сумму радиус-
вектора ее положения относительно центра инерции и радиус-век-
радиус-вектора самого центра инерции; таким же способом надо разложить
выражение для скорости частиц. Тогда момент преобразуется к виду:
[
= 2 mi{RR}+ 2 \rmrU R}+ 2
i = 1 / = 1 i = \ / = 1
Во второй и третьей суммах можно воспользоваться распредели-
распределительным свойством векторного произведения и внести знак суммы
под знак произведения. Но обе получившиеся суммы равны нулю
по определению центра инерции. Для скоростей это было исполь-
использовано в D.15). Таким образом, момент системы материальных
точек действительно равен сумме момента движения их центра
инерции (Л10) и момента относительного движения точек (№'):
М = [НР\+?[гМ\=М0 + М'. D.21)
i
36

Проделаем эти преобразования отдельно для системы из двух
точек. Для этого подставим гх и г2, выраженные из C.14) через
г и Л, в D.20). Получим:
М = [лл] + [ггрг] = [Л, Л+/>а] + тДт2 (та [rpi] - т1 [грг\).
Далее, заменим рх на тхгъ р2 на т2г2 и рх + р2 на Р, после
чего момент приводится к требуемому виду:
М = [/?Р] + _^_Н. D.22)
Здесь .m*m2 /- — тг — р — импульс относительного движения точек.
В него вошла приведенная масса т.
Покажем теперь, что определение момента относительного
движения не зависит от выбора начала координат. В самом деле,
если сместить начало координат, то все векторы г\ изменяются на
одно и то же слагаемое: г}= г\ -\- а. Соответственно момент отно-
относительного движения будет равен:
потому что
i i
Итак, начало координат при вычислении момента относитель-
относительного движения можно поместить в любую точку.
Сохранение момента. Покажем теперь, что момент
изолированной системы есть интеграл движения. Начнем с момента
системы как целого. Его производная по времени равна нулю;
потому что Р = 0 для всякой системы, на которую не действуют
внешние силы, и [l?P] = 0, так как R направлено по Р.
Докажем, что сохраняется и момент относительного движения
точек системы. Полная производная по времени от него равна:
d-f= 2 1^1+2 Ир;]. D.23)
i = l i = l
Первое слагаемое справа в D.23) обращается в нуль, потому
что г\ направлено по р\. Рассмотрим второе слагаемое. Напомним,
что потенциальная энергия U зависит от абсолютных значений раз-
разностей всех координат: U = U (... \rt — rk\ ...). Поэтому согласно
37

уравнениям движения можно записать, пользуясь формулами C.1)
и C.2):
^ Y ди пи
dt Lk д | rik | | rik
Здесь в правой части стоит сумма всех сил, действующих на
t-тую точку со стороны всех остальных. Умножим полученное ра-
равенство векторно на г\ и просуммируем по всем частицам. Слева
будем иметь производную по времени от момента относительного
движения системы, а справа — двойную сумму по всем парам ча-
частиц. Частные производные -г войдут в эту сумму дважды:
от /-той и от й-той частиц. При них будут стоять векторные множи-
множители [г,-, Л — i*k\ и [rk, rk—rj, которые в сумме равны нулю, по-
потому что [/у,-] = 0, [rkrk] = 0,[/уЛ] = — \гкГ(]. Таким образом,
—тг= 0, так что момент относительного движения точек замкну-
замкнутой системы сохраняется.
В следующем параграфе будет показано, что момент (или его
отдельные составляющие) может сохраняться и во внешнем поле,
если оно обладает надлежащей симметрией.
Аддитивные интегралы движения замк-
замкнутой системы. Итак, мы показали,что замкнутая механи-
механическая система имеет следующие первые интегралы движения:
энергию, три составляющих вектора импульса и три составляющих
вектора момента. Импульс и момент всегда аддитивны, а энергия
аддитивна только для невзаимодействующих частей системы.
Механическая энергия, относящаяся к макроскопическим сте-
степеням свободы тела как целого, сохраняется далеко не всегда.
При наличии сил трения она передается в виде тепла микроскопи-
микроскопическим, молекулярным степеням свободы. Импульс и момент в зам-
замкнутой механической системе сохраняются всегда. Первый из них
связан с движением центра инерции системы, а второй — с враще-
вращением вокруг центра инерции. Оба эти интеграла движения принад-
принадлежат макроскопическим, механическим степеням свободы.
Все другие механические интегралы движения (кроме интеграла
центра инерции) находятся несравненно более сложным образом.
Нельзя указать общее правило для их определения.
Семь аддитивных интегралов движения — энергия, импульс
и момент (семь потому, что импульс и момент — векторы) — выде-
выделены в том смысле, что их существование обусловлено симметрией
относительно переносов и вращений. Действительно, симметрия
функции Лагранжа относительно смещений по времени приводит
к закону сохранения энергии. Симметрия относительно смещений
в пространстве налагает на потенциальную энергию требование,
чтобы она зависела только от разностей координат частиц. Бла-
Благодаря этому движение центра инерции отделяется и сохраняется
общий импульс системы. Сохранение момента относительного дви-
38

жения мы вывели из того, что в потенциальную энергию входят
абсолютные величины разностей |r,- — rk\, что согласуется со свой-
свойством изотропии пространства. Из этого свойства можно вывести
сохранение момента при менее ограничительных предположениях
об U (см. § 5).
УПРАЖНЕНИЯ
1) Рассмотреть движение точки по циклоиде, лежащей в вертикальной пло-
плоскости, в поле тяжести.
Решение. Уравнение циклоиды в параметрической форме:
2 = — Rcoss, x = Rs-\-R sin s.
Кинетическая энергия точки:
Т = ~ (х2 + i2) = 2m/?2 cos2 1_ $2.
Потенциальная энергия:
U = — mgR cos s.
Интеграл полной энергии:
Е = 2mR2cos2 -^ s2 — mgR cos s = const.
Значение Я можно определить, условливаясь, что при максимальном откло-
отклонении от нижней точки циклоиды, когда s = Sq, скорость s0 = 0, т. е. точка ска-
скатывается без начальной скорости. Следовательно,
? = — mgR cos sQ.
После разделения переменных и интегрирования получим:
S S
cos -рг as r ?rri r» cos -pr- as
/coss —cosso'
Обозначая sin-^- = a, берем интеграл и подставляем пределы:
— arcsin — .
— \ = = 2\/
Чтобы найти полный период движения, надо взять интеграл в пределах
от —и0 до и0 и удвоить результат. Это соответствует качанию точки из s = — s0
в s = s0 и назад, в положение s = — Sq.
*/!¦¦
Таким образом, период качания равен 2я I/ —.Пока точка движется по
Циклоиде, период ее не зависит от амплитуды s0 (циклоидальный маятник Гюй-
Гюйгенса). Как известно, период колебаний обычного маятника, описывающего
дугу окружности, в общем случае зависит ог амплитуды (ср. D.7)). -
2) Доказать, что точка, движущаяся по кривой в вертикальной плоскости,
спускается из заданного верхнего положения в заданное нижнее положение за
кратчайшее время, если кривая — циклоида.
Решение. Пользуясь результатами, полученными в упражнении 2 к § 3,
пишем интеграл энергии для точки, спускающейся по кривой;
39

Отсюда время спуска определяется квадратурой:
t
' V~g j
Vz(sQ)~~z(s)'
Переходя в интеграле от независимой переменной s к переменной г, получаем:
Надо так определить х в зависимости от г, чтобы7 имело экстремум. Анало-
Аналогичную задачу мы рассматривали в связи с принципом Гамильтона, где надо было
найти траекторию, которая отвечает наименьшему интегралу S. Для этого подын-
подынтегральная функция должна удовлетворять уравнению Лагранжа. Очевидно,
что такое же уравнение можно написать и для решения настоящей задачи, считая
независимой переменной г, зависимой — лс, а подынтегральную функцию взять
из выражения для t. Так как зависимая переменная не входит в подыинтеграль-
ное выражение явно, она является «циклической» и соответствующий «импульс»,
т. е. производная подынтегральной функции по dz — постоянным. Обозначим
его г= . Тогда
V2R
dx
~dz
2R '
Сделаем теперь следующую замену переменной:
2 = г0 — R A+coss), dz = R sin sds.
Это дает:
dx , s
5i = ctgT-
Переходя от z к s, легко находим:
dx — R A+coss) dsy x — R (s + sin s).
Чтобы получить написанное в предыдущем упражнении уравнение циклоиды,
остается только взять г0 = R.
Полное время, за которое частица спускается из верхнего положения в ниж-
нижнее, согласно упражнению 1 равно -^ 1/ — .При свободном падении с высоты 2/?,
равной высоте подъема циклоиды, время составляет 2 1/ —.
3) Показать, что векторное произведение, определенное формулами D.19),
при поворотах координат преобразуется как вектор.
Решение. Из аналитической геометрии известно, по каким формулам
преобразуются составляющие вектора при повороте координат. Запишем эти
формулы в компактном виде. Перенумеруем координаты х = xlt у = х2, z — х3.
Косинус угла между новой осью а и старой осью Р обозначим (a, |J). Тогда иско-
искомый вид формулы таков (по двойному значку — суммирование!):
Ввиду симметрии между старыми и новыми координатами формулы обратного
преобразования пишутся так:
Ха = х'а(а, Р), или xa = xL (P, а).
40

Определитель преобразования равен единице. Это доказывается следующим
способом. Как известно из анализа, элемент объема, когда производится преоб-
преобразование координат, умножается на функциональный определитель, или яко-
якобиан, А 1У—-—4 . В данном случае якобиан совпадает с определителем пре-
О (JTj, Х2, Х3)
образования, так как оно линейно. С другой стороны, поворот не может менять
сбъема, так что утверждение доказано.
Теперь образуем определитель обратного преобразования в общем виде.
Известно, что коэффициент, стоящий на пересечении строки а и столбца Р у обрат-
обратного преобразования, есть минор соответствующего элемента в прямом пре-
преобразовании, деленный на определитель, в данном случае на 1. Вместе с тем обрат-
обратное преобразование выполняется с помощью тех же коэффициентов, но с пере-
переставленными значками. Выпишем теперь определитель в явном виде:
A,1) A,2) A,3)
B,1) B,2) B,3)
C,1) C,2) C,3)
Приравнивая элементы первой строки с переставленными значками соот-
соответствующим минорам, получим:
A,1)-B,2) C,3)-B,3) C,2)
B,1) =B,3) C,1)-B,1) C,3)
C,1) ==B,1) C,2)-C,1) B,2)
Возьмем теперь три единичных вектора, направленные по осям правовинто-
вой координатной системы (если вращать рукоятку штопора от х к у, он пере-
перемещается в такой системе по оси г). Такие векторы называются ортами. По опре-
определению векторного произведения должно выполняться равенство:
где орт / направлен по х, j — по у, к — по г.
Чтобы равенство действительно имело место, оно должно выполняться не
только в исходной системе координат. Проецируя орты на новые оси, убеж-
убеждаемся, что полученные нами соотношения для косинусов углов между старыми
и новыми осями обеспечивают справедливость равенства между векторами /, j\ к
во всех системах.
Так как любые два вектора можно разложить по ортам, а векторное произ-
произведение дистрибутивно (т. е. распределительно), векторное умножение всегда
дает вектор. Заметим, что это в некотором смысле «случайное» свойство векторов
в трехмерном пространстве, поскольку есть как раз три величины такого типа,
как в правых частях D.19).
§ 5. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Интеграл момента. Будем рассматривать движение
Двух тел в системе отсчета, связанной с их центром инерции. В та-
такой системе есть момент только относительного движения тел. Если
не действуют внешние силы, то момент сохраняется. Радиус-вектор
относительного положения частиц обозначим: г— гх — г2, а соот-
соответствующий импульс есть
41

Это соотношение получается из C.17) путем дифференцирова-
дифференцирования функции Лагранжа частиц по г = v; следовательно, в согла-
согласии с D.22) находим:
М = [гр] = т [rr] = const. E.2)
Если вектор постоянен, то постоянны все три его составляющие.
Он сохраняет неизменной не только абсолютную величину, но и на-
направление в пространстве. Но вектор относительного положения
частиц г и вектор их относительной скорости г согласно E.2) пер-
перпендикулярны неизменному направлению М. А так как все перпен-
перпендикуляры, опущенные в одну и ту же точку прямой, лежат в одной
плоскости, относительное движение частиц системы происходит
в этой же плоскости. Вектор г, как видно из E.2), лежит в той же
плоскости, так что траектория — плоская кривая.
При переходе к сферической системе координат целесообразно
направить полярную ось по г. Тогда движение будет происходить
в плоскости ху или д = -5. у sin 0 = 1, 4 = 0.
Потенциальная энергия системы двух материальных точек за-
зависит только от расстояния между ними г, потому что это единствен-
единственная скалярная величина, которую можно образовать, имея в своем
распоряжении один вектор г. Согласно C.11) функция Лагранжа
для плоского движения при 0 = 0, sinft = 1 равна:
L = ^(?* + r^)-U(r), E.3)
где т — приведенная масса.
Если одна из масс гораздо больше другой, она весьма близка
к центру инерции и ее движение можно не рассматривать. В этом
случае легкая частица (или система легких частиц) движется вокруг
одной тяжелой, как планета в солнечной системе. При этом оста-
остается справедливым закон сохранения момента, но уже не относи-
относительно произвольной точки пространства, а только относительно
центрального тела. Вывод о том, что траектории движущихся частиц
плоские, верен и здесь, но только в том случае, если их взаимодей-
взаимодействием можно пренебречь или если они с самого начала двигались
в одной плоскости.
Момент как обобщенный импульс. Покажем
теперь, что составляющая момента М2, которая в выбранной коор-
координатной системе равна просто абсолютному значению М, есть не
что иное, как рф = -, т. е. обобщенный импульс, отвечающий ко-
dip
ординате ф, или углу поворота вокруг оси г. Действительно, сог-
согласно D.19), C.8') и C.8") момент М = Mz равен:
42
М = хру — урх = mr cos ф (г sin ф + г cos
mr sin ф (г cos ф — г sin фф) = mr2 (sin2 ф + cos2 ф) ф = тг2ф.

G другой стороны, дифференцируя L по <р, находим:
Лр = ^ = тг*Ф. E.4)
дер
Величина -~ /'2Ф есть так называемая секториальная скорость,
т. е. площадь, описываемая радиус-вектором материальной точки за
единицу времени. Действительно, гер есть основание треугольника,
вершина которого находится в центре, а г — его высота. Разница
между площадями этого треугольника и треугольника, созданного
перемещением частицы, которое может быть не перпендикулярно
радиусу, есть бесконечно малая величина второго порядка. Таким
образом, закон сохранения момента, если истолковать его геоме-
геометрически, выражает постоянство секториальной скорости при ор-
орбитальном движении материальной точки в поле центральных сил
(второй закон Кеплера).
Соотношение М2 = рф позволяет по-новому объяснить сохра-
сохранение момента замкнутой системы. Действительно, функция Лаг-
ранжа такой системы не может изменяться при повороте системы
отсчета на произвольный угол вокруг произвольной оси в про-
пространстве. Но тогда угол поворота является циклической коорди-
координатой, и соответствующий обобщенный импульс сохраняется. А так
как ось поворота произвольна, должны сохраняться все три состав-
составляющие момента замкнутой системы. Из этого рассуждения видно,
что закон сохранения момента справедлив не только тогда, когда
силы между точками действуют по линиям, их соединяющим (как
принималось в § 4), но и в более общем случае. Непосредственное
доказательство этого на основе уравнений движения несколько
громоздко.
Исключение азимутальной составляю-
составляющей скорости. Интеграл момента позволяет свести задачу
о движении двух частиц (или задачу о движении одной частицы в
центральном поле) к квадратурам. Для этого нужно выразить ср
через момент и тем самым избавиться от лишней переменной величи-
величины, поскольку сам угол ф не входит в функцию Лагранжа. Каждая
циклическая переменная может быть таким образом исключена.
Согласно D.4) имеем прежде всего интеграл энергии:
E = ^(rZ + r\*) + U(r). E.5)
Исключая ф с помощью E.4), получим:
г-, тг , М2 . г
^== COnst' <5-6)
Это дифференциальное уравнение первого порядка относитель-
относительно г приводится к квадратуре. Но прежде всего покажем, как ис-
исследовать его графически.
43

Зависимость вида траектории от знака
энергии. Для такого исследования надо сделать некоторые
предположения о ходе потенциальной энергии.
Согласно B.1) сила связана с потенциальной энергией соотно-
соотношением:
Верхний предел в интеграле может быть выбран произвольно.
Если F обращается при бесконечном г в нуль быстрее, чем ~,
со
то интеграл \Fdr сходящийся. Тогда можно положить U (г) =
г
оо
= \Fdr, или [/(оо) = 0. Иначе говоря, потенциальная энергия
г
калибруется на нуль в бесконечности.
Кроме того, будем считать, что U(r) при г ~»О возрастает не
быстрее, чем —, как, например, для ньютоновского притяжения,
Где 6Г j^dr
г
Напишем теперь E.6) так:
Левая часть этого равенства всегда положительна. При г -> оо
последние два слагаемых обращаются в нуль. Поэтому, чтобы ча-
частицы вообще могли разойтись на бесконечно большое расстояние
друг от друга, надо, чтобы их полная энергия была положительной,
когда калибровка потенциальной энергии отвечает {/(оо) = 0.
Следовательно, если две частицы сближаются, находясь сначала
бесконечно далеко одна от другой, их энергия по закону сохране-
сохранения непременно положительна. Если она при сближении частиц не
будет передана какой-либо третьей частице, то, сблизившись, эти
частицы обязательно вновь разойдутся на бесконечное расстояние.
Задавшись определенным ходом U, можно построить график
ФУНКЦИИ Д42
и(г) = Ь+и(г). E.8)
Индекс М при U означает, что в потенциальную энергию включена
«центробежная» энергия -х—%. Производная от этой величины по г,
взятая с обратным знаком, равна —д. Если подставить М = тг2ф,
то получится обычное выражение для «центробежной» силы. Но
в дальнейшем мы будем именовать «центробежной силой» механи-
механическую величину другого происхождения (см. § 8).
44

Пусть Uif) < 0 и монотон-
монотонно возрастает при изменении г
от нуля до бесконечности.
Следовательно, сила имеет
отрицательный знак и яв-
является силой притяжения
поскольку F = — 3-
что в
/И2
>
Рис. 5
пустим, кроме того,
бесконечности | U(r) |
Это справедливо, например,
для сил ньютоновского при-
притяжения или для электро-
электростатических кулоновских сил
между заряженными телами.
Резюмируем предположе-
предположения, сделанные нами относительно UM (r):
1) при г -> О преобладает центробежный член, поэтому UM (r)
бесконечна и положительна;
2) при г -> оо, где \U(r)\ > ^г, UM (r) стремится к нулю со
стороны отрицательных значений.
Следовательно, кривая UM {r) имеет вид, изображенный на ри-
рисунке 5. Со стороны малых значений г она убывает при удалении
от нуля, как ~2, а приближаясь к большим значениям г, возрастает,
как — —, подходя к оси г снизу. Где-то при средних значениях г,
кривая должна иметь минимум.
При взаимодействии заряженного тела с нейтральным (напри-
(например, с атомом, не потерявшим ни одного электрона) U(r) убывает
быстрее, чем «центробежная» энергия. Поэтому при больших рас-
расстояниях U'м(г) приближается к оси г с положительной стороны.
Тогда кривая ?/м(г) сначала проходит через минимум, затем начи-
начинает возрастать и, только пройдя максимум, вновь убывает, стре-
стремясь к нулю при г -> оо. Это справедливо, если имеется область,
где U(r) преобладает над «центробежной» энергией. В противном
случае убывание идет монотонно.
На рисунке 5 можно отложить и полную энергию системы сбли-
сближающихся частиц. Так как Е сохраняется при движении, график
имеет вид горизонтальной прямой, лежащей выше или ниже оси
абсцисс в зависимости от знака Е. При положительной энергии
прямая Е — const лежит выше кривой UM(r) везде правее точки А.
В этом случае разность Е — UM(r) положительна. Частицы, как
было указано, могут сблизиться из бесконечного удаления и ра*
Зойтись бесконечно далеко. Такое движение называется инфинит-
ным. В случае ньютоновского притяжения ему отвечают, как мы
Увидим ниже в этом параграфе, гиперболические орбиты.
45

При Е <С 0, но выше минимума кривой 11м{г), разность Е —
* 2
— Uм if) = ^- остается положительной только между точками
В и В\ Следовательно, между соответствующими им двумя значе-
значениями радиуса заключена физически возможная область движения
с данной отрицательной полной энергией. В этом случае движение
называется финитным. Ему отвечают в случае ньютоновского при-
притяжения эллиптические орбиты. При движении планеты вокруг
Солнца точка В соответствует перигелию, точка В' — афелию.
При Е = 0 движение инфинитно. По мере увеличения г скорость
стремится к нулю, оставаясь положительной. В случае ньютоновско-
ньютоновского притяжения этому значению Е отвечают параболические орбиты.
Падение на центр. Как видно из предыдущего рас-
рассмотрения, г не может уменьшиться до нуля из-за «центробежной»
энергии. Только если частицы «нацелены» друг на друга, плечо
момента обращается в нуль, так что М — О и кривая UM(r) заменя-
заменяется кривой U(r). Тогда ничто не препятствует соударению частиц.
Рассмотрим теперь скорее воображаемый, чем реальный, слу-
случай, когда — U(r) стремится при г ~> О к бесконечности быстрее,
чем -j. При этом кривая Им(г) отрицательна при всех г, близких
к нулю. Согласно E.7) г2 положительно при сколь угодно малых
значениях г и стремится к бесконечности тогда, когда г -> 0. Но
столкнуться прямо «в лоб» частицы не могут, потому что такое
столкновение нарушило бы закон сохранения момента. Момент
равен т р#ф, где р — плечо. Для того чтобы М сохранил заданное
конечное значение при уменьшении плеча до сколь угодно малых
значений, составляющая скорости иф, перпендикулярная радиусу,
должна стремиться к бесконечности, как —. Тогда произведение
т pvy, определяющее момент, остается конечным.
Таким образом, если U'м = — °° при г = 0, радиальная состав-
составляющая скорости стремится к нулю, а азимутальная — к беско-
бесконечности. Траектория точки имеет вид спирали, навивающейся на
притягивающий центр, но недостигающей его. Витки спирали умень-
уменьшаются, зато увеличивается скорость обращения. Но сила «центро-
«центробежного» отталкивания не может остановить постепенного сближе-
сближения частиц, которое происходит тем медленнее, чем меньше г.
При движении трех тел, притягивающихся по закону Ньютона,
два из них могут столкнуться, даже если в начальный момент их
движение и не было чисто радиальным. Действительно, сохраня-
сохраняется только полный момент относительного движения, а это не ис-
исключает столкновения двух тел.
Наконец, при силах отталкивания, стремящихся к бесконеч-
бесконечности, когда г -> 0, падение на центр невозможно. Очевидно, что
в этом случае движение только инфинитное.
Приведение к квадратуре. Найдем теперь урав-
уравнение траектории в общем виде. Для этого надо в E.7) перейти от
46

дифференцирования по времени к дифференцированию по ф. Поль-
Пользуясь E.4), имеем: mr2
dt=z-Md^'
Разделение переменных и переход к ф в E.7) дают:
{ М dr
-,/ 2/. М*
Как видно из равенства, угол ф положен равным нулю при
т = г0. Будем считать, что это значение г отвечает точке А или В
на рисунке 5, т. е. «перигелию». В этих точках г перестает умень-
уменьшаться, т. е. достигает минимума, иг = 0. Точка г = го определя-
определяется из уравнения E.7):
Задача Кеплера. Уравнение E.10) дает полное реше-
решение задачи о движении материальной точки в центральном поле.
Ответ в виде квадратуры содержит начальные данные. Если они
известны, то интегрирование тем или иным способом можно произ-
произвести. То обстоятельство, что квадратура может не выполняться
в элементарных функциях, не так существенно.
Но, разумеется, если ответ получается в виде известной и хорошо
изученной функции, он представляет специальный интерес, потому
что легко поддается наглядному исследованию.
Простое решение в элементарных функциях может быть най-
найдено только в немногих случаях. Один из них относится к централь-
центральным силам, убывающим обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния. Этому закону подчиняются силы ньютоновского притя-
притяжения между материальными точками (или телами, обладающими
сферической симметрией).
Задача о движении таких двух тел называется задачей Кеплера,
так как он эмпирически установил для этого случая законы по
имевшимся данным о перемещении планет на небесном своде. Впо-
Впоследствии Ньютон теоретически вывел законы Кеплера из уравне-
уравнений механики и закона тяготения как дополнительной гипотезы
о силах взаимодействия. С этого вывода начинается системати-
систематическое развитие точного естествознания.
В настоящее время принято пользоваться термином «задача
Кеплера» применительно к случаю любых сил, обратно пропорцио-
пропорциональных квадрату расстояния между двумя движущимися точками,
независимо от их природы и знака. Таким образом, кулоновское
взаимодействие тоже относится к задаче Кеплера. Соответственно
пРитяжению или отталкиванию между рассматриваемыми части-
частицами мы будем считать постоянную в силовом законе F = -^ и в
(г) = ~г отрицательной или положительной,
47

Если заменить в E.10) — на новую переменную х, то интеграл
в задаче Кеплера сведется к виду:
X
dx
,-$
/о 2а , 2Е
~x2-MX + Ti
= arccos
_, а2 . 2Е
т
м
Угол отсчитывается от перигелия против часовой стрелки (см. рис. 6
на стр. 55).
Подстановка нижнего предела интегрирования дает нуль. Это
видно как из E.10) соответственно выбору начала отсчета ф, так
и прямо из написанного равенства. Действительно, когда подкорен-
подкоренное выражение становится равным нулю, под знаком arccos стоит
единица, но arccos 1 = 0.
Обращая результат интегрирования и возвращаясь к перемен-
переменной г, получим после простых преобразований:
г== Г* л . E.12)
, , М -! Г а2 , 2Е
— 1 - I/ -иъ-\ cos ш
' а \ М2 1 т . т
Эта формула справедлива при обоих знаках силовой постоянной
а. Запишем ее для каждого знака а в отдельности. Сначала пусть
а > 0, что соответствует силам отталкивания. Тогда, несколько
преобразовав E.12), получаем для траектории точки в силовом поле
уравнение гиперболы:
м2
. E.12')
Y
Ее эксцентриситет равен I/ 1 + -^т и, следовательно, боль-
больше единицы. При ф = 0 знаменатель дроби имеет наибольшее зна-
значение, а г — наименьшее (перигелий). По мере возрастания ф
уменьшается cos <p и в некоторой точке знаменатель дроби обраща-
обращается в нуль. При этом г стремится к бесконечности. Соответствующий
угол ф0 задает направление асимптоты к гиперболе (см. рис. 6).
Большие значения ср не имеют смысла, так как им отвечал бы от-
отрицательный радиус-вектор частицы.
Для сил притяжения а<0 и из E.12) имеем:
Теперь в зависимости от знака энергии могут быть два вида
траектории. При Е > 0 эксцентриситет кривой снова больше еди-
48

ницы, так что получается гиперболическая траектория. Но так как
в знаменателе теперь знак «плюс», угол ср, при котором траектория
уходит в бесконечность, больше ~. Это значит, что частица, летя-
летящая из бесконечности, отклоняется в сторону притягивающего
центра и огибает его. Она заключает фокус кривой внутри асим-
асимптот, а гипербола на рисунке 6, изображенная для сил отталкивания,
отвечает фокусу вне угла между асимптотами. Это обстоятельство
вполне очевидно.
Если Е <с 0, эксцентриситет меньше 1. Так как cos ф тоже
всегда меньше 1, знаменатель в формуле E.12") нигде не обраща-
обращается в нуль и получается уравнение эллипса, ф = 0 отвечает пери-
перигелию, ф = я — афелию.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Точка с массой т летит к притягивающему центру, для которого выражение
потенциальной энергии есть— 2~ - ^а бесконечном расстоянии от центра ско-
скорость летящей точки задана по величине и по направлению. Из центра пар ал*
лельно этому направлению проведена прямая. Расстояние от этой прямой до
траектории в бесконечности равно р. Определить, при каком значении р про-
проходит раздел между траекториями, уходящими вновь в бесконечность, и такими,
которые навиваются на центр.
2) Получить уравнение траектории, когда U= —^—у Е >0.
2
Ответ. Окружность или эллипс; в отличие от задачи Кеплера центр при-
притяжения лежит в центре орбиты.
3) Доказать, что в задаче Кеплера имеется дополнительный интеграл движе-
движения, выражающийся в виде вектора:
Решение. Дифференцируем N по времени, после чего заменяем М на
т [rv] и mv на :
r r3 r3 r3
= - y3 [r [rv]} - ? (/•«» - r (rv)) = 0.
Вектор N направлен от фокуса к перигелию и численно равен | а \ е} где е —•
(л 2|?|М2\1/2
эксцентриситет орбиты, т. е. е = 1 4—
г \ та2 J
Существование постоянного вектора N тесно связано с формой силового
закона в задаче Кеплера, где траектория имеет вид эллипса, неизменно ориенти-
ориентированного в пространстве. При всякой другой зависимости потенциальной энер-
энергии от расстояния (кроме случая, заданного в упр. 2) интеграл E.10), вычислен-
вычисленный между двумя положениями максимального сближения притягивающихся
частиц, не является простым кратным от 2 я (или от я, как в упр. 2). По край-
крайней мере, простое кратное не получается при произвольных значениях инте-
интегралов Е и М. Но это значит, что в этом случае траектория не имеет вида зам-
49

кнутой кривой, т. е. «перигелий» поворачивается в пространстве. Соответственно
траектория приобретает форму «розетки». Даже в задаче Кеплера, решенной не
по формулам механики Ньютона, а по законам механики, к которым приводит
теория относительности, вместо эллипса получается розетка (см. упр. 9 к § 14).
§ 6. СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
Значение задач о столкновениях частиц.
Для того чтобы определить силы, действующие между частицами,
надо изучить движение частиц, вызванное этими силами. Так с по-
помощью законов Кеплера был установлен закон тяготения Ньютона.
В этом случае силы были определены по финитному движению. Но
можно воспользоваться и инфинитным движением, если каким-
либо способом разогнать одну частицу до определенной скорости
п заставить ее пролететь мимо другой частицы. Такой процесс на-
называется столкновением частиц. При этом вовсе не предполагается,
что частицы приходят в соприкосновение, как принято понимать
слово «столкновение» в обыденной жизни.
Разумеется, не обязательно, чтобы налетающая частица была
искусственно разогнана в ускорителе, она может быть получена
при вылете из радиоактивного ядра или в результате ядерных реак-
реакций или может прилететь на Землю в составе космического излуче-
излучения.
К задачам о столкновениях возможен двоякий подход.
Во-первых, могут быть заданы только скорости частиц задолго
до столкновения, когда частицы еще не вступили во взаимодействие,
и поставлена задача определить их скорости по величине и по на-
направлению после того, как они перестанут взаимодействовать,
т. е. разлетятся на бесконечное расстояние. Чтобы решить такую
задачу, приходится задать какие-нибудь величины, характеризую-
характеризующие данное столкновение, например изменение энергии налетевшей
частицы или ее угол отклонения. Тогда все остальные величины
определяются с помощью законов сохранения. Таким образом,
подводится только итог столкновения, без рассмотрения его деталь-
детального хода.
Но возможна и другая постановка задачи: исходя из точно из-
известного начального состояния частиц, требуется предвычислить
их конечное состояние.
Сначала будем рассматривать задачи о столкновениях первым
из указанных способов. Легко понять, почему, если заданы лишь
начальные скорости частиц, столкновение не определено полностью:
неизвестно, на каком расстоянии друг от друга пролетят частицы;
ведь мы не знаем их начальных координат. Поэтому надо указать
какую-нибудь величину, относящуюся к конечному состоянию
системы. Обычно задача ставится так: заданы начальные скорости
сталкивающихся частиц, а также направление одной из скоростей
после столкновения; требуется определить все остальные величины
после столкновения.
50

Если полная кинетическая энергия частиц до и после столкнове-
столкновения одна и та же или точно указано, на сколько она изменяется в ре-
результате столкновения, то поставленная задача решается однознач-
однозначно. Неизвестными являются шесть величин — шесть составляющих
импульса обеих частиц. Законы сохранения дают четыре равен-
равенства: одно, соответствующее сохранению скалярной величины энер-
энергии (с учетом возможной потери ее, если столкновение неупругое)
и три, выражающие сохранение векторной величины полного им-
импульса.
Неупругим называется такое столкновение, когда часть кине-
кинетической энергии сталкивающихся частиц переходит к их внутрен-
внутренним степеням свободы. В этом случае надо включить в баланс энер-
энергии ту часть ее, которая «застряла» на внутренних степенях свобо-
свободы, она должна быть указана заранее. Если кинетическая энергия
сталкивающихся частиц остается неизменной, столкновение назы-
называется упругим.
Одна из величин, характеризующих состояние частиц после стол-
столкновения, обычно не интересна: речь идет о плоскости, в которой
лежат импульсы разлетающихся частиц. Можно условно положить,
что они разлетаются, например, в плоскости некоторого чертежа,
где изображены оба конечных импульса. Таким образом, для шести
искомых величин имеются четыре уравнения и одна произвольная
плоскость. Поэтому надо задать еще какую-нибудь величину,
характеризующую столкновение, например угол отклонения нале-
налетевшей частицы.
Существует еще более общий тип неупругих столкновений, при
которых меняется не только внутренняя энергия частиц, но и их
природа. Так происходит, например, при ядерных реакциях. Тогда
необходимо указывать и массы получакщихся частиц. Но этот слу-
случай, строго говоря, нельзя рассматривать в рамках ньютоновской
механики, так как необходимо учитывать эквивалентность массы
и энергии в соответствии с механикой эйнштейновской теории от-
относительности (см. ч. II). Мы рассмотрим такие столкновения для
случая, когда изменением полной массы можно пренебречь.
Лабораторная система отсчета и система
центра инерции. Когда столкновения наблюдаются в ла-
лабораториях, одна из частиц обычно покоится до столкновения —
это частица мишени. Связанная с мишенью (и с лабораторией)
система отсчета называется лабораторной. В этой системе сталки-
сталкивающиеся частицы имеют общий импульс, равный импульсу нале-
налетающей частицы, импульс второй частицы в этой системе по опре-
определению равен нулю. Согласно закону сохранения импульса таким
же суммарным импульсом должны обладать и разлетающиеся ча-
частицы.
Отсюда следует, что обе эти частицы обладают и кинетической
энергией общего движения их центра инерции, которая определя-
определяется формулой C.17) — ее первым слагаемым справа. Таким обра-
образом, часть кинетической энергии налетающей частицы до столкно-
61

вения непременно должна быть сообщена центру инерции частиц
после столкновения. Эта часть энергии не может быть затрачена
полезно, если в результате столкновения должен был произойти
некоторый акт превращения частиц, требующий затраты энергии.
Поэтому часто пользуются системой отсчета, связанной с центром
инерции частиц, короче — системой ц. и.
В этой системе суммарный импульс сталкивающихся частиц
равен нулю: вначале они летят навстречу друг другу, а после столк-
столкновения разлетаются строго в противоположные стороны, в общем
случае под некоторым углом к первоначальному направлению им-
импульсов. В системе ц. и. вся энергия частиц до столкновения может
быть затрачена на некоторый акт превращения. Очевидно, что в этом
случае столкновение в наибольшей степени неупруго.
Скорость системы ц. и. относительно лабораторной системы от-
отсчета согласно C.12), если продифференцировать эту формулу по
времени, равна:
Здесь v0 — скорость первой частицы относительно второй,
тг — масса первой частицы, т2 — масса второй частицы, которая
до столкновения покоилась, V— искомая скорость системы ц. и.
относительно лабораторной. Очевидно, что величина vQ, т. е. от-
относительная скорость частиц, одинакова в обеих системах отсчета.
Это справедливо до тех пор, пока можно пользоваться простым
законом сложения скоростей, т. е. пока они малы по сравнению
со скоростью света.
Общий случай не упругого столкновения.
Скорость первой частицы относительно системы ц. и. по закону
сложения скоростей равна:
^ F.2)
а скорость второй частицы в этой же системе:
^ F.3)
Таким образом, т&10 + m2v2Q = 0, как и должно быть в этой
системе отсчета.
Согласно C.17) кинетическая энергия частиц в системе ц. и.
равна:
Здесь приведенная масса снабжена индексом 0, потому что
в результате ядерной реакции она может измениться. Не привле-
привлекая соображений об эквивалентности массы и энергии, условимся
просто, что в результате реакции освободится или поглотится не-
некоторая энергия Q, т. е. эта энергия перейдет из внутренней энер-
энергии (соответствующей внутренним степеням свободы) в кинетиче-
52

скую энергию частиц (Q > 0) или, наоборот, из кинетической энер-
энергии в энергию внутреннего состояния (Q < 0).
В случае ядерных реакций Q есть энергия, которая связана с пе-
перестройкой системы. То же самое относится к химическим реакциям,
но следует отметить, что два атома, сталкиваясь, не могут превра-
превратиться в два других атома, а сталкивающиеся молекулы даже нельзя
считать точками (существенно их строение). Столкновение нейт-
нейтральных атомов может сопровождаться изменением их внутреннего
энергетического состояния, и к этому случаю формулы, которые
будут здесь выведены, применимы.
С учетом энергии Q закон сохранения энергии при столкнове-
столкновении надо писать так:
Здесь т = т^4 приведенная масса частиц, получившихся
в результате столкновения, и — их относительная скорость.
Чтобы полностью задать параметры столкновения, будем счи-
считать известным направление вектора v\ его абсолютная величина
задана уравнением F.5). Скорости каждой частицы в отдельности
равны:
«Ь- * = —
Они удовлетворяют требованию m3vS0 + m4z>40 = 0> т- е- закону
сохранения импульса в системе центра инерции. Легко проверить,
что выполняется и закон сохранения энергии, так как
Теперь нетрудно вернуться к лабораторной системе отсчета.
Скорости частиц в этой системе будут равны:
При ядерных реакциях изменение полной массы частиц состав-
составляет доли процента от нее, так что в формулах F.7) можно заменить
Щ + ^4 на т1 + т2. Таким образом, зная —, мы получаем полное
решение поставленной задачи. Обычно направление вылетающих
частиц связано с размещением детектирующего их прибора относи-
относительно мишени. Если при регистрации одновременно измеряется
их энергия, то можно вычислить энергетический эффект реакции Q.
Упругие столкновения. Вычисления упрощаются,
если столкновение упругое, т. е. Q = 0, и массы неизменны. Тогда
53

из F.5) следует, что v0 = v, так что относительная скорость частиц
не изменяется по величине. Пусть она поворачивается на угол %
к первоначальному направлению. Направим ось х по v0 и располо-
расположим ее в плоскости, определяемой векторами v0 и V. Получим:
= i\> cos
Согласно F.6) составляющие скорости частиц в лабораторной
системе после столкновения соответственно будут:
m2v0 sin
sin
По этим формулам можно выразить угол отклонения первой
частицы при столкновении, измеренный в лабораторной системе,
через угол поворота относительной скорости в системе ц. и.:
vlu m2 sin 7
tge = -^- = —г —. FЛ0)
Vvc m1 + m2 cos % v }
Вторая частица, которая в лабораторной системе первоначально
покоилась, после столкновения будет иметь скорость, направление
которой определяется так:
V2y sinx ct?x- 0'^^ № in
Угол в' берется по отношению к оси х. Знак «минус» в определе-
определении tg в' выбран потому, что проекции vly и v2y обратны по знакам.
Формула F.10) становится еще проще, если массы сталкиваю-
сталкивающихся частиц равны. Это осуществляется, например, при столкно-
столкновении двух протонов или приближенно при столкновении нейтрона
с протоном. Из F.10) получаем:
tge=tgf, в=|,
F.12)
так что частицы разлетаются под прямым углом, а угол отклонения
нейтрона в лабораторной системе равен половине угла его отклоне-
отклонения в системе ц. и. Так как последний меняется от 0 до 180°, В не
превосходит 90°. Это ясно без вычислений, так как массы частиц
равны. При лобовом соударении налетевшая частица останавли-
останавливается, а покоившаяся летит прямо вперед со скоростью налетев-
налетевшей. Так получается потому, что при ударе «в лоб» в системе ц. и.
частицы с одинаковой массой просто обхмениваются скоростями.
В лабораторной системе отсчета вторая частица, таким образом,
54

получает первоначальную скорость первой, а первая останавлива-
останавливается, как и утверждалось.
Найдем теперь величину кинетической энергии, переданной
второй частице при столкновении. Начнем со случая разных масс.
По формулам F.9) находим:
т2т\(\—cos
F.13)
Щ
По отношению к энергии Ео падающей частицы это составляет
долю
Е^ = 2т1 (l—cos%)
Lq ttli-\-171%
Для частиц равной массы отсюда получается: -^ = \
= sin26. Соответственно у первой частицы остается: ]^ = (
При лобовом столкновении %=180°, 6 = 90°, f1 = 0, E2 = E0j
как уже было доказано.
Задача о рассеянии частиц. Рассмотрим задачу
о столкновении более детально. Ограничимся случаем упругого
столкновения, которое удобно изучать в системе центра инерции.
Переход к лабораторной системе по формулам F.7) производится
непосредственно.
Очевидно, что для полного решения задачи о столкновении ча-
частиц надо знать потенциальную энергию их взаимодействия U(r)
и задать начальные условия так, чтобы можно было определить
все интегралы движения. Интеграл энергии легко найти, если вспом-
вспомнить, что U калибрована на нуль в бесконечности (?/(оо) = 0).
Обозначая относительную скорость частиц при бесконечном удале-
удалении их друг от друга буквой v, получим величину интеграла энер*
гии:
Е = "^-. F.14)
Найдем теперь интеграл момента. На рисунке 6, относящемся
к силам отталкивания, представлено движение первой частицы
относительно второй. Траектория этой частицы на бесконечно боль-
большом расстоянии от другой частицы
прямолинейна, потому что силы
там обращаются в нуль. Следова-
Следовательно, траектория имеет асимптоты
как при сближении (прямая AF),
так и при удалении (прямая FB)
частиц. Расстояние р асимптоты
AF от прямой ОС, проведенной
через вторую точку параллельно
этой асимптоте, называется при-
прицельным расстоянием. Это есть не Рис б
55

что иное, как «плечо» р момента при бесконечном расстоянии ме-
между частицами. Отсюда видно, что момент равен:
M = mvp. F.15)
Масса в формулах F.14) и F.15) приведенная.
Зная интегралы энергии и момента, можно вычислить угол от-
отклонения первой частицы. Из рисунка 6 видно, что этот угол связан
с углом 2ф0 между асимптотами простым соотношением % = я — 2ф0.
В свою очередь ф0 вычисляется с помощью квадратуры по формуле
E.10), где верхний предел берется равным бесконечности:
Сюда уже подставлены интегралы момента и энергии согласно
F.15) и F.14). Нижний предел вычисляется по уравнению E.11).
Дифференциальный эффективный попе-
поперечник рассеяния. Предположим, что квадратура F.16)
выполнена. Тогда ср0, а следовательно, и угол отклонения % известны
как функции прицельного расстояния р. Пусть эта функция обра-
обращена, т. е. получено прицельное расстояние как функция угла от-
отклонения:
Р = Р(Х). F.17)
В опытах со столкновениями частиц прицельное расстояние
фактически никогда заранее не известно: на какое-то вещество,
атомы или ядра которого являются рассеивателями, посылается
параллельный пучок рассеивающихся частиц с одинаковой ско-
скоростью. Наблюдается распределение частиц по углам отклонения %9
или, точнее, по углам отклонения в в лабораторной системе. Сле-
Следовательно, акт рассеяния наблюдается как бы очень много раз
подряд с самыми различными прицельными расстояниями.
Пусть через квадратный сантиметр рассеивающего вещества
проходит одна частица. Тогда в кольце, заключенном между р
и р + dp, проходит 2npdp частиц. Таким образом, мы классифи-
классифицируем столкновения по прицельным расстояниям, подобно тому
как это делается в тире с помощью системы концентрических колец
на мишени. Если известно р в его зависимости от %, то можно ут-
утверждать, что на угол, заключенный между % и % + d%, отклонится
do = 2лр dp = 2яр -? d% частиц. Зависимость р (%) определяется
уравнением F.17).
Предположим, что рассеянные частицы как-то регистрируются
на большом расстоянии от рассеивателя. Тогда последний можно
рассматривать как точечный и считать, что частицы после рассея-
рассеяния движутся по прямолинейным траекториям, выходящим из об-
общего центра. Рассмотрим те частицы, которые движутся в про-
56

Рис. 7
страистве между двумя конусами, имею-
имеющими общую вершину и общую ось.
Направление оси совпадает с направле-
направлением падающих частиц. Половина угла
раствора внутреннего конуса равна %,
а внешнего % + d% (рис. 7).
Заключенная между двумя конусами
часть пространства называется телесным
углом, по аналогии с плоским углом,
который определяется как часть плос-
плоскости между двумя лучами. Мера плос-
плоского угла — часть окружности единич-
единичного радиуса, описанной из вершины
угла, а мера телесного угла — часть по-
поверхности сферы единичного^ радиуса, описанной из вершины ко-
конуса, заключенная внутри конуса.
На рисунке 7 элемент телесного угла представлен как часть
поверхности сферы, покрываемая элементом дуги d% при вращении
вокруг радиуса ОС. Так как ОС = 1, радиус вращения элемента d%
равен sin %. Следовательно, покрываемая им поверхность сферы
равна 2я sin %d%. Итак, элемент телесного угла есть
dQ = 2я sin %d%. F.18)
Переходя от элемента угла d% к элементу телесного угла dQ,
можем записать выражение для.числа частиц, попавших при рассея-
рассеянии в элемент телесного угла:
r do dQ ,п лг,к
do = p~-—. F.19)
r d% sin x
Величина do имеет размерность площади. Это есть та площадь,
на которую должна упасть частица, чтобы рассеяться в элемент
телесного угла dQ. Ее называют дифференциальным эффективным
поперечником рассеяния в элемент телесного угла dQ.
На опыте определяют именно эту величину, регистрируя ча-
частицы, отклоненные под различными углами. Если в единице объема
рассеивающего вещества заключено п рассеивателей, то ослабле-
ослабление первичного параллельного пучка при прохождении единицы
толщины вещества за счет рассеяния в элемент телесного угда dQ
составит:
dJ = — Jndo = — Jnp ~ -— частиц/см • сек.
а% sm х
Изучая зависимость do от %, находят, как прицельное расстоя-
расстояние зависит от угла отклонения, а это позволяет сделать заключе-
заключение о характере сил, действующих между частицей и рассеивающим
Центром.
Формула Резерфорда. Наиболее важное применение
Формулы F.19) относится к рассеянию частиц кулоновым полем,
считать рассеиватель имеющим очень большую массу по
57

сравнению с рассеивающейся заряженной частицей. Тогда лабо-
лабораторная система отсчета мало отличается от системы ц. и., и при-
приведенная масса близка к массе легкого партнера столкновения
(см. C.21)). Как указывалось в § 3, кулонозский потенциал убывает
с увеличением расстояния по закону —, как и потенциал ньютонов-
ньютоновского тяготения. Следовательно, угол отклонения можно вычислить
по формулам E.12') и E.12"), смотря по тому, какие силы дей-
действуют между частицами: притяжения или отталкивания.
Пусть заряд рассеивателя Ze, а рассеивающейся частицы dr e.
Тогда силовая постоянная а равна ± Ze2. Сталкивающиеся частицы
находятся на бесконечном расстоянии, когда знаменатель в форму-
формулах E.12') и E.12") обращается в нуль, т. е. когда
У
1 +
или *8фо=У-^' F-20)
та*
Так как для определения дифференциального эффективного по-
поперечника рассеяния важна только абсолютная величина угла
отклонения, мы выбрали для тангенса один знак. На рисунке 6
различные знаки а отвечали бы отклонению частицы вверх или вниз
в плоскости чертежа, что в данном случае безразлично.
Определяя интегралы движения по формулам F.14) и F.15)
и вспоминая, что % = я — 2ф0, находим прицельное расстояние
как функцию угла отклонения:
р = (a/mv2) ctg |-.
Поскольку в рассматриваемом случае система ц. и. близка к ла-
лабораторной системе, можно заменить % на 0, т. е. на угол отклоне-
отклонения частицы в лабораторной системе. Составляем теперь формулу
дифференциального эффективного поперечника рассеяния в лабо-
лабораторной системе согласно общему определению F.19):
Z24 dQ (a on
рг. F.21)
4m2vi . . в
sin т
Число частиц, рассеивающихся в элемент телесного угла
dQ = 2л sin6d©, обратно пропорционально четвертой степени
синуса половины угла отклонения. Этот закон однозначно связан
с кулоновским характером сил рассеяния. Чем больше угол от-
отклонения, тем меньше прицельное расстояние.
Резерфорд проследил закон F.21) для рассеяния альфа-частиц
на тяжелых ядрах вплоть до очень малых прицельных расстояний.
При прицельных расстояниях порядка 8 • 10~13 см рассеяние частиц
начинает следовать иному закону. Отсюда Резерфорд заключил,
что весь положительный заряд атома сосредоточен в его центре,
так как размер атома около 10~8 см. Там же находится и почти вся
масса атома. В противном случае альфа-частица не могла бы рас-
58

сеиваться под большими углами, отклоняясь почти в обратном пер-
первоначальному направлении. Таким образом, опыты по рассеянию
альфа-частиц привели Резерфорда к открытию атомного ядра.
Если сталкивающиеся частицы близки по массе, то надо в фор-
формулу F.21) подставить угол отклонения % в системе ц. и. вместо
угла в и заменить массу легкого партнера на приведенную массу.
После этого можно перейти к лабораторной системе отсчета по
формулам F.10) и F.11).
Формула Резерфорда получает любопытное видоизменение, если
сталкиваются две тождественные частицы, например альфа-частица
рассеивается на ядре гелия (это, как известно, одинаковые частицы).
Никакой метод регистрации частиц не может отличить одну альфа-
частицу от другой. Если некоторая частица зарегистрирована, то
невозможно узнать, покоилась ли она до столкновения или налетела
на покоящуюся. Поэтому в выражении для do надо учесть все ча-
частицы, если желательно получить формулу, пригодную для срав-
сравнения с опытом.
Из формул F.12) следует, что для перехода от системы ц. и.
к лабораторной при столкновении одинаковых частиц надо заменить
% на 26. Тогда sin %d% = 2 sin 2Qd@. Кроме того, следует учесть,
что частицы в лабораторной системе разлетаются под прямым уг-
углом, так что sin в' = cos в. Заменяя еще истинную массу т на при-
Ееденную s- = ?г» получим выражение для дифференциального
эффективного поперечника рассеяния друг на друге двух тожде-
тождественных частиц, взаимодействующих по закону Кулона:
da = -щг- \Шв + с-^е)sin 2@d@'
Изотропное рассеяние. Как видно из формулы
F.21), рассеяние имеет резко выраженный максимум для малых
углов отклонения. Этот максимум связан с большими прицельными
расстояниями: пролетающие на таких расстояниях частицы откло-
отклоняются слабо, а большие расстояния преобладают в выражении
Для эффективного поперечника, так как на них приходится большая
площадь. Поэтому, если силы взаимодействия между частицами
не обращаются в нуль тождественно уже на конечных расстояниях,
любая частица, как бы далеко она ни пролетала от рассеивателя,
несколько отклонится. Отношение ^ тогда непременно будет стре-
стремиться к бесконечности при малых углах отклонения.
Но если сила на больших расстояниях не равна строго нулю,
а очень близка к нему, т. е. убывает по быстро спадающему закону,
То и дифференциальный эффективный поперечник рассеяния начи-
нает заметно возрастать, стремясь к бесконечности, только при са-
Mbix малых углах отклонения. Однако слабо отклонившиеся частицы
вообще не регистрируются на опыте как отклоненные. Действи-
Действительно, некоторым разбросом направлений обладает уже исходный
59

пучок частиц. Поэтому при наблюдении нельзя учесть такие углы
отклонения, которые лежат в пределах углового расхождения ис-
исходного пучка частиц.
Если сила очень быстро убывает с увеличением расстояния, то
область резкого возрастания ~ в зависимости от угла % может прий-
U. Ой
тись на столь малые углы, что их нельзя будет определить на опыте
как углы отклонения, т. е. выделить из первичного пучка. Зато
все сильно отклоненные частицы распределятся по углам рассеяния
тем равномернее, чем быстрее силы убывают с расстоянием.
Это показано на примере рассеяния частиц непроницаемой
сферой (упр. 1). Действующую при этом силу можно рассматривать
как предельный случай силового центра, отталкивающего частицу
по закону U (r)~ Uo[ — ) , при п> стремящемся к бесконечности.
Если г <С г0У то U(г) -> оо, а если г > г0, то U(r) -> 0. Иными сло-
словами, при п -> оо частица не может проникнуть в область, где
г > г0, что и соответствует непроницаемой сфере. Но, как видно из
упражнения 1, при п = оо рассеяние совершенно изотропно.
Если п не бесконечно, но достаточно велико, частицы распределены
почти изотропно по всем углам, и только при малых углах откло-
отклонения выступает резкий максимум, уходящий в бесконечность при
стремлении угла отклонения к нулю. Следовательно, закон рассея-
рассеяния, близкий к изотропному, указывает на быстрое спадание сил
с увеличением расстояния. Это обстоятельство сыграло важную
роль при изучении ядерных сил.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти дифференциальный эффективный поперечник рассеяния частиц
непроницаемой сферой радиуса г0.
Решение. Непроницаемую сферу можно описать на языке механики,
задавая потенциальную энергию в виде U (г) = 0 при г > г0 (т. е. вне сферы)
и U(r) = оо при г ^ г0. (т. е. внутри сферы). Тогда, какой бы ни была кинети-
кинетическая энергия частицы, проникновение ее в область г < г0 невозможно.
Отражение от сферы происходит следующим образом. Радиальная компо-
компонента импульса изменяет знак на обратный, а касательная компонента сохра-
сохраняется, так как при радиальной симметрии потенциала не может быть сил, пер-
перпендикулярных радиусу. Абсолютная величина импульса сохраняется, поскольку
столкновение упругое и кинетическая энергия не изменяется. Простое построение
показывает, что прицельное расстояние связано с углом отклонения зависимостью
если р < г0. Отсюда по общей формуле получается:
так что рассеяние происходит равномерно по всем углам, т. е. изотропно. Полный
эффективный поперечник рассеяния а равен в этом случае зхг^, как и следовало
ожидать. Здесь сказалось то обстоятельство, что силы взаимодействия тожде-
тождественно обращаются в нуль на конечном расстоянии.
60

2) Наблюдается столкновение частиц с массами т^ и т2, причем тг относится
к налетевшей частице. В результате столкновения получаются частицы, импульсы
которых образуют с импульсом налетевшей частицы углы ф и \f>. Определить энер-
энергию Q, на величину которой изменяется полная кинетическая энергия сталки-
сталкивающихся частиц. Рассмотреть два случая: а) после столкновения получаются
частицы с такими же массами тх и т2 и б) с другими массами т3, яг4, в сумме
равными тх + т2.
§ 7. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В § 4 рассматривались колебания маятника. Было указано, что
они совершаются по сложному закону, который нельзя описать
с помощью элементарных функций. Но в предельном случае очень
малых углов отклонения маятника от вертикали положение упро-
упрощается. Возникающий тип движения, называемый малыми колеба-
колебаниями, весьма важен в приложениях механики и с той или иной
степенью приближения очень широко- распространен в природе
и в технике. Поэтому теория малых колебаний выделена в особый
параграф.
Малые колебания маятника. Простое графиче-
графическое исследование показывает, что движение маятника периодиче-
периодическое в самом общем случае. На рисунке 8 изображена кривая
?/(ср) = mgl A — cos ф), дающая зависимость потенциальной энер-
энергии от угла отклонения. Горизонтальная прямая отвечает некоторо-
некоторому постоянному значению Е. Если E<2mgl, движение происходит
между точками —ф0 и ф0 и периодично по времени.
Задача очень упрощается, если Фо <^ 1, т. е. угол мал по срав-
сравнению с радианом. Тогда cos ф0 можно заменить его разложением
в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым членом: cos ф0 = 1 —~.
Так как |ф| < ф0, то же разложение справедливо для cos ф. После
этого интеграл D.7) легко вычислить:
'=-l/"I \v^=T = /larccosi. G-1)
Г g J Уфо —Ф2 Г g фо
Фо
Решая G.1) относительно <р, получаем угол отклонения как
функцию времени:
ф = ф0 cos l/ -у-1. G.2)
Получилась периодическая функция. Как видно из G.2), угол
отклонения возвращается к своему первоначальному значению за
время т = 2я|/ —. Этот отрезок времени называется периодом ко-
Величина |/ ~ называется частотой колебаний:
61

|\
1
1
и ,
Е
/1
/1
f I
1
с
Рис. 8
Это есть число радианов в секунду,
на которое изменяется аргумент ко-
косинуса в G.2). Частотой называют
также число периодов колебаний в
секунду, при таком определении она
в 2я раз меньше со. Период колеба-
колебаний х связан с со соотношением т =
= —. Существенно, что период и
' г частота малых колебаний не зависят
от их амплитуды ф0.
Общая задача о малых
колебаниях с одной сте-
степенью свободы. Для того чтобы решить задачу о малых
колебаниях, не нужно сначала приводить к квадратуре задачу
о произвольных колебаниях. Можно заранее упростить функцию
Лагранжа.
Прежде всего заметим, что колебания — большие и малые —
всегда совершаются около положения равновесия (так, маятник
колеблется около вертикального положения). При отклонениях от
устойчивого равновесия на систему действует сила, направленная
в сторону, противоположную отклонению при любом его знаке.
Такая сила называется возвращающей. В точке равновесия сила,
очевидно, равна нулю, просто по определению того, что такое
«равновесие».
Сила равна производной от потенциальной энергии, взятой с об-
обратным знаком. Будем брать производную по обобщенной коорди-
координате. Тогда условие равновесия выглядит так:
л-=0. G.4)
dq ч '
Обозначим решение этого уравнения q = q0. Предполагая, что
система имеет только одну степень свободы, разложим U(q) в ряд
Тейлора вблизи точки q0 до квадратичного члена включительно:
Член, линейный относительно (q — go)> исчезает согласно G.4).
Обозначим (%-о) буквой р. Тогда, ограничиваясь указанными
членами ряда, получим:
Сила вблизи положения равновесия равна:
G.6)
G.7)
62

Для того чтобы сила была возвращающей, т. е. чтобы равнове-
равновесие было устойчивым, должно иметь место неравенство:
Это есть условие устойчивости равновесия: функция U (q)
должна возрастать по обе стороны от точки q = qQ. Следовательно,
в этой точке потенциальная энергия имеет минимум, как видно,
б частности, на рисунке 8 при ф = 0.
Рассмотрим теперь выражение для кинетической энергии. Если
в общую формулу для кинетической энергии подставить х = х (q),
у = у (д)9 z = г (q), то Т приведется к виду:
Величина в квадратной скобке зависит только от q> поэтому ки-
кинетическая энергия точки может быть представлена как
Г = ^4а- G.9)
Разложим функцию a (q) в ряд по q — q0 вблизи положения рав-
равновесия, тогда
^®. <•-*>«¦+¦•¦
Для того чтобы точка не могла «с разгона» отойти далеко от
положения равновесия, ее скорость должна быть малой величиной.
Иначе говоря, уже нулевой член разложения кинетической энергии
/? wo) Я \ ПрИ малых колебаниях имеет тот же порядок малости,
что и второй член разложения U', т. е. Р w —ffo) {> j-jpH q = qQ энер-
энергия колебаний кинетическая, а в крайнем положении, т. е. при
максимальном отклонении от равновесия, вся энергия потенциаль-
потенциальная. Но так как полная энергия одна и та же во всех точках, надз
считать, что потенциальная и кинетическая энергии имеют один
и тот же порядок величины, причем это относится, как всегда при
оценках, к старшим, т. е. наибольшим членам разложения Т и U.
Следовательно, дальнейшими членами в первом приближении можно
пренебречь, если они по каким-либо причинам не представляют
специального интереса. Дальше (после того как из уравнений дви-
движения определится явная зависимость q от времени) будет показано,
что средние значения U и Т равны.
В дальнейшем будем отсчитывать координату q от положения
Равновесия, т. е. примем q0 = 0. Тогда, отбрасывая постоянный
Член Uo в функции Лагранжа, запишем ее так:
1=1а@Н2-1р<Д G.10)
63

Отсюда получается уравнение Лагранжа:
а@)? + р<7 = 0. GЛ1)
Обозначая
з Р 1 (&U\ /7 юч
приводим G.11) к обычному виду уравнения колебаний:
2 + о>2<7 = 0. G.13)
Общее решение этого уравнения должно содержать две произ-
произвольные постоянные. Его можно записать в следующих формах:
G = CiCOSco/ + C2sin(D*f G.14а)
q = С cos (со/ + у), G.146)
<? = Re{CV^}. G.14b)
Символ Re { } означает действительную часть от выражения,
стоящего в скобках. Постоянная С" в фигурных скобках комплекс-
комплексная: С" = Сх — /С2. Постоянные С и у в решении G.14 б) называ-
называются амплитудой и начальной фазой колебания, они связаны с Сг
и С2 известными формулами:
Если нас интересует только частота малых колебаний, а не фаза
и амплитуда, достаточно воспользоваться формулой G.12), убе-
(dU\
дившись, что вторая производная (тгт положительна.
Система, подчиняющаяся уравнению G.13), называется линейным
гармоническим осциллятором.
Из формул G.10), G.12) и G.14 б) видно, что средние значения
кинетической и потенциальной энергии за один период одинаковы,
потому что средний квадрат синуса и косинуса равен 1/2:
Малые колебания с двумя и многими сте-
степенями свободы. Перейдем теперь к колебаниям с двумя
степенями свободы. Для примера возьмем сначала рассмотренный
в § 3 двойной маятник. Если ограничиться малыми колебаниями,
то надо считать, что отклонения ср и я|з близки к нулю, т. е. маятник
колеблется с малым размахом вблизи вертикали. Тогда в выражение
кинетической энергии в C.23) следует подставить равновесные
значения ф = г|) = 0, cos (ф —г|э) = 1. Формулу потенциальной
энергии надо упростить так же, как в задаче о простом маятнике,
64

т. е. заменить cosф и cos\|) на 1—у и 1— у. Отбрасывая посто-
постоянные члены, получаем функцию Лагранжа в таком виде:
-^gV. G.15)
Рассмотрим ее в несколько более общей форме:
L = у
y - f/ @), G.16)
или (с учетом условия о суммировании), опуская постоянное сла-
слагаемое, запишем так:
L = |Wv-|lWv' G Л 6')
В таком виде она относится к системе с произвольным числом коле-
колебательных степеней свободы.
Сравнивая G.15) и G.16), получим значения коэффициентов
aixv и Рм-v Для случая двойного маятника:
a12 = mA, a22 =
To, что pi2 = 0, не вносит в задачу никаких упрощений.
Коэффициенты (Зи, р12 и р22 в общем случае выражаются форму-
формулами:
Pl2"
jo •
где в производные подставлены равновесные значения, которые сле-
следует определять из уравнений, аналогичных G.4):
^ = Oj dT, = 0' или ^ = 0" G*l7)
Чтобы равновесие было устойчивым, надо потребовать выполне-
выполнения такого неравенства:
U(q)-U @) -1 (Pntf + 2p12</iq2 + P22^I) > 0.
При этом условии U (q) имеет минимум в точке qx — 0, q2 — 0.
Перепишем правую часть неравенства в тождественной форме:
2 vPn^i + ^Pi2^i??2+ P22<7-2/ = -у \^i + "fc~j "| 2^ ^*
Это выражение остается положительным при всех значениях qx
и ^2» если коэффициенты при обеих квадратичных относительно
Я величинах больше нуля:
Pii>tf, РиР22-?212>0. G.18)
3 Комнанеец А. С, 65

Полученные неравенства легко обобщить на случай произволь-
произвольного числа степеней свободы. Для этого надо записать коэффициен-
коэффициенты ри в виде квадратной таблицы:
Pll I p
P21 p<
Pia
,6
Рз1 Рз2 Рз
23
G.19)
Тогда методом индукции можно заключить, что все определи-
определители, у которых главная диагональ совпадает с главной диагональю
таблицы G.19), должны быть положительны, чтобы квадратичная
форма P^v^v при всех q^ qv оставалась больше нуля (доказатель-
(доказательство имеется в любом курсе высшей алгебры). В таблице G.19)
эти определители отчеркнуты снизу и справа. Что касается квад-
квадратичной формы для кинетической энергии, то здесь положитель-
положительность автоматически обеспечена исходным выражением, записан-
записанным в декартовых координатах. В дальнейшем всегда будем считать,
что условия G.19) выполнены.
Напишем теперь уравнения Лагранжа:
Ы
dL
.
«22^2»
0L
Отсюда
или в общей форме (при любом числе степеней свободы):
G.20)
S M G.20')
Чтобы удовлетворить этим уравнениям, надо искать решение
в виде
qi = A^9 q2 = A2ef»\ q^A/**. G.21)
От решений надо взять действительную часть, как в G.14 в).
Уравнение для частот. Подставляя G.21) в G.20) и
сокращая на еш, получим уравнения, связывающие между собой
Ах и Л2:
(Р-асо2)Л + (Р-аоJ)Л-0 \
или в общем случае:
G.22')
66

Чтобы система линейных однородных уравнений имела решение,
отличное от нуля, должен обращаться в нуль определитель, сос-
составленный из коэффициентов:
Pii - an(D2, Pi2 - a12co2
-а со2
l2 — Otl2w > Н22
=0) ИЛИ l^v-^4vH0- G-23)
Применительно к G.22) отсюда получается биквадратное урав-
уравнение:
(ana22 - a|2) со4 - (Pua22 + р22ац - 2p12a12) со2 +
+ PnP22-P2i^0. G.24)
Например, для двойного маятника уравнение G.24) выглядит
так:
тт^Ч*®* - (m + тх) mxllx (/ + lx) gco2 + (т + тх) mJUg2 = 0.
Если специально для данной задачи ввести сокращенные
обозначения -j- = Xf — = \l, то выражение для частот приобретет
такой вид:
Нетрудно убедиться, что отсюда получаются только действи-
действительные значения частот. Но мы покажем это в более общем виде
применительно к G.24). Предположим, что задана функция
F (со2) = (аиа22 - а2п) со4 - (Риа22 + аир22 - 2р12а12) со2 + рпр22 - Р212,
которая проходит через нуль в тех точках, где удовлетворяется
уравнение G.24). F (со2) положительна при со2 — 0 и при со2 = оо,
потому что а11а22 — а212 > 0, РпР22 — Р212 > 0. Подставим теперь
в эту функцию положительное число со2^^11. После простых
преобразований получим:
L-Pi2aiiJ<0.
Итак, F (со2) при изменении со2 от 0 до оо сначала положительна,
потом отрицательна и затем снова положительна. Следовательно,
она меняет знак два раза, так что уравнение G.24) имеет два поло-
положительных корня cof, co| и все значения частот действительны, как
Должно быть.
Сама величина со имеет четыре значения, попарно равные по
абсолютной величине. Если брать решение в виде G.21), то доста-
достаточно брать только положительные со.
Аналогичным, но более сложным способом доказывается, что
Все со| положительны в общем случае, если положительна квадра-
квадратичная форма для U (q).
3*
67

Нормальные координаты. Подставим корни урав-
уравнения для частот в систему уравнений G.22). Каждой частоте будет
Асу
соответствовать определенное отношение искомых величин ^-, или
д
в общем случае -/. Эти отношения равны отношениям миноров
элементов первой строки определителей G.23). Для случая двух
степеней свободы отношение ^ = —у- видно непосредственно из
уравнения G.22):
A» Pii-^^ii . 1 9 п о-
?i = "Т777 ^ а 2 » * = l'2t (/./О)
Здесь индекс i соответствует номеру решения уравнения для частот
G.23).
Каждая частота со? определяет одно частное решение системы
G.20) или G.20'). Общее решение линейной систеглы уравнений
представляется как сумма частных решений:
* + ;4<V<4 q2 =
От этих выражений надо взять, конечно, действительную часть.
Введем теперь следующие обозначения:
Q, = Л</>^^, Q2 =
Qk=Afe^. G.27)
Из них непосредственно видно, что Q1J и Qk удовлетворяют
дифференциальным уравнениям:
0. G.28)
Каждое из них может быть выведено из функции Лагранжа вида:
^ = yQ!-y<a?Q/, G.29)
которая описывает колебание с одной степенью свободы.
Таким образом, в переменных Qi задача о связанных колебаниях
со многими степенями свободы свелась к задаче о независимых
колебаниях линейных гармонических осцилляторов, число которых
равно числу степеней свободы исходной колебательной системы.
Каждый гармонический осциллятор описывается соответствующей
координатой Qj.
68

Если в формулы G.26) подставить выражения G.27), то полу-
получатся соотношения между исходными обобщенными координатами
q^ и величинами Q*, которые называются нормальными координа-
координатами. Таким образом, каждая обобщенная координата представ-
представляется как сумма изменяющихся по закону гармонических коле-
колебаний нормальных координат, независимых друг от друга. Обычно
частоты колебаний со,- несоизмеримы. Но тогда сумма выражений,
в которые входят несоизмеримые частоты, — непериодическая функ-
функция времени.
В уравнениях G.20) нельзя принять, что одна из обобщенных
координат остается незатронутой колебаниями, какие бы на-
начальные условия ни были выбраны. Достаточно привести в какой-то
момент времени систему в колебание хотя бы по одной из степеней
свободы, отвечающей некоторой обобщенной координате, как нач-
начнутся колебания по всем остальным степеням свободы благодаря
связывающим их смешанным слагаемым функции Лагранжа, со-
содержащим произведения q^qv или q[iqv. Напротив, колебания Q*
и Qkjzi никак не связаны до тех пор, пока при решении задачи
учитывались только квадратичные члены в формулах потенциаль-
потенциальной и кинетической энергий.
Из уравнений G.26) можно выразить Qx и Q2 через qx и q%\
Если, например, так подобрать начальные значения qt и q2f
что для этого момента времени Qt = 0 и Qx = 0, то колебание с час-
частотой coj не будет происходить вовсе. Для этого достаточно взять
при / = 0 координаты и скорости в таком отношении, чтобы ?2fli —*
— q2 = 0 и ^qx — q2 = 0. Иначе говоря, проявится только час-
частота со2 и колебания будут строго периодическими, чего нет при
произвольных начальных условиях.
Из функции Лагранжа G.29) сразу видно, что выражение пол-
полной энергии в нормальных координатах приводится к форме:
i + <om, G.31)
так как L = Т — [/, а Е = Т -\- U. Таким образом, энергия от-
отдельных линейных гармонических осцилляторов, представляемых
координатами Qh заменяет энергию связанных колебаний, совер-
совершаемых координатами q^.
Надо заметить, что если выразить нормальные координаты
прямо по формулам G.27) или G.30), то отдельные слагаемые энер-
энергии будут еще умножены на некоторые постоянные числа щ. Но
если заменить Qt на Qt }/~a~i> то эти числа исключаются из выражения
энергии и она приведется к виду G.31). Пример такой подстановки
имеется в упражнении 1.

Благодаря нормальным координатам рассмотрение задач о ко-
колебаниях значительно упрощается, так как линейный гармони-
гармонический осциллятор является во многих отношениях одной из про-
простейших механических систем.
Приведение к нормальным координатам необходимо при изуче-
изучении колебаний многоатомных молекул, кристаллов и в теории поля.
Кроме того, нормальные координаты полезны в технических приме-
применениях теории колебаний.
Случай равных частот. Если корни уравнения G.24)
совпадают, то общее решение надо писать не в форме G.26), а не-
несколько иначе, именно:
х = A cos со/ + В sin со/,
у — A' cos co/-f В' sin со/.
В это решение входят четыре произвольные постоянные, как
и должно быть у системы с двумя степенями свободы.
Примером может служить маятник, подвешенный не на шарнире,
а на нити. В приближении G.32) получается, что маятник описы-
описывает эллипс, оси которого наклонены к осям координатной системы
(ху у), а центр совпадает с началом координат. Если учесть в G.5)
последующие члены разложения потенциальной энергии по углу
отклонения маятника, то оказывается, что оси эллипса поворачи-
поворачиваются при качании маятника.
УПРАЖНЕНИЕ
Найти частоты колебаний двойного маятника и его нормальные колебания^
если отношение масс грузов fx = 3/4 и длин стержней X = ъ/7.
Решение. По формуле частот для двойного маятника находим:
далее Ь = —J, C = -g-.
Выпишем теперь выражение для кинетической энергии. Для простоты напи-
написания положим / = g = т = 1, так что во все равенства войдут только отноше-
отношения к и \х. Это дает: ап = 1 + Ц = 7/4> ai2 = И^ = 15/28> а22 = И^2 = 75/196;
Pii = 1 + f* = 7/4, р1а - О, Р,2 = [iX - 15/28.
Определим коэффициенты a-t. Для этого надо вычислить кинетическую энер-
энергию, пользуясь, например, формулой G.16):
^т=~ (
Следовательно, надо выбрать ах = 1^3/2, а2 = 1/2.
Обозначая -^~-— и
потенциальной энергии:
Обозначая -~-— и ~ снова буквами Qx и Q2, находим выражение для
70

как и должно быть согласно G.10). Обобщенные координаты связаны с нормаль-
нормальными следующим образом:
Следовательно, если в начальный момент 7ф = — Зф и 7ср = — Зф, то все
время Q2 = 0, так что оба маятника колеблются с одной частотой a>lf сохраняя
постоянное соотношение между углами 7ф = — Щ (маятники отклонены в про-
противоположные стороны). Другое нормальное колебание с частотой со2 происходит
при постоянном соотношении углов 7ф = 5г|э. При этом маятники отклонены
в одну и ту же сторону.
§ 8. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
В § 3 был высказан принцип равноправия всех инерциальных
систем отсчета, или принцип относительности. В нем отражено осо-
особое значение инерциальных систем в механике.
Системы, которые мы обычно рассматриваем как инерциаль-
ные, обладают этим свойством только приближенно. Например,
система отсчета, связанная с поверхностью Земли, не может счи-
считаться строго инерциальной, так как Земля совершает суточное
вращение. Из-за этого плоскость качаний маятника Фуко повора-
поворачивается со скоростью, зависящей от географической широты места
(см. упр. 1).
Поворот плоскости качаний маятника Фуко нельзя объяснить
каким-либо силовым взаимодействием с Землей, потому что сила
тяготения не может заставить маятник вращаться именно с востока
на запад, а не с запада на восток *. Но если рассматривается не-
несколько качаний, то поворот плоскости еще незначителен и им можно
пренебречь. Тогда система отсчета, связанная с Землей, не успевает
проявить неинерциальность. Всегда существует известная мера
погрешности, с которой данная реальная система отсчета близка
к инерциальной системе, причем эта мера зависит от длительности
изучаемого процесса движения.
Таким образом, понятие инерциальной системы имеет смысл
как приближение и является весьма плодотворной для механики
идеализацией. В такой системе отсчета силы взаимодействия изме-
измеряются ускорениями тел. Не имея инерциальных систем отсчета,
мы вынуждены были бы рассматривать основное уравнение меха-
механики A.1) всего лишь как определение силы вообще и могли бы запи-
записывать его как тождество. Между тем существенно, что уравнение
A.1) благодаря возможности наблюдения механических систем
г инерциальных системах отсчета позволяет определить меру физи-
* Существенно, что плоскость качаний маятника Фуко проходит строго
ч^рез вертикаль, потому что в противном случае маятник имел бы начальный
момент относительно вертикали и описывал эллипс, оси которого должны пово-
поворачиваться (см. конец § 7).
71

УI
Vt
л
ческого взаимодействия ме-
между телами. Эта мера не за-
зависит от выбора инерциальной
системы отсчета, в чем и за-
заключается принцип относи-
относительности.
х' Преобразования
> Галилея. Математически
^ принцип относительности вы-
выражается в том, что уравне-
уравнения движения, написанные
Рис. 9 для одной инерциальной си-
системы, сохраняют свой вид,
когда производится преобразование к другой инерциальной си-
системе.
Формулы перехода от одной инерциальной системы к другой
могут быть получены только на основе некоторых физических пред-
предположений. В механике Ньютона всегда допускается, что силы взаи-
взаимодействия между телами, в частности сила тяготения, передаются
мгновенно на любое расстояние. Поэтому перемещение любого тела
сразу сообщает некоторый импульс любому другому телу, где бы
оно ни находилось. Благодаря этому часы, находящиеся в некото-
некоторой инерциальной системе, могут быть мгновенно сверены с часами,
движущимися вместе с другой инерциальной системой. Таким обра-
образом, в механике время признается универсальным, и это не дополни-
дополнительная гипотеза, а следствие допущения о мгновенном действии
на расстоянии. В электродинамике, где скорость передачи взаимо-
взаимодействия конечна, время не универсально.
Но в пределах механики Ньютона при переходе от одной инер-
инерциальной системы отсчета к другой, имеющей относительно нее
скорость V, принимается, что время в обеих системах одно и то же,
т. е. что показания однажды сверенных часов в дальнейшем всегда
совпадают. Впоследствии мы увидим, что такое предположение
имеет приближенный характер и справедливо только тогда, когда
относительная скорость систем много меньше скорости света.
Найдем теперь формулы перехода от одной инерциальной сис-
системы отсчета к другой. Пусть в обеих системах проведены коор-
координатные оси так, что абсциссы направлены по относительной ско-
скорости У, а ординаты взаимно параллельны. Тогда непосредственно
из рисунка 9 видно, что абсцисса х некоторой точки в системе,
которую мы условно назовем неподвижной, связана с абсциссой
х' в движущейся системе простым соотношением:
x = x' + Vt, (8.1)
если в момент / = О начала координат были совмещены.
Остальные формулы перехода еще проще:
у = у'9 г = г\ (8.2)
72

Соотношение / = f выражает гипотезу об универсальности
времени, границы применимости которой устанавливает эйнштей-
эйнштейновский принцип относительности.
Условие (8.1) совершенно симметрично по отношению к обеим
инерциальным системам отсчета: если считать ту из них, в которой
величины снабжены штрихами, неподвижной, а другую — движу-
движущейся, (8.1) сохранит тот же вид, при чем следует, конечно, заме-
заменить V на — V.
В данном случае симметрия обеспечивается тем, что t = /'.
Если 1Ф /', формулы перехода х = xr -\- Vt и х' = х — Vf
противоречат одна другой, т. е. если не считать время одинаковым
во всех инерциальных системах, математическое выражение прин-
принципа относительности должно быть сложнее, чем оно получается
на основании формулы (8.1). Но формула (8.1) следует, казалось бы,
совершенно очевидным образом из рисунка 9. Здесь приходится
сильно поступиться той «очевидностью», которая на самом деле
возникла из нашей повседневной привычки к скоростям, малым по
сравнению со скоростью света.
На основании равенства (8.1) легко показать, почему уравне-
уравнения Ньютона имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах
отсчета. Силы взаимодействия зависят от относительных коорди-
координат частиц, и поэтому они не меняются от преобразования (8.1),
так как общее слагаемое Vt сокращается в аргументе любой функции,
содержащей разность координат. В левой части уравнений Ньютона
стоят ускорения, т. е. вторые производные координат по времени.
Но так как время входит в равенство (8.1) линейно и в обеих систе-
системах по основному предположению одинаково, х = х'. Следова-
Следовательно, уравнения механики имеют тождественный вид в любых
инерциальных системах отсчета. Иначе принято говорить, что урав-
уравнения механики инвариантны относительно этих преобразований,
называемых обычно преобразованиями Галилея.
Неизменность (инвариантность) законов механики при галиле-
евских преобразованиях составляет содержание принципа относи-
относительности ньютоновской механики. При этом следует иметь в виду,
что сам принцип относительности, выражающий равноправие
всех инерциальных систем отсчета, отражает гораздо более общий
закон природы, чем приближенная формула (8.1). Применительно
к электромагнитным явлениям эта формула и равенство t = f
заменяются на гораздо более общие соотношения, из которых пре-
преобразования Галилея получаются только в предельном случае,
когда скорости всех частиц и относительная скорость систем от-
отсчета малы по сравнению со скоростью света.
Вращающиеся системы отсчета. Из принципа
относительности не следует, конечно, равноправие инерциальных
и неинерциальных систем отсчета.
В частности, при переходе к вращающимся системам отсчета в
Уравнениях механики появляется ряд характерных членов, кото-
Pbie мы выведем ниже.
73

Совместим ось г с осью вращения. Компоненты радиус-вектора
г' в неподвижной системе отсчета обозначим: х\ у\ г', а во вращаю-
вращающейся системе отсчета х> у, г. Как известно из аналитической гео-
геометрии, те и другие составляющие связаны равенствами;
х = х' cos a + у' sin а,
у = — х' sin а + у' cos а,
где а — угол поворота.
Продифференцируем написанные формулы по времени и обозна-
обозначим производную d буквой со. Это есть угловая скорость вращения,
или число радианов в секунду. Получаем:
х = х' cos а + у' sin а — сох' sin а + щ' cos а =
= х' cos а + у' sin а + coy,
*у = — i' sin а + у' cos а — сол;' cos а — coy' sin а =
= — х' sin а + у' cos а —сох,
Допустим, что по оси z отложен отрезок, численно равный со.
Будем рассматривать этот отрезок как вектор, направленный по
оси г. Тогда сог = |<ю|, со^ = 0, со^ = 0. Имея вектор <о, произве-
произведение cor/ можно заменить на — [сог]^, а — wx на —- [<дг]у. Слага-
Слагаемые, содержащие i', у и z\ суть не что иное, как проекции ско-
скорости частицы относительно инерциальной системы отсчета, пре-
преобразованные к вращающейся системе. Назовем их временно x'Q
и у'в, z'B. Выражая их с помощью полученных равенств, найдем:
Хв = X + [&Г]Х9
г]у, (8.3)
Эти уравнения могут быть объединены с помощью одного век-
векторного уравнения:
r' = r-Ho)r]. (8.4)
Теперь нетрудно найти функцию Лагранжа для переменных,
относящихся ко вращающейся системе отсчета. Прежде всего ясно,
что
*,2 .,2 , ..2 , ..2 .|2 , ,Г2 , .'2 *ГЪ
г'ъ =хв +ув +z'B =?+у +z =г ,
так как абсолютная величина любого вектора одна и та же в любой
координатной системе. Следовательно, переходя от переменных
в инерциальной системе отсчета к переменным во вращающейся
системе, получаем искомое выражение L:
т
~r' -U = fr?-U = ~(r+ [юг]J-U(г). (8.5)
74

Для простоты функция L записана для одной материальной
точки.
Напишем теперь уравнение Лагранжа для движения относительно
вращающейся системы отсчета, т. е. считая обобщенными коор-
координатами ху у и z. Вернемся на время к составляющим, выбранным
при выводе равенств (8.3). Тогда функция Лагранжа, выраженная
через составляющие векторов, получит вид:
L = f [(х - со*/J + (у + сохJ + z2] - U (*, у, г). (8.6)
Отсюда находим:
т(х®у) т(у + сох), ^ = тг,
dL ,. , ч Ы) dL ,. ч dU dL 6U
^а: Vi; ' ; дх у ду ч ' ду ' дг ог
Уравнения Лагранжа в составляющих выглядят так:
т (х — ®у) ~т(д(у + ш) - тщ + j- = О,
т {у + ©х) + mo (i — coy) + ^^-^ + у = О,
Оставим слева только вторые производные и перепишем послед-
последние три уравнения в виде одного векторного:
mi* = пг [га>] + 2т [/-со] + m [со [по]] — ^-. (8.7)
Раскрывая двойное векторное произведение по формуле
[ А[ВС]] = В (А С) — С (А В) и переходя к составляющим, можно
убедиться, что (8.7) равносильно предыдущей системе из трех урав-
уравнений. Преимущество векторной записи, как всегда, в том, что она
не привязывает уравнение к одной определенной системе координат
и значительно более наглядна.
Силы инерции. Первые три члена справа в (8.7) сущест-
существенно отличают уравнения движения, написанные относительно
вращающейся системы отсчета, от уравнений, написанных относи-
относительно инерциальной системы отсчета.
Применение неинерциальной системы отсчета определяется ха-
характером поставленной задачи. Например, если изучается движе-
движение земных тел, то естественно в качестве системы отсчета взять
Землю, а не Солнце. Если рассматривается реакция пассажира на
внезапную остановку поезда, то в качестве системы отсчета надо
взять поезд, а не станционную платформу. Когда поезд резко тор-
тормозит, пассажир продолжает движение вперед «по инерции», или,
точнее говоря, в начальный момент торможения сохраняет ту ско-
скорость, какую имел поезд при равномерном движении. Поэтому
75

относительно вагона получается известный каждому толчок впе-
вперед. Очевидно, что неинерциальной системой отсчета является
именно поезд, а не Земля, потому что на платформе никто толчка
не испытывает.
Дополнительные члены справа в уравнении (8.7) имеют то же
происхождение, что и толчок при остановке поезда: они вызваны
неинерциальностью (в данном случае вращением) системы отсчета.
Разумеется, ускорение точки, вызванное неинерциальностью си-
системы отсчета, относительно этой системы вполне реально, несмотря
на то, что существуют другие, инерциальные системы отсчета, от-
относительно которых это ускорение отсутствует. В уравнении (8.7)
ускорение написано так, как если бы оно было обязано некоторым
дополнительным силам, которые обычно называют силами инерции.
В отличие от сил взаимодействия силы инерции пропорциональны
лишь массе каждого тела, к которому они приложены. Это естест-
естественно, потому что ускорения, вызванные неинерциальностью си-
системы, по определению одинаковы у тел, помещенных в одну и ту
же точку системы и одинаково в ней движущихся. Термин «сила»
применен к ним потому, что соответствующие выражения пропор-
пропорциональны произведению масс на ускорение.
Существует только одна сила природы, которая обладает тем
же свойством — это сила ньютоновского притяжения. Ускорения
всех свободно падающих тел, как известно, одинаковы. Если в урав-
уравнении (8.7) положить U = mgzy то масса движущегося тела пол-
полностью сократится из уравнения и получится некий универсаль-
универсальный закон движения, не зависящий от массы тела. То же самое от-
относилось бы к случаю, когда U = 0. В неинерциальной системе
тела при этом, ускоряясь под влиянием сил инерции, отнюдь не
будут двигаться прямолинейно и равномерно. Следовательно, есть
удивительная общность между свободно движущимся в неинер-
неинерциальной системе телом и телом, подверженным, кроме того, дей-
действию силы тяжести. На этом основана эйнштейновская теория тя-
тяготения.
Рассмотрим теперь подробнее силы инерции, входящие в (8.7),
существование которых обязано вращению системы отсчета. Пер-
Первый член в (8.7) ецрава обусловлен непостоянством угловой ско-
скорости. Он нас интересовать не будет. Второй член называется корио*
лисовой силой. Для того чтобы возникла такая сила, скорость точ-
точки относительно вращающейся системы отсчета должна иметь от-
отличную от нуля проекцию на плоскость, перпендикулярную оси
вращения. Эту проекцию в свою очередь можно разложить на состаз-
ляющую, перпендикулярную радиусу вращения в данной точке,
и радиальную составляющую. Наиболее интересна по своему дей-
действию составляющая кориолисовой силы, обязанная радиальной
составляющей скорости. Она перпендикулярна и радиусу, и оси
вращения. Если тело движется перпендикулярно радиусу и оси
вращения, то кориолисова сила радиальна и прибавляется к цен-
центробежной, которую мы рассмотрим дальше.
76

Заметим, что кориолисова сила, даже формально, не может
быть сведена к градиенту какой-либо потенциальной функции.
Имеется много примеров действия кориолисовой силы в природе.
Вода рек северного полушария, текущих в меридиональном направ-
направлении, т. е. с севера на юг или с юга на север, испытывает отклоне-
отклонение к правому берегу, если смотреть по течению. Поэтому правый
берег таких рек круче левого. Легко построить соответствующую
компоненту кориолисовой силы. Вектор угловой скорости враще-
вращения Земли направлен от северного полюса «вверх». Вода реки,
текущей в средних широтах северного полушария на юг, имеет со-
составляющую скорости, перпендикулярную земной оси и направлен-
направленную от нее. Следовательно, кориолисово ускорение воды по отно-
отношению к Земле направлено к западу или по отношению к реке, те-
текущей на юг, вправо. Если река течет к северу, то отклонение воды
происходит к востоку, т. е. опять вправо, если смотреть по тече-
течению. Естественно, что вода больше подмывает тот берег, к которому
отклоняется. В южном полушарии это левый берег.
Кориолисова сила существенно сказывается на движении водных
и воздушных масс земного шара, хотя, если сравнить ее с силой
тяжести, она оказывается незначительной. Действительно, угло-
угловая скорость вращения Земли, совершающей один оборот за сутки,
немного меньше, чем 10~4 рад!сек, а скорости частиц воды и воздуха
бывают порядка, например, 10 или 104 см/сек (последние — для
ураганного ветра!). Отсюда кориолисово ускорение получается
от 10~3 до 1 см/сек2, или от одной миллионной до одной тысячной
ускорения силы тяжести.
Кориолисова сила вызывает также вращение плоскости кача-
качаний маятника Фуко, с помощью которого .можно доказать вращение
Земли вокруг оси без помощи астрономических наблюдений. С ди-
динамической точки зрения совершенно небезразлично, какую сис-
систему отсчета считать инерциальной, какую — вращающейся.
Третье векторное слагаемое в формуле (8.7) есть обычная цен-
центробежная сила. Действительно, она перпендикулярна оси вра-
вращения и по абсолютной величине равна:
! т [о> [ro)j] i = m ! со 11 [гсо] | = moo • со/* sin |3 — тон2 г sin р *. (8.8)
Здесь в первом равенстве учтено то, что векторы со и [го>] пер-
перпендикулярны, так что абсолютное значение их векторного про-
произведения равно произведению абсолютных значений. Но г sin ft
равно расстоянию от оси вращения до данной точки, так что сила
(8.8) удовлетворяет обычному определению центробежной силы.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Рассмотреть вращение плоскости качаний маятника Фуко под влиянием
вращения Земли вокруг оси.
Решение. Направим в данной точке Земли ось х на север, а ось у — на
восток. Тогда, если вертикальная составляющая угловой скорости сов = со sin в,
* Угол р составляет радиус-вектор г данной точки с осью вращения;
начало координат находится на оси вращения.
77

где в — широта места и со — угловая скорость вращения Земли, имеем урав-
уравнения движения:
* = — ©** —2#ов, j> = — ©;у + 2*юв, о>? = у-.
Умножаем первое уравнение на (/, второе — на х и вычитаем. Тогда полу-
получается:
Интегрируем и переходим к полярным координатам {х = г cos ф, у = г sin ф);
г2ф = г2сов.
Отсюда после сокращения на г2 находим:
что и дает угловую скорость вращения плоскости качаний.
2) Найти отклонение падающего тела к востоку.
Решение. Здесь существенна не вертикальная, а горизонтальная состав-
составляющая кориолисовой силы сог = со cos в. Для отклонения х получаем:
je = 2?<Dr
откуда
* = y
Выраженное через высоту падения, это равенство будет таким:
1 BгK/2
3 g1*
При подстановке реальных чисел видно, что наблюдать такое отклонение
затруднительно.
§ 9. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Динамика твердого тела представляет большую самостоятель-
самостоятельную главу механики и очень богата техническими приложениями.
Наша задача — дать только краткий очерк этого раздела меха-
механики, поскольку в нем содержатся поучительные иллюстрации
общих законов. Кроме того, некоторые механические величины,
характеризующие твердое тело, необходшмы для понимания спект-
спектров молекул.
Кинетическая энергия твердого тела. Как
указывалось в § 2, твердое тело имеет шесть степеней свободы.
Три из них относятся к поступательному движению центра инер-
инерции в пространстве. Остальные три степени свободы связаны с вра-
вращением тела относительно центра инерции.
В § 4 было показано, что кинетическая энергия системы слага-
слагается из кинетической энергии движения всей массы тела, сосредо-
сосредоточенной в центре инерции, и кинетической энергии движения час-
частиц относительно центра инерции. В случае твердого тела относи-
относительное движение сводится к вращению с одинаковым для всех
78

частиц значением угловой скорости ©. Разумеется, как величина,
так и направление © могут изменяться.
Вычислим кинетическую энергию вращения твердого тела.
В общем случае плотность тела р может быть неодинаковой по его
объему и зависеть от координат: р = р (х, у, г) = р (г). Масса
элемента объема dV равна dm = р (г) dV. Скорость v вращения
согласно (8.4) есть [©г] (переносное движение не рассматриваем).
Поэтому кинетическая энергия единицы массы тела равна:
[©г]2 = о2/-2 sin2 р = coV2 — ©V2 cos2 p = со2/-2 — (©гJ.
Кинетическая энергия всего тела представляется интегралом
по всему объему тела от этой величины:
7=1 [ p[©r]2dV. (9.1)
Выразим квадрат векторного произведения через компоненты
©м и rv. Имеем:
ОJ = ю» + ю« + ©|, (©Г) = 0)^ + СО^ + CD.Z, Г2 = X2 + у2 + z\
Воспользуемся теперь правилом суммирования:
Образуя произведения г2со2 и ((orJ, надо обозначать индекс
суммирования разными буквами, чтобы он нигде не встретился
больше, чем два раза. Следовательно,
[©г]2 = оу
Введем очень полезный для дальнейшего символ:
1 При |Л = V
О при \i Ф v
С помощью этого символа (ойсор, можно тождественно переписать
как
а квадрат векторного произведения
Составляющие угловой скорости твердого тела постоянны по
его объему. Следовательно, их можно вынести из-под знака инте-
интеграла (9.1) и привести его к виду:
©© ^ pi^^-x^dV. (9.3)
Все интегралы, входящие в (9.3), зависят только от формы
тела и распределения плотности в нем, но не зависят от движе-
ния тела, если перейти к системе отсчета, движущейся вместе
с самим телом. Выпишем теперь все шесть величин при co^cov
79

в явном виде, помня, что хг = х} х2 = у, x3 = z, 6ц—1, S22=l,
Jn = Jxy = — $ р ху dV;
J,2=Jyy= $ р (r« - У2) dV = \ р (х2 + г2) dV, У13=/„= - ^
/Зз-Л. = S Р (га - г2) dl/ = $ р fe2 + х*) dV, J,,=Jyz^ - \ руг dV.
Величины с одинаковыми индексами называют моментами
инерции, с различными — произведениями инерции. Отметим, что
^iulv = Л'м/ В обозначениях J^v кинетическая энергия вращающегося
твердого тела может быть переписана в сжатом виде как
Г = {/Л^. (9.4)
Тензоры. Прежде чем развивать дальше динамику твердого
тела, рассмотрим подробнее геометрическую природу величин Jliv.
В отличие от векторов, составляющие которых имеют один индекс,
J^v имеет два индекса.
Уже было указано, что векторная величина характеризуется
законом преобразования при поворотах координатной системы.
Обозначая косинусы углов между старыми и новыми осями симво-
символами ((х, v) (см. упр. 3 к § 4), запишем закон преобразования, при-
примененный к составляющим вектора:
*д = (Н-> v)xv.
Покажем теперь, что величина J^v, имеющая два значка, преоб-
преобразуется по закону:
J'lxy = (lit A,)(v, у) JKk.
Начнем с символа 6^v. Рассмотрим три единичных вектора,
направленные по осям повернутой координатной системы (орта).
Для них имеем:
л;A) = 1. *;<*> = о, /4A) = о,
Образуем их скалярные произведения:
п>A) П'И) = Л'B) П'К%) = цЧЗ) n'(S) = 1 у
/г'A) Я'(»> = Л'A) Л'(8) = ц'B) цЧ8) = 0.
Для этих произведений можно ввести сжатую запись:
Такое же равенство должно иметь место в любой системе, в част-
частности в «нештрихованной». Преобразуем теперь проекции ортов от
80

«штрихованной» системы к «нештрихованной». По общим формулам
преобразований вектора получим:
п'Ш = „ох) (а, к) = (^ х), nw = „(v) (а> Х) = (V| X)#
Из этих проекций снова образуем скалярные произведения и
воспользуемся тем, что они одинаковы в любых системах координат.
Тогда найдем, что символ 6^v удовлетворяет равенству, которое
требовалось доказать для J^:
Иными словами, это значит, что при переходе к другой коор-
координатной системе 8^ сохраняет свое основное свойство.
Второе слагаемое под интегралом (9.3) есть произведение ком-
компонент хк • хю каждая из которых преобразуется по векторному
закону. Поэтому их произведение преобразуется следующим об-
образом:
Х'цХ'„ = (\1, X) (V, K)
Следовательно, подынтегральная величина в (9.3) преобразу-
преобразуется с помощью коэффициентов (tu, ^)(v, к). Так как они постоянны
для каждого данного поворота координатной системы, их можно
вынести из-под интеграла, что и дает нужный закон преобразова-
преобразования JkK. Все величины с таким законом преобразования назы-
называются тензорами второго ранга. По той же терминологии вектор
должен называться тензором первого ранга, а скаляр имеет нулевой
ранг. Бывают тензоры и более высокого ранга, чем второй. Ранг
определяется числом символов \i, v, ..., входящих в закон преоб-
преобразования, или, что то же самое, числом значков, входящих в вы-
выражение для тензора однократно.
Если какой-нибудь значок повторяется в тензорном выражении,
это значит, что по нему произошло суммирование и ранг исходного
тензора понизился на два. Возьмем, например, тензор третьего
ранга Ацу^. Он преобразуется по закону:
Л^ = (и, a)(v, P)(X, у)Аа&.
Просуммируем по значкам ji, v, т. е. напишем их дважды с обеих
сторон равенства. Пользуясь доказанным только что свойством
символов (fx, a) (ji, P), приведем записанный закон преобразования
к виду:
А1^ = (\19 a
Но по такому закону преобразуется вектор, т. е. тензор первого
ранга, так что ранг исходного тензора понизился на две единицы,
как и утверждалось.
Выражение кинетической энергии (9.3) — (9.4) содержит все
значки попарно, т. е. является тензором нулевого ранга — скаля-
скаляром. Так, разумеется, и должно быть.
31

Момент твердого тела. Вычислим теперь какую-ни-
какую-нибудь проекцию момента твердого тела. По определению момента
получаем:
Мх = $ Р [п]х dV = \p[r [cor]], dV. (9.5)
Раскрывая двойное векторное произведение, приводим Мх к
виду:
Мх = \р (щг2 - х (юг)) dV =
-®х\Р(У2 + z2) dV-(*y\pxy dV-<og]pyzdV, (9.6)
Ma = Ja^. (9.6')
В выражение момента снова вошли компоненты величины «/,
называемой тензором инерции.
Сравнивая (9.6) и (9.4), видим, что
M*=ifc- <9-7>
Му и Мг выглядят аналогично. В векторной форме можно записать
все три равенства как
Соотношения (9.7) и (9.8) снова выражают тот факт, что момент
есть обобщенный импульс, связанный с вращением тела. В этом
смысле (9.7) аналогично E.4). Но имеется существенное различие
в том, что составляющие вектора оа не являются полными произ-
производными по времени от каких-либо величин. (Это будет показано
в настоящем параграфе несколько ниже.) Поэтому со.* в (9.7) не
вполне подобно ср в E.4).
Из равенства (9.6) видно, что вектор момента в общем случае
не параллелен вектору угловой скорости. Параллельные векторы,
как известно, должны быть связаны соотношением вида: Ма =
= У(оа, где J — скаляр, а не тензор.
Приведение тензора инерции к главным
осям. Тем не менее каждому определенному тензору инерции
отвечают некоторые направления в пространстве, такие, что если
вектор угловой скорости направлен вдоль них, то и момент направ-
направлен в ту же сторону. Условие параллельности между векторами мо-
момента и угловой скорости, как мы только что видели, выражается
так: Ма = Усоа. Заменяя момент по общей формуле (9.6'), получаем
систему трех уравнений вида:
Лфсор = Мх, (9.9)
или (в составляющих):
(9.9')
82

Для того чтобы эти линейные однородные уравнения имели
решение, их определитель должен равняться нулю:
Ль ^2-Л Лз
" ЗЬ ** 32> 3 «
=0. (9.10)
Все три корня этого уравнения — действительные и положи-
положительные числа. Это можно показать, рассуждая подобно тому,
как в § 7 доказывалось положительность со2 в системе, совершающей
малые колебания (для случая двух корней). Здесь приводить дока-
доказательство мы не будем.
Допустим, что в общем случае все три корня уравнения (9.10)
различны. Подставляя их в уравнение (9.9'), составляющие %,
со2 и со3 надо взять пропорциональными минорам какой-либо строки,
например первой. Пусть оо^> и со^ — решения, отвечающие двум
разным значениям Jiy Jk. (Латинский значок нумерует решения
уравнения (9.10), греческий — компоненту вектора; правило сум-
суммирования здесь будет относиться только к значкам, нумерующим
компоненты.)
Запишем теперь уравнения (9.9) для двух разных /, k\
Умножим первое из них на со^, второе — на со^ и вычтем одно
из другого:
Для левой части этого равенства воспользуемся основным
свойством значков, по которым производится суммирование: в лю-
любом члене уравнения любая пара одинаковых значков может быть
названа другой буквой без того, чтобы делать какую-либо замену
значков во всех остальных членах уравнения. Связано это с тем,
что название значка, пробегающего от 1 до 3 при суммировании,
совершенно безразлично. Поэтому во втором члене слева переиме-
переименуем а в р, а р в а. Воспользуемся еще тем обстоятельством, что
*^а = «/ар, т. е. тензор инерции симметричен относительно своих
значков. Следовательно,
Тогда соответствующие члены сократятся, и справа получится:
(Л--ЛL°са^ = 0. (9.11)
Но мы заранее условились, что корни уравнения (9.10) раз-
личны, поэтому первый сомножитель в равенстве (9.11) не равен
Н{/?Ю' Следовательно, обращается в нуль скалярное произведение
10 0)( \ так что векторы ш^ и ©(*) взаимно перпендикулярны.
83

Итак, в каждой точке твердого тела существуют три взаимно пер-
перпендикулярные прямые, при вращении вокруг которых направле-
направления момента и угловой скорости совпадают. Эти три прямые назы-
называются главными осями инерции в данной точке, а Ух /2, Л — глав-
главными моментами инерции *.
Допустим, что из трех главных моментов инерции два равны.
Согласно (9.11) направления соответствующих главных осей пер-
перпендикулярны третьей оси, для которой главный момент инерции
не равен двум другим. Проведем через начало координат плоскость,
перпендикулярную третьей оси. Тогда при вращении тела вокруг
любой прямой, лежащей в этой плоскости, момент М направлен
по оси вращения. Итак, если /х = J2, то в плоскости, проходящей
через две оси инерции, которым отвечают равные моменты инерции,
любые две взаимно перпендикулярные прямые могут быть выбраны
в качестве главных осей. Иными словами, если ось вращения лежит
в плоскости равных моментов инерции, то векторы М и со парал-
параллельны.
Если все три главных момента инерции совпадают: Jx — J2 =
«= JSi то при вращении вокруг любой оси момент М направлен вдоль
этой оси.
Напишем теперь выражение кинетической энергии вращения,
считая, что оси координат совмещены с главными осями инерции.
По определению главных осей инерции имеем:
(9.6")
Эти равенства получатся, если произвольный вектор момента М
разложить по главным осям. То обстоятельство, что в общем слу-
случае каждая компонента со* множится на свое число Jif еще раз ука-
указывает на непараллельность векторов Миш. Воспользуемся соот-
соотношениями (9.7), которые дают
Интегрируя, получим искомое выражение кинетической энергии:
~
(9.12)
Оно допускает наглядное истолкование. Отложим на осях
некоторой координатной системы проекции угловой скорости
iob со2 и со3- Тогда уравнение (9.12) при постоянном значении Т
изображает трехосный эллипсоид. Зная направление оси вращения
и кинетическую энергию вращения, можно найти все три проекции
угловой скорости по точке пересечения оси с эллипсоидом. Если
два момента инерции равны, трехосный эллипсоид превращается
* Архаический термин «момент» может повести к путанице. Читатель дол-
должен внимательно следить за тем, где говорится о моменте Ai, моменте инерции J
и моменте силы К (см. ниже).
84

в эллипсоид вращения, если три момента инерции равны — в шар.
Отсюда ясно, почему в плоскости равных моментов инерции выбор
главных осей инерции произволен.
Уравнения Эйлера. Найдем уравнения, которые пока-
показывают, как момент М меняется со временем. Для отдельной ма-
материальной точки имеем:
f = §[rp]
где первое слагаемое равно нулю, так как г и р параллельны.
Интегрируя это уравнение по объему твердого тела и поль-
пользуясь аддитивностью мохмента, найдем:
M = \[rF]dV = K. (9.13)
Вектор с правой стороны (9.13), обозначенный нами К, назы-
называется результирующим моментом сил, приложенных к телу.
Если F— сила тяжести, как это часто бывает, то момент сил можно
записать и так:
где z0 — единичный вектор в вертикальном направлении. Так как
вектор zQ постоянный, он выносится за знак интеграла, и для мо-
момента сил тяжести получается такое выражение:
К=[г0, \pgrdV].
Допустим, что точка опоры тела находится в центре инерции,
или, что то же самое, в центре тяжести. Тогда результирующая
сила тяжести уравновешивается реакцией опоры, а результирую-
результирующий момент силы обращается в нуль, потому что по определению
центра инерции интеграл для всех трех проекций равен нулю.
Если К = О, твердое тело вращается как свободное. Этот случай
движения осуществлен в демонстрационном гироскопе.
Для сохранения момента твердого тела требуется только,
чтобы результирующий момент сил был равен нулю. Вектор момента
произвольной механической системы сохраняется, если нет внеш-
внешних сил вообще (кроме случая, когда вся система движется в поле
неподвижного притягивающего центра).
Уравнение (9.13) неудобно записывать для неподвижной системы
отсчета. В такой системе тензор инерции, связывающий между
собой векторы Ж и со по уравнению (9.6'), становится сам перемен-
переменной величиной, так как относительно неподвижной системы инте-
интегралы, входящие в равенство (9.3), по объему вращающегося твер-
твердого тела в общем случае непостоянны. Предпочтительно относить
Уравнение к системе отсчета, скрепленной с телом, учитывая уско-
ускоренное движение этой системы. Изменение вектора М относительно
подвижных осей состоит из двух слагаемых: одно происходит от
изменения самого вектора и другое — от движения осей, на ко-
85

торые он проецируется. Для вектора М это последнее изменение
равно [оШ], подобно тому как для радиус-вектора г в § 8 оно рав-
равнялось [о)г]. (При повороте координатной системы любой вектор
изменяется как радиус-вектор.) Тогда уравнение (9.13), записан-
записанное относительно подвижных осей, выглядит так:
™ + [*Щ = К, (9Л4)
где вектор момента сил надо проецировать тоже на подвижные оси.
Следовательно, нужна система кинематических уравнений, оп-
определяющих направление подвижных осей относительно непод-
неподвижных. Две системы осей можно связать между собой с помощью
девяти косинусов, или, в наших обозначениях, символов (fx, и).
Этот символ, как было показано, есть проекция орта я(к) на под-
подвижную ось с номером jx. Относительно неподвижных осей орт
лE<) не изменяется: /z(K) — 0. Записывая производную /i(x) по от-
отношению к подвижным осям, получим:
^1 + [<ад1<*>]=0. (9.15)
Таким образом, для девяти косинусов получается три вектор-
векторных уравнения, т. е. девять уравнений. Покажем, что эти уравне-
уравнения не нарушают основного свойства ортов: я(х) п^К) = бх^. Для этого
напишем уравнения (9.15) для двух разных ортов п{к) и п[К):
= 0.
Умножим первое из них скалярно на п^\ г второе — на п^
и сложим; в смешанных произведениях сделаем циклическую пере-
перестановку. Тогда получим:
п(ю *р+Л(ю ^ = ~ п^пм = -(со [1*<*>л<м]) _ (со [Л(мЛ(х)])=0>
так как [n{yi)n{l)] = —[п{1)п(к)]. Следовательно, если условие
п{я)п(К) _ §^ выполнялось в начальный момент времени, оно
будет иметь силу и в дальнейшем, что и утверждалось.
Уравнения (9.6"), (9.14) и (9.15) полностью определяют положение
твердого тела в пространстве.
С помощью соотношений (9.6") удобно сразу исключить состав-
составляющие момента, относя таким образом движение к главным осям
инерции, связанным с телом. Тогда вместо уравнения (9.14) полу-
получится следующая система:
SQ

{уравнения Эйлера). Эти уравнения могут быть сведены к квадра-
квадратурам при произвольных значениях интегралов движения в следую-
следующих основных случаях:
1) Точка опоры тела находится в центре инерции, так что К\ =
= /С2 = /С3 = 0; соотношение между главными моментами инерции
произвольно.
2) Jx = J2?= «/3 и точка опоры лежит на оси симметрии, отно-
относительно которой два момента инерции равны; точка опоры не сов-
совпадает с центром инерции. Это так называемый симметричный вол-
волчок.
3) Jx = J2 = 2/3; центр инерции лежит в плоскости, проходя-
проходящей через точку опоры перпендикулярно оси симметрии. Это вол-
волчок С. Ковалевской.
Показано также, что система уравнений (9.16) может быть
проинтегрирована в квадратурах при произвольных интегралах
движения, только если соблюдаются условия 1), 2) или 3) и в неко-
некоторых сходных случаях.
Свободный волчок. Случай 1), когда К = 0, инте-
интегрируется аналитически в очень сложной форме. Поэтому мы рас-
рассмотрим только некоторые общие свойства вращения свободного
волчка, которые можно получить, исследуя интегралы движения.
В неподвижной системе отсчета сохраняется вектор момента М.
В неинерциальной системе отсчета, связанной с волчком, М, ко-
конечно, не сохраняется. Но так как вращение не изменяет абсолют-
абсолютной величины вектора, во вращающейся системе должен сохраняться
квадрат момента М2. Это легко доказать и непосредственно, умно-
умножая первое уравнение системы (9.16) на J^^ второе — на ]гщ и
третье — на Уз^з- Тогда при К = 0 получаем, складывая все три
уравнения:
^ (/;©; + J&1 + /;©» = А (
Из той же системы уравнений следует и сохранение кинетической
энергии Т для этого случая. Надо умножить уравнения на ®l9 co2 и
<о3 и сложить, откуда получится Т = const.
Выразим теперь проекции вектора угловой скорости через
проекции момента с помощью (9.6") и подставим в выражение для
кинетической энергии. Тогда (вместе с условием сохранения квад-
квадрата момента) получим два уравнения:
М2 М2 М2
2JX ^ 2/2 ^ 2/3 ' ( '
Щ + М1 + Щ = №. (9.18)
Если на осях некоторой координатной системы отложены отрезки
Мъ М2 и М3, то (9.18) представляет собой уравнение сферы, а (9.17)—
Уравнение трехосного эллипсоида. Вектор А! должен удовлетво-
удовлетворять обоим уравнениям, т. е. лежать на пересечении обеих поверх-
87
+м» = ^ = о.

Линии пересечения выглядят
различно в зависимости от того,
вблизи какой из осей эллипсои-
эллипсоида они проведены. На рисунке 10
показан их примерный вид. Вбли-
Вблизи наибольшей оси эллипсоид вы-
высовывается из сферы. Следователь-
Следовательно, линия его пересечения со
сферой — замкнутая кривая. Око-
Около наименьшей оси эллипсоид
больше всего сплющен, так что из
него высовывается сфера и снова
получаются замкнутые линии пе-
пересечения. Вблизи средней оси
одно сечение эллипсоида имеет
большую кривизну, чем сфера,
а другое — меньшую. В резуль-
результате линия пересечения, проходя-
проходящая точно через среднюю ось, —
крестообразна, а близкие к ней
линии напоминают гиперболы, для
которых крестообразные линии слу-
служат асимптотами.
Из этого построения следует, что если вектор момента находится
где-то вблизи наибольшей оси инерции, то он описывает вокруг нее
замкнутую кривую. В неподвижной системе отсчета, где вектор
момента не изменяется, большая ось эллипсоида обращается по
замкнутой кривой около момента. Следовательно, вращение тела
вокруг наибольшей оси инерции устойчиво. То же относится к вра-
вращению около наименьшей оси инерции. Что касается средней оси,
то здесь кривые незамкнутые, так что вектор момента не остается
Бблизи средней оси. Вращение вокруг нее неустойчиво.
Для дальнейшего исследования удобно откладывать по осям
системы координат не составляющие момента, а составляющие уг-
угловой скорости вращения (olf ш2 и щ. Уравнения энергии и момента
запишем так:
Рис. 10
2 •"
2
* — т
Ol = М2.
Найдем направляющие косинусы нормали к эллипсоиду, выра-
выражающему сохранение энергии. Получим:
COS Oti = — .. - -г- = = -—
yv?©;+/!©! +у j©§ м м
и аналогично для других составляющих. Но отношение -~ есть
ке что иное, как косинус угла между вектором момента в непод-
неподвижной системе отсчета, где он сохраняется, и подвижными осями,

связанными с телом. Следовательно, касательная плоскость к эллип-
эллипсоиду сохраняет неизменное направление в пространстве, перпен-
перпендикулярное вектору момента.
Возьмем теперь вектор (о, проведенный в точку касания плос-
плоскости с эллипсоидом. Его проекция на направление нормали к
эллипсоиду равна:
d = о)х cos ах + оо2 cos а2 + со3 cos а3 = У о; ¦—- == -^ = const.
i
Такова проекция вектора, проведенного в точку касания, на
направление нормали к поверхности эллипсоида в этой точке.
Следовательно, это есть и проекция вектора о) на направление нор-
нормали к касательной плоскости, или, что то же самое, длина перпен-
перпендикуляра, опущенного из начала координат на касательную плос-
плоскость.
Итак, плоскость, перпендикулярная полному моменту и каса-
касающаяся эллипсоида, уравнение которого выражает сохранение энер-
энергии, остается на постоянном расстоянии d от начала координатной
системы, по осям которой отложены отрезки щ, со2 и со3, т. е. про-
проекции угловой скорости тела на подвижные оси. Эллипсоид как
бы катится по плоскости, неизменной в пространстве, причем ра-
радиус-вектор, проведенный в точку касания эллипсоида с плоскостью,
задает мгновенное значение угловой скорости по величине и по
направлению.
Свободный симметричный волчок. Задача о
вращении симметричного волчка, точка опоры которого находится
на оси симметрии, допускает, как указывалось, точное решение.
В математическом отношении оно довольно сложно. Решение за-
задачи о свободном симметричном волчке, наоборот, весьма просто,
Мы получим его по методу, который был только что развит для про-
произвольного свободного волчка.
Допустим, что У2 — Л» т- е- что эллипсоид, уравнение которого
выражает сохранение энергии, есть эллипсоид вращения. Он изо-
изображен на рисунке 11, где
касательная плоскость совер-
совершенно произвольным образом
выбрана горизонтальной. Для
большей четкости чертежа
вектор угловой скорости про-
проведен не в точку касания эл-
эллипсоида с плоскостью, а в
противоположную сторону,
^то просто означает, что та-
такая же горизонтальная каса-
касательная плоскость подразуме-
подразумевается проведенной сверху от
эллипсоида. Кроме того, век-
ТоРы изображены не в мае- Рис \\
89

штабе, а несколько увеличенными, так что надо представлять
себе вектор о) продолженным только до пересечения с поверхно-
поверхностью эллипсоида и соответственно уменьшенными его проекции.
Угол 0 между осью симметрии и направлением нормали к плос-
плоскости, т. е. направлением полного момента, остается неизменным,
как видно из рисунка И, потому что точка касания эллипсоида
с плоскостью описывает на поверхности эллипсоида окружность
в плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Угол 0 опреде-
определяется из равенства:
" М '
Составляющая угловой скорости, направленная по оси сим-
симметрии, остается постоянной. Это значит, что ось симметрии рав-
равномерно вращается вокруг направления полного момента, неиз-
неизменного в пространстве. Такое движение называется прецессией.
Так как прецессия происходит вокруг полного момента, ее уг-
угловая скорость о)п должна быть направлена вдоль Ж. Составля-
Составляющая по оси симметрии не имеет отношения к прецессии. Как видно
из рисунка 11, со2 = G)nsin0. Но проекция полного момента на
ось 2, которая считается неизменно проведенной в плоскости чер-
чертежа (а не скрепленной с телом волчка), равна: М2 = */2<*>2 =*
*= М sin 0, откуда
Если волчок имеет точку опоры не в центре инерции, то сохраня-
сохраняется не полный момент, а только его вертикальная составляющая.
При достаточно большой угловой скорости вращения волчок со-
совершает колебания в вертикальной плоскости, накладывающиеся на
прецессию.
Углы Эйлера. Покажем теперь, как описать вращение
твердого тела в пространстве с помощью параметров, задающих
его положение. Для этого удобно построить две системы координат:
одну — неподвижную Охуг и дру-
другую — скрепленную с телом Ох'у'г1
обычно так, что оси этой системы
совпадают с главными осями инер-
инерции в данной точке. Тогда положе-
положение движущейся системы координат
относительно неподвижной полно-
полностью определяется с помощью трех
углов Эйлера (рис. 12):
О — угол между осями Ог и Ог' f
Ф — угол между линией ОК пе-
пересечения плоскостей хОу и х'Оу'
и осью х\
i|? — угол между линцей ОК и
осью х.
К
90

Угловая скорость вращения, как мы знаем, откладывается в виде
Отрезка, направленного по оси вращения, т. е. перпендикулярно
плоскости поворота. Прямая ОК перпендикулярна (по построению)
осям Oz и Oz'', а следовательно, перпендикулярна проходящей через
них плоскости. В этой плоскости откладывается угол поворота Ф,
так что угловая скорость Ф направлена по линии ОК. Таким же обра-
образом видно, что угловая скорость ср откладывается по оси 0г\ а'ф —
по оси Oz.
Выразим проекции угловой скорости сох, со2 и со3 на главные
оси инерции Ох'', Оу' и Oz' через обобщенные скорости ф, ср и Ь.
со3 есть проекция угловой скорости на ось Oz' (третью ось). На эту
ось ср, как указывалось, проецируется целиком, а проекция ф
равна г|5 cos Ф, так как Ф есть угол между осями Oz и Oz'. Следова-
Следовательно, ".Га /лол\
©3 = (p-f'ipcos'Oi. (9.20)
Чтобы найти проекции угловой скорости на две другие оси,
мысленно проведем линию OL в плоскости х'Оу' и перпендикуляр-
перпендикулярную ОК (на рисунке 12 линия OL не показана). Тогда
LLOx' = ~-y и Z.zOL = ^ + $y
так как прямая OL лежит в плоскости zOz'', как и все прямые,
перпендикулярные ОК*
Проекция г[) на OL равна — ipsind, а проекция на Ох' равна
— -ф sin тЭ1 cos (у — ср), или—г|? sin § sin ср. Проекция ф на Оу' есть
"ф sin #cos ф. Проекции Ь на Ох' и на Оу' видны непосредственно
из чертежа, они равны #coscp и Ь sin ср. Таким образом, находим:
щ = Ь cos ф — я|3 sin О sin ф, (9.21)
со2 — ф sin ф + 'Ф sin d со5ф. (9.22)
Формулы (9.20) — (9.22) показывают, что сох, со2 и со3 не являются
полными производными по времени от каких-либо величин и в этом
смысле не совсем совпадают с обычным понятием обобщенной ско-
скорости в отличие от ф, я|5 и 4. Об этом было сказано в связи с форму-
формулой (9.7).
Если подставить со1у со2 и со3, выраженные через эйлеровы углы,
в формулу (9.12), то получится кинетическая энергия твердого тела
в зависимости от обобщенных координат ф, г|э, О и скоростей ф, ф, Ь.
Симметричный волчок в поле тяжести.
Найдем функцию Лагранжа симметричного волчка, точка опоры
которого лежит на оси симметрии на расстоянии / ниже центра
инерции. Если волчок наклонен на угол Ф к вертикали, высота
центра инерции над точкой опоры z равна / cos Ф. Следовательно,
Потенциальная энергия волчка
U = mgz = mgl cos 0. (9.23)
91

Кинетическая энергия волчка, выраженная через углы Эйлера,
есть
TJ(l + l)+
у^) (9.24)
Разность L = Т — U дает функцию Лагранжа. Но так как она
не содержит времени явно, полная энергия Е = Т + U является
интегралом движения:
? = Т + (/ = const.
Можно найти еще два интеграла движения, замечая, что углы ф
и г|? не входят в функцию Лагранжа явно, т. е. ср и ф — цикличе-
циклические координаты (ф выпадает только у симметричного волчка,
ф вообще не входит в Т). Получаем:
Pv = дф~ = уз (Ф + Ф cos О) = const, (9.25)
р^ = ^А = Jx sin2 § ф + Js cos « (ф + ф cos «) - const. (9.26)
Если исключить из последних двух уравнений ф и ф и подста-
подставить их в интеграл энергии, то последний будет содержать только
переменную д, что позволяет свести задачу к квадратурам.
Подставляя (9.25) в (9.26), получаем:
р^ = Уг sin2 О ф + Рф cos Ф,
откуда
Интеграл энергии после подстановки фиф равен:
Таким образом, задача свелась к движению как бы с одной
степенью свободы #. Соответствующая «кинетическая» энергия
есть у Ji&2, а «потенциальная» энергия представлена теми слагае-
слагаемыми, которые зависят от #. Эта «потенциальная» энергия обра-
обращается в бесконечность при д = 0 и # = я. Следовательно, при
О < •& < я она имеет по крайней мере один минимум. Если этот
минимум соответствует '§<< — , то вращение волчка, у которого
центр инерции лежит выше точки опоры, устойчиво. Около поло-
положения устойчивого равновесия, в данном случае динамического,
возможны малые колебания. Они накладываются на уже известное
нам прецессионное движение волчка и называются нутациями.
92

УПРАЖНЕНИЯ
1) Зная постоянные движения р^ и р^, найти угол, при котором ампли-
амплитуда нутаций может равняться нулю, т. е. волчок будет вращаться в поле тяжести
как свободный (псевдорегулярная прецессия).
Решение. Из интеграла энергии (9.27) находим существенно положи-
положительную величину -^- J^2. Угол О при нутациях изменяется в узких пределах
вблизи положения минимума «потенциальной» энергии. Если полная энергия Е
как раз соответствует положению минимума «потенциальной» энергии, обе точки
пересечения прямой Е = const с кривой «потенциальной» энергии сливаются
в одну. Дифференцируя уравнение
Е
по Ф, приравнивая производную нулю и решая совместно с уравнением энергии,
получаем уравнения для угла псевдорегулярной прецессии и Е:
3mgl cos* 0 - ( 2? - ^ + f) cos « - mgl + *р- = 0.
2) Ось симметричного волчка (гироскопа) может вращаться только в гори-
горизонтальной плоскости. Определить ее движение с учетом влияния суточного
вращения Земли.
Решение. Разложим вектор угловой скорости вращения Земли в данной
точке земной поверхности на две составляющие: вертикальную сов = со sin б
F— широта места) и горизонтальную, касательную к меридиану сог = со cos 6.
Она, очевидно, направлена на север. Пусть ось гироскопа составляет угол ср
с меридианом в горизонтальной плоскости. Угловую скорость вращения гироскопа
вокруг оси обозначим соо. Так как два момента инерции гироскопа равны, одну
из главных осей можно считать постоянно направленной вертикально, а дру-
другую — горизонтально. Хотя гироскоп движется относительно них, они при его
вращении не теряют своего свойства главных осей, так как постоянно находятся
в плоскости равных моментов инерции.
Проекции угловых скоростей вращения рамки гироскопа, удерживающей
его ось в горизонтальной плоскости, на выбранные таким способом главные оси
инерции равны:
tox = сов + ф> <?-2 = ^г sin ф> ^з ^ ^г cos ф«
Отсюда получаются составляющие момента по главным осям инерции (ско-
(скорость вращения самого гироскопа соо не учитывалась в со3, так как система отсчета
скреплена с рамкой!):
M1 = J1 (сов + ф), M2 = «/i0)r sin ф, M3 = J3 (со0-|-сог
Воспользуемся теперь уравнениями (9.14) для изменения составляющих М
со временем. Момент сил действует только относительно второй оси: он обуслов-
обусловлен реакцией опоры, удерживающей ось гироскопа в горизонтальной плоскости,
^о уравнение выписывать не надо. Уравнение для первой составляющей
момента дает:
dMx d2® 2
-^j- -f- щм3 — co3/W2 = J г —i + У3соГ sin ф (со0 + cor cos ф) — «/icor cos ф sin ф = 0.
Пренебрегая малой величиной порядка квадрата угловой скорости враще-
вращения Земли, приходим к уравнению, совпадающему с уравнением качаний маят-
маятника, которое следует из C.22):
-Ф +--3-Gvo sin =0
ut J х
93

При малых углах отклонения от меридиана sin q> заменяется на <р, и период
качаний равен
2я
</3<J>oa> COS б '
Такой гироскоп лежит в основе принципа действия гирокомпаса, который
в отличие от магнитного компаса показывает точно на север.
3) Пользуясь уравнениями Эйлера (9.16) и кинематическими уравне-
уравнениями (9.15), получить первый интеграл движения для волчка С. Ковалевской.
Решение. Пусть точка опоры волчка лежит в плоскости равных момен-
моментов инерции на расстоянии / от центра инерции. Проекции вертикального напра-
направления на подвижные оси назовем лх, /г2 и /г3. Тогда момент силы тяжести отно-
сительно центра инерции имеет такие составляющие: 0;—n3Ytng\ п2У mg.
Для nlt n2 и п3 пишем кинематические уравнения:
Уравнения Эйлера записываем так:
о d(&9 9 9 rngl
^2я -^ = 1*8л ^ = 7^-
Умножим второе равенство на /, сложим с первым, а результат умножим на
+ tco2. Тогда получим:
^г @)! + f0JJ = — /0K @)i + К02J
Умножим второе кинематическое уравнение на i и сложим с первым*
Обе части получившегося соотношения умножим на (л2 и вычтем из уравне-
уравнения, содержащего производную -тг (cO] + tco2J. В результате получим:
-?. [(щ + /©а)а - ^2 (пг + in.2)] == - /со3 [(©! + /со2J —
или, если обозначить 0 = (% + f(o2J — jli2 (^ +
Совершенно аналогичным образом составляется уравнение для комплексно
сопряженной величины б*: ~-гг — шф*. Но тогда, умножая уравнение для б
на 0 *, а для б * на 0 и складывая, получаем интеграл движения:
jt 66* =0, | (сох + когJ-^2 (пг + 1п2) |2 = const.
§ 10. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
До сих пор мы пользовались в качестве уравнений движения
системой уравнений Лагранжа. Эти уравнения, если воспользо-
воспользоваться понятием обобщенного импульса ра, можно записать так:
Ра=Ц. (Ю.2)
94

Обобщенные координаты и импульсы входят в них несимметрич-
ньш образом. В ряде случаев бывает удобно иметь симметричную
систему уравнений. Для практического решения задач механики
она не лучше и не хуже уравнений Лагранжа, но гораздо важнее
при общих исследованиях.
Уравнения Гамильтона. Функция Лагранжа за-
зависит от обобщенных скоростей квадратично, так что уравне-
уравнения A0.2) линейны относительно всех qa. Такие уравнения всегда
можно разрешить и выразить qa через обобщенные импульсы.
Образуем теперь выражение для энергии (см. D.1)):
Е = qa щ~а — ^ (• • • Яа> • • • > • • • Qa • • •)
и подставим в него все qaf выраженные через все р$.
Энергия, выраженная через обобщенные координаты и соот-
соответствующие импульсы, называется функцией Гамильтона системы,
или, короче, гамильтонианом:
E(...qa, ..., ...4a(Pt)...) = H(p, q) = 4aPa-L. (Ю.З)
Если, например, заменить в выражении (9.27) й на у,
получим гамильтониан симметричного волчка в поле тяжести.
Для того чтобы вывести искомую систему уравнений, напишем
выражение принципа Гамильтона, или принципа наименьшего
действия, выразив в подынтегральной функции L через Н:
6S = 6 $ (paqa - Я (р, q)) dt = 0. A0.4)
Здесь все обобщенные скорости заменены через обобщенные им-
импульсы. Очевидно, что свойство интеграла быть экстремальным
вдоль истинной траектории не может зависеть от того, в каких
переменных он выражен.
Вычислим вариацию 65:
65 = J [bpaqa + pa6qa - Щ-а ЬРа - ^ bqa) dt = 0.
Второй член в скобках можно проинтегрировать по частям, подобно
тому как это было сделано в B.17). Тогда
Щ-№ = О. A0.5)
Проинтегрированная часть обращается в нуль на пределах
интегрирования, если наложено условие, что варьируемая траек-
т°рия всегда проходит через заданные концевые точки. В этих
Т°чках б^а = 0. Под интегралом qa и ра являются независимыми
еременными, вариации которых совершенно произвольны. Рас-
95

суждая в точности так же, как при выводе уравнений Лагранжа
в § 2, заключаем, что вариация 65 может быть равна нулю только
в том случае, если выполняются следующие уравнения:
Вместо п уравнений Лагранжа второго порядка получаются 2п
уравнений первого порядка. Они называются уравнениями Гамиль-
Гамильтона.
Если Н не зависит явно от времени, то можно полностью исклю-
исключить время из этих уравнений, деля все уравнения на одно из них.
Покажем для простоты, как это делается для систем с одной сте-
степенью свободы:
дН
dq д_Н% {Ш'П
Интегрирование уравнения A0.7) дает одну произвольную
постоянную. Вторая постоянная определится из квадратуры:
dl __ 1
dq — дН/др1
где Н есть функция q и р, в которой р выражено через q с помощью
проинтегрированного уравнения A0.7). Постоянная интегрирова-
интегрирования последнего уравнения есть просто начальный момент времени t0,
который без ограничения общности законно положить равным нулю.
Заметим, что в функцию Лагранжа нельзя подставлять импульсы,
подобно тому как мы подставляли их в энергию, желая использо-
использовать все известные интегралы движения (ср. (9.27)). Функция Лаг-
Лагранжа от подстановки импульсов даст неверные уравнения движе-
движения для других переменных. Но можно поступить следующим
образом.
Пусть некоторая обобщенная координата qa циклическая.
Выразим соответствующий постоянный импульс и решим уравне-
уравнение для него относительно qa. Тогда, если образовать функцию
R^poqa-L A0.8)
(по о нет суммирования!), то по отношению к qa она будет равно-
равноценна гамильтониану, а для всех остальных переменных останется
функцией Лагранжа. Иначе говоря, для ра и qa надо писать урав-
уравнения A0.6), A0.6'), и первое из них сразу дает pG = const. Урав-
Уравнения движения для остальных переменных образуются с помо-
помощью R по правилу B.20). R называется функцией Рауса.
Канонические преобразования. Нам неодно-
неоднократно приходилось менять динамические переменные, переходя,
например, от прямоугольных координат к сферическим. При таких
96

преобразованиях уравнения Лагранжа, разумеется, не изменяют
своего вида. Они составляются одним и тем же способом на основе
вариационного принципа.
Теперь надо рассмотреть преобразования более общего типа,
которые затрагивают не только обобщенные координаты, но и обоб-
обобщенные импульсы, поскольку те и другие, как было показано, можно
рассматривать симметричным образом друг по отношению к другу.
Но при этом выдвигается основное требование: преобразованные
координаты и импульсы должны удовлетворять уравнениям такого
же вида, как исходные, т. е. A0.6) и A0.6'), хотя, возможно, и с дру-
другой гамильтоновой функцией. Уравнения Гамильтона называются
иногда каноническими, а искомые преобразования тоже называются
поэтому каноническими.
Итак, допустим, что старые динамические переменные ра и q^
выражены через новые Рр и Qp, для которых гамильтониан есть
не Я, а /С.
Если старая функция Лагранжа была равна paqa— Я, то новая
должна иметь вид PpQ|3 — К- Но из § 2 нзвес7но, что функция
Лагранжа определена только с точностью до полной производной
от некоторой функции координат и времени. Пусть эта функция V
зависит как от старых, так и от новых координат. Тогда соотноше-
соотношение между обеими функциями Лагранжа (старой и новой) следую-
следующее:
dqa dQp dV (q, Q) dQfi
нрк^—ж—==р$чг
dV dQrt dV
1
Так как все dqa и все dQ$ — независимые величины, соотно-
соотношение A0.9) может иметь силу только в том случае, если равны
стоящие при них выражения. Отсюда получаются равенства, кото-
которым должны удовлетворять старые и новые переменные для того,
чтобы преобразование от одних к другим было каноническим:
Ра = 9д}а, A0.10)
Н = К-%. A0.12)
Уже было указано, что координаты и импульсы входят в урав-
уравнения Гамильтона симметричным образом. Поэтому можно напи-
написать формулы преобразования, в которых вместо старых и новых
координат входили бы старые координаты и новые импульсы, или
старые импульсы и новые координаты, или старые импульсы и
новые импульсы.
4 Компанеец А. С. 97

Для примера покажем, как перейти от преобразований A0.10)
A0.12) к таким, где вместо qa и Q$ входят qa и Pp. Положим
Тогда первое слагаемое в A0.9) справа, т. е. Рр-^~, сократится
с соответствующим членом из функции преобразования и полу-
получится такое равенство:
V'dqaLdV> ' dP» ndP*4dV' (U)U\
Из него найдем другие формулы преобразования:
|^ (юле)
н = к~ж- 0°Л7)
Способ получения дальнейших формул очевиден.
Уравнение Гамильтона — Якоб и. Допустим, что
удалось разыскать такую функцию преобразования V (q, Q), что
новый гамильтониан К тождественно равен нулю. Тогда новые дина-
динамические переменные согласно A0.6) и A0.6') удовлетворяют сле-
следующим уравнениям:
dP дК
дК
°- 00.19)
Иначе говоря, и Р$, и Q|3 постоянны, а так как решение задач
механики требует разыскания 2п постоянных, функция V (q, Q),
обращающая новый гамильтониан в нуль, сразу дает искомое ре-
решение. Эта функция удовлетворяет уравнению:
Оно получается, если в A0.12) положить К = 0 и подставить в него
обобщенные импульсы р из A0.15).
Уравнение в частных производных первого порядка A0.20)
с п переменными называется уравнением Гамильтона — Якоби.
Разыскивать общее решение A0.20), содержащее 2п произволь-
произвольных функций, не требуется. Достаточно найти так называемый
полный интеграл этого уравнения, в который входит п произволь-
произвольных неаддитивных постоянных С/. Он называется полным интег-
интегралом уравнения.
Если такой интеграл найден, то можно принять указанные п
постоянных за новые координаты, т. е. положить
98

Тогда согласно A0.11) получим новые импульсы:
Эти новые импульсы, как видно из A0.18), есть тоже постоянные
величины. Таким образом, из уравнения Гамильтона — Якоби
достаточно найти решение, содержащее половину всех интегралов
движения, остальные определятся простым дифференцированием.
Разумеется, уравнение Гамильтона — Якоби обычно удается
решить в замкнутом виде только в тех же случаях, когда решение
может быть найдено как-либо еще. Но выкладки, ведущие к разы-
разысканию интегралов движения, при использовании уравнения Га-
Гамильтона — Якоби сильно сокращаются по сравнению с другими
методами решения задач механики. Кроме того, по конкретному
виду уравнения A0.20) легче заключить, допускает ли оно решение
в замкнутой форме.
Действие как функция преобразования.
В качестве одной из возможных функций преобразования можно
взять действие системы 5. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ра-
равенство A0.5), выражающее полную вариацию действия. В § 2 было
указано, что вариация координаты отличается от дифференциала
тем, что она произвольна, а дифференциал берется вдоль траектси
рии действительно совершающегося движения. Отнесем теперь
равенство A0.5) именно к этому случаю, т. е. к истинному движе-
движению. Тогда подынтегральное выражение обратится в нуль согласно
уравнениям Гамильтона A0.6) и A0.6'), поскольку для истинного
движения эти уравнения всегда выполняются. На пределах интег-
интегрирования вариации 8S перейдут в дифференциалы этих величин,
взятые вдоль траекторий, так что и вариацию действия 65 можно
заменить на dS. Таким образом, получим:
dS=padqa-p»adq°a. A0.22)
Но так как движение системы теперь определено, действие S
можно рассматривать как функцию текущих координат qa при
заданных начальных значениях qda. Это соответствует следующему
построению. В начальный момент имеется непрерывный набор оди-
одинаковых по устройству систем, различающихся только начальными
условиями движения. Иначе говоря, системы имеют одинаковые
гамильтонианы и в начальный момент как бы заполняют гладкую
поверхность так, что каждая точка поверхности отвечает определен-
определенному набору начальных условий движения.
С течением времени каждая система получает согласно динами-
динамическим законам и своим начальным условиям свое текущее значе-
значение обобщенных координат. Для этих координат снова можно по-
построить поверхность наподобие начальной. Но на ней значение дей-
действия не будет таким, как на исходной поверхности для данных
систем, «стартовавших» в момент i = 0.
4* 99

Если, однако, «выпускать» системы
с начальной поверхности непрерывно,
то в каждый момент времени найдется
такая поверхность, на которой значение
действия такое же, какое было в момент
/=0 у систем, «стартовавших» внача-
вначале. Следовательно, поверхность постоян-
постоянного значения действия перемещается в
пространстве обобщенных координат qaf
не будучи скрепленной с одними и теми
же частицами (мы покажем это дальше
на совсем простом примере свободных
частиц).
Рассмотрим распространение поверх-
поверхности постоянного действия (рис. 13),
показанное схематически в пространстве двух измерений. Так как
действие теперь вычисляется вдоль известной траектории, оно являет-
является функцией qay /, а также той точки на начальной поверхности,
где проходила данная траектория. Если 5 = 5 (qa, qfo, /), то для дан-
данного момента времени / полный дифференциал dS должен быть равен:
=const
Рис. 13
"s-(?),*•+(?
A0.23)
Сравнивая между собой A0.22) и A0.23), заключаем, что
dS N A0.24)
A0.25)
где индекс внизу у скобки показывает, что все переменные из дан-
данной совокупности qa или q*a считаются при дифференцировании
постоянными.
Вычислим, кроме того, частную производную -~г. Полная про-
изводная -тг равна функции Лагранжа (по определению действия).
Частная производная отличается от полной следующим образом:
OS dS OS dqa
Ж ~~~ ~dt ~~ d(fa ~df'
Подставляя сюда ра из A0.24), получаем:
dS — г п — и
Qf — ^ РаЧа — ** •
A0.26)
Но равенства A0.24) — A0.26) совпадают с A0.15) — A0.17),
если положить в последнем из них новую гамильтонову функцию К
равной нулю. Следовательно, действие является такой функцией
преобразования, которая удовлетворяет уравнению Гамильтона —
100

Якоби. Постоянными интегрирования при этом являются началь-
начальные координаты, а другие п постоянных представляют собой не
что иное, как начальные импульсы, согласно A0.25) и A0.21).
Итак, перемещение системы по траектории действительного
движения осуществляет непрерывно развивающееся каноническое
преобразование от текущих переменных координат и импульсов
к постоянным начальным координатам и импульсам.
Найдем теперь скорость распространения в пространстве по-
поверхностей с постоянным значением действия. Для наглядности
возьмем систему с одной степенью свободы. Продифференцируем
действие и потребуем, чтобы дифференциал обращался в нуль,
поскольку надо узнать, как перемещается одно и то же значение 5:
Вместо частной производной действия по времени подставим
3S ~
энергию со знаком « —», а вместо д импульс. Отсюда искомая
dq
скорость, т. е. ~, равна:
Между тем скорость самих частиц v равна согласно A0.6')
не частному —, а производной д—. Например, для свободных
частиц поверхность постоянного действия переносится со скоро-
скоростью ^-=-^-, т. е. вдвое медленнее самих частиц.
2tnv 2 '
Интегрирование уравнения Гамильтона —.
Якоби. Рассмотрим для примера, как интегрируется уравнение
Гамильтона — Якоби в конкретном случае — в задаче Кеплера.
Функция Лагранжа в этой задаче, как было показано в § 3 (см.
C.11)), выглядит так:
= у (г + f2^2 + r sin2 О ф2) — U (г).
Найдем теперь функцию Гамильтона. Импульсы выражаются
через скорости следующим образом:
pr = mrf р$ = тггЬ1 py — nir2 sin2id(p.
Выражая отсюда обобщенные скорости через соответствующие
импульсы и заменяя в гамильтониане входящую в функцию Лаг-
Лагранжа величину —U на (У, получаем:
Чтобы получить отсюда уравнение Гамильтона — Якоби, заме-
заменяем по общему празилу импульсы на производные действия
по отвечающей им координате и приравниваем найденное выра-
101

жение — -qj. Вместо функции преобразования V будем всюду
писать S. Тогда
Прежде всего надо исключить переменные, не входящие явным
образом в уравнение, т. е. время t и азимут <р. Это делается так.
Вместо S вводится новая функция So — так называемое укорочен*
ное действие:
в). A0.30)
Подставляя выражение A0.30) в A0.29), приходим к уравнению
для 50:
Чтобы проинтегрировать уравнение A0.31), будем искать ре-
решение в виде
Подставляем это решение в A0.31) и переносим члены, содержа-
содержащие переменную ¦&, в левую часть равенства, а энергию — в правую
часть (последнее не обязательно). Получилось, что слева стоит
функция, зависящая только от радиуса, а справа — функция, зави-
зависящая только от полярного угла. Но гид — переменные незави-
независимые. Можно менять, например, г, не изменяя (К Тогда левая часть
равенства будет меняться, а правая останется неизменной или
наоборот. Такая ситуация может осуществиться в одном и только
в одном случае: когда обе стороны равенства постоянны и не зависят
ни от г, ни от О. Назовем их значение М2. Тогда получаем два урав-
уравнения:
^ sin* ф т •
Интегрируя оба уравнения с помощью квадратур и объединяя
результат в уравнении A0.30), находим полный интеграл уравне-
уравнения Гамильтона — Якоби, содержащий три произвольные посто-
постоянные:
A0.32)
Отсюда могут быть определены другие постоянные путем диф-
дифференцирования по уже известным постоянным Еу /?ф и М. Смысл
первых двух новых постоянных легко усмотреть из ответа: это есть
начальный момент времени и взятый со знаком «минус» начаданый
102

азимут. Действительно, уравнений траектории после таких под-
подстановок приводятся к виду:
A0.33)
A0.34)
Ж = — > г — - > г rif- (Ю-35)
sin
OS
Интегралы, входящие в A0.33) и A0.35), могут быть найдены,
если подставить конкретный вид зависимости потенциальной энер-
энергии от расстояния до центра U = U (г). Практически наиболее
важный случай относится к задаче Кеплера, когда [/ = .
Тогда уравнение A0.33) выражает зависимость радиуса г от вре-
времени, A0.34) связывает между собой азимут и полярный угол и
A0.35) дает зависимость радиуса от полярного угла.
Решение такого вида удобно использовать в тех случаях, когда
около притягивающего центра движется не одно тело, а несколько,
причем в разных плоскостях. Тогда полученное решение справед-
справедливо до тех пор, пока не учитывается взаимодействие между телами.
При учете возмущения такое решение дает нулевое приближение.
Переменные действия и угловые перемен-
н ы е. Рассмотрим теперь решение уравнения Гамильтона — Якоби
применительно к задаче о финитном движении системы. Примером
такого решения может служить A0.32), если потенциальная энер-
энергия U (г) относится к силам притяжения, а полная энергия Е < 0
при U (оо) = 0.
При финитном движении в центральном поле г, # и <р изменяются
в конечных пределах, которые для гий устанавливаются из усло-
условия положительности подкоренных выражений в A0.32). ф ме-
меняется от 0 до 2я. Из уравнения A0.24) видно, что
Эти импульсы имеют действительные значения при данных Е,
М и /?ф в тех случаях, когда под корнем стоят положительные
величины.
Допустим, что движение финитно по всем переменным. Тогда
любой из интегралов
^\ A0.36)
103

по всей области изменения pt и qt сходится. Область интегрирова-
интегрирования начинается от любого значения qh идет до предела изменения qt
с одной стороны (где подынтегральное выражение обращается
в нуль), назад до другого предела и опять до qt. Иначе говоря, это
площадь кривой pi = pt (#,•), нарисованной в плоскости, где по ко-
координатным осям отложены ph qt. (~— введено в определение для
того, чтобы выполнялось такое равенство:
2л
т. е. /ф просто совпадал с рф; для единообразия такой же множи-
множитель входит во все Ik.)
Допустим, что интегралы Ik вычислены для всех переменных.
Очевидно, что они зависят только от первых интегралов движения,
которые определяют значения всех обобщенных импульсов ра.
Например, в случае задачи Кеплера 1ГУ 7^, 7Ф выражаются через Е>
М, рф. Выразим теперь первые интегралы через величины Ik.
Тогда получится, в частности, энергия как функция всех Ik:
E = E(Ilf /*,...,/*...., /я). (Ю.37)
Подставим интегралы движения, выраженные через Ik, в функ-
функцию действия, аналогичную A0.32), но не содержащую времени
явно, т. е. такую, в которую не введен член —Et. Тогда согласно
общей теории канонических преобразований получаем функцию
преобразования от переменных qa к другим переменным, тоже
каноническим. Пусть в новых переменных Ik — обобщенные им-
импульсы. Функция преобразования теперь имеет вид:
S = Si (?«./*)• 00-38)
Так как время не входит в A0.38) явно, новый гамильтониан
в соответствии с A0.17), равен старому:
/( = // = ?(...7Л...). A0.39)
Но этот новый гамильтониан зависит только от обобщенных
импульсов Iki так что, применяя формулы A0.6) и A0.6'), получим
уравнения Гамильтона для импульсов Ik и соответствующих коор-
координат, которые обозначим wk:
*> = -ш-Г0' A0Ж)>
щ = щ = const. A0.41)
Интегрируя уравнение A0.40), еще раз убеждаемся, что Ik —
постоянные движения. Из A0.41) следует, что переменные до* линейно
изменяются со временем:
wk = §-kt + wl A0.42)
104

Величины wk и Ik называются угловыми переменными и пере-
переменными действия. Такое название для wk выбрано потому, что
эти переменные нарастают наподобие угла при равномерном вра-
вращении.
Будем теперь следить за изменением одной угловой переменной,
происходящим за счет того, что соответствующая обобщенная коор-
координата пробегает в обе стороны весь дозволенный интервал значе-
значений. Мы следим не за фактически совершающимся движением, когда
меняются все обобщенные координаты, а закрепляем значения всех
координат, кроме одной, и эту одну изменяем при заданном значе-
значении всех интегралов движения Л^.
Ясно, что, когда изменяющаяся координата пробегает все воз-
возможные значения и вместе с соответствующей скоростью возвра-
возвращается к исходному значению, приращение получает только отве-
отвечающая ей угловая переменная wk. Приращение действия при этом
воображаемом цикле есть 2nlkt так как \Pidqi на одном цикле ра-
равен 2л// (см. A0.36)). Но согласно A0.16) такому изменению дей-
действия надо сопоставить изменение угловой переменной АшА, свя-
связанное с ним равенством:
Awk = vy- А5ь = jcr 2nlk = 2я.
Найдем необходимый для этого цикла промежуток времени xk.
Согласно A0.42) имеем:
Awk = lf~Tk = 2n. A0.43)
Такому периоду изменения координаты отвечает частота оЛ,
согласно общему определению равная —, т. е.
дЕ
Если бы изменялась только координата qk, то, имея период изме-
изменения tfc, она зависела бы от времени по закону:
(Ю.44)
п = 1, 2,... ' /
На самом деле, однако, все qk зависят от всех wiy так что вместо
частного закона A0.44) надо написать более общий:
qk=Re[ Z Aklnvnt,...,nke k , A0.45)
\nvn2t...tnk I
где целые числа nk приобретают всевозможные значения.
Тогда, «останавливая время» для всех переменных, кроме одной,
мы вернемся к A0.44), т. е. к периодической зависимости, а в дей-
действительности имеем зависимость более общего вида — A0.45).
105

Если частоты сой несоизмеримы, то все линейные комбинации
с целыми nk различны. Поэтому функция A0.45) ни при каких t
ни разу не возвращается к исходной величине, какую она имела
при t = 0. Но она может подойти к начальному значению сколь
угодно близко, если ждать достаточно долго. Координата qk не
периодическая, а, как говорят, почти периодическая, или условно
периодическая функция времени.
Иногда оказывается, однако, что частоты соизмеримы. Тогда
по истечении времени, кратного всем периодам, система вернется
в исходное состояние, и ее траектория замкнется. Пример замкну-
замкнутой траектории представляет эллиптическая траектория в задаче
Кеплера, где все три периода тГУ % и тф одинаковы. Другой такой
же случай — двумерный гармонический осциллятор с одинаковыми
частотами колебаний по двум направлениям.
Адиабатические инварианты. Допустим теперь,
что система подвержена некоторому внешнему воздействию, зави-
зависящему от времени (например, гамильтониан содержит параметр А,,
который со временем постепенно изменяется), но примем, что за
любой из периодов rk параметр X меняется очень мало.
Если гамильтониан системы явно содержит время, то функция
преобразования S± к переменным Ik тоже должна зависеть от вре-
времени. При этих условиях старый гамильтониан не равен новому,
а согласно A0.17) связан с ним таким соотношением:
(Ю.46)
-ч^) при очень медленном изменении X
можно отнести к постоянжму Xt а A0.46) рассматривать как раз-
разложение гамильтониана в ряд Тейлора, включающее только член
первого порядка малости по X.
Если изменяется со временем гамильтониан, то переменными
должны являться и производные от него величины:
дК (J*S\ К /in Л7Ч
Мы покажем, однако, что в известном смысле Ik изменяются
гораздо медленнее X. Для этого введем понятие среднего по вре-
времени от некоторой величины / (/):
t
~f= lim-f [ fdt. A0.48)
t~* 00 * *3
Допустим, что интервал времени / очень велик по сравнению со
всеми периодами системы xk, но весьма мал сравнительно со вре-
временем заметного изменения параметра X. Или, если записать это
в виде сильных неравенств: ДА, = Xt <^ X и соЛ/ ^> 1, тогда можно,
106

усредняя по времени уравнение A0.47), вынести i из-под интеграла.
Получится следующее равенство:
Производная i~-j , как видно из записи A0.46), берется при
постоянных Ik. Поэтому, если время изменяется на любой целый
период %и (когда к S прибавляется 2nlk), производная ^г такой
добавки не получает, оставаясь условно периодической функцией.
Но среднее значение от функции е k за достаточно большой
промежуток времени стремится к нулю, потому что
= 0.
k
Следовательно, среднее изменение величины k ~J k проис-
происходит не в меру изменения К за то же время, а гораздо меньше.
В пределе, считая X бесконечно малой величиной первого порядка
малости, находим, что изменение Ik есть бесконечно малая мень-
меньшего порядка. Иначе говоря, Ik должно считаться постоянной ве-
величиной.
Этим важным свойством Ik отличается от энергии, которая ме-
меняется соответственно X, иначе говоря, не сохраняется. Произвольно
медленное изменение величины в системе называется адиабатиче-
адиабатическим. Так как Ik при таком изменении сохраняется, его называют
адиабатическим инвариантом.
Вычислим его для линейного гармонического осциллятора.
Согласно общему определению G.31) энергия отдельного осцилля-
осциллятора равна:
* = ? + ^. A0-49)
Отсюда адиабатический инвариант равен:
_ У2Е
СО
A0.50)
Допустим, что вследствие изменения упругой постоянной осцил-
осциллятора медленно меняется его частота. Тогда согласно A0.50) ока-
оказывается, что энергия должна меняться пропорционально частоте.
Если, к примеру, постепенно менять длину подвеса маятника,
то с помощью G.3) нетрудно заключить, что энергия качаний будет
107

обратно пропорциональна корню квадратному из длины. Выражая
энергию через угловую амплитуду колебаний ф0 по формуле
Е = у mgly\y заключаем, что ф0 ^ Г3/4.
Выводы, относящиеся к маятнику, можно, разумеется, получить
и совершенно элементарно. Для этого надо рассчитать, какая ра-
работа против силы натяжения нити совершается при ее укорочении
за один период качания, Если нить укоротилась на А/, то в энер-
энергию качания перейдет только половина совершенной работы, т. е.
разность между работой повышения наивысшей и наинизшей точек
маятника. Сила натяжения нити, обусловленная качаниями маят-
маятника, равна 2р, где v = /соф0 sin со/. Учитывая, что средний квад-
квадрат синуса при одном качании равен V2, получим, что работа
вытягивания точки подвеса, перешедшая в энергию колебаний,
есть —-р- • -н- tngq>l&l' Так как сама энергия колебаний равна Ktngl%t
имеем отношение:
ЛЯ _ _ А/
Е ™ 2Г
Переходя от разностей к дифференциалам и интегрируя, полу-
получим:
ЕУ~1 —const.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти функцию преобразования от переменных Р, Q к переменным /, w
для линейного гармонического осциллятора.
Решение. Интеграл действия для линейного гармонического осцилля-
осциллятора равен:
$ j/"w2Q2 dQ.
Согласно общему правилу сюда надо подставить интеграл энергии, выра-
выраженный через переменную действия / согласно A0.50), т. е. Е = /со.
Тогда действие равно:
В такой форме это есть функция преобразования, включающая старую коор-
координату Q и новый импульс /. Согласно A0.13) и A0.16) функция преобразования,
выраженная через старую координату Q и новую координату до, связана с S'o
соотношением:
Это даст искомую функцию преобразования, выраженную через старую коор-
координату и новый импульс. Сюда надо подставить новый импульс, связанный
с новой координатой по формуле:
2 sin w '
108

Окончательно получаем искомую функцию преобразования в таком виде
(преобразование Пуанкаре):
2) Построить уравнение поверхностей постоянного действия для системы
материальных точек в поле тяжести, вылетающих из одной точки пространства
с одним и тем же абсолютным значением скорости v0.
Решение. Выбираем начальную точку за начало координат.
Тогда
Исключая начальные условия для скоростей, задающие траекторию каждой
отдельной частицы, получаем для поверхности постоянного действия 5 в целом:
х OS у _ dS __mz mgt __ OS
По выражению для 5 находим энергию:
3) Найти переменные действия для задачи Кеплера.
Решение. Согласно A0.32) определяем выражения для переменных дей-
действия /$ и 1Г:
-U)-~- dr,
где на пределах интегрирования подкоренные выражения обращаются в нуль.
результат
= М-рф,
Подставляя V =¦ , получаем в результате элементарных выкладок:
Зная, кроме того, что /ф— Рф, выражаем энергию через переменные действия:
ahn
2(/г+/^ + /фJ'
Таким образом, совпадают все три частоты обращения:
дЕ а2т
что соответствует замкнутой траектории.
4) Энергия, теряемая Солнцем на излучение, получается за счет расходова-
расходовался его массы. Определить^ как это сказывается на орбитах планет.
109

Решение. Исходим из уравнения орбиты в ее плоскости E.12"). Постоян-
Постоянная а в выражении для потенциальной энергии равна утгп0, где у — константа
тяготения. Переменным параметром А, в данном случае является масса Солнца т0.
Выражаем эксцентриситет орбиты е, большую полуось Ь и период обращения и
через переменные действия, которые не меняются при медленном изменении
параметра т0 (адиабатические инварианты):
,-/77
^(l2)' T со,

ЧАСТЬ II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 11. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Уравнения электродинамики значительно упрощаются, если
писать их в векторной форме или в некоторых случаях в тензор-
тензорной форме. При использовании векторов нет произвола, связан-
связанного с выбором той или иной координатной системы, и яснее видно
физическое содержание уравнений. Тензорная запись, применяе-
применяемая в теории относительности, дает в этом смысле еще больше:
она позволяет относить уравнения не только к произвольным коор-
координатам, но и к любой инерциальной системе отсчета.
Мы предполагали у читателя знакомство с элементами вектор-
векторной алгебры, но по ходу изложения ввели некоторые уточнения
понятий. Кроме того, в § 9 было дано определение тензора, при кото-
котором векторные величины выступают как частный случай величин
более общего класса.
В электродинамике применяются векторные дифференциальные
операции. В первой части встречалась только одна такая операция:
дифференцирование скаляра по вектору. Так рассчитывался,
например, импульс по функции Лагранжа или сила из формулы
потенциальной энергии. Но может встретиться и дифференцирование
вектора по вектору. Очень полезно при этом сохранять векторную
форму записи, в которой лучше виден геометрический смысл операций.
Этот параграф посвящен векторным дифференциальным опера-
операциям, а также тензорной алгебре в том объеме, который понадо-
понадобится при изучении теории относительности.
Вектор площадки. Определим прежде всего вектор
элементарной площадки ds. Так называется вектор, направленный
по нормали к площадке, численно равный ее
поверхности и связанный с направлением
обхода контура площадки, как перемещение
правого винта с направлением вращения его
головки (рис. 14). Под это определение подхо-
подходит, в частности, векторное произведение двух
векторов, которое численно равно площади
построенного на них параллелограмма и, как
вектор, перпендикулярно его плоскости. В § 4
было дано подробное доказательство того, что
получающаяся в результате векторного умно- рИс. 14
Ш

dz
dz
'dx
Рис. 15
жения величина есть вектор, по
крайней мере, по отношению к
поворотам координатной систе-
системы. Это доказательство справед-
справедливо и по отношению к векто-
вектору любой элементарной пло-
площадки.
Будем пользоваться право-
винтовой системой координат
х, уу z, в которой вращение
идет от х к у против часовой
стрелки, если смотреть со сто-
стороны оси г (рис. 15). В этой си-
системе координат вектор площад-
площадки разлагается на составляющие так:
dsx = dydz} dsy = dzdx, ds2 = dxdy.
Поток вектора. Предположим теперь, что через пло-
площадку течет жидкость с плотностью, равной единице («вода»),
причем скорость течения изображается вектором v. Угол между ds
и v обозначим а. На рисунке 16 показаны линии тока жидкости,
проходящие через ds. Они параллельны скорости v. Вычислим
ежесекундный расход жидкости через площадку ds. Этот расход
равен просто vds', где ds' — показанная на рисунке 16 площадка,
поставленная перпендикулярно линиям тока. Действительно, через
площадку dsr за единицу времени проходит цилиндр жидкости с ос-
основанием ds! и высотой v. Но ds' = ds cos а, откуда искомый рас-
расход жидкости равен:
dJ = vds' = vds cos a = vds.
A1.1)
Аналогичным образом скалярное произведение любого вектора Л,
взятого в той точке, где находится бесконечно малая площадка,
на ds называется потоком вектора А через площадку ds. Подобно
тому как поток жидкости через конечную площадь s равен интег-
интегралу от dJ по поверхности:
J = J vds,
A1.2)
dS
потоком вектора А через любую поверх-
поверхность называется интеграл
A1.3)
Вектор площадки введен для того,
чтобы можно было пользоваться бескоор-
бескоординатной и наглядной записью A1.3). Вхо-
Рис. 16
112

дящие в A1.3) интегралы
двойные. Переходя к проек-
проекциям, A1.3) можно запи-
записать так:
x dydz +
Azdxdyt
С
"Л
A A
с1
/
Рис. 17
причем пределы двойных
интегралов определяются п
соответствующими проек-
проекциями контура, ограничи-
ограничивающего поверхность, на
координатные плоскости.
Теорема Гаус-
Гаусса — Остроградско-
г о. Вычислим поток вектора через замкнутую поверхность. Для
этого рассмотрим сначала бесконечно малую замкнутую поверх-
поверхность параллелепипеда (рис. 17). Условимся проводить нормаль
к элементу замкнутой поверхности всегда из объема наружу.
Вычислим поток вектора А через площадку ABCD (направле-
(направление обхода согласовано с направлением нормали). Так как поток
равен скалярному произведению А на вектор площадки ABCD,
направленный в сторону отрицательных х (как видно из рисунка 17)
и равный — dydzy получим для бесконечно малой площадки:
dJABCD = ~ Ах (х) dy dz.
Такое же выражение имеем для площадки A'B'C'D'y только
в этом случае проекция dsx равна dydz и Ах берется не в точке х>
а в точке х + dx. Поэтому
dJ a'B'cd' = Ах {x + dx) dy dz.
Таким образом, результирующий баланс потоков через обе пло-
площадки, перпендикулярные оси х> равен:
Мы воспользовались тем, что dx — бесконечно малая величина,
и разложили Ах (х + dx) в ряд: Ах (х + dx) = Ах (х) + -~^ dx.
Аналогично составляется баланс потоков через грани, перпендику-
перпендикулярные осям у и z. Полный поток через всю поверхность паралле-
параллелепипеда равен:
дЛх dAv дА2\
^L + ^ + )ddd A1.5)
дх
ду
Конечный замкнутый объем можно разбить на малые параллеле-
параллелепипеды и применить соотношение A1.5) к каждому из них в отдель-
отдельности. Если просуммировать все потоки, то потоки через смежные
ИЗ

грани компенсируются, потому что поток, вытекающий из одного
параллелепипеда, втекает в соседний. Останутся только потоки
через внешнюю поверхность выбранного объема, которые ничем
не возмещаются. Между тем правые части A1.5) будут складываться
для всех элементарных объемов dV = dxdydz и получится важней-
важнейшая интегральная теорема:
Она называется теоремой Гаусса — Остроградского.
Дивергенция вектора. Выражение, стоящее справа
под знаком объемного интеграла, можно записать значительно ко-
короче. Прежде всего замечаем, что это скалярное выражение, потому
что слева в A1.6) стоит скаляр («масса воды») и dV тоже скаляр.
Это выражение называется дивергенцией, или расходимостью век-
вектора А и обозначается так:
div4=^? + ^ + —. A1.7)
дх ду дг
Дивергенцию можно определить независимо от какой-либо
координатной системы, если воспользоваться A1.5). Действительно,
из этого равенства выводится такое определение дивергенции:
ШуЛ^НшЦ^. A1.8)
Дивергенция вектора в данной точке равна пределу отношения
потока вектора через поверхность, окружающую точку, к объему,
заключенному внутри поверхности, когда поверхность стягивается
в точку.
Представим себе, что вектор А задает поле скоростей какой-то
жидкости. Тогда из определения A1.8) видно, что дивергенция век-
вектора А есть мера плотности источников жидкости, или число источ-
источников, из которых вытекает единица массы жидкости в единицу
времени, приходящаяся на единицу объема. Очевидно, что, чем
больше источников приходится на единицу объема, тем больше из
него вытекает жидкости в целом. Если div А имеет отрицательный
знак, можно говорить о плотности стоков, но удобнее определять
плотность источников, приписывая им тот или иной знак.
Заметим, что из A1.7) следует величина
<"vr = g + g + g-l + l + l-3, A1.9)
так как г имеет составляющие х, у, г.
То же самое нетрудно вывести из бескоординатного определе-
определения дивергенции A1.8). Построим из начала координат конус,
заключающий бесконечно малый телесный угол при вершине (см.
§ 6). Радиус-вектор не имеет потока через боковую поверхность
конуса, потому что он совпадает с образующей, а следовательно,
114

в
А
dz
С
и
Рис. 18
перпендикулярен нормали к элементу
поверхности. Он скользит по этой
поверхности, а не пронизывает ее.
Поток радиус-вектора проходит толь-
только через основание конуса.
Так как конус имеет бесконечно
малый угол раствора, его основание
равно r2dQ. Радиус-вектор во всех
точках перпендикулярен основанию,
следовательно, поток радиус-вектора
через основание составляет r«r2dQ.
Объем конуса равен произведению площади основания на треть
высоты, т. е. опять-таки радиуса. Подставляя поток радиус-вектора
и объем конуса в A1.8), получаем div г = 3. В этом доказательстве
по существу даже не надо было считать конус бесконечно малым. Мы
поступили так для того, чтобы воспользоваться общим определе-
определением дивергенции вектора.
Контурные интегралы и теорема Стоке а.
Рассмотрим векторный интеграл по замкнутому контуру, имеющий
такой вид:
\ l dz). A1.10)
Этот однократный интеграл называется циркуляцией вектора
по замкнутому контуру. Если, например, А —сила, действующая
на какую-нибудь частицу, то Adi = Adi cos а есть работа силы
на элементе контура d/, С — общая работа обхода контура.
Докажем теперь, что циркуляцию вектора А по контуру можно
заменить интегралом по поверхности, натянутой на контур. Рас-
Рассмотрим проекцию бесконечно малого прямоугольного контура на
плоскость yz. Пусть эта проекция тоже имеет вид прямоугольника,
показанного на рисунке 18. Вычислим циркуляцию А по этому
прямоугольнику. Сторона АВ даст вклад Ау (z) dyy а сторона CD —
вклад — Ау (г + dz) dy, где знак «минус» надо писать потому, что
направление вектора CD обратно направлению вектора АВ.
В сумме по сторонам АВ и CD получаем:
- Ау (z + dz) dy+Ay (z) dy = — -^- dydzt
где проекция Ay (z + dz) была разложена в ряд по dz.
Сумма по сторонам ВС и AD равна:
Az {у + dy)dz — A2 (у) dz = -^dy dz.
Результирующая величина циркуляции в плоскости yz:
Обозначение Вх ясно из равенства.
A1.11)
115

Если контур произвольным образом ориентирован в простран-
пространстве, все его бесконечно малые отрезки надо согласно A1.10) прое-
проецировать на три координатные оси. Тогда весь контур будет иметь
проекции на три координатные плоскости, и циркуляция разло-
разложится на сумму трех выражений вида A1.11).
Циркуляция по выбранному малому контуру будет равна:
dC = Вх dsx + Ву dsy + В2 dsz = Bds, A1.12)
где BXi By и Вг суть сокращенные обозначения для таких разностей
частных производных:
Bx = d?--U> (П. 13)
п ^Mi _ <?ds A1 14)
Dy дг дх ' I11-1*/
Циркуляция—величина по определению A1.10) скалярная,
следовательно, в равенстве A1.12) справа тоже стоит скалярная
Ееличина. Но так как ds — вектор, то и В тоже вектор, составляю-
составляющие которого определяются равенствами A1.13) — A1.15).
Вектор В имеет специальное название: он называется ротором>
или вихрем вектора А и обозначается так:
rot А разлагается по координатным осям с помощью трех еди-
единичных векторов, или ортов:
I v\ \ Z
° == П \dy~ ~~ ~дгГ/ "*"" ' \~dz дх) ^ n ' \~дх ду
A1.16)
Сравнивая A1.16) и A1.12), видим, что в равенство A1.12)
входит нормальная к площадке составляющая rot A:
^А dl = rotnA ds, A1.17)
где индекс п при rot А показывает, что надо брать не весь вектор
rot Л, а его проекцию на нормаль к площадке ds. Формула A1.17)
позволяет определить rot А бескоординатным способом, подобно
тому как в A1.8) была определена div А. Именно:
го^Л = lim -Ц—, A1.18)
так что нормальная составляющая вектора rot Л к любой площадке
в данной точке пространства есть предел отношения циркуляции
по контуру площадки к ее поверхности, когда контур стягивается
в точку.
116

Для того чтобы интеграл \ Adi не обращался в нуль, надо иметь
замкнутые векторные линии, в какой-то степени следующие за кон-
контуром интегрирования, подобно замкнутым линиям тока жидкости
при вихревом движении. Отсюда термин «вихрь», или «ротор»,
указывающий на вращение.
Если циркуляция вычисляется по конечному контуру, то его
можно разбить сеткой на бесконечно малые ячейки. Циркуляция
по сторонам смежных ячеек компенсируется, так как каждая сто-
сторона проходится дважды в противоположных направлениях и
остается только циркуляция по самому внешнему контуру. Интег-
Интеграл от правой стороны равенства A1.17) дает поток rot Л через
поверхность, натянутую на контур. Таким образом, получается
интегральная теорема:
\ \ A1.19)
называемая теоремой Стокса.
Дифференцирование по радиус-вектору.
Дивергенция и ротор вектора суть его производные по векторному
аргументу. Их можно свести к единой записи следующим приемом.
Введем символический вектор у (набла *) с составляющими:
**=!. v*=&. v-=s- о1-20)
Тогда умножение слева на наблу означает дифференцирование
по радиус-вектору. Но умножение векторов может производиться
двумя способами. Скалярное произведение вектора набла у на
вектор А должно выглядеть так:
дЛ дЛ дЛ
VA + VA + VA + f + ^ = divA(U2\)
Другой способ умножения векторный, который определяется
так:
[VЛ] = л<*> {VyAg - V,Ay) + пМ (V2AX - V^*) +
+ *<*> (VxAy - ЧУАХ) = rot A. A1.22)
Всюду поставлен знак тождества «=», чтобы подчеркнуть, что
речь идет просто о новой системе обозначений. Эта система обоз*
начений очень удобна в векторном анализе благодаря большой
наглядности производимых операций и сжатости записей. При дока-
доказательстве любых общих соотношений прибегать к разложению
векторов на составляющие оказывается просто ненужным, если
пользоваться наблой.
В отношении алгебраических операций набла во всем подобна
обыкновенному вектору. Умножением на наблу называется ее при-
применение к данному выражнию, если оно дифференцируется. Иногда
набла множится на вектор, обычно справа, не будучи применена
* Набла — древний музыкальный инструмент треугольной формы.
117

к нему как производная. В этом случае она применяется к другому
вектору (см. A1.30), A1.32)).
Если применить у к скаляру ф, то получится вектор, называе-
называемый градиентом скаляра ф:
grad ф = Vcp = «W ^ + „(*) ^ + „<•> «J. A1.23)
Его проекции таковы:
Из формул A1.24) видно, что вектор уф перпендикулярен
поверхности ф = const. В самом деле, если взять вектор dl, лежа-
лежащий на этой поверхности, то ф при смещении на dl (по определе-
определению dl) не изменится. Это надо записать так:
=Тхdl
*
т. е. уф перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоско-
плоскости, касательной к поверхности ф = const в данной точке простран-
пространства, что и утверждалось.
Дифференцирование произведений. Приве-
Приведем теперь правила дифференциальных операций с наблой. При
этом следует помнить, что у п° отношению к дифференцированию —
знак производной, а по отношению к правилам преобразования
координат — вектор и умножается, как и всякий вектор.
Прежде всего градиент от произведения двух скаляров вычис-
вычисляется, как производная произведения:
A1.26)
Дивергенция от произведения скаляра на вектор строится так:
div ФА = (Vv<pA) + {Ча, <рА) - A (Vq>) + <р (VЛ) -
= A grad ф + ф div А. A1.27)
Здесь индексы ф и А при у показывают, на что действует у.
Аналогичным способом найдем ротор от фЛ:
. A1.28)
Теперь будем применять у к произведению двух векторов:
div [АВ] - (V [АВ]) = \VA [АВ]) + (V* [АВ]).
В обоих слагаемых произведем циклическую перестановку,
поскольку с у при умножении можно обращаться, как с обыкно-
обыкновенным вектором. Во втором слагаемом поставим, кроме того, В
после ув, причем следует изменить, как обычно, знак векторного
произведения. Получится:
div [АВ] = {В [VAЛ]) - (Л [VBB]) = В rot Л - A rot В. A1.29)
118

Найдем ротор от векторного произведения. При этом надо поль-
пользоваться соотношением [Л[ВС]] = В (АС) —С (АВ):
rot [АВ] = [V [АВ]} = [VA [АВ]] + [VB [AB]] = (VAB) A -
- (VAA) В + {VBB) A - (AVB) В =
= (BV) А - В div A + A div В - (Л V) В. A1.30)
Здесь новыми для нас являются символы (ЛУ), (BV), приме-
примененные к векторам В и А. Очевидно, что символы (ЛУ) и (BV) —•
символические скаляры, по определению у равные:
{AV) = AxVx + AyVy + AzV2 = Ax~ + Ayl-y + A2§z. A1.31)
и аналогично (fiv). Тогда (AS/) В есть вектор, который получается
из вектора В путем применения ко всем его компонентам скалярной
операции (Лу) согласно A1.31). Так как операция (ЛУ) скаляр-
скалярная, ее можно вносить под знак умножения векторов — скалярного
и векторного, помня при этом о ее дифференциальных свойствах.
Нам остается еще вычислить из операций такого рода градиент
от скалярного произведения:
Применим то же преобразование, что и в предыдущем случае:
grad (AB) = (BVA) A + [B [VAA]] + (AVB) B+[A [VBB]] =
- (fiV) Л + [В rot Л] + (ЛV) В + [A rot В]. A1.32)
Некоторые частные выражения. Укажем
некоторые существенные случаи применения у.
Из определения дивергенции A1.7) имеем согласно A1.27)
и A1.9):
div^ = ldivr + rgradl = ^--^ = O. A1.33)
Беря градиент от —3, мы применили правило дифференцирования
сложной функции: сперва дифференцировали -j по г, а затем
взяли уг. Это делается следующим способом. Зная, что г =
«= У^а:2 + У2 + z2, находим:
^ = V г= * = ~
ОХ Х yx2 + y2 + z2 Г '
Переходя от компоненты по % к векторной записи, получаем:
Vr = f. A1.34)
Следовательно, V1 = ^ ^ V/- = — А ?-.
119

Ротор от радиус-вектора равен нулю. Например, для составляю-
составляющей по оси х имеем:
Ту J
и вообще
rotr = 0. A1.35)
Возьмем теперь
а для всех компонент г сразу
(AV)r=A. A1.36)
Покажем, как применять у к вектору, компоненты которого
зависят только от абсолютной величины радиус-вектора г. Как
и в случае скаляра, надо применять правило дифференцирования
сложной функции, а для уг подставлять согласно A1.34) — .Для
дивергенции А (г) получаем:
(^) ?, (П.37)
где А — полная производная А по аргументу г, т. е. вектор, соста-
составляющими которого являются производные от трех компонент век-
вектора А по г: ЛХу Ау и Аг.
Далее,
votA(r) = [Vr9 Л]=И. A1.38)
Повторное дифференцирование. Найдем теперь
некоторые результаты повторного применения у.
Ротор от градиента некоторого скаляра равен нулю:
rot grad ф = [V, ?Ф] = [VV] ф = 0, A1.39)
так как векторное произведение любого вектора (в том числе у)
на самого себя равно нулю. В этом можно убедиться, раскрывая
rot grad ф по составляющим.
Дивергенция ротора тоже равна нулю:
div rot A = (V [Vji]) = ([VV] A) = 0. A1.40)
Запишем в составляющих дивергенцию градиента скаляра ф.
По формулам A1.7) и A1.24) имеем:
div grad9 = (VV)9:~g + *2 + g==Aq>. A1-41)
Здесь А (дельта) — так называемый оператор Лапласа, или лап-
лапласиан:
120

Наконец, ротор ротора раскры-
раскрывается как двойное векторное произ-
произведение:
Рис. 19
A1.42)
Последнее равенство обычно при-
применяют для определения АЛ, так как
в криволинейных координатах Дф и
АЛ выражаются различно. Нельзя
сказать, что АЛ есть дивергенция градиента вектора, потому что
не определен градиент от вектора.
Криволинейные координаты. Во многих зада-
задачах полезно переходить от прямоугольных координат к криволи-
криволинейным. Покажем теперь, как в криволинейных координатах пи-
пишутся различные векторные операции, определенные в этом пара-
параграфе.
Криволинейные координаты ql9 q2y q3 называются ортогональ-
ортогональными, если в выражение элемента длины dl2 входят только квадраты
этих координат (dq\, dq\ иrdql) и не входят их произведения, т. е.
dqxdq2y dq3dq1 и dq2dq3. Подобно этому в прямоугольных координатах
dl2 = dx2 + dif + dz2. В ортогональных координатах
'q\. A1.43)
Например, в сферических координатах q1 = r, q2 = d, q3
Элемент длины в сферических координатах (см. C.10));
dp = dr2 + г2 dft2 + г2 sin2 0
так что
Построим элементарный параллелепипед (рис. 19). Тогда со-
составляющие градиента равны:
grad^=4j!, grad^=4Ji, grad3^l||. A1.44)
Чтобы раскрыть дивергенцию, повторим вывод теоремы Гаусса —
Остроградского для рисунка 19. Площадка ABCD равна h^dq^dq^
Поток вектора Л через нее представляет собой
A1(q1)h2h3dq2dq3.
Здесь h2 и h3 берутся при том же значении qly что и Лх.
Сумма потоков через площадки ABCD и A'B'C'D' составит
121

где величина h2h3A1 разлагалась по dqx в точке qx аналогично A1.4).
Полный поток через все грани есть
+ щ~2 (А8М2) + щ; (AiMs)] dqi dq2 dq3.
Воспользуемся теперь определением дивергенции A1.8):
dJ = div A • dV = div Л • ftift2ft3 d?i ^2 ^з-
Следовательно,
di v л = vk [k{hAAl) + k{hM + 4(AlM>)] • A' -45)
Если подставить вместо Al9 A2 и А3 выражения A1.44), то полу-
получится лапласиан от скаляра в криволинейных ортогональных коор-
координатах.
В сферических координатах он равен:
По теореме Стокса можно вычислить и ротор вектора в криво-
криволинейных координатах. Не повторяя вывода теоремы A1.19), за-
запишем:
k[k k)rot2 A=nk D Mi - 4rМз) •
M2-a~M1). A1-47)
Если надо образовать лапласиан от вектора, следует поступить
так. Применить операцию нахождения градиента от дивергенции
вектора согласно A1.44) и A1.45). Затем образовать ротор от ро-
ротора, дважды применяя операцию A1.47). Разность обоих выраже-
выражений согласно A1.42) даст искомый лапласиан. При этом, вообще
говоря, оказывается, что некоторая компонента лапласиана вектора
зависит не только от той же компоненты самого вектора, но и от
двух остальных.
Переход к тензорным обозначениям. Пока-
Покажем теперь, как пишутся некоторые векторные операции в тензор-
тензорных обозначениях. Будем всегда пользоваться условием о сумми-
суммировании (см. ч. I, § 9).
Тогда дивергенция вектора в прямоугольных координатах запи-
записывается очень просто:
дЛх дЛи дЛ2 дЛа
Тензорные операции в криволинейных координатах гораздо
сложнее, но в этой книге они не понадобятся.
Лапласиан от скаляра пишется в тензорной форме так:
122

Аналогично пишется в декартовых координатах лапласиан от
вектора.
Введем понятие инвариантного тензора. Так называется тензор,
который при переходе к другой координатной системе сохраняет
свой вид. Один такой тензор нам уже встречался — это тензор 6^
(см. § 9). Определим еще один тензор с таким же свойством. Это
тензор третьего ранга е^ь все компоненты которого равны +1,
если значки/, 2, 3 стоят в циклическом порядке A23, 312 и 231), — 1,
если порядок не циклический B13, 132 и 321), и нулю, если среди
значков \i, v, к есть хотя бы два одинаковых.
Иначе можно сказать, что тензор е^ антисимметричен отно-
относительно любой пары значков: от их перестановки его компонента
меняет знак. Действительно, компонента «213» отличается от «123»
одной перестановкой и поэтому отрицательна, а «312» получается
из «123» путем двух перестановок. Две перемены знака дают «плюс».
Перестановка одинаковых значков, очевидно, ничего не меняет,
а с другой стороны, должна менять знак компоненты. Поэтому ком-
компонента с одинаковыми значками равна нулю: только нуль равен
самому себе с обратным знаком.
Свойство антисимметрии тензора по отношению к любой паре
значков сохраняется при повороте координатной системы, иначе
говоря, это инвариантное свойство. Действительно, равенство
е^х = — 8vju тензорное по форме и потому имеет силу в любой
системе координат. В этом можно убедиться и прямо пользуясь
формулами преобразования тензоров.
Но отсюда следует, что у тензора е^ отличны от нуля те же
компоненты, что и у тензора е^ в исходной системе координат,
и обладают теми же знаками. Остается показать, что компоненты е^
тоже равны ± 1.
Напишем общую формулу преобразования тензора:
= (ц, «) (v, Р) (К У) еаРг A1.50)
Но мы видели, что симметрия тензора е^ такая же, как исход-
исходного тензора eopY. Следовательно, е^ = С- е^ь где С — число,
которое надо определить. Введем это число в A1.50) и умножим
обе части равенства на е^. Слева стоит С, умноженное на сумму
квадратов компонент е^е^. Таких компонент всего 6, они были
перечислены. Справа стоит определитель, составленный из коэф-
коэффициентов преобразования (\ху а), умноженный тоже на 6.
Действительно, коэффициенты (\i, a), (v, C) и (X, у) берутся ка-
каждый раз по три, причем по свойствам eaPY непременно из разных
строк и столбцов таблицы и со знаком, отвечающим четности пере-
перестановки строк и столбцов. Множитель 6 получается потому, что
одну тройку значков при суммировании можно выбрать произволь-
произвольным способом, а всех перестановок из трех по три — 3!, т. е. 6.
Сокращая на 6, видим, что искомое число С равно определителю,
составленному из коэффициентов поворота, а он равен единице.
123

Следовательно, е^ — инвариантный тензор, сохраняющий свою
форму при любом повороте координат.
Образуем теперь из двух векторов и тензора следующую ком-
комбинацию:
Ax = eaPY4pBY. A1.51)
Записанная через компоненты величина Da имеет такие значе-
значения:
D1 = А 2В3 - А8В2, D2 - A3Bt - АгВ3, D3 = ЛХБ2 - A2BV
Получились составляющие векторного произведения. Равен-
Равенство A1.51) сразу показывает, что векторное произведение ведег
себя как вектор, когда преобразуются координаты, потому что
A1.51) — тензорное уравнение: такие уравнения справедливы в лю-
любой системе координат и, следовательно, свободны от произвола,
связанного с ее выбором. Этим свойством должно обладать любое
уравнение, выражающее физический закон, что и составляет глав-
главный смысл применения векторных и тензорных равенств в физике.
Подобно A1.51) определяется и ротор вектора:
dAv
^ = rota^. A1.52)
УПРАЖНЕНИЯ
1) Вычислить, не переходя к составляющим, следующие векторные выраже-
выражения, пользуясь формулами A1.26)—A1.42):
а) Д-L (гфО);
б) div ф (г) г; rot ф (г) г;
в) V(Ar), где А = const;
г) V (Д (г)Г);
д) div ф (г) А (г); rot ф (г) А (г);
е) div [г [Дг]], <A = const;
ж) rot [г [Ar]], A = const;
з) Л А (г) (см. A1.42));
и) v о* (/•)*(/•));
к) rot [Дг], А = const;
л) div [Дг], A = const;
м) А у.
Ответы.
а) А— = divgrad— = — div-g- = 0;
б) Зф + лр; 0;
в) А;
г)А+~(гА);
д) У-.(А) +
124

е) -
жK[гЛ];
2 •
з) А +— А;
и) ~{АВ) +у (ВА);
к) 2Л;
л) 0;
. 2г
и) -у.
2) Написать Дг|э в цилиндрических координатах.
3) Написать три составляющие АЛ в сферических координатах.
4) Доказать, что ea^Yeajiv — ^j3m^yv— ^Pv^yja» и вывести отсюда правило:
[А[ВС]]=В(АС)-С(АВ).
5) Решить тензорное уравнение: хах$А$ — Аа — аха> где ха — неизвестный
вектор, а вектор Лц и скаляр а заданы.
Решение. Множим обе части уравнения на Ла, после чего приходим
к квадратному уравнению для скаляра Ааха. Решая его, подставляем резуль-
результат в исходное уравнение и получаем линейное уравнение относительно ком-
компонент вектора ха.
6) Даны прямая и точка О на расстоянии а от прямой. Пусть некоторая
точка плоскости, проходящей через прямую и данную точку О, удалена на г
от прямой и на г от точки О. Введя координаты ? = --(/•-[-г), Ц — -^{г — z)
и Ф, где ф — угол поворота вокруг оси, проходящей через О перпендикулярно
прямой, написать лапласиан в этих координатах.
§ 12. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Взаимодействие в механике и электро-
электродинамике. Взаимодействие в электродинамике осуществляется
не между отдельными зарядами, а между зарядами и окружающим
их электромагнитным полем. Физическое понятие поля в электро-
электродинамике коренным образом отличается от понятия поля в меха-
механике Ньютона.
Как известно, полем тяготения называется пространство, в ко-
котором действуют силы тяготения. Значения этих сил в любой точке
поля в ньютоновской механике определяются мгновенным поло-
положением гравитирующих тел, как бы далеко от данной точки они
ни находились. В электродинамике такое представление о поле
неудовлетворительно: за то время, пока электромагнитное возму-
возмущение дойдет от одного заряда к другому, последний может пере-
переместиться на большое расстояние. Элементарные заряды — элект-
электроны, протоны, мезоны — очень часто имеют скорости, близкие
к скорости распространения электромагнитных возмущений.
Современная теория тяготения (общая теория относительно-
относительности) показывает, что и гравитационное взаимодействие рас-
распространяется с конечной скоростью. Но так как макроскопиче-
макроскопические тела движутся со скоростями, значительно меньшими, в мас-
125

штабе солнечной системы конечная скорость передачи гравитацион-
гравитационных сил приводит только к незначительным поправкам к законам
движения ньютоновской механики.
В электродинамике элементарных зарядов конечная скорость
электромагнитных возмущений имеет основное значение. Если под
действием поля изменились энергия или импульс заряженной ча-
частицы, то они могут быть непосредственно переданы только окру-
окружающему электромагнитному полю, так как, для того чтобы изме-
изменились энергия и импульс других частиц, необходим конечный про-
промежуток времени, пока электромагнитное возмущение, возбужден-
возбужденное зарядом, достигнет их. Но это означает, что электромагнитное
поле само по себе обладает энергией и импульсом. В противном
случае эти две важнейшие механические величины сохранялись бы
не всегда, исчезая в момент испускания сигнала и появляясь вновь
в момент его приема.
В ньютоновской механике считается, что возмущение передается
мгновенно, поэтому нет никакой необходимости приписывать им-
импульс и энергию полю: как только одна тяготеющая точка отдала
некоторый импульс и энергию, другая сразу же приобрела их.
Электромагнитное поле, как только что указывалось, имеет им-
импульс и энергию. Поэтому его в той же мере, что и заряженные ча-
частицы, можно рассматривать как самостоятельный физический
объект. Уравнения электродинамики должны непосредственно опи-
описывать распространение электромагнитных возмущений в простран-
пространстве и взаимодействие зарядов с полем.
Взаимодействие зарядов осуществляется через электромагнит-
электромагнитное поле. Такие законы, как закон Кулона или Био — Савара,
в которые входят только мгновенные положения или мгновенные
скорости зарядов, имеют приближенный характер и справедливы
только тогда, когда относительные скорости зарядов малы по срав-
сравнению со скоростью передачи электромагнитных возмущений.
Эта скорость — фундаментальная постоянная, входящая в урав-
уравнения электродинамики. Она с большой точностью равна
3-1010 см/сек.
Самостоятельная реальность поля особенно хорошо видна уже
из того, что уравнения электродинамики допускают решение и при
отсутствии зарядов. Эти решения описывают электромагнитное
поле в пустоте, в частности световые и радиоволны.
В течение двух столетий сторонники волновой теории света счи-
считали носителем световых волн особую упругую среду, заполняю-
заполняющую пространство, так называемый «эфир». Чтобы представить себе
распространение колебаний, нужно было допустить нечто колеб-
колеблющееся. Это «нечто» и было названо «эфиром». Исходя из аналогии
с распространением звуковых волн в сплошной среде, эфиру припи-
приписали свойства жидкости. Объяснение физических явлений видели
тогда только в том, чтобы свести их к определенным механическим
перемещениям тел. В частности, световые явления мыслились как
перемещение частиц этой среды — «эфира»,
126

После создания электромагнитной теории света физики осоз-
осознали, что электромагнитное поле реально в том же смысле, как и
вещество. Более того, законы электродинамики должны быть поло-
положены в основу вывода сложных законов, управляющих движением
атомов вещества, в частности жидкости. Носителем электромагнит-
электромагнитного поля является физическое пространство, неотделимое от состоя-
состояния и движения реальных объектов. Что касается термина «эфир»,
еще сохранившегося в радиотехнике, то там он означает не что иное,
как само электромагнитное поле.
Электромагнитное поле. Изучение электромаг-
электромагнитного поля началось с наиболее доступных его проявлений: элект-
электрической силы, вызываемой трением тел, свойств магнитов и т. п.
Очень давно узнали, что тела делятся на проводники и изоляторы,
что при разламывании магнита на части получаются не два отдель-
отдельных полюса, а два магнита с двумя полюсами каждый и т. д.
Физика того времени не могла объяснить, почему одни тела про-
проводят электричество, а другие — нет, почему железо сильно прояв-
проявляет магнитные свойства, а медь, по-видимому, не проявляет их.
И тем не менее, оставляя такие вопросы в стороне, физики смогли
узнать некоторые элементарные законы электромагнетизма. К числу
их относится, например, закон Кулона о силе взаимодействия между
двумя зарядами, не зависящей от происхождения электризации
тел, на которые нанесены заряды. То же можно сказать о законе
электромагнитной индукции Фарадея: этот закон связывает между
собой магнитные и электрические силы в такой форме, которая не
отражает свойств конкретных тел.
В первом томе этой книги мы будем заниматься исключительно
элементарными законами электромагнетизма. Чтобы сформулиро-
сформулировать их, нет надобности рассматривать свойства вещественных
сред типа металлов, диэлектриков или ферромагнетиков. Абстра-
Абстрагируясь от конкретных сред, мы здесь будем иметь дело только с от-
отдельными зарядами и полем, которое они создают.
Такое изложение электродинамики прежде называли «электрон-
«электронной теорией», полагая, что электрон просто точечный заряд и больше
ничего. Реальный электрон наделен весьма сложными свойствами
и, хотя он действительно никак не проявляет на опыте своих раз-
размеров, мало похож на идеализированный заряд «электронной teo-
рии».
Заряд, который мы имеем в виду, излагая материал этой части
книги, в некотором смысле напоминает «материальную точку»
ньютоновской механики. Это воображаемый объект, в настоящее
время наиболее удобный для формулировки элементарных законов
теории.
При выводе основных уравнений электродинамики — уравнений
Максвелла — нам придется некоторое время пользоваться терми-
терминами, заимствованными из теории, учитывающей свойства веще-
вещественных сред, например понятием контура, несущего ток. Но на
самом деле мы нигде при этом не учитываем сложных свойств реаль-
127

ных проводников. Фактически термин «проводник» применяется
только из соображений физической наглядности: мы имеем в виду
воображаемый контур, по которому движется непрерывно распре-
распределенный заряд.
Следует сделать замечание терминологического характера. Мы
везде будем говорить просто «поле», вместо «напряженность поля».
В теоретической физике это принято повсеместно.
Принята также абсолютная гауссова система единиц, в которой
электрическое и магнитное поля выражаются величинами одинако-
одинаковой размерности (г'^-см^^-секг1) *.
Электродвижущая сила. Начнем с определения
электродвижущей силы в контуре: так называется работа, совершае-
совершаемая силами электрического поля при обходе данного замкнутого
контура единичным зарядом. При этом совершенно несущественно,
что представляет собой данный контур: заполнен ли он проводником
или престо является замкнутой линией, проведенной в простран-
пространстве. В этом последнем значении понятие электродвижущей силы
может применяться к циклическому индукционному ускорителю
электронов — бетатрону.
Напишем выражение для электродвижущей силы (сокращенно —
э. д. с.) в обозначениях § 11. Сила, действующая на единичный за-
заряд в данной точке, есть по определению электрическое поле Е.
Работа этей силы на элементе пути dl представляет собой скалярное
произведение EdL Тогда на всем замкнутом контуре работа, или
э. д. с, равна:
э. д. c.^]Edl. A2.1)
Предположим, что на данный контур натянута некоторая поверх-
поверхность. Обозначим магнитное поле буквой //. Поток магнитного поля
через элемент выбранной нами поверхности есть по определению,
данному в § 11, d*b = lids. Поток магнитного поля через всю по-
поверхность, натянутую на контур, равен:
O = \Hds. A2.2)
Существенно, что величина потока Ф не зависит от конкретного
вида поверхности, натянутой на контур. Наглядно это можно объяс-
объяснить тем, что линии магнитного поля не могут начаться или окон-
окончиться в пустом пространстве, где нет магнитов. Следовательно,
если натянуть на контур две разные поверхности, поток через
каждую из них должен быть одинаков: между ними он не может ни
уменьшиться, ни увеличиться.
* Такой выбор единиц измерения особенно удобен в теории относитель-
относительности (см. § 15), где компоненты электрического и магнитного полей или
абсолютные значения их напряженностей входят в виде линейных комбинаций.
Подробнее о различных системах единиц см. в книге Л. А. Сена «Единицы изме-
измерения физических величин». О преимуществах использования гауссовой системы
единиц при изложении теоретической физики см. письмо М. А. Леонтовича
в редакцию «Вестника Академии наук СССР» A964, № 6, стр. 123).
128

Закон индукции Фарадея записывается в виде следующего урав-
уравнения: 1 дф
4 A3
При этом, если все величины выражены в гауссовой системе,
то коэффициент пропорциональности равен 3* 1010 см/сек. Из опре-
определений A1.1) и A1.2) нетрудно убедиться, что с имеет размер-
размерность скорости.
Если контур находится в вакууме, как в случае индукционного
ускорителя, работа, производимая над зарядом, приведет к увели-
увеличению его энергии.
Уравнение Максвелла для rot E. Итак, равен-
равенство A2.3) относится к произвольному замкнутому контуру. Под-
Подставим в это равенство формулы A2.1) и A2.2):
Левая сторона этого уравнения может быть преобразована по
теореме Стокса A1.19), а с правой стороны можно поменять местами
дифференцирование по времени и интегрирование по поверхности,
поскольку они совершаются по независимым переменным. Перенося,
кроме того, интеграл в левую сторону, получим:
[ [rotE + ~d^r)ds^0. A2.5)
Но исходный контур совершенно произволен, ему можно при-
придать любую величину и форму. Допустим, что выражение в скобках
под интегралом в A2.5) не равно нулю. Тогда можно будет так по-
подобрать контур и натянутую на него поверхность, чтобы интеграл
A2.5) не был равен нулю. Поэтому должно выполняться равенство:
rot ? + |^ = 0. A2.6)
По сравнению с A2.3) это уравнение не содержит ничего физи-
физически нового: в нем заключается тот же закон индукции, но перепи-
переписанный в дифференциальной форме для бесконечно малого контура.
Для дальнейшего дифференциальная форма удобнее интегральной.
Уравнение для div H. Линии магнитного поля, как уже
говорилось, не могут начаться или кончиться в пустом простран-
пространстве, т. е. либо замыкаются сами на себя, либо уходят в бесконеч-
бесконечность. Следовательно, в любую замкнутую поверхность входит
столько же линий магнитного поля, сколько их выходит. Поток
магнитного поля в пустоте через любую замкнутую поверхность ра-
ВеННуЛЮ: lHds = 0. A2.7)
Преобразуя этот интеграл в объемный по теореме Гаусса — Ост-
роградского A1.6), получим:
$ 0. A2.8)
5 Компанеец А. С, 129

Ввиду того что поверхность, ограничивающая объем, произ-
произвольна-, всегда можно выбрать объем столь малым, чтобы интеграл
брался по области, где div H знакопостоянна, если она не равна
нулю. Но тогда вопреки A2.7) и A2.8) div H не будет равна нулю.
Поэтому дивергенция Н должна везде обращаться в нуль:
divtf=0. A2.9)
Выражение A2.9) есть дифференциальная запись A2.7) для бес-
бесконечно малого объема.
В § И было сказано, что дивергенция вектора есть плотность
источников векторного поля. Источниками поля могут являться
свободные заряды, как это имеет место для электрического поля.
Но магнитное поле свободных зарядов не имеет.
Уравнения A2.6) и A2.9) вместе называются первой парой урав-
уравнений Максвелла.
Переходим к выводу второй пары.
Уравнение для div E. Поток электрического поля
через замкнутую поверхность равен полному электрическому за-
заряду, заключенному внутри поверхности, умноженному на Ал
(теорема Гаусса):
\ A2.10)
Эту теорему легко вывести из закона Кулона для точечных за-
зарядов. Поле точечного заряда е выражается следующей формулой:
е г
Здесь г — радиус-вектор, проведенный из той точки, где на-
находится заряд, в точку, где определяется поле. Поле обратно про-
пропорционально г2 и направлено по радиус-вектору.
Окружим заряд сферической поверхностью, центр которой сов-
совпадает с самим зарядом. Элемент поверхности сферы ds есть г2 dQ—9
где dQ — элемент телесного угла, а — указывает направление нор-
нормали к поверхности. Поток поля через элемент поверхности равен:
Поток поля через всю поверхность сферы есть ^edQ — e\dQ =
= Але. Но так как электрические силовые линии начинаются только
на заряде, поток будет одним и тем же через сферу и через любую
поверхность, окружающую заряд. Поэтому если внутри замкнутой
поверхности имеется произвольно распределенный заряд е, то
справедливо равенство A2.10).
Чтобы переписать это равенство в дифференциальной форме,
введем понятие плотности заряда. Плотностью заряда р называется
130

заряд, заключенный в единице объема, так что полный заряд в дан-
данном объеме связан с плотностью следующим равенством:
e = \pdV. A2.11)
Следовательно, р= lim —. Подставив плотность заряда
в A2.10), получим:
V = 0. A2.12)
Повторяя для этого интеграла те же рассуждения, которые были
проведены для A2.8), получим сходное по типу уравнение для элект-
электрического поля:
div? = 4np. A2.13)
Согласно A1.8) можно сказать, что плотность источников элект-
электрического поля равна плотности электрического заряда, умножен-
умноженной на 4я.
При формулировке элементарных законов электродинамики часто
бывает удобно считать заряды точечными. (Напоминаем, что не сле-
следует физически отождествлять эти заряды с электронами!) Для
точечных зарядов функция плотности задается путем предельного
перехода.
Допустим сначала, что заряд конечной величины распределен
по малому, но тоже конечному объему А У. Тогда р следует понимать
как отношение -Лт. Если объем А V -> 0, то функция плотности будет
иметь весьма своеобразный вид: она окажется равной нулю везде,
кроме той точки, где находится заряд, а в самой этой точке обра-
обратится в бесконечность, так как числитель дроби -^ конечен, а зна-
знаменатель бесконечно мал. Но интеграл
остается равным заряду е.
Поэтому понятием плотности заряда можно пользоваться и тогда,
когда заряды точечные. При этом под р понимается функция, рав-
равная нулю везде, кроме той точки, где помещен заряд. Интеграл от
этой функции по объему равен либо заряду е, если он находится
внутри области интегрирования, либо нулю, если он вне этой об-
области.
Закон сохранения заряда. Одним из важнейших
законов электродинамики является закон сохранения заряда:
полный заряд любой системы остается постоянным, если в нее не вно-
вносятся посторонние заряды. При всех превращениях частиц, проис-
происходящих в природе, закон сохранения заряда выполняется точней-
точнейшим образом (тогда как закон сохранения массы — приближенно).
Чтобы сформулировать закон сохранения заряда в дифферен-
дифференциальной форме, надо ввести понятие плотности тока. Эта вектор-
векторная величина определяется так:
7=р*, A2.14)
5* 131

где v — скорость заряда в той точке, где определена его плот-
плотность р. Размерность плотности заряда — заряд/см3, а плотности
тока—заряд/см2-сек, т.е. размерность заряда, проходящего за
единицу времени через единицу поверхности.
В частности, для точечного заряда в формуле A2:14) v означает
его скорость, ар — определенную выше функцию плотности.
Полный ток, вытекающий из некоторой поверхности, равен:
I~\jds. A2.15)
Согласно закону сохранения заряда он должен быть равен умень-
уменьшению заряда внутри поверхности за единицу времени, т. е.
/ = -|. A2.16)
От этой интегральной формы закона сохранения заряда перей-
перейдем, как мы это уже делали в других случаях, к дифференциальной
форме. Подставляя е из A2.11) и преобразуя / по теореме Гаусса —
Остроградского, получаем:
)V = 0. A2.17)
Так как объем, по которому производится интегрирование,
произволен, из A2.17) следует закон сохранения заряда в дифферен-
дифференциальной форме:
| | pt> = 0. A2.18)
Ток смещения. Из теории постоянных токов известно,
что линии тока всегда замкнуты. Действительно, разомкнутость
линии означает, что на ее концах имеет место накопление или убыль
заряда. Но можно определить такие векторные линии, которые всегда
замыкаются или уходят в бесконечность и при непостоянном токе.
Для этого подставим в уравнение закона сохранения заряда A2.18)
производную ~ согласно A2.13). Эта производная равна "T"~div-~~.
Следовательно, всегда имеет место соотношение:
Сравнивая A2.19) и A2.9), видим, что линии вектора
4л dt
п 1 дЕ
всегда замкнуты. Слагаемое этого вектора -^~§f называется током
смещения, потому что оно не связано с переносом зарядов *. Вместе
* Для краткости в дальнейшем мы будем говорить «ток» вместо «плотность
тока».
132

Рис. 20
с током переноса зарядов ток смещения образует систему замкнутых
векторных линий.
До сих пор мы только переписывали в несколько ином виде за-
законы электродинамики, известные из элементарного курса физики.
Теперь надо ввести существенно новое предположение: магнитное
действие тока смещения не отличается от магнитного действия тока
переноса зарядов. На этом предположении основывался Максвелл,
формулируя общие уравнения электродинамики.
Уравнение для rot H. Уравнение A2.13) принадлежит
ко второй паре уравнений Максвелла. Еще одно уравнение этой
пары определяет rot /У. Подобно тому как для вывода A2.13) при-
применялся закон Кулона, здесь нам понадобится закон Био — Са-
вара и гипотеза о магнитном действии тока смещения.
Запишем сначала закон Био — Савара в элементарной форме.
Пусть в точке, радиус-вектор которой гъ находится элемент тока
длиной dlx (рис. 20) при силе тока /. Тогда в точке с радиус-вектором
г этот ток производит поле dff, которое определяется таким зако-
законом:
Удобнее иметь дело не с линейным, а с распределенным в про-
пространстве током. Если плотность тока (пока без учета тока смеще-
смещения) рг>, то силу тока надо записать как полный поток через пло-
Щадку ds, т. е. как
A2.21)
Следовательно, чтобы получить магнитное поле от всего распре-
распределения токов, надо проинтегрировать элементарный закон A2.20)
133

по некоторой поверхности, пронизываемой током, и по всему кон-
контуру dlx\
М$г^гг- A2-22)
Тогда получится та часть магнитного поля, которая обязана
токам, проходящим через внешний контур этой поверхности (см.
рис. 20). Если прибавить к pv ток смещения -^-^-, то векторные
линии результирующего тока замкнутся. На рисунке 20 эти замк-
замкнутые линии пронизывают незаштрихованный контур. Точки этого
контура и натянутой на него поверхности имеют радиус-вектор /%
а точки векторной линии полного тока и соответствующей заштри-
заштрихованной поверхности — радиус-вектор гх. Заметим, что если бы мы
не ввели ток смещения, линии движения точечных зарядов в каждый
данный момент времени никак не могли бы замкнуться: там, где есть
заряд, ток не равен нулю в этот момент, но равен нулю во всех
остальных точках пространства. Только вместе с током смещения
получаются полностью замкнутые линии, как на рисунке 20.
Проинтегрируем теперь выражение для магнитного поля вдоль
контура незаштрихованной поверхности, т. е. по dl. Тогда из A2.22)
, 1 дЕ
получим после прибавления -щ-gf и перестановки порядка интег-
интегрирования:
Hdl-T \ [Р' + Ъ
dl
Покажем теперь, что внутренний двойной интеграл
равен 4я, если заштрихованный контур и контур векторной линии
вдоль которого ведется интегрирование по dlu сцепляются, и нулю —
в противном случае.
Будем обозначать \7Х дифференцирование по составляющим
вектора гх и просто у — по составляющим г. Так как подынтег-
подынтегральное выражение зависит только от разности г — rl9 можем за-
записать символически: Vi ~ —V- Заменим еще г~г* на
vi |Г_Г1| - Получим:
M^Hid <12-24>
Произведем циклическую перестановку в смешанном произведе-
произведении так, чтобы элемент длиной dl± стоял за знаком векторного умно-
умножения:
А = \\ dl1h1 * ¦ dlj. A2.25)
134

Получился интеграл по контуру &1Ъ к которому можно приме-
применить теорему Стокса, так что
Vij7hj' dl]dSl' A2*26)
Здесь интегрирование ведется по поверхности, окаймленной
токовой линией. Раскроем ротор от векторного произведения,
пользуясь A1.30) и помня, что dl не дифференцируется. При этом
div Vx i———- = Д1-———- обращается в нуль и остается только
A2.27)
\r-n\* #
Величина, стоящая под знаком внутреннего интеграла, имеет
простой геометрический смысл. Проведем из точки контура dl
прямую до пересечения с поверхностью sx. Вдоль этой прямой про-
проходит вектор г — гг. Его произведение на dsu деленное на абсолют-
абсолютную величину \ г — г1 |, означает проекцию площадки dsx на пло-
плоскость, перпендикулярную г — гг. Следовательно, выражение
——-1' это элемент телесного угла, под которым
TZ2 * \Ц |
площадка dsx видна из точки контура dl. Интеграл \ |~~^'
*) I * * 11
есть, таким образом, полный телесный угол Q, под которым кон-
контур, описанный линией тока, виден из точки контура dl.
Записывая A2.27), мы заменили ух на у и вынесли ее из-под
интеграла по dsv Произведение dly есть не что иное, как дифферен-
дифференциал dQ, взятый по контуру /, т. е. dQ. Вычислим теперь интег-
интеграл по контуру /. Допустим, что контур токовой линии обходился
по часовой стрелке. Тогда положительная сторона поверхности sly
натянутой на этот контур, обращена за плоскость рисунка 20.
Если смотреть на контур s± так, как он показан на этом рисунке,
то скалярное произведение (г — rlf ds±) положительно, так что те-
телесный угол надо брать с положительным знаком.
Пусть начальная точка обхода контура I находится на пересече-
пересечении контура с поверхностью sx. Начнем обход со стороны, видной
на рисунке. В этой точке поверхность занимает полпространства,
видного из нее, поэтому Q — 2л. Двигаясь вдоль контура /, мы по-
постепенно уменьшаем телесный угол, так что dQ < 0. На обрат-
обратной стороне поверхности sx скалярное произведение отрицательно
и телесный угол равен —2я. Все изменение телесного угла состав-
составляет 2я — (—2я), т. е. 4я с учетом знака «—» в A2.27).
Это справедливо для контура, сцепляющегося с токовой линией;
Для контура, не сцепляющегося с ней, возвращение происходит
в ту же точку с Q = 2я и интеграл обращается в нуль. Отсюда
следует, что в интеграл A2.23) входит вклад только тех токовых
линий, которые сцеплены с контуром /, поэтому он равен:
- <12-28>
135

Преобразуя теперь левую часть равенства A2.28) по теореме
Стокса и учитывая, что поверхность, по которой производится ин-
интегрирование, совершенно произвольна, приходим к уравнению
Максвелла для rot //:
^Lf. A2.29)
Легко видеть, что это уравнение согласуется с законом сохране-
сохранения заряда. Действительно, применим к нему операцию div. Сог-
Согласно A1.40) div rot H = 0, так что останется дивергенция только
от правой части. Если заменить div E по A2.13), то снова придем к
A2.18), т. е. к закону сохранения заряда:
Уравнение A2.29) не является просто записью закона Био — Са-
вара в дифференциальной форме. В A2.29) введен ток смещения,
который в теории постоянных токов не фигурирует.
Система уравнений Максвелла. Перепишем
теперь еще раз систему уравнений Максвелла в таком виде, в каком
она получилась из элементарных законов электромагнетизма.
Первая пара:
rot? = -|^, A2.30)
div//=0. A2.31)
Вторая пара:
rottf=4f- + ^/, A2.32)
A2.33)
В этих уравнениях считаются известными величинами р и j\
т. е. распределения зарядов и токов в пространстве в их зависимо-
зависимости от времени. Неизвестные, подлежащие определению, — обе
составляющие электромагнитного поля (Е и И). Каждая из них
имеет три векторные компоненты.
Несмотря на то что в обеих парах вместе восемь уравнений, из
них независимы только шесть, по числу компонент поля. Действи-
Действительно, три компоненты каждого ротора связаны соотношением
div rot = 0 и поэтому не независимы друг от друга.
В первой части этой книги было показано, что законы механики
могут быть получены из некоторых условий симметрии и принципа
наименьшего действия. При таком подходе яснее видно, какая сово-
совокупность опытных фактов лежит в основе механики Ньютона.
Аналогичным способом мы сумеем подойти и к электродинамике.
Тогда ее элементарные законы окажутся простыми следствиями
весьма общих закономерностей. Сама процедура получения урав-
уравнений Максвелла при этом весьма упрощается.
Электромагнитные потенциалы. В уравнения
электродинамики можно ввести такие новые неизвестные величины*
136

которые будут входить в каждое уравнение по одной. От этого об-
общее число уравнений уменьшится. Эти новые величины носят наз-
название электромагнитных потенциалов.
Потенциалы подбираются так, чтобы тождественно удовлетво-
удовлетворить первой паре уравнений Максвелла. Чтобы выполнялось урав-
уравнение A2.31), достаточно положить
// = rot4, A2.34)
где А — вектор, называемый векторным потенциалом. Тогда сог-
согласно A1.40) div H будет равна нулю тождественно.
Электрическое поле надо представить в таком виде:
?=-y^-Vcp, A2.35)
где ф называется скалярным потенциалом. Согласно A1.39) rot yep =
= 0. Подстановка равенств A2.34) и A2.35) в A2.30) приводит
к тождественному сокращению.
Физически определены векторы электромагнитного поля, по-
потому что через них выражаются силы, действующие на заряды и
токи. Напряженности полей, или, как принято говорить, «поля»,
получаются из потенциалов путем дифференцирования. Поэтому
потенциалы определены только с точностью до выражений, которые
при дифференцировании сокращаются. Естественно подобрать эти
выражения так, чтобы уравнения для потенциалов выглядели как
можно проще. Найдем сначала самое общее преобразование потен-
потенциалов, не изменяющее полей в равенствах A2.34) и A2.35).
Из уравнения A2.34) ясно, что если прибавить к векторному
уравнению градиент от произвольной функции, магнитное поле
не изменится, так как ротор градиента тождественно равен нулю.
Полагая
t), 02.36)
видим, что магнитное поле, выраженное через такой измененный по-
потенциал, останется прежним:
Чтобы прибавление у/ к векторному потенциалу не сказалось на
электрическом поле, надо изменить и скалярный потенциал:
«р-ф'-т!' A2-37)
где / — та же функция, что и в A2.36). Тогда для электрического
поля получим:
с 1 ал ^
Е = дг— Vcp =
с dt v
с dt "' "г-г'сы --§} 'T-
'TIS?

Следовательно, не изменится и электрическое поле. Таким обра-
образом, потенциалы определены с точностью до преобразований A2.36),
A2.37), которые называются условиями калибровки.
Уравнения для потенциалов. Подберем теперь
произвольную функцию так, чтобы вторая пара уравнений Максвел-
Максвелла свелась к уравнениям для потенциалов возможно более простого
вида. Подстановка A2.34) и A2.35) в A2.32) дает:
Выражение rot rot Л представим при помощи A1.42). Тогда
A2.38) приведется к следующему виду:
!$) = 4-f. A2.39)
Постараемся избавиться от величины в скобках в левой части
A2.39). Обозначим ее для краткости буквой а. Сделаем преобразо-
преобразования A2.36) и A2.37) над потенциалами. Тогда величина а при-
приведется к виду:
±% ±% -±%. A2.40)
Функция / осталась пока произвольной. Допустим теперь, что
она специально подобрана так, чтобы удовлетворять уравнению:
A/-^U = 0. A2.41)
Тогда из A2.40) очевидно, что потенциалы будут подчинены ус-
условию: 1 Дгп,
div Л' + у^- = 0. A2.42)
Оно называется условием Лоренца.
Выражение полей через потенциалы, как было показано, не из-
изменяется от преобразований калибровки. Поэтому в дальнейшем
всегда будет предполагаться, что необходимое преобразование
выполнено и условие Лоренца удовлетворено. При этом штрихи
при потенциалах можно больше не ставить.
Из условия Лоренца и A2.39) получается уравнение для век-
векторного потенциала:
12/ по 4Ъ
Теперь легко написать и уравнение для скалярного потенциала.
Из A2.33) и A2.35) имеем:
div Е = — у щ div А — Аср = 4яр.
Подставляя div А из условия Лоренца A2.42), получим:
138

Все уравнения A2.43) и A2.44) содержат по одному неизвест-
неизвестному. Поэтому каждое уравнение для потенциала не зависит от
остальных и может решаться в отдельности. Это справедливо, од-
однако, только в декартовых координатах, в криволинейных коорди-
координатах разные компоненты А входят в одни и те же уравнения.
Уравнения для потенциалов — это уравнения второго порядка
относительно производных по координатам и по времени. Для
решения таких уравнений требуется задавать начальные значения
не только потенциалов, но и производных от потенциалов по вре-
времени.
В дальнейшем будет видно, что в очень многих случаях надо
пользоваться уравнениями, в которые входят не электромагнитные
поля, а потенциалы, через которые поля определяются. Но так как
потенциалы неоднозначны и могут при одних и тех же электромаг-
электромагнитных полях получать различные добавочные члены согласно фор-
формулам A2.36) и A2.37), надо следить за тем, чтобы вид всякого урав-
уравнения, содержащего потенциалы, не изменялся от преобразований
калибровки. Ведь эти преобразования содержат совершенно про-
произвольную функцию /, которая может быть выбрана в любом виде.
(Ясно, что высказанное требование не относится к соотношениям,
определяющим потенциалы, т. е. к A2.43) и A2.44), справедливость
которых связана с выбором потенциалов, удовлетворяющих усло-
условию Лоренца.)
Никакой физический результат не может зависеть от выбора
произвольной функции /, на которую заранее не накладываются
никакие ограничения. Условие Лоренца было подобрано только
в целях упрощения A2.43) и A2.44), но не является физически
необходимым.
Говорят, что физические уравнения, т. е. уравнения для непо-
непосредственно наблюдаемых величин, должны быть калибровочно ин-
инвариантными.
УПРАЖНЕНИЕ
Написать уравнения Максвелла и уравнения для потенциалов в цилиндри-
цилиндрических координатах, для которых dl2 = dr2 + /-2difJ + dz2.
§ 13. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ЭЙНШТЕЙНА
Закон сложения скоростей и электро-
электродинамика. В уравнения Максвелла входит постоянная ве-
величина су имеющая размерность скорости. В § 18 будет показано,
что с не только по размерности совпадает со скоростью, но и на са-
самом деле есть скорость распространения электромагнитных волн
в пустом пространстве. Это получается в результате решения си-
системы A2.30)—A2.33) в предположении, что р = 0, J = 0.
Допустим, что величины, входящие в эту систему, измерены не-
некоторым инерциально движущимся наблюдателем. Пусть теперь
139

относительно этого наблюдателя движется другой с постоянной
скоростью V. В механике был сформулирован принцип относитель-
относительности: любое уравнение должно выглядеть одинаковым образом
относительно различных инерциальных систем отсчета. При каких
условиях это может быть справедливо и в электродинамике? Может
ли оказаться так, что законы электродинамики имеют одинаковый
вид в системе отсчета исходного наблюдателя, где электромагнитные
волны распространяются во все стороны со скоростью с, и в системе
отсчета другого наблюдателя, движущегося с постоянной скоростью
V относительно первого?
На первый взгляд кажется, что это невозможно. По закону сло-
сложения скоростей в системе отсчета второго наблюдателя электро-
электромагнитные волны должны распространяться со скоростью
9 A3.1)
где для простоты взято то направление распространения волн, кото-
которое совпадает с относительной скоростью систем. Для обратного
направления в равенстве стоял бы знак «минус», для перпендику-
перпендикулярного направления надо было бы складывать скорости векторным
способом.
Таким образом, в системе отсчета второго наблюдателя, тоже
движущегося инерциально, скорость распространения электромаг-
электромагнитных волн должна была бы зависеть от их направления. Поскольку
распространяющаяся электромагнитная волна есть одно из возмож-
возможных решений уравнений Максвелла, то эти уравнения получали бы
различный вид в разных инерциальных системах отсчета.
Следовательно, может быть справедливо одно из двух: либо верен
обычный закон сложения скоростей A3.1) и принцип относитель-
относительности неприменим к электромагнитному полю, либо он все же спра-
справедлив и для электромагнетизма, но тогда неверен закон сложения
скоростей в его простейшей форме A3.1).
Опыт Майке л сон а. Был произведен прямой опыт,
показавший, что справедливо именно второе предположение, т. е,
что скорость света и вообще всякого электро-
магнитного возмущения в вакууме не склады-
складывается со скоростью системы отсчета. Во всех
направлениях скорость света в любой инер-
циальной системе отсчета равна одной и той
же фундаментальной величине с. Этот опыт
g выполнил в 1887 г. Майкелсон. Опишем опыт
§ вкратце.
Луч света падает на полупосеребренную
пластинку 5S (рис. 21). При этом он раздваи-
вается: часть света отражается и падает на
зеркало Л, а часть проходит и падает на
зеркало В. Пусть луч SA перпендикулярен
^ скорости Земли в ее движении вокруг Солнца,
Рис. 21 а луч SB параллелен той же скорости. Отра-
140

женный от зеркал А и В свет возвращается на пластинку SS: луч
BS отражается от нее и попадает на экран С, а луч AS проходит
через 55 прямо и падает на экран С. Поэтому оба луча в отношении
прохождений и отражений совершенно равноценны, но на участках
AS и BS свет распространяется различно относительно движения
Земли.
Посмотрим, какого эффекта следовало бы ожидать, если бы
скорость света складывалась со скоростью движения Земли по обыч-
обычному закону. На пути SB скорость света относительно Земли рав-
равнялась бы с — V, а на обратном пути с + 1/, где V — скорость
Земли. Время прохождения светом всего пути SBS в обе стороны
равно в сделанном предположении:
/ , / 21с _ 2/
где / = SB. Переходя к приближенному равенству, мы восполь-
воспользовались тем, что V <* с.
На участке SA скорости Земли и света перпендикулярны (в си-
системе отсчета, связанной с прибором). Допуская снова, что скорость
света складывается со скоростью Земли, надо на этот раз приме-
применить векторный закон сложения. Тогда на участке SA скорость
света относительно прибора равна ]/с2 — I/2, потому что с — гипо-
гипотенуза прямоугольного треугольника, V и Ус2 —V2 — его катеты.
Время прохождения светом всего пути SAS9 равного 2/, есть
21 ^ 21 IV2
Таким образом, разность времен прохождения светом путей
/у2
SBS и SAS равна -^-. С помощью многократных отражений путь
лучей делается довольно длинным (десятки метров). Выбирая его
надлежащим образом, можно добиться того, что предполагаемая
разность времен прохождения путей SAS и SBS станет равна полу-
полупериоду световых колебаний. Тогда, если все рассуждение было
верным, лучи на экране должны погаситься.
Чтобы убедиться в том, что гашение лучей в данной точке экрана
произошло именно вследствие сложения скоростей Земли и световых
лучей, достаточно повернуть прибор на 45° так, чтобы скорость
Земли стала направленной по биссектрисе угла ASB. При этом
разность времен прохождения лучами путей SAS и SBS должна во
всяком случае стать равной нулю, если в первоначальном положе-
положении эта разность составляла полпериода колебаний. Иными сло-
словами, интерференционные полосы на экране должны сместиться
на половину расстояния между двумя полосами: там, где было
светлое место на экране, появится темное, и наоборот.
Фактически никакого изменения разности хода лучей от пово-
поворота прибора не наблюдается, т. е. ожидавшийся эффект полностью
отсутствует. Скорость света не складывается со скоростью Земли,
141

Ниже мы разберем некоторые факты, которые, казалось бы,
приводят к обратному заключению, и покажем, что противоре-
противоречие кажущееся. Сначала выясним, какие следствия вытекают из
того, что сложения скорости света со скоростью Земли не проис-
происходит.
Принцип относительности применительно
к электромагнитному полю. Как было указано
в предыдущем параграфе, уравнения электродинамики не пред-
предполагают наличия какой-либо упругой среды — «эфира», пере-
передающего электромагнитные возмущения. Реальностью является
само электромагнитное поле. Поэтому надо ожидать, что уравнения
электродинамики в той же степени независимы от выбора инер-
циальной системы отсчета, как и уравнения механики. Те и другие
уравнения непосредственно описывают движение, т. е. изменение
состояния изучаемого объекта во времени. Вид уравнений не дол-
должен меняться в зависимости от того, что для описания выбрана та
или иная инерциальная система отсчета.
Поэтому результат опыта Майкелсона не противоречит представ-
представлениям об относительности движения, а подтверждает их. Опыт
Майкелсона доказывает, что скорость света в пустоте одинакова во
всех инерциальных системах.
Скорость распространения взаимодействий есть фундаменталь-
фундаментальная постоянная, входящая в уравнения электродинамики. Эти
уравнения могут быть инвариантны относительно перехода от одной
инерциальной системы к другой только в том случае, если скорость
распространения взаимодействий в обеих системах одинакова.
Результат опыта Майкелсона противоречит только закону сложе-
сложения скоростей, т. е. галилеевским преобразованиям (8.1).
Такой закон преобразования и вытекающий из него закон сложе-
сложения скоростей подтвержден опытом только для относительных
скоростей и скоростей движения, малых по сравнению со скоростью
света с. Из опыта Майкелсона следует, что галилеевские преобразо-
преобразования для больших относительных скоростей систем отсчета и боль-
больших скоростей движения объектов должны быть заменены другими,
более точными преобразованиями. Причем эти преобразования
должны иметь универсальный вид, одинаковый как для частиц, так
и для электромагнитного поля.
Действительно, пусть в определенной инерциальной системе
отсчета заряды как-то взаимодействуют с электромагнитным полем,
что приводит к некоторым событиям, например к столкновениям
между зарядами. Такие события можно предвычислить на основании
уравнений механики и электродинамики. При переходе к другой
инерциальной системе уравнения механики и электродинамики
должны сохранить свою форму, потому что в противном случае из
преобразованных уравнений, совместно взятых, будут получаться
другие следствия, в частности и такие, что столкновение вообще
не осуществляется. Но столкновения — это объективные факты,
они должны наблюдаться во всех системах отсчета. Между тем,
142

если сохранить преобразования Галилея хотя бы только для меха-
механики, а вытекающий из них закон сложения скоростей объявить
недействительным для одного электромагнитного поля, возникнет
рассогласование, тем более сильное, чем ближе скорость инерциаль-
ной системы (или скорости движения отдельных частиц) к скорости
света.
Надо найти такие преобразования взамен преобразований Гали-
Галилея, которые оставляли бы неизменными и уравнения механики, и
уравнения электродинамики. При этом, однако, оказывается, что
требуют уточнения законы ньютоновской механики, справедливые
только при малых скоростях частиц.
Это заставляет пересмотреть законы механики, какова бы ни
была наша уверенность в них, основанная на опыте повседневной
жизни, когда движения тел совершаются со скоростями, малыми
по сравнению со скоростью света.
Преобразования Лоренца. Будем искать преобра*
зования более общего вида, чем преобразования Галилея для пере*
хода от одной инерциальной системы отсчета к другой. Подобно
преобразованиям Галилея, они должны удовлетворять некоторым
требованиям общего характера, которые перечислены ниже.
1) Формулы перехода должны быть симметричны относительно
обеих инерциальных систем. Будем обозначать величины, относя-
относящиеся к одной системе, буквами без штриха, а относящиеся к другой
системе — буквами со штрихом. Иначе говоря, надо найти формулы,
выражающие х, у, z и t через х', у', z' и f таким образом, чтобы
«штрихованные» величины выражались через «нештрихованные»
или «нештрихованные» — через «штрихованные» формулами оди-
одинакового вида.
Скорость «штрихованной» системы отсчета относительно «не-
штрихованной» обозначим буквой V. Тогда прямые формулы пере-
перехода должны преобразовываться в обратные при простой замене V
на —V. Это требование необходимо для равноправия обеих систем
отсчета.
2) Преобразование должно переводить точки одной системы
отсчета, находящиеся на конечном расстоянии от произвольного
начала координат, в точки, тоже находящиеся на конечном расстоя-
расстоянии от произвольного начала другой системы отсчета.
Первое требование крайне ограничивает возможный вид пре-
преобразований. Например, функции преобразования не могут быть
квадратичными, потому что обращение квадратичной функции при-
приводит к иррациональности так же, как и обращение функции лю-
любой степени, кроме первой. Дробно-линейное преобразование, т. е.
частное от деления двух линейных выражений, при некоторых огра-
ограничениях, налагаемых на коэффициенты, может быть обращено
с помощью функции того же вида. Например, для одной перемен-
переменной прямая и обратная дробно-линейные функции выглядят так:
,_ах + Ь „_b-fxf
143

Но эти функции не удовлетворяют второму условию: если
я' = у» х обращается в бесконечность. Поэтому единственно воз-
возможна линейная функция.
3) Когда относительная скорость двух систем стремится к нулю,
формулы перехода дают тождество: х = х\ у = у', z = г\ t = f.
4) Из формул преобразования следует такой закон сложения
скоростей, который оставляет скорость света в пустоте инвариант-
инвариантной.
Резюмируя, скажем короче, что формулы перехода: 1) сохраняют
свой вид при обращении, 2) линейны, 3) при малых относительных
скоростях переходят в тождество, 4) не изменяют скорость света
в пустоте.
Эти четыре условия достаточны. Для простоты выкладок напра-
направим какие-нибудь координатные оси, например х и х\ по относитель-
относительной скорости обеих систем. Тогда координаты, отложенные по дру-
другим осям, просто не будут затрагиваться преобразованием, т. е.
у = у\ z= z'.
Вернемся к рисунку 9, но не будем делать произвольного допу-
допущения, что / = ? (опыт подтверждает его только при малых отно-
относительных скоростях систем). Тогда линейные преобразования х
и / в самом общем виде могут быть выражены так:
A3.2)
A3.3)
Коэффициенты а, р, у, 8 определятся из условий 1—4. Постоян-
Постоянные слагаемые в этих формулах писать не надо: они могут быть
включены в х или х' за счет выбора начала отсчета.
Применим формулу A3.2) к началу координат «штрихованной»
системы: х' = 0. Относительно «нештрихованной» системы эта
точка движется со скоростью V. Следовательно, х = Vt. Подстав-
Подставляя в A3.2) х' = 0, х = Vt, получим после сокращения на t:
аУ + р = 0. A3.4)
Решим уравнения A3.2) и A3.3) относительно х и t. Элементар-
Элементарные алгебраические выкладки дают:
'- Pv-осб- <13'6)
Применим теперь 1-е условие. Предварительно отметим, что
коэффициенты Р и у, связывающие между собой координату и
время, должны менять знак вместе со скоростью V, В противном
случае, если повернуть оси хи/в обратную сторону, формулы не
сохранят своего вида, что недопустимо. Изменение х на —х и х'
на —х' равносильно изменению 1^ на —V; чтобы при этом формула
144

A3.2) не изменилась, надо потребовать изменения знака р вместе
с V. Это согласуется и с A3.4).
Таким образом, необходимо, чтобы формулы обратного перехода
от л;' к л; отличались от формул прямого перехода A3.2) и A3.3)
знаками при Р и у:
x = ax'-$t', A3.7)
t = — yx' + 6t'. A3.8)
Сравнивая A3.7) и A3.5), получим:
Из A3.10) следует, что
осб — pv = 1. A3.11)
Тогда A3.9) дает:
а = в. A3.12)
Это все, что необходимо для симметрии между прямыми и обрат-
обратными формулами.
Теперь применим 4-е условие. Для этого разделим уравнение
A3.2) на A3.3):
-тг^— . A3.13)
Пусть х — точка, в которой находится электромагнитный сиг-
сигнал, вышедший в начальный момент времени / = 0 из начала коор-
координат «нештрихованной» системы. Очевидно, что-^- = с, но согласно
yf
4-му условию ^ ~ с- Следовательно,
±| A3.14)
с = 2?±|-.
ус + б
Подставим в A3.14) соотношения A3.4) и A3.12), чтобы исклю-
исключить р и 6. Останется соотношение между аиу:
ус2-\-ас = ас — осУ,
откуда v
Y = -«?. A3.15)
Подставив A3.15), A3.4) и A3.12) в A3.11), находим уравнение
Для а:
(?) l. A3.16)
При извлечении корня надо взять положительный знак согласно
3-му условию, тогда при малой относительной скорости A3.3)
переходит в t = tr (иначе получилось бы t = —/', что бессмысленно).
145

Выражая все коэффициенты а, р, у и 8 по уравнениям A3.16),
A3.4), A3.15) и A3.12) и подставляя в A3.2) и A3.3), приходим
к искомым преобразованиям:
*¦=
". A3-17)
A3.18)
Эти формулы носят название преобразований Лоренца. Обрат-
Обратные формулы согласно A3.7) и A3.8) имеют такой вид:
Т/у'
/
A3.20)
Чтобы выяснить смысл этих формул преобразования, применим
их к некоторым частным задачам. Пусть в начале координат хг = 0
«штрихованной» системы покоятся часы. Они показывают время
t'. Тогда из формулы A3.20) следует:
7=
У
Назовем часами наблюдателя те часы, которые покоятся отно-
относительно его системы отсчета. Из формулы A3.21) видно, что один
наблюдатель, сверяя свои часы, которые показывают время ty
с часами другого наблюдателя, всегда заключает, что последние
отстают, т. е. что f < /. Если часы покоятся в начале координат
«нештрихованной» системы, т. е. в точке х = 0, то формула перехода
имеет тот же вид, потому что согласно A3.18)
''w- A3-2Г)
Это не только не противоречит A3.21), а выражает в точности
то же самое: часы, движущиеся относительно некоторого наблюда-
наблюдателя, отстают от его часов.
В теории относительности не существует единого мирового вре-
времени, как в ньютоновской механике. Лучше сказать, что абсолютное
время ньютоновской механики есть приближенное понятие, спра-
справедливое только при малых относительных скоростях сравниваемых
146

часов. Абсолютность ньютоновского времени давала иногда повод
считать его какой-то доопытной, логической категорией, независи-
независимой от движения материи. Но следует помнить, что в механике
Ньютона приближенное понятие абсолютного времени не ведет
к противоречиям, так как там принимается, что взаимодействие
происходит на расстоянии мгновенно. Достаточно подставить в
A3.18) с = со, и получится t ~ f. В ньютоновской механике мгно-
мгновенное действие передавалось на расстояние силами тяготения.
Иногда полагают, что, зная скорость света с, можно внести та-
такую поправку в показания часов различных инерциальных систем,
что ход времени станет всегда одинаков. Но как раз формулы
A3.21) и A3.21') описывают ход времени в обеих системах отсчета
после внесения поправки на конечность времени распространения
света. Сокращение промежутков времени вполне взаимно в этих
системах отсчета. Следовательно, его нельзя приписать какому-
либо изменению в свойствах часов, связанному с движением. Эффект
сокращения промежутка времени чисто кинематический.
Относительность времени не означает отказа от его объектив-
объективности. Оно объективно для каждой системы ^тсчета, подобно тому
как направление отвеса, различное в разных точках земного шара,
вполне объективно для каждой точки земной поверхности. Между
тем были времена, когда и вертикальное направление считалось аб-
абсолютным.
Относительным оказывается также понятие длины отрезка.
Чтобы узнать длину движущегося тела — «масштаба», надо одно-
одновременно отложить координаты его концов в неподвижной системе
отсчета. Принципиально иного метода измерения движущегося
масштаба неподвижный наблюдатель не имеет, потому что иначе
ему придется остановить масштаб, т. е. перенести его в свою си-
систему отсчета. «Засечки» концов движущегося масштаба он должен
произвести одновременно по своим часам, допустим, в один и тот же
момент времени: / = 0. Понятие одновременности двух операций,
произведенных в одной и той же системе отсчета, может быть одно-
однозначно определено с помощью световых сигналов. Действительно,
наблюдатели, находящиеся друг относительно друга в покое, всегда
могут сверить свое время с помощью светового сигнала, внося по-
постоянную поправку на время его распространения.
Подставляя в A3.17) t = 0, получаем выражение длины движу-
движущегося масштаба относительно неподвижного:
А*'= J?-^. A3.22)
Если наблюдатели поменяются ролями и тот, который двигался
вместе с масштабом, измерит масштаб «нештрихованного» наблюда-
наблюдателя, получится аналогичная формула, в которой Дя' стоит справа,
а Д* — слева. Обе формулы, связывающие длины неподвижного
147

и движущегося масштабов, выражают одно и то же: движущийся
масштаб укорачивается относительно неподвижного.
Заметим еще, что при фотографировании быстро движущихся
предметов (воображаемом, конечно) сокращение их длин происхо-
происходить не должно, потому что лучи от крайних точек объекта, попадаю-
попадающие в аппарат, выходят из этих точек не одновременно. Анализ
показывает, что движущийся объект на фотографии выглядел бы
повернутым. Конечно, фотографирование столь быстро движущихся
предметов так же утопично в наше время, как рассматривание их
невооруженным глазом.
Сложение скоростей. Найдем теперь формулу сло-
сложения скоростей, вытекающую из преобразований Лоренца. Диф-
Дифференцируя A3.17) и A3.18) и деля одно равенство на другое, полу-
получим:
dx' _ , __ dt vx-V (} о 9Ъ
с2 dt
Учитывая, что dt/ = dy и dzr = dzy находим преобразование
составляющих скорости, перпендикулярных V:
При малых скоростях A3.23) и A3.24) переходят в обычные фор-
формулы сложения скоростей. Это видно, если формально считать
с -> со, т. е. положить — =0. Легко сообразить, что если
v = Y~Vx + vl + v2z — c, то и v1 = с, т.е. абсолютная величина
скорости электромагнитных возмущений не меняется при переходе
от одной системы к другой. Но отдельные проекции скорости света,
которые меньше с, конечно, могут меняться, как и направление
светового луча относительно разных наблюдателей,
f так как абсолютного направления в пространстве
нет.
В связи с этим остановимся на явлении абер*
рации света. Астрономическая аберрация (или от-
отклонение света) состоит в том, что в течение года
звезды описывают на небесном своде малые эл-
эллипсы. Происхождение их легко объяснить: при
годичном движении скорость Земли по-разному
складывается со скоростью света, идущего от звез-
ды (рис. 22). Если вектор скорости света звезды
$ Т2 относительно Солнца есть ES, то результирующее
направление скорости в одном положении Земли
Рис 22 ЕТЪ а через полгода ?Г2. Эти направления прое-
148
/
/
1
1
1
\
\
\
\
\
\
\

цируются на разные точки небесного свода, так что в течение года
звезда описывает замкнутый эллипс. В направлении, перпендику-
перпендикулярном плоскости земной орбиты, обе оси эллипса равны и полу-
получается окружность, а в плоскости орбиты эллипс превращается
в отрезок прямой, равный диаметру этой окружности. Иными сло-
словами, большая полуось эллипса всегда равна ~, где V — скорость
Земли:
^ * 90 95"
Вызывало недоумение: почему в опыте Майкелсона скорость
света не складывается со скоростью Земли и остается равной с,
а явление аберрации показывает, что эти скорости складываются.
Чтобы сблизить условия опыта Майкелсона и наблюдения аберра-
аберрации, опыт производили с внеземным источником света, отчего, ко-
конечно, результат не изменился. Разрешение кажущегося противоре-
противоречия состоит в том, что в опыте Майкелсона измеряется абсолютная
величина скорости света по разности хода лучей, а в явлении абер-
аберрации — изменение направления скорости света вследствие того,
что изменяется направление скорости Земли на орбите. Если для
примера взять звезду, расположенную в направлении перпенди-
перпендикуляра к земной орбите, то в A3.23) и A3.24) vx = 0, vy = с, vz = 0.
Составляющие скорости света относительно Земли равны:
При этом v'x* + v'y=c? в согласии с опытом Майкелсона. Направ-
Направление проекции скорости света на плоскость земной орбиты (эклип-
(эклиптики) в течение полугода меняется на обратное, что и приводит
к аберрации.
Аналогичные формулы получаются в более сложном случае,
когда лучи света не перпендикулярны плоскости эклиптики. Полное
совпадение с обычными формулами сложения ^скоростей достигается
только при отбрасывании членов порядка -^-.
Другое противоречие с опытом Майкелсона находили в опыте
Физо, определявшего скорость све-
света относительно движущейся сре-
среды. Метод Физо заключался в сле-
следующем. Луч света разделялся
полупосеребренной пластинкой на
Два (рис. 23). Эти лучи пропуска-
пропускались по трубам с текущей водой:
один — по течению, другой — на-
навстречу течению. Для сравнения
те же лучи проходили по тру-
149
Рис. 23

бам, когда вода в них покоилась. Дальнейшими отражениями лучи
снова сводились и взаимно погашались в точках, где разность хода
была равна целому числу полуволн, т. е. когда их фазы оказывались
противоположными. Когерентность между ними соблюдалась бла-
благодаря тому, что они шли от одного источника. Можно было подоб-
подобрать такую разность хода, что, проходя через покоящуюся воду,
лучи взаимно усиливались, т. е. разность хода между ними была
равна целому числу волн. В текущей воде разность хода изменялась.
Так как частота света и длина труб были неизменны, появление
дополнительной разности хода доказывало, что в текущей воде
скорость света не такая, как в покоящейся.
Заметим прежде всего, что результат опыта Физо ни в чем не про-
противоречит общим представлениям об относительности движения.
Система отсчета, связанная с текущей водой, не равноценна си-
системе, связанной с трубами, если изучается распространение света
в воде.
Так как скорость света в воде равна с/п, где п — показатель
преломления, общая формула A3.23) показывает, что с/п не ос-
остается неизменной величиной при переходе к другой системе отсчета.
В то же время нельзя пользоваться простой формулой сложения
скоростей, потому что знаменатель A3.23) отклоняется от единицы
на —, т. е. на величину такого же порядка, как и величина в скобке
в числителе, если представить его как~A -) (V — скорость
п \ с }
воды). Считая, что V <^ с, и разлагая знаменатель в ряд до линей-
линейного члена включительно, находим изменение скорости света в те-
текущей воде (см. упр. 1):
Это не совсем совпадает с результатом, которого следовало бы
ожидать, пользуясь обычной формулой сложения скоростей. Когда
опыт Физо был сделан (в середине прошлого века), результат ока-
оказался несколько неожиданным. Появление множителя A И
объяснила теория относительности. Так как Майкелсон измерял
величину с, а Физо — величину ~> противоречия между их опытами
нет. Надо еще отметить, что в опыте Майкелсона обнаруживался
квадратичный эффект (точнее, отсутствие квадратичного эффек-
эффекта!), а в опыте Физо — эффект линейный относительно V. По-
Поэтому в опыте Майкелсона использовалась скорость Земли
30 км/сек, которая гораздо больше, чем скорость текущей по "тру-
"трубам воды.
Интервал. Несмотря на то что х и t в отдельности изменяются
от преобразований Лоренца, можно подобрать величину, остаю-
остающуюся при этом инвариантной (неизменной). Легко проверить, что
150

таким свойством обладает разность с2/2 — х2. Действительно,
X = '
ИЛИ
c2/2-*2==c2/'2-;k'2ees2. A3.25)
Величина s называется интервалом между двумя событиями:
тем, которое произошло в начальный момент t = О в начале коор-
координат, и другим, имевшим место в момент / в точке х.
Слово «событие» можно понимать в самом обычном, житейском
смысле, лишь бы можно было определить его координаты и его
время. Если первое событие отнесено не к началу отсчета коорди-
координат и времени, то интервал следует определить по разности отсчетов:
S2 = С2 (,а _ fiJ _ (яа _ XiJ = С2 (^ _ t>xJ __ (JCJ _ ^2. A3.26)
Большое значение имеет интервал между двумя бесконечно
близкими событиями. Будем считать, что они разделены отрезком
длины, ориентированным не по оси х, а произвольно. Тогда беско-
бесконечно малый интервал между событиями ds определяется так:
ds2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 =
= с2 dt'2 - dx'2 - dy'2 - dz'2 = c2dt'2 - dV\ A3.27)
Записанный в таком виде интервал не связан с каким-либо
направлением относительной скорости систем отсчета.
Пространственные и временные интер-
интервалы. Интервал позволяет очень наглядно изучить различные
пространственно-временные соотношения, возможные между двумя
событиями. Пусть по оси абсцисс отложено пространственное рас-
расстояние между точками, в которых произошли события, а по оси
ординат — промежуток времени от одного события до другого
(рис. 24).
Представим себе такой случай, когда ct > /, так что s2 > 0.
Будем рассматривать те же два события во всевозможных инер-
Циальных системах отсчета. Тогда промежуток времени и простран-
пространственное расстояние, разделяющие события, будут совершенно
разными, но интервал s2 = с2 t2 — /2 останется неизменным отно-
относительно любой системы отсчета. Следовательно, геометрическое
место точек всех возможных пространственных расстояний /2 и
промежутков времени (ctJ есть равнобочная гипербола s2 = сН2 — Z2.
При этом одна ветвь гиперболы лежит в прошлом относительно
события, происшедшего при t = 0, х = 0, а другая — целиком
в будущем. Легко видеть, что такое соотношение с необходимостью
151

Абсолютно
будущее
Абсолютно
прошедшее
Рис. 24
ct I имеет место, если события связаны между
собой причинно. Пусть в какой-то си-
системе отсчета события произошли заве-
заведомо в одной точке пространства и вто-
второе было следствием первого. Этой си-
системе отсчета отвечает точка О (причина)
и точка А (следствие). Но все точки
гиперболы, проходящей через Л, лежат
при / > 0, так что и в любой системе
отсчета причина предшествует следствию.
Можно исходить и из таких причин-
причинно связанных событий, которые в ис-
исходной системе отсчета происходят не
в одной точке пространства, например
выстрел и попадание в цель. Но в систе-
системе, связанной с пулей, оба события
расположены на отрезке ОА (см. рис. 24).
В исходной системе выстрел и попадание
лежат на наклонном отрезке, проведен-
проведенном из начала к той же гиперболе, ко-
которая проходит через Л. Поэтому в любой системе отсчета по-
попадание происходит позже выстрела.
Обозначим скорость пули (или любой частицы) v; тогда легко
видеть, что v < с. Действительно, чтобы существовала система от-
отсчета, связанная с частицей, надо считать, что ds2 ^ c2dt2 > 0.
Но тогда dl2 = v2dt2 << c2dt2t или v < с, как и утверждалось. Ско-
Скорость света — предельная скорость для материальной точки.
Область выше первой асимптоты называется абсолютно будущей
по отношению к начальному событию. Всякое следствие лежит в этой
области, если причина — событие в точке О. Теория относитель-
относительности не противоречит, таким образом, объективному характеру
причинности.
Можно привести примеры событий, расположенных иным спосо-
способом в пространстве и времени. Для таких событий сН2 < /2 и s2 < 0.
Эти события никак не могут быть связаны причинно. Скорость пере-
переноса материи, как мы видели, не превосходит с, а для того чтобы
иметь s2 < 0, надо взять I2 > c2t2. He существует такой системы
отсчета, где бы оба события могли произойти в одной точке про-
пространства. Для них s2 < 0, так что интервал — мнимая величина.
Зато не определена последовательность подобных событий во
времени: существуют такие системы отсчета, где событие, условно
названное первым, произошло раньше второго, и такие, где их поря-
порядок во времени обратный. Таким образом, теория относительности
отрицает абсолютный характер одновременности двух событий, раз-
разделенных мнимым интервалом. Ни в одной системе отсчета они
ке могли произойти в одной и той же точке пространства. Пример
их — точки О и В на рисунке 24. Точка В лежит на гиперболе,
которая принадлежит частью будущему, частью — прошедшему.
152

Ясно, что О и В не могут быть связаны причинно, так как в про-
противном случае взаимодействие должно было бы распространиться
из О в В мгновенно. Поэтому есть и такие системы отсчета, где
событие В произошло раньше О.
Область между асимптотами со стороны В называется абсолютно
удаленной по отношению к исходному событию.
Особый интерес представляют сами асимптоты к гиперболам:
на них / = cty s — 0. Соотношение / = ct имеет место для двух собы-
событий, связанных электромагнитным сигналом, например для отсылки
и приема радиограммы. Во всех системах отсчета для таких двух
событий s = 0, потому что скорость света инвариантна и всегда
должно быть I — ct. Так как график на рисунке 24 на самом деле
отвечает не плоскости, а 3 + 1 измерениям (три пространственные
координаты и время), геометрическое место нулевых интервалов
образно называется «световым конусом».
Собственное время.С интервалом тесно связано поня-
понятие собственного времени частицы. Перемещение частицы относи-
относительно системы отсчета, связанной с ней самой, по определению равно
нулю. Эта система не обязана быть инерциальной, если частица
движется ускоренно. Время, измеренное в собственной системе
отсчета частицы, очевидно, выражается через интервал таким обра-
образом:
Здесь dt и dl — промежуток времени и перемещение частицы
относительно не связанной с ней системы отсчета. Согласно A3.28)
или A3.21) собственное время частицы, движущейся со скоростью
v — -п/самое короткое. Для конечных промежутков времени полу-
получаем:
$|^$. 03.29)
ИЛИ
*0<*. A3.30)
Может показаться, что A3.29) и A3.30) противоречат тому, что
было сказано о взаимности сокращения времени для двух наблюда-
наблюдателей. На самом деле, чтобы реализовать различие времен, даваемое
этими формулами, надо привести движущуюся систему в состояние
покоя относительно неподвижной, т. е. лишить ее свойства инер-
Диальности. Такая неинерциальная система никак не равноценна
инерциальной.
Сказанное можно пояснить еще и таким способом. Пусть неко-
некоторая система была ускорена в течение некоторого промежутка вре-
времени т, затем двигалась равномерно очень долгое время t, изменила
направление своего движения на обратное в течение 2т, снова дви-
двигалась равномерно в большом промежутке времени i и замедлилась
До остановки за время т. Это как бы путешествие в обе стороны.
153

Согласно формуле A3.29) основной выигрыш во времени отно-
относится к периоду равномерного движения, так как t Ъ> т. Если этот
период увеличится, скажем, в 10 раз при неизменном времени
ускорения и замедления, выигрыш во времени тоже увеличится
в 10 раз. Отсюда следует, что ускорение и замедление нужны только
для того, чтобы можно было произвести сопоставление времени,
протекшего в обеих системах отсчета — инерциальной и неинер-
циальной, но не для самого сокращения времени в неинерциальной
системе. Неинерциальность накладывает на систему отсчета как
бы метку, позволяющую говорить, что именно в этой системе прошло
меньше времени между отправлением в путешествие и возвращением.
Математически это можно объяснить еще и так. Дифференциал
ds
dt полный, а дифференциал dt0 = — неполный. Поэтому значение
интеграла A3.29) зависит от того, какая функция v (t) в него под-
подставлена. Здесь можно усмотреть аналогию между длиной отрезка
ломаной или кривой линии и разностью координат его концевых
точек. Отсчет координат — величина определенная, а длина пути
зависит от вида кривой.
Время t0 — это показание часов в движущейся системе отсчета.
Оно задает ритм всех физических (и физиологических) процессов
в этой системе. Это можно проверить на опыте непосредственно пока
только для времен распада элементарных частиц, но сам вывод ни-
никакого сохмнения, конечно, и без прямой проверки не вызывает.
Среднее время жизни положительного я-мезона с массой 276 эле-
электронных масс до его распада в jn-мезон, или мюон с массой 206
электронных масс, и нейтральную частицу составляет 2-Ю"8 сек
(отрицательный л-мезон чаще всего захватывается ядрами, не успе-
успевая распасться). Указанное время измерено для я-мезона, остано-
остановившегося в веществе, т. е. это его собственное время. Если бы
не существовало соотношения A3.30), выражающего сокращение
собственного времени, то быстрый я-мезон имел бы то же время
жизни и относительно неподвижной системы отсчета, связанной
с Землей. Тогда он мог бы пройти не больше чем 2-10~8 • 3 • 1010 =
= 600 см в воздухе, потому что с — предельно возможная скорость
движения. Фактически средний путь я-мезона гораздо больше,
потому что время его жизни в неподвижной системе отсчета может
быть гораздо больше времени жизни в собственной системе.
Тензорные обозначения. В § 11 было указано, что
правильное физическое уравнение, помимо одинаковой размерности
обеих частей, должно быть еще инвариантным относительно поворо-
поворотов координатной системы. Иначе говоря, в обеих частях уравнения
могут стоять только такие величины, которые одинаково преобра-
преобразуются при переходе к другой системе координат. Чтобы это было
видно из самого уравнения, его удобно записывать в векторной
или в тензорной форме. Кроме того, всякое уравнение должно
удовлетворять принципу относительности, т. е. сохранять свой вид
при переходе к другой инерциальной системе отсчета.
154

Применительно к эйнштейновскому принципу относительности
оказывается возможным ввести такую запись уравнений, в которой
видны оба необходимых свойства их инвариантности вместе. Такая
запись называется релятивистски инвариантной.
Придадим прежде всего несколько иной вид преобразованиям
Лоренца, введя следующее обозначение:
A3.31)
При этом
1Л У~2 = 1
Введем, кроме того, мнимую координату х4:
*4 = /с/. A3.32)
Тогда преобразования A3.17) и A3.18) приобретут вид поворота
координатной системы на угол я|э:
Aj == Л^ COS \ -j— Л4 Sin ip, ^lo.OOj
^4 = — xx sin if + д:4 cos i|\ A3.34)
В этом приеме нет никаких дополнительных физических допу-
допущений по сравнению с теми, которые были сделаны при выводе
системы преобразований A3.17) и A3.18). Усовершенствования
внесены, как сейчас будет показано, только в обозначения. Мнимая
единица нужна для того, чтобы достигалось полное формальное
сходство с обычным поворотом координат.
Любой поворот координат, включающий и пространственный
(обычный поворот), можно представить в виде совокупности отдель-
отдельных поворотов, при которых преобразуются только две координаты
из их общего числа. В частности, если введена четвертая коорди-
координата, то всякий поворот четырехмерного пространства осущест-
осуществляется преобразованием Лоренца в форме A3.33) и A3.34) и допол-
дополнительных пространственных вращений координат на действитель-
действительные углы. Мы сделали время не мнимой координатой, а, умножая
его на мнимую единицу, добились того, что совокупность трех
пространственных координат и времени преобразуется как единое
четырехмерное многообразие декартовых координат.
Естественно ввести при этом четырехмерные скаляры, векторы
и тензоры. Например, интервал немедленно проявляет свою ска-
скалярную инвариантную природу. Если ввести в него cdt = —^f
то получается:
ds2 = с2 dt2 - dx\ - dx\ -dxl = — dxk dxk = — {dxkf. A3.35)
Здесь немой значок k приобретает значения от 1 до 4, как и долж-
должно быть в скалярном выражении. В отличие от значков в трехмерном
пространстве, которые при тензорном суммировании принимают
155

значения от 1 до 3 и обозначаются греческими буквами, значки в че-
четырехмерном пространстве будут писаться латинскими буквами.
Определение вектора сохраняется уже нам известное: это сово-
совокупность четырех величин, преобразующихся как координаты.
С такими величинами мы встретимся в релятивистской механике
(§ 14) и в электродинамике (§ 15).
Все основные результаты, относившиеся к тензорам в трехмер-
трехмерном пространстве, применимы и в пространстве четырех измерений,
за исключением одного, до некоторой степени «случайного». Речь
идет о векторном произведении, которое в трехмерном пространстве
записывалось так:
Имея по существу дело с антисимметричным тензором второго
ранга А$ВУ — АУВ$, мы свели его к вектору, так как число компо-
компонент того и другого в трехмерном пространстве одинаково. В че-
четырехмерном пространстве антисимметричный тензор Aiu имеет
шесть компонент (Л12, Л13, Л14, Л23, Л24, Л34)> а вектор только че-
четыре и между ними не может быть соответствия. Поэтому в четырех-
четырехмерном пространстве нет операции векторного умножения, в кото-
которой заключен основной смысл векторного анализа. Здесь, безуслов-
безусловно, удобнее тензорные обозначения.
Релятивистскую инвариантность любого уравнения мы будем
доказывать, приводя его к четырехмерной тензорной форме. В свою
очередь эта форма записи позволяет заранее отбирать уравнения,
согласующиеся с теорией относительности, и, таким образом, сильно
ограничивает число возможных физических допущений при поисках
новых закономерностей.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Вычислить изменение скорости света, распространяющегося в текущей
воде в опыте Физо.
Решение.
Без учета теории относительности было бы «+ = —± V.
2) Получить точную формулу аберрации света при произвольном наклоне
луча звезды к эклиптике.
V
cosd
с
Ответ, cos О':= у .
1 cos Ф
с
3) Написать формулы преобразований Лоренца при произвольном напра-
направлении скорости V относительно координатной системы.
156

rV r'V
Решение. В имеющихся формулах # = -тт , х'=* ~гг • Составляющая
радиус-вектора, перпендикулярная скорости, равна:
У(гУ)_ V (r'V)
У 2 ~Г у 2
Согласно A3.17)
r'V = V Vl
V ~~ У\'
Умножая это равенство на V/V и складывая уравнения, получим:
4) Показать, что четырехмерный элемент объемом dx1dx2dxsdx4: инвариантен
относительно преобразований Лоренца.
Решение. Представим элемент объема в тензорной записи:
a T-~biklmaxi axk axl axm f
где отлична от нуля только i-тая компонента вектора dxu
Можно записать также совокупность коэффициентов преобразования, отве-
отвечающих переходу от «нештрихованной» системы отсчета к «штрихованной» соот-
соответственно A3.17) и A3.18):
1 о о _
О 10 0
0 0 1 0
1
0 0
Функциональный определитель, или якобиан, этого преобразования равен 1.
Преобразование более общего вида связано с последующими вращениями в трех-
трехмерном пространстве, которые не изменяют соответствующий элемент трехмер-
трехмерного объема dl3)r. Следовательно, dD)t всегда инвариантен.
5) Найти, как изменяется трехмерный элемент объема от преобразований
Лоренца.
Решение. Якобиан, составленный из первых трех строк и столбцов
таблицы преобразования, равен — , следовательно,
Иначе в этом можно убедиться, применяя к элементу объема формулу сокра-
сокращения длины A3.22) в измерении, параллельном скорости. Произведение dfihdt
опять дает инвариант, если подставить t из A3.21).
§ 14. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Понятие релятивистской инвариантности позволит нам получить
выражение для действия свободной материальной точки. Многое
из того, что говорилось о функции действия в механике Ньютона,
157

остается справедливым и в теории относительности, а именно:
действие не должно содержать под интегралом в явном виде коор-
координат и времени, а также не может зависеть от направления ско-
скорости частицы. Оно должно удовлетворять и требованию принципа
относительности, т. е. не менять своего вида при переходе к другой
инерциальной системе. В § 13 было указано, что условие инвариант-
инвариантности относительно пространственных вращений выполняется вместе
с эйнштейновским принципом относительности, если уравнения за-
записаны в релятивистски инвариантной форме.
Еще одно необходимое требование, которому должно удовлет-
удовлетворять действие в теории относительности, заключается в том, что
при малых скоростях движения частиц все выражения должны
переходить в соответствующие им выражения ньютоновской меха-
механики.
Функция Лагранжа свободной частицы.
В § 13 была найдена бесконечно малая величина первого порядка
малости относительно приращения всех пространственных перемен-
переменных частицы и приращения времени. Это бесконечно малый интер-
интервал ds, который удовлетворяет и требованию релятивистской инва-
инвариантности. Другую такую величину построить нельзя. Поэтому
будем искать действие свободной частицы в виде
S^a\ds. A4.1)
Перейдем теперь от действия к функции Лагранжа. Для этой
цели представим бесконечно малый интервал так:
ds = Yc4t*-dl*^cdty l-(yi) =cdty l-~. A4.2)
Следовательно, функция Лагранжа, которая тождественно опре-
определяется из равенства S = \Ldt, есть
-?. (Н.З)
Постоянный коэффициента определим из того условия, чтобы при
малых скоростях v функция L переходила в нерелятивистское вы-
выражение действия свободной частицы. Поскольку
У 1"~^я^ 2с2'
то при v <^ с перепишем L в виде
Так как первый член постоянный, он может быть опущен, а
второй член должен приводиться к —^~ (см. § 2). Сравнивая с B.26),
получаем: a=-mc. A4.4)
По смыслу здесь масса частицы т определена в ее собственной
системе отсчета. Никаким другим определением массы мы в даль-
158

нейшем пользоваться не станем. Так как собственная система
отсчета задается однозначно, величина т релятивистски инвариант-
инвариантна и характеризует частицу. Окончательно имеем функцию Лагранжа
в таком виде:
r-J. A4.5)
Импульс в релятивистской механике.
Из A4.5) сразу получается выражение импульса в теории относи-
относительности:
р ? 5Г- A4.6)
При малой скорости частиц оно, как и полагается, переходит
в выражение импульса ньютоновской механики р = mv.
В некоторых книгах величину т. е. коэффициент
пропорциональности между скоростью и импульсом, называют
«массой движения» в отличие от «массы покоя» т. Мы не будем поль-
пользоваться термином «масса движения» во избежание путаницы, по-
понимая под массой всегда релятивистски инвариантную величину т.
Из формулы A4.6) виден предельный характер скорости света,
о чем говорилось уже в § 13. По мере того как скорость частицы
стремится к скорости света, импульс частицы растет до бесконеч-
бесконечности.
Исключение может составлять только такая частица, масса ко-
которой равна нулю. Импульс такой частицы, записанный в форме
A4.6), дает при v = с неопределенность вида -^ и может остаться
конечным. Но тогда скорость подобной частицы всегда обязана быть
равной су потому что в противном случае ее импульс тождественно
обратится в нуль, и она никак не сможет вступить во взаимодей-
взаимодействие с какой-либо механической системой, т. е. не проявит физи-
физической реальности.
Как мы знаем, скорость с релятивистски инвариантна, так что
свойство данной частицы двигаться со скростыо света присуще ей
самой, а не системе отсчета, в которой описывается ее движение.
Импульс такой частицы надо задавать не по формуле A4.6), а неза-
независимо от величины ее скорости, которая всегда одинакова и равна с.
Скорость, большая с, физически бессмысленна, потому что ей
отвечали бы мнимые значения импульса. Сверхсветовые частицы
Двигались бы с большей скоростью, чем передается между ними взаи-
взаимодействие. Нетрудно представить себе абсурдные ситуации, которые
получались бы с частицами, движущимися быстрее, чем распростра-
распространяется взаимодействие между ними. Не мог бы соблюдаться и прин-
принцип причинности. Исключение сверхсветовых скоростей связано
с тем, что причинность никак не нарушается принципом относитель-
относительности. Причинность связывает между собой объективно происхо-
159

дящие события, а в § 13 уже было указано, что понятие такого рода,
как последовательность причин и следствий, не зависит от выбора
системы отсчета.
Энергия в теории относительности. Будем
исходить из общего определения энергии D.1):
T7
V
Эта формула еще раз подтверждает предельный характер ско-
скорости света. Когда v -> с, энергия частицы стремится к бесконеч-
бесконечности. Иными словами, нужно затратить бесконечно большую ра-
работу, чтобы сообщить частице скорость, равную скорости света.
Исключение составляют только частицы, масса которых равна нулю,
они имеют при v = с конечный импульс и конечную энергию.
По формуле A4.7) энергия покоящейся частицы равна тс2.
Применим эту формулу к сложной частице* способной к самопроиз-
самопроизвольному распаду на две новые частицы, например к ядру, распадаю-
распадающемуся на дочернее ядро и а-частицу. Так как распад самопроиз-
самопроизвольный, он обязан не внешнему воздействию на материнское ядро,
а каким-то особенностям его внутреннего движения. Следовательно,
радиоактивный распад — это процесс, происходящий в замкнутой
системе, и полная энергия в этом случае сохраняется. Энергия мате-
материнского ядра до распада равна сумме энергий дочернего ядра и сс-
частицы после распада, когда взаимодействия между ними уже нет.
Энергия каждой частицы выражается по формуле A4.7), которая
применима к любой частице (простой или сложной), когда рассмат-
рассматривается ее движение как целого. Единственно возможный вид
функции Лагранжа такого движения — A4.5), откуда следует
энергия в виде A4.7). Считая теперь, что распадавшаяся частица
покоилась, запишем выражение закона сохранения энергии для рас-
распада, пользуясь A4.7):
A4.8)
Оба члена справа, т. е. Ех и Е2 соответственно больше, чем х
и т2с2, откуда получается важное неравенство:
A4.9)
Следовательно, масса сложной частицы, способной к самопроиз-
самопроизвольному распаду, больше, чем сумма масс частиц, возникающих
после распада. Это существенно новый факт релятивистской меха-
механики по сравнению с механикой Ньютона, где действовал закон
аддитивности массы. Если определить разность
* me' A4.10)
160

как кинетическую энергию частицы (при малых энергиях она пере-
mv2 ч 9
ходит в ~Y~)f а тс2 назвать энергией покоя, то из закона сохранения
A4.8) видно, что часть энергии покоя сложной частицы превращается
в кинетическую энергию частиц-продуктов распада, а часть — в их
энергию покоя. Закону сохранения удовлетворяют только полные
энергии ?, а не кинетические 7\ потому что кинетическая энергия
материнской частицы как целого до распада равна нулю и не может
быть равной всегда положительной кинетической энергии продук-
продуктов распада.
При химических превращениях изменение массы покоя реаги-
реагирующих частиц происходит не более чем на миллиардную долю их
общей величины. При ядерных превращениях, где скорости частиц
порядка jjr, изменение массы уже может доходить до полупроцента.
Если происходит аннигиляция электрона и позитрона (положитель-
(положительного электрона), их энергия полиостью (включая и энергию покоя)
передается электромагнитному излучению.
Как известно из квантовой теории (см. ч. III), излучение пере-
передается в пространстве в виде отдельных частиц, так называемых
световых квантов. Это не только совместимо с волновыми свойствами
излучения, но прямо из них следует. Скорость светового кванта
равна с, так что его масса тождественно равна нулю. Суммарная
масса покоя участвующих в процессе аннигиляции частиц равна
2тс2 до аннигиляции и нулю после нее.
Увеличение энергии электромагнитного поля при этом, конечно,
не меньше 2тс2. Наименьшее значение Bтс2) достигается тогда,
когда электрон и позитрон аннигилировали в покое, не имея допол-
дополнительной кинетической энергии. Можно было бы назвать «массой»
электромагнитного поля его энергию, деленную на с2; при таком
определении «масса» сохранялась бы. Но по сравнению с законом
сохранения энергии этот закон сохранения «массы» не содержит
ничего нового. От деления равенства, выражающего закон сохране-
сохранения энергии, на с2 никакой по существу новый закон не обнаружива-
обнаруживается; происходит только переход к другим единицам измерения.
Масса покоя — та величина, которой целесообразно пользо-
пользоваться при нахождении энергетического баланса ядерных превра-
превращений, так как изменение массы покоя всех частиц, участвующих
в превращении, определяет энергию, которая может выделиться
в виде кинетической энергии продуктов распада или в виде энергии
излучения.
Называть массой светового кванта частное от деления его
энергии на квадрат скорости света нет смысла потому, что эта вели-
величина никак не характеризует данный световой квант. В одной си-
системе отсчета энергия имеет одно значение, в другой — совсем иное.
Между тем масса есть величина, характеризующая именно частицу.
Например, масса электрона (подразумевается масса покоя) равна
9*10~28 г, а соответствующая величина у кванта тождественно равна
6 Компанеец А. С, Щ

кулю. Но этот нуль не в меньшей степени характеризует световой
квант, чем 9« 10~28 г — электрон.
Масса частицы определяет соотношение между импульсом и ско-
ростью по формуле A4.6). Отдельно по импульсу нельзя вычислить
массу частицы, так как частицы с одинаковыми импульсами могут
иметь совершенно различные массы. Поэтому абсолютно лишено
смысла встречающееся иногда утверждение, что существование им-
импульса у электромагнитного поля, проявляющееся в виде светового
давления, доказывает наличие массы у светового кванта. Отдельно
по импульсу или по энергии определить массу нельзя: она входит
только в соотношение между двумя величинами для данной частицы
и этим характеризует частицу.
Неверно также распространенное утверждение, что масса в 1 г
способна выделить 9 • 1020 эрг энергии. Для этого половина этой
массы должна принадлежать антивеществу и аннигилировать с ве-
веществом. Изменение массы в чистом веществе (или в чистом анти-
веществе) происходит при ядерных превращениях, в итоге которых
не изменяется общее число протонов и нейтронов. Поэтому и масса
меняется не более чем на доли процента.
Выразим теперь энергию через импульс. Возведем в квадрат
равенство A4.7) и вычтем из него A4.6) тоже после возведения в квад-
квадрат и, кроме того, умножения на с2. Тогда получается:
Е*-с2р2 = т2с\ A4.11)
Энергию, выраженную через импульс, мы назвали в § 10 функцией
Гамильтона, или гамильтонианом. Следовательно,
2. A4.12)
Отсюда находим связь между энергией и импульсом частицы,
не обладающей массой
Е^ср. A4.13)
К такому виду стремится выражение A4.12) при неограниченном
возрастании импульса.
Преобразования Лоренца для импульса
и энергии. Чтобы следить за релятивистской инвариантностью
уравнений, удобно записывать их в четырехмерных тензорных обоз-
обозначениях. Представим сначала в таких обозначениях импульс и энер-
энергию.
В определение импульса A4.6) подставим -т- = —
ds
Тогда его компоненты принимают следующий вид:
Pa = mcd-^t A4.14)
где греческий значок а принимает значения от 1 до 3, как условлено.
162

В определении энергии A4.7) надо записать скорость как ~
и заменить dt на -—-. Тогда сравнение с A4.14) показывает, что мни-
iE
мая величина — должна рассматриваться как четвертая составляю-
с
щая вектора импульса:
Импульс и энергия частицы вместе образуют один четырехмер-
четырехмерный вектор с составляющими:
Pt = mc%. A4.15)
Но в § 13 было показано, что преобразование Лоренца в мате-
математическом отношении есть поворот системы отсчета на мнимый
угол, тангенс которого равен i~% По определению всякий вектор
с
преобразуется, как радиус-вектор. Следовательно, компоненты
четырехмерного импульса при переходе к другой инерциальной сис-
системе отсчета должны преобразовываться по формулам A3.33)
и A3.34):
р4= — pi sin ^ + Р4 cos гр. A4.16)
Чтобы вернуться к обычным, трехмерным обозначениям, подста-
подставим сюда tg^ = ~ и р4 = —. Тогда находим искомые формулы
с с
преобразования импульса и энергии:
*4 <"">
1/ I— _
ру и pz не изменяются, если относительная скорость обеих систем
отсчета направлена по оси х.
Отметим, что правильный предельный переход от A4.17) к нере-
нерелятивистской формуле преобразования импульса р'х = рх — mV
получится только в том случае, если вместо Е подставить энергию
покоя тс2. Нерелятивистская формула отвечает простому сложению
скоростей: v'x = vx — V.
Следовательно, если потребовать, чтобы преобразования Лоренца
Давали правильный предельный переход к преобразованиям Га-
Галилея, необходимо включать в полную энергию частиц их энергию
покоя. Наоборот, кинетическая энергия Т из A4.10) правильного
пРедельного перехода не дает.
6* 163

Соотношение A4.12) между энергией и импульсом записывается
в релятивистски инвариантном виде так:
PiPt = p\=* -т2с\ A4.19)
Оно основано на том, что квадрат четырехмерной скорости
tii = ~ равен:
ии&- -1
1 l~~ ds2 ~~
Скорость системы невзаимодействующих
частиц в теории относительности. Покажем
теперь, как определить в теории относительности скорость системы
частиц, если между ними нет взаимодействия. Отличие от ньютонов-
ньютоновской механики здесь состоит в том, что для описания взаимодействия
надо включить в систему поле, и частицы сами по себе уже нельзя
рассматривать как некую замкнутую систему, даже если посторонние
поля на них не действуют.
Для простоты рассмотрим две частицы. Между скоростью, энер-
энергией и импульсом каждой из них существует соотношение:
J» = 5:, A4.20)
вытекающее из A4.6) и A4.7). То же самое равенство можно получить
и несколько иначе. Определим согласно A4.17) скорость той сис-
системы отсчета, в которой импульс частицы равен нулю. Полагая
р'х = 0 в левой части A4.17), будем иметь справа V =* ?~,
или, если скорость направлена не по оси х, вообще: У = ^-=*г
в согласии с A4.20).
В применении к одной частице равенство V = v тривиально
и означает просто, что импульс частицы относительно системы Ът-
счета, движущейся с той же скоростью, что и она сама, равен нулю.
Применим теперь A4.20) к двум частицам, чтобы найти скорость
той системы отсчета, относительно которой их общий импульс равен
нулю. Так как частицы не взаимодействуют, общий импульс и общая
энергия их просто складываются; иначе пришлось бы учитывать
импульс и энергию поля их взаимодействия (в случае ядерных сил
мы просто не умеем этого делать).
Итак, общий импульс частиц равен: рг + р2 = р, а общая энер-
энергия есть Ех + Е2 = Е. Направим ось х по р. Так как преобразова-
преобразования Лоренца линейны и однородны, для суммы двух четырехмерных
векторов формулы перехода к другой инерциальной системе выгля-
выглядят так же, как и для каждого из них в отдельности. Поэтому иско-
искомая скорость системы отсчета,где общий импульс равен нулю, опре-
определяется как
164

Чтобы получить отсюда предельный переход к ньютоновской ме-
механике, надо взять р1 = гпуръ р2 = tn^v2i Ег = тхс2у ?2 = т2с2.
Тогда формула A4.21) совпадает с обычным выражением для ско-
скорости центра инерции системы частиц. Величина V, выраженная
через скорости частиц по формуле A4.21), не имеет вида полной
производной от какой-либо координаты по времени. Поэтому опре-
определить по скорости центра инерции его координаты нельзя.
Относительная скорость vx — v2 в релятивистской механике
не имеет смысла, так как нет простого закона сложения скоростей.
Действие заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле. Перейдем теперь к урав-
уравнениям движения заряженной частицы во внешнем электрохмагнит-
ном поле. Как и для свободной частицы, будем исходить из выра-
выражения для действия, требуя, чтобы оно было релятивистски инва-
инвариантно.
Конечно, можно написать много мыслимых релятивистски инва-
инвариантных по форме выражений. Оказывается, однако, что соответ-
соответствует опыту одно из простейших выражений. Под словом «опыт»
мы здесь понимаем столь же большую совокупность фактов, как и та,
что обосновывает ньютоновскую механику.
Действие частицы, находящейся в электромагнитном поле, вклю-
включает действие свободной частицы и дополнительный член, описываю-
описывающий взаимодействие электромагнитного поля и заряда, и в реляти-
релятивистски инвариантной записи выглядит так:
¦-к-
тс ds-\- — AkdXk). A4.22)
Под Ак понимается четырехмерный вектор. Его три пространст-
пространственные составляющие дают уже известный нам вектор-потенциал
электромагнитного поля, введенный в § 12. (Это будет показано
в следующем параграфе, при выводе уравнений Максвелла из реля-
релятивистски инвариантного действия электромагнитного поля.) Чет-
Четвертая составляющая Л4 есть др, где ср—тоже введенный в § 12 ска-
скалярный потенциал. Постоянная е называется зарядом частицы. По
своему определению это релятивистски инвариантная величина.
Вынесем теперь dt за скобки в выражении для действия. Тогда
в скобках по определению стоит функция Лагранжа:
~ Av-ey) dt= ^ Ldt. A4.23)
Получим из нее по общим правилам формулы импульса и энер-
энергии. Имеем для импульса:
Здесь
Po означает импульс при отсутствии поля.
165

Энергия по определению D.1) есть
A4.25)
где Ео — энергия при отсутствии внешнего поля, равная согласно
A4.7):
E
Таким образом, член, линейный относительно скорости, выпадает
из энергии, если выразить ее через скорость. Заметим, что в данном
случае у функции Лагранжа нет вида Т — U как раз потому, что
имеется линейное слагаемое.
Из A4.24) и A4.25) получаем:
Ро=р-~Л9 Е0 = Е-еу.
Но выражение Ео через р0 уже известно по уравнению A4.12),
относящемуся к энергии и импульсу свободной частицы. Подстав-
Подставляя в него эти величины, выраженные через ри Е, получим функцию
Гамильтона заряженной частицы во внешнем электромагнитном
поле:
/ ^ A4.26)
По аналогии с четырехмерной записью A4.19) можно записать
и в данном случае:
(pi - f Л,) [Pi - f At) = [pi - f AiJ - - m V. A4.27)
Уравнения движения заряда во внешнем
поле. Зная функцию Лагранжа из A4.23), напишем уравнения
Лагранжа для частицы, движущейся во внешнем электромагнитном
поле. В общем виде они, как всегда, должны быть:
dt dv Or " U)
где одно векторное равенство заменяет три равенства, выраженные
через компоненты.
Производная ^ равна: р =ро-\-^А, так что полная производ-
производная от р по времени
d dL ___ dp dpo , ?_dA
didv~"di ~Ж~т~ с ~di '
dA
Чтобы раскрыть -^-, напишем его сначала для одной составляю-
составляющей:
dt ~~ dt ~г дх dt "*" ду dt^ dz dt ~~
dt ~~ dt ~г дх dt "*" ду dt^ dz dt ~~ dt
166

Откуда, пользуясь обозначением (^V) (ср. A1.31)) для всех
л dp
трех составляющих л, переписываем ~г так:
dt dt г с \
Вычислим теперь производную ^- , или, что то же самое, VL:
Градиент V (Av) означает дифференцирование по координатам,
от которых явно зависит только Л, но не v. Поэтому, применяя фор-
формулу A1.32), приводим VL к виду:
Подставляя -Ц- и VL в общее уравнение Лагранжа и оставляя
в левой части только -~-°, получаем искомое уравнение движения
заряженной частицы в электромагнитном поле:
- <14-28>
Вспоминая уравнения A2.34) и A2.35), связывающие электро-
электромагнитные поля с потенциалами, переписываем A4.28) в оконча-
окончательном виде:
Уравнение A4.29) надо рассматривать как физическое опреде-
определение электромагнитного поля по его действию на заряженную час-
частицу. Скалярный и векторный потенциалы, взятые сами по себе, не
входят в равенства, выражающие физические величины, соответ-
соответственно требованию калибровочной инвариантности.
Тем не менее обойтись совсем без электромагнитных потенциалов
было бы весьма неудобно, в частности, нельзя было бы ввести функ-
функцию Лагранжа. Покажем, что она удовлетворяет условию, нало-
наложенному на потенциалы. Действительно, если подвергнуть потен-
потенциалы преобразованию калибровки A2.36) и A2.37), т, е. сделать
замену:
|
то под интегралом в A4.23) появится слагаемое
167

Но полная производная от некоторой функции координат и вре-
времени всегда может быть опущена из функции Лагранжа. В соответ-
соответствии с этим и уравнения движения содержат поля, а не потенциалы.
Вектор в правой части A4.29) называется силой Лоренца. Кроме
обычной электрической силы еЕ, известной из электростатики, в силу
Лоренца входит слагаемое — [vff], несколько напоминающее корио-
лисову силу. Это слагаемое обязано той части функции Лагранжа,
которая линейна относительно скорости.
Магнитная часть силы Лоренца — [vH] весьма похожа на выра-
выражение силы, действующей на ток во внешнем магнитном поле, и может
быть из нее получена по примеру того, как в § 12 получались урав-
уравнения Максвелла из элементарных законов теории электромагне-
электромагнетизма. Но при таком способе вывода гораздо сложнее усмотреть реля-
релятивистскую инвариантность выражений.
Уравнение движения заряда в четырех-
четырехмерной форме. Покажем, что при выводе уравнения A4.29)
из инвариантного принципа A4.22) не была потеряна релятивистская
инвариантность результата, хотя при записи A4.23) время, казалось
бы, выделено и входит в это соотношение несимметрично с коорди-
координатами. В частности, оно не варьируется в отличие от координат.
Начнем с определения электромагнитного поля в четырехмерной
записи. Составляющие магнитного поля //связаны с составляющими
векторного потенциала так:
l/ _дАу dAz rj __дАх dAz И __дАу дАх
Пх~~ dz~~~W v~~ dz 55Г» П*~~ дх"~~ ду '
Следовательно, с помощью составляющих четырехмерного век-
вектора Аи входящего в A4.22), магнитное поле представляется сле-
следующим образом:
Пх~~дх2 дх3' v~~dx3 дхг> flz~~dx1 дх2ч
Введем теперь четырехмерный антисимметричный тензор Fik,
связанный с векторным и скалярным потенциалами (или с четырех-
четырехмерным векторным потенциалом) посредством формул:
Подставляя сюда Л4 = ир, х4 = ict9 находим компоненты тензора
, содержащие 4 как один из индексов:
L Mi L( ?2
Mi—^E L Mi — _L( — ?2 _LМ
Ох* ~~1дх ic dt "" i \ дх с dt
163

Окончательно записываем весь тензор в виде таблицы:
О Нг -Ну -iEx Fn F12 F13 Fu
j-f о f-i ;p F F F * F *
i*z '-' x *¦¦*-'у *¦ 21 22 23 •* 24 /1A Q1 \
U Г) :p— Г F F F {М.01)
У —**¦ X vJ — IE2 -^31 ^32 Г33 Г34
iEx iEy iE2 0 F41 F42 F43 Fu
Равенство между таблицами означает почленное равенство ком-
компонент. Таким образом, в четырехмерных обозначениях электри-
электрическое и магнитное поля составляют единый антисимметричный тен-
тензор. На его диагонали стоят по определению нули, а расположенные
симметрично относительно диагонали компоненты имеют обратные
знаки.
Умножим теперь первое уравнение A4.29) на -^ и раскроем его
правую часть по компонентам магнитного поля:
dpx р dt , е dy tj e dz тт
Подставим сюда рх из A4.14) и составляющие электромагнит-
электромагнитного поля из A4.31). Тогда приходим к такому равенству:
d2xx е р dxk
~W~~ ~c lk~ds*
Для остальных двух уравнений применяется аналогичная запись.
Объединим получившуюся систему в одно четырехмерное урав-
уравнение. Какой смысл имеет четвертое уравнение? Поскольку в сис-
системе A4.29) было всего три соотношения, надо показать, что чет-
четвертое является следствием из них.
Для этого умножим A4.29) на <о. Слева получим:
v~df=:~dp0~dFs=s!S~m
Справа произведение скорости на магнитную часть силы Лоренца
обращается в нуль, так как ivH] и v взаимно перпендикулярны.
Остается такое равенство:
~° = e(Ev). A4.32)
¦л г, me2 dx\
Подставляя в него E0 = -j- -—¦ и составляющие электрического
поля из A4.31), видим (после умножения на —), что получилось дей-
CIS
ствительно четвертое уравнение из четырехмерной системы:
Слева в уравнении A4.32) стоит изменение энергии частицы за
единицу времени, т. е. совершаемая над ней за это время работа.
Справа — скалярное произведение силы, действующей на частицу,
169

на скорость ее движения: обычное выражение работы, отнесенной
к единице времени. Эта величина называется лоренцевой работой.
Таким образом, мы получили релятивистски инвариантную фор-
формулировку уравнений механики заряженной частицы в электромаг-
электромагнитном поле. Существенное физическое отличие от уравнений меха-
механики Ньютона состоит в том, что в случае электромагнитного поля
нельзя прямо ввести понятие энергии взаимодействия частиц в сис-
системе. Каждая частица непосредственно взаимодействует только
с электромагнитным полем, соответственно тому, что в теории отно-
относительности возможно лишь близкодействие.
Уравнение A4.29) или A4.33) можно решить только в том случае,
если задано внешнее электромагнитное поле, действующее на части-
частицу. Чтобы иметь полную систему уравнений электродинамики, надо
научиться находить в свою очередь поле по заданному движению
зарядов. Эта задача решается в принципе с помощью уравнений
Максвелла, которые были получены в § 12. Релятивистски инвариант-
инвариантный вывод будет дан в следующем параграфе. В § 20 мы укажем
на некоторые трудности, связанные с применением совместной си-
системы уравнений Максвелла и A4.33).
УПРАЖНЕНИЯ
1) Быстрый протон с энергией Е налетает на покоящийся протон. Найти,
какая часть энергии упавшего протона может быть израсходована на неупругий
процесс (например, рождение протон-антипротонной пары).
Решение. Энергия сталкивающихся частиц может быть в наибольшей
степени затрачена на неупругий процесс в той системе отсчета, где общий импульс
обеих частиц равен нулю (см. § 6). Пусть в этой системе импульс одной частицы р0,
другой —р0, энергия каждой из них ?0=j/7?z2c4+c2pjj. Исходим из инвари-
инвариантности четырехмерного произведения: Р<^)Р^) === PdkPlfk- ^ак как в •^бора-
торной системе отсчета импульс покоящегося протона равен нулю, а энергия
равна тс2, получаем:
Отсюда следует, что искомая полная энергия в системе ц. и. равна
JL
Е
Таким образом, относительная доля энергии падающего протона, которая
может быть истрачена на неупругий процесс, обратно пропорциональна корню
квадратному из его начальной энергии. Поэтому в настоящее время так интен-
интенсивно разрабатываются ускорители со встречными пучками, где лабораторная
система отсчета совпадает с системой ц. и.
2) Рассмотреть столкновение частицы, имеющей нулевую массу, с покоя-
покоящейся частицей массы т. Определить энергию налетевшей частицы после столк-
столкновения, если известна ее энергия до столкновения и угол отклонения Ф.
Ответ. с-
3) Найти зависимость скорости ракеты от массы сгоревшего и вылетевшего
вещества, если известна ее начальная масса Мо и скорость частиц вылетаю-
вылетающего вещества относительно ракеты и,
170

Решение. Пусть искомая скорость ракеты V', ее начальная масса Мо>
мгновенное значение массы М. Если вылетело какое-то количество рабочего
вещества dm, то относительно неподвижной системы отсчета закон сохранения
импульса записывается так:
MV \ dm- xf
d
Здесь скорость v' вылетающего вещества относительно неподвижной системы
равна: у
77.
VV
Учтено то обстоятельство, что v' n V обратны по направлению. Подставляя и*
в уравнение сохранения импульса, получим:
MV = dm(v-V)
Закон сохранения энергии удобнее записать в системе, связанной с ракетой!
dm-с2
Vl~i'
Исключая dm и производя необходимые сокращения, будем иметь:
Ш dV
откуда в результате интегрирования приходим к искомому уравнению:
М
Если в ракете происходит полная аннигиляция вещества и вылетающие
частицы — фотоны (кванты)^ то
ИГ L ~Г~
О
В нерелятивистском пределе, когда v <^с$
М__ V/v
М0~е
4) Покоящаяся частица с массой т распадается на две частицы с массами
Щ и т2. Найти их энергии.
Ответ.
т\ —
5) Вывести уравнения движения заряда в электромагнитном поле непосред-
непосредственно из инвариантного выражения действия A4.22).
171

Решение. Вариация действия имеет вид:
. Р/ е dAk fi J- —>
Пользуясь тем, что <2s2 = — dx], находим вариацию интервала:
Преобразуя дифференциалы вариаций по частям, получаем:
ас С Г jdxi , е дАь , е dAt , 1 «
J L ds с dxi R с dxk J
Приравнивая нулю выражения при вариациях, приходим к системе урав-
уравнений A4.33):
cPxi е (дА^ &АА dx^ e ~ dx^
ds2 с \дх[ дхь) ds с ds
6) Найти скалярный и векторный потенциалы свободно движущегося заряда.
Решение. В собственной системе отсчета заряд производит только элек-
электростатическое поле, скалярный потенциал которого равен —. Магнитного поля
в этой системе нет, так что векторный потенциал равен нулю. Преобразуя ска-
скалярный потенциал как четвертую компоненту вектора по общим формулам A3.33)
и A3.34) и учитывая, что Ах в правой части этих равенств обращается в нуль,
находим:
л с ev
А-
tj2
Далее, надо выразить г0 через координаты в той системе, относительно кото-
которой заряд движется:
Вместо vt можно подставить |, т. е. абсциссу движущегося заряда. Электро-
Электромагнитное возмущение в момент времени t приходит в точку с координатами 'xs
ц, z не из точки |, 0, 0, где заряд находится в данный момент, а из точки ?', О, О,
где он находился в момент испускания этого возмущения. Если расстояние от
точки !', О, 0 до точки с координатами х, у, г равно /?', то на прохождение этого
У?'
пути электромагнитному возмущению понадобилось время—. Заряд, двигаясь
со скоростью v9 затратил то же время, чтобы пройти путь "~ ¦, Отсюда имеем
равенство:
Здесь § = vt, т. е. абсцисса заряда в текущий момент /. Разность х — Iе
есть проекция вектора Rf на направление скорости vt т. е. , Подставляя полу»
ченные выражения в г0, находим окончательно:
е , ev
R'-~ e[R
172
, vR'V
с J

7) Найти движение заряда в постоянном и однородном магнитном поле.
Решение. Если поле направлено по оси г, уравнения движения имеют
следующий вид:
dpx e dy dp у e_dx dPz = o
dt c dt * dt с dt dt
Так как магнитное поле не совершает работы над зарядом, р2 = const^
pz — const, p^. + p2= const, px = —mVx = ——¦,
l/"l v% °
Ищем координаты х и у в таком виде:
х = г cos cat, y = r sin со/.
Для /¦ и со получаются выражения:
= Ev ^ес\Н\
Г~~ ес\Н\ ' Ю ? в
Частица движется по винтовой линии. При малой скорости со переходит
е\Н\
в постоянную величину —! i-.
8) Найти движение заряда в постоянном и однородном электрическом поле.
Решение. Уравнения движения:
dpx dpy dpz dE0 dx
Из последнего уравнения получаем:
У от %•+с* (р* + р» + р|) - упА*+с* (pjo+plo+plo)=e\E\x.
Из первого уравнения:
Рлг — Рхо = ^|^И» Py—pyo^Q* Pz — Pzo^Q-
Эти интегралы уравнений, взятые вместе, дают зависимость х от i. Если
Pzo == ^» то> деля рх на Ру, выразим — через х(путем исключения t из интеграла
энергии). Траектория заряда имеет вид цепной линии.
9) Выразить через адиабатические инварианты (переменные действия) энер-
энергию движения заряда в притягивающем кулоновом поле.
Решение. Так как потенциал имеет только скалярную составляющую,
находим из A4.27) после перехода к плоскому движению в полярных коорди-
координатах: j 2
Отсюда радиальная переменная действия равна:
-Ze*
Интеграл берется по всей области, где подкоренное выражение действительно.
При этом надо учитывать, что Е < тс2, так как в противном случае движение
инфинитно. Предположение Е < тс2 отвечает Е < 0 в ньютоновской механике,
т- е. финитному движению.
Вычисляя интеграл, находим:
173

Отсюда выражаем энергию через обе переменные действия /r, /f:
Производные я-г- и -~у-~ не равны, так что траектория заряда не замк-
нута. Она имеет вид эллипса, оси которого поворачиваются (розетка).
§ 15. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Преобразования Лоренца для составля-
составляющих поля. В этом параграфе будет показано, что уравнения
Максвелла могут рассматриваться как механические уравнения
движения применительно к электромагнитному полю. Для этого
надо вывести их из общего принципа механики, подобно тому как
уравнения механики материальных точек выводились в § 2 из прин-
принципа наименьшего действия.
Чтобы сформулировать соответствующий принцип для электро-
электромагнитного поля, надо исходить из сходных требований: инвари-
инвариантности уравнений относительно переносов системы координат
в пространстве и во времени, относительно вращений и переходов
к другим инерциальным системам отсчета.
Требование инвариантности по отношению к переносам в прост-
пространстве и времени сводится к тому, что действие поля не должно
содержать явных функций от координат и времени. Иначе говоря,
оно может зависеть только от величин, описывающих поле, подобно
тому как действие замкнутой механической системы зависит только
от ее обобщенных координат и скоростей.
Что касается условия инвариантности по отношению к вращениям
в пространстве и переходам к другим инерциальным системам от-
отсчета, то в § 13 было показано, что тому и другому требованию легче
всего удовлетворить, пользуясь четырехмерной тензорной записью
уравнений.
Поэтому надо начать с вопроса о преобразовании компонент
электромагнитного поля, чтобы выяснить, какие инвариантные ве-
величины могут быть при этом получены.
Поле, как было показано в § 14, есть четырехмерный антисим-
антисимметричный тензор второго ранга, компоненты которого определены
равенством A4.31). Применим к нему обычное преобразование
Лоренца, относящееся к случаю, когда относительная скорость
систем отсчета направлена по оси х. Такое преобразование затраги-
затрагивает только первый и четвертый тензорные значки согласно форму-
формулам A3.33) и A3.34).
Отсюда сразу видно, что компонента магнитного поля, направ-
направленная по относительной скорости, т. е. Нх = F23, вообще не преоб*
разуется; она имеет тензорные значки 2 и 3%
т

Далее возьмем компоненты магнитного поля Н2 и электрического
поля Еу. В тензорных обозначениях это F12 и -^. Значок 2 не затра-
затрагивается преобразованием, а значки 4 и 1 преобразуются по общим
правилам A3.33) и A3.34). Таким образом, получаются формулы
преобразования всех четырех поперечных компонент электромагнит-
электромагнитного поля:
Е'„ = —~—, A5.2)
У 5?
-5?
Остается продольная компонента электрического поля ?* = iFUi
для которой оба значка 1 п4 преобразуются. Преобразование можно
в данном случае рассматривать как поворот в двумерном простран-
пространстве с координатами хг и х±. Тогда /^ есть антисимметричный тен-
тензор второго ранга в двумерном пространстве. Но в § И было показа-
показано, что полностью антисимметричный тензор, ранг которого равен
числу измерений пространства, инвариантен относительно пово-
поворотов. То, что было сказано о пространстве трех измерений, букваль-
буквально переносится на любое число измерений, в частности на два.
Следовательно, FM инвариантен при поворотах вида A3.33) и A3.34).
Разумеется, это можно показать и прямым вычислением по общим
формулам преобразования тензора.
Итак, имеем для обеих продольных компонент поля:
Н'Х = НХ9 A5.1")
Е'Х = ЕХ. A5.2")
Найдем теперь величины, инвариантные относительно преобра*
зований. Произвольный тензор Aik имеет инвариант Aih т. е.
сумму диагональных компонент. Не имея других значков, кроме
немых, эта величина, называемая следом, или шпуром тензора,
инвариантна. Но у тензора Fikf как антисимметричного, все диаго-
диагональные элементы обращаются в нуль (ср. A4.31)). Следовательно,
fa = 0.
175

Итак, линейный инвариант отсутствует; очевидно, что имеется
квадратичный инвариант FikFiky т. е. сумма квадратов всех компо-
компонент тензора:
FikFik = F\k = 2(\H\*-\E\*). A5.3)
Эта величина имеет фундаментальное значение для дальнейшего.
С помощью полностью антисимметричного тензора четвертого
ранга можно построить еще одну инвариантную величину:
ZiklmFikFlm. A5.4)
Поскольку Bikim — инвариантный тензор, мы, безусловно, полу-
получили релятивистски инвариантную величину. Раскроем ее с помо-
помощью компонент электромагнитного поля:
kFlm = 8/ (ЕХНХ + ЕУНУ + EZHZ) = 8i (EH).
Тензор гШт имеет 4! = 24 компоненты, которые приводятся по 8.
Таким образом, найдена еще одна величина, не меняющаяся от
преобразований Лоренца: скалярное произведение (ЕН).
Скаляры и псевдоскаляры. Векторы и
псевдовекторы. Покажем теперь, что скалярное произ-
произведение (ЕН) в некотором смысле не является настоящим скаляром.
Именно: (ЕН) меняет знак на обратный, если изменить знаки всех
координат на обратные: х' = — х, у' = — у, zr — — z.
Указанное преобразование называется инверсией координатной
системы, или зеркальным отражением. Действительно, оно превра-
превращает правовинтовую систему координат в левовинтовую, но как раз
такой видна в зеркале правовинтовая система (правая рука в зер-
зеркале выглядит как левая).
Нетрудно видеть, что никакой поворот координатных осей не
может привести к инверсии. Таблицу коэффициентов преобразова-
преобразования, отвечающих инверсии, надо записать в таком виде:
-10 0
0-1 0
0 0-1
Определитель этой таблицы равен — 1, тогда как соответствую-
соответствующий определитель для поворота равен + 1. Никаким непрерывным
преобразованием нельзя перейти от + 1 к — 1.
По отношению к инверсиям векторы ведут себя различным обра-
образом. Вектор скорости v — jz изменяет знак вместе с г. Вектор
импульса р = mv, очевидно, тоже меняет знак. Тем же свойством
обладает вектор силы F = р. Все эти векторы называются настоя-
настоящими (истинными), или полярными векторами, или просто векторами.
Вектор момента М = [гр], компоненты которого содержат произ-
произведения компонент г и /?, очевидно, знак не меняет, равно как и век-
вектор момента силы К = [rF]. Такие векторы называются аксиаль-
аксиальными, или псевдовекторами: они ведут себя как векторы при враще-
176

ниях координатной системы, но иначе при инверсии. В § 11 было по-
показано, что М и К, т. е. на самом деле векторные произведения насто-
настоящих векторов, должны определяться как антисимметричные
тензоры второго ранга. Они обладают векторными свойствами только
в трехмерном пространстве, потому что число компонент антисиммет-
антисимметричного тензора и вектора там совпадает. Инверсия проявляет
невекторную природу М и К.
Нетрудно видеть, что угловая скорость — псевдовектор. Она
связана с моментом соотношением:
(см. § 9). Но компоненты тензора инерции зависят от координат
квадратично и не меняют знака при инверсиях, так что угловая ско-
скорость ведет себя в этом отношении как момент. Так получается пото-
потому, что направление вектора угловой скорости было выбрано условно
(§8).
Покажем теперь, что вектор-потенциал А — истинный вектор.
Он входит в выражение действия A4.23) умноженным скалярно на
истинный вектор скорости v. Уравнения механики, как известно из
опыта, инвариантны при инверсии: они не изменяют своего вида,
оттого что вместо правовинтовой системы берется левовинтовая.
Следовательно, скалярное произведение (Av), входящее в функцию
Лагранжа, не должно менять знака при инверсии. Для этого А
обязано быть настоящим вектором. Поскольку A4.23) можно рассмат-
рассматривать как определение Л, векторные свойства А следуют именно
из его определения.
Но тогда видно, что магнитное поле Н — псевдовектор, потому
что набла V = ^-, очевидно, представляет собой истинный вектор,пре-
вектор,преобразующийся при инверсии, как г, а магнитное поле
Электрическое поле, определяемое как Е =— Vcp ~яг>~~
истинный вектор, в силу того что V и А — истинные векторы.
Скалярное произведение (?//), которое получается при умножении
вектора Е на псевдовектор //, меняет знак при инверсии, это псев-
псевдоскаляр. (ЕН) остается инвариантным только при поворотах
координатной системы, но не при инверсии.
Четырехмерное тензорное определение (ЕН) тоже показывает
его псевдоскалярную природу: в каждое слагаемое входят по три
пространственных значка и один временной D), так что изменение
знака трех координат меняет знак (ЕН).
Может показаться, что уравнения электродинамики не должны
инвариантными при инверсии: ведь в одних случаях приме-
применяется правило правой руки, в других — левой. На самом деле при-
применение этих правил связано с условностью в определении знака
177

магнитного поля — его полюсов. Если переименовать их и одновре-
одновременно поменять правило каждой руки на противоположное, ничто
в законах электродинамики по существу не изменится.
Закон симметрии правого и левого неуниверсален. В природе
существует особый класс взаимодействий неэлектромагнитного ха-
характера, так называемые слабые взаимодействия, где нет симмет-
симметрии относительно инверсий. Эта симметрия выражает определенное
свойство данного конкретного вида взаимодействия, которое может
быть установлено только на опыте.
Итак, мы ограничились двумя инвариантными величинами:
| Н |2 — | Е |2 и (ЕН)* Все остальные можно выразить через них.
Линейность уравнений Максвелла отно-
относительно поля. Из величины (ЕН), возведя ее в квадрат,
можно образовать настоящий инвариант. Заранее, конечно, совер-
совершенно не очевидно, почему такая величина (или еще квадрат инва-
инварианта | Н |2 — | ? |2) не может входить в выражение для действия
электромагнитного поля, равно как и члены более высоких степеней.
Но если оставить члены более высокой степени, чем квадратичные,
относительно поля, то уравнения электродинамики, которые полу-
получатся путем варьирования действия, будут содержать нелинейные
слагаемые, т. е. квадраты полей, их произведения и т. п.
Существенное отличие нелинейного уравнения от линейного
состоит в том, что сумма двух решений нелинейного уравнения не яв-
является его решением: появляются перекрестные члены от обоих ре-
решений. Но хорошо известно, что если в вакууме распространяются
две электромагнитные волны, то они просто складываются и никак
не искажают друг друга. В нелинейной теории скорость волны за-
зависит от ее амплитуды, тогда как в электродинамике скорость воз-
возмущений любого рода, распространяющихся в пустом пространстве,
одна и та же.
Исходя из этого экспериментального факта, необходимо выбрать
только квадратичный инвариант электромагнитного поля, чтобы
уравнения поля были линейными. Имея два квадратичных инвари-
инварианта, можно было бы взять их линейную комбинацию в выражении
для действия. Но эта комбинация меняла бы относительный знак
между слагаемыми | Н |2 — | Е |2 и (ЕН), так как (ЕН) —псевдо-
—псевдоскаляр. Поэтому если оставить слагаемое (ЕН), то уравнения элект-
электродинамики будут иметь разную форму в правовинтовой и левовин-
товой системах координат и никакое переопределение знака маг-
магнитного поля не поможет.
Следовательно, остается только одна квадратичная величина
| Н |2 — | Е |2, которая может входить в выражение действия
электромагнитного поля.
Из вектор-потенциала получается еще одна квадратичная ве-
величина AiAi = | А\ 2 — ф2, но она не инвариантна относительно
калибровки и тоже не может входить в формулу действия.
Взаимодействие поля и зарядов. Соответст-
Соответствующее выражение мы получили в § 14 — формула A4.22). Для от-
178

дельного заряда оно имеет вид: SB3 = \ —¦ Akdxk. Удобнее перейти
от точечного заряда к распределенному в пространстве (как было
показано в § 12, это всегда можно сделать).
Чтобы проследить за релятивистской инвариантностью уравне-
уравнений, покажем, что j и р, т. е. плотность тока и плотность заряда,
вместе составляют один четырехмерный вектор. Дифференциал за-
заряда de по определению инвариантен:
de = pd^x. A5.5)
Пусть в системе отсчета, для которой написано равенство A5.5),
заряды покоятся. Отметим это индексом 0 при р и при <^3)т. Так как
звряд — величина инвариантная, можем записать равенство:
de = pod^ro^pd^h. A5.6)
Но, как было показано в упражнении 5 к § 13, элемент объема
dC)t0, движущийся вместе с заряженными частицами, сокращается
относительно неподвижного элемента объема:
-^. A5.7)
Отсюда следует, что плотность заряда р связана с его плотностью
р0 в покоящейся системе соотношением:
Ь
Входящий сюда коэффициент выражается через бесконечно ма-
малый интервал, связанный с движением зарядов (см. § 14):
1 ___ cdt^
ds '
v
1 __.!_
* о
Следовательно, плотность заряда можно представить в свою
очередь как четвертую компоненту четырехмерного вектора:
Тогда вектор плотности тока равен:
i* = cpodjfc*. A5.9')
Вместо выражений edxk надо теперь подставить в SB3 такие
Дифференциалы: р0 -~ d^3h. Окончательно получим:
A5.10)
Вариационный принцип для электромаг-
электромагнитного поля. Основная задача этого параграфа — пока-
показать, что уравнения Максвелла, подобно уравнениям механики,
* Напоминаем, что греческие значки принимают значения только /, 2, 3.
179

равносильны некоторому вариационному принципу. Хотя электро-
электродинамика не сводится к механике системы материальных точек
или сплошной среды, основанной на законах Ньютона, существует
далеко идущая аналогия между механикой и электродинамикой,
если в основу кладется принцип Гамильтона. Заметим, что речь
идет отнюдь не о формальной, внешней аналогии. Вариационный
принцип позволяет определить для электромагнитного поля такие
величины, как импульс и энергия, которые сохраняются для него
не отдельно, а вместе с соответствующими величинами для частиц.
Таким образом строятся законы сохранения общего вида, которые
выполняются в замкнутых системах, состоящих из заряженных
частиц и создаваемого ими поля.
При определении действия для системы материальных точек
производится суммирование по их координатам. Электромагнитное
поле, если воспользоваться термином механики,—это система
с бесконечным числом степеней свободы, потому что для полного
задания поля надо указать значения всех его компонент во всех
точках пространства, где поле отлично от нуля. Но точки простран-
пространства образуют неисчислимое множество, т. е. не могут быть перену-
перенумерованы в каком-либо порядке. Поэтому суммирование в случае
электромагнитного поля заменяется интегрированием по непрерыв-
непрерывно изменяющимся параметрам — координатам точек, в которых
задается поле. Значения координат точек аналогичны числам, ну-
нумерующим степени свободы механической системы.
Обобщенными координатами поля являются значения вектор-
потенциала согласно соответствию qk (t) -> А (г,/). Производные
по времени от вектор-потенциала входят только в выражение для
электрического поля. Но в функцию Лагранжа механической си-
системы производные от координат по времени входят через кинети-
кинетическую энергию, т. е. с положительным знаком. Поэтому, подстав-
подставляя инвариант FuFu в функцию Лагранжа электромагнитного
поля, надо придать ему такой коэффициент, чтобы электрическое
поле определяло положительный член.
Численное значение этого коэффициента выбирается равным
—16—» что соответствУет гауссовой системе единиц. Иногда приме-
применяется — 2~- В этом случае единицы измерения электромагнитных
величин называются хэвисайдовыми.
С учетом взаимодействия поля и зарядов, т. е. слагаемого A5.10),
можем теперь записать действие для электромагнитного поля:
Отделяя интегрирование по времени в четырехмерном элементе
объема, получаем отсюда функцию Лагранжа, которую нетрудно
переписать в трехмерных обозначениях:
180

дА
Считая -^ обобщенной скоростью, из функции Лагранжа можно
вывести вторую пару уравнений Максвелла в трехмерной форме,
а затем с помощью таблицы A4.31) убедиться в их релятивистской
инвариантности.
Вместо этого мы произведем варьирование A5.11) непосредствен-
непосредственно в четырехмерной форме. При этом распределение токов и зарядов,
т. е. jk считается заданным, так что варьируется только Лд. Полу-
Получаем для вариации действия:
При варьировании было учтено, 4ToFik = -^ — ^—-. Во вто-
втором слагаемом переименуем немые значки: i назовем ?, a k назовем i.
Тогда этот член будет отличаться от первого только порядком знач-
значков у Fki» Но так как Fki — антисимметричный тензор, то, перестав-
переставляя значки, надо изменить знак, после чего оба первых члена в варь-
дЬА
ированном выражении приведутся. Выражение Fik -ур- преобра-
преобразуем по частям:
Р дЬА ь д р с, - * * dF(k
Производную -K-FikSAk проинтегрируем по соответствующей
охь
переменной в d<4)x. Вариация на пределах интегрирования, как
всегда при выводе уравнений движения, должна быть положена
равной нулю — так окончательно приводим вариацию 8S к виду:
Akdw% = 0. A5.13)
Для того чтобы выполнялось требование 8S = 0, выражение
в скобках, умноженное на произвольную вариацию 6Aky должно
равняться нулю в каждой точке четырехмерного объема dD)x.
Отсюда получаются искомые уравнения:
1Г=Т/*- 05.14)
Подставляя сюда составляющие четырехмерного тензора Fki
согласно A4.31), приходим к уравнениям Максвелла A2.32), A2.33).
Для полноты приведем также первую пару уравнений Максвелла
в четырехмерном виде и уравнения для потенциалов.
Записываем три равенства:
F —dAk dAi
rik~~ dxt dxk '
*/ = ;
dxi dxi *
181

Дифференцируем первое из них по -%—, второе — по -^, третье —
по^- и складываем. Тогда правые части тождественно сокраща-
сокращаются и остается:
^ + ^ + ^l = 0. A5.15)
Снова нетрудно убедиться, что эти четыре уравнения (по числу
способов выбора трех значков из четырех) равносильны A2.30)
и A2.31).
Операцию
Л 1 а2 д* . д* , аа , д2
записываем как ^-д-ш = д^-. Иногда ее обозначают квадратиком,
по аналогии с треугольной V. Тогда для компонент потенциала
получим вместо A2.43) и A2.44)
Наконец, условие Лоренца A2.42) пишется в четырехмерном
виде так: дл.
Тензор энергии-импульса электромаг-
электромагнитного поля. Покажем теперь, как уравнения Максвелла
A5.14), A5.15) вместе с уравнениями движения заряженной частицы
в электромагнитном поле A4.33) обеспечивают выполнение основных
механических законов сохранения: энергии, импульса и момента.
Тем самым будет окончательно подтверждена законность рассмотре-
рассмотрения поля как механической системы.
Умножим уравнение A5.14) после некоторого изменения значков
F
dFi
ik
dxk с
Переименуем в получившемся равенстве / в k, a k в / и сложим
оба совершенно равнозначных равенства. Левые части преобразуем
по частям, после чего получим:
д F F L д F F F (dFli J
Объединяя последние два члена слева, мы использовали то, что
Ftk = — Fku Fiu = — F ki.
Первые два члена слева приводятся, если во втором из них сде-
сделать переименование, обратное только что выполненному. Величи-
Величину в скобках в третьем члене заменяем, согласно первой группе
182

уравнений Максвелла A5.15) на—^—. Тогда это слагаемое ока-
оказывается равным:
р dFik 1 д р2 1 . д ™
Введя теперь обозначение
Тш = ~ (FhFu - ~ 6ыПт), A5-18)
запишем результат преобразований системы уравнений Максвелла
в таком виде:
~4-J-=F-fi- A5Л9>
Чтобы выяснить смысл полученного равенства, проинтегрируем
обе его части по трехмерному объему. Займемся сначала правой
частью. Перейдем в ней к точечным зарядам. Для этого надо заме-
заменить четырехмерный вектор плотности тока (см. 15.9') его выраже-
выражением через плотность заряда:
dxk
Jk = Фо -&•
и, кроме того, подставить вместо плотности заряда в собственной
системе отсчета его плотность в неподвижной системе:
р ds
Тогда интегрирование по трехмерному объему сведется просто
к замене pdC)x на полный заряд е. Следовательно, интеграл от пра-
правой части A5.19) по трехмерному объему дает:
Если теперь умножить A4.33) на ~, то видно, что справа в A5.19)
стоит полная производная по времени от компоненты импульса pi
заряда или системы зарядов, находящихся в том объеме, по которому
произведено интегрирование.
Рассмотрим левую часть равенства A5.19) после интегрирования
по объему. Она состоит из четырех слагаемых соответственно не-
немому значку k. В четвертом из них знак дифференцирования по -д—
выносится за знак интеграла, потому что dx^ — дифференциал Ш,
а интегрирование идет по dC)x.
Как вскоре будет видно, Га4 тоже содержит мнимую единицу,
так что рассматриваемый четвертый член проинтегрированного вы-
выражения может быть записан как производная по времени от дей-
действительного выражения:
183

Остальные три члена имеют вид интеграла от дивергенции по
объему (ср. A1.48)). Только в данном случае дивергенция берется
не от вектора, а от тензора. Но по способу вывода теоремы Гаусса—
Остроградского видно, что она применима к интегралу от любой
дивергенции. Следовательно, первые три члена проинтегрированного
равенства A5.19) превращаются в интеграл по поверхности. В ре-
результате для первых трех значений /, т. е. для пространственных
компонент, имеем уравнение вида:
1"» A5-20)
а для четвертой, временной компоненты аналогичное уравнение:
Уравнения записаны так, чтобы все члены в них были действи-
действительными, т. е. не содержали мнимой единицы.
В левой части стоит изменение некоторой величины, проинтег-
проинтегрированной по объему, сложенное с потоком некоторой другой век-
векторной величины через поверхность, которая ограничивает объем.
Все это вместе равно изменению импульса или энергии зарядов за
единицу времени. Если, например, поверхность интегрирования
находится так далеко, что поле на ней обращается в нуль, равен-
равенства приобретают особенно простой вид:
ft \на\ \ ic «* • " j — v, A5.21)
~(e 4-[ ( Тлл) d{3h) = О П5 2П
т. е. каждая из величин, стоящая под знаком производной по вре-
времени, постоянна (частная производная перед интегралом здесь мо-
может быть заменена на полную потому, что значение интеграла в дан-
данном случае не зависит от поверхности, лишь бы поле обращалось
на ней в нуль).
Система зарядов и поля, для которой написаны равенства A5.21)
и A5.21'), замкнутая: поскольку на ее поверхности нет поля, она
ни с чем не взаимодействует: ведь в электродинамике не существует
действия на расстоянии, которое могло бы осуществляться через
поверхность издалека. В замкнутых системах сохраняются импульс
и энергия, следовательно, мы пришли к определению импульса
и энергии электромагнитного поля:
A5.22)
A5.22')
Подынтегральные величины представляют соответственно плот-
плотность импульса и плотность энергии.
184

Вернемся теперь к тому случаю, когда поле на поверхности не
раьно нулю. Выберем поверхность так, чтобы внутри нее не было
зарядов. Тогда уравнения A5.20) и A5.20') принимают вид:
ЭЛэ=0, A5.23)
% = 0. A5.23')
Первые слагаемые в этих равенствах означают изменения им-
импульса и энергии поля, происходящие в данном объеме. Следова-
Следовательно, вторые члены означают не что иное, как потоки импульса
и энергии через поверхность, ограничивающую объем. Уравнения
аналогичного вида получаются из равенства A2.18), выражающего
закон сохранения заряда. В интегральной форме оно представлено
в A2.17).
Итак, мы раскрыли смысл всех компонент тензора Tik. Сведем
воедино результаты предыдущих рассуждений.
Компоненты Та$ представляют поток составляющей импульса
поля, направленной по оси ха через единичную площадку, нормаль
к которой направлена по оси хр, за единицу времени. Но импульс,
передаваемый за единицу времени, есть сила. Отнесенная к единице
площади, она дает нормальное или касательное напряжение, смотря
по тому, совпадают аир или не совпадают. Поэтому пространствен-
пространственный тензор Тар носит специальное название — «максвелловы натя-
натяжения», так как их ввел Максвелл.
1
Компоненты — TG4 означают плотность пространственной ком-
компоненты импульса, направленной по оси ха.
Компоненты —icTm представляют плотность потока энергии,
т. е. энергию, переносимую полем за единицу времени через единицу
поверхности, нормаль к которой направлена по оси ха*
Компонента Т44 с обратным знаком есть плотность энергии элек-
электромагнитного поля.
Выразим теперь все эти компоненты непосредственно через со-
составляющие электромагнитного поля. По формуле A5.18) находим:
A5.24)
Аналогичным образом определяются другие компоненты Та$
с одинаковыми пространственными значками.
Компоненты с различными пространственными значками нахо-
находятся так:
^ ^ u). A5.24')

Компоненты, имеющие только одну четверку среди индексов,
равны:
Td = Ти = -ln (EyHz - EtHy) = IS
ln y) IS
Следовательно, плотность импульса поля по оси х разна
Ш A5.25)
а плотность потока энергии по оси х записывается так:
? A5.26)
Этот вектор имеет специальное название — вектор Пойнтинга.
Наконец, плотность энергии равна:
\>). A5.24'")
Запишем теперь в виде таблицы все компоненты тензора,
умноженные на 4я: (их надо представить себе расположенными
по четыре в каждой строке):
4 (El + EI-EI + HI + HI-HI), - (ЕХЕУ + НХНУ),
), i[EH]x \
- (ЕХЕУ + НХНУ), 1 (Ех + Е1-Е1 + Н1 + Н1-Щ),
-(EuEz + HyHz), i[EH]y
- (ЕХЕЖ + НхНг), - (ЕУЕ, + НуНг),
^.(El + El-El + m + Щ-Ш), i[EH\,
i[EH\x i[EH\B i[Eff]z-lEl2+lHlZ A5.27)
Диагональная сумма, или шпур, этого тензора равняется нулю.
Момент электромагнитного поля. Напишем
уравнения A5.19) для двух различных пространственных значков
аир, умножим соответственно на х$ и ха и вычтем одно из другого;
dTak dT$k
х$ ~ШГ"" Ха ~7ьГ~ = — 4я
иль vxfc
Левую сторону преобразуем по частям:
Благодаря симметрии тензора Та$ члены, стоящие вне производных,
сокращаются.
Теперь проинтегрируем обе стороны равенства по трехмерному
объему, как это было сделано при получении соотношений A5.20)
186

и A5.207). Преобразуя правую часть тем же способом, как раньше,
приведем ее к виду:
X Ха
Учитывая теперь, что ра = а и /?* = р представ-
Л / v2y
ляем разность х$ра — хар$ в виде полной производной отх$ра—хар$9
т. е. от составляющей момента заряженной частицы с индексом,
не равным аир, или:
Но тогда видно, что слева стоит производная по времени от мо-
момента электромагнитного поля, который с помощью A5.27) нетрудно
выразить как
§^Р A5.28)
Отсюда следует, что подынтегральная величина
JtfgO! A5.29)
есть плотность момента электромагнитного поля.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Определяя тензор F*ik == e/;fe/OTF/m, получить для него уравнение из A5.15),
Написать компоненты FJk в виде таблицы.
2) Получить уравнение сохранения энергии в трехмерной форме из A2.30)
и A2.32) (теорема Пойнтинга).
§ 16. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ
Медленно переменные поля. Важный класс при-
приближенных решений уравнений электродинамики составляют мед-
медленно переменные поля, для которых можно пренебречь производ-
производными по времени в уравнениях Максвелла A2.30) и A2.32). Осталь-
Остальные члены образуют две системы уравнений, не зависящие друг от
Друга:
Г div? = 4jtp, A6.1)
\rot? = 0, A6.2)
( divtf-0, A6.3)
[rot H = ^J. A6.4)
В первые два уравнения входят только электрическое поле и плот-
плотность заряда, производящего поле, во вторые два — магнитное
187

поле и плотность тока. Правые части уравнений считаются задан-
заданными функциями координат и времени. Так как никакие диффе-
дифференцирования по времени в A6.2) и A6.4) не входят, временная
зависимость электрического поля такая же, как плотности электри-
электрического заряда, а магнитного поля — как плотности тока. Следова-
Следовательно, в приближении, определяемом соотношениями A6.1) —
A6.4), поля как бы устанавливаются мгновенно, соответственно выз-
вызвавшему их распределению заряда и тока.
На самом деле всякое изменение поля передается в пространстве
со скоростью света с. Если наблюдается поле на расстоянии R от
заряда, то электромагнитное возмущение дойдет до него за время
Г)
—. Заряд, имеющий скорость vy за это время сместится на расстоя-
с
п
ние и —. Приближение A6.1)—A6.4) может быть справедливо только
тогда, когда это смещение v— не ведет к существенному перерас-
с
пределению заряда. Пусть, например, система состоит из двух рав-
равных по величине и противоположных по знаку зарядов, которые
о
за время — успеют обменяться местами. Тогда электрическое поле
на расстоянии R в момент времени / = — будет иметь направление,
противоположное тому, какое оно имело бы при мгновенном распро-
распространении в момент t = 0.
Следовательно, если размеры системы зарядов г, а скорость их v
(по порядку величины), то уравнения A6.1)—A6.4) применимы на
таком расстоянии от системы, для которого справедливо неравен-
неравенство: — >~, или #<~г.
V ^ С ^ V
Пусть v <; с. Тогда область применения изучаемой системы урав-
уравнений достаточно широка.
Уравнения A6.1) и A6.2) называются уравнениями электроста-
электростатики, A6.3) и A6.4) — уравнениями магнитостатики.
Скалярный потенциал в электростатике.
Чтобы удовлетворить уравнению A6.2), положим
Согласно A2.35) ср — скалярный потенциал. Используя A6.1),
составляем уравнение для него:
div grad ф — Аф = — 4яр, A6.6)
которое получается и из A2.44), если положить нестатический
1 02ф
член -j-fjjt равным нулю.
Найдем решение A6.6) для точечного заряда, т. е. положим,
что р равно нулю везде, кроме начала координат. Тогда ф может
зависеть только от расстояния до начала г.
1S3

В § 11 было получено выражение лапласиана в сферических ко-
координатах A1.46). В том частном случае, когда искомая функция
зависит только от г, находим из A1.46):
Проинтегрируем это уравнение от гх до г2, умножив его предва-
предварительно на гй. Так как область интегрирования не содержит начала
координат, где помещен точечный заряд, интеграл от правой части
обращается в нуль. Следовательно,
Поэтому потенциал равен:
Постоянная В равна нулю, если полагать потенциал равным
нулю на бесконечном расстоянии от заряда. Определим теперь
постоянную Л. Для этого проинтегрируем уравнение A6.6) по сфере,
окружающей начало координат. Так как лапласиан Дер есть
div grad ф, объемный интеграл преобразуется в поверхностный,
взятый по сфере. Этот интеграл равен:
В правой части имеем:
— jj 4яр dV = — ,
так как интеграл включает ту точку, где находится заряд, т. е.
начало координат. Таким образом, А = —е.
Потенциал точечного заряда равен:
Ф = у. A6.8)
То же самое получается и для сферически симметричного рас-
распределения зарядов по объему, если потенциал надо найти в точке,
находящейся вне объема, занятого зарядами. Иными словами,
потенциал заряженной сферы во всякой внешней точке такой же,
как потенциал равного точечного заряда, помещенного в центре
сферы. Аналогичный результат имеет место и для потенциала тя-
тяготения, так как закон тяготения Ньютона по форме похож на за-
закон Кулона. Поэтому в большинстве астрономических задач небес-
небесные тела рассматриваются как гравитирующие точки.
Если начало координат не совпадает с зарядом, а координаты
заряда х, у, г, т. е. заряд находится в точке с радиус-вектором г,
то потенциал в точке XYZ (радиус-вектор R) равен:
A6-9)
169

Потенциал системы зарядов. Так как уравне-
уравнения электродинамики линейны, потенциал, производимый несколь-
несколькими зарядами, равен сумме потенциалов от каждого заряда в от-
отдельности. Если радиус-вектор i-того заряда г', то общий потен-
потенциал всей системы
е1
Но для дальнейшего сокращения будем писать (Ха — xlj2 вместо
(Ха — х*а) (Ха — х'а). Тогда потенциал в точке с радиус-вектором R
равен:
При этом надо помнить, что в квадратных скобках стоит сумма
по а от 1 до 3.
Допустим теперь, что начало координат находится где-то в об-
области, занятой зарядами, например, в центре сферы наименьшего
радиуса, охватывающей все заряды. Будем искать потенциал на
большом расстоянии от начала, т. е. на таком расстоянии R% для
которого выполнены все неравенства:
R>r\ A6.11)
Иначе говоря, надо найти потенциал на большом расстоянии
от системы зарядов. Тогда функцию A6.10) следует разложить в ряд
Тейлора по степеням х1а. Выполним разложение до квадратичного
члена включительно, но запишем его сначала только для одного
слагаемого в сумме по всем зарядам, опуская для краткости индекс i:
A6.12)
Условие о суммировании позволило записать ряд Тейлора для
функции нескольких переменных в сжатой форме, как для одной
переменной. Благодаря тому что Х% = R2y получаем выражение
для первой производной:
д д 1 dR д 1 Ха
LAJ R — дХ$ dRR R* » (ЮЛ6)
где использовано равенство A1.34), которое в обозначениях этого
параграфа имеет вид:
Таким образом, член, линейный относительно х$ в сумме A6.12),
равен:
190

Несколько сложнее вычислить член, квадратичный относитель-
относительно *р. Напишем входящую в него вторую производную:
Я2 1 д X* 1 дХ* д 1 6,3Y д 1
_____ Р *_ Р у ^Р Y | у
V D Л V D3 —' D3 Л V •**¦ В Л v 15я """"" *"D4 Г" у* В Л v ТТч
б соответствии с общим определением тензора 6pY в § 9. Далее
а 1 or а 1 л\ з зху
по общему правилу дифференцирования сложных функций, в дан-
данном случае функции ^.
Итак, получается:
0й 1 OpY oApAY
ахр axY л"= "" ~W * а^ •
Окончательно разложение \R — г\~х по степеням компонент г
имеет вид:
11 *«D I /QVV Л\
А Га 1 /oAj3AY 0gY \
" | d p~j~ ~W "т" оз « 2^ ' ^ I ^>5 """ рз J * \10.1 Oj
Вычтем теперь из последнего члена A6.15) величину, тожде*
ственно равную нулю:
1
о ^
так как ХрХр = R2, 8$$ = 3.
Тогда разложение A6.15) принимает вид:
11 *• О 1/ 1 \ / О V V Л\
1 Г К 1 / 1 \ / oApAY O^Y \
"i р гт == "п Г" ]5з" г" ~о" I "^P^y Я^ ^pY^a-^a / I Hjjj оз~ / • (lO. 1Ь)
Этот ряд надо подставить в формулу для потенциала A6.10)
и просуммировать по всем зарядам. Введем такие сокращенные
обозначения:
1* = 2>*Л A6.17)
или в компонентах:
2 *' 2"" т); ^=т
я**=т 2 *' г2"" т)^
я**=т 26i г "" т);
i
191

Вектор d, т. е. три величины dx, dy и dg9 и шесть компонент qxxt
Ууу> Цгг> Цхуу qxz> Цуг зависят только от расположения зарядов в си-
системе, но не от точки, где определяется потенциал. В обозначениях
A6.17) и A6.18) потенциал на большом расстоянии от системы заря-
зарядов равен: у,
1Г Щ!*[&) A6Л9)
так как
= qaa = 12 ё (« - 3 4 *&) = О,
причем члены с неодинаковыми индексами типа qxy фактически вхо-
входят в сумму по два раза (например, qxv и равный ему qyx).
Вектор d называется дипольным моментом системы зарядов,
тензор второго ранга qa$ — квадрупольным моментом системы.
Дипольный момент. Исследуем получившееся выра-
жение для потенциала A6.19). Нулевой член -^—отвечает такому
приближению, когда весь заряд считается сосредоточенным в начале
координат. Иначе говоря, он означает замену всей системы зарядов
одним точечным зарядом.
Это приближение становится явно недостаточным, если система
в целом нейтральна, т. е. если 2^* = 0- Такой случай весьма обы-
обычен, так как и атомы, и молекулы нейтральны: заряд электронов
компенсирует заряд ядра.
Предположим, что общий заряд равен нулю, и рассмотрим пер-
первый член разложения, содержащий дипольный момент. Этот член
убывает как ™, т. е. быстрее, чем потенциал заряженной системы.
Кроме того, он пропорционален косинусу угла между dn R. Проще
всего осуществить нейтральную систему, взяв два заряда равной
величины и противоположного знака. Такая система называется
диполем. Момент ее равен:
d= %eir* = e (r+ -г") A6.20)
i
в.соответствии с принятым в общих курсах физики определением
дипольного момента как произведения заряда на вектор, прове-
проведенный от отрицательного заряда к положительному.
Из формулы A6.20) видно, что определение дипольного момента
не зависит от выбора начала координат, так как в него входит только
относительное положение зарядов. Покажем, что дипольный момент
обладает этим свойством всегда, если общий заряд всей системы
равен нулю.
Действительно, если сместить начало координат на какой-то
отрезок а, то радиус-векторы всех зарядов изменятся так;
192

Подставляя г1 в определение дипольного момента, получим:
*= 2 е,г'= ? е/Ч а ?*/= !>/'==*', A6.21)
/ I i i
потому что 2^ = 0.
i
Если же система не нейтральная, то выберем а следующим об-
образом:
ЕИ(?Г A6-22)
Этот выбор аналогичен выбору центра инерции системы масс.
Поэтому можно сказать, что у системы, которая в целом не нейтраль-
нейтральна, вектор а определяет положение электрического центра системы
зарядов. Для нейтральной системы определение а невозможно,
так как знаменатель A6.22) равен нулю. Если у заряженной си-
системы выбрать а согласно A6.22), то 2^'' = 0, т. е. дипольный
момент заряженной системы относительно ее электрического центра
равен нулю.
Следовательно, получается такая альтернатива: если система
нейтральна, то разложение A6.19) начинается с дипольного члена,
не зависящего от выбора начала координат, если ? = 2^' есть Ре-
зультирующий заряд, то дипольный член обращается в нуль при
соответствующем выборе начала координат.
Квадрупольный момент. Остановимся теперь на
втором члене разложения, содержащем квадрупольный момент.
Квадруполем называется система из двух диполей с моментами' й>
равными по величине, но противоположными по направлению.
Ясно, что разложение потенциала такой системы не имеет ни нуле-
нулевого, ни первого члена, так что формула A6.19) содержит справа
только второй член.
Простейший квадруполь можно осуществить, помещая четыре
заряда, равные по величине и попарно противоположные по знаку,
через один по вершинам параллелограмма. Такая система нейтраль-
нейтральна. Но квадрупольный момент может иметь и заряженная система.
Он характеризует, насколько распределение зарядов в системе
отклоняется от сферической симметрии.
Действительно, в ^начале этого параграфа было показано, что
потенциал сферически симметричной системы зарядов убывает строго
по закону -?, а потенциал квадруполя как ^.Поэтому квадруполь-
НЬ1Й член разложения потенциала может возникнуть только при
несферическом распределении зарядов. Дальнейшие члены разло-
разложения, которые могут быть получены тем же способом, учитывают
Все более тонкие отклонения от сферической симметрии в распре-
Делении зарядов.
7 Компанеец А. С. 193

Выясним, в каком смысле квадрупольный момент характеризует
несферичность. Формула A6.22) устанавливает аналогию между
центром инерции системы масс и электрическим центром системы
зарядов. Подобно этому формула A6.18) позволяет найти известное
сходство между компонентами квадрупольного момента и моментами
инерции системы масс, определенными формулами (9.3), (9.4).
Поскольку нас интересует аналогия, а не тождество величин,
отвлечемся от того, что A6.18) содержит суммирование, а (9.3) —
интегрирование. К тому же и этого различия не будет, если взять
непрерывное распределение зарядов или дискретное расположе-
расположение масс (как у ядер в молекуле). Кроме того, забудем на время,
что в компоненты момента инерции входят массы, а не заряды.
Тензорное выражение момента инерции выглядит так:
Положим а = р и просуммируем по общему правилу. Тогда
получится:
Ко, = 2 т C*а*а - ХаХа) = 22 ГПХаХа.
т т
Подставим ^тхаха в исходное выражение и найдем!
т
хх
Зная, как ^тх^Ха и ^тхах$ выражаются через Jap, под-
т т
ставим их в определение квадрупольного момента:
A6.23)
Знак г^ над равенством должен напоминать о том, что имеет
место только соответствие.
В § 9 было показано, что моменты инерции можно привести
к главным осям, т. е. найти такую координатную систему, в кото-
которой произведения инерции обращаются в нуль и остаются только
диагональные элементы тензора инерции. Но так как соотношения
между qa$ и Уар имеют место в любой координатной системе, для тех
же главных осей обращаются в нуль и компоненты квадрупольного
момента с неодинаковыми значками. Относительно главных осей
квадрупольный момент приводится в соответствие моменту инерции
так: 1
q1^(J2 + J3~2J1) A6.23')
(и аналогично другие компоненты).
Если система обладает сферической симметрией, то /х = J2 = J39
так что q1 = q2 = q3 = 0. Поэтому наличие квадрупольного мо-
момента у системы зарядов указывает на то, что расположение зарядов
194

не сферически симметрично. Однако обратное утверждение неверно:
если квадрупольный момент системы и равен нулю, то система за-
зарядов может не быть сферически симметричной. В разложении A6.19)
надо учесть члены более высокого порядка, чем здесь выписанные,
и только в том случае, если все они равны нулю, осуществляется
сферическая симметрия. Только тогда потенциал убывает строго
как -о-. Отметим, что из определения квадрупольного момента или
из A6.23') непосредственно следует тождество: qaa =0, qx + g2 + 4s=
= 0, т. е. из трех главных составляющих квадрупольного момента
независимы только две.
Соотношения A6.23), A6.23') следует понимать буквально, если
речь идет о гравитационном потенциале. Как известно, Земля не
строго сферична, а сплюснута у полюсов. Поэтому сила тяготения
содержит члены, убывающие не по закону обратных квадратов,
а быстрее. Это сказывается на движении Луны и в большей степени
на движении искусственных спутников, находящихся ближе к Земле.
Для них формулу A6.19) нужно было бы писать в более высоком
приближении.
Формулы A6.23') становятся проще, если два момента инерции
системы равны, т. е. симметрия системы требует равенства: Jx = Ja.
Тогда
п ~ * / т т \ — q п ~ 1 (т т \— q
41 = ~q \Jз — Ji) = —rj~, ?/2 = "g"W3 — Ji) = —2~»
В этом случае квадрупольный момент имеет всего одну неза-
независимую составляющую q. Ее знак называется знаком квадру-
квадрупольного момента. Величина q= Уег1гг
t
Если бы заряды распределялись сферически симметрично, имело
бы место равенство ^ eir^ — ^ 2 е^- *> потому что тогда при любом
i i ^_
выборе осей ^ е^ = ^ е^ = 2 ^г/а. Тогда очевидно, и q = 0.
i i i
Положительный знак q указывает на то, что \ е.^% > i_ \ е.г&9
i i
т. е. на вытянутое вдоль оси z распределение заряда, отрицательный
знак — на сплющенное распределение.
Потенциал квадруполя с одной компонентой q согласно A6.19)
равен:
— 2Z2\ 3 /#2 — 3Z2
^)e A6>24)
7* 195

Потенциал такого квадруполя зависит от угла Ф по закону
1 — 3cos2d, где # — угол между осью симметрии квадруполя и ра-
радиус-вектором точки, где определяется потенциал. Подобные от-
отклонения от сферической симметрии обнаружены в электростати-
электростатическом потенциале многих ядер. По квадрупольному моменту ядра
можно судить о его строении.
Энергия системы зарядов в электроста-
электростатическом поле. Вычислим теперь энергию системы зарядов
во внешнем электрическом поле. Потенциальная энергия заряда
в поле равна: U = ар, потому что сила, действующая на заряд,
равна F = —VU = —eVcp = eE. Следовательно, энергия системы
зарядов равна:
t/ = 2><p(r'), A6.25)
i
где г1 — радиус-вектор i-того заряда.
Предположим, что поле мало изменяется на протяжении системы
зарядов, так что потенциал, действующий в точке, в которой на-
находится i'-тый заряд, можно разложить в ряд Тэйлора:
Последний член преобразуем тем же способом, как в разложе-
разложении A6.15), пользуясь тем, что ф — потенциал внешнего поля
(а не поля, произведенного данными зарядами), так что Дф = 0.
Вычтем из ф равную нулю величину -g-Дф. Тогда после суммирова-
суммирования по зарядам получим:
и=Ф @J« - Ц ( ) (^)о
2(^г)в + - . О6-27)
Здесь в члене, содержащем дипольный момент, подставлено
значение поля Уф @) = —Ео в начале координат. В системе глав-
главных осей квадрупольного момента формулу A6.27) можно перепи-
переписать так:
В случае нейтральной системы особенно важен член с дипольным
моментом. Квадрупольный член учитывает протяженность системы,
так как в него входят производные поля. Если система сферически
симметрична, т. е. имеет равный нулю квадрупольный момент,
поправка на протяженность отсутствует. Не будет и поправок выс-
высшего приближения, так что потенциальная энергия всегда будет
зависеть только от значения потенциала в центре системы. Поэ-
196

тому сферически симметричные тела не только притягивают, но
и притягиваются, как точечные. Конечно, эти утверждения взаимна
связаны по третьему закону Ньютона, который справедлив в электро-
электростатике, так как поля определяются мгновенным расположением
зарядов.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Показать, что среднее значение потенциала на поверхности сферы равно
его значению в центре, если везде по ее объему выполняется уравнение:
Аф = 0. Связать это с заключением о потенциальной энергии сферически симме-
симметричной системы зарядов во внешнем поле.
Указание. Следует разложить потенциал в ряд по степеням радиуса
сферы. При интегрировании по поверхности все члены, содержащие х, у или г
нечетное число раз, обратятся в нуль. Члены, содержащие я, у или z четное число
раз, можно сгруппировать так, что они будут пропорциональны Аф, ААф и т. д.
Останется только нулевой член разложения, что и доказывает теорему.
2) Вычислить электрическое поле диполя и энергию взаимодействия двух
диполей, находящихся на большом расстоянии друг от друга.
3) Привести к квадратурам задачу о движении заряженной частицы в поле
диполя в нерелятивистском приближении.
Указание. Воспользоваться уравнением Гамильтона — Якоби и раз-
разделить переменные. Интеграл по углу не выражается элементарно.
§ 17. МАГНИТОСТАТИКА ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ
Смысл уравнений магнитостатики. В пре-
предыдущем параграфе было показано, что если скорости зарядов
малы по сравнению со скоростью света, то магнитное поле должно
удовлетворять системе уравнений (см. A6.3) и A6.4)):
div// = 0, A7.1)
rotH=^J=%pv. A7.2)
Они называются уравнениями магнитостатики. Но легко убе-
убедиться в том, что для точечных зарядов они не могут выполняться
непосредственно. Для этого возьмем дивергенцию от обеих частей
A7.2). Слева имеем тождественно div rot H = 0, а справа полу-
чится — div pv. Для точечных зарядов невозможно сделать так,
чтобы div pv была равна нулю одновременно во всех точках про-
пространства, потому что нет замкнутых токовых линий. Замкнутые
линии могут получиться только тогда, когда рассматриваются тра-
траектории зарядов, т. е. их движение за определенный отрезок времени.
Поэтому уравнение A7.2) приобретает смысл не для мгновенных
значений величин, а для средних по времени.
Если определить среднее по времени согласно A0.48), то не обя-
обязательно считать траектории зарядов замкнутыми в строгом смысле:
достаточно, чтобы они были финитными или даже чтобы усредняе-
усредняемая величина, проинтегрированная по времени, возрастала на
быстрее самого времени.
197

Следуя A0.48), определим среднее по времени 6Т некоторой
функции уравнением:
' "' (г, v) dt. A7.3)
Эта операция усреднения перестановочна с дифференцированием
функции по координатам, так как она производится по другой пе-
переменной — по времени.
Применим усреднение к величине div/ Пользуясь перестано-
перестановочностью операции div rot, т. е. нахождения частных производных
по координатам, с интегрированием по времени, перепишем урав-
уравнение A7.2) в усредненной форме:
^^A7.4)
О
Допустим теперь, что разность р(^0) —- р@) возрастает медлен-
медленнее, чем сам промежуток времени /0. Это заведомо справедливо
для всякого условно периодического движения (см. § 10). Если
выбрать /0 достаточно большим, отношение р^ ° , р в пределе
станет сколь угодно малой величиной. Благодаря этому среднее
значение тока действительно окажется удовлетворяющим урав-
уравнению:
~ i div у dt=~ div i jdt = div/=0. A7.5)
to J t0 J
Следовательно, уравнение A7.2) и все дальнейшие уравнения
этого параграфа надо понимать в смысле средних по времени, что
будет обозначаться черточками над величинами, относящимися
к движению зарядов. Условимся, кроме того, не писать черточку
над //, хотя она и будет подразумеваться.
Если условие -L = 0 выполняется не только для плотности за-
зарядов, но и для любой функции, относящейся к их движению,
последнее называется стационарным. Настоящий параграф отно-
относится, таким образом, к стационарно движущимся точечным заря-
зарядам.
Частным случаем стационарного движения является движение
периодическое, например равномерное вращение по окружности.
Но для стационарности достаточно, чтобы заряды двигались просто
в ограниченной области или удалялись из нее не пропорционально
времени, а медленнее.
Уравнения для векторного потенциала.
Чтобы удовлетворить уравнению A7.1), положим, как и в общем
случае
Я = гоМ A7.6)
198

(ср. A2.34)). Здесь А — векторный потенциал. Формула A7.6)
не полностью определяет Л, потому что, если прибавить к Л гради-
градиент произвольной функции f, как в A2.36), выражение rot А не
изменится. Поэтому на А надо наложите дополнительное условие.
Условие Лоренца A2.42) подсказывает, что надо потребовать
diVil = 0. A7.7)
Тогда, подставляя в A7.6) и A7.2), получим:
rot H= rot rot A = — J. A7.8)
с
Но согласно A1.42)
rot rot A = grad div A - АЛ = — АЛ, A7.9)
причем было использовано условие A7.7). Поэтому Л удовлетво-
удовлетворяет уравнению:
ДЛ = _^/=_1Е^( A7.10)
которое совершенно аналогично A6.6) для точечного заряда.
Уравнение A7-10) можно получить и из A2.43), если отбросить
1 д2А
в нем член —^-ш* несущественный в магнитостатике.
Поскольку решение A7.10) выглядит совершенно так же, как
и решение A6.6), запишем его в форме, аналогичной A6.9) для
отдельного точечного заряда. Каждая компонента А удовлетворяет
уравнению вида A6.6) с той разницей, что в правой части стоит
вектор j(jx, /у, 1г). Если раскрыть A7.10) по составляющим в де-
декартовых координатах, получатся три уравнения вида A6.6),
4я — 4л — 4л; — г>
имеющие справа соответственно — — pvXi pvy и pv2. Сле-
Следовательно, вектор-потенциал точечного заряда равен:
Покажем, что Л удовлетворяет условию A7.7). Дивергенцию
надо брать по радиус-вектору той точки, где определяется Л. Но
Vr\R — г\-х = —Vr|/? — /Т1, так что
Выражение в правой части этого равенства есть полная произ-
производная величины \R — rl по времени. По условию стационарности
оно равно нулю после усреднения.
Вычислим теперь среднее магнитное поле точечного заряда.
Пользуясь формулой A1.28), получим:
—Иё^- A7Л2>
Эта формула относится, конечно, только к стационарному дви-
движению. В частности, она применима к постоянному току.
199

Векторный потенциал на большом рас-
расстоянии от системы стационарных токов.
Вектор-потенциал системы точечных зарядов равен сумме векторных
потенциалов каждого заряда в отдельности:
Получим теперь приближенные формулы, справедливые на боль-
большом расстоянии от системы, аналогичные тем, которые были най-
найдены в электростатике. Для этого подставим в A7.13) разложение
A6.15), в котором оставлен только первый член, линейный отно-
относительно Г1\
JR^FJ = Я" + Ж* A7# И*
Выражение для векторного потенциала в приближении A7.14)
имеет вид:
жЪ A7Л5)
i i
так как г1 = v*.
Нулевой член разложения есть полная производная по времени
и после усреднения обращается в нуль. Преобразуем теперь первый
член разложения, пользуясь тождеством:
0=12е*{Rri) ri=2е* (R^vi+2е*{Rvi) rK A7 л 6)
i i i
Из этого тождества следует, что в A7.15) можно подставить полу-
полуразность выражений, входящих в правую часть A7.16). Тогда век-
векторный потенциал будет равен:
А=2^5 2 е*& ^^ -r' W))=-ш2е*№ №]]- {ПЛ7)
Переставив знаки суммирования и векторного умножения, полу-
получим искомую формулу:
Щ
Под знаком суммы в A7.18) стоит величина, зависящая только
от усредненного распределения токов в системе:
ji = Y«WI. A7.19)
i
200

Она называется средним магнитным моментом системы токов.
Пользуясь обозначением A7.19), переписываем вектор-потенциал
на большом расстоянии от системы токов в следующем виде:
A7'20)
Вычислим по векторному потенциалу магнитное поле. По опре-
определению
[^ ]
Так как ц — постоянный вектор, формула A1.30) дает:
^=(i*v)vi-i*Ai==-(j*v)f8.
I
потому что Д-о = 0. Далее (|шу)/? = |ii (см. A1.36)). Чтобы вы-
вычислить ([лу)^~3> воспользуемся A1.34). Тогда получается:
з /- (п)
Наконец, собирая оба члена, приходим к формуле для Н:
tf=z?. A7.21)
Для сравнения приведем формулу для электрического поля
диполя:
Es-w = -vg? = JA^p". A7.22)
Таким образом, оба выражения для физически наблюдаемых
величин, т. е. электрического и магнитного полей, совершенно ана-
аналогичны. Электрический и магнитный моменты одинаковым образом
определяют соответствующие поля. Отсюда получил название маг-
магнитный момент, построенный, казалось бы, совершенно иначе, чем
электрический.
В случае заряда, движущегося по плоской замкнутой орбите,
определение магнитного момента A7.19) совпадает с элементарным
определением момента через «магнитный листок». Векторное произ-
произведение [rv] есть удвоенная площадь, покрываемая радиус-вектором
заряда за единицу времени (см. § 5, текст после формулы E.4)).
Следовательно, [rv] = 2~. По определению средней величины A7.3)
получаем:
l в CIS ij В /it no\
Здесь /0 — время обращения заряда по орбите. За это время за-
заряд проходит каждую точку на орбите один раз, следовательно,
201

средний ток равен: / = —.Отсюда получается элементарное опре-
определение магнитного момента:
? = ? A7.24)
Подобие формул A7.21) и A7.22) доказывает эквивалентность
замкнутого тока, т. е. «магнитного листка», и фиктивного диполя
с тем же моментом jui. Поле на большом расстоянии от системы токов
производится как бы диполем.
Система движущихся точечных зарядов
во внешнем магнитном поле. Рассмотренное в этом
параграфе приближение медленно-переменных полей справедливо
только в том случае, когда скорости зарядов малы по сравнению
со скоростью света. Представляет интерес изучить движение таких
зарядов во внешнем магнитном поле. Для этого надо построить
нерелятивистское приближение к функции Лагранжа системы
движущихся зарядов.
Точная функция Лагранжа A4.23), если заменить в ней в нере-
нерелятивистском приближении —тсгЛ/ 1 — ^Ц- на кинетическую энер-
т v
гию —^—, принимает следующий вид для системы одинаковых ча-
частиц (et = е, m,i = т)\
\m\vi
A7.25)
Благодаря члену, линейному относительно скоростей, L и в этом
приближении не представляется как разность кинетической и по-
потенциальной энергий: L = Т — U. Но путем соответствующего
изменения системы отсчета удается привести функцию Лагранжа
к обычному виду.
Будем считать внешнее поле однородным Н = const. Векторный
потенциал такого поля удобно представить в виде
А = ~ [Нг\ A7.26)
так как согласно A1.30)
rot | [Нг] - ~ (Н div r- (#V) r) = Я.
Подставляя это выражение А в функцию Лагранжа и совершай
циклическую перестановку в смешанном произведении векторов,
получаем:
L = 2 ^ + 2 ic <L™1 Щ - еф. A7.27)
i i
202

Сравним это выражение с функцией Лагранжа (8.5), относящейся
к движению материальных точек относительно вращающейся си-
системы отсчета.
Если считать угловую скорость вращения такой системы малой,
так что ее квадратом законно пренебречь по сравнению с теми чле-
членами, куда она входит линейно, функцию Лагранжа (8.5) для
системы одинаковых частиц можно переписать в таком виде (после
циклической перестановки, применявшейся при написании A7.27)):
Сопоставляя A7.27) и A7.28), видим, что движение системы за-
зарядов во внешнем постоянном и однородном магнитном поле сов-
совпадает с ее движением относительно системы отсчета, вращающейся
с постоянной угловой скоростью
»=?• A7-29>
Это утверждение называется теоремой Лармора.
Будем считать, что частота о) гораздо меньше всех частот, ха-
характеризующих собственнее движение зарядов в той же системе
без внешнего магнитного поля. Это движение останется неизменным,
если перейти после наложения магнитного поля к системе отсчета,
вращающейся с угловой скоростью —(о. Члены функции Лагранжа,
линейные относительно скорости и обусловленные магнитным
полем и вращением, взаимно компенсируются. Разумеется, это спра-
справедливо только в линейном приближении, когда можно пренебре-
пренебрегать квадратичным относительно угловой скорости влиянием центро-
центробежной силы. Это равносильно допущению о малости со по сравне-
сравнению с собственными частотами системы.
Пусть система из одинаковых зарядов обладает магнитным мо-
моментом jut, определенным согласно A7.19). Вынося из-под знака
суммы заряд е, замечаем, что в такой системе магнитный момент
пропорционален механическому (см. D.20)):
В такой системе магнитный и механический моменты сохраня-
сохраняются вместе. Во внешнем магнитном поле наступает вращение этой
системы вокруг поля такого же типа, как у свободного симметрич-
симметричного волчка вокруг направления полного момента. Поэтому движе-
движение системы, обладающей магнитным моментом, во внешнем маг-
магнитном поле, как и аналогичное движение волчка, называется пре-
прецессией. Она происходит с частотой, определяемой согласно A7.29),
и называется поэтому прецессией Лармора,
Напишем уравнение для такой прецессии. Если без внешнего
магнитного поля вектор момента УИ был постоянным относительно
неподвижных осей, то по теореме Лармора в поле он будет постоян*
203

еН
ным относительно осей, вращающихся с угловой скоростью — ^-.
Составляющие М по этим осям постоянны во времени (М = 0).
Чтобы перейти к неподвижным осям, надо воспользоваться урав-
уравнением (9.14), считая, что они вращаются в обратную сторону по
отношению к подвижным осям с угловой скоростью 2^. Следова-
Следовательно, проекции момента на неподвижные оси не постоянны, и для
него имеет место уравнение:
Заменяя о> по теореме Лармора, получим:
dM е
dt — 2mc L"^7ftJ ~~ Lr*"J> A7.dl)
ИЛИ
Если в системе без магнитного поля механический момент не
сохраняется, то уравнение A7.ЗГ) можно отнести к \х.
Умножая A7.31') сначала скалярно на |ш, находим: -JJ- — О,
так что \х2 = const. Затем множим скалярно на Н и находим, что
-г: (\*>Н) = \i | Н | ~ц cos $ = 0 (§ — угол между jut и //). Таким обра-
образом, магнитный момент сохраняет свою абсолютную величину и под
постоянным углом к магнитному полю вращается вокруг него. Такое
движение и называется прецессией.
Заметим, что и система из одинаковых зарядов, результирую-
результирующий магнитный момент которой равен нулю, тоже приходит во вра-
вращение в магнитном поле.
Перейдем теперь от функции Лагранжа A7.27) к гамильтониану
системы. Из формулы A*4.25) следует, что если выразить энергию
заряженной частицы через ее скорость, то магнитное поле выпадает
и остается только скалярный потенциал. Но в гамильтониан маг-
магнитное поле входит, потому что выражение A4.24), связывающее
между собой скорость и импульс, содержит векторный потенциал.
Подставляя в кинетическую энергию скорость, выраженную через
импульс, получаем функцию Гамильтона:
2H- A7-32)
Считая магнитное поле слабым и пренебрегая соответственно
квадратом векторного потенциала, записываем гамильтониан так:
204

Так как в члене, содержащем произведение pot Л(г,-), магнитное
поле уже содержится линейно, pot надо заменить просто на mvt.
После циклической перестановки векторов получается:
?(п). A7.33)
Таким образом, гамильтониан приобретает в магнитном поле
добавочный член —(Н\х)у аналогичный —(Ed) в электрическом
поле.
Допустим теперь, что внешнее магнитное поле не постоянно,
а слабо неоднородно в пространстве, так что его изменение на рас-
расстоянии порядка размеров системы зарядов невелико. Тогда из
гамильтониана A7.33) следует:
1 = V (Нр) *. A7.34)
Система с магнитным моментом испытывает силу, зависящую от
неоднородности поля. Формулу этой силы можно преобразовать
следующим способом. Раскрывая A7.34) с помощью A1.32), полу-
получаем:
/^= (uV) //+ [jlc rot //].
Но rot H для внешнего поля равен нулю, так что сила, дей-
действующая на систему зарядов, обладающую магнитным моментом,
есть
F=W)H. A7.35)
Она проявляется в притяжении намагниченных тел к полюсам
магнитов, где магнитное поле сильнее. Аналогичное выражение
силы получается и для системы с электрическим дипольным момен-
моментом.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти член в разложении векторного потенциала, обязанный магнит-
магнитному квадрупольному моменту.
Решение. Записываем слагаемое во втором члене разложения | /? — г I,
обусловленное одним зарядом:
Преобразуем по частям произведения:
v (г*)« =-J r (rtfJ-2r (vR) (rЯ)
* Вычисляется только та часть силы, которая зависит от векторного потен-
потенциала.
205

Полные производные по времени, которые при усреднении дают нуль, отбра-
отбрасываем заранее. Левые части написанных равенств преобразуем следующим
образом:
v (г/?J =*-| v (г/?J —~ г (vR) (rR) = -| [[/•*] (rR) R]$
В результате квадрупольный член вектор-потенциала приводится К виду!
Переписывая получившееся равенство в тензорных обозначениях, видим,
что квадрупольный вектор-потенциал определяется следующим тензором;
( л q)a =
2) Рассмотреть движение магнитного момента jm в магнитном поле с состав-
составляющими: Hz = — Яо, Нх = Яг cos 0)^, Яу = Я1 sin (at. Обратить внимание на
случаи: (?>=%--, со-^0.
Решение. Согласно A7.31') пишем общее уравнение прецессии:
Умножая обе стороны этого уравнения скалярно на ju-, видим, что абсолютная
величина {я2 сохраняется. Поэтому достаточно писать уравнения только для
\ix и ру, заменяя рг на Vy? — \i2x — \\2y ,
Пользуясь сокращенными обозначениями со0 = -о-^-, ©i=.-^~^, множим
уравнение для \iy на zb i и складываем с уравнением для \ix. Это дает:
~ (^ ± щу)в ± /соо (^ ± t^)
Ищем решение в виде \ix + i\iy ~ Л^е—ш^ и получаем следующее
уравнение для амплитуд Л+:
Умножая уравнение с Л+ в левой части на уравнение для Л_, находим:
Л Л, = ^(°! |Л ! =
(co-co0J + wf f ' ±! К(со —cooJ-hcof *
Когда w = о)о («парамагнитный резонанс»), момент вращается в плоскости ху
с частотой со0. Если со -> 0 (внешнее поле вращается бесконечно медленно), момент?
точно следует за полем»

§ 18. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Решение волнового уравнения. Все резуль-
результаты электростатики и магнитостатики могут быть получены и не
на основе уравнений Максвелла, а при помощи элементарных
законов Кулона и Био—Савара. Существенно новое, чего не могло
быть в домаксвелловской физике, — электромагнитные волны. Та-
Такие волны распространяются в вакууме, при отсутствии зарядов.
Они получаются как специальные решения уравнений Максвелла.
Из этих решений не только удалось заключить об электромагнитной
природе света, но и предсказать существование других электро-
электромагнитных волн, более коротких и более длинных, чем световые,
в частности радиоволн.
При отсутствии зарядов и токов уравнения для скалярного
и векторного потенциалов A2.44) и A2.43) пишутся так;
0' A8Л)
при дополнительном условии Лоренца A2.42):
±$ = 0. A8.3)
Уравнения A8.1) и A8.2) называются волновыми. Статических
решений такие уравнения вообще не имеют. Действительно, если
положить вторые производные от потенциалов по времени равными
нулю, то останется АЛ = 0, Аф = 0. Но если эти уравнения выпол-
выполняются во всем пространстве, их решениями могут быть только
постоянные величины. Это видно из упражнения 1 к § 16.
Пусть некоторая функция / удовлетворяет во всем пространстве
уравнению А/ = 0 и нигде не обращается в бесконечность. Ни
в одной точке она не может иметь максимума. Предположим обрат-
обратное. Тогда точку максимума можно будет окружить небольшой
сферой, на которой функция принимает только меньшие значения,
чем в центре, а это противоречит результату указанного упраж-
упражнения. Следовательно, функция / и все ее производные, которые
удовлетворяют тому же уравнению, нигде не имеют максимума
и повсюду конечны. Таким свойством может обладать только по-
постоянная величина.
Итак, волновые уравнения имеют только нестатические реше-
решения, справедливые во всем пространстве. Будем искать такие част-
частные решения A8.1) и A8.2), которые зависят от одной декартовой
координаты, например х$ и от времени. Подобные решения подчи-
подчиняются, очевидно, таким уравнениям:
207

и дополнительному условию:
иАу I 1 (/ф л /1 о г*\
-=г^ ~\ ^г = 0. (lo.b)
дх 1 с dt ч 7
Найдем наиболее общее решение полученной системы уравнений.
Введем на время следующие обозначения:
A8.7)
x + ct = l, \
x — ct = y\. J
Преобразуем A8.5) к этим независимым переменным I и yj.
Символически A8.4) можно переписать следующим образом:
|. + 13Wa_ia^ 0 {18>8)
\дх ' с dt j \дх с dt/ т ч 7
Тогда
дф __ дф д$ , ^ф дц ^Ф ! ^Ф
"дх — df дх ~*~ дц дх ~~ df + ^rj"»
1 ^ф ^ф 1 ^| дф 1 ^г| дф <9 ф
потому что при постоянном t, т. е. dt = 0, ^ = 1 и J = 1, а при
постоянном х, т. е. dx = 0, -^-^ = — — ^ = 1 согласно тем же
уравнениям. Символически:
ад: + с dt~~ д\' дх с dt~ l дц'
так что уравнения A8.4) и A8.5) в переменных |, ц пишутся в виде
0. A8.9)
Интегрируя любое из них по ?, получаем:
% = С^ Sj-C(t|). A8.10)
Теперь нетрудно проинтегрировать по г]:
ii-Jc^^+Cxd), ф = $с'(т|)А1+с;©. A8.10')
Но интегралы от произвольных функций С(т]) и С'(т]) по х\ суть
новые произвольные функции той же переменной ц, так что окон-
окончательно искомые решения в переменных ?, т] имеют вид:
А = А1(ц) + А2A), Ф = Ф1(Л) + Ф»F). 08.11)
Сразу очевидно, что подстановка таких решений в A8.9) дает тож-
тождественно нули.
Возвращаясь к переменным х и ty переписываем полученное
решение:
Л = Л!(х-с/) + Да(х + с0, Ф = <р1(х-с0 + Фа(* + с9. A8.12)
208

Оно содержит по две произвольные функции для каждого из
уравнений A8.4) и A8.5), так что является общим.
Бегущие плоские волны. Решение, зависящее от
х — ct% не связано с решением, аргументом которого является
х + ct, это два линейно независимых решения. Поэтому достаточно
изучить одно из них:
A = A(x~ct), A8.13)
ф==ф(л:~^). A8.14)
Чтобы удовлетворить дополнительному условию A8.6), произ-
произведем преобразование калибровки:
Ф(х-^)-ф'(^-Л)-|у^(х-Л) = ф' + ^ A8.15)
(точка над / означает производную по всему аргументу х\ = х — ct).
Но если положить ф' = —/, получим просто ф = 0. Тогда сог-
согласно A8.6) получится и Ах =¦ 0 Таким образом, для решения рас-
рассматриваемого вида, зависящего только от х — ct, условие Лоренца
проще всего удовлетворяется подстановкой: ф = 0, Ах = 0.
Итак, направленная по х составляющая электрического поля
равна нулю:
Ех = —±-?^-р. = 0. A8.16)
х с dt дх х J
Так как поле не зависит от калибровки потенциалов, этот ре-
результат общий.
Направленная по х составляющая магнитного поля тоже равна
нулю: дЛ qa
н*^-^-~ж^ A8Л7)
Находим остальные составляющие полей:
^У с dt ~лу z~ с dt ~Лг>
Ну = -д-?- = -Аг, Нг = Ц± = Ау. A8.18)
Из этих равенств следует, что Е и Н взаимно перпендикулярны,
потому что
EHEH EMz = 0. A8.19)
По абсолютной величине |?| и \Н\ равны, так как |?| = \Н\ =
Равенство и перпендикулярность электрического и магнитного
полей суть инвариантные свойства полученного решения. Действи-
Действительно, согласно формулам A5.3) и A5.4) |#|2 — |?|2 и ЕН — реля-
релятивистски инвариантные величины. Если \Е\ = \Н\ и ЕН = О
в одной системе отсчета, такие же равенства выполняются в любой
системе отсчета.
209

Решение вида A8.13) имеет простой физический смысл.
Возьмем значение Е в момент времени / = 0 на плоскости
х = 0. Оно равно Е@). Ясно, что такое же значение ?@) в момент
времени t будет на плоскости х = ct, потому что на этой плоскости
Е(х — ct) = ?"@). Можно еще сказать, что плоскость, на которой
поле Е равно J5@), перемещается в пространстве параллельно самой
себе за время t на расстояние ct, т. е. движется со скоростью с.
То же сгмсе относится к любой плсскссти х = х0, на которой в на-
начальный момент времени было некоторое значение поля Е(х0).
Итак, все плоскости, несущие данные значения поля, перемещаются
в пространстве со скоростью с. Поэтому решение Е(х — ct) называ-
называется бегущей плоской волной.
Заметим, что форма волны при распространении не изменяется:
расстояние между плоскостями х — хх и х = х2, на которых Е
равно Е(хг) и Е(х2), постоянно. Зтот результат имеет силу при лю-
любой форме волны, распространяющейся в пустом пространстве.
Итак, скорость электромагнитной волны в вакууме не зависит
ни от формы, ни от амплитуды волны; она равна универсальной
постоянной с.
Электрическое и магнитное поля, как видно из A8.19), перпен-
перпендикулярны как друг другу, так и направлению распространения
волны. Поэтому говорят, что электромагнитные волны поперечные
(в отличие от продольных звуковых волн в воздухе, у которых
колебания происходят в направлении распространения).
Если обозначить единичный вектор в направлении распростра-
распространения волны через п и отложить его по оси х правовинтовой системы
координат, то электрическое поле будет направлено по оси у, а маг-
магнитное — по оси г. Эти направления соответствуют большому,
указательному и среднему пальцам правой руки. В дальнейшем
электромагнитные волны всегда описываются в такой координат-
координатной системе, в которой электрическое поле совпадает с осью у.
Так как вектор п направлен по оси х, можно записать х = rnf
и электрическое поле представится в виде
Ey = Ay(rn-ct). A8.20)
Но в этой записи больше не обязательно связывать вектор п
с осью х. Решение с аргументом такого вида, как в A8.20), годится
для любого направления я, если только п, Е и Н взаимно перпенди-
перпендикулярны.
Найдем теперь механические интегралы движения электромаг-
электромагнитной волны.
Согласно A5.25) плотность импульса электромагнитной волкы
равна: i
а плотность энергии по A5.24"'):
210

Она отличается от плотности импульса множителем с. Как раз
таким свойством обладают энергия и импульс частицы с нулевой
массой, как в формуле A4.13). Это обстоятельство очень важно
для квантовой теории света (см. ч. III).
Плотность потока энергии электромагнитного поля выражается
формулой A5.26). Согласно этой формуле вектор Пойнтинга плоской
электромагнитной волны равен:
^[ЕН]=С±А%, A8.23)
что согласуется с выражением плотности энергии A8.22).
Пространственная часть тензора энергии — импульса электро-
электромагнитного поля позволяет вычислить давление плоской электро-
электромагнитной волны. Из общей формулы A5.27) видно, что когда от-
отличны от нуля только Еу и Hz, остается одна компонента Тхх,
которая равна:
^(Е1 + Е1-Ех + Щ + т-Н*) = ±А1. A8.24)
Эта компонента представляет импульс в направлении оси х,
проходящий в единицу времени через единицу поверхности, перпен-
перпендикулярной оси х. Если допустить, что волна падает нормально на
поглощающую преграду, то весь этот импульс передается преграде.
Но импульс, переданный за единицу времени, по второму закону
Ньютона (см. A.1)) равен силе, которую испытывает единица поверх-
поверхности преграды, направленной нормально преграде. Следовательно,
Тхх есть не что иное, как давление электромагнитной волны на по-
поглощающую преграду при нормальном падении на нее. Получилось,
что давление плоской волны равно плотности ее энергии.
Это предсказание электродинамики было подтверждено в опы-
опытах П. Н. Лебедева. Было доказано, что электромагнитное поле
действительно может рассматриваться как механическая система,
подобно тому как это делается в § 15 настоящей книги.
Гармонические волны. Особый интерес представ-
представляют бегущие плоские волны, у которых функция Е(х — ct) гармо-
гармоническая. Наиболее общее гармоническое решение уравнений A8.4),
A8.5) приводит к выражению вида:
е-Ш('-Щ, A8.25)
где символ Re означает действительную часть от выражения, сто-
стоящего в фигурных скобках, F — комплексный вектор вида Fx + iF%
(ср. G.14в)), со — частота волны, как в формуле G.3); со есть число
радианов в секунду, на которое меняется аргумент показательной
Функции.
Вектор со — называется волновым вектором. Он обозначается
буквой ft: fft т3
k=^n, 1*12 = ^-. A8.26)
211

Геометрический смысл к легко раскрыть. Для этого определим
длину волны, т. е. отрезок Ал* в пространстве, на котором Е воз-
возвращается к одному и тому же значению. Пусть искомая длина
волны Я. Тогда
eifuT = ei^!L7Ls=ei\Ar\\k\==:^9 A8.27)
потому что период функции eix равен 2я. Следовательно,
Я = —. A8.28)
со
Сравним теперь длину волны с волновым вектором:
Иногда применяется величина, в 2я раз меньшая, чем длина
волны, и обозначаемая X. Она равна обратному значению абсолют-
абсолютной величины волнового вектора.
Рассмотрим, как преобразуются частота и волновой вектор гар-
гармонической электромагнитной волны при переходе от одной инер-
циальной системы отсчета к другой. Покажем, что трансформаци-
трансформационные свойства составляющих волнового вектора и частоты такие
же, как координат и времени.
Введем понятие фазы волны как аргумента показательной
функции A8.25). Докажем, что фаза есть инвариантная величина.
Действительно, фаза характеризует некоторое событие, например
прохождение электрического и магнитного полей через нуль в не-
некоторый момент времени и в некоторой точке пространства. Если
рассматривать эту же волну в другой системе отсчета, то координа-
координаты и время, отвечающие этому событию, будут иметь другие значе-
значения, но само событие, или факт, конечно, измениться не может.
Это легко понять, если представить себе, что электрическое поле
измеряют по показаниям какого-нибудь безынерционного прибора.
Такие два прибора, совмещенные в некоторый момент в одной точке
пространства, но имеющие относительную скорость движения, оба
должны показать нулевое значение поля. В противном случае та
система отсчета, где электромагнитное поле равно нулю, будет
как-то выделена по отношению к остальным. Например, светочув-
светочувствительная пластинка, экспонированная в данное мгновение, не
почернеет только в этой системе.
Выражение фазы волны согласно A8.25) есть
^=,кг-Ы = Х1кх + х2ку + х3кг + х,^. A8.30)
Для того чтобы оно было инвариантным, необходимо считать,
что волновой вектор и частота вместе составляют один четырехмер-
четырехмерный вектор: kx = kx, ky = k2i kz = ft3, ~- = ?4, Тогда фаза запи-
записывается как г]з = kiXi.
212

. Четырехмерный вектор kf имеет особое свойство, которое видно
из второго, скалярного равенства A8.26):
| k i2 — ~ = kiki = k\ = 0. A8.31)
Иначе говорят, что kt есть нулевой вектор, т. е. вектор нулевой
четырехмерной длины. В отличие от трехмерных векторов, которые
могут иметь нулевую длину только при обращении в нуль всех
компонент, четырехмерные векторы этим свойством не обладают.
Применяя общие формулы A3.33) и A3.34) для преобразования
компонент четырехмерного вектора, находим:
соЧ^ __соК
= . A8.32)
0) = . , СО = — г, Aо.ОО)
Проекции ky и ft*, перпендикулярные относительной скорости
систем отсчета, ках обычно, не изменяются.
Предположим теперь, что источник света покоится относительно
«штрихованной» системы отсчета, т.е. движется по оси х со скоростью
V относительно «нештрихованной» — «неподвижной» ¦— системы. Не-
Неподвижный наблюдатель измеряет частоту светового луча, идущего
под углом в к оси х. Тогда согласно A8.33) и A8.26), подставляя
* СО s-\
кх = — cos В, находим изменение частоты движущегося источника
света по сравнению с частотой в его собственной системе отсчета:
l—— COSO")
/ A8.34)
у*
Если в < ~, то со ^> со'.
Эта формула описывает известный эффект Доплера, с помощью
которого измеряются лучевые (т. е. направленные строго по лучу
зрения) скорости небесных объектов. С точностью до члена, линей-
у
ного относительно —, этот эффект получается и в нерелятивистской
теории из элементарных кинематических соображений.
Значение релятивистской формулы особенно ясно тогда, когда
источник движется перпендикулярно лучу зрения. Тогда во второй
формуле A8.33) надо положить kx = 0, и получается:
A8.35)
213

Эта формула выражает поперечный эффект Доплера. Он непо-
непосредственно связан с релятивистским изменением времени, которое
описывается формулой A3.21). Движущийся излучатель гармони-
гармонических волн можно рассматривать как часы, поскольку в нем со-
совершается периодический процесс с частотой со'. Полное число
колебаний есть величина инвариантная: каждое колебание есть не-
некоторое событие. Так как движущиеся часы показывают меньшее
время, этому должна отвечать большая частота колебаний.
Поперечный эффект Доплера наблюдался Айвсом в излучении
v
каналовых частиц, т. е. летящих атомов. У них отношение - было
с
достаточным, чтобы заметить смещение частоты спектроскопиче*
ским способом. Получилось прямое экспериментальное доказатель-
доказательство сокращения масштаба времени при относительном движении»
Поляризацияплоскойгармоническойвол-
н ы. Выясним теперь характер колебаний электрического поля
в плоской гармонической (иначе говорят: «монохроматической»,
т, е. «одноцветной») волне. Для этого запишем вектор F (см. A8.25))
в таком виде:
A8.36)
Подберем фазу а так, чтобы векторы Ех и Е2 были взаимно пер-
перпендикулярны. Умножим уравнение A8.36) nae~ia и возведем в квад-
квадрат. Тогда получим:
(Ei- iEtf = | ?х |» Н ?я |« = e~2ia (I Л !2 ~ I Л !2 + 2/ (F^)). A8.37)
Мы воспользовались условием перпендикулярности Ег и Е2.
Благодаря этому (Ех — ьЕ2)г — чисто действительная величина.
Следовательно, мнимую часть выражения A8.37) надо приравнять
нулю. Представляя e~2ia как cos 2а — i sin2a, находим:
- (| Fx |2 -1F212) sin 2a + 2 (FXF2) cos 2a = 0,
или
^2«=ИР' A8-38)
откуда определяется угол а по заданному решению A8.25).
Теперь легко выразить Ех и Е2. В самом деле, согласно A8.36)
Ег — iE2 = (Fx + iF2)e-ia = ( )
так что
E1 = F1cosa + F2sma, \
E2 = Fx sin a - F2 cos a. /
Включим постоянную фазу a в показатель A8.25) и обозначим
для краткости
а—ю(*-^) = я[). A8.40)
Тогда электрическое поле плоской гармонической волны будет
в самом общем случае равно:
?=Re{(?1-/?8)e'*} = ?1cos$ + ?aSinib, A8.41)
214

При этом векторы Ех и Е2 определены как взаимно перпендикуляр-
перпендикулярные.
Представим теперь решение A8.41) наглядным образом. Пусть
волна распространяется по оси х. Направим ось у по Elf ось z по Е2.
Следовательно, из A8.41) получаем:
= \Е1\cosг|), Ег = \Е2\ sinг|).
A8.42)
Исключим отсюда фазу г|э. Для этого разделим первое уравнение
на \Ег\, второе — на \Е2\> возведем в квадрат и сложим. Тогда ис-
ключится фаза и останется уравнение, связывающее компоненты
поля:
Следовательно, вектор электрического поля описывает эллипс
в плоскости уг, которая сама перемещается со скоростью с по на-
направлению своей нормали, т. е. по оси х. Вектор поля обходит весь
эллипс на одной длине волны. Относительно неподвижной коорди-
координатной системы вектор электрического поля описывает винтовую
линию, навитую на эллиптический цилиндр. Шаг винта равен длине
волны. Такая электромагнитная волна называется эллиптически
поляризованной. Она представляет наиболее общую форму пло-
плоской гармонической волны A8.25).
Если одна из компонент равна нулю, например Ег = 0 или
Е2 = 0, то колебания Е происходят в одной плоскости. Такая волна
называется плоскополяризованной.
Когда \Ег\ равно |?2|, вектор Е описывает в плоскости #zокруж-
#zокружность. В зависимости от знака Е2 вращение по окружности идет
по часовой стрелке или против нее. Соответственно этому волна
называется правополяризованной или левополяризованной. На ри-
рисунке 25 представлено расположение векторов Еъ Е2 и Е в право-
и левополяризованной волне. При одном и том же значении фазы г|>
вращение идет либо против часовой стрелки, либо по ней.
Сумма двух волн равной амплитуды, поляризованных по кругу,
дает плоскополяризованную волну. Соотношение их фаз определяет
плоскость поляризации. Так, если сложить волны, показанные на
рисунке 25, то колебания Е2 и —Е2 взаимно погасятся и останется
только плоскополяризованное
колебание Е. В свою очередь
колебание, поляризованное по
кРУгу, разлагается на два взаим-
взаимно перпендикулярных плоских
колебания.
В природе чаще всего наблю-
наблюдается неполяризованный (есте-
(естественный) свет. Разумеется, та-
такой свет не может быть строго
монохроматичен, т. е. отвечать Рис 25
215

одной определенной частоте со, ибо волна с заданной частотой, как
только что было показано, всегда так или иначе поляризована. Но
если представить себе, что компоненты Ег и Е2 на рисунке 25 не
связаны строгим фазовым соотношением A8.42), а беспорядочно
меняют свою относительную фазу, то результирующий вектор тоже
будет менять свое направление в плоскости уг беспорядочным об-
образом. Для этого надо, чтобы частоты колебаний были заключены
в некотором конечном интервале До, потому что между колебания-
колебаниями со строго постоянной и одинаковой частотой всегда сохраняется
постоянная разность фаз.
Рассеиваясь на зарядах, естественный свет при некоторых на-
направлениях рассеянного луча оказывается поляризованным.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Показать, что при сложении двух волн равной амплитуды, поляризо-
поляризованных по кругу в противоположные стороны и бегущих в одну и ту же сторону
с длиной волны, различающейся на АХ, получается плоскополяризованная волна,
вектор поляризации которой поворачивается по мере распространения.
2) Найти соотношение между углами 0 и 6', определяющими угол наклона
светового луча к направлению относительной скорости двух систем отсчета.
Решение. Подставляя в первую из формул A8.32) kx =— cos 0,
с
k'x=—cos6' и учитывая, что ky = —sine, k'y— — sine', ky — k'yt находим:
sin 6' т Г . V*
tg6= у У 1--5-.
cose'+p
Отсюда следует:
V
cos 04—
cos 6 = - C
V 9
1 + -. sin 61
что соответствует формуле сложения скоростей A3.23).
Применяя полученное соотношение к явлению аберрации света, мы должны
л/ 31
положить о = -jr- для лучей звезды, проходящих перпендикулярно плоскости
земной орбиты. Тогда в системе отсчета, связанной с Землей, получается постоян-
постоянный по величине угол наклона между лучом и перпендикуляром к плоскости
орбиты:
л . V
При годичном движении Земли соответствующая звезда описывает на
у
небесном своде окружность с угловым радиусом — .
Если учесть, что звезда находится на конечном расстоянии от Солнца, то
на это угловое смещение накладывается еще и параллакс.
3) Доказать, что величина юЧп релятивистски инвариантна.
Указание. Воспользоваться формулой A8.34) и результатом упраж-
упражнения 2,
216

§ 19. ПЕРЕДАЧА СИГНАЛОВ. ПОЧТИ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
Невозможность передачи сигнала при по-
помощи монохроматической волны. Плоская моно-
монохроматическая волна A8.25) неограниченно простирается во все
етороны в пространстве и во времени, не имея, так сказать, ни
начала, ни конца. Кроме того, ее свойства везде и всегда одинаковы:
постоянна ее частота, амплитуда и расстояние между двумя бегу-
бегущими гребнями, т. е. длина волны К. Во всем этом легко убедиться,
рассматривая синусоиду или винтовую линию.
Поставим теперь задачу о возможности передачи электромаг-
электромагнитного сигнала на расстояние. Для того чтобы передать сигнал
надо сосредоточить в известном объеме электромагнитное возму-
возмущение. Распространяясь, это возмущение может достичь другой об-
области пространства; зарегистрированное каким-либо способом, на-
например радиоприемником, оно передаст в течку приема сигнал
о событии, происшедшем в точке отправления. (Наше зрительное
восприятие также является непрерывной регистрацией электромаг-
электромагнитных (световых) возмущений, исходящих от окружающих объек-
объектов.) Сигнал должен иметь определенные границы во времени, чтобы
извещать о наступлении и окончании каких-либо событий.
Чтобы передать сигнал, надо как-либо изменить амплитуду волны
на некоторое время. Например, надо увеличить амплитуду одной
из волн синусоиды и ждать, пока это увеличение амплитуды проя-
проявится в принимающем устройстве. Строго монохроматическая волна,
т. е. синусоида, имеет одинаковую амплитуду всегда и поэтому не
годится для передачи сигналов.
Таким же образом идеальная плоская волна со строго заданным
волновым вектором не может передавать изображения объектов,
ограниченных в пространстве.
Распространение немонохроматической
волны. Посмотрим теперь, как можно использовать для пере-
передачи сигнала наложение нескольких синусоид, т. е. монохромати-
монохроматических волн. Предположим, что в нашем распоряжении имеется
целый спектр частот бегущих волн, ограниченный интервалом
ю0—~ ^(o^(D0 + ~?. При этом вся ширина спектра, т. е.
интервал, частот Асо, гораздо меньше «несущей» частоты соо. Для
простоты вычислений допустим, что амплитуда волны во всем ин-
интервале спектра одна и та же и равна: Е0((о) = Е09 обращаясь в нуль
вне этого интервала.
Тогда результирующее колебание представится интегралом по
всем отдельным монохроматическим колебаниям:
, До)
1 $ . A9.1)
До)
217

В этой формуле переменна не только частота, но и абсолютное
значение волнового вектора k — так называемое волновое число.
Согласно A8.26) оно равно —, но здесь удобнее рассмотреть зави-
зависимость более общего вида: k = &(со).
Так как частота заключена в малом интервале, k можно разло-
разложить в ряд по степеням (со — соо):
(?\. A9.2)
Подставим A9.2) в A9.1). Для результирующего поля получим
следующее выражение:
Асо
A9.3)
G>0—
Лео
Перейдем к переменной интегрирования 5в со — соо. Вычисляя
интеграл, приводим его к такому виду:
А©
Асо
* 2
о . (Г.
2 sin < f—
<й\
-т- ^
°
-тгг
Исследуем получившееся выражение. Оно состоит из двух
сомножителей. Первый из них (Еое~1 (^ - *о*)) представляет бе-
бегущую волну, однородную в пространстве, со средней «несущей»
частотой соо. Но амплитуда результирующей волны уже непостоянна
в пространстве благодаря второму сомножителю:
dk\
)
, (dk\
_ (V fdk\ 1АЧ=
где обозначения g и % ясны из равенства. Этот сомножитель благо-
благодаря синусу имеет бесконечное число максимумов. Но один из мак-
максимумов наибольший, он достигается, когда аргумент функции %
обращается в нуль. Остальные экстремумы меньше и убывают
с расстоянием от главного, который находится при х = \~гг) г.
\ ик/О
Таким образом, видно, что этот максимум не имеет постоянного
положения в пространстве, а сам перемещается со скоростью
*=% о9-5)
218

4л х
Рис. 26
потому что из определения
точки максимума % = О еле-
дует;
x t vt
Как было указано в на-
начале этого параграфа, пере-
перемещением максимума можно
передавать сигналы из одних
точек пространства в другие,
потому что этот максимум вы-
выделен среди других. Такое
сконцентрированное в про-
пространстве возмущение на-
называется волновым пакетом.
Волновой пакет может иметь и не такую форму, как на рисун-
рисунке 26, где он относится к выражению A9.4). Выбирая иную зави-
зависимость Е0((д)> чем в формуле A9.1), т. е. не постоянную амплитуду
в интервале частоты Лео, а более сложную функцию частоты, можно
изменить форму Е(х). В частности, легко придать результирующей
амплитуде форму прямоугольника, так что передаваемый сигнал
будет напоминать тире азбуки Морзе.
Здесь слово «легко» относится к аналитическому определению
величины Е0(со), приводящей к прямоугольному сигналу. Действи-
Действительно, формула A9.1) есть не что иное, как интегральное преобра-
преобразование Фурье от функции ?о(со) с переменной со к функции g(%)
с переменной %. Но преобразование Фурье обладает свойством
взаимности: если придать функции ?*0(со) вид, отвечающий g(%)
по формуле A9.4), то «на выходе» получится сигнал прямоугольной
формы Е0(х).
Имея достаточно большую несущую частоту со0, можно пере-
передавать отдельные сигналы со звуковой частотой так, что они не
налагаются друг на друга. Иначе говоря, без заметных искажений
удается воспроизвести музыку или речь.
Диапазон частот и длительность сигнала.
Как мы видели, чтобы передать сигнал, всегда необходим некото-
некоторый диапазон частот. Монохроматическая волна со строго опре-
определенной частотой однородна по времени: она передает как бы один
сигнал бесконечной длительности. По теореме обращения интегра-
интегралов Фурье, выражающей их свойство взаимности, заключаем, что
сигнал бесконечно малой длительности требует для своей передачи
бесконечно большого диапазона частот. А если длительность сиг-
сигнала конечна? Какой диапазон частот требуется для его пере-
передачи?
Об этом можно заключить, рассматривая рисунок 26, изобража-
изображающий зависимость g от %. Для передачи сигнала важна только об-
область кривой вблизи главного максимума при % = 0. В единицах %
819

она по порядку величины равна я. Следовательно, длительность
сигнала определится из такого равенства:
АХ = -у • At ~ я.
Иначе товоря, чтобы передать сигнал длительности А/, требу-
требуется интервал частот Асо, связанный с А* соотношением:
ДсоД/~2я. A9.6)
Следует отметить, что эта оценка относится только к порядку ве-
величины Асо и At. Определение А% до известной степени произвольно
и сделано на глаз по виду кривой.
Форма кривой подсказывает, что основной вклад в передачу
сигнала дают малые значения %, близкие к нулю, потому что около
нуля амплитуда волны больше. Оценивая интервал частот по тому
относительному вкладу, который они вносят в передаваемый сиг-
сигнал, можно вывести несколько более строгую оценку, чем A9.6):
<Ао)> <А/>~1. A9.6')
Здесь величины взяты в угловые скобки, чтобы подчеркнуть,
что метод оценки изменен по сравнению с A9.6). Кроме того, надо
указать, что оценки A9.6) и A9.6') нижние. Во многих случаях
имеет место сильное неравенство: ДсоД/ J> 2я.
Если радиостанция должна передавать звуки, воспринимаемые
человеческим ухом, то величина At не больше чем 0,5 • 10~4 сек, потому
что предельно доступное слуху число колебаний в секунду состав-
составляет 2 • 104. Фактически достаточно передавать частоты не выше
0,5-104. Отсюда Дсо~2-104, или 0,5-104.
Диапазон частот Дсо всегда меньше «несущей» частоты со0, кото-
которая даже у самых длинноволновых передающих станций не меньше
чем 106. Частоту со0 надо сравнивать с интервалом Асо порядка
0,5-104, потому что срезание самых высоких частот в музыке, пении
и речи не вносит существенных искажений.
Для телевизионных передач необходим гораздо больший интер-
интервал частот, потому что изображение воспроизводится 25 раз в се-
секунду и в свою очередь состоит из десятков тысяч отдельных точек»
Из-за этого несущая частота должна быть столь высокой, что со-
соответствует длине волны в несколько метров. Такие короткие волны
распространяются в относительно небольшом радиусе: они экрани-
экранируются кривой поверхностью Земли наподобие световых волн.
Любопытно, что для передачи цветных изображений практически
требуется такой же диапазон частот, как и для черно-белых. В ос-
основном это связано с тем, что острота цветового зрения человека
ниже, чем контурного.
Фазовая и групповая скорости. Рассмотрим
подробнее, с какой скоростью передаются сигналы. Если применить
формулу A9.5) к распространению сигнала в вакууме, то полу-
получится, конечно, v = с. В материальной непоглощакивдй среде по-
220

ложение меняется, здесь надо считать, что зависимость k от со иная,
чем в вакууме (в поглощающей среде положение намного осложня-
осложняется). Это явление называется дисперсией электромагнитных волн.
Мы не будем исследовать его, а просто примем, что между k и со
имеется зависимость, отличная от прямой пропорциональности.
Это весьма важно для оптико-механической аналогии, которой
посвящен § 21 (см. ч. III). Примем, таким образом, что скорость
волнового пакета равна:
Она отличается от скорости распространения поверхности по-
постоянной фазы, которая выражается через частоту и волновое
ЧИСЛ0ТЗК: „=» A9.7)
/2
Действительно, выражение для бегущей монохроматической
волны можно записать в виде
Сопоставляя эту формулу с общей формулой для бегущей волны
Е — Е (х — ut), приходим к A9.7). Скорость волны обозначена и,
а не су потому что A9.7) относится к распространению волны не
в вакууме, где различие между и и с пропадает, а к непоглощающей
среде, и называется фазовой скоростью волны, v — групповой ско-
скоростью волнового пакета, получаемого путем наложения группы
волн.
Групповую скорость можно определить и в векторном виде:
Тем самым определяется и направление передачи сигнала.
Форма волны в пространстве и диапазон
волновых векторов. Соотношение, аналогичное A9.6),
можно вывести и для формы волны в пространстве в некоторый
определенный момент времени. Для этого надо взять % при постоян-
постоянном значении времени t = const. Выбирая снова Ах ~ я, получим:
А До) dk А Д/гДл;
или Д?.Д*~ 2я. A9.9)
Для <Ай>, (Ах) можно записать формулу, аналогичную
A9.6').
Учитывая, что k — величина векторная, соотношение A9.9)
надо написать для всех трех компонент k. Тогда вместо A9.9) при-
приходим к трем оценочным формулам:
л;, )
A9.10)
221

Поясним соотношения A9.10) наглядным примером. Допустим,
что надо как-то ограничить радиоволну с боков, как это делается
в луче радиолокатора (радара). Найдем ту предельную точность,
с которой локатор может зарегистрировать положение объекта,
находящегося от него на расстоянии /. Очевидно, что эта точность
задается диаметром пучка лучей d на расстоянии / от локатора.
Пусть частота, на которой работает локатор, равна со, тогда
соответствующая длина волны К = —-. Если бы электромагнит-
электромагнитная волна распространялась в неограниченном пространстве, то
она имела бы (или могла бы иметь) точно определенный волновой
вектор:
*-т»
(п — единичный вектор в направлении луча). Если волна имеет
поперечный размер d, то к уже нельзя считать точно определенным
вектором, направленным по п.
Для того чтобы представить электромагнитную волну в некото-
некоторой точке пространства, занятого лучом локатора, надо взять со-
совокупность плоских волн, у которых векторы к лежат внутри ко*
нуса, имеющего известный угол раствора. Будем считать, что ось
конуса совмещена с вектором п. Здесь имеется в виду не конус
с резко ограниченной поверхностью, а конический пучок направ-
направлений. Зависимость амплитуды волны от направления ее распро-
распространения внутри конуса может, например, напоминать кривую
рисунка 26 вблизи основного максимума.
Угловой раствор конического пучка определяется некоторым
значением k^ в любом направлении, перпендикулярном оси конуса.
k\_ задает тот интервал значений Ak, который необходим для того,
чтобы диаметр пучка лучей в пространстве мог быть равен d. Оче-
Aky
видно, что по своему смыслу k^ и а суть не что иное, как —^ и 1\у
tskz
или у и Аг во второй и третьей формулах A9.10), если считать,
что п направлено по оси #. Таким образом, приходим к соотношению:
A9.10')
(Aky надо положить равным 2kj_, потому что отклонение от п имеет
место в обе стороны).
Собственными размерами зеркала локатора можно пренебречь,
если рассматривается диаметр его пучка на большом расстояния
от зеркала, что только и представляет практический интерес. Иначе
говоря, d определяется только соотношениями A9.10) и не зависит
от размеров зеркала.
Расхождение пучка лучей в каждой точке измеряется отно-
шением -—• Поэтому отношение поперечного размера пучка а
222

к расстоянию до локатора / не может
быть меньше величины
k '
2k ±
На рисунке 27 это соотношение по- р л7
казано для предельного случая равен- й '
ства, но следует помнить, что речь идет
2k
скорее о верхней оценке порядка величины ~=. A9.10') есть
нижняя оценка этой величины:
Имея верхнюю и нижнюю оценки Aj_, можно исключить из
^, и тогда получится:
к
d ^ 2я d ^ X
T^Tk> или Т<^'
Окончательно:
Если, например, / = 100 км, а X = 1 м, то положение объекта
не может быть определено локатором с точностью, превосходящей
320 м (поэтому и можно было пренебречь размерами его зеркала).
Предел применимости понятия луча. Фор-
Формулы A9.10) показывают, в каких пределах применимо понятие
луча в оптике. Очевидно, что говорить о луче определенного на-
направления можно только в тех случаях, когда
Д/г<?, A9.11)
т. е. когда поперечное размытие волнового вектора гораздо
меньше его самого. В задаче о радиолокаторе это значит, что
k^<^k. Но &_l~-3-, а & = -:г> так чт0 09*11) равносильно тре-
требованию
dyX. A9.12)
Иначе говоря, размеры области, для которой имеет смысл гово-
говорить о лучах, должны быть гораздо большими, чем длина световой
волны. Например, небольшое отверстие в стенке камеры-обскуры
Диаметром, скажем, в 1 мм гораздо больше, чем длина волны види-
видимого света, имеющая порядок величины 0,5 «Ю см. Поэтому изоб-
изображение, получаемое в камере-обскуре, строится при помощи све-
световых лучей.
Оптика световых лучей называется геометрической оптикой.
Луч определен только тогда, когда задано его направление, т. е.
Нормаль к фронту волны. Если же задан пучок непараллельных,
223

например сходящихся, лучей, то фронт волны искривлен. Но ра-
радиус его кривизны в каждой точке должен быть гораздо больше,
чем длина волны, чтобы вблизи этой точки можно было предста-
представить его с помощью касающегося плоского фронта. Тогда сходя-
сходящийся пучок лучей представится совокупностью нормалей к соот-
соответствующим плоским фронтам волн.
Вблизи фокуса оптической системы, куда сходятся все лучи,
кривизна волнового фронта может стать сравнимой с длиной волны,
и тогда возникнут отклонения от геометрической оптики. Эти от-
отклонения носят название дифракции волн. Они наблюдаются и в тех
случаях, когда волна падает на какое-нибудь непрозрачное препят-
препятствие. Согласно геометрической оптике должна была бы получиться
резкая тень — переход от области, где поле отлично от нуля, к об-
области, где оно равно нулю. Но уравнения Максвелла содержат
производные полей по координатам и не допускают разрывных
решений в пустом пространстве. Фактически между «светом» и
«тенью» всегда существует переходная зона, в которой амплитуда
волны изменяется сложным, немонотонным образом.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Написать соотношение между фазовой и групповой скоростями.
~ d(o dak , udu . da
Ответ. О__=._- = И+*_ЯИ_А,_.
2) Показать, что если зависимость амплитуды монохроматической волны
в. волновом пакете пропорциональна функции вида
(СО —СОрJ
е (АО)J ,
где о)о — несущая частота, а Дсо << соо характеризует ширину спектра, то форма
волнового пакета воспроизводит аналогичную функцию, но от t , причем
ширина пакета обратно пропорциональна А©. Сопоставить это с A9.6).
3) Найти предельный размер объекта, который можно рассмотреть в микро-
микроскоп, применяя свет с длиной волны X.
Решение. Обозначим половину угла раствора конуса лучей, проведен-
проведенных из объектива микроскопа к предмету, через Э. Тогда Lk = k sin G. Отсюда
д 2зт_ 2я _ X
*^Ak k sin б sin 8 *
Поэтому выгодно пользоваться пучками лучей с большими углами раствора
и с малой длиной волны.
§ 2G. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛИ
Основные уравнения и граничные усло-
условия. До сих пор мы рассматривали электромагнитные волны
в пустом пространстве, вне зависимости от зарядов, их испустив-
испустивших. В этом параграфе будет рассмотрено испускание волн точеч-
точечными зарядами, движущимися в вакууме. Основная система урав-
224

нений в данном случае — это A2.43) и A2.44) вместе с условием
Лоренца A2.42). Перепишем эти уравнения заново:
1 ЯМ 4я . /9П п
-^^O. B0.3)
Уравнения B0.1) и B0.2), записанные для декартовых компо-
компонент векторного потенциала и для скалярного потенциала, имеют
одинаковый вид (лапласиан вектора отличается от лапласиана
скаляра в криволинейных компонентах, например Ап Л9, Ач).
Поэтому найдем решение какого-либо одного из этих уравнений,
например B0.2), и применим его ко всем остальным.
Удобно поступить так: найти поле одного точечного излучателя,
а потом просуммировать по всем излучающим зарядам, подобно
тому как в § 16 было найдено сначала статическое поле одного то-
точечного заряда. В силу линейности уравнений B0.1) — B0.3) ре-
решение при произвольном распределении зарядов и токов предста-
представится суммой или интегралом по всем излучателям.
Допустим, что в начале координат в элементе объема dV поме-
помещен заряд 8е, равный pdV. Будем искать соответствующий потен-
потенциал.
Чтобы определить решение однозначным образом, надо наложить
на него известное граничное условие. Будем считать, что заряды
находятся в бесконечном пространстве, свободном от вещества,
т. е. что нигде поблизости нет ни проводников, ни диэлектриков.
Тогда граничное условие может быть наложено только для бес-
бесконечного расстояния от зарядов. В соответствии с поставленной
задачей естественно предположить, что за бесконечно большой
промежуток времени до начала излучения и на бесконечно большом
расстоянии от излучателя никакого поля излучения не было:
Ф (t -> — со, г -> оо) = 0,
A(t -> —оэ, г->оо) = 0. B0'4)
Это позволяет однозначно определить решение поставленной задачи.
Поскольку заряд бе помещен в начале координат, естественно
искать решение, обладающее сферической симметрией. Тогда в урав-
уравнении для ф нужной перейти к сферическим координатам и диффе-
дифференцировать только по г, как в электростатической задаче, и, кроме
того, конечно, по времени.
Запишем теперь уравнение B0.2), оставляя только произвол*
ные по г и по L Будем считать, что оно относится к любой точке,
кроме начала координат, тогда в правой части будет стоять нуль:
^«r.fE_4-fJ! = 0. B0.5)
г2 дг дг с2 dt% ч '
8 Компанеец А. С. 225

Положим на время
Ф = ^-2( B0.6)
ТОГДа ^ф j ^ф ф ^Ф ^ф
W ^~гдг ~~ г2"' Г ~di:==rdF ~~ '
Подставляя это в B0.5) и умножая на г (по условию г не равно
нулю), получим:
Но это есть уравнение распространения волны такого же вида,
как A8.5). Его решение подобно A8.12):
(?) B0.8)
Теперь применим граничные условия B0.4). Решение Фх зави-
зависит от аргумента /-J—, а решение Ф2 — от аргумента /——.
с с
Первый из этих аргументов и+ —) при /-> — оо, г->со имеет
совершенно неопределенный вид — оо + оо, т. е. равен чему угодно.
По условию B0.4) функция Ф обращается в нуль при t -*— оо,
г ->¦ оо (г в знаменателе B0.6) не имеет значения, как будет видно
в дальнейшем). Поэтому Фх обращается в нуль при каком угодно
значении аргумента, т. е. тождественно. Для функции Ф2 условие
B0.4) означает, что Ф2 (— оо) = 0. Иначе говоря, функция Ф2
обращается в нуль при минус бесконечности, откуда, конечно, не
следует, что она всюду равна нулю. Итак,
с t
Опуская индекс 2, напишем выражение для <р так:
B0.9)
Функция Ф пока не определена. Из вида ее аргумента заключаем,
что она описывает волну, бегущую в направлении возрастающих
значений радиуса (потому что t> 0). Такая волна называется рас-
расходящейся.
Запаздывающий потенциал. Значение функции
Ф при г = 0, t = 0 перемещается в точку г за время t = ~, или,
другими словами, потенциал в точке г и в момент времени t опре-
определяется зарядом не в тот же момент /, а в более ранний момент
I . Член — учитывает запаздывание, происходящее из-за конеч-
с с
ной скорости распространения волны. Конечно, изменение заряда
Ье, находящегося в начале координат, происходит из-за того, что
226

одни заряды приходят в эту точку, а другие уходят из нее, сами
заряды не изменяются. Но наше решение пока учитывает потен-
потенциал только тех зарядов, которые находятся как раз в начале коор-
координат.
Очень близко от начала координат, когда запаздывание стано-
становится очень малой величиной, потенциал должен определяться
мгновенным значением заряда бе (/) (см. начало § 16).
Как было показано в § 16, потенциал точечного заряда равен
^ (см. F.8)), откуда
Ф@ __ be(t) _ р @ dV
г "" г ~ г #
Поэтому
<D(t) = p(t)dVt B0.10)
так что запаздывающий потенциал точечного заряда (pit—-
согласно B0.9) и B0.10) должен быть равен
Если сместить начало координат в произвольную точку, то по-
получится выражение, аналогичное A6.9):
1*-п_г|
dV. B0.12)
Здесь плотность заряда определена в точке г (х, у, г), а потен-
потенциал вычисляется в точке R (X, У, Z). Таким образом, зависимость
плотности заряда от пространственных координат входит в это вы-
выражение двояко: непосредственно, как в статической задаче, через
| о р
аргумент г и через временной аргумент t — , благодаря
с
тому что запаздывание потенциала в точке R, обусловленное раз-
разными зарядами системы, различно. Окончательно, чтобы получить
полное решение уравнения B0.2), надо проинтегрировать B0.12)
по всем элементам объема, т. е. по dV = dxdydz:
dV'
Для точечных зарядов р означает ту специальную функцию,
которая была определена в § 12. Она равна нулю в любой точке,
кроме той, где в данный момент находится заряд.
Уравнение B0.1) имеет совершенно такой же вид, как и B0.2),
и его решение удовлетворяет тем же граничным условиям. Поэтому
векторный потенциал записывается аналогично B0.13);
B0.14)
8* 227

Это решение можно сравнить с A7.10), полученным без учета
запаздывания.
Проверим теперь, что решение системы уравнений B0.1) и B0.2)
удовлетворяет условию Лоренца B0.3). Производная по времени
от скалярного потенциала берется непосредственно, потому что t
входит в интеграл по dV как параметр:
dt J \R-r\dt
Дивергенцию от А надо брать по аргументу /?, стоящему
в подынтегральной функции как параметр, поэтому можно внести
ее под знак интеграла. R входит только в комбинации \ R — г |,
так что V# заменяется на —Vr. Но нельзя непосредственно за-
заменить div/* на —divr, взятую от всего выражения, потому что г
является и пространственным аргументом / Надо произвести сле-
следующую замену:
j J d\vrj
divR ¦ д_г, = — divr |^_Г| + I д—ri*
Дивергенцию от всего выражения (первое слагаемое) можно
преобразовать по теореме Гаусса — Остроградского в интеграл по
поверхности. Выбирая поверхность за пределами системы токов,
видим, что этот интеграл обращается в нуль.
В выражении divrj дифференцирование производится только
по пространственному аргументу. Складывая — ^ и div Л,
имеем:
но подынтегральное выражение равно нулю по закону сохранения
заряда, так что условие Лоренца выполняется.
Запаздывающий потенциал на большом расстоя-
расстоянии от системы зарядов. Найдем вид решения B0.12) и
B0.13) на большом расстоянии от излучающей системы. Заметим, что
подынтегральная функция зависит от аргумента R в обоих интегра-
| D *- j
лах как в знаменателе, так и в числителе через аргумент /— — -.
Функция, стоящая в знаменателе, зависит от аргумента R плавно.
Ее разложение по степеням R дает члены, убывающие в бесконеч-
бесконечности как ^. Они, как будет показано ниже, ничего не вносят
в излучение при п > 1. Поэтому заменим \ R — г Y1 просто на -д-
и вынесем из-под интеграла. Величина \ R — г |, входящая во
временной аргумент числителя, на большом расстоянии от системы
выглядит так:
|Д-г1 = Я-гуД=Д-^ = Я--л», B0.15)
228

где п — единичный вектор в направлении R. Следующие члены раз»
ложения B0.15) содержат R в знаменателе и не существенны. Та-
Таким образом, на большом расстоянии от излучающей системы по-
потенциалы равны:
$( ) B0Л6)
Член — в аргументе подынтегральных выражений B0.16)
и B0.17) показывает, на сколько запаздывает электромагнитная
волна, вышедшая из более отдаленных частей излучающей системы,
по сравнению с волной, излученной более близкими ее частями.
Иначе говоря, член — определяет время, в течение которого электро-
с
магнитная волна проходит через систему зарядов. Если скорость
зарядов равна v, то за это время они сместятся на расстояние v%
с
Запаздывание внутри системы незначительно, когда это расстояние
мало по сравнению с размерами системы г. Следовательно, если
xfllzL ^ tf или, проще v <^ с, то заряды не успеют заметным образом
изменить своих положений за время распространения волны в сис-
системе.
Но для того чтобы в системе действительно ничего не измени-
изменилось, заряды должны в течение этого времени сохранить и свои
скорости, потому что векторный потенциал зависит от токов, т. е.
от скоростей зарядов. Если на противоположных концах системы
заряды колеблются в одинаковой фазе, а за время УЮ. фаза колеба-
колебания успевает измениться как раз на противоположную, то действие
таких зарядов будет взаимно ослабляться за счет запаздывания
внутри системы.
Сформулируем теперь условие того, что запаздывание электро-
магнитной волны в системе не приводит к дополнительному сдвигу
фаз между отдельными излучателями. Пусть заряды колеблются
с частотой со и излучают свет. Длина волны равна: к = —. За
время — фаза колебаний зарядов изменится на со^-. Это изме-
с с
нение в любой точке системы должно быть малым по сравнению
с 2я, откуда следует, что размеры системы должны быть малыми
по сравнению с длиной волны излучаемого света, чтобы запазды-
запаздывание внутри нее не давало сдвига фаз волн от разных излучателей.
Таким образом, член У—^- в аргументе подынтегральной функции
не имеет существенного значения при двух условиях: v <^ с и г <J A,.
Векторный потенциал и поле в дипольном
приближении. Допустим, что оба полученных неравенства
229

выполнены, так что запаздывание внутри системы, т. е. член —,
везде мало. Оказывается, что полностью пренебречь им можно
только в выражении для векторного потенциала Л, а для скаляр-
скалярного приходится идти еще на одно приближение, если пользоваться
решением B0.16). Действительно, полагая в B0.16) — = 0, видим,
что после этого интеграл целиком относится к одному определенному
Г)
моменту времени t , т. е. перестает зависеть от г в аргументе
с
времени. Но тогда получается просто:
е_
где заряд согласно закону сохранения не зависит от времени вообще.
Потенциал приобретает электростатическое значение ~ и не дает
вклада в изучаемый эффект испускания электромагнитных волн.
Вместо того чтобы пользоваться дальнейшими членами разло-
разложения скалярного потенциала по степеням времени запаздывания
внутри системы, можно вообще избавиться от скалярного потен-
потенциала, изменяя калибровку векторного потенциала Л. Действи*
тельно, если скалярный потенциал не зависит от времени, то вместо
условия Лоренца B0.3) надо взять
(НуЛ = 0. B0.18)
Значения составляющих электромагнитного поля от этого не
изменяются.
Так как калибровка решений B0.16) и B0.17) отвечала условию
Лоренца, надо добавить дополнительный член к векторному по-
потенциалу, чтобы выполнить условие B0.18).
Непосредственно из равенства B0.17) следует, что без учета
запаздывания электромагнитной волны внутри системы векторный
потенциал равен:
лег и \
B0.19)
Так как в аргумент времени здесь не входят координаты заря»
дов, заменим j на pv, помня, что теперь р относится к одному мо*
Г)
менту времени t — —. Если заряды точечные, то интеграл от функ~
с
ции р по области, включающей заряд, равен самому значению
заряда. Отсюда приходим к выражению:
, B0.20)
"~ IT У~1
230

R
Здесь индекс t-~~ внизу означает, что суммирование по за-
зарядам надо производить для этого именно момента времени. Учи-
Учитывая теперь, что vl = -~^t получаем:
<20-2')
При выводе было использовано определение дипольного мо-
момента A6.20). Заметим, что в B0.21) входит только производная по
времени d. Поэтому преобразование B0.21), отвечающее постоян-
постоянному сдвигу начала координат, не изменяет d не только для нейт-
нейтральных, но и для заряженных систем. В частности, B0.21) справед-
справедливо и для одиночного заряда.
Приближение B0.21), в котором А выражается через производ-
производную от дипольного момента системы как целого, называется диполь-
ным.
В § 18 была выбрана такая калибровка потенциалов бегущих
плоских волн, что скалярный потенциал обращался в нуль. Сделаем
такую же калибровку и для расходящихся сферических волн, т. е.
поступим в соответствии с условием B0.18).
Калибруя потенциал, не следует дифференцировать его по R,
входящему в знаменатель: каждое такое дифференцирование увели-
увеличивает на единицу степень R (ведь потенциал определяется на
большом расстоянии от излучающей системы). Достаточно каждый
раз брать производную по R, который задает запаздывание, входя
в аргумент времени. Только члены, обратно пропорциональные Rf
дают вклад в излучаемую энергию (см. ниже). Единичный вектор
л = ?, который будет возникать при дифференцировании, вторично
дифференцировать в искомом приближении не надо, так как при этом
тоже появляются лишние степени R в знаменателе.
Подставим выражение B0.21) в условие B0.18). Пользуясь
формулой A1.37) для дивергенции вектора, зависящего только
от абсолютной величины радиус-вектора, получим:
<--
и
A и _f
Re Re*'
Это подсказывает, что калибрующую функцию / надо взять
такой:
/ = ?• B0-22>
Тогда, прибавляя к векторному потенциалу V/, приведем его
к следующему виду:
A__d n(nd) _ [n[nd]] /оП91'\
231

Здесь векторный потенциал обозначен тем же символом А, что
и до калибровки.
Возможна и другая операция: вместо изменения векторного
потенциала на V/ можно найти скалярный потенциал в следующем
приближении, тогда вместо й\\А = 0 будет выполняться равно-
равнозначное условие Лоренца:
Вычислим теперь электромагнитные поля. При этом надо, как
указывалось, дифференцировать только по аргументу t . При
вычислении магнитного поля воспользуемся A1.38) и тем, что
rot grad / = 0. Тогда получим:
Электрическое поле равно:
с dt
.Li?
с di
Re
ln[nd]]
Re2
B0.23)
= [#/*]. B0.24)
Из этих формул видно, что электрическое поле, магнитное поле
и вектор п взаимно перпендикулярны. Кроме того, \Н | = | Е |,
потому что | Е |2 - | [Нп] |2 = | Н |2 — (НпJ, аЯя=0. Следо-
Следовательно, волна в точке R на большом расстоянии от излучающей
системы подобна плоской электромагнитной волне. Это и должно
было получиться, потому что поле вычисляется далеко от зарядов,
где фронт волны почти плоский, и решение переходит в то, которое
было получено в § 18.
На рисунке 28 представлена общая картина поля. Вектор d
поместим в центре сферы большого радиуса R так, чтобы d совпал
с полярной осью, или, образно выражаясь, был направлен на «се-
«северный полюс». Через точку, где строятся векторы поля, проведем
«меридиан» и «параллель». Тогда электрическое поле касательно
к «меридиану» и направлено «на юг», а магнитное поле касательно
к «параллели» и направлено «на вос-
восток».
Из формул B0.23) и B0.24) видно,
что поле обращается в нуль на «полю-
«полюсах» и максимально на «экваторе», т. е.
в плоскости, проходящей через излуча-
излучатель перпендикулярно d. Распределение
поля в пространстве не обладает, таким
образом, сферической симметрией. Так
как поле поперечное, перпендикулярное
радиусу в каждой точке, оно не может
быть сферически симметричным по чисто
Рис. 23 геометрическим причинам. Зона на боль-
232

шом расстоянии от излучателя, где поле определяется формулами
B0.23) и B0.24), называется волновой зоной.
Интенсивность дипольного излучения.
Найдем энергию, теряемую системой зарядов на излучение. Для
этого надо вычислить поток энергии, проходящий через бесконечно
удаленную от излучателя сферу.
Как было показано в § 15 (см. A5.26)), плотность потока энер-
энергии, или вектор Пойнтинга, есть ~ [?//]. Отсюда находим, что энер-
энергия излучения, проходящая через единицу поверхности на расстоя-
расстоянии R от излучателя в направлении п в единицу времени, равна:
Г ?7ИЛ Г Г ?-?¦&> 1 ?тГ1 —— #t ! f~t 12 /ол ос\
Поток энергии направлен по радиусу от излучателя, как и долж-
должно быть в волновой зоне, где волна близка к плоской. Полная энер-
энергия, проходящая через всю сферу радиуса R за единицу времени,
равна:
^ ^ JL С [EH] ds = ^ i | Н|2 (nds) = ¦— ? | Я]2 ds, B0.26)
потому что вектор п направлен по ds. Далее элемент поверхности
ds = R22nsin^ d#, где Ф — полярный угол. Согласно B0.23)
f|2sin2#. B0.27)
Подставляя B0.27) в B0.26), сокращая на R2 и интегрируя,
получим выражение для энергии, излучаемой в единицу времени:
АР 9 | Й I2
dt 3 с3 \ • /
Заметим, что все члены в выражении для полей, содержащие
в знаменателе степени R выше первой, ничего не прибавили бы к
излучению энергии при достаточно большом R. Поэтому и были
оставлены только члены с первой степенью R в знаменателе. Но
если поставить задачу о вычислении не потока энергии, а потока
момента, надо искать поле на больших расстояниях с большей
точностью. В волновой зоне поток момента равен нулю, как можно
убедиться из формул § 15.
Формула B0.28) содержит результат фундаментальной важности:
при всяком ускорении заряд излучает энергию. Действительно,
й= 2] ?;/•'. Следовательно, чтобы & было отлично от нуля, необ-
i
ходимо ускоренное движение зарядов при любых знаках ускорений.
Если применить этот результат к атому водорода, возникает
разительное противоречие с опытом. Электрон, двигаясь финитно
по любой орбите, непременно должен отдавать свою энергию элект-
233

ромагнитному полю и в конце концов упасть на ядро. На самом
деле ничего подобного не происходит: атом устойчив.
В этом факте обнаруживается, что ньютоновская механика
совершенно неприменима к движению электрона в атоме. В третьей
части книги мы разъясним устойчивость атома, пользуясь кванто-
квантовой механикой, где само понятие движения качественно отличается
от классического, т. е. ньютоновского.
Радиационное трение. Итак, мы видели, что эаряд,
движущийся ускоренно, непрерывно излучает энергию, передавая
ее электромагнитному полю. Покажем теперь, что при финитном
движении заряда потери его энергии на излучение сводятся к дей-
действию некоторой эффективной силы «трения» F. Эту силу определим
следующим равенством:
^ = — Гг, B0.29)
так как произведение силы на скорость есть работа в единицу вре*
мени. Формулу B0.28) можно преобразовать так:
dt ~~ 3 с3 i ' ~~ 3 с3 dt 3 с3
Усредним полученное соотношение по времени, учитывая, что
при финитном движении среднее значение от полной производной
равно нулю (см. § 17). Тогда из сравнения B0.29) находим, что тор-
тормозящая сила равна:
/Г==14"';' B0-3°)
Сила пропорциональна третьей производной радиус-вектора
заряда или второй производной от его скорости.
Путем несколько более сложных вычислений удается показать,
что применимость формулы B0.30) не ограничена финитным движе-
движением заряда. Полученное выражение есть не только средняя, но
и мгновенная величина силы радиационного «трения», или радиа-
радиационного торможения.
При выводе формулы B0.28) мы пренебрегли запаздыванием
электромагнитных волн внутри системы, так что это выражение
в известном смысле приближенное. Но если говорить о точечном
заряде, то учет лишней степени гп под интегралом в формуле B0.17)
в пределе дает нулевой вклад, так как для точечного заряда г стре-
стремится к нулю. По этой причине формулы B0.28) и B0.30) строго
применимы к точечному заряду.
Найдем вид формул B0.28) и B0.30) для случая быстро движу-
движущихся зарядов. Для этого надо получить релятивистски инвариант-
инвариантные формулы, которые в пределе малых скоростей переходят в B0.28)
и B0.30). Перепишем первую из них так:
w *du
234

Здесь / — время в собственной системе отсчета заряда. При пере-
переходе к произвольной системе отсчета его, как известно из § 13, надо
выразить через инвариантную величину интервала ds:
dt=v-
Далее в четырехмерных обозначениях — dE — icdp^ —dt = i —.
лг (d2r\* dui йщ dxi
Кроме того, 1^2") =~^F '~ds> где Ui = ~df* т# е# четыРехмеРная
скорость. Следовательно, переходя к произвольной системе от-
отсчета, надо вместо четвертых составляющих векторов р4 и х4
написать равенства для всех составляющих. Это дает:
, 2 е2 duk dukd 2__^(duk\2 d Г20 3П
^-? ds UXl~ 3 с [ds j UlUS' ^U.ol)
Теперь можно найти четырехмерное выражение силы Ft. Нач-
Начнем с определения четырехмерного вектора силы:
rm^- = Fi. B0.32)
В случае силы Лоренца Fi = — Fikuk. Умножим обе части ра-
с
венства B0.32) на ut. Тогда слева получаем:
dui 1 d о
UU!
но и\ = —1, так что Ui-~-=0. Отсюда находим условие, кото-
которому должна тождественно удовлетворять всякая четырехмерная
сила Fii
FiUi = 0. B0.33)
Кроме того, надо потребовать, чтобы в пределе малых скоростей
Fi переходила в трехмерное нерелятивистское выражение B0.31).
Вторая производная по времени, как только что было показано,
выражается через вторую производную по интервалу. Пользуясь
d2U;
четырехмерными векторами -—¦ и и^ можно построить единствен-
единственное выражение, которое удовлетворяет обоим поставленным тре*
бованиям:
п 2е2
F
Действительно, если умножить его на щ9 получим:
в согласии с B0.33). Далее, в нерелятивистском приближении
ия = 0, и4 = /, так что -^ = 0. Следовательно, в таком приближении
235

B0.34) имеет только первое слагаемое в скобках справа, которое
переходит в B0.31) для трех пространственных составляющих.
Итак, формулы B0.28) и B0.30) вместе с их релятивистскими
обобщениями должны быть применимы без ограничений для произ-
произвольно движущихся зарядов.
Но выражение для F допускает возможность ускоренного дви-
движения заряда без всякого внешнего поля! Действительно, считая F
единственной силой, действующей на заряд, можно записать урав-
уравнение:
которое имеет решение:
Ътс%
отвечающее самоускоренному движению заряда.
Таким образом, электродинамика точечных зарядов внутренне
противоречива.
Если считать заряд протяженным, то возникают еще большие
трудности. Необходимо допустить, что существуют какие-то силы
неэлектрической природы, сдерживающие заряд в конечном объеме
и не дающие ему разлететься под действием кулоновского отталки-
отталкивания. Но такие силы никогда не наблюдаются. Кроме того, допу-
допустив существование неэлектрической силы, действующей на заряды,
мы вынуждены признать электродинамику принципиально незамк-
незамкнутой теорией, не способной решать вопросы, находящиеся в об-
области ее применения.
На самом деле ситуация более благоприятна. Полученное аб-
абсурдное решение отвечает самоускорению заряда за промежуток
времени порядка 10~23 сек.
Явления, протекающие в столь малые времена, относятся к об-
области, где надо применять не классическую, а квантовую теорию.
Это будет показано в ч. III. По причинам, связанным с квантовой
теорией, классическая электродинамика применима к явлениям,
протекающим не менее чем за 10~21 сек. Это означает следующее.
Если рассматривается процесс, происходящий, скажем, за 10~19 сек,
то ошибка от применения неквантовой теории в худшем случае имеет
порядок 10, а ошибка, связанная с противоречием самой теории, —•
порядок 10~4. Во всех случаях эта «внутренняя неточность» в сто
раз меньше. Поэтому не имеет смысла стараться изменить теорию
так, чтобы исчезли малые ошибки и остались большие.
Квантовая теория тоже приводит к некоторым затруднениям,
но их удаетсй устранить без введения каких-либо взаимодействий
неэлектромагнитной природы.
Магнитное дипольное и квадрупольное из-
излучения. Мы указывали, что ускоренное движение зарядов
необходимо для того, чтобы они могли излучать. Но это условие
только необходимое, а не достаточное. Можно привести простой
236

пример, когда формула B0.28) дает нуль и для ускоренно движу-
движущихся зарядов. Пусть система состоит из двух одинаковых заряжен-
заряженных частиц, которые сталкиваются. По третьему закону Ньютона
ускорения одинаковых частиц равны и противоположны по знаку,
2
так что d= 2 er* ~e (ri + ^2) = 0. Третий закон Ньютона в данном
/1
случае применим, потому что в дипольном приближении запазды-
запаздывание электромагнитных взаимодействий внутри системы считается
пренебрежимо малым, а следовательно, силы взаимодействия
между зарядами рассматриваются как мгновенные. Тогда нет на-
надобности учитывать импульс, переданный полю, так что сохраняется
суммарный импульс обеих частиц. Отсюда получается, что
Для этого случая формула B0.19) дает нулевой результат, так
как оказывается, что волны, испускаемые каждым зарядом в отдель-
отдельности, взаимно погашаются. Необходимо обратиться к более высо-
высокому приближению.
Если в разложении векторного потенциала B0.17) по степеням
(т) учесть еще один член, кроме нулевого, то получится выражение,
описывающее излучение, которое зависит от изменения квадруполь-
ного и магнитного моментов системы. Но это разложение делается
не по обратным степеням R, как в электростатике и магнитостатике,
а по степеням запаздывания внутри системы. Все поправки к полю
излучения, которые мы теперь будем искать, обратно пропорцио-
нальны первой степени R.
Напишем соответствующий член разложения векторного потен*
циала:
±\% ±^\{rn)dV. B0.35)
Производная по времени, как по независимой переменной, вы-
вынесена из-под знака интеграла. Интеграл преобразуем следующим
образом:
B0.36)
Здесь первый интеграл равен:
{ \ [п [rj]] dV = i- \ р [п [rv]] dV = с [щх],
т. е. он выражается через магнитный момент системы (см. 17.19)).
Из второго интеграла вычтем выражение ~ \ (rj) dV. Оно соот-
соответствует вектору, направленному по пу т. е. по направлению рас-
распространения волны в данной точке. Согласно общей теории такое
237

слагаемое вектор-потенциала не влияет на поле. После этого вто-
второй член равен:
у J p{(m) v+(vn) r-^n (rv)}adV =
~ т 2 ** К(лг<)+г« ^ - т"«^'>} • B0-37)
То, что получилось, есть производная по времени от квадруполь-
ного момента, умноженного на вектор п (см. A6.18)). Если опреде-
определить вектор п „ /9п ir\
г Ца = Яа$Щ, BU.J5)
то выражение B0.37) представится как
у \ Р{{rn) v + (vn) r-\n (rv)}adV = ^t Qa. B0.39)
Собрав теперь полученные выражения, найдем искомый член
векторного потенциала, описывающий запаздывание электромаг-
электромагнитной волны внутри системы излучающих зарядов:
В него входит первая производная магнитного момента системы
и вторая производная электрического квадрупольного момента.
Соотношение B0.40) надо, строго говоря, еще перекалибровать
в соответствии с условием B0.18). Но этого можно и не делать, если
учесть, что выражение магнитного поля от этого не изменится,
а электрическое поле равно [Нп\ согласно B0.24), как во всякой
плоской или почти плоской волне.
Уже указывалось, что запаздывание внутри системы мало,
когда — <J 1 и -л- <^ 1. Отношение — входит в магнитный момент
С hi С
системы. Поэтому те члены в разложении по степеням запазды-
запаздывания, которые пропорциональны —, дают магнитное дипольное
излучение. Квадрупольный момент системы содержит лишнюю
степень г по сравнению с дипольным, поэтому квадрупольное
излучение связано с членами разложения, пропорциональными -«-»
Поле магнитного дипольного излучателя подобно полю излучаю-
излучающего электрического диполя. В отличие от поля, представленного
на рисунке 28, магнитное поле, излучаемое магнитным диполем, ле-
лежит в одной плоскости с jli, т. е. направлено по «меридиану», а элект-
электрическое поле — по «параллели». Формула для излучаемой в этом
случае энергии вполне подобна B0.28), но вместо | d [2 в нее входит
| \х |2. Так как магнитный момент пропорционален ~, излучаемая
энергия уменьшается в (— J раз по сравнению с электродипольным
излучением,
23В

Поле излучающего квадруполя имеет более сложную конфигу-»
рацию. Выражение для излучаемой энергии содержит квадрат
третьей производной квадрупольного момента системы. По по*
рядку величины квадрупольный излучатель испускает в (-—) раз
меньше энергии в единицу времени, чем дипольный.
Электрическое и магнитное поля произвольной излучающей
системы, вычисленные с точностью до первой степени величины за-
запаздывания -—-, состоят из трех слагаемых: электродипольного,
магнитодипольного и электроквадрупольного. Соответственно век-»
тор Пойнтинга содержит смешанные члены, т. е. произведения полей,
отвечающих излучателям разных типов. Но полная излучаемая
энергия в единицу времени слагается из трех членов, обязанных
каждому типу излучения в отдельности. В этом легко убедиться
следующим образом.
Искомая величина испускаемой энергии есть скаляр. Смешанные
члены от излучения разных типов должны были бы содержать ска-
скалярные комбинации соответствующих моментов, линейные по каж-
каждому из них. Так как по всем направлениям, т. е. по вектору ni
производится интегрирование, результат может зависеть только
от произведения двух моментов. Но ни одно из них не настоящий
скаляр. Действительно, произведение (rfn) получается из вектора
и псевдовектора d и ju, (см. § 15), т. е. это псевдоскаляр, который не
может равняться скалярной величине излучаемой энергии. Далее,
da и \ia имеют по одному тензорному значку, а квадрупольный момент
<7сф — Два тензорных значка. Следовательно, из qa$ и da или \ха
нельзя построить скаляр, линейный по qa$ и da или по'^з и }ха.
Остается сумма трех членов, из которых каждый зависит от
квадрата входящей в него величины dada, [^а или qa$qa$- Так как
поле излучающего магнитного диполя подобно полю излучающего
электрического диполя, полная энергия, излучаемая за единицу
времени магнитным диполем, выражается формулой, аналогичной
B0.28):
^"AlAI". B0.41)
cit ос -
Сложнее вычислить излучение электрического квадруполЯ|
Его магнитное поле равно*
Hq-jfc[nQ\. B0.42)
Так как электрическое поле в волновой зоне связано с магнитным
соотношением Е= [Нп]> можно записать аналогично B0.26I
dEq 1
239

Пользуясь B0.38), находим отсюда:
Интегралы по углам вычисляются следующим способом. Интег-
Интеграл от произведения двух компонент па и п^ отличен от нуля только
в том случае, когда a = \i. Следовательно, искомый интеграл
должен быть равен:
Чтобы определить число а, просуммируем по а. Так как папа = 1,
5<ха = 3, получаем: а = 4я/3.
Интеграл от произведения четырех компонент па, п$у п^, nY
может отличаться от нуля лишь тогда, когда значки компонент
попарно равны одним из трех способов: а = р, \i = v; a = }х, р = v;
a == v, p = [х. Следовательно,
Чтобы найти число 6, просуммируем снова по а. Тогда получим
слева \ftjjftvdQ, а справа 5б^&, так что b = 4л;/15. Окончательно
находим, что
-зг = 5*шч**ч'*»- B0*44>
Выше было сказано, что при соударении двух одинаковых за-
зарядов не может быть электродипольного излучения. Так как при
столкновении сохраняется механический момент УИ, то сохраняется
и пропорциональный ему магнитный момент и [х = 0. Следовательно,
остается только электрическое квадрупольное излучение.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Вычислить, за какое время заряд, обращающийся по круговой траекто-
траектории вокруг притягивающего центра, вследствие излучения электромагнитных
волн упадет на этот центр.
2) Частица с зарядом е и массой т пролетает со скоростью с/ на расстоянии р
от неподвижной заряженной частицы с зарядом Ze. Пренебрегая искривлением
траектории налетающей частицы, вычислить теряемую ею на излучение энергию.
Решение.
оо оэ
- |2Л/_А1!^ f dt П ZV
3 ш2с^
3) На свободный электрон падает плоская световая волна, которая приводит
его в колебательное движение. Электрон начинает излучать вторичные волны,
т. е. рассеивает излучение. Найти эффективный поперечник рассеяния, опреде-
определяемый как отношение рассеиваемой энергии в единицу времени к плотности
потока энергии падающего излучения.
еЕ
Решение. Исходим из того, что г = -—.Отсюда видно, что, если рас-
рассеянный свет распространяется перпендикулярно падающему лучу, рассеянное
240

излучение вызывает только составляющая Е в третьем перпендикулярном напра-
направлении. Рассеянный свет оказывается плоскополяризованным. По другим напра-
направлениям свет поляризован частично.
dE с I E I2
Зная г определим -т? по B0.28). Деля на поток энергии ~—-, получим:
4) Найти движение и излучение заряда, упруго связанного с некоторой
точкой в пространстве, так что частота его свободных колебаний соо. При. этой
заряд помещен в магнитное поле
HZ = \H\, Нх = 0, Ну=0.
Решение. Колебания заряда подчиняются уравнениям:
— — ты^у | Я
Третье уравнение не зависит от первых двух и от магнитного поля. Первые
два уравнения легко решаются, если положить х = ael(ot9 у = ЬетК Тогда
а (©» _ со2) — ко ii^J Ь = 0,
^ (cog - со2) + to ^-L^i a -= 0.
Умножим теперь второе уравнение на i и один раз вычтем из первого, другой
раз сложим с ним. Тогда комбинации а± ib удовлетворяют уравнениям:.
(а ± ib) (©5 — со2) Т (а ± fft) 11^1
0.
Сокращая на (а± ib), приходим к уравнениям для частот:
о о е I Н | со .
со2 — cog it ~—^- = 0.
0 тс
Считая —-—I малой величиной по сравнению с со0, заменяем со на соо
в члене -J—'— и представляем разность 0^ — со2 как (соо + со) (со0 —со), что
приближенно равно 2соо (со0 —со). Тогда получаются выражения для частот обоих
колебаний:
Они отличаются от несмещенной частоты соо как раз на -~—-у т. е. на
ларморовскую частоту.
Из уравнений для а и b после подстановки в них со = соо + -4—* имеем
2тс
с той же степенью приближения:
а=± ib.
Если представить координаты в действительной форме, получим для обоих
колебаний: х = a cos (co0 Ч1®^ t, y^ a sin (co0±: coL) t>
241

Следовательно, радиус-вектор нормального колебания с частотой щ + -^—I
вращается по часовой стрелке, а радиус-вектор колебания с частотой (оо—•
^—' — против часовой стрелки. Таким образом, в согласии с теоремой
Лармора частота ^—' один раз складывается с частотой соо, а Другой раз вычи*
тается из нее, смотря по тому, в какую сторону вращается заряд.
Рассмотрим излучение такого заряда в магнитном поле. Электрический век-
вектор излученной электромагнитной волны лежит в одной плоскости с вектором
смещения заряда (см. рис. 28). Если наблюдается излучение, обязанное z-co-
ставляющей дипольного момента, то вектор его поляризации направлен по
оси z, а поле пропорционально г. Следовательно, такое излучение плоскополя-
ризовано и имеет частоту соо. Заряд, колебание которого происходит вдоль маг-
магнитного поля с несмещенной частотой ш0, излучает электромагнитные волны,
поляризованные в одной плоскости с магнитным полем. В направлении магнит-
магнитного поля так колеблющийся заряд не излучает вообще.
Колебания с частотами соо ± -~—¦ обусловливают излучение волны с кру-
круговой поляризацией, причем направление распространения волны должно совпа-
совпадать с направлением магнитного поля. Вектор электрического поля в таких вол-
волнах вращается в ту же сторону, что и радиус-вектор заряда.
Если излучатель находится в поле электромагнита, то можно наблюдать его
излучение в направлении, перпендикулярном полю, а если просверлить отвер-
отверстие в башмаке электромагнита — параллельном полю. В первом случае наблю-
наблюдатель регистрирует колебания по оси z и одну проекцию каждого колебания
с правой и левой поляризацией. Поэтому оба поляризованных по кругу колебания
излучают в этом направлении плоскополяризованные еолны с частотами
е I H
ю0 ± -~—. Происходит расщепление несмещенной частоты в спектре на три
частоты.
Две частоты в спектре проявляются при наблюдении вдоль поля, здесь оба
колебания поляризованы по кругу. При наблюдении не под прямым углом к полю
эти колебания поляризованы эллиптически, и, кроме того, остается несмещен-
несмещенная частота.
Изложенные здесь вычисления составляют классическую теорию эффекта
Зеемана. На самом деле при не очень сильных магнитных полях наблюдается
совсем иная картина расщепления спектральных частот, правильно описываемая
только квантовой теорией.
Наблюдая эффект Зеемана у небесных объектов, можно судить о величине
и направлении действующего вблизи них магнитного ноля.
5) Найти энергию излучения, теряемую в единицу времени зарядом, вра-
вращающимся во внешнем постоянном и однородном магнитном поле со скоростью^
близкой к скорости света.
Решение. Применяем формулу B0.31). Величину --— надо взять из
Учитывая, что отлична от нуля только одна составляющая магнитного поля^
например Hz = Fn = — -F2i> получаем:
/d2xk \2 _ е2 1 Я I2 ^&\Н I2 ^2 / ^Ла _ в2 1 ЯI2 и2?2
Отсюда потеря энергии в единицу времени равна:
dE =2 e*\H\2 v*E*
dt 3 ffflfi t
242

6) Построить поле излучающего квадруполя в волновой зоне.
Решение. Пусть ось z направлена по третьей главной оси тензора q^*.
Вместо </ар будем писать просто Da^. Тогда составляющие вектора Qa, определен-
определенного формулой B0.38), запишутся так:
'Qx = nxDi> 'Qy = nyDit q; = - nz (D1 + D2).
Проекции магнитного поля в декартовых составляющих равны:
Иу = [п Q ]у = nxnz BDX + D2),
От декартовых составляющих надо перейти к составляющим по гА # и ф^
пользуясь таблицей косинусов, которую легко построить:
Г <& ф
х sin Ф cos ф cos ф cos ф *— sin ф
у sin О sin ф cos ф sin ф cos ф
г cos Ф — sin -О1 0
% = sin О cos ф, пу = sin О sin ф, л^ = cos Ф.
Отсюда
Яг = Я^п,. + Нупу + Нгпг = - пхпуп2 (Dt + 2D2) + nxnynz BDt + D^ +
+ nxnynz (D2 — Dx) = 0,
как и должно быть в волновой зоне.
Для других двух составляющих магнитного поля имеем:
#Ф = Нх cos Ф cos ф + Ну cos Ь sin ф — Hz sin d = (D2 — Dx) sin О sin ф cos ф,
Яф = —- Я^ sin q + Hy cos ф = [Di + Da+Di cos2 ф + ?2 sin2 ф] sin -d cos #.
У одноосного квадруполя при Dz = Dx получается Я^ = 0, как и должно
те
быть по соображениям симметрии. Я^ = 0 при Ф = 0, ф = -у, т. е. на двух пер-
перпендикулярных меридианах, Яф = 0 на полюсах и на экваторе.

ЧАСТЬ III
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 21. НЕДОСТАТОЧНОСТЬ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
АНАЛОГИЯ МЕЖДУ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКОЙ
Неустойчивость атома по классическим
представлениям. Опытами Резерфорда было установлено,
что атом состоит из легких отрицательных электронов и тяжелого
положительного ядра, весьма небольшого по сравнению с разме-
размерами самого атома. Для того чтобы такая система была устойчивой,
электроны с необходимостью должны обращаться вокруг ядра,
наподобие того как планеты обращаются вокруг Солнца: покоя-
покоящиеся разноименные заряды немедленно притянутся друг к другу.
Но указанное условие устойчивости совершенно недостаточно.
Прежде всего атомы постоянно сталкиваются между собой, если
речь идет о газе, а в конденсированных телах (жидкостях или крис-
кристаллах) находятся в постоянном тесном контакте. Трудно предста-
представить себе, как при таких условиях атомы каждого элемента сохра-
сохраняют свою тождественность. Если бы, например, солнечная система
столкнулась с системой другой звезды, то после столкновения в обеих
системах все выглядело бы совершенно иначе, чем до него.
Кроме того, как указывалось в предыдущем параграфе, движение
электрона в атоме неминуемо повело бы к испусканию электромаг-
электромагнитных воли. Теряя энергию на излучение, атомный электрон дол-
должен был бы упасть на ядро. Зто находится в разительном противо-
противоречии с очевидным фактом устойчивости атомов.
Теория Б о р а. В 1913 г. Н. Бор предложил некоторый
компромиссный выход из положения. Согласно Бору, в атоме суще-
существуют определенные устойчивые орбиты, двигаясь по которым элект-
электрон не испускает электромагнитных волн. При переходе с орбиты,
соответствующей большей энергии, на орбиту с меньшей энергией
электрон излучает; частота излучения связана с разностью энер-
энергий электрона на обеих орбитах соотношением:
/ко = Е± — ?2,
где h — универсальная постоянная, равная 1,054«Ю*27 эрг*сек.
Оба положения Бора носили характер постулатов. Но с их по-
помощью можно было в прекрасном согласии с опытом объяснить наб-
наблюдаемый спектр водородного атома, а также спектры ряда атомов
и ионов, своим строением напоминающих атом водорода (например,
положительного иона гелия, состоящего из ядра и одного электрона).
244

Несмотря на то что оба квантовых постулата Бора были совершенно
чужеродны классической физике и необъяснимы с ее позиций, та-
такая внутренне противоречивая теория чрезвычайно продвинула
вперед науку об атоме.
Первый постулат утверждает, что устойчивы отнюдь не любые
мыслимые, а только некоторые состояния атома. Это утверждение,
как мы теперь знаем, отвечает существу дела и выводится из кван-
квантовой механики столь же непосредственно, как эллиптические ор-
орбиты планет из механики Ньютона.
Теория Бора имела блестящий успех при объяснении спектров
водорода и подобных ему атомных систем. Но уже атом гелия,
имеющий два электрона, не поддавался последовательному расчету
по теории Бора. Еще менее эта теория была способна объяснить
устойчивость водородной молекулы. Поэтому положение в физике,
несмотря на ряд прекрасных результатов теории Бора, было со-
совершенно неудовлетворительным. Помимо упомянутых здесь част-
частных трудностей, теория Бора в целом была эклектической, так как
непоследовательно объединяла классические и квантовые пред-
представления.
Световые кванты. Кроме вопроса об устойчивости
атома, в очень многих случаях была видна недостаточность класси-
классической физики для понимания опытных фактов. Еще в 1900 г.
М. Планк показал, что состояние теплового равновесия между по-
полем и материей невозможно удовлетворительно описать, опираясь
на классические законы излучения, согласно которым оно проис-
происходит непрерывным образом. Наоборот, Планку пришлось допус-
допустить, что излучатели передают энергию электромагнитному полю
отдельными порциями, или квантами. Каждый квант обладает
энергией, пропорциональной его частоте, причем коэффициент
пропорциональности и есть упомянутая уже постоянная h. Пред-
Предположением Планка как раз и воспользовался Бор в своем втором
постулате.
Гипотеза о световых квантах оказалась весьма плодотворной
при объяснении целого круга явлений. Очень важным было кван-
квантовое объяснение внешнего фотоэффекта, предложенное Эйнштей-
Эйнштейном. При освещении поверхности металла, граничащей с вакуумом,
из металла вылетают электроны. Оказывается, что энергия каж-
каждого отдельного электрона совершенно не зависит от общей энергии
падающего излучения, а зависит только от его частоты. Энергия
вылетающего электрона представляется как разность двух вели-
величин: кванта энергии /ко и работы вырывания электрона из ме-
металла.
Развивая идеи Планка, Эйнштейн предположил, что электро-
электромагнитное излучение не только испускается и поглощается, но и
распространяется в виде отдельных квантов.
Так как энергия кванта равна /ко, а скорость его равна с, он
Должен обладать импульсом — (см. § 14, 18). Следовательно, квант
с
245

является частицей с нулевой массой, возможность существований
которой следует из релятивистской механики.
Импульс квантов был обнаружен в эффекте Комптона. Рассея-
Рассеяние электромагнитных волн на свободных электронах, если рас-
рассматривать его по классической теории, должно выглядеть так:
падающая волна приводит электрон в колебательное движение,
отчего он сам становится излучателем (см. упр. 3 к § 20). Но
тогда частота рассеянного электроном излучения непременно дол-
должна совпадать с частотой падающих на него электромагнитных
волн.
Для того чтобы электрон, находящийся в веществе, можно было
рассматривать как свободный, частота падающего излучения долж-
должна быть очень велика по сравнению с собственными частотами его
движения. Поэтому следует наблюдать рассеяние коротковолнового
(рентгеновского) излучения. Тогда собственные частоты колебаний
электронов в веществе, лежащие в оптической области, не смогут
заметно сместить частоту рассеянного света — по крайней мере
это должно ожидаться по классической теории.
Рассуждая в соответствии с принципами классической механики,
можно предположить, что относительное изменение частоты рент-
рентгеновых лучей при рассеянии на атомных электронах вещества тем
меньше, чем больше частота колебаний, т. е. чем меньше длина
волны. При данной длине волны рассеяние на любой угол не должно
приводить к изменению частоты излучения, так как рассеянное из-
излучение испускается одним и тем же колеблющимся зарядом в такт
с колебаниями электромагнитного поля падающей волны.
Опыты Комптона A923) показали совершенно иное. Чем более
жесткое (т. е. коротковолновое) излучение падало на вещество,
тем сильнее уменьшалась частота рассеянного излучения по срав-
сравнению с падающим (при данном угле рассеяния). При определенной
частоте падающего излучения частота рассеянного излучения ока-
оказывалась тем меньше, чем больше был угол рассеяния. Экран,
через который свободно проходили падающие рентгеновы лучи,
почти полностью задерживал лучи, рассеянные под достаточно
большим углом.
По классической теории эти результаты необъяснимы, но зато
совершенно непринужденно объясняются в свете квантовых пред-
представлений. Рассеяние рентгеновых лучей на свободном электроне
следует рассматривать как столкновение двух частиц. Одну из них—•
электрон — надо считать покоящейся до столкновения, а другую —
световой квант — как обычную материальную частицу, обладаю-
обладающую энергией и импульсом. Особые свойства кванта учитываются
только тем, что у него импульс равен энергии, деленной на с.
Законы сохранения энергии и импульса применимы к столкно-
столкновению с квантом совершенно таким же образом, как и к столкнове-
столкновению всяких частиц (см. § 6). Так как сталкиваясь с электроном,
квант передает ему некоторый импульс, его собственный импульс
уменьшается, а следовательно, уменьшается и его энергия. Из-за
246

этого частота рассеянного излучения меньше частоты падающего
излучения.
Как во всякой задаче о рассеянии частиц, достаточно задать од-
одну величину, чтобы определились все остальные. Обычно задается
угол отклонения первоначально падающей частицы. Мы рассмот-
рассмотрели подобную задачу в упражнении 2 к § 14. Пользуясь резуль-
результатом этой задачи и тем, что энергия падающего кванта Ео = /icoo,
энергия рассеянного кванта Е = ft со и начальная энергия электрона
равна тс2, получаем:
Таким образом, определяется зависимость частоты рассеянного
излучения от угла рассения 8. Она полностью согласуется с опы-
опытом.
Представление о свете как о потоке частиц не было новым для
физики. Но к моменту появления гипотезы о световых квантах вол-
волновая теория света была общепризнанной, а корпускулярная («кор-
(«корпускула» — частица) казалась оставленной навсегда. Такие яв-
явления, как дифракция и интерференция света, в классической тео-
теории могут быть истолкованы только на основе волновой картины
и абсолютно противоречат корпускулярной. Зато фотоэффект и
комптон-эффект столь же безнадежно не согласуются с классиче-
классической волновой теорией.
Таким образом, в начале двадцатых годов нашего столетия физи-
физическая наука оказалась в необычном положении: она вынуждена
была пользоваться двумя, казалось бы, в корне противоречащими
теориями для объяснения разных явлений, относящихся к одной
и той же сущности — электромагнитному полю.
Выход из создавшегося положения был найден в последова-
последовательной квантовой теории, где всякое движение обладает некото-
некоторыми волновыми свойствами.
Оказалось, что классическая механика Ньютона ограничивает
круг своих применений макроскопическими телами и очень часто
теряет силу в применении к микроскопическим объектам, в част-
частности совершенно неприменима к описанию движения атомных
электронов или световых квантов. Квантовая механика заключает
в себе точный критерий применимости классических представлений.
Прежде чем перейти к изложению квантовой механики, надо
объяснить, каким образом один и тот же объект в принципе может
проявлять то корпускулярные, то волновые свойства.
Соответствие между геометрической оп-
оптикой и классической механикой. Корпускуляр-
Корпускулярная теория света возникла, возможно, на основе того, что световые
лучи в однородной среде распространяются прямолинейно наподобие
частиц, не подверженных действию силы. Но в бесконечной одно-
Родной среде столь же прямолинейно распространяются и плоские
247

электромагнитные волны: нормаль к фронту волны сохраняет неиз-
неизменное направление. В этом случае между корпускулярной и вол-
волновой картинами имеется взаимная сопоставимость. Различие между
ними проявляется в том случае, когда волны распространяются
в как-либо ограниченном пространстве. Однозначное соответствие
между фронтом волны и направлением волновой нормали нару-
нарушается соотношениями A9.10). Если для идеально плоской волны
в каждой точке пространства строилась только одна определенная
прямая волновой нормали, которую можно было сопоставить с трае-
траекторией корпускулы, то в случае «размытого» волнового фронта
имеется целый конус направлений в данной точке и нет физиче-
физического способа указания «истинной» траектории корпускулы. Все
направления в конусе одинаково пригодны, но это значит, что
в строгом смысле непригодно ни одно из них.
Построением световых лучей пользуется геометрическая оп-
оптика. Но мы видим, что это построение неоднозначно тем в большей
степени, чем менее точно может быть определено направление вол-
волновой нормали. А последнее зависит от того, каковы размеры об-
области, в которой распространяется электромагнитная волна. Пока
область во всех измерениях велика по сравнению с длиной световой
волны, никакие дифракционные, т. е. волновые, эффекты не ска-
сказываются. Но по мере того как размеры области приближаются
к длине световой волны, понятие светового луча все более теряет
смысл.
Таким образом, исходя из чисто волновых представлений, можно
установить критерий применимости понятия луча (т. е. корпуску-
корпускулярной картины) и найти правила предельного перехода от волно-
волновых понятий к механическим. Это в свою очередь покажет путь пере-
перехода от корпускулярных понятий ньютоновской механики, так
сказать, в обратном направлении к волновым понятиям квантовой
механики.
Прежде всего необходимо установить соответствие между меха-
механическими и волновыми величинами.
Поверхности постоянной фазы. Выясним
прежде всего значение фазы волны для оптики световых лучей.
Казалось бы, понятие фазы целиком чуждо геометрической оптике,
но на самом деле, как сейчас будет показано, фазе можно придать
вполне определенный механический смысл.
Начнем с выражения поля распространяющейся электромаг-
электромагнитной волны, которое представим в таком виде:
. B1.1)
Здесь 'к — длина волны, которая считается малой по сравнению
со всеми линейными размерами области, занятой полем. В предель-
предельном случае плоской волны фаза равна:
-? = */•-©* B1.2)
248

(ср. A8.25), A8.26)). Так как й = ?р, о) = ^, где «-фазовая
скорость (см. A9.7)), удобно выделить зависимость от к в явном
виде, записывая фазу как частное ср = ~.
Выражение поля через фазу надо подставить в волновое урав-
уравнение, чтобы уточнить порядок величины всех тех членов, которые
должны быть отброшены для перехода к приближению лучевой,
т. е. геометрической, оптики:
Д?— -^2-^г = 0. B1.3)
При дифференцировании по t и по г надо оставлять только такие
члены, которые содержат Я в знаменателе в наибольшей степени,
потому что Я — по условию малая величина. Поэтому амплитуду
волнового пакета ?0(г, t) вообще не надо дифференцировать. Сле-
Следовательно,
dt=
к №\dt
Первый член во второй строке должен быть отброшен по срав-
сравнению со вторым, содержащим в знаменателе Я2. Отсюда
1 дх\ X
к~М) C0ST
и аналогично
Подставив получившиеся выражения в B1.3), получим дифферен-
дифференциальное уравнение первого порядка для фазы ф = у:
В предельном случае плоской волны из B1.2) следует:
* = V<P = ?r B1-5)
«> — % B1.6)
причем для плоской волны
с2
Но согласно B1.4) этому же уравнению удовлетворяют вели-
величины Уф, —JP в почти плоской волне B1.1). Следовательно, можно
принять уравнения B1.5) и B1.6) как определения волнового век-
вектора и частоты почти плоской и почти монохроматической волны.
249

(Мы принимали длительность волнового процесса, представленного
уравнением B1.1), гораздо большей, чем период колебаний -^.)
Как видно из B1.5), волновой вектор направлен по нормали
к поверхности постоянной фазы ср = ср0, т. е. задает направление
светового луча в данной точке пространства. Распространение
почти плоской волны представляется как перемещение в простран-
пространстве семейства поверхностей постоянных фаз.
В разные моменты времени t поверхность, на которой фаза имеет
определенное значение ф = ср0, занимает разные положения в про-
пространстве соответственно уравнению:
Определим скорость распространения этой поверхности. Надо
исходить из условия:
Пусть dr *--вектор, направленный по нормали к поверхности.
Тогда
дф
дг
есть абсолютное значение | к |. Из B1.5) и B1.6) полу-
получим в согласии с определением фазовой скорости A9.7):
dr
dt
дф
дг
Групповая скорость распространения волнового пакета B1.1)
может быть найдена с помощью A9.5) как
Существенно, что для почти плоской волны со может быть вы-
выражена как функция к, подобно тому как это делается для плоской
волны.
Подобные величины в оптик о-м е х а н и ч е-
ской аналогии. В § 10 было рассмотрено распространение
поверхностей постоянного действия системы тождественных мате-
материальных частиц, движущихся вдоль пучка траекторий. В началь-
начальный момент времени заданы начальные условия для каждой такой
частицы. По мере движения частиц изменяется величина действия
каждой из них согласно уравнению:
Было установлено, что распространение поверхностей S = const
описывается уравнением первого порядка в частных производных
вида A0.20), в которое надо подставить V = 5, если в качестве функ-
250

дни, осуществляющей каноническое преобразование, взято само
действие частиц.
Уравнение Гамильтона—Якоби вполне аналогично уравнению
распространения поверхности постоянной фазы B1.4). Последнее
можно написать, например, так:
Тогда левая часть равенства аналогична гамильтониану, в ко-
который вместо импульса подставлен волновой вектор k = yep, а ко-
координатная зависимость входит через величину и. Уравнение B1.4)
еще больше будет напоминать уравнение Гамильтона—Якоби в ре-
релятивистской форме, если в выражение функции Гамильтона сво-
свободной частицы A4.12) подставить ш = 0 и заменить Я на —-к-.,
а р на VS.
Таким образом, распространение световых лучей в среде пол-
полностью аналогично движению частиц с нулевой массой. Механика
этих частиц в такой же степени определяется уравнением B1.4),
как механика «обычных» материальных частиц — уравнением Га-
Гамильтона—Якоби.
Любой величине в механике отвечает аналогичная величина
в геометрической оптике. Чтобы установить подобие величин, надо
исходить из сравнения фазы с действием. Тогда видно, что энергии
отвечает частота, а импульсу — волновой вектор. Действительно,
согласно A0.26) и B1.6) видно соответствие ? и со;
F_ dS dtp
а из A0.24) и B1.5) соответствие k и р:
Но тогда скорости распространения поверхности постоянного
действия согласно A0.27) и постоянной фазы имеют вполне сходные
выражения:
Е со
\?\ и Щ-
Наконец, скорость волнового пакета аналогична скорости дви-
движения самих частиц:
^част — dp > <W — dk ¦
В § 18 был найден закон преобразования частоты и волнового
вектора, совпадающий с законом преобразования энергии и импуль-
импульса частицы при переходе от одной системы отсчета к другой.
Оптические и механические величины, находящиеся в соответ-
соответствии, различаются только размерностью. Так, фаза имеет нулевую
размерность, а действие—размерность \Ldt% т. е. г-см2/сек. Соответ-
251

ственно волновой вектор и импульс, частота и энергия различаются
также размерностью действия. Коэффициент пропорциональности
во всех соотношениях должен быть одинаков, потому что в против-
противном случае оптико-механическая аналогия не имела бы реляти-
релятивистски инвариантного характера. Этот коэффициент, как мы уви-
увидим дальше, есть не что иное, как квант действия, или постоянная
Планка h.
В следующем параграфе будет показано, что оптико-механи-
оптико-механическая аналогия есть результат предельного перехода от волновых
уравнений квантовой механики к уравнениям классической меха-
механики, подобного предельному переходу от волнового уравнения
электродинамики к уравнению распространения световых лучей.
УПРАЖНЕНИЕ
Исходя из* того, что фаза аналогична действию, показать, что свет заданной
частоты распространяется по таким траекториям, для которых время распро-
распространения постоянной фазы наименьшее (принцип Ферма).
Решение. При постоянной частоте изменение фазы волны, распростра-
распространяющейся от точки / до точки 2, приведенное к одному моменту времени, равно:
2 2
dr
Произведение ndr есть перемещение поверхности по перпендикулярному
к ней направлению. Следовательно, есть время перемещения dt. Согласно
вариационному принципу, которому фаза должна удовлетворять так же, как
2
аналогичная ей величина действия, время t = \ dt —наименьшее из возможных.
В механике подобный принцип имеет место при постоянной энергии частиц»
Тогда надо записать действие в виде
S = $ р dr.
Но импульс р обычно связывают со скоростью самой частицы (/> —т$), а не по-
поверхности постоянного действия (принцип наименьшего действия Эйлера —
Мопертюи).
§ 22. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
Сущность дифракционных явлений. Клас-
Классическая механика имеет аналогию только в геометрической оп-
оптике, но отнюдь не в волновой. Различие между механикой и вол-
волновой оптикой лучше всего иллюстрируется на примере дифрак-
дифракционных явлений.
Представим себе следующий опыт. Пусть имеется экран с двумя
малыми отверстиями. Предположим, что расстояние между ними того
же порядка, что и размеры этих отверстий. Временно закроем одно
(названное первым) отверстие и направим на экран световую волну.
Будем наблюдать волну, прошедшую через второе отверстие, по
252

распределению интенсивностей на другом экране, помещенном
за первым. Затем, открыв первое отверстие, закроем второе —
распределение интенсивности изменится. Теперь откроем оба от-
отверстия сразу. Получится такое распределение интенсивностей,
которое вовсе не будет представляться как сумма интенсивностей
от каждого отверстия в отдельности. В тех точках экрана, куда волны
от обоих отверстий приходят в противоположных фазах, они взаимно
гасятся, а в тех местах экрана, где фазы пришедших от обоих от-
отверстий волн одинаковы, взаимно усиливаются. Иначе говоря,
складываются не интенсивности света, т. е. не квадратичные вели-
величины, а сами значения полей.
Такого рода дифракция может происходить только потому, что
волна проходит через оба отверстия. Из-за этого в точках второго
экрана получаются определенные и постоянные разности фаз для
лучей, прошедших через каждое отверстие. (Мы здесь отвлекаемся
от дифракционных явлений, связанных с прохождением света через
одно отверстие. Эти явления обязаны разности фаз лучей, идущих
через разные точки отверстия. Не рассматривая такие разности
фаз, мы считаем фазу волны, прошедшей через каждое отверстие,
постоянной, но учитываем разность фаз между волнами, прошед-
прошедшими через разные отверстия. Это упрощение ничего в принципе
не меняет.)
Несколько сложнее картина дифракции рентгеновых лучей
в кристаллической решетке, так как дифракционные явления проис-
происходят в трех измерениях. Решетку проще всего представить себе
как стопку плоскостей, заполненных отдельными атомами и моле-
молекулами. От каждой такой плоскости частично отражается под одним
и тем же углом проходящая волна. Но так как отражение осущест-
осуществляется 4а постоянном расстоянии одно от другого, между отражен-
отраженными волнами получается неизменная разность фаз, зависящая от
угла падения волны на кристалл. Отраженные волны могут взаимно
усиливаться только в том случае, если эта разность фаз равна в за-
зависимости от угла падения 2я, 4я, 6я и т. д.
Расстояние между плоскостями кристалла с несложным строе-
строением можно вычислить независимым от дифракции рентгеновых
лучей способом (по плотности, атомному весу и числу Авогадро),
зная число атомов в кубическом сантиметре. Угол, под которым
возможно отражение от данной кристаллографической плоскости,
связан с расстоянием между плоскостями простым геометрическим
условием, включающим в себя длину волны (условие Вульфа—
Брэгга), так что по измерению угла отражения можно определить
длину волны рентгеновых лучей.
Хотя трехмерная дифракция в кристаллической решетке сложнее
плоской картины дифракции от отверстий, причина этих явлений
одна и та же: подобно тому как волна должна пройти через оба от-
отверстия сразу, чтобы получилась определенная разность фаз на
экране, рассеяние рентгеновых лучей должно осуществляться на
всех атомах кристаллической решетки. На каждом атоме кристалла
253

должна рассеяться одна й та же волна. Тогда условие отражения
будет выполнено только при строго определенных значениях
углов. Никакая корпускулярная картина без учета волновых
свойств излучения не могла бы объяснить дифракцию рентгено*
вых лучей.
Дифракция электронов. Совершенно такая же кар*
тина наблюдается при рассеянии электронов (или других микрочас-
микрочастиц) на кристаллах. Как известно, электроны действуют на фото*
пластинку или на люминесцирующий экран подобно рентгеновым
лучам, поэтому прямой опыт доказывает, что микрочастицы пре-
претерпевают дифракцию, подчиненную тем же основным закономер-
закономерностям, что и дифракция электромагнитных волн.
Но для этого каждый электрон должен рассеиваться на всех
атомах решетки, потому что электроны летят совершенно неза-
независимо друг от друга: между ними нет и не может быть постоянной
разности фаз. Они просто могут проходить через кристалл по од-
одному, и все равно получится такая же дифракционная картина,
как от прохождения всех электронов сразу.
Вспомним, что в оптике дифракционную картину удается полу-
получить только от одного и того же источника света: лучи от разных
источников некогерентны. Необходимо, чтобы одна и та же свето-
световая волна прошла через оба отверстия: только тогда разность хода
сохраняет неизменное значение, зависящее от геометрии расположе-
расположения приборов в опыте и длины волны. В этом случае в одних и тех
же точках экрана постоянно сохраняются светлые или темные места,
несмотря на то что лучи, испущенные источником в разное время,
некогерентны. Но при наблюдении дифракции это обстоятельство
оказывается несущественным: когда бы волна ни была испущена,
она, пройдя через оба отверстия, встретится сама с собой. Она усилит
или ослабит себя на экране в зависимости от того, сколько полуволн
укладывается на каждом из ее путей от отверстий до соответствую-
соответствующих точек экрана.
Дифракция электронов доказывает, что законы движения в мик-
микромире вообще имеют волновой характер, и каждый электрон рас-
рассеивается на всех атомах кристаллической решетки. Ясно, что это
несовместимо с понятием определенной траектории электрона в той
же степени, как дифракция рентгеновых лучей — с лучевой, или
геометрической, оптикой.
Дифракционные явления доказывают, что с движением элект-
электрона связана фаза некоторой величины.
Длина волны электронов. Подобно тому как из
дифракции рентгеновых лучей определяется их длина волны, диф-
дифракция электронов (или иных микрочастиц) позволяет измерить
длину волны, относящуюся к ним. Длина волны очень просто свя-
связана со скоростью или с импульсом частицы р. Волновой вектор
частицы связан с ее импульсом следующим соотношением:
* = ?. B2.1)
254

Это соотношение было предложено Л. де Бройлем на несколько
лет раньше, чем оно было подтверждено опытами Дэвиссона и Джер-
мера, впервые наблюдавших дифракцию электронов от кристаллов.
Постоянная А, или квант действия, упоминалась в предыдущем
параграфе. Раньше применяли постоянную, в 2я раз большую, чем
А, а принятую здесь обозначали й. Тогда вместо числа радианов
в секунду со в выражение фазы подставляли число колебаний в се-
секунду V.
Длина волны электрона, отвечающая B2.1), равна:
* 2я __ 2лЛ _ 2яЛ ,99 9.
А~~ к — р ~~ш* (ZZ'Z>
Ее называют дебройлевской длиной волны. Часто пользуются
величиной, в 2л раз меньшей:
* = ! = -. B2.2')
Формула B2.2) показывает, что дебройлевская длина волны,
отвечающая движению макроскопических тел, исключительно мала
из-за малости А по отношению ко всем величинам, могущим харак-
характеризовать движение таких тел. Естественные единицы макроскопи-
макроскопического движения сантиметр — грамм — секунда, если перевести
в них дебройлевскую длину волны какого-нибудь тела, скажем
с массой 1 г и скоростью 105 см/сек, дают К ~ 10~22 см. Ясно, что
наблюдать движение макроскопического тела в области столь малых
размеров невозможно, а следовательно, не могут проявиться и диф-
дифракционные явления. Применимость классической (ньютоновской
или релятивистской) механики к макроскопическим телам практи-
практически не ограничена.
Пределы применимости классических
понятий. Совсем иначе выглядит соотношение величин, когда
формула B2.2) применяется к движению электрона в атоме. Размер
атомов нетрудно определить, как было сказано, совсем простым спо-
способом: деля объем одного грамм-атома твердого или жидкого ве-
вещества на число Авогадро N = 6,024» 1023. Отсюда получается
радиус атома порядка 0,5 -10~8 см.
Порядок величины скорости электрона оценивается так. На-
Напишем уравнение движения заряда в кулоновом поле:
Умножим обе части равенства скалярно на г и преобразуем
вторую производную по времени, стоящую в нем слева:
Ze* TT
т. е. получилось выражение потенциальной энергии. Усредним по-*
лученное равенство по некоторому достаточно большому промежутку
времени. Тогда среднее значение от полной производной во всяком
255

случае равно нулю: состояние атома, как это видно из опыта, в обыч-
обычных условиях стационарно. Но отсюда следует, что среднэе значе-
значение кинетической энергии равно половине взятого с обратным
знаком среднего от потенциальной энергии. Подставляя найденную
оценку величины радиуса г = 0,5»10~8 см, Z = 1 (атом водорода)
и т = 9-Ю8 г — массу электрона, находим:
^я^2,2-108 см/сек.
Итак, волновое число, отвечающее движению электрона, опре-
определенное по формуле B2.2), равно 0,5-10"8 см, т. е. это величина
как раз тех же размеров, какие были приняты для самого атома.
Если допустить, что имеется какая-то траектория электрона
в атоме, то на всей ее длине уложится только одна дебройлевская
длина волны. Ясно, что при таком условии вообще нельзя говорить
о какой-либо траектории: дифракционные явления должны пол-
полностью смазать ее. Картина такова, как если бы рассматривался
волновой пакет размером в одну длину волны. Амплитуда волны
была бы отлична от нуля во всех точках пакета, и никакую кривую,
проведенную внутри области пакета, нельзя было бы сопоставить
с воображаемой траекторией частицы или линией светового луча.
Такой пакет можно описывать только в рамках волновых представ-
представлений, если интересоваться движением частицы внутри него. (Ра-
(Разумеется, это не относится к движению всего пакета в пространстве
как целого!)
Итак, мы видим, что движение электрона в атоме — суще-
существенно волновое явление. Понятие траектории утрачивает смысл.
Вместе с тем следует помнить, что электрон не лишается при кван-
квантовом описании своих свойств частицы и не становится волной
в том наглядном представлении, к которому мы привыкли. Никогда,
например, не наблюдается часть электрона. Если второй экран,
на котором возникает дифракционная картина, заменен фотоплас-
фотопластинкой, то в месте попадания каждого электрона получается одна
точка почернения. Только расположение всех точек почернения
в целом характерно для дифракционной картины. Таким образом,
правильнее говорить не что электрон становится волной, а что за-
законы движения в микромире имеют волновой характер.
В то же время дифракция была бы совершенно невозможна,
если бы в прохождении одного и того же электрона реально не уча-
участвовали все атомы кристалла. Траектории электрона в таком виде,
какой она имеет у всех привычных нам макрочастиц, у электрона
в дифракционном опыте не существует. Что именно имеет в этом слу-
случае волновой характер, будет показано дальше. Во всяком случае,
ни в каком опыте, проявляющем волновые свойства движения, не
наблюдается деление заряда или массы электрона.
Не следует думать, что электрон все-таки обладает какой-то
траекторией, но мы пока не в состоянии наблюдать ее из-за несовер-
несовершенства технических средств или по неполноте физических знаний.
На самом деле дифракционные явления доказывают, что электрон
256

достоверно не имеет траектории, так же как дифрагирующий свет
не распространяется отдельными лучами. В дифракционном опыте
свет проходит через оба отверстия, что несовместимо с понятием
единого луча. В таком же смысле нет никакой траектории электрона
в атоме: это твердо установленный факт, который уже не может быть
отвергнут дальнейшим развитием физики.
Статистическая закономерность и инди-
индивидуальный опыт. Отсутствие траектории отнюдь не озна-
означает, что исчезает всякая закономерность в движении электрона.
Наоборот, одинаковые дифракционные опыты, поставленные, ко-
конечно, с достаточно большим числом электронов, имеющих равные
скорости, всегда дают одинаковые дифракционные картины. Поэтому
причинная закономерность движения несомненна, но она имеет
статистический характер, проявляясь в очень большом числе отдель-
отдельных опытов, так как каждое прохождение электрона через кристалл
можно рассматривать как однократный, независимый опыт.
Дифракционные явления приводят к закономернохму располо-
расположению точек на фотопластинке, так же как при большом числе вы-
выстрелов по мишени на ней воспроизводится закон рассеяния попада-
попаданий. Только в отличие от попаданий пуль, летящих по траекториям
и дающих поэтому гладкую кривую распределения пораженных мест
на мишени, электроны на фотопластинке оставляют почернения более
прихотливым образом, характерным для волнового движения. Раз-
Разброс попаданий пуль обусловлен невоспроизводимостью строго оди-
одинаковых начальных условий при выстреле и становится меньшим при
лучшей прицельности стрельбы, а разброс электронов представляет
вполне закономерную дифракционную картину и при данной ско-
скорости электронов никак не может быть уменьшен.
Заметим еще, что статистическая закономерность в дифракцион-
дифракционном опыте не имеет никакого отношения к тем статистическим за-
закономерностям, которые управляют движением большого коллек-
коллектива взаимодействующих частиц. Как неоднократно повторялось,
одна и та же картина получается совершенно независимо от того,
как проходят электроны через кристалл: все сразу или по одному.
Некоторая фаза, управляющая движением, существует только по-
потому, что каждый электрон интерферирует сам с собой. Разумеется,
квантовые законы движения сказываются и на поведении больших
совокупностей частиц, влияя на присущие коллективам статистиче-
статистические закономерности, но в отличие от классических законов движе-
движения они ле утрачивают вероятностного характера и при переходе
к отдельным электронам.
Принцип неопределенности. Остается еще под-
подробнее разобрать вопрос, в каких случаях понятие траектории
микрочастицы сохраняет свой смысл. В камере Вильсона, в катод-
катодном осциллографе и во многих других приборах траектория частиц
прекрасно предвычисляется по законам классической механики и на-
наблюдается. В камере Вильсона вдоль линии движения электрона
остается туманный след.
9 Компанеец А. С, 257

Прежде всего вспомним, что и свет в известных условиях распро-
распространяется по определенным траекториям — лучам. Геометрическая
оптика применима тогда, когда неточность задания волнового век-
вектора AkXi подчиненная неравенству:
nf B2.3)
мала по сравнению с kx (см. 19.9). Подставляя Akx из уравнения
B2.1), получаем аналогичное неравенство для микрочастицы, на-
например электрона:
Apx-Ax^2nh. B2.4)
Это неравенство называется соотношением неопределенности
квантовой механики.
Если для (Akx) (Ax) берется оценка A9.6'), вместо B2.4)
получается аналогичное неравенство:
(&px)(Ax)^h. B2.4')
Понятие траектории электрона имеет смысл, если величина не-
неопределенности всех трех составляющих его импульса мала по срав-
сравнению с самим импульсом:
&Рх<Рх, &Ру<Ру, А/>*<Р*. B2.5)
Заметим, что мы все время говорим «электрон» только для кон-
конкретности. Имеется в виду любая микрочастица.
Нетрудно убедиться, почему соотношения неопределенности
никак не мешают электронам иметь нужные траектории, например,
в кинескопе телевизора. Примем для оценки, что элемент изобра-
изображения имеет размер около 0,1 см. Тогда согласно B2.4') неопреде-
неопределенность поперечной составляющей импульса составит 10~26 г-см/сек.
Так как скорость электрона при этом примерно 1010 см/сек, его
импульс приблизительно равен 10~17. Следовательно, неопределен-
неопределенность в угле, задающем направление импульса, порядка 10~9.
Поэтому неточность попадания электронного луча на экран не пре-
превышает 10~7 см. Таким образом, имеется «запас» в KTVIO, т. е.
в миллион раз.
Это согласуется с выводом, сделанным для атома, где такого
«запаса» нет. Размер атома в 107 раз меньше, так что Ар ~ 10~19, и
сам импульс электрона в атоме при скорости 2 • 108 тоже порядка 10~19,
т. е. Ар и р совпадают по порядку величины и никакой траектории
электрона в атоме не может быть.
Таким образом, квантовая механика не отменяет классическую,
а включает ее как предельный случай, подобно тому как волновая
оптика включает предельный случай геохметрической оптики свето-
световых лучей. При этом квантовая механика оперирует с теми же вели-
величинами, что и классическая: энергией, импульсом, координатами,
моментом и т. д. Но конечность кванта действия h налагает огра-
ограничения на применимость каких-либо двух классических понятий
(например, координаты и импульса) для одного и того же состояния
движения.
258

Импульс и координата частицы не могут иметь одновременно
точных значений потому, что ее движение по существу волновое.
Пытаться определить эти точные значения в той же мере бессмыс-
бессмысленно, как искать точные траектории световых лучей в волновой
оптике. Так же как в результате усовершенствования оптических
приборов световые лучи не приобретут точного смысла, любой про-
прогресс измерительной техники в применении к электрону не позволит
определить его траекторию точнее, чем указывается соотношениями
B2.4) или B2.4'). Само понятие траектории, как мы видели, имеет
столь же приближенный смысл, как и понятие светового луча.
Соотношения неопределенности иногда пытаются толковать
ошибочным образом. Считают, что траектория не может быть опре-
определена потому, что точность начальных условий не превосходит
Арх и Ал:, связанных соотношением B2.4). Это значило бы, что
истинная траектория где-то все же проходит, но лежит в более или
менее узкой области пространства и в ограниченном интервале
импульсов. «Истинная» траектория уподобляется той воображаемой
траектории, которая проводится от орудия к мишени до выстрела.
Где пролетит снаряд в действительности, заранее неизвестно хотя
бы потому, что нельзя приготовить строго одинаковые пороховые
заряды. Но эта неточность в начальных условиях для снаряда при-
приводит только к возможности построения гладкой кривой рассеяния
попадания по мишени. Между тем распределение электронов сле-
следует законам дифракции волн: имеются места минимумов и макси-
максимумов, которые никак не могут быть связаны с неточным знанием
начальных условий. Дифракция указывает, что никакой «истинной»,
но нам «неизвестной» траектории не существует.
Соотношения неопределенности показывают не то, с какой ошиб-
ошибкой могут быть измерены те или иные величины одновременно,
а насколько вообще имеют точный смысл соответствующие величины
в квантовом движении. В этом сущность принципа неопределенности
квантовой механики. Термин «неопределенность» подчеркивает, что
речь идет не о случайных ошибках измерения или о несовершенстве
физических приборов, а о том, что импульс и координата действи-
действительно не имеют физического смысла для одного и того же состояния
микрочастицы.
§ 23. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
Волновое уравнение. Явление дифракции происхо-
происходит потому, что складываются амплитуды волн. Там, где фазы волн
совпадают, интенсивность, пропорциональная квадрату результи-
результирующей амплитуды, максимальна; там, где фазы противоположны,
интенсивность минимальна. При дифракции электронов величина,
аналогичная интенсивности, измеряется почернением пластинки,
т- е. числом электронов, попавших на единицу площади. Чередова-
Чередование максимумов и минимумов и их относительное расположение
9* 259

при дифракции электронов следуют тому же закону, что и при диф-
дифракции рентгеновых лучей. Чтобы объяснить дифракцию электронов,
необходимо допустить, что с их движением, так же как с распрост-
распространением волн, может быть сопоставлена какая-то волновая функ-
функция, поведение которой определяет дифракционную картину.
Физически наблюдаемой величиной является почернение плас-
пластинки, т. е. число электронов, попадающих на единицу площади.
Так же как при попадании снарядов число поражений пропорцио-
пропорционально вероятности поражения в данном квадрате, плотность попа-
попадания электронов на фотопластинку находится в прямой пропор-
пропорциональной зависимости от вероятности их нахождения вблизи
данной точки пластинки. Каждое попадание электрона надо рассмат-
рассматривать как тождественный опыт, результат которого заранее не пре-
предопределен, и должен предсказываться вероятностным образом: надо
указать соотношение между плотностью вероятности и волновой
функцией движения электрона.
Здесь весьма полезна аналогия с дифракцией электромагнитной
волны. Вызванное волной почернение пластинки пропорционально
квадрату амплитуды волны, поэтому можно ожидать, что вероят-
вероятность нахождения электрона в некоторой точке пропорциональна
квадрату волновой функции. Так как наблюдается плотность веро-
вероятности, а не волновая функция, последнюю надо в общем случае
считать комплексной величиной, от которой следует брать квадрат
модуля, чтобы перейти к плотности вероятности. Дальше мы уви-
увидим, что действительная волновая функция может отвечать далеко
не всякому состоянию.
Вероятность dw нахождения электрона (вообще частицы) в эле-
элементе объема dV будем считать связанной с волновой функцией гр
следующим соотношением:
dw = \y(x,y,z9t)\dV. B3.1)
Волновая функция ^ зависит от координат и от времени, квадрат
ее модуля есть плотность вероятности.
Линейность волнового уравнения. Подобно
тому как в электродинамике по уравнениям Максвелла изучаются
законы распространения самой волны, а интенсивности находятся
путем возведения в квадрат ее амплитуды, так и в квантовой меха-
механике следует найти уравнение, управляющее величнойя]), а не плот-
плотностью вероятности. Чтобы это уравнение отвечало тому сходству
дифракционных картин, какое наблюдается для электронов и элект-
электромагнитных волн, оно, как и уравнения Максвелла, непременно
должно быть линейным.
Действительно, чтобы амплитуды волн могли взаимно гаситься,
они должны складываться в каждой точке пространства. Но чтобы
сумма двух решений уравнения снова ему удовлетворяла, т. е*
тоже была его решением, уравнение обязательно должно быть ли-
линейным. Поэтому уравнение, которому подчиняется волновая функ-
функция, линейное. Из такого уравнения может быть определена фаза
260

волны, не зная которую невозможно построить дифракционную кар-
картину.
Таким образом, получается один из важнейших принципов кван-
квантовой механики: сумма двух решений волнового уравнения сама
является его решением. Это утверждение называется принципом
суперпозиции (наложения). Вместе с принципом неопределенности,
задающим условие перехода квантовых уравнений в классические
уравнения движения, принцип суперпозиции позволяет прийти
к основному уравнению квантовой механики.
Удобно сначала написать не само уравнение, а его решение,
т. е. волновую функцию, применительно к свободной частице.
Такая частица обладает строго определенным и постоянным импуль-
импульсом р. Согласно соотношению де Бройля B2.1) этот импульс отве-
отвечает волновому вектору некоторой волны k = -—.Действительно,
если направить на кристалл электроны с импульсом /?, они дадут
такую же дифракционную картину, как волна с волновым вектором
к = j. Следовательно, волновая функция свободной частицы зави-
зависит от координат следующим образом:
if? r^ eikr = e h '
Она записана в комплексном виде потому, что может измеряться
только квадрат ее модуля, а не она сама. Из физических соображе-
соображений нельзя потребовать, чтобы волновая функция была действитель-
действительной.
Зависимость волновой функции от времени определяется тоже
легко, если вспомнить, что частота волны в таком же смысле отве-
отвечает энергии частицы, как волновой вектор — импульсу. В § 21
было показано, что коэффициент пропорциональности между со и Е
должен быть тем же, что и между k и р. Поэтому
со = f B3.2)
Отсюда получаем выражение для волновой функции свободной час-
частицы: ^li^IL
^^е-ш + ikr^e а+л. B3.3)
Групповая скорость волн равна:
-я-v- <23-4>
Таким образом, она совпадает со скоростью частиц, как и должно
быть согласно § 21.
Но теперь видно, что волновая функция B3.3) очень просто
связана с действием свободной частицы:
*=*'*"• B3.5)
261

где S — действие частицы. В самом деле, действие в этом случае
равно:
S = — Et+pr . B3.6)
в согласии с тем, что
как это и должно быть по уравнениям § 21, устанавливающим
аналогию между механикой и оптикой.
Формула B3.5) подтверждает полученное в том же параграфе
соотношение между фазой волны и действием частицы.
Волновое уравнение для свободной час-
частицы. Составим теперь волновое уравнение для найденной только
что функции г|з. Естественно, что вид этого уравнения связан с тем,
как Е выражается через /?, или, что тоже самое, (о через к. Например,
в оптике, где со2 = c2k2, волновое уравнение должно писаться как
Оно релятивистски инвариантно. Наша цель — получить
в первую очередь уравнение нерелятивистской механики, в которой
Е = ~~. Как мы знаем, аналогия между оптикой и механикой вовсе
не требует, чтобы уравнения последней были записаны релятивистски
инвариантно. Смысл аналогии состоит в соответствии величин.
Этого достаточно, чтобы найти уравнение для волновой функции
B3.3). Имеем:
¦ ?—?* B3-7)
Из B3.7) и B3.8) получаем:
т. е. нерелятивистское уравнение для волновой функции гр. Через
оператор Лапласа оно выражается так:
Уравнение B3.9) справедливо благодаря тому, что Е = Д-#
Уравнение Шредингера. Обобщим уравнение B3.10)
на случай частицы, движущейся во внешнем потенциальном поле
U (г). Чтобы иметь соотношение E = -~^-\-Ut аналогичное Е =»
= ~ для свободной частицы, надо положить
262

Это уравнение получил в 1925 г. Э. Шредингер, обобщая соотно-
соотношения де Бройля на случай связанных электронов.
Уравнение B3.11) непосредственно следует из B3.10) для про-
простейшего случая U — const, потому что тогда оно удовлетворяется
той же подстановкой B3.3), но для значения импульса р =
= У 2т (Е — U). Отсюда уже один шаг до обобщения на случай
переменной потенциальной энергии.
Но это обобщение ни в коем случае нельзя рассматривать как
«вывод» уравнения квантовой механики из каких-либо принципов
или уравнений доквантовой, классической физики. Уравнение
Шредингера содержит в себе новый физический закон.
Правдоподобность уравнения B3.11) видна при предельном пере-
переходе к классической физике, подобном переходу от волновой оптики
к геометрической.
Будем считать, что в равенстве B3.5) стоит действие не свободной
частицы, а частицы, движущейся в поле U (г), и найдем, в каком
приближении будет удовлетворяться уравнение Шредингера B3.11),
если подставить в него выражение волновой функции через действие.
Определяем значения производных волновой функции:
ftp д i~ ids
дх ~~ дх — hdx T'
. л — ih — I ih
дх* ~ h дх* ^ h? [дх ) ™*
Подставим их в уравнение B3.11) и сократим на Л. Тогда оста-
останется следующее уравнение для функции 5:
. <23-12>
Предельный переход к классической механике проще всего произ-
произвести, полагая, что квант действия h стремится к нулю. Это анало-
аналогично утверждению, что все классические величины, характеризую-
характеризующие движение, велики по сравнению с h. Тогда из B3.12) получится:
т. е. уравнение Гамильтона — Якоби.
Произведенный здесь предельный переход почти полностью пов-
повторяет переход от волновой оптики к геометрической, который был
выполнен в § 21. Действительно, если положить h = 0, то это равно-
равносильно обращению в нуль дебройлевской длины волны, что соот-
соответствует переходу от волн к траекториям.
263

Итак, волновое уравнение Шредингера действительно дает пра-
правильный предельный переход. Оно как бы является четвертым чле-
членом в таком соответствии:
геометрическая оптика -> классическая механика
волновая оптика -> квантовая механика!
Вертикальные стрелки указывают на переход от лучей или траек-
траекторий к волновым картинам, а горизонтальные — от волн к части-
частицам. Последнее относится только к неквантованным уравнениям
электромагнитного поля, так как при их квантовании возникает
необходимость в корпускулярных представлениях о световых кван-
квантах. Здесь рассматривается аналогия квантовой механики с клас-
классической волновой оптикой.
Области применения различных теорий.
Области применения квантовой механики и волновой оптики не пе-
перекрываются, строго говоря, нигде: в волновой оптике, или, что то же
самое, в электродинамике, считается конечной скорость света с,
но сколь угодно малым квант действия А. В нерелятивистской кван-
квантовой механике скорость с считается сколь угодно большой, a h
имеет конечную величину. Квантовая теория электромагнитного
поля, в которой и су и h имеют конечные величины (т. е. масштабы
скоростей частиц сравнимы с с, а величины размерности их дейст-
действия — с /i), в настоящее время тоже во многом завершена. По край-
крайней мере любая конкретная задача, требующая применения кван-
квантовой электродинамики, может быть однозначно и с любой точностью
решена, причем результаты полностью согласуются с опытом.
Нерелятивистская, т. е. построенная на соотношении Е = —- +
+ U> квантовая механика является в своей области применения
такой же законченной теорией, как ньютоновская механика. Так же
как и уравнения ньютоновской механики, волновое уравнение B3.11)
справедливо только при скоростях частиц, достаточно малых по
сравнению со скоростью света. Но зато в области своей примени-
применимости оно установлено столь же окончательно, как законы движения
Ньютона для макроскопических тел.
Квантовая механика в своей области применения продолжает,
конечно, совершенствовать методы подхода к различным конкретным
проблемам. Основой для этого совершенствования является пра-
правильность ее общих положений. В этом же смысле продолжает и по
сей день развиваться и ньютоновская механика.
Условие нормировки волновой функции.
Вернемся к волновому уравнению B3.11). Напишем его для волновой
функции^ и для сопряженной функции^*, в уравнении для которой
надо заменить i на — /:
h dib /г2
264

Умножим первое уравнение на -ф*, а второе — на i|) и вычтем
второе из первого. Член \|э* (/ф сократится, а остальные члены дадут:
Левая часть последнего равенства преобразуется к виду:
h д . * . h д
Правую часть напишем несколько подробнее так:
(Ф* Дф ^Л^*) (
; —я|? divgrad\|)*) =
= — ? div
(см. A1.27)). Окончательно представим полученное равенство в сле-
следующем виде:
^ {4}. B3.15)
Левая часть B3.15) есть производная по времени от плотности
вероятности нахождения частицы вблизи некоторой точки простран-
пространства. Проинтегрируем B3.15) по всему объему, в котором может
находиться частица. Если этот объем имеет конечные размеры, то
за его пределами ф и -ф* должны обращаться в нуль. Но тогда по тео-
теореме Гаусса — Остроградского правая часть B3.15), преобразован-
преобразованная в интеграл по поверхности, находящейся за пределами объема,
обращается в нуль:
|^ B3.16)
Следовательно, сам интеграл от времени не зависит. Если он
сходится, как этого следует ожидать при интегрировании по конеч-
конечному объему, то ему можно придать простой физический смысл,
а именно: он должен быть равен вероятности нахождения электрона
или вообще частицы где-либо внутри объема, где он обязательно
^находится. Такая вероятность равна достоверности, т. е. единице.
Итак,
\\q?dV=l. B3.17)
Это равенство называется условием нормировки волновой функ-
функции.
Если движение икфинитно, интеграл, входящий в B3.17), рас-
расходится. В этом случае можно либо изменить условие нормировки
(см. § 25), либо нормировать вероятность на большой, но конечный
объем и затем устремлять его к бесконечности. Физические резуль-
результаты от этого, конечно, не меняются.
265

Если проинтегрировать B3.15) по произвольному объему, по-
получим:
- С -J_ (^*Vi|) - г|)Уг|)*) ds. B3.18)
Слева стоит изменение вероятности нахождения электрона внутри
данного объема, а справа — поток вероятности через поверхность,
которая ограничивает объем. Отсюда ясно, что плотность потока
вероятности согласно B3.18) равна:
Следовательно, действительная волновая функция дает j = О
и не описывает тока электронов. Поэтому общее определение волно-
волновой функции с необходимостью должно включать комплексные
величины.
Уравнение для стационарных состояний.
Допустим, что потенциальная энергия не зависит от времени явно.
Тогда в классической механике, как известно, выполняется закон
сохранения энергии системы. Действие такой системы содержит
слагаемое — Et. Но так как в классическом пределе я|э = е н,
будем и в общем случае искать i|) пропорциональным е h :
Подставляя это выражение в B3.11) и опуская нуль в индексе,
получим уравнение:
^ Erp. B3.21)
В этом уравнении надо рассматривать энергию Е как некоторую
постоянную величину. Если нас интересуют при этом состояния,
отвечающие финитному движению, то вероятность нахождения час-
частицы на бесконечно большом расстоянии от той области, где г|э от-
отлична от нуля, должна быть бесконечно малой. Анализ конкретных
примеров показывает, что последнее осуществляется не при всех зна-
значениях энергии ?, а только при некоторых, принадлежащих диск-
дискретной, ограниченной совокупности.
Например, если U (оо) = 0, то при отрицательных значениях Е
± Y2m \E\r
будут получаться два значения функции г|з ~ е h . Одно из
них экспоненциально возрастает при г -> оо и никаким способом не
/2т 1 Е \г
может быть нормировано, потому что е h на бесконечно
большом расстоянии от начала координат сколь угодно велика.
Есть, однако, избранные значения ?, при которых коэффициент
266

перед экспоненциально нарастающим решением обращается в нуль.
Следовательно, при финитном движении возможны не произвольные
отрицательные значения энергии, а только некоторые определен-
определенные Е. Их совокупность называется спектром энергии системы.
Состояние системы, отвечающее такому значению энергии, назы-
называется стационарным, а сама величина энергии — ее собственным
значением. В общем случае всякое значение энергии в уравнении
B3.21), которому отвечает волновая функция, удовлетворяющая
определенным граничным условиям, называется собственным значе-
значением энергии. Выбор граничных условий связан с тем, какое движе-
движение изучается.
Таким образом, оказывается, что в отличие от энергии в класси-
классической механике энергия в квантовой механике не может быть за-
задана произвольно.
§ 24. ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Собственные значения импульса. Мы опре-
определили, что такое собственные значения энергии из волнового урав-
уравнения B3.21), о чем было сказано в конце предыдущего параграфа.
Но весьма важно находить собственные значения других величин:
импульса, момента и т. д. Чтобы найти соответствующие уравнения,
удобно исходить из вида г|э в предельном переходе к классической
механике: s
ф = *'*", B4.1)
подобно тому как это было сделано при выводе уравнения B3.21).
Применим к обеим частям равенстваB4.1) операцию —^-,т. е. возь-
возьмем частную производную по х и умножим на —:
Но в классическом пределе 5 переходит в действие частицы,
а д в составляющую импульса рх (см. A0.24)). Поэтому
уравнение для собственных значений импульса, дающее правильный
предельный переход к классической механике, имеет следующий
±% = Р*Ъ B4-3)
где рх — собственное значение проекции импульса на ось х.
Операторы импульса и энергии. Сопоставим
Уравнение B4.3) с волновым уравнением для собственных значений
энергии B3.21):
1 Г//г d\2 (h
2a[\Tdi) +[Тду
267

Здесь символ (^-) означает вторую производную, которую затем
\OXJ
надо применить к \|).
Для нахождения собственных значений энергии и импульса надо
в левых частях уравнений B3.21) и B4.3) произвести определенную
совокупность дифференциальных операций и умножений на функции
координат. Но легко видеть, что эти совокупности связаны между
собой весьма любопытным образом. Назовем оператором импульса,
примененным к волновой функции, символ ^-, умноженный на -т-.
Вместо у^ символически пишем рх.Тогда уравнение B4.3) надо
будет переписать так:
/М> = Р*1>. B4.5)
Это уравнение означает буквально то же самое, что и B4.3),
но символическое обозначение рх должно подчеркивать, что соответ-
соответствующая операция применяется для нахождения собственных зна-
значений импульса.
Операцию в левой части B4.4) (тоже символически) обозначим Я.
Мы пишем Я, а не Ё, потому что энергия предполагается выражен-
выраженной через импульс, подобно гамильтоновой функции Я. Тогда B4.4)
в более короткой записи выглядит так:
/fy = ?ty. B4.6)
Сравнивая теперь B4.4) и B4.3), видим, что операторы энергии
и импульса связаны теми же соотношениями, как и соответствующие
величины: i K
± i + U. B4.7)
Мы написали U, а не просто [/, чтобы подчеркнуть, что в этом
равенстве выражение U понимается не как самостоятельная вели-
величина, а как оператор, действующий Hai|), т. е. оператор умножения
U (г) наг|). Равенство B4.7) символическое: подразумевается, что обе
его части применены к г|).
Польза сокращенных операторных обозначений в квантовой ме-
механике состоит в том, что уравнения становятся от этого более вы-
выразительными. В операторной записи, например, лучше всего видна
связь между квантовыми законами движения и классическими, ко-
которые являются предельными по отношению к квантозым.
Если в классических уравнениях, связывающих механические
величины, заменить импульсы их операторами, то получатся пра-
правильные операторные соотношения квантовой механики. Предельный
переход к классической механике восстанавливает обычные соотно-
соотношения между величинами. Действительно, в предельном переходе
B4.1) оператор р = -у- V-ф даст/м|). Если надо совершить предельный
переход для /г, то следуем дифференцировать каждый раз только
268

экспоненту, потому что при этом квант действия оказывается в зна-
знаменателе. При h -> 0 останутся только члены с наибольшей степенью
h в знаменателе, а как раз они и получаются при замене опера-
оператора р на величину VS, т. е. на классический вектор импульса.
Но предельным переходом не исчерпываются все преимущества
операторной символики в квантовой теории. Лучше всего они будут
видны из дальнейшего изложения.
Оператор проекции момента. Теперь легко опре-
определить оператор проекции момента Мг. Из § 5 известно, что момент
Мг есть в то же время обобщенный импульс, отвечающий, как обоб-
обобщенной координате, углу поворота вокруг оси z\ Mz = pr Тогда
согласно A0.24)
Ap = ff. B4.8)
Поэтому ясно, что в квантовой механике оператор pf должен иметь
вид:
Но проекция Мг согласно классической механике связана с де-
декартовыми проекциями импульса так:
Мг = хру-урх. B4.10)
Следовательно, должно существовать операторное соотношение:
B4.11)
Проверим, что определения B4.9) и B4.11) действительно совпа-
совпадают. Перейдем к цилиндрическим координатам:
x = r coscp. y = r$mq).
Отсюда имеем:
дур __ dty дг , дур дф § д\|) _ дф дг , дур дер
Ъх ~~~ дг дх ' дер дх ' Ъу дг ду ' ^ф ду *
Выражая цилиндрические координаты через декартовы, запишем:
дг х дг и
- =-==== = cos ф, г =
дх ух2-\-у2 ду
JL д(У — у — sin Ф дф _ х _ cos ф
д, , дх х2 + у2 ~~ г ' ду~~ х2 + уг "" г '
Подставляя все эти выражения в равенство B4.11), убеждаемся,
что оно тождественно по смыслу с равенством B4.9):
h f d\b dyb\ h [ I . d\b , cos <p d
— \Х я— У!Г = ~ Г COS© S1I1 ф # Н ^
i \ ду у дх! il Y \ Y <5r ' г д
h / 9 . • о \ <5ф Л дгЬ
T(cob^ + sin4)aJ=T4-
269

Аналогично B4.10) можно определить и остальные две проекции
момента, но, прежде чем делать это, надо выяснить, какие величины
могут существовать одновременно в одном и том же физическом со-
состоянии системы. В § 22 мы видели, что, например, координата и соот-
соответствующая ей проекция импульса одновременно не существуют.
Получим теперь общий критерий, выраженный через операторы соот-
соответствующих величин.
Одновременное существование двух фи-
физических величин. Допустим, что в некотором состоянии,
описываемом волновой функцией я^, существуют одновременно две
физические величины X и v. Найдем необходимое для этого условие.
Если в некотором состоянии можно определить физическую ве-
величину X, то волновая функция этого состояния должна быть соб-
собственной функцией оператора X. Если же в том же состоянии опре-
определена и величина v, то одна и та же функция ^ удовлетворяет двум
уравнениям: ц==%^ B4Л2)
vt|> = vi|>. B4.13)
Иначе говорят, что функция г|з является собственной функцией
как оператора \ так и оператора v. Применим теперь оператор v
к B4.12), помня, что в правой части этого уравнения стоит просто
величина X, а не оператор, и аналогичным образом применим опе-
оператор X к B4.13). Тогда получится:
Xvty, B4.14a)
|) = vb|). B4.146)
Вычтем теперь B4.146) из B4.14а):
v Ад|э — Xvty = Xvty — vXty = 0.
Так как в правой части стоят просто произведения чисел, они
сокращаются, и мы приходим к требуемому условию:
B4.15)
Символически равенство B4.15) можно записать как равенство
между операторами:
vX = Xv, vi-Xv = 0. B4.16)
Это символическое равенство означает, что результат последо-
последовательного применения операторов А, и v не должен зависеть от по-
порядка их действия. В противном случае уравнения B4.12) и B4.13)
не могут иметь общей собственной функции'ф, т. е. общего решения.
Здесь доказана необходимость условия B4.16) того, чтобы вели-
величины X и v могли существовать в одном и том же состоянии системы,
которому отвечает волновая функция г|). Можно доказать и достаточ-
достаточность этого условия, чего мы, однако, делать не будем.
270

Перестановки некоторых операторов.
Применим теперь полученный вывод к двум величинам, заведомо не
существующим в одном и том же состоянии, — координате х и им-
импульсу рх. Надо вычислить перестановку рхх — хрх.
Переходя от символической записи к обычной, получим:
h д h д , h , . h d\b h chb h ,
i dx Y i dxY i Y ' t dx i dx i Y
Возвращаясь к символической записи, представим найденный ре-
результат так:
Р*х-хрх = ^. B4.17)
Таким образом, результат действия операторов рх и х зависит
от порядка их применения, рхих — неперестановочны. Так и должно
быть, потому что рх и х одновременно не имеют физического смысла.
Собственная функция оператора х удовлетворяет уравнению
(х — xr) ty = 0. Следовательно, она равна нулю везде, где коорди-
координата х не равна выбранному собственному значению х''. Эта функция
отличается от нуля только в одной точке х = х'. Собственная функ-
функция оператора импульса, которая удовлетворяет уравнению B4.3),
? Л.
есть е h ; она отлична от нуля во всем пространстве. Этот пример
показывает, как сильно различаются собственные функции непе-
неперестановочных операторов. Сокращенная запись B4.17) есть удобное
представление предыдущей формулы, в которой оператор импульса
выражен в явном виде, через производную. В дальнейшем мы будем
писать перестановочные соотношения исключительно через опера-
операторы, так как символическая запись короче и гораздо нагляднее:
видно, какие величины стоят за операторами.
Различные составляющие импульса перестановочны между собой:
рхру-рурх = 0. B4.18)
(Слово «операторы» в дальнейшем часто будет опускаться как само
собой разумеющееся в применении к перестановкам). Перестановка
B4.18) просто следует из того, что результат применения двух част-
частных производных не зависит от порядка их действия. Так же оче-
очевидно, что
рух-хру = 0. B4.19)
В тензорной записи все эти перестановки выглядят так:
т б«Р> B4.20)
= 0, B4.21)
= 0. B4.22)
271

Вычислим теперь перестановку двух составляющих момента.
Найдем Мх и Му\
Мх = УРг - гру, My = zpx - хрг.
Сгруппируем члены так, чтобы не нарушать порядка одноименных
координат и импульсов:
МХМУ - МуМх = (yPz - гру) (грх - хрг) - (грх - хрг) (ур* - гру).
Воспользуемся перестановкой pzz —¦ *zpz = ~. Тогда получим
искомый результат:
МХМУ — М^Мjf = ypx (pzz — zpz) — хру (pj — zpz) =
^^^ B4*23)
Перемещая значки х, у и z циклически, получим остальные пере-
становки: ^^ ^^
MZMX - М^М, - ihMy. B4.23")
Все три формулы перестановок легко запомнить, если записать
их в сокращенном векторном виде:
B4.24)
Раскрывая это равенство по составляющим, придем опять к вы-
выражениям B4.23) — B4.23").
Отметим, что векторное произведение оператора самого на себя
может и не равняться нулю, если операторные составляющие век-
вектора неперестановочны (но, например, [рр] = 0).
Квадрат момента. Рассмотрим другие свойства момента.
Покажем, что хотя двух проекций момента одновременно быть не мо-
может, но зато существует вместе с одной проекцией момента его квад-
раТ: М2 = № + Щ + Ml B4.25)
Проверим это:
- mzm2 - тм2 - мг
потому что Mz и Щ, конечно, переставляются. Прибавим к правой
части последнего равенства и вычтем из нее комбинации МХМ2МХ
и MyMzMy, затем вынесем Мх и Му за скобки один раз справа, а дру-
другой раз — слева. Тогда получим:
M2MZ - MZM2 = Мх {MXMZ - ММХ) + {MXMZ - MZMX) Мх +
+ My {MyMz - MzMy) + ШуМг - MzMy) My =
- — ih {MxMy + MyMx - MyMx - MxMy) = 0. B4,26)
272

При этом были использованы правила перестановки между отдель-
отдельными составляющими момента.
Для дальнейших применений необходимо преобразовать опера-
оператор квадрата момента к сферическим координатам. Для этого полезно
сначала перейти к тензорной записи. Для отдельной составляющей
имеем:
^ B4.27)
откуда оператор квадрата момента равен:
М2 = МаМа = га^
Воспользуемся тем, что ea$y&atr\ = бр^ул— Sp^YS» что Доказы-
Доказывается сравнением с векторным равенством [АВ] [CD] —(AC) (BD)—
(AD) (ВС). Тогда М2 можно будет переписать:
М2 = х$рух$ру - XfiPyXyPfi.
В результате некоторых перестановок по правилам B4.20) —
B4.22) приведем правую часть полученного выражения к такому
виду:
М2 = у Л:а
Но выражение хара есть не что иное, как ~ (rV), что в сферических
координатах переписывается просто как ~ г g-. Кроме того, р| ~
= — /i2A. Подставим теперь лапласиан, записанный в сферических
координатах, согласно A1.46). Тогда видим, что квадрат момента
выражается просто через угловую часть лапласиана:
f2 sm О ad ad ' г2 sm2
+ А2Г +А«Г г _A2 sin^ . \ B4.28)
Собственные функции квадрата момента
и проекции момента. Найдем теперь собственную функ-
функцию квадрата момента, т. е. решение уравнения:
М2ф = М211>. B4.29)
Для этого исходим из хорошо известного нам равенства:
Д~ = 0. B4.30)
Возьмем / произвольных постоянных векторов аъ #2,..., #ь •••>
а{ и образуем следующий ряд операторов: (^V), (a2V),..., (a*V), ...,
(a/V). Так как векторы постоянные, любой из написанных операто-
273

ров перестановочен с лапласианом. Напишем поэтому B4.30) после
применения всех операторов в следующем виде:
A (aj) (a2V)... (a,V)... (a,V) 1 = 0. B4.31)
Выразим лапласиан в сферических координатах и воспользуемся
выражением B4.28):
д 1 д 2 д М* Bл 32^
Теперь учтем то обстоятельство, что всякое применение оператора
(a^V) к - повышает степень г в знаменателе на единицу, а в числителе
всегда стоит некоторая функция углов. Поэтому результат /-крат-
/-кратного применения оператора (atV) к — можно представить как
(^)...(а^I=^^). B4.33)
Перенесем часть лапласиана, содержащую дифференцирование
по г, в правую сторону равенства. Тогда, выполняя это дифферен-
дифференцирование и сокращая на г"^+3), приходим к равенству:
М2/ (О, ф) = Я2/ (/+ 1) f @, Ф). B4.34)
Но это равенство совпадает по виду с уравнением для собствен-
собственных функций оператора М2 B4.29). Следовательно, мы нашли соб-
собственную функцию оператора М2 и его собственные значения hH (/ +
+ 1).
То, что квадрат величины равен hH (I + 1), а не полному квад-
квадрату, может вызвать некоторое удивление. Казалось бы, если напра-
направить вектор М по какой-либо координатной оси, то собственное зна-
значение квадрата должно быть равно квадрату собственного значения
проекции (мы вскоре увидим, что она целочисленна). Но на самом
деле проекции момента между собой неперестановочны, так что если
одна из них принимает некоторое заданное значение, то другие не
имеют никаких определенных значений, в частности нулевых. В силу
этого квадрат момента выражается сложнее, чем просто квадратом
целого числа. Исключение составляет случай, когда все три проек-
проекции момента равны нулю, что имеет место при / = 0.
Все ли собственные значения квадрата момента исчерпываются
формулой М2 = hH (I + 1) при целых значениях /? Если говорить
только о пространственном движении частицы с тремя степенями
свободы, то других /, кроме целочисленных, не существует. Такой
момент называется орбитальным. Этот термин заимствован из старой
теории Бора, допускавшей движение частиц по орбитам. В более
общего случае, когда частица имеет и внутренние степени свободы,
типа вращательных, возможны и полуцелые /, но пока мы будем
рассматривать только орбитальный момент.
274

Из формулы B4.33) следует, что результат применения оператора
(V) к стоящему в ней выражению всегда приводит к появлению
скалярных произведений вида (щг) или постоянных чисел (#,#„)¦
Все это однозначные функции координат. Но такие однородные функ-
функции могут получаться только при целых степенях /. Нецелые сте-
пени / в однородной функции означают и нецелые степени координат,
т. е. приводят к неоднозначности. Но собственная функция опера-
оператора М2 есть амплитуда вероятности того, что частица имеет поляр-
полярный угол ф и азимут ср при значении М2 = h2l (I + 1):
Эта функция должна быть по определению однозначной. Поэтому
нецелые значения / для орбитального момента исключены.
Согласно формуле B4.26) оператор квадрата момента переста-
перестановочен с оператором любой из его проекций. То же самое видно
и из B4.28), если представить квадрат момента в виде
при помощи B4.9). Так как угол ф не входит в явном виде в выраже-
выражение B4.35), М2 перестановочен с рАф.
Но это значит, что в одном и том же состоянии могут существо-
существовать и величина М2, и величина pv т. е. состояния с определенными
значениями М2 и р9 могут описываться одной и той же собственной
функцией. Собственная функция рф сразу видна из B4.9). Записывая
уравнение для собственных значений рф, имеем:
Р^ = ТЩ = Р№ B4.36)
откуда
*'фрф
q = e h . B4.37)
При произвольных векторах ai собственная функция я}) не соот-
соответствует B4.37). Но нетрудно так подобрать эти векторы, чтобы при-
применение операторов (a,V) приводило собственную функцию к нуж-
нужному виду. Для этого надо выбрать всего два типа at. Часть из этих
векторов, равную / — k, возьмем как единичные векторы по оси г,
остальные k векторов в виде линейной комбинации единичных век-
векторов по осям х и у:
a± = nx±iny.
Тогда (a±V) == ^ ±/^-. Результат применения к— оператора
(nzV) = ^ дает -^. Повторное использование того же оператора
по отношению к -^ дает опять в числителе z и единицу, действуя на г,
275

оставшееся от предыдущего дифференцирования. Применяя опера-
оператор 7f + *V- к —получим:
д,.д\ 1 ___ x-\~iy sin д е1ч
дх ду) г г3 г2
Ясно, что повторное действие того же оператора умножит полу-
получившееся выражение еще раз на ?'ф, помимо того, что появятся лиш-
лишние степени sin ф. Действительно, дифференцируя предыдущее вы-
выражение тем же способом снова, находим:
3 (х + iyJ __ 3 sin2 ftea/<P
ду) г3 гЗ
И Т. Д.
Таким образом, если оператор л-+*'л- применяется fe раз, ре-
результат оказывается пропорциональным eik®. Это есть собственная
функция оператора рг если собственное значение рф = hk. Но так
как мы нашли, что любая собственная функция М2 отвечает собст-
собственному значению h2l (I + 1) при целом /, а дифференцирование
-Т- + ijr- составляет часть всех дифференцирований вида (flV), то убеж-
убеждаемся, что и k — с необходимостью целое число. Ясно, что оно не
может превосходить /. Кроме того, если берется оператор ^— i^-t
то собственная функция содержит в показателе — iktp, но опять-та-
опять-таки по абсолютной величине k не превосходит /. Следовательно, мы
нашли все собственные значения рф = hk:
При этом были построены и общие собственные функции опера-
оператора квадрата момента и его проекции Mz. Эти функции называются
в математике шаровыми, или сферическими. Мы определили их так:
Они удовлетворяют одновременно двум
уравнениям:
" i '
hkY~k.
B4
B4.
.40)
40')
MzYfk =
Опыт Штерна и Герлаха. Целочисленность проекций
момента подтверждается в прямом опыте. Идея опыта заключается
в следующем. Между проекцией орбитального момента и проекцией
магнитного момента существует прямая пропорциональная зависи-
зависимость (см. 17.30):
**=-шм* B4-41)
Узкий пучок паров исследуемого вещества пропускается между
полюсами электромагнита в сильно неоднородном поле. Чтобы соз-
276

дать такое поле, один из полюсов электромагнита надо сделать кли-
клинообразным. Частицы (в опыте Штерна и Герлаха — атомы) всту-
вступают в поле параллельно ребру клина, т. е. движутся перпендику-
перпендикулярно плоскости, в которой лежат силовые линии поля. Плоскость
симметрии поля проходит через ребро клина и направление движения
частиц. Будем считать, что ось z перпендикулярна ребру клина и ле-
лежит в плоскости симметрии поля. Если механический момент атомов
имеет только дискретные целочисленные проекции на ось z, то и маг-
магнитный момент атомов может установиться только несколькими
определенными способами соответственно механическому. Отклоняю-
Отклоняющая сила, действующая в магнитном поле на частицу с магнитным мо-
моментом, согласно A7.35) равна:
х-\1г dz -K2tnc dz ' K*w.)
В плоскости симметрии поля Н направлено по г и зависит только
от г. Так как момент Мг может иметь только определенный набор
значений, отклоняющая сила, которая действует на атомы в пучке,
тоже имеет вполне определенное значение для частиц с каждой про-
проекцией момента Mz. Как видно из B4.42), сила является кратной от
•——-=-*-. Поэтому частицы пучка испытывают только такие откло-
отклонения, которые отвечают возможным значениям силы B4.42). Иными
словами, пучок частиц в отклоняющем магнитном поле приобретает
зид не сплошного веера, как следовало бы ожидать по классической
теории, а расщепляется на столько отдельных пучков, сколько зна-
значений принимает число k.
Число это, как мы только что показали (см. B4.38)), заключено
в пределах от — /до /, т. е. принимает 21 + 1 значений. На рисунке
29 представлена картина расщепления для 1=1. Что касается са-
самого числа /, то оно в пучке не изменяется и отвечает состоянию
летящих атомов с наименьшей возможной энергией. Это состояние
связано с определенным квадратом момента (в классической анало-
аналогии— «центробежной энергией», как в §5) и при испарении вещества
обычно не изменяется. Тепловая энергия испарения недостаточна
для того, чтобы энергетическое состояние
атома изменилось, и поэтому все атомы
летят с одним и тем же значением /, но
со случайным распределением проекции
момента k.
Целочисленность k связана с тем, что
две проекции момента одновременно не
существуют.
Это легко связать с опытом Штерна
и Герлаха. Действительно, направление
магнитного поля (или ось г) выбрано со-
совершенно произвольно. Все допустимые
значения проекции момента на эту ось Рис. 29
277

равновероятны. Можно было бы измерить проекции момента на не-
некоторую ось в пространстве, а потом пропустить те же пучки через
магнитное поле, образующее весьма малый угол с полем, в котором
производилось первое измерение. Оба измерения дадут, естественно,
только целочисленные проекции. Но один и тот же вектор не может
иметь одновременно целочисленные проекции на бесконечно близкие,
а в остальном произвольные направления: когда производилось пер-
первое измерение, момент имел проекции только на первое направле-
направление поля и соответственно при втором измерении — только на вто-
второе направление поля.
Подобно тому как не существуют одновременно координата
и импульс, оказывается, что не существуют и две проекции момента
в одном и том же состоянии частицы.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти перестановки:
Мхх, Мху> Mzz,
2) Доказать, что pxf(x)~f(x) рх = -у ^, где / (х) — функция оператора х.
3) Проверить, что [aU?cJ]+ [b [са]]+ [с [ab]] = 0, где прямая скобка —
символ перестановки стоящих в ней операторов.
4) Если перестановка двух операторов [ab] есть число, а не оператор, то
АЛ Г А Л 1 А А
pCL-\-b А а Ь\ . ра . 0о
С? —— с> о С >
Л. А О А
а 1 I а I а 1 а тт
где е = 1 +тт + "от + от и т . д. Доказать.
II ZI о!
5) Доказать, что при переходе к сферическим координатам имеют место
равенства:
М± = (Мх ± iAy)=he*9 (^ ± I ctg # ¦?-)
§ 25. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ВОЛНОВЫМ ФУНКЦИЯМ
Принцип суперпозиции. Одно из самых основных
положений квантовой механики состоит в том, что ее уравнения ли-
линейны относительно волновой функции г[). Это положение следует
из всей совокупности фактов, подтверждающих правильность
квантовой механики, так же как и аналогичное положение в клас-
классической электродинамике (см. § 15) тоже является следствием опыта.
Например, явление дифракции электронов показывает, что
амплитуды волновой функции складываются таким же простым об-
образом, как амплитуды волн в оптике; дифракционные максимумы
278

и минимумы находятся в одних и тех же местах, определяемых только
фазовыми соотношениями, независимо от интенсивности волны.
Все это указывает на линейность волновых уравнений; решения не-
нелинейных уравнений обладают иными свойствами.
Сумма двух решений линейного уравнения снова удовлетворяет
этому же уравнению. Отсюда следует, что любое решение волнового
уравнения можно представить в виде некоторой совокупности стан-
стандартных решений, подобно тому как в § 19 бегущая непериодическая
волна была представлена совокупностью бегущих гармонических
волн.
Утверждение о возможности выражения одних волновых функ-
функций через суммы других волновых функций называется принципом
суперпозиции (наложения).
Эрмитовость операторов. Обычно волновые функ-
функции могут быть выражены при помощи суммы других волновых
функций, которые являются собственными функциями известных
квантовомеханических операторов. В настоящем параграфе будет
показано, как производить такие разложения. Но сначала нужно
установить некоторые общие свойства операторов, собственные зна-
значения которых суть физические величины, доступные измерению.
Пример измерения физической величины мы уже видели в опыте
Штерна и Герлаха. Общее число пучков частиц, получающихся
в результате расщепления исходного пучка этих частиц в магнитном
поле, задает число /, т. е. квадрат момента, а номер данного отдель-
отдельного пучка в совокупности 2/ + 1 пучков — проекцию момента hk
на выбранную ось.
Очевидно, что измеряемые собственные значения должны быть
действительными величинами, хотя сами операторы могут явно
зависеть от i = ]/"— 1 (см. B4.3) и B4.9)). Рассмотрим уравнение
для собственных функций оператора К и другое уравнение, с ним
сопряженное:
&ф = Ад|>, B5.1а)
1*г|>* =Я*ф*. B5.16)
Надо найти условие, при котором собственные значения А, —
действительные числа: Я* = X.
Для этого умножим B5.1а) на if)*, a B5.16) на\|), проинтегрируем
по всей области изменения переменных х, от которых могут зависеть
операторы, и вычтем одно из другого. Тогда получится:
J (я|;*Ь|) - i|u*i|)*) dx = (Я - Я*) ] 1|з*г|) dx.
Но интеграл от i|)*i|) — | г|э |2 не может быть равен нулю, так как
I г|з | 2 — существенно положительная величина.
Собственное значение наблюдаемой величины Я по условию
Действительно, т. е. Я = Я*, поэтому получается соотношение:
fop-$i*ty*)dx = O. B5.2)
279

Равенство B5.2) должно выполняться не только для пары со-
сопряженных собственных функций оператора X, т. е. i|) (X, х) и
ф* (Я, х), но и для любой пары функций %* (х)9 Ф (х), если эти функ-
функции удовлетворяют тем же условиям (конечность, однозначность,
непрерывность), как и собственные функции ф (X, х):
\{X*fob-qi*X*)dx = O. B5.3)
Необходимость такой расширенной формулировки по сравнению
с B5.2) будет разъяснена ниже в этом параграфе. Оператор, для
которого выполнено равенство B5.3), называется эрмитовым.
Проверим теперь, были ли операторы, вводившиеся до сих пор,
эрмитовыми. Возьмем, например, М2 = — ч-, для которого получим:
2л 2л 2л
0 0 0
Здесь положено dx = dtp. Собственные функции оператора Мг
были найдены в предыдущем параграфе. Они равны eik^. Такие
функции при целом k удовлетворяют условию однозначности^ (ф) =
= "Ф (ф + 2я), так что функции %* и г|), подставленные в интеграл,
тоже должны быть однозначными. Проинтегрированная часть выра-
выражения обращается поэтому в нуль при подстановке пределов, откуда
следует эрмитовость оператора Мг:
2л 2л
о о
в согласии с общим требованием B5.3).
В случае М2 надо взять вместо dcp элемент телесного угла dQ. Тог-
Тогда эрмитовость М2 доказывается путем двукратного интегрирования
по частям: по ф и по ф. Для оператора Гамильтона Н (гамильтониана)
dx соответствует dV. Чтобы доказать эрмитовость Я, интегрировать
надо с помощью теоремы Гаусса — Остроградского.
Ортогональность собственных функций.
Из эрмитовости операторов вытекает важное свойство их собствен-
собственных функций. Рассмотрим уравнение для двух собственных значе-
значений одного и того же оператора X:
х) = Х^(Х, х), B5.4а)
XV (*Л х) = ЯV (V, х). B5.46)
Умножим B5.4а) наг|з* (V, x)t a B5. 46) ная^Я, х)9 проинтегрируем
по х и вычтем одно из другого:
\ [у* (X't х) Xq (X, х) - if (X, х) X \* (Х\ х)\ dx =
= (Х-Х') \ г|з* (V, х) у (X, х) dx. B5.5)
280

Левая часть этого равенства обращается в нуль согласно общему
требованию эрмитовости B5.3). Поэтому, если А/ Ф Я, должен быть
равен нулю интеграл
$ф*(А/, *ЖЯ, x)dx=0. B5.6)
Это свойство волновых функций называется их ортогонально-
ортогональностью.
Иногда одному и тому же состоянию системы может соответст-
соответствовать несколько величин %, v и т. д. Для этого необходимо, чтобы
операторы X, v, ... были перестановочны. Например, при свободном
движении частицы существуют рХ9 ру и рг, или, как уже было пока-
показано, М2 может иметь собственное значение вместе с Mz. Тогда
строятся функции, собственные по отношению ко всем операторам
одновременно, типаеА у z или Ч). В общем случае должны
выполняться равенства:
v; x) = fof>(k, v; x),
v^(X, v; x)=vyp(Ky v; x)
при
Для таких функций
\ г|з* (Г, V; х) ф (Я, v; x) dx - 0, B5.7)
если %' Ф X или v' ф v.
Разложение по собственным функциям.
Предположим, что известны собственные функции некоторого опе-
оператора К. Эти функции удовлетворяют, кроме уравнения &ф = Ад|),
еще и некоторым требованиям, связанным с условиями задачи оты-
отыскания собственных значений: они конечны, однозначны, непре-
непрерывны и т. п. Тогда согласно принципу суперпозиции любая функ-
функция i|) (х), удовлетворяющая тем же требованиям, может быть пред-
представлена как сумма собственных функций оператора i:
Ф (*) = 2'И> (*'¦*)• B5.8)
Покажем теперь, как определить коэффициенты разложения с?
Для этого умножим обе части уравнения на г|э* (X, х) и проинте-
проинтегрируем по х:
5 x)dx. B5.9)
Согласно условию ортогональности все интегралы в правой
части равенства B5.9) обращаются в нуль, кроме того, в котором
Xе = X. Следовательно, остается уравнение:
281

Будем считать, что собственные функции \|) (X, x) могут быть нор-
нормированы на единицу, т. е. что § (г|) (X, х) \2dx=l (см. B3.17)).
Вместе с условием ортогональности B5.6) условие нормиров-
нормировки может быть записано в виде одного уравнения с помощью символа
6U', где 8м' = 0 при X Ф X' и 8U> = 1 при X = V:
где 8US разумеется, не тензор, а просто символ с указанными
свойствами.
Для коэффициента разложения сх получаем уравнение:
Ся, = $Ч>*(Ь, x)y(x)dx. B5.11)
В случае, когда имеется система перестановочных операторов
ЗС, v, равенство B5.11) непосредственно обобщается:
<*.v=$t|)*(b, v; x)^(x)dx9 B5.1 Г)
если
$ Г (X', V; *)t|>(A,, v; x)dx = 8KK,8vv,. B5.10')
Таким образом, состояние* 1|э (лс), в котором величина X не имеет
определенного значения, так как г|э (х) — не собственное состояние опе-
оператора X, представляется в виде суммы состояний со строго опреде-
определенными, собственными значениями X. Слагаемое волновой функции,
отвечающее некоторому значению X, есть
ctfiKx). B5.12)
Оно представляет амплитуду вероятности данного значения
величины X в состоянии^ (х). Чтобы найти вероятность w% появления
величины Я, надо исключить зависимость от х, так как х и X в одном
состоянии не существуют.
Для этого определим плотность вероятности состояния с дан-
данным X, т. е. | с% | 2| гE (Ху х) |2, и проинтегрируем по всем х. Из усло-
условия нормировки собственных функций получим:
wK = \ck\*l\y(k х)\Ых = \с^. B5.13)
Проверим теперь, что величины | с% |2 имеют основное свойство
вероятностей: сумма их по X равна единице,. если сама функция
г|э (х) удовлетворяет условию нормировки B3.17). Действительно,
воспользуемся условием ортогональности B5.10). Тогда получим:
1 = $ IФМ Г <** = S B с1Г (К х) ^ <И> ft', x)\ dx -
\ я ^- у
* Принято говорить для краткости вместо «состояние с волновой функцией
(х)» просто о состоянии if> (x).
282

Сравнивая с B5.13), имеем:
1Х = 2Ы2=1. B5.14)
Следовательно, коэффициент сх нужно рассматривать как ампли-
амплитуду вероятности, подобно^ (х). Но г|) (х) — это вероятность найти
частицу с координатой х независимо от X, а с\ — вероятность найти
ее с данным значением величины X независимо от х.
Теперь можно вернуться к смыслу условия эрмитовости опера-
операторов B5.3). Из этого условия вытекает ортогональность собствен-
собственных функций с различными значениями X. Если система находится
в состоянии с некоторым собственным значением X, то амплитуда
вероятности появления в этом состоянии другого значения X' Ф X об-
обращается в нуль, потому что из B5.11) следует:
cv = $ г|>* (V, х) я|> (К х) dx = 0, B5.15)
если X' ФХ. Таким образом, из эрмитовости операторов вытекает
вещественность собственных значений и возможность «чистых
состояний» со строго определенными значениями некоторых вели-
величин.
Разложение функции \|) (х) по собственным функциям оператора X
весьма напоминает разложение вектора по единичным векторам,
направленным вдоль осей декартовой системы координат. Роль
этих единичных векторов, или ортов, играют собственные функции
оператора \р (X, х), а роль проекций вектора на оси — коэффициенты
разложения сх. Условие нормировки аналогично выбору единичных
векторов для разложения (п^1)J = 1, и если разлагаемый вектор
имеет единичную длину, т. е. нормирован сам, то и сумма его проек-
проекций равна единице, подобно условию ]s] | Ci\2= 1.
А,
Определение величины проекции вектора А на ось, записанное
в тензорных обозначениях, следующее:
Тогда
Эти две формулы следует сопоставить с B5.11) и B5.8). Суммиро-
Суммирование по тензорному значку а аналогично интегрированию по х,
суммирование по номеру орта i аналогично суммированию по X.
Мы как бы имеем вектор г|э (х) в пространстве с несчетным множест-
множеством измерений вместо трех измерений евклидова пространства.
Кроме того, «длина» такого вектора определяется не как сумма квад-
квадратов его компонент, а как сумма квадратов их модулей, так как
вектор комплексный.
Сравнение г|э (х) с вектором можно продолжить. Для этого обра-
обратимся к уравнению (9.9), которое служит для отыскания главных
осей и главных значений тензора инерции /ар. Это уравнение подобно
283

B4.12), из которого определяются собственные значения оператора &
и собственные функции^ (А,, х), которые, как только что было ука-
указано, аналогичны ортам, или единичным векторам по направлению
декартовых осей. Ортогональность волновых функций находит свою
аналогию в перпендикулярности главных осей тензора инерции:
В § 9 было показано, что перпендикулярность главных осей тен-
тензора инерции вытекает из симметрии тензора Ja$ = /ра. В прост-
пространстве с комплексными векторами вместо симметрии требуется
эрмитовость операторов. В дальнейшем мы покажем, что условия
симметрии и эрмитовости записываются весьма сходным образом.
Математическое понятие комплексного пространства, подобного
евклидовому, помогло формулировке законов квантовой механики.
В математике такое пространство называется гильбертовым.
Разложение по собственным функциям
проекции момента. Поясним смысл разложений по соб-
собственным функциям на примере опыта Штерна и Герлаха. Пучок
атомов расщепляется на некоторое число отдельных пучков соответ-
соответственно числу проекций момента на магнитное поле Мг = hk.
Если наибольшее значение проекции равно Ы, то kf как уже указы-
указывалось, принимает 2/ + 1 значений: от — /до /, изменяясь через еди-
единицу.
Собственная функция, отвечающая Мг = hk, есть
Й B5Л6)
где множитель Bя)-!/2 введен для нормировки:
Если каждый из отдельных пучков снова пропустить через маг-
магнитное поле, параллельное той же оси г, то дальнейшего расщепления
не произойдет, так как Мг в каждом из этих пучков имеет одно опре-
определенное значение, а не весь набор в интервале — / ^ & ^ /, как
это было в исходном пучке. Отсюда хорошо виден смысл ортогональ-
ортогональности собственных функций. Если частица находится в пучке, кото-
которому соответствует данное значение А, то вероятность найти ее в пуч-
пучке с другим значением проекции Mz = hk' ф hk равна нулю.
По общему правилу вероятность равна квадрату модуля коэф-
коэффициента разложения ск> функции if> (k, ф) по функциям \|) (&', <р),
т. е. согласно общей формуле:
1 1ф (k' — k) 2л
2л ilk' — k) о
о
в { о, и ф
\ 1, W =
284

Если второе магнитное поле направлено по оси х> то снова про-
произойдет расщепление пучка, потому что в таком поле выделяется
составляющая момента Мх, которая не существует вместе с Мг.
Число компонент расщепления снова окажется равным 2/ + 1, так
как оно определяется максимальной проекцией момента /. Эта послед-
последняя величина не может зависеть от того, как направлено магнитное
поле, и связана только с состоянием атомов в исходном пучке.
Собственные функции Мх суть
Ъ(к<ъ)№, B5.16')
где — / ^ kx ^ /, а со — угол поворота вокруг оси х.
Функции B5.16) и B5.16') не совпадают, как и должно быть для
функций неперестановочных операторов.
Итак, в магнитном поле, направленном по оси х, пучок частиц
с данным значением k расщепится на 2/ + 1 пучков с определенным
значением Мх. Следовательно, функция B5.16) представится как
сумма функций B5.16'):
Ф(*. Ф)= 2 ck$(klt o>). B5.17)
Квадрат модуля | ck> I2 показывает, какая доля частиц из пучка
с данным значением k окажется в пучке, отвечающем проекции мо-
момента на ось ху равной hkv
Если второе магнитное поле ориентировано не по оси х9 а состав-
составляет небольшой угол с первоначальной осью z, то среди коэффициен-
коэффициентов разложения типа B5.17) наибольший квадрат модуля имеет тот,
у которого значение проекции на новую ось (кг) близко к проекции
на старую ось (k). Остальные коэффициенты малы.
Волновая функция и измерение величин.
Предыдущий пример определения проекций момента поясняет,
какую роль играет процесс измерения в квантовой механике. До
того, как над исходным пучком был поставлен опыт Штерна и Гер-
лаха, т. е. до прохождения частицами магнитного поля, о значении
проекций их момента вообще ничего нельзя было сказать. В зависи-
зависимости от того, как было повернуто магнитное поле, получались либо
проекции момента на ось г, либо на ось х, но, разумеется, не те и дру-
другие сразу.
Отсюда видна особая роль измерительного прибора в кванто-
квантовой механике, весьма отличная от его роли в классической, некван-
неквантовой физике. Если классическое измерение сказывается на измеря-
измеряемом объекте сколь угодно слабо и совершенно в принципе не меняет
значения измеряемых величин, то измерение, производимое над мик-
микрообъектами, сказывается на них столь сильно, что просто исклю-
исключает некоторые другие, одновременные измерения.
Например, измеряя проекцию момента на ось z, нельзя вместе
с ней измерять какую-либо иную проекцию. Это убедительно сле-
следует из опыта Штерна и Герлаха. Измеряя значение координаты
285

частицы, мы теряем возможность одновременного измерения ее
импульса в соответствующем направлении. Чтобы измерить коор-
координату с точностью Ах, надо пропустить частицу через щель шири-
шириной Ах, но тогда дифракция создаст неточность импульса Арх ^
^-д—. Здесь измерительным прибором является экран со щелью.
Таким образом, рассматривая процесс измерения, необходимо не те-
терять из виду измеряющий прибор, некоторый классический объект
типа магнита или экрана со щелью.
Определение любой физической величины неразрывно связано
со способом ее измерения. В классической физике эта связь менее
заметна, так как измерение сколь угодно слабо влияет на измеря-
измеряемый объект. В квантовой механике положение диаметрально про-
противоположно: после измерения объект находится обычно в ином
состоянии, чем до него. Поэтому не имеет смысла одновременное
измерение некоторых величин в соответствии с принципом неопре-
неопределенности. Таким образом, этот принцип находит свое обоснование
при анализе измерительной операции. В этом смысле квант дейст-
действия h как бы измеряет воздействие прибора на микрообъект, напри-
например, задает неопределенность импульса, возникшую при прохожде-
прохождении частицы через щель.
Не следует думать, однако, что в результаты физических изме-
измерений как-то «вмешивается» воля измеряющего. В итоге опытов над
большим числом одинаковых объектов можно узнать, в каком состоя-
состоянии они находились до измерения, совершенно независимо от способа
измерения. Измеряющий только выбирает этот способ (например,
направление магнитного поля в опыте с расщеплением пучка),
но зате*м получает вполне определенное число компонент расщепле-
расщепления и определенную интенсивность каждого пучка. Если изучается
однократное прохождение пучка через магнитное поле, эксперимен-
экспериментатор всегда имеет 2/ + 1 компонент расщепления и выносит отсюда
заключение, что в данном пучке проекция момента не имела никакого
определенного значения.
Пусть теперь один из пучков, уже с некоторым заданным значе-
значением k, выведен в другое помещение, и там второй экспериментатор
снова производит опыт Штерна и Герлаха.
Если магнитное поле во втором опыте ориентировано произ-
произвольно, то получится, как было указано, 2/ + 1 пучков, но, меняя
направление магнитного поля, можно добиться того, что никакого
расщепления больше не произойдет. Так будет тогда, когда второе
магнитное поле направлено параллельно первому. Отсюда второй
экспериментатор заключит, что частицы в пришедшем пучке обла-
обладают волновой функцией вида B5.16). Здесь измерение позволяет
установить, что частицы до измерительного процесса находились
в определенном «чистом» состоянии.
Если поле ориентировано так, что во втором опыте наблюдается
новое расщепление пучка частиц, то волновая функция в каждом
из получившихся пучков не будет совпадать с исходной. Но между
286

ними будет вполне четкое соотношение B5.17), никак не зависящее
от воли производящих измерение.
Квантовая механика не делает субъективным результат измери-
измерительного процесса, но ограничивает возможность одновременной
постановки некоторых измерений. Осуществимы либо одни, либо
другие из них, но не те и другие сразу. Это высказывание известно
под названием принципа дополнительности. По существу он равно-
равносилен принципу неопределенности.
Средние значения величин в квантовой
механике. Как мы видели, измерение величины в квантовой
механике не всегда приводит к одному строго определенному значе-
значению. Только в «чистом» состоянии вероятность появления некоторого
значения в процессе измерения равна единице, т. е. достоверности.
В общем случае значение измеряемой величины Я появляется с ве-
вероятностью w\. Найдем среднее значение измеряемой величины
согласно определению:
<А>^2>^. B5.18)
х
Подставим сюда w% из B5.13) и с%, из B5.11):
Пользуясь условием действительности собственных значений Я,
заменим произведение Яг|)* (Я, х) под интегралом на Я*г|э* (Я, х)
и будем сначала суммировать, а потом интегрировать. Тогда получит-
к
Но оператор Я* не зависит от конкретного значения Я (например,
если Я = pxt тоЯ* = —Тд~)' Поэтому вынесем Я* из-под знака
суммы:
к
Но сумма 2 city* (X, x)=ty*(x), так как это есть уравнение,
к
комплексно сопряженное с B5.8), поэтому
Пользуясь, наконец, эрмитовостью оператора ?, т. е. формулой
B5.3), приходим к искомому выражению среднего:
(K) = \y*(x)iy(x)dx. B5.19)
Таким образом, чтобы вычислить среднее значение X в состоянии
i|) (х), не надо знать собственных значений оператора Я, а достаточно
вычислить интеграл B5.19).
287

Если состояние \|) (x)—не «чистое» собственное состояние оператора
&, то каждое измерение переводит частицу в другое состояние. Но
имея достаточное количество частиц в одинаковом исходном состоя-
состоянии и произведя измерение последовательно над каждой, можно по-
получить значение (X) в исходном состоянии со сколь угодно боль-
большой точностью. Это значение вполне воспроизводимо, но, разумеется,
надо выполнять измерения не над теми частицами, которые ему уже
подвергались, а над «свежей» порцией частиц, находящихся в том же
состоянии, какое было перед первой серией измерений.
Вывод соотношений неопределенности
для (Ах) (Ар). Определим (А*) как
(Ax) = V((x-xof) B5.20)
и соответственно (Арх) как
. B5.20')
Для простоты записи положим х0 = 0, рХо = 0. Рассмотрим те-
теперь такой интеграл от существенно положительной величины:
где а и Ъ — действительные числа.
Раскрывая подынтегральное выражение, получим:
.рх^dx —
;^* dx.
Слагаемые, содержащие р?г|э*, преобразуем, пользуясь эрмито-
востью рХУ так что возникает перестановка рхх — xpxt которая
равна -^» согласно B4.17). Все выражение интеграла должно оста-
оставаться положительным при любых значениях а и 6, что возможно
только в том случае, если коэффициенты при а2, Ь2 и ab удовлетво-
удовлетворяют неравенству:
4 ( $ г|>* >ф dx) (\ ^*pl^ dx) ^ /г2 $ ф*г|> dx == h\
После извлечения квадратного корня получим:
(Ах)(АРх)^^. B5.21)
Это самая нижняя оценка неточностей (Ах) и (Ар*).
Из хода рассуждения видно, что B5.21) справедливо для любой
пары эрмитовских операторов, если их перестановка — число.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Пользуясь тем, что средние значения некоторой величины в том состоя-
состоянии, которое является собственным для оператора, соответствующего этой вели-
величине, совпадают с собственными,показать, что собственные, значения квадрата
момента равны /г2/ (/+ 1).
28$

Решение. Образуем квадрат момента:
Найдем среднее значение от обеих частей равенства:
Воспользуемся тем, что среднее значение квадрата любой проекции момента
одно и то же:
Среднее значение квадрата проекции момента можно найти из того, что все
его проекции равновероятны:
/»«ч_ 1 V««_ А2 /(/ + 1М2/ + 1)
j
Но так как все рассматриваемые состояния с различными проекциями М2
по отношению к Л12 — собственные состояния, находим:
2) Найти собственные значения энергии квантового симметричного волчка.
(Примером такого волчка может служить молекула аммиака, имеющая форму
пирамиды с основанием в виде правильного треугольника.)
Решение. Энергия симметричного волчка, выраженная через проекции
момента, равна (см. (9.17)):
я=2т;(м!+М1) +
Переходя к М2, имеем:
Подставляя собственные значения момента и его проекции, находим окон-
окончательно:
§ 26. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В классической механике мы видели, что возможна такая форму-
формулировка ее законов, при которой координаты и импульсы входят в
уравнения симметричным образом (§ 10). В квантовой механике те и
другие величины не существуют одновременно. Но правомерно по-
поставить вопрос о том, как перейти от координат к импульсам, считая
последние независимыми переменными, иначе говоря, ввести в урав-
уравнение импульсы вместо координат. Кроме импульсов, можно выбрать
и какую-нибудь иную систему переменных. Ограничение состоит
только в том, что эти переменные должны существовать в одном и том
же состоянии.
Матричное представление операторов.
Пусть в уравнении для собственных функций оператора Я, записан-
10 Компанеец А. С, 289

ном в переменных х, надо перейти к независимым переменным v.
В качестве . исходных уравнений возьмем следующие:
*), B6.1)
vi|)(v, x)=v\|)(v, x). B6.2)
По виду они напоминают B4.12) и B4.13), но теперь операторы
X и v не коммутируют между собой (т. е. не перестановочны: коммута-
коммутация — перестановка).
Разложим собственную функцию оператора X в ряд по собствен-
собственным функциям оператора v:
Ц(К x) = 2M>(v, *), B6.3)
V
где коэффициент разложения cv определяется общей формулой
B5.11):
Cv = $ г|)* (v, х) г|) (К, х) dx. B6.4)
Подставим это разложение в уравнение B6.1), умножим обе
части равенства слева на гр* (v', x) и проинтегрируем по х. Справа
в силу B5.10) получим:
= У j CyOyy' = Cy%
V
Слева введем следующее обозначение:
Vv = \ Ц* (v', х) ^ (v, х) dx. B6.5)
Изменим, кроме того, обозначение значка суммирования v
на v'. Тогда уравнение B6.1) приведется к виду:
^Kv>Cv> = hcv. B6.6)
V'
В таком виде оно весьма напоминает уравнение (9.9) для разыска-
разыскания главных значений тензора инерции. Вместо величины с двумя
значками Ja$ мы имеем здесь другую величину, или, точнее, сово-
совокупность величин, A,VV'. Такую совокупность удобно располагать
в виде таблицы:
XVy' = Я21 А,22... А,2у'... B6.7)
которую принято называть матрицей. Отдельный элемент kvvr на-
называется матричным элементом.
Таким образом, оператор % в произвольных переменных v в самом
общем виде представляется матрицей B6.7). Дальше будет показано,
290

что исходная форма действия оператора i B6.1) тоже может быть
приведена к виду B6.6).
Если B6.6) служит для разыскания тех же собственных значе-
значений Xt что и B6.1), то естественно понимать коэффициенты сы9
входящие в B6.6), как собственные функции оператора А, в перемен-
переменных v, что можно записать следующим образом:
v). B6.8)
Тем самым мы осуществили как бы переход к новой системе
координатных осей в гильбертовом пространстве. Уравнение B6.1)
определяло систему собственных векторов оператора к (х), i|? (к, х),
а B6.6) дает систему собственных векторов cv = г|? (A,, v) оператора
Я (v) = AVV'.
Здесь под A,vv надо понимать всю совокупность матричных эле-
элементов, т. е. матрицу B6.7).
Условие эрмитовости оператора Xvv> очень просто переписать
в матричных обозначениях. Подставляя в это условие, выраженное
в форме B5.3), х = 'Ф (v> х)> 'Ф = "Ф (v'>*)> получаем:
\ 'Ф* (v,
= Ki|)*(v', x)hp(v, х)йл;1*,
или, пользуясь общим обозначением матричного элемента B6.5),
л л % /ОЛ О\
В таком виде условие эрмитовости оператора очень напоминает
условие симметрии тензора. Но так как векторы в пространстве
Гильберта комплексные, вместе с перестановкой значков следует
произвести комплексное сопряжение.
Покажем теперь, как записать в матричном виде результат
последовательного применения двух операторов! и г] к некоторому
вектору cv. Действие первого оператора запишется в следующем
виде:
п \1 \ п /ОС 1 А\
V
где aV' — новый вектор (ср. в § 9: M0L=Ja$(d$, где (о^ —вектор угло-
угловой скорости, а Ма — вектор момента). Тогда действие следующего
оператора rj на <v в матричном виде надо представить так:
Ц (] B6.10')
v' v' v v \ v'
Отсюда видно, что результат последовательного действия двух
операторов на вектор cv есть следующая матрица:
D%v = 2 ^vXv'v, b» = 2 WWv. B6.11)
Vе V
10* 291

Получившаяся формула выражает правило матричного умно-
умножения. Оно соответствует последовательному действию двух опе-
операторов, г} и Я. Из формулы B6.11) видно, что умножение матриц
неперестановочно, так же как действие операторов:
(b])nv = 2 V'%'v Ф 2 %vV'v = D^)ixv. B6.12)
Умножение вектора на число всегда можно представить в виде
flCvEE^afiw'ty, B6.13)
где 8VV' — единичная матрица в гильбертовом пространстве.
С помощью матрицы iw правило перестановки (коммутации)
каких-нибудь двух операторов, дающих в результате перестановки
число, как например рх и х, выглядит так:
2 ((P*W Wvv - (*W (A*)w) = 7" б^ B6.14)
Если же перестановка дает не число, а новый оператор, как
между составляющими момента, то в матричном виде она записы-
записывается следующим образом:
Л [(Mx)w (My)w - (My)»* (MJvvl = ih (M*W B6.15)
Диагональная форма матриц. С помощью фор-
формулы B6.4) можно представить переход к собственной функции
в переменной v, т. е. if> (A,, v) = cv следующим симметричным обра-
30М: ф (X, v) - $ у* (v, х) я|) (К х) dx. B6.16)
Это есть общая формула для преобразования независимой пере-
переменной. Но этой же формуле можно придать и другой смысл, если
положить v = >Л Иначе говоря, формула B6.16) осуществляет
при v = А/ переход к системе переменных, которые сами являются
собственными значениями данного оператора:
$ К x)dx. B6.17)
Но в силу условия ортогональности собственных функций B5.10)
получается: ^ ь)==бх,х. B6Л8)
Собственная функция оператора в системе его собственных зна-
значений есть просто б-матрица. Весьма просто выглядит в этих пере-
переменных и сам оператор. Это видно непосредственно из уравне-
уравнения B6.6). Подставляя в него найденную собственную функцию
?\ = бХх' (v = Я), видим, что и в матрице, представляющей опера-
оператор в его собственных переменных, остаются только члены, стоя-
стоящие по главной диагонали в таблице B6.7):
(X)w = №tt-. B6.19)
292

Иначе говорят, что оператор приведен к диагональному виду.
Для того чтобы два оператора могли быть приведены к диагональ-
диагональному виду одновременно, т. е. в одном и том же состоянии, они
должны быть перестановочны. В диагональной форме две матрицы
Есегда перестановочны, так как если X^v = ^W Цуе = 4&ve> то
произведение
= Хц 2 6^V6V8
равно произведению
Но перестановочность двух матриц не может зависеть от системы
переменных, в которых они выражены. Переход к другой системе
переменных есть, как указывалось, поворот координатных осей
в гильбертовом пространстве. Но если некоторая матрица, в данном
случае равная перестановке двух других матриц, не равна нулю
в одной системе осей, никакой поворот не может сделать ее равной
нулю в другой системе. Чтобы две матрицы были перестановочны
в некоторой координатной системе, они должны переставляться
в любой системе. В частности, соответствующие операторы должны
переставляться и не в матричном видеу а в координатном представ-
представлении.
Тогда каждый из матричных значков [i, v, 8 в написанных
только что выражениях соответствует некоторому набору собствен-
собственных значений операторов X и т], существующих одновременно.
В этом отличие этих выражений от формулы B6.19), относящейся
только к собственным значениям одного оператора X.
Переменные могут принимать как дискретный, так и непрерыв-
непрерывный ряд значений. Например, углы поворота изменяются непре-
непрерывно, а собственные значения квадрата момента и его проекции —
дискретно. Поэтому желательно придать формулам преобразова-
преобразования такой смысл, чтобы они в одинаковой степени были применимы
к дискретной и непрерывной совокупностям переменных.
Допустим, что переменная X изменяется непрерывно. В § 24
было указано, что собственная функция оператора в его перемен-
переменной (в том случае х) равна нулю везде, кроме некоторой точки
х = х'у отвечающей собственному значению. Следовательно, если
собственные значения X образуют непрерывный ряд значений, то
1|з(А/, Х) = \^*(Х', х)Ц>(Х, x)dx = 0 при Xf^Xf B6.20)
что согласуется с условием ортогональности B5.6). Но если в слу-
случае дискретного ряда собственных значений X при А, = X' интег-
интеграл B6.20) равен единице, то при непрерывности X положение ме-
меняется. Чтобы исследовать этот случай, умножим обе части B6.20)
на некоторую функцию с (Я), проинтегрируем по всему интервалу
293

изменения к и, кроме того, переставим справа интегрирования по к
и по х:
Лу*(к', x)dx\c{k)ty{k, x)dk. B6.21)
Тогда интеграл по dk справа, т. е. \с (к) -ф (к, х) dk, можно рас-
рассматривать как обобщение ряда B5.8) на непрерывный спектр зна-
ЧеНИЙ Я: $ (х) = \с (к)ф (К х) dk. B6.22)
Поставим теперь основное требование к функциям непрерывного
спектра: коэффициенты ряда B5.8) и подынтегральная функция
с (к) в разложении B6.22) должны выражаться совершенно анало-
аналогичным образом, т.е. (см. B5.11)):
с(к) = \ Ц* (К х) ур (х) dx. B6.23)
Но из этой формулы видно, что в правой части B6.21) стоит не
что иное, как с (kf):
B6.24)
Итак, собственная функция г|> (к', к) имеет то замечательное
свойство, что она при интегрировании просто заменяет аргумент
множащейся на нее под интегралом функции:
$я|)(Г, k)c(k)dk = c{k'). B6.25)
Желая сохранить аналогию с дискретным спектром к, удобно
вместо 6м/-матрицы ввести аналогичное обозначение — б-функ-
цию. Обозначая я|з (V, к) = б (к' — к), запишем:
I б (к' - к) с (к) dk = с (А/). B6.26)
Выбирая с (к) = 1, находим согласно предыдущему равенству:
\8{k'-k)dk=l. B6.27)
Таким образом, нами получены основные два свойства б-функ-
ции, введенной Дираком: она равна нулю везде, кроме той точки,
где ее аргумент равен нулю, а в этой точке обращается в бесконеч-
бесконечность таким образом, что интеграл от нее равен единице.
С помощью б-функции условие нормировки в непрерывном
спектре пишется следующим способом, обобщающим B6.20):
$ Ч>* (V, х) яр {к, x)dx = b (к' - к). B6.28)
Таким образом видно, что хотя интеграл от квадрата | г|) (к, х) |2
обращается в бесконечность, никаких трудностей нормировка функ-
функций в непрерывном спектре с собой не несет. Вместо единицы, как
в дискретном спектре, в непрерывном спектре надо нормировать
на б-функцию.
294

Дифференцируя обе стороны равенства B6.26) по %', находим:
$ [^ б (*/ - X)] С(\)с11 = ?ф. B6.29)
При надобности эту формулу можно дифференцировать столько
раз, сколько производных имеет с (А/). Таким образом, б-функцию
под интегралом можно дифференцировать сколько угодно раз,
если это потребуется.
Фактически мы уже встречались с б-функцией, рассматривая
распределение заряда (т. е. функцию его плотности) для того слу-
случая, когда заряд считался точечным. И тогда интеграл от плотности
по объему равнялся конечной величине, как в формуле B6.27).
Переход к импульсному представлению.
Для примера рассмотрим, как выглядят уравнения квантовой ме-
механики, если в качестве независимых переменных вместо координат
взяты проекции импульса. Заметим прежде всего, что и в коорди-
координатном представлении, т. е. при независимых переменных х, у и г,
уравнениям квантовой механики можно придать общую матричную
форму B6.6). Для этого оператор X (х) надо представить в виде
X (х') б (л: — х') и вместо суммирования ввести интегрирование.
Производные, входящие в оператор X (х), заменяются соответст-
соответственными производными от б-функции, как в равенстве B6.29): от
т- надо перейти к —-, б (х' — х).
Несмотря на то что координатная форма записи квантовомеха-
нических уравнений, казалось бы, проще всех, другие представле-
представления во многих случаях имеют ряд преимуществ, которые станут
понятны из дальнейших применений. В. Гайзенберг, нашедший
основные уравнения квантовой механики независимо от Шредин-
гера, пользовался не координатным, а явным матричным предста-
представлением с самого начала.
Найдем теперь оператор умножения на координату в импульс-
импульсном представлении. Для этого в формуле B6.16) переставим X и v:
ф (v, X) = J ф* (Я, х) г|) (v, х) dx. B6.30)
Получилась собственная функция оператора v в переменных X.
Но из сравнения с B6.16) видно, что г|э (v, X) комплексно сопряжена
с функцией я|) (Ху v):
i|>(v, Х)=Ц*(Х, v). B6.31)
Отсюда ясно, как будет выражена собственная функция коор-
динаты в переменной импульса: если г|) (рх, х) = е h » то
*Рхх
Ч> (*. Рх) = е h • Так как уравнение для собственных значений
координаты есть
295

в переменных импульса надо взять
*„*.*• B6.32)
Вместо оператора кинетической энергии в переменных импульса
мы получим просто умножение на число:
т = ^№+р1 + р1)- B6-33>
Зато для потенциальной энергии может получиться более сложный
оператор, чем в координатном представлении, т. е. он будет иметь
вид матрицы, не умноженной на 6-функцию.
Найдем оператор потенциальной энергии для конкретного слу-
случая кулонова поля. Для этого надо сначала нормировать собствен-
собственную функцию if> (рх, х) в непрерывном спектре. Вспомним интег-
интегральную теорему Фурье, приводившуюся в § 19. Эта теорема та-
такова: если две функции связаны интегральным соотношением:
оо
eiuxg(x)dx,
—¦00
f(«) = =
то обратное преобразование от f (и) Kg (х) пишется так:
g(x) = -= \ е
—*оо
Эти формулы надо сопоставить с B6.22) и B6.23). Вместо Я в
t x
B6.22) надо подставить рХу а вместо ^ (Я, х) дробь г е h % Тогда
видно, что
ipx ip х
со —j~ со -j2—
^ ^{Х)С1Х B634)
уже с правильной нормировкой, поскольку B6.22) и B6.23) как
раз и определяли условие нормировки.
Чтобы найти матричный элемент кулоковской потенциальной
энергии, надо, таким образом, вычислить следующий интеграл:
В нем в качестве каждого значка v' и v входят все три компо-
компоненты векторов импульса /?' и р.
* Такой простой переход возможен только в данном случае, см, стр. 300.
296

Интеграл проще всего найти таким способом. Определим «по-
«потенциал» ср некоторого распределения «зарядов», равного р =
i(p-p') г
=ЕBяЛ)~8е h • Согласно § 16 ф удовлетворяет уравнению:
i(p—p')r
Потенциал от элемента заряда pdV равен
Тогда потенциал всего заряда в точке г = О выражается как
раз формулой B6.35). Но решение уравнения для потенциала, как
зто непосредственно видно, представляется так:
i(p — P')r
Это можно проверить, подставив B6.36) в уравнение Пуассона.
Выражение B6.35) получится, если подставить сюда г — 0. Таким
образом, матричный элемент от — выглядит так:
-рГ' B6'37)
Т)РР>
а интегральное уравнение Шредингера для движения частицы
в кулоновом поле, записанное в переменных импульса:
(?, р') dxn,
Вообще уравнения квантовой механики, если выражать их в про-
произвольных переменных, интегральные. Специальная особенность
координатного представления состоит в том, что оно приводит
к б'-функциям для операторов компонент импульса, и поэтому
интегральные уравнения переходят в дифференциальные. Во вся-
всяком случае представление оператора с помощью б'-функции, т. е.
производной от б-функции, никак нельзя считать диагональным:
такая функция отлична от нуля в области, сколь угодно близкой
к нулевому значению аргумента, но не точно там, где аргумент
равен нулю.
Выражение B6.32) для координаты в переменкой импульса
справедливо потому, что импульс и координата определены в одном
и том же интервале: они изменяются непрерывно от — сю до оо.
Но, например, угловая координата — азимут — изменяется только
в пределах от 0 до 2я. Благодаря этому на волновую функцию на-
накладывается условие однозначности, которое в применении к дан-
данному случаю выглядит так:
. B6.39).
ф
Подставляя сюда г|) (р^, <р) = е h » находим: рф = hk.
297

Раньше мы получили этот результат, пользуясь общим усло-
условием однозначности волновой функции в ее зависимости от прост-
пространственных координат х, у и г, откуда следовала целочисленность I
и k. Пример B6.39) приведен для того, чтобы показать, как из
ограниченности интервала изменения координаты ср получается
дискретный спектр соответствующего импульса рф. А это в свою
очередь приводит к тому, что оператор умножения на угол <р в пере-
переменных рф отнюдь не имеет простого вида, аналогичного B6.32)
(см. упражнение).
Иначе это можно высказать так: математическая дифференциаль-
дифференциальная запись оператора рх (или рф) фактически не определяет его,
пока не указаны граничные условия, налагаемые на собственную
функцию. Интегральное представление оператора в отличие от диф-
дифференциального является полным и поэтому иногда предпочтитель-
предпочтительнее.
Унитарные преобразования. Рассмотрим неко-
некоторые общие свойства преобразований от одной системы незави-
независимых переменных к другой. Найдем прежде всего преобразование,
обратное B6.16), т. е. приводящее от независимой переменной v
к переменной х:
Ч>(Я, x) = l$*(x> v)-ф (Я, v)dv. B6.40)
Здесь принята интегральная форма записи, но, как уже было
показано, она в принципе ничем не отличается от записи с помощью
суммы для дискретного спектра. Используя соотношение B6.31),
избавимся от комплексно сопряженных функций, и тогда B6.16)
и B6.40) будут выглядеть следующим образом:
, v)dx, B6.41)
v, x)dv. B6.4Г)
Получившиеся формулы преобразования построены по типу мат-
матричного умножения B6.12): безразлично, ставить ли значки в ин-
индексах или в аргументах функции двух переменных, а также сум-
суммировать или интегрировать по матричному значку.
Таким образом, можно сказать, что мы определили матрицу
преобразования от переменных х к переменным v:
t/*v = 4>(*. v), B6.42)
а также матрицу обратного преобразования, которую принято
писать как Uvx с показателем —1:
х). B6.42')
, что между матрицами пря-
ествует соотношение:
= t/Jv B6.43)
Но тогда из формулы B6.31) видим, что между матрицами пря
мого и обратного преобразований существует соотношение:
298

Принято называть операцией эрмитовского сопряжения матрицы
переход к комплексно сопряженным элементам с одновременной
перестановкой значков. Чтобы отличать эрмитовское сопряжение
от комплексного, принято вместо звездочки ставить крестик:
U*VX=U$V. B6.44)
Применяя эту запись к матрице [/, перепишем B6.43) так:
f/vi = ?/k. B6.45)
Иначе говоря, матрица, обратная UXVi в то же время является
эрмитовски сопряженной с ней. Такие матрицы называются уни-
унитарными (напоминаем, что элементы эрмитовской матрицы удов-
удовлетворяют соотношению: Лар = Л«з).
Из определения обратной матрицы имеем:
lU'l{v'9 x)U(x, v)dx = 8vv>, B6.46)
так что унитарная матрица удовлетворяет соотношению:
$ [/+ (v\ х) U (х, v) dx = 6w-, B6.47)
которое равносильно условию ортогональности собственных функ-
функций оператора v в переменных х.
Преобразование оператора к другому представлению тоже осу-
осуществляется с помощью унитарной матрицы U. Покажем это,
исходя из B6.5). Заметим прежде всего, что оператор /С под интег-
интегралом выражен в переменных х, и только поэтому интегрирование
однократно. В общем виде операторы выражаются матрицами,
которые только в х-представлении, как указывалось, содержат
б'-функции, позволяющие свести интегрирование к дифференциро-
дифференцированию. Поэтому более общая запись B6.5), в которой х не обяза-
обязательно понимать как координату, следующая:
Av,v = $ $ я|з* (v', x') ХХ>ХЦ (v, х) dx' dx. B6.48)
Пользуясь B6.31), B6.42) и B6.42'), придадим формуле пре-
преобразования оператора к новым переменным такой вид:
?Vv = \ \ UvbXx'xUn dx dx' = \\ Ut-x'K'xUxv dx dx\ B6.49)
т. е. содержащий произведение трех матриц: (/+, А, и U.
Произведения матриц на векторы и друг на друга часто записы-
записывают, не приводя в явном виде значков. Тогда формулы перехода
от одних переменных к другим для волновых функций выражаются
так:
4>' = ф(/, B6.50)
для операторов:
Я' = [У+Ш B6.51)
299

и условие унитарности так:
где единица в правой части означает на самом деле дельта-матрицу
или дельта-функцию.
Условие унитарности матрицы преобразования U аналогично
такому же условию для косинусов углов поворота между старыми
и новыми декартовыми осями координат. Если прямые преобразо-
преобразования выглядят как Ха = Ларл;р, то обратные имеют вид: х$ =
= А$ах'а (Аа$ — косинус угла между новой осью с номером а и
старой с номером j3). Но обратные преобразования можно выразить
и с помощью обратной матрицы Аа$, так что Л«э = А$а. В гиль-
гильбертовом пространстве, где векторы комплексные, кроме переста-
перестановки значков, применяется операция комплексного сопряжения.
Разыскание собственных значений оператора есть не что иное,
как приведение к главным осям «поверхности» второго порядка
в гильбертовом пространстве. Невозможность одновременного при-
приведения к главным осям двух поверхностей связана с тем, что
соответствующие главные оси этих поверхностей по разному ори-
ориентированы. Такова наглядная геометрическая интерпретация
того положения, что два оператора не имеют собственных значе-
значений в одном и том же состоянии, т. е. соответствующие величины
одновременно не существуют.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти матричные элементы оператора умножения на угол поворота ф
в переменных рф. = hk.
Ответ: По формуле B6.5) получаем:
^k'k^JTZTk при k'^k*
ф?,? = Л ПрИ k'—k.
2) Показать, что унитарный оператор U может быть представлен в виде
где Ф — некоторый эрмитовский оператор.
Решение. Если
то
Покажем теперь, что V'1 = (У+. Для этой цели заметим прежде всего, что
переход к комплексно сопряженному оператору означает, во всяком случае,
изменение знака при Ф в экспоненте. Далее раскроем экспоненту в виде ряда:
300

Возьмем какой-нибудь из членов ряда, например третий, и запишем его
с помощью матричных значков, условливаясь, что использовано условие о сум-
суммировании и известна эрмитовость Ф+ (Ф^а = Фад)-
Собирая члены разложения вновь в виде экспоненты, получим:
§ 27. ОПЕРАТОРЫ В МАТРИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Зависимость матричных элементов от
в р е м е н и. Результаты предыдущих параграфов позволяют найти
решение некоторых важных квантовомеханических задач. Пока-
Покажем прежде всего, что для операторов можно составить уравнения
движения, аналогичные уравнениям движения ньютоновской ме-
механики.
Запишем матричный элемент некоторого оператора в перемен-
переменных энергии, т. е.
ta'i? = $¦*(?', x)fop(E9x)dx. B7.1)
Стоящие под интегралом собственные функции оператора Га-
Гамильтона вместе с зависящим от времени множителем имеют вид
B3.20):
' <272)
где индекс «нуль» при волновой функции означает, что временной
множитель из нее выделен. Тогда матричный элемент B7.1) пред-
представится в таком виде:
Ье>е = е h \ "Ф* (?', х) Цо (Е, х) dx. V1-6*
Принято называть матричный элемент без временного множителя
записанным в шредингеровском представлении, а со множителем —
в гайзенберговском представлении.
Продифференцируем теперь матричный элемент по времени,
допуская для общности, что Я может содержать и явную времен-
временную зависимость
кЕ,Е
л - - h \ ** (?', х) [§ - -J- (? - Е')Ц % (Е, х) dx.
B7.4)
Возвращаясь к матричному элементу B7.1), перепишем равен-
равенство B7,4) следующим образом:
301

Из предыдущего параграфа (уравнение B6.19)) мы знаем, что
оператор, записанный через собственные переменные, имеет диаго-
диагональный вид. Следовательно,
Не>е<> = Е'Ье-е»9 Не»б = Ье»еЕ. B7.6)
Но тогда B7.5) можно записать в форме перестановки между
оператором Гамильтона Н и оператором X:
dX^,E д'кЕ,Е i д^Е'Е
~~di— == ~~Ш ^ Т № VE'E"XE"E — ХЕ>Е"ЬЕ"ЕЕ) = —^ h
+ ~[(НХ)Е,Е-(ХН)Е,Е]. B7.7)
Матричное равенство справедливо в любой системе перемен-
переменных, в частности и в координатном виде:
Ъ = Ъ + т№~М). B7.8)
Заметим, что уравнение B7.8) имеет классический аналог.
Если есть некоторая динамическая величина X (р, q\ f), то полная
производная от нее по времени равна:
^^ ^^ -L ±1 /97 О\
dt~~ # "*"" dp dt ~г dqdf ^l'^
Подставляя сюда р и q из уравнений Гамильтона A0.6) и A0.6'),
получим: dl__dl.dldHdXdH
dt~~ dt + dq dp ~~ dpdq ' (^/. Ш)
В § 31 будет показано, что выражение B7.10) получается из
B7.8), когда совершается предельный переход к классической
механике. Выражение ^-~q а~ 7Г называется скобкой Пуас-
Пуассона.
Если величина X не зависит явно от времени и скобка Пуассона
от нее равна нулю, то X = 0, т. е. К — интеграл движения. Анало-
Аналогичным образом, если оператор X не содержит явно t и перестано-
перестановочен с гамильтонианом, то X называется квантовым интегралом
движения. Соответствующая величина X существует в данном со-
состоянии одновременно с энергией системы.
Например, гамильтониан частицы в центральном кулоновом
поле имеет вид (см. B4.32)):
П~~ 2т г* дгГ дг^~~~ (^/11)
Оператор квадрата момента содержит лишь дифференцирование
по углам и поэтому перестановочен с гамильтонианом. Следова-
Следовательно, он сохраняется вместе с энергией. То же относится к опе-
оператору проекции момента Мг *=-j <Г' Следовательно, вместе с энер-
302

гией сохраняются в рамках допустимого квантовой механикой те
же величины, что и в классической механике, где сохранялись все
три компоненты вектора момента. Только в квантовой механике,
вместо трех составляющих остается квадрат момента и его проек-
проекция. Сохранение трех проекций момента отвечает траектории дви-
движения, лежащей в плоскости, перпендикулярной моменту, но
в квантовой механике нет траекторий.
Найдем теперь квантовый аналог уравнений движения, т. е.
вычислим полные производные по времени от координаты и им-
импульса. Имеем:
>i[!l] <27-|2>
потому что оператор потенциальной энергии зависит только от коор-
координат и перестановочен с г. Чтобы вычислить получившуюся пере-
перестановку, найдем ее для какой-нибудь одной компоненты г, напри-
например х. Для этой компоненты
так как квадраты остальных двух составляющих импульса переста-
перестановочны с х. Далее прибавим и вычтем из перестановки одинаковый
член рххрх. Группируя члены, получим:
рхх -хрх) + (рхх - хрх )рх = 2т
Аналогичным образом вычисляются и перестановки с другими
составляющими радиус-вектора. Подставляя их в B7.12), находим
окончательно:
y — рх г — Р /97 1Ъ
т » т v '
Следовательно, операторы скорости и импульса связаны тем
же соотношением, что и классические величины.
Определим производную оператора импульса:
Рх = — д-~, Р — — y~i B7.14)
где был использован результат упражнения 2 к § 24.
Оператор в правой части уравнений B7.14) естественно назвать
оператором силы. Таким образом, для операторов получились
такие же уравнения движения B7.13) и B7.14), как для классиче-
классических величин. Это утверждение носит название принципа соответ-
соответствия.
Образуя средние значения от равенств B7.13) и B7.14) по пра-
правилу B5.19), видим, что и квантовомеханические средние удовлет-
удовлетворяют классическим уравнениям движения.
Линейный гармонический осциллятор.
Применим уравнения B7.13) и B7.14) к задаче о нахождении соб-
собственных значений энергии линейного гармонического осцилля-
303

тора. Из формулы G.31) нам известно, что энергия отдельного
линейного гармонического осциллятора с единичной массой равна:
Допустим, что масса осциллятора т. Тогда его координату х
можно измерять в обычных единицах длины, а импульс р — в еди-
единицах г-см/сек.
Выражая скорость через импульс по формуле х = —, предста-
представляем гамильтониан осциллятора в таком виде:
B7.15)
Чтобы найти собственные значения энергии, надо считать
B7.15) операторным уравнением:
Я = | + ^. B7.16)
В этом параграфе мы будем решать задачу, считая независи-
независимой переменной энергию. На первый взгляд может показаться, что
это гораздо труднее, чем пользоваться координатным представле-
представлением, где по крайней мере известна форма операторов: р =—д-.
На самом деле применительно к осциллятору матричная форма
имеет ряд преимуществ, так как позволяет решить задачу алгебраи-
алгебраически. В координатном представлении задача об осцилляторе будет
решена в следующем параграфе, для чего понадобится анализ диф-
дифференциального уравнения.
Усредним уравнение B7.16) по произвольному состоянию ос-
циллятора: <?Н^ + ^). " B7.17)
Ясно, что средние значения положительных величин <р2) и
(х2) по крайней мере не отрицательны, так что и среднее значение
энергии не отрицательно. Если усреднение производилось по соб-
собственному состоянию гамильтониана, то среднее значение равно
собственному значению, поэтому и собственные значения энергии
не отрицательны.
Запишем теперь уравнения движения B7.13) и B7.14) приме-
применительно к осциллятору, т. е. полагая потенциальную энергию
U = —2~" • Это дает:
. B7.19)
Возьмем от обеих частей этих уравнений матричные элементы
в энергетическом представлении, т. е. заменим каждый оператор i,
304

входящий в уравнения, матричным элементом %е'е> Так как ни один
из операторов в настоящей задаче не зависит явно от времени,
получаем из B7.5):
U'E^-jiE'-E^E'E- B7.5')
Применяя эту формулу к B7.18) и B7.19), находим:
Ue'-Vxe-e-^Pw B7.20)
± Е.Е. B7.21)
Исключим из второго уравнения рЕ>Е и подставим в первое,
[(?' - ?J-~/i2co2] хе'е = 0. B7.22)
Таким образом, отличен от нуля только такой матричный эле-
элемент Хе'е> для которого Е' — Е = ± /ко. Отсюда видно, что раз-
разности между соседними собственными значениями энергии могут
быть равны ± /ко и ничему иному. С другой стороны, мы устано-
установили, что собственные значения энергии не отрицательны, так
что вычитая из некоторого собственного значения энергии вели-
величину /ко достаточное число раз, мы непременно придем к некото-
некоторому наименьшему собственному значению энергии Ео. Поэтому
будем в дальнейшем писать собственное значение энергии в таком
B7.23)
Соответственно матричные элементы вместо Хе*е обозначим через
хП'п> где п' и п — целые неотрицательные числа. В этих обозначе-
обозначениях вместо уравнения B7.22) надо написать аналогичное уравне-
уравнение, где индексами будут не сами значения энергии, а их номера:
[(п'-/1)а-1]*Я'Л = 0. B7.24)
Прежде всего ясно, что при одинаковых номерах (п' — п)
Хп'п = 0, следовательно, матрица хп>п не имеет диагональных эле-
элементов. Положим п! = п ± 1. Тогда первый сомножитель в урав-
уравнении B7. 24) слева обращается в нуль, откуда следует, что
хп±\, п=7^0. При всех прочих п' этот сомножитель не равен нулю,
так что равны нулю остальные матричные элементы, как и диаго-
диагональные; таким образом, только хп±\, п =h 0.
Определим теперь не равные нулю матричные элементы хп±\,п
Для этого будем исходить из соотношения перестановки B4.17),
которое тоже надо переписать в энергетическом представлении.
В правой части равенства B4.17) стоит число, так что от правой
и соответственно левой части получаются только диагональные
матричные элементы. Чтобы найти матричные элементы левой части,
надо выразить матрицы импульса через матрицу координаты. Это
делается с помощью основного уравнения движения B7.20), кото-
которое показывает, что у матрицы рп>п отличны от нуля только те же
элементы, что и у матрицы хП'П, т.е. pn±i,n.
305

Для этих элементов получаем:
P/1+i, л = itti(oxn+lt n> pn_lt я = — шшпл, n. B7.25)
По общим правилам умножения матриц находим для левой части
соотношения перестановки:
Рп, /г+Л + 1, л + Рл, /г-Л-1, п ~ xn,n + lPn + U п — Xn,n-lPn-l, n ==
= - 2тш | хп> п+1? + 2тш \ хп, я.? |2 = ~. B7.26)
Но так как матрица хп>п_х эрмитовская, то хп>п_г = x*-if n»
| |2 | |2 B726)
|2 =
поэтому | л^
переписать и в таком виде:
>х р >г f
= | Ял-i, /г|2. Тогда уравнение B7.26) можно
12
B7.26')
Видно, что каждый индекс первого слагаемого слева на единицу
больше соответствующего индекса второго слагаемого. Кроме того,
слагаемых с отрицательными индексами нет, поскольку п начи-
начинается согласно B7.23) с нуля. Поэтому
| v |2 *1 | г 12 О I v 12 /*, ! 1 \ ^
B7.27)
Так как | хПгП+1 |2 = | хп+Ьп |2, мы определили квадраты моду-
модулей всех отличных от нуля матричных элементов координаты.
Примем, что сами матричные элементы — действительные числа,
значение их фазы ни в какое физическое равенство не входит.
Тогда согласно B7.25) матричные элементы импульса — чисто
мнимые числа. Из условия эрмитовости при этом следует, что
рп'п = р*пп> = —рпп'- Пользуясь B7.27) и B7.25), запишем обе
матрицы Хп'п и рп'п в виде таблиц:
Хп'п =
. 1 /~mh<s)
= 1 у —2~
h
2/ясо
з
0
У
0
0
0
0
У~\
0
0
0
К 1
0
0
0
-У1
0
0
0
0 0
У2 0
о уз
Уз о
о у\
0
-У 2
0 ...
0 ...
0 ...
1/1...
0 ...
0
0
о — уз
Уз
0
0 —
К4
0 ..
0 ..
0 ..
У4..
0 ..
B7.28)
306

Остается вычислить энергию самого нижнего состояния Ео.
Ее можно представить как диагональный матричный элемент энер-
энергии Н с индексами «О, 0». Выражая матрицы энергии через квад-
квадраты матриц координаты и импульса, получаем:
| гшЬс ha h® \ш
где мы использовали B7.28).
Смысл нулевой энергии удобнее разъяснить в следующем пара-
параграфе.
Матрица плотности. Рассматривая опыт Штерна и
Герлаха, мы указали в § 24, что первичный пучок частиц в произ-
произвольно ориентированном магнитном поле расщепляется на 2/ + 1
пучков, тогда как пучок с определенным значением проекции мо-
момента расщепляется лишь в поле, не параллельном оси z, т. е.
не параллельном тому полю, которое вызвало первичное расщепле-
расщепление. В этом последнем случае говорят, что имеет место чистое кван-
квантовое состояние системы *, характеризуемое определенной волно-
волновой функцией. (В чистом состоянии некоторый опыт, произведен-
произведенный над системой, при повторении дает один и тот же результат.)
Как характеризовать состояние исходного пучка? Для него
известна вероятность wk появления каждого значения k, равная
B1 + I). В чистом состоянии должны быть известны не только
вероятности wk, но и их амплитуды cky через которые wk выражаются
как wk = \ ck |2. Поэтому в чистом состоянии система может харак-
характеризоваться волновой функцией
Но для этого нужно, чтобы система была замкнутой, т. е. ни
с чем не взаимодействовала. Только в этом случае она имеет опре-
определенный гамильтониан, и ее волновая функция гр (х) удовлетво-
удовлетворяет точному волновому уравнению.
Частицы в опыте Штерна и Герлаха (обычно атомы какого-нибудь
металла) получаются путем испарения в специальной печке. В та-
таких условиях каждый атом нельзя считать замкнутой системой:
он взаимодействует со своим окружением. Взаимодействие оказы-
оказывается недостаточно сильным, чтобы повлиять на квадрат момента
каждого атома, так что у всех атомов значение М2 = №1 (I + 1)
одно и то же (см. § 24), но зато создает такие условия, при которых
все значения k у вылетающих атомов равновероятны. Подобное
состояние, испытавшее влияние внешнего воздействия, принято
называть в отличие от чистого состояния смесью.
Будем рассматривать смеси не специально в связи с опытом
Штерна и Герлаха, а в общем случае. Пусть система в результате
некоторого внешнего воздействия имеет вероятность появления
* В данном случае роль системы играет каждая отдельная частица.
307

n-го состояния, равную wn. Для описания такой системы оказы-
оказывается удобным ввести специальную матрицу:
р (*', х) = 2 wn$* (л, х') у (л, х), B7.29)
называемую матрицей плотности системы.
Покажем, как с помощью матрицы плотности вычисляются сред-
средние величины для данной смеси. Общее определение среднего не-
некоторой величины (к) есть, как обычно,
<*> = 2 °Ь <*•>». B7.30)
п
где (к)п среднее от А, по /г-му состоянию (ср. B5.18)). Среднее зна-
значение величины К по я-му чистому состоянию есть согласно B5.19)
$ (л, x)dx. B7.31)
Подставим это в B7.30) и поменяем порядок суммирования и
интегрирования. Оператор X (х) при этом предварительно удобно
представить в виде матрицы:
? (*) = 6 (* - *') К {х') = Х(х', х), B7.32)
подобно тому как это делалось в предыдущем параграфе.
Напоминаем, что если i (x') содержит дифференцирование
по х'у то форма записи B7.32) не диагональная. Подставляя теперь
B7.32) в выражение для среднего, приводим его к виду:
{%) = \dx\ dx' 2 ®пГ (п, х') %(х, х')г|) (п, х) =
п
= \dx\dxfk{x, x')p(x', х) B7.33)
согласно B7.29).
В такой форме у нас получился диагональный элемент произ-
произведения матриц Хр, т.е. \dx"k (x, x') p (х\ х), проинтегрирован-
проинтегрированный по dx. Сумма диагональных элементов матрицы А^ или интег-
интеграл по диагональным элементам А (х, х), если значок меняется
непрерывно, называется следом, или шпуром (Sp) матрицы:
Sp4=24w, B7.34)
V
SpA = \dxA(x, x). B7.35)
Выражение B7.33) есть шпур от произведения матрицы плот-
кости на матрицу усредняемой величины. Это выражается таким
образом:
<*> S(b) B7.36)
Значение формулы B7.36) состоит в том, что она не зависит от
выбранного координатного представления. Величина шпура мат-
308

рицы есть инвариант относительно унитарного преобразования,
т. е. относительно перехода к другому представлению. Покажем
это, пользуясь формулами предыдущего параграфа. Запишем фор-
формулу B6.48) применительно к произвольному оператору А:
Aw = \\V (v\ х') АХ>ХЦ (v, х) dx' dx. B7.37)
Образуем шпур от обеих частей равенства, причем справа пере-
переставим интегрирования по х\ х и суммирование по v:
Sp A = 2 ^w = \\ dx' dxAx>x 2 яр* (v, xf) ф (v, x). B7.38)
Воспользуемся теперь тем, что г|э* (v, х') = i|) (л/, v) и г|з (v, х) =
= 1|з* (х, v). Тогда внутренняя сумма приведется к виду:
2>*(*. v) 1>(*\ v), B7.39)
V
но в силу общего условия ортогональности волновых функций эта
сумма равна:
2**(*. vL>(x't v) = 6 (*-*')• B7.40)
V
Здесь была применена формула B6.28) путем замены X на х
и х на v. При этом в случае дискретного спектра величины v интег-
интегрирование заменяется суммированием, но правая часть равенства
выражается через б-функцию, если только спектр Я (т. е. х) непре-
непрерывный.
С помощью B7.40) получаем:
Sp А - 2 Л™ = \ dx \ dx'AXX'b (x-xf) = \ dxAXX} B7.41)
V
где было использовано основное свойство б-функции.
Таким образом, выражение средней величины через шпур мат-
матрицы плотности справедливо в любом представлении, как и необ-
необходимо для всякой физической величины.
Попутно отметим важное свойство шпура от произведения двух
матриц:
2 {AB)VV = 2 АчцВцу = 2 AixvBvn = 2 BvixAixv = 2j (?^4)vv
V VjLt liV \iV V
B7.42')
(Мы применили многократно применявшуюся перестановку знач-
значков, по которым производилось суммирование.) Сокращенно запи-
шем: SpAB^SpBA B7.42')
Инвариантность шпура в гильбертовом пространстве находит
свою аналогию в евклидовом пространстве: сумма диагональных
компонент тензора второго ранга Лаа — скаляр, она не меняется
при повороте координатных осей.
309

С помощью основной формулы B7.36) легко найти шпур самой
матрицы плотности. Для этого достаточно подставить в эту фор-
формулу i = 1. Получаем:
Spp= 1. B7.43)
Найдем теперь шпур квадрата матрицы плотности, т. е. ее про-
произведения на самое себя. По правилу умножения матриц
(р. 9)хх. = $ dx"p (х, х") р (*", *')• B7-44>
Подставим сюда выражения матриц р (х\ х") и р (#", х) и пере-
ставим порядок суммирования и интегрирования по dx"'. Пользуясь
свойством ортогональности функций if (я, х") и "ф* (п', х"), полу-
получим:
\ dx"p (х, х") р (*", хг) = 2 ВД^* К *) * ("', ^') X
п, п'
X $ф*(л',дОФ(п,х")Жс" = 2]шД1|>*(л\ х)у(п, х).
П
Чтобы найти шпур от этого выражения, надо положить х' = х
и проинтегрировать по dx. Благодаря нормировке каждый интег-
интеграл от | г|з (я, х) |2 равен единице, так что
= 2>- B7-45>
Но шпур самой матрицы плотности есть
Sp р = 2 шл J я|>* (я, х) Ц(п, x)dx = %wn=l, B7.46)
как мы уже знаем из B7.43).
Если вероятность некоторого события не переходит в досто-
достоверность, то wn < 1. Следовательно, квадрат вероятности меньше
самой вероятности w% < wn. Сравнивая соотношение B7.45) с фор-
формулой B7.46), видим, что
Spp-p^Spp. B7.47)
Неравенство может перейти в равенство только для случая
чистого состояния, когда одна из вероятностей, например wnr
равна единице, а все хюП'фП = 0. Тогда
l. B7.47')
Близость Sp p • р к Sp p может рассматриваться как мера чистоты
состояния.
Таким образом, матрица плотности дает максимально возможна
полное описание смеси.
Найдем теперь уравнение для изменения матрицы плотности со
временем, заменяющее уравнение Шредингера для волновой функ»
ции B3.11), или -А^Ф^
310

Возьмем производную по времени от матрицы плотности:
h до (х\ х) VI ( h дур* (п, хг) . , ч , , * / ,ч Л дф (я, х)
Но
откуда получается:
Ф^'*} = | [# * (*') р (х', х) - Н (х) р (*', х)]. B7.48)
Так как это уравнение имеет операторный вид, оно справедливо
в любом представлении.
§ 28. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ
В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В этом параграфе будет получено решение волнового уравнения
'для некоторых случаев, имеющих частично иллюстративное, ча-
частично вспомогательное значение. Тем не менее при этом выяс-
выяснятся многие важные закономерности.
Задачи, в которых используются граничные условия, налагае-
налагаемые на волновую функцию в ее зависимости от координат, было бы
затруднительно решить в ином представлении, кроме координат-
координатного. Таким задачам отведена большая часть настоящего параграфа.
Кроме того, здесь же решена задача о линейном гармоническом
осцилляторе при помощи уравнения Шредингера. Независимо от
полученного ранее результата в энергетическом представлении
решение этой задачи в координатном представлении имеет большой
интерес как иллюстрация расчетных методов квантовой механики.
Частица в одномерной бесконечно глу-
глубокой потенциальной яме. Предположим, что ча-
частица вынуждена двигаться в одном измерении, оставаясь на от-
отрезке длиной а, так что 0 ^ х ^ а. Можно представить себе, что
в точках х = 0 и х = а поставлены абсолютно жесткие непроницае-
непроницаемые стенки, отражающие частицу.
Ограничение такого рода наглядно
изображается в виде кривой по-
потенциальной энергии (рис. 30):
U = оо при х < 0 и при х > а.
При 0 ^ х <; а полагаем U рав-
равным нулю: такова калибровка по-
потенциальной энергии. Для того
чтобы выйти из области 0 ^ х ^ а>
частице пришлось бы совершить
бесконечно большую работу. Сле-
Следовательно, вероятность того, что Рис. 30
311

частица окажется при х = О или при х = а, равна нулю. С помощью
B3.1) получаем:
Ч>(О) = я|>И = О. B8.1)
Эти граничные условия могут быть оправданы и с помощью
предельного перехода от ямы конечной глубины к бесконечно глу-
глубокой яме, что будет сделано дальше.
Поскольку потенциальная энергия не зависит от времени,
можно прямо написать уравнение для разыскания собственных
значений энергии — уравнение B3.21). Так как движение одно-
in
мерное, вместо А надо взять полную производную j^. Тогда
Введем сокращенное обозначение
2тЕ - и*
так что волновое уравнение приведется к виду:
Решение B8.4) хорошо известно:
B8.5)
Но согласно B8.1) г|) @) = 0, поэтому член с косинусом надо опу-
опустить, положив С2 = 0. Остается
^ = C1sinxA:. B8.6)
Теперь подставим второе граничное условие:
^(a) = C1sinxa = 0. B8.7)
Это уравнение относительно х. Оно имеет бесчисленное множество
решений:
ха = пя, B8.8)
где п — любое целое число, не равное нулю:
l^n^oo. B8.9)
Значение п = 0 исключается, потому что при и == 0 волновая
функция обращается в куль везде (if) = sin 0 — 0); тогда, следова-
следовательно, | \f> |2 = 0, и частицы просто нигде нет (тривиальное реше-
решение).
Подставляя теперь к из определения B8.3) и решая B8.8) отно-
относительно Е, находим выражение для энергии, т. е. спектр энергии
для рассматриваемой задачи:
Еп = ~-п\ B8.10)
312

Граничное условие, налагаемое на волновую функцию, столь
эке обязательно для разыскания спектра энергии, как и само вол-
волновое уравнение. Как видно из B8.10), оно выполняется не при
всех значениях энергии, а только при значениях, принадлежащих
к определенному ряду чисел, характерному для рассматриваемой
задачи. Смотря по условиям, эти числа могут образовывать или
дискретную совокупность, как в данной задаче, или непрерыв-
непрерывную последовательность, как в задаче о свободном движении
частицы.
Действительно, при свободном движении частицы ее волновая
функция должна оставаться везде конечной. Этому условию удов-
удовлетворяет функция B3.3) при всех действительных и положитель-
положительных значениях энергии. Отрицательным энергиям отвечал бы в этом
случае мнимый импульс, так что координатная зависимость волно-
волновой функции имела бы вид экспоненты от действительного аргу-
аргумента. Но такая экспонента обращается в бесконечность при
X = + сю ИЛИ X — — оо.
Решение уравнения B3.21) для стационарных состояний всегда
связано с разысканием спектра энергии. В отличие от теории Бора,
где дискретность состояний выступала как необходимый, но чуже-
чужеродный придаток к классическому движению, в квантовой меха-
механике сам характер движения определяет спектр энергии. Это ста-
станет видно особенно хорошо на дальнейших примерах.
Вернемся теперь к волновой функции B8.6). Она обращается
в нуль внутри интервала 0 — а (т. е. кроме его концов) п раз.
Число нулей («узлов») волновой функции равно номеру собствен-
собственного значения энергии.
Этот результат легко понять из таких соображений. При п — 1
на интервале 0 — а укладывается полволны синусоиды, при п = 2 —
одна волна, при п = 3 — три полуволны и т. д. Следовательно,
чем больше п, тем меньше длина волны де Бройля Я. Но энергия
пропорциональна квадрату импульса, т. е. обратно пропорциональна
квадрату Я, согласно B2.2). Поэтому, чем меньше Я, тем больше
энергия. Это заключение справедливо, конечно, и не при чисто
синусоидальной форме волновой функции, но уже не в виде точной
количественной зависимости, а качественно: чем больше нулей,
или «узлов», имеет волновая функция, тем больше энергия.
Состояние с наименьшей энергией отвечает волновой функции,
которая нигде внутри интервала «узлов» не имеет. Оно называется
основным состоянием, а все остальные — возбужденными.
Чтобы полностью задать волновую функцию, остается опреде-
определить коэффициент Сг. Находим его из условия нормировки B3.17):
о
х sin 2ux
2
2
313

Второй член проинтегрированного выражения обращается в нуль
на обоих концах интервала согласно B8.8). Таким образом,
•, B8.11)
^. B8.12)
Волновая функция B8.12) действительна. Поэтому согласно
B3.19) ток (поток частиц) в этом состоянии равен нулю. Это можно
пояснить еще и так. Волновая функция B8.12) разлагается на сумму
— iEt
двух экспонент. Вместе с временным множителем е h каждая
такая экспонента представляет волновую функцию свободной
частицы B3.3), причем одна из них отвечает импульсу р = Ах,
а другая — такому же импульсу с обратным знаком. Таким обра-
образом, состояние B8.12) представляется как наложение двух состоя-
состояний с противоположными импульсами, причем эти состояния ха-
характеризуются равными амплитудами.
У частицы, движущейся в потенциальной яме по законам клас-
классической механики, средний импульс равен нулю: при каждом от-
отражении от стенок ямы он меняет знак. В этом смысле можно утвер-
утверждать, что средний импульс частицы и для квантового движения
равен нулю. Отличие состоит в том, что в каждый данный момент
классический импульс имеет определенное значение, а квантовый
импульс частицы в яме такого значения не имеет: волновая функ-
функция представляется суммой состояний с импульсами обоих знаков.
Это соответствует принципу неопределенности: так как координата
частицы ограничена пределами 0 ^ х ^ а, ее импульс не может
иметь точного значения.
Заметим еще, что в данной задаче о прямоугольной потенциаль-
потенциальной яме квадрат импульса равен А2х2, так как неопределенность
распространяется только на знак импульса. Квадрат импульса
в этом случае пропорционален энергии. Для ямы произвольной
формы квадрат импульса тоже не определен.
Частица в трехмерной потенциальной
яме бесконечной глубины. Предположим, что ча-
частица заключена в ящике, ребра которого аъ а2, а3. Обобщая гра-
граничные условия B8.1), заключаем, что волновая функция этой
частицы обращается в нуль на всех гранях ящика:
г|)@, у, z)=ip {х, О, г) = Ц(х, у, 0) =
= ф(аь у, *) = я|)(*, а** *)=*(*, #> Яз) = 0. B8.13)
Волновое уравнение теперь надо писать в трехмерном виде:
3)**. <28-14)
Решение удобно представить так:
ty = С sin кхх • sin x2(/ • sin х3г. B8.15)
314

Оно выражено через синусы, а не через косинусы, чтобы удов-
удовлетворить первой строке граничных условий B8.13). Величины
Xj, x2 и х3 определяются из второй строки граничных условий
B8.13). Сомножители соотношения B8.15) обращаются в нуль
либо при х = аъ либо при у = а2, либо при z = а3. Иначе говоря,
sinx2a2 = 0, х2я2 = п2я, \ B8.16)
sin ща3 = 0, х3а3 = п3я. J
Здесь ях, п2 и п3 — целые числа, из которых ни одно не равно
нулю (в противном случае г|) была бы равна нулю во всем ящике).
Подставляем,B8.15) в B8.14) и пользуемся тем, что для каждого
сомножителя B5.15) справедливо равенство вида:
-т~2 sinXiA: = — xf sinx^, B8.17)
что дает:
A^ = -(xJ + xJ + x§)^.
Чтобы уравнение B8.14) удовлетворялось, энергия должна быть
связана с хх, х2 и х3 следующим образом:
E^^I + kI + kI). B8.18)
Подставляя хь х2, х3 из B8.16) в B8.18), получаем собственные
значения энергии:
Наименьшая возможная энергия равна:
Значение ? — 0 невозможно согласно принципу неопределен-
неопределенности; частица, заключенная в ящике конечных размеров, не имеет
строго определенного импульса, в частности и нулевого. Так как
рх = ± hx, то Арл. = 2/ix. Подставляя Арх в соотношение неопре-
неопределенности B2.4), находим, что минимальное значение хх равно—.
Но это как раз соответствует формуле B8.18), если подставить в нее
x,=i (*= 1, 2, 3).
Подсчет числа возможных состояний. Каж-
Каждому значению тройки чисел пи п2 и п3 отвечает одно возможное
состояние частицы. Будем искать распределение числа возможных
состояний системы по значениям п1у п2 и п3 для больших чисел пи
n2, /i3.
Числа, большие по сравнению с единицей, можно дифференци-
дифференцировать: дифференциал dnl означает интервал чисел, малый по срав-
сравнению с nlf но заключающий в себе еще много отдельных цело-
315

численных значений пг. Иначе говоря, ях^>d^i !> 1. Тогда ясно,
что в интервале dnx заключено как раз йпг возможных целых чисел
и аналогично в интервалах dn2 и кпг.
Отложим пъ п2 и п3 на координатных осях. В этом пространстве
построим параллелепипед со сторонами dnly dn2 и dn3 так, что его
объем будет равен dnxdn2dn3. Согласно только что сказанному каж-
каждой точке внутри этого параллелепипеда, имеющей целочислен-
целочисленные значения координат п19 п2 и п3» отвечает одно возможное состоя-
состояние частицы в трехмерном потенциальном ящике. Таких точек
внутри параллелепипеда dnxdn^dnz. Следовательно, обозначая число
состояний в объеме через dN (п^п^), получаем:
dN (пъ пъ п3) = drixdn^dn^ B8.21)
Подставляя сюда к19 х2, х3 из B8.16), найдем выражение числа
состояний через d^dxgdxg:
dN (хх, \, х3) = У
Но так как ага2а3 — геометрический объем ящика V, то
dN(xlt х2, щ)= Vd«^d«*. B8.22)
Числа хъ х2 и щ принимают только положительные значения.
Рассматривая движение частицы в одномерной потенциальной
яме, мы указали, что каждому значению кх отвечают два значения
проекции импульса, равные по величине и противоположные по
знаку. Поэтому если сравнить между собой числа состояний, заклю-
заключенных в интервалах dn± и -j~ = -^, то на последний приходится
вдвое меньше состояний. Соответственно этому число состояний
в интервале значений импульса dpxdpydpz равно
^, B8.23)
где рх, ру и pz принимают все действительные значения от — оо
до оо.
Иначе говоря, удалось избавиться от несколько искусствен-
искусственного допущения о том, что частица движется именно в ящике,
притом в ящике прямоугольной формы. Относя, например, B8.23)
к единичному объему, мы получим вполне общую формулу для со-
соответствующего числа состояний квантовой частицы, которое
имеет размерность 1/сж3. Заметим, что формула B8.23) может быть
выведена только в квантовой механике благодаря конечному не-
ненулевому значению кванта действия.
Формула B8.23) согласуется с соотношением неопределенности
B2.4). Если движение ограничено по х интервалом 0 — аг, то
физически различны только состояния, у которых проекции.им-
проекции.импульса различаются не меньше чем на —. Следовательно, винтер*
316

вале dpx заключено о р* = %•%& состояний. Перемножая
dpz
~^~T * ~?h * TI1 приходим к формуле B8. 23). Для того чтобы
при оценке числа состояний из соотношения неопределенности
получался правильный численный коэффициент, в правой части
B2.4) была поставлена величина 2л/г или 2я в A9.6).
Рассмотрим теперь число состояний, несколько изменив неза-
независимые переменные. Отложим на координатных осях проекции
импульса рх, ру и pz. Подсчитаем число состояний в импульсном
пространстве, заключенном между двумя сферами, имеющими
радиусы р и р + dp. Искомое число равно интегралу от B8.23)
по объему, заключенному между этими сферами. Соответствующий
объем в импульсном пространстве равен поверхности сферы ра-
радиуса р, т. е. 4яр2, умноженной на dp:
dN (p) = [ dN (Рх, р„ р.) = У-^ = ^. B8.24)
Перейдем отсюда к энергии частицы Е = ^.
Пользуясь тем, что р = ]/r2mEi pdp = mdE, находим число
состояний, соответствующих интервалу значений энергии от Е
до Е + dE\ v тъ/2Е\/2ЛР
dN (E) =V U2 , B8.25)
Итак, число состояний, заключенных между Е и Е + dEy воз-
возрастает пропорционально Е1/2. В одномерной потенциальной яме
. aml'2dE
получилось бы
В курсах математической физики показывается, что результат
B8.25) имеет силу для таких значений энергии, которые весьма
велики по сравнению с энергией основного состояния. Тогда число
состояний пропорционально объему и не зависит от его формы.
Одномерная потенциальная яма конечной
глубины. Рассмотрим теперь движение частицы в одномерной
потенциальной яме конечной глубины. Зададим ее так: U = оо
при— оо <; х < О, U = 0 при0 ^ х ^ аи U = ?/оприа <х^ оо.
Иначе говоря, потенциальная энергия при х > 0 равна Uo везде,
кроме области шириной а около начала координат, которую мы и
назвали ямой. При х << 0 потенциальная энергия бесконечна
(рис. 31) *.
* В § 20 было показано, что трехмерное волновое уравнение можно свести
ф
к одномерному путем подстановки if> = —. Тогда, если момент частицы равен
нулю, уравнение B4.32) полностью сведется к одномерному с той разницей,
однако, что переменная г изменяется только от нуля до бесконечности. Формально
зтого можно достичь, помещая в х = 0 бесконечно высокую потенциальную
стенку. Рисунок 31 по существу относится к сферической потенциальной яме
при нулевом значении момента,
317

и
Так как решение должно иметь
различный аналитический вид внутри
ямы и вне ее, надо найти условия
сопряжения волновой функции на
границе при х = а. Запишем волно-
волновое уравнение
а
Рис. 31
О а х
в котором U (х) определено кривой
рисунка 31, и проинтегрируем обе его
части по узкой области а — б ^ х ^
^ а + б, заключающей точку разрыва потенциальной энергии
х = а. Интегрирование дает:
Хотя U (х) и терпит разрыв на границе ямы, оно остается везде
конечным. Поэтому, когда б стремится к нулю, интеграл справа
тоже стремится к нулю, так что равна нулю и левая часть B8.27).
Иначе говоря,
\dxja + o \dxja-o V '
т. е. предел производной справа равен ее пределу слева.
Для задачи о яме бесконечной глубины это рассуждение не-
несправедливо, потому что тогда интеграл в B8.27) имеет неопре-
неопределенную величину.
Покажем путем предельного перехода, что и сама волновая
функция не терпит разрыва на границе. Предположим противное,
что i|) терпит разрыв А, т. е. г|? (а + 0) — г|) (а — 0) = А. Кроме
того, допустим, что разрыв происходит не в точке, а в некоторой
узкой области вблизи х = а. В точках х — а = ± б волновая
функция плавно сопрягается с некоторым решением волнового
уравнения для узкой переходной области а — б^х^а + б.
Таким образом, в целом получается ступенчатая кривая, но края
ступеньки скруглены. Последнее вытекает из B8.28) — производ-
производная волновой функции не может иметь разрыва в точках х = а ± б.
Производная волновой функции в переходной области имеет
порядок величины ^~-^-, так что в пределе, когда б -^0, она
обращается в бесконечность (точнее, должна обращаться в беско-
бесконечность, если А =? 0!).
Умножим теперь B8.26) на ty и выполним преобразование по
частям:
dx*
dx
dx
318

Проинтегрировав преобразованное выражение от а — б до
а + б, получим:
а + 6 а+ 6
dxJa + 6 V dx]a-6 J \ ^/ J ^2 ; Y
а—б а—6
B8.29)
После этого произведем предельный переход к б ->0. Проин-
Проинтегрированные члены можно записать так:
*\
dxja + o
потому что производная, как уже доказано, не терпит разрыва.
Внутри предполагаемой области разрыва ^-функции производ-
производная -— порядка -^-, но на границах области -— возвращается к зна-
значениям, не зависящим от б и потому конечным в соответствии с тем,
что края ступеньки предполагаются скругленными. Следовательно,
вся проинтегрированная часть в B8.29) слева имеет порядок вели-
величины Д-(-г) . Оставшийся интеграл оценивается так:
\ -у- ) ах
J \dx)
а —6
Следовательно, он стремится к бесконечности, когда б стре-
стремится к нулю. Правая часть B8.29) конечна при б ->0. Поэтому
предположение о том, что ty (x) имеет конечный разрыв А, приводит
к бесконечному члену в равенстве B8.29), который ни с чем не
сокращается, т. е. к противоречию. Чтобы противоречия не было,
надо считать А = 0, иными словами, что волновая функция не тер-
терпит разрыва.
Таким образом, в точках разрыва кривой потенциальной энер-
энергии волновая функция непрерывна вместе со своей первой произ-
производной.
Фактически мы не знаем таких взаимодействий в природе,
которым соответствовали бы разрывные кривые потенциальной
энергии. Но известны силы, очень быстро спадающие с расстоя-
расстоянием, — это ядерные силы. Точный закон их зависимости от рас-
расстояния мы пока не умеем сформулировать, но хорошо известны
ситуации, когда эти силы переходят от очень больших значений
до нуля на расстояниях, которые гораздо меньше длины деброй-
левской волны ядерных частиц. Тогда зависимость силы от расстоя-
расстояния законно аппроксимировать ступенчатой кривой рисунка 31.
Такое приближение дает в ряде случаев вполне разумные резуль-
результаты.
Но, допустив существование разрыва у кривой потенциальной
энергии, необходимо было исследовать поведение волновой функ-
функции вблизи разрыва, чтобы модель разрывной потенциальной кри«
319

вой была внутренне последовательной, т. е. не приводила к мате-
математическим противоречиям.
Имея граничные условия, можно теперь построить решение
волнового уравнения. Волновое уравнение для области 0 ^х ^а
(в яме) имеет вид:
2т dx* ~~ пУл
Возьмем его решение:
i^dsinxx, B8.30)
где х определено по B8.3). Решение только с синусом выбрано
потому, что на левом краю ямы, где потенциальная энергия терпит
бесконечный разрыв, г|) удовлетворяет граничному условию B8.1):
Ф @) = 0.
Волновое уравнение вне ямы (при х > а) напишем так:
Рассмотрим сначала тот случай, когда Е > UQ. Тогда, поль-
пользуясь сокращенным обозначением,
*J(?-{/0) = k», B8.32)
перепишем B8.31) в стандартной форме B8.4):
_ _ — Х1яр,
откуда
C C1A:. B8.33)
Теперь надо удовлетворить граничным условиям на правом
краю потенциальной ямы, где U (х) терпит только конечный раз-
разрыв. Согласно этим условиям непрерывна как сама волновая функ-
функция, т. е.
Сх sin ка = С2 sin хха + С3 cos ща, B8.34)
так и ее производная
кСх cos ка = ххС2 cos xxa — кхС3 sin x^. B8.35)
Из этих двух уравнений можно определить, как С2 и С3 выра-
выражаются через С и сопрягая таким образом решение волнового урав-
уравнения вне ямы с его решением внутри ямы. Уравнения B8.34) и
B8.35) линейны относительно С2 и С3 и имеют решения при всех
значениях коэффициентов:
г кх sin xa sin %ха + к cos ка cos кха г
г щ sin ка cos кха — х cos ха sin хха п
С3 — Ох»
щ
Исключение составляет только то значение Е9 при котором хх = 0,
т. е. Е == (/0. Эта точка не принадлежит к спектру разрешенных
320

значений энергии. Зато при ? > Uo уравнение Шредингера имеет
решение всегда. Никакой дискретности в спектре собственных зна-
значений нет.
Можно было бы калибровать потенциальную энергию в этой
задаче на нуль при х = оо, т. е. считать ее равной нулю при х > а
и равной —Uo при 0 ^ х ^ а. Тогда рассмотренный только что
случай отвечал бы положительным собственным значениям полной
энергии.
Пусть теперь Е < Uo. Введем величину
~(U0-E) = k2. B8.36)
Волновое уравнение надо написать иначе, чем при Е > UQt
а именно: лги.
Его решение выражается через экспоненциальную функцию
ф = САе™ + Сье- **. B8.37)
Но экспонента е™ стремится к бесконечности, когда возра-
возрастает х. При х = оо она давала бы бесконечную вероятность нахо-
оэ
ждения частицы, а интегралу § | г|) \2dx нельзя было бы приписать
о
никакого конечного значения. Следовательно, решение, имеющее
физический смысл, существует только при С4 = 0 и должно иметь
ВИД: г|; Се-к*. B8.38)
Постараемся снова удовлетворить граничным условиям при
х = а. На этот раз они приводят к
d sin ка = Съе~ ™у B8.39)
xCiCOSxa = — хСье-ка. B8.40)
Разделив уравнение B8.40) на B8.39), чтобы исключить Сх и
С5, получим:
xctgxa = — к. B8.41)
Выразим из этого уравнения sin ка:
<28-42»
Приведем его к более удобному виду. Согласно B8.3)
так что
11 Комианееа А. С. 321

на
Рис. 32
причем следует выбирать только те решения, при которых ctg ка
согласно B8.41) отрицателен. Следовательно, ка должно лежать
во второй, четвертой, шестой и вообще только в четных четвертях
окружности.
Исследуем уравнение B8.43) графически (рис. 32). Левая часть
уравнения изображается синусоидой, правая часть — двумя пря-
прямыми с угловыми коэффициентами ±— Если тангенс угла
2
наклона этих прямых к абсциссе меньше по модулю, чем —, то они
имеют одну или несколько точек пересечения с синусоидой в тех
четвертях, которые отвечают корням уравнения B8.41). При этом
не учитывается тривиальная точка пересечения на = 0, потому
что при к — О волновая функция обращается в нуль везде. Таким
образом, в потенциальной яме рассматриваемого вида имеется
только несколько собственных значений энергии.
Если
[/„<§*=?/„ B8.44)
то вообще нет точек пересечения прямых с синусоидой, которые
отвечали бы собственным значениям энергии (точка пересечения
в первой четверти не идет в счет!). На рисунке 32 точки пересече-
пересечения в четных четвертях помечены кружками.
Специальный интерес представляет тот случай, когда положе-
положение уровня энергии весьма близко к верхнему краю потенциальной
ямы по сравнению с ее полной глубиной. Допустим, что это основ-
основной уровень и других уровней в яме нет. Тогда, считая, что ширина
ямы задана, а глубина немного больше предельной, т. е. Uc> запи-
запишем:
322

где v и у — малые величины. Так как синус вблизи максимального
значения отличается от единицы на малую величину второго по-
порядка, получаем соотношение между v и у:
sinxa^ 1 =-7~=., цс^. — .
Vl + v* 2
Пользуясь теперь определением к B8.3), представляем уравне-
уравнение B8.43) так:
Считая, что Е отличается от Uo на малую величину е, находим:
щ = т у2=Тбv2>
откуда видно, что
-L^g^-lV B8.45)
Следовательно, уровень отвечает поставленному условию г <^ Uo:
если глубина ямы отличается от предельной, при которой уровень
только появился, на малую величину первого порядка, то уровень
энергии отстоит от верхнего края ямы на величину второго порядка
малости.
Такой случай реально осуществляется в ядре тяжелого водо-
водорода — дейтерия. Глубина потенциальной ямы, соответствующей
ядерным силам, оценивается как 20—30 Мву а энергия связи про-
протона и нейтрона, т. е. 8, —около 2,2 Мв (напоминаем, что задача
о двух телах — протоне и нейтроне — сводится к задаче одного
тела (см. § 3)). Благодаря малой энергии связи частиц в дейтероне
волновая функция их относительного движения вне ямы согласно
формуле B8.38), а также B8.44) и B8.45) имеет следующий вид:
Г8- B8.46)
Из этой формулы видно, что функция if) затухает на расстоянии
во много раз превышающем размер потенциальной ямы (в дейте-
дейтероне, если сказать точнее, не во много раз, а в 2—3 раза). Но тогда
интеграл от 11|) |2, взятый по области вне ямы (соответственно кубу
отношения [jf- — 4 ), превосходит интеграл от |я)?|2 по области
внутри ямы. Иными словами, частица с гораздо большей вероят-
вероятностью может быть обнаружена вне области действия ядерных
сил, чем внутри нее. Поэтому оказывается, что волновая функция
известна гораздо лучше, чем силы, связывающие протон и нейтрон.
Но различные свойства дейтерона вычисляются по его волновой
11* 323

функции, а не прямо по ядерным силам. Пользуясь этой особен-
особенностью дейтерона, Бете и Пайерлс построили вполне удовлетвори-
удовлетворительную количественную теорию дейтерона.
Финитное и инфинитное движение. Покажем
теперь, что вид спектра энергии частицы связан с характером дви-
движения. При Е > Uo решение вне ямы имеет вид B8.33). Оно остается
конечным и при бесконечно большом х. Поэтому интеграл Jj| i|) \2dx,
взятый по области ямы, сколь угодно мал по сравнению с таким
же интегралом, взятым по всему пространству. Иными словами,
ничто не препятствует уходу частицы в бесконечность. Такое дви-
движение было названо в § 5 инфинитным.
Если Е < UQ, то решение B8.38) (когда оно существует) экспо-
экспоненциально затухает при х ~^оо. Следовательно, вероятность того,
что частица уйдет бесконечно далеко от начала, равна нулю: ча-
частица все время остается на конечном расстоянии от ямы. Такое
движение естественно назвать финитным, как и в классической
механике.
Итак, инфинитное движение имеет непрерывный спектр энергии,
а финитное — дискретный, состоящий из отдельных значений.
Если глубина ямы очень мала, финитное движение может и отсут-
отсутствовать. Последнее справедливо только в трехмерном случае:
в одномерной и двумерной яме всегда есть хотя бы один связанный
уровень с отрицательной полной энергией. Поэтому мы и под-
подчеркнули, что задача о потенциальной яме конечной глубины фак-
фактически относится к трехмерному движению. В классической ме-
механике в любом случае при Е < Uo движение финитно в яме лю-
любого числа измерений, в том числе трехмерной.
По ходу решения видно, что полученный результат относится
не только к прямоугольной потенциальной яме. Действительно,
если потенциальная энергия калибрована на нуль в бесконечности,
то решение с положительной полной энергией при достаточно боль-
большом х имеет вид B8.33), а с отрицательной полной энергией — вид
B8.38). Последнее содержит только одну постоянную, тогда как
B8.33) — две. Интегральные кривые обоих решений надо продол-
продолжить к началу координат так, чтобы выполнялось условие г|> @) = 0
(мы считаем, что х всегда больше нуля). Ясно, что, имея в своем
распоряжении две постоянные, можно всегда подобрать их так,
чтобы условие г|э @) = 0 выполнялось *. Наоборот, решение B8.38),
содержащее одну постоянную, обратится в начале координат в нуль
только при некоторых специальных значениях х.
Можно объяснить еще и ро-иному, почему инфинитное движение
имеет сплошной спектр энергии. Волновая функция частицы при
инфинитном движении отличается от волновой функции свободной
частицы только в области потенциальной ямы. Но в этой области
частица находится со сколь угодно малой вероятностью, если вся
* Если ф @) = СЖ @) + ед2 @), то
324

область движения достаточно велика. Поэтому волновая функция
при инфинитном движении совпадает с волновой функцией свобод-
свободной частицы «почти» во всем пространстве, где вероятность обнару-
обнаружить частицу равна единице, и спектр энергии оказывается таким
же, как у свободной частицы.
Если Uo стремится к бесконечности, то функция вне ямы очень
быстро затухает. В пределе (?/0->оо) она обращается в нуль
сколь угодно близко к границе х = а, что и дает граничное усло-
условие B8.1).
При конечном Uo волновая функция вне ямы обращается в нуль
не сразу. Следовательно, имеется не равная нулю вероятность
того, что частица окажется вне ямы на некотором расстоянии
от нее.
В классической механике это было бы совершенно невозможно,
как это и получается из B8.38) в предельном переходе к h ->0.
При этом х = оо и я|) вне ямы сколь угодно мала. Так, разумеется,
и должно быть: если частица находится вне ямы, то ее кинетиче-
кинетическая энергия (в классическом смысле) Е — Uo < 0. Но скорость
такой частицы — мнимая величина. В классической механике это
и означает, что соответствующая точка пространства совершенно
недостижима для частицы с энергией Е.
В квантовой механике координата и скорость в одном и том
же состоянии частицы никогда не могут быть точными величинами.
Раньше мы выразили это соотношением неопределенности, т. е.
рассматривали такие случаи, когда точность понятия скорости для
некоторого состояния ограничена пределами ^-. Но этот предел —-
нижний и относится к частице, почти свободной от действия сил.
Появление мнимой скорости в формуле для связанной частицы
показывает, что само понятие скорости неприменимо в сколь угодно
большой области пространства, где U > Е. Иначе можно сказать,
что при U > Е неопределенность кинетической энергии всегда
больше разности U — Е.
На примере дейтерона мы видели, что связанная частица может
даже с подавляющей вероятностью находиться как раз в той обла-
области, где не действуют уже никакие силы.
Итак, для движения связанной частицы вне ямы никакого ана-
аналога в классической механике нет. Но как раз эта область движе-
движения является определяющей при нахождении энергетического
спектра для финитного движения.
Линейный гармонический осциллятор.
Рассмотрим задачу о квантовом линейном гармоническом осцилля-
осцилляторе. Из формулы B7.16) нам уже известен его гамильтониан.
После замены оператора импульса на —j- получаем уравнение
Шредингера:
-ЙЗ + ^ = 2% B8.47)
325

Введем другие единицы измерения: примем единицу длины рав-
равной У~ш*так что
где величина ? безразмерная. Производная -р равна
d"ty -|/~mco dip
dx ~ У h d\*
Далее, положим
2? = 8 • /ico.
В этих безразмерных переменных уравнение B8.47) выглядит
так: ,2
-^р + ^ = ег|). B8.49)
В уравнении B8.49) не содержатся никакие параметры задачи,
т. е. со, т и h. Поэтому собственное значение е может быть только
отвлеченным числом. Сопоставляя его с размерной величиной энер-
энергии, видим, что собственное значение энергии линейного гармони-
гармонического осциллятора пропорционально его частоте со.
Чтобы решить уравнение B8.49), оказывается удобным ввести
новую зависимую переменную g (?) так, что
Отсюда
Подставляя эти соотношения в B8.49) и производя необходи-
необходимые сокращения, получаем уравнение для новой зависимой пере-
переменной:
S^ 4jp. B8.50)
Коэффициенты этого уравнения содержат 1 в степени не выше
первой, поэтому его удается сравнительно просто проинтегриро-
проинтегрировать. Ищем решение в виде разложения в степенной ряд такого
вида;
Чтобы определить коэффициенты разложения gnf надо подста-
подставить ряд в уравнение B8.49), продифференцировать его почленно
326

и сравнить выражения при одинаковых степенях 1п. Первая произ-
производная равна:
так что
Вторая производная
В последней сумме было изменено название индекса суммиро-
суммирования на k. Вернемся теперь к п, полагая k — 2 = п (k = п + 2).
Тогда
n=Q
Теперь подставим выражения первой и второй производных
в уравнение B8.50) и соберем коэффициенты при %п:
со
Как известно, чтобы степенной ряд был равен нулю, должны
обращаться в нуль все его коэффициенты при ?Л# Следовательно,
—8
Таким образом, разложение идет по степеням ?2, потому что
коэффициенты gn идут через один.
Предположим сначала, что g0 Ф 0. Тогда по формуле B8.51)
найдем последовательно g2, g> ..., g2k- Ни один коэффициент не
появится в ряду с нечетным номером, если g± = 0. По рекуррент-
рекуррентной формуле B8.51) все g2k+i последовательно обращаются в нуль.
Наоборот, если g0 = 0, g1 Ф 0, то в ряду останутся коэффициенты
лишь с нечетными индексами. Поэтому достаточно рассматривать
решения, содержащие либо только четные, либо только нечетные
степени ?2. Для определенности возьмем ряд с четными степенями.
Исследуем поведение ряда при больших значениях ?. Тогда
"преобладают члены, содержащие высокие степени ?, т. е. большие п.
Но если п — большое число, то в рекуррентной формуле среди коэф-
коэффициентов B8.51) можно пренебречь постоянными числами по срав-
сравнению с /г, и получится асимптотическое соотношение:
2
327

Так как мы условились считать п четным числом, положим
п* = 2п. Вместоg2n запишем: g2n^gn>, так что gn есть коэффициент
ряда, идущего по степеням ?2. Для этих коэффициентов асимптоти-
асимптотическое рекуррентное соотношение пишется так:
В функции с нечетными степенями !• можно вынести ? за скобку,
после чего повторить вывод асимптотического соотношения между
коэффициентами ряда, стоящего в скобке. Получится, разумеется,
такое же соотношение, как для четных п.
Теперь нетрудно найти вид самих коэффициентов при больших п:
t __ go go
sn' + i n (n— 1) (n—2)... 1 n\ *
хотя в знаменателе стоит на самом деле не точно л!, потому что при п\
близких к единице, неправильно само рекуррентное соотношение
между коэффициентами. Порядок убывания gv с увеличением п'
при больших п' получился правильным. Пользуясь полученным
выражением для gv, находим асимптотическое разложение для
функции g (I):
ОО 00
ft1)"—Л-
'= 2
n'=0 n'—0
Итак, асимптотическое поведение g (?) описывается экспонен-
экспоненциальной функцией е&. Но тогда можно найти и волновую функ-
функцию i|> при больших I:
6! 11
Такой вид \j) (|) совершенно неприемлем: г|) должна оставаться
конечной при больших |, а не возрастать.
Есть только одна возможность получить конечное значение
я|з (I) в бесконечности. Надо, чтобы ряд для g (|) обрывался на
некотором п и все дальнейшие коэффициенты gn+2, gn+^ и т. д. тож-
тождественно равнялись нулю. Из формулы B8.51), видно, что
обращается в нуль, когда
причем п — любое целое число или нуль. Так как gn+4 выражается
линейно через gn+2, достаточно gn+2 обратиться в нуль, чтобы ряд
обрывался на gn. Следовательно, когда г = 2п + 1, функция g (I)
превращается в полином. Произведение полинома на экспоненту
- I2
е 2 всегда стремится к нулю при ? -> оо. Значит, if (оо) = 0.
При этом волновая функция осциллятора отвечает его финит-
финитному движению в том же смысле, что и в классической механике:
вероятность того, что частица уйдет на бесконечное расстояние,
328

равна нулю. Финитному движению отвечает дискретный спектр
энергии. Из выражения для 8 находим:
B8.52)
/гоо
Наименьшее возможное значение энергии Ео=-^-, Все это
согласуется с результатами, полученными в предыдущем параграфе.
Состояние с энергией Ео называется, как уже говорилось, основ-
основным. Функция g (|) этого состояния обрывается уже на нулевом
члене, так что соответствующая волновая функция имеет вид:
ф = ?оГ^' B8'53)
Эта функция не имеет нулей на конечном расстоянии от начала
координат, как и должно быть в основном состоянии.
Заметим, что состояние с энергией, равной нулю, отвечало бы
частице, покоящейся в начале координат. Но такое состояние
несовместимо с принципом неопределенности, так как в нем осцил-
осциллятор имел бы одновременно координату и скорость.
Найдем еще собственные функции первого и второго возбужден-
/ 1 \ з
ного состояний. В первом состоянии Ех = Лео ( I +y) =="о"^со*
Здесь надо взять g = 0, так как отличен от нуля первый член
ряда g (?) = g^. 8 = 3, и все остальные коэффициенты g2n+i с нечет-
нечетными номерами обращаются в нуль. Четные отсутствуют все,
потому что g0 = 0. Вообще все функции с четными п оказываются
четными г|) (—!¦) = г|э (?), с нечетными п — нечетными ty (—?) =
= —if (|). Как только что показано, функция с п = 1 выглядит
так:
I2
Она обращается в нуль один раз при I = 0, т. е. имеет один узел.
С-^Х-5
Рис. 33
329

Так же легко найти функцию tjJ.
Действительно, Е2 = /ко B + yj =
5 = у ftco,8 = 5. Коэффициент ?2 согласно
точной рекуррентной формуле равен
1 —в о~
J72"
откуда
^2
Узлы этой функции находятся в точ-
точках ? = ±-у=. Вообще функция 1рЛ
имеет я узлов. Функции для несколь-
нескольких первых п показаны на рисунке 33,
Распределение собственных значений энергии линейного гар-
гармонического осциллятора и кривая его потенциальной энергии изоб-
изображены на рисунке 34. Весьма любопытно, что собственные значе-
значения энергии осциллятора разделены равными промежутками.
Задача об осцилляторе качественно похожа на задачу о пря-
прямоугольной яме бесконечной глубины, но в яме энергия уровней
возрастает пропорционально квадрату номера соответствующего
уровня.
Больше похожа на задачу об определении уровней энергии
в бесконечной глубокой потенциальной яме другая задача — о на-
нахождении собственных значений квадрата момента. И там, и здесь
оператор, собственные значения которого определяются, выражен
через вторые производные, и независимые переменные изменяются
в строго ограниченной, конечной области: 0 ^ х ^ а для ямы,
О^Ф^я, 0=^ф<;2я для квадрата момента. Поэтому собствен-
собственные значения в обоих случаях зависят от номера квадратично:
п~~~
2та2
-h4
УПРАЖНЕНИЯ
1) Кривая потенциальной энергии задана так: потенциальная энергия
равна нулю при х < 0 и равна Uo при х ^ 0 (потенциальный порог). Слева падают
частицы, движущиеся вдоль х, т. е. одномерно. Найти коэффициент отражения,
если Е > Uq.
Решение. Волновая функция слева равна
ipx ipx
Спраьа (над порогом) надо искать функцию в виде
tp'x
С3е h ' где p'=f2m(?-[/0),
потому что в этой области по условию нет частиц, движущихся в сторону отри-
330

-i(Et-px)
дательных х. Заметим, что волна е h бежит слева направо,
а е h —- справа налево (см. § 18).
Из граничных условий при х = 0 находим отношение ^ I , т. е. квадратов
амплитуд отраженной и падающей волн, что и есть коэффициент отражения:
с2
Когда Е < UOi р' — чисто мнимая величина, и коэффициент отражения
всегда равен единице.
2) Кривая потенциальной энергии задана так: потенциальная энергия равна
нулю при х < 0 и при х > а. При 0 ^ х $с а она равна Uo, причем Uo > О
(потенциальный барьер). Слева падают частицы, энергия которых меньше UQ.
Найти коэффициент отражения.
Решение. Волновая функция слева от барьера равна elkx + Ce~tkx
I k = ~\m Для простоты положено просто Сх= 1, так как нас интересует только
отношение -—= С. Под барьером волновая функция имеет вид суммы экспонент
от действительного аргумента С[екх + C[2e~yiX\ за барьером снова ищем волновую
функцию в виде волны, бегущей" слева направо Cseikx: там будет только прошед-
прошедшая волна, а перед барьером — падающая и отраженные волны. Постоянные
С, CJ, С!2 и С3 определяются из условий непрерывности волновой функции и ее
производной на границах барьера. Выражения для постоянных С и С3 соответ-
соответственно имеют вид:
(/V """I'11" ЬгС\ С/ \ / ^
4ikxe~ika
3~" (и + ik)* e~*a —(к — ik)* ека f
а выражения потока с обеих сторон от барьера таковы:
У—mv 1 I /» / — т\ з I •
Подставляя | С [ и | С3 |, убеждаемся, что оба выражения для потока совпа-
совпадают, как и следовало ожидать.
Если ха^> 1, т. е. барьер весьма мало прозрачен, имеем:
Aib
С 1, С3 = - ~ e-ikae-™.
Таким образом, проходящий поток экспоненциально уменьшается с толщиной
барьера. Отметим еще, что если Е > Uo, т. е. энергия частиц лежит выше барьера,
часть их все же отражается (| С3 | < 1). В классической механике такой барьер
не отражает.
3) Показать, что происходит отражение от потенциальной ямы, для которой
х^О U == 0, при О^х^а ?/ = — | ?/0 I и при а < х ^с оо
при — о
U= 0.
4) Проверить свойство ортогональности волновых функций для ямы беско-
бесконечной и конечной глубины.
5) Показать, что функции gn (l), через которые выражаются волновые
функции линейного гармонического осциллятора, с точностью до постоянного
множителя могут быть выражены в таком виде:
Проверить это подстановкой в уравнение B8.50) при е = 2/1+ 1.
331

6) Нормировать функции г|?0 и ^i гармонического осциллятора, поль-
пользуясь тем, что
7) Проверить, что в основном состоянии линейного гармонического осцил-
осциллятора ((АрJ) ((АхJ) принимает минимальное значение -j- (см. B5.21)).
§ 29. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
Задача о движении электрона в центральном притягивающем
поле — основная в квантовой механике атома. При этом не обяза-
обязательно считать поле чисто кулоновым. Например, в атомах щелочных
металлов внешний электрон, сравнительно слабо связанный с ядром,
движется в поле ядра и так называемого атомного остатка, т. е.
всех прочих электронов. Такое приближенное описание позволяет
удовлетворительно понять особенности поведения атома щелоч-
щелочного металла и его энергетические состояния, не решая чрезвычайно
трудную квантовомеханическую задачу многих тел. Даже в тех
случаях, когда замена точного описания приближенным понятием
результирующего поля остальных электронов, действующего на
данный электрон, с количественной стороны неудовлетворительна,
общая качественная картина состояния атома все еще передается
правильно и помогает классификации отдельных состояний атома.
Удачный приближенный подход достигается благодаря тому,
что он правильно отображает распределение узловых поверхностей
волновой функции в пространстве. В этом значение общей задачи
о движении электрона в центральном поле. Такое поле будет опи-
описываться некоторой функцией U (г), вид которой в общем случае
уточнять не надо. Но в непосредственной близости к силовому
центру (ядру) U (г) стремится к бесконечности по закону Кулона:
там меньше всего сказывается экранирующее действие остальных
электронов на данный электрон. Кроме того, примем, что U (оо) = 0.
Собственные функции квадрата момен-
момента и его проекции (сферические функции).
Оператор Гамильтона частицы, движущейся в центральном сило-
силовом поле, запишем, пользуясь B4.35):
А /I2 1 д 2д М2 ..
2т г2 дгГ дг ^ ° 9"^и {
Благодаря тому что оператор М2 содержит дифференцирования
только по углам, он перестановочен с оператором энергии Н. Сле-
Следовательно, в одном и том же состоянии имеют собственные значения
энергия, квадрат момента М2 и проекция момента М2, которая
перестановочна и с гамильтонианом, и с квадратом момента.
332

Однако в гамильтониан Мг не входит; следовательно, М2 может
иметь разные собственные значения hk при одной и той же энергии
системы Е. Одинаковой энергии Е отвечает целый набор собствен-
собственных функций г|??, /, k где —I! «s k <; /. Состояния, описываемые та-
такими волновыми функциями, называются вырожденными.
Нетрудно установить критерий вырождения, т. е. условия, при
которых оно появляется. В § 24 было показано, что различные ком-
компоненты момента, например Мх и Мг, между собой неперестано-
неперестановочны, но переставляются с квадратом момента и, как видно из
B9.1), с гамильтонианом движения в центральном поле. Подейст-
Подействуем оператором Мх на функцию tyEi u k. Так как она не является
его собственной функцией, в результате получится набор собствен-
собственных функций оператора Mz:
tix$E.i.k= 2 ck.k>$E.i.k>. B9.2)
.(Как было указано в § 25, квадрат модуля коэффициента разложе-
разложения | ckt k. |2 равен вероятности того, что частица с данным значе-
значением проекции момента М2 = hk, проходя через магнитное поле,
направленное по оси х9 окажется в пучке, где Мх = hk'.) Волновая
функция B9.2), равная Мх^е, и k> в то ж^ время — собственная функ-
функция гамильтониана B9.1), так как Мх перестановочен с гамильтониа-
гамильтонианом; каждое слагаемое tyEt t% & — собственная функция Я, но не Мг*
Таким образом, благодаря тому что операторы Мх и Мг непереста-
неперестановочны, различные волновые функции tyEt i>k и Mx^E,i,k отвечают
одной и той же энергии, т. е. наступает вырождение.'
Из рассуждения ясно, что оно применимо к собственным функ-
функциям любого оператора Я, если имеются два другие оператора \ь
и v, перестановочные с К и неперестаковочные между собой: р/фя, v
не совпадает с %,v но в то же время является собственной функцией
Я, так как jiXi|) = X, (\ity) = К (\xty).
В § 24 были построены собственные функции операторов М2
и Мг и представлены в виде B4.39). Здесь мы выразим те же самые
функции несколько иначе, более удобным способом для непосред-
непосредственных вычислений.
Ограничимся случаем k = 0. Тогда волновая функция B4.39)
при добавлении числового множителя может быть представлена как
Множитель введен для того, чтобы определение Y\ совпало со
стандартным. Из записи B9.3) видно, что этой формулой выражается
однородная функция координат нулевой размерности. Следователь-
Следовательно, это функция только углов, как и должно быть. Кроме того, так
как волновая функция B9.3) содержит только дифференцирование

по z, в нее входит лишь угол между г и г, точнее, его косинус (cos Ф).
Итак, функция, определяемая B9.3), есть полином от cos Ф.
Этот полином удовлетворяет следующему дифференциальному
уравнению:
B9.4)
которое получается из B4.35), если положить в нем рф = М2 =
= hk = О, так как собственная функция квадрата момента Y] (cos й)
отвечает нулевому значению проекции момента на ось г.
Уравнение B9.4) второго порядка, следовательно, оно имеет два
линейно независимых решения. Однако регулярно, т. е. не имеет
особых точек, только одно из них, а именно Y) (cos Ф). Нетрудно
убедиться и в общем случае (для произвольного /), что второе реше-
решение имеет особые точки при cos Ф = ±1, но мы удовлетворимся
доказательством для / = 0. Регулярное решение есть Y°Q = 1, а
второе решение, как видно из B9.4), определяется так:
У2 = |
-cos* ft-
Оно обращается в бесконечность при Ф = 0, п.
Следовательно, если есть какое-либо регулярное решение B9.4),
то оно совпадает с Y\ с точностью до постоянного множителя.
Определим функцию Р/ (и) так:
Р'(">=2ш1?(«2-1)г. B9.5)
Проверим, что она удовлетворяет уравнению B9.4). Возьмем
выражение:
0=фа-1)'. B9.6)
Оно удовлетворяет такому соотношению:
^ 0. B9.7)
Продифференцируем это соотношение / + 1 раз по и. Тогда полу-
получится:
1 = 0. B9.8)
334

Таким образом, если принять и = cos ft, то выражение к-)у
будет удовлетворять тому же уравнению B9.4), что и Y°t (cos 0).
Численные множители перед Y] и в определении B9.5) подобраны
так, чтобы имело место точное равенство Y\ = Pi (cos Ф) (см. упр. 1).
Полиномы B9.5) называются полиномами Лежандра.
Для полноты приведем без вывода выражение сферических
функций при k Ф 0:
B9 9)
{ г ik
Найдем теперь нормировочный коэффициент полиномов Лежанд-
pa Pi из условия:
1
1=а? ^ P\{u)du.
~. 1
Подставляя сюда выражение B9.5) и интегрируя / раз по частям,
получаем:
Все проинтегрированные члены обращаются на пределах в нуль,
потому что в них порядок производной в одном из сомножителей
меньше / и при дифференцировании остается некоторая степень
(и2 — 1), не равная нулю. Производная порядка 21 от (и2 — II
равна B/)!. Таким образом, приходим к условию нормировки:
Входящий сюда интеграл называется эйлеровым интегралом 2-го
рода. Он приводится подстановкой -~Fp = v к стандартному виду;
1 1
^ (I -и2I du = 22l+1\vl (I -vI dy
— 1 О
и равен
22/ + 1 (/1)8
B1 +1I '
Таким образом, находим нормировочный коэффициент at\
При к =^= 0 нормировочный коэффициент есть
2/+1
335

Радиальные функции. Уравнения для радиальных
функций исследуются так. Прежде всего подставляем в уравнение
Шредингера Hty = Е\% где Н определяется B9.1), волновую функ-
функцию в виде
, Ф). B9.12)
Оператор М2, входящий в Я, дает, действуя на У?, постоянное
число /i2/ (/ + 1). Частную произзодную по г, примененную к
X (г), следует заменить полной производной. В результате получаем
уравнение для радиальной функции:
Это уравнение удобно привести к одномерному виду путем под-
подстановки:
Х=у. B9.14)
Не повторяя выкладок, с помощью которых мы преобразовывали
уравнение B0.5), запишем окончательно уравнение для отыскания
собственных значений энергии:
Пока не конкретизован вид U (г), можно исследовать B9.15)
только в двух предельных случаях: при очень больших и при очень
малых расстояниях от ядра.
На малых расстояниях поле атомного остатка не сказывается
Ze2
и остается чисто кулоновская зависимость U (г) = — ¦—(Z — атом-
атомный номер элемента). Однако если г очень мал, то член ~— "t" R
во всяком случае больше, чем член R, и подавно больше ER.
Пока положим / Ф 0. Следовательно, в непосредственной близости
к ядру волновое уравнение имеет очень простую форму:
(PR _ 1A+1) R /2Q1fi4
В таком виде оно решается подстановкой:
? = /*, B9.17)
так что
а (а -1) = /(/+!). B9.18)
Это уравнение имеет два корня:
а = /+1, а = —/, B9.19)
но второй корень дает согласно B9.14) %= г'1'1; такая функция х
обращается в точке г = 0 в бесконечность при всех /. Поэтому корень
336

a =s —/ надо отбросить и принять зависимость R от г при малых /
в виде
R = Crl+\ % = Cr*. B9.20)
При / = 0 в уравнении надо оставить кулоновский член. Это
уравнение решается. путем подстановки R в виде ряда
* + ...9 B9.21)
так что зависимость волновой функции от радиуса на малых рас-
расстояниях от ядра имеет вид B9.20) при всех /.
Чем больше момент, тем выше порядок обращения в нуль волно-
волновой функции в начале координат. Только при / = 0 она остается
Г)
конечной вблизи ядра: % = — = а1. Это можно объяснить, поль-
пользуясь аналогией с классической механикой. Момент есть произве-
произведение импульса на «плечо», т. е. на расстояние до начала координат;
/ = 0 отвечает нулевому «плечу» и нулевому моменту. Поэтому есть
отличная от нуля вероятность найти электрон в начале координат.
В старом варианте квантовой механики (в механике Бора) орбита
электрона с нулевым моментом проходила сквозь ядро, что было
непонятно. Большие значения момента отвечают большему «плечу»
и соответственно в квантовой механике — меньшей вероятности
нахождения электрона вблизи ядра.
Поведение волновой функции вблизи начала координат можно
объяснить еще и так. На частицу действует центробежная отталки-
отталкивающая сила, которой отвечает эффективная потенциальная энергия
—-—T-L (см. § 5). Эта энергия ограничивает классически доступ-
доступную область движения со стороны малых г. В квантовой механике
частица проникает в область, где по классической механике она
имела бы мнимую скорость. Но волновая функция быстро спадает
при углублении в эту область, т. е. по мере приближения к началу
координат. Закон убывания оказывается в данном случае степен-
степенным: с приближением к началу координат волновая функция умень-
уменьшается, как г\ т. е. закон уменьшения тем сильнее, чем выше барьер.
При I — 0 барьер отсутствует и ничто не мешает электрону подойти
сколь угодно близко к ядру.
Теперь мы рассмотрим область больших значений г. При больших
г в уравнении B9.15) можно отбросить члены, спадающие при уве-
увеличении г, т. е. центробежную и кулоновскую энергию (последняя
калибрована на нуль в бесконечности (U (оо) = 0). Тогда уравнение
очень упрощается:
Его общее решение выглядит так:
B9.23)
337

Исследуем два случая. Пусть энергия положительна (Е > 0).
При этом R может быть выражено следующим образом:
1гУ2тЕ 1гУ'2тЁ
~. B9.24)
Оба слагаемых остаются конечными при любых значениях г;
поэтому в решении надо удержать обе постоянные Сг и С2. (С такой
ситуацией мы встречались в § 28, рассматривая решение волнового
уравнения B8.33) для потенциальной ямы конечной глубины.)
Любое общее решение дифференциального уравнения второго
порядка содержит две произвольные постоянные. Предположим, что
решение B9.20), справедливое только при малых г, продолжено
в область больших г, где оно не имеет простого вида г1+19 но зато
удовлетворяет точному уравнению B9.15). Таким образом мы полу-
получим некоторую интегральную кривую этого уравнения. Но всякая
интегральная кривая может быть представлена путем надлежащего
подбора двух постоянных в общем решении. При стремлении г
к бесконечности это решение принимает свою асимптотическую фор-
форму B9.24), если Е > 0.
Выражение B9.15) остается конечным, когда г-> оо, при любых
постоянных Сг и С2. Следовательно, при положительной энергии
волновое уравнение всегда имеет решение, конечное при всех зна-
значениях г. Поэтому область энергий Е > 0 отвечает непрерывному
спектру, так как волновая функция удовлетворяет необходимым
условиям в начале координат и в бесконечности при любой энергии
Е > 0. Согласно B9.24) вероятность нахождения электрона при
г ->¦ оо не обращается в нуль, т. е. этот случай отвечает инфинитному
движению, как и в классической задаче, разобранной в § 5 (см.
также § 28).
Итак, подтвердилось общее правило, что инфинитное движение
имеет сплошной спектр энергии.
Пусть теперь Е < 0, или Е =—| Е |. Тогда B9.23) надо пред-
представить так:
гУ2т\Е\ — г У 2т \ Е |
R = C±e h +C2e h . B9.25)
Здесь первое слагаемое стремится к бесконечности вместе с г, и
поэтому надо положить Сх = 0, так что jR будет содержать не две,
а одну произвольную постоянную:
R = C2e h . B9.26)
Если теперь провести из начала координат интегральную кри-
кривую начиная от г = 0, где она имеет вид B9.20), то при больших
г, как правило, решение не будет приводиться к B9.26). При всех
отрицательных значениях энергии, кроме некоторых, интегральная
кривая в бесконечности представляется как B9.25) и, следовательно,
не удовлетворяет граничному условию, налагаемому на волновую
функцию.
338

Только для тех значений энергии, при которых интегральная
кривая идет так, что оказывается
Сх(?) = 0, B9.27)
волновое уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным
условиям. Это отвечает дискретному спектру энергии. В то же время
R (оо) согласно B9.26) обращается в нуль, т. е. финитное движение
отвечает дискретному спектру энергии, как и должно быть.
Кулоново поле. Посмотрим теперь, как находится ди-
дискретный спектр энергии для случая чисто кулонова поля:
U(r) = — ^. B9.28)
Этот случай осуществляется в атоме (но не в молекуле!) водорода,
в однократно ионизованном гелии, двукратно ионизованном литии
и т. д.
Волновое уравнение B9.15) должно быть записано так:
Мы сразу рассматриваем только отрицательную энергию, приво-
приводящую к дискретному спектру.
Здесь удобно изменить единицы длины и энергии, подобно тому
как это было сделано в задаче о гармоническом осцилляторе (§ 28).
Вместо системы СГС, где основными единицами являются произ-
произвольные величины — сантиметр, грамм и секунда, возьмем в каче-
качестве единиц следующие: элементарный заряд е, массу электрона m
и квант действия h.
Из этих величин строится единица длины:
Ц-2 = E,29172 ± 0,00002). 10"9 см
и энергии
^ = B7,20976 ± 0,00044) эв
(единицы длины и энергии выражены через истинную массу электро-
электрона; в атоме водорода надо брать приведенную массу электрона и
протона).
Следовательно, если в уравнении B9.29) положить е = 1, т = 1,
h = 1, то длина и энергия будут измерены в этих единицах. Обоз-
Обозначим такую длину |:
1 = ^г B9.30)
и энергию е: ш
е = А_|?|, B9.31)
так что волновое уравнение будет содержать из атомных констант
только атомный номер Z:
([+М| B9.32)
339

Решение этого уравнения ищем методом разложения в ряд.
При этом будем исходить из решений, полученных при больших и
малых значениях ? (т. е. г).
Согласно формулам B9.20) и B9.23) пишем R в следующем виде:
B9-33)
Первый сомножитель определяет вид R при ? -> 0, второй сомно-
сомножитель в основном должен соответствовать виду R при больших ?,
и ряд как бы интерполирует между двумя крайними выражениями.
Дифференцируя теперь B9.33) два раза, получим:
п=0
Первый член справа есть просто —2ei?. Следовательно, он со-
сократится с таким же членом в B9.32) справа. Сгруппируем остав-
оставшиеся члены так, чтобы в одном из них Ъ> везде имело степень на
единицу меньшую, чем в B9.33), а в другом — степень, на две еди-
единицы меньшую. Кроме того, сократим на общий множитель
ег\\чъш После этого будем иметь равенство между двумя такими
рядами:
л = 0
Такое равенство возможно только тогда, когда совпадают коэф
фициенты при одинаковых степенях ?. В левой части степень
будет иметь коэффициент, содержащий хд+1- Следовательно,
Из соотношения B9.34) определяются последовательно все коэф-
коэффициенты хл. При больших п в формуле B9.34) надо пренебречь по-
постоянными числами Z, / и I (I + 1) по сравнению с п, и тогда оста-
останется предельное выражение:
340

С подобным предельным выражением мы встречались в задаче
о линейном гармоническом осцилляторе (§ 28). Оно приводит к эк-
экспоненциальному виду весь ряд
^lnln^e>V^ B9.36)
п
при больших ?. Но такой ряд не может давать правильного выраже-
выражения для R (|), так как если подставить B9.36) в B9.33), то получится
<ф (оо) = оо, вопреки граничному условию. Однако если все коэф-
коэффициенты обращаются в нуль, начиная с некоторого %п+1 и дальше,
то ряд B9.33) вырождается в полином. Тогда, будучи умножен на
e-lV2e он дает ф (оо) _. о, как и требуется. Из B9.34) видно, что
Хя+1 равно нулю, если
Z-(n + t+1I^28=0, B9.37)
т. е.
Переходя, наконец, к обычным единицам и учитывая знак энер-
энергии, получаем искомый спектр:
i- B9-39)
Квантовые числа. Число п есть степень полинома У % 1п,
п
входящего в выражение для волновой функции. Более подробный
анализ показывает, что этот полином имеет ровно п действительных
корней. Так как %о =? 0 и In =h 0, ни один из корней не равен ни
нулю, ни бесконечности. Поэтому если рассматривать зависимость
волновой функции от радиуса, то она имеет п нулей, или «узлов»,
не считая нуля при ? = оо, связанного с финитностыо движения,
и при | = 0, который есть у всех функций с / ф 0. Название «узел»
вместо нуль дано по аналогии с узлами колеблющейся струны,
закрепленной в двух точках (последняя задача имеет полную ана-
аналогию с движением частицы в бесконечно глубокой потенциальной
яме).
Ясно, что волновая функция имеет нули не только в случае во-
водородного атома. Поэтому число пгу т. е. число узлов функции,
находящихся на конечном расстоянии от начала координат, может
характеризовать состояние электрона в любом атоме, поскольку
с качественной стороны законно описывать действие на отдельный
электрон всех остальных электронов с помощью эффективной по-
потенциальной энергии U (г). По той же причине можно описывать
состояние отдельного электрона с помощью числа /, через которое
выражается квадрат момента. Через пг и I выражается еще одно
число, которое обозначается п и связано с пг и / так:
B9.40)
341

Этими величинами можно пользоваться и для сложных, много-
многоэлектронных атомов, хотя энергия электронов в них отнюдь не вы-
выражается простой формулой B9.39). Числа п, пги I удобны для клас-
классификации состояний электронов.
/ называется азимутальным квантовым числом электрона. В
спектроскопии принята следующая система обозначений: состояние
электрона с / = 0 называется s-состоянием и соответственно с
/ = 1, 2, 3 называютсяр~, й- и /-состояниями. Больших значений I
в невозбужденных атомах не бывает. Складывая моменты отдельных
электронов (см. следующий параграф), находят результирующий
момент всего атома.
Проекция момента отдельного электрона на какую-нибудь ось
равна, как мы знаем, hk, где —I ^ k ^ /. k называется магнитным
квантовым числом, так как обычно имеют в виду ось, по которой
направлено внешнее магнитное поле.
пг — число нулей радиальной волновой функции — называется
радиальным квантовым числом.
Наконец, сумма B9.40) называется главным квантовым числом
электрона в атоме.
Энергия электрона в атоме водорода согласно B9.39) и B9.40),
выраженная через главное квантовое число, равна
F — те* _ 13,5 (9Q АП
Если сообщить электрону в водородном атоме такую энергию
за счет внешнего воздействия, электрон может быть вырван из атома.
Поэтому соответствующую величину энергии называют энергией
связи. Формула, аналогичная B9.41), получается и для положитель-
положительного иона гелия. Кроме различия в Z2 = 4 раза, имеется более тон-
тонкое различие, вызванное тем, что приведенная масса атома гелия
немного отличается от приведенной массы атома водорода из-за
разницы в массах из ядер (напомним, что приведенная масса атома
с одним электроном очень близка к массе электрона).
Состояние с п = 1 основное. В этом состоянии атом не может
излучать свет, потому что перейти в более низкое состояние просто
некуда.
В начале этого параграфа мы указывали, что энергия частицы,
движущейся в центральном поле, может зависеть только от квадрата
ее момента, но не от проекции момента. Иными словами, волновые
функции, отвечающие одинаковым /, и, как мы теперь видим, оди-
одинаковым пг, но разным &, отвечают одной и той же энергии элект-
электрона. Это и называется вырождением.
Для кулонова поля получился несколько неожиданный резуль-
результат: энергия зависит не от двух квантовых чисел пг и /, а только от
их суммы пг + /. При разных пг и /, но таких, что их сумма одина-
одинакова, собственные значения энергии одни и те же. Следовательно,
происходит дальнейшее вырождение энергетических состояний,
342

так как разным / отвечают совсем различные шаровые (сферические)
функции У\.
Следует отметить существенное различие между вырождением
по k и по /. Первое имеет место при всяком аналитическом виде
функции потенциальной энергии U (г) и связано только с симмет-
симметрией силового поля, действующего на частицу. В случае U ~ U (г)—
это симметрия всех вращений вокруг начала координат. Такой тип
вырождения называется необходимым, он вызывается симметрией,
которая задается условиями задачи о нахождении собственных зна-
значений энергии.
Вырождение же в кулоновом поле целиком обусловлено специ-
фической формой зависимости ?/ = . Если, например, кривая
потенциальной энергии имеет степенной вид: (/ = — -^ то выро-
вырождение по / получается только при показателе степени в силовом
законе 6=1. Такой тип вырождения называется случайным: он
наступает при каком-то избранном значении параметра, входящего
в гамильтониан.
Имеется глубокая связь между случайным вырождением состоя-
состояний в кулоновом поле в классической и квантовой механике. В клас-
классической механике (§ 10) было показано, что энергия при кеплеров-
ском движении зависит только от суммы адиабатических инвариан-
инвариантов 1Г и /ф, но не от каждого из них в отдельности. В дальнейшем
(§ 31) будет показано, что адиабатические инварианты очень просто
связаны с квантовыми числами. Поэтому формула B9.39) есть пря-
прямой квантовый аналог классической формулы, выражающей зави-*
симость энергии от адиабатических инвариантов (см. упражнение 3
к § 10).
В свою очередь классический вид зависимости энергии от суммы
адиабатических инвариантов 1Г и /ф определяет замкнутый характер
траектории финитного движения в кеплеровской задаче (эллипс).
В релятивистской задаче Кеплера (упражнение 9 к § 14) траектория
уже не замкнута и энергия сложнее зависит от адиабатических ин-
инвариантов. Соответственно и в квантовой теории: здесь нет случай-
случайного вырождения по /.
Четность состояния. Состояние электрона в атоме
характеризуется еще одним свойством, которому в отличие от энер-
энергии и момента не отвечает никакой классический аналог. Это свой-
свойство относится непосредственно к самой волновой функции и связано
с ее поведением при изменении знаков всех трех координат
(ср. § 15).
Рассмотрим волновую функцию электрона. Волновое уравнение
B9.15) не изменяет своего вида, если подставить в него
* = — *', у = — у', z = — z'. B9.42)
Это преобразование, называемое, как нам известно из § 15, ин-
инверсией, превращает правовинтовую систему координат в левовин-
343

товую, и наоборот. Никаким поворотом осей в пространстве эти
системы координат не могут быть совмещены.
Волновое уравнение B9.15) линейное. Поэтому если оно не из-
изменило своего вида, то его решение, определяемое граничными ус-
условиями с точностью до постоянного множителя, может получить
только некоторый дополнительный множитель:
* (х, у, г) = СЦ (*', у', z') = Сф (-*,-?,-*). B9.43)
Но «штрихованная» левовинтовая система координат в принципе
ничем не отличается от «нештрихованной» правовинтовой. Поэтому
обратный переход должен содержать тот же переводной множи-
множитель С:
*<*'. У', г') = ур(-х, -у, -г) = СЪ(х,у9 г). B9.43')
Подставляя это в B9.43), получим:
*(*, У> г) = С2Ц>(х,у, г),
откуда
С2=1, С = ±1. B9.44)
При С = 1 функция называется четной, а при С = —1 — нечет-
нечетной. Аналогичным свойством обладали волновые функции линей-
линейного гармонического осциллятора, оператор энергии которого тоже
был четным Н (х) = Н (—х)9 а волновые функции чередовались
по четности, смотря по номеру собственного значения пу т. е. были
либо четными, либо нечетными.
Нетрудно установить, какое квантовое число определяет чет-
четность волновой функции электрона в центральном поле. Согласно
выражению сферической функции B4.39) она получается путем /
дифференцирований функции — по координатам. Следовательно,
число / полностью определяет четность волновой функции частицы
в ее координатной зависимости.
Если рассматривается многоэлектронный атом, то четность его
полной волновой функции равна четности числа 2//, где U — ази-
азимутальные квантовые числа отдельных электронов.
Четность волновой функции можно представить в операторной
форме, если ввести оператор инверсии G, такой, что
б$(х, у, г)=Ц(—х, -у, —г). B9.45)
Так как оператор Гамильтона для атома есть четная функция
координат, можно записать:
6Й = Й. B9.46)
Отсюда следует, что оператор четности перестановочен с гамиль-
гамильтонианом:
G#i|) = //G>. B9.47)
344

Собственные значения оператора G суть числа С = ±1 в соот-
соответствии с B9.44), так как
6р = хр (— х, - у, - г) = Ся|>. B9.48)
Согласно B9.47) и B7.8) эти числа существуют одновременно с соб-
собственным значением энергии.
Если говорить об отдельном электроне, то задание четности его
состояния не доставляет никакой новой информации, так как чет-
четность определяется азимутальным квантовым числом /. В много-
многоэлектронном атоме состояние задается не только квантовыми чис-
числами отдельных электронов, но и тем, как моменты отдельных элект-
электронов складываются в результирующий момент всего атома.
Сложение моментов. Для начала рассмотрим правило
сложения моментов двух электронов в атоме. Момент каждого из
них, строго говоря, не является интегралом движения, так как от-
отдельный электрон движется в поле не только ядра, но и другого
электрона. Такое поле не обладает симметрией относительно враще-
вращений вокруг ядра, и поэтому может сохраняться только общий мо-
момент обоих электронов, а не момент каждого из них в отдельности.
Тем не менее азимутальные квантовые числа электронов /х и /2
продолжают с качественной стороны правильно описывать состоя-
состояния соответствующих электронов. С их помощью определяется точ-
точное квантовое число результирующего момента.
Будем рассуждать так, как если бы 1г и /2 тоже были точными
квантовыми числами. Найдя по ним результирующий момент, надо
затем иметь в виду, что только он на самом деле является точным
квантовым интегралом движения системы.
Для определенности пусть /х > Z2. Будем проецировать меньший
момент на направление большего. Так как проекция момента /2 из-
изменяется от /2 до —/2, находим, что в сумме с большим моментом 1Х
получаются следующие возможные наибольшие проекции резуль-
результирующего момента (в единицах h):
L = lt + l2, /i + /a-l, /x + /2-2, ..., /х-/2. B9.49)
Каждое из написанных здесь значений задает квадрат резуль-
результирующего момента по формуле:
M2Pe3=h2L(L+l). B9.50)
Эту формулу нетрудно вывести по методу средних значений так,
как была выведена формула для квадрата момента отдельного
электрона (упражнение 1 к § 25).
Таким образом, момент двух электронов изменяется в пределах
от L = 1Х + U ДО L = \ 1г — /а |, Проекция результирующего мо-
момента L изменяется в пределах от —L до L. Сформулированное здесь
правило согласуется с тем, что величина суммы двух векторов зак-
заключена между суммой и разностью их абсолютных значений.
345

По аналогии с обозначением состояний отдельных электронов
буквами s, р, d, и / для I = О, 1, 2, 3 состояния атома обозначаются
прописными буквами S, P, D, F, ... для L = 0, 1, 2, 3,... Большим
L отвечают буквы, следующие за F в алфавитном порядке.
Обобщение приведенного правила сложения на случай трех
й большего числа электронов очевидно: сначала складываются ка-
какие-нибудь два момента по правилу B9.49), потом к ним прибав-
прибавляется по тому же правилу третий и т. д.
Совместное действие законов сохране-
сохранения момента и четности. Итак, мы установили, что
в системе электронов, находящихся в центральном поле ядра, дей-
действуют два закона сохранения: результирующего момента и резуль-
результирующей четности. В отличие от случая одного электрона в системе
электронов оба эти закона отнюдь не сводятся к одному и тому же.
Общая четность находится путем арифметического сложения от-
отдельных чисел /, а общий момент — путем геометрического, век-
векторного сложения. Поэтому, чтобы описать состояние системы
электронов, надо задать и соответствующий этому состоянию мо-
момент, и четность.
Рассмотрим теперь, какие ограничения могут налагать эти два
закона сохранения, действуя совместно, на возможные переходы
между различными состояниями в атоме. Для примера возьмем воз-
возбужденный многоэлектронный атом с полным моментом L = О,
т. е. в S-состоянии. В этом атоме имеются s-электроны и, допустим,
нечетное число р-электронов. Следовательно, атом находится в не-
нечетном состоянии (четность определяется сложением нечетного
числа единиц *). Пусть, кроме того, полная энергия возбуждения
атома достаточна для того, чтобы из него мог вылететь один из р-элек-
р-электронов, но так, чтобы в результате перестройки электронной обо-
оболочки атом или ион остался снова в S-состоянии с L = 0. Так как
моменты складываются векторно, такое состояние может полу-
получиться и при четном, и при нечетном числе р-электронов.
По условию сохранения полного момента вылетевший из атома
электрон должен иметь I = 0, потому что у исходной системы
был нулевой результирующий момент, и после вылета электрона
осталась система, у которой момент по условию равен нулю. Иначе
говоря, сделано допущение, что только в таком состоянии у элект-
электрона хватает энергии для вылета. Следовательно, закон сохранения
момента требует, чтобы у вылетевшего электрона момент тоже был
равен нулю.
Эти соображения показывают, что можно удовлетворить зако-
законам сохранения энергии и момента при надлежащих исходных
предположениях. Посмотрим, будет ли соблюдаться при этом закон
* Из трех моментов, равных единице, нуль получается при векторном
сложении таким образом. Два момента, складываясь векторно, снова дают момент,
равный единице, так как результирующий момент для них изменяется от 0 до 2.
Получившаяся единица, складываясь с / = 1 третьего электрона, может дать
нуль,
346

сохранения четности. В оставшейся системе теперь два р-электрона
с / = 1, так что ее состояние четное. Вылетевший электрон имеет
согласно закону сохранения момента / = 0, т. е. находится тоже
в четном состоянии. Следовательно, конечное состояние системы
обязано быть четным, а начальное по предположению было нечет-
нечетным. Итак, рассматриваемый переход невозможен по закону сох-
сохранения четности. Законы сохранения энергии и момента, имеющие
классические аналоги, не исключают этого перехода, невозможного
согласно квантовому закону сохранения четности, который не имеет
классического соответствия. Мы рассмотрели типичный случай
перехода, «запрещенного» по соображениям четности (от L = О
kL = 0c предполагаемым изменением четности).
Повторим еще раз, что закон сохранения четности независим
от закона сохранения момента, так как четность определяется иным
законом сложения, чем момент.
Закон сохранения момента в квантовой механике надо применять
всегда Вхместе с законом сохранения четности. Общее в происхожде-
происхождении этих законов состоит в том, что оба они вытекают из инвариант-
инвариантности уравнений относительно ориентации координатных осей
в пространстве. Но изменение ориентации осей достигается не только
их поворотами: дополнительное преобразование заключается в ин-
инверсии, не сводимой ни к какому вращению. Это и дает закон сох-
сохранения четности в дополнение к закону сохранения момента.
Закон сохранения четности в такой форме, безусловно, приме-
применим к системам, в которых осуществляются электромагнитные вза-
взаимодействия. Это экспериментальный факт, на основании которого
уравнения электродинамики построены инвариантными по отноше-
отношению к инверсии координатной системы (§15).
Значительно более слабые взаимодействия, имеющие место при
некоторых превращениях элементарных частиц (например, при
C-распаде), не удовлетворяют закону сохранения четности.
Водородоподобные атомы. В начале этого пара-
параграфа было указано, что атомы щелочных металлов похожи на водо-
водородный атом. Внешний электрон в этих атомах сравнительно слабо
связан с атомным остатком, состоящим из ядра и всех остальных
электронов. Волновые функции электронов атомного остатка от-
отличны от нуля на меньших расстояниях от ядра, чем волновая функ-
функция внешнего электрона, так что остаток как бы экранирует заряд
ядра. Поле, в котором движется внешний электрон, близко к куло-
новому, если только он не находится в области атомного остатка.
Поэтому и спектры щелочных металлов напоминают спектр водород-
водородного атома. Уровни энергии этих атомов, происходящие от возбу-
возбуждения внешнего электрона, можно представить в виде
Е те* 1 Г29 5П
где поправка А (/) зависит от азимутального квантового числа. Она
учитывает отклонения поля от чисто кулонового на малых расстоя-
347

ниях От ядра. Чем больше /, тем дальше от ядра находится внешний
электрон (согласно 29.20) и тем меньше А (/).
Таким образом, уровни энергии щелочных металлов, как и уров-
уровни энергии всех атомов, кроме водородного, зависят от п и I.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Показать, что в определении B9.3) шаровая функция полностью совпа-
совпадает с полиномом Лежандра B9.5) от и — cos #.
Решение. Так как уже было показано, что функции B9.3) и B9.5) про-
пропорциональны, достаточно доказать их тождество при каком-нибудь значении
и— cos Ф. Покажем это при cos Ф = и= 1. В определении B9.5) при и = 1
отличен от нуля только тот член, который получается от /-кратного дифференци-
дифференцирования бинома (и2 — 1)*. Каждое дифференцирование дает множитель, равный
степени бинома, и двойку от дифференцирования квадрата. Эти сомножители
сокращаются со знаменателем 2'/!, так что Р/A) = 1.
Докажем теперь, что Y\ A) тоже равно единице.
Сместим в определении B9.3) начало координат на величину ? в направле-
направлении оси г, так что г под знаком производной будет равно [х2 + */2+ (г— ?J1~~1/2-
Перед знаком производной г при малом ? можно оставить равным
[х*+ У2+гЦ1/*.
Разделим обе части равенства на г', умножим на ?', положим в выражении
производной ? = 0 и просуммируем по / от 0 до оо. Тогда справа будем иметь
разложение в ряд Тэйлора величины [х2 + у2 + (z — ?J]~~1/2.
Следовательно, У](cos d) есть коэффициент разложения в ряд Тейлора [х2+
+ У2+ (г—?J]~1/2 при /Г^
Но при cos О = 1 имеем просто:
1
Следовательно, искомый коэффициент равен единице, как и утверждалось.
2) Доказать, что между тремя последовательными полиномами Лежандра
существует соотношение:
Пользуясь результатом предыдущего упражнения, пишем:
Дифференцируя это равенство по р, умножая на 2р и прибавляя исходное
выражение, получаем:
Заменяя в производной по р значок суммирования / на /+ 1, находим:
348

Теперь выполним такие операции: умножим производную по р на р2, при-
прибавим исходное выражение, умноженное на р, и заменим значок суммирования /
на / — 1, Тогда получим:
S / №i-i (и) = (Р - Р2") О ~ 2р« + Р2)~3/2.
1 = 0
Видно, что сумма двух последних равенств совпадает с первым, умноженным на и.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, приходим к требуе-
требуемому равенству.
Ясно, что в это равенство не мог войти полином порядка выше / + 1, так как
степень Р[ равна /. Кроме того, так как умножение на и изменяет четность поли-
полинома Р/, равенство еозможно только при полиномах различной четности слева
и справа.
3) Построить и нормировать волновые функции в водородном атоме при
оо
/= 0, 1, 2 и п = 1, 2, 3. Воспользоваться тем, что \ хпе~х dx = n\.
§ 30. СПИН ЭЛЕКТРОНА
Согласно уравнению B9.41) основное состояние водородного
атома имеет главное квантовое число пу равное единице. При п = 1
азимутальное квантовое число I и радиальное квантовое число пг
должны быть равны нулю, потому что п = пг + I + 1, а / и пг
по определению не могут быть меньше нуля. Таким образом, основ-
основное состояние водородного атома есть s-состояние. Орбитальное
движение s-электрона не производит магнитного момента, потому
что магнитный момент пропорционален механическому. Между тем,
если поставить опыт Штерна и Герлаха с атомарным водородом,
пучок расщепится, но только на две компоненты. Но при / = О
расщепления по орбитальному моменту, как мы говорили, не долж-
должно быть, а при 1=1 пучок должен был бы расщепиться на три
части, соответственно числу проекций момента k = —1, 0, 1.
То же самое наблюдается, если брать не водород, а какой-нибудь
щелочной металл. Электронная оболочка любого щелочного металла
состоит из атомного остатка, находящегося в S-состоянии, т. е.
не имеющего орбитального момента, и одного электрона в s-состоя-
s-состоянии. В этом смысле атомы щелочных металлов похожи на водород-
водородный атом.
Таким образом, состояние атома не описывается на самом деле
тремя квантовыми числами я, I и k. Надо указать еще одно кванто-
квантовое число, по которому происходит расщепление пучка.
Собственный момент, или спин, элект-
электрона. Ясно, что добавочное квантовое число должно быть как-то
связано с моментом электрона, потому что оно приводит к расщеп-
расщеплению пучка в магнитном поле. Расщепление на два пучка может
давать только момент, наибольшая проекция которого равна h/2.
Тогда он имеет всего два возможных значения проекции Л/2 и —h/2.
Опыт Штерна и Герлаха был приведен только для примера. На
самом деле не только этот опыт, но и вся огромная совокупность
349

опытных фактов об атоме свидетельствует о том, что электрон об-
обладает механическим моментом /г/2, не связанным с его простран-
пространственным, или, как принято говорить, орбитальным, движением.
Этот механический момент называется спином электрона. Можно
сказать, что электрон в классической аналогии напоминает планету,
которая имеет момент не только вследствие обращения вокруг
Солнца, но и вращения вокруг оси.
Сходство с планетой не заходит особенно далеко, потому что
момент вращающегося твердого тела может быть равен любой вели-
величине, а спин электрона всегда имеет проекции ±Л/2 и никаких
других. Поэтому спин является чисто квантовым свойством элект-
электрона — в предельном переходе к классической механике он обра-
обращается в нуль. Слово «спин» происходит от английского «вертеть
веретено», но не следует думать, что электрон действительно похож
на твердое тело вроде волчка или веретена. Сходство электрона
с волчком состоит лишь в том, что их движение не описывается только
положением одной точки в пространстве: для них характерна внут-
внутренняя вращательная степень свободы.
Скорее можно обнаружить некоторую аналогию электрона со
световым квантом: как было показано в § 19, электромагнитная
волна имеет внутреннюю поляризационную степень свободы. При
совершенно одинаковой фазе две волны могут различаться поля-
поляризациями. Если уподобить фазу, зависящую от координат, про-
пространственному аргументу волновой функции электрона, то поля-
поляризационная степень свободы волны уподобляется спиновой сте-
степени свободы кванта. Но тождества между ними нет: поляризация
волны есть понятие классическое, а спин — квантовое.
Общее определение момента. Поскольку спин
не связан с пространственным движением электрона, определение
обусловленного им момента по операторной формуле М = [гр],
очевидно, неприменимо. Надо дать более общее определение, при-
пригодное во всех случаях, прежде всего, конечно, такое, которое опи-
описывало бы свойство момента как интеграла движения.
Момент произвольной механической системы в классической
механике определяется следующим образом (для одной проекции):
М.-Ц. C0.1)
Здесь 5 означает действие системы, а бф — бесконечно малый
угол поворота вокруг оси г. Обозначение бф должно подчеркивать,
что оно имеет несколько иной смысл, чем в прежнем определении
момента (см. § 5 и 24): ф означает не азимут отдельной материальной
точки, а угол поворота прямоугольной координатной системы.
В данном случае этот поворот бесконечно малый.
Если взять систему материальных точек, то ясно, что поворот
координат на бф равносилен перемещению каждой точки на бф
по азимуту, так что определение C0.1) дает в этом случае проекцию
суммарного момента как аддитивного интеграла движения. То же
350

самое относится к моменту вращающегося твердого тела, у которого
все точки поворачиваются на один и тот же угол.
Момент как аддитивный интеграл движения замкнутой системы
существует потому, что имеется симметрия относительно вращений,
которую мы в § 2 назвали изотропией пространства. С такой сим-
симметрией можно связать и общее определение момента в квантовой
механике независимо от того, обязан ли момент пространственному
перемещению материальной частицы или какой-либо внутренней
степени свободы, которая не описывается с помощью обычных
координат. Правильность такого обобщения проверяется, как
всегда, опытом.
Если момент обязан только пространственному движению, удоб-
удобно исходить из классического соответствия между волновой функ-
функцией и действием:
(см. B3.5)). Найдем изменение г|з при бесконечно малом повороте
координатной системы:
s <s
6ip = 6e'*W*^6S = i|?--?-M,6(p, C0.2)
где была использована формула C0.1).
Обобщение будет заключаться в том, что вместо Мг мы подставим
некоторый момент произвольного происхождения Jг. Тогда C0.2)
надо переписать в таком виде:
где i|) — волновая функция, которая больше не связывается с дей-
действием, так как может содержать и другие переменные, кроме про-
пространственных.
Будем рассматривать формулу C0.3) как квантовое определение
оператора /, иначе говоря, перейдем от величины момента к опера-
оператору момента.
Покажем, что при таком выборе оператора момента его проек-
проекции удовлетворяют обычным правилам перестановки B4.24), кото-
которые были выведены для проекций момента пространственного дви-
движения частицы. Эти последние принято называть проекциями ор-
орбитального момента (термин «орбитальный» восходит к теории
Бора, допускавшей существование орбит).
Всякий оператор определяется по отношению к какому-нибудь
объекту, на который он действует: в геометрическом пространстве,
например, к вектору, в гильбертовом пространстве — к вектору
состояния, т. е. волновой функции. Удобно получить сначала пра-
правила перестановки операторов Jx> Jy, Jz при их действии на состав-
составляющие радиус-вектора х} у, г.
351

Если ввести три единичных вектора (орта) п{1\ иB) и пC), то,
как известно из § 8 и 9, изменение радиус-вектора при повороте
координатной системы равно:
б;Г=[^'>6ф;, Г], C0.4)
где бф? — бесконечно малый угол поворота вокруг i-той оси.
Повернем координатную систему еще раз вокруг &-той оси (k Ф i)\
тогда изменение 8kr при новом повороте:
6* F*г) = [л<*>6Фл, 6,г] = [*<*> [/*<'>]] 5Ф,бф,. C0.5)
Проделаем те же операции в обратном порядке:
б, (бЛг) = [л<'>6Ф,, 6Лг] = [*<*> [*<*>/-]] бф,бФ,. C0.5')
Найдем теперь разность между обоими изменениями радиус-
вектора:
«I («•) - б, (б/Г) = ([*<'> [Л<*>Г]] - [Л<*> [Л «Г]]) бф.бф, =
C0.6)
Но векторное произведение [л^, /г(Л)] = п{1\ гд&'i =? k Ф I,
если номера ортов следуют в циклическом порядке. Следовательно,
6/ (бЛг) - б, (в*г) - - [п^г] бФ/бФ,. C0.7)
Иными словами, повороты вокруг разноименных декартовых осей
неперестановочны. Но легко видеть, что правила перестановки
поворотов вокруг разных осей тождественны с правилами переста-
перестановки между соответствующими составляющими момента. Действи-
Действительно, если сопоставить повороту на угол бф^ вокруг &-той оси
оператор -г- Лбф^,, то предыдущее равенство после сокращения на
бф/бф/г (мы приняли, что бф/ = бф^бф^) будет выглядеть так:
JiJk-JbJi = ihJh C0.8)
где 1ф кФ I.
Таким образом, получилось правило перестановки операторов
проекций момента произвольного происхождения независимо от
того, к каким степеням свободы они относятся. Надо считать, что
правила перестановки C0.8) справедливы для действия операторов
Jx, Jy и Jz и в гильбертовом пространстве векторов состояний. По
существу аналогичное допущение было сделано по отношению к опе-
операторам проекции орбитального момента и ко всем операторам
вообще.
Только если допустить, что операторы проекций момента в любом
случае удовлетворяют правилам перестановки C0.8), момент мо-
может быть аддитивным интегралом движения замкнутой системы.
Если бы проекции орбитального момента удовлетворяли одним пра-
правилам перестановки, а проекции спинового момента — другим, то
суммарный момент подчинялся бы каким-то совсем особым переста-
352

новочным соотношениям. В частности, он переставлялся бы с га-
гамильтонианом не так, как орбитальный момент, что должно было бы
нарушать условия его сохранения. Но так как опыт показывает, что
суммарный момент замкнутой системы сохраняется при тех же усло-
условиях, при которых в системе, не имеющей спина, сохраняется один
орбитальный момент, ясно, что единственно возможные перестано-
перестановочные соотношения между составляющими момента суть C0.8).
Заметим еще, что в системе, обладающей спином, строгому
условию сохранения удовлетворяет только полный момент У, ко-
который строится из орбитального момента и спина по правилам век-
векторного сложения (§ 29). Составляющие /отдельные моменты могут
считаться интегралами движения лишь приближенно, подобно тому
как азимутальные квантовые числа отдельных электронов условно
рассматривались как интегралы при нахождении результирующего
орбитального момента атома.
Собственные значения квадрата момен-
момента и его проекции. Из соотношений C0.8), как и раньше
из B4.24), следует, что момент перестановочен с любой из своих
проекций. Будем теперь исходить только из соотношений C0.8),
чтобы найти собственные значения квадрата момента и одной из его
проекций.
Выберем некоторое состояние системы, характеризующееся пока
неизвестным собственным значением квадрата момента J и его про-
проекции. Хотя эти числа мы еще не определили, но имеем право счи-
считать в рассматриваемом состоянии соответствующие им операторы
диагональными:
P = №j*j*>&jzjz, C0.9)
j>28jzJ'z. C0.10)
Начнем с операторного выражения:
из которого образуем соотношение между средними значениями:
(J*) = (Jl) + (Jl) + (Jl). C0.11)
Но в собственных состояниях операторов средние от соответ-
соответствующих величин равны собственным значениям в этих состояниях,
так что
/¦ = /;+</*> + </•>. (зо.12)
Ясно, что средние значения от квадратов (J2X) и (/J) не могут
быть меньше нуля, поэтому
J\<J\ C0.13)
или
~VJ~2<JZ<V~P. C0.14)
Будем измерять момент в естественных единицах h, возвращаясь,
где надо, к обычным единицам путем умножения на Л. Пусть тогда
12 Компанеец А. С, 353

наибольшее абсолютное значение проекции момента равно Л
Вместо C0.14) запишем, применяя теперь знак ^ вместо <:
-J^JZ^J. C0.15)
На примере орбитального момента мы видели, что |Л/2 > J2. Из
C0.15) следует, что матричные элементы любой величины, зависящие
от J'z, в состоянии с данным Р должны обращаться в нуль, когда
хотя бы один из значков J2, J'z становится больше J. Применим это
к матричным элементам от операторов Jx ± iJy.
Возьмем две перестановки вида C0.8):
М 7 7 — /7
d xd г d zd x— ld у*
JyJz — J г** у == М X'
Умножим вторую из них на ± i и сложим с первой:
AХ ± Uу) J, - J2 (Jx ± Uу) = qz (Jx ± Uу). C0.16)
Так как все три оператора Jxy Jy и J2 перестановочны с /2,
соответствующие матрицы диагональны по J2. Разные значки они
имеют только по отношению к Jz. Образуя матричные элементы от
обеих частей равенства C0.16), находим:
= + {Jx±Uy)jxJ,z. C0.17)
Теперь воспользуемся тем обстоятельством, что сама матрица
(Jz)j у диагональна в том представлении, где J2 является неза-
независимой переменной. Это выражено равенством C0.10), используя
которое напишем в упрощенной форме:
Подставляя это в C0.17) и собирая все члены равенства в левой
его стороне, получаем:
(Jx±Uy)JzJz(J'2-J2±l) = 0. C0.18)
Так как один из двух сомножителей этого равенства слева
должен быть равен нулю, видим, что Jx + iJy имеет только такие
матричные элементы, у которых номер столбца на единицу меньше
номера строки (J'z = J2 — 1), а ^ — iJy — только такие матрич-
матричные элементы, у которых номер столбца на единицу больше номера
строки (J'z = J2 + 1). При этом собственные значения J2 изме-
изменяются через единицу (выраженные через h\) и пробегают числа от
—J до /. Но тогда для числа J имеются две и только две возможно-
возможности: J равно либо целому, либо полуцелому числу (V2, 3/2 и т. д.):
354

только целые и полуцелые числа, будучи уменьшенными на целое
число единиц, могут переходить сами в себя с обратным знаком.
Зная, какие матричные элементы Jx ± iJy отличны от нуля, по-
построим теперь матричные элементы от (Jx — iJy)(Jx + iJy)- Ра-
Раскроем сначала произведение операторов:
(fx - ifу) (Jx + iJy) = Jl + J* + i {fjy - fyj\) =
J-J2 = J2-Jl-J2. C0.19)
Так как справа стоит диагональная матрица, матрица слева
тоже диагональна. Напишем отвечающий этой матрице диагональ-
диагональный элемент:
(Jx-iJy)jz, jz+ i (Jx + iJyhg+i.Jz = J2-Jz- J*- C0*20)
Применим равенство C0.20) к случаю, когда Jz равна своему
максимальному значению J. Тогда слева оба матричных элемента,
входящие в произведение, содержат значки 7 + 1. Следовательно,
они равны нулю, и получается равенство, определяющее собствен-
собственные значения квадрата момента:
72 = 7G+1). C0.21)
Символический вид этого равенства не должен вводить в за-
заблуждение: ведь мы условились понимать под 72 собственное зна-
значение оператора 72, а под 7 — максимальную проекцию момента
на ось г.
В отличие от орбитального момента полный момент может иметь
как целые, так и полуцелые значения 7. Те и другие совместимы
с правилами перестановки C0.8) *.
Тогда оказывается, что момент некоторой системы может при-
принимать либо только целые, либо только полуцелые значения, по-
потому что Jz изменяется каждый раз обязательно на единицу.
* Проследим подробнее, как в случае орбитального момента исключаются
полуцелые собственные значения. Пусть k == /, что соответствует Jz = J.
Оператору Jx + iJv отвечает ei(?> l-^z — ctg Ф — -к-) = L+ (см. упражнение 5
-v \OXJ •' l Сф J
к § 24). Действуя на Y\ — Р\ (cos Ф) etl(p, этот оператор должен давать нуль,
так как в противном случае у него был бы матричный элемент с индексами /,
/+ 1, который должен равняться нулю. Следовательно, (^ — / ctg О ) р\ = 0,
Р\ — С (sin O)z. Пусть для примера / = г /2. Тогда УЦ2= (sin дI/2г2. Действуя
на эту волновую функцию, оператор elwi ^ + ctg Ф -г- ^— ] е^ L_ должен давать
функцию УГ//2> так как при / = 1/2 у него отличен от нуля только этот
матричный элемент. Но L_Y\^^?YT}lJ2f так что для орбитального момента
значение / = 1/а исключается,
12* 355

Найдем теперь матричные элементы составляющих момента.
Для этого заметим, что
потому что операторы Jх и J y эрмитовские.
При помощи C0.20) это дает:
Этот матричный элемент обращается в нуль при Jz
как и должно быть. Аналогично
+ 1).
C0.22)
— (J + 1),
C0.22')
Здесь получается нуль, когда Jг = / + 1.
Если определить Jx + iJy как матрицу с действительными эле-
элементами, то и матрица Jx — Uy тоже должна иметь действительные
элементы: при этом условии правила перестановки между обеими
матрицами будут соответствовать C0.8). Поэтому
+l), C0.23)
l)- C0.23')
Матрица (Jx + iJy) имеет отличные от нуля элементы только
рядом с главной диагональю, справа от нее, а матрица Jx — iJy —
только слева от главной диагонали, тоже рядом с ней. Нам понадо-
понадобятся эти матрицы для J = х/2. При таком значении полного момента
его проекция Jz принимает лишь значения V2 и —х/2. Соответственно
этому получатся такие матричные элементы:
Каждая матрица имеет две строки и два столбца.
По этим матрицам нетрудно найти матрицы самих проекций мо-
момента Jx и Jy. Они равны:
« f 1 I
C0.25)
C0.25')
Умножая Jy на ±1 и складывая с JXi вернемся к C0.24) и C0.24'),
что оправдывает равенства C0.25) и C0.25').
356
Jx*
У =
1
2
1
2
0
1
0 -
1
[
1
0 '
— i
0

К матрицам Jx и Jy надо присоединить матрицу Jz. Так как она
по условию диагональна, ее следует написать в таком виде:
1 О
О —1
C0.25")
Спиновая переменная электрона. Теперь
надо построить вектор состояния, или волновую функцию, на кото-
которую будут действовать операторы C0.25)—C0.25"). Ясно, что эти
волновые функции будут зависеть не от пространственных коорди-
координат, а от особой переменной, описывающей спиновую степень сво-
свободы. Но так как матрицы, отвечающие моменту J = 1/2, имеют
только две строки и два столбца, соответствующий вектор состоя-
состояния имеет всего лишь две компоненты. Назовем их г^ и гр2.
Найдем собственные функции, отвечающие проекциям спина
^ Для этого удобно написать их столбцом:
C0.26)
Эти функции, вместе взятые и записанные в равенстве C0.26)
в виде одной функции i|?, должны быть собственными по отношению
к оператору J2, определенному как матрица C0.25"):
1 0
0 —1
C0.27)
Так как оператор jг диагональный, вид собственных функций
легко определяется:
C0.28)
т. е.
> = 0, i]?_i/2>i=0, I|)_i/2,2=1.
Таким образом, мы приходим к записи собственных функций
оператора Jz, вполне аналогичной общей записи собственных функ-
функций любого оператора, например оператора % в переменных х:
* (К х).
Роль независимой переменной х играют значки 1,2, а собствен-
собственных значений оператора спина V2 и —1/2. В отличие от переменной
х, принимающей непрерывный ряд значений, спиновая переменная
имеет только два значения A и 2), но все формальные требования,
предъявляемые к операторам и собственным функциям в квантовой
механике, выполняются и в случае спина. Например, из записи
операторов Jx, Jy и fz видно, что они эрмитовские. Волновые функ-
функции, отвечающие разным собственным значениям оператора JZf
ортогональны. Это непосредственно видно из C0.28): если обозна-
обозначить спиновую переменную s (s == 1,2) и собственные значения
357

Jz {Jz = х/2, —Va), то выполняются соотношения ортонормирован-
ности:
2!W,- *'„.-*,,,;• C0-29>
Таким образом, собственное значение проекции спина надо рас-
рассматривать как четвертое квантовое число в дополнение к п, / и k.
Чтобы не писать каждый раз дробь г/2, обычно задают только знак
проекции спина, который обозначается буквой а. При нормировке
произвольной волновой функции квадрат ее модуля интегрируют
по пространственным переменным и суммируют по спиновой пере-
переменной s. Например, в центральном поле условие ортонормирован-
ности надо записать так:
= 6nn'6u>6kk'&oo'. C0.30)
Операторы (матрицы) Паули. Условившись не
писать величину проекции спина, а только ее знак, удобно ввести
вместо Jх, Jу и Jz три такие матрицы:
°^ii a^°i~o 0*Ц-1' (зо-з1)
которые были введены Паули для квантовомеханического описания
спина электрона. Рассмотрим подробнее свойства этих матриц.
Заметим прежде всего, что каждая из них имеет по одному
отличному от нуля элементу в каждой строке и в каждом столбце.
Это позволяет представить действие таких матриц на функцию ty
C0.26) в виде подстановки:
С помощью подстановок проще, чем по общему способу, находить
правила умножения матриц, например:
**-*-(?)-(?)-¦ C0-33)
Очевидно, что это равенство символически надо записать как
ol = 1, Здесь единица означает 6SS>. Таким же образом находим:
и, наконец,
olty = oJ ^1J = rJlj=ife. C0.33")
358

Теперь найдем таким же способом попарные произведения ма-
матриц Паули:
Щ, C0.34)
C0.34')
C0.34")
Все полученные равенства можно записать в виде одного в тен-
тензорной форме (см. § 11):
i — §1т + е1тпЮп' C0.35)
Это значит, что любое выражение, квадратичное относительно
матриц Паули, приводится к линейному. Например,
(Да) (Во) = A fit • Вдаат = Л/Я/ + teimAiBm6n =
). C0.36)
Разумеется, здесь обе матрицы Паули действуют на спиновые пере-
переменные одного и того же электрона.
Векторные свойства операторов Паули.
Покажем, что операторы Паули могут рассматриваться как состав-
составляющие вектора. Для этого следует убедиться в том, что при пово-
поворотах координатной системы эти операторы преобразуются как со-
составляющие вектора, т. е. что преобразованные операторы обладают
теми же свойствами, как исходные.
В § 9 были введены обозначения для косинусов углов между
старыми и новыми осями координат, а именно: косинус угла между
старой осью а и новой осью а' был обозначен (а', а). Тогда компо-
компоненты преобразованного вектора выражаются через компоненты
вектора относительно старых осей следующим образом:
& = (<*', <*)*«, а&- = (Р', P)a3. C0.37)
Надо доказать, что они дают в произведении результат, аналогичный
C0.35).
Перемножая о'а и ор, получим:
(а', а) (P'f р) (баР + *eaPYaY) = ба^ + i (a', a
Но eapY — инвариантный тензор, он одинаков в любой системе
координат. То же самое можно сказать, если один из значков тен-
тензора (у) свернут (просуммирован) со значком какого-либо вектора,
359

например ау. Это следует просто из свойств коэффициентов преобра-
преобразования (а', а), ..., (у', у). Поэтому
(а', а) (р', р)еа(^==еа^усу.
Таким образом,
как и для старых компонент aa> ap.
Формулы преобразований для поворота вокруг одной оси удобно
записать в явном виде:
а'х = <?* cos ф + а у sin ф, C0.38)
о у — — ах sin ф -f- оу cos ф.
Мы воспользуемся этими формулами для того, чтобы найти закон
преобразования компонент волновой функции %, я|J.
В § 26 было показано, что преобразование поворота координат-
координатных осей относится к классу унитарных преобразований. Формулы
C0.37) и C0.38) выражают унитарные преобразования операторов.
Но представляет интерес найти соответствующее унитарное преоб-
преобразование самих волновых функций.
Начнем с самого простого преобразования — поворота вокруг
оси г, которое для операторов имеет вид C0.38). Будем исходить из
стандартных волновых функций C0.28), которые, чтобы не писать
дробь в индексе, обозначим просто aj)+ и г|)_. Произвольную функцию
спиновой переменной можно представить как линейную комбина-
комбинацию г|)+ и г|?_:
_. C0.39)
Разумеется, функция гр тоже двухкомпонентная, причем, как
видно из C0.28) и C0.39), ее первая компонента равна хъ а вторая х2.
Совершим теперь поворот координатной системы на бесконечно
малый угол бф вокруг оси г. Тогда, как нам известно из определения
момента C0.2) или C0.3),
у у C0.40)
Следовательно, для бя|) имеем:
( Х\ C0.41)
Интегрируя это соотношение, получаем формулу преобразования
для 'vj/ при конечном угле поворота ф:
C0.42)
360

С) -
Таким образом, двухкомпонентная функция [ ] преобразуется
через половинный угол поворота.
Отметим, что | г|/ |а = \ х[ |2 + | х\ |2 = | я|> |2 = \хх |2 +
+ I х2 |2, как и должно быть при унитарном преобразовании, сох-
сохраняющем нормировку волновой функции.
Найдем более общий вид унитарного преобразования волновой
функции г|), которое представим с помощью четырех чисел а, р,
у и б:
[ + ^, C0.43)
Комплексно сопряженные величины х[*, х$* могут быть выра-
выражены соответственно через ее*, р*, у*, б*. Потребуем, чтобы
| г|/ |2 = | -ф |2. Это налагает на коэффициенты преобразования
следующие четыре условия, которые получаются из сравнения
выражений при | хх |2, | х2 |2, ххх% и х\х2:
C0.44)
Из условий C0.44) следует соотношение между a, P, у} 8 и сопря-
сопряженными величинами a*, P*, у*, б*:
К!Г. (за45)
где D = аб — Ру, т. е. определитель преобразования.
Равенство C0.45) означает, что сопряженная матрица преобра-
преобразования равна обратной матрице, но это и представляет собой усло-
условие унитарности. Образуя определители от обеих сторон C0.45),
находим, 4toD* = D'1. Без ограничения общности можно положить
D = 1, тогда
а = б*, Р== —7*. C0.46)
Применим полученные соотношения к повороту координатной
системы вокруг оси х на угол Ф. Проекция спина на первоначаль-
первоначальную ось z пусть была равна +V2. Среднее значение проекции спина
на новую ось равно cos Ф, потому что между средними величинами
в квантовой механике такие же соотношения, как между самими
величинами в классической механике. Так как основные свойства
операторов при повороте координат сохраняются, будем считать, что
оператор проекции спина на новую ось z (o'z) имеет вид C0.31).
Найдем выражения для преобразованных при повороте волновых
функций,
361

Если по отношению к старым координатным осям волновая
функция состояния была г|;+ = (п),то относительно новых осей сог-
согласно C0.43) должно быть:
а для комплексно сопряженной волновой функции с помощью C0.46)
получим:
Оба эти выражения надо подставить в определение среднего зна-
значения проекции момента на новую ось г\
^ = cos О. C0.47)
Используя известную форму оператора oz и выражения для
\|)*' и я|/, определяем из C0.47):
аб + Py = cos ft.
Поскольку аб — Py = D = 1, получаем второе уравнение,
связывающее между собой коэффициенты преобразования: аб — Ру =
= 1. Складывая и вычитая эти уравнения, находим:
Пользуясь C0.46), получим:
, P*f$ = | p |2 = sin2y.
Примем, что а—действительная величина, равная cos у. Тогда,
чтобы удовлетворить условию аб — Py = 1> надо считать р чисто
мнимой величиной /sin у. Правильность такого выбора а и Р видна
из следующего. Найдем (оу), которое, очевидно, должно быть равно
sin*. С другой стороны, имеем:
Pi = 2 sin у cos у = sin ft. C0.48)
Таким образом, получилась матрица, описывающая поворот
вокруг оси х:
cos^-, /sin —
y, cos у
362

Самый общий вид матрицы достигается в том случае, когда про-
производится еще один поворот вокруг новой оси г1 на угол %. Три угла
поворота ф, Ф и х суть не что иное, как углы Эйлера (§ 9). Перемно-
Перемножая все три матрицы, найденные для каждого поворота в отдель-
отдельности, получаем самую общую матрицу поворота:
О
О в
COS у,
/sin у
COS у
i-n-, cos^
, isiny
в т О
О е 2
—ф)
C0.49)
Такая матрица имеет известную аналогию с матрицей косинусов
(Я, |л). Но в отличие от последней действует не на компоненты век-
вектора, а на компоненты особой величины — спинора. Спинор — это
двухкомпонентная комплексная величина, имеющая закон преобра-
преобразования, описываемый матрицей C0.49), тогда как вектор — трех-
компонентная величина, преобразующаяся при поворотах коор-
координат с помощью матрицы косинусов.
Так как матрица преобразования спинора выражается через
половинные углы, при повороте координат на 360° спинор не воз-
возвращается к первоначальному значению. Отсюда ясно, что никакая
классическая непосредственно измеримая величина не может ли-
линейно выражаться через спинор. Возможны только билинейные вы-
выражения типа C0.47) и C0.49). Такие величины при повороте на
360°, разумеется, принимают прежние значения. Но только они и
могут измеряться в квантовой механике, а отнюдь не сами волновые
функции.
Оператор полного момента электрона.
Мы рассмотрели спин электрона отдельно от его орбитального мо-
момента. Образуем теперь векторный оператор полного момента элект-
электрона:
C0.50)
1 -
или в составляющих:
f M + e
±в2. C0.50')
Операторы Ж и or перестановочны, так как они действуют на
различные переменные: М — на пространственную, 6* — на спино-
спиновую. Благодаря тому что Mi и ot имеют одинаковые правила пере-
перестановки, составляющие векторного оператора j имеют те же
правила перестановки. Кроме того, j—вектор, потому что
М и а одинаково преобразуются при поворотах координатной си-
системы.
363

Если собственное значение квадрата орбитального момента не
равно нулю, т. е. / Ф О, то собственные значения квадрата полного
момента могут быть равны либо (/ + у)(' Ч-у), либо(/ ~у)и +у)«
В первом случае говорят, что спин и орбитальный момент парал-
параллельны, во втором случае, что они антипараллельны.
Это приводит к удвоению числа состояний электрона. Вместо
квантового числа а можно пользоваться квантовым числом
i = i± v2.
Магнитный момент спина. Спин электрона, по-
подобно его орбитальному моменту, связан с определенным магнит-
магнитным моментом. Но опыт показывает, что отношение магнитного
момента спина к механическому моменту в два раза больше, чем
для орбитального движения электрона. В этом нет ничего парадок-
парадоксального, потому что нельзя применять вывод A7.30) не к орбиталь-
орбитальному моменту. Но магнитный момент спина выводится из релятиви-
релятивистского волнового уравнения Дирака для электрона (§ 37); в согла-
согласии с опытом соотношение между магнитным и механическим спино-
спиновыми моментами таково:
Следовательно, проекция магнитного момента спина на любую
ось равна:
Ы, = ±-^ = ±Ио. C0.52)
(Здесь мы опять измеряем момент в обычных единицах.) Вели-
Величина |л0 называется магнетоном Бора. Это естественная единица
магнитного момента.
Так как и спиновый, и орбитальный моменты создают свои
магнитные моменты, между ними происходит магнитное взаимодей-
взаимодействие. Оно пропорционально произведению магнитных моментов.
Но формула каждого магнитного момента содержит величину ско-
скорости света в знаменателе. Следовательно, магнитное взаимодей-
взаимодействие, как принято говорить, спина и орбиты обратно пропорцио-
пропорционально с2, т. е. относится к релятивистским эффектам. Если ,ско-
рости атомных электронов малы по сравнению с с, то мало и магнит-
магнитное взаимодействие. В легких атомах это всегда так.
Из-за магнитных сил энергия уровня с / = / + V2 несколько
отличается от энергии уровня с / = / —1/2. В такой простой форме
это заключение относится к отдельному электрону в центральном
поле, например в атоме щелочного металла.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Показать, что общее свойство матриц Паули оао$ + C7pcra = 26ap сохра-
сохраняется при поворотах координатной системы, пользуясь тем, что
(a, v)(P, v) = 6aft.
364

2) Найти собственные значения скалярного произведения (о^) для двух
электронов, пользуясь тем, что аг и а2 перестановочны.
Решение. Так как а± и а2 перестановочны, для квадрата суммы имеет
место обычная формула:
(J f
Из § 29 известно, что сумма двух моментов изменяется от их суммы до раз-
разности, так что суммарный спин принимает значения 1 и 0 (по наибольшей проек-
проекции). Так как а — удвоенный оператор спинового момента, соответствующие ма-
максимальные проекции все вдвое больше. Поэтому, когда спины складываются
как параллельные векторы, собственное значение квадрата (аг + ог2J вчетверо
больше, чем соответствующего квадрата момента, т.е. равно 4*1-2 = 8, когда
же спины антипараллельны, оно равно 0.
Далее, Ы = Оу = а! = 1, так что собственное значение (#1<?2) есть —г— == 1
при параллельных спинах и Т* = — 3 при антипараллельных спинах.
3) Найти собственные функции операторов ох и Оу.
Ответ:
1,1/1
Таким образом, собственные функции всех трех неперестановочных опера-
операторов различны.
§ 31. ШЗНШССНЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Применение квантовой механики к конкретным задачам часто
наталкивается на большие математические трудности. В этих слу-
случаях оказывается необходимым применять различные приближен-
приближенные методы.
Такие методы не следует рассматривать просто как вынужден-
вынужденную замену точных решений. Наоборот, анализ применяемого при-
приближения позволяет глубже разобраться в определяющих чертах
поставленной задачи, отделить главенствующее от второстепенного.
Там, где приближение оказывается несовершенным, обычно
не выполняются исходные упрощающие предположения.
В настоящем параграфе будет рассмотрен приближенный метод
квантовой механики, применимый в тех случаях, когда данная
задача имеет близкое классическое соответствие.
Квазиклассическое приближение. В § 23
было показано, что предельный переход от квантовой механики
к классической достигается путем подстановки:
Ф = *Ч C1.1)
где S — действие частицы. Чтобы совершить предельный переход,
надо формально считать h = 0. Допустим теперь, что квант дейст-
365

вия малый, но конечный по сравнению с характерными величинами
размерности действия в рассматриваемой задаче. Тогда S нельзя
считать строго равным классическому действию, а надо представить
в виде разложения в ряд:
f .... C1.2)
Здесь классическое действие — So, а все остальные члены —
квантовые поправки. В конкретных задачах обычно приходится
пользоваться, кроме So, только первым членом разложения Su
потому что если остальные члены оказываются того же порядка,
как нулевой и первый, само приближение не оправдано.
Подставляя разложение C1.2) в формулу C1.1) и затем в одно-
одномерное уравнение Шредингера, найдем 50, Sx, 52, ... для движения
с одной степенью свободы. В случае, когда в уравнении Шредингера
для системы с несколькими степенями свободы переменные разде-
разделяются, как, например, в центральном поле, подстановку, подобную
C1.1) и C1.2), можно произвести для каждой степени свободы в от-
отдельности.
После сокращения на \|) = е h получим из уравнения Шредингера
точное уравнение для S пока без приближений:
(S'J + yS'' = 2m(?--?/) = p2. C1.3)
Подставим ряд C1.2) в это уравнение и соберем члены при одина-
одинаковых степенях А:
C1.4)
Приравнивая нулю коэффициенты при последовательных степе-
степенях Л, находим уравнения для 50, Slf 52, ..., в которых известным
считается классический импульс р = }^2т (Е— (/). Заметим, что
в каждом новом приближении появляется соответствующая новая
функция, так что в принципе все они могут определяться последова-
последовательно:
S'o = ±p, C1.5)
{^9 C1.6)
}. C1.7)
Из последнего равенства видно, что примененное приближение
теряет силу, когда классический импульс обращается в нуль, т. е.
в точках поворота * Е = U (х). Тогда второй член разложения
* В этих точках частица, движущаяся по классическим законам, должна
была бы изменить направление движения, т. е, повернуть,
366

обращается в бесконечность. Кроме того, все члены разложения
становятся большими, когда велики производные р', р", ..., выра-
выражающиеся в свою очередь через производные потенциальной энер-
энергии U\ U", ... . Иными словами, для применимости приближения
не должна быть велика сила F = —V и ее производные по коорди-
координате. Разложение C1.2) можно применять при достаточно плавной
форме кривой потенциальной энергии.
Это допущение в реальных задачах обычно выполняется. Но
почти всегда встречаются точки поворота, в окрестности которых
необходимо дополнительное исследование.
Допустим сначала, что решение найдено для таких х, которые
достаточно далеки от точек поворота. Тогда, оставляя в разложении
C1.2) нулевой и первый члены, получим:
C1.8)
Это решение с точностью до множителя -=• совпадает с обычным
представлением волновой функции ty через действие: \|э = е h»
S = \pdx. Два знака в формуле отвечают волнам, бегущим в обе
стороны. Приближение C1.8) называется квазиклассическим от ла-
латинского слова «квази» — почти.
Решение в классически недостижимой
области. Однако термин «почти», строго говоря, можно приме-
применять только к таким областям пространства, где импульс р — дейст-
действительная величина. Там, где U > ?, импульс становится мнимым,
и остается лишь внешнее сходство квантовых формул с классиче-
классическими. В задаче о потенциальной яме конечной глубины (§ 28) было
показано, что частица имеет конечную вероятность оказаться в клас-
классически недоступной области, где U > Е. Для случая прямоуголь-
прямоугольной потенциальной ямы решение задачи достигается с помощью гра-
граничных условий, позволяющих сопрягать волновую функцию для
областей, где Е > U и где U > Е, Рассмотрим теперь типичную
задачу, в которой надо сопрягать волновые функции квазикласси-
квазиклассического приближения между
областями, где р2>0 и р2 <0. U \
На рисунке 35 изображена
кривая потенциальной энергии
для случая, когда волновая
функция в классически недо-
недоступной области имеет особый
интерес. Полная энергия части-
частицы меньше максимального зна-
значения потенциальной энергии. ^
Волновая функция частицы, по- Л?
мещенной левее «горба» потен- Рис. 35
367

шальной энергии, не может уменьшиться до нуля на конечном
расстоянии от точки хх до точки л:2. Следовательно, волновая
функция не равна нулю и правее точки хъ где полная энергия сно-
снова больше потенциальной. Здесь волновая функция вообще пере-
перестает затухать, так что движение в целом инфинитное. Это зна-
значит, что потенциальный барьер конечной ширины не может сколь
угодно долго удерживать частицу в яме.
Покажем, как вычислить коэффициент «прозрачности» потенци-
потенциального барьера, т. е. вероятность прохождения сквозь него частицы.
Волновая функция вблизи точек пово-
поворота. При сопряжении волновой функции между областями,
где р2 > 0 и где р2 < 0, мы наталкиваемся на следующую трудность:
вблизи обеих точек поворота (хг и х2) неприменимо найденное нами
решение C1.8). Оно справедливо только на достаточно большом рас-
расстоянии от этих точек с обеих сторон от каждой. Можно, однако,
допустить, что вплоть до таких удаленных от хг и х2 точек кривая
потенциальной энергии хорошо аппроксимируется своей касатель-
касательной, проведенной через точку поворота, но, разумеется, области
такой линейной зависимости U от х еще очень малы по сравнению
со всей подбарьерной областью. Запишем указанное разложение
потенциальной энергии:
U <*) = ?/ (x (^
C1.9)
где Ft — сила, действующая на частицу в точке xl9 U (хх) = Е.
Подставим разложение C1.9) в уравнение Шредингера:
- ?0 = №-tW^i (*-*)*• C1.10)
Достаточно далеко от точки поворота можно использовать квази-
квазиклассическое приближение C1.8) и представить решение в такой
форме: х
± ~ $ Y2mFl(x-xt) dx
ю
Ci.li)
Хотя в интеграле подставлен нижний предел xlf вблизи х = хх
решение C1.11) не справедливо. В точке поворота х = хг на рисунке
35 производная (-J-) положительна. Здесь действует сила притяже-
притяжения /г1 = — (л~)'<0" Поэтому левее точки хг под корнем стоит по-
положительная величина. Правее точки поворота корень мнимый. Здесь
решение имеет такой вид:
363

Оба решения C1.11) и C1.12) справедливы только там, где в по-
показателях стоят величины, 'достаточно большие по модулю по срав-
сравнению с единицей. Но из формул C1.11) и C1.12) невидно, каким
образом решение проходит через промежуточную область, т. е.
какой вид приобретает некоторое решение, найденное далеко от xt
слева (скажем, \f>+), при изменении х до значений, далеких от хг
справа.
Чтобы связать между собой две асимптотические формы решения,
надо знать точное решение для промежуточной области и продол-
продолжить его в далекие от точки поворота области. Если слева точное
решение примет, например, форму ф+, то справа получится линейная
комбинация я|)+ и я|г. Но это асимптотические формы одного и того же
решения, следовательно, их и надо будет использовать в качестве
условия сопряжения волновой функции по обе стороны от точки
поворота.
Покажем теперь, как строится точное решение. Уравнение
C1.10) всегда допускает его, так как оно содержит независимую
переменную линейно. Прежде чем приступить к нахождению реше-
решения, сделаем следующую подстановку:
(х-Х1), C1.13)
чтобы избавиться от лишних букв, загромождающих уравнение.
Тогда его можно будет переписать так:
Решение удобно искать в виде
\^ C1.15)
где пределы интегрирования пока не указываются. Подставим C1.15)
в C1.14), выполнив следующие операции:
Пределы интегрирования выберем таким образом, чтобы про-
проинтегрированное выражение равнялось нулю. Тогда подстановка
в дифференциальное уравнение C1.14) дает:
0. C1.16)
Так как это равенство должно выполняться при всех значениях
функция / удовлетворяет уравнению:
<f-<72/ = О, C1.17)
369

так что
/«^•"'-Д C1.18)
Отсюда
т ^ Ql+~*Uq. C1.19)
Это решение справедливо при любых ? — положительных и от-
отрицательных. Путем некоторых вычислений, основанных на теории
функций комплексного переменного, можно показать, что при боль-
больших абсолютных значениях | | | полученное решение переходит
в решения вида C1.11) и C1.12), между которыми устанавливается
следующее соответствие:
решение слева от хг: | решение справа от хх:
Заменяя | на #, видим, что решения слева образованы линейными
комбинациями из г|>+, г|т, выраженными согласно C1.11). В свою
очередь показатели степени в уравнениях C1.11) на еще больших
расстояниях от точки поворота надо заменить интегралами: \pdx
YL\\P\dx.
Прохождение через потенциальный барь-
барьер. В упражнении 2 к § 28 была получена точная формула для
вероятности прохождения частицы через потенциальный барьер
прямоугольной формы. Найдем теперь формулу для вероятности
перехода через потенциальный барьер произвольной формы в квази-
квазиклассическом приближении.
Возможность прохождения сквозь потенциальные барьеры —
общее свойство движения частиц в квантовой механике, связанное
с тем, что волновая функция не обращается в нуль в классически
недостижимой области, где ? < ?/. В общем случае для нахожде-
нахождения вероятности подбарьерного перехода необходимо решить урав-
уравнение Шредингера, отвечающее данной задаче. Соответственно
этому не может быть получена общая точная формула вероятности.
Но в квазиклассическом приближении общая формула может быть
найдена. К выводу этой формулы мы и приступаем.
Так как все показатели степени в этом приближении велики по
сравнению с единицей, можем заключить, что вероятность прохож-
прохождения должна получиться экспоненциально малой. В противном
случае само приближение неприменимо. Но если вероятность про-
прохождения барьера очень мала, то вероятность отражения от него
близка к единице. Поэтому волновую функцию левее барьера, откуда
370

на него падают частицы, можно с хорошей точностью заменить стоя-
стоячей волной типа B8.5):
X
с
7Г Ь
X
i с , I л г f
Ь р**~Т h)
+е *i
Мы ввели в нее i —-, чтобы удобнее было произвести переход через
левую точку поворота хх. Пользуясь соответствием, выраженным
формулой C1.20а), видим, что волновая функция под барьером
имеет требуемую форму затухающей экспоненты:
t\
V\P\ Ъ = е *
Чтобы перейти через вторую точку поворота х29 представим
функцию под барьером таким образом:
Хг Х2
-~u\lP{dx т\ lPldx
V\p\ty = e х* -е х . C1.21)
Здесь первый сомножитель — постоянная величина, а второй —
экспоненциально нарастает в глубь барьера. Решение такой формы
сопрягается с волной, бегущей от барьера вправо и имеющей коэф-
коэффициент, по модулю равный единице.
Из всего сказанного следует, что амплитуда волны, уходящей
за барьер, уменьшается в отношении е х* , а сама вероятность
прохождения сквозь барьер равна квадрату уменьшения ампли-
амплитуды:
D = e * . C1.22)
Этой формулой можно пользоваться только до тех пор, пока
входящий в нее показатель степени велик по сравнению с единицей.
В противном случае для вывода соответствующего соотношения
необходимо пользоваться точными волновыми функциями.
Существование подбарьерных переходов показывает, что понятие
траектории иногда полностью неприменимо при квантовом движении.
Траектория, продолженная под барьер, приводила бы к мнимым
значениям скорости.
Соотношения неопределенности B2.4) указывают только нижний
предел возможных неточностей в задании координат и импульсов.
* Строгое доказательство того, что перед экспонентой стоит множитель еди-
единица, весьма сложно. Мы удовлетворились упрощенным нестрогим выво-
выводом C1.22),
371

Когда частица находится под барьером, для нее неточность во много
раз возрастает. Где бы она под барьером ни находилась, ее скорость—
мнимая величина, т. е. полностью неопределенна.
Можно сформулировать то же самое иным способом. При изме-
измерении энергии частицы, находящейся в подбарьерной области,
получается столь большая неточность энергии, при которой нельзя
больше утверждать, что частица имеет энергию ниже барьера.
Альфа-распад. Прохождение частиц через потенциаль-
потенциальный барьер позволило объяснить один из важнейших фактов ядер-
ядерной физики — альфа-распад. Массы ядер тяжелых элементов, имею-
имеющих большой атомный номер (больше Z = 82), удовлетворяют
неравенству вида A4.9):
т(А9 Z)>m(A-4, Z-2) + mD, 2),
где А — атомный вес, Z — заряд ядра. Следовательно, т D,2) —
масса ядра гелия с атомным весом (массовым числом) 4 и атомным
номером 2. Такое ядро, вылетающее при альфа-распаде, называется
альфа-частицей.
Из неравенства видно лишь то, что самопроизвольный распад
ядра с массой т (Af Z) возможен, но никаких указаний о временном
законе распада не следует. Ядра некоторых элементов имеют среднее
время распада 10 млрд. лет, другие — около 10~5 сек, т. е. различие
составляет 23 порядка величины. Отметим, что энергии вылетающих
альфа-частиц различаются при этом всего в два раза. На опыте
установлено, что логарифм среднего времени распада ядра обратно
пропорционален скорости альфа-частицы. Этот логарифмический
закон и соответствует разнице в 23 порядка. Он находит себе объяс-
объяснение в различии барьерных факторов, которые зависят от энергии
экспоненциально.
Задача заключается в том, чтобы построить подходящую, по воз-
возможности простую модель ядра, которой на основании квантово-
механических законов будет соответствовать наблюдаемый закон
распада. Такая модель не должна, кроме того, противоречить осталь-
остальным фактам, относящимся к ядру.
Хотя в настоящее время не существует количественной теории
ядерных взаимодействий, имеется вполне удовлетворительная доста-
достаточно универсальная модель ядра, позволяющая описывать и ста-
ставить во взаимосвязь все наблюдаемые явления в ядерной физике,
вплоть до энергий частиц в сотни мегавольт.
Применительно к альфа-распаду достаточно пользоваться только
самыми общими чертами этой модели. На больших расстояниях
от ядра, больших чем 10~12 см, никакие специфические ядерные вза-
взаимодействия не проявляются. На таких расстояниях от ядра на аль-
альфа-частицу действует только электростатическая кулоновская сила,
которой соответствует потенциальная энергия:
= 2B-2)^
372

и,
0
J
к
\
\nJ(Z-2)e*
Рис. 36
На малых расстояниях должны, конечно, действовать силы
притяжения, потому что в противном случае ядро (Л, Z) вообще
не могло бы существовать. Силовой закон, т. е. форму кривой по-
потенциальной энергии вблизи ядра, мы не знаем, но можем утвер-
утверждать, что она должна отвечать очень крутому ходу зависимости
сил с изменением расстояния, как при всех ядерных взаимодей-
взаимодействиях. В § 28 указывалось, что для описания таких потенциальных
кривых вполне пригодны упрощенные модели, известные под
названием потенциальных ям.
На рисунке 36 изображена такая предполагаемая потенциальная
яма, в которой альфа-частица находится в ядре. Дальше от ядра
кривая, отвечающая яме, как-то переходит в кривую кулоновского
отталкивания, причем детальный закон перехода, как будет видно
из дальнейших вычислений, не имеет существенного значения. Уро-
Уровень энергии ? проведен выше нуля, потому что иначе альфа-ча-
альфа-частица вообще не могла бы вылететь из ямы. Простая кривая ри-
рисунка 36 вполне достаточна для объяснения закона альфа-распада.
Для нахождения вероятности альфа-распада надо вычислить
барьерный фактор D согласно C1.22). Благодаря тому что ядерные
силы короткодействующие, переходная область между электроста-
электростатическими и ядерными силами мала и закон Кулона можно считать
справедливым до точки г = гъ т. е. вплоть до отвесной границы
ямы. Точка гг является эффективным радиусом ядра, определяемым
из альфа-распада. (Другие данные о ядре приводят к несколько
иным значениям его радиуса, но различия оказываются вполне
в пределах приемлемого.)
Итак, барьерный фактор вычисляем по формуле
Q—P
C1.24)
373

Интеграл в показателе степени легко определить подстановкой:
Тогда после элементарных выкладок он приводится к такому
виду:
Величина ErA [2 (Z — 2) e2]'1 есть отношение энергии альфа-
частицы к эффективной высоте барьера в точке rl9 рассчитанной
по формуле C1.23). Оценим это отношение. У тяжелых ядер
2 (Z — 2) ~ 180, /ч ~ 9 -10-13 см, Е возьмем равным 6 Мэв A0~5 эрг),
е2 = 23-Ю-20. Отсюда
Егх _ 1
2(Z-2)e*~ 5 #
Эту величину можно считать малой. Тогда в правой части C1.26)
получим приближенно:
2(Z —2)e2y
Z-2). C1.27)
В справедливости такого разложения можно убедиться прямой чис-
численной подстановкой.
Зная барьерный фактор, легко найти временной закон альфа-
распада. Для этого надо воспользоваться формулой B3.18). Интег-
Интеграл по поверхности в правой части этого уравнения надо отнести
к бесконечно удаленной поверхности, поскольку вне ядра имеются
только альфа-частицы, удаляющиеся от него. Полный поток через
такую поверхность дает вероятность распада в единицу времени.
Объемный интеграл в левой части B3.18) достаточно распростра-
распространить по объему ядра, так как волновая функция альфа-частицы
экспоненциально затухает под барьером. Согласно основному ре-
результату § 23 вероятность нахождения альфа-частицы в ядре равна:
Можно считать, что в какой-то начальный момент времени N
было равно единице. Тогда по уравнению B3.18) определяется
закон ее убывания со временем. Амплитуда волновой функции
уменьшается при прохождении барьера в D1/z раз. Если считать ее
374

в ядре единичной, как мы сделали при вычислении барьерного фак-
фактора, то волновая функция в бесконечности должна быть равна:
1/ lIL
.. AD /2 e h /Qi оо\
<ф = -—— . C1.28)
Мы воспользовались тем, что для перехода от одномерного движе-
движения к трехмерному надо разделить волновую функцию на г (см. § 29).
Множитель г .- появляется при нормировке волновой функции
у 4л
на единицу по телесному углу, коэффициент А связан с нормировкой
на число N по объему ядра.
Подставляя выражение C1.28) в правую часть равенства B3.18),
выражающего закон сохранения числа частиц при распаде ядра,
и заменяя нормировочный коэффициент Л вероятностью нахождения
частицы в ядре, можно получить следующий временной закон альфа-
распада: .д. г AFh .
fW Г^ r==4g^_^ 1 _е-Р (з1.29)
V
где Ei — расстояние от уровня энергии Е до «дна» потенциальной
ямы на рисунке 36. Ei оценивается весьма грубо, но главный смысл
формулы C1.29) не в предэкспоненциальном факторе, а в показателе
экспоненты, дающем основную зависимость вероятности распада
от энергии а-частицы. Учитывая это и принимая во внимание про-
произвольность определения Eit мы не стали воспроизводить подроб-
подробный вывод коэффициента перед барьерным фактором в C1.29).
Этот коэффициент получается совершенно иным, если считать, что
альфа-частица не существует в ядре как готовая, а образуется
в момент вылета, что, вероятно, ближе к истине. Но барьерный
фактор и при таком допущении оказывается тем же самым.
Интегрируя C1.29), получаем экспоненциальный закон спадания
активности распада:
N = e h. C1.30)
Здесь было принято, что Л/^ @) = 1. Величина Г имеет размерность
энергии для удобства сравнения с другими величинами той же раз-
размерности. Каждое ядро, пока оно не распалось, имеет одну и ту же
вероятность распасться в единицу времени, сколько бы оно перед
этим ни существовало в нераспавшемся состоянии. Эта вероят-
г
ность есть у- и от времени не зависит.
Формулы C1.29) и C1.27) подтверждают закон обратной про-
пропорциональности между логарифмом вероятности альфа-распада
и скоростью v вылетающей а-частицы, найденный экспериментально.
Простое вычисление показывает, что при изменении энергии а-час-
а-частицы в два раза от 4 до 8 Мэв время распада изменяется на 22 порядка
величины. Законы классической механики совершенно не способны
375

объяснить столь сильную зависимость времени распада от энергии.
Причина этой зависимости как раз состоит в квазиклассичности
движения а-частицы: по классическим законам она совсем не может
покинуть ядро, а благодаря конечности величины кванта действия h
появляется весьма малая возможность. Она очень резко уменьша-
уменьшается вместе с энергией альфа-частицы.
Ширина уровня. Пользуясь выражением C1.30), за-
запишем в явном виде временную зависимость волновой функции ядра,
не испустившего альфа-частицу. Эта зависимость выглядит так:
Цг^е 2h -e h . C1.31)
Здесь первый сомножитель учитывает экспоненциальное зату-
хание амплитуды волновой функции по закону е 21г (поскольку
вероятность, т. е. квадрат амплитуды, затухает по закону е h);
второй сомножитель — обычный временной фактор волновой
функции. Выражение C1.31) очень похоже на обычную формулу
для затухающих колебаний, только в данном случае затухает амп-
амплитуда вероятности исходного (нераспавшегося) состояния ядра.
Для этого состояния имеется конечный поток вероятности вы-
вылета частицы из ядра, пропорциональный самой вероятности нахож-
нахождения альфа-частицы в ядре. Это и приводит к экспоненциальному
затуханию вероятности нераспавшегося состояния.
Все нераспавшиеся ядра описываются совершенно одинаковой
волновой функцией C1.31), если в момент / = 0 они были заведомо
в исходном состоянии. Поэтому все они имеют абсолютно одинаковую
вероятность распада в единицу времени, и невозможно указать,
какое из них распадется раньше, какое позже. Точно так же в опыте
по дифракции электронов нельзя предсказать, в какую точку фото-
фотопластинки попадет данный электрон. Закономерность распада
чисто статистическая, так же как закономерность дифракционной
картины.
Нельзя приписать альфа-распад завершению какого-либо про-
процесса, протекающего во времени в ядре: ядро всегда в одинаковой
степени готово к распаду. На это указывает неизменность закона
распада во времени.
Поэтому время одинаково хорошо в принципе может измеряться
и периодическими, и радиоактивными процессами. Фактически закон
тех и других экспоненциальный: один раз с действительной, другой
раз с мнимой экспонентой.
Волновую функцию C1.31) можно приписать комплексному
собственному значению энергии ЕС = Е — ~. Такое собственное
значение не противоречит эрмитовости оператора Гамильтона.
Мы отмечали в § 26, что любой дифференциальный оператор опре-
определен только после того, как указаны граничные условия, налагае-
налагаемые на волновую функцию. До сих пор эти условия выбирались
376

f\\2
\afpf\\
в действительной форме: на-
например, в случае финитного
движения волновая функция
должна была равняться нулю
в бесконечности. В случае
альфа-распада налагается
иное граничное условие: в
бесконечности волновая функ-
функция имеет комплексный вид
C1.28), отвечающий расходя-
расходящейся сферической волне.
Из-за комплексности волно-
волновой функции получилось и О
комплексное собственное зна-
значение энергии.
Предположим теперь, что
волновая функция C1.31) разложена в интеграл Фурье по функ-
функциям с действительной энергией, временная зависимость которых
определяется экспонентами е h * Каков по порядку величины
тот интервал энергий, в котором амплитуда функций с действи-
действительной энергией отлична от нуля?
Запишем разложение в интеграл Фурье:
Е
Рис. 37
¦?"
оо
Г/ Et
iE't
е п =<
dE\
—оо
Тогда амплитуда а (?") равна:
Vt i{E — E')t
h h __„
Найдем квадрат амплитуды:
C1.32)
. C1.33)
C1.34)
Отсюда видно, что \а (?") |2 уменьшается в два раза, когда Е'
отстоит от Е на ± у, так что вся «полуширина» энергетического
интервала равна Г (рис. 37).
- Из определения C1.32) видно, что амплитуда а (?") имеет раз-
размерность обратной энергии. Поэтому, если проинтегрировать квад-
квадрат амплитуды по энергии, получится величина, которая тоже имеет
размерность обратной энергии. Но это есть не что иное, как полная
площадь кривой C1.34), которая характеризует тот интервал энер-
377

гий, где амплитуда разложения отлична от нуля. Обозначая этот
интервал Д?, получим по определению:
С другой стороны, среднее время, в течение которого совершается
распад, можно определить так:
4dt = ~. C1.36)
Сравнивая между собой C1.35) и C1.36), видим, что
AEAt = 2nh. C1.37)
Получилось соотношение, вполне сходное по форме с соотно-
соотношением неопределенности B2.4). Заметим, что коэффициент 2я
в правой части C1.37) связан с определением АЕ по формуле
C1.35). Если бы Д? определялось аналогично A9.6') по кривой
\а (?") |, в правой части C1.37) стояла бы единица.
Соотношение C1.37) следует формулировать так: энергия со-
состояния, существующего в течение ограниченного промежутка
времени At, определена с точностью до величины порядка -^-.
Вполне точно задается только энергия состояния, существующего
неограниченно долго.
Смысл соотношения неопределенности для координаты и им-
импульса не аналогичен смыслу C1.37). Оценка B2.4) выражает то об-
обстоятельство, что координата и импульс не существуют в одном
и том же состоянии; C1.37) означает, что если состояние системы
имеет конечную длительность Д/, то его энергия в каждый момент
времени, принадлежащий интервалу Д/, определена не точно, а за-
заключена в некотором интервале значений АЕ порядка -т-г.
Величина Г ~ АЕ называется шириной уровня энергии си-
системы. Понятие ширины уровня может быть применено к любым
состояниям, имеющим конечную длительность, не обязательно
к состояниям систем, способных к альфа-распаду. Например, уро-
уровень энергии атома, находящегося в возбужденном состоянии, имеет
определенную ненулевую ширину, так как возбужденный атом
способен к самопроизвольному испусканию кванта.
Истолкование ширины уровня. Покажем, как
ширина уровня ядра, способного к альфа-распаду, может быть най-
найдена путем рассмотрения хода волновой функции под потенциальным
барьером.
378

В § 28 было показано, что инфинитное движение имеет сплошной
спектр энергии. Движение частицы, проходящей потенциальный
барьер, инфинитно, так как она может затем уйти в бесконечность.
Следовательно, строго говоря, ядро, способное к альфа-распаду,
должно было бы иметь сплошной спектр энергии. Фактически мы
и пользовались этим в разложении C1.32).
Посмотрим теперь, как находятся квазидискретные уровни Ес.
Из C1.32) следует, что даже у ядер с самым коротким временем
альфа-распада (t ~ 10~5 сек) Г ~ 1022 эрг, или 0,6 «К)-10 эв. Как
совместить сплошной спектр с таким узким интервалом энергии?
Общее решение волнового уравнения между точками г и гх
имеет такой вид:
с 4J г И
\Ь = -?4=е п л--?=е '* ш C1.38)
v V\p\ +V\p\ • '
Первое слагаемое экспоненциально убывает при увеличении г,
а второе экспоненциально возрастает. Следовательно, если бы
барьер простирался вправо до бесконечности, решение существо-
существовало бы только при С2 = 0. Отношение CJCl9 определенное из гра-
граничных условий при г = гъ является функцией энергии. Корни
уравнения С2 (?) = 0 и дают возможные собственные значения
энергии финитного движения. Именно таким способом и получается
энергия частицы в яме конечной глубины.
Движение частицы в яме, рассмотренное в § 28, отличается от
движения частицы за барьером благодаря тому, что барьер имеет ко-
конечную ширину. Поэтому в этом случае второе решение, пропорцио-
пропорциональное С2, не обязано строго равняться нулю, а может быть только
мало по сравнению с первым решением в некотором небольшом ин-
интервале значений АЕ вблизи корня уравнения С2 (Е) = 0. Эта об-
область значений АЕ и соответствует тому исходному требованию,
что волновая функция вне ядра мала по модулю по сравнению с вол-
волновой функцией в ядре.
Иными словами, можно утверждать, что если энергия ядра за-
заключена в данной области значений АЕ, то ос-частица в известном
смысле связана в ядре, т. е. с подавляющей вероятностью нахо-
находится в нем в течение некоторого конечного промежутка времени At.
Чем выше или чем шире потенциальный барьер, тем меньше барь-
барьерный фактор D и тем меньше пропорциональная ему вероятность
распада -т. Но тогда соответственно меньше и Д?, т. е. тем ближе
состояние непрерывного спектра к состоянию дискретного спектра,
имеющего точное значение энергии ?. Это и разъясняет смысл
неопределенности АЕ: она показывает, насколько данное состояние,
способное к распаду, близко к связанному, живущему бесконечно
долго.
Можно еще сказать, что по мере увеличения ширины барьера,
т. е. уменьшения барьерного фактора, мнимая часть энергии, равная
379

— у, стремится к нулю, а Ес стремится к энергии связанного состоя-
ния.
Неточность АЕ совершенно не ограничивает применимости закона
сохранения энергии: общая энергия ядра и а-частицы постоянна.
Но состояние со строго определенной энергией не может относиться
к а-частице в ядре, потому что, если ее координата задана в интер-
интервале вблизи гъ энергия уже не может иметь совершенно точного зна-
значения. Как уже было указано, этот случай весьма далек от свободного
движения, поэтому неопределенность в энергии здесь должна вычис-
вычисляться с помощью вероятности распада, а не просто по соотношению
B2.4). Если энергия задана совершенно точно, она относится и к
нераспавшемуся, и к распавшемуся ядру. Накладываясь, эти со-
состояния ядра дают общее состояние с точным значением энергии.
Всякое состояние, подверженное самопроизвольному переходу
в другое состояние с той же энергией, имеет некоторую энергетиче-
энергетическую ширину. Точно определенная энергия всегда отвечает нало-
наложению состояний, способных переходить друг в друга.
Можно подразделять полную ширину уровня на частные, свя-
связанные с вероятностями различных переходов. Так, сильно возбуж-
возбужденные ядра способны к испусканию нейтронов различных энер-
энергий и к излучению гамма-квантов. Каждая возможность дает свою
экспоненту в члене, характеризующем затухание волновой функции
C1.31). Полнее затухание определится произведением таких экспо-
экспонент, так что полная ширина уровня энергии ядра равна сумме его
ширин по отношению ко всем возможностям распада.
Квантовые условия Бора. Кв аз и классическое
приближение позволяет находить уровни энергии частицы, движу-
движущейся в потенциальной яме. Чтобы не повторять сходных рисунков,
будем считать, что на рисунке 35 кривая потенциальной энергии
обращена выпуклостью вниз, а не вверх. Тогда между точками
хх и х2 полная энергия больше потенциальной, так что это и есть
классически возможная область движения. По законам классиче-
классической механики частица будет- совершать периодическое движение,
подобно маятнику (ср. рис. 8). Полный период движения равен;
%г (зьз9)
Найдем, какие ограничения налагает квантовая механика на воз-
возможные собственные значения энергии частицы.
Так как правее точки х = х2 потенциальная энергия больше
полной, надо представить решение волнового уравнения в виде зату-
затухающей экспоненты:
Ж 2V|p|
380
-1 $|
в *•

С помощью условий сопряжения C1.20) следует от этого решения
перейти к решению в яме. Его представим как
C1.40)
так как при х, близком к х2, оно переходит в C1.20а).
Левее точки х = хх решение снова должно иметь вид затухающей
экспоненты:
х
-4- \\p\t*
с е «
* 2У\Р\
Если применить к нему условия сопряжения, то функция в об-
области ямы будет выражена следующим образом:
Функции C1.40) и C1.40'), очевидно, должны совпадать при
любом значении х внутри ямы, так как они относятся к одному и то-
тому же состоянию:
A C1.41)
Чтобы равенство C1.41) было справедливо, должно выполняться
одно из двух условий:
а) С = 1, фазы под знаком синусов в сумме составляют четное
число, умноженное на п.
б) С = —1, фазы составляют в сумме нечетное число, умножен-
умноженное на я.
Действительно, в случае а), обозначая фазы синусов а и 2Ьт—а,
получим:
sin а — sin Bkn — а) = — 2 sin kn cos (а — kri) = 0.
В случае б) имеем аналогично:
sin а + sin [Bk + 1) л - а] = 2 cos (k + ~) п sin Га - [k + ~) п\ = 0.
Объединяя оба случая в одной формуле, видим, что функции
C1.40) и C1.40') совпадают, если сумма фаз под знаком синуса
равна целому кратному я, которое, очевидно, не меньше л;,потому что
сумма фаз положительна:
х
H ~ = n(n+l),
381

где п = О, 1, 2 и т. д. Распространяя теперь интеграл на весь период
движения в классическом смысле, приходим к условию:
2 ^ y2m(En-U)dx = 2 J pndx = 2n (/i+y)ft. C1.42)
Подобное условие было постулировано в старой теории Бора,
но тогда писали просто п. Заметим, что в современной квантовой
механике слагаемые — в фазах косинусов присутствуют только тогда,
когда кривые потенциальной энергии в точках поворота имеют
конечные тангенсы угла наклона. Если это не так, необходимо до-
дополнительное исследование вопроса о правильном выборе фазы.
Квазиклассическое приближение, вообще говоря, применимо только
тогда, когда фазы, входящие в волновую функцию, велики по срав-
сравнению с 2я. Поэтому формула C1.42) в принципе справедлива лишь
при больших п. Есть, однако, исключительные случаи, когда она
применима при всех п.
В отличие от старой квантовой теории квантовая механика полу-
получает приближенную формулу C1.42) без всяких дополнительных,
чужеродных допущений, тогда как раньше подобная формула при-
применялась к классическому движению. Но в классической механике
всегда допускается, что механические величины могут изменяться не-
непрерывным образом, так что квантовый постулат выглядит в ней
как резко противоречащий всем ее основам.
Как видно из формулы C1.42), фаза волновой функции на отрез-
отрезке хгх2 изменяется на число, которое больше, чем лл, и меньше, чем
п (п + !)• Следовательно, синус меняет знак п раз, т. е. функция
имеет п нулей, что соответствует я-му собственному значению энер-
энергии. Собственные значения Еп растут вместе с номером я, потому что
только при этом условии может возрастать интеграл § ]/ Еп — U dxf
Xi
х2
т. е. площадь кривой \р dx> лежащая ниже прямой Еп = const.
Xi
Таким образом, подтверждается общее правило: чем больше
собственное значение энергии, тем больше нулей имеет соответствую-
соответствующая волновая функция.
Найдем интервал АЕ между двумя соседними собственными зна-
значениями энергии при больших п. Имеем:
2? .А?^" dx = 2nh. C1.43)
Но входящий сюда интеграл выражается через период классиче-
классического движения т так, что
Д? = ?^ = А©, C1.44)
382

где со — частота классического движения. Таким образом, последо-
последовательные уровни энергии в первом приближении находятся на рав-
равном расстоянии один от другого, если можно пренебречь за-
зависимостью частоты колебаний от энергии.
Описанные здесь приемы нахождения собственных значений
оператора энергии можно применять и к другим операторам, на-
например к квадрату момента. Для этого нужно, чтобы уравнение
для волновой функции такого оператора приводилось к виду:
где А, — собственное значение исследуемого оператора.
Квазиклассический предел матричных
элементов. Посмотрим теперь, во что переходят матричные
элементы операторов в квазиклассическом приближении. Чтобы
совершить предельный переход от волновых законов движения кван-
квантовой механики к классическому движению по траекториям, надо
образовать из волновых функций волновые пакеты:
yp = \dEC(E)^(E, х), y* = \dErC*(E')y*(E'9x). C1.45)
Так как классическая траектория на самом деле весьма размыта
по сравнению с величинами микроскопических масштабов длины,
интервал энергии Д?, по которому ведется интегрирование в C1.45),
очень мал.
Пусть имеется некоторый оператор А, (х), от которого надо обра-
образовать среднее значение по состоянию, описывающему волновой
пакет C1.45). По общей формуле B5.19) пишем:
AE>-E)t
(X (t)) = J ур*Ц dx = \ dEC (E) $ d?'C* (?') е h KE,E. C1.46)
Воспользуемся тем, что весь интервал изменения энергии в квази-
квазиклассическом пределе весьма мал. Заменим Е'—Е на величину АЕ:
iAEt
В выражении С* (Е + АЕ) можно просто заменить АЕ на 0.
Тогда С (Е)С*(Е + Л?) перейдет в | С (Е) |2, т. е. в вероятность
состояния, отнесенную к единице энергии. В матричном элементе
КЕ\е такая замена означала бы переход к диагональному элементу,
который вообще не зависит от времени, тогда как нас будет инте-
интересовать (К (/)) как функция /.
Матричный элемент Ье+ае,-е зависит от энергии ? плавным обра-
образом. Можно подставить в него некоторое среднее значение энергии Ео
в интервале АЕ. От Ео фактически зависит и (X) = (X(EQyt)). Тогда
искомая средняя величина выразится так:
АШ_
<Я (?0, /)> = ^ dE | С (Е) |* I dAEe * А?о+Д?, Ео C1.47)
383

Но интеграл от всех вероятностей ^dE \ С (Е) |2 равен единице,
и получается следующее равенство:
t)) = $ dISBe л Хе.^е. е9. C1.48)
ение классической ве
сравнение равенств (
X (Ео, t) = $ dae^l (EOt со)
Если записать разложение классической величины X (E0J) в ин-
интеграл Фурье, то простое сравнение равенств C1.48) и разложения
показывает, что
( ±) C1.49)
Таким образом, матричный элемент переходит в коэффициент
разложения Фурье, отвечающий той же частоте, с которой изменя-
изменяется со временем сам матричный элемент. В случае дискретного спект-
спектра надо пользоваться не интегралом, а рядом Фурье, причем основ-
основным интервалом разложения является период классического движе-
движения т, определяемый из C1.39).
Применим теперь полученный результат, чтобы показать, что
перестановка между оператором энергии и операторОхМ X в класси-
классическом пределе переходит в скобку Пуассона между соответствую-
соответствующими функциями Н (х,р) и X (хур) (см. § 27).
Пусть операторы Н и К заданы в координатном представлении.
Тогда перестановка между ними выглядит так:
(Hi-ift)xx> = \dxrr [Н (х, х''I(х'\ х')-Х(х, х'')Н (х'',х')).
Каждую функцию двух переменных можно тождественно пред-
представить как функцию суммы и разности этих переменных:
Н(х, х") = н(^-, х-х"),
х"-х'
Функции от разности в правых частях этих тождеств разложим
в интегралы Фурье по нормированным собственным функциям
1
импульса гЬ = е
У 2nh
ip(x-x")
, Pl)dPl и т. д.
В классическом пределе надо перейти, как указывалось выше,
к волновым пакетам и считать разности координат малыми величи-
нами. Поэтому разложим Я (-——, pj, Xf——--, рЛ и другие
384

амплитуды Фурье в ряд по х—х", х"—х', ... и ограничимся линей-
линейными членами:
\ ^Р(х~Х"}[(х, р) + !(*_*")
Х^"'Х^ = Ш S ^(х"~хГ)\к(х', Pl) + ^(X'-X")^ X(x',Pl)]dPl.
Преобразуем линейные члены по частям. Для этой цели заме-
/ //ч i-P(x—x") h д ~(х—х")
ним (л: — х )eh на — --г~е и воспользуемся тем,
что на пределах (при р = ±оо) коэффициенты разложения должны
обращаться в нуль. Отсюда
'
(Противоположные знаки при вторых производных получились
потому, что в показатели экспоненты входят соответственно х—хп
и х"—х'.)
Подставим разложения матричных элементов в перестановку
между операторами и воспользуемся тем, что при изменении порядка
интегрирования по х\ р и рх получается 8-функция:
1 Г» —x'^Pt — p) ,,
2Ш)е" dx =«(^х-Р).
Заменяя интеграл по рх с помощью формулы
\dp18(p1-p)f(p1) = f(p)
и оставляя только члены, линейные относительно кванта действия,
приходим к такому выражению искомого матричного элемента:
^1е*{х~х'}<1р{н(х, р)Цх',р)-Н(х',р)Цх,р)-
Н Г &Н W / Ч Ы / Ч д*к I W ¦
Существенно, что ^j- и д д теперь входят с одинаковыми зна-
знаками, так как в экспонентах у них стоят соответственно х—х
и х"—х1. Снова преобразуем по частям члены, пропорциональные h.
Для примера рассмотрим один из них:
*-?<*-*') д*Н Л , С дН д ( i~{x-x')
13 Компанеец А. С. 385

Переходя к пределу, следует считать, что х' ->х везде, кроме,
у
h
конечно, экспоненты eh , по которой производится разложение.
Тогда
Собирая все члены, линейные относительно Л, получим формулу
перестановки в классическом пределе:
* .т(____д.). C1.50)
Разложим теперь C1.50) в интеграл Фурье аналогично тому, как
разлагались Н и К:
± J №* C1.51)
Здесь можно прямо полагать выражение в скобках функцией
х и р. Сравнивая коэффициенты Фурье разложения C1.51) и C1.50),
видим, что, с одной стороны, имеем классический предел матричного
элемента перестановки операторов (НХ — Ш), а с другой — скобку
Пуассона:
ДМ ||^| C1.52)
как и было указано в § 27.
Заметим, что следующий член разложения перестановки со-
содержит уже Л2.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Определить уровни энергии линейного гармонического осциллятора из
уравнения C1.42).
Решение.
2т(Е
Отсюда En — h(uln +-^-),что, вообще говоря,справедливо при всех /г, начиная
с нуля. Заметим, что в формуле, пригодной только при больших п, слагаемое -^
не имеет смысла.
2) Найти фактор D для потенциального барьера вида: U = 0 при д; < 0,
(/ = Uo — ах при л; ^ 0, Е < С/о.
3) Сопоставить случайное вырождение энергии в задаче об атоме водорода
с выражением энергии через адиабатические инварианты в задаче Кеплера
(упражнение 3 к § 10).
386

§ 32. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Часто бывает так, что в операторе Гамильтона квантовомехани-
ческой системы имеется слагаемое, при котором стоит малый пара-
параметр. Если точное волновое уравнение не допускает аналитического
решения или решается очень сложно, целесообразно бывает искать
решение в виде разложения по степеням малого параметра.
При этом возможна двоякая постановка задачи. Иногда малое
слагаемое в гамильтониане, которое называется возмущающей энер-
энергией, просто слегка изменяет энергию и волновую функцию невоз-
невозмущенного состояния. Причем и возмущенное, и невозмущенное
состояния стационарны.
В других случаях возмущение делает некоторое стационарное
состояние нестационарным, так что появляется конечная вероят-
вероятность перехода системы в совершенно иное состояние, например
из состояния с дискретным собственным значением энергии в состоя-
состояние с непрерывным спектром энергии.
Эти случаи надо рассматривать раздельно.
Статические возмущения. Невырожден-
Невырожденное движение. Рассмотрим сначала самый простой случай,
когда собственные значения энергии гамильтониана, отвечающего
невозмущенному состоянию системы, не вырождены. Назовем «не-
«невозмущенный» гамильтониан Яо, возмущающую часть его V,
так что полный гамильтониан
H = H0 + V. C2.1)
Уравнение для собственных функций «невозмущенного» гамиль-
гамильтониана выглядит так:
(Н0-Еп0)%0 = 0. C2.2)
Будем считать, что Но имеет дискретный спектр, каждому соб-
собственному значению Еп0 отвечает одна собственная функция я|5я0>
причем эти функции ортогональны и нормированы на единицу:
№'№nodx = 6n'n. C2.3)
«Возмущающий» гамильтониан содержит некоторый малый пара-
параметр, но мы не будем выписывать его в явном виде, помня, что поря-
порядок малости каждого выражения определяется его степенью отно-
относительно V.
Будем искать поправку к собственной функции и собственному
значению энергии с номером п\ соответствующее точное уравнение
Для собственных значений энергии есть
-En)% = 0. C2.4)
13* 387

Решение удобно искать в виде разложения по собственным функ-
функциям «невозмущенного» гамильтониана i|)n0, которые определяются
из C2.3):
п1
Подставим это разложение в уравнение C2.4) и воспользуемся
тем, что iJVv, есть собственная функция гамильтониана Но. Получим:
Это уравнение точное. Его нетрудно превратить в уравнение для
коэффициентов CV, что отвечает переходу к такому представлению,
где независимой переменной является энергия невозмущенной
системы C2.2). Для этого умножим уравнение для г?> слева на г|)|0
и проинтегрируем по всему объему (элемент объема обозначим dx,
чтобы не возникло путаницы с оператором V). Пользуясь ортого-
ортогональностью волновых функций, найдем:
(?*„-?„) С* = -? WCn>. C2.6)
ft'
Здесь Vkn означает матричный элемент возмущающей энергии.
Соотношение C2.6) представляет собой бесконечную систему
линейных уравнений относительно коэффициентов разложения СП'-
Эта система решается методом разложения в ряд по степеням
малого параметра, входящего в V. Энергию n-го состояния предста-
представим в таком виде:
+ En2..., C2.7)
а коэффициенты разложения по собственным функциям невозмущеи-
ного движения как
Ck = bkn + Cki + Ch2+.... C2.8)
Положим теперь слева в C2.6) k = п, тогда в первом прибли-
приближении здесь останется только одна поправка к энергии —Еп1. Справа
надо удержать член первого порядка относительно У, т. е. Vnn.
Следовательно, уравнение для поправки к энергии невозмущенного
движения получается в первом приближении:
Enl = Vnn. C2.9)
Но диагональный матричный элемент возмущающей энергии
равен:
Vnn = \^mHn*dx, C2.10)
т. е. согласно B5.19) поправка к энергии в первом приближении
равна среднему значению энергии по невозмущенному состоянию.
Если k Ф пу то разность ?^0—Еп имеет нулевой порядок малости
относительно возмущения; она отлична от нуля и в невозмущенной
системе. Поэтому вся левая часть уравнения C2.6) первого порядка
-388

малости, так как содержит Ск{кФ п). Чтобы иметь тот же самый
порядок и справа, надо оставить при Vkn' только коэффициент с но-
номером п' = п в соответствии с C2.8). Отсюда находим Ckl:
Сй = -Е VknF . C2.11)
? ко—?/гО
(Мы заменили в знаменателе Еп на Еп0, так как в числителе уже есть
Vkn.)
С помощью C2.5) находим и собственную функцию (в первом
приближении):
Ц'^ C2.12)
где штрих при сумме означает, что член с k = п опущен.
Из формул C2.11) и C2.12) видно, какому требованию должно
удовлетворять возмущение, для того чтобы можно было считать его
малым:
\Vkn\<\Ek0~En0\. C2.13)
Оно должно быть мало не по отношению к невозмущенным соб-
собственным значениям энергии, а по отношению к их разностям.
Матричный элемент возмущающей энергии между состояниями k и п
обязан быть гораздо меньше расстояния между &-тым и n-ным уров-
уровнями энергии.
Часто бывает, что среднее значение возмущающей энергии по
невозмущенному состоянию обращается в нуль. Тогда надо исполь-
использовать последующее приближение. Подставим в уравнение C2.6)
снова k = n, но оставим слева члены до второго порядка малости.
Учитывая, что справа уже имеется Vnn'9 здесь надо оставить коэф-
коэффициенты Сп< до первого порядка малости включительно:
E* + Ent = Vnn+ У Vnn<Cn>, = - yVEnn'^'n + Vnn. C2.14)
п п
Величины Еп1 и Vnn сокращаются в силу C2.9), и остается выра-
выражение для поправки к энергии п-го состояния во втором прибли-
приближении:
Здесь мы использовали то обстоятельство, что Vnn> = V%'n%
так как оператор V должен быть эрмитовским.
Отметим, что если п = 0, т. е. возмущаемое состояние основное,
то поправка к энергии Ео непременно отрицательна.
Вариационное свойство собственных
значений. Последний результат можно объяснить, исходя
из весьма общих соображений. Мы указывали, что разыскание соб-
собственных значений оператора есть не что иное, как приведение к глав-
главным осям поверхности второго порядка в гильбертовом пространстве.

Но главные оси квадратичной поверхности обладают вариацион-
вариационным свойством: при бесконечно малом повороте координатных осей
(вблизи главных осей) радиус поверхности, проведенный из начала
координат, стационарен, т. е. (в первом приближении) не изменя-
изменяется. Следовательно, если говорить о нулевом, или основном, со-
состоянии, то соответствующая главная ось наименьшая; всякое при-
приближение к этому состоянию ведет только к уменьшению энергии.
Собственные векторы оператора Яо не давали истинных главных
осей оператора Я = Яо + V. Но, когда в волновые функции, т. е.
в собственные векторы оператора Я, было внесено исправление
с помощью C2.12), собственные значения Еп2 оказались ближе к дей-
действительным. В частности, приблизилась к своему истинному зна-
значению и энергия основного состояния и, следовательно, с необхо-
необходимостью уменьшилась.
Что касается поправки первого приближения Еп1 = Vnn, то ее
знак может быть любым. Эта поправка вычисляется по собствен-
собственным функциям невозмущенного состояния, без поворота осей в гиль-
гильбертовом пространстве. По существу ее следует просто включать
в энергию невозмущенного состояния. Она определяет поправку
к радиусу квадратичной поверхности точного гамильтониана Я —
= Н0 + V, проведенному в направлении п-й главной оси «невозму-
«невозмущенного» гамильтониана. Именно эта в первом приближении исправ-
исправленная величина уточняется дальше путем поворота осей по формуле
C3.12), и тогда оказывается, что энергия основного состояния
при уточнении может получить только отрицательную поправку Е02.
Вариационное свойство собственных значений очень просто
доказать следующим образом. Будем искать волновую функцию i|\
которая придает экстремальное значение интегралу
\x C2.16)
при дополнительном условии:
l = [ty*tydxf C2.17)
т. е. оставаясь всегда нормированной на единицу.
Чтобы решить задачу на экстремум с дополнительным условием,
надо прибегнуть к методу неопределенных множителей: варьировать
оба интеграла C2.16) и C2.17) по я|э*, умножить вариацию второго
из интегралов на неопределенную пока величину —Е, сложить
после этого вариации интегралов и приравнять их сумму нулю:
Чтобы это равенство выполнялось при любой вариации бг^*,
надо потребовать:
(Я-?)ф = 0. C2.18)
Но это есть уравнение для разыскания собственных значений опера*
390

тора Я. Следовательно, любое собственное значение отвечает стацио-
стационарному значению <#>, причем в основном состоянии имеет наи-
наименьшую величину из возможных.
Это свойство энергии основного состояния используется следую-
следующим образом. Например, имеется нейтральный атом и электрон
и требуется узнать, могут ли они соединиться, образуя отрицатель-
отрицательный ион (присоединять электрон способен атом водорода и некоторые
другие атомы).
Решить задачу о движении двух электронов в поле ядра очень
трудно. Аналитического решения этой задачи не существует. Тут
приходит на помощь вариационный метод. Выбираются некоторые
собственные функции, удовлетворяющие граничным условиям, т. е.
равные нулю в бесконечности, как должно быть при финитном дви-
движении связанного электрона. Эти функции отнюдь не удовлетворяют
точному уравнению Шредингера для данной задачи и могут только
отчасти напоминать их.
Если при подстановке в C2.16) получается отрицательное зна-
значение (Я), то можно быть уверенным, что истинное собственное
значение энергии в основном состоянии лежит еще ниже, т. е. тоже
отрицательно. Но отрицательные собственные значения энергии дей-
действительно отвечают финитному движению, т. е. связанному состо-
состоянию электрона. Обычно функции, подставляемые в выражение (Я),
содержат некоторое число параметров по выбору вычисляющего.
Если интересуются энергией основного состояния, эти функции не
должны нигде обращаться в нуль на конечном расстоянии от начала
координат, что несколько ограничивает их выбор. После вычисления
интегралов C2.16) и C2.17) параметры подбирают так, чтобы (Я)
была возможно меньшей при сохранении нормировки функции.
Надо заметить, что таким способом более или менее надежно
определяется только величина энергии. Волновая функция может
быть и не очень похожа на истинную.
Возмущение вырожденных состояний.
Допустим теперь, что п-ое собственное значение энергии в невозму-
невозмущенном состоянии вырождено. Имеется несколько функций ^п^>
удовлетворяющих одному и тому же уравнению:
Но^пю = ЕпоЦпко* C2.19)
Здесь X может отвечать собственному значению какого-нибудь
оператора, перестановочного с гамильтонианом. Тогда необходимо
правильно выбрать собственную функцию нулевого приближения
'фяо, которой следует придать вид:
*яо==1]^лхо, C2.20)
к
т. е. искать ее как некоторую линейную комбинацию исходных
функций. При этом разложение C2.8) надо представить так:
+ -... C2.21)
391

. Соответственно изменится и уравнение для отыскания Еп1.
Оно будет следующим:
ib'.flnv, C2.22)
где VnK.nk» — матричный элемент между состояниями пк и rik'i
Vnx,nX' = 5*Sxt/^nVdjc. C2.23)
Уравнение C2.22) имеет решение, если обращается в нуль опре-
определитель:
v--6u'?/ii| = 0. C2.24)
В общем случае определитель имеет столько корней, какова
кратность вырождения невозмущенного состояния я|)По. Каждому
корню отвечает определенное собственное значение Е$ и определен-
определенный набор коэффициентов разложения ап%. Таким образом, вырож-
вырожденное состояние расщепилось на невырожденные, которых в общем
случае столько, сколько было равных вырожденных собственных
значений энергии.
Поясним это физически. Допустим, что вырождение невозмущен-
невозмущенного состояния имело необходимый характер, т. е. было обязано
некоторой симметрии в условии задачи. Например, во всяком цент-
центральном поле имеет место вырождение по магнитному квантовому
числу, если полный момент не равен нулю. Если возмущение нару-
нарушает центральную симметрию, то разным проекциям момента на неко-
некоторую ось может отвечать различная энергия системы. Например,
в магнитном поле Нк энергии атома добавляется слагаемое— \i0 \H\ ky
где \х0 — магнетон Бора. При этом происходит расщепление состо-
состояний, но удается найти поправку к энергии, не решая уравнение
C2.24). Так получается потому, что возмущение, вызванное магнит-
магнитным полем, есть в данном случае
У = -^Я|М2 = -^о|Я|4|р- C2.25)
Но оператор — тг диагоналей по состояниям с данным значением
магнитного квантового числа k.
Возмущение как причина квантовых пе-
переходов. Рассмотрим следующую задачу. Пусть гамильтониан
невозмущенной системы имеет состояния, принадлежащие как дис-
дискретному, так и непрерывному спектрам энергии, но такие, что они
относятся к одинаковым ее значениям. Пример подобных состояний
мы видели в § 29: возбужденный атом может обладать энергией, до-
достаточной для распада на положительный ион и свободный электрон,
но последний остается связанным, поскольку при самопроизвольном
распаде атома не выполнялся бы закон сохранения четности состоя-
состояния. (Напоминаем, что если гамильтониан есть четная функция коор-
координат, то в системе сохраняется полная четность волновой функции.)
392

Другой пример такого же состояния с дискретным спектром,
способного к переходу в состояние с непрерывным спектром —
возбужденный атом + электромагнитное поле. Пока атом не взаи-
взаимодействует с полем, возбужденное состояние может существовать
неограниченно долго просто потому, что атому некуда передать
энергию возбуждения. Но если на систему наложено некоторое внеш-
внешнее возмущение — электромагнитное поле (или если приняты во
внимание известные дополнительные слагаемые гамильтониана,
которые можно рассматривать как отвечающие возмущению), то
состояние с дискретным уровнем энергии перестает быть строго
стационарным.
Допустим, что в первом примере на атом наложено некоторое
возмущение, оператор которого не является четной функцией коор-
координат. Это нарушает закон сохранения четности, и переход в непре-
непрерывный спектр становится возможным. Во втором примере в гамиль-
гамильтониан включается оператор взаимодействия между электроном
и электромагнитным полем. Благодаря такому взаимодействию
становится возможным излучение светового кванта. Но энергия
кванта равна ftco, а частота со принимает непрерывный ряд значений.
Следовательно, энергия электромагнитного поля имеет непрерывный
спектр. Здесь начальное состояние системы — возбужденный атом
и электромагнитное поле при отсутствии квантов, а конечное состоя-
состояние — атом в основном состоянии и один квант в поле.
Третий пример, который следует привести, — рассеяние частицы
на каком-либо силовом центре. Здесь оба состояния частицы —
начальное и конечное — принадлежат непрерывному спектру,
так как частица в них свободна. Если рассеяние упругое, то энер-
энергия начального и конечного состояний частицы одинакова, а изме-
изменяется направление импульса. В этом случае возмущение производит
рассеивающий центр, который переводит частицу из одного состоя-
состояния с непрерывным спектром в другое, но сохраняет ее энергию.
При неупругом рассеянии часть энергии может получить рассеива-
тель, но существенно, что энергия частицы все-таки остается при-
принадлежащей непрерывному спектру.
Наша задача — определить вероятность перехода энергии си-
системы в область непрерывного спектра под действием некоторого
возмущения.
Поскольку речь идет о переходе, то надо исходить из уравнения
Шредингера, содержащего время:
-|J = (fl, + F)t. C2.26)
Соответствующее уравнение для «невозмущенного» гамильто-
гамильтониана имеет вид:
-т-^=#ог|«. C2.27)
Считая V малым возмущением, представим волновую функцию как
C2.28)
393

и пренебрежем членом Щ{1\ как имеющим второй порядок малости.
Тогда для г|)и) получится неоднородное уравнение:
А^ C2.29)
Будем искать г|)A} в виде разложения по собственным функциям
оператора Но: _
причем каждая из функций ij^ удовлетворяет однородному уравне-
уравнению C2.27). Подставляя ряд C2.30) в неоднородное уравнение и учи-
учитывая C2.27), приходим к такому равенству:
*™=^0>- C2>31)
Отсюда с помощью свойства ортогональности функций г|)(^ полу-
получаются уравнения для коэффициентов Ст. Умножим обе части C2.31)
на ij)^* и проинтегрируем по объему. Тогда слева останется только
член ~"dfi a спРава — матричный элемент возмущающей энер-
энергии: и fin
~1;ж = У*&- C2-32)
Выделим в явном виде его зависимость от времени:
C2.33)
Так как вся система как целое считается замкнутой, ее гамиль-
гамильтониан не зависит от времени явно ни в слагаемом Яо, ни в слагае-
слагаемом V. Поэтому зависимость любого матричного элемента от времени
может быть записана аналогично C2.33):
ЕУ
Vnm = e h {Vnm)t_Q. C2.34)
Считая, что система в начальный момент времени t = О находи-
находилась в состоянии с энергией Еъ т. е. в состоянии ^1\ надо положить
Сх = 1, СПф\ = 0. Поэтому уравнение C2.32) интегрируется так:
Сп@ = в" р V ~* (^ш)/.о,
или, снова включая экспоненциальный множитель в обозначение
матричного элемента, т. е. возвращаясь к функциям г[С г^0', по-
получим: / ^
Сп @ = Х'е eI-I, Vnv C2.35)
394

Следовательно, вероятность того, что в момент времени i си-
система будет находиться в состоянии с номером п, равна согласно
B5.13):
. = 4sin^"^.JIr12
(En-Ex)* -""' 2/1
C2.36)
По условию конечное состояние принадлежит непрерывному
спектру, так что вместо Еп можно писать просто Е. Кроме того,
интереснее найти полную вероятность перехода системы в состояние
с непрерывным спектром энергии. Для этого следует умножить
C2.36) на число состояний, принадлежащих интервалу энергии
непрерывного спектра dE, и проинтегрировать по энергии. Пример
такого выражения числа состояний dN (E) был дан в § 28 (см.:
#8.25)).
Запишем формулу B8.25) в общем виде следующим образом:
dN(E) = g(E)dE. C2.37)
Полная вероятность искомого перехода равна
ldn
(El9 E)dN(E)=\ (E-El? \V(E' E
C2.38)
Для четкости записи будем ставить индексы Е, Е± при V не
внизу, а в скобках, как аргументы функции, чем они, конечно,
и являются по отношению к Уе,е±-
Обозначим аргумент синуса буквой ?:
2А —S*
Перейдя к переменной интегрирования ^, получим:
y^\( ^^ + ЩсЦ C2.39)
Функция 5HLL имеет главный максимум при ? = 0; следующий
ее максимум в двадцать раз меньше. Поэтому весь вклад в интег-
интеграл C2.39) дают значения ?, которые порядка единицы. Но тогда
2/zE
момент времени t можно всегда выбрать так, чтобы -^ было гораздо
меньше Ev Иными словами, в аргументах функций V и g законно
заменить Ег + -~ просто на Ех и вынести эти функции из-под
интеграла по ?.
Тем самым показано, что если время / достаточно продолжи-
продолжительно, то энергии начального п конечного состояний Ех и Е опре-
395

делены настолько точно, что их можно считать просто равными друг
другу в согласии с законом сохранения энергии при переходе,
совершающемся в замкнутой системе. Разумеется, закон сохране-
сохранения энергии справедлив всегда, но при слишком малых значениях t
нельзя точно определить энергию конечного состояния, так как
соотношение неопределенности C1.37) для данного случая имеет
вид: (Е — Ег) t^ 2nh. Но когда / -> оо, получается точное равен-
равенство: Е = Ev
Так как функция ^!LI быстро убывает с возрастанием ?, интег-
интегрирование можно распространить от — с» до оо. Поскольку осталь-
остальные величины были вынесены из-под знака интеграла, сам интег-
интеграл равен числу:
J^dg-n.- C2.40)
— ОО
Отсюда
W = *-?\V(E = Ei9 El)\'g(E1)^t. C2.41)
Тогда вероятность перехода в единицу времени равна:
Ж = Т | V (? = Е*> Ei) I2 В (fii)- C2.42)
В этой записи специально подчеркнуто, что V (Е = Elt Ex)
не диагональный элемент возмущающей энергии, а только матрич-
матричный элемент, отвечающий переходу системы в состояние с непрерыв-
непрерывным спектром энергии.
Конечное и начальное состояния были взаимно вырождены,
т. е. отвечали одинаковой энергии, и возмущение «перемешало» их.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Потенциальная энергия системы есть однородная функция степени п
от всех координат. Найти соотношение между интегралами:
т. е. средней кинетической и средней потенциальной энергией системы (см. § 22).
Решение. Допустим, что масштаб длины изменился в а раз, г-»аг.
Так как функция if остается нормированной, произведение г|з*г|)сA/ при изменении
масштаба не изменяется. Кинетическая энергия, содержащая лапласиан, полу-
получает множитель а~2, а потенциальная по условию — множитель ап. Следова-
Следовательно, средняя энергия системы (Я) = (Г) + (U) преобразуется следующим
образом:
Но согласно экстремальному свойству собственных значений производная от
(Яа) в стационарном состоянии должна равняться нулю:
- \ а • = ^тг- + пап~1 (U)=Q.
да а* 1 ч '
396

Возвращаясь к исходному масштабу координат, положим а == 1, так что
В частности, для кулоновского взаимодействия п = — 1. Тогда
<?/>=-2 <Г), <//>=± <?/>,
как и получалось в § 22 на основании классических законов.
2) На линейный гармонический осциллятор наложено возмущение вида
V — ах*. Показать, что поправка к n-му собственному значению энергии в пер-
первом приближении равна:
(воспользоваться матричными элементами B7.28))
3) Невозмущенная система имеет два близких уровня энергии, расстояние
между которыми сравнимо с матричными элементами возмущающей энергии между
этими состояниями. Найти поправку к энергии в первом приближении.
Решение. По аналогии с методом возмущений, применяемым к выро-
вырожденному состоянию, когда собственные значения энергии разных состояний
строго равны, ищем волновую функцию в следующем виде:
Здесь я|H1 и г|H2 — волновые функции обоих состояний без возмущения. Эта
волновая функция будет описывать некоторые новые два состояния, в которые
исходные состояния перейдут под влиянием возмущения. Подставляем эту функ-
функцию в уравнение для отыскания собственных значений Н = Но + У> ~~~ "
Яг|)=(Я0+ V) (С^ + С^^ЕЦ^Е (Qtoi + CViW.
Умножим это уравнение один раз на t|?flf другой раз на г|?*2 и проинтегрируем
по всему объему. Кроме того, воспользуемся тем, что #o^oi = ?/оФоь ортого-
ортогональностью и нормировкой собственных функций. Получим систему двух линей-
линейных однородных алгебраических уравнений:
V21C1 + (?20 + У22 - Е) С2 = 0.
Она имеет решение, если определитель, построенный из коэффициентов, равен
нулю:
что дает два значения «возмущенной» энергии:
17 * /F _! Р _J_ 1/ _i_ I/ \ -*- "l/ (^30 4" ^11 ^20 У22J 1 I ]/ |2
t^-y (tlo-\-t2o+ К U+ I7 22) ± I/ 4 H ^12 Г»
Если матричный элемент перехода V12 обращается в нуль, получается обыч-
обычная формула для поправок к энергии в первом приближении: к Е10 добавляется
Vn, к Е20 добавляется V22. По условию задачи матричный элемент У12 того же
порядка, что и ?0 — Е20, так что уровни энергии существенно перестраиваются
по отношению к исходному расположению.
4) Найти функции \|з+ и ф~ для предыдущей задачи, учитывая, что | Сх |2 +
+ J С72 j2 = 1. Воспользоваться обозначением:
397

Ответ.
-ф+ = cos у е ^01 — sin у е я|)о2»
'- а -/?"
я|г = sin у б 2 я|?01 + cos у б 2 я|?ов,
где знаки «+» и «—» соответствуют выбору знаков в формуле энергии,
§ 33. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ. АТОМ
Рассматривая закон сложения моментов нескольких частиц
или результирующую четность состояния атома, мы затрагивали
вопросы, связанные с задачей многих тел в квантовой механике.
Но система, состоящая из одинаковых частиц, обладает в квантовой
механике одним совершенно особым свойством, вытекающим из
квантовых законов движения, которое будет специально рассмот-
рассмотрено в этом параграфе. Имеется в виду физическая тождественность
одинаковых частиц. Так как проследить за движением каждой из
одинаковых частиц невозможно — траектории в квантовой механике
отсутствуют, нельзя никаким способом указать состояние некото-
некоторого выбранного электрона.
В классической механике положение несколько иное: там можно
было в начальный момент как-то условно перенумеровать тождест-
тождественные частицы и затем, пользуясь непрерывностью классического
движения, указать, какой из электронов находится в данной точке
пространства с данной скоростью.
Такая постановка вопроса в квантовой механике физически
бессмысленна. Вместо этого состояние системы из многих тожде-
тождественных частиц надо задавать таким способом: перечислить воз-
возможные состояния отдельной частицы и указать, сколько частиц
находится в каждом из возможных состояний. Более детальное
задание несовместимо с основными принципами квантовой меха-
механики.
Принцип Паули, Конкретно для систем, состоящих из
многих электронов, опытные данные накладывают следующее до-
дополнительное ограничение: в каждом из отдельных состояний
может находиться не больше одного электрона. Состояние может
быть либо незанятым, либо занятым одним электроном. Это выска-
высказывание называется принципом Паули. Из тех основ квантовой
механики, которые мы рассматривали до сих пор, принцип Паули
не вытекает: он является дополнительным ограничением. Но в кван-
квантовой теории поля этот принцип находит свое обоснование.
Ограничимся следующим утверждением: принцип Паули при-
применим ко всем частицам, имеющим полуцелый спин: электронам,
протонам, нейтронам, гиперонам (гиперон — это как бы возбуж-
возбужденное состояние нуклона, у него большая, чем у нуклона, масса
и пол у целый спин), и не применим к частицам с нулевым или целым
398

спином, к которым можно причислить и кванты электромагнитного
поля.
По отношению к атому принцип Паули удобно формулировать
следующим образом: в атоме не может быть больше одного элект-
электрона с каждой данной четверкой квантовых чисел: главным п,
азимутальным /, магнитным k и спиновым а. (Спиновое квантовое
число измеряет проекцию спина на ту же ось, на которую проеци-
проецируется орбитальный момент.)
Иногда вместо указанной четверки чисел удобнее выбирать
такую: главное квантовое число, полный момент /= \l + s\,
азимутальное квантовое число, которое в данном случае указы-
указывает, как складывается орбитальный момент со спином (т. е. парал-
параллельны они или антипараллельны), и проекция полного момента
на некоторую ось.
Применительно к такому выбору квантовых чисел принята
следующая система обозначений. Впереди ставится главное кван-
квантовое число электрона п, затем азимутальное квантовое число,
но пишется не его значение, а название соответствующего состоя-
состояния, т. е. s, р, d или /, а в виде нижнего индекса — значение полного
момента /. Таким образом, обозначение включает в себя три кван-
квантовых числа из четырех. По четвертому числу (проекции k}) имеется
вырождение. При данном / это четвертое число может принимать
2/ + 1 значений. Следовательно, в состоянии nlj может находиться
согласно принципу Паули не более 2/ + 1 электронов.
Число электронов в атоме, имеющих данные три квантовых
числа пу I и /, обозначается в виде показателя степени при спектро-
спектроскопическом обозначении состояния, заключенном в скобку (при
этом число электронов и называется, как степень, т. е. квадрат,
куб и т. д.). Например, если имеются два электрона в состоянии
с п ~ 2, / = 1, / = 1/2, то состояние в целом записывается так:
Bpi/2J. Ясно, что показатель степени не может быть больше, чем
2/ + 1.
Сложение моментов двух электронов с оди-
одинаковыми пи/. Когда следует пользоваться квантовыми чис-
числами п, I, /г, в и когда п, /, /, kj> В § 31 было указано, что спин свя-
связывается с орбитальным моментом магнитными силами. Но, как
мы увидим ниже, важнее особая связь между орбитальными и
спиновыми моментами разных электронов, имеющая чисто электро-
электростатическое происхождение. В разных случаях может преобладать
тот или иной тип связи.
Если сильнее связь между моментами отдельных электронов,
то результирующее состояние атома строится следующим образом:
складываются между собой орбитальные моменты, давая резуль-
результирующий орбитальный момент L = | 2/ |, и спиновые моменты,
обусловливая результирующий спин 5 = | 2s |, и затем только
происходит обязанное уже магнитным силам сложение результи-
результирующих орбитального и спинового моментов: J = | L+ S |. Такой
тип связи называется нормальным.
399

Если сначала складываются спин и орбитальный момент каж-
каждого электрона, а потом моменты отдельных электронов, связь
называется аномальной.
Пока оставим в стороне вопрос о причинах возникновения
той или иной связи в атоме, а займемся правилами сложения орби-
орбитальных и спиновых моментов отдельных электронов, которые
несколько отличаются от общих правил сложения моментов бла-
благодаря принципу Паули. Появляются некоторые дополнительные
ограничения, связанные с тем, что в состоянии с данной четверкой
квантовых чисел не может находиться больше одного электрона.
На этом простейшем примере легче всего понять, как пользоваться
принципом Паули.
Если два электрона имеют разные главные квантовые числа п
или разные азимутальные квантовые числа /, то при сложении мо-
моментов о принципе Паули можно забыть: есть различие хотя бы
в одном из квантовых чисел. Но если п и / одинаковы, следует иметь
в виду, что не все мыслимые состояния одного электрона совме-
совместимы с состояниями другого электрона. То же самое относится
к сложению моментов большего числа электронов с одинаковыми п
и /. Такие электроны обычно имеют близкие значения энергии, и
по ним группируются состояния атомов; говорят, что при одинако-
одинаковых п и / электроны принадлежат одной и той же оболочке атома.
Рассмотрим простейший случай, когда п = 1. Тогда / = О
согласно определению B9.40). Но при /, равном нулю, равно нулю
и магнитное квантовое число k. Следовательно, у электронов оди-
одинаковы три квантовых числа и согласно принципу Паули обяза-
обязательно должно различаться четвертое квантовое число о. Однако о
может иметь только два значения: 1 и —1 соответственно тому,
что проекции спина равны ±-о-* Каждое значение а согласно прин-
принципу Паули может принадлежать одному электрону при данных /г,
Ink, равных соответственно 1, 0, 0. Поэтому результирующее со-
состояние имеет спин S = у — -j = 0- Если бы не принимался в рас-
расчет принцип Паули, то общий спин мог бы равняться и единице.
Прежде чем рассмотреть более общий случай, введем систему
обозначений, относящуюся ко всей оболочке как целому. Эта си-
система строится по аналогии с обозначением состояний отдельного
электрона, только вместо строчных латинских букв ставятся про-
прописные. Главное квантовое число применительно к нескольким
электронам не имеет смысла, и пишется только результирующий
орбитальный момент 5, Р, D или F соответственно тому, чему рав-
равно L. В левом верхнем углу принято писать 2S + 1, где S — ре-
результирующий спин электронов. В правом нижнем углу пишут
результирующий момент /, а в правом верхнем углу — полную
четность электронов (g—четное, и — нечетное состояние). Если
желательно детализовать, из каких состояний отдельных электро-
электронов получилось данное результирующее состояние, записывают
400

рядом распределение электронов по оболочкам с определенными
квантовыми числами по способу, указанному выше.
Например, в случае двух электронов при п = 1, / = 0, k = О
результирующее состояние оболочки изображается так:
Здесь возможно только одно результирующее состояние. Но
бывает и несколько результирующих состояний при одном и том
же распределении отдельных электронов по разным квантовым
числам. Такой случай мы теперь и рассмотрим.
Пусть имеется состояние (прJ, т. е. у двух электронов главные
и азимутальные квантовые числа одинаковы и равны 1. У них
должны различаться либо магнитные, либо спиновые квантовые
числа, либо те и другие. Каждый р-электрон может находиться
в шести состояниях, которые мы перечислим, записывая первым
магнитное квантовое число и вторым — значение проекции спина:
Л:1, 1; 5:0, 1; В:-1, |; Г:\, -1;
Д : 0, 2~; Е *—*> —^*
Следовательно, два электрона могут занимать любые два неоди-
неодинаковых состояния из этих шести. Число сочетаний из шести по
два равно, как известно, С| = у-% =* 15. Эти пятнадцать состояний
различаются как суммарным орбитальным моментом L, так и сум-
суммарным спином 5 и их проекциями. Последние зависят от выбора
координатных осей и будут интересовать нас лишь постольку, по-
поскольку они характеризуют относительное направление L и S.
Как мы знаем, состояние с данным моментом определяется его
максимальной проекцией, т. е. наибольшим возможным значе-
значением L, совместимым с принципом Паули, и соответственно наиболь-
наибольшей проекцией S. Из пятнадцати состояний надо отобрать во вся-
всяком случае только те, у которых суммарные проекции Lz и Sz
положительны или равны нулю, потому что отрицательные проек-
проекции никак не могут оказаться наибольшими.
Всех состояний с неотрицательными проекциями восемь из пят-
пятнадцати, а из этих восьми отберем те, которые имеют наибольшие
проекции. Перепишем все восемь состояний, совместимых с прин-
принципом Паули:
АБ:1, 1; АВ:0, 1; ЛГ:2, 0; ЛД: 1,0;
АЕ:0, 0; БГ: 1,0; ?Д:0, 0; ВГ:0, 0.
Второе число в каждой паре означает проекцию спина, т. е.
содержит необходимый1 множитель у.
Теперь отберем состояния с наибольшими проекциями момен-
моментов среди перечисленных. Начнем о А Б, Ему отвечает проекция
401

орбитального момента, равная единице, и спинового момента,
тоже равная единице. Каждая из них может принимать значения О
(отрицательных мы заранее не рассматриваем). Следовательно, АВ,
АД и АЕ уже не следует принимать в счет. Из оставшихся рас-
рассмотрим АГ. Момент с максимальной проекцией 2 имеет положи-
положительные проекции 2, 1,0; следовательно, Б Г и БД надо отбросить,
как возможные проекции Л Г. Осталось еще ВГ, которое никаких
проекций не имеет. Ясно, что все равно что полагать проекцией А Б:
состояние АД или БГ: на подсчет числа состояний это не повлияет.
Запишем теперь результирующие состояния в спектроскопиче-
спектроскопических обозначениях, учитывая, что полный момент изменяется от
L + S до | L — S |:
АБ : (пРу 3Pf, (пру 3Pf, (npf
АГ ! (npf Ю\
ВГ : (пру Щ.
Рассмотрим еще случай трех р-электронов. Для них получается
семь состояний, совместимых с принципом Паули:
АБВ :0, |; АВД:0,±; АБГ:2,±; АБД:19±; АБЕ:0,±;
АВГ\1,±; БВГ :0, у.
з
Максимальна проекция спина, равная у, при нулевой проекции
орбитального момента. Максимальна проекция орбитального мо-
момента 2 при суммарной проекции спина у .Этидвасостояния вместе
с их проекциями перечислены от АБВ до АБЕ. Остается состоя-
состояние АВГУ по отношению к которому БВГ может считаться проек-
проекцией. Итак, результирующие состояния следующие;
АБВ : (пру 4S?/2
АБГ: (/ip)88DjJf, (np)**D»/9
АВГ : (пру *P?fl (пру *рB.
Волновое уравнение дв ухэлектронной
системы. Сформулируем теперь принцип Паули с помощью
волновых функций. Чтобы избежать математических сложностей,
рассмотрим двухэлектронную систему. Волновое уравнение для двух
электронов надо записать так:
) C3.1)
Здесь Ах и А2 — операторы Лапласа относительно переменных
первого и второго электронов, U (гъ г2) — потенциальная энергия
их взаимодействия с внешним полем и друг с другом:
U (П, г,) = иш (гъ r2) + UB3 (гь г2). C3.2)
402

Например, в атоме гелия
O(rurj —%.-*?+.*. C3.3)
Волновая функция зависит от пространственных и спиновых пе-
переменных обоих электронов:
Ф = Ф(гь si; ra, sa). C3.4)
Взаимодействие спинового момента с орбитальным слабое, по
крайней мере в легких элементах (см. § 30). Поэтому в операторе
потенциальной энергии в первом приближении можно пренебречь
спин-орбитальным взаимодействием, что соответствует записи C3.3).
Если влияние спина на орбитальное движение мало, то вероятность
некоторого значения спина и координаты равна произведению
вероятностей обоих значений, и амплитуда вероятности Ф тоже
распадается на произведение амплитуд:
. Ф (Гъ s±\ ra> s2) - Y (rlf r2) % (Sl, s2). C3.5)
Амплитуда вероятности орбитального движения удовлетворяет
уравнению C3.1), если в него не входит оператор спина. При поме-
помещении системы во внешнее однородное магнитное поле И к гамиль-
гамильтониану прибавляется оператор:
0^ = -^c\(isxH) + {h2H)\ = [iu\H\{olz + a,z), C3.6)
где принято, что ось z совпадает с направлением поля (знак изме-
изменен на «+» из-за того, что заряд электрона отрицателен). Действие
оператора g1z + о2г на спиновую функцию % дает просто полную
проекцию спина обоих электронов, которую при отсутствии спин-
орбитального взаимодействия можно рассматривать как интеграл
движения, т. е. как число. Это число просто прибавляется к гамиль-
гамильтониану, так что уравнение для Ф не изменяет своего вида.
Рассматривая оператор Н в C3.1), видим, что он совершенно
симметричен относительно перестановки координат обоих электро-
электронов, т. е. не меняет вида, если первый электрон назвать вторым,
а второй — первым:
rl9
C3.7)
Но уравнение C3.1) линейное. Поэтому, если оно не меняется от
операции C3.7), волновая функция может только умножиться на
некоторое постоянное число Р:
Ф(/ь *ь г* 52) = РФ(г2, s2; Гь Sl). C3.8)
Ввиду того что /*!, s± и r2, s2 входят одинаковым образом во все
формулы, в C3.8) можно поменять их местами, получив:
lt Sb rus%). C3.9)
403

Подставляем C3.9) в C3.8):
ф (Гь ЗД гъ sa) = />2Ф (ri, ад ra, s2),
или
pa=l, P = ±l. C3.10)
В этом сравнительно простом случае двух частиц преобразова-
преобразование их перестановки сходно с преобразованием симметрии соответ-
соответствующей им волновой функции относительно отражения (см,
B9.44)).
Введем теперь операторы перестановки Рг и Р$9 действующие
только на координаты и на спин электронов. Так,
PrW(rlt r2) = Y(r2) гО C3.11)
И
PsTLisi, s2) = X(s2f sx). C3.12)
Если волновое уравнение симметрично относительно переста-
перестановки гх иг2 или sxhs2, то собственные значения Рг и Ps равны ±1.
Обозначим совокупность орбитальных квантовых чисел первого
электрона буквой пг (вместо пъ 1г и ^), второго электрона — бук-
буквой п2. Тогда орбитальная волновая функция W подробнее может
быть записана так:
f = ^K гг; п2, г2).
Из требования C3.10) следует, что
РгУ(пъ гг\ /га, г2) = ?(пь г2; пъ гд = ±Ч(т, гг\ пъ г2).C3.13)
При верхнем знаке функция C3.13) называется симметричной,
при нижнем знаке — антисимметричной.
Аналогичные свойства имеет спиновая функция % (аъ sx\ a2, s2)
по отношению к оператору перестановки спиновых переменных sl9 s2.
Перейдем теперь к требованиям, которые принцип Паули предъ-
предъявляет к волновой функции системы из двух электронов. Запишем
такую функцию в следующем виде:
Ф (%, ах, г1э Si; /i2, а2, r2, s2).
Полная перестановка спиновых и пространственных перемен-
переменных в этой функции происходит от действия оператора Р, равного
Р = РЛ. C3.14)
Применяя оператор C3.14) к функции Ф, получим:
РФ {пъ olt гъ sx; n2, aa, r2, s2) =
= Ф(пи а19 гъ s2\ n29 а2, гъ sx). C3.15)
В соответствии с C3.10) эта функция тоже либо симметрична,
либо антисимметрична. Но теперь сразу видно, что только анти-
антисимметричная функция удовлетворяет принципу Паули. Действи-
404

тельно, пусть состояния обоих электронов тождественны, т. е.
^i = #2» #i = сг2. Тогда, если функция Ф антисимметрична, имеем:
РФ (пъ (ть гъ sx; пъ оъ r2, s2) = Ф (п1} аъ r2, s2; пъ оъ гъ s±) =
C3.16)
Оператор Р по определению переставляет только переменные г
и s, но не квантовые числа п9 а. Первое равенство C3.16) означает
результат действия оператора Д второе учитывает антисимметрию
волновой функции, а третье получается из первого выражения функ-
функции Ф перестановкой обеих четверок аргументов, относящихся
к каждому электрону в отдельности. Возможность такой переста-
перестановки для любой функции очевидна, потому что безразлично, какой
из электронов считать первым, какой — вторым.
Перестановка всей первой четверки величин nl9 oy, rl9 st с чет-
четверкой пъ gl; r2, s2 в последнем равенстве C3.16) просто ничего не
означает: все равно, какие аргументы писать сначала — относя-
относящиеся к первому электрону или ко второму, т. е. nl9 olf гъ sx или
пъ аъ гъ S2- Таким образом, функция Ф (nl9 alt rlf sx; nl9 olt r2, s2)
равна самой себе с обратным знаком, следовательно, она тождест-
тождественно равна нулю.
Ясно, что таким свойством при одинаковых квантовых числах
обладает только антисимметричная функция, но не симметричная:
последняя перешла бы сама в себя. Но если антисимметричная функ-
функция двух электронов, находящихся в одинаковых состояниях,
тождественно обращается в нуль, то амплитуда вероятности такого
состояния системы из двух электронов равна нулю при любых
значениях переменных гъ sx ;r2, s2. Только антисимметричная функ-
функция совместима с принципом Паули.
То же относится к волновой функции многоэлектронной си-
системы: она антисимметрична относительно одновременной переста-
перестановки пространственных и спиновых переменных любой пары
электронов. Это и есть общая формулировка принципа Паули.
Самосогласованное поле. В начале этого пара-
параграфа было указано, что состояние атома можно описать, задавая,
сколько электронов находится в состоянии с данными квантовыми
числами: один электрон или ни одного. Но что означают сами кван-
квантовые числа в многоэлектронной системе?
Принимают, что каждый электрон находится в поле ядра и всех
остальных электронов, и такое поле называется самосогласованным.
Исходя из такой модели многоэлектронного атома, удается даже
приближенно рассчитать энергетические уровни атомов, как это
впервые сделал Д. Хартри.
В. А. Фок внес существенное улучшение в метод самосогласо-
самосогласованного поля, учтя тождественность электронов и принцип Паули.
Основой метода Фока является вариационное свойство собственных
значений энергии, т. е, свойство экстремальности интеграла C2.16).
т

При этом волновая функция двухэлектронной системы (мы огра-
ограничимся двумя электронами) в первом приближении выбирается
в виде произведения волновых функций каждого электрона в от-
отдельности. Затем эти функции подбираются так, чтобы интеграл
C2.16) имел экстремум, при условии сохранения нормировки обеих
функций в соответствии с C2.17).
Чтобы удовлетворить при этом принципу Паули, надо выбирать
исходные волновые функции не просто как произведения функций
^1 (ri) ^2 (r2)> a как такую их комбинацию:
Y = у= № (А) ф, (г2) ± ^ (г2) ^ (г,)) C3.17)
(индексы 1 и 2 при волновых функциях — квантовые числа).
При верхнем знаке эта координатная функция множится на
антисимметричную спиновую функцию %, а при нижнем знаке —
на симметричную спиновую функцию. Подобные функции будут
построены в этом параграфе несколько ниже, а пока удовлетворимся
утверждением, что при противоположной симметрии пространст-
пространственной и спиновой волновых функций результирующая функция Ф
антисимметрична.
Если гамильтониан двухэлектронной системы не зависит от
спинов, то в выражении C2.16) останется только интегрирование
по пространственным переменным, а суммирование по спиновым
переменным в любом случае даст единицу. «Память» о спине оста-
останется в пространственной волновой функции только в знаке между
слагаемыми.
Множитель-—^- в выражении C3.17) выбран для нормировки:
если нормированы и ортогональны tyx и г|J, то W тоже нормирован-
нормированная функция, и можно рассматривать C2.16) с волновой функцией
C3.17) как среднюю энергию. Нормировка Ф проверяется следую-
следующим образом:
у JI ¦
» I
I2
V^l. C3.18)
Выразим гамильтониан двухэлектронной системы так:
V12. C3.19)
Здесь Нг (гх) и Н' (г2) имеют одинаковый вид, но зависят от
переменных первого и второго электрона, V12 — гамильтониан
взаимодействия, равный е% \ гг — г2 I.
Подставим в C3.19) волновую функцию C3.17) и проинтегри-
проинтегрируем по dVly dV2. При этом всегда можно произвести переобозна-
406

чение переменных интегрирования, т. е. заменить в каждом слагае-
слагаемом гх на г2 и наоборот. В результате этого каждый член встре-
встретится дважды, и двойка сократится с нормировочным множите-
множителем у.
Таким образом, получится:
(n) гр| (rg) (Я' (Л) + Я' (Г2) + VuHi (Гг) ^ fo) rfVi dV2±
Учитывая, что функции грх и г|92 ортогональны и нормированы,
приводим (Я) к такому виду:
a (ra) rfl/i dF2 ±
(r2) % (r±) dV± dV2. C3.20)
Рассмотрим смысл отдельных членов в выражении средней энер-
энергии. Первые два определяют среднюю энергию отдельных электро-
электронов в первом и втором состояниях. Третий член есть энергия взаи-
взаимодействия между электронами, так как е^\ (гг) ^ (г±) — плотность
заряда первого электрона, еф* (f2) ^2 (^2) — плотность заряда вто-
второго электрона и е2\^1 (гг) j21 ip2 (r2) \2 —^Г—-,— энергия взаимо-
действия между двумя элементами заряда. Эта величина построена
по классическому закону, появление ее очевидно. Последний член
имеет квантовую природу: он получился вследствие симметриза-
симметризации волновой функции C3.17). Его называют обменным интегра-
интегралом или обменной энергией двух электронов. Термин «обмен» выбран
потому, что каждый электрон как бы находится в обоих состояниях
сразу.
Знак обменного интеграла зависит от спинового состояния
системы. Поэтому оказывается, что, даже пренебрегая магнитным
взаимодействием спинов, необходимо учитывать их взаимодействие
через обменный интеграл. При этом взаимодействие нельзя свести
к какой-либо «силе», оно обязано чисто квантовым свойствам сим-
симметрии волновой функции, которые диктуются принципом Паули.
Обменное взаимодействие больше магнитного, так как в конечном
счете оно обусловлено кулоновской потенциальной энергией двух
е2
электронов . __ , и не содержит с2 в знаменателе.
Будем теперь варьировать интегралы C3.20) по г|5* и г|;| при
условии ортогональности функций и дополнительных условиях:
5<Ф*<Ф1^^==1 и \ tyt^2 dV = 1. Как обычно, вариации этих двух
выражений умножаются соответственно на параметры —Ех и —E2f
407

а вариации условий ортогональности ^ tyf г|J dV = О и $ \|)f\J>i dV = 0
на другие два параметра —% и —ri2. Обозначим вариацию по г|)*
через 5^*, а по ty% через бф*. Тогда условие экстремальности (Я)
при всех дополнительных равенствах будет выглядеть так:
6*» (Н) - ЕМЩг - Лхв*?^* = °> C3.21 а)
ъ = 0. C3.216)
Выполняя варьирование, приходим к системе из двух интегро-
дифференциальных уравнений:
(г) = ?1% (г) + ъъ (г), C3.22а)
^
Умножая C3.22а) на г|)| (г) и на ifj (г) и интегрируя по
получим выражения для ?х и т^:
>? И Я' (г) ^ (г) dV + e
-i- сг С N>f (*") t2 (О tff (г) Ь (П dVdV C3.23)
V
Аналогичные выражения выводятся для Е2 и т]2.
В решениях всегда можно отделить угловую зависимость волно-
волновых функций, так что остаются уравнения, включающие только
зависимость от г. Окончательная система уравнений доступна
для решения на вычислительных машинах, тогда как точное урав-
уравнение Шредингера для двухэлектронной задачи в настоящее время
никакими средствами решить нельзя. Степень согласия с опытом
решений, полученных из уравнений Фока, в ряде случаев вполне
удовлетворительна. Как всегда, при пользовании вариационным
методом, собственные значения энергии согласуются с опытом
лучше, чем какие-либо интегральные выражения, получаемые с по-
помощью волновых функций, определяемых вместе с энергией.
Представление волновых функций по методу самосогласован-
самосогласованного поля позволяет понять, почему при сложении моментов, не-
нескольких электронов одни значения результирующего момента
отвечают меньшей полной энергии, чем другие.
408

Возьмем для примера два р-электрона. Угловые части волно-
волновых функций р-состояния суть шаровые функции порядка 1, т. е.
V1 V0 V'1-
К» = cos О, Y~l==±sm^e±^.
Распределение электронной плотности, отвечающее этим функ-
функциям, такое:
Иначе говоря, для функций Y\ это распределение вытянуто
вдоль полярной оси, а для функций F-1 сплющено к «экваториаль-
«экваториальной» плоскости *. Энергия кулоновского отталкивания электронов,
как мы только что видели, выражается интегралом
л С \b(ri)\2\b(r2)\2dV1dV2
Если два электрона находятся в одинаковых орбитальных со-
состояниях (и, следовательно, имеют противоположные спины), то
энергия их отталкивания будет больше всего, потому что они
движутся в одной области пространства; если же орбитальные
состояния электронов различны, энергия меньше, чем при одина-
одинаковых состояниях, так как тогда электроны движутся дальше
друг от друга.
Если теперь рассмотреть состояния с магнитными квантовыми
числами ±1, т. е. Y\k Yl\ то по формуле для кулоновского оттал-
отталкивания у них должны были бы получаться одинаковые энергии
взаимодействия между парой электронов с проекциями момента +1
и парой с проекциями +1 и —1, так как ±1 отвечает одинаковая
электронная плотность. На самом деле имеется различие, связан-
связанное с обменным членом, но это различие все же меньше, чем при
сравнении пар электронов с одинаковыми или противоположными
проекциями с парой, имеющей проекции равные 1 и 0, т. е. Y\*Y~^
с /1* / !•
Следовательно, при сложении моментов отдельных электронов
состояние с наименьшей энергией достигается тогда, когда про-
пространственные волновые функции имеют наименьшее перекрытие.
Если квадраты их модулей одинаковы, как у Fj и F71 функций,
перекрытие изменяется за счет обменного эффекта, но остается
больше, чем у функций с проекциями момента 0 и 1.
Поэтому, если складываются моменты двух р-электронов, их
спин должен иметь максимальное значение, чтобы проекции орби-
орбитального момента могли отвечать наименее перекрывающимся вол-
волновым функциям Y\ и Y\. В результате оказывается, что система
из двух р-электронов имеет наибольший спин, т. е. 1, а при этом
наибольшем спине — наибольший результирующий орбитальный
момент. Мы пришли к так называемому первому правилу Хунда.
Образно говоря, ненулевым проекциям момента отвечает большее «плечо»/
409

Если имеются три р-электрона, то орбитальный момент третьего
уже должен иметь магнитное квантовое число —1, а результирую-
результирующий спин окажется равным 3/2. Это энергетически выгоднее, чем
если бы спин третьего электрона был направлен в сторону, обратную
первым двум, но эти два электрона оказались в одинаковом орби-
орбитальном состоянии. Следовательно, из найденных выше трех воз-
возможных результирующих состояний системы (пр)г наименьшей
энергией обладает состояние 45з/з. Наоборот, у состояний 2D3/2t e/2
и 2Pi/2, з/з имеется по две совпадающих проекции орбитального
момента электронов: для состояния 2D»/2t 8/2 это дает две волновых
функции Y\9 для состояния 2Рг/2, з/а две'функции VJ. Таким обра-
образом, подтверждается правило Хунда: спин надо брать как можно
большим и уже при данном спине искать максимально возможное
значение орбитального момента.
Приведенный только что пример относится к атому азота, со-
содержащему конфигурацию (прK. Наименьшей энергией у него обла-
обладает состояние 45з/2, как и ожидалось; на 2,2 эв выше лежат состоя-
состояния 2Ds/2t 5/2 и на 3,8 эв выше — состояния 2Pi/2, •/,. Последние лежат
выше всех потому, что когда два электрона движутся вблизи поляр-
полярной оси в состоянии Y°u они в основном находятся на меньшем рас-
расстоянии, чем когда они движутся вблизи экваториальной плоско-
плоскости. Это легко увидеть, если построить полярные диаграммы sin2 d
и cos2 d и вращать их вокруг полярной оси.
Таким образом, находит свое объяснение нормальная связь
между моментами отдельных электронов. Эта связь обусловлена
кулоновским отталкиванием и принципом Паули. В не слишком
тяжелых атомах нормальная связь, обязанная кулоновским силам,
всегда превосходит связь спина с орбитальным моментом, проис-
происходящую от магнитных сил.
Так складываются орбитальные и спиновые моменты отдельных
электронов. Но между результирующим орбитальным и результи-
результирующим спиновым моментами системы электронов имеется магнит-
магнитное взаимодействие, аналогичное тому, которое осуществляется
у отдельного электрона.
В отличие от отдельного электрона у системы из нескольких
электронов спин может быть больше V2 — по первому правилу
Хунда предпочтительны большие значения спина. Поэтому резуль-
результирующий момент / в общем случае имеет не два возможных зна-
значения, а столько, сколько значений у векторной суммы J =
= | L + 5 |. Если L > 5, то сумма имеет 25 + 1 значение, если
L < 5, то 2L + 1 значение.
Мультиплеты. Если бы не было магнитного взаимодей-
взаимодействия между спином и орбитальным моментом, то каждый из них
мог бы свободно ориентироваться сам по себе. Это привело бы
к вырождению, равному B5 + 1) BL +1). Магнитное взаимо-
взаимодействие частично снимает вырождение: при закрепленном векторе
орбитального момента как бы создается магнитное поле с осевой
симметрией, при которой каждой проекции спинового момента отве-
410

чает своя энергия взаимодействия «спин — орбита». (Если больше
спин, то надо рассуждать аналогичным образом в отношении орби-
орбитального момента.)
Если проекция меньшего момента на больший задана, то, оче-
очевидно, определен и результирующий момент J согласно общему
правилу сложения моментов. Результирующий момент опять может
свободно вращаться в пространстве, но уже при степени вырожде-
вырождения 2У + 1. Таким образом, магнитное взаимодействие расщепляет
BS + 1) BL + 1) уровней на 2S + 1 или на 2L + 1 уровней с за-
заданным значением полного момента J, причем каждый уровень
с определенным J вырожден 2/ + 1 раз. Совокупность всех этих
уровней называется мультиплетом, а сами уровни — уровнями
тонкой структуры.
Мультиплет] имеет 25 + 1 или 2L + 1 компонент расщепле-
расщепления. Из них одна отвечает наименьшей энергии. Она определяется
следующим образом. Всего при данном азимутальном квантовом
числе / может быть 2/ + 1 значений магнитного квантового числа,
а при данном магнитном квантовом числе — две проекции спина.
Следовательно, в данной конфигурации может находиться 2 B/ + 1)
электронов. Легко видеть, что если в ней находится 21 + 1 элект-
электрон, то результирующий орбитальный момент должен быть равен
нулю. Тогда волновые функции всех отдельных электронов раз-
различны и энергия кулоновского отталкивания наименьшая. Это
было подробнее рассмотрено на примере конфигурации (прK.
Таким образом, заполнение 2 B/ + 1) состояний как бы раз-
разделяется на два этапа: сначала заполняются 2/ + 1 состояния с пол-
полным моментом L = О, а затем еще 21 + 1 состояния. Оказывается,
что при заполнении первых из них низший уровень мультиплета
отвечает значению «/ = | L — S \9 а при заполнении следующих
21 + 1 состояний низший уровень имеет J = L + 5. Это правило
именуется вторым правилом Хунда\ оно будет обосновано при рас-
рассмотрении тонкой структуры атомных уровней.
Найдем еще, сколько электронов в атоме могут обладать данным
главным квантовым числом п. Так как / изменяется от 0 до я — 1,
а при данных пи/ могут быть 2 B/ + 1) электронов, получаем, что
всего с данным п принцип Паули разрешает находиться в атоме
2 2B/ + 1) = 2п2 C3.25)
электронам.
Метод Томаса — Ферми. Метод Фока позволяет полу-
получать удовлетворительные количественные результаты в применении
к задаче о движении нескольких электронов. Но при большом числе
электронов уравнения, естественно, становятся очень сложными и
запутанными, и трудно извлекать из них общие закономерности.
В этом случае приходит на помощь еще более приближенный, но
зато весьма общий метод подхода к многоэлектронной задаче, осно-
411

ванный как раз на том, что число электронов в атоме Z велико по
сравнению с единицей.
Этот приближенный метод был независимо предложен Томасом и
Ферми на основании интуитивных, но весьма наглядных соображе-
соображений. Впоследствии Дирак показал, что уравнения Томаса — Ферми
могут быть выведены из уравнений Фока, если применить к послед-
последним квазиклассическое приближение. Точность метода, т. е. допу-
допускаемая ошибка, порядка Z/3.
Несмотря на то что всегда предпочтительнее излагать более
строгий метод вывода, позволяющий оценить совершаемую ошибку,
мы изберем наглядный способ подхода к уравнениям Томаса —-
Ферми, дающий возможность лучше понять его физическую сущ-
сущность. Кроме того, если и видна ошибка при переходе от уравнений
Фока к уравнениям Томаса — Ферми, то совершенно не оценена до
настоящего времени степень приближения уравнений Фока по срав-
сравнению с точными квантовомеханическими уравнениями. Известно
только, что в численном выражении эта ошибка обычно невелика,
но теоретически не объяснено, почему так получается.
Будем исходить из уравнений § 28 для возможного числа состоя-
состояний частицы. Согласно формуле B8.23) число состояний квантово-
механической частицы с импульсами, заключенными между рх и
Рх + dpXi ру и ру + dpу, р2 и р2 + dpzy в объеме V равно:
,ЛГ/ ч У dp x dp у dp г
dN (p р Р)
Так как электрон имеет еще спиновую степень свободы, приме-
применительно к нему правая часть этого равенства должна быть умно-
умножена на дза. Кроме того, электроны подчиняются принципу Паули:
это значит, что в каждом состоянии с данной проекцией спина
может находиться не более одного электрона.
Пусть имеется система из N электронов. Какое наименьшее
возможное значение кинетической энергии они могут иметь?
Ясно, что все они согласно принципу Паули не могут иметь нуле-
нулевого значения кинетической энергии: тогда все они должны были
бы находиться в состоянии с рх = ру = pz = 0, что запрещено.
Только два электрона с противоположными по знаку проекциями
спина могут иметь один и тот же, в частности нулевой, импульс.
Следующие два электрона будут обладать уже несколько отличным
от нуля импульсом.
В состоянии с наименьшей энергией всех электронов как целого
каждая пара электронов должна занимать состояние, возможно
более близкое к состоянию с нулевым импульсом и не занятое дру-
другой парой. При этом ясно, что достаточно большое число электронов
займет в пространстве импульсов сферу, центр которой совпадает
с началом координат. Объем этой сферы будет складываться из
отдельных кубиков объемом Bjt/zK/1/, причем в каждом кубике
должны находиться два электрона. Всякое отклонение от сфериче-
412

ской формы объема в импульсном пространстве, заполненного
электронами, поведет к увеличению их полной энергии, т. е. к от-
отклонению от основного состояния.
Пусть наибольшая энергия электрона в этой сфере равна Ео,
тогда по формуле B8.25) нетрудно связать Ео с полным числом
электронов в сфере. Добавляя множитель 2, учитывающий спин,
получим:
V
Отношение N/V есть не что иное, как плотность электронов я,
так что соотношение между граничной энергией Ео электронов и
их плотностью таково:
?0 = 3 '8Я /з о~ /Z /з. (oO.Zu)
Фактически это соотношение относится к кинетической, а не
к полной энергии электронов. Различие между полной и кинети-
кинетической энергиями существенно тогда, когда движение происходит
в области, где изменяется потенциальная энергия.
Рассмотрим кривую потенциальной энергии, представленную
на рисунке 38. Кинетическая энергия частицы в области 0 ^ х ^ а
отсчитывается от U = О, а в области х > а — от U = Uo. (Мы
предполагаем, что области достаточно велики, чтобы можно было
при данной кинетической энергии пользоваться квазиклассическим
приближением, т. е. они намного больше дебройлевской длины
волны. Тогда кинетическая и потенциальная энергии как раздель-
раздельные величины имеют приближенный смысл.)
При такой кривой потенциальной энергии наименьшая полная
энергия получается тогда, когда ее максимальное значение Ео + U
одинаково в обеих областях (аналогично тому, как устанавливается
одинаковый уровень жидкости в сообщающихся сосудах). Если бы
максимальная энергия электронов была в одной области больше,
чем в другой, то общая энергия электронов могла бы понизиться
за счет их перехода на свободные места в область с меньшей макси-
максимальной энергией. Но мы ищем
основное состояние системы, в
котором общая энергия уже не
может быть понижена.
Итак, условие того, что элек-
электроны находятся в состоянии с
наименьшей общей энергией,
есть
Eo + U = const. C3.27)
Это условие можно применять
и в тех случаях, когда потен-
U i
а
Рис. 38
413

циальная энергия изменяется в пространстве не скачками, как на
рисунке 38, а плавно, как в атоме. Необходимо только, чтобы она
не слишком сильно изменялась на расстоянии, равном одной деб-
ройлевской длине волны электрона, согласно общему положению
о применимости квазиклассического приближения (см. § 31). Но
при большом числе электронов велика их максимальная кинетиче-
кинетическая энергия, а следовательно, мала дебройлевская длина волны.
Поэтому условие применимости излагаемого метода и состоит в том,
чтобы число электронов в атоме было достаточно велико по срав-
сравнению с единицей.
Распределение потенциальной энергии в атоме выглядит при-
приблизительно так, как показано на рисунке 39. Потенциальная энер-
энергия везде отрицательна, так как она калибрована на нуль в бес-
бесконечности.
Граничная энергия электронов не должна быть нигде положи-
положительна, потому что с положительной энергией они могли бы уйти
из атома в бесконечность. Поэтому граничная энергия может быть
либо отрицательной, либо равной нулю. Покажем, что она не может
быть и отрицательной, т. е. равна нулю. Если бы, например, гра-
граничная энергия отвечала пунктирной прямой на рисунке 39, то
электронная плотность должна была бы обратиться в точке г — г0
в нуль: согласно уравнению C3.26) там, где равна нулю кинетиче-
кинетическая энергия, обращается в нуль и плотность.
Полагая, что в некоторой точке г = г0 плотность электронов
равна нулю, надо принять, цхо все электроны находятся при г ^ г0,
так что весь заряд атома — и положительный, и отрицательный —
сосредоточен в сфере радиуса г = г0. Но тогда по теореме Гаусса
электрическое поле в точке г — г0 должно обращаться в нуль, так
как распределение заряда принято сферически симметричным.
Однако | Е | = —^, а из рисунка 39 видно, что в этой точке про-
производная потенциала не равна нулю. Следовательно, единственная
возможность состоит в том, что весь заряд сосредоточен в области,
на границе которой производная по-
потенциала обращается в нуль.
На рисунке 39 производная по-
потенциала стремится к нулю при
г->оо. Отсюда следует, что гранич-
граничная энергия электронов равна нулю,
как и утверждалось. Но мыслима и
такая возможность, когда кривая по-
потенциальной энергии будет подходить
к абсциссе с горизонтальной каса-
касательной при конечном г. Это тоже
дает нулевое значение для граничной
энергии. Но дальше будет показано,
что и такая возможность не осуще-
Рис. 39 ствляется. Во всяком случае мы будем
414

исходить из того, что граничная энергия равна нулю. Постоянная
в уравнении C3.27) и есть эта граничная энергия.
Потенциальная энергия электрона равна U = —еср, а кинетиче-
кинетическую надо выразить согласно C3.26). Тогда получится основное для
метода Томаса — Ферми соотношение между потенциалом в атоме
и плотностью электронов в данной точке:
Wm'W Bm)-1n2/a _ яр = 0. C3.28)
Второе соотношение между потенциалом и плотностью находим
из уравнения A6.7). В нем взят обратный знак в правой части,
потому что заряд электрона отрицательный:
г^ = 4пеп. C3.29)
г2 dr dr x '
Исключив плотность электронов из уравнения C3.28) и под-
подставив в C3.29), получаем уравнение, описывающее распределение
электронов в атоме:
\ d „dw 27/2m3/2 5/ з/ /оо ол\
-о zr Г j = ъ пг?/2Ф/2« C3. оО)
г2 dr dr Зя h3 T v '
Преобразуем это уравнение аналогично B0.6). Для этого под-
подставим ф в таком виде:
Ф = уя|?. C3.31)
Функция г|э безразмерна, так как — имеет размерность потен-
потенциала. В непосредственной близости к ядру ср определяется только
ядром, потому что его потенциал стремится к бесконечности, как —,
а потенциал пространственно распределенного заряда электронов
остается конечным. Следовательно, вблизи ядра граничное условие
состоит в том, что г|э @) = 1.
На больших расстояниях от ядра его заряд полностью экрани-
экранируется зарядом электронов. Поэтому потенциал должен стремиться
к нулю быстрее, чем —. Отсюда г|э (оо) = 0.
Подставляя (ЗЗлН) в C3.30), находим уравнение для if:
±1 = f_ 2V. 4L- е* %-. C3.32)
Удобно избавиться от размерного множителя в правой части.
Для этого надо ввести новую единицу длины, подобную атомной
единице (см. B9.30)):
415

О 889
Эта единица отличается от атомной множителем -4/7 • После
Li
введения безразмерной переменной х уравнение C3.30) приводится
к стандартной форме (уравнение Томаса — Ферми):
^ = С- C3.34)
dx2 х'
Теперь ни уравнение, ни граничные условия к нему, т. е. л|э @) = 1
и i|) (оо) = 0, не содержат атомного номера. Поэтому C3.34) доста-
достаточно проинтегрировать один раз для всех атомов. Но применять
это уравнение, конечно, можно только к атомам с большим и сред-
средним атомным номером.
Функция \|э (х)у если вернуться к размерному радиусу г, дает
распределение потенциала для каждого Z:
'I'M- C3.35)
Если расстояние от ядра выражено через ху то распределение
электронной плотности получается одинаковым для всех атомов.
Разумеется, это свойство уравнения C3.34), а не реальных атомов.
Но и такое огрубленное рассмотрение позволяет получить важные
выводы об атоме как целом.
Так как при одних и тех же х значение ф (я) одинаково для всех
атомов, соответственные значения г для разных атомов обратно
пропорциональны Z1/». Следовательно, у тяжелых атомов основная
часть электронов сосредоточена в большей близости к ядру, чем
у более легких.
Покажем теперь, что граничное условие г|) = 0 может быть поста-
поставлено непротиворечивым образом только при х = оо. Уже указы-
указывалось, что к точке х0, где яр (jc) обращается в нуль, кривая потен-
потенциала должна подходить с горизонтальной касательной. Следова-
Следовательно, вблизи этой точки разложение \|э (х) начинается с такого
члена: \h(x) = a(x--x J + k
где k — положительное число. Подставляя это разложение в урав-
уравнение C3.34), будем иметь:
х0
откуда следует, что k = —6 вопреки требованию k ^ 0.
Только асимптотическое касание с абсциссой не ведет ни к ка-
какому противоречию.
Появление в атомах электронов с данным
значением /. При выводе уравнения Томаса — Ферми мы исхо-
исходили из распределения электронов по импульсам. Но можно поста-
поставить вопрос и об их распределении по другим интегралам движе-
движения. Так как в атоме, т. е. в центральном поле, сохраняется момент,
естественно искать распределение электронов по моментам.
416

Рассмотрим сначала, как выглядит распределение момента эле-
электронов по атому. Граничный импульс электронов пропорционален
корню квадратному из граничной кинетической энергии Ео, так
что согласно C3.26) электроны с наибольшими импульсами нахо-
находятся вблизи ядра. Но момент пропорционален произведению им-
импульса на расстояние от ядра, поэтому вблизи ядра момент электро-
электронов мал. На больших расстояниях от ядра уменьшается плотность
электронов и соответственно граничный импульс. Из-за этого опять
становится малым момент. Следовательно, момент достигает наи-
наибольшего значения где-то на средних расстояниях от ядра. Это
максимальное значение момента тем больше, чем выше электрон-
электронная плотность. Поэтому в тяжелых атомах, в которых электронная
плотность велика, появляются большие значения момента.
Чтобы найти наибольшие значения момента, возможные при дан-
данном Z, будем исходить из классического выражения энергии ча-
частицы в центральном поле:
р2 М2 Zety
к + ~- (зз.зб)
Граничную энергию Е следует положить равной нулю в согла-
согласии с основным допущением C3.28). Тогда для радиальной состав-
составляющей импульса получаем такую формулу:
Вместо М2 можно подставить hH (I + 1). Но так как вся изла-
излагаемая теория отвечает квазиклассическому приближению, не-
несколько лучший результат получится и при квазиклассическом
собственном значении М2. Можно показать (но мы этого делать
не будем), что квазиклассическое собственное значение М2 есть
) Заметим, что U + -9-) отличается от 1A + 1) только
на 1/4.
Вынесем теперь из-под корня в C3.37) у и выразим подкорен-
подкоренное выражение через безразмерную величину х:
C3.38)
Для того чтобы рг могло быть действительной величиной, под-
подкоренное выражение должно оставаться действительным в неко-
некотором интервале значений х. Но так как яг|э = 0 при х = 0 к при
х = оо, указанный интервал конечен и заключает в себе точку
максимума лтф. Максимум равен 0,488. Следовательно, весь интер-
интервал, в котором рг — действительная величина, стягивается в точку
при таком значении Z, когда
1,778- 0,488Z2/3==f/ + y)\ C3.39)
14 Компанеец А. С» 417

Тогда кривая у = 1,778 Z 3xty касается горизонтальной прямой
г/= (/-{-уj . Следовательно, данное значение / в атоме может
появиться при Z, удовлетворяющем условию:
Z = 0,155B/+lJ. C3.40)
По этому уравнению электроны, имеющие / = 2, появляются
при Z = 19, а имеющие / = 3 — при Z = 53. Лучшее согласие
с действительностью получается, если взять в последней формуле
коэффициент 0,17 вместо 0,155.
Весь излагаемый расчет возможен только благодаря учету
экранирования поля ядра электронами, с чем связано появление
максимума функции п|). В чисто кулоновом поле ничего похожего
не получилось бы. Это указывает на то, что по мере возрастания
атомного номера зависимость энергии электронов от азимуталь-
азимутального квантового числа все усиливается.
Когда поле значительно отличается от кулонова, зависимость
энергии от / становится столь сильной, что увеличение главного
квантового числа п с одновременным уменьшением / приводит к мень-
меньшему возрастанию энергии, чем увеличение п при данном /.
Объясняется это тем, что при больших / велико «плечо» момента,
т. е. электрон находится далеко от ядра. Но потенциальная энергия
электрона в атоме зависит от г не по закону Кулона: она убывает
гораздо быстрее благодаря экранированию. Поэтому на больших
расстояниях от ядра электрон как бы выталкивается центробеж-
центробежной силой из потенциальной ямы, что ведет к сравнительно боль-
большому повышению уровня энергии.
Оказывается, что при переходе от уровня энергии Е (я, I) к
Е (п + 1, 0) возрастание энергии меньше, чем при переходе от
Е (п, I) к Е (п, I + 1)- В кулоновом поле энергия зависит только
от я, и тогда переход от Е (п, I) к Е (п, / + 1) вообще не изменяет
энергии, а от ? (/2, /) к Е (п + 1, 0) ведет к повышению уровня.
При слабом отклонении поля от кулонова тоже еще имеет место
неравенство: Е (п + 1, 0) — Е (п9 I) > Е (/г, 1+1) — Е (п, I).
Периодическая система Менделеева. Рас-
Рассмотрим теперь в общих чертах заполнение мест в периодической
системе элементов Менделеева. При малом числе электронов в атоме
зависимость энергии электрона от квантовых чисел не сильно отли-
отличается от той, которая имеет место в чисто кулоновом поле, так что
положение энергетического уровня определяется главным кванто-
квантовым числом п. В связи с этим застройка электронных оболочек
атома идет по возрастающим значениям п.
Как видно из формулы C3.25), в оболочке с п = 1 могут нахо-
находиться два электрона. У водорода один электрон, его состояние Is,
у гелия оболочка заполнена, состояние (lsJ\Sf. Электронная обо-
оболочка основного состояния атома гелия настолько устойчива, что
если к нему подходит близко любой другой атом, то общая энергия
может только увеличиться, так что возникают силы отталкивания.
418

Гелий химически инертен. Силы взаимодействия между его атомами
малы благодаря симметрии и устойчивости их электронных оболочек.
Поэтому гелий (газ) сжижается при весьма низкой температуре *.
После гелия начинается застройка оболочки с п ~ 2. Первый
электрон этой оболочки, т. е. 25-электрон, появляется у лития.
Два внутренних ls-электрона, имеющих конфигурацию гелия,
образуют замкнутую оболочку (/(-оболочку) и сильно экранируют
заряд ядра; поэтому внешний электрон лития связан слабо. Так
у лития (и в дальнейшем у Na, К, Rb, Cs) получается электронная
конфигурация щелочного металла вследствие присоединения s-эле-
ктрона к ядру, окруженному оболочкой благородного газа.
За литием идет элемент бериллий, в атоме которого два 25-элект-
рона, конфигурация (lsJBsJ1Sf. Хотя оболочка B sJ (Li-оболочка)
у бериллия застроена, его свойства отнюдь не напоминают свойств
благородного газа гелия с застроенной (IsJ оболочкой. Причина
состоит в том, что поле, действующее на электрон, в легком эле-
элементе бериллии еще достаточно близко к кулоновому, поэтому
энергия ^-состояния близка к энергии 2р-состояния: она мало за-
зависит от азимутального квантового числа. Чтобы электрон пере-
перешел из ls-оболочки в 2s- или 2р-оболочку, нужна малая энергия.
Благодаря этому электронная конфигурация бериллия малоустой-
малоустойчива по отношению к возмущениям. Достаточно небольшой энер-
энергии, выделяющейся в результате присоединения других атомов,
чтобы вызвать перестройку 2р-оболочки, нужную для образования
устойчивой системы связанных друг с другом атомов.
После бериллия начинает застраиваться 2р-оболочка (Ln-обо-
лочка), которая оказывается полностью заполненной у неона.
Перед неоном стоит фтор, ему не хватает одного электрона до пол-
полной занятости Ln-оболочки. Энергия присоединения электрона,
дополняющего BрM-оболочку фтора до заполненной оболочки не-
неона, велика. Этим объясняется химическая активность фтора и дру-
других галогенов, аналогичным образом расположенных относительно
благородных газов.
В оболочке с п = 2 может быть восемь электронов. Элементы,
у которых электроны занимают эту оболочку, образуют второй
период системы Менделеева (Н и Не составляют первый период).
Затем застраивается оболочка с п = 3, но сначала только первые
две ее подоболочки: 3s и Зр {М\ и Ми). Элементы третьего периода
имеют строение внешних электронных оболочек, подобное оболоч-
оболочкам элементов второго периода.
Химические свойства атомов в основном определяются внеш-
внешними электронными оболочками. Этим и объясняется подобие хими-
химических свойств, лежащее в основе периодического закона.
* Конденсация гелия в жидкость при низких температурах обязана так
называемым ван-дер-ваальсовым силам, которые возникают при взаимной элек-
электростатической поляризации сближающихся атомов. Эти силы действуют на
больших расстояниях, чем силы химического сродства, и очень малы по сравне-
сравнению с ними,,
14* 419

У аргона Зр-оболочка застроена, т. е. завершен еще один период
системы из восьми элементов. Конфигурация благородного газа
у аргона получается потому, что состояние Зр, с одной стороны,
и состояния 3d и 4s, с другой стороны, сильно разнятся энергети-
энергетически. Можно сказать, что у аргона сравниваются влияния главного
и азимутального квантовых чисел на энергию уровня: они влияют
примерно одинаково и еще достаточно сильно, чтобы этот'элемент
имел устойчивую электронную оболочку благородного газа. Но
в отличие от гелия аргон все же способен вступать в химические
соединения.
Рассматривая состояния оболочек, которым не хватает до пол-
полной застройки меньше половины всего возможного числа электро-
электронов, т. е. меньше 21 -+- 1, можно считать, что незаполненные состоя-
состояния («дырки») ведут себя подобно электронам. Например, если
в яр-оболочке не достает двух электронов до шести, то можно
складывать состояния двух «дырок», подобно тому как производится
сложение состояний двух np-электронов. При этом всегда полу-
получаются правильные результаты, но для нахождения полного мо-
момента основного состояния такой системы из двух «дырок» надо
пользоваться вторым правилом Хунда, т. е. брать J — L + S.
Путем сложения спинов и орбитальных моментов с учетом прин-
принципа Паули легко убедиться в том, что четыре электрона в
яр-оболочке равноценны двум «дыркам» в ней (см. упражне-
упражнение 2).
Понятие «дырка» в системе занятых состояний и равноценность
«дырки» с частицей чрезвычайно плодотворны во многих областях
физики, где изучаются многоэлектронные системы.
Сведем теперь схему застройки электронных оболочек для эле-
элементов первых восемнадцати мест периодической системы в одну
таблицу (см. стр. 421), в которой приведены количества электро-
электронов, имеющих данные квантовые числа.
После аргона начинает сказываться более сильное влияние ази-
азимутального квантового числа на энергию, чем главного квантового
числа. Иначе говоря, застройка 45-оболочки оказывается энергети-
энергетически выгоднее, чем 3^-оболочки. Новый период начинается щелоч-
щелочным металлом калием. Отметим эмпирическую закономерность:
застройка идет по одинаковым п + /. Сумма п -\- I одинакова
(равна 4) для Зр- и 4$-оболочек, а для 3^-оболочки она уже на еди-
единицу больше. После З^-оболочки застраивается 4р-оболочка с тем
же значением суммы п + / = 5, а потом 5s. Замечено, что это пра-
правило соблюдается и в дальнейшем, причем заполнение оболочек
с одинаковой суммой п + / идет в порядке возрастания п. При за-
застройке d- и /-оболочек обнаруживаются некоторые отклонения от
этого правила.
В оболочках с п = 1,2,3 вместе находятся 2-12 + 2-22 + 2-32 =
= 28 электронов. В 4s- и 4р-состояниях еще восемь, в 5s — два
электрона. После Ss-состояния идут электроны с п + I = 6, при-
причем начиная с наименьшего п, т. е. с 4d. Этих электронов еще
420

Элемент
Н
Не
Li
Be
В
С
N
0
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n = 2
1-0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
/-i
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
n =
/-0
1
2
2
2
2
2
2
2
= 3
/-i
1
2
3
4
5
6
Основное
состояние
атома
3 D=>
0
2
2p"/s
1Sf
sp?
0
г
2/5"/г
2» D + 1) = 10. После 4d- идут 5р-электроны, которых шесть,
затем по тому же правилу бя-электроны.
Следующее значение п + I = 7, причем наименьшее п равно 4.
Следовательно, начиная с 57-го места может заполняться (а факти-
фактически заполняется с 58-го места) 4/-оболочка, получая сразу два
4/-электрона.
Это хорошо согласуется с результатом, который был получен
на основании метода Томаса — Ферми для появления электронов
с / == 3. Мы видели, что электроны с наибольшим значением момента
впервые появляются в середине атома, при значении безразмерной
переменной х = 0,488 (это, конечно, весьма грубая оценка).
421

То же самое можно доказать, рассматривая движение электро-
электронов в центральном поле, убывающем не по закону Кулона, а быст-
быстрее, вследствие экранирования поля другими электронами. Именно
томас-фермиевский потенциал убывает по закону у г|> (х), примерно,
как -?, т. е. быстрее, чем центробежная энергия - ' 2—-. Ьсли
сложить потенциальную энергию электрона, вычисленную с учетом
экранирования, с центробежной энергией, то оказывается, что
в d- и /-оболочках минимум эффективной результирующей потен-
потенциальной энергии находится в середине атома (ср. § 5).
Кривая Um для d- и /-электронов при больших г идет выше,
чем для s- и р-электронов, и оказывается, что эффективная потен-
потенциальная яма — минимум кривой Um — расположена к ядру ближе,
чем кончаются оболочки s- и р-электронов. Таким образом, d- и
/-оболочки застраиваются как бы внутри атома. Но химические
свойства атомов зависят главным образом от внешних электронов,
состояния которых при заполнении /-оболочки изменяются весьма
мало. Так возникает группа из 2-B-3+ 1) = 14 химически сход-
сходных элементов, называемых редкоземельными.
При заполнении З^-оболочки взаимодействие с внешними элек-
электронами сильнее, и тогда получается не группа сходных элементов,
а ряд элементов с нерегулярным изменением химических свойств.
Происходит как бы «соревнование» за энергетически наивыгодней-
наивыгоднейшее состояние между Зя!-оболочкой и внешними оболочками: напри-
например, у V23 имеется три d-электрона и два s-электрона, у следующего
за ним элемента Сг24 — пять d-электронов и один s-электрон, у Мп25
тоже пять d-> но два s-электрона.
Оболочка 5/ заполняется, начиная с тория, у целой группы эле-
элементов, аналогичных редкоземельным. Большую часть этих эле-
элементов составляют созданные искусственно трансурановые эле-
элементы.
Ядерные оболочки. Электронные конфигурации бла-
благородных газов отвечают особенно большой энергии связи элект-
электронов в атоме. Чтобы удалить один электрон из атома благородного
газа, надо затратить большую работу, чем из атома всякого дру-
другого элемента. Когда к электронной оболочке типа оболочки бла-
благородного газа присоединяется еще один электрон, как в атомах
щелочных металлов, он оказывается особенно слабо связанным.
Благородные газы находятся на вполне определенных местах
в таблице Менделеева: 2, 10, 18, 36-м и т. д., что находит свое
объяснение в модели заполняющихся электронных оболочек, кото-
которые в свою очередь строятся по квантовым числам отдельных элект-
электронов. Но чтобы имело смысл понятие квантовых чисел отдельного
электрона, необходимо допустить, что на него действует самосогла-
самосогласованное поле всех остальных электронов.
Как было указано, метод самосогласованного поля не имеет пока
строгого обоснования в атомной физике. Обычно говорят, что элек-
422

тростатические кулоновские силы дальнодействующие и поэтому на
каждый электрон действительно оказывают влияние все остальные.
Было доказано экспериментально, что в ядрах атомов тоже полу-
получаются особо устойчивые состояния для каждого «сорта» опреде-
определенных чисел нуклонов (т. е. нейтронов и протонов), аналогичные
основному состоянию благородных газов. Эти числа суть 2, 8, 20,
50, 82 и 126. Но хорошо известно, что ядерные силы в отличие от
кулоновских короткодействующие, поэтому аргумент, обосновы-
обосновывающий применимость понятия самосогласованного поля к атому,
к ядру не имеет отношения.
Но так как указанные выше числа тем не менее проявляются
в очень многих наблюдаемых на опыте свойствах ядер, для них
было предложено ироническое наименование «магических чисел»,
чтобы подчеркнуть этим их несоответствие теоретическим ожида-
ожиданиям. Очевидно, понятие самосогласованного поля все же приме-
применимо и к ядру. Не вдаваясь в возможные причины применимости
этого понятия, покажем, путем каких рассуждений можно вывести
все указанные числа из некоторой простой теоретической модели.
В § 28 указывалось, что силы, действующие между частицами
в ядре, могут быть описаны с помощью эффективной потенциальной
ямы. Допустим, что некоторое самосогласованное поле, все же
существующее в ядре, заставляет каждый нуклон двигаться в такой
яме. Задача о движении частицы в прямоугольной яме решалась
в § 28, причем было показано, что она относится не к одномерному,
а фактически к трехмерному случаю, но применительно к собствен-
собственному значению орбитального момента, равному нулю.
Такую задачу можно решить и при произвольном орбитальном
моменте частицы. Чтобы несколько приблизить решение к реаль-
реальности, берется не строго прямоугольная яма, как на рисунке 32,
а с немного закругленными краями. Тогда уровни энергии рас-
располагаются группами. Каждый уровень в ядре принято обозначать
не главным, а радиальным квантовым числом, т. е. числом нулей
радиальной функции, и азимутальным квантовым числом. Эти
группы оказываются такими: Is; \р\ ldy 2s; 1/, 2р; lg, 2d, 3s; 1/z,
2/, 3p; h', 2gy 3d, 4s. (Напомним, что буквы g, /i, i означают соот-
соответственно моменты / = 4, 5, 6. В состоянии с каждым I может
находиться 2 B1 + 1) частиц.)
Поэтому, если попытаться связать перечисленные группы отдель-
отдельно лежащих энергетических состояний с оболочками, то получатся
следующие числа заполненных состояний: 2; 2 + 6 = 8; 8+10 + 2 =
- 20; 20 + 14 + 6 - 40; 40 + 18 + 10 + 2 - 70; 70 + 22 + 14 +
+ 6 = 112. Они согласуются с магическими числами только до 20.
М. Гепперт-Майер и X. Э. Суэсс объяснили это несоответствие
тем, что при построении энергетических уровней не была учтена
сильная спин-орбитальная связь нуклонов. Существование такой
связи хорошо известно из ядерной физики, но мы не будем рассмат-
рассматривать ее подробно. Указанные авторы предположили, что при
больших / состояние с моментом / = / + V2 так сильно отличается
423

по энергии от состояния с / = / — V2, что попадает в число состоя-
состояний предыдущей группы. Тогда состояния должны группироваться
следующим образом (начиная с четвертой группы): 1/, 2р, \gy2;
lgy2, 2d, 3s, l/in/2; 1А./я, 2/, Зр, Ь\з/2. Так как в состояниях с /• =
= / ± 1/2 спин жестко связан с орбитальным моментом, они вырож-
вырождены 2/ + 1 раз. Поэтому после числа 20, отвечающего заполне-
заполнению первых трех групп, следующая заполненная группа полу-
получается при 20 + 14 + 6 + Ю = 50; затем 50 + 8 + 10 + 2 -Ь
+ 12-82; 82 + 10 + 14 + 6 + 14 = 126. Это в точности отве-
отвечает магическим числам *.
Предлагаемое объяснение в свою очередь ведет к некоторым
прогнозам, а именно вблизи магических чисел следует ожидать ядер
с большими моментами: / = 9/2, п/2, ..., что имеет место на самом деле.
Орто- и парасостояния двух электронов.
Покажем теперь, как строить спиновую волновую функцию в соот-
соответствии с требованиями симметрии относительно перестановок.
Будем считать, что полная волновая функция распадается на про-
произведение координатной и спиновой частей, и займемся отдельно
спиновой. Так как все произведение антисимметрично, один из его
сомножителей должен быть симметричен, другой антисимметричен.
Такой простой вывод относится, как указывалось, только к двух-
электронной системе.
Так как спин каждого электрона в атомных единицах равен 1/2,
результирующий спин системы из двух электронов может быть ра-
равен нулю или единице. Оба эти состояния имеют специальное на-
название. Состояние со спином, равным единице, называется орто-
состоянием, а со спином, равным нулю, — парасостоянием.
Пренебрегая магнитным взаимодействием между спинами, можно
строить спиновую волновую функцию двух электронов из произ-
произведений их спиновых функций, взятых в отдельности, подобно тому
как строилась координатная волновая функция C3.17):
1 (сть Si; а2, s2) = % (аь sx) х (<т2, s2). C3.41)
Теперь надо удовлетворить требованиям симметрии. Если ог = а2,
то произведение C3.41) симметрично само по себе. Если ох -ф а2,
то можно образовать либо симметричную, либо антисимметричную
волновую функцию так, как в C3.17).
В результате получаются три симметричные волновые функции
и одна антисимметричная:
I A> Si) xU> s2),
%сиши = { 7г~\%(\> 5i)x( 1» 5г) + Х(ь S2)x( 1> si))> C3.42)
-1, Sl)). C3.42')
v *
* Близко к магическим число 28; которое получается, если отделить от чет-
четвертой группы состояние /7уа%
424

Множитель —= введен для нормировки.
Функциям C3.42) отвечают три проекции результирующего
спина: 1, 0 и —1, а функции C3.42) — только одна проекция 0.
Величина проекции спина, т. е. 0, 1 или —1, зависит от выбора
оси г. Но симметрия или антисимметрия волновой функции является
ее внутренним свойством и от выбора координатных осей не зави-
зависит. Поэтому все три волновые функции C3.42) следует считать
принадлежащими одному и тому же полному значению спина, рав-
равному 1, ко трем разным его проекциям, а состояние C3.42) — при-
принадлежащим полному значению спина, равному нулю. Полный
спин, так же как и симметрия волновой функции, не зависит от
выбора координатных осей.
Подразделение спиновых состояний на орто- и парасостояния
распространяется на любые системы из двух одинаковых частиц
и на любые значения спина. Состояние с симметричной спиновой
волновой функцией называется ортосостоянием, с антисимметрич-
антисимметричной волновой функцией — парасостоянием. Но при значении спина,
большем V2, кет однозначного соответствия между пара- и ортосо-
ортосостоянием и результирующим спином. Зато при спине, равном 1/2,
спиновая функция автоматически оказывается принадлежащей либо
орто-, либо парасостоянию, если только потребовать, чтобы она
была собственной функцией оператора полного спина. При этом
уже не обязательно, чтобы частицы были тождественными, лишь
бы спин каждой равнялся 1/2. Так, эфемерное образование из эле-
электрона и позитрона (положительного электрона)—двух разных
частиц — может находиться в орто- и парасостоянии в зависимости
от значения их результирующего спина.
В уравнения самосогласованного поля входит выражение об-
обменной энергии (см. C3.22а) и C3.226)) с двумя знаками в зависи-
зависимости от симметрии координатной волновой функции. Но так как
симметрия этой функции обратна симметрии спиновой волновой
функции, можно сказать, что знак обменной энергии связан с тем,
в каком состоянии находятся частицы: «+» стоит в парасостоянии
и «—»Ъ ортосостоянии. В свою очередь пара- и ортосостояния отве-
отвечают разному значению результирующего спина. Поэтому знак
перед обменной энергией может быть связан с собственным значе-
значением полного спина двух электронов.
В упражнении 2 к § 30 было показано, что собственное значе-
значение оператора {gxo2) равно —3 при антипараллельных спинах и
1 при параллельных. Поэтому если ввести оператору A + ахсг2),
то его собственное значение равно +1 в ортосостоянии и —1 в па-
парасостоянии. А так как симметрия координатной волновой функ-
функции противоположна симметрии спиновой функции, можно просто
ввести в гимильтониан системы, записанный в приближении само-
самосогласованного поля, обменную энергию, умноженную на величину
425

— -^-A4- GiG2)- Тогда правильный знак обменной энергии в урав-
уравнениях будет обеспечен автоматически.
Таким образом, получается как бы эффективное взаимодействие
между спинами электронов, которое, как указывалось, гораздо
больше магнитного взаимодействия между ними.
Спин-орбитальное взаимодействие у от-
отдельного электрона. Построим оператор, описывающий
взаимодействие спина электрона с его орбитальным моментом.
Очевидно, что такой оператор может быть определен только для
самосогласованного поля, потому что моменты отдельных электро-
электронов как интегралы движения не могут быть заданы иначе, как
в предположении, что все остальные электроны создают статическое
центрально-симметричное поле, действующее на данный электрон.
Строгий вывод оператора спин-орбитального взаимодействия
возможен только на основе релятивистского волнового уравнения
для электрона (§ 37). Здесь мы ограничимся полуинтуитивным на-
наглядным доказательством.
Перейдем к системе отсчета, в которой электрон покоится.
В этой системе на него действует не только электрическое, но и
магнитное поле, тогда как в системе, где покоится ядро, есть лишь
электрическое поле. Но совершить переход непосредственно по
формулам преобразований Лоренца для компонент поля A5.1) и
A5. Г) нельзя, так как система, связанная с ядром, неинерциаль-
ная. Поэтому будем менять систему отсчета постепенно, бесконечно
малыми «шагами».
Поскольку неинерциальность обязана взаимодействию электрона
с ядром, предположим, что само это взаимодействие включается
бесконечно малыми «порциями» за счет изменения элементарного
электрического заряда от еХ до е (X + dX). Так как магнетон Бора
сам пропорционален заряду, его значение при этом равно X\i0.
При возрастании магнитного поля на dH оператор энергии маг-
магнитного поля получает добавочный член:
При малых относительных скоростях формулы преобразований
Лоренца дают:
Так как самосогласованное поле центральное, электрическое
поле равно:
Ь — уф_ —у—,
adE = EdX. Подставляя это в формулу для магнитной энергии dV,
находим:
426

Заменим [гр] на М, а магнитный момент на —.Тогда получим:
Интегрируя по X от 0 до 1, т. е. переходя к полной величине
взаимодействия, находим искомый оператор взаимодействия спина
с орбитальным движением:
Оценим порядок величины коэффициента в формуле C3.43).
Для этого заметим, что если взять томас-фермиевский потенциал
C3.31), то
Множитель г|) — х~ порядка единицы и в дальнейшем будет
опущен. Но так как сама томас-фермиевская переменная х порядка
/г2 - ^
единицы, получаем г <~^ —-—. Ьсли оператор орбитального
Z /зпге2
Л. ' А. А А
момента М выразить через безразмерный оператор М — hl> a or —
через удвоенный безразмерный оператор спина 2s и подставить
в формулу C3.43), то численный коэффициент перед (si) оказывается
имеющим такой порядок величины:
г) '-т*. C3.44)
Здесь | безразмерная величина, равная 1/137, так что ~
достигает 0,6 при Z ^^ 90; ^ атомная единица энергии, рав-
равная 27 эв.
Взаимодействие L и $. Таким образом, оператор спин-
орбитального взаимодействия отдельного электрона может быть
записан в таком виде:
V = a(sl). C3.45)
Полный оператор спии-орбитального взаимодействия получится,
если просуммировать V для всех электронов в некоторой оболочке,
имеющей общий спин и орбитальный момент. Это делается следую-
следующим образом. Будем считать суммарный спин *S электронов закреп-
закрепленным и усредним спин, входящий в каждое слагаемое от спи-
спинового момента 5 отдельных электронов. Тогда при усреднении
останется только проекция спина отдельного электрона на сум-
суммарный спин:
427

Усреднение производилось по спиновым состояниям при данном
суммарном спине, который надо, таким образом, считать операто-
оператором. Аналогичным образом усредняются орбитальные моменты при
данном суммарном орбитальном моменте /,, так что в результате
получается оператор спин-орбитального взаимодействия:
C3.46)
Найдем собственные значения этого оператора. Для этого за-
запишем:
Но L2 =
откуда
C3.47)
Таким образом, оператор спин-орбитального взаимодействия
диагоналей в состояниях с определенным значением полного момента
J. При данных L и S всего получается 2L + 1 или 25 + 1 различ-
различных состояний с данным У, которые все вместе называются муль-
типлетом. Так как L и S для всех компонент мультиплета одина-
одинаковы, получаем, что энергия компоненты мультиплета с данным
значением J определяется только слагаемым J (J + 1).
Теперь можно объяснить второе правило Хунда относительно
того, какое значение J отвечает наименьшей энергии в мультиплете.
Пусть имеется некоторая оболочка (nl)p, в которой занято меньше
половины мест (р — число электронов в оболочке, р < 2/ + 1).
Тогда по первому правилу Хунда все спины выстраиваются парал-
лельно и s = —. Постоянная а в формуле C3.45) положительна
(это получается из C3.43), если учесть, что -^ <<0 и заряд электрона
отрицателен). Но тогда видно, что и постоянная А в формуле C3.46)
положительна и равна — . Поэтому наименьшей энергии мульти-
мультиплета отвечает согласно C3.47) наименьший полный момент /,
равный | L—S |.
Если оболочка заполнена более чем наполовину, удобнее рас-
рассматривать «дырки», чем электроны. У полностью застроенной обо-
оболочки результирующий спин и орбитальный момент равны нулю,
так что энергия расщепления мультиплета равна нулю (расщепле-
(расщепления нет). Каждая «дырка» означает удаление из этого заполненного
состояния одного электрона, т. е. имеет отрицательную энергию
относительно нулевого уровня. Если «дырок» несколько, то их
спины выстраиваются параллельно. Поэтому теперь постоянная А
отрицательна: она относится к «дыркам». Наименьшей энергии
в мультиплете отвечает наибольший полный момент J = L + S.
Таким образом, второе правило Хунда нашло свое обоснование.
428

При А > О мультиплет называется нормальным, при А < О —
обращенным. Само мультиплетное расщепление называется тонкой
структурой уровня с данными п и /.
Уровни с различными L и S отстоят друг от друга на величины
порядка одного или нескольких электроновольт (см. пример
с азотом). Этот порядок величины объясняется, как мы видели,
электростатическим взаимодействием между электронами, не со-
содержащим с в знаменателе. Расщепление мультиплетов имеет
магнитную природу, оно соответственно меньше. Отсюда название
«тонкая структура».
Сказанное относится к легким атомам: как видно из C3.44),
у тяжелых атомов мультиплетное расщепление того же порядка,
что и электростатическое взаимодействие между электронами. По-
Поэтому в тяжелых атомах часто осуществляется иной тип связи,
чем в легких: вместо сложения орбитальных и спиновых моментов
всех электронов в результирующие L и 5 складываются / и s отдель-
отдельных электронов в их результирующий момент /. Затем уже проис-
происходит сложение полных моментов отдельных электронов. Этот тип
называется / — /-связью.
В ядрах, как мы видели, осуществляется только /—/-связь.
Атом во внешнем магнитном поле (эффект
3 е е м а н а). Рассматривая поведение системы зарядов, помещен-
помещенных во внешнее магнитное поле, очень удобно исходить из нагляд-
наглядного представления о ларморовской прецессии магнитного момента
вокруг поля (см. § 17). При такой прецессии сохраняется только
составляющая момента, направленная вдоль поля, а обе перпен-
перпендикулярные составляющие, усредненные по прецессионному дви-
движению, равны нулю.
Положение в квантовой механике аналогично, с той лишь раз-
разницей, что перпендикулярные полю проекции момента не сущест-
существуют как физические величины. Таким образом, устанавливается
простое соответствие между интегралами классической и кванто-
квантовой механики. Такой соответственной величиной является проек-
проекция момента на магнитное поле; ее можно назвать квантовым ин-
интегралом движения.
Внешнее магнитное поле, наложенное на атом, определенным
образом возмущает его состояние. Напишем оператор возмущаю-
возмущающей энергии для того случая, когда в атоме осуществляется нор-
нормальная связь. Тогда орбитальные моменты отдельных электро-
электронов складываются в результирующий орбитальный момент L,
который в свою очередь создает магнитный момент:
Магнитные моменты спинов тоже складываются в общий спи-
спиновый момент:
429

(Здесь отсутствует двойка в знаменателе в связи с магнитной анома-
аномалией спина (см. § 30).)
Результирующий магнитный момент атома равен:
А = ?оРб + ?сп = 2^(? + 25). C3.48)
Следовательно, магнитные моменты складываются по иному за»
кону, чем механические, т. е. J ~ L + S. Магнитный момент
атома с отличными от нуля L и S не пропорционален его механиче-
механическому моменту.
Оператор энергии возмущения, вызванного магнитным полем,
таким образом, равен:
1/ = _(Дя) = ^а + 2^) = ^а+5). C3.49)
eh
Здесь ^0 = s магнетон Бора. Знак «+» впереди полу-
получился потому, что заряд электрона отрицательный. Напомним,
что магнитная энергия в формуле A7.33) определялась именно как
поправка к гамильтониану, т. е. к энергии, выраженной через
импульсы. Поэтому она непосредственно истолковывается опера-
операторным образом в квантовой теории.
При дальнейших рассуждениях очень удобно пользоваться так
называемой векторной моделью атома, которая делает выводы весьма
наглядными. Смысл этой модели состоит в том, что величинам J,
L n S в формуле C3.47) сопоставляются три стороны треугольника.
Каждому уровню мультиплета отвечает свой треугольник. В пре-
предельных случаях J — L + SnJ=\ L—S | треугольник вырож-
вырождается в прямую линию.
Предположим теперь, что к атому приложено внешнее постоян-
постоянное и однородное магнитное поле, которое действует на магнитный
момент атома согласно формуле C3.49). Возможны два предельных
случая, когда векторная модель позволяет очень просто рассмотреть
состояние атома, возникающее под влиянием поля.
а) Слабые поля. Пусть внешнее поле весьма мало по срав-
сравнению с эффективным внутренним «полем» в атоме, заставляющим
весь треугольник JLS вращаться вокруг стороны J. Говоря более
строго, дополнительная энергия атома от помещения в такое сла-
слабое поле будет очень невелика по сравнению с расстоянием между
отдельными компонентами мультиплета (обе формулировки озна-
означают в принципе одно и то же).
В § 32 было показано, что возмущение можно считать слабым,
если вызываемое им смещение уровней мало по сравнению с рас-
расстоянием между уровнями. В данном случае это относится к уровням
тонкой структуры. Далее, поправка к значению уровня энергии
получается путем усреднения возмущающей энергии по невозму-
невозмущенному состоянию. Но мы говорили, что квантовомеханическое
усреднение по состоянию представляется наглядно как усреднение
430

по прецессионному движению. Таков способ выражения при поль-
пользовании векторной моделью. Разумеется, модель может дать не
больше, чем следует из общих положений квантовой механики.
В частности, прецессию не надо представлять себе как реальное
вращение треугольника, это лишь указание на то, как правильно
производить усреднение.
Состояние атома с моментом J вырождено 2/ + 1 раз в соответ-
соответствии с числом возможных проекций Jz. Применим теперь общее
правило для нахождения поправок к уровням энергии, вызванных
возмущением. Согласно формуле C2.22) поправка к уровню вы-
вычисляется с помощью матричных элементов возмущающей энергии,
взятых между отдельными невозмущенными вырожденными состоя-
состояниями. В частном случае, когда имеются только матричные элементы
между одинаковыми вырожденными состояниями, поправка к энер-
энергии просто равна диагональному матричному элементу Vn%t n^
В данном случае невозмущенное состояние вырождено по значе-
значению проекции момента Jzy но все компоненты расщепления в сла-
слабом поле отвечают одному и тому же J (J = п, Jz = Я). В операторе
возмущающей энергии C3.49) первое слагаемое есть само Jz (H
направлено по г). Покажем, что второе слагаемое (Sz) имеет только
матричные элементы, диагональные по JZf если выбирать их между
состояниями с одинаковыми значениями полного момента J. А так
как магнитное поле по условию слабое, оно не изменяет Л
Запишем следующий оператор:
+ (Sf Jx- JZSX) Jx + {S2Jy- JzSy) Jy.
Здесь правая часть равенства получилась путем тождественного
преобразования. Произведение SxJx + SyJy-\-SzJz^=(Sj) вы-
вычисляется таким же способом, как (LS) по формуле C3.47). Оно
диагонально для данной компоненты мультиплета. Jx -\- Ру -f- /| =:
= Р тоже диагонально, откуда
S = ^[J(J+l)-L(L
(yJ
~~ J
где оператор у определяется следующим образом:
Ух — &ZJу J zoy = bzLy LzSy = LySz — LzSy>
iy = hsx - sz Sx = lzsx - sz 4=lJx - lxsz, (зз.бо)
Л. А. Л. Л. Л.
Уг = LxSy — LySx.
В упражнении 4 будет показано, что оператор у не имеет мат-
матричных элементов, диагональных по /. Следовательно, его среднее
значение по невозмущенному состоянию системы, т. е. по одной
431

компоненте мультиплета, отвечающей
определенному /, равно нулю. Таким
образом, оператор Sz пропорционален
J z по крайней мере в нужном для нас
приближении. Отсюда сразу получается
выражение для расщепленных уровней
энергии в магнитном поле:
Рис. 40
2J(J
"Г
C3.51)
Выражение, стоящее в фигурных
скобках, имеет специальное название — множитель Ланде.
Покажем теперь, как формула C3.51) выводится на основе век-
векторной модели. На рисунке 40 изображен треугольник, который
без магнитного поля весьма быстро вращается вокруг стороны J.
Во внешнем магнитном поле /7 (достаточно слабом) сама сторона /,
но значительно медленнее, прецессирует вокруг /У, оставаясь под
постоянным углом к нему, так как J z мы полагаем константой дви-
движения; фактически это справедливо лишь постольку, поскольку
J — константа движения, как мы видели из строгого доказатель-
доказательства,
Благодаря быстрой прецессии треугольника вокруг J прибли-
приближенно постоянной остается только проекция 5 на /, равная:
Здесь (SJ) в числителе находится из равенства:
Л f Л А \ Л. Л.
Т 2 ( I С* \2 Г2 1 С2 О /
Li == \^t/ — О / === J ~р О — Z 1
откуда
Подставляя вместо S в формулу C3.49) Sg9 снова приходим
к формуле C3.51). Таким образом, множитель Ланде находит свое
наглядное истолкование.
б) С и л ь н ые поля. Допустим, что магнитное поле очень
сильное, так что возмущающая энергия намного больше расстоя-
расстояния между компонентами мультиплета. На языке векторной модели
это означает, что орбитальный и спиновый моменты гораздо быст-
быстрее прецессируют вокруг /У, чем относительно третьей стороны
треугольника J. Но спиновый момент вследствие магнитной анома-
аномалии прецессирует вдвое быстрее, поэтому связь в треугольнике раз-
разрывается. А это значит, что в формуле C3.49) удобнее пользоваться
первой формой записи — через L и S, а не через / и находить от-
отдельно собственные значения Lz и Sz.
432

Магнитное поле разрывает связь между L и S> но остается еще
настолько слабым, что не приводит к переходам между различными
значениями L или S, которым отвечают, как мы видели, энергети-
энергетические интервалы в несколько электронвольт. Поэтому собственные
значения оператора C3.49) получаются просто, если перебрать все
различные проекции Lz и Sz:
E = \io\H\(Lz + 2Sz). C3.52)
Оба типа расщепления мультиплетного уровня в магнитном
поле весьма различно проявляются в спектрах атомов, что будет
рассмотрено в § 36.
Атом в постоянном и однородном электри-
электрическом поле (эффект Штарка). Рассмотрим теперь
поведение мультиплетного уровня во внешнем электрическом поле,
начав со случая слабого поля, когда смещение уровней, вызван-
вызванное им, мало по сравнению с естественным расщеплением мульти-
плета.
Прежде всего следует иметь в виду, что проекция момента на
электрическое поле определена только с точностью до знака, по-
потому что момент — псевдовектор, а электрическое поле — настоя-
настоящий вектор. При изменении знаков всех координат на обратные
составляющие момента не меняют знаки, а составляющие электри-
электрического поля меняют. Но так как выбор право- и левовинтовой коор-
координатной системы произволен, проекции момента на электрическое
поле физически определены с точностью только до знака.
Если J — число целое, то имеется / + 1 проекция момента
на электрическое поле @,1, ..., «/), а если / — полуцелое число,
то всех проекций / + х/2 (V2, 3/г» ••¦» «О- Состояние с / = V2 вообще
не расщепляется электрическим полем. Таким образом, расщепле-
расщепление в магнитном поле более полное.
В сильном электрическом поле связь между L и S нарушается.
Тогда картина расщепления такова. Вектор L целочисленный.
Он имеет L + 1 проекцию на электрическое поле. Так как он силь-
сильнее связывается с этим полем, чем вектор спина, связь которого
с электрическим полем такого же типа, как спина с орбитальным
движением в мультиплете, расщепление уровня в сильном электри-
электрическом поле в первую очередь определяется абсолютным значением
проекции | Ьг | на поле. При данном значении проекции Lz проек-
проекция спина относительно Lz имеет уже 2S + 1 значение, так как
L n S — оба псевдовекторы. Получается L + 1 отдельных групп
по 25 + 1 уровней в каждом.
Исключение составляет только группа, в которой проекция
орбитального момента Lz на поле равна нулю. В ней происходит
расщепление по спину на 5 + 1 или S + у уровней, смотря по
тому, является ли S целочисленным или полуцелочисленным.
Величина расщепления определяется относительным смещением
соседних уровней. Как было показано в § 31, смещение уровня
433

равно среднему значению возмущающей энергии по невозмущен-
невозмущенному движению. Исходя из A6.28), имеем выражение для возму-
возмущающей энергии в электрическом поле в виде
Увл = — (#?). C3.53)
Легко показать, что среднее значение этой величины равно
нулю. Действительно, волновая функция состояния атома с данным
J всегда четная или нечетная (случай атома водорода — см. ниже).
Поэтому произведение г|)*г|5у — обязательно четная функция коор-
координат. Но тогда среднее значение от оператора C3.53) содержит
под интегралом нечетную функцию координат — дипольный мо-
момент (ср. B5.19)), так что весь интеграл тождественно обращается
в нуль.
Расщепление уровней получается только во втором приближе-
приближении и поэтому квадратично относительно внешнего поля. Но, как
будет показано, это относится к такому полю, которое не разрывает
связи между L и S (слабые поля).
В атоме водорода энергия электрона определяется только глав-
главным квантовым числом п и не зависит от /. Поэтому состояние
с Е = Еп представляется как наложение состояний с разными /
от 0 до п—1. Но при / четном волновая функция четная, а при I
нечетном — нечетная. Следовательно, функция с Е = Еп не имеет
определенной четности, так что среднее значение от дипольного
момента не обращается в нуль. Поэтому в атоме водорода наблю-
наблюдается расщепление линий, зависящее от электрического поля
линейно.
Заметим, что в релятивистскую формулу для энергии водород-
водородного атома входят п и /. При данном / орбитальный момент I = j ±
±уи состояние с данными п и /, как и в нерелятивистском прибли-
приближении, не имеет определенной четности, что обусловливает линей-
линейный эффект расщепления.
Высоко возбужденные состояния атомов всегда более или ме-
менее напоминают состояния атома водорода, потому что ядро и атом-
атомный остаток действуют на электрон, отошедший далеко от ядра,
наподобие точечного заряда. Энергия этих состояний зависит от /
согласно формуле B9.51). Если возмущение, вызванное полем,
сильнее, чем зависимость энергии уровня от /, то наблюдается ли-
линейный эффект расщепления.
Постоянное электрическое поле не только смещает энергетиче-
энергетические уровни атома, но и качественно меняет все его состояние.
Напишем потенциальную энергию электрона в атоме, на который
наложено внешнее электрическое поле Е , направленное по оси z:
U = U0{r) + e\E\z. C3.54)
При достаточно большом и отрицательном z потенциальная
энергия вдали от атома меньше, чем в атоме, но эта область значе-
значений г отделена от области движения электрона в атоме потенциала
434

ным барьером. Всегда имеется отличная от нуля вероятность са-
самопроизвольного, спонтанного перехода электрона через потен-
потенциальный барьер в свободное состояние. Переходы такого типа были
рассмотрены в § 31 применительно к альфа-распаду.
Атом в любом состоянии, помещенный во внешнее электрическое
поле, может самопроизвольно ионизоваться путем перехода элек-
электрона через потенциальный барьер подобно тому, как самопроиз-
самопроизвольно распадается ядро, испуская альфа-частицу. Разумеется,
если поле слабое, вероятность распада исчезающе мала. Барьер
становится проницаемым в сильном поле, особенно при высоковоз-
высоковозбужденных состояниях атома. Если время самопроизвольного вы-
вылета электрона в таком состоянии становится меньшим, чем время
испускания кванта, то линии в спектре, соответствующие перехо-
переходам из этого состояния, исчезают.
Таким образом, возмущение, слабое внутри атома (атомная
единица напряженности поля | Е | = -^- = 5,13-109 в/см, так
что внешнее поле всегда мало по сравнению с атомным), тем не ме-
менее существенно влияет на состояние, так как изменяются условия
в бесконечности. Но если расширение атомных уровней, обязанное
конечному времени их жизни по отношению к самопроизвольной
ионизации, мало по сравнению с расстоянием между уровнями,
уровни по-прежнему можно рассматривать как дискретные.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Найти возможные состояния системы из двух d-электронов с одинаковыми
главными квантовыми числами.
Решение. Каждый электрон может находиться в десяти состояниях:
А: 2, 1/2; Б: 1, 1/2; В: 0, 1/2; Г: —1, 1/2; Д: —2, 1/2; Е: 2, —1/2; Ж: 1, —1/2;
3: О, —1/2; И: —1, —1/2; К: —2, —1/2.
Состояния с положительными проекциями спина и орбитального момента
таковы:
АБ: 3,1; ЛВ: 2, 1; ЛГ: 1,1; АД: 0,1; ЛЕ: 4,0; АЖ: 3,0; A3: 2,0; АИ: 1,0;
АК: 0,0; БВ: 1,1; БГ: 0,1; БЕ: 3, 0; БЖ: 2, 0; БЗ: 1, 0; БИ: 1, 0; BE: 2, 0;
ВЖ: 1, 0; ВЗ: 0, 0; ГЕ: 1, 0; ГЖ: 0, 0; ДЕ: 0,0.
Отбирая состояния с максимальными проекциями моментов, получаем три
результирующих состояния с нулевым спином:
IS, Ю, Ю или iSf, iDf, Wl
и два состояния со спином, равным единице:
3Р, З/7 ИЛИ 3Рё 3pg Zpg И Sfg 3f? 3fg
2) Показать, что в системе из четырех р-электронов с одинаковыми глав-
главными квантовыми числами состояния те же, что и в системе из двух р-электро-
р-электронов, иначе говоря, что два электрона имеют те же состояния, что и две «дырки».
3) Вычислить полную энергию электронов в атоме по методу Томаса —
Ферми.
Решение. Согласно B8.25), C3.26) и C3.28) полная кинетическая энер-
энергия всех электронов в атоме равна:
з/
потому что граничная кинетическая энергия электронов есть е<р.
435

Вместо е(р подставим —— и перейдем к безразмерной переменной х в соот-
соответствии с C3.33). Тогда для Ект получим:
со
Потенциальная энергия распадается на две части: потенциальную энергию
взаимодействия электронов с ядром, равную:
сю
Ze*
— п • 4nr2 dr t
и энергию взаимодействия электронов между собой:
со
? J ^ A *) п
Множитель 1/2 учитывает то обстоятельство, что каждый электрон следует
считать один раз. Складывая обе части потенциальной энергии и переходя к без-
безразмерной переменной, получаем:
Интегралы, входящие в выражение для энергии, легко вычислить, поль-
пользуясь уравнением C3.34). Именно:
оо со
потому что г|/(оо) = 0. Второй интеграл преобразуем по частям:
со оо со
С — з/ (*
V
о
0 0
поскольку проинтегрированные выражения равны нулю. Далее,
со со оо
6 о ^
так как -ф @) = 1. Следовательно,
со
О
Подставляя эти значения интегралов в Екш и ?Пот» замечаем, что
?пот = — 2?Кин» так что полная энергия равна —?"кин в согласии с результатом
точной теории, изложенным в упражнении 1 к § 32.
436

Величина \J?'@) равна —1,589. Отсюда получается такая формула для пол-
полной энергии связи всех электронов атома:
?=-0,769 ^Z7/3=:--20,94Z7/* эв.
Например, для урана Е = —8-Ю5 эз, или —1,6 тс2.
Зависимость вида Z?/s легко получить и без вычислений следующим обра-
образом. Кулоновские силы медленно спадают с расстоянием. Поэтому все электроны
взаимодействуют между собой попарно. Имеются Z2 пар. Среднее расстояние
между электронами убывает как Z"~1/s(cm. C3.33)). Это и дает Z?/\ Заметим, что
у ядер энергия связи пропорциональна первой степени числа частиц (в широких
пределах). Это указывает на короткодействующий характер ядерных сил: каж-
каждый нуклон, т. е. протон или нейтрон, взаимодействует не со всеми остальными
нуклонами, а только с «ближайшими».
4) Найти, какие матричные элементы от оператора у» определенного фор-
формулами C3.50) по / и / , т. е. у . ,, отличны от нуля.
2, «/, J у', J J у
Решение. Находим правила перестановки между составляющими пол-
полного момента и вектора у. Например:
) (LzSx-Ljz)-(LzSx-LxSz) (Lx
« — ilySx + itx§y = iyz.
Таким же способом получаются следующие перестановки:
Одноименные составляющие векторов /и у перестановочны. Легко убедиться
в том, что все эти правила перестановки тождественны с правилами перестановки
составляющих орбитального момента частицы М с декартовыми координатами.
Так как Jz перестановочна с у?» видим, что они диагональны в одном и том
же представлении, следовательно, отличны от нуля только матричные элементы
(у ) ,с одинаковыми Jz. Далее, возьмем перестановки между fz и компонен-
тами ух и у у. Вторую из них умножим на zh / и сложим с первой, тогда получится:
Зг(Ух ± *Уу) — (Ух ± *Уу) Jz=±(Vx ± *Уу)-
Обозначим 7±==:(Тл: — ^Уу) и возьмем матричный элемент от перестановки
$гУ±. — y+Jg—— У±' Так как Jz диагонально, будем иметь:
Перенося все члены в левую часть равенства, находим:
Отсюда видно, что матричный элемент (уч.) , отличен от нуля только
Z Z
при Гг ==¦ J'г± 1.
Приведенное вычисление показывает, как надо находить не равные нулю
матричные элементы. Следует образовать перестановку между тем оператором,,
который считается диагональным в данном представлении, и оператором, матрич-
437

ные элементы которого исследуются. Тогда этот матричный элемент можно вы-
вынести за скобку. Выражение, стоящее в скобке, должно равняться нулю, для того
чтобы не был равен нулю сам матричный элемент.
Иногда для этого приходится делать перестановку два раза. Этот случай
мы сейчас разберем. Образуем перестановку:
+ Jy (Jyyz - Ъ Jy) + (J VY* - yZ ?y Vy
По аналогии запишем еще две перестановки:
Теперь найдем вторую перестановку:
[А V*. il] = 2< (J%[J\ U- ,
= iJ2iz - 4/, /г7у - 4/ж /л* ~ 4^ Цг.
При этом надо воспользоваться тем, что все составляющие J перестановочны
с Р. Мы подставили сюда в правую часть выражения для первых перестановок
[«/2, vJ» l^2' Ту]* Используем правило перестановок составляющих момента,
тогда вторая перестановка приведется к виду:
№, V2, ъ]]=
= Фуг~2
Но (Уу5 тождественно равно нулю, так что
IK U*, i]]=2>i+2iA
Таким образом, получилось соотношение между операторами, содержащее
только диагональный оператор J2 и у2:
Образуем теперь от получившегося равенства матричный элемент с индек-
индексами У, </'. При этом вместо Р и f'2 надо писать / (/ + 1) и J' (J' + 1):
Преобразуем коэффициент при {y2)jj*'-
_2У (J +1) J' (J' + \)+J'2 (Jr + 1J —2У (J +1) -
438

Таким образом, приходим к равенству:
У + 2) (/ + /') (У-У-1) (/-/' + 1)=0.
Первый сомножитель не может обращаться в нуль. Второй равен нулю,
только если J = J' = 0. Для мультиплета это никак не может иметь место.
Но, кроме того, условия для (у Л , исключают возможность / = J' = 0.
v — /Jz> Jz
Следовательно, единственно неравный нулю матричный элемент (yz)jj' полу-
получается при J' = J do 1. Но такой матричный элемент относится к двум разным
компонентам мультиплета, так что при усреднении по одной компоненте не дает
вклада в \SZ).
Полученными правилами для (уг). у * мы будем пользоваться в §36.
§ 34. ДВУХАТОМНЫЕ МОЛЕКУЛЫ
Гомеополярная химическая связь. Химиче-
Химическая связь в конечном счете всегда обязана электростатическому
взаимодействию между ядрами и электронами соединяющихся ато-
атомов, но для своего полного объяснения, не только количественного,
но и качественного, требует применения квантовой механики.
Боровские орбиты, с помощью которых как-то объясняли устой-
устойчивость атомов, в применении к молекулам лишены элементарной
механической устойчивости, т. е. не могут связывать атомы друг
с другом.
Имеются два различных типа химических соединений: такие,
при которых электрический заряд частично или полностью перехо-
переходит от одного атома к другому, и такие, при которых атомы остаются
строго нейтральными. Первый тип называется гетерополярным,
второй — гомеополярным.
В § 32 было сказано, что электронной оболочке атома фтора не
хватает одного электрона до полностью застроенной оболочки
неона. Когда фтор соединяется с водородом, электрон водородного
атома присоединяется к фтору, который получает при этом отри-
отрицательный электрический заряд, и притягивает к себе ядро водо-
водородного атома — протон. Соединение таких двух атомов оказывается
достаточно устойчивым и идет с выделением энергии. Для полного
расчета такой системы, разумеется, нужна квантовая механика,
как для всяких атомных расчетов, но по крайней мере с качествен-
качественной точки зрения понятно, почему отрицательно заряженная ча-
частица присоединяет к себе заряженную положительно.
При соединении двух водородных атомов в молекулу водорода
никакого переноса заряда не происходит (опыт показывает, что
молекула водорода не имеет дипольного момента). Следовательно,
для объяснения природы гомеополярной химической связи про-
простая модель двух притягивающихся разноименных зарядов по
меньшей мере недостаточна. Квантовомеханическое объяснение
механизма такой связи дали Гайтлер и Лондон в 1926 г.
В нулевом, исходном приближении теории Гайтлера и Лондона
атомы считаются независимыми. Каждый электрон находится
439

около своего ядра. Обозначим ядра буквами а и 6, а электроны
снабдим индексами 1 и 2. Взаимодействие между атомами в исход-
исходном приближении не учитывается. Волновые функции электронов
соответственно будут 4а (*"i) и г|зь (г2). Но, очевидно, что состояние
системы вырождено, потому что система с такой же энергией полу-
получится, если взять электронные функции t|^(/-2) и ^ (гг). Волновую
функцию нулевого приближения для вырожденного состояния надо
строить по общему правилу теории возмущений (см. C2.20)—¦
C2.23)) такой, чтобы диагонализовать возмущающую часть гамиль-
гамильтониана.
Как и всякий гамильтониан двухэлектронной системы, гамиль-
гамильтониан, описывающий взаимодействие между атомами, симметри-
симметричен относительно перестановки обоих электронов. Следовательно,
если образовать в качестве функций нулевого приближения
^s = fa (гг) f„ (Г2) + % (Г^ Ь (/i) C4.1)
У А = Ч>„ (П) Ць (Га) - % (Га) % (Гг), C4.2)
а оператор возмущающей энергии обозначить, как всегда V12, то
будут отличными от нуля только такие матричные элементы:
(Vl2)ss = I ^%V^S dxx dx2, C4.3)
AdX^X,. C4.4)
Обе волновые функции C4.1) и C4.2) должны быть приведены
в соответствие с принципом Паули. Для этого Ws надо умножить
на антисимметричную спиновую функцию, а ^?А— на симметричную
спиновую функцию. Тогда состояние Ws отвечает результирующему
нулевому спину, а состояние WA — спину, равному единице (§ 33).
Кроме того, обе функции Ws и WA надо еще нормировать, т. е.
разделить на
Ns = (^ I ^s !2 dXl dx2L* и NA = {I \WA |» dxx dx2L:
В дальнейшем вместо векторного аргумента г у волновых функ-
функций можно писать скалярный, так как предполагается, что оба атома
водорода находятся в основном состоянии, обладающем сфериче-
сферической симметрией. Соответственно в аргументы войдут четыре рас-
расстояния: гпх, Гь2> Га2 и гЪх, а ?5 и *РА надо будет записать так:
ф(гв1)], C4.5)
л = (NaI № (Га,) f Ы -q(rbl) * (гая)]. C4.6)
Здесь \|) — одна и та же функция, т. е. функция основного со-
состояния водородного атома. Согласно B9.33) она равна е"\ где I —
расстояние от ядра в атомных единицах. Нормировать ее здесь не
надо, так как все равно потом нормируются функции WA и ?$.
440

Напишем теперь уравнение Шредингера для водородной моле-
молекулы:
Л2 ^^ ^ 2 *
? Pj C4.7)
ri2 rabj
Первые два члена описывают движение ядер молекулы. Они
содержат массу протона в знаменателе и поэтому малы по сравне-
сравнению с членами, описывающими движение электронов. Физически
это значит, что ядра движутся гораздо медленнее электронов, так что
можно находить электронную волновую функцию при фиксиро-
фиксированном расстоянии между ядрами. При этом Е будет явно зависеть
от расстояния между ядрами, которое войдет в левую часть C4.7)
как параметр.
Е (гаЬ) надо рассматривать как потенциальную энергию ядер
при данном расстоянии между ними. Если эта функция имеет ми-
минимум, означающий состояние устойчивого равновесия ядер при
данном квантовом электронном состоянии, то атомы могут соеди-
соединяться в молекулу. В дальнейшем члены, отвечающие кинетиче-
кинетической энергии ядер, мы писать не будем: эти члены должны учиты-
учитываться, когда рассматривается колебательное, вращательное или
переносное движение молекулы, но само положение устойчивого
равновесия, которое определяется электронным состоянием, должно
быть определено без учета — х— Аа и — ~— &ь.
«Возмущающая» часть гамильтониана перенесена во вторую
строку уравнения C4.7), она и была обозначена как У12. Таким
образом, в первом приближении поправки к энергии основного,
невозмущенного состояния атомов получатся, если подставить
волновые функции C4.5) и C4.6) в уравнения C4.3) и C4.4) и вы-
вычислить интегралы от известных функций. Не следует ожидать боль-
большой точности от предлагаемого способа, потому что уравнение
C4.7) после отбрасывания кинетической энергии ядер не содер-
содержит малого параметра, ко в первом, полукачественном приближе-
приближении все же удается охватить основные особенности поставленной
задачи.
Прежде всего следует ожидать, что состоянию Ws соответствует
меньшая энергия, чем состоянию ?д. Действительно, функция WA
обращается в нуль на плоскости, проходящей перпендикулярно
отрезку гаЪ на середине расстояния между ядрами, т. е. на средней
плоскости. Таким образом, у функции WA есть узел. Функция Ws
узлов не имеет, откуда следует, что ей отвечает меньшая энергия.
Интегралы C4.3) и C4.4) разнятся в одном члене
ГаЬ)
C4.8)
441

который подобен обменному интегралу в уравнении, выражающем
энергию по методу самосогласованного поля Фока (см. C3.20)).
Но в данном случае в интеграл входят известные функции, так что
его можно вычислить и построить кривую Е (rab). Величина А
в C4.8) тоже называется обменным интегралом. Соответствующая
ей кривая действительно имеет минимум при некотором значении
rQaby причем глубина потенциальной ямы настолько отвечает энер-
энергии связи водородной молекулы, насколько этого можно ожидать
в данном приближении. При желании согласие с опытными данными
можно улучшить с помощью некоторых вычислительных приемов.
Кривая с минимумом отвечает только симметричной простран-
пространственной волновой функции или антисимметричной спиновой функ-
функции. Получается, как и в атоме, эффективная энергия взаимодей-
взаимодействия между спинами, которую можно представить с помощью опе-
оператора (ст^).
Основная черта химических, валентных сил — их способность
к насыщению. Третий атом водорода не присоединяется к молекуле
из двух атомов. Как раз это и следует из теории Гайтлера и Лон-
Лондона: спин электрона в третьем атоме обязательно параллелен
спину одного из двух атомов молекулы, так что лишний атом не
сможет присоединиться к ней. Схема взаимно насыщающихся спи-
спинов применима к очень большому классу соединений, особенно
органических.
Но возможен и другой подход к проблеме валентности, в неко-
некоторых случаях совершенно необходимый. Начнем опять с водород-
водородной молекулы, но теперь не с разъединенных атомов, а с атомов,
сближенных до того, что их ядра сливаются в одно. Очевидно, что
по своему электростатическому действию на электроны такое ядро
эквивалентно ядру гелия, а электроны атомов образуют весьма
устойчивую оболочку, как у гелия. Если не заставлять ядра нахо-
находиться в одной точке, они под действием сил кулоновского оттал-
отталкивания разойдутся на некоторое расстояние, а электронная обо-
оболочка растянется. При некотором расстоянии между ядрами сила,
возникающая при деформации оболочки, уравновесит отталкивание
ядер; при этом образуется устойчивая конфигурация молекулы.
Здесь тоже ясно, что третий атом водорода присоединиться не мо-
может: его электрону нет места в гелиевой оболочке.
Рассмотрим теперь молекулу кислорода. Каждый атом кисло-
кислорода имеет по четыре электрона в 2/?-оболочке и спин, равный 1.
Молекула кислорода, как известно из опытных данных, тоже об-
обладает спином, равным единице. Следовательно, здесь не происхо-
происходит полного насыщения спинов. Это можно объяснить, рассматривая
общую оболочку двух кислородных атомов, соединившихся в мо-
молекулу. Если считать, что в ней шесть мест, как в исходных 2р-обо-
лочках атомов кислорода, то при соединении лишние два электрона
перейдут в другое состояние. По правилу Хунда их спины будут
параллельны, что и объясняет величину спина у молекулы кисло-
кислорода.
442

Электронные состояния двухатомных мо-
молекул. Рассмотрим электронные термы двухатомной молекулы.
Поле в двухатомной молекуле обладает осевой, а не сферической
симметрией, как поле в атоме. Поэтому полный орбитальный мо-
момент электронов не является интегралом движения. Сохраняется
только его проекция на линию, соединяющую ядра. Как проекция
всякого орбитального момента, она принимает целочисленные
значения Л = 0, 1, 2, ... .
Соответственно этому термы обозначаются как 2, П, А, ... .
Большие греческие буквы применяются для того, чтобы не смеши-
смешивать молекулярные состояния с атомными, для которых приняты
латинские буквы. В обозначении учитывается только абсолютная
величина проекции.
Гамильтониан электронов в двухатомной молекуле симметричен
относительно зеркального отражения в плоскости, проходящей
через ядра. Если координату на оси, перпендикулярной этой плос-
плоскости, обозначить буквой ?, то замена ? на —| оставляет гамильто-
гамильтониан неизменным. Легко видеть, что одновременно меняется знак
проекции момента на эту ось. Действительно, пусть rj — коорди-
координата, лежащая в плоскости и перпендикулярная линии, соединяю-
соединяющей ядра. Тогда проекция момента на ось, соединяющую ядра:
Mi — 1рц—т]/?|. При отражении в плоскости g и р% меняют знаки,
а ц и рц нет, так что М% меняет знак. Для этого нужно, чтобы про-
проекция на ось не равнялась нулю.
Следовательно, состояния с ЛФ О, т. е. П, Д, ... , двукратно
вырождены: при одной и той же энергии проекция момента на ось
может иметь два знака.
Иначе обстоит дело с 2-состояниями. При зеркальном отражении
в плоскости функция такого состояния может только умножиться
на некоторое число С, потому что она единственная. При повторном
отражении'она снова умножится на то же число, т. е. уже на С2.
Но в то же время она должна вернуться к первоначальному значе-
значению. Следовательно, С2 = 1, С = ±1.
Иначе говоря, имеются два разных 2-состояния. В одном из
них волновая функция меняет знак при отражении в плоскости,
проходящей через ядра, в другом не меняет. Первое из этих состоя-
состояний называется положительным и обозначается 2+, второе — от-
отрицательным и пишется как 2~.
Это два совершенно различных электронных состояния моле-
молекулы, энергия которых отвечает совсем разным потенциальным кри-
кривым ?+ (rab), Е" (rab). Кривые получаются при различных исходных
состояниях атомов, соединяющихся в молекулу.
Электроны в молекуле могут обладать результирующим спином 5.
Если число их нечетно, то S равно по крайней мере 1/2. Если спин-
орбитальное взаимодействие невелико, то спин свободно ориенти-
ориентируется относительно орбитального момента и создает при данном Л
25 + 1-кратное вырождение (напомним, что спин и орбитальный
момент — оба псевдовекторы, так что задавая Л, мы получаем
443

2S -f- 1 проекцию S). Число 25 + 1 пишется, как и у атомных
термов, в левом верхнем углу при Л : 25+1Л.
Если молекула состоит из двух одинаковых атомов, то электрон-
электронная волновая функция обладает дополнительной симметрией от-
относительно средней плоскости, проходящей между ядрами перпен-
перпендикулярно линии, соединяющей их. Отражение в этой плоскости
не меняет знака Л4§, поэтому здесь при всех Л могут быть два со-
состояния — четные или нечетные, — которые в обозначении терма
пишутся не так, как у атомов, а в правом нижнем углу: Л^, Аи.
У очень многих молекул основное состояние есть Х2+, а если они
построены из одинаковых атомов, то и 1EJ. To, что S равно нулю,
объясняется взаимным насыщением спинов у гомеополярных мо-
молекул. У гетерополярных молекул может образовываться полностью
застроенная оболочка у одного из атомов, как мы видели на при-
примере HF. Здесь спин тоже равен нулю. Состояние 2 не имеет вы-
вырождения в отличие от П, А, ..., поэтому 21 предпочтительнее для
основного состояния. Наконец, четные и положительные состояния
в отличие от нечетных и отрицательных не обязаны иметь узловые
поверхности на плоскостях симметрии, поэтому состояния с наи-
наименьшей энергией — это, как правило, четные и положительные.
Но есть исключение из перечисленных правил: основное состоя-
состояние молекулы кислорода 32g. Приемлемое объяснение того, по-^
чему у молекулы кислорода спин равен единице, уже приводилось.
Покажем теперь, как можно обосновать отрицательность терма.
Если спины имеют одинаковые проекции, то пространственные со-
состояния электронов должны быть различными. В исходных атомах
это были р-состояния, которые имеют волновые функции F71, Y\
и Y\, Но в данном случае надо выбрать Y\l и FJ-фуккции, чтобы
получить результирующую проекцию момента на ось симметрии,
равную нулю при антисимметричной пространственной функции.
Так как результирующий спин равен 1, спиновая функция обоих
электронов симметрична относительно их перестановки (§ 33).
Поэтому орбитальная функция должна быть антисимметрична.
Если строить ее из функций электронов в атомах, она будет иметь
такой вид:
Y\ (вь <Pi) *V @а. Фа) ~ Y\ (К ф2) YT1 (Фь <Pi) =
= sin^isin<»a(^^-<P«>— e-'to*-^). C4.9)
При отражении в плоскости, проходящей через ядра, угол <р =
= arctg— меняет знак вместе с ?. Следовательно, функция C4.9)
тоже меняет знак благодаря сомножителю, заключенному в скобку.
Это и объясняет, почему основное состояние обязано быть 2~«
Разумеется, сферические функции не являются точными реше-
решениями для состояний электронов в молекуле, но такой признак
волновой функции, как число или расположение узловых поверх-
поверхностей относительно плоскостей симметрии, не зависит от детальной
формы силового поля.
444

Вращение ядер. Рассмотрим теперь движение молекулы
как целого, ограничиваясь синглетным состоянием * (S = 0).
Исходное приближение в теории молекул состоит в том, что
рассматривается движение электронов при фиксированном поло-
положении ядер. Это позволяет определить энергию электронного терма
как функцию расстояния между ядрами Е (гаЬ). Для краткости
будем писать просто г, а Е заменим на ?/, так как эта функция за-
заменяет потенциальную энергию при движении ядер.
В следующем приближении определяются состояния движения
ядер при данной функции U (г). Иначе говоря, рассматривается их
состояние, усредненное по движению электронов.
Опишем движение в системе центра инерции ядер. Как известно
из § 3, задача о движении двух тел приводится к задаче о движении
одного тела с массой, равной приведенной массе обоих тел т'.
Так как потенциальная энергия ядер зависит только от расстояния
между ними, гамильтониан ядер удобно выразить в полярных коор-
координатах:
4
В этой формуле М2 — не интеграл движения, так как ядра
молекулы не образуют по-настоящему замкнутой системы — они
взаимодействуют с электронами. Какова бы ни была молекула,
ее полный момент К — интеграл движения, как у всякой замкну-
замкнутой системы. Он слагается из полного момента электронов L и пол-
полного момента ядер М ¦
Поэтому подставим вместо М2 в формулу C4.10) разность пол-
полного и электронного моментов молекулы:
M2 = (k-LJ, C4.11)
после чего усредним этот оператор по движению электронов.
Рассмотрим средние от разных слагаемых в формуле C4.11):
<m2> = <a:2>+<l2>-2<a:l>. C4.12)
К2 есть точный интеграл движения, равный К (К + 1), его усред-
усреднять не нужно; (L2) не зависит от движения ядер. Остается третий
член, зависящий от К и от L. Диагональна только проекция L на
ось молекулы ?, равная Л.
Операторы проекций на другие оси не имеют диагональных
элементов (см. C0.18)). Следовательно, отлично от нуля только
среднее значение проекции на ось ?, т. е. интеграл движения Л.
Остается найти среднее значение ((К L)) = (K '(?,)).
* Атомные и молекулярные мультиплеты называются так: синглет, дублет,
триплет, квадруплет (или квартет) и дальше, как в музыке — квинтет, секстет,
септет и т, д,
445

Оператор орбитального момента определяется так:
где г — вектор относительного положения ядер, направленный по
определению по оси молекулы, р — импульс относительного дви-
движения ядер. Таким образом,
тождественно, или
г(К-1) = 0 и (rK) = (rL), C4.13)
так что проекция полного момента равна проекции электронного
момента на ту же ось, т. е. равна Л. Максимальная проекция К
на произвольную неподвижную ось в пространстве будет, таким
образом, принимать значения, начиная с Л : Л, Л + 1, Л + 2, ....
Меньше Л эта наибольшая проекция К на произвольную ось не
может быть.
Итак, среднее значение скалярного произведения
{Kn)A=:A\ где п = ~ . C4.14)
Как и (L2), оно не зависит от движения ядер.
Отсюда находим гамильтониан ядер, усредненный по движению
электронов:
- ?, + V И + »«%-™> + Л!??2-. C4.15,
Здесь удобно включить член, зависящий от (L2) и Л2, в потен-
потенциальную энергию аналогично тому, как при движении в централь-
центральном поле центробежная энергия включается в Uм-
В знаменатель последнего члена обычно подставляется равно-
равновесное расстояние между ядрами, которое принято обозначать ге.
Тогда т'г\ представляет собой момент инерции молекулы относи-
относительно ее центра инерции. Очевидно, что у системы из двух мате-
материальных точек отличны от нуля только две, притом равные компо-
компоненты тензора инерции относительно главных осей, построенных
в центре инерции. Момент инерции вокруг оси симметрии равен
нулю.
Уровни энергии молекулы. Вблизи минимума
потенциальной энергии система способна совершать малые коле-
колебания. Частоту колебаний в двухатомной молекуле принято обо-
обозначать как сое, а соответствующее колебательное квантовое число v.
Энергию двухатомной молекулы можно представить в виде суммы
трех слагаемых:
?_Bu + K(. + ^) + ^g±^. C4.16,
Здесь Еэл — значение энергии, соответствующее минимуму по-
потенциальной кривой (включая центробежный член), а второе ела-
446

гаемое — колебательная энергия (ср. B8.51)). (Дальше будет разъ-
разъяснено, что формула C4.16) относится только к синглетным состоя-
состояниям молекул.)
Сравним порядок величины всех трех слагаемых энергии в C4.16).
Первое не зависит от массы ядер и определяется только электрон-
электронным движением. Расстояние между электронными энергетическими
состояниями порядка одного или нескольких электронвольт.
Частота малых колебаний во втором слагаемом содержит ко-
корень квадратный из массы колеблющихся частиц в знаменателе (ср.
G.12), где а пропорционально массе). Таким образом, колебатель-
колебательная энергия молекулы меньше электронной в несколько десятков
или сот раз. У молекулы водорода, имеющей наименьшую приве-
приведенную массу, колебательный квант hme около 0,5 эв, у других
двухатомных молекул, не содержащих водорода, /icoe ~ 0,1—
0,2 эв.
Третий член в C4.16), обязанный вращению молекулы как це-
целого, содержит в знаменателе массу ядер. Расстояние между уров-
уровнями энергии в этом случае соответственно еще меньше и сопоста-
сопоставимо с расстоянием между уровнями тонкой структуры, обусловлен-
обусловленными магнитным взаимодействием электронов. При таких условиях
энергию магнитного взаимодействия нельзя считать малой по срав-
сравнению с вращательной энергией молекулы и требуется особое рас-
рассмотрение несинглетных состояний. Но этот вопрос мы затрагивать
не будем.
Рассмотрим теперь четность состояния молекулы как целого
относительно инверсии координат всех ее частиц, т. е. электронов
и ядер. Инверсия отвечает переходу от правовинтовой системы коор-
координат к левовинтовой. При этом волновая функция может либо
оставаться без изменений, либо менять знак.
Поведение 2± при этом связано с полным моментом вращения К-
Заметим прежде всего, что инверсия совершается одновременно
в неподвижной и в собственной системах отсчета. В собственной си-
системе 2+-термы остаются без изменений, а 2~-термы меняют знак.
Кроме того, вращение молекулы как целого определяется волновой
функцией, четность которой зависит от четности К (см. § 29). Поэ-
Поэтому четность 2+-терма есть (—1)*, а 2~ есть (—1)/с+1.
Влияние спинов ядер. Вращательные состояния мо-
молекулы зависят от спинов ядер, если ядра одинаковы. Спины ядер
обусловливают дополнительную симметрию гамильтониана, свя-
связанную с перестановкой ядер. В зависимости от спина каждого из
одинаковых ядер их волновая функция должна либо менять знак
при полной перестановке всех переменных (пространственных и
спиновых), либо оставаться неизменной. Первое отвечает ядрам
с полуцелым спином, подчиняющимся запрету Паули, второе —
ядрам с целым или нулевым спином. При этом несущественно, что
ядра — не элементарные частицы. Поскольку они движутся обо-
обособленно, применимость запрета Паули определяется только их
результирующим спином.
447

Четность вращательной волновой функции молекулы в 2-со-
2-состоянии относительно отражения в средней плоскости, проходящей
между ядрами, зависит только от /С. Действительно, такая замена
означает, что вместо полярного угла Ф берется я — Ф, так что cos О
заменяется на —cos Ф. Функция Y% есть /С-тый полином Лежандра,
четность которого равна (—1)^. Проекция К на ось симметрии в 2-со-
стоянии равна нулю (Ks = Л), а этому состоянию и отвечает волновая
функция Y{k = Рк (cos Ф). Итак, при четном К координатная вол-
волновая функция ядер четная, при нечетном К — нечетная.
Четность спиновой волновой функции тождественных ядер в 2-со-
2-состоянии молекулы противоположна четности К, если спин ядер
полуцелый, и совпадает с четностью /С, если спин ядер целый.
Сначала рассмотрим случай, когда спин каждого ядра равен
1/2t как у водорода. Тогда действует запрет Паули. Симметричная
спиновая функция отвечает спину 1 (ортоводород), антисиммет-
антисимметричная спиновая функция — спину 0 (параводород). Но спин 1
имеет три проекции 1, 0, —1, так что молекулы ортоводорода на-
находятся в троекратно вырожденном по спину состоянии, а моле-
молекулы параводорода — в невырожденном.
В формулах для числа состояний молекулы типа B8.25) надо
молекулам ортоводорода приписывать множитель 3, а молекулам
параводорода — множитель 1. Кроме того, те и другие получают
множитель 2/С + 1, по числу проекций момента К.
Если взять не водород, а дейтерий, положение меняется. У ядер
дейтерия спин равен 1, и они не подчиняются принципу Паули.
Их волновая функция симметрична относительно перестановки
пространственных и спиновых переменных. Четность простран-
пространственной функции определяется четностью /С, а четность спиновой
функции находится так: состояния с полным спином 0 и 2 четные,
а состояние с полным спином 1 нечетное (см. упражнение 1). Эти
состояния тоже называются орто- и парасостояниями соответственно.
Но в отличие от водорода дейтерий находится в ортосостоянии при
четных /Сив парасостояниях — при нечетных К.
Молекулы с одинаковыми ядрами, не имеющими спина, могут
быть только в четных вращательных состояниях, потому что у них
вся четность волновой функции относительно перестановок целиком
определяется четностью /О Повторяем, что приведенное рассужде-
рассуждение относится лишь к 2-состояниям ядер.
Магнитная энергия взаимодействия спинов ядер с их вращением
весьма невелика: она содержит с2 и массу тяжелой частицы в знаме-
знаменателе. Но благодаря требованиям симметрии волновой функции
спиновое состояние ядер сильно влияет на движение молекулы.
Формула для вращательных уровней двухатомных молекул по
виду зависимости энергии от К может применяться и к несфериче-
несферическим ядрам. Причина появления таких ядер следующая. Мы ви-
видели, что в заполнении ядерных оболочек участвуют нуклоны с боль-
большими моментами, волновая функция которых весьма далека от
сферической симметрии. Если такой отдельный нуклон движется
448

в поле симметричного остова, он благодаря асимметрии собствен-
собственного состояния, деформирует и остов, который вытягивается и
приобретает осевую симметрию вместо сферической. Вращательные
уровни ядер отвечают низким (по ядерным масштабам) энергиям
возбуждения и распознаются по тому, что следуют правилу интер-
интервалов:
EK-EK.i=h~K, C4.17)
где / — момент инерции ядра.
УПРАЖНЕНИЕ
Построить волновые функции орто- и парасостояний молекулы дейтерия
в электронном состоянии г*2? .
Ответ,
а) Ортосостояния
Проекция спина 0:
У A, Sl) Y (- 1, s2) +? A, s2) ? (- 1, 5Х); *F @, sj 4 @, s2).
Проекция спина ±z 1:
? (- 1, Sl) ? @, s2) + У (- 1, s2) ? @, Sl).
Проекция спина =fc 2:
sJYO, s2); Y(-l, s,)Y(-lf st).
б) Парасостояния
Проекция спина 0:
Проекция спина zb 1:
§ 35. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ
Понятие эффективного поперечника рассеяния частиц, опре-
определенное с помощью терминов классической механики в § 6, непо-
непосредственно переносится в квантовую механику. Действительно,
дифференциальный эффективный поперечник рассеяния в данный
элемент телесного угла равен отношению числа рассеянных частиц,
летящих в этом элементе угла, к плотности потока падающих ча-
частиц. Так как поток и плотность потока могут быть определены кван-
товомеханическим способом, эффективное сечение в квантовой тео-
теории имеет тот же смысл, что и в классической теории.
Мы рассмотрим сначала приближенный способ определения
эффективного поперечника рассеяния частиц, а затем перейдем
к более точным методам.
16 Компанеец А. С. 449

Борновское приближение. Определим условия,
при которых рассеивающее поле может рассматриваться как слабое
возмущение, действующее на частицу.
Пусть энергия частицы на достаточно далеком расстоянии от
рассеивателя равна Е, а потенциальная энергия имеет порядок
величины U. Ее можно считать, например, глубиной потенциальной
ямы, представляющей рассеиватель. Начнем с такого случая, когда
Е ^> U. Тогда изменение волнового вектора частицы в поле имеет
порядок величины
У —h У ~h—У 2ёт-
Если размеры области, в которой действует поле («ширина
потенциальной ямы»), порядкам, то полное изменение фазы волновой
функции в рассеивающем поле оценивается как
1 Г т U а
Ua
hv '
где v — скорость частицы на далеком расстоянии от рассеивателя*
Полученное отношение должно быть гораздо меньше единицы,
чтобы считать возмущение, произведенное полем, слабым.
В обратном случае (когда | U | ^> Е) волновое число «в яме»
(точнее, «над ямой», потому что Е > 0, движение частицы инфи*
нитно) равно "I/ —^r—'.
Критерием малости изменения фазы является а 1/ ¦ m h ' <J 1
(в это соотношение вообще не входит энергия частицы). Сравнивая
с результатом § 28, относящимся к яме конечной глубины, видим,
что полученное условие почти совпадает с условием отсутствия
в яме связанных уровней, но содержит сильное неравенство вместо
простого. Яма только тогда может рассматриваться как слабое
возмущение исходного движения частицы, когда произведение
аУ\ U | во много раз меньше той величины, при которой возможно
появление связанного уровня.
Если рассеивает не потенциальная яма, а потенциальный горб,
т. е. на частицы действуют силы отталкивания, критерий слабости
возмущения остается тем же, но он не имеет отношения к связанности
уровней.
Когда необходимые критерии малости возмущения выполнены,
можно применить к задаче о рассеянии частиц общие методы § 32,
а именно формулу C2.42). Будем считать, что рассеяние упругое,
т. е. в акте рассеяния состояние рассеивателя не изменяется. Тогда
энергия рассеивающейся частицы до рассеяния такая же, как после
него, а меняется только направление ее импульса.
Считая возмущение слабым, можно взять волновые функции
падающей и рассеянной частицы в виде плоских волн. Это соответ-
соответствует приближению Борна. Пусть импульс частицы до столкнове-
450

ния был равен р, после столкновения —р*9 причем, как только что
указывалось, р = р'. Оба импульса определены в системе центра
инерции сталкивающихся частиц, при этом задача двух тел приве-
приведена, как всегда, к задаче одного тела.
В выражение C2.42) входит функция g (?")> т. е. число состоя-
состояний, приходящееся на единичный интервал энергий. Чтобы восполь-
воспользоваться формулой B8.25) для g (?"), надо нормировать волновые
функции свободных частиц на тот же объем V, который входит
в g (?"). Из окончательного результата он, конечно, выпадет»
Нормируя волновые функции на б-функцию, т. е. на б (р—/?'),
мы в конце концов получили бы то же самое, но пришлось бы из-
изменить формулу B8.25).
Итак, волновые функции начального и конечного состояний
такие:
^ДГ ^^. C5-1)
СП
Функция г|э (р) отвечает плотности потока -^, что непосредственно
видно из B3.19):
_lpr ipr^ ipr — ipr
Согласно C5.1) матричный элемент, относящийся к переходу,
равен:
1 /•
Upfp = y\e h U(r)dV. C5.3)
Чтобы найти вероятность перехода, надо подставить этот мат-
матричный элемент в C2.42), умножить на -г- и на число конечных со-
состояний g (?' = ?). Так как нас интересует вероятность попадания
частицы в элемент телесного угла dQ, формулу B8.25) надо умно-
умножить еще на ^-. Поэтому
Дифференциальный эффективный поперечник рассеяния равен
вероятности рассеяния частиц в единицу времени в элемент телес-
телесного угла, деленной на плотность потока падающих частиц, т. е,
на ^- = -у 1/ —. Поэтому
Нр-р')г
е h U {r) dV
t/
15*
2
m2
4л2Д
idQ.
C5.5)
451

Входящий сюда матричный элемент относится теперь к норми-
нормировке волновых функций на единичный объем V = 1. Вводя волно-
волноу
вые векторы ft = ^ft' = —, запишем:
ma
C5.6)
Выражение C5.5) упрощается, когда рассеивающее поле цент-
центральное, т. е. зависит только от г. Тогда в Uvk можно выполнить
интегрирование по углам, так что останется только интегрирование
по радиусу. В определении полярного угла д выберем направление
вектора ft—ft' в качестве полярной оси. После этого матричный
элемент приведется к такому виду:
Uh.u = $**(*-*')г и (г) dV = 2л $ r*drU (r) ^
о о
C5.8)
Ввиду того что sind d$ = —d cos'O1, интегрирование по Ф выпол-
выполняется сразу, и мы получаем:
I/*.* = 2я | r^r t/ (r)
5rf; (r) sin (IЛ " &'lr) dr-
Как уже указывалось, k = &'; поэтому разность векторов легко
выразить через угол отклонения частицы 8:
| А? — Л' j2 = 2/г2 — 2 (ЛЛ') = 2^2 A — cos 6) = 4^2 sin2 -|- э C5.10)
в чем легко убедиться и из геометрического построения.
Итак,
со
Vh.h = -^~ \ гU (r) sin [ikr sin у) dr. C5.11)
k sin у о
Для примера возьмем томас-фермиевский потенциал C3.31),
тогда
Подставляя в C5.11), получим:
оо
и*** = — -?^L С ^ (jc) Sin hkr sin ~) dr. C5.12)
k sin ^ j/ ^ y
452

Этот интеграл можно найти численно для разных значений
безразмерного отношения
(ЗяJ/э , №_
откуда получится после подстановки в общую формулу C5.7) диф-
дифференциальный эффективный поперечник рассеяния быстрой за-
заряженной частицы на атоме.
Рассмотрим предельный случай малых углов рассеяния, при
которых sin ^ заменяется на у. Тогда C5.12) приведется к виду:
. (*) dx. C5.13)
Функция *ф (а:) убывает при х ~> оо приблизительно, как л:,
так что интеграл, входящий в C5.13), сходящийся. Это значит,
что дифференциальный эффективный поперечник рассеяния на малые
da
углы, отнесенный к единице телесного угла, т. е. -т^, стремится
к конечному пределу. Как видно из C5.11), в общем случае для
этого необходимо, чтобы сходился интеграл
\ r*U (r) dr< оо. C5.14)
о
Тогда -т^ стремится к конечному пределу при сколь угодно малых
углах отклонения.
Таким образом, зависимость эффективного поперечника рассея-
рассеяния частиц от расстояния до рассеивателя в квантовой механике
иная, чем в классической механике. В § 6 было показано, что если
сила на бесконечно большом расстоянии не обращается в нуль тож-
тождественно, а не просто стремится к нулю, то каждая частица,
как бы далеко от рассеивателя она ни пролетала, немного откло-
отклонится. Вследствие этого классическое выражение дифференциаль-
дифференциального эффективного поперечника рассеяния на малый угол стремится
к бесконечности, если сила взаимодействия частицы с рассеивателем
не обращается в нуль на некотором конечном расстоянии г0 от рас-
рассеивателя и дальше остается равной нулю.
Это различие между классической и квантовой теориями объяс-
объясняется на основе принципа неопределенности. Частица, пролетев-
пролетевшая на расстоянии г от рассеивателя, имеет неопределенность им-
импульса Др^-1—. Если сила взаимодействия достаточно быстро
убывает с расстоянием, то изменение ее импульса при большом
прицельном расстоянии г может оказаться меньше, чем Ар. Усло-
Условие этого определяется интегралом C5.14): когда он сходится,
неопределенность импульса Др, связанная с дифракцией волны,
больше, чем отклонение, происходящее в результате взаимодействия
453

частицы с рассеивателем. Но благодаря дифракции интегралы при-
принимают конечное значение.
Допустим, что выполнено второе из условий применимости бор-
новского приближения, относящееся к медленным частицам. Тогда
&г<;1, так как при малых энергиях мало и волновое число.
Заменим в выражении C5.11) sinBfcr sin у) на 2fersiny. Оказы-
Оказывается, что, если выполнено условие C5.14), угол рассеяния 8
вообще выпадает из выражения для эффективного поперечника
рассеяния частиц. Рассеяние становится изотропным. В каждый
элемент телесного угла попадает одно и то же число частиц.
Заметим, что условие C5.14) достаточно для того, чтобы полный
эффективный поперечник рассеяния был конечным, т. е. о =
= ^do < оо, но не необходимо. Даже тогда, когда дифференциаль-
дифференциальный эффективный поперечник рассеяния частиц на малые углы
обращается в бесконечность, но не по очень сильному закону, пол-
полный эффективный поперечник может остаться конечным.
Рассмотрим теперь случай рассеяния частиц в чисто кулоновом
поле. Тогда U = ± —. Матричный элемент, входящий в общее
выражение C5,5), был вычислен для кулонова поля в § 26 (см.
B6.37)), но мы найдем его непосредственно из C5.9), определяя
со
jj sinxdx как
a~oJ
CO
е—ах $i\\xdx \\m
а_Гоа2+]
и
Тогда
h
и, наконец,
оо
-. C5.15)
Подставляя это соотношение в C5.7), находим окончательное
выражение для дифференциального эффективного поперечника
рассеяния:
do= —, C5.16)
4m2 и4 sin 4 -у
где использовано то, что р = hk = mv. Этот результат любопытным
образом совпадает с точной классической формулой Резерфорда
F.21).
Оказывается, что формула C5.16) получается и при точном ре-
решении волнового уравнения для случая кулонова поля в задача
454

о рассеянии. Таким образом, формула Резерфорда переносится в
квантовую механику без изменений.
Борновское приближение в теории рассеяния кулоновым по-
полем можно рассматривать как первый неисчезающий член разло-
разложения точной формулы по степеням Ze2. Но так как сама точная
формула не содержит степени выше (Ze2J, результат борновского
приближения и совпал с точным.
Оценим теперь пределы применимости рассматриваемого метода
к кулонову полю. Для этого воспользуемся первым критерием, от-
относящимся к движению частиц с большими скоростями. Ввиду того
что произведение Ua в этом случае равно Ze2, приходим к следую-
следующему условию:
Величина ~ равна 1/137- Поэтому запишем C5.17) так;
тт<1- <35Л8>
У тяжелых элементов, имеющих Z ~ 90, условие C5.18) вообще
не выполняется. На самом же деле формула Резерфорда применима
к нерелятивистским частицам и в этом случае, потому что эта фор-
формула точная.
Формула C5.16) справедлива для рассеяния релятивистских
частиц на малые углы, если заменить в ней т на т а. Усло-
Условие C5.18) при этом не является необходимым, потому что малые
углы рассеяния отвечают большим прицельным расстояниям,
на которых кулоново поле представляет собой малое возмущение.
Общая теория рассеяния частиц в цент-
центральном поле. Рассмотрим теперь задачу о рассеянии ча-
частиц в точной постановке. При этом надо решить уравнение Шре-
дингера для движения частицы в центральном поле. Но в отличие
от § 29, где определялись собственные функции оператора энергии,
здесь надо искать решения, отвечающие совсем иным граничным
условиям. А именно: волновая функция в бесконечности должна со-
состоять из функции, соответствующей падающей плоской волне,
которая описывает налетающие частицы, и функции, отвечающей
сферической расходящейся волне, описывающей рассеянные ча-
частицы. Та и другая функции комплексны, так что надо применять
методы разложения, несколько отличные от общих методов разло-
разложения волновых функций по собственным функциям операторов
(§ 25).
Всякая волновая функция частицы в центральном поле удов-
удовлетворяет уравнению Шредингера:
455

Здесь Ф означает волновую функцию, деленную на г (ср. B9.14)),
энергия Е положительна, так как движение инфинитно.
Решение Ф представим в виде разложения по собственным функ-
циям квадрата момента. В качестве полярной оси выберем напра-
направление импульса падающих частиц. Воспользуемся также тем, что
рассеяние симметрично по азимуту. Если частицы не имеют спина
или их спиновое состояние является смесью состояний с противо-
противоположно направленными спинами в равном отношении (см. § 27),
то всегда есть азимутальная симметрия рассеяния, кроме того,
такая симметрия будет всегда, если не играет роли спин-орбиталь-
спин-орбитальная связь.
Собственные функции момента с азимутальной симметрией суть
Y? = Pi (cos 6) (см. § 29). Поэтому общее решение уравнения
C5.19) нужного для нас вида есть
* = Т в Т 2 Rl ^ Pl (cos fl)' C5-2°J
где Rt (г) удовлетворяет уравнению:
На больших расстояниях от рассеивателя центробежная и по-
потенциальная энергии стремятся к нулю, так что асимптотическая
форма C5.21) такая:
Общее решение этого уравнения равно:
Rt = At sin (kr + 6i-~). C5.23)
Здесь k= hm . Так как решение C5.23) асимптотическое, оно
не обязано обращаться в нуль при г = 0. Слагаемое — -^вводится
для того, чтобы это решение переходило в точное, когда частица
движется свободно, т. е. при U = 0 (как это происходит, будет
показано ниже в этом параграфе). Величина 6Z показывает, на
сколько фаза частицы, движущейся в поле рассеивателя, отли-
отличается от фазы свободной частицы.
Чтобы вычислить 6/ в явном виде, надо найти решение точного
уравнения C5.21), которое в начале координат обращается в нуль,
как rl+1 (см. B9. 45)), и продолжить его до области, где становится
справедливым асимптотическое решение C5.23). Будем считать б/
известной величиной, но сначала выясним условие ее существования.
На больших расстояниях от рассеивателя потенциальная и
центробежная энергии близки к нулю, а частица почти свободна»
456

При этом ее движение квазиклассично. Но в таком приближении
решение C5.21) выглядит следующим образом:
(г0 — точка поворота, где подкоренное выражение равно нулю
(ср. C1.40)), тогда как у свободной частицы, т. е. при U (г) = 0,
решение есть
Отсюда ясно, что в квазиклассическом приближении разность
фаз волновых функций свободной и связанной частиц равна:
C5.24)
Если она стремится к постоянному значению, когда г -> оо,
то фаза существует не только в квазиклассическом приближении,
а всегда, потому что определяющей является область больших г.
Разлагая подынтегральное выражение в C5.24) в ряд по U (г),
видим, что б/ конечна, если сходится интеграл
/ОС О?Л
со
что в свою очередь зависит от сходимости интеграла § dr U (г) при
Го
больших г. Если зависимость U (г) степенная, то для сходимости
г
интеграла ^ U (r) dr достаточно, чтобы показатель степени в фор-
муле U (г) = -р; был больше единицы. Таким образом, конечных
фаз не существует для кулонова поля, но для него, как было пока-
показано, возможно точное решение задачи о рассеянии.
Допуская существование 8h найдем коэффициенты при асимпто-
асимптотических волновых функциях Л/. Заметим, что решение C5.23)
содержит в себе и падающую, и рассеянную волны: это общее ре-
решение. Нетрудно определить асимптотический вид падающей волны:
достаточно далеко от рассеивателя она плоская. Так как мы при-
приняли, что частицы падают вдоль полярной оси, их волновую функ-
функцию для больших расстояний, от рассеивателя надо записать как
457

eikz. Такая функция нормирована на единицу в единичном объеме
(ср. C5.1)), поэтому плотность потока падающих частиц изобража-
изображается в данном случае просто как v.
Разность i|)—eikz есть, таким образом, асимптотическое выраже-
выражение рассеянной волны, если вместо г|э подставлено его значение
для больших расстояний от рассеивателя. Но на бесконечном рас-
расстоянии рассеянная волна не должна содержать частиц, движущихся
по направлению к рассеивателю. Иначе говоря, функция \|з—elkz
должна содержать на бесконечности только расходящиеся волны
eikr
типа —. (Заметим, что вместе с временной зависимостью волна
1 ^+
включает зависимость—*e h ,показывающую, что движение
идет в сторону возрастающих г.)
Функция C5.23) содержит и сходящуюся, и расходящуюся
волны. Если разложить elkz по полиномам Лежандра, то коэффи-
коэффициенты разложения, зависящие от г, тоже будут отвечать обеим
волнам. Надо так подобрать постоянные коэффициенты Ah чтобы
разность я|з—etkz содержала только расходящуюся волну.
Разложим etkz = eikr cosB по полиномам Лежандра, считая г
весьма большим, — нас интересует только асимптотический вид
функций от г. Пусть
eikr cos 9 = |i R*. (r) Pl, (cos 9)# C5.26)
Умножим обе части C5.26) на Pt (cos ft) и проинтегрируем по
sin 0d6 . Справа получится согласно B9.10):
^
/'
2$
/' 0 /'
C5.27)
Слева проинтегрируем один раз по частям:
п 1
_ ? etkrcosb рг (cos e) d cos 9 = \ eikr^ Pi (
0 ^
Проинтегрированное выражение имеет в знаменателе г, следую-
следующий член, если проинтегрировать его еще один раз, дает в знаме-
знаменателе г2 и т. д., до /-той производной от полинома Pi (?), которая
равна постоянному числу. Но надо удержать только член, пропор-
пропорциональный—, существенный для асимптотического решения. Под-
Подставим в него пределы и воспользуемся тем, что Pt A) = 1, Pt(—1) =
= (—\I (см, упражнение 1 к § 29),
458

Сравнивая интегралы от левой и правой частей равенства C5.26),
умноженного на Pt (cos 6), получим:
R. {r} _ Ц15,« Л © « "'''"
?()г C5.28,
i. , i_
нили (—l)z на еш =е 2 -е 2 • Представим
C5.23) как
§ C5.29)
Разность i?/—/?, не должна содержать сходящейся волны,
следовательно,
Л^'Л+'Ч C5.30)
Подставляя это значение Аг в C5.29) и образуя разность 7?/—
— R0, находим расходящуюся волну с моментом /:
-e^{e^i-\). C5.31)
Если бы слагаемое фазы —у не было введено в C5.23), оно воз-
возникло бы в показателе экспоненты.
Окончательно рассеянная волна представляется в такой форме:
^ C5.32)
где
S2]BW0i>i(cose). C5.33)
Найдем выражение для дифференциального эффективного по-
поперечника рассеяния.
Радиальная составляющая потока частиц через бесконечно
удаленную сферу в единице телесного угла есть (ср. C5.2))
Деля это соотношение на поток падающих частиц, равный v,
приводим выражение для дифференциального эффективного по-
поперечника рассеяния к виду:
do = \f(Q)\*dQ. C5.34)
Формулы C5.33) и C5.34) основные в теории рассеяния.
Если все фазы б/ малы по сравнению с единицей, выражение для
эффективного сечения переходит в формулу Борна, чего мы, однако,
459

проверять не будем. Заметим только следующее. Сходимость ряда
C5.33) или других построенных из него рядов требует, чтобы
lim б/ = 0. Следовательно, при больших I верны те оценки, которые
/-*оо
были сделаны на основе борновского приближения.
Пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, найдем
теперь полное сечение рассеяния:
/=0
2 оо
1
X Pi (cos 8)
x (e-2"/' _ i) ^pl (cos 9) P- (cos 6) rfQ
, /'=0
/ = 0. /'=0
=^2
C5.35)
Таким образом, полное сечение рассеяния разбилось на сумму
частичных (парциальных) сечений, из которых каждое отвечает рас-
рассеянию частиц с определенным моментом («плечом», или прицель-
прицельным расстоянием в классическом соответствии):
где
= | B1 + 1) 2 A - cos 26,) = ~ B/ + 1) sin* б,. C5.36)
Максимальное сечение рассеяния частицы с данным моментом I
есть, таким образом,
§. C5.37)
Соотношение между моментом и прицельным расстоянием («пле-
(«плечом») удобно написать в квазиклассическом приближении, когда,
как указывалось в § 33 (ср. C3.38)), вместо J/7 (/ + 1) надо брать
I + y Для абсолютной величины момента. Тогда
l + ~ = kp,
где р — прицельное расстояние.
460
C5.38)

Таким образом, парциальное сечение C5.36) отвечает кольцу
на прицельной плоскости, как на мишени в тире. Но есть и различие,
связанное с волнорым характером движения в квантовой механике.
В классической теории рассеяния (§ 6) дифференциальный эффек-
эффективный поперечник рассеяния есть
daKJl = 2яр dp.
Согласно C5.38) р =—т—, a dp, отвечающее возрастанию /
на единицу, есть -г. Поэтому классическое выражение doKJ1 было бы
т. е. в четыре раза меньше максимального квантового сечения.
Результат, сходный с квантовым, получается в волновой оптике
при разложении фронта плоской волны на отдельные кольцевые
зоны Френеля. Когда все зоны, кроме одной, закрыты экраном,
амплитуда волны, прошедшей сквозь кольцевое отверстие, вдвое
больше, чем через равную площадь незагороженной волновой по-
поверхности. Но, имея строгий результат C5.37), не стоит дальше
развивать аналогию с приближенным построением зон.
Функция / (б) называется амплитудой рассеяния. Ее слагаемое,
отвечающее моменту /, есть парциальная, или частичная, амплитуда
рассеяния //F). Через нее выражается парциальное сечение ot.
Представляет интерес рассмотреть поведение амплитуды рассея-
рассеяния // F), когда угол рассеяния 8 стремится к нулю. Помня, что
Pt A) = 1, находим:
^(e2i6i-l). C5.39)
Найдем мнимую часть этого выражения:
Jm/, @) = — ~ B1 - 1) (cos 26, - 1) = ^±! sin2 в,. C5.40)
Сравнивая с C5.36), получаем связь между амплитудой рассея-
рассеяния на нулевой угол и парциальным сечением рассеяния:
0) = Aa/.
Так как в коэффициент пропорциональности не входит /, таково
же соотношение между полной амплитудой рассеяния на нулевой
угол и полным сечением:
Jm/(O) = A0. C5.41')
Разложение полного сечения на парциальные особенно полезно
тогда, когда существенна одна или несколько парциальных ампли-
амплитуд.
461

Например, в случае короткодействующих сил рассеиваются в ос-
основном частицы в s-состоянии, т. е. с моментом, равным нулю.
Волновая функция всех остальных состояний обращается в нуль
в области действия сил. Но если отлична от нуля только одна фаза
(бо=т^О, б/-?0 = 0), не равна нулю лишь амплитуда s-рассеяния,
которая стоит в разложении при нулевом полиноме Лежандра
ро = 1. Следовательно, при короткодействующих силах рассеяние
сферически симметрично. Об этом уже было сказано в § 6. Но
в классической теории всегда остается острый максимум дифферен-
дифференциального эффективного сечения рассеяния частиц в направлении
падающего пучка. В квантовой теории сечение s-рассеяния строго
изотропно.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Получить эффективное сечение рассеяния быстрых частиц водородными
атомами, находящимися в основном состоянии, принимая, что состояния атомов
не изменяются.
Решение. Волновая функция водородного атома с п = 1, / = 0 есть
откуда из условия нормировки
определяется коэффициент В:
Потенциальная энергия взаимодействия летящей частицы с атомом равна:
*ft (г') dV
Первый член интеграла Ukk* был найден в тексте. Он равен
№ sin2 ~
Второй член находим следующим способом:
У aV) \r-r'\
|Г — Г I
Вычисляя последний интеграл, надо считать начало координат находящимся
в точке г% тогда он сведется к тому же виду, как и предыдущий;
k* sin2 -
Следовательно,
- J « (П W-W dV')t
,462

Величина, стоящая в скобках, называется экранирующим множителем.
Вычисляя ее таким же способом, как C5.8), получим:
оо
Го (П е1 <*-*'>'' dV=* ^ J г'Ы (г') sin Bkr' sin ]-) dr;
Интеграл приводится к такой форме:
СО ОО
Р ь„ . , д С Л1. . да 2ab
\ xe"bxsm axdx = — -^ \ e~bx sin ax dx = — -^
_ ______
и О
Здесь а = 2? sin у, b = -j^-f так что экранирующий множитель равен
1_| l+f'^l sin^A] 1
В последней формуле предположено, что рассеивающаяся частица — элек-
электрон, т. е. имеет ту же массу и заряд. Тогда, строго говоря, следовало бы
построить функцию, антисимметричную с функцией атомного электрона, чего
мы не сделали. Окончательная формула для поперечника упругого рассеяния
отличается от C5.16) квадратом экранирующего множителя. Заметим, что этот
множитель получен правильно только в борновском приближении в отличие от
формулы Резерфорда, которая точна.
При 9=0 эффективный поперечник оказывается конечным, потому что
0=0 отвечает большим прицельным расстояниям, когда заряд ядра экрани-
экранируется зарядом электрона.
2) Вычислить эффективный поперечник рассеяния частицы непроницаемой
сферой радиуса а, который гораздо меньше, чем ^~ =ft = — так что сущест-
существенно только s-рассеяние.
Решение. На поверхности непроницаемой сферы волновая функция обра-
обращается в нуль согласно граничному условию B8.1). Следовательно, реше-
решение C5.23) имеет вид:
Roz=Ao sin& (r — a).
Отсюда 60 = — ka, a
4я . „ ,
cr = -p- sm2ka.
Но по условию ka << 1, так что sin ka ^ ka.
Окончательно о = 4яа2, т. е. эффективный радиус рассеяния вдвое протя-
протяженнее радиуса сферы. Сечение в квантовой теории в 4 раза больше, чем в клас-
классической (см. упражнение 1 к § 6).
3) Найти эффективный поперечник рассеяния частиц потенциальной ямой,
глубина которой близка к UCi определенной формулой B8.44). При U = Uc
в яме появляется первый связанный уровень энергии. Предполагается, что
энергия налетающей частицы гораздо меньше разности \ Uc — Uo \ и радиус
ямы гораздо меньше длины волны налетающей частицы, деленной на 2я. Выра-
Выразить сечение через энергию связанного уровня.
Решение. Сместим кривую потенциальной энергии (§ 28, рис. 31) по
ординате таким образом, чтобы при г > а было U — 0, т. е. калибруем U (г)
на нуль на бесконечном расстоянии от начала координат, Условие сопряжения
волновых функций при г == а имеет вид:
k cos (ka + 60) _ к cos па
sin (ka + 60) ~~ sin ка *
463

Пренебрегая ka, получим выражение эффективного сечения:
_ 4л . 2 Л4зт4я
a- —sin 0o~^2
Далее, пользуясь обозначениями, введенными в § 28, находим приближенное
выражение к:
_j _j: \_V2m\vc
h
По условию Uo — Uc^> E, так что
я nv зх2 (
Отсюда
Окончательно получаем эффективное сечение в таком виде:
____4я_
Заметим, что при выводе этой формулы нигде не было использовано то обстоя-
обстоятельство, что | Uo | < | Uс |. Эта формула справедлива и при | Uo | > | Uc |,
когда никакого уровня в яме нет, но он появился бы при незначительном углуб-
углублении ямы. В таком случае говорят о «виртуальном уровне».
Подобный случай виртуального уровня имеет место при рассеянии нейтро-
нейтронов на протонах с антипараллельными спинами, что устанавливается путем
сравнения эффективных сечений рассеяния нейтронов на орто- и параводороде.
4) Выразить эффективное сечение через амплитуду рассеяния одинаковых
частиц друг на друге. Рассмотреть случай бесспиновых частиц и частиц со спи-
спином 1/2.
Решение. Будем рассматривать движение в системе центра инерции
частиц. В случае нулевого спина волновая функция должна быть симметрична
относительно перестановки частиц, отвечающей замене G на — 0. Отсюда
Нормировочный множитель -—=: здесь не нужен, так как частиц две и при
регистрации они неотличимы.
В случае спина 1/2 имеются три ортосостояния и одно парасостояние. Отсюда
вероятность столкновения в ортосостоянии равна 3/4, в парасостоянии — 1/4,
а эффективное сечение равно:
В обоих случаях появляется «интерференционный» член //*, которого нет
в аналогичной классической задаче (ср. F.22)).
В предельном переходе к классической механике интерференционный член
не стремится к нулю, потому что сохраняет конечное значение амплитуда рас-
рассеяния / — через нее выражается а. Так как в пределе стремится к нулю длина
волны X, //* становится весьма быстро осциллирующей функцией, среднее от
которой по сколь угодно малому интервалу углов стремится к нулю. Примерно
так же происходит предельный переход от волновой оптики к геометрической
на границе тени,
464

§ 36. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Электромагнитное поле в вакууме может рассматриваться как
механическая система (это было показано в § 15). Оно имеет функ-
функцию Лагранжа, действие и т. п. Поэтому законно поставить про-
проблему квантования этой системы, т. е. применения к ней квантовой
механики.
Основное отличие электродинамики от механики точечных
масс состоит в том, что степени свободы электромагнитного поля
распределены непрерывно: чтобы задать поле в данный момент вре-
времени, надо определить его значение в каждой точке пространства.
В этом смысле электродинамика похожа на механику жидкости или
упругого тела, если рассматривать их как сплошные среды, отвле-
отвлекаясь от атомного строения вещества. Координаты точек прост-
пространства как бы нумеруют степени свободы поля, а значения ампли-
амплитуд потенциала задают обобщенные координаты.
Определенные таким образом координаты электромагнитного
поля не являются взаимно независимыми. Действительно, уравне-
уравнения электромагнитного поля содержат производные по координа-
координатам, т. е. разности значений поля в бесконечно близких точках.
В этом смысле уравнения поля напоминают уравнения для связан-
связанных колебаний: они линейны, но содержат каждое не одну, а не-
несколько обобщенных координат, взятых для бесконечно близких
точек пространства. Уравнения связанных колебаний приводятся
к нормальным координатам, которые взаимно независимы (§ 7).
То же самое можно сделать и с уравнениями электродинамики и
тем самым разделить в них зависимые переменные. Это весьма
упрощает применение квантовой механики к излучению.
Здесь наглядно сказывается общность методов аналитической
механики: они позволяют таким образом определить обобщенные
координаты и импульсы, чтобы можно было затем однозначно при-
применять квантовые законы.
Электромагнитное поле в замкнутом объ-
объеме. Прежде всего необходимо представить электромагнитное поле
как некоторую замкнутую систему, так как наиболее удобно приме-
применять квантовую механику именно к таким системам. Можно пред-
предположить, например, что электромагнитное поле заключено в ящик
с зеркально отражающими стенками. На стенках такого воображае-
воображаемого ящика (х = О или х = аъ у = О или у = а2, г = 0 или г =
= а3) нормальные составляющие вектора Пойнтинга обращаются
в нуль.
Заполним все пространство такими ящиками и допустим, что
в соответственной точке каждого ящика поле имеет одно и то же
значение. Такое поле периодично по всем трем направлениям в про-
пространстве:
А{х, у, z) = A(x + alf у, z) = A(x9 у + а^, г) = А(х, у} z + as).
C6.1)
465

Но если убрать зеркальные стенки, поле все равно останется
периодичным, так как каждое его значение перемещается в каждой
точке пространства с одной и той же фундаментальной скоростью с.
Поэтому достаточно наложить на поле только условия периодич-
периодичности C6.1), а от стенок вообще отказаться. Это заметно упростит
вычисления, а окончательные результаты не могут зависеть от того
или иного вспомогательного приема.
Решение уравнений, описывающих электромагнитное поле в пу-
пустоте, найдено в § 18. Так как на поле наложено условие периодич-
периодичности, его можно разложить в ряд Фурье по всем трем измерениям,
т. е. представить через отдельные гармонические составляющие.
Эти составляющие должны быть действительными величинами. Вы-
Выражая в них явным образом только зависимость от координат, напи-
шем по аналогии с A8.25)
А {к, г) = Akeikr + Ate~ikr C6.2)
для одной гармонической составляющей. Из этой записи видна ве-
вещественность векторного потенциала Л.
Так как рассматривается поле в пустоте (при отсутствии заря-
зарядов), скалярный потенциал можно положить равным нулю, а условие
Лоренца A2.42) для векторного потенциала сведется к виду: div A =
- О, т. е. (см. A1.27)):
div A {к, r) = div (Akeikr) + div (Акт**) = {Akyeikr) +
+ (Л8у*-'*г) = i (ЬАк) eikr - i (kAt) e~ikr = 0.
Чтобы это равенство выполнялось при всех г, должен быть равен
нулю коэффициент при каждой экспоненте. Иначе говоря, векторы
Аи и А% перпендикулярны волновому вектору к:
(кАь) = 0, (кА%) = 0. C6.3)
Для каждого k существуют два взаимно перпендикулярных
вектора A°k (а = 1,2), отвечающие двум возможным поляризациям
волны. Естественно выбрать Аи1 и AT взаимно перпендикулярными.
Любой вектор в плоскости, перпендикулярной к, можно разложить
по АЧ1 и AT.
Применим теперь условие периодичности C6.1) отдельно к ка-
каждому слагаемому C6.2). Получим:
Akel
= Aj
откуда следует, что
Поэтому компоненты волнового вектора равны:
C6.4)
где пъ пг и п3 — целые числа любого знака.
466

Следовательно, каждое гармоническое колебание задается тремя
целыми числами пъ п2 и п3 и поляризацией а, принимающей два
значения. Обобщенной координатой является, как уже было ска-
сказано, А° . Число таких координат бесконечно, но по крайней
nit п2, п3 1 г
мере образует счетное множество, а не непрерывную совокупность,
подобную совокупности всех точек пространства.
В этом состоит основное упрощение, которое вносится условием
периодичности. Разумеется, это условие преследует только матема-
математическое удобство: ни в какие окончательные результаты основные
периоды alf a2t a3 не входят.
Электромагнитное поле задано, если известны амплитуды его
колебаний для всех значений nlf n2, п3 и а. Благодаря линейности
уравнений электродинамики их общее решение равно сумме част-
частных решений C6.2):
А И = Z А% И = 2 {Alelkr + A?e-ikr). C6.5)
k, a k, a
Это и есть искомое разложение Фурье.
Энергия поля. Покажем, что разложение C6.5) дает все
необходимое, чтобы построить нормальные координаты. Для этого
надо выразить энергию поля через A°k. Электрическое поле вычис-
вычисляется согласно общей формуле A2.35), из которой при ф — О
следует:
Е = - Y4 = - 42 (AW' + Ate-""), C6.6)
k, a
а для магнитного поля:
н=rot а=2 (!уе!*г> А1]+№-Шг> А1}) -
k, a
= i H ([ft. А1\е*' - [№'] e-l"r). C6.7)
fc, О
Вычислим теперь энергию поля, которая согласно A5.24")
равна: i с
E = ^y\E\* + \H\«)dV. C6.8)
Для | Е |2 имеем следующую Четверную сумму по k, k, о, a'i
k, k't G, G'
+ Al*A°yi{k-k')r + ArAU-i{k+k')r). C6.9)
При интегрировании | E |2 по объему целесообразно внести ин-
интеграл под знак суммы. Тогда каждый интеграл разобьется на произ-
произведение трех интегралов следующего вида:
Ко. C6.10)
467

Если пг + п[ = 0, этот интеграл равен av Поэтому тройной ин-
интеграл приводится к такому выражению:
\ *'> г dV =
Следовательно, двойная сумма по ft и Л' в выражении ^ | ?
сводится к однократной, причем в членах, содержащих произведе-
произведение А°д%;, надо заменить ft' на —ft, а там, где стоит A°kAl'>*, заменить
ft' просто на к, потому что при А%>* — множитель e~ik'r* Таким обра-
образом,
C6.12)
Но векторы A l и Л^-*, At и Л Г* перпендикулярны, если а -ф
фа'. Поэтому вместо двойной суммы по а и а'остается тоже одно-
однократная сумма по а:
2 (A AJi^). C6.13)
При вычислении интеграла от квадрата магнитного поля также
надо пользоваться формулой C6.11). Но произведение [к1А%] за-
заменяется на —[fti4«ft], если ft' = —ft. Поэтому
\ I н pw = у 2 ([*4j] [Mi j+[*Л2.] [кА^%]+
+ 2[*А°][ПА°'*]). C6.14)
Векторные произведения выражаются по известным формулам:
[кА1\ [ftЛ*'*] = k*A%A%* - (кА°) (ЛЛ^*)= ftM^AJ*, C6.15)
где было использовано условие поперечности C6.3). При а Ф оф
выражение C6.15) обращается в нуль. Следовательно,
\\H\*dV= VJ] k*BAlAl* + Al*A% + AlA<Lfc). C6.16)
к, о
Покажем, что если рассматривать At и Лл* как квантовые опе-
операторы и выразить их через операторы координаты и импульса
линейного гармонического осциллятора по формулам:
<36Л7>
то энергия электромагнитного поля C6.8) сведется к сумме опера-
операторов энергий линейных независимых гармонических осцилляторов.
Величина e°k в формулах C6.17) и C6.17') — единичный вектор
поляризации электромагнитной волны; со* = ck.
468

Если Ql и Pt — операторы координаты и импульса линейного
гармонического осциллятора, то они удовлетворяют квантовым урав-
уравнениям движения B7.18) и B7.19), в которых положено т = 1:*
Ql = Pkf C6.18)
Л
р? = —co|Q^« C6.19)
Тогда из формул C6.17) и C6.17') следует, что
C6.19')
, о • "I / Jll/ Лет "ft Ла
к I ^« « I в* == *Ю* I/ ТГ 1 Qa — ) ^* !
C6.19")
Если подставить эти выражения в C6.13), то последние два члена
в скобке дадут:
При подстановке в формулу для полной энергии эти два члена
из интеграла \\ Е \2dV сократятся с последними двумя членами из
\ | Н \2dV, т. е. из C6.14). Операторы AGk и А%* неперестановочны,
поэтому, чтобы перейти от классического выражения энергии к кван-
квантовому, надо заменить AiAl* на полусумму у(Л*Л2* + ^2)
Подставляя в нее соотношения C6.17) и C6.17'), получим:
8я v \ 2с* ^Л 2 /- 2
C6.20)
т. е. гамильтониан линейного гармонического осциллятора с мас-
массой, равной единице.
Если не симметризовать произведение AlAl*, to энергия полу-
получает постоянное слагаемое, которое не существенно для дальней-
дальнейшего. Но форма C6.20) стандартная для гамильтониана осцилля-
осциллятора. Приведя гамильтониан к такой форме, мы тем самым оправ-
оправдали уравнения C6.18) и C6.19), которые получаются из гамильто-
гамильтониана C6.20) как квантовые уравнения движения.
Кванты. Таким образом, гамильтониан электромагнитного
поля, не содержащего зарядов, выражен как сумма гамильтонианов
линейных независимых гармонических осцилляторов, из которых
каждый отвечает одному значению волнового вектора k и одной
поляризации а. К этим осцилляторам можно применить все правила
квантования, которые были получены в § 27. Иначе говоря, они бу-
будут описываться в представлении, в котором диагональна энергия
каждого осциллятора.
469

Собственное значение энергии отдельного осциллятора опреде*
ляется формулами B7.23) и B7.23'):
Здесь слагаемое—2~отвечает основному состоянию осциллятора,
число Nk, а показывает, сколько квантов с частотой со, волновым
вектором ft и поляризацией о присутствует в поле.
Аналогично тому, как вычислялась энергия, можно найти им-
импульс электромагнитного поля (упражнение 2). Тогда оказывается,
что осциллятору ft, о отвечает импульс pl = hk(Nk а + у),т. е.
подтверждается принятое ранее соотношение между энергией и
импульсом кванта. Таким образом, кванты не дополнительная гипо-
гипотеза о свойствах электромагнитного поля, а следствие квантовых
законов движения применительно к полю.
Неправильно думать, что кванты будто бы «объясняют природу
света». С таким же успехом можно было бы полагать,что формула
Еп = hco (п + у) объясняет природу колебательного движения
вообще.
Квант отнюдь не следует рассматривать как плод каких-то ма-
математических ухищрений, которые привели нас к формуле C6.21).
Квант — такая же реальная частица, как электрон. Например, при
рассеянии квантов рентгеновых лучей на электронах энергия ка-
каждого отдельного кванта А со и его импульс Aft входят в общий закон
сохранения энергии и импульса при столкновении так же, как для
всякой другой частицы. Частота кванта при рассеянии уменьшается
пропорционально его энергии. Подобно электрону, имеющему
внутреннюю спиновую степень свободы, квант имеет поляризацион-
поляризационную степень свободы. Но ее нельзя отождествить со спином 1/2,
так как квант описывается с помощью векторной величины — век-
вектор-потенциала, а спин V2 требует для своего описания спиноров
(§ 30).
С последним связано и то обстоятельство, что предельный пере-
переход к классической теории выполняется для кванта и электрона
совершенно различно. В предельном переходе к классической меха-
механике кванту ничего не отвечает: его энергия и его импульс, т. -е.
Асо и Aft, стремятся к нулю, когда А -> 0. Для электрона положение
иное — его импульс и энергия переходят от квантовых величин
к классическим.
Иначе обстоит дело с волновыми свойствами движения. В пре-
предельном переходе к классической теории энергия каждого кванта
считается бесконечно малой, а число их Nk,o — бесконечно большим,
так что амплитуда волны остается конечной.
Электроны подчиняются принципу Паули, в связи с тем что
у них полуцелый спин: в каждом состоянии не может находиться
больше одного электрона. Соответственно этому в классическом
предельном переходе волновой функции электрона (а поэтому и
470

всем волновым свойствам его движения) не отвечает ничего. Они мо-
могут проявляться только в квантовой теории.
Надо отметить, что амплитуду электромагнитной волны не следует
отождествлять с волновой функцией кванта, понимая ее в том же
смысле, как амплитуда вероятности понимается у электрона. Через
квадрат амплитуды волны выражается плотность энергии поля, а
не плотность квантов. Если бы мы захотели перейти к плотности
квантов, эту величину пришлось бы для каждой частоты разделить
на соответствующее значение со. Так выразилась бы плотность кван-
квантов в импульсном представлении. Но в координатном представлении,
которое получается из импульсного путем преобразования Фурье,
плотность квантов не может быть выражена через квадрат ампли-
амплитуды волны или ее производные, потому что оператор деления на
частоту при переходе к координатному представлению не дает
6-функцию или производных от нее.
Рассмотрим теперь состояние поля, когда все Nk, о = 0. Оче-
Очевидно, это основное состояние поля, которое принято называть
также вакуумом (по отношению к квантам). В этом состоянии все
отдельные осцилляторы, с помощью которых было представлено
поле, находятся в основном состоянии. Но, как было показано
в § 28, и в основном состоянии осциллятора его координата не равна
нулю: она не имеет строго определенного значения. Вероятность
некоторого значения координаты Ql описывается квадратом осцил-
ляторной волновой функции [г|H (Qt)]2. (Эта волновая функция
не имеет отношения к квантам — она задает вероятность опреде-
определенных значений поля!)
Таким образом, и в основном состоянии (вакууме) электромаг-
электромагнитного поля при отсутствии квантов само поле не обращается
в нуль. Его амплитуда Л выражается через координаты осциллято-
осцилляторов Q°k. Это приводит к наблюдаемым эффектам, о которых будет
сказано в следующем параграфе.
Взаимодействие электромагнитного по-
поля с заряженной частицей. Дальше мы будем рас-
рассматривать радиационные переходы, т. е. процессы испускания и
поглощения кванта при взаимодействии с заряженными частицами.
Для этого надо найти оператор, описывающий взаимодействие. Со-
Соответствующая классическая величина для отдельного заряда полу-
получается из уравнения A7.32) при ср = 0:
Я' = -4йМ)- C6.22)
Она отвечает нерелятивистскому приближению относительно
движения заряда: считается, что его скорость весьма мала по срав-
сравнению со скоростью света.
Чтобы перейти отсюда к операторам, надо, как обычно, заменить
р на -j V, а вместо векторного потенциала подставить операторное
471

выражение, соответствующее C6.5), заменив в нем амплитуды от-
отдельных гармонических волн операторами C6.19') и C6.19").
Эти операторы мы условились представлять так, чтобы были
диагональны числа квантов во всех состояниях. Для этого следует
подставить вместо операторов Ql и P°k их матричные выражения
B7.28).
Подставим операторы C6.19') и C6.19") в разложение векторного
потенциала C6.5), считая для простоты, что основной объем равен 1,
поскольку он все равно выпадает из конечных формул:
k, о
;6а\ 1
— — le~'*r
C6.23)
Следовательно, надо построить матрицы от
iP)
При помощи матриц B7.28) находим:
0 10 0
V2
0
о о
о о
о
о
о
о
0 0 0
о
0
1
0
0
0
0
0
V2
0
0
0
0
0
Кз
0
0
0
0
0
К?
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
C6.24)
Отсюда удобно выделить сами матрицы, которые обозначаются
следующим образом:
0 10 0 0 .
О О V2 О
0 0 0
0
0
а*. о =
0
1
0
0
0
0
V2
0
0
0
0
Кз
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
C6.25)
472

В матричном элементе, определяющем вероятность перехода,
строка отвечает начальному состоянию системы, столбец — конеч-
конечному состоянию C2.42). Таким образом, матричные элементы at, о
отвечают переходам, в которых число квантов увеличивается на
единицу, а^)О — переходам, в которых число квантов уменьшается
на единицу. Соответственно at, о называется оператором испускания
кванта, a ak,o— оператором поглощения кванта.
Если в некотором состоянии имеется Nk, о квантов, то матричный
элемент испускания пропорционален VNk,o + 1, а матричный эле-
элемент поглощения пропорционален ]/~Nkt o- В вероятность перехода
входит квадрат матричного элемента, и вероятности испускания
и поглощения содержат Nk, о + 1 и Nk, a-
Следовательно, даже при отсутствии квантов в данном состоя-
состоянии в электромагнитном поле (Nk, о = 0) они могут быть испущены
излучающей системой. Такого рода испускание называется спон-
спонтанным (самопроизвольным). Слагаемое, пропорциональное Nk, а
в вероятности испускания, описывает его вынужденную часть.
Предельный переход к классической теории отвечает Nk,G->°°,
так что спонтанная часть испускания кванта становится пренебре-
пренебрежимо малой.
Найдем теперь вероятность спонтанного испускания кванта
некоторой системой зарядов. Если понимать р в выражении C6.22)
как оператор, то может возникнуть вопрос, как писать его по отно-
отношению к векторному потенциалу: согласно C6.23) последний за-
зависит от координат и, следовательно, в общем случае неперестано-
неперестановочен с р. Но благодаря условию поперечности оказывается, что
порядок р и А безразличен. Действительно,
ty \-jdivА ]
так как div A= 0.
Таким образом, матричный элемент перехода, при котором
излучающая система зарядов, находясь сначала в состоянии с вол-
волновой функцией г|зт, испускает квант /ico* с волновым вектором k
и поляризацией а и оказывается в состоянии с волновой функцией
•фл, равен:
^У~^^ C6.26)
В матричном элементе испускания а?а выражению C6.26) отве-
отвечает элемент (at, о)ю» равный 1. Остальные сомножители C6.26)
находятся из C6.22)—C6.24).
Матричный элемент перехода C6.26) надо подставить в общую
формулу C2.42), считая, что энергия испускаемого кванта равна
разности энергий излучающей системы:
Нщ = Ет-Еп = /low C6.27)
473

В формулу C2.42) входит также «вес» конечного состояния си-
системы, т. е. число состояний электромагнитного поля, приходящееся
на единицу энергии, когда в поле присутствует один квант с данным
волновьш вектором к. Эту величину легко найти по формуле B8.23),
которая выведена для числа колебаний любой природы в некотором
объеме V (его мы положили равным единице). Далее, заменим dpx
на hdkx и т. д. Кроме того, перейдем к сферическим координатам
в пространстве волновых векторов. Тогда получим из уравнения
B8.23):
dNk = ^~j*-. C6.28)
Здесь надо еще заменить k на у и разделить на дифференциал
энергии, т. е. на Мсо. Итак, находим вероятность испускания в еди-
единицу времени кванта в направлении к с частотой со = с\ к | и поля*
ризацией а:
dW 2л
e
~tkr
2 e2a>k du
C6.29)
Энергия, испускаемая в единицу времени, получается из C6.29)
путем умножения на /ко.
Коэффициент поглощения. Пусть на некоторую
систему, подобную той, которая способна к испусканию квантов,
падает плоскопараллельный поток квантов так, что за единицу вре-
времени через единицу поверхности проходит один квант в единичном
интервале частоты. Требуется определить вероятность поглощения
кванта из этого пучка за единицу времени.
Эта задача сходна с нахождением эффективного сечения рас-
рассеяния: различие состоит в том, что в задаче об эффективном сече-
сечении рассеяния все частицы считаются имеющими строго одинаковые
энергии, а кванты не предполагаются заранее строго монохромати-
монохроматическими *. Они распределены по некоторому спектральному интер-
интервалу Д(о так, что /lAco ^> Д?, где A? — неопределенность энергии
поглощающей системы, обязанная взаимодействию с электромаг-
электромагнитным полем. Иначе говоря, необходимое соотношение Ет — Еп —
= /ко выполняется где-то внутри интервала энергии /lAco. В такой
постановке задача отвечает реальным условиям наблюдения спект-
спектральных линий поглощения в сплошном спектре.
При вычислении вероятности поглощения можно воспользо-
воспользоваться теми же приемами, что и при получении формулы для вероят-
вероятности испускания C6.29). Но в данном случае переход происходит
* В процессе рассеяния частиц закон сохранения энергии выполняется
между двумя состояниями с непрерывным спектром — начальным и конечным.
При поглощении кванта конечное состояние имеет дискретный спектр. Чтобы
удовлетворить закону сохранения энергии, необходимо считать непрерывным
спектр начальных состояний. Благодаря поглощению они имеют конечное время
жизни и не могут обладать точным значением энергии,
474

не из дискретного состояния в состояние с непрерывным спектром
(испускание), а в обратном направлении. При поглощении спектр
исходных состояний непрерывен, можно считать, например, что
кванты распределены по частотам так, что в интервале частот dco
на поглощающую систему падает / (со) dco квантов. Вероятность
перехода следует усреднить как по спектру падающих квантов, так
и по их направлению и поляризации. В остальном вычисление ве-
вероятности перехода совершенно аналогично тому, какое делалось
при выводе формулы C2.38). Поэтому вероятность поглощения отли-
отличается от вероятности испускания следующими множителями:
1. Вместо «весового» множителя ® с\з в вероятность поглощения
войдет спектральная плотность начального состояния / (со), где
Лео = Ет — Еп. Кроме того, усреднение по направлению падающих
квантов дает множитель j- (т. е. результат делится на величину
полного телесного угла), а усреднение по поляризации — множи-
множитель V2.
2. Так как вычисляется вероятность поглощения при потоке
падающих квантов, равном 1 /см2-сек, надо разделить искомое выра-
выражение на с (потому что положено V = 1).
3. В соответствии с формулами C6.25) вероятность поглощения
содержит множитель Nkt о вместо Nk, 0 + 1 в вероятности испуска-
испускания. Индексы /пи пв матричном элементе переставляются, но в силу
эрмитовости оператора р квадрат модуля матричного элемента оди-
одинаков.
Число квантов NkfG заменяется по спектральной формуле на
/ (со) dco, после чего / (со) надо положить равным 1. Поскольку
коэффициент поглощения определяется как вероятность поглоще-
поглощения при спектральной плотности / (со), равной единице, оконча-
окончательно устанавливаем, что он отличается от коэффициента испуска*
ния тем, что вместо множителя со2/8я3с3 в коэффициент поглощения
входит 1 /8пс.
Если брать не вероятность испускания, а энергию, испускаемую
в единицу времени при Nk, о = 0, то ее отношение к коэффициенту
поглощения, когда в поле имеется один квант (Nk, a = 1), равно
^. Это выражение нашел статистическим методом А. Эйнштейн
в ^1916 г.
Дипольное приближение. Выражение C6.29) на-
написано для самого общего случая. Применим его теперь к испуска-
испусканию видимого света атомной системой. Длина волны видимого
света приблизительно равна 0,5-10 см, а размеры атома около
10~8 см — порядка атомной единицы. Следовательно, на длине по-
порядка размеров атома фаза электромагнитной волны почти не изме-
изменяется. Поэтому множитель eikr, входящий в C6.29), может быть
вынесен из-под интеграла для какой-либо точки атома, например
ядра (при г=г0). Под интегралом останется eik(r-r*\ Но так как
476

показатель степени порядка одной десятитысячной, экспонента мо-
может быть заменена единицей, если интеграл не обращается при такой
замене в нуль. Об этой последней возможности будет сказано ниже,
а сначала допустим, что интеграл не обращается в нуль, если пре-
пренебречь изменением фазы волны в пределах атома. Тогда находим:
Но матричный элемент импульса связан с матричным элементом
координаты следующим образом:
рх = тх = /тсо х
' пт пт пт пт
(см. B7.13)). Если еще учесть, что ег есть d— дипольный момент
системы, то приходим к такой формуле:
dW (o'idQ
Пренебрегая изменением фазы волны на размерах излучающей
системы, мы фактически пренебрегли запаздыванием. Поэтому ве-
вероятность излучения зависит от изменения дипольного момента,
подобно тому как это имеет место в классической теории излу-
излучения (§ 20).
Допустим теперь, что надо найти вероятность испускания кванта
с любой поляризацией, а не с определенной поляризацией а, но при
заданном направлении к. Проведем плоскость через векторы к
и dnm и допустим, что одна поляризация (а = 1) соответствует этой
плоскости, а другая (а = 2) — перпендикулярной к ней плоскости.
Тогда eTdnm = 0, а ё?'йпт = dnm sin 6 , где 8 — угол между к и
Чтобы найти полную энергию, излучаемую в единицу времени,
надо проинтегрировать получившееся выражение по всем телесным
углам dQ, тогда (после умножения на /ко):
d? \й„
~di
По сравнению с классической формулой B0.28) квантовая фор-
формула содержит лишнюю двойку (множитель 4/3 вместо 2/3). Это объяс-
объясняется следующим образом. Представим классический дипольный
момент, изменяющийся по гармоническому закону, так:
d = йхвш + й*ег ш, d = — со2 (die?®* + die" ш).
Слагаемые d±et(iit и й*е~ш зависят от времени так же, как матрич-
матричные элементы dmn и dnm. Образуем среднее по времени от (dJ.
Слагаемые, содержащие е2Ш и е~*ш, при усреднении выпадут, и
останется
476
-*ml\..4 V ~ — _ ~ \~пт\ -пт ^ Ш)

Квантовая формула как раз и соответствует средней HHTeHCHB-
ности излучения/ico •-^т-, так что двойка связана с усреднением по
времени квадрата дипольного момента.
Формула C6.32) подтверждает то, что говорилось в § 21 об устой-
устойчивости атома, следующей из квантовой теории: излучение всегда
связано с переходом атома из одного состояния в другое, но состоя-
состояний атома, энергия которых была бы меньше, чем энергия основного
состояния, не существует, поэтому атом может находиться в основ-
основном состоянии неограниченно долгое время.
Правила отбора. Найдем теперь те условия, при кото-
которых матричный элемент дипольного момента не обращается в нуль
для данного перехода. Эти условия, налагаемые на изменение со-
состояния атома при излучении, называются правилами отбора.
Начнем с самого простого случая — одноэлектронного перехода
в атоме. Кроме того, допустим, что атом легкий и не надо учитывать
спин-орбитальную связь. Тогда спиновая функция выделяется
в полной волновой функции как сомножитель, Но так как матрич-
матричный элемент берется только от координаты, условие, относящееся
к спину, состоит в том, что его проекция у электрона не изменяется
лри переходе.
Главное квантовое число не налагает никаких ограничений:
любое его изменение возможно, и матричный элемент не обращается
в нуль. Остаются азимутальное и магнитное квантовые числа.
В упражнении 4 к § 34 было указано, что оператор у удовлетво-
удовлетворяет тем же правилам перестановки с оператором момента, которым
подчиняется оператор координаты при перестановке с оператором
орбитального момента соответствующей частицы. Но условие того,
что матричный элемент yx,y,z не обращается в нуль, выведено только
из правил перестановки. Следовательно, координата имеет те же
не равные нулю матричные элементы по собственным значениям
момента и его проекции, как и оператор у.
Это приводит к следующим правилам отбора для составляющих
дипольного момента:
1) Азимутальное квантовое число / электрона при дипольном
излучении может изменяться только на ±1; если в исходном состоя-
состоянии оно равнялось /, то в конечном — может быть равно только
/ + 1 или / — 1. Иначе говоря, А/ = ±1.
2) Если ось z выбрана в качестве полярной оси (оси квантова-
квантования момента), то отличны от нуля лишь диагональные по магнитному
квантовому числу матричные элементы е (z)kk. Для них Ak = 0.
Матричные элементы е(х± itj)k>k отличны от нуля, когда k' — k =
— Ak = ±1 соответственно знаку в выражении х ± it/. Это пра-
правило означает следующее. Если излучение поляризовано по оси г,
вектор электрического поля определяется 2-й составляющей ди-
дипольного момента. Следовательно, к такому излучению относится
правило отбора Ak = 0. Если же излучение поляризовано по кругу
в плоскости х, у% то для его циркулярных компонент, электрическое
477

поле которых пропорционально е (х ± 1у)у действует правило отбора
Ak = ±1. Для всех трех видов поляризации (плоской и круговой
обоих направлений) действует правило отбора А/ == ±1.
Разъясним теперь физическое содержание правил отбора. Кван-
Квантование электромагнитного поля было осуществлено с помощью раз-
разложения на плоские волны, когда каждая отдельная гармоническая
волна характеризовалась определенным импульсом и поляризацией.
Если произвести разложение на сферические волны в сферической
полости с зеркальными стенками, то окажется, что каждая волна
характеризуется моментом и четностью согласно общим законам
изотропии пространства. Момент при этом определяется формулой
A5.28).
Совершенно независимо от квантовой теории сферические волны
представляются с помощью функций У?, где L и К — целые числа,
причем —L ^ К ^ L. Такова система ортогональных функций на
поверхности единичной сферы, отвечающая симметрии вращений.
При вычислении г-вой проекции момента оказывается, что она равна:
Af, = |/C, C6.33)
где число К целое. Если затем произвести квантование, то для от-
отдельного кванта (фотона) Е = /ico, так что проекция момента фо-
фотона, как и всякой частицы, принимает только целочисленные зна-
значения. Вместе с проекцией момента и энергией в квантовой механике
существует и квадрат момента М2, собственные значения которого
суть №L (L + 1), причем К ^ L.
Электромагнитная волна поперечная. Она не может обладать
сферической симметрией. В соответствии с этим квантовое число L
никогда не бывает равно нулю: только функция FJJ сферически сим-
симметрична. Наименьшее возможное значение L = 1. Симметрия поля
и его распределение в пространстве при этом отвечают дипольному
излучению — электрическому или магнитному. При больших
значениях L тоже оказываются два типа мультипольности при
каждом L.
Электрическое и магнитное излучения различаются четностью.
Электродипольное излучение имеет четность —1, магнитоди-
польное +1, электроквадрупольное +1, магнитоквадрупольное—1
и т. д. попеременно. Применительно к дипольному излучению это
правило легко объяснить. Электрический дипольный момент —
вектор, а магнитный дипольный момент — псевдовектор (см. § 15).
При инверсии компоненты вектора меняют знаки, а псевдовектора —•
нет. С этим связаны их четности.
Каждый последующий порядок мультипольности меняет чет-
четность на противоположную, так как отвечает появлению лишнего
сомножителя г в выражении мультипольного момента.
У кванта нельзя разделить момент на орбитальный и спиновый,
так как это возможно сделать только в нерелятивистской теории,
а квант — релятивистская частица, его скорость равна с. Но по-
478

скольку его момент не бывает меньше единицы, можно условно
сказать, что собственный момент кванта равен единице. При этом
не получается полной аналогии с моментом частицы. Если у ча-
частицы / = 1, то ему отвечают три состояния с проекциями момента
k: — 1, 0 и 1. Квант с моментом единица дипольный, он может на-
находиться только в двух состояниях — электродипольном и магнито-
дипольном.
Отметим следующее. При разложении на плоские волны состоя-
состояние кванта определяется четырьмя числами: kx> kyy kz и ст. При раз-
разложении на сферические волны получаются тоже четыре числа:
со, L, К и четность. Аналогично а четность принимает два значения.
Теперь нетрудно истолковать правила отбора как результат дей-
действия законов сохранения момента и четности состояния. Установ-
Установленные правила относятся к электродипольному излучению. Следо-
Следовательно, момент излучающего электрона не может измениться
больше, чем на единицу (| Д/ | ^ 1). Четность состояния должна
измениться, так как электродипольный квант нечетный. Следова-
Следовательно, не бывает А/ = 0.
Легко обобщить эти правила отбора на тот случай, когда имеется
достаточно сильная спин-орбитальная связь и состояние электрона
характеризуется не / и аг отдельно, а полным моментом электрона /.
Поскольку момент не связан непосредственно с четностью, Д/ = 0
не запрещено при электрическом дипольном излучении. Строго за-
запрещен только переход / = 0 в j = 0, так как он несовместим с зако-
законом сохранения момента. Момент кванта не бывает меньше единицы,
и потому переход 0 -> 0 запрещен во всех приближениях.
Рассмотрим многоэлектронные атомы. Если спин-орбитальная
связь невелика, то спиновая функция атома выделяется как сомно-
сомножитель орбитальной функции. Например, у гелия общий спин
двух электронов может быть равен единице — это ортосостояние
(§ 33) и нулю — парасостояние. Переход из одного в другое запре-
запрещен, потому что волновые функции орто- и парасостояний ортого-
ортогональны, электрический дипольный момент не зависит от спиновых
операторов. Поэтому спектр дипольного излучения гелия распа-
распадается как бы на два спектра: один целиком принадлежит ортоге-
ортогелию, другой — парагелию. Это было известно до создания кванто-
квантовой механики и объяснено Гайзенбергом на основе симметрии вол-
волновых функций.
Правила отбора по полному моменту атома / аналогичны пра-
правилам отбора по моменту отдельного электрона /. То же относится
к правилам отбора по z-вой проекции полного момента.
Переходы, запрещенные для электродипольных квантов, могут
сопровождаться испусканием магнитодипольных квантов или кван-
квантов высшей мультипольности. В оптических спектрах им отвечает
меньшая интенсивность линий соответственно разложению ампли-
амплитуды волны по степеням малых величин — и -С-(см. §20). Из-за этого
С At
возбужденные состояния атомов или ядер, способные к радиацион-
479

ным переходам только с высокой мультипольностью, существуют
долго, имея малую ширину энергетического уровня.
Зеемановский мультиплет. Применим полученные
правила отбора к эффекту Зеемана, т. е. рассмотрим, как выглядит
спектр атома, помещенного в магнитное поле. Начнем со случая
сильного поля, где картина расщепления спектральных линий проще,
чем в слабом поле.
Оба уровня мультиплета, между которыми совершаются пере-
переходы, расщеплены, согласно формуле C3.52). Придавая проекциям
орбитального момента и спина, входящим в эту формулу, любые
дозволенные значения, видим, что все компоненты расщепления
равноотстоящие, кратные целым числам Lz + 2SZ. При этом неко-
некоторые значения Lz + 2SZ получаются несколькими способами:
отвечающие этому случаю уровни вырождены.
Например, если L = 1, S = V2, получается такой набор значе-
значений суммы: 1+1=2; 1 — 1=0; 0+1 = 1; 0 — 1 = —1;
—1 + 1 = 0; —1 — 1 = —2. Всего происходит расщепление на пять
уровней, из них нулевой двукратно вырожден, т. е. возникает
6 состояний. В слабом поле L и S сначала складываются в Jf прини-
принимающий два значения: / = 3/2 и J = V2. Их кратности 4 и 2 —
всего 6 состояний, как и в сильном поле.
Предположим, что наблюдается излучение в направлении,
перпендикулярном магнитному полю. Вектор поляризации излуче-
излучения перпендикулярен направлению распространения, т. е. направ-
направлен либо по магнитному полю, либо в третьем перпендикулярном
направлении, скажем по оси х, если магнитное поле параллельно
оси г. Правила отбора для излучения, поляризованного по г и по ху
различны. Если можно пренебречь спин-орбитальной связью, то
при любой поляризации Sz сохраняется отдельно. Но тогда у излу-
излучения, поляризованного по г, сохраняются оба числа Sz и Lz. Сле-
Следовательно, когда происходит переход между состояниями, расщеп-
расщепленными согласно формуле C3.52), эти числа сокращаются, и полу-
получается одна нерасщепленная линия.
Волну, поляризованную по оси х, можно представить как нало-
наложение двух волн, поляризованных по кругу с противоположными
направлениями поляризации. Правило отбора для соответствующих
линий состоит в том, что Lz может меняться только на ±1. Следова-
Следовательно, излучение, поляризованное по оси х% имеет частоту, отлич-
отличную от исходной на± e^mJ .Таким образом, совершенно независимо
от полного числа компонент расщепления каждого уровня в маг-
магнитном поле спектральная линия в сильном магнитном поле расщеп-
расщепляется на три линии, разделенные промежуткОхМ, который равен
-Ц—, т. е. ларморовской частоте для данного поля.
Если просверлить канал в башмаке электромагнита, то можно
наблюдать излучение, распространяющееся вдоль поля. Оно поля-
поляризовано по кругу в плоскости ху. Правила отбора для правой и ле-
480

вой круговой поляризации отвечают изменению Lz на ±1, так что
будут наблюдаться две линии, отстоящие от середины на ' ' . Ис-
Исходная линия при включении магнитного поля расщепится на две,
разделенные промежутком, равным двойной ларморовской частоте.
Точно такая же картина расщепления получается при классическом
колебательном движении заряда, помещенного в магнитное поле.
Эта задача была рассмотрена в упражнении 4 к § 20.
Эффект расщепления спектральных линий в магнитном поле был
открыт Зееманом еще до создания квантовой механики. Поэтому
принятое в то время теоретическое объяснение этого эффекта соот-
соответствовало именно классической задаче, где принимается, что
заряд совершает колебательное движение.
Но при наблюдении спектра такая картина видна только в силь-
сильном магнитном поле, которое дает расщепление большее, чем рас-
расстояние между уровнями мультиплета. В этих условиях эффект
Зеемана называется нормальным, потому что он внешне отвечает
теоретическим представлениям того времени, когда был открыт.
Заметим, что поле, сильное для одного мультиплета, может быть еще
слабым для другого.
Эффект Зеемана в слабом магнитном поле называется аномальным.
В спектре получается картина, совсем не похожая на классическую.
Прежде всего число компонент расщепления может отличаться от
нормального. Расстояния между ними тоже совсем неодинаковы.
Рассмотрим для примера аномальный эффект Зеемана в так
называемой D-линии паров натрия. Без внешнего магнитного поля
эта линия двойная. Она отвечает двум переходам: 2/\/, -> 2St/i
и 2Ps/8 -> 25i/8. Уровень 2Р имеет орбитальный момент 1 и спин Va.
Поэтому полный момент J может принимать два значения: / =
=. 1 + XU = 34 и J = 1 — 1U = 14- Отсюда и получается дублетная
структура 2Р-уровня без внешнего поля. Уровень 2Si/t расщепиться
не может, потому что он имеет орбитальный момент, равный нулю.
При переходе с дублетного уровня на одиночный возникает двой-
двойная D-линия в спектре натрия. Расстояние между ее компонентами
по частотам составляет около одной тысячной от средней частоты
дублета. Уровень 2Р*/2 лежит выше, чем 2Р*/2.
Вычислим множители Ланде для трех уровней. Согласно C3.51)
имеем:
14-1
"*" 2
2) «PVi: y = V2, L
4/.
/а.
l+y 177Г37;
3) 25V2: </ = V2, ? = 0, S = Va,
2/.
16 Компанеец А. С. 431

Будем в данном случае измерять энергию расщепления Е'
в единицах \iQ \H |, так что для каждого уровня можно записать:
E' = gJg, C6.34)
где g — соответствующий множитель Ланде. Тогда получаем сле-
следующую картину расщепления уровней 2А/2, 2Pi/2 и 2Si/2:
,)*'(-») —2. ?'K)=-f.
\j 3 ¦
3) ?'-!) = -!, ?
Найдем, как выглядит спектр, Начнем с перехода 2Pi/s -» 2Si/2.
Колебания, поляризованные вдоль поля, подчинены правилу от-
отбора AJZ = 0. Следовательно, их частоты смещены относительно
среднего положения на
Е'BРх, -^ Е' BSt/ М = -+1=~
и на
?'(¦*,., 1)-?'B5V2, |) = |-1 =-1.
2} ** V /2> 2/ 3 -А~— з
В отличие от нормального эффекта Зеемана получилась двойная
линия и для излучения, поляризованного вдоль поля.
Для перпендикулярных полю поляризаций имеем:
1 4
= — у — 1 = — ^ (правая поляризация);
Е' BPi/2, -jj — E' f25i/2, ""у) = "з"+^ =="з" (левая поляризация).
Теперь обратимся к переходу 2Рг/2 ~> 2Si/2. Если колебание
поляризовано вдоль поля, имеем, конечно, опять две линии, но
отстоящие от среднего положения на другую величину:
Для правой круговой поляризации получим:
482

л
cj(ii) ' '
}Уг
-•/г
Рис. 41
Соответственно для левой поляризации расщепление харак-
характеризуется числами 1 и 5/3.
Так, одна компонента D-линии расщепляется на шесть зееманов-
ских компонент, а другая — на четыре. Зееман-эффект остается
в данном случае аномальным до тех пор, пока поле много меньше
одной тысячной электронвольта, или магнитное поле меньше 5000
CGSE единиц. Картина расщепления представлена на рисунке 41.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Построить картину расщепления мультиплета 3Р и 3S и переходов в сла-
слабом и сильном магнитных полях.
2) Вычислить импульс электромагнитного поля в вакууме с помощью нор-
нормальных координат поля Q°k.
Решение. В выражение A5.25)
подставляем электрическое и магнитное поля согласно C6.6) и C6.7). После
интегрирования по объему получаем, используя C6.11):
Преобразуем двойные векторные произведения:
k, a
16*
483

Величины kAQkA*l_k nkA^A^k суть нечетные функции k и после суммиро-
суммирования по всем k исчезают. Остается только
1
л, а
Подставляя сюда нормальные координаты поля из C6.17) и C6.17'), при-
приходим к выражению:
*. о k, о
так что импульс каждого кванта связан с его энергией соотношением A4.13).
3) Найти правила перестановки для операторов ak о и а? о, а также сами
fl«T CL*- И 0,4 П^"
R, О Я, О ж,О А, О*
Ответ.
а?,оаь, о и ak oak о диагональны, причем а\ oak о = Л^л а + 1,
Отсюда перестановка:
Для разных ky о и Л', а' операторы а? <т и ак\о\ перестановочны. Опера-
Операторы ak о и аЛ/о/, очевидно,всегда перестановочны, равно как ^ 0 и а^/ 0,.
§ 37. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Спиноры в четырех измерениях. В предыду-
предыдущем параграфе была построена квантовая теория релятивистской
частицы — светового кванта. При этом не пришлось заботиться
о релятивистской инвариантности уравнений, потому что"она была
заложена в исходной классической системе — в уравнениях Макс-
Максвелла. Для электрона такое исходное волновое уравнение существо-
существовать не может — его волновой функции в классическом предельном
случае ничто не соответствует (§ 36). Для него релятивистскую инва-
инвариантность уравнений нужно требовать с самого начала.
Во всяком случае заранее очевидно, что волновое уравнение для
электрона, инвариантное относительно преобразований Лоренца,
с необходимостью должно учитывать спин, так как спин-орбитальное
взаимодействие — релятивистский эффект. Как было показано
в § 30, волновая функция частицы со спином V2 есть спинорная двух-
компонентная величина, которая при поворотах осей координат
преобразуется через половинные углы. Поскольку преобразование
Лоренца может быть уподоблено повороту координатной системы
(§ 13), то определение спинора следует распространить и на повороты
в четырехмерном пространстве аналогично тому, как определение
вектора было распространено на четырехкомпонентные величины.
Преобразование спинора при поворотах координатной системы
в самом общем случае происходит по такому закону:
484

Тогда, как видно непосредственно, остается инвариантной сле-
следующая комбинация компонент двух различных спиноров ?, ц*
?j'r}2 — ^Hi ^ ^Ла~~ ^гЛ!» C7.2)
если определитель
аб — Ру = 1. C7.3)
Если ii и ?2 — компоненты спинорной волновой функции, то
I Si I2 + I ?г I2 есть плотность вероятности нахождения частицы в дан-
данной точке пространства. В трех измерениях эта величина скаляр-
скалярная, что накладывало определенные ограничения на коэффициенты
преобразования, а именно: а* = б и р* = —у.
В четырех измерениях плотность вероятности должна рассмат-
рассматриваться как четвертая компонента вектора, поэтому если вместе
с обычными вращениями координатных осей учитывать также и ло-
ренцевские, то преобразования некоторого спинора ?i, ?2 и преобра-
преобразования комплексно сопряженного с ним спинора не связаны такими
соотношениями, как в трехмерном пространстве. Соответственно мы
в дальнейшем будем обозначать такие спиноры звездочкой (принято
также ставить вместо звездочки точку над спинорным значком).
Допустим, что совершается чисто лоренцевский поворот на мни-
мнимый угол со, тангенс которого равен i —.Тогда, как видно из C0.42),
^ и |2 заменятся на %хе 2 и \ге 2. Но так как со — мнимый угол,
формулы поворота для компонент спинора получают следующий вид:
Чтобы быстрее прийти к стандартным обозначениям теории
Дирака, будем считать, что относительная скорость V систем отсчета
направлена по оси г. Тогда преобразования Лоренца A3.17) и A3.18)
могут быть выражены так:
Vx
t —
i" 3
Образуем линейные комбинации:
сГ ± z1 = {ct ± z)
/¦-?'
Подставляя сюда ~ = — /tgco, находим:
ct' ± z' = (ct ± z) е+ш = (ct ± z) ?±<<»!, C7.5)
так как со — чисто мнимая величина.
Пользуясь тем, что ?* в данном случае преобразуется так же,
( — — \
как и ?х \потому что е 2 действительноД приходим к следующему
485

соответствию между преобразованиями произведений компонент
спинора на сопряженный спинор и компонент вектора:
Это преобразование Лоренца не затрагивает координат х и у
и не изменяет произведений ?*?i и g^g2. Чтобы установить соответ-
соответствие между ними, рассмотрим пространственный поворот вокруг
у' = — х sin ф + у cos ф.
Умножим второе уравнение на ±i и сложим с первым:
х' ± iy' = {x± iy)*+'ф. C7.6)
Отсюда приходим к соответствию:
IU[ = K5i^f х' + iy' = (х + и/)
Таким образом, если дан четырехмерный вектор импульса ptf
Рх> РУ> pz(pt = ~\ и спинор 11у 12, то из них строится следующая
релятивистски инвариантная величина:
It iPt + Pz) 61 + It (Pt - pg) I2 + U iPx + iPy) lx + It (P* - iPy) ?a.
C7.7)
Здесь мы написали компоненты ph p между компонентами спи-
спинора, так как р надо в дальнейшем рассматривать как оператор.
Через релятивистски инвариантную величину C7.7) должна
выразиться релятивистски инвариантная функция Лагранжа, из
которой следует волновое уравнение для электрона. Но, кроме
импульса, функция Лагранжа содержит, очевидно, и массу элек-
электрона, которая сама релятивистски инвариантна и поэтому должна
умножаться на такую же величину.
Как мы видели в начале этого параграфа, скаляр можно постро-
построить только из компонент двух спиноров \ и т), а также из сопряженных
с ними I*, т)*. Эти скаляры суть 1щ2 — 62г]х и ^*т]| — ^т^. Тогда
в функцию Лагранжа войдет и выражение вида C7.7), образованное
из компонент спинора rj.
Обозначения компонент со звездочками применяются для того,
чтобы подчеркнуть их комплексно сопряженный закон преобразо-
преобразования по отношению к C7.1). Чтобы перейти к обычным квантово-
механическим обозначениям, удобнее положить:
2ф2 4
486

При этом следует помнить, что \|?3 и \|?4 преобразуются не так,
как % и i|J, а по комплексно сопряженным уравнениям.
Запишем теперь функцию Лагранжа, обозначая волновую функ-
функцию уже через t|?lf ..., t|L:
t (fix + Фу) Ь + № (Px - iPy ) ^4 -
- me ($&t ~ *2+f) - тс (ГгЬ - 4>M>4)- C7.8)
Заметим, что коэффициенты т всегда могут быть сделаны одина-
одинаковыми путем надлежащего выбора множителей у компонент ф.
Поэтому C7.8) в этом смысле не содержит ограничения общности.
Уравнение Дирака. Варьируем теперь L по \|)*»
«ф|, \|)| и i|)J и приравниваем вариации нулю. Операторы, действую-
действующие на функции, пишем слева, пользуясь их эрмитовостью:
(Л + РгШ + СРл
(л-р,Н«+(рл
(Р1-Р,)Ъ + (Рл
:-tPy)Vt-n
: + Фу)Ч>1 + П
г + 'ЯНз + «
гсг^з = 0,
^гс^х = 0,
пс% = 0.
Это и есть искомое уравнение Дирака. Раскрытой формой урав-
уравнения C7.9) пользуются редко, а обычно переходят к символической
матричной записи. Для этого применяются матрицы Паули C0.31).
Будем считать, что эти матрицы одинаково действуют на каждую
пару компонент *|>lf -фа и i|K, ^4» так что в соответствии с C0.32)
получается:
Как видно из C7.9), нужны также матрицы, переставляющие
между собой по паре компонент, т. е. tylt ty2 и i|K, ^4- Обозначим эти
матрицы через рь р2 и р3.
Они действуют совершенно таким же способом, как вх, оу и oZf
но по отношению к каждой паре, как если бы применялась запись:
tyi = 'ФЬ 'Фг — "Ф^ 'Фз ~ ^Ь ^4 — 'Ф!- Иными словами, они действовали
бы только на верхний значок. Отсюда хорошо видна перестановоч-
перестановочность р и а, но двухзначковой записью мы не будем пользоваться.
Она приведена только для того, чтобы показать перестановочность
р и а наглядным образом.
487

Рассмотрим теперь систему C7.9). При pt компоненты ф следуют
в нормальном порядке. Следовательно, здесь стоит единичная мат-
матрица, которая не пишется. Компоненты г|э при pz тоже имеют нормаль-
нормальный порядок, но разные знаки. Здесь надо написать psoz, тогда ф2
и \|K получат минусы. При рх стоит матрица оХУ не переставляющая
первую пару компонент со второй, а при ру— по тем же причинам 6У.
Наконец, при т стоит матрица —p±oz. Введем еще такие сокращен-
сокращенные обозначения:
о* = — оХ9 ay = —oyi az = — ръаг9 C = р^. C7.10)
Тогда система C7.9) в символическом, сокращенном виде запи-
записывается таким образом:
Р$ = ( ахрх + ауру + dzp2 + $тс) i|> = арф + $те$. C7.11)
Операторы 6Х, 6У и 62, а также операторы рх, р2 и р3 обладают
следующими свойствами (см. § 30):
ol = о2у = ol = 1; а^ог^ + оуох = сг^ + а^ == а^аг+ огоу = 0;
Pi = Pa = pi = 1; PiP2 + Р2Р1 = Р1Р3 + PaPi = Р2Рз + РзР2 = 0.
Пользуясь этим, легко находим аналогичные свойства опера-
операторов а и (Г:
aJ=a?=«a?=P2=l, C7.12)
АЛ. АЛ Л.А АА АА АА
<хх ау + ®у &х = &л*аг + агал: = сх^ос^ —J- a^a^ =
= а Л + Ь*х = «^ + Ь*у = аА + Ъ** = 0. C7.13)
Применим клевой части C7.11) оператор pt = — ^- gj, а к правой —
оператор ap + pW *. Тогда, пользуясь C7.12) и C7.13), находим:
^ - m2c2\j), C7.14)
так как все произведения неодинаковых операторов аь E выпадают,
а квадраты одинаковых равны 1. Таким образОхМ, все операторы,
переставляющие функции, исчезли, и получилось дифференциаль-
дифференциальное уравнение волнового типа:
Его релятивистская инвариантность очевидна. Если применить
его к свободной частице, надо искать решение в виде плоской волны:
ф==^ов h + л , C7.16)
* Мы не пишем «шляпку» (л) над р/, чтобы подчеркнуть, что эта величина
не является обычным квантовомеханическим оператором. Если понимать ее как
гамильтониан, деленный на см операторное обозначение вполне уместно.

откуда вытекает правильное релятивистское соотношение между
энергией и импульсом:
Е2 = с2р2 + т2с*. C7.17)
Из волнового уравнения C7.15) выпал и спин — оно относится
к однокомпонентной волновой функции. Поэтому уравнение C7.15),
предложенное независимо Шредингером, Фоком, Кляйном и Гор-
Гордоном как очевидное на первый взгляд обобщение нерелятивистского
волнового уравнения, не относится к электрону, если не иметь в виду
общего уравнения Дирака C7.11).
Покажем теперь, что уравнение Дирака инвариантно не только
относительно вращений и преобразований Лоренца, как выведенное
из релятивистски инвариантной функции Лагранжа, но и по отно-
отношению к инверсии координатной системы. При инверсии р изменя-
изменяется на —р, так что уравнение Дирака приобретает такой вид:
Умножим обе его части на р и воспользуемся тем, что согласно
C7.13) ра = — ар. Тогда
P/(NO = «J?(faO + m4(fa)- C7.18)
Таким образом, функция рг|э удовлетворяет тому же уравнению,
что и исходная функция г|). Но так как Щ в принципе равноценна ф,
можно утверждать, что уравнение Дирака приведено к первоначаль-
первоначальному виду. Умножение на р есть некоторое специальное унитарное
преобразование, произведенное над волновой функцией.
Обычно выполняется известное унитарное преобразование таким
способом, чтобы матрицы а и В, сохраняя свои основные свойства
C7.12) и C7.13), иначе выражались через матрицы р и о. Самого
преобразования мы делать не будем, а запишем новые выражения,
аналогичные C7.10):
ах = ргоХУ Vy^piby, a* = pio*, Р = р3? C7.10')
Уравнение Дирака, в котором используются такие матрицы
а, р, более удобно для предельного перехода к нерелятивистскому
волновому уравнению. Нетрудно убедиться в том, что операторы
а, Р, определенные с помощью C7.10), действительно обладают свой-
свойствами C7.12) и C7.13), а только это и необходимо, чтобы получалось
правильное соотношение C7.17) между энергией и импульсом.
Собственные значения энергии. Из формулы
C7.17) следует, что
Е = ± Ус2р2 + т2с*. C7.19)
Собственное значение энергии электрона, определенное из урав-
уравнения Дирака, может быть не только положительным, но и отрица-
отрицательным. В классической механике выбирается только знак «плюс»,
489

потому что у свободных электронов отрицательной энергии не бы-
бывает.
Корень квадратный в C7.19) по абсолютной величине не меньше
тс2, так что имеется область энергий шириной 2тс2, к которой энер-
энергия электрона принадлежать не может. В классических уравнениях
все величины меняются непрерывно, поэтому энергия, однажды опре-
определенная с положительным знаком, уже не переходит запрещенную
область 2тс2 и все время сохраняет надлежащий знак. Иначе говоря,
энергия, положительно определенная начальными условиями, оста-
остается положительной по уравнениям движения.
В квантовой теории оказывается, что между различными состоя-
состояниями возможны и скачкообразные переходы. Например, электрон
с энергией, большей тс2, мог бы испустить световой квант и остаться
с энергией, меньшей чем —тс2. Но таких электронов с отрицатель-
отрицательной энергией и массой в природе не наблюдается. Их свойства были
бы очень странными: излучая свет, они каждый раз уменьшали бы
свою энергию, так сказать, проваливаясь в состояние с энергией
Е = —сю. Довольно скоро в это состояние должны были бы «сва-
«свалиться» все электроны вселенной, вопреки тому, что мы видим вокруг
себя.
Итак, уравнение Дирака допускает возможность таких состоя-
состояний, которые, с одной стороны, нельзя зачеркнуть, потому что элект-
электроны могут переходить в них из других наблюдаемых состояний,
а с другой стороны, электронов с отрицательной энергией в природе
все же нет. Вместе с тем уравнение Дирака описывает целый ряд
свойств электрона совершенно правильно: оно, как мы вскоре убе-
убедимся, дает согласующееся с опытом соотношение между спином
и магнитным моментом электрона, приводит к точной формуле тон-
тонкой структуры атомов водорода и т. п. Кроме того, математические
исследования показывают, что нет никакого существенно иного реля-
релятивистски инвариантного уравнения для частицы со спином V2
и массой, отличной от нуля. Наш вывод уравнения Дирака из инва-
инвариантного выражения функции Лагранжа, построенного из спи-
спиноров, достаточно убедительно это показывает. Поэтому просто отка-
отказываться от уравнения Дирака не стоит: лучше дополнить его какой-
нибудь подходящей физической гипотезой.
Дирак предложил переопределить понятие вакуума. Раньше
под вакуумом понимали такое состояние электромагнитного поля,
в котором отсутствуют электрические заряды. Он счел возможным
называть вакуумом состояние, в котором все уровни с отрицатель-
отрицательными значениями энергии заняты электронами. Что это переопре-
переопределение не словесное, а физическое, будет очень скоро ясно из даль-
дальнейшего.
Если все уровни с отрицательной энергией заняты, на них соглас-
согласно принципу Паули не могут переходить электроны из состояний
с положительной энергией. Таким образом, принцип Паули необ-
необходим, чтобы релятивистская теория вообще могла описывать свой-
свойства электронов. В этом состоит обоснование принципа Паули как
490

необходимого элемента квантовой механики. В нерелятивистской
теории принцип Паули существует просто как дополнительный
постулат в задаче многих тел.
В § 36 вакуумом электромагнитного поля было названо такое
его состояние, в котором нет квантов, иначе говоря, основное со-
состояние поля, обладающее наименьшей энергией из возможных.
Точно так же, если все уровни с отрицательной энергией заняты,
то все остальные электроны уже не могут уменьшать свою энергию,
переходя в состояния с отрицательной энергией, и, следовательно, со-
состояние, в котором есть только занятые отрицательные уровни,
обладает наименьшей энергией из возможных по отношению к элект-
электронам. Естественно назвать такое состояние вакуумом электрон-
электронного поля.
Рождение пар. Выражение «электронное поле» употреб-
употреблено по аналогии с электромагнитным полем по следующей причине.
Уравнение Дирака по существу никогда не применяется к одному
электрону: всегда подразумевается существование «фона», т. е.
состояний с отрицательной энергией, занятых другими электро-
электронами. В противном случае этот электрон сам перешел бы в состояние
с отрицательной энергией.
Но «фон» не только «страхует» электрон от «падения», он прояв-
проявляет свое существование в реальном физическом процессе. Во внеш-
внешнем электромагнитном поле, например вблизи ядра, квант с энер-
энергией, большей 2тс2, способен «перебросить» электрон из состояния
с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией.
Внешнее поле необходимо для того, чтобы удовлетворить закону
сохранения импульса. Доказательство этого простого утверждения
см. в упражнении 1.
Но после того как из состояния с отрицательной энергией будет
вырван электрон, в нем останется «дырка», т. е. незанятый уровень
(ср. § 33). В электрическом поле электроны с отрицательной мас-
массой (масса имеет тот же знак, что и энергия) движутся не против
поля — к аноду, а по полю — к катоду. Вместе с ними перемещается
и «дырка», которая ведет себя, таким образом, как электрон с поло-
положительным зарядом и положительной массой.
В результате вырывания электрона из состояния с отрицатель-
отрицательной энергией эксперимент должен показать появление двух зарядов:
отрицательного и положительного. Это предсказание теории было
впоследствии подтверждено Андерсоном.
Позитрон с электроном, встречаясь, могут взаимно уничто-
уничтожиться — аннигилировать, если электрон перейдет на незанятый
уровень в состояниях с отрицательной энергией. Его энергия сооб-
сообщится электромагнитному излучению в виде двух или трех квантов*
Один квант не может получиться при аннигиляции в пустом про-
пространстве, потому что при этом не выполняется закон сохранения
импульса, так же как один квант не может «родить» пару (электрон +
+ позитрон) в пустом пространстве. В поле ядра возможна и одно-
квантовая аннигиляция.
491

Электрон и позитрон принято называть частицей и античас-
античастицей по тому признаку, что они способны ко взаимной анниги-
аннигиляции. В настоящее время известны также антипротон и анти-
антинейтрон.
Благодаря «фону» релятивистская квантовая теория электрона
есть по существу теория не отдельной частицы, а теория поля, в ко-
котором число частиц не определено. В зависимости от имеющейся
энергии в поле могут появиться, кроме одного электрона, одна или
несколько пар, подобно тому как в электромагнитном поле испуска-
испускаются кванты. Строго сохраняется только полный заряд, но не число
частиц.
Если энергия недостаточна для реального рождения пар, могут
существовать переходы, в которых пары сначала появляются, а по-
потом вновь исчезают. Промежуточные состояния имеют столь малую
длительность, что их энергия совершенно не определена, как у аль-
альфа-частицы под потенциальным барьером при вылете из ядра.
Такие промежуточные состояния проявляют себя в наблюдаемых
физических эффектах. Например, в кулоновом поле ядра возникает
как бы поляризация вакуума, т. е. некоторое результирующее
смещение «фона», обязанное рождению и уничтожению пар. Из-за
этого поле, действующее на электрон на близком расстоянии от
ядра (порядка — ~ J0~u см,) не строго кулоново. Это сказывается
на положении энергетических уровней атомных электронов (см.
ниже).
Таким образом, из уравнения Дирака последовало гораздо
больше, чем просто уточнение квантовой механики в релятивист-
релятивистской области. Концепция поля была перенесена на частицы, что
привело к предсказанию античастиц.
Зарядовое сопряжение. Из сказанного о позит-
позитроне можно сделать заключение, что его природа совсем иная, чем
электрона: электрон — частица, а позитрон — «дырка». Возникла
кажущаяся асимметрия между зарядами обоего знака. Однако воз-
возможна такая формулировка теории, что симметрия между электроном
и позитроном полностью восстанавливается.
Как уже было указано, уравнение C7.11) допускает решения,
отвечающие положительной и отрицательной энергиям. Кроме того,
каждому знаку энергии соответствуют два знака проекции спина,
итого получается четыре решения. Те, которые отвечают положи-
положительному знаку энергии, имеют физический смысл. Чтобы избавиться
от реального появления вторых двух решений, которым в природе
ничего не отвечает, добавлялся заполненный «фон».
Удается так преобразовать уравнение Дирака, что уравнение,
описывающее позитрон, становится совершенно одинаковым с урав-
уравнением для электрона. Здесь уже речь идет именно о позитроне, т. е.
о самостоятельной частице с положительной энергией, а не о «дырке».
Вместе с тем такие предсказания теории, как рождение и аннигиля-
аннигиляция электрон-позитронных пар и поляризация вакуума, остаются
492

в силе, потому что уравнения с самого начала составляются примени*
тельно к полю, а не к отдельной частице.
Рассмотрим преобразование уравнения Дирака, в результате
которого получается волновая функция позитрона.
Если варьировать функцию Лагранжа не по компонентам г|>*,
а по компонентам г|), то из выражения C7.8) получится уравнение
Дирака для сопряженной функции. В этом уравнении удобно сначала
писать волновую функцию слева от операторов, так как она стоит
в лагранжиане. При варьировании надо еще сделать преобразование
по частям, имея в виду, что сама функция L стоит под знаком четырех-
четырехмерного интеграла в выражении для действия S = ^LdH. Путем
такого преобразования знаки дифференцирования, входящие в pt
и /?, переносятся с вариаций на искомые функции и в соответствии
с этим pt заменяется на —pt и р на —р. Эти операторы в комплексно
сопряженном уравнении действуют не слева направо, а по условию
справа налево:
Ч>*(—Л + ар-/яс@ = 0. C7.20)
Операторы a, J3 тоже действуют справа налево, т. е. компонента
волновой функции i|)| ухмножается на матричный элемент &-той
строки матрицы, а не на матричный элемент &-того столбца. В фор-
формульной записи это выглядит так:
4
2 щ&к = (Щ)и ? **<*«== (¦*«)*• C7.21)
Следовательно, если желательно вернуться к обычной записи,
надо переставить у матриц аир столбцы и строки. Тогда их принято
обозначать как а и р, а уравнение C7.20) будет иметь такой вид:
*=0. C7.20')
Оказывается, что существует такое преобразование, которое
полностью возвращает уравнение C7.21) к исходному виду уравне-
уравнения Дирака C7.11). Найдем это преобразование, обозначаемое
буквой С. Его надо применить как оператор к уравнению C7.20)
слева и потребовать, чтобы в результате перестановок с операто-
операторами аир получилось уравнение для функции Оф*, по форме тож-
тождественное с C7.11). Иначе говоря, С должно удовлетворять таким
соотношениям перестановки:
Са = аС, C7.22)
Ср = — PC. C7.23)
Конкретный вид С зависит оттого, какими выбраны матрицы а и р.
Примем, что они удовлетворяют соотношению C7.10'). Матрицы р
и а эрмитовские. Следовательно, если они состоят из действительных
элементов, перестановка строк и столбцов ничего не меняет. Если
493

они состоят из чисто мнимых элементов, как элементы р2 и ву,
перестановка меняет знак перед матрицей. Подставляя теперь вме-
вместо составляющих ах, ау, <xz и |J их выражения C7.10'), переписываем
C7.22) и C7.23) в виде равенств по составляющим:
р1агС, Ср3 = — р3С C7.24)
Отсюда следует, что
C7.25)
Поскольку р2 антиперестановочно с plf а оу антиперестановочно
с ох, первое равенство в C7.24) выполняется. Таким же способом
проверяются и все остальные из этих равенств.
Таким образом, применяя оператор С к уравнению C7.21) и пере-
переставляя его с операторами аир, получаем:
(Pt - («Р) - м$) Оф* = 0, C7.26)
что полностью тождественно с уравнением C7.11). Но сопряжен-
сопряженная функция \|з * зависит от координат и времени по закону:
ф*=ф*@)е*т~'т- C7.27)
Ей тоже отвечают два знака энергии Е = ± ]/c2p2 + тг&. Если
подставить в C7.27) энергию с отрицательным знаком, взять вместо
р импульс противоположного направления и подвергнуть я|э* @)
преобразованию С, то получится волновая функция частицы с поло-
положительной энергией, удовлетворяющая тому же самому уравнению,
как и электрон. По отношению к электрону знак импульса выбран
противоположным, чтобы иметь одинаковую пространственно-
временную зависимость волновой функции.
Тем самым мы доказали, что функция Оф* может рассматриваться
как принадлежащая положительному электрону (по знаку импульса)
с положительной энергией. Иначе говоря, С^Хе(—р) есть функция
позитрона, который движется в поле в противоположную сторону
относительно электрона.
Преобразование С осуществляет переход от электрона к позит-
позитрону. Но так как С2 = 1, то же преобразование переводит «позит-
ронные» уравнения в «электронные», так что оказывается установ-
установленной симметрия между обеими частицами.
Операция С называется зарядовым сопряжением: она «переводит»
частицы в античастицы.
Паули и Вайскопф показали, что и у частиц, не имеющих спина,
могут быть свои античастицы. Впоследствии такую частицу дейст-
действительно открыли: это я-мезон. Мезоны я+ и я__ обладают свойствами
частицы и античастицы.
Если С-преобразование не изменяет вида волновой функции
частицы, то частица и античастица тождественны. В настоящее время
принято называть такие частицы истинно нейтральными в отличие,
например, от электрически нейтрального нейтрона, который тем
484

не менее имеет античастицу. Вполне нейтральны я0-мезон и световой
квант.
Переход к нерелятивистскому волно-
волновому уравнению. Для сопоставления релятивистского
волнового уравнения с уравнением Шредингера поучительно про-
произвести предельный переход. Так как нас будет в первую очередь
интересовать движение электрона во внешнем поле, напишем сна-
сначала соответствующее уравнение Дирака для электрона, взаимодей-
взаимодействующего с электромагнитным полем. Для этого заменим импульс р
на р — ~ А и энергию Е на Е + ец (§ 14). Таким образом, уравнение
Дирака в этом случае выглядит так:
C7.28)
Будем считать, что операторы аир выбраны, согласно C7.10').
Не будем раскрывать операторов а, а раскроем только р. Иначе
говоря, считаем первую пару гр1э г|?2 и вторую пару г|K, г|э4 за одно
Целое:
На них известным способом действуют рг и р3. Записывая это
в явном виде, получаем уравнение C7.28) для %х и %а.
f (, р-~л)х2 + тсх1 + уXi.
C7.30)
Из второго уравнения следует, что
\-tnC -*-
С С
При нерелятивистском движении, когда v <[ с, энергия ча-
частицы Е очень близка к тс2, так что весь знаменатель C7.31) в пер-
первом, исходном приближении заменяется на 2тс. Подставляя теперь
%2 в первое уравнение C7.30), находим, что двухкомпонентная функ-
функция %i удовлетворяет следующему уравнению:
(Е-ж)ъ = &-тс)Х1 = ±(о, p^^Aft^lv C7.32)
Разность Е—тс в левой части уравнения есть нерелятивист-
нерелятивистский гамильтониан частицы Я, деленный на с. Преобразуем первое
выражение перед %г в правой части C7.32), которое после умноже-
умножения на 2тс запишем так:
^ m C7.33)
495

Здесь первое слагаемое есть
aipl + ofpl + ofpl + (охву + оуох)
о г ох) PxPz + (OyOg + oz<jy) рург = р| + pi + pi = p2 C7.34)
и аналогично
@ЛJ = Л2. C7.35)
Пользуясь антиперестановочностью компонент 0, приводим
последнее слагаемое в C7.33) к такой форме:
у - Аурх) - (р^Л* — АхРу)] io2 + [{pzAx - AxPz ) -
- Л ^рЛ] /:огу + [ОМ* ~ Azpy) - (ргАу - Аур2)} iex, C7.36)
где использованы свойства матриц Паули C0.34) и т. д.
Перестановка рхАу — Аурх равна:
так что при az стоит проекция магнитного поля Н:
¦ Н2 и т. д.
Собирая теперь все члены C7.32), получаем:
Первые два слагаемых в правой части C7.38) представляют
собой нерелятивистский гамильтониан бесспиновой частицы во внеш-
внешнем электромагнитном поле. Последнее слагаемое есть энергия маг-
магнитного момента
? = ш° <37-39>
во внешнем магнитном поле //. Таким образом, из уравнения Дирака
получилось правильное соотношение между магнитным и механиче-
механическим моментами электрона, отвечающее C0.51).
Представляет интерес найти и формулу для энергии взаимо-
взаимодействия между магнитным спиновым и магнитным орбитальным
моментами электрона. Эта величина содержит квадрат скорости
света в знаменателе, и поэтому получается в следующем после
C7.38) приближении. Но мы не станем искать все члены этого при-
приближения, а заранее выберем то, что нас интересует. Из формулы
C7.31) видно, что член следующего порядка по с'2 — это
496

Подставляя поправку C7.40) в C7.30), видим, что оператор,
содержащий и электрическое поле, и спин, может получиться
только из выражения
(ap)«f(ap). C7.41)
Переставим ф-потенциал со вторым сомножителем {ор). Пользу-
Пользуясь формулой, аналогичной C7.37), можно написать:
еу (ар) = (ар) еу-~ (огуф) = (*р)#Р - ih(aE).
Произведение (вр)(вЕ) раскрывается по общему правилу C0.36):
Здесь первый член не зависит от спина и не имеет значения для
спин-орбитального взаимодействия. Во втором слагаемом восполь-
воспользуемся тем, что самосогласованное поле, действующее на электрон,
центральное, так что ?== — — л~» а пРоиззеДение [гр] есть не что
иное, как оператор орбитального момента электрона /. Выражая
его в единицах h, получаем формулу для оператора энергии спин-
орбитального взаимодействия:
&«>-?• <37-42>
Уравнение C7.38) применимо только к электрону. Хотя протон
тоже имеет спин х/2, его магнитный момент в 2,9 раза больше, чем
получается в последнем члене C7.38). Нейтрон тоже имеет магнитный
момент, который в тех же единицах равен — 1,9. Между тем по тео-
теории Дирака у незаряженной частицы должен был бы вообще отсут-
отсутствовать магнитный момент, так как е в C7.38) означает заряд.
Обычно предлагается следующее объяснение тому, что протон
и нейтрон не подчиняются уравнению Дирака. Обе ядерные частицы
очень сильно взаимодействуют с мезонным полем. Вследствие этого
они постоянно испускают и поглощают мезоны наподобие того, как
электромагнитное поле создает электрон-позитронные пары, которые
тут же аннигилируют. Но если такие пары не дают особенно боль-
большого вклада в общую величину электромагнитных эффектов (так как
мерой взаимодействия зарядов и поля является малая величина
г-=1/137), то ядерные взаимодействия (весьма большие) делают
совершенно неправильным рассмотрение нейтрона и протона от-
отдельно от окружающего их мезонного поля.
Это объяснение не подкреплено количественными расчетами,
потому что теория ядерных сил еще не построена. Но прямое зон-
зондирование электромагнитного поля протона и нейтрона очень быст-
быстрыми электронами показало, что обе ядерные частицы действительно
окружены зарядами и токами, размер которых около нескольких
единиц на 10~14 см.
497

Формула тонкой с т р у к туры. В виде исключения
приведем без вывода важную формулу для собственных значений
энергии электрона в атоме водорода или в любом кулоновом поле
заряда Ze\
*^ л Г л I / гг\ а / /»1 I \ i П1 / / » 1 1\л л то\—* 21—"" */• / QV yi Q\
/w2 1-
Здесь л — главное квантовое число, / = / ± V2 — полный мо-
момент электрона, а = -т~. Если считать Ze малым по сравнению о
единицей, получается нерелятивистская формула B9.41).
Весьма удивительным образом формула C7.43) отвечает резуль-
результату упражнения 9 к § 14. Если заменить в классической формуле
переменные действия через квантовые условия Бора C1.42), то полу-
получается формула C7.43), выведенная таким способом еще Зоммер-
фельдом, без всякого учета электронного спина. Но число состояний
атома без учета спина получается, конечно, неверным.
Радиационные поправки. Из формулы C7.43) сле-
следует, что энергии состояний 2si/2 и 2/?i/f должны быть одинаковы,
потому что они отвечают одним и тем же л и /. На самом деле энер-
энергии обоих состояний различны. В частотной шкале между ними име-
имеется различие на 1043 мегацикла.
Различие в энергиях объясняется тем, что при выводе формулы
тонкой структуры C7.43) не было учтено действие нулевых колебаний
вакуума электромагнитного поля. Эти колебания по-разному дей-
действуют на электрон в s- и р-состояниях и поэтому расщепляют
вырожденный уровень энергии.
Кроме нулевых колебаний, некоторый вклад в расщепление вносит
уже упоминавшаяся поляризация электронного вакуума, возникаю-
возникающая в результате рождения и аннигиляции электрон-позитронных
пар. Так как основная поляризация вакуума происходит на малых
расстояниях от ядра (порядка — V а электрон в атоме водорода
находится гораздо дальше — на расстоянии порядка одной атом-
атомной единицы, т. е. —g» поляризационный вклад в расщепление
энергетического уровня сравнительно мал — порядка 3% всего
эффекта. Тем не менее точность опытных данных столь велика, что
полностью подтверждает реальность влияния поляризации электрон-
электронного вакуума.
Поправки к формулам, обусловленные нулевыми колебаниями
электромагнитного поля или рождением и аннигиляцией пар, объе-
объединяются под названием радиационных поправок.
При их вычислении всегда возникают расходящиеся интегралы*
Поэтому поступают следующим образом. Вычисляют сдвиг энер-
энергии свободного электрона, обязанный, допустим, нулевым колеба-
колебаниям, и такой же сдвиг у электрона, связанного в атоме. Обе по-
поправки приводят к расходящимся интегралам, но их разность уда*
498

ется определить так, что она оказывается конечной, причем опреде-
определение вполне однозначно.
Смысл этого вычитания заключается в следующем. Физически
электрон неотделим от своего заряда, т. е. от поля излучения.
Когда говорят о «свободном» электроне, то на самом деле имеют
в виду, что электрон взаимодействует с полем излучения, которое,
как было показано, даже в основном состоянии нельзя считать рав-
равным нулю. Поэтому когда из поправок к энергии связанного элект-
электрона вычитаются поправки для свободного электрона, то таким
способом просто переопределяется понятие свободного электрона.
В конечном итоге получается конечный и небольшой сдвиг, отно-
относительная малость которого связана с тем, что постоянная тонкой
е%
структуры j- мала по сравнению с единицей.
Аналогичным образом удается найти поправку к магнитомеха-
ph
ническому отношению электрона, т. е. к величине ^. Она согла-
. е2
суется с опытом в двух следующих приближениях по j~.
Таким образом, квантовая электродинамика удовлетворяет основ-
основному требованию, которое предъявляется ко всякой физической
теории: она способна предвычислить с любой степенью точности,
однозначно и внутренне непротиворечиво любой наблюдаемый эф-
эффект в согласии с опытом.
Важнейшая нерешенная задача квантовой электродинамики
состоит в теоретическом нахождении отвлеченного числа 1/137.
Но в настоящее время не известно даже, возможно ли сделать это,
оставаясь в рамках одной электродинамики, без привлечения других
нолей, кроме электромагнитного.
УПРАЖНЕНИЯ
1) Доказать, что квант не может образовать пару электрон — позитрон в
пустом пространстве при отсутствии дополнительного внешнего поля.
Решение. Законы сохранения при отсутствии поля пишутся так:
Здесь р — импульс электрона в состоянии с отрицательной энергией,
п — единичный вектор в направлении импульса кванта, р1 — импульс электрона
в состоянии с положительной энергией.
Подставляя рх в первое равенство и возводя в квадрат его правую и левую
части, легко убедиться в невыполнимости этого уравнения.
Второй способ доказательства основан на простом рассуждении. Переход
к другой инерциальной системе отсчета всегда может сделать энергию кванта
меньшей, чем 2тс2. В такой системе квант не может образовать «пару» просто
потому, что его энергия недостаточна для этого. Но то, что невозможно в одной
системе отсчета, невозможно и во всех системах, так как возможность или невоз-
невозможность события не зависит от выбора системы отсчета.
Последнее рассуждение теряет силу, если рассматривается рождение пары
вблизи ядра. Здесь в одной системе отсчета ядро покоится, в другой — дви-
движется. Там, где у кванта энергия окажется меньше 2/пс2, движущееся ядро «по-
499

может» ему родить «пару». Разумеется, при этом рождение «пары» вообще невоз-
невозможно, если в системе покоя ядра энергия электрона меньше 2/яс2.
2) Получить решение уравнения Дирака для свободного электрона.
Решение. Положим компоненту ifo равной нулю. Тогда первое урав-
уравнение C7.11) удовлетворится, если взять я|K = Ас (рх— ipy), ^4— —AcPz*
При этом операторы а, $ определены формулами C7.1О')> а не C7.10). Второе
уравнение C7.11) дает:
Третье уравнение C7.11) приводится к тождеству:
(Е + тс*) % = А с (Е + тс2) (рх - ipy) = c(px- ipy) яр 2 - Ас (рх - ipy) (Е + тс«).
К тождеству приводится и четвертое уравнение. Число А определяется из
нормировки:
ИЛИ
Компоненты г|K и % — малые по сравнению с г^, г|J, если v <^с. Поэтому
решение отвечает положительной энергии. Другое решение с положительной
энергией получается, если взять i|J = 0. Решения с отрицательной энергией
получатся, если выбрать г|?з = 0 или г|?4 = 0.
3) Показать, что из уравнения Дирака следует такое уравнение сохранения
заряда, аналогичное B3.15):
где
|*|"s|iM« + |i
Указание. Написать уравнение C7.11) и комплексно сопряженное
с ним, умножить первое на if*, второе — на ij), вычесть второе из первого и вос-
воспользоваться эрмитовостью операторов аир.
4) Показать, что еслиг|) — решение с положительной энергией ?, то p2^ — ре-
решение с отрицательной энергией —Е.
Решение. Уравнение для i|>: ?Ч|з = с (ар) г|э+ ртс2г|?.
Отсюда
с2р2рг|? = — [с (ар) + тс2$] р2г|?.
Это доказывает, что решений с отрицательной энергией нельзя избежать.
5) Доказать, что операторы -^ ^=2^ аУа*> ~2 °y==zYi aza*' ~2°zZ=z
= -^7 axay, действующие на четырехкомпонентные функции, являются опера-
операторами спинового момента.
Решение. Так как
№ - А» а л л * /j2 л2 /j2
600

определенные здесь операторы спина обладают всеми нужными свойствами
(см. § 30). Это же самое можно видеть из определения C7.10') а через р и а. Заме-
Заметим, что операторы спина не переставляют между собой обеих функций первой
пары % и г|?2 с обеими функциями второй пары ^3f ^4t а делают перестановки
только внутри каждой пары.
6) Показать, что согласно уравнению Дирака закону сохранения момента
удовлетворяет только сумма орбитального и спинового моментов, а не каждый
момент в отдельности.
Решение. Полный момент определяется как
Л А. Л. Л Л. ft
jz = / z+ Sz^xpy — yPx + ^i
Вычисляем перестановку с гамильтонианом:
у саурх(руу--уру) + 1^ Рх
Таким же способом доказывается, что гамильтониан перестановочен и с квад-
квадратом полного момента А = /1+ Jy+ Jz. Интегралами движения являются
/а и \г% а не ^ и \г и s2, sz в отдельности.
7) Показать, что уравнение Дирака инвариантно относительно операции
замены t на —t, т. е. обращения времени (Г-преобразование).
Решение. Замена /на — t отвечает переходу к комплексно сопряжен-
сопряженному уравнению: г|5* (—pt — ар — pmc2) = 0. Надо найти преобразование,
возвращающее его к исходной форме уравнения Дирака.
Переходим к транспонированным (переставленным) операторам:
(— pt— ap — $mc2) i()* =0
(см. C7.20')). Искомое преобразование должно удовлетворять условиям:
или
Отсюда T^faOy^ay. Следовательно, CPT — i, т. е. не изменяет уравнения
Дирака.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
К § 1. а) Чему равна единица массы в граммах, если взять в качестве
эталона гравитационную постоянную у в законе тяготения F — у —^р, санти-
сантиметр и секунду?
б) Какую траекторию относительно земли описывает человек, равномерно
идущий по радиусу равномерно вращающейся платформы?
К § 2. а) Сколько степеней свободы имеют: ножницы? велосипед (не считая
цепи)? мясорубка, привинченная к столу?
б) Привести пример движения системы в условиях, имеющих ту же самую
симметрию, как сфера или цилиндр,
501

К § 3. Написать уравнения Лагранжа для системы с функцией Лагранжа:
К § 4. а) Энергия связи протона и нейтрона в ядре дейтерия составляет
2,2 Мэв. До какой энергии надо разогнать протон в ускорителе, чтобы он мог
разбить ядро дейтерия? Массы протона и нейтрона считать равными.
б) Как распределяется энергия между снарядом и орудием в момент выстрела?
К § 5. а) Как относятся моменты двух планет с равными массами, обра-
обращающихся вокруг Солнца по окружностям с радиусами гх и г2?
б) Выразить большую ось эллипса орбиты через энергию планеты.
в) Выразить период обращения планеты через ее энергию, пользуясь тем,
2л
что \ dcp A + 8 coscp)~2 = 2ji (I — е2)"""*/* при
К § 6. а) Найти среднюю энергию, передаваемую при столкновении одной
частицей другой, —такой же, но первоначально покоившейся, — при изотропном
рассеянии в системе центра инерции.
б) Найти максимальный угол, на который может рассеяться частица мас-
массой 3/п на покоящейся частице массой т.
в) Частица массой т1 налетает на покоящуюся частицу массой т2 и при-
прилипает к ней. Выразить кинетическую энергию составной частицы через кинети-
кинетическую энергию налетающей частицы.
К § 7. а) Рассмотреть колебания частицы с одной степенью свободы при
наличии упругой силы — ггка^х и силы трения, направленной противоположно
скорости и пропорциональной величине скорости.
Решение. Уравнение движения согласно условию есть
Решение имеет вид: х = Яе{Се ш^},где С и со — комплексные величины.
Для со получается квадратное уравнение: mco2 — mcog + fасо = 0,;
откуда
ia -ш /~ а2
С0 = —~— ± I/ CO(J .
Если соо > п~ э квадратный корень действителен и решение имеет вид зату-
затухающих колебаний:
При сильном трении корень мнимый и тогда
со = — *<_
Движение апериодическое, экспоненциально затухающее:
5) W fe
б) Рассмотреть движение частицы при наличии упругой силы и внешней
вынуждающей силы вида: Re {fe"mt)\ f = | / I е~~1%»
602

Ответ.
х=\
в) То же для случая, когда о) = ш0 (резонанс).
Ответ. Слагаемое движения, обязанное внешней силе, имеет вид:
* = Re
Амплитуда колебаний линейно нарастает со временем,
г) Решить задачу б) в предположении, что, кроме вынуждающей силы,
имеется сила трения —ах.
Ответ. Слагаемое движения, обязанное внешней силе, равно:
Ш (©J —
Амплитуда колебаний здесь остается конечной при всех значениях частоты
вынуждающей силы.
Разность фаз \р между колебаниями вынуждающей силы и материальной
точки для трех разных случаев следующая:
Частица следует за вынуждающей силой, успевая «подстроиться» к ее фазе.
2) со^>соо, —<<со, t|?=—л.
Благодаря инерции частица колеблется в противоположной фазе относи-
относительно колебаний силы.
3) со = соо (резонанс), г|? =——.
Фаза частицы смещена на — л/2 по отношению к фазе вынуждающей силы.
д) Рассмотреть колебания упруго связанной частицы при наличии «сухого»
трения F, направленного всегда противоположно скорости и не зависящего по
величине от скорости.
Решение. Для первого полупериода, считая скорость в течение него
положительной, имеем уравнение движения: тХ+mcojjjc = — F.
Умножаем это уравнение нахи интегрируем от некоторых начальных зна-
значений координаты и скорости х0 и х0. Интеграл движения приводится к виду:
F \2 х2
+) 4
Это есть уравнение полуокружности в плоскости (л:, х/щ), имеющей центр
при х-= -э х = 0. Полуокружность заканчивается в точке пересечения
с осью х, где скорость меняет знак. Если в этой точке х ^ движение пре-
кращается, так как упругая сила больше не может преодолеть силу трения, кото-
F
рая с этого момента направлена в противоположную сторону. Если х>—j
при х = 0, движение продолжается и так до тех пор, пока точка остановки не ока-
F F
жется внутри интервала: ^ х ^
т(о20 meal'
Это явление называется застоем. Оно понижает точность показаний прибо-
приборов, где не устранена сила «сухого» трения.
503

К § 8. а) На какой широте маятник Фуко совершает полный оборот плоско-
плоскости качаний за двое суток?
б) Будет ли вращаться шгоскость качаний маятника на Луне?
К § 9. а) Найти главные оси молекулы HDO, считая длины связей НО и
DO равными и образующими между собой угол 108° (D — дейтерий).
б) Найти частоту малых колебаний однородного эллиптического цилиндра
с полуосями а и 6, лежащего на горизонтальной плоскости.
К § 10. а) Найти функцию Гамильтона, если функция Лагранжа дана
в задаче к § 3, и написать соответствующие уравнения Гамильтона.
б) Написать уравнения Гамильтона — Якоби для предыдущего упраж-
нения и разделить переменные.
в) Написать выражения адиабатических инвариантов свободного симме-
симметричного волчка.
г) Найти траекторию движения в задаче Кеплера, считая, что по осям коор-
координат отложены проекции импульса.
Указание. Аналогично A0.13) найти функцию преобразования V" (р, Р)»
написать для нее уравнение типа Гамильтона — Якоби. В качестве зависимых
переменных ввести квадрат импульса и его направление в плоскости дви-
движения.
К § 11. а) Написать компоненты ротора некоторого вектора в цилиндри*
ческих координатах.
б) Сравнить выражения лапласианов от скаляра и вектора в цилиндриче-
цилиндрических координатах.
К § 12. а) Написать уравнения Максвелла и уравнения для потенциалов
в сферических координатах.
б) То же в координатах, введенных в упражнении 7 к § 11.
К § 13. а) Частица, летящая со скоростью vx = 0,95с, испускает другую
частицу, которая движется относительно нее со скоростью v2 = 0,99с под углом 30°
в системе отсчета, связанной с испускающей частицей. Найти величину и напра-
направление скорости испущенной частицы относительно исходной (неподвижной)
системы отсчета.
б) Частица, летящая со скоростью v— 0,999с, распадается на две частицы
с массами, равными нулю. Найти угол между направлением вылета фотонов в ла-
лабораторной системе, если в системе, связанной с распадающейся частицей, одна
из частиц с нулевой массой летит под углом 30° к направлению скорости рас-
распадающейся частицы.
К § 14. а) Какую разность потенциалов должен пройти первоначально
покоившийся электрон, чтобы его скорость стала равной 0,999 с?
б) Определить движение заряда в постоянных и однородных электрическом
и магнитном полях, совпадающих по направлению.
в) То же в перпендикулярных полях.
г) Показать, что траектория движения заряда в постоянном и однородном
магнитном поле имеет аналогичный вид в координатном и импульсном простран-
пространстве (т. е. в таком, где по осям отложены компоненты импульса) и не опреде-
определяется формой зависимости энергии от импульса.
Указание. Сравнить упражнение г) к § 10.
К § 15. а) Параллельно пластинам заряженного плоского конденсатора
действует постоянное магнитное поле. Объяснить, почему в данном случае
не возникает потока энергии, хотя формально вектор Пойнтинга не равен
нулю.
Указание. Найти дивергенцию вектора Пойнтинга.
б) Пользуясь релятивистски инвариантной записью уравнений движения
заряда в электромагнитном поле A4.33), показать, что в постоянном и однород-
4
ном поле решение имеет вид: ^.= ^ ^/П)ех % гДе величины х(П) выража-
п==1
ются через инварианты тензора электромагнитного поля.
в) Показать, что инварианты тензора Ffk = ^ikimPlm совпадают с инва-
инвариантами тензора F^
504

К § 16. а) Квадруполь образован четырьмя зарядами: 1, —1,2, —?, нахо-
находящимися в вершинах параллелограмма со сторонами 1 и 2, образующими
угол 45°. Найти главные оси тензора квадрупольного момента и значения момента
относительно главных осей.
б) Эллипсоид вращения имеет главные моменты инерции Ju J2~ J3- Найти
в квадрупольном приближении компоненты потенциала силы тяжести на оси
симметрии и в перпендикулярной ей средней плоскости.
в) Двухатомная молекула с моментами инерции Jt = О, J2 === Л и диполь-
ным моментом d помещена в постоянное и однородное электрическое поле. Напи-
Написать уравнения ее движения и привести к квадратурам (интеграл не выра-
выражается в элементарных функциях).
К § 17. Симметричная молекула с главными моментами инерции Jlt J2 =
= J3 и магнитным моментом, жестко связанным с направлением первой глав-
главной оси инерции, помещена в постоянное магнитное поле. Показать, что ее
движение аналогично движению симметричного волчка в поле тяжести.
К § 18. а) Электрическое поле плоской волны, бегущей вдоль оси я, имеет
составляющие: Еу = Ех cos р ± Е2 sin C, Ez = Ех sin p — Е2 cos p. С помощью
A8.36) найти составляющие комплексного вектора F и показать, что 1) соотно-
соотношение A8.38) выполняется тождественно, 2) F\ + F% = E\ + ?f, 3) абсолютная
величина векторов Fx и F2 и угол между ними не зависят от угла р.
б) Компонента электрического поля Еу плоской электромагнитной волны,
бегущей вдоль оси х, в начальный момент времени определялась функцией / (х),
а ее производная по времени — функцией g (х). Написать выражение Ev в про-
произвольный момент времени.
в) Сопоставить соотношения A8.21), A8.22), A8.31) с формулой, выражаю-
выражающей энергию частицы, не имеющей массы, через ее импульс.
К § 19. а) Плоская монохроматическая волна с частотой со падает нор-
нормально на экран с отверстием радиуса а. Найти примерный размер освещенной
области на другом экране, поставленном параллельно первому на расстоянии
d > а за отверстием, и найти условия, при которых дифракционная область на
втором экране будет значительно больше той, которая получается на основе гео-
геометрической оптики, т. е. из построения прямолинейных лучей.
К § 20. а) На электрон падает плоская волна, поляризованная по кругу.
Найти эллиптическую поляризацию волны, рассеянной под углом G к первона-
первоначальному направлению.
б) Учитывая, что результирующий импульс электромагнитного поля, излу-
излучаемого диполем, равен нулю, показать, что покоящийся заряд в поле плоской
электромагнитной волны испытывает силу в направлении распространения
2 е2
волны, равную yjjj^l В |2.
в) На покоящийся заряд действует электрическое поле бегущей электромаг-
электромагнитной волны, меняющейся по синусоидальному закону: Е — Ео sin со/. По-
Показать, что в перпендикулярном направлении происходят колебания с дзойной
частотой, и найти энергию, излучаемую колебаниями за единицу времени.
К § 21. а) Считая фазовую скорость и функцией одной декартовой коор-
координаты х и пользуясь уравнением B1.7) как уравнением Гамильтона — Якоби,
найти уравнение светового луча с данной частотой со.
б) Найти соотношение между фазовой скоростью, групповой скоростью
и скоростью света в пустоте на примере, когда со = с Vk\ + k2.
К § 22. Рассмотреть следующий мысленный эксперимент, предлагавшийся
для «опровержения» принципа неопределенности. Имеется экран с двумя отвер-
отверстиями, расположенными одно над другим. Через отверстия пропускаются
частицы по одной. Падая на другой экран, они создают дифракционную кар-
картину, характер которой таков, как если бы каждая частица проходила через
оба отверстия в первом экране. Одновременно с пропусканием частиц изме-
измеряется вертикальная компонента импульса второго экрана, полученная им при
попадании частицы. Делается утверждение, что если эта компонента направлена
вверх, то частица должна была пройти через нижнее отверстие в первом экране,
505

и наоборот. Это утверждение несовместимо с принципом неопределенности. Пока-
Показать, что здесь ошибочно.
Указание. Применить принцип неопределенности как универсальный
к самому второму экрану и показать, что при измерении импульса он приобре-
приобретает неопределенность координаты, равную ширине дифракционной полосы.
К § 23. а) Волновая функция частицы имеет вид:
где амплитуда С (р) считается отличной от нуля только вблизи некоторого
р = р0, а Е = — . Эта волновая функция описывает так называемый «волновой
пакет». Найти скорость распространения максимального значения амплитуды
волновой функции, короче, скорость волнового пакета.
б) Выбирая в предыдущем упражнении С(р)=е 2<лрJ » где р0 !> Др,
показать, что минимальная ширина волнового пакета в пространстве удовлет-
удовлет1/ =—.
воряет неравенству: Да; > 1/ =—. Здесь ширина определяется из
по амплитуде волновой функции.
К § 24. а) Построить шаровые функцииГ}, Y\, Kg, К}, KJ, K|, KJ, К|, Г{
и проверить их ортогональность.
б) Найти перестановку Мх, М2У.
в) Найти перестановку рх, —.
К § 25. а) Вычислить (cos2 Ь) в состояниях с волновыми функциями KJ, К},
которые необходимо предварительно нормировать.
б) Волновая функция частицы в ее зависимости от азимута отлична от нуля
и постоянна при 0 ^ ф ^ л и равна нулю при я < <р < 2я. Разложить ее по
собственным функциям проекции орбитального момента и найти вероятность
некоторого собственного значения проекции момента.
в) Пусть О, ф — полярный угол и азимут точки относительно оси г, 0 и % —
то же относительно оси х. Пользуясь тем, что cos d = sin 0 cos x, cos 0 =
= sin О sin ф, разложить шаровые функции Y\ (О1, ф) по функциям Y\' (9, %),
К § 26. а) Выразить операторе 2г° (гдег0—постоянная величина) в пере-
переменных р.
б) Показать, что оператор конечного сдвига Л, действие которого на функ-
функцию определяется как Лг?> (#) = i|5(x + a), в импульсном представлении имеет
iapx
вид: Л=е h '
К § 27. Вероятность появления некоторого собственного значения энер-
энергии Еп в системе равна: wn = е п, где Р> 0. Найти среднее значение вели-
величины i в координатном представлении.
506

К § 2&. а) Найти спектр энергии частицы в потенциальной «трубе», беско-
бесконечной в одном измерении и имеющей постоянное прямоугольное сечение, пер-
перпендикулярное оси. Стенки непроницаемы для частицы.
б) Найти спектр энергии заряженной частицы в постоянном и однородном
магнитном поле. Вектор-потенциал поля представить в виде Ах = 0, Ау = Их,
Аг— О (калибровка Ландау).
К § 29. а) Рассмотреть одномерное движение частицы в потенциальном
поле вида:
U = D A+е~2ах — 2е~ах), где — со^х^со,
и показать, что дискретный спектр энергии определяется формулой:
причем п ограничено сверху. Изобразить результат графически.
Указание. Подставить е~ах = у, я|? = -?= и сравнить с уравнением
У У
B9.32), затем воспользоваться формулой B9.37).
б) Рассмотреть движение частицы в поле притягивающего центра с потен-
потенциалом U = ?¦. Показать, что при малых значениях / не остается решения*
которое в нуле представляется действительной и положительной степенью г,
что в классической механике отвечает падению на центр.
в) Какие результирующие моменты получаются при сложении трех момен-
моментов, соответственно равных 1, 2 и 3?
К § 30. а) Дан оператор т = 3 (в1 п) (<г2 п) — (Oi^), где сг и tf2 — опе-
операторы Паули двух частиц, п — единичный вектор по' линии, соединяющей
эти частицы. Показать, что собственные значения т равны — 4, 0 и 2, причем по-
последнее двукратно вырождено.
б) Объяснить, почему самый общий вид матрицы плотности в пространстве
спиновой переменной одной частицы со спином 1/2 равен:
где п — единичный вектор. Найти (ох).
К § 31. а) Найти в квазиклассическом приближении уровни энергии
в потенциальном поле U (х) = D A + е~2ах — 2е~ах). Получившийся резуль-
результат объяснить с помощью математической аналогии с задачей Кеплера (сравнить
с упражнением а) к § 29).
б) Показать, что в квазиклассическом приближении получаются правиль-
правильные значения уровней энергии в задаче Кеплера, если в качестве квадрата
/ 1 \2
момента взять M+if) вместо / (/+ 1).
в) Найти в квазиклассическом приближении вероятности прохождения
через потенциальный барьер частицы с энергией Е, если барьер имеет вид:
U= Uo— ах2, Е < Uo, a > 0.
К § 32. а) Частица находится в сферической потенциальной яме, такой,
что U = — | UQ \ при г г=с г0 и U = 0 при г > г0. Глубина ямы изменяется на
постоянную величину: U ->— (^0+ б?/0). Рассмотреть изменение собственного
значения энергии в первом приближении теории возмущений и сравнить с точ-
точной формулой для энергии связанных состояний.
б) Ядро атома дейтерия имеет квадрупольный момент q. Найти расщепле-
расщепление уровней 2р-состояния электрона.
в) Система имеет два уровня энергии, расстояние между которыми равно:
Ei — Ео = /io)o. На нее наложено возмущение V (/, х), которое зависит от вре-
оо
мени по закону: V (/, х)= j У (cot x) cos со/ dco. В начальный момент времени
— 00
507

амплитуда нулевого состояния со= 1, так что амплитуда первого состояния
ct = 0. Найти амплитуду первого состояния по истечении достаточно долгого
времени.
Указание. Под «достаточно долгим» понимается промежуток времени,
для которого можно воспользоваться соотношением:
оо
которое выводится аналогично формуле C2.39).
К § 33. а) Какой степени атомного номера пропорционально среднее рас-
расстояние электрона от ядра, вычисленное по методу Томаса — Ферми?
б) Пользуясь лишь соображениями четности, получить правило отбора для
матричных элементов координаты по азимутальному квантовому числу /, анало-
аналогичное тому, которое было выведено для вектора y по J (упр. 4 к § 33).
К § 34. Какие вращательные состояния имеются у молекулы кисло-
кислорода О|6 и его тяжелого изотопа О|7 (спин ядра О1? определяется одним ней-
нейтроном сверх заполненных оболочек)?
К § 35. а) Найти в борновском приближении дифференциальный эффек-
эффективный поперечник упругого рассеяния электрически заряженных частиц дипо-
диполем с моментом d.
Указание. Воспользоваться предельным переходом от системы из двух
зарядов, находящихся на конечном расстоянии друг от друга, к диполю.
б) Найти парциальное эффективное сечение рассеяния частицы в поле оттал-
отталкивающего центра с потенциалом ^/=-^,если известно, что асимптотическое
решение уравнения у"-\ y' + k2y = Q конечно при х = 0, а для х-»оо:
К § 36. а) Рассматривая квантованное движение осциллирующего диполя,
вычислить интенсивность излучения при переходе из первого возбужденного
состояния в основное, считая дипольный момент пропорциональным координате
осциллятора. Сравнить с соответствующей классической формулой.
б) Вычислить интенсивность излучения водородного атома при переходе
из состояния 2р в Is.
в) Какова мультипольность переходов:
К § 37. а) Разделить переменные в уравнении Дирака для центрального
поля, считая первые две функции зависящими только от радиуса.
Указание. Выбрать 1-ю пару волновых функций в виде: 0, t|J и я|?х, О,
угловую зависимость 2-й пары искать из вида шаровых функций при /= 1.
б) Показать, что если дираковскую волновую функцию подвергнуть пре-
преобразованию: ty' = CMty = —т= (Оу + р)я|>, то уравнение Дирака будет содер-
содержать лишь вещественные коэффициенты. Считается, что все матрицы а, Р вы-
выбраны в соответствии с формулами § 37.
в) Показать, что волновые функции электрона и позитрона имеют противо-
противоположные четности.
г) На основании результата предыдущего упражнения показать, что система
из электрона и позитрона в состоянии с результирующим спином 1 может анни-
аннигилировать только с распадом на три кванта.
Указание. Учесть, что перестановка электрона с позитроном остав-
оставляет гамильтониан инвариантным только при одновременном изменении знака
амплитуды электромагнитного поля.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аберрация света 148
Аддитивные интегралы движения 38
Адиабатические инварианты 106
Альфа-распад 372
Бора квантовые условия 380
— магнетон 364, 430
— теория 244
Борновское приближение 450
Вакуум электромагнитного поля 471,
490, 491
— электронного поля 491
Вариация величины 13
Вариационный принцип 10, 13, 20,
21, 179, 180
Вариационное свойство собственных
значений 389
Вектор аксиальный 176
— площадки 111
— Пойнтинга 186, 211
— полярный 176
Векторная модель атома 430
Векторный потенциал 137, 199, 229
Вероятность испускания кванта 474
— нахождения частицы 260
— поглощения кванта 475
Вихрь (ротор) вектора 116
Водородоподобные атомы 347
Возмущающая энергия 387
Возмущение вырожденных состояний
391
— как причина квантовых перехо-
переходов 392
Волновая зона излучения 233
— функция 260, 281, 285, 368
Волновое число 218
— уравнение 207, 259, 402, 495
Волновой вектор 211
— пакет 219
Волчок свободный 87
— симметричный 87, 89, 91, 93
— С. Ковалевской 87, 94
Вращающиеся системы отсчета 73
Вращение ядер 445
Вульфа — Брэгга условие 253
Вырождение 342
Галилея преобразования 72
Гамильтона принцип 10, 13, 20, 21, 180
— уравнения 95, 96
— функция (гамильтониан) 95
Гамильтона — Якоби уравнения 98,
101.
Гаусса — Остроградского теорема 113
Гильбертово пространство 284
Главные моменты и оси инерции 84
Градиент скаляра 118
Групповая скорость 220, 250
Движение в механике 6
— — центральном поле 41, 332
— инфинитное 45, 324, 338, 379
— невырожденное 387
— финитное 46, 103, 267, 324, 339
Дебройлевская длина волны 255
Действие для электромагнитного поля
174
— заряженной частицы 165
— как функция преобразования 99
— механической системы 13
— укороченное 102
Дельта (б)-функция 294
Дивергенция вектора 114
Диполь 192
Дипольный момент 192
Дипольное приближение 231, 475
Дирака уравнение 487
Дифракция волн 224
— электронов 252, 254
Дифференциальный эффективный по-
поперечник рассеяния 56, 57, 59, 449
Длина волны электронов 254, 255
Длительность сигнала 219
Доплера эффект 213, 214
Дополнительности принцип 287
Задача Кеплера 47, 101, 109
— о рассеянии частиц 55
столкновении 50, 51
Закон аддитивности массы 7
— сложения скоростей 139
— сохранения заряда 131
момента 37, 346
четности 346
Законы сохранения 30
Запаздывающий потенциал 226
Зарядовое сопряжение 492, 494
Зеемана эффект 242, 429, 480, 481
Зеемановский мультиплет 480
Идеальные связи 8, 31
Излучение дипольное 236
— квадрупольное 236
Изотропия пространства 19, 351
Изотропное рассеяние частиц 59
Импульс 33, 34, 159, 184
— обобщенный 33
Инварианты адиабатические 106
Инвариантный тензор 123
Инверсия координатной системы 176,
343
Инерциальные системы отсчета 7,18, 71
Интеграл момента 41
609

Интеграл обменный 407, 442
— центра инерции 35
— энергии 32
Интегралы движения 17, 30, 34, 38,
210, 302
— контурные 115
Интервал 150, 151
Интервалы временные 151
— пространственные 151
Инфинитное движение 45, 324, 379
Канонические преобразования 96, 97
Квадрат момента 272
Квадруполь 193
Квадрупольный момент 192, 193
Квазиклассическое приближение 365
Квант действия (постоянная Планка)
244, 252, 256, 286
Кванты 245, 469, 470
Квантовые числа 341, 342
Квантовые условия Бора 380
Комптона эффект 246
Координата циклическая 33
Координаты декартовы 6
— криволинейные 121
— нормальные 68, 69
— обобщенные 14, 15
— сферические 24
— центра инерции 27
Критерий вырождения состояния 333
Кулоново поле 339
Лабораторная система отсчета 51, 53
Лагранжа уравнения 9,15, 17
— функция 16, 158
Ланде множитель 432, 481
Лапласа оператор (лапласиан) 120
Лармора прецессия 203
— теорема 203, 242
Лежандра полиномы 335, 348
Линейный гармонический осциллятор
64, 107, 108, 303, 325
Лоренца преобразования 143, 146, 155,
162, 174
— сила 168
— условие 138, 182
Магнетон Бора 364, 430
Майкелсона опыт 140
Максвелла уравнения 125, 129
Масса 6, 7, 159—162
— приведенная 27, 28, 53, 56, 342
Матрица 290
— плотности 307, 308
Матрицы (операторы) Паули 358
Матричный элемент 290, 301
Маятник Гюйгенса 39
— двойной 28
— простой 28, 32
Маятника малые колебания 61, 64
Медленно переменные поля 187
Метод самосогласованного пола 405#
442
— Томаса — Ферми 411
Множитель Ланде 432, 481
Момент 36, 42, 82, 350
— инерции главный 84
— орбитальный 274
— электромагнитного поля 186
Монохроматическая волна 217
Мультиплет 410, 411, 428, 429, 480
Набла 117
Неинерциальные системы отсчета 71
Неупругое столкновение 51, 52
Обменная энергия 407
Обменный интеграл 407, 442
Обобщенные координаты 14, 15
— скорости 15
Обобщенный импульс 33, 42
Однородность пространства 19
Оператор Лапласа (лапласиан) 120
— эрмитовый 280
Операторы 267, 269, 363, 473
— Паули 358
Оптико-механическая аналогия 250
Опыт Майкелсона 140
— Физо 149, 156
— Штерна и Герлаха 276, 284—286,
307, 349
Падение на центр 46
Переменные действия 103, 105
— угловые 103, 105
Периодическая система Менделеева 418
Плотность заряда 130
— тока 131
Поверхности постоянной фазы 248
Пойнтинга вектор 186, 211
Поле самосогласованное 405
— тяготения 23
— электромагнитное 126, 127, 465
Полиномы Лежандра 335, 348
Поляризация 214
Потенциал векторный 137, 229
— запаздывающий 226, 228
— зарядов 190
— скалярный 137, 188
Потенциальные ямы 311, 314, 317,373
Потенциальный барьер 370
Поток вектора 112
Правила отбора 477
— Хунда 409, 411
Пределы применимости классических
понятий 233, 255
Преобразования Галилея 72
— канонические 96, 97
— Лоренца 143, 146, 155, 162, 174
— унитарные 298, 299, 360
610

Прецессия 90, 93, 204
-1 Лармора 203
Принцип Гамильтона 10, 13, 20, 180
— дополнительности 287
— неопределенности 257, 286, 453
— относительности 18, 71, 139, 155
— Паули 398, 400, 402, 404, 490
— соответствия 303
— суперпозиции 260, 278
Радиальные функции 336
Радиационное трение 234
Радиационные переходы 471
— поправки 498
Рассеяние частиц 55, 59, 455
Резерфорда формула 57, 454
Рождение пар 491
Ротор (вихрь) вектора 116
Самосогласованное поле 405
Сила Кориолиса 76, 77
— Лоренца 168
Силы инерции 75, 76
— центральные 23
Симметрия законов движения 19
Системы отсчета вращающиеся 73
—¦ -— инерциальные 7,18
лабораторные 51, 53
неинерциальные 71
— центра инерции 51, 55
Скобка Пуассона 302
Скалярный потенциал 137,188
Собственное время 153
Собственные значения величин 267,
353, 389, 489
Собственные функции 273, 332
Соотношение де Бройля 255
— неопределенности 258, 288, 378
Состояние возбужденное 313, 329
— вырожденное 333, 342
— основное 313, 329, 342
— стационарное 267
Спектр энергии системы 267
Спин электрона 349, 350, 364, 426
Спины ядер 447
Спинор 363
Спонтанное испускание 473
Степени свободы 14
Сферические функции 276
Тензоры 80—82
Теорема Гаусса — Остроградского 113
— Лармора 203, 242
— Стокса 115, 117
Теория Бора 244
— рассеяния 455, 459
Ток смещения 132
Томаса — Ферми метод 411
— уравнение 416
Тонкая структура 429, 498
Унитарные преобразования 298, 360
Уравнение Гамильтона — Якоби 98
— Дирака 487
— Шредингера 262
Уравнения Гамильтона 95, 96
— для потенциалов 138, 198
— Лагранжа 9, 15, 17, 22, 166
— магнитостатики 187, 197
— Максвелла 125, 129, 136, 178
— электростатики 187, 188
— Эйлера 85—87
Уровни тонкой структуры 411
— энергии 446
Условие Вульфа — Брэгга 253
— Лоренца 138, 182
Условия калибровки 138
Фазовая скорость 220, 250
Финитное движение 46, 103, 267, 324
Фока метод 405, 442
Формула Резерфорда 57—59, 454
— тонкой структуры 498
Функция Гамильтона 95
— Лагранжа 16, 19—21, 27—29, 158
Хунда правила 409, 411, 428
Хэвисайдовы единицы 180
Центр инерции 26
Циркуляция вектора 115
Четность состояния 343
Ширина уроЕНя энэргии 376, 378
Шпур (след) матрицы 308
Шредингера уравнение 262, 263
Эйлера углы 90
— уравнения 85—87
Электромагнитное поле 126, 127, 465
Электромагнитные волны 207, 209—
211, 215, 226
— потенциалы 136
Энергия 30, 160
— возмущающая 387
— кинетическая 18, 26, 32
— обменная 407
— полная 30
— потенциальная 18, 24, 32
— связи 342
— системы зарядов 196
— твердого тела 78
Эрмитовость операторов 279, 280, 283
Эффект Доплера 213, 214
— Зеемана 242, 429, 480, 481
— Комптона 246
— Штарка 433
Ядерные оболочки 422
511

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть I. Механика . 5
§ 1. Общие положения 5
§ 2. Уравнения Лагранжа 9
§ 3. Примеры на составление уравнений Лагранжа . . . 22
§ 4. Законы сохранения 30
§ б. Движение в центральном поле 41
§ 6. Столкновения частиц . . 50
§ 7. Малые колебания 61
§ 8. Неинерциальные системы отсчета 71
§ 9. Динамика твердого тела 78
§ 10. Уравнения Гамильтона и Гамильтона — Якоби 94
Часть II. Электродинамика 111
§ 11. Векторный анализ 111
§ 12. Уравнения Максвелла 125
§ 13. Принцип относительности Эйнштейна 139
§ 14. Релятивистская механика 157
§ 15. Действие для электромагнитного поля 174
§ 16. Электростатика точечных зарядов 187
§ 17. Магнитостатика точечных зарядов 197
§ 18. Плоские электромагнитные волны 207
§ 19. Передача сигналов. Почти плоские волны 217
§ 20. Излучение электромагнитных волн 224
Часть III. Квантовая механика 244
§ 21. Недостаточность классической механики. Аналогия между клас-
классической механикой и геометрической оптикой 244
§ 22. Дифракция электронов 252
§ 23. Волновое уравнение 259
§ 24. Операторы в квантовой механике 267
§ 25. Разложения по волновым функциям 278
§ 26. Преобразование независимых переменных 289
§ 27. Операторы в матричном представлении 301
§ 28. Некоторые задачи в координатном представлении 311
§ 29. Движение в центральном поле 332
§ 30. Спин электрона 349
§ 31. Квазиклассическое приближение 365
§ 32. Теория возмущений 387
§ 33. Многоэлектронные системы. Атом . 398
§ 34. Двухатомные молекулы 439
§ 35. Квантовая теория рассеяния 449
§ 36. Квантовая теория излучения 465
§ 37. Уравнение Дирака 484
Дополнительные уравнения 501
Предметный указатель 509
Д. С. Компанеец
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ТОМ I
Элементарные законы
Редакторы А. В. Чеботарева, А. Ф. Раева. Художник Б. Л. Николаев. Художественный
редактор Л, Ф. Малышева. Технический редактор В. В. Новоселова. Корректоры
Л. П. Макеева, Р. Б. Штутман. Сдано в набор 23/ХП 1971 г. Подписано к печати
21/XI 1972 г. 60X90l/i6. Бум. тип. № 2. Печ. л. 32,0. Уч.-изд. л. 31,24. Тираж 40 тыс. экз.
А07406. Зак. 188. Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Ми-
Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й про-
проезд Марьиной рощи, 41, Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типогра-
типография № 1 «Печатный Двор» им. А. М. Горького Главполиграфпрома Государственного
комитета Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
торговли, г. Ленинград, Гатчинская ул., 26.
Цена без переплета 87 коп,, переплет 20 коп.